Shembull: (Bashkesia W e matricave katrore te rendit 2 dhe singulare (me percaktor = 0) nuk eshte nenhapesire e M2×2)
Shembull: 2
Cila eshte nenhapesire e R ? (a) Bashkesia e pikave te drejtezes x+2y=0. (b) Bashkesia e pikave te drejtezes x+2y=1.
Vertet:
Zgjidhje: (a) W = {( x, y ) x + 2 y = 0} = {(−2t , t ) t ∈ R}
1 0 0 0 A= ∈ W , B = 0 1 ∈ W 0 0
Le te jene v1 = ( −2t1 , t1 ) ∈ W
Q v1 + v2 = (− 2(t1 + t 2 ),t1 + t2 ) ∈ W
1 0 ∴A+ B = ∉W 0 1
kv1 = (− 2(kt1 ), kt1 )∈ W
∴W2 nuk eshte nenhapesire e M 2×2
(b) W = {( x, y ) x + 2 y = 1}
∴W eshte nenhapesire e R 2
Shembuj: Cila prej nenbashkesive te meposhtme eshte nenhapesire e R 3?
Le te jete v = (1, 0) ∈ W
(a) W = {( x1 , x2 ,1) x1 , x2 ∈ R}
Q (− 1)v = (− 1,0 ) ∉ W
∴W nuk eshte nenhapesire e R
v2 = ( −2t2 , t2 ) ∈ W
(b) W = {( x1 , x1 + x3 , x3 ) x1 , x3 ∈ R} 2
Vertet:
(a) Le te jete v = (0, 0,1) ∈ W ⇒ (−1) v = (0,0,−1) ∉ W ∴W nuk eshte nenhapesire e R 3 (b) Le te jete v = (v1 , v1 + v 3 , v 3 ) ∈W , u = (u1 , u1 + u 3 , u 3 ) ∈ W
Q v + u = (v1 + u1 , (v1 + u1 ) + (v 3 + u 3 ), v 3 + u 3 ) ∈ W kv = (kv1 , (kv1 ) + (kv 3 ), kv 3 ) ∈ W ∴W eshte nenhapesire e R 3
1
Shembull v1 = (1,2,3) v 2 = (0,1,2) v 3 = ( − 1,0,1) Provoni qe: (a) w = (1,1,1) eshte kombinim linear i v1 , v 2 , v 3 (b) w = (1, − 2,2) nuk eshte kombinim linear i v1 , v 2 , v 3
Vertet: (a) w = c1 v1 + c2 v 2 + c3 v 3
1 0 − 1 1 Eliminimi Guass − Jordan ⇒ 2 1 0 1 → 3 2 1 1
⇒ c1 = 1 + t , c2 = −1 − 2t , c3 = t
(1,1,1) = c1 (1,2,3) + c2 (0,1,2) + c3 (− 1,0,1) = (c1 − c3 , 2c1 + c2 , 3c1 + 2c2 + c3 ) c1 − c3 ⇒ 2c1 + c2
=1 =1
3c1 + 2c2 + c3
=1
1 0 − 1 1 0 1 2 − 1 0 0 0 0
(Sistemi ka pafundesi zgjidhjesh) t =1
⇒ w = 2 v1 − 3v 2 + v 3
(b) w = c1 v1 + c2 v 2 + c3 v 3 1 0 − 1 1 Eliminimi Guass−Jordan ⇒ 2 1 0 − 2 → 3 2 1 2
⇒
1 0 − 1 1 0 1 2 − 4 0 0 0 7
sistemi nuk ka zgjidhje ( Q 0 ≠ 7)
Shenime: (1) span(φ ) = {0} (2) S ⊆ span( S ) (3) S1 , S 2 ⊆ V S1 ⊆ S 2 ⇒ span( S1 ) ⊆ span( S 2 )
⇒ w ≠ c1 v1 + c2 v 2 + c3 v 3
2
Shembull Tregoni qe S = {(1, 2,3), (0,1, 2),(−2,0,1)} gjeneron R 3 Vertet: u ∈ R 3 ⇒ u = c1 v1 + c2 v 2 + c3 v 3 ⇒ c1 2c1 + c2
− 2c3 = u1 = u2
Shembull: 3
Percaktoni nese bashkesia e meposhtme ne R eshte L.P. ose L.V. S = {(1, 2, 3), (0, 1, 2 ), (− 2, 0, 1)} v1 v2 v3 c1 − 2c3 = 0 Zgjidhje: =0 c1 v1 + c2 v 2 + c3 v 3 = 0 ⇒ 2c1 + c2 +
3c1 + 2c2 + c3 = 0
3c1 + 2c2 + c3 = u3
1 0 − 2 0 1 0 0 0 Gauss- Jordan Elimination ⇒ 2 1 0 0 → 0 1 0 0 3 2 1 0 0 0 1 0
1 0 −2 Q A = 2 1 0 ≠0 3 2 1
⇒ c1 = c2 = c3 = 0
⇒ Ax = b ka zgjidhje te vetme per cdo u.
⇒ S eshte L.P.
⇒ span( S ) = R 3
Shembull:
Teoreme:
Percaktoni nese bashkesia e meposhtme ne P2 eshte L.P. ose L.V. S = {1+x – 2x2 , 2+5x – x2 , x+x2} v1 v2 v3 Zgjidhje: c1v1+c2v2+c3v3 = 0 pra c1(1+x – 2x2) + c2(2+5x – x2) + c3(x+x2) = 0+0x+0x2 2 0 0 1 c1+2c2 =0 G.J. 1 5 1 0 → ⇒ c1+5c2+c3 = 0 ⇒ –2c1 – c2+c3 = 0 − 2 − 1 1 0
1 2 0 0 1 1 1 3 0 0 0 0 0
⇒ Ky sistem ka pafundesi zgjidhjesh.
Bashkesia S = {v1,v2,…,vk}, k≥2, eshte linearisht e pavarur atehere dhe vetem atehere
(p.sh: c1=2 , c2= – 1 , c3=3)
kur te pakten njeri prej vektoreve vj
ne S mund te shkruhet si kombinim linear i vektoreve te tjere. Vertetim: (⇒) c1v1+c2v2+…+ckvk = 0 Q S e s h te lin e a r is h t e p a v a r u r
⇒ ci ≠ 0 per ndonje i ⇒ vi =
⇒ S eshte L.V.
( zgjidhja triviale )
c1 c c c v1 + L + i −1 v i −1 + i +1 v i +1 + L + k v k ci ci ci ci
3
(⇐)
n
Kemi vi = d1v1+…+di-1vi-1+di+1vi+1+…+dkvk ⇒ d1v1+…+di-1vi-1-vi+di+1vi+1+…+dkvk = 0 ⇒ c1=d1, …,ci-1=di-1, ci=-1,ci+1=di+1,…, ck=dk ⇒ S eshte linearisht i varur
(1) Baze standarte per R : {e1, e2, …, en} e1=(1,0,…,0), e2=(0,1,…,0), en=(0,0,…,1) p.sh: R4
{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}
(2) Baze standarte per hapesiren e matricave m×n : { Eij | 1≤i≤m , 1≤j≤n } P-sh:
hap.matricave 2 × 2 1 0 0 1 0 0 0 0 , , , 0 0 0 0 1 0 0 1
(3) Baze standarte per Pn(x): {1, x, x2, …, xn} p.sh: P3(x) {1, x, x2, x3}
Le te jete k1u1+k2u2+…+kmum= 0
Teoreme Nqs S = {v1 , v 2 ,L , v n } eshte baze per V, atehere cdo bashkesi qe permban me shume se n vektore ne V eshte linearisht i varur. Vertet: Jepet S1 = {u1, u2, …, um} , m > n Q span ( S ) = V
u1 = c11 v1 + c21 v 2 + L + cn1 v n ui∈V
⇒
⇒ d1v1+d2v2+…+dnvn= 0
(ku di = ci1k1+ci2k2+…+cimkm)
Q S eshte linearisht i pavarur.
⇒ di=0 ∀i
i.e.
c11k1 + c12 k 2 + L + c1m k m = 0 c21k1 + c22 k 2 + L + c2 m k m = 0 M cn1k1 + cn 2 k 2 + L + cnm k m = 0
u 2 = c12 v1 + c22 v 2 + L + cn 2 v n M u m = c1m v1 + c2 m v 2 + L + cnm v n
4
dim(V) = n
shenime:
Bashkesi gjeneratoresh
(1) dim({0}) = 0 = #(Ø)
(2) dim(V) = n , S⊆V
#(S) > n
Baze
Shembuj:
Bashkesi lin. pavarur
#(S) = n
#(S) < n
S：bashkesi gjeneratoresh ⇒ #(S) ≥ n S：bashkesi l.p. ⇒ #(S) ≤ n S：nje baze ⇒ #(S) = n (3) dim(V) = n , W eshte n/hap e V ⇒ dim(W) ≤ n
Shembuj: (a) W={(d, c–d, c): c dhe d jane numra reale} (b) W={(2b, b, 0): b eshte numur real} Kemi: (a) (d, c– d, c) = c(0, 1, 1) + d(1, – 1, 0) ⇒ S = {(0, 1, 1) , (1, – 1, 0)} (S eshte L.P. dhe S spans W) ⇒ S eshte baze per W ⇒ dim(W) = #(S) = 2 (b) Q (2b, b,0 ) = b(2,1,0) ⇒ S = {(2, 1, 0)} gjeneron W dhe S eshte LP. ⇒ S eshte baze per W ⇒ dim(W) = #(S) = 1
⇒ baze {e1 , e2 , … , en} ⇒ dim(Rn) = n (2) Hap.Vektoriale Mm×n ⇒ baze {Eij | 1≤i≤m , 1≤j≤n}
(1) Hap.Vektoriale Rn
⇒ dim(Mm×n)=mn (3) Hap.Vektoriale Pn(x) ⇒ baze {1, x, x2, … , xn} ⇒ dim(Pn(x)) = n+1 (4) Hap.Vektoriale P(x) ⇒ baze {1, x, x2, …} ⇒ dim(P(x)) = ∞
Shembull: Le te jete W nje nenhapesire e te gjitha matricave simetrike ne M2×2. Sa eshe dimensioni i W? Zgjidhje: a b W = a, b, c ∈ R b c a b 1 0 0 1 0 0 Q = a 0 0 + b 1 0 + c 0 1 b c 1 0 0 1 0 0 ⇒ S = , , gjeneron W dhe S eshte L.P. 0 0 1 0 0 1
⇒ S eshte baze per W ⇒ dim(W) = #(S) = 3
5
