ชื่อ………………………..……………………………………..…………………………………………ชั้น………………………..…....เลขที่……………..……… โจทย์ทบทวน 1. ถ้าจุด P(4, y) อยู่ห่างจากจุด A(-5, 2) และ B(13, -6) เป็นระยะทางเท่ากัน จงหาค่า y
2. กาหนดให้ A(2, 7) , B(-5, 6) เป็นจุดปลายของส่วนของเส้นตรง จงหาพิกัดของจุดบนส่วนของเส้นตรงนี้ ซึ่งอยู่ห่างจาก A เท่ากับ 3 ของระยะทางระหว่าง A และ B 4
3. ถ้าเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (k, 7) และ (-3, -2) ไปตั้งฉากกับเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (3, 2) และ (1, -4) จงหาค่า k
4. จงหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (7, 5) และขนานกับเส้นตรง x + 2y + 12 = 0
5. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (2, 1) และผ่านจุดตัดระหว่างเส้นตรง 2x + 3y = 3 กับเส้นตรง 3x – 2y = 11
6. จงหาสมการเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง 5x + 12y – 2 = 0 และห่างจากเส้นตรงเป็นระยะ 3 หน่วย
7. วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-1, 2) และสัมผัสกับเส้นตรง 4x – 3y – 5 = 0 แล้วจะมีรัศมีเท่าใด
Pra Fun Math เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. จงเขียนสมการวงกลมในรูปแบบมาตรฐานเมื่อจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (7, -3) และวงกลมนี้สัมผัสแกน x
9. จงหาจุดศูนย์กลางและความยาวของรัศมีของวงกลม x2 + y2 + 4x – 2y + 1 = 0
10. จงหาค่า k ของสมการ x2 + y2 – 8x + 10y + k – 10 = 0 เมื่อวงกลมมีรัศมี 5 หน่วย
11. จงหาสมการเส้นตรงที่สัมผัสวงกลม x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0 ที่จุด (5, 5)
12. จงหาจุดยอด จุดโฟกัส เส้นไดเรกตริกซ์ ความยาวของลาตัสเรกตัม แกนสมมาตรของพาราโบลาพร้อมทั้งเขียนกราฟ 12.1 x2 + 4x + 12y – 8 = 0
12.2 y2 – 6y + 4x + 1 = 0
Pra Fun Math เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย 3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------13. จงหาสมการพาราโบลาที่มีสมการเส้นไดเรกตริกซ์คือ y = 3 และจุดโฟกัสอยู่ที่จุด (0, -3)
14. จงหาสมการพาราโบลาซึ่งมีจุดยอด (2, 1) แกนพาราโบลาขนานกับแกน x หรือ y และจุดปลายของลาตัสเรกตัม คือ (-1, -5) กับ (-1, 7)
15. จงหาจุดยอด โฟกัส ความเยื้องศูนย์กลาง สมการแกนเอก สมการแกนโท ความยาวของแกนเอกและแกนโท ความยาวของ ลาตัสเรกตัมของวงรี 25x2 + 9y2 – 100x + 18y – 116 = 0 แล้วเขียนกราฟ
16. จงหาสมการของวงรีที่มีแกนเอกยาว 4 หน่วย แกนโทยาว 2 หน่วย โฟกัสอยู่บนแกน x และมีจุดกาเนิดเป็นจุดศูนย์กลาง
17. ผลบวกของระยะทางจากจุด P(x, y) ใดๆ บนวงรีไปยังจุด (0, -3) และ (0, 3) เท่ากับ 10 หน่วย จงหาจุดยอด จุดโฟกัส ความยาวของแกนโท และเขียนกราฟ
18. จงหาสมการของเส้นสัมผัสกับวงรี
x 2 2 y2 10 5
= 1 ที่จุด 3, 1
2
Pra Fun Math เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย 4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------19. จงหาสมการของวงรีที่มีจุดยอดและโฟกัสจุดหนึ่งร่วมกับพาราโบลา y2 + 4x = 100 และโฟกัสอีกจุดหนึ่งอยู่ที่จุดกาเนิด
20. จงหาจุดศูนย์กลาง จุดยอด จุดโฟกัส ความยาวแกนตามขวาง ความยาวแกนสังยุค และสมการเส้นกากับของ 16x2 – 9y2 – 64x – 18y – 89 = 0 พร้อมทั้งเขียนกราฟ
21. จงหาสมการของไฮเพอร์โบลาที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้ 21.1 โฟกัสคือจุด (5, 0) , (-5, 0) และมีจุด (0, -4) เป็นจุดปลายข้างหนึ่งของแกนสังยุค
21.2 จุดยอด คือ จุด (0, -1) , (0, 1) เส้นกากับ คือ
1 y x 5
21.3 มีเส้นตรง x = 1 เป็นแกนสังยุคและแกนสังยุคนี้ยาว 8 หน่วย จุดยอดจุดหนึ่งอยู่ที่ (4, -2)
Pra Fun Math เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย 5 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ข้อสอบ PAT1 คณิตศาสตร์ เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย B – PAT1 ต.ค. 51 1. ให้ C เป็นจุดตัดของเส้นตรง x – 2y = 0 และเส้นไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา x2 = 8y ระยะระหว่างจุด C และ เส้นตรง 2x – y = 1 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1.
6 5
หน่วย
2.
7 5
หน่วย
3. 7 หน่วย
4.
7 5
หน่วย
2. วงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (1, 2) แกนเอกขนานกับแกน X และยาว 6 หน่วย แกนโทยาว 4 หน่วย ผ่านจุดในข้อใดต่อไปนี้ 1. (0, 1) 2. (2, 0) 3. (1, 4) 4. (4, 1) 3. กาหนดให้ P(-1, -1) และ Q(1, c) เป็นจุดในระนาบ XY ถ้า l เป็นเส้นตรงซึ่งผ่านจุด P, Q และมีความชันเท่ากับ 3 แล้วเส้น ตรงที่มีความชันเท่ากับ -2 และผ่านจุด Q จะมีสมการดังข้อใดต่อไปนี้ 1. y = -2x + 7 2. y = -2x + 5 3. y = -2x + 3 4. y = -2x + 1 4. กาหนดให้ C1 , C2 เป็นจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา 2( x 1) 2 ( y 2) 2 8 โดยที่ C2 อยู่ในควอดรันต์ที่ 1 วงกลมที่มี C 2 เป็นจุดศูนย์กลางและผ่านจุด (2 3,3) คือวงกลมที่มีสมการดังข้อใดต่อไปนี้ 2 2 1. x (1 2 3) 4 y y 2 2 2. x (1 2 3) 4 y y 2 2 2 2 3. x (1 2 3) 4 y y 2 2 4. x (1 2 3) 4 y y 2 2 PAT1 มี.ค. 52 5. ถ้าเส้นตรงหนึ่งผ่านจุดกาเนิดและจุดยอดของพาราโบลา y 2 4 y 4 x 0 และตัดเส้นไดเรกตริกซ์ที่จุด a b มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7 6. กาหนดให้ วงกลมรูปหนึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (2, 1) ถ้าเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด แล้วจุดในข้อใดต่อไปนี้อยู่บนวงกลมที่กาหนด 1. (0, 1) 2. (0, 2) 7. กาหนดให้ วงรีรูปหนึ่งมีโฟกัสอยู่ที่จุด 1.
(4,0)
2.
3. (1, 0)
(3,0)
และผ่านจุด
5 2 ) 2
3.
(0,
21 2, 2 (6,0)
x 1
( a, b)
แล้ว
เส้นหนึ่งมีความชันเท่ากับ
1 3
4. (3, 0) จุดในข้อใดต่อไปนี้อยู่บนวงรีที่กาหนด 4.
(0,3 2 )
PAT1 ก.ค. 52 8. กาหนดให้เส้นตรง l1 และ l2 สัมผัสวงกลม ( x 5) 2 y 2 20 ที่จุด P และ Q ตามลาดับ และจุดศูนย์กลางของ วงกลมอยู่บนเส้นตรงที่ผ่านจุด P และ Q ถ้า l1 มีสมการเป็น x 2 y 5 0 แล้วจุดในข้อใดต่อไปนี้อยู่บนเส้นตรง 1.
5 (0, ) 2
2.
(8,1)
3.
(1,8)
4.
(15,0)
l2
Pra Fun Math เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย 6 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9. กาหนดให้ A ( x, y) | x B ( x, y ) | y
1 ถ้า 1
S ( x, y ) | x 2 y 2 17 2
y
2
2
x
2
และ q เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 3 2 4 2.
pS A
และ
qS B
แล้วระยะทางน้อยสุดที่เป็นไปได้ระหว่างจุด
p
10. ระยะทางจากโฟกัสของพาราโบลา 1.
2 5
หน่วย
2.
y 2 8 x
5 2
1 3 ( , ) 2 2
2.
ไปยังเส้นตรง
หน่วย
11. กาหนดให้วงรี E มีโฟกัสทั้งสองอยู่บนวงกลม จุดในข้อใดต่อไปนี้อยู่บน E 1.
3.
3 2 2
3.
C
1 5 ( , ) 2 2
2x y 6 2 5
ซึ่งมีสมการเป็น 3.
4.
2 32
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
หน่วย x2 y2 1
1 2 ( , ) 3 3
2 3 3
4. ถ้า
E
4.
2 5
หน่วย
สัมผัสกับ
C
ที่จุด (1, 0) แล้ว
1 4 ( , ) 3 3
PAT1 ต.ค. 52 12. กาหนด A = {(x, y) | x2 + y2 = 1} และ B = {(x, y) | x2 + y2 – 10x – 10y + 49 = 0} ถ้า p A และ q B แล้ว ระยะทางมากสุดที่เป็นไปได้ระหว่างจุด p และ q เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 5 2 หน่วย 2. 2 5 2 หน่วย 3. 2 5 หน่วย 4. 5 2 5 หน่วย 13. กาหนดให้ E เป็นวงรีที่มีโฟกัสอยู่ที่จุดยอดของไฮเพอร์โบลา x2 – y2 = 1 ถ้า E ผ่านจุด (0, 1) แล้ว จุดในข้อใดต่อไปนี้ อยู่บน E 1.
(1,
2 ) 2
2.
3.
(1, 2 )
1 (1, ) 2
4.
(1,
3 ) 2
14. ให้ a, b และ c เป็นจานวนจริง ถ้าวงกลม x2 + y2 + ax + by + c = 0 มีจุดศูนย์กลางที่ (2, 1) และมีเส้นตรง x – y + 2 = 0 เป็นเส้นสัมผัสวงกลม แล้ว | a + b + c | เท่ากับเท่าใด 15. พาราโบลามีจุดยอดที่ (-1, 0) และมีจุดกาเนิดเป็นโฟกัส ถ้าเส้นตรง y = x ตัดพาราโบลาที่จุด P และจุด Q แล้ว ระยะทาง ระหว่างจุด P กับจุด Q เท่ากับเท่าใด PAT1 มี.ค. 53 16. กาหนดให้วงรีรูปหนึ่งมีสมการเป็น 25x 21y 100x 42 y 404 = 0 แล้วไฮเพอร์โบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดโฟกัส ทั้งสองของวงรีและผ่านจุด (3,1 8 ) มีสมการตรงกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 5x 2 4 y 2 10 8x 32 y 25 0 2. 3x 2 2 y 2 6 8x 8 y 15 0 3. x 4 y 2 x 16 y 19 0 4. x 7 y 2 x 28 y 28 0 2
2
2
2
2
2
Pra Fun Math เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย 7 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------17. จุด A(-3, 1) B(1, 5) C(8, 3) และ D(2, -3) เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ข้อใดต่อไปนี้ผิด 1. ด้าน AB ขนานกับ ด้าน DC 2. ผลบวกความยาวของด้าน AB กับ DC เท่ากับ 10 2 หน่วย 3. ระยะตั้งฉากจากจุด A ไปยังเส้นตรงที่ผ่านจุด C และจุด D มีค่าเท่ากับ 4. ระยะตั้งฉากจากจุด B ไปยังเส้นตรงที่ผ่านจุด C และจุด D มีค่าเท่ากับ
9 2 หน่วย 2 9 หน่วย 2
18. กาหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี A(0, 0) และ B(2, 2) เป็นจุดยอด และ C(x, y) เป็นจุดยอดในจตุภาค (quadrant) ที่ 2 ที่ทาให้ด้าน AC ยาวเท่ากับด้วย BC ถ้าพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC มีค่าเท่ากับ 4 ตารางหน่วย แล้วจุด C อยู่บนเส้นตรง ในข้อใดต่อไปนี้ 1. x – y + 4 = 0 2. 4x + 3y – 1 = 0 3. 2x – y – 3 = 0 4. x + y – 5 = 0 PAT1 ก.ค. 53 19. กาหนดวงกลมรูปหนึ่งมีจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางอยู่บนจุดศูนย์กลางและจุดโฟกัสด้านหนึ่งของไฮเพอร์โบลา 9 x 16 y 90 x 64 y 17 0 แล้ววงกลมดังกล่าวมีพื้นที่เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 2
1.
2
25 4
ตารางหน่วย
2.
25 2
ตารางหน่วย 3.
4
ตารางหน่วย 4.
5
ตารางหน่วย
20. รูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม ABˆ C เป็นมุมฉาก และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 10 หน่วย ถ้าพิกัดของจุด (-4, 3) และ (-1, 2) ตามลาดับ แล้วสมการเส้นตรงในข้อใดผ่านจุด C 1. x 8 y 27 0 2. 8x y 27 0 3. 4x 5 y 3 0 4. 5x 4 y 3 0
A
และจุด
B
คือ
PAT1 ต.ค. 53 21. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. x2 + y2 + 6x – 4y = 23 เป็นสมการวงกลมที่สัมผัสกับเส้นตรงซึ่งมีสมการเป็น 21x + 20y + 168 = 0 ข. y2 + 16x – 6y = 71 เป็นสมการของพาราโบลาที่มีจุดยอดที่ (-5, 3) และจุดโฟกัสที่ (-1, 3) ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 22. กาหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอดเป็น A(-2, 3) B(2, 8) C(4, 4) และ D(0, -3) พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 16 ตารางหน่วย 2. 32 ตารางหน่วย 3. 10 13 ตารางหน่วย 4. 26 10 ตารางหน่วย 23. จุด A(1, 0) และจุด B(b, 0) เมื่อ b > 1 เป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมวงหนึ่ง ถ้าเส้นตรง L ผ่านจุด (-1, 0) และสัมผัสกับวงกลมวงนี้ มีความชันเท่ากับ
4 3
แล้ว b เท่ากับเท่าใด
Pra Fun Math เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย 8 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------PAT1 มี.ค. 54 24. ให้เส้นตรง x – y + 2 = 0 ตัดกับวงกลม x2 + y2 + 6x – 4y + 4 = 0 ที่จุด A และจุด B ถ้า (a, b) เป็นจุดโฟกัสของ พาราโบลาซึ่งมีเส้นตรง y = 2 เป็นแกนของพาราโบลาและพาราโบลานี้ผ่านจุด A และจุด B แล้ว a + b เท่ากับข้อใด ต่อไปนี้ 1.
11 4
2.
9 4
3.
7 4
4.
5 4
25. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ไฮเพอร์โบลา 4x2 – 25y2 + 24x – 100y – 164 = 0 มีจุดยอดอยู่ที่จุดยอดของวงรี 4x2 + 252 + 24x + 100y + 36 = 0 และมีแกนสังยุคยาวเท่ากับแกนโทของวงรี ข. วงรี 4x2 + 252 + 24x + 100y + 36 = 0 มีจุดยอดจุดหนึ่งอยู่บนพาราโบลา y2 + 4y – 4x + 12 = 0 ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 26. กาหนดให้ a > tan 60o และ A(a, 3) , B(7, 8) และ C(-4, 9) เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม A เป็นมุมฉาก ให้ L เป็นสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด A และจุด B จงหาจานวนเต็มบวก k ที่น้อยที่สุดที่ทาให้พาราโบลา ky = x2 + 2k มีจุดร่วมกับ เส้นตรง L เพียงจุดเดียว PAT1 ธ.ค. 54 27. ให้ P เป็นจุดบนวงกลม x2 + y2 + 2x – 4y – 15 = 0 ที่อยู่ใกล้จุด A(1, 3) มากที่สุด จงหาระยะระหว่างจุด P กับเส้นตรง 3y – 4x = 15 1. 3 2. 3.2 3. 3.4 4. 3.5 28. กาหนดให้พาราโบลามีจุดยอดที่ (-3, -2) ผ่านจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา 5x2 – 4y2 – 16y + 4 = 0 จงหาสมการ ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา 1. 4y + 15 = 0 2. 4y + 9 = 0 3. 4x + 9 = 0 4. 4x + 15 = 0 29. กาหนดให้ M(a, b) เป็นจุดกึ่งกลางของเส้นตรงที่เชื่อมจุดตัดไฮเพอร์โบลา xy = 6 กับเส้นตรง x – y – 1 = 0 จงหาระยะ ระหว่างจุด M กับเส้นตรง 6x – 8y + 13 = 0 PAT1 มี.ค. 55 30. วงรีที่มีแกนเอกอยู่บนแกน x แกนโทอยู่บนแกน y ระยะระหว่างจุดโฟกัสทั้งสองเท่ากับ 12 หน่วย ถ้าความยาวของคอร์ดที่ ผ่านจุดโฟกัสหนึ่งและตั้งฉากกับแกนเอกของวงรี เท่ากับ 10 หน่วย แล้วสมการของวงรี คือข้อใดต่อไปนี้ 1. 5x2 + 9y2 = 405 2. 9x2 + 5y2 = 81 3. 5x2 + 9y2 = 225 4. 9x2 + 5y2 = 20
Pra Fun Math เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย 9 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------31. พาราโบลาที่มีจุดโฟกัส F อยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลม x2 + y2 – 6x + 4y + 4 = 0 และมีจุดยอด V อยู่ที่จุดตัดของ วงกลมกับแกน y ถ้า A และ B เป็นจุดบนพาราโบลาซึ่งส่วนของเส้นตรง AB ผ่านจุดโฟกัส F และตั้งฉากกับแกนของ พาราโบลา แล้วพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม VAB เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 9 ตารางหน่วย 2. 12 ตารางหน่วย 3. 18 ตารางหน่วย 4. 36 ตารางหน่วย PAT1 ต.ค. 55 32. แกนเอกของวงรีเป็นส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดตัดของวงกลม x 2 y 2 25 กับวงกลม และโฟกัสจุดหนึ่งของวงรีอยู่บนเส้นตรง x 2 3 0 สมการของวงรีตรงกับข้อใดต่อไปนี้ 1. x 2 4 y 2 8x 0 2. x 2 4 y 2 24 y 20 0 3. 4 x 2 y 2 6 y 7 0 4. 4 x 2 y 2 32 x 48 0
x2 y 2 6 y 7 0
33. ถ้าวงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลางคือ C (h, k ) อยู่บนเส้นตรง x y 4 0 และวงกลมนี้ผ่านจุด B(2,5) แล้ว พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เท่ากับเท่าใด
A(5,2)
และจุด
PAT1 มี.ค. 56 34. ให้พาราโบลา P มีสมการเป็น y 2 2 y 6x 4 0 ถ้าวงกลมวงหนึ่งผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลา เส้นตรง 3x 2 y 6 0 ณ จุด 4,3 แล้วสมการของวงกลมตรงกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 7 x 2 7 y 2 4x 82 y 55 0 2. 7 x 2 7 y 2 4x 82 y 55 0 3. 7 x 2 7 y 2 4x 82 y 55 0 4. 7 x 2 7 y 2 4x 82 y 55 0
P
และสัมผัสกับ
35. กาหนดให้ 9x 2 16 y 2 18x 64 y 199 0 เป็นสมการไฮเพอร์โบลา ถ้าพาราโบลารูปหนึ่งมีแกนสมมาตรขนาน แกน y ตัดแกน x ที่ (1,0) และผ่านจุดยอดทั้งสองของไฮเพอร์โบลาที่กาหนดให้ แล้ว จุดในข้อใดต่อไปนี้ไม่อยู่บนพาราโบลา 1.
1 2, 8
2.
1 1, 2
3.
1 3, 2
1 4, 4
4.
36. กาหนดให้วงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) และมีโฟกัส F1 และ F2 อยู่บนแกน x จุด A(4,1) เป็นจุดบนวงรีโดยที่ผลบวก ระยะทางจากจุด A(4,1) ไปยังจุดโฟกัสทั้งสองมีค่าเท่ากับ 6 2 ให้เส้นตรง L ตัดแกน x ที่จุด (4.5,0) และสัมผัสกับวงรี ที่จุด A(4,1) ถ้า d เป็นระยะห่างระหว่างจุด (0,0) กับเส้นตรง L แล้ว ค่าของ d 2 AF1 AF2 เท่ากับเท่าใด PAT1 มี.ค. 57 37. กาหนดให้
L
เป็นเส้นตรงมีสมการเป็น
x y 1 a b
เมื่อ
a, b 0
และให้
C1
และ
ที่มีรัศมีเท่ากันและวงกลมทั้งสองวงต่างสัมผัสกับเส้นตรง L ที่จุดเดียวกัน ถ้าวงกลม สมการของวงกลม C2 คือข้อใดต่อไปนี้ 1. (a 2 b2 )2 ( x 2 y 2 ) 4ab(a 2 b2 )(bx ay) 3a 2b2 0 2. (a 2 b2 )( x 2 y 2 ) 4ab(bx ay) 3a 2b2 0 3. (a 2 b2 )2 ( x 2 y 2 ) 4ab(a 2 b2 )(bx ay) 5a 2b2 0 4. (a 2 b2 )( x 2 y 2 ) 4ab(bx ay) 5a 2b2 0
C2
C1
เป็นวงกลมสองวงที่ต่างกัน โดย
มีจุดศูนย์กลางที่จุด (0, 0) แล้ว
Pra Fun Math เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย 10 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------38. กาหนดให้ไฮเพอร์โบลารูปหนึ่งมีสมการเป็น x2 – y2 – 2x = 0 ถ้าพาราโบลามีโฟกัสเป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่ เชื่อมระหว่างจุดตัดของเส้นตรง y = 2x กับเส้นกากับของไฮเพอร์โบลา และมีเส้นไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดยอดทั้ง สองของไฮเพอร์โบลา แล้วสมการของพาราโบลาคือข้อใดต่อไปนี้ 1. 9x2 + 12x + 12y – 3 = 0 2. 9x2 + 12x + 12y + 8 = 0 3. 9x2 + 6x – 12y – 3 = 0 4. 9x2 + 6x + 12y + 5 = 0 39. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ให้ P(x, y) เป็นจุดใดๆ ในระนาบ ถ้าผลบวกของระยะทางจากจุด P(x, y) ไปยังจุด (0, -2) และระยะทางจากจุด P(x, y) ไปยังจุด (2, -2) เท่ากับ 2 5 แล้วเซตของจุด P(x, y) คือ { (x, y) | 4x2 + 5y2 – 8x + 20y – 12 = 0 } ข. จุด (1, 1) เป็นจุดบนพาราโบลา y = x2 อยู่ใกล้กับเส้นตรง y = 2x – 4 มากที่สุด ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด PAT1 เม.ย. 57 40. ให้ F เป็นโฟกัสของพาราโบลา 4 y x 2 6 x 13 ถ้าไฮเพอร์โบลารูปหนึ่งมีสมบัติดังนี้ ก. แกนตามขวางขนานแกน Y ข. จุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลาอยู่ที่ F ค. โฟกัสหนึ่งของไฮเพอร์โบลาคือ 3,2 2 3 ง. แกนสังยุคยาว 12 หน่วย แล้วไฮเพอร์โบลารูปนี้มีสมการตรงกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 4x 2 9 y 2 24x 36 y 144 0 2. 4x 2 9 y 2 24 x 36 y 36 0 3. 9 y 2 4x 2 24x 36 y 144 0 4. 9 y 2 4 x 2 24x 36 y 36 0 41. กาหนดให้วงรีรูปหนึ่งมีสมการเป็น x 2 Ay 2 Bx Cy 92 0 โดยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2, 1) และแกนเอกยาวเป็น 2 เท่าของแกนโท ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. A B C 0 2. ความเยื้องศูนย์กลางของวงรีเท่ากับ
3 5
3. วงรีมีจุดศูนย์กลางร่วมกับจุดศูนย์กลางของวงกลม x 2 y 2 4 x 2 y 20 0 และแกนเอกยาวเท่ากับ รัศมีวงกลม 4. ผลบวกของระยะทางจากจุด (2, 6) ไปยังโฟกัสทั้งสองของวงรีเท่ากับ 20 หน่วย 42. ให้ A เป็นจุดตัดของเส้นตรง x 3 y 1 0 และ 2 x 5 y 9 0 ถ้าเส้นตรง L มีความชันเท่ากับ m เมื่อ m < 0 มี ระยะห่างจากจุดกาเนิด (0, 0) เท่ากับ k หน่วย โดยที่ k2 + 2m = 1 และผ่านจุด A แล้วสมการของเส้นตรง L ตรงกับข้อ ใดต่อไปนี้ 1. 2x y 5 0 2. 3x y 7 0 3. x 2 y 4 0 4. x 3 y 5 0
Pra Fun Math เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย 11 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------PAT1 พ.ย. 57 43. กาหนดให้ y 2 2 x 2 8x 6 0 เป็นสมการของไฮเพอร์โบลา ให้เส้นตรง y 2 ตัดกับเส้นกากับของไฮเพอร์โบลา ที่จุด A และจุด B เมื่อจุด B อยู่ทางขวามือของจุด A และเส้นตรง y 2 ตัดกับกราฟไฮเพอร์โบลาที่จุด P และจุด Q เมื่อจุด Q อยู่ทางขวามือของจุด P สมการของวงรีที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด P และจุด Q โฟกัสของวงรีอยู่ที่จุด A และ B มี สมการตรงกับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2 x 2 y 2 8x 4 2 y 4 0 2. 2 x 2 y 2 8x 2 2 y 8 0 3. x 2 2 y 2 4 x 4 2 y 6 0 4. x 2 2 y 2 4 x 4 2 y 6 0 44. ให้
เป็นวงกลมมีสมการ x 2 y 2 Dx Ey F 0 มีจุดศูนย์กลางอยู่ในควอดรันต์ (quadrant) ที่ 1 และวงกลม C สัมผัสแกน y ให้ P เป็นพาราโบลามีสมการ Dx y 2 Ey F ผ่านจุด (-4, -1) และระยะระหว่างจุดยอดกับ โฟกัสเท่ากับ 1 หน่วย พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. D 2 E 2 F 2 133 ข. เส้นตรง 4 x 3 y 7 0 สัมผัสกับวงกลม C ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด C
45. กาหนดให้ L1 เป็นเส้นตรงผ่านจุด (-2, -4) มีความชันเป็นจานวนเต็มบวก และตัดแกน X และแกน Y ที่จุด A และจุด B ตามลาดับ โดยผลบวกของระยะตัดแกน X และระยะตัดแกน Y เท่ากับ 3 หน่วย ให้ L2 เป็นเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง L1 และผ่านจุด (0, -13) ถ้า C เป็นจุดบนเส้นตรง L2 โดยที่ CA = CB แล้วพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 8.5 ตารางหน่วย 2. 7.5 ตารางหน่วย 3. 6.5 ตารางหน่วย 4. 5.5 ตารางหน่วย PAT1 มี.ค. 58 46. กาหนดให้ 16 y2 9x 2 36x 32 y 124 0 เป็นสมการของไฮเพอร์โบลา ให้ L เป็นเส้นตรงผ่านจุด (0, 0) และ จุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลานี้ ผลบวกของระยะจากโฟกัสทั้งสองไปยังเส้นตรง L เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2 5 2. 3 5 3. 4 5 4. 5 5 47. ถ้าจุด (a,b) เป็นจุดบนเส้นตรง 2 y x 6 0 ที่อยู่ใกล้จุด (3,1) มากที่สุด วงกลมที่มีจุด (a,b) เป็นจุด ศูนย์กลางและสัมผัสแกน x ตรงกับข้อใดต่อไปนี้ 1. x 2 y2 8x 2 y 16 0 2. x 2 y2 8x 2 y 1 0 3. x 2 y2 4x 2 y 16 0 4. x 2 y2 4x 2 y 1 0 48. กาหนดให้วงรีรูปหนึ่ง ผ่านจุด (8, 0) มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (4, -1) และโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่ (1, -1) ถ้าพาราโบลารูปหนึ่งมีโฟกัส อยู่ที่จุดปลายของแกนโทของวงรีในควอดรันต์ (quardrant) ที่ 1 และมีเส้นไดเรกตริกซ์ทับกับแกนเอกของวงรี แล้วสมการ ของพาราโบลารูปนี้ตรงกับสมการในข้อใดต่อไปนี้ 1. x 2 8x 4 y 13 0 2. x 2 8x 4 y 20 0 3. x 2 8x 6 y 12 0 4. x 2 8x 6 y 19 0
Pra Fun Math เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย 12 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ข้อสอบ A – NET คณิตศาสตร์ เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย A – NET 49 1. วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลาง อยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงรีที่มีสมการเป็น 9x2 + 4y2 – 36x – 24y + 36 = 0 ถ้าวงกลมวงนี้ สัมผัสกับเส้นตรงที่ผ่านจุด (1, 3) และ (5, 0) แล้ว รัศมีของวงกลมวงนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1.
3 5
2.
4 5
3.
7 8
4.
9 13
2. กาหนดให้ H เป็นไฮเพอร์โบลาที่มีสมการเป็น 16x2 – 9y2 – 144 = 0 ถ้าจุด A(6, k) เมื่อ k > 0 เป็นจุดอยู่บนเส้นกากับ ของ H และ F1 , F2 เป็นโฟกัสของ H แล้ว พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม AF1F2 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1.
37 2
ตารางหน่วย
2.
45 2
ตารางหน่วย
3. 30 ตารางหน่วย
4. 40 ตารางหน่วย
A – NET 50 3. ถ้า k, l และ m เป็นจานวนจริงที่ทาให้วงรี kx2 + ly2 – 72x – 24y + m = 0 มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (4, 3) และสัมผัส แกน Y แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ผิด 1. ความยาวแกนเอกเท่ากับ 12 หน่วย 2. ความยาวแกนโทเท่ากับ 8 หน่วย 3. ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสทั้งสองเท่ากับ 4 5 หน่วย 4. จุด (2, 6) อยู่บนวงรี 4. วงกลม C มีจุดศูนย์กลางที่จุดกาเนิด และผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลาซึ่งมีสมการเป็น (x – 2)2 = 8y โดยเส้นไดเรกตริกซ์ ของพาราโบลาตัดวงกลม C ที่จุด P และจุด Q ถ้าจุด R อยู่บนพาราโบลาและอยู่ห่างจากจุดโฟกัสเป็นระยะทาง 4 หน่วย แล้ว สามเหลี่ยม PQR มีพื้นที่เท่ากับข้อใด 1. 8 หน่วย 2. 9 หน่วย 3. 10 หน่วย 4. 12 หน่วย 5. ถ้าเส้นกากับของไฮเพอร์โบลา 16x2 – 9y2 + 32x + 36y = 164 ตัดแกน X ที่จุด x1, x2 แล้ว ระยะระหว่าง x1, x2 ยาว กี่หน่วย A – NET 51 6. ให้ A และ B เป็นจุดยอดของไฮเพอร์โบลา 4x2 – y2 – 24x + 6y + 11 = 0 สมการของพาราโบลาที่มี เลตัสเรกตัม และมีกราฟอยู่เหนือแกน X คือสมการในข้อใดต่อไปนี้ 1. (x – 3)2 = 4(y – 2) 2. (x – 3)2 = 8(y – 1) 3. (x – 2)2 = 4(y – 2) 4. (x – 2)2 = 8(y – 1)
AB
เป็น
7. ให้ E เป็นวงรีที่มีแกนเอกขนานกับแกน X , มีจุดศูนย์กลางที่ (-2, 1) , สัมผัสเส้นตรง x = 1 และ y = 3 โดยมี F1 และ เป็นจุดโฟกัสของ E ให้ C เป็นวงกลมที่มี F1 F2 เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้าวงรี E ตัดวงกลม C ที่จุด P, Q, R และ S แล้ว พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม PQRS มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1.
12 5
ตารางหน่วย
2.
24 5
ตารางหน่วย
3.
36 5
ตารางหน่วย
4.
48 5
ตารางหน่วย
F2
Pra Fun Math เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย 13 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยเชียงใหม่ วิชา คณิตศาสตร์ 1 เรื่อง เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย มช 49 1. วงรีรูปหนึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิดและแกนเอกอยู่บนแกน Y ความยาวแกนโทเท่ากับ 6 และความเยื้องศูนย์กลาง เท่ากับ 0.8 จงหาความชัน m > 0 ของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดโฟกัสหนึ่งของวงรีกับจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา 2x2 – y2 – 8x + 2y + 5 = 0 2. ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมี R < 10 ซึ่งผ่านจุด (-1, 8) และสัมผัสแกน X และแกน Y ที่จุด A และจุด B ตามลาดับ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม OAB เท่ากับข้อใด 1. 10.5 2. 12.5 3. 14.5 4. 16.5 มช 50 3. ถ้ากราฟไฮเพอร์โบลามีสมการเป็น 9(x – 2)2 – 16(y – 1)2 + 144 = 0 แล้ว ระยะห่างระหว่างเส้นกากับที่มีความชันเป็น บวกกับจุด (4, 2) มีค่าเท่ากับข้อใด 1. 0.2 2. 0.4 3. 0.6 4. 0.8 มช 51 4. กาหนดให้วงรี
x 2 y2 1 9 4
มีจุดยอดอยู่ที่จุด A(x1, y1) และ B(x2, y2) โดยที่ x2 > 0 แล้ว สมการของวงกลมที่มีจุด
ศูนย์กลางอยู่ที่จุด B และสัมผัสเส้นตรง y = x + 3 คือข้อใด 1. x2 + (y – 2)2 = 2 2. x2 + (y – 2)2 = 3. (x – 3)2 + y2 = 3
1 2
4. (x – 3)2 + y2 = 18
5. ไฮเพอร์โบลารูปหนึ่งมีแกนตามขวางยาว 6 หน่วย จุดโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่ (-6, 0) และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่โฟกัสของพาราโบลา y2 = -8x แล้ว สมการของไฮเพอร์โบลาที่กาหนดคือข้อใด 1. 3.
( x 2)2 y2 1 9 7 ( x 2)2 y2 1 9 55
2. 4.
( x 2)2 y2 1 9 10 ( x 2)2 y2 1 9 28
6. เส้นตรง L1 : 2x + 3y = 12 ตัดกับเส้นตรง L2 : 2x + y = 8 ที่จุด (3, 2) ถ้า เป็นมุมแหลมที่เกิดจากการตัดกันของ เส้นตรงทั้งสอง แล้วค่าของ cos คือข้อใด 1. 1 2. 1 3. 7 4. 7 65
65
65
65
Pra Fun Math เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย 14 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------มช 52 7. ให้ L เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดตัดของวงกลม x2 + y2 = 4 และ (x – 5)2 + y2 = 9 และทามุม 30o กับเส้นตรง x = 5 สมการของเส้นตรง L คือข้อใด 1. y 1 x 2 2. y 1 x 2 3
3.
y
3
3
4.
3x 2 3
3
y 3x 2 3
8. วงรีวงหนึ่งมีจุดโฟกัสอยู่ที่ ( c, 0) จุดยอดอยู่ที่ ( (c 1), 0) เมื่อ c เป็นระยะทางระหว่างจุดยอดและจุดโฟกัสของ พาราโบลา x2 + 12y = 0 สมการของวงรีรูปนี้คือข้อใด 1. 5x2 + 9y2 = 45 2. 7x2 + 16y2 = 112 3. 9x2 + 25y2 = 225 4. 13x2 + 36y2 = 468 9. ให้ L เป็นเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ m และผ่านจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา ที่ทาให้ L ไม่ตัดไฮเพอร์โบลารูปนี้คือข้อใด 1. m = 0.5 2. m = 1.0
3. m = 1.5
( x 2)2
( y 1)2 1 4
แล้วค่า m
4. m = 2.5
มช 53 10. ถ้าพาราโบลา y = 5x2 – 4x + c สัมผัสแกน X แล้ว c จะมีค่าเท่าใด 1. 4 2. 0 3. 4 5
4.
5
2 5
มช 54 11. กาหนดให้ P(x, y) เป็นจุดบนวงกลม x2 + y2 = 1 ที่อยู่ใกล้จุด A(3, 4) มากที่สุด จงหาระยะห่างระหว่างจุด P(x, y) และ เส้นตรง 4x – 3y + 1 = 0 12. ถ้าจุด F และ F เป็นโฟกัสของไฮเพอร์โบลา 9x2 – 16y2 – 18x + 32y – 151 = 0 และวงกลม C มีเส้นตรง เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง สมการของวงกลม C คืออะไร 1. x2 + y2 + 2x + 2y – 23 = 0 2. x2 + y2 – 2x – 2y – 23 = 0 3. x2 + y2 + 2x + 2y – 14 = 0 4. x2 + y2 – 2x – 2y – 14 = 0 1
2
มช 55 13. สมการในข้อใดมีระยะห่างระหว่างจุดยอดและจุดโฟกัสมากที่สุด 1.
x 2 4 y 24 0
2.
x 2 y2 1 25 16
3.
x 2 y2 1 25 16
4.
x 2 y2 2x 10 y 23 0
;
x 0
;
x 0
F1 F2
Pra Fun Math เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย 15 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------มช 56 14. จงหาระยะระหว่างจุด
11 3 , 0
กับเส้นตรงที่สัมผัสวงกลม
( x , y)
2 2 3 21 x y 1 5 20
ณ จุด 0, 1
4
15. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ a) วงรีคือเซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าคงตัวเสมอ b) สมการในรูปทั่วไปของวงกลมคือ Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 เมื่อ A B C D และ E เป็นจานวนจริงใดๆ ที่ A ≠ B c) คอร์ดร่วมของวงกลม x2 + y2 = 9 และ x2 + y2 – 3x = 0 เป็นส่วนของเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y d) ระยะทางระหว่างจุดยอดของกราฟ xy – x – y = 0 คือ 13 1 ข้อความใดถูกต้อง 1. a) และ b) 2. a) และ c) 3. b) และ c) 4. c) และ d) มช 58 16. วงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีสมการเป็น x2 + y2 + 2y – 6x – 15 = 0 โดยมีแกนโทขนานกับ แกน Y มีจุดปลายของแกนเอก (จุดยอด) ทั้งสองอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมดังกล่าว และจุดโฟกัสวงรีจุดหนึ่งอยู่ที่จุด (0, -1) วงรีนี้มีสมการตรงกับข้อใด 1. 16x2 + 25y2 – 96x + 50y – 231 = 0 2. 16x2 + 25y2 – 96x + 50y – 230 = 0 3. 25x2 + 16y2 – 150x + 32y – 59 = 0 4. 25x2 + 16y2 – 150x + 32y – 60 = 0
