- Guía Práctica Cursos J. G Fronti y Pablo Herrera

C ONTENIDO Guía práctica de ejercicios N° 1: Formas cuadráticas y topología ...................................................................................... 1 Respuestas .................................................................................................................................................................... 4 Bibliografía................................................................................................................................................................. 7 Guía práctica de ejercicios N° 2: Estática comparativa y equilibrio .................................................................................... 8 Respuestas .................................................................................................................................................................. 12 Bibliografía............................................................................................................................................................... 14 Guía práctica de ejercicios N° 3: Optimización estática .................................................................................................... 15 Respuestas .................................................................................................................................................................. 18 Bibliografía............................................................................................................................................................... 21 Guía práctica de ejercicios n°4: Programación no lineal................................................................................................... 22 Respuestas .................................................................................................................................................................. 27 Bibliografía............................................................................................................................................................... 33 Guía práctica de ejercicios N°5: Procesos Markovianos ................................................................................................... 34 Respuestas .................................................................................................................................................................. 42 Bibliografía............................................................................................................................................................... 46 Guía práctica de ejercicios N°6: Sistemas dinámicos discretos........................................................................................ 47 Respuestas .................................................................................................................................................................. 55 Bibliografía............................................................................................................................................................... 66 Guía práctica de ejercicios N°7: Sistemas dinámicos continuos ...................................................................................... 67 Respuestas .................................................................................................................................................................. 73 Bibliografía............................................................................................................................................................... 75 Guía práctica de ejercicios N°8: Diferencias finitas .......................................................................................................... 76 Respuestas .................................................................................................................................................................. 79 Bibliografía............................................................................................................................................................... 82 Guía práctica de ejercicios N°9: Optimización dinámica continua .................................................................................... 83 Respuestas .................................................................................................................................................................. 87 Bibliografía............................................................................................................................................................... 90 Guía práctica de ejercicios N°10: Optimización dinámica discreta ................................................................................... 91 Respuestas .................................................................................................................................................................. 93 Bibliografía............................................................................................................................................................... 94

Las respuestas son solamente orientativas, al ser esta guía una primera versión la misma puede tener errores.

GUÍA 1)

PR Á C T IC A D E E J ER C I C I O S

N° 1: F OR M A S

C U A D R Á T I C A S Y T OP OL O G ÍA

Expresar la matriz asociada de las siguientes formas cuadráticas:

a. b. c. d. 2)

Expresar cada una de las formas cuadráticas mediante su matriz asociada y determinar el signo de las mismas:

a. b. c. d. 3)

con con Dadas las siguientes matrices, desarrollar las formas bilineales y determinar el signo de las formas cuadráticas:

a. b. c.

con

d.

con

4)

Expresar cada una de las formas cuadráticas mediante su matriz asociada y determinar el signo de las mismas:

a. b. c. d. 5)

con con Encontrar los autovalores de las matrices asociadas a las siguientes formas cuadráticas y determine el signo de estas últimas:

a. b. c. d. 6)

Encontrar los autovalores de los hessianos de las siguientes funciones y determine el signo de estos últimos:

a. b. c. 7)

Calcular el valor del parámetro “a” para que la forma cuadrática sea:

a. b.

Definida negativa Semidefinida negativa sea:

c. d.

Definida positiva Semidefinida positiva 1

8)

Analizar el signo de las siguientes formas cuadráticas condicionadas

a. b. 9)

s. a: s. a: Determinar el valor del parámetro “a” para que las siguientes formas cuadráticas condicionadas sean definidas negativas:

a. b.

s. a: s. a: Definidas positivas:

c. d.

s. a: s. a:–

10) Encontrar los autovalores de las matrices asociadas a las siguientes formas cuadráticas y determine el signo de estas últimas: a. b. c.

con con con

d.

con

11) Para las siguientes matrices:

a. b.

Encontrar sus autovalores y sus autovectores. Diagonalice.

c. d.

Encontrar sus autovalores y sus autovectores. Diagonalice.

12) Para la siguiente matriz: a. b.

Encontrar sus autovalores y sus autovectores. Diagonalizar. Para la siguiente matriz:

c. d.

Encontrar sus autovalores y sus autovectores. Diagonalizar.

13) Indicar si las siguientes funciones son cóncavas o convexas: a. b. c. d.

con x, y >0 con x, y >0 en en

14) Analizar si las siguientes funciones son cóncavas o convexas: a. b.

con x, y > 0 en Determinar para qué valores de los parámetros dados las siguientes funciones son cóncavas o convexas: 2

c. d.

en con

15) Indicar si las siguientes funciones son cuasicóncavas o cuasiconvexas: a. b. c. d.

con con

16) Determinar si las siguientes funciones son cuasicóncavas o cuasiconvexas: a. b. c. d.

Indicar para qué valores de los parámetros a, b y c la función

17)

con

a. b. c. d.

con con

y

con

¿Para qué valores de los parámetros la función es cóncava? ¿Para qué valores de los parámetros la función es convexa? Dada

c. d.

con

¿Para qué valores de los parámetros la función es cóncava? ¿Para qué valores de los parámetros la función es cuasicóncava? ¿Para qué valores de los parámetros la función es convexa? ¿Para qué valores de los parámetros la función es cuasiconvexa?

19) Dada a. b.

y

¿Para qué valores de los parámetros la función es cóncava? ¿Para qué valores de los parámetros la función es cuasicóncava? ¿Para qué valores de los parámetros la función es convexa? ¿Para qué valores de los parámetros la función es cuasiconvexa?

18) Dada a. b. c. d.

es cuasicóncava o cuasiconvexa.

con

¿Para qué valores de los parámetros la función es cóncava? ¿Para qué valores de los parámetros la función es convexa?

20) Dada la siguiente matriz:

a. b. c. d.

Estudiar el signo de la forma cuadrática asociada a la matriz A, según el parámetro “a”, indicando para qué valores de “a” es definida positiva (reescribir la matriz asociada para que sea simétrica) ¿Para cuáles valores de “a”, la forma cuadrática asociada es definida negativa? ¿Si se encuentra sujeta a 2 x + y + z =0, para qué valores de “a”, la forma cuadrática asociada es definida negativa? Si a= 1 y la matriz “A” está sujeta a: -x + y + 2 z = 0 clasificar la forma cuadrática condicionada.

3

R E SP U E ST A S 1) a. b. c. d.

2) a.

Es definida positiva.

b.

Es definida negativa.

c.

Es definida positiva.

d.

3) a. b. c. d.

Es definida negativa.

Es definida positiva. Es definida negativa. Es definida negativa. Es definida positiva.

4) a.

Es semidefinida positiva.

b.

Es semidefinida negativa.

c.

Es semidefinida positiva.

d.

Es semidefinida negativa.

5) a. b. c. d.

Es definida positiva. Es definida positiva. Es definida negativa. Es definida negativa.

6) a. b.

Es indefinida. Es indefinida.

c.

Es indefinida.

4

7) a. b. c. d. 8) a. b.

Indefinida. Definida positiva.

9) a. b. c. d. 10) a. b. c. d.

Definida negativa. Semidefinida positiva. Definida positiva. Definida negativa.

11) a.

;

b. c.

;

d.

12) a.

;

b. c.

;

d.

13) a. b. c. d.

Es cóncava. Es cóncava. Es convexa. Es convexa.

5

14) a. b. c. d.

Es cóncava. Es convexa. Es cóncava para: Es cóncava para:

15) a. b. c. d.

Es cuasicóncava. Es cuasiconvexa. Es cuasicóncava. Es cuasiconvexa.

16) a. b. c. d.

Es cuasicóncava. Es cuasiconvexa. Es cuasicóncava. Es cuasicóncava para:

17) a. b. c. d.

Es Cóncava para: . Es cuasicóncava para: . Para ningún valor válido es convexa. Para ningún valor válido es cuasiconvexa.

18) a. b. c. d.

Es cóncava para: Es cuasiconcava para: Es convexa para: Es cuasiconvexa para:

19) a. b. c. d.

Es cóncava para: Es convexa para: Es cóncava para: Es convexa para:

. Es convexa para: . Es convexa para:

. .

. Es cuasiconvexa para:

.

. . . .

. . . .

20) a. b. Para ningún valor de . c. Para ningún valor de . d. Indefinida.

6

B I B L I O GR A F ÍA -

Bernardello, A., Bianco, M., Casparri M., García Fronti, J. y Olivera de Marzana, S. (2010).Matemática para economistas con Excel y Matlab. Omicron System. Blume, L. y Simon, C. P. (1994). Mathematics for economists. W Norton & Company. Chiang, A. C. y Wainwright, K. (2005). Fundamental methods of mathematical economics. McGraw-Hill, New York. Mas-Colell, A., Whinston, M. D. y Green, J. R. (1995). Microeconomic theory (Vol. 1). New York: Oxford university press. Mathematical Appendix.

7

GUÍA 1)


N° 2: E ST Á T I C A

C OM PA R A T I VA Y E QU IL IB R IO

Determine la diferencial total para cada una de las siguientes funciones

a. b. c. d. 2)

Considere un modelo de mercado simple de un artículo dado por [demanda] [oferta]

a. b. c. d.

Hallar Hallar los valores de equilibrio de las variables endógenas. Determine cómo afectará a los valores y un cambio infinitesimal en los parámetros ¿son de tipo cuantitativo o cualitativo?, ¿por qué? ¿En qué difieren y ? Grafique el equilibrio inicial ) y los cambios en dicho equilibrio frente a un incremento en separado

3)

Dado un modelo de ingreso nacional con las siguientes condiciones de equilibrio

a. b. c. d.

Con endógenas. Determine el producto de equilibrio. Hallar las derivadas estáticas comparativas , Explique en qué consiste el análisis estático comparativo. Interprete el significado de cada derivada.

y

Las conclusiones a las que arriba, . (Arme cada gráfico por

.

4) Tomando en cuenta el siguiente mercado de un artículo, donde la cantidad demandada es una función del precio determinado exógenamente y la cantidad suministrada es una función del precio, expresado

a.

y de un ingreso

b. c. d.

Expresar el precio de equilibrio del mercado en una ecuación, verificar si se cumplen las condiciones del teorema de la función implícita y calcular por la regla de la función implícita . Lo mismo para las cantidades de equilibrio, calcular . Hallar y por el método de ecuaciones simultáneas. Utilice las derivadas totales para hallar las derivadas estáticas comparativas.

5)

Sean las funciones de oferta y demanda para un artículo

a. b. c. d.

donde es el ingreso y es el impuesto sobre un artículo. Todas las derivadas son continuas. Escribir la condición de equilibrio en una sola ecuación y compruebe si es aplicable el teorema de la función implícita. Si la respuesta es afirmativa, escribir la identidad de equilibrio. Determine y , y explique sus implicaciones económicas. Por medio de la regla de la función implícita encontrar a partir de la función de oferta y de la función de demanda. (¿Por qué no usar la función de la demanda para la primera y la función de oferta para la última?) Resolver el problema mediante el método de ecuaciones simultáneas. 8

6)

Dado el modelo:

Con , , Siendo: =ingreso. =consumo. =inversión. =tasa de interés. =demanda de capitales. =oferta de capitales.

,

,

,

a. b. c. d.

Hallar la expresión que define la curva IS. Hallar la expresión que define la curva LM. Determine los valores de de equilibrio. Calcular .

7)

Dada la formulación del modelo IS-LM:

,

,

constante.

(condición de equilibrio en el mercado de bienes) (condición de equilibrio en el mercado de dinero) Siendo: =ingreso real. =gasto real en consumo. =recaudación impositiva en términos reales. =demanda real de inversión. =tasa de interés. =compras reales del gobierno. =oferta monetaria nominal. =nivel de precios. =factores que afectan a la recaudación impositiva. Se pide: a. b. c. d.

Hallar la pendiente de la curva IS. Analizar el caso de la Trampa de la Inversión ( Hallar la pendiente de la curva LM. Analizar el caso de la Trampa de la Liquidez Partiendo de una situación de equilibrio inicial verificar si se cumplen las condiciones del teorema de la función implícita. Analizar matemáticamente el efecto cualitativo sobre las variables endógenas de: Una disminución del gasto público. Analizar el caso común y el caso de Trampa de Liquidez. Compare cuando es más efectiva una política fiscal expansiva. Una variación de los factores exógenos que afectan a la recaudación impositiva. Un aumento de la oferta monetaria nominal. Una disminución del nivel de precios. Una disminución de la oferta monetaria real.

9)

Partiendo de un equilibrio inicial en el marco del modelo de Patinkin

i. ii. iii. iv. v.

(mercado de bienes) (mercado de bonos) (mercado de dinero) (mercado de trabajo) 9

Considere el caso en el que el mercado de trabajo está en equilibrio tal que la economía está en pleno empleo con que de esta forma se puede prescindir de la última ecuación) a. b. c.

d.

(note

Desarrollar matemáticamente los efectos que causaría sobre las variables endógenas y , un aumento en la cantidad nominal de dinero. Calcular las pendientes de las curvas de equilibrio del mercado de bienes, dinero y bonos. Graficar mostrando el equilibrio previo a la perturbación y el(los) punto(s) de equilibrio final. Recordar que:  suponemos ajuste instantáneo en el mercado de trabajo.  se cumple la ley de Walras.  las empresas financian sus planes de inversión recurriendo a la emisión de bonos. Aunque se pide que se concentre en la “matemática” del ejercicio, fundamentar brevemente su respuesta.

10) Considerar el siguiente modelo planteado en su forma estructural. Las siete primeras ecuaciones corresponden al mercado de bienes y las restantes tres se refieren al mercado monetario.

es el consumo privado, es la inversión privada, G es el gasto del gobierno. es el ingreso disponible, la tasa de interés, es el ingreso, son los impuestos, es el gasto total o demanda agregada, es un parámetro que representa las variaciones autónomas de la recaudación tributaria. es la demanda real de dinero, es la oferta real de dinero, es la cantidad de dinero nominal, es el nivel general de precios. y son parámetros de perturbación del consumo, la inversión y la demanda real de dinero, respectivamente. Se pide: a. b. c. d.

Operar por sustitución de manera de reexpresar la forma estructural del modelo en un sistema de dos ecuaciones implícitas que representen, respectivamente, las condiciones de equilibrio del mercado de bienes y en el de dinero. Aunque no la pueda hallar algebraicamente expresar cuáles serían, de existir, las ecuaciones de la forma reducida del modelo. Diferenciar totalmente el sistema de la forma estructural hallado en el punto a) considerando todas las posibles fuentes de variación presentes en esta versión del modelo IS-LM. En particular, calcular los efectos que sobre las variables endógenas del modelo tendría, respectivamente un incremento autónomo en las preferencias por la liquidez real por parte de los agentes económicos y los efectos de un cambio exógeno, para valores dados de e , de los animals spirits de los empresarios (esto es, del deseo de invertir de los empresarios). Deducir analíticamente las pendientes de equilibrio de ambos mercados y grafique los efectos provocados por los ejercicios de estática comparada planteados. Aclaración: Tener en cuenta que, en la especificación de la demanda de inversión, hemos incluido el denominado efecto acelerador de la inversión. Para comprender dicho efecto (y el signo de la derivada parcial asociada al mismo) recordar que, desde un punto de vista analítico, la demanda de inversión puede ser representada por la siguiente función , donde es el producto marginal del capital, es la tasa de interés e . Esto es, será rentable para las firmas invertir siempre que el producto marginal del capital –que refleja el incremento del output hecho posible por un incremento unitario del stock de capital para un monto dado de trabajo –exceda a la tasa de interés. Esta última mide el costo de endeudarse (o el costo de oportunidad de no prestar) por lo que cuando el será rentable para las firmas endeudarse e invertir. Tener en cuenta además que la función de producción es y que tiene las siguientes propiedades usuales , , , y (donde es la primera derivada de la función de

10

producción respecto del factor trabajo, es la segunda derivada respecto a este mismo factor, etc). Prestar especial atención al signo de la derivada parcial cruzada y pensar qué implicancias tiene ello respecto de la relación existente entre e . Asimismo, no olvidar que la propensión marginal del gasto total respecto del ingreso es positiva pero menor que la unidad. 11) Dado el modelo IS-LM

Con , , , , , . Se le pide que, habiendo verificado se cumplen las condiciones del teorema de la función implícita, calcular: a. b. c. d.

La pendiente de la IS. La pendiente de la LM. El efecto cualitativo de una política fiscal expansiva en el ingreso y tasa de interés de equilibrio. El efecto cualitativo de una política monetaria expansiva en el ingreso y tasa de interés de equilibrio.

12) Dado el equilibrio en una economía abierta

Con , , ,

a. b. c. d.

, ,

Plantear las condiciones que deben cumplirse para expresar las soluciones de equilibrio en forma implícita Expresar las funciones implícitas Calule , , Calcular , ,

11

R E SP U E ST A S 1) a. b. c. d. 2) a. b. c. d.

Conclusiones de tipo cualitativo. 3) a. b.

;

4)

5) a. b. c. d. 6) a. b.

IS: LM:

c.

d. 7) a.

. Con (

,

, pendiente casi vertical. 12

b.

. Con

,

, pendiente casi horizontal.

d. i.

. El multiplicador del gasto con trampa de liquidez es mayor.

ii.

;

iii.

;

iv.

;

v.

; 8) a.

;

b. d. 9) a.

;

;

Se verifica neutralidad del dinero. IS: LM:

b. d.

e.

10) a. b. c.

;

d.

;

11) a.

;

b.

;

c.

;

;

; ;

13


Bernardello, A., Bianco, M., Casparri M., García Fronti, J. y Olivera de Marzana, S. (2010).Matemática para economistas con Excel y Matlab. Omicron System. Chiang, A. C., y Wainwright, K. (2005). Fundamental methods of mathematical economics. McGraw-Hill, New York.

14

GUÍA


N° 3: O PT I M IZ A C IÓN

E ST Á T IC A

1)

Con la siguiente función:

sabiendo que x puede tomar valores entre 0 y 1.

a. b. c. d.

Encontrar el valor de x que maximice la función. Encontrar el valor de x que minimice la función. Con la siguiente función: sabiendo que x e y pueden tomar valores entre 0 y 1. Encontrar los valores de x e y que maximicen la función. Encontrar los valores de x e y que minimicen la función.

2)

Con la siguiente función:

a. b. c. d.

Encontrar el valor de x que maximice la función. Encontrar el valor de x que minimice la función. Con la siguiente función: sabiendo que x e y pueden tomar valores entre 0 y 1 y que Encontrar los valores de F(x; y), x e y que maximicen la función. Encontrar los valores de F(x; y), x e y que minimicen la función.

3)

Dada la siguiente función:

a. b. c. d.

Establecer las condiciones necesarias para maximizar F(x; y). Encontrar los valores óptimos de F(x; y), x e y. Verificar las condiciones de suficiencia. ¿Es posible maximizar esta función sujeta a 2 o más restricciones de igualdad?

4)


a. b. c. d.

Establecer las condiciones necesarias para minimizar F(x; y). Encontrar los valores óptimos de F(x; y), x e y. Verificar las condiciones de suficiencia. ¿Es posible minimizar esta función sujeta a 2 restricciones de igualdad?

5)


a. b. c. d.

Establecer las condiciones necesarias para optimizar F(x; y). Encontrar los candidatos a óptimo. Si x solo toma valores positivos e y solo valores negativos establecer si existe un mínimo o un máximo. Si x solo toma valores negativos e y solo valores positivos establecer si existe un mínimo o un máximo.

6)


a. b. c. d.

Establecer las condiciones necesarias para maximizar F(x; y). Encontrar los valores óptimos de x e y. Verificar las condiciones de suficiencia. ¿Cuál de las 2 variables varía más al variar a?

7)


a. b. c. d.

Establecer las condiciones necesarias para minimizar F(x; y). Encontrar los valores óptimos de x e y. Verificar las condiciones de suficiencia. ¿Cómo varía x al variar ?

8)


a. b. c.

Establecer las condiciones necesarias para optimizar F(x; y). ¿Es posible minimizar la función? ¿Por qué? ¿Es posible maximizar la función? ¿Por qué?

sabiendo que x puede tomar valores entre 0 y 1 y que

.

.

para valores no negativos de las variables x e y.

para valores negativos de las variables x e y. Con

. Con

15

d.

Con la siguiente restricción: Encontrar los valores óptimos de x e y.

9)

Dada la siguiente función: negativos y siendo .

a. b. c. d.

Establecer las condiciones necesarias para maximizar F(x; y) sujeto a la restricción. Encontrar los valores óptimos del multiplicador de Lagrange, x e y. Demostrar que el óptimo encontrado es un máximo. ¿Cómo varía el valor óptimo del multiplicador de Lagrange al variar d?

10) Dada la siguiente función: a. b. c. d.

con x e y no negativas.

y la siguiente restricción: a

; los parámetros son todos positivos.

y la siguiente restricción:

Establecer las condiciones necesarias para optimizar F(x; y) sujeto a la restricción. Encontrar los valores óptimos de x e y. Asumiendo que b es positivo: ¿Es el valor óptimo un máximo o un mínimo? ¿Cómo varía x al variar b?



Establezca las igualdades que conforman las condiciones necesarias. Encontrar los valores óptimos de x e y. ¿A qué debe ser mayor el binomio (a+b) para que el óptimo sea un máximo? ¿Cómo varía el multiplicador de Lagrange al variar el parámetro c?

12) Dadas la siguiente función: a. b. c. d.

tomando siempre x e y valores no

Establecer las condiciones necesarias para minimizar F(x; y) sujeto a la restricción. Encontrar los valores óptimos de x e y. Demostrar que el óptimo encontrado se trata de un mínimo. Determinar cómo varía el valor óptimo de la función objetivo al variar c.




, con

, con

Establecer las condiciones necesarias para optimizar F(x; y) sujeto a la restricción. Encontrar los valores óptimos de x e y. Verificar que se trate de un máximo. Determinar el signo de la sensibilidad del multiplicador al variar c.

14) Min a. b. c. d.

Escribir la condición necesaria que deben cumplir los candidatos al óptimo. Escribir la condición de suficiencia para obtener un mínimo. Si y con Verificar si el punto obtenido en “c” es mínimo.

encontrar el candidato al óptimo.

15) Min a. b. c. d.

Escribir la condición necesaria que deben cumplir los candidatos al óptimo. Establezca a qué debe ser mayor para. ¿Cuál es el valor del multiplicador de Lagrange? ¿Qué representa el valor del multiplicador de Lagrange? ¿Qué información nos da del óptimo alcanzado?

16) Con la siguiente función:

para valores no negativos de x, con

. 16

a. b. c. d.

Escribir la condición necesaria que deben cumplir los candidatos al óptimo. Encontrar el óptimo. Verificar que se trate de un máximo. Analizar como varía x* al variar b.

17) Con la siguiente función: a. b. c. d.

Encontrar el óptimo. Verificar que se trate de un máximo. Encontrar el valor óptimo de P, sabiendo que Analizar como varía P* al variar .

18) Con la siguiente función: sabiendo que a. b. c. d.

.

. sujeta a:

siendo todos los parámetros positivos y

.

Encontrar los candidatos a óptimo. Verificar las condiciones de suficiencia. Calcular la derivada de la utilidad óptima con respecto a w. Calcular la derivada de la utilidad óptima con respecto a .

19) Con la siguiente función: ; ; a. b. c.

con

sujeta a:

y sabiendo que

;

;

;

;

;

Encontrar las condiciones necesarias que deben cumplir los candidatos a óptimo. Demostrar el signo del multiplicador de Lagrange. Establezca qué desigualdades deben cumplirse para que el candidato a óptimo se trate de un máximo.

17

R E SP U E ST A S 1) a. b. c. d.

x=1 x=0 (x;y)=(0;1) (x;y)=(1;0)

2) a. b. c. d.

x=1 x=0 (x; y)= (1; 0) (x; y)= (0; 1)

3) a. b. c. d.

;

;

No, porque la cantidad de restricciones debe ser estrictamente menor que la cantidad de variables.

4) a. b. c. d.

;

;

No, porque la cantidad de restricciones debe ser estrictamente menor que la cantidad de variables.

5) a. b. c. d. 6) a.

(x; y)= (1; 0) (x; y)= (0; 1)

+b = 0

=0

b. c. d. 7) a.

No se cumplen: La Y

=0

b. c. d.

No verifican. Es un punto de ensilladura. Si a aumenta X se hace más chico. Y viceversa.

18

8) a. b. c. d.

No, no es posible. No, no es posible.

9) a. b. c. d.

para

ó

10) a. b. c. d. 11) a. b. c. d. y la siguiente restricción: 12) a. b. c.

. Es un máximo.

d. 13) a. b. c. d.

. .

14) a.

b. c. d.

. Representa el riesgo marginal de aumentar la proporción de un activo.

15) a. 19

b. c. d.

.

16) a.

.

b.

.

c.

.

d. 17) a.

.

b.

.

c. d. 18) a. b. c. d. 19) a. b.

>0

c.

20


Baxley, J. V. y Moorhouse, J. C. (1984). Lagrange multiplier problems in economics. American Mathematical Monthly, 404-412. Bernardello, A., Bianco, M., Casparri M., García Fronti, J. y Olivera de Marzana, S. (2010).Matemática para economistas con Excel y Matlab. Omicron System. Blume, L. y Simon, C. P. (1994). Mathematics for economists. W Norton & Company.

21

GUÍA 1)

PR Á C T IC A D E E J ER C I C I O S N °4:

P R OG R A M A C IÓ N

N O L IN EA L

Minimizar: s.a.

a. b. c. d.

2)

Identificar cada una de las partes que componen el problema (i.e. ¿cuál es la función objetivo?, ¿cuáles son las variables de elección?, ¿cuáles son las restricciones del problema?) Plantear las condiciones de Kuhn-Tucker. Obtener todos los candidatos a óptimo. ¿Qué teoremas conoce para garantizar la “suficiencia” de las “condiciones Kuhn-Tucker?. Enuncie cada uno de ellos. Aplique alguno de ellos para verificar suficiencia en el ejercicio planteado. Maximizar: s.a.

a. b. c. d.

Comente (en términos meramente teóricos) qué condición debe cumplirse para que las “condiciones Kuhn-Tucker” adopten el status de “condiciones necesarias” para un óptimo. ¿Qué pasa si esa condición no se cumple? Enunciar el algoritmo de resolución que empleará para resolver un problema de programación no-lineal. Plantear las condiciones de Kuhn-Tucker. Obtener todos los candidatos a óptimo.

3)

Maximizar: s.a.

a. b. c. d.

Estudie la topología de la función objetivo y de las restricciones. Clasifique. Plantear las condiciones de Kuhn-Tucker. Analizar el caso en donde las restricciones están activas. Compruebe suficiencia.

4)

Maximizar:

a. b. c. d.

Plantear las condiciones de Kuhn-Tucker. Deducir los casos analíticos (plantear los posibles casos a analizar). Obtener todos los candidatos a óptimo. Verificar condiciones suficientes.

5)

Maximizar:

22

a. b. c. d. 6) a. b.

Plantear las condiciones de Kuhn-Tucker. Verificar condiciones de suficiencia. Deducir los casos analíticos (plantear los posibles casos a analizar). Obtener todos los candidatos a óptimo.

Plantear un problema genérico de programación no-lineal con “n” variables de elección y “m” restricciones. Plantear las “condiciones Kuhn-Tucker” en forma reducida Mostrar que, en las “condiciones Kuhn-Tucker”, en lugar de escribir..

como un conjunto de “m” condiciones separadas, es suficiente escribir una sola ecuación en forma de… c.

Dado el siguiente problema s.a.

Analizar el caso en que las dos restricciones están activas. d.

Analizar el caso en que la primera restricción este activa y la segunda inactiva.

7)

Minimizar: s.a.

a. b. c. d.

Escribir la función lagrangeana. Plantear las condiciones de Kuhn-Tucker. Deducir los casos analíticos(plantear los posibles casos a analizar). Obtener todos los candidatos a óptimo.

8)

Minimizar: s.a.

a. b. c. d.

¿Qué nombre recibe el conjunto de todos los vectores que cumplen con todas las restricciones del problema? Identificar cada una de las partes que componen el problema (i.e. ¿cuál es la función objetivo?, ¿cuáles son las variables de elección?, ¿cuáles son las restricciones del problema?) Obtener todos los candidatos a óptimo. Verificar suficiencia.

9)

Maximizar:

23

a. b. c. d.

Plantear las condiciones de Kuhn-Tucker. Deducir los casos analíticos (plantear los posibles casos a analizar). Obtener todos los candidatos a óptimo. Verificar suficiencia.

10) Maximizar: s.a

a. b. c. d.

Escribir la función lagrangeana Plantear las condiciones Kuhn-Tucker Suponiendo que ; B=100; Verificar suficiencia

;

, encontrar todos los candidatos a óptimo

11) Maximizar: s.a

a. b. c. d. 12)

Escribir la función lagrangeana Plantear las condiciones Kuhn-Tucker Suponiendo que ; B=100; Verificar suficiencia Maximizar:

;

, encontrar todos los candidatos a óptimo

s.a

Siendo a. b. c. d.

las variables de elección

Escribir la función lagrangeana. Plantear las condiciones Kuhn-Tucker Expresar todos los casos posibles a analizar que surgen de las condiciones planteadas en el punto anterior Analizar cada uno de los casos y encontrar todos los candidatos a óptimos. Verificar suficiencia

13) Maximizar:

24

a. Plantear las condiciones de Kuhn-Tucker b. Demostrar que la restricción se cumple con igualdad.(Demostrar que >0) c. Sea la función de utilidad del consumidor, el set de precios de los bienes Interprete el significado de d.

,

el ingreso del consumidor:

Dado el enunciado del punto anterior, interprete la condición de holgura complementaria que indica que

14) Maximizar:

s.a

a. b. c. d.

Plantear el largrangeano Obtenga las condiciones Kuhn-Tucker. Enuncie los casos a analizar. Suponga que y analizar los siguientes casos: Activa, , Inactiva,

15) Maximizar:

s.a

donde… a. b.

Plantear el lagrangeano. Plantear las condiciones K-T, suponga que tanto óptimo podría darse que

c.

Manteniendo el supuesto del punto anterior, analizar el caso donde la restricción está inactiva. ¿A qué deberá ser igual

como

son estrictamente positivos y demostrar que en ningún vector candidato a ? ¿Y

? d.

Manteniendo el supuesto del punto anterior, analizar el caso donde la restricción está activa. ¿A qué deberá ser igual

? ¿Y

? 16) Maximizar:

s.a

a. b.

¿Se satisface la calificación de restricciones? En vista de lo anterior, ¿son necesarias las condiciones Kuhn-Tucker?¿y suficientes? Plantear las condiciones de Kuhn-Tucker.

c.

Suponga que

d.

Hallar

y que

¿A qué es igual

con i=1,2 ?

para el caso del punto anterior. 25

17) Maximizar:

s.a

Supuestos:

a. b. c. d.

Escribir la función lagrangeana Plantear las condiciones Kuhn-Tucker Expresar todos los casos posibles a analizar que surgen de las condiciones planteadas en el punto anterior Analizar cada uno de los casos y encontrar todos los candidatos a óptimos. A modo de ayuda, en algunos casos los candidatos a óptimo están sujetos al cumplimiento de ciertas condiciones ¿cuál es la forma matemática que adoptan dichas condiciones?

26

R E SP U E ST A S 1) a.

Función objetivo: Variables de elección: Restricciones:

;

b.

c.

Candidatos a óptimo:

d.

Teorema de suficiencia de Kuhn-Tucker y Arrow-Enthoven. Por teorema de Kuhn-Tucker no se verifica suficiencia.

2) a.

b.

Para que las condiciones de Kuhn-Tucker adopten el status de condiciones necesarias, se tiene que cumplir la calificación de todas las restricciones del problema. De no cumplirse esta condición para algún punto de la región de factibilidad, este deberá ser tenido en cuenta como candidato a óptimo (aunque no cumple condición de K-T). -Transformar el problema en un problema de maximización -Plantear el Lagrangeano -Verificar cualificación de las restricciones -Plantear las condiciones de K-T -Obtener los candidatos a óptimo -Verificar suficiencia -Evaluar los candidatos en la función, para obtener el mejor.

c.

d.


3) a. b.

Las restricciones cualificación por ser ambas lineales. La función objetivo es indefinida.

c. d.

No se encuentran candidatos a óptimo. No se puede verificar suficiencia.

4) 27

a.

b. c. d.

Activa-Activa; Activa-Inactiva; Inactiva-Activa; Inactiva-Inactiva Candidatos a óptimo: No se puede verificar suficiencia.

5) a.

Las condiciones de no negatividad están implícitas en la resolucion. Se tienen en cuenta a la hora de evaluar el candidato a óptimo. b. c. d.

No se verifica suficiencia. El Lagrangeano es una función convexa. Activa-Activa; Activa-Inactiva; Inactiva-Activa; Inactiva-Inactiva Candidatos a óptimo:

6) a.

b.

Se demuestra.

c.


d.

No hay candidato a óptimo.

7) a.

L=-

b.

c.

Activa-Activa; Activa-Inactiva; Inactiva-Activa; Inactiva-Inactiva

d.


8) a. b.

Región de Factibilidad. Similar al punto 1-a

c.


d.

Se cumple con suficiencia por medio del criterio de Arrow-Enthoven.

9) a.

28

b. c. d.

Activa-Activa; Activa-Inactiva; Inactiva-Activa; Inactiva-Inactiva No hay candidato a óptimo.

10) a. b.

c.

Candidato a óptimo:

d.

Candidato a óptimo: Se verifica suficiencia.

11) a. b.

c.

Candidato a óptimo: Candidato a óptimo:

d.

Se verifica suficiencia.

12) a. Lagrangeano

Condiciones K-T

b.

Activa,

,

Inactiva, Activa,

, ,

Inactiva, Activa,

, ,

Inactiva, Activa, Inactiva, c.

, , ,

Candidatos a óptimo 29

( d.

Se verifica

13) a. Condiciones K-T

b. c. d.

Se demuestra es la utilidad marginal del ingreso La condición de holgura complementaria en indica que, si el consumidor maximiza su utilidad sin gastar todo su ingreso, entonces un aumento marginal de éste no deberá reportarle mayor bienestar ( ). En otros términos, si un aumento de su ingreso le reporta un mayor bienestar es porque su consumo óptimo requería la utilización plena de sus recursos.

14) a. Lagrangeano b.

Condiciones K-T

c.

Casos a analizar: Activa, y > 0 , x > 0 Inactiva, y > 0 , x > 0 Activa, y = 0, x > 0 Inactiva, y = 0, x > 0 Activa, y > 0 , x = 0 Inactiva, y > 0 , x = 0 Activa, y = 0 , x = 0 Inactiva, y = 0 , x = 0

d.

No hay candidatos a óptimos

15) a. Lagrangeano b. c.

Se demuestra

d.

30

16) a. Se satisface la calificación de restricciones, por lo tanto, las condiciones K-T son necesarias. Sin embargo, no son suficientes (resta evaluar condiciones suficientes) b. Condiciones K-T

c.

d. 17) a. Lagrangeano b.

Condiciones K-T

c.

Activa, Inactiva, Activa, Inactiva, Activa, Inactiva, Activa, Inactiva

d.

Candidatos a óptimo

En el tercer candidato a óptimo, la variable

queda definida de manera implícita de la siguiente manera:

Y, a su vez, las otras variables quedan determinadas de la siguiente manera:

31

32


Bernardello, A., Bianco, M. J., Casparri, M. T., García Fronti, J., & Olivera de Marzana, S. Matemática para economistas con Microsoft Excel y Matlab. Carter, M. (2001). Foundations of mathematical economics. MIT Press. Chiang, A. C., & Wainwright, K. (1987). Métodos fundamentales de economía matemática. Mc Graw Hill, 3. Intriligator, MD (2002). optimización matemática y la teoría económica (Vol. 39).Siam. Sydsaeter, K., & Hammond, P. J. (1995). Mathematics for economic analysis(p. 145). Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.

33

GUÍA 1) a. b.


N°5: P R OC ES O S M A R K O VIA N O S

Defina qué es una cadena de Markov ergódica. Determine si las siguientes cadenas de Markov son o no cadenas ergódicas. Justificar en cada caso. II.

I.

III.

c.

¿Qué valor deben tomar a, b y c para que sea una cadena ergódica, de forma tal que para pasar del estado “X” al “y”, necesariamente tenga que pasar por el estado “Z”?

d.

Determine si las siguiente cadena de Markov es o no una cadena ergódica. Justifique.

2) a. b.

Defina cadena de Markov regular. Determine si la siguiente matriz es una cadena cíclica o no. Defina el concepto.

c.

Determine si la siguiente matriz es una cadena regular o no. Justifique. II.

I. d.

Matriz del ejercicio 1 (punto d).

¿Qué valor deben tomar a, b y c para que NO sea una cadena regular?

3) a. b. c.

Defina estado absorbente Defina cadena absorbente ¿Qué valores deben tener ,

d.

¿Cuáles de estas cadenas de Markov son cadenas absorbentes? I.

y para que la matriz tenga un estado absorbente en ?

II.

III.

34

4) a. b.

¿Qué es un vector estocástico? ¿Qué es una matriz estocástica? ¿Es la siguiente matriz estocástica? ¿Por qué?

c.

¿Qué valores deberían tomar “a” y “b” para que la siguiente matriz sea estocástica?

d.

¿Cuál de las siguientes matrices son estocásticas? I.

5) a.

b. c.

III.

II.

Encontrar el valor de a, b y c de forma tal que sea una matriz ergódica, regular y estocástica y represente el resultado en diagrama de árbol.

Explique cuál es la diferencia entre la representación en diagrama de árbol y la representación matricial. Represente el siguiente diagrama de árbol en forma matricial 0.6 0.2 Salud

Salud Enfermedad

0.2

1

Muerte 0 Vacunados

Enfermedad

0.6 Enfermedad

0

0.4 Muerte Muerte

Pacientes

0.4 Salud

0.3

Salud Enfermedad

0.3

1

Muerte No vacunados

0

Enfermedad

Enfermedad

0

0.4 Muerte

d.

0.6

Muerte

Calcular la probabilidad de enfermedad en el momento “1” de un paciente con salud que en el momento “0” se vacunó.

35

6) a.

Encontrar U(1), U(2) y U(3) de la siguiente matriz:

b.

Realice el diagrama de árbol de la siguiente matriz:

c. d.

Encontrar U (1), U (2) y U (3). Compare los datos obtenidos en b y c.

7)

a. b. c.

Hallar Hallar Si = (0; 1; 0), hallar

c.

Hallar

8)

Dada la siguiente matriz:

a. b. c.

¿Cuál es la probabilidad de estar en el estado B luego de dos pasos si partimos del estado C? Si luego de dos pasos nos encontramos en el estado B. ¿Es posible que el próximo estado sea el B? ¿Cuál es la probabilidad de estar en el estado C luego de dos pasos partiendo del vector

en función de , , y

?

Dada la siguiente matriz:

d.

¿Cuál es la probabilidad de estar en el estado A en un solo paso si se parte del vector (1/4; 1/4; 1/2)?

9) a.

Defina qué es un vector de punto fijo y establezca la relación con el vector a largo plazo. 36

b.

Calcular el vector fijo:

c.

Obtenga el vector a largo plazo:

d.

Establezca los valores de a,b y c y obtenga

10) Dado el siguiente sistema de ecuaciones, en el que A, B y C representan las probabilidades totales de los respectivos sucesos:

a. b.

+

+

+

+

+

+

Armar la cadena de Markov que está representada por el sistema Hallar las probabilidades del estado estacionario

Dado el siguiente sistema de ecuaciones, en el que D, E y F representan las probabilidades totales de los respectivos sucesos:

c. d.

+

+

+

+

+

+

Armar la cadena de Markov que está representada por el sistema Hallar las probabilidades del estado estacionario

11) Problema empresario-logística. En un mercado en el que solo operan tres empresas, cada semestre estas se disputan la clientela de la siguiente manera:

a. b. c. d.

¿Cuál será la porción del mercado que retendrá la empresa A luego de dos pasos si vector de estado inicial es ¿Cuál será la porción de mercado que retendrá la empresa B luego de un año si al momento inicial la proporción es ? ¿Cuál es la tendencia de largo plazo si el vector de estado inicial es ? ¿Es la tendencia de largo plazo el vector fijo de la matriz?

?

12) El director de contenidos de Telefé tiene que determinar la programación del canal durante la temporada. Él sabe que al inicio de una temporada, los televidentes suelen cambiar bastante semana a semana los programas que ven hasta estabilizar sus preferencias. La siguiente cadena de Markov indica la forma en la que los televidentes tienden a cambiar de canal de una semana a otra en la primera semana del año (t=0):

37

a. b. c. d.

Hallar valores de y para que la matriz sea estocástica ¿Cuál es la probabilidad de que un televidente de Telefé en la primera semana de la temporada (t=0) siga sintonizando el canal en la tercera semana (t=2)? ¿Cómo sería la cadena de Markov que represente las preferencias de la audiencia en la segunda semana (t=1)? Hallar el vector que represente las preferencias de la audiencia estabilizadas en el largo plazo.

13) Buscador de Cuando realizamos una búsqueda en Google sobre una cierta temática, lo normal es que obtengamos un sinfín de resultados, los cuales si no estuvieran bien organizados, sería muy difícil seleccionar las webs más interesantes.Para ello nació el algoritmo de PageRank, que fue creado por Google, y que sirve para otorgar un valor numérico a cada página web y a partir de él, establecer el orden en el que aparecen tras una búsqueda. El algoritmo PageRank muestra la distribución de probabilidades usada para representar la probabilidad de que una persona, haciendo clicks al azar en los links, llegue a una página particular. Tomemos un ejemplo modelo para entender el funcionamiento. Imaginemos que la web fueran sólo 3 sitios y que inicialmente todos poseen el mismo nivel de ranking. El sitio A tiene dos links salientes, uno que dirige hacia B y otro que dirige hacia C, el sitio B tiene un sólo link hacia C y, por último, C tiene un link saliente hacia A, este navegador aleatorio generaría el siguiente comportamiento. Representación de gráfica: 0,50

B

A 0,50

1

1

C a. b. c. d.

Obtenga la matriz de transición del problema Determine cuál/es es/son los sitios más relevantes en función de la probabilidad de un usuario que comienza a navegar en la página A y clickea cualquiera de las opciones en forma aleatoria. Cómo debería rankear el buscador las páginas A, B y C. Determine como sería la matriz de transición en la 3° búsqueda que realiza el usuario. Si buscáramos una palabra que estuviera dentro del contenido de los sitios A y B, entonces el buscador ¿Qué devolvería en primer lugar?

14) La ruina del jugador Un jugador entra a un casino con la idea de amasar cierta cantidad de dinero , se dirige a una maquina tragamonedas con la idea de apostar siempre la misma cantidad de dinero de manera que si resulta ganador, es $100 más rico, de lo contrario pierde $100.Dicho jugador, cuenta, además con un capital inicial y no tiene la capacidad de seguir jugando una vez agotado el mismo. Es decir, que el jugador dejara de jugar si en algún momento , o bien .Si las probabilidades de ganar son q, las de perder son 1-q, de manera que el comportamiento del jugador podría resumirse en la matriz de transición:

38

Asimismo ocurrirá que, en algún t:

O bien

a. b. c. d.

Armar la matriz de transición si . Para los mismos valores de los parámetros ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador se arruine si q=0.3? Para los mismos valores de los parámetros ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador se retire voluntariamente (gane) si q=0.6 luego de dos pasos? Calcular el vector fijo correspondiente.

15) Problema Bonos en default Se emiten dos bonos uno con denominación A y otro con denominación B. A promete un pago del 4% anual, mientras que B promete un pago del 4,5% anual. La diferencia entre las promesas de pago se deben a que si A cae en default se compromete a un pago del 60% del valor nominal.

a. b. c. d.

Obtenga el vector de posibles pagos de A ¿Cuál es la esperanza de pago de A? Obtenga el vector de posibles pagos de B ¿Cuál es su esperanza de pago de B?

16) Demostrar el siguiente teorema: a. Ninguna raíz característica de la matriz cuadrada A puede tener módulo mayor que la máxima suma de los módulos de los elementos de cada fila ni que la máxima suma de los módulos de los elementos de cada columna, o sea min donde denota cualquier raíz característica de la matriz A,

39

b. c. d.

Demostrar que toda matriz estocástica tiene raíz característica igual a 1. Definir raíz dominante Utilizar el 2° teorema de Frobenius


a. b.

Determinar si la matriz es estocástica. En caso afirmativo, evaluar si es regular. El valor de cierta acción puede ir al alza, a la baja o permanecer sin cambio en cualquier día. La probabilidad de que la acción vaya al alza, a la baja o permanezca estable al día siguiente está dada en la matriz detransición:

c. d.

Determine el autovalor máximo ¿Cuál es la situación del sistema en el largo plazo?


a. b. c. d.

Si hoy (T=0) el sistema se encuentra en el estado “X”. ¿Cuál es la probabilidad de que en el momento (t=2) el sistema se encontrar en el estado “Y”? Hoy (T=0) el sistema se encuentra en el estado “Y”. ¿Cuál es la probabilidad de que en T=2 el sistema se encontrar en el estado “Y”? Encontrar el equilibrio en el largo plazo. Si ahora se asume que el estado “Z” es absorbente, encontrar la nueva matriz de transición.


a. b. c. d.

Hallar , y para que sea estocástica Se sabe con certeza que hoy (t=0) el sistema se encuentra en el estado , ¿cuál es la probabilidad de que en el momento 2 (t=2) el sistema se encontrar en el estado ? Si al momento inicial (t=0), el vector estado es = (1/2; 0; 1/2), ¿cuál es el vector estado al momento 1? Encontrar el equilibrio en el largo plazo


40

a. b. c. d.

¿Para qué valores de “a” y “b” la matriz es estocástica? Determinar el autovalor máximo de la matriz. ¿Es la matriz de transición regular? Si en (t=0) el sistema se encuentra en el estado x ¿Cuál es la probabilidad de que en el momento (t=2) el sistema se encontrar en el estado z?

41

R E SP U E ST A S 1) b. I. II. III.

No es ergódica, de los dos primeros estados no se puede pasar al tercero. Es ergódica, se puede pasar de un estado al otro. No es ergódica, la segunda fila es un estado absorbente. c. d. 2) b. c.

I.

Es ergódica, se puede ir de cualquier estado a cualquier otro.

Sí es cíclica. Es cadena regular

II.

.

Es cadena regular. d. 3) c. d.

I. II. III.

No es una cadena absorbente, no puedo ir de los estados X e Y al estado absorbente Z. Es absorbente. Es absorbente. 4) b. c. d.

No, porque no es cuadrada. Solo la matriz III es estocástica.

5) a.

X 0,2

0,2

X

0,4

A=0,4

0,5 0,4

X

Y

Z

Z

X

B=0,2

Y

0,3

Z

C=0,3 A=0,4

Y

X

0,6

Y

0,1

Z

42

c. d. 6) a. U(1) U(2) U(3) c. U(1) U(2) U(3) 7) a.

b. c. d. 8) a. b. c. d.

0.15 No 0.29 + 0.75

9) b. c. d.

¿?

10) a. b. c. d. 43

11) a. b. c. d. Sí. 12) a. b. c. d. 13) a.

b. c. d. 14) a.

b. c. d. 15) a. b. c. d. 17) a. Sí b. Sí c. 1 d. 18) a. 0.24 b. 0.27 c.

44

d.

19) a. b. 0.185 c. d. 20) a. b. 1 c. Sí d. 0.32

,

y

,

45


Bernardello, A., Bianco, M. J., Casparri, M. T., García Fronti, J., & Olivera de Marzana, S. CD-ROM: Matemática para economistas con Microsoft Excel y Matlab. Alpha C. Chiang. (2004). Matemática para economistas. Makron Books, Pearson Education. Grinstead, C. M., & Snell, J. L. (1997). Markov chains. Introduction to Probability, 405-70. Rubio-Terrés, C., & Mainar, A. S. (2007). Perfil farmacoeconómico de Exubera® en el tratamiento de la diabetes. PharmacoEconomics Spanish Research Articles, 4(1), 41-51. Page, Lawrence and Brin, Sergey and Motwani, Rajeev and Winograd, Terry (1999) The page Rank Citation Ranking: Bringing Order to the Web. Technical Report. Stanford InfoLab.

46

GUÍA


N°6: S I ST EM A S

D IN Á M IC OS D I SC R ET OS

Ecuaciones en diferencia de primer orden 1) a. b. c.

Hallar la solución general. Analizar su comportamiento/estabilidad. Realizar el diagrama de fases.

2) a. b. c.


3) a. b. c.


4) a. b. c.


5) a. b. c. d.

Hallar la solución general. Hallar la solución particular para Dada la condición anterior, analizar su comportamiento/estabilidad. Realizar el diagrama de fases.

6) a. b. c. d.

Hallar la solución general. Hallar la solución particular para Dada la condición anterior, analizar su comportamiento/estabilidad. Calcular los primeros 5 valores.

7) a. b. c. d.


8) a. b. c. d.


9) a. b.

Hallar la solución general. Hallar la solución particular para 47

c. d.

Dada la condición anterior, analizar su comportamiento/estabilidad. Calcular los primeros 5 valores.

10) a. b. c. d.


11) a. b. c. d.


12) a. b. c. d.


Ecuaciones en diferencia de orden superior 13) a. b. c. d.

Hallar la ecuación característica. Hallar las raíces de la ecuación. Hallar la solución general. Analizar estabilidad.

14) a. b. c. d.

Hallar la ecuación característica. Hallar las raíces de la ecuación. Hallar la solución general. Analizar estabilidad. 15)

a. b. c. d.

Hallar la solución homogénea asociada. Hallar la solución complementaria. Hallar la solución general. Analizar estabilidad. 16)

a. b. c. d.

Hallar la solución homogénea asociada. Hallar la solución complementaria. Hallar la solución general. Analizar estabilidad.

17) a. b. c. d.

Hallar la solución homogénea asociada. Hallar la solución complementaria. Hallar la solución general. Analizar estabilidad. 48

18) a. b. c. d.


a. b. c. d.


a. b. c. d.


a. b. c. d.


1) 2) 3) 4)


19)

20)

21)

22)

Ecuaciones en diferencia paramétricos y modelos Aplicaciones financieras 23) Si queremos calcular el valor final de una renta cierta. Denominamos al monto de la renta al finalizar el período ; y depositada en cada período, el cual se capitaliza a una tasa período a período.

a la cuota constante

a.

Si los pagos se realizan de manera adelantada, es decir, al inicio de cada período. La ecuación en diferencias o de recurrencia es:

b. c.

Hallar la solución general. Analizar estabilidad/comportamiento (considere ). Si los pagos se realizan sobre el final de cada período (vencidas). La ecuación en diferencias que representa el valor final de una renta cierta es:

d.

Hallar la solución general. Analizar estabilidad/comportamiento (considere

24) Se invierte una suma de dinero ecuación en diferencias: a. b. c.

).

en el período , la cual período a período se capitaliza a una tasa de interés . Lo cual define la siguiente

Hallar solución general Analizar estabilidad/comportamiento Si se invierte en el período una suma de

a una tasa del

. ¿Cuánto capital se acumulará al período

? 49

d.

Si se invierte inicialmente

a una tasa de interés compuesta al

¿A partir de qué período el capital se ve duplicado?

25) Se desea calcular el valor inicial de una renta cierta en dónde denominamos denotamos con la , y C a la cuota constante que se paga en cada período. a.

b. c.

d.

al saldo de la deuda al finalizar el período , cuyo interés

Si los pagos se realizan al finalizar cada período (vencidas) el saldo de la deuda al finalizar el período es igual al saldo de la deuda del período anterior capitalizado por un período menos la cuota pagada en el momento . Esto define la siguiente ecuación en diferencias: Encontrar la solución general. Analizar estabilidad/comportamiento. Si el pago se realiza por adelantado, es decir, al comenzar cada período. El saldo de la deuda en el momento deuda en menos capitalizado por un período. Esto define la siguiente ecuación en diferencias:

es igual al saldo de la

Encontrar la solución general. Analizar estabilidad/comportamiento.

26) Si se invierte una suma inicial de dinero (valor constante) a una tasa de interés . En donde, período a período, el capital del período resulta del capital en al cual se le acumula un interés sobre la suma inicial . Esto define la siguiente ecuación de recurrencia: a. b. c. d.

¿De qué tipo de aplicación financiera se trata? Encontrar la solución general. Analizar estabilidad/comportamiento. Usando los datos del ejercicio 2.c ¿Cuánto capital se acumulará al período

? ¿El resultado es el mismo? ¿A qué se debe el cambio?

Modelos económicos paramétricos 27) Dado el siguiente modelo de mercado (telaraña) definido por las siguientes ecuaciones en diferencia que representan el comportamiento de la oferta y la demanda:

a. b. c. d.

Expresar el modelo en una ecuación diferencial y hallar la solución general. Determinar el precio de equilibrio de largo plazo . Determinar la trayectoria del modelo (Estabilidad/Comportamiento: convergente, divergente, oscilante). Graficar el diagrama de fase del modelo suponiendo que .

28) Dado el siguiente modelo representado en la siguiente ecuación en diferencias: a. b. c. d.

Hallar la solución de equilibrio. Hallar la ecuación característica y la solución homogénea asociada (dejar expresada las raíces y utilizar homogénea). Hallar la solución general. Determinar su comportamiento

para expresar la solución

29) Dado el siguiente modelo:

a. b. c. d.

Hallar ecuación en diferencias y la solución general para el modelo genérico. Hallar la expresión de sus raíces. Analizar estabilidad para el modelo genérico. Si , hallar la solución general y analizar estabilidad para tal solución. 50

30) Dado el siguiente modelo cuyas ecuaciones que lo definen el modelo son:

Con: a. b. c. d.

todas

Llegar a la expresión de la ecuación en diferencias del modelo respecto el producto Y. Expresar la ecuación homogénea asociada genérica del modelo. Analizar estabilidad mediante las condiciones necesarias y suficientes de Schur. Encontrar la solución homogénea suponiendo ahora que:

31) Dado el siguiente modelo:

todas a. b. c. d.

Hallar la ecuación en diferencias del modelo respecto de la variable Hallar el precio de equilibrio intertemporal. Hallar la ecuación en diferencias del modelo respecto de la variable Hallar el desempleo de equilibrio intertemporal.

(precio). (desempleo).

Sistemas de ecuaciones en diferencias numéricos 32) a. b. c. d.

Hallar la solución homogénea. Hallar la solución general del sistema. Hallar la solución particular sabiendo que Analizar estabilidad.

33) a. b. c. d.

Expresar la ecuación característica. Hallar la solución general del sistema. Hallar la solución particular sabiendo que: Analizar estabilidad.

34) a. b. c. d.

Expresar la ecuación característica. Hallar la solución homogénea del sistema. Hallar la solución complementaria. Hallar la solución general del sistema.

35) a. b. c.

Hallar la solución homogénea del sistema. Hallar la solución general del sistema. Hallar la solución particular dado las siguientes condiciones: 51

d.

Analizar estabilidad.

36) a. b. c. d.

Expresar la ecuación característica Hallar la solución homogénea y expresar el tipo de solución complementaria a proponer. Hallar la solución general del sistema. Analizar estabilidad.

37) a. b. c. d.

Expresar la ecuación característica. Hallar la solución homogénea. Hallar la solución complementaria. Hallar la solución general del sistema.

38) a. b. c. d.

Expresar la ecuación característica. Hallar la solución homogénea. Hallar la solución general del sistema. Analizar su estabilidad.

39) a. b. c. d.

Hallar la solución homogénea. Hallar la solución general del sistema. Hallar la solución particular dado que: Analizar su estabilidad.

40) a. b. c. d.

Expresar la ecuación característica. Hallar la solución homogénea del sistema. Hallar la solución general del sistema. Analizar su estabilidad.

41) a. b. c. d.

Expresar la ecuación característica. Hallar la solución homogénea del sistema. Hallar la solución general del sistema. Analizar su estabilidad.

42) a. b. c. d.


52

43) a. b. c. d.

Expresar la ecuación característica. Hallar la solución homogénea. Hallar la solución general del sistema. Hallar la solución particular dado que:

44) a. b. c. d.


Ejercicios integradores 45) Modelo de mercado (telaraña) aplicado con precio máximo inicial

a. b. c. d.

Expresar el modelo en única ecuación en diferencias y resolver. Dados los siguientes datos: . Evaluar la solución con dichos datos, hallar la expresión y el valor del precio de equilibrio y analizar el comportamiento del modelo. Realizar el diagrama de fases con ejes P vertical y Q horizontal. Realizar el diagrama de fases con los ejes vertical y horizontal.

46) Sea un modelo dinámico del tipo MKS expresado de la siguiente manera:

Suponga c y parámetros ϵ (0; 1) y que la suma entre ambos es menor a 1, y que a. b. c.

Obtener la ecuación en diferencias del modelo. Resolver la ecuación en diferencias y analizar estabilidad. Obtener la renta de equilibrio. Evaluar con los siguientes datos:

d.

Con los datos anteriores, realizar el diagrama de fases (

;

son estrictamente positivos.

; ) y suponiendo que inicialmente el producto era

47) a. b. c. d.


48) a. b. c.

Hallar la solución homogénea asociada. Hallar la solución complementaria. Hallar la solución general.

53

d.

Considerando el sistema homogéneo y jp+2 despreciable (= 0)

Analizar estabilidad. 49) a. b. c. d.

Hallar la forma normal de la ecuación en diferencias de primer orden lineal. Hallar la solución general de la ecuación en diferencias. Analizar estabilidadRealizar el diagrama de fases.

54

R E SP U E ST A S 1) a. b. c.

. Si Y0 < 0 creciente, y si Y0 > 0 decreciente, si Y0 = 0 cte.

2) a. b. si Y0 < 1 decreciente, y si Y0 > 1 creciente, si Y0 = 1 cte. c.

3) a. b.

55

c.

4) a. b. c.

5) a. b. c. d.

Será un punto fijo en el 2

6) a. b. c. d. 7) a. b. c. d.

56

8) a. b. c. d. 9) a. b. c. d. 10) a. b. c. d. 11) a. b. c. d. 12) a. b. c. d. Ecuaciones en diferencia de orden superior 13) a. b. c. d. 14) a. b. c. d. 15) a. b. 57

c. d. 16) a. b. c. d. 17) a. b. c. d. 18) a. b. c. d. 19) a. b. c. d. 20) a. b. c. d. 21) a. b. c. d. 22) a. b. c. d.

58

Ecuaciones en diferencia paramétricos y modelos Aplicaciones financieras 23) a. b. c. d. 24) a. b. c. d. 25) a. b. c. d. 26) a. b. c. d. Modelos económicos paramétricos 27) a. b. c. d.

Tomando un ejemplo con

convergente. y si por ej. n=10 y b=1.

28) a. b. 59

c.

d. 29) a.

b. c.

Si d. 30) a. b. c. d. 31)

a.

b. c. d. Sistemas de ecuaciones en diferencias numéricos 32) a. b. c. d.

.

60

33) a. b. c. d. 34) a. b. c. d. 35) a. b.

c. d. 36) a. b.

c. d. 37) a.

.

b. c.

d.

38) a.

61

b.

c. d. 39) a. b. c. d. 40) a. b. c. d. 41) a. b. c. d. 42) a. b. c.

=

d. 43) a. b. c. d. 62

44) a. b.

c.

d.

Ejercicios integradores 45) a.

b.

c.

d.

46) a.

b.

63

c.

d.

47) a. b. c. d.

Inestable

48) a. b.

=

c. d.

Inestable

49) a. b.

c.

Convergente, no monótona,

64

d.

65


Bernardello, A., Bianco, M., Casparri M., García Fronti, J. y Olivera de Marzana, S. (2010).Matemática para economistas con Excel y Matlab. Omicron System. Chiang, A. C. y Wainwright, K. (2005). Fundamental methods of mathematical economics. McGraw-Hill, New York. Bernardello, A. y García Fronti, V. Resolución del modelo económico de Hicks utilizando ecuaciones en diferencias de orden superior. Blume, L. y Simon, C. P. (1994).Mathematics for economists. W Norton & Company. Cañibano, M. Aplicaciones financieras de las ecuaciones en diferencias Cañibano, M. Sistemas de ecuaciones en diferencias

66

GUÍA


N°7: S I ST EM A S

D IN Á M IC OS C ON T IN U O S

1)

y - 7y = 0

a. b. c. d.

Hallar la ecuación característica Hallar la solución general de la ecuación Analizar la estabilidad de la ecuación. Demostrar que si e son soluciones de una ecuación lineal homogénea entonces: son constantes arbitrarias es también solución.

2)

y + 4y + 5y = 0

a. b. c. d.

Hallar la ecuación característica Hallar la solución Analizar la estabilidad de la ecuación. Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que una ecuación diferencial con raíces reales y diferentes sea estable es que todas las raíces de la ecuación característica sean negativas.

3)

y + 4y + 4y = 0

a. b. c. d.

Hallar la ecuación característica Encontrar la solución de la ecuación Analizar la estabilidad de la ecuación diferencial Demostrar: Si y1 (x) y y2 (x) son soluciones de constantes arbitrarias, es también solución de (2)

4)

yIV+ 8y + 24y + 32y + 16y = 0

a. b. c. d.

Hallar la ecuación característica Encontrar la solución de la ecuación Analizar la estabilidad de la ecuación diferencial Demostrar que si son solución de la homogénea, .

5)

yIV- 8y + 32y - 64y + 64y = 0

a. b. c. d.

Hallar la ecuación característica Encontrar la solución de la ecuación Analizar la estabilidad de la ecuación diferencial Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que una ecuación diferencial con raíces reales y diferentes sea estable es que todas las raíces de la ecuación característica sean negativas.

6)

y - 4y = 3.e2x

a. b. c. d.

Hallar la ecuación característica Encontrar la solución de la ecuación Analizar la estabilidad de la ecuación diferencial Demostrar la forma de la solución de una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con raíces complejas.

7)

y - 2y + 2y = 5. e2x .cos x

a. b. c. d.

Hallar la ecuación característica Encontrar la solución de la ecuación Analizar la estabilidad de la ecuación diferencial Defina orden y grado de una ecuación diferencial. Explique qué tipos de soluciones existen. Ejemplifique.

8)

yV – 4y = 5

a. b. c.

Hallar la ecuación característica Encontrar la solución de la ecuación Analizar si la ecuación es estable y justifique su análisis planteando las condiciones necesarias y suficientes de estabilidad.

donde

y

(2), entonces y3 (x)=C1 y1 (x)+C2 y2 (x) donde C1 y C2 son

también es solución de la homogénea con

67

d.

Exponga qué solución complementaria se ensayaría por el método de los coeficientes indeterminados en caso de que g(x) sea exponencial.

9)

y + 4y + y = 2t2

a. b. c. d.

Hallar la ecuación característica Encontrar la solución de la ecuación Exponga la solución de la ecuación homogénea en caso de tener raíces complejas iguales. Establezca si la ecuación es estable o inestable y justifique.

10) y + y + 1y = sen t a) b) c) d)

Hallar la ecuación característica Encontrar la solución de la ecuación Exponga la solución de la ecuación homogénea en caso de tener raíces complejas y distintas. Si , raíces de la ecuación característica de la ecuación diferencial lineal homogénea son solución de la misma, demostrar que e son linealmente independientes.

donde

,

Modelos con ecuaciones diferenciales 11) Dado el modelo de Solow definido por la siguiente ecuación:

Donde:   

s es el ahorro expresado como fracción del producto es la tasa de depreciación del capital es la tasa de crecimiento de la fuerza laboral

a. b. c. d.

Expresar el equilibrio del Modelo. Defina estabilidad y enumere las condiciones que deben cumplirse para que el Modelo sea estable. Analizar la estabilidad del Modelo y justifique con el diagrama correspondiente. Dada la función de producción definida en términos per cápita como , la proporción del producto que se ahorra es , la fuerza laboral crece a una tasa y la tasa de depreciación del capital es . Escribir cómo resulta la ecuación de la tasa de crecimiento del capital per cápita y hallar el valor de equilibrio.

12) Dado el Modelo de Sachs definido por las siguientes expresiones: = + − Con a. b. c. d.

Expresar el equilibrio del modelo Analizar la estabilidad del equilibrio hallado. Justifique empleando el diagrama de fase correspondiente. Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que una ecuación diferencial con raíces reales y diferentes sea estable es que todas las raíces de la ecuación característica sean negativas Demostrar la siguiente afirmación: “Si e son soluciones de [2], entonces es también solución de [2] con y siendo constantes arbitrarias”.

13) En una economía el crecimiento de los préstamos otorgados está determinado por el modelo definido por la siguiente expresión: Donde:    68

  a. b. c. d.

Encontrar la expresión de la raíz de la ecuación diferencial. Encontrar el punto de equilibrio. Analizar la estabilidad del modelo. Defina diagrama de fase y justifique la estabilidad realizando el gráfico correspondiente. Demostrar que si son solución de la homogénea, también es solución de la homogénea con .

14) Dado el siguiente modelo definido por la expresión a continuación: a. b. c. d.

Encontrar la solución general Defina la relación que deben cumplir los parámetros a, b y c para que el modelo sea estable. Asuma que se verifica la relación establecida en el inciso (b) y grafique el correspondiente diagrama de fase Encontrar el punto de equilibrio.

15) Dado el siguiente Modelo de Mercado con expectativas de precios:

a. b. c. d.

Plantear la condición de equilibrio del Modelo y presente la solución correspondiente Plantear todas las condiciones de estabilidad necesarias y suficientes que el modelo debe cumplir para considerarse estable. Indicar cuál será la solución particular del Modelo planteado dadas las siguientes condiciones iniciales: y El presente modelo es explicado por medio de una ecuación diferencial. Defina qué es una ecuación diferencial y explique la distinción entre una ecuación diferencial y una ecuación en diferencia. Ejemplifique y justifique.

Sistemas de ecuaciones diferenciales numéricos 16) a. b. c. d.

Expresar la ecuación característica. Hallar la solución general. Analizar la estabilidad del sistema. Plantear qué condiciones necesarias y suficientes deben cumplirse. Confeccione el correspondiente diagrama de fases. Analizar el sentido de las regiones en cuestión.

17) a. b. c. d.

Expresar la ecuación característica. Hallar la solución general. Analizar la estabilidad del sistema y plantear qué condiciones necesarias y suficientes deben cumplirse. Analizar la estabilidad del sistema empleando el correspondiente diagrama de fases. Analice el sentido de las regiones en cuestión.

18) a. b. c. d.

Expresar la ecuación característica. Hallar la solución general. Analizar la estabilidad del sistema planteando las condiciones necesarias y suficientes. Confeccione el correspondiente diagrama de fases. Si el 2º miembro de un sistema de ecuaciones diferenciales es un vector de constantes y la ecuación característica del sistema homogéneo no tiene raíces nulas, demostrar como se obtiene la solución particular.

69

19) a. b. c. d.

Expresar la ecuación característica. Hallar la solución general. Confeccione un diagrama de fases. Analice el sentido de las regiones y la estabilidad del sistema. Enumere las condiciones necesarias y suficientes que deben cumplirse para considerar al sistema estable.

20) a. b. c. d.

Hallar la solución general del sistema. Analizar la estabilidad del mismo a partir de las condiciones necesarias y suficientes. Realice el correspondiente diagrama de fases. Demostrar la forma de la solución de una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con raíces complejas.

21) a. b. c.

Expresar la ecuación característica y hallar la solución general. Analizar la estabilidad del sistema empleando un diagrama de fases. Analizar el sentido de las regiones. Sabiendo que e son soluciones de la ecuación lineal homogénea definida del siguiente modo:

Y que d.

donde

y

son constantes arbitrarias, demostrar que

también es solución de la ecuación.

Si el 2º miembro de un sistema de ecuaciones diferenciales es un vector de constantes y la ecuación característica del sistema homogéneo no tiene raíces nulas, demostrar como se obtiene la solución particular

22) a. b. c. d.

Expresar la ecuación característica. Hallar la solución general. Analizar la estabilidad del sistema a partir de un diagrama de fases. Enuncie y explique las condiciones necesarias y suficientes que deben verificarse para considerar que el sistema sea estable.

23) a. b. c. d.

Expresar la ecuación característica. Hallar la solución general. Analizar la estabilidad del sistema. Exponga en forma genérica la expresión de la solución complementaria de sistemas lineales completos por matriz de operadores cuando 1 es raíz característica y el término independiente es un vector de constantes.

24) a. b. c.

Expresar la ecuación característica. Hallar la solución general. Hallar la solución particular dadas las siguientes condiciones:

d.

Analizar la estabilidad del sistema. 70

25) a. b. c. d.

Expresar la ecuación característica. Hallar la solución general. Analizar la estabilidad del sistema. Hallar la solución particular dadas las siguientes condiciones:

Modelos con sistemas de ecuaciones diferenciales 26) Dado el siguiente Modelo:

Donde con a. b. c. d.

son las funciones incógnitas que dependen de la variable independiente t.

son todas constantes mayores a cero,

.

Construya las rectas de equilibrio. Expresar las mismas matemática y gráficamente. Realice el correspondiente diagrama de fases y analizar por dicho método la estabilidad del Modelo. Enuncie las condiciones necesarias y suficientes que deben cumplirse para que el Modelo sea estable. Analizar la estabilidad del mismo de acuerdo a dichas condiciones. Realice el diagrama de fases suponiendo que .

27) Dado el Modelo de Dornbusch definido por las siguientes expresiones:

a. b. c. d.

Encontrar las raíces del sistema Encontrar la solución general del Modelo por el método de ecuación eliminante. Analizar la estabilidad del mismo planteando las condiciones necesarias y suficientes Realice el correspondiente diagrama de fases y analizar el sentido de las regiones

28) Dado el Modelo IS-LM definido del siguiente modo:

Donde

es el operador diferencial

Con los parámetros

todos mayores que cero.

a. Encontrar las raíces del sistema b. Determine el equilibrio de largo plazo del Modelo c. Realice el correspondiente diagrama de fases y analizar el sentido de las regiones. Determine la estabilidad o inestabilidad del Modelo. d. Considerando G(D) ert G*(r) = ert G(r) G*(r) ; G(r i) G*(ri) = θ , Demostrar que G(D) ert G* (r) = θ 29) Dado un Modelo definido por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

a. b. c. d.

Expresar la ecuación característica del sistema Considerando que y que , realice el correspondiente diagrama de fases Considerando que y que , realice el correspondiente diagrama de fases Considerando las condiciones sobre los pará metros del punto anterior (c), analizar la estabilidad del sistema a partir de las condiciones necesarias y suficientes

71

30) Dado el siguiente Modelo de sobrerreacción del tipo de cambio de Dornbusch:

Siendo a. b. c. d.

Escribir la ecuación característica del sistema y hallar las raíces Encontrar la solución general del sistema Realice el análisis de estabilidad del Modelo de acuerdo a las condiciones necesarias y suficientes del mismo Suponga que debe exponer razones sobre el empleo o no del modelo, y debe demostrar fehacientemente cómo será el comportamiento del mismo una vez que se abandone el equilibrio por diversos shocks posibles. ¿Qué herramienta emplearía para llevar adelante dicha exposición? Analizar las consecuentes regiones y establezca la estabilidad o inestabilidad correspondiente.

72

R E SP U E ST A S 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

y(x) = C1 + C2 .e7x y(x) = e-2x (C1 .cos x + C2 .sen x) 3) y(x) = C1. e-2x + C2 .x .e-2x. y(x) = C1 .e-2x + C2 .x .e-2x + C3 .x2 .e-2x + C4 .x3 .e-2x y(x) = e2x .(C1 .cos 2x + C2 .sen 2x) + x .e2x .(C3 .cos 2x + C4 .sen 2x) y(x) = C1 + C2 .e2x + C3 .e-2x + 3/8 .x .e2x y(x) = ex (C1 .cos x + C2 sen x) + e2x .(cos x + sen x) y(x) = C1 + C2 .x + C3 .x2 + C4 .e2x + C5 .e-2x – 5/24 .x3

10) 11) c. Estable d. 12) b. Inestable 13) a. r = (1-d).(1+r) b.

;

c. Inestable 14) a. b. 15) a. c. 16) 17) 18)

19) 20)

21)

22)

23)

73

24) 25) 26) a. b. Inestable (falla R-H) 27) a. D²+aD-bc=0 b. c. Inestable 28) a. b. c. 29) a. b. Estable c. Inestable d. Inestable. Falla CN 30) a.

b. c.

Inestable Diagrama de fase con ramas estables e inestables.

74

B I B L I O GR A F ÍA Bernardello, A., Bianco, M., Casparri M., García Fronti, J. y Olivera de Marzana, S. (2010).Matemática para economistas con Excel y Matlab. Omicron System. Chiang, A. C. y Wainwright, K. (2005). Fundamental methods of mathematical economics. McGraw-Hill, New York. Bernardello, A. y García Fronti, J. (2011). Aplicaciones Económicas y Financieras de Matemática Superior. Omicron System.

75

GUÍA


N°8: D I F E R EN C I A S

F IN IT A S

Aclaración: En los casos donde no se indicar el valor de “h”, considerar h=1. 1) Sea y(t)= a. b. c. d.

Calcular para h=1 Suponiendo u(t)= , calcular [v(t).u(t)] Analizar y justificar analíticamente: “La diferencia de una constante por la función es igual a la constante por la diferencia de la función” Hallar la de v(t)= (Sugerencia: Aplique inducción matemática completa).

2) Sea y(t)= a. b. c. d.

Demostrar que y(t)= 6 para h=1 Siendo z(t)= , calcular Utilizando la función del ítem b, demostrar que para h=1 Calcular la , aplicando inducción matemática completa

3) Siendo a. b. c. d.

y

Calcular Deducir la fórmula de la diferencia primera de un producto Utilizando la fórmula obtenida en el ítem b, calcular Calcular

con h=1

4) Sea a. b. c.

Calcular por definición para h=1 ¿Qué resultado obtendría si calculo Calcular siendo

d.

Deducir la fórmula de cálculo de diferencia para un cociente de funciones

? Justificar.

5) Sea a. b. c. d.

Hallar con h=2 Desarrollar el cuadro de diferencias hasta con x0=1 y h=2 Hallar con h=2 Demostrar utilizando inducción matemática que el operador diferencia cumple con la propiedad distributiva respecto de la suma de funciones ponderadas por constantes.

6) Dada la función a. b. c. d.

-1

Formar la tabla de diferencia para x= 0,2,4,…..,12 Calcular f(x), aplicando la definición Siendo , calcular con h=2 Siendo , calcular

7) Sea a. b. c. d.

Calcular por definición con h=1 “La diferencia segunda de una función cuadrática es una constante”. Analizar y justificar analíticamente. Deducir la fórmula de cálculo de Calcular siendo g(t)=

76


Calcular con h=1 Demostrar que la diferencia de una suma es igual a la suma de las diferencia de cada uno de los sumandos. Hallar con h=1 Siendo , calcular


Calcular Confeccionar el cuadro de diferencias correspondiente, siendo Hallar la , sabiendo que g Calcular , siendo

y


Plantear , aplicando definición. Demostrar que para , Analizar y justificar analíticamente: “La diferencia de una constante por una función es igual a la constante por la diferencia de la función”. Utilizando la diferencia obtenida en el punto b y la propiedad analizada, calcular con h=2.

11) Dado

con k>0

a.

Deducir la fórmula de cálculo

b. c. d.

Utilizando la fórmula obtenida en el ítem a, plantear Sea , hallar Sea , hallar

12) Sea

siendo

=1

y

a. b. c.

Hallar Calcular con h=2 y x=5 Deducir la fórmula de la diferencia de un cociente de funciones

d.

Utilizando la fórmula obtenida en el ítem c, calcular

13) Sea a. b. c. d.

Hallar Demostrar que , siendo Encontrar . Comparar con el punto b). ¿Qué propiedad cumple entonces el operador diferencia? ¿A qué es igual la diferencia enésima de un polinomio de grado n?


Hallar Sea ¿Es la

, hallar , la diferencia de la diferencia de Analizar y justificar.

? Justificar analíticamente

15) Sea a.

Hallar 77

b. c. d.

Resolver la , siendo Demostrar por inducción que Calcular sabiendo que

16) Siendo

y

utilizando propiedades. ¿Se llega al mismo resultado si se resuelve sin utilizar las mismas?

+

a.

Encontrar

b. c. d.

Confeccionar el cuadro de diferencias correspondiente a , siendo y Calcular aplicando la fórmula y comparar con lo realizado en el punto b) Demostrar que =

17) Sea a. b. c. d.

Hallar por definición con h=1 Para qué valores de n, la Calcular con h=1 Calcular

, siendo

18) Dada a. b. c. d.

Hallar aplicando la definición Dada la siguiente igualdad: [ ] Calcular . Analizar y justificar.

. Analizar y justificar analíticamente.

78

R E SP U E ST A S 1) a. b.

2) a.

3) a. b. c.

4) a. b. c.

5) a. b. x 1

G(x) 5

3

17

12 48 60 5

77

7

233

48 96

156

c.

=0

6) a. x 0

Y(x) -1

2

27

4

271

6

1259

8

3903

10

9499

12

19727

28 244 988 2644 5596 10228

216 744 1656 2952 4632

528 912 1296 1680

384 384 384

0 0

b. c. 79

d.

7) a. b. c.

8) a) d)

9) a. b.

480

X 0

F(x) 6

1

7

1 98 99 2

106

288 386

482 3

591

192 480

866 1351

4

1942

c.

=

d.

=

10) a. d.

11) a. b. c.

12) a. b. c.

13) a. b.

A una constante

80

14) a. b.

72

15) a.

= 2.

b. c.

= =

16) a.

=

b.

= 12

17) a.

=

b. c.

Para =

d. 18) a. b.

=

81


Arzoumanian, R. Temas de Análisis Numérico. FAMS Bernardello A., Bianco M., Casparri, M., García Fronti J., Olivera de Marzana S. (2010). Matemática para economistas con Excel y Matlab. Omicron System. Casparri, María T. (1980). Diferencias finitas y ecuaciones en diferencias. El Coloquio, Bs. Aires. Blume, L. y Simon, C. P. (1994). Mathematics for economists. W Norton & Company.

82

GUÍA


N°9: O PT I M I Z A C I ÓN

D IN Á M IC A C ON T IN U A

1) a. b.

Plantear el Hamiltoniano Escribir las condiciones de primer orden asociado al problema

c.

Encontrar la expresión optima de de

d.

Encontrar la expresión optima de

en función del parámetro a

2) a.

Escribir las condiciones de primer orden que surgen del principio de máximo

b.

Encontrar la trayectoria optima para

c.

Encontrar las trayectorias óptima para

d.

Encontrar la trayectoria optima para

3) a. b. c. d.

Escribir el hamiltoniano que surge de la maximización del problema. Plantear las condiciones de primer orden que surgen del principio de máximo. Encontrar las trayectorias óptimas de la variable de control y de estado. Encontrar la trayectoria óptima para la variable de costado.

4) a.

Escribir las tres ecuaciones que surgen del principio de máximo.

b.

Encontrar el valor optimo de .

c.

Encontrar el valor optimo de .

d.

Si la condición terminal se modifica por

, encontrar el optimo de .

5) a. b. c. d.

Escribir el hamiltoniano y las condiciones de primer orden Encontrar la expresión óptima de las variables de coestado y de control Encontrar la expresión óptima de la variable de estado. Justifique la condición terminal asociada al problema

6) a.

Escribir el hamiltoniano y las condiciones de primer orden

b.

Encontrar la expresión óptima de

c.


d.


(en función de t)

7) a.

Escribir el Hamiltoniano asociado al problema de maximización.

b.


. 83

c. d.

Si la ecuación de movimiento cambia , especifique como quedan . Plantear como quedarían los valores óptimos de la variable de estado y de coestado.

8) a. b. c. d.

Expresar las condiciones de primer orden Encontrar la expresión óptima de Encontrar la expresión óptima de .Justifique. Encontrar la expresión óptima de .

9) a. b. c. d.

Plantear el hamiltoniano asociado Encontrar la solución óptima de la variable de control Encontrar la solución óptima de la variable de estado Encontrar la solución óptima de la variable de coestado

10) a. b. c. d.

Expresar las condiciones de primer orden Encontrar la expresión óptima de la variable de estado Encontrar la expresión óptima de la variable de coestado Encontrar la expresión óptima T

11) NOTA: se recomienda plantearlo como un sistema de ecuaciones a.

Escribir las condiciones de primer orden que surgen de la maximización

b.

Encontrar las trayectoria óptima de

c.


d.


12) a. b. c. d.

Escribir el hamiltoniano asociado al problema de maximización dado Escribir las 3 ecuaciones diferenciales que surgen del principio de máximo Encontrar la ecuación de la curva (k´=0) y (c´=0) Realice el diagrama de fase correspondiente (JUSTIFIQUE)

13) a. b. c. d.

Plantear el hamiltoniano asociado Encontrar las condiciones de primer orden Determinar el sistema de ecuaciones y encontrar el punto de equilibrio Realizar el diagrama de fases correspondiente

14) a. b.

Escribir el Hamiltoniano Encontrar las ecuaciones diferenciales que surgen del principio de máximo 84

c.

Encontrar los valores óptimos asociados a dicho problema

d.

Encontrar la condición de transversalidad asociada a

y analizar como aplicarla a este problema

15) Dado el siguiente modelo de Solow

a.

Escribir el hamiltoniano asociado.

b. c. d.

Obtenga suponiendo Encontrar la expresión de Realice el correspondiente diagrama de fase con las curva

(con c en el eje vertical)

16) Considere el siguiente problema de Lancaster

a.

Escribir el hamiltoniano asociado

b.


c.

Escribir la expresión

d.

Como quedaría expresada si la variable de control estuviera acotada

17) a. b. c. d.

Escribir las 3 ecuaciones diferenciales que surgen del principio de máximo. En el plano (k,c): Encontrar la ecuación de la curva k´=0 En el plano (k,c): Encontrar la ecuación de la curva c´=0 Realice el diagrama de fase correspondiente si la ecuación de movimiento fuera

. Justifique.

18) a. b. c. d.

Escribir el hamiltoniano y las condiciones de primer orden que se desprenden Encontrar el tiempo de llegada Encontrar la expresión optima de Encontrar la expresión optima de

19) a. b. c.

Escribir el hamiltoniano Plantear las condiciones de primer orden Encontrar los valores óptimos de “u” en función de “t”

d.


20) 85

a. b. c. d.

Escribir las condiciones de primer orden Encontrar el valor optimo de Encontrar el valor optimo de Analizar la restricción de desigualdad para este problema

21)

a.

Escribir el Hamiltoniano y la expresión que se desprende de

b. c. d.

Expresar las condiciones que surgen del principio de máximo Encontrar la trayectoria óptima de la variable de coestado Encontrar la trayectoria óptima de la variable de control en función de “t”.

22) Nota: a. b. c. d.

Escribir el Hamiltoniano asociado al problema de maximización dado Escribir las tres ecuaciones diferenciales que surgen del principio de máximo Encontrar la ecuación de la curva (k´=0) y encontrar la ecuación de la curva (c´=0). Grafique el diagrama de fase explicando detalladamente como calcula la dinámica.

23)

a. b. c. d.

Plantear las condiciones necesarias de este problema utilizando Hamiltoniano valor presente Escribir el sistema de ecuaciones diferenciales en que surgen de las condiciones de primer orden, hallar el punto de equilibrio y realizar un estudio analítico del mismo Realizar un diagrama de fases y comprobar lo hallado en b. Comprobar las condiciones suficientes

24) ( a. b. c. d.

Plantear el Hamiltoniano (utilizar valor presente) Escribir el sistema de ecuaciones diferenciales en k y m que surgen de las condiciones de primer orden Buscar el punto de equilibrio del sistema y establecer el carácter del punto de equilibrio Obtener el diagrama de fases

86

R E SP U E ST A S 1) c. d. 2) b. c. d. 3) c.

;

d. 4) b. c. d. 5) b. c. 6) b. c. d. 7) b. c. d. 8) b. c. d. Donde 9) b. c. 87

d. 10) b. c. d. 11) b. c. d. 12) c. 13) c. 14) 15) b. c. 16) c. d. 17) b. c. 18) b. c. d. 19) c.

d.

donde

(evaluada en cero)

88

20) c. d. 21) c. d.

donde

22) 23) b. c.

Comprobamos que la función objetivo y la restricción son semidefinidas negativas, por lo tanto, son cóncavas.

24) c.

Punto de equilibrio:

89


Amanti, Y. y Fronti, J. G. Una aplicación del control óptimo con interacción: el modelo de Lancaster. Centro de Investigación en Métodos Cuantitativos aplicados a la Economía y la Gestión, 183. Chiang, A. C. y Wainwright, K. (2005). Fundamental methods of mathematical economics. McGraw-Hill, New York. Chiang, A. (1992). Elements of dynamic optimization. McGaw-Hill. New York. Intriligator, M. D. (2002).Mathematical optimization and economic theory (Vol. 39). Siam. Lancaster, K. (1973). The dynamic inefficiency of capitalism. The Journal of Political Economy, 1092-1109.

90

GUÍA


N°10: O PT I M IZ A C IÓ N

D IN Á M IC A D I SC R ET A

1) a. b. c. d.

Plantear la ecuación de Bellman Encontrar el valor de Encontrar el valor de Verificar las condiciones de suficiencia

2) a. b. c. d.

Plantear la ecuación de Bellman Encontrar el valor de Encontrar el valor de Verificar las condiciones de suficinecia

3) a. b. c. d.

Plantear la ecuación de Bellman Encontrar el valor de Obtener Verificar las condiciones de suficiencia

4) a. b. c. d.

Plantear la ecuación de Bellman Encontrar la relación entre la variable de estado y la de control Encontrar la ecuación de Euler Resolver las ecuaciones en diferencias

5) a. b. c. d.

Plantear la ecuación de Bellman Encontrar la ecuación de Euler Resolver las ecuaciones en diferencias Verificar las condiciones de suficiencia

6)

Dado el modelo de crecimiento neoclásico donde c es consumo y k inversión:

a.

Plantear la ecuación de Bellman para problemas con factor de descuento (función valor corriente) 91

b. c. d.

Calcular la condición de primer orden de la ecuación de Bellman, hallar la ecuación de Benveniste y Scheinkman y concluir en la ecuación de Euler. Resolver la ecuación de Euler para obtener la trayectoria temporal del consumo. Verificar las condiciones de suficiencia

7) a. b. c. d.

Encontrar la expresión de Encontrar la expresión de Encontrar el valor de “F” Encontrar el valor de “E”

8) a. b. c. d.

Escribir la ecuación de recurrencia de Bellman correspondiente y explique el significado de los términos Encontrar la expresión de Encontrar la expresión de Encontrar el valor de “G”

92

R E SP U E S T A S 1) b. c. d.

Se cumplen las condiciones suficientes

2) 3) b. c. d.

Se cumplen las condiciones suficientes

4) b. c. d. 5) b. c. d.

Se cumplen las condiciones de suficiencia

6) b. c. d.

Se cumplen las condiciones de suficiencias

93


Cerdá, E.(2001).Optimización dinámica. Prentice Hall, Madrid. Bianco, M. J.. (2014) Curso: Introducción a la optimización dinámica

94

- Guía Práctica Cursos J. G Fronti y Pablo Herrera

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