UAP - TACNA
INGENIERIA CIVIL - II
FISICA - I
VECTORES
DEFINICIÓN DE VECTOR Es un ente matemático que sirve para representar a las magnitudes de carácter vectorial. Se trata de segmentos de recta con orientación; si se dibujan a escala se representa la medida de la cantidad. Para representar la dirección de las cantidades vectoriales se han ideado ideado a los VECTORES.
5. Vectores coplanares: Son aquellos que se encuentran contenidos en un mismo plano. B P
Ejemplos: Desplazamiento, velocidad, aceleración, campo eléctrico, etc.
fuerza,
impulso,
Línea de acción
o l o d u ó M
6. Vectores opuestos: Dos vectores serán opuestos cuando tienen igual dirección, módulo pero sentido contrario. L1 // L 2 L 1 A
Sentido
L 2
A
B
Dirección
C
A
Línea horizontal
Módulo: Llamado también NORMA o TAMAÑO, es la medida de la longitud del vector, el módulo se representará mediante la notación: A : se lee “Módulo de A ”; A ”; si un vector no aparece con flecha encima se sobreentiende que se refiere al módulo, es decir: A A Dirección: Es el ángulo que forma el vector con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas (por lo general se toma la orientación con respecto al semieje positivo de las abscisas). Sentido: Representado por la flecha del vector.
7. Vectores concurrentes: Son aquellos que sus líneas de acción se cortan entre sí, en un mismo punto. C
O
A
B
Se observa que las líneas de acción de los vectores A , B y C concurren en el punto “O”
Línea de Acción: Es aquella línea donde se encuentra contenido el vector a través de la cual puede deslizarse.
CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES: 1. Vectores colineales: Son aquellos que se encuentran contenidos en una misma línea de acción. A
B
C
2. Vectores iguales: Dos vectores serán iguales cuando tienen la misma dirección, módulo y sentido. L1 // L 2 A
//
L 1
OPERACIONES CON VECTORES
B
//
L 2
3. Vector unitario: Es aquel cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector. A
A u
u
A A
4. Vectores paralelos: Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas entre sí. En la figura: Dadas las rectas paralelas: L 1 // L 2 // L 3 L 2
L 1
L 3
B
A
C
Ejemplo práctico vectores concurrentes
Los vectores: A // B // C también son paralelos Por consiguiente se cumple también:
también se le llama resultante. ADICIÓN: Al vector “suma” también La resultante produce el mismo efecto que los suman dos.
1. MÉTODO DEL TRIÁNGULO Este método es válido sólo para dos vectores coplanares y concurrentes
R
b
a
a
b
R
Pasos a seguir: Se forma el triángulo, cuando son “SÓLO” 2 vectores Para hallar el valor de R se aplica la Ley de Lamy o de senos:
A
B
C
A
B
C
vectores unitarios iguales iguales
R sen
a se n
b sen Pág. 1
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INGENIERIA CIVIL - II
2. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO
A
CASOS PARTICULARES Y POSICIONES RELATIVAS DE LOS VECTORES:
Pasos a seguir: La suma o resultante ( R ) es la diagonal del paralelogramo formado. La suma o resultante se denota:
R /
/
/
/
B
1. Cuando 0 y los vectores mismo sentido.
A
B
A
B
R
A
2
B
2
B
A
R
A B
R máx
ANALÍTICAMENTE: R
y B son paralelos y del
A
FISICA - I
2AB cos
; Ley del paralelogramo
2. Cuando 180 y los vectores sentidos opuestos.
3. MÉTODO DEL POLÍGONO
A
A
3.1 Método del Polígono Abierto: Se usa generalmente para sumar más de dos vectores. Se colocan uno a continuación del otro, manteniendo constante su VALOR, DIRECCIÓN y SENTIDO. La resultante es el vector que parte del origen del primero y llega al extremo del último. Ejemplo:
A B
y B son paralelos y de A
B
B
R
A B
R mín
A B
a
b
1
3
2 d
Construyendo el polígono:
4
B
b
2
a
3. Cuando 90 , los vectores A y B son perpendiculares.
c
R
R
1
3
c
La resultante es: R
R
a
b
c
2
B
d
4. Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 60°. A X y B X
d
3.2 Polígono Cerrado: En este caso todos tienen la misma secuencia (horario). El extremo del último llega al origen del primero.
A X
R
R
B
F
0
R
C
A
B C
D E
B X
F
0
5. Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 120°. A X y B X
D
E
DIFERENCIA ( D )
R A
La diferencia de vectores es llamada también resultante diferencia. Vectorialmente: D A ( B) D A B
D
A
D
A
2
B
2
2AB cos(180º )
/ /
Pero 180
se
cos(180º
sabe que: ) cos
X
X 1 2 0
B
Por la Ley de cosenos: / /
X 3
60
La Resultante es: R
2
A
4
A
A
X
6. Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 90°. A X y B X
B
B
B X
A
R
R
X 2
D D
A
2
B
2
2AB cos
A X
B Pág. 2
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INGENIERIA CIVIL - II
DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE UN VECTOR Y Expresión vectorial de A : A
A xi
A
A cos i
A
FISICA - I 3
Módulo de un vector en R El módulo de un vector A a1i a 2 j a 3k ; está dado por:
Ay j
A
A
Asenj
A y
Asen
a1
A x A cos
a3
A
O
2
Ay
2
respecto al eje X: ta n
A y A x
Vectores en el Espacio Análogamente a los puntos del plano cartesiano que están representados por un par ordenado, los puntos del espacio se representan mediante ternas de números o coordenadas espaciales. Puntos en el espacio: (x, y, z) X: eje de abscisas Y: eje de ordenadas Y Z: eje de cotas
A
a1i
U
A
a1 2
P(x,y,z)
O
ordenada
Z
abscisa
X
a 2 j a 3k a 22
a32
Cosenos directores: Las direcciones del vector con respecto a los ejes coordenados están dados por: : ángulo de inclinación con respecto al eje X : ángulo de inclinación con respecto al eje Y : ángulo de inclinación con respecto al eje Z Y
a2
a3
O
A
a1
Dirección con el eje X:
cos
Dirección con el eje Y:
cos
Dirección con el eje Z:
cos
a1 A a2 A a3 A
X
Cosenos directores
2 2 2 Propiedad: cos cos cos 1
Y
OPERACIONES CON VECTORES EN
a2 a3
A
Dirección de un vector en R 3 : La dirección de un vector en R 3 , está dada por sus ángulos de orientación con respecto a los 3 ejes coordenados. Y a los cosenos de dichos ángulos se denominan cosenos directores.
Z
cota
A
U
Módulo del vector A : Ax
2
a1
Z
X
A
a3
vector: se define A (a1, a 2 , a 3 ) , como vector unitario en la dirección de A , a la expresión:
a2
Componentes rectangulares de un vector en el plano: Las componentes rectangulares están dadas por: A x A cos A y Asen
2
Vector Unitario Dado un
Y
X
Como par ordenado: A A(cos , sen)
A
a2
Del gráfico:
A(cos i senj)
Dirección del vector
2
O
A
A(a1,a 2,a 3)
R
3
a) SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES: Dados dos vectores: A a1i a 2 j a 3k y B b1i b 2 j b 3k
a1
Z
Se define como vectores suma y diferencia, respectivamente: X
Componentes de un vector en R
3
S
A
B
S
(a 1
b1)i (a 2
b 2 )j (a 3
b 3 )k
D
A
B
D
(a1
b1)i (a 2
b 2 )j (a 3
b 3 )k
3
Expresión vectorial de un vector en R Un vector A (a1, a 2, a 3 ) , se puede escribir como combinación lineal de sus vectores unitarios canónicos, así: A
a1i
a 2 j a 3k
Dados dos puntos en el espacio, se puede hallar el vector que dichos puntos determinan, aplicando: V
Pfinal
Pinicial
b) MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR EN R 3 Dado el vector: A a1i a 2 j a 3k y un escalar como producto por escalar a la operación: rA
r(a1i
a 2 j a 3k)
rA
ra 1i
“r” se define
ra 2 j ra 3k
Donde el vector rA , es múltiplo y necesariamente paralelo al vector A . Pág. 3
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c) PRODUCTO INTERNO O PRODUCTO PUNTO EN
R
3
:
Dados dos vectores: A a1i a 2 j a 3k y B b1i b 2 j b 3k Se define como producto interno A . B de vectores a la expresión dada por: A B
a1b1
a 2b 2
a 3b 3
En
R
3
a12
A
a 22
Propiedades del Producto Vectorial Dado los vectores A, B y C R 3 y los escalares r, s R , se cumple: 1. A B B A 2. A (B C) (A B) C A B 3. r(A) B r(A B) 4. (A B) C A C B C 5. A B ABsen A B 0 6. Si: A // B A B AB 7. Si A B
Observe que: En R 2 , para un vector A a1i a 2 j ; se cumple que: A
FISICA - I
A2
A
B
Representación gráfica del producto vectorial
, para un vector A a1i a 2 j a 3k ; se cumple que: A
A
a1
2
2
a2
2
a3
A
2
Producto de vectores canónicos: Puesto que un vector siempre es paralelo a sí mismo:
Otra definición: i i j j k k 0 Es posible también definir el producto interno mediante la Además: j relación: i j k A B AB cos j k i i k k i j Donde: A : módulo del vector A Regla de la mano derecha: B : módulo del vector B Sirve para determinar la dirección del vector A B : ángulo formado por los vectores A y B ¡Observe! Propiedades del Producto Interno: 3 Dado los vectores A, B y C R y los escalares r, s cumple: 1. A B B A 2. A A
A B
R , se
A
B
2
A
3. (rA) B r(A B)
F
4. A (B C) A B A C 5. (A B) (A B) A 2 B 2 6. Si A
B
A
B
r
0 Dirección del torque
Importante: Del vector suma, de acuerdo a las propiedades: S
A
S S S
2
F
r
rFsen
B (A
B) (A
B)
2
2A B
B
A
Fuerza aplicada
r F
El momento de fuerza es un ejemplo práctico del producto vectorial
2
Por definición de producto interno: S
2
A
2
B
2
Interpretación Geométrica del vector A× B El vector A B , está representado por un vector perpendicular, tanto al vector A como al vector B . Su módulo es igual al área del paralelogramo formado.
2AB cos
Análogamente, para el vector diferencia: D
2
A
2
B
2
2AB cos
Observe:
Observe: ¡Esta es la ley del coseno! d)PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ EN
R
Triángulo
A B
3
1 A B 2
B
Dados dos vectores: A a1i a 2 j a 3k y B b1i b 2j b 3k ; se define como producto vectorial A B , a la expresión definida por el determinante: A B
i
j
k
a1
a2
a3
b1
b2
b3
(a 2 b3
a 3 b 2 )i (a1b 3
a 3 b1 )j (a1b 2
a 2 b1 )k
O
A b A
b h
B Asen
Luego: A
h
Además
bh ;
A
bh
ABsen
A B
ABsen
Para el triángulo: A
1 A B 2
1 ABsen 2 Pág. 4
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INGENIERIA CIVIL - II
E) PRODUCTO TRIPLE EN
R
Dado los vectores A, B y C R 3 , se define como producto triple A (B C) a la expresión definida por un determinante de la forma: A (B C)
A x
Ay
A z
Bx
By
Bz
Cx
Cy
Cz
A x (B y C z
FISICA - I
3
B z C y ) A y (B x Cz
Bz Cx ) A z (Bx C y
B y Cx )
P Q
i
j
3
2 1
0
S S
1 P Q 2 1 2 19 2
k 2i 6 j 6k
2 2
( 2)2
62
S
( 6)2
19
Rpta.
Ejemplo 03
Interpretación geométrica de A (B C) : Dados los vectores u (3,2,5) y v (4,1,6) halla un El producto triple A (B C) de los vectores A, B y C es igual al vector perpendicular a ambos volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores. Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial:
,
V
A (B C)
u v
Vparalelepípedo
A
A (B C)
2 1
5 6
5 3
,
6
3 2
(7, 2, - 5)
,
4
4 1
B
u v
j
k
3
2
5
A B
8 4 4
4
1
6
A B A
8
1 A.(B C) 3 1 A (B C) 3
(2, 2, 1) ( 4, 2, 4)
cos
B
Ejemplo 04 Hallar el volumen del tetraedro que forman los vectores: i j 3k A i j 2k ; B 2i 3j k ; C Solución: El volumen del tetraedro es la tercera parte del volumen del paralelepípedo. Entonces por el producto triple:
V
b) cos
7i 2 j 5k (7,2,5)
V
A B
también,
12i 20 j 3k 8k 5i 18 j
Solución: a) A B (2, 2, 1) ( 4, 2, 4)
o
i
C
Ejemplo 01 Dados los vectores A 2i 2j k y B 4i 2j 4k . Calcular: a) El producto escalar A B b) El coseno del ángulo que forman los vectores A y B c) El producto vectorial A B
mediante la regla mnemotécnica:
2
2
2
2
1
2
( 4)
2
2
2
( 4)
2
A
B
cos
cos
c)
A B
8
4 4 3(6)
8 18
C
cos
i
j
k
2
2
1
4
2
4
10i 4j 12k
Aplicando la solución del determinante:
4 9
( 8
V
2)i ( 8
4)j (4
Rpta.
B( 2, 0, 4)
A(1, 2, 3)
P
B A
3i 2j k
Q
C
2j 2k
S C(1, 0, 1)
2
3
1 1(8) 1( 5) 2(5) 3
1
1
3
V
1u
3
Rpta.
Ejemplo 05
A
Se sabe que: Q
1
8)k
Ejemplo 02 Determinar el área limitada por los puntos (1, 2, 3) ; ( 2, 0, 4) y (1, 0, 1). Solución: Graficando: P
1 1 2 3 1
y a (1;0; 1) , b (0;2; 1) c (2;0;0) , halla el volumen del paralelepípedo que determinan. solucion 1 0 1 Dados los vectores
Volumen [a, b , c ]
a.(b c )
0
2
2 0
1 4 0
1 P Q 2 Pág. 5
