00 TOPOGRAFIA EN ARQUITECTURA - LIBRO.pdf

PRÓLOGO

LECTOR, O MEJOR DICHO, ESTUDIANTE que te acercas a esta materia por primera vez, y eres tan curioso como para leer el prólogo de la obra, he de advertir que estas palabras preliminares no son del autor, sino de alguien, elegido por éste –no siendo la primera vez que lo hace– para presentarlo. El autor, hombre obstinado sin duda, me ha encargado este preludio, quizás para que salga de mi rutina literaria y me obligue a leer algo árido, lacónico, aséptico y preciso, como el gran Henry Boyle, a quien conocerás como Stendhal, que leía a diario una página del Código Civil para no perder la precisión en su estilo, o quizás, me convenceré de una vez, de que realmente le parece adecuado –me refiero con esto a mi estilo– para introducir un manual técnico. Por consiguiente, y como no soy conocedor, más de lo que aquí contaré, de la ciencia que este manual encierra, escribiré este exordio, como ya lo hice una vez, de oído, es decir, contaré una historia, espero que provechosa, tan curiosa como interesante, una historia que parece hecha a medida para este momento. A medida parece ya que, comenzaré diciendo a modo de introducción, al leer este libro se ha producido un hecho curiosísimo que conocerás poco a poco en las próximas líneas. Así pues, lo primero que diré acerca de la materia de la que trata, es decir la topografía o la geodesia, en primer lugar es que yo hasta ahora no había alcanzado a diferenciarlas, y en segundo lugar, 5

Topografía en Obras de Arquitectura

que sobre dicha materia lo único que hasta ahora había sabido se debe a los escritos, del protagonista de mi anunciada historia, Mateo Stral, y por otros relacionados que encontré al paso de investigar acerca de su vida, y este es el hecho tan curioso del que hablaba. Diré que de Mateo Stral no he encontrado hasta ahora ninguna referencia escrita, aparte de las que yo poseo, y que ahora contaré, ni por tanto supongo que exista nada. Sí he encontrado sin embargo, y de algunos mucho, acerca y de personajes que ciertamente estuvieron relacionados con él. En mi familia, siempre habíamos tenido a Stral por un antepasado, pero, estrictamente no lo fue, ya que, aunque tuvimos antepasados comunes, la relación que nos une es la descendencia que tuvo un tío suyo, hermano de su madre, concretamente Edouard de Saint-Nazaire, hermano de la madre que fue de Maeo Stral, Marie de Saint-Nazaire. Todo lo que voy a contar, a modo de brevísima biografía de un hombre, que, a través de otros, fue luminaria insigne, lo conozco por una serie de cuadernos manuscritos, que forman algo parecido a un diario, aunque en realidad son la recopilación de apuntes, anotaciones y dibujos de toda una vida, y cuya traducción y casi interpretación, y la posterior ordenación cronológica, ha sido mi dedicación de los últimos años. Estos papeles son legado de mi familia materna, y han estado en posesión de la familia desde hace más de tres siglos, cuando, y esto es deducción, Etienne, hijo de Edouard de Saint-Nazaire los recogió, probablemente tras la muerte de su primo. En mi familia hemos tenido a Mateo Stral como antepasado, tal como digo, hasta que hemos podido desentrañar parte de la historia, y, después de tantos años, casi lo consideramos. El Cuaderno de Mateo Stral lo seguiré guardando, y pasará a algún descendiente de nuestra familia, como siempre ha sido hasta ahora, y, como él parece que quiso quedar en el anonimato, no lo mencionare más que ahora, ni publicaré, mientras esté bajo mi custodia, pero permitidme que cuente esta historia, ya que, tras leer el libro cuyo autor me ha pedido prologar, no puedo resistir sin contarla. Verás, querido lector o estudiante, que viene al caso, y es apropiada, tanto como lo es la cal a la fábrica de albañilería. Mateo Stral nació en el seno de una acomodada familia, en la villa de Le Flèche, el 12 de diciembre de 1598, cuando gobernaba la ciudad el Señor Gillaume Fouquet de la Varenne. Su padre Adrien 6

Prólogo

Stral era médico, y su madre Marie de Saint-Nazaire, procedía de una familia del Loira, mujer de espíritu inquieto y vasta cultura. Mateo aprendió de su padre el orden y la disciplina, de su madre el amor por las artes, la lectura y la inquietud por el estudio. Cuando tuvo la edad ingresó en la moderna institución fundada por el mencionado gobernador de Le Flèche, el Collège Royal Henri-le-Grand, que ostentaba el nombre del Rey Henry IV, de quien el Señor de la Varenne se sentía orgulloso de ser amigo, y que fue desde su fundación, regida por los Jesuitas. Había que comprender que a principios del siglo XVI, hablar de la cultura del imperio católico español, entonces bajo el reinado de Felipe III, era signo de modernidad y, de alguna manera de inteligencia. La Societa Jesu, fundada casi un siglo atrás por San Ignacio de Loyola, San Francisco Javier y otros cinco compañeros, fue una activísima institución evangelizadora, y de una importancia capital para la implantación del Catolicismo en gran parte de Europa tras el Concilio de Trento. Sus teólogos han sido tanto luz de Trento como luz de la cultura, en los numerosos centros educativos, tanto colegios como universidades que fundaron en toda Europa. Allí Mateo, pues, en el Collège Royal de los Jesuitas, aprendió, latín, griego, matemáticas, física, biología, filosofía, música, arquitectura y astronomía, y leyó a autores tales como Cicerón, Horacio, Virgilio, Homero, Aristóteles y Platón, con los consiguientes comentarios de autores jesuitas, muchos de ellos lógicamente españoles, como eran Francisco Suárez, Francisco de Vitoria, Cristopher Clavius y Pedro de Fonseca entre otros. Mateo se educó de acuerdo con el sistema didáctico de los jesuitas, el Ratio Studiorum, y se ejercitó, como todos sus condiscípulos en la discusión, o disputatio, siguiendo la práctica clásica. En el Collège Royal Mateo aprovechó sobremanera las enseñanzas de sus maestros jesuitas, del que sólo menciona a un tal al Père Romero, así como su sistema de vida y su filosofía. Sobre ellos cuenta que se lo dieron todo en cuanto a conocimiento, y que admiraba la maravillosa sensación de libertad que le infundieron, lo importante que desde entonces fue para el la libertad, esencia misma del hombre, escribe Mateo que la libertad es algo que ni el Creador puede quitar al hombre, puesto que libre lo ha creado y libre lo quiere, así, si Dios quitase la libertad al hombre, le quitaría una parte esencial de sí mismo, convirtiéndolo en un ser distinto. Por otro lado, digamos en el lado negativo, cuenta que no 7


podía estar de acuerdo con el empeño en utilizar las argumentaciones a conveniencia, tomando sólo la parte de la verdad que en cada momento se necesitaba. Mateo escribe: una parte de la verdad no es la verdad, si a la verdad le quitamos algo, la convertimos en otra cosa. También, entre los amigos que menciona, sólo cabe destacar a Renè o Renato, en cuya unión hace prácticamente toda los estudios que compusieron su educación en el Collège Royal. Sin duda Renato fue un amigo especialísimo con el que compartió la su amistad en la adolescencia, y también el resto de su vida, aunque como veremos más tarde, de forma exclusivamente epistolar. Renato era dos años mayor que Mateo, así terminó su bachillerato dos años antes que él, yendo a la universidad, a la que Mateo nunca pudo ir. Entre los libros que Mateo menciona hay uno que denota un interés especial y este es Eratosthenes Batavus, sive de terræ ambitus vera quantitate escrito por el holandés Snellius, cuyo nombre era Willebrord Snel van Royen, y que Mateo leyó un año antes de terminar su educación con los Jesuitas. Se nota que las materias de las que trata, para Mateo despertaban una curiosidad especial, por lo que tenían de aplicación práctica de principios matemáticos, Mateo pensaba que la ciencia debía ser ante todo útil, que debía reflejarse en un interés. Así pues, los métodos topográficos que Snellius describía en su libro, entre los que, parece ser estaba la triangulación, supusieron para Mateo algo verdaderamente novedoso y apasionante. De la lectura de Snellius Mateo derivó sus estudios en dos direcciones, una la que apuntaba a la óptica, interés compartido con su amigo Renato y la otra a la propia aplicación a la topografía, que a Renato no interesó tanto, pero sí a Mateo. Hay que decir que ambos amigos coincidían en su curiosidad científica, pero no compartían siempre los mismos puntos de vista ni tampoco los mismos intereses. Mateo representaba los dibujos de sus estudios en un sistema que diseño en forma de retícula, cuyos bordes –derecho e inferior– estaban numerados, así llamaba a cada punto por el número que correspondía a la escala de cada uno de los bordes de la cuadrícula, Mateo decía que cada punto estaba así mejor ordonnée, y que con esas dos referencias estaba co-ordonnée. Este sistema llamó la atención de Renato desde el primer día que 8

Prólogo

lo vio, copiándolo y desarrollándolo. Cuando se separaron, siguieron compartiendo sus estudios y sus deducciones. Renato siempre en un plano muy teórico y Mateo en un plano mucho más práctico. Renato estaba muy interesado en lo que el llamaba el dualismo, pero Mateo le decía que era un camino poco interesante y le decía a Renato: en todo caso siempre habrá una duda, una duda que te acerca a la verdad, como por ejemplo la verdad de nuestra propia existencia, sé que existo por que pienso Renato, cogito ergo sum. El verdadero cambio lo experimentó Mateo cuanto murió su padre y no pudo ir a la Universidad, en la que Renato estaba ya a punto de licenciarse. Mateo de los años del Collège Royal además de una sólida formación intelectual y una enorme curiosidad científica, obtuvo la amistad con alguien, a quien, tras la finalización del bachillerato, no volvió a ver, aunque, siempre mantuvo el contacto por correo, su amigo René, a quien siempre llamó Renato, siendo, recíprocamente, llamado por éste, Mateus. Renato y Mateus, en los años del Collège Royal, fueron inseparables. Renato, una vez finalizado su bachillerato, se fue a estudiar a la universidad de Poitiers, que con fundación a comienzos del siglo XIV es una de las más antiguas de Francia, como lo hicieron algunos de sus otros compañeros, y Mateo tenía pensado seguir los pasos de Renato, pero terminado el periodo de bachiller, su padre murió, no pudiendo la viuda Stral permitir el gasto que suponía la educación superior de su hijo, aunque bien que ella lo hubiese querido. Mateo obtuvo el puesto de maestro en una escuela de Le Flèche, sin haber completado su currículo con una educación superior, aunque, por lo que se puede deducir, nunca abandonó el estudio y la investigación, sobre todo en las ciencias que más le interesaban: las matemáticas, la geodesia, la astronomía y la filosofía. Renato entonces, empezó a sorprender al mundo, pero nunca sorprendió a Mateo, ya que él sabía todo el proceso intelectual que René había seguido, y sobre todo a las ideas que, gracias a su formación universitaria y a su prestigio podía esparcir por el mundo, cosa que Mateo, no podía. Matero escribió a René cuando vislumbró la posibilidad de desarrollar una ciencia maravillosa. Mateo seguía estudiando desarrollando ideas, como un teorema de poliedros que envió a René en una de sus cartas, o un método para poder construir polígonos regulares, que decía así: para 9


construir un polígono regular inscrito en una circunferencia has de partir del ángulo interior de sus lados, que hallarás multiplicando el círculo completo de trescientos sesenta grados por el número de lados buscado menos dos y dividiendo el resultado por el doble del número de lados buscado, y la longitud del lado será el producto del diámetro de la circunferencia por el seno del ángulo que es la mitad del complementario del que forman los lados del polígono. Siendo este uno de los ejemplos que contienen los escritos de Mateo junto con muchos otros estudios acerca de círculos, ángulos y figuras geométricas. René publico su primer libro, pidiendo permiso a Mateo para incluir sus ideas, aunque estas eran fundamentalmente filosóficas. Mateo pensaba que a través de René podría difundir sus propias ideas, y así lo hizo: René, instalado en París, obtenía de sus interminables cartas frutos indudables, y Mateo, humilde maestro de escuela de provincias, se sentía orgulloso de sus ideas y de su amigo. René agradeció siempre a Mateo que de su intercambio de ideas surgiera tanta luz. Mateo se casó, y tuvo dos hijas, René nunca lo hizo. Cuando Mateo conoció a Clara, su mujer, escribió a René: mi querido amigo, he encontrado a una mujer cuya belleza se parece a la verdad. Su amistad duró hasta que, tras vivir en algunos países de Europa, y ser un personaje famoso y respetado, René murió en Suecia de una enfermedad pulmonar, aunque luego alguien dijo que había sido envenenado. Siendo Mateo un anciano, visitó los restos de su amigo René, que habían sido trasladados a la iglesia de Saint-Genevieve-du-Mont de París, por orden del gobierno de la nación. De todas formas, lo que apasionaba a Mateo era la astronomía, y también la geodesia, estando obsesionado por la forma de la tierra y sus dimensiones, desde que leyera en el libro de Snellius la medicion que éste había hecho. La mayor parte del tiempo que podía dedicar al estudio era nocturno, y tras muchas noches se acostumbró a estudiar las órbitas de los cuerpos celestes, pensando y calculando cuánto podría medir las estrellas y los demás planetas, estando obsesionado con la medición de de la Tierra. Sí, realmente Mateo quería también medir la Tierra, 10

Prólogo

quería saber cuándo media exactamente el radio de aquella esfera, y, aunque el cálculo era muy sencillo, lo complicado era obtener los datos correctos. Uno de los alumnos de Mateo era un niño de Le Flèche, hijo de unos amigos, que se llamaba, Jean-Felix. El niño, a veces, visitaba la casa de Mateo y siempre había mostrado curiosidad por los instrumentos que Mateo guardaba en su gabinete, y por sus dibujos, cuando Mateo comprendió que el interés del joven Jean era verdadero empezó a enseñarle matemáticas y astronomía. El pequeño Jean ingresó también en el Collège royal de La Flèche, obteniendo su título de bachiller, al tiempo que fue ordenado como sacerdote católico, sin embargo mantuvo siempre el contacto con su amigo, que consideraba su primer maestro, Mateo Stral. Ambos observaron expectantes el fantástico eclipse solar que tuvo lugar el 21 de agosto de 1645. Aunque por aquel entonces, el Reverendo Jean, ya tenía puestas sus miras en la Universidad de París, en la que se graduó cinco años más tarde, justamente un año antes de la muerte de Renato, de quien había oído hablar a Mateo muchas veces. Cinco años mas tarde, el pupilo de Mateo Stral, era nombrado profesor de astronomía del Collège de France de París, y once años más tarde ingresó en la Academie Royal des Sciencies, siendo ya una autoridad en astronomía, y desde 1655 profesor precisamente del Collège Royal, en dónde ambos habían estudiado. El Reverendo Jean, tenía en mente realizar el sueño de su primer maestro: medir la Tierra. Mateo, era ya casi un anciano, cuando el Reverendo Jean, a quien llamaban el Abate, ya que era prior de Rillé, le dijo que estaba en disposición de establecer una medición a lo largo de un meridiano, con el objeto de calcular el radio de la Tierra. Aunque el Abate debería haber sido el director del Observatorio de París, o al menos eso pensaba Mateo, y su opinión era seria, la dedicación religiosa del Abate le impedía claramente la libertad de acción, y para este puesto habían nombrado a un petulante italiano llamado Cassini. Sin embargo la Academie, algunos dicen que bajo la influencia o incluso las órdenes de Luis XIV, le proporcionaría al Abate la ayuda necesaria para la medición. Mateo no pudo acompañar al Abate en su medición, pero entre ambos diseñaron el sistema, basándose naturalmente en los 11


escritos de Snellius, aunque el sistema lo había pensado una y mil veces antes el propio Mateo. En el año de 1670, al Abate midió un arco de meridiano de un grado, entre la ciudad de Amiens y París, comenzando por la torre del reloj de Sourvon, cerca de Amiens. El resultado de la medición arrojó que un arco de longitud 110,46 kilómetros correspondía a un grado de latitud, de dónde se deduce que el radio de la tierra tiene 6.328,9 kilómetros, lo cual fue un verdadero logro tanto para Mateo como para el Abate, considerándose ésta, como la primera medición del radio de la Tierra, sin contar la que en la antigüedad había hecho Eratóstenes de Cirene. Pero, tal como pasó con los libros de Renato, al Abate Jean se llevó toda la Gloria. Mateo nunca envidió a ninguno de ambos, al contrario los animó y se alegró de sus éxitos, que en el fondo eran los suyos. Al abate Jean-Felix se le erigió un monumento en Juvisy-sur-Orge, pero ni él ni Mateo lo supieron nunca, ya que fue en 1740. Ambos habían fallecido mucho antes. Cuando Mateo Stral murió, en Le Flèche, sólo murió un anciano que había sido Maître d’école, respetado y querido por sus pocos amigos, además de por su familia, pero poco más que eso. Su mujer y su hija habían muerto en 1666, contagiadas por la peste que asoló Inglaterra en aquellos años, y que también dejó un buen número de víctimas en Francia. Mateo había tenido una hija llamada Julienne, que tras casarse en el año 1643 había enviudado dos años más tarde, y vivía en casa de Mateo. Ambas mujeres murieron de la peste negra o peste bubónica, lo que hizo que Mateo no fuera nunca el mismo, aunque siguió con su actividad intelectual hasta su propia muerte, cuya fecha no está muy clara aunque debió de ser a muy avanzada edad, puesto que los últimos escritos datan de cinco años después de la medición del Abate, fecha en la cual Mateo tenía setenta y ocho años, y en los que describe precisamente la visita de su primo Etienne de Saint-Nazaire, punto este que fue uno de los más difíciles de descrifrar en los escritos de Mateo. A veces me imagino, al bueno de Etienne, ocupándose de las exequias de su primo, y vendiendo su casa, por la que pasó multitud de gente que no prestaba la menor atención a los libros, tirados y deshojados en el suelo. La razón por la que mi antepasado Etienne recogió, guardó y legó, precisamente esos 12

Prólogo

papeles es un misterio, ya que Mateo casi no menciona a su familia, que se hayan conservado hasta ahora una curiosa coincidencia, que nunca se hayan descifrado en su totalidad hasta hace unos años un misterio, y que coincidan, en una gran parte, con el tema de que trata este libro una casualidad que me cuesta trabajo creer. Pero en cualquier caso, de esos escritos, anónimamente, no sólo había salido el proyecto de medición más exacto que hasta entonces se había hecho de la Tierra, había salido, sobre todo la visión más clara, hecha de método y de duda, que hasta el momento se había tenido de la filosofía, en esos papeles estaba escrito porqué nuestro pensamiento occidental enlazaba con el de los clásicos, y tomaba sentido de ellos. Este es el destino de muchos hombres, en cuyo corazón, ocupado con otros sentimientos más altos no cabe la vanidad, este es el destino de tantos Mateo Stral como hay en el mundo, cuyos laureles los cosechan otros, pero que se sienten satisfechos porque al fin y al cabo, sus ideas ha valido para poner un hito en la historia del conocimiento humano. De los dos personajes amigos de Mateo que aquí se mencionan, uno de ellos es tan evidente que la sorpresa de su descubrimiento aún me dura. Confieso que al segundo personaje no lo conocía, y tuve que buscar su biografía en las enciclopedias para saber quien es, puesto que Mateo nunca mencionó los apellidos de nadie, excepto de los de su madre y el suyo propio. Descubrí pues, con gran asombro, que el segundo personaje también fue un hombre notable. Uno de ellos se menciona en el texto de este libro, el otro, espero que tú, lector o estudiante, no hayas tardado mucho en darte cuenta de quien es. Tomás Álter de S.N., 19 de febrero de 2009.

13

1. INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA Y esto te será señal de parte de Jehová, que Jehová hará esto que ha dicho: He aquí yo haré volver la sombra por los grados que ha descendido con el sol, en el reloj de Acaz, diez grados atrás. Y volvió el sol diez grados atrás, por los cuales había ya descendido. (Isaías, 38-7)

1.1. La Topografía. La topografía, del griego τόπος = lugar y γράφειν = escribir, se define como el arte de describir y delinear detalladamente la superficie de un terreno, y es la ciencia que estudia y desarrolla el conjunto de principios y procedimientos destinados a la representación gráfica de la superficie de la Tierra, con todas sus formas y detalles, tanto naturales como artificiales. La topografía es una disciplina básica en todos los procesos relacionados con la ingeniería y la arquitectura, siendo pues, una asignatura común a la mayor parte de las carreras técnicas así como una carrera en sí misma. En relación con la arquitectura, la topografía responde a la necesidad de solucionar dos problemas básicos: en primer lugar la posibilidad de disponer de un modelo a escala del terreno sobre el que vamos a construir, y en segundo lugar la materialización en este terreno del proyecto una vez ejecutado. La topografía, como ciencia auxiliar de la arquitectura se ha venido usando desde que existe la propia arquitectura, en el antiguo Egipto, en Mesopotamia y en Roma, teniendo referencias 19


por ejemplo de los instrumentos que menciona Vitrubio, tales como el corobate o la dioptra, precursores ambos de nuestros actuales nivel y taquímetro. Actualmente, la topografía se apoya en otras disciplinas como es la fotogrametría, que es el procedimiento para obtener planos muy precisos de grandes extensiones de terreno por medio de fotografías, tomadas generalmente desde una aeronave, método potenciado por el considerable avance actual de las técnicas fotográficas. Otros avances del desarrollo de la topografía en la actualidad se deben, como otras muchas disciplinas auxiliares de la arquitectura, al avance de la electrónica y de la informática, habiendo sustituido en casi su totalidad los antiguos aparatos topográficos por las modernas estaciones totales que combinan la toma de datos automática con programas específicos para cálculos topográficos y programas de diseño asistido por ordenador, o CAD, además de la revolución que ha supuesto el moderno sistema de posicionamiento global, o GPS. La topografía, en cuanto al estudio de la superficie terrestre, centra su función en superficies relativamente pequeñas, superficies en las que se prescinde de la esfericidad de la Tierra, sin cometer errores apreciables. Otras disciplinas que abarcan superficies mayores son la Geodesia y la Cartografía. La agrimensura es la rama de la topografía que se ocupa de la delimitación de superficies, la determinación de las áreas y de la descripción de los límites de éstas. Llamamos replanteo a la materialización sobre el terreno o sobre cualquier otro elemento del mismo o de la obra, de todos aquellos puntos fundamentales que nos sirven para ubicar correctamente todas las partes del proyecto que queremos construir. El replanteo va desde la ubicación de los puntos fundamentales o bases de replanteo de una obra de cualquier tipo, hasta la colocación dentro de la obra de todos los elementos que la componen. En una obra de arquitectura el replanteo es una labor o conjunto de labores que nos ocupan de una forma constante durante toda la ejecución de la obra.

20

Introducción a la Topografía

1.2. El Geoide. En primer lugar definiremos geodesia. La geodesia, del griego γεωδαισία = división de la Tierra, es la ciencia matemática que tiene por objeto determinar la figura y magnitud del globo terrestre o de gran parte de él, así como, en combinación con la cartografía, construir los mapas. La cartografía es el arte de trazar mapas geográficos así como la ciencia que los estudia. La geodesia es una disciplina que podemos enclavar entre las ciencias y la ingeniería, fue utilizada por primera vez por Aristóteles (384-322 a.C.), y además de levantar y representar las formas de la superficie de la Tierra, se usa también en matemáticas para la medición y el cálculo de superficies curvas. La representación sobre un plano de un objeto como la Tierra reviste diversas dificultades, ya que si se proyecta un objeto esférico sobre un plano es inevitable que se produzcan distorsiones, y la Tierra no es siquiera un objeto esférico sino que su forma se aproxima a un elipsoide o esferoide ligeramente achatado en los polos, como veremos más adelante. Esta aproximación tampoco es válida cuando se desciende al detalle ya que la Tierra incluye numerosas irregularidades, se habla por tanto de geoide para hacer referencia a la Tierra como objeto geométrico irregular. La geodesia define el geoide como una superficie en la que todos sus puntos experimentan la misma atracción gravitatoria siendo esta equivalente a la experimentada al nivel del mar. Debido a las diferentes densidades de los materiales que componen la corteza y el manto terrestre y a alteraciones debidas a los movimientos isostáticos, esta superficie no es regular sino que contiene ondulaciones que alteran los cálculos de localizaciones y distancias. Debido a esta irregularidad de la superficie terrestre, para describir la forma de la Tierra suelen utilizarse modelos de la misma denominados esferoides o elipsoides de referencia. Éstos se definen mediante dos parámetros, el tamaño del semieje mayor (a) y el tamaño del semieje menor (b). El aplanamiento, o diferencia de longitud de sus ejes, del esferoide se define entonces como el coeficiente (f), mediante la expresión: f =(a − b)/a 21


El aplanamiento real de la Tierra es aproximadamente de 1/300. Alterando los valores de los coeficientes (a) y (b) se obtienen diferentes elipsoides, que han sido propuestos a lo largo de los últimos siglos, y que generalmente se conocen con el nombre de su creador. La razón de tener diferentes esferoides es que ninguno de ellos puede adaptarse completamente a todas las irregularidades del geoide, aunque cada uno de ellos se adapta razonablemente bien a una zona concreta de la superficie terrestre. Por tanto en cada país o territorio se utiliza el más conveniente en función de la zona del planeta en que se encuentre ya que el objetivo fundamental de un elipsoide es asignar a cada punto de la superficie del país donde se utiliza, un par de coordenadas geográficas, también llamadas coordenadas angulares.

b

a

b

A

a

B (x , y)

b

a

C

(x , y) b

a

D Figura 1.1: Elipsoide y geoide.

La Figura 1.1 muestra como el elipsoide definido por los parámetros (a) y (b) es un modelo del geoide, pero para poder asignar coordenadas geográficas a los diferentes puntos de la superficie terrestre es necesario “anclar” elipsoide al geoide, esto se realiza eligiendo un punto en el que el elipsoide y el geoide son 22


tangentes, representado en las figuras C y D mediante un punto de coordenadas (x, y), este punto se denomina punto fundamental, convirtiéndose así el elipsoide en un sistema de referencia. El conjunto de parámetros formado por: • • •

los parámetros que determinación del elipsoide (a) y (b) las coordenadas (x, y) del punto fundamental y la dirección que define el norte

se denomina dátum. Establecer cual es el dátum de un sistema de coordenadas es tarea de los servicios nacionales de geodesia. En España, el dátum utilizado tradicionalmente en cartografía, tanto en los mapas del Servicio Geográfico del Ejercito (SGE) como en los del Instituto Geográfico Nacional (IGN), es el Europeo. Este puede ser el de 1950 si el mapa está elaborado antes o durante 1979 o el europeo de 1979, si el mapa es posterior. Esta información figura en la letra pequeña del margen del mapa. Hasta la segunda mitad del siglo XX, el propósito de los diferentes dátum era servir como modelo del geoide en porciones reducidas de la superficie terrestre a las que se adaptaban especialmente bien. Hoy en día la necesidad de estudios globales y la disponibilidad de dispositivos de toma de datos también globales (GPS, teledetección), se busca que los dátum tengan validez para todo el planeta, de forma que puedan tener empleo mundial, como el dátum WGS-84 que utilizan los Sistemas de Posicionamiento Global (GPS). Para ello se hace necesario un parámetro más que es la distancia del centro del elipsoide con respecto al centro de masas de la Tierra, representado por un punto central del geoide en la Figura 1.1. Como ejemplo, citaremos que si utilizásemos datos procedentes de mapas topográficos basados en el dátum europeo ED50 – Potsdam, con posiciones tomadas con GPS, es decir basadas en el dátum global WGS-84, sería necesario establecer la 23


correspondencia entre ambos: las posiciones tomadas con GPS deberán ser desplazadas 0,07 minutos al Norte y 0,09 minutos al Este. De acuerdo con todo esto, resulta evidente que dar un par de coordenadas sin hacer referencia al dátum no es lo suficientemente preciso. En un dátum todo punto tiene un par de coordenadas único, mientras que el mismo punto tendrá diferentes coordenadas en diferentes dátum, o lo que es lo mismo un par de coordenadas puede corresponder a diferentes puntos en diferentes dátum.

24


1.3. Forma y dimensiones de la Tierra La consideración de la forma redonda, o mejor dicho esférica de la Tierra no es un tema que se planteó con los viajes de Cristóbal Colón, sino mucho antes. Existen descripciones de Homero (c. siglo VIII a. C.) y de Thales de Mileto (624 a. C.-546 a.C.) acerca de que la tierra era un disco rodeado por un océano. Basándose en observaciones como la sombra curva de la Tierra en la Luna en los eclipses, la aparición de diferentes estrellas en diferentes puntos del mismo meridiano o la simple observación de la aparición progresiva del mástil de los barcos en el horizonte, Aristóteles (384 a.C.-322 a.C.) propugnó la forma esférica de la tierra, llegando a calcular, aunque con un considerable error, su radio en 4.000 estadios, lo que equivale a unos 632 km. Eratóstenes de Cirene (276 a. C.-194 a. C.), matemático, astrónomo y geógrafo griego, calculó con una gran aproximación el radio de la tierra, de la forma que veremos a continuación.

Alexandría 7º12'

Syene

7º12'

Figura 1.2. Eratóstenes, observó que en ciudad egipcia de Asuán (en la antigüedad Siena), durante el solsticio de verano los rayos del sol incidían de una forma prácticamente vertical sobre la superficie de la tierra, iluminando de forma directa el fondo de un pozo, mientras que en Alejandría, situada en el mismo meridiano pero más al norte, esto no sucedía ya que en el mismo momento, los rayos del sol formaban una inclinación con la vertical de 7º12’, Figura 1.2. Eratóstenes encargó el cálculo de la distancia, a pasos, 25


entre ambas ciudades, estimándola en 5.000 estadios, y mediante la siguiente expresión,

D

α

=

D × 360º 284,4 × 10 6 2πr ⇒r= = = 6.286.605,55m 360º 2πα 45,23904

En la que consideramos (D) la distancia entre ambas ciudades (tomando 1 estadio = 158 m) y (α) el ángulo que forman los radios de la tierra en ambos puntos, y que los rayos del sol son considerados paralelos. El problema geodésico de la medición de las dimensiones terrestres, tal como lo conocemos hoy, fue formulado durante el siglo XIX, aunque como hemos visto, la cuestión relativa a la forma y dimensiones de la tierra es muy antiguo. El método de medidas de arco del que fue precursor Eratóstenes ha seguido aplicándose hasta el presente. En efecto, aparte de los primeros trabajos de triangulación de Tycho-Brahe (1546-1601), es Willenbrod Snel van Royen Snellius (1580-1626) quien mide en 1615 un arco de meridiano de 1º, entre Alkmaar y Bergen-opZoom, en los Países Bajos, y obtiene el radio terrestre con un error por exceso del 3.3%. Siguen a estas las medidas del abate Jean Picard (1620-1682) en el año 1670 entre Sourdon y Malvoisine, que fija el valor del grado terrestre con un error del orden de 0,001. Por esos mismos años Jean Richer (1630-1696) en 1673 deduce que la longitud del péndulo que bate segundos es aproximadamente 2,8 mm más corta en Cayena que en París, de donde Isaac Newton (1643-1727) y Christiaan Huyghens (16291695) concluyen que la Tierra es un elipsoide achatado. Por otra parte, la prolongación de las medidas de Picard hasta Dunkerque y Collioure por Giovanni Cassini (1625-1712), su sobrino Giacomo Maraldi (1687-1718) y Philippe de La Hire (1640-1716), conduce equivocadamente a la conclusión de que la Tierra es un elipsoide alargado de revolución. La famosa discusión que se origina entre los partidarios de Cassini a favor de un elipsoide alargado y los que se inclinan por un elipsoide achatado propugnado por Newton, quedó resuelta a favor de estos últimos, tanto por las misiones geodésicas que envió la Academia Francesa como por 26


los trabajos del matemático británico Colin McLaurin (16981746). Las misiones geodésicas enviadas por la Academia Francesa en 1735, fueron dos la primera fue a Laponia entre 1736 y 1737, dirigida por Pierre Louis Moureau de Maupertuis (1698-1759), Alexis Claude Clairaut (1713-1765), Anders Celsius (1701-1744) entre otros. La segunda fue a Perú entre 1735 y 1744, dirigida por Charles-Marie de La Condamine (1701-1774) y Pierre Bouger (1698-1758) a quienes acompañó Louis Godin (1704-1760), profesor que fue de la escuela de Guardiamarinas de Cádiz, ciudad dónde murió. Esta expedición participó un equipo español del que estaban al frente el alicantino Jorge Juan y Santacilia (1713-1773) fundador del Real Observatorio Astronómico de Madrid y el sevillano Antonio de Ulloa y de la Torre-Giralt (17161795) fundador del Museo de Ciencias Naturales de Madrid y del Observatorio Astronómico de Cádiz. En realidad, en esta segunda expedición, se llevaron a cabo dos mediciones independientes, una por el equipo francés y otra por el español. El precoz matemático escocés Colin Maclaurin (1698-1746) demostró en 1740 la posibilidad de que un elipsoide achatado fuera la figura de equilibrio para una masa fluida homogénea en rotación, siendo Clairaut en 1743 que dio el valor del aplanamiento en función de la gravedad y de la velocidad de rotación. Más tarde entre 1792 y 1795, expedición de la que nos ocuparemos más adelante, una nueva y controvertida expedición francesa, bajo la dirección de Jean-Baptiste Joseph Delambre (1749-1822) y Pierre François André Méchain (1744-1804), se midió un nuevo meridiano de 9º40’ desde Dunkerque a Montjuich, Barcelona, tales medidas sirvieron de base para la definición del metro y del sistema métrico decimal. El siglo XIX, aparte del establecimiento de la fórmula fundamental de la gravimetría en 1849 por el matemático y físico irlandés George Gabriel Stokes (1819-1903), se caracteriza por las numerosas e importantes triangulaciones efectuadas en, Francia, España, Alemania, Inglaterra, Rusia, India, etc., y en los enlaces de estas redes entre España-Francia, Francia-Inglaterra, España27


África, etc., surgiendo así un notable conjunto de elipsoides de referencia (Bessel, Clark, Everest, etc.), y la fundación de la Asociación Geodésica Internacional en 1886, cuyo primer presidente fue el general español Carlos Ibáñez e Ibáñez de Ibero, Marqués de Mulhacén (1825-1891). Paralelamente a los trabajos anteriores, desde el comienzo del siglo XIX, ya Pierre-Simon Laplace (1749-1827), Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y Friedrich Wilhelm Bessel (17841846), entre otros, se dieron cuenta de que las hipótesis basadas en un modelo de Tierra elipsoidal no eran válidas en observaciones de precisión. Es decir, no se podía despreciar en las mediciones de gran aproximación la desviación entre la normal al elipsoide y la vertical que define la plomada, respecto a la cual se referencian las mediciones, surgiendo contradicciones en medidas angulares en la determinación de los parámetros del elipsoide, mucho mayores que la propia exactitud y precisión de los aparatos y mediciones. Esta fue la razón de que se introdujera el geoide, definida como la superficie equipotencial correspondiente al nivel medio de los mares en calma. El geoide es un esferoide tridimensional que constituye una superficie equipotencial imaginaria resultante de suponer la superficie de los océanos en reposo y prolongada por debajo de los continentes y que sería la superficie de equilibrio de las masas oceánicas sometidas a la acción gravitatoria y a la de la fuerza centrífuga ocasionada por la rotación y traslación del planeta; de manera que la dirección de la gravedad es perpendicular en todos los lugares. Aunque al ser su expresión matemática sumamente complicada, se prescindió del geoide como superficie de referencia y se tomó otra más asequible al cálculo. La obtención de una superficie de referencia, con una definición matemática sencilla que permita efectuar cálculos, es imprescindible para poder realizar la proyección de los puntos del relieve terrestre sobre la misma y permitir la elaboración de mapas y planos. El geoide no puede ser la superficie de referencia adoptada, pues, como hemos dicho, es muy compleja e irregular. Se toma entonces la hipótesis de escoger un elipsoide de revolución que se adapte en lo posible al geoide y que se define por unos parámetros matemáticos, denominándose elipsoide de referencia. 28


Así pues, durante el período comprendido entre 1880 y 1950 han predominado las determinaciones de tipo gravimétrico, que dan lugar a los elipsoides con los nombres de Helmert, Heiskanen, Outila, etc. Los importantes trabajos de John Fillmore Hayford (1868-1925) en los Estados Unidos, en los que aplica las compensaciones isostáticas ideadas por los británicos John Henry Pratt (1809-1871) y George Biddell Airy (1801-1892) hacia 1855, sirven para definir el elipsoide internacional en 1924. Sin embargo, a partir de los años 1930 se observa la tendencia a combinar el método gravimétrico con otros como el astronómico o el geométrico, siendo este el caso del ruso Feodosy Nicalaievich Krassovsky (1878-1948), cuyo elipsoide definido en 1938, aportado por la Unión Soviética en 1942. AUTOR

Delambre Walbeck Everest Bessel Airy Struve Clarke Helmert Hayford Krassovsky Hough

AÑO

1799 1810 1830 1841 1849 1860 1880 1907 1909 1938 1956

SEMIEJE (m)

6.375.653 6.376.895 6.377.276 6.377.397 6.377.480 6.378.298 6.378.249 6.378.200 6.378.388 6.378.245 6.378.270

APLANAMIENTO

1/334 1/302,78 1/300,8 1/299,15 1/299,33 1/299,73 1/293,5 1/298,3 1/297 1/298,3 1/297

Figura 1.3. Tras la segunda guerra mundial, las observaciones de eclipses, las triangulaciones por radar y, sobre todo, las observaciones mediante satélites artificiales, dieron lugar a enlaces entre continentes, al propio tiempo que aumentaron la precisión en los datos. A partir de los años 1960, partiendo de estos nuevos datos se vuelven a proponer nuevos elipsoides, siendo por tanto en la actualidad, y desde entonces, que las mediciones y observaciones geodésicas se basan en los datos obtenidos por los satélites.

29


Siendo Newton quien sentó las bases de la hipótesis elipsoidal, al comprobar que la rotación terrestre es la que determina el ensanchamiento ecuatorial y por tanto el aplanamiento del elipsoide, al tiempo en que se producían las importantes observaciones del abate Picard entre 1669 y 1670, se lleva a estimar un aplanamiento del orden de 1/231, sucediéndose como se ha explicado las mediciones cada vez más precisas, dando lugar al establecimiento de distintos elipsoides de referencia, entre los cuales representamos los más importantes en la Figura 1.3. El elipsoide de Hayford fue adoptado por la IAG (Unión Geodésica Internacional), en su reunión de Madrid (1924), como elipsoide internacional. Posteriormente, basándose en la observación de satélites artificiales, han sido propuestos, entre otros, los que se representan en la tabla de la Figura 1.4. AUTOR

Kaula Veis Lambeck Rapp Khan Gaposchkin WGS84

AÑO

1961 1965 1971 1973 1973 1973 1984

SEMIEJE (m)

6.378.163 6.378.142 6.378.140 6.378.142,8 6.378.142 6.378.140,4 6.378.137,01

APLANAMIENTO

1/298,24 1/298,25 1/298,25 1/298,256 1/298,255 1/298,256 1/298,257223563

Figura 1.4. En su reunión de Hamburgo de 1964, la IAU (Unión Astronómica Internacional) adoptó el siguiente elipsoide: IAU(1964) semieje (a) = 6.378.160m, aplanamiento (f) = 1/298,25 que fue más tarde confirmado por la IAG en su reunión de Lucerna y por la IUGG (Unión Geodésica y Geofísica Internacional) como Sistema de referencia 1967, para un valor de f = 1/298,247. 30


Finalmente, en la XVII Asamblea General de la IAG, celebrada en Canberra (1979) fue preconizado un nuevo cambio, aprobado por la IUGG en su resolución nº 7, que asigna al elipsoide terrestre las siguientes dimensiones: IUGG(1980) a = 6.378.137m, f 1/298,257 que ha recibido el nombre de Sistema Geodésico de Referencia 1980, (GRS80). Desde mediados del siglo pasado se ha considerado la posible conveniencia de aproximar la Tierra con un elipsoide triaxial. Algunos investigadores han tratado de determinar la posible variación del radio ecuatorial terrestre con respecto a su longitud geográfica, obteniendo la diferencia (a1 - a2) entre los radios mayor y menor, y la longitud (l) correspondiente al radio (a1). La diferencia (a1 - a2), según las diferentes determinaciones parece oscilar entre 150 y 350 m. La longitud (l), en promedio, es del orden de 20’E, para determinaciones astrogeodésicas y del orden de 15’W, en determinaciones gravimétricas o por satélites. Los resultados muestran una evidente disparidad, en los que parecen influir tanto el método seguido (astrogeodésico, gravimétrico o por satélites) como la carencia de suficientes datos en el mar, por lo que no parece aconsejable, de momento, su introducción en los cálculos geodésicos. La geodesia, como teoría de la forma y dimensiones de la Tierra, puede parecer una ciencia puramente geométrica, pero no debemos olvidar que también influye en los cálculos de forma y dimensión, el campo gravitatorio, que es una cantidad física, y que no se puede desligar de la mayoría de las medidas geodésicas, incluso en las puramente geométricas. Las medidas de la astronomía geodésica, de triangulación y de nivelación hacen todas uso esencial de la línea de la plomada, que al ser la dirección del vector gravedad no está menos físicamente definida que su magnitud, esto es, que la gravedad (g). Para fijar la posición de un punto en el espacio necesitamos tres coordenadas. Podemos usar un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. No obstante, en muchos casos es preferible tomar las coordenadas naturales: (F), latitud geográfica, (L), longitud geográfica y (H), altitud sobre el geoide, 31


que se refieren directamente al campo garvitatorio de la Tierra. La altitud (H) se obtiene por nivelación geométrica, combinada con medidas de la gravedad, mientras que (F) y (D) se determinan por medidas astronómicas. En tanto que el geoide pueda identificarse con un elipsoide, el uso de estas coordenadas para cálculos es muy sencillo. Puesto que esta identificación es suficiente sólo para resultados de muy baja precisión, la desviación del geoide respecto de un elipsoide debe tenerse en cuenta. Puesto que las desviaciones del geoide con respecto al elipsoide son pequeñas y pueden ser calculadas, es conveniente añadir pequeñas reducciones a las coordenadas originales (D), (F) y (H) de modo que se obtengan valores que se refieran a un elipsoide. De esta forma, se tiene: f=F–x l = L - h sec f h=H+N (f) y (l) son las coordenadas geográficas sobre el elipsoide, llamadas también latitud geodésica y longitud geodésica para distinguirlas de la latitud astronómica (F) y la Longitud astronómica (D). Las coordenadas astronómicas y geodésicas difieren en la desviación de la vertical. La cantidad (h) es la altitud geométrica sobre el elipsoide; difiere de la altitud ortométrica (H) sobre el geoide en la ondulación del geoide (N). Estos sistemas de alturas se relacionan por medio de la ecuación h=H+N donde: h = altura elipsoidal N = altura geoidal H = altura ortométrica

32


terreno

H

geoide N

h elipsoide

Fig. 1.5: Diferencias de alturas entre Elipsoide y Geoide.

Las medidas geodésicas (ángulos, distancias) se tratan de forma análoga. El principio de triangulación es bien conocido: las distancias se obtienen indirectamente midiendo los ángulos de una red apropiada de triángulos; sólo una base es necesaria para proporcionar la escala de la red. La triangulación fue indispensable en los primeros tiempos, porque los ángulos podían medirse mucho más fácilmente que las grandes distancias. No obstante, hoy día las grandes distancias pueden medirse de forma tan fácil como los ángulos utilizando instrumentos electrónicos, de modo que la triangulación, usando medidas angulares, es a menudo sustituida o suplementada por la trilateración que usa medidas de distancias. El cálculo de triangulaciones y trilateraciones sobre el elipsoide es fácil. Por lo tanto, es conveniente reducir los ángulos medidos, las bases y las grandes distancias al elipsoide, de la misma manera que se tratan las coordenadas astronómicas. Entonces, las coordenadas geodésicas o elipsóidicas, (f, l) obtenidas en primer lugar reduciendo las coordenadas astronómicas, y en segundo lugar calculando triangulaciones o trilateraciones sobre el elipsoide pueden compararse entre sí, debiendo ser idénticas para el mismo punto. Cómo hemos visto, la aproximación geométrica que supone el elipsoide, con sus diferentes versiones, coincide más o menos con el geoide, dependiendo del punto de la tierra en que nos 33


encontremos, de ahí que la mayoría de los países, incluso territorios menores, quieran establecer su propio elipsoide para que coincida con el geoide en su territorio. Para esto, cada país elige un punto fundamental en el que coincide el geoide con el elipsoide elegido de referencia, existiendo como hemos visto es diferentes dátum locales y un dátum geocéntrico o global que usa el centro de masa de la tierra como origen.

Figura 1.6: Torre Helmert de Potsdam, construida en 1890. El sistema de referencia geodésico oficial español (según la red de referencia llamada Red Geodésica Nacional Convencional, que depende del Instituto Geográfico Nacional (IGN) y que consta de unos 11.000 vértices) es el European Datum 50 (ED50) establecido como reglamentario en el Decreto 2303/1970. El ED50 es un sistema de referencia local basado en el Elipsoide Internacional de Hayford de 1924. El sistema de representación plano es la proyección conforme Transversa de Mercator (UTM), y se compone de los siguientes parámetros: 34


DÁTUM

ELIPSOIDE

Potsdam Hayford (Torre de 1924 Helmert)

SEMIEJE MAYOR (a)

6.378.388 m

SEMIEJE MENOR (b)

6.356.911,946130 m

El punto astronómico fundamental del dátum ED-50 está en la Torre de Helmert que está en el observatorio de Potsdam, que es una población cercana a Berlín y que se escogió en los años cincuenta como centro del dátum local ED50 por estar más o menos centrado en la zona de cobertura. Existen otros dátum posteriores definidos también sobre este punto que son el ED79 y ED87, pero estos dátum no pasaron de aplicaciones científicas o técnicas, y en ningún momento se llegó a publicar cartografía referida a estos dátum, al menos en España.

35


1.4. Elementos Geográficos de la Tierra Se denomina eje terrestre geográfico a la línea imaginaria que pasa por el centro de la tierra y que sirve de eje a la tierra en su movimiento de rotación, y que dura y define un día. Este se desplaza paralelo a sí mismo alrededor del sol, en una órbita elíptica dando lugar al movimiento de translación que dura y define un año (365 días). La tierra gira alrededor del sol con una velocidad de 30 Km/sg, lo que equivale a 108.000 Km/h. Topográficamente, consideraremos que el eje terrestre apunta siempre a la Estrella Polar por el norte y a la Cruz del Sur por el lado sur. Esto cambiará en el entorno de unos 35.000 años, por el denominado movimiento de precesión por el que el eje de la tierra describe un cono. Los puntos en los que el eje geográfico corta a la superficie de la tierra se llaman polos geográficos.

Polo Norte Geofráfico Polo Norte Magnético

Figura 1.7: Situación de los polos magnéticos y geográficos de la tierra.

36


La Tierra, que tiene el mismo comportamiento que un imán, tiene asimismo un polo positivo y un polo negativo, la línea imaginaria que une estos dos puntos se denomina eje magnético. El eje magnético y el eje geográfico de la tierra forman un ángulo de 10,5º. Cualquier imán o metal imantado que gire libremente apuntara al norte magnético de la tierra. Denominados esfera celeste, a la esfera imaginaria cuyo centro es coincidente con la Tierra, y cuyo radio se considera infinito, es una superficie teórica sobre la que aparecen proyectadas todas las estrellas y demás cuerpos celestes según son visibles desde la tierra. Polo Norte

eje imaginario

T ró p

ico d

e Ca

p r ic

ador

o n io

wich

paralelos

o de

E cu

n c er

Gren

e Cá

id ian

ico d

Mer

T róp

0º

Círculo Polar Ártico

meridianos C ír c

Polo Sur

u lo

P o la

r An

t á rt

ico

Figura 1.8: Elementos geográficos de la Tierra. Llamamos vertical a la dirección que materializa el vector (g) de la fuerza de gravedad de la tierra, según el hilo de una plomada. Toda vertical corta a la superficie de la tierra en dos puntos denominados antípodas. Vertical de un punto es la recta determinada por dicho punto y el centro de la tierra, prolongada indefinidamente en ambos sentidos. Los puntos de corte de una 37


vertical con la esfera terrestre se llaman cenit el lado más cercano a la posición del observador, o dicho de otra forma, por encima de su cabeza, y nadir el lado más alejado, diametralmente opuesto al cenit. Una horizontal es aquella recta perpendicular a la vertical. Plano horizontal es aquel que contiene dos horizontales. Plano horizontal tangente en un punto, es aquel que contiene dicho punto. Plano meridiano es aquel que contiene al eje geográfico de la Tierra. Meridiano es la línea de intersección entre un plano meridiano y la superficie de la tierra. También se definen como los círculos máximos que pasan por los polos. Planos paralelos son aquellos planos perpendiculares a eje geográfico terrestre. El círculo de intersección entre un plano paralelo y la superficie terrestre se denomina paralelo. El paralelo que pasa por el centro de la Tierra se denomina ecuador. El ecuador divide a la Tierra en dos partes, denominadas hemisferios, que a su vez se denominan hemisferio norte, boreal, septentrional o ártico, y hemisferio sur, austral, meridional o antártico. Se denomina horizonte sensible, o simplemente horizonte, a la línea imaginaria que supone el límite visual de la superficie terrestre así como el espacio circular contenido en esa línea, también se define como el cono de visión que percibe un observador desde un punto determinado. Horizonte racional es un círculo máximo de la esfera celeste, paralelo al horizonte sensible. Llamamos puntos cardinales a los cuatro puntos que se sitúan en la línea de horizonte y vienen determinados respectivamente por la posición del polo septentrional: el Norte; por la del Sol a la hora de mediodía: el Sur; y por la salida y puesta de este astro en los equinoccios: el Este y el Oeste. Estos puntos se puede designar por sus iniciales en español: N, S, E y O, o más habitualmente en inglés: N, S, E y W. Si nos referimos a los puntos cardinales magnéticos, son los que se definen de igual manera pero que están referidos a los polos magnéticos de la tierra, y se designarán por las mismas letras aunque son el subíndice “m”: Nm, Sm, Em y 38


Wm. Podemos para diferenciar los puntos geográficos de los magnéticos añadirles el subíndice “g”, aunque no es necesario. Existen sin embargo otros dos tipos de puntos cardinales, referidos al Norte, y que hay que tener en cuenta: el norte astronómico que es el que define la dirección de la estrella Polar, y norte de la malla que depende de la proyección que se utilice para pasar de coordenadas geográficas a coordenadas cartesianas a la hora de confeccionar el mapa. Se llaman antípodas, en relación con la definición de vertical expuesta con aterioridad, cada par de puntos de la superficie terrestre diametralmente opuestos. Asimismo, se denominan antecos a cada par de puntos situados en el mismo meridiano a distancias iguales del ecuador, uno en cada hemisferio. Son periecos cada par de puntos situados en el mismo paralelo, pero separados 180º sobre éste. Llamamos declinación magnética de un punto al ángulo que forma el meridiano geográfico con el meridiano magnético en dicho punto. La declinación será oriental cuando el Nm se encuentra al E del Ng, y occidental cuando está al W. Convencionalmente, las declinaciones orientales son positivas y las occidentales, negativas. La inclinación magnética, es una propiedad del campo magnético terrestre que señala el centro de la Tierra. Es cero en el ecuador y de 90º en el polo magnético.

39


1.5. Proyecciones El proceso de transformar las coordenadas geográficas del esferoide en coordenadas planas para representar una parte de la superficie del elipsoide en dos dimensiones se conoce como proyección y es el campo de estudio tradicional de la ciencia cartográfica. El problema fundamental a la hora de abordar una proyección es que no existe modo alguno de representar en un plano toda la superficie del elipsoide sin deformarla, el objetivo va a ser minimizar, en la medida de lo posible, estas deformaciones. Puesto que el efecto de la curvatura de la superficie terrestre es proporcional al tamaño del área representada (y en consecuencia a la escala), estos problemas sólo se plantean al cartografiar zonas amplias. Cuando se trata de cartografiar zonas pequeñas, por ejemplo una ciudad, la distorsión es despreciable por lo que se suelen utilizar coordenadas planas, relativas a un origen de coordenadas arbitrario y medidas sobre el terreno. A estas representaciones se les llama planos en lugar de mapas. Cuando la distorsión debida a la esfericidad de la superficie terrestre se considera relevante se hace necesario buscar una ecuación que a cada par de coordenadas geográficas le asigne un par de coordenadas planas de manera que los diferentes elementos y objetos de la superficie terrestre puedan ser representados sobre un plano. Estas ecuaciones son de la forma: x = f1(ω,λ) ó

y = f2(ω,λ)

Para obtener estas ecuaciones se proyecta (Figura 1.9) la porción de la superficie terrestre que va a cartografiarse sobre una figura geométrica (un cilindro, un cono o un plano) que sí puede transformarse en plano sin distorsiones. El foco de la proyección puede ubicarse en diferentes puntos dando lugar a diferentes tipos de proyecciones. De este modo podemos clasificar las proyecciones en función del objeto geométrico utilizado para proyectar, se habla entonces de proyecciones cilíndricas, cónicas y azimutales o planas. 40


Polo Norte

Stoke Mandeville Málaga

Polo Norte Stoke Mandeville Málaga

Meknes

Meknes

foco

Figura 1.9: Proyección cartográfica. En el caso de proyecciones cilíndricas o cónicas, la figura envuelve al elipsoide y, tras desenvolverla, el resultado será un plano en el que una parte de la Tierra se representa mediante un sistema de coordenadas cartesiano. En el caso de las proyecciones planas, el plano es tangente al elipsoide en un punto y no necesita por tanto ser desenvuelto. Una proyección implica siempre una distorsión en la superficie representada, el objetivo de la cartografía es minimizar estas distorsiones utilizando la técnica de proyección más adecuada a cada caso. Las propiedades del elipsoide que pueden mantenerse son las siguientes: conformidad, equivalencia y equidistancia. Si un mapa mantiene los ángulos que dos líneas forman en la superficie terrestre, se dice que la proyección es conforme. El requerimiento para que haya conformidad es que en el mapa los meridianos y los paralelos se corten en ángulo recto y que la escala sea la misma en todas las direcciones alrededor de un punto, sea el punto que sea. Una proyección conforme mantiene además las formas de polígonos pequeños. Se trata de una propiedad fundamental en navegación. 41


Equivalencia, es la condición por la cual una superficie en el plano de proyección tiene la misma superficie que en la esfera. La equivalencia no es posible sin deformar considerablemente los ángulos originales, por lo tanto, ninguna proyección puede ser equivalente y conforme a la vez. Resulta conveniente por ejemplo en planos catastrales. Equidistancia, es la condición por la cual una proyección mantiene las distancias reales entre dos puntos situados sobre la superficie del Globo (representada por el arco de Círculo Máximo que las une). Como se puede ver en la Figura 1.9, las distorsiones son nulas en la línea donde la figura geométrica toca al elipsoide y aumentan a medida que la separación entre ambas aumenta. Por tanto para minimizar el error medio suelen utilizarse planos secantes en lugar de planos tangentes. De esta manera en lugar de tener una sola línea del elipsoide tangente a la Figura tenemos dos líneas secantes y las distancias a las mismas, y por tanto los errores, se reducen a la mitad. Así otro criterio para clasificar sistemas de proyección sería en proyecciones secantes y tangentes. Existen multitud de tipos de proyecciones diferentes para realizar los mapas, las seis más importantes son: Proyección Cilíndrica Equidistante, Proyección Mercator, Proyección Polar Estereográfica, Proyección Lambert de Azimut y área constante, Proyección de Azimut Equidistante y Proyección Ortográfica. Las dos primeras proyecciones siempre presentarán un mapa rectangular del área especificada. Se exceptúan las áreas comprendidas en las latitudes 85° norte o sur, que no podrán ser representadas si se escoge la Proyección Mercator. La Proyección Cilíndrica Equidistante es realmente un escalado linear de longitudes y latitudes, Es también conocida como la Proyección de Plate Carée. Es característico observar que todas las líneas de los meridianos y paralelos son líneas rectas, y que todas las áreas representadas corresponden a perfectos cuadrados. Hay que prestar atención a que las áreas en la proyección Mercator cerca de los polos son más grandes. La Proyección de Mercator es probablemente la más famosa de todas las proyecciones, y toma el nombre de su creador, que lo creó en 1569. Es una proyección cilíndrica que carece de distorsiones en la zona del Ecuador. Una 42


de las características de esta proyección es que la representación de una línea con un azimut (dirección) constante se dibuja completamente recta. Esta línea se llama línea de rumbo o loxódromo. De esta forma, para navegar de un sitio a otro, sólo hay que conectar los puntos de salida y destino con una línea recta, lo que permite mantener el curso constante durante todo el viaje. Esta Proyección se usa extensivamente para representar los mapas mundiales, pero las distorsiones que crea en las regiones polares son bastantes grandes, dando la falsa impresión de que Groenlandia y la antigua Unión Soviética son más grandes que África y Sudamérica.

Figura 1.10: Proyección Cilíndrica equidistante y Proyección Mercator. Los mapas representados por la Proyección Polar Estereográfica, serán dibujados con gráficos curvos. Estos mapas corresponden a un gráfico completamente circular o curvo con una extensión Este-Oeste de 360°. Este tipo de proyección se basa en las proyecciones que realizaban los griegos. Su uso principal es representar las regiones polares. Es característico ver que todos los meridianos son líneas rectas, con un azimut constante, mientras que los paralelos constituyen los arcos de un círculo. 43


Figura 1.11: Proyección Polar Estereográfica. Representación plana cónica conforme directa de la superficie de una esfera o elipsoide, introducida por Lambert en 1772, se basa en un desarrollo cónico efectuado a lo largo de un paralelo central de la superficie modelo. Un mapa que use la Proyección Lambert será una figura rectangular siempre que defina áreas pequeñas o de tamaño medio. En mapas de grandes áreas se representa sobre un hemisferio entero con el área especificada dibujada en el centro del mapa. Esta proyección fue creada por Lambert en 1772, y se usa típicamente para representar grandes regiones del tamaño de continentes y hemisferios. Carece de perspectiva. Las áreas representadas coinciden con las reales. La distorsión es cero en el centro de la proyección para cada plano que se represente, pero esta distorsión aumenta radialmente conforme se aleja del centro.

Figura 1.12. Proyección Lambert de azimut y área constante. 44


La Proyección de Azimut Equidistante está representada por un dibujo circular del mundo entero que tiene representado el área de interés en el centro de la gráfica. Todas las distancias medidas corresponden con la realidad. Todos los sitios localizados a 180° del centro del mapa corresponden a la circunferencia exterior de esta figura. Lo más notorio de esta proyección es las distancias medidas desde el centro del mapa son todas verdaderas. Por tanto, un círculo que dibuje representa el conjunto de puntos que están equidistantes del origen de dicho círculo. Además, las direcciones señaladas desde el centro son también todas verdaderas. Este tipo de representación ha sido creada desde hace varios siglos. Es útil para hacerse una idea global de todas las localizaciones que están equidistantes de un punto determinado.

Figura 1.13: Proyección de azimut equidistante y Proyección ortográfica. La Proyección Ortográfica siempre es una imagen hemisférica. El área de interés siempre está representada en el centro de la imagen. Esta proyección presenta una perspectiva tomada desde una distancia infinita. Se usa principalmente para presentar la apariencia que el globo terráqueo tiene desde el espacio. Como la proyección de Lambert y la estereográfica, sólo un hemisferio se puede ver a un tiempo determinado. Esta proyección no es ni conforme ni posee áreas reales, e introduce muchísima distorsión cerca de los bordes del hemisferio. Las direcciones desde el centro de la proyección son, sin embargo, verdaderas. Esta proyección fue usada por los egipcios y los griegos hace más de 2000 años. 45


La proyección UTM, siglas de Universal Transversa Mercator, es una de las más conocidas y utilizadas, entre otros lugares en España. Se trata de una proyección cilíndrica transversa (la generatriz del cilindro no es paralela al eje de rotación sino perpendicular) tal como se ve en la Figura 1.14. La Tierra se divide en 60 husos, con una anchura de 6 grados de longitud, empezando desde el meridiano de Greenwich (Figura 1.1.13). Se define un huso como las posiciones geográficas que ocupan todos los puntos comprendidos entre dos meridianos. A pesar de que se ha utilizado en casi toda la cartografía española, introduce un grave problema debido a que la Península Ibérica queda situada sobre tres husos, el 29, el 30 y el 31, estos últimos situados uno a cada lado del meridiano de Greenwich.

Longitud

Latitud

Meridiano de Grenwich 0º

N

3º

3º

S

Figura 1.14: Cilindro generador de la proyección UTM. La representación cartográfica en cada huso se genera a partir de un cilindro diferente siendo cada uno de ellos secante al elipsoide. De esta manera en cada huso aparecen dos líneas verticales en las que no hay distorsiones (líneas A-D y C-F en al Figura 1.15), entre estas dos líneas las distorsiones disminuyen la escala (distancias y áreas se representan menores de lo que son) hacia fuera de las líneas las distorsiones aumentan la escala (distancias y áreas se representan mayores de lo que son). Estas distorsiones tienden a incrementarse conforme se aumenta en latitud por lo que la proyección UTM no debe usarse en latitudes altas y suele reemplazarse por proyecciones azimutales polares en las que el plano es tangente al elipsoide en el polo correspondiente.

46


a b c

d e f

epipsoide

c

escala exacta

ecuador

escala menor

ro y al cf = secante al cilind

b

be = meridiano central

ad = secante al cil indro y al epipsoide escala exacta

a

Deformación lineal: máximo 1,00096 mínimo 0,.9996

escala mayor

d

e

f

Figura 1.15: Deformaciones en un huso UTM debido a que el cilindro es secante al elipsoide. 47


Figura 1.16. Número y designación de las zonas en el Sistema UTM. La representación o proyección de Lambert, conocida como proyección cónica conforme de Lambert o desarrollo cónico conforme de Lambert es una transformación conforme del elipsoide sobre un cono tangente a esa superficie a lo largo de un paralelo llamado origen, y, como el cono es una superficie reglada, se puede desarrollar sobre el plano sin deformación. Este sistema ha sido el reglamentario en la cartografía militar hasta los años setenta y se usaba como referencia el elipsoide de Struve, siendo la referencia el meridiano que pasaba con Madrid (λ =3º 41’15”) y el paralelo 40º (ω=40º00’00”). Se supone, para mayor sencillez, un modelo esférico para la tierra y, como en todo desarrollo cónico, los meridianos tendrán como imágenes rectas concurrentes en el punto S’ homólogo del polo, Figura 1.17. La representación es conforme y un paralelo, el que se toma como origen, conserva su longitud en el plano, es decir es automecoico. Las transformadas de los paralelos, curvas ortogonales a las rectas serán por tanto circunferencias concéntricas de centro S’ y un radio tal que la representación sea conforme. 48


S S'

γ

φ

λ R

R0

A'2 A2 A O

A1

A1

A'

λ Kx

φo

Y A' o

R X ECUADOR

O' Ky

Falso Origen

Figura 1.17: Proyección de un punto en el sistema conforme de Lambert. Una vez obtenidas las coordenadas de acuerdo con los datos que representa la Figura 1.17, y para evitar valores negativos se les suma a cada una de ellas una constante dependiendo de la zona a representar, siendo en España el valor de 600 Km., por tanto las coordendas tendrán la expresión siguiente: X=Rsenγ+600000 Y=Ro-Rcosγ+600000

49


1.6. Cartografía La cartografía es la ciencia que se ocupa del estudio y de la elaboración de mapas, tanto de la superficie sólida como de la superficie marítima de la tierra. Se puede considerar, desde un punto de vista histórico, que la elaboración de mapas es anterior a la propia escritura, existiendo ejemplos en los que se usaban distintos tipos de grafías para representar distancias, lugares o recorridos. Nos han llegado mapas tanto puramente informativos y otros que introducen conceptos intelectuales de tipo religioso o cosmológico combinándolos con la imagen del territorio representada. También encotramos referencias en las literatura clásica, como en el poema de “Los Argonautas”, en el que Apolonio de Rodas (295 a. C.-215 a. C.) refleja la existencia de tablas grabadas en Egipto, con caminos y los límites entre la tierra y el mar. Otros ejemplos los encontramos en el poema “La vuelta al mundo” Dionisio El Perigeta (s.II a. C.). Eustasio de Tesalónica (s.II a. C.) nos refiere que Sesostris I, fundador de la XII dinastía, dio a los egipcios tablas con la representación de sus viajes. En la ruinas de Thebas el egiptólogo francés Auguste Mariette (1821-1881) encontró inscripciones con representaciones cartográficas, con una antigüedad de más de 3.700 años, aunque en nada se parecen a nuestros mapas actuales, ya que sólo hay figuras etnográficas, tipos de hombres y de otros seres colocados en el orden de su posición geográfica, acompañados de leyendas indicadoras de los pueblos a los que pertenecen, de forma análoga a la que más tarde utilizarían los romanos. También es conocido que los egipcios disponían de un catastro, con representación del territorio en ladrillos o tablillas En tiempos más recientes, cabe destacar figuras en la historia como el gran cartógrafo hispanomusulmán Abu Abd Allah Muhammad al-Idrisi (1100 - 1166), quien usó como principal fuente el trabajo de Claudio Ptolomeo (90-170) para confeccionar un mapa del mundo en 1154. El geógrafo alemán Martin Waldseemüller (1470-1520), quien nombró por primera vez el nombre de América, para referirse al nuevo continente. El cartógrafo flamenco Abraham Ortelius (1527-1598), publicó lo que podemos denominar el primer atlas moderno. 50


Aunque el más importante fue el ilustre geógrafo y cartógrafo de origen germano-holandés Gerhardus Mercator (1512-1594), Gerhard Kremer en su lengua original, natural de los Países Bajos españoles. Mercator estudió filosofía y matemáticas, llegando a ser de muy joven un notable cartógrafo. Trabajó como cartógrafo para el emperador Carlos V, haciéndose famoso por su mapa de Europa de 1554. En el año 1569 elaboró un mapamundi utilizando un sistema de proyección de la esfera terrestre en un cilindro tangente, con meridianos representados por líneas rectas y los paralelos como círculos de latitudes iguales, proyección que hoy día conocemos por su nombre: proyección Mercator. La proyección de Mercator tiene la ventaja de que la distancia más corta entre dos puntos de la superficie terrestre, contenidos por tanto en un círculo máximo, se representa en el mapa mediante una línea recta llamada loxodromia. La loxodromia es realmente una curva que forma con todos los meridianos el mismo ángulo, y por tanto, siguiéndola se navega con rumbo constante, y por tanto, esta proyección se sigue usando actualmente para la navegación. Si consideramos el mapamundi de Mercator referido a un sistema cartesiano, tenemos que los paralelos son rectas paralelas a eje de abscisas y los meridianos rectas paralelas al eje de ordenadas. Los paralelos son líneas que conservan las distancias, creciendo el valor del módulo de deformación con la latitud hacia los polos, siendo en los polos de valor infinito, no teniendo por tanto los polos representación, siendo la esta la única proyección de goza de estas propiedad, teniendo fundamentalmente su aplicación, como hemos dicho, en la navegación marina, ya que se pueden representar y encontrar rumbos por procedimientos gráficos. Tiene como inconveniente que la escala es muy variable, sobre todo en latitudes altas, por lo que es conveniente referir la escala del mapa a un determinado paralelo, o utilizar una escala gráfica variable. Mercator denominó Atlas, en honor al gigante mitológico condenado a sostener sus hombros el firmamento y la esfera de la tierra tras la guerra entre los titanes y los dioses del Olimpo, a su gran libro de mapas, que se convirtió en realidad en una obra póstuma, puesto que se publicó un año después de su muerte. Este libro, fue de nuevo editado por el grabador flamenco Jodocus Hondius (1563-1612). 51


Mercator es sin duda el mayor cartógrafo de su época, y cuya proyección que representó una de las mayores ayudas para los navegantes, hay que encuadrarla entre los activos que posibilitaron todos los descubrimientos del siglo XVI. Tras Mercator, la precisión de los mapas fue aumentando paulatinamente, debido fundamentalmente a las determinaciones más precisas y a los descubrimientos en el campo de la geodesia y la topografía a los que ya nos hemos referido. En la primera mitad del siglo XVII aparecen mapas con representación de la declinación magnética así como las corrientes oceánicas. Las deformaciones o inexactitudes de los mapas de finales del siglo XVII correspondían lógicamente a las zonas de la tierra inexploradas, sin embargo a finales de este siglo ya empiezan a aparecer mapas con datos corregidos. Fue importante la publicación del mapamundi de Guillermo Delisle (1675-1726) en 1700, situando y dimensionando correctamente las regiones de Asia Oriental. Otro geógrafo a resaltar es Jean Baptiste Bourguignon D'Anville (1697-1782) quien desde niño se dedicó a estudiar la geografía, de forma que era su único entretenimiento, por tanto podemos decir que fue geógrafo de vocación. Unido su conocimiento geográfico a su talento artístico, en 1719 publicó una serie de mapas de Francia que lo hicieron popular. Es en esta época en la que la Academia de las Ciencias de Francia trabaja vuelca sus esfuerzos en perfeccionar la geografía astronómica y matemática, organizando expediciones geodésicas que ya hemos mencionado, que además de los descubrimientos propios de la medición de las dimensiones de la tierra, repercutieron en la confección de mejores mapas. Es a finales del siglo XVIII, cuando se comienzan a redactar los mapas a nivel particular o nacional en cada país. El mapa topográfico completo de Francia se publicó en 1793, este mapa estaba contenido en un cuadrado de unos 120 m² de superficie. Otros países, entre ellos España, Reino Unido, Austria y Suiza hicieron lo propio. En los Estados Unidos se fundó en en 1879 el Geological Survey o USGA, organismo cuya finalidad fue realizar un mapa topográfico de todo el territorio nacional En 1891, se celebró en Ginebra un Congreso Internacional de Geografía, en el surgío la propuesta propuso cartografiar el mundo entero a una escala 1:1.000.000, esta tarea aún no ha concluido. 52


Los desarrollos tecnológicos del siglo XX, sobre todo en el campo de la fotografía aérea y después desde los satélites como los de las serie Pageos en 1966 y Landsat en la década de los 1970, han contribuido al desarrollo y perfeccionamiento de la cartografía. La fotografía aérea de utilizó sobre todo en la Primera Guerra Mundial, y en la elaboración de mapas en la Segunda Guerra Mundial. Aun así, existen zonas del Planeta que aun no han sido cartografiadas con todo detalle.

Figura 1.18: Mapa Topográfico de España escala 1:25.000. El 12 de septiembre de 1870 se creó en España el Instituto Geográfico, hoy día Instituto Geográfico Nacional, IGN, siendo su primer Director el Coronel Ibáñez e Ibáñez de Ibero, siendo su misión determinar la forma y dimensiones de la tierra, triangulaciones geodésicas de diversos órdenes, nivelaciones de precisión y otras labores geodésicas, así como la confección del Mapa Topográfico Nacional, a escala 1:50.000. Este mapa, actualmente compuesto por 1.111 hojas, se comenzó a editar en 53


1875, con la hoja de Madrid, terminándose en el año 1968 y es la obra fundamental de la cartografía española. La Ley 7/1986 de 29 de enero de Ordenación de la Cartografía define como Cartografía Básica como aquella que, independientemente de su escala, se realiza siguiendo unas normas establecidas por la administración del estado y se obtiene por procesos directos de observación y medición de la superficie terrestre. Asimismo, dictamina que la norma cartográfica de cada serie recogerá el dátum de referencia de las redes geodésicas y de nivelación, el sistema de proyección cartográfica y el de referencia de las hojas para las representaciones terrestres. Aparte de ello han de concretarse en cada caso cuantas especificaciones técnicas se precisen, durante el proceso de elaboración del mapa, para garantizar que el producto final refleje fielmente la configuración del terreno. Este tipo de cartografía deberá ser aprobado por el mismo órgano de la Administración que fuese competente para establecer la normativa, a propuesta del Consejo Superior Geográfico. El Consejo Superior Geográfico es el órgano superior, consultivo y de planificación del Estado en el ámbito de la cartografía. Tiene carácter colegiado y depende del Ministerio de Fomento. En esta misma ley se señala que el Mapa topográfico español en sus series a escala 1:50.000 ó 1:25.000 (M.T.N. 50 ó M.T.N. 25) es competencia del Instituto Geográfico Nacional. Los mapas oficiales de España de los que disponemos editados por el Instituto Geográfico Nacional son, Las series 25 y 50, la serie 200 por provincias, la serie 500 proyección Lambert, la serie World 1404 proyección Lambert, el Atlas Nacional de España, diferentes mapas autonómicos (el de Andalucía lo componen dos hojas a escala 1:300.000, edición de 1984), Diferentes Mapas turísticos y Mapas guía, y algunas ediciones de Mapas en Relieve. En la representación y por tanto en la lectura de mapas, es necesario conocer la simbología utilizada, ya que la información que se representa en el mapa es muy grande: carreteras, ferrocarriles, caminos, divisiones administrativas, hidrografía, altimetría (curvas de nivel), vértices geodésicos, minas, elementos arquitectónicos o de ingeniería aislados, líneas eléctricas, etc. Así como toda la nomenclatura toponímica que se incluya, dependiendo de la escala de mapa. Los signos convencionales utilizados en el mapa se reflejan en el mismo. El conocimiento y 54


la familiarización con esta simbología así la adecuada utilización de la misma que haga que el lector seleccione la información relevante de forma visual, serán factores que incrementarán la tanto la eficacia en la utilización de un determinado mapa. A cada entidad espacial se puede asociar diversas variables (binomiales, cualitativas, ordinales o cuantitativas). Por ejemplo, a una carretera se puede asociar su anchura, categoría o flujo de vehículos; a un municipio población, renta, etc.; a un pozo la cantidad de agua extraída al año, el nivel del agua o su composición. Normalmente al representar una entidad se representará también alguna de las variables asociadas a ella. El conjunto de ciencias involucradas en la producción de mapas (Geodesia, Cartografía, Geografía, Geología, Ecología, etc.) han desarrollado un amplio conjunto de técnicas para cartografiar los hechos de la superficie terrestre. Los elementos comunes a la mayoría de mapas suelen ser los siguientes: •

•

•

•

Isolíneas, que son líneas que unen puntos con igual valor, sirven por tanto para cartografiar variables cuantitativas. Un buen ejemplo son las curvas de nivel del mapa topográfico o las isobaras de los mapas del tiempo. Coropletas o áreas con valor comprendido entre dos umbrales y pintadas con un color homogéneo. Permiten representar variables cuantitativas de un modo más simplificado. Símbolos de distinta tipología, para indicar la presencia de entidades de un modo puntual. Pueden representarse utilizando diferentes símbolos o colores para representar una variable cualitativa (por ejemplo el partido gobernante), o diferentes tamaños para representar variables cuantitativas (por ejemplo el número de habitantes). Líneas, que simbolizan entidades, naturales o artificiales, de forma lineal (carreteras, ríos). Pueden utilizarse diferentes anchuras de línea, diferentes colores o diferentes tipos de línea para representar 55


•

propiedades como la anchura de los ríos o categorías de vías de comunicación. Polígonos, que representan objetos poligonales que, por su tamaño, pueden ser representados como tales (siempre dependiendo de la escala del mapa) o porciones homogéneas del terreno en relación a una variable cualitativa (tipo de roca). Pueden utilizarse diferentes colores o tramas para representar variables cualitativas o cuantitativas, por ejemplo en un mapa de municipios se puede representar la población municipal mediante sombreados.

En cartografía, suele distinguirse entre mapas topográficos, que se elaboran para ser utilizados con propósitos generales: ingeniería, minería, geología, hidrología, agricultura, actividades deportivas, etc., y mapas temáticos que reflejan un sólo aspecto de la realidad para la que están destinados, siendo éstos extraordinariamente variados. Los mapas, especialmente los topográficos, tratan de reflejar el máximo número de elementos potencialmente interesantes para el usuario, evitando llegar a confundirle por exceso de información. Una de las estrategias empleadas para ello es eliminar parte de la información, como puede ser por ejemplo una curva de nivel que cruza una población, confiando en que la capacidad de nuestro cerebro para reconstruir objetos a partir de información parcial, esta estrategia se denomina generalización. La generalización tiene como propósito fundamental minimizar el tiempo de visualización y comprensión de un mapa, tendiendo a evitar sobrecargar de recursos de información de un mapa, reduciendo la cantidad de datos incluidos

56

2. DE LAS UNIDADES DE MEDIDA Y LAS COORDENADAS

La habitación debe ser cómoda, la casa debe parecer habitable. (Adolf Loos)

2.1 El Sistema Métrico Decimal. Es natural la necesidad de hombre de consumar la observación de cualquier fenómeno, completando ésta con una información cuantitativa, dicha información se compone básicamente de la medición de una propiedad física. La medición es la técnica por medio de la cual asignamos un número a una propiedad física, como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se ha adoptado como unidad. La necesidad, que nos pudiera parecer obvia, de tener un patrón común, durante muchos siglos, al conjunto de la humanidad no le ha parecido así, ya que hasta hace apenas dos siglos, las medidas eran algo relativo, cambiante y local. Efectivamente, cada país, y dentro de cada país cada región y a veces hasta cada pueblo, tenía su propio sistema de medidas, siendo la tradición, y no la lógica la base de cada sistema, teniendo cada cultura su propio sistema de medidas, y como todo el mundo sabía cómo eran esas medidas, no existían patrones exactos. Los científicos sufrían particularmente esta anarquía, ya que con el avanzar de los tiempos, era muy frecuente el contacto epistolar entre científicos 57


de distintas nacionalidades. Así las cosas, el problema de convertir medidas de un país a las de otro, llegado el siglo XVII, seguía existiendo. Si un geógrafo inglés le contaba a un colega italiano su trabajo de medición en un viaje naval, se lo contaba en las ligas o millas navales de la Armada Real: el italiano, cuya Armada usaba otras medidas, tenía que tomarse el trabajo convertir las unidades inglesas a las italianas para entender lo que su colega extranjero le decía. La única medida internacional y exacta en existencia era el grado de ángulo: un ángulo recto tenía 90 grados de sesenta minutos cada uno, un círculo tenía 360 grados. En 1619, el científico alemán Johannes Kepler (1751-1630) pudo descubrir las leyes del movimiento planetario usando las observaciones planetarias del danés Brahe, sin necesidad de traducir sus medidas. Hacía mucho que los científicos trataban de hacer algo al respecto, sin que les prestaran mucha atención. En 1670, un sacerdote francés propuso a la Academia de Ciencias, fundada por Jean-Baptiste Colbert (1619-1683) en 1666 que se adoptara una medida llamada virga, que equivalía a un minuto de ángulo de un meridiano terrestre. Al año siguiente, el abate Jean Picard, que acababa de medir por primera vez la distancia entre dos meridianos propuso como medida la longitud recorrida por un péndulo simple en un segundo. En el siglo XVIII, con la difusión de aparatos científicos y astronómicos mucho más exactos, siguieron las propuestas. La Academia de las Ciencias no decidía si adoptar medidas basadas en arcos de meridiano o en péndulos, y en 1740 organizó una expedición al Perú para probar un péndulo. Los expedicionarios descubrieron que la medida del recorrido del péndulo depende de la aceleración del peso colgado de una cuerda, y esa aceleración varía con la latitud de norte o Sur. La Academia siguió discutiendo, hasta que en 1774 entró en escena un personaje inesperado: Anne-Robert-Jacques Turgot (1727-1781), ministro de Finanzas de Luis XVI y uno de las mentes mas privilegiadas que ha tenido la economía en la historia, lástima que no se dedicará mucho tiempo a esta materia. Turgot, harto de las cuentas confusas, encargó a la Academia un sistema coherente de medidas y a su presidente, Nicolás de Caritat, Marqués de Condorcet (1743-1794), un plan para imponerlo, pero Turgot 58

De las unidades de medida y las coordenadas

pronto cesó en el cargo, ya que su política económica fue demasiado valiente, y su plan no prosperó. Llegamos a 1789, año de la Revolución Francesa. Los Estados Generales decidieron crear por fin un sistema único de medidas: si había una ley igual para todos, también debía hacer una sola medida para todos, propugnó la igualitaria asamblea. Condorcet formó enseguida una comisión con lo mejor de la ciencia francesa, entre los que formaron parte de ella se encontraban nada menos que Antonie Lavoisier (1743-1794), CharlesAugustín de Coulomb (1736-1806), Pierre-Simon Laplace (17491827) y Charles-Maurice de Tayllerand (1754-1838). El 8 de mayo de 1790 Asamblea Nacional emitió un decreto que autorizaba la creación de un sistema de medidas con múltiplos y submúltiplos. El 27 de octubre la comisión de científicos decidió que las nuevas medidas, tendrían una relación decimal entre los múltiplos y submúltiplos, incluyendo las unidades monetaria. Esto que ahora nos parece obvio, en aquellos días no lo era tanto, siendo más usual las unidades que se basaban en el número 12: una toesa, por ejemplo, se dividía en 6 píes de 12 pasos de 12 líneas, y una libra se dividía en 2 marcos de 8 onzas de 8 gruesas cada uno. El decidió que todos los patrones de medidas se uniformizaran en París, y se utilizara e todas el sistema decimal. Este sistema, en un principio, no solamente no cuajó, sino que parecía abocado al fracaso. En febrero de 1791 se formó, otra comisión que se dio cuenta que la solución no era tomar las antiguas medidas y hacerlas decimales, sino crear una nueva unidad de medida. Esta se hizo basándose en la longitud de un meridiano terrestre, ya que los avances en las técnicas de medición geodésicas por medio de la triangulación eran ya notables. En marzo, la Asamblea sancionó el proyecto, ordenando que se midiera la distancia entre Dunkerque, ciudad situada al norte de París, y la ciudad española de Barcelona, cuya amplitud de arco equivalía a nueve grados y medio sobre el meridiano. Esta longitud debía ser bastante ya que medir un meridiano completo era un sueño inalcanzable, ya que había aún zonas de la tierra sin explorar como el continente africano y otras en las que ni se podría pensar en hacerlo, como eran las zonas circumpolares. Así pues, con estos nueve grados y medio, correctamente medidos bien se podía calcular la longitud total del meridiano, y su diez 59


millonésima parte sería el nuevo metro, la nueva medida de longitud. Dos de los miembros de la comisión, Pierre Méchain y Jean-Baptiste Joseph Delambre, fueron los encargados de efectuar medir la distancia por medio de triangulación geodésica. La expedición geodésica partió en junio de 1792, Delambre junto con su equipo se dirigó a Dunkerque y Méchain a Barcelona. Pero esta expedición estaba llamada a fracasar, aunque no por cuestiones técnicas, sino políticas ya que el 20 de septiembre la Convención Nacional o Primera República sucedió a la Asamblea, y la vida en Francia cambió sensiblemente, eran tiempos revueltos y peligrosos previos al advenimiento de los Jacobinos y del Reinado del Terror. Delambre fue arrestado varias veces acusado de espía y de burgués aristocratizante. Aunque siguió con su trabajo, Delambre lo tuvo que suspender en septiembre de 1793. A Méchain no le fue mejor, en realidad ni siquiera tuvo oportunidad de empezar su tarea, ya que apenas llegado a Barcelona, España le declaró la guerra a Francia. Méchain se refugió en Italia en dónde vivió hasta julio de 1795. La medición se terminó en 1798. Sin embargo, el gobierno insistió en su idea y en diciembre de 1792, ordenó a la Academia que creara un patrón de medidas provisional, con los datos de las mediciones conocidas de la longitud del meridiano. El 29 de mayo de 1793, se presentó el metro, con sus divisores, el decímetro, el centímetro y milímetro. Este metro era algo más largo que el que usamos ahora y se definía como 0,513243 de toesa. Para los pesos, se propuso el grave, cuyo patrón estaba también relacionado: era el peso de un centímetro cúbico de agua destilada. El sistema, sancionado por la Convención Nacional el 10 de octubre de 1793, no llegó a entrar en vigor, ya que no hacía falta para hacer funcionar las hojas de la guillotina, que era lo único que funcionaba a pleno rendimiento en la Francia de aquella época. Uno de las vidas que segó fue la del insigne Antoine-Laurent Lavoisier, padre de la química moderna, quien había cometido el error de participar en política. Cuentan que parpadeó doce veces tras ser segado su cuello para demostrar que la muerte no era inmediata. En abril de 1795 se dictó una ley ordenaba al metro como medida de longitud, de forma provisional, al ara como medida de superficie, al estero y al litro como medidas de volumen, al gramo para las masas y al franco para las monedas, y prohibió seguir fabricando productos usando las antiguas medidas. Francia se hacía, por decreto, “métrica y decimal”. 60


Por fin, Delambre y Méchain terminaron sus mediciones al encontrarse en Carcassone en octubre de 1798. Los años que tardaron no sólo se debieron a los problemas políticos y las guerras, la empresa realmente fue durísima, teniendo en cuenta el trasporte del material y equipos por zonas agrestes. Fueron recibidos como héroes, aunque ahora sabemos, al revisar la correspondencia privada entre ambos, que alteraron algunos datos para que la medida resultase creíble, y que el metro proporcionase la referencia universal, ilustrada y perfecta, símbolo de la Revolución. Dejando atrás las repercusiones que esto haya tenido a la hora de ver el mundo desde entonces, con los datos que entregaron, la Asamblea construyó un metro oficial en platino de 0,513074 toesas de largo, que se custodió en el Archivo de la República. En 1889 fueron reemplazados por otros patrones de mayor precisión construidos en aleación de platino e iridio.

Figura 2.1: Metro y kilogramo patrón (Bureau Intenational de Poids et Mesures, Paris). 61


Hoy día, el metro se define de acuerdo con otros parámetros más precisos: la distancia que recorre la luz en 1/299.792.458 de segundo. El metro fue algo más que un patrón de medida, fue un símbolo político: para unos una abominación jacobina, para otros símbolo de la razón. Incluso Napoleón lo utilizó políticamente suspendiendo su uso. El metro fue definitivamente de uso obligatorio en Francia en el año 1840. En 1848 el metro fue adoptado por España, y algunos otros países como Chile, ya que con sus cincuenta años de antigüedad sólo era usado en Francia y en sus colonias, en Grecia y en Holanda. Tras España y Chile lo empezaron a adoptar otros países latinoamericanos. El Reino Unido, tradicionalista y diferente, no adoptó el sistema decimal hasta la segunda mitad del siglo XX. A finales del siglo XIX se produjo un notable avance en la identificación de las líneas espectrales de los átomos. Albert Abraham Michelson (1852-1931), físico polaco, utilizó su famoso interferómetro para comparar la longitud de onda de la línea roja del cadmio con el metro. Esta línea se usó para definir la unidad denominada armstrong (Å), cuyo valor es 1 Å = 1010 m. En 1960, la XI Conférence Générale des Poids et Mesures abolió la antigua definición de metro y la reemplazó por la siguiente: El metro es la longitud igual a 1.650.763,73 longitudes de onda en el vacío de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles 2p10 y 2d5 del átomo de kriptón 86. Este largo número se eligió de modo que el nuevo metro tuviese la misma longitud que el antiguo. La velocidad de la luz en el vacío c es una constante muy importante en física, y que se ha medido desde hace mucho tiempo de forma directa, por distintos procedimientos. Midiendo la frecuencia f y la longitud de onda λ de alguna radiación de alta frecuencia y utilizando la relación c=λ·f se determina la velocidad de la luz c de forma indirecta con mucha exactitud. El valor obtenido en 1972, midiendo la frecuencia y la longitud de onda de una radiación infrarroja, fue c=299 792 458 m/s con un error de ±1.2 m/s, es decir, cuatro partes en 109. 62


La XVII Conférence Générale des Poids et Mesures del 20 de Octubre de 1983, abolió la antigua definición de metro y promulgó la nueva: El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299.792.458 de segundo. La nueva definición de metro en vez de estar basada en un único objeto (la barra de platino) o en una única fuente de luz, está abierta a cualquier otra radiación cuya frecuencia sea conocida con suficiente exactitud. BOE nº 269 de 10 de noviembre de 1967 BOE nº 110 se 8 de mayo de 1974 BOE nº 264 de 3 de noviembre de 1989 BOE nº 21 de 24 de enero de 1990 BOE nº 289 de 3 de diciembre de 1997

Ley 88/1967, de 8 de noviembre, declarando de uso legal en España el denominado Sistema Internacional de Unidades (SI)

Decreto 1257/1974 de 25 de abril, sobre modificaciones del Sistema Internacional de Unidades, denominado SI, vigente en España por Ley 88/1967, de 8 de noviembre. Real Decreto 1317/1989, de 27 de octubre, por el que se establecen las Unidades Legales de Medida

Corrección de errores del Real Decreto 1317/1989, de 27 de octubre, por el que se establecen las Unidades Legales de Medida Real Decreto 1737/1997, de 20 de noviembre, por el que se modifica Real Decreto 1317/1989, de 27 de octubre, por el que se establecen las Unidades Legales de Medida

Figura 2.2. La velocidad de la luz queda convencionalmente fijada y exactamente igual a 299.792.458 m/s debida a la definición convencional del término metro (m) en su expresión. Otra cuestión que suscita la nueva definición de metro, es la siguiente: ¿no sería más lógico definir 1/299.792.458 veces la velocidad de la luz como unidad básica de la velocidad y considerar el metro como unidad derivada? Sin embargo, la elección de las magnitudes básicas es una cuestión de

63


conveniencia y de simplicidad en la definición de las magnitudes derivadas. En el artículo único del REAL DECRETO 1317/1989, de 27 de octubre de 1989 por el que se establecen las Unidades Legales de Medida, publicado el 3 de noviembre, se dice que “El Sistema legal de Unidades de Medida obligatorio en España es el sistema métrico decimal de siete unidades básicas, denominado Sistema Internacional de Unidades (SI), adoptado en la Conferencia General de Pesas y Medidas y vigente en la Comunidad Económica Europea”. En la tabla de la Figura 2.2, se recogen las distintas normativas publicadas en el Boletín Oficial del Estado (BOE) Aun teniendo en cuenta que en nuestros días el Sistema Métrico Decimal está impuesto a nivel mundial, a veces es necesario conocer la diversidad de medidas que se han utilizado a lo largo de los años para comprender e interpretar la proporción arquitectónica de los edificios construidos utilizando una unida de medida determinada. Para lo cual, cuando trabajemos en un levantamiento o cualquier trabajos de arquitectura en un monumento antiguo, debemos tener en cuenta la unidad de medida utilizada, sobre todo si nuestro trabajo no está sólo encaminado a confeccionar un plano con la mayor exactitud, sino que además está dirigido a una comprensión total y arquitectónica del edificio. No comprenderemos pues, las proporciones, la modulación o la lógica compositiva si no tenemos en cuenta la unidad de medida utilizada en su momento. Para entender esto pongamos por ejemplo el caso de la Mezquita de Córdoba, tomando como referencia la primitiva Mezquita de Ab al-Rahaman I, cuyas medidas se inscriben en un cuadrado de 73,62x73,70 m, con muros de 1,17 m de espesor. La unidad de medida utilizada en la construcción fue el codo rassasi, equivalente a 0,589296 m. Teniendo en cuenta esta medida, empezamos a comprender la lógica de su arquitectura, desde el espesor de los muros igual a 2 codos, hasta las proporciones de las dimensiones interiores, cuyo análisis nos lleva a encontrar en ellas el número de oro:

φ = (1 + 5 ) / 2 64


2.2. Unidades de medida de longitud, superficie y volumen. Como parece haber quedado claro, la unidad de medida de longitud más utilizada en Topografía es el metro (m), unidad que ha quedado definida perfectamente en el capítulo anterior, y cuyos múltiplos (Km, Hm, Dm,..) y submúltiplos, (dm, cm, mm,..) son sobradamente conocidos. La unidad de superficie más utilizada es la hectárea (Ha), que se define como la superficie de un cuadrado de 100 m. de lado. En algunos casos se utiliza también el (Km²), sabiendo que 1 Km² = 100 Ha. La hectárea tiene dos submúltiplos: el área y la centiárea (a y ca). Un área es la superficie que ocupa un cuadrado de diez metros de lado, y una centiárea la de un cuadrado de un metro de lado, por tanto 1ca=1m², y entre ellas: 1Ha=100ca; 1ca=100a. En cuanto a las unidades de volumen, no serán propias de la topografía, pero nos apoyaremos en sistemas topográficos para calcularlos, por ejemplo en movimiento de tierras, siendo la unidad más utilizada el metro cúbico (m³), utilizándose el hectómetro cúbico (Hm³) para medir grandes volúmenes como por ejemplo los del agua embalsada en un pantano, 1Hm³=106m³.

65


2.3. Unidades angulares. Las unidades angulares más utilizadas son los grados sexagesimales y los grados centesimales. Para la graduación sexagesimal se considera la circunferencia dividida en 360 partes iguales denominadas grados, cada grado se compone de 60 minutos, y cada minuto en 60 segundos, siendo la notación de un ángulo medido en grados sexagesimales la siguiente: 35º14’23” Para la graduación centesimal, que se emplea con más frecuencia, se divide la circunferencia en 400 partes, cada una es un grado centesimal, también denominado gon, cada uno de estos en 100 minutos, y cada minuto en 100 segundos. La notación de un ángulo en grados centesimales es: 15g58m63s o bien 15,5863g Otra medida utilizada de ángulos es el radián. Radián es el ángulo cuya longitud de arco es la misma que el radio de la circunferencia a la que pertenece. El ángulo expresado en radianes se determina matemáticamente:

a=

L r

expresión en la que (r) es el radio y (L) la longitud del arco. Una circunferencia tiene una longitud de 2πr, si el arco del radian tiene la misma longitud que el radio r, entonces se obtiene: 360º=2π radianes. Esto significa que el radián no se deriva de ninguna otra unidad de medida. El uso de esta unidad de medida es muy conveniente en los cálculos teóricos por la comodidad de su manejo, pero en las mediciones prácticas no se utiliza porque tiene una relación irracional con el ángulo completo (360°) y no existe ningún instrumento que esté graduado en radianes para medir ángulos, ni tampoco existe patrón alguno para la reproducción del valor del radián, por tanto, normalmente, en el campo práctico, los ángulos se miden en grados, centesimales o sexagesimales. La relación entre el valor de un ángulo plano 66


expresado en radianes y aquel expresado en grados sexagesimales es la siguiente:

1rad =

180º

π

por tanto, si calculamos este cociente, hallamos que el valor de un radián es aproximadamente: 57°17’45’’, y en grados centesimales: 63g66m20s , ó 63,6620g. Una unidad angular curiosa es la milésima militar o milésima artillera. La milésima militar se define como el ángulo menor de un triángulo rectángulo cuya proporción entre el cateto menor y el cateto mayor es 1/1000. Esta medida angular, es la que equivale, aproximadamente, a 1/6400 de la circunferencia, y por tanto, 1º=17,6 milésimas militares.

67


2.4. Ángulos. En topografía se consideran básicamente dos tipos de ángulos: ángulos horizontales, es decir, los que forman dos rectas contenidas en plano horizontal, y ángulos verticales, obviamente formado por rectas contenidas en un plano vertical. Entre los ángulos horizontales está el rumbo y el azimut. El rumbo de una línea es el ángulo horizontal agudo (<90°) que forma con un meridiano de referencia, generalmente el Norte magnético, aunque podría utilizarse igualmente el Norte geográfico. Si no se dispone de información sobre ninguno de los dos se suele trabajar con un meridiano, o línea de Norte arbitraria. Se llama contrarrumbo o rumbo inverso de una alineación AB, al rumbo de la alineación BA, contraria por tanto a la AB. Como se observa en la Figura 2.3, los rumbos se miden desde el Norte (línea ON) o desde el Sur (línea OS), en el sentido de las manecillas del reloj si la línea a la que se le desea conocer el rumbo se encuentra sobre el cuadrante NOE o el SOW; o en el sentido contrario si corresponde al cuadrante NOW o al SOE. Como el ángulo que se mide en los rumbos es menor que 90° debe especificarse a qué cuadrante corresponde cada rumbo. N

N a

d

a d

30°

45°

E

W

30°

150°

W 315°

c

60°

c

30°

240°

b S

RUMBOS

b S

AZIMUTES

Figura 2.3: Diferencia entre rumbo y azimut. 68

E


Por ejemplo en la figura las líneas mostradas tienen los siguientes rumbos: Línea OA OB OC OD

RUMBO N30°E S30°E S60°W N45°W

Como se puede observar en la notación del rumbo se escribe primero la componente N ó S del cuadrante, seguida de la amplitud del ángulo y por último la componente E u W. Se llama azimut (o acimut) de una alineación, al ángulo formado por ella y el eje de las ordenadas, medido desde el eje positivo en sentido contrario a las agujas del reloj. También es usual medir el azimut desde el Norte (sea verdadero, magnético o arbitrario), pero a veces se usa el Sur como referencia. Se llama contraazimut o azimut inverso de una alineación AB, al azimut de la alineación BA, contraria por tanto a la AB. Los azimutes varían desde 0° hasta 360° y no se requiere indicar el cuadrante que ocupa la línea observada. Para el caso de la figura, las mismas líneas para las que se había encontrado el rumbo tienen el siguiente azimut: Línea OA OB OC OD

AZIMUT 30° 150° 240° 315°

Creemos necesario detenernos en este punto para aclarar algunos detalles de la diferencia entre rumbo y azimut, ya que en algunos textos, la única diferencia es que el primero se refiere a la medida angular de una alineación con respecto al Nm, y el segundo con respecto al Ng. Esto no es así, o al menos no es exactamente así. Por la forma de medir el rumbo y de expresarlo (siempre con 69


respecto a un Norte), además de que es un término asociado a la navegación, normalmente se ha referido al Nm, que se suele usar cuando nos orientamos, lógicamente con una brújula. Por la forma asimismo de medir el azimut y de expresarlo con respecto a un eje de coordenadas, además de ser una medida angular asociada más con la topografía o la geografía, se relaciona este concepto con el Ng, que normalmente es usado para orientar el eje de ordenadas de nuestro sistema cartesiano. Consideraremos siempre pues la diferencia entre rumbo y azimut tal como se ha definido anteriormente, y la forma de medir ambas magnitudes tal como se refleja en la Figura 2.3, y en cualquier caso es siempre más importante conocer el concepto que encierra la definición de un término, así como su manejo, que el propio término en sí mismo. Cuando se desea conocer la dirección de una línea se puede estacionar el aparato para medirla en cualquiera de sus puntos extremos, y es por esto que aparecen los definidos anteriormente conceptos de rumbo y azimut inversos (también contra-rumbo o contra-azimut) a los observados desde el punto contrario al inicial. Para que quede más claro, si en el ejemplo de la Figura 1.2.2. se midieron primero los rumbos y azimutes desde el punto O (líneas OA, OB, OC y OD), el contra-rumbo y contra-azimut de cada línea corresponde a la dirección medida en sentido opuesto, desde cada punto hasta O (líneas AO, BO, CO y DO). Cuando se trata de rumbos, para conocer el inverso, simplemente se cambian las letras que indican el cuadrante por las opuestas (N <-> S y E <-> W). De manera que para la figura se tiene: Línea OA OB OC OD

RUMBO N30°E S30°E S60°W N45°W

CONTRA-RUMBO S30°W N30°W N60°E S45°E

Por el contrario, si se trata de azimutes (Figura 2.4), el inverso se calcula sumándole 180° al original si éste es menor o igual a 180°, o restándole los 180° en caso de ser mayor: 70


Contra-Azimut = Azimut ± 180°

Figura 2.4. Para la Figura 2.3, se observan los azimutes inversos: Línea OA OB OC OD

AZIMUT 30° 150° 240° 315°

CONTRA-AZIMUT 30°+180° = 210° 150°+180° = 330° 240°-180° = 60° 315°-180° = 135°

Al igual que las magnitudes directas, en ningún caso un rumbo (o un rumbo inverso) puede ser mayor a 90°, ni un azimut (o contraazimut) mayor a 360°. Para calcular azimutes a partir de rumbos es necesario tener en cuenta el cuadrante en el que se encuentra la línea. Observando la figura anterior se puede deducir la siguiente tabla:

71

Topografía en Obras de Arquitectura Cuadrante NE SE SW NW

Azimut a partir del rumbo Igual al rumbo (sin las letras) 180° - Rumbo 180° + Rumbo 360° - Rumbo

Se puede comprobar revisando los valores que aparecen en la Figura 2.3. La conversión de azimutes a rumbos, la deducimos observando también la Figura 2.3. en la que se ve que el cuadrante de la línea depende del valor del azimut así:

Azimut 0° - 90° 90° - 180° 180° - 270° 270° - 360°

Cuadrante NE SE SW NW

Rumbo N ‘Azimut’ E S ‘180° - Azimut’ E S ‘Azimut - 180°’ W N ‘360° - Azimut’ W

Para calcular rumbos o azimutes en una poligonal primero definamos este concepto. Una poligonal, sea abierta o cerrada, es una sucesión de distancias y direcciones (rumbo o azimut) formadas por la unión de los puntos en los que se instaló el aparato que se usó para medirlas, puntos que solemos llamar estaciones. Cuando se ubica el instrumento en una estación se puede medir directamente el azimut de la siguiente línea a levantar (si se conoce la dirección del N o si se “sostiene” el contra-azimut de la línea anterior), sin embargo, en ocasiones se mide el ángulo correspondiente entre las dos líneas que se cruzan en el punto de estación (marcando “ceros” en el ángulo horizontal del instrumento cuando se mira al punto anterior), a este último ángulo se le va a llamar “ángulo observado”. Si el ángulo observado se mide hacia la derecha (en el sentido de las manecillas del reloj, que es el mismo en el que se miden los azimutes) se puede calcular el azimut de la siguiente línea con la siguiente expresión: 72


Azimut línea siguiente = Contra-azimut de la línea anterior + Ángulo observado Se debe aclarar que si el resultado es mayor a 360° simplemente se le resta este valor.

Figura 2.5. En la Figura 2.5 se observa que si el azimut conocido corresponde al de la línea AB (ángulo NAB), el contra-azimut es el ángulo NBA. El ángulo observado, medido en el sentido de las manecillas del reloj con el instrumento estacionado en el punto B es el ángulo ABC. El azimut que se desea conocer es el de la línea BC (ángulo NBC). Por lo tanto se tiene la siguiente expresión: Azimut BC = Contra-Azimut AB + Ángulo observado en B Azimut BC =
73


Esta expresión es válida sólo si el ángulo observado está medido en el mismo sentido del azimut (derecha), sin importar si es interno o externo. Si seguimos el orden de cálculo de los azimutes de una poligonal en sentido contrario de las agujas del reloj, tendremos (Figura 2.5) que, siendo el azimut de BC el ángulo NBC, el azimut de CB será el ángulo: Azimut CB = Acimut BC + 180º Una vez calculado este valor, sólo tendremos que aplicar la expresión: Azimut BA = Azimut CB+CBA siendo CBA el ángulo entre ambas alineaciones, si el valor resultante es mayor de 180º, restaremos este valor, si es mayor de 180º, lo sumaremos, por tanto la expresión completa sería: Azimut BA = Azimut CB+CBA± 180° y efectuaremos esta operación con todas las alineaciones de la poligonal. En una poligonal cerrada, es conveniente volver a calcular el primer azimut como si fuera el último, aunque ya conozcamos su valor, como comprobación En cuanto a los ángulos verticales podemos considerar: •

• •

74

Ángulo cenital: Se toma como referencia la parte positiva de la vertical del pto. Estos ángulos oscilan entre 0º y 180º. Ángulo nadiral: Se toma como referencia la parte negativa de la vertical del pto. Varían de 0º a 180º. Pendiente: Se toma como referencia a la horizontal del punto y pueden ser de "elevación" (por encima de la horizontal), o de "depresión" (por debajo de la horizontal).


2.5 Coordenadas La localización geográfica de un punto se puede realizar, básicamente detallando sus coordenadas geográficas, de acuerdo con los diferentes sistemas que existen, de los que estudiaremos los dos siguientes: • •

Coordenadas geográficas en formato longitud – latitud Coordenadas (x, y) UTM (Universal Transversa Mercator)

El sistema de coordenadas geográficas longitud-latitud, es un sistema de coordenadas angulares y está referido a un objeto tridimensional como es la superficie de la tierra, el sistema de coordenadas planas o rectangulares están diseñados para referirse a una representación en dos dimensiones, como es el mapa o plano que representa la superficie de la tierra. Cada una de estas dos formas de localización geográfica de un punto debe cumplir con los siguientes requisitos: • •

Que el punto sea único Que quede perfectamente identificado el sistema de proyección empleado en localizar el punto

Se define la longitud (λ) de un punto (P), como el valor del diedro formado por el plano meridiano que pasa por (P) y el meridiano de origen. El meridiano que universalmente se toma como origen es el meridiano 0º o meridiano de Greenwich. La designación de la longitud lleva aparejada la designación de la posición espacial del punto con respecto al meridiano de origen, así se designa posición Oeste (W) cuando está a la izquierda del meridiano origen y Este (E) cuando está situado a la derecha. Los valores posibles de la longitud varían según la siguiente expresión: 180ºW<λ<0º> λ>180ºE Se denomina latitud geográfica (ω) de un punto (P)al ángulo formado por la vertical que pasa por dicho punto, con el plano del ecuador, contenido en el plano meridiano que pasa por dicho punto. Los valores de la latitud siempre oscilan según la siguiente expresión: 90ºN<ω<0º>ω>90ºS 75


Ya que su valor se expresa de acuerdo con el hemisferio en que se encuentra el punto, norte (N) o sur (S). Este sistema de expresión de coordenadas longitud – latitud, utiliza la expresión de los ángulos en grados sexagesimales, y sus orígenes de son como se ha dicho, el meridiano 0º o meridiano de Greenwich y el Ecuador.

60º Latitudes 40º 20º

60º

20º 0º 40º es Longitud

Figura 2.6. Este sistema de coordenadas tiene como gran inconveniente el uso del sistema sexagesimal lo cual dificulta los cálculos; por otra parte tiene la ventaja de que proporciona un sistema único de referencia válido para toda la superficie terrestre. En España no siempre se ha usado el meridiano de Greenwich como referencia u origen, ya que como la mayoría de los países tenía su meridiano 0º, que era el que pasaba por Madrid. Aunque este sistema está en desuso, para corregir las longitudes que estén basadas en el meridiano de Madrid, si nos encontramos con ellas, basta con modificarlas en –3º 41’15”. Las coordenadas de España peninsular, incluyendo Baleares, están comprendidas entre los siguientes valores: Longitud Latitud 76

35,82ºN 9,29ºW

43,80ºN 4,33ºE


El sistema de coordenadas UTM proviene del nombre de la proyección usada (Universal Transversa Mercator) y se introduce de forma generalizada al ser adoptada en la década de 1940 como sistema estándar por el Servicio de Defensa de Estados Unidos y como gran ventaja presenta el sustituir el uso de los grados por los metros. 18º

12º

6º

0º

44º eje

T 40º S 36º

ecuador centro

R 32º O 28º P 24º 28

29

30

31

Figura 2.7. El sistema UTM divide la Tierra en 60 husos de 6º de longitud, la zona de proyección de la UTM se define entre los paralelos 80º S y 84º N. Cada huso se numera con un número entre el 1 y el 60, estando el primer huso limitado entre las longitudes 180° y 174° W y centrado en el meridiano 177º W. Cada huso tiene asignado un meridiano central, que es donde se sitúa el origen de coordenadas, junto con el ecuador. Los husos se numeran en orden ascendente hacia el este. Por ejemplo, la Península Ibérica está situada en los husos 31 al 29, y Canarias está situada en el huso 28. En el sistema de coordenadas geográfico, las longitudes se representan tradicionalmente con valores que van desde los 180º hasta casi 180º (intervalo [-180º, 180]); el valor de longitud 180º no se corresponde con el huso UTM 60, sino con el 1, porque en ese sistema 180º equivale a -180º. También divide la Tierra en 20 zonas de 8º Grados de Latitud, que se denominan con letras desde la C hasta la X excluyendo las letras "I" y "O", por su parecido con los números uno (1) y cero (0), respectivamente. Puesto que es un sistema norteamericano (estadounidense), tampoco se utiliza la letra "Ñ". La zona C coincide con el intervalo de latitudes que va desde 80º S (o -80º 77


latitud) hasta 72º S (o -72º latitud). Las zonas polares no están consideradas en este sistema de referencia. Para definir un punto en cualquiera de los polos, se usa el sistema de coordenadas UPS. Si una zona tiene una letra igual o mayor que la N, la zona está en el hemisferio norte, mientras que está en el sur si su letra es menor que la "N".

84N 60N 40N 20N 0N 6W

Meridiano central del huso 3ºW

Hemisferio Norte Huso 30 84N 60N 40N 20N origen

3W

0N 0W

origen x=500,000 m y= 0 m

Figura 2.8.

Cada cuadrícula UTM se define mediante el número del huso y la letra de la Zona, por ejemplo la ciudad española de Granada se encuentra en la cuadrícula 30S, y Logroño en la 30T. La rejilla es regular salvo en 2 zonas, ambas en el hemisferio norte; la primera es la zona 32V, que contiene el suroeste de Noruega; esta zona fue extendida para que abarcara también la costa occidental 78


de este país, a costa de la zona 31V, que fue acortada. La segunda excepción se encuentra aún más al norte, en la zona que se conoce como Svalbard. Una de las particularidades del sistema UTM es que cada uso tiene su propio sistema de coordenadas expresado en metros con respecto al origen en la intersección del meridiano central con la línea de ecuador, para evitar los números negativos en el eje X a este punto se le da un valor de X=500.000 m / Y=0 m. Resumiendo cuando damos unas coordenadas UTM estamos dando unas distancias en metros al punto de referencia en el ecuador y siempre se han de acompañar con la información de la zona. Con el origen de coordenadas del sistema UTM y a causa de la proyección efectuada, las distancias entre meridianos disminuyen según nos acercamos a los polos. La notación que se usa para designar las coordenadas UTM es: la designación del huso y la zona, es la designación de su ordenada (x) y su abcisa (y) en metros con su orientación (E,W y N,S), completándose la información con la identificación del dátum. En topografía, y cuándo nos referimos a un espacio concreto podemos utilizar también sistemas de coordenadas, esta vez con los puntos de origen o referencias propias de nuestro trabajo, obra o campo de actuación, estas coordenadas pueden ser polares o cartesianas. El sistema de coordenadas cartesianas es en el que cada punto está definido por su distancia a la abscisa y a la ordenada, el sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición en el plano viene determinado por un ángulo y una distancia. El sistema de coordenadas polares resulta especialmente útil en situaciones donde la relación entre dos puntos es más fácil de expresar en términos de ángulos y distancias, y sobre todo de medir con los sistemas de que se ha dispuesto tradicionalmente, mientras que en el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares estas mismas relaciones deben ser expresadas mediante fórmulas trigonométricas. 79


Las coordenadas polares de un punto son dos: la coordenada radial y la coordenada angular. La coordenada radial de un punto (P), que es comúnmente simbolizada por (r) ó (ρ) expresa la distancia del punto (P) al punto (O) central del sistema conocido como polo, y que es equivalente al origen de coordenadas en el sistema cartesiano. La coordenada angular, también conocida como ángulo polar o ángulo acimutal, y usualmente simbolizada por (φ) ó (t) expresa el ángulo positivo, medido en sentido antihorario, desde el eje polar, equivalente al eje de abscisas del sistema cartesiano.

x P(x,y) ó (r, φ) r

y

φ

O Figura 2.9: Coordenadas cartesianas y polares.

Si trazamos el eje de abscisas coincidiendo con el eje polar y perpendicularmente a este eje por (O) trazamos el eje de ordenadas, (Figura 2.9) se deducirán las siguientes relaciones: • El paso de las coordenadas polares a las cartesianas viene dado por: 80


x = r ⋅ cos ϕ y = r ⋅ senϕ • El paso de las coordenadas cartesianas a las polares:

r = x2 + y2 tgϕ =

y y ⇒ ϕ = arctg x x

81

3. DEL PLANO TOPOGRÁFICO Prefiero dibujar a hablar: dibujar es más rápido y deja menos espacio para las mentiras. (Le Corbusier)

3.1 Del sistema de representación utilizado en Topografía. La geometría descriptiva, desarrollada por el matemático francés Gaspard Monge (1746-1818) en el siglo XVIII, nos proporciona una serie de sistemas de representación para diferentes aplicaciones prácticas, evolución de los rudimentarios sistemas anteriores, que, comenzando en la Edad Media, intentaban representar las tres dimensiones los objetos en un plano. De entre estos sistemas, en topografía se usa el de planos acotados. En este sistema, denominado de proyección cilíndrica ortogonal, es el más apropiado para la representación de todas aquellas figuras cuyas dimensiones verticales son mucho menores que las verticales, como es el caso de la superficie terrestre. En el sistema de planos acotados, cada punto de la superficie terrestre puede representarse mediante su proyección sobre un plano y su altura, elevación o cota, sobre un plano de comparación elegido convenientemente, como se muestra en la Figura 3.1. 83


7,00 5,00

3,00

(3,00)

(5,00)

4,00

(7,00)

2,00

(4,00) (2,00)

Figura 3.1: Fundamento del sistema de planos acotados. Según esto, vemos que la representación podría reducirse a una serie de puntos aleatorios del terreno, que normalmente se denominan puntos sueltos, cada uno de ellos con su respectiva cota o altura desde el plano de comparación. Un número pequeño de puntos ocasiona imprecisiones que normalmente serán inadmisibles, mientras que un número demasiado elevado puede dificultar la lectura o interpretación del plano que elaboremos, además de necesitar cálculos complejos, aunque este es un factor actualmente de trascendencia menor, dado el incremento de prestaciones que proporcionan los ordenadores, impensable hace apenas dos décadas. Para evitar estos problemas, se trazan curvas que unen los puntos de igual cota, estas curvas se denominan curvas de nivel, y también isohipsas.

84

Del plano topográfico

3.2. La escala. Para dibujar los resultados de cualquier levantamiento topográfico en un plano, es necesario utilizar el concepto de escala, que es la relación entre el número de unidades de longitud en el plano y el número de unidades de longitud en el terreno. Se llama factor de escala (E) el número que determina la relación entre las longitudes del plano representadas y las longitudes en la realidad, en virtud de este factor, la escala puede ser: • • •

Escalas de ampliación: el factor es menor que 1 Escalas de reducción: el factor de escala es mayor que 1 Escala natural: el factor de escala es igual a 1

En topografía normalmente se utilizan escalas de reducción, debido a que las dimensiones medidas en los levantamientos son mucho mayores que el tamaño del papel donde se va a dibujar el objeto medido, pero tienen el inconveniente que no se pueden representar los detalles. En mediciones de objetos diminutos, si se emplean escala de ampliación o de aumento, son bien detallados pero no se pueden representar muchos objetos en el mismo plano. Las escalas grandes son utilizadas en arquitectura para la representación de detalles como puertas, ventanas o detalles constructivos especiales. Para expresar el valor de la escala de un plano o dibujo se puede hacer en palabras, en forma gráfica o por numérica por fracciones representativas. La escala en palabras, se expresa relacionando el número de unidades en el plano o dibujo, generalmente una unidad, respecto al número de unidades que representa en el terreno. Por ejemplo: (a) un centímetro en el plano equivale a 10 kilómetros en el terreno Otra escala puede ser por ejemplo: (b) 1 cm en el plano equivale a medio metro en el terreno

85


El método corrientemente utilizado para indicar la escala de un plano es la escala numérica, y se da en forma de fracción: E 1/500 ó E 1:500 La fracción, normalmente precedida por la letra “E”, tiene por numerador el número de unidades en el plano que por lo general siempre es uno (1) y por denominador el número de unidades equivalentes en el terreno. Esta escala significa que un (1) centímetro el plano representa quinientos (500) centímetros en el terreno, ó que una (1) pulgada en el plano equivale a cien (100) pulgadas en el terreno. Como se deduce la escala expresada mediante fracción representativa es adimensional, o lo que es lo mismo, las unidades del numerador y del denominador deben ser iguales. Las escalas expresadas anteriormente en los ejemplos de la expresión en palabras o texto, al convertirlas en fracciones representativas quedarían de la siguiente forma: 1:1.000.000 (a) 1:50 (b) El denominador de la fracción representa el factor de escala, y el tamaño de una escala está siempre en proporción inversa al valor del factor de escala, puesto que está en el denominador, así una escala será tanto más grande cuanto menor sea su factor de escala y viceversa, así clasificando las escalas por tamaños tendremos que: • • •

Escalas pequeñas: Mayores de 1:10.000 Escalas intermedias entre 1:10.000 y 1:1.000 Escalas grandes, menores de 1:1.000

La escala gráfica o pitipié se representa mediante una línea, barra o gráfico situada en el mapa o plano, a menudo en la carátula explicativa o en el margen de la hoja, que se ha subdividido para indicar la longitudes sobre el mapa de las unidades que se utilicen para medir la longitud en el mismo, indicando asimismo la unidades que representa: Km, m, etc. Generalmente, se representa un extremo de la escala, 86


denominado talón, con mayor número de divisiones, de modo que el usuario pueda medir las distancias con mayor precisión, como se representa en la Figura 3.2. N

0 20 40 10 30 50

100

O

E

200 m.

S

Figura 3.2: Escala gráfica o pitipié. En algunos mapas sobre todo de navegación, y debido a la representación plana de la superficie terrestre mediante una proyección cartográfica, la escala de un mapa no es la misma en todas direcciones, y por tanto a veces se representan, unas escalas gráficas de tipo múltiple, van variando según la latitud que se considere, Figura 3.3.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900 1.000 1:10.600.000

50º

1:16.700.000

30º

1:19.500.000 10º Equator

SEA MILES

1:21.200.000

Figura 3.3: Escala gráfica variable. Un sistema que nos permite usar la escala grafica con una precisión aceptable (la décima de la unidad del talón) es la llamada escala de transversales. Para construir esta escala, que muestra la Figura 3.4., se dibujan paralelamente a la línea que define la escala gráfica otras once escalas, aunque sin bajar las líneas que definen la subdivisión del talón, sólo marcándolas en la primera y última línea. Estas subdivisiones se unen con rectas transversales de forma que la primera vaya del “0” de la división alta, al “10” de la división más baja, y el resto de igual manera mediante paralelas a esta primera transversal. De esta forma, es 87


obvio que la primera transversal trazada, se intercepta con cada una de las líneas horizontales en sentido descendente, una décima parte de la subdivisión de la escala más a la izquierda más, a medida que bajamos, o lo que es lo mismo, una centésima parte de las unidades principales de la escala. Numerando las unidades principales hacia la derecha del cero de 100 en 100, las subdivisiones hacia la izquierda de 10 en 10, y las líneas horizontales de 1 en 1 hacia abajo, tendremos que podremos medir cualquier distancia en el plano con una precisión de una centésima de la unidad de la escala. La medida 327, por ejemplo, es la distancia que va desde la marca del 300 a la transversal 20, en la horizontal 7.

100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

90 70 50 30 10 80 60 40 20

0

100

200

300

Figura 3.4: Escala de transversales.

88

400

500 m.


3.3. El límite de percepción de percepción visual y la escala. Se estima que la vista humana en condiciones normales puede percibir sobre el papel magnitudes de hasta 1/4 de milímetro, con un error en dicha percepción menor o igual a 1/5 de milímetro, por tanto se considera que el límite de percepción visual, y por tanto la mínima longitud representable en un plano es de 0,2 mm. Es importante tener esto en cuenta, para elegir la escala a la que debemos representar algo, o bien la precisión de los datos que debemos tomar en función de la escala del plano que queremos elaborar. Pongamos el ejemplo de la representación de una curva como el la Figura 3.5., para ver gráficamente la importancia de este hecho. Supongamos para ello que la representación de esta curva se hará solamente en un plano que tendrá la escala 1:5.000. El producto del denominador de la escala, por el límite de agudeza visual nos da la siguiente magnitud: 5.000 x 0,2 = 1 m y esta será la magnitud será la que podremos despreciar en el terreno. Si como es el caso de la Figura 3.5., tenemos una curva con una flecha de 4 m, será suficiente tomar los puntos B, C y D.

c

b

B

b'

4,00 m

c' D

A E

Figura 3.5: Toma de datos de un tramo curvo y su relación con la escala.

89


La explicación de porqué debemos eliminar los puntos intermedios (b) y (c) es sencilla: las distancias (b-b’) y (c-c’) son de 1 metro, como se deduce a través del cuarto de flecha, así los puntos (b) y (c) se confundirían en el plano con los respectivos (b’) y (c’) a escala 1:5.000, razón por la cual no deberíamos tomarlos en el campo. Estos factores han de ser tenidos en cuenta también para apreciaciones angulares. Sin embargo convienen tener clara la finalidad de nuestro trabajo, no equivocando los términos, esto no quiere decir que debamos eliminar trabajo de campo, sólo el trabajo superfluo, en lo que se refiere a la toma de datos para reflejarlos en un plano, y que únicamente vayan a ser representados a una escala, cuyo valor sea tal que la dimensión de éstos sea menor que el límite de percepción visual. En este sentido, si los datos de campo que estamos tomando son para determinar coordenadas, medición exacta de superficies, etc., siempre nos convendrá tomarlos con la precisión necesaria, aunque puedan ser usados en planos cuya escala los haga inútiles, podrán servir como información para otro tipo de planos de mayor escala o bien para nuestro archivo de consulta, la experiencia y el sentido común nos darán la verdadera medida del alcance de nuestro trabajo.

90


3.4 Planimetría, altimetría y taquimetría. Un levantamiento topográfico es el conjunto de operaciones ejecutadas sobre el terreno, con los aparatos necesarios y utilizando los métodos adecuados, destinadas a tomar los datos suficientes que nos permitan una representación del terreno así como la posición, forma y dimensiones de todos los elementos naturales o artificiales que existan en éste. Volviendo a la Figura 3.1., y recordando que en el sistema de planos acotados, los puntos vienen determinados por su proyección sobre el plano y por su cota, tendremos en cuenta que todo levantamiento topográfico podrá dividirse en dos partes, una destinada a obtener los datos que nos permitan representa la proyección horizontal sobre un plano, y que llamamos planimetría. La segunda parte será la encargada de obtener las cotas o alturas de los puntos que queramos representar, siendo esta la altimetría. Así, los distintos métodos de que disponemos para llevar a cabo estas tareas los llamamos métodos planimétricos y altímetricos respectivamente. Estos trabajos, que hasta hace relativamente poco tiempo se tendían a hacer por separado, o se hacían por separado con frecuencia, ya que para cada uno de ellos se empleaban instrumentos distintos, se ejecutan en conjunto, sobre todo mediante los aparatos llamados taquímetros, nombre que significa etimológicamente medición rápida (taqui-, en griego: ταχύς, pronto, rápido), dando lugar a la taquimetría, es decir a conjuntar las labores de planimetría y altimetría en una sola. Hoy día, las modernas estaciones totales electrónicas facilitan aún más el trabajo, siendo la taquimetría el método general que se usa comúnmente para cualquier levantamiento topográfico. Asimismo, el trabajo topográfico se divide también en trabajo de campo y trabajo de gabinete, siendo ambos claramente diferenciados y necesitando en muchas ocasiones, técnicos especializados en cada materia para elevar la eficacia del trabajo, o para aumentar el rendimiento del mismo. Los levantamientos topográficos, aun sean estos taquimétricos y ejecutados con modernos equipos están dentro de la topografía clásica o convencional, existiendo otros métodos a aplicar, como es la fotogrametría. La fotogrametría es la técnica cuyo objetivo 91


es el conocimiento de las dimensiones y posición de objetos en el espacio, a través de la medida o medidas realizadas a partir de la intersección de dos o más fotografías, o de una fotografía y el modelo digital del terreno correspondiente al lugar representado, el cual ha de ser realizado anteriormente por intersección de dos o más fotografías. Si trabajamos con una fotografía podemos obtener información en primera instancia de la geometría del objeto, es decir, información bidimensional. Si trabajamos con dos fotografías, en la zona común a éstas, llamada zona de solape, podremos tener visión estereoscópica, o dicho de otro modo, información tridimensional. Esta técnica es básica para la elaboración de la actual cartografía, ya sea topográfica, temática, catastral, etc. La fotogrametría puede ser terrestre o aérea dependiendo desde donde son obtenidas las imágenes, aunque para fines topográficos se suele usar la aérea.

92


3.5. Relación de la escala con el elemento y precisión. Aunque es difícil realizar una clasificación exhaustiva de los levantamientos, adoptaremos el criterio de considerarlos en relación con la escala, en primer lugar y en segundo con la precisión. Atendiendo a la escala consideraremos los levantamientos detallados o a gran escala, levantamientos bases de proyectos o a escala media y levantamientos topográficos propiamente dichos o a pequeña escala. Por su precisión se dividen en regulares e irregulares. La topometría es la parte de la topografía que abarca todo lo referente a las mediciones hechas sobre el terreno. En el primer caso todas las medidas se hacen con el máximo de precisión topométrica. Los ángulos se miden con aparatos que aprecian el segundo, las distancias se miden con cintas metálicas o con procedimientos electromagnéticos que tengan una precisión análoga al taquímetro empleado. Las distancias medias serán normalmente muy cortas, es decir, inferiores a 50 m. Los diferentes puntos levantados deben ser localizados por coordenadas rectangulares con aproximación de centímetros. Generalmente estos planos sólo se refieren a una parte muy reducida, para análisis exhaustivos relativos a la construcción, y se realizan siempre a escala grande: a 1:50 estudios de construcción, típicos de arquitectura, y a escalas 1:100 ó 1:200 para los destinados al estudio de un proyecto más importante, edificio aislado, tramos de calle, etc. En el caso de levantamientos a escala media, son los propios de la taquimetría realizándose por tanto con taquímetros, las distancias se miden sobre la mira o prisma hasta un límite máximo que es función de la escala del dibujo, de modo que se conserve la precisión de 0,2 mm sobre el plano. Los puntos se sitúan por coordenadas polares añadiéndose su cota, mediante transportador. Estos planos pueden referirse a grandes superficies, estando a veces compuestos de varias hojas que pueden ensamblarse por una cuadrícula común, cuando se refieren a un proyecto lineal: carretera, vía férrea, etc, adoptan la forma de una banda de papel plegado con uniones especiales en los cambios de dirección. Las escalas más frecuentes son 1:500, 1:5.000 y 1:2.000 según la precisión deseada, la importancia del 93


detalle o el presupuesto para el trabajo. Cuando se desea una escala más pequeña, 1:5.000 o 1:10.000, hay que recurrir casi exclusivamente a los procedimientos de la fotogrametría, completando con topografía clásica algún detalle no identificado en la fotografía, y los puntos de apoyo. Se llaman levantamientos regulares aquellos en los cuales el error asociado a la determinación de un punto es próximo al error gráfico sobre al plano, 0,2 mm. Por tanto la noción de la regularidad está ligada a la escala del plano ya que el límite de percepción visual en el plano representa en el mismo, según las escalas las siguientes medidas: ESCALA 1:50 1:100 1:200 1:400 1:500 1:1.000 1:2.000 1:5.000 1:10.000

LÍMITE DE PERCEPCIÓN VISUAL 1 cm 2 cm 4 cm 8 cm 10 cm 20 cm 40 cm 1m 2m

Con estas cifras presentes puede deducirse inmediatamente la tolerancia de una visual para diferentes escalas, en función del instrumento empleado, y la regularidad gráfica consiguiente en el plano. En la práctica, sin embargo sólo se imponen estos límites para los puntos importantes, estaciones del itinerario, detalles singulares tales como esquina de una casa, poste o mojón de una propiedad etc., pero en absoluto se impone para puntos tomados con el único objeto de definir altimetría. En efecto, las altitudes de los puntos de un suelo irregular no pueden ser perfectamente determinadas ya que a lo largo del levantamiento su cota puede variar más de 10 cms (caída de piedras, lluvia, pisadas, etc.). Para puntos nivelados por procedimientos trigonométricos se tolera una discrepancia de 10 cms. y para los de relleno se eleva a los 25 94


cms. Lógicamente en los planos de precisión se nivelan geométricamente aquellos detalles que interesen. Finalmente, a veces, razones económicas o de tiempo en la ejecución aconsejan sobrepasar sistemáticamente las posibilidades y las tolerancias de los aparatos utilizados. Se puede citar como ejemplo el empleo de taquímetro con mira para planos 1:200, sabiendo entonces que los puntos estarán representados con discrepancias superiores a la apreciación gráfica, llamándose entonces al levantamiento irregular. Se comprende perfectamente que si el levantamiento irregular ha sido representado a una escala suficientemente pequeña se habrá transformado en un plano regular ya que entonces el error cometido en la determinación de cualquier punto no tendría representación gráfica. Recíprocamente, cuando se ha ampliado un levantamiento regular, los errores primitivos se habrán multiplicado por el coeficiente de ampliación y consecuentemente serán superiores al llamado error gráfico, que corresponde al límite de percepción visual (0,2 mm), estando entonces ante un plano irregular. La regularidad de un levantamiento depende pues de la escala a la que se ejecute el plano, es así como ciertos planos de Urbanismo llamados expeditos, levantados a escala 1:2.000 llevan las curvas de nivel de un plano topográfico de referencia como el MTN 25 del I.G.N. Esas curvas que constituyen un mapa regular a escala 1:25.000 se transforman en una representación altimétrica irregular a 1:2.000. Existen por tanto planos que son regulares en planimetría y expeditos o irregulares en altimetría, pudiendo llamarse éstos entonces, levantamientos semi-irregulares. Es pues aconsejable, generalmente, la reducción, y casi nunca lo es la ampliación. Cuando se utilizan planos de escala pequeña o muy pequeña es cuando se aplican los criterios de la generalización, o generalización cartográfica (véase 1.6. La Cartografía, pág. 50), ya que estas escalas suelen formar parte de la cartografía. La generalización se lleva a cabo en función de la escala, y se basa en métodos como el que representa la siguiente tabla:

95


MÉTODO Selección Simplificado y suavizado Desplazamiento Agregación Conversión a punto Conversión a polígono Conversión a línea Segmentación

PUNTOS SI SI SI

LÍNEAS SI SI SI

POLÍGONOS SI SI SI SI SI

SI SI SI

La generalización conlleva normalmente la supresión de detalles, aunque algunos casos implican lo contrario. Esto sucede cuando un cambio de escala supone la representación de algún elemento que pierda por ello su entidad, en el caso, por ejemplo de un río, que quede reducido a una línea recta, podremos introducir, artificialmente, curvaturas aleatorias para darle más apariencia de río. El grado de generalización suele depender como decimos de la escala, a grandes rasgos podemos establecer los siguientes umbrales: • •

•

•

A escala 1:10.000: muy escasa o inexistente A escala 1:20.000 empieza a aparecer generalización. Las calles y carreteras aparecen ensanchadas, los edificios se agrupan y simplifican y las parcelas de cultivo se agrupan en grandes polígonos de uso de suelo. Entre 1:20.000 y 1:200.000, los bordes de los polígonos y los objetos lineales se simplifican, las carreteras se simbolizan, desciende considerablemente el número de objetos representados, aunque aumente su densidad. A partir de 1:500.000 el mapa es una representación completamente reducida a símbolos, sin ningún objeto real representado.

En arquitectura hablamos siempre de escalas grandes (factor o denominador pequeño), como hemos visto, de acuerdo con los diferentes planos del proyecto, generalmente se usan las siguientes escalas:

96


TIPO DE PLANO

ESCALAS UTILIZADAS 1:500 1:250 1:200

Panta de situación, Plano topográfico, movimientos de tierra. Plantas, alzados y secciones Cimentación, estructura y detalles Instalaciones y detalles Carpintería, cerrajejería, detalles Secciones y detalles constructivos

1:100 1:100 1:100 1:100 1:50

1:50 1:50 1:50 1:50 1:20

1:20 1:20 1:20 1:10

Pudiéndose elegir otras escalas en función de los parámetros aquí establecidos. En algunos casos, la normativa para ejecutar proyectos nos impone la escala de algunos planos, así como la necesidad de ellos mismos. Tomemos como ejemplo de referencia el PGOU de Málaga, en los que, dependiendo del tipo de proyecto, se exigen determinados tipos de planos a una escala: TIPO DE PROYECTO Proyectos de urbanización

PLANO Topográfico oficial

ESCALA

OBSERVACIONES

1:1.000

Equidistancia 1 m. Coordenadas UTM de la red geodésica local. Indicación de ejes de vía pública y alineaciones oficiales

Proyectos de edificación

Emplazamiento

1:2.000 y 1:500

Proyectos de demolición Proyecto de modificación de uso

Emplazamiento

1:500

Situación de la finca Emplazamiento

1:2.000 1:500

97


3.6. Las curvas de nivel Las curvas de nivel, son las isolíneas que en un plano topográfico representan la línea de intersección de un determinado plano horizontal con la superficie del terreno, por tanto, son curvas que unen puntos del terreno con la misma cota. Cuando el relieve representado es de un fondo submarino o del fondo de un lago, las curvas de nivel se denominan curvas batimétricas, puesto que la altimetría submarina se denomina batimetría, del griego βαθύς=profundo. Las distancias a las que se sitúan los planos horizontales que contienen a las curvas de nivel, son las que determinan los intervalos verticales entre las curvas se denominan equidistancias, ya que suelen ser distancias fijas, aunque podemos encontrarnos casos con distancias variables. El nivel 0 corresponde al nivel del mar, siendo este la línea de cota cero o línea de costa. La altitud de los otros planos suele corresponder a cifras redondeadas y suelen representarse de una manera jerarquizada, dando lugar a curvas ordinarias y curvas maestras. Las curvas maestras suelen llevar indicado el valor de su cota y se distinguen normalmente con un trazo más grueso. Por ejemplo, en equidistancia de 1 m, es habitual que las curvas maestras se tracen cada 5 m. La equidistancia entre curvas de nivel se elige en función de la escala del plano, así como de la naturaleza del terreno, en cuanto al número y valor de las pendientes que contenga. Para realizar una representación clara es conveniente que la separación gráfica entre dos curvas consecutivas sea mayor o igual a 1 mm, pudiendo llegar en casos excepcionales a 0,5 mm. En la tabla siguiente podemos ver algunos ejemplos:

98

Del plano topográfico ESCALA DEL PLANO

PENDIENTE DEL TERRENO

EQUIDISTANCIA ELEGIDA (m)

SEPARACIÓN DE CURVAS EN EL TERRENO (m)

SEPARACIÓN DE CURVAS EN EL PLANO (mm)

1/10.000 1/10.000 1/10.000 1/2.000 1/2.000 1/2.000 1/1.000 1/1.000

1/100 10/100 20/100 1/100 10/100 20/100 10/100 10/100

1 1 1 1 1 0,5 1 0,5

100 10 5 100 10 2,5 10 5

10 1 0,5 50 5 1,25 10 5

En general puede aplicarse la siguiente expresión:

d Sp × E = p 1000 en la que: d = equidistancia (m) p = pendiente del terreno (%) Sp = separación de las curvas de nivel en el plano (mm) (≥0,5 mm) E = factor de la escala elegida

Figura 3.6: Plano con tintas hipsométricas. 99


En algunos mapas, para facilitar la lectura del relieve se utilizan colores planos entre algunos intervalos elegidos de las curvas de nivel, estos colores se denominan tintas hipsométricas. Las curvas de nivel cumplen una serie de propiedades, que, con algunas excepciones, son las siguientes: •

• • • •

•

Dos curvas de nivel nunca pueden cortarse entre sí, o coincidir, salvo en el caso de acantilados rocosos o cornisas. Una curva de nivel no puede bifurcarse. Las cotas de dos curvas sucesivas son crecientes o decrecientes de manera uniforme. Salvo en depresiones y hoyas del terreno, las curvas de nivel más cerradas tienen mayor cota que las contiguas. El número de extremos de curvas de nivel cortados por el marco del plano o mapa debe ser par, ya que todas las curvas de nivel deben ser cerradas, siendo muchas veces necesario considerar un mapa global para apreciar esta propiedad. El terreno, entre dos curvas de nivel, o entre dos puntos de cota conocida, se considera con pendiente uniforme.

La superficie comprendida entre dos curvas de nivel consecutivas se denomina zona. Con la representación mediante curvas de nivel las zonas comprendidas entre éstas quedan indefinidas, pues no se muestra ninguna información sobre ellas. Por ello, cuando acometemos un trabajo topográfico de cierta entidad, es importante tener claro que el terreno no sólo va a quedar definido mediante las líneas de nivel, sino que será necesaria la información adicional que permita captar los quiebros del terreno, los puntos singulares del mismo, etc. En general consideraremos que una zona está definida por una superficie reglada, compuestas por rectas que se apoyan en las curvas que la delimitan. Si observamos la Figura 3.7., veremos que el perfil longitudinal obtenido mediante el corte con la líneas de nivel disponibles no se ajusta a la realidad del terreno: tenemos una zona horizontal en lo que, presumiblemente es una vaguada. Está claro que el perfil debería mostrar un quiebro brusco en lugar de dicho tramo horizontal. Para corregir esta situación, es necesario definir, de la 100


mejor manera posible, los quiebros del terreno. De esta manera, llegamos al concepto de líneas duras, o líneas de quiebro o de ruptura, porque precisamente nos informan sobre los cambios bruscos del relieve. Ejemplos de líneas de quiebro son las vaguadas y las divisorias de aguas.

80

90

100 +110,00

+100,00

+90,00

+80,00

Figura 3.7: Perfil longitudinal de una zona de vaguada obtenido mediante el corte con las curvas de nivel. Además es conveniente introducir el concepto de líneas de planimetría, es decir, datos importantes del terreno de los que nos interesa su cota, además de su ubicación en planta, como es el caso de edificaciones, pozos, cerramientos, etc. Por tanto, un plano topográfico deberá contar con la siguiente información: •

Curvas de nivel: tienen coordenadas (X, Y) variables en todos sus puntos, mientras que la cota (Z) permanece constante. 101

Topografía en Obras de Arquitectura • •

Líneas de quiebro: tienen coordenadas (X, Y, Z) variables en todos sus puntos. Líneas de planimetría: coordenadas (X, Y) variables en todos sus puntos, sin una cota asociada.

Además se incorporará otra información alfanumérica como rótulos, textos, símbolos, etc. Los modernos programas de diseño y topografía nos permiten la correcta definición de las líneas de quiebro. Lo más conveniente en tomarlas durante el levantamiento de campo, mediante la adquisición de una serie de puntos suficientes para definirlas sin error apreciable y con la codificación necesaria para identificarlas de manera inequívoca a la hora de representarlas.

vaguada

80

90

100 +110,00

+100,00

+90,00

+80,00

Figura 3.8: Nuevo perfil longitudinal obtenido mediante el corte con las curvas de nivel y con la línea de quiebro de la vaguada definida en el plano. 102


En la Figura 3.8., podemos ver como podemos definir mejor un perfil longitudinal, si el plano topográfico contiene las correspondientes líneas de quiebro. La representación de la superficie natural del terreno mediante métodos propios de la topografía de denomina superficie topográfica. En las superficies topográficas, representadas mediante curvas de nivel, existen algunos elementos importantes que es necesario conocer, y en algunos casos representar, como hemos visto: • • • • • •

Líneas de máxima pendiente Divisorias de aguas Vaguadas Collados Cumbres Simas

Se llama línea de máxima pendiente es la que forma el mayor ángulo con el plano con el plano de proyección, en este caso el horizontal. Línea de máxima pendiente es la tiene la distancia más corta en el plano entre dos curvas de nivel, desde un punto cualquiera en el terreno es la línea teórica que recorrería una gota de agua. En un punto cualquiera situado en una zona, la línea de máxima pendiente es la que tiene una menor distancia a las dos curvas de nivel que delimitan la zona. Se llaman divisorias de aguas a las líneas que delimitan dos vertientes, es decir, aquellas en las que dos gotas de agua que cayeran sobre ellas podrían seguir por un lado u otro, siguiendo las líneas de máxima pendiente. Cuando en un caso determinado desde un punto P encontramos que la distancia menor a la curva de nivel inferior se manifiesta en dos puntos, este punto se encuentra en una divisoria de aguas. Desde un punto situado en una divisoria, la divisoria constituye la línea de máxima pendiente hacia arriba, pero la mínima pendiente hacia abajo.

103


Figura 3.9: Mapa topográfico (MTN 50 IGN).

104


Vaguadas con aquellas zonas de las superficies topográficas en las que se acumulan las aguas de la escorrentía superficial. La línea de vaguada se determina de forma análoga a la divisoria de aguas, pero de forma inversa: en cada punto de una vaguada la línea que la une con la curva de nivel inferior es la línea de máxima pendiente, pero es la de mínima pendiente con la curva superior. En ambos casos, divisorias y vaguadas se cumple que son líneas que pasa por los puntos de mayor curvatura de las curvas de nivel. Entre dos divisorias hay siempre una vaguada, y entre dos vaguadas una divisoria. Los collados o puertos, son depresiones montañosas suaves que permiten pasar con mayor facilidad que por otra parte de un lado a otro de una cadena montañosa, están situados normalmente en la parte alta de las vaguadas y en la parte más baja de las divisorias. Si son muy pronunciados se llaman desfiladeros. Una cumbre es la parte superior de un monte, cerro o colina, y son los puntos más altos de las divisorias. Se caracterizan por curvas de nivel cerradas y más pequeñas a medida que sus cotas crecen. El punto más alto de la cumbre se representa con su cota. Las simas son los puntos más bajos del terreno, se caracterizan por curvas de nivel cerradas y más pequeñas a medida que sus cotas decrecen. En el mapa topográfico de la figura 3.9, es un fragmento del Mapa Topográfico Nacional a escala 1:50.000 (equidistancia 20 m) del Instituto Geográfico Nacional, y en él podemos identificar todos estos elementos del terreno perfectamente representados, así como el resto de objetos que se representan. Hay innumerables términos geográficos que hacen referencia a las superficies topográficas y que son de uso común. Por su importancia a la hora de representar e interpretar un plano topográfico, así como de hablar con propiedad de las partes que incluye, y por tanto a las partes del terreno que representa, además de los definidos anteriormente, incluimos aquí un glosario de algunos términos comunes:

105


abra acantilado alcor cañada cerro cima cauce confluencia cordillera costa declive depresión erial hito hoya ladera loma macizo mogote mojón montaña monte muela nava pico rambla río vado valle

106

Abertura ancha y despejada entre dos montañas. Bahía no muy extensa Escarpa casi vertical de un terreno Colina o collado Espacio de terreno entre dos alturas próximas. Antiguas vías por las que se conducía el ganado. Elevación de tierra aislada, de menor altura que la montaña. Punto más elevado de montes o cerros. Canal por donde discurren normalmente las aguas de un río. Punto en que se unen dos vaguadas Serie de montañas enlazadas entre sí Orilla de un mar, río, lago, etc., tierra que está cerca de ella. Pendiente, cuesta o inclinación de un terreno. Concavidad de un terreno. Tierra sin cultivar. Señal que sirve para indicar la distancia en un camino o carretera. Concavidad u hondura grande de un terreno. Declive de un monte o altura. Altura pequeña y prolongada Prominencia rocosa del terreno. Montículo aislado de forma cónica y con coronación roma. Señal en el terreno que fija linderos de heredades, términos o fronteras. Gran elevación natural del terreno. Montaña. Cerro escarpado en lo alto y con cima plana. Tierra sin árboles y llana, a veces pantanosa, situada generalmente entre montañas. Cúspide aguda de una montaña. Lecho natural de las aguas pluviales cuando caen copiosamente. Corriente continua de agua que desemboca en otra, en un lago o en el mar. Lugar de un río por el que se puede pasar andando, cabalgando o en un vehículo. Llanura de terreno entre montes por el que generalmente discurre un río.


3.7. Trazado de perfiles Se llama perfil del terreno la sección que en él produce un plano o una superficie cilíndrica de generatrices verticales. Los perfiles son comúnmente utilizados en ingeniería y arquitectura para representar la intersección del terreno con los elementos del proyecto (carreteras, calles, excavaciones, etc.) Según su dirección, los perfiles se llaman longitudinales o transversales. Así por ejemplo, en el caso de una carretera, los planos cuyas trazas coinciden con el eje de la carretera, producirán perfiles longitudinales, en cambio, aquellos otros cuyas trazas son normales al eje, dan lugar a los perfiles transversales.

+ 1 6 ,0 0

9'

10'

8'

+ 1 5 ,0 0

11'

7'

12'

6'

13'

5'

14'

4'

15' 16'

3'

+ 1 4 ,0 0 1'

2'

17' 18' 19' 20' 21' 22'

+ 1 3 ,0 0

23'

+ 1 2 ,0 0

14

4

.0

0

5

6

7 15

8 0 .0

9

10 11

12

13

14

15

16

.00

3

14

1 2

17 18

19 20

2 12 2 2 3

13.00

1 6 .0 0

Figura 3.10: Trazado de un perfil.

107


Para construir o levantar un perfil, se procede del modo siguiente: • •

•

Se señalan los puntos de intersección de la traza (t) del plano sección con las curvas de nivel. Se abate la sección sobre un plano horizontal en el que se han marcado las cotas como rectas, eligiendo una cota menor que la más baja del perfil a representar, y la equidistancia en la escala que nos interese (a veces no es la misma la escala horizontal que la vertical). Se unen los puntos abatidos con líneas rectas, o bien con curvas “a sentimiento”, igual que las curvas de nivel si queremos dar una idea más natural del terreno.

El trazado de perfiles tiene muchas aplicaciones, como hemos dicho en ingeniería y arquitectura, pero también en otros campos como es el militar para hallar las zonas vistas y ocultas, ángulos de tiro o desenfiladas, para representar un itinerario, etc. En la construcción de carreteras, autopistas y obras lineales en general, son básicos para calcular los volúmenes del movimiento de tierras, capítulo de gran importancia económica por regla general en este tipo de obras

108

4. TEORÍA DE ERRORES

Los especialistas son ese tipo de gente que siempre repite los mismos errores. (Walter Gropius)

4.1 Introducción a la teoría de errores. Todas las operaciones que se hacen en topografía, se reducen básicamente a la medición de distancias y ángulos. La vista humana, como todos los sentidos, tiene un límite de percepción más allá del cual no podemos apreciar ninguna magnitud, lineal o angular. Asimismo, los instrumentos que se utilizan para efectuar las mediciones, tienen las limitaciones de su propia precisión, que, por alta que sea nunca será tanta que sea perfecta. Es por tanto que cualquier medición que se efectúe no será más que una aproximación a la realidad. Así pues, ninguna medición permite obtener el verdadero valor de la magnitud que se mide, tendremos que el verdadero valor no será nunca conocido, y por tanto deberíamos hablar siempre de estimaciones o aproximaciones a una magnitud, ya que una misma magnitud, medida varias veces, tendrá como resultados medidas diferentes. Como consecuencia de lo expuesto anteriormente, en topografía no tiene sentido hablar de valor de una magnitud, sino más bien de probabilidad de obtener un valor en una determinada medida 109


de dicha magnitud. El carácter probabilístico de la propia naturaleza se hace patente también en los trabajos de topografía. Por lo tano, toda medida está sujeta a un cierto grado de incertidumbre. Es esencial estimar esa incertidumbre, en primer lugar porque el conocimiento de la incertidumbre hace que aumente la información asociada a la medida, y en segundo lugar, porque este conocimiento permite manejar las medidas con la prudencia que dicta el conocimiento de la confianza que merecen.

110

Teoría de errores

4.2. Precisión y exactitud. Como hemos dicho, si se mide varias veces una misma longitud o cualquier otra magnitud, se obtendrán tantos valores diferentes como veces de realice la medición. La diferencia entre los diferentes valores obtienen se denomina discrepancia. Cuando menor sea la discrepancia, mayor será la probabilidad de que la magnitud medida sea aceptable. En este sentido definiremos dos términos: precisión y exactitud. Definimos exactitud como la aproximación de los valores obtenidos a la verdadera magnitud que se está midiendo, así será mayor cuanto mayor se aproximen éstos. Y definimos precisión como la aproximación de los valores obtenidos entre sí. Para aclarar estos dos conceptos recurriremos al clásico símil de la diana. En la Figura 4.1. se muestran tres dianas A, B y C con diferentes resultados de una serie de cuatro disparos de otros tantos tiradores, cuyo objetivo es acercar sus proyectiles lo máximo posible al centro de la diana.

A

B

C

Figura 4.1: Precisión y exactitud. El tirador A muestra unos resultados muy aproximados al centro de la diana, aunque con una alta dispersión. El tirador B presenta cuatro disparos muy reunidos, es decir, con poca dispersión entre ellos, pero alejados del blanco. Por fin, el tirador C muestra cuatro disparos, no sólo con poca dispersión entre ellos, sino que además están aproximados al blanco. Pues bien, en la siguiente tabla se muestra el resultado de precisión y exactitud de los tres tiradores: 111


TIRADOR A B C

PRECISIÓN Baja Alta Alta

EXACTITUD Alta Baja Alta

Así pues, queda claro que en estadística, exactitud y precisión no son términos equivalentes, puesto que si hablamos de precisión estaremos haciendo referencia a la dispersión del conjunto de valores obtenidos en distintas mediciones de una misma magnitud. Una medida usual de la variabilidad es la desviación estándar de las mediciones, pudiéndose estimar la precisión como una función de ésta. Cuando hablamos de exactitud de una medición, nos referimos a la proximidad del valor de ésta con el valor real medido. En términos de estadística, la exactitud está relacionada con el sesgo de una estimación, así pues cuando menor es el sesgo mayor es la exactitud.

112

Teoría de errores

4.3. Cifras significativas. Cualquier medida expresada en valor numérico contiene una serie de cifras que tienen un significado real, que aportan alguna información o que influyen en los resultados de la aplicación de dicha medida, estas se consideran cifra significativas. Las cifras no significativas aparecen como resultado de operaciones matemáticas, exceden la necesidad de la información que aporta y por tanto no deben tener significado alguno. Dicho de otra manera, las cifras significativas son las que ocupan una posición igual o superior al orden de magnitud del error. Por ejemplo, si la medida de una cierta longitud tiene el valor 1.234,5678 m, con un error de ± 0,8 m, el error es del orden de las décimas de metro y por tanto las cifras que contiene la medida a partir de esta son no significativas, siendo sólo significativas en este caso las cinco primeras, por lo tanto, será más correcto expresar el número así: 1.234, 5 m. Cuando se realiza una medida cualquiera con un instrumento graduado, como es el caso de una cinta métrica, si la graduación está hecha en milímetros y se obtiene una medida de 14.367,8 mm, se dice que el último dígito es aproximado, y por tanto no es significativo, serán pues, en esta medida, 5 los dígitos significativos. Se podrá afirmar que la medida está más cerca de 14.368 mm que de 14.367 mm, pero como no se dispone de graduación, no se podrá indicar que estas 8 décimas de milímetro sean correctas, sólo estimadas. Como consecuencia del concepto de cifras significativas y no significativas, parece lógico suprimir aquellos dígitos que no sean necesarios, pero no habrá que hacerlo forzosamente suprimiéndolos, sino redondeando. Suponiendo la cifra anterior, en metros, serán 14,367 m, pero como quiera que consideremos sólo dos decimales, al ser dígitos significativos los cuatro primero, podríamos concluir en que la cifra sería 14,36 m, sin embargo, es más lógico y aproximado a la verdadera magnitud de la medida hacer un redondeo con el siguiente criterio: • •

Si el dígito final es mayor que 5, el dígito anterior pasa a la cifra superior. Si el dígito final es menor que 5, el dígito anterior pasa a la cifra inferior. 113

Topografía en Obras de Arquitectura •

Si el dígito final es igual a 5, si es impar se pasará al siguiente par, si es impar no variará.

Veamos este criterio aplicado a un ejemplo. Supongamos que hemos de redondear los siguiente números: 14,368; 14,363; 14,365 y 14,335. El resultado estará en la siguiente tabla: NÚMERO ORIGINAL 14,368 14,363 14,365 14,335

CRITERIO 8>5 3<5 dígito anterior par dígito anterior impar

NÚMERO REDONDEADO 14,37 14,36 14,36 14,34

Siendo este un criterio, como otro que podamos establecer, no es el más usado, ya que normalmente no se tiene en cuenta si el dígito anterior es par o impar, y sencillamente, si la cifra no significativa a eliminar es igual a 5, se redondea a la cifra superior de la anterior. Es interesante que cuando redondeamos utilizando aplicaciones informáticas, este último criterio (=5, cifra superior) es el más establecido, sin embargo hay que tener en cuenta que hay aplicaciones que no redondean, es decir, lo hacen sólo en apariencia, manteniendo “internamente” todas las cifras no significativas de cada número, y otras que eliminan de su memoria las cifras que no aparecen. Esto en sucesivas operaciones, puede dar lugar a diferencias en el resultado.

114

Teoría de errores

4.4. Errores. Entendemos genéricamente que error de la medida de una cierta magnitud, es la expresión numérica de la desviación del valor de una determinada medida con respecto a su valor real, existiendo los conceptos de error absoluto y error relativo. Se denomina error absoluto (ea) de una medida a la diferencia entre la verdadera magnitud (Mv) y el valor (M) de dicha medida:

ea = M v − M Se denomina error relativo (er) al cociente entre el error absoluto (ea) y la verdadera magnitud (Mv):

er =

ea Mv

No debemos confundir error con equivocación, ya que equivocación es tomar una cosa por lo que no es. Las equivocaciones, también llamadas errores groseros, son acciones desacertadas cometidas por el observador como consecuencia de la aplicación de un criterio erróneo, una mala práctica o un descuido. Las equivocaciones no son errores propiamente dichos y no admiten tratamiento matemático, y sencillamente deben eliminarse mediante repasos personales, comprobaciones por terceras personas o aplicando sistemas de aseguramiento de calidad. El ingeniero japonés Shigeo Shingo (1909-1990) introdujo en los procesos una técnica de calidad denominada poka-yoke, expresión que literalmente se traduce del japonés como sin-error, aunque, una vez definido éste sería más preciso traducirlo como sin-equivocación. Para estudiar los errores, en primer lugar tendremos en cuenta la causa que los produce, y en este sentido clasificamos los errores en: •

Naturales. Son los que tienen relación con fenómenos que tienen su origen en agentes atmosféricos, cambios del viento, humedad, presión atmosférica, refracción de la luz, etc. Es el ejemplo del error de lectura de una distancia con 115


•

•

una cinta métrica, cuya longitud varía al estar sometida a la acción del viento. Instrumentales. Se deben a imperfecciones y ajustes en los instrumentos de medida, fundamentalmente en sus partes móviles. Humanos. Se deben a las limitaciones de los sentidos humanos o a la imperfección de la realización de cierta tarea, como pude ser una lectura poco precisa por la colocación del punto de vista sobre el elemento de medida y el elemento a medir o por la colocación del instrumento de medida.

Y dividimos los errores en dos tipos: •

•

Errores sistemáticos. Son aquellos errores de causa conocida cuya influencia puede eliminarse ya sea por el cálculo o por un adecuado método operativo. Los errores sistemáticos se producen siempre de la misma forma mientras que permanezcan las causas que los originan, y por definición pueden y deben ser eliminados. Errores aleatorios o accidentales. Son errores que el observador no puede controlar aunque a veces tengan causas y efectos identificables, siendo por tanto imposible corregir de antemano sus efectos sobre los resultados. Para corregirlos se recurre al cálculo de probabilidades y a la estadística, siendo su única forma de eliminación la multiplicación del número de observaciones.

Si se suponen eliminados o minimizados de forma adecuada en primer lugar las equivocaciones, y en segundo lugar los errores sistemáticos, sólo quedarán por eliminar o minimizar los errores aleatorios, que de ahora en adelante serán denominados sencillamente errores, y que, como hemos dicho antes para su estudio, minimización o eliminación nos apoyaremos en la teoría de la probabilidad y la estadística. Se denomina valor más probable de una magnitud, a la media aritmética de todos los resultados obtenidos con los mismos instrumentos y mediante los mismos procedimientos:

116

Teoría de errores n

Mp =

∑M i =1

i

[1]

n

en dónde, (Mp) es el valor más probable o media aritmética, (Mi) el valor de cada medida y (n) el número de medidas realizadas. De la forma que hemos definido error, y como la verdadera medida se supone que nunca se conoce, para poder establecer un parámetro con valor conocido y trabajar matemáticamente en su estudio, introduciremos el concepto de residuo de una medida. Este residuo o error aparente, por oposición al error verdadero que algunas veces es la definición del error absoluto, se define como la diferencia entre al valor de la propia medida (Mi) y el valor más probable (Mp) de la magnitud medida:

ρi = M p − M i

[2]

En el caso en que consideremos el valor más probable igual que el valor verdadero, el residuo de una medida será igual que su error absoluto. Si se realizan una serie de medidas (n) de una misma magnitud, se obtendrán (en) errores correspondientes a esas medidas, y en función de la aplicación de la estadística a esa serie de valores, clasificando sus valores absolutos de menor a mayor, se definen: •

• •

Error probable (ep), como el que ocupa la posición central en la serie establecida (en caso de ser dos, la media de ambos) Error medio aritmético (ea), es la media aritmética de los todos los valores. Error medio cuadrático (ec), es el que determina la siguiente expresión:

n

ec =

∑ (M p − M i ) 2 i =1

n

n

=

∑ρ i =1

2 i

n 117


4.5. Trasmisión de errores. Como toda medida contiene un cierto error, cualquier nueva medida calculada a partir de otras medidas realizadas directamente, arrastrará un cierto error causado por los errores cometidos en las iniciales. Sea la función que representa una suma, producto, etc., F(x1, x2,…,xn), con más de una variable, en la que los errores de cada variable son (ex1, ex2,…,exn), el valor de la función incrementada por sus errores será:

F ( x1 + ex1 , x2 + ex 2 ,..., xn + exn ) desarrollando en serie se tiene: F ( x1 + ex1 , x2 + ex 2 ,..., xn + exn ) = F ( x1 + x2 ,..., xn ) +

∂F ∂F ∂F ex1 + ex 2 + ... + exn ∂x1 ∂x2 ∂xn

con lo que el error, en el caso más pesimista, o sea, considerando que el error final es la acumulación de los errores parciales de todas las medidas y que no se compensan ninguno de ellos, será: F ( x1 + ex1 , x2 + ex 2 ,..., xn + exn ) − F ( x1 + x2 ,..., xn ) =

∂F ∂F ∂F ex1 + ex 2 + ... + exn ∂x1 ∂x2 ∂xn

siendo por tanto, el error máximo posible (eF):

eF =

∂F ∂F ∂F ex1 + ex 2 + ... + exn ∂x1 ∂x2 ∂xn

[3]

Para trabajos de topografía, la hipótesis anterior es muy pesimista, y la experiencia aconseja considerar las medidas independientes y los errores aleatorios, por lo que el máximo no tiene por que ser siempre la suma de los máximos de los valores de cada medida, así la expresión [3] se sustituye por la siguiente:

118

Teoría de errores 2

2

2

⎛ ∂F ⎞ 2 ⎛ ∂F ⎞ 2 ⎛ ∂F ⎞ 2 ⎟⎟ exn ⎟⎟ ex1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ex 2 + ... + ⎜⎜ eF = ± ⎜⎜ ⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x2 ⎠ ⎝ ∂xn ⎠

[4]

Suma Si una cierta medida (T) se obtiene por suma de unas medidas directas (A), (B), etc., suponiendo que los errores en las medidas utilizadas son (ea), (eb), etc. El error (eT) en la magnitud de (T) es función de los errores en las medidas realizadas. Partiendo función T=A+B+… cuyas variables son independientes, al aplicar la expresión [4], se obtiene: 2

2

⎛ ∂T ⎞ 2 ⎛ ∂T ⎞ 2 eT = ± ⎜ ⎟ eb + ... ⎟ ea + ⎜ ⎝ ∂A ⎠ ⎝ ∂B ⎠ pero como se cumple que:

∂T ∂T = 1; = 1;... ∂A ∂B el resultado obtenido para la magnitud de (T), es decir el error de una suma es el siguiente:

eT = ± ea2 + eb2 + ...

[5]

Siendo de aplicación también para una diferencia. Cuando en la suma o diferencia intervienen varias medidas, obtenidas todas ellas con un mismo error (e), el error total (eT) de la magnitud corresponde con la siguiente expresión:

eT = ± e 2 + e 2 + e 2 + ... = ± ne 2 = ±e n

[6]

119


Producto Si una cierta medida (P) se obtiene por como producto de unas medidas directas (A), (B), etc., suponiendo que los errores en las medidas utilizadas son (ea), (eb), etc., el error que corresponde a la medida del producto resultante se calculará de acuerdo con la siguiente expresión:

eP = ± ( B ⋅ C...) 2 ea2 + ( A ⋅ C...) 2 eb2 + ...

[7]

Media aritmética Cuando se tengan n medidas de una magnitud, afectadas todas ellas de un mismo error, el error total de la media de dichas medidas (eM) será:

eM =

120

eS e n e = = n n n

[8]

Teoría de errores

4.6. Tolerancia. Denominamos tolerancia al error máximo admisible (eM) en una medida o serie de medidas, debiendo desechar todas las medidas que lo sobrepasen. Si introducimos en un eje de coordenadas el valor de los errores aleatorios de una serie, poniendo en el eje de las abscisas su valor y en el de las ordenadas su número en forma de porcentaje, veremos que los errores más pequeños, es decir, los más próximos al origen de abscisas, se producen más a menudo que los grandes, tal como representa la Figura 4.2.

Figura 4.2. Observando la distribución de valores representada en la citada Figura 4.2., vemos que la representación de los valores obtenidos corresponde a una campana de Gauss. Teniendo en cuenta que la dispersión es el grado en que los valores de una determinada serie se extienden alrededor de su promedio, tendremos que, cuando la curva de distribución es alta y estrecha, la dispersión tenderá a ser menor que si la curva es aplastada, por tanto, la precisión de las medidas será tanto más alta, cuanto menor sea la dispersión. El error de la medida está relacionado pues, con la dispersión de los valores, es decir, si todos los valores son muy parecidos, será 121


lógico pensar que el error es pequeño, mientras que si son muy diferentes, el error, lógicamente es mayor. En efecto, los errores que se producen en topografía responden a una campana de Gauss, Figura 4.3., ya que estamos representando la distribución de variables aleatorias con distribución normal, así se utilizará ésta de acuerdo con su formulación matemática, para:

1 f ( x) = e σ 2π

−( x − µ ) 2 2σ 2

dónde, (µ) es la media, (σ) es la desviación típica o estándar, (σ²) es la varianza, y aplicando la fórmula a la variable (Mi) que estamos estudiando, obtenemos:

1 f (M i ) = e σ 2π

−( M i − M P ) 2 2σ 2

[9]

La desviación típica viene dada por la expresión:

n

σ =±

∑ (M p − M i ) 2 i =1

n

n

=±

∑ρ i =1

n

2 i

[10]

expresión que corresponde además con la del error medio cuadrático (ec), aunque en topografía, la expresión que se utiliza para determinar el error medio cuadrático es:

122

Teoría de errores n

n

σ =±

∑ (M p − M i ) 2 i =1

n −1

=±

∑ρ i =1

2 i

n −1

[11]

La expresión [10] se denomina en estadística desviación típica de población, mientras que a la expresión [11] se denomina desviación típica muestral. Si utilizamos la expresión para (σ) correspondiente a la desviación típica de población, para una única medida, su valor sería 0, lo que significa que la única medida disponible es correcta, lo cual como sabemos no es cierto, así que en los estudios de errores que se realizan en topografía, utilizamos para calcular el valor de (σ) la expresión correspondiente a la desviación típica muestral, debido a que para una única medida esta expresión produce un valor indeterminado (0/0), lo que es mucho más correcto. Otro concepto importante, por su uso habitual, es el de la varianza (σ²)que corresponde con el cuadrado de la desviación típica o estándar.

punto de inflexión

ec ea ep

ep ea ec

Figura 4.3.

123


Si representamos el error probable (ep), el error medio aritmético (ea) y el error medio cuadrático (ec), definidos previamente, en una campana de Gauss, obtendremos su valor tal como muestra la Figura 4.3. La forma de la campana de Gauss es la que se muestra en la Figura 4.3., y de ella podemos deducir lo siguiente: • • •

•

a todo error aleatorio de valor +x se opone otro de valor – x son más frecuentes los errores cuanto menor es su magnitud la mitad positiva o negativa de la curva puede dividirse en cuatro zonas limitadas por ordenadas equidistantes; en la primera zona se encuentran la mitad de los errores , positivos o negativos, respectivamente, y está limitada por la ordenada correspondiente al error probable; en la segunda zona se sitúan los errores medio aritmético y medio cuadrático y corresponde a esta zona el 16% del total de los errores; a la tercera zona corresponde el 7%, a la cuarta el 1,5% ; el 0,5% restante corresponde a errores positivos o negativos mayores de cuatro veces al error probable, teóricamente hasta el infinito, puesto que cada rama es una asíntota del eje de las X. el valor del error cuadrático (ec), correspondiente con la desviación típica (σ) se sitúa en los puntos de inflexión de la curva

Se denomina probabilidad de un suceso la relación entre el número de casos favorables y el número de casos posibles (Ley de Probabilidad), de aquí que dividiendo el número de errores de cada magnitud, obtenidos de la curva de dispersión, por el número de observaciones realizadas, se obtiene la probabilidad de cometer el respectivo error. Esto significa que la probabilidad de cometer un error comprendido entre –x y +x será al área limitada por la curva de Gauss, las ordenadas levantadas en –x y en +x y el eje de las X (número de casos favorables) dividida por el área total limitada por la curva y el eje de las X (número de casos posibles); de este modo, la probabilidad de cometer un error comprendido entre – ∞ y + ∞ será la unidad (ó el 100%), que representa certeza. 124

Teoría de errores

Calculando el área de la superficie que delimita la curva y los valores de (σ) coincidentes con (ec), positivos y negativos, tenemos que su valor es de 68,27% del total (Figura 4.4), al igual que el de cometer un error inferior, o superior al error probable, positivo o negativo, será de 0,5; o sea una vez de cada dos.

eM

ec ea ep

ep ea ec

eM

Figura 4.4. Calculando las superficies de algunos tramos de curva significativos, tenemos que el 68,27% de las mediciones tienen un residuo que cae dentro de este intervalo, o lo que es lo mismo, la probabilidad de que un residuo caiga dentro de este intervalo es del 68,27%, es decir, dos de cada tres. De igual modo podemos calcular el resto de valores (σ) en función de otros porcentajes, siendo los que se reflejan, en la siguiente tabla: PORCENTAJE DEL ÁREA DE LA CURVA DE PROBABILIDAD 50,00% 68,27% 90,00% 95,00% 99,00% 99,70%

VALOR DEL ERROR 0,6745σ σ 1,6499σ 1,9599σ 2,5σ 3σ

Así pues, considerando un porcentaje suficiente de probabilidad el 99%, se toma comúnmente el valor correspondiente de 2,5σ, 125


descartando por tanto, en topografía las medidas que no se encuentren dentro del intervalo (Mp–2,5 σ),(Mp+2,5σ), considerando pues el valor de la tolerancia: (eM)= ±2,5σ.

(eM ) = ±2,5σ Esto quiere decir que, si una medición está definida por un cierto error medio cuadrático (ec), el verdadero valor de la magnitud medida estará dentro del límite de 2,5 veces (ec), 99 veces de cada 100 que se mida, y por tanto, una vez definido el error medio cuadrático de una serie de medidas, deberán desecharse por defectuosas, todas aquellas medidas cuyas desviaciones excedan dos veces y media el citado error.

126

Teoría de errores

4.7. Ajuste por mínimos cuadrados. En topografía es frecuente repartir el error dividiendo este por el número de observaciones, realizando una ponderación proporcional a las magnitudes medidas. Sin embargo, el mejor método de reparto de errores es el basado en el ajuste por mínimos cuadrados, es decir, el método que hace mínima la suma de la ponderación de las mediciones, multiplicada por sus residuos correspondientes elevados al cuadrado. Para un grupo de (n) medidas, cuyos residuos sean (ρ), la condición de ajuste consistirá en imponer que sea mínima la expresión: n

φ = ∑ ρ i2 = ρ12 + ρ 22 + ... + ρ n2

[12]

i =1

Ahora bien, podemos encontrar que la confianza en las medidas no es la misma para todas ellas, entonces se hace necesario introducir un valor de ponderación que llamaremos peso (pi) y que permitirá primar a aquellas medidas que merezcan mayor confianza. Una forma habitual de calcular el peso consiste en calcular la desviación típica [5] y aplicar la expresión:

pi =

k

[13]

σ i2

expresión en la que (k) es una constante de proporcionalidad. Si hay alguna medida de peso igual a la unidad, su varianza se denominará varianza de referencia y se designará por (σo2), por tanto se cumplirá que:

1=

k

σ o2

;σ o2 = k

Si se utiliza el concepto de varianza o de desviación típica, cuanto menor sea la varianza o la desviación típica mayor precisión tendrá la medida. En definitiva, la varianza y la desviación típica tienen un sentido opuesto al de la precisión. Sin embargo, de 127


acuerdo con la expresión [13], cuanto mayor sea el peso de una medida menor serán tanto su desviación estándar como su dispersión, por lo que será mayor su precisión. El concepto de peso está vinculado pues al de la precisión, mayor peso=mayor precisión. Al considerar pesos, el valor más probable se calcula aplicando la expresión de la media aritmética ponderada: n

Mp =

∑pM i

i =1

i

n

∑p i =1

[14]

i

Asi, la expresión [12] en el caso de aplicar la ponderación se convertirá en la siguiente, que hará que minimizar: n

φ = ∑ pi ρ i2 = p1 ρ12 + p2 ρ 22 + ... + pn ρ n2 i =1

128

[15]

Teoría de errores

4.8. Interpolación. Se denomina interpolación del valor de una medida, a la operación que consiste en determinar un valor no conocido de una medida, del que no se tiene registro, intermedio entre valores conocidos de otras. La interpolación puede ser gráfica o numérica. La interpolación gráfica consiste en la representación gráfica de la serie de valores conocidos, obteniendo sobre ella los valores a interpolar. La interpolación analítica consiste en obtener los valores buscados mediante cálculos numéricos. Asimismo, cuando sobre un instrumento de medición, queremos apreciar una unidad inferior a la unidad menor de la que dispone su graduación, hacemos una interpolación visual entre los trazos o marcas de dicha graduación menor, esta operación también es una interpolación de valores, denominándose error de interpolación de un instrumento de medida, al error cometido al efectuar la estima de estos valores. En este sentido, muchas veces nos encontramos con la necesidad de interpolar un valor entre dos de la escala de un instrumento de medida, por no coincidir exactamente la dimensión a medir con ninguna marca de la graduación menor de este, además de necesitar una mayor precisión en la medida. Cuando esto sucede debemos estimar “a ojo”, valga la expresión, la posición teórica de una subdivisión menor en el instrumento de medición, suponiendo que este la tuviera, es decir, la fracción de la unidad menor de la escala. Esta forma de proceder conlleva un consiguiente error por la falta de precisión de este procedimiento, dependiendo dicho resultado de la apreciación subjetiva del observador. En algunos casos, esta graduación menor o subdivisión de la escala menor del instrumento de medida no se efectúa, porque esta subdivisión sería menor que el límite de percepción visual, para resolver este problema existe un dispositivo denominado nonius. El nonius o nonio, es un elemento que se acopla a una escala graduada y que posibilita la lectura exacta de fracciones de dicha escala, evitando el error de interpolación al efectuar dicha apreciación a estima. El nonius aumenta por tanto la precisión de un aparato de medida del que forme parte, de hecho forma parte 129


de muchos aparatos de medida, de instrumentos topográficos y astronómicos.

Figura: 4.5: Nonius con distintas graduaciones. El nonius, Figura 4.5., consiste en una reglilla (N) que se acopla a la regla (E) de la escala de medida, y que puede deslizarse sobre ella. La graduación de esta reglilla se realiza tomando una longitud igual a n divisiones de la escala mayor y se divide esta en n+1 partes. En el caso, realmente más frecuente, de que se tomen 9 partes de la escala mayor y se dividan en 10, el nonius se denomina decimal (1/10), pudiendo hacerse tomando un mayor número de unidades de la escala menor, como se representa en la Figura 4.5, aumentando así la precisión del instrumento. En la escala del nonius se suele indicar la unidad de medida que con ayuda de sus divisiones se puede medir. Para medir una longitud utilizando un instrumento con nonius, se situará la longitud a medir entre el (0) de la escala mayor y el (0) del nonius, estando representada la longitud a medir por la primera división de la escala mayor en las unidades, y en la parte decimal la unidad correspondiente a la marca del nonius que coincida con una marca de la escala mayor.

130

5. MEDICIÓN DE DISTANCIAS Y ÁNGULOS Creo que la mejor enseñanza es el ejemplo; trabajar vigilando continuamente para no confundir la flaqueza humana, el derecho a equivocarse –capa que cubre tantas cosas–, con la voluntaria ligereza, la inmoralidad o el frío cálculo del trepador. (José Antonio Coderch de Sentmenat)

5.1. Tipos de distancias. En el sistema de representación de planos acotados, la representación de elementos no puntuales del terreno se obtiene mediante la proyección de los puntos que los definen geométricamente. Así, una recta (AB) del terreno quedará representada en el plano de comparación (P), por la proyección (ab) de sus extremos. B

A

ica ométr ia ge c n ta dis

cia tan dis

α

a

distancia reducida

natural

∆z

b

Figura 5.1. 131


La distancia medida entre los extremos de una recta en el espacio (AB), será siempre mayor o igual que la distancia media entre sus proyecciones (ab) en el plano horizontal. Asimismo, será menor o igual que la distancia (AB’) entre esos mismos puntos pero siguiendo la superficie del perfil de terreno definido por un plano vertical que contenga la recta. De esta manera podemos observar que entre los puntos (A) y (B) existen tres tipos de distancias: •

Distancia natural: es la distancia entre dos puntos, siguiendo el relieve del terreno, o la longitud de la línea de perfil del terreno definido por un plano vertical que contenga dos puntos.

•

Distancia geométrica: es la distancia del segmento de línea recta que une los dos puntos, en el espacio.

•

Distancia reducida: o distancia horizontal, es la longitud de la proyección sobre el plano horizontal del segmento de recta que define la distancia geométrica.

Llamando (α) al ángulo formado por la recta (AB) con el plano horizontal, Figura 5.1., tenemos que, la distancia reducida (ab), vendrá dada por la expresión:

ab = AB ⋅ cos α Asimismo, llamaremos desnivel entre los puntos (A) y (B) a la diferencia (∆z) entre sus cotas:

∆Z = Z A − ZB cumpliéndose también:

∆ Z = AB ⋅ senα y

AB = ab 2 + ∆2Z

Se llama pendiente de una recta AB, a la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta con el plano horizontal:

p = tagα = 132

∆Z ab

Medición de distancias y ángulos

La pendiente de una recta también se puede expresar en %, así pues, la pendiente de la recta (AB), expresada en porcentaje será:

p=

∆Z × 100% ab

Los modernos aparatos topográficos calculan y procesan de forma automática todos estos parámetros, ya que la distancia que normalmente interesa en topografía es la distancia reducida (ab), siendo sin embargo, de acuerdo con la forma tradicional de tomar medidas, la que normalmente se mide la distancia geométrica (AB).

133


5.2. Superficie agraria. Al igual que en el caso de la recta (AB), representada en la Figura 5.1., cuya proyección sobre el plano horizontal (ab), siempre será de menor longitud, excepto en el caso de que esta sea horizontal cuya longitud será la misma, una superficie, Figura 5.2, al venir también representada por su proyección, será también menor que la superficie real del terreno. La superficie real del terreno se denomina superficie natural, y la superficie de la proyección sobre el plano horizontal se denomina superficie agraria. Asimismo, excepto en el caso de que el terreno representado sea un plano horizontal, la superficie agraria, será menor que la superficie natural.

Figura 5.2: Superficie natural (inferior) y superficie agraria (superior). Resulta obvio, por lo tanto, que si dos parcelas de terreno con la misma superficie agraria, están una de ellas situada a media ladera y otra en terreno horizontal, la primera tendrá una superficie natural mayor que la segunda. En cualquier caso, siempre la superficie que se maneja en topografía es la superficie 134


agraria, siendo la lógica de este concepto proveniente de la capacidad productiva de un terreno, ya que las plantas crecen en sentido vertical y no de forma perpendicular a la superficie del terreno.

135


5.3. Medición de cotas y distancias en el plano Sobre un plano topográfico se pueden medir cotas y distancias, al tiempo que se pueden resolver otros problemas análogos, como es el ya estudiado de definir un perfil, basándonos en el sistema de planos acotados. En primer lugar veremos cómo se determina la cota de un punto en el plano, para lo cual se pueden dar dos casos: que el punto esté situado en una curva de nivel, o que el punto esté situado entre dos curvas de nivel, en el primer caso la cota del punto viene determinada por la cota de la curva de nivel en la que está situado, en el segundo caso será necesario referirlo a las curvas entre las que se sitúa. Para determinar la cota de un punto (c) entre dos curvas, Figura 5.3., en primer lugar trazaremos la línea de máxima pendiente (ab), que es el segmento de menor longitud entre las curvas que pasa por el punto (c), y, utilizando ésta como charnela haremos un abatimiento la recta resultante (AB).

80 b

70

equidis tancia 75 80

c C

a=A

Figura 5.3.

136

B

70


Para situar en el abatimiento el punto (b), trazaremos una perpendicular a la línea (ab) por (b), y trazaremos en ella la equidistancia, a la escala correspondiente, obteniendo el punto (B), abatimiento de (b). El abatimiento de (c) es la intersección de la perpendicular a (ab) que pasa por (c), con la recta (AB), teniendo en cuenta que (a=A) por estar en la charnela, y así, el segmento (cC), medido sobre la escala que hemos trazado en (bB) nos da el valor del desnivel (∆Z) respecto de la cota (a), sumando el desnivel ((∆Z) con la cota (Za) obtendremos la cota (Zc) del punto (c), que es lo que nos refleja la escala dibujada en (bB), en este caso (∆Z=76). También podemos resolver analíticamente el problema, midiendo sobre el plano las distancias (ac) y (ab) y estableciendo la proporción que existe entre la distancia reducida medida en el plano (ac) y el desnivel (∆Z) con respecto a (ab) y la equidistancia de las curvas de nivel: ac ab equ. 10 = ⇒ ∆ Z = ac = 4,30 = 6,00 ⇒ Z c = Z a + ∆ Z = 70 + 6 = 76 ∆ Z equ. ab 7,17

suponiendo las medidas en el plano que hemos sustituido en la fórmula. La distancia que se mide, como hemos visto, sobre el plano, es siempre la distancia reducida, pudiendo deducir la distancia geométrica entre dos puntos, una vez conocido el desnivel entre éstos, de igual manera que hemos procedido en el abatimiento de la Figura 5.3, en el que la distancia geométrica (aC) entre los puntos (a) y (c) es el segmento que los une. Analíticamente nos la dará la expresión:

aC = (ac) 2 + ∆2Z

137


5.4. Medición directa de distancias Las distancias en topografía se pueden medir de forma directa o indirecta. La medición directa de cualquier magnitud es aquella que se realiza comparando directamente la magnitud a medir con otra que se toma como unidad o referencia, la medición indirecta de una distancia es aquella que se obtiene por métodos distintos a la comparación. Para la medición directa de distancias sobre el terreno, existen diferentes instrumentos como son los hilos de acero, o de invar, la cadena de agrimensor o ruedas para medir grandes distancias, incluso se pueden medir distancias contando pasos, para lo cual previamente debemos haber talonado nuestro paso, dependiendo de la precisión que requiramos, pero el instrumento que se utiliza comúnmente en la actualidad es la cinta métrica. Las cintas métricas se fabrican en diversos materiales como son tela, fibra de vidrio, plásticos, etc., pero las que sufren menos deformaciones por la tracción o efectos de la temperatura o el uso son las metálicas. La cinta metálica, como instrumento de medida directa de distancias, puede considerarse un instrumento de precisión, pudiéndose obtener con ellas medidas con muy pequeño margen de error, y es muy adecuado su uso para medir distancias no muy largas o efectuar replanteos en obra. Los errores que se comenten en la medición de distancias con cinta son debidos a: • • • • • •

la falta de alineación de la cinta la falta de horizontalidad de la cinta la imprecisión en la colocación de la cinta al acumular varias medidas la aplicación de tensiones inadecuadas en los extremos de la cinta los errores de lectura tanto en origen como en extremo y los propios de la falta de exactitud de la cinta.

Todos estos errores son tanto sistemáticos como aleatorios, además de que en ellos influye la configuración del terreno en el que medimos las distancias, así pues es difícil establecer sistemas exactos para determinar estos errores. Existen sin embargo los 138


siguientes tipos de corrección a las medidas de distancias mediante cinta: •

Corrección de la normalización: Las cintas tienen unos parámetros o datos estándar de normalización, que suelen ser, junto con su longitud de medida la fuerza de tracción máxima así como la temperatura de uso, extendida en un plano horizontal o en catenaria. Las cintas con el uso pueden sufrir alargamientos, y por tanto es necesario que las cintas sean regularmente contrastadas con cintas patrón de referencia. Esta operación se denomina calibración.

•

Corrección por tracción: Teniendo en cuenta que una cinta tiene una longitud correcta para una tracción estándar o de normalización, y se utiliza para una tracción diferente, se debe aplicar la siguiente corrección:

( P − PS ) L A⋅ E expresión en la que (P) es la tracción aplicada en el campo, (PS) la tracción estándar, (A) el área de la sección trasversal de la cinta, (E) el módulo de elasticidad del material de la cinta y (L) la longitud medida. La corrección puede ser negativa o positiva. •

Corrección por flecha: En casos de trabajos de mucha precisión, puede acortarse la longitud de la flecha de la catenaria colocando soportes intermedios. Si la cinta ha sido normalizada extendida sobre un plano horizontal, la corrección que debería aplicarse para reducir la longitud de la curva a la longitud de la cuerda es:

− w2 L3 24P 2 dónde (w) es el peso de la cinta por unidad de longitud. Si la cinta ha sido normalizada en catenaria, la longitud de la cuerda viene dada por las graduaciones, con tal que esté aplicada la tensión estándar o de normalización, y si se 139


utiliza ésta cinta en un plano horizontal, se deberá aplicar la corrección con signo positivo. •

Corrección por pendiente: Es la corrección correspondiente a transformar directamente la distancia geométrica en distancia reducida. Sabemos que si una longitud (L) corresponde a una distancia geométrica, su longitud reducida será:

L ⋅ cos α la corrección a aplicar es:

( L cos α − L) = − L(1 − cos α ) •

Corrección por temperatura: Si una cinta se utiliza a una temperatura diferente de la temperatura de normalización, tendremos que utilizar la siguiente corrección:

δ (T − TS ) L Siendo (δ) el coeficiente de dilatación lineal del material de la cinta, (T) la temperatura de campo, (TS) la temperatura de normalización o estándar y (L) la longitud observada. La corrección tomará el signo de (T–TS). •

Corrección al nivel medio del mar: En caso de líneas de gran longitud, en triangulaciones topográficas, debe considerarse la relación entre la longitud medida sobre el terreno y la longitud equivalente, al nivel medio del mar. Si la longitud medida es (L) y la altura de la línea sobre el nivel de referencia ( nivel medio del mar), es (H), y (Lm) es la longitud equivalente sobre el nivel de referencia, puesto que ambas longitudes subtienden el mismo ángulo en el centro de la Tierra, según muestra la Figura 5.4, tendremos que:

L = ( H + R)θ 140

y

Lm = Rθ


siendo (R) el radio de la Tierra. Ahora bien:

θ=

L Lm = R H+R

por tanto,

Lm = L

R R+H

y la corrección a aplicar es:

L m −L = L

R H − L = −L R+H R+H

L Lm

θ

H

R

Figura 5.4.

141


y cuando (H) es pequeño en comparación con (R).

L m −L = −L

H R

Los errores que se originan en los aparatos de medidas, como son cintas metálicas y otros señalados, son los que se reflejan en la tabla siguiente: INSTRUMENTO Cinta apoyada en el suelo Regla Cinta metálica tensada Hilos de invar tensados

ERROR ±100–500mm cada 100m ±30–50mm cada 100m ±20–30mm cada 100m ±5–10mm cada 100m

Si las distancias son mayores se usan las Fórmulas de Lorber, establecidas de forma empírica, para cinta metálica, en dónde (L) es la longitud medida: TIPO DE TERRENO Fácil Difícil

ERROR

e = 0,00032 ⋅ L + 0,0022 L

e = 0,00032 ⋅ L + 0,0078 L

Los valores de las fórmulas de Lorber, corresponden a unos valores de error relativo de 54/100.000 y 11/10.000 para terrenos fáciles y difíciles respectivamente.

142


5.5. Influencia de la curvatura terrestre en la medición de distancias. Sabemos que la Topografía, al reducir su campo de actuación a áreas de la superficie terrestres suficientemente pequeñas, prescinde de su esfericidad en sus aplicaciones, aunque para poder afirmar esto debemos tener claros los límites para considerar nuestras áreas de trabajo suficientemente pequeñas, ya que por encima de ellos los errores derivados de la curvatura de la superficie de la Tierra deberían tenerse en cuenta en los cálculos topográficos. Consideremos para estos cálculos la superficie de la Tierra esférica, y supongamos un arco (AB) de círculo máximo de la esfera terrestre, admitiendo que el las distancias las mediremos en el plano de proyección tangente en el punto (C) y con dirección de proyección la de la vertical en cada punto, materializada por el hilo de la plomada, Figura 5.5. a

a'

A

C D

b'

b

B

O

Figura 5.5: Proyección de un arco de círculo máximo sobre un plano tangente. Los puntos (A) y (B) de la superficie terrestre se proyectarían, según el sistema de planos acotados en (a’) y (b’), pero si efectuamos la proyección según la vertical obtendríamos los puntos (a) y (b), por lo tanto, estamos cometiendo un error, por exceso, en la medición de la distancia entre (A) y (B), siendo este 143


error la suma de las magnitudes (aa’) y (bb’), o lo que es lo mismo, la diferencia entre la tangente (ab) y la cuerda (a’b’). Este error, denominado error radial (e), es el cometido al proyectar un arco de círculo máximo terrestre (AB) sobre un plano tangente, se expresa de acuerdo con la siguiente fórmula empírica, en la que (R) es el radio de la Tierra:

e=

( AB) 3 12 R 2

6,00E-5 5,50E-5 5,00E-5 4,50E-5 Error en mm

4,00E-5 3,50E-5 3,00E-5 2,50E-5 2,00E-5 1,50E-5 1,00E-5 5,00E-6 0,00E+0

0

20 10 Distancias en Km

30

Figura 5.6: Error cometido en la proyección acotada de los puntos extremos de un arco de círculo máximo (AB) sobre un plano tangente. Esta fórmula está representada en el gráfico de la Figura 5.6, siendo los valores de las abscisas las distancias entre los puntos extremos de un arco de círculo máximo (AB), y en las ordenadas 144


se indican los errores en milímetros cometidos al efectuar la proyección acotada. La precisión de la medida de distancias se expresa como el cociente entre la magnitud del error y la distancia medida, es decir es la expresión del error relativo. Así pues si, por ejemplo, medimos una distancia de 100 m y cometemos un error de 1 cm, tendremos:

precisión =

e 10mm = = 10− 4 D 105 mm

Se considera de forma convencional, que aquellas mediciones cuya precisión es igual o menor a 10–6 son de alta precisión, así pues determinaremos la distancia máxima que podemos medir en el terreno manteniendo dicha precisión,:

e = 10 − 6 ; R = 6.371Km D e=

1 D3 D3 e D2 = ⇒ = = ⇒ D = 487,075692 ⇒ 2 6 12 R 487,075692 × 10 D 487,075692 × 106 106

D = 22,0697914 Km Por tanto, podemos considerar que todas las longitudes menores de 22 km, pueden ser consideradas de alta precisión y por tanto correctas, sin tener en cuenta la curvatura de la tierra.

145


5.6. El estadímetro de mira vertical. En topografía existen diversos dispositivos que permiten medir distancias indirectamente, uno de ellos es el estadímetro de mira vertical, que es el dispositivo constituido por la asociación de un anteojo estadímetrico y una regla vertical graduada que se denomina mira. El anteojo estadimétrico se fundamenta en el principio de la estadía, que es el siguiente. Supongamos que miramos una regla a través de la rendija que nos queda entre dos listones de una persiana, los bordes de la rendija, Figura 5.7, limitarán la visual de forma que sólo veremos una cierta porción de regla. Si llamamos (d) a la distancia del ojo a la regla, (δ) a la separación entre el ojo y la persiana, (l) a la longitud del segmento de regla que abarca la vista y (h) la altura de la rendija de la persiana, podremos establecer la siguiente relación:

d δ = l h de dónde podremos deducir el valor de (d) siempre que se conozcan el resto de magnitudes.

h l

δ

d

Figura 5.7: Fundamento de la estadía. 146


La distinta manera de operar con estas magnitudes da origen a tres categorías de estadímetros, y que se llaman así: de primera categoría, de segunda categoría y de tercera categoría, según respondan a cada una de las siguientes fórmulas respectivamente: 1ª)

d=

δ h

l

2ª) d = δ ⋅ l ⋅

l h

y

3ª)

l d= δ h

Las estadías de primera categoría son las más frecuentemente utilizadas, en estas se mantienen constante (δ) y (h), siendo (l) variable en cada caso, apreciándose su longitud por la regla graduada. Haciendo:

δ h

tenemos que,

=K

d = K ⋅l Expresión que nos dice que la distancia del ojo a la regla es igual a la longitud de ésta, limitada por las visuales extremas, multiplicada por una constante (K), llamada constante diastimométrica o relación diastimómetrica. A este tipo de estadímetros se les llama de mira variable e hilos fijos. Para graduar una regla midamos en un terreno horizontal y llano 100 m. desde la posición del ojo, y el segmento limitado por las visuales extremas lo dividimos en 100 partes iguales, si llamamos (p) a la medida de cada una de estas partes tenemos:

δ h

=

100 1 ⇒ p= 100 p K

En cualquier otra posición de la regla, suponiendo que se cuenten n divisiones, deduciremos de la fórmula de la primera categoría, teniendo en cuenta la relación anterior:

d = K ⋅n⋅ p = n 147


es decir, la distancia en metros, viene determinada por el número n de divisiones comprendidas entre las visuales límites. La regla así dividida recibe el nombre de estadía y sólo podrá utilizarse para los valores de (δ) y de (h) que se utilizaron para la dividir la regla. Si ésta va dividida en metros y fracciones de metros se la denomina mira; generalmente se utilizan miras, y por emplearse casi siempre constantes diastimométricas expresadas por número sencillos las miras suelen utilizarse a su vez como estadías. En los estadímetros de segunda categoría, ha de verse siempre la misma magnitud de mira, pudiendo en este caso separarse al efecto los listones de la persiana hasta que las visuales enrasen, así la fórmula que define la segunda categoría se puede expresar así:

d=K

1 h

que nos dice que la separación de los listones es inversamente proporcional a la distancia del terreno, y como siempre han de utilizarse estadías de la misma longitud, puede emplearse una escala en la cual la posición de los hilos permita leer directamente la distancia. Los estadímetros de segunda categoría se llaman de mira constante e hilos variables. Figura 5.8: Mira estadimétrica. En el tercer tipo se conservan constantes la longitud de mira y la separación de hilos, obteniéndose el enrase acercando o alejando el ojo de los listones de la persiana. La distancia (δ) que los separa, multiplicada por una constante nos dará el resultado de la medida. La variable (δ) no se puede adaptar a un anteojo, este tipo de estadímetros sólo pueden ser utilizados en instrumentos 148


de pínulas, que están en desuso. Los estadímetros de tercera categoría se denominan de mira constante e hilos fijos. El segundo instrumento que compone el estadímetro es la mira estadimétrica, sobre la cual se toma la lectura de los puntos (A), (B) y (C). Son elementos construidos en madera o metal, que normalmente se dividen en tramos de un metro que se acoplan unos a otros, para su transporte y almacenaje, siendo también plegables o bien modernamente, telescópicos, siendo el tamaño más habitual de cuatro metros. Están diseñadas para que su lectura sea clara a través del anteojo. Aunque existen muchos tipos de miras las que se utilizan habitualmente presentan en una de sus caras una escala dividida en centímetros, dobles milímetros o milímetros, marcando las divisiones de forma muy clara, y en algunos casos alternando el color negro con el rojo en cada tramo de metro. Como el anteojo estadimétrico invierte la imagen, la numeración se presenta invertida en la mira para que la lectura sea directa, tal como se muestra en la Figura 5.8. En el tipo más habitual de mira que se utiliza las divisiones se muestran en centímetros, pudiéndose por tanto apreciar esta medida, aunque es habitual apreciar hasta 0,5 cm. en las lecturas, presentando las escalas alternando a derecha e izquierda cada decímetro el lado a la que se muestra la escala menor, figurando en el lado en blanco, abajo (arriba en la imagen que veremos en el anteojo) una cifra que indica el metro y arriba (abajo en la imagen del anteojo) el decímetro.

149


5.7. Conceptos generales sobre ángulos. Pasaremos a repasar a continuación algunos conceptos generales de ángulos, definiendo en primer lugar cómo ángulo o ángulo plano, a la porción de plano limitada por dos semirrectas llamadas lados, concurrentes en un punto llamado vértice. Un ángulo se designa habitualmente por tres letras colocadas en un punto cualquiera del cada lado y del vértice, cuando un ángulo está aislado bastará para definirlo la letra del vértice, asimismo podemos designar el ángulo por la letra que se coloca entre sus lados. Como clasificación general, los ángulos pueden ser llanos, cóncavos y convexos. Un ángulo llano es aquél que tiene sus lados en línea recta. Un ángulo es convexo, cuando al prolongar sus lados más allá del vértice, estas prolongaciones son exteriores al ángulo, y cóncavo cuando estas prolongaciones son interiores. Los ángulos llanos, mientras no se especifique los contrario, se consideran convexos. Dos ángulos son iguales, cuando colocando el vértice y un lado, de cada uno coincidan superponiéndolos, los otros lados también coinciden. Dos ángulos son opuestos por el vértice, cuando tienen el vértice común y los lados de uno son prolongaciones de los del otro. Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales. Dos ángulos son contiguos, cuando tienen el vértice y lado comunes. Para sumar dos ángulos cualesquiera, se hacen coincidir el vértice y un lado de ambos, de modo que se hagan contiguos, y se efectúa la suma. Varios ángulos tomados en un cierto orden son consecutivos, cuando cada uno de ellos es contiguo con el precedente. Al sumar varios ángulos consecutivos puede ocurrir que se llene una o varias veces el plano, siempre que varios ángulos llenen todo el plano se dice que forma un giro: un giro es igual a la suma de dos ángulos llanos. Dos ángulos son adyacentes, cuando tienen el vértice y un lado comunes y los otros dos lados son prolongación el uno del otro, su suma es un ángulo llano. Si dos ángulos adyacentes son iguales, se denominan rectos. Ángulo oblicuo es cualquiera de dos adyacentes desiguales. Los ángulos oblicuos se clasifican en 150


agudos y obtusos, si son menores o mayores de un recto, respectivamente. Se llaman ángulos suplementarios a dos ángulos cuya suma es igual a dos rectos, y complementarios si su suma es igual a un recto. Complemento de un ángulo es lo que le falta para completar un recto si es agudo, o lo que le sobra de un recto si es obtuso. La medida de un ángulo se denomina amplitud. Con relación a una circunferencia los ángulos pueden ser: •

Central: es aquel ángulo que tiene el vértice en el centro de la circunferencia. El arco correspondiente a un ángulo central es aquel que está contenido en el interior del ángulo, y tiene por tanto, como extremos la intersección de los lados del ángulo con la circunferencia. En una circunferencia los ángulos centrales son proporcionales a sus arcos correspondientes. Tomando como unidad angular el ángulo correspondiente al arco unidad, el ángulo central tiene por medida la de su arco correspondiente. Un ángulo llano, tiene como arco correspondiente la semicircunferencia.

•

Ángulo inscrito: es aquel formado por dos cuerdas que tienen un extremo común, o una cuerda y una tangente en uno de sus extremos. La medida del ángulo inscrito es la mitad del arco comprendido entre sus lados.

•

Arco capaz: de un ángulo es aquel cuyos ángulos inscritos son igual al dado. El arco capaz de un ángulo recto es una semicircunferencia.

•

Angulo interior: es el formado por dos cuerdas que se cortan en el interior de la circunferencia. La medida de un ángulo interior es la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados y los lados del opuesto por el vértice.

•

Angulo exterior: es aquel cuyo vértice es exterior a la circunferencia y sus lados son dos secantes, dos tangentes 151


o una secante y una tangente. La medida de un ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus lados.

B

O

A O

inscrito

a

a

O

O

C

central

B

A

a

a

B

A

B

C

C

interior

exterior

C

Figura 5.9: Ángulos en la circunferencia. La unidad de medida angular, según el Sistema Internacional de Unidades, vigente en España, es el radián, aunque definido ya, recordaremos que es ángulo plano que limita un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la misma. Además del radián, el S.I. reconoce el uso de otras unidades de medida angular no incluidas en él, pero que son de uso común. Estas unidades, que se definen a partir de unidades S.I., sin ser múltiplos o submúltiplos decimales de dichas unidades con el grado centesimal y el grado sexagesimal, o simplemente grado. El grado centesimal, de común uso en topografía tiene como símbolo (g) o (gon). En comparación con el radián, el resto de unidades de medida angular tienen el siguiente valor: UNIDAD Grado centesimal Grado sexagesimal

152

VALOR DE 1 RADIÁN 63,6620 gon 57º17’45’’


5.8. Operaciones con unidades angulares. En cuanto a las operaciones con las distintas unidades de medida angular, sólo ofrecen alguna peculiaridad, que no dificultad, las que se refieren a grados sexagesimales, y que incluimos a aquí a modo de recordatorio. Para sumar grados sexagesimales se procede de la siguiente manera: • • •

Se suman las unidades de cada orden, es decir, grados, minutos y segundos independientemente., Se comienza por los segundos Si las sumas de segundos o minutos son menores de 60, se consigna el resultado, si son mayores, se consigna la cifra de las unidades, se divide la cifra de las decenas entre 6, consignado en las decenas de la suma el resto de la división, y se agrega el cociente a las unidades del orden superior.

Para restar grados sexagesimales se procede de la siguiente manera: • • •

Se resta de las unidades de cada orden del minuendo, las unidades del mismo orden del sustraendo Se comienza por los segundos Si la cifra del minuendo de un determinado orden (minutos o segundos) fuese menor que la del sustraendo, se aumentan las decenas del minuendo en 6 unidades, y las unidades del orden superior del sustraendo en 1 unidad.

Para convertir grados en grados centesimales o viceversa, se operará como se explica a continuación. Para convertir el valor de un ángulo expresado en de grados sexagesimales según la expresión (Aº B’ C’’) a grados centesimales según la expresión (Gg) se operará teniendo en cuenta las siguientes expresiones:

153


100 g xg A 0 ⋅ 100 A 0 g = ⇒ = = x 90 0,9 90 0 A0

100 g yg B'⋅100 B' = ⇒ yg = = 5400' B' 5400 54 100 g zg C ' '⋅100 C'' = ⇒ zg = = 324000' ' C ' ' 324000' ' 3240 siendo el resultado:

Gg = xg + yg + zg expresado habitualmente con cuatro cifras decimales. Para convertir el valor de un ángulo expresado en grados centesimales según la expresión (Gg) en grados sexagesimales según la expresión (Aº B’ C’’), se operará teniendo en cuenta la siguiente expresión.

90 0 x0 G g ⋅ 90 0 = ⇒ = = 0,90 ⋅ G g x 100 100 g G g Que nos dará una expresión numérica en forma de grados sexagesimales con una parte entera y una parte decimal. Par expresarlo en la forma compleja (Aº B’ C’’), operaremos de esta forma: • • •

154

Se asigna a (Aº) la parte entera. Se multiplica x 60 la parte decimal, siendo la parte entera del producto (B’). Se multiplica x 60 la parte decimal, siendo la parte entera del producto (C’’). Esta cifra se puede redondear a la unidad o a la décima.


5.9. Azimut y orientación. Habiendo definido azimut, definiremos ahora azimut topográfico de una dirección (θ), al ángulo que forma en el plano horizontal la línea Norte-Sur con dicha dirección, contado a partir del Norte Geográfico y en sentido de las agujas del reloj. N

θAB B

A

S

Figura 5.10: El azimut topográfico de la dirección (AB) es el ángulo (θAB). El azimut topográfico se puede obtener mediante el cálculo trigonométrico a partir de las coordenadas planimétricas (X, Y) de sus dos puntos extremos, referidas a un sistema cartesiano cuyo eje YY’ coincida con la dirección Norte–Sur, es decir, que sea un sistema orientado.

θ CD = arctag

X D − XC YD − YC

Al determinar acimutes trigonométricamente, debe tenerse en cuenta que el extremo (D) de la alineación puede ocupar cualquiera de los cuatro cuadrantes definidos por el sistema de ejes cartesianos que pasas por el punto (C) y que la expresión 155


anterior sólo es válida en el primer cuadrante. Las fórmulas para los restantes cuadrantes son: CUADRANTE

FÓRMULA

2º

θ CD = 200 − arctag

∆X ∆Y

3º

θ CD = 200 + arctag

∆X ∆Y

4º

θ CD = 400 − arctag

∆X ∆Y

NORTE

D

YD θCD ∆Y

YC

∆X

C XC

SUR

Figura 5.11.

156

XD

6. INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS

La técnica es la capacidad de dar respuesta a un problema. (Aldo Rossi)

6.1 Introducción. La topografía se ha servido siempre de instrumentos, más o menos complejos que se han desarrollado de forma paralela al resto del desarrollo tecnológico de la humanidad. En topografía existen instrumentos propios tanto para labores de campo y gabinete, siendo fundamentalmente elementos de medida y de dibujo. Marcar una alineación, medir el ángulo que forma, orientar una alineación al norte, replantear elementos de grandes dimensiones con posibilidad de grandes errores por tanto, son tareas que han hecho a lo largo de la historia que se desarrollen instrumentos muy específicos y de muy alta precisión. Desde la descripción que Herón de Alejandría (c. 10 d.C-c.70) hace de las alidadas de pínulas, que quizá tras la plomada sea el instrumento más antiguo propio de la topografía hasta las modernas estaciones totales, aparatos de posicionamiento GPS y ordenadores, existe todo un camino que nos ha dejado un legado instrumental que hoy día llena las vitrinas de museos de todo el mundo.

157


Para estudiar los instrumentos topográficos los dividiremos en dos clases: simples y complejos. Además, estudiaremos también los elementos accesorios de los instrumentos, que en algunos casos son elementos con entidad propia.

158

Instrumentos topográficos

6.2. Instrumentos que definen rectas y planos. En primer lugar estudiaremos los instrumentos que nos sirven para definir rectas y planos, y que son la plomada y los niveles, esférico, tórico y de agua. La plomada, además de uno de los elementos que figuran en el emblema de la profesión de aparejador y arquitecto técnico en España, es un instrumento sencillo, básico y antiguo. Consiste en un peso, tradicionalmente de plomo, de forma normalmente cilíndrica que pende de un hilo, este hilo se desliza sobre otro elemento, llamado nuez, y que tiene una de sus dimensiones al menos igual que el grueso de la plomada. Se utiliza para medir la verticalidad de un elemento o para colocarlo de forma vertical, así mismo se utiliza también para trasladar un punto situado en una cota superior a una inferior o viceversa. Hemos de recordar que la línea que define el hilo de una plomada, por ser la materialización del vector de la fuerza de la gravedad terrestre, es en si misma y por definición una línea vertical, no coincidiendo necesariamente con el radio de la Tierra, como sabemos.

55 5

0 45

40 35

%

35 40 30 25 25 30 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20

45 5

0 55

Figura 6.1: Nivel de escuadra con graduación para medir pendientes. La pendiente cero supone el instrumento horizontal, y la plomada vertical.

159


Otra utilidad de la plomada es la de servir como guía para la puesta en estación de los instrumentos topográficos, que disponen de un soporte del que se cuelga el hilo de la plomada, marcando el punto de estación. Actualmente suelen estar sustituidas estas plomadas por plomadas ópticas, basadas en la reflexión de la luz y que tienen el mismo cometido, siendo más rápidas y cómodas de utilizar. La plomada en combinación con la escuadra de albañil, otro de los símbolos de los aparejadores y arquitectos técnicos, forma un nivel de escuadra, Figura 6.1, elemento con el que, además, se pueden medir pendientes si está graduado al efecto. Derivado del uso de este instrumento, en Andalucía solemos llamar al nivel el peso de la obra, así como cuando nos referimos ala verticalidad de un objeto decimos que está a plomo. Otros tipos de niveles son los niveles de burbuja de aire, que son los más extendidos, como por ejemplo el que se usa para el nivel de albañil, o como los que se montan como accesorios en los instrumentos topográficos, estos son: en nivel tórico y el nivel esférico. El nivel tórico o nivel de aire, Figura 6.2., está constituido por un tubo de vidrio de forma tórica de muy escasa curvatura, cerrado por sus extremos. El tubo va lleno de un líquido de baja viscosidad, que suele ser alcohol o éter, dejando una burbuja de aire, que ocupará siempre la parte más alta del líquido.

a

b

c

Figura 6.2: Nivel de aire en su montura. Para comprobar la posición de la burbuja, en la cápsula de vidrio existen grabadas unas divisiones cada 2 mm, así cuando el centro de la burbuja coincide con en centro del tubo, se dice que la 160


burbuja está calada, así pues, se llama calar la burbuja, a la operación de llevarla hacia el centro de las marcas del nivel. La tangente al nivel en el punto central del ecuador del tubo se llama directriz o eje del nivel, y es evidente que el eje ocupará la posición horizontal cuanto la burbuja esté calada. En los aparatos topográficos, en nivel está engastado en un tubo metálico que a su vez está situado en la alidada, la base de este tubo es por su construcción, paralela a la directriz del nivel, así cuando un nivel está calado, su base está en posición horizontal. Uno de los extremos del nivel (a) gira alrededor de un eje y otro lleva un tornillo (c), llamado tornillo de corrección, que sirve para corregir el nivel manteniendo el paralelismo entre la base del nivel y el eje del nivel. El ángulo de giro correspondiente al desplazamiento de la burbuja en una división, expresado en segundos, se denomina sensibilidad del nivel, y será igual al que formen al cortarse en el centro de la superficie tórica dos radios consecutivos. Si tenemos en cuenta que cada división tiene 2 mm, dividiendo esta magnitud por el radio de curvatura del nivel nos dará en ángulo que buscamos en radianes, así, llamando (s) a la sensibilidad y (r) al radio expresado en milímetros, podemos determinar que:

s´´=

2 206265 r

Así pues, la sensibilidad de un nivel está en relación con su radio de curvatura, a mayor radio menor valor de (s), que significa que la sensibilidad es mayor, viceversa, en cualquier caso no interesa que el radio sea demasiado grande puesto que sería prácticamente imposible calar la burbuja, y tampoco muy pequeño, por tener una sensibilidad insuficiente. Otro tipo de niveles de burbuja de aire son los niveles esféricos, prácticos y fáciles de calar, aunque por contrapartida presenta una sensibilidad pequeña, entre 1’ y 7’. Los niveles esféricos constan de una caja metálica cilíndrica, sujeta por tres tornillos de corrección a la plataforma en la que se fija, esta caja contiene el líquido y está cerrada por un casquete esférico de vidrio, cuyo radio de curvatura, análogamente a los niveles tóricos, cuanto 161


más grande sea, mayor será su sensibilidad. En el centro del vidrio está grabada una circunferencia, o en algunos casos más de una, cuando la burbuja ocupe la posición dentro de la circunferencia menor, nos indicará que el plano tangente en el centro del nivel es horizontal. Los tres tornillos de corrección deberán hallarse de forma que dicho plano sea perpendicular al eje de giro del instrumento, así éste estará vertical cuando esté estacionado con la burbuja calada. Si el nivel está corregido, al girar el instrumento de esa manera, la burbuja deberá permanecer calada. En el caso de que el plano tangente en el centro del nivel no fuese perpendicular al eje de rotación del aparato, estará aquél descorregido, comprobándose que al girar se desplazará la burbuja. La corrección del nivel se efectúa en dos etapas, según se muestra en la Figura 6.3: en primer lugar se lleva la burbuja a la posición (1) mediante los tornillos (a) y (b), y después a la posición (2) mediante el (c), comprobando mediante el giro que la burbuja permanece centrada. Normalmente habrá que hacer esta operación dos o tres veces.

A

B 1 2

C

Figura 6.3: Nivel esférico y esquema de corrección y calado de la burbuja. 162


Es conveniente tener en cuenta para corregir niveles, nunca forzar los tornillos de corrección, ya que una vez adquieren holgura, se desajustan con mucha facilidad, haciendo prácticamente inservible el instrumentó. Así pues, es preferible no abusar de la corrección, incluso utilizando el nivel descorregido, calando la burbuja, no en el centro sino en otra posición, cuya tangente sea perpendicular al eje de rotación del instrumento, para ello obraremos como sigue, siendo esta explicación válida para niveles esféricos y tóricos: • • •

• •

Colocar el nivel en la dirección de los tornillos nivelantes, calando la burbuja. Girar el instrumento medio giro. Si la burbuja se desplaza, la llevaremos a la mitad del camino que hubiese recorrido, utilizando los dos tornillos de la plataforma que se hubiesen usado primeramente si es tubular, o los tres si es esférico, sin tocar a los de corrección. Señalaremos la nueva posición de la burbuja calada. Calaremos la burbuja en esta marca en lo sucesivo.

Existe un dispositivo bastante ingenioso que se llama nivel de coincidencia, y que permite aumentar la sensibilidad de los niveles tóricos. En esencia, el sistema consiste en desdoblar la imagen de la burbuja de nivel, mediante la reflexión de primas, dividiéndola en dos y mostrándola por medio de un visor instalado en el aparato, tal como se muestra en la Figura 6.4.

Figura 6.4: Nivel de coincidencia descalado (izquierda) y calado (derecha). 163


De esta forma, la visión duplica, en forma de separación de una burbuja con otra, que en realidad es la misma, la distancia que hace falta para calar la burbuja en un nivel ordinario. Como sabemos que el límite de percepción visual es de 0,2 mm, el error de coincidencia, suponiendo que veamos la burbujas coincidentes, será de 0,1 mm, así pues, como la sensibilidad corresponde a un desplazamiento de 2 mm, se deduce que estos niveles superan en 20 veces la sensibilidad de un nivel normal, de hecho, en los aparatos que montan estos niveles, es decir, casi todos los teodolitos, podemos apreciar que el nivel exterior está calado, pero el de coincidencia no, siendo este el que nos da una mayor precisión en la nivelación de aparato. El nivel de agua, o goma de nivel, consiste en una manguera transparente de pequeño diámetro (de 12 14 mm), de material transparente y, que llena de agua, de acuerdo con el principio de los vasos comunicantes, sirve para trasladar una cota a una cierta distancia, ya que el nivel del agua en reposo será el mismo en sus dos extremos. Este instrumento, de sencillo manejo, puede servir con un adecuado uso para trasladar cotas con una precisión de ±5 mm en 15 m. El manejo es sencillo, se trata de colocar la manguera con el nivel de agua en la cota que queremos trasladar y, otro operario, en el otro punto, una vez que el agua está en reposo, marca la cota. Esta operación se puede hacer tantas veces como se quiera, y, realmente en las obras de arquitectura es un instrumento muy usado. Para su adecuado uso, y para que se mantenga la precisión establecida hay que tener en cuenta que la manguera no debe contener burbujas de aire, se debe tomar la medida, así como hacer la anotación en reposo, se debe vigilar que no se doble o sufra pisotones en su recorrido, y se debe tener el mismo criterio tomando como marcando cotas, ya que el agua forma un menisco cóncavo en la manguera. Ayudándonos de algún instrumento de medida (cinta, flexómetro, etc.) podemos incluso no sólo trasladar las cotas, si no tomarlas, como si de un nivel topográfico se tratase, ya que en realidad, el nivel del agua de la manguera establece un plano de comparación horizontal, y sobre éste podemos tomar todas las referencias en cotas, positivas o negativas que nos permita su alcance. Cuando pasemos cotas con nivel de agua deberá ser por que no tengamos 164


a mano ningún instrumento técnicamente más preciso, y en cualquier caso siempre cerraremos la nivelación para comprobar errores.

165


6.3. Instrumentos que definen alineaciones. Para definir alineaciones solemos utilizar distintos instrumentos: la alidada de pínula, la escuadra de agrimensor, la escuadra óptica o de prismas y el anteojo. En primer lugar, nos ocuparemos de la alidada de pínulas. Una alidada es una regla fija o móvil que lleva perpendicularmente y en cada extremo una pínula o un anteojo. Acompaña a ciertos instrumentos de topografía y sirve para dirigir visuales, asimismo una pínula es una tablilla metálica que sirve para dirigir visuales por una abertura circular o longitudinal que tiene.

Figura 6.5: Alidada de pínulas sobre limbo graduado, S. XVII.

166


Este instrumento es sucesor de la dioptra, un instrumento topográfico descrito por Herón de Alejandría, ingeniero romano del siglo I, quien enunció la fórmula que lleva su nombre referente al cálculo del área de un triángulo conociendo la longitud de sus lados. De alguna manera debían de medir los romanos ángulos horizontales y marcar alineaciones precisas, prueba de ello son sus obras. Así pues una alidada de pínulas es la que monta dos pínulas, una en cada extremo de la regla móvil, normalmente montadas sobre charnelas que permiten su abatimiento para facilitar el transporte y almacenaje. Una de las pínulas lleva una rendija vertical, y se denomina ocular, ya que es la que se coloca más próxima al ojo del observador, la pínula colocada el otro extremo se denomina pínula objetiva, disponiendo en la ventana de un hilo vertical. La alineación de la ventana de la pínula ocular con el hilo de la pínula objetiva, determinan un plano vertical, llamado plano de colimación, y que posibilita la medición o el replanteo de alineaciones. En algunos casos, las alidadas se construyen de visual recíproca, sirviendo las dos pínulas tanto de ocular como de objetivo, ya que cada bastidor de las pínulas dispone de una ventana y una rendija con hilo vertical, correspondiente con la extrema recíprocamente. Una alidada de pínulas montada sobre un limbo graduado, capaz de medir ángulos, se denomina goniómetro. La escuadra de agrimensor es un aparato de medición de ángulos fijos, sirviendo también para el trazado de perpendiculares en el terreno. De forma cilíndrica y o de prisma octogonal, está compuesto por ocho caras, en cada una de las cuales existe un filamento vertical, y que actúan en conjunto del mismo modo que la alidada de pínulas. Las caras de la escuadra forma entre sí ángulos de 45º y múltiplos, no sirviendo más que para marcar alineaciones con estos ángulos. Se utilizan de la siguiente manera, si es para marcar una alineación (AB): •

Se fijan el extremo de un bastón o soporte, procurando su verticalidad. 167

Topografía en Obras de Arquitectura • • • •

Se estaciona la escuadra en el punto (A) desde el que se quiere marcar la alineación. Se coloca un jalón en el punto (B) de la alineación Visualizamos por el ocular de una de las caras hasta hacer coincidir el de la cara opuesta con el jalón (B) Se dirige la visual alineando los jalones que queramos interpolar entre (A) y (B)

Figura 6.6: Escuadra de agrimensor. Para marcar una alineación que forma con otra un ángulo de 45º, 90º, 135º, etc.: • •

Se estaciona la escuadra de forma que el plano de colimación coincida con una de las alineaciones. Se mira por el ocular correspondiente al ángulo deseado, materializando ese nuevo plano de colimación, colocando un jalón la nueva alineación definida.

La escuadra de óptica, también llamada escuadra de prismas, tiene un fundamento parecido al de la escuadra de agrimensor, la diferencia es que gracias a la reflexión de los prismas con los que 168


está construida, no hay que cambiar de visual para marcar ángulos, es decir, desde el mismo punto de observación, podemos poner dos jalones o tres jalones “a escuadra”. La escuadra óptica, Figura 6.7, es un instrumento que en una carcasa cilíndrica, tiene instalados una serie de prismas pentagonales que reflejan la visual a ambos lados del observador, las ventanas que presenta son de visión directa y de reflexión. Se puede usar para marcar una alineación que forme 90º con otra dada, o también para marcar un punto dentro de una alineación que forme 90º con otra. Marcar una alineación (AC), perpendicular a otra (AB): • • •

Se sitúa la escuadra por medio de una plomada sobre en el punto (A) Se dirige una visual por la ventana superior, centrando un jalón colocado en (B) en ella Se coloca un jalón en (C), el cual veremos en una de las ventanas de reflexión y se guía hasta hacerlo coincidir visualmente con el (B)

Situar un punto (D), dentro de una alineación (AB) perpendicular a otro (C): •

• •

•

Se toma la escuadra, provista de plomada situándola aproximadamente sobre el punto que queremos trazar, dentro de la alineación, dejando los extremos de esta con jalones en (A) y en (B) a nuestros lados. Se dirige una visual hacia el punto (C), en el que se ha colocado un jalón. Se mueve la escuadra hasta que veamos en el mismo plano teórico de colimación, en la ventana de visión directa, es decir a nuestro frente el jalón (C), en la ventana superior de reflexión el jalón (A) ó (B) de la derecha, y en la inferior el otro. La plomada nos define la situación de (D)

169


Figura 6.7: Escuadra óptica o escuadra de prismas. El funcionamiento de los prismas de reflexión se basa en el principio óptico de la reflexión. Cuando un rayo de luz atraviesa una superficie de separación entre dos medios de distinta densidad y penetra en el segundo medio, se produce un fenómeno llamado refracción. Cuando un rayo de luz sufre una refracción, cambia de trayectoria, siendo por tanto distintos los ángulos de incidencia (α) y de refracción (β), siendo la relación entre éstos constante para los dos medios determinados, según la expresión:

senα =K senβ El coeficiente (K) se llama índice de refracción y varía según los medios atravesados. Para un determinado valor de mayor (α), y de acuerdo con el coeficiente de refracción, el rayo luminoso no atraviesa la superficie, sino que emerge tangente a la superficie, con el mismo ángulo de incidencia, este fenómeno se conoce como reflexión total, y el valor de este ángulo se denomina ángulo límite.

170


Se llama prisma, en óptica a un medio transparente limitado por dos caras planas no perpendiculares. Normalmente un rayo de luz sufre una doble refracción al entrar y al salir del prisma, a no ser que el ángulo de incidencia sea igual o mayor que él ángulo límite, los primas que se basan en este principio se denominan prismas de reflexión total. El más sencillo es el constituido por un prisma recto cuya base es un triángulo rectángulo isósceles. En este prisma cualquier rayo que incida perpendicularmente a una de las caras perpendiculares o catetos, emergerá perpendicular a éste por la otra, siendo reflejado por la cara inclinada o hipotenusa. El anteojo es un instrumento cuya autoría se atribuye a Galileo Galilei (1564-1642), aunque otras posturas opinan que se conocía anteriormente. En cualquier caso, Galileo construyó un anteojo montando dos lentes en un tubo y que era capaz de enfocar y ver objetos lejanos, como si estuviesen a menor distancia. El anteojo sin embargo que se utiliza en topografía está basado en el anteojo astronómico de Johannes Kepler (1571-1630), que invierte las imágenes.

a

e

O

r

b

O'

eje de giro

eje óptico

c d

Figura 6.8: Anteojo astronómico estadimétrico. El anteojo astronómico está compuesto básicamente por un tubo y dos lentes, la lente ocular y la lente objetivo. Para marcar alineaciones se añade un cristal con una cruz filar y un retículo estadimétrico además de una tercera lente que hace que los objetos visados formen su imagen en el plano del retículo. La disposición del sistema de lentes es la siguiente: •

La lente objetivo, (ab) va instalada enano de los extremos del tubo cilíndrico principal (O). Próximo al otro extremo se sitúa el retículo (r). 171


•

En el extremo opuesto al objetivo penetra u segundo tubo móvil (O’), este segundo tubo lleva el sistema óptico (cd) del ocular. Girándolo se varía la distancia entre el ocular y el retículo, con el fin de que cada operador adapte la visión del retículo a la suya propia con nitidez. Entre el objetivo y el retículo se instala una tercera lente (e) móvil, que accionada por un tornillo, llamado tornillo de enfoque, se desplaza en el interior del anteojo. Su objeto es lograr que la imagen del retículo, independientemente de la distancia que haya entre el anteojo y el objeto visado se forme siempre en el plano del retículo.

En un anteojo estadimétrico se consideran dos ejes: •

Eje óptico: que es la recta que pasa por los centro ópticos del objetivo y del ocular

•

Eje de colimación: que es la recta que pasa por los centros del objetivo y de la cruz filar. Es el que materializa las visuales dirigidas a través del anteojo, y coincide con el eje geométrico del anteojo.

Un fenómeno que puede suceder en las observaciones con anteojo estadimétrico es el denominado error de paralaje. Se denomina paralaje a la desviación angular de la posición aparente de un objeto, dependiendo del punto de vista elegido. Se denomina error de paralaje o paralaje óptica de un anteojo estadimétrico a la no coincidencia del plano de la imagen real dada con el plano del retículo, por formarse la imagen en un plano paralelo no coincidente con el plano del retículo. Este error no suele darse en un observador experimentado, pero es posible que le suceda a un inexperto, a quien le parece ver con precisión las imágenes dentro de una cierta amplitud de movimientos. La existencia del error de paralaje se descubre se observando si un objeto enfocado, cambia de posición con respecto a la retícula al moverse el observador en el campo del ocular, es decir, moviéndonos ligeramente a derecha e izquierda y comprobando si se desplaza la imagen del objeto respecto a la cruz filar. Las causas que producen el error de paralaje pueden ser: 172

Instrumentos topográficos •

• •

El tubo porta-ocular del anteojo no está colocado correctamente y hace que el el retículo no se observa con nitidez. El enfoque es defectuoso Por una suma de ambas causas.

El error de paralaje no es un error del instrumento, corrigiéndose cuando se ajusta correctamente el enfoque del retículo y del objetivo o de ambos. Debemos practicar antes de comenzar a tomar lecturas los métodos de enfoque de objetivo y del retículo en el anteojo utilizado, acostumbrándonos al mismo. Debemos saber que cada observador debe enfocar al anteojo para ajustarlo a su propia vista, de forma que se perciban correctamente las imágenes observadas así como los hilos del retículo.

173


6.4. Instrumentos para medir distancias. Las distancias, como hemos visto, se puede medir de forma directa o indirecta. Los diversos sistemas e instrumentos más importantes para medir distancias se estudian específicamente en otros capítulos de este texto, mencionando a modo de recopilación en este apartado los instrumentos más relevantes, extendiéndonos en otros que no son de uso extendido. En primer lugar nos ocuparemos de los instrumentos para medir distancias de forma directa entre los que podemos enumerar los siguientes:

174

•

Cínta métrica: Se fabrican en plástico, tela, fibra de vidrio, acero, cromo, aluminio o aleaciones especiales como el invar, son enrollables y pueden tener o no carcasa, estas últimas se denominan rodetes, mango, manivela de enrrollamiento. Su longitud varía entre 10 m, 15 m, 20 m, 25 m, 50 m y 100 m. Las únicas que consideramos como istrumentos de precisión son las cintas metálicas.

•

Flexómetro: Es una derivación de la cinta métrica para distancias cortas ya que se fabrican entre 1 m y 8 m, normalmente, y llevan distintos mecanismos de recogida automática de la cinta, que suele ser rígida, así como de enganche en el extremo que se mide, que en algunos casos está imantado. Los más pequeños son de bolsillo y son un instrumento que normalmente nos acompaña en nuestro trabajo.

•

Podómetro: O contador de pasos, es un aparato que cuenta nuestros pasos. Los hay de muchos tipos siendo actualmente casi todos digitales, permitiendo la actual tecnología que en muchos casos estén incorporados a un reloj de muñeca, aparatos de música, teléfonos móviles, etc. Su uso se centra en las mediciones por conteo de pasos, para evitar errores en la memorización de estos y evitar tener que llevar anotación, así la tarea se centra exclusivamente en recorrer la distancia por el método que se explica en el capítulo correspondiente de este temario.


Figura 6.9: Odómetro. •

Odómetro: El odómetro o rueda de medir consiste en una rueda montada sobre un soporte que al tiempo hace de asidero, y que puede ser plegable o desmontable. Tiene acoplado un contador de medida que transforma las vueltas de la rueda, cuya longitud de circunferencia suele ser de 0,5 m y 1 m, en la medida de longitudes, que pueden medir, habitualmente hasta 9.999,9 m. Para uso sobre superficies llanas como calles, carreteras, caminos y general todo tipo de viales. Los automóviles y motocicletas tienen un odómetro incorporado, cuya visión, analógica o digital, se refleja en el cuadro de instrumentos.

•

Reglas: Casi siempre de fabricación artesanal o propia, en madera o metal, sirven para medir distancias de hasta 5 m, normalmente. Pueden ser usadas por un solo operario y además de medir distancias reducidas con ayuda de un nivel de albañil, pueden asimismo hacerlo en vertical. Su 175


uso se limita normalmente a la obra o en la que se fabrican. •

Cuerdas: Fabricadas en fibras naturales mejor que artificiales por su menor dilatación, se usan en agrimensura normalmente, fabricándose de forma personal o artesanal, en medidas de 10 a 30 m, para distancias largas y con poca precisión

•

Cadena de agrimensor: Instrumento antiguo fabricado con eslabones iguales, normalmente de 0,2 m. y de longitud, variable, usadas en agrimensura para mediciones de mayor precisión que con cuerdas.

•

Hilos de invar: Instrumentos de altísima precisión en medidas de distancias geométricas. El invar es una aleación de hierro y níquel con muy bajo coeficiente de dilatación. Los hilos de invar terminan en regletas graduadas para realizar la medición. El equipo de medición se completa con piquetes con poleas para sujetar los extremos, pesas que cuelgan de éstos, e índices de medida. Su longitud es normalmente de 24 m, y se usan para mediciones de alta precisión en distancias largas.

Para medir distancias de forma indirecta citaremos los siguientes instrumentos:

176

•

Estadímetro: Compuesto de anteojo estadímetrico y mira estadimétrica, mide distancias de forma indirecta basándose en el principio de la estadía, explicado en este temario.

•

Nivel topográfico: Sirve para medir distancias verticales o cotas, por el procedimiento que se explica en el apartado correspondiente. Su anteojo podría utilizarse como estadímetro en combinación con la mira de lectura.

•

Taquímetro: Basado en el principio del estadímetro, de hecho, el taquímetro, como se explica más adelante es un estadímetro montado sobre un teodolito.


•

Distanciómetro: Explicado más adelante, mide las distancias basándose en la diferencia de longitud de onda que existe entre la onda emitida y la que rebota.

•

Estación total: Explicada más adelante, mide las distancias combinando el principio del taquimetro y del distanciómetro.

•

Distanciómetro manual: Es un instumento de bolsillo que se basa en el mismo principio que el distanciómeto topografico, normalmente emiten láser, y están dotados de microprocesadores que efectúan diversas operaciones relacionadas con ma medición: acumulan distancias, calculan volúmentes, etc.

Figura 6.10: Distanciómetro manual Hilti-PD-30. •

Clisímetro: El clisímetro es un instrumento que sirve para medir, o mejor dicho estimar, ya que su precisión no es muy alta, distancias de forma indirecta y también pendientes. El clisímetro se compone de un visor, un anillo de suspensión y un elemento pesado. Su forma de usarlo es suspenderlo desde el anillo, poniendo el visor ante el ojo del observador, comparando la escala que se ve con algún elemento de altura conocida, si se utiliza una mira de observación, la medición será más precisa. La 177


escala central, Figura 6.11, que compara alturas de 2,00 m o de 1,70 m,se usa para medir distancias horizontales, las escalas laterales se usan para medir álgulos verticales y pendientes. La escala izquierda corresponde a tantos por mi (‰) y tantos por ciento (%) en las subdivisiones de pendientes positivas o negativas. La escala derecha presenta mediciones angulares.

Figura 6.11: Clisímetro de lira y escala del visor. Existen otros muchos elementos con los que se pueden medir distancias o longitudes, útiles de conocer y de usar como herramientas para nuestro trabajo en la obra de arquitectura, y que en algún momento no serán necesarios, como son medidores de espesor de vidrio, calibres para armaduras de acero, pies de rey, etc., pero entendemos que estos están dentro del campo profesional de la arquitectura y de la ingeniería, no siendo instrumentos propios de la topografía.

178


6.5. Elementos accesorios. Tanto para estacionar los instrumentos topográficos, como para auxiliarnos en los levantamientos y replanteos, son necesarios elementos e instrumentos accesorios, cuya fabricación, utilización y cuidado no es menos importante en muchos casos que la de los propios instrumentos fundamentales. Estos instrumentos o elementos, que no deben faltar en un equipo topográfico, son, básicamente, los que siguen: •

Estacas: Son trozos de madera de escuadría aproximada de 50x50 mm, y de longitud variable entre 10 y 60 cm, pudiendo ser más altas si se necesitan, y teniendo un lado afilado para clavar en el terreno. Las estacas se utilizan para marcar alineaciones, establecer puntos significativos, cotas de nivelación, puntos de estación. Cuando utilizamos una estaca para situar un punto de estación, o una alineación, se suele clavar en su cabeza un clavo, asimismo, se suelen reforzar con mortero y hormigón aquellas que pretendamos que queden fijas durante mucho tiempo. En caso de terrenos muy duros se pueden sustituir por piquetes metálicos, clavos grandes, etc. Obviamente necesitaremos una maceta para clavar las estacas, herramienta que también deberá formar parte del equipo.

•

Jalones: El jalón es un instrumento topográfico simple constituido por un vástago redondo terminado en punta, suelen ser de madera o metálicos y para su transporte y utilización se construyen en tramos de un metro, teniendo uno de ellos un remate en punta metálica, ya que muchas veces será necesario hincarlos en el terreno. Los jalones están pintados en bandas alternativas de color rojo y blanco para facilitar su visibilidad, siendo estas bandas habitualmente de 10 cm o 20 cm de anchura. Los jalones se usan para marcar alineaciones, establecer visuales, puntos de referencia, etc.

•

Trípodes: Imprescindibles para la estación de cualquier instrumento. Los más usados son los de meseta, cuyas patas están formadas por un travesaño terminado en un 179


regatón de acero, unido a la plataforma por dos largueros, de gran estabilidad. Modernamente se construyen de aluminio. La plataforma del trípode puede ser universal o adaptarse al instrumento. Las más comunes son planas, aunque existen trípodes para niveles topográficos con cabeza en forma de casquete esférico, para aquellos niveles cuya plataforma nivelante se adapte a esta forma.

Figura 6.12: Elementos accesorios de topografía. •

180

Miras: Son reglas graduadas de diferentes maneras, construidas en madera tradicionalmente, actualmente son de aluminio, incluso de aleación de invar. Suelen ser de 4 m. de longitud total, longitud suficientemente corta para que un operario la pueda manejar con fiabilidad, y suficientemente larga para que los cambios de estación en terrenos accidentados no sean constantes. Están divididas en tramos de 1 m, desmontándose, plegándose o recogiéndose de manera telescópica. La graduación de la mira suele hacerse en dm, cm y dobles mm y mm., dependiendo de la precisión requerida. La cara que presenta la escala suele estar pintada en colores (rojo, negro) para facilitar su visión. La mira se sostiene verticalmente, con la cara de la escala hacia el aparato, conseguir la verticalidad algunas tienen incorporado un


nivel esférico.. Existen miras de posición horizontal para trabajos específicos, que se montan sobre trípodes. •

Nivel esférico de mira: Nivel esférico, montado en un angular metálico para conseguir y mantener la verticalidad en miras que no lo lleven incorporado y jalones. Existen modelos que se sujetan por medio de pinzas al jalón.

•

Brújula: La brújula es un antiguo instrumento, utilizado para marcar alineaciones con respecto al norte magnético. Su funcionamiento se basa en el fenómeno del magnetismo terrestre y consiste en una aguja imantada que gira libremente dentro de una caja. Nos ocupamos en un apartado específico en este mismo tema.

181


6.6. El nivel topográfico. El nivel topográfico, también llamado equialtímetro, es un instrumento diseñado para establecer visuales horizontales una vez colocado en estación, sobre su trípode. Su utilización se centra en la medición de desniveles, tomando la lectura por medio de su anteojo sobre miras de nivelación.

Figura 6.13: Nivel topográfico.

Los elementos que componen un nivel topográfico son los siguientes:

182

•

Plataforma nivelante: Montada sobre tres tornillos de nivelación, sirve para acoplar el nivel al trípode y para conseguir su nivelación.

•

Nivel esférico: Para establecer la nivelación de aparato, pudiendo estar dotado de niveles tóricos o de coincidencia.

•

Anteojo estadimétrico: Para establecer visuales y lecturas. Puede usarse como estadímetro aunque no es lo habitual. El anteojo está dotado de sus correspondientes tornillos de enfoque.


•

Limbo horizontal: Disco graduado para medir ángulos horizontales. Tampoco se suele usar, puesto que no es la finalidad del nivel establecer o medir alineaciones.

•

Tornillo de movimiento lento: El nivel gira sobre su plataforma, de forma directa, teniendo un tornillo de aproximación para centrar con precisión el retículo en la imagen de la mira.

Existen dos tipos de niveles, los niveles de línea y los niveles automáticos. Los niveles de línea, actualmente en desuso, para garantizar la horizontal de cada visual, disponen de un nivel tórico llamado nivel principal, acoplado con el eje del anteojo, siendo el eje de colimación del anteojo paralelo a la directriz del nivel. El conjunto se monta sobre una base de sustentación que dispone de un mecanismo para calar el nivel principal. El nivel principal es necesario calarlo en cada visual, y en algunos modelos se instala el mecanismo de nivel de coincidencia. Los niveles automáticos, usados en la actualidad, no necesitan nivelarse en cada visual, sino una sola vez en cada estación, ya que un mecanismo propio de compensación garantiza la horizontalidad mientras no se desnivele el conjunto del aparato. En combinación con el nivel topográfico se utilizan las miras de nivelación o miras altimétricas para obtener, mediante una lectura sobre ellas, los datos para establecer las cotas de los puntos. Las miras están graduadas habitualmente en dobles milímetros, aunque existen en centímetros y en milímetros para necesidades de menor o mayor precisión. Deben reunir requisitos de precisión en su graduación e inalterabilidad a las variaciones de temperatura, ya que son instrumentos de precisión. En algunos casos están dotadas de zócalos metálicos de apoyo para evitar la imprecisión al girar la mira en el caso de niveladas “delante” y “atrás”.

183


Figura 6.14: Libreta de nivelación. Para comenzar un trabajo de toma de datos de nivelación o bien para replantear cotas es necesario comenzar poniendo el nivel en estación en el punto elegido, para lo cual: •

• •

• 184

Se abre y coloca el trípode en el punto elegido, si vamos tomar datos de muchos puntos buscaremos, visualmente, un lugar que nos permita establecer las máximas lecturas de mira posible, tanto por los obstáculos como por las diferencias de terreno, procurando que la meseta del trípode quede sensiblemente horizontal. Tendremos en cuenta que la posición sea cómoda para nuestra altura, que observemos por el anteojo de una forma natural. Se coloca el nivel sobre la meseta de trípode, ajustándolo con el tornillo inferior. Se cala la burbuja del nivel esférico, si está muy desviada a un lado, el primer tanteo de calado se hace regulando las patas del trípode, después se afina el calado con los tornillos de niveladores. El proceso de calado de burbuja es análogo al descrito para corregir el nivel esférico (Figura 6.3.) Se comienzan a efectuar las lecturas, enfocando el objetivo y el retículo.


Para tomar datos de altimetría se usa la libreta de nivelación, de uso habitual en topografía que es un impreso como el que se muestra en la Figura 6.14, aunque podemos completarlo con croquis, o demás anotaciones en función del trabajo que estemos realizando. Existen también los niveles electrónicos digitales, que son niveles automáticos con un sistema de lectura electrónica en una mira especial graduada mediante códigos de barras, la lectura se produce mediante procedimientos de proceso de imágenes y las lecturas se reflejan en una pantalla de cuarzo. Incorporan diversas funciones accesibles mediante un teclado, consistentes den diversos cálculos como niveles, distancias reducidas, etc., así como el almacenamiento de datos para verterlos en un ordenador. Estos sistemas eliminan normalmente el error de lectura, así como reducen el tiempo de la toma de datos. Para determinar la calidad de un nivel debemos fijarnos en diversos parámetros, estos son: aumentos del anteojo, distancia mínima de enfoque, diámetro del campo visual y sobre todo el error kilométrico (ek). El error kilométrico (ek) es un indicador de la precisión del aparato, expresado en mm indica la desviación estándar para 1 km en nivelación de dobles visuales. Por tanto la precisión de un nivel topográfico, será tanto más alta cuanto más bajo sea el valor de su error kilométrico.

185


6.7. El taquímetro.

Figura 6.15: Taquímetro Wild T-2. Un taquímetro es un instrumento topográfico que nos permite a un tiempo realizar punterías mediante un anteojo estadimétrico y por tanto medir distancias de forma indirecta, y también medir ángulos en el plano horizontal y vertical. El taquímetro, que es denominado tránsito en Hispanoamérica, es la combinación de dos aparatos: el teodolito, diseñado para medir ángulos horizontales y verticales y el estadímetro como instrumento de medida de distancias. En algunos casos, podemos referirnos al taquímetro como teodolito ya que en realidad lo es. Un taquímetro, aunque en apariencia complicado, Figura 6.16, en esencia sólo está formado por tres partes fundamentales, que son: •

186

Círculo azimutal: que es un disco horizontal (a) giratorio montado sobre la base de sustentación (z) y con un nivel (n) para conseguir y mantener la horizontalidad.

Instrumentos topográficos •

•

Alidada: que es el elemento (b) móvil de puntería, compuesta de una horquilla montada sobre e círculo azimutal y que gira con éste, y por un anteojo estadimétrico que gira alrededor de un eje horizontal describiendo por tanto un plano vertical en su giro. La altura de la horquilla de la alidada debe permitir una vuelta de campana o vuelta completa del anteojo. Eclímetro: que es un disco (c) vertical montado en la alidada y que gira solidariamente con el anteojo.

p c b n

s

a z Figura 6.16: Esquema de un taquímetro. Asimismo se pueden describir dos ejes alrededor de los cuales giran estos elementos: •

Eje principal: que es el eje (p) vertical alrededor del cual giran la alidada y el círculo azimutal. Por su construcción, el eje principal del taquímetro es perpendicular al circulo azimutal y pasa por su centro. 187


Eje secundario: que es el eje (s) horizontal alrededor del que giran al anteojo y el eclímetro en el plano vertical. Por su construcción es perpendicular al eje principal y pasa por el centro eclímetro.

Tanto al círculo azimutal como al eclímetro se les llama limbos, ya que están graduados para medir ángulos horizontales y verticales respectivamente. De esta forma, cuando la alidada se mueve en sentido horizontal, el anteojo describe ángulos horizontales que se miden en el limbo de círculo azimutal, y cuando se mueve en sentido vertical, describe ángulos verticales que se miden en el limbo del eclímetro.

Figura 6.17: Partes de un taquímetro. 188


Las distintas partes que componen un taquímetro, incluyendo aquellas que son necesarias para su uso, son las que se refleja en la Figura 6.17. En la referida Figura 6.17, podemos apreciar las distintas partes que componen un taquímetro, de acuerdo con las que son de uso más común en la mayoría de los modelos clásicos, estas son: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Eclímetro Espejo de iluminación del diafragma del anteojo Tornillo de calado del nivel de coincidencia Espejo de iluminación del limbo del eclímetro Tornillo de presión del eclímetro Aro de enfoque del anteojo Visor del microscopio Ocular Nivel tórico Tornillo de aproximación del eclímetro Tornillo de aproximación del círculo azimutal Reflector del nivel de colimación (nivel de coincidencia) Nivel esférico Espejo de iluminación del limbo del círculo azimutal Visor de la plomada óptica Tornillos de nivelación Tornillo de sujeción en el trípode.

El taquímetro va montado sobre una plataforma que disponen de tres tornillos de nivelación (16) y que se sujeta a la meseta del trípode con otro tornillo (17). Para centrar el aparato en el punto de estación dispone de una plomada física, o normalmente de una plomada óptica. La plomada óptica consiste en un mecanismo compuesto por un visor de aumento (15) que dispone de una cruz filar, adosado al aparato horizontalmente, la visual se refleja en un prisma intermedio de reflexión total, dirigiéndose hacia el punto de estación (marca sobre el terreno, clavo, etc.). 189


Para nivelar el aparato una vez puesto en estación, operación que se hace conjuntamente con el centrado, existe un nivel esférico (13) que aproxima el aparato a la horizontalidad y un nivel tórico en la alidada (9) que precisa esta nivelación; no obstante, el aparato dispone de un tercer nivel de coincidencia cuyo calado es necesario en cada colimación, para lo cual existe un tornillo (3). Todos los giros de los círculos, círculo de la base, círculo azimutal y eclímetro, están gobernados por dos tonillos cada uno: los tornillos de fijación y los tornillos de aproximación. El la figura se ve el tornillo de fijación del eclímetro (5), aunque dispone de otros dos. Los tornillos de aproximación sueltan cada uno de estos elementos para dirigir manualmente la colimación del anteojo, hecha la colimación de forma aproximada, los tornillos de aproximación, también llamados micrómetros, en la figura (10) y (11), hacen girar los círculos de forma lenta y precisa, posibilitando una perfecta puntería del objeto a visar. Los modernos aparatos son todos de los llamados repetidores, en los que el círculo de la base puede girar, los antiguos o reiteradores tenían este círculo fijo. El movimiento de giro dell taquímetro con la alidada fijada al círculo de la base, se denomina movimiento general, el movimiento de giro con el círculo de la base fijo y la alidada liberada, se denomina movimiento particular. Las lecturas, así como la visión del calado de la burbuja del nivel de coincidencia se hace a través del microscopio (7) que está junto al ocular (8) del anteojo, para su cómodo manejo, a través de éste se pueden hacer las lecturas angulares. Para la iluminación de los limbos, así como del anteojo, y demás elementos interiores, el aparato dispone de distintos espejos (4) y (14) y reflectores (12). El uso del taquímetro, de acuerdo con estos elementos que lo componen se explica sucintamente a continuación. Los tornillos de presión hacen que se fijen o muevan los elementos giratorios: círculo acimutal, alidada y eclímetro y los tronillos de movimiento lento hacen que, estando fijos, se muevan de forma lenta y precisa ajustándose a la colimación o a la lectura deseada. La alidada puede girar solidariamente con el círculo acimutal, o bien, con este fijo sobre la base, por sí misma sola. Los tornillos de nivelación hacen bascular la base del aparato para conseguir su nivelación. 190


6.8. La estación total.

Figura 6.18: Estación total Leica TC-407. La estación total es un instrumento, evolución del taquímetro eléctrónico, diseñado para la medida electrónica de distancias, tanto geométricas como reducidas, así como el cifrado de ángulos verticales y horizontales. Como se ha explicado, es un taquímetro electrónico con un distanciómetro electro-óptico incorporado, y en el que sus respectivos ejes de colimación coinciden. Así pues, se obtienen mediciones angulares y de distancia en la misma puntería, operándose ambos dispositivos desde el mismo panel instrumental, dotado de una pantalla digital. La precisión para la medición de longitudes es milimétrica, efectuándose ésta mediante la emisión de un rayo de luz que 191


rebota en el útil de colimación y regresa al instrumento. Partiendo de la reflexión de dicho rayo, se calcula la distancia de forma automática, dándonos además los valores de los ángulos vertical y horizontal correspondientes a la alineación. Las estaciones totales pueden ser de infrarrojos o láser, siendo las primeras de luz no visible. El útil de colimación es un reflector formado por prismas de reflexión total, que se sitúan como blanco de puntería y devuelven el rayo emitido por el instrumento. Este reflector puede estar dotado de una tableta o panel de puntería, y está montado sobre un jalón o bastón, provisto de nivel esférico para posibilitar su verticalidad. Las estaciones totales láser, de luz visible, no necesitan prima en distancias cortas (< 200 m), pudiéndose usar con una pantalla o tableta de reflexión, aunque a mayores distancias necesitan el prisma de reflexión. Las estaciones totales, además de las funciones automáticas descritas suelen tener incluido un determinado software, según modelos, que realiza diversas funciones de cálculo de datos. Se usan normalmente en combinación con los dispositivos de registro de datos o libreta electrónica, usando también su propia tarjeta de memoria. Los dispositivos de registro de datos, sirven a su vez como elemento de almacenamiento de datos para verterlos en el ordenador o bien como pequeños ordenadores portátiles que también pueden realizar cálculos topográficos. El funcionamiento mecánico de nivelación y puesta en estación es similar al del taquímetro, y en algunos modelos, la plomada óptica están también sustituida por una plomada láser, cuyo haz luminoso se puede ver sin necesidad de mirar por el visor, como una plomada clásica, aunque este elemento, es incómodo al aire libre en días con mucha luminosidad además de ser menos preciso que la plomada óptica. La mayor o menor calidad de una estación viene determinada por sus parámetros de precisión de medida de ángulos y distancias, que aparecen en la hoja de especificaciones del instrumento. La precisión en medida de distancias se expresa en términos de desviación estándar, mediante la expresión:

± (C + C ' ppm ⋅ D)mm 192


en la que (C) es una constante propia del instrumento, cuyo valor suele oscilar entre 1 y 5 m, (C’) es un factor conocido como corrección a escala, también propio del instrumento y con valores también entre 1 y 5 mm; (ppm) es una expresión que significa “partes por millón”, es decir (10–6) y (D) es la distancia expresada en mm. La precisión de medidas angulares se expresa de acuerdo con la desviación estándar tipo, obtenida en laboratorio mediante la norma DIN 18723.

193


6.9. El distanciómetro. Se denominan distanciómetros a los instrumentos que miden distancias por procedimientos electrónicos. La medida electrónica de distancias está basada en las propiedades de una onda electromagnética propagada en el aire y en la mediación de su fase, utilizándose ondas de diversa naturaleza, los distanciómetros que emplean ondas luminosas se denominan distanciómetros electro-ópticos.

Figura 6.19: Distanciómetro, distanciómetro montado sobre un teodolito, prisma reflector y componentes. El fundamento del distanciómetro electro-óptico está basado en una fuente emisora que genera un rayo de luz, infrarrojo o láser emitido en el rango visible habitualmente. El rayo se dirige a un retroreflector situado en el punto extremo que se ha de medir, rebotando el rayo y regresando al instrumento. Como la luz necesita un determinado tiempo para alcanzar el reflector o retroreflector y regresar, ocurre un desplazamiento de fase entre el rayo emergente y el reflejado, que es directamente proporcional a la distancia recorrida por el rayo de luz. El instrumento está dotado de un micro procesador que mide el desplazamiento de fase, calcula la distancia equivalente, la modifica en función de los 194


factores atmosféricos y le muestra en la pantalla en forma de valor numérico, distancia que lógicamente es la distancia geométrica. Los distanciómetros que se emplean habitualmente en topografía, son como hemos dicho del tipo electro-óptico, y consisten en una pequeña carcasa en la que se aloja una batería y el microprocesador así como el sistema emisor-receptor de la señal luminosa. Tienen también un anteojo visor, cuyo objetivo sirve a su vez para la emisión y recepción de las ondas, un teclado con funciones diversas así como una pantalla en la que se muestran las lecturas de forma digital. Normalmente el distanciómetro se acopla en un taquímetro de forma que el eje de colimación de éste y el rayo luminoso de aquél estén en el mismo plano vertical, Figura 6.19. Los retrorreflectores que se emplean en topografía son prismas pentagonales de reflexión total. Se puede utilizar un solo prisma montado sobre un jalón provisto de nivel esférico, o una serie de prismas montados sobre trípodes con plataformas nivelantes. Los prismas suelen ir montados en conjunto con una placa de puntería con el fin facilitar la colimación del taquímetro. La separación vertical entre los centros de la placa y del prisma debe ser la misma que la existente entre los centros del anteojo y del distanciómetro.

195


6.10. El GPS. Como alternativa al sistema Doppler, el Departamento de Defensa de los Estados Unidos, desarrolló desde 1973 el sistema de satélites NAVSTAR (Navigation Satelite Timming and Ranging) para hacer más precisa la navegación en tierra, mar o aire, con cualquier circunstancia meteorológica. El sistema se llamó GPS (Global Positioning System) y se lanzó el primer satélite el 22 de febrero de 1978. Con un total de 24 satélites (3 de ellos de reserva), el sistema GPS es algo más que una ayuda a la navegación, ya que, incluso fuera del ámbito de defensa, tiene múltiples aplicaciones. El sistema se basa en la medición de una distancia desde cada uno de los satélites hasta un receptor, esa distancia es la posición de todos los puntos en una superficie esférica con centro en el satélite, la intersección de tres esferas, es decir, tres distancias a otros tantos satélites, nos da un punto, que es la posición del receptor. Además del sistema GPS, existe otro sistema de posicionamiento denominado GLONASS (ГЛОНАСС: Глобальная Навигационная Спутниковая Система), y que está administrado por la Federación Rusa, cuyo primer satélite se lanzó en 1982. El sistema GPS utiliza el dátum WGS-84 y el sistema GLONASS el PZ90, ambos sistemas son independientes y autónomos, aunque pueden ser utilizados en combinación. Según los datos conocidos, la precisión de GLONASS es mayor que la de GPS, aunque el sistema GPS es de uso actualmente extendido en todo el mundo. Otros términos relacionados son: WAAS (Wide Area Augmentation System) que es un sistema para mejorar la precisión del sistema GPS, funciona solo para Estados Unidos, Alaska, Canadá México; (GALILEO) Sistema de satélites de la comunidad Europea para intereses no militares o de iniciativa privada, cuya entrada en servicio estaba prevista para 2008; y EGNOS, el sistema equivalente a WAAS en Europa.

196


Figura 6.20. GPS Topográfico.

Basados en el sistema GPS, existe receptores topográficos que determinan la posición de un punto, y que con adecuadas técnicas de medición, pueden hacer que la precisión no muy alta –entre 1 m y 10 m– del sistema aumente hasta parámetros aceptables para ciertos tipos de trabajos. El sistema GPS topográfico se compone de la antena y del receptor, necesitando al menos dos antenas, Existen GPS de una banda (L1) y de dos bandas (L1, L2), la diferencia es que para los 197

Topografía en Obras de Arquitectura GPS de una banda se garantiza la precisión milimétrica para distancias menores a 40km entre antenas, en los GPS de dos

bandas es de hasta 300km, si bien se pueden realizar mediciones a distancias mayores, ya no se garantiza la precisión de las lecturas. Los GPS de dos bandas incorporan el sistema de medición denominado RTK (Real Time Kinematic), que permiten obtener los datos de medición directamente en el campo. El GPS no reemplaza a la estación total, en la mayoría de los casos se complementan. Es en levantamientos de gran extensión donde el GPS resulta particularmente practico, ya que no requiere una línea de vista entre una antena y otra, además de tener el GPS la gran desventaja de trabajar sólo a cielo abierto, siendo un poco problemático incluso cuando la vegetación es alta y densa, pero por ejemplo una selva o bosque se abre un claro de unos 5 metros y se hace la medición con la antena, en lugar de abrir una brecha para tener visual entre la estación total y el prisma. Así mismo es común hacer el levantamiento de dos puntos con GPS (línea de control) y posteriormente usar la estación y en lugar de introducir coordenadas arbitrarias introducimos coordenadas geográficas, y todo lo que se levante con la estación estará georreferenciado.

198


6.11. La brújula. No es un instrumento específico de la topografía, aunque forme parte de algunos aparatos, sin embargo, nos parece significativo conocerlo y saber manejarlo, puesto que es un instrumento verdaderamente sencillo y fiable, no dependiendo de baterías o agentes externos, a excepción del campo magnético de la tierra, naturalmente. El invento de la brújula es universalmente atribuido China, datando los registros más antiguos del s. III a. C. Su nombre deriva de “buxus” o boj, madera con la que se fabricaban tradicionalmente. Existen distintos tipos de brújulas actualmente, en función de los elementos que llevan incorporados, así como la zona terrestre para la que están calibradas, en función de la declinación magnética, existen cinco zonas, estando España en la zona 1. Como sabemos, la declinación magnética es el ángulo que forma en un punto la dirección Norte magnético con la dirección norte geográfico, conociéndola podremos orientarnos con la brújula no sólo con respecto al norte magnético. Asimismo, aunque hay muchos tipos de brújulas hoy día, existen fundamentalmente dos: la brújula cartográfica y la brújula tradicional. La brújula cartográfica es la que comúnmente está construida en un material transparente para colocarla sobre un mapa, su limbo es giratorio y su construcción facilita las tareas de manejo sobre un mapa, en algunos casos incorporan un espejo para leer el limbo con la brújula en alto. La brújula tradicional es la que está construida con una caja metálica redonda, cuya tapa dispone de una ventana alargada con un filamento, dispuesta en alidada con otra pieza abatible en el lado contrario, para facilitar la visualización de alineaciones. La tapa de vidrio, que es giratoria, tiene un índice para su utilización. Asimismo, el ocular de la alidada tiene una pequeña lente que permite leer en el limbo de la brújula con más facilidad, sin tener que moverla constantemente, esta lente, es la que le da nombre en inglés: lensatic compass, que algunos quieren traducir al castellano como brújula lensática, no existiendo realmente este término, aunque podamos leerlo en algún manual.

199


Para marcar una orientación con una brújula y un mapa, se procede como se explica a continuación: •

Se traza sobre el plano la alineación (AB), suponiendo el punto (A) el lugar donde nos encontramos y el punto (B) un punto dado por coordenadas, como resultado de un rumbo o bien como la identificación de un elemento concreto sobre el mapa.

•

Se coloca la brújula sobre el plano, orientada según el eje que define la alidada en la orientación (AB), Figura 6.21.

Figura 6.21.

200

•

Hacer girar la parte móvil del la brújula de forma que coincida el índice con el norte magnético del mapa.

•

Con la brújula a la altura de la cintura, nos movemos para orientarnos junto con la brújula, hasta que el índice esté sobre la dirección norte de la aguja de la brújula, tal como muestra la Figura 6.22. Esta es la posición natural para observar la brújula, y debe estar paralela al suelo, a veces es conveniente dar unos ligerísimos toques para comprobar que la aguja tiene el giro libre, ya que el movimiento que tiene dentro de la caja es muy sutil


Figura 6.22. •

Sin perder la orientación, subimos la brújula a la altura de la vista, y mediante la alidada buscamos un punto, o varios, del terreno que podamos identificar claramente y que esté en la alineación de la visual.

•

Si debemos seguir esta alineación caminando o por cualquier otro medio, debemos memorizar los puntos visualizados, o incluso marcarlos en el mapa.

Para orientarnos, es decir, para situar nuestra posición en un mapa, seguiremos los mismos pasos, pero en orden inverso: primero visualizar una orientación mirando un punto en el terreno que podamos identifica en el mapa, después colocar el índice de la brújula coincidente con el norte magnético, tras eso, colocar la brújula sobre el plano orientada en este y así trazaremos la alineación entre nuestra posición, desconocida hasta ahora, y el punto visualizado; si hacemos esto dos veces, la intersección de las dos alineaciones nos da nuestra posición en el plano. 201


Figura 6.23.

202

7. MÉTODOS DE MEDICIÓN

Quiero hacer edificios muy útiles y me gustaría encontrar un método para ejecutar esos edificios a través de nuestra tecnología, ya que pienso que esa es la única forma por la que obtendremos un maravilloso entorno fácilmente en el futuro. (Minoru Yamasaki)

7.1. Métodos de medición directa de distancias. Cuando nos encontramos con la necesidad de tomar medidas en superficies de terreno limitadas, y cuyas alineaciones a medir están libres de obstáculos o al menos en gran parte, podemos utilizar distintos métodos para medir las distancias de forma directa. Tales métodos son apropiados para cada tipo de medición, ya sea levantamiento o replanteo, en función de la exactitud que exija la medida, la distancia a medir, el tipo de trabajo a realizar, el terreno en el que nos encontramos o los medios de que disponemos. Entre los métodos para la medición directa de distancias están: la medición con reglas, la medición con cinta, medición con cuerda, medición con cadena de agrimensor, medición con hilos de invar o el conteo de pasos. La forma de medir distancias de forma directa más inmediata y sencilla es el conteo de pasos, asimismo, obviamente es la más imprecisa, además de darnos la distancia natural del terreno, aunque en terrenos horizontales sabemos que coincide, aproximadamente, tanto con la geométrica como con la reducida. 203


El conteo de pasos o medición de distancias a pasos, no es una simple anécdota, puesto que para labores de aproximación cuando no tenemos a mano ningún instrumento y nos queremos hacer una idea de una dimensión, o bien queremos identificar una finca en el campo, etc., es un sistema adecuado, aunque para esto tenemos que seguir ciertas pautas:

204

•

Conocer nuestro paso: es lo que también se llama “talonar” el paso. Una persona, andando normalmente, siempre da los pasos de la misma medida, de una forma bastante aproximada, por tanto si sabemos cuanto mide nuestro paso podremos, saber por acumulación cuando mide una distancia recorrida a paso normal. Para lo cual, señalaremos en un terreno llano y horizontal una distancia de 100 m, contando los pasos que, andado normalmente, necesitamos para recorrerla. Es necesario hacerlo con precisión, empezando incluso con la punta del pie en la señal de partida y marcando incluso la fracción de paso en la llegada. Esto se puede hacer varias veces tomando un promedio, aunque normalmente daremos el mismo número de pasos. La división de la distancia entre el número de pasos recorridos nos dará la medida de nuestro paso. Si nos es posible, es mejor aumentar la distancia de 100 m de referencia. Una vez conocido nuestro paso, nos servirá para siempre.

•

Señalar las alineaciones y seguirlas: como es lógico, debemos mantener líneas rectas, por tanto es conveniente señalar las alineaciones si son muy largas y seguirlas, buscando puntos de referencia con la vista.

•

Compensar los pasos según el terreno: si el terreno es abrupto o con mucha vegetación, daremos los pasos más cortos que si más liso, asimismo esto sucederá en terrenos con pendiente. Es conveniente conocer, al mismo tiempo que nuestro paso normal, estos factores de corrección, comparando habitualmente nuestras mediciones con pasos con medidas conocidas en diferentes terrenos.

•

Sumar los obstáculos: puede darse el caso de que tengamos que salvar un obstáculo sobre el que no podamos pasar andando, debemos estimar su longitud y

Métodos de medición

tenerla en cuenta para adicionarla al resultado de la suma de pasos. •

Andar siempre con naturalidad: por más que nos pueda parecer raro, debemos contar los pasos siempre con naturalidad. Habremos visto muchas veces contar pasos de “a metro”, ya que podemos aproximar un paso a un metro, las personas que hacen esto tienen idea de lo que están haciendo, pero su sistema les lleva a cometer errores que hacen inservible una medición por que el error es inaceptable, en cambio, una medición correcta por pasos tiene un error dentro de los límites: Eratóstenes para calcular el radio de la tierra, mando medir la distancia entre Alejandría y Siena por pasos.

Figura 7.1: Podómetro digital. •

Tener un sistema para anotar la cuenta: dependiendo de la distancia, el número de pasos puede ser muy alto, debemos tener un sistema para no perder la cuenta y tener que comenzar de nuevo: señalar las decenas con los dedos, anotar las decenas, centenas, etc. Para este fin, existen instrumentos para contar los pasos, tales como los pasómetros o podómetros que evitan llevar la cuenta de los pasos mentalmente o con anotaciones. Como curiosidad diremos que los podómetros son instrumentos actualmente diseñados para contar los pasos y tenerlos en cuenta como control de nuestro ejercicio, se ha comprobado estadísticamente que el uso del podómetro 205


ayuda a hacer más ejercicio, y por tanto a mejorar nuestra forma física. La medición con reglas se efectúa en distancias cortas, las reglas graduadas no existen normalmente en el mercado y son por tanto de fabricación propia o artesanal. Se usan en longitudes de 4 a 5 metros, y se construyen sobre un listón de madera o sobre un tubo de acero. Las graduaciones pueden hacerse por medio de marcado sobre la regla o bien adhiriendo sobre una de las superficies lisas una cinta graduada. Las reglas, en distancias cortas nos servirán apropiadamente ya que no se deforman por catenaria, se pueden usar para medir distancias verticales y pueden ser usadas por una sola persona. Tienen el inconveniente de su corta longitud. Otra ventaja de la medición con reglas es que, mediante la utilización de un nivel de albañil apoyado en ella se pueden medir distancias reducidas con bastante exactitud. La cuerda o cuerda de agrimensor, es un sencillo sistema para medir grandes distancias con precisión normalmente de un metro, o menos. Al igual que las reglas suelen ser de fabricación propia o artesanal, y se suelen hacer de longitudes de 20 a 30 metros. Deben ser de fibras naturales preferiblemente, ya que las fibras artificiales son muy elásticas y por tanto deformables. Tendremos en cuenta para construir una cuerda de agrimensor, dejar en los extremos trozos para asir la cuerda, pintar las señales con pintura indeleble o marcarla con hilos de color y reforzar los extremos para que no se deshaga el tejido. El sistema para medir con cuerda de agrimensor es el mismo, aunque con menos precisión que con cinta. Los egipcios medían con cuerdas, y con bastante precisión ya que, según nos cuenta Herodoto (484-425 a. C.), el faraón Sesostris, distribuía la tierra a todos los egipcios, dando una parcela de terreno igual a todos los hombres, sobre las que cobraba sus impuestos, y si el río ocupaba una parte de una parcela, el faraón enviaba hombres a medir cuándo medía menos la parcela, para disminuir proporcionalmente sus impuestos. Así pues, las mediciones con cuerdas eran también de gran precisión en el antiguo Egipto.

206


Figura 7.2: Los extenderores de cuerda llevando a cabo la inspección de una cosecha, bajo la supervisión del escriba Djerserkereseneb, pintura de la tumba del escriba, fechada en 1400-1390 a. C. La cadena de agrimensor es un instrumento de medición antiguo, usado como la cuerda en agrimensura. Se trata de una serie de eslabones de acero, todos de la misma longitud, en general de 20 cm, unidos entre sí mediante anillos del mismo material. La longitud de cada eslabón es la suma del largo de la porción rectilínea, sus extremos redondeados y la mitad de los dos anillos que lo amarran al eslabón siguiente. En general cada metro de la cadena está marcado con un anillo de latón. Cada extremo de la cadena está constituido por una empuñadura metálica o manija cuya longitud debe ser tenida en cuenta cuando se realiza la medición. La longitud total de la cadena habitualmente es de 10 ó 20 m. Las cadenas son menos precisas que las cintas métricas o de agrimensor, pero mucho más resistentes. Cuando se utiliza una cadena de agrimensor se deben tomar las siguientes precauciones: •

verificar que el extremo redondeado del eslabón no se ha enredado con el final del eslabón siguiente, lo cual acortaría la longitud de la cadena; cuando se va a usar la 207


• •

cadena, conviene repasarla en toda su longitud enderezando todos los eslabones; no dejar la cadena al sol pues el calor la dilata; asegurarse de haber extendido completamente la cadena para obtener una medición exacta.

Cuando se utiliza una cadena por primera vez, conviene medir con una regla la longitud de cada eslabón. No olvidar que se debe considerar la parte rectilínea de cada eslabón, los dos extremos redondeados y la mitad de ambos anillos que lo amarran al eslabón siguiente. En cada extremo de la cadena, la longitud de la empuñadura más la longitud del eslabón al que está amarrada que es más corto que los demás- más la longitud del medio anillo de conjunción, debe corresponder a la longitud de un eslabón normal. Después de haber verificado la longitud de los eslabones es importante comprobar que 1 m de cadena comprende la cantidad de eslabones prevista. La cadena de agrimensor siempre se debe plegar de la siguiente manera: ambas empuñaduras se sujetan con la mano izquierda, con la cadena doblada por la mitad. Cuando se quiere desplegar la cadena, se sujetan ambas empuñaduras con la mano izquierda y se lanza la cadena en la dirección en la cual se va a medir.

Figura 7.3: Cadena de agrimensor. La cadena de agrimensor se usa para medir la longitud de líneas rectas, cuyos extremos se marcan con estacas. Se requiere la 208


ayuda de un asistente. El método de encadenado que se aplica en cada caso depende del tipo de terreno. Ya se ha explicado que los instrumentos de medición pueden ser cintas, bandas, cuerdas o cadenas de agrimensor. Cuando se miden distancias largas, el modo de usar el instrumento de medición depende de la pendiente del terreno. Si el terreno es plano o casi plano (quiere decir, con una pendiente de 5 por ciento o menor), es posible medir distancias horizontales siguiendo la superficie del suelo. Tal método es el que comúnmente se emplea para el trazado de instalaciones de acuicultura, en las cuales se evitan las pendientes muy fuertes. Si la pendiente del terreno supera el 5 por ciento, las distancias horizontales se deben medir con gran cuidado teniendo presente que en ese caso siempre las medidas tomadas en el suelo superan las horizontales. El proceso es el siguiente: • •

•

•

•

•

Se establecen las alineaciones con jalones. Para medir distancias largas con precisión, es necesario disponer de piquetes o estacas. A tal efecto se pueden utilizar estacas de madera de unos 25 cm de largo, que se pueden transportar fácilmente en una canasta pequeña. Tales estacas se deben hundir verticalmente en el suelo, a medida que se avanza con el encadenamiento. El encadenamiento requiere del concurso de dos personas, que llamaremos encadenador trasero y un encadenador delantero. El primero es responsable de tomar las medidas, de anotar los resultados y de dirigir al encadenador que va adelante para asegurar que las mediciones sucesivas se llevan a cabo siguiendo la línea recta entre los puntos marcados en el suelo Se comienza la medición en uno de los extremos de la línea recta, quitando el jalón y exactamente en el mismo, se clava la primera estacar. El encadenador trasero coloca el extremo de su instrumento de medición contra la estaca. El encadenador delantero se aleja siguiendo la línea recta con el otro extremo de la cuerda o cinta de agrimensor, llevando consigo varios piquetes de marcar. El encadenador delantero se detiene cuando la cuerda o cinta de agrimensor está completamente desenrollada y extendida sobre el suelo. Mira hacia el encadenador 209


•

• •

•

• •

•

•

•

trasero. Si la cuerda no describe exactamente una línea recta, éste último le indica cómo corregir la posición de la cuerda Una vez que la cuerda está colocada correctamente, el encadenador trasero indica al encadenador delantero que coloque un segundo piquete en el extremo de la cuerda. El encadenador delantero anota inmediatamente tal medida. El encadenador trasero quita la primera estaca de marcar, la coloca en su canasta y coloca nuevamente el jalón en el punto de partida. Sosteniendo ambos extremos de la cuerda, los dos encadenadores caminan hacia adelante, siguiendo la línea recta, manteniendo siempre la cuerda o cinta bien estirada. Esta precaución es muy importante cuando se usa una cadena de agrimensor. El encadenador trasero se detiene en la segunda estaca y coloca junto a ésta, el extremo de su cuerda. El encadenador delantero coloca la cuerda sobre el suelo corrige su posición siguiendo las instrucciones del encadenador trasero y coloca una tercera estaca de marcar al final de la cuerda, cuando recibe tal indicación. El encadenador trasero anota la medición efectuada. A continuación coloca la segunda estaca en su canasta, antes de abandonar el sitio. El procedimiento descrito en cinco puntos anteriores se debe repetir en cada segmento de la línea recta hasta llegar al extremo. Si se usa un conjunto de 11 estacas es más fácil llevar la cuenta de las mediciones efectuadas. Cuando el encadenador trasero tiene diez estacas en su canasta, quiere decir que ya se ha medido diez veces la longitud total del instrumento usado. Se anota esa cifra y se le devuelven las diez estacas al encadenador delantero, dejando la undécima en el suelo; ése es el punto de partida de una nueva serie de mediciones.

El invar, aleación de hierro y níquel es el material que se usa actualmente para fabricar cintas e hilos de medición, ya que su coeficiente de dilatación, con una aleación del 36% de níquel es de (0,5x10–6), es decir, prácticamente despreciable. Hay hilos de 210


diferentes longitudes y grosores, aunque oscilan alrededor de los 1,7 mm, y los más usados tiene 24 m de longitud, terminando en unas regletas de medición divididas en milímetros. El equipo de medida de hilos de invar, se completa con un juego de dos pesas de unos 10 kg, que se enganchan en los extremos del hilo, un juego de dos piquetes tensores que sostienen las pesas, y varios índices de medida. En algunos modelos, las pesas y tensores están sustituidas por un dinamómetro unido a un mango, para dar a mano al hilo la tensión necesaria, sustituyendo la regleta por un cilindro con una garganta por la que se hace pasar el hilo de una plomada, para que señale el punto en un elemento de marcaje colocado en el suelo.

Figura 7.4: Soporte, pesa y tensor de hilo El sistema de fundamente en que el hilo, compensada por la tensión de las pesas la catenaria, tiene una longitud exacta de 24 m entre los ceros de las regletas de los extremos.

211


Para efectuar la medición, los índices de medida se colocarán frente a las regletas de los extremos, de forma que los tramos medidos tendrán longitudes de 24 ±0,08m. Aunque esta es una forma de medir distancias de forma directa, por su gran exactitud, se suele utilizar un anteojo para alinear los piquetes, ya que de acuerdo con las regletas y los índices de medida apreciaremos hasta la décima de milímetro, siendo usual leer las medidas varias veces moviendo o tocando ligeramente el hilo, promediando éstas. Aunque los hilos de invar se deben usar en terrenos horizontales o aproximadamente horizontales, dada la precisión de su medida, hay que tener en cuenta que medimos distancias geométricas, debiendo calcular la reducida, y por tanto es necesario conocer el desnivel. Esta circunstancia también hay que tenerla en cuenta para corregir la medida en función de que la distinta catenaria que se forma dependiendo de la diferencia de nivel de los apoyos. Para aumentar la exactitud de la medida es recomendable usar un equipo de varios hilos, por ejemplo cuatro, reservando uno únicamente como contraste del resto que haya podido sufrir algún deterioro, y el resto se usará alternativamente. La precisión de los hilos de invar varía entre 1/20.000 y 1/100.000, llegando en equipos más perfeccionados destinados a mediciones de muy alta precisión (bases geodésicas), 1/1.000.000. La forma de medir una distancia con cinta métrica consiste en colocar la cinta tensa y apoyada en el suelo. Si el terreno es ondulado o con obstáculos, la cinta se levanta y se tensa, y se soporta únicamente por sus extremos, ya que de forma natural formará una catenaria cuya flecha debemos procurar que sea lo menor posible. Siempre que podamos, en obra, intentaremos medir con cinta la distancia reducida, para lo cual la cinta deberá estar en posición horizontal, y para esto podemos guiarnos de elementos horizontales que existan o bien tendremos que procura la colocación de la cinta en la misma cota en los puntos a medir, cuando no sea posible deberemos calcular la distancia reducida a partir de la distancia geométrica. Una forma de medir distancias reducidas consiste en ayudarnos para colocar la cinta en posición horizontal por medio de jalones. 212


Así pues, situando dos o varios jalones como se representa en la Figura 7.5., podremos colocar la cinta en cada jalón a la misma altura, de una forma aproximada a la horizontal, aunque para asegurarnos de la horizontalidad de la cinta, podemos usar un nivel de albañil.

d

d

2

1

d

Figura 7.5: Medición de una distancia por tramos. En el caso de que midamos una distancia por tramos, ya sea para tanto para salvar un desnivel como por causa de que la longitud de la cinta sea menor que la longitud a medir, es necesario tener en cuenta la perfecta alineación de los puntos intermedios. En el caso de que no podamos estar seguros de la horizontalidad de la cinta, con un error no mayor al 5%, así como de la verticalidad de los jalones, deberemos medir distancias geométricas y calcular la distancia reducida por los procedimientos conocidos. En cuanto a la alineación de puntos intermedios, cuando sabemos los puntos extremos, es decir los puntos de mediciones parciales, entre dos puntos conocidos se podrá solucionar de dos formas: la primera, para distancias no demasiado largas, y si el terreno lo permite será la de colocar un hilo tenso entre los dos puntos, y situar los puntos intermedios en las verticales del hilo; para distancias mayores podemos utilizar la alineación mediante 213


jalones, basándonos en el principio de que una visual se prolonga en línea recta. Para esto es necesario colocar dos jalones fijos en los puntos extremos, Figura 7.6, situarnos en uno de ellos, a una distancia de entre uno y dos metros, de forma que veamos el jalón más alejado tapado por el que tenemos más próximo; un operario colocará entre los dos puntos tantos jalones como necesitemos para dividir la distancia en la que podamos medir con la cinta, de forma que queden tapados por el jalón más próximo en ambos lados.

Jaló

nf

ijo

Jaló

na

line

ad

o

n Jaló

vil mó

ló Ja

nf

ijo

Figura 7.6: Alineación de puntos mediante jalones.

214


7.2. Métodos de medición indirecta de distancias. Así pues, el estadímetro de mira vertical está compuesto como hemos indicado por un anteojo estadimétrico, que es un anteojo astronómico con un estadímetro de primera categoría incorporado, llamado también anteojo estadimétrico de Reichenbach. Lleva incorporado un retículo estadimétrico, que es una lámina de vidrio en la que están impresos dos ejes un vertical y otro horizontal o axial que se denomina cruz filar, ya que estas líneas impresas se llaman hilos, y otros dos hilos, llamados superior e inferior, paralelos a hilo horizontal de la cruz filar, dispuestos simétricamente respecto a éste.

B

E m

O

a b

h

l

n

A

D

f K'

E'

Figura 7.7: Fundamento del anteojo estadimétrico de Reichenbach. El principio del anteojo estadimétrico se refleja en la Figura 7.7, y es el siguiente: al observar la mira a través del anteojo, los rayos luminosos que parten de los hilos extremos del retículo y se desplazan paralelamente al eje del anteojo, al llegar al objetivo se quebrarán y pasarán por el foco anterior interceptando la mira en los puntos (A) y (B). De la semejanza de los triángulos: BOA ~mOn, de la Figura 2.1.10, se obtiene la igualdad:

D=l

f h

[1] 215


Que permite determinar indirectamente la distancia (D), longitud existente entre el foco anterior del objetivo (el objetivo tiene dos focos, uno anterior y otro posterior) y la mira, a partir de los parámetros conocidos: h=separación entre los hilos extremos del retículo f= distancia focal del objetivo l=longitud de mira interceptada por los hilos extremos del retículo sobre la mira La relación f/h, que es constante para cada aparato, por ser constante el numerador y el denominador, se le denomina constante estadimétrica, y se representa por (K), teniendo habitualmente en valor de 100:

K=

f = 100 h

y por ello, la expresión [1] se escribe habitualmente de la forma:

D = k ⋅l

[2]

Sin embargo, la distancia que interesa conocer es la que existe entre la mira y el eje principal del instrumento, materializado por la plomada que cuelga sobre el punto de estación. Para obtenerla se suma la distancia (D) obtenida mediante la expresión anterior, la longitud del segmento comprendido entre el foco anterior (O) y el eje principal (EE’), lo que implica el empleo permanente de una constante aditiva (K’). El anteojo estadimétrico de Reichenbach fue inventado por por Georg Friedrich von Reichenbach (1771-1826), evolución del anteojo astronómico de Kepler y con el fin de eliminar la constante aditiva, el italiano Inazio Porro (1801-1875) diseñó un nuevo anteojo que la eliminaba. El punto (O) de la Figura 2.3.7 se denomina punto analático, el ingenio de Porro consistía en intercalar una lente convergente entre el objetivo y el retículo, llamada lente analática, consiguiendo que el punto (O) coincida 216


con el eje del anteojo. Estos anteojos se llaman analáticos o de analatismo central. El anteojo analático de Porro, consiguió la innegable ventaja de eliminar la constante aditiva (K’), pero la lente convergente que incluía hacía que la imagen se viese más pequeña. Los aparatos actuales, sin embargo, en los que no hay partes móviles, se elimina el empleo de la constante aditiva y se consigue a la vez no reducir la imagen, esto se logra por procedimientos ópticos de enfoque interno. M1

M

α

A

A 1 V

H

C D B1

α O

B d

O'

F

F'

Figura 7.8: Lectura de visuales inclinadas. El procedimiento descrito anteriormente se fundamenta en la semejanza de los triángulos BOC y mOn, Figura 7.7. Para que estos triángulos sean semejantes se debe dar que el retículo (lado mn) sea paralelo a mira (lado AB), es decir, el eje de colimación del aparato, o visual correspondiente al hilo central de la cruz filar, debe ser perpendicular a la mira. Cómo es lógico, en la práctica no suele ser así, ya que la visual se dirige a la mira con una inclinación cualquiera, formando un ángulo (α) con la horizontal (Figura 7.8), y la mira, al colocarse vertical sobre el 217


terreno, se presenta en posición oblicua al eje de colimación y, por tanto, no paralela al retículo, con lo que se destruye la semejanza de los referidos triángulos BOC y mOn. Por tanto, debemos estudiar las modificaciones que habrá que introducir en la fórmula [2], para obtener en todos los casos la distancia geométrica (OC), y después su reducida (OF). Si pudiésemos colocar la mira perpendicular al eje de colimación, posición (M1), las proyecciones de los hilos del retículo serían (A1), (C) y (B1), y la lectura que se efectuaría sería: (l1=A1B1). Y la distancia (OC), tratándose de un anteojo analático, vendría dada por la expresión:

OC = K ⋅ l1

[3]

Sin embargo, la lectura que se obtiene no es: (l1=A1B1), por la imposibilidad de colocar la mira en la posición (M1), sino (l=AB). El problema, pues, se reduce al conocimiento de la lectura (l1) a partir de la realmente observada (l). Considerando las visuales (OB1) y (OA1) como perpendiculares a la mira (M1), lo que es muy próximo a la realidad dado lo pequeño del ángulo A1OB1, los triángulos AA1C y BB1C, serán rectángulos en (A1) y (B1) respectivamente. En el primer triángulo considerado, (AC) será la hipotenusa y (A1C) un cateto. Y teniendo en cuenta que el ángulo A1CA es igual al B1CB e igual a (α), ya que (CO) y (OF) son respectivamente perpendiculares a (A1B1) y (AB), podremos decir que:

A1C = AC ⋅ cos α Así como:

CB1 = CB ⋅ cos α sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores y teniendo en cuenta que (l1=A1C+CB1) y (l=AC+CB), se obtendrá:

l1 = l ⋅ cos α

218


fórmula que da el valor de (l1), es decir, la lectura de mira en el caso de que pudiéramos colocarla perpendicular al eje de colimación del aparato, en función de la lectura real efectuada sobre la mira situada verticalmente en el terreno. Sustituyendo en [3], (l1) por su valor, tenemos:

OC = K ⋅ l ⋅ cos α

[4]

fórmula que permite obtener indirectamente la distancia geométrica existente entre el instrumento y el punto (C) de intersección del eje de colimación con la mira. Al producto (K·l), de la constante estadimétrica por la longitud de mira interceptada, se le llama número generador, y se designa con la letra (g). Por tanto:

K ⋅l = g

V C D

α d

O

B F

O'

F'

Figura 7.9. Con esta notación, la fórmula [4] se puede expresar de la siguiente forma: 219


OC = g ⋅ cos α [5] Si el aparato midiese distancias cenitales (V), en lugar de alturas de horizonte (α), la fórmula [5] tomaría la forma:

OC = g ⋅ senV

[6]

Sin embargo, la distancia que interesa medir en los levantamientos topográficos no es, normalmente, la distancia geométrica (OC), sino la distancia reducida (OF), de acuerdo con la Figura 2.3.9. En el triángulo rectángulo OCF, el cateto (OF) es la distancia reducida (dr), siendo:

OF = OC ⋅ cos α

[7]

Sustituyendo en [7], (OC) por los valores obtenidos en las fórmulas [5] y [6], se obtiene finalmente la expresión que permite obtener indirectamente la distancia reducida:

d r = g ⋅ cos 2 α = g ⋅ sen 2V [8] 3 9 3 8

1 1

3 7

1 2 1 3

6 0 0 7 0 6

1 4 1 5

0 5 0 4 0 3 0 2

1

0 1 0 0

Figura 7.10: Mira estadimétrica y lectura a través del anteojo. 220


Para la lectura de la altura de mira (l) se usan miras graduadas como se explicó anteriormente, representando la Figura 7.10 una mira graduada en centímetros, de lectura inversa, así como el ejemplo de una lectura a través del anteojo. La lectura de la mira en el punto en que es interceptada por el hilo del retículo se hará por consiguiente de la siguiente manera: primero la cifra superior de la casilla, después la cifra inferior, después contaremos las divisiones en centímetros, de arriba abajo, redondeando hacia el lado más próximo del hilo, o bien añadiendo un 0,5 si está en el centro de las marcas, o bien no podemos decidir hacia qué lado se aproxima más. En la mira observada siguientes:

en la Figura 7.10, las lecturas son las

LECTURA DE HILOS Extremos Axial 1,275 1,465 1,37

Como hemos visto, para hacer la lectura correcta la mira debe estar en posición vertical, de acuerdo con la posición (M) de la Figura 7.8, para esto el operario que sujeta la mira y la coloca para efectuar su lectura debe procurar que esto sea así. En algunos casos, por la longitud de mira que se usa, las condiciones atmosféricas o bien lo accidentado del terreno hacen que esto no sea fácil. Sin embargo, desde el anteojo, si podemos observar perfectamente la situación de la mira, al menos la verticalidad que proporciona el plano del eje de colimación, y esto es algo que debemos tener en cuenta indicando al operario que corrija la posición. No es tan fácil ver la verticalidad en el plano normal a éste, y si el operario no lo tiene claro, o bien nosotros mismos desde el anteojo tampoco, podemos pedir que mueva la mira de adelante hacia atrás, observando la medida en los hilos del retículo, sabiendo que la posición vertical es la que nos da una lectura de mira menor en el caso de visuales horizontales. Para ayudar a esta tarea existen niveles esféricos que se pueden acoplar a la mira, e incluso existen miras con estos niveles incorporados.

221


La medición de los ángulos verticales que conlleva la posibilidad anteriormente descrita, y por tanto la obtención de la distancia reducida, se realiza con un anteojo estadimétrico instalado sobre un teodolito, es decir un taquímetro, que es el aparato que nos proporciona esta posibilidad: medición de ángulos y distancias de forma indirecta. Es conveniente colimar la mira de forma lo más horizontal posible, para minimizar el error, y como hemos visto se anotarán las lecturas de los tres hilos: axial y extremos, debiendo efectuar la siguiente comprobación. Llamemos (a) a la lectura de hilo superior del retículo, (b) a la inferior y (c) a la del hilo axial, y se deberá verificar:

a+b =c 2 De no cumplirse esta relación, tenemos un error en la posición de la mira, en la colimación o en la posición de estación del aparato, etc. Comprobemos esta relación en la lectura de la Figura 7.10:

1,275 + 1,465 a+b = 1,37 ⇒ =c 2 2 Para eliminar errores sistemáticos se utiliza, a la hora de tomar lecturas la denominada Regla de Bessel.

222


7.3. Regla de Bessel. Con objeto de eliminar errores sistemáticos de ajuste del aparato en la medición de indirecta de distancias y aumentar la precisión, se usa la denominada regla de Bessel. La regla de Bessel consiste en visar dos veces cada punto, una vez en posición normal del anteojo, y la segunda vez, dando una vuelta de campana al anteojo y dando medio giro (200g) a la alidada, obteniendo dos lecturas de cada punto, angulares y de distancia. La posición de la primera lectura, es decir cuando las lecturas en el eclímetro crecen a medida que el anteojo se aleja de la vertical, se denomina círculo directo (C.D.) , y en la segunda, cuando los ángulos verticales decrecen, círculo inverso (C.I.) Los valores definitivos angulares se obtendrán: en los valores acimutales, como promedio de las dos lecturas, una vez deducido de la segunda en valor de (200g); en los valores angulares cenitales se tomara como buena la primera lectura, una vez corregido el posible error del eclímetro, sabiendo que las lecturas Las distancias reducidas, se miden en las dos posiciones, aunque se suele anotar en la libreta sólo la primera, sirviendo la segunda como comprobación in situ de la observación. También se pueden anotar las dos, promediando los valores obtenidos como medición definitiva. Con la regla de Bessel, además se eliminan otros errores sistemáticos como son el de excentricidad del anteojo en los teodolitos excéntricos, los de excentricidad de la alidada y desviación de índices, así como el de irregularidad del movimiento del tubo ocular.

223


7.4. Métodos de medición de ángulos y orientación de instrumentos. Los instrumentos que miden ángulos se denominan, en general, goniómetros, aunque los goniómetros que se usan en topografía están incluidos en los aparatos topográficos, siendo los ángulos que se miden horizontales o verticales. Fundamentalmente, los ángulos, verticales y horizontales, se miden en de acuerdo con los elementos del instrumento de medición que usemos. En primer lugar los instrumentos más básicos tienen, o quizás sea mejor decir, tenían un limbo graduado que giraba sobre un índice o fiel fijo, apreciando las unidades de la escala menor marcada en el limbo. Un avance consiste en la introducción de un nonius angular, en el siglo XVI, así, en todos los aparatos históricos nos encontramos un nonius angular también llamado vernier, ya que esta aportación se debe al cosmógrafo, astrónomo y matemático portugués Pedro Nunes (1492-1577), como el de la Figura 7.11, que aumenta la precisión de la lectura, y cuyo principio es mismo que para el nonius lineal que ya hemos estudiado. En los instrumentos más modernos, la lectura sobre el nonius se nos muestra a través del visor de un microscopio, puesto que la precisión de las divisiones del limbo y del nonius supera el límite de percepción visual, y tal como se ve en la Figura 7.12, nos ofrecen una imagen muy precisa y clara de la lectura. En los aparatos actuales, los limbos carecen de graduación, ya que índice lector o nonius se ha sustituido por un sistema de sensores electrónicos que transforman la lectura en dígitos que se muestran en una pantalla precisa. En la Figura 7.13 se muestra un teodolito de lectura digital, y este es el mismo principio de las estaciones totales. Este sistema además de posibilitar una lectura fácil, cómoda y rápida, elimina muchos errores sistemáticos y de lectura. El sistema de cifrado digital de ángulos además, gracias a los sistemas que integran los aparatos modernos, ofrece la lectura en grados centesimales o sexagesimales, combinando asimismo algunos cálculos y almacenamiento de datos.

224


Figura 7.11: Nonius de lectura angular o vernier.

Figura 7.12: Lecturas de los ángulos horizontales y verticales a través de un visor de un teodolito. Izquierda: 147º05’ H, 88º25’V; y derecha 190º46’10’’ H.

225


Figura 7.13.: Teodolito con lectura pantalla de lectura digital. Se dice que un instrumento está orientado cuando, una vez puesto en estación, su círculo azimutal se ha colocado de forma que la lectura horizontal (cero) corresponde a la dirección del Norte Geográfico. Cuando las lecturas horizontales se desarrollan, es decir, crecen en el sentido de las agujas del reloj, las lecturas que se obtienen en el círculo horizontal al realizar observaciones con un instrumento orientado son acimutes, ya que corresponden a ángulos horizontales que tienen su origen en el Norte Geográfico, y crecen en sentido horario. La medición de ángulos verticales se usa fundamentalmente para calcular desniveles y distancias reducidas, la medición de ángulos horizontales para medir alineaciones o coordenadas, es decir, para situar los puntos en el plano. Para la aplicación de los métodos topográficos, en la mayor parte de los casos, es importante conocer los azimutes topográficos de las alineaciones estudiadas, con objeto de poder referencialas a un sistema general de coordenadas, la forma más directa de hacerlo es orientar el instrumento en cada estación. Para orientar un instrumento (taquímetro, estación total, etc.) hay que manipular su círculo horizontal hasta conseguir que la lectura (cero) corresponda a la dirección Norte, para ello es necesario conocer el azimut de una dirección que pase por el punto de estación del instrumento. 226

Métodos de medición N

θCD

P

0 L AP

300

A

100

200

Figura 7.14: Orientación de un instrumento. Sea (A) un punto de estación y (AP) una dirección de azimut conocido (θAP), para orientar el instrumento se seguirán los siguientes pasos: 1º) 2º) 3º)

Estacionar el instrumento Mover la alidada, con el movimiento particular hasta que el limbo acimutal señale el ángulo (θAP) Hacer visual en (P) utilizando el movimiento general del instrumento

Así habremos conseguido que la lectura (cero) corresponda el Norte, quedando el instrumento orientado, tal como se esquematiza en la Figura 7.14. Una vez orientado un instrumento en una estación, para realizar observaciones desde ella, sólo deberemos emplear el movimiento particular de la alidada, ya que si si usase el movimiento general, se movería el círculo horizontal, destruyendo la orientación. Cuando un instrumento se ha estacionado sin orientar, la línea (0–200) de su círculo horizontal ocupa una posición cualquiera, formando con la dirección Norte un cierto ángulo horizontal (δ) 227


que se denomina desorientación de la vuelta de horizonte en la estación, o simplemente desorientación. N N 0

0

δA

δA

0

B

30

L AB

θAB A A 20

0

10

0

Figura 7.15 La desorientación de un instrumento en una estación se puede determinar si se conoce previamente el azimut de una dirección que pase por la estación. Conocido éste, para obtener la desorientación bastará con visar dicha dirección y restar al valor del azimut conocido la lectura horizontal obtenida en la visual. Si (θAB) es el azimut conocido de la dirección (AB), y (LBA) la lectura horizontal obtenida al colimar al punto (B) desde (A), la desorientación de la vuelta de horizonte en dicha estación valdrá:

δ A = θ AB − L AB Asimismo, conociendo la desorientación en una estación, es posible transformar en acimutes las lecturas horizontales obtenidas en la toma de datos realizada desde dicha estación. Para ello, no hay más que sumarla a las lecturas la desorientación de la vuelta de horizonte de la estación correspondiente.

228

Métodos de medición N 0

δA L AC C

θAC A

Figura 7.16 En efecto, si (LAC) es la lectura azimutal obtenida al visar desde (A) un tercer punto (C), al azimut de la dirección (AC) de acuerdo con la Figura 2.1.10, viene dado por la expresión:

θ AC = LAC + δ A

229


7.5. Errores instrumentales. Existen indudablemente errores sistemáticos por culpa del desajuste de los instrumentos, aunque los que no podemos, como sabemos, eliminar son los accidentales, que aparecen tanto en la medición de distancias como de ángulos. Establecemos aquí una serie de valores conocidos de forma empírica, para los errores accidentales que se cometen con más frecuencia, que son el denominado error de dirección y el denominado error de medición angular. El error de dirección (ed) se produce cuando se centra el aparato para fijar la alineación en el punto que se busca, centrado que lógicamente nunca será exacto. Si consideramos con error de dirección máximo (ee) en el punto de estación y (ep) en el punto de colimación, (L) la distancia entre los dos puntos, además de (r’’) los segundos de un radián, el valor máximo de este error se obtiene mediante la expresión:

ed ≤

ed + e p L

⋅ r''

El error de medición angular se produce como consecuencia de la aproximación con la que operan los elementos de medición y cifrado de ángulos que integran los aparatos topográficos. Para calcular este error (eα) necesitamos conocer la precisión (P) que figura en las la ficha técnica del aparato, debiendo ser:

eα ≤ 2,5 ⋅ P Partiendo de los valores anteriores podemos establecer el valor máximo del error accidental total que pueda afectar a las medidas angulares horizontales realizadas con un determinado instrumento y que denominamos error angular total (eT), mediante la igualdad:

eT = ed2 + eα2

230

8. LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS

Aquellos que buscan las leyes de la naturaleza como apoyo para su trabajo están colaborando con el creador. (Antonio Gaudí)

8.1. De los levantamientos topográficos. Entre las tareas topográficas más comunes como son el replanteo, el deslinde o el amojonamiento está el levantamiento. Se denomina levantamiento al conjunto de operaciones necesarias para representar un terreno, un edificio, una parte de éste o ambos. Se denomina levantamiento topográfico al conjunto de operaciones necesarias para representar un terreno con los elementos esenciales al fin previsto que en él existan por medios topográficos, y que se referirán a la planimetría, cuando traten de situar los puntos en un plano horizontal, altimetría cuando trate de situar los puntos en altura, y taquimetría cuanto se combinen ambas operaciones. Se denomina estación a cada uno de los puntos en los que se coloca el instrumento topográfico, y es referencia para medir ángulos o distancias. Un levantamiento se debe hacer con la precisión que se requiera, ya que un ligero bosquejo o un croquis, constituyen en sí mismos un levantamiento, pero un levantamiento destinado a confeccionar un plano destinado a formar parte de un proyecto arquitectónico se debe ejecutar con el detalle y precisión suficientes.

231


Así pues, como ya hemos visto, podemos clasificar los levantamientos en regulares e irregulares. En los levantamientos regulares se utilizan instrumentos precisos, en mayor o menor escala, con métodos científicos y posibilitando la representación del terreno con precisión, o al menos con una precisión aceptable, siendo esta una suma entre la pericia del que lo ejecuta y de la precisión o adecuación de los instrumentos utilizados, aunque, generalmente se supone que tienen más influencia los instrumentos con los que se cuenta. En los levantamientos irregulares se usan instrumentos más básicos o elementales, o en algunos casos ningún instrumento, siendo los métodos menos científicos o más intuitivos como puede ser una medida de distancias por conteo de pasos y un croquis a mano alzada. En los levantamientos irregulares, los errores son grandes, y no se puede establecer una corrección sistemática o metódica de ellos, y, al contrario que en los levantamientos regulares, e éstos influye notablemente la habilidad o los conocimientos del autor. Los levantamientos regulares se clasifican, asimismo en de precisión y expeditos. En los levantamientos de precisión he utilizan tanto métodos como instrumentos perfectamente apropiados para la escala a la que se ha de dibujar el plano resultante, con el fin de que los errores, que como sabemos son inevitables, no tengan reflejo en el plano al ser menores que el límite de percepción visual. El los levantamiento expeditos, sin embargo, los errores pueden llegar a tener repercusión en el plano, pero en un grado tal que su influencia no alcance a llegar a hacer irrealizables las obras que sobre ellos o basadas en ellos, se proyecten. Los métodos de la topografía expedita son similares a los de la topografía ordinaria, y la única diferencia que los separa es que en aquellos existe una mayor libertad a la hora de prescindir de cierto rigor en los cálculos y toma de datos. Estos levantamientos son útiles para primeros estudios, para trazados generales, y en general para todas aquellas tareas para los que únicamente se requiera tener una idea aproximada del terreno. Sin embargo, la topografía propiamente dicha sólo se ocupa de los levantamientos de precisión, que de alguna manera se pueden 232

Levantamientos topográficos

llegar a convertir en expeditos, no pudiendo considerarse nunca dentro del campo de la topografía los levantamientos irregulares.

233


8.2. Clases de Levantamientos topográficos. De acuerdo con la finalidad de los trabajos topográficos existen varios tipos de levantamientos, que aunque aplican los mismos principios, cada uno de ellos tiene procedimientos específicos para facilitar el cumplimiento de las exigencias y requerimientos propios. Entre los levantamientos más corrientemente utilizados están los siguientes: • • • • • •

Levantamientos de tipo general Levantamientos longitudinales de vías de comunicación Levantamientos de minas Levantamientos hidrográficos Levantamientos catastrales y urbanos Levantamientos específicos

Los levantamientos de tipo general (lotes y parcelas) tienen por objeto marcar o localizar linderos, medianías o límites de propiedades, medir y dividir superficies, ubicar terrenos en planos generales ligando con levantamientos anteriores o proyectar obras y construcciones. Las principales operaciones son: •

•

•

• • • • • 234

Definición de itinerario y medición de poligonales por los linderos existentes para hallar su longitud y orientación o dirección. Replanteo de linderos desaparecidos partiendo de datos anteriores sobre longitud y orientación valiéndose de toda la información posible y disponible. División de fincas en parcelas de forma y características determinadas, operación que se conoce con el nombre de particiones. Amojonamiento de linderos para garantizar su posición y permanencia. Referencia de mojones, ligados posicionalmente a señales permanentes en el terreno. Cálculo de áreas, distancias y direcciones, que es en esencia los resultados de los trabajos de agrimensura. Representación gráfica del levantamiento mediante la confección o dibujo de planos. Soporte de las actas de los deslindes practicados.


Los levantamientos longitudinales o de vías de comunicación son aquellos levantamientos que sirven para estudiar y construir vías de transporte o comunicaciones como carreteras, vías férreas, canales, líneas de transmisión, acueductos, etc. Las operaciones son las siguientes: •

•

•

•

• • •

•

•

Levantamiento topográfico de la franja donde va a quedar emplazada la obra tanto en planta como en elevación (planimetría y altimetría simultáneas). Diseño en planta del eje de la vía según las especificaciones de diseño geométrico dadas para el tipo de obra. Localización del eje de la obra diseñado mediante la colocación de estacas a cortos intervalos de unas a otras, generalmente a distancias fijas de 5, 10 o 20 metros. Nivelación del eje estacado o asbscisado, mediante itinerarios de nivelación para determinar el perfil del terreno a lo largo del eje diseñado y localizado. Dibujo del perfil y anotación de las pendientes longitudinales Determinación de secciones o perfiles transversales de la obra y la ubicación de los puntos de chaflanes respectivos. Cálculo de volúmenes (cubicación) y programación de las labores de explanación o de movimientos de tierras (diagramas de masas), para la optimización de cortes y rellenos hasta alcanzar la línea de subrasante de la vía. Trazado y localización de las obras respecto al eje, tales como puentes, desagües, alcantarillas, drenajes, filtros, muros de contención, etc. Localización y señalamiento de los derechos de vía ó zonas legales de paso a lo largo del eje de la obra.

Los levantamientos de minas tienen por objeto fijar y controlar la posición de los trabajos subterráneos requeridos para la explotación de minas de materiales minerales y relacionarlos con las obras superficiales. Las operaciones corresponden a las siguientes: •

Determinación en la superficie del terreno de los límites legales de la concesión y amojonamiento de los mismos. 235


•

• •

• •

Levantamiento topográfico completo del terreno ocupado por la concesión y la confección del plano o dibujo topográfico correspondiente. Localización en la superficie de los pozos, excavaciones, perforaciones para las exploraciones, las vías férreas, las plantas de trituración de agregados y minerales y demás detalles característicos de estas explotaciones. Levantamientos subterráneos necesarios para la localización de todas las galerías o túneles de la misma. Dibujo de los planos de las partes componentes de la explotación, donde figuren las galerías, tanto en sección longitudinal como transversal. Dibujo del plano geológico, donde se indiquen las formaciones rocosas y accidentes geológicos. Cubicación de tierras y minerales extraídos de la excavación en la mina.

Los levantamientos hidrográficos se refieren a los trabajos necesarios para la obtención de los planos de masas de aguas, líneas de litorales o costeras, relieve del fondo de lagos y ríos, ya sea para fines de navegación, para embalses, toma y conducción de aguas, cuantificación de recursos hídricos, etc. Las operaciones generales son las siguientes: • • •

•

• •

236

Levantamiento topográfico de las orillas que limitan las masas o corrientes de agua. Batimetría mediante sondas ecográficas para determinar la profundidad del agua y la naturaleza del fondo. Localización en planta de los puntos de sondeos batimétricos mediante observaciones de ángulos y distancias. Dibujo del plano correspondiente, en el que figuren las orillas, las presas, las profundidades y todos los detalles que se estimen necesarios. Observación de las mareas o de los cambios del nivel de las aguas en lagos y ríos. Medición de la intensidad de las corrientes o aforos de caudales o gastos (volumen de agua que pasa por un punto determinado de la corriente por unidad de tiempo).


Los levantamientos catastrales y urbanos son los levantamientos que se hacen en ciudades, zonas urbanas y municipios para fijar linderos o estudiar las zonas urbanas con el objeto de tener el plano que servirá de base para la planeación, estudios y diseños de ensanches, ampliaciones, reformas y proyecto de vías urbanas y de los servicios públicos, (redes de acueducto, alcantarillado, teléfonos, electricidad, etc.). Un plano de población es un levantamiento donde se hacen las mediciones de las manzanas, redes viales, identificando claramente las áreas públicas (vías, parques, zonas de reserva, etc.) de las áreas privadas (edificaciones y solares), tomando la mayor cantidad de detalles tanto de la configuración horizontal como vertical del terreno. Estos planos son de gran utilidad especialmente para proyectos y mejoras y reformas en las grandes ciudades. Este trabajo debe ser hecho con extrema precisión y se basa en puntos de posición conocida, fijados previamente con procedimientos geodésicos y que se toman como señales permanentes de referencia. Igualmente se debe complementar la red de puntos de referencia, materializando nuevos puntos de posición conocida, tanto en planta en función de sus coordenadas, como en elevación, altitud o cota. Los levantamientos catastrales comprenden los trabajos necesarios para levantar planos de propiedades y definir los linderos y áreas de las fincas campestres, cultivos, edificaciones, así como toda clase de predios con espacios cubiertos y libres, con fines principalmente fiscales, especialmente para la determinación de avalúos y para el cobro de impuesto predial. Las operaciones que integran este trabajo son las siguientes: • • •

• •

Establecimiento de una red de puntos de apoyo, tanto en planimetría como en altimetría. Relleno de esta red con tantos puntos como sea necesario para poder confeccionar un plano bien detallado. Referenciación de cierto número de puntos especiales, tales como esquinas de calles, con marcas adecuadas referido a un sistema único de coordenadas rectangulares. Confección de un plano de la población bien detallado con la localización y dimensiones de cada casa. Preparación de un plano o mapa mural. 237


Dibujo de uno o varios planos donde se pueda apreciar la red de distribución de los diferentes servicios que van por el subsuelo (tuberías, alcantarillados, cables telefónicos, etc.).

Los levantamientos específicos, son aquellos que tienen un destino concreto, como puede ser la elaboración de un plano topográfico detallado, con todos los elementos necesarios que interesan a un proyecto concreto, como puede ser un proyecto arquitectónico o de ingeniería. En el caso de un proyecto arquitectónico estos levantamientos tendrán en cuenta que el plano topográfico habrá que reflejar: • • • • • •

238

Definición del terreno Viales con todos los detalles que contengan Líneas de abastecimiento, arquetas, pozos y registros. Postes de instalaciones o de cualquier otro tipo. Todos los elementos que existan en el terreno, naturales o artificiales. Referencias y bases de replanteo, estaciones del levantamiento.


8.3. Trabajos de campo y gabinete. Tanto para efectuar levantamientos topográficos como para cualquier otra operación topográfica, el trabajo se divide en dos partes: de campo y de gabinete. Llamamos trabajo de campo a todas aquellas operaciones que se realizan sobre el terreno, o en la obra, y trabajo de gabinete el que se realizamos en la oficina. En los levantamientos topográficos existirá un trabajo de gabinete previo al trabajo de campo, como preparación a éste, un trabajo de campo y un trabajo posterior de gabinete. El trabajo previo de gabinete consiste en el estudio de la documentación disponible, la preparación de la que aquellos documentos que debamos llevarnos, anotaciones, etc. El trabajo de campo es el trabajo de levantamiento propiamente dicho, y es el que lleva consigo toda la toma de información necesaria para el levantamiento y el posterior vertido en el plano topográfico. En el trabajo previo de gabinete, debemos no sólo preparar toda la información necesaria para el trabajo campo, sino planificar éste, ya que, nuestra oficina no tiene porqué estar junto al terreno a levantar, de hecho, es habitual viajar un buen puñado de kilómetros para hacer un levantamiento, por tanto, es conveniente no sólo preparar bien los datos, como decimos, sino planificar este trabajo, teniendo en cuenta que: •

•

•

El terreno, la obra o la zona en la que efectuamos el trabajo de campo supone un desplazamiento, y a menos que se divida en más de una jornada de trabajo este desplazamiento debe ser único. Una vez comenzado los trabajos de campo, normalmente estaremos alejados de puntos de abastecimiento, nuestro archivo, material de escritura, teléfonos, ordenadores, etc., por tanto debemos procurar todo esto en el desplazamiento, así como todo el equipo básico de topografía. En los trabajos de campo normalmente nos ayudaremos de asistentes, y esto obliga a aquilatar el tiempo de estas labores, por el costo añadido que supone la mano de obra auxiliar.

239


Así pues, por todas estas razones, el trabajo de campo debe ser perfectamente planificado, y, aunque salgamos a tomar una pequeña medición, siempre debemos pensar que el equipo básico de trabajo topográfico debe se completo, aun no tengamos previsto usarlo todo. Así pues, antes de salir a efectuar el trabajo de campo debemos tener en cuenta los útiles y herramientas que deben componer nuestro equipo, además de todos aquellos instrumentos que nos puedan ser específicamente necesarios o bien sean de nuestro uso habitual. He aquí un listado, no exhaustivo pero muy representativo de los elementos que no debemos olvidar. • • • • • • • • • • • • •

Taquímetro o estación total, con trípode, mira o prisma Nivel topográfico, con trípode y mira. Cinta métrica Un juego de jalones (al menos tres) Estacas, clavos y martillo Herramientas tales como hacha, azuela o similar para aligerar la maleza. Rotulador para exteriores y pintura (spray) Brújula Libretas para toma de datos (taquímetricas, de nivelación, etc.) Material de escritura y dibujo. Cámara de fotos Toda la documentación relativa al trabajo a realizar que hayamos preparado Agua para beber, botiquín y teléfonos de urgencia. Ropa de abrigo, botas e impermeable, prenda de cabeza (sombrero).

Una vez puestos a la tarea en el trabajo de campo, no debemos olvidar que es este un proceso que tiene como objetivo la confección de un plano topográfico, es decir, el subsiguiente trabajo de gabinete, y es por tanto que no debemos limitarnos a tomar los datos estrictamente necesarios para el trabajo, que hayamos previsto ejecutar. Una vez in situ, es muy frecuente que las cosas no sean como las hayamos previsto, que encontremos algún imprevisto o elementos distintos a lo que teníamos pensado, sobre todo cuando nuestra salida es la primera o es la única a realizar. Debemos pensar que es mejor la sobreabundancia de información que la carencia de esta, ya que, una vez en nuestra mesa de trabajo, el dato que nos falte, o que 240


pensemos que es erróneo no tenemos otra forma de comprobarlo que con una nueva salida, que a veces hay que realizar, con urgencia sólo por un dato que falta, una equivocación, etc. Es por esto que debemos ser concienzudos y rigurosos en el trabajo de campo, ayudando a la normal toma de datos como son lecturas de taquímetro, coordenadas etc., todos aquellas anotaciones que pueden servir de ayuda para referenciar los elementos importantes en el plano topográfico, es por esto que es recomendable tomar fotografías o la elaboración e croquis. Normalmente se entiende por croquis un diseño ligero de un terreno y de los elementos que en el existen, hecho sin gran precisión y sin ayuda de instrumentos geométricos, es decir, a mano alzada y apreciando las medidas a sentimiento. Es decir, un croquis va desde un pequeño bosquejo al margen de una libreta de anotaciones, hasta un plano topográfico sin precisión, pero con todos los datos, hecho en el propio terreno. Para elaborar los croquis podemos ayudarnos de cuantos elementos tengamos a mano, y, aunque, por definición digamos que el croquis es un dibujo a mano alzada, disciplina que debemos conocer e incluso dominar, si entre nuestro equipo hemos procurado algunos elementos de dibujo, como son plantillas, compás, etc., no debemos desdeñar su uso. Cualquier información rigurosa que contenga un croquis será de gran ayuda en la oficina, así, para nosotros, un croquis será un elemento tan completo como queramos ejecutado con todos los elementos que nos sean de utilidad, así pues, incluso, si estimamos que vamos a elaborar un croquis de forma muy meticulosa, podemos llevar éste preparado desde la oficina, dejando los espacios pertinentes para la inclusión de los datos de campo, incluso previendo éstos.

241


8.4. Confección Coordenadas.

del

plano.

Orientaciones.

Los planos son la representación gráfica y exhaustiva de todos los elementos que plantea un proyecto, constituyendo la geometría plana de las obras proyectadas de forma que las defina completamente en sus tres dimensiones. Los planos muestran cotas, dimensiones lineales superficiales y volumétricas de todas construcciones y acciones que comportan los trabajos los desarrollados por el proyectista, asimismo tienen la importancia de definir las obras que ha de desarrollar el constructor, siendo uno de los documentos del proyecto arquitectónico más utilizado a pie de obra, teniendo entre otros, carácter contractual, con lo que se deriva de este punto. En cuanto a base para la elaboración de un proyecto, un plano topográfico tiene en sí mismo, y en cuanto a los demás planos que de él se deriven, la misma importancia. Además de contener la información necesaria al objeto para el que se redacta así como poseer la precisión que corresponde, un plano topográfico debe reunir una serie de requisitos. Los planos topográficos pueden ser de dos tipos ya sean planimétricos o altimétricos, los planos planimétricos representa los elementos situados en el plano de proyección, y los planos altimétricos representan el relieve del terreno, en forma de curvas de nivel. En cualquier caso, una norma general es orientar los planos dentro del sistema de coordenadas cartesianas, de forma ortogonal a la hoja de papel en la que se va a editar, con el norte geográfico en la dirección del eje de ordenadas. El sistema de coordenadas estará referenciado a la proyección UTM preferentemente, y en cualquier caso un plano topográfico siempre tendrá una referencia. Es importante que toda la información contenida en el plano esté reflejada con claridad, así se indicará la equidistancia de las curvas de nivel, todas las notas y rótulos necesarios para identificar los elementos que incluya, y si es necesario una leyenda explicativa con los signos convencionales. 242


Los planos deben normalizarse de acuerdo con las normas UNE huyendo de los formatos grandes y poco manejables. Los planos se confeccionan teniendo en cuenta la normalización relativa al efecto. El formato de menor tamaño utilizado es el A4 UNE 1011, los formatos superiores a él se doblan según norma UNE 1027, para su correcto encarpetado. Actualmente los planos se realizan digitalmente por medio de programas de diseño asistido por ordenador, aunque cuando se confeccionan, se hacen para editarlos en un formato determinado, asimismo estarán dotados de una carátula informativa en la que se recojan datos tales como: • • • • •

Identificación del proyecto Título del plano Número de orden Escala Elaborado por, revisado por, etc.

También es conveniente incluir una escala gráfica, muy útil en caso en que por alguna copia que reduzca o amplíe el plano, se pierda la escala del plano

243


8.5. Errores en planimetría y altimetría. El sistema acotado de representación, como hemos visto en algún punto anterior, se centra, para no incurrir en errores inadmisibles, en parcelas de terreno relativamente pequeñas, pero la referencia siempre se tiene sobre superficies más extensas, no obstante, cuando se tiene en cuenta la curvatura de la Tierra, siempre se prescinde tanto del aplanamiento como de de las irregularidades del geoide, haciendo los cálculos sobre una superficie esférica considerada en el nivel del mar, tomando como radio de la misma el radio medio, que para España, según el elipsoide de Struve, y a 40º de latitud, es 6.375 m. La influencia de la curvatura la hemos estudiado en algunos casos, como es el de la proyección vertical y la proyección perpendicular al plano de referencia o la diferencia entre distancias medidas a la altura del nivel del mar con respecto a otras, sin embargo, estudiaremos aquí la influencia de esta curvatura en algunas medidas obtenidas por algunos de los métodos de los levantamientos topográficos, como son: • • •

Error en medidas radiales Error perimetral o de límite de los planos y Error superficial.

En geodesia se estudian los triángulos esféricos, y el llamado triángulo de tercer orden, limitado por vértices de tercer orden, se resuelve como un triángulo plano, por tanto, su superficie se considera plana. Supongamos, como el la Figura 8.1, un arco (AB) de círculo máximo de la esfera terrestre, en el que las verticales de sus extremos formen al cortarse un ángulo de 5’, y consideremos el casquete esférico (AB) como la mayor superficie que podemos considerar limitada por vértices de tercer orden. El levantamiento de esta superficie lo consideramos efectuado desde el punto (C) de estación, tomando como plano de comparación el horizontal que pasa por dicho punto. Los puntos (A) y (B) deben proyectarse de forma ortogonal, siendo sus proyecciones a’ y b’, sin embargo sabemos que su proyección se hace respecto a la vertical, en a y b, cometiendo un error por exceso ya estudiado. Sin embargo, para el arco considerado, su longitud la de su 244


tangente y la de la cuerda tienen diferencias realmente insignificantes, siendo (a’b’) 9.271,458 m (ab) 9.271,460 m y (AB) 9.271,459, es decir la diferencia entre ellas es apenas de 1 mm, precisión que supera cualquier rigor en topografía y en cartografía.

C

a a' A

b 'b B

5'

O

Figura 8.1. Sin embargo, para una superficie más extensa, Figura 8.2, en la que suponemos los puntos de estación E1, E2, E3,…, distanciados los 9 km. aproximadamente del ejemplo anterior, y que es el máximo alcance del anteojo topográfico habitualmente usado, lo que hacemos al operar, aun sin darnos cuenta, es proyectar el terrreno, levantando en cada estación sobre el respectivo plano tangente según la dirección de los radios terrestres, sustituyendo el arco (EC) por la línea circunscrita (Eabc), y al prescindir de la esfericidad terrestre cuando elaboramos el plano, es como si hiciésemos girar la recta (b’c) alrededor de (b) hasta que el punto (c) ocupa la posición (c’) en prolongación de (ab), girar después esta dirección alrededor de (a) hasta que (c’) ocupa la posición (c’’), y así sucesivamente, representando el arco (EC) por la recta en el plano (Ec’’), tangente en (E). 245

Topografía en Obras de Arquitectura c''

b'

c'

b a

B

E1

A

E2 c C

E

D O

Figura 8.2. Ya hemos visto que el arco de 5’ y su tangente son prácticamente iguales, y como además, las distancias (EE1), (E1E2),… entre cada dos estaciones son siempre considerablemente menores al caso extremo de 9 km, podemos concluir rigurosamente, que el radio (Ec’’) de levantamiento no es sino el arco (EC) rectificado, sin que por ello se cometa error en cuanto a su longitud, aplicando exclusivamente métodos topográficos. La conclusión de este razonamiento es que cuando un levantamiento se refiere a una línea, como puede ser un vial, carretera, ferrocarril, etc., no se comete error alguno al prescindir 246


de la esfericidad terrestre, no teniendo limitación alguna los métodos topográficos en cuando a la longitud de un levantamiento. El levantamiento de una línea se conoce como plano itinerario. Con relación a la Figura 8.2, si consideramos el perímetro de la zona o casquete esférico de polo (E), cuya base es la circunferencia de radio (DC), se representará esta en el plano por una circunferencia de radio (Ec’’), siendo el error relativo que se comete:

2πEc' '−2πDC Ec' ' = −1 DC 2πDC como sabemos que (Ec’’) es el arco (EC) rectificado, tendremos como expresión del valor del error relativo perimetral:

ep =

EC −1 DC

Podremos pues aplicar los métodos topográficos en relación a la precisión que se necesite, mientras podamos considerar igual a la unidad la relación entre el arco terrestre y su cuerda, correspondientes a la amplitud de la zona, no siendo posible redactar un plano topográfico por encima de este límite, teniendo que recurrir a métodos geodésicos, que quedan fuera de nuestra disciplina. Para estudiar el error superficial, tomemos la superficie del casquete del ejemplo anterior, que viene dada por la expresión:

π EC

2

y la de su transformada en el plano por:

π Ec' '

2

247


el error relativo que se comete en el cálculo de área será:

ep =

Ec' ' DC

2 2

−1

El límite de los planos, en relación con la superficie será más amplio que en el caso anterior, ya que vendrá determinado por la zona en la que pueda considerarse igual a la unidad el cuadrado de la relación de la mitad de su arco y su cuerda correspondiente. Estudiaremos a continuación la influencia de la esfericidad terrestre en la altimetría, ya que en planimetría podemos prescindir de ella, para lo cual cambiaremos el concepto de proyección acotada, sólo aplicable como hemos visto a superficies muy pequeñas. B A

c

b'' b b'

h

C c'

a

N

α

O

Figura 8.3. 248


Si designamos por (A) el punto central de un levantamiento topográfico, podemos calcular las cotas (Bb) y (Cc) de dos puntos visibles desde (A) sobre el plano horizontal (Abc) tomado en este caso como plano de comparación, Figura 8.3. Sin embargo, el cálculo de estas cotas nos puede inducir a error, como ocurre con la del punto (C) que es negativa, interpretando que la cota (A) es más alta, cuando es al revés, ya que la superficie equipolencia que pasa por (A) es la (Ab’) concéntrica a la superficie del nivel medio del mar y el punto (C) se halla por encima de ella. Conviene por tanto, tomar como superficie de comparación no el plano sino una superficie equipotencial , o superficie de nivel, de este modo modificaremos el concepto de curva de nivel, suponiendo éstas engendradas por la intersección del terreno, no con planos paralelos sino con superficies equidistantes, concéntricas a la terrestre. La topografía determina que el desnivel, llamado desnivel aparente, (Bb) y el desnivel verdadero (Bb’) no son el mismo, siendo la diferencia entre ambos el error cometido, y que estará en función del ángulo (α) que forman las verticales en (A) y en (B). El desnivel verdadero será:

Bb' = Bb' '+b' ' b' y

b' ' b' = Ob' '+Ob' por lo que, siendo (R) el radio de la tierra y (h) la altitud del punto (A) sobre el nivel del mar, como superficie de comparación, tendremos que:

Bb' =

Bb R+h = − ( R + h) cos α cos α

si de ambos miembros restamos el error aparente, tendremos el error cometido: 249


e=

1 − cos α ( R + h + Bb) cos α

siendo el menor valor de (e) para valores de (Bb) y (h) iguales a cero, y suponiendo análogamente al razonamiento anterior para la proyección horizontal que (α=5’), obtendríamos para (e) un valor de 6,742 mm, error evidentemente no aceptable, ya que los desniveles deberán apreciarse, en muchos casos con precisión de milímetros. Para (α=10’), ángulo que corresponde a una longitud medida en el terreno de 309 m, en valor de (e) aún resultaría de 7,5 mm, tampoco despreciable en muchos casos, lo que demuestra que el altimetría no podemos prescindir de considerar la curvatura terrestre. Por todo lo expresado anteriormente, en la proyección topográfica ha de modificarse el sistema de planos acotados, tal como hemos estudiado en Geometría Descriptiva en lo que se refiere al plano de comparación, aun cuando en planimetría prescindamos de la esfericidad terrestre. Al estacionar los instrumentos en los puntos elegidos se proyectan todos los levantados desde la estación en el respectivo plano tangente, de este modo, aunque de forma inconsciente, habremos sustituido la superficie terrestre por una superficie poliédrica, circunscrita, y con tantas caras como estaciones hayamos utilizado, superficie ésta que realmente sustituye al plano de comparación. Esta superficie poliédrica o poliedral, en los trabajos de gabinete, se desarrolla en un plano como si girásemos las caras alrededor de las aristas hasta situarse en el plano central, quedando intersticios entre las caras abatidas en el desarrollo, aumentando el área y sobre todo el perímetro, así pues, el límite de los planos vendrá impuesto por la superficie hasta dónde se puedan considerar como nulos o al menos despreciables estos intersticios o espacios vacíos entre caras. En consecuencia, para la altimetría, salvo para distancias muy pequeñas, no podemos prescindir de la esfericidad terrestre, así como de otras circunstancias que también influyen, como puede ser la refracción atmosférica, refiriendo las cotas no a un plano, sino a una superficie de nivel, teniendo en cuenta todas estas 250


circunstancias. La superficie de nivel puede ser la del nivel del mar de referencia considerada como cota cero o cualquier otra, así pues, las curvas de nivel serán las intersecciones de la superficie del terreno con las superficies de nivel. En la práctica, las superficies del ámbito de la arquitectura, serán consideradas suficientemente pequeñas como para no tener que considerar esta circunstancia, aunque, en todo levantamiento altimétrico en el que use más de una estación debemos saber que se produce esta circunstancia, aunque su valor no tendrá obviamente expresión en los planos de arquitectura.

251

9. PLANIMETRÍA

La verdad es más importante que los hechos. (Frank Lloyd Wright)

9.1. Del levantamiento planimétrico. El levantamiento planimétrico es aquel que está destinado a representar una parte del terreno en una superficie plano, utilizando y teniendo en cuenta las coordenadas planas, es decir, X e Y, sin tener en cuenta las cotas o alturas que representa la coordenada Z. Los levantamientos planimétricos se clasifican en elementales y topográficos, así pues serán métodos elementales aquellos que se efectúan sin necesidad de instrumentos topográficos complejos, utilizando solamente métodos de medición directa de distancias, fundamentalmente con cinta métrica y jalones. Los levantamientos topográficos o instrumentales son los que se basan en procedimientos que necesitan el uso de instrumentos topográficos complejos, como es el taquímetro o la estación total. Para referenciar los levantamientos, podemos apoyarnos en la Red Geodésica Nacional, con 11.000 vértices monumentados en el terreno. Existen vértices de primer orden y de segundo orden. Estos vértices están situados en puntos altos, y sirven para tomar referencias en cuanto planimetría, y cuyos datos situación, coordenadas UTM, descripción, accesos, nombre del lugar en el 253


que se ubica y fotografía del monumento se pueden obtener de la página web del IGN. Para el desarrollo de los métodos planimétricos y topográficos en general, manejamos de forma habitual un gran número de conceptos de trigonometría plana, y es por ello que creemos conveniente recordar en este punto algunos teoremas y expresiones trigonométricas. •

Teorema del seno: En un triángulo cuyos de vértices (A), (B) y (C), y lados (a), (b) y (c), siendo el vértice (A) opuesto al lado (a), etc…., se cumple:

a b c = = senA senB senC •

Teorema del coseno: En un triángulo cuyos de vértices (A), (B) y (C), y lados (a), (b) y (c), siendo el vértice (A) opuesto al lado (a), etc…., se cumple:

a 2 = c 2 + b 2 + 2 ⋅ c ⋅ b ⋅ cos A b 2 = a 2 + c 2 + 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B c 2 = a 2 + b 2 + 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C •

Expresiones trigonométricas:

sen( x ± y ) = senx cos y ± cos xseny cos( x ± y ) = cos x cos y ± senxseny x− y x+ y cos 2 2 x− y x+ y sen cos x − cos y = −2sen 2 2 senx − seny = 2sen

254

Planimetría

9.2. Métodos planimétricos elementales. Los métodos planimétricos elementales con procedimientos sencillos, se basan fundamentalmente en el establecimiento sobre el terreno de alineaciones sobre las que se miden distancias por procedimientos directos, usándose sólo para levantamientos de pequeña entidad. Estos procedimientos se basan básicamente en dos métodos: • •

Método de abscisas y ordenadas. Método de descomposición en triángulos.

8 1

2 3

y1

O

y2

x1

alineación

x2

4

y3

y4

x 3x 4

5

y5

7

6

y6

x5 x6

y7 y8

x7 x8

Figura 9.1: Método de abscisas y ordenadas. El método de abscisas y ordenadas es adecuado para levantamientos de elementos lineales, así como plantas de fachadas de edificios u otros paramentos. Se fundamenta en la determinación de la posición de los puntos del terreno, relacionándolos mediante abscisas y ordenadas, sobre uno de los dos ejes que se materializa en una alineación recta marcada o referenciada sobre el terreno. Así pues, el trabajo de campo consiste en establecer una alineación recta en las proximidades del elemento a representar, señalando en ella un punto como origen de abscisas, esta alineación será marcada por nosotros y o bien se tomará de algún elemento lineal que pueda existir sobre el terreno, así esa 255


referencia también servirá como tal en el plano. Sobre este eje se trazarán perpendiculares a los puntos singulares a representar, siendo la longitud de estos segmentos las ordenadas. El levantamiento, se refleja en un croquis como el de la Figura 9.1, siendo también conveniente tomar las distancias entre los puntos singulares, aunque no sean ortogonales, como comprobación. La representación del plano es obvia: sobre un eje se trasladan las abscisas, y mediante perpendiculares las ordenadas, representando los puntos. El trazado de una perpendicular en el terreno, solamente con cinta métrica y sin otra referencia, se materializa mediante la construcción de un triángulo rectángulo sagrado egipcio, que es aquel cuyos lados miden 3, 4 y 5, –u otro semejante– sobre el que la sencilla aplicación del Teórema de Pitágoras demuestra su condición de rectángulo. Como referencia, diremos que este triángulo es mencionado por Plutarco en el Tratado sobre Isis y Osiris, como utilizado por los romanos, siendo una derivación el que menciona el arquitecto y tratadista Eugène-Emmanuel Viollet-le-Duc (1814–1879) de base 8 y altura 5, como elemento director del trazado de algunas catedrales góticas. El método de descomposición en triángulos, se emplea tanto para realizar planos de pequeñas parcelas y solares, como para calcular su superficie, así como levantamientos en interiores de edificios. Para aplicarlo en una superficie como la de la Figura 3.2.2., limitada por la poligonal (ABCDEFGH), se trata de trazar todas las rectas que descompongan la figura en triángulos, de los que se medirán todos sus lados, siendo el trazado del plano tan sencillo como dibujar triángulos semejantes a los reales, cuya razón de semejanza será la escala del plano. El cálculo de la superficie descompuesta es el de la suma de la superficie de los triángulos, con los lados conocidos, de acuerdo con la Fórmula de Herón: el área de un triángulo de lados conocidos (a), (b) y (c) viene determinada por la expresión:

A=

p ( p − a )( p − b)( p − c)

en la que (p) es el semiperímetro del triángulo. 256

Planimetría

A B

C

H

N

G

F E

D

Figura 9.2: Método de descomposición en triángulos Normalmente, no se empleará ninguno de los métodos por separado, sino una combinación de ambos, en cualquier caso siempre debemos tener en cuenta cuando efectuemos los trabajos de campo y gabinete de un levantamiento: • •

•

•

No dar nada por supuesto: sólo debemos representar en el plano aquello que sea fruto de una medición de campo. Limitar al máximo el encadenamiento de operaciones: un punto estará tanto mejor definido cuanto menor sea el número de operaciones encadenadas que hayan sido necesarias para su determinación. No acumular medidas parciales para obtener una total: varias medidas sobre la misma línea do deben ser nunca medidas parcialmente, siempre se deben tomar desde un origen. Tomar siempre medidas de control: nunca deben tomarse sólo los datos geométricamente necesarios, es conveniente tomar medidas redundantes que nos servirán de comprobación y control de las básicas, pueden triangularse medidas en el método de abscisas y ordenadas y pueden hacerse más triángulos que los necesarios en el método de descomposición: en la Figura 9.2. bastaría para el levantamiento los triángulos 257


•

258

marcados con línea de trazos, pero, como comprobación se han tomado también los datos de las líneas de puntos. Establecer límites máximos para las alineaciones y perpendiculares: longitudes excesivas hacen inadmisible los levantamientos por métodos elementales ya que ocasionan errores por encima de la tolerancia.

Planimetría

9.3. Radiación: descripción del método. El método de radiación se fundamenta en el sistema polar de referencia, y consiste en determinar la posición relacionándolos con otro de posición previamente conocida, mediante dos parámetros: ángulo horizontal y distancia reducida. El método es adecuado para el levantamiento de planos de superficies de pequeña extensión, así como de los elementos de detalle de todo tipo de planos. El procedimiento consiste en estacionar el aparato en un punto de de coordenadas conocidas, desde el que se vean todos los que componen el levantamiento, y que denominan destacados, y, realizando las correspondientes punterías a cada uno de los puntos, se toman los ángulos horizontales y los datos para calcular las distancias reducidas de la estación a cada uno de lso puntos destacados. La toma de datos se podrá hacer con el instrumento orientado, con lo cual efectuaremos una radiación orientada, o sin orientar, dejando el círculo azimutal en una posición aleatoria, efectuando una radiación no orientada. Para aplicar el método de radiación de debe tener en cuenta que, en principio, no existe comprobación, y una equivocación al tomar los datos de un punto destacado puede pasar totalmente desapercibida, dando lugar a un plano erróneo. Así pues, es aconsejable tomar datos de comprobación, y mejor aún, tomar todos los puntos destacados desde dos estaciones.

259


9.4. Método de radiación: trabajo de campo. El levantamiento se debe comenzar con la elaboración de uno o varios croquis que, en función de las escala para el plano que se pretende redactar, reflejen fielmente los elementos cuya representación gráfica será necesaria, y puedan, lógicamente representar. Estudiando el croquis se elegirán los puntos a levantar, que se marcarán a medida que se tomen sus datos, conociendo así los puntos leídos en todo momento, y para comprobar que se ha hecho todo el trabajo. En el croquis se incluirán los topónimos y elementos significativos del terreno levantado. La elección de los puntos destacados es especialmente importante, para lo cual se descompondrán los elementos a representar en segmentos rectos y curvos, definiendo los segmentos rectos por sus puntos extremos y los curvos por puntos consecutivos de tal forma que no tenga representación la flecha del segmento que los une y el lado curvo correspondiente, para lo cual, como sabemos, deberá ser menor que el límite de percepción visual multiplicado por el factor de escala del plano a redactar. La toma de datos se realizará simultáneamente con la elección de los puntos, a medida de que se vayan eligiendo éstos, numerándolos en el croquis consecutivamente, recogiendo los datos en una libreta o estadillo como el de la Figura 9.3, en el que, a modo de ejemplo hemos incluido los datos de un punto (P) cuyos datos han sido tomados desde una estación (A), utilizando, como se desprende de la doble lectura angular, la regla de Bessel.

ESTACIÓN

A

i

Puntos observados

P

LECTURA DE HILOS Extremos

1,34

g

Axial

1,92

1,63

Figura 9.3: Toma de datos.

260

d

LECTURA DE CÍRCULOS Azimutal

Vertical

84,264

75,129

284,262

324,851

Planimetría

Los datos que se tomarán de cada punto serán, si se trabaja con taquímetro: • •

Lectura de los tres hilos del retículo Lecturas de eclímetro y círculo azimutal

y si se trabaja con estación total: • •

Distancia reducida Lectura del ángulo horizontal.

La primera visual la dirigiremos a un punto fijo y que sea fácilmente identificable y lejano, que se tomará como referencia de partida, anotando sólo la lectura del circulo horizontal, siguiendo con los datos completos del resto de puntos. El punto de referencia inicial también lo volveremos a visar como cierre de la toma de datos, comprobando la lectura del círculo horizontal con la primera anotación, lo que nos servirá para comprobar que el aparato no se ha movido durante la toma de datos, y por tanto esta es válida. Si utilizamos la regla de Bessel, tomaremos una serie de lecturas con el instrumento en posición directa y una segunda serie con el instrumento en posición invertida.

261


9.5. Método de radiación: trabajo de gabinete. El trabajo de gabinete consiste en trazar el plano, para ello debemos empezar por calcular las coordenadas (x, y) de los puntos destacados, así como las distancias reducidas (d) correspondientes. N Y

xP

d

0

yP

θ

X'

300

P

Est.

100

X

200

Y'

Figura 9.4: Radiación orientada. Para el cálculo de coordenadas debemos establecer convencionalmente un sistema de coordenadas, cuyo origen es el punto de estación. Si hemos efectuado una radiación orientada, el sistema cartesiano quedará orientado al Norte Geográfico, Figura 9.4, y las coordenadas rectangulares (x, y) de los puntos destacados, se obtendrán mediante las expresiones:

x = d ⋅ senθ y = d ⋅ cosθ En una radiación no orientada, también podemos aplicar estas mismas fórmulas, si se conoce la desorientación de la estación, 262

Planimetría

pudiendo por tanto calcular los azimutes de las alineaciones de cada punto. P

xP

yP

d

Y

0

LH 100

300 X'

X

Est.

200

Y'

Figura 9.5: Radiación no orientada. Para el caso de radiaciones sin orientar, sin conocimiento posible de la desorientación, el eje del sistema cartesiano en que representemos el levantamiento quedará arbitrariamente situado, siendo el eje de ordenadas la dirección del cero del instrumento cuando comenzamos la alineación, Figura 9.5, siendo las formulas para calcular las coordenadas las siguientes, en las que (LH) es la lectura horizontal del instrumento:

x = d ⋅ senLH y = d ⋅ cos LH La única desventaja que tienen las radiaciones no orientadas es que no podemos referencialas con un plano general, o con otros levantamientos de la misma zona.

263


Ahora bien, estas coordenadas están referidas a un sistema cartesiano centrado en el punto de estación, así, las denominamos coordenadas particulares, o coordenadas relativas. En un levantamiento existirán tantos sistemas de coordenadas particulares como estaciones contenga. Es por tanto, que todas las coordenadas habrán de ser referidas a otro sistema general, teniendo cada punto unas nuevas coordenadas, denominadas coordenadas generales, o coordenadas absolutas. Para obtener las coordenadas absolutas a partir de las coordenadas particulares se deben cumplir las siguientes condiciones: •

•

Las coordenadas particulares han de ser calculadas a partir de los acimutes de las visuales, ya que los ejes de los sistemas deben ser paralelos. Las coordenadas absolutas de los puntos de estación deben ser conocidas. Y y

x E-P

YP

θ

YE O

d

P y E-P x

Est. XE

XP

X

Figura 9.6: Coordenadas particulares y coordenadas absolutas.

264

Planimetría

Así pues, bastará sumar algebraicamente las coordenadas absolutas de la estación a las coordenadas particulares de cada punto para obtener sus coordenadas absolutas:

X P = xE − P + X E YP = yE − P + YE Para el cálculo de las distancias reducidas partiremos de las lecturas de los hilos del retículo. La diferencia entre los hilos extremos nos dará (l), lectura de la mira interceptada, la lectura del hilo central nos servirá para comprobar la acertada apreciación de la lectura de hilos extremos, cuya diferencia de lecturas será igual con cada uno de ellos. Así pues, obtendremos el número generador (g) de la distancia multiplicando (l) por la constante estadimétrica del aparato (K), que suele tener un valor de 100:

g = K ⋅ l = 100 ⋅ l y mediante la expresión:

d = g ⋅ sen 2 LV en la que (LV) es la lectura del círculo vertical en cada punto. Veamos la aplicación de este cálculo al ejemplo anterior, cuya solución numérica se representa en la Figura 9.7, siendo los datos en cursiva los tomados en el trabajo de campo y los consignados en negrita los calculados en gabinete. En primer lugar obtenemos el número generador (g):

g = (1,92 − 1,34) ⋅ 100 = 58,00 En segundo lugar, y puesto que hemos utilizado la regla de Bessel, obtendremos las lecturas medias angulares. El valor de la lectura azimutal será: 265


(284,262 g − 200 g ) + 84,264 g = 84,263 g 2

LH =

y el valor de la lectura vertical:

LV =

(400 g − 324,851g ) + 75,129 g = 75,139 g 2

así pues la distancia reducida (d) será:

d = 58,00 ⋅ sen 2 75,139 g = 49,60m

ESTACIÓN

A

i

Puntos observados

P

LECTURA DE HILOS Extremos

1,34

g

d

Axial

1,92

1,63

58,00 49,60

LECTURA DE CÍRCULOS Azimutal

Vertical

84,264 284,262 84,263

75,129 324,851 75,139

Figura 9.7: Ejemplo de cálculo de distancia reducida. Para el cálculo de las coordenadas particulares utilizaremos las expresiones indicadas en este capítulo, siendo sus valores:

x = d ⋅ senθ = 49,60 ⋅ sen84,263g = 48,09m y = d ⋅ cos θ = 49,60 ⋅ cos 84,263g = 12,14m

266

Planimetría

9.6. Itinerario: descripción del método. En el método de radiación estudiado anteriormente hemos visto que podemos utilizar más de una estación, y en ese caso habrá que referenciar ambas a un sistema general, pero en el caso de que tengamos que utilizar varias estaciones, por imposibilidad de visualizar todos los puntos desde un mismo punto, sobre todo porque estén distribuidos en un recorrido lineal, aunque puede ser debido a otra causa, utilizaremos el método del itinerario. El método del itinerario, también llamado de poligonación consiste en determinar la posición de una serie de puntos distribuidos a lo largo de un recorrido, en función del azimut y la distancia reducida de cada uno de ellos con su inmediatamente anterior y su inmediatamente siguiente, partiendo de, al menos, uno de posición conocida, y es especialmente indicado para establecer los trazados de viales o canalizaciones, así como para levantamientos perimetrales de edificios o urbanizaciones. Esta sucesión encadenada se denomina itinerario. Los puntos levantados de un itinerario se denominan estaciones, los segmentos que unen cada estación se denominan tramos o ejes del itinerario, y el conjunto de todos los tramos se denomina poligonal. El método consiste en, comenzando en un punto de estación de posición conocida, tomar una dirección de referencia que se denomina referencia de salida (RS), destacando por radiación el siguiente punto, que será la segunda estación y sobre este se estaciona de nuevo el instrumento, tomando los datos de la primera estación y destacando la tercera, y así sucesivamente hasta el último punto de estación, desde el cual se toman los datos de la penúltima y la orientación de otra referencia, denominada referencia de cierre (RC). Los itinerarios se clasifican en: •

•

Itinerarios cerrados: son aquellos en los que la primera y la última estación coinciden, coincidiendo también las referencias de salida y de cierre. Itinerarios encuadrados: son aquellos en los que la primera y la última estación se sitúan en puntos distintos. Un itinerario encuadrado del que sólo se conoce la 267


posición de la primera estación, se suele denominar colgado. Los itinerarios, en cualquier caso, pueden ser también orientados y no orientados. En los itinerarios orientados, el instrumento se orienta en cada estación, así pues, las lecturas angulares del círculo horizontal de todos los ejes son siempre azimutes topográficos, no siendo así en los itinerarios no orientados. Cuando un itinerario no dispone de referencias externas, se denomina itinerario aislado.

268

Planimetría

9.7. Método del itinerario: trabajo de campo. Para poder efectuar un levantamiento mediante un itinerario orientado es necesario conocer previamente sendas direcciones que pasen por las estaciones inicial y final del mismo. El procedimiento, si el itinerario es encuadrado es el siguiente: • •

•

•

• •

Se estaciona el instrumento en la primera estación del itinerario Se orienta el instrumento, para ello se hace que el círculo horizontal el azimut indique la dirección conocida (RS), luego soltando el tornillo del movimiento general y fijando la alidada se hará puntería en (RS), una vez hecha, se soltará la alidada y se fijará el movimiento general, quedando orientado el instrumento. Se dirigirá la visual al segundo punto de estación, tomando los datos de éste: distancia reducida y lectura horizontal, que por estar orientado el aparato será su azimut. Se trasladará el aparato al segundo punto de estación, y en este caso se orientará sobre la primera estación, para ello recordaremos que el azimut inverso se diferencia en ±200g del azimut. Una vez orientado el aparato se procederá con la tercera estación igual que con la anterior. Se seguirá el procedimiento hasta la última estación, desde la que se tomará el azimut de la referencia de cierre (RC), que deberá ser conocida. Este dato no coincidirá generalmente con el azimut conocido de (RC), denominándose la diferencia entre ambos valores error azimutal de cierre, que corregiremos, si está dentro de la tolerancia establecida, en el trabajo de gabinete.

En el caso de que el itinerario sea cerrado, las direcciones conocidas (RS) y (RC) coinciden, pero salvando esto, el procedimiento es el mismo, aunque además de visar desde la última estación la primera, para finalizar la toma de datos, habrá que volver a hacer estación en la inicial, orientar en la última y cerrar en la referencia.

269


N

10

E (Rc ) 9

N 8

D

N 6

7

N (Rs )

N

C

1

4

5

2

B A

3

Figura 9.8: Secuencia de lecturas en un itinerario orientado. En el caso de un itinerario encuadrado no orientado, seguiremos los siguientes pasos: •

270

Una vez estacionado el instrumento en la primera estación se visa la referencia de salida (RS) tomando su lectura acimutal.

Planimetría •

• • •

A continuación se visará la segunda estación con el movimiento particular de la alidada, tomando datos de ángulos y distancia reducida. Se harán observaciones completas en el resto de estaciones a la anterior y posterior de cada una de ellas. Desde la última estación se tomará la lectura azimutal de la referencia de cierre (RC) Si la primera estación es visible desde la última, se puede tomar una última lectura de datos desde la última estación a la primera como comprobación o referencia interna del itinerario.

Si el itinerario es cerrado, se cerrará igual que en el caso de los itinerarios orientados. En el caso de itinerarios aislados, como última comprobación se vuelve a tomar la lectura de la segunda estación desde la primera, dándolo así por cerrado.

271


9.8. Método del itinerario: trabajo de gabinete. El trabajo de gabinete se centra en la resolución numérica de los itinerarios de acuerdo con los datos de los estadillos de campo, calculando las coordenadas particulares y absolutas, para ello habrá que determinar y corregir el error azimutal de cierre así como los errores de cierre en coordenadas, trabajo que podemos resumir en los siguientes pasos. •

• • • •

Cálculo de los azimutes de los ejes del itinerario, en el caso de itinerarios no orientados, en el caso de itinerarios orientados seguir con el paso siguiente. Cálculo y compensación del error azimutal de cierre. Cálculo de las coordenadas particulares de las estaciones. Cálculo y compensación de los errores de cierre en coordenadas. Cálculo de las coordenadas absolutas del itinerario.

Como hemos dicho, cuando los datos de un levantamiento proceden de un itinerario sin orientar, tanto para calcular el error acimutal de cierre como para el resto de cálculos y resolución numérica del itinerario es necesario conocer los azimutes correspondientes a los tramos del itinerario, para lo cual se procederá a seguir el método denominado corrida de azimutes que consiste en: •

Obtener la desorientación (δA) de la estación inicial, para lo cual se restará del azimut (θAS) de la referencia de salida (RS) su lectura (LAS):

δ A = θ AS − LAS •

Obtener el azimut (θAB) de la primera visual, para lo cual se suma a la desorientación (δA) obtenida la lectura acimutal (LAB), restando 400g, si el resultado es mayor que este valor:

θ AB = δ A + LAB (−400 g ) • 272

Obtener la desorientación del resto de las estaciones, para lo cual se resta del azimut (θBA) de la visual dirigida a la

Planimetría

estación de atrás la lectura acimutal (LBA), obtenida par dicha visual (el azimut de la visual atrás (θBA) es igual al de la anterior visual (θAB) +200g):

θ BA = θ AB + 200 g δ B = θ BA − LBA •

Obtener sucesivamente todos los datos del resto de las (n) estaciones, así como el azimut (θnC) de la referencia de cierre.

El error acimutal de cierre (eC) se obtiene por diferencia entre el azimut (θnC) obtenido de acuerdo con los datos de campo y el azimut (θNC) conocido de antemano, que es uno de los datos de partida del levantamiento:

eC = θ nC − θ NC Lo primero que debemos comprobar es que el error acimutal de cierre (eC) está dentro de los valores aceptables del error máximo admisible o tolerancia, y una vez comprobado, se dará el itinerario por válido, y procederemos a compensarlo, para lo cual, dividiremos el valor de (eC) con signo contrario, por el número (n) de azimutes a corregir, este cociente se sumará a cada azimut multiplicado por el número de orden que el azimut ocupa en el itinerario:

θ 'i = θi + i ⋅

− eC n

Siendo (i) el lugar que ocupa el azimut (θi) en el itinerario teniendo en cuenta el orden del mismo, (n) en número de azimutes que tiene el itinerario y (θ’i) el azimut corregido, así pues la corrección del último azimut, corresponde con el error de cierre acimutal y su valor corregido con el azimut conocido de la orientación, por tanto. Una vez eliminado el error acimutal de cierre, y conocidos los azimutes corregidos o compensados se determinarán las 273


coordenadas particulares (x, y) de cada estación mediante las expresiones:

xi = d ⋅ senθ 'i yi = d ⋅ cos θ 'i Estas coordenadas están referidas a un sistema cartesiano con origen en la estación (i-1) inmediatamente anterior al punto de estación al que pertenecen. Y Yn

n

Yi

yi Y1 O

1

X1

xi

Xi

Xn

X

Figura 9.9: Coordenadas particulares y absolutas de un itinerario.

274

Planimetría

Para calcular en error de cierre en coordenadas, calculamos las coordenadas parciales de todos los puntos, la suma algebraica de todas las coordenadas parciales anteriores nos dará las coordenadas de cada punto con relación a la estación inicial, así coordenadas de la última estación (n) serán: n

xn = ∑ xi i =1 n

yn = ∑ yi i =1

como conocemos las coordenadas absolutas de la estación inicial (X1, Y1) y final (XN, YN), podremos obtener las verdaderas coordenadas parciales (xN, yN) de la estación de cierre:

X N − X 1 = xN YN − Y1 = y N finalmente, la diferencia entre las coordenadas reales (xN, yN) y las obtenidas por el desarrollo del itinerario (xn, yn), nos dará los error de cierre en coordenadas:

e x = x N − xn e y = y N − yn Una vez comprobado que los errores están dentro de lo admisible, se compensarán, sumando o restando el error de cada coordenada, de acuerdo con los siguientes criterios: •

•

En casos de errores pequeños se divide el error de cada coordenada por el número de tramos, y se compensa en cada uno la misma cantidad. En caso de que las distancias se hayan medido con menos precisión que los ángulos, como es el caso del taquímetro y mira, se hará el reparto del error proporcionalmente al valor de cada coordenada.

275


En caso de uniformidad en la precisión de lectura de ángulos y distancias se compensará proporcionalmente a la longitud de los tramos.

Una vez efectuada la corrección de coordenadas se calculan las coordenadas absolutas de cada punto sumando algebraicamente sus valores, y éstos con las coordenadas absolutas de la estación inicial, así, no debe haber problema en la representación gráfica del itinerario, puesto que los datos de las estaciones extremas son conocidos y los de las interiores han sido corregidos.

276

Planimetría

9.9. Métodos de intersección. Otro método topográfico que se encuadra dentro de los métodos planimétricos es el de la intersección, y que básicamente consiste en determinar la posición de puntos desconocidos a partir de puntos de posición conocida, mediante la lectura combinada de los datos angulares. Los diferentes procedimientos que componen los métodos de intersección hacen de esta la técnica topográfica y geodésica más precisa para determinar las coordenadas de un punto. Existen tres tipos de intersección, atendiendo a la metodología de trabajo: •

•

•

Intersección directa: también llamada bisección, consiste en hacer estación en puntos de posición conocida y se visan los puntos desconocidos. Intersección inversa: es aquella que se efectúa haciendo estación en puntos de posición desconocida, estableciendo visuales a puntos de posición conocida. Intersección mixta: es la usada cuando estacionamos indistintamente en puntos conocidos y puntos desconocidos.

Diremos que un punto es de posición conocida cuando conocemos sus coordenadas absolutas (X, Y), y un punto es de posición desconocida cuando no conocemos sus coordenadas absolutas. Asimismo, dependiendo de los datos tomados en el trabajo de campo, independientemente del método que se haya usado, una intersección pueden ser: •

•

Simple: cuando se han tomado en el campo sólo los datos estrictamente necesarios para su resolución numérica, no pudiendo contrastar estos datos y por tanto no se pueden comprobar los posibles errores. Múltiple: cuando se han tomado los datos de forma redundante, es decir, no sólo los necesarios, y de esta forma podremos comprobar si existe error o equivocación en algún dato de campo. 277


9.10. Intersección directa. Consiste, como hemos definido, en determinar las coordenadas absolutas (XP, YP) de un punto (P), a partir de las coordenadas conocidas (XA, YA) y (XB, YB) de otros dos puntos (A) y (B) conocidos, haciendo estación en e ellos y estableciendo visuales a (P) desde ambos, Figura 9.10. Haciendo estación e los puntos (A) y (B) tomamos lecturas horizontales haciendo visuales a cada uno de los dos puntos restantes, así pues conocemos el valor de los ángulos (A) y (B). También podemos conocer la longitud del lado (AB) del triángulo mediante la expresión:

AB = ( X B − X A ) 2 + (YB − YA ) 2 así como la longitud de los lados (AP) y (BP) aplicando el teorema del seno:

AP AB AB = ⇒ AP = senB senB senP senP y teniendo en cuenta que:

P = 200 g − A − B

278

Planimetría

Y YP

P

N N θAP θAB

YA

A

θBP

YB

O

B

XA

XP

X

XB

Figura 9.10: Intersección directa simple. tenemos resuelto el triángulo, procediendo seguidamente a calcular las coordenadas de (P), para lo cual, calcularemos los azimutes de los ángulos medidos, comenzando por calcular el azimut (θAB) del lado conocido; como la alineación (AB) está en el primer cuadrante, respecto de (A), utilizaremos la expresión conocida (5.9. Azimut y orientación):

θ AB = 200 g − arctag

XB − XA YB − YA

a continuación calcularemos los azimutes (θAP) de la alineación (AP) y (θBP) de la alineación (BP). El azimut (θAP) será: 279


θ AP = θ AB − A Y el azimut de (θBP):

θ BP = θ AB + 200 g + B Conocidos los azimutes de éstas alineaciones, podemos calcular las coordenadas particulares (xP, yP) del punto (P), respecto de (A) y de (B), tomando como base estas dos estaciones, sumando a cada una ellas las coordenadas absolutas de las dos estaciones tendremos dos pares de resultados, obtendremos finalmente las coordenadas absolutas definitivas de (P) como promedio de ambos resultados, y así la solución del problema:

X P1 = X A + APsenθ AP

YP1 = YA + AP cos θ AP

X P 2 = X B + BPsenθ BP

YP 2 = YB + BP cos θ AP

X P1 + X P 2 2 YP1 + YP 2 YP = 2

XP =

280

Planimetría

9.11. Intersección inversa: solución de Pothenot. El método de intersección inversa es el que se usa cuando hacemos estación en el punto del que no conocemos sus coordenadas, para ellos necesitamos establecer visuales al menos a tres puntos de datos conocidos, tomando como datos para resolver el problema las lecturas de angulares horizontales desde el punto de estación al resto de puntos, el método que estudiaremos será el método de Pothenot, que es uno de los más utilizados. Sea un punto (P) de coordenadas desconocidas y en el cual hacemos estación, tomando las lecturas de las alineaciones a los puntos (A), (B) y (C), Figura 3.2.11. En primer lugar, con expresiones ya conocidas, calcularemos la longitud de las alineaciones conocidas (AB) y (BC), apoyándonos en sus coordenadas absolutas:

AB = ( X B − X A ) 2 + (YB − YA ) 2 BC = ( X C − X B ) 2 + (YC − YB ) 2 así como los azimutes (θAB), (θBC) y (θCB), y al ángulo (B):

XB − XA YB − YA X − XB = 200 g − arctag C YC − YB

θ AB = arctag θ BC

θCB = θ BC + 200 g B = θ BA − θ BC = θ ab + 200 g − θ BC

281


N

Y

N θAP

YB YA

θBC B

θAB A

B

A

B1

YC

C

α

YP

O

N

θBA

C

θCB

β

P

XA

XP

XB

XC

X

Figura 9.11: Intersección inversa, método de Pothenot. Si aplicamos el Teorema del Seno, obtenemos las siguientes relaciones:

PB AB senA = ⇒ PB = AB senA senα senα PB BC senC = ⇒ PB = BC senC senβ senβ 282

Planimetría

igualando,

AB

senA senC senC ABsenβ = BC ⇒ = =V senα senβ senA BCsenα

[1]

expresión en la que conocemos el valor de (V), puesto que los ángulos (α) y (β) son los que hemos leído desde (P). Por otro lado, del cuadrilátero (ABCP), sabemos que:

A + B + C + α + β = 400 g y si llamamos (W) a la suma (A+C), tenemos:

W = A + C = 400 g − B − α − β expresión por la que podemos determinar el valor de (W), y sustituyendo su valor en la expresión [1]:

V=

senC sen(W − A) = senA senA

desarrollando: V=

senW cos A − cos WsenA cos A senA = senW − cos W = senW cot gA − cos A senA senA senA

⇒

V + cosW V + cosW = cot gA ⇒ A = arc cot g senW senW

Una vez determinado el valor del ángulo (A), podemos calcular el azimut (θAP) de la alineación (AP):

θ AP = θ AB + A así como la distancia (AP), para lo cual aplicaremos el Teorema del Seno al triángulo (ABP): 283


AP AB senB1 = ⇒ AP = AB senB1 senα senα teniendo en cuenta que:

B1 = 200 g − A − α Así pues, conocido el azimut (θAP) y la distancia reducida (θAP), podemos determinar el punto (P) mediante el cálculo de sus coordenadas absolutas:

X P = X A + APsenθ AP YP = YA + AP cosθ AP

A la hora de elegir la alineación cuya posición, mediante el Teorema del Seno, nos proporcione la distancia reducida de un punto conocido al punto desconocido de estación, debemos elegir una cuya distancia sea suficientemente grande, para minimizar errores, asimismo, se pueden determinar las coordenadas mediante dos o más determinaciones de azimut y distancia reducida, ya sea como comprobación, ya sea como cálculos parciales cuyo promedio nos de los cálculos definitivos.

284

10. ALTIMETRÍA

Cuando hayas subido lo suficiente, el edificio te deparará una sorpresa. (Javier Pioz)

10.1. Definición y objeto de la altimetría. La altimetría es la parte de la topografía que engloba todas las operaciones encaminadas a determinar las posiciones de los puntos en la dirección vertical, respecto a un plano de comparación, es decir, a la coordenada Z que no se utiliza en planimetría. En cuando a la medición y determinación de las posiciones de los puntos con respecto a la vertical, en altimetría se manejan tres conceptos: • •

•

Cota: es la distancia entre un punto y una superficie de referencia. Altitud: es la cota cuando la superficie de referencia es el geoide, que en altimetría es la superficie de referencia absoluta. Desnivel: es la distancia entre un punto y la superficie de referencia que pasa por otro, el desnivel entre dos puntos es la diferencia de sus cotas.

Es el objeto de la altimetría, la obtención de los desniveles, o diferencia de cotas entre los puntos de una determinada superficie de terreno, así para determinar una cota desconocida de un punto, es necesario siempre determinar previamente su 285


desnivel con respecto a otro punto de cota conocida: sea (A) un punto de cota conocida (ZA), y un punto (B) cuya cota (ZB) se pretende conocer, Figura 10.1, una vez determinado el desnivel (∆ZAB) entre ambos, podremos conocer la cota de (B) según:

Z B = Z A + ∆Z AB

B ∆ZAB

A

ZB ZA Figura 10.1: Determinación del desnivel.

El conjunto de operaciones que se requieren para determinar topográficamente el desnivel (∆ZAB) se denomina nivelación, atendiendo al tipo de instrumento o método para determinar los desniveles existen los siguientes tipos de nivelación: •

•

•

286

Nivelación geométrica: también denominada nivelación por alturas y se basa la obtención de datos mediante lecturas con aparatos de visual obligada en horizontal a miras situadas verticalmente, es decir, los distintos tipos de niveles topográficos. La nivelación geométrica es de gran precisión, manejando los datos en mm. Nivelación trigonométrica: o nivelación por pendientes, también se realiza con teodolito o taquímetro pero sin mira, y también estación total, se usa habitualmente para medir desniveles a gran distancia Nivelación taquimétrica: se efectúa con aparatos de visual libre y mira: teodolitos o taquímetros, es de menos

Altimetría

•

•

precisión y en general se combina con los métodos de planimetría. Nivelación sin visual: realizada con otros instrumentos sin visual, como niveles de agua u otros, y son métodos que no entran estrictamente dentro del campo de la topografía. Nivelación barométrica: se realiza calculando la diferencia de presión entre los puntos cuyo desnivel se pretende calcular, siendo el menos preciso de todos los sistemas.

De estos métodos, en este capítulo nos ocuparemos de los dos primeros. Asimismo, las nivelaciones, en general se pueden enfocar instalando el aparato equidistante entre los puntos cuyo desnivel se quiere calcular, o en estación en uno de los dos, o bien en puntos exteriores a la alineación que formen, asimismo en cualquiera de los dos casos se puede efectuar la nivelación mediante una sola estación, con lo cual hablaremos de nivelación simple, o utilizando varias estaciones, y así hablaremos de nivelación compuesta. También se pueden clasificar los procedimientos de nivelación en función de su precisión, así podemos hablar de: • • •

nivelación de precisión, la que se ejecuta con un error admisible de ±5mm k nivelación topográfica, con enlaces cada 2 km exigiendo precisiones de ±30mm k nivelación de alta precisión, NAP, donde el error admisible es ±15mm k

Existe en España una red altimétrica, denominada Red Altimétrica Nacional, que toma el nivel cero del geoide de acuerdo con el nivel medio del mar en Alicante, ese punto está referenciado en el primer peldaño de la escalera del Ayuntamiento con la cota de +3407 mm, este punto es el denominado NP-1 (NP=Nivelación Principal). Esta red se encuentra actualmente (enero, 2009) en fase de reobservación por el Instituto Geográfico Nacional. 287


Figura 10.2: Placa de la Red Altimétrica Nacional. Los puntos de la red principal pueden verse en muchos edificios públicos, mediante una placa de bronce, con una línea y una cifra que marca la cota con una precisión de dm., en la base hay un cilindro de latón tapado, colocado con una precisión de mm. Para colocar las señales de bronce, se hizo un itinerario desde Alicante para enlazar el NP-1, con Madrid, en el que situó el NP-26 en el Observatorio Astronómico y cuya altitud es 652,562 m. Esta nivelación se hizo por procedimientos de alta precisión, tales como miras de invar apoyadas en trípodes, equipos muy precisos, distancias de 30 a 40 m., y utilizando siempre el método el punto medio. Así se llegó a que en Santander el mar está 60 cms. más alto que el geoide y en Cádiz 30 cms., por ejemplo.

288

Altimetría

10.2. Error de esfericidad y error de refracción. Considerar la superficie terrestre sobre la que desarrollamos las tareas topográficas es algo que en algunos casos no se puede hacer siempre, como hemos visto. En altimetría, la precisión necesaria nos obliga a considerar algunos errores de curvatura, como son el error de esfericidad y el error de refracción, que estudiaremos a continuación y que influyen en las apreciaciones de los datos y en las tareas altimétricas, de forma que hay que corregirlos, cuando las nivelaciones se extiende en distancias de una d A determinada magnitud, que también B estudiaremos. El error de esfericidad es el que se produce por la razón obvia de que las visuales que se establecen en nivelación son líneas rectas, siendo curva la superficie de la tierra, y cuya curvatura, a efectos de estos cálculos, volveremos a considerar esférica.

M

E

ZV

ZA

R

En efecto, si, tal como muestra la Figura 10.3., estacionamos un instrumento en (E), estableciendo una visual hacia una mira situada en (M), la O lectura que nos muestra el aparato es (A), sin Figura 10.3. embargo, la verdadera lectura que deberíamos obtener es, obviamente (B), la diferencia entre altura de mira en (A) y la altura de mira en (B), se denomina error de esfericidad (eE), procediendo aquí a 289


determinar su valor, que será siempre positivo, para corregirlo cuando corresponda. Así pues, denominando (ZA) o desnivel aparente al determinado por la altura de mira (AM) y (ZV) o desnivel real al determinado por la lectura de mira teórica (BM) el segmento (AB) será el equivalente al error de esfericidad (eE), cumpliéndose:

ZV = Z A − eE

[1]

Considerando que el radio (R) de la tierra es (OM), la distancia entre los puntos estudiados es (d), tenemos que la potencia (W) del punto (A) con respecto de la circunferencia que define un plano vertical en la alineación estudiada es:

W = ( R + eE ) 2 − R 2 cumpliéndose también, geométricamente, que la potencia de un punto respecto a una circunferencia es igual al valor del segmento determinado por una tangente a la circunferencia que pase por dicho punto, entre éste y el punto de tangencia, siendo la visual la tangente y (d) el citado segmento, tenemos que:

W = d2 igualando:

d 2 = ( R + eE ) 2 − R 2 ⇒ d 2 = R 2 + e 2 E + 2 R ⋅ eE − R 2 ⇒ d 2 = e 2 E + 2 R ⋅ eE ⇒ eE =

d2 eE + 2 R

[2]

teniendo en cuenta que:

eE <<< R podemos escribir [1] de la siguiente forma:

eE = 290

d2 2R

Altimetría

expresión que determina el valor del error de esfericidad. Puesto que el valor de error de esfericidad La corrección del valor de esfericidad (eE) es siempre positivo, su corrección se hará restando su valor, tal como se indica en [1], de esta forma podríamos calcular el verdadero desnivel entre los dos puntos estudiados, a no ser por el error de refracción. El segundo error a tener en cuenta es la refracción del rayo óptico por la variación de la densidad de la atmósfera en sus distintas capas, ya que las capas más densas son las más próximas a la tierra y por tanto la refracción de las visuales hace que su trayectoria se desvíe de la línea recta, formando una trayectoria que se puede considerar circular en la práctica, curvándose hacia abajo, y dando lugar a una lectura de mira menor de la que debería ser, si esto no sucediese.

d

A B

E R'

M

Figura 10.4 De acuerdo con la Figura 10.4., una visual desde el punto (E) hacia el punto (M) en el que se coloca la mira, debería interceptar a la misma en el punto (A), pero debido al efecto de refracción lo hace en el punto (B), la diferencia es el denominado error de refracción (eR), que de acuerdo con la expresión anterior, en cuanto al cálculo del desnivel entre ambos puntos, se debe sumar al desnivel aparente (ZA) calculado a partir de la lectura de mira, para obtener el desnivel real (ZV): 291


ZV = Z A + eR Para determinar el valor del error de refracción atmosférico (eR), basándonos en el mismo principio geométrico que hemos desarrollado para el error de esfericidad, y siendo el radio de curvatura de refracción (R’), tendremos:

d2 eR = 2 R' la relación que existe entre el radio de curvatura por refracción y el radio medio de la Tierra es la siguiente:

2k =

R R'

siendo (k) el coeficiente de refracción, y cuyo valor medio en España es de 0,08. Así pues, tendremos:

eR =

d2 d2 = ⇒ 2⋅ R 2 R' 2 ⋅ 0,08

eR =

0,08 ⋅ d 2 R

Habitualmente se efectúa una corrección conjunta de los dos errores estudiados, y teniendo en cuenta que sus signos son contrarios tendríamos que la corrección conjunta es:

c=−

d 2 0,08 ⋅ d 2 + ⇒ 2R R 0,42d 2 c=− R

Si calculamos los valores de (c), para diversos valores de (d), vemos, como se refleja en la siguiente tabla, que la corrección de 292

Altimetría

estos dos errores se hace necesaria en distancias mayores de 100 m. Valor de d, en m: Valor de c, en mm:

100 0,66

150 1,48

200 2,64

300 5,93

400 10,55

500 16,48

800 42,19

1000 65,92

293


10.3. Nivelación geométrica. La nivelación geométrica o nivelación por alturas, es el procedimiento altimétrico que consiste en determinar la diferencia de cotas de los puntos observados, mediante la comparación directa de las diferencias de sus alturas medidas en una mira colocada en ellos con el plano de comparación que establece la visual horizontal de un nivel topográfico, instalado normalmente el método del punto medio. La nivelación geométrica puede ser simple o compuesta. La nivelación geométrica simple es la que se efectúa instalando el nivel en un punto situado entre otros dos cuyo desnivel se quiere determinar. Para llevar a cabo el procedimiento podemos usar los siguientes métodos: •

•

•

•

Método del punto medio: el aparato se estaciona en un punto equidistante entre los dos cuyo desnivel se desea conocer, estableciéndose lecturas de miras en ambos puntos. Método del punto extremo: para calcular el desnivel entre dos puntos, el aparato se estaciona en un punto y la mira en otro. Método de estaciones equidistantes: el aparato se sitúa entre los puntos cuyos desniveles deseamos conocer, haciendo dos estaciones en puntos cuyas distancias al primero y al segundo son iguales. Método de estaciones exteriores: el nivel se sitúa en dos estaciones exteriores a la alineación de los puntos cuyo desnivel se desea conocer.

Para calcular un desnivel por el método del punto medio, el punto en el que se instala el aparato debe ser equidistante entre los puntos cuyo desnivel se desea conocer, para minimizar el error de horizontalidad (e) del eje de colimación del nivel, Figura 10.5, y efectuando a cabo los siguientes pasos: • •

294

Se coloca el nivel como se ha dicho en un punto equidistante entre los puntos (A) y (B). Se coloca una mira de nivelación en el punto (A) en posición vertical.

Altimetría •

•

•

• •

Se hace visual en la mira, efectuando la colimación de forma que el eje vertical del retículo coincida con el eje vertical de la mira. Si el nivel es de línea se cala la burbuja de coincidencia mediante su tornillo nivelante, si no lo es se pasa al paso siguiente. Se toman las lecturas de los tres hilos del retículo, siendo necesaria estrictamente la central, pero considerando las de los hilos extremos como lecturas de comprobación. Si el nivel es de línea se comprueba nuevamente que el nivel principal está calado. Se sitúa la mira en el punto (B) y se repite el proceso.

e

e

LA LB

ZAB A

B Figura 10.5: Método del punto medio. El desnivel (ZAB) entre los puntos (A) y (B) se obtiene de la diferencia de lecturas de los hilos axiales entre (A) y (B):

Z AB = LA − LB A la lectura que se obtiene en primer lugar, en este caso (LA) se le denomina lectura de espaldas, y a la obtenida en segundo lugar (LB) lectura de frente, así pues, se suele decir que la obtención del desnivel entre dos puntos mediante la nivelación geométrica 295


simple se obtiene por diferencia entre la lectura de espaldas y lectura de frente:

Z = Lespaldas − L frente teniendo en cuenta que el desnivel que se obtiene es el de punto del frente con respecto al punto de espaldas. Asimismo, no es necesario que la situación del nivel esté en un punto que pertenezca a la alineación entre los puntos visados, pudiendo estar fuera de ella, aunque es obvio que si la distancia entre ambos puntos es muy grande, deberemos situarnos al menos cerca de la alineación para atenuar los errores de horizontalidad. La equidistancia entre los dos puntos visados de la estación es fundamental, ya que en ese caso el error de horizontalidad (e) es el mismo, no siendo necesario compensarlo. También se establece una distancia máxima entre los puntos de unos ochenta metros, para conservar la precisión necesaria en los cálculos. Para tomar los datos de campo de las nivelaciones geométrica se suelen usar las libretas de nivelación, las cuales contienen estadillos como los que se representan en la Figura 10.6. Puntos

VISUALES DE ESPALDAS Lectura de hilos Central Extremos

Media

Puntos

VISUALES DE FRENTE Lectura de hilos Central Extremos

Media

Desnivel Parcial (∆z)

Figura 10.6: Estadillo de nivelación. En el método del punto extremo, Figura 10.7., para calcular el desnivel entre los puntos (A) y (B), se estaciona el nivel en uno de los puntos, en este caso en el (A) y la mira en otro (B), restando de la altura del instrumento (i) la lectura (LB):

Z AB = i − LB

296

Altimetría

e LB

i B

ZAB

A

Figura 10.7: Método del punto extremo. La precisión de este método es considerablemente menor que con el anterior descrito, ya que la altura del instrumento (i) se mide con cinta, y la influencia del error de horizontalidad (e) no se compensa, debiendo al menos si se usa este método compensar los errores de esfericidad y refracción en visuales largas. Tiene la ventaja sin embargo de la sencillez y de la posibilidad de establecer un gran número de visuales a puntos que estén alrededor del que usamos para instalar el nivel, denominándose en este caso la operación nivelación radial. El método de estaciones equidistantes se aplica cuando se instala dos veces el nivel en sendos puntos interiores a la alineación de los puntos a visar, Figura 10.8.

297


f

e

e

f'

e

L'A f'

LA

A

LB p

f

e

A

LB p'

B

B

Figura 10.8: Método de estaciones equidistantes. Se coloca el nivel en el punto (p) haciendo las lecturas de miras (LA) y (LB), tras esto se estaciona el nivel en (p’), punto que dista de (B) la misma distancia que (p) de (A), obteniendose las lecturas (L’A) y (L’B), aplicando los errores cometidos en ambos casos, que debido al error de horizontalidad (e) serán (f) y (f’) en el primer caso y los mismos valores pero en los puntos contrarios en el segundo, tendremos:

Z p AB = ( LA − f ) − ( LB − f ' ) Z p ' AB = ( L' A − f ' ) − ( L'B − f ) calculando el desnivel (ZAB) como promedio de ambos valores:

Z AB =

( LA − LB ) + ( L' A − L'B ) 2

Por este procedimiento, además de compensarse los errores de horizontalidad, también se eliminan los de esfericidad y refracción, aunque la corta distancia que normalmente es necesaria en la mira más cercana, limita la distancia del tramo nivelado. En el método de estaciones exteriores es el equivalente al anterior descrito, aunque en este caso los puntos en los que estacionamos el nivel son exteriores a la alineación de los puntos a nivelar, y es un método habitualmente utilizado cuando entre los dos puntos 298

Altimetría

existen obstáculos a salvar, tales como canales, ríos, cercados, accidentes del terreno o cualquier otro obstáculo, Figura 10.9. Este método, no necesita la equidistancia a los puntos medidos, compensa el error de horizontalidad, pero no elimina la influencia de esfericidad y refracción, y resuelve el cálculo del desnivel (ZAB) entre los puntos (A) y (B) de forma análoga al método anterior, tal como se desprende de la figura.

e

f' f' L'A

f

e

p

LA A

f

LB p'

B

Figura 10.9.: Método de estaciones exteriores. Los métodos de nivelación geométrica simple descritos hasta ahora, suponen una limitación en cuanto a los desniveles a medir así como en cuanto a las distancias entre los puntos, sin embargo se pueden medir desniveles que superen estos límites encadenando dos o más nivelaciones simples de forma sucesiva, lo que se denomina nivelación geométrica compuesta. Este método, no sólo se puede usar para determinar desniveles de puntos que superen los límites de la mira, así como la distancia establecida para las distancias, asimismo puede ser aconsejable, cuando aún dentro de estos límites, queramos acortar los tramos de nivelación, atenuando así los errores.

299


El método que encadena una o más niveladas simples se denomina nivelación compuesta, Figura 10.10, y el procedimiento operativo es el que se describe a continuación. Para calcular el desnivel (ZAE) entre dos puntos (A) y (E), se comienza por colocar el nivel en un punto arbitrario (p1), a una distancia de no más de 40 metros de (A), si la pendiente del terreno lo permite, ya que estamos limitados por los 4 metros de la mira, y se anotarán las visual al punto (A), primera posición de la mira, siendo esta una visual de espaldas; manteniendo el nivel en el mismo punto, se instalará la mira en un punto arbitrario (B), elegido de forma que la distancia con el nivel sea equidistante con la que había entre (A) y (p1), se colocará la mira y se tomará la correspondiente lectura, que será de frente. A continuación se colocará en nivel en siguiente punto (p2), de acuerdo con lo ya explicado y el portamiras girará la mira para que se pueda tomar otra lectura de espaldas, y así se continuará hasta hacer la última lectura de frente en (E). Es importante que cuando la mira se gire para ofrecer su cara graduada a un nuevo punto de estación del nivel, no se levante del suelo en el movimiento, normalmente se suelen usar puntos firmes en el terreno ya que el giro en un terreno arenoso, embarrado, etc., podría hacer cambiar la altura de la mira, esto, además del mantenimiento de la verticalidad de la mira es algo que los operarios que lleven a cabo estas labores deben hacer con la máxima fiabilidad.

LE

L'D L'C L'B

C B

A

p1

D

LC

LB

L'A

p2

Z BC

E

LD

p3

Z CD

p4

Z DE

Z AE

Z AB

Figura 10.10: Nivelación compuesta. Así pues, una vez terminado el trabajo de campo, procederemos a calcular al desnivel (ZAE) entre los puntos deseados, respondiendo este a la expresión: 300

Altimetría

Z AE = Z AB + Z BC + Z CD + Z DE siendo cada desnivel parcial, la diferencia entre la lectura de espaldas y de frente:

Z ii +1 = Li ( espaldas ) − Li +1( frente ) así pues el desnivel será: D

E

A

B

Z AE = ∑ espaldas − ∑ frente generalizando, para cualquier recorrido: n −1

n

1

n +1

Z1N = ∑ espaldas − ∑ frente o simplemente, ya que no se toman visuales de espaldas en el último punto, ni de frente en el primero:

Z1N = ∑ espaldas − ∑ frente El conjunto de esta operación supone un itinerario de nivelación geométrica. En cualquier itinerario, normalmente existen puntos cuya cota se pretende conocer, que denominamos puntos de cota, y otros que sólo nos sirven para poder encadenar dos niveladas, estos son los denominados puntos de paso. Para poder comprobar y compensar los cálculos que se obtienen mediante los datos de campo, es necesario que, al igual que en los itinerarios planimétricos, el itinerario altimétrico se cerrado o encuadrado, siendo los conceptos idénticos a los explicados en planimetría, y en cualquier caso la compensación de los errores será la diferencia entre los desniveles conocidos en los itinerarios encuadrados y con el valor cero que tiene el desnivel de los itinerarios cerrados. En topografía, los itinerarios altimétricos se suelen hacer cerrados o encuadrados. 301


Los errores calculados de acuerdo con lo expresado anteriormente, deberán ser inferiores a una cierta tolerancia para proceder a su compensación, ya que si no lo son, no deberemos dar el itinerario por válido. El valor de la tolerancia o error máximo admisible se suele fijar en función de la longitud total de itinerario, que muy a menudo suelen ser de varios kilómetros, así pues, para los errores de verticalidad de la mira y de horizontalidad del nivel, se suele admitir en la práctica un valor de:

emáx = 70mm L Siendo (L) la longitud total del itinerario en kilómetros, de ahí que los errores en nivelación se suelen llamar errores kilométricos. La corrección del error se puede hacer atendiendo a dos criterios: proporcionalmente a la longitud de los tramos o proporcionalmente a los desniveles, siendo la práctica más recomendable la de la compensación en los desniveles.

302

Altimetría

10.4. Nivelación trigonométrica. La nivelación trigonométrica, también conocida como nivelación por pendientes, nivelación geodésica o nivelación topográfica, es la que obtiene los desniveles por métodos indirectos, de acuerdo con el cálculo de distancias y ángulos verticales, mediante la utilización de un taquímetro o estación total. La nivelación trigonométrica es de menor precisión que la geométrica, y se efectúa en la mayor parte de los casos de acuerdo con el método del punto extremo, pudiendo las visuales tener cualquier pendiente.

V l α

LB

d i B

Z AB

A Figura 10.11.: Nivelación trigonométrica El procedimiento para medir el desnivel (ZAB) entre dos puntos (A) y (B) consiste estacionar en taquímetro en (A) y establecer una visual cualquiera en una mira en (B), obteniendo la lectura de altura de mira (LB) y la lectura angular de altura de horizonte (α), así el desnivel (ZAB) responderá a:

Z AB = i + l − LB

303


Expresión en la que (i) es la altura del instrumento, que se medirá con cinta desde el eje horizontal del aparato o eje de muñones, (LB) es la lectura de mira en el hilo axial del retículo, y (l), o diferencial de altura, se puede obtener, mediante la expresión:

l = d ⋅ tgα teniendo en cuenta que (d) es la distancia reducida. El signo del diferencial de altura (l) podrá ser positivo o negativo según la visual sea ascendente o descendente. Cuando el instrumento empleado nos ofrezca la medición de ángulos verticales de forma cenital (V), no es necesario calcular la distancia reducida como paso previo para calcular el valor de (l), ya que puede calcularse, con el generador (g), mediante la expresión:

l = g ⋅ senV ⋅ cosV En cuanto al cálculo si se ha utilizado una estación total, se procede de igual forma, sustituyendo la mira por el bastón con el prisma, debiendo tomar los siguientes datos: la altura del instrumento (i), de igual forma que en caso del taquímetro; la altura (hp) del prisma, que se obtiene de la escala graduada del bastón portaprismas que indica la distancia del centro de éste al suelo, y el diferencial de altura (l), que se obtiene directamente en la pantalla, señalando en el cateto vertical del icono, de acuerdo con estos datos, el desnivel será:

Z AB = i + l − hp

304

Altimetría

C

B

A

D

E

Figura 10.12.: Nivelación trigonométrica por estaciones recíprocas. De la misma forma que en el caso de la nivelación geométrica, usaremos el encadenamiento de niveladas parciales cuando los puntos a nivelar no estén dentro de los límites de una nivelación simple, calculando desniveles parciales en puntos intermedios, y haciendo uso en ese caso de nivelación compuesta. La nivelación compuesta en el caso de la nivelación trigonométrica se puede efectuar, básicamente, mediante dos procedimientos, el método de estaciones recíprocas y el método de estaciones alternas. En el método de estaciones recíprocas el instrumento se estaciona en cada uno de los extremos de los tramos del itinerario, calculando los desniveles respectivos, tal como se muestra en la Figura 10.12, (ZAB), (ZBA), (ZBC), (ZCB), (ZCD), (ZDC), (ZDE) y (ZED), teniendo en cada tramo un par de datos opuestos, pudiendo calcular el desnivel entre (A) y (E) dos veces, calculando el resultado como el promedio de ambos, al mismo tiempo que la diferencia nos da idea del error cometido, además de contrastarlo con el desnivel conocido de las estaciones inicial y final, una vez calculadas las altitudes y por tanto calculado el error de cierre altimétrico. En el método de las estaciones alternas, el instrumento se coloca en puntos (p1), (p2),…, equidistantes de los puntos extremos (A), (B),…, de los tramos de nivelación, tomando lecturas de las miras situadas en dichos extremos, Figura 10.13. De acuerdo con este 305


sistema, los desniveles parciales que se calcularán serán, (ZA1), (Z1B), (ZB2),… (Z4E). Este método es más rápido que el de estaciones recíprocas, pero sólo se miden los desniveles una vez, así pues no tendremos la posibilidad de comparar los daros, así pues, sólo se usará en trabajos que no requieran una gran precisión.

E D C

A

p1

B

p4

p3

p2

Figura 10.13.: Nivelación trigonométrica por estaciones alternas.

306

Altimetría

10.5. Nivelación barométrica. Aun considerándose un método expedito, por la poca precisión del mismo, la nivelación barométrica es un método de nivelación que puede ser utilizado para grandes desniveles y en determinadas circunstancias. Cuando sorbemos un refresco a través de una pajita, la fuerza de succión produce un vacío, pero en realidad, lo que hace que el refresco ascienda es el peso que ejerce el aire que está por encima de nuestra cabeza, esto lo demostró en 1641, el físico italiano Evangelista Torricelli (1608-1647), mediante un tubo de mercurio, descubriendo el principio de la presión atmosférica mediante una columna de mercurio, que el francés Blaise Pascal (1623-1662), en 1647 aplicó en diferentes altitudes, demostrando que los valores de altitud y presión atmosférica eran inversamente proporcionales, así pues podemos conocer la altitud de un punto si conocemos la presión atmosférica en éste, y el desnivel entre dos puntos, mediante la diferencia de las presiones de ambos, para este cálculo se emplea el barómetro. Existen diversos tipos de barómetros, el más preciso es el barómetro de Fortin, de mercurio, basado en el principio de Torricelli, y consta de un tubo que se introduce en el mercurio contenido en una cubeta de vidrio en forma tubular, provista de una base de piel de gamo cuya forma puede ser modificada por medio de un tornillo que se apoya en su centro y que, oportunamente girado, lleva el nivel del mercurio del cilindro a rozar la punta de un pequeño cono de marfil. Así se mantiene un nivel fijo. El barómetro está totalmente recubierto de latón, salvo dos ranuras verticales junto al tubo que permiten ver el nivel de mercurio. En la ranura frontal hay una graduación en milímetros y un nonius para la lectura de décimas de milímetros. En la posterior hay un pequeño espejo para facilitar la visibilidad del nivel. Al barómetro va unido un termómetro. Este barómetro es el más preciso que existe, pero su transporte es un poco incómodo, así pues se diseñaron los barómetros aneroides y holostéricos, el primero está formado por un tubo de sección elíptica doblado en forma de aro, en el que se ha obtenido una alta rarefacción. El tubo doblado queda fijo en un punto y la extremidad de los semicírculos así obtenidos es móvil. Con el aumento de la presión 307


atmosférica, el tubo tiende a cerrarse; en el caso contrario tiende a abrirse. La extremidad de los semicírculos está unida a los extremos de una barrita que gira sobre su centro; ésta, a través de un juego de engranajes y palancas, hace mover un índice. El barómetro metálico holostérico está formado por un recipiente aplanado, de superficies onduladas en el que se ha logrado una intensa rarefacción antes de cerrarlo; en una de las caras se apoya un resorte que, con las variaciones de presión atmosférica, hace mover un índice por medio de un juego de palancas. En cualquier caso, no solamente influyen para la medición de la presión atmosférica las diferencias de altitud, sino que existen otros factores como la temperatura, el grado de humedad y otros, que hacen que el cálculo no sea tan sencillo, de hecho hay multitud de fórmulas empíricas para compatibilizar estos parámetros. El procedimiento para efectuar una nivelación barométrica contempla dos posibilidades, observaciones simultáneas y observaciones sucesivas, evitando en ambos casos las perturbaciones atmosféricas entre cada medición. Para el primer método se necesitan dos barómetros, observándose las medidas de presión y temperatura al mismo tiempo en dos estaciones. Si sólo tenemos un barómetro se hacen las mediciones a lo largo de un itinerario, procurando hacerlas en un intervalo breve de tiempo, para que se considere despreciable la variación de los factores atmosféricos. La presión atmosférica se mide en diferentes unidades, su definición es la fuerza por unidad de superficie que ejerce un fluido sobre dicha unidad de superficie, y se mide en atmósferas de presión (atm), que a su vez equivale a 101.325 pascales (Pa), o 760 mm mercurio (mmHg). Para tener un orden de magnitud, pensemos que la presión atmosférica, a nivel del mar tiene un valor de: 1 atm=101.325 Pa=760 mmHg, siendo su variación aproximada, por cada 11 m de desnivel de: 1,3*10-3 atm=133Pa=1mmHg. Puesto que la variación de la presión atmosférica muestra una disminución exponencial a medida que aumenta la altitud, la conversión de presión en altitud no es una cuestión sencilla, existiendo ábacos y tablas que reflejan estos datos, así como diferentes fórmulas empíricas, más o menos complejas que posibilitan este calculo. Facilitamos aquí dos de las fórmulas conocidas y de mayor uso, la primera de ellas con inclusión de las 308

Altimetría

temperaturas (TA) y (TB) en los puntos medidos, y la media de altitud (φ), siendo las medidas de presión (PA) y (PB):

P ⎡ 2(TA + TB ) ⎤ Z AB = 18400 ⋅ (1 + 0,00264 ⋅ cos 2ϕ ) ⎢1 + lg10 A ⎥ PB 1000 ⎦ ⎣

1013.3 PA = 1013,3 1 + 0,095 ⋅ ln PB 8430,153 ⋅ ln

Z AB

Al igual que en las nivelaciones topográficas, para calcular el error de un itinerario barométrico, se deberá partir de un punto de altitud conocida y terminar en otro también de altitud conocida o en el inicial, compensando el error a lo largo del itinerario de forma proporcional a las altitudes parciales. Para hacernos una idea de la precisión del método, recordaremos que 1 mm de mercurio significa, a nivel del mar, un desnivel de 11 m, así pues, las precisiones que se estiman de acuerdo con los distintos tipos de barómetros son de 0,05 mm en el barómetro de mercurio, lo que significa 0,5 m de desnivel, y 0,3 mm en los barómetros aneroides, lo que supone 3 m. de desnivel. En nivelaciones con observaciones simultáneas, se considera que la precisión que se obtiene es, para un barómetro de mercurio, 2m+0,004*Z, y para barómetros aneroides, 4m+0,005*Z. Siendo las precisiones menores en el método de observaciones sucesivas.

309

11. TAQUIMETRÍA

Menos es más. (Ludwig Mies van der Rohe)

11.1. Fundamento de la taquimetría. La taquimetría es la disciplina topográfica que comprende todos los procesos destinados a determinar simultáneamente la situación de los puntos en el terreno tanto proyección en un plano horizontal, lo que vendrá reflejado en las coordenadas (X, Y), así como su distancia a un plano horizontal de comparación, lo que determinará su coordenada (Z), refiriendo estas coordenadas a un sistema espacial cuyo eje (YY’) tenga la dirección Norte-Sur, y el eje (ZZ’) la vertical, Figura 11.1. La taquimetría, combina los procedimientos de planimetría y altimetría, y es la base de la elaboración de los planos de configuración del terreno mediante las curvas de nivel, o bien la representación de puntos en un sistema de planos acotados. Los instrumentos que se usan en taquimetría son el taquímetro y la estación total.

311


Z

l

α

d

B X AB

θAB

i

Y AB A

X

Figura 11.1: Fundamento de la taquimetría.

312

m

Z AB

Y (N)

Taquimetría

11.2. Coordenadas y fórmulas fundamentales. Los procesos se resumen en operaciones encaminadas a obtener las coordenadas (XB, YB, ZB) de un punto (B), a partir de otro conocido (A), tal como se muestra en la Figura 11.1. Así pues, si estacionamos un taquímetro en (A), y estableciendo una visual a una mira vertical situada en (B), de la que tomaremos las lecturas reticulares, las lecturas angulares de altura de horizonte (α) y azimutal (θAB), así como la altura del instrumento (i) medida directamente, calculando en generador (g), podemos obtener los siguientes datos, en primer lugar la distancia reducida (d):

d = g ⋅ cos 2 α

[1]

y el diferencial de altura (l):

l = d ⋅ tgα de donde:

l = g ⋅ cos 2 α

[2]

senα = g ⋅ senα cos α cos α

por lo que las tres coordenadas parciales de (B) serán:

X AB = d ⋅ senθAB

[3]

YAB = d ⋅ cosθAB

[4]

Z AB = i + l − m

[5]

Las expresiones [1], [2], [3], [4] y [5] se denominan fórmulas taquimétricas, o fórmulas fundamentales de la taquimetría recibiendo el nombre de los generadores de magnitudes que dan lugar a las mismas, es decir, los valores deducidos de las observaciones en (A). Estas fórmulas, no son de aplicación si utilizamos una estación total, ya que la mayor parte de los parámetros aparecen calculados por el instrumento, aunque es necesario conocer su fundamento teórico. 313


11.3. Radiación taquimétrica. El método operativo se basa en el de la radiación planimétrica, explicado en el tema correspondiente. Estacionando el instrumento en un punto de coordenadas conocidas (X, Y, Z) se visa una dirección de azimut conocido, anotando la lectura horizontal obtenida, se visa después la mira (o prisma) en los puntos cuya posición se desea determinar, realizando las anotaciones correspondientes a los siguientes datos: • • •

la altura (i) del instrumento sobre el punto de estación lectura de los tres hilos del retículo sobre la mira, en cada uno de los puntos. lecturas de los círculos horizontal y vertical, en cada uno de los puntos.

El cálculo de las coordenadas de los puntos destacados parte del cálculo previo de los acimutes de sus orientaciones, si la radiación se ha ejecutado orientada, éstos serán las lecturas del círculo horizontal, si se ha ejecutado no orientada se calculará la desorientación (δ) del instrumento en la estación, obteniendo después los acimutes, a partir de las lecturas horizontales y la desorientación, recordando:

θ = L +δ a continuación se obtendrán las distancias reducidas correspondientes mediante la fórmula [1], el diferencial de altura [2], y las coordenadas mediante las fórmulas fundamentales [3], [4] y [5]. Por último, las coordenadas absolutas se obtendrán sumando algebraicamente las coordenadas conocidas del punto de estación a las de los puntos destacados. En el caso de utilización de estación total, deberemos incluir entre la toma de datos la altura del prisma (hp), evitando los pasos que suponen las dos primeras fórmulas, por recibir los datos (l) y (d) directamente de la estación total. Para el cálculo de la coordenada (Z), la fórmula [5] toma en este caso, esta forma:

Z AB = i + l − hp 314

Taquimetría

11.4. Poligonación taquimétrica. Es el método que combina las operaciones descritas en el método de itinerario para planimetría y de nivelación compuesta, iniciando siempre el recorrido en un punto de coordenadas conocidas, comenzando con establecimiento de la alineación a un punto de azimut conocido, para orientar la estación o calcular después la desorientación, según se vaya a trabajar. El itinerario se realizará de la misma manera descrita en los métodos citados Desde las estaciones intermedias que pertenezcan a una poligonación, se podrán asimismo tomar las lecturas de puntos por radiación, siendo el último punto a visar el que corresponda a la siguiente estación. La última estación tendrá coordenadas conocidas, si la poligonación no es cerrada, sino encuadrada, debiendo dirigir la última visual al un punto de referencia de azimut conocido.

i

1

1,47

5

1,45

9

1,49

Puntos observados

ESTACIÓN

Todos lo puntos del levantamiento se relacionarán correlativamente en el estadillo taquimétrico, ya sean puntos de estación o puntos destacados, tal como se muestra en el estadillo de la Figura 11.2., que se incluye a modo de ejemplo. LECTURA DE CÍRCULOS

LECTURA DE HILOS g Extremos

d

l

Axial

Azimutal

∆Z

Vertical

Rc 2

1,02

,12

,57

135,47 98,14

99,02

3 4 5 1 6 7 8 9

1,32 2,06 1,74 1,64 2,24 2,30 1,62 1,87

,10 ,10 ,30 ,20 ,15 ,10 ,12 ,24

,71 1,08 1,02 ,92 1,20 1,20 0,87 1,06

125,87 164,32 180,96 230,45 120,45 65,15 310,54 12,45

98,45 97,15 98.25 101,75 100,25 101,12 98,11 97,00

5

…

Figura 11.2: Ejemplo de cálculo de una poligonación taquimétrica.

315


El cálculo de gabinete de un levantamiento taquimétrico, como se advierte fácilmente, se convierte en una rutina monótona y prolija, que afortunadamente se ha sustituido actualmente por cálculos informáticos, incluso la toma de datos se efectúa en una libreta electrónica si es el caso de que trabajemos con estación total.

i

1

1,47

5

1,45

9

1,49

Puntos observados

ESTACIÓN

En cualquier caso, se recomienda ejecutar los cálculos planimétricos y altimétricos por separado, de acuerdo con los procedimientos que se han explicado en sus apartados correspondientes. La resolución de los datos del estadillo de ejemplo anterior, se reflejan en la Figura 11.3. LECTURA DE CÍRCULOS

LECTURA DE HILOS g Extremos

d

Axial

Rc 2

1,02

,12

,57

3 4 5 1 6 7 8 9

1,32 2,06 1,74 1,64 2,24 2,30 1,62 1,87

,10 ,10 ,30 ,20 ,15 ,10 ,12 ,24

,71 1,08 1,02 ,92 1,20 1,20 0,87 1,06

5

…

l Azimutal

90 122 196 144 144 209 220 150 163

89,98 121,93 195,61 143,89 143,89 209,00 219,93 149,87 162,64

135,47 98,14

99,02

125,87 164,32 180,96 230,45 120,45 65,15 310,54 12,45

98,45 97,15 98.25 101,75 100,25 101,12 98,11 97,00

1,39 2,97 8,76 3,96 -3,96 0,82 3,87 4,45 7,67

Figura 11.3: Resolución numérica de la poligonación.

316

∆Z

Vertical

2,29 3,73 9,15 4,41 -3,43 1,07 4,12 5,03 8,06

Taquimetría

11.5. Enlace indirecto de Porro.

Y'

X'

La mayoría de las estaciones totales disponen de la función estación libre, consistente en la posibilidad de estacionar el instrumento en cualquier punto y calcular las coordenadas (X, Y, Z) de dicho punto y la orientación del círculo horizontal dirigiendo visuales a una serie de puntos de coordenadas conocidas, tomando los datos de una radiación taquimétrica. La aplicación práctica de este procedimiento simplifica notablemente los trabajos de campo en los levantamientos taquimétricos con estación total, ya que permite enlazar dos centros de radiación consecutivos, sin necesidad de que sean visibles entre sí, bastando con ver puntos intermedios desde una u otra estación.

L Bm Y

L Bn m

B

θAm θAn n

A

X

Figura 11.4: Enlace indirecto de Porro. El cálculo de las coordenadas y de la desorientación de la estación libre se fundamente en el enlace indirecto de Porro, procedimiento aplicado tradicionalmente en los levantamientos taquimétricos. 317


Sean (A) y (B) dos estaciones consecutivas no visibles entre sí, Figura 11.4. Puesto que la estación (B) no es visible desde (A), no podrá ser destacada desde una radiación, en su lugar se destacan, señalándose en el terreno, dos puntos auxiliares (m) y (n), que cumplan la condición de que son visibles desde (B). Estos puntos, serán destacados desde (B) una vez que el instrumento se haya estacionado en este punto. El método de Porro, consiste en determinar en primer lugar la desorientación de (B), y después las coordenadas absolutas de (B), datos necesarios para continuar el itinerario, con los datos de los puntos intermedios. En primer lugar se calcularán las coordenadas particulares de (m) y (n) con respecto a (A):

x Am = d Am senθ Am

y Am = d Am cosθ Am

x An = d An senθ An

y An = d An cosθ An

y, a partir de estas coordenadas, el acimut de la alineación (mn), que en este caso, por estar (n) en el segundo cuadrante respecto a (m) es:

θ mn = 200 g − arctag

x − x Am ∆X = 200 g − An y An − y Am ∆Y

Calcularemos las coordenadas parciales de (m) y (n) respecto del sistema coordenado centrado en (B), desorientado:

xBm = d Bm senLBm

yBm = d Bm cos LBm

xBn = d Bn senLBn

yBn = d Bn cos LBn

y, de igual forma que el azimut, el ángulo (φmn) que forma la alineación (mn) con el eje de ordenadas centrado en (B) que por estar (n) respecto de (m) en el tercer cuadrante, será: 318

Taquimetría

ϕ mn = 200 g +

x Bn − x Bm y Bn − y Bm

Y Y X'

δB

δB

Y'

Y'

φmn θmn

Y m

B

n X

A

Figura 11.5. Finalmente, y tal como se representa en la Figura 11.5., la diferencia entre los ángulos (θmn) y (φmn), determinará la desorientación (δB) de la estación (B):

δ B = θ mn − ϕ mn Una vez calculada la desorientación de (B), se corrigen de orientación las lecturas horizontales obtenidas al visar desde (B) a los puntos (m) y (n) para calcular sus azimutes:

θ Bm = δ B + LBm

θ Bn = δ B + LBn

Y una vez obtenidos estos, se podrán calcular sus coordenadas particulares respecto a un sistema orientado, centrado en (B): 319


xBm = d Bm senθ Bm

yBm = d Bm cosθ Bm

xBn = d Bn senθ Bn

y Bn = d Bn cos θ Bn

Y

Y XAB

x Am

x Bm

m

y Bm

X

B y Am

Y AB

n X

A

Figura 11.6. Finalmente, las coordenadas parciales de (B) respecto de (A), se obtienen de las expresiones siguientes, que se deducen de la Figura 11.6.:

x AB = x Am + xmB y AB = y Am + ymB z AB = z Am + zmB y de forma análoga: 320

Taquimetría

x AB = x An + xnB y AB = y An + ynB z AB = z An + znB Los dobles valores obtenidos para las tres coordenadas sirven de comprobación del proceso, tomándose como valor definitivo el promedio. Se recomienda, como comprobación, comparar los dos valores de la longitud (mn) que pueden deducirse de las coordenadas respecto de (A) y de (B). Las coordenadas absolutas de (B) se obtienen sumando a las coordenadas particulares respecto de (A), las absolutas de este punto, conocidas por definición, habiendo resuelto el enlace, ya que se conocen los datos, coordenadas absolutas y desorientación, del punto de estación (B).

321


11.6. Intersección taquimétrica. Los métodos de intersección taquimétrica, son similares a los estudiados para la intersección en planimetría, en este caso estudiaremos el método de intersección directa planimétrica, cuya variación con lo expuesto es el tipo de datos que se toman en el campo. Sean (A) y (B) dos puntos de posición conocida, y se pretende determinar los datos de un tercer punto (P), para lo cual podemos hacer estación con el aparato en los dos puntos de datos conocidos, Figura 11.7.

mA

lA lB

mB

P

V AP

Z AP

iA

Z BP

V BP A

iB

ZA

P' B L AP ZB A'

L BP L AB L BA B'

Figura 11.7. Intersección directa taquimétrica. 322

Taquimetría

Desde las estaciones del aparato en (A) y (B) se toman todos los datos de las visuales en (P), así como las alturas respectivas de aparato en las estaciones. Par calcular las coordenadas (X, Y) del punto (P) se utiliza el procedimiento explicado en el apartado 9.9. Intersección Directa, en Planimetría. Para calcular la coordenada (Z) del punto en cuestión, se utilizan las alturas del instrumento en cada estación, así como los ángulos cenitales (VAP) y (VBP) de las observaciones respectivas, aplicando y promediando el resultado de las siguientes fórmulas:

Z AP = Z A + i A + A' P '⋅ cot VAP Z BP = Z B + iB + B ' P'⋅ cot VBP

323


11.7. Confección del plano topográfico. El objeto de los levantamientos topográficos, además de la determinación de los datos para posicionar los puntos, es la elaboración del plano topográfico, para esto se realiza, mediante todas las técnicas y métodos estudiados, las operaciones de relleno altimétrico, que es la toma de datos necesaria para poder representar el terreno mediante curvas de nivel. El relleno altimétrico consiste, pues, en la obtención de los puntos que servirán de base para dibujar las curvas de nivel, dichos puntos deberán estar elegidos de forma que representen con la máxima fidelidad el relieve del terreno, siendo la selección de puntos el primer problema que se plantea, ya que se deben elegir aquellos que se consideren necesarios para el posterior trazado de las curvas de nivel. Como, ya sabemos, desde el punto de vista altimétrico, hay dos tipos de elementos que ayudan a definir el trazado de las curvas de nivel, y que son las líneas de rotura y los puntos complementarios. Las líneas de rotura, vaguadas y divisorias, definen la estructura del terreno, así pues, sobre estas líneas habrá que tomar todos los puntos necesarios para su definición: inicio, final y cambios de dirección y cambios de pendiente. En general, los puntos de cambio de pendiente son importantes, ya que, como suponemos que entre dos curvas de nivel la pendiente es uniforme, la interpolación necesaria para su dibujo sería ineficaz sin esos puntos significativos. Ahora bien, las líneas de rotura no definen completamente el relieve del terreno, entre ellas hay que definir las curvas de nivel obteniendo asimismo el número suficiente de puntos para conseguir este fin, así que todos estos puntos complementarios servirán para definir el resto del relieve, entre las líneas de rotura, se tomarán datos de los cercanos a las líneas de rotura, y de los puntos de media ladera, su densidad dependerá de lo abrupto del terreno, así como de la escala del plano al que se destina el levantamiento, y con respecto a esto, debemos prescindir de aquellas inflexiones del terreno que luego no se vayan a percibir en el dibujo.

324

Taquimetría

No es buen sistema en general, el de efectuar el levantamiento de puntos de acuerdo con una teórica cuadrícula en la que se divida el terreno, sin tener en cuenta las líneas de rotura ni las formas del relieve, excepto que el terreno sea muy llano y con escaso relieve, recordando que el sistema es el expuesto: líneas de rotura definidas por sus puntos singulares, puntos próximos, puntos de media ladera con densidad de estos variable que definan el relieve, y otros puntos significativos. La toma de datos en el trabajo de campo se realiza como hemos dicho por los procedimientos taquimétricos estudiados, realizando junto con la toma de datos en los registros informáticos o estadillos físicos, los croquis necesarios para complementar la información, además de reflejar en estos croquis la situación de las estaciones y los destacados, tal como se ha explicado en los apartados de trabajos de campo, además, es conveniente hacerlo y señalarlo a medida que el trabajo de campo se desarrolla, tanto par controlar el trabajo realizado como para no olvidar el trabajo por realizar. Esos croquis serán tantos, y de tantos formatos como necesitemos, recordando que en el gabinete, una vez desarrollando tanto los cálculos numéricos como la representación gráfica de éstos, cualquier dato dudoso o inexistente hace ineficaz o incluso inútil el trabajo. Es conveniente representar todos los elementos que se consideren necesarios en estos croquis, tales como arbolado, construcciones, accidentes naturales, etc., así como la toponimia de la zona. En los croquis se pueden esbozar las curvas de nivel a ojo, dibujo sin ningún valor más que orientarnos y aportar mayor información para el desarrollo de la tarea de gabinete. Los trabajos de gabinete destinados a elaborar el plano, se inician obteniendo las coordenadas (X, Y, Z) de todos los puntos destacados, y el consiguiente transporte de esos puntos al soporte en el que se dibujará el plano. Una vez transportados todos los puntos, así como las líneas de rotura, que se borrarán normalmente después, se efectúa la interpolación entre los puntos representados, de los puntos que conformarán las curvas de nivel, de acuerdo con su equidistancia, trazando finalmente las curvas de nivel, uniendo los puntos de igual cota.

325


11.8. Modelo digital del terreno. Un modelo digital del terreno es una estructura de datos numéricos que representan la distribución espacial de una variable cuantitativa y continua, como puede ser la temperatura, la presión atmosférica o la cota, cuando el modelo digital representa la cota, se denomina modelo digital de elevaciones MDT. Los modelos digitales del terreno MDT, son el resultado del proceso informático de datos mediante algoritmos matemáticos. Este sistema es muy utilizado actualmente para la representación del terreno, y la unidad básica de información es un punto determinado por sus tres coordenadas. Básicamente, un modelo digital del terreno se construye a partir de los mismos datos que un plano topográfico, aunque la diferencia es que, la estructuración de estos y consigue no solo un plano, sino una reducción digital de la superficie representada, pudiendo no sólo representarla gráficamente en forma de plano o mapa topográfico, sino trabajar sobre el para obtener diferentes datos como clasificación de las formas de pendientes, cuencas, trayectorias de agua y drenajes, así como todas las representaciones que de esto se deriven. Los MDT sirven como base a un gran número de ciencias de la Tierra, ciencias ambientales e ingeniería. El trabajo con un modelo digital del terreno incluye las siguientes fases de trabajo: • • •

• •

generación del modelo digital de elevaciones MDE manipulación del MDE para obtener otras capas del MDT (pendiente, orientación, curvatura, etc.) visualización en dos dimensiones o mediante levantamientos en tres dimensiones de todas las capas para visualizar errores diversos análisis del MDT (estadístico, morfométrico, etc.) aplicaciones en el MDT de diversas variables, por ejemplo la de un modelo de regresión que estime la temperatura a partir de la altitud.

Un Modelo Digital de Elevaciones puede representarse de forma genérica mediante la ecuación:

z = f ( x, y )

326

Taquimetría

que define un campo de variación continua. La imposibilidad de resolver la ecuación anterior para todos los puntos del territorio obliga a definir elementos discretos sobre el mismo que permitan simplificar la codificación de la elevación, siendo las más habituales: •

•

•

Curvas de nivel: se trata de líneas, definidas por tanto como una sucesión de pares de coordenadas, que tienen como identificador el valor de la elevación en cada unos de los puntos de la línea. Generalmente el intervalo entre valores de las curvas de nivel es constante (equidistancia). Red Irregular de Triángulos (TIN), a partir de un conjunto de puntos, en los que se conoce la elevación, se traza un conjunto de triángulos, formados por tripletas de puntos cercanos no colineales, formando un mosaico. En ocasiones se parte de las curvas de nivel que, tras descomponerse en un conjunto de puntos, genera una red irregular de triángulos. En este caso hay que tener en cuenta que pueden formarse triángulos a partir de puntos extraídos de la misma curva de nivel, por tanto con el mismo valor, que darán lugar a triángulos planos. Tienen entre sus ventajas el adaptarse mejor a las irregularidades del terreno, ocupar menos espacio y dar muy buenos resultados a la hora de visualizar modelos en 3D o determinar cuencas visuales. Entre los inconvenientes destaca un mayor tiempo de procesamiento y el resultar bastante ineficientes cuando se intenta integrarlos con información de otro tipo; en definitiva hay que utilizarlos para interpolar una capa ráster . Formato ráster: es el más adecuado para la integración de las elevaciones en un SIG ya que va a permitir la utilización de diversas herramientas para la obtención de nuevos mapas a partir del MDE.

Existen diversos métodos para construir un MDE: •

Altimetría: altímetros transportados por aviones o satélites que permiten determinar las diferencias de altitud entre la superficie terrestre y el vehículo que transporta el altímetro (que se supone constante). El inconveniente es la baja resolución (celdillas muy grandes) de los datos y que se ve muy afectado por la 327


•

•

•

•

•

rugosidad del terreno, por ello se limita al seguimiento de hielos polares. Radargrametría o interferometría de imágenes radar: un sensor radar emite un impulso electromagnético y lo recoge tras reflejarse en la superficie terrestre, conociendo el tiempo de retardo del pulso y su velocidad puede estimarse la distancia entre satélite y terreno. En 1999 la NASA inició el proyecto SRTM para elaborar un mapa topográfico de toda la Tierra a partir de interferometría radar. Topografía convencional: estaciones topográficas realizadas en el campo mediante dispositivos que permiten la grabación de datos puntuales que se interpolan posteriormente, es decir, los métodos topográficos estudiados aquí. Sistemas de Posicionamiento GPS: sistema global de localización mediante satélites, que permite estimaciones suficientemente precisas de latitud, longitud y altitud de un punto, posteriormente deben interpolarse los datos. Restitución fotogramétrica: a partir de fuentes analógicas (fotografía aérea) o digitales (imágenes de satélite). El paralaje1 de un punto en una fotografía aérea o imagen de satélite es proporcional a la distancia del objeto respecto al fondo de la misma. Digitalización de curvas de nivel: de un mapa mediante escáner o tablero digitalizador e interpolación de las mismas.

Uno de los métodos de representación discreta del MDT es la Red Irregular de Triángulos, conocida por sus siglas en ingles TIN (Triangulated Irregular Network). Esta red es una malla irregular compuesta por un conjunto de triángulos irregulares, que se construyen uniendo cada punto con los dos más cercanos que no estén en línea y que se encuentren el mismo lado de una línea de rotura. Se adosan sobre el terreno formando un mosaico que se adapta a la superficie de terreno con un cierto grado de detalle, en función de las irregularidades del mismo, y que se ajustará más a la realidad cuanto mayor sea la densidad de puntos de la malla. En esta estructura se pueden incorporar datos auxiliares al modelo tales como líneas de comunicación, redes fluviales, y otros. 328

Taquimetría

Figura 11.8. Modelo digital del terreno MDT. Sobre la malla TIN, el sistema realiza un curvado automático, mediante la interpolación de datos de los triángulos de la red, teniendo en cuenta la equidistancia de las curvas de nivel, y las traza uniendo, en cada triángulo, los puntos de igual cota. Realmente las curvas que dibuja son segmentos de recta, así pues se suelen redondear para darles una mayor apariencia de irregularidad y suavidad, tal como en realidad es la superficie del terreno normalmente. Este suavizado de curvas es interesante para dibujar el plano, aunque para posteriores uso del MDT debemos mantener los datos del primer trazado, que en definitiva son los datos con los que se ha construido el MDT y que responden a la realidad de los datos obtenidos en el levantamiento.

329

12. LEVANTAMIENTOS ARQUITECTÓNICOS

El principal factor es la proporción. (Arne Jacobsen)

12.1. De los levantamientos arquitectónicos. Una aplicación particular, y especialmente adecuada para los trabajos de arquitectura son los levantamientos de planos de edificios, con finalidades muy diversas, tales como proyectos de demolición, tasaciones, proyectos de reforma, restauración, rehabilitación o ampliación, la realización de estudios en edificios históricos así como sus inventarios, o la representación gráfica de estos como trabajos de documentación, la realización de modificaciones de proyectos en ejecución, la inspección técnica de edificios, el estudio de patologías, reformas de instalaciones, determinación de superficies, levantamientos catastrales, etc. En cualquier caso, el levantamiento de planos de edificios es una tarea básica en nuestra actividad profesional que es necesario conocer y manejar con destreza, puesto que la llevaremos a cabo en multitud de ocasiones, de maneras muy distintas, desde el levantamiento de una pequeña parte de un edificio o detalle, hasta la completa ejecución de un levantamiento de plantas y alzados de un edificio completo. Para los levantamientos de planos de edificios se utilizarán los métodos que se han descrito, de acuerdo fundamentalmente con la superficie, la forma, la situación, la altura y otras características del edificio, o conjunto de edificios queremos levantar, así como 331


con la finalidad del mismo. Asimismo el alcance de nuestro levantamiento, o toma de datos, estará en consonancia con la finalidad a la que se destina, llegando a determinar los detalles que sean necesarios, así pues, si sólo se pretende levantar un plano par calcular de superficies, no tiene sentido dibujar alzados, ni siquiera tomar medida de altura de huecos. Por otra parte, el levantamiento de planos a veces necesita de otras labores de campo como en los levantamientos catastrales del terreno que se realizan para establecer los límites de su extensión, en los que hay que colocar indicadores o postes en los vértices para determinar las coordenadas de dichos puntos y obtener, así, la información necesaria del área y sus límites. Estas medidas pueden tener la finalidad de ser reflejadas en documentación legal, y también son necesarias para trazar y reflejar en un gráfico las áreas de la propiedad. Los levantamientos topográficos de propiedades se realizan con un elevado grado de precisión, colocando en las esquinas hitos permanentes visibles y recuperables. Estos indicadores son convenientes para el registro público de la propiedad y para asegurar el título de propiedad correcto para el propietario legítimo del terreno. Además de las técnicas de levantamiento topográfico, se debe tener información sobre aspectos legales de la construcción, ya que la ley exige, generalmente, que estos trabajos estén ejecutados por profesionales competentes en la materia, como es nuestro caso. Las mediciones para toma de datos en arquitectura, generalmente se basan en puntos de control mediante poligonales, líneas de base u otros métodos con el fin de obtener crear referencias ciertas para la realización del plano, para obtener la información necesaria para los diseños de obras a efectuar, para posicionar los elementos constructivos, basándose en los planos del proyecto que utilizarán esos puntos de control como bases de replanteo. Los levantamientos así como los planos a los que dan lugar deben proporcionar la información sobre la localización de todos los elementos que intervengan en el trabajo, destino del plano, así contendrán elementos horizontales, verticales e inclinados, así como elementos vistos y ocultos, y todos ellos deben estar en la documentación, si es que son necesarios.

332

Levantamientos arquitectónicos

En algunos casos será necesario hacer catas en forjados, cimentaciones, estructuras o fábricas para determinar espesores o profundidades, si es que el trabajo lo requiere, así pues, habrá que preparar las herramientas, los medios auxiliares y el personal adecuado para efectuar estos trabajos, así como hacer las advertencias necesarias, ya que la ejecución de estos trabajos en algunos casos puede repercutir en la estabilidad de los elementos abiertos para medir, para lo cual, hay que establecer las precauciones necesarias, aunque siempre hay que tener en cuenta que todos los trabajos de medición, aunque, como decimos, necesiten de catas, no pueden en absoluto comprometer la estabilidad del edificio, ni de ningún elemento, ya que en ese caso se deberá buscar otro procedimiento.

333


12.2. Métodos. Los métodos para el levantamiento de planos serán los que ya se han explicado, y fundamentalmente serán: •

•

•

•

334

Croquización directa: la clara sencillez del edificio o la finalidad elemental del plano hacen que se pueda levantar un plano por este método, que consiste en dibujar un croquis a mano alzada con la forma del edificio, y sobre ella anotar las medidas necesarias para reflejarla en un plano. Se requiere destreza y ejercicio, siendo una de las disciplinas que todo profesional de la arquitectura debe dominar. El método no requiera más explicación, además se utiliza en la mayoría de las disciplinas que se estudian en la carrera, y debe ser ejercicio obligatorio en nuestro quehacer diario. Existen utensilios tales como reglas, falsillas y otros que facilitan el dibujo a mano alzado o croquis, de todos ellos nos podemos ayudar, ya que lo que interesa es el resultado, pero el mejor instrumento de dibujo es nuestra mano, que nunca se debe perder, puesto que aún no se ha diseñado ningún elemento mecánico, electrónico o informático que sustituya el ejercicio necesario de la croquización. Además, de esto, en cualquier caso, este método estará complementado por cualquiera de los que se citan a continuación. Ordenadas y abscisas: método ya explicado, y a aplicar en exteriores de edificios y, sobre todo en aquellos que tengan un desarrollo especialmente lineal, o tengan en su cercanía algún elemento lineal en el que se pueda apoyar la medición. Método de la cuadrícula: extensión del anterior, se trata de descomponer la superficie ocupada por el edificio, o el detalle de edificio en una cuadrícula y reflejar en ella cada parte. Especialmente adecuado para pequeños detalles de formas muy irregulares. Descomposición en triángulos: método ya explicado también, y que se deberá aplicar siempre que no se tenga la absoluta certeza de que las alineaciones que midamos son ortogonales, y siempre en edificios antiguos. En general, para levantamientos de precisión será conveniente triangular las medidas.

Levantamientos arquitectónicos •

•

•

Doble alineación: en edificios exentos y que tengan una ortogonalidad clara entre sus fachadas, se medirán en alineaciones paralelas en cada una de ellas, dos a dos, comprobando las medidas de cada una de las alineaciones paralelas. Prolongación de alineaciones: para edificios exentos, con fachadas rectas, se pueden prolongar estas en alineaciones que determinen los puntos exteriores. Métodos topográficos: cuando se trate de edificios o partes de edificios cuya forma o dimensión no se adapte a alguno de los métodos anteriores, o cuando se trate de grupos de edificios en grandes urbanizaciones, o cuando se trate de medir alturas, debemos recurrir a métodos topográficos, ya que cualquier otra operación no nos proporcionará la precisión adecuada, y en algunos casos ni siquiera se podrá efectuar por métodos tradicionales. También debemos recurrir a métodos topográficos siempre que, sencillamente, nos interesen por las razones que nosotros mismos determinemos, ya que éstos se adaptarán siempre a nuestras necesidades y nos proporcionarán la mayor precisión y la seguridad en la toma de datos.

Figura 12.1. Fotrogrametría arquitectónica

335


336

Métodos fotogramétricos: o fotogrametría arquitectónica, muy utilizada para la confección de un archivo histórico monumental, no debiendo olvidar nunca que la fotogrametría, disciplina fundamental en la topografía moderna, nació en 1851, cuando el francés Aimé Laussedat (1819-1907) realizó los primeros planos de edificios a partir de fotografías. La técnica consiste en tomar fotografías con zonas superpuestas de edificios, para luego mediante la restitución fotogramétrica, obtener los correspondientes planos, existiendo la fotogrametría de alta precisión y la fotogrametría expedita. Hay programas informáticos en el mercado que pueden hacer tareas parecidas a la fotogrametría


12.3. Trabajos de campo. En realidad, nunca al hacer un levantamiento de un edificio, utilizaremos un método específico, es más, nos atrevemos a asegurar que, salvando el caso de levantamientos muy someros, siempre serán combinación de varios de, sino todos, los expuestos. El trabajo de campo en levantamiento de edificios es prácticamente el único que tiene entidad como para considerarlo como un conjunto de procedimientos específicos, ya que, una vez ejecutado el trabajo de campo, la confección del plano entra dentro de los procedimientos normales de dibujo, geometría y sistemas de representación, no exentos de elementales cálculos aritméticos, siendo excepción los trabajos de gabinete cuando utilicemos métodos topográficos y la restitución fotogramétrica, sistemas que no nos detendremos a analizar aquí, los primeros por estar suficientemente explicado en temas anteriores, y el segundo por estar fuera de nuestro programa, y citarse sólo a modo de referencia. En general, es válido lo dicho en el Tema 3.1, para la preparación y realización de los trabajos de campo, pero en este caso debemos añadir, como elementos específicos del levantamiento de edificios, tanto en la preparación del trabajo como en lo referente a la realización, lo siguiente: •

Estudio previo del edificio: como quiera que nos enfrentamos al problema de levantar los planos de un edificio (conjunto de planos, planos parciales, etc.) debemos conocer el edificio, en cuanto a su ubicación, características, altura, posibilidad de acceso, propiedad, estado de ocupación, estado físico del inmueble, etc. Además, debemos conseguir, si es que existen, aunque no nos sirvan más que de guía los planos que podamos del mismo, ya sea planos antiguos u obsoletos, no servirán de guía, sin olvidarnos de que los verdaderos datos serán los que nosotros tomemos, nunca consignaremos datos en un nuevo plano que no hayamos contrastado en la realidad. Hay páginas web que nos facilitan la búsqueda del edificio en planta, y en algunas de ellas podemos obtener, si no conocemos nada del edificio, un primer contacto con el, 337


•

•

•

•

•

•

338

por citar alguna de ellas nos referiremos a la Oficina Virtual del Catastro, o a Google Earth. Estudio del acceso: es imprescindible saber si tenemos acceso al edificio, si está cerrado, si está ocupado, si tiene zonas restringidas, es decir, todo lo necesario al trámite de acceder a todas la partes, no debemos enfrentarnos a un trabajo de campo de levantamiento si no estamos seguros de poder acceder a cualquier parte del edificio Preparación y planificación del trabajo: remitiéndonos a lo dicho en el tema referido anteriormente, y haciendo hincapié en que la planificación será tanto más prolija cuanto más medios de ayuda o colaboración de terceros necesitemos Reportaje fotográfico: es redundante este punto ya que incluye el anterior, pero insistimos en él puesto que en levantamiento de edificios, un reportaje fotográfico se considera imprescindible, las fotografía nos ayudarán definitivamente a resolver la múltiples dudas que surgen en el trabajo de gabinete, y que por su naturaleza, son tan imprevisibles que no se pueden ni enumerar aquí. La única forma de evitarlas es seguir una metodología minuciosa en el trabajo. Metodología en el trabajo: llevaremos a cabo el levantamiento con total orden y minuciosidad, según lo hayamos planificado, recordando que la única fuente de la elaboración de los planos es el trabajo de campo. En la metodología de trabajo debe entrar siempre la sobreabundancia de datos y el no dar nada por supuesto. Elección del método adecuado: no debemos presumir que un determinado método será válido si no estamos seguros. Esto debe entrar siempre en la planificación. Así es, si creemos que será necesario utilizar un instrumento topográfico, por ejemplo, para levantar algunos puntos fundamentales, lo debemos emplear. Puntos fundamentales: en levantamientos importantes o de edificios que no estén claramente referenciados, o que estén destinados a la demolición, debemos elegir una serie de puntos fundamentales que se referenciarán tanto en el plano como en el terreno de la forma más adecuada (clavos, pintura, placas). Para la determinación de estos puntos fundamentales nos basaremos en la lógica de su posición, en la facilidad del replanteo o comprobación


•

desde ellos y por supuesto en la elección de lugares que posibiliten su permanencia en el tiempo, por estar fuera de zonas de circulación, fácil alcance o zonas afectadas por obras. Datos completos: no debemos olvidar que los planos son la definición geométrica de los edificios, así pues, debemos tomar todos los datos completos para elaborar los planos que definen un edificio: planta general, planta de parcela, planta baja y siguientes, planta de cubiertas, alzados, secciones, escaleras y detalles, además de los que exija en particular el alcance de nuestro trabajo.

339


12.4. Aplicación práctica: levantamiento horizontal. El levantamiento básico de un plano de edificio es el levantamiento horizontal o en planta, sobre el que apoyarán el resto de planos, es básico el levantamiento muy preciso de la planta baja, así como de los elementos que la comunican con el resto de plantas, como son escaleras, huecos de ascensor, huecos de instalaciones, patios y la propia estructura, ya que normalmente en las plantas altas no tendremos tantas posibilidades de comprobación, es necesario medir los espesores de los muros en todos los huecos, el desarrollo de las escaleras y en general todos los detalles. Normalmente se utilizarán métodos de gran escala como son los topográficos en el trazado general de la planta y métodos de croquización directa para completar los datos, pero en cualquier caso, los elementos que nos encontraremos serán todos los que componen o puedan componer una edificación, siendo su enumeración y explicación prácticamente el objeto de nuestra carrera en conjunto. Baste decir que no debemos dejar ninguna dependencia, por pequeña que sea sin referenciar en nuestra toma de datos, y que, en general, tenemos conocimiento suficiente de los métodos y sistemas de levantamiento, que en el caso más riguroso o más difícil será el de los métodos topográficos. Uno de los casos más comunes y no fáciles de resolver en la práctica, por métodos directos es el levantamiento de formas irregulares, como es el caso de una piscina. Probablemente hayamos visitado una pequeña casa de campo o con jardín, de dimensiones y formas sencillas, estando preparados para croquizar todos los elementos sin necesidad de complejas operaciones, pero nos encontramos con una piscina de las llamadas de riñón, o de cualquier otra forma. No importa ya, si en su momento el replanteo fue fiel al plano del proyecto, o se replanteo a sentimiento, como suele suceder, no conociendo por tanto su capacidad o aforo de forma rigurosa, el caso es que puede llevarnos, mucho más tiempo resolver el problema de su ubicación, forma y dimensiones que el de toda la casa incluida la parcela, si es que no estamos preparados para ello y lo exige el alcance de nuestro levantamiento. Si es que nos encontramos con la necesidad he aquí un método sencillo, rápido y preciso, bien es verdad que se necesita el concurso de dos personas, aunque la 340


segunda no tiene porqué tener destreza en el método, en un caso muy extremo lo podría ejecutar una persona sola.

A

B

D

C Figura 12.2.

Los elementos que necesitamos son sencillos: hilo de replanteo y piquetes o clavos, y el procedimiento es el del método de la cuadrícula, Figura 12.2. El trabajo de campo se desarrolla de la siguiente manera: • •

•

•

Vamos a trazar un rectángulo (ABCD) alrededor de la piscina. Se elegirán los lados del rectángulo, buscando zonas que lo permitan, las piscinas suelen ser irregulares pero tienen la ventaja de que están bajo rasante, por regla general. Se clavará uno de los piquetes en el suelo, si el suelo está enlosado se clavarán clavos de acero en una junta de la solería, este será el lado (AB), eligiendo los vértices. Se establecerá la primera alineación del hilo entre los dos clavos, y a lo largo de él se podrán hacer dos tipos de señales, según nos lo permita o exija el trabajo: trazos en el hilo o clavos a lo largo de él. Estos trazos estarán cada 341


•

•

•

• •

•

metro, cada 10 cms., o cada punto de inflexión o singular, etc. Se establecerá una alineación paralela a esta (CD) sin determinar aún sus vértices, en el lado opuesto de la piscina, para lo cual se utilizará el método de los tres arcos: un arco de circunferencia central en la alineación y dos arcos extremos de igual radio cuya intersección nos determina una paralela, o el método de triángulo sagrado egipcio, en dos perpendiculares extremas, trazadas independientemente. Podemos combinar los dos métodos para comprobar. Se trazará una perpendicular (BC) o (DA), si no se ha hecho en el paso anterior, por el método del triángulo sagrado egipcio, con lo cual habremos determinado tres vértices. Se trazará la perpendicular opuesta, por el mismo método, con lo cual estarán los cuatro vértices determinados. Se dividirá todos los lados de igual forma que el primer lado. Se apoyará dos hilos en cada par de lados, anudándolo con un as de guía a los hilos que forman los lados del rectángulo. Estos estarán muy tensados, los que se deslizan sólo necesitan la tensión suficiente como para mantenerse rectos. Se deslizan sobre las señales o clavos en que hemos dividido los lados del rectángulo, hasta completar un recorrido completo sobre la piscina, que será recogido en nuestro croquis, de igual manera.

El método no necesita más explicación, pudiéndose referenciar los elementos accesorios de la piscina, así como las profundidades si nos interesa.

342


12.5. Aplicación práctica: levantamiento vertical. En el caso de necesitar mediciones verticales recomendamos la utilización de procedimientos topográficos, al menos en grandes longitudes, pudiendo medir de forma directa las dimensiones más pequeñas como ventanas, cornisas, barandillas o detalles. Enunciamos aquí el clásico ejemplo de la medición de la altura de una torre, para lo cual utilizaremos un taquímetro, pudiendo extrapolarse el método a la operación con estación total. A

h

h-c

VA VB

c B

d

P

Figura 12.3. Sea (h) la altura, desde el terreno hasta el vértice superior la altura de una espadaña que se precisa conocer. Instalaremos el taquímetro en el punto (P), suficientemente alejado como para que las visuales al punto más alto (A) sean precisas, situaremos una mira en el punto (B), base de la altura a determinar, estableceremos dos visuales, una al punto más alto (VA) y otra a la base (VB), además de otra a la mira para tomar su lectura, lo que se representa en la Figura 12.3, de la que se desprende que: 343


tgV A =

h−c d

en la que (c) es el cateto del triángulo, cuya hipotenusa es la alineación de la visual (VB), y el otro cateto la distancia reducida (d), así pues:

h − c = d ⋅ tgV A ⇒ h = d ⋅ tgV A + c Por otro lado tenemos que la tangente de la visual a la base (VB) es:

tgVB = de dónde:

c d

c = d ⋅ tgVB

por lo tanto, la altura (h), obedece a la sencilla expresión:

h = d (tgV A + tgVB ) Por otra parte, para hacer efectivo el método en cualquier posición, debemos decir que en el ejemplo expuesto, el plano horizontal que pasa por el eje del anteojo tiene una cota superior a la base, si estuviera por debajo, que es otro caso probable, la expresión sería la siguiente:

h = d (tgV A − tgVB ) Se puede dar el caso, menos probable, de que el plano horizontal que pasa por el eje del anteojo, estuviera por encima del punto más alto de la espadaña, en ese caso el valor de (h) vendría determinado por la expresión:

h = d (tgVB − tgV A ) Las demostraciones de estas dos expresiones, son tan fácilmente deducibles como es la primera. 344


Para terminar, el la Figura 12.3, que ilustra este apartado, se han cometido varios errores intencionadamente. En primer lugar, la visual no llega al punto más alto de la espadaña, puesto que lo impide una imposta: eso no debe suceder en la realidad, y sencillamente lo mencionamos para que se cuide este punto al establecer visuales. En segundo lugar, la mira no está puesta en la vertical del punto alto, lo que hace que la distancia reducida no sea la misma en la base que en el punto alto, esto también hay que evitarlo: la mira debe estar en la vertical del punto a medir, ni no se puede, habrá que asumir el error consecuente.

345

13. REPLANTEOS

Cuando cierro mis ojos es cuando mejor veo. (Alberto Campo Baeza)

13.1. Concepto de replanteo. El replanteo es el conjunto de operaciones necesarias para trazar sobre el terreno o sobre una parte de un edifico, el propio edificio proyectado previamente o cualquiera de sus partes, siendo siempre, la actividad previa al comienzo de ejecución de cualquier obra. En este sentido, en todas las obras públicas de España, “aprobado el proyecto y previamente a la tramitación del expediente de contratación de la obra, se procederá a efectuar el replanteo del mismo, el cual consistirá en comprobar la realidad geométrica de la misma y la disponibilidad de los terrenos precisos para su normal ejecución, que será requisito indispensable para la adjudicación en todos los procedimientos. Asimismo se deberán comprobar cuantos supuestos figuren en el proyecto elaborado y sean básicos para el contrato a celebrar” (L.C.S.P, Art. 110-1), y “una vez realizado el replanteo se incorporará el proyecto al expediente de contratación” (L.C.S.P., art. 110-4), encontrando menciones al replanteo en otros cuatro artículos de la referida Ley de Contratos del Sector Público (arts.: 105, 107, 108 y 114). Así pues, no es sólo una necesidad física, sino además una necesidad legal en las obras públicas y casi siempre 347


contractuales en las obras privadas. Una vez comprobado el replanteo de las trazas generales del edifico, se suscribe un acta entre las partes que intervienen, siendo esa fecha en la que oficialmente comienzan las obras. Además de esto, nosotros nos ocuparemos, no de la necesidad legal del replanteo, sino de la necesidad real o constructiva, ya que es imprescindible, antes de comenzar una obra trazar en el terreno, con más o menos detalle, la obra que se va a realizar. Las labores de replanteo alcanzan a todos los elementos de una obra de arquitectura, así el primer replanteo será el de la traza general de edificio, y a continuación los detalles, y siempre sucesivamente, sobre cada elemento constructivo, antes de ejecutar el siguiente, éste habrá de ser replanteado, en más o menos medida. A veces, antes de colocar algún elemento en una fábrica en la que se ha de recibir, si no se realiza el replanteo de tal elemento, al menos se presenta este en el lugar adecuado, siendo esta labor también en su medida un replanteo. Alcanzando a toda la obra el replanteo, y siendo un conjunto de tareas heterogéneo, llamaremos replanteo topográfico a aquél que se realiza por métodos y con instrumentos de topografía. El replanteo topográfico será siempre por puntos, y cuando lo que se traslada al terreno o a la realidad física del edificio no es susceptible de ser determinado mediante un punto, como lo es un eje vertical, por ejemplo, se trazarán los puntos necesarios para reconstruir su geometría a partir de éstos. Igual que en el plano los puntos no están aislados, sino que están referenciados a otros de éste, para replantear un punto físicamente, habrá que contar con elementos en los que tomar referencias en el propio terreno u obra, así como contar con datos de campo suficientemente precisos para que el punto que se replantee represente una solución única, para que quede definido de una forma inequívoca en el terreno o en la obra. Estos datos de campo y estas referencias, o bases de replanteo serán de diferente naturaleza en función del replanteo que se vaya a efectuar. Así pues, el proyecto arquitectónico debe contar con planos de replanteo, elaborados fielmente con los datos de campo obtenidos, en número suficiente y con el suficiente detalle como para poder reflejar el proyecto en el terreno o en la propia obra. 348

Replanteos

13.2. El plano de replanteo.

Figura 13.1.: Fragmento de un plano de replanteo en el que podemos observar un punto fundamental, así como alguna referencia en altimetría. El plano de replanteo, que forma parte del proyecto y por tanto está elaborado por el redactor del mismo, es aquél plano en el que se refleja, además de la geometría del edificio, todos los datos necesarios para efectuar los trabajos de su finalidad, incluyendo elementos tales como: •

Ejes de replanteo: si se ha decidido incluir eje o un eje, de acuerdo con un sistema de coordenadas al que referir los puntos fundamentales a replantear, o cualesquiera otros del edificio.

•

Puntos fundamentales: cuando el autor de un proyecto considera que un replanteo debe seguir un orden determinado, o bien cuando considera que todas las cotas se deben referir a ciertos puntos del edificio, estos que se 349


conocen como puntos fundamentales del replanteo se determinan específicamente en los planos de replanteo.

350

•

Bases de replanteo: son, al igual que los puntos fundamentales de replanteo, puntos representados en el plano de replanteo pero exteriores al edificio, o en cualquier caso no pertenecientes a él, y constituyen puntos a los que se refieren el resto de elementos del replanteo, tales como son los ejes o los puntos fundamentales. Pueden ser estaciones de una radiación, de una poligonación o itinerario, etc., y están reflejados o materializados en el terreno, o bien constituyen elementos que existen por si mismos como son elementos naturales o artificiales, partes de otro edificio, mobiliario urbano, etc, pero en cualquier caso deben cumplir con la condición de su permanencia en el tiempo así como su indiscutible localización. Asimismo, las bases de replanteo deben tener asignada su cota o referencia altimétrica.

•

Cotas de replanteo: de igual forma que el edificio se sitúa planimétricamente de acuerdo con los ejes o bases de replanteo y a través de sus puntos fundamentales, es necesario establecer alguna referencia en altimetría, inequívoca al igual que el resto, y así pues, tanto en las partes del edificio a construir que se considere necesario como en los puntos desde los cuales se establezca una referencia altimétrica habrá que establecer esta referencia en forma de cotas de replanteo. Normalmente las cotas de replanteo, una vez referenciadas al exterior, que pueden ser cotas absolutas o altitudes, se suelen referir, por simplificar los cálculos, a una cota de referencia de la edificación.

•

Acotaciones: en forma de medidas lineales o angulares en algunos casos, distancias de los puntos fundamentales o bases de replanteo, dimensiones propias de edificio, etc. Las acotaciones o medidas reflejadas en el plano, son imprescindibles en un plano de replanteo, ya que en un plano nunca se debe medir con la escalilla para efectuar labores de replanteo, a no ser que no quede otro remedio y eso tendrá que hacerse con las reservas y comprobaciones oportunas. Es siempre mejor acotar los planos, ya que la

Replanteos

medición sobre ellos es una fuente de grandes errores, por muchas causas entre ellas la deformación que sufre un plano en el proceso de reproducción, y las tareas de replanteo deben ser siempre efectuadas con la mayor precisión. El plano de replanteo no tiene porque tener tal nombre, pero siempre debe haber un plano que contenga los elementos de replanteo, pueden ser los planos topográficos o topográficos modificados, los planos de ordenación general, planos de parcela, etc. Además de un plano general de replanteo, existirán tantos planos de replanteo como partes del edificio se considere necesario definir previamente en cuanto a su replanteo, normalmente existirán planos de replanteo de: cimentación, estructura, albañilería, fachadas y urbanización.

351


13.3. Alineaciones y rasantes. La importancia del replanteo, así como del plano de replanteo, tiene otro reflejo de carácter oficial de cara a las administraciones locales, entidades que conceden las correspondientes licencias urbanísticas. Evidentemente no es importante para las autoridades municipales, y concretamente para sus Gerencias de Urbanismo, la correcta ejecución de un replanteo desde el punto de vista de la ejecución de la obra, pero sí vigilan y determinan las referencias del edificio con respecto a las ordenanzas municipales en cuanto al respeto geométrico de las mismas, concretándose en parámetros tales como, separaciones a linderos, alturas máximas, etc., y para lo cual se suele establecer un requisito previo o simultáneo a la Licencia Urbanística que es el Expediente de Alineaciones y Rasantes. La alineación es la determinación de la situación del edificio, normalmente con referencia a su fachada principal, y la rasante es la línea que define la inclinación de un vial. Así pues, en el Expediente de Alineaciones y Rasantes, conocido tradicionalmente como la tira de cuerdas, es un trámite que realiza la autoridad competente en urbanismo, y que normalmente el Promotor de la obra debe solicitar, resolviéndose con un Acta, suscrita entre el representante de la Administración, el Promotor y el Director de las obras, y en el que se reflejan los extremos de situación del edificio, que normalmente serán los que refleja el proyecto, pero que en este caso, la Administración se asegura que se cumplan desde el punto de vista del respeto a la Norma Urbanística. Para la redacción y firma del Acta de Alineaciones y Rasantes, normalmente se acompaña un plano, en el que se detallan los extremos que se consideren en esta, y que correspondan a la situación del edificio con respecto a la vía pública o a otros edificios, etc. El plano resultante del Expediente de Alineaciones y Rasantes, deberemos considerarlo como un plano de replanteo, ya que en él se fijan los parámetros que determinan la situación del edificio en planimetría mediante la alineación o alineaciones, y en altimetría mediante la rasante o rasantes que se establezcan. Cuándo afrontemos el replanteo inicial de un edificio siempre tendremos presente este documento. 352

Replanteos

13.4. Tipos de replanteo. Para efectuar un replanteo es necesario obtener mediante el trabajo de gabinete, los datos de campo con los que efectuaremos el replanteo. Estos datos de campo se obtienen de los planos correspondientes así como del resto de documentación. En función de la obtención de estos datos, los replanteos se clasifican en: •

Replanteos gráficos: que son aquellos cuyos datos se toman de forma gráfica, es decir, tomando medidas directamente sobre el plano. Estos replanteos se harán cuando no tengamos otra forma de obtener los datos, y se efectuarán todas comprobaciones que podamos.

•

Replanteos analíticos: cuando los datos se obtienen de forma analítica o numérica, mediante el cálculo de las coordenadas tanto de las bases de replanteo y del resto de puntos. Estos replanteos son los de más precisión y son los que hay que utilizar en todos los casos.

La obtención gráfica de los datos de replanteo se basa en la medición directa por los procedimientos normales de medición sobre un plano a escala de los puntos a replantear: regla de escalas, transportador de ángulos, etc. No importa que los datos de campo que empleemos sean numéricos y el sistema topográfico, si los datos se han obtenido gráficamente, el replanteo adolece ab ovo de precisión. Para la obtención numérica de los datos de replanteo se necesitan las coordenadas de los puntos a replantear, así como de un mínimo de dos puntos de apoyo en el terreno. Para obtener las coordenadas de dichos puntos es necesario que en el plano de replanteo vengan expresadas numéricamente, que el plano de replanteo contenga el número suficiente de acotaciones numéricas como para obtenerlas o que dispongamos de él en un soporte digital que corresponda a un programa de diseño asistido por ordenador, es decir del tipo CAD, en el que podemos obtener los dados numéricamente. Si disponemos de esta información, los datos de campo se obtendrán y se elaborarán en función del método de replanteo 353


que vayamos a elegir, ya sean coordenadas polares u otros, existiendo programas topográficos de replanteo que facilitan enormemente la labor.

354

Replanteos

13.5. Métodos planimétricos de replanteo. Los métodos topográficos de replanteo son los que se basan en los métodos planimétricos y altimétricos estudiados. En primer lugar estudiaremos los métodos planimétricos, en situar cada punto en el plano, o en su proyección, siendo estos: • • • • •

Por abscisas y ordenadas sobre una recta Por abscisas y ordenadas sobre una retícula Por coordenadas polares Por intersección angular Por trilateración

El primer método, Figura 13.2, consiste en definir una alineación recta, entre dos puntos del plano que existan en el terreno o que podamos referenciar fácilmente, determinando la distancia de cada punto a dicha recta, el replanteo consiste en marcar la proyección (M) de cada punto (P) en la alineación materializada en el terreno, y desde ella levantar perpendiculares en las que estarán los puntos a replantear, conocida la distancia de cada uno de ellos a la recta definida. El segundo método, es exactamente igual, sólo que en lugar de definir una alineación habremos definido una cuadrícula, dentro de alguna de las celdas de la misma estará cada punto, se trata de reverenciarlos dentro de la cuadrícula y medir sus coordenadas particulares. El método de coordenadas polares, tercero en la figura, consiste en referenciar cada punto mediante un ángulo a una alineación conocida y una distancia a un punto en esa alineación, que será la estación o base, origen o polo de las coordenadas. El método cuarto, es el de de intersección angular, o bisección, consiste en establecer dos visuales simultáneas desde dos puntos, cumpliendo lo siguiente: los ángulos que forma cada una de las alineaciones de las visuales establecidas con la alineación de los dos puntos de estación son conocidos. Basta pues establecer, con dos aparatos, sendas visuales con los ángulos y centrar el punto a replantear en ambas. 355


Finalmente, la trilatelación consiste en referenciar un punto, partiendo de dos en una alineación y con distancias conocidas, construyendo el triángulo que forman en el terreno.

P

A

P

P

M

1

3

2

P

α

α

A

P

β

A

B

4

A

B

5

Figura 13.2: Métodos planimétricos de replanteo. Además de estos métodos, normalmente aplicados en todo tipo de obras de arquitectura, existen algunos otros que citamos aquí a modo de referencia, ya que quedarán fuera nuestro campo, como es el método de recesión. Este método consiste en situar un punto de estación mediante la visualización de al menos tres estaciones conocida, normalmente utilizada en topografía hidrográfica. En trabajos topográficos mineros, se suelen transferir mediante cuerdas o cables aplomados, las direcciones o puntos desde la superficie. Un cable aplomado proporciona, básicamente, un plano de referencia vertical y en la superficie, el plano se puede colocar en la visual de un teodolito orientado correctamente o bajo la superficie, la visual puede establecerse en el interior del plano. Esto se conoce como co-planing, y las visuales establecidas pueden utilizarse para situar puntos de techo y suelo en el interior del túnel. 356

Replanteos

En un enfoque alternativo, el aparato se estaciona en exterior del plano vertical, de forma que, en planta, cada uno de los cables aplomados y el eje vertical del aparato formen un triángulo, denominado Triángulo de Weisbach. Se mide el pequeño ángulo subtendido por el teodolito y su valor se incluye junto con otras medidas, para determinar el azimut o dirección del plano vertical, en la superficie del terreno o los puntos de referencia, fijos bajo el terreno. Las posiciones del aparato pueden cambiarse para mejorar la precisión y en pozos muy profundos pueden hacerse descender más de un par de cables.

357


13.6. Métodos altimétricos de replanteo. La aportación del dato altimétrico que, en su caso nos proporcional el Acta de Alineaciones y Rasantes, o las referencias altimétricas que contengan el Proyecto de Ejecución en sus planos de replanteo u otros, nos proporcionan las información altimétrica básica, que junto con la geometría del edificio y sus partes definida en el propio Proyecto serán los referentes de los datos de campo para elaborar los datos de replanteo altimétrico. Los métodos de replanteo altimétrico se basan en los sistemas descritos para realizar nivelaciones suficientemente descritos en la unidad precedente, es decir en la nivelación geométrica o por alturas y en la nivelación taquimétrica o por pendientes, si nos referimos a métodos topográficos. Su usamos métodos expeditos, tales como los que se derivan de la utilización de instrumentos simples tales como son la plomada, el nivel de albañil o el nivel de agua, los métodos también se basarán en los que corresponden a la nivelación geométrica, aunque con menos precisión. No es tan importante detenernos en este punto en cuanto a los métodos, que como decimos, están suficientemente explicados y que, para el caso más sencillo se basan en la materialización de distintas cotas de obra, basándose en las cotas de referencia, como resaltar la importancia capital que tiene la altimetría en una obra de arquitectura. En efecto, una vez encajada la obra en planimetría, no hay más que seguir los replanteos de las distintas partes apoyándonos en los puntos fundamentales, pero en altimetría, cada planta, cada elemento constructivo tendrá que estar referenciado en altura, es decir, tendrá su cota con respecto a la que hayamos tomado de referencia. Las referencias planimétricas son evidentes: es la propia obra, la estructura, las fábricas, pero las referencias altimétricas son más difíciles de ver, y los errores en ellas tienen mucha más repercusión, por eso es costumbre, tener una referencia siempre visible en la obra de la que hablaremos a continuación. Las cotas de la obra, es decir, la distancia con una superficie de referencia, se dibujan en los planos de dos maneras, ya sean planos de planta o planos de alzados o secciones, Figura 13.3. En la planta se suele indicar la cota con una hélice encerrada en un círculo y además de una cruz de brazos mayores que el diámetro 358

Replanteos

de éste, junto al valor númerico de la cota en metros. En alzado o secciones, con el símbolo de raíz cuadrada, es decir una “V” con un trazo horizontal en uno de los lados, el vértice de la “V” coincide con el plano de la cota, y sobre el trazo horizontal se escribe el número de la cota, en metros. En ambos casos se precede el número que indica la cota del signo “+” ó “–” según sea el signo de la cota, ya que el plano de comparación suele ser la cota ±0,00, o cota cero, siendo tradicional que coincida con el nivel de solería terminada en planta baja, aunque eso puede variar en cada caso. Nuestro particular consejo es que no se use como referencia la cota ±0,00, sino que se use, por ejemplo, la cota +100,00, esto evitará las cotas negativas, y facilitará los cálculos numéricos enormemente, cierto que estos cálculos no son muy complicados, pero si evitamos lo números negativos, lo serán aún menos.

Luminaria Saneamiento

Arqueta

Arqueta

2,50

+2,85

+ 0,50

2,95

± 0,00

+2,95

± 0,00

SECCIÓN LONGITUDINAL E: 1/50

- 1,66

PARCELA EDIFICADA

JARDÍN

Figura 13.3: Representación de cotas en planos de arquitectura.

359


Es costumbre, y se podría decir que una buena y necesaria costumbre, marcar una cota de referencia en cada planta de la obra, de forma que sea visible en todas las partes de la misma. La forma más habitual y más recomendable es trazar una línea horizontal sobre todas las fábricas o elementos estructurales, a un metro de altura del nivel de de la solería terminada en cada planta, y que servirá como referencia de todas las labores parciales de altimetría que se desarrollen cuando en el aparejo de la obra, replanteemos todas sus partes. Para medir o marcar las cotas existen diversos procedimientos, de acuerdo con los instrumentos que se usen. El método más fiable es el que se deriva de la nivelación geométrica o por alturas, efectuada con un nivel topográfico, operación que nos servirá tanto para medir un desnivel, operación suficientemente explicada en este texto, como para marcar una cota, Figura 13.4. Para determinar una cota, tal como se indica en la figura, se tomarán dos lecturas en sendos puntos uno de cota conocida (Za) y otro de cota desconocida (Zb), siendo la cota de (Zb):

Z b = Z a + La − Lb Para el traslado de la cota (Za), se operará como en el caso (2) de la figura: se toma la lectura (La), se traslada la mira y se indica al asistente que suba o baje hasta que la lectura en el segundo punto sea (La), marcando entonces la cota.

360

Replanteos

1 Lb

La +Za

+Zb

La +Za

La

2

+Za

Figura 13.4: Determinación y traslado de cota. Existen unos instrumentos de nivelación que no hemos querido incluir en el apartado correspondiente por no ser estrictamente aparatos topográficos, pero al ser tan útiles como empleados actualmente en las obra, debemos referirnos a ellos aquí, se trata de los niveles láser. La palabra láser proviene del acrónimo en inglés de la expresión luz amplificada por emisión estimulada de radiación (light amplification by stimulated emission of radiation), principio que proporciona un rayo de luz con un solo color y una sola longitud de onda, lo que lo hace ser un haz coherente, y al que no afecta la meteorología. Los niveles láser, que se montan sobre un trípode y se nivelan al igual que un nivel topográfico, Figura 13.5, se fundamentan en la emisión continua de un rayo láser de forma circular, lo que genera a su alrededor un plano engendrado por el barrido del 361


rayo. El rayo es captado por el sensor de la mira, que puede ser óptico o acústico. Un solo operador puede instalar el nivel láser, dejándolo en funcionamiento y efectuar tareas de nivelación o de traslado de cotas transportando la mira y comprobando que el rayo incide en la cota correspondiente. Las aplicaciones son múltiples dada la facilidad y versatilidad del instrumento, además de la cantidad de accesorios con los que se complementan para instalar los sensores en diferentes elementos constructivos. Pueden, instalados en una zona de movimiento de tierras, con el sensor instalado convenientemente en una maquina excavadora, indicar al maquinista por medio de las señales acústicas la cota a la que debe rasantear la excavación.

Figura 13.5: Nivel láser.

362

Replanteos

13.7. Replanteo de referencias. La primera actividad de una obra arquitectónica, tras el replanteo, suele ser el movimiento de tierras, cuando no una cimentación especial. Si replanteamos los puntos de la cimentación, o del movimiento de tierras, o de cualquier parte del edificio, la propia mecánica de la obra, hará que desaparezcan los puntos replanteado, de ahí que lo habitual es replantar los puntos fundamentales, puntos del edificio, ejes, etc., al tiempo que referencias para volver a reponer esos puntos. El replanteo topográfico, con los modernos equipos, una vez establecidos los datos de campo suele ser cómodo y rápido, así, no es difícil situar puntos de referencia para poder los puntos reales de la obra por métodos directos. Es fácil entender que si estamos construyendo, por ejemplo un vial, Figura 13.6., y necesitamos puntos de referencia en el eje del mismo, deberemos replantear, fuera del vial, puntos de apoyo, ya que los puntos del eje del vial, irán desapareciendo a medida que se vayan construyendo las distintas capas del mismo, así se han referenciado puntos equidistantes de los que definen el eje, a derecha e izquierda del mismo, cuya posición permite por cualquier método sencillo, como son jalones o hilos, establecer de nuevo el eje.

P-15I

P-16I

P-17I

P-18I

zona de influencia de la obra zona de la obra EJE P-15

P-16

P-17

P-18

zona de influencia de la obra P-15D

P-16D

P-17D

P-18D

Figura 13.6: Puntos exteriores a la zona de influencia de la obra.

363


Las posibilidades son tantas como tipos de obra y situaciones en ella existen. Debemos pues prever las situaciones futuras de la obra, y situar las referencias en zonas que estén a salvo de la propia actividad constructiva.

Figura 13.7: Camillas para replantear una cimentación. Un sistema clásico en los arranques de cimentación es el de las camillas. Las camillas, Figura 13.7, son tabloncillos colocados de canto, clavados a unos soportes o estacas fuera del perímetro de la obra, y por tanto fuera de la zona de influencia de la misma. Las camillas se colocan mediante replanteo topográfico sobre el nivel de la cimentación, y perfectamente horizontales, en ellas se clavan puntas en las prolongaciones de los ejes de la cimentación, numerándolos con señales indelebles en la madera, en los dos sentidos y en las cuatro caras de la excavación (pueden existir más caras, pero se colocan de forma ortogonal, el caso más sencillo es un rectángulo). Una vez encamillada la obra, el 364

Replanteos

sistema es fácil, se materializan con dos hilos las alineaciones que se busquen, y en la intersección de ambos se cuelga una plomada que definirá el eje de la cimentación, tantas veces como lo necesitemos, por ejemplo, una para marcar la excavación de una zapata, otra para colocar las armaduras sobre el hormigón de limpieza, otra para marcar los ejes de pilares tras el hormigonado, etc. Mediante el sistema de camillas se pueden replantear de forma fácil y con mucha precisión todos los elementos de la cimentación, arranque de estructura y otros, hasta que el recinto de la obra esté libre de máquinas o sistemas constructivos que hagan inútiles a las referencias o puntos replanteados. Las camillas se mantendrán hasta que no sigan siendo útiles, o bien hasta que sean un impedimento para continuar la obra.

365

14. REPLANTEO DE ELEMENTOS GEOMÉTRICOS: RECTAS Y ÁNGULOS

Soy exactamente un inventor. Tal es el título que debiera figurar en mi tarjeta de visita. (Casto Fernández-Shaw Iturralde)

14.1. Generalidades. El alcance y la complejidad de las operaciones de replanteo de una obra tendrán una magnitud que estará en relación directa con la complejidad del proyecto, las condiciones del solar, las condiciones de ejecución, etc. Así pues, los trabajos de replanteo estarán compuestos por diversas operaciones destinadas a, tras la determinación de los puntos fundamentales y el resto de puntos, trazar sobre el terreno o sobre una parte del edificio, distintos tipos de figuras geométricas o parte de ellas, tales como rectas, ángulos, o arcos de curva. Todas estas operaciones, denominadas trazados, normalmente, consisten en la resolución práctica de problemas de Geometría Plana.

367


14.2. Trazado de rectas. El trazado de una línea recta es en definitiva el trazado de una alineación, del que ya nos hemos ocupado anteriormente, como es el trazado con jalones. Si necesitamos un trazado de mayor precisión utilizaremos un taquímetro. El método consiste en estacionar un taquímetro en uno de los extremos de la alineación y colimar un jalón colocado en otro extremo conocido de la alineación, o bien directamente el elemento fijado previamente que determina la alineación si es que es visible directamente. Los puntos intermedios se colocarán buscando, con el circulo azimutal fijo, mediante el movimiento vertical del anteojo la posición del jalón que el asistente transportará a dónde nuestras indicaciones le lleven. Una vez que el asistente del jalón se encuentre en nuestra visual, será cuestión de indicarle mediante gestos el movimiento a izquierda o derecha hasta que quede colimado y centrado en el hilo vertical de anteojo. Dependiendo de la distancia, así como de la precisión necesaria en la alineación que trazamos, podemos incluso afinar más situando una estaca con un clavo, etc. La operación se repetirá tantas veces como sea necesario para marcar los puntos que deseemos, y que luego se podrán utilizar para materializar la alineación mediante hilos, reglas y otros métodos.

368

Replanteo de rectas y ángulos

14.3. Trazado de ángulos. Asimismo, para el trazado o materialización mediante dos alineaciones de un ángulo, la manera más adecuada es mediante la utilización de un taquímetro, Figura 14.1. Si conocemos una alineación (AB), trazada sobre el terreno convenientemente, y deseamos materializar otra (AC), con vértice en (A) que forma un ángulo (α) con la alineación trazada, el método a seguir es el que a continuación se describe.

C

LAB

LAC

α A

B

Figura 14.1. Se estaciona el aparato en el vértice (A) del ángulo que se desea trazar, dirigiendo la visual del anteojo a un punto cualquiera de la alineación (AB), que puede ser el propio punto (B), tomando la lectura azimutal (LAB). Si el ángulo (α) se debe trazar a la derecha de (AB), se suma el valor de la amplitud de (α) a la lectura (LAB), obteniéndose la lectura precisa (LAC) para que, cuando la marque el circulo azimutal del instrumento, este esté orientado hacia el punto (C) buscado:

LAC = LAB + α

369


En el caso de que el ángulo estuviera a la izquierda de la alineación, para obtener la lectura necesaria (LAC) habría que restar el ángulo (α) a la lectura inicial (LAB):

LAC = LAB − α Para conseguir que el eje del anteojo se sitúe en la alineación buscada (AC), giraremos la alidada mediante al movimiento particular hasta que el circulo azimutal señale el ángulo (LAC). El procedimiento para la materialización del punto (C) es el mismo que usamos para colocar el punto en una alineación. Por este procedimiento podemos trazar cualquier ángulo, como es lógico, y es el procedimiento que debemos usar para hacerlo en el caso de que la precisión necesaria sea suficientemente alta, sin embargo podemos utilizar otros métodos menos precisos o expeditos par marcar ángulos rectos, que ya hemos estudiado, como es la plomada óptica, el triángulo sagrado egipcio, por ejemplo, pudiendo también usar el método de la escuadra o el de la cuerda.

Figura 14.2: Trazado de ángulos rectos con escuadra de albañil. 370


La escuadras de albañil suelen ser metálicas, aunque también existen de madera y este trazado se recomienda tomando las precauciones correspondientes que son fundamentalmente que la escuadra debe ser de tamaño grande, es decir, de 1 m a 1,5 m. de lado, y no se deben emplear más pequeñas, que esté comprobada en su configuración y no haya sufrido deformaciones, que los hilos de referencia deben estar perfectamente tensos y horizontales y que se establezcan las visuales de forma muy precisa y por una persona con experiencia en estas tareas. Asimismo, como los hilos cruzados nos proporcionan cuatro ángulos rectos, no debemos conformarnos con medir uno, ya que al menos hay que establecer una comprobación haciendo la misma operación en el ángulo opuesto o en el suplementario. X

A

M C N B

Y

Figura 14.3. También se puede usar el método de la cuerda que describimos a continuación. Sea una alineación conocida (AB), Figura 14.3, y un punto (C) de la misma por el que se quiere trazar un ángulo recto. Con centro en (C) y radio cualquiera (R) se marcan en la alineación (AB) dos puntos (M) y (N) determinados por el radio elegido (R). Tras esa operación se trazarán dos arcos de circunferencia a ambos lados de la alineación (AB), con radio mayor que (R), desde los puntos (M) y (N), la intersección de estos arcos determinarán los puntos (X) e (Y), que unidos forman 371


una alineación recta que forma un ángulo recto con la alineación (AB).

N

α A M B

Figura 14.4. También podemos trazar un ángulo cualquiera, por este medio, en lo que se denomina un trazado trigonométrico. Sea una alineación conocida (AB), Figura 14.4, y un punto (C) de la misma por el que se quiere levantar un ángulo (α). Desde el punto (C) y sobre la alineación (AB) se determina un punto (M) de longitud (l). Se traza en (M) un perpendicular a (AB) y sobre ella se marcará un punto (N) cuya distancia con (M) cumpla:

MN = l ⋅ tgα Uniendo los puntos (C) y (N) obtendremos una alineación (CN) que forma un ángulo (α) con la alineación de partida (AB), solución del problema.

372


14.4. Trazado de perpendiculares. No siempre una perpendicular a una alineación conocida se podrá trazar desde un punto de esa alineación, es decir, cuando nos encontramos en los supuestos anteriores, sino que nos podemos encontrar con el caso en el que debamos trazar una perpendicular que pase por un punto exterior a la alineación de partida, explicando a continuación e procedimiento de trazado con la ayuda de un taquímetro. Sea una alineación conocida (AB), Figura 14.5, y (P) un punto exterior a la misma por el que se pretende trazar una perpendicular a dicha recta. Estacionamos el instrumento en un punto cualquiera de la alineación (AB), sea en este caso el punto (M), estableciendo visuales a la alineación que contiene (M) y al punto (P), midiendo el ángulo (α) que forman ambas rectas. A continuación de estaciona en (P) y se colima el punto (M). Trazaremos entonces, por el procedimiento descrito anteriormente, un ángulo (β) que cumpla:

β = 100 g − α .

P

β

α

A M

P'

B

Figura 14.5. 373


Así, sobre la alineación determinada por este ángulo, materializaremos el punto (P’), intersección de las alineaciones (AB) y (PP’), siendo la recta (PP’) la solución al problemma planteado En el caso de que podamos medir las distancias de la operación, se puede resolver el problema, una vez medido el ángulo (α) midiendo a su vez la distancia (MP), y entonces, sin necesidad de estacionar de nuevo el taquímetro en (P), bastará con materializar el punto (P’) sobre la alineación (AB) midiendo desde (M) su distancia, cuyo valor viene determinado por la expresión:

MP' = MP ⋅ cos α P

A

X

Y

B

P'

Figura 14.6. El problema, también se puede resolver, si no disponemos de taquímetro, con cinta y cuerda, Figura 14.6, si es posible por las distancias y condiciones de la operación, trazando desde (P) un arco de radio cualquiera, mayor que la distancia (MP), cuya intersección con (AB) determinará dos puntos (X) e (Y), volviendo a trazar dese ellos sendos arcos de de radio menor, y cuya intersección (P’’) determinara la alineación buscada. 374


14.5. Trazado de paralelas.

A' d A

B' d B

Figura 14.7. Nos apoyaremos en primer lugar en los procedimientos anteriores. Así, en el caso más sencillo, Figura 14.7, en el que se trata de trazar una recta (A’B’) paralela a otra conocida (AB), a una distancia (d), el procedimiento consistirá en levantar sendas perpendiculares a (AB) en los puntos (A) y (B), sobre los que se medirá la distancia (d), y que determinará los puntos (A’) y (B’), cuya unión es la paralela en cuestión.

P

β α A

P'

B

Figura 14.8.

375


En el caso en que el problema consista en trazar una paralela por un punto dado, Figura 14.8, se estacionará un taquímetro en el punto (A) de la alineación (AB), estableciendo una visual hacia el punto (P) por el que se ha de trazar la paralela. Se tomará nota del ángulo (α) que forma la visual con la alineación de partida. Se estaciona el instrumento ahora en (P), y con origen en la recta (PA) se traza el ángulo (β), suplementario de (α):

β = 200 g − α por el procedimiento conocido de trazado de materializando la recta (PP’), solución al problema.

ángulos,

Para comprobar, Figura 14.9, el posible error del trazado, además de establecer la visual con el ángulo (β), estableceremos la visual contraria con el propio ángulo (α), además se trazará otro ángulo auxiliar (γ), cuyo valor es:

γ = 100 g − α y que determina la perpendicular (P’P’’) a las dos rectas, la de partida y la paralela trazada, siendo (P’’) el punto de intersección de esta recta con la alineación (AB), y mediremos la distancia (P’P’’) con la cinta.

α

P

α

N'

β

A

P' N

γ A P''

Figura 14.9.

376

B


Estacionaremos ahora el aparato en otro punto (N) de la alineación (AB), desde el cual estableceremos una visual perpendicular a (AB), trazando la recta (NN’), cuya longitud debe coincidir con la distancia (P’P’’), si la paralela está bien trazada.

377

15. REPLANTEO DE ELEMENTOS GEOMÉTRICOS: CURVAS

De curvas está hecho el universo. (Oscar Niemeyer)

15.1. Generalidades. De todas las curvas que existen, no es frecuente encontrarse en arquitectura con curvas distintas a las curvas circulares, o bien con curvas que no se puedan sustituir por arcos de curvas circulares, como conocemos por la Geometría y a sus aplicaciones a las disciplinas de dibujo técnico, es por eso que nos ocuparemos de estudiar el trazado de curvas circulares de un solo arco de circunferencia, con diferentes datos de partida y puntos de apoyo. Asimismo, introduciremos algunos conceptos de otras curvas que se utilizan en ingeniería, cuyo conocimiento es interesante, aunque no sean propias de la arquitectura. Así pues, para estudiar el trazado de una curva circular, nos podemos encontrar en el caso de que esté encajada entre dos alineaciones rectas concurrentes siendo tangente a ambas, como curva de enlace entre dos tramos rectos en un vial en planta, o circunscrita a una alineación recta, como pueden ser distintos elementos curvos en un edificio, ya sea en planta o en alzado. Para desarrollar los métodos de su trazado, estudiaremos antes los parámetros o elementos que definen una curva circular. 379


15.2. Elementos de la curva circular. De todos los elementos de la curva circular, los necesarios para su trazado los clasificaremos en dos grupos, en función del tipo de curva que sea de los descritos anteriormente: curva de enlace y otros tipos de curva. Una curva de enlace es aquella que está encajada entre dos alineaciones rectas concurrentes y es tangente a ambas, Figura 15.1, siendo los datos necesarios para definirla los siguientes: • •

El ángulo (ω): que es el ángulo que forma las dos alineaciones tangentes a la curva. El radio (R): de la circunferencia a la cual pertenece el arco.

S R O TS R ω

V

TE

E Figura 15.1.

Como este tipo de curvas suelen ser las curvas de transición entre dos alineaciones rectas pertenecientes a un vial, las dos rectas que concurren en el punto (V), denominado vértice de la curva, se denominan tangentes, siendo una la tangente de entrada (TE) y 380

Replanteo de curvas

otra la tangente de salida (TS), siendo tangentes en los puntos (E) y (S) respectivamente. En el caso de curvas circulares simples, las dos tangentes son iguales, ya que la curva es simétrica respecto al eje que pasa por el vértice y el centro (O) de la circunferencia que contiene al arco de curva. En otros tipos de curvas, el arco, podrá venir definido por parámetros tales como la longitud de su cuerda (L), además de su radio (R), Figura 15.2.

C

A

L

B R

O Figura 15.2.

381


15.3. Replanteo de una curva circular. Los parámetros que se han definido en el punto anterior, deben ser conocidos de antemano, aunque existen otros parámetros que definen geométricamente la curva, siendo necesario conocer la longitud de las tangentes de entrada y salida. Como hemos dicho la longitud de las tangentes de entrada y salida (TE) y (TS) es la misma, siendo su valor (T), según se desprende de la Figura 15.3., el siguiente:

T = TE = TS = R ⋅ tg

α 2

S R O TS

α

R

B ω

V

TE

E Figura 15.3.

Siendo (α) el ángulo central de la curva, y suplementario por tanto del (ω) que forman las alineaciones tangentes a la curva: 382

Replanteo de curvas

ω = 200 g − α por cumplirse la condición de que (ω) es un ángulo exterior a la circunferencia que contiene a la curva, y su valor es la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus lados (ver 5.7 Conceptos generales sobre ángulos), por tanto:

( 400 g − α ) − α 400 g − 2α ω= = = 200 g − α 2 2 De igual manera, se pueden conocer otros parámetros de la curva que en algún momento nos puedan ser necesarios, tales como la distancia del vértice (V) al punto central o bisectriz de la curva (B), u otros valores, que sin ser indispensables para el trazado de la curva, complementan el mismo, y pueden ser deducidos fácilmente de la geometría de la figura. Recordemos que el trazado de la curva se apoya en las dos alineaciones que forman sus tangentes, y que habrán sido materializadas en el terreno de acuerdo con alguno de los procedimientos anteriormente estudiados. Así pues, el primer paso para el replanteo de la curva será el de señalar sobre cada una de las alineaciones tangentes, precisamente los puntos de tangencia de entrada y salida (E) y (S), los cuales se determinarán midiendo desde (V) la longitud (T), procediendo al trazado del arco mediante la determinación de puntos contenidos en el, en lo que se denomina trazado por puntos, y que describimos a continuación.

O β

R P γ

V

TE

d E

Figura 15.4. 383


El trazado por puntos de una curva circular, se realiza utilizando un taquímetro o estación total, mediante el sistema de coordenadas polares, haciendo estación en uno de los puntos de tangencia, que se toma como origen de distancias, siendo el origen de ángulos la propia tangente en la que hemos hecho estación, Figura 15.4. De acuerdo con este sistema de referencia los datos necesarios para situar un punto (P) en la curva, correspondiente a un ángulo central (β), contado a partir del radio trazado desde la tangente de entrada, serán, la distancia (d) y el ángulo (γ). Teniendo en cuenta que (γ) es un ángulo inscrito ( véase 5.7), su valor será:

γ=

β 2

Y el valor de (d) será:

d β sen = senγ = 2 ⇒ d = 2 R ⋅ senγ 2 R Así pues, en general para calcular las coordenadas polares (γn, dn) de cualquier punto (Pn) que pertenezca a la curva, contado a partir de la tangente, utilizaremos las expresiones:

γn = n ⋅γ d n = 2 R ⋅ senγ n Una vez calculadas las coordenadas polares de todos los puntos de la curva mediante los cuales la vamos a replantear, podremos una vez estacionado el instrumento en el punto de tangencia elegido como origen del replanteo, se hace que la lectura cero del circulo azimutal coincida con la visual al vértice de la curva (V), y, utilizando ya el movimiento particular se van estableciendo las alineaciones de cada punto mediante el cifrado de sus ángulos, y colocando cada punto en su alineación midiendo la distancia al 384

Replanteo de curvas

punto de tangencia, mediante cinta métrica, lecturas de mira situando la mira, o, si se dispone de estación total, situando el prisma hasta que la distancia reflejada en la pantalla sea la que corresponde, Figura 15.5.

P2 d2 γ2

P1 V

γ1

d1

TE

E Figura 15.5.

La elección de los puntos de replanteo de la curva se hará de forma que los tramos de curva en que dichos puntos van a dividir la curva no tengan una gran diferencia con la longitud de su cuerda, ya que en definitiva estamos sustituyendo una curva por una poligonal. Por tanto lo que tenemos que elegir es el ángulo central (β), Figura 15.4, de cada tramo. Una vez que hayamos decidido el valor mínimo de éste ángulo, y que debe ser menor o igual a 6g como norma general, dividiremos el valor del ángulo central del la curva entre este valor para calcular el número de arcos menores que este valor que contiene la curva, repartiendo entre ellos su valor, procediendo a calcular las coordenadas de cada punto de la curva. La forma más habitual de replantear una curva es hacerlo en dos tramos iguales, habiendo dividido la curva en su bisectriz, replanteando un tramo desde la tangente de entrada y otro desde la tangente de salida, para esto, obviamente es necesario que la curva se divida en un número par de tramos, siendo uno de los puntos a replantear la bisectriz de la curva, que replantearemos desde cada tangente, como comprobación.

385


Podemos, en caso de no disponer de taquímetro, y si se trata de curvas de pequeña entidad y en terrenos muy llanos y diáfanos, replantear la curva utilizando el sistema de coordenadas y abscisas desde la tangente, para lo cual sólo tendremos que medir distancias y trazar perpendiculares a la tangente. Estableceremos un sistema cartesiano cuyo origen sea el punto de tangente (E), el eje de abscisas la tangente (TE) y el de ordenadas el radio (R) de la circunferencia que pasa por el punto de tangencia, Figura 15.6. En este sistema, los datos para situar un punto (P) son la distancia (EP’) que constituye el valor de la abscisa (xP) y la distancia (PP’) que constituye el valor de la ordenada (yP). La abscisa (xP) y la ordenada (yP) del punto (P) del arco, correspondientes a un ángulo central (β), contadas a partir de la tangente, según se deduce fácilmente de la Figura 15.6, tendrán el siguiente valor:

xP = R ⋅ senβ yP = R − R ⋅ cos β

O R β

P V

xP yP E

TE Figura 15.6

386

R-yP

Replanteo de curvas

Siendo los valores en general de las coordenadas (xP, yP) de un punto (Pn), correspondiente a un ángulo central (nβ) las siguientes:

xn = R ⋅ sen(nβ ) yn = R − R ⋅ cos(nβ ) Una vez calculados los valores de las coordenadas correspondientes a los puntos que se van a situar sobre el terreno para servir al trazado de la curva, el trabajo de campo se basa en procedimientos ya estudiados, siendo también lo habitual replantear la curva en dos partes iguales.

387


15.4. Replanteo de arcos circulares. Como se ha explicado en la introducción, un arco circular vendrá determinado por su cuerda (L) y su radio (R), Figura 15.7.

C

M

A

B

α

R O Figura 15.7. Aunque existen otros parámetros del arco que lo definen geométricamente y que pueden ser deducidos de los datos anteriores, estos son: •

El ángulo central (α): cuyo valor viene determinado por:

α = 2arcsen •

La longitud (OM) o apotema:

OM = R ⋅ cos •

L 2R

α

⎛L⎞ = R2 − ⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠

La longitud (MC) o sagita:

MC = R − OM

388

2

Replanteo de curvas

Cualquier arco, por tanto podrá ser definido por los parámetros anteriores, y por tanto podrá ser trazado, tal como lo estudiaremos a continuación. Estudiaremos el procedimiento de trazado mediante la determinación de puntos pertenecientes al arco, utilizando un sistema de coordenadas en el que el origen es el punto central de la cuerda (M), la cuerda el eje de abscisas y la sagita el eje de ordenadas. Por tanto para poder trazar un punto (P) cualquiera, perteneciente al arco, habrá que determinar los valores de (MP’) y de (PP’), abscisa y coordenada del punto, respectivamente, Figura 15.8.

P

A

M

P'

B

Figura 15.8. Así pues, para obtener los datos del trazado seguiremos los siguientes pasos, representados en la Figura 15.9. En primer lugar consideraremos un sistema cartesiano auxiliar de referencia cuyo origen será el centro (O) de la circunferencia que contiene al arco, y cuyo eje de abscisas sea el diámetro paralelo a la cuerda (AB) del arco. Las coordenadas (xP, yP) de un punto (P) y el radio (R) de la circunferencia, tendrán la siguiente relación obvia:

xP2 + yP2 = R 2 Así pues, para un valor cualquiera de una abscisa (xi), la ordenada correspondiente tendrá el siguiente valor:

yi = R 2 + xi2 389


C

A

M

R x'i

O

xi

y'i

yi

B

Figura 15.9. Ahora bien, los valores de las coordenadas (x’i, y’i) que necesitamos, corresponden a los valores tomados desde el sistema centrado en (M), que, de acuerdo con la Figura 15.9, calculando en primer lugar el valor de la apotema (OM): 2

⎛L⎞ OM = R − ⎜ ⎟ = R 2 + AM 2 ⎝2⎠ 2

Las abscisas, como vemos son las mismas en los dos sistemas, y las ordenadas se diferencian precisamente en el valor de la apotema (OM) que acabamos de calcular, por tanto, las coordenadas definitivas (x’i, y’i) serán:

x'i = xi y 'i = yi − OM

390

Replanteo de curvas

Hemos tomado como origen de coordenadas el centro (M) de la cuerda, ya que este era el dato conocido, pero como hemos visto, podríamos trazar el arco si tuviésemos determinado el diámetro sin necesidad de trasladar las coordenadas (xP, yP) a las coordenadas (x’i, y’i), de lo que se desprende, como conclusión general, que podríamos hacer la misma traslación a cualquier eje paralelo al diámetro siempre que podamos calcular el valor de la distancia entre el diámetro y este supuesto eje, pudiendo por ejemplo suponer que podríamos conocer la tangente (T) al arco en el punto (C) central, las coordenadas (x’’i, y’’i) para este caso:

x' 'i = xi y ' 'i = yi − R

391


15.5. Curvas no circulares. Las curvas de las que daremos aquí solamente alguna noción, y sobre todo de su uso son la clotoide y la parábola. La clotoide es la curva horizontal de transición por excelencia en carreteras y la parábola la que se usa habitualmente para acuerdos de curvas verticales. En la mitología griega, las decisiones del destino, irrevocables tanto para los Dioses como para los mortales eran ejecutadas por las Parcas. Estas eran tres: Cloto, Laquesis y Átropos, representadas como unas mujeres pálidas y demacradas que hilan en silencio, a la tenue luz de una lámpara. Cloto es la más joven y tiene en su mano una rueca de la que penden hilos de todos los colores y de todas las calidades: de seda y de oro para los hombres cuya existencia será feliz, de cáñamo y lana para aquellos que serán pobres y desgraciados. Laquesis da vuelta al huso en el que va arrollando los hilos que le presenta su hermana, y Átropos, que es la mayor, aparece con la mirada atenta y melancólica, inspecciona su trabajo, y valiéndose de unas tijeras muy largas corta de improviso y cuando le parece el hilo fatal. A principio del siglo XX, el matemático italiano Ernesto Cesàro (1859-1906) dio el nombre de clotoide a una curva con doble espiral simétrica, inspirándose en el hilo que se enrolla en el huso y la rueca. Esta curva también es conocida como Espiral de Cornú, en honor al físico francés Marie-Alfred Cornú (1841-1902) quien la uso en estudios sobre difracción de la luz, aunque sabemos que el suizo Leonhard Euler (1707-1783) ya la conocía. Esta curva tiene especial interés puesto que usa habitualmente como curva de transición en carreteras, empezándose a usar en Alemania y en Estados Unidos en las autopistas que se construyeron a partir de los años 30. Una clotoide es una curva cuya ecuación intrínseca viene dada por:

l ⋅r = K siendo (l), la longitud o arco de curva recorrido, (r) el radio de curvatura y (K) una constante. Así pues, la clotoide es una curva 392

Replanteo de curvas

tal que su radio de curvatura varía de forma inversamente proporcional a la longitud del arco recorrido. La clotoide se utiliza en la práctica, para lograr una marcha cómoda de un móvil entre puntos del trazado de la trayectoria de radio diferente, por ejemplo entre una recta y una curva circular o entre dos curvas circulares de radio distinto, como es el caso evidente del trazado de carreteras en las que nos encontramos normalmente: tramo recto, clotoide, curva circular, clotoide y tramo recto, de esta manera el conductor de un vehículo no nota el cambio brusco de ir en un tramo recto, cuyo radio podemos considerar infinito, a un radio determinado de una curva circular, porque entre ambos tiene la clotoide en la que el volante se gira gradualmente hasta el radio circular, pasando lo mismo en la salida de la curva. También se usa en los parques de atracciones para diseñar los bucles de las montañas rusas, ya que empleando una clotoide se necesita una menor velocidad mínima en la parte superior que cuando el bucle es una curva circular, por ello un acceso más lento al bucle todavía puede proporcionar suficiente aceleración centrípeta en la parte superior, así los usuarios sienten esa sensación de ingravidez en la parte superior, pero la menor velocidad de acceso en la base hace la experiencia más suave. De igual modo que es necesario que los acuerdos en las curvas horizontales, también lo son en los cambios de rasante o curvas verticales. Una curva vertical es aquel elemento del diseño en perfil que permite el enlace de dos tangentes verticales consecutivas, de tal forma que a lo largo de su longitud se debe efectuar un cambio gradual de la pendiente de la tangente de entrada a la pendiente de salida, que posibilite la comodidad en la marcha de los vehículos, sin olvidar el adecuado drenaje. Se ha comprobado que la curva que mejor se ajusta a estas condiciones es la parábola de eje vertical. Así pues, normalmente se usa para estos acuerdos la parábola. La parábola se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz, siendo la intersección asimismo de un cono con un plano paralelo a una generatriz, siendo su ecuación.

x = ay 2 + by + c 393


La virtud de la parábola es que es una curva cuya variación de pendiente es constante con relación al trayecto recorrido, lo que beneficia la comodidad de la marcha del vehículo. En, efecto, si tenemos en cuenta que el valor de la derivada es a pendiente de la curva en el punto en el que se particulariza, y calculamos la derivada segunda, tenemos que:

δx δ 2x = 2ay + b ⇒ 2 = 2a = cte. δy δ y

394

16. REPLANTEOS ARQUITECTÓNICOS

Lo que me llena de satisfacción es ver después de diez años que la línea que dibujaste se ha hecho realidad. (Ricardo Bofill)

16.1. Replanteos de edificios. Las tareas de replanteo propias de la arquitectura, aun siendo aplicación particular de los métodos topográficos, son las mismas que en cualquier obra de construcción como concepto general, aunque para sus correctos conocimiento, desarrollo y aplicación es necesario el conocimiento de otras disciplinas arquitectónicas, como son geotecnia, resistencia de materiales, construcción, instalaciones, etc. El replanteo es, como sabemos, la materialización en el terreno en primer lugar y después sobre las diferentes partes del edificio a medida que se construye, la propia arquitectura del edificio, su definición geométrica y todas los elementos de ingeniería necesarios para su completa y correcta ejecución, siendo pues, objeto del replanteo de edificios, y estando por tanto sometidos a una labor precisa de replanteo previo los siguientes trabajos, siendo esta una relación no exhaustiva: • •

Ubicación del edificio. Establecimiento de cotas y dimensión e las excavaciones y terraplenados. 395


• • • • • • • • • • • • •

Ejecución de redes de saneamiento. Profundidades, espesores y dimensiones de elementos de cimentación. Colocación y ejecución de encofrados. Colocación y ejecución de armaduras para hormigón armado. Colocación de anclajes de estructuras metálicas. Alturas y situación de elementos estructurales Definición de escaleras y rampas. Situación de todas las fábricas, con sus huecos, alturas y dimensiones. Situación de instalaciones Ejecución de cubiertas, con sus pendientes y demás elementos. Replanteo de solados, aplacados y alicatados. Colocación de todos los elementos de carpintería y cerrajería de taller. Situación de elementos exteriores, de urbanización y ornamentales.

Es por tanto evidente, la necesidad y la importancia de las labores de replanteo, y sobre todo teniendo en cuenta que, al tener que efectuarse necesariamente a medida que se construye el edificio, y al apoyarse cada parte que se va construyendo en el previo replanteo de esta, como hemos explicado, cualquier error en un replanteo repercute en todas las labores que se ejecuten ulteriormente. Así pues, partiremos, una vez afrontada la construcción de un edificio, del siguiente principio: nada se ejecutará sin estar previamente replanteado. Esto hace que el replanteo forme parte intrínseca del proceso constructivo. En este sentido, para que un replanteo esté correctamente ejecutado deberán cumplirse las siguientes premisas: •

396

Conocimiento del elemento a replantear: debemos conocer todas las características geométricas y físicas del elemento a replantear, así como sus características constructivas. Entre las características físicas no debemos olvidar el peso, así como todas sus partes y

Replanteos arquitectónicos

•

•

•

•

funcionamiento. Debemos conocer además su influencia co su entorno, en relación a necesidad de separación de otros elementos, edificaciones, etc., por funcionamiento, requerimientos legales, u otros. No podremos replantear ningún elemento del cual no conozcamos todos estos datos. Documentación del elemento a replantear: el elemento a replantear debe estar documentado en el Proyecto de Ejecución o en sus modificaciones autorizadas, asimismo debe estar referenciado geométricamente en el mismo. En este sentido, los planos o documentación gráfica que utilicemos para el replanteo debe estar referenciada siempre al edificio, a alguna de sus partes o a alguna referencia existente en el terreno. Nunca un plano de replanteo debe contener el elemento a replantear exento de referencias. Conocimiento de todos los elementos relacionados: es necesario conocer el entorno de lo que vamos a replantear, su relación con el resto de elementos constructivos del edificio, funcionamiento y orden de ejecución en la obra. Posibilidad física de ejecutar el replanteo: el replanteo, como hemos repetido, es la materialización física de una realidad teórica que existe en el plano, de nada sirve hacerla teórica en un pre-replanteo, podríamos decir, si es que no se puede replantear porque alguna labor previa no se ha podido ejecutar. No estamos en contra e un tanteo previo o pre-replanteo, pero esto no exime la necesidad del replanteo efectivo y real. En aquellos elementos cuyo replanteo no se pueda ejecutar sobre el terreno o parte del edificio, estableceremos métodos o construiremos dispositivos o ingenios que nos permitan ejecutar el replanteo real y físicamente y en su verdadera dimensión. Este el caso, por ejemplo de las camillas y de otros sistemas que veremos en este tema. Comprobación del replanteo: los replanteos, como todas las labores topográficas, una vez eliminadas las equivocaciones, contienen errores, estos errores se deben ser comprobados y corregidos. Es necesario que los métodos e instrumentos que utilicemos para el replanteo estén comprobados y en buen estado de uso, así como que el personal que participe en los replanteos conozca 397


perfectamente su utilización, aún en la tarea más elemental. El repaso que a continuación hacemos a los distintos elementos constructivos de la obra en cuanto a su replanteo no es exhaustivo, ni podría serlo, ya que como hemos dicho el replanteo alcanza a todas las partes de la obra y eso no se puede abarcar en un manual. Pensamos, sin embargo, que se dictan a continuación, normas generales y particulares que serán sin duda, no sólo de utilidad en cuanto al elemento concreto a que se refieren, sino como idea extrapolable al resto de elementos que específicamente no se citan. De igual manera, las ideas que aquí se vierten, se refieren a la arquitectura tradicional, entendiendo que un proyecto singular debe contener suficiente información, incluso para efectuar los replanteos.

398


16.2. Replanteo de movimientos cimentaciones y saneamiento.

de

tierra,

Cualquiera de estas tres actividades puede ser la primera cuyo replanteo, o en cualquier caso y previo a ello, su levantamiento sea la labor por la que empiece la ejecución de la obra, siendo lo más habitual, que la primera sea el movimiento de tierras. Los movimientos de tierras son la modificación del terreno necesaria para ejecutar el edificio, esta modificación sólo puede hacerse de dos formas: quitando tierra, lo que se conoce como excavación, y aportando tierra, lo que se conoce como terraplenado. Cualquiera de ambos procesos incide fundamentalmente en labores de altimetría. Las labores de replanteo y de control de movimiento de tierras son básicamente de altimetría, aunque, como siempre habrá un replanteo previo altimétrico. Los movimientos de tierras en un edificio fundamentalmente son los siguientes: • • • •

Vaciados Excavaciones en zapatas y zanjas Excavaciones de saneamientos Viales.

En las excavaciones en vaciados, debemos tener en cuenta fundamentalmente la cota de fondo de excavación. Previamente, se deberá conocer el talud de la excavación, que es la inclinación de las paredes de terreno que se forman alrededor de la excavación. El talud dependerá del tipo de la cohesión del terreno, y es un dato que debemos conocer antes del comienzo de la misma, y por tanto de su replanteo, ya que, la superficie de fondo de excavación se multiplicará en la cota de arranque en función de su talud, y esto lo tendremos en cuenta al replantear la zona del vaciado, incluso replanteando este si es necesario.

399


Figura 16.1: Excavación de un vaciado. Para marcar la cota de fondo de excavación tendremos en cuenta todos los elementos que, desde la cota de referencia conocida, deben quedar por debajo: forjados, gruesos de solería, soleras, zapatas, hormigón de limpieza, etc. Una vez conocida la cota de fondo de excavación se marcará en una referencia exterior, o en el número de estas que sean necesarias, rotulando en ellas la distancia a la que se habrá de excavar, Figura 16.1. El personal que ejecuta o controla la excavación podrá medir desde estas referencias con cinta, a medida que se ejecute el vaciado, pero el control de la misma lo efectuaremos mediante nivelación geométrica. En excavaciones de zapatas y zanjas, se actuará de la misma manera, pudiendo suceder que éstas estén en el fondo de un vaciado previo. El sistema normal será el replanteo de camillas y desde los hilos de éstas se bajarán los puntos fundamentales o ejes de cimentación, a partir de los cuales con cinta se marcarán las zonas a excavar. Es importante apoyarse en los hilos que se tienden sobre las camillas y bajar con la plomada más de un punto, para materializar los ejes en el fondo de la excavación, con objeto de procurar mantener la ortogonalidad de los elementos replanteados. En las excavaciones para zanjas de saneamiento, lo más importante es replantear la rasante de la excavación, teniendo en cuenta que esta es una operación especialmente delicada puesto 400


que deberemos materializar pendientes normalmente muy pequeñas y ocasionalmente en tramos muy largos. El sistema operativo es siempre el mismo, una vez replanteada planimétricamente la zanja de saneamiento, así como las zonas de pozos y arquetas, se referenciarán en el borde de la excavación tablillas con las cotas, a lo largo del recorrido de la excavación, comprobando esta mediante nivelación geométrica. Cuando la pendiente o el recorrido lo exijan, se comprobará también mediante nivelación geométrica la colocación de los tubos. Un sistema tradicional para replantear estos trabajos es el empleo de niveletas, Figura 16.2.

Figura 16.2: Niveletas, y su uso. La niveleta es un instrumento compuesto por un soporte vertical y un travesaño horizontal, generalmente pintado en colores que lo hagan visible. Un juego de niveletas se compone de al menos tres unidades, ya que al igual que los jalones son necesarias al menos una en cada extremo de la alineación y otra intermedia para marcar los puntos. La altura del soporte es igual para todas las niveletas del mismo juego. En la rasante de un saneamiento, todos los puntos de la misma están en una alineación, por ser de pendiente constante. Colocando una niveleta en cada extremo de 401


la alineación, podremos marcar puntos de esa alineación o de una paralela como referencia, colocando niveletas intermedias mediante la referencia visual que proporcionan las niveletas extremas. A lo largo de las redes de saneamiento se replantearán los pozos y arquetas correspondientes, replanteando su posición mediante procedimientos planimétricos y sus cotas mediante el sistema explicado, efectuándose una comprobación mediante nivelación geométrica. Para el replanteo de viales utilizaremos sistemas topográficos para replantear el eje, materializándolo en base a puntos que pertenezcan a él, marcando en el las cotas de excavación o terraplén mediante estacas, en el eje o en referencias externas. En las estacas se rotula son signo positivo el terraplén y negativo el desmonte, se establecerán normalmente referencias externas y se repondrán puntos con bastante frecuencia. La definición de los viales se hace habitualmente mediante perfiles longitudinales y transversales, tema que se tratará más adelante, y que sirve tanto para su replanteo como para el cálculo de los volúmenes de tierras. El replanteo de cimentaciones dependerá del tipo de cimentación que incluya el proyecto, pudiendo en general utilizar métodos topográficos para situar las referencias exteriores o encamillados, y métodos de medición directa para replantear, y reponer ya que los propios trabajos de cimentación los eliminarán, los puntos significativos de la cimentación, aunque en cimentaciones de grandes dimensiones se recomienda que se coloquen y recoloquen los puntos siempre mediante sistemas topográficos, concretamente mediante el sistema de radiación. Si la cimentación es de grandes dimensiones utilizaremos el método de radiación. Este método está especialmente indicado en cimentaciones por pilotaje, ya que el continuo trasiego de las máquinas hará especialmente repetitiva la reposición de puntos, pudiendo llegar incluso a sólo replantear los puntos que sean necesarios cada día, cada dos días, etc. Para aplicar este sistema se seguirá este procedimiento: • 402

En primer lugar se elegirá un punto de estación desde el que se puedan radiar toda la cimentación, en caso de que


•

• • •

no pueda ser así, se elegirán dos o más, referenciados entre sí. Esto se hará en obra, y estos puntos se dejarán materializados en el terreno por medio de referencias fijas, tales como clavos en el acerado, estacas hormigonadas con un clavo, u otros. Se utilizará el método de intersección indirecta referida a puntos conocidos del entorno o de la propia obra para situar la estación. Si hay más de una se referenciarán por el método del itinerario. Se calcularán las coordenadas de la estación y de los puntos destacados de la cimentación, al menos lo ejes de los pilotes y de los pilares de los arranques. Se calcularán las coordenadas polares (γ,d) con polo en cada estación. Para colocar cada punto destacado se establecerá el ángulo (γ) de cada punto, y colocando el prisma o mira en ella, por medio del sistema de medición de distancias indirectas del instrumento que usemos guiaremos al asistente hasta que esté en la distancia (d) correspondiente.

Por este sistema se puede evidentemente replantear cualquier cimentación, ya sea de zapatas, losa, muros pantalla o pilotes, teniendo la ventaja de que se puede reponer fácilmente cualquier punto y, con un adecuado trabajo de gabinete, se pueden obtener las coordenadas de todos los puntos significativos que acompañen o pertenezcan a la cimentación. Si se utiliza sólo para colocar las referencias exteriores, se utilizará el sistema de camillas, y en ellas se referenciarán los ejes de la cimentación en las camillas de cada lado, materializando sus hipotéticas coordenadas, referidas a un origen arbitrario establecido a propósito. Los puntos se materializarán por medio de la plomada colocada en la intersección de cada par de ejes. Esta operación se ejecutará conjuntamente con la excavación de cada elemento de cimentación, pozos, zapatas o zanjas a medida de que se vaya ejecutando, repitiendo y reponiendo los puntos a medida de que se vayan ejecutando las obras: excavación, hormigón pobre, encofrados, armaduras, hormigonado y arranque de pilares. 403


Figura 16.3. Es aconsejable, en general, para las cimentaciones tradicionales, replantear siempre los ejes de los elementos de cimentación, y a partir de ellos el propio elemento. Para conservar la ortogonalidad en el trazado de las zapatas se podrán construir unas plantillas del tamaño de las zapatas, que suele ser repetitivo, con los ejes marcados en ellas y situarlas en el terreno de acuerdo con los puntos que se bajen desde los hilos situados en las camillas.

404


16.3. Replanteo de estructuras. Nos ocuparemos fundamentalmente del replanteo de estructuras de hormigón armado y metálicas, teniendo en cuenta que las estructuras a base de muros de fábrica de ladrillo son asimilables al replanteo de albañilería, y los forjados asimismo a los conceptos de estructura de hormigón. Quedan aparte algún tipo de estructura prefabricada o especial, no por poco habituales, aunque también, sino porque, en cualquier caso los métodos de replanteo son asimilables a los que aquí se describen, o se han descrito ya. El replanteo de estructuras de hormigón armado, nace de la cimentación, tal como se muestra en la Figura 16.4., que representa la cimentación consecuente al trazado de la Figura 16.3. Se ejecutará, de no usar el método de radiación y otro topográfico, bajando los puntos a plomo desde los hilos tendidos en las camillas, no ofreciendo mayor dificultad, ni difiriendo del método utilizado para replantear la cimentación. Es conveniente saber que, en los planos de replanteo de estructura se marcan normalmente las cotas a ejes de pilares, no figurando la dimensión real de los mismos, que habitualmente deberemos obtener del cuadro de pilares. Asimismo, en el plano de replanteo de estructura deberá marcarse el criterio de reducción. Los pilares varían su dimensión según sean de plantas distintas, siendo lo normal que reduzcan ésta según se sube de planta, esta reducción deberá estar marcada en el plano de replanteo, si este está como se ha dicho, y como es habitual acotado a ejes. Los pilares, reducirán su dimensión en función de tres parámetros: • •

A ejes: será una reducción simétrica en todos los lados del pilar, manteniendo el eje constante. Esta será la norma en pilares centrales. A una cara: se mantendrá una cara fija, reduciendo la dimensión del pilar en la cara opuesta, las otras dos caras se mantienen fijas variando el eje de posición. Es lo normal en los pilares de borde. 405


•

A dos caras: se mantienen dos caras fijas, reduciendo el pilar su dimensión en las otras dos. El eje varía de posición. Es lo normal en los pilares de esquina.

Figura 16.4. A partir de este punto, se encofran y hormigonan los pilares, debiendo ejecutar, en el momento mismo del hormigonado una labor propia del replanteo que es su aplomado. Los pilares de hormigón, por el sistema constructivo normalmente utilizado, se deben aplomar una vez hormigonados, pero evidentemente, y por razones que no pertenecen a esta disciplina sabemos que no debe pasar mucho tiempo entre el hormigonado y el aplomado, debiendo estas operaciones ser simultáneas. Así pues, el equipo de ejecuta el hormigonado de los pilares es también quien procede a realizar el aplomado, por medio de la plomada, y en cualquier caso, nos corresponde a nosotros supervisar esta operación. El siguiente paso es el replanteo de las alturas que se realizará tras la comprobación de niveles. Se efectuará una nivelación geométrica de todas la zonas hormigonadas en la base de pilares, y a la cota más alta se le aumentará el grueso necesario para la solería o cualquier otro relleno, en esa planta, se marcará un nivel a un metro sobre esta cota, y sobre este nivel que se señalará en 406


todos los pilares de tomará la medida para colocar el encofrado del forjado superior, o bien de las jácenas y zunchos. Tras el hormigonado, por medio de la plomada, se subirá el replanteo de los pilares, que se replantearán igual que en la planta inferior, recordando el criterio de reducción, repitiendo el proceso. De igual manera que los pilares se replantearán los huecos, perímetro de forjado, escaleras, pantallas, cornisas y cualquier elemento que sea necesario ejecutar con la estructura. Cuando nos referimos a los huecos, nos referimos a todos los huecos, incluyendo los pasamuros de las bajantes, todas las instalaciones, conductos de ventilación, chimeneas, etc. En cuanto a la estructura metálica, su proceso no difiere mucho de lo especificado anteriormente, excepto la peculiaridad de su sistema constructivo. La estructura metálica, por sistema de ejecución y preparación en taller, exige un replanteo más exacto que la estructura de hormigón, si en ésta apreciamos el centímetro, en la estructura metálica apreciaremos el milímetro. Tras la excavación y antes de hormigonar las zapatas, habrá que colocar las placas de anclaje de los soportes, con las armaduras de las zapatas colocadas. Podemos, si tenemos la suficiente precisión utilizar el sistema de hilos y camillas, pero la experiencia nos dice que deberíamos usar procedimientos topográficos. El procedimiento de colocación de las placas de anclaje no ofrece complicación, si utilizamos el método, por ejemplo de radiación, o bien el de estacionar el aparato en referencias exteriores en cada alineación de ejes, es decir, sustituyendo los hilos por visuales del taquímetro o estación total, y una vez salvado el problema constructivo, una vez más fuera de la disciplina de la topografía, de la sujeción de las placas de anclaje. Ahora bien, nos permitimos hacer una sugerencia, sólo desde el punto de vista de facilitar el replanteo de las placas de anclaje, y es la de sustituir las auténticas por plantillas de madera o aglomerado hidrófugo de densidad media (DM), Figura 16.5, esta sencilla labor facilitará la colocación de las placas de anclaje, ya que su mucho menor peso –la décima parte aproximadamente– las hará más manejables, teniendo en cuenta que debemos colocarlas no sólo en su posición, sino también en su cota. Podremos trazar en ellas los ejes de ortogonalidad, que guiados mediante la visual del 407


instrumento evitarán errores en su correcta colocación, así como clavar en ellas clavos, haciendo a su vez de camillas para comprobar otras placas, y una vez hormigonados los anclajes, se sustituye por la verdadera placa de anclaje, es atornilla, se nivela y se rellena con el mortero sin retracción pertinente.

placa de madera

Figura 16.5. El replanteo del resto de la estructura se basa en el montaje de las piezas que vienen cortadas y perforadas de taller, limitándose la labor nuestra en obra, a trabajos de comprobación, sobre los que no nos extenderemos más.

408


16.4. Replanteo cerrajería.

de

albañilería,

carpintería

y

Las labores de replanteo de albañilería en planimetría se realizarán normalmente mediante procedimientos de medición directa, es decir, utilizando la cinta métrica y escuadra de albañil, indicada específicamente en las dimensiones de la distribución interior de un edificio. Para la medición de alturas utilizaremos preferentemente la nivelación geométrica, mediante el nivel topográfico, aunque se puede usar el nivel láser o el nivel de agua. El replanteo de albañilería representa el complemento de replanteo de la obra, una vez ejecutada la estructura, sobre la que necesariamente se habrá de apoyar, aunque deberemos tener en cuenta que los errores de estructura no deben repercutir en la albañilería. El replanteo de albañilería se realizará en conjunto con las carpinterías y cerrajerías de taller, ya colocando los premarcos o marcos de éstas, ya previendo su posición y dimensiones. Para ejecutarlo nos serviremos de los planos de replanteo de albañilería, que deberán estar acotados, siendo reprobable la costumbre de medir en ellos, cualquier cálculo complementario de medidas debe hacerse por métodos numéricos. Para comenzar a replantear la albañilería deberemos no sólo conocer y estudiar los planos propios de albañilería, deberemos conocer los planos o memorias de carpintería y cerrajería, y comprobar previamente si corresponden las dimensiones a los huecos previstos en albañilería, al tiempo que, habrá que terminar de definir detalles y dimensiones, una vez decididos los fabricantes y suministradores concretos.

409


Figura 16.6: Fragmento de un plano de replanteo de albañilería. Deberemos conocer asimismo los revestimientos de las fábricas, para replantear su espesor total acabado, que es algo que debemos representar siempre. Así pues, deberemos conocer el proyecto para saber no sólo los gruesos de las fábricas, sino los gruesos de los guarnecidos, revocos, alicatados o chapados que las revestirán. En los trabajos de replanteo nunca acumularemos medidas, a no ser que sea necesario por la gran dimensión de una longitud, ya que el replanteo se debe hacer estableciendo un origen y midiendo desde este siempre. Así pues, los trabajos de replanteo planimétrico no ofrecerán normalmente ninguna dificultad, más que la de la propia meticulosidad y esmero con que hay que hacer el trabajo para minimizar los errores, y en cualquier caso, tendremos recursos, explicados ya en este texto sobradamente, como para solventar cualquier dificultad. Pero el trabajo no termina aquí, ya que tan 410


importante o más que la planimetría, y, normalmente ejecutada junto a ella son la labores de altimetría. En cuanto al replanteo de cotas, partimos del nivel que marcamos en la estructura, y que continuaremos marcando en todas las fábricas a medida que se vayan labrando. Este nivel, que en algunas zonas se denomina peso, es una guía desde la cual replanearemos todos los elementos que contenga la albañilería tales como: • • • • • • • • • •

Anepechos: de ventanas y otros huecos. Dinteles y arcos: de todos los huecos Cercos y contracercos: de puertas y ventanas. Elementos de cerrajería: en general, rejas, celosías, barandillas, etc. Chimeneas y conductos de ventilación. Pretiles y elementos de cubierta. Bañeras y platos de ducha. Mecanismos y cuadros eléctricos. Recrecidos: y elementos de cambio de nivel. Fábricas en general.

El nivel, bien trazado y comprobado, posibilita una referencia insustituible en toda la obra, habida cuenta de que, si estamos trabajando con albañilería tradicional, la solería no estará colocada hasta después de haber ejecutado las instalaciones empotradas. En tabiquería ligera, como es el yeso-cartón y derivados, este replante se ejecuta sobre la solería, aunque mantener el nivel visible, trazado en los paramentos, será siempre una buena receta para referenciar el resto de elementos. En cuanto a las carpinterías, daremos ahora algunas pinceladas de los parámetros mas comunes que las definen y que debemos tener en cuenta: •

Carpintería de taller: las puertas de paso de madera se colocarán normalmente con precerco, aunque en el caso de cerco directo se siguen los mismos métodos. En el precerco, pediremos al carpintero que nos señale, normalmente con un corte de sierra, el nivel de solería, que colocaremos un metro por debajo del peso de la 411


•

•

planta. El ancho del precerco o cerco deberá ser el de la fábrica más los revestimientos de ambos paramentos. Para colocar los precercos de los armarios empotrados tendremos en cuenta la altura del rodapié, dejando un resguardo para este el tapajuntas, que no es conveniente que se unan. Es importante comprobar verticalidad y planeidad. Carpintería de aluminio: habitualmente colocada con premarco, que se enrasará con la cara interior del paramento, y en la cara exterior a la fachada terminará de acuerdo con el detalle constructivo correspondiente –guía de persiana, diferentes remates, etc., esto lo definirá el proyecto–, teniendo especialmente cuidado con la altura del antepecho, y el dintel o dinteles. Es importante comprobar verticalidad, horizontalidad y planeidad. Cerrajería de taller: en general puertas, rejas y celosías. Su replanteo será igual que el de los elementos anteriores, teniendo en cuenta su situación respecto al plano. En el caso de puertas metálicas, se actuará igual que en el caso de puertas de madera.

Un caso especial son las fábricas exteriores, es decir las fábricas de las fachadas. Por pocos errores que se hayan cometido en el replanteo, planta a planta, de la estructura, los bordes de esta no estarán perfectamente en la vertical deseada. Así pues, mediante plomadas, se decidirá el replanteo de fachada, que normalmente, con precisión de centímetros, habrá que colocar en su sitio. El plano de cada fachada se decidirá, a la vista de plomadas que cuelguen desde la planta alta hasta la baja en el punto más conveniente, promediando las diferencias que existan en cada forjado. Como quiera que edificios muy altos esto no se puede hacer, por tanto habrá que utilizar elementos de mayor precisión, normalmente topográficos, para replantear los límites de la estructura.

412


16.5. Replanteo de instalaciones. El replanteo de instalaciones de ejecuta normalmente al tiempo que se construye la albañilería, siendo una actividad importante para su funcionamiento, así como el cumplimiento de la legalidad. Para poder replantear una instalación o el conjunto de ellas en un edificio, es necesario conocerlas en todos sus detalles, dimensiones, posibilidad de doblado, separaciones necesarias, accesibilidad, etc.

Figura 16.7. En general no tendremos que ejecutar labores de geometría muy compleja, ya que nos apoyaremos normalmente en las fábricas, y más que trazados, lo importante es su situación. Sin embargo, es muy habitual que las instalaciones sean las únicas partes del edificio cuya definición geométrica no se realiza en el proyecto, quedando en líneas generales y esquemas de funcionamiento, no viendo realmente el espacio que ocupan hasta que prácticamente no se ejecutan, Figura 16.7. Para abordar la ejecución de las 413


instalaciones, y consecuentemente seguiremos estas indicaciones: •

•

•

• •

su

previo

replanteo,

Estudio pormenorizado de todas las instalaciones: se efectuará, comprobando en el proyecto así como con los especialistas, individualmente cada instalación: cuadros, centralizaciones, acometidas, trazados, dimensiones, separaciones por normativa, separaciones por funcionalidad, ventilación, mantenimiento, etc. Pensar en las instalaciones antes de hacer las fábricas: incluso la estructura, ya que en algunos casos, equipos, depósitos, calderas, no cabrán una vez cerrado el recinto en el que habrá que alojarlos. Replanteo de todas las instalaciones: antes de ejecutar la primera de las actividades de instalaciones replantearemos todas las instalaciones, mediante trazos de diferentes colores en los paramentos verticales y horizontales. Mantenimiento y reposición: las instalaciones son partes vivas del edificio, hay que pensar en su mantenimiento y entretenimiento, ya desde la fase del trazado. Recabar el visto bueno de todos los implicados: una vez replanteadas todas las instalaciones, lo que no ha de hacerse obligatoriamente en todo el edificio, sino que se hará por partes, o incluso se replantearán previamente para este estudio sólo una parte significativa, como una vivienda tipo, dependencia, aseo, etc., y una vez ejecutado este replanteo previo, se recabará el visto bueno de todos los industriales implicados, entonces daremos el replanteo por bueno.

Es importante en la instalaciones cuidar su trazado, incluso, o mejor, sobretodo en los trazados ocultos. Una buena ejecución de las instalaciones, que comienza con su replanteo y trazado denota no sólo una buena práctica constructiva, sino una expectativa de facilidad de mantenimiento y durabilidad, ya que hoy día, las instalaciones son cada vez más complejas y numerosas. En resumen, podemos decir que el replanteo de instalaciones responde más a criterios utilitaristas, constructivos y de 414


normativa que a criterios puramente geométricos, lo que no quiere decir que no sea parte también del criterio del replanteo en arquitectura.

415


16.6. Replanteo de solados y alicatados. El replanteo de solados y alicatados, en el que se pueden incluir aplacados y otra clase de revestimientos, responden normalmente más a criterios estéticos o compositivos que a criterios funcionales o constructivos, estando asimismo en función del tipo de pieza que se utilice, dibujos, cenefas, combinaciones, etc. Nos ocuparemos aquí de solados y alicatados, dando algunas notas prácticas para resolver fundamentalmente los problemas más frecuentes que nos podemos encontrar. Los solados, independientemente del material de la solería, pueden colocarse al hilo y a cartabón, y dentro de estos aparejos pueden existir otros dibujos, que en sí mismos definirán el replanteo. En cuanto al solado al hilo se replantea teniendo en cuenta los siguientes puntos: •

•

•

416

Se seguirán líneas maestras que guíen la solería en los trazados de mayor longitud. En general estas hiladas maestras se colocarán como comienzo del replanteo, y a partir de ellas se colocarán el resto, y serán ortogonales a los elementos más importantes, paramentos mayores o cualquier criterio que indique el proyecto. Por ejemplo en una vivienda dentro de una parcela en la que los paramentos de la misma son ortogonales y los paramentos del cerramiento de parcela no, por muy importantes que sean en cuanto a tamaño los paramentos del cerramiento de parcela, la dirección de solería estará en función de la vivienda. Pero sin olvidar que Los encuentros con otros tipos de solería se situarán siempre en el eje de la hoja de la puerta, si es que existe, o bien en el eje del hueco, o en un punto singular, como por ejemplo entre dos esquinas. Rara vez se encuentra una solería con otra en un lugar arbitrario, y Los encuentros con otros tipos de solería o con peldaños no serán piezas menores que la mitad de la dimensión de una baldosa.


En cuanto a los replanteos de solería a cartabón normalmente tendremos en cuenta otros criterios, aun siguiendo el esquema de unas hiladas maestras, que nos marcará el dibujo. Si la solería no está enmarcada en otra colocada al hilo, se seguirán los mismos criterios anteriores, teniendo en cuenta que los ejes de ortogonalidad serán las diagonales de las baldosas. Aunque no es muy recomendable este sistema, puesto que es muy difícil asegurar que no quedarán piezas muy pequeñas, incluso minúsculas en algún encuentro, circunstancia inevitable de todo punto. Lo recomendable y lo habitual es que la solería a cartabón esté enmarcada en el centro de los paños o entre una cenefa perimetral. El replanteo partirá siempre desde el centro de los paños a solar, teniendo en cuenta que los lados de la zona que se solará a cartabón serán múltiplos de la diagonal (d) de la baldosa, cuyo valor, en el caso de que sean baldosas cuadradas de lado (l), será:

d = l ⋅ 2 = 1,4142 ⋅ l Aunque este será el valor para calcular el replanteo previo, puesto que el factor que incremente la junta entre baldosas nos obligará a efectuar el replanteo desde el centro de los paños, siendo el valor de los lados de los paños solados así el resultante del replanteo real, repartiendo lo que quede entre estos laterales y los paramentos con solería al hilo, para lo cual se hará el replanteo previo. En cuanto a los alicatados no ofrecen problemas mucho mayores, el replanteo será el propio alicatado a medida de que se vaya colocando, pero habrá que plantearlo previamente de la siguiente forma: •

En cada esquina o rincón, la pieza de cada lado sumará el total de la dimensión de una pieza completa, o dicho de otro modo, cuando se llega a una esquina o rincón, el sobrante de la pieza que se corta será lo que se coloque a continuación, si el corte no lo permite, se tomará una pieza nueva y se cortará nuevamente, desperdiciando en este caso una pieza en cada esquina. Esto es especialmente importante cuando el azulejo tiene algún dibujo, ya que 417


•

éste debe continuar horizontalmente por todo la zona alicatada. Se comenzará y terminará el recorrido del alicatado en las partes menos visibles, como por ejemplo en la parte posterior de una puerta, ya que solamente en ocasiones muy excepcionales el perímetro de las zonas alicatadas no será múltiplo de la dimensión horizontal de la pieza.

azulejo

listelo

azulejo

listelo

incorrecto

correcto

Figura 16.8 Un problema muy frecuente se nos plantea a la hora de colocar un listelo o cenefa, que presente relieve sobre el plano de alicatado una vez colocado, en las esquinas de los alicatados. Siendo lo normal que estas piezas se fabriquen de la misma longitud de la pieza de la misma serie, al cortar a inglete la pieza será más pequeña en el plano de alicatado, por lo que nos encontramos con el problema de que la junta no coincide con el resto, Figura 16.8. La solución es muy sencilla, estas piezas se deben colocar contrapeando las juntas con la del azulejo, así el problema se resuelve por sí mismo.

418


16.7. Replanteo de elementos tridimensionales. No siendo los únicos elementos tridimensionales de un edificio, ya que el edificio en sí lo es, son los más significativos las escaleras y las cubiertas, constituyendo básicamente, dos elementos, comunes a la mayoría de los edificios y cuyo replanteo representa un problema mayor que un replanteo en planimetría o un replanteo de cotas por separado, debido precisamente a que trabajaremos, aunque de forma distinta, con las dos dimensiones del plano además de la altura. En cuanto a las escaleras, sin entrar en las disciplinas de construcción, dibujo o sistemas de representación, daremos las normas básicas para su replanteo en obra. •

Consideraremos una escalera como una unidad, aunque recorra un gran número de plantas. En primer lugar para que una escalera esté bien replanteada, y por tanto bien construida, la consideraremos como una unidad, desde la planta de arranque hasta la de coronación, con todos sus peldaños iguales. Es esta una regla fundamental, ya que el paso se acostumbra y una diferencia en un peldaño, o en un tramo significa una distorsión de éste, y consecuentemente un peligro de caída. Así pues, antes de encarar el trazado de la escalera, o más bien de sus arranques, deberemos tener los datos que el proyecto nos proporciona, con su correspondiente comprobación. Esto significa que deberemos tener el edificio estudiado en altimetría en su conjunto, lo que es completamente lógico. Esto no sólo nos es necesario para el replanteo de la escalera, sino que servirá de ayuda para la resolución de toda la altimetría del edificio.

•

Replantearemos la escalera junto con la cimentación, si es que nace como es habitual desde la planta más baja – baja, sótano, etc.–: Es evidente, el arranque de la escalera está en la cimentación, luego esta se replanteará junto con la cimentación. Partiendo del principio de que nada se construye si no se ha replanteado, se replantearán todas las partes que se vayan a construir, normalmente serán la cimentación de apoyo, su armadura, encofrado y hormigón. 419


•

Replantearemos la escalera junto con todos sus elementos: al menos los conoceremos y los tendremos representados o desarrollados en los planos correspondientes. Una escalera se compone normalmente de cuatro partes: la zanca o elemento estructural de soporte, el revestimiento de los peldaños junto con su zanquín, la barandilla y el pasamanos. Pues bien, deberemos conocer exactamente la geometría de estos elementos antes de comenzar el trazado de la misma. En el caso del primer trazado, siguiendo el principio del replanteo, si no podemos replanearla sobre un muro o fábrica, levantaremos un panel de madera provisional sobre el que trazará. En casos de peldaños especiales, escaleras compensadas o curvas, si es necesario haremos una montea de cada peldaño para el constructor. Las escaleras de caracol se replantearán sobre el nabo.

•

Utilizaremos siempre la regla de la comodidad en su trazado: esto significa que la pendiente de una escalera vendrá determinada por la relación entre su huella y su contrahuella –denominadas también pisa y tabica– y que viene determinada por las siguientes expresiones empíricas, en las que (c) es la contrahuella o tabica, (h) la huella o pisa y (p) la pendiente:

0,16m ≤ c ≤ 0,18 m 0,62m ≤ 2 ⋅ c + h ≤ 0,64m 50,00% ≤ p ≤ 69,23% •

420

Combrobaremos la cabezada: se denomina cabezada, denominación de evidente origen, a la insuficiencia de altura de una escalera en un determinado punto. Efectivamente, a veces en su trazado las escaleras presentan puntos de paso de insuficiente altura, medidos desde la arista intersección entre huella y contrahuella y un elemento cualquiera ya sea de la propia escalera o no, situado en su vertical. Cuando esto sucede el trazado de la


escalera es incorrecto. Consideraremos cabezada, y por tanto altura insuficiente, la misma que la altura de paso de la puerta más cercana a la escalera.

Figura 16.9: Elementos tridimensionales: escaleras y cubiertas. El siguiente elemento cuyo trazado o replanteo suele ser fuente de algún error es el trazado de las cubiertas, cuyo sistema de representación es el de planos acotados, al igual que la representación del terreno. El caso de las cubiertas planas tradicionales, tales como la cubierta a la andaluza o a la catalana –no así la cubierta plana invertida, cuya formación de pendientes es casi inexiste de acuerdo a la normativa y a su propio diseño y sistema de funcionamiento–, se basan en el mismo principio, aunque no representan un problema tan grande. Son las cubiertas inclinadas, de teja, pizarra y otro material en las que debemos tener en cuenta todas las normas geométricas para su correcto trazado, que básicamente son la mismas que en las escaleras: •

Conocimiento constructivo de la cubierta: en el que se tendrán en cuenta todas sus capas, desde la estructura o formación de pendientes hasta la cobertura de teja o 421


•

•

422

cualquier otra, el vuelo de las tejas, las cornisas, aislamientos, capas de impermeabilización, etc. Conocimiento geométrico de la cubierta: antes del trazado, nos cercioraremos de la correcta resolución de los planos de cubierta del proyecto, su concordancia entre plantas, alzados y secciones, su correcta pendiente y la correcta ubicación de todos los elementos salientes, tales como chimeneas, lucernarios, pretiles y encuentros en general entre faldones. Replanteo físico de la cubierta: se materializará con listones fijados en el último forjado y con hilos el trazado real de cada faldón de cubierta así como de sus líneas de rotura, estos es limatesas y limahoyas.

17. CÁLCULO DE ÁREAS

Todo lo visible oculta algo. (Francisco Javier Sáenz de Oiza)

17.1. Clasificación de los métodos para el cálculo de áreas. Como vimos en 5.2. la superficie que interesa en topografía es la superficie agraria, así pues, cuando se trata de calcular superficies de terreno, nos referiremos a esta superficie, ya definida. En algunos casos, cuando no nos refiramos a terrenos, podremos necesitar obtener el valor del área de una superficie determinada, no necesariamente de un terreno y, por tanto, no relacionada con la superficie agraria. Los métodos que estudiaremos serán fundamentalmente destinados a determinar áreas de terreno, aunque los consideraremos válidos para determinar áreas en general. Cuando tengamos pues que determinar áreas de terreno, tendremos en cuenta que los datos obtenidos de los levantamientos topográficos, permitirán en general calcular las superficies agrarias. La elección del método para calcular una superficie, dependerá del tipo de superficie que sea, de la exigencia de precisión, de los datos de que se disponga u otros. Los métodos, en general para determinar superficies se clasifican en:

423

Topografía en Obras de Arquitectura • • • •

Métodos numéricos Métodos analíticos Métodos gráficos y Métodos mecánicos

Los métodos numéricos son los que se basan en la determinación de las superficies directamente a partir de los datos tomados en el trabajo de campo, siendo los más precisos. Entre ellos está la descomposición en triángulos y el método de radiación. Los métodos analíticos son los que se basan en la determinación de las superficies a partir de las coordenadas cartesianas de los vértices de las figuras cuya superficie se pretende calcular, estudiaremos las fórmulas de Bezout, Simpson y Poncelet. Los métodos gráficos se basan en el cálculo de las superficies a partir de datos tomados gráficamente de un plano. Los métodos mecánicos son los que se basan en el cálculo de la superficie, en un plano utilizando instrumentos mecánicos denominados planímetros o superficiómetros.

424

Cálculo de áreas

17.2. Descomposición en triángulos. Entra dentro de los métodos elementales y es paralelo al método estudiado en 9.2, y derivado de él. Se emplea normalmente para la determinación de superficies de solares de pequeña y mediana dimensión y se basa en un levantamiento efectuado con cinta métrica. Si recordamos el punto referido, Figura 17.1, tendremos que la superficie de la poligonal, será la suma de la superficie de los triángulos que la forman, siendo la superficie de un triángulo, del que se conoce la longitud de sus lados, recordando que (p) es el semiperímetro del mismo, se obtiene mediante la fórmula de Herón:

S=

p ( p − a )( p − b)( p − c)

A B

C

H

N

G

F E

D

Figura 17.1:: Método de descomposición en triángulos.

425


17.3. Radiación. Método basado en la toma de datos mediante estación total o taquímetro, habiendo efectuado un levantamiento por radiación, desde un punto interior de la zona que se quiere superficiar, habiendo destacado todos los puntos correspondientes a los vértices de la poligonal o puntos de inflexión, así como los ángulos comprendidos entre ellos, Figura 17.2. 2 1

n dn

αn

3

d2

d1 α1

α2

d3

Figura 17.2: Radiación. La superficie a medir, quedará dividida en triángulos limitados por las visuales y los lados de la poligonal. De estos triángulos conocemos dos de sus lados (d1) y (d2), así como el ángulo que forman (α), podemos calcular su superficie mediante la expresión:

s1 = 426

1 d1 ⋅ d 2 ⋅ senα 2

Cálculo de áreas

ya que si llamamos (b) al lado desconocido y (h) a la altura perpendicular a (b), sabemos que la superficie de este triángulo, según la fórmula clásica es:

1 s1 = b ⋅ h 2 Tomando uno de los lados (d2), y el ángulo (A) que forma el otro con el lado (b), y aplicando el teorema del seno, tenemos que:

d2 b d ⋅ senα = ⇒b= 2 senA senα senA También podemos aplicar el teorema del seno al otro lado (d1), el ángulo recto que forman (b) y (h), la propia altura (h) y el mismo ángulo (A):

h d = 1 ⇒ h = d1 ⋅ senA senA 1 Sustituyendo los valores obtenidos de (b) y (h) en la fórmula clásica de la superficie del triángulo:

s1 =

1 d 2 senα 1 d1 ⋅ senA = d1 ⋅ d 2 ⋅ senα 2 senA 2

Una vez comprobada esta expresión, podemos escribir la superficie de la poligonal, como suma de las superficies de los triángulos que la forma, en función de los valores que conocemos:

S=

1 (d1d 2 senα1 + d 2d3senα 2 + ... + d n d1senα n ) 2

427


17.4. Fórmula de Bezout. Los tres sistemas que veremos a continuación, se basan en determinar la superficie de un a zona irregular, mediante el establecimiento de una línea recta, que consideraremos el eje de abscisas y un tramo curvo cualquiera que limita la superficie. Es de suponer que entre el tramo o los tramos rectos, podremos calcular la superficie por medio de fórmulas geométricas sencillas.

y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 y11 y12 y13 y14 x x x x x x x x x x x x x Figura 17.3. Así pues, para aplicar la fórmula de Bezout, el eje de abscisas de divide en un número (n) de partes iguales, levantando perpendiculares en cada uno de los puntos resultantes de la división, Figura 17.3. La dimensión de las partes en que hemos dividido el eje de abscisas será (x), y cada una de las perpendiculares u ordenadas en cada punto serán (y1), (y2),… (yn), siendo la fórmula para calcular la superficie (S) la siguiente:

y + yn −1 ⎞ ⎛ y + y1 y3 + y2 S = x⋅⎜ 2 + + ... + n ⎟ 2 2 ⎝ 2 ⎠ Fórmula que se basa en la descomposición de la figura en trapecios, sustituyendo el arco por la cuerda. Es necesario que la dimensión (x) sea lo suficientemente pequeña para minimizar el error que surge en la sustitución del arco por su cuerda, y que será siempre positivo, es decir, la el área se calculará por exceso, cuando la curva sea cóncava, y negativo, es decir, el área de calculará por defecto en curvas convexas, compensándose los 428

Cálculo de áreas

errores si la superficie está delimitada por curvas con convexidades o concavidades proporcionales.

429


17.5. Fórmula de Simpson. Para aplicar a tramos superficies delimitadas por tramos de curvas enteramente cóncavas o enteramente convexas, que si no corresponden a la curva que delimita la superficie, se hará corresponder para utilizarla en tramos independientes.

y1

y2 x

y4

y3 x

yn+1 x

x

x

x

Figura 17.4. El eje de abscisas de se divide en un número par de partes iguales, levantando las ordenadas en los puntos de corte, Figura 17.4., tomando sus valores que serán (y1), (y2),… (yn), y con el valor (x) de equidistancia del eje de abscisas, se valoran dos áreas (s) y (S). La primera (s) es la que resulta de sustituir los arcos por las cuerdas, es decir la fórmula de Bezout, y la segunda (S) es la que resulta de sustituir los arcos por las tangentes en los extremos de las ordenadas de orden par hasta cortar las ordenadas de orden impar, siendo su valor:

S = 2 ⋅ x ⋅ ( y2 + y4 + ... + y n ) Siendo la superficie total (ST) la que nos da la siguiente expresión:

ST = s +

S −s 3

El máximo error (em) con el que quedará determinada la superficie será:

em = ( S − s ) − 430

S −s 2 = ( S − s) 3 3

Cálculo de áreas

17.6. Fórmula de Poncelet. Al igual que en el método de Simpson, se dividirá el eje de abscisas en un número de partes iguales par, Figura 17.5, levantando las ordenadas en los puntos extremos y en los de orden par, midiendo su valor.

y4

y2

y1

x

x

x

yn x

x

yn+1 x

Figura 17.5. El resultado será el de valorar dos superficies (s) y (S). La primera (s) será el resultado de unir el primer punto con el segundo, este con el cuarto, y así de dos en dos hasta el penúltimo, que se unirá con el último. La segunda (S) se determinará por la tangente de los puntos pares, igual que en el caso anterior. El valor de (s) será:

s=

y2 + y1 y + yn x + ( y4 + y2 ) x + ( y6 + y4 ) x + ... n +1 x 2 2

Siendo la superficie total (ST):

ST =

S+s 2

431


17.7. Fórmula de Gauss. El siguiente método, del que se deduce una sencilla fórmula para calcular la superficie de cualquier polígono conociendo las coordenadas de sus vértices, se atribuye a Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Y

C B D

A E

O

E' C'

X

D'

C

C B

B'

A'

B D

A

D

A E

E + A'

B'

+ B'

C'

C'

D'

E'

D'

A'

E'

Figura 17.6. Sea una poligonal cerrada (ABCDE), Figura 17.6, de la que se quiere calcular su superficie, conociendo las coordenadas (xA, yA), (xB, yB), (xC, yC), (xD, yD) y (xE, yE) de sus vértices. Su superficie (S) será la suma algebráica de los trapecios representados:

S = ABB ' A'+ BCC ' B '+CDD ' C '− EDD ' E '− AEE ' A' Expresión, que en función de las coordenadas de sus vértices se puede expresar de la siguiente forma: ⎛ y + yB ⎞ ⎛ y + yC ⎞ ⎛ y + yD ⎞ ⎛ y + yE ⎞ ⎛ y + yA ⎞ S =⎜ A ⎟( x B − x A ) + ⎜ B ⎟(xC − xB ) + ⎜ C ⎟(xD − xC ) − ⎜ D ⎟( xD − xE ) − ⎜ E ⎟( xE − x A ) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

desarrollando y teniendo en cuenta que se anulan los productos de igual subíndice, tenemos: 432

Cálculo de áreas

S=

( y A xB + yB xC + yC xD + yD xE + yE xA ) − ( yB xA + yC xB + yD xC + yE xD + y A xE ) 2

La expresión anterior, se puede transformar en la siguiente:

S=

1 [ y A (x B − xE ) + yB (xC − xA ) + yC (xD − xB ) + yD (xE − xC ) + yE (xA − xD )] 2

y si observamos el orden en que figuran las coordenadas, puede generalizarse para el caso en que sea (n) el número de vértices, resultando:

S=

1 n ∑ yi (xi+1 − xi−1 ) 2 i =1

433


17.8. Métodos gráficos. Como hemos indicado, los métodos gráficos son aquellos que determinan superficies a partir de valores numéricos tomados de medición sobre plano, siendo por tanto los que menos precisión ofrecen. Las distancias se miden en el plano a escala, multiplicando cada una de ellas por el factor de la escala. En cuando a los métodos operativos de resolución se utilizarán los mismos que en los métodos numéricos o analíticos, siendo el más común el de la descomposición en triángulos, midiendo los parámetros de estos en el plano, base y altura o tres lados. Un avance en los métodos gráficos es el empleo de procedimientos informáticos, siempre que el soporte del plano en el que midamos sea un programa de diseño asistido, o CAD, ya que aquí no nos encontramos con el problema del soporte en papel clásico y la percepción en el mismo mediante la aplicación de un instrumento de medida, regla o escala. Cuando aplicamos los métodos gráficos en un programa del tipo CAD podemos decir que estamos trabajando con la precisión de los métodos numéricos, siempre, naturalmente, que el plano se haya construido a partir de datos de campo.

Figura 17.7: Fragmento de pantalla de ordenador con el comando “área” seleccionado. En general los programas informáticos nos ofrecen herramientas para determinar una superficie ya sea, tomando medidas, esta vez 434

Cálculo de áreas

sin error de apreciación, y estableciendo cálculos numéricos o analíticos, mediante el comándo área, Figura 17.7, o similar y designando los vértices de la superficie a determinar, o sencillamente designando una polilinea, objeto, región o círculo, pudiendo además operar –sumar o restar– superficies.

435


17.9. Métodos mecánicos. Los métodos mecánicos de determinación de superficies se basan en la utilización de instrumentos mecánicos diseñados con este propósito. Estos instrumentos se llaman planímetros, Figura 17.8, y modernamente incorporan mecanismos de lectura digital. Existen diferentes tipos de planímetros, siendo el más común el denominado planímetro polar, fig. 17.8. El planímetro polar, básicamente está constituido por dos brazos o varillas unidos por una articulación, uno de ellos, el brazo polar (p) termina en una pesa con una pequeña aguja que se fija en el papel, y el otro brazo, llamado brazo trazador (t) termina en un visor (v), con un retículo o señal que se recorrerá por el contorno del área a determinar. En la articulación hay una serie de mecanismos entre los que está una rueda que se desliza por el papel, junto con el movimiento del visor, y que en su movimiento acciona una serie de engranajes y piezas, que sirven para mover unas piezas que forman el contador, una rueda principal (r) y otra secundaria (n) con un nonius de medida. El brazo trazador, tiene un longitud variable, pudiéndose adaptar dependiendo de las superficies que vayamos a medir.

Figura 17.8: Planímetro polar. El planímetro, una vez colocado y preparado para medir, estará apoyado en tres puntos: el polo que es la parte fija al papel, el 436

Cálculo de áreas

visor y la rueda del mecanismo de medida situada en el mecanismo de la articulación. Cada vez que se efectúa un recorrido, la rueda o roldana ha establecido una serie de giros, dependiendo de la forma de la figura a medir, y en ellos habrá accionado los mecanismos del contador. El planímetro clásico, que es el representado aquí nos ofrece la lectura mediante una rueda graduada en diez partes, siendo cada una de ellas 1/10 de vuelta, además se completa la lectura mediante otra rueda cuyo índice es un nonius decimal. Como la segunda rueda mide 1/100 de partes de la primera, y con el nonius decimal podemos apreciar hasta 1/10 parte de su menor división, cada unidad de nonius representa 1/1000 de vuelta. La lectura del planímetro la constituyen tres cifras, la lectura de la rueda horizontal, y las dos unidades de limbo y nonius. Hay que fijarse en la rueda durante el proceso de recorrido de la figura, puesto que si la primera rueda, pasa una vez por el “cero”, habrá que añadir una unidad a la primera lectura, o dos si ha dado dos vueltas, etc., teniendo entonces una lectura de cuatro cifras. El procedimiento para usar el planímetro es el siguiente: se instala clavando el polo en una zona exterior a la figura a medir, se sitúa el visor en un punto determinado del perímetro de la superficie a medir, se pone el contador a “cero”, se recorre cuidadosamente el perímetro de la figura hasta llegar al punto de partida, se toma la lectura del contador, expresándola en unidades del nonius. Para calcular la superficie en función de la lectura del contador, deberemos conocer a qué superficie equivale una unidad de nonius, valor que variará en función de la longitud del brazo trazador y de la escala a la que esté dibujada la figura. El valor de una unidad se establece midiendo una superficie conocida, con la longitud de brazo que vamos a utilizar y a la misma escala, tradicionalmente esto era muy directo, puesto que la mayoría de los planos topográficos se dibujaban en papel milimetrado, siendo fácilmente superficiable un cuadrado de la dimensión que más nos interese, existiendo menos error cuando mayor sea la figura. Para calcular el valor (k) de una unidad de nonius, seguiremos el siguiente proceso. Elegiremos una figura de superficie fácilmente calculable en el plano (a) y calcularemos la superficie que 437


representa en la realidad (A) en función de la escala elegida, siendo (F) el factor de la escala será:

A = a⋅ F2 A continuación recorreremos esta figura con el planímetro obteniendo una lectura (l), como la superficie (A) es conocida, calcularemos el valor (k) de una unidad de nonius mediante la siguiente relación:

k=

A l

Una vez calculado este valor, lo podremos utilizar para calcular directamente la superficie (S) de cada figura recorrida, multiplicándolo por su correspondiente lectura (l):

S = l ⋅k Es buena práctica, recorrer al menos dos veces cada superficie a determinar, promediando el resultado de ambas lecturas.

438

18. PERFIL LONGITUDINAL Y TRANSVERSAL

Cada nueva situación requiere una nueva arquitectura. (Jean Nouvel)

18.1. Perfiles y rasantes. Cuando se trata de representar una parte del terreno, con el fin de proyectar, replantear y construir una carretera, autopista, ferrocarril, o cualquier otra obra lineal, se utiliza un sistema de representación específico especialmente adecuado a este fin que consiste en representar, por medios gráficos y analíticos perfiles longitudinales y perfiles transversales. Como se definió en 3.7. (pág. 107), perfil del terreno es la sección que en él produce un plano o cualquier superficie de generatrices verticales. Si consideramos una determinada alineación, o sucesión de alineaciones, tal como es el caso de una obra de recorrido lineal, se llama perfil longitudinal al determinado por un plano o superficie que contenga a la alineación, y perfil transversal al determinado por un plano perpendicular a la citada alineación, y que abarca un determinado ancho. La longitud del perfil longitudinal es el total de la alineación, la de los perfiles transversales es variable en función de las necesidades de cada obra o cada tramo de la misma. Los perfiles del terreno se pueden obtener en gabinete mediante varios métodos, como son a partir de un modelo digital del 439


terreno, o directamente, por procedimientos gráficos de un plano de curvas de nivel, tal como se describió anteriormente. También se puede determinar mediante un levantamiento realizado en un trabajo de campo al efecto. El levantamiento topográfico realizado para la determinación de los perfiles de una alineación requiere el mismo cuidado y método que para un relleno altimétrico: los puntos a elegir deben ser los que representen lo más fielmente posible la figura del terreno. En la citada elección de los puntos está la elección de los puntos para trazar el perfil longitudinal y los perfiles transversales, así como los propios puntos en los que situar los citados perfiles transversales. Se considera correcto, para obtener un buen perfil, levantar todos los puntos de intersección de la traza del perfil con los accidentes naturales del terreno, con todos los puntos de cambio de pendiente y con elementos singulares, ya sean naturales o artificiales, incluyendo lógicamente todos esos elementos en el perfil, así como cruces con viales, canales, etc. Como veremos a continuación, la determinación del perfil del terreno es el paso previo al proyecto de un vial, y así se deben tener en cuenta para elegir los perfiles el trazado del mismo, eligiendo perfiles transversales en los puntos singulares del citado trazado, como son las tangentes de entrada y salida de curvas así como los puntos intermedios de las mismas. Conjuntamente con el trazado de los perfiles, y fundamentalmente concretamente asociada al perfil longitudinal se representa la rasante. Se denomina rasante a la recta que define la pendiente de una obra lineal, definiendo, por tanto, la posición espacial de un proyecto, o parte del mismo, respecto del plano horizontal. Un tramo continuo de un vial, y con pendiente constante está definido por una determinada rasante, siendo otra la que define otro tramo, cuando cambia la pendiente. En el punto de intersección de dos rasantes se conoce como cambio de rasante, resolviéndose normalmente con una curva vertical, según expresamos en 15.5.

440

Perfil longitudinal y transversal

18.2. Perfil longitudinal. El trazado de la sección vertical del terreno, determinada de acuerdo al desarrollo de una alineación principal, o perfil longitudinal de la misma, se emplean fundamentalmente para el estudio y trazado de las rasantes de viales en proyectos de ingeniería y también de arquitectura, así como otras obras de recorrido lineal, tales como son vías de ferrocarril, canalizaciones, etc.

Parcial es

A 1 2 3 4 5 6 7 8 B

Al origen

Atrás

Intermedias

Adelan te

ORDENADAS

Terreno

Rasante

RA-SANTES

NIVELADAS

PERFIL

DISTANCIAS

PLANO de COMPARACIÓN

Los datos necesarios par construir el perfil longitudinal de un determinado trazado, son las cotas de los puntos del perfil y las distancias reducidas entre cada uno de ellos, y entre cada uno de ellos y al punto origen del trazado del perfil. El levantamiento de estos puntos se efectúa en trabajos de campo mediante estación total, y también mediante nivel topográfico con mira de nivelación y cinta métrica. COTAS ROJAS

Desmont e

Terraplén

1,044 26,15 28,30 27,50 15,50 16,75 30,24 28,90 25,40 31,40

1,408 2,056 2,588 0,531

3,917 1,480 1,133 1,464 1,728 1,852

Figura 18.1: Toma de datos. La obtención de datos mediante la estación total es la combinación del levantamiento taquimétrico de los puntos destacados del perfil, según los métodos ya estudiados. Sin 441


embargo, por ser de mayor precisión nos ocuparemos de la obtención de los datos utilizando un nivel topográfico, basándonos en el principio de la nivelación geométrica, complementada con la medición de distancias con cinta métrica, describiendo el procedimiento a continuación. Partiendo de una alineación previamente replanteada en el terreno, y materializada mediante estacas, deberemos tomar lecturas de mira para establecer las cotas de los puntos y sus distancias reducidas se medirán como hemos dicho con cinta, vertiendo los datos que se obtienen en un estadillo, Figura 18.1, que utilizaremos en este caso para calcular un ejemplo que nos servirá de explicación del procedimiento, que se representa en la Figura 18.2.

in term edias

ad ela n te

a trá s

interm edias

A

1

2

3

atrás

a dela nte

4 5

6

7

8

B

Figura 18.2: Trabajo de campo. El nivel se estaciona en un punto en que se puedan visar un determinado número de puntos, a igual distancia del punto de partida (A) de cota conocida que del que se prevea hacer el cambio de estación, la práctica nos dirá el punto, para “apurar” al máximo la longitud de la mira, teniendo el procedimiento un método asimilable a una nivelación geométrica compuesta, tal como vimos en 10.2. El nivel se estaciona en un punto cualquiera, tal como hemos dicho, y que habitualmente no está situado en la misma traza de la alineación, para poder tener una visual correcta de los puntos intermedios.

442


A 1 2 3 4 5 6 7 8 B

Parcial es

Al origen

0,00 26,15 28,30 27,50 15,50 16,75 30,24 28,90 25,40 31,40

0,00 26,15 54,45 81,95 97,45 114,20 144,44 173,34 198,74 230,14

Atrás

Intermedias

Adelan te

ORDENADAS

Terreno

Rasante

RA-SANTES

NIVELADAS

PERFIL

DISTANCIAS


Se coloca la mira en el primer punto (A), como se ha dicho, de cota conocida, anotando la lectura en la columna de Niveladas/Atrás. A continuación, se va colocando la mira, tomando lecturas de los puntos a lo largo del perfil, anotándolas como Niveladas/Intermedias, hasta llegar al punto en que cambiaremos el instrumento, tomando en él dos lecturas una Adelante y otra Atrás, desde la nueva estación de nivel. La posición de la mira en este punto, el nº 4 en el ejemplo, debe ser especialmente esmerada, ya que se tendrá que girar para que se visualice desde la nueva estación, y es más que conveniente que no oscile en altura en este movimiento. Es por tanto necesario advertir al portamiras de que este punto se efectuará un cambio de estación, para que lo tenga en cuenta: en un punto cualquiera un pequeño error, incluso de 1 ó 2 cm., no influirá en nuestro trabajo, ya que el propio terreno no tiene una cota tan precisa, sin embargo en un punto de cambio, este error se arrastraría al resto del trabajo. Se seguirá, pues, el mismo proceso hasta el nuevo cambio de instrumento, representando el punto (B) del ejemplo el final del trazado del perfil.

COTAS ROJAS

Desmont e

Terraplén

1,044 1,408 2,056 2,588 0,531

3,917 1,480 1,133 1,464 1,728 1,852

Figura 18.3: Trabajo de gabinete: cálculo de distancias al origen. 443


Los cálculos de gabinete, Figura 18.3, completan el estadillo de campo, en primer lugar calculando las distancias Al origen, que se calculan añadiendo a cada punto, la distancia del anterior con el origen (A) cuya distancia se habrá consignado como ±0,00. Tras el cálculo de las distancias, se calcularán las cotas, Figura 18.4, para lo cual, en primer lugar se calculará la cota del Plano de comparación. El plano de comparación es el que contiene la visual del aparato, así pues, habrá un plano de comparación distinto cada vez que se cambie el aparato de estación. La cota, por tanto, del primer plano de comparación, se obtiene sumando a la cota conocida del punto (A), que se habremos anotado en Ordenadas/Terreno, la primera lectura Atrás, con lo que conseguiremos establecer la cota del primer plano de comparación, es decir, la cota de la visual de la primera estación:

OrdenadasTerreno + Lectura A = Planocomparación A partir de aquí, sólo queda restar de la cota de este plano de comparación, las lecturas de cota de cada punto, cuyo resultado se anotará en la misma columna, en la fila de todos los puntos destacados del perfil, hasta llegar al que hemos utilizado como punto de cambio de estación, siendo éstos los valores de las cotas del terreno en los puntos elegidos. Cuando lleguemos al punto en el que existen niveladas atrás, y adelante, punto 4 del ejemplo, obtendremos la cota del nuevo plano de comparación, correspondiente a la nueva visual, restando del anterior, la diferencia de lecturas:

Planocomparación − Lectura Adelante + Lectura Atrás = 2º Planocomparación Y a partir de aquí el proceso es el mismo hasta llegar al siguiente cambio de estación, es decir, se obtienen las cotas, u ordenadas del terreno, de esta nueva serie de puntos restando las lecturas del nuevo plano de comparación. El proceso se sigue de la misma manera hasta llegar al final del recorrido de la traza.

444

A 1 2 3 4 5 6 7 8 B

Parcial es

Al origen

0,00 26,15 28,30 27,50 15,50 16,75 30,24 28,90 25,40 31,40

0,00 26,15 54,45 81,95 97,45 114,20 144,44 173,34 198,74 230,14

Atrás

Intermedias

Adelan te

1,044

126,294 1,408 2,056 2,588

0,531

3,917 1,480 1,133 1,464 1,728 1,852

122,908

ORDENADAS

Terre-no

Rasante

RA-SANTES

NIVELADAS

PERFIL

DISTANCIAS



COTAS ROJAS

Desmont e

Terraplén

125,560 124,886 124,238 123,706 122,377 121,428 121,775 121,444 121,180 121,056

Figura 18.4: Trabajo de gabinete: cálculo de cotas. Una vez obtenidas las distancias reducidas al origen y las ordenadas de los puntos destacados del perfil se puede dibujar en el plano el perfil longitudinal, Figura 18.5., representando cada punto mediante sus dos coordenadas conocidas: la abscisa corresponde a la distancia y la ordenada a la, propiamente dicha, ordenada del terreno. Lo habitual es elegir dos escalas una escala vertical y una horizontal, siendo la vertical menor que la horizontal. Esto es debido a que, las diferencias de cota de los puntos del perfil longitudinal, así como los de la rasante, son dimensiones muy pequeñas en relación con la longitud del trazado o del perfil longitudinal, y así, si eligiéramos la misma escala o bien no apreciaríamos gráficamente de forma correcta la altimetría o, por el contrario, el desarrollo total del longitudinal sería incómodo por el número de hojas necesarias. Así pues, utilizando este sistema de escalas, el relieve del terreno que representa el perfil longitudinal se representa realzado, normalmente en una relación de 1 a 10. El plano se construya a partir de una línea horizontal, a la que se le dará una cota arbitraria, y que se denominará plano de 445


comparación, y que, hay que advertir que éste, no tiene nada que ver con el plano de comparación de las visuales cuyo valor se representa en el estadillo, este es un plano de comparación general del perfil longitudinal, y su cota será menor que la menor de todo el perfil. En esta recta se señalará el origen del perfil

9 7 ,4 5

1 5 ,5 0

8 1 ,9 5

2 7 ,5 0

5 4 ,4 5

2 8 ,3 0

2

2 6 ,1 5

2 6 ,1 5

0 .0 0

0 .0 0

1 2 1 ,4 2 8 1 2 2 ,3 7 7 1 2 3 ,7 0 6 1 2 4 ,2 3 8 1 2 4 ,8 8 6

1 2 2 ,1 3 4 1 2 2 ,6 3 7

0 ,7 0 6 0 ,2 6 0

1 2 3 ,1 0 2

0 ,6 0 5

1 2 3 ,9 2 7

0 ,3 1 2

1 2 4 ,7 7 6

0 ,1 1 1

Recta, nº 1

P.K.: 0

A

PERFILES

KILÓMETROS

ALINEACIONES

DISTANCIAS

TERRENO

AL ORIGEN

RASANTE ORDENADAS

TERRAPLÉN

DESMONTE COTAS ROJAS

PLANO DE COMPARACIÓN 120,00

121,00

122,00

123,00

124,00

EV: 1/200

EH: 1/2000

125,00

126,00

1 2 5 ,5 6 0

446

1 2 5 ,5 6 0

Figura 18.5: Dibujo del perfil.

PARCIALES

pend

iente

del 3%

3

4

5

1 1 4 ,2 0

1 6 ,7 5

1

Sobre la recta definida anteriormente y que materializa el plano de comparación del perfil longitudinal, y a partir del punto señalado en ella como origen del perfil, y de acuerdo con la escala horizontal, tomando como abscisas las distancias al origen y como ordenadas las diferencias entre las cota del plano de comparación y las cotas de los puntos del terreno, se representarán los diferentes puntos del perfil, la unión de estos puntos será el perfil longitudinal de la alineación.


Complementariamente al dibujo del perfil, y bajo la línea que representa el plano de comparación de éste, se incluyen una serie de datos colocados de una forma ordenada en una serie de franjas horizontales, separadas por rectas paralelas al plano de comparación. Este conjunto de datos así ordenados recibe el evidente y coloquial nombre de guitarra del perfil. Los datos que se colocan en la guitarra, de arriba abajo, serán los siguientes: • • • •

En las dos primeras franjas se representarán las cotas rojas de desmonte y terraplén. Las dos siguientes corresponden a las ordenadas del terreno y de la rasante. En las dos siguientes se colocarán los datos de distancias parciales y al origen En la siguiente los números de los perfiles transversales, pudiendo completarse con otros datos referentes a las alineaciones, puntos kilométricos, etc.

En principio, cuando representemos el perfil longitudinal, en la guitarra sólo se consignarán los datos conocidos, ya que los datos de la rasante se calcularán posteriormente.

447


18.3. Rasantes. Como se ha definido, las rasantes son las rectas que definen la posición espacial el proyecto, respecto un plano horizontal, y su establecimiento corresponde a la labor de diseño del proyecto, y se basa en cálculos de compensación de movimientos de tierras, minimizando este, al tiempo que sus pendientes dependerán de parámetros que corresponden al tipo de proyecto que estemos desarrollando. Las rasantes, en cualquier caso, se representarán sobre el perfil longitudinal, una vez definidas, junto con sus datos que completarán la guitarra del perfil. Los datos que definen las rasantes son sus ordenadas respecto a los puntos de perfil, y su determinación se podrá hacer mediante métodos gráficos o mediante métodos analíticos. El método gráfico es el que corresponde a la obtención de datos medidos directamente sobre el dibujo del perfil a partir del plano de comparación. El método analítico se basa en la obtención de los valores de las pendientes de las rasantes y las distancias entre los puntos, debiendo calcular las pendientes antes de calcular sus ordenadas. La pendiente de una rasante (R) definida entre dos puntos (A) y (B) es la relación entre el desnivel (ZAB) y la distancia reducida (d) entre dichos puntos:

R=

+ Z AB + Z AB ; %R = × 100 d d

Del mismo modo se efectúa el cálculo de las ordenadas de la rasante en cada punto: conocida la pendiente de una rasante (R) en un tramo, multiplicando dicha pendiente por la distancia al origen (dO) de cada punto, de obtiene la ordenada (Z) de dicho punto:

Z = R ⋅ dO Sumando algebraicamente el desnivel obtenido con la cota del origen tendremos la ordenada en cada punto de la rasante. Se obtendrán así todos los datos de la rasante, cuyas ordenadas, y pendiente se consignarán tanto en estadillo de campo y gabinete, como en el dibujo del perfil longitudinal, junto con su trazado. 448


Sólo nos quedará completar las dos filas superiores de datos de la guitarra, es decir, las correspondientes a las cotas rojas. Se denomina cota roja, a la diferencia entre la ordenada de la rasante y la del terreno en cada punto. Las cotas rojas serán de desmonte, cuando la ordenada del terreno es mayor que la de la rasante y de terraplén cuando sea mayor la ordenada de la rasante. Una vez determinadas en el estadillo de cálculo, se anotarán en la guitarra del perfil.

449


18.4. Perfiles transversales. El estudio del trazado y establecimiento de la rasante se completa con la elaboración de los perfiles transversales. Un perfil transversal hemos dicho que es el que se obtiene perpendicularmente al perfil longitudinal, y habrá que establecer, a lo largo del trazado tantos perfiles transversales como sea necesario. Los perfiles transversales proporcionan la información necesaria del terreno en la franja que necesitamos conocer, dependiendo del tipo de obra y ocupación de la misma con el movimiento de tierras, cuya determinación es otra de las finalidades de los perfiles transversales, y cuya anchura puede variar desde unos pocos metros en obras de canalizaciones hasta más de cien metros en autopistas. Los perfiles transversales se suelen situar en los mismos puntos que hemos destacado para elaborar el longitudinal, que como sabemos son los puntos significativos del terreno: cambios de pendiente, accidentes, etc., y los de la traza del proyecto: cambios de rasante, tangentes y vértices de las curvas, etc. Los datos necesarios para su cálculo y representación de obtienen de los puntos del terreno situados a ambos lados del eje del trazado del longitudinal, a la distancia que necesitemos según los casos, como se ha explicado, y se tomarán, bien con estación total o bien con nivel topográfico, mira y cinta, con los mismo criterios que los explicados para elaborar el longitudinal. En el caso de obtener los puntos mediante la utilización de nivel topográfico, se tomarán lecturas de mira en el punto central y en los laterales de perfil, así como en todos los puntos significativos de su trazado. Los perfiles transversales se dibujan en una sola escala, es decir, la escala horizontal será la misma que la vertical, puesto que la determinación de parámetros que veremos a continuación así lo requieren. Si se usan métodos tradicionales de dibujo, se utilizará papel milimetrado, no mereciendo mayor detenimiento la explicación de la representación de los puntos destacados del perfil, así como su unión, a partir del eje del perfil que también se dibuja.

450


Una vez dibujados los perfiles, se representan en cada uno de ellos la sección tipo de la obra a ejecutar, llamando así al propio perfil transversal de la obra, que, por tramos suele ser constante. Si la obra en cuestión es la explanación de una carretera, por ejemplo, la sección tipo estará compuesta por el ancho de esta más los taludes laterales necesarios, y las cunetas para los perfiles en desmonte. Esta operación se suele denominar cajeado de los perfiles. En la Figura 18.6, representamos una serie de perfiles con el cajeado de la sección tipo. Se denomina talud a la inclinación de los laterales de la sección tipo definida por el movimiento de tierras, esta inclinación estará determinada por el tipo de terreno en el que se ejecuta la obra, par el desmonte así como el tipo de material de aporte para los terraplenes. P-A

P-1

P-2

P-3

P-4

P-5

Figura 18.6: Perfiles transversales y sección tipo

451

19. CÁLCULO DE VOLÚMENES: TERRAPLENES Y DESMONTES

Sin embargo, las formas básicas, los espacios y las apariencias, deben ser lógicas. (Kenzo Tange)

19.1. Generalidades sobre el cálculo de volúmenes. Centraremos la atención fundamentalmente del cálculo de volúmenes en el cálculo de los volúmenes de movimientos de tierras determinados por los volúmenes de desmonte y terraplén, ya que estos son los que fundamentalmente abarca la disciplina de la topografía de obra, aunque nos detendremos para analizar el cálculo de volúmenes en general. Arquímedes de Siracusa (c. 287 a.C. – c.212 a.C.), que el fue el primer científico que buscó aplicaciones prácticas del conocimiento, personalmente no estaba más orgulloso de haber descubierto las leyes de la palanca o su famoso principio que de haber resuelto matemáticamente el cálculo del volumen de una esfera. Tomando una esfera, un cono recto y un cilindro circular recto, de tal siendo las bases del cono y del cilindro un círculo máximo de la esfera y su altura el radio de esta, cortó a las tres figuras por un plano común, paralelo un plano tangente que contuviera las bases de cilindro y cono, Figura 19.1, estudiando las secciones que el plano producía en las tres figuras. 453


R r

d

d

d

d R

R

R

Figura 19.1 En la esfera la sección es un círculo de radio (r), que estará en función del radio (R) de la esfera y de la distancia (d) entre el plano de corte y centro de la esfera, cuya relación está determinada por:

R2 = d 2 + r 2 En el cono, el círculo que determina la sección con el plano tiene de radio la distancia (d) al vértice, puesto que por geometría del mismo ya que su altura es igual que el radio de su base. Y en el cilindro el radio de cualquier sección de un plano paralelo a su base será un círculo de radio (R) igual a la base. Calculando la superfices de la sección de la esfera (Se), del cono (Sk) y del cilindro (Sc) tenemos:

Se = πr 2

S k = πd 2

Sc = πR 2

Y como la sección del cilindro se puede expresar también así:

Sc = π (d 2 + r 2 ) = πd 2 + πr 2 Podemos inferir que la sección del cilindro es igual a la suma de las otras dos secciones:

Sc = S k + Se Extrapolando esta relación a un número infinito de secciones, es bastante obvio que la relación entre el volumen de la semiesfera 454

Cálculo de volúmenes: terraplenes y desmontes.

(Vse), el del cilindro (Vc) y el del cono (Vk) tienen la misma relación, en este caso:

Vse = Vc − Vk Expresando esta fórmula en función de los volúmenes conocidos del cilindro y del cono, se puede escribir:

2πR 3 Vse = πR − = 3 3 3

πR 3

y por tanto, finalmente, el volumen (Ve) de la esfera es:

Ve =

4πR 3 3

Arquímedes se convirtió así antes que Newton o Leibnitz en un precursor del cálculo integral, utilizado para calcular volúmenes, citando aquí, a modo de ejemplo y de homenaje a Arquímedes el de la esfera, partiendo de las coordenadas esféricas de los puntos que estén el primer octante, y multiplicando por 8 el resultado de su cálculo:

π π⎫ ⎧ S = ⎨ ρ ,θ ,ϕ | 0 ≤ ρ ≤ R,0 ≤ θ ≤ ,0 ≤ ϕ ≤ ⎬ 2 2⎭ ⎩ ⎡π ⎡π ⎤ ⎤ ⎢2 ⎢2 2 ⎥ ⎥ 2 8∫∫∫ dxdydz = 8∫∫∫ ρ senθdρdθdϕ = 8∫ ⎢ ∫ ⎢ ∫ ρ senθdθ ⎥ dϕ ⎥dρ = S 0 ⎢0 ⎢0 ⎥⎦ ⎥ ⎣ ⎣ ⎦ R

⎡ π2 ⎤ R ρ 2π 4 ⎢ ⎥ = 8∫ ⎢ ∫ ρdϕ ⎥dρ = 8∫ dρ = πR 2 2 3 0 ⎢0 0 ⎥ ⎣ ⎦ R

Es este un ejemplo de cómo se puede deducir el volumen de un sólido desconocido, a partir de su relación geométrica con otros conocidos, y que nos podemos encontrar en algún momento, aunque, ciertamente, no es muy frecuente la necesidad del 455


cálculo de volúmenes de figuras complicadas en trabajos de arquitectura. Siempre podremos recurrir a las fórmulas de cálculo de figuras geométricas, o bien a los métodos que desarrollaremos a continuación. Las aplicaciones más importantes serán al cálculo de los volúmenes de movimientos de tierra, aunque veremos también algunas otras.

456


19.2. Cálculo de volúmenes de movimientos de tierras. Como hemos visto en el tema anterior, tanto la elaboración del perfil longitudinal como la de los perfiles transversales del trazado de una obra, están desde el primer momento ejecutadas teniendo como uno de sus objetivos el cálculo de los volúmenes de movimiento de tierras, en función del desmonte, o terreno que hay que excavar o rebajar y del terraplén, o terreno que hay que aportar como relleno, y que en obras de ingeniería lineales son determinantes para la propia viabilidad de la obra, y básicos para el cálculo económico de la misma así como para elaborar la programación de los trabajos, mediante el denominado diagrama de masas, que es la curva que busca el equilibrio para la economía de los movimientos de tierra, siendo asimismo el método que indica el sentido del movimiento de los volúmenes excavados, la cantidad y la localización a lo largo de la traza de la obra de cada uno de ellos.

P-A

D T

Figura 19.2: Superficies de desmonte y terraplén en un perfil transversal. Si nos volvemos a fijar en la figura de un perfil transversal, veremos que siempre se distingue entre la superficie de ese perfil que corresponde a desmonte (D) y a terraplen (T), Figura 19.2., 457


las superficies de las zonas de desmonte y terraplén, serán el punto de partida para el cálculo del volumen entre perfiles, de acuerdo con el sistema que se fundamente en el cálculo del volumen del prismoide. El prismoide, o prismatoide, es un sólido limitado por dos caras planas y paralelas de forma cualquiera, llamadas bases, y por la superficie reglada engendrada por una recta que se apoya en ambas bases.

b

h

B Figura 19.3: Prismoide. El volumen (VP) del prismoide se determina calculando previamente la superficie (SB) y (Sb) de ambas bases, en función de la separación entre ellas (h) mediante la siguiente expresión:

VP =

1 h ⋅ ( S B + Sb ) 2

Aplicando este principio, siempre podremos establecer que entre dos perfiles transversales existe un prismoide cuyas bases son las superficies de desmonte (D) o terraplén (T) de cada uno de ellos, y la distancia (d) su separación, tal como se representa en la Figura 19.4, en la que (A1), (A2),… son las superficies de los distintos perfiles, y (d) la distancia, en este caso igual entre ellos.

458


A1

A3

A3 A4

d d

A5

d d Figura 19.4. En ejemplo de la figura, para calcular el volumen total de la excavación, calcularemos en primer lugar el volumen de los prismoides que se forman entre cada par de perfiles, siendo el volumen (Vi) de cada uno de ellos:

Vi =

1 d ⋅ ( Ai + Ai +1 ) 2

Sumando el volumen de todos los prismoides, tendremos el volumen total (VT) de la excavación:

VT =

1 d ( A1 + 2 A2 + 2 A3 + ... + 2 An −1 + An ) 2

[1]

459


19.3. Cálculo de volúmenes entre dos perfiles, ambos con desmonte. Cuando el volumen entre dos perfiles es sólo de desmonte, el cálculo es la aplicación directa de la fórmula del volumen del prismoide, siendo las secciones (D1) y (D2) las respectivas superficies de los perfiles, el volumen de desmonte (D) entre ambos perfiles es:

VD =

460

1 d ⋅ ( D1 + D2 ) 2


19.4. Cálculo de volúmenes entre dos perfiles, ambos con terraplén. Cuando el volumen entre dos perfiles es sólo de terraplén, el cálculo es similar al anterior, aplicando la fórmula del volumen del prismoide, siendo en este caso las secciones (T1) y (T2) las respectivas superficies de los perfiles, el volumen de desmonte (T) entre ambos perfiles es:

VT =

1 d ⋅ (T1 + T2 ) 2

461


19.5. Cálculo de volúmenes entre dos perfiles, con desmonte y terraplén. Para establecer la fórmula de cálculo del desmonte (D) y terraplén (T) entre dos perfiles cuyas secciones sean una de desmonte y otra de terraplén, Figura 19.5, estableceremos antes el valor de las superficies de los triángulos que se representan en la misma figura. P-3

P-4 dt ht

D

T

St

Sd hd dd

hd

ht

Figura 19.5. Las superficies de los dos triángulos que se forman son (St) y (Sd), y que representan esquemáticamente el desmonte y terraplén entre los perfiles tiene el valor conocido de:

1 ht ⋅ dt 2 1 S d = hd ⋅ d d 2 St =

Por otro lado, podemos establecer una relación de semejanza entre los dos triángulos, así como el que es suma de los dos, teniendo en cuenta que la suma de (dt) y (dd) es la distancia parcial entre los perfiles (d):

dt d d d = = ht hd ht + hd 462


de dónde podemos obtener los valores de (dt) y (dd), que sustituiremos en las expresiones que determinan el área de los triángulos:

⎞ ⎟⎟ ⎠

dt =

d ⋅ ht ht + hd

St =

1 d 1 ⎛ h2 ht ⋅ ⋅ ht = d ⎜⎜ t 2 ht + hd 2 ⎝ ht + hd

dd =

d ⋅ hd ht + hd

Sd =

1 d 1 ⎛ h2 hd ⋅ ⋅ hd = d ⎜⎜ d 2 ht + hd 2 ⎝ ht + hd

⎞ ⎟⎟ ⎠

Extrapolando los valores de las superficies de los triángulos, a valores de los volúmenes homólogos de desmonte (VD) y terraplén (VT), y considerando que las superficies respectivas de los perfiles en desmonte y terraplén son (D) y (T), y que (d) es la distancia parcial entre ambos perfiles, tendremos que el valor de cada uno de ellos será:

1 ⎛ D2 ⎞ 1 ⎛ T2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ V D= d ⎜ V T= d ⎜⎜ 2 ⎝ D + T ⎟⎠ 2 ⎝ D + T ⎟⎠

463


19.6. Cálculo de volúmenes entre perfiles mixtos. Para calcular el volumen de desmonte (VD) y terraplén (VT) entre dos perfiles, conteniendo al menos uno de ellos en su sección, desmonte y terraplén, Figura 19.6, determinaremos el volumen de desmonte y terraplén en dos partes, de acuerdo con el siguiente método.

P -7

D

P-8

a

t2 T1

a

T2 t' 2

Figura 19.6. En primer lugar calcularemos la distancia (a) desde el eje hasta el punto de intersección el perfil del terreno con el plano de la rasante de la sección tipo del perfil, en el perfil que hemos denominado mixto, es decir que contiene desmonte y terraplén en su sección, trasladando esta distancia al perfil con un solo tipo de sección, en este caso de terraplén. A la distancia (a) trazaremos una recta vertical que dividirá la sección del segundo perfil en dos partes, cuyo valor (t2) y (t’2) calculamos independientemente, estas dos parte sumadas suponen las sección total (T2) de terraplén de este perfil. Siendo las superficies del primer perfil (D) de desmonte y (T1) de terraplén, el valor de desmonte y terraplén del perfil vendrá determinado por el cálculo independiente de las dos partes en que divide (a) a ambos perfiles que llamaremos, parte derecha y parte izquierda, según la figura. El valor del volumen de desmonte (VD) nos lo dará el cálculo de parte derecha del tramo, puesto que en la parte izquierda sólo hay terraplén, y su valor será: 464


1 ⎛ D2 ⎞ ⎟ V D= d ⎜⎜ 2 ⎝ D + t2 ⎟⎠ El valor del volumen de terraplén (VT) será la suma del volumen de la parte derecha (Vt) y el de la parte izquierda (Vt’), que cómo sólo es de terraplén, será :

V T= Vt + Vt ' =

2 1 ⎛ t2 ⎞ 1 ⎟ + d (T1 + t '2 ) d ⎜⎜ 2 ⎝ D + t2 ⎟⎠ 2

En el caso de que ambos perfiles sean mixtos, dividiremos longitudinalmente el tramo entre perfiles, en tantas partes como sea necesario para poder calcular por este procedimiento los volúmenes de las partes divididas mediante las expresiones conocidas.

465


19.7. Cálculo del solar.

volumen de excavación de un

Por regla general, las excavaciones de los solares corresponden al volumen de un sólido cuya base inferior es una poligonal contenida en un plano horizontal, sus paredes planos verticales correspondientes a la poligonal, y la base superior una superficie poligonal, suyos lados serán las distancias naturales correspondientes a las distancias reducidas de los lados de la poligonal que forma la base inferior, estando sus vértices a cotas distintas. Siendo este caso típico, no necesitaremos utilizar el método de perfiles longitudinales y transversales, que sí utilizaremos, sin embargo, en movimientos de tierras de solares que no respondan a esta morfología. B hB A

B'

hA

C

A' C'

hC

D

Z

hD D'

Figura 19.7. Sea pues, un solar cuya excavación se representa en la Figura 19.7, y definido por la poligonal (ABCD) comprendida entre sus cuatro esquinas. Conociendo la cota de fondo de excavación (Z) determinaremos las alturas (hA), (hB), (hC) y (hD) que serán las diferencias entre las cotas de sus vértices (ZA), (ZB), (ZC) y (ZD), obtenidas mediante nivelación geométrica, calcularemos la altura media (h) como media de las alturas de sus vértices:

466


h=

hA + hB + hC + hD 4

Siendo la superficie agraria del solar (S), el volumen (V) de la excavación será:

V = S ⋅h Mediante este mismo sistema podemos calcular otros volúmenes análogos que se nos puedan presentar en una obra de arquitectura, como puede ser el de un hormigón aligerado para formación de pendientes en una cubierta, en el que consideraremos (Z) la cota de terminación del forjado sobre el que se apoya y las alturas (hA), (hB), (hC)…, las de los vértices de cada faldón, que calcularemos independientemente.

467


19.8. Cálculo de otros volúmenes. Como hemos expresado al comienzo de este tema, el cálculo de volúmenes en general consiste en la descomposición del volumen a determinar en volúmenes cuya determinación nos sea posible, siendo el volumen resultante la suma o diferencia de los volúmenes considerados, siendo esta una operación frecuente en las labores de proyecto, dirección, control y ejecución de una obra. Hay sin embargo un método para calcular grandes volúmenes, que se utiliza frecuentemente como puede ser el del cálculo de la capacidad de un embalse, considerado como el volumen de agua contenido en un vaso topográfico, asimilable al cálculo del volumen de una colina, volúmenes ambos que podemos calcular sin necesidad de la elaboración de perfiles, simplemente apoyándonos en el plano de curvas de nivel. El método consiste en considerar la superficie que encierran las curvas de nivel y multiplicar esta por la equidistancia. La superficie encerrada en cada curva de nivel se determinará mediante planímetro, método especialmente indicado para este tipo de superficies, siendo el cálculo del volumen total el resultado de multiplicar la superficie de cada curva de nivel por la equidistancia, cuyo valor determinará la precisión del método, correspondiendo una mayor precisión a una menor equidistancia. La fórmula que se suele utilizar es la equivalentes a la que hemos descrito para el cálculo total de un volumen de una excavación [1], expresándola en este caso según:

V=

1 e( A1 + 2 A2 + 2 A3 + ... + 2 An −1 + An ) 2

Ya que hemos sustituido la distancia (d) entre perfiles por la equidistancia (e) entre curvas de nivel, y las superficies (A1), (A2), (A3),…, (An) corresponderán a las de todas las curvas de nivel sumergidas. Esta fórmula se puede modificar, para obtener una mayor precisión en el cálculo, teniendo en cuenta que según ella nos faltará una pequeña parte de volumen que es la comprendida entre la curva de nivel más baja y el fondo del embalse sin 468


cubicar. Además de esto, normalmente la superficie del agua no coincidirá con una de las curvas de nivel, por tanto contaremos la curva de nivel bajo el agua dos veces, no contando la inmediatamente superior, no sumergida, como es lógico. Así pues si añadimos una primea sección con valor nulo, y una ultima doble, tendríamos que:

V = e( A1 + A2 + A3 + ... + An ) En cualquier caso, las cifras resultantes de estos cálculos adolecen de precisión, y por tanto siempre se suelen dar en unidades muy altas y redondeadas, siendo la más habitual el hectómetro cúbico (1 Hm³=106 m³).

469

20. PARCELACIONES Y DESLINDES

El objetivo de la arquitectura es hallar la mejor manera de repartir el espacio para que la gente se sienta bien en él. (John Pawson)

20.1. Definiciones previas. Los trabajos de topografía encaminados a la ejecución de trabajos de parcelaciones o deslindes, se fundamentarán en los métodos topográficos ya estudiados, sin embargo, antes de abordar este tema, conviene conocer la definición de los términos que podemos manejar relacionados con estos trabajos, cuyo objetivo está relacionado intrínsecamente con el derecho de propiedad, limitaciones a éste y derivaciones legales del mismo, no pudiendo separar siempre el aspecto puramente técnico de este trabajo, cual es el objetivo de la topografía de los aspectos legales señalados. En primer lugar definiremos finca e inmueble, dos palabras cuya significado a veces de confunde. Denominamos inmueble, o mejor dicho bien inmueble, a aquellas elementos de la propiedad constituidos por tierras, edificios, caminos, construcciones y minas, junto con los adornos o artefactos incorporados, así como a los derechos a los cuales atribuye la ley esta consideración. Se denomina finca a un inmueble, una parte de un inmueble o a un conjunto de inmuebles que constituyen una unidad individual de propiedad, clasificando genéricamente en fincas rústicas y fincas 471


urbanas. Así será, por ejemplo, un edificio de pisos un inmueble y cada uno de los pisos una finca. En consecuencia, podemos concluir que una finca puede estar compuesta por varios inmuebles, así como un inmueble puede estar compuesto por varias fincas. Ambos conceptos están relacionados con la propiedad, estando el concepto de inmueble relacionado con la naturaleza del bien y el concepto de finca con el derecho de propiedad del mismo así como con posibilidad de enajenación. Las fincas, de acuerdo con la legislación, pueden unirse para formar una unidad de propiedad mayor, lo que se denomina agrupación. Una agrupación de fincas da lugar a otra finca mayor. Asimismo una finca puede dividirse en partes, cuando la ley así lo permita y de acuerdo con que se estipule, lo que se denomina segregación. Una segregación de fincas da lugar a dos o más fincas más pequeñas que la finca de procedencia. Se denomina parcela, a la porción de terreno que pertenece a un dueño y que forman parte de una extensión mayor de terreno. Así pues, una finca puede estar constituida por una parcela, o segregarse en parcelas. Las fincas se identifican, además de por sus características físicas, es decir por su descripción, por sus linderos o lindes, siendo una linde la línea imaginaria que separa una finca de otra. La materialización física de las lindes de una o varias fincas, o parcelas sobre el terreno tiene dos objetivos fundamentales: el primero el de determinar las lindes de fincas ya existentes, cuya materialización por distintos motivos, puede ofrecer dudas; el segundo determinar estos linderos para situar entre ellos parcelas o fincas de nueva creación, con motivo de una segregación de fincas, la división de una urbanización, etc. Cuando determinemos las lindes de propiedades existentes, estaremos haciendo un deslinde. Cuando determinemos las lindes de nuevas propiedades, para definir estas estaremos haciendo una parcelación.

472

Parcelaciones y deslindes

Figura 20.1: Mojón. Deslinde de un terreno, parcela o solar, es el acto formal de señalar sobre el mismo, los límites que lo definen representados por su perímetro, y de éste señalando sus vértices o alineaciones, en razón de unas condiciones prefijadas que pueden ser de propiedad, parcelación, de carácter urbano, de servidumbre, de derechos reales, de expropiaciones o de cualquier otro tipo. Una vez determinadas las lindes de un terreno, el acto de materializar estas lindes con referencias físicas sobre el terreno se denomina amojonamiento. Así pues, amojonar una determinada parcela de terreno consiste en colocar estas referencias que se denominan mojones. Se puede dar el caso de que se haga un amojonamiento sin un deslinde previo, y esto es cuando se conozcan las lindes perfectamente, pero no haya referencias físicas, naturales o artificiales, de éstas, aunque normalmente se ejecutará tras el deslinde. Tanto el deslinde como el amojonamiento son actos de naturaleza técnica que tienen trascendencia legal, dando por tanto lugar a documentos con propia naturaleza legal.

473


Se denomina parcelación al acto formal de materializar sobre el terreno las lindes y sus referencias físicas de las parcelas resultantes de una división o segregación. Asimismo, este acto tendrá las consecuencia legales que de el se deriven. Normalmente, la descripción de las parcelas o fincas resultantes, así como sus lindes, que se materializarán mediante mojones. Los efectos legales de deslindes o amojonamientos, en cuanto a la definición de parcelas, fincas y lindes, de éstas, tendrán reflejo en documentación, que en su caso formará parte de los archivos y registros oficiales, que en España lo constituyen el Catastro y el Registro de la Propiedad Inmobiliaria. De igual forma, los datos que estos dos organismos constan nos servirán de base para llevar a cabo los trabajos descritos, debiendo pues, tener conocimiento de los mismos.

474


20.2. El Catastro inmobiliario. El Catastro (del griego κατάστιχον = registro) inmobiliario es un registro administrativo dependiente del Estado en el que se describen los bienes inmuebles rústicos, urbanos y de características especiales. En la Roma antigua era la contribución que pagaban por cabeza los nobles y terratenientes según el patrimonio inmobiliario que poseían. Se entendía, y se entiende aún, por catastro el registro de los bienes inmuebles, su ubicación, dimensiones y uso, y sus propietarios, que se utiliza para establecer el monto de la contribución que se impone sobre los bienes inmuebles según su producción, su renta o su valor, y derechos como servidumbres e hipotecas. Se guardan registros del uso de este tipo de registros en Babilonia y Grecia donde se utilizaba como base impositiva, también en Egipto donde aparte de la función impositiva se lo utilizaba como reserva de datos de las dimensiones y ubicaciones de las parcelas para el replanteo de las mismas luego de las cíclicas crecidas del Nilo. Otro ejemplo de catastro es el Domesday Book, creado por Guillermo I de Inglaterra, "El conquistador", utilizado para conocer los recursos de su reino. El libro Becerro de las Behetrías de Castilla es el mas antiguo catastro conocido, fiel reflejo de la organización territorial castellana y que debía de servir de base a una futura reforma. En Europa es donde la puntillosa mentalidad occidental hace que los catastros sean cada vez más precisos y perfectos, ejemplo de ello son los de: Francia y Holanda (organizado por Napoleón Bonaparte), Alemania, Reino Unido, y por supuesto España que lo implanta en América durante la época colonial. En 1749 se inició el que posiblemente es el más importante ejemplo de la época preestadística en todo el mundo: el Catastro de Ensenada, que incluía censo de población y muchos otros datos.

475


El concepto actual de catastro se basa en tres finalidades que le dan sustento, las cuales son: • • •

Dar una base para el planeamiento urbano y rural. Calcular el monto de las contribuciones como el impuesto inmobiliario. Guardar la seguridad jurídica del derecho de propiedad a través de la aprobación y archivo de las mensuras, que son la base de las escrituras de traslación y dominio.

El Catastro inmobiliario español, es un organismo dependiente del Ministerio de Economía y Hacienda. A los solos efectos catastrales, salvo prueba en contrario y sin perjuicio del Registro de la propiedad, cuyos pronunciamientos jurídicos prevalecen, los datos contenidos en el Catastro Inmobiliario se presumen ciertos. La incorporación en el Catastro de los bienes y de las alteraciones de sus características, es obligatoria y se realiza por alguno de los siguientes métodos: • • •

declaraciones, comunicaciones y solicitudes subsanación de discrepancias inspección catastral; pueden ser bien actuaciones de comprobación e investigación de hechos, actos, negocios y demás circunstancias relativas a los inmuebles susceptibles de originar una incorporación o modificación en el Catastro, bien de información, de valoración y de informe y asesoramiento.

La formación y mantenimiento del Catastro, así como la difusión de la información catastral, es de competencia exclusiva del Estado. Estas funciones, que comprenden, entre otras, la valoración, la inspección y la elaboración y gestión de la cartografía catastral, se ejercerán por la Dirección General del Catastro, directamente o a través de las distintas fórmulas de colaboración que se establezcan con las diferentes Administraciones, entidades y corporaciones públicas, salvo la coordinación de valores y la de aprobación de las ponencias de valores que deben ser ejercidas en todo caso por la Dirección General del Catastro.

476


Figura 20.1.: Página de la Oficina virtual del Catastro. Actualmente, la Dirección General del Catastro, tiene a disposición de los usuarios un servicio informático denominado Oficina Virtual del Catastro en el que se pueden consultar datos del patrimonio inmobiliario nacional, tales como situación, construcciones, superficie así como un plano del mismo.

477


20.3. El Registro de la Propiedad Inmobiliaria. Se denomina registro de la propiedad a un registro público de carácter oficial en el que se inscriben para conocimiento general los derechos de propiedad sobre los bienes inmuebles, así como todos los demás derechos reales que recaigan sobre ellos. La principal función de un registro de la propiedad es dar información fiable a los ciudadanos, que pueden confiar en lo que hay inscrito a la hora de realizar contratos que impliquen disposición sobre los bienes inscritos. De esa forma, un comprador que quiera adquirir una finca o bien inmueble no tendrá más que comprobar en el registro su estado para asegurarse de que el vendedor es el verdadero propietario, y que el bien está libre de cargas que puedan reducir el valor de la propiedad. En algunos ordenamientos jurídicos, como por ejemplo el alemán, la inscripción en el registro es obligatoria para que se transmita la propiedad. En ese caso el contrato de compraventa exigirá esa formalidad para que se haya cumplido en su totalidad. En otros países, como España, el registro es voluntario, pero tiene ventajas que hacen aconsejable la inscripción. Entre otras ventajas, si por ejemplo se diese el caso de una doble venta de un bien inmueble (una persona vende un bien dos veces seguidas, aprovechándose de que el primer comprador no inscribió la compraventa en el registro), la propiedad pertenecerá al primero que lo hubiese inscrito, quedando el otro solamente legitimado para reclamar la correspondiente indemnización. Otros derechos reales, como la hipoteca, suelen ser de obligatoria inscripción para poder hacerla valer frente a terceros. En España el Registro de la Propiedad nació en 1861 sobre la base de las antiguas Contadurías de Hipotecas. El proceso desamortizador, la necesidad de una reforma económica y social y el fracaso de la codificación civil fueron los precedentes inmediatos de la Ley Hipotecaria de 1861 que reguló el derecho real de hipoteca y la vertiente formal del Registro de la Propiedad.

478


Los objetivos que se propuso el legislador a la hora de regular el Registro fueron, básicamente, tres. En primer lugar asentar sobre sólidas bases el sistema crediticio e hipotecario; en segundo lugar, dar protección a los titulares de los derechos inscritos; y, por último, dotar de agilidad al tráfico jurídico inmobiliario.

479


20.4. Legislación y deslindes. Se entiende por deslinde, como hemos dicho, el acto formal de distinguir los límites de una propiedad. El deslinde no indica quién es el propietario de la propiedad, sí indica, sin embarbo su forma y dimensiones. El amojonamiento sirve para plasmar físicamente los límites de la propiedad. La acción de amojonar es una operación posterior y consecuencia del deslinde. El deslinde se puede definir como el procedimiento administrativo, –no judicial–, o el proceso civil, –expediente judicial de jurisdicción voluntaria, art. 1061 a 1070 Ley de Enjuiciamiento Criminal–, que persigue la determinación exacta y precisa de los linderos de las fincas colindantes, sean éstas propiedad de la Administración –patrimoniales o de dominio público– o de los particulares. El Código Civil, por su parte en su art. 384 señala que todo propietario tiene derecho a deslindar su propiedad con citación de los predios colindante, lo que es una de las facultades del contenido del derecho de propiedad para su defensa, consistiendo en la fijación de los limites de los inmuebles contiguos cuando sean inciertos o existan controversias pudiendo hacerse por acuerdo, o por procedimiento de jurisdicción voluntaria o por juicio contencioso declarativo. La Administración, como cualquier propietario, tiene la facultad de deslindar sus bienes, de dominio público, pero a diferencia de los particulares puede fijar unilateralmente la extensión y límites de sus bienes sin intervención judicial a través de un procedimiento administrativo que concluye con un acto administrativo ejecutivo y ejecutorio que se presume válido, trasladando la carga de su impugnación al colindante, y que no puede ser paralizado mediante interdictos. La eficacia del deslinde es la recuperación administrativa de la posesión de los bienes, distinguiéndose así la recuperación subsiguiente al deslinde y la recuperación autónoma. Los límites que la Administración ha de respetar son los títulos de dominio inscritos en el Registro de la Propiedad a favor de particulares, pues se invierte entonces la posición de la Administración que ha de adoptar la postura de demandante 480


ejercitando la acción reivindicativa ante los tribunales ordinarios pidiendo la anulación del asiento registral, a diferencia de la regla general de que sean los particulares no conformes con el deslinde los que demanden gozando la Administración de la posesión de la superficie litigiosa mientras se resuelve al proceso, siendo también límites, tratándose de bienes patrimoniales, los estados posesorios de los particulares que den lugar a la prescripción adquisitiva de la propiedad. La naturaleza del deslinde administrativo es la de un acto declarativo de estados posesorios de hecho que se limita a constatar el ius possesionis, es decir si la Administración o el particular estaban utilizando el terreno, pero no declara quien tiene el ius possidendi o derecho a la posesión ni quien es el dueño, cuestión definitiva reservada a los tribunales ordinarios. Hay doctrinas a favor de que el deslinde es un acto declaratorio de la titularidad dominical de la administración, autodefinición que afecta a la situación jurídica de la propiedad y que puede consumar una invasión de la propiedad colindante obligando a ésta a un proceso civil declarativo. El deslinde no afecta al derecho de propiedad, que deberá discutirse en el proceso civil oportuno, si no que se desenvuelve exclusivamente en el plano de la fijación de los linderos desde el punto de vista de posesión. De esta forma, el deslinde no es una acción administrativa de declaración dominical, sino que sólo sirve para la fijación de la situación posesoria entre las fincas deslindadas, quedando reservadas todas las cuestiones de índole civil a la jurisdicción ordinaria.

481


20.5. Deslindes y amojonamientos, procedimiento. Asi pues, el procedimiento de efectuar el deslinde y amojonamiento de una finca, parcela o conjunto de ellas limítrofes, tendrá que seguir los siguientes pasos:

482

•

Documentación: En primer lugar tendremos que tener en cuenta el aspecto documental del deslinde, ya que tendremos que recabar toda la información que podamos para poder materializar las lindes. Normalmente, el peticionario nos deberá proporcionar toda la documentación que se tenga, sin embargo, para efectuar correctamente nuestro trabajo, tendremos que asegurarnos de que esta documentación está completa, y es correcta. En este sentido podremos acudir tanto al Registro de la Propiedad, que es público, como al Catastro, servicios municipales, Instituto Geografico Nacional, archivos privados, etc. Teniendo en cuenta que la documentación que prevalece, en caso de contradicciones es la que consta en el Registro de la Propiedad. También podemos consultar el Servicio de Deslindes del Instituto Geográfico Nacional, si trabajamos en un deslinde que concierne a términos municipales o a algunas propiedades de titularidad pública. Entre la documentación reunida, es importantísima la obtención de documentación gráfica, a ser posible el plano catastral.

•

Estudio del terreno: En conjunto con la documentación recabada, para encontrar los puntos comunes o descritos en la documentación, así como su identificación inequívoca.

•

Levantamiento topográfico: Se efectuará por alguno de los métodos que hemos estudiado un levantamiento topográfico del terreno a deslindar, ampliado a zonas que supongan referencias importantes para la determinación del trabajo. No debemos olvidar que el levantamiento topográfico que se necesita es planimétrico, ya que desde el punto de vista de los deslindes, sólo manejaremos distancias reducidas, coordenadas en el plano horizontal, y superficies agrarias. No es frecuente ni normalmente


necesario un levantamiento altimétrico o taquimétrico, no obstante, será de nuestra elección la posible toma de datos en altimetría, si lo consideramos necesario por alguna cuestión particular del trabajo en sí. •

Replanteo: Una vez obtenido el plano de la zona con los datos de campo, se reflejarán en éste los linderos y el resto de las referencias que correspondan, y se replantearán el terreno, una vez materializado este, será necesario que lo vean los implicados en el deslinde: propietarios, engargantes o afectados. Si el trabajo no es muy largo puede hacerse en público, es decir, con los implicados presentes.

•

Amojonamiento: Este se efectuará con materiales sólidos y duraderos, habiéndose usado tradicionalmente la piedra natural. Para esta tarea se habrán encargado previamente los mojones a colocar, decidiendo el material y el diseño en función de la zona, precio, número de ellos, transporte, etc. Es recomendable que sean pesados y grandes, para que perduren en el tiempo, no se vean afectados por la meteorología, animales, raíces de árboles, etc. Las formas piramidales y troncocónicas con las más usadas por proporcionar la estabilidad necesaria, también se pueden grabar señales, tales como referencias numéricas, fechas, etc., que ayuden a identificar el punto en el futuro. Se colocarán tantos mojones como vértices tenga la propiedad deslindada, y cuando no sea posible, se podrán otros que marquen esta referencia. Bajo los mojones, y a una pequeña profundidad, se verterá para formar una capa enterrada, un material identificable en caso de que desaparezca el mojón, que suele ser carbón, cal, cenizas, etc.

•

Acta del deslinde: Todo el trabajo, el proceso, los planos del levantamiento, los planos del replanteo, la situación y coordenadas de los mojones, la descripción de los mismos, la superficie real de la finca o fincas deslindadas, así como todos las particularidades del procedimiento se reflejará en un documento llamado Acta de Deslinde, de la que se entregarán copias a quien proceda, dejando las que corresponda en nuestro archivo particular. 483


20.6. Parcelaciones. Una de las razones por las que se efectúan los deslindes, descritos arriba, aunque no el único, es la discrepancia entre dos propietarios colindantes respecto a la situación o dimensiones de éstos. La parcelación es la definición y materialización en terreno de los límites de las parcelas en que se divide una porción de terreno mayor, así como su tamaño. Es pues importante que este trabajo quede no sólo reflejado en el terreno, sino documentalmente de forma que en el futuro, la situación de mojones y lindes no ofrezcan lugar a dudas. La parcelación es, en esencia la división del suelo, y en ese sentido existen dos tipos fundamentales de parcelaciones en virtud del tipo de suelo en el que efectúen: •

•

Parcelaciones urbanísticas: que consiste en la división de un terreno en al menos dos parcelas, con el fin de edificarlas. Parcelaciones agrarias: que consiste en dividir o segregar terreno rústico de suelo no urbanizable en porciones menores con fines de explotación agrícola, ganadero, forestal o cinegético.

En cuanto a las parcelaciones agrarias, en general la legislación española no permite parcelas menores de 10.000 m², y tampoco aquellas que mantengan el destino del suelo, su vinculación agraria y estén enfocadas a una futura edificación, aunque en general están fuera de nuestro campo de actuación, por definición. Las parcelaciones urbanisticas, están sujetas a las leyes urbanisticas en vigor, tales como l lay del Suelo, Reglamento de Planeamiento Urbanístico, Reglamento de Gestión Urbanística, Reglamento de Disciplina Urbanística, los Planes Generales de Ordenación Urbana, Ordenanzas Municipales y Normas Subsidiarias. Es por tanto que una parcelación urbanística nace con unos requisitos legales que provienen del derecho urbanístico aplicable, estando perfectamente reguladas las condiciones en las que se pueden ejecutar. Básicamente, los condicionantes legales que debe reunir un terreno para que pueda parcelarse, en general y de acuerdo con la legislación citada no se podrán ejecutar: 484


• •

•

• •

• •

•

En suelo no urbanizable En terrenos destinados por el planeamiento urbanístico a equipamientos, sistemas generales de comunicaciones, zonas verdes o espacios libres En suelo urbanizable no programado antes de la aprobación definitiva del programa de actuación urbanística En suelo urbanizable programado si no existe Plan Parcial aprobado En suelo urbano si contradicen las previsiones establecidas en el Plan General o en las Normas Subsidiarias de Planeamiento En lotes inferiores a la parcela mínima establecida como indivisible En terrenos que no hayan sido clasificados previamente como suelo urbano, siempre que impliquen la creación de un nuevo núcleo de población o la ampliación de uno ya constituido que requiera la ejecución de obras de infraestructura que no sean mero complemento de la urbanización existente Sin licencia, o con licencia manifiestamente ilegal

En general, y citando como referencia al Plan General de Ordenación Urbana vigente en Málaga, podemos resumir, en relación a la consideración de Parcelaciones Urbanísticas, que serán aquellas que puedan dar lugar a un núcleo de población, y no podrán realizarse en suelos urbanos o urbanizables en tanto no esté aprobado el correspondiente planeamiento previsto, en el propio Plan General de Ordenación Urbanna o en los Programas de Actuación Urbanistica que se aprueben para su desarrollo, y en cualquier caso, nunca se podrán hacer Parcelaciones Urbanísticas en suelo no urbanizable. Asimismo, cuando un Proyecto de Parcelación Urbanística se tramite de forma independiente, deberá contener al menos: •

Memoria: memoria justificativa de las razones de la parcelación y de sus características en función de las determinaciones del Plan sobre el que se fundamente. Se describirá, con expresión de superficie y localización, cada finca original existente y cada una de las nuevas parcelas resultantes, debiéndose hacer patente que éstas resultan 485


• •

•

• •

adecuadas para el uso que el Plan les asigna y que, en su caso, son aptas para la edificación. Plano de situación o emplazamiento a escala no inferior a 1:2000. Planos topográficos de estado actual, a escala 1:500 como mínimo, donde se señalen las fincas originarias y registrales representadas en el parcelario oficial, las edificaciones y arbolado existente y los usos de los terrenos. Planos de parcelación, a escala 1:500 como mínimo, en los que aparezca perfectamente identificada cada una de las parcelas resultantes y pueda comprobarse que no quedan parcelas inaprovechables según las condiciones señaladas en el Plan. En su caso, propuesta de cédula urbanística de cada parcela resultante. Certificado de dominio y estado de cargas expedido por el Registro de la Propiedad. Si la finca o fincas no constaren matriculadas se indicará tal circunstancia, acompañando el título o títulos que acrediten el dominio.

Una vez salvada la legalidad, –que, repetimos, está fuera estrictamente de la disciplina topográfica, de alguna manera la condiciona– nos centraremos en el problema técnico y documental que supone efectuar una parcelación. La parcelación tiene, desde el punto de vista técnico, dos aspectos en los que podemos intervenir, en primer lugar la propia división, y en segundo lugar la materialización física y documental de esta. Par efectuar la división en lotes, o parcelas tendremos en cuenta los siguientes parámetros: • • • • •

486

La parcela mínima. El número de parcelas que en que se desea dividir el terreno Situación y orientación Clasificación de los lotes, es decir, cuantos lotes de cada tipo. Accesos y servicios


Figura 20.3: Plano de parcelación.

Es esta una tarea propia del proyecto de urbanización o de arquitectura, que no requiere mayor detenimiento, aunque si es aconsejable que la división sea, de alguna manera numéricamente lógica, debiendo existir el mayor número de parcelas iguales, lo que significará, el mismo coeficiente de participación en los gastos, un reparto más sencillo y una menor incidencia en problemas de lindes en el futuro. El problema de la materialización se resume en la ejecución del trabajo según los siguientes pasos a seguir: • •

Estudio de la documentación gráfica y del terreno. Levantamiento topográfico del terreno, si no se dispone de él

487


•

•

488

Comprobación de la superficie del terreno con la que figura en el plano de parcelación, con la consiguiente corrección de éste, si procede, y vuelta a comenzar. Replanteo de todas las parcelas, así como de los servicios, viales, etc., materializando en el mismo los vértices y referencias necesarias, con los métodos necesarios en cada caso: si la obra comenzará de inmediato un simple estaquillado es suficiente, si el comienzo de la obra se prevé que tardará, habrá que utilizar referencias más sólidas, como piezas prefabricadas de hormigón, etc. Referencia en el plano del trabajo realizado, así como de las correcciones.

ÍNDICE Págs. PRÓLOGO

5

1. INTRODUCCIÓN A LA TOPOGRAFÍA 1.1. La Topografía 1.2. El Geoide 1.3. Forma y dimensiones de la Tierra 1.4. Elementos geográficos de la Tierra 1.5. Proyecciones 1.6. La Cartografía

19 21 25 36 40 50

2. DE LAS UNIDADES DE MEDIDA Y LAS COORDENADAS 2.1. El Sistema Métrico Decimal 2.2. Unidades de medida de longitud, superficie y volumen 2.3. Unidades angulares 2.4. Ángulos 2.5. Coordenadas

57 65 66 68 75

3. DEL PLANO TOPOGRÁFICO 3.1. Del sistema de representación utilizado en Topografía 3.2. La escala 3.3. El límite de percepción visual y la escala 3.4. Planimetría, altimetría y taquimetría 3.5. Relación de la escala con el elemento y precisión 3.6. Las curvas de nivel 3.7. Trazado de perfiles

83 85 89 91 93 98 107

4. TEORÍA DE ERRORES 4.1. Introducción a la teoría de errores 4.2. Precisión y exactitud 4.3. Cifras significativas 4.4. Errores 4.5. Trasmisión de errores 4.6. Tolerancia 4.7. Ajuste por mínimos cuadrados 4.8. Interpolación

109 111 113 115 118 121 127 129

5. MEDICIÓN DE DISTANCIAS Y ÁNGULOS 5.1. Tipos de distancias 5.2. Superficie agraria 5.3. Medición de cotas y distancias en el plano 5.4. Medición directa de distancias 5.5. Influencia de la curvatura terrestre en la medición de distancias. 5.6. El estadímetro de mira vertical 5.7. Conceptos generales sobre ángulos 5.8. Operaciones con unidades angulares 5.9. Azimut y orientación

131 134 136 138 143 146 150 153 155

6. INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS 6.1. Introducción 6.2. Instrumentos que definen rectas y planos 6.3. Instrumentos que definen alineaciones 6.4. Instrumentos para medir distancias 6.5. Elementos accesorios 6.6. El nivel topográfico 6.7. El taquímetro 6.8. La estación total

157 159 166 174 179 182 186 191

533

6.9. El distanciómetro 6.10. El GPS 6.11. La brújula

194 196 199

7. MÉTODOS DE MEDICIÓN 7.1. Métodos de medición directa de distancias 7.2. Métodos de medición indirecta de distancias 7.3. Regla de Bessel 7.4. Métodos de medición de ángulos y orientación de instrumentos 7.5. Errores instrumentales

203 215 223 224 230

8. LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS 8.1. De los levantamientos topográficos 8.2. Clases de levantamientos topográficos 8.3. Trabajos de campo y gabinete 8.4. Confección del plano. Orientaciones. Coordenadas 8.5. Errores en planimetría y altimetría

231 234 239 242 244

9. PLANIMETRÍA 9.1. Del levantamiento planimétrico 9.2. Métodos planimétricos elementales 9.3. Radiación: descripción del método 9.4. Método de radiación: trabajo de campo 9.5. Método de radiación: trabajo de gabinete 9.6. Itinerario: descripción de método 9.7. Método de itinerario: trabajo de campo 9.8. Métrodo de itinerario: trabajo de gabinete 9.9. Métodos de intersección 9.10. Intersección directa 9.11. Intersección inversa: solución de Pothenot

253 255 259 260 262 267 269 272 277 278 281

10. ALTIMETRÍA 10.1. Definición y objeto de altimetría 10.2. Error de esfericidad y error de refracción 10.3. Nivelación geométrica 10.4. Nivelación trigonométrica 10.5. Nivelación barométrica

285 289 294 303 307

11. TAQUIMETRÍA 11.1. Fundamento de la taquimetría 11.2. Coordenadas y fórmulas fundamentales 11.3. Radiación taquimétrica 11.4. Poligonación taquimétrica 11.5. Enlace indirecto de Porro 11.6. Intersección taquimétrica 11.7. Confección del plano topográfico 11.8. Modelo digital del terreno

311 313 314 315 317 322 324 326

12. LEVANTAMIENTOS ARQUITECTÓNICOS 12.1. De los levantamientos arquitectónicos 12.2. Métodos 12.3. Trabajos de campo 12.4. Aplicación práctica: levantamiento horizontal 12.5. Aplicación práctica: levantamiento vertical

331 334 337 340 343

13. REPLANTEOS 13.1. Concepto de replanteo 13.2. El plano de replanteo

347 349

534

13.3. Alineaciones y rasantes 13.4. Tipos de replanteo 13.5. Métodos planimétricos de replanteo 13.6. Métodos altimétricos de replanteo 13.7. Replanteo de referencias

352 353 355 358 363

14. REPLANTEOS DE ELEMENTOS GEOMÉTRICOS: RECTAS Y ÁNGULOS 14.1. Generalidades 14.2. Trazado de rectas 14.3. Trazado de ángulos 14.4. Trazado de perpendiculares 14.5. Trazado de paralelas

367 368 369 373 375

15. REPLANTEOS DE ELEMENTOS GEOMÉTRICOS: CURVAS 15.1. Generalidades 15.2. Elementos de la curva circular 15.3. Replanteo de una curva circular 15.4. Replanteo de arcos circulares 15.5. Curvas no circulares

379 380 382 388 392

16. REPLANTEOS ARQUITECTÓNICOS 16.1. Replanteos de edificios 16.2. Replanteo de movimiento de tierras, cimentaciones y saneamientos 16.3. Replanteo de estructuras 16.4. Replanteo de albañilería, carpintería y cerrajería 16.5. Replanteo de instalaciones 16.6. Replanteo de solados y alicatados 16.7. Replanteo de elementos tridimensionales

395 399 405 409 413 416 419

17. CÁLCULO DE ÁREAS 17.1. Clasificación de los métodos para el cálculo de áreas 17.2. Descomposición en triángulos 17.3. Radiación 17.4. Fórmula de Bezout 17.5. Fórmula de Simpson 17.6. Fórmula de Poncelet 17.7. Fórmula de Gauss 17.8. Métodos gráficos 17.9. Métodos mecánicos

423 425 426 428 430 431 432 434 436

18. PERFIL LONGITUDINAL Y TRANSVERSAL 18.1. Perfiles y rasantes 18.2. Perfil longitudinal 18.3. Rasantes 18.4. Perfiles transversales

439 441 448 450

19. CÁLCULO DE VOLÚMENES: DESMONTES Y TERRAPLENES 19.1. Generalidades sobre el cálculo de volúmenes 19.2. Cálculo de volúmenes de movimientos de tierras 19.3. Cálculo de volúmenes entres dos perfiles, ambos con desmonte 19.4. Cálculo de volúmenes entre dos perfiles, ambos con terraplén 19.5. Cálculo de volúmenes entre dos perfiles, con desmonte y terraplén 19.6. Cálculo de volúmenes entre perfiles mixtos 19.7. Cálculo del volumen de excavación de un solar 19.8. Cálculo de otros volúmenes

453 457 460 461 462 464 466 468

20. PARCELACIONES Y DESLINDES 20.1. Definiciones previas

471

535

20.2. El catastro inmobiliario 20.3. El Registro de la Propiedad Inmobiliaria 20.4. Legislación y deslindes 20.5. Deslindes y amojonamientos 20.6. Parcelaciones

475 478 480 482 484

21. EJERCICIOS

489

ÍNDICE

533

BIBLIOGRAFÍA

537

536

BIBLIOGRAFÍA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

BANNISTER, Arthur: “Solving Problems in Surveying” —LONGMAN, 1989 CALVO BÁGUENA, Víctor: “Topografía para agrónomos” —UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA, 1997. CHUECA PAZOS, Manuel : “Topografía”, —DOSAAT, 1982 CRAMER, Johannes: “Architecture in existing Fabric: Planning, Desing, Building” —SPRINGLER VELAG, 2007. DOMÍNGUEZ GARCÍA-TEJERO, Francisco: “Topografía abreviada” —MUNDI PRENSA, 1997. GONZÁLEZ CABEZAS, Antonio: “Lecciones de Topografía y Replanteos” —CLUB UNIVERSITARIO, 2007. MARTÍN MOREJÓN, Luis: “Topografía y replanteos” —ROMAGRAF, 1987 MARTÍNEZ MARÍN, Rubén: “Geodesia y topografía” —BELLISCO, 2004. OJEDA RUIZ, José Luis: “Métodos topográficos y oficina técnica” —JLOJEDA, 1994. RUIZ MORALES, Mario: “Manual de geodesia y topografía” —PROYECTO SUR, 1998. SANTOS MORA, Antonio: “Topografía y replanteos de obras de ingeniería” — COITT, 1993. SERRANO GÓMEZ, Ángel: “Topografía para técnicos” —MANFER, 1964 SERRANO GÓMEZ, Ángel: Ejercicios resueltos de topografía” —MADRID, 1964.

“Nada puede decir que es tan nuestro como un libro, tarda en conocernos el suficiente tiempo como para que nosotros conozcamos la topografía de las señales, arrugas y dobleces de sus páginas, y para que también reconozcamos la manchas de cuando lo leímos mientras tomábamos te y tostadas con mantequilla, o fumábamos en pipa, lo que para mí es lo máximo”. Charles Lamb (Escritor inglés de ascendencia galesa, 1775-1834)

537

00 TOPOGRAFIA EN ARQUITECTURA - LIBRO.pdf

Recommend Documents