PROMEDIOS
Se denomina promedio o cantidad media a una cantidad representativa de otras varias cantidades. Este promedio es mayor que la menor cantidad y es menor que la cantidad mayor. Sean los números: a1 < a2 < a3 < ......... < an Entonces: a1 < promedio < a n
CLASES DE PROMEDIOS 1. PROMEDIO ARITMÉTICO (P.A.) Si tenemos "n" cantidades cuyos valores son a 1, a2, a3, ............ an el promedio aritmético de ellos será.
............ (1) Nota: Si tenemos sólo dos cantidades A y B al promedio aritmético, se le denomina también media aritmética (M.A).
Ejemplo: Un alumno ha obtenido las siguientes notas en un curso: 12, 14, 10, 13, 11. ¿Cuál es su promedio de notas?
P. A.
12 14 10 13 11 5
12
1.1 PROMEDIO PONDERADO Se utiliza cuando los datos son presentados de manera grupal, conociéndose de cada grupo el número de elementos(n) y el promedio aritmético (P).
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............ (2) Ejemplo: En un salón de clases de 30 alumnos la nota promedio de aritmética es 13, en otro salón de 20 alumnos la nota promedio del mismo curso es 15. ¿Cuál será la nota promedio de los 50 alumnos?. Solución: Salón 1 Salón 2 n = 30 n = 20 P = 13 P = 15 Luego: P
P
n1p 1 n 2 p 2 n1 n 2
(30)(13) 20(15) 30 20
690 50
P = 13,8 Entonces el promedio ponderado o total es de 13,8. *
Observación: El promedio ponderado de estas dos clases no se calcula sumando el promedio 13 de una y 15 de la otra y entre dos.
P
13 15 2
14
Cuyo resultado sería erróneo, porque también influye el número de alumnos por clase.
2. PROMEDIO GEOMÉTRICO (P.G.) Si tenemos "n" cantidades cuyos valores son: a1, a2, a3, .......an El promedio geométrico de ellos será igual a: P. G. n PRODUCTO DE CANTIDADES P. G. n a1. a 2 . a3 ........an
............ (3)
Nota: Si tenemos sólo dos cantidades A y B, al promedio geométrico se le denomina también media geométrica (M.G.).
M. G.( A,B) Ejemplo: Hallar el promedio geométrico de 4; 6 y 9
P. G. 3 4.6.9 3 216 P.G. = 6
A.B
3. PROMEDIO ARMÓNICO (P.H.) Si tenemos "n" cantidades cuyos valores son a 1, a2, a3, ......., an, el promedio armónico de ellos será igual a: N DE CANTIDADES P.H. SUMA DE INVERSAS P. H.
n 1 a1
1 a2
.......
1 an
............ (4)
Nota: Para dos cantidades A y B se le denominará media armónica (M.H.) Ejemplo: Hallar el promedio armónico de 4; 6; 9. 3 1 1 1 a1 a2 a3 3 108 P.H. 1 1 1 19 4 6 9 P.H.
P.H. 5
13 19
Propiedades: 1.
Si tenemos cantidades diferentes se cumplirá. P.A. > P.G. > P.H.
2.
Para dos números A y B se cumple: M. A.( A,B)
AB
(MAYOR PROMEDIO)
2
M. G.( A,B) M.H.( A, B)
2AB A B
A .B
(MENOR PROMEDIO)
(M.G.)2 (M. A.).(M.H.)
3.
Si tenemos cantidades iguales se cumple que: P.A., P.G. y P.H. son iguales Por ejemplo: P. A.(k;k;k)
k k k 3
P. G.(k;k;k) 3 k.k.k P.H.(k, k,k)
3
3k 3
k
k3 k
3 3 k 1 1 1 3 k k k k
Luego: P.A. = P.G. = P.H. = k http://carpetapedagogica.com/
ACTIVIDADES
1. En un aula del primer ciclo de la universidad "SAN MARTIN" hay 30 alumnos varones con una edad promedio de 20 años y 20 alumnas que en promedio son 10% más jóvenes. Hallar la edad promedio de toda el aula . a) 19, 20 c) 19, 60 e) 18, 60
a) 36 años d) 42
b)19, 40 d)18, 80
2. El promedio de las edades de 5 personas es 23 años. Si consideramos una sexta persona; el promedio disminuye en medio año, ¿cuál es la edad de la sexta persona? a) 20 años d) 23
b)21 e)18
3. En una partida de poker el promedio de edad de los 4 jugadores participantes es 28 años. Si ninguno es menor de 24 años, ¿cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos?
c) 22
b)38 e)44
c) 40
4. Si la media aritmética de dos números es 36 y su media geométrica es 12. Hallar su media armónica. a) 4 d) 9
b)6 e)10
c) 8
5. En un equipo de fulbito de masters, la edad promedio es de 42 años. Si ninguno de ellos tiene menos de 38 años, ¿cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos, siendo el número de jugadores seis? a) 60 años d) 65
b)62 e)70
7. Determinar el valor del promedio armónico de 3 cantidades sabiendo que la media geométrica de la primera y la segunda es 4, de la segunda y la tercera es 5 y de la primera y la tercera es 9.
c) 63
4 a) 5
d)
6. El promedio geométrico de 20 números es 36 y de otros 30 números es 12. Hallar el promedio geométrico de todos los números. 5 a) 10 9
5
c) 12 4 5
e) 12 9
3 b) 10 9
3
d) 12 9
2 3
4
b)
2 3
5 e)
26 61
5
c)
13 61
13 31
8. Un ciclista recorre una cierta distancia durante 6 horas, si las dos primeras horas lleva una velocidad de 40km/h; las siguientes dos horas 30km/h y el último tramo a razón de 26km/h. ¿Cuál es su velocidad promedio para todo su recorrido? a) 28km/h d) 32
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b)25 e)30
c) 35
TAREA DOMICILIARIA
1. La edad promedio de 4 hombres es 25 años y la de 6 mujeres es 20 años. Hallar el promedio de edad de todas las personas. a) 21 d) 24
b)22 e)25
c) 23
2. La media aritmética de dos números es 22. Si su razón aritmética es 12, hallar la media geométrica de los números. a) 8 d) 47
b)83 e)23
c) 87
3. El promedio de las cuatro primeras prácticas de matemáticas de un alumno es 12,75. Si en la quinta obtuvo 15, ¿cuál es su nuevo promedio? a) 13,87 d) 13,20
b)13,65 e)14,20
c) 13,50
4. La media aritmética de dos números, que son entre si como 2 es a 3, es 65. Hallar su media armónica. a) 46 d) 48
b)52 e)54
b)36 e)N.A.
e VPROMEDIO TOTAL t TOTAL a) 35km/h d) 36
b)35,2 e)38
c) 35,5
7. En un concurso de tiro, el jugador A realizó 40 tiros con un puntaje promedio de 540 puntos, el jugador B realizó 50 tiros con un puntaje promedio de 580 puntos y por último el jugador C realizó 30 tiros con un promedio de 570 puntos. ¿Cuál es el puntaje promedio de los 3 jugadores? a) 572,18 d) 570,2
b)568,12 e)564,16
c) 563,3
c) 72 8. La media geométrica de dos números es 4 y
5. El promedio aritmético de las edades de 12 personas es 29 años, si se retiran 4, el promedio de las que quedan es 25 años. Hallar el promedio de las 4 personas que se retiraron. a) 37 años d) 30
6. Un ciclista va de Lima a Chosica con una velocidad constante de 40km/h y regresa con una velocidad constante de 32km/h. ¿Cuál es su velocidad promedio para todo su recorrido?
c) 32
la media armónica de los mismos es 1 ¿Cuáles son los números? a) 14 y 2 d) 10 y 6
b)16 y 1 e)2 y 10
15
17 ,
c) 2 y 8
