02-Ecuaciones-Empiricas.doc

LABORATORIO DE BIOFISICA BIOFISI CA 1

UNT

MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA GAVIDIA IBERICO

1

CONSTRUCCION DE GRAFICAS Y ECUACIONES EMPÍRICAS 1. OBJETIVOS 1.1 Encontrar la ecuac!n e"#$rca %el #ero%o %el %el #&n%ulo s"#le ' la %ens%a% %e un s!l%o s!l%o 1.( Desarrollar "&to%os "&to%os )r*+cos ' anal$tcos #ara tener n+or"ac!n %e los e,#er"entos e,#er"entos en estu%o.

2. FUNDAMENTO TEÓRICO La F$sca es una cenca e,#er"ental #or e,celenca ' co"o co"o tal en el estu%o %e un +en!"eno +en!"eno +$scono se #ue%e %ear %e real/ar "e%cones. General"ente- en el La0oratoro- al e"#e/ar el estu%o %e un +en!"eno +$sco- se o0tene un conunto %e alores corres#on%entes a %os ara0les- una %e#en%ente %e la otra. otra. Esta %e#en% %e#en%enc enca a entre entre ara0 ara0les les se #ue%e #ue%e e,#resa e,#resarr "ate"* "ate"*tca tca"en "ente te "e%an "e%ante te una ecuac!n 2ue to"a el no"0re %e ecuac!n e"#$rca.

Variable. Es una cant%a% a la cual se le #ue%e as)nar- %urante un #roceso %e an*lss- un n3"ero l"ta%o %e alores.

C!"#a!#e. Es una cant%a% 2ue tene un alor +o %urante un #roceso %e an*lss. Se %stn)uen %os t#os %e constantes4 las a0solutas ' las ar0traras5 las a0solutas tenen el "s"o alor en to%os los  #rocesos 6#or ee"#lo4 π- e- 78- en tanto 2ue las ar0traras #ue%en tener un alor %+erente en ca%a  #roceso #artcular. En F$sca se acostu"0ra lla"ar #ar*"etros a &stas 3lt"as.

 

F$!%i&!. Cuan%o %os ara0les , e ' est*n relacona%as %e +or"a tal 2ue #ara ca%a alor %e , le corres#on%e uno %e '- se %ce 2ue ' es una +unc!n %e , ' se %enota %e la s)uente "anera4 ' 9 +6,8 %on% %on%e4 e4  y es l a variable dependiente o +unc +unc!n !n-- '  x  es la la variable independiente. Durante un e,#er"ento a la ara0le n%e#en%ente se le %an alores #re%eter"na%os ' el alor %e la ara0le %e#en%ente es o0sera%o ' "e%%o su0secuente"ente. s u0secuente"ente. :ara %e%ucr la correcta ecuac!n e"#$rca es necesaro o0tener un 0uen )r*+co %e nuestros %atos e,#er"entales- #or lo 2ue %e0e"os tener en cuenta lo s)uente4 1. Tra/ar en #a#el "l"etra%o %os ees #er#en%culares. En el ee ;or/ontal se anotan los alores %e la ara0le n%e#en%ente 6 x 8 ' en el ee ertcal los alores %e la ara0le %e#en%ente 6 y8. (. Ele)r escalas a#ro#a%as en ca%a uno %e los ees- %e acuer%o al ran)o %e arac!n %e los %atos. En este as#ecto es reco"en%a0le reco"en%a0le usar las escalas4 1415 14(5 14<. Es Es %ecr 2ue- s el conunto %e alores %e la ara0le  x  es4 1-= >)5 (-? >)5 7-@ >)5 =- >)5 <-? >) %e0e"os %e0e"os usar la escala escala 141. Esto s)n+ca 2ue 1 >) %el alor %e la ara0le %e0e %e0e ser re#resenta%o #or 1 c" en el corres#on%ente ee so0re el "l"etra%o. "l"etra%o. En al)unos casos es conenente conenente usar #otencas #otencas %e 1. As$ As$ #or ee"#loee"#lo- s los alores %e al)una %e las ara0les son4 -75 -1<5 -1?5 -(<- #o%re"os escr0r4 7 ×175 1<×175 1?×175 (<×17. 7. Tratar en lo #os0le 2ue el )r*+co ocu#e la "a'or #arte %el #a#el "l"etra%o ' ten)a un u0cac!n s"&trca con res#ecto a los %os ees. Se #ue%e utl /ar %+erentes escalas en ca%a uno %e los ees. =. Tra/ar una l$nea cont$nua ' n$t%a 2ue #ase #or entre los #untos- %e +or"a tal 2ue estos 2ue%en un+or"e"ente %str0u%os a a"0os la%os %e la l$nea. <. Co"#arar la l$nea o0ten%a con ca%a una %e las curas t#o 2ue se "uestran en las F )uras 1- ( ' 7 '  #or s"ltu% as)nar la ecuac!n e"#$rca 2ue 2ue le corres#on%e.

LABORATORIO DE BIOFISICA 1 (

UNT

MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

'

'

θ

A

,



,

  y = Bx

 y = Bx + A F)ura 1. Relac!n Lneal '

'

,



'

,



 y = k xn , para n < 0

,



y = k x n , para 0 < n < 1

y = k x n , para n > 1

F)ura (. Relac!n :otencal

'

'



,



x  y = k e a  , para a > 0

,

y = k e a x , para a < 0 F)ura 7. Relac!n E,#onencal

De las )r*+cas anterores la relac!n lneal es la "*s "#ortante #or2ue es la "*s usa%a #ara %e%ucr la ecuac!n e"#$rca %e un +en!"eno en estu%o. :or lo tanto- en la ecuac!n %e la recta  y = A + B x

618

%e0e"os reconocer las s)uentes constantes "#ortantes 4

Pe!'ie!#e ( B- es la tan)ente %el *n)ulo %e nclnac!n %e la recta. Es %ecr 2ue4 B ) #a! . I!#er%e*#( A- es la %stanca %el or)en al #unto %on%e la recta corta al ee ertcal 6 y). Cuan%o la recta #asa #or el or)en- A ) + ' su ecuac!n es la relac!n #ro#orconal4  y 9 B x

6(8

LABORATORIO DE BIOFISICA 1

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MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

7

,i!eali-a%i&! 'e $!a C$ra. La "a'or n+or"ac!n %e un +en!"eno se #ue%e o0tener- cuan%o los alores %e sus ara0les #ue%en re#resentarse "e%ante una l$nea recta . :or esta ra/!n es conenente conertr en una relac!n lneal la relac!n %e ara0les %e cual2uer otra cura 2ue o0ten)a"os e,#er"ental"ente. :ara ello se ;ace una trans+or"ac!n %e ara0les en a"0os "e"0ros %e la ecuac!n e"#$rca o0ten%a. Este #roceso se %eno"na ,i!eali-a%i&! 'e la C$ra. Ee"#lo4 S el )r*+co %e los %atos e,#er"entales es una %e las curas %e #otencas 2ue se "uestran en la F)ura (- su ecuac!n e"#$rca ten%r* la +or"a  y = k xn

678

  %on%e k  ' n son constantes a %eter"nar. a8 Esta ecuac!n #ue%e ser lneal/a%a to"an%o lo)art"os a a"0os "e"0ros4 ln ' = ln >  + n ln ,

6=8

 ' ;acen%o el s)uente ca"0o %e co%+cac!n4  9 ln '5  9 ln ,5 A9 ln > 5 B 9 n.  la ecuac!n 678 se trans+or"a en 4 9 A B 

6<8

2ue es la ecuac!n %e una recta ' consecuente"ente el )r*+co %e las nueas ara0les Y  s X  %e0e ser  una l$nea recta.  08 En el caso 2ue se conocera el alor %e la constante n %e la ecuac!n 678 la +or"a %e lneal/ar esta cura es ;acen%o el s)uente ca"0o %e ara0les4  9 ,n -

 9 '-

B 9 > 

con lo cual la nuea ecuac!n es el %e una recta %el t #o4  9 B

6@8

De#er/i!a%i&! 'e la" C!"#a!#e". M0#' Gri%. Este "&to%o consste en %eter"nar %recta"ente la #en%ente ' el nterce#to a #artr  %e la )r*+ca. :ara ;allar la #en%ente %e la recta se el)en %os 6(8 #untos %e &sta 2ue no sean los  #untos e,#er"entales. :or ee"#lo4 : 16,1- '18 ' :(6,(- '(8 ' entonces el alor %e la *e!'ie!#e se o0tene usan%o la +!r"ula4 C ( − C1 ∆C 9 68 B9 D ( − D1 ∆D El alor %el nterce#to se lee en el #unto %e corte %e la recta )ra+ca%a o su #rolon)acon con el ee %e or%ena%as.

M0#' A!al3#i%  E"#a'3"#i%. Este "&to%o consste en a#lcar el "&to%o %e los cuadrados mínimos #ara calcular las constantes A ' B. Este "&to%o tene la entaa %e "n"/ar los errores e,#er"entales en la %eter"nac!n %e A ' B- #ara ello usa"os las s)uentes +!r"ulas4 (

A9

6 ∑ D  . 86 ∑ C . 8 − 6 ∑ D  . 86 ∑ D  . C . 8 (

 N 6 ∑ D  . 8 − 6 ∑ D  . 8 (

6?8

LABORATORIO DE BIOFISICA 1 =

UNT

MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

 N 6 ∑ D  . C . 8 − 6 ∑ D  . 86 ∑ C . 8 B9

(

 N 6 ∑ D  . 8 − 6 ∑ D  . 8 ( 68

La %s#erson %e los #untos en torno a la recta %e re)res!n est* caracter/a%a #or las %+erencas en la +or"a %a%a #or4 δ  9   H B A

618

La %esac!n estan%ar %e estas %+erencas es4

∑ 6δC 8 (

s' 9

 9

 N − (

∑ 6C − BD  − A8  N − (

(

 

6118

' las ncert%u"0res en la #en%ente ' el nterce#to son res#ecta"ente4

∆B 9 s'

(

 N∑ 6D . 8 −

∑ D . ( (  N∑ D . − ( ∑ D . ) (

 N

( ∑ D . ) (

-

∆A 9 s'

61(8

:ara el caso %e la ecuac!n %el #ero%o T %el #&n%ulo s"#le tene"os4 T

=

(π

L   )

6178

o 0en T

=

(π

L

1I (

)

61=8 S en esta ecuac!n se ree"#la/a el coe+cente %e L #or la constante > ' el e,#onente %e L #or la constante n- se tene una e,#res!n )eneral- la cual se lla"a ecuac!n e"#$rca %el #ero%o %el #&n%ulo s"#le4 T 9 > Ln

61<8

:ara lneal/arla a#lca"os lo)art"os a a"0os "e"0ros %e la ecuac!n 68 ' tene"os4 ln T 9 ln >  n ln L

61@8

' ;acen%o el ca"0o %e ara0les4 ln T 9  5 ln L 9  5 ln > 9 A5 n 9 B resulta la recta4  9

A  B

618

La ecuac!n 61<8 6ecuac!n e"#$rca %el #ero%o %el #&n%ulo s"#le8 2ue%ar* %eter"na%a cuan%o se o0ten)an los alores %e > ' n- estos #ar*"etros se encuentran #or cua%ra%os "$n"os o )ra+can%o la recta 618 ' ;allan%o el nterce#to ' la #en%ente. N!tese 2ue > 9 ant ln A

4. RESUMEN

LABORATORIO DE BIOFISICA 1

UNT

MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

<

555555555555555555555555555555555555555555.. 555555555555555555555555555555555555555555.. 555555555555555555555555555555555555555555.. 555555555555555555555555555555555555555555.. 555555555555555555555555555555555555555555.. 555555555555555555555555555555555555555555.. 555555555555555555555555555555555555555555.. 555555555555555555555555555555555555555555.. 555555555555555555555555555555555555555555.. 555555555555555555555555555555555555555555.. 555555555555555555555555555555555555555555.. 6. MATERIA,ES E INSTRUMENTOS Materales

Instru"entos

:recs!n

7. PROCEDIMIENTO Y DATOS E8PERIMENTA,ES Me'i'a 'el *eri' 'e $! *0!'$l "i/*le e! $!%i&! 'e "$ l!9i#$' <.1 <.(

Instalar el e2u#o co"o se "uestra en la F)ura 6 = 8 Con una lon)tu% #en%ular L 9 ( c" ;acer osclar el  #&n%ulo con una a"#l tu% an)ular "enor a 1< ' "e% r  < eces el te"#o %e 1 osclacones co"#letas anotan%o los resulta%os en la Ta0la 1- as$ co"o el alor   #ro"e%o %el #ero%o T calcula%o con la s)ue nte +!r"ula T 9

<.7

1
6t 1t ( t 7t =t < 8.

Re#etr el #aso anteror #ara las s)uentes lon)tu%es %e L4 1- (- 7- =- <- @- - ?5  ' 1 c". Anotar estos alores en la Ta0la 1.

Ta0la 1

F)ura. 6=8

LABORATORIO DE BIOFISICA 1 @

N

, :%/;

1

1

(

(

7

7

=

=

<

<

@

@





?

?





1

1

UNT

#1 :";

#2 :";

MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

#4 :";

#6 :";

Me'i'a 'e la /a"a 'e $! "&li' e! $!%i&! 'e "$ l$/e! <=. Cons%ere un conunto %e es+eras #e2ueKas %e %+erentes %*"etros. <<. Me%r las "asas ' los %*"etros %e ca%a es+era <@. Anotar los %atos en la Ta0la ( Ta0la (  N 1 ( 7 = <

" 6)8

D6c"8

<. PROCESAMIENTO Y AN=,ISIS Me'i'a 'el *eri' 'e $! *0!'$l "i/*le e! $!%i&! 'e "$ l!9i#$' M0#' 9ri%

#7 :";

T :";

LABORATORIO DE BIOFISICA 1

UNT

MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO



@.1 Con los %atos %e la Ta0la 1 calcule los lo)art"os naturales %e L ' %e T ' co"#lete la Ta0la 7. Ta0la 7

N

, :%/;

T :";

,! ,

,! T

1 ( 7 = < @  ?  1 @.( Con los %atos %e la Ta0la 7 constru'a- en #a#el "l"etra%o- la )r*+ca T s L. O0sere 2ue esta )r*+ca es s"lar a una %e las curas t$#cas %e la F)ura 6(8- #or lo tanto- la %e#en%enca entre T ' L tene la +or"a %e la ecuac!n 678. Escr0a esta ecuac!n en t&r"nos %e T ' L. .............  @.7

,i!eali-a%i&! 'e la %$ra. Usan%o los otros %atos %e la Ta0la 7- constru'a en #a#el "l"etra%o la )r*+ca ln T s ln L. Deter"ne en la "s"a )r*+ca la #en%ente B- el nterce#to A ' anote a2u$ los alores %e > ' n . Recuer%e 2ue ln > 9 A5 n 9 B > 9 ....... n 9 .. 

@.= Escr0a la relac!n +unconal entre T ' L 6ecuac!n e"#$rca %el #ero%o %el #&n%ulo s"#le T 9 > L n  con alores nu"&rcos %e > ' n8.  

.............................................................................................................................................

M0#' e"#a'3"#i% @.< :ara a#lcar el "&to%o %e los cua%ra%os "$n"os co"#lete la Ta0la =- solo ;asta la #en3lt"a colu"na. Ta0la =

LABORATORIO DE BIOFISICA 1 ?

 N

UNT

8 > ) l! , Y > ) l!T

MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

8 >2

8 >Y >

:Y > ? B8 > ? A;2

1 ( 7 = < @  ?  1 ∑

@.@ Con los %atos %e la Ta0la =- a#l2ue las +!r"ulas 6?8- 68 ' ;alle el nterce#to A ' la #en%ente B- ' con ellos los alores %e > ' n4 A 9 .................................. B 9 ......................................................... > 9 ............................

n 9 .....................................................

@.. Con los alores %e A ' B ;alla%os en el te" anteror- llene a;ora la 3lt"a colu"na %e la Ta0la = ' con la ecuac!n 61(8 ;alle las ncert%u"0res en B ' en A4 ∆B 9 

∆A 9 ......

@.? Cons%eran%o la #ro#a)ac!n %e errores en "e%cones n%rectas- utlce ∆A ' ∆B #ara %eter"nar  los errores ∆> ' ∆n. ∆> 9 ........ ∆n 9 

@. Escr0a la relac!n +unconal entre T ' L 6ecuac!n e"#$rca %el #ero%o %el #&n%ulo s"#le T 9 > L n con alores nu"&rcos %e > ' n8.  

.............................................................................................................................................

Me'i'a 'e la /a"a 'e $! "&li' e! $!%i&! 'e "$ l$/e! M0#' 9rai% @.1. Con los %atos %e la Ta0la ( calcule los ol3"enes %e ca%a es+era ' co"#lete la Ta0la <.

LABORATORIO DE BIOFISICA 1

UNT

MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO



Ta0la <  N 1 ( 7 = <

M 6)8

D6c"8

V6c"78

@.11. Con los %atos %e la Ta0la < constru'a- en #a#el "l"etra%o- la )r*+ca " s V. O0sere 2ue esta )r*+ca es s"lar a una %e las curas t$#cas %e la F)ura 618- #or lo tanto- la %e#en%enca entre " ' V tene la +or"a %e la ecuac!n 618. Escr0a esta ecuac!n en t&r"nos %e " ' V. .. @.1(. De la ecuac!n o0ten%a5 la %ens%a% %el "ateral es4

555555555555555555555555555555555555555555. M0#' e"#a'3"#i% @.17. Con los %atos %e la Ta0la <- constru'a la ta0la esta%$stca @- cons%eran%o  al olu"en V '  a la "asa ". Ta0la @  N

8 > ) V:%/4;

Y > ) /:9;

8 >Y >

8 >2

:Y > ? B8 > ? A;2

1 ( 7 = < ∑

@.1= Con los %atos %e la Ta0la @- a#l2ue las +!r"ulas 6?8- 68 ' ;alle el nterce#to A ' la #en%ente B- ' con ellos escr0a la ecuac!n %e la recta4 A 9 .................................. B 9 ......................................................... Ecuac!n %e la recta4  .....................................................

@.1<. Con los alores %e A ' B ;alla%os en el te" anteror- llene a;ora la 3lt"a colu"na %e la Ta0la @ ' con la ecuac!n 61(8 ;alle las ncert%u"0res en B ' en A4 ∆B 9 

∆A 9 ......

@.1@ A #artr %e la ecuac!n %e la recta o0ten%a la %ens%a% %el s!l%o #or este "&to%o es4 .............................................................................................................................................

LABORATORIO DE BIOFISICA 1 1

@.1.

UNT

MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

Sa0en%o 2ue el alor 2ue nos %an los te,tos #ara la %ens%a% %el acero es -? )c" 7- con 2ue error   #orcentual se co"#ro0! en el la0oratoro.

M&to%o Gr*+co4 .

M&to%o esta%$stco4 .

@. RESU,TADOS Me'i'a 'el *eri' 'e $! *0!'$l "i/*le e! $!%i&! 'e "$ l!9i#$' M0#' Ma9!i#$' Gri%

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. CONC,USIONES     

LABORATORIO DE BIOFISICA 1

UNT

MsC. JESUS ROBERTO GAVIDIA IBERICO

11

.

CUESTIONARIO

.1

El #er$o%o %el #&n%ulo s"#le est* %a%a #or4 T 9 ( π L I ) 9 6(π ) 8L1(.Co"#aran%o esta e,#res!n con la o0ten%a e,#er"ental"ente- se tene 2ue4 > 9 ( π )   utl/an%o esta relac!n encuentre el alor %e la acelerac!n %e la )rae%a%

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1+. BI,BIOGRAFIA 6Es n%s#ensa0le anotar4 Autor- Ttulo- E%toral- +ec;a- e%c!n - #a)na8

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11. PUNTUA,IAD