Преламање таласа

Преламање таласа Растко Вуковић∗ 20. januar 2017

Saˇ zetak Обрађено jе преламање или рефракциjа таласа, тj. промена смера кретања таласа због промене брзине таласа. Снелов закон преламања jе изведен кроз три примера. Водени таласи се разматраjу на примерима сурфања и цунамиjа. Ови се посматраjу одвоjено од такође таласа звука и светлости. Скренута jе пажња на везу познатих резултата са новинама у књигама наведеним на краjу.

1 Снелов закон У физици jе познато да таласи преласком из средине у коjоj се крећу брже у средину у коjоj се крећу спориjе скрећу, кажемо преламаjу се, ка нормали на границу тих средина. Обратно, изласком из спориjе средине таласи се преламаjу повећаваjући своj угао у односу на нормалу. То се на настави физике може демонстрирати помоћу воjника (студената) пореданих у редове са jеднаком међусобном удаљеношћу, коjи се пусте да маршираjу преко неке границе две различите средине, као на слици 1.

Slika 1: Преламање таласа кроз две средине. Ако су површине средина jеднаке, воjници могу у jедноj средини (брзо) ићи равномерним дужим корацима, а у другоj (споро) краћим. Слично се добиjе ако воjници ∗

Гимназиjа Бања Лука, проф. математике.

Преламање таласа

равномерно маршираjу преко неjеднаког тла, рецимо: чврсто-блато-чврсто. Њихов траг изгледа као на претходноj слици. Када воjник дође на границу средина, брзина хода му се мења, али остали из његове линиjе иду jош неко време старом брзином, због чега читава линиjа скреће за неки угао. Ако он прелази из брже у спориjу средину, наставиће са мањим углом у односу на нормалу на границу средина. Биће тачно обратно, ако прелази из спориjе у бржу средину. Тако се на следећоj, слици 2, види да jе доња средина спориjа за кретање, кажемо гушћа1 .

Slika 2: Преламање таласа преко границе. Ако jе улазна брзина таласа v1 већа од излазне v2 , онда jе улазни угао према нормали на граници α1 већи од излазног (према истоj нормали) α2 v1 > v2 ⇒ α1 > α2 .

(1)

Размак између линиjа воjника коjи маршираjу се смањуjе (смањуjе се таласна дужина), чиме правдамо назив „гушћа“ за средину мање брзине. Посматраjмо jедну такву линиjу AB на слици. Док студент A пређе пут AC у гушћоj средини, за исто време ∆t студент B пређе пут BD у ређоj средини, тако да су растоjања: AC = v2 ∆t,

BD = v1 ∆t.

(2)

Углови са окомитим крацима су jеднаки, па jе: ∠DAB = α1 ,

∠ADC = α2 .

(3)

BD = AD sin α1 ,

(4)

Из ових jеднакости добиjамо: AC = AD sin α2 , а затим пропорциjе: AC ∶ BD = sin α2 ∶ sin α1 .

(5)

v2 ∶ v1 = sin α2 ∶ sin α1 .

(6)

Ова последња се назива Снелов закон2 . 1 2

У „гушћоj“ средини jе брзина простирања таласа мања него у „ређоj“. Snell’s law: https://en.wikipedia.org/wiki/Snell%27s_law

Растко Вуковић

2


2 Водени таласи Брзина таласа v jеднака jе производу таласне дужине λ и фреквенциjе ν = 1/τ , односно количнику таласне дужине и периода τ , времена за коjе таласна дужина прође дато место: v = λν. (7) На слици 3 видимо морске таласе у дубокоj води. Док они путуjу с лева у десно, молекуле воде се крећу по кружницама коjе се не помераjу. У близини површине, као на датоj слици, имамо jедну кружница полупречника λ коjу молекуле воде обиђу за време τ .

Slika 3: Морски таласи. У плићоj води, у слоjевима ка дну, молекуле воде круже по све мањим кружницама, jедном испод друге, коjе ближе дну постаjу елипсе, као на слици 4. Таласи скрећу ка плићацима где успораваjу и посебно, на обали Сан Франциска, на плажи Маверик познатоj по сурферима, таласи се концентришу и достижу висину по 15 метара.

Slika 4: Кружење молекула воде у плићаку. Растко Вуковић

3


Тачан израз за брзину морских таласа у води дубине d jе √ gλ d v= th(2π ), 2π λ

(8)

где jе g = 9, 8 m/s2 гравитационо убрзање. Тангенс хиперболни jе функциjа th x =

ex − e−x . ex + e−x

(9)

√ gλ/2π. Када x → ∞, тада th x → 1, па са повећањем дубине израз (8) постаjе v = √ У плићацима, када jе x мали броj, биће th x ≈ x, па jе брзина v = gd. Ова брзина у све плићоj води опада. Зато се цунами, велики таласи настали земљотресима или ерупциjама вулкана испод мора, крећу на отвореном мору великим брзинама, да би ближе обали успоравали, подизали се нагомилаваjући воду и постаjали веома разорни на копну, истоваруjући велике количине енергиjе.

Slika 5: Цунами 26. децембра 2004. На пример, цунами 26. децембра 2004. године, на слици 5. Покренут земљотресом магнитуде 9,2 на морском дну Индонезиjе, водени талас jе путовао дуже од 7 часова, поред острва Суматре ка источноj обали Африке. Таj цунами jе у води дубине 7 километара имао брзину 942 km/h и таласну дужину 282 km. На дубини 4 km његова брзина била jе 713 km/h са таласном дужином 213 km. На дубини 2 km, брзина jе била 504 km/h, а таласна дужина 151 km. У jош плићоj води, у дубини 200 метара брзина му jе била 159 km/h са таласном дужином 48 km. У дубини 50 метара, брзина цунамиjа jе била 79 km/h са таласном дужином 23 km. На дубини 10 m цунами jе имао брзину 36 km/h и таласну дужину 10,6 километара. То jе огромна, разорна количина воде коjа се истресла на обалу.


4


3 Таласи звука Звучни талас се простире уздужним (лонгитудиналним) стискањем (контракциjом) и лабављењем (рефракциjом) средине, приказано на слици 6. Слично попречним (трансферзалним) таласима попут водених, таласна дужина λ jе удаљеност између две узастопне контракциjе, док jе период τ = 1/ν време протекло између њих, тако да опет важи формула (7), где jе сада v = λν брзина звука.

Slika 6: Звучни талас: C - контракциjа, R - рефракциjа. Брзина звука (v) у идеалном гасу притиска p и густине ρ jе √ γp v= , ρ

(10)

где jе γ адиабатски индекс, тзв. Поасонов броj. Рецимо, за ваздух jе γ ≈ 1, 4 а за jедноатомске гасове γ = 5/3. Уопште, што jе средина крућа звучни талас кроз њу се креће брже, а што jе густина средине већа звук jе спориjи, према формули √ B v= , (11) ρ где jе B помоћни модул (енг. bulk modulus) у Паскалима, коjи мери притисак потребан да се материjал стисне, а ρ = m/V jе густина, количник масе (m) по запремини (V ). Када нема средине, у вакууму, нема простирања звука. На пример, гвожђе jе знатно чвршће од ваздуха и зато има много већи B од ваздуха, због чега би брзина звука кроз гвожђе требала бити много већа него кроз ваздух. Међутим, гвожђе има и већу густину ρ од ваздуха, због чега би брзина звука у гвожђу требала бити мања. Први броj jе у овом случаjу значаjниjе већи, па се та два тако компензуjу да jе брзина звука у гвожђу око 14 пута већа него у ваздуху. То значи ако прислонимо ухо на железничку шину и неко тамо удари чекићем по шини, звук ударца ће кроз железну шину стићи 14 пута брже него кроз ваздух. Слино jе обично звук у чврстим телима бржи од звука у текућинама а оваj jе бржи од звука у гасовима. Хлађењем ваздуха повећава се његова густина коjа тада постаjе важниjи допринос повећању брзине звука, тако да jе на температури око 30○ C брзина звука 350 m/s, а на температури око 0○ C брзина 330 m/s. У метрима у секунди у собноj температури, Растко Вуковић

5


брзина звука кроз гуму jе 50, кроз воду jе 1480, кроз дрво од 3300 (меко) до 3800 (тврдо), кроз армирани бетон 3400, челик 5050, алуминиjум 5150, стакло 5200, гипсану плочу 6800.

Slika 7: Преламање звука кроз топлиjи ваздух. Звук се прелама према Снеловом закону (6) као и сви остали таласи. То значи да се он од звона на слици 7 шири закривљеном путањом улазећи у слоjеве топлиjег ваздуха кроз коjе jе брзина звука мања. Звук удара у метално звоно се лако шири мањом брзином на околни ваздух него обратно, звук произведен у ваздуху унитар металне собе теже излази напоље. Jош бољу звучну изолациjу собе постижу зидови коjи према вани имаjу слоjеве материjала коjима се звук креће све већом брзином. Вратимо се поново на преламање са слике 2, сада представљено следећом сликом 8, да бисмо разумели зашто и код уздужних (лонгитудиналних) таласа, какав jе звук, такође важи Снелов закон (6). Фронт звучног таласа коjи напредуjе наизменичним периодичним згушњавањем и разређивањем, овде jе представљен паром везаних точкова AB, коjи прелазећи границу средина AD постаjе пар точкова CD. Пре и после границе возило се креће равномерном брзином v1 односно v2 .

Slika 8: Преламање преласком из брже у спориjу средину. На граничну линиjу AD возило AB наилази под углом α1 , коjи jе jеднак углу правца кретања према нормали на граничну линиjу (углови са окомитим крацима). Оно напушта граничну линиjу под углом α2 . Из троуглова ABD и ADC налазимо: {

AB = AD cos α1 , BD = v1 ∆t = AD sin α1 , CD = AD cos α2 , AC = v2 ∆t = AD sin α2 .

(12)

Отуда лако налазимо промену дужине фронта таласа и Снелов закон: CD ∶ AB = cos α2 ∶ cos α1 ,

v2 ∶ v1 = sin α2 ∶ sin α1 .


(13) 6


Зато што jе обим точкова, односно темпо ступања воjника (прво дужих затим краћих корака) исти пре и после границе, зато jе фреквенциjа таласа пре (f1 ) и после (f2 ) иста али таласне дужине пре (λ1 ) и после (λ2 ) не могу бити исте, ако брзине v1 и v2 нису исте. То следи из v1 ≠ v2 и v = λf . Када прелази у гушћу средину (v2 < v1 ) фронт таласа се развлачи (CD > AB) и скраћуjу му се таласне дужине (λ2 < λ1 ), па као да има више датог таласа након његовог преласка у средину у коjоj се спориjе креће. То помаже да иначе чудан израз „гушћа средина“ вежемо за „спориjа брзина“. Смањење отклона правца кретања таласа у односу на нормалу на границу средина када талас улази у гушћу средину можемо видети и као скретање ка мањим брзинама, а затим и као дифракциjу таласа. На слици 9 из собе десно кроз отворена врата Марко дозива Jанка у соби лево. Зидови су звучни и светлостни изолатори, али се фронт звучног таласа креће до врата иза коjих се развлачи и напредуjе у концентричним круговима. Звучни талас стиже и иза препреке. Са становишта обjашњења рефракциjе (преламања) на слици возила 8, дифракциjу можемо добити када замислимо да jе jедан точак возила запео за врата, а други ниjе.

Slika 9: Дифракциjа звука. Простирањем звука, енергиjа звучног таласа се претвара у друге облике енергиjе (топлота) и неповратно троши. Таj процес се назива дисипациjа звука. Дисипациjа звучне енергиjе подразумева да се на jединичноj дужини пута таласа губи фиксни проценат његове енергиjе, због чега се таj процес одвиjа по експоненциjалном закону J = J0 e−µr .

(14)

Овде jе J0 звучна снага коjа прође кроз jединичну површину на изводу звука (густина снаге звука), µ jе коефициjент слабљења снаге звука коjи расте са фреквенциjом а коjи у мањоj мери зависи од влажности ваздуха и jош мањоj од температуре, r jе удаљеност таласа од извора, J jе густина знаге звука на датоj удаљености. Велики утицаj фреквенциjе на дисипациjу звука практично видимо код уличних свирача, код коjих у даљини чуjемо само дубоке тонове (бубњеве), да би приближавањем почели разабирати и високе. У концертним салама на местима коjа нису непосредно уз оркестар имаjу слабиjе високе фреквенциjе, на што су слушаоци навикли тако да се то сматра стандардним звуком сале. Системи за озвучавање биоскопских сала постављаjу се тако да имаjу константно слабљење виших фреквенциjа, тако да гледаоц има субjективни утисак природности звукова коjи прате филмску слику. Растко Вуковић

7


4 Таласи светлости Просечно људско око jе у стању да распозна светлост таласних дужина од 390 до 700 нанометара (1 nm = 10−9 m), на дну те скале jе инфрацрвено светло а ултраљубичасто на врху. Међутим, то jе само део спектра електромагнетних таласа на слици 10, испод (лево од) коjег су радио таласи, а изнад (десно од) коjег су гама зраке.

Slika 10: Спектар електро-магнетних таласа. И за преламање светлости важи Снелов закон (6), или у облику n1 sin α2 = , n2 sin α1

(15)

где jе n = c/v индекс преламања, c = 299 792 458 m/s jе брзина светлости у вакууму, v jе брзина светлости у датоj средини. На пример, индекс преламања jе у ваздуху незнатно већи од jедан, у води jе 4/3, у леду jе 1,31 у стаклу jе већи од 1,5 а у диjаманту 2,4. Због преламања светлости, предмете кроз провидне средине видимо на погрешном месту, попут оловке у чаши воде на слици 11 коjу видимо као да jе сломљена.

Slika 11: Оловка у чаши воде. Када светлост прелази из оптички гушће средине у оптички ређу (v2 < v1 ), као на сликама 12, постоjи критични угао β упадне светлости у односу на нормалу на границу средина. На првоj од тих слика je упадни угао α < β и светлост се прелама излазећи у бржу средину са отклоном од нормале већим од α. На другоj од слика jе упадни угао jеднак критичном β и светлост остаjе на граници средина. На трећоj слици, упадни угао (γ > β) jе превелик и светлост се одбиjа од границе под углом jеднаким упадном. Критични угао β, на слици 11, се може израчунати из Снеловог закона: π n1 v2 n1 ∶ n2 = sin β ∶ sin ⇒ sin β = = , (16) 2 n2 v1 Растко Вуковић

8


што има смисла само када jе v2 < v1 , jер jе увек sin x ≤ 1. На пример, за прелазак из воде (v1 = 1, 33) у ваздух (v2 = 1, 0003) биће sin β = 0, 7521 па jе β = 48, 77○ . Зрак светлости коjи иде из воде у ваздух под углом према нормали на површину воде већим од β одбиће се назад у воду. Одбиjени угао (према нормали) jеднак jе упадном.

Slika 12: Преламање звука кроз топлиjи ваздух. Снелов закон се може извести и из принципа наjмањег деjства, посебно наjмањег времена потребног зраки светлости да пређе задати пут. У правоуглом Декартовом систему координата Oxy на слици 13, светлост путуjе од тачке T1 (0, y0 ) преко тачке T (x, 0) до тачке T2 (x0 , −y0 ). Пут T1 T = v1 t1 прелази константном брзином v1 за време t1 , а пут T T2 = v2 t2 прелази константном брзином v2 за време t2 . За фиксиране тачке T1 и T2 тачку T налазимо на x-оси тако да jе време t1 + t2 минимално.

Slika 13: Преламање светлости. Укупно време jе t = t1 + t2 =

1 v1 T1 T

+

1 v2 T T2 ,

тj. 1√ 2 1√ 2 t(x) = y0 + x 2 + y0 + (x0 − x)2 . v1 v2

Оно има максималну вредност када jе извод функциjе t(x) по непознатоj x нула. Отуда: 1 1 x x0 − x √ − √ = 0, v1 y02 + x2 v2 y02 + (x0 − x)2 1 y0 tg α1 1 y0 tg α2 − = 0, v1 y0 / cos α1 v2 y0 / cos α2 Растко Вуковић

9

Преламање таласа 1 1 sin α1 − sin α2 = 0, v1 v2 а то jе Снелов закон (6). У књизи [2] jе поменуто (иначе непознато у физици) да jе принцип наjмањег деjства коjи се изражава помоћу Лагранжове функциjе L, заправо поопштена информациjа. У тоj jе књизи та информациjа означавана са L и препознавана као ентропиjа коjа jе релативна зависно од посматрача у инерциjалном кретању. У претходноj3 књизи [1], та информациjа, ` = i ⋅ h, jе примењена на живе организме. Овде сада видимо да jе принцип наjмањег деjства близак Снеловом закону преламања светлости, толико да можемо писати L = − ln ψ, (17) где jе ψ = ψ(r, t) вероватноћа стања зраке светлости на месту r = xi + yj + zk простора у Декартовим координатама Oxyz, у датом тренутку t. Ове вероватноће су комплексни броjеви, таласне фукциjе квантне физике, детаљно разматране у поменутоj књизи.

5 Додатак Ово jе излагање без већих претензиjа у физици. Описане су познате ствари и само jе скренута пажња на књиге у коjима се на исто може гледати на додатне начине. Поред тога, ниjе поменута jедна мени одавно чудна последица Шварцшилдовог решења Аjнштаjнових jедначина опште релативности за централно симетрично гравитационо поље. Она jе тек наговештена у књизи [2], а има везе са овим текстом. Наиме, време у гравитационом пољу успорава (у односу на посматрача изван поља, далеког посматрача), истим темпом коjим се радиjалне дужине скраћуjу. Међутим, дужине окомите на радиjалне остаjу исте. Отуда jе радиjална брзина светлости увек иста, али окомита брзина светлости расте са приближавањем центру гравитациjе. На начин како jе из слике 13 изведен Снелов закон преламања, из принципа наjмањег деjства, добиjа се и релативистички закон преламања светлости у гравитационом пољу. Па ипак, „гравитационо сочиво“ (енг. gravitational lensing) физика и дан данас сматра последицом само геодезика односно закривљености простора узрокованог гравитациjом, без примећивања преламања светлости због различитих брзина светлости у вакууму. То jе jеднако jеднострано као рецимо посматрање геометриjе само на начин Античке Грчке, без метода алгебре или анализе. Толико о овоj теми, за сада.

Literatura [1] Растко Вуковић: ИНФОРМАЦИJА ПЕРЦЕПЦИJЕ - слобода, демократиjа и физика4 ; Економски институт Бања Лука, jули 2016. [2] Растко Вуковић: ПРИРОДА ВРЕМЕНА - информациjа материjе5 ; Економски институт Бања Лука, jануар 2017. 3

Обе сам започео у исто време, али jе ова друга завршена пола године касниjе. Информациjа перцепциjе: https://archive.org/details/Informacija 5 Информациjа материjе: https://archive.org/details/Priroda 4


10

Преламање таласа

Recommend Documents