ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Α. ΟΜΑ∆Α 1. Να βρεθεί ο ΜΚ∆ των αριθµών
α)
25, 15 β) 17, 11 γ) 81, 27
2. Να βρεθεί ο ΜΚ∆ των αριθµών
α) 26, 52, 91 β) 121, 242, 22 .
3. Όµοια α) Μ.Κ.∆. ( 34, 44 ) β) Μ.Κ.∆. ( 22, 68 ) γ) Μ.Κ.∆.( 8, 18, 48 ) 900 )
δ) Μ.Κ.∆. ( 360,
4. Αν έχουµε 64 άνδρες, 52 γυναίκες και 120 παιδιά σε πόσες το πολύ οµοιόµορφες οµάδες δηλ. σε οµάδες που κάθε µία έχει ίδιο αριθµό ανδρών, γυναικών και παιδιών, και πόσους άνδρες , γυναίκες παιδιά έχει κάθε οµάδα ; 5. Ένας ανθοπώλης έχει 32 τριαντάφυλλα, 56 γαρύφαλλα και 72 µαργαρίτες. Πόσες το πολύ ίδιες ανθοδέσµες µπορεί να φτιάξει µε όλα αυτά τα λουλούδια και πόσα λουλούδια από το κάθε είδος θα έχει ανθοδέσµη ; 6. Ποιοί από τους παρακάτω αριθµούς είναι πρώτοι και ποιοί σύνθετοι 1, 8, 5, 11, 20, 17, 18, 22, 7, 16, 23, 19, 12, 32, 45, 35, 33, 41. Β. ΟΜΑ∆Α 1. Να βρείτε το Μ.Κ.∆. στις παρακάτω περιπτώσεις: Μ.Κ.∆.( 36,84,120 ) Μ.Κ.∆. ( 1020, 2040, 3600 ) Μ.Κ.∆. (12400, 2600,33000) Μ.Κ.∆. (240, 360, 120, 72 ) 2. Αν ο Μ.Κ.∆. (85,χ,102) = 17 και ο φυσικός αριθµός χ περιέχεται µεταξύ των 34 και 68, να βρεθεί ο χ . 3. Σε πόσες το πολύ πτωχές οικογένειες µπορούν να µοιραστούν εξίσου 45800 δρχ. και 123 κιλά τρόφιµα, αν είναι γνωστό ότι θα περισσεύουν 800 δρχ. και 3 κιλά τρόφιµα. Γ. ΟΜΑ∆Α 1. Αν Μ.Κ.∆. ( χ , 2χ, 36 ) = 12 και χ 〈 36, να βρεθεί ο φυσικός αριθµός χ. 2. Να βρεθεί ο ΜΚ∆ των αριθµών 24, 36, 84, και να δικαιολογήσετε ότι ο καθένας από αυτούς είναι πολλαπλάσιο του ΜΚ∆ τους. 3. Να βρείτε το ΕΚΠ και το ΜΚ∆ των αριθµών 16 και 40. Τους αριθµούς που θα βρείτε να του πολλαπλασιάσετε και το εξαγόµενο να το συγκρίνετε µε το γινόµενο 16.4
∆ΙΑΙΡΕΤΕΣ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ∆ιαιρέτης ενός φυσικού αριθµού α είναι οι φυσικοί αριθµοί που όταν διαιρεθούν µε το α δίνουν ακέραιο πηλίκο και υπόλοιπο 0. • Οι παράγοντες ενός αριθµού είναι και διαιρέτες του. • Πρώτοι αριθµοί είναι οι φυσική αριθµοί που έχουν διαιρέτες µόνο το 1 και τον εαυτό τους (1.3,5,7,11,13,17,19,23,....) • Σύνθετοι αριθµοί είναι οι αριθµοί που δεν είναι οι πρώτοι, δηλαδή έχουν εκτός από το 1 και τον εαυτό τους και άλλους διαιρέτες. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Κάθε αριθµός έχει διαιρέτες το 1 και τον εαυτό του. 1· α=α άρα το 1 και το α παράγοντες του α εποµένως το 1 και το α διαιρέτες του α. Μ.Κ.∆. Μ.Κ.∆. σηµαίνει Μ=Μέγιστος (µεγαλύτερος) Κ=Κοινός(ίδιος)∆=διαιρέτης • Ονοµάζουµε Μ.Κ.∆. δυο ή περισσότερων φυσικών αριθµών τον µεγαλύτερο από τους κοινούς διαιρέτες τους. ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 1. Να βρεθούν οι διαιρέτες ενός φυσικού αριθµού. ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να βρεθούν οι διαιρέτες του 18 και του 16. Γράφουµε όλα τα γινόµενα φυσικών που µας δίνουν αποτέλεσµα 18,16. 1· 18=18 1· 16=16 2· 9=18 2· 8=16 3· 6=18 4· 4=16 6· 3=18 8· 2=16 (από αυτό το σηµείο τα γινόµενα αρχίζουν να επαναλαµβάνονται.) Γνωρίζουµε ότι οι παράγοντες ενός αριθµού είναι και διαιρέτες του, άρα ∆18={1,2,3,6,9,18} ∆16={1,2,4,8,16} ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: 1. Οι διαιρέτες ενός αριθµού είναι πεπερασµένοι το πλήθος. 2. Οι διαιρέτες ενός φυσικού αριθµού είναι µικρότεροι ή το πολύ ίσοι µε τον αριθµό. 3. Ο Μ.Κ.∆ είναι πάντα µικρότερος ή ίσος από τον µικρότερο των αριθµών.
2. Να βρούµε το Μέγιστο Κοινό ∆ιαιρέτη δύο ή περισσότερων αριθµών. Τα βήµατα που ακολουθούµε είναι:
1ο ΤΡΟΠΟΣ
Βήµα 1ο Βρίσκουµε τους διαιρέτες των αριθµών. Βήµα 2ο Βρίσκουµε τους κοινούς διαιρέτες. Βήµα 3ο Από τους κοινούς διαιρέτες επιλέγουµε το µεγαλύτερο. ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να βρεθεί ο Μ.Κ.∆ (12,30,36,) 1.12=12 2.6=12 3.4=12 4.3=12 ∆12= (1,2,3,4,6,12)
1.30=30 1.36=36 2.15=30 2.18=36 3.10=30 3.12=36 5.6=30 4.9=36 6.5=30 6.6=36 ∆30=(1,2,3,5,6,10,15,30,) 9.4=36 ∆36=(1,2,3,4,6,9,12,18,36)
ΒΗΜΑ 1ο: Βρήκαµε
∆12=(1,2,3,4,6,12)
∆30=(1,2,3,5,6,10,15,30)
∆36=(1,2,3,4,6,9,,12,18,36)
ΒΗΜΑ 2ο: Οι κοινοί διαιρέτες του 12,30,36 είναι: (1,2,3,6)
ΒΗΜΑ 3ο:
ΜΚ∆ (12,30,36)=6
3. ΑΛΛΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Έχουµε 36 ίδια βιβλία, 30 τετράδια και 12 στυλούς. Πόσα το πολύ όµοια δέµατα θα φτιάξουµε και πόσα βιβλία, τετράδια , στυλούς, θα έχει το κάθε δέµα; Λύση: Εάν ο αριθµός των δεµάτων είναι Χ. Τότε το Χ διαιρεί ακριβώς τα 36 βιβλία, 30 τετράδια και τους 12 στυλούς. Άρα είναι διαιρέτης και του 36 και του 30 και του 12. Εποµένως είναι Κ.∆ (36,30,12) Οι κοινοί διαιρέτες του 36,30,12 είναι (1,2,3,6). εµείς θέλουµε τα περισσότερα δέµατα άρα θέλουµε το Μ.Κ.∆ (30,36,12,)=6 Εποµένως
Χ=6. Μπορούµε να φτιάξουµε 6 δέµατα το πολύ .
Κάθε δέµα περιέχει 36:6=6 βιβλία
30:6=5 τετράδια
12:6=2 στυλούς
2ο ΤΡΟΠΟΣ Για να βρούµε το Μ.Κ.∆ αριθµών εργαζόµαστε ως εξής:
ΒΗΜΑ 1ο: Παίρνουµε το µικρότερο από τους αριθµούς και βρίσκουµε τους διαιρέτες του. ΒΗΜΑ 2ο: Παίρνουµε τον αµέσως µεγαλυτερο και βλέπουµε ποιοί από τους αριθµούς που βρήκαµε είναι διαιρέτες του. Όσοι δεν είναι τους διαγράφουµε. ΒΗΜΑ 3ο:
Παίρνουµε τον αµέσως µεγαλύτερο και βρίσκουµε ποιοι είναι διαιρέτες του από τους αριθµούς που µείνανε. ΚΑΝΟΥΜΕ ΤΗΝ Ι∆ΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΩΣΠΟΥ ΝΑ ΤΕΛΕΙΩΣΟΥΝ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΒΗΜΑ: Από τους αριθµούς που έµειναν Μ.Κ.∆. είναι ο ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ. ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Μ.Κ.∆. (27, 36, 81 ) ΒΗΜΑ 1ο: Παίρνουµε το µικρότερο και βρίσκουµε τους διαιρέτες του. Ο µικρότερος είναι το 27. ∆ 27={1,3,9}
ΒΗΜΑ 2ο: Παίρνουµε τον αµέσως µεγαλύτερο και βρίσκουµε ποιοι από τους αριθµούς δηλαδή τους διαιρέτες του 27 είναι διαιρέτες του. Ο αµέσως µεγαλύτερος είναι ο 36. ∆ιαιρέτες του είναι το 1,3,9. ( Το 27 το διαγράφουµε ).
ΒΗΜΑ 3ο: Παίρνουµε τον αµέσως µεγαλύτερο και βρίσκουµε ποιοι από τους αριθµούς που έµειναν είναι διαιρέτες του. Ο αµέσως µεγαλύτερος είναι το 81. ∆ιαιρέτες του είναι το 1,3,9. Άλλοι αριθµοί δεν έµειναν και εποµένως πάω στο τελευταίο βήµα.
ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΒΗΜΑ: Μ.Κ.∆ είναι ο µεγαλύτερος από τους αριθµούς που έµειναν δηλαδή το 9. Μ.Κ.∆ (27,36,81,)=9
3oς ΤΡΟΠΟΣ
ΕΥΡΕΣΗ Μ.Κ.∆
ΒΗΜΑ 1ο: Γράφουµε τους αριθµούς τον έναν δίπλα στον άλλο. Γράφοντας τον πιο µικρό αριστερά.
ΒΗΜΑ 2ο: ∆ιαιρούµε τους αριθµούς µε το µικρότερο και γράφουµε το υπόλοιπο. Τον πιο µικρό δεν το διαιρούµε.
ΒΗΜΑ 3ο: Επαναλαµβάνουµε την ίδια διαδικασία σε κάθε γραµµή διαιρώντας τους αριθµούς µε το µικρότερο. (ο µικρότερος είναι το 84).
ΒΗΜΑ 4ο: Η διαδικασία σταµατάει όταν καταλήξουµε σε γραµµή που έχει όλα 0 εκτός από έναν αριθµό . Ο Μ.Κ.∆ είναι αυτός ο αριθµός.
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ:
ΒΗΜΑ 1ο: Να βρεθεί ο Μ.Κ.∆ ( 324,600,1056) 324
600
1056
ΒΗΜΑ 2ο: 324, 276, 84
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Τα υπόλοιπα των διαιρέσεων είναι 600:324 είναι 276 1056:324 είναι 84
ΒΗΜΑ 3ο: 72 0
24 24
ΒΗΜΑ 4ο: 0
0 12
84 12
ΕΥΡΕΣΗ
Ε.Κ.Π
1ος ΤΡΟΠΟΣ
ΒΗΜΑ 1ο: Βρίσκουµε τα πολλαπλάσια κάθε αριθµού ξεχωριστά. ΒΗΜΑ 2ο: Βρίσκουµε τα κοινά τους πολλαπλάσια.
ΒΗΜΑ 3ο: Το Ε.Κ.Π είναι το µεγαλύτερο από τα κοινά τους πολλαπλάσια.
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Nα βρεθεί το Ε.Κ.Π (3,4,6)
ΒΗΜΑ 1ο:
Π3 = l3,6,9,12,15,18,q Π4 = l4,8,12,16,20,24"q Π6 = l6,12,18,24,....q
ΒΗΜΑ 2ο: Τα κοινά πολλαπλάσια τους είναι Ê .Ð .= 12,24,36,...
l
q
ΒΗΜΑ 3ο: Το Ε.Κ.Π (3,4,6,)=12
2ος ΤΡΟΠΟΣ
E.Κ.Π Για να βρούµε το Ε.Κ.Π αριθµών ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα:
ΒΗΜΑ 1ο: Παίρνουµε το µεγαλύτερο από τους αριθµούς και βρίσκουµε τα πολλαπλάσια του.
ΒΗΜΑ 2ο: Παίρνουµε τον αµέσως µικρότερο και βρίσκουµε ποιά από τα παραπάνω πολλαπλάσια είναι πολλαπλάσια του. Όσα δεν είναι τα διαγράφουµε. Ενώ όσοι αριθµοί είναι τους κρατάµε.
ΒΗΜΑ 3ο: Παίρνουµε το µικρότερο από τον προηγούµενο και βλέπουµε ποιοί από τους αριθµούς που κρατήσαµε είναι πολλαπλάσια του. Όσοι δεν είναι τους διαγράφουµε.
ΚΑΝΟΥΜΕ ΤΗΝ Ι∆ΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΧΡΙ ΝΑ ΤΕΛΕΙΩΣΟΥΝ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΒΗΜΑ: Από τους αριθµούς που δεν διαγράψαµε το Ε.Κ.Π είναι ο ΜΙΚΡΟΤΕΡΟΣ.
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Ε.Κ.Π (3,4,6,8)
ΒΗΜΑ 1ο: Παίρνουµε το µεγαλύτερο δηλαδή το 8 και βρίσκουµε τα πολλαπλάσια του.
ΒΗΜΑ 2ο: Παίρνουµε τον αµέσως µικρότερο δηλαδή το 6 και βρίσκουµε ποιά από τα παραπάνω πολλαπλάσια του 8 είναι πολλαπλάσια του είναι το 24,48,72..... Τα υπόλοιπα τα διαγράφουµε.
ΒΗΜΑ 3ο: Παίρνουµε το µικρότερο από τον προηγούµενο δηλαδή το 4 και βρίσκουµε ποιοί από τους αριθµούς που κρατήσαµε είναι πολλαπλάσια του είναι το 24,48,72. Οι αριθµοί δεν τελείωσαν έµεινε το 3. Παίρνουµε λοιπόν το 3 και βρίσκουµε ποιοί από τους αριθµούς που κρατήσαµε είναι το 24, 48,72. Οι αριθµοί τελείωσαν και έτσι προχωρώ στο τελευταίο βήµα.
ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΒΗΜΑ: Από τους αριθµούς που έµειναν το Ε.Κ.Π είναι ο µικρότερος ∆ΗΛΑ∆Η το 24. Ε.Κ.Π (3,4,6,8)=24.
3ος ΤΡΟΠΟΣ
ΒΗΜΑ 1ο: Αναλύουµε τους αριθµούς σε γινόµενο πρώτων παραγόντων.
ΒΗΜΑ 2ο: Το Ε.Κ.Π είναι το γινόµενο όλων των παραγόντων µε το µεγαλύτερο εκθέτη. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η µέθοδος χρησιµοποιήται όταν θέλουµε να βρούµε το Ε.Κ.Π µεγάλων αριθµών. ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να βρεθεί το Ε.Κ.Π (27,125,600)
ΒΗΜΑ 1ο: Οι αριθµοί αναλύονται σε γινόµενο πρώτων παραγόντων
3
27 = 3
3
125 = 5
600 = 2 .3. 5 3
2
ΒΗΜΑ 2ο:
3
3
2
⋅ ⋅ = 8 ⋅ 27 ⋅ 25 = 5400 Το Ε.Κ.Π (27,125,600)= 2 3 5
ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΦΤΙΑΞΟΥΜΕ ΤΟΝ ΠΙΝΑΚΑ
27 27 27 27 9 3 1 1 e1j
125 125 125 125 25 25 25 5 e1j
600 300 150 75 25 25 25 5 e1j
2 2 2 3 3 3 5 5
óôç óôÞëç áõôç ìð áßíåé Ýíáò ð ñþ ôïò áñéèìüò ìüíïí áí äéáéñåß Ýíáí áð ü ôïõò áñéèìïýò ð ïõ åßíáé áñéóôåñÜ.
Ôï ãéíüìåíï ôù í áñéèìþ í åßíáé ôï Å .Ê .Ð Å .Ê .Ð = 23. 33. 52
ΑΚΗΣΕΙΣ
ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Α’ ΟΜΑ∆Α 1) Να γράψετε στην τυποποιηµένη µορφή τους αριθµούς: α) 120 δ) 12000 ζ) 32700000 β) 1400 ε) 220000 η) 2600000000 γ) 7620 στ) 500.000 θ) 3482000000000000 2) Να γράψετε στη δεκαδική µορφή τους αριθµούς: α) 4, 2.10 β) 5, 16.10 γ) 2, 14.10
δ) 3, 43. 10 ε) 6, 28.10 στ) 3, 14.10
ζ) 7, 2.10 η) 9, 54.10 θ) 6, 023.10
Β’ ΟΜΑ∆Α 1) Να υπολογιστούν οι τιµές των αριθµητικών παραστάσεων. Α= 7, 6.10 + 8, 32.10 - 9, 1.10 Γ= 8, 3.10 + 5, 14.10 - 8, 6.10
Β= 3, 48.10 + 9, 3.10 - 5, 21.10 ∆= 2, 59.10 + 8, 113.10 - 7, 81.10
2) Να συµπληρώσετε µε >, <,= τα παρακάτω κενά α) 2.10 ... 3.10 β) 29.10 ... 5,7.10
γ) 7,1.10 ... 7,01.10 δ) 7,36.10 ... 7,3.10
ε) 3,6.10 ... 9.10 στ) 5,31.10 ... 5.10
3) Να γράψετε τους παρακάτω αριθµούς σε τυποποιηµένη µορφή. i) 6871 594,2
6000,1
35000000
ii) Α= 7,3 . 10 - 2,41 . 10 Β= 542 . 10 + 3,1 . 10
Γ’ ΟΜΑ∆Α 1) Η απόσταση Γης-Ηλίου είναι περίπου 150 εκατοµµύρια χιλιόµετρα. Να γράψετε (µε την τυποποιηµένη µορφή της) την απόσταση αυτή σε µέτρα. 2) Να γράψετε µε την τυποποιηµένη µορφή τους τους αριθµούς: i) 79 . 10 ui) 0,2 . 10
ii) 298000 . 10.000 iv) 200 . 10 . 10
3) Να γράψετε τους παρακάτω αριθµούς α) 19150000 β) 626700000 γ) 125291000 δ) 7890000 σα γινόµενα i) ενός δεκαδικού και δύναµης του 10 και ii) ενός ακεραίου και δύναµης του 10.
4) Χρησιµοποιώντας το 10 , να γράψετε τους παρακάτω αριθµούς σε τυποποιηµένη µορφή. α) 1900000 β) 107000 γ) 8200 δ) 562000 ε) 19 5)
Να υπολογιστούν µε δύο διαφεριτικούς τρόπους οι τιµές των πιο κάτω αριθµητικών παραστάσεων Α= 7,2 . 10 + 3,4 .10 -9 . 10 Β= (5,6. 10 +2,4.10 ) . 5-1,2. 10 Γ=( 1000.10 + 5000 . 10 ): (500 . 10 )
6)
Στη φυσική χρησιµοποιούµε µία πολύ µικρή µονάδα µήκους το Άνγκστρεώστε 10 τέτοιες µονάδες να µας κάνουν 1 cm . Να γράψετε στη δεκαδική µορφή του τον αριθµό αυτό.
ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ •
Ένας µεγάλος αριθµός είναι σε τυποποιηµένη µορφή όταν σα γινόµενο ενός αριθµού α που είναι µικρότερος του 10 και µεγαλύτερος ή ίσος του 1 επί µια δύναµη του 10. α . 10 µε 1 ≤ α 〈 10
•
ΠΩΣ ΓΡΑΦΟΥΜΕ ΕΝΑΝ ΜΕΓΑΛΟ ΑΡΙΘΜΟ ΣΕ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ
Γράφουµε τον αριθµό και βάζουµε την υποδιαστολή ώστε να προκύψει αριθµός ανάµεσα στο 1 και στο 10. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουµε τον αριθµό που προκύπτει µε µια δύναµη του 10 που έχει έκθετη τον αριθµό που δείχνει πόσες θέσεις µεταφέραµε την υποδιαστολή. ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 540.000.000
Η υποδιαστολή πρέπει να µπει ανάµεσα στο 5 και στο 4 5,40000000 8 Οι θέσεις που µεταφέραµε την υποδιαστολή είναι 8 εποµένως ο αριθµός γράφεται σε τυποποιηµένη µορφή 5,4.10
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Για να πάρουµε τον αριθµό 5,4 από τον 54000.0000 πρέπει να διαιρέσουµε µε το 100.00.000 Όµως για να µην αλλάξει η αξία του αριθµού πρέπει ταυτόχρονα να πολλαπλασιάσουµε µε 100.000.000 Άρα 540.000.000=(540.000.000:100.000.000). 100.000.000= = 5,4 .10
ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΕ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Από δύο αριθµούς σε τυποποιηµένη µορφή µεγαλύτερος είναι Αυτός που έχει τη µεγαλύτερη δύναµη του 10. Αν οι δυνάµεις του 10 είναι ίσες τότε µεγαλύτερος είναι αυτός που έχει το µεγαλύτερο αριθµό που πολλαπλασιάζεται µε το 10.
!" ΕΥΡΕΣΗ
Ε.Κ.Π
1ος ΤΡΟΠΟΣ
ΒΗΜΑ 1:Βρίσκουμε τα πολλαπλάσια κάθε αριθμού ξεχωριστά. ΒΗΜΑ 2:Βρίσκουμε τα κοινά τους πολλαπλάσια. ΒΗΜΑ 3:Το Ε.Κ.Π είναι το μεγαλύτερο από τα κοινά τους πολλαπλάσια. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ:
Τα βήματα που ακολουθούμε για να βρούμε ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να βρεθεί ο Ε..Κ.Π. (3, 4, 6 ) το E.Κ.Π ΒΗΜΑ 1ο: Βρίσκουμε ξεχωριστά.
τα
πολλαπλάσια
κάθε
αριθμού
ΒΗΜΑ 2ο: Βρίσκουμε τα κοινά τους πολλαπλάσια. ΒΗΜΑ 3ο: Το Ε.Κ.Π είναι το μεγαλύτερο από τα κοινά τους πολλαπλάσια.
Π 3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, !!} Π 4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 !!} Π 6 = { 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, !!} Κ .Π = {12, 24, 36, !!}
Ε.Κ .Π ( 3,4,6) = 12
2ος ΤΡΟΠΟΣ
ΒΗΜΑ 1: Παίρνουμε το μεγαλύτερο από τους αριθμούς και βρίσκουμε τα πολλαπλάσια του. ΒΗΜΑ 2: Παίρνουμε τον αμέσως μικρότερο και βρίσκουμε ποιά από τα παραπάνω πολλαπλάσια είναι πολλαπλάσια του. Όσα δεν είναι τα διαγράφουμε. Ενώ όσοι αριθμοί είναι τους κρατάμε. ΒΗΜΑ 3: Παίρνουμε το μικρότερο από τον προηγούμενο και βλέπουμε ποίοι από τους αριθμούς που κρατήσαμε είναι πολλαπλάσια του. Όσοι δεν είναι τους διαγράφουμε. Κάνουμε την ίδια εργασία μέχρι να τελειώσουν οι αριθμοί. ΒΗΜΑ 4: Από τους αριθμούς που δεν διαγράψαμε το Ε.Κ.Π είναι ο ΜΙΚΡΟΤΕΡΟΣ.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ:
Τα βήματα που ακολουθούμε για να βρούμε το E.Κ.Π(2ος ΤΡΟΠΟΣ) ΒΗΜΑ 1ο: Παίρνουμε το μεγαλύτερο δηλαδή το 8 και βρίσκουμε τα πολλαπλάσια του.
ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να βρεθεί ο Ε..Κ.Π. (3, 4, 6 ,8 ) Π 8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88 !!}
ΒΗΜΑ 2ο: Παίρνουμε τον αμέσως μικρότερο δηλαδή Διαγράφουμε τα 8, 16, 32, 40, 56, 64, ….. το 6 και βρίσκουμε ποία από τα παραπάνω Τα πολλαπλάσια που έμειναν είναι πολλαπλάσια του 8 είναι πολλαπλάσια του { 24, 48, 72, !} είναι το 24,48,72..... Τα υπόλοιπα τα διαγράφουμε. ΒΗΜΑ 3ο: Παίρνουμε το μικρότερο από τον προηγούμενο δηλαδή το 4 και βρίσκουμε ποίοι από τους αριθμούς που κρατήσαμε είναι πολλαπλάσια του είναι το 24,48,72. Οι αριθμοί δεν τελείωσαν έμεινε το 3. Παίρνουμε λοιπόν το 3 και βρίσκουμε ποιοί από τους αριθμούς που κρατήσαμε είναι το 24, 48,72. Οι αριθμοί τελείωσαν και έτσι προχωρώ στο τελευταίο βήμα. ΒΗΜΑ 4ο: Από τους αριθμούς που έμειναν το Ε.Κ.Π Ε.Κ.Π (3,4,6,8)=24. είναι ο μικρότερος ΔΗΛΑΔΗ το 24. 3ος ΤΡΟΠΟΣ
ΒΗΜΑ 1: Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. ΒΗΜΑ 2: Το Ε.Κ.Π είναι το γινόμενο όλων των παραγόντων με το μεγαλύτερο εκθέτη. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να βρούμε το Ε.Κ.Π μεγάλων αριθμών. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να βρεθεί το Ε.Κ.Π (27,125,600)
Τα βήματα που ακολουθούμε για να βρούμε το E.Κ.Π(3ος ΤΡΟΠΟΣ) ΒΗΜΑ 1ο: Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. ΒΗΜΑ 2ο: Το Ε.Κ.Π είναι το γινόμενο όλων των παραγόντων με το μεγαλύτερο εκθέτη.
ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να βρεθεί ο Ε.Κ.Π (27,125,600)
27 = 3 3 125 = 5 3 600 = 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 2 Ε .Κ .Π = 2 3 ⋅ 3 3 ⋅ 5 3 = 5400
ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΦΤΙΑΞΟΥΜΕ ΤΟΝ ΠΑΡΑΚΆΤΩ ΠΙΝΑΚΑ
27 27
125 125
600 300
2 2
27 27
125 125
150 75
2 3
9 3
25 25
25 25
3 3
1 1 1
25 5 1
25 5 1
5 5
Στην τελευταία στήλη μπαίνει ένας πρώτος αριθμός μόνο αν διαιρεί κάποιόν από τους αριθμούς αριστερά.
Το γινόμενο των αριθμών της τελευταίας στήλης είναι το Ε.Κ.Π Άρα το Ε .Κ .Π = 2 3 ⋅ 3 3 ⋅ 5 3 = 5400
ΔΙΑΙΡΕΤΕΣ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Διαιρέτης ενός φυσικού αριθμού α είναι οι φυσικοί αριθμοί που όταν διαιρεθούν με το α δίνουν ακέραιο πηλίκο και υπόλοιπο 0. Οι παράγοντες ενός αριθμού είναι και διαιρέτες του. Πρώτοι αριθμοί είναι οι φυσική αριθμοί που έχουν διαιρέτες μόνο το 1 και τον εαυτό τους (1.3,5,7,11,13,17,19,23,....) Σύνθετοι αριθμοί είναι οι αριθμοί που δεν είναι οι πρώτοι, δηλαδή έχουν εκτός από το 1 και τον εαυτό τους και άλλους διαιρέτες. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Κάθε αριθμός έχει διαιρέτες το 1 και τον εαυτό του. 1·α=α άρα το 1 και το α παράγοντες του α επομένως το 1 και το α διαιρέτες του α..
Μ.Κ.Δ. ΦΥΣΙΚΏΝ ΑΡΙΘΜΏΝ Μ.Κ.Δ. σημαίνει
Μ=Μέγιστος (μεγαλύτερος)
Κ=Κοινός(ίδιος) Δ=διαιρέτης
Ονομάζουμε Μ.Κ.Δ. δυο ή περισσότερων φυσικών αριθμών τον μεγαλύτερο από τους κοινούς διαιρέτες τους.
ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ
Α. Να βρεθούν οι διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού. ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να βρεθούν οι διαιρέτες του 18 και του 16. Λύση Γράφουμε όλα τα γινόμενα φυσικών που μας δίνουν αποτέλεσμα 18,16. 1·18=18 1·16=16 2·9=18 2·8=16 3·6=18 4·4=16 6·3=18 8·2=16 (από αυτό το σημείο τα γινόμενα αρχίζουν να επαναλαμβάνονται.) Γνωρίζουμε ότι οι παράγοντες ενός αριθμού είναι και διαιρέτες του, 16 ={1,2,4,8,16} άρα 18 ={1,2,3,6,9,18} ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: 1. Οι διαιρέτες ενός αριθμού είναι πεπερασμένοι το πλήθος. 2. Οι διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού είναι μικρότεροι ή το πολύ ίσοι με τον αριθμό. 3. Ο Μ.Κ.Δ είναι πάντα μικρότερος ή ίσος από τον μικρότερο των αριθμών.
Β. Εύρεση του Μέγιστου Κοινού Διαιρέτη δύο ή περισσότερων αριθμών. Για να βρούμε το Μ.Κ.Δ δύο ή περισσοτέρων αριθμών μπορούμε να εφαρμόσουμε τρεις διαφορετικούς τρόπους.
1ος ΤΡΟΠΟΣ Βήμα 1ο: Βρίσκουμε τους διαιρέτες των αριθμών. Βήμα 2ο: Βρίσκουμε τους κοινούς διαιρέτες. Βήμα 3ο: Από τους κοινούς διαιρέτες επιλέγουμε το μεγαλύτερο.
Τα βήματα που ακολουθούμε για ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να βρεθεί ο Μ.Κ.Δ (12,30,36,) να βρούμε το Μ.Κ.Δ 1.12=12 1.30=30 Βήμα 1ο: Βρίσκουμε τους διαιρέτες των 2.6=12 2.15=30 αριθμών 3.4=12 3.10=30 4.3=12 5.6=30 Δ12= (1,2,3,4,6,12) 6.5=30 Δ30=(1,2,3,5,6,10,15,30,) 1.36=36 2.18=36 3.12=36 4.9=36 6.6=36 Δ36=(1,2,3,4,6,9,12,18,36) Βρήκαμε τους διαιρέτες του 12, 30 και 36 Δ12=(1,2,3,4,6,12) Δ30=(1,2,3,5,6,10,15,30) Δ36=(1,2,3,4,6,9,,12,18,36) Βήμα 2ο: Οι κοινοί διαιρέτες είναι: {1,2,3,6} Βρίσκουμε τους κοινούς διαιρέτες. Βήμα 3ο: Από τους κοινούς διαιρέτες Άρα ο Μ.Κ.Δ=6 επιλέγουμε το μεγαλύτερο.
2ος: ΤΡΟΠΟΣ ΒΗΜΑ 1ο: Παίρνουμε το μικρότερο από τους αριθμούς και βρίσκουμε τους διαιρέτες του. ΒΗΜΑ 2ο:Παίρνουμε τον αμέσως μεγαλύτερο και βλέπουμε ποιοι από τους αριθμούς που βρήκαμε είναι διαιρέτες του. Όσοι δεν είναι τους διαγράφουμε. ΒΗΜΑ 3ο:Παίρνουμε τον αμέσως μεγαλύτερο και βρίσκουμε ποίοι είναι διαιρέτες του από τους αριθμούς που μείνανε. ο ΒΗΜΑ 4 : Κάνουμε την ίδια εργασία ώσπου να τελειώσουν οι αριθμοί. ΒΗΜΑ 5ο:Από τους αριθμούς που έμειναν Μ.Κ.Δ. είναι ο ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ:
Τα βήματα που ακολουθούμε για να βρούμε το Μ.Κ.Δ ΒΗΜΑ 1ο: Παίρνουμε το μικρότερο και βρίσκουμε τους διαιρέτες του. ΒΗΜΑ 2ο: Παίρνουμε τον αμέσως μεγαλύτερο και βλέπουμε ποιοι από τους αριθμούς που βρήκαμε είναι διαιρέτες του. Όσοι δεν είναι τους διαγράφουμε.
ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να βρεθεί ο Μ.Κ.Δ. (27, 36, 81 ) Ο μικρότερος είναι το 27. Δ 27=1,3,9 Ο αμέσως μεγαλύτερος είναι ο 36. Διαιρέτες του είναι το 1,3,9. ( Το 27 το διαγράφουμε ).
Ο αμέσως μεγαλύτερος είναι το 81. ΒΗΜΑ 3ο: Παίρνουμε τον αμέσως μεγαλυτερο και βρίσκουμε ποιοί Διαιρέτες του είναι το 1,3,9. από τους αριθμούς που έμειναν είναι διαιρέτες του. Άλλοι αριθμοί δεν έμειναν και επόμενως πάω στο τελευταίο βήμα. Μ.Κ.Δ είναι ο μεγαλύτερος από τους ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΒΗΜΑ: Μ.Κ.Δ είναι ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς που αριθμούς που έμειναν δηλαδή το 9. έμειναν δηλαδή το 9. Μ.Κ.Δ (27,36,81,)=9
3ος: ΤΡΟΠΟΣ ΒΗΜΑ 1ο
Γράφουμε τους αριθμούς τον έναν δίπλα στον άλλο. Γράφοντας τον πιο μικρό αριστερά. ΒΗΜΑ 2ο: Διαιρούμε τους αριθμούς με το μικρότερο και γράφουμε το υπόλοιπο. Τον πιο μικρό δεν το διαιρούμε. ΒΗΜΑ 3ο: Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία σε κάθε γραμμή διαιρώντας τους αριθμούς με το μικρότερο. ΒΗΜΑ 4ο: Η διαδικασία σταματάει όταν καταλήξουμε σε γραμμή που έχει όλα 0 εκτός από έναν αριθμό . Ο Μ.Κ.Δ είναι αυτός ο αριθμός.
Τα βήματα που ακολουθούμε για να βρούμε το Μ.Κ.Δ (3ος Τρόπος)
ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να βρεθεί ο Μ.Κ.Δ ( 324,600,1056)
ΒΗΜΑ 1ο: Γράφουμε τους αριθμούς τον έναν δίπλα στον άλλο. 324 600 1056 Γράφοντας τον πιο μικρό αριστερά. ΒΗΜΑ 2ο: 324 , 276 , 84 Διαιρούμε τους αριθμούς με το μικρότερο και γράφουμε το υπόλοιπο. Τον πιο μικρό δεν το διαιρούμε. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣH: Τα υπόλοιπα των διαιρέσεων είναι 600:324 1056:324 ΒΗΜΑ 3ο: Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία σε κάθε γραμμή διαιρώντας τους αριθμούς με το μικρότερο.
72 0
24 24
είναι 276
είναι 84
84 12
ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΒΗΜΑ: 0 0 12 Η διαδικασία σταματάει όταν καταλήξουμε σε γραμμή που έχει όλα 0 εκτός από έναν αριθμό . Μ.Κ.Δ ( 324,600,1056)=12 Ο Μ.Κ.Δ είναι αυτός ο αριθμός. Η διαδικασία ολόκληρη φαίνεται παρακάτω
324 324 72 0 0
600 276 24 24 0
1056 84 84 12 12
Διαιρούμε με 324 Διαιρούμε με 84 Διαιρούμε με 24 Διαιρούμε με 12 Μ.Κ.Δ=12
4ος: ΤΡΟΠΟΣ ΒΗΜΑ 1ο Αναλύουμε κάθε αριθμό σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ΒΗΜΑ 2ο: Επιλέγουμε το γινόμενο που αποτελείτε από τους κοινούς μόνο παράγοντες που ο καθένας έχει το μικρότερο έκθετη. Αυτός είναι και ο Μ.Κ.Δ Τα βήματα που ακολουθούμε για να βρούμε το ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να βρεθεί ο Μ.Κ.Δ (360,2100,21168) Μ.Κ.Δ (4ος Τρόπος) ΒΗΜΑ 1ο: Αναλύουμε κάθε παραγόντων.
360 2 3 3 2 5 αριθμό σε γινόμενο πρώτων 2100 2 2 3 5 2 7 360 2 4 3 3 7 2 ΒΗΜΑ 2ο:Επιλέγουμε το γινόμενο που αποτελείτε από Μ.Κ.Δ= 2 2 3 =12 τους κοινούς μόνο παράγοντες που ο καθένας έχει το μικρότερο έκθετη. Αυτός είναι και ο Μ.Κ.Δ
Γ. ΑΛΛΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Έχουμε 36 ίδια βιβλία, 30 τετράδια και 12 στυλούς. Πόσα το πολύ όμοια δέματα θα φτιάξουμε και πόσα βιβλία, τετράδια , στυλούς, θα έχει το κάθε δέμα; Λύση: Εάν ο αριθμός των δεμάτων είναι x. Τότε το x διαιρεί ακριβώς τα 36 βιβλία, 30 τετράδια και τους 12 στυλούς. Άρα είναι διαιρέτης και του 36 και του 30 και του 12. Επομένως είναι Κ.Δ (36,30,12) Οι κοινοί διαιρέτες του 36,30,12 είναι (1,2,3,6). εμείς θέλουμε τα περισσότερα δέματα άρα θέλουμε το Μ.Κ.Δ (30,36,12,)=6 Επομένως x=6. Μπορούμε να φτιάξουμε 6 δέματα το πολύ . Κάθε δέμα περιέχει 36:6=6 βιβλία 30:6=5 τετράδια 12:6=2 στυλούς
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Α. ΟΜΑΔΑ Να βρεθούν οι διαιρέτες των αριθμών 21 , 48 , 36 , 30. Να βρεθεί ο ΜΚΔ των αριθμών α) 12,16 β)24 ,27 γ)18, 32 ,12 Να βρεθεί ο ΜΚΔ των αριθμών α) 25, 15 β) 17, 11 γ) 81, 27 Να βρεθεί ο ΜΚΔ των αριθμών α) 26, 52, 91 β) 121, 242, 22 . Όμοια α) Μ.Κ.Δ. ( 34, 44 ) β) Μ.Κ.Δ. ( 22, 68 ) γ) Μ.Κ.Δ.( 8, 18, 48 ) δ) Μ.Κ.Δ. ( 360, 900 ) 6. Αν έχουμε 64 άνδρες, 52 γυναίκες και 120 παιδιά σε πόσες το πολύ ομοιόμορφες ομάδες δηλ. σε ομάδες που κάθε μία έχει ίδιο αριθμό ανδρών, γυναικών και παιδιών, και πόσους άνδρες , γυναίκες παιδιά έχει κάθε ομάδα ; 1. 2. 3. 4. 5.
7. Ένας ανθοπώλης έχει 32 τριαντάφυλλα, 56 γαρύφαλλα και 72 μαργαρίτες. Πόσες το πολύ ίδιες ανθοδέσμες μπορεί να φτιάξει με όλα αυτά τα λουλούδια και πόσα λουλούδια από το κάθε είδος θα έχει ανθοδέσμη ; 8.
Ποιοί από τους παρακάτω αριθμούς είναι πρώτοι και ποιοί σύνθετοι 1, 8, 5, 11, 20, 17, 18, 22, 7, 16, 23, 19, 12, 32, 45, 35, 33, 41. Β. ΟΜΑΔΑ
1. Να βρείτε το Μ.Κ.Δ. στις παρακάτω περιπτώσεις: Μ.Κ.Δ.( 36,84,120 ) Μ.Κ.Δ. ( 1020, 2040, 3600 ) Μ.Κ.Δ. (12400, 2600,33000) Μ.Κ.Δ. (240, 360, 120, 72 ) 2. Αν ο Μ.Κ.Δ. (85,x,102) = 17 και ο φυσικός αριθμός x περιέχεται μεταξύ των 34 και 68, να βρεθεί ο x .
3. Σε πόσες το πολύ πτωχές οικογένειες μπορούν να μοιραστούν εξίσου 45800 δρχ. και 123 κιλά τρόφιμα, αν είναι γνωστό ότι θα περισσεύουν 800 δρχ. και 3 κιλά τρόφιμα. Γ. ΟΜΑΔΑ 1. Αν Μ.Κ.Δ. ( x , 2x, 36 ) = 12 και x 36, να βρεθεί ο φυσικός αριθμός x. 2. Να βρεθεί ο ΜΚΔ των αριθμών 24, 36, 84, και να δικαιολογήσετε ότι ο καθένας από αυτούς είναι πολλαπλάσιο του ΜΚΔ τους. 3. Να βρείτε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ των αριθμών 16 και 40. Τους αριθμούς που θα βρείτε να του πολλαπλασιάσετε και το εξαγόμενο να το συγκρίνετε με το γινόμενο 16 40
