Διαγωνίσματα Α Γυμνασίου

∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φώτης Κουνάδης

∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΚ∆ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007

Σειρά: ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ∆ΗΣ Copyright © Φώτης Κουνάδης Copyright © 2007: EK∆OTIKOΣ OPΓANIΣMOΣ ΛIBANH ABE Σόλωνος 98 – 106 80 Aθήνα. Tηλ.: 210 3661200, Fax: 210 3617791 http://www.livanis.gr Aπαγορεύεται η αναδηµοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική, µερική ή περιληπτική, ή η απόδοση κατά παράφραση ή διασκευή του περιεχοµένου του βιβλίου µε οποιονδήποτε τρόπο, µηχανικό, ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό, ηχογράφησης ή άλλο, χωρίς προηγούµενη γραπτή άδεια του εκδότη. Nόµος 2121/1993 και κανόνες του ∆ιεθνούς ∆ικαίου που ισχύουν στην Eλλάδα. Παραγωγή: Eκδοτικός Oργανισµός Λιβάνη ISBN 978-960-14-1481-2

Αφιερώνεται στους γονείς µου.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος .....................................................................................................................9 Διαγωνίσματα Διαγώνισμα 1: Οι Φυσικοί αριθμοί .......................................................................13 Διαγώνισμα 2: Τα κλάσματα.................................................................................17 Διαγώνισμα 3: Οι Δεκαδικοί αριθμοί ....................................................................21 Διαγώνισμα 4: Εξισώσεις και προβλήματα. Τα ποσοστά ......................................25 Διαγώνισμα 5: Ανάλογα ποσά και αντιστρόφως ανάλογα ποσά ...........................29 Διαγώνισμα 6: Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί .......................................................35 Διαγώνισμα 7: Δυνάμεις ρητών Αριθμών .............................................................41 Διαγώνισμα 8: Βασικές Γεωμετρικές έννοιες ......................................................45 Διαγώνισμα 9: Συμμετρία .....................................................................................53 Διαγώνισμα 10: Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια ...................................59 Διαγώνισμα 11: Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη..................................65 Διαγώνισμα 12: Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη..................................71 Λύσεις Διαγωνισμάτων Διαγώνισμα 1: Οι Φυσικοί αριθμοί .......................................................................77 Διαγώνισμα 2: Τα κλάσματα.................................................................................81 Διαγώνισμα 3: Οι Δεκαδικοί αριθμοί ....................................................................85 Διαγώνισμα 4: Εξισώσεις και προβλήματα. Τα ποσοστά ......................................89 Διαγώνισμα 5: Ανάλογα ποσά και αντιστρόφως ανάλογα ποσά ...........................93 Διαγώνισμα 6: Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί .......................................................99 Διαγώνισμα 7: Δυνάμεις ρητών Αριθμών ...........................................................105 Διαγώνισμα 8: Βασικές Γεωμετρικές έννοιες ....................................................109 Διαγώνισμα 9: Συμμετρία ...................................................................................115 Διαγώνισμα 10: Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια .................................121 Διαγώνισμα 11: Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη................................125 Διαγώνισμα 12: Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη................................131 7

8

Πρόλογος

Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους μαθητές της Α΄ Γυμνασίου και γράφτηκε σύμφωνα με το νέο αναλυτικό πρόγραμμα. Στο πρώτο μέρος περιέχονται 12 διαγωνίσματα, τα 10 από αυτά αντιστοιχούν στα επί μέρους κεφάλαια του νέου σχολικού βιβλίου και 2 επιπλέον είναι επαναληπτικά σε ολόκληρη την ύλη, ενώ στο δεύτερο μέρος υπάρχουν αναλυτικά οι λύσεις των διαγωνισμάτων αυτών. Επιχειρείται με συνδυαστικά θέματα αλλά και με ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, «Σωστού – Λάθους», αντιστοίχισης και συμπλήρωσης, η ενίσχυση των μαθητών στην προσπάθειά τους να επαναλάβουν την ύλη κάθε κεφαλαίου και στη συνέχεια ν’ αξιολογήσουν μόνοι τους το βαθμό της εμπέδωσης της ύλης αυτής. Πιστεύω ότι με τον τρόπο αυτό οι μαθητές θα αποβάλουν το άγχος των γραπτών δοκιμασιών και των ανακεφαλαιωτικών εξετάσεων και συγχρόνως θα αποκομίσουν σημαντικό όφελος για την καλύτερη κατανόηση του μαθήματος των Μαθηματικών. Τέλος, θα ήθελα και από τη θέση αυτή να ευχαριστήσω τη συνάδελφο Μαθηματικό κ. Τζωρτζίνα Νίκα για τις χρήσιμες και ιδιαίτερα εύστοχες παρατηρήσεις της.

Φώτης Κουνάδης

9

10

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ

11

12

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ο ο

Κεφάλαιο 1 – Μέρος Α΄ Οι Φυσικοί αριθμοί Διάρκεια: 1 ώρα

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1. Ευκλείδεια διαίρεση λέγεται η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο ............. αριθμοί, ο Δ.................. και ο δ ................., βρίσκονται δύο άλλοι ............................ αριθμοί, το π............................ και το υ.............................., ώστε να ισχύει η ισότητα Δ = …....·……... + .........., με υ < ……... και δ ≠ …….... . Αν υ = 0 προκύπτει η ισότητα Δ = ….....·…..... που λέγεται…........................ διαίρεση. Μονάδες (1,7)

2. α : 1 = ..... . ..... : α = 0. α : ..... δεν ορίζεται. Ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος όταν μοναδικοί του διαιρέτες είναι ............................ και ........................... . Κάθε αριθμός που δεν είναι πρώτος λέγεται .................................... . Ο μοναδικός άρτιος που είναι και πρώτος είναι το .……........ . Δύο φυσικοί αριθμοί α, β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους όταν Μ.Κ.Δ. (α, β) = ......... . Αν ο αριθμός α διαιρεί τον αριθμό β τότε ο β είναι …............................................. του α και ο Μ.Κ.Δ. (α, β) = .............. . Μονάδες (1,7)

13

Β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: πράξη

πρόσθεση

πολλαπλασιασμός

α+β α και β λέγονται …………………….

α·β α και β λέγονται .............................

ιδιότητα

πρόσθεση


αντιμεταθετική

α + β = .... + ....

α · β = .... · ....

προσεταιριστική

α + (β + γ) = (.... + ....) + ....

α · (β · γ) = ...........

α + 0 = .......

α · .... = α α · 0 = ....

επιμεριστική

α · (β + γ) = ....·.... + ....·....

α · (β – γ) = ....·.... – ....·…. Μονάδες (1,6)

ΘΕΜΑ 2

ο

Α. Να σημειώσετε τη θέση των παρενθέσεων μια φορά, ώστε να ισχύουν οι ισότητες: 2·5–4+4=2 2·5–4+4=6 7–3+8·0=0 5+7:4–3=0 9+9:9+1=3 Μονάδες (2,5)

Β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα ώστε να προκύπτουν Ευκλείδειες διαιρέσεις: Δ δ π υ

418 31

100 23 7 1

12 Μονάδες (2,5)

14

ΘΕΜΑ 3

ο

Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Αν α, β φυσικοί αριθμοί με α · β = 1, τότε: Α. α ≠ 1 και β = 1 Β. α = 1 και β ≠ 1 Γ. α = 1 και β = 1 Δ. α = 0 και β = 1 2. Ο αριθμός: 7 ⋅ 104 + 3 ⋅ 102 + 1 ισούται με: Α. 7.301 Β. 731 Γ. 70.301 Δ. 73.100 3. Ποια από τις παρακάτω πράξεις μας δίνουν το μεγαλύτερο αποτέλεσμα; Α. 5 + 0 + 0 + 4 Β. (5 + 0) ⋅ (0 + 4) Γ. (5 ⋅ 0) + (0 + 4) Δ. 5 ⋅ 0 ⋅ 0 ⋅ 4 4. Η παράσταση: x + x + x – x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ισούται με: Α. x3 – 4 · x 3 4 B. x – x Γ. 3 · x – 4 · x Δ. 3 · x – x4 5. Η ισότητα: x ⋅ x ⋅ x – xν = 0 αληθεύει όταν ο εκθέτης ν ισούται με: Α. 2 Β. 3 Γ. 4 Δ. 5 6. Πόσοι πρώτοι αριθμοί περιέχονται μεταξύ του 10 και του 30; Α. 4 Β. 5 Γ. 6 Δ. 7

15

7. Τα πιθανά υπόλοιπα της διαίρεσης ενός φυσικού δια του 5 είναι: Α. 5, 6, 7, 8 Β. 0, 2, 4, 6 Γ. 0, 1, 2, 3, 4, 5 Δ. 0, 1, 2, 3, 4 8. Ποια από τις παρακάτω ισότητες δεν προέκυψε από Ευκλείδεια διαίρεση; Α. 0 = 3 ⋅ 0 + 0 Β. 40 = 6 ⋅ 6 + 4 Γ. 83 = 10 ⋅ 8 + 3 Δ. 91 = 10 ⋅ 8 + 11 Μονάδες 2,4(8x0,3)

Β. Να συμπληρώσετε τα ψηφία στους παρακάτω τετραψήφιους αριθμούς της στήλης Α, ώστε να διαιρούνται κάθε φορά από τους διαιρέτες της στήλης Β. Στήλη Α

Στήλη Β

αριθμός 3_ 6 _

διαιρέτης 2

_ 2 _1

3

96__ _36_ 2_ _ 4

3, 10 5, 9 2, 3, 4

3___

2, 3, 4, 5, 9, 10 Μονάδες (2,6)

ΘΕΜΑ 4

ο

Α. Να υπολογίσετε τους αριθμούς: x = (23 – 10) · 2, y = 14 + 24 + 34 και ω = (23 + 5 · 2) : 32 + (15 – 3 · 5)5. Στη συνέχεια ν’ αναλύσετε τον αριθμό x + y + ω, σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Μονάδες (2,5)

Β. Αν α = Ε.Κ.Π. (6, 8) και β = Μ.Κ.Δ. (45, 60, 75) να συγκρίνετε τις τιμές των παραστάσεων: Α = (α + β)3 και Β = α3 + 3 · α · β2 + 3 · α2 · β + β3 Μονάδες (2,5)

16


Κεφάλαιο 2 – Μέρος Α΄ Τα κλάσματα Διάρκεια: 1 ώρα

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

α β και είναι ομώνυμα όταν ........ = ........ δ γ και ετερώνυμα όταν ................... .

i) Τα κλάσματα

Από δύο ομώνυμα κλάσματα μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει .................................. αριθμητή, ενώ από δύο κλάσματα με ίσους αριθμητές μικρότερο είναι αυτό που έχει τον ............................. . ii)

, 4 > 7 7

1

<

1

iii) Το γινόμενο δύο κλασμάτων είναι ένα κλάσμα που έχει για αριθμητή το γινόμενο των ................................. και παρονομαστή το ..................................................... α β Τα κλάσματα και λέγονται .................... και το γινόμενο τους ισούται με ....... . α β Μονάδες (2,6)

17

Β. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λανθασμένες (Λ), όταν λ ≠ 0: α α+ λ = β β+λ α α⋅ λ ii. = β β⋅λ

i.

α α2 = β β2 α α: λ iv. = β β:λ α+ λ α = 1+ v. λ λ α vi. είναι ανάγωγο όταν Μ.Κ.Δ. (α,β) = 1 β

iii.

Μονάδες 2,4(6x0,4)

ΘΕΜΑ 2

ο

Α. Να συμπληρώσετε τα κενά στον πίνακα:

α

5 6

β

7 8

2 25 5 12 22 25

α+β

27 16 Μονάδες (2)

Β. Να συμπληρώσετε τα κενά 2=

2

,

ώστε να προκύπτουν αληθείς σχέσεις:

20 5 = , 24 5 < 11

<

7 , 11

21 = , 28 4

x⋅

1 < 5

<

3 ⋅ =x , 4 2 5 Μονάδες 3 (6x0,5)

18

ΘΕΜΑ 3

ο

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1 1 + ισούται με: 2 22 1 3 Β. Γ. Δ. 1 2 4

1. Η τιμή της παράστασης Α.

1 8

1 2. Το γινόμενο 2 ⋅ 3 ισούται με: 3

Α. 2

Β. 1

3. Το σύνθετο κλάσμα

Α.

12 5

Β.

4. Το γινόμενο

Γ. 7 3 5 + 4 3 1 1 + 2 6 29 8

Β. 2008

5. Το κλάσμα

x+5 είναι: x+6

Α. < 1

Β. > 1

7. Η παράσταση 4 3

Γ.

15 8

Δ.

8 11

Γ. 86

Δ. 0

Γ. = 1

Δ. = 0

Γ. = 1

Δ. = 0

2 ⋅ (x + 3) είναι: 2⋅x + 6

Α. < 1

Α.

ισούται με:

3 22 71 2007 ⋅ ⋅ ⋅0⋅ ισούται με: 2 17 86 2008

Α. 2007

6. Το κλάσμα

Δ. 3

Β. > 1

3 1 ⎛7 2⎞ ισούται με: + : − 4 4 ⎜⎝ 6 3 ⎟⎠ Β. 12

Γ. = 1

Δ.

5 4

Μονάδες 5 (7x0,7)

19

ΘΕΜΑ 4

ο

2 των μαθητών μιας τάξης είναι 18 μαθητές. Να βρείτε πόσους μαθητές 3 έχει συνολικά η τάξη.

Α. Τα

Μονάδες (2,5)

Β. Δίνονται οι παραστάσεις: 1 1 ⎤ 13 1 1 22 ⎡2 7 Α = ⎢ ⋅ + (1− ) ⋅ ⎥ : και Β = ( + 2 ⋅ ) : 2 2 ⎦ 15 5 5 5 ⎣7 5 Δείξτε ότι Α = Β . Μονάδες (2,5)

20


Κεφάλαιο 3 – Μέρος Α΄ Οι Δεκαδικοί αριθμοί Διάρκεια: 1 ώρα

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. Ν’ αντικαταστήσετε το θείς ισότητες: 1. 123 :

= 1,23

3. 75 ·

= 0,075

με τον κατάλληλο αριθμό ώστε να προκύπτουν αλη-

2.

4. 32 : 0,01 =

5. 0,00475 ⋅ 106 =

6.

7. 70.034 ⋅

8.

9.

10

3

= 7,0034

= 0,012

· 1.000 = 57,4

: 104 = 0,0302 5

10.

= 0,5

11.092 = 11,092 10 Μονάδες 2,5(10x0,25)

21

Β. Να στρογγυλοποιήσετε τους παρακάτω αριθμούς στο ψηφίο με το κόκκινο χρώμα:

αριθμός

ψηφίο στρογγυλοποίησης

προσέγγιση

17,024

εκατοστό

17,02

2.749 0,9156 304,9999 724.058 476,302 5 ⋅ 10 + 3 ⋅ 102 + 2 ⋅ 10 + 5 4

χιλιάδα Μονάδες 2,5

ΘΕΜΑ 2

ο

Α. Να συμπληρώσετε τον πίνακα για τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα όταν γνωρίζουμε ότι η περίμετρός τους είναι Π = 2 ⋅ (α + β), όπου α το μήκος και β το πλάτος. Μήκος α

Πλάτος β

1ο ορθογώνιο

3,2dm

8dm


20cm

3ο ορθογώνιο 4ο ορθογώνιο

160cm 5m

400mm

Περίμετρος Π

180dm

80cm

m Μονάδες 2 (4x0,5)

Β. Να γραφούν τα παρακάτω μήκη από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. α. 5,23m 0,703m 2,023m β. 0,023km 12,3m 134dm

2m 0,7003m 0,052m 1004cm 11011mm Μονάδες 1 (2x0,5)

22

Γ. α. Ν’ αντιστοιχίσετε τα κλάσματα που είναι στη στήλη Α με ίσους τους δεκαδικούς αριθμούς της στήλης Β . ΣΤΗΛΗ Α

ΣΤΗΛΗ Β

160 4

•

523 100

•

41 6

•

523 10000

•

•

6,83333....

•

40

•

0,0523

•

5,23

Μονάδες 0,8 (4x0,2)

β. Να συμπληρωθεί ο πίνακας.

κλάσμα

Δεκαδικός αριθμός

Δεκαδικό κλάσμα

3 5 21 25 3 800 Μονάδες 1,2 (6x0,2)

23

ΘΕΜΑ 3

ο

Στο διπλανό τρίγωνο δίνονται οι πλευρές του x και y καθώς και η περίμετρός του Π σε cm, ως εξής:

x = 15 + 0,02 ⋅ (4,6 + 5,4)3 y = 0,2 ⋅ 2 ⋅ 102 και η περίμετρος Π = (0,1 + 0,12 + 0,13) ⋅ 103. Να υπολογίσετε την πλευρά ω. Μονάδες 5

ΘΕΜΑ 4

ο

Αν α = 2 , β = 0,8 , γ = 0,5 , δ = 9,6 , ε = 0,01 , να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α = δ2 – (α3 : β + γ2 : ε)

και

Β = (α3 – β ⋅ γ) ⋅ α + δ : ε – (α3 : α4)2 Μονάδες 5

24


ο

Κεφάλαια 4 και 5 – Μέρος Α΄ 1. Εξισώσεις και προβλήματα 2. Τα ποσοστά Διάρκεια: 1 ώρα

ο

ΘΕΜΑ 1 (εξισώσεις) Να αντιστοιχίσετε τις εξισώσεις της στήλης Α με τις λύσεις τους στη στήλη Β: Α. ΣΤΗΛΗ Α

ΣΤΗΛΗ Β

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. x + α = β

ΛΥΣΕΙΣ α. x = β : α

2. x – α = β 3. α – x = β 4. α · x = β 5. x : α = β

β. γ. δ. ε.

6. α : x = β

στ. x = α + β

Α

1

2

3

x=α–β x=β–α x=β·α x=α:β

4

5

6

Β Μονάδες 2,5

25

Β. ΣΤΗΛΗ Α

ΣΤΗΛΗ Β

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ x−4 1. =0 3

2.

ΛΥΣΕΙΣ α. 3

x + 12 =1 20

β. 4

3. 2(x – 3) = 8

γ. αδύνατη

4. 12 – 2x = 7x – 15

δ. αόριστη ή ταυτότητα

5.

x −1 4 + =1 5 5

ε. 7

6. 3 : x = 1:3

στ. 9

7. (7 – 7)x = 0

ζ. 2

8. (4 – 3 – 1)x = 2

η. 8

A B

1

2

3

4

5

6

7

8 Μονάδες 2,5

ο

ΘΕΜΑ 2 (εξισώσεις) Α. Στο ορθογώνιο του διπλανού σχήματος η μια του διάσταση είναι διπλάσια της άλλης ενώ η περίμετρος του είναι 60 cm.

1. Να επιλέξετε την εξίσωση που αποδίδει το πρόβλημα: Α. x2 + 2x = 60 B. x ⋅ 2x = 60 Γ. x + 2x + x + 2x = 60 Δ. (1 + 2 + 1)x = 60 26

2. Να γράψετε σε πιο απλή μορφή την εξίσωση που επιλέξατε. 3. Να λύσετε την εξίσωση και να βρείτε τις δυο διαστάσεις του ορθογωνίου. 4. Να υπολογίσετε το εμβαδό του ορθογωνίου. Μονάδες 2,5

Β. Αν α = 30 – 2 · 5, β = (22 + 2) · 5 να λύσετε την εξίσωση: ( α + β + γ) · x = α2 + β 2 + γ 2 .

και

γ = (23 – 22)3 : 22 + 2 · 17

Μονάδες 2,5

ο

ΘΕΜΑ 3 (ποσοστά) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση :

1. το ποσοστό 31,4% παριστάνει το κλάσμα: 31,4 31,4 314 314 Α. B. Γ. Δ. 100 10 100 1000 2. το 200% του 200 είναι : Α. 200 Β. 400

Γ. 4000

4 γράφεται ως ποσοστό : 5 Α. 40% Β. 50% Γ. 60%

Δ. 40000

3. το κλάσμα

Δ. 80%

4. για να βρούμε το α% του β εκτελούμε την πράξη: α α α α Α. +β Β. ⋅β Γ. : β Δ. β : 100 100 100 100 5. το 3% του 1m είναι : Α. 3m B. 3dm

Γ. 3 cm

Δ. 3 mm

6. όταν ένα είδος αυξήθηκε από 50€ σε 80€ η αύξηση σε ποσοστό είναι : Α. 30% Β. 40% Γ. 50% Δ. 60% 7. όταν από τους 32 μαθητές μιας τάξης τα 14 είναι αγόρια τότε αυτά αντιπροσωπεύουν το ποσοστό: Α. 40% Β. 43,75% Γ. 42,15% Δ. 49,12% Μονάδες 5 (7x0,7)

27

ο

ΘΕΜΑ 4 (ποσοστά) Ένα είδος κόστιζε αρχικά 500€. Στις 12 Φεβρουαρίου αυξήθηκε 10% αλλά στις 12 Μαρτίου η νέα τιμή του αυξήθηκε πάλι κατά 8%. Μπορούμε να πούμε ότι τελικά η αρχική τιμή αυξήθηκε κατά 10% + 8% = 18%; Αν όχι να βρείτε το σωστό ποσοστό της αύξησης. Μονάδες 5

28


Κεφάλαιο 6 – Μέρος Α΄ Ανάλογα ποσά και αντιστρόφως ανάλογα ποσά Διάρκεια: 1 ώρα και 30’

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: Δύο ποσά x και y λέγονται ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ποσού x με έναν αριθμό, τότε οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού y ................................... με τον ίδιο αριθμό. Το πηλίκο των αναλόγων ποσών x και y λέγεται .............................................. και είναι πάντα ........................................ . Τα ανάλογα ποσά x και y συνδέονται με την ισότητα .................................... . Τα ζευγάρια των τιμών (x, y) παριστάνουν σημεία που βρίσκονται πάνω σε ................. γραμμή που διέρχεται από το σημείο .................... . Μονάδες (2,5)

Β. Ποια από τα παρακάτω ποσά x και y είναι ανάλογα και γιατί; 1. x

10

20

30

y

60

120

180

29

2. x

6

15

y

4

12

3. Η πλευρά του τετραγώνου και η περίμετρός του. 4. Η πλευρά του τετραγώνου και το εμβαδόν του. 5. y = x 6. y =

3 ⋅x 7

7. y =

3 x

8.

9.

10.

Μονάδες 2,5 (10x0,25)

30

ΘΕΜΑ 2

ο

Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: Δύο ποσά x και y λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ποσού x με έναν αριθμό οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού y ........................... με τον ίδιο αριθμό. Το.............................. των αντιστρόφως αναλόγων ποσών x και y είναι σταθερό και τα ποσά συνδέονται με την ισότητα ............................ . Τα ζευγάρια των τιμών (x,y) παριστάνουν σε αυτή τη περίπτωση σημεία του επιπέδου που βρίσκονται πάνω σε καμπύλη γραμμή που ονομάζεται ........................................... και που δεν τέμνει ποτέ τους ...................................... . Μονάδες 2,5(5x0,5)

Β. Δίνεται ο πίνακας τιμών: x

1

2

3

4

y

6

3

2

1,5

Αφού διαπιστώσετε ότι τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα να συμπληρώσετε ...... την ισότητα που τα συνδέει y = . Στη συνέχεια να κάνετε με τη βοήθεια του πίναx κα τιμών τη γραφική παράσταση των ποσών αυτών. Μονάδες 1,1

Γ. Ποια από τα παρακάτω ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα και γιατί; 1. Ο αριθμός των εργατών και ο χρόνος που απαιτείται για την ολοκλήρωση ενός έργου. 2. Οι διαστάσεις ορθογωνίου με εμβαδό 12 cm2. 3.

4.

31

5. y · x = 1000 6. y =

3 x2

7. y =

0,01 x Μονάδες 1,4 (7x0,2)

ΘΕΜΑ 3

ο

Θεωρούμε τα παρακάτω ισόπλευρα τρίγωνα:

περίμετρος = 10,5 Αν με x συμβολίσουμε την πλευρά και με y την περίμετρο του κάθε ισοπλεύρου τριγώνου, τότε:

α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα: x = πλευρά

2

y = περίμετρος

6

3

4 10,5 Μονάδες (2)

β) Τι συμπεραίνεται για τα ποσά x και y; Γράψτε την ισότητα που τα συνδέει. Μονάδες (2)

32

γ) Τοποθετώντας τα ζεύγη των τιμών (x,y) του πίνακα από το α) ερώτημα, να κάνετε τη γραφική παράσταση των ποσών x και y.

Μονάδες (1)

ΘΕΜΑ 4

ο

Ένα αυτοκίνητο διανύει μια απόσταση με σταθερή ταχύτητα 120 χιλιομέτρων την ώρα σε 50 λεπτά. α) Πόσο πρέπει να αυξήσει τη ταχύτητά του ώστε να διανύσει την ίδια απόσταση σε 40 λεπτά; Μονάδες (2,5)

β) Πόσο πρέπει να μειώσει την αρχική του ταχύτητα (των 120 χιλ. την ώρα) για να διανύσει τη συγκεκριμένη απόσταση σε 1 ώρα; Μονάδες (2,5)

33

34


Κεφάλαιο 7 – Μέρος Α΄ Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Διάρκεια: 1 ώρα και 30’

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: Απόλυτη τιμή ενός αριθμού, ονομάζεται η …………………….…..….. του σημείου που παριστάνεται στον άξονα από τον αριθμό αυτόν, από το σημείο ……… . Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού α, συμβολίζεται με …….. και δεν μπορεί να είναι ………………….……. αριθμός. Από δύο αρνητικούς αριθμούς μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει την ……..…………... απόλυτη τιμή. Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς αφαιρούμε από τη μεγαλύτερη …….......……… τιμή, την ……………..……… και στο άθροισμα βάζουμε το πρόσημο του …….……………… με την ……………………………. απόλυτη τιμή. Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους αριθμούς πολλαπλασιάζουμε τις ……………. και στο γινόμενο βάζουμε πρόσημο …… . Μονάδες 1,8 (9x0,2)

Β. Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: 1. Ποιο είναι το πρόσημο δύο ρητών αριθμών που έχουν αρνητικό άθροισμα και θετικό πηλίκο; 35

2. Υπάρχουν αριθμοί που να είναι συγχρόνως αντίθετοι και αντίστροφοι; 3. Το γινόμενο πέντε ρητών αριθμών είναι αρνητικό. Να γράψετε όλες τις δυνατές περιπτώσεις για τα πρόσημα των παραγόντων του. Μονάδες 1,2 (3x0,4)

Γ. Θεωρούμε ένα γινόμενο πολλών παραγόντων. Ν’ αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα κατάλληλα στοιχεία της στήλης Β: ΣΤΗΛΗ Α

ΣΤΗΛΗ Β

1. Ένας παράγοντας είναι 0

α. Το γινόμενο είναι αρνητικό

2. Το πλήθος των αρνητικών παρα- β. Το γινόμενο είναι θετικό γόντων είναι άρτιο 3. Το πλήθος των αρνητικών παρα- γ. Το γινόμενο είναι μηδέν γόντων είναι περιττό Α

1

2

3

Β Μονάδες 1

α με τους όρους του α και β να είναι ετερόσημοι αριθβ μοί. Ανάλογα αν τα παρακάτω είναι σωστά ή λάθος, να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις ως Σωστή, επιλέγοντας Σ ή ως Λανθασμένη επιλέγοντας Λ:

Δ. Θεωρούμε το πηλίκο:

Σ

Λ

1. το β μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή 2. το πηλίκο αυτό είναι η λύση της εξίσωσης αx = β 3. είναι ο αντίστροφος του αριθμού 4.

β α

α >0 β

5. λέγεται και λόγος του α προς το β Μονάδες 1 (5x0,2)

36

ΘΕΜΑ 2

ο

Α. Να συμπληρώσετε τον πίνακα:

Αριθμός α

Αντίθετος του α

Απόλυτη τιμή του α

Απόσταση του α στον άξονα από το Ο

+ 12,64 + 104,23

−16 3 0 Μονάδες 2 (4x0,5)

Β. Ν’ αντιστοιχίσετε την κάθε παράσταση της στήλης Α με την ίση της χωρίς τις παρενθέσεις της στήλης Β: ΣΤΗΛΗ Α 1. 2. 3. 4. 5. 6. Α Β

ΣΤΗΛΗ Β

( + 2) + ( –3) – ( + 3) – (–2) – (–3) + ( + 3) – ( + 2) – ( + 3) + (–3) (–2 + 3 + 3) – (–2 + 3 – 3) + ( – 2 + 3 – 3) 1

2

Α. Β. Γ. Δ. Ε. Στ. 3

4

–2 – 3 – 3 2+3+3 2–3–3 –2 + 3 + 3 –2 + 3 – 3 2–3+3 5

6 Μονάδες 3 (6x0,5)

ΘΕΜΑ 3

ο

Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Αν ⏐α⏐ = 2, τότε ο αριθμός α: Α. ισούται μόνο με + 2 Β. ισούται μόνο με – 2 Γ. ισούται με + 2 ή με – 2 Δ. δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός 37

2. Αν ⏐α⏐= – 3, τότε ο αριθμός α: Α. ισούται μόνο με + 3 Β. ισούται μόνο με – 3 Γ. ισούται με + 3 ή με – 3 Δ. δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός α 3. Η σωστή σειρά των αριθμών από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο είναι η: 3 1 Α. – 8,64 < − < – 1000 < 0 < < + 4 < 100 2 5 3 1 Β. – 1000 < – 8,64 < − < 0 < < + 4 < 100 2 5 3 1 Γ. –1000 < − < – 8,64 < 0 < < + 4 < 100 2 5 3 1 Δ. –1000 < − < – 8,64 < < 0 < + 4 < 100 2 5 4. Ο αντίθετος του αντιστρόφου του − Α. −

5 3

Β. +

5 3

Γ. −

3 5

3 είναι ο: 5 3 Δ. + 5

5. Αν οι ρητοί αριθμοί α,β είναι ετερόσημοι με ⏐α⏐=⏐β⏐ Τότε: Α. α = β Β. α > β Γ. α + β = 0 Δ. α · β = 1 6. Αν 5 <⏐x⏐< 8, τότε οι ακέραιες τιμές που μπορεί να πάρει ο αριθμός x είναι: Α. 4 Β. 5 Γ. 6 Δ. 7 Μονάδες 3 (6x0,5)

Β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα:

α

β

–5

+7

1 3 −1 +2

1 3 −4 − −3

α+β

α–β

α·β

α:β

−

Μονάδες 2

38

ΘΕΜΑ 4

ο

Α. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε να προκύπτουν αληθείς ισότητες: 1) (

8) · (–2) · (– 1) = + 16

2) [(– 5) · (

3)] : [( + 1) · (– 1)] = –15

3) (– 4) – (

5) = +

4) ( + 3) ·

· (– 1) · 5 = 0

5) 5 – 8 + 2 – 6) (7 – 10) · 7)

= – 20 = – 12

2 : ( − ) =5 3 Μονάδες 2,1 (7x0,3)

B. 1. Nα υπολογίσετε τους αριθμούς: 4 4 α = −3 − + 4 + 10,2 + − 3 − 10,2 3 3 ( −1)( +3)( −4) β=− −6 −18 γ= 4 − ( +10) Μονάδες 1,2 (3x0,4)

2. Με τις τιμές που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να υπολογίσετε τη τιμή του κλάσματος: α − β ⋅ (α + 2γ) Α= (β − α) ⋅ (α − 2β) Μονάδες 1

3. Να λύσετε την εξίσωση: Α : x=⏐α⏐–⏐β⏐–⏐γ⏐, όπου Α, α, β και γ οι τιμές που υπολογίσατε στα προηγούμενα ερωτήματα. Μονάδες 0,7

39

40


Κεφάλαιο 7 – Μέρος Α΄ Δυνάμεις ρητών Αριθμών Διάρκεια: 1 ώρα και 30’

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: 1. Αν ν φυσικός αριθμός, ν > 1, η δύναμη αν διαβάζεται και ……………………… και ισούται με ………………….…….. . Η δύναμη α2 διαβάζεται και ………………………….. . Όταν λέμε α στον κύβο εννοούμε την δύναμη ….. . 2. α1 = ……. αο = ……., όταν α ≠ 0 α–ν = ……, όταν α ≠ 0 3. Αν α > 0 τότε αν …..0 Αν α < 0 και αν < 0 τότε ο εκθέτης ν είναι ………… Αν α < 0 και αν > 0 τότε ο εκθέτης ν είναι ………… 4. αμ · αν = …….. 5. αμ : …… = αμ–ν, α ≠ 0 6. αν · βν = …….

41

7. Για να υψώσουμε ένα γινόμενο σ’ έναν εκθέτη υψώνουμε κάθε ……………………… ………...…………………………….. . .....

........ ⎛ α ⎞ =⎜ 8. ⎟ βν ⎝ ...... ⎠

9. Για να υψώσουμε ένα πηλίκο σ’ έναν εκθέτη υψώνουμε κάθε ………………………. ………...…………………………….. .

( )

10. α.....

.....

= ........

μ⋅ν

Μονάδες 2,5 (10x0,25)

Β. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή, επιλέγοντας Σ ή ως Λανθασμένη επιλέγοντας Λ. Σ 5

3

Λ

2

1. x : x = x 2. x–5 = – x5 3. x3 · x4 = x12 4. (x3)2 = x5 5. (–x)4 = x4 Μονάδες 2,5 (5x0,5)

ΘΕΜΑ 2

ο

Α. Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Αν α, β αντίθετοι τότε (α + β)2008 ισούται με: Α. 1 Β. α + β Γ. 0 Δ. 2008 2. Αν (α · β)3 < 0, τότε: Α. α, β ομόσημοι Β. α, β ετερόσημοι Γ. α, β αντίστροφοι Δ. α = β = 0 3. Η τιμή της παράστασης Α=(– 1)0 + (– 1)1 + (– 1)2 + (– 1)3 ισούται με: Α. 0 Β. 1 Γ. 2 Δ. 3 42

4. Η λύση της εξίσωσης x : 1014 = 1010 είναι: Β. 102 Γ. 1014 Δ. 1024 Α. 10–2 5. Η λύση της εξίσωσης: 0,00001 · x = 107 είναι: Β. 1012 Γ. 1013 Δ. 1014 Α. 1011 Μονάδες 2,5 (5x0,5)

Β. Να αντιστοιχίσετε τις εξισώσεις της στήλης Α με τις τιμές του εκθέτη ν της στήλης Β: ΣΤΗΛΗ Α ισότητα

ΣΤΗΛΗ Β τιμή του ν

1. 2ν = 1 1 2. 2ν = 4 3. ( – 2)ν = – 8 4. ( – 2)ν = 16 5. (2ν)3 = 64 Α

1

Α. ν = – 2 Β. ν = 0 Γ. ν = 2 Δ. ν = 3 Ε. ν = 4 2

3

4

5

Β Μονάδες 2,5 (5x0,5)

ΘΕΜΑ 3

ο

Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση: προτεινόμενες τιμές

παράσταση 3

Α

Β

Γ

1

3 34

1 3

3

9

2

– 32 + (– 3)2

–3

–1

0

3

23 · 2

2

23

24

4

84 43 − 4 4 23

4

8

12

43

5

– (– 3)0

6

⎛2⎞ ⎜3⎟ ⎝ ⎠

−4

7

(5–6)2

8

66 ⋅ 6 2 ( −3)8

9

⎛ 1⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜2⎟ ⋅⎜2⎟ ⋅⎜3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10

Αν ν άρτιος (– 1)ν + 1ν

3

–1

3

3

1

3

−

81 16

16 81

81 16

−

1 512

1 54

1 512

26

28

68

27 64

1

64 27

–2

0

2 Μονάδες 5 (10x0,5)

ΘΕΜΑ 4

ο

Α. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: x = – 24 + 2 · (– 3)2 – [23 – (– 3)3] : 7 B. Στη συνέχεια με την τιμή που βρήκατε να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: Α= 9 · xx + 1 – 2 · x2 + 18 · xx + 3 Μονάδες 5 (2x2,5)

44


Κεφάλαιο 1 – Μέρος Β΄ Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Διάρκεια: 1 ώρα και 30’

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: 1. Η ημιευθεία που έχει για αρχή την κορυφή μιας γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες ονομάζεται …………………………… της γωνίας . 2. Κάθε γωνία που είναι μικρότερη από την ορθή λέγεται ………………… . Αμβλεία ονομάζεται η κυρτή γωνία που είναι ………………….……… από την ορθή. Το μέτρο της είναι μεγαλύτερο από …….. μοίρες και μικρότερο από ……. μοίρες. 3. Δύο γωνίες που έχουν κοινή κορυφή και οι πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες λέγονται ………………………………. . Οι γωνίες αυτές είναι ………………….…… . 4. Παράλληλες ονομάζονται δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που ……………………….... . Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που δεν είναι παράλληλες υποχρεωτικά ……………. και το κοινό τους σημείο λέγεται σημείο …………………… . 5. Το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ λέγεται και ………………………..……. του σημείου Α από το ………… . Μονάδες 2,5 (5x0,5)

45

Β. Στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε Σ αν είναι σωστές ή Λ αν είναι λανθασμένες:

1. Στο σχήμα οι γωνίες α και β είναι κατακορυφήν

Σ

Λ

και ΑΒΔ είναι εφεξής 2. Στο σχήμα οι γωνίες ΑΒΓ

3. Η διχοτόμος μιας γωνίας τη χωρίζει σε δύο εφεξής γωνίες 4. Δύο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες έχουν τις μη κοινές πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες 5. Η παραπληρωματική γωνία μιας οξείας γωνίας είναι αμβλεία 6. Δύο συμπληρωματικές γωνίες είναι οξείες 7. Δύο γωνίες που έχουν τις παραπληρωματικές τους γωνίες ίσες είναι και αυτές ίσες 8. Μια μη κυρτή γωνία είναι αμβλεία 9. Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου μπορεί να μην τέμνονται αλλά και να μην είναι παράλληλες 10. Δύο τεμνόμενες ευθείες μπορούν να είναι κάθετες σε μια άλλη ευθεία Μονάδες 2,5 (10x0,25)

46

ΘΕΜΑ 2

ο

Α. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με το κατάλληλο στοιχείο της στήλης Β:

ΣΤΗΛΗ Α

ΣΤΗΛΗ Β Α.

1. οξεία γωνία

Β.

2. αμβλεία γωνία

Γ. 3. ορθή γωνία

Δ.

4. μη κυρτή γωνία

Ε. 5. ευθεία γωνία

47

Στ.

6. παραπληρωματικές γωνίες

Ζ.

7. συμπληρωματικές γωνίες

Η.

8. κατακόρυφην γωνίες

Θ.

9. διαδοχικές γωνίες

Α

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Β Μονάδες 1,8 (9x0,2)

48

B. Nα υπολογίσετε το x σε κάθε περίπτωση: 1. ΑΒ = 12cm Μ το μέσο του ΑΒ Ο το μέσο του ΑΜ x = …… 2.

x= …....

3. x= ….... 4.

x= ….... Μονάδες 3,2 (4x0,8)

ΘΕΜΑ 3

ο

A. Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 1. Η απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε, είναι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος: Α. ΑΒ Β. ΑΓ Γ. ΑΔ Δ. ΑΕ 49

2. Τα 3/10 μιας πλήρους γωνίας είναι: Β. 98ο Γ. 102ο Δ. 108ο Α. 54ο 3. Οι προσκείμενες γωνίες στη πλευρά ΑΒ του τριγώνου ΑΒΓ στο σχήμα είναι: l και η Β l Α. η Α l και η Γ Β. η Α l και η Γ Γ. η Β l ,η Β l και η Γ Δ. η Α

4. Η παραπληρωματική μιας γωνίας είναι τριπλάσια από τη συμπληρωματική της, η γωνία είναι: Β. 65ο Γ. 90ο Δ. 120ο Α. 45ο

5. Το μέτρο μιας γωνίας ισούται με τα 2/5 μιας ευθείας γωνίας. Η συμπληρωματική της ισούται με: Β. 18ο Γ. 72ο Δ. 108ο Α. 8ο Μονάδες 2,5 (5x0,5)

l . Β. Στο σχήμα η ευθεία ε είναι διχοτόμος της γωνίας xOy Να υπολογίσετε τις γωνίες α , β , γ και δ δικαιολογώντας την απάντησή σας.

Μονάδες 2,5

ΘΕΜΑ 4

ο

Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: 1. Μία επίκεντρη γωνία έχει την κορυφή της ………….……….…………….…………….…... . 2. Το μέτρο της επίκεντρης γωνίας ισούται με το μέτρο του αντίστοιχου ………………. . Μονάδες 0,5 (2x0,25)

50

Β. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: Σ

Λ

ο

1. Δύο τόξα 70 είναι πάντοτε ίσα 2. Ο κύκλος είναι το αντίστοιχο τόξο πλήρους επίκεντρης γωνίας Μονάδες 0,5 (2x0,25)

Γ. Θεωρούμε κύκλο (Ο,2cm). Με x ονομάζουμε την απόσταση μιας ευθείας ε από το κέντρο Ο του κύκλου. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: Απόσταση x

Ονομασία της ευθείας ε

Πλήθος κοινών σημείων ευθείας – κύκλου.

Μικρότερη των 2 cm 1 Eξωτερική του κύκλου Μονάδες 1

Δ. Να βρείτε το x σε μοίρες στις παρακάτω περιπτώσεις:

1.

x = ……

2.

x = ……

51

3.

x = ……

4.

x = ……

5.

x = ……

Μονάδες 1,5 (5x0,3)

l = 50ο και ΟΔ, ΟΕ διχοτόμοι των γωνιών ΒΟΓ l και E. Στο σχήμα η γωνία ΒΟΓ l αντίστοιχα. Πόσες μοίρες είναι το τόξο ΕΔ p; AΟΓ

Μονάδες 1,5

52


Κεφάλαιο 2 – Μέρος B΄ Συμμετρία Διάρκεια: 1 ώρα και 30’

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. Να συμπληρώσετε τα κενά: 1. Τα συμμετρικά σχήματα, τόσο ως προς ευθεία, όσο και ως προς σημείο είναι ....... . 2. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος λέγεται η ευθεία που είναι ........................... προς αυτό και διέρχεται από το .................. . Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος ............................... από τα άκρα του. 3. Δύο σημεία Α και Α΄ είναι συμμετρικά ως προς σημείο Ο, όταν το Ο είναι ............... ................................................................... . Μονάδες 1,5 (3x0,5)

53

Β. Να συμπληρώστε τον πίνακα όπως το παράδειγμα:

Σχήμα

Ευθύγραμμο Τμήμα

Άξονες συμμετρίας 2

Ευθείες που είναι άξονες συμμετρίας 1. Η ευθεία του ευθυγράμμου τμήματος. 2. Η μεσοκάθετος.

Κέντρα συμμετρίας 1

Σημεία που είναι κέντρα συμμετρίας Το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος.

Γωνία Ισοσκελές τρίγωνο Ισόπλευρο τρίγωνο Παραλληλόγραμμο Ορθογώνιο Ρόμβος Τετράγωνο Κύκλος Μονάδες 3,5

ΘΕΜΑ 2

ο

Α. Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων να τοποθετήσετε τα σημεία Α(1,3), Β(2,0), Γ(0,4), M(4,4) και στη συνέχεια να συμπληρώσετε τον πίνακα:

Σημείο

Συμμετρικό ως προς το σημείο Μ

Συμμετρικό ως προς τη διχοτόμο ε της γωνίας l xOy

Α(1,3) Β(2,0) Γ(0,4) M(4,4) Μονάδες 2,5

54

Β. Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα 3 cm και χορδή του ΑΒ = 4cm. Να σχεδιάσετε τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ η οποία θα τέμνει τον κύκλο στα σημεία Γ και Δ (Γ στο μεγάλο τόξο ΑΒ). α) Να δικαιολογήσετε γιατί η μεσοκάθετος ΓΔ διέρχεται από το κέντρο του κύκλου Ο. β) Να δικαιολογήσετε γιατί το σημείο Κ που είναι συμμετρικό του Α ως προς το Ο, είναι σημείο του κύκλου. γ) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΓΒ; l . p = 40ο να υπολογίσετε τη γωνία BOK δ) Αν το τόξο AΔ Μονάδες 2,5

ΘΕΜΑ 3

ο

Α. Να συμπληρώσετε τα κενά:

1. Δυο παράλληλες ευθείες που τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν εντός εναλλάξ γωνίες και εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες που είναι .............. . Μονάδες 1

2. Οι γωνίες β και Οι γωνίες γ και

λ λέγονται .............................. . λ λέγονται .............................. .

Τα ζευγάρια των εντός εναλλάξ γωνιών είναι: ......., ....... και ……..., ......... . Αν ε // ζ, τότε α =............. Αν ε // ζ, τότε δ + κ = ............ Αν γ = κ , τότε οι ευθείες ε και ζ είναι ............. . Μονάδες 1

55

Β. Στο σχήμα οι ευθείες ε και ζ είναι παράλληλες. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: γωνία

Μέτρο γωνίας

ν κ

120ο

λ μ

α β γ δ Μονάδες 2

Γ. Στο παρακάτω σχήμα να εξηγήσετε γιατί η ΑΒ είναι παράλληλη της ΓΔ:

Μονάδες 1

ΘΕΜΑ 4

ο

Α. Στο σχήμα είναι ζ//η. Να υπολογίσετε τις γωνίες που είναι σημειωμένες .

Μονάδες 1,5

56

l B, l του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. l Γ l και Δ Β. Να υπολογίσετε τις γωνίες Α,

Μονάδες 1,5

Γ. Στο σχήμα η//ζ και η γωνία μ, λ, ν. κ,

l είναι ορθή. Να υπολογίσετε τις γωνίες ΒΑΓ

Μονάδες 2

57

58


Κεφάλαιο 3 – Μέρος B΄ Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια Διάρκεια: 1 ώρα και 30’

ΘΕΜΑ 1

ο


1. Τα κύρια στοιχεία του τριγώνου είναι ...................................................... ενώ τα δευτερεύοντα είναι .................................................... . 2. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με ............ μοίρες. 3. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο οι οξείες του γωνίες είναι ……............................. . 4. Το τρίγωνο που έχει …...... πλευρές ................. λέγεται ισοσκελές. Οι γωνίες που είναι προσκείμενες στη βάση του είναι ...................... . Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση του είναι ………………......... και .................................. .

5. Στο ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι πλευρές του είναι ................... . Κάθε του γωνία είναι ........... μοίρες. Κάθε διάμεσός του είναι .......................... και ………….……........... . Μονάδες 2 (5x0,4)

59

Β. Με τη βοήθεια του παρακάτω σχήματος ν’ αντιστοιχίσετε τα στοιχεία των δύο στηλών: ΑΗ • ΑΔ • ΑΜ •

• διάμεσος • διχοτόμος • ύψος Μονάδες 1

Γ. Να επιλέξετε Σ αν η πρόταση είναι σωστή ή Λ αν είναι λανθασμένη :

l λέγεται εξωτερική της γωνίας φ l 1. Η γωνία ω l και 90ο είναι συμπληρωματικές 2. οι γωνίες φ

Σ

Λ

l = 90ο + ψ 3. ω l =φ l +ψ 4. ω Μονάδες 2 (4x0,5)

ΘΕΜΑ 2

ο

l B, l Γ l έχουμε δείξει τις γωνίες τυχαίΑ. Να συμπληρώσετε τον πίνακα όπου με Α,

ου τριγώνου ΑΒΓ, όταν αυτό υπάρχει. l Α

l B

80ο 110ο 60ο

40ο

92ο 45ο 52ο

60ο 40ο 45ο 100ο

l Γ

ΥΠΑΡΧΕΙ ΤΕΤΟΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ;

Είδος τριγώνου ως προς τις γωνίες του

Είδος τριγώνου ως προς τις πλευρές του

75ο 30ο 60ο

40ο 52ο Μονάδες 1,4

60

Β. Σε κάθε περίπτωση να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας x.

1.

x = ….... 2.

x = ….... 3.

x = ….... 4.

x = ….... 5.

x = …....

61

6.

x = ….... Μονάδες 3,6 (6x0,6)

ΘΕΜΑ 3

ο

l είναι τα 2/5 της ορθής γωνίας και η γωνία B l είναι Α. Σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α l . Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο και ισοσκελές. τριπλάσια της γωνίας Γ Μονάδες 2,5

Β. Στο σχήμα οι ευθείες ε και ζ είναι παράλληλες. Να υπολογίσετε τις γωνίες γ και δ . β, α,

Μονάδες 2,5

Α. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ Α ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

ΣΤΗΛΗ Β ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Ορθογώνιο •

• Τραπέζιο με τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες.

•

• Παραλληλόγραμμο με όλες τις γωνίες του ορθές.

Τραπέζιο Ισοσκελές τραπέζιο

• Οι διαγώνιες του είναι ίσες και κάθετες. • • Μόνο οι δύο απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες.

Ρόμβος

• • Παραλληλόγραμμο με όλες τις πλευρές του ίσες.

Τετράγωνο • Μονάδες 2,5 (5x0,5)

62

Β. Να γράψετε τους ομόκεντρους κύκλους (Ο,2cm) και (Ο,4cm). Να φέρετε ΑΒ τη διάμετρο του μικρού κύκλου και ΓΔ τη διάμετρο του μεγάλου κύκλου χωρίς να βρίσκονται όμως στην ίδια ευθεία. Να χαράξετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ, ΓΒ, ΒΔ, ΔΑ. Τι σχήμα είναι το τετράπλευρο ΑΓΒΔ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 2,5

63

64

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11ο Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη Διάρκεια: 2 ώρες

ΘΕΜΑ 1

ο


1. Όταν πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε τους όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο φυσικό αριθμό ≠ 0 προκύπτει .................................. κλάσμα. 2. Τα ομώνυμα κλάσματα έχουν ................... παρονομαστές. Τα κλάσματα που δεν είναι ομώνυμα λέγονται ........................................... . 3. Το κλάσμα του οποίου οι όροι είναι επίσης κλάσματα λέγεται ....................... κλάσμα. 4. Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού και ενός κλάσματος λέγεται .................. αριθμός. 5. Αντίθετοι λέγονται δύο αριθμοί που έχουν την ίδια ........................................... αλλά διαφορετικό ............................ . 6. Για να αφαιρέσουμε δύο ρητούς αριθμούς προσθέτουμε στον μειωτέο τον ............................. του ......................................... Δηλαδή: α – β = α + .......... . 7. Για να διαιρέσουμε δύο ρητούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον ............................. του ......................................... Δηλαδή: α : β = α · …… . 8. Μια δύναμη με βάση αριθμό ≠ 0 και εκθέτη αρνητικό αριθμό είναι ίση με κλάσμα που έχει αριθμητή ...................... και παρονομαστή τη δύναμη του ίδιου αριθμού με τον ...................... εκθέτη. Δηλαδή: α–ν = ....... . Μονάδες 2,4 (8x0,3)

65

Β. Ν’ απαντήσετε στις επόμενες ερωτήσεις βάζοντας ΝΑΙ ή ΟΧΙ στο αντίστοιχο πλαίσιο:

1. Από δύο ομώνυμα κλάσματα μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει το μικρότερο αριθμητή;

2.

α+ λ = α; λ

3.

α β α+β + = ; γ δ γ+δ

4. Ένας θετικός αριθμός είναι τοποθετημένος στον άξονα των ρητών δεξιότερα από κάθε αρνητικό;

5. Για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα αυτά πρέπει να είναι ομώνυμα;

6. Η εξίσωση που δεν έχει λύση λέγεται ταυτότητα ή αόριστη; 7. Δύο ρητοί με θετικό πηλίκο μπορεί να είναι αντίθετοι; 8. Η μόνη περίπτωση μια δύναμη να είναι θετικός αριθμός, είναι η βάση της να είναι θετικός αριθμός;

9. Για να υψώσουμε μια δύναμη σ’ έναν εκθέτη υψώνουμε τη βάση της στο γινόμενο των εκθετών;

10. Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο αποτέλεσμα βάζουμε πάντα τo πρόσημο + ;

11. Αν α, β αντίθετοι αριθμοί, τότε α2 = β2; 12. Ο αριθμός 12345 διαιρείται συγχρόνως με το 3, το 5 και το 9; 13. Αν x = 4, τότε |x – 4| + |2 – x| + |x + 2| = 6; Μονάδες 2,6 (13x0,2)

66

ΘΕΜΑ 2

ο

Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

1. Οι μοναδικοί ακέραιοι αριθμοί α, β με α · β = 1 είναι οι: Α. α = 1 και β = 1 Β. α = 0,5 και β = 2 Γ. α = +1 και β = +1 ή α = −1 και β = −1 Δ. δεν υπάρχουν τέτοιοι ακέραιοι αριθμοί 2. Οι αριθμοί 120 και 350 όταν αναλυθούν σε γινόμενο πρώτων παραγόντων γράφονται: 120 = 23 · 3 · 5 και 350 = 2 · 52 · 7 Τότε ο Μ.Κ.Δ.(120,350) είναι: Α. 2 · 5 Β. 23 · 3 · 5 Γ. 22 · 3 · 52

Δ. 23 · 3 · 5 · 7

Το Ε.Κ.Π.(120,350) είναι: Α. 2 · 5 Β. 23 · 3 · 5 Γ. 22 · 3 · 52

Δ. 23 · 3 · 52 · 7

3. Σε ποια από τις παρακάτω παραστάσεις μπορούμε ν’ απαλείψουμε τις παρενθέσεις χωρίς να βλάψουμε τη τιμή της: Α. (12 – 5) · 2 Β. 3 · (4 · 5 – 6 : 7) Γ. 2 – (4 + 7 – 32) Δ. 7 + (2 · 5)+(3 : 4) 4. Έχουμε ένα τετράγωνο πλευράς 5cm. Αν διπλασιάσουμε τη πλευρά του, κατά πόσο τοις εκατό(%) θα αυξηθεί η περίμετρός του; Α. 100% Β. 200% Γ. 300% Δ. 400% α 3α + 5β = 2 , η τιμή της παράστασης ισούται με : β β Α. 3 Β. 5 Γ. 8 Δ. 11

5. Αν

6. Το τετράπλευρο του σχήματος είναι παραλληλόγραμμο, τότε η τιμή του x είναι ίση με :

Α. x = 2 B. x = 3 Γ. x = 4 Δ. x = 5

67

7. Το αποτέλεσμα των πράξεων ποιας παράστασης ισούται με – 1; ( −1) ⋅ ( −2) ⋅ ( −3) Α. −6 −2 + ( −1) ⋅ ( −3) Β. ( −3) ⋅ 2 + 5 −6 +4 −8 Γ. − + 3 −2 −4 Δ. 52 − 4 ⋅ 5 − 30 : 15 λ του 36 είναι 12, τότε : ν Α. λ = 2 και ν = 12 Β. λ = 2 και ν = 3 Γ. λ = 1 και ν = 3 Δ. λ = 2 και ν = 4

8. Τα

9. Αν (–2) · (–3) · (+4) · κ · (–2)> 0, τότε: Α. κ > 0 Β. κ < 0 Γ. κ = 0

Δ. Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε το κ.

10. Η σωστή διαδικασία για τον υπολογισμό της αριθμητικής παράστασης Α = 10 – 2·32 είναι: Α. 10 − 2 ⋅ 9 = 8 ⋅ 9 = 72 Β. 10 − 62 = 10 − 36 = −26 Γ. 10 − 2 ⋅ 9 = 10 − 18 = −8 Δ. (10 − 2 ⋅ 3)2 = (10 − 6)2 = 42 = 16 Μονάδες 2,4 (10x0,24)

B. 1. Σε μια Ευκλείδεια διαίρεση ο διαιρέτης είναι 5 και το πηλίκο είναι ίσο με το διαιρέτη. Να βρείτε τις δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ο διαιρετέος συμπληρώνοντας τον πίνακα:

υπόλοιπο πηλίκο διαιρέτης

5

5

5

5

5

Διαιρετέος Μονάδες 1,3

68

2. Με τη βοήθεια της μεταβλητής x να συμπληρώσετε τον πίνακα:

πρόβλημα

εξίσωση

λύση

Δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα 15 Από το πενταπλάσιο ενός αριθμού αφαιρούμε 2 και βρίσκουμε διαφο3 7 ρά 3 Διαιρούμε το 4 με έναν αριθμό και βρίσκουμε πηλίκο 2–5 Μονάδες 1,3

ΘΕΜΑ 3

ο

7 2 5 5 + 4 ⋅ και y = − (3 − ) 3 3 4 2 και να γράψετε τον αριθμό x στην ακέραια μορφή του.

Α. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: x =

Μονάδες 2

Β. Χρησιμοποιώντας τις τιμές που βρήκατε στο Α ερώτημα να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης y2 : x–2. Μονάδες 1

Γ. Από τους 20 μαθητές μιας τάξης το x% πήρε σ’ ένα μάθημα βαθμολογία κάτω y από τη βάση, ενώ τα της τάξης πήρε άριστα. (Οι αριθμοί x και y έχουν προx κύψει από το Α. ερώτημα). Να βρείτε: i. Πόσοι μαθητές πήραν βαθμό κάτω από τη βάση. ii. Το ποσοστό τοις εκατό (%) που πήρε άριστα. Μονάδες 2

69

ΘΕΜΑ 4

ο

Στο σχήμα ΑΒ//ΓΕ και το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση ΒΓ. Η γωνία Α του τριγώνου ΑΒΓ ισούται σε μοίρες με την αριθμητική τιμή της παράl = (2 3 − 2 ⋅ 7) 2 − [(2 3 − 2 2 ) : 2 − 6] ⋅ 5 μοίρες. στασης: A l φ l και l Να υπολογίσετε τις γωνίες ω, x.

Μονάδες 5

70

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12ο Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη Διάρκεια: 2 ώρες

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. Να βρείτε το x σε κάθε περίπτωση:

1.

2 ⋅3⋅x = 3 , 7

3. (6 ⋅ x) : 9 = 0 ,

x = .....

2. ( −1)( −2)( −3) ⋅ x + ( −1)( −2)( −3)( +5) = 0 ,

x = .....

x = .....

4. (x ⋅ 3) : 3 = −1,

x⋅5 =5, 5. −3

x = .....

⎛ 3⎞ 6. ⎜ − ⎟ = 1, ⎝ 7⎠

7. 10 x = 0,0001 ,

x = .....

8. 5 ⋅ 10−2 ⋅ x ⋅ 10 −6 = 10 −7 , x = .....

10 ⋅ 104 1 = , x 10 10

x = .....

10.

9.

x = .....

x

9 = 9−1 , 2 x

x = .....

x = ..... ή x = ..... Μονάδες 2,6 (10x0,26)

71

Β. Επιλέξτε σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις Σ αν είναι σωστή ή Λ αν είναι λάθος: Σ

Λ

1. Το άθροισμα μιας ευθείας και μιας οξείας γωνίας είναι μια αμβλεία γωνία. 2. Το διπλάσιο μιας ευθείας γωνίας είναι μια πλήρης γωνία. 3. Υπάρχει τρίγωνο με μια οξεία, μια ορθή και μια αμβλεία γωνία. 4. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο μπορεί να είναι και ορθογώνιο. 5. Στο σχήμα το συμμετρικό του ΑΒ ως προς την ευθεία ε είναι το ίδιο το τμήμα ΑΒ.

6. Υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο με μια γωνία της βάσης του αμβλεία. 7. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου ισούται με 180ο. 8. Στο ισοσκελές τρίγωνο κάθε διάμεσός του είναι ύψος και διχοτόμος. Μονάδες 2,4 (8x0,3)

ΘΕΜΑ 2ο Α. Με τη βοήθεια του σχήματος να συμπληρώσετε τα κενά όταν δίνεται ότι η γωl =40ο: νία ΖΟΕ l ονομάζεται ...................................... γωνία. 1. Η γωνία AOB o είναι το αντίστοιχο τόξο της γωνίας ................... 2. Το τόξο ΓΔ p = …....... μοίρες. 3. Το τόξο ΖΕ p = ........... μοίρες. 4. Το τόξο ΔΗ p και ΓΔ o είναι και τα δύο......... μοιρών, όμως δεν 5. Τα τόξα ΑΒ είναι ........................... γιατί δεν είναι τόξα .......................... κύκλου ή ........................ κύκλων. Μονάδες 1,5 (5x0,3)

72

Β. Να συμπληρώσετε τον πίνακα τοποθετώντας ένα + στην κατάλληλη θέση: ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΩΝ ΤΟΥ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΜΗΣ ΕΙΝΑΙ ΚΕΝΤΡΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΠΑΡΑΛ/ΓΡΑΜΜΟ

ΕΙΝΑΙ ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΙΣΕΣ

ΚΑΘΕΤΕΣ

ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ ΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ

+

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΡΟΜΒΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Μονάδες 1,5 (5x0,3)

Γ. Σχήμα ΑΒ//ΓΕ.

Να σημειώσετε: α. Τα ευθύγραμμα τμήματα. β. Τα ζεύγη των αντικείμενων ημιευθειών. γ. Τα ζεύγη των γωνιών που είναι κατακορυφήν, παραπληρωματικές και εντός εναλλάξ. δ. Να υπολογίσετε τη γωνία x. Μονάδες 2 (4x0,5)

ΘΕΜΑ 3

ο

l=Γ l = 45 ο . Η μεγάλη του Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο με Δ βάση ΓΔ ισούται σε cm όσο η λύση της εξίσωσης 30:(x-2)=5, ενώ το ύψος του ΑΕ είναι σε cm όσο η λύση της εξίσωσης: −2

⎛ 1⎞ 2 · 2 · ⎜ ⎟ = Ε.Κ.Π. (2, 3, 10) + Μ.Κ.Δ. (2, 6, 10). ⎝2⎠ y

73

1. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου. 2. Να υπολογίσετε τη μικρή βάση του ΑΒ.

Μονάδες 5 (2χ2,5)

ΘΕΜΑ 4

ο

Στο σχήμα η περίμετρος του ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι 16 cm ενώ ΑΒ = x + 2 p = 140 ο . και ΑΔ = x σε cm. Το τόξο ΑΒ

1. Να υπολογίσετε τις πλευρές του ορθογωνίου. Μονάδες 2,8

2. Να υπολογίσετε τα μέτρα των γωνιών α , β , γ , δ , ε , ζ, η , θ , ι, καθώς και τα μέτρα των o και ΓΔ o. τόξων ΒΓ Μονάδες 2,2

74

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ

76

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ο Οι Φυσικοί Αριθμοί

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. 1. Ευκλείδεια διαίρεση λέγεται η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί, ο Διαιρετέος και ο διαιρέτης βρίσκονται δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί, το πηλίκο και το υπόλοιπο, ώστε να ισχύει η ισότητα Δ = δ · π + υ, με υ < δ και δ ≠ 0. Αν υ = 0 προκύπτει η ισότητα Δ = δ · π που λέγεται τέλεια διαίρεση. 2. α : 1 = α 0:α=0 α : 0 δεν ορίζεται Ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος όταν μοναδικοί του διαιρέτες είναι ο εαυτός του και η μονάδα. Κάθε αριθμός που δεν είναι πρώτος λέγεται σύνθετος. Ο μοναδικός άρτιος και πρώτος είναι το 2. Δύο φυσικοί αριθμοί α και β λέγονται μεταξύ τους πρώτοι όταν Μ.Κ.Δ. (α, β) = 1. Αν ο αριθμός α διαιρεί τον β τότε ο β είναι πολλαπλάσιο του α και ο Μ.Κ.Δ. (α, β) = α.

77

Β. πράξη

πρόσθεση


όροι ή προσθετέοι

παράγοντες

ιδιότητα

πρόσθεση


αντιμεταθετική

α+β=β+α

α · β=β · α

προσεταιριστική

α + (β + γ) = (α + β) + γ

α · (β · γ) = (α · β) · γ

α+0=0

α · 1 = α και α · 0 = 0

α · (β + γ)=α · β + α · γ

α · (β – γ) = α · β – α · γ

επιμεριστική

ΘΕΜΑ 2

ο

Α. 2 · 5 – (4 + 4) = 2, πράγματι: 2 · 5 – 8 = 10 – 8 = 2 2 · (5 – 4) + 4 = 6, πράγματι: 2 · 1 + 4 = 2 + 4 = 6 (7 – 3 + 8) · 0 = 0, πράγματι: (4 + 8) · 0 = 12 · 0 = 0 (5 + 7) : 4 – 3 = 0, πράγματι: 12 : 4 – 3 = 3 – 3 = 0 (9 + 9) : 9 + 1 = 3, πράγματι: 18 : 9 + 1 = 2 + 1 = 3 Β. Δ δ π υ

418 31 13 15

162 23 7 1

1. Δ 418

δ 31

υ=5

13 = π

2. Δ = 23 · 7 + 1 = 161 + 1 = 162 78

100 8 12 4

3. Δ = δ · π + υ, υ < δ 100 = δ · 12 + υ, υ < δ Δ 100

δ 12

υ=4

8=π

ΘΕΜΑ 3

ο

Α. 1. Γ 2. Γ, γιατί 7 · 10.000 + 3 · 100 + 1 = 70.000 + 300 + 1 = 70.301. 3. Β, γιατί: Α) 5 + 4 = 9, Β) 5 · 4 = 20, Γ) 0 + 4 = 4, Δ) 0. 4. Δ 3 ν 3 ν 5. Β, γιατί: x – x = 0 ή x = x , άρα ν = 3. 6. Γ, γιατί περιέχονται οι αριθμοί: 11, 13, 17, 19, 23, 29. 7. Δ, πρέπει υ <5, υ φυσικός, οπότε υ = 0 ή 1 ή 2 ή 3 ή 4. 8. Δ, γιατί υ = 11, δ = 10 (ή 8) και υ > δ. Β. Στήλη Α αριθμός Παρατήρηση: 3062 6201 9600 4365 2004 3600

ΘΕΜΑ 4

Η συμπλήρωση των κενών με τα ψηφία που λείπουν είναι ενδεικτική. Υπάρχουν και άλλοι συνδυασμοί.

ο

Α. x = 13 · 2 = 26 y = 1 + 16 + 81 = 98 ω = (8 + 10) : 32 + (15 – 15)5 = 18 : 9 + 05 = 18 : 9 + 0 = 2 + 0 = 2 x + y + ω = 26 + 98 + 2 = 126 = 2 · 32 · 7 79

Β. 3 3 6 = 2 · 3, 8 = 2 άρα Ε.Κ.Π. (6, 8) = 3 · 2 = 3 · 8 = 24, α = 24 2 45 = 3 · 5, 60 = 22 · 3 · 5, 2 75 = 3 · 5 , άρα Μ.Κ.Δ. (45, 60, 75) = 3 · 5 = 15, β = 15 Α = (24 + 15)3 = 393 = 59.319 3 2 2 3 Β = 24 + 3 · 24 · 15 + 3 · 24 · 15 + 15 = 13.824 + 3 · 24 · 225+3 · 576 · 15 + 3.375 = = 13.824 + 16.200 + 25.920 + 3.375 = 59.319 Άρα Α = Β.

80

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ο Τα κλάσματα

ΘΕΜΑ 1

ο

Α.

α β και είναι ομώνυμα όταν γ = δ και ετερώνυμα όταν γ ≠ δ. γ δ Από δύο ομώνυμα κλάσματα μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει μεγαλύτερο αριθμητή, ενώ από δύο κλάσματα με ίσους αριθμητές μικρότερο είναι αυτό που έχει τον μεγαλύτερο παρονομαστή.

i) Τα κλάσματα

ii) Για παράδειγμα: 8 4 1 1 > < 7 7 4 3 iii) Το γινόμενο δύο κλασμάτων είναι ένα κλάσμα που έχει για αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών. α β Τα κλάσματα και λέγονται αντίστροφα και το γινόμενο τους ισούται με 1 . β α

Β. i. ii. iii. iv. v.

Λ Σ Λ Σ Σ γιατί:

α+ λ α λ α α = + = + 1 = 1+ λ λ λ λ λ

vi. Σ

81

ΘΕΜΑ 2

ο

Α. 61 48

α 4 5

β α+β

1. α + β =

41 24

5 7 ΕΚΠ(6,8)=24 5 ⋅ 4 7 ⋅ 3 20 21 41 + = + = + = 6 8 6 ⋅ 4 8 ⋅ 3 24 24 24

2. β =

22 2 20 20 : 5 4 − = = = 25 25 25 25 : 5 5

3. α =

27 5 ΕΚΠ(16,12)=48 27 ⋅ 3 5 ⋅ 4 81 20 61 − = − = − = 16 12 16 ⋅ 3 12 ⋅ 4 48 48 48

Β.

82

2 1

•

1, γιατί 2 =

•

6, γιατί

20 20 : 4 5 = = 24 24 : 4 6

•

3, γιατί

21 21: 7 3 = = 28 28 : 7 4

•

4 4 3 , γιατί x ⋅ ⋅ = x ⋅ 1 = x 3 3 4

•

6 5 6 7 , γιατί < < 11 11 11 11

•

Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ισοδύναμα με μεγαλύτερος όρους: 1 1⋅ 4 4 2 2⋅4 8 για παράδειγμα: = και = = = , 5 5 ⋅ 4 20 5 5 ⋅ 4 20 7 . άρα ένα τέτοιο κλάσμα είναι το: 20

ΘΕΜΑ 3 1. Γ:

ο

1 1 1 1 ΕΚΠ(2,4)=4 2 1 3 + = + = + = 2 22 2 4 4 4 4

1 7 2. Γ: 2 ⋅ 3 = ⋅ 3 = 7 3 3

3. Β: 3 5 + ΕΚΠ(4,3)=12 4 3 = 1 1 ΕΚΠ(2,6)=6 + 2 6

3 4 3 5 + 4 3= 3 1 1 + 2 6

9 20 29 + 12 12 = 12 = 29 ⋅ 6 = 29 3 1 4 12⋅ 4 8 + 2 6 6 6

4. Δ 5. Α, αφού x + 5 < x + 6 6. Γ, αφού 2 · (x + 3) = 2x + 6 7. Δ: 3 1 ⎛7 2⎞ + : − = 4 4 ⎜⎝ 6 3 ⎟⎠ =

3 1 ⎛ 7 2⋅2 ⎞ 3 1 ⎛ 7 4 ⎞ + : − = + : − = 4 4 ⎜⎝ 6 3 ⋅ 2 ⎟⎠ 4 4 ⎜⎝ 6 6 ⎟⎠ 1

3 1 3 3 1 1 = + : = + : = 4 4 6 4 4 2 2

=

3 1 2 3 2 5 + ⋅ = + = 4 4 1 4 4 4

ΘΕΜΑ 4

ο

Α. Αφού τα 2/3 των μαθητών της τάξης είναι 18 μαθητές το 1/3 θα είναι 18 : 2 = 9 μαθητές και τα 3/3 που είναι ολόκληρη η τάξη θα είναι 3 · 9 = 27 μαθητές.

83

Β. 2 7 1 1 13 A = [ ⋅ + (1− ) ⋅ ] : = 7 5 2 2 15 2 7 2 1 1 13 2 7 1 1 13 = [ ⋅ + ( − )⋅ ]: = ( ⋅ + ⋅ ): = 7 5 2 2 2 15 7 5 2 2 15 2 1 13 Ε.Κ .Π.(5,4)=20 2 ⋅ 4 1⋅ 5 13 = ( + ): = ( 5 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 ) : 15 = 5 4 15 8 5 13 = ( + ): = 20 20 15 13 15 15 15 : 5 3 = ⋅ = = = 20 13 20 20 : 5 4

1 1 22 1 2 22 Β = ( + 2⋅ ) : = ( + ) : = 5 5 5 5 5 5 3 4 3 5 3 = : = ⋅ = 5 5 5 4 4 Άρα Α = Β.

84

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3ο Οι Δεκαδικοί αριθμοί

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. 1. 123 : 100 = 1,23 2. 0,0574 · 1.000 = 57,4 3. 75 · 0,001 = 0,075 4. 32 : 0,01 = 3.200 5. 0,00475 · 1.000.000 = 4.750 6. 302 : 10.000 = 0,0302 7. 70.034 · 0,0001 = 7,0034 8. 5 : 10 = 0,5 9. 12 : 1.000 = 0,012 10. 11.092 : 103 = 11,092 Β. αριθμός

στρογγυλοποίηση

προσέγγιση

17,024

εκατοστό

17,02

2.749

δεκάδα

2.750

0,9156

δέκατο

0,9

304,9999

χιλιοστό

305

724.058

εκατοντάδα

724.100

476,302

μονάδα

476

50.325

χιλιάδα

50.000 85

ΘΕΜΑ 2

ο

Α. Γνωρίζουμε ότι η περίμετρος Π του ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο Π = 2 · (α + β) ή Π = 2α + 2β. Για το 1ο ορθογώνιο: Π = 2 · (3,2+8) = 2 · 11,2 = 22,4dm Για το 2ο ορθογώνιο: α = 20cm Επειδή Π = 2(α + β), έχουμε: 160 = 2(20 + β) 160 : 2 = 20 + β 80 = 20 + β β = 80 – 20 = 60cm Για το 3ο ορθογώνιο: Π = 180dm = 180:10 = 18 m Αφού Π = 2(α + β), α + β = Π : 2, α + β = 18 : 2 = 9, τότε α + β = 9 δηλαδή α + 5 = 9, άρα α = 4 m. Για το 4ο ορθογώνιο: α = 400mm = 400 : 1000 = 0,4m β = 80cm = 80 : 100 = 0,8m Π = 2 · (0,4 + 0,8) = 2 · 1,2 = 2,4m μήκος

πλάτος

περίμετρος

1 ορθογώνιο

3,2dm

8dm

22,4dm


20cm

60cm

160cm


4m

5m

180dm


400mm

80cm

2,4m

ο

B. α. 0,052m < 0,7003m < 0,703m < 2m < 2,023m < 5,23m β. Επιλέγουμε μια μονάδα μέτρησης π.χ. m και μετατρέπουμε όλες τις μονάδες σε αυτήν: 0,023km = 0,023 · 1000 = 23m 12,3m = 12,3m 86

134dm = 134 : 10 = 13,4m 1004cm = 1004 : 100 = 10,04m 11011mm = 11011 : 1000 = 11,011m Τώρα μπορούμε να τοποθετήσουμε τα μήκη αυτά από το μικρότερο στο μεγαλύτερο: 10,04m < 11,011m < 12,3m < 13,4m < 23m ή 1004cm < 11011mm < 12,3m < 134dm < 0,023km. Γ. α.

ΣΤΗΛΗ (Α)

ΣΤΗΛΗ (Β)

160 4

• 6,83333....

523 100 41 6

•

•

•

523 10000

•

•

•

•

40

0,0523

5,23

Γιατί: 160 = 160 : 4 = 40 4 523 = 523 : 100 = 5,23 100 41 = 41: 6 = 6,8333...... 6

523 = 523 : 10000 = 10000 = 0,0523

β. κλάσμα 3 5 21 25 3 800

Δεκαδικός αριθμός 3 : 5 = 0,6 21 : 25 = 0,84 3 : 800 = 0,00375

Δεκαδικό κλάσμα 6 10 84 100 375 100000

87

ΘΕΜΑ 3

ο

x = 15 + 0,02 · 103 = 15 + 0,02 · 1000 = 15 + 20 = 35 cm y = 0,2 · 2 · 100 = 0,4 · 100 = 40 cm Π = (0,1 + 0,01 + 0,001) · 1000 = 0,111 · 1000 = 111 cm ω = Π– (x + y) = 111– (40 + 35) = 111 – 75 = 36 cm.

ΘΕΜΑ 4

ο

Α = 9,62 – (23 : 0,8 + 0,52 : 0,01) = 9,62 – (8 : 0,8 + 0,25 : 0,01) = 9,62 – (10 + 25) = = 9,62 – 35 = 92,16 – 35 = 57,16. Β = (23 – 0,8 · 0,5) · 2+9,6:0,01 – (23:24)2 = (8 – 0,8 · 0,5) · 2+9,6:0,01 – (8:16)2 = = (8 – 0,4) · 2 + 9,6 : 0,01 – 0,52 = 7,6 · 2 + 9,6 : 0,01 – 0,25 = = 15,2 + 960 – 0,25 = 975,2 – 0,25 = 974,95.

88

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4ο 1. Εξισώσεις και προβλήματα 2. Τα ποσοστά

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. Από τη θεωρία του σχολικού βιβλίου έχουμε: Α

1

2

3

4

5

6

Β

γ

στ

β

α

δ

ε

Β. 1. Ένα κλάσμα είναι ίσο με το 0 όταν ο αριθμητής του είναι 0, άρα : x – 4 = 0, x = 4. Επιλέγουμε την απάντηση (β). 2. Ένα κλάσμα ισούται με 1 όταν οι όροι του είναι ίσοι, άρα έχουμε την εξίσωση: x + 12 = 20, x = 20 – 12 = 8. Επιλέγουμε την απάντηση (η). 3. Με την επιμεριστική ιδιότητα έχουμε : 2x – 6 = 8 δηλ. 2x = 8 + 6 ή 2x = 14 ή x = 14 : 2 = 7. Επιλέγουμε την απάντηση (ε). 4. Με δοκιμή βρίσκουμε ότι ο αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση αυτή είναι το x = 3. Πράγματι για x = 3 έχουμε: 12 – 2 · 3 = 7 · 3–15 ή 12 – 6 = 21 – 15 ή 6 = 6 που είναι μια αληθής ισότητα. Επιλέγουμε την απάντηση (α). 5. Με δοκιμή προκύπτει ότι η λύση είναι ο αριθμός 2 αφού : 2 −1 4 1 4 5 + = 1 , δηλ. + = 1 , δηλ. = 1, που ισχύει. Επιλέγουμε την απάντηση (ζ). 5 5 5 5 5

89

6. Κάνοντας χιαστί πολλαπλασιασμό έχουμε:

3 1 = ή 1⋅ x = 3 ⋅ 3 ή x = 9 . Επιλέγουμε x 3

την απάντηση (στ). 7. Η εξίσωση γράφεται: 0x = 0 που επαληθεύεται για όλες τις τιμές και λέγεται αόριστη ή ταυτότητα. Επιλέγουμε την απάντηση (δ). 8. Η εξίσωση γράφεται 0x = 2, που δεν έχει λύση και χαρακτηρίζεται ως αδύνατη. (γ). Συμπληρώνουμε επομένως τον πίνακα:

ΘΕΜΑ 2

A

1

2

3

4

5

6

7

8

B

β

η

ε

α

ζ

στ

δ

γ

ο

Α. 1. Η περίμετρος του ορθογωνίου ισούται με το άθροισμα των πλευρών του. Επομένως επιλέγουμε την απάντηση Γ. 2. Στο 1ο μέλος εφαρμόζουμε επιμεριστική ιδιότητα, οπότε προκύπτει η εξίσωση: 6 · x = 60 3. x = 60 : 6 = 10 cm. Τότε η μικρή διάσταση είναι 10 cm και η μεγάλη 20 cm. 4. Ε = 10 · 20 = 200 cm2. B. α = 30 – 10 = 20 β = (4 + 2) · 5 = 6 · 5 = 30 γ = (8 – 4)3 : 4 + 2 · 17 = 43 : 4 + 2 · 17 = 64 : 4 + 2 · 17 = 16 + 34 = 50 Είναι: α + β + γ = 20 + 30 + 50 = 100 α2 + β2 + γ2 = 400 + 900 + 2500 = 3800 Επομένως: 100 · x = 3800 ή x = 3800 : 100 = 38.

ΘΕΜΑ 3 1. Δ

90

ο

γιατί:

314 314 : 10 31,4 = = = 31,4 % 1000 1000 : 10 100

2. Β

3. Δ

γιατί: για να βρούμε το 200% του 200 κάνουμε τον πολλαπλασιασμό 200 ⋅ 200 = 2 ⋅ 200 = 400 100 4 4 ⋅ 20 80 γιατί: = = = 80 % 5 5 ⋅ 20 100

4. Β 3 ⋅ 100 = 3 cm 100

5. Γ

γιατί το 1m = 100cm και τα 3% των 100cm είναι

6. Δ

γατί η αύξηση είναι 30€ οπότε σχηματίζουμε το κλάσμα: 30 30 ⋅ 2 60 = = = 60 % 50 50 ⋅ 2 100

7. Β

γιατί:

ΘΕΜΑ 4

14 43,75 = 14 : 32 = 0,4375 = = 43,75 % 32 100

ο

Στις 10 Φεβρουαρίου η αύξηση σε € ήταν: 500 ⋅

10 5000 = = 50 €. 100 100

Η τιμή διαμορφώθηκε σε 500 + 50 = 550€. Στις 12 Μαρτίου έγινε νέα αύξηση 8% επί της αξίας των 550€ αυτή τη φορά: 8 4400 550 ⋅ = = 44 € και επομένως η τελική τιμή είναι 550 + 44 = 594€, δηλ. αύ100 100 ξηση 594 – 500 = 94€. Παίρνουμε επομένως το κλάσμα:

94 94 : 5 18,8 = = = 18,8 % αύξηση και όχι 18%. 500 500 : 5 100

91

92

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ο Ανάλογα ποσά και αντιστρόφως ανάλογα ποσά

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. Δύο ποσά x και y λέγονται ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ποσού x με έναν αριθμό, τότε οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού y πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό. Το πηλίκο των αναλόγων ποσών x και y λέγεται συντελεστής αναλογίας και είναι πάντα σταθερό. Τα ανάλογα ποσά x και y συνδέονται με την ισότητα y = α · x Τα ζευγάρια των τιμών (x, y) παριστάνουν σημεία που βρίσκονται πάνω σε ευθεία γραμμή που διέρχεται από το σημείο Ο.

Β. 1. ΝΑΙ, γιατί το πηλίκο των αντίστοιχων τιμών είναι σταθερό:

2. ΟΧΙ, γιατί:

60 120 180 = = =6 10 20 30

4 12 ≠ 6 15

3. ΝΑΙ, αν με x ονομάσουμε την πλευρά του τετραγώνου, η περίμετρός του θα ισούται περίμετρος 4χ με 4x και ο λόγος τους θα είναι: = = 4 σταθερός αριθμός. πλευρά χ

93

4. ΟΧΙ, αν x η πλευρά του τετραγώνου, αυτή μπορεί για παράδειγμα να πάρει τις τιμές: 1, 2, 3, 4, ..., τότε το εμβαδόν που ισούται με x2, θα παίρνει αντίστοιχα τις τιμές: 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 42 = 16, ... Το πηλίκο τότε του εμβαδού προς την αντίστοιχη πλευρά δεν είναι σταθερό: πλευρά

1

2

3

4

...

εμβαδόν εμβαδόν πλευρά

1

4

9

16

...

1

2

3

4

...

5. ΝΑΙ, η ισότητα y = x είναι ισότητα αναλόγων ποσών. 6. ΝΑΙ, για τον ίδιο λόγο. 7. ΟΧΙ, η ισότητα δεν είναι της μορφής y = αx που έχουν δύο ανάλογα ποσά x και y. 8. ΟΧΙ, η γραφική παράσταση δύο αναλόγων ποσών x και y είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 9. ΟΧΙ, δεν είναι ευθεία. 10. ΝΑΙ, είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

ΘΕΜΑ 2

ο

Α. Δύο ποσά x και y λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ποσού x με έναν αριθμό οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού y διαιρούνται με τον ίδιο αριθμό. Το γινόμενο των αντιστρόφως αναλόγων ποσών x και y είναι σταθερό και τα ποσά α συνδέονται με την ισότητα y = x Τα ζευγάρια των τιμών (x, y) παριστάνουν σε αυτή τη περίπτωση σημεία του επιπέδου που βρίσκονται πάνω σε καμπύλη γραμμή που ονομάζεται υπερβολή και που δεν τέμνει ποτέ τους ημιάξονες Οx, Οy.

94

Β. y · x = 6, άρα y =

6 x

Γ. 1. ΝΑΙ, αν 10 εργάτες για παράδειγμα θα χρειάζονταν 6 ώρες για την ολοκλήρωση του έργου, οι 20 εργάτες μπορούμε να υποθέσουμε ότι θα χρειαστούν 3 ώρες.

2. ΝΑΙ, εμβαδό Ε = x · y

Ε = x · y = 12 = σταθερό.

95

Συμπληρώνουμε ενδεικτικά τον πίνακα:

x

12

6

4

3

2

1

y

1

2

3

4

6

12

E=x·y

12

12

12

12

12

12

3. ΟΧΙ, η καμπύλη πρέπει να είναι υπερβολή. 4. ΝΑΙ, η καμπύλη είναι υπερβολή. 5. ΝΑΙ, το γινόμενο των ποσών x και y είναι σταθερό και ίσο με 1000. α 6. ΟΧΙ, η ισότητα μεταξύ του x, y δεν έχει τη μορφή y = , α ≠ 0 . x α 7. ΝΑΙ, η ισότητα των ποσών x, y έχει τη μορφή y = ,α ≠ 0 που χαρακτηρίζει τα αντιx στρόφως ανάλογα ποσά.

ΘΕΜΑ 3

ο

α) Αν x η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου, τότε η περίμετρός του y είναι y = 3x.

x = πλευρά

2

3

3,5

4

y = περίμετρος

6

9

10,5

12

β) επειδή: 6 9 10,5 12 = 3, = 3, = 3, = 3, 2 3 3,5 4 συμπεραίνουμε ότι τα ποσά x και y είναι ανάλογα και ισχύει για αυτά η ισότητα: y = 3 ή y = 3x. x

96

γ) Θα προκύψει μία ευθεία που θα διέρχεται από την αρχή των αξόνων:

ΘΕΜΑ 4

ο

Τα ποσά ταχύτητα και χρόνος προφανώς είναι αντιστρόφως ανάλογα. α) Έστω ότι ο οδηγός πρέπει ν’ αυξήσει κατά x χιλιόμετρα τη ταχύτητά του αυτοκινήτου του. Τότε θα πρέπει ν’ αναπτύξει ταχύτητα 120+x χιλιομέτρων την ώρα για να καλύψει συντομότερα την ίδια απόσταση. Συμπληρώνουμε τον πίνακα: Ταχύτητα (χιλ./ώρα)

120

120 + x

Χρόνος (λεπτά)

50

40

Aφού τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα έχουν τα γινόμενα των αντιστοίχων τιμών τους ίσα: 40 · (120 + x) = 50 · 120 4800 + 40x = 6000 40x = 6000 – 4800 40x = 1200 x = 1200 : 40 = 30 97

Ώστε ο οδηγός πρέπει να αυξήσει τη ταχύτητα του αυτοκινήτου κατά 30 χιλ. την ώρα για να διανύσει την ίδια απόσταση σε 40 λεπτά. β) Όμοια συμπληρώνουμε τον πίνακα : Ταχύτητα (χιλ./ώρα)

120

120 – x

Χρόνος (λεπτά)

50

60

60 · (120 – x) = 50 · 120 7200 – 60x = 6000 60x = 7200 – 6000 60x = 1200 x = 1200 : 60 x = 20 Άρα θα πρέπει να μειώσει την ταχύτητά του κατά 20 χιλ. την ώρα.

98

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ο Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. Απόλυτη τιμή ενός αριθμού, ονομάζεται η απόσταση του σημείου που παριστάνεται στον άξονα από τον αριθμό αυτόν, από το σημείο Ο. Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού α, συμβολίζεται με ⏐α⏐ και δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός. Από δύο αρνητικούς αριθμούς μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει την μικρότερη απόλυτη τιμή. Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς αφαιρούμε από τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή, την μικρότερη και στο άθροισμα βάζουμε το πρόσημο του αριθμού με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους αριθμούς πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο γινόμενο βάζουμε πρόσημο +. Β. 1. Αφού οι αριθμοί έχουν θετικό πηλίκο είναι ομόσημοι και επειδή έχουν άθροισμα αρνητικό θα είναι και οι δύο αρνητικοί. 2. Όχι. Οι αντίστροφοι είναι ομόσημοι, ενώ οι αντίθετοι είναι ετερόσημοι αριθμοί. 3. Οι πιθανές περιπτώσεις είναι : - ένας αρνητικός παράγοντας και τέσσερις θετικοί. - τρεις αρνητικοί παράγοντες και δύο θετικοί. - και οι πέντε παράγοντες είναι αρνητικοί.

99

Γ. Α

1

2

3

Β

γ

β

α

Δ. 1. Λ. Πρέπει ο παρονομαστής β να είναι διάφορος του μηδενός. β 2. Λ. Η λύση της εξίσωσης αx = β είναι η x = β : α = α 3. Σ. 4. Λ. Οι όροι α και β είναι ετερόσημοι, οπότε το πηλίκο είναι αρνητικό. 5. Σ.

ΘΕΜΑ 2

ο

Α. Αριθμός α

Αντίθετος του α

Απόλυτη τιμή του α

Απόσταση του α στον άξονα από το Ο

+ 12,64

– 12,64

12,64

12,64

– 104,23

+ 104,23

104,23

104,23

16 3

16 3

16 3

0

0

0

−

16 3

0

+

Β. Θυμίζουμε ότι : α. Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά +, ή δεν έχει πρόσημο, μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το +, (αν έχει), και να γράψουμε τους όρους όπως περιέχονται στην παρένθεση. β. Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά – μπορούμε να την απαλείψουμε μαζί με το – και να γράψουμε τους όρους που περιέχονται στη παρένθεση με αντίθετα πρόσημα. 1. (+ 2) + (– 3) – (+ 3) = 2 – 3 – 3 2. – (– 2) – (– 3) + (+ 3) = 2 + 3 + 3 3. – (+ 2) – (+ 3) + (– 3) = – 2 – 3 – 3 4. (– 2 + 3 + 3) = – 2 + 3 + 3 5. – (– 2 + 3 – 3) = 2 – 3 + 3 6. + (– 2 + 3 – 3) = – 2 + 3 – 3 100

Γ. Β. Α. Δ. Στ. Ε.

Α Β

ΘΕΜΑ 3

1 Γ

2 Β

3 Α

4 Δ

5 Στ

6 Ε

ο

1. Γ. Αν |α| = 2, τότε α = + 2 ή α = – 2. 2. Δ. Η απόλυτη τιμή του αριθμού α εκφράζει την απόσταση του σημείου που στον άξονα των ρητών αριθμών παριστάνεται από τον αριθμό α, επομένως δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός. 3 1 3. Β. − = −1,5 και = 0,2 . 2 5

5 5 3 5 4. Β. Ο αντίστροφος του − είναι ο − , ο αντίθετος του − είναι ο + 3 3 5 3 5. Γ. Οι αριθμοί είναι αντίθετοι άρα έχουν άθροισμα 0. 6. Α. Μεταξύ των αριθμών 5 και 8, οι μοναδικές ακέραιες τιμές που υπάρχουν είναι το 6 και το 7. Επομένως: |x| = 6 δηλαδή x = + 6 ή x = – 6 και |x| = 7 δηλαδή x = + 7 ή x = – 7. Άρα βρίσκουμε 4 ακέραιες τιμές τις: – 6, + 6, – 7, + 7. Β. 1. α = – 5, β = + 7 α + β = (– 5) + (+ 7) = – 5 + 7 = 2 α – β = – 5 – (+ 7) = – 5 – 7 = – 12 α · β = ( – 5)(+ 7) = – (5 · 7) = – 35 5 α : β = ( – 5) : (+ 7) = – (5 : 7) = − 7 1 1 2. α = , β = − 3 3 1 1 α + β = + (− ) = 0 3 3 1 1 1 1 2 α − β = − (− ) = + = 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 α ⋅ β = ⋅ ( − ) = −( ⋅ ) = − 3 3 3 3 9 1 1 1 1 α : β = : ( − ) = −( : ) = −1 3 3 3 3 101

3. α =

−1 1 1 = −( + ) = − 2 2 +2

4 4 ⎛ −4 ⎞ β = − ⎜ ⎟ = −( + ) = − 3 3 ⎝ −3 ⎠ 3 2 1 4 1 4 3 8 11 α + β = − + (− ) = − − = − − = − 2 3 2 3 6 6 6

3 2 1 4 1 4 3 8 5 α − β = − − (− ) = − + = − + = 2 3 2 3 6 6 6 1 4 1 4 4 2 α ⋅ β = ( − ) ⋅ ( − ) = +( ⋅ ) = = 2 3 2 3 6 3 1 4 1 4 1 3 3 α : β = ( − ) : ( − ) = +( : ) = ⋅ = 2 3 2 3 2 4 8

ΘΕΜΑ 4

ο

1. (+ 8)(– 2)(– 1) = + (8 · 2 · 1) = 16 2. [(– 5)(– 3)] : [(+ 1)(– 1)] = (+ 15) : (– 1) = – 15 3. (– 4) – (– 5) = – 4 + 5 = + 1 4. (+ 3) · 0 · (– 1) · 5 = 0 5. 5 – 8 + 2 – x = 7 – 8 – x = – 1 – x – 1 – x = – 20 x = – 1 + 20 = 19 Πράγματι: 5 – 8 + 2 – 19 = 5 + 2 – 8 – 19 = 7 – 27 = – 20 6. 7 – 10 = – 3 – 3x = – 12 x = (– 12) : (– 3) = + 4 Πράγματι: (7– 10) · 4 = – 3 · 4 = – 12 2 7. x: ( − ) = 5 3 2 2 10 x = 5 · ( − ) = −(5 ⋅ ) = − 3 3 3 ⎛ 10 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 10 2 ⎞ 10 3 10 =5 Κάνουμε και τη δοκιμή: ⎜ − ⎟ : ⎜ − ⎟ = + ⎜ : ⎟ = ⋅ = ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3 3⎠ 3 2 2

102

Β. 4 4 1. α = −3 − + 4 + 10,2 + − 3 − 10,2 3 3 α=–3–3+4 α=–6+4=–2

β=−

γ=

Διαγράφουμε τους αντίθετους όρους. Ομαδοποιούμε θετικούς - αρνητικούς.

( −1)( +3)( −4) +12 =− = +2 = 2 −6 −6

−18 −18 −18 = = = +3 = 3 4 − ( +10) 4 − 10 −6

α − β ⋅ (α + 2γ) −2 − 2( −2 + 2 ⋅ 3) = = (β − α) ⋅ (α − 2β) [2 − ( −2)] ⋅ ( −2 − 2 ⋅ 2) −2 − 2( −2 + 6) −2 − 2 ⋅ 4 −2 − 8 −10 5 = = = = = (2 + 2) ⋅ ( −2 − 4) 4 ⋅ ( −6) −24 −24 12

2. Α =

3. Α : x = |α| –| β| –| γ| Α : x = |–2| – |+ 2| – |+ 3| A : x = 2–2–3 A : x = –3 5 :x = − 3 12 5 5 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 1⎞ x= : ( −3 ) = − ⎜ :3 ⎟ = − ⎜ ⋅ ⎟ = − 12 36 ⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 3 ⎠

103

104

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7ο Δυνάμεις ρητών Αριθμών

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. 1. Αν ν φυσικός αριθμός, ν > 1, η δύναμη αν διαβάζεται και νιοστή δύναμη του α και ισούται με α · α · α · … · α, ν παράγοντες του α. Η δύναμη α2 διαβάζεται και α στο τετράγωνο. Όταν λέμε α στον κύβο εννοούμε την δύναμη α3. 2. α1 = α αο = 1, όταν α ≠ 0 1 α–ν = ν , όταν α ≠ 0 α 3. Αν α > 0 τότε αν > 0 Αν α < 0 και αν < 0 τότε ο εκθέτης ν είναι περιττός. Αν α < 0 και αν > 0 τότε ο εκθέτης ν είναι άρτιος. 4. αμ · αν = αμ+ν 5. αμ : αν = αμ–ν, α ≠ 0 6. αν · βν = (αβ)ν 7. Για να υψώσουμε ένα γινόμενο σε ένα εκθέτη υψώνουμε κάθε παράγοντα του γινομένου στον εκθέτη αυτόν. 105

αν ⎛ α ⎞ 8. ν = ⎜ ⎟ β ⎝β ⎠

ν

9. Για να υψώσουμε ένα πηλίκο σε έναν εκθέτη υψώνουμε κάθε όρο του πηλίκου στον εκθέτη αυτόν 10. (αμ)ν = α μ·ν Β. 1. x5 : x3 = x5–3 = x2 1 2. x–5 = 5 x 3 4 3. x · x = x3+4 = x7 4. (x3)2 = x3·2 = x6 5. (– x)4 = x4

ΘΕΜΑ 2

Σ Λ Λ Λ Σ

ο

Α. 1. Γ. Επειδή α, β αντίθετοι αριθμοί α + β = 0 και (α + β)2008 = 02008 = 0 2. Β. Αν α, β ετερόσημοι α · β < 0. Η δύναμη με βάση αρνητικό και εκθέτη περιττό είναι αρνητικός αριθμός. 3. Α. Α = (– 1)0 + (– 1)1 + (– 1)2 + (– 1)3 = 1 + (– 1) + 1 + (– 1) = 1– 1 + 1 – 1 = 0 4. Δ. x = 1010 · 1014 = 1010 + 14 = 1024 5. Β. 0,00001 · x = 107 10–5 · x = 107 ή x = 107 : 10–5 = 107 – (– 5) = 107 + 5 = 1012 Β. 1. 2ν = 1, ν = 0 1 4 ν 2 = 2–2, ν = – 2

2. 2ν =

3. (– 2)ν = – 8 (– 2)ν = (– 2)3, ν = 3 4. (– 2)ν = 16 (– 2)ν = 24 (– 2)ν = (– 2)4, ν = 4 106

5. (2ν)3 = 64 2ν · 3 = 26 3·ν=6 ν=6:3=2

ΘΕΜΑ 3

Α

1

2

3

4

5

Β

Β

Α

Δ

Ε

Γ

ο

παράσταση

τιμές

1.

33 34

Α. 33–4 = 3–1 =

2.

–32 + (–3)2

Γ. – 9 + 9 = 0

3.

23 · 2

4.

84 43 − 4 4 23

⎛8⎞ ⎛4⎞ Β. ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = 24 – 23 = 16 – 8 = 8 ⎝4⎠ ⎝2⎠

5.

– (– 3)0

Α. – 1

6.

⎛2⎞ ⎜3⎟ ⎝ ⎠

(5–6)2

8.

66 ⋅ 6 2 ( −3)8

9.

10.

⎛ 1⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠

3

Γ. 23 · 21 = 23+1 = 24 4

−4

7.

⎛3⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝2⎠

3

1 3

3

4

34 81 ⎛3⎞ Γ. ⎜ ⎟ = 4 = 2 16 ⎝2⎠

Γ. 5(–6) · 2 = 5–12 =

1 512

66 ⋅ 6 2 66 + 2 68 ⎛ 6 ⎞ = 8 = 8 = ⎜ ⎟ = 28 8 3 3 3 ⎝3 ⎠ 8

Β. ⎛4⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝3⎠

Αν ν άρτιος (– 1)ν + 1ν

3

3

3

⎛ 1 3 4 ⎞ ⎛ 12 ⎞ Β. ⎜ ⋅ ⋅ ⎟ = ⎜ ⎟ = 13 = 1 ⎝ 2 2 3 ⎠ ⎝ 12 ⎠

Γ. αφού ν άρτιος (–1)ν = 1, ενώ για κάθε ν, 1ν = 1 Άρα: (– 1)ν + 1ν = 1 + 1 = 2

107

ΘΕΜΑ 4

ο

Α. x = –24 + 2 · (– 3)2 – [23 – (– 3)3] : 7 = – 24 + 2 · (– 3)2 – [8– (– 27)] : 7 = = – 24 + 2 · (– 3)2 – (8 + 27) : 7 = – 24 + 2 · (– 3)2 – 35 : 7 = = – 16 + 2 · 9 – 35 : 7 = = – 16 + 18 – 5 = = – 16 – 5 + 18 = Προηγούνται οι πράξεις στις παρενθέσεις ή στις αγκύλες, = – 21 + 18 = – 3 μετά οι δυνάμεις, x=–3 στη συνέχεια οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις και στο τέλος οι προσθέσεις και οι αφαιρέσεις με τη σειρά που σημειώνονται.

Β. x+1 2 x+3 –3+1 2 –3+3 Α = 9 · x – 2 · x + 18 · x = 9 · (– 3) – 2 · (– 3) + 18 · (– 3) = = 9 · (– 3)–2 – 2 · 9 + 18 · (– 3)0 = 1 1 − 18 + 18 ⋅ 1 = 9 ⋅ − 18 + 18 = 1 = 9⋅ 2 9 ( −3)

108

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. 1. Η ημιευθεία που έχει για αρχή την κορυφή μιας γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες ονομάζεται διχοτόμος της γωνίας. 2. Κάθε γωνία που είναι μικρότερη από την ορθή λέγεται οξεία. Αμβλεία ονομάζεται η κυρτή γωνία που είναι μεγαλύτερη από την ορθή. Το μέτρο της είναι μεγαλύτερο από 90 μοίρες και μικρότερο από 180 μοίρες. 3. Δύο γωνίες που έχουν κοινή κορυφή και οι πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες λέγονται κατακορυφήν. Οι γωνίες αυτές είναι ίσες. 4. Παράλληλες ονομάζονται δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που όσο και αν προεκταθούν δεν θα έχουν κοινό σημείο. Δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που δεν είναι παράλληλες υποχρεωτικά θα τέμνονται και το κοινό τους σημείο λέγεται σημείο τομής. 5. Το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ λέγεται και απόσταση του σημείου Α από το Β. Β. 1. Λάθος, οι πλευρές των γωνιών δεν είναι αντικείμενες ημιευθείες. 2. Λάθος, έχουν κοινή κορυφή και κοινή πλευρά, την ΒΑ, αλλά έχουν επίσης κοινά . όλα τα σημεία της γωνίας ΓΒΔ

109

3. Σωστό:

, τότε οι ίσες Αν ΒΔ είναι η διχοτόμος της γωνίας ΑΒΓ και ΔΒΓ είναι εφεξής. γωνίες ΑΒΔ

4. Σωστό, οι μη κοινές πλευρές τους Οx και Οx΄ είναι αντικείμενες ημιευθείες :

5. Σωστό,

6. Σωστό, αφού έχουν άθροισμα 90ο, η καθεμιά είναι μικρότερη από 90ο και άρα οξεία. 7. Σωστό, αν α = β τότε και 180 ο − α = 180 ο − β . 8. Λάθος, η αμβλεία γωνία είναι μεγαλύτερη των 90ο και μικρότερη των 180ο, ενώ η μη κυρτή γωνία είναι μεγαλύτερη από τις 180ο. 9. Λάθος, στο ίδιο επίπεδο δύο ευθείες ή θα τέμνονται ή θα είναι παράλληλες. 10. Λάθος, δύο ευθείες κάθετες σε μια τρίτη ευθεία μεταξύ τους είναι παράλληλες.

110

ΘΕΜΑ 2

ο

Α. Α

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Β

Θ

Ζ

Στ

Β

Γ

Ε

Δ

Α

Η

Β. 1. Επειδή Μ μέσο του ΑΒ, ΑΜ = ΜΒ = 12 : 2 = 6cm. Αλλά Ο μέσο του ΑΜ, άρα ΟΜ = 6 : 2 = 3cm. Επομένως ΟΒ = ΟΜ + ΜΒ = 3cm + 6cm = 9cm. x = 9cm. ο ο ο 2. x = 360 – 35 = 325 .

3. x + x + 110ο = 180ο 2x = 180ο – 110ο 2x = 70ο x = 70ο : 2 = 35ο. 4. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές και οι προσκείμενες γωνίες στη βάση του θα είναι ίσες: x + 5ο = 70ο x = 70ο – 5ο = 65ο.

ΘΕΜΑ 3 Α. 1. Β,

2. Δ,

ο

η απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε είναι το μήκος του κάθετου ευθυγράμμου τμήματος ΑΓ. 3 1080o o ⋅ 360 = = 108o 10 10

3. Α 4. Α,

5. Β,

πράγματι η παραπληρωματική της είναι 180ο – 45ο = 135ο, ενώ η συμπληρωματική της είναι 90ο – 45ο = 45ο. Οπότε ισχύει: 3 · 45ο = 135ο. 2 360o o ⋅ 180 = = 72o. Η συμπληρωματική της είναι: 90ο – 72ο = 18ο. 5 5

111

Β. l , επομένως α = 70ο . Οι γωνίες β, α και 70ο σχηΗ ε είναι διχοτόμος της γωνίας xΟy ματίζουν μια ευθεία γωνία: β + α + 70ο = 180ο β + 70ο + 70ο = 180ο

β + 140ο = 180ο β = 180ο − 140ο = 40ο. Οι γωνίες γ και 70ο είναι ίσες ως κατακορυφήν: γ = 70ο. Η δ είναι παραπληρωματική της γωνίας των 70ο : δ = 180ο − 70ο = 110ο.

ΘΕΜΑ 4

ο

Α. 1. Μία επίκεντρη γωνία έχει την κορυφή της στο κέντρο ενός κύκλου. 2. Το μέτρο της επίκεντρης γωνίας ισούται με το μέτρο του αντίστοιχου τόξου της. Β.

1. Λάθος, μόνο αν είναι τόξα του ίδιου κύκλου ή ίσων κύκλων :

p = 70ο , ΓΔ o = 70ο αλλά ΑΒ p ≠ ΓΔ. o ΑΒ

2. Σωστό.

112

Γ.

Απόσταση x 1) Μικρότερη των 2 cm 2) Ίση με 2 cm 3) Μεγαλύτερη από 2 m

Ονομασία της ευθείας ε

Πλήθος κοινών σημείων ευθείας – κύκλου.

Tέμνουσα

2

Eφαπτομένη

1

Eξωτερική του κύκλου

0

1)

2)

3)

Δ. 1. Το τόξο 2. Το τόξο 3. Το τόξο

p είναι ημικύκλιο, x = 180ο. ΑΒ p είναι αντίστοιχο τόξο ορθής επίκεντρης γωνίας, x = 90ο. ΑΒ p = 50ο και ο κύκλος είναι τόξο 360ο. Άρα x = 360ο – 50ο = 310ο. ΑΒ

113

l και ΓΟΔ l είναι ίσες (ως κατακορυφήν) επίκεντρες γωνίες του ίδιου 4. Οι γωνίες ΑΟΒ κύκλου. Άρα θα έχουν και τα αντίστοιχα τόξα τους ίσα. x = 40ο. 5. Αφού ΑΒ εφαπτομένη στον κύκλο, θα είναι κάθετη στην ακτίνα ΟΑ, επομένως l = 90ο. Τότε x = 90ο – 55ο = 35ο. ΟΑΒ Ε. l = 50ο . Η ΟΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΟΓ l = 50ο : 2 = 25ο. Επομένως ΔΟΓ l ως παραπληρωματική της γωνίας ΒΟΓ l ισούται με: Η γωνία ΑΟΓ l = 180ο – 50ο = 130ο. 180ο – ΒΟΓ

l οπότε ΓΟΕ l = 130° : 2 = 65°. Η ΟΕ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΟΓ l γράφεται ως άθροισμα: Η επίκεντρη γωνία ΔΟΕ l = ΔΟΓ l + ΓΟΕ l = 25o + 65o = 90o, ορθή γωνία. ΔΟΕ p = 90ο. Επομένως και το αντίστοιχο τόξο της ΕΔ

114

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9ο Συμμετρία

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. 1. Τα συμμετρικά σχήματα, τόσο ως προς ευθεία, όσο και ως προς σημείο είναι ίσα. 2. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος λέγεται η ευθεία που είναι κάθετη προς αυτό και διέρχεται από το μέσο του. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. 3. Δύο σημεία Α και Α΄ είναι συμμετρικά ως προς το Ο, όταν το σημείο Ο είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΑ΄. Β.

Σχήμα

Ευθύγραμμο τμήμα

Άξονες

Ευθείες που είναι άξονες

Κέντρα

συμμετρίας



1. Η ευθεία του ευθυγράμ2

μου τμήματος.

1

Ισοσκελές τρίγωνο

1

Η διχοτόμος Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση του.

είναι κέντρα συμμετρίας Το

1

2. Η μεσοκάθετος.

Γωνία

Σημεία που

μέσο

του

ευθυγράμμου τμήματος.

–

–

–

–

115

Ισόπλευρο τρίγωνο

3

Οι τρεις διάμεσοι.

–

– Το σημείο

Παραλληλόγραμμο

–

–

1

τομής των διαγωνίων του.

Οι 2 ευθείες που διέρχοΟρθογώνιο

2

νται από τα μέσα των απέ-

1

»

1

»

1

»

1

Το κέντρο του.

ναντι πλευρών.

Ρόμβος

2

Οι 2 ευθείες των διαγωνίων του.

Οι 2 ευθείες των διαγωνίων Τετράγωνο

4

του και οι 2 ευθείες που διέρχονται από τα μέσα των απέναντι πλευρών του.

Κύκλος

ΘΕΜΑ 2

Άπειροι.

ο

A.

Α(1,3)

Συμμετρικό ως προς το σημείο Μ Κ(7,5)

Β(2,0)

Λ(6,8)

Γ(0,4)

Ν(8,4)

M(4,4)

Μ(4,4)

Σημείο

116

Οι διάμετροί του.

Α(1,3)

Συμμετρικό ως προς τη διχοτόμο ε της γωνίας Ρ(3,1)

Β(2,0)

Σ(0,2)

Γ(0,4)

Τ(4,0)

M(4,4)

Μ(4,4)

Σημείο

Β.

α) ΟΑ = ΟΒ = 3cm, δηλαδή το κέντρο του κύκλου Ο ισαπέχει από τα άκρα Α και Β του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και επομένως θα ανήκει στη μεσοκάθετό του που είναι η ΓΔ. β) Αφού το Κ είναι συμμετρικό του Α ως προς το κέντρο Ο, το σημείο Ο θα είναι το μέσο του τμήματος ΑΚ. Επομένως ΑΚ = 2ΟΑ = 2 · 3 = 6cm και θα είναι διάμετρος του κύκλου. γ) Το τρίγωνο ΑΓΒ είναι ισοσκελές γιατί το σημείο Γ ως σημείο της μεσοκαθέτου ΓΔ της χορδής ΑΒ, ισαπέχει από τα άκρα Α και Β, επομένως ΓΑ = ΓΒ. l έχει μέτρο όσο το αντίστοιχό της τόξο, δηλαδή 40ο. Οι γωδ) Η επίκεντρη γωνία AOΔ

l και ΒΟΔ l είναι συμμετρικές ως προς την ΓΔ και επομένως θα είναι νίες και AOΔ l = 40ο. Η γωνία ΑΟΒ l = ΑΟΔ l + ΔΟΒ l = 40ο + 40ο = 80ο. ίσες, δηλαδή ΒΟΔ l = 180ο – 80ο = 100ο (ως παραπληρωματική της AOB l ). Τότε η γωνία ΒΟΚ 117

ΘΕΜΑ 3

ο

Α. 1. Δύο παράλληλες ευθείες που τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν εντός εναλλάξ γωνίες και εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες που είναι ίσες. λέγονται εντός εκτός και επί τα αυτά. 2. Οι γωνίες β,λ λ λέγονται εντός και επί τα αυτά. Οι γωνίες γ,

Τα ζευγάρια των εντός εναλλάξ γωνιών είναι: γ , κ και δ , λ . Αν ε//ζ τότε α = κ . Αν ε//ζ τότε δ + κ = 180ο. Επειδή γ και κ είναι εντός εναλλάξ και ίσες γωνίες, οι ευθείες ε και ζ είναι παράλληλες. Β. 1. Οι γωνίες κ και ν είναι παραπληρωματικές γιατί σχηματίζουν μια ευθεία γωνία : κ = 180ο − 120ο = 60ο . 2. Οι γωνίες λ και ν είναι ίσες ως κατακορυφήν γωνίες, άρα λ = 120ο . 3. Οι γωνίες μ και κ είναι ίσες ως κατακορυφήν γωνίες, άρα μ = 60ο . 4. Οι γωνίες α και κ είναι ίσες ως εντός έκτος και επί τα αυτά, επομένως α = 60ο . 5. Οι γωνίες β και λ είναι ίσες ως εντός έκτος και επί τα αυτά, επομένως β = 120ο . 6. Οι γωνίες γ και κ είναι εντός εναλλάξ γωνίες, άρα είναι ίσες: γ = 60ο . 7. Οι γωνίες δ και κ είναι εντός και επί τα αυτά και επομένως είναι παραπληρωματικές, δηλαδή δ = 180ο − 60ο = 120ο . γωνία ν κ λ μ

Μέτρο γωνίας

α β

60ο

γ δ

118

120ο 60ο 120ο 60ο 120ο 60ο 120ο

Γ. Η γωνία Γ με τη γωνία των 300ο σχηματίζουν μια πλήρη γωνία επομένως l και Γ που είναι εντός και επί τα αυτά είναι επίσης Γ = 360ο – 300ο = 60ο. Οι γωνίες Α l = 60ο + 120ο = 180ο. Άρα ΑΒ//ΓΔ. και παραπληρωματικές αφού: Γ + Α

ΘΕΜΑ 4

ο

Α. Η γωνία γ είναι παραπληρωματική της γωνίας των 50ο : γ = 180ο – 50ο = 130ο. Η γωνία α είναι παραπληρωματική της γωνίας των 140ο : α = 180ο – 140ο = 40ο. Η γωνία δ είναι εντός εναλλάξ με την α , άρα: δ = α = 40ο. Τέλος η γωνία x είναι ίση με τη γωνία των 50ο ως εντός εναλλάξ και σχηματίζει μια πλήρη γωνία με την γωνία β επομένως β = 360 ο − x = 360ο – 50ο = 310ο. Β. Γ = 180ο − 75ο = 105ο . και Γ παραπληρωματικές ως εντός εκτός και επί τα αυτά, Β = 180ο − 105ο = 75ο . Β l +Β = 180ο , άρα Α l = 180ο − 75ο = 105ο και Α l +Δ l = 180ο , Όμοια Α l = 180ο − 105ο = 75ο . Δ Γ. Η γωνία ν και η γωνία των 72ο είναι ίσες ως εντός εκτός και επί τα αυτά: ν = 72ο. Η γωνία μ με τη γωνία ν και την ορθή γωνία σχηματίζουν μια ευθεία γωνία: = 180ο − (90ο + 72ο ) = 180ο − 162ο = 18ο . μ = 180ο − (90ο + ν) Η γωνία λ είναι ίση με τη γωνία μ ως εντός εναλλάξ άρα λ = 18ο .

119

120

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 10ο Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. 1. Τα κύρια στοιχεία του τριγώνου είναι οι πλευρές, οι κορυφές και οι γωνίες του ενώ τα δευτερεύοντα είναι τα ύψη, οι διάμεσοι και oι διχοτόμοι. 2. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με 180ο μοίρες. 3. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο οι οξείες του γωνίες είναι συμπληρωματικές, δηλαδή έχουν άθροισμα 90ο. 4. Το τρίγωνο που έχει 2 πλευρές του ίσες λέγεται ισοσκελές. Οι γωνίες που είναι προσκείμενες στη βάση του είναι ίσες. Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση του είναι ύψος και διχοτόμος. 5. Στο ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι πλευρές του είναι ίσες. Κάθε του γωνία είναι 60ο μοίρες. Κάθε διάμεσός του είναι ύψος και διχοτόμος. Β. ΑΗ ύψος. ΑΔ διχοτόμος. ΑΜ διάμεσος. Γ. 1) Σωστό. 2) Λάθος, οι συμπληρωματικές γωνίες έχουν άθροισμα 90ο. 3) Σωστό, η γωνία ω ως εξωτερική της γωνίας φ ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. 4) Λάθος, οι γωνίες ω και φ είναι παραπληρωματικές, το σωστό θα ήταν: l = 180 ο − φ l. ω 121

ΘΕΜΑ 2

ο

Α. Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ισούται με 180ο. Συμπληρώστε τώρα το πίνακα:

Α

Β

Γ

ΥΠΑΡΧΕΙ ΤΕΤΟΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ;

80ο

40ο

60ο

ΝΑΙ

Είδος τριγώνου ως προς τις γωνίες του

Είδος τριγώνου ως προς τις πλευρές του

Οξυγώνιο

Σκαληνό

–

–

ΟΧΙ, γιατί το άθροισμα 110

ο

–

75

ο

των γωνιών του είναι μεγαλύτερο από 180ο.

60ο

90ο

30ο

ΝΑΙ

Ορθογώνιο

Σκαληνό

60ο

60ο

60ο

ΝΑΙ

Οξυγώνιο

Ισόπλευρο

92ο

40ο

48ο

ΝΑΙ

Αμβλυγώνιο

Σκαληνό

45ο

45ο

90ο

ΝΑΙ

Ορθογώνιο

Ισοσκελές

40ο

100ο

40ο

ΝΑΙ

Αμβλυγώνιο

Ισοσκελές

52ο

76ο

52ο

ΝΑΙ

Οξυγώνιο

Ισοσκελές

Β. 1) 2x + 3x + 4x = 180ο, δηλαδή 9x = 180ο και x = 180ο : 9 = 20ο. 2) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές και οι προσκείμενες γωνίες στη βάση του είναι ίσες: x + x + 50ο = 180ο, 2x = 180ο – 50ο = 130ο, άρα x = 130ο : 2 = 65ο. 3) Tο τρίγωνο είναι ισοσκελές και οι προσκείμενες γωνίες στη βάση του είναι ίσες. Το άθροισμα των οξειών γωνιών του θα είναι 30ο + 30ο = 60ο, άρα x = 180ο – 60ο = 120ο. 4) Οι οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές: x + 2x = 90ο δηλαδή 3x = 90ο ή x = 90ο : 3 = 30ο. 5) Η εξωτερική γωνία x ισούται με το άθροισμα των δύο άλλων εσωτερικών γωνιών του τριγώνου: x = 40ο + 70ο = 110ο. (αποδεικνύεται και χωρίς την εφαρμογή του Σχολικού βιβλίου: η άγνωστη εσωτερική γωνία ισούται με 180ο – (40ο + 70ο ) = 180ο – 110ο = 70ο. Η γωνία x είναι παραπληρωματική της γωνίας των 70ο επομένως x = 180ο – 70ο = 110ο). 6) 72ο + 48ο = 120ο. Ολόκληρη η άγνωστη γωνία ισούται με 180ο – 120ο = 60ο. Λόγω της διχοτόμου όμως 2x = 60ο και x = 60ο : 2 = 30ο.

122

ΘΕΜΑ 3

ο

ο ο l = 2 ⋅ 90ο = 2 ⋅ 90 = 180 = 36ο . Α. Α 5 5 5 ο l l l είναι τριπλάσια της Γ διαι Αφού Α + Β + Γ = 180 , Β + Γ = 180ο − 36ο = 144ο και η Β l = Γ δηλαδή το ρούμε 144ο : 4 και βρίσκουμε τη γωνία Γ : Γ = 144ο : 4 = 36ο . Άρα Α l = 3 ⋅ Γ = 3 ⋅ 36ο = 108ο > 90ο αμβλεία γωνία και το τρίτρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Β

γωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο. Β. α = 70ο ως κατακορυφήν γ = 180ο − 120ο = 60ο α + β + γ = 180 ο , β = 180ο − (70 ο + 60ο ) = 180ο − 130ο = 50 ο δ = β ως εντός εναλλάξ, δ = 50ο.

ΘΕΜΑ 4

ο

Α. ΣΤΗΛΗ (Α) ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

ΣΤΗΛΗ (Β) ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Ορθογώνιο •

• Τραπέζιο με τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες.

Τραπέζιο

•

• Παραλληλόγραμμο με όλες τις γωνίες του ορθές.

Ισοσκελές τραπέζιο

•

• Οι διαγώνιες του είναι ίσες και κάθετες. •

Ρόμβος

•

Τετράγωνο •

Μόνο οι δύο απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες.

• Παραλληλόγραμμο με όλες τις πλευρές του ίσες.

Β. Το τετράπλευρο ΑΓΒΔ είναι παραλληλόγραμμο γιατί: ΟΑ = ΟΒ = 2cm και ΟΓ = ΟΔ = 4cm, δηλαδή οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, ιδιότητα που έχουν τα παραλληλόγραμμα. 123

124

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11ο Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. 1. Όταν πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε τους όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο φυσικό αριθμό ≠ 0 προκύπτει ισοδύναμο κλάσμα.

2. Τα ομώνυμα κλάσματα έχουν ίσους παρονομαστές. Τα κλάσματα που δεν είναι ομώνυμα λέγοντα ετερώνυμα. 3. Το κλάσμα του οποίου οι όροι είναι επίσης κλάσματα λέγεται σύνθετο κλάσμα. 4. Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού και ενός κλάσματος λέγεται μεικτός αριθμός. 5. Αντίθετοι λέγονται δύο αριθμοί που έχουν την ίδια απόλυτη τιμή αλλά διαφορετικό πρόσημο. 6. Για να αφαιρέσουμε δύο ρητούς αριθμούς προσθέτουμε στον μειωτέο τον αντίθε το του αφαιρετέου. Δηλαδή α – β = α + (– β) 7. Για να διαιρέσουμε δύο ρητούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο με τον 1 αντίστροφο του διαιρέτη. Δηλαδή α : β = α · β 8. Μια δύναμη με βάση αριθμό ≠ 0 και εκθέτη αρνητικό αριθμό είναι ίση με κλάσμα που έχει αριθμητή το 1 και παρονομαστή τη δύναμη του ίδιου αριθμού με τον 1 αντίθετο εκθέτη. Δηλαδή α–ν = ν α

125

Β. 1. ΟΧΙ. Από δύο ομώνυμα κλάσματα μεγαλύτερο είναι αυτό με τον μεγαλύτερο αριθμητή. 2. ΟΧΙ. Μόνο κοινούς παράγοντες μπορούμε να διαγράψουμε απλοποιώντας έτσι το α⋅ λ κλάσμα. Το σωστό θα ήταν: = α. λ 3. ΟΧΙ. Αρχικά πρέπει για να προστεθούν τα κλάσματα να είναι ομώνυμα. Τότε θα προκύψει ένα κλάσμα με αριθμητή το άθροισμα των αριθμητών και παρανομαστή α β α+β τον ίδιο: + = . κ κ κ 4. ΝΑΙ.

5. ΟΧΙ. Το γινόμενο δύο κλασμάτων είναι ένα κλάσμα με αριθμητή το γινόμενο των α γ α⋅ γ . αριθμητών και παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών: ⋅ = β δ β⋅δ 6. ΟΧΙ. Η εξίσωση που δεν έχει λύση λέγεται αδύνατη. Αόριστη ή ταυτότητα λέγεται η εξίσωση που επαληθεύεται για όλες τις τιμές του αγνώστου. 7. ΟΧΙ. Αφού έχουν θετικό πηλίκο θα είναι ομόσημοι, οι αντίθετοι όμως είναι ετερόσημοι. 8. ΟΧΙ. Υπάρχει και η περίπτωση η βάση να είναι αρνητικός αριθμός και ο εκθέτης άρτιος. Π.χ. ( – 2)4 = + 16. 9. ΝΑΙ. (αμ)ν = αμν. 10. ΟΧΙ. Προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο αποτέλεσμα βάζουμε πρόσημο + αν είναι ομόσημοι και πρόσημο – αν είναι ετερόσημοι. 11. ΝΑΙ. Για παράδειγμα οι αριθμοί – 3 και +3 είναι αντίθετοι , αλλά (– 3)2 = (+ 3)2 = 9. 12. ΟΧΙ. Ο αριθμός 12.345 διαιρείται με το 3 γιατί το άθροισμα των ψηφίων του 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 διαιρείται με το 3, διαιρείται επίσης και με το 5 αφού το τελευταίο ψηφίο του είναι 5, αλλά δε διαιρείται με το 9 γιατί το άθροισμα των ψηφίων του που είναι 15 δεν διαιρείται με το 9. 13. ΟΧΙ. |x – 4|+|2 – x |+|x + 2|= =|4 – 4|+|2 – 4|+|4 + 2|= 0 +|– 2|+|6|= 0 + 2 + 6 = 8. 126

ΘΕΜΑ 2

ο

Α. 1. Γ. Πράγματι: (+ 1) · (+ 1) = 1 και (– 1) · (– 1) = 1 και επειδή α, β ακέραιοι δεν υπάρχουν άλλοι τέτοιοι αριθμοί που να ικανοποιούν την ισότητα α · β = 1. 2. Όταν έχουμε αναλύσει τους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων για να βρούμε τον Μ.Κ.Δ. επιλέγουμε μόνο τους κοινούς παράγοντες στο μικρότερο εκθέτη και τους πολλαπλασιάζουμε: Σωστή απάντηση η Α. Για το Ε.Κ.Π. επιλέγουμε τους κοινούς παράγοντες στον μεγαλύτερο εκθέτη αλλά και τους διαφορετικούς και τους πολλαπλασιάζουμε: Σωστή απάντηση η Δ. 3. Δ. 7+(2 · 5) + (3 : 4) = 7 + 2 · 5 + 3 : 4 = 7 + 10 + 0,75 = 17,75. 4. Όταν η πλευρά είναι 5 cm η περίμετρος του τετραγώνου θα είναι 4 · 5 = 20 cm. Αν διπλασιάσουμε τη πλευρά αυτή θα γίνει 2 · 5 = 10 cm και έτσι η περίμετρος θα γίνει 40 40 ⋅ 5 200 = = = 200% . Σωστή 4 · 10 = 40 cm. Σχηματίζουμε τώρα το κλάσμα 20 20 ⋅ 5 100 απάντηση η Β. 5.

3α + 5β 3α 5β α = + = 3 ⋅ + 5 = 3 ⋅ 2 + 5 = 6 + 5 = 11. Σωστό είναι το Δ. β β β β

6. Το παραλληλόγραμμο έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες: x + 3 = 9 – x, δηλαδή x + x = 9 – 3, 2x = 6, x = 6:2 = 3. Σωστό είναι το Β. −2 + ( −1) ⋅ ( −3) −2 + 3 1 −6 = = = −1. Η παράσταση Α = = 1, η παράσταση − 6 + 5 −1 ( −3) ⋅ 2 + 5 −6 Γ = – 2 + 2 + 2 = 2, ενώ η Δ = 25 – 20 – 2 = 3.

7. Β.

8. Γ.

1 36 ⋅ 36 = = 12 . 3 3

9. Β. Επειδή υπάρχουν ήδη 3 αρνητικοί παράγοντες και το γινόμενο είναι θετικό, το πλήθος των αρνητικών παραγόντων πρέπει να είναι άρτιο. Γι’ αυτό κ < 0. 10. Γ. Προηγούνται οι δυνάμεις, στη συνέχεια οι πολλαπλασιασμοί – διαιρέσεις και τέλος οι προσθέσεις – αφαιρέσεις.

Β. 1. Η ισότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι: Δ = δ · π + υ, υ < δ. Τα πιθανά υπόλοιπα της διαίρεσης με διαιρέτη 5 είναι: 0, 1, 2, 3, 4. Έτσι για παράδειγμα για υ = 0, και π = 5 (αφού μας δίνεται ότι π = δ), Δ = 5 · 5 + 0 = 25, Για υ = 1 και π = 5 παίρνουμε Δ = 5 · 5 + 1 = 25 + 1 = 26, κ.λ.π.

127

υπόλοιπο

0

1

2

3

4

πηλίκο

5

5

5

5

5

διαιρέτης

5

5

5

5

5

Διαιρετέος

25

26

27

28

29

2. 1ο πρόβλημα : Aν x ένας φυσικός ο επόμενός του θα είναι x + 1 Η εξίσωση είναι τότε η: x + x + 1 = 15 2x + 1 = 15 2x = 15 – 1, 2x = 14, x = 14 : 2 = 7. H λύση είναι η x = 7. 2ο πρόβλημα: Με x ονομάζουμε τον ζητούμενο αριθμό: 2 7 7 2 9 5x − = , 5x = + , 5x = , 5x = 3 , x = 3 : 5 = 0,6 . 3 3 3 3 3 3ο πρόβλημα: 4 : x = 2–5 δηλαδή 4 : x =

1 , 32

4 1 = , x 32

πρόβλημα

εξίσωση

λύση

Δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα 15

2x + 1 = 15

x=7

Από το πενταπλάσιο ενός αριθ2 μού αφαιρούμε και βρίσκου3 7 με διαφορά 3

Διαιρούμε το 4 με έναν αριθμό και βρίσκουμε πηλίκο 2–5

128

x = 4 ⋅ 32 = 128 .

5x –

2 7 = 3 3

4:x=

1 32

x = 0,6

x = 128

ΘΕΜΑ 3

ο

Α. 7 8 15 + = =5 3 3 3 2 5 3 5 5 6 5 5 1 ΕΚΠ=4 5 2 3 y = −( − ) = −( − ) = − = − = 4 1 2 4 2 2 4 2 4 4 4

x=

Β. 3 32 1 9 1 9 25 225 y 2 : x −2 = ( )2 : 5−2 = 2 : 2 = : = ⋅ = 4 4 5 16 25 16 1 16

Γ. i. Το 5% πήρε κάτω από τη βάση, δηλαδή

5 5 ⋅ 20 100 ⋅ 20 = = = 1 μαθητής. 100 100 100

3 y 3 ⋅1 3 3⋅5 15 ii. = 4 = = = = = 15% της τάξης πήρε άριστα. x 5 4 ⋅ 5 20 20 ⋅ 5 100

ΘΕΜΑ 4

ο

A = (8 − 14)2 − [(8 − 4) : 2 − 6] ⋅ 5 = ( −6)2 − [(8 − 4) : 2 − 6] ⋅ 5 = = 36 − (4 : 2 − 6) ⋅ 5 = 36 − (2 − 6) ⋅ 5 = 36 − ( −4) ⋅ 5 = = 36 − ( −20) = 36 + 20 = 56o + Γ = 180ο , δηλαδή Β + Γ = 180ο − 56ο = 124ο . Αλλά το Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι: 56ο + B τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓ και επειδή οι προσκείμενες γωνίες στη = Γ = ω, άρα ω l +ω l = 124ο , 2ω l = 124ο , βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες: Β l ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων l = 124ο : 2 = 62ο . Η γωνία x είναι ίση με την A ω l και ω l είναι ίσες ως εντός εκτός και επί ΑΒ//ΓΕ, δηλαδή lx = 56ο. Τέλος οι γωνίες φ l = 62ο. τα αυτά των παραλλήλων ευθειών ΑΒ//ΓΕ, άρα φ l , x, l ω l σχηματίζουν μια ευθεία γωνία, επομέ(Προκύπτει και από το γεγονός ότι οι γωνίες φ l + lx + ω l = 180o , αλλά lx + ω l = 56o + 62o = 118o , νως έχουν άθροισμα 180o δηλαδή φ l = 180o − 118o = 62o ). επομένως φ

129

130

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12ο Επαναληπτικό διαγώνισμα σε όλη την ύλη

ΘΕΜΑ 1

ο

Α. 1.

2 2 7 ⋅ 3 ⋅ x = 3, οπότε οι αριθμοί και x είναι αντίστροφοι, δηλ. x = 7 7 2

2. Οι αριθμοί ( −1)( −2)( −3) ⋅ x και ( −1)( −2)( −3)( +5) είναι αντίθετοι, οπότε x= − 5 3.

6x = 0, άρα ο αριθμητής 6x είναι 0, δηλ. x=0 9

4.

x⋅3 = −1, άρα x= − 1 3

5. Προκειμένου να προκύψει πηλίκο 5 πρέπει x= − 3

6. x = 0 7. 10x = 10 −4 άρα x = −4 8. 5 ⋅ x ⋅ 10 -2 ⋅ 10 −6 = 10 −7 ή 5 ⋅ x ⋅ 10 -2 +(-6) = 10 −7 , 5 ⋅ x ⋅ 10 -8 = 10 −7 , 5 ⋅ x = 10 -7 : 10 −8 5x = 10 -7-(-8) , 5x = 10 -7+8

5x = 101 5x = 10 x = 10 : 5 = 2

131

9.

101+ 4 1 105 1 , = = x x 10 10 10 10

10 x = 10 ⋅ 105 , 10x = 101+ 5 , 10 x = 106 x=6

10. x = 9 γιατί τότε:

9 1 = 91−2 = 9−1 = 2 9 9

ή x = −9 γιατί επίσης

9

( −9 )

2

=

9 1 = 91−2 = 9−1 = 2 9 9

B. 1. Λ. Το άθροισμα τους είναι μια μη κυρτή γωνία. 2. Σ. 3. Λ. Αν υπήρχε, το άθροισμα των γωνιών του θα ξεπερνούσε τις 180ο. 4. Λ. Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει όλες τις γωνίες του ίσες με 60ο, ενώ στο ορθογώνιο μια γωνία του είναι ορθή, δηλαδή ίση με 90ο. 5. Σ. 6. Λ. Αν υπήρχε, αφού οι γωνίες που είναι προσκείμενες στη βάση είναι ίσες, θα ήταν και η άλλη αμβλεία, το άθροισμά τους τότε θα ήταν μεγαλύτερο από 180ο. 7. Λ. Η εξωτερική γωνία είναι παραπληρωματική της αντίστοιχης εσωτερικής: l, Β l , Γ οι εσωτερικές γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ οι εξωτερικές θα έχουν μέτρο: Αν Α l , 180 ο − Β l , 180ο − Γ και οι τρεις μαζί θα έχουν άθροισμα: 180 ο − Α l ) + (180 ο − Β l ) + (180ο − Γ ) = 3 ⋅ 180 ο − ( Α l+Β l + Γ ) = 540ο − 180ο = 360 ο (180 ο − Α

8. Λ. Μόνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην βάση έχει αυτή την ιδιότητα.

ΘΕΜΑ 2

ο

Α. l ονομάζεται επίκεντρη γωνία. 1. Η γωνία AOB l o είναι το αντίστοιχο τόξο της γωνίας ΓΟΔ 2. Το τόξο ΓΔ p = 40 μοίρες, όσο και το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας. 3. Το τόξο ΖΕ p = 140 μοίρες επειδή από το ημικύκλιο αφαιρούμε το τόξο ΓΔ o , δηλα4. Το τόξο ΔΗ

δή: 180ο – 40ο = 140ο. 132

p και ΓΔ o παρόλο που και τα δύο είναι 40 μοιρών, δεν είναι ίσα γιατί δεν 5. Τα τόξα ΑΒ είναι τόξα του ίδιου κύκλου ή ίσων κύκλων.

Β. ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΩΝ ΤΟΥ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΜΗΣ ΕΙΝΑΙ ΚΕΝΤΡΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΕΙΝΑΙ ΑΞΟΝΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

ΠΑΡΑΛ/ΓΡΑΜΜΟ

+

ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ

+

ΡΟΜΒΟΣ

+

+

ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

+

+

ΙΣΕΣ

ΚΑΘΕΤΕΣ

ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ ΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ

+

+

+

+

+

+

Γ. α. Τα ευθύγραμμα τμήματα που υπάρχουν στο σχήμα είναι: ΟΓ, ΟΔ και το ΓΔ. β. Το ζευγάρι των αντικείμενων ημιευθειών του σχήματος είναι: ΟΑ – ΟΒ. l − ΖΔΕ l και ΓΔΖ l − ΟΔΕ l . γ. Κατακορυφήν γωνίες: ΟΔΓ Παραπληρωματικές γωνίες είναι οι: l − ΓΟΒ l , ΑΟΔ l − ΔΟΒ l , ΟΔΓ l − ΟΔΕ l , ΓΔΖ l − ΖΔΕ l , ΓΔΖ l − ΓΔΟ l , ΖΔΕ l − ΟΔΕ l . ΑΟΓ Εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ//ΓΕ είναι οι γωνίες: l − ΟΓΔ l − ΟΔΕ l − ΟΔΓ , ΑΟΔ l , ΒΟΔ l . ΑΟΓ δ. ΑΒ//ΓΕ, άρα: l = Γ = x ως εντός εναλλάξ. ΑΟΓ l = ΓΔΟ l =2x ως κατακορυφήν. Z ΔΕ

l + Γ + ΓΔΟ l = 180ο , δηλαδή: Στο τρίγωνο ΓΔΟ έχουμε ΓΟΔ ο ο ο ο 39 + x + 2x = 180 ή 39 + 3x = 180 3x = 180ο – 39ο = 141ο x = 141ο : 3 = 47ο.

ΘΕΜΑ 3

ο

Με δοκιμή το x = 8 αφού 30 : (8 – 2) = 30 : 6 = 5 . 133

Β΄ τρόπος: Λύνουμε την εξίσωση: 5 · (x–2) = 30 5x–10 = 30 5x = 30+10 5x = 40 x = 40 : 5 = 8 Επομένως ΓΔ = 8cm. Ε.Κ.Π.(2,3,10) = 30 Μ.Κ.Δ.(2,6,10) = 2 2

⎛2⎞ Η εξίσωση γράφεται: 2 · 2 · ⎜ ⎟ = 30 + 2 ⎝ 1⎠ 2 · 2y · 22 = 32 2 · 4 · 2y = 32 8 · 2y = 32 2y = 32 : 8 2y = 4 y = 2, ΑΕ = 2cm. y

1. Οι προσκείμενες γωνίες στη μεγάλη βάση ισοσκελούς τραπεζίου είναι ίσες: l = Γ = 45ο Δ l ως εντός και επί τα αυτά των Η γωνία ΔΑΒ είναι παραπληρωματική της γωνίας Δ l = 180ο − Δ l = 180ο − 45ο = 135ο . Αλλά και η γωνία παράλληλων ΑΒ//ΔΓ. Άρα ΔΑΒ = 135ο γιατί οι προσκείμενες γωνίες ΔΑΒ l και ΑΒΓ l στη μικρή βάση ΑΒ του ΑΒΓ

ισοσκελούς τραπεζίου είναι ίσες. l και ΔΑΕ l είναι συμπληρωματικές, έχουν 2. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΕ οι γωνίες Δ l = 45ο τότε και η ΔΑΕ l = 45ο , από όπου προκύπτει δηλ. άθροισμα 90ο και επειδή η Δ ότι το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές με βάση τη πλευρά ΑΔ. Οπότε ΑΕ = ΕΔ = 2cm. Όμοια προκύπτει ότι ΒΖ = ΖΓ = 2cm. ΕΖ = ΔΓ – ΔΕ – ΖΓ = 8 – 2 – 2 = 4 cm. Το τετράπλευρο όμως ΑΒΖΕ είναι ορθογώνιο και έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες, άρα και η ΑΒ = 2cm.

ΘΕΜΑ 4

ο

1. Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΑ = x + 2 + x + x + 2 + x = 4x + 4. 134

Αφού η περίμετρος είναι 16cm, 4x + 4 = 16 4x = 16 – 4 4x = 12 x = 12 : 4 = 3cm ΑΒ = 3 + 2 = 5cm, ΓΔ = 5cm ΒΓ = 3cm, ΑΔ = 3cm. 2. Η γωνία ι είναι επίκεντρη γωνία και έχει μέτρο ίσο με το μέτρο του αντίστοιχου τόξου της, ι = 140ο . Το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισοσκελές με βάση ΑΒ. Οι προσκείμενες γωνίες σε αυτήν θα είναι ίσες, δηλαδή α = β . Αλλά α + β + ι = 180ο α + β = 180 ο − ι = 180ο − 140ο = 40ο α = β = 40ο : 2 = 20ο.

Η γωνία γ είναι ίση με την α ως εντός εναλλάξ των ΑΒ //ΓΔ άρα γ = 20 ο. Για τον ίδιο λόγο δ = β = 20 ο. = 90ο ), επομένως ε = 90ο − 20ο = 70ο. Η γωνία ε είναι συμπληρωματική της β (Β l και ΓΟΔ l (καΌμοια προκύπτει ότι ζ = η = θ = 70ο. Οι ίσες επίκεντρες γωνίες ΑΟΒ

p = ΓΔ o = 140ο. τακορυφήν) θα έχουν και τα αντίστοιχα τόξα τους ίσα: ΑΒ p + ΒΓ o = 180ο (ημικύκλιο) ΒΓ o = 180ο − ΑΒ p = 180ο − 140ο = 40ο . Τέλος ΑΒ

135

Διαγωνίσματα Α Γυμνασίου

Recommend Documents