01_BIOMECANICA

Daniel Fernández Palma

Biofisica 1

APUNTES DE BIOFISICA Biomecánica La Cinemática describe el movimiento de los cuerpos. Un cuerpo describe una trayectoria que queda determinada por su posición en cada instante

t >0

to= 0 0

v

xo x Figura 1 movimiento unidimensional

Para determinar la evolución de la posición se necesita conocer en general la velocidad y la aceleración definidas por: Velocidad: v =

desplazamiento x = (1.1) tiempo t

Aceleración: a =

v var iacion de v = tiempo t

(1.2)

Donde x = x – xo, t = tiempo = t y v = v - vo De estas definiciones resultan: Velocidad instantánea v = vo + at (1.3) Desplazamiento x = vot + ½ at 2 (1.4) Posición instantánea x = x o+vot +½ at 2 (1.5) Donde: vo y xo son respectivamente la velocidad y posición en el momento de partida. Esto es en t =0 El salto vertical Podemos utilizar las ecuaciones de aceleración para analizar las posibilidades relativas de salto de distintos animales. Ver tabla Tabla 1 Distancias de aceleración (d) y alturas verticales (h) en el salto vertical Saltador Humanos Canguro Lemur Rana Langosta Pulga

Distancia de Aceleración, d 0,5 1,0 0,16 0,09 0,03 0,0008

Altura Vertical, h 1,0 2,7 2,2 0,3 0,3 0,1

La tabla muestra las alturas registradas de algunos animales en salto vertical. Nótese que la altura registrada para el hombre no es el récord de salto (mas de 2 m) ello se debe a que un hombre de 1,80 m está ya en condiciones de pasar sobre una barrera de alto igual a la mitad de su cuerpo con tan solo girar a la posición horizontal


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Los animales saltan doblando las piernas y extendiéndolas rápidamente. Generalmente la distancia de aceleración es más corta que las piernas del animal. Una vez en el aire, el animal solo experimenta la aceleración de la gravedad. También podemos analizar la fase de despegue considerando la aceleración a d constante EJEMPLO 1. Hallar la velocidad y la aceleración de despegue para un ser humano utilizando la Tabla 1. Solución Velocidad de despegue: Si la altura vertical es h = 1,0 m, la velocidad de disparo o lanzamiento es v d = 2gh = 4,43 m/s

y

h

vd

d

Figura 2 Aceleración de despegue ad es la aceleración para impulsarse ad = vd2/2d = gh/d =19,6 m/s2 EJEMPLO 2: Una pulga salta 0,1 m en salto vertical. ¿Cuál es su velocidad inicial. Si ha alcanzado esa velocidad mediante una extensión de sus patas en una distancia de 0,0008 m.? ¿Cuál ha sido su aceleración inicial?. La distancia de aceleración en el hombre es de 0,5 m. Si un hombre saltase con la misma aceleración que una pulga, a que altura llegaría? Solución Cuando la pulga está en vuelo es idéntico a un proyectil de modo que su aceleración en el aire es g = 9,8 m/s 2. Si la altura a la que llegó es y = 0,1 m, el tiempo de subida y la velocidad de lanzamiento (velocidad inicial) son:

2y ; vo = 2gy g sustituyendo los datos tenemos: t = 0,143 s , vo = 1,4 m/s t=

La aceleración inicial se refiere a la aceleración como resultado de la fuerza muscular en el trayecto d = 0,0008 m con velocidad inicial cero y velocidad final vo = 1,40 m/s Por tanto la aceleración inicial es: a =

v o2 (1,40) 2 = = 1225 m/s 2 2(0,0008) 2d

Con esta aceleración, en una distancia de 0,5 m, el hombre alcanzaría una velocidad de disparo y una altura máxima respectivamente de: vo =

2ad =

2(1225)(0,5) = 35 m/s; h =

v o2 (35) 2 = = 62,5 m 2(9,8) 2g


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También es de interés especial el caso del movimiento circular, para el cual la variable natural que se utiliza para describir el movimiento es el ángulo.

v  r

s

Figura 3. Movimiento circular uniforme

Así se define la velocidad angular  y la aceleración angular , como la variación del ángulo y de la velocidad angular respectivamente =

 , t

=

 t

(1.6)

donde  es el desplazamiento angular y t el intervalo de tiempo t. La velocidad lineal o tangencial es v = s/t y teniendo en cuenta que el arco s, el radio r y el ángulo  están relacionados por s = r() se obtienen las siguientes fórmulas importantes: v = r

(1.7)

El movimiento es circular uniformemente acelerado si  es constante. Así hallamos:  = o + t ;

 = o + ot + ½ t2

(1.8)

En el movimiento circular uniforme MCU el módulo de la velocidad permanece constante, pero no así su dirección por lo que existe una aceleración que se denomina aceleración centrípeta a c ac =

v2 r

ó

a c = 2r

(1.9)

EJEMPLO 3 Supongamos que una particular dista 0,1 m del eje de un motor que gira a 3000 rpm (revoluciones por minuto). Calcúlese la aceleración centrípeta a la que se ve sometida esta partícula y compárese con la de la gravedad: Solución. La expresión SI de la velocidad angular es:  = 3000 rpm = 3000

2 rad/s 60

 = 100 = 314 rad/s a c = 2r = (100)2(0,1) = 9859,6 m/s 2

ac 9859,6 = = 1006 ó a c = 1006g g 9,8 esta aceleración muy grande para motores normales es el fundamento de las centrifugadoras


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Problemas 1. Si usted camina 5 km en una dirección de 20° al oeste del norte y 4 km en una dirección 35° al sur del este. ¿Cuál es su desplazamiento total desde el punto de partida? Rpta 2,87 km, 33,09° al este del norte 2. Un coche viaja en línea recta a 30 km/h durante una hora y a 60 km/h durante 2 horas ¿qué distancia ha recorrido? ¿Cuál es su velocidad media Rpta d = 150 km , vm = 50 km/h 3. Un coche avanza a la velocidad constante de 60 m/s durante 20 s; entonces frena y se detiene en 10 s, Dibujar las gráficas velocidad-tiempo y aceleración-tiempo Rpta v(m/s )

a(m/s2)

60

20

0 0

20

30

t(s)

30

t(s)

-6

Figura 4 Graficas v vs t y a vs t 4. En la siguiente gráfica se muestra la posición de un péndulo en función del tiempo. En el intervalo de 0 a T; ¿cuándo su velocidad es a) cero b) positiva c) negativa? x 0

T

t

Figura 5 Movimiento oscilante Rpta (a) t = ¼ T y t = ¾ T (b) 0 < t < ¼ T y ¾ T < t < T (c) ¼ T < t < ¾ T 5. Desde que altura ha de caer el agua para golpear la pala de una turbina con una velocidad vertical hacia abajo de 30 m/s? Rpta: h = 45,92 m 6. Un globo que se suelta asciende verticalmente con una velocidad 3 m/s y es atrapado súbitamente por una corriente de aire que se mueve a la velocidad de 14,4 km/h en dirección suroeste. Encuentre la velocidad del globo con respecto a Tierra Rpta v = 5 m/s Salto vertical 7 A que altura llegaría una mujer que saltase con la misma velocidad de despegue que una pulga? Rpta: h = 0,1 m


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8. A partir de la Tabla 1 calcular la aceleración media de despegue y la velocidad de despegue de una langosta, suponiendo que la aceleración es constante Rpta: a = 98 m/s 2 v = 2,42 m/s 9. Un astronauta con traje espacial puede saltar 0,5 m en la superficie de la Tierra. La aceleración de la gravedad en la superficie de Marte es 0,4 veces la de la Tierra. Si su velocidad de despegue es la misma. ¿A qué altura llegará un astronauta que salte en Marte? Rpta: h = 1,25 m

DINÁMICA Describe el movimiento con relación a sus causas que son las fuerzas En general fuerza es la causa de: a) la deformación de los cuerpos, b) cambio en el movimiento y c) equilibrio Las fuerzas se suman o restan gráfica o analíticamente. Así por ejemplo la resultante de las fuerzas F 1 y F 2 se obtiene con la ley de cosenos F2

Figura 6 Resultante de dos vectores fuerza

F

 0

F=

F1

F12  F22  2 F1 F2 cos 

(1.10)

Se obtiene el mismo resultado aplicando el método de la descomposición en componentes: y

F2 

0

F



x

F1

Figura 7 Suma de vectores en coordenadas cartesianas

Usando la forma de pares ordenados para los vectores propuestos

 F1 = (F 1 , 0)  F2 = (F 2 cos  , F 2 sen ) F x = F 1 + F 2 cos , F y = F 2 sen  F=

Fx2  Fy2 =

(F1  F2 cos ) 2  (F2 sen) 2

Desarrollando obtenemos F=

F12  F22  2 F1 F2 cos 



El ángulo que forma el vector F con el eje X está dado por  = arctan( F y / F x)

(1.11)


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LEYES DE NEWTON DE LA MECANICA 1. Ley de Inercia Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza, este sigue o bien en reposo o bien en movimiento rectilíneo uniforme 2. Ley fundamental de la dinámica Se denomina cantidad de movimiento, momento lineal o simplemente ímpetu de un objeto de masa m que se mueve a la velocidad v a la magnitud p definida como: p = mv

(1.12)

Si no actúa ninguna fuerza externa sobre el móvil, p permanece constante. ¿Cómo varia p cuando actúa una fuerza?. Newton propuso que la variación correspondiente viene dada por:

p =F t

o

F = ma

(1.13)

3. Ley de acción y reacción Si un objeto A ejerce una fuerza F sobre otro objeto B, dicho objeto B ejerce sobre A una fuerza de igual módulo y signo opuesto que F Obsérvese que, como dichas fuerzas actúan sobre objetos diferentes (una sobre A y otra sobre B), sus efectos no se cancelan Una aplicación interesente del principio de acción y reacción es la propulsión a chorro. Aparte de las aplicaciones tecnológicas a las turbinas de aviación y los cohetes propulsores de las naves espaciales, este principio es usado por el calamar y el pulpo para realizar movimientos rápidos. En efecto estos animales almacenan una cierta cantidad de agua en la bolsa y al expelerla muy rápidamente consiguen una fuerza igual y en sentido contrario que los propulsa a una velocidad que les permite huir de los depredadores. reacción

acción

Figura 8 Propulsión a chorro de un calamar En biología todas las formas de locomoción caminar, correr, reptar sobre la superficie de la Tierra son posibles gracias a la fuerza de fricción en las superficies en contacto. La fricción es estática cuando tiene lugar entre superficies que aun no deslizan, y es dinámica cuando se da entre superficies deslizantes. Los valores máximos de dichas fuerzas son respectivamente fs y fc: fs = sN; s = coeficiente de fricción estática fc = cN; c = coeficiente de fricción cinética donde N es la fuerza normal o fuerza que mantiene unidas a las superficies en contacto N

f

v Fa


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Figura 9 Fricción por deslizamiento En la figura 9: F a = fuerza aplicada o fuerza exterior f = fuerza de fricción (entre superficies) N = fuerza normal v = velocidad En un fluido las fuerzas de fricción se denominan fuerzas de resistencia al avance. Estas dependen de la naturaleza del fluido, del área y de la forma del cuerpo que se mueve y de su velocidad relativa respecto al medio. Para velocidades pequeñas la fuerza de resistencia es proporcional a la velocidad ( F d = kv ). Para velocidades altas como los vuelos de las aves, la fuerza de resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad (F d = cv2). F a - F d = ma

(1.14)

Fa = fuerza aplicada, Fd = fuerza de resistencia Fuerza en la natación de un pez Cuando un pez nada, la aleta caudal oscila de lado a lado y el cuerpo se flexiona, manteniendo un ángulo  casi constante entre la normal a la aleta y el cuerpo durante la mayor parte del movimiento. La fuerza de reacción del agua sobre la cola F tiene una componente hacia delante F y, excepto ya al final del movimiento. Esta es la fuerza que impulsa al pez hacia adelante. A ella se opone la fuerza de resistencia al avance F d.

normal a la aleta

Fy F 

Fx Figura 10 El pez para moverse se apoya en el agua dinámicamente La componente F x de la fuerza F tiende a mover al pez hacia los lados y encuentra oposición en la fuerza de reacción del agua contra los lados del pez a menudo ayudadas por una aleta vertical (caudal). F y - F d = ma

(1.15)

donde m es la masa del pez y 'a' su aceleración hacia delante. EJEMPLO 4: Observaciones sobre pequeñas truchas de peso 2,22 N indican que pueden cubrir una distancia de 5 cm en 1/20 de segundo partiendo del reposo. Si el valor promedio de la fuerza de resistencia al avance es la cuarta parte del peso del pez. Encuentre a) la fuerza F y b) suponiendo que  = 60° encuentre la fuerza de reacción F contra la cola. Solución a) F y = ma + F d ; F d = 0,25mg F y = m(a + 0,25g); m = W/g = 2,22/9,8

 m = 0,227 kg


a = 2s/t 2

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= 2(0,05)/(1/20)2 = 40 m/s2

F y = (0,227)(40 + 2,45) = 9,6 N b) F = F y/cos60° = 19,2 N EJEMPLO 5: Encuentre la fuerza promedio que se ejerce cuando usted se golpea la cabeza contra una viga. Suponga que usted está moviéndose con una velocidad de 1,8 m/s, que su cabeza pesa 44,5 N y que el choque dura 0,005 s. Solución La masa de la cabeza es m = W/g m = 44,5 /9,8 = 4,54 kg p mv 4,54  1,8 F= = = 0,005 t t F = 1634,7 N Se llaman fuerzas g a las originadas por aceleraciones o deceleraciones súbitas, se dan en términos de g (aceleración debida a la gravedad). En los aviones de hélice al salir de una picada implicaba aceleraciones que iban desde 8 g hasta 14 g durante 3 segundos. Las fuerzas g son peligrosas por que aumentan el peso efectivo de la sangre y los órganos del cuerpo hasta W' = kW, (k = a/g). Los órganos que sufren fuerzas g pueden dejar de funcionar. Para una aceleración en la dirección cabeza-pies (sostenida durante un periodo corto) se siente dificultad para usar los músculos a los 3 ó 4 g . A 5g se detiene la respiración y se hace imposible el movimiento del cuerpo: entre los 5 g y 9 g se congestionan los pulmones, se pierde la visión, e incluso muchas personas pierden el sentido. Esta pérdida se debe a la ausencia de flujo sanguíneo hacia el cerebro, pues la sangre es demasiado pesada para que el corazón pueda bombearla hacia la cabeza. Durante periodos de tiempo muy cortos una persona puede soportar fuerzas de hasta 30 g sin sufrir lesiones siempre que esté de frente en la dirección de la aceleración y tenga un buen apoyo para su espalda. En el caso de la seguridad de un automóvil la desaceleración se logra mediante un cinturón de seguridad o un cinturón toráxico diagonal los cuales constituyen apenas el 20% de lo que en la aceleración hacia delante llamamos buen apoyo en la espalda. Puede estimarse de aquí que el límite de la aceleración soportable en un choque automovilístico es 0,230g = 6g. EJEMPLO 6 En una caída desde un avión se alcanza una velocidad límite de 54 m/s cuando la fuerza de resistencia al avance que resulta de la resistencia del viento es igual a la fuerza gravitacional. Cuando se abre el paracaídas la velocidad se reduce a 6 m/s en un segundo. Halle la fuerza g cuando se abre el paracaídas para una persona de 800 N. a = (v-vo)/ t = (54-6)/1 = 48 m/s 2. La aceleración es a = (48/9,8)g = 4.9 g. Por tanto la fuerza g es W’ = 4,9W Convertido a newtons es W’ = (4,9)800 = 3920 N = 392 kgf. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL DE NEWTON “Dos cuerpos del universo se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa” F=G

m1 m 2 d

2

(1.16)

m1

F

F'

m2

d Figura 11 Interacción gravitatoria entre dos esferas. F y F' son acción y reacción


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Donde G es la constante de gravitación universal G = 6,6710-11 Nm2/kg2 El peso de un cuerpo no es sino la fuerza gravitatoria entre dicho cuerpo de masa m y la Tierra de masa M, siendo la separación entre ellos prácticamente el radio de la Tierra R Por tanto: P = mg = G

mM R2

De donde se deduce que la aceleración debida a la gravedad es una propiedad del planeta Tierra cuyo valor queda determinado por: g=

GM R2

(1.17)

Tanto el movimiento planetario en torno al Sol o el movimiento de los satélites artificiales o naturales en torno a un planeta se deben a la fuerza gravitatoria. Cuando la masa de un cuerpo se hace superior a una masa critica, dicho cuerpo se convierte en agujero negro cuya atracción es tan intensa que aun la luz es incapaz de escapar del agujero negro. Problemas 1. Una caja de 160 kg es empujada hacia una ventana. Si las manos que la empujan ejercen una fuerza total de 534 N y el coeficiente de fricción cinética entre la caja y el piso es 0,2 halle su aceleración hacia la ventana. Rpta a = 1,38 m/s2 2. Una gallina que vuela a 7 m/s se estrella contra el vidrio de una ventana y se detiene en 2510-3s. Si la gallina pesa 2,22 N. Hallar (a) la masa de la gallina (b) la cantidad de movimiento al producirse el impacto (c) la fuerza sobre la gallina en newtons Rpta (a) m = 0,227 kg; (b) p = 1,59 kg.m/s (c) 63,6 N 3. Suponga que la aceleración máxima tolerable para los pasajeros que se encuentran de pie en un tren es 0,8g y que dos estaciones consecutivas están separadas 0,8 km. Encuentre la máxima rapidez en km/h que puede alcanzar el tren entre estaciones, suponiendo distancias iguales para arrancar y frenar. Rpta: vmax = 285 km/h 4. Una gaviota de 1 kg planea a velocidad constante formando un ángulo de 7° con la horizontal. Encuentre la fuerza de resistencia al avance que actúa sobre el ave y compárelo con su peso. Rpta Fr = 1,19 N ; Fr/W = 0,12 5. En una ocasión cuando el paracaídas de un piloto no se abrió, se encontró su cuerpo hundido 0,60 m en la tierra. Aceptando una velocidad limite de 54 m/s encuentre la fuerza g causada por el impacto sobre una persona de 75 kg Rpta F = 247 W 7. En la superficie de la Luna g = 1,67 m/s2. Si el radio es 1,74106 m. Calcule la masa de la Luna Rpta ML = 7,581022 kg 8. Cuando una persona se encuentra sentada con un buen apoyo en la espalda 1300 cm2, su tolerancia a aceleraciones breves es 30 g. Calcule la máxima fuerza g tolerable en una colisión de frente, suponiendo que un cinturón de seguridad y un cinturón torácico diagonal le proporcionan un apoyo efectivo de 300 cm2 Rpta a = 6,92g


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9. El movimiento de cualquier objeto en las capas atmosféricas bajas se opone una fuerza de resistencia al avance  v2 y dada aproximadamente por la ecuación: Fd = kr2v2, donde k = 0,9; r es el radio efectivo del área de la sección transversal (supuesta circular) que se opone al movimiento y v es la velocidad (todas las unidades en SI). Encuentre la velocidad límite de un paracaidista de 68 kg antes de que se abra el paracaídas, suponiendo un radio efectivo de 0,25 m. Compare su respuesta con el valor dado (54 m/s). Rpta vL = 61,42 m/s Estática Equilibrio de una partícula Una partícula se encuentra en equilibrio cuando la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre ella es igual a cero Descomponiendo las fuerzas en sus componentes rectangulares, la condición de equilibrio queda expresada así:  F x = 0;

 F y = 0;

 Fz = 0

(1.18) T2

T1 P

 2

W

1 W

Figura 12 Fuerzas en equilibrio En la figura 12; el punto P sujeto a la acción de tres fuerzas T 1, T 2 y W se encuentra en equilibrio solo cuando el triángulo de vectores dan una resultante nula: T1 W

   T1  T2  W = 0

T2

Figura 13 Triángulo de vectores o cuando sus módulos cumplen con la relación de Lamy:

T1 T2 W   sen1 sen 2 sen

(1.19)

Torque, equilibrio rotacional y fuerza muscular

Un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio cuando: 1) la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero 2) la suma vectorial de los torques (alrededor de cualquier eje) que actúan sobre él es igual cero


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EJEMPLO 7 Hallar la fuerza B que ejerce el músculo bíceps si el antebrazo sostiene un bloque de peso W = 53 N, suponiendo que el antebrazo pesa P = 13 N

H

B

23 cm

5 cm

P

W 38 cm

Figura 14 Antebrazo sosteniendo un peso W Suma de torques respecto al codo igual a cero: B(5) –P(38-23)- W(38) = 0

De donde B =

P(15)  W(38) = 441,8 N 5

Centro de gravedad y centro de masa. Punto donde se supone esta aplicada la fuerza peso. Cualquier cuerpo apoyado en su centro de gravedad está en equilibrio y no cambiará su posición ni rotará. No hay torque neto alrededor del centro de gravedad para un cuerpo en equilibrio 43 cm

x c.g. 53 cm

W

80 N

53 N

Figura 15 Localización del centro de gravedad de una pierna extendida Para cualquier articulación de solo dos partes, el centro de gravedad queda sobre la línea que une el centro de gravedad de cada una de ella

c1 c

c2 Figura 16 Pierna doblada

El centro de gravedad es un concepto muy importante en terapia física. Normalmente no nos percatamos de su existencia pero cuando un pie, una pierna o un músculo de la cadera se lastiman y esta ausente su apoyo normal, desplazamos nuestro peso cambiando de posición, de tal manera que el torque neto alrededor del centro de gravedad sea cero. Para una persona que esta de pie, el centro de gravedad esta localizado en la región pélvica descrita técnicamente como anterior a la segunda vértebra sacra.


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Cuando una persona se dobla por la cintura, el cuerpo se mueve hacia atrás, para que el centro de gravedad permanezca localizado sobre los pies. De otra manera un torque alrededor de los pies hará que se vaya de bruces, por el desplazamiento hacia delante del centro de gravedad. Si actúan sobre el cuerpo otras fuerzas además de su peso, el cuerpo se mueve como si su masa estuviera concentrado en un punto llamado centro de masa (cm). Si n masas puntuales se encuentran en los puntos (x j , yj ,zj). La posición del centro de masa cm(x,y,z) se encuentra del siguiente modo: x=

m 1 x 1  m 2 x 2 , , , , , m n x n m 1  m 2 , , , , , m n

(1.20)

y=

m 1 y 1  m 2 y 2 , , , , , m n y n m 1  m 2 , , , , , m n

(1.21)

z=

m 1 z 1  m 2 z 2 , , , , , m n z n m 1  m 2 , , , , , m n

(1.22)

EJEMPLO 8 La distancia Tierra-Luna es 60 R (R, radio terrestre) Hallar la posición del centro de masa de estos dos astros si la masa de la Tierra es 80m (m, masa la Luna) Solución Ubicando el origen de coordenadas en el centro de la Tierra, con el eje X pasando por el centro de la Luna, tenemos m1 (Tierra) = 80m, x 1 = 0, m2 (Luna) = m, x 2 = 60R x=

80m(0)  m(60R ) = 0,74 R 80m  m

Equilibrio, Estabilidad y postura animal Un objeto apoyado en un punto por encima de su centro de gravedad se encuentra en equilibrio estable, mientras que si el punto esta por debajo de su centro de gravedad está en equilibrio inestable.



Apoyo o sujeción

cg

cg

apoyo (a) Equilibrio estable (b) Equilibrio inestable

Figura 17 Centro de gravedad y estabilidad Al separar los pies hace a la persona mas estable en una dirección pero inestable en la dirección perpendicular a ésta. Estamos equipados entonces con receptores musculares sensibles a nuestra postura que trabajan constantemente para mantenernos en pie. Los músculos a su vez están controlados por nervios conectados a los tres canales semicirculares del oído interno, los que activan acciones compensatorias cuando la cabeza se inclina o gira.


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Cómo funciona el equilibrio Para comprender los problemas de equilibrio, es importante que comprenda cómo funciona normalmente el equilibrio. Básicamente, el cuerpo confía en tres sistemas separados, cada uno envía impulsos nerviosos al cerebro:  En el cuello, el torso, las articulaciones de las piernas y los pies hay sensores de presión que envían información al cerebro acerca de dónde está el cuerpo en relación con el mundo (también conocido como propiocepción). Los mensajes se envían cuando hacemos cosas como girar la cabeza, movernos y caminar sobre superficies diferentes.  En el frente del oído interno, o laberinto, está la cóclea, que está involucrada en la audición; en la parte trasera están los canales semicirculares, que afectan el equilibrio. Conectados a ellos está el vestíbulo (con órganos sensoriales conocidos como utrículo y sáculo), que afectan al equilibrio y la estabilidad. Cuando giramos la cabeza rápidamente, el líquido de los canales semicirculares mueve los pequeños vellos que recubren la cóclea y envían un mensaje (a través del nervio vestibulococlear) al cerebro acerca del movimiento. En menos de un segundo, el cerebro envía mensajes a los músculos necesarios para mantener el equilibrio y ayuda a los ojos a mantenerse enfocados.  En los ojos, las terminaciones nerviosas de la retina (en la parte posterior del ojo) tienen células sensibles a la luz llamadas conos y bastones. Cuando miramos algo, la luz llega a la retina y los bastones y los conos envían señales eléctricas al cerebro a través del nervio óptico. El cerebro usa estas señales para interpretar lo que estamos viendo y para crear imágenes visuales. Cada ojo recibe imágenes apenas diferentes de (e información acerca de) el mismo objeto, que ayuda con la percepción de la profundidad (a qué distancia está un objeto) y es vital para mantener el equilibrio. Si alguno de estos sistemas no está funcionando bien, puede afectar el equilibrio. La estabilidad en los peces se logra gracias a canales llenos de líquido a lo largo del cuerpo y la cabeza llamados órganos de la línea lateral. Palancas. Los huesos como palancas accionados por los músculos Una palanca es una barra rígida que puede girar alrededor de un punto fijo llamado apoyo o eje. Su utilidad esta en que aumenta la efectividad de la fuerza aplicada, permitiendo que esta fuerza sea aplicada en lugar más conveniente, o incrementar la rapidez y alcance del movimiento de una parte Tríceps

A

Bíceps

t b i c e p s

r i c e p s

Figura 18 Brazo como palanca

Son ejemplos de palancas los músculos y los huesos del cuerpo, pues los huesos son palancas accionados por los músculos. Obsérvese que la contracción del Bíceps en la Figura 18 hace rotar en sentido antihorario el antebrazo apoyado en el codo (punto A) en cambio la contracción del tríceps hace rotar el antebrazo con el mismo apoyo en sentido horario. EJEMPLO 9 Considere la fuerza de reacción del tendón de Aquiles. Cuando una persona se para de puntillas, el pie actúa como una palanca. El tendón de Aquiles hala hacia arriba con una fuerza T y hay una fuerza F de compresión en el hueso de la pierna (tibia). Encuentre F y T para una persona de 800 N que esté de puntillas sobre un solo pie en la situación descrita.


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Solución. Aplicando la condición de equilibrio en la forma:  F x = 0 y  F y = 0 Fsen 15° = Tsen20° Fcos 15° = Tcos20° + W F

T

(1) (2) T

F 15°

20°

800 N Figura 19. Pie de puntillas y diagrama de fuerzas

De (1) se tiene F = Tsen20°/sen15° = 1,32 T. En (2) reemplazamos el valor de F y W y despejamos T: T = 800/(1,32cos15 - cos20) = 2376 N F = 1,32(2376) = 3136 N

Problemas 1. Un hombre de 670 N dobla su cuerpo por la cintura 90° hacia delante conservando verticales las piernas. Suponga que la parte superior de su cuerpo es las dos terceras partes de su peso total y que el centro de gravedad de esa parte esta a 70 cm arriba de sus caderas. A que distancia por delante de sus piernas se encontrara el nuevo centro de gravedad? 2. Que torque se requiere para abrir una puerta de 90 cm de ancho contra un peso muerto (fuerza de resistencia) de 450 N supuestamente localizado, del lado opuesto, en la mitad de ella? 3. Una mujer de 756 N se empina en un pie. El brazo de palanca del tendón que levanta el talón es a = 5 cm y el de las yemas de los dedos es b = 10 cm, ambos con respecto al eje que pasa por la articulación del tobillo. Encuentre a) la tensión en el tendón y b) la fuerza en la articulación del tobillo. 4. Si en la figura 8 el peso sostenido en la mano es de 80 N, con las dimensiones dadas para el antebrazo calcular la tensión en el tendón B y la magnitud de la reacción en la articulación.

TRABAJO, ENERGIA Y SU CONSERVACION Conservación del momento lineal Cuando la fuerza externa sobre un cuerpo o un sistema de cuerpos es nula, el momento lineal total del sistema se mantiene constante Por ejemplo un calamar toma agua en su cuerpo (manto) por una región alrededor de su cuello; una contracción muscular sella la entrada del cuello y expulsa el agua por un sifón, que actúa como un motor de propulsión flexible para nadar hacia delante o hacia atrás.


Biofisica 15

Figura 20 Calamar en el agua con un expulsor flexible de agua llamado sifón para nadar hacia delante o hacia atrás EJEMPLO 10. Una bolsa de calamar contiene 0,1 kg de tinta. Para ahuyentar a sus posibles depredadores y poder huir de ellos, expulsa de golpe esa tinta, que sale a una velocidad de 5 m/s. Si la masa del calamar sin tinta es 0,4 kg ¿Qué velocidad adquiere al impulsar la tinta? Solución La cantidad de movimiento del calamar tiene el mismo valor que la cantidad de movimiento de la tinta arrojada:

Mcvc = mtvt o vc =

m t v t 0,1  5 = = 1,25 m/s Mc 0,4

TRABAJO

F Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo provocando un desplazamiento, se dice que la fuerza realiza trabajo de valor igual al producto de la fuerza por el desplazamiento en la dirección de la fuerza Trabajo = (Componente de Fuerza) por (desplazamiento)

 

W = (Fcos)s = F .s



s

Figura 21 Trabajo mecánico

(1.23)

Donde  es el ángulo entre F y s. El símbolo del producto "punto" o escalar incluye el factor cos e indica que el trabajo es el producto escalar de dos vectores. La unidad de trabajo es el Joule (J) = 1N.1m EJEMPLO 11 Al hacer un corte de 25 cm de largo en un pedazo de madera, se ejerce una fuerza de 60 N formando 30° con la horizontal. Encuentre el trabajo realizado. Suponga una velocidad constante y una fuerza de fricción f opuesta al movimiento. W = Fs cos = 60(0.25)(0.866) = 13 J EJEMPLO 12 Encuentre el trabajo realizado por el músculo bíceps sobre el antebrazo desde la posición de máxima extensión, al levantar un cuerpo de 45 N de peso. Suponga que en promedio F = 400 N y que el músculo está inserto al radio a una distancia d = 3,8 cm abajo del codo. F

F

140°

d 10°

Figura 22 Trabajo del bíceps Solución Los torques también realizan trabajo, cuando generan rotación (desplazamiento angular )


Biofisica 16

W = . Donde el torque  = Fd = 400(0,038) = 15,2 N.m  = 140 - 10 = 130° Para reemplazar en la fórmula de trabajo es necesario expresar el desplazamiento angular en radianes en lugar de grados sexagesimales  = (130/180)() = 2.27 radianes Luego el trabajo es: W = (15.2)(2.27) = 34.5 J Energía Mecánica Energía cinética: E c = ½ mv2 Energía potencial E p = mgh

(1.24) (1.25)

Para un sistema en el cual no hay fuerzas disipativas como la fricción, la energía mecánica (cinética mas potencial) permanece constante durante todo el movimiento Ec + Ep = constante (Ec + Ep)t = (Ec + Ep)t'

(1.26) (1.27)

donde t' es un tiempo posterior a t EJEMPLO 13 Calcular la velocidad máxima de la masa pendular si su máxima altura es

h = 10 cm.

Figura 23 El péndulo simple h Desde que a máxima altura la velocidad es cero y en el punto mas bajo la energía potencial es cero se tiene: Ec (max) = Ep(max) ½ mv2 = mgh,  v =

2gh

Potencia. Máquinas simples y su relación con la estructura esquelética La conservación de energía explica el funcionamiento de las maquinas simples, como la palanca que aparece en la figura F1 L1

d1

F2 d2

Figura 24 La palanca

L2

Desde que las pérdidas por fricción son despreciables, podemos, igualar los trabajos de las fuerzas F 1 y F 2. Esto es:


Biofisica 17

F 1d1 = F 2d2

(1.28)

Del equilibrio de torques encontramos que:

L F 1L1 = F 2L2 ó F 2 = F 1  1  L2

  

(1.29)

Y de las relaciones geométricas:

L1 d 1  L2 d2

(1.30)

La relación (1.29) indica que si aplicamos a la palanca una fuera F1 = 180 N, siendo L1 = 60 cm, L2 = 5 cm, vemos que F2 = 180(60/5) = 2160 N, suficiente para levantar una rueda de automóvil. Es decir que la palanca permite multiplicar la fuerza; ¿pero qué se está sacrificando para lograr esto? De la Ecuación (1.28) se puede ver que: d1 = d2F 2/F 1 = d2(2160/180) = 12 d2 de manera que se debe ejercer la fuerza a lo largo de una distancia mucho mayor que la distancia que se levanta la carga La relación entre la distancia a lo largo de la cual actúa la fuerza suministrada a la distancia que se mueve la carga se denomina ventaja mecánica ideal VMI VMI =

L1 d1 = d2 L2

La ventaja mecánica de la palanca descrita es 12. EJEMPLO 14 Para una palanca doblada como en la figura, encuéntrese la velocidad obtenida v o en los extremos de la palanca sabiendo que la velocidad suministrada por la acción de la fuerza T en el vértice del ángulo es vs

s

T r

Figura 25 Palanca doblada

y

x

F2

Si T es la fuerza aplicada y F 2 la fuerza obtenida se tiene: Ts = F 2y La VMI es s/y. El movimiento de la palanca en un ángulo pequeño se muestra con líneas punteadas; y por triángulos semejantes hallamos: r/s = x/y o r = x (s/y) y para un intervalo de tiempo pequeño:

r x  s     t t  y 

o

vs = vo(s/y)

(*)


Biofisica 18

La palanca descrita es muy similar a la pata delantera de un caballo, con la fuerza de tensión T ejercida por el músculo Teres mayor. Para un caballo s/y = 1/13, lo cual es una ventaja mecánica muy pobre. Sin embargo de la ecuación (*), la velocidad del casco es vo = vs(y/s) = 13vs de manera que el casco se mueve con una velocidad 13 veces mas rápidamente que el músculo que se acorta. La conformación de los caballos es propia para la rapidez y lo logran con una baja ventaja mecánica. En cambio la extremidad delantera de un armadillo que está conformada para cavar la tierra, con mayores requerimientos de fuerza, tiene una ventaja mecánica de 1/4 únicamente. En los humanos la distancia del codo al centro de la mano es aproximadamente de 38 cm y el bíceps esta inserto a cerca de 4 cm del codo, la ventaja mecánica es entonces 4/38 = 0,11; lo que indica que este músculo puede mover el brazo rápidamente. Potencia Se define como la rapidez con la que se realiza el trabajo: P=

W t

(1.31)

Donde t es intervalo de tiempo en el cual se realizó el trabajo W Unidades de potencia Sistema SI: vatio (W): 1W = 1J/s Industria: caballo vapor (hp) 1 hp = 746 W La potencia es también el producto de la fuerza por la velocidad: P=

W Fs   Fv t t

(1.32)

En esta ecuación F es la componente de la fuerza en la dirección de la velocidad Eficiencia de una máquina es la relación entre el trabajo obtenido W o y el trabajo suministrado W s a ella =

WO WS

(1.33)

La eficiencia de algunas máquinas simples, especialmente de la palanca es muy cercana al máximo teórico del 100%. Pero esto no es cierto para máquinas que convierten una forma de energía en otra, como las máquinas de vapor o el motor de gasolina en los cuales la energía calorífica se convierte en energía mecánica La eficiencia de la máquina también puede expresarse como el cociente de las potencias obtenida P o y suministrada P s EJEMPLO 15 Un hombre de 800 N de peso realiza un salto para lo cual se agacha de modo que su centro de gravedad desciende 25 cm y a partir de esta posición su centro de gravedad se eleva una distancia de 65 cm Hallar la a) la fuerza muscular media ejercida b) su velocidad al levantarse del suelo c) la potencia desarrollada por sus músculos Solución (a) La fuerza muscular obra a lo largo de 25 cm y le transmite una energía potencial proporcional a la altura h = 65 cm Esto es


Biofisica 19

F.y = mgh De donde : F=

mgh (800N)(0.65 m) = = 2080 N 0.25 m y

b) La velocidad de despegue puede hallarse con la altura alcanzada desde el punto de desp egue: v = 2g(h  y) = 2(9,8)(0,65  0,25) = 2,8 m/s c) La potencia muscular está dada por: P = F.vm, donde vm es la velocidad media vm = v/2 = 1,4 m/s P = (2080 N)(1.4 m/s) = 2912 Watt

La fuerza muscular y la acción de saltar Los humanos no poseen una conformación apropiada para saltar como lo tienen las ranas, las pulgas, los canguros, los cuales están dotados de piernas estructuradas para hacerlo, siendo por ello interesantes desde el punto de vista mecánico. Más interesante aun puede resultar la altura máxima a la que pueden saltar algunos animales, pues relacionando esta altura con la energía y potencia musculares, se puede obtener una útil información sobre la estructura especializada y los requerimientos de energía del tejido muscular Generalmente los animales saltadores se levantan del suelo a un ángulo de 45° para lograr un mayor alcance. El esfuerzo muscular los impulsa hacia arriba y hacia delante. Los músculos que realizan el trabajo (los músculos activados) son los músculos de la pierna, y los estudios concluyen que la masa ma de tales músculos, es alrededor del 10 por ciento de la masa total m del cuerpo; luego una buena aproximación para todos los tipos de animales saltadores seria ma/m = 0,10. Una forma de comparar los músculos en diferentes especies de animales es midiendo la potencia desarrollada para una tarea determinada y dividiéndola por la masa de los músculos activados, obteniendo así la potencia por unidad de masa de músculo activado. Experimentalmente se ha determinado que la máxima potencia desarrollada por un hombre que conduce una bicicleta con un esfuerzo continuo es de cerca de 40 W/kg. Podemos usar los resultados del Ejemplo 15 para hallar la correspondiente a un hombre al saltar. La masa en kilogramos del músculo activado es: ma = 0,1(m) = 0,1(800/9,8) = 8,16 kg Como la potencia desarrollada al saltar es 2912 W. La potencia por unidad de masa de músculo activado es

P 2912 = = 356 W/kg ma 8,16 Estos resultados indican que una sola contracción utilizada para saltar da una potencia mucho mayor que la obtenida mediante el uso continuo de los músculos


Biofisica 20

Este tipo de mecanismo en el salto no es general El salto impresionante de la pulga con relación a su reducida masa, se debe a otra forma de impulsión basada en la compresión de una sustancia elástica llamada resilina la que al ser liberada lanza a la pulga como por una catapulta. EJEMPLO 16. El lucio es un pez cuyo movimiento consiste básicamente en aceleraciones rápidas y poco duraderas. Si suponemos que un lucio de 1 kg impulsa mediante su cola 3 litros de agua en 0,5 s con una velocidad de 5 m/s formando un ángulo de 60° con la dirección del movimiento: (a) ¿cuál será la velocidad de su movimiento? (b) ¿Cuánta energía habrá consumido, si estaba inicialmente en reposo? (c) ¿Qué potencia ha desarrollado? Solución La figura muestra la posición de la cola del pez que genera la fuerza F como reacción de su acción sobre el agua

Fy

F

60°

Fx

Figura 26 La aleta caudal presiona sobre el agua y en respuesta el agua genera la fuerza F Desde que 3 litros de agua constituyen 3 kg de agua, con ayuda de la figura el valor de la fuerza F puede calcularse a partir de la ecuación: Ft = MV, F =

MV 3 5 = = 30 N. t 0,5

La fuerza en la dirección del movimiento es: F y = F cos60° = 30(0,5) = 15 N Fy = m

Fy t 15(0,5) v ;v= = = 7,5 m/s 1 t m

La energía total consumida es igual a la energía cinética total desarrollada por el pez que es igual a su energía cinética mas la energía cinética del agua removida E = ½ mv2 + ½ MV2 E = 0,5(1)(7,5)2 + 0,5(3)(5)2 = 65,6 J La potencia es P = E /t P = 65,6/0,5 = 131,2 w


Biofisica 21

EJEMPLO 17. La figura representa a un hombre de puntillas intentando levantar un peso. Si su peso es de 70 kg. ¿Cuál será el peso máximo que podrá levantar sin caer hacia delante, suponiendo que todas sus articulaciones son rígidas? 0A = 15 cm ; AB = 60 cm

0 A

A B

Figura 27 La línea que pasa por la punta de los zapatos es la línea de apoyo y las verticales que pasan por 0 y B pasan también por los centros de gravedad del hombre y de la caja respectivamente Sean W y Wh los pesos de la caja y del hombre respectivamente. Tomando momentos respecto al punto A tenemos: W ( BA ) = Wh( A0 ) W(60 cm) = (70 kg)(15 cm) W = 17,5 kg Problemas: 1. Para un caballo de carreras que se mueve a una velocidad de 13,4 m/s, halle (a) la velocidad máxima de acortamiento del músculo de la pierna (Teres mayor) y (b) la potencia desarrollada por este músculo durante una carrera de trabajo para una fuerza de 1335 N (a) vs = 1,03 m/s (b) P = 688 w 2. Una persona de 734 N sube corriendo las escaleras de 7,3 m de altura en 5 s a) ¿Qué potencia promedio se desarrolla (b) ¿Cuánto tardaría una persona de este peso subiendo las escaleras si alguna condición de su corazón limitara la capacidad a 0,1 hp? (a) P = 1072 W (b) 1 min 12 s 3. Si usted tuviera que mover una roca de una tonelada. ¿Podría hacerlo con un tronco de 3 m de largo, tomando 10 cm para el brazo mas corto y suponiendo que usted puede ejercer una fuerza de 310 N? Ilustre con un diagrama su respuesta. 310 N 2,90m

9800 N 0,10 m

Rpta. no porque 2,90(310) < 1000(9,8)(0.10)

01_BIOMECANICA

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