SEMANA 10 Tema:
SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES
______________________ ___________ ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ _______________ ____ DESIGUALDADES EN DOS VARIABLES
Suponga que un consumidor recibe un ingreso fijo de $60 semanales que utiliza por completo en la compra de dos productos A y B. Si A cuesta $2 por kilogramo y B cuesta $3 por kilogramo y el consumidor compra x kilogramos de A y y kilogramos de B, su costo será 2 x 3 y . Pues que agota sus $60, x y y deben satisfacer 2 x 3 y 60 donde x, y 0 Las soluciones de esta ecuación, llamada ecuación de presupuesto, dan las posibles combinaciones de A y B que pueden comprarse con $60. Observe que el (15; 10) pertenece a la recta. Esto significa que si que si compran 15 kg de A, entonces deben comprarse 10 kg de B para tener un costo de $60. Por otro lado suponga que el consumidor no necesariamente desea gastar todos los $60. En este caso c aso las posibles combinaciones están descritas por la desigualdad 2 x 3 y 60 donde x, y 0 En forma geométrica la solución (o grafica) de una desigualdad lineal en x y y , consiste en todos los puntos ( x; y) en el plano; cuyas coordenadas satisfacen dicha desigualdad. Por ejemplo, una solución de x 3 y 20 es el punto puesto que la sustitución da 10 20 , que es verdadera. Es claro que existe un número infinito de soluciones, esto es común para toda desigualdad. PROGRAMACION LINEAL Algunas veces se debe maximizar o minimizar una función
sujeta a algunas limitaciones (o restricciones). Probablemente un fabricante desee maximizar una función de utilidad sujeta a las restricciones de producción que imponen las limitaciones sobre el uso de las maquinarias y la mano de obra. Ahora se considerara como resolver tales problemas cuando la función que será maximizada o minimizada es lineal. Una función lineal en x y y tiene la forma Z ax by Donde a y b son constantes. constantes. También se requerirá requerirá que las correspondientes restricciones estén representadas por un sistema de desigualdades lineales (que incluyen ; ) o ecuaciones lineales en x y y , además de que ninguna de las variables sea negativa. Una situación que involucra todas estas condiciones se llama problema de programación lineal. En un problema de programación lineal, la función que se debe maximizar o minimizar se llama función objetivo. Aunque por lo regular existen un número infinito de soluciones para el sistema de restricciones, llamadas soluciones factibles o puntos factibles, la meta es encontrar una solución optima (es decir, una que dé el valor máximo o mínimo de la función objetivo)
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Considere el problema siguiente: Una compañía produce dos tipos de abrelatas: manuales y eléctricos. Para su fabricación cada uno requiere del uso de tres maquinas A, B y C. en la tabla que sigue se proporciona la información relacionada con la fabricación de estos artículos. Si la compañía vende todos los abrelatas que puede producir, ¿Cuántos de cada tipo debe fabricar con el fin de maximizar la utilidad mensual? Manual Eléctrico Horas disponibles A 2h 1h 180 B 1h 2h 160 C 1h 1h 100 Utilidad/unidad $4 $6 Para resolver el problema, considere que x y y denotan el numero de abrelatas manuales y eléctricos, respectivamente, fabricados en un mes. Como el número de artículos no es negativo, x 0 Y y 0 Para la maquina A, el tiempo necesario para trabajar sobre x abrelatas manuales es 2 x horas, y el tiempo para trabajar sobre y eléctricos es 1 y horas, la suma de estos tiempos no puede ser mayor que 180 , de modo que 2 x y 180 De manera similar, las restricciones para las maquinas B y C dan x 2 y 160 Y x y 100 La utilidad es una función de x y y , y está dada por la función de utilidad P 4 x 6 y . En resumen, se desea maximizar la función objetivo P 4 x 6 y ; sujeta a las restricciones: 2 x y 180
x 2 y 160 x y 100 x 0 y 0
Por lo tanto se tiene un problema de programación lineal. La condiciones ultimas se llaman condiciones de no negatividad. Cada punto de esta región representa un solución factible, y dicha región se llama región factible. Aunque existe un número infinito se soluciones factibles debe encontrase una que maximice la función de utilidad. Como la función objetivo es equivalente a 2 P y x 3 6 Define una familia de rectas paralelas, cada una corresponde a un valor de P , cada una tiene una pendiente de 2 e intersección y 0; P . Por ejemplo, si P 600 se 3 6 obtiene la recta y 2 x 100 3 Esta recta llamada, línea de isoutilidad, proporciona todas las combinaciones posibles de x y y con las que se obtiene la misma utilidad, $600. Ahora se buscara un elemento de la familia que tenga un punto factible y cuyo valor de P sea máximo. Esta
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será la recta cuya intersección y sea la más lejana del origen (lo que da un valor máximo de P ), y que al mismo tiempo tenga al menos un punto en común con la región factible. No es difícil observar que tal recta contendrá al vértice A. cualquier recta de isoutilidad con una variable mayor no contendrá puntos de la región factible. Se observa que A pertenece a las rectas x y 100 y x 2 y 160 . Esto da x 40 y y 60 . Al sustituir estos valores en P , se encuentra que la utilidad máxima sujeta a las restricciones es de $520, que se obtiene al producir 40 artículos manuales y 60 eléctricos cada mes. Si una región factible puede estar contenida dentro de un círculo, se denomina entonces región factible acotada. De otra manera es no acotada. Puede demostrarse que: Una función lineal definida sobre una región factible acotada no vacía, tiene un valor máximo (mínimo) que puede encontrarse en un vértice. Este enunciado proporciona una forma de encontrar una solución óptima sin dibujar las rectas de isoutilidad. Basta con evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible, y después seleccionar un vértice en el que la función sea optima. Por ejemplo los vértices anteriores eran A=(40;60), B=(80;20), C=(90;0) , D=(0;0) y E=(0;80). Ahora se evalúa la función objetivo P 4 x 6 y en cada uno de los puntos: P (A)=4(40)+6(60)=520 P (B)=4(80)+6(20)=440 P (C)=4(90)+6(0)=360 P (D)=4(0)+6(0)=0 P (E)=4(0)+6(80)=480 Así, P tiene una valor máximo de $520 en A, donde x 40 y y 60 . Nota: Siempre que la región factible de un problema de programación lineal esta vacía,
no existe una solución optima. Ejercicios
1. Maximiza
Z P 5 x 7 y
Sujeto a y 7
2 x 3 y 45
3 x y 3
x 3 y 2
x y 5
x, y 0
x y 90
x, y 0 4. Minimizar Z x y Sujeto a x y 0
4 x 3 y 250
4 x 3 y 12
x 2 y 225
9 x 11 y 99
Sujeto a
2. Maximizar P 2 x 5 y Sujeto a
x, y 0 3. Maximizar
4x 6 y
x 8 x, y 0 3
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5. Maximizar Z 4 x 10 y Sujeto a
C 3x 2 y Sujeto a 2 x y 5
6. Minimizar Z Sujeto a
x 4 y 4
3 x y 4
2 x y 2
x 2 y 3
x, y 0
x, y 0
20 x 30 y
2 x y 10
10. Minimizar C 2x 2 y Sujeto a x 2 y 80
3 x 4 y 24
3 x 2 y 160
8 x 7 y 56
5 x 2 y 200
x, y 0 7. Minimizar Z
7x 3y
Sujeto a 3 x y 2
x y 9
x 2 y 0
x y 1
x, y 0
x, y 0 8. Maximizar Z Sujeto a
x, y 0 11. Maximizar Z 10x 2 y Sujeto a x 2 y 4
12. Minimizar Z
0.4 x 0.2 y
y x
Sujeto a
2 x 5 y 3
x 3 x 3 y 6
2 x y 5
x 3 y 6
3 x y 6
x, y 0
x, y 0 9. Minimizar 13. Producción para una utilidad máxima Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos artículos, camiones y perinolas, con base a la información concerniente a sus tiempos de ensamblado dados en la tabla que sigue: Maquina A Maquina B Acabado Camión 2h 3h 5h Perinola 1h 1h 1h Las horas que los empleados tienen disponibles por semana son: para operación de la maquina A, 80 horas; para la B, 50 horas; para acabado 70 horas. Si las utilidades en cada camión y cada perinola son de $7 y $2, respectivamente, ¿Cuántos juguetes de cada uno deben producirse por semana con el fin de maximizar la utilidad? ¿Cuál es esta utilidad máxima? 14. Producción para utilidad máxima Un fabricante produce dos tipos de reproductores de DVD; Visa y Xtreme. Para su producción requieren del uso de dos
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maquinas, A y B. El número de horas necesarias Para ambas está indicado en la tabla siguiente: Maquina A Maquina B Vista 1h 2h Xtreme 3h 2h Si cada máquina puede utilizarse cada 24 horas por día y las utilidades en los modelos son Visa y Xtreme son $50 y $80, respectivamente, ¿Cuántos reproductores de cada tipo deben se reproducirse por día para obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima? 15. Costo de Construcción Una compañía química diseña una planta para producir dos tipos de polímeros P 1 y P 2 . La planta debe tener una capacidad de producción de al menos 100 unidades de P 1 y 420 unidades de P 2 cada día. Existen dos posibles diseños para las principales cámaras de reacción que se incluirán en la planta. Cada cámara de tipo A $600 000, y es capaz de producir 10 unidades de P 1 y 20 unidades de P 2 por día; el tipo B es un diseño más económico, cuesta $300 000 y es capaz de producir 4 unidades de P 1 y 30 unidades de P 2 por día. Debido a los costos de operación, es necesario tener al menos 4 cámaras de cada tipo en la planta- ¿Cuántas de cada tipo deben incluirse para maximizar el costo de construcción y aun así satisfacer el programa de producción requerido? (Suponga que existe un costo mínimo)
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