Liceo N°1 Javiera Carrera, Bachillerato Matemática, Nivel Séptimo básico
Guía Nº !Cua"riláteros# !Cua"rilát eros# Nombre$ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Curso $ %%%%%%%%%%%%
C#ADR'L%"ERO Definición: Cuadrilátero es cualquier pol"gono de # lados. Clasificación Los cuadriláteros pueden ser c$nca%os o con%e&os. 'stos (ltimos se clasifican en: Paralelogramos, )rapecios y )rape*oides. Propiedades La suma de los ángulos interiores es +-. La suma suma de los án ulos ulos e&terio e&teriores res es +-. +-. • •
1. PARALELÓGRAMOS. Paralelogra ogramo mo es aqu aquel el cuadril cuadriláte átero ro que tiene tiene dos pares pares de lados lados opue opuesto stoss Defi Defini nici ción: ón: Paralel paralelos. paralelogramos os Clasificación: Los paralelogramos se clasifican en: paralelogramos rectos y paralelogram oblicuos. Los paralelogramos rectos son aquellos cuyos ángulos interiores son todos rectos. Los Los para parale lelo logr gram amos os obli oblicu cuos os son son aque aquell llos os cuyo cuyoss ángu ángulo loss inte interi rior ores es no son son rect rectos os.. Paralelogramos rectos son el cuadrado y el rectángulo. Paralelogramo Paralelogramoss oblicuos oblicuos son el rombo y el romboide. Propiedades: Lados opuestos congruentes Ángulos opuestos congruentes. Ángulos contiguos suplementarios. Las diagonales se dimidian. • • • •
Observ Observaci ación: ón: Si un cuadrilátero cumple con a lo menos una de estas propiedades, entonces necesariaen!e es un paralelogramo. 1.1 PARALELÓGRAMOS PARALELÓGRAMOS REC"OS 1.1.1. C#ADRADO Cuad adra rado do es aque aquell para parale lelo logr gram amoo rect rectoo de lado ladoss Defi Defini nici ción ón:: Cu congruentes. Propie Propiedad dades: es: Además de las cuatro propiedades generales de los paralelogramos, los cuadrados tienen estas otras tres propiedades: Diagonales congruentes. Diagonales perpendiculares. Diagonales bisectrices. • • •
1.1.$. REC"%&G#LO Definición: ectángulo es aquel paralelogramo recto de lados contiguos desiguales. Adem emás ás de las las cuat cuatro ro prop propie ieda dade dess Prop Propie ieda dade des: s: Ad generales de los paralelogramos, los rectángulos tienen la siguiente propiedad: Diagonales congruentes •
Observación: Las diagonales de los rectángulos no son perpendiculares ni son bisectrices. Página !
1.$ PARALELÓGRAMOS O(L'C#OS 1.$.1. ROM(O Definición: ombo es aquel paralelogramo oblicuo de lados congruentes. Propiedades: Además de las cuatro propiedades generales de los paralelogramos, los rombos tienen estas dos propiedades: • •
Diagonales perpendiculares Diagonales bisectrices
Observación: Las diagonales de los rombos son desiguales. 1.$.$. ROM(O'DE omboide es aquel Definición: paralelogramo oblicuo de lados contiguos desiguales. Propiedades: Los romboides s$lo tienen las cuatro propiedades generales de los paralelogramos. Observación: Las diagonales de los romboides no son iguales, no son bisectrices ni son perpendiculares. $. "RAPEC'O Definición: )rapecio es aquel cuadrilátero que tiene s$lo un par de lados paralelos, llamados bases. Clasificación: Los trapecios se clasifican en !rapecios isósceles) !rapecios rec!*n+,los !rapecios escalenos. Propiedades: 'n todos los trapecios, los ángulos colaterales internos entre las bases /A0 y DC1 son suplementarios. 'n todo trapecio la ediana es igual a la semisuma de las bases. •
•
α + δ = !2-° β + γ = !2-°
3 y 4 puntos medios de los lados AD y 0C respecti%amente.
$.1. "RAPEC'O 'SÓSCELES Definición: )rapecios is$sceles son aquellos que tienen los lados no paralelos iguales. Propiedades: Además de las propiedades generales de los trapecios, los is$sceles tienen las siguientes propiedades: • • •
Diagonales congruentes. Ángulos basales congruentes. Ángulos opuestos suplementarios.
$.$ "RAPEC'O REC"%&G#LO. Definición: )rapecio rectángulo o recto es el que tiene un lado perpendicular a sus bases.)iene dos ángulos internos rectos, uno agudo y otro obtuso. Página 5
Propiedades: S$lo tienen las dos propiedades generales de los trapecios. $.. "RAPEC'O ESCALE&O Definición: Los trapecios escalenos son aquellos que tienen los lados no paralelos desiguales. Propiedades: S$lo tienen las dos propiedades generales de los trapecios. . "RAPE/O'DE Definición: )rape*oide es aquel cuadrilátero que no tiene ning(n par de lados paralelos. Clasificación: Los trape*oides se clasifican en asim6tricos y sim6tricos. .1. "RAPE/O'DE AS'M0"R'CO Definición: )iene sus cuatro lados desiguales. Propiedades: 7o posee propiedades especiales.
.$ "RAPE/O'DE S'M0"R'CO O DEL"O'DE Definición: Posee dos pares de lados iguales pero no paralelos, es decir: AB ≅ AD y CD ≅ CB Propiedades: Diagonales perpendiculares. 8na diagonal es bisectri*. La diagonal que es bisectri*, es a su %e*, simetral de la otra diagonal. • • •
EERC'C'OS !1 A0CD trape*oide & ; y ; < 9 5=-> *9
A
51 A0CD trape*oide, & 9 D
C *
D < &
y
& A
0
+1 A0CD trape*oide, & 9 D c b A
C
+-
C
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@-
0
#1 P?S cuadrado> & ; y 9 S
y
& a
0
P
&
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Página +
@1 A0CD trapecio, & ; y 9
1 A0CD rombo> α + β 9 D
C y
D &
G
!!-
-
A
1 B7P rectángulo, PB 9 -, & 9
P
B
A !!-
0
21 A0CD trapecio> 0 C' altura, DC0 9 !!-, & E y 9 D &
& A
7
=1 P?S rombo, S? ⊥ 8)> &9 S &8
)
P !+@
H C
C y
y
0
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!-1 A0CD trapecio is$sceles, DA0 9 D
A
C
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0
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!!1 A0CD cuadrado, AD FF '3,
!51 A0CD rombo, α =
! #
⋅ β
,
β 9
! ; 5 ; + 9 3
D
C
+
D G
5
C
AH !
0
A '
!+1 P?S rombo, PS? 9 5-, )? 9 S
0 !#1 B7P trapecio, PB 9 ? 9 ?7, BP 9 !!-. B7 9 P
P
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B
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7
?
Página #
EERC'C'OS DE SELECC'Ó& M2L"'PLE !. 'n el cuadrilátero A0CD, Icuánto mide el ángulo e&terior '0C A1 + 01 5 C1 !-2 D1 !5 '1 7.A 5. ICuál de los siguientes cuadriláteros es un paralelogramo
+. 'n el paralelogramo S)8, las medidas de G y H son respecti%amente: A1 #- y +@ 01 @- y @ C1 @- y #@ D1 - y =@ '1 7.A #. Los puntos 0 y C del cuadrado A0CD pertenecen a los lados '3 y J4 del cuadrado '34J. Si C03 9 - , entonces ACJ 9 A1 !@ 01 5- C1 55,@ D1 5@ '1 7.A
@. 'n el rectángulo A0CD, '0 9 0C y 'CA 9 !-. ICuánto mide el AB0 A1 !+- 01 !!- C1 !-- D1 - '1 7.A
. D'34 es un rombo. ICuánto mide el ángulo J3D A1 55,@ 01 ,@ C1 !!5,@ D1 !55,@ '1 7.A
Página @
. ICuál/es1 de las siguientes proposiciones es/son1 necesariaen!e %erdadera/s1 en un paralelogramo A0CD de diagonales AC y 0D K1 Si AC ⊥ 0D y AC 0D, entonces A0CD es un rombo. KK1 Si AC ⊥ 0D y A0 9 0C , entonces A0CD es un cuadrado. KKK1 Si AC 0D y A0 0C , entonces A0CD es un romboide. A1 S$lo KK 01 S$lo K y KK C1 S$lo K y KKK D1 K, KK y KKK '1 7.A 2. 'n el trapecio A0CD, A0 FF DC y AD 9 DC. Si el ADC 9 !--, entonces el DA0 mide: A1 01 C1 D1 '1
#- @- - 2- 7.A
=. 'n el trapecio A0CD, AD 9 DC 9 C0 y . ICuánto mide el DCA A1 01 C1 D1 '1
A0C
9
+2 !-# 7.A
!-. D'34 es un deltoide con 4D 9 D' y 43 9 '3. Si 3'D 9 !+- y 4D' 9 5-, entonces el 34' mide A1 01 C1 D1 '1
@ @ @@ @- 7.A
!!. 'n el deltoide A0CD, DC 9 0C y DA 9 0A. Si AC0 9 5@ y C0A 9 !!@, Icuánto mide DAC A1 01 C1 D1 '1
5@ +5,@ #- @ 7.A
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