Conjuntos numéricos
En 1642 y a los 19 años, Blaise Pascal construyó una sencilla máquina aritmética para su padre, porque tenía que contar dinero en el traa!o" #a máquina se ser$ía de en%rana!es mecánicos para sumar &ci'ras de (asta oc(o dí%itos) y restar automáticamente" automáticamente" *nos años después el %ran matemático matemático +ott'ried +ott'ried #eini #eini per'eccionó per'eccionó el in$ento in$ento de Pascal y otu$o un nue$o modelo que podía sumar, restar, multiplicar, di$idir y calcular raíces cuadradas" -ste 'ue el punto de partida partida para las la s au t énti c as a s c al c ulad o r as , y 'ina lmen te p ar a l as computadoras"
La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son necesarios para resolver situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, usamos números para contar una determinada cantidad de elementos (existen siete notas musicales, cinco continentes, etc.), para establecer un orden entre ciertas cosas (el tercer mes del ao, el cuarto hijo, etc.), para establecer medidas (!," metros# $,% &g# ' *# etc.), etc.
C O N J U N T O D E L O S N Ú M E R O S N A T U R A L E S ( l N ) l
+ -
9ambi
# $ #
/ " ! $ 0 %
0 # . . . . . 1
. . . .. . . . . ......... .
7l
conjunto de los +úmeros +aturales surgió de la necesidad de contar,
lo cual se mani2iesta en el ser humano desde sus inicios. 7ste conju nto se carac teri8a porqu e3
n ú m e r o s 3
! > /
· 9iene un número infinito de elementos. · *ada elemento tiene un scesor y todos, e!ce"to el #$ un antecesor% Podemos gra2icar mediante un diagrama de :enn de la siguiente manera3
(
? !
/
!
!
/ #
/
! #
c o n e s t o s
Los puntos sucesivos signi2ican3 4y as5 sucesivamente6
#
" #
= p e r e m o s
?
;
$
@
*omo llegamos a una
necesario extender este conjunto.
C O N J U N T O D E L O S N Ú M E R O S E N T E R O S ( & & ) && .....# '# '!# ?"# ?/# # /# "# !#.....1 7l conjunto de los +úmeros 7nteros surge de la necesidad de dar solución general a la
el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los *onjuntos +aturales (por ejemplo3 $
Podemos gra2icar mediante un diagrama de :enn de la siguiente manera3
% $ ?! ?!/
' " A @ ) . Bebido a esto, la recta num
? !
! 0 !" ;
;
/
?;%
!; !
;
?D
?0
?0
9ambi
... ? ?! ?" ?/ / " !
/ //
9ambi
/
=peremos con estos números3
! ? ! ! 0 3" ! 3"
?/ /" ! @
*omo llegamos a una operación que no podemos resolver. 7s necesario extender este conjunto.
En número es racional si y sólo si puede expresarse como división de dos números enteros, cuyo divisor es distinto de cero. 7sta división se representa como 2racción, donde el dividendo recibe el nombre de numerador y el divisor de denominador.
* b F a GG H b GG H b a
7l conjunto de los +úmeros Jacionales se creó debido a las limitaciones de cClculo que se presentaban en el conjunto de los +úmeros +aturales y +úmeros 7nteros.
/
! "
"
=peremos con estos números3 "# porque 3 (") " "
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACONALES ( )
/ "
@
=bviamente necesitamos crear un conjunto que agrupe
este tipo de números.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RRACONALES ( ) Los +úmeros Irracionales son los que no se pueden
expresar como racionales, es decir, que su parte decimal tenga in2initas ci2ras sin presentar periodo alguno. Klgunos ejemplos3
!,//$D"0$!$;D%D!"!;0... /,/"/!$0"...
" Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los $ ?","!00%D%... +úmeros 7nteros si + s,lo si el di-idendo es m.lti"lo$ distinto de cero$ del di-isor% Para solucionar esta di2icultad, se creó este conjunto, el cual 7ste conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos estC 2ormado por números que no pertenecen a los conjuntos anteriores# todos los números de la 2orma a entre ellos se pueden citar a las ra/ces ine!actas$ el . b n.mero 0i$ etc. K
semiperiódicos (o periódicos mixtos) que s/ "eden transformarse en na fracci,n% Podemos gra2icar mediante un diagrama de :enn de la siguiente manera3 ((
Problemas para la clase
% A1ora -amos a "racticar %%% 7scribir M o += según pertene8ca o no el número dado a los conjuntos l+, GG, No I .
? !
2
!
0 $
! "
3
"
4
#$5
$
67 8 5
Podemos gra2icar de la siguiente manera3
9: 6;
" !
!
$
977 8
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ( lR )
7l conjunto 2ormado por los racionales y los irracionales se llama conjunto de números reales, y se designa por lJ . lR *
4
8
7$53
Podemos gra2icar mediante un diagrama de :enn de la siguiente manera3
G +
?!/
!"
0
; ?D
?! ;
? $
! ; ?/ //
2
J
N
?0
3 ;
3$48
< =
% $
7 :
!
!
" "
0
$ ((
% Com"leta teniendo en centa el nom>re del "rimer con?nto al @e "ertenece cada no de los siAientes n.merosB /. " es un número3 .............................................. ". ?!0 es un número3 ........................................... !.
Los números reales llenan por completo la recta num
.
! es un número3 ............................................
/ "
es un número3 ..........................................
$. >"% es un número3 ........................................... 0. % y ?! son números3 ..........................................
Bonde a cada punto de la recta le corresponde un número real y, a cada número real, le corresponde un punto de la recta.
%.
y
son números3 .....................................
;. ?" y ! son números3 ....................................
$.
0! %
es un número3
D. ?0,! es un número3 ........................................ /.
! (
y $," son números3 ......................................
//. /," y 0,% son números3 ..................................
a) racional y decimal c) entero y natural e) real e irracional
b) decimal d) irracional
0. A*uCl de los siguientes grC2icos es correcto@
/".
% y
" son números3 .................................
/!. ?!# $ y ?" son números3 .................................. $
/.
/$. /0.
%
es un número3 ..........................................
l+
I.
N
II.
G
lJ
N
N I
I:.
III.
! # /# ?" y ," son números3 .........................
% !
" es un número3 ...........................................
/%. $# /;. # /D. "#
!
"
!# $ (
#
" !
son números3 .............................
$ son números3 .............................
# ", son números3 ................................
(((% Resol-er
/.
l+ G
$ es un número3
b) real y natural d) natural
". ,!!!!... es un número3 a) racional y decimal c) natural e) real
b) irracional d) entero
c) ólo III
%. A*uCl de los siguientes enunciados es 2also@ a) " es un número entero b) c) d) e)
?,!"/%0 es un número racional !,% es un número racional $ es un número real es un número natural
a) un número natural c) un número racional e) todas son correctas
b) un número entero d) un número irracional
. ealar las a2irmaciones correctas3 II. I+ GG I:. NI II
b) ólo II e) 9odas
a) b) c) d) e)
!
es una 2racción ,!D" es un número irracional $ es un número real /> " es un número irracional "/ es un número natural "
D. A*uCl de los siguientes enunciados es verdadero@ !
!. > ! da como resultado3
a) ólo I d) II y III
b) ólo II e) I y I:
;. A*uCl de los siguientes enunciados es 2also@
a) racional c) irracional e) entero
I. NI I IJ III. GG NI
a) ólo I d) ólo I:
c) ólo III
a) es un número natural % b) ! es un número racional c) /,! es un irracional d) ,! es un natural e)
es un irracional
/. ealar las a2irmaciones incorrectas3 I.
" es irracional porque lleva ra58.
II. GG
l+ l+
)
III. N
I lJ
a) ólo I d) I y II
b) ólo II e) II y III
c) ólo III
//. ealar la a2irmación correcta3 I. II.
// es irracional porque tiene ra58.
es un número no racional.
III. !0 es un número irracional. a) ólo I d) I y II
b) ólo II e) I y III
c) ólo III
/". A*uCl de los siguientes enunciados es verdadero@ !
/0. Indicar verdadero (:) o 2also (O) según corresponda3 I. " y ?! son números enteros II. ! y / son irracionales III. ?/, y " son racionales I:. Ne I estCn contenidos en los enteros a) O O: : d) O O O O
b) : : O O e) : OO :
c) :O:O
/%. Indicar verdadero (:) o 2also (O) según corresponda3 I. $# " y
" son enteros y reales
II. !0 es un número irracional
a)
$
b)
es un número no 2raccionario.
III. " es natural y entero I:. ! # " y ? / son racionales " ! $
! es un número racional.
c) ,!D es un número racional. d) es irracional.
a) O O : : d) : O: :
I. La suma de dos números irracionales siempre es otro irracional. ......................................... (
/!. "$ es un número3
ser un número entero. ................................... ( ) III. La expresión
/. ealar la a2irmación correcta3 lJ
a) I y II d) ólo II
a) ::: d) : O O
II. $# (# " l+
III. ! # " y ,! NI " $ b) I y I: e) I, III y I:
I:. # $# ?! y ?" GG c) ólo III
a) d) !
" y II. !
b) / e)
c) "
/0 es irracional. .............. (
b) :O : e) O::
)
c) O :
/D.7l Crea de un c5rculo es un número3 a) natural c) racional e) todas las anteriores
b) entero d) irracional
".i el lado de un cuadrado es ! , entonces su Crea es3
/$. A*uCntas de las a2irmaciones son correctas@ I. ,! N III. !, y ?$
)
II. 7l producto de dos números irracionales puede
a) racional e irracional b) decimal c) irracional d) natural y entero e) real y decimal
c) O:::
/;.Indicar verdadero (:) o 2also (O), según corresponda3
e) # $ y ?0 son números naturales.
I. !
b) O : O : e) ::::
" N y lJ
a) irracional c) racional y entera e) natura
b) racional y decimal d) entera
