Probabilidad y Estadística - UC0677
Producto Académico N° 2
Producto Académico N° 2 Resuelva los siguientes problemas, mostrando todos los procedimientos. Instrucciones:
1. Emplee el editor de ecuaciones de Word 2. Envíe su resolución a través del aula virtual.
1) La tabla muestra las notas obtenidas por 20 estudiantes: Notas
f i
[00, 04)
1
[04, 08)
5
[08, 12)
7
[12, 16)
5
[16, 20)
2
Además, se selecciona al azar las las siguientes siguientes notas de de 8 estudiantes: estudiantes: 12, 6, 7, 13, 15, 10, 18, 5
1|Página
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Producto Académico N° 2
a) Calcula e interpreta la varianza y la desviación estándar tanto del grupo de 20 estudiantes, como de la muestra de 8 estudiantes 8 estudiantes:
20 estudiantes:
Varianza:
varianza:
2+6+7++5+0+8+5 8 86 = =10.75 5 =
+++++++
+5+7+5+2 5 20 = =4 5
=
++++
b) Calcula e interpreta el coeficiente de variación de las notas de los 20 estudiantes y de la muestra de 8 estudiantes Formula:
C.V=
Entonces:
El grupo de 8 estudiantes : C.V=
. .-*100=28.65
El grupo de 20 estudiantes: C.V=
∗ 50 2|Página
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Producto Académico N° 2
2) Se ha aplicado un test a los empleados de una fábrica, obteniéndose la siguiente tabla: intervalos
f i
[38, 44)
10
[44, 50)
12
[50, 56)
15
[56, 62)
25
[62, 68)
18
[68, 74)
12
[74, 80)
8
a) Calcular e interpretar el cuartil 2 b) Calcular e interpretar el percentil 75 3) Los niños, a diferencia de los adultos, tienden a recordar las películas, cuentos e historias como una sucesión de acciones más que el argumento en forma global y de conjunto. En el relato de una película, por ejemplo, utilizan con frecuencia las palabras "y entonces...". Una psicóloga con suprema paciencia pidió a 50 niños que le contaran una determinada película que ellos habían visto. Consideró la variable: cantidad de "y entonces..." utilizados en el relato y registró los siguientes datos: 8
15
22
19
15
17
18
20
17
12
16
16
17
21
23
18
20
21
20
20
15
18
17
19
20
23
22
10
17
19
19
21
20
18
18
24
11
19
31
16
17
18
19
20
18
18
40
18
19
16
Como parte del mismo estudio la experimentadora obtuvo de 50 adultos el mismo tipo de datos. 3|Página
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Producto Académico N° 2
Estos fueron: 10
12
5
8
13
10
12
8
7
9
11
10
9
9
11
15
12
17
14
10
9
8
15
16
10
14
7
16
9
1
4
11
12
7
9
10
3
11
14
8
12
5
10
9
7
11
14
10
15
9
20 17
12
Para ambas variables: a) Construya la tabla de frecuencias. NIÑOS 8
15
22
19
15
17
18
16
16 17 21 23 18 20 21 20 20
15
18 17 19 20 23 22 10 17 19
19
21 20 18 18 24 11 19 31 16
17
18 19 20 18 18 40 18 19 16
Intervalos: 1 + 3.33 Log in = 1 + 3.33 Log 50 = 6.65 ~ 7 Amplitud: (Max – Min)/# intervalos = (40 – 8)/ 7 = 4.57 ~ 5
4|Página
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veces repetidas palabra (y entonces)
Producto Académico N° 2
ni niños
Ni niños
hi %
Hi %
Promedio veces repetidas
8
13
4
4
0,08
0,08
10,50
14
19
29
33
0,58
0,66
16,50
20
25
15
48
0,30
0,96
22,50
26
31
1
49
0,02
0,98
28,50
32
37
0
49
0,00
0,98
34,50
38
43
1
50
0,02
1,00
40,50
Sumatoria
50
1,00
Tabla de frecuencia (Niños)
ADULTOS
10 12 5
8
13 10 12 8
11 10 9
9
11 15 12 17 14 10
9
8
4
11 12 7
12 5
15 16 10 14 7 10 9
7
16 9
9 1
9
10 3
11 14 8
7
11 14 10 15 9
Intervalos: 1 + 3.33 Log in = 1 + 3.33 Log 50 = 6.65 ~ 7 Amplitud: (Max – Min)/# intervalos = (17 – 1) / 7 = 2.28 ~ 2
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Producto Académico N° 2
Tabla de frecuencia (Adultos)
veces repetidas palabra (y entonces)
ni adultos
Ni adultos
hi %
Hi %
Promedio veces repetidas
1
3
2
2
0,04
0,04
2,00
4
6
3
5
0,06
0,10
5,00
7
9
16
21
0,32
0,42
8,00
10
12
18
39
0,36
0,78
11,00
13
15
8
47
0,16
0,94
14,00
16
18
3
50
0,06
1,00
17,00
Sumatoria
50
1,00
b) Calcule la media, la mediana y la moda. “Niños”
Media
=
(8+15+22+19+15+17+18+20+17+12+16+16+17+21+23+18+20+21+20+20+15+18+17+19+20+23+2 2+10+17+19+19+21+20+18+18+24+11+19+31+16+17+18+19+20+18+18+40+18+19+16) = 935/50 = 18.7 ~ 19 Mediana
=
8,10,11,12,15,15,15,16,16,16,16,17,17,17,17,17,17,18,18,18,18,18,18,18,18,18,19,19,19,19,19,19,1 9,20,20,20,20,20,20,20,21,21,21,22,22,23,23,24,31,40
La mediana de los datos evaluados es de 18.
Moda = 18
6|Página
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Producto Académico N° 2
La moda de los datos es de 18 ya que se repiten 9 veces, es unimodal.
“Adultos”
Media
=
(10+12+5+8+13+10+12+8+7+9+11+10+9+9+11+15+12+17+14+10+9+8+15+16+10+14+7+16+9+1+ 4+11+12+7+9+10+3+11+14+8+12+5+10+9+7+11+14+10+15+9) = 508/50 = 10.16 ~ 10
1,3,4,5,5,7,7,7,7,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,10,10,10,10,11,11,11,11,11,12, 12,12,12,12,13,14,14,14,14,15,15,15,16,16,17 Mediana
=
La mediana de los datos evaluados es de 10. Moda = 10 y 9
La moda de los datos es de 10 y 9 ya que ambos se repiten 8 veces, es bimodal.
c) Grafique ambas distribuciones de manera que puedan ser comparadas. veces repetidas palabra (y entonces)
ni adultos
ni niños
1-6
5
0
7 - 12
34
4
13 - 18
11
22
19 - 24
0
22
25 - 30
0
0
31 - 36 37 - 42
0 0
1 1
Sumatoria
50
50
7|Página
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Producto Académico N° 2
cantidad de "y entonces..." 34 22
5
0
1-6
4 7 - 12
22
11 13 - 18
0
0
19 - 24
25 - 30
ni adultos
0
0
1
31 - 36
0
1
37 - 42
ni niños
d) Los puntos anteriores, ¿qué indican respecto de la conducta observada en niños y adultos? Nos damos cuenta que los niños son los que tienden a repetir más la palabra “ y entonces”
al momento de contar una película a diferencia de los adultos ya que estos su número más alto fue de 17, y los niños de 40. e) Calcule la varianza y el desvío estándar. 2
50
=00-(18.7)2=349.19 =
√ 349.19=18.69
8|Página
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Producto Académico N° 2
4) Un fabricante de neumáticos ha recabado, de los diferentes concesionarios, información sobre la cantidad de miles de kilómetros recorridos por un modelo concreto de esos neumáticos hasta que se ha producido un pinchazo o un reventón del neumático. Los concesionarios la han proporcionado los siguientes datos: 52,452
50,432
37,748
51,831
73,808
61,065
35,807
48,698
65,854
75,85
36,949
75,548
69,01
61,477
44,411
41,886
34,754
59,888
59,449
67,632
89,116
63,692
70,003
65,996
55,989
49,677
46,502
67,467
84,588
40,709
50,238
61,39
85,72
45,313
46,724
55,643
55,912
46,681
66,519
59,168
66,313
35,884
47,012
71,36
78,635
41,715
72,635
41,463
48,996
79,426
67,662
53,324
49,011
29,48
41,128
30,252
48,24
57,884
55,257
84,656
48,662
10,504
60,951
74,239
60,727
56,155
86,07
90,565
53,751
76,58
a) Construir una taba de frecuencias para esos datos tomando como número de intervalos el que proporciona la fórmula de Sturgess. Interpretas la tabla. k=1+ [3.3*log N]
En este caso N=100, luego k=7. Ahora debemos propones el límite inferior del Primer intervalo y el límite superior del último intervalo. Al ser el valor mínimo 4.3068 se propone 4 como límite inferior del primer intervalo, y al ser 7 Intervalos se propone como anchura 13 para cada uno de ellos, para que sea un Valor entero, con lo cual el límite superior del último intervalo es 95. INTERVALO Ii FRECUENCIA ABSOLUTA ni FRECUENCIA
4
17
30
2
2
19
.02
.02
.19 9|Página
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RELATIVA
Producto Académico N° 2
fi
INTERVALO Ii FRECUENCIA ABSOLUTA ni FRECUENCIA RELATIVA fi
43
56
69
82
27
29
14
7
.27
.29
.14
.07
b) Construir las tablas de frecuencias acumuladas ascendente y descendente. LA TABLA ASCENDENTE SERIA: INTERVALOS Ii
(4,17]
(17,30]
(30,43]
(43,56]
(56,69]
(69,82]
(82,95]
2
4
23
50
79
93
100
=
LA TABLA DESCENDENTE SERIA:
INTERVALOS Ii
(4,17]
(17,30]
(30,43]
(43,56]
(56,69]
(69,82]
(82,95]
100
98
96
77
50
21
7
=
c) Calcular las principales medidas de tendencia central e interpretarlas.
X=55870 km La mediana será: Me=56000 km Significa que la mitad de los neumáticos han recorrido a lo sumo 56000 Km Antes de un pinchazo o reventón. 10 | P á g i n a
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La moda será:
Producto Académico N° 2
2
Mo=56+13*2+5=57529 Significa que la cantidad más frecuente, de kilómetros recorrido s antes de un Pinchazo, ha sido 57529. d) Obtener las medidas de dispersión más importantes e interpretarlas.
s = 16899 Km g
=
s
*100% = 30.24
X
Al tomar un valor inferior al 100% resulta que la mediana es representativa, y al ser dicho valor del 30% nos informa que el valor de la desviación típica es el 30% del valor de la media. e) Analizar la asimetría y el apuntamiento de la distribución de frecuencias resultante.
₁
V = 55.87-57.529 =-0.098 16.899 V2=55.87-56.00 =-0.023 16.899 Para calcular el coeficiente g1 calculamos: =234594.7408 m3= 7=
∑ ( )
g2= -3=-0.123 11 | P á g i n a
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Esto significa que la distribución es de tupo platicúrtica, algo menos apuntada que la distribución normal de media 55870 km y desviación típica 16899 km. f) Si el fabricante quiere proponer un kilometraje para realizar el cambio de neumáticos, ¿qué valor propondría para que solo 3 de cada 10 coches hayan tenido un pinchazo o reventón antes de ese kilometraje?
Propondría un kilometraje tal que el 70% de los neumáticos no hayan pinchado o reventado antes de este kilometraje. Por tanto, buscamos el centil del 30%, que vendrá dado por: 7 C0.3=43+13*27=46.37 Luego el fabricante propondría cambiar los neumáticos a los 46370 km. 5) En una ciudad, analizamos el nivel de vida a través de la renta anual familiar. Se recoge información sobre 50 familias. Los datos en miles de soles, son los siguientes: 3,2
1,3
2,3
3,2
2,6
3,6
1,7
1,3
0,9
2,3
1,1
0,8
3,4
3,2
1,6
1,3
2,9
1,8
1,1
1,6
3,3
0,4
2,8
2,6
0,9
2,7
1,2
0,8
2,1
2,2
0,2
3,8
1,7
1,1
2
2,3
2,2
2,3
1,7
1,7
2
2,6
1,2
2,4
1,8
2,3
2
1,4
1,2
2,1
Obtener medidas que indiquen la localización, la dispersión, la asimetría y la curtosis. Repetir el problema agrupando los datos en intervalos de amplitud 0’5 y posteriormente en intervalos de amplitud 1. Comprobar si existen grandes diferencias.
12 | P á g i n a
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Producto Académico N° 2
Nº de datos: 50 Mínimo: 0’2 millones Máximo: 3’8 millones Media: 1’964 Moda: 2’3 Varianza: 0’7095 Desv. Típica: 0’8423 Primer Cuartel: 1’3 Mediana: 2 Tercer Cuartel: 2,6 Asimetría: 0’1697 Curtosis: -0’5984 Coef. de Pearson: 0’4289 Agrupemos los datos en intervalos de amplitud 0’5; como la renta toma valores positivos y no superan el valor 4, podemos considerar rango 0-4. Li-1-L
xi
ni
Ni
0’0-0’5
0’25 0’75 1’25 1’75 2’25 2’75 3’25 3’75
2 4 10 8 13 6 5 2
2 6 16 24 37 43 48 50
0’5-1’0 1’0-1’5 1’5-2’0 2’0-2’5 2’5-3’0 3’0-3’5 3’5-4’0
13 | P á g i n a
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Producto Académico N° 2
Como esta información se puede calcular las siguientes medidas: Media: 1’99 Varianza: 0’7324 Desv. Típica: 0’8558 Moda: 2’2143 Mediana: 2’0385 Asimetría: 0’046 Curtosis: -0’5888 Índice de Pearson: 0’4301 A pesar de que el intervalo con marca 2’25 es el de mayor frecuencia (por encima de la gráfica de la distribución normal), los intervalos adyacentes reflejan lo contrario. Debido a esta situación, el coeficiente de curtosis es negativo.Si consideramos intervalos con mayor amplitud: Li-1-L
xi
ni
Ni
0-1 1-2 2-3 3-4
0’5 1’5 2’5 3’5
6 18 19 7
6 24 43 50
14 | P á g i n a
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Producto Académico N° 2
Media: 2’04 Varianza: 0’7684 Desviación Típica: 0’8766 Moda: 2’28 Mediana: 2’0526 Asimetría: -0’0331 Curtosis: - 0’6989 Coef. Pearson: 0’4297 De acuerdo con estos resultados, la renta media aumenta en 41000 ptas. delos datos originales, siendo el resto de valores muy similares. Observar que ahora el coeficiente de asimetría es negativo, pero en todos los casos muy próximos a cero, con lo cual la distribución se puede considerar prácticamente simétrica. 6) Una encuesta aplicada a 24 familias que respondieron a la pregunta del número de celulares que poseen cada familia. El resultado se muestra a continuación. (Sugerencia: trabaja sin agrupar datos)
3
5
1
4
3
1
3
2
3
3
2
1
3
2
1
3
3
2
2
4
1
2
5
4
a) Encuentra la media, mediana y moda (3p) MEDIA: 15 | P á g i n a
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6
3+5+1+4+3+1+3+2+3+3+2+1+3+2+1+3+3+2+2+4+1+2+5+4= 2=2.63 Mediana:
1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 La mediana es =3+3=6/2=3 Moda:
1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 La moda es =3 b) Elabora un gráfico para representar la asimetría o simetría (1p) c) Comprueba la asimetría mediante la fórmula de Pearson. (1p) 7) La distribución de edades del Censo Electoral para las provincias de Tarma y Oroya, es la siguiente: Edades
TARMA
Oroya
[16-18>
254
135
[18-30>
275
199
[30-50> [50-70>
293 214
221 187
[70-90]
172
148
Compara el coeficiente de variabilidad de ambas provincias y determine cuál de las dos provincias presenta mayor dispersión. (5 puntos)
16 | P á g i n a
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8) Una empresa envasadora de aceite de carros tiene los resultados de una muestra sobre la prueba de pureza de los compuestos aditivos, los resultados se muestran en la tabla 3-18:
Calcule e interprete la curtosis. Hallando:
Media:
.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.+.
=
=0.165 M2
=(0.0−0.7)2+(0.−0.7)+(0.2−0.7)2+⋯+(0.5−0.7)2+(0.8−0.7)2+(0.2−0.7)2+(0.25−0.7)2 5 6+.+2.5+++.6+6. M2=0.02+6.25+0++2.5+0.0++0+. 5 M2=2.92
17 | P á g i n a
