01. Aula 01_8.1

EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – AULA 01 8.1 Considere um escoamen coamentto incompre ncompress ssível ível em um du duto circul circulaar. Deduz eduzaa expressõe essõess voluumétri métricca e diâ geraais pa ger parra o númer número de Reynol eynoldds em termos de (a) (a) vaz vazãão vol iâm metr troo do tubo (b) va vazão zão má mássica e di diâmet etrro do tubo. O número número de Reynol eynoldds é 1800 em uma seção on onde o diâ iâm met etrro do tub tuboo é 10 mm. mm. Encont Encontrre o número de Reynold eynoldss para a mesma vazão em uma seção ond onde o diâmetr diâmetro do tu tubo é 6 mm. mm.

RESOLUÇÃO EX. 8.1  D 2V

4Q Substit Substituindo uindo na Eq. De Reynolds: 2 4 D  D  D  4Q  4  Q 4Q Re  V    2     D   D  Dv Dv *  D 2V 4m b) m   AV   Substit Substituindo uindo na Eq. De Reynolds:  V  2 4    D

a) Q  AV 

Re 

 D 

V 

 V 

 D 

4m  4m   2     D   D

c) Encontrar a Eq. da vazão em função de Reynolds pela Eq. da letra (a): Q  Como tem a mesma vazão, iguala para os casos.

Re1 . D . 1 .v1 Re 2 . D . 2 .v2  Como é o mesmo fluido, v1  v2 , logo: 4 4

Re 1 D1  Re 2 D2  (1800 )(10 )  Re 2 (6)  Re 2  3000

Re . . D.v 4

RESOLUÇÃO EX. 8.1  D 2V

4Q Substit Substituindo uindo na Eq. De Reynolds: 2 4 D  D  D  4Q  4  Q 4Q Re  V    2     D   D  Dv Dv *  D 2V 4m b) m   AV   Substit Substituindo uindo na Eq. De Reynolds:  V  2 4    D

a) Q  AV 

Re 

 D 

V 

 V 

 D 

4m  4m   2     D   D

c) Encontrar a Eq. da vazão em função de Reynolds pela Eq. da letra (a): Q  Como tem a mesma vazão, iguala para os casos.

Re1 . D . 1 .v1 Re 2 . D . 2 .v2  Como é o mesmo fluido, v1  v2 , logo: 4 4

Re 1 D1  Re 2 D2  (1800 )(10 )  Re 2 (6)  Re 2  3000

Re . . D.v 4

EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – AULA 01 8.2 Ar padrã padrão en e ntra em um dut dutoo de 0,2 0,25 m de diâ diâmetro metro.. Determ etermiine a vaz azãão em vol vo lum umee na qua qual o esco coaamento to torn rna-s a-see turbulento. turbulento. Par Paraa est estaa vazão vazão,, estime o compr comprimento de entr entrada nece ecesssá sário rio par para estabelec estabelecer esc escoamento oamento completa completamente des desen envo vollvido ido.. Dados: v  1,46 x10 5 , Re crit  2300 .

RESOLUÇÃO EX. 8.2 a) Q = ? 

Re . D . .v (2300 ) (0,25 )(1,46 x10 5 ) Q   0,00659 m³ / s  0,3956 m³ / min 4 4 b) Ltur (min)  25 D  25 (0,25 )  6,25 m

Ltur (max)  40 D  40 (0,25 )  10 ,0m comprimento de entrada ficará entre estes 2 valores.

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS •

EXERCÍCIO

8.6 O perfil de velocidade para escoamento completamente desenvolvido entre placas planas paralelas estacionadas é dado por u  a(h ² / 4  y ²) , onde a é uma constante, h é o espaçamento entre as placas e y é a distância medida a partir da linha de centro da folga. Desenvolva a razão V / u max .


RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1) Encontrar

du dy

du du d   h 2 2      2ay   a y      dy dy dy   4  Para se ter u m ax , a primeira derivada

du dy

tem de ser igual a zero. Logo:

du  2ay  0  y  0 dy Isto é, u m ax quando y = 0, logo, substitui-se o valor de y = 0 na Eq dada na questão: u  a(h² / 4  y ²)

u m ax  a(h² / 4  0²)  u max  a(h² / 4)


RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2) Velocidade Média (

V  Q / A

)

A  h.l  h(1)  dA  dy.l  dy (1)  dy V 

Q 1 u.dA Substituindo A e dA pelas expressões deduzidas acima, tem-se:  A A 

1 h / 2 V   u.dy Substituindo u pela expressão dada na questão, tem-se: h h / 2  1 h / 2  h 2 V   a  y 2 dy  h h / 2  4 

h / 2

a  h 2 y y 3     h  4 3  h / 2

a  h 2 h h 3   h 3 h 3  a  h 3 h 3   2h 3        V             h  4 2 (8)3   8 24  h  8 24   24 

a  2h 3 2h   h  24 2


RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO ah 2 a  h 3  V     V  6 h  6 

Encontrando a expressão que a questão pedi, tem-se:

V / u max

 ah 2    6   

a (h² / 4)  V / u max

 ah 2  4  2  2      6  ah  3


EXERCÍCIO

8.7 Um fluido incompressível escoa entre duas placas paralelas estacionárias infinitas. O perfil de velocidade é dado por u  u m ax ( Ay ²  By  C ) ), onde A, B e C são constantes e y é a distância medida para cima a partir da placa inferior. O espaçamento entre as placas é h. Use condições de contorno apropriadas para expressar a magnitude e as unidades SI das constantes em termos de h. Desenvolva uma expressão para a vazão em volume por unidade de profundidade e avalie a razão V / u max .


RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1) Condições de contorno: y = 0  u = 0 I) y = h  u = 0 II) y = h/2  u  u max III)

2) Substituindo a condição de contorno (I) na eq. dada na questão:

0  u m ax ( A(0)²  B (0)  C )  C = 0 3) Substituindo a condição de contorno (II) e depois a condição (III) na Eq. dada na questão, para, através de um sistema, encontrar os valores de A e B, já sabendo que C foi encontrado acima.

0  u max ( A(h)²  B(h)  0)  B(h)   A(h)²  B   Ah u m ax

2   h  2    Bh h h    u max  A   B   0   A    1  Ah 2  2 Bh  4   2   2    4  2 


RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO Ah 2  2( Ah)h  4  Ah 2  2 Ah 2  4   Ah 2  4  A   Voltando para saber o valor de B.

4  4   h  2 h  h 

B   Ah   

Substituindo na Eq. dada na questão, tem-se:

4  4  ² y 2 h  h

u  u max  

 

y

4 h2


RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO b) Vazão em Volume h

h   4 y 3 4 y 2    Q h  4 2 4     u.dy   u max   2 y  y  dy  u max   2  l 0 h   h  h 3 h 2   0 0 

 4 h 3 4 h 2   Q  4 3    0  u max   u max   2    h  2h  l   3   h 3 h 2  

Q Q 2  2h   u max     h.u max l l 3  3 

Q  V A  V .l .h   V h Q a) l Substituindo Q/l visto no item anterior, tem-se:

Q 2 2 V 2  V h  h.u max  V h  V  u max   l 3 3 3 u


EXERCÍCIO 8.8

Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas

estacionárias. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O espaçamento entre as placas é h = 5 mm. A viscosidade do óleo é 0,5 N . s/m 2 e o gradiente de pressão é -1000 N/m2 /m. Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento sobre a placa superior e a vazão em volume através do canal largura


RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO Considerando: a  5mm ,

dp  1000 N / m² / m ,   0,5 N .s / m² dx

A Eq. da Tensão de Cisalhamento, onde a é distância entre as placas, e y é a distância do eixo a placa superior (a=y=h), é dada por: a)

  p   y 1       x   a 2 

 yx  a

Substituindo os valores, tem-se:  5 x10 3 1   yx  5 x10  1000    2,5 N / m² (Está no sentido do escoamento) 3 2  5 x10 3

b) A vazão em volume, conforme visto em aula, é dada por:

Q 1 Q 1   p  3  1000 (5 x10 3 ) 3  20 ,8 x10 6 m³ / s / m   a    12    x  12 (0 5) l l


EXERCÍCIO

8.9 Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas. escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O gradiente de pressão é -8 lbf/ft2 /ft e meia-altura do canal é h = 0,06 in. Determine a magnitude da tensão de cisalhamento n superfície da placa superior. Determine a vazão em volume através do canal   0,01lbf .s / ft ² ).

12 ft Para transformar as unidades: in  


RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO

12 ft Para transformar as unidades: in   a) 0,5   p   y 1  0,12  (8)  0,5   0,037 lbf / ft ²  yx  a         x   a 2  12  12 

b) 3

1 0,12 Q  8    6,67 x10 5 ft ² / s  l 12(0,01)  12 

ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – PLACA SUPERIOR MOVENDO-SE COM VELOCIDADE U •

EXERCÍCIO: 8.11 Óleo está confinado em um cilindro de 100 mm de diâmetro por um pistão que possui uma folga radial de 0,025 mm e um comprimento de 50 mm. Uma força constante de 20 kN é aplicada ao pistão. Use as propriedades do óleo SAE 30 a 50°C. Estime a taxa à qual o óleo vaza pelo pistão. Dado:   5,9 x10 2 N .s / m ²


RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO: Primeiramente, vamos encontrar a variação de pressão através da equação:

F 4 F 4(20 x103 ) 80.000 P      2.546.473Pa  2,55 MPa 2 2 A  D 0,031416  (0,1) Agora, vamos encontrar a vazão através da equação: Q l



3 a  p

12  L

, onde a é a folga, L é o comprimento, l é o comprimento do arco (

l  2 R   D ) Q (0,025 x10 3 ) 3 (2546473)(0,1)(3,1416) 7   3 , 53 10 x m³ / s 2 3 l 12(5,9 x10 )(50 x10 )


EXERCÍCIO:

8.12 Um macaco hidráulico suporta uma carga de 9000 kg. Os seguintes dados estão disponíveis: Diâmetro do pistão 100 mm Folga radial entre o pistão e o cilindro 0,05 mm Comprimento do pistão 120 mm Estime a taxa de vazamento de fluido hidráulico pelo pistão, admitindo que o fluido é óleo SAE 30 a 30°C. Dados:   3,0 x10 1 N .s / m²


RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO: Primeiro, vamos calcular o peso do pistão e depois encontrar a diferença de pressão. P 

F W 4W 4(9000 )(9,81)     11 .241 .405 ,65 Pa  11,2 MPa 2 2 A A  D  (0,1)

Q a 3  p.l a 3  p. D . (0,05 x10 3 ) 3 (11.241.405.65)(3,1416)(0,1) 6 1 , 01 10     x 12 L l 12 L 12(3 x10 1 )(0,12)


EXERCÍCIO:

8.13 Uma alta pressão em um sistema é criada por um pequeno conjunto pistão-cilindro. O diâmetro do pistão é 6 mm e ele penetra 50 mm no cilindro. A folga radial entre o pistão e o cilindro é 0,002 mm. Despreze deformações elásticas do pistão e do cilindro causadas pela pressão. Considere que as propriedades do fluido são aquelas do óleo SAE l0W a 35°C. Estime a taxa de vazamento para uma são pressão no cilindro de 600 MPa.


RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:

Q a 3  p. D . (0,002 x10 3 ) 3 (600 x106 )(3,1416)(6,0 x10 3 ) 9 x m³ / s    3 , 97 10 2 3 l 12 L 12(3,8 x10 )(50 x10 )

ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM UM TUBO

EXEMPLO 01:

Um óleo que apresenta viscosidade dinâmica  = 0,40 N.s/m² e massa específica  = 900 kg/m³ escoa num duto com diâmetro D = 20 mm. (a) Qual é a queda de pressão, p1  p 2 , necessária para produzir uma vazão de Q = 2,0 x10 5 m³/s se o duto for horizontal com x1  o e x 2  10 m ?



DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •

EXERCÍCIOS

8.19 Um mancal de deslizamento selado é formado por cilindros concêntricos. Os raios interno e externo são 25 e 26 mm, respectivamente, o comprimento do cilindro interno é 100 mm e ele gira a 2800 rpm. A folga radial é preenchida com óleo em movimento laminar. O perfil de velocidade é linear através da folga. O torque necessário para girar o cilindro interno é 0,2 N.m. Calcule a viscosidade do óleo. O torque aumentará ou diminuirá com o tempo? Por quê?


RESOLUÇÃO:

O fluido está entre 2 cilindros e o de dentro está girando, então a área de contato do cilindro com o fluido é a superfície do cilindro 2. E para calcular é como se abrisse o cilindro, ficando A  2 rh . A folga é dada pela diferença entre os raios a  r  r 0  r i Torque = Força x Raio (como é o cilindro interno, é a força vezes o raio interno.   p  A questão diz que o perfil de velocidade é linear, logo    0 , porque é um sistema   x   r i du U girando em cima de outro, não tem perturbação, com isso,  yx       dy r r

Como já dito: T  F .r , mas F   . A (força é tensão de cisalhamento vezes a área), logo:  r  r T  F .r   A.r   i A.r   i 2 r i l.r i  r r (2800 )(0,025 )  2  0,2   2 (0,025 )(0,1)(0,025 )     0,0695 N .s / m² (0,001 )  60  2 f  Lembrando que: , onde f é dado em rpm


EXERCÍCIO:

8.20 Considere o escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas espaçadas de d = 0,35 in. A placa superior move para a direita com velocidade U 2 = 2 ft/s; a placa inferior move para a esquerda com velocidade U 1 = 1 ft/s. O gradiente de pressão no sentido do escoamento é zero. Desenvolva uma expressão para a distribuição de velocidade na folga. Determine a vazão em volume que passa por uma dada seção, por unidade de profundidade.


RESOLUÇÃO: Como a questão diz que “o

gradiente de pressão no sentido do escoamento é zero ”, então

  p   0.   x 

d    p   0 Fazendo o balanço de massa: dy   x  d  du  d 2 u     0 , assim:  2  0 dy  dy  dy

logo

d 2 u d  du  Como 2  0     0  Chamando de uma função dy  dy  dy logo  é uma constante (   cons tan te  C 1 ) Mas  

du du  C 1   C 1 , integrando: du  C 1 dy  dy dy

u  C 1 y  C 2

(a)

d  d 2 u  0,  2  0 , pois dy dy

 ,

du dy

  , assim

d  dy

0,


RESOLUÇÃO: As condições de contorno são: (I) y = 0  u  U 1 (II) y = d  u  U 2 Aplicando estas condições na equação (a) encontrada anteriormente, tem-se:

u  C 1 y  C 2   U 1  C 1 (0)  C 2   U 1  C 2 U  U 1 u  C 1 y  C 2  U 2  C 1 (d )  U 1  C 1  2 d  U  U 1  Assim, a expressão geral ficará: u   2  y  U 1 d   y y Substituindo pelos valores: u  2  1  1  3  1 d d

(Esta é uma expressão para a

distribuição de velocidade) A vazão em volume é dada por: d

d  U 2  U 1  y 2   U 2  U 1   Q d   u.dy     U 1 y   y  U 1  dy    l 0 d    d  2 0 0 

Q l Q l

U U U U  U 2  U 1  d 2  U  U 1     U 1d   2 d  U 1d  2 d  1 d  U 1d  2 d  1 d 2 2 2 2  d  2  2  1  U  U 1   2  1   2 d   (0,35)  0,0146 ft ³ / s / ft 12  2   2 


EXERCÍCIOS:

8.21 Dois fluidos imiscíveis estão contidos entre placas paralelas infinitas. As placas

estão separadas pela distância 2h, e as duas camadas de fluidos têm espessuras iguais, h; a viscosidade dinâmica do fluido superior é três vezes aquela do fluido inferior. Se a placa inferior é estacionária e a placa superior move com velocidade constante V = 5 m/s, qual é a velocidade na interface? Admita escoamentos laminares e o gradiente de pressão na direção do escoamento como zero.


RESOLUÇÃO:

d    p   p  Pela questão:      0,    0 ,  1  3 2 , x dy      x  d  du  d 2 u     0 , assim:  2  0 dy  dy  dy

logo

d  du  d 2 u Como 2  0     0  Chamando de uma função dy  dy  dy logo  é uma constante (   cons tan te  C 1 ) Mas  

d  d 2 u  0,  2  0 , pois dy dy

 ,

du1 du  C 1  1  C 1 , integrando: du1  C 1 dy  dy dy

u1  C 1 y  C 2

(a)

E para a interfase tem-se:

u  C y  C

(b)

du 2  C 2 , integrando du 2  C 3 dy  dy

du dy

  , assim

d  dy

0,


RESOLUÇÃO:

As três condições de contorno são: (I) y = 0  u1  0 (II) y = h  u1  u 2 (III) y = 2h  u 2  U (IV)

pela condição da interfase:  1   2   1   2   1

que no inicio chamou-se

du1 dy

substituição aqui, tornando:  1C 1

 C 1 e

du 2  C 3 , dy

du1 du   2 2 . Observe dy dy

então podemos fazer esta

  2 C 3

Usando a C.C. (I) tem-se:

u1  C 1 y  C 2  0  C 1 (0)  C 2  0  C 2 Usando a C.C. (II)

u1  u 2 e y = h  C 1 y  C 2  C 3 y  C 4  como

0  C 2  C 1 h  C 3 h  C 4


RESOLUÇÃO: Usando a C.C. (II)

u1  u 2 e y = h  C 1 y  C 2  C 3 y  C 4

 como 0  C 2  C 1 h  C 3 h  C 4

Usando a C.C. (III)

u 2  U e y = 2h  C 3 y  C 4  U  C 3 (2h)  C 4  U

Usando a C.C. da interfase:  1C 1   2 C 3 , e substituindo  1 e  2 pelas suas respectivas expressões. C 1 h  U  C 3 h e  1C 1   2 C 3  C 1 h  U  C 3 h  

 1  2

h.C 1  C 1 

U 

h1  

Para o fluido 1:  1 

 int erfase 

U    h1  1  y   2 

U    h1  1  y   2 



fazendo y = h, onde  1   int erfase

5  1  1    3 

 3,75m / s

 1 

  2 


EXERCÍCIOS:

8.22 Água a 60°C escoa para a direita entre duas grandes placas planas. A placa inferior move para a esquerda com velocidade de 0,3 m/s; a placa superior está parada. O espaçamento entre as placas é 3 mm e o escoamento é laminar. Determine o gradiente de pressão necessário para produzir vazão resultante zero em uma seção transversal. Dados:   4,63 x10 4 N .s / m²


RESOLUÇÃO:

du  p du d    p   p      yx  y  C 1   yx      y  C 1  dy   x  dy  x dy  x  p y 2  U   C 1 y  C 2   x 2  p y 2  C 1 y  C 2 u  x 2 

(a)

As C.C. são: (I) y = 0    U (II) y = h    0 Substituindo na Eq. (a), encontra-se o valor de:  p (0) 2  U   C 1 (0)  C 2   U  C 2  x 2  p h 2  p h 2 U 1   p  0  C 1 h  U  C 1 h  U   C 1    h  x 2   x 2 h 2    x 


RESOLUÇÃO:

Logo, substituindo os valores de C 1 e C 2 na equação original, tem-se: 1   p  2 U 1   p   u   y     h y  U 2   x   h 2   x   Arrumando: 1   p  2  y  u   y  hy   U   1 2   x   h  Encontrar a Eq. da vazão:  1   p  1   p  3 Uh Q d  y    u.dy     ( y 2  hy)  U   1 dy    h    l 0 x h 2 12 2      x     Determinar o gradiente de pressão quando Q = 0.

0

12  Uh 6 U Uh 1   p  3 Uh 1   p  3   p        h   h   12    x  2 12    x  2 h2 2h 3   x 

Substituindo os valores, tem-se:

6 U 6(0,3)(4,63 x10 4 )   p   92,6 N / m² / m   2  3 2 h (3 x10 )   x 

PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •

EXERCÍCIOS

8.25 A cabeça de leitura/gravação do disco rígido de um computador flutua acima do disco giratório sobre uma delgada camada de ar (a espessura do filme de ar é 0,5 (micrometro)  m ). A cabeça está a 150 mm da linha de centro do disco; o disco gira a 3600 rpm. A cabeça de leitura/gravação é quadrada, com 10 mm de lado. Para ar padrão no espaço entre a cabeça e o disco, determine (a) o número de Reynolds do escoamento, (b) a tensão de cisalhamento viscoso e (c) a potência requerida para superar o cisalhamento viscoso. Dados:   1,79 x10 5 N .s / m² , v  1,46 x10 5


RESOLUÇÃO:

 2  (0,15 )  56 ,55 m / s  60 

V   R  (3600 )

a) Re 

 VD 

como é para calcular no espaço D = a, logo: Re 

 Va 



Va v

Va (56 ,55 )(0,5 x10 6 ) Re    1,94 5 v 1,46 x10

56 ,5 du V    1,79 x10 5  2,02 kN / m² 6 dy a 0,5 x10 c) Força   yx A   yxl 2 b)  yx  

.   yxl 2 R Torque(T )  F R Potencia( P)  T    yxl 2 R Assim:

 2    11,4W  60 

Potencia( P )   yx l 2 R  2,02 x10 3 (10 x10 3 ) 2 (0,15 )(3600 )


EXERCÍCIOS

8.32 Uma correia contínua, movendo-se com velocidade U o para cima através de um banho químico, arrasta uma película de líquido de espessura h, massa específica  , e viscosidade  . A gravidade tende a fazer com que o líquido desça, mas o movimento da correia impede que ele retome completamente. Admita que o escoamento é laminar, completamente desenvolvido, com gradiente de pressão zero, e que a atmosfera não produz tensão de cisalhamento na superfície externa da película. Enuncie claramente as condições de contorno a serem satisfeitas pela velocidade em y = O e y = h. Obtenha uma expressão para o perfil de velocidade.


RESOLUÇÃO:

Fazendo o balanço de massa e colocando a força peso. d  d   p  p    g , mas   g , integrando:    gy  C 1 , mas pelo  0 , logo dy dy  x  x du du conceito:    . Igualando as duas expressões, tem-se:    gy  C 1   dy dy Integrando novamente:



du     gy  C 1 dy  u 



Condições de contorno: I) y = 0  u  U 0 II) y = h    0

 g y 2  2



C 1 

y  C 2

(a questão diz que a atmosfera não produz



na superfície

externa)

(0) 2 C 1  (0)  C 2  U 0  C 2 Substituindo a C.C (I), encontra-se: U 0   2   g

Pela C.C (II), como   0 

du dy

 0 , logo pela Eq.    gy  C 1  

operando:  gh  C 1  0  C 1    gh Assim, a Eq, fica: u

 g y 2  2



 gh 

y  U 0

du 0, dy


EXERCÍCIOS

8.34 O perfil de velocidade para escoamento de água completamente desenvolvido entre placas paralelas, com a placa superior em movimento, é dado pela Eq. 8.8. Considere U = 2 mls e a = 2,5 mm. Determine a vazão em volume por unidade de profundidade para gradiente de pressão zero. Avalie a tensão cisalhante sobre a placa inferior e esboce a distribuição de tensão de cisalhamento através do canal. A vazão em volume aumentaria ou diminuiria com um ligeiro gradiente adverso de pressão? Calcule o gradiente de pressão que dará tensão cisalhante zero em y/a = 0,25. Esboce a distribuição de tensão de cisalhamento para este caso. Dados:   1,14 x10 3 N .s / m² ,


RESOLUÇÃO:

1   p  3 Q Ua  p   0  a , como 2 12    x  l  x Q Ua 2(2,5 x10 3 )    2,5 x10 3 m³ / s / m 2 2 l  p U   p   y   1  b)  yx    a 0       como  x a   x   a   2  U 1,14 x10 3 (2)  0,912 N / m ²  yx    a 2,5 x10 3   p    p  c) Se    0 , a vazão diminui ( é adverso porque normalmente   é negativo)   x    x    p   y  d)  yx  0 ,    0,25 ,  ?  x a     U   p  y   1   yx    a       a   x  a   2  2   p   1  3   p      0 , 912 0 , 000625   x  0  (1,14 x10 3 ) 2 , 5 10 0 , 25          x 2 2,5 x10 3   x         p     1459 N / m² / m   x  a)


EXERCÍCIOS

8.51 Considere escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo circular. Use um volume de controle cilíndrico conforme mostrado. Indique as forças que atuam sobre o volume de controle. Usando a equação da quantidade de movimento, desenvolva uma expressão para a distribuição de velocidade.


RESOLUÇÃO:

 F  0 , porém F  Pr essãoxÁrea , e neste caso, a área é dada por A   r 2   p dx  2   p dx  2    r   yx (2 r ) dx  0  p  r  p       x 2   x 2     p dx 2  p dx 2  p 2 p r 2   r  p r 2   r   yx (2 r )dx  0    r dx   yx (2 r )dx  0  x 2  x 2  x  p  p r  r  2 yx  0   yx   x  x 2

du , igualando as duas expressões, temos: dr  p r 2  p r du  p r  C 1 dr , integrando  u     du   x 4    2 x 2  dr x Aplicando a Condição de Contorno: u  0  r  R I)

Mas como   

 p r 2  p R 2  p R 2 u  C 1  0   C 1  C 1    x 4  x 4  x 4   p r 2  p R 2 1 2  p  u (r  R 2 ) u  x 4   x 4 4   x Logo:




EXERCÍCIOS

8.52 Considere escoamento laminar completamente desenvolvido no espaço anular entre dois tubos concêntricos. O tubo externo é estacionário e o tubo interno move na direção x com velocidade V. Considere gradiente axial de pressão zero (  p / x = 0). Obtenha uma expressão geral para a tensão de cisalhamento,  , como uma função do raio, r, em termos de uma constante, C 1 . Obtenha uma expressão geral para o perfil de velocidade, u(r), em termos de duas constantes, C 1 e C 2 . Obtenha expressões para C 1 e C 2 .


RESOLUÇÃO:

 F  0 , porém F  Pr essãoxÁrea ,  dr   dr   dr   dr    r dx  2    2  r  dx  0           r 2   2  r 2   2   dr  dr    dr    dr   2  r 2  dx  2  r 2         dx  0   r 2    2  2     r 2  dr dr  dr  dr dr  dr  dr 2 rdx  2 dx   2 rdx   2 dx  2 rdx  2  2 rdx   2 dx 

2

 2

dr 2

2

2

dr dr  dr  dr 2 rdx   2 dx  2 rdx  0  dx  dr 2 dr 2 2 2

2 drdx   

dr 2



dr



dr

r   

dr 2 rdx  2 drdx  

dr

r  0  2  2

Logo, para a derivada ser zero, Pela lei da viscosidade:   



dr



dr

dr 2

dr 2

dr 2 rdx  0 , cancelando os termos, temos:

r  0   



dr

r  0

r   cte  C 1   

( r )

ou dr

0

C 1 r

C C dr C du du  1    du  1  u  1 ln( r )  C 2 r dr  r  dr


RESOLUÇÃO: Pelas Condições de contorno: I) r  r 1  u  V 0 r  r 0  u  0  II) C C C Logo: V 0  1 ln( r 1 )  C 2 0  1 ln( r 0 )  C 2  C 2   1 ln( r 0 )    e Substituindo, os valores na equação original, tem-se:

V 0 

C 1 

ln(r 1 ) 

C 1 

ln(r 0 ) 

C 1

r  V 0 ln( 1 )  C 1  r r 0  ln( 1 ) r 0

 V 0

Logo:

C 2  

r ln( 1 ) r 0 

Finalmente,

ln( r 0 ) 

u

V 0 ln( r 0 ) ln( r 1 / r 0 )

ln(r / r 0 ) V 0 ln( r  r 1 )  V 0 ln( r 1 / r 0 ) ln( r 1 / r 0 )

CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS •

EXERCÍCIOS: 8.68 Água escoa em um tubo horizontal de área transversal constante; o

diâmetro do tubo é 50 mm e a velocidade média do escoamento é 1,5 m/s. Na entrada do tubo, a pressão manométrica é 588 kPa e a saída é à pressão atmosférica. Determine a perda de carga no tubo. Se o tubo estiver alinhado agora de modo que a saída fique 25 m acima da entrada, qual será a pressão na entrada necessária para manter a mesma vazão? Se o tubo estiver alinhado agora de modo que a saída fique 25 m abaixo da entrada, qual será a pressão necessária na entrada para manter a mesma vazão? Finalmente, quão mais baixa deve estar a saída do tubo em relação à entrada para que a mesma vazão seja mantida, se ambas as extremidades estão à pressão atmosférica (i.e., campo gravitacional)?

CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:

•



A Eq. de Bernoulli usa pressão manométrica ou relativa, sem a pressão atmosférica. J 9,81     m  J  N .m  Kg 1) E 1  E 2  h f , onde V 1  V 2

e

P2  0

V 12 P2 V 22 588 x10 3   z1    z 2  h f   h f  h f  59 ,94 m  2 g  2 g 9810 P 2) 1  25  59 ,94  84 ,94  P1  84,94 (9810 )  833250 Pa

P1



3)

P1 

 25  59 ,94  34 ,94  P1  34 ,94 (9810 )  342761 Pa

4) P1  P2  0 e V 1  V 2 P1 V 12 P2 V 22   z1    z 2  h f  z1  h f  z1  59 ,94 m  2 g  2 g A saída deve está a 60m abaixo no numero 1.


EXERCÍCIOS: 8.69 Medidas foram feitas para a configuração de escoamento mostrada na

Fig. 8.11. Na entrada, seção (1), a pressão é 10,2 psig, a velocidade média é 5,5 ft/s, e a elevação é 7,5 ft. Na saída, seção (2), a pressão, a velocidade média e a elevação são, respectivamente, 6,5 psig, 11,2 ft/s e 10,5 ft. Calcule a perda de carga em ft, Converta para unidades de energia por unidade de massa. Transformar as unidades: P1  10 ,2 Psig  70329 Pa P2  6,5Psig  44817 ,5Pa V 1  5,5 ft / s  1,6764 m / s z1  7,5 ft  2,286 m V 2  11,2 ft / s  3,4138 m / s z 2  10 ,5 ft  3,2m


RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:

V 12 P2 V 22   z1    z 2  h f   2 g  2 g 70329 (1,6764 ) 2 44817 ,5 (3,4138 ) 2   2,286    3,2  h f  9810 2(9,81) 9810 2(9,81) 7,169  0,143  2,286  4,5686  0,594  3,2  h f  9,59  8,363  h f  h f  1,236 m Ou h f  1,236 (3,281 )  4,054 ft Por unidade de massa: h f  32 ,2( 4,054 )  130 ft / s ² P1


EXERCÍCIOS:

8.71

Considere o escoamento no tubo do reservatório no sistema do Problema-

Exemplo 8.5. Em uma condição de escoamento, a perda de carga é 2,85 m a uma vazão volumétrica de 0,0067 m³/s. Determine a profundidade do reservatório requerida para manter esta vazão.



P1  P2 , z 2  0 , V 1  0

Q 0,0067 (4)   1,517 m / s 2 A  (0,075 ) V 22 (1,517 ) 2  h f  z1   2,85  2,97 m z1  2g 2(9,81) V 2 


EXERCÍCIOS:

8.72 Considere o escoamento no tubo do reservatório no sistema do ProblemaExemplo 8.5. Em uma condição de escoamento, a perda de carga é 1,75 m e a profundidade do reservatório é 3,60 m. Calcule a vazão volumétrica do reservatório.



z1 

V 22 2g

 h f  3,60 

V 22 2(9,81)

 1,75 

V 22 2(9,81)

   Q  VA  6,02  (0,075 ) 2  0,0266 m³ / s  4  

 36 ,297  V 2  6,02 m / s


EXERCÍCIOS: 8.73 A velocidade média de escoamento em um trecho de diâmetro constante da tubulação do Alasca é 8,27 ft/s. Na entrada, a pressão é 1200 psig e a elevação é 150 ft; na saída, a pressão é 50 psig e a elevação é 375 ft. Calcule a perda de carga nesse trecho da tubulação. Dados:   8829 N / m³

ransformar as unidades: P1  1200 Psig  82740000 Pa P2  50 Psig  344750 Pa V 1  8,7 ft / s  2,6518 m / s z1  150 ft  45,72 m V 1  V 2

z 2  375 ft  114 ,3m



V 12 P2 V 22 8274000 344750   z1    z 2  h f   45,72   114,3  h f   2 g  2 g 8829 8829 937 ,14  45,72  39 ,05  114 ,3  h f  982 ,86  153 ,35  h f  h f  829 ,5m h f  2721 ft P1

o


EXERCÍCIOS: 8.74 Na entrada de um trecho de diâmetro constante da tubulação do Alasca, a pressão é 8,5 MPa e a elevação é 45 m; na saída, a elevação é de 115 m. A perda de carga nessa seção da tubulação é 6,9 kJ/kg. Calcule a pressão na saída. Dados:   8829 N / m³ .



6,9 x10 3 h f  6,9kJ / kg   703 ,36 m 9,81 P1 V 12 P2 V 22 P 8,5 x10 6   z1    z 2  h f   4,5  2  115  703 ,36   2 g  2 g 8829 8829 P 1007,74  2  818,36  P2  1672001 Pa 8829

CÁLCULO DE PERDA DE CARGA EXERCÍCIOS:

8.76 Água escoa a 3 gpm através de uma mangueira de jardim horizontal com diâmetro de 85 de polegada. A queda de pressão ao longo de 50 ft de mangueira é 12,3 psi. Calcule a perda de carga.

Transformar as unidades Q  3gpm  3(6,309 x10 5 )  0,00018927 m ³ / s D  58 in  85 (2,54 x10 2 )  0,015875 m l  50 ft  50(0,3048)  15,24m P1  12 ,3Psi  12 ,3(6,895 x10 3 )  84808 ,5 Pa P2  Patm , z1  z 2 , V 1  V 2

CÁLCULO DE PERDA DE CARGA RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:

V 12 P2 V 22   z1    z 2  h f   2 g  2 g h f  28,36 ft P1

P1 

 h f 

h f 

84808,5  8,64m 9810

ou


8.80 Um tubo liso horizontal, de 75 mm de diâmetro, transporta água (65°C). Quando a vazão é 0,075 kg/s, a queda de pressão medida é 7,5 kPa por 100 m de tubo. Baseado nestas medidas, qual é o fator de atrito? Qual é o número de Reynolds? Este número de Reynolds normalmente indica escoamento turbulento ou laminar? Afinal, o escoamento é realmente turbulento ou laminar? Dados:   999kg / m³ ,   4 x10 4 N .s / m ²


0,075 Q  Q1  Q2  AV  Q    7,51 x10 5 999  Q Q 7,51 x10 5 2 V    2   x m / s 1 , 7 10  3 2 A 4 D 4 (75 x10 ) P1 V 12 P2 V 22 P  P2   z1    z 2  h f  como z1  z 2 , V 1  V 2  h f  1   2 g  2 g  m

E sabe-se que h f

f

L V 2 D 2 g



 f

P1  P2 

L V 2 D 2 g

 f 

, então igualando as duas expressões, tem-se:

P1  P2 2 Dg 2

 LV

 f 

P1  P2 2 D  LV 2

(2)(7,5)(75 x10 3 )  0,039 f  2 2 (999)(100)(1,7 x10 )    VD (999 )(1,7 x10 2 )(75 x10 3 )   3184 Re  4  4 x10 O número de Reynolds indica que o escoamento é turbulento.



P.2 D  LV 2


8.84 Água escoa através de um tubo de 25 mm de diâmetro que subitamente alarga-se para um diâmetro de 50 mm. A vazão através do alargamento é 1,25 l/s . Calcule o aumento de pressão através do alargamento. Compare com o valor para escoamento sem atrito.


D1  25 mm , D2  50 mm , Q  1,25l / s , Q1  Q2  Q V 1 A1  V 2 A2  V 1 2 1

P1



4

(25) 2  V 2



4

(50) 2  V 1  4V 2  V 2  0,25V 1

2 2

V P2 V V 12 (alargamento), sendo   z1    z 2  h f  como z1  z 2 e h f  k 2g  2 g  2 g A1 1 1,25 x10 3 Q    2,55m / s , e deixando as  k  0,56 (pela tabela). E V 1  A2 4 A1  4 (25 x10 3 ) 2 velocidades em função de V 1 , tem-se:

P1 V 12 P2 (0,25V 1 ) 2 V 12 V 12 P2 V 22 V 12  z1    z 2  k   z1    z 2  k    2 g  2 g 2g 2g 2g  2 g  P P P1 P2 (2,55 ) 2 (0,0625 )(2,55 ) 2 (2,55 ) 2     (0,56 )  1 2  0,125  9810 2g 9810 2g 2g 9810 P1  P2  1227 Pa ou P2  P1  1227 Pa

P1

Sem atrito:

h f  0

P1  P2 (0,0625 )(2,55 ) 2 (2,55 ) 2         2 g  2g 9810 2g 2g P1  P2  3048 Pa  P2  P1  3048 Pa P1

V 12

Patrito

P2

1227

(0,25V 1 ) 2

0 4 40%


8.86 Água escoa através de um tubo de 50 mm de diâmetro que subitamente contrai-se para 25 mm. A queda de pressão através da contração é 3,4 kPa. Determine a vazão em volume.


D1  50 mm , D2  25 mm , A1 



4

(50 x10 3 ) 2  0,001964 , A2 

V 1 A1  V 2 A2  V 1 P1 



V 12 2g

 z1 

P2 



4 

(50) 2  V 2 V 22 2g



4

 z 2  k



4

(25 x10 3 ) 2  0,00049,

A2

 0,25  k  0,4

A1

(25) 2  V 1  0,25V 2  V 2  4V 1

V 22 2g



P1  P2 

2



V 2

2g

2



0,4V 2 2g

2



V 1

2g



1,4V 22 0,0625 V 22 3,4 x10 3 V 22 0,4V 22 (0,25 ) 2 V 22      0,35   9810 2g 2g 2g 2g 2g 1,3375 V 22  0,35(2)(9,81)  V 2  2,27 m / s   

Q  VA  2,27  (25 x10 3 ) 2  1,11 x10 3 m³ / s  4 

MEDIDORES DE VAZÃO •

EXERCÍCIOS

8.158 Água a 150°F escoa através de um orifício com diâmetro de 3 in instalado em um tubo de 6 in de diâmetro interno. A vazão é 300 gpm. Determine a diferença de pressão entre as tomadas de canto. Dados: v  4,357 x 10 7   1000 

, OBS:: A Placa de orifício tem o seu valor de K retirado de um gráfico que é função do número de Reynolds e da OBS razão entre os diâmetros.

Transformando Transformando Unidades: D2  3in  3(0,0254 )  0,0762 m Dtubo (1)  6in  6(0,0254 )  0,1524 m

Q  300 gpm  300 (6,309 x10 5 )  0,01893 m³ / s  kA 2 (P)

MEDIDORES DE VAZÃO VAZÃO •

RESOLUÇÃO RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 8.158 V 1 

Q A



4(0,01893 )  (0,1524 )

2

 1,04 m / s

VD1 1,04 (0,1524 )   3,63 x10 5 7 v 4,357 x10 D 0,07 0722   2   0,47 4722 D1 0,1524

Re 1 

Pelo gráfico da figura 8.20: k = 0,624 Substituindo na equação: Vazão em massa:

m real   Q

Igualando:

 Q  kA2

2 (P)   Q  k A

P 

2

2

2

2 2

2  (P)  P 

(1000)(0,01893) 2

   (0,0762) 2  4 

2(0,624) 2 

2

 22.125Pa

 2Q 2 2

2 2



 Q 2

k A 2  2k 2 A22


EXERCÍCIO:

Um medidor venturi, com 75 mm de diâmetro na garganta, é instalado 8.161 em uma linha de 150 mm de diâmetro que transporta água a 25°C. A queda de pressão entre a tomada de montante e a garganta do venturi é 300 mm de mercúrio. Calcule a vazão. Assumindo C = 0,99, 0,99, SG = 13,6, 13,6, g = 9,81,  H 2O =1000

MEDIDORES DE VAZÃO •

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 8.158

P   h  h.SG.g.  H 2O  300 x10 3 (13,6)(9,81)(1000 )  40000 Pa

A2 



(0,075) 2  0,0044m²

4 D2 75     0,5 D1 150 0,99 C k    1,02 4 4 1   1  (0,5) m real  kA2 2 (P)  m real  (1,02)(0,0044) 2(1000)(40000)  40,14 Q

 real m 



40,14 1000

 0,04014 m³ / s


EXERCÍCIO: 8.163 Considere um venturi horizontal de 2 x 1 in, com escoamento de água. Para um diferencial de pressão de 20 psi, calcule a vazão em volume. ssumindo C = 0,99

Transformando Unidades: D2  1in  1(0,0254 ) 

D1 

0,0254 m

2in  2(0,0254 )  0,0508 m P 

Psi 20 Psi



20 (6,895 x 10 3 )

 137900 Pa


RESOLUÇÃO RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 8.163: D2 0,0254   0,5 D1 0,0508 0,99 C   1,02 k  4 4 1   1  (0,5)

 

A2 



Q

 real m

(0,0254) 2  0,000507m²

4 m real  kA2 2 (P)  1,02(0,000507) 2(999)(137900)  8,584m³ / s 



8,584 1000

 0,00859 m ³ / s

EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – 10.3 •

10.3 As dimensões do rotor de uma bomba centrífuga são

•

•

A bomba é acionada a 1250 rpm enquanto bombeia água. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica de alimentação alimentação da bomba, se a vazão é 0,10 m³/s.

F RMULAS

Q U i  r i  2 r i bi V 1 H  (V t 2U 2  V t 1U 1 ) V rbi  ni g sen  i   (V U  V U )m   QH W

V ti  U i  V ni (cot g i )

sen  i 

V ni V rbi

V ni 

RESOLUÇÃO – EX. 10.3   1250.

2  130,9rad / s 60

SAÍDA Entrada

V t 1  U 1  V n1 (cot g 1 ) 0,1 Q   5,305m / s V n1  2 r 1b1 2 (0,075)(0,04) U 1  r 1  (130,9)(0,075)  9,82m / s V sen  1  n1 V rb1 V 5,305 V rb1  n1   6,12m / s sen  1 sen60 0 V t 1  9,82  5,305(cot g 60 0 )  6,75m / s

V t 2  U 2  V n 2 (cot g 2 ) Q 0,1 V n 2    2,12m / s 2 r 2 b2 2 (0,25)(0,03) U 2  r 2  (130,9)(0,25)  32,73m / s V sen  2  n 2 V rb 2 V 2,12 V rb 2  n 2   2,26m / s 0 sen  2 sen70 V t 2  32,73  2,12(cot g 70 0 )  31,95m / s

1 1 (V t 2U 2  V t 1U 1 )  [(32,75)(31,95)  (9,82)(6,75)]  99,9m 9,81 g   (V U  V U )m  [(32,75)(31,95)  (9,82)(6,75)](0,10)(999)  97,9 KW W m t 2 2 t 1 1

H 

EXERCÍCIO – 10.5 •

•

10.5 As dimensões do rotor de uma bomba centrífuga são

A bomba é acionada a 575 rpm e o fluido é água. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica de alimentação da bomba se a vazão é 5,00 m³/s.

Q U i  r i  2 r i bi V 1 H  (V t 2U 2  V t 1U 1 ) V rbi  ni g sen  i   (V U  V U )m   QH W m t 2 2 t 1 1

V ti  U i  V ni (cot g i ) sen  i 

V ni V rbi

V ni 

RESOLUÇÃO – EX. 10.5   575.

2  60,21rad / s 60

ENTRADA

V t 1  U 1  V n1 (cot g 1 ) Q 5 V n1    16,58m / s 2 r 1b1 2 (0,4)(0,12) U 1  r 1  (0,4)(60,21)  24,09m / s V sen  1  n1 V rb1 V 16,58 V rb1  n1   25,79m / s sen  1 sen 40 0 V t 1  24,09  16,58(cot g 40 0 )  4,33m / s

H 

SA DA

V t 2  U 2  V n 2 (cot g 2 ) 5 Q V n 2    8,29m / s 2 r 2 b2 2 (1,2)(0,08) U 2  r 2  (1,2)(60,21)  72,25m / s V sen  2  n 2 V rb 2 V 8,29 V rb 2  n 2   9,57m / s sen  2 sen60 0 V t 2  72,25  8,29(cot g 60 0 )  67,47m / s

1 1 (V t 2U 2  V t 1U 1 )  [(72,25)(67,47)  (24,09)(4,33)]  486,3m g 9,81    QH  (9810)(5)(486,3)  23,85 MW W m


10.8 Para o rotor do Problema 10.3, determine a velocidade de rotação para a qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero se a vazão volumétrica for 0,25 m³/s. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica teórica de entrada na bomba.   ?

SEÇÃO (1)

SEÇÃO (2)

r(mm)

75

250

b(mm)

40

30



60

70



V ni V rbi

V ni 

RESOLUÇÃO – EX. 10.8 Entrada

V t 1  0 V t 1  U 1  V rb1 (cos  1 ) 0,25 Q V n1    13,263m / s 2 r 1b1 2 (0,075)(0,04) V 13,263  15,31m / s V rb1  n1  0 sen  1 sen60 U 1  r 1 V t 1  r 1  V rb1 (cos  1 )  0 r 1  V rb1 (cos  1 ) V (cos  1 ) 15,31(cos 60)   rb1   102rad / s r 1 0,075

SAÍDA

U 2  r 2  (102)(0,25)  25,52m / s Q 0,25 V n 2    5,305m / s 2 r 2 b2 2 (0,25)(0,03) V 5,305 V rb 2  n 2   5,65m / s 0 sen  2 sen70 V t 2  25,52  5,65(cos 70 0 )  23,6m / s

1 1 H  (V t 2U 2  V t 1U 1 )  [(25,52)(23,6)  0]  61,38m 9,81 g    QH  9810(0,25)(61,38)  150KW W m


10.8 Para o rotor do Problema 10.3, determine a velocidade de rotação para a qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero se a vazão volumétrica for 0,25 m³/s. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica teórica de entrada na bomba.   ?

SEÇÃO (1)

SEÇÃO (2)

r(mm)

75

250

b(mm)

40

30



60

70



V ni V rbi

V ni 

RESOLUÇÃO – EX. 10.9 Entrada

V t 1  0

SA DA

2 U 2  r 2  (78,54)(0,5)  39,27m / s  78,54rad / s 1,62 Q 60 V n 2    17,19m / s U 1  r 1  78,54(0,175)  13,74m / s 2 r 2 b2 2 (0,5)(0,03) V t 1  U 1  V rb1 (cos  1 )  0 V 17,19 V rb 2  n 2   18,29m / s 0 sen  2 sen70 U 1 13,74   32 , 52 / V rb1  m s V t 2  39,27  18,29(cos 70 0 )  33m / s cos  1 sen65 0 V n1  V rb1 sen 1  (32,52)( sen65 0 )  29,48m / s Q  V n1 .2. .r 1 .b1  (29,48)(2 )(0,175)(0,05)  1,62m³ / s   750

H 

1 1 (V t 2U 2  V t 1U 1 )  [(39,27)(33)  0]  132,16m g 9,81    QH  9810(1,62)(132,16)  2,1 MW W m


10.10 Para o rotor do Problema 10.5, determine o ângulo de entrada da pá para o qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero se a vazão volumétrica for 8 m³/s. Calcule a altura de carga teórica e a potência 2 mecânica teórica de entrada.  60,21rad / s   575. 60

SEÇÃO (1)

SEÇÃO (2)

r(mm)

400

1200

b(mm)

120

80



?

60



V ni V rbi

V ni 

RESOLUÇÃO – EX. 10.10   575.

ENTRADA

2  60,21rad / s 60

V t 1  U 1  V n1 (cot g 1 )  0 Q 8 V n1    26,53m / s 2 r 1b1 2 (0,4)(0,12) U 1  r 1  (0,4)(60,21)  24,09m / s U cot g  1  1 V n1 24,09 cot g  1   0,908 26,53  1  47,7 0

SA DA

V t 2  U 2  V n 2 (cot g 2 ) Q 8 V n 2    13,26m / s 2 r 2 b2 2 (1,2)(0,08) U 2  r 2  (1,2)(60,21)  72,25m / s V t 2  72,25  13,25(cot g 60 0 )  64,6m / s

1 1 H  (V t 2U 2  V t 1U 1 )  [(72,25)(64,6)]  475m g 9,81    QH  (9810)(8)(475)  37,34 MW W m

EXERCÍCIO 10.14 •

Uma bomba centrífuga, projetada para bombear água a 1300 rpm tem dimensões

Desenhe o diagrama de velocidade de entrada para uma vazão volumétrica de 35 l/s. Determine o ângulo de entrada nas pás para o qual a velocidade de entrada não possui componente tangencial. Trace o diagrama de velocidade de saída. Determine o ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção normal). Avalie a potência hidráulica fornecida pela bomba, se a sua eficiência é de 75%. Determine a altura de carga desenvolvida pela bomba.

RESOLUÇÃO – EX. 10.14   1300

ENTRADA

2  136,14rad / s 60

35 x10 3 Q   5,57m / s V n1  2 r 1b1 2 (0,1)(0,01) U 1  r 1  (136,14)(0,1)  13,61m / s V t 1  U 1  V n1 (cot g 1 )  0 U cot g  1  1 V n1 13,61 cot g  1   2,436 5,57  1  22,26 0 H 

V t 1  0

SA DA

35 x10 3 Q V n 2    4,24m / s 2 r 2 b2 2 (0,175)(0,0075) U 2  r 2  (136,14)(0,175)  23,82m / s V t 2  U 2  V n 2 (cot g 2 )  23,82  4,24(cot g 40 0 ) V t 2  18,76m / s V 18,76 tg 2  t 2   4,425 V n 2 4,24  2  77,27 0

1 1 (V t 2U 2  V t 1U 1 )  [(72,25)(64,6)]  475m g 9,81    QH  (9810)(8)(475)  37,34 MW W m




•

Uma bomba centrífuga, projetada para bombear água a 460 gpm tem dimensões (Q = 0,029m³/s) PARÂMETRO

ENTRADA

SAÍDA

RAIO, r (m)

0,0762

0,1524

Largura da pá, b (m)

0,00762

0,00635

Ângulo da pá, (grau)

25

40

Desenhe o diagrama de velocidades de entrada. Determine a velocidade de projeto, se a velocidade de entrada não possui componente tangencial. Trace o diagrama de velocidades de saída. Determine o ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção normal). Avalie a altura de carga teórica desenvolvida pela bomba. Estime a mínima potência mecânica entregue à bomba.

RESOLUÇÃO – EX. 10.17 ENTRADA

V t 1  U 1  V n1 (cot g 1 )  0 0,029 Q V n1    7,95m / s 2 r 1b1 2 (0,0762)(0,00762) V t 1   r 1  V n1 (cot g 1 )  0  r 1  V n1 (cot g 1 ) V (cot g 1 )   n1 r 1 (7,95)(cot g 250 )  223,87rad / s   0,0762

H 

SA DA

0,029  4,77m / s 2 (0,1524)(0,00635) U 2  r 2  (223,87)(0,1524)  34,12m / s V n 2 

V t 2  34,12  4,77(cot g 40 0 )  28,43m / s V 28,43 cot g 2  t 2   5,96 V n 2 4,77  2  80,47 0

1 1 (V t 2U 2  V t 1U 1 )  [(34 ,12 )( 28,43)  0]  98,88 m g 9,81    QH  (9810 )(0,029 )(98 ,88 )  28131 W W m


•

Dados medidos durante testes de uma bomba centrífuga a 2750 rpm são

A vazão é 15 m3/h e o torque aplicado ao eixo da bomba é 8,5 N.m. Avalie as alturas totais de carga dinâmica na entrada e na saída da bomba, a potência hidráulica entregue ao fluido e a eficiência da bomba. Especifique o tamanho (potência) do motor elétrico necessário para acionar a bomba. Se a eficiência do motor elétrico for 85%, calcule a potência elétrica necessária.

RESOLUÇÃO – EX. 10.25   2750

2 60

 287,98rad / s

Q

15 3600

 0,00417 m ³ / s

 p V 2   p V 2  H p     z      z    2 g  desc arg a ( 2)   2 g  sucção(1)  500 x10 3 (3,5) 2   120 x10 3 (2,5) 2  H p     9      2,5  2g 2g  9810  desc arg a ( 2 )  9810  sucção (1) H p  60,6  15,05  45,5m    QH  (9810)(0,00417)( 45,5)  1863W W h p A potência mecânica de entrada é:

  T   (8,5)( 287,98)  2448W W h Rendimento ( p )

 p 

 W h  W m



1863 2448

 0,76  76%

A potência requerida pelo rotor é:

Pm  P

2448

 3,28hp

0,76 Pm 2448

2880W




•


ENTRADA

SAÍDA

RAIO, r (m)

0,0762

0,1524


0,00762

0,00635


25

40




H 

SA DA

0,029  4,77m / s 2 (0,1524)(0,00635) U 2  r 2  (223,87)(0,1524)  34,12m / s V n 2 


1 1 (V t 2U 2  V t 1U 1 )  [(34 ,12 )( 28,43)  0]  98,88 m g 9,81    QH  (9810 )(0,029 )(98 ,88 )  28131 W W m


•



RESOLUÇÃO – EX. 10.25   2750

2 60

 287,98rad / s

Q

15 3600

 0,00417 m ³ / s

 p V 2   p V 2  H p     z      z    2 g  desc arg a ( 2)   2 g  sucção(1)  500 x10 3 (3,5) 2   120 x10 3 (2,5) 2  H p     9      2,5  2g 2g  9810  desc arg a ( 2 )  9810  sucção (1) H p  60,6  15,05  45,5m    QH  (9810)(0,00417)( 45,5)  1863W W h p A potência mecânica de entrada é:

  T   (8,5)( 287,98)  2448W W h Rendimento ( p )

 p 

 W h  W m



1863 2448

 0,76  76%

A potência requerida pelo rotor é:

Pm  P

2448

 3,28hp

0,76 Pm 2448

2880W

EXERCÍCIO 10.35

10.35 Uma bomba centrífuga opera a 1750 rpm (183,26 rad/s); o rotor tem pás curvadas para trás com  = 60° e b2 = 0,50 in (0,0127 m). A uma vazão de 350 gpm (0,0220815 m³/s), a velocidade radial de saída é V n = 11,7 ft/s (3,57 m/s). Estime a altura de carga que esta bomba pode desenvolver a 1150 rpm (120,43 rad/s). 2

RESOLUÇÃO DO EX. 10.35  ' = 183,26 rad/s;

b' 2 = 0,0127 m;

V ' n2

= 3,57 m/s

Q ' = 0,00220815 m³/s;  ' ' = 120,43 rad/s Q '  V n' 2 (2 )(r 2' )(b2' ) Considerando o mesmo diâmetro, faremos a análise de semelhança através do coeficiente de vazão.  Q   Q  Q Q      1 3  2 3  1   2    An 2U 2 1  An 2U 2  2  1 D1  2 D2 Q'  ' 0,0220815 183 ,26   Q' '  0,0145m³ / s   Q' '  ' ' Q' ' 120 ,43 Então se os diâmetros são iguais: V n'2  ' 120 ,43 ''    2,35 m / s V ( 3 , 57 )  n2 183 ,26 V n''2  ' ' U 2''   ' ' r 2  (120 ,43)(0,0775 )  9,33 m / s V T ''2  U 2''  V ' ' n 2 cos  2  9,33  ( 2,35) cos(60)  8,16m / s Logo, a altura de carga será dada por: H 

V T ''2U 2'' g



(9,33)(8,16 ) 9,81

 7,76 m

EXERCÍCIO 10.36 10.36 Use os dados abaixo para verificar as regras de similaridade para uma bomba com diâmetro de impulsor D = 11,0 in (0,2794 m), operada a 1750 rpm (183,26 rad/s) e 3550 rpm (371,76 rad/s) . N (RPM) Bomba 1 1750 Bomba 2 3550

Bomba 1 Bomba 2

Q (gpm)

H (ft)

Wm (HP)

470 970

104 430

17 135

Rendimento (%) 73 74

Rad/s

Q (m³/s)

H (m)

Wm (W)

183,26

0,0297

31,7

12.677

Rendimento (%) 73

371,76

0,0612

131,1

100.670

74

RESOLUÇÃO DO EX. 10.36 Os coeficientes de similaridade são: Vazão: Q1 3  Q2 3  1 D1

 2 D2

H 1 H 2   12 D12  22 D22 P P Potência: 3 1 5  3 2 5  1 D1  2 D2 Considerando D1  D2 , tem-se: Q1 Q2  (183,26)   Q1  Q2 1  Q1  0,0612  0,030  1  2  2 (371,76)

Carga:

Este valor encontrado é semelhante ao que está tabelado acima  12

(183,26) 2  2  H 1  H 2 2  H 1  131,1  31,8 2 2  1  2  2 (371,76)

H 1

H 2

Este valor encontrado é semelhante ao que está tabelado acima  13

(183,26) 3  3  P1  P2 3  P1  100670  12060 3 3  1  2  2 (371,76) P1

P2

Percebe-se mais uma vez a similaridade entre as bombas

EXERCÍCIO 10.46

10.46 Um modelo de bomba centrífuga, em escala 1:3, produz uma vazão Qm = 32 cfs (pés cúbicos por segundo) ou (0,906 m³/s) com uma altura de carga H m = 15 ft (4,572 m), operando a N m = 100 rpm (10,472 rad/s). Admitindo eficiências comparáveis para modelo e protótipo, estime a vazão, a altura de carga e a potência requerida se a velocidade de projeto é 125 rpm (13,09 rad/s). O fluido é água.

RESOLUÇÃO DO EX. 10.46 Dm 1  D p 3

Os coeficientes de similaridade são: 3

Q p   p  D p  Qm  13,09  3     Vazão:     0 , 906 Q Q  3  30,58 p m 3 3     m Dm  p D p  10,472    m  Dm  H p   p  H m Carga: 2 2  2 2  H p  H m    m Dm  p D p   m 

2

2

2

 D p   13,09  2    4,572  3  64,294  10,472   Dm 

P p   p  Pm Potência: 3 5  3 5  P p  Pm    m Dm  p D p   m 

3

 D p     Dm 

5

Contudo, teremos que antes encontrar a potência hidráulica do modelo, que é dada pela equação: Pm   Qm H m  9810(0,906)(4,572)  40635W 3

Logo:

 13,09  5 P p  40635  3  19269140W  10,472 




•


ENTRADA

SAÍDA

RAIO, r (m)

0,0762

0,1524


0,00762

0,00635


25

40




H 

SA DA

0,029  4,77m / s 2 (0,1524)(0,00635) U 2  r 2  (223,87)(0,1524)  34,12m / s V n 2 


1 1 (V t 2U 2  V t 1U 1 )  [(34 ,12 )( 28,43)  0]  98,88 m g 9,81    QH  (9810 )(0,029 )(98 ,88 )  28131 W W m


•



01. Aula 01_8.1

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