Zur Statik
von
dünnen
Flugzeug -Tragflächen VON
DK IS
EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN
HOCHSCHULE IN ZÜRICH
ZUR ERLANGUNG
DER
WÜRDE EINES DOKTORS DER TECHNISCHEN WISSENSCHAFTEN GENEHMIGTE
PROMOTIONSARBEIT
VORGELEGT
VON
H. SCHÜRCH von Rohrbach
Referent:
(Be)
Herr Prof. E. Amstutz
Korreferent: Herr Prof. Dr. H.
Ziegler
TÄ \
ZÜRICH
J
1950 DISSERTÄTIONSDRUOKEREI LEEMANN AG.
Erscheint als aus
dem Institut für
Mitteilung
Flugzeugstatik
und
Nr. 2
Flugzeugbau
Eidgenössischen Technischen Hochschule
Verlag Leemann Zürich
an
in Zürich
der
Vorwort
Die
vorhegende Arbeit wurde im Frühjahr 1947,
Prof. E. Amstutz
einer
von
Schwierigkeiten
modernen Flugzeug-Tragflächen
Erweiterung
von
Herrn
begonnen.
Um die immer mehr anwachsenden
Berechnung
auf Anregung Anregung
der statischen Methoden auf
gedehnte Bauelemente gesucht. Dazu schien wendeten Flächentragwerke (Platten) die
zu
bei der statischen
überwinden, wurde nach
grundsätzlich flächenhaft aus¬
die Theorie der im Bauwesen ver¬
geeignete Grundlage
zu
sein.
An dieser Stelle möchte ich Herrn Prof. E. Amstutz für seine Anregungen Anregungen und für sein
großes Interesse
der Arbeit danken. Das Institut für
T . H. stellte seine der der E. T.
statik
an
tellen
Untersuchungen
stellung
an
zur
Versuchseinrichtungen
Verfügung. Herrn Stämpfli
der Versuchsmodelle, Herrn
der Zeichnungen und Kurvenblätter
EgU zu
für die
Dank
für die
Flugzeug¬
experimen¬
ich für für die Her¬ bin ich
druckfertige Ausführung
verpflichtet.
3
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Vide
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Inhalt
Zusammenstellung I.
7
der verwendeten Zeichen
9
Einleitung 1. Grundsätzliche
2.
Überlegungen
9 10
Problemstellung
II. Theorie der A.
Tragflächen
Erweiterung
mit kontinuierlichem Schubverband
11
der Plattentheorie
1.
Voraussetzungen
11
2.
Die Differentialgleichung des Schichtträgers
12
B. Einführen
von
15
statischen Schnittwerl en
15
1.
Allgemeines
2.
Krümmung
des Schichtträgers
3.
Verdrehung Berechnung
des
4.
16
Schichtträgers Verformung bei gegebener Belastung
der
24
1. Funktion des Schubverbandes
26
2. Diskrete
27
Rippen 3. Diskrete Stege
29 31
D. Einfluß der Querverformung 1. Das
querverformende Kräftesystem 2. Angenäherte Berechnung der Querverformung 3. Zusätzliche Verformung schiefachsiger Träger Anwendungen A.
19
26
C. Einfluß des unvollkommenen Schubverbandes
III.
11
und
31 34 35
Versuchsergebnisse
Lösungsmethoden
31
35
und Versuchstechnik
Analytische Lösung
35
2. Numerische Lösung
36
Versuehsanordnung
39
1.
3. B.
Beispiele
40
1. Verschiedene Torsionsfälle eines rechtkantigen Trägers
40
Rumpfeinflusses bei durchlaufender Torsion 3. Torsion eines symmetrisch verjüngten Trägers 4. Verschiedene Beanspruchungsfälle eines Pfeilflügels
43
2.
Berechnung
des
5. Torsion eines Deltaflügels mit nachgiebigem
Schubverband
44 45 47
Zusammenfassung
49
Summary
51
Anhang: Tafeln I—XI
53
Literaturverzeichnis
62
5
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-
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Zusammmensteüung
ax, a2 , a3...
a(x)>
Cx D
•
E
•
Ex, Ev e
•
F
/
/SM G
in
«/-Richtung
[°m] Abstand des Schubmittelpunktes von der aj-Achse [cm2] Querschnittsfläche [cm] Durchsenkung der x-Achse [cm] Durchsenkung der Schubmittelpunkte [kg cm--2] Schubmodul [kg cm-2] Anteil der Flächenlast, welcher die Querverformung Trägers hervorruft [cm] Trägerhöhe [cm4] Biegeträgheitsmoment in x- bzw. in «/-Richtung •
g
•
h
Jx, Jy Js Jw K
des
Schubträgheitsmoment Wölbträgheitsmoment [cm2 kg] Torsionsgröße [cm kg] Lokale Biegesteifigkeit des Trägers ohne Stringer [cm kg] Lokale Biegesteifigkeit des Trägers in x- bzw. in «/-Rich¬
[cm4] [cm6]
•
k
kr,
Koeffizientenfunktionen
[cm] Flügeltiefe, Trägerbreite [cm5] Deviationsträgheitsmoment [cm kg] Torsionsmoment [kg cm-2] Elastizitätsmodul der Deckscheiben [kg cm"2] Elastizitätsmodul der Stringer in x- bzw.
b
Integrationskonstanten
hx)
der verwendeten Zeichen
•
ky
•
tung
Spannweite, Trägerlänge Biegemoment pro Längeneinheit, entstehend aus Nor¬ mx, my malspannungen in x- bzw. «/-Richtung Torsionsmoment pro Längeneinheit mx>r mv* [kg] Mx, My [cm-kg] Biegemoment in Schnitten normal zur x- bzw. «/-Achse P [kg cm-1] Querlast pro Längeneinheit [kg cm-2] Flächenbelastung ]> [kg cm1] Scherkräfte pro Längeneinheit in z-Richtung und in qx, qy Schnitten normal zur x- bzw. «/-Achse wirkend
l
[cm] [kg]
•
•
S SM
T
[cm kg] Schubmoment •
[kg]
Schubmittelpunkt Torsionslast pro Längeneinheit 7
U
[cm2 kg] Schubgröße [cm] Umfangskoordinate [cm2 kg] Wölbgröße [cm] Verschiebung in x- bzw. »/-Richtung infolge elastischer •
u
V
•
vx, vv
Verformung W
Trägers
[cm kg] Wölbmoment •
[cm]
w
y,
x,
des
Durchsenkung
z
der elastischen Fläche
Raumkoordinaten
Y
Lösung einer Differentialgleichung
Z
Störungsfunktion
y
A
Schubwinkel der Deckscheiben
[cm] [cm]
S
kleine
Wandstärke
ey
ex,
i/t
Dehnung
ififtM
Länge, Intervall in
x-
bzw.
»/-Richtung
Verdrehwinke]
Verdrehwinkel der
Flächentangente
am
Schubmittel¬
punkt
[cm-1]
Verdrehwinkel pro Längeneinheit
Steifigkeitsverhältniszahl
k
X
[cnr1]
ix
Torsionsziffer
Querkontraktionskoeffizient
[kg cm'2] Normalspannung in x- bzw. »/-Richtung [kg-cm-2] Schubspannung in den Deckscheiben, wirkend
ax,av
•
Txy> ryx
ten normal T.rz>
[kg cm-2] Schubspannung
rgz
7j
x-
•
normal
£, £
zur
[cm]
zur
gesetzte
»/-Richtung
Trägerberandung
Lösung einer
Indizes bezeichnen
Funktion: z.B. V{jm)'-
In am
8
Flächenbelastung
eckige Klammern gesetzte
Schluß der Arbeit.
«/-Richtung
im Schubverband wirkend in Schnitten
bzw.
Koordinaten der
Partikuläre
In runde Klammern
x-
bzw.
in Schnit¬
p in Funktion
Differentialgleichung
das
Argument
der Koordinaten
der betreffenden
x
und y.
Zahlen beziehen sich auf das Literaturverzeichnis
I.
Einleitung
1. Grundsätzliche Überlegungen
Aufgabe, für gegebene Tragwerke bei be¬ stimmten äußeren Lasten, Materialbeanspruchung und Formänderung zu be¬ stimmen. Zur Lösung dieser Aufgabe stehen ihm zwei grundsätzlich ver¬ Dem Statiker stellt sich die
schiedene
Wege offen:
Erstens. Das
vor
hegende Trag werk kann durch gedachte Schnitte geteilt
werden. Die inneren Kräfte der Konstruktion kommen die Oberfläche, werden somit
an
zu
an
der Schnittstelle
äußeren Kräften und können dann ermit¬
Kräftegleichgewichtes (und, bei statisch un¬ bestimmtem Aufbau, der elastischen Verschiebung). Aus den so ermittelten
telt werden durch Betrachten des
inneren Kräften können die elastischen
Formänderungen
mit Hilfe des Elasti¬
zitätsgesetzes anschließend bestimmt werden. Dies ist im wesentlichen die Methode der Baustatik. Ihr Vorteil ist Ein¬
logisch klarer Aufbau. Nachteilig ist, daß den baustatischen Me¬ thoden immer vereinfachende Annahmen zugrunde liegen (wie Annahmen über Spannungsverteilung, Vernachlässigen von Schub Verformung und Quer¬ dehnung, Beschränken des Untersuchungsbereiches auf Stellen außerhalb von Krafteinleitungen usw.). Dabei ist der Einfluß dieser Vereinfachungen bei ver¬ wickelten statischen Systemen, wie sie im modernen Schalenbau üblich sind,
fachheit und
nicht immer ohne weiteres abzuschätzen.
Zweitens.
Die andere Methode, eine statische
Aufgabe
rechnerisch
zu
vorliegende physikalische Problem zunächst eine mathematische Formulierung, nämlich die beherrschende Differentialgleichung für Spannungsverlauf und Formänderung zu suchen. Aus den Lösungen dieser Differentialgleichung sind sodann diejenigen herauszulesen, welche den vor¬
lösen besteht darin, für das
liegenden Randbedingungen entsprechen. Unter „Randbedingungen" haben wir dabei einerseits
Formulierung zu
des konstruktiven Aufbaus des
zu
die mathematische
untersuchenden Tragwerks
verstehen, nämlich die geometrischen Randbedingungen, anderseits werden
die
Randbedingungen vorgegeben durch
die äußeren Lasten.
Diese Betrachtungsweise ist Inhalt der Elastostatik. Der Grund, weshalb
sie in der Praxis kaum
angwendet wird liegt darin,
Schwierigkeiten, insbesondere beim Aufsuchen entsprechenden Lösungen oft sehr groß sind.
daß die mathematischen
der
den
Randbedingungen
9
2.
Der moderne
Problemstellung
Flugzeugbau verwendet Konstruktionselemente,
auf welche
die herkömmlichen Methoden der Baustatik nicht ohne weiteres anwendbar sind. Dies sind insbesondere die flächenhaft
ausgedehnten Flugzeugflügel und -Leitwerke moderner Bauart, bei welchen das tragende Material mehr oder minder gleichmäßig auf die ganze Oberfläche verteilt ist. Diese Träger weisen aus aerodynamischen Gründen oft extrem geringe Bauhöhen (5—10% der Flügeltiefe) auf. Fig. 1 zeigt den grundsätzlichen Aufbau von Flügel- und Leit¬ werkstragflächen eines modernen Düsenflugzeuges. Die Tragflächen bestehen der Beplankung (1), welche in Form von zwei schwach aus gekrümmten Scheiben Ober- und Unterseite des Flügels bedeckt und aus einem dazwischen¬ liegenden Schubverband aus Stegen (2) und Rippen (3). Die Deckscheiben werden oft durch längs- und querlaufende Versteifungen, „Stringer" (4) gegen Ausknicken
gesichert.
Wesentlich ist bei einem solchen flächenhaften
Trag werk,
daß der
Span-
nungs- und Verzerrungszustand im allgemeinen nicht mehr als eindimensional sondern mindestens als zweidimensional angesehen werden muß. Es stellt sich
die
Aufgabe,
Ergebnisse der Elastostatik von Flächentragwerken derart auszuwerten, daß es möglich wird, die beschriebenen Träger statisch zu berechnen, ohne an übermäßigen Schwierigkeiten der Theorie oder der rechnerischen Durchführung zu scheitern. nun
die
Insbesondere werden wir bestrebt sein, die
aus
der exakten Theorie sich
ergebenden Verformungen und Spannungsverteilungen so Berechnungsmethoden entwickelt werden können, welche Methoden der Statik
10
von
zu
idealisieren, daß
den herkömmlichen
eindimensionalen Bauelementen
analog sind.
II. Theorie der
Tragflächen
mit kontinuierlichem Schubverband
(Schichtträger)
A. ERWEITERUNG DER PLATTENTHEORIE
1.
Voraussetzungen
Angelehnt an die Elastostatik der massiven Platten, [1], [2], [3] können die Differentialgleichungen von Flächentragwerken abgeleitet werden, die den im Flugzeugbau vorkommenden statischen Systemen von Flügeln und Leit¬ werken entsprechen. Betrachtet werde ein Flächentragwerk, welches aufgebaut sei a) aus mindestens zwei Scheiben, welche Normal- und Schubspannungen aufzunehmen imstande sind,
b) aus einem System von rechtwinklig sich kreuzenden Stringern, welche nur Normalspannungen in x- bzw. »/-Richtung aufnehmen, und c) aus einer dazwischenliegenden, Schicht als idealisiertem Schubverband. Diese Schicht übernehme keinerlei Längskräfte in Ebenen parallel zur x-yEbene, sei jedoch in allen Ebenen normal zur z-y-Ebene völlig schubstarr. Ein derartiges Flächentragwerk (Fig. 2a), werde im folgenden als
„Schichtträger" bezeichnet.
Fig. a) Aufbau
©
©
©
2. Schichtträgerelement
b) Innere Spannungen
c) Resultierende Momente und Kräfte
11
Im weitern werden
lichen
Schichtträger Voraussetzungen gemacht, nämlich: vom
die in der Plattentheorie
a) Die belastenden äußeren Kräfte sollen normal
zur
gebräuch¬
Mittelebene des
Trägers wirken. b) Die Dicke der Deckscheiben soll so klein sein, daß in diesen mit nügender Annäherung mit einem zweidimensionalen Spannungszustand rechnet werden kann, andrerseits soll die Gesamtdicke des
Trägers
so
ge¬ ge¬
groß
sein, daß sich unter Querbelastung kein Membranspannungszustand einstellt.
c) Die Neigung
der Deckscheiben und
Stringer gegenüber
der ^-«/-Ebene
(Mittelebene) sei überall so gering, daß die z-Komponenten ihrer Spannungen vernachlässigbar klein bleiben. d) Die Flächennormale soll bei der Deformation erhalten bleiben (diese Bedingung erfordert den schubstarren, kontinuierlichen Schub verband). e) Es wird vorausgesetzt,
Schichtträger enthalte eine neutrale Fläche (nn), welche bei jeder Querbelastung unverzerrt bleibe. Endlich werden die üblichen Voraussetzungen der klassischen Elastoder
statik
getroffen, nämlich: f) Homogenes, isotropes Material. g) Proportionalität von Spannung
2. Die
und
Dehnung (Hook'sches Gesetz).
Differentialgleichung des Schichtträgers
den Überlegungen, welche folgenden Ableitungen sind analog Formulierung der Plattengleichung führen. Die an einem Element von der Seitenlänge dx dy — 1 des Schichtträgers angreifenden Spannungen (Fig. 2b) lassen sich Spannungsmomenten und Querkräften zusammenfassen (Fig. 2 c): Die
zu
zur
=
zu
Die
Spannungsmomente, bezogen mr
»>„
$zardz
+
=Szavdz
+
=
'
f\
mxy = m'/.r
auf die
Längeneinheit, lauten:
\zaxrdz jza
dz
\
(1)
Fh) =
J
z
Txy ^z
Fi
dabei bedeuten:
Fx : Querschnittsfläche der Deckscheiben pro Längeneinheit Flx: Querschnittsfläche der in ^-Richtung laufenden Stringer pro Längeneinheit
Fly: Querschnittsfläche der in ^-Richtung laufenden Stringer pro Längeneinheit err, ay, ttv bzw.
Aus der ment
Betrachtung
(Fig. 3), erhalten
des Kräfte- und Momentengleichgewichtes
wir die d2mT *
—
8x2
Ele¬
Beziehung*):
n82m„.
_|_ 2
am
b2m„ v-
^ h
8y2
dxdy
(2)
= — p x
Die Beziehung
(2)
ist
von
Aufbau
und Materialeigenschaftendes Ele
-
mentes unabhängig und daher all¬
gemein gültig.
Um
nun
die Bela¬
stung fxy mit der Deformation des
Schichtträgers
müssen die in der
dmyx
(' •yx"
verknüpfen, Beziehung (2)
zu
enthaltenen Momente mx, my und durch die Spannungsintegrale
mxy
(1) und Fig. 3. Schichtträgerelement Kräftegleichgewicht am
die darin enthaltenen
Spannungen mit Hilfe des Elastizi¬ tätsgesetzes durch die Dehnungen
ausgedrückt werden. Das Elastizitätsgesetz ist für die Deckscheiben zweidimensional, für die
Stringer eindimensional anzuschreiben: E
E
,(ex = .
+
fiey);
ay
E„
(1-M2 .=
(ey + Pex)
(3)
E„ Die Beziehung zwischen den
Neutrale Flache
vor
Verformung
Dehnungen und den, uns zunächst interessierenden Durchsenkungen w
der elastischen Fläche wird gege¬
geometrische Defor¬ mationsbedingung „Erhalten der
ben durch die
Flächennormalen", welche durch den Schubverband erzwungen
Neutrale
nach
der
wird.
Verformury
Fig.
4
zeigt
das Entstehen X
Verschiebung vx x- Richtung infolge senkung w. der
Fig.
4.
Verformung
*) In Fig. in
3 sind
z-Richtung und
des
zur
Schichtträgers
=
f ex dx
in
der Durch¬
besseren Übersichtlichkeit nur die, für das
die für das Momentengleichgewicht
um
Kräftegleichgewicht die ?/-Achse maßgebenden
Größen eingezeichnet.
13
Wir erhalten damit: 82w (
8x
8x2
analog 82w
(4)
Jy2
dy und
8vr rxy
Aus den
"
bv„ ~~
8x
dy
Beziehungen (1), (3)
d2w
^ ~~
und
"~
dxJy
(4) erhalten
wir für die
Spannungs¬
momente:
)!
8x2k' + V »Ql2k dy2
m,.
/8%w
n
mit den lokalen
o2w\
8*w
\
,
l
(la)
i
Steifigkeiten
Fi
Jcx
Eingesetzt des
=
YZTi
Z*dz +
ky
=
—-~2
z2dz +
in die
Beziehung (2) erhalten wir die, Belastung Schichtträgers verknüpfende Differentialgleichung*) 82
*)
(82w1
Für die
82wA
homogene Platte
Schichtträgers wird kx
=
k
=k=
die bekannte biharmonische
14
Ex z*dz;
n/1
von
82
,
(
82w
,\
d2
konstanter Dicke h als =
.
2
konstant,
Plattengleichung.
Ey
z2dz
und Deformation
(B^w,
Spezialfall
des
82w1\
,„
allgemeinen
und wir erhalten damit
B.
EINFÜHREN
STATISCHEN SCHNITTWERTEN
VON
1.
Die
Allgemeines
Schichtträgergleichung (5) gibt
den
Zusammenhang zwischen Be¬ lastung p^y) und der Deformation w^y Bei bekannten Randbedingungen (Einspannungsverhältnissen) kann zu jeder Belastung die zugehörige Defor¬ mation durch Auflösen von (5) gefunden werden. Aus der Verformung w können die Spannungsmomente mx, my, mXIJ nach (la) berechnet und aus diesen die an jeder Stelle wirkenden Spannungen ermittelt werden. Damit ist die statische eine
Aufgabe „Berechnung
von
Verformung
und
Beanspruchung
für
vorgegebene Belastung" gelöst. Es zeigt sich nun, daß eine direkte
partiellen Differential¬ gleichung (5) welche von 4. Ordnung ist und im allgemeinen nichtkonstante Koeffizienten aufweist, praktisch außerordentUch zeitraubend und schwierig Lösung
der
ist. Es versagen insbesondere auch die numerischen Methoden der Differen¬
Plattenberechnung mit Erfolg angewendet werden bei den praktisch vorkommenden Randbedingungen und Sym¬ metrieverhältnissen von Plugzeugtragflächen sehr umfangreiche Gleichungs¬
zenrechnung, [Marcus], da
wie sie in der
systeme entstehen.
Fig.
5.
Aufteilung
Belastung p^) in einen nicht-querverformenden ein querverformendes Gleichgewichtssystem g^ )
der in
Anteil
Pi^y) und
Schichtträgergleichung läßt sich jedoch durch folgende Überlegungen weitgehend vereinfachen: Wir betrachten eine beliebige Belastungsfunktion p^ eines Schichtträgers. Durch Intergration über y erhalten wir die resultierende, auf die x-Achse bezogene Querlastverteilung P^ und Torsionslastverteilung T(x): Die
p(x) Jede
=
fPwdy [kg/cm]; T(x)
Belastung P(xy) kann
nun
=
f
p^dy [cm kg/cm]
aufgeteilt werden (Fig. 5): 15
Belastung pixy) welche gleiche Quer- und Torsionslast-Vertei¬ lung wie p^y) aufweist und außerdem die Eigenschaft hat, keine Krümmung des Trägers in ^-Richtung hervorzurufen und b) in eine Belastung g^ für welche P(a.) und T^ verschwinden, welche demnach über jeden, durch zwei benachbarte Schnitte x konst. begrenzten Streifen, Gleichgewichtssystem bildet. *) Es ist anzunehmen, daß der Einfluß des querverformenden Gleichgewichts¬ systems g^y) auf die mittlere Durchsenkung und Verdrehung der einzelnen Querschnitte in vielen Fällen gering ist. Dieser Einfluß soll daher vorderhand vernachlässigt werden. Die Auswirkung der Querverformung wird im Ab¬ schnitt HD gesondert behandelt werden. Mit dieser Vereinfachung wird die elastische Fläche w^y) des Trägers zu einer Regelfläche und die partielle Differentialgleichung (5) zwischen Flächen¬ last und Durchsenkung kann in nicht-partielle Differentialgleichungen über¬ geführt werden. Es ist naheliegend, die nunmehr durch Unverformbarkeit konstant als Bezugsquerschnitte zu wählen, ausgezeichneten Querschnitte x und die in ihnen enthaltenen statisch wirksamen Flächen zu geeigneten sta¬ tischen Schnitt-Größen zusammenzufassen. In gleicher Weise sollen die in diesen Querschnitten wirkenden Spannungen zu Schnittkräften und Schnitt¬ momenten zusammengefaßt werden. Dabei ist es zweckmäßig, Krümmung und Verdrehung des Trägers gesondert zu betrachten. a)
in eine
=
=
2.
Krümmung
des
Schichtträgers
Als elastische Fläche des
gekrümmten Trägers wird eine Regelfläche an¬ genommen, deren Erzeugende parallel zur y-Achse verlaufen (Fig. 6). Die Durchsenkungen f^) sind damit von y unabhängig, die elastische Fläche wird beschrieben durch den Ansatz: w
*) Dabei ist
=
/(,,)
(7)
bemerken, daß die Flächenlasten P(xy\, V{xV) und 9(xU) sieb an den Rändern des Trägers zu Eckkräften, Randscherkräften und Randtorsions- und Biege¬ momenten
leitungen
zu
„verdichten" können, wenn
an
der
die lokale
Steifigkeit
Berandung endliche Werte annehmen.
des
Diese
Trägers bzw. deren
Ab¬
Randbedingungen sind
somit in den
Belastungssystemen P(xy), V(Xy) un^ 9(xy) bereits enthalten und bedürfen daher nicht einer gesonderten Untersuchung wie sie in der Theorie der Platten von kon¬
stanter Dicke üblich ist. Bei der
dann
allerdings
(siehe
z.
die
Berechnung der einzelnen Belastungssysteme müssen Unstetigkeitsstellen durch Grenzübergänge überdrückt werden,
B. Seiten 17, 20,
32).
Es läßt sich im
übrigen leicht verifizieren, daß die, durch Grenzübergang an den Hand-Unstetigkeiten eines Trägers von konstanter Steifigkeit kx k erhaltenen Rand¬ belastungen aus P(xyy genau mit denn bekannten Eckkräften, Randscherkräften und =
Randmomenten der Plattentheorie übereinstimmen.
16
Mit diesem Ansatz erhalten wir für die Flächenlast
aus
(5):
PM-irhY+nr-o.« (Im folgenden wird
der Akzent
Fig.
6.
'
als
Abkürzung
Krümmung
des
(8)
für — verwendet dx
Schichtträgers
a) Elastische Fläche
b) Zugehörige Belastung c) Resultierende Quer- und Torsionslast
Betrachten wir wieder die
an
einem Streifen
der Länge dx 1 an¬ 6), so können wir diese durch eine, in der
greifende äußere Belastung p~f(y) (Fig. x-Achse angreifende Querlast Pf und eine, last
Tf ersetzen.
Die Torsionslast
Tf wird
von
=
auf die cc-Achse
bezogene Torsions¬
dann
verschwinden, wenn die x-Achse durch den Schubmittelpunkt des betrachteten Querschnittes geht. Es wird somit auf die in der Biegetheorie des Balkens übliche Definition einer „elastischen Achse"
nur
(Geom. Ort aller Schubmittelpunkte) bewußt ver¬
zichtet, und statt dessen eine völlig willkürlich gewählte geradlinige Längsachse, normal zu den als unverformt vorausgesetzten Querschnitten
eingeführt*). *) Dabei
sei daran erinnert, daß eine elastische Achse im
gewöhnlich verstandenen
Sinn als Angriffslinie einer
Querbelastung, welche an keiner Stelle des Trägers Verdrehung zur Folge hat, dann nicht mehr allgemein definiert werden kann, wenn die Schubmittel¬ punkte der einzelnen Querschnitte nicht in einer geraden Linie liegen. Die elastische Achse in diesem Sinn ändert ihre Lage b ei einer Änderung der Querlastverteilung über die Spann¬ weite des Trägers. Die Schwierigkeiten, welche sich daraus insbesondere bei Pfeilflügeln und bei Flügeln mit sprunghaften und exzentrischen Querschnittsänderungen (z. B. durch Fahrwerkausschnitte usw.) ergeben, führen oft zu Unklarheiten und Mißverständ¬ nissen über Definition und Anwendung der „elastischen Achse".
17
y erhalten wir die bei „reiner Krümmung" ent¬
Durch stehende
Integration*) über Querlastverteilung Pf
=lfto)dy
=
(f'h.dy)"
(9)
(f'EJJ
Vi
Vi
und die
=
Torsionslastverteilung
T, =]ypMdy
{i")ykxdy)"
(10)
Querbelastung maßgebende statische Größe erhalten Biegesteifigkeit des Schichtträgers:
wir somit
=
Vi
=
(f'EGJ'
Vi
Als für die
die
EJX Jfkxdy
=
Vi
^ J zHF + Ex J z*dFx [kg-cm*] i--^
F
Fx
wobei -F die Querschnittsfläche der Deckscheiben,
Fx Fig. 2a).
trachteten Querschnitt bedeuten (s. auch Diese unterscheidet sich des Balkens
nur
von
durch den Faktor
Faktor stellt die Zunahme der
der
die der
Stringer
gebräuchlichen Biegesteifigkeit =
=
im be¬
E E- J
beim Anteil der Deckscheiben. Dieser
Steifigkeit infolge behinderter Querverformung
dar.
Für die neu
zu
aus
definierende E
Cx
Krümmung entstehende Torsionslast erhalten „Deviationssteifigkeit"
reiner
]' y kx dy
=
=
V*
—2
1-/*
Syz*dF
+
Ex$y z* dFx
wir eine
[kg cm»] •
Fx
F
Abweichung des Schwerpunktes der &X-Verteilung von der gewählten «-Achse (siehe auch Fig. 8). Der Schwerpunkt der Trägheits¬ momentenverteilung kx entspricht dem gebräuchlichen Schubmittelpunkt. Liegt der Schubmittelpunkt in der «-Achse, so wird ECX = 0. Diese charakterisiert die
*)
Der zweite Ausdruck der rechten Seite
Bei der Integration am
(8) verschwindet
,-
und
Integra-
dVc
Rand hinausgeführt werden muß, da in solchen Fällen konzentrierte Randmomente
oder Randscherkräfte entstehen welche einen Teil der
Durch ein «Ausrunden» der
liebig kleinen Bereich wird statische Verhalten des den der Integrale
18
bei der
einen endlichen Wert aufweisen. -,—5 dy dy1 ist zu beachten, daß diese über evtl. Unstetigkeiten in k oder
tion über die Grenzen, innerhalb welchen Je,
,
dk
von
die Funktion
d2fc -=—^
an
den
Unstetigkeitsstellen
integrierbar, ohne
-=—=
dy
und
1i+ flfc
f
-=-
in einem be-
daß dadurch ein, für das
Trägers wesentlicher Eingriff gemacht würde.
>h+ d^fo
f
Je-Verteilung
Belastungsfunktion p(xy) bilden.
dy wird damit offensichtlich.
Das Verschwin-
Integration der Lasten Pf bzw. Tf über die Längsachse,' von einem zweckmäßig gewählten Nullpunkt x0 aus, erhalten wir in bekannter Weise Durch
Querkraft Q und Biegemoment M bzw. das Torsionsmoment D:
Q,
= -
Mt
=
Dt
=
J" Ptdx
=
-(f"EJx)'
(IIa)
-f"EJx
(IIb)
X
$ Qtdx
=
bzw.:
Es erweist sich als
-]Ttdx = -(f'ECJ
zweckmäßig, eine
zum
(12a)
Biegemoment analoge Größe
X
K
=\Ddx
rein formal
zu
definieren, welche als Torsionsgröße bezeichnet und vorerst
eingeführt sei:
Kf
3.
=
]Dfdx = -f"ECx
Verdrehung
Die nämUchen Überlegungen, die
führen, können auch auf
Fig.
des
(12b)
Schichtträgers
Behandlung des gekrümmten Trägers Torsionsprobleme angewendet werden. zur
7. Verdrehung des
Schichtträgers
b) Zugehörige Belastung a) Elastische Fläche c) Resultierende Quer- und Torsionslast 19
Die elastische Fläche des verdrehten
angesetzt
Trägers wird wieder
als
Regelfläche
der Form
von
w
=
y4>M
(Fig. 7a)
(13)
Verdrehung" eine Verformung bezeichnet, bei die Punkte einer wiederum beliebig gewählten, geradlinigen Längs¬
Es wird demnach als „reine welcher
achse keine
Durchsenkung erfahren, d.
h.
es
wird die
gewählte x-Achse
als
Drehachse vorgeschrieben. Mit dem Ansatz (13) erhalten wir
p*w
=
aus
(5):
(^y*.)"+2(i-/*)(f^)' /*(2^+^y^) +
(i*)
Die Belastung p^ am Streifen (Fig. 7 b, c) kann wieder reduziert werden auf eine Querlast P^ und eine Torsionslast T^ infolge der reinen Verdrehung tfnx). Die Integration über y ergibt:
p+ =1 n^y
=
3V =]2/^)%
?
(f yhdyy
=
=
(yEcxy
(-A"]2/2^^)"-2(l-^)(f?*dy)'
=
(15)
(f tf Jw)*-(f GW (16)
Steifigkeit charakterisieren¬ den Integrale als Produkt aus einem Flächenträgheitsmoment und einer Elastizitätskonstanten angeschrieben werden, nämlich: Wie beim gekrümmten Träger können die die
Die Wölbtorsionssteifigkeit
EJW
=
T 2/2 K dy
=
j^—t J */2 z2
dF +
EJ y* z* dFx [kg/cm*]
und die Schubtorsionssteifigkeit
ÖJ8
E
.Vi =
2(l-^)/fcdy
=
2(l-^)-
^zUF^AG^zHF [kg/cm2] Die
zu
reiner Verdrehung gehörende
Querlast wird wieder,
wie die
aus
rei¬
Krümmung entstehende Torsionslast die Deviationssteifigkeit durch EGX ner
gesteuert. Fig.
8. Verteilung der Steifigkeit über
die Trägertiefe
20
keit
Biegesteifig(Fig. 8), so entspricht
Tragen
wir die lokale
kx über
y auf
Vi
EJX
der Fläche
J kxdy
—
von
k^
17.
ECX
=
] ykxdy
dem statischen Moment
EJW
—
] y2kxdy
dem Trägheitsmoment
k^y)
von
kx(y)
von
V'
dem Schubmittel¬
Schwerpunkt der ^-Verteilung entspricht dabei punkt SM des Querschnittes. Das Schubtorsionsträgheitsmoment Js entspricht Der
dem Bredt'sehen Trägheitsmoment für die Torsion bei unbehinderter Quer¬
schnittsverwölbung Durch Integration über die Längsachse erhalten wir wieder Querkraft und Biegemoment bzw. Torsionsmoment und Torsionsgröße: .
-\P4ldx
=
-(
(17a)
X
J" Q^dx
(17b)
=
bzw.,
D*
=
-JT+dx=- -WEJJ X
Kj, Das in einem
—
$Dj,dx=
Schubmoment
S = ifi' GJS
analoger Weise besteht
(18b)
Xq
ab, einmal als
In
(18a)
-FEJ„+Jil,'GJadx
somit in verschiedener Weise
W+
#QJS
-
Querschnitt übertragene
Wölbmoment
+
=
-
Torsionsmoment
D^ setzt sich
andrerseits als
(f E Jw)'
die Torsionsgröße K
aus
zwei Komponenten,
der X
U =
Schubgröße
J Xq
V+
Wölbgröße
=
X
Sdx = J" i/t' GJsdx
und der
Xff
]wdx= - f EJW Xq
Fig.
9 und
10
veranschaulichen die physikalische Bedeutung der hier
verschiedenartig wirkenden Torsionsträgern. es sich einseitig eingespannte Träger, welche an ihrem ein Torsionsmoment D beansprucht werden.
eingeführten Begriffe Bei beiden handelt freien Ende durch
an
zwei um
21
D
=
S
TidF0
=
D
=
W
=-( jtfx yzdFx)'=~^- b
D Ti
mx
2FQ
Fig.
Fig.
9.
Sohubtorsionsträger
=_jr(l~x)
Fig.
10.
Wölbtorsionsträger
zeigt einen Fall reiner Schubtorsionssteifigkeit. Die Wände des ge¬ schlossenen Kastens sollen keine Normalspannungen ax übernehmen können. Damit können sich die zur x-Achse normalen Querschnitte unbehindert ver¬ 9
wölben. Das
nungen W
=
was
0
t
gesamte Torsionsmoment setzt sich
als Schubtorsionsmoment ab. Die
aus
in Form
von
Schubspan¬
Verformung ip erhalten
wir mit
(18a)
der bekannten
Beziehung
für die Bredt'sehe Torsion
Träger von konstantem GJS wird die Schubgröße ü
mit V
=
=
0
und der
entspricht. Für einen 0 Randbedingung ^(0) =
Dx = ijj G Js
direkt ein Maß für den Verdrehwinkel. Im
Gegensatz dazu zeigt Fig.
Ein solcher statisch
Träger besteht
aus
10 einen Fall reiner
Wölbtorsionssteifigkeit.
mindestens vier
unabhängige Biegeträger bilden.
Längsgurten, die paarweise Da kein geschlossener Querschnitt
vorhanden ist, kann auch kein Bredt'scher Schubfluß entstehen. Die Kräfte
beanspruchen einzeln
und in
entgegengesetzter Richtung die beiden Biege¬ als Querkräfte im Steg weitergeleitet. Die Ver¬
träger und werden von diesen 0 und der Randbedingung formung ergibt sich mit U 0Ö)" =
f 22
,
D(l-x)
=
0
zu
der Die beiden, bisher eingeführten Deformationsbedingungen „Erhalten
Flächennormale" und „Erhalten der
Querschnitte normal
zur
Längsachse"
können zusammengefaßt auch ausgedrückt werden als: „Ebene Querschnitte
Längsachse werden bei Verdrehung des Trägers zu zweischarigen Flächennormale Regelflächen (Hyperbolische Paralboloide), deren Erzeugende n und Flächenparallele f sind"' (Fig. 11). normal
zur
Dieser Satz bildet Na vier'sehen
das
Analogon
zur
des eben Bleibens
Bedingung
der Querschnitte beim
Die
Längsdehnung an Querschnittes wird somit:
des
Biegeträger. irgend einer Stelle
ex
Das
Fig.
von
-
=
einem der „Teilbiegeträger" in y
10 weitergeleitete Biegemoment beträgt:
mx
=
J axzdFx
=
-
Fig.
11
Yerwölbuiig ursprünglich ebener
f Ex\z*ydFx
Quersel mitte bei Wölbtorsion
Fx
Fx
Die im Steg weitergeleitete Querkraft
ist gleich der Änderung des
-,
Biege¬
momentes / Längeneinheit:
u=mx' o
und das
aus
=
(^xzdFx)' Fx
den Querkräften resultierende Drehmoment W wird: ^
=
Sy!/
=
0
Durch Integration über
V =
{fwzdFJ
WExSy*z*dFJ Fx
F,
x
erhalten wir endlich die
J oxyzdFr
Fx
= -
=
-
f Ex J y*z*dFx
= -
Wölbgröße
V:
f EJW
Fx
im Die Wölbgröße V bildet somit ein Maß für die Wirkung der Längskräfte während das Wölbtorsionsmoment W die Änderung der Längskräfte
Träger,
in x-Richtung charakterisiert. Im Ausdruck
Ex\yizidFx erkennen
wir die
Fx nur aus Längsverstei¬ Wölbtorsionssteifigkeit EJW bestehenden Flächenträger. fungen (Gurten) und Zwischenschubverband (Stege) als auch Im allgemeinen enthält nun ein Torsionsträger sowohl Schub-
schon bekannte
für den
Wölbtorsionssteifigkeit. Während Torsionsmoment und Torsionsgröße
Trägers unabhängig sind (wie Querkraft
vom statischen
Aufbau des
und Biegemoment), ist deren" Auf23
teilung
in die
Komponenten
8 und W bzw. U und V im
Prinzip
ein statisch
unbestimmtes Problem und im wesentlichen abhängig vom Verhältnis von Wölb- zu Schubtorsionssteifigkeit, charakterisiert durch die Torsionsziffer Im
(18)
vorliegenden Falle wird dieses Problem durch
die
bei bestimmten
Differentialgleichung
Randbedingungen gelöst. Die jeder statisch unbestimmten Rechnung zugrunde liegende Deformationsbedingung ist in diesen Gleichungen enthalten. Sie lautet explizit: Die stillschweigend Verdrehung infolge Schubtorsionsmoment ifis
=
x
S
\
qJ
der
dx ist
an
S
«o
Verdrehung infolge Wölbtorsion *fiw
jeder Stelle des Trägers gleich -
X
x
j
dx f
Xq
Diese ren
Xq
V
jjj^
dx
Bedingung wird erzwungen durch die unendlich dicht gesetzten, star¬
Rippen.
Es wird sich
bedingung ips
4.
zeigen, daß beim Fehlen dieser Rippen die Deformationsifiw nicht mehr ohne weiteres erfüllt ist.
=
Berechnung
Verformung
der
bei
gegebener Belastung
Während in den
wurden, welche eine
sion) erzeugen, soll der
vorhergehenden Abschnitten die Belastungen berechnet vorgeschriebene Verformung (reine Krümmung, reine Tor¬
nun
die
praktisch viel häufigere Aufgabe einer Berechnung von einer vorgegebenen Belastung erzeugt wird, be¬
Verformung, welche
handelt werden.
Jede
mögliche, querkrümmungsfreie Verformung läßt sich durch
Kombination Die
«-Achse
aus
reiner
Belastung
des
Krümmung
zu berechnenden
angreifende Querlast P^
Wir erhalten
aus
(9)
und
(10) und (16) erhalten t=
24
sei
gegeben durch eine
und eine Torsionslast
in der
T(xy
=
(t"EJxy
+
w ecxy
zweimalige Integration: M
Aus
Trägers
Verdrehung beschreiben.
(15):
p=pt + Pt und durch
und reiner
eine
t,+t^
=
=
-f'EJx-pEC1
wir
(f"Ecxy+(yEjwy-wGjsy
(20)
und durch
einmalige Integration D
Mit
und
(21) haben
Durch Eliminieren
D-
Wie leicht
=
VQJa-WEJJ-(f'ECx)'
(21)
wir zwei simultane
Differentialgleichungen erhal¬ gesuchten Verformungsfunktionen /
(20)
ten für die
~Y
=
von
/" erhält
man
(M°£j'=fGJs- \^"e(jw °£j -
eingesehen werden kann (siehe Fig. 8) bedeutet
e
den Abstand zwischen x-Achse und
G
2
nun
und
Schubmittelpunkt
Jx
Jw
— -y-
=
Jw — e2Jx
=
Wölbträgheitsmoment bezogen auf
das
Jm
den
Schubmittelpunkt.
Verdrehung eines durch Biegemoment M(x> Z>(x) beanspruchten Trägers die Differentialgleichung
Damit erhalten wir für die und Torsionsmoment
D-(M.ey oder, integriert
>lj'GJs-(fEJwJ'
=
(22a)
x
K -
(M e) •
=
ff GJsdx
-
f
E
Ju:a
(22b) die Funk¬
Beziehung (22b) wird mit Vorteil dann verwendet, wenn (M.e)^) oder (EJw)(x) Unstetigkeiten aufweisen.
Die
tionen
Durch Eliminieren
von
aus
den
Gleichungen (20)
und (21) erhalten wir
(D-{MJ
Setzen wir noch den Klammerausdruck über dem Bruchstrich in
(23)
(23)
M^+EJxf''^ = Me-yEJWa vx
und für
vernachlässigen das Glied die Krümmung /"
vx
— */i" E
Jv;o
so erhalten
wir eine
Näherungsformel
25'
Im
allgemeinen wird
man
jedoch
so
daß zunächst die Ver¬
vorgehen,
(22) berechnet wird. Bei einmal bekanntem ifi" kann die Durchssnkung / aus (20) ermittelt werden. drehung ifj
aus
C. EINFLUSS DES UNVOLLKOMMENEN SCHUBVERBANDES
1. Funktion des Schub Verbandes
Die
Belastung
des
kräften, welche normal
Tragflügels besteht zur
im wesentlichen
aus
den Luft¬
Oberfläche der Deckscheiben wirken. Diese Luft¬
kräfte werden zunächst in den Schubverband
übergeleitet. Besteht der Schub¬ verband aus einzelnen Stegen und Rippen (diskreter Schub verband), so er¬ halten die Deckscheiben dabei die sekundäre Aufgabe, die Flächenlasten der Luftkraftverteilung durch Membran- oder Plattenwirkung auf Stege und Rip¬ pen zu übertragen. Der Schub verband hat nun eine doppelte Funktion. Er muß einmal die aus der Belastung entstehenden Querkräfte qx und qu in Form von Schub¬ spannungen txz und ryz weiterleiten (siehe Fig. 2). Dabei entstehen Biege- und Torsionsmomente, welche sich hauptsächlich als Längs- und Schubkräfte in den Deckscheiben äußern. Diese Kräfte werden aufgebaut, durch die Schub¬ flüsse, welche der Schubverband in die Deckscheiben einleiten muß und die zusammen
mit den
weitergeleiteten Querkräften
die
Gleichgewichtsbedingung
für die Elemente des Schub Verbandes erfüllen. Diese beiden Funktionen „Weiterleiten der von
Schubflüssen in die Deckscheiben" können
seiner konstruktiven
Ausbildung
in mehr oder
Querkräfte"' vom
und
„Einleiten
Schub verband,
je nach
weniger vollkommener Weise
erfüllt werden*). Betrachten wir zunächst die erste der genannten Aufgaben. Die im vor¬
hergehenden entwickelte Theorie d. h. durch Querkräfte
un
des
Schichtträgers setzte einen schubstarren,
verformbaren Schub verband voraus. Dies bedeutet
Idealisierung, welche in Wirklichkeit kaum erreicht wird, wird doch der Schubverband aus Gewichtsgründen meist so bemessen, daß er die zu über¬ tragenden Schubspannungen gerade noch aushält. Immerhin ist in den prak¬ tisch vorkommenden Lastfällen, insbesondere bei sehr dünnen Tragflächen, der Anteil der Querkraft-Verformung im Schubverband gegenüber der Ver¬ formung der Deckscheiben gering, wie auch bei einem schlanken Biegeträger, eine
*) Der Schubverband kann dabei in dem Sinn unvollkommen sein, als er entweder nicht schubstarr, d. h. schubverforrnbar ist, oder nicht kontinuierlich, d. h. daß er aus einzelnen, diskreten Stegen und Rippen besteht. 26
im
Schubverformung gegenüber
Verformung durch Biegemomente allgemeinen vernachlässigt werden kann. Die Verformung des Schubver
dessen
bandes kann
übrigens,
der
bei einmal bekannter
weise berechnet und der
Querkraftverteilung näherungs¬ Verformung des idealisierten Trägers mit starrem
überlagert werden. Dies ist allerdings nur zulässig, wenn die Verformung im Schubverband die Querkraft- und Momenten Verteilung nur unwesentlich beeinflußt. Schub verband
Das Einleiten menem
von
Schubflüssen in die Deckscheiben bietet bei unvollkom¬
Schub verband ein bedeutend verwickelteres Problem.
Es wurde für den idealen Schubverband angenommen, daß
er aus unendlich
gesetzten („kontinuierlichen") Stegen und Rippen bestehe. Da bei bisher bekannt gewordenen Konstruktionen Stege und Rippen immer einzelnen Schubblechen oder Fachwerken bestehen, ist diese Bedingung dicht
vorn
herein nicht erfüllbar. Immerhin werden bei den üblichen Bauweisen
den aus von
aus
Profilformerhaltung die Rippen meist außerordentlich dicht ge¬ setzt (siehe z. B. Fig. 1), so daß die Annahme kontinuierlicher Rippen an¬ nähernd erfüllt ist. Es sind jedoch in letzter Zeit Bestrebungen bekannt gewor¬ den, die Anzahl der Rippen aus herstellungstechnischen Gründen radikal zu vermindern (Beispiel Republic-Sea Bee, Planet Satellite), wobei aber dann eine biegesteife Beplankung die Wirkung der Rippe z. T. ersetzt. Ebenfalls aus herstellungstechnischen Gründen, z. T. aber auch aus der Tradition der älteren ein- oder zweiholmigen Bauweise der Flugzeugtrag¬ flächen heraus, wird die Anzahl der eingebauten Stege oft sehr beschränkt. Es werden daneben aber auch Flügel mit vielen Stegen gebaut, bei welchen die Stege u. a. zur Aussteifung der Deckscheiben gegen Ausknicken herangezogen
Gründen der
werden.
Dadurch, daß die Schubflüsse lokal durch einen diskreten Schubverband
eingeleitet werden, ergeben sich für Verformung und Be¬ Tragfläche neue Gesichtspunkte, welche im folgenden unter¬
in die Deckscheiben
anspruchung
der
sucht werden sollen.
2. Diskrete
Rippen
Rippen besteht darin, die Schubverformung der Quer¬ schnitte zu verhindern. Bei Biegung ist damit keine wesentliche statische Funk¬ tion verbunden. Bei Torsion hingegen spielen die Rippen eine Rolle im tra¬ Die
Aufgabe
der
genden Verband des Flügels, indem sie die Schubkräfte auf Deckscheiben und Stege in richtiger Weise zu verteilen haben. Fehlen die Rippen vollständig, so führt die Frage nach der Aufteilung des Tor¬ sionsmomentes in Schub-und Wölbtorsion nichtmehrauf ein statisch unbestimm¬ tes Problem wie beim idealen Schichtträger. Die Aufteilung hängt in dem Fall
27
der Art der Einleitung des Torsionsmomentes in den
Trager ab. Fig. 12 zeigt einen rippenlosen, einseitig eingespannten Torsionsträger, welcher ledig¬ lich aus zwei, Schub- und Längskräfte aufnehmenden Deckscheiben und vielen, dazwischenliegenden Stegen besteht. Wird das Torsionsmoment D in Form
nur von
eines konstanten Schubflusses
srr
in die Deckscheiben und Randstege ein¬ °
zog
geleitet,
werden diese
auf Schub
den Schubwinkel beansprucht und y verformt (Fig. 12a). Wird das Torsionsmoment dagegen in geeigneter Ver¬ teilung ausschließlich in die Stege eingeleitet (Fig. 12b), so werden die Scheiben nur durch Längskräfte beansprucht, das gesamte Torsionsmoment wird als Wölbmoment weitergeleitet. so
nur
um
© Fig. 12. Rippenloser Trager a) Übertragen des Drehmomentes durch Schubtorsion b) Übertragen des Drehmomentes durch Wolbtorsion Der nämliche
eingeleitet wird,
Träger kann somit, je nachdem
wie das Torsionsmoment
als schub- oder wölbsteifer Verband wirken. Wird
stelle
x
=
nun an
der Einleitungs¬
xx eine starre
Rippe ein¬
gebaut (Fig. 13), so wird der Tor¬ sionsträger wieder statisch unbe¬ stimmt. Die Rippe erzwingt an der Stelle
x
=
x1 die Deformations-
bedingung i/>w(xi) «/»s(xi). Da an allen übrigen Stellen zwischen x0 und xx keine derartige Rippe vor¬ handen ist, kann die Verformungs¬ gleichung nur als Gleichung bestimmter Integrale angeschrieben =
Fig.
13.
Träger
mit einzelner
Stelle der
28
Rippe
Krafteinleitung
an
der
werden, nämlich:
lAafeO
=
J -Qjdx
=
"/W)
= ~ Xq
3C$
•
und mit
S
\dx\ ^^dx X[
(K-V)'
=
\dx\ frdx*}
=~~
cj
*25*
Aus (25) läßt sich V noch nicht vollständig berechnen. Dazu ist noch eine
Längskräfte notwendig. Die Aufgabe wird den Stegen zwischen zwei Rippen konstant
weitere Aussage über den Verlauf der
lösbar, wenn
z.
B. der Schubfluß in
Längskräfte zwischen zwei Rippen linear zu- oder abnehmen. K — V Ist einmal V über die ganze Spannweite bekannt, so läßt sich sofort U berechnen, woraus sich dann i/j^ und i/fs(x) ergibt. Damit ist die statisch unbe¬ stimmte Aufgabe gelöst. Bei Trägern mit wenigen Rippen kann das Torsions
ist,
so
daß die
=
-
problem selbstverständlich auch
mit den üblichen Methoden der statisch
un¬
bestimmten Rechnung gelöst werden.
3. Diskrete
Die bei
Stege
in den Deckscheiben aufzubauenden
Biegung und Wölbtorsion
Längskräfte werden durch Schubflüsse aus den Stegen eingeleitet, und müssen sich von den Anschlußlinien der Stege aus über die ganze Ausdehnung der tragfähigen Deckscheiben ausbreiten. Dazu wird die Schubsteifigkeit der Deckscheiben in Anspruch genommen. Da diese nicht als schubstarr angenom¬ men werden
können, ergibt sich daraus eine zusätzliche Verformung der Quer¬
schnitte. Die damit entstehende Spannungsverteilung kann durch die exakte
Scheibentheorie mit Hilfe der Airy'sehen Spannungsfunktion in einfachen Fäl¬ len ermittelt werden.
*) Für den idealen Schichtträger gilt grale s(x) — w(x) oder ausgeschrieben: X
O
die
X
Gleichung der unbestimmten
X
TT
Diese Gleichung kann zweimal differenziert werden und mit
S=fGJs
und
Inte¬
ergibt
F=Z-{ OJs
f dx
K=jGJgTVdx-TVEJw die
von
früher bekannte Gleichung des verdrehten Schichtträgers (18b).
29
Im Rahmen dieser Arbeit soll nicht weiter auf diese
Fragen eingegangen jedoch festgehalten, setzende BiegeRechnung und Wölbtorsionssteifigkeit namentUch bei gedrungenen Trägern beträchtlich kleinere Werte annehmen können, als sich aus den Werten von E Jx und EJV. ergibt.
werden. Es sei
daß die in
Eine zusammenfassende
Darstellung
zu
der sich bei
Biegung ergebenden
Probleme bei verschiedenen In
analoger Weise können
Randbedingungen findet sich bei E. Ghwalla [4]. die Spannungsverteilungen und Verformungen bei
Wölbtorsion ermittelt werden (siehe auch Ebner
[5]). Eine allgemeine Lösung des Problems der Wölbtorsion für dünnwandige Hohlquerschnitte wurde von Kärman und Wei-Zang Chien gegeben [8]. Durch die
Stege wird aber auch die Schubtorsionssteifigkeit beeinflußt. Hat der zu untersuchende Träger konstante Profilhöhe h und Deckscheiben stärke 8, so bleiben die Stege im Innern des Trägers spannungsfrei, wenn der umlaufende Schubfluß tS durch schubstarre Randstege gewährleistet wird. Ist jedoch h oder S über y veränderlich, so entstehen in den Innenstegen zusätzliche
-
Schubflüsse, welche die Schubspannungen in den Deckscheiben auf den richtigen Wert
Sz
t
=
-j-
bringen müssen (Fig. 14a.)
2F0&
©
© Fig.
14.
Wirkung
der
Zwischenstege
a) Schichtträger (viele Zwischenstege) b) Bredt'scher Hohlquerschnitt
Fehlen die
Bredt'sche
Innenstege (Fig. 14b),
wird die
Schubspannung durch die Bedingung des konstanten Schubflusses bei dünnwandigen Hohl-
querschnitten bestimmt:
rS
so
=
2F„
Dementsprechend ist auch statt der Schubtorsionssteifigkeit JSG die Bredt'sche
Torsionssteifigkeit JBr
G
=
du
T
30
G in
Rechnung
=
4G$z2dF
zu
setzen.
D. EINFLUSS DER
QUER VERFORMUNG
1. Das querverformende Kräftesystem gxy Die im bisherigen entwickelten Berechnungsmethoden für den Schicht¬ für welche das nur für Belastungssysteme haben
strenge Gültigkeit
träger
pxy,
abgespaltete Kräftesystem gxy verschwindet (s. Fig. 5), oder für Schichtträger mit unendhch steifen Rippengurten (ky))) kx). Im folgenden soll nun der Einfluß des Kräftesystems gxy auf einen Schichtträger mit endlicher Querbiegesteifigkeit ky untersucht werden. Für eine beliebige Belastung pxy erhalten wir
"xy und mit den Beziehungen
Pxy
Pxy
(8) und (14) 8k
^
=
^~|[M/"+2/f')]"
gxy läßt sich wieder
+
2(l-/*)
A
m
(26>
in zwei Kräftesysteme spalten, welche sich durch ihre Ent¬
stehung unterscheiden, nämlich
in ein „inneres" System
I
welches die Poisson'sche
f)k
fök
-
Querkontraktion repräsentiert
(27)
und in ein „äußeres"
System 9a = Pxy-
\[kx(f"
+
y>l>")l"
+
2(1-1*)
(28)
welches die Rippenbelastung durch pxy darstellt.
Sowohl gt als auch ga bilden naturgemäß wieder in Rippenrichtung einzeln
geschlossene Gleichgewichtssysteme.
2.
Angenäherte Berechnung
Die zusätzliche
Verformung wq
der
Querverformung
des Schichtträgers unter der Belastung
wieder durch Anwenden gxy müßte streng genommen
*)
Die
der allgemeinen Schicht-
und ^ sollen im folgenden die Verformung des Trä¬ behinderter Querverformung bedeuten.
qnergestrichenen Werte f
gers bei vollständig
31
trägergleichung (5) berechnet werden. Der Umstand aber, daß gxy über alle, normal zur z-Achse aus dem Träger geschnittenen Streifen, geschlossene
Gleichgewichtssysteme bildet, erlaubt eine Näherungsmethode anzuwenden, welche praktisch hinreichend genaue Ergebnisse liefert. Denken wir zunächst den Schichtträger durch Schnitte normal zur uns
a;-Achse in viele
Querstreifen
von
der Breite dx
=
1
zerschnitten. Die die
einzelnen Streifen verformenden
maliger Integration wir dabei
aus
der
Biegemomente my* erhalten wir aus zwei¬ Belastung gxy über y. Für das innere System erhalten
(27)
"fr=-nMy' Das
Fall
aus
dem äußeren
zu Fall aus
=
/*fe(/'+yf')
(27a)
System entstehende Querbiegemoment muß
von
der
Belastung ga ermittelt werden. Eine besondere Schwierigkeit ergibt sich dabei bei schiefwinklig berandeten Trägern, welche Rande endliche Steifigkeit und somit unstetige Ableitungen von k und kx aufweisen. Ersetzen wir die sprunghafte Steifigkeitsänderung am Rand durch einen stetigen Ansatz, welcher im Bereich A den Sprung annähert (Fig. 15). Durch einen Grenzübergang A 0 erhalten wir die aus dem äußeren System ent¬ stehenden Querkräfte und Biegemomente an einer beliebigen, stetigen Berandungskurve r/^ für einen Träger von konstanter Steifigkeit kx und k: am
—.>
C(l/)
=
%r W2f'+
2
V'(f'"+ vf)
K^v) =m»lv) + Kv'*(r + vV)
Randscherkraft
~
32
v'(r+vV)]
2(l-MJiVf
Fig. 15. und Randbiegemoment bei
beliebiger Berandungskurve tj^j
+
+ 2(1-H-)W
(28a) (28b)
Fig. 16. Angenäherte Bestimmung des Querbiegemomentes aus der äußeren Belastung durch Streifenmethode
(28a) und (28b) stellen dabei die tatsächlich wirkenden Randbelastungen aus pxy dar (z. B. Auf lagerkräfte Die ersten Glieder der rechten Seiten
und
Einspannmomente). Im allgemeinen ergeben sich
von
Beziehungen (27) und (28a, b) reich¬ lich verwickelte Kräftesysteme. Eine, bei schiefachsigen Trägern in vielen Fällen genügende Näherung erhalten wir durch folgende Überlegung: In einem Schnitt durch den Träger, parallel zur x-z-Ebene, wirkt ein aus der äußeren Belastung zu ermittelndes Biegemoment My, welches im wesent¬ lichen für die Querverformung verantwortlich ist (Fig. 16). Die Verteilung dieses Querbiegemomentes auf die einzelnen Streifen (my*) kann leicht angegeben werden, wenn die Querkrümmung zwischen den Berandungspunkten £x und £2 als konstant vorausgesetzt werden kann. Mit dieser Annahme erhält man:
Ist einmal
my*
=
durch
aus
den
<29>
Berechnungsverfahren
oder durch
My-l~~r=My-EVj irgend
ein
Schätzung näherungsweise bekannt, so erhalten wir die Verformung der ein¬ zelnen Streifen wg* aus den zwei ersten Gleichungen von (la) mit mx 0 zu =
82wg* 8y2
my*
ky(l-Kfj?)
(30a)
82wa* **
Mit der dimensionslosen
-"-k^J)
Steifigkeitsverhältniszahl
(30b)
k' k
=
j—r x">y
Es ist
nun
anzunehmen, daß die Querkrümmung -~
des
zusammen¬
hängenden Trägers sich nicht wesentlich von der Krümmung der einzelnen Streifen unterscheidet. Einer genaueren Untersuchung müssen lediglich die Stel¬ len unterworfen
werden,
an
welchen die Funktion
(
.
%
Unstetigkeiten
I
derartige Unstetigkeiten mit den Deformationsbedingungen eines zusammenhängenden Trägers unverträglich sind, Im allgemeinen ge¬ nügt jedoch dazu ein „Glätten" der Funktion durch zweckmäßig zu wählende Ansätze (s. Beispiel 4a). Aus der somit näherungsweise bekannten Querkrüm¬ aufweist,
da
mung erhalten wir die infolge Querdehnung entstehende Längsverformung den Beziehungen (30a, b)
8x*~~
*
kx 8y*
aus
[öl>
33
3. Zusätzliche
Verformung schiefachsiger Träger
Bei
Trägern, deren Schubmittelpunkte nicht in die £-Achse fallen, ins¬ besondere bei schiefachsigen Trägern, ergibt sich aus der Querverformung eine weitere, für die
Gesamtverformung wesentlich
ins Gewicht fallende Konse¬
quenz :
Das im
vorangehenden Abschnitt beschriebene Näherungsverfahren be¬ steht darin, zunächst die Querverformung einzelner Streifen zu berechnen: diese Streifen werden in verformtem Zustand wieder zum vollständigen Schicht¬ träger zusammengesetzt. Die für das Zusammenpassen der Schnittufer not¬ wendigen Schnittkräfte dürfen dabei keine resultierende Dyname aufweisen. Dieser Bedingung wird mit guter Näherung genügt, wenn Durchsenkung und Tangente der elastischen Fläche jeweiHgen Schubmittelpunkt SM zweier benachbarter Streifen zusammenpassen (Fig. 17). am
Fig.
17. Einfluß der
und
Durch
Querverformung auf Durchsenkung Tangentenwinkel Schubmittelpnnkt am
einmalige Integration
der
Querkrümmung
Schubmittelpunkt
am
über das Differential e'dx erhalten wir den zusätzlichen Verdrehwinkel
zweimalige Integration
die
Durchsenkung fe gemessen 'f'e
=
Schubmittelpunkt:
]jy2e dx
fe=\^e-e'dx
34
am
i[ie, durch
(32a)
(32b)
III.
und
Anwendungen
Versuchsergebnisse
A. RECHNERISCHE LÖSUNGSMETHODEN UND
VERSUCHSTECHNIK
1. Analytische
Die
zur
Lösungsmethoden
statischen Berechnung eines Schichtträgers aufzulösenden Glei¬
chungen lassen sich für das Torsionsproblem auf lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung zurückführen. Die Berechnung der Durchsenkung führt bei ein¬ mal bekanntem Verdrehwinkel
nur
noch auf einfache Integrationen bekannter
Funktionen. Die
aus
der Torsionsgleichung (22) sich ergebenden
werden besonders einfach bei
GJS und EJW. Wir erhalten
z.
prismatischen Trägern, B.
mit dem rel. Verdrehwinkel
wobei
A0
die Torsionsziffer
Schub- und Wölbsteifigkeit Diese Gleichung wird
Differentialgleichungen
aus
d. h. bei konstanten
(22a):
tjj'
Inf = 1/ „ Ts
die Wurzel
aus
dem Verhältnis
von
angibt.
gelöst durch einen hyperbolischen Ansatz: ax Cos A0
=
x
+ a2 Sin A0 x +
^
Integrationskonstanten ax und a2 durch die Randbedingungen be¬ stimmt werden und ^ eine partikuläre Lösung darstellt. Für den Fall „Sym¬
wobei die
metrische Torsion einer rechteckigen Platte" im Beispiel Bla erhalten wir für die rechte Trägerhälfte:
DX=D Mx und die
=
=
konst.
0
Randbedingungen 9(o)
f'(U2)
=
(Symmetriebedingung)
0
— 0
(verschwindende Wölbgröße
am
freien Ende)
35
Damit
ergibt sich
aus
9>
obenstehendem Ansatz der rel. Verdrehwinkel
^j(l-CosA0a; + TgA0Z/2SinA0a;)
Durch differenzieren erhalten wir daraus die
V(x) Ist einmal die essierenden Werte
=
D) D^
A3
(-
Sin A0
Wölbgröße bekannt,
so
+
Tg A0 Z/2 Cos X0x)
können daraus alle weiteren inter¬
abgeleitet werden, nämlich: Wölbmoment
W&
Schubgröße
U(x)
Schubmoment
8(x)
Verdrehwinkel
Längsspannung
°x
Schubspannung
Txy
2. Numerische
In
x
Wölbgröße:
praktischen Fällen
ist die
daß die Funktionen
V{X)
= =
K(x) ~ V(x) U[x)
=
_
u(x) GJS V(x)
_ -
U{x) J
z
Lösungsmethoden
Steifigkeit des Tragflügels meist so verteilt, EJW unstetig sind (z. B. infolge Ausschnitten
GJS, EJX und für Einbauten, sprunghafter Änderung der Beplankungsblechstärke usw.) und sich daher für analytische Näherungsmethoden wenig eignen. Derartige Pro¬ bleme werden besser mit Hilfe der numerischen
Differenzenrechnung behandelt.
Zunächst wird das
Integrationsintervall (Spannweite) in eine zweckmäßige Anzahl von kleinen Differenzlängen A geteilt. Die allgemein geschriebene Dif¬ ferentialgleichung 2. Ordnung Y" + kann dann
näherungsweise
•*(n+l)
~
Diese
Wert
36
von
als
21(m) + l(w_x) J2
a(x)Y'
+
a(xn)
n+1)
aus
den zwei
—
0
X(n_u
2~Ä
ergibt, nach F(m+1> aufgelöst, Y
=
Differenzengleichung geschrieben werden: Y
+
b(x)Y + Z(x)
eine
^a)
(n)
in)
=
Rekursionsformel, womit jeder
vorangehenden berechnet werden kann. Eine ver-
besserte man
Genauigkeit
praktisch gleichbleibendem Rechenaufwand erhält
bei
durch Ersetzen der vorkommenden Funktionen durch ihre „Knoten¬ den Intervallgrenzen [6]. Bei Durchführung dieser Substitution
lastwerte"
an
erhält
für die totale Differentialgleichung 2.
man
Y(n+i)=1 + l + ß\Yin)(2-l0ß)~Y(n_1)(l-a a
=
a{x)
2
ß)-A^(Zu+1)+l0ZM Z{n^ +
ß
;
=
b(x)j2
Sind also zwei aufeinanderfolgende Werte
fangswerte F(0)
und y(1),
sämtliche Werte Verlauf Da
die Rekursion*):
A2
A mit
+
Ordnung
von
Y
so
von
Y bekannt,
z.
B. die An¬
können mit Hilfe einer solchen Rekursionsformel
von n
= 2 bis
n
=
k berechnet werden. Damit ist der
genau bekannt. bei statischen Problemen die Randwerte meist an beiden Integrations¬ der Funktion
F(x) genügend
müssen die Anfangswerte grenzen vorgeschrieben sind (Randwertproblem), werden. Dies F(0) und F(1) zunächst aus den Randbedingungen ermittelt
geschieht
am
einfachsten nach dem Verfahren der linearen Kombination
zwei unabhängigen Lösungen [7]. Sind
Yfä aus
A
=
der Funktion vorgeschrieben,
so
z.
B. Anfangs- und Endwert
wird zunächst eine Funktion
dem Anfangswert r(0) und einem willkürlich gewählten
0). Es wird sich
am
Schluß dieser Reihe
von
Y^
F(0)
von
und
YA berechnet A (z. B. mit
=
Funktionswerten ein Endwert
Wert
YAik) ergeben, welcher mit dem von den Randbedingungen geforderten im allgemeinen nicht übereinstimmt. Eine zweite Reihe von Werten YB erhalten wir mit Hilfe der homogenen Rekursion (Weglassen des Störungsgliedes Z) und den Anfangswerten 0 und r(1) =B, wobei B z. B. gleich 1 gewählt werden kann. Am Schluß r(0) dieser Reihe erscheint der Endwert YB(ky Der richtige Endwert Y(k) wird nun durch eine lineare Kombination der beiden Reihen YA und YB erhalten: =
y
1
_ ~
v
,
v
XA + JS
_ A(k) v
xBUc)
Damit ist auch schon die
gesuchte Funktion
Y für
n
=
1 bis
n
= k berechnet.
Ableitungen als Rand¬ freien bedingungen vorgeschrieben (z. B. „verschwindende Krümmung Ende" oder „horizontale Tangente eingespannten Ende"), so wird das oben beschriebene Verfahren analog für die ersten oder zweiten Differenzen Rande der Rekursionsreihe Yn durchgeführt. Sind statt der Funktionswerten selber, deren
am
am
am
*) Diese Rekursion ergibt namentlich dann gute Resultate, wenn
die Koeffizienten-
funktion der 1. Ableitung a^ verhältnismäßig schwach ist.
37
Zur
Erläuterung des Verfahrens soll die im vorhergehenden Abschnitt analytisch gelöste Differentialgleichung numerisch behandelt werden. Die Rekursion lautet mit
A02 für das Intervall A
ttn+ü
Die
=
=
25 cm-2
l
0,1
=
A2
=
*
2
9W
•
2-25532
D
«n-tf
-
0,0102128
-
E J,„
Randbedingungen sind V(o)
Für die numerische — 0,010128
~ °
9>
>
~
Rechnung wird
«P(»)
°
=
das hier konstante
DjEJW0 durch einen einfachen Wert, i«P(n+i)
=
r?M
2,25532
•
Die gewonnenen Resultate sind
am
-
z.
Störungsglied
B. —1 ersetzt.
^(„„d- 1
Schluß durch
multiplizieren
Störungsglied zu korrigieren. Aus
=
l,S1
mit dem =
cp. GJS
analytisch gewonnenen Wert
verglichen. Numerische Lösung der
Differentialgleichung*) D
- 25 * +
*jT° _ s,
^
i
t**
i'
numerisch
analytisch
0
0
0
0
1
0
1
1,54106
0,39346
0,39342
2,25532
2,47559
0,63206
0,63201
0
0
2
-
1
3
-
3,25532
4,08646
3,04217
0,77672
0,77667
4
-
7,34179
6,96095
3,38547
0,86437
0,86433
5
-
14,30276
11,61270
3,59313
0,91739
0,91737
6
-
25,91550
19,22939
3,71819
0,94932
0,94931
7
-
45,14496
31,75571
3,79256
0,96831
0,96832
8
-
76,90079
52,38987
3,83525
0,97921
0,97923
9
-129,29086
86,40017
3,85718
0,98481
0,98484
10
-215,69136
142,47009
3,86391
0,98653
0,98658
3,85718
0,98481
0,98489
11
-358,16199
234,91535
-
i
-228,87113
148,51518
*) 38
!
=
Die
->
(1^11
-
if »)^
(i'/u-iWn
Abweichung zwischen numerischem
und
1,5410622
analytischem Wert beträgt hoch-
I
Bild 1.
Symmetrische Torsion einer rechteckigen Platte
(1) Torsionsplatte, (2) Tastuhr mit Trager, (3) Plangeschhffene Steinplatte, (4) Lastbrucken, (5) Auflager
'
<
3. Versuchsanordnung
Zur experimentellen Untersuchung wurden an
der
E T H
Belastungsversuche
an
im
Institut für
verschiedenen
Flugzeugbau
Tragflugelmodellen
durchgeführt Als
„ideale Schichttrager"
wurden hierbei Platten
von
verschiedener
nachgiebigem Schubverband
Grundrißform untersucht. Für zwei
Trager
(Beispiel 5) wurden Schichttrager
Blechen verschraubt Für das
stens
aus
0,l°/00, eine Genauigkeit, welohe weit über
mit
durchwegs
den normalen Erfordernissen der Praxis
steht
Das ^ erfahren wurde hier demonstriert
Die
an einer
Differentialgleichung
Losung einer Gleichung
mit konstanten Koeffizienten
mit \ariabeln Koeffizienten erfordert keine
wesentliche Mehrarbeit, sobald einmal die Koeffizientenfunktionen
in
geeigneter Weise
tabelhert sind Eine numerische Losung für 10 Tnter\ alle erfordert, mit automatischer Kechenmaschine ausgeführt,
ca
40
min
39
£**tsa£*ammtk
verwendete
Material, Anticorodal A, wurden zunächst folgende Material¬ eigenschaften durch einen Zugversuch bestimmt: E fj,
=
=
ap G
=
=
7,160-105 kg/cm-2 Elastizitätsmodul 0,333
Querdehnungskoefflzient 1850 kg/cm-2 Proportionalitätsgrenze 2,685 105 kg/cm-2 Schubmodul, berechnet aus E und n •
Die
aufgebrachten Beanspruchungen blieben überall unterhalb der Pro¬ portionalitätsgrenze. Die Träger wurden jeweils an drei Punkten auf Kugeln statisch bestimmt gelagert und durch an Haken aufgehängte Lastbrücken mit Gewichten be¬ lastet (Bild 1). Gemessen wurden dabei Längs- und Schubspannungen mit mechanischen und elektrischen
Tensometern, Verdrehwinkel
mit
Klinometern und Um die
aufgesetzten
Durchsenkungen mit einer Tastuhr. Durchsenkung verschiedener Punkte mit derselben Tastuhr
können, wurde diese auf einen Träger montiert, welcher geschliffenen Steinplatte frei verschiebbar war (s. Bild 1). sen zu
B.
auf einer
mes¬
plan-
BEISPIELE
Als Anwendung der im theoretischen Teil
abgeleiteten Formeln werden im folgenden einige charakteristische Beispiele von verschiedenen Trägern und Belastungsformen untersucht. Die rechnerisch gewonnenen Ergebnisse sind im Anhang in Form von Kurven dargestellt. Wo zur Kontrolle experimentelle Untersuchungen durchgeführt wurden, sind die Resultate als Meßpunkte in die berechneten Kurven eingetragen. Um die Darstellung von Werten von verschiedener Dimension in der gleichen Tafel zu vereinfachen, wurde im allgemeinen darauf verzichtet, Ma߬ stäbe anzugeben, welche von Belastungsstufe und von der absoluten Größe der Modelle, für die
Spannungsmessungen
außerdem
von
der Meßstelle ab¬
hängig sind. 1. Verschiedene Torsionsfälle eines
Für einen
rechteckigen Trägers
Schichtträger von konstanter Steifigkeit kx ky — k (homogene Platte) und von rechteckigem Grundriß mit den Abmessungen l 50 cm. b 20 cm, h 0,498 cm, wurden die in Fig. ] 8 schematisch dargestellten vier Lastfälle untersucht. Fig. 18 zeigt neben den Belastungsformen die entstehende =
=
=
=
Torsionslast-, Drehmoment40
und
Torsionsgrößenverteilung.
Für die Fälle
a,
b und
c wurden
geprüft.
die rechnerisch gewonnenen Ergebnisse durch
Der Einfluß der
Messungen nach¬ Querkraft-Schubverformung sowie der Querverfor¬
mung erwies sich in allen Fällen als bedeutungslos. Bei der Darstellung der Ergebnisse wurde die Abszisse auf das Intervall 0-^-1 für die
Halbspannweite reduziert.
im
^L
m^^
Kx
©
0 Fig.
18.
Belastungsformen
Ib.
qjjf^ ®
©
Tx, Torsionsmomenten Dx Torsionsgrößen Kx
mit Torsionslasten
und
a) Symmetrische Torsion Die
Lösung
ten Verlauf von
der
Torsionsgleichung (22b) ergibt
den in Tafel Ia
dargestell¬
8, W und U, V. In Tafel Ib finden sich die daraus berechneten
Schubspannung an der Plattenoberfläche rxy und die Normalspannung in einer Längskante ax, nebst den eingetragenen Meßwerten Verdrehwinkel tf,, die
für tjj, rxy und ax. Der Berechnungsgang wurde im einzelnen in den Abschnitten IIIA1 und IIIA2 durchgeführt. In der Zahlentafel II wurden die gemessenen Werte für
nebst den für die
jeweilige Belastung
tj), Txy und
und Meßstelle reduzierten
ax,
Rechnungs¬
angegeben. Für einen Träger von gleiche Torsionsziffer A, der sich jedoch vom ide¬ alen Schichtträger insofern unterscheidet, als er nur drei, an den Krafteinlei¬ tungsstellen x = — 1, 0, + 1 eingebaute Rippen besitzt, wurde die Berechnung nach der Beziehung (25) durchgeführt. Die dabei sich ergebenden Werte sind werten
41
Vergleich mit dünnerem Strich ebenfalls in die Tafel Ia und Ib eingetragen. Wie aus dem Vergleich hervorgeht, ist die Verformung beim Einbau konti¬ nuierlicher Rippen für das angegebene Steifigkeitsverhältnis ca. 10% geringer. 0 für den Träger mit kon¬ Andererseits ist die Beanspruchungsspitze bei x tinuierlichen Rippen beträchtlich höher. Man beachte ferner die Abweichung im Verlauf von Schub- und Wölbwinkel beim Träger mit Einzelrippen. zum
=
b) Durchlaufende Torsion Für die
Antimetriebedingung
=
0 wird die
Lösung
von
(22b) trivial:
D
den
Verdrehwinkelmessungen erhaltenen Resultate dienten zur Kontrolle des, aus Zugversuch mit Querdehnungsmessung bestimmten Schubmoduls. Es ergab sich keine meßbare Abweichung zwischen den beiden Ver¬ suchsergebnissen. Der Torsionsversuch an einer rechteckigen Platte eignet sich Die
zur
aus
direkten
Bestimmung
des Schubmoduls.
c) Idealisierter Querruderfall Dieser Fall unterscheidet sich
(b) durch die wölbversteifende Wir¬ kung der Trägerteile außerhalb des durchgeleiteten Drehmomentes. Der Trä¬ ger bleibt, zum Unterschied vom vorher behandelten Fall, nicht frei von Längs¬ spannungen ax. Für die analytische Berechnung müssen zwei hyperbolische Ansätze verwendet werden, deren insgesamt vier Integrationskonstanten durch Rand- und Antimetriebedingung sowie durch die zwei Übergangsbedingungen •Wo.s+o)
=
von
Wo.s-o)!
9'(0,5+0)
=
9'(0,5-0)
Rechnungsergebnisse wurden in den Tafeln IIIa, b zusammengestellt, wieder mit den eingetragenen Meßwerten in Tafel III b. bestimmt werden. Die
d) Querruderfall mit verteiltem Rudermoment
gibt eine bessere Annäherung an einen in Wirklichkeit vor¬ kommenden Belastungsfall, indem das Rudermoment als im äußeren Viertel der Spannweite gleichmäßig verteilt angenommen wird. Die Rechnungsergeb¬ Dieser Fall
nisse finden sich in Tafel IV.
42
für diesen Fall nicht durch¬
Längskräfte in diesem Fall sehr klein werden, wurden W lOmal, die Werte von V lOOmal überhöht dargestellt.
geführt. von
Da die
Messungen wurden
die Werte
2.
Der in
Fig.
Flügel
mit
Versteifung durch Rumpfanschluß
19 schematisch
und Breite mit torsionssteifem
dargestellte Flügel konstanter Steifigkeit und Rumpf werde durch ein durchlaufendes Tor¬
sionsmoment beansprucht.
Rumpf und Flügel ergibt sich bei Torsion eine statisch unbestimmte Kraft B, welche abhängt von der Torsionssteifigkeit JB0 des Rumpfes und von der Durchsenkung wM, welche die Verdrehung des Rumpfes erzwingt. An
den
Anschlußpunkten
A
von
H-TTn-1 Verformung
1/
Fig.
19. Durchlaufende Torsion eines Flügels mit
^*
torsionssteifem Rumpf
Das
aus
den Kräften R
am
Flügel entstehende Torsionsmoment DB
=
R.b
beträgt dabei JBG
DR in der x
=
R =
-w(r)
D(a.)-Verteilung entsteht somit zwischen den Rumpfanschlußpunkten
+ r
(s. Fig. 19) dessen Tiefe
ein Loch
Wieder unter
Vernachlässigung
der 7
Die
Gleichung
von
der
Verformung
ww
Querverformung erhalten
abhängt. wir
b
für den rel. Verdrehwinkel
EJ^-GJ^
+
D^l-^jj
=
0
43
und für das Intervall II (x
=
r-=-1)
EJiB
+ D
=
0
Übergangsbedingungen lauten: °
•Pico)
=
~
"Piito 5 9>iM
=
=
9>iim
Die obenstehende
Gleichung wurde für folgende Annahmen gelöst Rechnungsergebnisse in Tafel V aufgetragen: b
=
0,4; l
=
2; EJJOJ,
=
0,01,
r
=
0,1; JRjJs
=
und die
5
Messungen wurden nicht durchgeführt.
3. Torsion eines
symmetrisch verjüngten Trägers
Für einen
h und von Schichtträger von konstanter Steifigkeit kx — ky doppeltrapezförmigem Grundriß wurde die Verformung unter einem durch¬ =
laufenden Torsionsmoment numerisch berechnet. Der
Träger l
=
(Bezeichnungen Es Kosten
hat die
Abmessungen
50 cm,
in der
b0
=
20 cm,
Nebenfigur
b±
von
=
10 cm, h
Tafel
=
0,500
cm
VI).
zeigt sich dabei, daß die schwächeren Partien des Außenflügels auf des Flügelmittelstückes entlastet werden. Darstellung der Ergebnisse
und der Meßwerte in Tafel Via und b.
4. Verschiedene
Beanspruchungsfälle eines gepfeilten Flügels
Ein stark
gepfeilter Flügel konstanter Steifigkeit gemäß Fig. 20 soll auf durchlaufende Torsion, symmetrische Torsion und Querkraftbiegung bean¬ sprucht werden. Die Torsionsmomente und Querkräfte sollen dabei als konzentierte Lasten
an
den Punkten
kräfte in den Fällen b und
untersuchte
Flügel
hat
c
B1 und B2 eingeleitet werden, die Reaktions¬
sollen in den Punkten
folgende Abmessungen
l = 30 cm, 6 = 15 cm, h
=
JXE = 0,684.105 kg-cm2 0,913.105 kg-cm2 Jfi 12,82.105 kg-cm4 JW0E 60° Pfeilungswinkel ß =
=
=
44
xi1
und A2 angreifen. Der
und statische Werte:
0,408
cm
a) Durchlaufende Torsion (D
1
=
cm
kg)
Querverformung erhalten wir zunächst den Drehwinkel >p Durchsenkung am Schubmittelpunkt fSM — f + ijj- e
Bei behinderter
und die
,/,
]SM Aus der
=
=
_-
]f,.
•
e'x
(Den nämlichen Wert erhalten
20. Grundriß des den
=
Pfeilflügels Krafteinleitungsstellen Bi, B2, Alt A2.
wir
1,10
•
± 1,91
=
Beziehung (29) erhalten mv*
Fig.
x
10-5« 10-5x2
•
wir für das
=
Querbiegemoment m*y
--£
aus
der genauen Formel (28b).)
Fig.
mit
21.
Querverformendes Kräfte¬
system bei durchlaufender Torsion
vollständige, querverformende Kräftesystem, wie es sich aus den Beziehungen (27) und (28) ergibt, wurde in Fig. 21 dargestellt. Die quergestri¬ den Trä¬ chenen Pfeile bedeuten die Kräfte, welche als äußere Belastung Pxy Das
m
ger eingeleitet werden.
Die
Querkrümmung ergibt sich
ü!f wobei die
=
mit k
^L~-
=
+
=
1
aus
2,85
•
(30a)
zu
10-« cm-'
Biegemomente infolge Krafteinleitung vernachlässigt werden. 45
Da t)' bei
x
=
ü
das Vorzeichen wechselt, hat der Verlauf
82w* von
-«—a-
an
dieser Stelle eine
Unstetigkeit. Zur Berechnung der Verformung wird angenommen, daß die Unstetigkeit sich nach beiden Seiten je-die halbe Flügeltiefe b auswirkt. In diesem Be¬ um
reich wird ein
Übergang
der tatsächlichen
Querkrümmung
minus nach einem Sinus-Gesetz angenommen
Für die
-z
von
i
plus
auf
(s. Tafel Via).
Verformung infolge Querkrümmung erhalten
wir
aus
den Bezie¬
hungen (32):
^
fe
=
=
1'732Jä^da" 3
\dx\
0
82w ^^
8y2
dx
0
Durch
zweimahge Integration von (31) erhalten Querdehnung auf die Durchsenkung: '
wir die
Wirkung
der
82w
f^-^jdxj—dx Die mit den oben getroffenen Annahmen für den Verlauf rechneten Zum
von
-„-
„
be-
Verformungen wurden in Tafel VII aufgetragen*). Vergleich mit den Meßergebnissen an der gepfeilten Platte wurde
der Querschnitt durch die elastische Fläche
an
berechnet und in Tafel VII zusammen mit den
drei Stellen
(x
=
0, 7,5, 13,5)
Meßpunkten eingetragen.
Die errechnete
Verformung zeigt, trotz der recht rohen Annahme über den Querkrümmungsverlauf, gute Übereinstimmung mit den Meßwerten. AuffälMg ist der enorme Anteil der Verformung infolge Querkrümmung (bis 80% der Gesamtverformung).
b) Symmetrische Torsion (D
=
1
cm-kg)
Verdrehung und Durchsenkung unter Vernachlässigung der Querver¬ formung erhalten wir aus den Beziehungen (22) und (20). Die Querkrümmung aus (30a) hat im symmetrischen Fall keine Unstetigkeit und kann daher ohne Korrektur verwendet werden. Das gesamte, querverformende Kräftesystem, *) Die Verformung
am
Schubmifctelpunkt besteht dabei
Verformungen fsM
46
=
fii
+ fsit+fe
aus
der Summe der Einzel-
wie
es
sich
(27 a) und (28,
den Beziehungen
aus
a
b) ergibt, besteht
aus
ins¬
gesamt sechs, einzeln im Gleichgewicht sich befindenden Systemen von Kräf¬ ten, deren Gesamtwirkung sich jedoch nicht wesentlich vom Näherungswert
(29) unterscheidet. Die, analog zum Fall (a) berechneten Verformungsanteile, sowie die Querschnitte durch die elastische Fläche an drei Stellen nebst Meßpunkten
aus
wurden in den Tafeln Villa und b
dargestellt.
c) Querkraftbiegung (Q Die
Berechnung wurde, gleich
wie im Fall
= 1
kg)
(b), ohne Korrektur
des Quer-
krümmungsverlaufes durchgeführt und die Ergebnisse in den Tafeln IX a und b dargestellt. Die Abweichung der Meßwerte von den Rechnungsergeb¬ nissen liegt, wie auch in den vorhergehenden Fällen größtenteils innerhalb der
Meßgenauigkeit. 5. Torsion eines
Deltaflügels
mit
nachgiebigem Schubverband
allseitig geschlossenen Kasten bestehender Deltaflügel gemäß Fig. 22, soll durch ein symmetrisches Torsionsmoment belastet wer¬ den. Die Belastung wird an besonderen Krafteinleitungsrippen (x) aufgebracht. Ein
aus
einem
Der Schubverband im Innern des
Trägers besteht
aus
einem, als Wellblech aus¬
gebildeten Faltwerk (4). Deckscheiben, Wellblech und Randstege (3) werden durch Parker-Verschraubungen (2) zusammengehalten.
Fig.
22. Deltaflügel mit
nachgiebigem Schubverband
Die Abmessungen des untersuchten
l
=
50 cm,
bQ
— 20 cm,
lx
=
7 cm,
bx
Trägers sind: =
2,5
cm, h
=
2,6 cm, §
=
0,1
cm.
47
Zunächst wurde die
Wirkung
des Faltwerkes durch einen Vorversuch
er¬
mittelt: Ein
rechtkantiger Träger gemäß Fig. 23, bestehend
rippen (*),
zwei Deckscheiben
aus
Krafteinleitungs¬
(2) und Faltwerk-Schubverband (3)
wurde
durchlaufender und
symmetrischer Torsion unterworfen. Torsionssteifigkeit bei durchlaufendem Moment
Die
mäßig bestimmt
sich die Wandstärke (GJs=j). Daraus läßt sich
Randsteges ermitteln, welcher Wir erhalten
die
Wirkung
= 5,41
•
10«
-^
= .,
+
S
=
Abmessung Abmessungen en
50cm, 6
=
20cm, Ä
2h
2 b
9
Z
des Faltwerkes
8+ eines Ersatz
-
ersetzt*).
aus
—
Die
wurde versuchs¬
->
2,15om>
8
=
=
0,043 cm '
-
8+
und statischen Werte
=
8+
betragen dabei
0,15 cm, (Fig. 23),
£JS
=
74,4.105kg-cm2,
^Jw=«18,6.108kg-cm4. Zur Kontrolle wurde mit dem
Träger noch
symmetrischer Torsion durchgeführt. Die im (ideellen) Steg wirkende Querkraft und Wölbmoment:
Fig. *)
23. Torsionsmodell
Es ist
bandes bandes durch durch
einflußt wird.
doch, daß
der
zu
Belastungsversuch
qx. 8+ erhalten wir
aus
mit
Schub-
8 + 2W
26"
Untersuchung eines Faltwerk-Schubverbandes
beachten, daß bei Ersatz des kontinuierlichen, nachgiebigen Schubver¬
Randstege, die Spannungsverteilung in den Deckscheiben wesentlich be¬ Der nachfolgende Kontrollversuch mit symmetrischer Torsion zeigt je¬ aus
reiner Schubtorsion gewonnene Wert der Ersatzwandstärke
auf Fälle mit Wölbtorsion
48
zur
ein
übertragbar
ist.
8+ auch
Querkraftverteilung erhalten wir hung ifi8r infolge Verformung des Schubverbandes: Bei bekannter
_
f
die zusätzliche Verdre¬
S + 2W,
u
Zusatzverformung ist der Verformung ^ des idealen Schichtträgers überlagern. Tafel X zeigt die beiden Anteile des Verdrehwinkelverlaufes mit den ein¬ Diese
zu
getragenen Meßwerten. Mit den
so
Wirkung
des Faltwerk-
21 für eine
symmetrische
gewonnenen Anhaltspunkten über die
schubverbandes wurde der
Deltaflügel gemäß Fig.
Torsionsbelastung numerisch berechnet. Für die Querbiegesteifigkeit EJy wirkt das Faltwerk wie eine Quer¬ stringer-Anordnung. Für Torsions- und Längsbiegesteifigkeit kann dagegen die versteifende Wirkung des Wellbleches vernachlässigt werden. Die berechneten Verdrehwinkelanteile
ift
des idealen idealen Schichtträgers,
ifte infolge Querverformung und i/rSF infolge Verformung des Schubverbandes sind
zusammen
mit den Meßwerten in der Tafel XT
aufgetragen.
Zusammenfassung
vorliegende Arbeit befaßt sich mit der statischen Berechnung von Flächentragwerken, wie sie als Flügel und Leitwerke im Flugzeugbau vor¬ Die
kommen.
Ausgehend Ausgehend
von
der Elastostatik massiver
Platten, wird die Beziehung
„Schichtträger" bezeich¬ Der Schichtträger hat im wesentlichen
zwischen Flächenlast und Durchsenkung eines als neten Flächentragwerkes untersucht.
die
Eigenschaften einer orthotrop versteiften Platte*)
von
veränderlicher Bau-
*) Für die praktische Anwendung der Theorie, insbesondere auf Pfeil- und Delta¬ flügel, zeigt es sich, daß eine Erweiterung der Ansätze für einen auch schiefwinklig ver¬ steiften Schichtträger wünschenswert wäre. 49
höhe und unterscheidet sich tionen des
von
den
gebräuchlichen Tragflächenkonstruk¬
Flugzeugbaus namentlich durch einen kontinuierlichen
und starren
Schubverband. Durch vereinfachende Annahmen über die
lingt
die, Verformung
und
Belastung
Verformung (Regelfläche),
ge¬
des
Schichtträgers verknüpfende Differentialgleichung zu vereinfachen und deren rechnerische Auflösun Aufl ösung g all¬ gemein zu ermöglichen. Es entstehen dabei, als Erweiterung der bisher ge¬ bräuchlichen statischen Größen wie Biegesteifigkeit und Bredt'sche Torsionssteifigkeit, neue Größen, welche geeignet sind, das statische Verhalten der untersuchten Träger vollständiger zu charakterisieren. Insbesondere wird die Wirkung der Querschnittsverwölbung durch verhältnismäßig einfach zu hand¬ habende Werte, „Wölbgröße" und „Wölbtorsionssteifigkeit", der der Berech¬ nung zugänglich gemacht. es,
In den anschließenden Abschnitten wird der Einfluß der der
nicht-idealen Schub Verbandes sowie der der elastischen elastischen Fläche zur
von
einer
Verformung eines Querkrümmung (Abweichung der
Regelfläche) untersucht,
und
Näherungsmethoden
Berechnung dieser Einflüsse entwickelt. Im
praktischen Teil werden verschiedene Beispiele von Schichtträgern rechnerisch und z. T. versuchsmäßig untersucht. Zur Auflösun Aufl ösung g der, im theo¬ retischen Teil angegebenen Verformungsdifferentialgleichungen, wird ein numerisches Verfahren angegeben. Die untersuchten Beispiele erhärten die praktische Brauchbarkeit der im Vorhergehenden abgeleiteten Theorie, ins¬ besondere für die
für die Untersuchung Berechnung der Wölbspannungen und für schiefachsiger Träger, welche mit den bisher üblichen Methoden z. T. auf große Schwierigkeiten stieß. Mit den beschriebenen Methoden der Verformungsberechnung lassen sich auch Näherungsverfahren für Schwingungsberechnungen, insbesondere auch für Pfeil- und Deltaflügel durchführen. Solche, dynamische Untersuchungen
wurden jedoch in der
beschränkt, nicht
50
vorliegenden Arbeit, welche sich angeführt.
auf rein statische
Fragen
Summary This paper, entitled '
A Contribution to the Structural Analysis of thin AircraftWings"
deals with the structural analysis of flat structures, similar to those, encountered in the wing and tailplane design of modern aircraft. A sandwich type flat structure is considered. This structure is assumed to be built up of two faces, carrying normal and shearing loads and of a core of pure shearing rigidity normal to its center plane. The faces are assumed to be Due to the stringers, the local of stiffened an
by
orthogonal system
stringers.
bending rigidity of the flat structure is variable in different surface directions. An arbitrary Variation of these bending rigidities is taken into account. Thus, the considered structure has essentially the properties of an orthotropic plate of variable thickness and differs from the usual aircraft wing of ribs and design mainly by the assumption of a continuos and rigid system webs, represented by the core. The relation between load and elastic deformation of such a flat structure is developed, starting from the theory of solid plates. Analysis yields a partial differential equation of fourth order with variable coefficients as an extension of the biharmonic equation for the deformation of solid plates of uniform thickness.
linearized
and
By suppressing the rib bending, the said differential equation is of a two-dimena numerical Computing becomes possible. Hence, a theory
sional flat structure can be developed, as an extension of the bending and twisting theory of the simple, one-dimensional beam. In addition to the usual structural terms such as „bending moments"
„torsional moments", „bending rigidity" and „St. Venants torsional of cross sectiocs rigidity", new terms are introduced, characterizing the warping due to non-uniform twist. These terms, „warping moment" and „warping rigi¬ dity" enable to consider warping as a bending problem of higher order and to and
analogeous manner to the problem of simple bending of a beam. Special attention is paid to the torsional problem. By assuming continuous distribution of ribs, this problem generally shows infinite redundancy. It can, however, be reduced to a linear differential equation of second order and solved
solve it in
an
differential
by numerical methods. A numerical method to solve the torsional equation with arbitrary coefficients is mentioned. into By assuming a finite number of ribs, the said equation degenerates a system of equations of finite integrals. In most cases, the deformation of the shear resisting system, represented deformation by the core, can be approximately computed and added to the of the ideal structure with rigid core. The effect of rib bending, initially neglected, is small for the flat structure axis and considerable aspect ratio, but shows to be of great with
straight still importance for structures with sweep-back or delta shape. This effect can be computed with a satisfactory degree of accuracy by the use of a strip method. and Experimental investigation deals with a wing-fuselage combination with wing modeis of rectangular, trapezoidal, swept-back and delta planform under various loadings. Results agree well with the theory of flat structures as developed. 51
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Anhang
Aufteilung des Torsionsmomentes D in Schub- und Wölbtorsion {8, W); Aufteilung der Torsionsgröße K in Schub- und Wölbgröße (XJ, V). Dicke Kurven: Idealer Schichtträger — Dünne Kurven: Träger mit diskreten Rippen
Tafel la.
Symmetrische
Torsion:
t
,
I
D
vW
-
-
v-V^
,
:
1
W
S S '
i
i
-1
"^^
j
^^.
0
~y ^^
j5t wl I
K
Symmetrische Torsion: Berechneter Verlauf von Verdrehwinkel, NormalSchubspannungen über die Halbspannweite, mit eingetragenen Meßwerten
Tafel Ib.
X \
O
4>
O
0X
O
T; xy
und
\ ^ ^fcss*
53
Tafel II
Meßresultate für die
symmetrische Torsion eines rechtkantigen Schichtträgers, auf Versuchsbelastung reduzierten Rechnungsergebnissen
Verdrehwinkel bei D
=
80
cm-kg
a.(25cm)
Messung
Rechnung
0
7,25 10~3
7,241.10"3
0,25
6,32
6,270
0,50
4,44
4,379
0,75
2,24
2,224
0,96
0,28
0,357
Normalspannung
an
(25 cm)
y
der Plattenoberflache bei D
cm
Rechnung
7
74
77,96
0,20
9
40
45,03
9
12
Schubspannung
£.(25 cm)
9,98
auf der Plattenoberflache bei D
y
cm
cm-kg
2
0,04 0,50
k g-cm
Messung
i
|
"*
140
=
Txy
Messung
kg
cm
=
140 cm-kg
2
Rechnun
0,25
0
31
30,37
0,50
0
39
39,05
0,80
0
42
41,68
mit den
Tafel lila. Idealisierter Querruderfall
Aufteilung
(W,S); Aufteilung in Wölb- und Schubgröße (U, V)
des Torsionsmomentes D in Wölb- und Schubtorsion
Torsionsgröße
K
der
,
Lx
l
_l W
-
0.'
D
s
^
y
K
u
'
-1
-0,5
'
0,5
0
*
ü/f
-
Tafel Illb. Idealisierter Querruderfall Berechneter Verlauf
von
Verdrehwinkel, Normal- und Schubspannungen über die Halb¬
spannweite,
mit
eingetragenen Meßwerten
-1
M
.
—i:>-
)—
fk
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1
>
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'
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Gx
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...
O
^
4
-xy
V
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y
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y
\
V
v >.
*
^
-s
'-J,
>»
^
^u •^
=5 ^
er
55
Tafel IV. Querruderfall mit verteiltem Moment. Berechneter Verlauf
Wölbmoment,
Torsions-
und
von
Torsions- und
Wölbgröße. Wölbmoment lOfach, Wölbgröße lOOfach überhöht
Tafel V. Durchlaufende Torsion eines
Aufteilung
Flügels
Torsionsgröße
K in Schub- und
Wölbgröße D
56
mit torsionssteifem
des Torsionsmomentes D in Schub- und Wölbtorsion S und W.
ü und V
Rumpf
Aufteilung der
verjüngten Trägers Berechnete Aufteilung des Torsionsmomentes in Schub- und Wölbtorsion, und Wölbgröße (Wölbgröße lOfach überhöht) Tafel Via. Torsion eines
5
Torsions
D
w
V(-10) "
\
1
0
-1
I
"1
/ .
N.
Tafel VIb. Torsion eines verjüngten Trägers Berechneter Verlauf
spannweite,
von
mit
Verdrehwinkel, Normal- und Schubspannung über die Halb¬
eingetragenen Meßwerten
für den Verdrehwinkelverlauf
I
-—•! .«
^ +
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T
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— -1
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1
57
e y
,
0
n
=
s e x l t e r g i ü e e l b w f ß l e i e h M e f c P n ä
l F
e n e g n e a h r c t s e i g t n s i a e l e
s e n i e
n o i s r o T
e t i r d m e n d e m f u g c a n l u 5 h m , c r 3 r o 1 u f D =
r » e V d n e u t
. b L
I V
e 5 n h , c 7 e = r x e B
l e f a T
e l i e t n a s g n u m r o f r e V
s l e g ü l f l l i e e f k P , s e n i e
n o i s r o T
n i w h e r d r e V
r e d
d n u
d n u
e d g g n n n e u u f k u m n a m e l ü s h r c h k r c r u r D e u . a l l V l e f a T
u D Q
r e d
n o v
f u a l r e V
, 0
n
s e l e t x g r ü i e l e f w b l ß i e e e f h M P c
=
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n e n e g n e a h r c t s e i g t n s a i e l
ä l F
n o i s r o T
e
t e i r h m e c d s i m g r c n t u 5 e m , m r m 3 1 o y f S = r x e . V b d I e n I t u T l e f a T
e l i e t n a s g n u m r o f r e V
s l e g ü l f l l i e e f k P
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-
0 1
w
e 5 n , h 7 c e = r x e B
V
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m c s " 0 1 5 1
) 4 o i W < >
) s o H M , f
n i w h e r d r e V
r e d
d d n n u u e h g g c n n s u i u k r m n t m e e ü m s r h m k c y r S r u e D u . a l l i V l e f a T
r e d
Q n o v
f u a l r e V
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,
0
n e t x s r i l e e e w g b ß ü l e e f h M l c i n ä e e f l P n F
—
e n g e a h r c t s e i g t s n a i e l e
s e n i e
g n u g e i b t f a r k r e u Q r e d
t i m
m
g c n u 5 , m 3 r 1 o f = r x e V d
. b X I
n e u t e 5 n , h 7 c e = r x e B
l e f a T
e l i e t n a s g n u m r o f r e V
s l e g l ü l e f k l n i e i f w P h
s e n i e
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g n u g e i b t f a r k r e u Q d n u
. a X I
l e f a T
o
d n u
g g n n u u k m n m e ü s r h k c r r u e D u Q n
r e d
o v
f u a l r e V
Tafel X.
Symmetrische Torsion eines Trägers Verlauf des Verdrehwinkels mit
Tafel XI.
eingetragenen Meßwerten
Symmetrische Torsion eines Deltaflügels Verlauf des Verdrehwinkels mit
mit Faltwerk-Schubverband
mit
nachgiebigem Schubverband
eingetragenen Meßwerten
61
Literaturverzeichnis
[1] Girkmann K. Flächentragwerke. Wien, Springer 1946. [2] Marcus H. Die Theorie elastischer Gewebe und ihre Anwendung
auf die
Berechnung
biegsamer Platten. Berlin, Springer 1924. [3] Nadai A. Elastische Platten. Berlin, Springer 1925. [4] Chwalla E. Die Formeln Berechnung der voll mittragenden Breite dünner Gurtund Rippenplatten. Stahlbau 9, 73 (1936). [5] Ebner H. Die Beanspruchung dünnwandiger Kostenträger auf Drillung bei behin¬ derter Querschnittsverwölbung. ZFM. 23 (1933). [6] Stüßi F. Vorlesungen über Baustatik an der E.T.H. Zürich. [7] Richardson L. F. The approximate arithmetical Solution by finite differences of physical problems involving differential equations, with an applieation to the zur
Stresses in
[8] Karman
T.
a
v.
masonry dam. Phil. Trans.
und
Aer. Sc. 10. 1946.
62
Wei-Zang Chien.
Roy. Soc. Ser. A, Vol. 210.
Torsion with variable twist. Journal of the
