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 Bufé libre



La geometría es única y eterna, un reverbero del espíritu de Dios. El hecho de que la humanidad participe de ella se debe a que el ser humano es un reflejo de Dios.



johannes Kepler, Dissertatio cum Nuncio Sidereo, 161 O Como en todas mis obras anteriores, animo al público lector a seleccionar y escoger entre el bufé de temas tratados. De tanto en tanto repito alguna definición que otra, lo que facilita hojear los capítulos que más interesen a cada cual. Muchos de los capítulos son breves, con la finalidad de dejar tan solo un buen sabor de boca sobre determinado asunto. Quien tenga interés por ahondar en temas específicos encontrará información adicional en las obras de consulta. Para estimular la participación de quien me lea, el libro contiene varios acertijos (señalados mediante el símbolo {insertar símbolo}) que instan a reflexionar sobre ellos y cuyas soluciones se dan al final del libro. Divulgue el espíritu de este volumen planteándoselos a sus amistades y colegas la próxima vez que se deje caer en el sofá para escuchar a la Mobius Band, un trío contemporáneo del oeste de Massachusetts que se sitúa en los límites del rock y de la música electrónica y experimental. Con independencia de lo que usted opine sobre la viabilidad de las insólitas figuras y los extraños modelos cosmológicos que aparecen en este volumen, mis analogías topológicas le plantearán interrogantes acerca del modo en que contemplamos el mundo y, por tanto, determinarán su manera de pensar sobre el universo. Por ejemplo, usted será más consciente de lo que significa visualizar mentalmente un objeto de una sola cara o de lo que significa seguir en el espacio trayectorias inversoras de la orientación. Cuando termine este libro estará en condiciones de:



21j



1•:111 c 11clc I' ro11< e ptos arra 11os <'01110 los a 11 illos parad rómii"c 1,'I y los 111oddos ecpiróticos de la c reación del universo l111pr«'sio11ar a sus amistades con términos tales como ."le l11dpforla, homcomorfismos, eversión de la esfera, 1q w1 f iri('s no orientables, superficies de Boy, cross-caps, 111w1 fi cies romanas, planos proyectivos reales, la función ele · Mf> l>i11s µ,(n), números libres de cuadrados, conjetura de · M< ·rt c 11s, la ubicuidad de m2/6, hexaflexágonos, calzonc dios d (' Mo bius, tetraedros de Mobius, solenoides, esferas e1111111das d e Alexander, rosquillas prismáticas, el cálculo h.11 id· 111rico y las botellas de Klein de Bonan-:Jeener l•\e 1il>ir mejores narraciones de ciencia ficción relacionael.1s con la banda de Mobius l•'. 1tlC'11de r la noción más bien limitada que tiene la mayoría ele · la ge nte sobre el espacio y la forma. l'c ·1o qui zá usted sienta deseos incluso de salir a ver la obra el e· 1e ·:1t rn /,a cantante calva de Eugene Ionesco con su bucle al n Hln del d e Mobius; de leer mi novela The Lobotomy Club, que e u .·111 n1 e n una disposición ficticia de las células cerebrales clc•110111i11 ada banda de Mobius cerebral; o de comprar una de • l:1s bote llas de Klein más grandes fabricadas en vidrio que c' e1krtan en las páginas en Internet de Acme Klein Bottle.



,l.11



~c. •ometría y



la imaginación



Si estuviera encerrado en una cáscara de nuez, me sentiría rey del espacio infinito.



William Shakespeare, Hamlet, 1603 recibo correos electrónicos de docentes y legos 1e·Ll('ionados con las matemáticas compruebo que los objetos 111ílt c rn á ti cos que más suelen intrigar son aquellas figuras



C 11 . 11 ido



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 geométricas que poseen alguna propiedad sorprenden t. También fascina la idea de que el universo pueda comprender un espacio en forma de rosquilla o albergar dimensiones mayores. Todo el alumnado parece obnubilado con la milagrosa botella tetradimensional de Klein, o al considerar cómo sería vivir en una cinta de Móbius. Por desgracia, la mayoría de los estudiantes de enseñanza secundaria jamás se encuentra con la topología. Espero que este volumen sobre August Ferdinand Móbius y su banda sirva al público lector como breve rompecabezas para iniciarse en conceptos más avanzados, sobre todo a quienes jamás pasarán de la trigonometría en la escuela o incluso en el desempeño de trabajos técnicos. Curiosamente, aunque la topología surgió a partir de misterios relacionados con objetos simples como la banda de Móbius, la topología moderna se desenvuelve en el caos de la teoría matemática. De hecho, algunas amistades mías dedicadas a la topología recelan de los teoremas que deben visualizarse para entenderlos. Martin Gardner señala lo siguiente en su obra Hexajlexagons and Other Mathematical Diversions. La gente que se interesa de manera ocasional por las matemáticas tal vez piense que los expertos en topología son unos ociosos de las matemáticas que se pasan el tiempo confeccionando cintas de Móbius y otros modelos topológicos divertidos. Si abrieran cualquier libro de texto de topología reciente, se sorprenderían. Encontrarían páginas y páginas sucesivas repletas de símbolos, rara vez aligeradas por una figura o diagrama. Con este libro espero despertar el gusto del público por la topología, por las dimensiones más altas y por insólitas figuras retorcidas mediante el empleo de muy pocas fórmulas. La topología es una fuente infinita de formas extrañas y maravillosas, y a lo largo de muchos años he estado enamorado de la topología recreativa por su valor educativo. La contem26



pl.11 i.'111 dd prnhk111a 111:ís si111pk ya abre la imagina<.:i


1.ns citas



Los matemáticos son máquinas de convertir café en teoremas.



Paul Erdos, citado por Paul Hoffman en El hombre que sólo amaba los números



Soy un lector voraz y tengo un libro de recortes con las citas 1 11riosas que cada día me caen ante la vista. Muchas proced<"n de periódicos, revistas y libros que leo. Al final de cada capítulo de este libro aparecen retazos de las fuentes que tratan de un modo interesante algún aspecto simbólico de



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 la banda de Móbius. He señalado estas citas oportunas, y en ocasiones extrañas, mediante el símbolo {insertar símbolo). Agradeceré sus comentarios, y espero con ilusión sus aportaciones personales sobre citas relacionadas con Móbius. ¡Que lo disfrute!



Los MAGos DE M6B1us La cinta de Mobius en la religión



Pero Dios no tiene piel ni forma, porque no hay nada fuera de él. (Con un niño suficientemente despierto, ilustraré esto con la cinta de Mobius [. .. ].)



Alan Watts, El libro del tabú (traducción de R. Hanglin)



Mdbius es un nombre de andar por casa (al menos por las m .1·r¡,s matemáticas) gracias a un juguete topológico. Pero August f\ /;j/Ji'll,S influyó en las matemáticas a muchos niveles ... [Su legado t1 /f/, modernidad] constituye buena parte de la principal corriente matemática actual.



Como la cinta de Miibius, el interior y el exterior de Dios son la misma cosa.



Jan



Stewart~



«Mobius '.s Modern Legacy» en Móbius and His Band



Frank Fiare, To Christopher: From a Father to His Son 1 :11 :111do



Solo un judío consigue entender que la voluntad de Dios y nuestro libre albedrío discurren mano a mano. Otros se volverían locos con esto. Son como una banda de Mobius: aúnan lo de dentro y lo de fuera, lo de arriba y lo de abajo.



Robert Eisenberg, Boychiks in the Hood: Travels in the Hasidic U nderground



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estaba en tercer curso de enseñanza primaria asistí 1 L1 li<"sta de cumpleaños de un vecino que incluyó un especLÍ1 1ilo de magia. Un mago con una chistera negra me dio 1111.1 l'Ínla que al parecer confeccionó pegando los extremos d1 • tiras brillantes para formar un gran lazo. Tenía tres de i 'Hns lazos (una cinta era roja, otra azul y la tercera violeta). 11:1111ago se llamaba el señor Magia. Muy original. F.I sc11or Magia sonreía mientras trazaba una línea negra p111 d centro de las cintas en sentido longitudinal, como la l111('a discontinua de una carretera (figura 1.1). Entonces 1·11s<·116 las cintas al público. Un niño las agarró pero el señor l\1.1gi:1 dUo algo así como «¡Paciencia!».



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 Mi\bi11'1, n>11l1·< rio11;id:1 Iras girar IHO grados un c x lrcmo 11•11 p1 ·1 lo dd otrn antes de unirlos c nLrc sí. Eslo suele d eno111i11.11'11' .. 111<·dio g iro». El lazo violeta se creó girando uno d1 • 111 '4 1·x 1n·111os 360 grados con respecto al otro antes de 1H ¡p 1los. F11 l.1 .1r1ualiclad , los magos suelen llamar a este número el 1111111 ,¡,. los tintas afganas, aunque no estoy seguro de dónde 1111111 > 1·s<· nombre . El truco, ejecutado con ese nombre, se n 11111111 a ti a l rededor de 1904. Sq\ 1111 el libro Mathematics, Magic and Mystery de Martin e !: 1Hl111·1', la primera referencia sobre el empleo de la cinta ilc l\ li'> hius como truco de salón figura en la edición inglesa íl~ 1HH~ d e la obra Les récréations scientifiques de Gastón Tis11111 IJ<'r, publicada por primera vez en París en 1881. Carl l\ 1e 111.1 , fabricante estadounidense de toda clase de trucos de • 111 :1gia, ejecutó a menudo el truco de las cintas afganas 1 1 11 l'l ~ O . usando muselina roja en lugar de papel. En 1926, l111111 ·s A. . Nelson describió un método para disponer una tira d1 • p:1 pcl de manera que con dos cortes se obtuviera una • •11 k11a de tres bandas entrelazadas (figura 1.2). 1



1.1 Banda de Móbius con una línea pintada a lo largo del centro.



Yo era un chico tímido y obediente, y el señor Magia debió de notarlo porque me alargó unas tijeras y dijo 


l.,___._ ~



rrimc 1· coree



Segundo corle



Toda la hmub 1icuc dos gin>!! en la dlrc<:dón de la n ccha



L.2 Método de James A. Nelson para preparar una cinta «mágica» de papel tal que al darle dos cortes se obtenga una cadena de tres bandas entrelazadas. (Extraído de Mathernatics, Magic and Mystery de Martin Gardner.)



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 El mago Stanley Collins describió otro truco fascinante en 1948 con una banda girada y un anillo. En él ensartaba un pequeño anillo metálico en una tira de papel o de tela y entonces unía sus extremos después de tres giros para obtener un rizo cerrado. Como de costumbre, el mago corta la tira por el centro (como si cortara a lo largo de la línea central de una carretera) hasta llegar al punto de partida, lo que daba lugar a una tira larga anudada alrededor del anillo. En la actualidad, el mago profesional Dennis Regling, que practica «magia evangelizadora» en catequesis dominicales y campamentos religiosos, utiliza la banda de Mobius para afianzar la fe en Dios. Al igual que el señor Magia, Dennis usa los anillos durante una de sus sesiones llamando a tres voluntarios. A continuación, coloca los grandes anillos sobre la cabeza de cada voluntario y explica «... del mismo modo en que Dios nos hizo, y aunque nos parecemos en muchos aspectos, también nos ha otorgado a cada cual unos dones distintos. De manera que todos somos únicos a los ojos de Dios». Luego corta los tres lazos distintos con unas tijeras y cada una da lugar a los tres resultados descritos con anterioridad. Otro mago profesional evangelizador, Eric Reamer, también recurre a estos tres lazos para fomentar la religión. Eric pertenece a una comunidad evangélica nacional estadounidense pensada para traer la «verdad del evangelio de J esucristo» a un mundo «necesitado» mediante ejemplos prácticos visuales e ilusiones ópticas. En primer lugar, muestra a la audiencia el lazo sin ningún giro y dice: «¡Me encantan los círculos! ¡Son tan chulos! ¡No tienen principio ni fin, y eso me recuerda a Dios!». Entonces explica que Jesús disfrutaba de una eternidad semejante y rasga el lazo normal para obtener dos bucles separados idénticos que simbolizan a Dios padre e hijo. Luego muestra el lazo con el giro completo y explica que, según enseña la Biblia, Dios nos creó a su imagen y que «envió a Jesús para que lo instáramos a entrar en nuestro 32



rn 111.1111 I>' 1·s111vit'rn111os cl(·rna11w111e u11idos a Dios! ». Eri " •i t11 ¡•I l.1111 y aparecen dos entrelazados. l;i11 111111110, l•:ric presenta la cinta de Mobius auténtica, •11 li ll 1111:dio giro, y dice: «Dios tenía que amarnos mucho 11111 :1 1•11 vi:i r a su único hijo, ¿no creen?». Entonces pide al p1il d11 11 q111· imagine las proporciones de ese amor. Rasga la li¡ 111d ,1 de · Mübius y muestra a la audiencia una cinta que ha l11hl.1tl11 s11 lon gitud. Eric añade que este truco también se p1 ,., ""' 11:1r:i enseñanzas relacionadas con el compañerismo y 1 111.1111111011io. \l11111d:ircmos en las explicaciones de esta magia en q1111d11:-i posteriores y estudiaremos formas más inusuales 11"ti 1 ¡ 11 ·1o , por el momento, tiene gracia reflexionar sobre 1 11111do <"li que el artículo de matemáticas abstractas de ~H'1l 11w1q11e introdujo la banda hace más de un siglo, se usa 11 11 lí1 ;11 t11alidad para desconcertar a niños y para practicar 11 1i1gi: 1 1·vangclizadora que acerca los niños aJesús y consoliil11 l.1 k v11 lo divino.



t



1·\I 1111i~11m de la cinta de fitness



nm, f'Sle enigma, imaginemos que el doctor Mobius era un inven1·,,·tmordinario pero excéntrico. Durante sus viajes por Sajonia trll'll 1l aparato gimnástico que aparece en la .figura 1.3, confiado 1•11 1¡11.r' él y sus herederos amasarán algún día mucho dinero con n/11 ingeniosa máquina. Pero, ¿funciona realmente? Mientras el rl11t /11r Mobius corre sobre la cinta, ¿girará el rulo situado debajo? o 1¡11nlará bloqueado y, por tanto, el doctor Mobius se saldrá por el 1 ,\'/J1'1110 y caerá por el profundo barranco? ¿Qué efecto provocará la 1 111I11, rn/orma de ocho en el funcionamiento del aparato? ¿Discurri1 "' r/1 otro modo si se reemplazara este ocho por una banda de Mobius ( 11110 tinta transportadora con medio giro)? Si el instrumento no /1111tionrtm, ¿cómo lo arreglaría usted? ¿Actuaría el instrumento de / 1



/111



1



1



1



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 un modo distinto si todas las cintas estuvieran giradas? (Busque la respuesta en el apartado de soluciones.)



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N l J DOS, CIVILIZACIÓN, AUTISMO Y



EL COLAPSO DE LA FACIALIDAD



1.4 ¿Girarán con soltura las cintas del aparato de fitness del doctor Mobius si la cinta en forma de ocho se reemplaza por una banda de Mobius? (Dibujo de Brian Mansfield.)



La artista de strip-tease mejor de Avilés quedaba desnuda veloz, ¡yo la vi! Y tanto leyó sobre ciencia en inglés que murió la pobre vuelta del revés haciendo en escena un Mobius strip.



<:yril Kornbluth, «The Unfortunate Topologist», 1957



Un apunte sobre el lugar de Móbius en la historia El hecho de que el nombre de Mobius se recuerde por un pasatiempo topológico se debe a un accidente de la historia. Pero es normal que que fuera Mobius quien señalara un hecho simple en el que cualquiera podría haber reparado a lo largo de los últimos dos milenios; y es normal que nadie lo hubiera hecho, con la salvedad del hallazgo simultáneo e independiente logrado por Listing.



Jan Stewart, «Mobius Modern Legacy» en Móbius and His Band



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 Hormigas dentro de esferas



Si tomáramos una esfera hueca con una hormiga dentro resultaría sencillo distinguir las dos caras. Una hormiga que caminara por el interior de la esfera no lograría salir a la superficie exterior de la misma, y cualquier hormiga que recorriera la parte de fuera, no accedería a la de dentro. Del mismo modo, un plano que se extiende en todas direcciones hasta el infinito también tiene dos caras: una hormiga que avanzara por uno de los lados no podría acceder al otro. Incluso un plano finito, como una página de papel arrancada de este libro, se considera bifronte si no permitimos que una hormiga cruce los afilados bordes del papel. De manera similar, una figura en forma de rosquilla hueca, o toro, tiene dos caras. Una lata de refresco tiene dos caras. La primera superficie de una sola cara descubierta y estudiada por los humanos es la cinta de Mobius. Parece inverosímil que nadie en la Tierra haya descrito las propiedades de las superficies de una sola cara hasta mediados del siglo XIX, pero la historia de la ciencia y las matemáticas no guarda registro previo alguno sobre este tipo de observaciones. La cinta (o banda) de Mobius es una superficie fascinante de una sola cara y un solo borde. Tal como comenté en el capítulo anterior, para confeccionar esta cinta basta con unir los dos extremos de un trozo alargado de papel tras darle a uno de los cabos un giro de 180 grados con respecto al otro. Como resultado se obtiene una superficie de una sola cara en la que un insecto podría ir de un punto a cualquier otro del objeto sin atravesar jamás ningún borde. En cambio, si se unen los extremos de la cinta sin realizar ese giro previo, el resultado se asemeja a un cilindro o a un anillo, dependiendo de la anchura de la cinta. Como los cilindros tienen dos caras, cabe la posibilidad de pintar una de ellas en rojo y la otra en verde. Pruebe a colorear una cinta de Mobius con un lápiz. Es imposible pintar un lado de rojo y el otro de verde porque solo tiene una cara (figura 2.1). Esto implica asimismo que la 36



1 l111t1 1k Mol>i11s !H'I mil(' tra1.t1r una lí11('t1 ro111i11ua entre dos p111110~ e 11.d1 ·sq11iern de la misma sin atravesar ningún borde.



J 1 l'1111 ·IH' a co lo rear una cinta de Mobius. Si dos personas inte n11111 111 ¡i111t:11 1111 a cara de rojo y la otra de verde, se armarían un lío. li'. 11111 111 11il1si<'> 11 constituye en realidad la clave de una tragicomedia ii111l.11l .1 .. /\ . l\o us a nd the Mobius Strip» («A. Botts y la banda de \ lo ti 1111 ~ ) y q uc se estudia en el capítulo 8, donde una persona 11111 111 .1 ¡1111tar 1111a y otra vez solo un «lado» de una cinta d e Mobius.



( ·, t1d '1•11 ion e una cinta de Mobius en este instante y póngala ·¡H i1í1 ~ 1 cl1· 11na mesa. Coloque un dedo sobre un borde y otro nlJli ' , 1 uolro». Mantenga quieto uno de los dedos mientras 11 11¡ 11;11;1 t'I otro por el borde. Al final, el dedo en movimiento l11di11i 1,., mrido todo el borde hasta chocar con el que perma!! l't Í; 1 q11il'I<>. Oc hecho, cualquier tira de papel con un número 11111'111 ck 111 cdios giros se asemeja a la de Mobius, porque todas 1111'Í111.1s rn c ntan con una sola superficie y un solo borde.



1 e in1.1 de Mobius presenta numerosas propiedades fasci1n111lc ''l Al <'Orla r la banda por la mitad en sentido longituil!11 1tl , 1.tl <'orno señalé al comentar los trucos de magia en 1 •. ;q 11111 lo 1, e n lugar de crear dos bandas separadas, se 1ol1 ti 1•11 1: 1111a cinta larga con dos medios giros. Si esta banda .;1 i ·c 11•1.1 .1 s11 vez a lo largo por la mitad, se forman dos banc 11l 1 l'la1.adas. En otras palabras, esta segunda partición il n 111 ~·.. 11 :1 dos bandas engarzadas. l•,11 1.111d>io, al corta r una cinta de Mobius en sentido lon1i 111d i1Ltl por un tercio de su anchura, surgen dos bandas:



,¡,,,.



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 una de ellas es una cinta de Móbius más estrec ha, la otra es una banda larga con dos giros completos (un giro completo equivale a una rotación de 360 grados). Intentemos visualizarlo. Sabemos que al cortar una cinta de Móbius por el centro en sentido longitudinal se vuelve al punto de partida del corte en el centro de la banda. La cinta se recorre una vez antes de regresar a dicho lugar. En cambio, al cortar la banda por un tercio de su anchura solo se llega al punto donde iniciamos el corte después de darle dos vueltas a la cinta de Móbius porque, al completar la primera vuelta, el corte se encuentra aún a un tercio de distancia del punto de partida en la superficie de la banda. En otras palabras, el corte nos obliga a recorrer dos veces la cinta de Móbius antes de regresar al punto de partida, y da lugar a dos bandas (figura 2.2). Llamaremos banda A y banda Balas dos bandas resultantes. La banda A es idéntica a la cinta de Móbius original, solo que su anchura equivale a un tercio de la inicial (de hecho, se trata del tercio central de la banda de Móbius de partida). La banda A es la más pequeña de .las dos que se representan en la figura 2.2 y está engarzada a la banda B, dos veces más larga que la A. Por tanto, la trisección de una cinta de Móbius crea una banda de Móbius pequeña A engarzada a la banda más larga y bifronte B que presenta cuatro medios giros.



B



2.2 El corte longitudinal de una cinta de Mobius por un tercio de su anchura da lugar a dos bandas: una cinta de Mobius más estrecha que la inicial, y una cinta más larga con dos giros completos.



'"" ,1111l los i11lt•l'('Oll('( 'tados /\ fl d1· 1:1 ligmil ~.~ S!' p1wd1·11 1r1111111 .11 par:1 cr<•ar 1111a cinta de Mül>ius de tres ('apas, 1¡11 111111(> S<' il11st rn c11 la ligma 2.'.t l .a lí11ca sombreada se i 111·1e•..,po 11d1 · co11 el borde del anillo A.



~.: \ /\ partir de los anillos A y B de la figura 2.2 se puede



formar una banda de Mobius de tres capas.



11;l\:1111i11cmos con más detalle este objeto de tres capas. En ''"11 •:111idarniento precioso, las dos «bandas» externas parecen t 1Nl111 ~wparadas en todo momento por una cinta de Móbi11s i1q1;111·dacla «entre» ellas. Gardner señala que se obtiene h1 1111 '1 111a estructura al unir tres bandas idénticas, sujetarlas ¡ rn1111 111ia sola, aplicarles medio giro y unir cada uno de los t ¡ 1 ~ p.11 ('s de extremos correspondientes. Al pintar de azul la 1qwl'liric «exterior» de esta banda triple, se comprueba que h1 1i 1.ip;1s exteriores se pueden intercambiar de manera que 111 l.11111 azul de la banda más larga quede hacia el interior, y l.1 l1.111d:1 triple se torne blanca por la parte «exterior». e :onsidcremos otros experimentos con distintos cortes. ;1 p.11 timos de una banda de Móbius «madre» con tres 1111 dios giros y luego la cortamos por el centro en sentido l1111w111di11al para obtener una banda hija, esta será más 1111 H·' y tendrá ocho medios giros. Cabría imaginar múltiples 1 " pc ·1i111cntos de disección pero también se pueden esta1.¡,e1 ·1 cintas generalizaciones. Por ejemplo, para calcular •~ 1 111111H'l'O de medios giros que tendrá la banda hija, hay



En Festival mágico-matemático, Martin Gardner revela que 38



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 que doblar el número de medios giros de la banda madre y añadirle dos.



lío hoc·mlillo ('On bandas de Mübius



El propio Mobius consideró y trazó diversas variantes de su cinta. La figura 2.4 procede de los textos inéditos de Mobius e ilustra la banda y algunas descendientes suyas con distintos giros. El bucle de papel presenta dos caras si el número de medios giros es par, y una sola cara si el número es impar.



l 11111 de· l:1s disposiciones de tipo Mobius más desconcertan-



@



l.1 e 011stituyc el bocadillo sencillo de cinta de Mobius, 11 •:1d11 ron tan solo dos tiras de papel. He conocido a gente 1p11 • h:1 dl'dicado horas a reflexionar sobre esto escuchando 1 l'i 11 k Floyd y sin llegar a entender por completo de qué ti 1,1 1·1 :is1111to. Para confeccionar este objeto empezaremos i111 :111do una tira sobre otra, como las dos mitades de pan 1 11 1111 l>ocadillo. Una vez juntas, les aplicamos medio giro y li11i 1111i111os por los extremos como para crear una banda de ~li'\ hi 11s sencilla (figura 2.5). t{ 'IC



1



1



2.4 La banda de Mobius y algunas descendientes suyas con distintos giros, extraído de textos inéditos del propio Mobius. [Fuente: Mobius's Werke, 11, página 520. Véase también la página 122 de Mobius and His Band, edición de John Fauvel, Raymond Flood y Robín Wilson (Oxford University Press, 1993).]



Se pueden usar notaciones matemáticas para establecer otras generalizaciones sobre las propiedades de disección de las bandas giradas. Imaginemos que un extremo de una tira de papel recibe m medios giros (es decir, se gira mm radianes o m x 180º) antes de pegarlo al otro extremo. Si mes una cantidad par, se crea una superficie con dos caras y dos bordes longitudinales. Si la banda se corta a lo largo por el centro, se obtienen dos anillos que aparecen engarzados Yzm veces y donde cada uno presenta m medios giros. Si mes un número impar, se genera una superficie de una sola cara y con un solo borde longitudinal. Si este rizo de papel se corta a lo largo por el centro, se obtiene un solo anillo pero con 2m + 2 medios giros, y si mes mayor que 1, el resultado presenta un nudo.



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' ' r> l•'. I



bocadillo sencillo de banda de Mobius, creado a partir de dos tiras de papel, tiene unas propiedades extraordinarias.



."i11jl'lc el objeto de dos capas entre las manos. Al principio 11. p.1r<-ccrá haber fabricado un par de bandas de Móbius 1111cl:1das que permanecen abrazadas entre sí a lo largo de h1 ~411p<'dicie que comparten. Pero, ¿cómo entender real1i11 ·111t· esta creación? En primer lugar, perfore con cuidado ¡•l 11l>j<·to con un mondadientes. A continuación, introduzca 1•1 111011dadientes entre ambas bandas y deslícelo por ellas l1 :1-1L 1completar una vuelta; comprobará que llega al punto tl1 partida. Sí, parece claro que tenemos dos bandas sepa1',11 l.1s porque siempre queda un espacio intermedio entre ' ll.1s . 1\liora bien, tome un lápiz rojo y coloree con él una de l,1"1 h:i11das de Móbius. Continúe alrededor de toda la superli1 í• '. Acabará volviendo al lugar del que partió después 11 •1 111 rn dos veces el bocadillo de banda de Móbius, lo que 41



 parece indicar que las bandas no están anidadas, sino que conforman una sola banda con una superficie y un borde longitudinal únicos. Para acabar de sorprenderse, separe las dos bandas y descubrirá que ¡se trata de una sola banda más larga con cuatro medios giros!



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Cinta liublianesa, autismo y nudos vórtice



Una amiga eslovena obtuvo en cierta ocasión resultados similares tras efectuar varios cortes que presentó como trucos de magia con una enseñanza política. En particular, sostuvo en alto una cinta carmesí brillante que, al cortarla, se convertía en un nudo de trébol, un nudo con tres cruces (figura 2.6). El truco tenía la finalidad de mostrar las ventajas de que varios países se unieran para formar la Unión Europea. Su cinta carmesí, que ella llamaba cinta liublianesa, tenía tres medios giros, en lugar del medio giro único de la banda de Mobius. Al dividirlo a lo largo, el anillo liublianés se convierte en un nudo de trébol. Esto concuerda con la regla que acabamos de mencionar: si mes impar, solo se forma un anillo al cortar el rizo, pero si el número de medios giros se corresponde con 2m + 2, entonces se obtiene un resultado anudado. El nudo de trébol se ha estudiado ampliamente en matemáticas desde comienzos del siglo XX. Las imágenes especulares del nudo no son equivalentes, tal como demostró por primera vez el matemático alemán Max Dehn (18781952) en 1914. Dehn escribió una de las primeras explicaciones sistemáticas de topología en 1907. (En 1940 huyó de la persecución nazi y consiguió convertirse en el único matemático que enseñó en el Black Mountain College de EE UU.)



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Espejo 11li N1u lo



de trébol. Las imágenes especulares de este nudo 1111 ~ n11 igua les, y ya se puede girar, desplazar o deformar 1 11.dq1ii('l':1 de estos nudos como se quiera que jamás se verán 1 11 11 . d1 ·,~. a 111cnos que se corte el enlace y vuelva a anudarse.



( '1111 111dcp{'ndencia de cómo se estiren, se muevan o se kf 1111111 ·11 los nudos de la figura 2.6,jamás lograremos trans-



1¡11111 .11 1111 1111do en el otro. Este nudo simple debe su nombre 1. l,1 :.i ¡1l.1111as del género Trifolium, formadas por hojas trifol h Hli• ~ 1 rnnpuestas. Este nudo sirve de base a innumerables ! 1111111 .1 s y logotipos, como el emblema de la Caixa Geral 11!1 l t1 prn~i tos (el mayor banco de Portugal) y la escultura en 1111111.1 clc · nudo de trébol deJohn Robinson alojada en eljar1111 d1 l 1·s111dio de Robinson en Somerset, Inglaterra (figura ) , No l ('Sl' que el nudo de Robinson está confeccionado ¡¡11 1111,1 rinta girada de manera que tiene una sola cara. El 1111!111 de t r{bol aparece asimismo en el famoso grabado en 1iit11 l1 1.1 


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 lllll!IK 1k 1111dos. 1•:11 1~)74, u11 111ale1míti<.:o descubrió que h11111111l111 'e111 1 a111biar el punto ele visLa de uno de los nudos 11111 1\ t1~· 111 ~ 1str:1r que ambos nudos eran el mismo. Hoy estos 1111111 •11 ~' '. crn1orc11 como «el par de Perko». Aunque desde 1HÍHl•1 X1X S(' calalogaron como nudos distintos en muchas l1tl•l •1" de · 1111dos, el abogado neoyorquino, y topólogo a ratos, l\111i11e th l'nko demostró que en realidad se trata del mismo 11\Hl•• ¡1111"dia11le la manipulación de cuerdas en el suelo del lnti 111 "1 11 <':lSct!



2.7 El profesor Ronnie Brown de la Universidad de Gales, en Bangor, y el escultor John Robinson posan de pie ante la escultura en forma de nudo de trébol titulada Inmortalidad. El Departamento de Matemáticas de la Universidad de Gales (Bangor) adoptó esta obra como logotipo. (Imagen cortesía de Edition Limiteé, Ginebra.)



' 1



2.8 Gráfica por computadora de un nudo de trébol, realizada por Jos Leys.



El estudio de los nudos, como el de trébol, forma parte de una rama inmensa de las matemáticas dedicada a bucles girados cerrados. Durante siglos, la comunidad matemática ha intentado desarrollar algún modo de diferenciar los nudos reales de marañas que parecen nudos, así como para distinguir un nudo de otro. Por ejemplo, las dos configuraciones de la figura 2.9 representan dos enlaces que durante más de setenta y cinco años se consideraron dos tipos 


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I l'.11· ek 1111dos de Perko. ¿Son estos nudos iguales o diferentes?



1h , ~ 1111111 >S se consideran el mismo si uno de ellos se puede 11i 11 1iip1d.1r, sin cortarlo, de manera que se muestre idéntico 11 ilt 111 1 11 r11anto a la ubicación de los cruces superiores e id ,1 ilq11 •s. l.os nudos se clasifican por, entre otras caracte' íl! I j¡ ¡1.,, l.1 disposición y el número de los cruces y ciertas I'' ¡¡ pie e l.11ks ele sus imágenes especulares. Dicho de un ip u ílil 111.1s preciso, los nudos se clasifican mediante diver¡¡~ i 11\ ;11 i:11lles, como las simetrías y el número de cruces, 11ti, 1 1111·;1s q11e las características de las imágenes especulares l1111P11qw11:111 un papel secundario en la clasificación. No 1ii11g1'111 algoritmo general y práctico para determinar l 111111 1 111 va enredada es un nudo o si dos nudos concretos t.~ 11 1•1111dazados. Obviamente, la mera contemplación de 1



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 un nudo proyectado sobre un plano (aunque se aprecien los cruces superiores e inferiores) no constituye un buen método para afirmar si una cuerda es un nudo o un no-nudo (un no-nudo equivale a una cuerda cerrada como un círculo sencillo carente de cruces). Por ejemplo, consideremos el «misterio del no-nudo» de la figura 2.10. ¿Podría afirmar usted que se trata de un no-nudo mediante la manipulación mental del objeto? Le he pedido esto mismo a docenas de colegas, y la mayoría fue incapaz de resolver si se trata de un nudo real o de uno desanudado simplemente mirándolo. ¿Conseguiría visualizar la solución en su mente algún sabio autista o alguien con síndrome de Asperger? En ocasiones, los niños con autismo se quedan fascinados con objetos que no constituyen juguetes típicos, como trozos de cuerda, complejas madejas de hilo, o gomillas elásticas. Algunos anudan cuerdas sin cesar. Entre la gente a la que pregunté se encontraba una mujer habituada a tejer que logró concluir que se trata de un nonudo solamente mirándolo. Otra mujer con síndrome de Asperger también logró resolver el enigma en treinta segundos. Ella me explicó que siguió el método de desenredar la cuerda mentalmente hasta obtener un círculo.



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c•11 1t'alidad 1111 ll


11 N111lo 


1 !lit 1111clos simples, como el nudo de trébol o el nudo ti t 1í l ir1 t.1111 l>ién resultaron servir de base a los primeros



..



2.10 El «misterio del no-nudo». ¿Es un nudo esta figura?



En 1961, Wolfgang Haken, en la actualidad miembro de la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, desarrolló un algoritmo para dilucidar si la proyección de un nudo sobre un plano (siempre que conserve los cruces superiores e infe46



lttl1 1 n1n ~



por desarrollar una «teoría de cuerdas» para los l!!llí11H, 1111 nimpo de investigación que, quizá para sorpresa ti. 1i! j\ 1111111-1 lt'rlores, surgió en el siglo XIX. El matemático y ; /1111/ William Thomson Kelvin (1824-1907) aceleró la 11 11 1¡1 111 .1t1 ·111 <ítica de los nudos durante sus tentativas por 11 111111 lc ·los d e átomos que, a su parecer, consistían en illíl .1d e 11 1111dos diferentes atados en el éter que, según 11, ii. 1 •l . 1111prl'gnaba el espacio. Él defendía que los átomos 1 ¡¡ 11 1, 1:.. 11 ,111 1·11 realidad en diminutas cuerdas anudadas y ji íl ' {'I ti I'º dl' 11 uclo condicionaba el tipo de átomo (figura l 'i'l l ,111-1 l1 siros y matemáticos de su tiempo emprendieron ' 1 d 1c 11 .wion de una tabla con los distintos nudos con el '" ' '- 111 1111it'11to de que estaban confeccionando una tabla 17



 de los elementos. La d efinición d e nudo que d a ba Kelvin era idéntica a la utilizada en topología: un nudo es una curva cerrada que no se corta a sí misma y que no se puede deshacer en un bucle simple. La estabilidad topológica y la variedad de los nudos se consideraban determinantes para la estabilidad de la materia y la variedad de los elementos químicos.



~q d~ ¿Plomo?



¿Sodio?



2.12 Hacia el final del siglo XIX, algunos científicos cre ían que cada átomo se correspondía con un nudo distinto atado e n el éte r.



Los científicos dieron crédito a la teoría de Kelvin sobre los «átomos vórtice» durante unas dos d écadas. Hasta el célebre físico James Clerk Maxwell (1831-1879) consideraba que «satisface más condiciones de las consideradas por ningún [otro modelo sobre el] átomo ». La teoría de los átomos vórtice de Kelvin inspiró al físico escocés Peter Tait (1831-1901) para iniciar un estudio y catalogación exhaustivos de nudos con el fin de facilitarse la tarea de esclarecer cuándo dos átomos eran realmente distintos. Sin embargo, gran parte del entusiasmo que sentía por la teoría de nudos cesó de golpe cuando los científicos descubrieron que el éter invisible del espacio no existe. Por desgracia, el interés por los nudos siguió m enguando durante décadas. La química ha avanzado mucho desde la época de Kelvin. En la actualidad, los químicos son capaces de llevar a cabo la compleja labor de sintetizar moléculas anudadas, incluidas moléculas con nudos de trébol. Mostraré algunos ejemplos en el capítulo 4. La comunidad científica también ha realizado nudos 48



llfllí11I } 1111dos ('11 orllo d(' ADN. Mol(cul as circulares 1111 li1 1'1 de · Al>N , corno los pl ásmidos, se pue den anudar, 1111 d i111111l w• 1111dos de ADN se pueden separar de manera 1u11l11w111.ll 111cdia nte una técnica de laboratorio llamada hit 11 1il1111 ·sis en ge l, m ediante la cual una corriente eléch 11 Pl•lt F,· ' :1 las mo lé culas a atravesar un gel. Las propiel1u l111i 111_ c.•1cl:1 mo lécula determinan la rapidez con que un tllpP 1•l(·1 11 in >la d esplaza a través de un medio gelatinoso. ii 1tcl c1s 10 11 di stinto número de cruces se mueven a velodl s1i111as por el gel y, por tanto, producen bandas 11í1i• 1111 ,. c· 11 d mismo. l l i!\ µe cl .111 C'o nferencias enteras sobre nudos. Los cientí¡-111111cl1.111 los nudos en campos tales como la genética 11 h11 ( p;1ra saber cómo desenmarañar un rizo de N ) )' h1 li sirn d e partículas, en un intento por describir lli! llt1 ¡d1 ·1.1 f"11ndam ental de las partículas elementales. Por 1n pli1, l'lio('()e Hoidn y Andrzej Stasiak, de la Universil 11f1 l .:1wwia, Suiza, y Robert Kusner, de la Universidad l . i ~t1i 1 1 • l1ww 1ts , en Amherst, estudian las complejidades lfi 11 ;'l1ic-;1s d e cie rtos nudos con la finalidad de desarrollar 111 i11 1i 111wv: 1s que expliquen las propiedades de partículas IH1H 1 11Ld1·., e o rn o los electrones. 11 11 n1l 1'11dc r la labor de Hoidn y Stasiak, debemos 1t!íi ll 1' 111 ·111a en primer lugar de que si un bucle largo y th .11111 •111 c in grávido de fibra de seda se carga con elecli hliHI 1 ·'l t.ll ir a (por ejemplo, frotándolo) y luego se suelta lt1 q1 11 ,'l e' rel aj e (lo ideal es probar en un entorno sin hl \'f'!ll 1el ) , d anillo formará un círculo perfecto, porque 111 ílp,111·;1 ele ('quilibrio es una configuración de energía tlll!Í!i H1, <: 111 iosam e nte, un nudo de trébol con carga elec111 ~ ! 1! 1 i.-¡1 11 0 d ;1 lugar a una figura que mantenga los tres 11111 IPtt 11c'I 111odo más estirado posible. En su lugar, el nudo lt - i¡ {111!1 1 ~e · a pri eta en una región muy pequeña colocada í ¡¡ t, 1q 1 1111 < 11n il o perfecto. Este comportamiento de enco11k 11 1c• L1111l>i(· n se manifiesta en otros tipos de nudos. Los 1111 1 i< lca r man eras d e evitar este encogimiento han



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 conducido a los matemáticos al desarrollo de modelos que algún día tal vez contribuyan a conocer las propiedades de los electrones, de los que a veces se crean modelos que los representan como pequeños bucles de carga, tal vez incluso bucles anudados. Dentro de cada familia de nudos, Hoidn y Stasiak han hallado características similares a las que presentan los átomos, como la cuantización de la energía (entre diferentes nudos se aprecian diferencias de energía escalonadas). Los bioquímicos que estudian las proteínas también sienten fascinación por los nudos porque estos podrían encontrarse en biomoléculas grandes. En el año 2000, el biólogo matemático británico William R. Taylor desarrolló un algoritmo para detectar nudos en esqueletos proteínicos, cuyas coordenadas se guardan en bases de datos proteínicas. En concreto, examinó más de tres mil estructuras proteínicas distintas almacenadas en el Banco de Datos de Proteínas, un depósito mundial de datos sobre estructuras macromoleculares biológicas en tres dimensiones. Taylor halló ocho nudos en su estudio. En su mayoría eran simples nudos de trébol. Varios nudos se detectaron en proteínas que con anterioridad no se consideraban anudadas. En la enzima isomeroreductasa del ácido acetohidróxido apareció un nudo interesante por hallarse muy en el interior de la proteína plegada, lejos de los extremos del esqueleto proteico, y con la figura de la variante más compleja del nudo en ocho. El artículo de Taylor aparecido en 2000 en Nature describe un mecanismo de plegado de proteínas que podría explicar de qué modo se forman esos extraños nudos. Para detectar nudos proteicos, Taylor empieza «sosteniendo» fijos ambos extremos de un esqueleto proteico mediante computadora, mientras el resto de la molécula se encoge hasta que a veces crea un nudo manifiesto. Los nudos como el de trébol y en ocho han servido de inspiración a los humanos durante siglos. La iglesia



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11tiliz6 11na variante apuntada del nudo de



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lla111ada triquetm para representar la trinidad, pero ll HI P' i~no S(' remonta a épocas anteriores a la cristiandad 11 111 ~ q11<· servía como símbolo celta de la triple diosa (la \'I! w·11, l.1 madre y la anciana). Asimismo es el emblema 11 1 l.1 '1 1·1i<· televisiva de ocultismo Embrujadas, donde apai n ¡ 11111 f'rccuencia como un adorno colgante que pende !pi 11111.11· de un gato negro, y representa a las tres bellas lw 1111.111:1s l lalliwell que actúan juntas como una sola í i 11'1'1:1 l•'. 11 la década de 1970, la triquetra se volvió muy •111 11 ¡el: 1 tras aparecer en la portada del cuarto álbum de 1 :l d / .q>pdin. 1,. 1 q11i111aesencia de los nudos ornamentales se revela 11 • 1 l .ilm> de Kells, un evangeliario con ilustraciones muy 11! 11111 .ulas de monjes celtas que data de alrededor del año 011 d d(' C. Se trata de uno de los manuscritos iluminados lli ÍIH l11josos conservados de la época medieval. Dispersos pol 1•1 l<·xlo aparecen letras, animales y seres humanos, a !1! 1 1111110 <'nredados y sujetos con nudos muy enrevesados f IÍH' 11 ·: 1 ~. 1). Cintas, nudos y espirales de una complejii11d 1•x 1raordinaria aparecen íntimamente entrelazados d11q11ier. El diseñador gráfico por computadora Jos <' inspiró en los modelos celtas para experimentar \,11 ias ejecuciones artísticas por computadora, como I co111pl(:jo objeto de la figura 2.14. El método de Leys p 111 ¡1 gt·ncrar nudos recurre a teselas sobre las cuales se llli !1 1111a disposición simple de «tubos». A continuación, lt !!i 11 '1 d :1s se distribuyen sobre una rejilla, como cuadros IL1 1111 d:11ncro, para dar lugar a un mosaico que contiene 111i 1111do intrincado. Por último, se eliminan las líneas de 1" l.P1 para poner de manifiesto la forma anudada. En el q11111lo 7 mostraré algunos nudos más enrevesados aún 1¡1¡11 los por matemáticos que experimentan en la frontera 1i111 l.1s matemáticas y el arte. 1



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i: ldH'11 s11 1H>111bre a 1<1 f ~11nilia rc11acc nlisla italiana que los " " " ('11 s11 escudo de armas. La cerveza Ballantine también 111di1.a ('Sta co nfiguración en su logotipo (figura 2.15).



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2.15 Anillos borrorneanos.



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2.13 Un diseño del Libro de Kells extraído de la obra de George Bains Celtic Art: The Methods of Construction (Nueva York: Dover, 1971).



2.14 Ejecución gráfica por computadora de un nudo complejo inspirado en diseños celtas. (Creación de Jos Leys.)



Otra serie apreciada de objetos entrelazados de interés para los matemáticos y químicos la conforman los anillos borromeanos, tres anillos entrelazados mutuamente que 52



Nc'>tesc que los anillos borromeanos no tienen los anillos P 1111 d < 1zados dos a dos, de manera que si cortamos cual1 p d1 ·ra de ellos, se sueltan los tres. Algunos historiadores ' "l w< ·11lan con la idea de que las configuraciones antiguas de 1 'l los anillos representaban a tres familias: Visconti, Sforza y 1\1 t1 1o meo, quienes establecieron una unión sutil a través de P1 d.1rcs matrimoniales entre ellos. 1,( >s matemáticos saben ahora que en realidad no se puede 1 •ti 1kccionar una serie de anillos borromeanos con círculos 1•l.1111 >s; esto se comprueba al intentar crear los anillos entrel111.1d os con alambre, el cual habrá que deformar o doblar ¡1o11 .1 lograr esta figura. El teorema que establece la imposi¡ ,¡ 1id;id de confeccionar anillos borromeanos con círculos 1•l.111os lo demostraron Michael Freedman y Richard Skora • 11 1111 artículo de 1987 titulado «Strange actions of groups 1111 sph cres» («Comportamientos extraños de grupos sobre 1 'i knts») Uournal of Differential Geometry, 25(1): 75-98]. \ e . tS(' además «Borreomean Circles are Imposible» («Los 111 t llos borromeanos son imposibles»), de Bernt Lindstrom 1 l l:111s-Olov Zetterstrom y publicado en el American Mathe111ulit(l,l Monthly [98(4):340-341] de 1991. F,11 2004, los químicos de la UCLA crearon una maravilla 111111 011H:ana impresionante: una interpretación artística 11111l<'n dar de anillos borromeanos entrelazados. Cada molé:,g



 cula del compuesto de anillo borromeano molecular medía 2.5 nanómetros de ancho y albergaba una cámara interior de 0.25 nanómetros cúbicos de volumen y alineaba doce átomos de oxígeno. Los anillos incluían seis iones metálicos en un entramado orgánico aislante. En la actualidad, los estudiosos están ideando maneras de utilizar anillos borromeanos moleculares en campos tan diversos como la espintrónica (una tecnología incipiente que explota el espín y la carga del electrón) o en un contexto biológico, como la obtención de imágenes médicas. Los nudos y el triunfo de la civilización No es exagerado afirmar que los nudos han sido cruciales para el desarrollo de la civilización, que los ha usado para atar ropajes, sujetar armas al cuerpo, confeccionar protecciones y permitir la navegación marítima y la exploración del orbe. Se han encontrado reproducciones de nudos en piedras funerarias talladas por pueblos neolíticos. Los incas usaron los nudos para llevar registros y como «lengua escrita» sobre cuerdas conocidas como quipus. El célebre nudo chino panchang, que en realidad consiste en una serie de vueltas continuas, simboliza el concepto budista de la continuidad y el origen de todas las cosas. Algunos de los nudos actuales tienen su origen en la Edad Media, cuando se utilizaban con poleas compuestas para izar y acarrear cargas, las cuales solían sujetarse asimismo mediante nudos adecuados. Los navegantes usaron e inventaron nudos para amarrar los cabos a los mástiles, para unir cabos entre sí, para aparejar las velas y para izar cargas. La figura 2.16 ilustra dos páginas de una edición de 1943 del Bluejacket's Manual de la marina estadounidense, una obra centenaria que dedica más de mil páginas a temas tales como la elaboración de nudos, banderas y banderines de balizamiento, y navegación de embarcaciones. Cuando el teniente Ridley McLean escribió por primera vez su «biblia del marino» en 1902, la describió 54



(111111 1111 111<111ual para cualquier persona al servicio de la 1rn1:1d:1 , desde la marinería hasta el almirantazgo. 11'. 11 1:1 anualidad, la teoría de nudos se ha infiltrado en la l 11t 1l11gít1, la química, la física y, en muchos casos, ha avanzado t,11110 que el común de los mortales se enfrenta a un desafío 11.11 .1 <•11 tender sus aplicaciones más profundas. Si tomamos 1111 lihrn moderno cualquiera sobre teoría de nudos, nos 1•111 011tramos ante una retahíla de expresiones imponentes 1'111110 polinomio de Conway, relación de madeja de Conway, 1111l111omio HOMFLY, polinomio deJones, modelos de espín, , 1111 l1(·tes de Kauffman, invariantes de tipo finito, isotopía 111d1i('11tal, invariantes de Vasíliev, diagramas de Gauss, teo11 ·111 ,1 d e Kontsévich, ecuación cuántica de Yang-Baxter, rela1 11111 de Artin en grupos de trenzas, álgebra de operadores d1 1krke, teoría cuántica de campos topológica (TQFT), y llgc ·l>ra de Temperley-Lieb. En unos milenios, la humanidad li .d ira transformado los nudos que en principio eran tallas 11111.1111entales sobre piedra en modelos del mismísimo tejido c¡111 · <"onforma la realidad.



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,,..-~··· 2. 16 Reproducción de dos páginas del centenario Blue.fackets' Manual de la marina estadounidense.



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 Enigma del nudo alienígena Corre el año 2050 y Paris Mobius, descendiente de August Mobius, y su novia Nicole exploran la Quinta Avenida de la ciudad de Nueva York. De pronto las rodea una estirpe alienígenas insectiformes. Uno de ellos apunta hacia Paris. «¡Oh, no!», dice Paris con su larga melena rubia brillando al sol. «¿Ahora qué hacemos?» El más alto de los alienígenas se le acerca y le señala una cuerda enmarañada en el suelo (figura 2.17). A continuación venda los ojos a Paris y a Nicole, y le dice a Paris: «¿Crees probable que el enredo del suelo esté anudado?».



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luuulus de Mobius y los alienígenas '!)mimos que doblar la Cosa de una forma extraña para hacerle f//1tmt'.\'flr las jJuertas de la casa, una especie de variante de la cinta !11• Moebius. A la Cosá no le importó: en cualquier caso, su cuerpo era superjluido ...



Jeff Noon, Vurt (trad. de Isabel Núñez)



Todo en su derredor eran seres extraños. Volvió la cabeza y vio que por alguna razón se encontraba en una habitación gigan/1•.w-a ... Cada tubo tenía lo que parecía ser una correa de ventilador µ;irada sobre sí misma que formaba una cinta de Mobius en movimiento constante.



Roger Leir, Casebook: Alíen lmplants



2.17 Una cuerda enmarañada. ¿Qué probabilidades hay de que el enredo esté anudado?



Una sonrisa, ¿era eso? En un mundo alienígena, vampírico llamado Starside y situado al otro lado del continuo de Mobius, debería llamarse, cuando menos, sonrisa. Brian Lumley, Crónicas necrománticas (vol. 5):



Nicole aprieta los puños. «¿Cómo lo hacemos para vernos en situaciones tan absurdas ?».



engendro de la muerte



Paris alarga el brazo para tomarla de la mano. «Nicole, no te preocupes. Aunque solo miré al suelo un instante demasiado fugaz para apreciar qué segmentos de la cuerda se superponen a otros, puedo calcular con precisión la probabilidad de que la cuerda esté anudada. Y entonces le daré al alienígena una respuesta exacta.» Si usted participara en el juego, ¿apostaría a que la cuerda está anudada? (Busque la respuesta en el apartado de soluciones.)



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57



 3



BREVE HISTORIA DE LA FIGURA DE MóBIUS



Resulta paradójico que la modestia y hasta la timidez que caracterizan la vida cotidiana de Mobius se combinen con la audacia, la fantasía y las dotes de esta figura impresionante. E l talento matemático de la mayoría de los matemáticos mengua con la edad ... Pero el tiempo no mermó las dotes de Mobius.



Issak Moiséievich Yaglom, Felix Klein and Sophus Lie



Es un hecho matemático que al arrojar este guijarro de mi mano altero el centro de gravedad del universo.



Thomas Carlyle, de Sartor Resartus 111



(trad. de M. Temprano) //k$



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 Por desgracia, hay poca información biográfica detallada sobre Móbius en lengua inglesa. Una introducción excelente al tema la ofrece John Fauvel con «A Saxon Mathematician» en Mobius and His Band. Fauvel también remite a los lectores a fuentes secundarias de interés acerca del nivel de los matemáticos y astrónomos alemanes de la época de Móbius. Como la madre de Móbius descendía de Martín Lutero, logré reconstruir parte del árbol genealógico de Móbius rastreando listados con unas 7900 entradas compilados por estudiosos que reúnen los nombres y las fechas de nacimiento de los descendientes de Lutero. Estos registros genealógicos antiguos me permitieron identificar a los hijos y nietos de Móbius.



:1.1 August Ferdinand Mobius (1790-1868). Frontispicio d e Gesammelte Werke (Obras completas) de Mobius. Martín Lutero



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Friedrich Sigmund Keil (pastor, 1717-1765)



August Mobius en pocas palabras



Varios miembros de la familia de Móbius fueron tanto brillantes como famosos. De hecho, la familia de Móbius debía de contar con genes especiales para la grandeza que se activaron con AugustFerdinand Móbius (1790-1868) , quien con el tiempo se convirtió en distinguido profesor de la Universidad de Leipzig (figura 3.1). O tal vez los genes procedieran de su esposa, Dorothea Christiane Johanna Rothe, quien, a pesar de ser completamente ciega, fue capaz de criar a una hija, Emilie, y a dos hijos, August Theodor y Paul Heinrich (figura 3.2). August Theodor Móbius se convirtió en uno de los mayores expertos mundiales en literatura islandesa y escandinava. El nieto Martin August Móbius llegó a profesor de botánica en la Universidad de Fráncfort y a director del jardín botánico de esa ciudad. El bisnieto Hans Paul Werner Móbius fue profesor de arqueología clásica en la UniversidadJulius-Maximilian de Wurzburgo.



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(reformador cristiano, 1483 - 1546)



Johann Heinrich Mobius (PfOfesor de baile)



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1



Johanne Keil



,,,JI Banda de MObtus. función de MObius. etc.



(1756 - 1820)



(1752 - 1792)



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August Ferdlnand Mobius (1790 • 1868)



1



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1



1lttlmlch d'Arrest- Emilie ("11fróc1otno)



August Theodor



(1822-1897)



Dorothea Rothe ( hiia de doctor en medicina)



( inVidente, 1790- 1859)



1



(exoertoenliteratura) (1821 -1890)



Helena



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Paul Heinrich ...- Juliana (1825-1889)



Georg, Maria, Sophie, Carolina, Dorothee



l inlnrlch. Walter, Elise



Martín August



(n.,rltron Jóvenes}



(profesor de botánica)



1 Werner Hans Paui (profesor de arqueoloeía) (1895-1977)



Paul Julius Mobius ( neurólo!!o , 1853-1907)



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Síndrome de Mobius



:-\.2 Árbol genealógico de August Ferdinand Mobius.



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 El nieto de Mobius, Paul Julius Mobius (1853-1907), del que se habló en la introducción, se convirtió en célebre neurólogo y siquiatra. Varias de las aportaciones de Paul fueron reconocidas por médicos posteriores que atribuyeron el nombre de Mobius a varios síntomas o enfermedades, como el «signo de Mobius», el «síndrome de Mobius» y la «enfermedad de Mobius». A pesar de su genio, Paul recibió algunas críticas por su panfleto titulado «Sobre la debilidad mental fisiológica de las mujeres». Debido a la publicación reiterada del mismo, fue acusado de misógino y, como consecuencia, tal vez algunas de sus válidas contribuciones a la neurociencia se contemplaran con escepticismo. Me topé por primera vez con el nombre de Paul Mobius varios años atrás mientras me documentaba sobre el síndrome de Mobius, el cual impide a los niños sonreír. Como imaginarán, este déficit facial puede causar grandes apuros en la vida, y en la actualidad algunos cirujanos realizan una compleja operación de microcirugía llamada «cirugía de la sonrisa» con la finalidad de activar la sonrisa mediante la reconexión de nervios y vasos sanguíneos. El síndrome de Mobius es un raro desorden genético caracterizado por la parálisis facial causado por la ausencia o el desarrollo insuficiente de dos nervios craneales que controlan el movimiento de los ojos y la expresión facial. El primer síntoma en recién nacidos consiste en la incapacidad para succionar. Puede aparecer exceso de baba y estrabismo (desviación visual). En ocasiones, las personas afectadas por el síndrome de Mobius no pueden sonreír o tragar, o sufren deformidades en la lengua y la mandíbula, y les faltan dedos o los tienen palmeados. Algunas no pueden mover los ojos de un lado al otro o siquiera parpadear. El síndrome de Mobius va acompañado en ocasiones del síndrome de Pierre Robín, una enfermedad que da lugar a una mandíbula anormalmente pequeña. Mobius el matemático estudió astronomía teórica con Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en Gotinga durante dos semestres a una edad temprana y se convirtió en director del



11l1•w1 va torio de Leí pzig en 1848. A lo largo de su vida, Mobius p1111>.1hkrncnte fue más conocido por su labor divulgadora d1• l.1 astronomía que por los descubrimientos matemáticos q11c · hoy llevan su nombre. La banda de Mobius de una sola í ¡11 ,1 110 cobró celebridad hasta después de su muerte. 1ksdc un punto de vista más general, Mobius sentía fas• \11.1< iún por las superficies que pudieran representarse en 11'i 1•111i11os de facetas triangulares unidas entre sí de maneras i 1h t·1sas. Por ejemplo, estudió ristras de triángulos dispuestas d1 t.d modo que la tira resultante se pudiera girar y unir por 111"1 1·x t remos para formar una superficie de una sola cara. Las 1111oli1ciones de Mobius indican que desarrolló este concepto í ' 11 st' t icmbre de 1858. Este descubrimiento de lo que ahora fl• .11oininamos la cinta de Mobius se publicó en un artículo il1 • 1H65 titulado «Sobre la determinación del volumen de 1111 poliedro». En dicho artículo, Mobius demostró además q111· se pueden concebir poliedros (objetos de varias caras, 1111110 el tetraedro) carentes de volumen. /\veces sueño que me remonto a la época de mediados del 1gl11 XlX y visito aMobius para comunicarle la fama que alean·"·' su banda algún día. El año 1858 fue especial en Europa 11111 numerosas razones. No solo fue el año en que Mobius tdl'n su cinta, también fue el año en que Darwin anunció su 11·011a de la evolución y en que Friedrich Nietzsche recibió 1111.1 beca para estudiar en una selecta escuela preparatoria de "i1 l11dpforta, localidad donde nació Mobius. Y, como pequeña 111vi;didad final, en 1858, Hyman L. Lipman de Philadelphia p.1lt•nt ó un lápiz con goma de borrar incorporada. <:orno ocurre con otros grandes logros científicos y mate111.11 iros, Mobius descubrió la cinta de Mobius al mismo ttt ·111po que un estudioso contemporáneo suyo, el mate111.lliro alemán Johann Benedict Listing (1808-1882). De 111:11H''"' independiente, Listing «Se topó» por primera vez 1Pll dicha superficie en julio de 1858 y publicó sus descul 111111kntos en 1861. Sin embargo, Mobius pareció llevar el 1Pllt q>IO algo más lejos que Listing mediante un estudio () :1



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 más concienzudo d el conce pto de orie ntabilidad en rel ación con las superficies de Mobius. Trataremos La orientabilidad en capítulos venideros. Mobius también estudió gran número de otras superficies con una sola cara que, como él decía, tenían la propiedad «extraordinaria» de dar origen a objetos de volumen nulo. A pesar de todas mis indagaciones bibliográficas no he conseguido hallar ninguna referencia a esta superficie de una sola cara anterior a Mobius y Listing, lo cual sorprende bastante dada la sencillez de la banda. El descubrimiento simultáneo de la cinta por parte de Mobius y de Listing, al igual que ocurrió con el análisis matemático por parte de Isaac Newton (1642-1727) y el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), me lleva a plantearme por qué tantos hallazgos científicos se han logrado al mismo tiempo a través de gente que trabajaba de forma independiente. Por ejemplo, tanto Charles Darwin (1809-1882) como Alfred Wallace (1823-1913) desarrollaron la teoría de la evolución por separado. De hecho, en 1858, Darwin anunció su teoría en un artículo presentado al mismo tiempo que otro de Wallace , un naturalista que había desarrollado asimismo la teoría de la selección natural. Otro ejemplo de simultaneidad lo encontramos en el desarrollo simultáneo e independiente de la geometría hiperbólica por parte de los matemáticosjános Bolyai (1802-1860) y Nikolai Lobachevski (1792-1856). La historia de la ciencia de los materiales está repleta de hallazgos simultáneos. Por ejemplo, en 1886, el estadounidense Charles Martín Hall (1863-1914) y el francés Paul Héroult (1863-1914) d escubrieron al mismo tiempo y de forma independiente el proceso electrolítico para refinar el aluminio usando el mineral de la criolita. Este método económico para aislar el aluminio puro de otros compuestos ejerció gran impacto en la industria. Lo más probable es que estos hallazgos simultáneos se produjeran porque había madurado el momento de su eclosión debido a los conocimientos acumulados por la huma-



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11111.111 hasta el in stant e e n que se log ra ro n. Por o tra parte, :a lg unos místi cos sostien e n que estas coincidencias tienen un ~ i g 11ifi c acl o m ás profundo. El biólogo austriaco Paul Kamme11 •1 ( 1880- 1926) escribe: «Obtenemos así la imagen de un 111osai co d el mundo o calidoscopio cósmico que, a pesar de e' ' 1>< ·rim e ntar desbarajustes y redistribuciones constantes, t. 1111hié n se esfuerza por encajar cada vez más». Él compa1·a 1>a los acontecimientos del mundo con las crestas de las 11 l.1s (' n el océano, que parecen aisladas y sin relación entre 1, .'-;('gún su controvertida teoría, percibimos las crestas de l.1 .... o las pero, bajo la superficie podría actuar algún tipo de 11 11 ·<·a n ismo sincronizador que misteriosamente conectara los , 11 1>11 tecimientos del mundo y los obligara a concentrarse.



Mü bius: el «relojero» de las matemáticas \u g ust Ferdinand Mobius nació en 1790 en Schulpforta, .'-l. 1jo 11ia (actualmente Alemania) . Esta ciudad, situada en pl 1· 11 0 centro de Europa entre las ciudades de Leipzig y J ena (fi g ura 3.3), era una próspera comunidad escolar donde el ¡1. 11 lrc de Mobius enseñaba danza. Esta localidad sajona pasó 1 f mm ar parte de Prusia en 1815. 3.3 Shculpforta, ciudad de nacimiento de Mobius.



Mi'> l>i11s nació en una época d e grandeza e inmensos cam65



 bios. Wolígang Amadeus Mozart ( 1756-1791) componía por entonces sus sinfonías en Viena y murió poco después del nacimiento de Mobius. Ludwig van Beethoven (1770-1827) contaba veinte años y tocaba la viola. El poeta, dramaturgo y novelistaJohann Wolfgang von Goethe (1749-1832) visitó Italia en varias ocasiones durante los años previos a 1790, lo que reforzó su entusiasmo por las formas en verso en obras tales como Ifigenia en Táuride (1787) y Torcuato Tasso (1790). Mientras, al otro lado del Atlántico, fallecía Benjamín Franklin en el año 1790. La madre de Mobius descendía de Martín Lutero, el teólogo alemán cuyas enseñanzas inspiraron la reforma protestante. Su padre, Johann Heirich Mobius, murió cuando August tenía unos tres años y la fecha de su muerte corresponde a 1792 o 1793. Mobius quedó fascinado por las matemáticas a una edad temprana pero no recibió una formación convencional fuera de casa hasta que cumplió los trece años. A la edad de dieciséis, tropas francesas vencieron a Prusia y Sajonia en la batalla de Jena, a pocos kilómetros de casa. Aunque aquella derrota de 1806 fue impactante y desmoralizadora, propició un renacimiento de la cultura alemana. Para recuperar el honor y el prestigio, los alemanes iniciaron un periodo de autocrítica y empezaron a reformar su programación económica y educativa. Las escuelas y la docencia se volvieron centrales en la sociedad. Los docentes de escuelas superiores adquirieron ahora gran estima. En concreto, la enseñanza de las matemáticas cobró mayor importancia y categoría. En 1809, Mobius terminó la enseñanza superior e ingresó como alumno en la Universidad de Leipzig, una de las más antiguas de Alemania. Al igual que muchas familias actuales, la familia de Mobius también aspiraba a que este estudiara para labrarse una profesión de prestigio, como la jurisprudencia. Mobius acató las demandas familiares durante el primer año de estudios pero, transcurrido este, se sintió



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d1· Nl>ordado por la pasión por las matemáticas, la astrono1111.1 y la f"ísica, y consideró mejor regirse por el corazón que 1 11111placcr a su familia. No tardó en convertirse en un mate111:1tico y astrónomo de talento. F.11 1813 Mobius viajó a Gotinga, donde estudió astrono1111.1 ron Carl Friedrich Gauss, matemático de fama mundial. Sq .!/111 Calvin Clawson en su obra Mathematical Mysteries, < :.111ss consideraba a Mobius su alumno más capacitado. M1ichos de los grandes matemáticos de la época de Mobius 1·1.111 astrónomos; la astronomía era una profesión más cient d irn y mejor considerada antes de que florecieran las mate111.1 ticas puras. La tesis doctoral de Mobius, La ocultación de "" r strellas jijas, fue seguida por una tesis posdoctoral: Ecua, 11111r s trigonométricas. (Las ocultaciones se producen cuando 1111 objeto en movimiento, como un planeta o la Luna, tapa l.1 luz procedente de cuerpos más distantes, como otro pl<111t·ta o una estrella). Hacia este tiempo, faltó poco para q11t" lo n·clutaran en el ejército prusiano. Se resistió escribiendo q1 H ' la idea del reclutamiento, y de su reclutamiento en parli1 1dar, era la «más horrible» que había oído jamás, y amenazó 11111 que quienquiera que «osara, se atreviera, se aventurara 11 tu viera la audacia de proponer aquello» no escaparía de 11 veloz y afilada daga. Jamás se vio obligado a servir en el 1



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1·j1'·rcito. Móbius se dedicó a sus pasiones y fue elegido para formar ¡1.1rtc de la cátedra de astronomía y mecánica superior de l;1 Universidad de Leipzig en 1816. Pero, por desgracia, no 1.·r:1 tan brillante orador como matemático, una carencia que 1·11ó su ascenso al puesto de catedrático. En 1820 se casó y



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111 .ís tarde tuvo tres hijos. S('gún Issak Moiséievich Yaglom, autor de Felix Klein and Su/Jh:ns Lie, toda la vida de Mobius transcurrió esencialmente 1·11 11na sola ciudad y un solo edificio. Sus mayores «aventu' .is)) consistieron en la etapa que pasó como estudiante en < :< lt inga y las dos o tres excursiones por Alemania que realizó



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 de joven. A pesar de su antimilitarismo mordaz, Mobius permaneció quieto, pensativo y reservado durante la mayoría del tiempo, un solitario dedicado al desarrollo meticuloso de sus razonamientos matemáticos. Su cuidado por el detalle se torna manifiesto en las diversas fórmulas nemotécnicas que lo ayudaban a organizarse y a no tener olvidos. Por ejemplo, antes de salir a pasear, recitaba la fórmula alemana «3S und Cut», para recordar la letra inicial de los objetos de debía llevar consigo: Schlüssel (llave), Schirm (paraguas), Sacktuch (pañuelo), Geld (dinero), Uhr (reloj) y Taschenbuch (libreta) . Su vida tipificaba la regularidad. Cada noche tomaba notas en un diario científico a través del cual se puede trazar la evolución de sus pensamientos. Los hábitos de trabajo de Mobius, su personalidad y su vida privada ejercieron gran influencia en su carrera matemática. Por ejemplo, sus escasas dotes como docente disuadieron a potenciales alumnos de tomar sus clases de pago. De modo que se vio obligado a impartir los cursos gratis para tener estudiantes. Esto recuerda a otras mentes privilegiadas que también fueron mediocres para la enseñanza. Por ejemplo, a las clases de Isaac Newton en Cambridge asistían tan pocos alumnos que a menudo le hablaba a las paredes. En 1844, al fin, la Universidad de Leipzig ofreció a Mobius una cátedra de astronomía. Mobius era una persona hogareña. Su vida giraba únicamente en torno a sus estudios y su familia. Esta concentración en la familia tal vez condicionó su vida académica en cuanto a que poca gente leyó sus artículos, aunque su obra fuera original. En ocasiones, Mobius descubría que otros llegaban a sus mismas ideas años después que él, y las publicaban ignorando por completo su trabajo. Por último, Mobius era un relojero de números que realizaba una labor lenta y metódica. Cada una de sus ideas matemáticas funcionaba como un engranaje que debía encajar en el resto de las piezas con la máxima precisión. Según el



lti .'1~\' ·do Ridrnrd Baltzcr, editor de August Mobius Gesammelte \\,.1/11' ( .. Obras completas de August Mobius»), l .. 1 i11spiración para sus estudios la halló sobre todo en el lfll• lll'(·ro pozo de su propia mente original. Su intuición, 111 '4 111·11l>lcrnas que se planteó, y las soluciones a las que llegó, 111tl• 1 r('vc la algo de un ingenio extraordinario ... Trabajó sin pl'i -1.1. .. casi e ncerrado bajo llave hasta dejar todo situado en 1 1 lt1 gar que le correspondía. Sólo después de esperas así, ¡111lili n 1ba sus perfeccionadas obras ... 1j11hor investigadora de Mobius Ml1l>i11s trabajó desde 1827 hasta 1831 en geometría analítica, 11 .111sl'ormación proyectiva y estructuras matemáticas bien • •11111ridas en la actualidad y con nombres tales como «redes 1l1 Mi>bius», «función de Mobius», «estática de Mobius», 11.111sl'ormación de Mobius» y «fórmulas de inversión de 1\'111l>i 11s». Su artículo titulado Über eine besondere Art von Umke1111111g rler Reihen introdujo la fascinante función de Mobius 1p1t· sol o afecta a los números-1, O y +l. Comentaremos esta 111111 iún con gran detalle en el capítulo 5. l'vl ú hius se interesó asimismo por las matemáticas del 111lrn t'ado de mapas, tal como revela el pequeño problema qtw planteó en 1840. Dice algo así: Hace años hubo un 1•'\ q11<' te nía cinco hijos. En su testamento ordenó que a 11 11111crte el reino debía dividirse entre sus hijos en cinco 1,_g1011<:s tales que cada una de ellas lindara con las otras 111 :111 o . ¿E ra viable cumplir su voluntad? La respuesta es no . \l l-\ 1111os m a nuales de matemáticas muy conocidos sostienen q11c · Mübius planteó en un primer momento la conjetura tlt-1 111<1¡M de cuatro colores afirmando que cuatro colores h. 1 ~ t.111 para confeccionar cualquier mapa sobre un plano de 111:111t ·1·a in equívoca. Sin embargo, el problema de los «Cinco ltij ••"" g m1rcla m e nos relación con la conjetura de los cuatro • 11 1111 « S d e lo qu e podría parecer a primera vista. Si la res-



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 puesta hubiera sido afirmativa, entonces la coajetura d e los cuatro colores resultaría falsa. Trataremos la inmensa variedad de aportaciones de Mobius a las matemáticas en el capítulo 5. Ya hemos mencionado algunas de sus obras astronómicas, como la tesis sobre ocultaciones de estrellas fijas. He aquí una recopilación de algunos de los títulos de sus artículos y tratados matemáticos:



• 1815, Disquisición analítica sobre ciertas propiedades peculiares de las ecuaciones trigonométricas • 1827, El cálculo del baricentro • 1829, Relaciones métricas en el área de la geometría lineal • 1829, Demostración de un nuevo teorema sobre estática, descubierto por el Sr. Charles • 1831, Desarrollo de las condiciones de equilibrio entre fuerzas que actúan sobre un cuerpo sólido libre • 1833, Sobre un tipo especial de proporción dual entre figuras en el espacio • 1837, Sobre el punto medio de fuerzas no paralelas • 1837, Manual de estadística • 1838, Sobre la composición de rotaciones infinitamente pequeñas • 1847, Generalización del teorema de Pascal en relación con un hexágono inscrito en una sección cónica • 1848, Sobre la forma d e curvas esféricas carentes de puntos especiales • 1849, Sobre la ley de sime tría de los cristales y la aplicación de esta ley a la división de cristales en clases • 1850, Sobre una demostración de la ley de fuerzas del paralelogramo • 1851 , Sobre figuras simétricas



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Contribu ció n a la teoría para la resolució n d e ('n1<1 c ion cs numé ricas 1Hr>'.i, Sobre una relación nueva entre figuras planas 1H!>3, Sobre los puntos de involución en el plano 1854, Dos d emostraciones puramente geométricas del teo rema de Bodenmiller 1855, La teoría de transformaciones circulares en un marco puramente geométrico 1855, Sobre involuciones de órdenes superiores 1856, Teoría de involución colineal d e pares de puntos en un plano o en el espacio 1857, Sobre círculos imaginarios 1858, Sobre círculos conjugados 1862, Desarrollo geométrico de las propiedades de un haz de rayos infinitamente fino 1863, La teoría de las relaciones elementales 1865, Sobre la determinación del volumen de un polied ro



0 /rras póstumas de Mobius: Sobre la teoría de los poli edros l.1 s relaciones elementales; Teoría de figuras simé tri cas; So bre un problema acústico; Sobre el cálculo de los fondos d i' reserva de una compañía de seguros de vida; y Sobre la 11111a y Ja multiplicación geométrica. l .11 muerte de Mobius



\ lo la rgo de la vida de Mobius (1790-1868), la práctica y ' 1 p res tigio de las matemáticas aumentaron de un modo 1 'l¡>(T tacular en Alemania. Durante la infancia de Mobius, ,\ lt·111a nia contaba con muy pocos matemáticos destacados, 1w 1n e n el momento de su fallecimiento tenía la supremacía 1. 11 (' 11a nto a matemáticas y matemáticos célebres. Esta época 111· ilustración en las matemáticas germanas se vio favorecida



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 • 1H~1 , nace su hUo /\ugusl Thcodor • 1H~2, nace su hija Emilie • 1H2!), nace su hijo Paul Heinrich • 1H27, miembro de la Academia de ciencias de Berlín



cuando Prusia unificó numerosos estados alemanes independientes, entre los cuales figuraban algunos con toda una historia común de acrimonia y contienda. En su máximo esplendor, Prusia abarcaba la llanura septentrional alemana que va desde las fronteras de Francia, Bélgica y Holanda por el oeste hasta regiones próximas a la frontera lituana y territorios que ahora pertenecen a Polonia oriental. Mobius falleció tras cumplir cincuenta años de docencia en Leipzig. Su bella esposa ciega, Dorothea, había expirado nueve años antes. Tras su muerte, los historiadores de la ciencia recuperaron la memoria que Mobius había presentado ante la Académie des Sciences donde trataba las propiedades de las superficies de una sola cara, como la banda de Mobius, la cual había descubierto en 1858. Mobius no tenía ni idea de que su nombre quedaría inmortalizado para siempre por una pequeña banda de papel con un giro que en la actualidad de usa en innúmeros campos.



W falso animal primigenio



Datos cronológicos de August Ferdinand Mobius



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He aquí muchas de las fechas importantes en la vida de Mobius:



• 1790, nace en Shulpforta, Sajonia • 1793, fallecimiento del padre • 1809, ingresa como estudiante en la Universidad de Leipzig • 1813, viaja a Gotinga. Estudia con Gauss • 1815, termina la tesis doctoral sobre la ocultación de estrellas fijas • 1816, lo nombran profesor extraordinario de astronomía en Leipzig • 1818-1821, supervisa el observatorio de Leipzig • 1820, contrae matrimonio con Dorothea Rothe



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• 1827, publica El cálculo de baricentros • 1831 , publica el artículo que introduce la función de Móbius • l 8~4-1836, escribe tratados populares sobre astronomía • 1837, escribe un manual sobre estática (dos volúmenes) • 1844, lo nombran catedrático de astronomía en Leipzig • 1848, lo nombran director del observatorio de Leipzig • 1853, nace su nieto PaulJulius Mobius • 1858, descubre la banda de Mobius • 1859, fallece Dorothea, su esposa • 1868, muere Ausgust Mobius en Leipzig



el presente libro es un «álbum de recortes» con ideas qtw me interesan, concluyo este capítulo con una digresión '11 >hrc la vida de otro Mobius famoso, Karl August Mobius ( 1825-1908), destacado zoólogo y biólogo marino alemán. M11rhos de los descendientes de August Ferdinand Mobius !'l iµ,11icron carreras relacionadas con la medicina o las ciencias 11.11urales. Así, tenemos a Martin, el profesor de botánica; 1 lans, el arqueólogo; y Paul, el neurólogo. Karl, el biólogo 111 ;1rino, nació el mismo año que uno de los hijos de Mobius, ¡><'n> no creo que descendiera de nuestro Mobius matemáliro. Aún así, la eminencia del doctor Karl Mobius en Ale111a 11ia, al igual que la de otras figuras Mobius entregadas ,, las ciencias, despierta curiosidad en gente que, como yo, ;-11<·11tc fascinación por el apellido Mobius, el cual denota en l.1 41<'1 ualidad sabiduría y brillantez. Karl August era hijo del c;11n·tcro Gottlob Mobius y de Sophie Kaps, y se encargó de



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 construir el primer acuario público de Alemania. Asimismo fue uno de los mayores expertos mundiales en anatomía de cetáceos y la formación de perlas. Pero lo que más fama le reportó fue el descubrimiento de que el Eozoon canadense, considerado hasta entonces un ser vivo, es en realidad jUn agregado mineral! Este misterioso agregado biomórfo se conoce en la actualidad como «el falso animal primigenio». La apariencia de ser vivo del Eozoon cadenseengañó a mucha gente. Por ejemplo, en el discurso presidencial que pronunció en 1864 ante la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia, sir Charles Lyell distinguió este fósil como «uno de los grandes hallazgos geológicos» de su tiempo. En la cuarta edición de El origen de las especies (1866), Charles Darwin se mostró encantado de poder citar el Eozoon como primera prueba fósil de que la sucesión de la vida en la Tierra partió de organismos unicelulares simples para devenir en animales y plantas multicelulares complejos. El escándalo del Eozoon comenzó cuando sirJ ohn William Dawson, uno de los geólogos más sobresalientes de mediados del siglo XIX, concluyó que el Eozoon era en realidad el caparazón de un protista unicelular que incluía cámaras y conductos, pero cientos de veces más grande que cualquiera de las formas vivas de su tiempo. En 1865 otorgó al supuesto fósil el nombre formal de Eozoon canadense, el «animal primigenio de Canadá». Otros sostenían que el Eozoon era inorgánico y consistía meramente en una estratificación mineral en mármol. Durante una década se libraron debates cada vez más acalorados. Al final, en 1879, Karl Mobius demostró que el Eozoon no era en absoluto una criatura: no tenía ni una sola característica propia de un protista. En pocos años prácticamente no quedó nadie que creyera en el animal primigenio, el cual se fue desvaneciendo en silencio como un atardecer postrero.



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1:11.1so del J~'ozoon es uno de los muchos en la historia de l.1 1'11·11<·i;1 que sugieren que los descubrimientos científicos tldw11a11 simbolizarse como una banda de Móbius despleH·" l.1 s' >l>rc el tiempo. En muchos aspectos, el conocimiento se 1 lc ·11 11laz;i sobre una cinta de Móbius que no para de moverse. e .11 l.1 vi;.yc alrededor de un giro nos muestra el universo y 111'1 1onocimientos previos desde una perspectiva distinta a 1itc elida que cambian las teorías y surgen otras nuevas. Alguti11<1 f( ·ycs científicas gozan de una aceptación generalizada d111.111tc siglos pero con posterioridad requieren revisiones 11 1111s('rvaciones. De hecho, la ciencia progresa sobre todo I''" q11 e las teorías y leyes nunca son completas. La ley de h1 gravitación de Newton nos permite predecir el desplaza111i1 ·1110 de proyectiles y bolas de cañón. Pero no predice con 1 ,, ,r titud la curvatura de los rayos de luz que pasan junto a la 'l 11 ·1ra. Esta observación nos obliga a recurrir a la relatividad H' 11<'ral de Einstein, la cual generaliza la ley de Newton. Por t.11110, las leyes científicas suelen definir aquello que la huma111clad sabe acerca del mundo en un instante temporal con1 11 ·to. Las leyes son cruciales para explicar cómo funciona la 11 .didad. Pero las leyes científicas funcionan como cuadros ti oleo donde en un primer momento se han esbozado moti' 11s visuales importantes, pero aún quedan pinceladas por .i 11.1dir. Cuando ya no falta ninguna pincelada, termina el 1v; 111 ce científico. Considero que Isaac Asimov tenía una idea .11 ntada sobre el futuro del conocimiento cuando escribió 1•11 su autobiografía, Memorias: «Creo que el conocimiento 1 w11tífico tiene propiedades fractales; que, por mucho que :1prcndamos, lo que falte, por pequeño que parezca, posee 1111:1 complejidad tan infinita como el total del que partimos. l•'.s(', creo, es el secreto del universo». 1



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 El enigma del Laberinto de Mobius De los miles de laberintos que he estudiado tanto de niño como de adulto, mi favorito lo constituye «El laberinto de Mobius» extraído de la obra Mind-Boggling Mazes de Dave Phillips (figura 3. 4). Parta de un gusano y llegue hasta el otro reptando por la parte interior y exterior de las sendas. Tenga en cuenta en qué lado de la senda se encuentra y que no debe atravesar ningún borde. (Busque la respuesta en el apartado de soluciones.)



t•:t rt1111i110 dt• /0.1 1•xr1•.1·os ro11(/11 rt' al /J(/,lario rfr la sabiduría ... y el camino es una banda de Mobius.



Bana Witt, Mobius Stripper Todos los controles ceden, y Juera fluyen miradas y palabras y (Idos y fantasías y una cinta de Mobius digna de verse formada por dos cuerpos que se deslizan y resbalan uno sobre el otro. La intensidad torna un tanto embarazoso hablar de ello con posterioridad, mientras comes galletas en la cocina pensando «¿qué demonios fue AQUELLO!».



Nobert M. Alter y Jane Alter, How Long Till My Soul Gets It



Right?: 100 Doorways on the Journey to Happiness



3.4 El «Laberinto de Mobius» de la obra Mind-Boggling Mazes de Dave Phillips (Nueva York: Dover, 1979). Visite su sitio en Internet, www.ebrainygames.com.



La banda de Mobius y la vida licenciosa La banda de Mobius tiene la ventaja de que muestra la inflexión de la mente en el cuerpo y del cuerpo en la mente, las maneras en que, a través de un determinado giro o inversión, un lado se convierte en el otro. Este modelo ... ofrece una vía para problematizar y replantearse las relaciones entre el interior y el exterior del sujeto, su interior síquico y su exterior corpóreo, mediante la revelación, no de su identidad o reductibilidad fundamental, sino de la torsión del uno en el otro, el tránsito, el vector, o la deriva incontrolable del interior hacia el exterior y del exterior hacia el interior.



Elizabeth Grosz, Volatile Bodies: Toward a Corporeal Feminism 76



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'l'l•'. C:NOLOGÍA, JUGUETES, MOLÉCULAS Y PATENTES



Mientras se sostiene fija la cara AB, se gira la banda con un ángulo de 180 º sobre su línea central paralela a AB: hasta que AB' sea opuesta a AB, y entonces se une AB ' con A.



A ugust Mobius, «Poliedros de una sola cara'" en Gesammeltc Wcrkc



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 En la novela Doorways in the Sand d e Roger Zelazny, el protagonista encuentra una «máquina Rhennius», un ingenio extraterrestre caracterizado por una banda de Mobius. Al principio, la función del artefacto no está clara, pero parece capaz de reflejar, invertir o darle la vuelta a los objetos que pasan por su abertura. La humanidad recibió la máquina tras un intercambio de tecnología con alienígenas. A mi lado/ de bajo de mí, donde me en con traba suspendido a menos de medio metro del suelo, zumbaba la máquina Rhennius: tres cajas de color negro azabache dispuestas en línea sobre una plataforma circular que rotaba despacio en sentido antihorario y donde, de cada unidad de los extremos, salía un eje -uno vertical, otro horizontalpor el que pasaba lo que parecía una banda de Mobius de un metro aproximado de ancho. La primera vez que leí acerca del artilugio Rhennius hace una década, m e pregunté si la cinta de Mobius se usaría con algún aparato real en la actualidad. Llegué a obsesionarme mientras buscaba en el archivo estadounidense de patentes y poco a poco descubría innumerables aplicaciones prácticas en la tecnología moderna. Este capítulo, motivado por mi interés en el extravagante mecanismo Rhennius de Zelazny, constituye el resultado de mi búsqueda constante para catalogar todas las aplicaciones importantes de la banda de Mobius en aparatos contemporáneos. Patentes matemáticas



Según un artículo reciente en Economist, el número de solicitudes de patentes en la Patent and Trademark Office (PTO, «Oficina de patentes y marcas registradas») estadounidense aumenta a un ritmo aproximado del 6 por ciento anual. El tiempo de espera para obtener una respuesta es en promedio de veintisiete meses, y mucho más en el caso de solicitudes complejas relacionadas con ciencias avanzad as. E n 2003 80



l.1 PTO recibió alred edor d e 350 000 solicitudes, y en 2004 1•s1:1 oli cina acumuló un retraso de más de medio millón de 'loliritudes por revisar. Otros países se están encontrando asi111isino con un incremento espectacular de propuestas. Por l' j1·rnplo, las solicitudes en la oficina de patentes de China se 11111ltiplicaron por cinco desde 1991 a 2001. 1.as fórmulas matemáticas y las figuras geométricas no se pu ed e n patentar; sin embargo, cuando aparece una aplica<11í n nueva de las matemáticas o la geometría, útil y poco 11 l>via, a veces se logra una patente. Del mismo modo, cuando 11 na figura tiene mérito artístico y difiere de otras figuras 10 11 ocidas, quien la inventó puede obtener una patente de diseño. Las patentes de diseño tienen un valor limitado para "1 11s inventores porque las variaciones de un diseño no siempre infringen la patente. l ,as patentes basadas en formas matemáticas abundan 1>as tan te y van en aumento. Por ejemplo, muchas docenas e le patentes se centran en originales aplicaciones del dode1 aedro (un objeto con doce caras pentagonales) , desde p1 gue tes hasta monitores espectrométricos de neutrones pa ra aeronaves, edificios populares, o estructuras porosas l 1i ocompatibles y autosuficientes utilizadas para reemplazar 111i1sa ósea (Pat. estadounidense 6 206 924, concedida en ' 1001)



(figura 4.1).



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11.1 Un a fi gura de la patente «Estructura porosa biocompatible de f,;('O lll Clría tridimensional creada mediante ingeniería para utilizarla < 0 111 0 sustitució n de masa ósea o como aumentador de fusión » (es d('r ir, and a miaj e de d o decaedros sobre el que puede crecer el hueso).



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 Otras patentes aplican a todo la figura en forma de ocho conocida como lemniscata, desde antenas militares (Pat. estadounidense 6 255 998, concedida en 2001) (figura 4.2) hasta chupetes para niños (Pat. estadounidense 6 514 275, concedida en 2003).



4.2 Una figura de la patente «Elemento de antena lemniscata».



La curva astroide en forma de diamante sirve de base al invento «Leva de carrera para un embrague de rodillo», y varias clases de poliedros aparecen en patentes que engloban desde hoyuelos de pelotas de golf (Pat. estadounidense 6 749 525, concedida en 2004) hasta soportes para reflectores parabólicos (Pat. estadounidense 4 295 709, concedida e n 1981) (figura 4.3).



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4.3 Una figura de la patente «Reflector parabólico formado por una pluralidad de piezas reflectoras triangulares que crean una superficie reflectora sostenida sobre un entramado con una figura geométrica determinada». H:.i



1.1110 de tn is usos f~1vori tos de las matemáticas en paten1c'"l :1p<1rcce en numerosas aplicaciones del triángulo de lfr11k;111x , un triángulo cuyos lados exhiben una curvatura u .¡ 1w<·ial que ilustro en la conclusión de este libro. Estas p.1l( '11Les se centran en instrumentos para taladrar que l111111an agujeros cuadrados. Al principio, la idea de una 111<1n 1que crea orificios casi cuadrados contradice el sentido c 0111t'tn. ¿Cómo es posible que una broca giratoria dé lugar . 1 ;tl go distinto a un orificio circular? Pero existen taladros l.dcs , cuya sección transversal está definida por un triángulo de · Re uleaux, el cual debe su nombre al distinguido inge1tit·ro mecánico Franz Reuleaux (1829-1905). Por ejemplo, l.1 figura 4.4 pertenece a la patente de 1978 para un «Taladrn de orificio cuadrado» (Pat. estadounidense 4 074 778). 11'. I l riángulo de Reuleaux también aparece en patentes de ni rns artilugios perforadores, así como de frascos originales, 11tlos, latas de bebida, cirios, archivadores rotatorios, cajas e k cambios y armarios.



4.4 Una figura de la patente de 1978 (Pat. estadounidense 4 074 778) que describe un artilugio perforador para taladrar un orificio cuadrado basado en el triángulo de Reuleaux.



!\ los lectores aficionados a las matemáticas les resultará t:í ril confeccionar un triángulo de Reuleaux. Primero se 1>i11 la un triángulo equilátero con un lado de longitud r. 1kspués se centra un compás en cada vértice (esquina) y se traza un arco de la misma longitud que la distancia que 83



 media entre los otros dos vé rti ces. El perímetro del lnangulo de Reuleaux consistirá en los tres arcos conectados y se parece al triángulo curvo que aparece en el extremo de inferior la figura 4.4. Muchos matemáticos han estudiado el triángulo de Reuleaux, de modo que sabemos mucho acerca de sus propiedades. Por ejemplo, su área es



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y, el área que taladra esta variedad de broca cubre 0.9877003907 ... del área de un cuadrado verdadero. La pequeña diferencia se debe a que la broca de Reuleaux da lugar a un cuadrado de esquinas ligeramente redondeadas.



1111 nl~j(·to sin ('a 111biar de< i11ta. l la11is sostiene que el incre111< ·1110 de la s11pcrficie abrasiva de la cinta permite utilizarla p:1ra reducir espacio en máquinas abrasivas mediante cintas 111:1s cortas capaces de realizar el trabajo de una cinta ordi11 :1ria más grande. Por tanto, con su invento, Harris lograba prolongar la vida de una cinta abrasiva ofreciendo una superli<'ic pulidora mucho mayor sin incrementar la longitud de l.1 ('inta. «Si se quiere, una cinta con la mitad de la longitud ~w puede utilizar en muchas instalaciones que requieren una st1pcrficie abrasiva específica, puesto que el área abrasiva se 111ultiplica por dos sin necesidad de cambiar de cinta.» .1



Bufé libre de patentes con la banda de Mobius l6



La banda de Mobíus ha encontrado infinidad de aplicaciones en tecnología, química e ingeniería. Se han concedido varías patentes a bandas de Mobíus en cintas transportadoras diseñadas para rendir por igual por ambas caras, en juguetes y en dispositivos electrónicos. Una de las primeras patentes fue la estadounidense obtenida por Lee De Foresten 1923 para una tira de película de Mobius que graba sonido por ambos «lados». Un concepto similar se aplicó más tarde a casetes, de tal modo que una cinta girada siguiera un bucle continuo el doble de largo que sin girarla. Las patentes de Mobius empezaron a tener éxito a finales de la década de 1940 y comienzos de los años cincuenta con la concesión a Owen H. Harris en 1949 de la patente para una cinta abrasiva de Mobius que incrementa considerablemente la superficie pulidora o lijadora (Pat. estadounidense 2 479 929) (figura 4.5). Harris describe una cinta de Mobius con una superficie abrasiva (por lo común consistente en un recubrimiento de sílex, granate, corindón o carborundo) por ambos lados de la misma y que se expone de manera uniforme H11



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Owen H. Harris



4.5 Una figura de la patente de 1949 de H. Harris relacionada con una cinta abrasiva de Mobius que incrementa considerablemente la superficie pulidora o lijadora.



Se han empleado cintas de Mobius inmensas a modo de correas transportadoras más duraderas porque el desgaste se reparte por toda el área de la superficie. La B. F. Goodrich ( ;ornpany patentó una correa transportadora en forma de banda de Mobius que dura el doble que las correas convcn cionales. En 1957, James O. Trínkle, trabajador de B. F. 8!)



 Goodrich, consiguió la patente de una correa transmisora de Mobius flexible destinada al transporte de materiales calientes como cenizas y arena de fundición (Pat. estadounidense 2 784 834). En esta patente, Trinkle escribe que la correa dura más si se expone al contacto de material caliente. A medida que la correa completa un giro después de cada vuelta de la cinta por las poleas, muestra de forma alterna la cara opuesta resistente al calor para acarrear el material candente. La figura 4.6 muestra un corte lateral de la correa transportadora de Trinkle. El giro de Mobius se produce en el punto señalado como 35, con la ayuda de los rodillos guía 33 y 34.



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t<·< ·11ología at6micas en éporn de pa:t.. El dispositivo de Davis ,..,,. p;ireda a una banda de Mobius de tres capas donde una tira 110 conductora aparece rodeada por una lámina metálica. 1>.ivis d esc ubrió que, cuando fluían pulsos eléctricos en ambas direrciones alrededor de la lámina, la banda mostraba unas 1>rnp icdades eléctricas curiosas. Entendió su utilidad para cir<11 itos de alto voltaje y alta frecuencia, sobre todo en aplicacio1H ·s relacionadas con pulsos, como el radar, donde el diseño ' d funcionamiento de estos circuitos se ve muy afectado por 1111a reactancia desconocida en los propios componentes del 1 ircuito o un acoplamiento indeseado entre componentes».



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4.6 Una figura de la patente de 1952 de O. Trinkle para una cinta transportadora de Mobius flexible utilizada para transportar material caliente como cenizas o arena de fundición.



La década de 1960 deparó patentes de Mobius en campos más diversos, desde máquinas de limpieza en seco a componentes eléctricos. Por ejemplo, en 1964, Richard Davis inventó una resistencia no reactiva en forma de cinta de Mobius (Pat. estadounidense 3 267 406, concedida en 1966) (figura 4.7). Davis trabajaba para la Comisión de Energía Atómica Estadounidense, la cual era dueña de la patente y se había fundado casi un año después del fin de la Segunda Guerra Mundial con la finalidad de controlar el desarrollo de la ciencia y 8()



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1.7 Una figura de la patente de 1966 concedida a Richard Davis por una resistencia eléctrica en forma de banda de Mobius. 4.8 Una figura de la patente de 1967 concedida ajames W. Jacobs por un filtro autolimpiante en forma de cinta de Mobius para máquinas de limpieza en seco.



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1'. 11 1967, cuando trabajaba para General Motors,James W. ¡.1< obs patentó un filtro autolimpiante en forma de cinta de ívlt1 l>ius para máquinas de limpieza en seco (Pat. estadounidl'11se 3 302 795) (figura 4.8). El rendimiento de las máquinas cl1· limpieza en seco depende de la eficacia de los elementos liltradorcs para eliminar contaminantes del disolvente lim1



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 piador seco en circulación. Con el filtro autolimpiante de cinta de Mobius,Jacobs presenta un circuito cerrado de cinta con medio giro donde cada sección se empapa y seca por tramos, de manera que primero se filtran los contaminantes del líquido en el filtro de Mobius, y después se eliminan del elemento filtrador. La configuración ideada por Jacobs permite limpiar con facilidad la suciedad y la pelusa de ambos «lados» del filtro en forma de cinta de Mobius. En 1986, Thomas Brown obtuvo una patente por un condensador de Mobius (Pat. estadounidense 4 599 586) (figura 4.9). Brown usa la resistencia de Mobius ideada por Davis como estructura interior de su condensador. En concreto, el condensador de Mobius consta de una capa de material dieléctrico colocada sobre la superficie conductora continua de la resistencia de Mobius, y luego el dieléctrico se empareda entre dos superficies conductoreas de modo que estas queden diametralmente opuestas una a la otra.



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4.9 Una figura de la patente de Thomas Brown de 1986 para un condensador de Mobius.



En la actualidad, la banda de Mobius tiene



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valor



incalculable para numerosos juguetes y rompecabezas así como muchos tipos de avances tecnológicos. La cinta de Mobius aparece en juegos de laberintos para canicas (Pat. estadounidense 6 595 519, concedida en 2003), en correas de transmisión de potencia (Pat. estadounidense 3 995 506, concedida en 1976), en pequeños contenedores para circuitos que protegen frente a la electricidad estática, (Pat. estadounidense 4 766 514, concedida en 1988), y hasta tiene la capacidad de salvar vidas. Por citar un ejemplo,John Pulford y Marco Pelosi, empleados de Apple Medical Corporation en Massachusetts, patentaron en 2004 unos separadores abdominales provistos de aros de Mobius que brindan los distintos tipos especiales de torsión necesarios para manipular los separadores durante una intervención quirúrgica (Pat. estadounidense 6 723 044). Existen docenas de patentes con la palabra «Mobius» en su título que incluyen inventos para juegos de rompecabezas, cadenas de motosierras, cintas de larga duración para máquinas de escribir, y hasta una rejilla de aceleración de partículas. A lo largo de este libro se han insertado varias figuras de patentes para brindar una idea de la diversidad de los inventos. Si desea ahondar en la variedad de los inventos relacionados con la banda de Mobius y el ingenio de sus creadores, a continuación encontrará una relación de varias patentes relacionadas con ella desde 1971 a 2004.



•Pat. estadounidense 6 779 936 (2004) «Impresión y fabricación de una sola cara de una cinta de Mobius» de Ross Martin de Connecticut, EE UU. El inventor describe métodos para la fabricación adecuada de cintas de Mobius sin costuras destinadas a usarse en una variedad de artículos de regalo comerciales y como herramienta de mercadotecnia para empresas promotoras de «conceptos cíclicos». • Pat. estadounidense 6 607 320 (2003) «Combinación Mobius de rutas de reversión y vuelta en un sistema de 8n



 transporte de papel », de Daniel Bobrow et al. de California, EE UU, y asignada a Xerox Corporation. Las configuraciones de Mobius se usan en diversas técnicas de impresión. • Pat. estadounidense 6 474 604 (2002) «Estructura de ensamblaje en forma de Mobius para láminas fluidas dinámicas» deJerry Carlow de Tejas, EE UU. Las figuras como la cinta de Mobius se aplican a aeronaves y estructuras relacionadas. •Pat. estadounidense 6 445 264 (2002) «Resonador y filtro de Mobius» de Jeffrey Pond de Virginia, EE UU, y asignada a la Armada Estadounidense. Las configuraciones de Mobius se usan en circuitos eléctricos y, de manera más general, en el campo del electromagnetismo. • Pat. estadounidense 6 217 427 (2001) «Correa en forma de cinta de Mobius para herramientas lineales de pulido mecánico químico» de Christopher Case et al. de Nuevajersey, EE UU, y asignada aAgere Systems Inc. Los inventores describen una correa de Mobius para pulir superficies. En concreto, este invento se usa para el «pulido mecánico-químico de sustratos de obleas de silicio utilizados para fabricar circuitos integrados». La correa consiste en una cinta de Mobius flexible de uretano engomado/recubierto de caucho. • Pat. estadounidense 5 55 7 178 ( 1996) «Acelerador circular de partículas con giro de Mobius» de Richard Talman d e Nueva York, EE UU, y asignada a Cornell Research Foundation, Inc. El inventor describe un acelerador circular de partículas con un elemento girado en un punto que aporta al acelerador varias propiedades únicas. El inventor dice que «se requieren dos recorridos del anillo para que la partícula recupere su estado, de ahí que el acelerador se denomine acelerador "de Mobius"». • Pat. estadounidense 5 411 330 ( 1995) «Accesorio de mezclado en forma de cinta de Mobius» de Yuri Arutiúnov e t al. de la Federación Rusa y asignada a Novecon Tech90



nologies. Una cuchilla mezcladora en forma de cinta de Mobius va montada sobre un fuste y otra cuchilla con forma de cinta de Mobius especular se monta sobre un segundo fuste próximo al primero. •Pat. estadounidense 5 324 037 (1994) «Rompecabezas de banda de Mobius» de Ewell Greeson de Georgia, EE UU. El inventor describe un juego de rompecabezas con forma de cinta de Mobius que contiene varias columnas y filas. El rompecabezas se resuelve cuando se alinean las letras de palabras o frases, o cuando se logra formar una figura predeterminada consistente en colores o símbolos alineados.



•Pat. estadounidense 4 968 161 (1990) «Cartucho de cinta para reponer la tinta de solo una mitad longitudinal de una cinta de Mobius» de Yoshio Kunitomi et al. de Tanashi, Japón, y asignada a Citizen Watch Compa11y. Una cinta de Mobius interminable con tinta para imp1 i mir sobre papel.



•Pat. estadounidense 4 919 427 (1990) «Rompecabezas d('I anillo de Mobius» de Itzhak Keidar et al. de Tc l J\viv, Israel. Este rompecabezas incluye tiras de material ll cxi ble en forma de circuitos girados. •Pat. estadounidense 4 766 514 (1988) «Contenedor decircuitos resistente a electricidad estática con seudoforma de cinta de Mobius» de Kevinjohnson de California, EE UU. Contenedor en forma de banda de Mobius utilizado para proteger circuitos electrónicos. •Pat. estadounidense 4 640 029 (1987) «Cinta de Mobius y pantalla que la utiliza» de Richard Hornblad et al. de Wisconsin, EE UU, y asignada a DCI Marketing. Los inventores describen una pantalla que usa una cinta plana continua en forma de banda de Mobius. • Pat. estadounidense 4 599 586 (1986) «Condensador de Mobius» de Thomas Brown de Nueva York. El inventor d escribe una carcasa capacitiva en forma de cinta de Mobius junto con un elemento eléctrico para medir 91



 volt<~j<.:s o diferencias de fase de señales entrantes o para



actuar como filtro para atenuar el flujo de corriente. • Pat. estadounidense 4 384 717 ( 1983) «Rompecabezas de la cinta de Móbius» de Daniel Morris de Washington, EE UU. El inventor describe un rompecabezas formado por múltiples bandas de Móbius unidas de maneras curiosas. •Pat. estadounidense 4 253 836 (1981) «Banda de Móbius y método para hacer lo mismo» de Joseph Miran ti de Missouri, EE UU, y asignada a Dayco Corporation. Correas de transmisión de potencia compuestas por cintas de Móbius sin ensamblar. • Pat. estadounidense 4 189 968 ( 1980) «Cadena de motosierras en forma de banda de Móbius» de Joseph Miranti de Missouri, EE UU, y asignada a Dayco Corporation. El inventor describe una cadena de motosierras con una cuchilla en forma de cinta de Móbius. • Pat. estadounidense 4 058 022 ( 1977) «Acelerador de correa de tracción» de Harry Pickburn de Nueva York, EE UU. Una correa de tracción de Móbius y un acelerador de la misma se usan para transferir la potencia entre poleas. El acelerador de Móbius permite que la correa rote de numerosas maneras. •Pat. estadounidense 4 042 244 (1977) 


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 Patentes de nudos: desde la lazada del zapato hasta la cirugía



Me pregunto cuánto dinero se recauda de la gente que estos nudos y, por tanto, infringe la patente.



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Varios nudos se han inventado y patentado en diversos campos. Por ejemplo, la figura 4.10 muestra el patentado <


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Mübius y los nudos moleculares 1.os



apartados previos aludían a la aparición de la banda de Mübius en objetos visibles; es decir, objetos que se pueden 1<>car, ver y sentir, como las cintas transportadoras y los juegos 


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4.10 Nudo quirúrgico parcialmente apretado (Pat. estadounidense 5 893 592).



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4.11 La patente estadounidense 5 997 051 describe un sistema de lazada para nt lz


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Pero una característica más particular aún es que las dos formas especulares de una molécula quiral (llamadas enantiomorfos) no se pueden poner en correspondencia entre sí únicamente mediante rotaciones y traslaciones. La quiralidad también alude a la «axialidad» de una molécula que no es simétrica. Por poner una analogía, la mano derecha y la izquierda de las personas son enantiómeras: son imágenes especulares, y no podemos ponernos un guante izquierdo en la mano derecha. La disposición del pulgar y el resto de los dedos en tres dimensiones tornan distintas entre sí Ja mano derecha y la izquierda. Esta propiedad axial se conoce como quiralidad, término derivado de la palabra griega para «mano». Algunos objetos son aquirales porque arrojan imágenes especulares que se superponen a la perfección. En otras palabras, se trata de o~jctos idénticos a su imagen especular.



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 Un manillo, la mayoría de los calcetines, la letra «l» constituyen objetos aquirales. Por otro lado, la letra «R» es quiral. Así como las manos humanas presentan una variedad dere' ha y otra izquierda, también sucede lo mismo con muchas moléculas. La quiralidad es muy común en la naturaleza. Por ejemplo, todas las criaturas usan en exclusiva azúcares dextrógiros («diestros») y aminoácidos levógiros («zurdos»). Más del 50 por ciento de los cien fármacos más importantes del mundo son quirales, incluidos medicamentos tan conocidos como Lipitor, Paxil, Zoloft y Nexium. Las moléculas consistentes en hélices pueden ser dextrógiras o levógiras, como el caparazón de una concha marina o una escalera de caracol giradas en sentido horario o antihorario, y por tanto tampoco se pueden superponer a su imagen especular. Las bandas de Mobius formadas por un giro en sentido horario o antihorario son enantiómeras entre sí. A comienzos de la década de 1980, los químicos lograron sintetizar moléculas en forma de banda de Mobius con una estructura básica de carbono y de oxígeno, tal como se ilustra de manera esquematizada en la figura 4.12. En 1982, David Walba, Rodney Richards y R. Curtís Haltiwanger, de la Universidad de Colorado en Boulder, descubrieron un medio dicaz para sintetizar la primera banda de Mobius molecular .iamás creada por humanos. El borde la banda molecular está ckterminado por enlaces químicos, mientras que el interior de la banda la representa una secuencia de «travesaños» formados por enlaces dobles de carbono. Para confeccionar la estructura, partieron de una molécula en forma de escalera con tres travesaños, cada uno de los cuales consistía en un enlace doble de carbono-carbono (figura 4.13). Durante la reacción química, la escalera se curvaba de manera que podían unirse sus extremos. Ambas terminaciones tenían la capacidad de unirse de tres modos distintos, de modo que en ocasiones la madre naturaleza daba lugar a una cinta circular (como una banda cilíndrica) y otras veces a una cinta q(i



d1· Miil>ius con un giro bien dextrógiro o bien levógiro. En pi i11ripio, podrían surgir moléculas con mayor número de gi1 os, pero los modelos compactos indican que esas reaccio1ws son muy improbables. La figura 4.13 es una representa' iún esquemática de la molécula progenitora, diol ditosilato, 1.1paz de producir dos moléculas: la molécula de Mobius (<"011 dos variantes -izquierda-) y el cilindro (derecha).



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'1 .12 Molécula de banda de Mobius. Para simplificar el diagrama, los símbolos 0-0 no son enlaces reales porque poseen un grupo - CH CH - entre ellos. Los átomos adicionales se omiten en esta 2 2 figura para facilitar la visualización de la configuración de Mobius. r--...



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4.13 Creación de una molécula de Mobius. El diol ditosilato (arriba), en forma de escalera, posee terminaciones que, al unirlas, dan lugar a cantidades casi iguales de dos moléculas, la molécula de Mobius (dos variantes a la izquierda) y el cilindro (derecha). (Figura cortesía de David Walba.)



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 l .as propiedades 


lon1111lacio1ws de ibuprof'cno que se comercializan en la .11 111;llidacl consisLen en una mezcla igual de ambos enantió1111·1 OS. < )t ros ejemplos de enantiómeros con efectos muy diveros incluyen el fármaco de la penicilamina, que posee un c·11.111tiómero antiartrítico y otro que es tóxico. Una forma clc· ('tambutol trata la tuberculosis, mientras que la otra l'. 111sa neuritis óptica que puede derivar en ceguera. El fár111.1<·0 contra la enfermedad de Parkinson llamado levodopa (I rs científicos franceses Christiane Dietrich-Buchecker y jl':111-Pierre Sauvage, de la Universidad Louis Pasteur en l•'. st ras burgo, han creado nudos de trébol moleculares de VOi ríos tipos. Sauvage es un químico sintético fascinado por la estética el<' las moléculas que crea, y sostiene que «la búsqueda de 111oléculas atractivas desde un punto de vista estético ha sido 1111 objetivo desde el mismísimo nacimiento de la química». l•'. 11 particular, atribuye un interés especial al nudo de trébol, porque ha representado la «continuidad y la eternidad en l'I simbolismo religioso primigenio» e ilumina el arte de 11111chas civilizaciones antiguas. En los últimos años, el grupo de Sauvage ha allanado el <':tin ino para la preparación de nudos construidos alrededor ek moldes formados por iones de metales de transición. Para producir nudos moleculares, él utiliza dos «hebras» 111olcculares entrelazadas en dos centros de metal de transición, lo que da lugar a una doble hélice. Tras la ciclación la desmetalación, se obtiene un sistema anudado. Él y 1)ictrich-Buchecker necesitaron varios años de investigación p:tra lograr sintetizar al fin el primer nudo de trébol quí111ico utilizando átomos de cobre como molde. Sauvage me 99



 e:-;cribc: «Christiane Dietrich-Buchccker y yo fuimos las primeras personas que conseguimos realizar un nudo de trébo l con moléculas, al menos de manera artificial, puesto que la naturaleza ha creado nudos moleculares ¡durante millones de años con ADN o proteínas!». La figura 4.14 muestra un diagrama químico esquematizado de un nudo levógiro y dextrógiro creado por Sauvage y su equipo.



4.14 Diagrama químico de un nudo levógiro y dextrógiro creado por Jean-Pierre Sauvage y Christiane Dietrich-Buchecker.



En el capítulo 2 se habló del trabajo del biólogo matemático británico Willliam R. Taylor, quien desarrolló un algoritmo para detectar nudos en esqueletos proteicos, y las diversas proteínas enlazadas con nudos de trébol u otros que descubrió como consecuencia del estudio de estructuras prnteínicas almacenadas en el Banco de Datos de Proteínas. 1".11 2002, investigadores del Argonne National Laboratory y de la Universidad de Toronto descubrieron un nudo en una proteína del tipo más antiguo de organismo unicelular, una arqueobacteria. Mucho tiempo atrás, los expertos en plegamiento de proteínas creían que la creación de nudos no formaba parte de las capacidades de una proteína. Hoy, los estudiosos de la química de proteínas no solo saben que los nudos existen sino que especulan con que algunos de los nudos descubiertos estabilizan las subunidades de aminoácidos de la proteína. Los bioquímicos esperan que el 1 ()()



e e111ori1nic11to ele tocio el rango de f'onnas proteínicas arroje 1111, sobre el proceso que siguen las proteínas para plegarse 1•11 t·s tructuras tridimensionales a partir de cadenas lineales de · s11bunidades de aminoácidos. Si los científicos consiguen p11 ·decir con exactitud la forma de una proteína a partir de la .'l cn1cncia de genes que la codifica, lograrán entender mejor bs ('11fermedades y desarrollar nuevos fármacos basados en l.1 lúrma tridimensional de una proteína, la cual controla la l111Kión de la proteína. l•'. I nudo de arqueobacteria descubierto en un organismo p1 irnitivo en 2002 procede de la Methanobacterium thermoaulolm/Jhicum, una criatura primitiva capaz de descomponer 1>roductos de desecho y generar gas metano. En bioquímica 'le· sabe qué gen codifica la proteína de 268 aminoácidos, p<'ro se desconoce la función de la proteína anudada. Recientemente se han descubierto algunas proteínas notables que contienen esqueletos con una topología de Móbius. Mi favorita es Kalata Bl, una pequeña proteína que constituye e·I componente activo de la planta Oldenlandia affinis, que las •lllUeres cuecen en África para acelerar el parto. Kalata Bl t icne una longitud de veintinueve aminoácidos y contiene 1res puentes disulfuro, dos de los cuales forman un anillo. l•'. I tercero desciende a través del anillo y crea un nudo. Aune pie mis amigos topólogos no lo considerarían un verdadero 1111do, la estructura resultante no se puede deshacer sin dañar la cadena proteica. Además, el esqueleto proteico tiene un giro de Móbius, cuyo significado biológico constituye aún 1111 misterio. Las pequeñas proteínas vegetales, como Kalata H1, se clasifican en la actualidad en dos tipos: ciclótidos de 1n1 lsera (con la topología de una pulsera cilíndrica, de dos e "ras) y ciclótidos de Móbius (con la topología de una banda ek Móbius, de una sola cara). Kalata Bl es un ciclótido de Mübius. Como Kalata Bl posee propiedades insecticidas y a11timicrobianas, se está contemplando la posibilidad de 1tSLI ria para proteger los cultivos mediante bioingeniería. El doctor David Craik, de la Universidad de Queensland, pro1()1



 pone la inserción de Kalata Bl en un gen de la planta de algodón para defender la planta de los estragos de ciertas orugas y eliminar así la necesidad de usar aerosoles químicos con repercusión medioambiental. Es más, como se trata de una proteína muy estable y resistente al ataque de enzimas digestivas en el cuerpo humano, tal vez las proteínas del tipo Kalata lleguen a emplearse algún día como base de nuevos fármacos de administración oral, puesto que no se deshacen tan rápido en el estómago. En cuanto a objetos de Móbius mucho mayores en el campo de la química, científicos de la Universidad de Hokkaido (Japón) describieron en 2002 un rizo de Móbius formado por cristales de un compuesto de niobio y selenio, NbSe 3 . Los sorprendió que una cinta cristalina adoptara la topología de Móbius en vista de la rigidez inherente al cristal, de la que cabría esperar que le impidiera doblarse o girarse. NbSe 3 es un conductor inorgánico, y la banda de Móbius es un cristal simple de NbSe 3 . Para conseguir las figuras, dejaron una mezcla de Se y Nb en polvo a 740ºC en un tubo de cuarzo al vacío durante alrededor de un día. La observación de imágenes obtenidas con microscopio electrónico revela cristales de Móbius con un tamaño típico aproximado de 50 micrómetros de diámetro y menos de 1 micrómetro de ancho. Los estudiosos japoneses creen que sus cristales de Móbius brindan «otra ruta para explorar los efectos topológicos en la mecánica cuántica, así como para la construcción de nuevos mecanismos». Otros científicos estudian también las propiedades de moléculas reales e hipotéticas que presentan giros y vueltas interesantes. La figura 4.15 es una molécula hipotética de Móbius estudiada por los expertos europeos Sonsoles Martín-Santamaría y Henry S. Rzepa. Estos químicos estudian las propiedades de bandas de Móbius creadas al imprimir uno, dos o tres giros a moléculas de varias longitudes conocidas como ciclacenos. Esta molécula es especial en tanto que se trata de una molécula aromática, es decir, una molécula cuyos 10 ~



1•kc ' l 1otH'S



orbitan co n libntad alrededor de disposiciones c·irr1 darcs de átomos, los cuales están conectados mediante 1,•1i1~1c es que son un híbrido de un enlace sencillo y un enlace ilc1l>lc.



1. 15 Banda de Mobius molecular, cortesía de Henry S. Rzepa.



11'. I doctor Rzepa desarrolló un trabajo teórico pero en clwicmbre de 2003, científicos alemanes comunicaron la ~ 1111csis real de la primera molécula aromática de hidrocarh11ro Lipo Móbius. Los investigadores teutones descubrieron 1111 método ingenioso para unir dos moléculas aromáticas d'· e 1( ho átomos de carbono para formar una molécula no orien1.1l>le de dieciséis átomos de carbono. Para crear la molécula, los científicos irradiaron la mezcla de la reacción durante e 11atro horas con una lámpara de mercurio. Las moléculas e lc · Mübius resultantes formaron cristales rojos, mientras que l.1s moléculas que no son de Móbius crean cristales claros.



li'.I tren vacacional de Mobius



1<·1 rniné de escribir este capítulo un día de navidad y qui1i ÍCn1 concluir con una patente china para una vía de tren en 1( 11111a de cinta de Móbius pensada para serpentear alrededor



10 ~



 de un árbol de navidad. En concreto, la patente estadounid e nse 5 678 489 titulada «Objeto móvil propulsado por electricidad sobre una vía capaz de explicar los cuadrantes libres descritos en el teorema de Mobius» se le concedió en 1997 a Xian Wang de Changsha, China, y se asignó a Studio Eluceo Ltd. y Jya Cheng Enterprise Co Ltd. El inventor describe un encantador tren eléctrico que se desplaza sobre una vía de Mobius con varios soportes. Dos circuitos metálicos paralelos se usan de manera que el tren hace contacto tanto por la superficie «superior» como por la «inferior». Se recurre a un 111ando para ajustar la corriente a la pista y propulsar el tren, cuyas ruedas son de un material magnético permanente que las mantiene unidas a la pista. La patente incluye más detalles acerca de cómo se sostiene el tren en la pista cuando queda del revés durante el recorrido de la superficie de una sola cara. La figura 4.16 muestra un ejemplo del tren de Mobius chino sujeto al suelo mediante soportes. La figura 4.17 reproduce un dibujo de la patente donde se muestra que la vía se puede utilizar para decorar un árbol de navidad mientras serpentea alrededor de las ramas y a través del resto de adornos. Feliz navidad, espíritu de Mobius.



1.17 Vía de tren eléctrico en forma de Mobius que serpentea alrededor de un árbol de navidad.



Hompecabezas relacionado con teoría de grn fos donde aparecen animales



l~n el próximo capítulo hablaremos sobre la teoría de grafos, la



V'r--32 32



~~~~~~,,__13



~ .....



4.16 Pat. estadounidense 5 678 489 concedida en 1997 al conjunto de un tren y una vía de Mobius eléctricos.



1



o,¡



tnal suele aludir a diferentes maneras de relacionar objetos. Para ir aú·riendo boca, he aquí un problema que muchos de mis colegas no lograron resolver, al menos a primera vista.



Noé acaba de descargar el arca y los animales han corrido a disper.mrse tras verse libres. Su trabajo consiste ahora en unir machos y hembras de la misma especie. En la figura 4.18, el conejo, el caballo y el ciervo de la parte inferior tocan la pared meridional de una gmn superficie cercada. Otros tres animales se encuentran situados 1ü, tal manera que solo el caballo toca la pared septentrional. ¿Es



10!')



 posible unir aninwlr s dr la rnisma clase mediante líneas jJintadas t'll el suelo? Las líneas no deben cruzarse ni tocar las paredes del recinto. (En otras palabras, hay que intentar pintar una línea que vaya dr un conejo al otro, de un caballo al otro y de un ciervo al otro.) Los caminos trazados pueden ser curvos pero no deben cruzarse entre sí, ni atravesar animales, ni tocar el lago. Si consigue resolver este problema en cinco minutos, Noé le entregará una cinta de Mobius de oro valorada en un millón de dólares actuales. (Busque la respuesta en el apartado de soluciones). 1



1



1



L~'slolri Cmnrmal de Mobius - $48.00. ¡Es tan divertida de usa:r! I Jemos empleado «carneval», un algodón de una suavidad fabulosa mezclado con hilo noble de exquisito rayón de Muench Yarns, y hemos tejido cada vuelta hasta confeccionar una estola de Mobius que combina con cualquier conjunto de verano. Aunque nos movamos, la estola permanece en su sitio. Recomendamos encarecidamente este hilo por su calidad, su caída y sus fibras naturales. Funciona bien con prendas grandes. Un diseño de Knittingbag.



Knittingbag.com Catalogue, Knitting Bag, LLC ¿Hacia dónde está peinado Donald Trump, hacia delante o hacia atrás? (En serio, ahora es como un pozo de infinidad, como una banda de Mobius peluda sin principio ni fin, solo fluy e. )



Whitney Pastorek, «Donald toys with 18 new viclims», Entertainment Weekly, septiernhr<' dr 2 00 1



4.18 ¿Un grafo simp le? Dibuje líneas para conectar parejas de anim ales sin que se crucen entre e llas y sin que ninguna atraviese los animales ni el contorno.



La banda de Móbius en la moda y el estilismo



United Nude, una empresa innovadora dedicada a la creación de calzado, busca diseñadores gráficos que creen materiales para sus nuevas colecciones. El diseño único de la sandalia de Mobius de United Nude, confeccionada a partir de una pieza continua de material, una banda de Mobius, lo inspiró la icónica silla Barcelona del arquitecto Mies van der Rohe. Barbara Wentzel, «Pushing the Boundaries», World Textile Publications



107 1 o()



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EXTRANASAVENTURASEN TOPOLOGÍA Y MÁS ALLÁ



Los hábitos de trabajo de Mobius demuestran con toda claridad los maravillosos descubrimientos que podemos lograr mediante el desarrollo paciente de lo más simple y estudiando íntegros, desde el principio, los ejemplos especiales (y en apariencia los menos interesantes). Todos podemos aguardar la llegada de un golpe de genialidad, pero el trabajo paciente también brinda sus recompensas. ]eremy Gray, «Mobius's Geometrical Mechanics»,



en Mobius and His Band



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 1'.I pensamiento de Mobius abarcó numerosos campos, dcsd<' las superficies de una sola cara hasta extrañas funciones enteras como la que en la actualidad se denomina «función de Mobius» en su honor. En el presente capítulo comentaremos varios de sus hallazgos matemáticos. Asimismo consideraremos cuestiones sobre topología y dimensiones superiores que servirán de base para el próximo capítulo, dedicado a la forma del universo y a la posible existencia de otras realidades. 1



La persistencia de las matemáticas



Benoit Mandelbrot, padre de la geometría fractal, dijo en cierta ocasión que un asunto matemático de 150 años atrás está viejo pero «no muerto y completamente seco». En cambio, señala que la situación es muy diferente en un campo como la física, «donde algo que tiene 100 años y no figura en libros de texto está, a todos los efectos prácticos, muerto». Esta persistencia de las matemáticas nunca se torna más manifiesta que en la obra de Mobius. Sus superficies de una sola cara y sus insólitas funciones siguen contemplándose hoy con celo, dan lugar a nuevos descubrimientos e intuiciones a menudo con ayuda de computadoras, y tienen implicaciones más allá de las matemáticas, como en el comportamiento de las partículas subatómicas, la forma del espacio y la génesis del universo. Parametrización



do1Hk rsc rrnn·spondc ron el radio de la circunferencia. 1:11nl>i(-11 podemos definir una circunferencia en términos cl1 · cn1acioncs paramétricas:



x = rcos(t) y = rsen(t) donde O< t ~ 360 grados ó O< t ~ 2m radianes. Para crear 1111a g-ráfica, los programadores de computadoras increment.111 d valor de ty unen los puntos resultantes (x, y). Cuanto 111t •11os se incrementa t, más uniforme resulta la representadel círculo. F.11 matemáticas y artes gráficas por ordenador se recurre ' 1111 frecuencia a representaciones paramétricas porque 1 intas formas geométricas resultan muy difíciles de descril>i1 mediante una ecuación simple, tal como lo permite la e i1 runferencia. Por ejemplo, una parametrización de una ltt ·licc circular sería: x = a sen(t), y= a cos(t), y z = at/ (2mc), 111 >11cle a y e permanecen constantes. Probemos con a= 0.5, ) O < t < lOm. La gráfica de esta curva circular en forma de lwlice se asemeja a un muelle de alambre. Para trazar una ltdice cónica probaremos con x =ax z x sen(t), y = a x z x e os ( t), y z = t/ (2mc), donde a y e son constantes (figura !). l). 1.as hélices cónicas se utilizan hoy en día para ciertos tipos d1· antenas.



' 1011



•



A veces en matemáticas se usan ecuaciones paramétricas para representar sofisticadas figuras geométricas. Las parametrizaciones son series de ecuaciones que expresan una serie de cantidades en forma de funciones de un número de variables independientes. Quizá los ejemplos más conocidos los constituyan las ecuaciones de la circunferencia. En las coordenadas cartesianas habituales, contamos con la ecuación estándar de una circunferencia: 5.1 Hélice cónica. (Simulación de Jos Leys).



x?-+y=r2 1 1 1



1 1 ()



 Una ck rnis paramctrizacioncs favoritas la representan las curvas de Lissajous esféricas generadas a partir de



~



x= rsen(8t) cos(t),y= rsen(8t) sen(t), z= rcos(8t) la cual utilicé para la creación artística de la figura 5.2. Usted puede practicar con razones simples de 8/ como 1/2 ó 1/3 para obtener interesantes resultados visuales.



~Jtt



.,



5.3 Curvas mariposa definidas mediante una fórmula simple.



5.2 Curva de Lissajous esférica.



En realidad, aunque nos restringiéramos a un plano, hallaríamos toda una variedad de curvas algebraicas y trascendentales de una belleza increíble. Muchas de esas curvas expresan la belleza en su simetría, ramificaciones y lóbulos, y en su comportamiento asintótico. Las curvas mariposa, desarrolladas por Temple Fay en la Universidad de Southern Mississippi, constituyen una de esas clases de formas bellas, complejas (figura 5.3). La ecuación para la curva mariposa se puede expresar en coordenadas polares mediante p = ecos0-2cos48 + sen 5 (8/12)



Esta fórmula describe la trayectoria de un punto a medida que traza el cuerpo de la mariposa. p es la distancia radial del punto al origen.



1 12



Tras esta introducción a las ecuaciones paramétricas, ya <·stamos capacitados para reflexionar sobre ecuaciones para l;1 banda de Mobius. Una parametrización típica es: x(u, v)



V



U



2



2



V



U



= (1-cos-)cos(u)



y(u, v) = (1 +-cos-)sen(u) 2 2 V



U



2



2



z(u, v) =-sen(O< u~ 2;r;-1


Esto crea una banda de Mobius de anchura 1 y radio 1 centrada en (O, O, O). El parámetro u recorre la banda como 11n atleta por una pista. El parámetro v se desplaza de un borde al otro. También es habitual representar una banda de Mobius en coordenadas polares cilíndricas ( r, 8, z) mediante log( r) sen (8/2) = zcos(8/2). 1



13



 Anillos paradrómicos Desde finales del siglo XIX hasta el momento presente, los estudiosos han catalogado los efectos de aplicar giros adicionales a tiras de papel antes de unir sus extremos en forma de bandas de Mobius. Los sorprendentes resultados se denominan anillos paradrómicos. Algunas de las posibles estructuras de anillos paradrómicos se relacionan en la siguiente tabla. Medios ,,.;~A



Cortes



Fragmentos



.



1



1



1



1



3



1



2



4



1



2



5



1



3



6



1



3



7



2 2 2



1 2 3



2 3 4



2



Resultado real



1 banda, longitud 2 1 banda, longitud 2 1 banda de Mobius, longitud 1 2 bandas, longitud 2 2 bandas, longitud 2 1 banda de Mobius, longitu d 1 3 bandas, longitud 2 3 bandas, longitud 2 1 banda de Mobius, longitud 1 2 bandas, longitud 1 3 bandas, longitud 1 4 bandas, longitud 1



Por ejemplo, la primera línea de la tabla se corresponde con la bisección longitudinal de una cinta de Mobius por el centro, como en la figura 1.1. Si el corte es completo, se obtienen dos «bandas» o «divisiones aparentes». Pero, al estirar el resultado vemos que se trata de una sola pieza, tal como indica la última columna de la tabla. En la segunda línea se remite a una banda de Mobius cortada a un tercio de su anchura, un experimento curioso que se comentó en el capítulo 2. En este caso parecen resultar tres trozos de papel que, al estirarlos, se revelan como una banda de Mobius y una banda normal (dos trozos en realidad). En la tercera y cuarta líneas nos permitimos dos cortes; dependiendo de por dónde se practiquen, resultarán o cuatro o cinco trozos aparentes al terminar de cortar pero, al estirar el resultado, se aprecian dos o tres bandas normales, respectivamente. Nótese que en la tabla no consta en ningún sitio por dónde 1 1'1



hay practicar los rort<·s :i 1:1 lm11da. St· limita a mostrar diversas posibilidades. Al conkccionar una banda de Mobius nos ('llcontramos con que en realidad no importa por dónde se prac tique el número de cortes indicados en la segunda columna de la tabla, siempre que el corte no se efectúe por el centro. Las dos primeras líneas describen casi el mismo caso: el corte de la primera línea discurre a lo largo del centro; la segunda línea describe un corte desplazado del centro longitudinal de la banda. Una lógica similar se aplica a otras líneas de la tabla.



Aventuras topológicas Según Norman Biggs, autor de «The Development of Topology» en Mobius and His Band, es probable que Mobius no se considerara a sí mismo un topólogo porque en el momento en que vivió no existía el área de las matemáticas denominada topologfo. En cambio, sus ideas, artículos y diagramas han c:jcrcido una honda influencia en el desarrollo de la topología. El río de la topología nace en Leonhard Euler ( 1 707-l 783) , e l matemático y físico suizo considerado a menudo, junto a Gauss, como el mayor matemático que ha existido jamás. Uno de los intereses de Euler se centraba en figuras ordinarias con vértices, caras y aristas. Años después, Mobius quedó fascinado por el trabajo de Euler que establecía relaciones entre el número de aristas, vértices y caras de un poliedro simplemente conexo. Para comprender este campo de la geometría imaginaremos que Mobius residía en una casa de Schulpforta semejante a la de la figura 5.4. '' '



''



______ _.._. 5.4 La casa que construyó Móbius. 1 15



 Para simplificar, supondremos que la casa no tenía ven1anas ni puertas (no sería una casa muy práctica pero sí un mod elo perfecto para que lo usemos al estudiar la topología). La sencilla casa de Mobius tiene 10 vértices (V), 17 lados (L) y 9 caras ( C). Si no logra verlo, recuerde que un vértice es una esquina, una arista es el lugar donde se juntan dos paredes, y una cara es cada pared, cada parte del tejado o e l suelo. Euler observó que en una casa como la de Mobius tenemos la relación:



V-A+C=2. Por ejemplo, en el caso de esta casa, tenemos 1O - 17 + 9 = 2. Antoine:Jean Lhuilier (1759-1840) se planteó si la fórmula de Euler funcionaría con figuras más complejas, como una casa simple con un patio (figura 5.5).



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11



/~Jl---------..J. /



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5.5 La casa que construyó Móbius con un patio central.



¡( :aramba ! Esto



revela qu<.: la fórmula de Euler no funciona a l in co rporar ventanas, patios y puertas a la casa simple de Móbius. Pero al aplicar un rápido ajuste, Lhuilier halló una l()rmula más general:



V-A+C=2-2G donde Ges el número de huecos de un objeto. Por ejemplo, una casa con dos patios interiores independientes, como un ladrillo atravesado de lado a lado por dos orificios cuadrados, tiene G = 2. Resulta que V - A+ C = 2 - 2G se da con gran variedad de figuras. (Surgen algunas complicaciones a la hora de definir el «número de huecos» porque estos pueden juntarse o fundirse entre sí de maneras curiosas, como los túneles de un hormiguero o como el agujero dentro de un agujero a través de un agujero de la introducción). Repárese en que las mismas fórmulas se aplican a mapas planos como el de la figura 5.6, para el cual tenemos que VA+ R= 2. Aquí Rse corresponde con el número de regiones, incluida la linde exterior del mapa plano. En la figura 5.6, V = 15, A= 23 y R = 10, y la fórmula es válida. La fórmula cae en el momento en que se añade una región oval aislada d el resto, equivalente a un agujero o un lago, lo que representa un vértice conectado a sí mismo. Sin embargo, al unir el hueco con una de las aristas mediante un segmento línea, tal como señala la línea discontinua de la figura 5.7, la fórmula recobra la validez. Al incorporar la línea también se añade otro vértice (en el punto más alejado de la línea) y se crean dos aristas adicionales.



Esta casa consta de 16 vértices, 32 aristas y 16 caras. Al introducir esos valores en la fórmula de Euler obtenemos



V-A+C=O



1 1 ()



1 17



 5.6 El mapa de Lemuria se puede emplear para demostrar la fórmula de Euler, V- E+ R = 2.



5. 7 Mapa que contiene una nación isla.



Aunque nótese que, en el mundo de la cartografía, el número cromático de una superficie describe el número máximo de regiones que se pueden dibujar en la superficie, de modo que a cada región se le asigna un color diferente, pero cada tono debe lindar con todos los demás. Por ejemplo, el número cromático de una hoja cuadrada es cuatro (figura 5.8) .



DDDDD [ij5 2 ~2 3453 ~5 23 6



~~



Cuadrado



3 4 Tubo



4



4



23 6 1 4 4 6 Banda Botella Plano de Mobius de Klein proyectivo



6



6



6



5.8 Coloreado cartográfico de una variedad de superficies. Los diagramas cuadrados de la parte superior muestran cómo se unen las aristas en cada modelo. La segunda hilera de cuadros muestra un modo de cartografiar la superficie para encajar en ella el número máximo de colores. Los números cromáticos apan·cTn dcb~jo. 1 18



Para comprender la figura 5.8 hay que reparar en que los diagramas cuadrados de la parte superior muestran el modo en que se unen las aristas de cada modelo. Los lados con flechas son «adhesivos» y se unen entre sí de manera que coincidan las direcciones de sus flechas. La segunda hilera de cuadrados ilustra un modo de cartografiar la superficie para encajar en ella el máximo número de colores, los cuales se representan mediante números distintos. Si hubiera que colorear realmente las regiones de colores diferentes, las pintaríamos por ambas caras del papel (como si se tratara de un papel translúcido) porque hay que concebir la hoja sin ningún grosor. Los números cromáticos se relacionan a lo largo de parte inferior de la figura 5.8. Hoy sabemos que los cuadrados, cilindros y esferas tienen un número cromático de 4. Una banda de Mobius, una botella de Klein y un plano proyectivo tienen un número cromático de 6. (Consideraremos botellas de Klein y planos proyectivos más adelante en este mismo capítulo y en el próximo). Un toro, que cabría imaginar como la superficie de una rosquilla, tiene un número cromático de 7. Esto significa que una banda de Mobius precisa seis colores para garantizar que no haya regiones colindantes en un mapa que lleven el mismo color. (Aunque podemos encontrar algún ejemplo de mapa que requiera seis colores para la banda de Mobius, esto no significa que todos los mapas necesiten seis colores en una banda de Mobius). Utilizando la metáfora de un mapa geopolítico, el número cromático de una superficie se corresponde con el número mínimo de colores necesarios para pintar cualquier mapa en una superficie dada, de manera que los países que comparten frontera porten colores distintos. Por tanto, si pintamos un mapa complicado, como el de Estados Unidos, sobre una cinta de Mobius, entonces se puede usar un máximo de seis colores distintos para que ninguna de las regiones adyacentes lleve la misma tonalidad. Los cartógrafos han sabido durante siglos que cuatro colores bastan para pintar cualquier mapa dibujado sobre un 119



 plano d e manera que ninguna de las regiones colindantes ·:t parezca con el mismo color, aunque dos regiones con un vé rtice común sí puedan compartir color. Algunos mapas planos precisan menos colores, pero es seguro que con cuatro se puede confeccionar cualquier mapa. Cuatro colores bastan pa ra mapas trazados sobre esferas y cilindros, pero se necesilan siete para poder trazar cualquier mapa en un toro. Aunque nadie ha encontrado jamás un mapa plano que precise más de cuatro colores, los matemáticos dedicaron en vano alrededor de un siglo a probar esta teoría aparenlemente simple. Al final, en 1976, la comunidad matemática logró demostrar el teorema de los cuatro colores con ayuda d e una computadora, lo que lo convirtió en el primer problema de matemáticas puras que utilizó una computadora para conseguir un componente esencial de la demostración. En la actualidad, las computadoras tienen cada vez más peso en matemáticas y contribuyen a comprobar demostraciones tan complejas que en ocasiones desafían la comprensión humana. El teorema de los cuatro colores constituye 1111 ej emplo de ello. Otro lo representa la clasificación de los grupos simples finitos, descritos en un proyecto de varios a uto res consistente en diez mil páginas. Tal como señala Da na Mackenzie en la revista Science [ «What in the Name of l<:uclid is Going on Here?»], los métodos tradicionales cenLrados en el ser humano para garantizar que una demostració n es correcta se vienen abajo cuando un artículo alcanza una extensión de miles de páginas. Con respecto al teorema d e los cuatro colores, el teórico de grafosJohn Robín Wilson apunta: «Los matemáticos de más de 40 años no se dejarían convencer acerca del rigor de una demostración mediante computadora, y los que tienen menos de 40 no se dejarían convencer de la fiabilidad de una demostración consistente en 700 páginas de cálculos realizados a mano». En 1995 se publicó una demostración «racionalizada» del teorema de los cua tro colores. Incluso con esta aproximación más compac ta se p recisó una computadora para comprob;ir más d e l



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111il mill o nes d e ma pas distintos, :li go q11c a un malcm áti co ll11m ano le h abría llevado muchas vidas. En mi obra A Passion for Mathematics señalo que vivimos 1111a época en la que hasta las herramientas computacionales simples, como las hojas de cálculo, otorgan a los matemáticos modernos un poder que Heisenberg, Einstein y Newton habrían ambicionado. Por poner tan solo un ejemplo, a fi nales de la década de 1990, programas informáticos diseñados por David Bailey y Helaman Ferguson contribuyeron a a portar fórmulas nuevas que relacionaban el número pi con log 5 y otras dos constantes. Erica Klarreich comunica en el Science News del 24 de abril de 2004 que una vez que la computadora hubo logrado la fórmula, demostrar luego que era correcta resultó extremadamente fácil. A menudo, el simple hecho de conocer la respuesta supone el mayor obstáculo a la hora de formular una prueba. El teorema de los cuatro colores ha fascinado incluso a autores de ciencia ficción . En «The Island of Five Colors», Martín Gardner aborda el teorema de los cuatro colores, que aún no se había demostrado en 1952, cuando él escribió esa historia. El cuento de Gardner está cargado de reflexiones geométricas y hasta menciona los números cromáticos correctos para un toro, una banda de Mobius y una botella de Klein. El protagonista alude asimismo a numerosas superficies exóticas como la crosscup (que se trata más adelante en este capítulo), una banda de Tuckerman (una banda de Mobius con un borde en forma de triángulo), y la banda de Mobius de dos capas en forma de bocadillo mencionada en el capítulo 2. El relalo informa sobre intentos previos para demostrar el teorem a de los cuatro colores y explora un contraejemplo ficticio en fo rma de misteriosa isla africana dividida en cinco zonas simplemente conexas, donde cada una de ellas linda con el resto y con el océano. El protagonista siente tal confusión ante la cu riosa disposición de las zonas de la isla (la cual parece co ntradecir el teore ma d e los cuatro colores), que pinta las zon as de la isla de cinco rol o rcs distintos, rojo, azul, verde, am arill o y viokla , y l11<"gn 1111 :1111i g o suyo toma una fotografía aé rea 1 !.! 1



 parn facililarlc la comprensión de la paradójica configuración de las zonas. En concreto, el protagonista compra unos ochenta mil litros de pintura al agua y rocía las cinco zonas con manchas de color de 6 metros de diámetro a intervalos de 45 metros. Desde el suelo cuesta inferir la forma de cada zona, pero él confía en verlo con claridad con una imagen aérea. Por desgracia, las fotografías aéreas no se revelan bien y jamás llega a comprender la misteriosa relación entre la forma de las zonas. La historia acaba con un profesor de matemáticas de la isla que ¡es introducido de golpe en una botella de Klein por un insecto gigante! El protagonista mira por el cuello de la botella pero solo ve una neblina arremolinada y siente una ráfaga gélida de aire ascendente. Grita el nombre del profesor pero solo oye leves ecos y voces remotas en una lengua extraña. ¡Menuda historia! Una vez conté a mis amistades, a modo de inocentada, que había logrado el pasmoso descubrimiento de una configuración rara de países hipotéticos que también requería inco colores para que ninguna de las regiones colindant cs llevara el mismo color (figura 5.9). Algunos amigos se afr111aron durante mucho tiempo en pintar el mapa y me 111ostraron triunfales el resultado antes de darse cuenta de q 1w se trataba de una broma.



Robin Wilson, aulor de FourColorsSujjice, realiza la sorprenden le afirmación de que el problema de los cuatro colores ha lenido escasa relevancia para los trazadores de mapas y ·artógrafos. Como prueba, el historiador matemático Kenneth May observó que un muestrario de atlas de la extensa olección disponible en la Biblioteca del Congreso no revela «ninguna tendencia a minimizar el número de colores utilizados» y que «escasean los mapas que solo emplean cuatro colores». Es más, las obras sobre cartografía y la historia de la confección de mapas no mencionan la propiedad de los cuatro colores.



La banda de Mobius triangulada Esta introducción a algunos conceptos fundamentales de topología básica nos conduce hasta la banda de Mobius y las reflexiones de Mobius cuando logró su extraordinario descubrimiento. Mobius, como Antoine-:Jean Lhuilier, se preguntaba si la geometría y la topología se parecerían en el caso de objetos más inusuales que la simple casa de Mobius (figura 5.4) con la que iniciamos este estudio. Para facilitarse el estudio de superficies de una sola cara, Mobius creó superficies a partir de triángulos planos. Por ejemplo, se puede confeccionar una banda de Mobius a partir de cierto número de triángulos, tal como ilustra la figura 5.10. A



C



l3flV\lS B



O



Girar y pegar



5.9 Mapa del código Da Vinci. ¿Cuántos colores precisa esta disposición rara de países hipotéticos para que las regiones colindantes no tengan el mismo color?



5.10 Banda de Mobius representada como una superficie compuesta por facetas triangulares.



1 :.!:.l



1 :¿ '. ~



 Mübius expli có la monofacialidad en términos del modo c11 que encajan entre sí las facetas triangulares de un objeto.



El razonamiento de Móbius se entiende si se define la diferencia entre rotaciones horarias y antihorarias de triángulos próximos. Por ejemplo, en el triángulo 1 de la figura 5.10, el orden A-B-C se puede definir como antihorario. En el triángulo 2 (donde partiremos del borde superior de la banda, al igual que hicimos con el triángulo 1), C-D-B es horario. Nótese que el lado B-C compartido por el triángulo 1 y el 1riángulo 2 sigue un orden distinto en cuanto a las rotaciones de los triángulos. Los triángulos se consideran «compatibles» uando el lado que comparten se orienta en sentidos opuestos, como en este caso. Sin embargo, en el lugar donde se unan ambos extremos de la tira para formar una banda de Móbius, los triángulos contiguos no serán compatibles. De ahí que, al igual que Euler, Móbius se centrara en los lados y los vértices, y ampliara el trabajo anterior al estudio de características corno las de Euler en objetos de una sola cara.



El doctor Johann Listing y el homeomorfismo l•'. 11 1858, el matemático alemán Johann Benedict Listing ( 1H08-1882) codescubrió el objeto que en la actualidad rallgemeinerung des Euler'schen Satzes von den Polyedern («El censo de complejos espaciales o generalizaciones del teorema de Euler sobre poliedros») contiene una descripción de la blinda de Móbius. Algunos han especulado con que fuera Causs quien dio tanto a Móbius como a Listing la idea de la banda de Móbius, pero se trata de una mera co1~j<'lurn.



Por cierto, Listing se e nco ntraba casi en bancarrota hacia '"misma época en que reflexionó sobre la banda de Móbius, debido a la mala gestión de las finanzas familiares al haber !levado una vida por encima de sus posibilidades. Listing prestaba dinero con frecuencia mientras que su esposa abusaba de los créditos sin cesar y acababa a menudo en los tribunales. Dicen que el despilfarro de la señora junto con el mal trato que daba a los sirvientes (que la llevaron con frecuencia ante el juez), rebajaron la posición de Listing dentro de la comunidad académica. Como consecuencia, su labor precursora en matemáticas recibió menos reconocimiento del que merecía. Entre otras muchas cuestiones de su interés, Listing estudió el valor de V - A + C para los poliedros, que aún se conoce como el número de Euler para poliedros. Como ya se ha comentado, el número se mantiene constante en el caso de sólidos con el mismo número de vanos y piezas; en otras palabras, para sólidos relacionados mediante transformaciones denominadas homeomorfismos que no implican ningún recorte ni perforación. Dos objetos geométricos se consideran homeomorfos si el primero se puede deformar, estirándolo o doblándolo, para adoptar la forma del segundo. (Técnicamente, en ocasiones se permite su división, pero solo si ambas partes vuelven a soldarse más tarde por el mismo lugar del corte y de manera que las zonas adyacentes antes a la división coincidan también después de ella). Por ejemplo, un cuadrado y un círculo son homeomorfos. Una esfera hueca que contenga una bola sólida en su interior es homeomorfa a una esfera hueca con una bola sólida fuera de ella. Cabe cortar la esfera exterior, desplazar la bola interior a través del corte hacia el exterior, y entonces pegarle la esfera justo a lo largo del mismo corte. O se puede trasladar una esfera a la cuarta dimensión y devolverla a la tercera dimensión. Si dos objetos son homeomorfos, podemos hallar una función continua que proyecta puntos del primer objeto con los puntos correspondientes 1 :.! !)



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 del segundo objeto, y vi ceversa. Esta función se de nomina horn eo morfismo, y debe proyectar puntos del primer objeto que aparezcan «cercanos entre sí» con puntos del segundo objeto que estén «cercanos entre sí». La topología estudia aquellas propiedades de los objetos que no cambian cuando se aplican homeomorfismos. El ej emplo clásico de homeomorfismo lo representa la transformación de una rosquilla en una taza de café. Podemos deformar una rosquilla muy maleable y gomosa para imprimirle la forma de una taza de café sin necesidad de practicarle ningún corte ni unión. El agujero de la rosquilla se convierte sencillamente en el asa, con su agujero, de la taza. Por otra parte, la superficie de la rosquilla (denominada toro) no es la misma que la superficie de una bola sólida (denominada esfera). No hay manera de convertir una en otra sin cortes y uniones no permitidos por el homeomorflsmo. Las operaciones que requieren perforaciones no son homeomorfismos, y la división de un objeto con varias <'aras puede cambiar el valor de V- E- F Curiosamente, los horn eomorfismos ignoran el espacio en el que se encuentran inmersas las superficies, de modo que se permite que las deformaciones se completen en un espacio de dimensiones superiores. Esto significa que las imágenes especulares son homeomorfas porque se pueden transformar una en otra mediante una rotación en una dimensión superior. (Quien no lo entienda bien lo verá con claridad en el próximo capítulo, donde deslizaremos gotas bidimensionales congruentcs sobre un plano; estas gotas no se pueden superponer a menos que las elevemos del plano y les demos la vuelta). Por tanto, dos bandas de Móbius que sean imágenes especulares la una de la otra, por encontrarse giradas en direcciones opuestas, son topológicamente idénticas. Todas las bandas de Móbius con un número impar de medios giros son homeomorfas entre sí. Y todas las bandas co n un número par de medios giros son homeomorfas entre 1 :.di



sí. Pero una banda con un número par de medios giros no es homeomorfa a otra con un número impar de medios giros. Por tanto, las bandas de Móbius existen de dos formas esenciales: las diestras y las zurdas, las cuales se pueden convertir en su opuesta únicamente si logramos rotar la banda en la cuarta dimensión. La propiedad de tener una sola cara o dos es una invariante topológica; por mucho que se tuerza o estire la banda, sigue teniendo una sola cara. Esto significa que una superficie de una sola cara, como la banda de Móbius, no se puede convertir en una de dos caras mediante transformaciones topológicas. Tal como se ha mencionado ya, con transformaciones topológicas se puede, en principio, cortar la banda, girarla y hasta anudarla, pero hay que volver a pegar la banda de manera que los puntos que eran adyacentes antes del corte, lo sigan siendo tras la unión. (Esta modalidad de unión explica que un nudo de trébol y una circunferencia sean homeomorfos). Sin embargo, esta restricción impide añadir o eliminar de las bandas una cantidad impar de medios giros. Hoy, la topología y las bandas Móbius tienen unas implicaciones relevantes para la física, la cosmología y la mecánica. Por supuesto, una banda de Móbius no se puede transformar en realidad en su imagen especular o en una banda con tres medios giros en nuestro universo. Pero, si se hallara suspendida en un espacio tetradimensional, podríamos deformarla en una dimensión mayor y devolverla al espacio tridimensional convertida en un lazo con cualquier número impar de medios giros o cualquier axialidad. Incluso una banda carente de giros (como un cilindro) podría, en teoría, elevarse a un espacio tetradimensional, ser girada allí por un alienígena de una dimensión mayor, y llegar devuelta a nuestro espacio con cualquier número par de medios giros de cualquier axialidad. Sin embargo, el alienígena no podría trocar un lazo cilíndrico estándar en banda de Móbius porque el cilindro tiene dos bordes, y la banda solo tiene uno. 127



 l'ara r onvcrtir dos bo rdes e n un o sol o, el extra terrestre te n-



dría qu e cortar ambos bord es y unirlos al revés. Móbius m editó mucho acerca de estas misteriosas rotaciones e n dimensiones mayores. En sus Werke escribió que un só lido podría rotarse hasta hacerlo coincidir con su imagen ~ sp ec ular si fuéramos capaces de «lograr que un sistema di e ra medio giro en un espacio tetradimensional. Pero como 11n espacio tal no se puede concebir, dicha coincidencia es imposible en este caso».



1'. 111l>argo, e l lil ósol'o lmmanucl Ka nt (1724-1804) consideró .dg1111os de los aspectos espirituales de una cuarta dimen1rn'1n :



lJ na ciencia con todas esas variedades posibles de espacio



co nstituirá sin duda el cometido más elevado que puede e mp render un entendimiento finito en el campo de la geo me tría... Si es posible que haya regiones con otras el imensiones, es muy probable que Dios las haya creado en algún lugar. Esos espacios más elevados no pertenecerían a nuestro mundo, sino que formarían mundos separados.



Fantasmas, cintas de Mobius y la cuarta dimensión Cu ando hablo de la cuarta dimensión, aludo a una dimensión espacial que se corresponde con una dirección distinta a todas las existentes en nuestro mundo. El alumnado suele preguntar, «Pero, ¿no era el tiempo la cuarta dimensión?». El ti empo no es más que un ejemplo de una cuarta dimensión , pe ro hay otros. Es posible que los universos paralelos existan incluso a la par que el nuestro de alguna manera fantasmal, y ('11 to nces cabría denominarlos como otras dimensiones. Pno en este apartado, me interesa una cuarta dimensión '"'/mtial, una existente en una dirección distinta a arriba y .1hí!jo, d elante detrás, derecha e izquierda. Observe el techo de una habitación. Desde cada esquina del mismo radian tres líneas y cada una de ellas correspond e a l lugar donde convergen un par de paredes. Cada línea es perp endicular a las otras dos. ¿Alcanza usted a imaginar una cuarta línea perpendicular a estas tres? Si se parece usted ·ti resto de la gente, responderá con una negativa rotunda. Pero esto es lo que exigen las matemáticas y la física para co nfigurar una construcción mental de un espacio tetradimc nsio nal. ¿Qué significa que un objeto exista en una cuarta dimensió n? El concepto científico de cuarta dimensión es esencialme nte una idea moderna que se remonta al siglo XIX. Sin 1 :.iH



Ya h emos apuntado la idea de que alienígenas manipulen la banda de Mobius en dimensiones superiores, y esto me recuerda al astrónomo decimonónico Johann Karl Friedrich './,ü llner (1834-1882), quien respaldó la idea de que los fantas mas procedan de la cuarta dimensión. Fue profesor de as tronomía en la Universidad de Leipzig (alma máter de Mo bius), y trabajó con el médium estadounidense Henry Slad e . Zollner sometió a Slade a varias pruebas para deterininar si era un charlatán o realmente estaba capacitado para acceder a dimensiones superiores. Por ejemplo, Zollnc r brindó a Slade una cuerda unida por los extremos en forma de lazo cerrado. Los dos extremos sueltos se pegaron me diante alguna especie de lacre. Al parecer, Slade logró la increíble hazaña de atar nudos en la cuerda, algo que no d ebería ser posible con una cinta cerrada. Por supuesto, lo más probable es que Slade lo engañara retirando el lacre, pero si de verdad fuera viable tejer nudos en la cuerda cerrada, se demostraría la existencia de una cuarta dimensió n. Expliquemos por qué. Imagine que estamos juntos y que le doy una cuerda con ;1mbos extremos unidos entre sí mediante un lacre, como e n la figura 5.11. El círculo con la «Z» representa el precinto <1 pli cado por Zollner. Un ser tetradimensional lograría traslad a r un fragmento d e la cuerda a una cuarta dimensión 1 29



 y sararlo ck nuestro espacio. Eso sería equivalente a cortar la cuerda puesto que la cuerda podría moverse a través de sí misma para formar un nudo. Una vez que la cuerda adquiriera la orientación correcta, la haríamos «descender» de vuelta a nuestro espacio y le habríamos atado un nudo sin mover los extremos de la cuerda. De manera similar, un ser tetradimensional podría deformar una banda de Mobius ·n una dimensión superior y devolverla al espacio tridimensional en forma de banda con cualquier número impar de medios giros o cualquier axialidad. Sin embargo, ese ser no tendría capacidad para convertir una banda con un número impar de medios giros en otra con un número par sin romperla, porque esta transformación haría que la banda pasara de tener un solo borde a tener dos. Para ello habría que ortar el borde por dos sitios y unir los extremos de cada una le las dos piezas resultantes para obtener dos bordes.



No anudada



Anudada



r>. 11 Un ser tetradimensional encarnaría el mago definitivo capaz de li" ccr o deshacer un nudo en una cuerda elevándola de manera transíLo ria a la cuarta dimensión. A la izquierda hay una cuerda antes de :slar anudada. (Zollner intentó transformar la cuerda de la izquierda '11 la de la derecha sin romper el círculo de lacre de la parte superior.)



Reflexionemos sobre nudos en diferentes dimensiones. U na cuerda no se puede anudar en un espacio bidimensional por mucho que lo intentemos (figura 5.12). Para las criaturas obligadas a existir en un plano, no existe manera de cruzar una línea sobre sí misma. De hecho, una cuerda o una línea solo se pueden anudar en el espacio tridimensional. Y cualqui e r nudo que se practique en el espacio tridimensional, 1 :10



pcrmaneccní. anudado en el espacio tctradimensional porque e l grado adicional de libertad hará que un nudo resbale a través de sí mismo.



110



5.12 Una cuerda no se puede anudar en un espacio bidimensional.



Por analogía, en el espacio tetradimensional, una criatura puede anudar un plano (una superficie) pero este plano no permanecería anudado en un espacio pentadimensional. Y el plano anudado no se puede formar en el espacio tridimensional. Desde luego, es probable que la idea de anudar un plano resulte confusa a la mayoría de los lectores. Imagine una línea anudada, y entonces «elévela» a la cuarta dimensión. La estela que dibuja será un plano anudado. Jamás se cruza consigo misma. Por supuesto, si nos limitamos a dejar una estela en el espacio tridimensional al desplazar un nudo, este se cruzará consigo mismo, pero como esta «elevación» es perpendicular a todas las direcciones de nuestro espacio, el plano anudado de la cuarta dimensión no se cruzará consigo mismo. Zollner desarrolló tres pruebas para determinar si Slade podía usar la cuarta dimensión para obrar milagros. En primer lugar, entregó a Slade dos anillos de roble para que los entrelazara sin romperlos. En segundo lugar, le dio la concha de un caracol para que intentara convertir una espiral girada en sentido horario en otra espiral que discurriera



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 en sentido antihorario, y viceversa. En tercer lugar, brindó a Slade una banda de goma y le pidió que practicara un nudo en una vuelta de la banda. (Para ser precisos, se trataba de una banda de tripa seca, pero ya nos hacemos una idea). Por desgracia, Slade no superó esta serie compleja de pruebas. Con todo, la idea de una cuarta dimensión siguió divirtiendo y fascinando a legos y científicos. «Un mundo más elevado no solo es posible, sino también probable», escribe Alfred Taylor Schofield en su obra de 1888 Another World. «Cabría considerar un mundo así como un mundo de cuatro dimensiones. Nada impide que el mundo espiritual y sus moradores, y cielo e infierno, existan junto a nosotros». Zollner quedó desacreditado casi por completo debido a su vinculación con el espiritismo. En cambio atinó al afirmar que cualquiera que accediera a dimensiones más elevadas lograría hazañas imposibles para las criaturas limitadas al mundo tridimensional. Propuso varios experimentos para demostrar su hipótesis; por ejemplo, engarzar dos anillos sólidos sin practicarles ningún corte previo, o extraer objetos de cajas de seguridad. Si Slade conseguía unir dos anillos independientes de madera sin romperlos, Zollner lo consideraría «un milagro, es decir, un fenómeno absolutamente imposible de explicar mediante la concepción existente hasta ahora de los procesos físicos y orgánicos». Tal vez la prueba más difícil de superar era la relacionada con la inversión de la estructura molecular del ácido dextrotartárico de tal modo que rotara un plano de luz polarizada hacia la izquierda en lugar de hacerlo hacia la derecha. Aunque Slade jamás ejecutó por completo las tareas requeridas, siempre se las ingenió para llegar a unos resultados suficientes como para convencer a Zollner, y estas experiencias se convirtieron en la base fundamental de la obra de Zollner Transcendental Physics. Este volumen, y las afirmaciones de otros espiritistas, tuvieron realmente cierto valor científico porque suscitaron un debate arduo dentro de la comunidad científica británica. 1:\ ~



Inversión de esferas y rosquillas: lo de dentro afuera La banda de Mobius pertenece a una gran variedad de formas geométricas exóticas muy relevantes en topología. Algunas transformaciones topológicas resultan sencillas de visualizar. La mayoría de personas alcanza a imaginar el estiramiento de una taza de café hasta convertirse en una rosquilla, pero la topología también se ocupa de muchas transformaciones nada intuitivas. Por ejemplo, durante muchos años, los topólogos supieron que en teoría era posible invertir una esfera de manera que el interior fuera el exterior y viceversa, pero no tenían la menor idea de cómo hacerlo. Cuando los estudiosos empezaron a usar gráficas mediante computadora, el experto en matemáticas y gráficas Nelson Max del Lawrence Livermore National Laboratory creó una emocionante película de animación que acaba ilustrando la transformación de la esfera. La película de 1977 de Max se basaba en e l trabajo de eversión de la esfera de Bernard Morin, un top6logo ciego de la Universidad Louis Pasteur de Estrasburgo (Francia). Para elaborar la película, Max empezó con 1111a serie de coordenadas obtenidas a partir de modelos de malla de alambre que reproducían once etapas de la transfonn¡1ción. En la actualidad, se puede pedir la película «Turning a Sphere Inside Out» en la web de A K. Peters. La animación comienza con una deliberación sobre el problema de la eversión de la esfera y se centra en cómo lograrlo mediante el paso de la superficie a través de sí misma sin practicar orificios ni dobleces. Los matemáticos habían considerado irresoluble el problema hasta alrededor de 1958, cuando Stephen Smale, ahora en la Universidad de California (Berkeley, EE UU), demostró lo contrario. Sin embargo, nadie consiguió visualizar el movimiento sin las gráficas. Los pasos necesarios para evertir un toro también resultan baslant<· difíciles de visualizar. Cuando hablamos de la eversión de una esfera, no nos 1



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 r('('('rimos a volver del revés una pelota de playa introduciendo Ja pelota vacía por el orificio y volviéndola a inflar a con Linuación. Sino que consideramos una esfera sin orificio. Los matemáticos procuran visualizar una esfera formada por una fina membrana elástica capaz incluso de pasar a través d e sí misma sin rasgarse ni desarrollar una torsión o arrugas intensas. El empeño en evitar esas arrugas pronunciadas es lo que complica tanto la eversión matemática de una esfera. Resulta que existen varias maneras de conseguir este objetivo y, a finales de la década de 1990, los matemáticos dieron 11 n paso más y descubrieron una vía geométrica óptima que reduce al mínimo la energía necesaria para contorsionar la esfera durante su transformación. Esta eversión óptima de la esfera, u optiverso, constituye ahora la estrella de un colorido vídeo de gráficas por computadora titulado The optiversey producido por el matemático John M. Sullivan, de la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, y sus colegas de Illinois George K. Francis y Stuart Levy. A pesar de la e legancia de este vídeo, sus principios no se pueden utilizar para volver del revés una pelota realmente sellada. Como las bolas y pelotas reales no se componen de un material rnpaz de pasar a través de sí mismo, no es posible invertir <'sos objetos sin practicarles un orificio. Los topólogos también llevan mucho tiempo planteándose si sería posible invertir un toro a través de un agujero practicado en uno de sus laterales. Aunque esto sorprende a algunas de mis amistades, por la dificultad de visualizarlo, tal ~ versión se ha efectuado con cámaras de neumáticos reales. Para facilitar el estudio del proceso de eversión de un toro, podemos pintar un anillo rojo en la parte exterior de un toro y otro en la parte interior. Observemos la figura 5.13 (arriba), los dos anillos parecen estar entrelazados como dos eslabones de una cadena. Sin embargo, durante el proceso de inversión de un toro, los dos anillos cambian de posición que se rompa ninguno de los dos (figura 5.13, abajo).



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5.13 Inversión de un toro a través de un orificio en un lateral.



Quien desee experimentar personalmente e intentar volver del revés un toro real, lo logrará con más facilidad si utiliza un modelo de tela que uno de goma. Doble un trozo cuadrado de tela por la mitad y cosa entre sí cada uno de los extremos para confeccionar un objeto en forma de rosquilla. Ahora, practique un agujero en la tela e introduzca el toro a través del orificio. Existen muchos rompecabezas y transformaciones sorprendentes relacionadas con toros. Por ejemplo, si un toro sin orificio lateral se enlaza como el eslabón de una cadena ·:i. otro toro que sí cuente con orificio lateral (llamado «toro caníbal»), el toro caníbal puede tragarse al toro sin orificio de tal manera que quede completamente inmerso en el Loro caníbal. Durante el proceso de ingestión, el toro caníbal se da la vuelta. El fabuloso proceso de ingestión de un toro exige que el orificio del toro caníbal experimente un estiramiento espectacular. John Stillwell, matemático de la Un iversidad de Monash, en Australia, reveló por primera vez cómo lograrlo estirándolo y comprimiéndolo pero, por supuesto, sin romperlo. 1 '. \ rí



 Más allá de la banda de Mobius La banda de Mobius, de una sola cara, cuenta con numerosos primos hermanos interesantes en el mundo de la topología. Por ejemplo, la botella de Klein, descrita por primera vez en 1882 por el matemático alemán Felix Klein, es un objeto con el cuello flexible que se retuerce sobre sí mismo para formar una figura sin parte interior ni exterior. Esta botella guarda relación con la banda de Mobius y, en teoría, se puede confeccionar a partir de la unión de dos bandas de Mobius por el borde, o mediante la unión de ambos pares de lados opuestos de un rectángulo pero aplicando medio giro a uno de los pares. En el capítulo 6, cuando estudiemos los modelos matemáticos para el cortjunto del cosmos, hablaré en más detalle sobre la botella de Klein y aportaré ilustraciones. Otra superficie que guarda una estrecha relación con la banda la constituye el plano proyectivo real. Se trata de una variedad diferencial (es decir, una superficie) topológica cerrada que se puede visualizar uniendo los lados de un cuadrado con las orientaciones ilustradas en la figura 5.14. En otras palabras, el lado derecho se gira en relación con el izquierdo antes de unir ambos entre sí, y lo mismo se hace con los lados superior e inferior. Orientablcs



BBB No orientables



El pla110 proyec tivo n.~éd es 1111 ;1 supnficie 110 ori<.·nlabk. Esto quiere decir que, al igual que e n e l caso de la banda de Mobius, cualquier criatura que recorriera esa superficie encontraría caminos para invertir su axialidad al regresar al punto de partida. Se obtiene una banda de Mobius al perforar un orificio en el plano proyectivo real. Otras superficies (con nombres graciosos como «Superficie de Boy», «cross-cap» y «superficie romana») son homeomorfas respecto del plano proyectivo real, y contienen autointersecciones cuando intentamos representarlas en nuestro mundo tridimensional. La cross-cap1 es una superficie bidimensional topológicamente equivalente a una banda de Mobius. Para crear un objeto tal podemos imaginar que cosemos el borde circular de un hemisferio a una banda de Mobius. La superficie resultante carece de una parte interior o exterior reales, y parece un gorro aplastado y sin ala. Un cross-cap cerrado mediante la unión de un disco con su contorno se convierte en un plano proyectivo real. Dos cross-caps unidos entre sí por el contorno forman una botella de Klein. La figura 5.15 muestra un modo de unir un cross-cap a una superficie. En primer lugar, hay que cortar un agujero e n la superficie y coser en él una cinta de Mobius, borde con borde. En el espacio tridimensional, el único modo de conseguir esto consiste en permitir que la banda de Mobius se cruce consigo misma. Como las bandas de Mobius alteran la axialidad de los objetos que se desplazan por su superficie, la cross-cap es también una superficie no orientable.



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1~\ 5.14 Diagramas esquemáticos para crear varias superficies. En una banda de Mobius, unimos lados opuestos del cuadrado con un giro, simbolizado por las flechas en direcciones opuestas. En el plano proyectivo real, los pares de superficies opuestas se unen con un giro.



5.15 La superficie cross-cap. Para unir una cross-cap a una superficie, hay que practicar primero un orificio en dicha superficie y coserle una banda de Mobius a lo largo del contorno del agujero .



e n los países de habla hispa 11 :1 (N . del E.) 1 E n castellano suele usarse e l término en in glés . Q 11i z{i po d1 í:1 11 :1d1u i1 Ml ' 1·01no «bonete cruzado». (N. de la T.). 1 :¡()



1 :~7



 Otras üguras re1acionadas incluyen la superficie romana ele Jakob Steiner (que, vista desde cierto ángulo, parece un uenco muy deformado) y la superficie de Boy, ideada por Werner Boy (la cual, con determinadas orientaciones, parece un lazo retorcido; figura 5.16). La superficie de Boy, descrita por Werner Boy en 1901, es una superficie no orientable como la cross-cap y la romana, y todas ellas se pueden obtener al coser una banda de Móbius al contorno de un disco de maneras diversas. A diferencia de la superficie romana y la cross-cap, no tiene singularidades (puntos pellizcados o arrugados) , pero sí autointersecciones.



una función con un comportamiento muy irregular y que ha intrigado a los matemáticos desde la época de Móbius. En algún instante alrededor de 1831, Móbius estudió lo que con posterioridad recibiría el nombre de función de Mobius en su honor. Para entender la función, representada mediante la letra griega mi ('µ), imagine todos los números enteros distribuidos en tan solo tres grandes buzones del modo que se describe a continuación. El primer buzón tiene pintado un gran «O», el segundo un «+ 1» y el tercero un «-1 ».



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5.16 Superficie de Boy. (Imagen por computadora dejos Leys.)



La función de Mobius Los intereses de August Ferdinand Móbius excedieron con creces la geometría, puesto que estudió diversas funciones exóticas de carácter entero. A lo largo de los años he disfrutado catalogando estas variedades de funciones matemáticas curiosas que manifiestan un comportamiento complejo o elegante y que procuran a los matemáticos un terreno fértil para ]a investigación futura. La mayoría de las funciones que aprendemos durante la enseñanza secundaria, como y = i1-, que define una parábola, son bastante suaves y exhiben comportamientos dóciles. En este aparlado estudiaremos



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~



~



+l



-1



En el buzón O, Móbius introduce múltiplos de números cuadrados (distintos al 1) que incluyen {4, 8, 9, 12, 16, 18, 20,24,25,27,28,32,36,40,44,45,48,49,50,52,54,56,60, 63, 64, etcétera}. Un número cuadrado es un número como 4, 9, 16 ó 25, que constituyen el cuadrado de otro número entero. Por ejemplo, µ(12) =O porque 12 es un múltiplo del número cuadrado 4, de ahí que se le asigne el buzón «O» . Antes de continuar, me gustaría introducir un inciso porque ya podemos hacer algunas observaciones notables. Los matemáticos saben que la probabilidad de que un número no pertenezca al buzón «Cero» tiende a 6/m2 = 0.6079 ... a medida que los buzones se llenan de números. Entre los primeros 100 000 números, este índice de probabilidad de 6/m 2 predice 39 207 números con µ(n) = O. La cifra real asciende a 39 206. Siempre me asombra que m aparezca con frecuencia en ramas de las matemáticas sin relación aparente con su aplicación inicial de m en geometría. Dediquemos otra mirada al buzón O con sus números que contienen cuadrados («no libres de cuadrado»). Nótese que la primera aparición de dos números consecutivos se produce en l8, 9l. En esa lista se aprecian tres números seguidos en 148, t19, 50l. Es posible tomar la serie de los números que contienen



,:rn



 n1 adrados y dec ir e n q ué posicio nes de esa li sta aparecen po r prin1 c ra vez conjun tos de al menos n números consecutivos:



•4



•8 • 48 • 242



• 844 • 22 020 • 217 070 • 1 092 747 • 8 870 024 • 221 167 422 • 221 167 422 • 47 255 689 915 • 82 462 576 220 • 1 043 460 553 364 • 79 180 770 078 548 • 3 215 226 335 143 218 • 23 742 453 640 900 972



Nótese que el intervalo para n = 10 y n = 11 es el mismo, a saber 221 167 422. Desconozco si los matemáticos han ~ nc ontrado alguna vez dos ns consecutivos como estos en algún otro lugar de la serie. (Un hecho interesante: entre los números de Fibonacci ~ que además son no libres de cuadrado no se conoce ninguno con p primo) . Volvamos a centrar la atención en la función de Móbius y los buzones. El teorema fundamental de la aritmética dice que cada número entero positivo surge de la multiplicación de un conjunto único de números primos. Por ejemplo, 30 es el produ cto de 2, 3 y 5. En el buzón -1, Móbius ubica todos los números que resultan de la multiplicación de una cantidad impar de primos distintos, como {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, 37, 41, 42, 43, 47, 53, 59, 61, 66, 67, 70}. Por ejemplo, 5 x 2 x 3 = 30, de modo que 30 figura en esta lista porque cuenta 111()



co n tres facto re::> prim os. A <·s tíl li st;1 p~· rt e n ccc n tam bién todos los nú meros p rimos , p uesto que constan de tan solo un factor primo , ellos mismos. Por tan to , µ(29) = -1 y µ(30) =-l. La probabilidad de que un número caiga en el buzón -1 asciende a 3/m2 , que podríamos escribir como P[Jt(n) = -1] = 3/m 2• Observemos que aquí se da otra aparición curiosa de m alejada de su interpretación geométrica tradicional. Por último, consideremos el buzón +1 en el que Móbius sitúa todos los números que resultan de la multiplicación de un número par de primos distintos. Por completitud, Móbius asignó el 1 a este contenedor. Entre los números de este buzón se cuentan {l, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 79}. Por ejemplo, el 26 se encuentra en este grupo porque 26 = 13 x 2. Tras toda esta exposición se ve que la función de Móbius tiene un valor de 1 ó -1 solo cuando no se repite ningún primo en la factorización del número en cuestión. La probabilidad de que un número caiga en el buzón +les de 3/m2 • Dada esta larga introducción, podemos relacionar los primeros veinte términos de la bella función de Móbius: Jt( n) = {l, -1, -1, O, -1, 1, -1, O, O, 1, -1, O, -1, 1, 1, O, -1, O, -1, O}. Cuando se representa esta función de forma gráfica (figura 5.17), «parece» aleatoria en el sentido en que se antoja caótica, sin ningún patrón o regularidad apreciable.



-1



25



so



15



100



125



150



175



:zoo



5.17 La errática función de Mobius, µ,( n), para valores de n superiores a 200. (Gráfica de Mark Nandor). 1 ;¡ 1



 l .a s111n:i ;tc·11111ula1iva d(' 7t(11) es ( I, O, - 1, - 1, -2, - 1, -2, -2, -2, - 1, -2, -2, -3, -2, - 1, - 1, -2, -2, -3, -31, lo que se conoce como la !'unción de McrLens, o M(x). IOf I•



5.19 ilustra M(x)/xl/2. Nótese que el valor nunca se sobrepasa 0.5 positivo o negativo después de los primeros centenares de valores.



5.18 Función de Mertens M(x) para valores de x hasta 100 000. (Gráfica de Mark Nandor.)



En 1897, el matemático europeo Franz Mertens formuló la osada coajetura de que IM( x) / x11 2 I < 1 para todos los valores de x. En otras palabras, él afirmaba que el valor absoluto de M(x) siempre sería inferior a la raíz cuadrada de x. Mertens onfeccionó una tabla con los valores tanto de ¡,t( n) como d e M( n) de cincuenta páginas de extensión con valores de n hasta 10 000. Mertens estudió largo y tendido la lista y, al comparar M( n) con n, dedujo su famosa coajetura. En 1897, el matemático .R. D. von Sterneck coajeturó que IM(x)/x1121<1/2 se verificaba siempre, más allá de los doscientos primeros valores. La figura 5.19 ilustra M(x) / x 11 2 • Nótese que el valor nunca se sobrepasa 0.5 positivo o negativo después de los primeros centenares de valores. Años más tarde se descubrió que la conjetura de Sterneck es falsa. En concreto, para x> 200, la primera vez que IM(x)/ 11 2 x I supera 1/2 ocurre con M(7 725 030 629) = 43 947, con-



'" ~



traejemplo descubierto en 1960 por Wolfgang Jurkat. En 1979, H. Cohen y F. Dress calcularon los valores de M(x) hasta valores de x superiores a 7800 millones y ¡la conjetura original de Mertens seguía valiendo! Hubo que esperar hasta 1983 para que Herman te Riele y Andrew Odlyzko refutaran la conjetura de Mertens de que IM( x) / x 112 I < 1 para todos los valores de x. Ed Pegg (hijo), experto en la función de Mertens, me cuenta que hasta 1985 Andrew O~ln~o no encontró un contraejemplo cercano del valor x = D , donde IM( x) / x.1/21 > 1.06. Se estima que el primer número x que incumple la conjetura de Mertens es superior a 1030 • En 198 7, J. Pin tz reveló que podía hallarse otro con traejemplo de Mertens en cierto valor de x inferior a 1065 • El primer valor para el que IM(x) / x11 2 I > 1 aún no se conoce. En 1985, Odlyzko y Riele creían que no existían contraejemplos de la conjetura de Mertens para x < 102º. La función de Mobius es fascinante, en parte, por la cantidad de identidades elegantes y profundas que, según han detectado los matemáticos, implica. He aquí solo algunas:



fµ(n)=O n= I n 143



 ..;.::., 11(11) ~



n



,, 1



f



·O



µ(n)lnn n



n= I



= _1



~ lµCn)I = _!2_



~



n



n= I



oo



2



µ(n )/n



TI V-x")



7r



2



= e-x para lxl


n= I



Aplicaciones



La función de Mobius encuentra aplicaciones en varias áreas de la física. Por ejemplo, se han encontrado usos prácticos de la función de Mobius en diversas interpretaciones físicas de la teoría de partículas subatómicas. Según sostiene el físico Donald Spector en su artículo «Supersymmetry and the Mobius Inversion Function» ( «Supersimetría y la función de inversión de Mobius»), la función de Mobius se puede interpretar como la asignación del número de fermiones en teoría cuántica de campos. Un fermión es una partícula, como un electrón, protón o neutrón, que obedece reglas estadísticas que imponen la condición de que no haya más de un fermión ocupando un estado cuántico determinado. El hecho de que -µ( n) = O cuando n no contiene cuadrados equivale al principio de exclusión de Pauli. Spencer me ('SCribe: «Sí, la función de Mobius arroja luz sobre la estructura de la teoría de partículas, pero también debo decir que las aplicaciones van en ambas direcciones, de modo que mi trabajo muestra que la física de partículas puede arrojar luz sobre la teoría de números». El público lector interesado en aplicaciones como esta puede consultar el artículo del físico teórico Marek Wolf titulado «Applications of Statistical Mechanics in Prime Number Theorr («Aplicaciones de la mecánica estadística a la teoría de números primos»). Patrick Billingsley, profesor ;mérito del Departamento de Estadística de la Universidad de Chicago, ha utilizado la función de Mobius para generar 1 '1 'I



reco rridos aleatorios c u su artículo «Prime Numbers and Brownian Motion» («Números primos y movimiento brow11iano») . La función de Mobius mantiene asimismo profundas on exiones con la distribución de los números primos y una re lación simple con la célebre función dseda de Riemann, de una importancia capital en teoría de números debido a su relación con la distribución de los números primos. (Aunque se conocen muchas de las propiedades de la función dseda, varias conjeturas fundamentales relevantes permanecen sin demostrar, la más famosa de las cuales es la hipótesis de Riemann) . Consideremos la famosa igualdad



s



f n= I



1



µ(~) = - - = TI (1-~) n S(s) p p = primos



Aquí, s es un número complejo cuya parte real es mayor que 1, y el producto denotado por el símbolo abarca todos los números primos. De manera más general, se ha utilizado la función de Mobius como una herramienta para resolver problemas intrincados de teoría de números relacionados ·on números primos. La función de Mobius fascina en ambientes matemáticos porque casi todo su comportamiento continúa sin resolver. Ni siquiera sabemos el valor de Mobius para la mayoría de los números que superan los trescientos dígitos.



rr



Aplicaciones de las viejas matemáticas



¿Qué otras aplicaciones podrían encontrar algún día la banda o la función de Mobius? Ciertamente, hay muchos <:jemplos de matemáticas antiguas que hallan extrañas aplicaciones siglos después, y esas matemáticas se han utilizado i 11cluso para describir el mismísimo tejido del que está hecha la realidad. Por ejemplo, en 1968, Gabriele Veneziano, un investigador del CERN (un laboratorio europeo de acelera1 '1 !)



 i::''(") =o n "1



L _µ_(n_)_ln_n = _ 1 n



n=I



~ lµCn)I = I2 L.,¡



n



n= I



oo



2



µ(n)/n



TI (1-xn)



2



TC



= e-x para lxl


n=I



Aplicaciones La función de Mobius encuentra aplicaciones en varias áreas de la física. Por ejemplo, se han encontrado usos prácticos de la función de Mobius en diversas interpretaciones físicas de la teoría de partículas subatómicas. Según sostiene el físico Donald Spector en su artículo «Supersymmetry and the Mobius Inversion Function» ( «Supersimetría y la función de inversión de Mobius»), la función de Mobius se puede interpretar como la asignación del número de fermiones en teoría cuántica de campos. Un fermión es una partícula, como un electrón, protón o neutrón, que obedece reglas estadísticas que imponen la condición de que no haya más de un fermión ocupando un estado cuántico determinado . El hecho de que µ( n) = O cuando n no contiene cuadrados equivale al principio de exclusión de Pauli. Spencer me escribe: «Sí, la función de Mobius arroja luz sobre la estructura de la teoría de partículas, pero también debo decir que las aplicaciones van en ambas direcciones, de modo que mi trabajo muestra que la física de partículas puede arrojar luz sobre la teoría de números». El público lector interesado en aplicaciones como esta puede consultar el artículo del físico teórico Marek Wolf titulado «Applications of Statistical Mechanics in Prime Number Theory» («Aplicaciones de la mecánica estadística a la teoría de números primos»). Patrick Billingsley, profesor e mérito del Departamento de Estadística de la Universidad d e Chicago, ha utilizado la función de Mobius para generar 1 tJ ti



rc('orriclos aleatorios en su ar 1ículo «Prirnc Numbcrs and 13rownian Motion» («Números primos y movimiento browniano »). La función de Mobius mantiene asimismo profundas conexiones con la distribución de los números primos y una relación simple con la célebre función dseda ~ de Riemann, de una importancia capital en teoría de números debido a su relación con la distribución de los números primos. (Aunque se conocen muchas de las propiedades de la función dseda, varias conjeturas fundamentales relevantes permanecen sin demostrar, la más famosa de las cuales es la hipótesis de Riemann). Consideremos la famosa igualdad



f µ(n) =-1-= ns S(s) n= I



TI



(1--1



p = pri mos



ps



J



Aquí, s es un número complejo cuya parte real es mayor que 1, y el producto denotado por el símbolo abarca todos los números primos. De manera más general, se ha utilizado la función de Mobius como una herramienta para resolver problemas intrincados de teoría de números relacionados con números primos. La función de Mobius fascina en ambientes matemáticos porque casi todo su comportamiento continúa sin resolver. Ni siquiera sabemos el valor de Mobius para la mayoría de los números que superan los trescientos dígitos.



n



Aplicaciones de las viejas matemáticas ¿Qué otras aplicaciones podrían encontrar algún día la banda o la función de Mobius? Ciertamente, hay muchos ejemplos de matemáticas antiguas que hallan extrañas aplicaciones siglos después, y esas matemáticas se han utilizado incluso para describir el mismísimo tejido del que está hecha la realidad. Por ejemplo, en 1968, Gabriele Veneziano, un investigador del CERN (un laboratorio europeo de acelera-



''Ir>



 dores ele panículas) observó que muchas propiedades de la l'ucrza nuclear fuerte se describen a la perfección mediante la función beta de Euler, una enrevesada fórmula desarrollada por razones puramente matemáticas doscientos años antes por Leonhard Euler. En 1970, tres físicos llamados Nambu, Nielsen y Susskind, publicaron su teoría sobre la función beta, la precursora de la teoría de cuerdas actual, que dice que todas las partículas fundamentales del universo consisten en minúsculas cuerdas de energía.



Palíndromos con la función de Mobius ( «Mobídromos») Mi compañero Jason Earls, de Fritch (Tejas), autor de Death Knocks, es uno de los expertos mundiales en la función de Móbius aplicada a palíndromos, números que se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, como 12 321. Uno de sus felices hallazgos, realizado en 2004, guarda relación con la función de Móbius aplicada al palíndromo 15 891 919 851, y con cada truncamiento de sus dígitos por la derecha. µ(15 891 919 851) = 1 µ(1589191985)=1 µ(158 919 198) = 1 µ(15 891 919) = 1 µ(l 589 191) = 1 µ(158 919) = 1 µ(15 891) = 1 µ(1589) = 1 µ(158) = 1 µ(15) = 1 µ(1) = 1 También descubrió la siguiente secuencia cuando se aplica



1,¡()



l:i f'11nción de Mobius al palíndromo 79 737 873 797 y a cada 1rn ncamiento de sus dígitos por la derecha: µ(79 737 873 797) = -1 µ(7 973 787 379) = -1 µ(797 378 737) = -1 µ(79 737 873) = -1 µ(7 973 787) = -1 µ(797 378) = -1 µ(79 737) = -1 µ(7973) = -1 µ(797) = -1 µ(79) = -1 µ(7) =-1 Jason dedica gran parte de su tiempo de ocio a buscar palíndromos de Móbius (o «Mobídromos»), como un astrónomo que rastreara el cielo en busca de señales de vida extraterrestre. Lo hace por alguna razón que no he logrado averiguar, como no sea el mero placer que siente al realizar descubrimientos que nadie ha logrado antes. ¿Encontrará algún día un palíndromo de Móbius más largo? ¿Existirán infinitos palíndromos de Móbius (es decir, palíndromos que siempre den 1 o -1 en la función de Móbius con cada truncamiento de sus dígitos por la derecha)?



La asombrosa ubicuidad de



ID



Ya mencionamos la extraordinaria aparición de m al hablar de la función de Móbius y, en general, me fascina la ubicuidad de ID en campos extensos de las matemáticas. Por lo común, pensamos en ID simplemente como la relación entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro. Así lo hizo la humanidad anterior al siglo XVII. Sin embargo, en el siglo XVII, m se liberó del círculo. Se inventaron y estudiaron ''17



 muchas curvas (por ej emplo , diversos arr os, hipocicloides y brujas), y los matemáticos se encontraron con que sus áreas podían expresarse en términos de m. Por último, m traspasó por completo los límites de la geometría. Hoy m se relaciona con muchas áreas de la teoría de números, probabilidad, números complejos y fracciones simples, como m/ 4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 ... A veces cuesta trabajo explicar su amplia esfera de influencia. Como ejemplo de lo lejos que ha llegado m a partir de su sencilla interpretación geométrica relacionada con círculos, consideremos la obra Budget of Paradoxes, donde Augustus de Morgan explica una ecuación a un vendedor de seguros. La fórmula, que calcula las posibilidades de que un grupo determinado de gente siga viva tras cierto número de días, incluye el número m. El vendedor de seguros lo interrumpe y exclama: «¡Querido amigo, esto debe de ser una alucinación! ¿Qué tendrá que ver un círculo con la cantidad de gente viva al cabo de un tiempo dado?» Fotografías de ríos tomadas desde satélites revelan m de un modo extraño. Imagine que observamos una foto que abarca toda la extensión de un río serpenteante. Midamos la lon gitud del río a lo largo de una línea recta que enlace el nacimiento con la desembocadura del mismo y denorn in c mos Da dicha distancia. A continuación, midamos la lon g itud real del río, como si lo recorriéramos en barco. ! .lamemos a esta distancia R Según Hans-Henrik St0lum, geó logo de la Universidad de Cambridge, mes la razón promedio entre Ry Den ríos con meandros. Aunque la razón varía d e un río a otro, el valor promedio de R/ D = m es más o mún en ríos que discurren por planos poco inclinados, co mo los de Brasil o la tundra siberiana. Tal como escribió Simon Singh en su obra El enigma de Fermat, «En el caso de la rel ación fluvial, lc:i aparición de m es el resultado de una pugna entre el orden y el caos». Más recientemente aún, m ha aparecido en ecuaciones qu e describen partículas subatómicas, luz y otras cantidades l i18



sin relació n manifiesta con los círculos. Ya hemos come ntado que la probabilidad de que un entero elegido al azar sea libre de cuadrados (no divisible por un cuadrado) es de 6/m 2• El valor de m2 /6, representado como 'A, se halla por doquier en matemáticas. Por ejemplo, aparece en la suma de los inversos d e los cuadrados de los números enteros positivos: 1t2



00



1



'A=-=L6



n= I



n2



El hipervolumen de una hiperesfera tetradimensional es 3'Ar4 • La integral desde O a infinito de xi (e - l)dx es m2/6. También tenemos: 00



J



1t2 3 ¿-cos 1 ( - - - =9= = = -=-2e 2 6 n= l n nn + n 2n 2 - 9 ~ = n _ 1+ cos(2n) 6 n= I n2



I



.J



La expresión 6/m 2 = 0.608 ... o sus inversos aparecen en innumerables campos de las matemáticas sin relación aparente, lo que le otorga un significado casi místico. Por ejemplo, consideremos que 6/m2 es, asimismo, la probabilidad de que dos números seleccionados al azar sean primos entre sí. (En teoría de números, dos números A y B sin factores comunes se denominan números «primos entre sí» o «coprimos»). Como ej emplo de números primos entre sí, se dice que dos números enteros son primos entre sí si su máximo común divisor equivale a l. Por ejemplo, 5 y 9 son coprimos, mientras que 6 y 9 no lo son porque su máximo común divisor es 3. De hecho, Clive Tooth está tan entusiasmado con las fantásticas apariciones de m2 /6 en matemáticas y fuera de ellas, que ha creado una página de Internet (en inglés) dedicada a este tema: http:/ /www.pisquaredoversix.force9.co.uk/. Por último, antes de abandonar el tema de los números primos entre sí, no resisto a la tentación de incluir otro a punte breve sobre curiosidades matemáticas. Una función estándar en teoría d e núm e ros es 


 de <"lltcrns que a lavez son mc11orcs que 11 y roprimos de n Curiosamente, nos encontrarnos con que: <1>(666)



=



6·6·6.



Esto llamará la atención de quienes buscan apariciones raras de 666, el «número de la bestia» en el Apocalipsis.



La banda de Mobius y la teoría de grafos



Pintemos varios puntos en una hoja de papel. ¿Cuál es el número máximo de puntos que podernos unir mediante líneas que no se crucen y que enlacen todos los pares de puntos? (Las líneas para unir los puntos pueden ser curvas). Si solo hay dos puntos, se pueden conectar «todos los puntos» mediante una línea (figura 5.20). Si hay tres puntos, podemos unir todos los pares de puntos formando un triángulo. Con cuatro puntos, aún podernos enlazar todos los pares de puntos posibles. Pero, ¿hasta dónde podríamos llegar?



usted capaz de resoJvcr el iuLcrrogante sin seguir leyendo? ¿Se pueden enlazar los seis puntos de la figura 5.20 sobre una banda de Móbius mediante líneas que no se crucen entre sí y que conecten todos los pares de puntos? Cuando se habla acerca de puntos sobre una superficie de Móbius hay que pensar en una superficie sin ningún grosor, de modo que cada línea se encuentra incrustada en la superficie corno una raya pintada con un rotulador mágico que atraviesa el papel. La figura 5.21 ofrece una solución al problema gráfico de los seis puntos sobre una banda de Móbius y se comenta en la obra Festival mági,co-matemático de Martin Gardner. Para entender cómo ilustra el diagrama la conexión de seis puntos, hay que considerar que los extremos derecho e izquierdo de la banda se unen entre sí después de realizar medio giro. También en este caso la superficie carece por completo de grosor, de modo que las líneas que porta existen en ella del mismo modo que los humanos en nuestro espacio tridimensional. ¿Hay otras soluciones elegantes, simétricas, para este problema? Dar medio ¡?;iro y unir



Plano



Banda de Móbius



V@~ ? 5.20 En un plano y sobre una banda de Mobius, ¿cuál es el número máximo de puntos que podemos unir mediante líneas que no se crucen entre sí y unan todos los pares de puntos?



Resulta que el número máximo de puntos es cuatro, y no co nseguiremos enlazar todos los pares en el caso de contar con cinco puntos dibujados sobre un plano. Sin embargo, la situación se vuelve más interesante si nos plantearnos lo mismo con puntos trazados sobre una b;;indt1 de Móbius. ¿Es 1



!iº



2



5



3



4



4



3



5•



2



5.21 Una solución simétrica al problema gráfico de los seis puntos sobre una banda de Mobius.



Hexaflexágonos



Los hexaflexágonos son objetos geométricos que tienen un número imp;ir el<- rn cdios giros y, por tanto, constituyen 1 !i 1



 superficies de Móbius. Martin Gardncr dio popularidad a los hcxaflexágonos en la obra Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions: The First Scientific American Book of Puzzles and Games. En este libro describía los elegantes hexágonos de papel plegados a partir de tiras de papel que exhiben distintas caras a medida que se pliegan. Fueron descubiertos por primera vez en 1939 por Arthur Stone, fundador del Flexagon Committee, el cual reunió a matemáticos y físicos célebres para investigar las propiedades de estas figuras únicas. Para saber más acerca de estas formas curiosas utilice el buscador Google en Internet. Otras superficies de una sola cara



Abundan los ejemplos de superficies de una sola cara con un solo borde (las formas «a» y «b» de la figura 5.22) y con dos bordes (las seis figuras restantes). Las superficies se pueden a nudar o desanudar y los bordes se pueden unir o desunir. La figura superior izquierda (a) es una banda de Móbius.



®.~@@



~~0.



5.22 Zoológico de superficies de una sola cara. Hilera superior: a) el borde es una curva cerrada simple; b) el borde está anudado; c) ambos bordes son curvas cerradas simples, desunidas; d) ambos bordes son curvas cerradas simples, engarzadas; e) ambos bordes están a nudados pero desunidos; f) ambos bordes están anudados y e ngarzados; g) un borde es simple, otro está an udado y d esunido; h) un bord e es simple, otro está anudado y ('11g:1rzado. (De The f>Pnguin Dictionary of Curious anrl IntP-m1·t.iug C:1·1111i1•/I 11, dC' D:ivicl Wells.) 1 ,ii) '"



En e l caso de estas figuras se entiende qué significa tener un «borde anudado » si se concibe el borde como un trozo de cuerda. Si el borde anudado fuera de cuerda, no podría desanudarse para formar un bucle circular simple sin cortarlo. Si los bordes están «engarzados», entonces el borde consiste en varios fragmentos de cuerda engarzados, de modo que no se pueden separar sin cortar. En un sentido más general, una curva está anudada cuando no se puede deformar hasta convertirla en una circunferencia sin cortarla. Dos curvas están engarzadas cuando no se pueden separar sin cortar una de ellas. En el caso de la banda de Móbius, si desapareciera la parte central «del papel» y el borde de la banda se concibiera como una cuerda, entonces la cuerda se podría estirar hasta formar una circunferencia. Sin embargo, en el caso de una cuerda con tres medios giros, si desapareciera la superficie y el borde se convirtiera en un trozo de cuerda, esta quedaría enredada.



Los calzoncillos de Mobius



Los calzoncillos de Móbius son superficies de una sola cara que recuerdan a una cinta de Móbius. No estoy seguro de quién ideó por primera vez los calzoncillos de Móbius de la figura 5.23, pero varias fuentes los atribuyen a un estudioso desconocido llamado Gourmalin. Yo me topé con este objeto fantástico leyendo el artículo de Ralph Boas hijo titulado «Móbius Shorts» y publicado póstumamente en 1992 en Mathematics Magazine. Boas afirma que él la descubrió en el Dictionnaire des mathématiques de Alain Bouvier, Michel George y Frarn;ois Le Lionnais (París, 1979). Esta superficie posee una topología equivalente a la de una botella de Klein con un agujero y, desde un punto de vista topológico, difiere de la banda de Móbius.



1



53



 A



.-----' B



e 5.23 Los calzoncillos de Mobius.



Para confeccionar un modelo en papel, hay que partir del trozo de papel en forma de T que se ilustra en la figura 5.23. Se curva el travesaño horizontal de la Tpara crear un anillo simple (sin ningún giro), y se pega A con B. Entonces, se pasa el extremo Ca través del anillo de abajo hacia arriba, se curva e hacia abajo (sin girarlo) y se pega e con la parte superior del anillo AB. El resultado es una superficie de una so la cara. Pruebe a colorearla. ¿Que sucede si cortamos por ('I centro tanto el anillo como lo que antes era el pie de la 1'? Boas afirmaba que en los círculos matemáticos estadounidenses apenas se conocían ni los calzoncillos de Mobius, ni •I resultado que se obtiene al dividirlos por el medio.



c:-;lar «inscrito» alude, por lo común, a trazar una figura denLro de otra de manera que cada vértice de la figura interior toque la figura exterior). Mobius habla sobre estos tetraedros en su artículo de 1828 titulado «Kann von zwei dreiseitigen Pyramiden eine jede in Bezug auf die andere um- und eingeschrieben zugleich heissen?» (traducción aproximada: «¿Pueden calificarse como idénticas dos pirámides con tres caras cuando una está inscrita dentro de la otra?», o «Si dos pirámides de tres caras se pueden rotar y convertir una en otra, ¿se las puede calificar de idénticas?»), y muestra la extraña situación geométrica que se da en los tetraedros de Mobius cuando algunos de los vértices yacen en las prolongaciones de los planos de las caras. La disposición precisa de tetraedros de Mobius inscritos mutuamente plantea dificultades extremas para visualizarla, e insto a los lectores a medir sus dotes de visualización consultando la entrada «Mobius Tetrahedra» de la página web http:/ /mathworld.wolfram.com.



Triángulos de Mobius Los triángulos de Mobius son triángulos en la superficie de una esfera. Estos triángulos esféricos surgen al dividir una esfera con los planos de simetría de un poliedro uniforme. La figura 5 .24 ilustra un ejemplo.



Tetraedros de Mobius Un tetraedro regular se parece a una pirámide con una base triangular. El objeto tiene cuatro vértices, seis aristas y cuatro aras iguales en forma de triángulo equilátero. Mobius estudió una clase de estas figuras que ahora reciben el nombre de tetraedros de Mobius en su honor. En concreto, los tetraedros de Mobius consisten en un par de tetraedros cuyos vértices, lodos, descansan sobre las caras del otro tetraedro. Estos te traedros no son «regulares» con facetas idénticas, sino que rada tetraedro se halla inscrito en el otro. (En matemáticas,



5.24 Triángulos de Mobius



1 !í'1 1 !) !í



 Esle ol~jclo cuenta con 120 Lriángulos de Mobius. Cada



tri ;íngulo se corresponde con la décima parte de la cara de un dodecaedro o, lo que es equivalente, la sexta parte de una ara de un icosaedro. El blanco y el negro señalan los triángulos de axialidad dextrógira y levógira. En otras palabras, los triángulos blancos y negros son imágenes especulares respectivamente, también conocidas como enantiomorfos. Para ahondar en los triángulos de Móbius consulte la página en Internet de George Hart «Millennium Bookball», que incluye fotografías de esculturas suyas evocadoras de triángulos de Móbius.



El solenoide La banda de Móbius se convierte en trampolín para sumirse en otras aventuras matemáticas. Después de estudiar durante años la cinta de Móbius, sentí interés por magníficas y extrañas gráficas por computadora surgidas a partir de la o bservación de otras figuras topológicas retorcidas. Una de mis formas favoritas la constituye el solenoide, una figura misteriosa y retorcida en forma de rosquilla. Se trata de una construcción topológica que surge de (y está relacionada con) un célebre fractal denominado el conjunto de CanI Or'. Asimismo, constituye uno de los principales ejemplos d e «atractor extraño» en la teoría de sistemas dinámicos. En este apartado no queremos extendernos acerca de sus interesantes propiedades topológicas, lo que nos ocuparía muchas páginas (consúltese la bibliografía para ahondar en el tema). Pero sí podemos desarrollar algunas fórmulas que ayuden a esclarecer su estructura autosemejante, y faci1i ten la generación gráfica por computadora de imágenes satisfactorias en cuanto a su simplicidad y elegancia, pero lo bastante complejas como para fascinar al ojo. El punto de partida del solenoide es el toro sólido, seguido por una extraña metamorfosis del toro. He aquí el mejor modo de visualizarlo. La transformación ap las ta el tubo



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del Loro hasta la mitad del diámetro inicial, lo estira hasta ~ I doble de su longitud primera, y enrosca dos veces esta longitud por dentro de la cubierta exterior del toro original. Al aplicar las dos vueltas, un anillo queda cerca del otro sin superponerse a él, del mismo modo que se enrolla una manguera doméstica de riego. El anillo experimenta medio giro al enroscarse la primera vez, y vuelve a unirse consigo mismo en la segunda vuelta. Indagué en la forma del solenoide con el matemático Kevin McCarty. Descubrimos que la representación de toros anidados plantea un buen reto de visualización. Algunas de nuestras gráficas mostraban los solenoides con diversos grados de giro dentro de la envoltura transparente de un toro común en cuyo interior residen, como un embrión de serpiente comprimido dentro de un huevo toroidal. La figura 5.25 muestra un ejemplo de solenoide despojado de la envoltura toroidal para más claridad. La pantalla de la computadora me permite rotado para observarlo desde todos los ángulos.



5.25 El solenoide.



Estos objetos extraños se pueden retorcer todo lo que se quiera. Como una máquina de caramelo masticable sin interruptor para apagarla, la operación de estiramiento, enroscado y giro se puede repetir de manera indefinida. A medida que la transformación convierte el toro inicial en una imagen de sí mismo con dos vueltas, también convierte la imagen con dos vueltas en otra enrollada cuatro veces. ' !í7



 ( :ada iLcración produce otro tubo anidado dentro del anterior. Cada fase dobla el número de vueltas y reduce el grosor a Ja mitad. Este proceso converge en el límite con una serie conectada de vueltas infinitamente finas, el solenoide «final». La manera más sencilla de describir el funcionamiento de esta transformación consiste en utilizar números complejos, o sea, con una parte real y otra imaginaria. Si esto tiene poco se ntido para usted, acuda al apartado de «Material de consulta» donde he incluido un esquema para mostrar cómo funcionaría una receta informática. Un punto inmerso en el toro sólido se localiza mediante un par de números complejos (z, w). La coordenada z representa el ángulo de longitud y localiza un punto en el círculo unidad del plano complejo Cf Ue constituirá el centro o la espina dorsal del toro. La coordenada w localiza un punto dentro de un disco de radio 1/2, considerado como un fragmento del plano complejo. Los discos se conciben ensartados en el círculo unidad como un ro llar. Con estas coordenadas, la aplicación que enrosca dos v1'<'<·s ('( toro dentro de sí mismo es



f(z



w)~(z2 ,w/2+z/ 4)



l•'. I 11~ nnino z2 simplemente enrolla el círculo unidad dos v1·1 '<'S ;drcdedor de sí mismo mientras z atraviesa una vez c·I rír('11lo unidad. El término w/2 reduce la coordenada w inicial a la mitad de su tamaño, mientras que el término z/4 la aleja del origen w = O, de modo que la imagen no se entrecruza en la segunda vuelta. La fórmula algebraica simple permitida por la representación de números complejos facilit a el cálculo de iteraciones sucesivas de la transformación, 1al como muestra el programa iterativo que aparece en la S('CCión de bibliografía. Un corte transversal de la construcción solenoidal perpcn di cular a las vueltas mostraría una sucesión de discos <111idados; cada disco contiene dos discos menores. Cuando



e l ángulo de longitud equivale a cero (z = 1 + Oi), todos los discos anidados se alinean. Pero con otros ángulos de longitud, las cantidades variables de giros hacen que los discos se separen. Esta separación se aprecia en la figura 5.25, la cual ilustra la transformación repetida hasta el segundo nivel de anidamiento. Asimismo podemos representar la creación de solenoides cada vez más intricados utilizando la nomenclatura típica de la jerga topológica. Consideremos la aplicación del toro sólido dado por



F,(tl,x)~ ( 2il,yx +~e'• J Para visualizar lo que significa esta aplicación imaginemos que cortamos un toro con un cuchillo afilado para crear un cilindro alargado. A continuación, estiramos el cilindro hasta que adopte el doble de su longitud al tiempo que su anchura se reduce en y. Enrollamos dos veces alrededor de sí mismo el cilindro alargado y fino recién obtenido, volvemos a unir los extremos con pegamento, y devolvemos este objeto al espacio interior del toro inicial. Cuando se itera n veces la aplicación del solenoide, resulta un tubo larguirucho enroscado 2n veces alrededor del interior del toro «grueso» original. Para saber más acerca de solenoides, consúltese el artículo «Differentiable Dynamical Systems» de Stephen Smale, donde describe su identificación de esta clase de objeto con un ejemplo de atractor extraño. La esfera cornuda



Tal como hemos comentado, la banda de Mobius es un ejemplo de objeto con una sola superficie, y la botella de Klein es un objeto con una parte interior y una parte exterior indistinguibles. Además de estas figuras, los matemáticos continúan inventando extraños objetos para poner a prueba la intuición. La esfera cornuda de Alexander es 1



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 1111 (:jcmplo de superficie retorcida y entrecruzada en la que cuesta diferenciar el interior del exterior. La esfera ornuda de Alexander (figuras 5.26-5.28), descubierta por e l matemático James Waddell Alexander (1888-1971), está formada por pares de cuernos que van surgiendo sin parar casi entrelazados, y cuyos extremos finales se acercan mucho e ntre sí. Los primeros pasos de esta configuración se pueden visualizar con los dedos de las manos. Acerquemos entre sí los pulgares y los dedos índices de cada mano, a continuación imaginemos que de cada uno de ellos emergen otro d edo pulgar y otro dedo índice y prolonguemos estos brotes el e forma ilimitada. Aunque tal vez cueste visualizarla, la esfera cornuda de /\l cxander es homeomorfa a una bola. En este caso, ello significa que podría estirarse hasta adoptar forma de bola sin pincharla ni partirla. Quizá resulte más fácil visualizar el proceso inverso: el estiramiento de una bola hasta convertirla en una esfera cornuda sin rasgarla. El límite, por tanto, es homeomorfo a la esfera.



5.26 Esfera cornuda de Alexander. (Imagen creada por Cameron Browne.)



5.28 Ampliación de una esfera de Alexander. (Imagen creada por Cameron Browne.)



La figura 5.29 es la representación de Cameron Browne de la esfera cornuda de Alexander incrustada en un plano. Este «cuerno ondulado» se basa en la esfera cornuda de Alexander que, tal como hemos comentado, se visualiza tradicionalmente como una serie recurrente de pares entrelazados de anillos ortogonales con un radio decreciente. Cameron incrusta en el plano su esfera cornuda entrelazada reduciendo el ángulo de acoplamiento entre pares de anillos desde 90 grados hasta O grados. A continuación, crea un patrón que ondula arriba y abajo para restablecer la unión de anillos sin intersecciones y obtener la serie de anillos entrelazados. Browne me comenta que la construcción del cuerno ondulado es un fractal autosemejante pero técnicamente no se trata de una curva que cubra toda el área, porque cualquier subconjunto abierto del plano contendrá puntos situados a una distancia no nula de la curva. Cameron Browne es un ingeniero profesional en programación informática titulado en ciencia de computadoras y sicología, dos campos que él espera aunar en investigaciones futuras. Ha dedicado los últimos años al estudio de ornamentación automática de tipografías para Canon y Microsoft.



5.27 Ampliación de una esfera cornuda de Alexander. (Imagen creada por Cameron Brnwne). 1 ()o 1()1



 5.29 Representación de Cameron Browne de la esfera cornuda de Alexander incrustada en un plano.



5.30 Cómo crear una rosquilla prismática hexagonal girada de una sola cara.



Sobre las maravillas de las rosquillas prismáticas Mientras escribía este libro llegué a obsesionarme con e l concepto de rosquillas prismáticas y experimenté con el objeto de la figura 5.30, el cual confeccioné con barro. Este objeto extraño lo inventé yo mismo pero, dada su simplicidad, sospecho que los matemáticos lo tienen que h aber estudiado en numerosas ocasiones. Consideremos un prisma hexagonal con dos extremos hexagonales que, por lo común, presenta seis caras, sin contar los hexágonos d e los extremos. Imaginemos ahora un prisma hexagonal



girado y creado co n barro cuyos dos planos hexagonales de los extremos estén unidos como en una rosquilla. Formulé a mis colegas la siguiente cuestión: «¿Cuántas caras posee ·sta nueva estructura en forma de rosquilla, teniendo en cuenta el giro que se aprecia en el diagrama?». ¿Es posible ·onfeccionar una rosquilla hexagonal de una sola cara si el extremo posterior del prisma recibe el número adecuado de giros en relación con el extremo anterior y luego se unen en forma de rosquilla? Pues resulta que la rosquilla prismática hexagonal especificada en la figura 5.30 ¡solo tiene una cara! Esto supone que no se aplique ningún giro adicional a los planos de los extremos durante el proceso de unión. Por ejemplo, podemos partir de una «calle», digamos la cara 1, y acabar en esa misma cara 1 tras recorrer exactamente una vez cada una de las caras aparentemente distintas. Si numeramos las caras del objeto de la figura 5.30 de manera consecutiva y aplicamos una rotación de 60 grados a uno de los extremos, entonces la cara 1 se enlaza con la cara 2, la cara 2 con la cara 3, la 3 con la 4, la 4 con la 5, la 5 con la 6 y la cara 6 con la cara 1. Se podría llegar a cualquier punto de la superficie desde cualquier otro sin atravesar ningún borde, de modo que el objeto es una superficie de una sola cara. En este caso, la superficie posterior presenta un giro de sesenta grados en el sentido de las agujas del reloj con respecto a la superficie anterior. De manera similar, al aplicar el mismo grado de giro a la superficie posterior pero en sentido antihorario también se obtendrá una «rosquilla prismática de Mobius». Además, al aplicar un giro de 5/6 de todo el diámetro en cualquier dirección, se crea una superficie de una sola cara, del mismo modo que con 7 /6, 11/6, etcétera. Cuando mostré el prisma de Mobius a mi colega Mark Nandor, conjeturó que un prisma con n caras cuenta con una cantidad q> ( n) de giros distintos (en sentido horario o antihorario) que producen una superficie de una sola cara, más todos los giros que mantienen la misma fracción de rota-



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 ('i<'>11 111<'is allá de un giro completo. La fun ció n cp d e Euler, e xpresada como 





( 1/2 ) x (2/3 ) x ('1 /5 ) = 80. Los números inferiores a 300 r oprimos d e 300 son 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, : ~1 ,33, 37,39,41,43,47,49,51,53,57,59,61,63,67,69, 71, 73, 77, 79, 81, 83, 87, 89, 91, 93, 97, 99, 101, 103, 107, 109, 111 , 113, 117, 119, 121, 123, 127, 129, 131, 133, 137, 139, 1'1 1, 143, 147, 149, 151, 153, 157, 159, 161, 163, 167, 169, 171, 173, 177, 179, 181, 183, 187, 189, 191, 193, 197, 199, tO l , 203, 207, 209, 211, 213, 217, 219, 221, 223, 227, 229, 231, 233, 237, 239, 241, 243, 247, 249, 251, 253, 257, 259, 261, 263, 267, 269, 271, 273, 277, 279, 281, 283, 287, 289, 291 , 293, 297 y 299. Como último esfuerzo de visualización, observemos el prisma hexagonal retorcido de la figura 5.30 e imaginemos q ue pegamos a cada cara un prisma triangular de manera que cada cara del prisma hexagonal sea coplanaria a una cara de cada prisma triangular. Esto implicaría que cada cara del prisma hexagonal quedara dividida en dos caras distintas al p egar el prisma triangula a la cara. ¿Qué propiedades presentaría esta rosquilla hiperprismática al unir entre sí ambos extremos? Disección de una banda de Mobius en cuadrados perfectos



Un acertijo que h a cautivado a los matemáticos durante al menos cien años guarda relación con la operación de «cuadrar un cuadrado », también conocida como una «disección en cuadrados perfectos». El problema consiste en montar un cuadrado a partir de piezas cuadradas de distintos tamaños . Tal vez parezca fácil, y hasta se puede experimentar con un lápiz, papel normal y papel milimetrado, pero está comprobado que hay muy pocas disposiciones viables. El primer rectángulo cuadrado lo descubrió Z. Morón en 1909. Morón halló un rectángulo de 33 x 32 formado por nueve piezas cuadradas de 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 y 18 de lado. También descubrió un rectángulo de 65 x 4 7 formado por diez piezas cuadradas de 3, 5, 6, 11 , 17, 19, 22, 23, 24 y 25 de lado (figura 1Gr,



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Durante años, los mate máticos consideraron imposible construir disecciones de cuadrados en cuadrados perfectos. 19



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5.31 Disección de Morón de un rectángulo mediante cuadrados de tamaños diversos.



En 1936, cuatro alumnos del Trinity College (R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. H. Stone y W. T. Tutte) se entusiasmaron con el tema y, al final, estos cuatro matemáticos descubrieron cuadrar el primer cuadrado mediante ¡sesenta y nueve piezas! Tras un esfuerzo adicional, Brooks redujo el número de teselas a treinta y nueve. En 1962, A. W.J. Duivestijn demostró que cualquier cuadratura de un cuadrado debe contener al menos veintiuna teselas, y en 1978 había encontrado esa descomposición y demostró que era única. En 1993, S. J. Chapman descubrió un teselado de una banda de Mobius usando tan solo cinco piezas cuadradas cuyos bordes no coinciden al unir los extremos de la banda (figura 5.32). Las flechas de la figura indican los dos bordes de la banda que se pegan entre sí con un giro. Un cilindro también se puede formar mediante piezas cuadradas de distintos tamaños, pero e n este caso se precisa un mínimo de nueve piezas. Al unir ambos extremos se forma un cuadrado de 9x9



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Piezas cuadradas de distintos tamaños e n



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band a de Móbius.



AJ probar a dividir un cilindro o una banda de Mobius en varios cuadrados perfectos, hay que hacerlo con los bordes de cada pieza paralelos o perpendiculares a los bordes de las superficies. Sin embargo, el toro, la botella de Klein y el plano proyectivo carecen de bordes, de modo que las piezas se pueden incrustar con cualquier ángulo. No he conseguido encontrar mucha información sobre la división en cuadrados de botellas de Klein o planos proyectivos, y me encantaría recibir del público lector opiniones al respecto. Cálculo baricéntrico Una de las mayores contribuciones de Mobius a las matemáticas fue su cálculo baricéntrico, un método geométrico para definir un punto como el centro de gravedad de ciertos puntos adicionales que tienen asignados coeficientes o pesos. Cabe concebir las coordenadas baricéntricas de Móbius (o «baricéntricas») como coordenadas con respecto a un triángulo de referencia. Estas coordenadas suelen expresarse como ternas de números correspondientes a masas situadas en los vértices del triángulo. De este modo, esas masas determinan un punto que constituye el centroide geométrico de las tres masas. Las nuevas herramientas algebraicas desarrolladas por Móbius en su obra de 1827 Der barycentrische Calcul («El cálculo baricéntrico») han revelado desde entonces tener múltiples aplicaciones. Intentaré dejar claro este concepto mediante una ilustración. La palabra baricéntrico deriva del término griego barys («pesado») y alude al centro de gravedad. Mobius entendía que varios pesos situados a lo largo de una vara recta se pueden sustituir por un solo peso colocado en el centro de gravedad de dicha vara. A partir de este principio simple, construyó un sistema matemático que asigna coeficientes numéricos a cada punto del espacio . Durante el proceso de creación de las coordenadas baricéntricas, Móbius visualizó puntos con pesas como los de la 167



 lig11ra 5. ~~3. Imaginemos una línea AB sobre un plano. Prn cedamos, en primer lugar, a colgar pesos solo en A y /3. t'I cenlro de gravedad radica en algún punto situado enlre ./\y Balo largo de la línea que los une. A continuación, colguemos un peso en C, y el centro de gravedad Pse desplazará ck la línea AB al centro del triángulo ABC. En concreto, el centro de gravedad se desplaza en la dirección de PC. De hecho, e l triángulo se equilibrará en una fina cuchilla situada a lo largo de la línea PC. Asimismo se equilibra a lo largo de una cuchilla alineada con PA o PB. El centro de gravedad P S'' denomina baricentro, y el triángulo ABC se equilibra en una punta situada debajo del baricentro.



5.33 Coordenadas baricéntricas. El punto Pes el baricentro de a, b y e, y decimos que las coordenadas baricéntricas de P son (a, b, e) .



A continuación, Mobius descendió a grandes profundidades matemáticas en Der barycentrische Calcul para revelar algunas ventajas del empleo de las coordenadas baricéntricas. Para volver a exponer sus principios, señalaremos que para cualquier punto P dentro de un triángulo ABC existen tres masas wA, w8 , wc Al situarlas en los vértices correspondientes del triángulo, el centro de gravedad (el baricentro) de esas tres masas coincide con el punto P. Mobius consideró wA, w8 y wc como las coordenadas baricéntricas de P. Tal como se ha dicho, las coordenadas baricéntricas no son únicas. Las masas kwA, kw8 , kwc poseen exactamente el mismo baricentro con cualquier k > O. La relación completa de la utilidad del cálculo baricéntrico 108



la teoría malemática queda fuera del alcance de este libro, de modo que insto al lector a consultar una introducción accesible en «Mobius's Geometrical Mechanics» de Jeremy Cray. Resulta que las coordenadas baricéntricas constituyen 11 na variedad de coordenadas generalizadas que se utilizan e n muchas ramas de las matemáticas y hasta en gráficas por computadora. Si introducimos una restricción adicional, a saber, wA + w8 + wc = 1, entonces las coordenadas baricéntricas vi enen definidas únicamente por cualquier punto inmerso en ·l triángulo. Muchas de las ventajas de las coordenadas baricéntricas se dan en el campo de la geometría proyectiva, que guarda relación con incidencias, es decir, los lugares donde elementos como líneas, planos y puntos coinciden o no. La geometría proyectiva también se interesa por las relaciones ·ntre objetos y los trazados que resultan al proyectarlos en otra superficie. Como una metáfora visual, considera que las sombras son las proyecciones de objetos sólidos. La coordenadas baricéntricas también surgen, por supuesto, siempre que cantidades variables tengan una suma constante. En su artículo «Barycentric Calculus», Alexander Bogomolny, ·intiguo profesor asociado de matemáticas en la Universidad de Iowa, aporta cierto número de ejemplos prácticos relacionados con la probabilidad y los acertijos. En particular, comenta el problema de tres recipientes, A, By C, con una capacidad de 8, 5 y 3 litros respectivamente. El primer recipiente está lleno de agua. El problema consiste en medir 4 litros de agua. Sus soluciones implican coordenadas baricéntricas mediante la visualización de los puntos A, B, C en los vértices de una rejilla triangular. A, By C se asocian a unas coordenadas baricéntricas u, v, w tales que u + v + w = 8. Bogomolny usa entonces ristras de tres dígitos que se corresponden con los valores de las coordenadas. Por ejemplo, se alude al ápice A mediante su rislra de coordenadas «800», que no es más que una abreviat 11 ra de u= 8, v =O, w =O , ó (8,0,0). El transvase del contenido d(' un recipiente a otro se corresponde con el desplazamiento d(' 11 n nodo a otro '' lo ltl rgo ele una de las líneas de la rejilla



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 del triángulo. Sus páginas de matemáticas en l 11ternct, www. cut-the-knot.org, aclamadas en todo el mundo, brindan todos los detalles matemáticos. Huelga decir que las coordenadas baricéntricas de Mobius han ejercido su influencia en varias áreas de matemáticas teóricas y aplicadas. Rompecabezas para colorear un mapa de garabatos



El acertijo de Ja pirámide En este capítulo hemos hablado de los objetos con varias caros, como los tetraedros, la casa de Mobius y las rosquillas prismátims giradas. Este acertijo pone a prueba nuestra capacidad de visualización. Jill ha decorado su habitación con una inmensa pirárnidl' de colores que tiene cuatro caras en forma de triángulos equilát<~ros. jill ha pintado cada cara de un color diferente: rojo, morado, verrfr o amarillo.



Nina ha creado una nueva forma de vida con una piel muy peculiar. Ella llama «morfos» a estos animales parecidos a los lagartos porque, en realidad, puede diseñar los dibujos de su piel simplemente pintándoles el lomo con un rotulador. Los morfos asimilan el patrón dibujado y toda su descendencia portará el mismo diseño. Las coloridas criaturas hacen furor entre los escolares. Los científicos se preguntan cómo es posible que la prole de los morfos nazca con el mismo patrón en la piel que sus progenitores. Hoy, Nina está decorando un morfo con un garabato parecido a un mapa mediante una línea continua, sin levantar el rotulador de la piel del animal hasta regresar al punto donde comenzó. La figura 5.34 muestra un ejemplo del último diseño de Nina, uno de los muchos que creará en los próximos meses. Ahora ha llegado el momento de que Nina coloree el dibujo. Si Nina quiere asegurarse de que ninguna región colindante llevará el mismo color, ¿qué cantidad mínima de colores necesita? (Dos regiones adyacentes pueden tener un vértice común e igual color, pero no pueden compartir lado y tener el mismo color.) Busque la respuesta en el apartado de soluciones.



jill tiene un acertijo para usted. Cuando ella hace girar la pirámide esta muestra cinco imágenes distintas de sus cuatro vértices vista desde arriba. ¿Cuál de las vistas de la figura 5.35 es incorrecta? (Busque la respuesta en el apartado de soluciones.)



www ww 5.35 Varias perspectivas de una pirámide triangular. ¿Cuál es incorrecta?



Mobius en la cultura popular Muy pronto, nunca te encontrarás a más de tres minutos en coche de algún lugar donde poder comprar los siguientes productos: un frappuccino de moca, un burrito de pollo del tamaño de tu cabeza, un recuerdo de NASCAR, un teléfono móvil o un cambio de aceit<'. Todo el universo será una banda de Mobius sin principio ni fin.



-Mark Hasty, en el blogThe Bemusement Park 5.34 Cómo colorear un garabato. ¿Cuál es el número mínimo de colores que necesita Nina para obtener un diseño en el que todas las regiones que compartan borde tengan colores distintos? 171 170



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intergalríctiw sobre Juan y Las judías rnágicas, es La historia del físim Simon Weú; que se pierde en un portal espaciotemporal creado /Jor él mismo. Su hijo, Jac Weir, se ve obligado a buscarlo por una miríada de planetas repletos de paisajes fabulosos y, a menudo, seres gigantescos.



Animated-news.com La pulpa, el refresco de cola, el dado y el excipiente inerte para formar comprimidos se mezclan entonces hasta formar un pastel sólido, de color gris azulado, que pasa por la pila de inmersión y entre una serie de rodillos de compresión y miles de ruedas diminutas y perezosas antes de emerger a una cinta interminable, girada de manera que forma una banda de Mobius de tres caras para la ecualización del desgaste, y donde los trabajadores se ajanan día y noche en la incorporación de acentos floridos de azúcar glaseado que convierten cada tentempié en un placer especial.



Matthew Mclrvin, Mclrvin's Push-Button World of the Future La acción de la historia termina prácticamente en el mismo lugar donde comenzó (Henry de pie junto a la ventana de su habitación f'Onlemplando un cielo oscuro londinense salpicado de aviones), en aj)(lriencia cerrando un círculo pero, como una banda de Mobius, f'sle círculo tiene sus giros y el recorrido parece más largo de lo que alcanzaría a explicar un círculo. Permanece en pie junto a la vPntana abierta, trémulo, viendo el futuro de su familia interrumpiendo el horizonte previo al amanecer.



COSMOS, REALIDAD, TRASCENDENCIA



Al considerar la mera posibilidad de que haya dimensiones espaciales superiores, Kant y Mobius plantearon, cada uno por su lado, cuestiones filosóficas interesantes. ¿Permite la diversidad del cosmos que haya mundos de una dimensionalidad variada en regiones apartadas de nosotros? La existencia de objetos dextrógiros y levógiros, ¿implica una transformación tetradimensional qtu' convierte unos en otros?



Paul Halpern, The Great Beyond A través de los métodos y teoremas de geometría aquí expuestos, pretendo contribuir en alguna medida a la simplificación de s-11s investigaciones y el ensanchamiento de sus horizontes.



August Mobius, Der barycentrische Calcul, 1827



50. 49 48 38



Randy Michael Signar, «One day in February: Metaphor for a Life», Chicago Sun-Times



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 Un viaje al exterior de Nuevo Devonshire Imagine un territorio llamado Nuevo Devonshire parecido a las afueras típicas de los núcleos urbanos de Nueva Inglaterra. Usted lleva muchos años viviendo en Nuevo Devonshire. Es un lugar tranquilo y disfruta paseando por sus calles arboladas, ante iglesias antiguas y parques rústicos. Nuevo Devonshire queda a tan solo una hora al norte de la ciudad de Nueva York, pero bien podría ser también un universo completamente distinto . La localidad tiene poca polución, ningún rascacielos, pocos bocinazos. El orgullo y la alegría de Nuevo Devonshire lo constituyen su bucólica calle Mayor, con la elegante biblioteca en memoria de Mobius, sus casitas de estilo campestre y sus paisajes con veredas serpenteantes, bancos, fuentes de agua y angostos pasillos cubiertos de hiedra entre pintorescas tiendas. Siempre se ha sentido feliz aquí. Un día, tal vez por algún afán de aventura, decide atravesar en bici la calle Mayor y alejarse más que nunca, en realidad, más lejos de lo que nadie en Nuevo Devonshire había llegado jamás. «Buena suerte», dice Linda, la supervisora del pueblo. Ella y otros cien amigos más se despiden con la mano a medida que usted toma velocidad calle abajo. Siente ciertos nervios. Como la mayoría de la gente de Nuevo Devonshire, nunca se había alejado mucho de casa. El viento empieza a soplar por la calle Mayor cubierta de hojas. Percibe un pequeño escalofrío al pasar ante cementerios antiguos, la biblioteca de Mobius de estilo Victoriano, y las casas con columnas de principios del siglo XX. Las mirlas gritan en la altura mientras su vuelo atraviesa las perpetuas nubes tenues. Huele a hojas quemadas. La vía empieza a fragmentarse a esta distancia de casa. Altos árboles del género Lagerstroemia bordean el camino. Usted admira los troncos en forma de jarrón que lucen ramas con pálidas flores rosas. A estas alturas del viaje, ninguna de las 17;¡



encrucijadas tiene letreros. De hecho, no hay sd1alcs viales de ninguna clase. «Estupendo» se dice mirando hacia el resplandor de luz que arrojan las tiendas y viviendas en los adoquines que yacen bajo las ruedas de la bici. Unos minutos después. La carretera se estrecha tanto en algunos lugares que solo hay espacio para que pase un único vehículo. Las paredes de las iglesias, escuelas y tiendas se vuelven de color almendra. Por la espalda le corre un hormigueo, una sensación agradable. Esta iglesia. Este patio de colegio. El carnicero que vende salchichas. Una monja. Un joven que besa a una mujer. Usted se aferra al manillar. Algo ha cambiado. Los niños juegan pero con una lentitud un tanto excesiva que los hace saltar y brincar como envueltos en melaza. El aire se calienta pero aún es fresco y el cielo se ilumina con una tonalidad celeste perlada. Usted alza la vista. La luz de los pisos altos de los edificios torna las estructuras tentadoras, acogedoras. Ahora pedalea más despacio mientras oye la campana d una iglesia; tres tañidos, una pausa; un tañido, otra pausa. Diez minutos después, solo hay casas pequeñas a la orilla del camino. Las sencillas moradas son un revoltillo de edificios de una sola planta rodeados de cercas de madera. De tanto en tanto, estallan risitas de niños que señalan hacia usted. Adelanta a la bici un burro que marcha cuesta abajo acarreando sacos y unas pocas maderas, y usted está a punto de caerse a un charco de barro. ¿Hacia dónde se encamina esta extraña aventura? Los dedos le tiemblan. Tal vez no fuera buena idea. Pero entonces nota que el camino recupera su estado moderno. En los cruces aparecen indicaciones viales de aspecto normal. Un coche pasa zumbando. Tras una hora de viaje, parece haber regresado a lugar del



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 q1ll' p:irr i<'1. Linda , la s1q>crvison1 dd p11 c blo , lo saluda ro 11 la 111a 110. ' ll



«¿ Qu é ta l le fue? », pregunta eJJ a sonriente y con lágrimas los oj os.



Usted la mira a los ojos. «No estoy muy seguro». Usted d evuelve el saludo a la multitud sonriente y apoya la bi ci co ntra un banco de madera. Todo el mundo parece normal. La realidad tiene sentido.



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Pero entonces baja la mirada hacia el periódico que Lind a ll eva en la mano. No consigue leerlo. Las letras están como del revés. Usted alarga la mano para tomar un bolígrafo y Linda comenta que ahora parece usted zurdo. Pero, ¡si lleva toda la vida siendo diestro! El consejo del pueblo convoca una reunión para discutir qué le ha pasado, y otros pocos valientes prometen bajar por la calle Mayor para ver si consiguen entender el problema y la forma real de la carretera y de su localidad. Cuando los atrevidos ciclistas regresan unas horas más tarde, han ocurrido algunas cosas extrañas. Las bicicletas que partieron con la cadena a la derecha, ahora la tienen ;1 la izquierda y, lo que es más misterioso aún, los médicos d escubren que los ciclistas que las usaron tienen ahora el ro razón ¡a la derecha del cuerpo y no a la izquierda, como es habitual! ¡Cada persona ha vuelto convertida en una versión ·specular de sí misma! Poco a poco, más gente realiza el viaje, de modo que Nuevo Devonshire no tarda en convertirse en un lugar habitado por una mezcla singular de gente y versiones especulares de la gente. ¡Menuda pesadilla para los médicos locales! Y ahora, las parejas mixtas (formadas por gente normal y gente en versión especular) se preguntan cómo serán sus hijos. Los re lojeros se ven obligados a diseñar dos variedades de reloj es, la especular y la tradicional, para que ambos tipos d "' gente se sientan cómodos y puedan leer la hora. Esta historia ilustra cómo sería vivir en un universo co n 1



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0. 1 El doctor Mobius representado como un ser humano bidimensional c 11 un universo con forma de banda de Mobius. Si el doctor Mobius v i ;~j ara alrededor de toda la cinta, sus órganos internos se invertirían.



/\l imaginar un ser plano que viaja por una superficie co mo la ilustrada en la figura 6.1, debemos concebirlo como 1111a criatura bidimensional que viaja por el interior de una Nt1perficie, no sobre ella. Obviamente, si una hormiga reco1'1'(' una banda de Móbius de papel no se convertirá en una vn.-;i ón especular de sí misma. Para lograr ese efecto hay que i111aginar una hormiga infinitamente plana que viaje por el ititcrior del plano de la banda. U na banda de Móbius es un ejemplo de un espacio no 111ú,ntable. Esto significa, en teoría, que no es posible disting 11 ir un objeto sobre la superficie de su imagen especular. l .: 1 superficie se considera no orientable si tiene un trazado q11c invi erte la orientación de las criaturas que habiten en la



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 s11 pe rf id(' .



Por otro lado , si un espacio man t icnc la axia 1id ad de una estructura asimétrica, con independencia de cómo se 1nueva la estructura, entonces ese espacio se d enomina orimtable. Todavía hay que ahondar en el conocimiento de la estructura a gran escala que conforma nuestro universo para esclarecer si existen trayectorias que inviertan la orientación. ¡Imagine las posibilidades que abriría el descubrimiento de ~ sos caminos! Al viajar en una nave espacial y regresar transformados en una versión especular de nosotros mismos, todas las tuercas, tijeras, caracteres escritos, órganos corporales y relojes habrían cambiado de orientación en relación con los de todos los amigos que jamás se aventuraron a realizar el viaje. Si la persona amada regresara invertida, ¿cambiarían nuestros sentimientos hacia ella? ¿Notaríamos la diferencia? ¿Podría conducir un coche, escribir de manera legible, usar un teclado de ordenador, digerir la misma comida que nosotros o leer nuestros libros? ¿Quedarían invertidas también las moléculas quirales del cuerpo de esas personas invertidas, e incapacitadas para digerir las biomoléculas de nuestro mundo? ¿Conllevaría la inversión alguna ventaja? ¿Aprovecharían los entrenadores de béisbol con acceso secreto al recorrido que invierte la orientación para que sus jugadores onfundieran al adversario en el campo de juego? ¿Recurrirían las asociaciones futuras que persigan la uniformidad al envío al espacio de la gente zurda para recibirlas diestras a su regreso? ¿Tomarían los gobiernos la determinación de mandar gente a que vuelva invertida para crear segmentos enteros de población incompatibles con la gente «normal», o libres de contraer patógenos mortales que evolucionen para atacar a biomoléculas con unas características quirales específicas? Los filósofos de Nuevo Devonshire sopesan todos los enigmas aparecidos en una localidad pintoresca donde un paseo en bici transforma la orientación de la gente. ¿En qué momento cambia de lado el corazón de los ciclistas que 178



recorren el trazado que invierte la orientación? ¿Cómo es la gente que se encuentran los viajeros durante el trayecto? ¿Cuáles de esas personas tienen el corazón a la izquierda y cuáles a la derecha? El cambio de axialidad, ¿se produce de repente o de manera gradual? ¿Qué gente a lo largo de la ruta posee las enzimas adecuadas para digerir moléculas dextrógiras y levógiras? En «The New traveleer's Almanac», Alan Moore reescribe parte de la historia de A través del espejo de Lewis Carroll, y atribuye un destino macabro a la joven Alicia. [Alicia] reapareció por el extraño portón tremulante sobre la repisa de la chimenea, que se cerró no mucho después. Sin embargo, esta vez hubo complicaciones. La niña llevaba ahora la raya del pelo al otro lado, y durante una exploración se vio que tenía los órganos del cuerpo invertidos. Al parecer, como consecuencia de ello, la señorita A L. ya no podía comer ni digerir alimentos normales, y a finales de noviembre de aquel mismo año murió de debilidad debido a este desorden. La alteración especular del cuerpo no es un mero síndrome de ficción. La gente aquejada por la enfermedad especular de Móbius, más conocida como dextrocardia con situs inversus, tiene invertida la posición del corazón y en ocasiones de otros órganos internos. Esta gente puede llevar una vida normal y solo ve ligeramente incrementado el riesgo de defectos cardiacos congénitos. La inversión de todos los órganos, llamada situs inversus totalis, implica una inversión derecha-izquierda completa de los órganos torácicos y abdominales. La gente afectada por situs inversus totalis presenta una imagen especular en las tomas de rayos X. Se estima que se da un caso de situs inversus totalis cada siete mil nacimientos aproximadamente. En ocasiones, los órganos invertidos acarrean unas consecuencias más notorias. En 2004, nació una niña en la 1



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 provincia china de Henan con Ja mayoría de los órganos ubicados en la parte «equivocada» del cuerpo. La situaci611 no se descubrió hasta que la niña cumplió los seis meses y acudió a una revisión rutinaria. Los médicos se encontraro n con que el corazón, que debía hallarse en la parte izquierda del pecho, se encontraba a la derecha. Por desgracia, e l corazón presentaba, además, una malformación y hasta ]as aurículas y los ventrículos estaban invertidos. El estómago, que debía situarse en el lado izquierdo, estaba a la derecha, y el hígado, supuestamente ubicado a la derecha, estaba a la izquierda. Por lo común, el pulmón izquierdo de las personas se compone de dos partes y el derecho, de tres, pero esto aparecía invertido también en la niña de Henan. Los médicos practicaron una intervención quirúrgica para corregir las malformaciones del corazón pero no operaron el resto de los órganos, que funcionaban bien. Hiperespacio y geometría intrínseca En el apartado anterior hemos comentado que una banda de Mobius puede producir una inversión especular en una criatura bidimensional incrustada en su superficie. Pero, ¿cómo aplicaríamos esto a nuestro universo, de una dimensión más? Imaginemos que criaturas extraterrestres con forma de ameba deambularan por la superficie de una gran pelota hinchable de playa. Los moradores están incrustados en la superficie, cual microbios flotando en la delicada superficie de una pompa de jabón. Los alienígenas llaman a su universo Suibom. Para ellos, Suibom es plano y bidimensional, en parte debido a que Suibom es inmenso en comparación con sus cuerpos. Sin embargo, Einsteinoide, uno de sus brillantes científicos, llega a la conclusión de que, en realidad, Suibom es finito y está curvado en algo que él denomina la tercera dimensión. Él inventa incluso dos palabras nuevas, «arriba» y «abajo», para describir ('! movimie nto e n la 1Ho



111visiblc tercera dimensión. A p esar del escepticismo de sus :1111isLadcs, un día Einsteinoide besa los seudópodos de su 1·sposa y emprende un largo viaje siguiendo una línea que parece recta alrededor de su universo. Una semana después regresa al punto de partida y demuestra así que su universo 1·stá curvado en una dimensión mayor. Durante el largo p('riplo, Einsteinoide no nota que él se curve aunque se está r11rvando en una tercera dimensión perpendicular a sus dos <1i mensiones espaciales. Einsteinoide descubre incluso que ('xiste una ruta más corta para ir de un lugar a otro. Mediante 1111 túnel atraviesa Suibom desde el punto A hasta el punto IJ y crea así lo que los científicos denominan un «agujero de gusano». Con posterioridad, Einsteinoide averigua que Suil>om constituye uno de los muchos mundos curvados que se hallan suspendidos en el espacio tridimensional. Entonces especula con que algún día será posible viajar a esos otros mundos. Supongamos ahora que la superficie de Suibom estuviera arrugada como una hoja de papel. ¿Qué concepto tendrían Einsteinoide y el resto de extraterrestres ameboides de su mundo? A pesar de las arrugas, las amebas de Suibom concluirían que su mundo es perfectamente plano porque viven confinados en el espacio arrugado. Su cuerpo estaría arrugado sin que ellos lo supieran. Esta idea del espacio curvado no es tan extravagante como pudiera parecer. Georg Bernhard Riemann (1826-1866), el gran geómetra decimonónico, meditó sin tregua sobre estas ·uestiones y ejerció gran influjo en el desarrollo de la física teórica moderna al proporcionar los fundamentos de los conceptos y métodos utilizados más tarde en la teoría de la relatividad. Riemann reemplazó el mundo bidimensional de Suibom por nuestro mundo tridimensional arrugado en la cuarta dimensión. A nosotros no nos resultaría obvio que nuestro universo está alabeado a menos que pudiéramos percibir sus efectos. Ri emann creía que la electricidad, el magn e tismo y la gravitari611 se debían al arrugamiento de 1H 1



 nucslro universo Lridirnensional en una cuarta dimensión 110 visible. Si el espacio esluviera lo baslanle curvado, co mo la superficie de una esfera, podríamos constatar la confluencia de líneas paralelas o que los ángulos de un triángulo suman más de 180 grados (tal como ocurre con los triángulos trazados en un globo). Alrededor del año 300 antes de nuestra era, Euclides explicó que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo trazado en un papel da como resultado 180 grados. Sin embargo, esto solo es cierto en un trozo plano de papel. En una superficie esférica, podemos dibujar triángulos cuyos ángulos midan ¡90 grados cada uno! Para comprobarlo observe un globo y trace una línea alrededor del ecuador, a continuación siga un meridiano de longitud en dirección al polo sur y realice un giro de 90 grados para regresar al ecuador por otro meridiano de longitud. De este modo habremos formado un triángulo en el que cada ángulo mide 90 grados. Asimismo podemos dibujar triángulos cuyos ángulos sumen más de 180 grados. Volvamos a nuestros extraterrestres bidimensionales de Suibom. Sin hicieran la suma de los ángulos de un triángulo pequeño, el resultado se acercaría mucho a 180 grados, incluso en un universo curvado; sin embargo, en el caso de triángulos grandes, se obtendría un resultado bastante distinto puesto que la curvatura de su mundo se tornaría más manifiesta. La geometría descubierta por Einsteinoick de Suibom se correspondería con la geometría intrínseca de la superficie. Esta geometría depende únicamente de mediciones efectuadas a lo largo de la superficie. A mediados del siglo XIX, las geometrías no euclídeas despertaron gran interés en nuestro mundo; por ejemplo, geometrías esféricas donde líneas paralelas se cruzan. Cuando el físico Herman 11 von Helmholtz (1821-1894) escribió sobre este tema, inst6 a los lectores a imaginar lo difícil que le resultaría a una criatura bidimensional que se moviera a lo largo de una superficie intentar comprender la g<"omctría intrínseca dt• 1H !.!



su mundo sin conlar con e l beneficio de una perspectiva t 1idimcnsional que le revelara de golpe las propiedades curv:1das del mundo. Bernhard Riemann también introdujo las 111ediciones intrínsecas en espacios abstractos y no necesitó .iludir a un espacio contenedor de una dimensión mayor en t•I que los objetos materiales estuvieran «curvados». La geometría extrínseca de Suibom depende del modo en <111c reside la superficie en un espacio dimensional mayor. Por difícil que parezca, las criaturas de Suibom pueden t·nlender su geometría extrínseca mediante la mera toma ele medidas a lo largo de la superficie de su universo. En <>Iras palabras, una criatura de Suibom podría estudiar la r urvatura de su universo sin necesidad de salir de él, del 111 ismo modo que nosotros podemos conocer la curvatura 1 le nuestro universo aunque estemos confinados en él. Para 


 ('it1I. La c urvatura espac ial tambi é n se insinúa e n la órbita elíptica que sigue cJ planeta Mercurio alrededor del Sol, la ·ual experimenta cada año un desplazamiento muy ligero d e orientación, o precesión, debido a la pequeña curvatura d el espacio alrededor del Sol. Albert Einstein sostenía que la fuerza gravitatoria entre objetos masivos aparece como consecuencia de la curvatura del espacio en las proximidades d e cada masa, y que los objetos que se desplazan por él se limitan a seguir líneas rectas en este espacio curvado, como meridianos de longitud en un globo.



En las décadas de 1980 y 1990, varios astrofísicos intentaron comprobar de manera experimental si todo nuestro universo está curvado. Por ejemplo, algunos se han preguntado si el universo tridimensional podría estar curvado sobre sí mismo, de igual modo que una superficie bidimensional sobre una esfera se curva sobre sí misma. Esto mismo se puede volver a exponer en términos de la cuarta dimensión. Del mismo modo que la superficie bidimensional de la Tierra es finita pero carece de bordes (porque está curvada en tres dimensiones para formar una esfera), muchas personas han imaginado el espacio tridimensional del universo como si estuviera curvado (en algún espacio tetradimensional) para dar lugar a una esfera tetradimensional llamada hiperesfera. Por desgracia, la astrofísica es incapaz de extraer conclusiones d efinitivas porque los resultados experimentales contienen incertidumbres. Observaciones cosmológicas más recientes sugieren que probablemente no exista una curvatura local acusada en el universo visible; sin embargo, el universo visible no es más que una pequeña porción de todo el universo, el cual podría albergar toda clase de topologías exóticas. El universo podría ser finito pero carecer de límites, del mismo modo que la superficie de una esfera es finita pero no tiene bordes. En teoría, esto significaría que en caso de alejarnos por el espacio nunca nos toparíamos con una pared que indicara su fin. No habría ninguna señal que pusiera



18"



/la llegado usted al fin del universo.



Por favor, dé la vuelta y regrese a casa. Igual que sucedía en la cinta de Mobius, si viviéramos en la superficie de una pequeña hiperesfera sucederían cosas ex trañas. Como analogía, consideremos a un planilandés, habitante plano del universo que conforma la superficie de una pequeña esfera. Si el planilandés viajara alrededor de la esfera, llegaría un momento en que regresaría al punto de p artida. Si mirara hacia delante se vería la espalda. Si viviéramos en un universo hiperesférico, también nosotros acabaríamos regresando al punto de partida tras recorrer una larga distancia. Si la hiperesfera fuera pequeña, nos veríamos la espalda al mirar hacia delante. Tal y como hemos referido al hablar sobre la geometría extrínseca, algunos cosmólogos han propuesto que nuestro universo es en realidad la superficie de una gran hiperesfera. A lo largo de los últimos cien años, los científicos han especulado sobre las implicaciones de que nuestro universo incluyera otras topologías igualmente extrañas, como hiperbandas de Mobius e hiper-rosquillas. Por ejemplo, en un espacio tetradimensional se pueden construir varias superficies carentes de bordes que contengan bandas de Mobius, del mismo modo que la superficie de una esfera no tiene límites. Tal como hemos comentado, el contorno de un disco se puede unir al contorno de una cinta de Mobius para crear un «plano proyectivo real». Dos bandas de Mobius se pueden unir entr~ sí a lo largo de su contorno común para formar una superficie no orientable llamada botella de Klein, que debe su nombre a su descubridor Felix Klein (figura 6.2). La banda de Mobius tiene límites: los bordes de la banda que no se enlazan entre sí. Por otro lado, una botella de Klein es una superficie de una sola cara sin bordes. A diferencia de una botella normal, el «cuello » de esta se curva hacia dentro, atraviesa la superficie de la botella y se une al cuerpo d e la bote ll a d esde d entro. 185



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6.2 Representación de una botella de Klein hecha de alambre creada por Jos Leys. Una botella de Klein es una superficie de una sola cara. Al igual que la banda de Mobius, no se puede pintar el «interior» de un color y el «exterior» de otro.



La interesante relación que existe entre la banda de Mobius y la botella de Klein se aprecia al cortar la botella de Klein por su mitad longitudinal para dar lugar a dos bandas de Mobius (figura 6.3). Un modo de construir un modelo físico imperfecto de una botella de Klein en nuestro universo tridimensional consiste en hacer que se encuentre consigo misma en una curva pequeña y circular. (Se necesitan cuatro dimensiones para crear una botella de Klein sin a u tointersecciones.)



6.3 Una botella de Klein cortada en dos mitades revela dos bandas de Mobius. dfü



Imagine la frustración (o tal vez el deleite) de intentar pintar tan solo la parte exterior de una botella de Klein.



Empezarnos por el «exterior» bulboso y continuamos por el delgado cuello. El objeto tetradimensional real no tiene autointersecciones, lo que nos permite seguir por el cuello que ahora se encuentra en el «interior» de la botella. A medida que el cuello se abre para reencontrarse con la superficie bulbosa, nos encontramos con que ahora estamos pintando la botella por dentro . Si un planilandés asimétrico residiera en una superficie como la botella de Klein, podría viajar por su universo y regresar como una forma invertida con respecto a todo lo que lo rodea. Nótese que todas las superficies de una sola cara son no orientables, y que si el universo tuviera la forma de una botella de Klein encontraríamos recorridos capaces de invertirnos el cuerpo a nuestro regreso. Animo a los lectores a consultar mi obra Surfing Through Hyperspace para obtener más información sobre dimensiones superiores.



Adoro las botellas de Klein Permítanme introducir una digresión en el tema del cosmos para hablarles sobre una de mis patentes favoritas relacionadas con botellas de Klein: «El vaso de una sola cara» (patente estadounidense 6 419 111, concedida en 2002), inventado por Erl E. Kepner (figura 6.4). Tal como se ha señalado ya, una botella de Klein se parece a una banda de Mobius en que solo tiene una superficie. En nuestro universo tridimensional no se puede construir una verdadera botella de Klein; sin embargo, su forma básica aparece reproducida en este invento. La taza de café de Kepner basada en la botella de Klein permite que el líquido del interior de la taza salga por la parte inferior al aplicar succión a la base del recipiente. Kepner dice: El paso se puede usar en aplicaciones en las que convenga 187



 variar d ro 11tc11ido del recipiente sin verterlo por d borde del 111isrno. Una situación en la que algo así podría ser 11eccsario sería cuando el vaso de un piloto de avión debe vaciarse con rapidez debido a turbulencias en el aire . Para usar el recipiente con normalidad, el piloto lo sujetaría y bebe ría de él del mismo modo que cualquier otra taza de café. Para drenar el líquido de la taza se aplica el vacío a la base d e la taza, que contiene una abertura. 14



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12 6.4 Patente estadounidense 6 419 111, «vaso de una sola cara», de Erl E. Kepner, 16 de julio de 2002.



Al final de la patente, Kepner dice: «La comercialización futura del recipiente inventado aquí utilizará esta clase de puntos interesantes para estimular el interés de la gente con buena formación técnica y la gente corriente con una curiosidad y apreciación innatas por la maravilla y la belleza de las matemáticas y la naturaleza». Acme Klein Bottle (www.kleinbottle.com) vende tazas de café en forma de botella de Klein con el asa hueca (figura 6.5). El astrofísico Cliff Stoll, que dirige Acme Klein Bottle, señala: «Una botella de Klein que lleva el líquido directamente a los labios que lo esperan. Sí, me han oído bien. Se puede beber directamente de esta taza. Llénenla de cerveza y tendrán una Klein Stein. ¿Creerían ustedes en la Klein Stein de Einstein? Se trata de una auténti ca variedad diferencial de primer orde n , co n volumen nulo y 110 orientable ». 1HH



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'-----__..::!!:::?""--- Outer chamber 6.5 Dibujo esquemático de un corte transversal de una taza de café basada en la botella de Klein con asa hueca, comercializada por Acme Klein Bottle (www.kleinbottle.com).



Las páginas en Internet de Acme Klein Bottle prosiguen ensalzando las virtudes de la taza. Con la taza en forma de botella de Klein de Acme, podemos llenar el interior con rafé y el exterior con té. El asa conecta la cámara interior y la exterior y, de este modo, proporciona un agujero topológico. l ,a cámara exterior (que, desde un punto de vista topológico, es la cámara interior) aísla la cámara interior (que, desde un punto de vista topológico, también es la cámara exterior). t•:I espacio de aire de siete milímetros separa el interior del exterior y conserva durante más tiempo la temperatura de las bebidas frías o calientes. Stoll escribe: «Esta Klein Stein ('S ideal para las físicas matemáticas que necesiten un vaso de :1gua durante la recepción del un Premio Nobel». Cliff Stoll ha creado junto con el Kingbridge Centre de 'l(>ronto y el Killdee Scientific Glass la botella de Klein de ( ristal más grande del mundo. La botella de Klein de King11ridge mide 1.1 metros de alto y 50 centímetros de diámetro, y contiene 15 kilogramos de vidrio Pyrex transparente. Cliff Sto ll comenta: Tiene una sola cara, carece de bordes y es no orientable < kscle un punto de vista matemático. Divierte a topóloµ;os y asombra a visitantes. Tiene la altura de un niño de 189



 ·inco aílos. Cabría un hurón en su «interior». l la sido un proyecto nada trivial de soplado d e vidrio. De hecho, muy pocos establecimientos dedicados a soplar vidrio podían llevar a cabo este trabajo. (Un soplador de vidrio dijo, «¡demasiado temerario para nosotros!»). No contentos con las botellas de Klein cotidianas, los matemáticos y artistas gráficos por computadora disfrutan estudiando figuras relacionadas que presentan propiedades extrañas. Las figuras 6.6 y 6.7 ilustran la representación del artista gráfico por computadora Jos Leys de la superficie de Klein-Bonan:J eener y de una superficie de Klein de segundo orden creada por Jeener. Las superficies deben el nombre a Patrice Jeener, artista francés autor de grabados en cobre fascinado con la teoría de superficies, y al francés Edmond Bonan, profesor de matemáticas en la Universidad de Picardía Jules Verne. Las botellas de Klein-Bonan:Jeener tienen las mismas propiedades topológicas que la botella de Klein clásica. Jeener, aunque autodidacto en matemáticas, continúa descubriendo ecuaciones para superficies extrañas que fascinan a la vista y a la mente.



6.6 Doble superficie de Klein de Bonan:Jeener. (Representación de Jos Leys.) Superficie de Klein de segundo orden desarrollada porJeener. (Representación de.Jos L.cys.)



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La botella de Klein de Banchoff (liguras 0.8 y 6.9) también s<' ba~a en la banda de Mobius. El algoritmo informático que utili cé para crear esta forma se describe en el apartado dF' la sección «Material de consulta» dedicado a este capítulo. 1.as potentes aplicaciones informáticas para desarrollar grá1iras permiten diseñar objetos tan inusuales como estos y estudiarlos a continuación proyectándolos en una imagen bidimensional.



6.7 Botella de Klein de Banchoff. (Representación del autor.) Corte transversal de una botella de Klein de Banchoff que muestra las superficies internas. (Representación del autor.)



Animo a quien ejerza la docencia a que pida a los alumnos qu e diseñen y programen sus propias figuras a partir de la modificación de los parámetros en las ecuaciones que aparecen en la sección de «Referencias y apéndice», y que confeccionen un mural con todos los diseños creados, etiquetados ron las correspondientes fórmulas obtenidas. Durante la d écada pasada, incluso los matemáticos serios empezaron a disfrutar con la creación y la presentación de insólitos patro11 cs matemáticos de maneras novedosas, en ocasiones más di ctadas por cuestiones estéticas que por las necesidades de '" lógica. Es más, las gráficas por computadora permiten a 110 matemáticos apreciar mejor el complejo e interesanu· ('Omportamiento gráfico de fórmulas simples. Para crear el objeto de la figura 6.8, coloco esferas en ubi caciones determin adas por fórmulas obtenidas mediante "lgoritmos informtÍt iros. Ta l vez a muchas personas les resulte



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 di l'íci 1 di IH!ia r c:-; l'e ras sombreadas; si 11 c m bargo, se pu('d<' 11



11 i111<'1ría bilalcral hay un ojo, una oreja, un orifi cio nasal,



dib1~j ar



pezó n, una pierna y un brazo. En 2004, paleontólogos d<·I l11s1ituto de Geología y Paleontología d e Nanjing d esrnbricron el ejemplo más antiguo de simetría bilateral en 1111 a cantera del sur de China. Vernanimalcula guizhouena, 1111<1 criatura microscópica que vivía en los fondos marinos l1:irc seiscientos millones de años, presenta tubos digestivos pareados a ambos lados del intestino.



fi guras bastante a trac tivas e instructivas mediante la me ra introducción de puntos en las posiciones x, y, z.



Espejos hiperespaciales En el capítulo 5 comentamos que una banda de Mobius existe en dos formas: la dextrógira y la levógira. La única posibilidad de transformar una variedad en la otra consistiría en rotada en la cuarta dimensión. Aunque a los matemá1icos se les ocurrió la vaga noción de una cuarta dimensión desde la época de Kant, la mayoría utilizaba la idea como una especulación extravagante sin ningún valor dentro de lo posible. Por entonces no debatieron sobre el hecho de que un objeto sólido asimétrico pudiera invertirse, en teoría, al rotado en un espacio superior. Hubo que esperar hasta 1827 para que Mobius revelara esta posibilidad, ochenta años después de los artículos de Kant sobre dimensiones. Pero, ¿qué significa rotar un objeto en una dimensión superior? Si nos encontráramos con un planilandés podríamos, en principio, elevarlo fuera de su plano y volverlo del revés. En consecuencia, sus órganos internos quedarían invertidos. Por ejemplo, el corazón, que antes estaba a la izquierda, estaría ahora a la derecha. De manera similar, un ser tetradimensional podría volvernos del revés e invertir nuestros órganos. Aunque tales poderes son posibles bajo los auspicios de la física hiperespacial, debo recordar al público lector que la tecnología para manipular el espacio de esta guisa no es viable; tal vez dentro de algunos siglos exploremos el hiperespacio de maneras tan sólo soñadas hoy por la ciencia ficción. Muchas criaturas de nuestro mundo, incluidos nosotros mismos, presentan una simetría bilateral en la morfología exterior; es decir, su parte izquierda y derecha se parecen, como en el caso del escarabajo Arlequín de Cayena de la figura 6.10. A cada lado de nuestro cuerpo dotado de 1 \)2



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6.8 El escarabajo Arlequín de Cayena es un ejemplo clásico de simetría bilateral.



Un modo de visualizar la inversión de objetos en un espacio superior consiste en considerar las manchas de la figura 0.11, que obviamente no presentan simetría bilateral. Cons1i Luyen un par enantiomorfo porque son congruentes pero no se pueden superponer sin levantar una de ellas del plano. l•'.n esta obra ya hemos hablado de los enantiomorfos cuando l ratamos las bandas de Mobius moleculares. De manera si mi lar, en nuestro mundo tridimensional existen numerosos ejemplos de pares enantiomorfos, los cuales consisten ('11 figuras sólidas asimétricas, como nuestra mano derecha <· izquierda. (Al unirlas palma contra palma, vemos cada 11na de ellas como un reflejo especular de la otra). Al igual que las manos, las manchas de la figura 6.11 no se pueden superponer por mucho que las rotemos o las desplacemos :-;obre el plano. En cambio, al rotar las manchas sobre una línea en el espacio, podemos superponer una de ellas sobre s11 imagen reflejada. De manera semejante, el cuerpo podría



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 trn11sf'or111arsc e n su imagen especular si lo rotáramos sobre un plano en el espacio tctradimensional.



~t~ Rotar



6.9 La figura de la izquierda se puede superponer a~&~&re~aoon~~oro~~fu~&~



página a través de una dimensión superior.



En nuestro mundo tridimensional, los espejos son planos bidimensionales. En cuatro dimensiones, las versiones especulares de las figuras son objetos sólidos. Los espejos siempre tienen una dimensión menos que el espacio en el que operan. Si una hiperpersona en un espacio tetradimensional se mirara la mano derecha y la izquierda, consideraría posible superponerlas rotándolas en la cuarta dimensión. Lo mismo sucedería con bandas de Móbius de distinta axialidad, al igual que con conchas marinas cuya espiral girara en sentido horario o antihorario. Curiosamente, existen numerosos ejemplos de manos no enantiomorfas en personas y dioses de representaciones artísticas antiguas.Jamás he conseguido averiguar por qué. Con toda seguridad, los artistas tenían la capacidad y el entendimiento necesarios para ver que cada una de nuestras manos es una imagen especular de la otra. Si se observan de cerca, y los relieves y pinturas murales egipcios representan con frecuencia a faraones con dos manos que derechas. Este derrumbe del enantiomorfismo aparece también en el arte mesopotámico, por ejemplo, en representaciones del dios babilonio Marduk.



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1.os mundos de Móbius Si tocio nuestro universo se convirtiera de pronto en una i111ag-cn especular de sí mismo, ¿notaríamos alguna difercn' i:1 ? Para responder esta cuestión consideremos el mundo " Rect ilandia» habitado por tan solo tres gacelas inteligentcs: «Gacela l», «Gacela 2» y «Gacela 3», que miran hacia l'Stc; esto equivale a decir que las tres miran hacia la derer lta (figura 6.12). Aunque el diagrama las muestra como '1 iIH~os bidimensionales, asumiremos que en realidad son 1111idimensionales y no pueden salirse de la línea, la cual < 01110rma su universo y en la cual se encuentran incrustadas. ,i.;¡ invertimos la Gacela 2, el cambio le resultará manifiesto . 1 la Gacela 1 y a la Gacela 3. Pero si invertimos toda la línea d<' Rectilandia, las gacelas unidimensionales no notarán el < :1rnbio. Nosotros, seres de una dimensión superior, repara' íamos en que Rectilandia está invertida, pero esto se debe :1 que podemos ver Rectilandia en relación con un mundo 1·xlerno. Ellas solo perciben el cambio cuando se inviertt· 11 mt porción de su mundo. En nuestro mundo sucedería lo 111ismo. En cierto modo, carecería de significado afirmar q11c todo nuestro universo está invertido porque no habría 111anera de percibir tal cambio. ¿Por qué es nuestro mundo d<' una manera concreta?



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Lineland



6.10 Si todo nuestro universo se convirtiera de pronto en su imagen especular, ¿notaríamos alguna diferencia?



El filósofo y matemático Gottfried Wilhelm Leibniz (164617 16) creía que plantearse por qué Dios hizo el universo de <·stc modo y no de otro equivale a formularse «una pregunta bastante inadmisible». Para entender mejor el comentario d(' Leibniz, consideremos una Planilandia bidimensional n ·plcta de amebas inteligentes. Para invertir todo el universo



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 ele Pla11ila11dia c11 su imagen especular, basw con darle la



vuelta al plano y contemplarlo ¡desde el lado opuesto! ()(' hecho, ni siquiera hay que darle la vuelta al mundo. Imaginemos Planilandia como un hormiguero vertical en el que las hormigas están confinadas a un mundo bidimensional. Este mundo es levógiro cuando se observa desde un lado del cristal, y dextrógiro cuando se ve desde el otro lado. En otras palabras, Planilandia no tiene por qué experimentar ningún cambio en absoluto al contemplarla desde un lado o desde el otro. El único cambio se halla en la relación espacial entre Planilandia y un observador cualquiera sito en un espacio tridimensional. Del mismo modo, cualquier hiper-ser podría cambiar de una posición tetradimensional «arriba» a una posición tetradimensional «abajo» y ver que una caracola marina con una espiral dextrógira pasa a mostrar una espiral levógira. Si ese ser pudiera tomar la caracola y darle la vuelta, nosotros lo consideraríamos un milagro. Veríamos que la caracola desaparece y después reaparece como una imagen especular de sí misma. Todo esto significa que los seres pertenecientes a una dimensión inmediatamente superior contemplan las estructuras enantiomorfas como idénticas y superponibles. Tal vez solo un dios que existiera en dimensiones infinitas lograría ver todos los pares de objetos enantiomorfos como idénticos y superponibles en todos los espacios. En mi obra Surfing Through Hyperspace se tratan en detalle muchos otros tipos de distorsiones espaciales. El toro tridimensional y otras variedades diferenciales fabulosas



Tanto la banda de Mobius como la botella de Klein son superficies o, como se las denomina en matemáticas, variedades diferenciales. Para ser más precisos, cualquier objeto casi «plano» a escalas pequeñas es una variedad diferencial. Por ejemplo, una esfera es casi plana cuando se amplía una pequeña porción de la supcrfici<', y este es el motivo de l!)(i



qrn· hac{' siglos algunas personas creyeran que la Tierra era pl.111:1. De cerca, la Tierra se ve efectivamente plana, aunque 11 is ;111 1iguos griegos notaran que el mástil era la última parte di' los barcos en desaparecer por el horizonte. La superficie de· una esfera es bidimensional, pero las variedades diferen• 1.ll{'s pueden tener cualquier dimensión. Una línea suave, .11111que se curve, es una variedad diferencial unidimensional porque una fracción minúscula de la curva parece una línea 1t·cta. La curva tiene la topología de una línea. De manera Ht'1nejante, una variedad diferencial bidimensional posee l.1 topología local de un plano. Una variedad diferencial 11 idimensional presenta la topología local de un espacio t 1iclimensional. Tal como hemos comentado, una variedad diferencial no •>rientable tiene un trazado de devuelve a cualquier viajero .ti punto del que partió invertido en su imagen especular. 1,;1 superficie de una esfera es una variedad diferencial orientable. En una esfera no existe ningún recorrido que invierta en su versión especular a las criaturas que recorran su superficie. En una esfera también se puede viajar en cualquier dirección y regresar al punto de partida. Pero no podemos caernos por el borde de la superficie de una esfera. Por tanto, una (·sfera es un ejemplo de una variedad diferencial carente de bordes. La superficie de un toro o una rosquilla constituye otra superficie orientable sin ningún borde. Por otro lado, imaginemos un cilindro confeccionado mediante la unión 


 se puede. Si recorremos el borde al final llegamos al punto del que partimos. Como ya se ha dicho, a partir de la banda de Mobius se pueden crear otras superficies no orientales si se elimina el borde curvando la banda de manera que se unan los dos bordes «aparentes». Por desgracia, esta nueva variedad diferencial no se puede construir en realidad en nuestro mundo tridimensional porque se cruzaría consigo misma. Una criatura dimensional superior conseguiría, sin embargo, crear esta superficie cerrada, denominada botella de Klein. Lo máximo que nos permite hacer nuestro mundo tridimensional es un modelo de botella de Klein que presenta una autointersección en el cuello de la botella. Se trata de una proyección de un objeto tetradimensional en un espacio tridimensional, del mismo modo que un círculo es una proyección de una esfera. A diferencia de la banda de Mobius, una botella de Klein real no tendría ningún borde. Tal como se mencionó en el capítulo 5, otra superficie no orientable fascinante la constituye el plano proyectivo real. Un modo de concebir su construcción consiste en observar el cuadrado que sirve de punto de partida en la figura 5.14 para la botella de Klein y en girar los bordes superior e inferior además del izquierdo y el derecho antes de pegarlos. Otro modo de crear un modelo de plano proyectivo consiste en imaginar un hemisferio y unir cada punto del borde con el punto que le corresponde lado opuesto, pero con un giro (figura 6.13).



6.11 Una manera de visualizar el plano proyectivo consiste en imaginar un hemisferio y conectar cada punto del borde con el punto que se corresponde en el lado opuesto, pero con un giro.



1 ~¡ 8



El pl a no proyectivo e~ un a supe rfi cie d e un a sola cara , ·o rno un a banda de Mobius, pero no se puede ma te rializar e n un espacio tridimensional sin que se cruce a sí mismo. Al igual que la botella de Klein, el plano proyectivo carece d e bordes. En general, una variedad diferencial finita y sin bordes no se puede construir en la misma dimensión en la que viven sus habitantes, pero es fácil proyectar la imaginación a d imensiones superiores mediante el razonamiento y usando analogías con dimensiones inferiores. Imaginemos un trozo de papel (que es una variedad diferencial bidimensional con un borde en todos sus lados) con el que confeccionamos un toro mediante la mera unión de los extremos derecho e izquierdo del papel, y la parte superior e inferior. Para ello, hay que doblar el papel bidimensional en el espacio tridimensional. De manera similar, cabe imaginar el mismo tipo de uniones en un cubo sólido, que es una variedad diferencial tridimensional con un borde en todos sus lados. Supongamos que podemos estirar el cubo para unir la cara derecha con la cara izquierda. Si existiéramos dentro de un objeto tal, al lanzar un balón hacia la derecha regresaría a nosotros por la izquierda si la distancia no fuera excesiva. Probemos a imaginar ahora que unimos la cara frontal del cubo con la cara posterior, y la cara superior con la inferior. Si pudiéramos ejecutar estas conexiones en una dimensión superior, crearíamos una nueva variedad diferencial denominada toro tridimensional. Este objeto carece de bordes, igual que un toro bidimensional, y si residiéramos en un universo con forma de toro tridimensional ofrecería el aspecto de un espacio infinito. Con los años se han propuesto todo tipo de formas hipoté ticas para el universo en el que vivimos, incluido el toro tridimensional. Si habitáramos en un toro tridimensional sería posible, en teoría, escudriñar el universo como un tel escopio de gran potencia y mirar en la dirección de nuestra pro pia espalda. 1 ~ )!)



 También cabe visuali zar la confecció n d e un a vari edad diferencial tridimensional no orientable reco rda ndo qu" se puede crear una banda de Móbius m ediante la unió n d e los extremos de un rectángulo tras aplicarles medio giro o vuelta. Si pudiéramos unir la parte anterior y posterior d e un cubo tras darle medio giro a una cara, al caminar hacia atrás acabaríamos apareciendo por la parte frontal invertidos en nuestra imagen especular. La unión, con o sin giros, de diversas paredes emparejadas de un cubo permite crear toda clase de universos disparatados. Los científicos siguen reflexionando sobre la forma del universo. Según Charles Seife en «Polyhedral Model Gives the Universe an Unexpected Twist» («El modelo poliédrico confiere un giro inesperado al universo»), un equipo de científicos de Francia y Estados Unidos ha estudiado mediciones efectuadas desde el satélite Wilkinson Microwave Anisotropy Probe ( WMAP) y ha llegado a una conclusión sorprendente: el universo podría ser finito y tener doce caras. Aunque la mayoría de los astrónomos con los que he hablado considera esta idea como una posibilidad exótica más que como una teoría de aceptación general, no creo que haya quedado descartada por los datos. Según este modelo, las caras opuestas del dodecaedro se corresponden entre sí de un modo extraño. De hecho, esas caras son en realidad una y la misma, de tal modo que si una nave espacial saliera del universo por uno de sus lados acabaría regresando a él por el otro lado. Para crear un espacio finito en forma de dodecaedro, habría que unir entre sí las caras opuestas de un dodecaedro ligeramente curvo, una figura semejante a un balón de fútbol con doce caras pentagonales. Por supuesto, cuesta imaginar esas uniones en nuestro espacio tridimensional corriente. Para decirlo todo, debo advertir que las teorías científicas sobre la forma del universo cambian casi cada mes. En abril de 2004 Frank Steiner, de la Universidad de Ulm, Alem ani a, señaló que el universo tiene la forma de un cuerno medieval, 200



em budo muy largo. En el mod e lo de l un ive rso d e St('in er, conocido técnicam ente como d e to p ología Picard , l' I 1111i.verso p resenta una longitud infinita en la direcció n del caño d el embudo pero, a pesar de ser tan estrecho, e l 11 n iverso tiene un volumen finito.



< oi 11 0 u11



Múltiples universos En la actualidad, muchos de mis compañeros físicos se plan1ean grandes cuestiones, como la formación del universo y la forma última del espacio. Muchos cosmólogos sostienen que la gran explosión que creó el universo no fue más que una e n tre muchas otras. Por fortuna para nosotros, la gran explosión creó estrellas y planetas. La mayoría de los planetas que residen en el universo son mundos inertes, pero la Tierra destaca por contar con unas condiciones que permiten la evolución de la vida. De manera similar, la mayoría del resto d e universos creados por otras grandes explosiones podrían ser universos inertes porque no reúnan las condiciones que p ermitirían que brillen las estrellas. Solo en las últimas décad as hay cada vez más cosmólogos que empiezan a aceptar esta idea de múltiples universos, es decir, el multiverso, e n parte debido a la teoría de supercuerdas, la cual sostiene la posibilidad de que existan muchas formas de un mismo universo. Si existe un número infinito de universos aleatorios (no diseñados), el nuestro podría ser sencillamente uno que p ermita la vida basada en carbono. Algunos investigadores han especulado incluso con que de los universos progenitores brotan de manera constante universos retoño que heredan u n juego de leyes físicas semejantes a las del progenitor, un p roceso que recuerda a la evolución de las características b iológicas de la vida en la Tierra. Los universos con «éxito» desde un punto de vista cosmológico-darwiniano son aquéllos que producen gran can tidad de universos re toño longevos. Por ejemplo, si asum imos que :.1 0 1



 la.11 si11g1ilaridacl<'s ('('lllntlcs ele los ag1!jcros negros prod1H'<·11 orros universos, lal como algunas personas han propucsro, los universos con numerosos agujeros negros Lendrían n1;ís éxiLo. Como muchas modalidades de agujeros negros Lardan un Liempo prolongado en formarse, estos universos serían lo bastante longevos como para permitir la formación ck galaxias y la aparición de nucleosíntesis estelar (la forma ción de elementos necesarios para la vida en el seno de las estrellas). Esto significa que los universos exitosos cuentan de manera automática casi con la totalidad de las características adecuadas para la aparición de formas de vida (figura 6.14). Dicho de otro modo, a medida que el ecosistema cosmológico evoluciona, los universos más habituales son los que producen gran cantidad de agujeros negros, estrellas y formas de vida. Si el escenario especulativo de los universos en evolución describiera la realidad, entonces nuestro universo no tendría nada de extraordinario. ..----- Aquí viven mariposas inteligentes



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11J/ 1+-- .N osotros vivimos aquí



6.12 Darwinismo cosmológico. Los investigadores postulan que surgen universos retoño a partir de universos progenitores, y que los universos retoño producen, a su vez, otros retoños. Los retoños heredan leyes fisicas similares de sus progenitores, y los universos «exitosos» tienden a generar descendencias exitosas. Los universos exitosos son longevos y poseen muchos retoños y estrellas, todo lo cual estimulan la aparición de vida.



Si 1111eslro un ivcrso es infinito, tal como proponen algunos eos111<)logos, el universo visible no es más que una pequeña parle del cosmos. Lo que denominamos leyes de la natura1• ·1'.a serian tan solo las leyes que rigen en nuestro rincón del cosmos, y podrían imperar otras leyes en otros lugares. Si 1111cstro universo es infinito, es probable que en otros lugares l1:iya configuraciones de átomos que, por simple azar, imiten l;1 s que se dan en nuestra porción visible del universo. Según c·l astrofísico Max Tegmark, la cantidad de metros que hay q11c recorrer para encontrarse con una copia exacta de uno 111ismo, suponiendo que el universo es homogéneo e infi1ii1 o, asciende a ID 0 ~ • En otras palabras, en virtud tan solo el(' las leyes del azar, en algún lugar de un universo infinito c·x isle una configuración de átomos idéntica a cada uno de 11osotros. 1 lc aquí otra manera de ver esto. Residimos en un univnso visible fácilmente abarcable por una esfera de cien mil 111illones de años-luz de diámetro, con una cantidad finita de e n11figuraciones de la materia y de la energía que contiene. l111aginemos el universo visible como una pompa gigantesca q11C' flota dentro de un universo mayor. (No podemos ver i1dinitamente lejos porque el universo tiene una edad finita, 1 porque ,la información no puede viajar más deprisa que la wlocidad de la luz). Si nuestro universo es infinito, como c 1·<·cn algunos físicos modernos, entonces es probable que c·xislan copias casi idénticas de nuestra burbuja y que éstas e e111 tcngan una réplica de la Tierra y de usted. Según el físico M:ix Tegmark, la más cercana de esas burbujas idénticas se o 100 c·11n1cntra, en promedio, a ID metros de distancia. No se>lo hay infinitas copias de usted, hay infinitas copias de las variantes de usted. Es casi seguro que en este mismo instante 11 s1cd tiene ojos rojos y está besando a alguien que habla c:l n 1sco y tiene largos colmillos en alguna otra burbuja. Si :wcptamos la noción de un universo infinito (sugerida por l:1s l(·orías modernas de la inflación cósmica), entonces exisl 1'11 inlinitas copias de usted con variaciones de una belleza



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 y una fealdad fabulosas. Si suspira uslcd por alg(111 amor q1w jarrn"'ts co nseguirá en es le mundo , es casi seguro que 11s1cd s<' ' ncuen lra ahora con esa persona en algún otro lugar de este universo. Sea feliz.



(' i1411orarnos el lu gar que nos corresponde en este gran <'o njunto de universos y universos simulados. 1<:11 «A brief History of the Multiverse», el astrónomo Paul 1>avic::; ha efectuado observaciones parecidas.



Somos simulaciones En nuestra región del universo ya hemos desarrollado computadoras y la capacidad de crear simulaciones de formas d e vida utilizando esas mismas computadoras y reglas matemáticas. Creo que algún día crearemos seres capaces de pensar que viven en ricos ecosistemas simulados. Llegaremos a simular la realidad misma, y tal vez seres más avanzados ya lo estén haciendo en algún lugar del universo. Descomunales supercomputadoras contarán con la capacidad de recrear no solo un fragmento minúsculo de realidad, sino una porción considerable de todo un universo. ¿Y si el número de esas simulaciones excediera el número de universos? ¿Podríamos estar viviendo en una simulación así? El astrónomo y filósofo Martin Rees sostiene que si las simulaciones superan en número a los universos, «tal como sucedería si un universo albergara la muchas computadoras que crearan muchas simulaciones», entonces es probable que nosotros seamos vida artificial. Sostiene Rees que esta teoría permite los «viajes virtuales en el tiempo», porque los seres avanzados creadores en la simulación pueden repetir el pasado. Rees afirma lo siguiente en su ensayo «In the Matrix» (o «Living in a Multiverse»): Una vez aceptada la idea del multiverso, y la de que algunos universos disponen de una capacidad inmensa para la complejidad, se obtiene como consecuencia lógica que en algunos de esos universos cabe la posibilidad de simular partes de ellos mismos y se llega así a una especie de regresión infinita, de manera que no sabemos dónde acaba la realidad y dónde empiezan las mentes y las ideas, :.w11



( :on el tiempo se crearán mundos completamente virtuales dentro de computadoras, con moradores conscientes pero ignorantes de su condición de productos simulados gracias a la tecnología de otros. Cada mundo original dispondrá de un número formidable de mundos virtuales, :dgunos de los cuales contarán incluso con máquinas que si rnulen mundos virtuales en su seno, y así sucesivamente ;1d infinitum. /\ lgunos lectores tal vez no sean conscientes de los avances 11 ;grados ya por los científicos computacionales y biólogos en ..1 rampo de la «vida artificial», donde se simulan entidades 'l('11 1cjantes a las vivas con comportamientos complejos utili1.111do reglas simples ejecutadas en programas informáticos. l•:t estudio de la vida artificial me recuerda a la micología (la ciencia que estudia los hongos) o a la mirmecología (dedil": ida a estudiar las hormigas). Los investigadores han simul.1do formas de vida simples poco duraderas que habitan en sociedades simples. El profesor Tom Ray del departamento de · :t.oología de la Universidad de Oklahoma creó Tierra, un r;islcrna en el que programas en código máquina autorrepli1 .1111c::; evolucionan por selección natural. Aunque se trata 111' criaturas muy pequeñas, de unas pocas instrucciones de lo11gitud, mostraron muchos patrones de comportamiento ,1prcc iables en la naturaleza. Cuando muchas de estas y 11t 1·:1s entidades biomorfas simuladas interaccionan, emerr,1 ·11 diversas comunidades ecológicas. Esta suerte de cornu11 idadcs digitales se ha utilizado para estudiar de manera 1·xpcrimental procesos ecológicos y evolutivos, incluida l.1 regulación d e población huésped-parásito, el efecto d e ~º!í



 parasitos en ('I aun1c1110 de la diversidad de la comu11idad, la competencia evolutiva, el equilibri o puntuado y el papel del azar en la evo lución. Los «Boids» de Craig Reynolds (entidades que forman bandadas o bancos como las aves y los peces) han exhibido otra clase de comportamientos naturales. Craig, que ahora trabaja para Sony Computer Entertainment, utilizó tan solo tres reglas simples para regir la vida de los Boids: 1) navega de modo que no te acerques demasiado al resto; 2) navega de modo que se mantenga el rumbo promedio del grupo; y 3) navega de modo que te mantengas cerca de la posición promedio de tus vecinos. Se pueden introducir reglas para perseguir un objetivo y para sortear obstáculos con la finalidad de que las criaturas artificiales viajen por un mundo repleto de objetos. Los comportamientos resultantes basán, 


iniciativa mundial para crear ecosistemas digitales en la Red y para recrear la evolución de la vida en la Tierra permitiendo la evolución de criaturas informáticas (www. darwinathome.org). Los equipos Darwin esperan observar procesos evolutivos semejantes a los de la vida en un espacio virtual o robótico. Su plataforma informática interactiva se halla distribuida por una gran cantidad de ordenadores en red en la que se permite a la gente dar forma a cada ecosiste ma biótico digital. Una de las formas de vida autómata celular más célebres y tempranas la representa el juego llamado Life de John Horton Conway. En esta simulación sencilla, las células viven o mueren en un entramado bidimensional de células tras seguir únicamente dos pautas: 1) Una célula se activa (vive) si tres de vecinas están activas, y 2) una célula permanece activa si dos o tres de sus vecinas también están activas; en cualquier otro caso se desconecta (muere). Estas pautas simples controlan el nacimiento, la supervivencia y la muerte de cualquier célula en el transcurso del tiempo. A veces, entidades o formas compuestas por un conjunto de células evolucionan y se desplazan por el universo del tablero del juego conservando el conjunto de su figura, como una criatura que deambula por un estanque. De hecho, algunas formas desarrollan la capacidad de conservar su figura y engendran otras figuras ahora capaces de «explorar» el entorno, simulando de forma básica el acto de la reproducción. Si usando estas reglas simples aparecen fenómenos parecidos a los de la biología, es de esperar que ciertas pautas ejecutadas en universos de tableros de juego consigan producir sociedades complejas si se les brinda el tiempo suficiente y un universo lo bastante extenso en el que evolucionar. El autor de ciencia ficción Greg Egan sostiene en Permutation City que la tecnología de imágenes médicas mejorará, y que en 2020 alcanzará un nivel que permitirá captar neuronas aisladas y las propiedades de sinapsis particulares medidas con métodos no invasivos. «La combinación de varios 1111:1



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 escáneres permitirá leer e n el organisn10 vivo c ualq11in detalle del cerebro con relevancia fisiológica, y reprodu cirlo en una computadora lo bastante potente. » Egan sostiene que en un principio solo se podrán crear modelos de vías neurales aisladas: «porciones del contexto visual que tengan interés para quienes diseñan la visión de las máquinas, o secciones del sistema límbico cuya función se haya cuestionado». Estos modelos neurales fragmentarios dieron resultados valiosos, pero una representación funcional completa d e todo el órgano ... habría permitido probar que antemano los logros más delicados de la neurocirugía y la sicofarmacología ... En 2024 un neurocirujano de Boston efectuó una réplica completamente consciente de sí mismo ... Las primeras palabras de la primera réplica fueron: «Esto es como estar enterrado vivo. He cambiado de opinión. Sáquenme de aquí».



Medición de la forma del universo En un apartado anterior mencionamos un satélite de la NASA llamado Wilkinson Microwave Anisotropy Probe del que se ha obtenido información que permite seguir especulando sobre la forma del universo. El satélite registra el patrón de calor del universo en forma de tenue radiación de microondas. Esta radiación es un «rescoldo» de la propia gran explosión y, por tanto, dibuja un retrato del universo primigenio. Si el universo fuera infinito, los remanentes de la gran explosión deberían aparecer de forma aleatoria por todo el cielo y con cualquier tamaño. Pero, según los datos del satélite, el tamaño de la onda puede ser limitado, de manera que no hay ondas que abarquen más de sesenta grados en el cielo. Si el universo fuera una sinfonía, estaría perdiendo las notas más graves, las del chelo, el bajo, la 208



t111>a y d l ~1~ot. ¿Qué hacer co n esas notas perdidas? 'fal wz i11diqrn: 11 que e l universo es finito y, por tanto, no pued'· c:n·ar ondas más largas que él mismo. En un universo tal, los .1st ro nautas podrían viajar por el espacio en una dirección y .1rn bar regresando al punto de partida cual orugas que rep1:1ra11 por la superficie de una esfera. 1'. I doctor George Efstathiou de la Universidad de Cambridge cree que los datos del satélite Wilkinson serían cornp:11 i bles con una hiperesfera. En este caso, las fluctuacion es 111 <Ís grandes que el radio de la esfera se verían reducidas, lo e I' 1(· produciría el límite observado en el patrón de radiación. Además, el universo podría ser esférico pero tan extenso que 1·1 universo visible que observamos nos pareciera plano, del 111ismo modo que la Tierra que nos rodea puede parecernos plana porque constituye una pequeña porción de una esfera 1



gi¡.{ante. Si el universo fuera finito al menos en una dirección , < orno un cilindro o una rosquilla, el patrón de la radiación de fondo tendría ciertas restricciones en esas direcciones. Algunos estudiosos han propuesto que el universo pudo 11acer con forma de rosquilla. En un universo rosquilla, q11e es también un ejemplo de un universo múltiplemente ronexo, la luz dispone de varios caminos directos para viajar desde un punto A hasta un punto B. Los científicos que <· 11t revisté están divididos en cuanto a si el universo es finito () infinito. Algunos dicen que un universo infinito es más probable y, tal como hemos dicho, en tales universos puede O(' urrir casi de todo, incluida la circunstancia de que existan 111i'iltiples réplicas de cada uno de nosotros, aunque con ligen 1s variaciones, como que algunas réplicas tengan cuernos ('11 la cabeza. Otros científicos sostienen que la naturaleza <'ncuentra menos dificultades para crear un universo finito . (Entre los ejemplos de espacios finitos figuran superficies ro nocidas como variedades diferenciales compactas, como el círru lo, la esfera de n dimensiones y el toro. El término variedad rlUimmcial compacta suele implicar una figura cerrada y sin !W! )



 bordes). Según Dennis Overbye e n «U nivcrsc as Dough11ut: New Data, New Debate», una figura muy probable, y tal vez la más simple, para un universo compacto finito Ja cons t ituye un toro tridimensional, una rosquilla curvada en tres dimensiones. Esto mismo ya se ha descrito como un cubo cuyos lados opuestos se han unido de un modo determinado. O pensemos en la pantalla de un ordenador en la que al mover el cursor hacia arriba éste vuelve a aparecer por la parte inferior de la pantalla, y al moverlo hacia la derecha reaparece por la izquierda en cuanto se sale de la pantalla. Un universo con forma de rosquilla tridimensional se considera un universo plano en un sentido matemático porque, por alguna razón, los ángulos de un triángulo trazado en su superficie suman los habituales 180 grados, como si estuvieran dibujados en un plano de papel. Esto no es así en el caso de un triángulo trazado sobre una esfera. Las líneas paralelas jamás se encuentran entre sí sobre un plano o un toro, pero sí lo hacen sobre una esfera. Otra manera de concebir que un toro es plano consiste en apreciar que sobre la superficie de un toro se puede trazar un plano con facilidad. Como es bien sabido desde hace siglos, no se puede trazar un mapa plano sobre una esfera sin distorsiones y ahí estriba la razón de que se hayan desarrollado tantos sistemas de proyección para mapas con la intención de crear mapas útiles para nuestro mundo esférico. Tal vez la más conocida de esas proyecciones sea la proyección de Mercator, ideada en 1568 por Gerardus Mercator, geógrafo, matemático y cartógrafo flamenco. Por desgracia, esta proyección introduce una distorsión considerable en latitudes próximas a los polos, de manera que Groenlandia se ve más grande que América del Sur. Lobos sobre cilindros Si las nociones de espacio plano y espacio le siguen pareciendo confusas, considere que un trozo plano de papel 210



1·s 1111 modelo de espacio cerrado plano. Curve este pap<'I ltastn formar un ci lindro. Para ver por qué este espacio sigue siendo plano, imagine que un lobo camina por el interior de la s11perficie del cilindro. Decimos que el espacio es plano porque el lobo no rota a medida que recorre una trayecto' i<1 cerrada, manteniendo siempre el cuerpo paralelo a su posición previa. El espacio se considera cerrado porque el le >bo que recorre el cilindro acaba regresando si camina en 1í11ca recta, lo que indica que se trata de un espacio cerrado (figura 6.5). De manera similar, un toro es un espacio plano. l J 11 modo que visualizar un toro consiste en partir de un rnadrado, llamado el dominio fundamental del toro. Visua1iC'c el cuadrado como un fragmento plano de papel que S(' puede enrollar uniendo entre sí el extremo derecho e i1.quierdo del mismo. Para crear un toro basta con unir entre si la parte superior e inferior del cilindro de papel.



LJ ...



n. 1:~



Lobos en un universo cilíndrico (izqui erda) y esférico (derecha). l ,a dirección del movimiento del lobo está representada por flechas. Si el lobo sigue una trayectoria cerrada sobre el cilindro, su cuerpo 110 rota. A pesar de las apariencias superficiales, este espacio no se e onsidera curvo. En cambio, sobre una superficie esférica, el cuerpo del lobo experimenta una rotación como Ja descrita en el texto.



1.os topólogos consideran los planos, los cilindros y los toros como espacios euclídeos. En la geometría euclídea, al • •"1siderar una línea recta y un punto cualquiera fuera de esa línea, solo existe una única línea paralela a la primera q1w pasa por ese punto. Y, como hemos dicho, la suma de lt1s ;íngulos de un triángulo equivale a 180 grados. El toro es 1111 :1 variedad diferencial bidimensional euclídea (plana) . Si ~



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 el espacio tridimensional en el que habitamos tuviera forma de toro, viviríamos en un toro tridimensional. En cambio, aunque estuviéramos seguros de que el universo es euclídeo, este podría tener muchas formas distintas además de la de toro tridimensional. De hecho, sólo existen dieciocho variedades diferenciales tridimensionales euclídeas posibles. De ellas, ocho son no orientales; es decir, cuentan con un giro que invierte la orientación. Si viajáramos por uno de esos recorridos que invierten la orientación, ni siquiera repararíamos en el cambio hasta regresar a la Tierra, donde todos los relojes funcionarían en sentido antihorario. Los cosmólogos, movidos por una curiosidad insaciable, escudriñan el cielo en busca de indicios que apunten a que el universo podría ser no orientable. En teoría, observaríamos patrones energéticos característicos si viviéramos en un espacio tal. Hasta el momento presente no se han observado esos patrones. Volviendo a la figura 6.15, intentemos entender mejor por qué la superficie de la esfera constituye un modelo de espacio cerrado, pero no es plana. Existe otra manera de diferenciar un espacio plano, en el que el lobo camina sobre un cilindro, de un espacio curvo, en el que el lobo recorre una superficie esférica. En la parte derecha de la figura 6.15, el lobo intenta ir de A a B a Cy luego de nuevo a A manteniéndose siempre paralelo a su orientación primera de manera que la cabeza apunte hacia la derecha de la figura. En cambio, cuando regrese a A, la cabeza apuntará más hacia C que hacia B, como hacía en un principio. Por ejemplo, a medida que el lobo se desplaza de B a C, su cuerpo empieza a apuntar poco a poco hacia arriba. (Si le cuesta visualizar este movimiento, en Internet existen numerosas presentaciones interactivas, como la que figura en la página de John Sullivan http:/ / torus.math.uiuc.edu/jms/java/ dragsphere/). Se dice que este espacio es curvo porque a medida que el lobo recorre un camino cerrado intentando mantenerse paralelo en todo momento a su posición primera, su cuerpo experimenta ~ 1 2



1111:1 rnlación. La curvat111·a dd espacio se revela mediante 1111 proceso denominado transporte paralelo. Por otra parte, el 1( 11 >o pu ede recorrer una superficie cilíndrica siguiendo el 1<-rorrido ilustrado y regresar al punto de partida de manera ,'1 11 cuerpo haya experimentado una rotación nula. Por tanto, .11111ciue la superficie de un cilindro parezca curva, no lo es c 11a11do se la considera un modelo de espacio. Universos esféricos, planos e hiperbólicos 1.os cosmólogos continúan reflexionando sobre diversas



.. l(lrmas» posibles para nuestro universo. Por ejemplo, el e·spacio podría tener una curvatura positiva y parecerse a la s11perficie de una esfera. La geometría del universo podría S('I' plana (o euclídea) o podría ser hiperbólica, con una ('t1rvatura negativa toscamente visualizable en una silla de 111ontar. Muchos astrónomos consideran plano el cosmos porque este concepto está íntimamente unido a la «teoría de la inflación», una conjetura muy extendida según la cual el 1111 iverso atravesó un periodo temprano de expansión rápida que amplificó las fluctuaciones subatómicas aleatorias y formó las estructuras que existen actualmente en el universo. /\sí como la expansión hace que una pequeña porción de pelota parezca plana, la inflación habría estirado el universo y habría suavizado cualquier curvatura que tuviera en sus inicios. Es asombroso que vivamos en una época en la que todas estas conjeturas podrán comprobarse pronto con los satélites que estudian la radiación de fondo de microondas del universo. Por ejemplo, en un universo hiperbólico, las variaciones intensas de temperatura en el fondo de microondas se producirían en regiones más pequeñas del cielo que en el caso de un universo plano. (Véanse los artículos escritos por Ron Cowen y lvars Peterson en 1998 en Science News en el apartado de «Material de consulta»). En un universo cerrado, hiperbólico, lo que los astrónomos considerarían un a galaxia distante podría ser en realidad nuestra propia ~ 1 '. \



 Galaxia (vista a una edad mucho menor porque la luz ha tardado miles de millones de años en viajar por el universo). Neil Cornish y otros astrónomos de la Universidad del Es Lado de Montana sostienen que «SÍ tuviéramos la suerte de vivir en un universo hiperbólico compacto podríamos mirar ahí fuera y ver nuestros propios orígenes». Es posible que universo tenga una topología extraña, de manera que diferentes partes del mismo estén interconecladas como los cabos de una galleta salada en forma de lazo. Si fuera este el caso, el universo sencillamente daría una impresión de inmensidad y las múltiples vías permitirían que la materia de distintas partes del cosmos se mezclara. En un universo en forma de galleta salada de lazo, la luz procedente de un objeto determinado dispone de distintas vías para llegar hasta nosotros, de manera que divisaríamos varias copias de ese mismo objeto. Si el universo fuera un toro tridimensional, observaríamos el espacio y veríamos estrellas una y otra vez debido a la naturaleza curvada sobre sí mismo del universo. Y la teoría de la inflación, que sostiene que el universo experimentó una expansión acelerada galopante en el principio de los tiempos, implica que el universo observable es hoy una burbuja de 156 mil millones de años-luz de diámetro. (Durante la inflación, lo que ahora constituye el universo observable pasó de ser una región menor que un protón a otra mayor que un pomelo en un intervalo minúsculo de 10-35 de un segundo). El universo observable actual parece terriblemente grande pero podría no ser más que una mota de polvo suspendida en un universo de miles de billones de años-luz de diámetro. La noción de un universo finito «pequeño» contradice la teoría de la inflación. Y, si aceptamos la teoría de la inflación, entonces también es probable que aceptemos la noción de múltiples universos ya que una vez que comienza la inflación, esta se convierte en un fenómeno recurren te que genera una cadena de universos, como burbujas dentro de burbujas. La inflación crea universos planos. 214



< :1111 f rccuencia me planLean la prcgunLa: «¿Cómo puede



1•1 11di11i10 el universo si todo él estuvo concentrado en un ¡i111110 <'11 e l momento de la gran explosión?». Una respuesta c¡tH' d universo no tuvo por qué estar concentrado en un ¡i1111111 en el momento de la gran explosión; tal vez solo el 11111v1·rso visible estuvo concentrado en un punto. Puede que í 1 1111 ivcrso naciera ya infinito con la gran explosión. (En este 1.1'11 >, r uando hablo de «Universo observable», me refiero a le 1 < j l H' cabría observar teniendo en cuenta la velocidad finita •11 • 1:1 1uz). Mundos próximos al nuestro



I•' 11 la actualidad, muchos físicos afirman que existen uni' 1•1sos paralelos al nuestro, dispuestos como capas de una 11 bolla, y que se podrían detectar a medida que la gravedad 1• l 11ga de una capa a otra adyacente. Por ejemplo, la luz ¡.11e1n·dente de estrellas distantes quedaría distorsionada ¡1111 la gravedad de objetos no visibles situados en universos I '·" ;1lclos a tan solo milímetros de distancia. Científicos de la 1.111 iversidad de Colorado en Boulder llevan realizando exped111cntos desde antes de 1997 para localizar esos posibles 1111 ivcrsos cercanos. Estos investigadores buscan desviacio111 ·s minúsculas en la ley de la gravitación del inverso de los • 11:idrados formulada por Newton que pudieran deberse a 111:1lcria de universos paralelos, o a una dimensión oculta. El 101~junto de la idea de los multiversos no está tan traído por le >S pelos como podría parecer. Según un sondeo reciente a ~ físicos notables efectuado por el investigador estadounid1 ·11se David Raub, el 58 por ciento de los físicos (incluido St('phen Hawking) cree en alguna variante de la teoría de 111 t't Iti ples universos. U na de las teorías más novedosas e increíbles de la cosmog <··11 esis sostiene que toda la materia y la energía del universo s11rgió cuando un fragmento tetradimensional de otro univnso se frunció, flol{> por el espacio pentadimensional y al ~



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 final se incrustó en nuestro universo. Charles Seifc describe con elocuencia lo que se denomina «modelo ecpirótico» en la revista Science. En el espacio pentadimensional [efectivo] dos membranas tetradimensionales perfectamente planas, como sábanas tendidas en cordeles paralelos. U na de las sábanas es nuestro universo; la otra, un universo paralelo «oculto». Debido a fluctuaciones aleatorias, nuestro compañero no visible se despoja de forma espontánea de una membrana que poco a poco flota hacia nuestro universo ... El objeto en suspensión se acelera y se incrusta en nuestro universo, tras lo cual, parte de la energía de la colisión se transforma en la energía y la materia que conforman nuestro cosmos. Algunos han vinculado la «membrana creadora» ecpirotica procedente del universo oculto al «espíritu de Dios» que aparece en la segunda frase del Génesis, donde se lee: «La tierra era soledad y caos, y las tinieblas cubrían el abismo, pero el espíritu de Dios aleteaba sobre las aguas». La tierra solitaria y caótica se corresponde con nuestro universo antes de que el choque de la membrana tetradimensional creara aquí la materia y la energía. El «aleteo» se corresponde con la membrana flotante. Es más, el modelo ecpirótico afirma que en cualquier momento puede desprenderse otra membrana que avance flotando hacia nuestro universo y nos destruya a todos. Unos físicos sostienen que ya observan signos de nuestra perdición inminente presagiada por la expansión acelerada del universo. Nuestro posible fin a la vuelta de la esquina, augurado por el modelo ecpirótico del universo, también encuentra una correspondencia en varias profecías bíblicas sobre el apocalipsis y el fin de los tiempos. Obvi amente, la idea de casar la física teórica con pasajes bíblicos exige una fantasía extrema, pero yo disfruto con los debates interminables y las conversaciones sesudas a que dan lu ga r. :¿ ¡( )



l'()(ktnos ir incluso más allá, y reflexionar sobre las dispara!. 1< las impli caciones de la multiplicidad de universos y lo que 11os di ce n sobre nuestro poder en relación con el de Dios. El e .tt<"drá tico d e física de la Universidad de Stanford, Andrei l ,i11dc, ha especulado con la posibilidad de crear un nuevo 1111ivcrso primigenio en laboratorio mediante una compre-. ic'>11 violenta de materia a temperaturas elevadas (de hecho, 1111 miligramo de materia podría desencadenar un universo .111torreplicante eterno -véase la referencia a Rucker en el .1partado de «Material de consulta»). ¿Qué beneficio econó111 i('O o espiritual extraeríamos de la creación de un universo, l<'11icndo en cuenta que nos resultaría extremadamente difí1 il , cuando no imposible, acceder al mismo? ¿Deberíamos 1111scar nosotros tal evidencia en los valores de la longitud de l'lanck, de pi o del número áureo? ¿Le importaría a Dios que < 1 cáramos esos universos a nuestra voluntad? Andrei Linde d escritor Rudy Rucker han hablado sobre métodos para l'odificar un mensaje destinado a los moradores potenciales dd nuevo universo mediante la manipulación de parámetros 1isicos, como la masa y la carga de partículas, aunque se tra1a ría de un experimento precario dada la dificultad de manipular esas constantes de manera que, a un mismo tiempo, rod ifiquen un mensaje y permitan evolucionar a la vida. Rompecabezas para transformar una galleta en forma de lazo Una de mis transformaciones favoritas, conocida por los aficionados como la transformación de la galleta en forma de lazo, implica la conversión de la estructura de dos aros que aparece en la parte izquierda superior de la figura 6.16 en la estructura que aparece en la derecha superior sin cortar los aros. En otras palabras, es posible separar los dos aros sin romper ninguno de ellos. Para lograrlo basta con suponer que el objeto está formado por un material muy elástico r¡ue permite estirarlo. Una pista: empiece agrandando uno de los dos aros. (Busque la respuesta en el apartado de soluciones).



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6.14 Transformación de una galleta en forma de lazo. ¿Lograría usted transformar el objeto engarzado de la izquierda en el o bjeto no engarzado de la derecha sin cortar ninguno de los aros? (Obviamente se podría cortar el objeto tal como se muestra en la figura inferior, ¡pero eso sería demasiado fácil!) .



Ahora, un equipo dirigido por R:ulh Durrer de la Universidad de Ginebra en Suiza tiene una explicación [de por qué nos movemos en un universo tridimensional]. La idea consiste en que el cosmos incluyó una vez branas de hasta ocho dimensiones suspendidas de manera aleatoria en un espacio de nueve dimensiones. En su modelo, este espacio de nueve dimensiones tiene la forma de un toro, o rosquilla, de manera que cada dimensión se cierra sobre sí misma.



Stephen Battersby, «How 3-D Space Survive the Great Destruction », New Scientist Homer; su teoría de que el universo tiene forma de donut es fascinante.



Stephen Hawking a Homer Simpson en el episodio de Los Simpson titulado «Salvaron el cerebro de L isa», 1999



Los cosmos de Mobius Si viviéramos en una hiperbanda de Mobius y miráramos al frente, veríamos el cogote de alguien. Al principio no pensaríamos que se trata de nuestra propia cabeza porque la raya del pelo se encontraría en el lado opuesto. Si alargáramos la mano derecha para ponerla en su hombro, esa persona alzaría su mano izquierda y la posaría en el hombro de la persona situada ante sí. De hecho, veríamos una cadena infinita de personas con la mano posada en el hombro de otras, pero de manera y las manos irían alternando del hombro derecho al izquierdo.



Michio Kaku, Hyperspace Tal vez parezca que la banda de Mobius o los puentes de Konigsberg son mundos apartados de la conexión cósmica pero no es así. El espacio exterior constituye el campo de pruebas de la teoría de Einstein sobre el espacio y el tiempo curvados. Es ahí, entre los campos gravitatorios de objetos astronómicos distantes con una potencia inconcebible, donde el espacio está deformado y curvado, tal vez incluso partido y unido con formas de Mobius, o con topologías más complejas.



Paul Davies, La frontera del infinito: de los aguj eros



n egros a los co nfin es del Uni verso ~ 1H



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 7



JUEyOS, LABERINTOS, ARTE, MUSICA Y ARQUITECTURA



Por decirlo llanamente, Mobius era más bien perseverante; pero, cuando Mobius perseveraba, lo hacía con diligencia, elegancia e imaginación. jamás se detuvo y llegó lejos. Su gran talento consistió en explicar las ideas de otros y verlas con claridad, a menudo con más claridad que sus propios creadores.



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Jan Stewart, «Mobius Modern Legacy» en Mobius and His Band



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 /\ 1111q uc 111 uchos expe rtos e n matemáticas rccrealivas y aradé mi cas están familiarizados con la relevanc ia que poseen las bandas de Mobius en topología y con algunas de las propiedades matemáticas de esas bandas extraordinarias, he comprobad o que la m ayo ría d e la gente desconoce que esta cinta decimonónica ocupa u n lugar d estacado en la literatura, el arte , la música y hasta los juegos d e hoy. Se h an ideado y trazad o diversos pasatiempos divertidos y endiablad amen te complejos sobre cintas de Mobius, botellas d e Klein y Loros. Durante la redacción de este libro disfruté jugando a l tres en raya, laberintos, crucigramas, sopas de letras, rompecabezas y ajedrez sobre toros, bandas de Mobius y botellas de Klein . En Internet existen varias versiones informáticas para facilitar a los jugadores la manipulación de las piezas de juego y el tablero de esos juegos inusuales. Debo señalar que la p ráctica de estos sobre superficies no tradicionales 110 solo constituye un pasatiempo recreativo sino que permite tanto a novatos como a expertos conocer mejor las propiedades de las superficies y, por tanto, ahondar en su conocimiento. Para ir abriendo boca, consideremos la figura 7.1, que reproduce un laberinto trazado sobre un toro; la parte superior o inferior de la figura están conectadas, al igual que la p arte derecha e izquierda. El objetivo consiste en partir d e S y llegar a E atravesando el laberinto. Por ejemplo, desde S se puede ascender en dirección al número 1 y proseguir por el pasillo rotulado con el 1 en la parte inferior del laberinto. Intente visualizar que esos dos extremos del p apel están pegados entre sí para formar un toro y que ambos pasillos están «conectados». La respuesta se da en el apartado de soluciones.



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7.1 Laberinto trazado sobre la superficie de un toro.



La figura 7.2 resulta más difícil de visualizar porque este laberinto discurre sobre una botella de Klein, que se puede confeccionar pegando entre sí los lados izquierdo y derecho del laberinto, como p ara formar un toro ; p ero con la parte superior e inferior unidas tras girar el papel. Por tanto, en ·ste laberinto de Klein a se une con a, e con e y b con b. El obje tivo consiste en ir de S a E. b



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7.2 Laberinto trazado sobre la superficie de una botella de Klein.



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223



 Laberintos de Mobius t•:I prim er laberinto d e Mobius patentado que d esc ubrí tenía



la f'orm a de un enigmático jugue te inventado por David O. MrGoveran de Boulder Creek, California (Patente estado1111idc nse número 6 595 519, concedida en 2003) . Como se ve en las figuras 7.3 y 7.4, el objetivo consiste en guiar 1111a canica por un circuito trazado sobre una superficie con forma d e banda de Mobius. La figura 7.4 ilustra los pasillos por los que se desplaza la bola. El recorrido está sellado con una pieza de plástico transparente que mantiene la canica dentro del laberinto. David explica que un rompecabezas con una topología de Mobius y una estructura tridimensiona l exige más destreza para resolverlo porque «impide que ' I usuario vea al mismo tiempo todos los recorridos posibles, puesto que las superficies interior y exterior son contiguas e idé nticas». Uno de los primeros juegos de laberinto tridimensional de Mobius aparecido y comercializado en Internet es el «Moby Maze» , diseñado por el neerlandés M. Oskar van Deventer (figura 7.5). Para resolver el Moby Maze, hay que desplazar el anillo exterior a lo largo de una serie de pistas grabadas en la banda de Mobius con la finalidad de liberar el anillo de la banda. No es demasiado difícil descubrir la solución, pero resulta muy satisfactorio jugar con este rompecabezas que ilustra de forma gráfica la monofacialidad de la banda de Mobius. Oskar me comenta que fue muy complejo confeccionar e l Moby Maze porque el programa de creación de modelos tridimensionales utilizado para diseñar el rompecabezas se onfundió con la idea de un objeto tridimensional de una sola cara. Oskar logró «convencer» al programa de que tal obj eto era posible y valía la pena crearlo. El juego se puede ·:idquirir en el Puzzle Palace de George Miller (http:/ / puzzlepalace.com).



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Extremos unidos entre sí



~d 7.3 Laberinto de bola trazado sobre una banda de Móbius y patentado (pat. estadounidense 6 595 519). , 16



7.4 Ampliación del circuito por el que se desplaza la bola del laberinto de Móbius (pat. estadounidense 6 595 519).



Para entender mejor el rompecabezas, nótese que la muesca de la derecha sirve tanto de entrada como de salida. La banda tiene obstáculos a lo largo de ambos «lados» de la superficie. La topología del laberinto incluye un giro de 360 grados, dos vías muertas y un largo recorrido de entrada/ salida. Tal vez parezca un laberinto simple, pero la topología del objeto confunde a la mayoría de la gente, la cual d a vueltas y vueltas aparentemente perdida para siempre.



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 La so l11ri ü 11 <'x.igc dar u11 giro en forma de U en un punLO dctcrn1inaclo que conlrad ice la in luición de la mayoría de la gente que inlcnla resolver eJ rompecabezas. El dibujo esquemaLizado de la figura 7.6 ilustra la topología del trazado del laberinto sin las dos vías muertas.



d(· pil·1.as situadas e n la «cara» opucsla del Lablero. En otras palabras, cuando una ficha cae «debajo » de olra, la come ig·11al que si se situara «sobre» ella. La configuración de la figura 7.7c ilustra que el peón no protege necesariamente a 1 ('aballo porque la torre puede desplazarse en la dirección opuesta y colocarse debajo del caballo. Si algún lector ha jugado al ajedrez de Mobius, me interesa ría conocer cualquier posible observación suya.



7.5 Moby Maze, diseñado por el neerlandés M. Oskar van Deventer. Para resolver el Moby Maze, hay que desplazar el anillo exterior alrededor del circuito de Mobius.



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7.6 Dibujo esquematizado del Moby Maze que resalta la topología global del laberinto.



Ajedrez Cuando se juega al ajedrez sobre un tablero de Mobius como el que se muestra en la primera configuración de la figura 7.7, surgen toda clase de sorpresas. Por ejemplo, piezas como el peón de la figura 7.7b pueden recibir el ataque



226



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7.7 Ajedrez jugado sobre una banda de Mobius. (a) Posible configuración de partida. (b) En el ajedrez de Mobius, cualquier caballo puede atacar :il peón. (c) En esta configuración, el peón no protege necesariamente :il c;iballo porque la torre puede desplazarse en la dirección opuesta y acabar situándose encima del caba ll o. (Dibujos de Brian Mansfield).



227



 'l\ d vez uno de los carnpos más fructffcros para el csludio



del ~~j cd rcz de Mobius guarde relación con «el recorrido del caballo» sobre un tablero de Mobius. Un «recorrido del caballo» en un tablero normal consiste en desplazar una de 'Stas p iezas de modo que pase una vez por cada cuadrado del tablero (de 8 x 8). Antes de comentar los tableros de Móbius, revisemos lo que se sabe sobre los tableros convencionales. La primera solución registrada para el problema del recorrido del caballo es la de Abraham de Moivre (1667-1754), un matemático francés más conocido por sus teoremas sobre números complejos. Nótese que en la solución de Moivre (figura 7.8), el caballo termina el recorrido sobre un cuadrado que no puede alcanzarse desde la posición de partida en un solo movimiento. El matemático francés Adrien-Marie Legendre (1752-1833) superó esto hallando una solución en la que el primer y el último cuadrado distan un solo puesto, de manera que el recorrido se cierra sobre sí mismo en un bucle sencillo de 64 movimientos del caballo (figura 7.9). Este recorrido se conoce como reentrant. Para no quedar atrás, el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) descubrió un recorrido reentrant que va pasando primero por una mitad deltablero y luego por la otra (figura 7.10). (Los cuadrados pequeños indican las posiciones donde los caballos pasan de una mitad a la otra).



El recorrido d el caballo se puede plantear sobre tableros d e 5 x 5 o más grandes (figura 7.11). Los recorridos mostrad os en el tablero de 5 x 5 y 7 x 7 no son reentrant. ¿Cree usted que una computadora llegaría a encontrar un recorrido mentrant para un tablero inmenso de 2001 x 2001? Para responder esta pregunta hay que tener en cuenta que un recorrido de este tipo debe pasar por el mismo número de cuadrados blancos que de cuadrados negros. De ahí que en un tablero de 5 x 5 o de 7 x 7 (o en cualquier tablero con un número impar de cuadrados) no sea posible un recorrido reentrant. Pero, ¿cómo es el recorrido del caballo sobre bandas de Móbius o botellas de Klein? El profesor John Watkins, del Colorado College, es el mayor experto enjuegos de ajedrez trazado sobre bandas de Móbius y botellas de Klein. En su libro Across the Board, formula la teoría de que todo tablero d e ajedrez rectangular tiene potencial para un recorrido del caballo si se despliega sobre una botella de Klein.



11 7 .11 El recorrido del caballo se puede trazar sobre tableros de 5 x 5 o más grandes. Aquí se ilustran tableros de 5, 6 y 7 cuadrados de lado.



7.8 El recorrido del caballo de De Moivre. 7.9 El recorrido del caballo de Legendre. 7.10 El recorrido del caballo de Euler.



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Un tablero de ajedrez de m por n sobre una banda de Móbius con m filas y n columnas (donde las filas discurran alrededor de la banda de Móbius) cuenta siempre con un recorrido del caballo a menos que se den una o más de las siguientes tres condiciones: (a) m = 1 y n > l; o n = 1 y m = 3, 4 ó 5 (b) m = 2 y n es par, o m = 4 y n es impar (c) n = 4 y m= 3



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 S('g1'111 la co11v('11<·i(> n de Watkin s, cua11do u11 raballo se dcspla1.a por e l tablero y regresa cabeza a bc~O por e l «Otro lado», se considera el mismo cuadrado que el de partida. Como la banda de Móbius es una superficie bidimensional, las fichas de ajedrez se deben considerar como objetos bidimensionales que se desplazan por el interior de la superficie de la banda. Wa tkins también siente fascinación por la dominación de las fichas de ajedrez sobre tableros con forma de botella de Klein. La dominación alude a una configuración de las fichas de ajedrez en la que cada cuadrado libre está «amenazado». Como ejemplo, se necesitan cinco reinas para dominar un tablero de ajedrez de 8 x 8, y existen exactamente 4860 maneras distintas de que esas cinco reinas adopten posiciones para dominar el tablero. Hay exactamente seis maneras de colocar dos torres para que dominen un tablero de ajedrez de 2 x 2, y hay 33 514 312 maneras de que ocho torres dominen un tablero de ajedrez de 8 x 8. La figura 7.12 ilustra cómo usar ocho reyes para dominar un tablero de 7 x 7 trazado sobre una botella de Klein. En este caso la parte derecha del tablero se une a la parte izquierda con un giro, y la parte superior e inferior se enlazan entre sí sin ningún giro. En general, un tablero de ajedrez en forma de botella de Klein de n x n se puede dominar con [ ( 1/3 x ( n + 2)] 2 - k reyes si n tiene la forma n = 6k + 1. Esta dominación se produce en una botella de Klein con k reyes menos que en un tablero de ajedrez normal. De manera más general, el número de reyes necesario para dominar un tablero en forma de botella de Klein de n x n asciende a (1/9) n2 para n = 3k (1/3) ( n+ 1) 2 paran= 3k+2 [ (1/3) ( n+2) ]2 paran = 6k+ 1 [ (1/3) ( n+2) ]2-(1/6) ( n+2) paran= 6k+4



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7.12 Reyes en posición de dominio en un tablero de ajedrez de 7 x 7 sobre una botella de Klein . Las flechas indican los bordes unidos del tablero. Las flechas en direcciones inversas indican que los bordes correspondientes se han girado antes de unirlos entre sí.



El hecho de que los aficionados y profesionales de las matemáticas dediquen sus días a contemplar la dominación en el ajedrez resulta interesante, pero cuando dedican sus horas al estudio e incluso a la práctica del juego del ajedrez sobre tableros con forma de botella de Klein, uno se pregunta qué otras cosas les hacen disfrutar en la vida de maneras nada convencionales. Watkins también nos cuenta que el número de dominación de los reyes sobre una botella de Klein para un tablero rectangular de m x n viene dado por: y



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Los símbolos de corchetes abiertos, Í representan la función que redondea al entero más cercano mayor o igual que el número abrazado entre los signos. Para comprender la dominación de los alfiles en un tablero de botella de Klein, examinemos la figura 7.13. Consideremos un alfil que parte de e por el lado izquierdo. Asciende hasta a, se sale del tablero por a, reaparece por la parte inferior, prosigue su ascenso hasta b, donde vuelve a salirse del tablero, y entonces, debido al giro de la botella de Klein, reaparece en la parte izquierda por b y ahora se desplaza hacia abajo. El número mínimo de alfiles para la 2:p



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7.13 Diagonal de un alfil sobre una botella de Klein.



La figura 7.14 ilustra una manera de que cinco alfiles dominen una botella de Klein.



de inmediato en la posición correspondiente al rectángu lo original. Los recorridos sobre un cilindro o banda de Mobius de 2 x n solo son posibles cuando n es impar. l .os recorridos sobre cilindros de 3 x n y 5 x n siempre son viables si se emplea un patrón repetitivo simple. La a 1tura de tal cilindro puede ser cualquier número de la forma 3a + 5b, lo que incluye todos los números salvo 1, 2, 4 y 7. Más curioso aún es el hecho de que varios de 'SOS cilindros admitan la unión de borde con borde y los re corridos se pueden combinar a través de los tableros si se cortan por lugares adecuados para, después, volver a unirlos (figura 7 .15). Se sabe que existen recorridos sobre toros de 4 x 4. Si es viable un recorrido sobre un rectángulo de m x n dispuesto e n forma de cilindro, también será posible sobre un toro y una botella de Klein de esas mismas dimensiones. Galería de arte de Mobius



7.14 Cinco alfiles dominan un tablero de ajedrez de 9 x 9 sobre una botella de Klein. Las líneas trazadas a lo largo del tablero indican los cuadrados dominados por el segundo alfil empezando por arriba.



Los recorridos del caballo sobre cilindros convencionales también son posibles. Para visualizarlo, aplane y corte el cilindro de manera que parezca un rectángulo, coloque «copias imaginarias» del rectángulo de partida en cada extremo del mismo, y asuma que las celdas correspondientes son las mismas que las del rectángulo original. El caballo puede desplazarse entonces fuera del borde y adentrarse en la copia, siempre que se ubique



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La banda de Mobius ha servido de base a innumerables pinturas, grabados y esculturas. En esta sección presento una inmensa galería internacional de obras con formas de Mobius y de nudos creadas por artistas, diseñadores, matemáticos y físicos. Para abrir nuestra colección, consideremos la figura 7.16, un modelo contemporáneo llamado «Escaleras de Mobius», del artista británico Nicky Stephens (www.nickystephens.com). Nótense los suaves giros y vueltas del pasamanos para que la parte superior del mismo pase a ser la inferior, y viceversa. Tres tramos de baranda continua y laminada apoyada sobre barrotes d e cobrebatido, se retuercen entre barrotes tallados de fresno. Stephen dice: «Quise que la barandilla fuera lo más fluida posible, que invitara a los usuarios a seguir con las manos sus giros y revueltas.»



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7.15 Recorridos del caballo sobre cilindros. (a) Un damero sobre un cilindro de 3 x n. (b) Los recorridos se visualizan al añadir cilindros «imaginarios» a los extremos. (c) Los recorridos sobre varios cilindros de distintos tamaños se pueden unir entre sí cambiando los enlaces sobre un paralelogramo adecuado.



Rolwrt J. Krawo.yk y Jolly Thulasccdas, del Instituto de 'lh·11ología de Illinois de Chicago, se han planteado utilizar 1:1 ha11da de Mobius como motivo para todo un edificio. Pero, ¿rú mo se construiría un pasillo alrededor de un edificio en l(>rma de banda de Mobius? En algún punto del recorrido, d giro del pasillo nos obligaría a caminar ¡boca abajo! Un 111oclo de sortear el problema consiste en crear un edificio en forma de recinto hueco de Mobius, con el suelo o el trayecto s1 is pendido en su interior. Diversos países han reconocido el misterio y la majestuosidad de las obras de Mobius honrando su banda en sellos de rorreos. La banda debe de contar con muchos fans en Brasil; llegué a encontrar tres estampillas de Mobius procedentes de ese país. La figura 7.17 reproduce un sello que conme111ora el sexto Congreso Brasileño de Matemáticas celebrado en Río de Janeiro en 1967. Las figuras 7.18 y 7.19 muestran otros sellos brasileños más recientes. La figura 7 .19 es especialmente interesante porque los coleccionistas de sellos de correos sobre temas matemáticos consideran el objeto como una banda de Mobius, aunque a mí me parece que tiene dos caras. ¿Qué significado le atribuiría usted a este objeto?



7 .17 Sello de Mobius que conmemora el sexto Congreso Brasileño de Matemáticas en Río dejaneiro en 1967 . .O



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7.1 8 Sell o brasileño ele Mobius.



7.19 Sello brasileño de Mobius.



7.16 Escaleras de Mobius del artista británico Nicky Stephens.



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 l ,a fi g 11rn 7 . ~ 0 il11st rn 11rn1 est;.1n1pilh1 d e 19()9 con un a ha11da el e Mübius a pl as tad a e n forma d e trián g ul o, exp edida c11 los Países B~j os . Bélgica puso e n circulación un sello casi id é 11tico al mi sm o tiempo .



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La fi gura 7.21 reproduce un sello suizo que formó parte de la serie anual «Europa» que comenzó en 1957 para hacer hincapié en la unidad europea. Esta serie continúa en la actualidad. Cada conjunto de sellos sigue un tema, como «vacaciones» y «gastronomía». En 1974, el tema fue la escultura suiza, y el mo tivo de este sello en concreto de 1974 reproduce una escultura del artista Max Bill (1908-1994). La escultura titulada Kontinuitat (Continuidad) y creada en 1986 por Bill presenta una figura similar a la del sello y se encuentra ubicada en el exterior de la sede central del Deutsche Bank en Fráncfort. !--'



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7.21 Sello suizo de Mobius que reproduce la obra del escultor Max Bill.



La escultura de granito de Bill situada en el Deutsche Bank mide 4 m e tros y m edio d e alto, y es una de sus últimas obras. La escultura representa la banda d e Móbius, un te m a que ~:1 1 >



Hill había cst11di ad o d esd e comie nzos d e los años treinta . Hill llegó a se ntir un inte rés casi obsesivo por la banda de Mübi us y, con ello , influyó a toda una generación de artistas suizos. Se utilizó una grúa inmensa para instalar esta escul1ura tan especial de ochenta toneladas delante del banco. Otras esculturas en forma de banda de Móbius decoran <·d ificios y plazas de todo el mundo. Una banda de Mobius de acero inoxidable y dos metros y medio de diámetro proyecta 11 na maraña de reflejos plateados en un estanque situado en la parte superior del Ramsey Auditorium de Fermilab vn Batavia, Illinois (EE UU) . Una escultura de bronce se encu entra instalada cerca de una entrada del Science Center de la Universidad de Harvard en Cambridge, Massachusetts. 1.a ciudad de Washington está repleta de preciosas esculturas de Mobius. Una escultura de acero inoxidable descansa sobre un pedestal frente al Museo Nacional de Historia Americana (National Museum of American History). Otra atrae a los visitantes hacia la entrada del Museo Nacional del Aire y el Espacio (National Air and Space Museum). Hasta la plaza situada frente a la Oficina Estadounidense de Patentes y Marcas en Arlington, Virginia, exhibe una banda d e Mobius de acero pintada de rojo. Muchas de estas esculturas maj estuosas son variantes complejas donde la sección transversal «de la banda» es básicamente un triángulo equilátero rotado 120 grados en el sentido longitudinal de la banda. Tal como se ha mencionado en la introducción de este libro, el artista holandés Maurits Cornelis Escher sentía gran predilección por la banda de Móbius, la cual aparece e n varias de sus litografías, incluidas las tituladas Cinta de Mobius I (grabado en madera en cuatro colores, 1961) y Cinta de Mobius JI ( Hormigas Rojas) (grabado en madera en tres colores, 1963). Aunque los pares de hormigas de la litografía parecen oponerse e ntre sí, todos ellos coexisten sobre el mismo plano porque , como sabemos, la cinta de Mobius tiene una única su perfi cie. En Cinta de Mobius I, vemos una banda sencilla dividi da lon gitudinalme nte en dos partes que forman tres peces d e ma ne ra q11c Cllch1 t1n o d e ellos muerde la cola d el que tie n e 237



 d('l;111t(·. 1".I ar1ist;1 Brian Ma11sllcld se i11spid> <·11 la obra d" Eschcr relacionada con la banda de Mobius y ha creado sus propias formas de Móbius (figuras 7.22 y 7.23). Brian crea numerosos mundos de Móbius habitados por robots y otros seres mecánicos. En la actualidad trabaja con mundos habitados y mecanizados más complejos en forma de botellas de de Klein, superficies no orientables de dimensiones superiores, y «superficies mínimas triplemente periódicas que cuentan con el disfenoide tetragonal como célula caleidoscópica» y la «Superficie Manta de Schoen de Genio 19», ¡una superficie magnífica que recuerda al cuerpo de una pastinaca! En la figura 7.23, la banda de Mobius permite a los robots desplazarse de un lado aparente al lado opuesto, lo que representa ciclos de creación y destrucción, vida y muerte. Se trata de un mundo donde se pueden reciclar solenoides y cerebros electrónicos. Según Mansfield, los robots son entidades autoorganizativas que simbolizan la evolución de formas de vida artificial que exploran ciclos infinitos de metamorfosis. Los robots acabarán convertidos en una vasta mente colmena en el año 2130. El fanático del Lego Andrew Lipson ha creado numerosas cintas de Móbius y ha relacionado nudos y superficies usando piezas de LEGO. Para generar esas obras de arte, Adrew escribe programas informáticos para guiarse durante la confección de la figura global. Experimenta con parámetros del programa hasta que concibe un objeto atractivo y con muchas probabilidades de mantenerse en equilibrio.



7.22 «Un Doctor Mobius de Mobius», de Brian Mansfield.



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7.23 Cinta de Mobius con robots, de Brian Mansfield.



La figura 7.24 es la cinta de Mobius de LEGO de Lipson, por cuya superficie deambulan varios hombrecillos. La figura 7.25 es una figura de LEGO en forma de nudo en ocho, un nudo que ya se comentó en el capítulo 2. El modelo en forma de ocho se cuenta entre las esculturas más difíciles debido a la longitud y amplitud de las curvas que deben permanecer s11spendidas en el espacio sin ningún apoyo. La figura 7.26 es 1111 a botella de Klein de LEGO en la que el asa se adentra en la pared principal de la botella, tal como ilustra la sección transversal de la figura 7.27, creada también con fichas de LEGO. El modelo de la sección transversal de Lipson se abre realmente ron bisagras para poder ver lo que él denomina el «tracto digestivo» de la botella de Klein. Eligió un color distinto para las fichas superiores e inferiores de la figura con la intención ele acentuar la intersección en la que se cruzan ambos tubos. Tal como vimos ya en la figura 6.3, cada mitad de la botella es, desde un punto de vista topológico, una banda de Mobius.



7.24 Banda de Mobius de LEGO, © Andrew Lipson. 7.25 Construcción con fichas de LEGO de un nud o en oc-11 0, © Andrew Lipson. ~ '. \!)



 volt'11ncncs '/'/u1 Matlt1 matim OuirieBoohfor OmfJltics y goza de 1111 amplio reconocimiento por sus conocimientos enciclopúlicos de matemáticas y acerca de casi cualquier aspecto del paquete informático Mathematica. 1



7.26 Botella de Klein de LEGO,© Andrew Lipson.



7.28 Engranajes de Móbius, © Michael Trott, reproducido con pe rmiso. Adaptado a partir de la Solución l 9c de la obra de Michael Trott The Mathematica GuideBook for Graphics (Springer, 2004).



El programador informático y escultor digital Tom Longtin ha experimentado con interpretaciones artísticas de ba ndas de Mobius que incluyen engranajes, nudos de trébol y combinaciones de cintas de Mobius y nudos de trébol. Las li guras 7.29 a 7.34 muestran obras suyas. La mayoría de los modelos para estas imágenes se creó usando el programa de modelado del propio Tom y se plasmó utilizando un paquete informático llamado RenderMan en una computadora SGI. De hecho, las computadoras ofrecen un recurso muy capaz para la expresión artística. Las páginas de Tom en Internet, www.sover.net/ ~tlongtin/, muestran otros ejemplos. Aunque la figura 7.29 se revela más bien compleja, aún onserva la esencia de la banda de Mobius. Si se toma una banda de papel, se gira 180 grados uno de los cabos respecto d el otro (medio giro) y se unen ambos extremos, entonces todos los perfiles de ruedas dentadas de esta figura se podrían trazar sobre la superficie y se podrían recortar los huecos. La figura 7.30 representa una tira de papel con un giro de 540 grados (tres medios giros) antes de formar con ·lla un nudo y unir sus dos extremos. Una vez que Tom crea el motivo básico, practica agujeros en la banda, la cual con1ambién



7.27 Sección transversal de una botella de Klein confeccionada con fichas de LEGO, © Andrew Lipson.



Internet ofrece toda clase de recetas para crear bandas y ropa de Mobius. Por ejemplo, el científico informático de Nueva Jersey Mark E. Shoulson describe un modo de confeccionar una banda de Mobius sin costuras, elaborada con punto o ganchillo. Su página también lo muestra a él posando con una kipá en la cabeza en forma de banda de Mobius. La figura 7.28 es una imagen congelada de la animación por ordenador creada por el físico Michael Trott para mostrar engranajes entrelazados que se van girando a medida que recorren una banda de Mobius. Los engranajes se disponen en dos círculos que permiten encajar el «primero» y el «Último» de manera que se sincronicen. Trott se doctoró en física teórica del estado sólido por la Universidad Técnica de Ilmenau, Alemania, y forma parte de la plantilla del Wolfram Research desde 1994. Es autor de la obra en cuatro !VIO



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 serva la topología inicial Lanto de nudo de tr('bol como de banda de Móbius. La figura 7.31 consiste en una tira de papel con tres medios giros con la que después se ha formado un nudo enlazando los extremos. También esta forma es una banda de Móbius y un nudo de trébol al mismo tiempo. La figura 7.32 es una representación desmembrada del modo en que encajarían piezas de puzle en una banda de Móbius. La figura 7.33 es un nudo de trébol clásico con piezas de puzle hexagonales dibujadas sobre la superficie. La figura 7.34 representa una banda de Móbius con agujeros. En esta disposición peculiar, una banda de Móbius se enrolla sobre sí misma. En una banda de Móbius convencional de papel, se completaría una vuelta a la vez que se da un giro de 180 grados. Esta exige dos vueltas completas para girar 180 grados. Al igual que la banda de Móbius tradicional, esta figura tenía una sola cara y un solo borde antes de practicarle los orificios.



7.32 Puzle de Mobius de Tom Longtin. 7.33 Puzle de trébol de Tom Longtin.



7.34 Objeto en forma de banda de Mobius con orificios de Tom Longtin y Rinus Roelofs. 7.29 Engranajes de Mobius de Tom Longtin. 7.30 Banda de Mobius y nudo de trébol con engranajes de Tom Longtin.



7.31 Puzle de Mobius y de nudo de trébol de Tom Longtin.



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7.35 Banda de Mobius y nudo de Rob Scharein. 7.36 B<111d:1 de Miibius y nudo de Rob Scharein.



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 7.37 Banda de Móbius y nudo de Rob Scharein.



Rob Scharein, un investigador que desarrolla paquetes informáticos educativos para visualizar cuestiones matemáticas y científicas, aúna el amor que siente por el arte y las matemáticas al crear las bandas de Mobius enlazadas y anudadas de las figuras 7.35 a 7.37. Todas las tiras de estos diagramas son como la banda de Mobius (es decir, superficies no orientables). Scharein utiliza el software a medida Knot-Plot para confeccionar estos trazados, y anima a los lectores a experimentar por sí mismos con este programa que se puede descargar gratis de la página de Internet de KnotPlot (www.pims.math.ca/knotplot/). Entre otras cosas, él utiliza este programa para comprobar que todas las bandas son no orientables ¡porque no desea verificar a simple vista algunos de sus nudos más complejos! Rob es, además, uno de los mayores expertos mundiales en la visualización de nudos extremadamente complejos como los mostrados en las figuras 7.38 y 7.39.



7.39 Nudo complejo de Rob Scharein.



Tej a Krasek, una artista eslovena muy conocida, emplea a su tiempo en la creación de esculturas de bandas de Mobius adornadas con teselados de Penrose (figura 7.40). Este patrón de teselas, descubierto por el físico matemático inglés Roger Penrose, puede cubrir por completo una superficie in finita, pero solo con un patrón aperiódico (no repetido). l•'.n otras palabras, el patrón del embaldosado no se repite d e manera periódica como los dibujos que forman las baldosas hexagonales en el suelo de algunos baños. Al embaldosar la banda de Mobius, Teja usa dos formas distintas de teselas, :i unque cada una tiene cuatro lados de la misma longitud. Fn concreto, un azulejo en forma de rombo tiene cuatro vértices con los ángulos de (72, 72, 108, 108} grados, y el o tro tiene ángulos de {36, 36, 144, 144} grados. Al formar ('( embaldosado de Penrose, no pueden tocarse dos teselas de manera que formen un solo paralelogramo. A pesar d e esta restricción, existe una cantidad infinita de maneras d e (·mbaldosar un plano infinito sin dejar ningún hueco en el a licatado. El patrón resultante siempre será aperiódico, d e modo que el patrón jamás se repite exactamente. Los cien1 íf icos conocen numerosos cuasicristales en el mundo real c uyos á tomos siguen el mismo patrón de distribución que e l (· m baldosad o d e Pen rose .



7.38 Nudo complejo de Rob Scharein.



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 7.40 Embaldosado de Penrose en una banda de Mobius. Escultura de Teja Krasek.



Naturalmente, Teja se enfrenta a numerosos retos para crear un embaldosado de Penrose sobre una cinta de Mobius. Por ejemplo, debe asegurarse de que las teselas encajan perfectamente cuando ambos «extremos» de la banda se encuentran para formar el objeto final de una sola cara. Además, Teja diseña el embaldosado de manera que los segmentos aparentemente triangulares de los bordes de sus esculturas formen el rombo pertinente cuando se unan ambos bordes. Pero otro reto consiste en pintar la banda de Mobius-Penrose con tan solo tres colores. En el año 2000, los matemáticos Thomas Sibley y Stan Wagon demostraron que una configuración planar de azulejos como estos se puede colorear con tan sol() tres tonos, de tal manera que las teselas adyacentes reciban colores distintos. Cuando Teja crea estas esculturas, comienza dibujando o imprimiendo patrones en papel, tanto en su forma original como en su versión especular. Cuando las teselas se incorporan al fin a la banda, tiene que pegar la misma pieza por ambos «lados» de la banda de manera que las baldosas pintadas de un lado ocupen la misma posición y porten en el mismo color que las situadas en el lado «opuesto». En la actualidad está trabajando con materiales translúcidos que le permiten ver la misma baldosa por ambos lados, lo cual le ahorra trabajo y salud mental. En su página de Internet, ~;j ()



http:/ / Lejakrasek.Lripo


7.41 Bandas de Mobius plateadas y doradas para decorar el árbol de navidad, de Teja Krasek.



Durante un concurso de esculturas con nieve celebrado en 2005 en Breckenridge, Colorado, un equipo de escultores presentó una banda de Mobius dividida en dos y con tres giros diseñada por el científico computacional Carlo H. Séquin, de la Universidad de California en Berkeley (figura 7.42). Aparte d e Séquin, el equipo que modeló la nieve estuvo formado por los matemáticos Stan Wagon, de Macalester College en St. Paul (Minnesota); John Sullivan, de la Universidad Téc11 ica de Berlín; Dan Schwalbe, de Minneapolis; y Richard Scclcy, de Silverthorne (Colorado). Los escultores partieron 


 dos primeros días únicamenle a relirar la miLad ele l~1s vcint<: toneladas de nieve que contenía el bloque para conseguir u11 ligero boceto de una banda con tres giros.



7.42 «Knot-Divided», talla en nieve del Equipo de Minnesota, Breckenridge, Colorado, 2005. (Diseño: Carlo H. Séquin, U. C. Berkeley; fotografía de Richard Seeley).



Música de Mobius Tal y como se comentó en el capítulo 6, si emprendiéramos un viaje por el interior de un universo de Móbius, regresaríamos al punto de partida con los lados izquierdo y derecho invertidos. Al recorrer de nuevo la cinta, volveríamos al punto de partida con los órganos corporales recolocados de acuerdo con su orientación habitual. De manera semejante, se puede crear música de Móbius pegando una partitura musical a una banda de Móbius. La música se toca del modo habitual durante una primera interpretación. Cuando los músicos llegan al punto de partida, se vuelve a interpretar la misma partitura pero con cierta variación geométrica. Por ejemplo, la segunda vez, la partitura sería especular o se interpretaría cabeza abajo. !,! ,¡8



Johann Scbaslian Bach escribió música parecida a la d" Mübius en su Canon del Cangrejo, el cual permite interpretarlo desde el principio hasta el final y, a continuación, colocar la partitura boca abajo para volver a tocarla. El compositor austrohúngaro Arnold Schónberg experimentó varios siglos después con los cánones de cangrejo, los cuales denominó «cánones especulares». Aunque Schónberg fue un genio de la música desde una edad temprana, algunas de sus obras más inusitadas no fueron bien recibidas. Cuando se interpretó su Primera Sinfonía de Cámara durante un concierto en 1913, la audiencia lo abucheó. Más tarde en el transcurso de aquel mismo concierto, durante la interpretación de algunas canciones del co mpositor austriaco Alban Berg, estallaron peleas y hubo CJUe llamar a la policía para mantener el orden. Schónberg, además de pintor excelente, también era supersticioso y abominaba del número trece. De hecho, lituló una de sus óperas como Moisés y Arón, en lugar de Moisés y Aarón (eliminando una a) porque la transcripción ·orrecta del título en alemán sumaba trece letras. El compositor y lingüista ruso-estadounidense Nicolas Slonimsky se inspiró directamente en la cinta de Móbius. Dos cantantes y un pianista interpretaron por primera vez su «Striptease de Móbius» en 1965 en Los Ángeles. He aquí algunos versos de esa pieza: ¡Ah, Profesor Móbius, glorioso Móbius! ¡Ah, adoramos su topológica y, oh, tan lógica banda! ¡Con un lado interior, y exteriores, dos! ¡Ah, eufórico, glorioso striptease 2 de Móbius! En la partitura constan las instrucciones: «Cópiese la



l ~ n in g lés, la banda ck Miibi11s se d e n o min a Mobius strip, d e ahí e l juego d e p:dabrns co n ti 1{· n11i110 .1/1 i/1/l'l/\t'. (N . el(' la T.).



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 música para cada intérprete sobre una banda de carLulina 110-b, de 68 por 6 pulgadas. Gírese la banda media vuelta para confeccionar una cinta de Mobius». La canción era, en esencia, un canon vocal perpetuo escrito sobre una banda de Mobius para que rotara a la altura de la cabeza de cada cantante durante la ejecución de la pieza. Nicolas Slonimsky ( 1894-1995) provenía de un largo linaje de intelectuales judíos por parte de madre y de padre. Entre sus parientes y antepasados figuraban novelistas, poetas, críticos literarios, profesores de universidad, traductores, expertos en ajedrez, economistas, matemáticos, inventores de inútiles idiomas artificiales, eruditos en hebreo y filósofos. Slonimsky siempre tuvo grandes aspiraciones, y de adolescente escribió su propia biografía futura en la que especulaba (de manera poco precisa) con que moriría en 1967. En 1945, Slonimsky ingresó como profesor de lenguas y literaturas eslavas en la Universidad de Harvard. Sus composiciones musicales se centraron en estructuras raras, y algunas de sus canciones tomaban el texto de lápidas sepulcrales. Su obra orquestal titulada My Toy Balloon ( 1942) consistió en una variación de una canción brasileña cuya partitura incluía instrucciones para explotar cien globos de colores en el clímax. Slonimsky también fue famoso por su «acorde abuela», que consistía en doce tonos diferentes y once intervalos distintos. En la actualidad existen varios grupos musicales que llevan «Mobius» en su nombre. La Mobius Band de Massachusetts es un trío de música contemporánea que usa instrumentos tradicionales (guitarra, bajo, batería y voz) e instrumentos electrónicos modernos (sintetizador, mezclas y percusión electrónica). La Mobius Band no debe confundirse con el Mobius Donut, un grupo de música muy melódico y a la última procedente de Oakland, California. El músico coreano Jo Yun, de la islaJaeju, utilizó múltiples sintetizado-



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y u11a guitarra acús ti ca para crear su CD titulado Mobius



Sl'rifJ. El á lbum comienza con tañidos de campañas de iglesia, los cuales se transforman en un ritmo tribal con tambores. l ,a contracubierta del álbum tiene cuatro solapas separadas, cada una de las cuales porta la imagen de una pluma de



pavo. La canción «The Mobius Loop» («El bucle de Mobius») d el músico Peter Hammill tiene letras como «Ahora te atrapan la indecisión y la incertidumbre ... ¿Cómo vas a tomar partido ahora que estás dentro del bucle de Mobius?». lnfinity Minus One, una banda de rock duro y metal de Boston, grabó su primer CD, Tales from the Mobius Strip («Historias de la banda de Mobius»), en 2002. Su música tiene influencias dive rsas, que incluyen rock, metal, bandas sonoras cinematográficas y videojuegos. División de configuraciones endiabladas La figura 7. 43 muestra tres construcciones con bandas de papel r¡ue implican «brazos» girados y un agujero. ¿Qué cree usted que sucede al recortar el agujero central de estas figuras por la línea de puntos? La primera configuración posee un enlace girado, la segunda tiene dos medios giros hacia la misma dirección, y el tercer diagrama muestra un objeto con dos medios giros en direcciones opuestas. Para facilitar la visualización de las configuraciones, fJruebe a confeccionar las bandas con papel y a llevar a cabo los experimentos. La manera más sencilla de crear los modelos consiste en cortar dos zonas ovales, tal como ilustra la figura 7. 44. Las líneas punteadas son las que servirán de guía para efectuar el corte 'una vez montada la estructura. Para f armar el bucle cerrado, basta con unir los dos extremos después de aplicarles el número deseado de medios giros. ¿hs usted capaz de predecir qué ocurrirá si se cortan por la línea de /Jun tos los dos objetos de la figura 7. 45? En este caso construiremos



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 dos arvs de la rnisrna longitud y andtum. /~'n u:na rw~figurrttióu, uno de los aros está girado. Para crear estasformas, corte un trozo rü papel en forma de X y a continuación una los extremos.



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l .11 handa de Mobius en Ja sicología la~ relaciones humanas Para el superviviente, dijo, la memoria es como una banda de Mobius. Pasado, presente y futuro se unen, y las experiencias ubicadas en cualquier lugar del lazo quedan accesibles. En la terapia, tenemos la oportunidad de viajar por el bucle, tocar la experiencia pasada, y conectarla con el presente. En otras palabras, podemos convertirnos en topógrafos de nuestra propia vida.



Marjorie Levenson, «The Mobius Strip» Langdon sonrió. «Usted debe de dedicarse también a la enseñanza».



7.43 ¿Qué sucede al cortar el agujero central por la línea de puntos?



s~ ~~ 7.44 Construcción de las configuraciones endiabladas.



«No; pero aprendí de un maestro. Mi padre era capaz de defender que la banda de Mobius tiene dos lados». Langdon rió imaginando la habilidosa confección de una banda de Mobius, un anillo girado de papel que técnicamente poseía una sola cara.



Dan Brown, Ángeles y Demonios Con un conjunto impresionante de imágenes, Rilke nos brinda un mapa de lo sano propio de un místico, donde la realidad interior y exterior fluyen de manera ininterrumpida de la una a la otra, wrno las superficies eternamente fundidas de una banda de Mobius, co-creándonos infinitamente a nosotros y al mundo que habitamos.



ParkerJ Palmer, The Courage to Teach: Exploring the



Inner Landscape of a Teacher's Life



7.45 ¿Qué sucede al cortar por las líneas de puntos?



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 / ,11, l<ígim dt' Fmul f'm 11,'11,a auth1,tú:a banda rlt1 M6bt'/I,.\' l'O'l l,



arp,wnumto cin:u la:r: Cuando los /Jacientes obedecían a su insisttmtiri en que recordaran referencias sexuales tempranas, los calificaba de astutos; cuando no lo hacían, decía que se resistían y se reprimían ante la verdad.



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LIBROS Y PELÍCULAS



Thomas Lewis, Fari A mini y Richard Lannon, Una teoría general del amor A medida que las escenas (y los amantes) se enfrentan entre sí, la esperanza choca contra la tristeza, la ambición retumba frente a la frustración, un matrimonio se precipita contra las rocas y vuelve a ensamblarse solo para romperse de nuevo. El efecto es como si retorciéramos un anillo de boda para convertirlo en una banda de Mobius.



Chris Page, «Clever Device, Not a Moving Story, Fuels "The Last Five Years"», Get Out 2005



[Mobius no tenía] ningún corpus de profundos teoremas ... sino un estilo de pensar, una filosofía de trabajo para practicar matemáticas con efectividad y concentrarse en lo importante. Este es el legado moderno de Mobius. No podríamos pedir más.



Jan Stewart, «Mobius's Modern Legacy» en Móbius and His Band Cuando un hombre y una mujer se unen como amantes, aparece una infinidad potencial de relaciones que, como la banda de Mobius, no tiene principio ni fin ...



Carol Berge, A Couple Called Móbius: Eleven Sensual Short Stories «Quienes practican el striptease de Mobius jamás enseñan el trasero».



Chiste que circula por Internet



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 Historias de Mobius: la literatura de las superficies no orientables Existen tantas historias en las que la banda de Mobius desempeña un papel relevante que lo que exponemos a continuación no es más que una muestra de algunas referencias a Mobius en libros y películas. Las historias centradas en la banda de Mobius tuvieron su auge durante la década de 1940, de modo que iniciaremos nuestro viaje ahí. Uno de los relatos cortos más antiguos e ingeniosos sobre la banda de Móbius lo representa el titulado «No-Sided Professor» de Martin Gardner (1946), aparecido en la obra de Clifton Fadiman Fantasía Mathematica. En aquella narración, ciertos miembros de la Asociación Móbius (una organización de matemáticos dedicados al campo de la topología) se encuentran con un tal doctor Stanislaw Slapenarski. Mientras cenan reunidos alrededor de una mesa repleta de servilleteros bañados en plata con forma de cintas de Mobius y tazas de café en forma de botellas de Klein, el doctor Slapenarski explica su impresionante descubrimiento topológico. La charla del doctor Slapenarski comienza desvelando el «tratado menos conocido» de August Mobius, que versa sobre cómo convertir un bucle ordinario con dos lados, en una banda de Mobius de una sola cara. En este (mítico) tratado, Móbius afirma que no existe ninguna razón teórica que impida a una superficie perder ambos lados para convertirse en una superficie ¡sin ninguna cara! El profesor mira fijamente a su absorta audiencia, y explica que es difícil imaginar una superficie sin ninguna cara, pero eso no quiere decir que no sea real o práctica. En las matemáticas hay muchos conceptos inconcebibles, incluida la geometría con muchas dimensiones, pero eso no es «Un motivo para negar su validez o utilidad en las matemáticas y la física moderna». Es más, incluso una superficie de una sola cara resulta inconcebible a cualquiera que no haya visto y manipulado 256



1111:1 l>a11da de Mübius. E.1 profesor explica que la gente qu" 11:1 t~·nido la oportunidad de juguetear con una cinta de Mt>hi11s , en ocasiones tampoco ha sido capaz de comprender 111 ,,. qu é tiene una sola cara. Visto lo cual, el hecho de que no 1 011sigamos imaginar un objeto no significa que no exista. l<'. I profesor procede entonces a doblar un trozo de papel p:1ra c rear una «superficie de Slapenarski» mediante un j 11 trin cado procedimiento que requiere tijeras, pegamento papel de color celeste. Al final de la secuencia de plegado, w n ríe a la audiencia y oprime uno de los extremos sobres: d ie ntes del papel contra el otro, y entonces ¡la figura de p:ipcl se desvanece en sus manos! Se ha convertido en una Mii pc rficie de cero caras. Cuando los matemáticos del recinto opin a n que aquello no es más que un truco de salón, Slape11 :1rski monta en cólera y con gesto enérgico pliega a uno de 11 >s matemáticos manipulándole los brazos y las piernas hasta r o11vertirlo en una superficie sin ninguna cara. El matemát Í<'O desaparece y tras de sí solo deja su ropa. El público da 1111 g rito contenido y a continuación estalla el caos. l•'. n el relato corto de 1946 de Arthur C. Clarke titulado .. l•'. I muro de la oscuridad», los protagonistas viven en un 1111iverso consistente tan sólo en una estrella y un planeta llamado Trilorne. Un muro misterioso e impenetrable circ1111da toda la región habitable de Trilorne, un mundo en el e pi e toda exploración se ve limitada por el muro, que parece t•x. tc nderse hasta el firmamento. Todas las civilizaciones de 't'ril o rne se han preguntado siempre que habrá al otro lado dt'I muro. Algunos filósofos de Trilorne dicen: «Descubri1t•111os lo que hay más allá cuando muramos, porque ese es c·I lu gar al que van los muertos». Otros sostienen: «Tras el 11111ro reside la tierra donde vivíamos antes de nacer. Si nuest r:i memoria pudiera remontarse tan atrás conoceríamos las 1('S pu estas». A alguna gente sabia le preocupa que el muro sc· construyera para evitar que algo peligroso penetrara en s11 11111ndo. /\1 final, un hombre rico y un ingeniero amigo suyo hallan 2fí7



 el modo de escalar e l muro mediante la constrncri<'>n 


( 1!H!l), del mismo autor, mineros extractores de



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11s:tn 11na cinta transportadora de 1 kilómetro y medio de l.1rgo y co n forma de cinta de Mobius para transportar el 111i11 cral. Los protagonistas de la historia discuten detenid:11nente qué ocurriría si hubiera que cortar la cinta para hacerla más larga. Como la mina aumenta, Bunyan decide 1·ortar la banda por el centro en sentido longitudinal para i11rrementar su longitud. «Eso nos brindará dos cintas», dijo Ford Fordsen. «Tencl remos que cortarlas en dos partes en diagonal y unirlas entre sí. Esto significa que tendré que ir al pueblo y comprar los materiales para realizar dos empalmes.» «No», dijo Paul. «Esta cinta tiene medio giro, lo que la convierte en eso que en geometría se conoce como cinta le Mobius.» Los mineros reanudan la discusión cuando se ven obligalos de nuevo a prolongar la cinta y se plantean que resultados obtendrán al cortar la banda ampliada. Cuando A. J. Deutsch escribió «Un metropolitano llamado Mobius» en 1950, pertenecía al departamento de astrono111ía de Harvard. Probablemente empezaba a hartarse del tráfico durante el trayecto al trabajo cuando escribió esta li istoria sobre la red de metro de Boston, la cual se vuelve tan compleja y embrollada que al final ¡forma una banda de Móbius que atraviesa dimensiones! Parte del metropolitano permanece en nuestro mundo mientras uno de los bucles se adentra en una dimensión superior. Los trenes traquetean aparentemente cerca, pero no se ven. Al intentar explicarlo, uno de los personajes de la historia afirma que un tramo 11 uevo de vía «ha transformado la conectividad de toda la n:d de metro en un orden tan elevado que no sé calcularlo. Sospecho que la conectividad se ha vuelto infinita». La película de 1996 Mobius, dirigida por Gustavo Mosque ra, está protagonizada por un tren de la red de metro <



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 de Buenos Aires que se esfuma de repente. La tranrn presenta muchas similitudes con «Ün metropolitano llamado Mobius». Como la red de metro ha experimentado tantos añadidos y se ha vuelto tan extensa, nadie es capaz ya de reproducirla, ni siquiera los ingenieros que la crearon. Un día desaparece un tren y la gente lo oye pasar veloz sobre las vías sin que, al parecer, logren encontrarlo jamás. El encargado del metropolitano intenta explicar este fenómeno y llama al ingeniero responsable del incremento de la complejidad del metropolitano para hablar con él. El ingeniero se resiste y manda a Daniel, un matemático amigo suyo, a hablar con el encargado para que ayude en la investigación. Daniel intenta hacerse con los planos del trazado del metro a través de un misterioso doctor Mistein, quien, por desgracia, no está en casa y permanece ilocalizable. Daniel estudia el problema y llega a la conclusión de que la red de metro se ha vuelto tan compleja, con los innumerables añadidos que ha experimentado con los años, que sin querer se ha formado una banda de Mobius gigantesca, y el tren perdido se encuentra ahora atrapado en el bucle de la banda. El encargado del metropolitano se mofa de la idea de la cinta de Mobius pero decide clausurar la red de metro con la intención de evitar más desapariciones. Aunque las teorías de Daniel no son tomadas en serio, él prosigue con la investigación del metropolitano. La mayor parte de la película discurre dentro de los túneles del metro, los cuales recorre Daniel con la finalidad de hacerse una idea del trazado de la red. U na noche en que sube a un metro para volver a casa, descubre ¡que va a bordo del tren perdido! Camina hasta el primer vagón del convoy y descubre que lo conduce el desaparecido doctor Mistein. Si bien la idea de la desaparición de un tren del suburbano procedía del relato «Ün metropolitano llamado Mobius», Mosquera concibe la idea del tren perdido como una metáfora de la gente que desapareció durante los periodos de 260



dk1adura en Argentina. Mosqucra dice que sus estudios d<" ingeniería durante la escuela secundaria lo ayudaron .. :1 apreciar las matemáticas y las ideas abstractas, así como la producción artística de gente como M. C. Escher [de 111anera que los conceptos] empezaron a encajar entre sí» c·11 su película. De hecho, la cinta está protagonizada por un lllt1temático (algo raro en las películas de estos días) y en C' lla aparecen diversas referencias a conceptos avanzados de g(·ometría. Mosquera recurrió a cuarenta y cinco estudian! n; para encontrar emplazamientos adecuados para llevar :1 cabo el rodaje; uno de esos lugares fue una estación de 111c.;tro abandonada de Buenos Aires. 1,a banda de Mobius se menciona también en «A con11a rreloj », un episodio de Star Trek: The Next Generation. La 11 :lVe estelar estadounidense Enterprise se encuentra con un < ap itán Picard mudo e inquieto procedente de seis horas <' ti el futuro. El Picard actual teme que alguna decisión suya lomada en el futuro los haya sumido a él y la tripulación en 1111 ciclo interminable en el que una vieja Enterprise redes' 11bre sin cesar un Picard procedente del futuro. En el epiHodio, el teniente Worf señala: «Existe la teoría de Mobius, 1111 giro en tejido del espacio donde el tiempo se convierte c·n un bucle del que no se puede salir». Geordi responde: · I)e modo que, cuando lleguemos a ese instante, volverá .1 ocurrir lo mismo que ya haya sucedido ... El Enterprise se d('struirá, el «otro Picard» regresará para encontrarse con 11osotros y volver a repetir lo mismo de nuevo. Suena a la definición del infierno». Diversas historias escritas para niños o jóvenes incorporan l.1 banda de Mobius en la trama. La obra The Secret Lije of ,\111anda K. . Woods (1998), de Amy Cameron, exhibe una h:111da de Mobius en la cubierta. El personaje principal, 1111a niña de once años llamada Amanda y procedente de Wisronsin, es un prodigio en matemáticas. Cierto día, los p:1drcs matemáticos de un amigo le dan a Amy una banda d<' Móbius para que l;.i examine. Ella comprende de inme:.di 1



 diato que tiene una sola cara y le dicen: «Se llama banda ck Mobius. Es importante en geometría. Y, también en la vida , a veces sucede que lo de fuera se vuelve lo de dentro, y lo de dentro se vuelve lo de fuera». La banda de Mobius se convierte para Amanda en una metáfora de la sabiduría, la consecución de la madurez y la capacidad de enfrentarse a exigencias contrapuestas. El libro de Mark Kashino titulado The ]ourney ofMobius and Sidh (2002) incluye una banda de Mobius de 90 centímetros de longitud que lleva impresos los momentos culminantes de la historia. La banda está plastificada para usarla repetidas veces y el libro incluye, además, un rotulador deleble . El editor afirma: «Las peculiares características de la banda de Mobius parecen una metáfora extraordinariamente adecuada de lo que nos pasamos buscando toda la vida. Los personajes no pertenecen a ninguna etnia y son de múltiples colores». Otro uso biológico creativo de una cinta de Mobius en ciencia ficción figura en mi novela The Lobotomy Club (2002). En el libro, un neurocirujano llamado Adam descubre que cierta topología de Mobius en las neuronas del cerebro crea un portal de acceso a nuevas realidades. He aquí un retazo del diálogo que mantienen Adam y una bella mujer llamada Sayori: Adam cerró los ojos. «¿Por qué estoy aquí?». Ahora Sayori acariciaba el gato, el cual se desperezó a su lado y ronroneó. «Estoy al tanto de su labor en el campo de la BMC -la Banda de Mobius Cerebral-». La mujer parecía parpadear siempre que lo hacía el gato. Kierkegaard se afanó en buscar algo dentro de un recipiente usado de comida china, y a continuación tiró la caja a la basura. Se conformó con un trocito hexagonal del color de las algas. Wasabi lanzó una mirada curiosa de Adam a Sayori. «¿BMC?». 262



Sa yori asinlió. «La J3MC es una Lopología y red neuronal 1·s pecial que el doctor Wolf halló en el cerebro de varios s:1ce rdotes después de que sufrieran visiones en éxtasis, convulsiones, y fallecieran un día después. Dos monjes 1ibc Lanos comunicaron el mismo tipo de visiones y tambi é n murieron». lkura dejó de masticar el chicle. «¿Por qué se formó la BMC en esta gente?». Sayori acarició la mullida barriga del gato. «No lo sabe1nos», dijo. «Sabemos que les permitió experimentar sensaciones trascendentes e intensificar de maneras diversas la percepción de la realidad. Adam llamó Banda de Mobius Ce rebral a esta alteración de las conexiones porque las neuronas se vuelven hacia atrás sobre sí mismas formando 1111 ocho». 1,os personajes del libro descubren que nuestra realidad d(' fondo es una ilusión, y que la BMC los puede ayudar a vivir lo que podría ser una realidad más verdadera. Adam .1 rc pta contribuir a inducir la BMC en el cerebro de los 111i e mbros del Club de Lobotomía (Lobotomy Club) para qu e se asomen con seguridad a mundos nuevos. Mi animal preferido con forma de banda de Mobius en la li1cratura lo constituye la vaca llamada Moobius, de la obra Natterland (2001) de Ian Stewart. Moobius es inteligente y posee una cola de una longitud extraordinaria que le llega hasLa la cabeza. La cola está unida al hocico, y Moobius e xplica que tiene dos lados considerada localmente pero qu e, al mirarla en su conjunto, el bucle de la cola hace que los dos lados se conviertan en uno solo. · fal vez el libro más sexy con el nombre de Mobius en el 1ítulo lo constituya Mobius Stripper (1992) de Bana Witt, que narra las aventuras de una mujer en el mundo marginal dd sexo y las drogas de San Francisco durante la década de 1\)70. La obra comienza con un narrador de diecinueve años < p•<· se plantea la posibilidad d e ac tuar en películas porno. :.! 6:1



 La trama incluye una colección fascinan te de breves fragmentos de la vida del propio autor, entre los cuales figuran experiencias sexuales y bajo los efectos de las drogas. El libro es bastante animado y nada apto para timoratos. Obras literarias con estructura de banda de Mobius La banda de Mobius no solo aparece en películas y libros, sino que se ha empleado como modelo para crear tramas con extrañas circunvoluciones. En la literatura con estructura de Mobius, la trama se vuelve en ocasiones recurrente, un eco de sí misma, o los personajes regresan al comienzo de la historia ligeramente cambiados, como en la obra de Frank Capra Qué bello es vivir ( 1946), donde George Bailey tiene la oportunidad de regresar a una época pasada de su vida con una sabiduría renovada. Desde luego, esto no constituye una banda de Mobius en un sentido estrictamente matemático, pero mucha gente ha utilizado la metáfora de esta cinta para describir esos extraños circuitos argumentales que a menudo resultan tan misteriosos y conmovedores. Por ejemplo, la novela de 800 páginas Dhalgren, del escritor de ciencia ficción Samuel R. Delany, está repleta de alusiones como las de la banda de Mobius. Uno de los personajes principales, Kidd, escribe un libro que podría ser el propio texto real de Dhalgren. De tanto en tanto, el fluir del tiempo parece detenerse. Kidd camina en una dirección y termina yendo en otra. Los emplazamientos de los edificios cambian. Los días pasan en un abrir y cerrar de ojos y, en algunos lugares, los segundos duran horas. El último capítulo se centra en un cuaderno que encuentra Kidd. Kidd escribe en los márgenes y parece haber escrito en ellos antes de descubrir la libreta. Al final, el cuaderno se engulle a sí mismo y el mundo se destruye. El libro acaba con una frase incompleta muy parecida a la que abre la obra, como si la trama discurriera por un bucle de



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Mtlbius d e manera que el final reproduce el co 111ie11zo 1111os personajes que han invertido sus papeles.



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J•,'n busca del tiempo perdido ( 1913), de Marcel Prous t, lambi é n exhibe bucles de Mobius mayores y menores cuando



el protagonista, Marcel, regresa al pasado para reflexionar sobre su propia vida. En ocasiones, el tiempo parece ausentarse por completo de la obra de Proust. Pasa cientos de páginas examinando la naturaleza y las ideas de un personaje o una situación, mientras transcurre un mínimo de tiempo. l''.n «Proust's Ruined Mirror»,Jonathan Wallace escribe: «En la novela de Proust, el tiempo es un río en el que nadan los personajes; este tiende a arrastrarlos en su fluir pero, como peces, en ocasiones se dan la vuelta y se esfuerzan por avanzar a contracorriente». La mayor aspiración de Proust fue viajar en el tiempo para recuperar el pasado con los recuerdos y las personas perdidos. En ciertos aspectos, En busca del tiempo /wdido se asemeja a un fragmento de espacio-tiempo que contiene pasado, presente y futuro. En este fragmento, el lector y Proust pueden explorar la historia del mismo modo que si recorrieran un palacio hiperespacial, deambulando por el tiempo y el espacio a través de estancias ancladas en distintas épocas. La obra de Proust se centra también en varios recorridos f'ísicos a través de una localidad que insinúa una banda de Mobius. En concreto, el personaje de Marcel rememora aquellos primeros años de su vida que pasó con familiares en la localidad de Combray. En un extremo de la casa de su tía hay una puerta que conduce a un sendero llamado el camino de Méséglise, también llamado el camino de Swann. La otra ('Onduce al camino de Guermantes. A un nivel concreto, se trata de meros recorridos que atraviesan el pueblo y por los que pasea a diario la familia de Marcel. Una ruta conduce a la propiedad de la adinerada familia Guermantes, la otra conduce a la propiedad de la familia Swann, de clase media. F.n cambio, para Proust representaban mucho más: diferentes direcciones vitales y las elecciones que tomamos. Al final ~()!)



 de su obra maeslra, el narrador, ya env<.¿jc('ido, v11dve a visitar Combray y descubre un atajo que une ambos senderos. Ahora repara en que, después de todo, ambos «caminos» están conectados. De ahí que, para mí, el camino de Méséglise y el camino de Guermantes estén unidos para mí a tantos acontecimientos insignificantes de aquella vida particular que forma parte de todas las que vivimos paralelamente, esa vida repleta de acontecimientos, la más rica en avatares, la vida mental. Aunque el sendero de Guermantes conduce a la elegante hacienda de la aristocrática familia Guermantes, Proust nunca parece llegar realmente hasta la hacienda porque dista demasiado para ir a pie. Por tanto, una ruta representa un trayecto hacia lo corriente, mientras que la otra simboliza un recorrido hacia los confines más lejanos del espacio, el tiempo y la mente. En mi libro Sex, Drugs, Einstein, and Elves, profundizo en más detalles de la obra de Proust. La comedia Seis personajes en busca de autor ( 1921), del siciliano Luigi Pirandello ( 1867-1936), también tiene un bello argumento mobiusiano. Los protagonistas de la comedia son seis personajes creados por un autor pero abandonados en una obra teatral inacabada. Aparecen durante el ensayo de una obra de Pirandello y le insisten al director para que les deje representar su obra con la finalidad de que puedan realizarse como personajes plenos. Al final, el director acepta convertirse en autor de su nueva vida. Durante el desarrollo de la obra con estos seis personajes, algunos de ellos mueren y el director no es capaz de distinguir si están actuando o si mueren de verdad. Al final, ni él ni los actores consiguen discernir qué es lo real. En 1937, el escritor británicoJohn Boynton Priestley (1894-



1DH'1) prcscn tó 'J'irne arul the Conways'\ una obra en la que el linal del segundo acto transcurre treinta años después que ('ti el primer acto, y luego, en el tercer acto, la obra regresa :il instante temporal del final del primer acto. Por tanto, en <"iertos aspectos, cabría considerar el tercer acto como un acto intermedio situado fuera de lugar. La obra comienza en 1919, cuando los influyentes Conway celebran alegremente d vigésimo primer cumpleaños de Kay. La acción salta a 1938, momento en que la familia vuelve a reunirse, pero Europa está a punto de entrar en guerra. Por último, regresamos a 1919, y lo que se nos ha adelantado confiere una extraña ironía dramática a los acontecimientos que se producen. A un nivel más profundo, la obra plantea a la audiencia si la verdadera felicidad es posible, si podemos o no cambiar 11 uestro destino, y refuerza la idea de que el tiempo no es lineal y el pasado y el futuro están siempre con nosotros. La película Donnie Darko (2001), dirigida por Richard Kelly, es una mezcla de thriller sobrenatural y paradoja de viaje en el tiempo, centrada en un chico de dieciséis años de edad llamado Donnie que vive en la zona residencial a las afueras de Middlesex, Virginia. Un demonio le cuenta que el mundo se acabará en veintiocho días, dieciséis horas, cuarenta y dos minutos y doce segundos. En el transcurso de la película, Donnie ve salir chorros de fluido del pecho de la gente que señalan en la dirección en que se desplazará la persona en cuestión en un futuro inmediato. Donnie Darko ve salir de su pecho su propio recorrido vital, como si sus actos estuvieran predeterminados, y fuera un peón atrapado



en la insulsa jardinera del tiempo. La trama consiste en una historia extrañamente circular que deja perpleja a la mayoría de los cinéfilos y da pie a debates de varias semanas. Al final, la película retoma la



:~ Esta obra se ha representado e n España con el título La herida del tiempo. (N. de la T.). 2()()



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 escena inicial pero, esLa vez, Donnie prevé lo que sucedera y, al parecer, tiene capacidad para salvar a sus seres queridos a cambio de sacrificarse a sí mismo. El crítico cinematográfico Jim Emerson, editor de RogerEbert.com, sostiene que el principio de la película, en el que Donnie amanece en medio de un camino sobre una loma, resulta «crucial para conferir a la película su interminable forma circular (o banda de Mobius), y es parte de lo que nos hace volver atrás. Comienza con una escena que pertenece al final de la última vez que vimos la película (un sueño dentro de un sueño dentro de un sueño ... ) Esta manera de considerar la cinta facilita la ubicación de toda la película en el agujero espaciotemporal que reside entre las orejas de Donnie». A mí me encantó la película. Véala y adéntrese en una versión cinematográfica de la banda de Mobius. Muchas otras películas y relatos incluyen un bucle temporal en el que los personales regresan a un tiempo anterior de la historia capacitados para revivir el pasado con más conocimiento y para rehacer sus vidas. En la película de Brian de Palma de 2003 titulada Mujer fatal, Laure Ash es una ladrona que disfruta de la misteriosa e inexplicable oportunidad de volver a vivir la película y elegir un recorrido vital más sabio. En mi libro Liquid Earth, el personaje Max tiene ocasión de vivir de nuevo todo el libro y abriga la esperanza de que con los conocimientos adquiridos será capaz de salvar el mundo de las fracturas de la realidad. En Como si fuera la primera vez (50 First Dates -2004-), Lucy Whitmore experimenta interminables sucesiones de vidas en forma de banda de Mobius al despertarse cada mañana sin recordar lo que ha pasado el día anterior con Henry Roth. Lucy sufre pérdida de memoria a corto plazo tras un accidente de coche, y se encuentra apresada en un bucle perpetuo. Para ella, todos los días son el mismo domingo de octubre, lo que, por supuesto, torna casi imposible que establezca relaciones nuevas. Henry se enamora de ella e intenta idear maneras para que funcione una relación seria. 268



Poro a poro, a pesa r de los obsLáculos, un pequcí'lo ramal cid cerebro de Lucy parece abrirse camino hacia el siguienLe 'lía en forma de banda de Mobius, hasta que ella se descubre pi11tando el retrato de su amado, aunque no consigue recordar quién es. E.n mi libro Time: A traveler's Cuide, brindo sorprendentes t'scenarios de Mobius relacionados con paradojas de viajes ('11 el tiempo y bucles causados por ellas. Consideremos una 


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 de las cavernas. NóLcsc que Monica es madre y abuela de s1 misma, y que yo soy mi propio padre y abuelo. 4



Tiempo



t 8.1 Si se pudiera viajar en el tiempo, las líneas del mundo se convertirían en bucles cerrados. Yo conocí a Monica (1), y tuve una hija, Monica hija (2), representada mediante la línea de puntos, que crece (3) y decide viajar al pasado. Monica hija crece y ¡se encuentra conmigo en 1 ! Véase el texto para conocer todos los detalles.



Este guion sí parece bastante descabellado. Porque, al fin y al cabo, ¿quién es la madre, el padre, el abuelo, la abuela, el hijo, la hija, la nieta y el nieto de Monica? Monica madre y Monica hija son la misma persona. Si ampliamos el árbol genealógico de Monica, podemos llegar a descubrir que todas las ramas del mismo se encuentran curvadas hacia dentro para regresar a sí mismas, como en un bucle. Ella puede reunir en sí misma todo un árbol genealógico. Este es un ejemplo de paradoja diferente de aquel otro en el que una persona viaja hacia atrás en el tiempo y mata a su abuela, con lo que modifica el pasado. En el caso que se ilustra en la figura 8.1, los personajes cumplen el pasado sin destruirlo. Por tanto, las líneas en la representación esquemática (llamadas



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rll'l umndo en física) discurren por un but,"ÜJ tt"rmdo qtw 1q>rnduce el pasado en lugar de cambiarlo. <)1 ra trama de Móbius aparece en las historias reunidas por Cabrieljosipovici en Mobius the Stripper (1974), que traL111 sobre un hombre preocupado por su cuaderno de escri1or. La historia de Móbius transcurre en la parte superior de e :ida página, y el texto con la historia del narrador acerca de Mi">bius se sitúa en la mitad inferior de cada página. Al final d<' la historia superior, Móbius se suicida, lo que da lugar a 1111a desoladora página en blanco a la que debe enfrentarse <"I 11arrador de la historia en la mitad inferior. Hacia el final e le la historia que cuenta el narrador en la parte inferior, este 1ompleta por fin su cuaderno de notas y empieza a escribir l.1 historia de Móbius impresa en la parte superior. Siguiendo un estilo similar, La dádiva de Vladímir Nabóki >v está protagonizada por un personaje llamado Fiódor. l<'i<'>dor es un ruso residente en Berlín que encuentra grandes dificultades para publicar sus textos. Hacia el final del libro, l<'i<'>dor le cuenta a su novia Zinia que quiere escribir un libro 1'<>bre cómo empezó a escribir y cómo la conoció a ella. Al p:i recer, la obra que Fiódor desea escribir es el volumen que 1·1 lector ¡ha estado leyendo! En este sentido, Fiódor ya no es 1111 personaje de la novela, sino su autor. En la literatura de Móbius, la trama se vuelve a veces recu11 c1He, un eco de sí misma, o una trama existe inmersa en 1·1 marco de otra. He oído mencionar el término metalepsis 1·111pleado en ocasiones para referirse a esos momentos de l.1s 1ramas de Móbius en que personajes atraviesan fronteras 1·111 re tramas estratificadas. Por ejemplo, en la novela de Cole111:1n Dowell titulada IslandPeople (1976), un nivel secundario 1w convierte en el nivel principal cuando toma las riendas del disrurso narrativo y crea una especie de banda de Móbius. I..:i historia incluye un hombre anónimo que se marcha de la 1·i11dad para vivir en una casa que ha comprado en una isla 111i11liscula. El hombre parece un ser solitario o un intruso 1·111 n· los isleños que residen en la isla durante todo el año. /l/ll'flS



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 Aunque lleva una vida solitaria con su perro, disfruta ron las visitas ocasionales que recibe de la ciudad. De repenLe, el lector repara en que este relato del solitario en la isla es la historia titulada «El recuerdo» escrita por otro individuo anónimo que vive en unas circunstancias idénticas a las del primero, aunque algo más aislado del mundo que hay fuera de su isla. El crítico Christopher Sorrentino, que escribe para Center of Book Culture, explica: «Se trata de un libro que no parece haberse escrito, por mucho que lo parezca, para salir a rastras de sí mismo ... [Los avatares del personaje del libro] aparecen como ecos que cruzan de ida y vuelta el abismo de la novela ... Innumerables partes de lsland People vibran por simpatía movidas por otras partes también innumerables». A la larga, el hombre inventa un álter ego femenino que lo atormenta a medida que su mente se desintegra. En la obra Tearjerker (2004) de Daniel Hayes nos encontramos con Evan Ulmer, un escritor frustrado y desanimado por la creciente colección de libros rechazados, pero ansioso por aprender más sobre el oficio editorial. Evan secuestra a un editor de una prestigiosa casa editorial neoyorquina para que este le explique el proceso. Resulta que Evan ha escrito un libro sobre un escritor fracasado que secuestra a un editor y desearía verlo publicado. Durante la semana que Evan mantiene retenida a su víctima, también se encuentra con una extraña mujer llamada Promise que usa a Evan como personaje de la novela que está escribiendo. En ella, él mantiene una aventura con una mujer de cincuenta años. Promise quiere que Evan conozca a su madre para estudiar las interacciones entre ambos y lograr más realismo en su libro. Mientras, el editor secuestrado empieza a criticar la novela de Evan, que podría ser el mismo libro que el lector está leyendo. El diario The Seattle Times califica Tearjerker como «pequeña banda de Mobius solapada con una invención narrativa autorreflexiva». La cantante calva (1959), de Eugene Ionesco, presenta un giro de tipo Mobius en el desenlace. En la obra, el señor 272



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l.1 s(·nora Smith invitan a cenar en su casa al scr1or y la Mc•11orn Martin. La obra comienza como una comedia apalé't1tcmente normal sobre buenos modales ingleses. El señor S111it h está sentado en su butaca y en zapatillas. Fuma en pipa y lee un periódico junto a la chimenea mientras habla 1 lc • comida con la señora Smith. Pero a continuación ocurre algo inusitado con las campa11adas irregulares del reloj y un diálogo extraño. Al principio, la conversación tiene sentido, pero el diálogo pierde enseg 11 ida la coherencia y el significado, hasta que las respuestas de los personajes parecen aleatorias. El clímax es como una sinfonía disonante interpretada por músicos bajo los efectos del LSD. La incapacidad de los personajes para comunicarse conduce a la frustración y el conflicto. No creo que nadie que lea la obra logre entender el significado de las últimas páginas. He aquí una pequeña muestra de diálogo hacia el final de La cantante calva: Señor Martin: Nadie limpia los anteojos con betún negro. Señora Smith: Sí, pero el dinero lo compra todo. Señor Martin: Prefiero matar un conejo a cantar en el jardín. Señor Smith: Cacatúas, cacatúas, cacatúas, cacatúas, cacatúas, cacatúas, cacatúas, cacatúas, cacatúas, cacatúas. Señora Smith: Qué cagada, qué cagada, qué cagada, qué cagada, qué cagada, qué cagada, qué cagada, qué cagada, qué cagada.



La conclusión tiene una especie de bucle de Mobius manifiesto que acentúa el misterio: los personajes reinterpretan Ja obra tras intercambiar los papeles. Las acotaciones de la última escena rezan: «El señor y la señora Martin están sentados como los Smith al comienzo de la obra, la cual vuelv" a empezar con los Martin diciendo exactamente lo mismo que los Smith en la primera escena». En realidad, la obra se ha representado con diversas variaciones en relación con :.!73



 el tema del lazo girado, de modo que la obra oscila con <·I mismo diálogo solo que con parejas distintas pronunciando los diálogos. Los críticos sostienen que La cantante calva evidencia que la conversación humana y otras interacciones han degenerado en una colección de perogrulladas manidas y que en cuanto la gente respetable inglesa pierde la capacidad de comunicarse estalla el caos verbal. Una historia más fácil de entender, aunque también repleta de absurdos, es la titulada Según la /,ey (1996) de la escritora danesa Solvej Balle. Este libro contiene cuatro relatos interconectados que se enredan entre sí mediante un bucle topológico trenzado. El volumen comienza con un bioquímico canadiense que examina el cerebro de una joven fallecida recientemente de hipotermia y que ha donado su cuerpo a la ciencia. A continuación nos encontramos con Tanja, una estudiante suiza de derecho cuyos poderes paranormales hacen retorcerse de dolor a los transeúntes. También se nos presenta al matemático danés Rene, empeñado en ocupar el mínimo volumen posible para convertirse en un cero humano. Por último, Alette, una escultora canadiense, sueña con fundirse con la materia inanimada. Esta se suicida y cierra la banda de Mobius siendo la mujer cuyo cerebro se estudia al comienzo del libro. En La torre oscura lll: Canción de Susannah, Stephen King se incluye a sí mismo en el libro como otro personaje más. El pistolero de la novela llega a Maine en 1977 e hipnotiza a un joven escritor de obras de terror para decirle que debe finalizar la saga de La torre oscura porque el destino del mundo depende de ello. King acaba la novela con una noticia periodística sobre su propia muerte. El prólogo del libro de relatos Perdido en la casa encantada, de John Barth, explica que esta obra «está ensartada en diversos temas repetidos y elaborados y [se enrosca] en sí misma; no para cerrar un circuito simple como el de la obra de Joyce Finnegan 's Wake, emblemática del eterno retorno



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viconiano, sino para crear un circuito girado, como una banda de Mobius, emblemático de ... Bueno, lea la obra». El primer relato de Barth en Perdido en la casa encantada, llamado «Relato marco», es literalmente una banda de Mobius porque consiste en una sola página que tiene escritas las palabras «Érase una vez» en un margen y «Una historia que empezaba» en el lado opuesto, con instrucciones para unir los extremos para formar una banda de Mobius. Mari in Gardner señala que la edición de Doubleday de «Relato marco» está diseñada para leerse sobre una banda real. Al público lector se le dice que corte la página por las líneas de puntos, y luego le dé medio giro para formar una banda de Mobius en la que se lee interminablemente: «Érase una vez una historia que empezaba érase una vez una historia que e mpezaba érase una vez una historia que empezaba... ». El propio Barth dijo durante una entrevista en 1998 con Elizabeth Farnsworth en el programa NewsHour with Jim Lehrer, El cuento está pensado para disponerlo sobre una banda de Mobius, una de esas cosas que se dan la vuelta; es un círculo con un giro, como lo es el libro que lo sigue ... Es corto en cuanto a personajes, es corto en cuanto a argumento pero, sobre todo, es corto ... y nos recuerda el infinito empotramiento del impulso narrativo en la conciencia humana. Me gusta creer que si Sherezade hubiera tenido este pequeño artilugio, sus problemas se habrían resuelto, el rey se habría marchado a dormir y ella habría podido empezar su novela, el final. De manera similar, el poema de Denise Duhamel «Mobius Strip: Forgetfulness», incluido en su libro de 2005 titulado 'fwo and Two, exige al lector fotocopiar el poema y conver1irlo en una banda de Mobius. La composición versa sobre la gente aquejada de Alzheimer, y utiliza la banda para reforzar la sensación de mente distorsionada e inconexa que sufren las personas aquc:jadas d e esta enfermedad. 275



 Muestras literarias de botellas de Klein



Mientras permanece en Nueva York, Dorothy se presenta



W show de Oprah Winfrey. El público asistente cree, por supuesto, que el Espantapájaros y el Hombre de Hojalata son actores, no los personajes reales. En «The Last Magician» (1952), de Bruce Elliot, un mago usa una botella de Klein mientras actúa ante extraterrestres. E.1 truco acaba entrañando gran peligro. ('11



Las novelas y los relatos breves portan numerosas referencias a botellas de Klein. La enigmática historia de Paul J. Nahin titulada «Twisters», aparecida en el número de mayo de 1988 de la revista Analog, comienza con un tal doctor Adams, un médico de una pequeña localidad, que pasa ante un solar antes abandonado y que ahora acoge una tienda de dónuts inexistente el día anterior. El afable doctor Adams razona que las técnicas modernas de construcción posibilitan, al menos, construir un establecimiento así en un solo día. Ya en el interior, encuentra las variedades típicas de donuts además de otras «Con curvaturas tan curiosas» que al principio no consiguió centrar la vista en un solo donut completo de una mirada. Se decide a comprar varios de los donuts curvados. Más tarde, ya en el despacho, el doctor Adams descubre que el donut absorbe todo el café de la taza con solo rozar el líquido. Y cuando acerca el oído al donut, percibe un ruido de viento cerca del centro del dulce. Después de experimentar mucho, el doctor Adams se da cuenta de lo peligrosos que son esos «torbellinos», puesto que absorben todo aquello que les arranque un pedazo. «Aparentemente, a través del orificio podía pasar cualquier cosa ... pero había que acercar los dientes (o, más probablemente, cualquier objeto con calcio) para desencadenar una succión a toda máquina». Adams concluye que esos torbellinos de dónut son botellas de Klein y funcionan como trampas mortales dispuestas por un tendero alienígena. El cometido de Adams durante el resto de la historia consiste en asegurarse de que nadie arranque un bocado a las sabrosas pero mortales botellas de Klein enroscadas. Visitors from Oz ( 1999), de Martin Gardner, es una con tinuación de los libros sobre Oz en la que Dorothy viaja a la ciudad de Nueva York a través de una botella de Klein confeccionada a partir de dos bandas de Mobius por el mismo ingeniero que construyó el cuerpo del Hombre de Hojalata. \.!7G



Duneen se encontró en un buen apuro. Estaba medio dentro y medio fuera de la botella de Klein. Estaba en el lado dentro-fuera, el de nunca-acabar-bien de la botella. Ahí estaba, y está ahora. En el museo, con todo el resto de cosas pasadas. Y ahí seguirá. No se puede romper la botella porque quedaría partido en dos. Y, como no se puede romper la botella, se quedará ahí, ni vivo ni muerto; suspendido a medio camino entre aquí y allá. Mobius Dick, de Andrew Crumey, es una novela protagonizada por la banda de Mobius que aparece en la cubierta. Crumey es doctor en física teórica y es editor literario del periódico Scotland on Sunday. En la novela, el físico John Ringer recibe un mensaje de texto en su teléfono móvil que solo dice: «Llámame: H». Pero, ¿quién es H? ¿Podría tratarse de aquella Helen a la que había amado tantos años atrás? Esto desencadena su indagación sobre el desarrollo de la tecnología de nuevos teléfonos móviles que se lleva a cabo en un centro de investigación sito en una población escocesa. Durante las aventuras de Ringer, el mundo se transforma y la gente sufre amnesia, telepatía, falsos recuerdos y coincidencias inexplicables. La trama está repleta de sicoanálisis, inversiones, ciclos y escritura autorreflexiva. Ringer se pregunta si las coincidencias se producen cada vez con más frecuencia. En tal caso, quizá los experimentos cuánticos hayan provocado el desmoronamiento del continuo espaciotemporal de nuestro universo. Tal vez el texto retorcido de la novela provenga de un mundo paralelo. 277



 Cuando descubrimos que un novclisla llamado l larry Di ck estaba escribiendo una novela con un personaje llamado john Ringer, empezamos a preguntarnos qué universo es el real, o si el término real tiene algún sentido. A lo largo de Mobius Dick aparecen múltiples historias que se enroscan unas en otras cual nudos de trébol. La escena más divertida se produce cuando Ringer asiste a la conferencia de una mujer que se titula «Cicloides viciosas». Durante su exposición, la mujer interpreta un pasaje de Moby Dick, «con su relativismo superficial, su rechazo de la verdad objetiva y sus juegos de manos intelectuales», una descripción aplicable a la propia novela Mobius Dick. Espero que haya disfrutado con esta breve introducción a tramas cinematográficas y literarias protagonizadas por objetos no orientables o que exhiben giros sorprendentes, de vanguardia. Espero sus noticias para que recopilemos juntos otros ejemplos adicionales de historias de Mobius que nos contrarían al mismo tiempo que nos deleitan. Permítame acabar con tres citas con forma de Mobius que siempre me han fascinado: «Yo soy el pensamiento que estás pensando en este instante».



Douglas Hofstadler, Temas metamágicos «Al atravesarla, uno se da cuenta de que la puerta que ha atravesado es la misma que lo atravesó a uno».



R. D. Laing, La política de la experiencia



Planeta Hormiga



Lisa está sola en su dormitorio jugando con bichos. Le gusta formar estructuras laberínticas con los cabl,es que l,e sobraron de un experimento eléctrico. Si un objeto toca el cabl,e, suena un timbre. Hoy, Lisa está experimentando con hormigas. Hay solo unos lugares determinados por los que las hormigas pueden escapar sin accionar el timbre. Los laberintos que aprisionan a las hormigas son de un tipo peculiar. Desde un punto de vista topológico, se trata de curvas de ]ardan, como la que aparece en la figura 8. 2, que no son más que un círculo muy deformado mediante varios giros. Recuerde que un círculo divide cualquier superficie plana en dos áreas: la de dentro y la de fuera . Al igual que los círculos, las curvas de ]ardan tienen una parte interior y una exterior, y para pasar de una a otra hay que atravesar, al menos, una línea (o cabl,e). Pero, retomemos a la historia de las hormigas. Lisa está fantaseando con hormigas inteligentes. Un día, una hormiga «prisionera» llamada señor Nadroj consigue afirmar con precisión si se encuentra dentro o fuera del laberinto con solo asomar la cabeza por encima de los cabl,es y mirar en una dirección. ¿Cuál es la manera más rápida de que una criatura determine si se encuentra dentro ofuera de la prisión de]ardan? ¿Qué procedimiento permitiría saber con facilidad si la hormiga del dibujo puede escapar sin necesidad de intentar trazar una ruta hacia el exterior? (Busque la respuesta en el apartado de soluciones).



Él la miró durante largo tiempo y ella sabía que él la estaba mirando y él sabía que ella sabía que la estaba mirando, y él sabía que ella sabía que él sabía; una especie de regresión de imágenes como la que surge al enfrentar dos espejos entre sí y las imágenes se suceden y se suceden y se suceden en una especie de infinito».



Robert Pirsig, Lila



278



8.2 Hormiga atrapada en una curva dejordan



279



 9



Vida en los barrios periféricos de Mobius



Swedesboro es uno de esos lugares idiosincrásicos, especiales qu contradicen la idea que prevalece de South Jersey como poco más que una banda de Mobius de centros comerciales, una concentración infinita (aunque no implacable) de mecas de grandes cadenas minoristas con pocas cosas en común salvo un código postal y la propensión a los atascos. Kevin Riordan, «Southjersey town debates identity», The Courier-Post, 19 de setiembre de 2004 «Puedes estar en cualquier lugar en cualquier instante. ¿Cómo llaman a eso?». «Una banda de Mobius», dijo Henry. «Qué buena idea. Podrías retroceder y visitar tu vida en cualquier lugar y momento que quzszeras ». «Suena a papel cazamoscas», dijo Farlie. Anne Rivers Siddons, Islands



BREVES APUNTES FINALES



¿ Qué hace a un gran matemático? La sensibilidad por la forma, un fuerte sentido de lo importante. Mobius tenía abundancia de ambas cosas. Sabía que la topología era importante. Sabía que la simetría es un principio matemático fundamental y poderoso. El veredicto de la posteridad es claro: Mobius estaba en lo cierto. Jan Stewart, «Mobius's Modern Legacy» en Mobius and His Band FIG. 1 12



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FIG. 3



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 La banda de Mobius como plataforma d e lanzamiento Aquí termina nuestro serpenteante estudio sobre la banda de Mobius en la ciencia, las matemáticas y el arte. Solo hemos rozado la punta del iceberg con la mayoría de estos temas, pero usted apreciará mejor ahora la relevancia de esta superficie enrollada y de una sola cara en diversas disciplinas. A veces me pregunto por qué me siento tan impelido a reflexionar sobre la banda de Mobius, y por qué hay tanta gente fascinada con sus maravillosas propiedades. Tal vez sea una metáfora de algo muy simple pero sorprendente y difícil de prever. Se trata de un símbolo ubicuo y, como en algunas novelas, nos brinda un vehículo para cambiar de pensamiento y ver mundos nuevos. Es la materia de la magia y el símbolo de los sueños. Sigo fascinado con la aplicación de la banda de Mobius a una serie d e inventos tecnológicos. Al igual que el triángulo de Reuleaux (el triángulo de lados curvos que comentamos en el capítulo 4), estas geometrías simples no hallaron muchas aplicaciones prácticas hasta épocas bastante tardías en el desarrollo intelectual humano. Hasta que Franz Reuleaux (1829-1905) habló de su célebre triángulo (figura C.1), formado por la intersección de tres círculos centrados en los vértices de un triángulo equilátero, el triángulo curvo no empezó encontrar numerosos usos. Aunque Reuleaux no fue el primero en dibujar y estudiar esa curva, fue el primero en demostrar sus propiedades de anchura constante, y el primero en usar el triángulo en numerosos mecanismos del mundo real. La confección del triángulo es tan simple que los estudiosos modernos se han preguntado por qué nadie había explotado su uso antes que Reuleaux. La figura es un pariente cercano del círculo porque tiene una anchura constante (siempre media igual distancia entre dos puntos opuestos). Su circunferencia, 2mR, es la misma que en el caso del círculo, salvo que en el triángulo de Reuleaux, R se corresponde con la longitud indicada en la figura C. l . 282



R



Vela.' ,Cajas dc c;un\J ios



Mo wres Waokel Pcrforació11dcorifici05cuadrad05 Monedas



9.1 Triángulo de Reuleaux (en negrita) y algunas de sus aplicaciones.



Mientras me adormezco para conciliar el sueño de noche, imagino espléndidos triángulos de Reuleaux y bandas de Mobius mientras ideo nuevos inventos y reflexiono sobre la forma del universo. Nuestra naturaleza consiste en soñar, indagar y preguntarnos sobre nuestro lugar en un cosmos aparentemente solitario. Tal vez esta sea la razón por la que filósofos y escritores han especulado acerca de universos y dimensiones superiores con forma de bandas de Mobius, y el aspecto que tendrían sus moradores. Para muchos futuros científicos jóvenes, la banda de Mobius es una plataforma de lanzamiento para acceder a geometrías y estudios topológicos más sofisticados. Se han desarrollado numerosos modelos cosmológicos donde el universo aparece curvado en un espacio tetradimensional de un modo que, en teoría, podría demostrarse. Por ejemplo, Einstein propuso un modelo de universo en el qu una nave podría partir en cualquier dirección para acabar regresando al punto de partida. En este modelo, nuestro universo tridimensional se trata como la hipersuperficie d e una hiperesfera. Transitado sería comparable a lo que hace um• h ormiga al dar una vuelta completa alrededor de la superllcie de una esfera. En otros modelos de universo, el nuestro aparece como una hipersuperficie curvada en un espacio 28g



 tetradimensional como una botella de Klcin o un toro tridimensional, una rosquilla enrollada en tres dimensiones. Mediante el uso de varios satélites, la comunidad astronómica mantiene ahora una búsqueda activa de signos que revelen la forma del universo mediante el estudio de fluctuaciones de temperatura en el espacio profundo. Aunque datos recientes indican que las regiones cercanas del universo podrían ser muy normales, nadie sabe qué forma podría tener el conjunto del cosmos. Desde la época de Georg Bernhard Riemann ( 1826-1866), los matemáticos han estudiado las propiedades de espacios múltiplemente conexos en los que regiones diferentes del espacio y el tiempo se funden entre sí. Los físicos, que otrora consideraron esto como un ejercicio mental y especulativo de sillón, están estudiando ahora en serio algunas ramas avanzadas de las matemáticas para crear modelos prácticos del universo y para comprender mejor las posibilidades de que existan mundos paralelos, de realizar viajes a través de agujeros de gusano y el desarrollo de métodos para manipular el tiempo. Por improbable o difícil que resulte descubrir estos extraños universos mediante la tecnología actual, las figuras que se contemplan en este libro alertan a muchos físicos sobre numerosas posibilidades para plantear la criba topológica, un proceso en el que los modelos se eligen y se tienen en cuenta dependiendo de su adecuación para esclarecer la naturaleza del universo. Tanto los legos como los científicos se han vuelto más conscientes de lo que significa visualizar un objeto abstracto o un espacio deformado. El budismo zen ha creado interrogantes y sentencias llamados koan que funcionan como una disciplina de meditación. Los koan preparan la mente para que sea capaz de acoger intuiciones, percepciones e ideas nuevas. Los koan no se pueden responder siguiendo procedimientos ordinarios porque son paradójicos; funcionan como herramientas para la iluminación porque sacuden el espíritu. De manera parecida, la contemplación de la banda de Móbius está repleta 284



d .. /((l(¿n y aquí c~triba la razón de que cslc libro enfrente al p1'1l>lico lector a tantos temas diferentes, aunque las limita• iones de espacio no nos hayan permitido explorar ninguno (k ellos en gran profundidad. La banda de Móbius es un lwrm para espíritus científicos. Eterno resplandor Para mí, algunos de los campos más interesantes para el ('omportamiento móbioide y los koan de Móbius aparecen ('ll la literatura, donde la banda de Móbius es una metáfora d e las tramas con circunvoluciones. Ya se han comentado v;irios ejemplos en el capítulo 8. Las películas e historias 1116bioides funcionan en parte como exploraciones metafísicas. A menudo son oscuras, encerradas en sí mismas, con u na lógica onírica especial que nos ayuda a trascender la conciencia individual. Podemos terminar con otro guion con estructura de Móbius. En la inquietante película Eterno resplandor de una mente sin recuerdos (también conocida en castellano como Olvídate de mf),Joel y Clementine deciden borrarse mutuamente d e la memoria cuando dejan de amarse. Inevitablemente, vuelven a encontrarse conservando vestigios de recuerdos y vuelven a enamorarse. Gran parte de la película transcurre en el interior de la mente de Joel. Cuando Joel se encuentra en pleno proceso de borrado de memoria, toma conciencia de que están desapareciendo de su mente los recuerdos de la mujer que amó, y quiere detener el proceso. Su hercúlea tarea consiste en desarrollar métodos para proteger todos los recuerdos de Clementine que pueda, y para encontrar una manera de escapar del proceso a pesar de encontrarse en un estado de ensoñación. Hacia el final de la película, el espectador regresa al comienzo de la cinta, donde ve la escena inicial con la luz de una información nu eva acerca de la situación de los per~8!)



 sonajes. Las cinlas de Mobius aparecen por lodos lados a lo largo de la historia. En algunas escenas de ensoñación, durante los procesos de borrado de rnernoria,Joel persigue a Clernentine por una calle hasta descubrir que la calle se enrosca para volver a dar a ella misma, y él se queda frustrado al encontrar a Clernentine corriendo detrás de él. Por tanto, no solo se trata de una trama de Mobius en la que el final de la película regresa al principio con los personajes alterados por recuerdos residuales, sino que además incluye la inserción de territorios retorcidos en los entresijos de la mente de ambos personajes a medida que Joel y Clernentine se afanan por recordar el amor que compartieron en el pasado, para comprender qué es real y qué es fantasía. ¿Habrá un vínculo eterno que una y reúna continuamente ajoel y Clernentine a medida que regresan al pasado y comprueban que todo lo que ven ocurrió con anterioridad y es justo ahora cuando está a punto de borrárseles de la mente? Tal vez al final de la película, Joel y Clernentine hayan encontrado una manera de salir de la superficie de la banda de Mobius. En lugar de correr alejándose uno del otro, el amor reconcilia sus personalidades imperfectas y resta importancia a la línea que separa la realidad de la fantasía. Valoran el tiempo que pasan juntos y viven cada instante en el «presente», disfrutando de los sueños, viviendo cerca uno del otro, sabiendo que en cualquier momento sus sueños pueden quedar eliminados de su mente para siempre. Matemáticas simples Muchos de los rompecabezas de Mobius incluidos en este libro interesan a personas aficionadas a las matemáticas recreativas y a las matemáticas en general. Quienes integran estos grupos de entusiastas han batido grandes marcas en la consecución de descubrimientos matemáticos relevantes. En 1998, el inventor autodidacto Hadan Brothers y el meteorólogo John Knox desarrollaron un sistema mejorado para 286



calcular una constante fundamental e (a me nudo rcdond<'ada en 2.718). Cierlos crecimientos exponenciales (desde colonias bacterianas hasta intereses bancarios) se basan en '" un número que no se puede expresar como una fracción y r uyo valor solo puede determinarse de manera aproximada, mediante computadoras. Knox demostró que los aficionad os siguen aportando grandes progresos en matemáticas y contribuyen a encontrar vías más precisas para calcular co nstantes matemáticas esenciales. Tal vez descubra usted un día alguna propiedad extraordinaria y aún desconocida d e la cinta de Mobius o invente un juguete basado en sus peculiares propiedades. Otra «principiante» que logró aportaciones considerables pa ra las matemáticas fue Marjorie Rice, un ama de casa de San Diego con cinco hijos que en la década de 1970 descubrió, trabajando en la mesa de la cocina de su casa, numerosos patrones geométricos que los estudiosos creían imposibles. La formación académica de Rice no superaba la d'· la enseñanza secundaria pero hacia 1976 había descubierto ·incuenta y ocho tipos especiales de baldosas pentagonales, la mayoría de ellas desconocidas hasta entonces. Su diploma más elevado era un título de enseñanza secundaria obtenido ' n 1939 para cuya obtención solo había recibido un curso de matemáticas generales. ¿La moraleja de la historia? Nunca ~s tarde para adentrarse en campos nuevos y realizar descubrimientos. Otra moraleja: uamás subestimes a tu madre! La idea de que en la actualidad aún se pueden descubrir ma temáticas muy simples pero profundas no es tan inverosímil como parece. Por ejemplo, entre mediados y finales del si glo XX, el matemático Stanislaw Ulam tuvo una eclosión d e ideas simples pero novedosas que enseguida condujeron a ramas nuevas de las matemáticas como las que se centran ~ n la teoría de autómatas celulares y el método de Monte Cario. Tal corno señala Martin Gardner en «The Adventures o f Stanislaw Ulam» (1976), «En reiteradas ocasiones, Ulam ha obtenido resultados profundos en campos que apenas 287



 conocía. Quizá por esa razón, logró ver los problem as de maneras novedosas». Otro ejemplo de sencillez y profundidad lo constituye el terselado de Penrose (el patrón de teselas que expusimos en el capítulo 7 formado por tan solo dos formas distintas de baldosas y descubierto en un momento tan tardío como 1974 por Roger Penrose). Estas baldosas pueden cubrir por completo una superficie infinita mediante un patrón que nunca se repite (aperiódico). El embaldosado aperiódico se consideró en un principio una mera curiosidad matemática, pero más tarde se descubrieron materiales físicos cuyos átomos se disponen siguiendo el mismo patrón que el embaldosado de Penrose, y en la actualidad este campo tiene gran relevancia en física y química. Deberíamos considerar asimismo el bellísimo e intrincado comportamiento del conjunto de Mandelbrot, un objeto fractal complejo descrito mediante la sencilla fórmula z = z2 + e, que salió a la luz a finales del siglo XX (figura C.2).



9.2 Ejemplo de fractal, una figura con detalles infinitos que surge a partir de una fórmula matemática simple.



288



Es probable que las computadoras faciliten el descubrimiento futuro de características asombrosas en matemáticas aparentemente simples. Volviendo al llamativo ejemplo del conjunto de Mandelbrot, Arthur C. Clarke apuntó una vez en El espectro del Titanic, En principio, [el conjunto de Mandelbrot] podría haberse descubierto en cuanto los hombres aprendieron a contar. Pero, aunque no hubieran cejado jamás ni cometido un solo fallo, la totalidad de los seres humanos que han existido no habría bastado para efectuar los cómputos de aritmética elemental necesaria para dibujar un conjunto de Mandelbrot de unas dimensiones bastante modestas. El propio doctor Mandelbrot comentó su descubrimiento del cortjunto en una entrevista para New Scientist en 2004: Su asombrosa complejidad superaba de forma absolutamente desmesurada mis expectativas. Esto es lo curioso: la noche que vi el conjunto, me pareció sencillamente fabuloso. La segunda noche, me acostumbré a él. Después de varias noches, me familiaricé con él. Era como si lo hubiera visto antes. Por supuesto, no era así. Nadie lo había visto. Nadie lo había descrito. El hecho de que cierto aspecto de su naturaleza matemática siga siendo un misterio, a pesar de los cientos de personas brillantes que lo estudian, me parece la guinda del pastel. A diferencia del conjunto de Mandelbrot, la banda de Mobius no precisaba una computadora para revelar su hondura. De ahí que la banda de Mobius sea la metáfora última de lo simple, aunque profundo, algo que cualquiera podría haber estudiado siglos antes de su descubrimiento, pero no fue así. La banda de Mobius es una metáfora de la magia y el misterio, y un icono perpetuo que nos anima a soñar nuevos



289



 su eños y a buscar p rofundid ad incl uso en aguas a parc nl.'·mente superficiales. Anillo ambiguo La figura C.3 muestra un anillo ambiguo. ¿Por qué este objeto es, o no es, igual que una banda de Mobius? (Busque la respuesta en el apartado de soluciones).



Miré con gran curiosidad que comunicados socarrones de torturas de la CIA pasaban por algo normal en televisión al mismo tiempo se mantenía en marcha una banda de Mobius hecha de afirma ciones en las que se aseguraba que.. . el Presidente es irreprochable. Michael Gilson-De Lemos, «MG's Most Controversia[ Artíde Yet», Citizens for Legitimate Government



Las consecuencias en un mundo de banda de Mobius donde todo se dobla hacia nuestra propia vida no están solo «ahí fuera» sino también «aquí dentro», en nuestra alma, donde el ácido corrosivo del autoengaño desafía la convicción estadounidense de que somos buenos, o mejores, o diferentes. Richard Thíeme, «Í was a Víctim ofthe KGB», Common



Dreams News Center



9.3 Anillo ambiguo. ¿Es este objeto una banda de Móbius?



Mobius en los negocios y la política gubernamental El gobierno actual está organizado como una especie de banda de Mobius donde la desconfianza circula por ella sin cesar. Philip K. Howard, The Collapse of the Common Good:



How America's Lawsuit Culture Undermines Our Freedom Los nombres personales también crean un bucle retributivo que se autorefuerza, una especie de banda de Mobius comercial. Cuando la gente cuyo nombre se ha incorpodaro a una marca comercial obtiene buena publicidad, se mejora la reputación de toda la firma. Harry Beckwith, What Clients Love: A Field Cuide to



Growing Your Business



290



29 1



 SOLUCIONES



Capítulo 1



FIG.2A



La cinta de fitness parece cerrada. Suponiendo que el buen doctor esté intentando correr hacia delante, cada eje de la máquina giraría en sentido contrario a las agujas del reloj, visto desqe la perspectiva del lector. En cambio, para que la cinta en forma de ocho funcione adecuadamente, cada uno de sus ejes debe girar en una dirección diferente. Si la cinta en forma de ocho se reemplazara por una cinta de Móbius en forma de bucle (no de ocho), la máquina funcionaría y haría girar los ejes a los que estuviera unida en la misma dirección. De hecho, las cintas de este tipo suelen ser superiores a las normales porque se desgastan a la mitad de la velocidad, dado que se exponen ambas «caras» a la goma de los ejes.



Capítulo 2



FIG.28



Para resolver este problema de nudos, consideremos que existen dos cruces posibles en cada punto de intersección. Esto significa que hay 2 x 2 x 2 = 8 conjuntos posibles de cruces. De todas esas posibilidades, solo dos forman un nudo. (Compruébelo usando un circuito de cuerda.) Por tanto, la probabilidad de tener un nudo asciende a una entre cuatro. ¡No apueste a que lo hay!



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 l ,a figura A. I rn uestra otra co nfiguració11 posible de cuerda.



¿Qué probabilidades hay de que forme un nudo? ¿Aumenta la probabilidad de que se forme un nudo con el incremento del número de puntos de intersección? ¿Qué dice esto sobre la ley de Murphy: que los cabos, cuerdas y cables eléctricos siempre parecen enredarse cuando se arrumban amontonados en el garaje?



A.l Otra configuración posible de cuerda. ¿Qué probabilidad hay de que forme un nudo?



Capítulo 4 La figura A.3 muestra una solución. Muchos de mis amigos genios me decían que este problema era imposible de resolver. En cambio, cuando mis amigos contemplaban el rompecabezas un día después, solían resolverlo ese segundo día.



A.3 Una solución del rompecabezas del arca de Noé.



Capítulo 5 Capítulo 3 La figura A.2 ofrece una solución al enigma del «laberinto de Móbius» de Dave Phillips.



A.2 Una solución al «Laberinto de Mobius» de Dave Phillips. 2~)4



Para el rompecabezas de garabatos, repárese en que al trazar un mapa sobre un plano usando una línea continua, sin levantar el lápiz del papel y regresando al punto de partida, solo se precisan dos colores para crear un mapa donde dos regiones cualesquiera que compartan linde tengan colores diferentes. La figura A.4 ofrece un ejemplo de superficie así pintada. ¡Pruebe con otros patrones!



A.4 Una solución del rompecabezas del mapa de garabatos.



295



 En cuanlo al accrLijo de la pirámide, la segunda imagen es incorrecta. En primer lugar, consideremos las perspectivas dos y cuatro. Nótese que el color que falta en ambas es el verde. Esto significa que el verde debe encontrarse en la base que permanece oculta en estas imágenes. Por tanto, no es posible que tanto la dos como la cuatro sean correctas al mismo tiempo. Una de las dos es falsa y, por tanto, la primera imagen, la tercera y la quinta deben ser correctas. Examinemos ahora la tercera pirámide. Intente imaginar que la cara verde es la base de la perspectiva tres. Esto significa que los lados de la pirámide son de color rojo, morado y amarillo, lo que se corresponde con la pirámide cuatro. Esto evidencia que la perspectiva incorrecta es la dos. Capítulo 6



~~



~~



~~



A.6 Otra transformación maravillosa sin romper los aros. Los tres anillos de la izquierda se transforman en la configuración de la derecha inferior de manera que uno de los aros se suelte de los otros dos. (Extraído de The Penguin Dictionary of Curious and lnteresting Geometry, de David Wells.)



La figura A.5 muestra un modo de transformar los anillos enlazados en anillos sueltos.



Capítulo 7



~



~ A.5 Un modo de transformar los anillos enlazados en anillos sueltos sin cortar ninguno de ellos. (Extraído de The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, de David Wells.)



Terminemos con otro problema de anillos cuya solución daremos a continuación para no torturar más el cerebro de nuestros lectores. En la figura A.6 es posible transformar los tres anillos enlazados de la izquierda de la figura de manera que uno de ellos se libere de los otros. 296



La figura A. 7 indica el recorrido que hay que seguir para resolver el laberinto del toro. Basta con ir de 1a2, de 2 a 3 y de 3 a 4. La figura A.8 muestra la solución al laberinto de la botella de Klein. Vaya de 1a2 y ¡habrá terminado!



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A. 7 Solución del laberinto del toro.



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l .a solución del problema ilustrado en la figura 7.45 es



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la banda cuadrada que enmarca la propia figura 7.45. La solución es la misma con independencia de la cantidad de 1ncdios giros que tenga uno de los brazos. ¡Siempre resulta 11 na banda cuadrada y plana de papel! Aprendí mucho sobre ('stos rompecabezas con la obra de James Tan ton Salve This: Math Activities far Students and Clubs y la obra de Martín Gard11cr Festival mágfra-matemática.



Capítulo 8



A.8 Solución del laberinto de la botella de Klein.



En cuanto a las configuraciones endiabladas, las construcciones son equivalentes a un giro, con el añadido de una banda simple de enlace, tal como se muestra en la figuraA.9. Si una o ambas secuencias de giros constan de un número impar de medios giros, entonces aparece una sola pieza al cortar la figura por la línea de puntos. Si cada secuencia de giros consta de un número par de medios giros, se obtienen dos piezas separadas y entrelazadas.



La manera más rápida de que el señor Nadroj dilucide si se encuentra dentro o fuera de las curvas dejordan consiste en contar el número de veces atraviesa el cable una línea ima~inaria trazada desde él hasta el mundo exterior. La figura /\.10 muestra varios ejemplos de líneas. Si la línea recta cruza d cable un número par de veces, la hormiga se encuentra ruera del laberinto; si la atraviesa un número impar de veces, entonces se encuentra dentro de él. 9



9



A.1 O Manera sencilla de esclarecer si la hormiga se halla inmersa en la prisión sin trazar ningún recorrido. A.9 Banda girada con el añadido de una banda simple conectada.



298



299



 Volviendo al mundo real, el matemático f'ran cb; Maric Ennemond Camillejordan (1838-1922) ofreció una demostración de las mismas reglas para determinar el interior y el exterior de esta clase de curvas. (Oswald Veblen corrigió dicha demostración en 1905). Jordan se había formado en un principio como ingeniero. Nótese que una curva de Jordanes una curva plana que constituye un círculo deforme, y que debe ser simple (la curva no se cruza a sí misma) y cerrada (no debe tener ningún extremo y, además, debe abarcar un área por completo). En un plano o una esfera, las curvas de Jordan tienen una parte interior y una exterior, y para ir de un lado al otro hay que atravesar al menos una línea. En cambio, en un toro, las curvas de Jordan requieren necesariamente el cruce de una línea.



A.11 Anillo ambiguo trazado por el doctor Donald E. Simanek.



Conclusión



Creo que este objeto se puede clasificar como una ilusión óptica o un «objeto imposible» similar a otros objetos imposibles bien conocidos con nombres como el cubo de Escher, las escaleras de Penrose (a menudo dibujadas por M. C. Escher y por las que se puede ascender eternamente), el tridente de Penrose (con tres dientes cilíndricos dispuestos de una manera extraña), el triángulo de Penrose y la tuerca ambihelicoidal. En Internet se encuentran muchos más objetos de este tipo. El anillo ambiguo que se ilustra en la conclusión (figura C.3) parece tener dos lados, lo que significa que no es un bucle de Mobius. ¿Cree usted que el anillo ambiguo mostrado en la figura A.11 tiene las mismas propiedades que una cinta de Mobius? Esta ilustración la creó el doctor Donald E. Simanek, profesor de física en la Universidad Lock Haven de Pennsylvania. ¿Tiene una sola cara el triángulo de Penrose de la figura A.12?



A.12 Triángulo de Penrose.



Si tapamos con una mano el tercio izquierdo o derecho de la figura A.11, la figura no resulta «nada conflictiva». Al mirar la parte izquierda del anillo, todo parece normal, coherente con un aro visto desde arriba. Al contemplar la parte derecha del anillo, todo parece concordar con un aro visto desde abajo. Pero, al observar todo el anillo de una vez., el analítico cerebro humano se revela y dice «¡imposible!». El viaje termina con un laberinto de Dave Phillips. Ayude a un robot a encontrarse con el otro siguiendo el camino más corto. ~01



300



 Los extremos de las espirales ::ion vías muertas. No vale trepar por los bordes, por supuesto.



mismo lado de una banda de una sola cara, y un ej ernfJlo tan claro como el que siempre verán en un político que discute por ambas comisuras de los labios.



Matt Taibbi, «Mere Words», FreezerBox.com Pero tras dos horas de debate sin pausa el diálogo a modo de banda de Mobius puede inducir desorientación e incluso puede pasarse por alto una conclusión obvia.



«Shimmer Traverse Theatre», Edinburgh Financia! Times



La banda de Mobius en el lenguaje Pero muchos soldados en Vietnam, incluido Kerry, se sentían exactamente así, «nada seguros», acerca de la propia misión de guerra. Kerry escribió este pasaje de tal modo que también se puede interpretar a la inversa, si nos apetece. Se trata de una retórica del estilo de una banda de Mobius que dice «no estoy seguro de irme a casa» y «no estoy seguro de estar haciendo lo que debo» sobre el 302



303



 REFERENCIAS Y APÉNDICE



El segundo estado cuántico fermiónico de vacío de la teoría quiral de Yang-Mills para G = SU(2) y r = 2u en laformuclación hamiltoniana (gauge temporal W 0 = O), tiene por tanto una estructura de haz de Mobius sobre un bucle específico no contractible de transformaciones gauge estáticas x3-independientes.



F. R. Klinkhamer, «Z-string Global Gauge Anomaly and Lorentz Non-Invariance», Nuclear Physics B, 1998



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 l lc d'cctuaclo la cornpilaci611 sigui e nte de rcf'crcncias, en la



que incluyo la mayor parte del material qu e he empic ado en mi investigación para la r edacción d e este libro. Incorpora información entresacada de libros, revistas y páginas de Internet. Buena parte del público lector ya sabe que las páginas de Internet vienen y van. En ocasiones cambian de dirección, o simplemente desaparecen. La lista de direcciones de Internet que aporto me proporcionó una valiosa información de fondo a la hora de escribir esta obra. Por supuesto, hay mucho otros recursos en Internet relacionados con la cinta de Mobius y se pueden localizar con herramientas de búsqueda como las que proporciona www. google.com. Si he pasado por alto algún rompecabezas matemático interesante o a alguna persona, referencia o hecho anecdótico relacionado con Mobius y que usted considere que no goza del reconocimiento que merece, entonces hágamelo saber. Acuda a mis páginas en Internet, www.pickover.com (en inglés) y envíeme un mensaje electrónico con una explicación de la idea que incluya cómo cree usted que ha influido en el mundo. Por motivos de espacio, y de manera intencionada, me he abstenido de introducir conceptos matemáticos avanzados como las redes de Mobius, las dualidades de Mobius, las transformadas de Mobius, la estática de Mobius, las transformaciones· de Mobius, los grupos de Mobuis, las fórmulas de inversión de Mobius o los haces de Mobius. Quien sienta una necesidad imperiosa de aprender estos conceptos puede tener en cuenta que quizá en el futuro escriba otro libro dedicado en exclusiva a estos conceptos intrincados. Pero entretanto le puede interesar la obra de Roger Penrose El camino a la realidad: una guía completa de las leyes del universo (2005, edición en castellano de 2006), que incluye otras delicias relacionadas con Mobius, entre



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·llas una introducción los haces de Mobius. Hablando en términos generales, un haz de Mobius consiste en un espacio que localmente se asemeja al producto de dos espacios, pero que posee una estructura global diferente. Los dibujos matemáticos de estos haces se suelen parecer a manojos de cabellos (las fibras de los haces) que nacen de una piel (la variedad diferencial), tal y como se representa en las páginas de Internet de MathWorlds dedicada a los haces: http:/ /mathworld. wolfram.com/FiberBundle.html. Los haces de fibras sirven de herramienta matemática muy adecuada en física de partículas. Para que el público lector capte alguna pincelada del resto de los conceptos avanzados relacionados con Mobius, podemos comentar que una transformación de Mobius es una función de la forma



f(z)=E'l +b E +d donde tanto ad± be como a, by e son números complejos. El punto z =-di e tiene como imagen f(z) =.Al punto z = oo le corresponde f(z) = a/ c. Aparte de sus aplicaciones e n matemáticas y física, las transformaciones de Mobius se pueden usar en el arte para generar sorprendentes representaciones gráficas de fractales (figuras R.l, R.2, R.3, R.4). El profundo significado matemático que subyace a muchas de estas gráficas relacionadas con las transformaciones de Mobius está explicado en el libro lndra 's Pearls: The Visiono ofFelix Klein (2002), de David Mumford, Caroline Series y David Wright. Las formas fractales se trazan en un proceso iterativo (repetitivo) de transformaciones de Mobius y sus inversas. Los detalles de las figuras pe rsisten al aumentarlas como si se tratara de un juego de munecas rusas.



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 R.l Imagen de un grupo de Klein. Conjunto límite representado por medio de transformaciones de Móbius de la forma z -7 ( az + b) / ( cz + á). Este fractal en concreto se trazó gracias a dos transformaciones de Móbius y sus inversas. El proceso iterativo desplaza múltiples veces un punto sobre el plano complejo. El conjunto de puntos resultante forma el conjunto límite, que es lo que se representa gráficamente en esta figura. No importa con qué frecuencia ni en qué orden se repitan los desplazamientos: los puntos nuevos siempre caen en algún lugar dentro de las formas curvadas del dibujo. Las transformaciones de Móbius convierten círculos en círculos, y esta propiedad es la que induce la aparición de los objetos de apariencia esférica en la imagen. (Ilustración de Jos Leys, wwwjosleys.com) .



R.4 El algoritmo de fracciones complejas repetidas de Asmus Schmidt emplea transformaciones de Móbius para generar una teselación del plano cada vez más fina. Esta imagen elaborada por Doug Hensley representa una parte de la quinta teselación y muestra la enorme riqueza de formas y patrones que hay hilada en el tejido de las matemáticas.



La transformada de Mobius, de una función f definida sobre los enteros positivos se representa como Tfy se define así: (T/)(n) = Lf(d)µ(n/ d) = Lf(n/ d)µ(d) din



din



donde µes la función de Mobius habitual, y la notación din indica que d es divisor de n. La función Tf se llama también la inversa de Mobius de J La fórmula de inversión de Mobius establece que si g( n) y f( n) son dos funciones aritméticas que cumplen R.2 Lo mismo que en R.l, pero con valores distintos para a, b, cy d. (Ilustración de Jos Leys, wwwjosleys.com). R.3 Experimento gráfico que emplea transformaciones de Móbius. (Ilustración de Ed Pegg, hijo, www.mathpuzzle.com).



g(n) = Lf(d) para todo entero?: 1 din



entonces



f(n) =- L~(d)¡t(n/ d) para todo entero?: 1 11111



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 donde ¡tes la f'u11ci611 de Móbius habilual y la nolación din indic-1 que rL es divisor den. La dualidad de Móbius para el espacio tridimensional establece que cada punto corresponde a un plano, y viceversa. Jeremy Gray indica en Mobius and His Band que «el caso anlisimétrico es nuevo, y se trata de uno de los hallazgos más agudos de de Mobius». El descubrimiento de que en los espacios de dimensiones impares hay un tipo nuevo dualidad que no está asociada a las cuádricas se debe a Mobius y surge de sus estudios de mecánica geométrica». Se puede consultar www.wikipedia.org, o bien http:/ / mathworld.wolfram.com para encontrar estas fórmulas con notaciones diferentes. Estas páginas de Internet se actualizan con frecuencia a medida que quienes las leen aportan propiedades y aplicaciones adicionales de estos conceptos relacionados con Mobius. El libro Mobius and His Band de Fauvel, Flood y Wilson aporta más datos. La red proporciona citas de una complejidad deliciosa cuando se buscan referencias acerca de los haces de Mobius. Les dejo esta joya, aparte de la que encabeza este apartado: El complejo de Thom de la banda de Mobius es el plano proyectivo, y MDsu espectro de suspensión, es decir, SZ2 • La transformación eD: MD ~ HZ2 se puede identificar así con la inclusión de 1-esqueleto (estable), o sea, la aplicación de Hurewicz de módulo 2 ... Sea p/ I el haz de Mobius, que es el haz unidimensional de vectores que se construye uniendo los haces triviales sobre [O, 1/2] y [1/2, l] al multiplicar por -1 en la fibra sobre 1/2. Entonces, a pesar de que p/ I constituye el haz trivial, queda dotado de trivializaciones opuestas de la~ dos mitades de I Sea p/ !la versión estable. Llamaremos p/ I al giro de Mobius (estable). Roger Fenn, Colin Rourke, Brian Sanderson, <


rompecabezas basados en los mundos de Mobius que flolan por el espacio. La figura R.5 representa una joya creada por el maestro de los rompecabezas Dave Phillips. Me escribió: «Encuentre el camino que deben tomar las cuatro moscas de modo que todas sigan el mismo recorrido sin encontrarse, y sin repetir tramos, hasta que todas regresen a sus puestos de partida. Las caras anterior y posterior de los caminos se consideran diferentes».



R.5 Rompecabezas de las moscas de Mobius creado por Dave Phillips. Hay que encontrar el recorrido común que deben seguir las cuatro moscas para que al cabo de trazarlo no se hayan encontrado entre sí, ni hayan repetido tramo, y terminen en los puestos originales. El anverso y el reverso de los caminos se consideran distintos.



La banda de Mobius en la estética Lo que parecía una progresión lineal era en realidad una especie de banda de Mobius: la progresión del arle comenzó en Lascaux solo para finalizar, unos 15 000 años



Espero que el público lector me siga enviando creativos



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 después, con artistas que aspiran a pintar como los hombres de las cavernas. Ahora, tras el fin del arte, todo vale. Natasha Degen, « The Philosofphy of Art: A Conversation With Arthur C. Danto», The Nation Los ingredientes, servidos en una olla pequeña de hierro y de dos asas, se disponían con armónica simetría japonesa. Porciones nacaradas de tofu cremoso cubrían en forma de abanico la mitad de la circunferencia de la olla y se encontraban con volutas de pastel gelatinoso de pescado en forma de banda de Mobius, seguidas de medallones de daicón que parecían rodajas blancas de manzana, y acabadas en mazorcas de maíz baby.



Lorraine Gengo, «My Traves With Sukiyaki», Fairfield County Weekly



MATERIAL DE CONSULTA POR CAPÍTULOS



Introducción



Fauvel, John, Raymond Flood, y Robin Wilson. Mobius and His Band: Mathematics and Astronomy in Nineteen-Century Germany. Nueva York: Oxford University Press, 1993. Gardner, Martin. Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions: The First Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Games. 1959. Reimpresión, Chicago: University of Chicago Press, 1988. Smith, Bruce. «Brewer marketing new energy beer». Columbia (SC) State, 21 de noviembre de 2004. http://www.thestate.com/mld/thestate/news/local/ 10240117.htm. (Sobre la cerveza de Móbius.) Capítulo 1



...



Gardner, Martin. Mathematics, Magic and Mystery. Nueva York: Dovcr, 1956 . Reamer, Eric. «Ministry Trick of the Month: Móbius Madness». Eri Reamer's Illustrated Illusions. http:/ /www.illustratedillusions.com/ trick26.htm. Regling, Dennis. «Make ItYourselfMagic Loops». Bella Online. http://www. bellaonline .com/ articles/ art5655 .asp. Capítulo 2 Adams, Colin. «Why knot: knots, molecules and stick numbers». Plus. http:/ /plus.maths.org/issuel5/features/knots/. Bows, Alice. «Non-collapsing knots could revea! secrets of the u 11iverse». Institute of Physics.



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 g1n/1h-y. l".dírí<'>11 d(' Clt:1rlcs Cí llí spíc. Nu('va York: Cha1 ks Sníh11('r, 1!l7'1. W('ísslcin, Eríc. «Mobiw;, August Ferdinand». Eric Weisstein's World of' Scicntiflc Biography. h 11 p: / / scíenceworld. wolfram.com/biography / Moebius.h tml. (Es1a referencia indica que un resultado numérico fascinante del cálculo baricéntrico de Mobius es que la probabilidad de que cinco puntos de un plano elegidos al azar caigan sobre una hipérbola es infinitamente mayor que la probabilidad de que caigan sobre una e lipse). Yaglom, Isaak Moiseevich. Felix Klein and Sophus Lie: Evolution of the ldnt o/Symmetry in the Nineteenth-Century. P39. Boston: Birkhauser, 1988. Capítulo 4 /\jami, D., O. Oeckler, A. Simon y R. Herges. «Synthesis of a Mobius a romatic hydrocarbon». Nature426 (18 de diciembre de 2003) 819821. Albrecht-Gary, A.M., C. O. Dietrich-Buchecker,J. Guilhem, M. Meyer, C. Pascard, J. P. Sauvage. «Dicopper (1) Trefoil Knots: Demetallation Kinetic Studies and Molecular Structures». Recueil des Travaux Chimiques des Pays-Bas 112 núm. 6 (1993): 427-428. Beavon, Rod. «Chirality». http:/ /www.rod.beavon.clara.net/ chiralit.htm. Billingsley, Patrick. «Prime numbers and Brownian motion». American Mathematical Monthly 80, núm. 1099 (1973). http:/ /www.maths.ex.ac.uk/-mwatkins/zeta/wolfgas.htm (Acomete e l empleo de la función de Mobius en el campo de la teoría cuántica de campos). «The Cost of Ideas». Economist 313, núm. 8401 (13 de noviembre de 2004): 71. http: //economist.com/ opinion/ displayStory.cfm?Story_id=3388936. (Sobre el estado de las patentes en e l siglo XXI). Dietrich-Buchecker, C. O.,J. Guilham, C. Pascard,J.-P. Sauvage, «Structure of a Synthetic Trefoil Knot Coordinated to Two Copper(I) Centers», Angewandte Chemie (International Edition English) 29, núm. 1154 (1990). Dietrich-Buchecker, C. O., y J.-P. Sauvage. «A Synthetic Molecular Trefoil Knot». Angewandte Chemie (lnternational Edition English) 28 (1989): 189-192. Dietrich-Buchecker, C. O.,J.-P. Sauvage,J.-P. Kintzinger, P. Maltese, C. Pascard, J. Guilhem. «A Di-copper(I) Trefoil Knot and Its Parent Ring Compounds: Synthesis, Solución Studies and X-ray Structures». New]ournal of Chemistry 16 (1992): 931-942.



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Oietrid1-B1u h1 ·1 k1 •1, ( :. ( )., .J.-F. Ni crcngarlcn , J.-P. Sauvagc, N. /\rlllaroli, V. Balzani, L. Oc Cola. «Dicopper(I) Trefoil Knots and Related Unknotted Molecular Systems Influence of Ring Size and Structural Factors on their Synthesis and Electrochemical and Excited-state Properties». Journal of the American Chemical Society 115 (1993): 11237-11244. Dietrich-Buchecker, C. O, J.-P. Sauvage, A. De Cían, J. Fischer. «Highyield Synthesis ofa Dicopper(I) Trefoil Knot Containing 1,3-phenylene Groups as Bridges Between the Chelate Units». Chemical Society, Chemistry Communications 19 ( 1994): 2231-2232. Du, S.M. y N. C. Seeman. «The Construction of a Trefoil Knot from a DNA Branchedjunction Motif»». Biopolymers 34 (1994): 31-37. Hoffman, Paul. Archimedes' Revenge: The ]oys and Perils of Mathematics. Nueva York: Norton, 1988. Existe edición en lengua catalana, La revenja d'Arquímedes: els plaers I els perills de la matematica. Palma de Mallorca: Editorial Moll, 1996. Joy, Linda. «Knot to be Undone, Researchers Discover Unusual Protein Structure». National Institute ofHealth. http:/ /www.nih.gov/news/ pr/ nov2002/nigms-26.htm. Martín-Santamaría, Sonsoles y H e nry S. Rzepa. «Twist Localisation in Single, Double and Triple Twisted Mobius Cyclacenes». journal of the Chemical Society. 2, núm. 12 (2000): 2378-2381. http:/ /www.rsc.org/suppdata/P2/BO/B005560N/b005560n.htm. Mobius, August. Gesammelte Werke. Edición de Richard Baltzer, Felix Klein y Wilhelm Scheibner. 4 vols. Leipzig: re impresió n de Dr. Martín Sandig oHG, Wiesbaden, 1967. Rzepa, Henry S. «Molecular Mobius Strips and Trefoil Knots». http:/ / www.ch.ic.ac. uk/ motm/ trefoil/ Sauvage,Jean-Pierre. «lnterlocking Rings and Knots at the Molecular Leve l». Leonardo30, núm. 4, (agosto de 1997): 276-277. http: // mitpress.mit.edu/ catalog/ item/ default.asp?tid=5005&ttype=6 Spector, Donald. «Supersymmetry and the Mobius Inversion Function». Communications in Mathematical Physics 127 (1990): 239. Tanda, Satoshi, Tsuneta Taku, Okajima Yoshitoshi, Inagaki Katsuhiko, Yamaya Kazuhiko y Hatake naka Noriyuki. «A Mobius Strip of Single Crystals. » Nature417, núm. 6887 (23 de mayo de 2002): 397-398. Walba, David, Rodney Richards y R. Curtís Haltiwanger. «Total Synthesis of the First Molecular Mobius Strip». Journal of the American Chemical Society 104 (1982): 3219-3221. Walba, D.M., T. C. Homan, R.M. Richards y R. C. Haltiwanger. «Topological Stereochemistry. 9. Synthesis and Cutting in Half of a Molecular Mobius Strip». New Journal of Chemistry 17 (1993): 661-681. Walba, David. «A Topological Hierarchy of Molecular Chirali ty and other Tidbits in Topological Sterochemistryn. En New Developments in Moln·11,lar Chirality. Vol. 5. Edición de P. Mezey, 119-129. Bosto n: Kluwn /\ra


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Capítulo 5 Código del programa para generar un solenoide El seudocódigo siguiente calcula las coordenadas (x, y, z) de los cent ros de los tubos anidados para la construcción del solenoide. leve]: nivel de anidamiento circlepts: número de paso a lo largo del círculo longitudinal zr, zi: ángulo longitudinal, en forma de par de números complejos wr, wi: ubicación dentro del disco de sección, en forma de par de números complejos. circlepts = 36; pi= 3.14159; for i=O to circlepts do begin angle = 2 * pi * i / circlepts; x = cos(angle); (*longitudinal inicial*) y= sin(angle); (*posición angular*) zr = x; zi =y; (* como número complejo *) wr = O; wi =O; (* ubicación en la sección *) f'or j = 1 to level do begin wr = wr + zr/4; wi = wi + zi/4; zx = zr * zr - zi * zi; ('" cuadrado de un complejo *) zy = 2*zr*zi; (* de z *) zr = zx; zi = zy; e nd; x = zr * (1 + wr) ; y = zi*(l + wr);



z=



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wi;



(* El rndio de l disro de sección ce ntrad o e n e l punto (x, y, z) es 1/ (2* * (lcvcl+ J)) *) end; Nota: En su libro de 1872 Budget of Paradoxes, Augustus De Morgan explica una ecuación relacionada con m a un actuario de seguros. Alude a la aproximación de binomios por medio de la distribución normal, un cálculo que exige el empleo del número pi. Robert L. Brown escribe lo siguiente en el número de noviembre/ diciembre de 2002 de la revista de la American Actualities Association, Contingencies (véase http:/ /www. contingencies.org/ novdec02/letters. pdf): En el caso de cualquier individuo perteneciente a un grupo, las probabilidades de vivir (o morir) son binomiales. Pero para el grupo (formado por un gran número de individuos), el teorema del límite central afirma que sus múltiples binomios se pueden aproximar por medio de la distribución normal. Y, por supuesto, la evaluación de esta distribución exige emplear la constante pi. Esto y de acuerdo ... en que no hay relación alguna entre una circunferencia y el número de personas que permanecen vivas al cabo de un tiempo determinado. Alexander, J. W. «An Example of a Simply Connected Surface Bounding a Región Which Is Not Simply Connected». Proceedings of the NationalAcademy ofSciences 10 (1924): 8-10. (Sobre la esfera cornuda de Alexander). Biggs, Norman. «The Development ofTopology». En Mobius and His Band: Mathematics and Astronomy in Nineteenth-Century Germany. Edición de Fauvel,J., R. Flood y R. Wilson. Oxford, Inglaterra: Oxford University Press, 1993. · Boas, Ralph. P., hijo. «Mobius Shorts». Mathematics Magazine68, núm. 2 (abril de 1995): 127. Bogomolny, Alexander. «Barycentric coordinates». Cut the Knot. http: / /www.cut-the-knot.org/triangle/barycenter.shtml. Bouwkamp, C. J. y A. J. W. Duijvestijn. «Catalogue of Simple Perfect Squared Squares of Orders 21 Through 25». Eindhoven University of Technology, Dept. of Math. Report 92-WSK-03, noviembre de 1992. Bouwkamp, C. J. y A. J. W. Duijvestijn. «Album of Simple Perfect Squared Squares of Order 26» . Eindhoven University of Technology, Faculty of Mathematics and Computing Science, EUT Report 94-WSK-02, diciembre de 1994. Brooks, R. L., C. A. B. Smith, A. H. Stone y W. T. Tutte. «The Dissection of Rectangles in to Squares». Duke Mathematics Journal 7, núm. 1 (1940): 312-340. Browne, Cameron. Página de arte de Cameron. http://members.optusn et.com.au/ cameronb/ art-1.htm. (Sobre la esfera co rnuda de Alexander). Crowe, Mi ch;wl. u/\11g11s1 Fcrdinand Mobius». En Dictionary of Scien-



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Capítulo 6 Notas: /\'l universo visible: En 2004, el radio del universo visible se estimó en 78 111il millones de años-luz y su edad, en 13 700 millones de años. (El radio del universo no mide 13 700 millones de años-luz porque el espacio (:xperimenta una expansión continua, de forma que la expansión más rápida se produjo justo después del nacimiento del universo). Líneas sobre una esfera: Algunos científicos no consideran «líneas» paralelas las líneas de latitud de la Tierra. Excepto en el ecuador terrestre, las «lín eas» de latitud no se corresponden con la distancia más corta entre dos puntos. El círculo máximo entre dos puntos de la Tierra, idealizada como una esfera, es una geodésica, y el término «círculo máximo» alude ' t cualquier círculo trazado sobre una esfera que tiene el mismo diámetro que ella. En términos intuitivos, una banda elástica desplegada sobre un trazado no geodésico, se contraería en sentido longitudinal por razones e nergéticas para seguir el trazado próximo más corto. ¿Cuántas copias existen de usted? Los estudiosos sostienen que si la materi a y la e ne rgía del universo surgieron por fluctuaciones cuánticas alea-



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torias, t.al como indi ca la inllación cósmica, e nton ces existirá un número infinito d e copias de la configuración finita de la materia y la energía co ntenidas en el universo visible, fácilmente contenidas en una esfera de 100 mil millones de años-luz de diámetro . La comunidad científica cree que un fragmento de materia y energía contenidas en una esfera finita solo puede adquirir una cantidad finita de disposiciones, debido a una limitación conocida como el «restricción holográfica». Para profundizar más en el tema consulte «Physics Enters the Twilight Zone» de Charles Seife. ALGORITMO: Cómo crear una botella de Klein de Banchoff for(u =O; u< 6.28; u= u+2){ for(v =O; v < 6.28;v = v+.051 x = cos(u) * (sqrt(2) +cos(u/2) *cos(v)+sin (u/2) *sin (v) *cos(v)); y= sin (u)* (sqrt(2)+cos( u/2) *cos(v)+sin (u/2) *sin (v) *cos(v)); z = -sin(u/2)*cos(v)+cos(u/2)*sin(v)*cos(v); DrawSphereCenteredAt(x,y,x) ll Adams, Colín yJoey Shapiro. «The Shape ofthe Universe: Ten Possibilities». American Scientist (setiembre/octubre de 2001) : 443-453. Adams, Fred y Greg Laughlin. The Five Ages of the Vniverse: lnside the Physics of Eternity. 202-203; Lee Smolin, 1997, Lijé of the Cosmos. Nueva York: Oxford University Press: 1997. (Roger Penrose y Stephen Hawking han sugerido que el universo en expansión está descrito por las mismas ecuaciones que un agujero negro en colapso pero con la flecha del tiempo en la dirección opuesta. Los agujeros negros podrían ser las semillas que den origen a otros unversos. Según John Gribbin, en Stardust, el número de universos retoño podría ser proporcional al volumen del universo progenitor). Banchoff, Thomas. Beyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions. 2ª ed. Nueva York: Freeman, 1996. Cowen, Ron. «Cosmologists in Flatland: Searching for the Missing Energy». Science News 153, núm. 9 (28 de febrero de 1998): 139141. Davies, Paul. «A Brief History of the Multiverse ». New York Times, 12 de abril de 2003, última edición de la tarde, sec. A. (Véase además la página en Internet de Nick Bostrom, www.simulation-argument. com). Egan, Greg. Permutation City. Nueva York: HarperCollins, 1994. Klarreich, Erica. «The Shape of Space». Science News 164, núm. 19 (8 de noviembre de 2003): 296-297. Moore, Alan, y Kevin O'Neill. «The New Traveller's Almanac». En League of Extraordinary Gentlemen, vol. 2. Nueva York: DC Comics, 2003. Overbye, Dennis. «Universe as Doughnut: New Data, New Debate». New York Times, 11 de marzo de 2003, última ediciónde la tarde , sec. F.



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Capítulo 7 Albert, Don. «Mobius heart» . http:/ /home.earthlink.net/-donaldwalbert/Pages/ DAGAdesignPrint.html.



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 'l\11111111 ,,l:i11ws. So/111• '/'hi.1: !1/11/h Atlioilil'sji11 Sl1ulf'11/,1 Ollfl (,'/11/J.1'. Waslii11g1011 , D.C.: Tite Ma1ltc111atirnl /\ssocia1ion ol' /\rncrica , ~()() 1. Wa 1ki11s,Jol111.J. /\cross tlu, !Joarrt: '/'/u, Mritlumw.tú:s u/ Clwl'Súomd Proúlems. Pri11ccton, NucvaJcrscy: Princcton Universily Prcss, 2004. Capítulo 8 Nota: varias de las personas que leyeron el manuscrito de este libro me preguntaron el significado de la palabra viconiano que aparece en el prólogo de la obra Perdido en la casa encantada de John Barth. Este 1é rmino alude a las teorías del filósofo napolitano, Giambattista (Giov<1nni Battista) Vico (1668-1744), relacionadas con la naturaleza cíclica de la cultura. En concreto, Vico sostenía que la historia es cíclica y que ntda ciclo consta de tres edades distintas: una edad divina, una edad he roica y una edad humana. A estas edades les sigue una pequeña edad de transición que inicia el siguiente ciclo. Barth, John. «Art of the Story: Interview with John Barth». De Elizabeth Farnsworth. NewsHour with]im Lehrer (18 de noviembre de 1998) . h ttp://www.pbs.org/newshour /bb/ entertainmen t/july-dec98/ barth_ll-18.h tml. Kasman, Alex. «Geometry, Trigonometry, and Topology in Math Fiction». Mathematical Fiction: A List Compiled by Alex Kasman, College of Charleston. http:/ /math.cofc.edu/faculty /kasman/MATHFICT /search. php?orderby =title&go=yes&topics=gtt. Pickover, Clifford. Sex, Drugs, Einstein, and Elves: Sushi, Psychedelics, Parallel Universes, and the Quest for Transcendence. Petaluma, California: Smart Publications, 2005. Sorrentino, Christopher. «Reading Coleman Dowell's Island People». Center for Book Culture. http://centerforbookculture.org/context/no3/sorrentinúm.htm. Conclusión Boittin, Margaret, Erin Callahan, David Goldberg y Jacob Remes. «Math that Makes You Go Wow». http://www.math.ohio-state. edu/- fiedorow / math655 /yale/ random.htm. Gardner, Martin. Orden y sorpresa. Trad. de Nésto Míguez. Madrid: Alianza Editorial, 1986. (Recomiendo la consulta del capítulo «Las aventuras de Stanislaw Ulam»). Mandelbrot, Benoit. «A Fractal Life: Interview with Valerie J amieson ». New Scientist 184, núm. 2473 (13 de noviembre de 2004): 50-52. Pickover, Clifford. Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind,



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SOBRE EL AUTOR



Clifford A. Pickover se doctoró por el Departamento de Biofísica y Bioquímica Molecular de la Universidad de Yale. Fue el primero de su promoción, al completar el programa cuatrienal de la licenciatura en la Universidad Franklin and Marshall College en tan solo tres años. Ha escrito numerosas obras que se han traducido al italiano, francés, griego, alemán, japonés, chino, coreano, portugués, castellano, turco y polaco. Pickover, uno de los autores más prolíficos y eclécticos de nuestr os días, firm a libros tan conocidos como: A Passion for Mathematics (Wiley, 2005), Sex, Drugs, Einstein, and Elves (Smart Publications, 2005), Calculus and Pizza (Wiley, 2003), The Paradox of God and the Science of Omniscience (Palgrave/ St. Martin's Press, 2002), The Stars of Heaven (Oxford University Press, 2001), The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars (Princeton U niversity Press, 2001), Dreaming the Future (Prometheus, 2001), La maravilla de los números (Traducción de P. Crespo Quesada. Ma Non Troppo, 2002), The Girl ivho Cave Birth to Rabbits (Prometheus, 2000), Surfing Through Hyperspace (Oxford University Press, 1999), The Science of Aliens (Basic Books, 1998), Time: A Traveler's Cuide ( Oxford University Press, 1998), Strange Brains and Genius: The Secrel Lives of Eccentric Scientists and Madmen (Plenum, 1998), The Alien IQ Test (Basic Books, 1997), The Loom of God (Plenum, 1997), Black H oles-A Traveler's Cuide (Wiley, 1996), y Keys to Injinity (Wiley, 1995) . Además, es autor de muchos otros libros '.1~9



 111uy ;1rh1rnaclos entre los que se cucnLan



Uuws in Wonrlnüind:



\l i.wud A rlvrmtur'fs in a Fractal World ( 1994), M azes /or the Mind:



Cmnfmters and the Unexpected ( 1992), Computers and the Imagirwlion ( 1991) y Computers, Pattern, Chaos, and Beauty ( 1990), todos ellos publicados por St. Martin's Press. Ha publicado más de doscientos artículos sobre temas de ciencia, arte y rn aLe máticas. Asimismo es coautor, junto con Piers Anthony, de Spider Legs, novela que en su día ocupó el segundo lugar entre los títulos de ciencia ficción más vendidos en Barnes & Noble.com. En la actualidad, Pickover es redactor adjunto de la revista científica Computers and Graphics y forma parte del equipo editorial de Odyssey, Leonardo y YLEM. Fue responsable de la edición de los libros Chaos and Fractals: A Computer Graphical]ourney (Elsevier, 1998), The Pattern Book: Fractals, Art, and Nature (World Scien tific, 1995), Visions of the Future: Art, Technology, and Computing in the Next Century (St. Martin's Press, 1993), Future Health (St. Martin's Press, 1995), FractalHorizons (St. Martin's Press, 1996) y Visualizing Biological Information (World Scientific, 1995); y fue coeditor de las obras Spiral Symmetry (World Scientific, 1992) y Frontiers in Scientific Visualization (Wiley, 1994); el doctor Pickover está interesado en la búsqueda de nuevas vías para lograr una expansión continua de la creatividad mediante la fusión del arte, la ciencia, las matemáticas y otras áreas aparentemente dispares del afán humano. Es autor de la conocida serie de ciencia ficción titulada Neoreality (Liquid Earth, Sushi Never Sleeps, The Lobotomy Club y Egg Drop Soup), donde los personajes exploran realidades desconocidas. Los Angeles Times proclamó recientemente que «Pickover ha publicado casi un libro al año, y en ellos lleva al límite las computadoras, el arte y el pensamiento». Pickover fue galardonado con el primer premio del concurso «Beauty of Physics Photographic Competition», patrocinado por el lnstitute of Physics. Sus gráficas por computadora han ilustrado Ja cubierta de numerosas revistas conocidas, y sus estudios han recibido una atención considerable por parte de :1:10



la prensa en tiempos recientes, como en el programa d e la CNN Science and Technology Week, o en The Discovery Channel, Science News, The Washington Post, Wired y The Christian Science Monitor, así como en exposiciones y museos internacionales. La revista OMNI lo describió como «El homólogo de Van Leeuwenhoek del siglo XX». Scientific American ha utilizado su producción gráfica en varias ocasiones calificándola de «extraña y bella, de un realismo impresionante». La revista Wired escribió: «Bucky Fuller tenía una mente grande, Arthur C. Clarke tiene una mente grande, pero Cliff Pickover los supera a ambos». Pickover tiene en su haber más de treinta patentes estadounidenses, en su mayoría relacionadas con ideas novedosas para equipos informáticos. El doctor Pickover forma parte en la actualidad del equipo de investigación del IBM T.J. Watson Research Center, donde ha recibido cuarenta premios por sus logros inventivos y tres premios de investigación. Durante muchos años, el doctor Pickover escribió la columna «Brain-Boggler» de la revista Discover, y en la actualidad es autor de la columna «BrainStrain» de Odyssey. Sus puzles (calendarios y tarjetas) están pensados para niños y para adultos, y de ellos se han vendido cientos de miles de copias Las aficiones del doctor Pickover incluyen la práctica de Ch'ang-Shih Tai-Chi Ch'uan y Shaolin Kung Fu, la cría de severum dorado y verde (un gran pez de la Amazonia) y tocar el piano (sobre todo jazz). Asimismo pertenece a la SETI League, un grupo de entusiastas del procesamiento de señales que escudriñan el cielo de manera sistemática en busca de vida inteligente extraterrestre. Su página en Internet ha recibido más de un millón de visitas: http:/ /www.pickover. com. Está localizable en P.O. Box 549, Millwood, Nueva York 10546-0549, USA.



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 CONCLUYÓ LA IMPRESIÓN DE ESTE LIBRO POR ENCARGO DE ALMUZARA EN LA IMPRENTA KADMOS EL 11 DE AGOSTO DE 2009. TAL DÍA DEL AÑO 1956 NACE PIERRE-LOUIS LIONS, MATEMÁTICO FRANCÉS ESTUDIOSO DE LA TEORÍA DE LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIAl.ES NO LINEALES QUE FUE EL PRIMERO EN ENCONT RAR UNA SOLUCIÓN COMPLETA A LA ECUACIÓN DE BOLTZMA.NN.



 LA BANDA DE MOBIUS, ese bucle continuo de una sola cara y un solo borde que desafía el sentido común y cobró celebridad gracias a las ilustraciones de M.C. Escher, nos introduce en un lugar donde lo puramente intelectual penetra en la vida cotidiana; donde nuestros sentidos, angustiados con el precio de la gasolina y qué comer a mediodía, asimilarán ideas verdaderamente insólitas. La historia de la banda de Mobius arranca a mediados del siglo XIX, cuando el doctor August Mobius, un científico visionario, describió las propiedades de superficies de una sola cara, hasta llegar al presente, donde forma parte de las matemáticas, la magia, la ciencia, el arte, la ingeniería, la literatura y la música. Esta cinta se ha convertido en metáfora de cambio y renovación. La banda de Mobius abarca desde moléculas y esculturas en metal hasta sellos de correos, estructutas arquitectónicas y modelos de todo el universo, y dirige la mirada del lector hacia formas de pensar y mundos completamente nuevos a medida que el autor viaja a través de culturas y atisba más allá de la realidad ordinaria. La banda de Mobius es un manantial infinito de formas que demuestran que las matemáticas se han infiltrado en todos los campos del quehacer científico. De hecho nos sirven para explicar los colores de una puesta de sol o la estructura del cerebro, para construir aviones supersónicos y montañas rusas, para simular el flujo de los recursos naturales, explorar realidades cuánticas subatómicas o describir galaxias lejanas. Siguiendo la senda de la banda de Mobius descubriremos hasta qué punto ha cambiado nuestra concepción del cosmos gracias a las matemáticas.



«Bucky Fuller tenía una mente grande, Arthur C. Clarke también, pero Cliff Pickover los supera a ambosJ Wired «Como una máquina de movimiento mental perpetu~d Pickover es uno de los pensadores más creativos, ipás originales del mundo actual.» journal of Recreational Matheinatics



p ALMUZARA



21 .95 € 111111111111111111111111111111



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