2 Funciones Biométricas Básicas Las funciones biométricas básicas son una serie de funciones teóricas creadas con el objeto de realizar estimaciones actuariales relacionadas con las probabilidades de supervivencia o muerte de personas. Estas funciones constituyen la base del cálculo actuarial, ya que mediante ellas se calculan las diversas fórmulas actuariales de primas, reservas, anualidades, etc., que son utilizadas para valorar obligaciones sujetas a la contingencia de vida o muerte de personas.
Fórmula y/o Símbolo
Concepto y Explicación La función biométrica q x denota la tasa
Ref. (2.1)
qx =
d x lx
=
lx − lx +1 lx
= 1 − Px
La función biométrica q x es la que se conoce originalmente en una tabla de mortalidad. A partir de ella se construyen las demás funciones biométricas. Ref. (2.2)
qx =
t
d x + t lx t
t
=
l x + t − l x + t +1 lx
qx =t px −t +1px
l −l 1 q = x x +t = t x lx lx
Probabilidad de que una persona muera entre las edades x y x + t .
t −1
∑ d
x +i
i =0
Ref. (2.4)
qx =
l x + s − l x + s +t lx
Probabilidad de que una persona de edad x , llegue con vida a edad x + t y después fallezca antes de llegar a edad x + t + 1 , es decir, que fallezca teniendo exactamente edad x + t .
qx =t pxqx+t
Ref. (2.3)
s / t
anual de mortalidad de una persona de edad x . Asimismo, corresponde a la probabilidad de que una persona de edad x , no llegue con vida a edad x + 1 . Se le conoce también también como la probabilidad de muerte de una persona de edad x .
=
t
d x + s lx
= s p x ∗t q x + s
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Probabilidad de que una persona de edad x llegue con vida a edad x + s y después fallezca antes de llegar a edad x + s + t , es decir que una persona de edad x muera entre las edades x + s y x + s + t .
2. Funciones Biométricas Básicas
Fórmula y/o Símbolo
Concepto y Explicación
Ref. (2.5)
l 0 : Radix
A partir del Radix se pueden generar los valores numéricos de las demás funciones biométricas como es d x , l x , t p x , t q x , etc.
Se le llama radix o raíz y se denota como l 0 a un valor hipotético que se utiliza únicamente para generar los valores numéricos de las demás funciones biométicas. Consiste en suponer un determinado número de personas vivas expuestas inicialmente al riesgo de muerte. La función lx representa el número de
Ref. (2.6)
lx = lx −1 − d x −1 lx + n = lx +n −1 ∗ px + n −1 = d x + n + lx +n +1
= lx ⋅ px ⋅ px+1 ⋅ ... ⋅ px + n−1 = lx ⋅ (1 − qx )(1 − qx+1 ) ⋅ ⋅... ⋅ (1 − qx+ n−1 )
personas vivas a edad x , expuestas al riesgo de muerte. En una tabla de mortalidad, este valor corresponde a un valor teórico en el que a partir de un número inicial supuesto de personas, llamado radix, ( l0 ), se calcula el valor
lx que representa el número de personas que teóricamente llegarían con vida a edad x , del radix inicialmente dado.
Ref. (2.7)
d x = l x ∗ q x = l x − l x +1 En una tabla de mortalidad, este valor corresponde a un valor teórico de muertes que van ocurriendo, calculado a partir de un número inicial supuesto de personas, llamado radix, ( l 0 ). Ref. (2.8)
px = 1 − qx =
l x +1 lx
=1−
d x
l x+t lx
= 1− t q x = 1 −
t
Probabilidad de que una persona de edad x sobreviva t años, es decir, la probabilidad de que llegue con vida a edad x + t .
d x
lx
Propiedades diversas probabilidades.
Ref. (2.10) t s + t
n
p x + t q x = 1
p x = s p x ⋅t p x + s
p x = p x ⋅ p x +1 ⋅ ... p x + n −1
Probabilidad de que una persona de edad x , sobreviva un año, es decir, que llegue con vida a edad x + 1 .
lx
Ref. (2.9) t p x =
Número estimado de muertes que ocurrirán en un año, en un grupo de l x personas de edad x , expuestas al inicio del año.
con n entero
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de
las
2. Funciones Biométricas Básicas
Fórmula y/o Símbolo
Concepto y Explicación
Ref. (2.11) k +1
px = sK (k ) = Pr(K > k ) = Pr(T ≥ k + 1)
= Pr(T > k + 1)
Probabilidad de que una persona de edad x , sobreviva hasta la edad x + k + 1 , en función de otras variables aleatorias.
= Pr( X > x + k + 1 X > x) =
Pr( X > x + k + 1) Pr( X > x)
• Número de personas que habiendo
Ref. (2.12)
Lx ≅ l x + 12 ≅ l x
−
1 2
d x
≅
l x +1 + 12
1
1
0
0
cumplido la edad x , no alcanzado aún la edad x + 1 .
d x
≅ (l x + l x +1 ) ≅ ∫ lx + t dt = ∫ (lx − td x )dt 1 2
han
• Número
de personas que en promedio han estado con vida a edad x.
• Número de años vividos por las personas de edad x . Ref. (2.13)
∞
∫
T x ≅ lx +t dt = Lx + Lx +1 + Lx+ 2 +
L
0
≅
1 l 2 x
+
ω − x
∑l
x +t
t =1
Ref. (2.14)
mx =
=
d x
=
Lx
Cantidad de existencia. Es el número de años que, a partir de esa edad, vivirán entre todos los componentes del grupo, y hasta que el grupo se extinga.
d x 1 2
( l x + l x +1 )
=2
1 − px 1 + px
2q x 2 − qx
La tasa central de mortalidad representa la probabilidad de que alguien fallezca teniendo una edad entre x y x + 1 . Es aplicable a tasas donde no se tiene la población ordenada por cohortes de personas que cumplen año exactamente el mismo día.
Ref. (2.15)
qx =
mx
1+
1 2
px = mx
1− 1+
1 2 1 2
mx mx
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Relaciones entre la probabilidad de vida y de muerte con la tasa central de mortalidad.
2. Funciones Biométricas Básicas
Fórmula y/o Símbolo
Concepto y Explicación
Ref. (2.16) o
ex =
T x lx
ω − x
∞
t =1
0
= + ∑ t px = ∫ t px dt 1 2
o
o
= e x: n + n p x e x + n
Vida media abreviada. Es una medida de la esperanza de vida de las personas que tiene edad alcanzada x, suponiendo que las personas fallecen al inicio de su aniversario. Esta hipótesis es poco realista por lo que no es una medida adecuada de la esperanza de vida de las personas.
Ref. (2.17) ω − x
e x = ∑ t p x = e x − 1 o
2
t =1
Vida media completa. Es una medida de la esperanza de vida de las personas que tienen edad alcanzada x , considerando que mueren uniformemente en el año. Ello es equivalente a suponer que la edad promedio de las personas es x +1 2 .
= p x (1 + e x+1 ) = e x: n + n p x e x + n
Esperanza de vida media abreviada, considerando un tiempo finito de n años.
Ref. (2.18) n
e x:n = ∑ t p x t =1 Ref. (2.19)
0
Esperanza de vida media completa, considerando un tiempo finito de n años.
e x: n = e x − n p x e x + n
Fórmulas de recursivas de la esperanza de vida temporal.
o
n
e x:n = ∫ t p x dx Ref. (2.20)
Vida Probable: es el número de años τ que habrán de transcurrir de manera que la probabilidad de sobrevivir hasta ese momento sea 0.5, es decir, igual a la probabilidad de muerte.
Ref. (2.21)
τ tal que
τ
px =
1 2
=τ qx
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2. Funciones Biométricas Básicas
Cálculo de las Funciones Biométricas Básicas A continuación se presenta el valor de algunas funciones biométricas básicas, calculadas con la tabla de mortalidad Experiencia Mexicana Básica Individual 62-67. Para generar las funciones biométricas se ha utilizado un radix de 1,000,000. La función μ x ha sido calculada mediante la siguiente fórmula de aproximación:
μ x
≅ ( d x −1 + d x ) / 2 l x . o
x
qx
px
lx
d x
ex
ex
μ x
12
0.001230
0.99877
1,000,000
1,230
59.47
59.97
0.0006150
13
0.001230
0.99877
998,770
1,228
58.54
59.04
0.0012308
14
0.001230
0.99877
997,542
1,227
57.61
58.11
0.0012308
15
0.001230
0.99877
996,315
1,225
56.68
57.18
0.0012308
16
0.001230
0.99877
995,089
1,224
55.75
56.25
0.0012308
17
0.001230
0.99877
993,865
1,222
54.82
55.32
0.0012308
18
0.001230
0.99877
992,643
1,221
53.89
54.39
0.0012308
19
0.001230
0.99877
991,422
1,219
52.96
53.46
0.0012308
20
0.001230
0.99877
990,202
1,218
52.02
52.52
0.0012308
21
0.001230
0.99877
988,984
1,216
51.08
51.58
0.0012308
22
0.001230
0.99877
987,768
1,215
50.15
50.65
0.0012308
23
0.001230
0.99877
986,553
1,213
49.21
49.71
0.0012308
24
0.001220
0.99878
985,339
1,202
48.27
48.77
0.0012258
25
0.001220
0.99878
984,137
1,201
47.33
47.83
0.0012207
26
0.001220
0.99878
982,937
1,199
46.39
46.89
0.0012207
27
0.001210
0.99879
981,737
1,188
45.44
45.94
0.0012157
28
0.001210
0.99879
980,550
1,186
44.50
45.00
0.0012107
29
0.001290
0.99871
979,363
1,263
43.55
44.05
0.0012507
30
0.001370
0.99863
978,100
1,340
42.61
43.11
0.0013308
31
0.001450
0.99855
976,760
1,416
41.67
42.17
0.0014109
32
0.001530
0.99847
975,343
1,492
40.73
41.23
0.0014911
33
0.001610
0.99839
973,851
1,568
39.79
40.29
0.0015712
34
0.001710
0.99829
972,283
1,663
38.85
39.35
0.0016613
35
0.001820
0.99818
970,621
1,767
37.92
38.42
0.0017665
36
0.001920
0.99808
968,854
1,860
36.99
37.49
0.0018717
37
0.002030
0.99797
966,994
1,963
36.06
36.56
0.0019768
38
0.002150
0.99785
965,031
2,075
35.13
35.63
0.0020921
39
0.002370
0.99763
962,956
2,282
34.21
34.71
0.0022623
40
0.002600
0.99740
960,674
2,498
33.29
33.79
0.0024878
41
0.002830
0.99717
958,176
2,712
32.38
32.88
0.0027184
42
0.003060
0.99694
955,465
2,924
31.47
31.97
0.0029490
43
0.003280
0.99672
952,541
3,124
30.57
31.07
0.0031747
44
0.003700
0.99630
949,416
3,513
29.67
30.17
0.0034954
45
0.004130
0.99587
945,904
3,907
28.78
29.28
0.0039219
46
0.004550
0.99545
941,997
4,286
27.90
28.40
0.0043486
47
0.004970
0.99503
937,711
4,660
27.02
27.52
0.0047704
48
0.005400
0.99460
933,051
5,038
26.16
26.66
0.0051974
49
0.005830
0.99417
928,012
5,410
25.30
25.80
0.0056297
50
0.006270
0.99373
922,602
5,785
24.45
24.95
0.0060671
51
0.006720
0.99328
916,817
6,161
23.60
24.10
0.0065148
Página 5 de 7
2. Funciones Biométricas Básicas
52
0.007160
0.99284
910,656
6,520
22.76
23.26
0.0069627
53
0.007600
0.99240
904,136
6,871
21.93
22.43
0.0074058
54
0.008700
0.99130
897,264
7,806
21.10
21.60
0.0081791
55
0.009800
0.99020
889,458
8,717
20.28
20.78
0.0092882
56
0.010900
0.98910
880,741
9,600
19.48
19.98
0.0103985
57
0.012020
0.98798
871,141
10,471
18.70
19.20
0.0115201
58
0.013150
0.98685
860,670
11,318
17.92
18.42
0.0126581
59
0.014780
0.98522
849,352
12,553
17.16
17.66
0.0140526
60
0.016420
0.98358
836,799
13,740
16.42
16.92
0.0157109
61
0.018090
0.98191
823,059
14,889
15.69
16.19
0.0173921
62
0.019770
0.98023
808,170
15,978
14.98
15.48
0.0190966
63
0.021460
0.97854
792,192
17,000
14.29
14.79
0.0208144
64
0.024500
0.97550
775,192
18,992
13.60
14.10
0.0232153
65
0.027560
0.97244
756,199
20,841
12.94
13.44
0.0263377
66
0.030620
0.96938
735,359
22,517
12.31
12.81
0.0294805
67
0.033700
0.96630
712,842
24,023
11.70
12.20
0.0326436
68
0.036790
0.96321
688,819
25,342
11.10
11.60
0.0358326
69
0.040650
0.95935
663,477
26,970
10.53
11.03
0.0394226
70
0.044530
0.95547
636,507
28,344
9.97
10.47
0.0434512
71
0.048410
0.95159
608,163
29,441
9.44
9.94
0.0475077
72
0.052310
0.94769
578,722
30,273
8.92
9.42
0.0515914
73
0.056220
0.94378
548,449
30,834
8.41
8.91
0.0557087
74
0.060910
0.93909
517,615
31,528
7.91
8.41
0.0602395
75
0.066030
0.93397
486,088
32,096
7.43
7.93
0.0654453
76
0.071680
0.92832
453,991
32,542
6.95
7.45
0.0711891
77
0.077960
0.92204
421,449
32,856
6.49
6.99
0.0775874
78
0.085000
0.91500
388,593
33,030
6.04
6.54
0.0847758
79
0.092770
0.90723
355,563
32,986
5.60
6.10
0.0928331
80
0.101610
0.89839
322,577
32,777
5.17
5.67
0.1019332
81
0.111710
0.88829
289,800
32,374
4.75
5.25
0.1124062
82
0.123350
0.87665
257,426
31,754
4.35
4.85
0.1245542
83
0.136780
0.86322
225,673
30,868
3.96
4.46
0.1387430
84
0.153260
0.84674
194,805
29,856
3.59
4.09
0.1558566
85
0.172100
0.82790
164,949
28,388
3.24
3.74
0.1765500
86
0.193290
0.80671
136,562
26,396
2.91
3.41
0.2005827
87
0.216790
0.78321
110,166
23,883
2.61
3.11
0.2281964
88
0.242510
0.75749
86,283
20,924
2.34
2.84
0.2596534
89
0.269630
0.73037
65,358
17,623
2.08
2.58
0.2948897
90
0.298640
0.70136
47,736
14,256
1.85
2.35
0.3339045
91
0.329500
0.67050
33,480
11,032
1.64
2.14
0.3776507
92
0.362150
0.63785
22,448
8,130
1.45
1.95
0.4267872
93
0.396520
0.60348
14,319
5,678
1.27
1.77
0.4821434
94
0.432540
0.56746
8,641
3,738
1.11
1.61
0.5447979
95
0.470150
0.52985
4,903
2,305
0.95
1.45
0.6161944
96
0.509290
0.49071
2,598
1,323
0.80
1.30
0.6983083
97
0.550200
0.44980
1,275
701
0.63
1.13
0.7940318
98
0.593140
0.40686
573
340
0.41
0.91
0.9081752
99
1.000000
0.00000
233
233
0.00
0.50
1.0000000
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2. Funciones Biométricas Básicas
Comportamiento gráfico de las funciones biométricas: q x , l x , d x , e x . 0.018
1,200,000
s e t 1,000,000 n e i iv 800,000 v re b o 600,000 S e d 400,000 o r e m 200,000 ú N
0.016
e tr e 0.014 u M0.012 e d 0.01 d a 0.008 d il i b 0.006 a b 0.004 o r P0.002 0
0 0
10
20
30
40
50
60
70
0
20
40
60
80
100
120
Edad
Edad
35,000
70
s to 30,000 n ie 25,000 m i c e ll 20,000 a F e 15,000 d o r 10,000 e m ú 5,000 N
a d i 50 V e d 40 a z n 30 a r e p 20 s E
60
10
0
0 0
20
40
60
80
100
0
120
20
40
60
80
100
120
Edad
Edad
Aplicaciones Más allá de constituir la base del calculo actuarial, existen algunas aplicaciones de las funciones biométricas básicas que se ilustran a continuación. Ejemplo 1: Usted sabe que en 1980 hicieron servicio militar a los 18 años 121,234 personas y quiere estimar cuántas de ellas estaban con vida en 2008. Esto se puede estimar mediante la probabilidad de supervivencia t p x . En efecto, utilizando la tabla presentada en esta sección, tenemos que:
l x +t l ⎛ 941,997 ⎞ lˆx +t = lˆx ∗t p x = 121, 234 = 121,234 18+ 28 = 121, 234 ∗ ⎜ ⎟ = 115,048.48 lx l18 992,643 ⎝ ⎠ Ejemplo 2: Una persona produce 10 cm. de uñas por año. ¿Cuántos centímetros de uñas producirán en promedio durante la vida que le resta, las personas que hoy tienen 30 años? Esto se puede estimar mediante la esperanza de vida de las personas. En efecto, utilizando la tabla presentada en esta sección, tenemos que: o
o
X = 10 e x = 10 e 30 = 10( 43.11) = 431.11 cm Ejemplo 3: Se sabe que una empresa tiene 1,241 personas de edad 70. A partir de este momento se les entregará como premio y reconocimiento un centenario por cada década que logre sobrevivir cada uno. ¿Cuántos centenarios se requerirán en total aproximadamente? Esto se puede estimar mediante la esperanza de vida de las personas. En efecto, utilizando la tabla presentada en esta sección, tenemos que: o
e 70 = 1,24110.47 ≈ 1,299 X = 1, 241 10
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