คิดลัดตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บันไดเซียนคณิ ตศาสตร์ คิดลัดขั้นเทพ

472

ฟังก์ชนั ตรี โกณมิติ

http://www.focus-physics.com/

2.8 ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ กลุ่มที่ 1 สาหรับ a r c s i n a rc ta n arcco s ec เทคนิคการทา อ่านค่ามุมออกมาตรงๆ ถ้ามุมมันติดลบก็แค่ใส่ ลบให้มนั จบ ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ

a r c s in

เทคนิค

1 2

s in

อะไรได้

1 2

อ้อ s in 3 0

2

เวลาตอบนิยมตอบเป็ นมุมเรเดียน ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ เทคนิค

1



a r c s in

1



2

 6

 1  a rc s in     2 s in


1 2

อ้อ s in 3 0

1



2

เวลาตอบนิยมตอบเป็ นมุมเรเดียนแค่ใส่ ลบ

a rc s in

1

 

2

6

จงหาค่ าของ 6. a rc s in   1    

1. a r c s i n 0  0 2. a r c s in 1









2

7. a rc s in  

6





2     4  2 

3. a rc s in  4. a rc s in

3



2

 3



8. a rc s in   

2

6

2      2  4 3     2  3

9. a rc s in   1    

2

5. a r c s in 1  

2

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ a r c t a n 1 เทคนิค ta n อะไรได้

1

อ้อ ta n 4 5

เวลาตอบนิยมตอบเป็ นมุมเรเดียน ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ a r c ta n   1  เทคนิค ta n อะไรได้

1

อ้อ ta n 4 5


1 a rc ta n 1 



 4

1 a rc ta n 1  

 4

บันไดเซียนคณิ ตศาสตร์ คิดลัดขั้นเทพ จงหาค่ าของ

473


1. a r c t a n 0  0

5. a rc ta n   1    

2. a r c ta n 1  

6. a rc ta n  

1      6 3 

7. a rc ta n  

3

4



4

1     6  3 

3. a rc ta n  4. a rc ta n

3 






1

อ้อ s in 3 0

3

 3

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ

a rc c o s e c 2

เทคนิค มองมุมเป็ น

s in


2

เวลาตอบนิยมตอบเป็ นมุมเรเดียน a rc c o s e c 2  ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ



1 2

 6

a rc c o s e c   2 

เทคนิค มองเป็ น

s in


อ้อ s in 3 0

1 2




1 2

a rc c o s e c   2   

 6

จงหาค่ าของ 1. a r c c o s e c  1   

5. a rc c o s e c  

2. a rc c o s e c 2  

6. a rc c o s e c  



2



6

2     4  2 

2 3



2      3 3 

7. a rc c o s e c   1    

3. a rc c o s e c  4. a rc c o s e c

2      4 2 

2

 3

กลุ่มที่ 2 สาหรับ arcco s arc sec a r c c o t เทคนิคการทา อ่านค่ามุมออกมาตรงๆ ถ้ามุมมันติดลบก็แค่เอา  ลบออกให้มนั จบ ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ

a rc c o s

เทคนิค

1 2

co s


1 2

อ้อ c o s 6 0

เวลาตอบนิยมตอบเป็ นมุมเรเดียน

a rc c o s



1 2

1 2



 3


474



 1  a rc c o s     2 


เทคนิค

co s


อ้อ c o s 6 0

1 2

เวลาตอบนิยมตอบเป็ นมุมเรเดียน

a rc c o s

1



1 2

 

2





2

3

3

จงหาค่ าของ 1. a rc c o s 0  

6. a rc c o s   1    

2

2. a r c c o s 1







2

7. a rc c o s  

3





2     4  2 



3. a r c c o s  4. a rc c o s

3



2

2 

8. a rc c o s   





 3



2 3

2   3      2  4 4 3   5      2  6 6

9. a r c c o s   1    

6

5. a r c c o s 1  0 ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ a r c c o t 1 เทคนิค ta n อะไรได้

1

อ้อ ta n 4 5

เวลาตอบนิยมตอบเป็ นมุมเรเดียน ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ a r c c o t   1  เทคนิค ta n อะไรได้

1

อ้อ ta n 4 5

เวลาตอบนิยมตอบเป็ นมุมเรเดียน เช่น 1. a rc c o t  1   

4

2. a rc c o t   1    3. a rc c o t   



 4

1      6 3 

1     3  3 

4. a rc c o t 

5. a rc c o t   6. a rc c o t

3

3 

  6

 3



3 4

1 a rc c o t 1 

 4

1

a rc c o t   1    

 4



3 4

บันไดเซียนคณิ ตศาสตร์ คิดลัดขั้นเทพ ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ a r c s e c 2

475

เทคนิค มองเป็ นก่อน

ฟังก์ชนั ตรี โกณมิติ อะไรได้

co s

1 2


อ้อ c o s 6 0



1 2

เวลาตอบนิยมตอบเป็ นมุมเรเดียน a rc s e c 2  

3


a rc c o s e c   2 

เทคนิค มองเป็ นก่อน

co s


1 2

อ้อ c o s 6 0

เวลาตอบนิยมตอบเป็ นมุมเรเดียน a rc s e c 2  







3



1 2

2 3

จงหาค่ าของ 2     6  3 

1. a rc s e c 

4. a rc s e c  

2. a rc s e c 2  

5. a rc s e c  





3

2     4  2 

3. a rc s e c 

2   3     4 4 2  2   5     6 6 3 

.

กลุ่มที่ 3 สาหรับ กลุ่มนี้มองแล้วตอบได้เลยแต่มีขอ้ ระวังคือ ต้องดูช่วงของ a rc ด้วย   ,   2 2

a r c s in 

    a rc ta n   ,   2   2

0,  

a rc c o s 

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

s in ( a r c s in x )  x c o s (a rc c o s x )  x ta n (a rc ta n x )  x

c o t(a rc c o t x )  x s e c (a rc s e c x )  x c o s e c (a rc c o s e c x )  x

จงหาค่ าของ 1. a rc s in  s in  

    3  3

2. a rc s in  s in 3  

    4  4

ระวัง

a rc s in  s in x



 x

a rc c o s  c o s x



 x

a rc ta n  ta n x



 x

a rc c o t  c o t x



 x

a rc se c  se c x



 x

a rc c o se c  c o se c x



 x


476


3. a rc s in  s in   

     6  6





4. s in  a rc s in 1   

2 



1 2

2    2 

5. s in  a rc s in 









2 2

3  3     2  2 

6. s in  a rc s in  

7. s in  a rc s in   1     1 



2 

2

8. a rc c o s  c o s 

    2  2



9. a rc c o s  c o s 2 

2    3  3



10. a rc c o s  c o s 3 

3    4  4



11. a rc c o s  c o s   

 5       6  6 6





ระวัง

12. a r c ta n  ta n 

    2  2



13. a rc ta n  ta n 3

     4  4

ระวัง

14. a rc ta n  ta n 2 

ระวัง



     3  3



15. a rc ta n  ta n   5 

     6  6

ระวัง

16. a rc s in  s in 2 

ระวัง





    3  3











17. ta n  a rc ta n  

3  3     3  3 

กลุ่มที่ 4 วาดรู ปแล้ วหาค่ าได้ เลย หลักการทา 1.ทุกตัวถ้าเป็ นบวกวาดรู ปจตุภาคที่ 1 ทั้งหมด 2. สาหรับ a r c s i n a rc ta n arcco s ec เป็ นลบวาดรู ป จตุภาคที่ 4 3.สาหรับ arcco s arc sec a r c c o t เป็ นลบวาดรู ป จตุภาคที่ 2





   3  sin  arccos     5  

ตัวอย่างที่ 1

 3  A  a rc c o s    5 

ให้

477



cos A  

3 5

นาไปวาดรู ปจะได้ s in A

y 5

4 A

x

3

ตัวอย่างที่ 2 [โควตา มข. / 2553]  5   c o s  a rc s in     13    1.

12

มีค่าเท่ากับข้อใด

2.

13

12

3.

13

 5  A  a rc s in    13 

ให้

13

 s in A 

12

x

A 5

13 12 13

จงหาค่ าของ 1. sin  arccos 

 1       2 

2. cos  arc

sec 2 

3. cos  arc

 13   sec      12  



4. cos  arctan 

4  3

5 13

y

 cos A 

5

4. 

5 13



4 5

บันไดเซียนคณิ ตศาสตร์ คิดลัดขั้นเทพ  



2   2   

   

5. cos  arcsin

478

  5    tan     4   

6. arccos

7. cos  arcsin

 12       13  



8. sec arccos

ec

9. sec  arctan

2



3  4





3   2 

10. tan  arccos 

11. ta n  a r c s e c 3  

4

12. c o t  a rc ta n  1    3 



13 sin

 arctan

2

14. s in  a rc c o s  3    5 



15. c o s  a rc s in   1 2   



13  

16. ta n  a rc s in   1   



4 

17. c o s e c  a rc c o s   2   



3 

18. s in  a rc ta n   2  

กลุ่มที่ 5 มุมสองเท่า สามเท่าและครึ่ ง ตัวอย่างที่ 1. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย / คณิ ตศาสตร์ 1 2539] ค่าของ

 1   ta n  2 a r c s in    5   

1. -1

เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 1

แนวคิด  1   ta n  2 a r c s in    5   

3.

4 3

4.  4 3

บันไดเซียนคณิ ตศาสตร์ คิดลัดขั้นเทพ ให้

479


1 1   A  a rc s in     s in A   5  5 

( a r c s in ติดลบคือมุมใน Q ค่า tan จึงติดลบ) 4

y

2

x

A

1

5

จะได้ ta n A โจทย์ถาม ta n  2 A  

1

 

2

2 ta n A 1  ta n A 2

 1  2   2



 1  1    2

2

ตอบ

4

 

3

ตัวอย่างที่ 2. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย /คณิ ตศาสตร์ 1 ต.ค. 2541] 1   s e c  2 a rc s in  3  

มีค่าเท่ากับเท่าใด

แนวคิด หาค่า c o s  2 a rc s in 

โดยให้ a rc s in

1

1   3 

ก่อน 

 A

1

s in A 

3

3

จะได้ c o s  2 A   1  2 s in ตอบ s e c  2 a rc s in

2

2

1  1  A 1 2   3  3 

1  1   cos  2 A 3 





 3

ตัวอย่างที่ 3 . [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย / คณิ ตศาสตร์ 1 มี.ค. 2547] ค่า s in  2 a rc ta n 1   c o t 

แนวคิด

2

ให้ A

 a r c ta n

1

2

1   a rc s in  3   ta n A 

เท่ากับเท่าใด 1

2

และ B  a r c s in

1

2 1

 ta n B 

3

3

3

5

1

A

1 B

2

จะได้ s in  2 A   c o t

2

B 

8  2 s in A c o s A  c o t B 2



480


 1  2   2    5  5 





8

2



4


ตอบ

 8  8 .8

5

ตัวอย่ างที่ 4 . [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย /คณิ ตศาสตร์ 1 2534] ค่าของ

3   a r c ta n   3  4 s in    c o s  2 a r c s in  2 5     

1.

1



10

2.

6 25

1



3

เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 3.

6 25

1

4.

7



10

25

วิธีทา 3   a r c ta n   3  4 s in    c o s  2 a r c s in  2 5     

ให้

A  a r c ta n

3



3

ta n A 

4

B  a r c s in

3

4



s in B 

5

3 5

ดังรู ป 5

5

4

A

3

B

3

4

แสดงว่าโจทย์ถาม (มุม A และ มุม B อยูใ่ นควอดรันต์ที่ 1 ค่ามุม เป็ นบวกทั้งสอง) s in

A

 cos 2 B 

1  cos A

2

2



 4  1    5  2

  2 cos B  1 2

2

 4  2  1   5 

1 10

ตัวอย่างที่ 5. [สมาคมคณิ ตศาสตร์ฯ / 2549]  1   c o s  2 a rc ta n      s in  13  

1. 1 

1



170

170

3. 1 

1 170

วิธีทา

2



2 170

 1     a rc ta n    13  

มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2. 1 

1



170

170

4. 1 

1 170

2



2 170



7 25

ตอบ

1 3



7 25

บันไดเซียนคณิ ตศาสตร์ คิดลัดขั้นเทพ  1   c o s  2 a rc ta n      s in  13  

ให้ A

1    a rc ta n     13 



481



 1     a rc ta n    13  

ta n A  

1 13

( เนื่องจาก a rc ta n   

1   13 

เป็ นมุม ในควอดรันต์ที่ 4)

y

13

x

A

170

จะได้วา่ s in A

 

1

1 170

โจทย์ถามค่าของ c o s 2 A  s in A จงหาค่ าของ 1. arctan

  

2 sin

2. tan  2 arccos

12   13 



3. sin

5   4 

 2 arctan   3  

4. s in  2 a rc s in  2    3 



5. s in  1 a rc s in  4    5 

 2

6. s in  1 a rc c o s  4    5 

 2

7. s in (   2 a rc c o s x ) 2



2

8. cos  2 arccos

 2     2   

9. cos  2 arccos

 1      2 





10. cos ( 2 arcsin

3 5

)

 1  2 s in A  s in A  1  2

2 170



1 170

ตอบ ข้อ 1.

บันไดเซียนคณิ ตศาสตร์ คิดลัดขั้นเทพ 11. c o s  2 a rc c o s  4    5 



12. c o s  2 a rc c o s  3    5 



13. cos  2 arcsin

1



3   2 

14. cos  2 arccos 

15. sin  2 arcsin

2  3



16. sin  1 arccos

4  5

17. cos  2 arcsin

3  5

2



18. s in ( 1 a rc c o t(  3 )) 2

19. cos[

4

2 arctan( 1 

2 )]

20 c o s ( 3   2 a rc ta n x ) 2

21. cos[

3

2 arcsin(

22. ta n  2 a rc ta n 

5   12 

23. tan  2 arctan

x

24. tan(

1

2 arctan

25. tan 2 arctan

)]

5

)

3 2



26. s in  2 a rc s in  2   

 3 

27. c o s  2 a rc s in  3   

 5 

28. ta n  2 a rc c o s   1   



3 

29. s e c  2 a rc s in   2   



7 

30. s in  3 a r c ta n 2  31. c o s  3 a rc s in 3  

5

32. s in  1 a rc c o s  3    2

 5 

482




483



33. s in  1 a rc ta n 3   2



34. c o s  1 a rc c o s  1 2    13  

 2

35 c o s  1 a rc s in  3    2

 5 

36 ta n  1 a rc ta n

 3 

 2

กลุ่มที่ 6 อาจใช้ ตัวช่ วย 1. 2 a rc s in x  a rc s in  2 x 2. 2 a rc c o s x  2 x

2

1 x

2



1

3. 2 a rc ta n x  a rc ta n 

2x

1 x

2

  

ลองทาดู 1. 2 a rc s in

1 3

2. 2 a rc c o s 1

3

3. 2 a rc ta n

1 3

4. 2 a rc ta n 1

5

กลุ่มที่ 7 มุมที่นักเรียนต้ องจา 53

5

63.5

5 3

37

1

4

16 25

1

4

18 7

72

5 1

24

74 7

3

2

82

8

1 18.5

26.5

50

71.5

10

10  2 5


484

36

4


2 2

3 1

5 1

54

15 3 1

10  2 5

ตัวอย่าง จงหาค่ าของ 1. a rc s in 3  3 7 5

2. a rc s in 4

 53

3. a rc c o s 4

 37

4. a r c c o s 3

 53

5. a rc ta n 3

 37

6. a r c ta n 4

 53

7. a rc ta n 1

 1 8 .5

5

5

5

4

3

3

8. a rc s in (

1

)  2 6 .5

5

9. a rc c o s

2

 2 6 .5

5

10. a rc ta n 1

 8

7

11. a rc ta n 2  6 3 .5 12. a rc ta n 3  7 1 .5 13. a rc s in

1

 1 8 .5

10

14. a rc s in

3 1 2

15. a rc s in

3 1 2

16. a rc c o s

 75

2 3 1

2

17. a rc c o s

 15

2

3 1 2

 75

2

2

 15

75


บันไดเซียนคณิ ตศาสตร์ คิดลัดขั้นเทพ 3 1

18. a rc ta n

3 1 3 1

19. a rc ta n

3 1

485


 15

 75

กลุ่มที่ 8 ทุกข้ อรวมกันได้ a rc s in x  a rc c o s x 



เสมอ

2  2

a rc ta n x  a rc c o t x 

 2

a rc s e c x  a rc c o s e c x 

 2

a rc s in x  a rc c o s x 

 2

ตัวอย่าง จงหาค่าของ 1. a rc s in 1  a rc c o s 1 2. a rc s in 3. a rc s in

3

3

2

3

3



 a rc c o s

5

5

4

4

 a rc c o s

5



2 



5

4. a rc s in 1  a rc c o s 1 2

5. a rc s in





2 



2

3

 a rc c o s

2

6. s in  a rc s in

2

3



2 5



13

7. s in  a rc s in

7

 a rc c o s

 2 5    s in 1  13  2

 a rc c o s

7    s in 1  25  2

8. s in  a rc s in 2 4 

 a rc c o s

25

24    s in 1  25  2

9. c o s  a rc s in

5

 a rc c o s

5    cos  0  13  2





25

13



486


a rc ta n x  a rc c o t x 

 2

ตัวอย่าง จงหาค่าของ 1. a rc ta n 1  a rc c o t 1

 



3

3

2. a rc ta n

3

3

4

4

2

3. a rc ta n

4

4



4. a rc ta n

 a rc c o t  a rc c o t

3

2 



3

1

 a rc c o t

2

1

3





2

3

5. a rc ta n 1  a rc c o t 1 2



2

6. s in  a rc ta n

7



 2 7    s in 1  24  2

 a rc c o t

24

1   s in 1  7 2

7. s in  a rc ta n 1

 a rc c o t

9. c o s  a rc ta n 3

 a rc c o t 3   c o s



7



3 1



3 1

10. c o s  a rc ta n

 a rc c o t



 0

2 3 1   0   cos 2 3 1

a rc s e c x  a rc c o s e c x 

 2

1. a rc s e c 5  a rc c o s e c 5 4





4

2. a rc s e c

10

3. a rc s e c

50

2 10

 a rc c o s e c

3



3 50

 a rc c o s e c

7

2 

7

4. a rc s e c 2  a rc c o s e c 2 



 2

 2

5. a rc s e c 2 5  a rc c o s e c 2 5 7

6. s in  a rc s e c 

7

7 25



10



3

7. s in  a rc s e c

 a rc c o s e c

7    s in 1  25  2

 a rc c o s e c

10   1   s in 3  2


บันไดเซียนคณิ ตศาสตร์ คิดลัดขั้นเทพ 8. s in  a rc s e c

2



3



5

9. c o s  a rc s e c


 a rc c o s e c

2   1   s in 2 3

 a rc c o s e c

5    0   cos 2  2

2



487


กลุ่มที่ 9 1. a rc ta n x  a rc ta n y  a rc ta n

x  y

 xy 1

1  xy

2. a rc ta n x  a rc ta n y    a rc ta n

x  y 1  xy

3. a rc ta n x  a rc ta n y     a rc ta n

 ,x

x  y 1  xy



y





,x  y



1 1

ตัวอย่างที่ 1 [คัดโอลิมปิ ก / 2538] ให้ a  2 a rc ta n 1  a rc ta n 1 จงหาค่าของ 1 8 0 a 3



7

1

a  2 a rc ta n

 a rc ta n

3 a  a rc ta n

1

7

 a rc ta n

3

 a rc ta n

3

 a rc ta n

1 7

1



3

3

 1  1  1     3  3 

 a rc ta n

4

 a r c ta n

เพราะ

1 7



1



3

1 7



1 21

1

ใช้สูตรที่ 1

1 7

3  a r c ta n

1 3

1 a  a r c ta n

1

4



1 7

 1  1  1     4  7 

 a r c ta n 1 

 4

โจทย์ถาม 1 8 0 a  

180       45   4 

ตัวอย่างที่ 2 [คัดโอลิมปิ ก / 2538] ta n 2  ta n 3 มีค่าตรงกับข้อใดต่อไปนี้ 1

1

2.  3 

1.  

4

3. 

4

ค่าของ a rc ta n 2  a rc ta n 3  

 23  a rc ta n   1  2 3 

4

  

เพราะ

4.  23  6 1

3 4


   a r c ta n   1 

 

 4



3 4

(เพราะ a rc ta n ติดลบถูกนิยามไว้ที่ค่ามุมติดลบในควอดรันต์ที่ 4)

บันไดเซียนคณิ ตศาสตร์ คิดลัดขั้นเทพ 488 ฟังก์ชนั ตรี โกณมิติ ตัวอย่างที่ 3 .ค่าของ arctan   1   arctan   2  เท่ากับเท่าใด a rc ta n   1   a rc ta n   2      a rc ta n     a r c ta n

1  2  1    1   2 

เพราะ



3 1

    a r c ta n 3

ตัวอย่างที่ 3. ค่าของ

1 1 7  ta n a r c c o t  a r c c o t  a r c ta n  5 3 9   5 12   s in a r c s in  a r c s in  13 1 3  

1 1 7  ta n a r c c o t  a r c c o t  a r c ta n  5 3 9   5 12   s in a r c s in  a r c s in  13 1 3  





7  ta n a r c ta n 5  a r c ta n 3  a r c ta n  9   5 5   s in a r c s in  a rc c o s  13 1 3  

 7  53  ta n  a rc ta n    a rc ta n  9  1  5 .3   s in



  2   

1 7  ta n a r c ta n  a r c ta n  8 9   1

   ta n  a r c ta n  

   ta n  a rc ta n  

    

7   1    8 9   1 7  1    8 9   

65   72  65  7 2  

 ta n  a rc ta n 1   1

เท่ากับเท่าใด


  1    2 

 2 1



489



ตัวอย่างที่ 4 .ค่าของ c o t  a r c c o t 7  a r c c o t 1 3  a r c c o t 2 1  a r c c o t 3 1  เท่ากับข้ อใดต่อไปนี ้ 1.

11

2.

13

4

วิธีทา.

3.

9

4.

2

4

2

1 1 1 1   c o t  a rc ta n  a rc ta n  a rc ta n  a rc ta n  7 13 21 31  

 1 1 1 1        7 31 13 21 c o t   a rc ta n    a rc ta n 1 1 1 1    1  1  7 31   13 21  

 38  217 c o t   a rc ta n 217  1    217

       a rc ta n    

34   273  272  2 7 3  

 38   34  c o t   a rc ta n    a rc ta n  216   272  

 19   1  c o t   a rc ta n    a rc ta n   108   8  

19 1    108 8 c o t  a r c ta n 19 1  1  108 8 

260   c o t a r c ta n   845   845   c o t a rc c o t   260  

13  13  c o t a rc c o t    4  4 

    

25

     

บันไดเซียนคณิ ตศาสตร์ คิดลัดขั้นเทพ ตัวอย่างที่ 5 .จงหาค่าของ วิธีทา

490


 1  1 1  1  ta n  a rc ta n    a rc ta n    a rc ta n    a rc ta n    2 3  4  5  

  ta n  a rc ta n   

1  1       4 5   a rc ta n 1  1  1  1 1    .  1    .   2 3  4   5   1  1     2 3

9   ta n a rc ta n 1  a rc ta n  1 9   9   ta n 4 5  a rc ta n  1 9  

ta n  4 5  A    

ta n 4 5  ta n A 1  ta n 4 5 . ta n A 1

9 19



1  1  .

9



14

 2 .8

5

19

ตัวอย่างที่ 6. [ทุนเล่าเรี ยนหลวง (ก.พ.) / 2543] จงหาค่าของ 2 c o t  c o t 3  c o t 7  c o t 1 3  c o t ใช้สูตรผลบวกของ a rc ta n นัน่ คือ 1


1

1

1

21

 1 1 1 1 1 1 1 1  2 c o t  ta n  ta n  ta n  ta n  3 7 13 21  

 1  1 / 3  1 / 7  1  1 / 1 3  1 / 2 1    2 c o t  ta n    ta n    1  1 / 21   1  1 / 273     1  1 0  1  3 4    2 c o t  ta n    ta n    20   272     1  1  1  1    2 c o t  ta n    ta n    2  8    1  2 c o t  ta n 

1/ 2 1/8     1  1 / 16  

  15  1  1 0    2 c o t  ta n    2   3  15    10  

ตอบ

บันไดเซียนคณิ ตศาสตร์ คิดลัดขั้นเทพ 491 ตัวอย่างที่ 7 . [สมาคมคณิ ตศาสตร์ ฯ / 2541]


ค่าของ a rc ta n 1  a rc ta n 1  a rc ta n 1  a rc ta n 1 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 3

ก.



ค.



5

7

8

2

4

ข.



ง.



3

6

วิธีลดั 71.5

10

82

50

1

1 8

18.5

3

จา

a rc ta n

1

 a rc ta n

3 1 8 .5  8   1 8 .5

7 1 1    a rc ta n  a rc ta n  7  5 8

1



45 

 4

ลองทาเอง จงหาค่ าของ 1. arctan

1

2. arctan

1

3. arctan

4 3

7

4. arctan

1

1

5. arctan

1

6. arctan

1

7. arctan

2  arctan

 arctan

3

1 3

 arctan

2

1 3

 arctan

 arctan

5

1

8  arctan

3

1

 arctan

5  arctan

2

1 5 3

1 8

 arctan

1 8

 arctan

1 7



492



กลุ่มที่ 10 ตัวอย่างที1่ [สมาคมคณิ ตศาสตร์ฯ / 2536] ค่าของ s in  a rc s in 

ก.

5

 a rc c o s

13

ข.

48 65

จาก s in  a rc s in 

ให้ A

5

ค.

65

13

B  a rc c o s

เท่ากับเท่าใด

52

 a rc c o s

 a rc s in

4   5 

ง.

56 65

63 65

4   5 

5



5

s in A 

13

13

4

4



cos B 

5

5

s in  A  B   s in A c o s B  c o s A s in B

13

5

5

3

A

B 4

12

56  5   4   12   3  s in  A  B           65  13   5   13   5 

ตัวอย่างที่ 2 [ข้ อสอบเข้ ามหาวิทยาลัย / คณิ ตศาสตร์ 1 2549] s in (a rc ta n 2  a rc ta n 3 ) เท่ากับข้ อใดต่อไปนี ้ 1.



1

2.

1



2

1

3.

2

4.

2

2

วาดรู ปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ดงั รู ป

5

10

2

A

3

B 1

จะได้

1

s in  a r c ta n 2  a r c ta n 3   s in  A  B

1 


493



 s in A c o s B  c o s A s in B

 2      5 

=

5

  1    10   5  

1



  10  3

1

50

2

คิดลัด 63.5

5

71.5

10 1

1 18.5

26.5

3

2 1

s in ( 6 3 .5  7 1 .5 )  s in 1 3 5 

2

ตัวอย่างที่ 3 . [โควตา มช. / 2547] จงหาค่าของ s in  a rc ta n   3   a rc c o s  3   



4

 5 

วิธีทา ให้ A

 3  a rc ta n     4



ta n A  

3 4

และ B  a rc c o s  3 



5

cos B 

3 5

y

y 5

4

x

x

B 3

A 5

4

3

จะได้วา่ โจทย์ถาม s in  A  B   s in A c o s B  c o s A s in B 9  16  3  3   4  4            0 .2 8 25  5  5   5  5 

ตอบ

บันไดเซียนคณิ ตศาสตร์ คิดลัดขั้นเทพ ลองทาดู จงหาค่าของ   arccos 

1. cos

4

 12      13  

 arccos

5

2. s e c  a rc s in

 3   a rc ta n     13  4  5



3. sin

  arccos 

4. cos

  arcsin 

5. sin

  arcsin 

6. sec

  arcsin 

7. sin

  arccos 

8. sin

 arcsin  

12

9. sin

 arcsin  

5

3

 4      5 

 arcsin

5 5

 3      4 

 arctan

13 1

 3     2    

 arcsin

2

5

 3      4 

 arctan

13 3

 12     5  

 arctan

5  arcsin

4  5

 arcsin

4  5

13

13

10. cos

 arccos  

11. sin

 arcsin  

1

12. tan

  arcsin 

5   3     arccos  13   5

13. tan

 2 arcsin  

14. sin

 2 arcsin  

15. arcsin 16. sin

3

15 17

2

4

 arccos

5 4

 arccos

5

 arcsin

 5  arccos 13 

1

1  3

 arcsin

5

17. arctan

7   25 

 arcsin

18. sin

 arcsin  

1

19. cos

  arcsin 

1

 13   arccos    17  85 

 arctan

 4      3 

3 1 3 1

 arccos

7

2

12   13 

15

 arctan

3

12   13 

 arccos

1  7  1     2 

494



บันไดเซียนคณิ ตศาสตร์ คิดลัดขั้นเทพ 20.

  5  sin  2 arccos  

4



5

22. tan  arcsin

 4  1      arctan     3  3 



3

23. cos  arctan

  1      arccos    2 

24. sin(arccos

3






 3   arcsin     5  5 




 2   

 arctan

21. sin  arccos 

495

12

 arctan

5

    10   3

)

5

กลุ่มที่ 11 ตัวอย่างที่ 1. [สมาคมคณิ ตศาสตร์ฯ / 2543] ค่าของ s in  2 a rc ta n 1  a rc ta n 

5

5   12 

ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

2. 

1. 0

3. 

3

4. 

5

2

วิธีทา 1 5   s in  2 a rc ta n  a rc ta n  5 12  

ให้ A

1  a rc ta n   5



1

ta n A 

5

และ B  a rc ta n 

5    12 

ta n B 



5 12

y

y

26

13

1

5 x

A

x

B

5

12

s in  2 A  B   s in 2 A c o s B  c o s 2 A s in B

 2 s in A c o s A c o s B   1  2 s in A  s in B 2

  2 

  26  

1

  12       1  2   26   13   

5

 5   12   12   5         13   13   13   13 

 0

  26 

1

2

 5     1 3  

บันไดเซียนคณิ ตศาสตร์ คิดลัดขั้นเทพ ตัวอย่างที่ 2 .จงหาค่าของ



4 4  s in 2 a rc c o s  a rc ta n  5 3  

3

1.

496 4

2.

5

3

3.

5

4

4.

4

3

วิธีทา ให้



x

a rc c o s

4



cos x



5 

y

a rc ta n

y

5

4



ta n y



3

4

5

3

3

4 4  s in 2 a rc c o s  a rc ta n   5 3 



4

 

x

s in ( 2 x  y )

4

s in 2 x c o s y  c o s 2 x s in y



2 s in x c o s x c o s y  ( 2 c o s x  1) s in y



 4   3  4  3    4  2         2    1    5   5   5    5    5 

2

2

จงหาค่าของ 1. s in  2 a rc ta n 1  a rc c o s 1  

3

2. c o s  3 a rc ta n 1  2 a rc ta n 1  



2



3. c o s  a rc ta n 1  5 a rc s in 

3

5 1  4 

4. s in  2 a rc ta n 1  3 a rc ta n 4  

5. sin

 1  arcsin  2

6. sin

  arcsin 

5 

3

 2 arctan

5 4 5

 2 arcsin

 1      2    10 

1



4 5


497



สมการของฟังก์ ชันอินเวอร์ สตรีโกณมิติ ตัวอย่างที่ 1 [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย / คณิ ตศาสตร์ 1 ต.ค. 2543] ถ้า a rc ta n x  a rc ta n 1  2 a rc ta n 1 แล้ว s in  1 8 0   a r c ta n x  มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 4

1.

2

2.

13 5 17

วิธีทา

5 17

a rc ta n x  a rc ta n

1

 2 a rc ta n

1

B  a rc ta n

1



ta n A 

5 17

1

4

4

1

1



16

1 1   x  ta n  a rc ta n  2 a rc ta n  4 2 



2

A  a r c ta n

4.

5 17

4

ให้

13

3.

16

ta n B 

2

2

(มุม A และ มุม B อยูใ่ นควอดรันต์ที่ 1 ค่ามุม เป็ นบวกทั้งสอง) จะได้ x  t a n  A  2 B  ta n A  ta n 2 B

x 

x 

ta n 2 B 

1  ta n A ta n 2 B

2 ta n B 1  ta n B 2



1  2   2 1  1    2

1   4      4   3   1  4  1     4  3 

x  

13 16

  13   s in  1 8 0   a rc ta n x    s in  a rc ta n x    s in  a rc ta n     16   

โจทย์ถาม

ให้

 13  C  a rc ta n     16 



ta n C  

16

(มุม C อยูใ่ นควอดรันต์ที่ 3 ค่ามุม เป็ นลบ) y

16

x

C

13 5 17

ถามค่า   s in  a rc ta n   1 3       



16  



13    5 17  5 17 13

13

ตอบ

2



4 3

บันไดเซียนคณิ ตศาสตร์ คิดลัดขั้นเทพ 498 ฟังก์ชนั ตรี โกณมิติ ตัวอย่างที่ 2. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย / คณิ ตศาสตร์ 1 2541]


กาหนดให้ a rc c o s 4  a rc s in 1 2  x   แล้ว ta n x มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 5

13

1. 1 6

2

2.

63

3.  1 6

6 63

63

4. 

6 63

วิธีทา a rc c o s

4

 a rc s in

5

12

 x 

13





4 12     a rc c o s  a rc s in  2  5 13 

 x 

2

 4 12   ta n x  ta n    a rc c o s  a rc s in 5 13 2  4 12    ta n x  c o t  a rc c o s  a rc s in  5 13  

หาค่า

4 12   c o t  a rc c o s  a rc s in  5 13  

ให้

A  a rc c o s

4



4

cos A 

5 B  a rc s in

5

12



s in B 

13

12 13

(มุม A และ มุม B อยูใ่ นควอดรันต์ที่ 1 ค่ามุม เป็ นบวกทั้งสอง) cot  A  B  

1 ta n  A  B 

5 3

A

1  ta n A ta n B ta n A  ta n B

13

12

B 4

cot  A  B  

สรุ ป



5

1  ta n A ta n B ta n A  ta n B



 3   12  1     4  5   3   12      4   5 

4 12  16  ta n x  c o t  a rc c o s  a rc s in    5 13  63 



20  36 15  48

ตอบ

 

16 63

  

บันไดเซียนคณิ ตศาสตร์ คิดลัดขั้นเทพ 499 ฟังก์ชนั ตรี โกณมิติ ตัวอย่างที่ 3. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย / คณิ ตศาสตร์ 1 2538]


เซตคาตอบของสมการ a rc ta n  1  x   a rc ta n  1  x    เป็ นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้ 4

1.   4 , 0 

2.   3 , 1 

3.   2 , 2 

4.   1, 3 

วิธีทา a rc ta n  1  x   a rc ta n  1  x

ให้ และ

A  a r c ta n  1  x B  a r c ta n  1  x







 4



ta n A   1  x





ta n B   1  x





ดังนั้น จากโจทย์จะได้ A  B  

4

ta n  A  B   ta n



ta n A  ta n B 1  ta n A ta n B

1  x   1  x  1  1  x  1  x 

1  x   1  x  1  1  x  1  x  2 1  1  x    2

2 x x

2

2

1

4 1

1

1

1

1

 2  x  

2

เซตคาตอบคือ 

2,

2

 เป็ นสับเซตของข้อ 3.

บันไดเซียนคณิ ตศาสตร์ คิดลัดขั้นเทพ 500 ฟังก์ชนั ตรี โกณมิติ ตัวอย่างที่ 4. [ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย / คณิ ตศาสตร์ 1 2532] 

ผลเฉลยทั้งหมดของอสมการ a r c c o s  s in   




1   2  a rc c o s  x       2  

เป็ นสมาชิกของเซตใดต่อไปนี้ 1.  

1

,

1

1

,

2 2

2

3.  ..., 

3



,

1

4 4

2 1

,

2

1

,

, 0,

 , ...  2 

1

2

2.  0 , 1 , 

 , ...  2 

2

2 2

,

1

1

,

4 4

2

 , ...  2 

4.  ...,  1 ,  1 , 0 , 1 , 1 , ... 

3

,

1



4

2

2 4



วิธีทา  a r c c o s  s in 

เนื่องจาก s in  





  2 1     a rc c o s  x       2   

  s in 



จึงได้ a r c c o s   s in  a r c c o s  x 





2



1     2 

  2 1   s in  a rc c o s  x     c o s  2      2 1   s in  a rc c o s  x      1 2      2 1  s in  a rc c o s  x     1 2   

s in  A



1

 A 

 2

 2 1   a rc c o s  x    2 2  x

2



1 2

 cos

 2

 x  2

1 2

 0 x

2



1 2

 x  

1 2

ตอบ ข้อ 3.

คิดลัดตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

Recommend Documents