EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – AULA 01 8.1 Considere um escoamen coamentto incompre ncompress ssível ível em um du duto circul circulaar. Deduz eduzaa expressõe essõess voluumétri métricca e diâ geraais pa ger parra o númer número de Reynol eynoldds em termos de (a) (a) vaz vazãão vol iâm metr troo do tubo (b) va vazão zão má mássica e di diâmet etrro do tubo. O número número de Reynol eynoldds é 1800 em uma seção on onde o diâ iâm met etrro do tub tuboo é 10 mm. mm. Encont Encontrre o número de Reynold eynoldss para a mesma vazão em uma seção ond onde o diâmetr diâmetro do tu tubo é 6 mm. mm.
RESOLUÇÃO EX. 8.1 D 2V
4Q Substit Substituindo uindo na Eq. De Reynolds: 2 4 D D D 4Q 4 Q 4Q Re V 2 D D Dv Dv * D 2V 4m b) m AV Substit Substituindo uindo na Eq. De Reynolds: V 2 4 D
a) Q AV
Re
D
V
V
D
4m 4m 2 D D
c) Encontrar a Eq. da vazão em função de Reynolds pela Eq. da letra (a): Q Como tem a mesma vazão, iguala para os casos.
Re1 . D . 1 .v1 Re 2 . D . 2 .v2 Como é o mesmo fluido, v1 v2 , logo: 4 4
Re 1 D1 Re 2 D2 (1800 )(10 ) Re 2 (6) Re 2 3000
Re . . D.v 4
RESOLUÇÃO EX. 8.1 D 2V
4Q Substit Substituindo uindo na Eq. De Reynolds: 2 4 D D D 4Q 4 Q 4Q Re V 2 D D Dv Dv * D 2V 4m b) m AV Substit Substituindo uindo na Eq. De Reynolds: V 2 4 D
a) Q AV
Re
D
V
V
D
4m 4m 2 D D
c) Encontrar a Eq. da vazão em função de Reynolds pela Eq. da letra (a): Q Como tem a mesma vazão, iguala para os casos.
Re1 . D . 1 .v1 Re 2 . D . 2 .v2 Como é o mesmo fluido, v1 v2 , logo: 4 4
Re 1 D1 Re 2 D2 (1800 )(10 ) Re 2 (6) Re 2 3000
Re . . D.v 4
EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – AULA 01 8.2 Ar padrã padrão en e ntra em um dut dutoo de 0,2 0,25 m de diâ diâmetro metro.. Determ etermiine a vaz azãão em vol vo lum umee na qua qual o esco coaamento to torn rna-s a-see turbulento. turbulento. Par Paraa est estaa vazão vazão,, estime o compr comprimento de entr entrada nece ecesssá sário rio par para estabelec estabelecer esc escoamento oamento completa completamente des desen envo vollvido ido.. Dados: v 1,46 x10 5 , Re crit 2300 .
RESOLUÇÃO EX. 8.2 a) Q = ?
Re . D . .v (2300 ) (0,25 )(1,46 x10 5 ) Q 0,00659 m³ / s 0,3956 m³ / min 4 4 b) Ltur (min) 25 D 25 (0,25 ) 6,25 m
Ltur (max) 40 D 40 (0,25 ) 10 ,0m comprimento de entrada ficará entre estes 2 valores.
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS •
EXERCÍCIO
8.6 O perfil de velocidade para escoamento completamente desenvolvido entre placas planas paralelas estacionadas é dado por u a(h ² / 4 y ²) , onde a é uma constante, h é o espaçamento entre as placas e y é a distância medida a partir da linha de centro da folga. Desenvolva a razão V / u max .
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS •
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1) Encontrar
du dy
du du d h 2 2 2ay a y dy dy dy 4 Para se ter u m ax , a primeira derivada
du dy
tem de ser igual a zero. Logo:
du 2ay 0 y 0 dy Isto é, u m ax quando y = 0, logo, substitui-se o valor de y = 0 na Eq dada na questão: u a(h² / 4 y ²)
u m ax a(h² / 4 0²) u max a(h² / 4)
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS •
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2) Velocidade Média (
V Q / A
)
A h.l h(1) dA dy.l dy (1) dy V
Q 1 u.dA Substituindo A e dA pelas expressões deduzidas acima, tem-se: A A
1 h / 2 V u.dy Substituindo u pela expressão dada na questão, tem-se: h h / 2 1 h / 2 h 2 V a y 2 dy h h / 2 4
h / 2
a h 2 y y 3 h 4 3 h / 2
a h 2 h h 3 h 3 h 3 a h 3 h 3 2h 3 V h 4 2 (8)3 8 24 h 8 24 24
a 2h 3 2h h 24 2
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS •
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO ah 2 a h 3 V V 6 h 6
Encontrando a expressão que a questão pedi, tem-se:
V / u max
ah 2 6
a (h² / 4) V / u max
ah 2 4 2 2 6 ah 3
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS •
EXERCÍCIO
8.7 Um fluido incompressível escoa entre duas placas paralelas estacionárias infinitas. O perfil de velocidade é dado por u u m ax ( Ay ² By C ) ), onde A, B e C são constantes e y é a distância medida para cima a partir da placa inferior. O espaçamento entre as placas é h. Use condições de contorno apropriadas para expressar a magnitude e as unidades SI das constantes em termos de h. Desenvolva uma expressão para a vazão em volume por unidade de profundidade e avalie a razão V / u max .
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS •
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1) Condições de contorno: y = 0 u = 0 I) y = h u = 0 II) y = h/2 u u max III)
2) Substituindo a condição de contorno (I) na eq. dada na questão:
0 u m ax ( A(0)² B (0) C ) C = 0 3) Substituindo a condição de contorno (II) e depois a condição (III) na Eq. dada na questão, para, através de um sistema, encontrar os valores de A e B, já sabendo que C foi encontrado acima.
0 u max ( A(h)² B(h) 0) B(h) A(h)² B Ah u m ax
2 h 2 Bh h h u max A B 0 A 1 Ah 2 2 Bh 4 2 2 4 2
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS •
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO Ah 2 2( Ah)h 4 Ah 2 2 Ah 2 4 Ah 2 4 A Voltando para saber o valor de B.
4 4 h 2 h h
B Ah
Substituindo na Eq. dada na questão, tem-se:
4 4 ² y 2 h h
u u max
y
4 h2
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS •
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO b) Vazão em Volume h
h 4 y 3 4 y 2 Q h 4 2 4 u.dy u max 2 y y dy u max 2 l 0 h h h 3 h 2 0 0
4 h 3 4 h 2 Q 4 3 0 u max u max 2 h 2h l 3 h 3 h 2
Q Q 2 2h u max h.u max l l 3 3
Q V A V .l .h V h Q a) l Substituindo Q/l visto no item anterior, tem-se:
Q 2 2 V 2 V h h.u max V h V u max l 3 3 3 u
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS •
EXERCÍCIO 8.8
Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas
estacionárias. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O espaçamento entre as placas é h = 5 mm. A viscosidade do óleo é 0,5 N . s/m 2 e o gradiente de pressão é -1000 N/m2 /m. Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento sobre a placa superior e a vazão em volume através do canal largura
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS •
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO Considerando: a 5mm ,
dp 1000 N / m² / m , 0,5 N .s / m² dx
A Eq. da Tensão de Cisalhamento, onde a é distância entre as placas, e y é a distância do eixo a placa superior (a=y=h), é dada por: a)
p y 1 x a 2
yx a
Substituindo os valores, tem-se: 5 x10 3 1 yx 5 x10 1000 2,5 N / m² (Está no sentido do escoamento) 3 2 5 x10 3
b) A vazão em volume, conforme visto em aula, é dada por:
Q 1 Q 1 p 3 1000 (5 x10 3 ) 3 20 ,8 x10 6 m³ / s / m a 12 x 12 (0 5) l l
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS •
EXERCÍCIO
8.9 Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas. escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O gradiente de pressão é -8 lbf/ft2 /ft e meia-altura do canal é h = 0,06 in. Determine a magnitude da tensão de cisalhamento n superfície da placa superior. Determine a vazão em volume através do canal 0,01lbf .s / ft ² ).
12 ft Para transformar as unidades: in
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – AMBAS AS PLACAS ESTACIONÁRIAS •
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
12 ft Para transformar as unidades: in a) 0,5 p y 1 0,12 (8) 0,5 0,037 lbf / ft ² yx a x a 2 12 12
b) 3
1 0,12 Q 8 6,67 x10 5 ft ² / s l 12(0,01) 12
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – PLACA SUPERIOR MOVENDO-SE COM VELOCIDADE U •
EXERCÍCIO: 8.11 Óleo está confinado em um cilindro de 100 mm de diâmetro por um pistão que possui uma folga radial de 0,025 mm e um comprimento de 50 mm. Uma força constante de 20 kN é aplicada ao pistão. Use as propriedades do óleo SAE 30 a 50°C. Estime a taxa à qual o óleo vaza pelo pistão. Dado: 5,9 x10 2 N .s / m ²
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – PLACA SUPERIOR MOVENDO-SE COM VELOCIDADE U •
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO: Primeiramente, vamos encontrar a variação de pressão através da equação:
F 4 F 4(20 x103 ) 80.000 P 2.546.473Pa 2,55 MPa 2 2 A D 0,031416 (0,1) Agora, vamos encontrar a vazão através da equação: Q l
3 a p
12 L
, onde a é a folga, L é o comprimento, l é o comprimento do arco (
l 2 R D ) Q (0,025 x10 3 ) 3 (2546473)(0,1)(3,1416) 7 3 , 53 10 x m³ / s 2 3 l 12(5,9 x10 )(50 x10 )
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – PLACA SUPERIOR MOVENDO-SE COM VELOCIDADE U •
EXERCÍCIO:
8.12 Um macaco hidráulico suporta uma carga de 9000 kg. Os seguintes dados estão disponíveis: Diâmetro do pistão 100 mm Folga radial entre o pistão e o cilindro 0,05 mm Comprimento do pistão 120 mm Estime a taxa de vazamento de fluido hidráulico pelo pistão, admitindo que o fluido é óleo SAE 30 a 30°C. Dados: 3,0 x10 1 N .s / m²
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – PLACA SUPERIOR MOVENDO-SE COM VELOCIDADE U •
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO: Primeiro, vamos calcular o peso do pistão e depois encontrar a diferença de pressão. P
F W 4W 4(9000 )(9,81) 11 .241 .405 ,65 Pa 11,2 MPa 2 2 A A D (0,1)
Q a 3 p.l a 3 p. D . (0,05 x10 3 ) 3 (11.241.405.65)(3,1416)(0,1) 6 1 , 01 10 x 12 L l 12 L 12(3 x10 1 )(0,12)
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – PLACA SUPERIOR MOVENDO-SE COM VELOCIDADE U •
EXERCÍCIO:
8.13 Uma alta pressão em um sistema é criada por um pequeno conjunto pistão-cilindro. O diâmetro do pistão é 6 mm e ele penetra 50 mm no cilindro. A folga radial entre o pistão e o cilindro é 0,002 mm. Despreze deformações elásticas do pistão e do cilindro causadas pela pressão. Considere que as propriedades do fluido são aquelas do óleo SAE l0W a 35°C. Estime a taxa de vazamento para uma são pressão no cilindro de 600 MPa.
ESCOAMENTO LAMINAR ENTRE PLACAS PARELALAS INFINITAS – PLACA SUPERIOR MOVENDO-SE COM VELOCIDADE U •
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:
Q a 3 p. D . (0,002 x10 3 ) 3 (600 x106 )(3,1416)(6,0 x10 3 ) 9 x m³ / s 3 , 97 10 2 3 l 12 L 12(3,8 x10 )(50 x10 )
ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM UM TUBO
EXEMPLO 01:
Um óleo que apresenta viscosidade dinâmica = 0,40 N.s/m² e massa específica = 900 kg/m³ escoa num duto com diâmetro D = 20 mm. (a) Qual é a queda de pressão, p1 p 2 , necessária para produzir uma vazão de Q = 2,0 x10 5 m³/s se o duto for horizontal com x1 o e x 2 10 m ?
ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM UM TUBO
ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM UM TUBO
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
EXERCÍCIOS
8.19 Um mancal de deslizamento selado é formado por cilindros concêntricos. Os raios interno e externo são 25 e 26 mm, respectivamente, o comprimento do cilindro interno é 100 mm e ele gira a 2800 rpm. A folga radial é preenchida com óleo em movimento laminar. O perfil de velocidade é linear através da folga. O torque necessário para girar o cilindro interno é 0,2 N.m. Calcule a viscosidade do óleo. O torque aumentará ou diminuirá com o tempo? Por quê?
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
RESOLUÇÃO:
O fluido está entre 2 cilindros e o de dentro está girando, então a área de contato do cilindro com o fluido é a superfície do cilindro 2. E para calcular é como se abrisse o cilindro, ficando A 2 rh . A folga é dada pela diferença entre os raios a r r 0 r i Torque = Força x Raio (como é o cilindro interno, é a força vezes o raio interno. p A questão diz que o perfil de velocidade é linear, logo 0 , porque é um sistema x r i du U girando em cima de outro, não tem perturbação, com isso, yx dy r r
Como já dito: T F .r , mas F . A (força é tensão de cisalhamento vezes a área), logo: r r T F .r A.r i A.r i 2 r i l.r i r r (2800 )(0,025 ) 2 0,2 2 (0,025 )(0,1)(0,025 ) 0,0695 N .s / m² (0,001 ) 60 2 f Lembrando que: , onde f é dado em rpm
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
EXERCÍCIO:
8.20 Considere o escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas espaçadas de d = 0,35 in. A placa superior move para a direita com velocidade U 2 = 2 ft/s; a placa inferior move para a esquerda com velocidade U 1 = 1 ft/s. O gradiente de pressão no sentido do escoamento é zero. Desenvolva uma expressão para a distribuição de velocidade na folga. Determine a vazão em volume que passa por uma dada seção, por unidade de profundidade.
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
RESOLUÇÃO: Como a questão diz que “o
gradiente de pressão no sentido do escoamento é zero ”, então
p 0. x
d p 0 Fazendo o balanço de massa: dy x d du d 2 u 0 , assim: 2 0 dy dy dy
logo
d 2 u d du Como 2 0 0 Chamando de uma função dy dy dy logo é uma constante ( cons tan te C 1 ) Mas
du du C 1 C 1 , integrando: du C 1 dy dy dy
u C 1 y C 2
(a)
d d 2 u 0, 2 0 , pois dy dy
,
du dy
, assim
d dy
0,
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
RESOLUÇÃO: As condições de contorno são: (I) y = 0 u U 1 (II) y = d u U 2 Aplicando estas condições na equação (a) encontrada anteriormente, tem-se:
u C 1 y C 2 U 1 C 1 (0) C 2 U 1 C 2 U U 1 u C 1 y C 2 U 2 C 1 (d ) U 1 C 1 2 d U U 1 Assim, a expressão geral ficará: u 2 y U 1 d y y Substituindo pelos valores: u 2 1 1 3 1 d d
(Esta é uma expressão para a
distribuição de velocidade) A vazão em volume é dada por: d
d U 2 U 1 y 2 U 2 U 1 Q d u.dy U 1 y y U 1 dy l 0 d d 2 0 0
Q l Q l
U U U U U 2 U 1 d 2 U U 1 U 1d 2 d U 1d 2 d 1 d U 1d 2 d 1 d 2 2 2 2 d 2 2 1 U U 1 2 1 2 d (0,35) 0,0146 ft ³ / s / ft 12 2 2
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
EXERCÍCIOS:
8.21 Dois fluidos imiscíveis estão contidos entre placas paralelas infinitas. As placas
estão separadas pela distância 2h, e as duas camadas de fluidos têm espessuras iguais, h; a viscosidade dinâmica do fluido superior é três vezes aquela do fluido inferior. Se a placa inferior é estacionária e a placa superior move com velocidade constante V = 5 m/s, qual é a velocidade na interface? Admita escoamentos laminares e o gradiente de pressão na direção do escoamento como zero.
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
RESOLUÇÃO:
d p p Pela questão: 0, 0 , 1 3 2 , x dy x d du d 2 u 0 , assim: 2 0 dy dy dy
logo
d du d 2 u Como 2 0 0 Chamando de uma função dy dy dy logo é uma constante ( cons tan te C 1 ) Mas
d d 2 u 0, 2 0 , pois dy dy
,
du1 du C 1 1 C 1 , integrando: du1 C 1 dy dy dy
u1 C 1 y C 2
(a)
E para a interfase tem-se:
u C y C
(b)
du 2 C 2 , integrando du 2 C 3 dy dy
du dy
, assim
d dy
0,
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
RESOLUÇÃO:
As três condições de contorno são: (I) y = 0 u1 0 (II) y = h u1 u 2 (III) y = 2h u 2 U (IV)
pela condição da interfase: 1 2 1 2 1
que no inicio chamou-se
du1 dy
substituição aqui, tornando: 1C 1
C 1 e
du 2 C 3 , dy
du1 du 2 2 . Observe dy dy
então podemos fazer esta
2 C 3
Usando a C.C. (I) tem-se:
u1 C 1 y C 2 0 C 1 (0) C 2 0 C 2 Usando a C.C. (II)
u1 u 2 e y = h C 1 y C 2 C 3 y C 4 como
0 C 2 C 1 h C 3 h C 4
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
RESOLUÇÃO: Usando a C.C. (II)
u1 u 2 e y = h C 1 y C 2 C 3 y C 4
como 0 C 2 C 1 h C 3 h C 4
Usando a C.C. (III)
u 2 U e y = 2h C 3 y C 4 U C 3 (2h) C 4 U
Usando a C.C. da interfase: 1C 1 2 C 3 , e substituindo 1 e 2 pelas suas respectivas expressões. C 1 h U C 3 h e 1C 1 2 C 3 C 1 h U C 3 h
1 2
h.C 1 C 1
U
h1
Para o fluido 1: 1
int erfase
U h1 1 y 2
U h1 1 y 2
fazendo y = h, onde 1 int erfase
5 1 1 3
3,75m / s
1
2
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
EXERCÍCIOS:
8.22 Água a 60°C escoa para a direita entre duas grandes placas planas. A placa inferior move para a esquerda com velocidade de 0,3 m/s; a placa superior está parada. O espaçamento entre as placas é 3 mm e o escoamento é laminar. Determine o gradiente de pressão necessário para produzir vazão resultante zero em uma seção transversal. Dados: 4,63 x10 4 N .s / m²
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
RESOLUÇÃO:
du p du d p p yx y C 1 yx y C 1 dy x dy x dy x p y 2 U C 1 y C 2 x 2 p y 2 C 1 y C 2 u x 2
(a)
As C.C. são: (I) y = 0 U (II) y = h 0 Substituindo na Eq. (a), encontra-se o valor de: p (0) 2 U C 1 (0) C 2 U C 2 x 2 p h 2 p h 2 U 1 p 0 C 1 h U C 1 h U C 1 h x 2 x 2 h 2 x
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO DE CISALHAMENTO NO ESCOAMENTO COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
RESOLUÇÃO:
Logo, substituindo os valores de C 1 e C 2 na equação original, tem-se: 1 p 2 U 1 p u y h y U 2 x h 2 x Arrumando: 1 p 2 y u y hy U 1 2 x h Encontrar a Eq. da vazão: 1 p 1 p 3 Uh Q d y u.dy ( y 2 hy) U 1 dy h l 0 x h 2 12 2 x Determinar o gradiente de pressão quando Q = 0.
0
12 Uh 6 U Uh 1 p 3 Uh 1 p 3 p h h 12 x 2 12 x 2 h2 2h 3 x
Substituindo os valores, tem-se:
6 U 6(0,3)(4,63 x10 4 ) p 92,6 N / m² / m 2 3 2 h (3 x10 ) x
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
EXERCÍCIOS
8.25 A cabeça de leitura/gravação do disco rígido de um computador flutua acima do disco giratório sobre uma delgada camada de ar (a espessura do filme de ar é 0,5 (micrometro) m ). A cabeça está a 150 mm da linha de centro do disco; o disco gira a 3600 rpm. A cabeça de leitura/gravação é quadrada, com 10 mm de lado. Para ar padrão no espaço entre a cabeça e o disco, determine (a) o número de Reynolds do escoamento, (b) a tensão de cisalhamento viscoso e (c) a potência requerida para superar o cisalhamento viscoso. Dados: 1,79 x10 5 N .s / m² , v 1,46 x10 5
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
RESOLUÇÃO:
2 (0,15 ) 56 ,55 m / s 60
V R (3600 )
a) Re
VD
como é para calcular no espaço D = a, logo: Re
Va
Va v
Va (56 ,55 )(0,5 x10 6 ) Re 1,94 5 v 1,46 x10
56 ,5 du V 1,79 x10 5 2,02 kN / m² 6 dy a 0,5 x10 c) Força yx A yxl 2 b) yx
. yxl 2 R Torque(T ) F R Potencia( P) T yxl 2 R Assim:
2 11,4W 60
Potencia( P ) yx l 2 R 2,02 x10 3 (10 x10 3 ) 2 (0,15 )(3600 )
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
EXERCÍCIOS
8.32 Uma correia contínua, movendo-se com velocidade U o para cima através de um banho químico, arrasta uma película de líquido de espessura h, massa específica , e viscosidade . A gravidade tende a fazer com que o líquido desça, mas o movimento da correia impede que ele retome completamente. Admita que o escoamento é laminar, completamente desenvolvido, com gradiente de pressão zero, e que a atmosfera não produz tensão de cisalhamento na superfície externa da película. Enuncie claramente as condições de contorno a serem satisfeitas pela velocidade em y = O e y = h. Obtenha uma expressão para o perfil de velocidade.
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
RESOLUÇÃO:
Fazendo o balanço de massa e colocando a força peso. d d p p g , mas g , integrando: gy C 1 , mas pelo 0 , logo dy dy x x du du conceito: . Igualando as duas expressões, tem-se: gy C 1 dy dy Integrando novamente:
du gy C 1 dy u
Condições de contorno: I) y = 0 u U 0 II) y = h 0
g y 2 2
C 1
y C 2
(a questão diz que a atmosfera não produz
na superfície
externa)
(0) 2 C 1 (0) C 2 U 0 C 2 Substituindo a C.C (I), encontra-se: U 0 2 g
Pela C.C (II), como 0
du dy
0 , logo pela Eq. gy C 1
operando: gh C 1 0 C 1 gh Assim, a Eq, fica: u
g y 2 2
gh
y U 0
du 0, dy
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
EXERCÍCIOS
8.34 O perfil de velocidade para escoamento de água completamente desenvolvido entre placas paralelas, com a placa superior em movimento, é dado pela Eq. 8.8. Considere U = 2 mls e a = 2,5 mm. Determine a vazão em volume por unidade de profundidade para gradiente de pressão zero. Avalie a tensão cisalhante sobre a placa inferior e esboce a distribuição de tensão de cisalhamento através do canal. A vazão em volume aumentaria ou diminuiria com um ligeiro gradiente adverso de pressão? Calcule o gradiente de pressão que dará tensão cisalhante zero em y/a = 0,25. Esboce a distribuição de tensão de cisalhamento para este caso. Dados: 1,14 x10 3 N .s / m² ,
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
RESOLUÇÃO:
1 p 3 Q Ua p 0 a , como 2 12 x l x Q Ua 2(2,5 x10 3 ) 2,5 x10 3 m³ / s / m 2 2 l p U p y 1 b) yx a 0 como x a x a 2 U 1,14 x10 3 (2) 0,912 N / m ² yx a 2,5 x10 3 p p c) Se 0 , a vazão diminui ( é adverso porque normalmente é negativo) x x p y d) yx 0 , 0,25 , ? x a U p y 1 yx a a x a 2 2 p 1 3 p 0 , 912 0 , 000625 x 0 (1,14 x10 3 ) 2 , 5 10 0 , 25 x 2 2,5 x10 3 x p 1459 N / m² / m x a)
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
EXERCÍCIOS
8.51 Considere escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo circular. Use um volume de controle cilíndrico conforme mostrado. Indique as forças que atuam sobre o volume de controle. Usando a equação da quantidade de movimento, desenvolva uma expressão para a distribuição de velocidade.
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RESOLUÇÃO:
F 0 , porém F Pr essãoxÁrea , e neste caso, a área é dada por A r 2 p dx 2 p dx 2 r yx (2 r ) dx 0 p r p x 2 x 2 p dx 2 p dx 2 p 2 p r 2 r p r 2 r yx (2 r )dx 0 r dx yx (2 r )dx 0 x 2 x 2 x p p r r 2 yx 0 yx x x 2
du , igualando as duas expressões, temos: dr p r 2 p r du p r C 1 dr , integrando u du x 4 2 x 2 dr x Aplicando a Condição de Contorno: u 0 r R I)
Mas como
p r 2 p R 2 p R 2 u C 1 0 C 1 C 1 x 4 x 4 x 4 p r 2 p R 2 1 2 p u (r R 2 ) u x 4 x 4 4 x Logo:
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EXERCÍCIOS
8.52 Considere escoamento laminar completamente desenvolvido no espaço anular entre dois tubos concêntricos. O tubo externo é estacionário e o tubo interno move na direção x com velocidade V. Considere gradiente axial de pressão zero ( p / x = 0). Obtenha uma expressão geral para a tensão de cisalhamento, , como uma função do raio, r, em termos de uma constante, C 1 . Obtenha uma expressão geral para o perfil de velocidade, u(r), em termos de duas constantes, C 1 e C 2 . Obtenha expressões para C 1 e C 2 .
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
RESOLUÇÃO:
F 0 , porém F Pr essãoxÁrea , dr dr dr dr r dx 2 2 r dx 0 r 2 2 r 2 2 dr dr dr dr 2 r 2 dx 2 r 2 dx 0 r 2 2 2 r 2 dr dr dr dr dr dr dr 2 rdx 2 dx 2 rdx 2 dx 2 rdx 2 2 rdx 2 dx
2
2
dr 2
2
2
dr dr dr dr 2 rdx 2 dx 2 rdx 0 dx dr 2 dr 2 2 2
2 drdx
dr 2
dr
dr
r
dr 2 rdx 2 drdx
dr
r 0 2 2
Logo, para a derivada ser zero, Pela lei da viscosidade:
dr
dr
dr 2
dr 2
dr 2 rdx 0 , cancelando os termos, temos:
r 0
dr
r 0
r cte C 1
( r )
ou dr
0
C 1 r
C C dr C du du 1 du 1 u 1 ln( r ) C 2 r dr r dr
PERFIS DE VELOCIDADE EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO EM TUBOS •
RESOLUÇÃO: Pelas Condições de contorno: I) r r 1 u V 0 r r 0 u 0 II) C C C Logo: V 0 1 ln( r 1 ) C 2 0 1 ln( r 0 ) C 2 C 2 1 ln( r 0 ) e Substituindo, os valores na equação original, tem-se:
V 0
C 1
ln(r 1 )
C 1
ln(r 0 )
C 1
r V 0 ln( 1 ) C 1 r r 0 ln( 1 ) r 0
V 0
Logo:
C 2
r ln( 1 ) r 0
Finalmente,
ln( r 0 )
u
V 0 ln( r 0 ) ln( r 1 / r 0 )
ln(r / r 0 ) V 0 ln( r r 1 ) V 0 ln( r 1 / r 0 ) ln( r 1 / r 0 )
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS •
EXERCÍCIOS: 8.68 Água escoa em um tubo horizontal de área transversal constante; o
diâmetro do tubo é 50 mm e a velocidade média do escoamento é 1,5 m/s. Na entrada do tubo, a pressão manométrica é 588 kPa e a saída é à pressão atmosférica. Determine a perda de carga no tubo. Se o tubo estiver alinhado agora de modo que a saída fique 25 m acima da entrada, qual será a pressão na entrada necessária para manter a mesma vazão? Se o tubo estiver alinhado agora de modo que a saída fique 25 m abaixo da entrada, qual será a pressão necessária na entrada para manter a mesma vazão? Finalmente, quão mais baixa deve estar a saída do tubo em relação à entrada para que a mesma vazão seja mantida, se ambas as extremidades estão à pressão atmosférica (i.e., campo gravitacional)?
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:
•
A Eq. de Bernoulli usa pressão manométrica ou relativa, sem a pressão atmosférica. J 9,81 m J N .m Kg 1) E 1 E 2 h f , onde V 1 V 2
e
P2 0
V 12 P2 V 22 588 x10 3 z1 z 2 h f h f h f 59 ,94 m 2 g 2 g 9810 P 2) 1 25 59 ,94 84 ,94 P1 84,94 (9810 ) 833250 Pa
P1
3)
P1
25 59 ,94 34 ,94 P1 34 ,94 (9810 ) 342761 Pa
4) P1 P2 0 e V 1 V 2 P1 V 12 P2 V 22 z1 z 2 h f z1 h f z1 59 ,94 m 2 g 2 g A saída deve está a 60m abaixo no numero 1.
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS •
EXERCÍCIOS: 8.69 Medidas foram feitas para a configuração de escoamento mostrada na
Fig. 8.11. Na entrada, seção (1), a pressão é 10,2 psig, a velocidade média é 5,5 ft/s, e a elevação é 7,5 ft. Na saída, seção (2), a pressão, a velocidade média e a elevação são, respectivamente, 6,5 psig, 11,2 ft/s e 10,5 ft. Calcule a perda de carga em ft, Converta para unidades de energia por unidade de massa. Transformar as unidades: P1 10 ,2 Psig 70329 Pa P2 6,5Psig 44817 ,5Pa V 1 5,5 ft / s 1,6764 m / s z1 7,5 ft 2,286 m V 2 11,2 ft / s 3,4138 m / s z 2 10 ,5 ft 3,2m
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS •
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:
V 12 P2 V 22 z1 z 2 h f 2 g 2 g 70329 (1,6764 ) 2 44817 ,5 (3,4138 ) 2 2,286 3,2 h f 9810 2(9,81) 9810 2(9,81) 7,169 0,143 2,286 4,5686 0,594 3,2 h f 9,59 8,363 h f h f 1,236 m Ou h f 1,236 (3,281 ) 4,054 ft Por unidade de massa: h f 32 ,2( 4,054 ) 130 ft / s ² P1
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS •
EXERCÍCIOS:
8.71
Considere o escoamento no tubo do reservatório no sistema do Problema-
Exemplo 8.5. Em uma condição de escoamento, a perda de carga é 2,85 m a uma vazão volumétrica de 0,0067 m³/s. Determine a profundidade do reservatório requerida para manter esta vazão.
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS •
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:
P1 P2 , z 2 0 , V 1 0
Q 0,0067 (4) 1,517 m / s 2 A (0,075 ) V 22 (1,517 ) 2 h f z1 2,85 2,97 m z1 2g 2(9,81) V 2
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS •
EXERCÍCIOS:
8.72 Considere o escoamento no tubo do reservatório no sistema do ProblemaExemplo 8.5. Em uma condição de escoamento, a perda de carga é 1,75 m e a profundidade do reservatório é 3,60 m. Calcule a vazão volumétrica do reservatório.
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS •
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:
z1
V 22 2g
h f 3,60
V 22 2(9,81)
1,75
V 22 2(9,81)
Q VA 6,02 (0,075 ) 2 0,0266 m³ / s 4
36 ,297 V 2 6,02 m / s
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS •
EXERCÍCIOS: 8.73 A velocidade média de escoamento em um trecho de diâmetro constante da tubulação do Alasca é 8,27 ft/s. Na entrada, a pressão é 1200 psig e a elevação é 150 ft; na saída, a pressão é 50 psig e a elevação é 375 ft. Calcule a perda de carga nesse trecho da tubulação. Dados: 8829 N / m³
ransformar as unidades: P1 1200 Psig 82740000 Pa P2 50 Psig 344750 Pa V 1 8,7 ft / s 2,6518 m / s z1 150 ft 45,72 m V 1 V 2
z 2 375 ft 114 ,3m
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS •
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:
V 12 P2 V 22 8274000 344750 z1 z 2 h f 45,72 114,3 h f 2 g 2 g 8829 8829 937 ,14 45,72 39 ,05 114 ,3 h f 982 ,86 153 ,35 h f h f 829 ,5m h f 2721 ft P1
o
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS •
EXERCÍCIOS: 8.74 Na entrada de um trecho de diâmetro constante da tubulação do Alasca, a pressão é 8,5 MPa e a elevação é 45 m; na saída, a elevação é de 115 m. A perda de carga nessa seção da tubulação é 6,9 kJ/kg. Calcule a pressão na saída. Dados: 8829 N / m³ .
CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO EM TUBOS •
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS:
6,9 x10 3 h f 6,9kJ / kg 703 ,36 m 9,81 P1 V 12 P2 V 22 P 8,5 x10 6 z1 z 2 h f 4,5 2 115 703 ,36 2 g 2 g 8829 8829 P 1007,74 2 818,36 P2 1672001 Pa 8829
CÁLCULO DE PERDA DE CARGA EXERCÍCIOS:
8.76 Água escoa a 3 gpm através de uma mangueira de jardim horizontal com diâmetro de 85 de polegada. A queda de pressão ao longo de 50 ft de mangueira é 12,3 psi. Calcule a perda de carga.
Transformar as unidades Q 3gpm 3(6,309 x10 5 ) 0,00018927 m ³ / s D 58 in 85 (2,54 x10 2 ) 0,015875 m l 50 ft 50(0,3048) 15,24m P1 12 ,3Psi 12 ,3(6,895 x10 3 ) 84808 ,5 Pa P2 Patm , z1 z 2 , V 1 V 2
CÁLCULO DE PERDA DE CARGA RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:
V 12 P2 V 22 z1 z 2 h f 2 g 2 g h f 28,36 ft P1
P1
h f
h f
84808,5 8,64m 9810
ou
CÁLCULO DE PERDA DE CARGA EXERCÍCIOS:
8.80 Um tubo liso horizontal, de 75 mm de diâmetro, transporta água (65°C). Quando a vazão é 0,075 kg/s, a queda de pressão medida é 7,5 kPa por 100 m de tubo. Baseado nestas medidas, qual é o fator de atrito? Qual é o número de Reynolds? Este número de Reynolds normalmente indica escoamento turbulento ou laminar? Afinal, o escoamento é realmente turbulento ou laminar? Dados: 999kg / m³ , 4 x10 4 N .s / m ²
CÁLCULO DE PERDA DE CARGA RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:
0,075 Q Q1 Q2 AV Q 7,51 x10 5 999 Q Q 7,51 x10 5 2 V 2 x m / s 1 , 7 10 3 2 A 4 D 4 (75 x10 ) P1 V 12 P2 V 22 P P2 z1 z 2 h f como z1 z 2 , V 1 V 2 h f 1 2 g 2 g m
E sabe-se que h f
f
L V 2 D 2 g
f
P1 P2
L V 2 D 2 g
f
, então igualando as duas expressões, tem-se:
P1 P2 2 Dg 2
LV
f
P1 P2 2 D LV 2
(2)(7,5)(75 x10 3 ) 0,039 f 2 2 (999)(100)(1,7 x10 ) VD (999 )(1,7 x10 2 )(75 x10 3 ) 3184 Re 4 4 x10 O número de Reynolds indica que o escoamento é turbulento.
P.2 D LV 2
CÁLCULO DE PERDA DE CARGA EXERCÍCIOS:
8.84 Água escoa através de um tubo de 25 mm de diâmetro que subitamente alarga-se para um diâmetro de 50 mm. A vazão através do alargamento é 1,25 l/s . Calcule o aumento de pressão através do alargamento. Compare com o valor para escoamento sem atrito.
CÁLCULO DE PERDA DE CARGA RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:
D1 25 mm , D2 50 mm , Q 1,25l / s , Q1 Q2 Q V 1 A1 V 2 A2 V 1 2 1
P1
4
(25) 2 V 2
4
(50) 2 V 1 4V 2 V 2 0,25V 1
2 2
V P2 V V 12 (alargamento), sendo z1 z 2 h f como z1 z 2 e h f k 2g 2 g 2 g A1 1 1,25 x10 3 Q 2,55m / s , e deixando as k 0,56 (pela tabela). E V 1 A2 4 A1 4 (25 x10 3 ) 2 velocidades em função de V 1 , tem-se:
P1 V 12 P2 (0,25V 1 ) 2 V 12 V 12 P2 V 22 V 12 z1 z 2 k z1 z 2 k 2 g 2 g 2g 2g 2g 2 g P P P1 P2 (2,55 ) 2 (0,0625 )(2,55 ) 2 (2,55 ) 2 (0,56 ) 1 2 0,125 9810 2g 9810 2g 2g 9810 P1 P2 1227 Pa ou P2 P1 1227 Pa
P1
Sem atrito:
h f 0
P1 P2 (0,0625 )(2,55 ) 2 (2,55 ) 2 2 g 2g 9810 2g 2g P1 P2 3048 Pa P2 P1 3048 Pa P1
V 12
Patrito
P2
1227
(0,25V 1 ) 2
0 4 40%
CÁLCULO DE PERDA DE CARGA EXERCÍCIOS:
8.86 Água escoa através de um tubo de 50 mm de diâmetro que subitamente contrai-se para 25 mm. A queda de pressão através da contração é 3,4 kPa. Determine a vazão em volume.
CÁLCULO DE PERDA DE CARGA RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:
D1 50 mm , D2 25 mm , A1
4
(50 x10 3 ) 2 0,001964 , A2
V 1 A1 V 2 A2 V 1 P1
V 12 2g
z1
P2
4
(50) 2 V 2 V 22 2g
4
z 2 k
4
(25 x10 3 ) 2 0,00049,
A2
0,25 k 0,4
A1
(25) 2 V 1 0,25V 2 V 2 4V 1
V 22 2g
P1 P2
2
V 2
2g
2
0,4V 2 2g
2
V 1
2g
1,4V 22 0,0625 V 22 3,4 x10 3 V 22 0,4V 22 (0,25 ) 2 V 22 0,35 9810 2g 2g 2g 2g 2g 1,3375 V 22 0,35(2)(9,81) V 2 2,27 m / s
Q VA 2,27 (25 x10 3 ) 2 1,11 x10 3 m³ / s 4
MEDIDORES DE VAZÃO •
EXERCÍCIOS
8.158 Água a 150°F escoa através de um orifício com diâmetro de 3 in instalado em um tubo de 6 in de diâmetro interno. A vazão é 300 gpm. Determine a diferença de pressão entre as tomadas de canto. Dados: v 4,357 x 10 7 1000
, OBS:: A Placa de orifício tem o seu valor de K retirado de um gráfico que é função do número de Reynolds e da OBS razão entre os diâmetros.
Transformando Transformando Unidades: D2 3in 3(0,0254 ) 0,0762 m Dtubo (1) 6in 6(0,0254 ) 0,1524 m
Q 300 gpm 300 (6,309 x10 5 ) 0,01893 m³ / s kA 2 (P)
MEDIDORES DE VAZÃO VAZÃO •
RESOLUÇÃO RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 8.158 V 1
Q A
4(0,01893 ) (0,1524 )
2
1,04 m / s
VD1 1,04 (0,1524 ) 3,63 x10 5 7 v 4,357 x10 D 0,07 0722 2 0,47 4722 D1 0,1524
Re 1
Pelo gráfico da figura 8.20: k = 0,624 Substituindo na equação: Vazão em massa:
m real Q
Igualando:
Q kA2
2 (P) Q k A
P
2
2
2
2 2
2 (P) P
(1000)(0,01893) 2
(0,0762) 2 4
2(0,624) 2
2
22.125Pa
2Q 2 2
2 2
Q 2
k A 2 2k 2 A22
MEDIDORES DE VAZÃO VAZÃO •
EXERCÍCIO:
Um medidor venturi, com 75 mm de diâmetro na garganta, é instalado 8.161 em uma linha de 150 mm de diâmetro que transporta água a 25°C. A queda de pressão entre a tomada de montante e a garganta do venturi é 300 mm de mercúrio. Calcule a vazão. Assumindo C = 0,99, 0,99, SG = 13,6, 13,6, g = 9,81, H 2O =1000
MEDIDORES DE VAZÃO •
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 8.158
P h h.SG.g. H 2O 300 x10 3 (13,6)(9,81)(1000 ) 40000 Pa
A2
(0,075) 2 0,0044m²
4 D2 75 0,5 D1 150 0,99 C k 1,02 4 4 1 1 (0,5) m real kA2 2 (P) m real (1,02)(0,0044) 2(1000)(40000) 40,14 Q
real m
40,14 1000
0,04014 m³ / s
MEDIDORES DE VAZÃO VAZÃO •
EXERCÍCIO: 8.163 Considere um venturi horizontal de 2 x 1 in, com escoamento de água. Para um diferencial de pressão de 20 psi, calcule a vazão em volume. ssumindo C = 0,99
Transformando Unidades: D2 1in 1(0,0254 )
D1
0,0254 m
2in 2(0,0254 ) 0,0508 m P
Psi 20 Psi
20 (6,895 x 10 3 )
137900 Pa
MEDIDORES DE VAZÃO VAZÃO •
RESOLUÇÃO RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 8.163: D2 0,0254 0,5 D1 0,0508 0,99 C 1,02 k 4 4 1 1 (0,5)
A2
Q
real m
(0,0254) 2 0,000507m²
4 m real kA2 2 (P) 1,02(0,000507) 2(999)(137900) 8,584m³ / s
8,584 1000
0,00859 m ³ / s
EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – 10.3 •
10.3 As dimensões do rotor de uma bomba centrífuga são
•
•
A bomba é acionada a 1250 rpm enquanto bombeia água. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica de alimentação alimentação da bomba, se a vazão é 0,10 m³/s.
F RMULAS
Q U i r i 2 r i bi V 1 H (V t 2U 2 V t 1U 1 ) V rbi ni g sen i (V U V U )m QH W
V ti U i V ni (cot g i )
sen i
V ni V rbi
V ni
RESOLUÇÃO – EX. 10.3 1250.
2 130,9rad / s 60
SAÍDA Entrada
V t 1 U 1 V n1 (cot g 1 ) 0,1 Q 5,305m / s V n1 2 r 1b1 2 (0,075)(0,04) U 1 r 1 (130,9)(0,075) 9,82m / s V sen 1 n1 V rb1 V 5,305 V rb1 n1 6,12m / s sen 1 sen60 0 V t 1 9,82 5,305(cot g 60 0 ) 6,75m / s
V t 2 U 2 V n 2 (cot g 2 ) Q 0,1 V n 2 2,12m / s 2 r 2 b2 2 (0,25)(0,03) U 2 r 2 (130,9)(0,25) 32,73m / s V sen 2 n 2 V rb 2 V 2,12 V rb 2 n 2 2,26m / s 0 sen 2 sen70 V t 2 32,73 2,12(cot g 70 0 ) 31,95m / s
1 1 (V t 2U 2 V t 1U 1 ) [(32,75)(31,95) (9,82)(6,75)] 99,9m 9,81 g (V U V U )m [(32,75)(31,95) (9,82)(6,75)](0,10)(999) 97,9 KW W m t 2 2 t 1 1
H
EXERCÍCIO – 10.5 •
•
10.5 As dimensões do rotor de uma bomba centrífuga são
A bomba é acionada a 575 rpm e o fluido é água. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica de alimentação da bomba se a vazão é 5,00 m³/s.
Q U i r i 2 r i bi V 1 H (V t 2U 2 V t 1U 1 ) V rbi ni g sen i (V U V U )m QH W m t 2 2 t 1 1
V ti U i V ni (cot g i ) sen i
V ni V rbi
V ni
RESOLUÇÃO – EX. 10.5 575.
2 60,21rad / s 60
ENTRADA
V t 1 U 1 V n1 (cot g 1 ) Q 5 V n1 16,58m / s 2 r 1b1 2 (0,4)(0,12) U 1 r 1 (0,4)(60,21) 24,09m / s V sen 1 n1 V rb1 V 16,58 V rb1 n1 25,79m / s sen 1 sen 40 0 V t 1 24,09 16,58(cot g 40 0 ) 4,33m / s
H
SA DA
V t 2 U 2 V n 2 (cot g 2 ) 5 Q V n 2 8,29m / s 2 r 2 b2 2 (1,2)(0,08) U 2 r 2 (1,2)(60,21) 72,25m / s V sen 2 n 2 V rb 2 V 8,29 V rb 2 n 2 9,57m / s sen 2 sen60 0 V t 2 72,25 8,29(cot g 60 0 ) 67,47m / s
1 1 (V t 2U 2 V t 1U 1 ) [(72,25)(67,47) (24,09)(4,33)] 486,3m g 9,81 QH (9810)(5)(486,3) 23,85 MW W m
EXERCÍCIO – 10.8 •
10.8 Para o rotor do Problema 10.3, determine a velocidade de rotação para a qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero se a vazão volumétrica for 0,25 m³/s. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica teórica de entrada na bomba. ?
SEÇÃO (1)
SEÇÃO (2)
r(mm)
75
250
b(mm)
40
30
60
70
Q U i r i 2 r i bi V 1 H (V t 2U 2 V t 1U 1 ) V rbi ni g sen i (V U V U )m QH W m t 2 2 t 1 1
V ti U i V ni (cot g i ) sen i
V ni V rbi
V ni
RESOLUÇÃO – EX. 10.8 Entrada
V t 1 0 V t 1 U 1 V rb1 (cos 1 ) 0,25 Q V n1 13,263m / s 2 r 1b1 2 (0,075)(0,04) V 13,263 15,31m / s V rb1 n1 0 sen 1 sen60 U 1 r 1 V t 1 r 1 V rb1 (cos 1 ) 0 r 1 V rb1 (cos 1 ) V (cos 1 ) 15,31(cos 60) rb1 102rad / s r 1 0,075
SAÍDA
U 2 r 2 (102)(0,25) 25,52m / s Q 0,25 V n 2 5,305m / s 2 r 2 b2 2 (0,25)(0,03) V 5,305 V rb 2 n 2 5,65m / s 0 sen 2 sen70 V t 2 25,52 5,65(cos 70 0 ) 23,6m / s
1 1 H (V t 2U 2 V t 1U 1 ) [(25,52)(23,6) 0] 61,38m 9,81 g QH 9810(0,25)(61,38) 150KW W m
EXERCÍCIO – 10.9 •
10.8 Para o rotor do Problema 10.3, determine a velocidade de rotação para a qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero se a vazão volumétrica for 0,25 m³/s. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica teórica de entrada na bomba. ?
SEÇÃO (1)
SEÇÃO (2)
r(mm)
75
250
b(mm)
40
30
60
70
Q U i r i 2 r i bi V 1 H (V t 2U 2 V t 1U 1 ) V rbi ni g sen i (V U V U )m QH W m t 2 2 t 1 1
V ti U i V ni (cot g i ) sen i
V ni V rbi
V ni
RESOLUÇÃO – EX. 10.9 Entrada
V t 1 0
SA DA
2 U 2 r 2 (78,54)(0,5) 39,27m / s 78,54rad / s 1,62 Q 60 V n 2 17,19m / s U 1 r 1 78,54(0,175) 13,74m / s 2 r 2 b2 2 (0,5)(0,03) V t 1 U 1 V rb1 (cos 1 ) 0 V 17,19 V rb 2 n 2 18,29m / s 0 sen 2 sen70 U 1 13,74 32 , 52 / V rb1 m s V t 2 39,27 18,29(cos 70 0 ) 33m / s cos 1 sen65 0 V n1 V rb1 sen 1 (32,52)( sen65 0 ) 29,48m / s Q V n1 .2. .r 1 .b1 (29,48)(2 )(0,175)(0,05) 1,62m³ / s 750
H
1 1 (V t 2U 2 V t 1U 1 ) [(39,27)(33) 0] 132,16m g 9,81 QH 9810(1,62)(132,16) 2,1 MW W m
EXERCÍCIO – 10.10 •
10.10 Para o rotor do Problema 10.5, determine o ângulo de entrada da pá para o qual a componente tangencial da velocidade de entrada é zero se a vazão volumétrica for 8 m³/s. Calcule a altura de carga teórica e a potência 2 mecânica teórica de entrada. 60,21rad / s 575. 60
SEÇÃO (1)
SEÇÃO (2)
r(mm)
400
1200
b(mm)
120
80
?
60
Q U i r i 2 r i bi V 1 H (V t 2U 2 V t 1U 1 ) V rbi ni g sen i (V U V U )m QH W m t 2 2 t 1 1
V ti U i V ni (cot g i ) sen i
V ni V rbi
V ni
RESOLUÇÃO – EX. 10.10 575.
ENTRADA
2 60,21rad / s 60
V t 1 U 1 V n1 (cot g 1 ) 0 Q 8 V n1 26,53m / s 2 r 1b1 2 (0,4)(0,12) U 1 r 1 (0,4)(60,21) 24,09m / s U cot g 1 1 V n1 24,09 cot g 1 0,908 26,53 1 47,7 0
SA DA
V t 2 U 2 V n 2 (cot g 2 ) Q 8 V n 2 13,26m / s 2 r 2 b2 2 (1,2)(0,08) U 2 r 2 (1,2)(60,21) 72,25m / s V t 2 72,25 13,25(cot g 60 0 ) 64,6m / s
1 1 H (V t 2U 2 V t 1U 1 ) [(72,25)(64,6)] 475m g 9,81 QH (9810)(8)(475) 37,34 MW W m
EXERCÍCIO 10.14 •
Uma bomba centrífuga, projetada para bombear água a 1300 rpm tem dimensões
Desenhe o diagrama de velocidade de entrada para uma vazão volumétrica de 35 l/s. Determine o ângulo de entrada nas pás para o qual a velocidade de entrada não possui componente tangencial. Trace o diagrama de velocidade de saída. Determine o ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção normal). Avalie a potência hidráulica fornecida pela bomba, se a sua eficiência é de 75%. Determine a altura de carga desenvolvida pela bomba.
RESOLUÇÃO – EX. 10.14 1300
ENTRADA
2 136,14rad / s 60
35 x10 3 Q 5,57m / s V n1 2 r 1b1 2 (0,1)(0,01) U 1 r 1 (136,14)(0,1) 13,61m / s V t 1 U 1 V n1 (cot g 1 ) 0 U cot g 1 1 V n1 13,61 cot g 1 2,436 5,57 1 22,26 0 H
V t 1 0
SA DA
35 x10 3 Q V n 2 4,24m / s 2 r 2 b2 2 (0,175)(0,0075) U 2 r 2 (136,14)(0,175) 23,82m / s V t 2 U 2 V n 2 (cot g 2 ) 23,82 4,24(cot g 40 0 ) V t 2 18,76m / s V 18,76 tg 2 t 2 4,425 V n 2 4,24 2 77,27 0
1 1 (V t 2U 2 V t 1U 1 ) [(72,25)(64,6)] 475m g 9,81 QH (9810)(8)(475) 37,34 MW W m
EXERCÍCIO – 10.17 •
•
Uma bomba centrífuga, projetada para bombear água a 460 gpm tem dimensões (Q = 0,029m³/s) PARÂMETRO
ENTRADA
SAÍDA
RAIO, r (m)
0,0762
0,1524
Largura da pá, b (m)
0,00762
0,00635
Ângulo da pá, (grau)
25
40
Desenhe o diagrama de velocidades de entrada. Determine a velocidade de projeto, se a velocidade de entrada não possui componente tangencial. Trace o diagrama de velocidades de saída. Determine o ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção normal). Avalie a altura de carga teórica desenvolvida pela bomba. Estime a mínima potência mecânica entregue à bomba.
RESOLUÇÃO – EX. 10.17 ENTRADA
V t 1 U 1 V n1 (cot g 1 ) 0 0,029 Q V n1 7,95m / s 2 r 1b1 2 (0,0762)(0,00762) V t 1 r 1 V n1 (cot g 1 ) 0 r 1 V n1 (cot g 1 ) V (cot g 1 ) n1 r 1 (7,95)(cot g 250 ) 223,87rad / s 0,0762
H
SA DA
0,029 4,77m / s 2 (0,1524)(0,00635) U 2 r 2 (223,87)(0,1524) 34,12m / s V n 2
V t 2 34,12 4,77(cot g 40 0 ) 28,43m / s V 28,43 cot g 2 t 2 5,96 V n 2 4,77 2 80,47 0
1 1 (V t 2U 2 V t 1U 1 ) [(34 ,12 )( 28,43) 0] 98,88 m g 9,81 QH (9810 )(0,029 )(98 ,88 ) 28131 W W m
EXERCÍCIO – 10.25 •
•
Dados medidos durante testes de uma bomba centrífuga a 2750 rpm são
A vazão é 15 m3/h e o torque aplicado ao eixo da bomba é 8,5 N.m. Avalie as alturas totais de carga dinâmica na entrada e na saída da bomba, a potência hidráulica entregue ao fluido e a eficiência da bomba. Especifique o tamanho (potência) do motor elétrico necessário para acionar a bomba. Se a eficiência do motor elétrico for 85%, calcule a potência elétrica necessária.
RESOLUÇÃO – EX. 10.25 2750
2 60
287,98rad / s
Q
15 3600
0,00417 m ³ / s
p V 2 p V 2 H p z z 2 g desc arg a ( 2) 2 g sucção(1) 500 x10 3 (3,5) 2 120 x10 3 (2,5) 2 H p 9 2,5 2g 2g 9810 desc arg a ( 2 ) 9810 sucção (1) H p 60,6 15,05 45,5m QH (9810)(0,00417)( 45,5) 1863W W h p A potência mecânica de entrada é:
T (8,5)( 287,98) 2448W W h Rendimento ( p )
p
W h W m
1863 2448
0,76 76%
A potência requerida pelo rotor é:
Pm P
2448
3,28hp
0,76 Pm 2448
2880W
EXERCÍCIO – 10.17 •
•
Uma bomba centrífuga, projetada para bombear água a 460 gpm tem dimensões (Q = 0,029m³/s) PARÂMETRO
ENTRADA
SAÍDA
RAIO, r (m)
0,0762
0,1524
Largura da pá, b (m)
0,00762
0,00635
Ângulo da pá, (grau)
25
40
Desenhe o diagrama de velocidades de entrada. Determine a velocidade de projeto, se a velocidade de entrada não possui componente tangencial. Trace o diagrama de velocidades de saída. Determine o ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção normal). Avalie a altura de carga teórica desenvolvida pela bomba. Estime a mínima potência mecânica entregue à bomba.
RESOLUÇÃO – EX. 10.17 ENTRADA
V t 1 U 1 V n1 (cot g 1 ) 0 0,029 Q V n1 7,95m / s 2 r 1b1 2 (0,0762)(0,00762) V t 1 r 1 V n1 (cot g 1 ) 0 r 1 V n1 (cot g 1 ) V (cot g 1 ) n1 r 1 (7,95)(cot g 250 ) 223,87rad / s 0,0762
H
SA DA
0,029 4,77m / s 2 (0,1524)(0,00635) U 2 r 2 (223,87)(0,1524) 34,12m / s V n 2
V t 2 34,12 4,77(cot g 40 0 ) 28,43m / s V 28,43 cot g 2 t 2 5,96 V n 2 4,77 2 80,47 0
1 1 (V t 2U 2 V t 1U 1 ) [(34 ,12 )( 28,43) 0] 98,88 m g 9,81 QH (9810 )(0,029 )(98 ,88 ) 28131 W W m
EXERCÍCIO – 10.25 •
•
Dados medidos durante testes de uma bomba centrífuga a 2750 rpm são
A vazão é 15 m3/h e o torque aplicado ao eixo da bomba é 8,5 N.m. Avalie as alturas totais de carga dinâmica na entrada e na saída da bomba, a potência hidráulica entregue ao fluido e a eficiência da bomba. Especifique o tamanho (potência) do motor elétrico necessário para acionar a bomba. Se a eficiência do motor elétrico for 85%, calcule a potência elétrica necessária.
RESOLUÇÃO – EX. 10.25 2750
2 60
287,98rad / s
Q
15 3600
0,00417 m ³ / s
p V 2 p V 2 H p z z 2 g desc arg a ( 2) 2 g sucção(1) 500 x10 3 (3,5) 2 120 x10 3 (2,5) 2 H p 9 2,5 2g 2g 9810 desc arg a ( 2 ) 9810 sucção (1) H p 60,6 15,05 45,5m QH (9810)(0,00417)( 45,5) 1863W W h p A potência mecânica de entrada é:
T (8,5)( 287,98) 2448W W h Rendimento ( p )
p
W h W m
1863 2448
0,76 76%
A potência requerida pelo rotor é:
Pm P
2448
3,28hp
0,76 Pm 2448
2880W
EXERCÍCIO 10.35
10.35 Uma bomba centrífuga opera a 1750 rpm (183,26 rad/s); o rotor tem pás curvadas para trás com = 60° e b2 = 0,50 in (0,0127 m). A uma vazão de 350 gpm (0,0220815 m³/s), a velocidade radial de saída é V n = 11,7 ft/s (3,57 m/s). Estime a altura de carga que esta bomba pode desenvolver a 1150 rpm (120,43 rad/s). 2
RESOLUÇÃO DO EX. 10.35 ' = 183,26 rad/s;
b' 2 = 0,0127 m;
V ' n2
= 3,57 m/s
Q ' = 0,00220815 m³/s; ' ' = 120,43 rad/s Q ' V n' 2 (2 )(r 2' )(b2' ) Considerando o mesmo diâmetro, faremos a análise de semelhança através do coeficiente de vazão. Q Q Q Q 1 3 2 3 1 2 An 2U 2 1 An 2U 2 2 1 D1 2 D2 Q' ' 0,0220815 183 ,26 Q' ' 0,0145m³ / s Q' ' ' ' Q' ' 120 ,43 Então se os diâmetros são iguais: V n'2 ' 120 ,43 '' 2,35 m / s V ( 3 , 57 ) n2 183 ,26 V n''2 ' ' U 2'' ' ' r 2 (120 ,43)(0,0775 ) 9,33 m / s V T ''2 U 2'' V ' ' n 2 cos 2 9,33 ( 2,35) cos(60) 8,16m / s Logo, a altura de carga será dada por: H
V T ''2U 2'' g
(9,33)(8,16 ) 9,81
7,76 m
EXERCÍCIO 10.36 10.36 Use os dados abaixo para verificar as regras de similaridade para uma bomba com diâmetro de impulsor D = 11,0 in (0,2794 m), operada a 1750 rpm (183,26 rad/s) e 3550 rpm (371,76 rad/s) . N (RPM) Bomba 1 1750 Bomba 2 3550
Bomba 1 Bomba 2
Q (gpm)
H (ft)
Wm (HP)
470 970
104 430
17 135
Rendimento (%) 73 74
Rad/s
Q (m³/s)
H (m)
Wm (W)
183,26
0,0297
31,7
12.677
Rendimento (%) 73
371,76
0,0612
131,1
100.670
74
RESOLUÇÃO DO EX. 10.36 Os coeficientes de similaridade são: Vazão: Q1 3 Q2 3 1 D1
2 D2
H 1 H 2 12 D12 22 D22 P P Potência: 3 1 5 3 2 5 1 D1 2 D2 Considerando D1 D2 , tem-se: Q1 Q2 (183,26) Q1 Q2 1 Q1 0,0612 0,030 1 2 2 (371,76)
Carga:
Este valor encontrado é semelhante ao que está tabelado acima 12
(183,26) 2 2 H 1 H 2 2 H 1 131,1 31,8 2 2 1 2 2 (371,76)
H 1
H 2
Este valor encontrado é semelhante ao que está tabelado acima 13
(183,26) 3 3 P1 P2 3 P1 100670 12060 3 3 1 2 2 (371,76) P1
P2
Percebe-se mais uma vez a similaridade entre as bombas
EXERCÍCIO 10.46
10.46 Um modelo de bomba centrífuga, em escala 1:3, produz uma vazão Qm = 32 cfs (pés cúbicos por segundo) ou (0,906 m³/s) com uma altura de carga H m = 15 ft (4,572 m), operando a N m = 100 rpm (10,472 rad/s). Admitindo eficiências comparáveis para modelo e protótipo, estime a vazão, a altura de carga e a potência requerida se a velocidade de projeto é 125 rpm (13,09 rad/s). O fluido é água.
RESOLUÇÃO DO EX. 10.46 Dm 1 D p 3
Os coeficientes de similaridade são: 3
Q p p D p Qm 13,09 3 Vazão: 0 , 906 Q Q 3 30,58 p m 3 3 m Dm p D p 10,472 m Dm H p p H m Carga: 2 2 2 2 H p H m m Dm p D p m
2
2
2
D p 13,09 2 4,572 3 64,294 10,472 Dm
P p p Pm Potência: 3 5 3 5 P p Pm m Dm p D p m
3
D p Dm
5
Contudo, teremos que antes encontrar a potência hidráulica do modelo, que é dada pela equação: Pm Qm H m 9810(0,906)(4,572) 40635W 3
Logo:
13,09 5 P p 40635 3 19269140W 10,472
EXERCÍCIO – 10.17 •
•
Uma bomba centrífuga, projetada para bombear água a 460 gpm tem dimensões (Q = 0,029m³/s) PARÂMETRO
ENTRADA
SAÍDA
RAIO, r (m)
0,0762
0,1524
Largura da pá, b (m)
0,00762
0,00635
Ângulo da pá, (grau)
25
40
Desenhe o diagrama de velocidades de entrada. Determine a velocidade de projeto, se a velocidade de entrada não possui componente tangencial. Trace o diagrama de velocidades de saída. Determine o ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção normal). Avalie a altura de carga teórica desenvolvida pela bomba. Estime a mínima potência mecânica entregue à bomba.
RESOLUÇÃO – EX. 10.17 ENTRADA
V t 1 U 1 V n1 (cot g 1 ) 0 0,029 Q V n1 7,95m / s 2 r 1b1 2 (0,0762)(0,00762) V t 1 r 1 V n1 (cot g 1 ) 0 r 1 V n1 (cot g 1 ) V (cot g 1 ) n1 r 1 (7,95)(cot g 250 ) 223,87rad / s 0,0762
H
SA DA
0,029 4,77m / s 2 (0,1524)(0,00635) U 2 r 2 (223,87)(0,1524) 34,12m / s V n 2
V t 2 34,12 4,77(cot g 40 0 ) 28,43m / s V 28,43 cot g 2 t 2 5,96 V n 2 4,77 2 80,47 0
1 1 (V t 2U 2 V t 1U 1 ) [(34 ,12 )( 28,43) 0] 98,88 m g 9,81 QH (9810 )(0,029 )(98 ,88 ) 28131 W W m
EXERCÍCIO – 10.25 •
•
Dados medidos durante testes de uma bomba centrífuga a 2750 rpm são
A vazão é 15 m3/h e o torque aplicado ao eixo da bomba é 8,5 N.m. Avalie as alturas totais de carga dinâmica na entrada e na saída da bomba, a potência hidráulica entregue ao fluido e a eficiência da bomba. Especifique o tamanho (potência) do motor elétrico necessário para acionar a bomba. Se a eficiência do motor elétrico for 85%, calcule a potência elétrica necessária.