ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Á´ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ÅõÜããåëïò Ôüëçò – ÓôÝëéïò Ìé÷áÞëïãëïõ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Á´ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΚ∆ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ Αθήνα 2007
ÓåéñÜ: ÅÊÐÁÉÄÅÕÔÉÊÁ ÂÉÂËÉÁ Ôßôëïò: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Á´ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Óõããñáöείò: ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΤΟΛΗΣ – ΣΤΕΛΙΟΣ ΜΙΧΑΗΟΓΛΟΥ ÅðéìÝëåéá ýëçò: ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΡΙΝΤΕΖΗΣ Copyright © Ευάγγελος Τόλης – Στέλιος Μιχαήλογλου Copyright © 2007 ÅÊÄÏÔÉÊÏÓ ÏÑÃÁÍÉÓÌÏÓ ËÉÂÁÍÇ ÁÂÅ Óüëùíïò 98 – 10680 ÁèÞíá. Ôçë:. 210 3661200, Fax: 210 3617791 http: www.livanis.gr
Áðáãïñåýåôáé ç áíáäçìïóßåõóç, ç áíáðáñáãùãÞ, ïëéêÞ, ìåñéêÞ Þ ðåñéëηðôéêÞ, Þ ç áðüäïóç êáôÜ ðáñÜöñáóç Þ äéáóêåõÞ ôïõ ðåñéå÷ïìÝíïõ ôïõ âéâëßïõ ìå ïðïéïíäÞðïôå ôñüðï, ìç÷áíéêü, çëåêôñïíéêü, öùôïôõðéêü, ç÷ïãñÜöçóçò Þ Üëëï, ÷ùñßò ðñïçãïýìåíç ãñáðôÞ Üäåéá ôïõ åêäüôç. Íüìïò 2121/1993 êáé êáíüíåò Äéåèíïýò Äéêáßïõ ðïõ éó÷ýïõí óôçí ÅëëÜäá.
ÐáñáãùãÞ: Åêäïôéêüò Ïñãáíéóìüò ËéâÜíç ISBN 978-960-14-1574-1
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ôï âéâëßï áõôü áíáöÝñåôáé óôï íÝï âéâëßï Ìáèçìáôéêþí ôçò Á´ Ãõìíáóßïõ. ÐåñéÝ÷åé: • ËõìÝíåò üëåò ôéò ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÅÓ ðïõ áíáöÝñïíôáé óôçí áñ÷Þ êÜèå ðáñáãñÜöïõ ðñéí áðü ôç èåùñßá êáé áðïôåëåß Ýíáõóìá ãéá ôçí åéóáãùãÞ êáé êáôáíüçóη áðü ôïõò ìáèçôέò ôçò áíôßóôïé÷çò ýëçò êÜèò ðáñáãñÜöïõ. • ËõìÝíåò üëåò ôéò ÁÓÊÇÓÅÉÓ και τα ÐÑÏÂËÇÌÁÔÁ ôïõ íÝïõ âéâëßïõ ìå ôñüðï õðïäåéãìáôéêü êáé êáôáíïçôü ãéá ôïõò ìαèçôÝò. ¼ðïõ êñßíåôáé áπáñáßôçôï õðÜñ÷ïõí ðáñáðïìðÝò óôç èåùñßá Þ êáé ó÷üëéá ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíόçóη ôçò ëýóçò ôçò Üóêçóçò. • Óå êÜèå ðáñÜãñáöï õðÜñ÷ïõí ëõìÝíåò ÓÕÌÐËÇÑÙÌÁÔÉÊÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ïé ïðïßåò ðåñéëáìâÜíïõí êáé áóêÞóåéò áðü ôï “Âéâëßï ôïõ ÊáèçãçôÞ” ôçò Á´ Ãõìíáóßïõ êáé Ý÷ïõí óáí óôü÷ï ôçí ðεñαιôÝñù êÜëõøç êÜèå ðáñáãñÜöïõ ìå ðåñéóóüôåôñåò áóêÞóåéò ãéá την ðëçñÝóôåñç êáôáíüçóç από τους ìáèçôþí. • ΛõìÝíåò üëåò ïé ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÅÓ ÃÉÁ ÔÏ ÓÐÉÔÉ ðïõ õðÜñ÷ïõí óôï ôÝëïò ïñéóìÝíùí ðáñáãñÜöùí êáèþò êáé ïé ÅÐÁÍÁËÇÐÔÉÊÅÓ ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÁÕÔÏÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ ðïõ õðÜñ÷ïõí óôï ôÝëïò êÜèå êåöáëáßïõ. • ÔÝëïò, óå êÜèå ðáñÜãñáöï õðÜñ÷åé ç åíüôçôá ΕΞΑΣΚΗΣΗ ç ïðïßá ðåñéÝ÷åé ðëçèþñá áóêÞóåùí ðñïò ëýóç áðü ôïõò ìáèçôÝò, µε τις áðαíôήóεις τους. ÁõôÝò ïé áóêÞóåéò Ý÷ïõí óáí óôü÷ï íá åìðåäþóïõí ïé ìáèçôÝò ôçí ýëç êÜèå ðáñáãñÜöïõ åîáóêïýìåíïé óå áóêÞóåéò ðáñüìïéåò ìå ôéò ëυµένες. Εµείς οι συγγραφείς, έχοντας γράψει βιβλία για όλες τις τάξεις του Γυµνασίου και του Λυκείου, προβληµατιστήκαµε αρκετά για την µορφή που πρέπει να έχει ένα εκπαιδευτικό βιβλίο που αναφέρεται στο στάδιο της µετάβασης από το ∆ηµοτικό στο Γυµνάσιο και στη δηµιουργία στέρεων βάσεων για τη συνέχεια. Το βιβλίο αυτό äåí áðïôåëåß ìüíï Ýíá απλό και στεγνό ËõóÜñé, áëëÜ ένα χρήσιµο εργαλείο για τους µαθητές, καθώς και τους êáèçãçôÝò ãéá íá äïìÞóïõí ôç äéäáóêαëßá ôïõò óýìöùíá ìå ôï íÝï âéâëßï ôùí Ìáèçìáôéêþí ôçò Á´ Ãõìíáóßïõ. Καταλήξαµε έτσι ότι είναι χρήσιµο να προσφέρει: 3 Τρόπο Μαθηματικής Σκέψης
3 3
Τρόπο γραφής στην επίλυση των Ασκήσεων ∆υνατότητα να επιλύσουν μόνοι τους ασκήσεις για να αποκτήσουν αυτοπεποίθηση
Για όλα τα παραπάνω πιστεύουµε ότι το βιβλίο αυτό αποτελεί ένα ένα πραγµατικό ΒΟΗΘΗΜΑ για τους µαθητές και τους καθηγητές. Ç óõããñáöéêÞ ïìÜäá ÓôÝëéïò Ìé÷áÞëïãëïõ ÅõÜããåëïò Ôüëçò
ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ
Á΄ ÌÅÑÏÓ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ – ÁËÃÅÂÑÁ ÊÅÖÁËÁÉÏ 1ï: ÏÉ Á. 1. 1: Á. 1. 2: Á. 1. 3: Á. 1. 4: Á. 1. 5:
Öõóéêïß áñéèìïß – ∆éÜôáîç öõóéêþí áñéèìþí – Óôñïããõëïðïßçóç ........ 13 Ðñüóèåóç – Áöáßñåóç êáé Ðïëëáðëáóéáóìüò Öõóéêþí Áñéèìþí ......... 21 ÄõíÜìåéò Öõóéêþí Áñéèìþí ..................................................................... 35 Åõêëåßäåéá Äéáßñåóç – Äéáéñåôüôçôá ........................................................ 44 ×áñáêôÞñåò Äéáéñåôüôçôáò – ÌÊÄ – ÅÊÄ ÅðáíáëçðôéêÝò ÅñùôÞóåéò Áîéïëüãçóçò ................................................................62
ÊÅÖÁËÁÉÏ 2ï: ÔÁ Á. 2. 1: Á. 2. 2: Á. 2. 3: Á. 2. 4: Á. 2. 5: Á. 2. 6:
Ö ÕÓÉÊÏÉ Á ÑÉÈÌÏÉ
Ê ËÁÓÌÁÔÁ
Ç Ýííïéá ôïõ ÊëÜóìáôïò ............................................................................ 63 Éóïäýíáìá ÊëÜóìáôá................................................................................... 74 Óýãêñéóç ÊëáóìÜôùí .................................................................................. 84 Ðñüóèåóç êáé Áöáßñåóç ÊëáóìÜôùí......................................................... 93 Ðïëëáðëáóéáóìüò ÊëáóìÜôùí ................................................................. 104 Äéáßñåóç ÊëáóìÜôùí................................................................................ 111
ÊÅÖÁËÁÉÏ 3ï: Ä ÅÊÁÄÉÊÏÉ Á. 3. 1: Á. 3. 2: Á. 3. 3: Á. 3. 4: Á. 3. 5:
Á ÑÉÈÌÏÉ
ÄåêáäéêÜ ÊëÜóìáôá - Äåêáäéêïß Áñéèìïß................................................ 123 ÐñÜîåéò ìå Äåêáäéêïýò Áñéèìïýò .......................................................... 139 Õðïëïãéóìïß ìå ôç âïÞèåéá õðïëïãéóôÞ ôóÝðçò..................................... 146 ÔõðïðïéçìÝíç ìïñöÞ ìåãÜëùí áñéèìþí................................................. 147 ÌïíÜäåò ÌÝôñçóçò ................................................................................. 150 ÅðáíáëçðôéêÝò ÅñùôÞóåéò Áõôïáîéïëüãçóçò.......................................... 165
ÊÅÖÁËÁÉÏ 4ï: Å ÎÉÓÙÓÅÉÓ ÊÁÉ
Ð ÑÏÂËÇÌÁÔÁ
Á. 4. 1: Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò............................................................................ 167 Á. 4. 2 - 4. 3: Åðßëõóç ÐñïâëçìÜôùí ...................................................................... 184 ÊÅÖÁËÁÉÏ 5ï: Ð ÏÓÏÓÔÁ Á. 5. 1: Á. 5. 2:
ÐïóïóôÜ .................................................................................................... 199 ÐñïâëÞìáôá ìå ÐïóïóôÜ ......................................................................... 209 ÅðáíáëçðôéêÝò ÅñùôÞóåéò Áõôïáîéïëüãçóçò.......................................... 219
ÊÅÖÁËÁÉÏ 6ï:
Á ÍÁËÏÃÁ ÐÏÓÁ – Á ÍÔÉÓÔÑÏÖÙÓ Á ÍÁËÏÃÁ
ÐÏÓÁ
Á. 6. 1: Á. 6. 2: Á. 6. 3:
ÐáñÜóôáóç Óçìåßùí óôï Åðßðåäï ........................................................... 221 Ëüãïò äýï Áñéèìþí – Áíáëïãßá .............................................................. 239 ÁíÜëïãá ÐïóÜ – Éäéüôçôåò ÁíÜëïãùí Ðïóþí ......................................... 239
Á. 6. 4: Á. 6. 5: Á. 6. 6:
ÃñáöéêÞ ÐáñÜóôáóç Ó÷Ýóçò Áíáëïãßáò ................................................. 248 ÐñïâëÞìáôá Áíáëïãéþí ........................................................................... 256 Áíôéóôñüöùò ÁíÜëïãá ÐïóÜ ................................................................... 266 ÅðáíáëçðôéêÝò ÅñùôÞóåéò Áîéïëüãçóçò ................................................. 277
ÊÅÖÁËÁÉÏ 7ï: È ÅÔÉÊÏÉ – Á. 7. 1: Á. 7. 2:
Á ÑÍÇÔÉÊÏÉ Á ÑÉÈÌÏÉ
Èåôéêïß êáé Áñíçôéêïß Áñéèìïß (Ñçôïß Áñéèìïß) Ç åõèåßá ôùí ñçôþí – ÔåôìçìÝíç óçìåßïõ............................................ 279 Áðüëõôç ôéìÞ Ñçôïý Áñéèìïý – Áíôßèåôïé Áñéèìïß ................................... 285
Á. 7. 3: Ðñüóèåóç Ñçôþí Áñéèìþí ...................................................................... 294 Á. 7. 4: Áöáßñåóç Ñçôþí Áñéèìþí ...................................................................... 303 Á. 7. 5: Ðïëëáðëáóéáóìüò Ñçôþí Áñéèìþí .......................................................... 315 Á. 7. 6: Äéáßñåóç Ñçôþí Áñéèìþí ........................................................................ 324 Á. 7. 7: ÄåêáäéêÞ ìïñöÞ Ñçôþí Áñéèìþí............................................................ 330 Á. 7. 8: ÄõíÜìåéò Ñçôþí Áñéèìþí ìå åêèÝôç öõóéêü áñéèìü ............................ 333 Á. 7. 9: ÄõíÜìåéò Ñçôþí Áñéèìþí ìå åêèÝôç áêÝñáéï áñéèìü ........................... 340 Á. 7. 10: ÔõðïðïéçìÝíç ìïñöÞ ìåãÜëùí êáé ìéêñþí áñéèìþí .............................. 348 ÅðáíáëçðôéêÝò ÅñùôÞóåéò Áõôïáîéïëüãçóçò.......................................... 351
Â΄ ÌÅÑÏÓ ÊÅÖÁËÁÉÏ 1ï:  ÁÓÉÊÅÓ
ÃÅÙÌÅÔÑÉÁ
à ÅÙÌÅÔÑÉÊÅÓ Å ÍÍÏÉÅÓ
Â. 1. 1: Â. 1. 2:
Óçìåßï – Åõèýãñáììï ôìÞìá – Åõèåßá – Çìéåõèåßá – Åðßðåäï .................. 361 Ãùíßá – ÃñáììÞ – Åðßðåäá ó÷Þìáôá .......................................................... 367
Â. 1. 3: Â. 1. 4: Â. 1. 5: Â. 1. 6: Â. 1. 7:
ÌÝôñçóç, óýãêñéóç êáé éóüôçôá åõèýãñáììùí ôìçìÜôùí ......................... 374 Ðñüóèåóç êáé Áöáßñåóç åõèýãñáììùí ôìçìÜôùí..................................... 383 Ðñüóèåóç, óýãêñéóç êáé éóüôçôá ãùíéþí – Äé÷ïôüìïò ãùíßáò ................... 392 Åßäç ãùíéþí – ÊÜèåôåò åõèåßåò ................................................................ 401 ÅöåîÞò êáé äéáäï÷éêÝò ãùíßåò – ¢èñïéóìá ãùíéþí ................................... 411
Â. 1. 8:
ÐáñáðëçñùìáôéêÝò êáé ÓõìðëçñùìáôéêÝò ãùíßåò –
ÊáôáêïñõöÞí ãùíßåò................................................................................. 418 Â. 1. 9: ÈÝóç åõèåéþí óôï åðßðåäï ....................................................................... 428 Â. 1. 10: Áðüóôáóç óçìåßïõ áðü åõèåßá – Áðüóôáóç ðáñáëëÞëùí ...................... 434 Â. 1. 11: Êýêëïò êáé óôïé÷åßá êýêëïõ .................................................................... 442 Â. 1. 12: Åðßêåíôñç ãùíßá – Ó÷Ýóç åðßêåíôñçò ãùíßáò êáé ôïõ áíôßóôïé÷ïõ ôüîïõ – ÌÝôñçóç ôüîïõ ............................................... 453 Â. 1. 13: ÈÝóåéò åõèåßáò êáé êýêëïõ ..................................................................... 462 ÅðáíáëçðôéêÝò ÅñùôÞóåéò Áõôïáîéïëüãçóçò .......................................... 469 ÊÅÖÁËÁÉÏ 2ï: Ó ÕÌÌÅÔÑÉÁ Â. 2. 1: Â. 2. 2: Â. 2. 3: Â. 2. 4: Â. 2. 5: Â. 2. 6:
Óõììåôñßá ùò ðñïò Üîïíá ....................................................................... 471 ÁóêÞóåéò Óõììåôñßáò .............................................................................. 477 ÌåóïêÜèåôïò åõèýãñáììïõ ôìÞìáôïò .................................................... 480 Óõììåôñßá ùò ðñïò óçìåßï ..................................................................... 490 ÊÝíôñï Óõììåôñßáò .................................................................................. 493 ÐáñÜëëçëåò åõèåßåò ðïõ ôÝìíïíôáé áðü Üëëç åõèåßá ........................... 499
ÊÅÖÁËÁÉÏ 3ï: Ô ÑÉÃÙÍÁ –
Ð ÁÑÁËËÇËÏÃÑÁÌÌÁ
–
Ô ÑÁÐÅÆÉÁ
Â. 3. 1:
Óôïé÷åßá ôñéãþíïõ – Åßäç ôñéãþíùí ....................................................... 505
Â. 3. 2: Â. 3. 3: Â. 3. 4:
¢èñïéóìá ãùíéþí ôñéãþíïõ - Éäéüôçôåò éóïóêåëïýò ôñéãþíïõ.............. 510 Ðáñáëëçëüãñáììï – Ïñèïãþíéï – Ñüìâïò – ÔåôñÜãùíï ....................... 521 Éäéüôçôåò ðáñáëëçëïãñÜììïõ – Ïñèïãþíéïõ – Ñüìâïõ – Ôñáðåæßïõ – Éóïóêåëïýò ôñáðåæßïõ ....................................... 525 ÅðáíáëçðôéêÝò ÅñùôÞóåéò Áõôïáîéïëüãçóçò ................................................... 538
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç ∆ιάλεξε ένα τριψήφιο αριθµό. Βρες τους έξι διαφορετικούς τριψήφιους αριθµούς που προκύπτουν όταν εναλλάξεις τα ψηφία του αριθµού που διάλεξες και γράψε αυτούς µε όλους τους δυνατούς τρόπους. Ποιος είναι ο µικρότερος και ποιος ο µεγαλύτερος; Γράψε όλους τους αριθµούς που βρήκες µε αύξουσα σειρά, δηλαδή από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο. Στη συνέχεια γράψε τους ίδιους αριθµούς µε φθίνουσα σειρά.
" Λύση Έστω ο τριψήφιος 835. Με εναλλαγή των ψηφίων του προκύπτουν οι αριθµοί: 853, 385, 358, 583, 835, 538 Από τους 6 συνολικά αριθµούς, µικρότερος είναι ο 358 και µεγαλύτερος είναι ο αριθµός 853. Οι έξι αριθµοί σε αύξουσα σειρά, είναι: 358, 385, 538, 583, 835, 853 Σε φθίνουσα σειρά είναι: 853, 835, 583, 538, 385, 358
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 2ç Για να βαθµολογήσουµε ένα θερµόµετρο ακολουθούµε µια συγκεκριµένη µέθοδο: Το αφήνουµε στον πάγο αρκετή ώρα και στο σηµείο που θα σταθεί ο υδράργυρος σηµειώνουµε το µηδέν (Οο). Στη συνέχεια το αφήνουµε µέσα σε νερό που βράζει και στο σηµείο που θα σταθεί ο υδράργυρος σηµειώνουµε το εκατό (100ο). Σκέψου και διατύπωσε ένα τρόπο µε τον οποίο θα µπορούσες να σηµειώσεις και όλες τις ενδιάµεσες ενδείξεις.
" Λύση Θα µπορούσαµε να χωρίζουµε σε 10 ίσα υποδιαστήµατα το διάστηµα από 0o έως 100ο, ανά 10ο. ∆ηλαδή 10ο, 20ο, 30ο, … Επίσης κάθε υποδιάστηµα θα µπορούσαµε να το χωρίσουµε σε 10 µικρότερα υποδιαστήµατα ανά 1ο . Αν έχουµε τη δυνατότητα µπορούµε να χωρίσουµε και κάθε υποδιάστηµα του ενός 1ο σε δέκα µικρότερα υποδιαστήµατα και να είχαµε δέκατα.
13
1.
Γράψε µε ψηφία τους αριθµούς που δίνονται παρακάτω σε φυσική γλώσσα: α. διακόσια πέντε, β. επτακόσια τριάντα δύο, γ. είκοσι χιλιάδες οκτακόσια δέκα τρία.
" Λύση α. 205, 2.
β. 732,
γ. 20.813
Γράψε σε φυσική γλώσσα τους αριθµούς: α. 38.951 β. 5.000.812 γ. 120.003
" Λύση α. Τριάντα οκτώ χιλιάδες εννιακόσια πενήντα ένα. β. Πέντε εκατοµµύρια οκτακόσια δώδεκα. γ. Εκατόν είκοσι χιλιάδες τρία. 3.
Ποιοι είναι οι τρεις προηγούµενοι αριθµοί του 289 και ποιοι οι δύο επόµενοι;
" Λύση Οι τρεις προηγούµενοι αριθµοί του 289 είναι το 288, το 287 και το 286. Οι δύο επόµενοι αριθµοί του 289 είναι το 290 και το 291. 4.
Τοποθετήστε σε αύξουσα σειρά τους αριθµούς: 3.515, 4.800, 3.620, 3.508, 4.801.
" Λύση 3.508 < 3.515 <3.620 < 4.800 < 4.801 5.
14
Τοποθετήστε το κατάλληλο σύµβολο: <, = , >, στο κενό µεταξύ των ακόλουθων αριθµών: α. 45 … 45, β. 38 …36, γ. 456 … 465, δ. 8.765 … 8.970, ε. 90.876 … 86.945, στ. 345 … 5.690.
" Λύση α. 45 = 45, γ. 456 <465, ε. 90.876 > 86.945, 6.
β. 38 > 36, δ. 8.765 < 8.970, στ. 345 < 5.690.
Κατασκεύασε έναν άξονα µε αρχή το σηµείο Ο και µονάδα ΟΑ ίσο µε 2cm. Τοποθέτησε τα σηµεία Β, Γ, ∆, Ε σε αποστάσεις 6cm, 10cm, 12cm και 14cm αντίστοιχα. Ποιοι αριθµοί αντιστοιχούν στα σηµεία αυτά;
" Λύση O
– – – – –
1 A
3 B
5 Γ
6 Δ
7 Ε
Επειδή το ΟΑ, που είναι 2cm, είναι η µονάδα, στο σηµείο Α αντιστοιχεί ο αριθµός 1. Επειδή το ΟΒ είναι 6cm, δηλαδή τριπλάσιο από το ΟΑ που είναι η µονάδα, στο Β αντιστοιχεί το 3. Επειδή το ΟΓ είναι 10cm, δηλαδή πενταπλάσιο από το ΟΑ, στο Γ αντιστοιχεί το 5. Επειδή το Ο∆ είναι 12cm, δηλαδή εξαπλάσιο του ΟΑ, στο ∆ αντιστοιχεί το 6. Επειδή το ΟΕ είναι 14cm, δηλαδή επταπλάσιο του ΟΑ, στο Ε αντιστοιχεί το 7.
15
7.
Τοποθετήστε ένα «x» στην αντίστοιχη θέση. Σωστό
Λάθος
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
α. Ένας πενταψήφιος αριθµός έχει 6 ψηφία µε πρώτο ψηφίο το 0. (είναι λάθος γιατί το µηδέν στην πρώτη θέση ενός φυσικού αριθµού δεν έχει νόηµα) β. Στον αριθµό 5780901 το µηδέν δηλώνει απουσία δεκάδων και χιλιάδων. γ. ∆έκα χιλιάδες είναι µία δεκάδα χιλιάδα δ. Σε µία πενταήµερη εκδροµή θα γίνουν πέντε διανυκτερεύσεις. ε. Από τον αριθµό 32 ως τον αριθµό 122 υπάρχουν 90 αριθµοί. (είναι λάθος γιατί αν συµπεριλαµβάνονται οι 32, 122 το πλήθος τους είναι 91, ενώ αν δεν συµπεριλαµβάνονται είναι 89) στ. Σε οκτώ ηµέρες από σήµερα που είναι Πέµπτη, θα είναι Παρασκευή. η
ζ. Από την 12 σελίδα του βιβλίου µέχρι και την 35η είναι 24 σελίδες. η. ∆εν υπάρχει φυσικός αριθµός µεταξύ των αριθµών 2 και 3.
Οι επόµενες τέσσερις ερωτήσεις αναφέρονται στο παρακάτω σχήµα.
K
Λ
Μ
Ν
0 150
16
θ. Στο σηµείο Κ αντιστοιχεί ο αριθµός 370.
X
X
ι. Στο σηµείο Λ αντιστοιχεί ο αριθµός 1050.
X
X
ια. Στο σηµείο Μ αντιστοιχεί ο αριθµός 1200.
X
X
ιβ. Στο σηµείο Ν αντιστοιχεί ο αριθµός 1875.
X
X
8.
Να στρογγυλοποιηθούν στην πλησιέστερη εκατοντάδα οι αριθµοί: 345, 761, 659, 2.567, 9.532, 123.564, 34.564, 31.549 και 8.765.
" Λύση Τάξη στρογγυλοποίησης: εκατοντάδες. – Για τον 345 έχουµε: Προηγούµενη τάξη: 4 < 5, – Για τον 761 έχουµε: Προηγούµενη τάξη: 6 > 5, – Για τον 659 έχουµε: Προηγούµενη τάξη: 5 = 5, – Για τον 2567 έχουµε: Προηγούµενη τάξη: 6 > 5, – Για τον 9532 έχουµε: Προηγούµενη τάξη: 3 < 5, – Για τον 123.564 έχουµε: Προηγούµενη τάξη: 6 > 5, – Για τον 34.564 έχουµε: Προηγούµενη τάξη: 6 > 5, – Για τον 31.549 έχουµε: Προηγούµενη τάξη: 4<5, – Για τον 8.765 έχουµε: Προηγούµενη τάξη: 6 > 5,
οπότε 345 → 300 οπότε 761 → 800 οπότε 659 → 700 οπότε 2567 → 2600 οπότε 9532 → 9500 οπότε 123.564 → 123.600 οπότε 34.564 → 34.600 οπότε 31.549 → 31.500 οπότε
8.765 → 8.800
17
10. Ο πληθυσµός της γης τον Ιούλιο του 2002 ήταν 6.233.529.144 κάτοικοι. Τι δηλώνουν τα ψηφία 3 και 4 στις δύο διαφορετικές θέσεις που βρίσκονται.
" Λύση 6 . 2 3 3 . 5 2 9 . 1 4 4
11. Να γραφούν οι άρτιοι αριθµοί που βρίσκονται µεταξύ των αριθµών 720 και 737.
" Λύση 722,
724,
726,
728,
730,
732,
734,
736.
12. Να συµπληρωθούν τα κενά:
8 ⋅ .... + 9 ⋅ .... + 0 ⋅ .... + 1 ⋅ ..... + 5 ⋅ .... = 89015
" Λύση Ο αριθµός 89015 έχει: 5 µονάδες 1 δεκάδα 0 εκατοντάδες 9 χιλιάδες 8 δεκάδες χιλιάδες Οπότε 8 ⋅ 10.000 + 9 ⋅ 1.000 + 0 ⋅ 100 + 1 ⋅ 10 + 5 ⋅ 1 = 89015 13. Ποιος ο µεγαλύτερος φυσικός αριθµός και ποιος ο µικρότερος που µπορεί να σχηµατιστεί µε τα ψηφία 0, 5, 8 αν κάθε ψηφίο χρησιµοποιηθεί µόνο µία φορά;
" Λύση Μεγαλύτερος τριψήφιος είναι εκείνος ο αριθµός που έχει, στη θέση των εκατοντάδων, το ψηφίο µε τη µεγαλύτερη αξία. Οπότε το πρώτο ψηφίο είναι το 8. Αντίστοιχα για τη θέση των δεκάδων, από τα ψηφία 0 και 5 µεγαλύτερη αξία έχει το 5. Προφανώς για τη θέση των µονάδων περισσεύει το 0. Οπότε ο ζητούµενος αριθµός είναι ο 850. Αντίστοιχα ο µικρότερος τριψήφιος είναι ο 508.
18
14. Να γράψετε όλους τους διψήφιους αριθµούς των οποίων ένα τουλάχιστον από τα ψηφία τους είναι το 8. 15. ∆ίνεται ο αριθµός 671.876. Να τον συγκρίνετε µε τον αριθµό που θα προκύψει, αν εναλλάξουµε το ψηφίο των χιλιάδων µε αυτό των µονάδων. Ισχύει πάντα το ίδιο αποτέλεσµα; (Απ.: είναι µικρότερος) 16. Να συµπληρώσετε τα κενά µε ένα από τα σύµβολα « <» ή «>» ή « =». α. 56…91 β. 30875 … 31863 γ. 209 … 209 δ. 1209 … 12009 ε. 45 …54 στ. 1672354 … 1672353 17. Στο παρακάτω πίνακα να αντιστοιχίσετε κάθε αριθµό της 2ης στήλης µε έναν αριθµό της 1ης και της 3ης στήλης. Προηγούµενος
Φυσικός αριθµός
Επόµενος
4
0
78
76
53
6
δεν έχει
77
54
52
5
1
18. Το τελευταίο κεφάλαιο ενός βιβλίου αρχίζει από την σελίδα 213 και τελειώνει στη σελίδα 230. Πόσες σελίδες είναι το κεφάλαιο αυτό; (Απ.: 18) 19. Μία οικογένεια έφτασε στη Σαντορίνη όπου πήγε για διακοπές στις 3 Αυγούστου το πρωί και έφυγε στις 17 Αυγούστου το απόγευµα. Πόσες διανυκτερεύσεις έκανε στο νησί; (Απ.: 14) 20. Να γράψετε: α. τους άρτιους αριθµούς που βρίσκονται µεταξύ των αριθµών 31 και 43. β. τους περιττούς αριθµούς που βρίσκονται µεταξύ των αριθµών 4 και 18.
19
21. Να βρείτε την τάξη του υπογραµµισµένου ψηφίου σε καθέναν από τους παρακάτω αριθµούς: α. 342 β. 85.634 γ. 32 δ. 9.691 22. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Γράφουµε
3.805
∆ιαβάζουµε
Τρεις χιλιάδες οκτακόσια πέντε
120.067 11.003 Ενενήντα χιλιάδες δέκα επτά 23. Στρογγυλοποιήστε στην πλησιέστερη δεκάδα τους αριθµούς: 681, 8.557, 95, 9.121, 137.509, 34, 68
20
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Ο παρακάτω πίνακας δίνει τα αθροίσµατα, δηλαδή τα αποτελέσµατα της πρόσθεσης των µονοψηφίων φυσικών αριθµών.
α. β. γ. δ.
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
9
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Τι παρατηρείτε για την πρόσθεση µε το µηδέν; Πόσοι αριθµοί µπορούν να προστεθούν κάθε φορά; ∆ύο αριθµοί έχουν άθροισµα 12 και διαφορά 2, µπορείτε να βρείτε τους αριθµούς αυτούς; Να συγκρίνετε τα αθροίσµατα 3 + 6 και 6 +3 και µετά τα αθροίσµατα (5 + 4) + 2 και 5 + (4 + 2) .
ε. Να διατυπώσετε τα συµπεράσµατα σας. στ. Φτιάξε ένα παρόµοιο πίνακα για τον πολλαπλασιασµό, διατυπώστε τα αντίστοιχα ερωτήµατα και προσπαθήστε να δώσετε τις κατάλληλες απαντήσεις.
" Λύση
α.
Παρατηρούµε ότι σε όποιον αριθµό αν προσθέσουµε το 0, το άθροισµα είναι ο ίδιος ο αριθµός. ∆ηλαδή για οποιαδήποτε αριθµό α ισχύει: α + 0 = 0 + α = 0
21
β. γ.
δ. ε.
Παρατηρούµε ότι κάθε φορά µπορούµε να προσθέσουµε µόνο δύο αριθµούς. Άθροισµα 12 έχουν τα ζευγάρια: (3, 9), (4, 8), (5, 7), (6, 6), (7, 5), (8, 4), (9, 3) Από τα ζευγάρια αυτά όµως, διαφορά 2 έχουν οι αριθµοί 7, 5. Οπότε οι ζητούµενοι αριθµοί είναι το 7 και το 5. Είναι 3 + 6 = 9 , 6 + 3 = 9 Επίσης (5 + 4) + 2 = 9 + 2 = 11 και 5 + (4 + 2) = 5 + 6 = 11 Παρατηρούµε ότι 3+6=6+3 και (5 + 4) + 2 = 5 + (4 + 2) , οπότε γενικά, για οποιουσδήποτε αριθµούς α, β, γ ισχύει: α+β=β+α και (α+β)+γ=α+(β+γ)
στ. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τα γινόµενα, του πολλαπλασιασµού των µονοψηφίων φυσικών αριθµών. •
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
4
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
6
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
7
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
8
0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
9
0
9
18
27
36
45
54
63
72
81
i. ii. iii. iv.
Τι παρατηρείτε για τον πολλαπλασιασµό µε το 0 και το 1; Πόσοι αριθµοί πολλαπλασιάζονται κάθε φορά; ∆ύο αριθµοί έχουν γινόµενο 27 και πηλίκο 3. Μπορείτε να τους βρείτε; Να συγκρίνετε τα γινόµενα 3 ⋅ 6 και 6 ⋅ 3 και µετά τα (5 ⋅ 4) ⋅ 2 και 5 ⋅ (4 ⋅ 2) .
v.
Να διατυπώσετε τα συµπεράσµατα σας.
" Απάντηση i. ii.
22
Παρατηρούµε ότι για οποιονδήποτε αριθµό α ισχύει: α ⋅ 0 = 0 ⋅ α = 0 και α ⋅ 1 = 1 ⋅ α = α ∆ύο αριθµοί.
9 = 3. 3 iv. Είναι 3 ⋅ 6 = 6 ⋅ 3 = 18 και (5 ⋅ 4) ⋅ 2 = 40 = 5 ⋅ (4 ⋅ 2) .
iii. Είναι 3 ⋅ 9 = 27 και
v.
Για οποιουσδήποτε αριθµούς α, β, γ ισχύει: α ⋅ β = β ⋅ α και (α ⋅ β) ⋅ γ=α ⋅ (β ⋅ γ)
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 2ç Σε όλο το µήκος του εθνικού δρόµου Αθήνας – Αλεξανδρούπολης υπάρχουν χιλιοµετρικές ενδείξεις. Οι ενδείξεις αυτές γράφουν: στη Λαµία 214, στη Λάρισα 326, στη Κατερίνη 445, στη Θεσσαλονίκη 514, στη Καβάλα 677, στη Ξάνθη 732, στη Κοµοτηνή 788 και στην Αλεξανδρούπολη 854. Μπορείτε να βρείτε τις µεταξύ των πόλεων αποστάσεις;
" Λύση Η απόσταση Λαµία – Λάρισα είναι: 362 − 214 = 152 χιλιόµετρα. Λαµία – Κατερίνη είναι: 445 − 214 = 231 χιλιόµετρα. Λαµία – Θεσσαλονίκη είναι: 514 − 214 = 300 χιλιόµετρα. Λαµία – Καβάλα είναι: 677 − 214 = 463 χιλιόµετρα. Λαµία – Ξάνθη είναι: 732 − 214 = 518 χιλιόµετρα. Λαµία – Κοµοτηνή είναι: 788 − 214 = 574 χιλιόµετρα. Λαµία – Αλεξανδρούπολη είναι: 854 − 214 = 640 χιλιόµετρα. Η απόσταση Λάρισα – Κατερίνη είναι: 445 − 362 = 83 χιλιόµετρα. Λάρισα – Θεσσαλονίκη είναι: 514 − 362 = 152 χιλιόµετρα. Λάρισα – Καβάλα είναι: 677 − 362 = 315 χιλιόµετρα. Λάρισα – Ξάνθη είναι: 732 − 362 = 370 χιλιόµετρα. Λάρισα – Κοµοτηνή είναι: 788 − 362 = 426 χιλιόµετρα. Λάρισα – Αλεξανδρούπολη είναι: 854 − 362 = 492 χιλιόµετρα. Η απόσταση Κατερίνη – Θεσσαλονίκη είναι: 514 − 445 = 69 χιλιόµετρα. Κατερίνη – Καβάλα είναι: 677 − 445 = 232 χιλιόµετρα. Κατερίνη – Ξάνθη είναι: 732 − 445 = 287 χιλιόµετρα. Κατερίνη – Κοµοτηνή είναι: 788 − 445 = 343 χιλιόµετρα. Κατερίνη – Αλεξανδρούπολη είναι: 854 − 445 = 409 χιλιόµετρα. Η απόσταση Θεσσαλονίκη – Καβάλα είναι: 677 − 514 = 163 χιλιόµετρα. Θεσσαλονίκη – Ξάνθη είναι: 732 − 514 = 218 χιλιόµετρα. Θεσσαλονίκη – Κοµοτηνή είναι: 788 − 514 = 274 χιλιόµετρα. Θεσσαλονίκη – Αλεξανδρούπολη είναι: 854 − 514 = 340 χιλιόµετρα.
23
Η απόσταση Καβάλα – Ξάνθη είναι: 732 − 677 = 55 χιλιόµετρα. Καβάλα – Κοµοτηνή είναι: 788 − 677 = 111 χιλιόµετρα. Καβάλα – Αλεξανδρούπολη είναι: 854 − 677 = 177 χιλιόµετρα. Η απόσταση Ξάνθη – Κοµοτηνή είναι: 788 − 732 = 56 χιλιόµετρα. Ξάνθη – Αλεξανδρούπολη είναι: 854 − 732 = 122 χιλιόµετρα. Η απόσταση Κοµοτηνή – Αλεξανδρούπολη είναι: 854 − 788 = 66 χιλιόµετρα.
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 3ç Ο Σπύρος υπολόγισε µε το µυαλό του το εµβαδόν του διπλανού σχήµατος και το βρήκε 1600 τετραγωνικά χιλιοστά. Να υπολογίσετε και εσείς το εµβαδόν και να εξηγήσετε πως ακριβώς το βρήκατε.
62 16
38 16
" Λύση 1ος τρόπος: Το σχήµα αποτελείται από δύο ορθογώνια. Το ένα ορθογώνιο έχει µήκος 16 και πλάτος 38 χιλιοστά και το εµβαδόν του είναι: E1 = 16 ⋅ 38 = 16 ⋅ (40 − 2) = 16 ⋅ 40 − 16 ⋅ 2 =
62 16
38
= 640 − 32 = 608 τετραγωνικά χιλιοστά. Το άλλο ορθογώνιο έχει µήκος 62 χιλιοστά, πλάτος 16 16 χιλιοστά και εµβαδόν E2 = 16 ⋅ 62 = 16 ⋅ (60 + 2) = 16 ⋅ 60 + 16 ⋅ 2 = 960 + 32 = 992 τετραγωνικά χιλιοστά.
Εποµένως, το εµβαδόν όλου του σχήµατος είναι: 608 + 992 = 1600 τετραγωνικά χιλιοστά. 2ος τρόπος: E2 = 16 ⋅ 38 + 16 ⋅ 62 = 16 ( 38 + 62 ) = 16 ⋅ 100 = 1600 τετραγωνικά χιλιοστά.
24
1.
Να συµπληρωθούν τα παρακάτω κενά: α. Η ιδιότητα α+β=β+α λέγεται αντιµεταθετική. β. Η ιδιότητα α + β + γ = α + (β + γ) = (α + β) + γ λέγεται προσεταιριστική. γ. Ο αριθµός που προστίθεται σε αριθµό α και δίνει άθροισµα τον α λέγεται µηδέν. δ. Το αποτέλεσµα της αφαίρεσης λέγεται διαφορά. ε. Σε µία αφαίρεση οι αριθµοί Μ, Α και ∆ συνδέονται µε τη σχέση: Μ− Α = ∆ στ. Η ιδιότητα α ⋅ β = β ⋅ α λέγεται αντιµεταθετική. ζ. Η ιδιότητα α ⋅ (β ⋅ γ) = (α ⋅ β) ⋅ γ λέγεται προσεταιριστική. η. Η ιδιότητα α ⋅ (β + γ) = α ⋅ β+α ⋅ γ λέγεται επιµεριστική.
2.
Να συµπληρωθούν τα γινόµενα: α. 52 ⋅ Χ = 5.200 β.
37 ⋅ Χ = 370
γ. 490 ⋅ Χ = 4.900.000
" Λύση α. Ο ζητούµενος αριθµός είναι το πηλίκο 5.200 : 52 = 100 . ∆ηλαδή 52 ⋅ 100 = 5.200 β. Ο ζητούµενος αριθµός είναι το πηλίκο 370 : 37 = 10 . ∆ηλαδή 37 ⋅ 10 = 370 γ. Ο ζητούµενος αριθµός είναι το πηλίκο 4.900.000 : 490 = 10.000 . ∆ηλαδή 490 ⋅ 10.000 = 4.900.000 3.
Να συµπληρωθούν τα κενά µε τους κατάλληλους αριθµούς, ώστε να προκύψουν σωστά αθροίσµατα: X5 X 5 X58 2 4X 5 α. + 7 5 X 1
β. + 5 2 X
X1 X 73
X X1 0
γ. +
7 5 X 4X 9 3
25
" Λύση α.
Για το ψηφίο που βρίσκεται κάτω από το 8, έχουµε: 8+;=17 . Οπότε κάτω από το 8 είναι το 9. Τότε 5 + 5 + 1 = 11 οπότε κάτω από το 5 είναι το 1. Τέλος 1+;+7=11 οπότε πάνω από το 7 είναι το 3 και στην πρώτη θέση στο αποτέλεσµα µπαίνει το 1. 1 1 35 8 2 + 75 9 1 111 73
β.
Για το ψηφίο κάτω από το 5 έχουµε: 5+;=10 . Οπότε κάτω από το 5 έχουµε το 5 γιατί 5 + 5 = 10 . Τότε 2+;+1=11 οπότε πάνω από το 2 είναι το 8. Τότε κάτω από τη γραµµή έχουµε: 1 + 4 + 5 = 10 1 1 4 8 5
+5 2 5 1 0 1 0
γ.
Για το ψηφίο κάτω από το 5 έχουµε: 5+;=13 . Οπότε κάτω από το 5 είναι το 8, γιατί 5 + 8 = 13 . Τότε 1+;+2=9 , οπότε πάνω από το 2 είναι το 6. Είναι 5 + 5 = 10 οπότε κάτω από τη γραµµή µπαίνει το µηδέν. Επειδή 1 + 3 = 4 , στο πρώτο κουτί του πρώτου αριθµού µπαίνει το 3. 1 1
3 5 6 5 +
5 2 8 4 0 9 3
4.
26
Να αντιστοιχίσετε κάθε πρόταση της στήλης Α µε ένα από τα αποτελέσµατα που υπάρχουν στη στήλη Β.
Στήλη Α
Στήλη Β
1+2+3+4
14
1+2+3 4
24
1 2+3 4
10
1 2 3 4
15
5.
Να τοποθετηθεί ένα «x» στην αντίστοιχη θέση. α. 157 + 33 = 190 X 200 X
180 X
β. 122 + 25 + 78 =
200 X
250 X
225 X
γ. 785 − 323 =
462 X
485 X
562 X
2724 X
2627 X
2726 X
60 + 18 − 2 X
(60 − 18) − 2 X
60 − 18 + 2 X
52 − (11 + 9) X
(52 − 11) − 9 X
52 − 20 X
230 X
240 X
2300 X
190 X
200 X
180 X
87900 X
879000 X
880000 X
δ. 7.321 − 4.595 = ε. 60 − (18 − 2) = στ. 52 − 11 − 9 = ζ.
23 ⋅ 10 =
η. 157 + 33 = θ. 879 ⋅ 1000 = 6.
Να υπολογιστούν τα παρακάτω γινόµενα µε χρήση της επιµεριστικής ιδιότητας: α. 3 ⋅ 13 β. 7 ⋅ 11 γ. 45 ⋅ 12 δ. 12 ⋅ 101 στ. 4 ⋅ 111 ζ. 34 ⋅ 99 η. 58 ⋅ 98 ε. 5 ⋅ 110
" Λύση α. 3 ⋅ 13 = 3 ⋅ (10 + 3) = 3 ⋅ 10 + 3 ⋅ 3 = 30 + 9 = 39 β. 7 ⋅ 11 = 7 ⋅ (10 + 1) = 7 ⋅ 10 + 7 ⋅ 1 = 70 + 7 = 77 γ. 45 ⋅ 12 = 45 ⋅ (10 + 2) = 45 ⋅ 10 + 45 ⋅ 2 = 450 + 90 = 540 δ. 12 ⋅ 101 = 12 ⋅ (100 + 1) = 12 ⋅ 100 + 12 ⋅ 1 = 1200 + 12 = 1212 ε. 5 ⋅ 110 = 5 ⋅ (100 + 10) = 5 ⋅ 100 + 5 ⋅ 10 = 500 + 50 = 550 στ. 4 ⋅ 111 = 4 ⋅ (100 + 11) = 4 ⋅ 100 + 4 ⋅ 11 = 400 + 44 = 444 ζ. 34 ⋅ 99 = 34 ⋅ (100 − 1) = 34 ⋅ 100 − 34 ⋅ 1 = 3400 − 34 = 3336 η. 58 ⋅ 98 = 58 ⋅ (100 − 2) = 58 ⋅ 100 − 58 ⋅ 2 = 5800 − 116 = 5684 7.
Να υπολογιστεί το εµβαδόν του διπλανού σχήµατος χρησιµοποιώντας κατάλληλα την επιµεριστική ιδιότητα.
14
2 2
3
2
2
3
2
" Λύση α΄
τρόπος Το σχήµα αποτελείται από 3 ορθογώνια. Το ένα έχει πλάτος 2, µήκος 14 και εµβαδόν 2 ⋅ 14 , ενώ τα άλλα δύο έχουν µήκος 2, πλάτος 3 και εµβαδόν 2 ⋅ 3 . Το συνολικό εµβαδόν είναι: E = 2 ⋅ 14 + 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 = 2(14 + 3 + 3) = 2 ⋅ 20 = 40
27
β΄
τρόπος Το σχήµα αποτελείται από τα ορθογώνια Α, Β, Γ των οποίων η µία διάσταση είναι ίση µε 2.
14
A
2 2 3
B
Τοποθετώντας τα, το ένα δίπλα 14 2 A στο άλλο όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα, δηµιουργείται ένα ορθογώνιο µε πλάτος 2 και µήκος 14 + 3 + 3 = 20, οπότε το εµβαδόν του είναι: 2 ⋅ 20 = 40 .
8.
2 3
Γ
3
B
3
Γ
Αγοράσαµε διάφορα σχολικά είδη που κοστίζουν;156€ , 30€, 38€, 369€, και 432€. α. Να υπολογίσετε πρόχειρα αν αρκούν 1000€ για να πληρώσουµε τα είδη που αγοράσαµε. β. Να βρείτε πόσα ακριβώς χρήµατα θα πληρώσουµε.
" Λύση α.
Πρόχειρα: 150 + 30 + 40 + 370 + 430 = 1020 € ∆ηλαδή, µάλλον δεν αρκούν τα 1000€.
β.
156 30 38 369 + 432 1025 Πρέπει να πληρώσουµε 1025€. 9.
28
Ο Νίκος κατέβηκε για ψώνια µε 160€. Σε ένα µαγαζί βρήκε ένα πουκάµισο που κόστιζε 35€, ένα παντελόνι που κόστιζε 48€ και ένα σακάκι που κόστιζε 77€. Του φτάνουν τα χρήµατα για να τα αγοράσει όλα;
" Λύση Ο Νίκος για να τα αγοράσει όλα χρειάζεται: 35 + 48 + 77 = 160 € Οπότε ο Νίκος έχει ακριβώς τα χρήµατα που χρειάζεται. 10. Σε ένα αρτοποιείο έφτιαξαν µία µέρα 120 κιλά άσπρο ψωµί, 135 κιλά χωριάτικο, 25 κιλά σικάλεως και 38 κιλά πολύσπορο. Πουλήθηκαν 107 κιλά άσπρο ψωµί, 112 κιλά χωριάτικο, 19 κιλά σικάλεως και 23 κιλά πολύσπορο. Πόσα κιλά ψωµί έµειναν απούλητα;
" Λύση Το αρτοποιείο εκείνη την ηµέρα είχε φτιάξει: 120 + 135 + 25 + 38 = 318 κιλά ψωµί. Πούλησε: 107 + 112 + 19 + 23 = 261 κιλά ψωµί. Οπότε έµειναν απούλητα: 318 − 261 = 57 κιλά ψωµί. 11. Ο Άρης γεννήθηκε το 1983 και είναι 25 χρόνια µικρότερος από τον πατέρα του. α. Πόσων χρονών είναι ο Άρης σήµερα; β. Πότε γεννήθηκε ο πατέρας του;
" Λύση α. Ο Άρης το .... είναι: …. −1983 = .. χρονών (π.Χ. το έτος 2007 θα είναι 2007 – 1983 = 24 χρονών). β. Ο πατέρας του Άρη γεννήθηκε το 1983 − 25 = 1958 12. Ένα σχολείο έχει 12 αίθουσες διδασκαλίας. Οι 7 χωράνε από 20 διπλά θρανία και οι υπόλοιπες από 12 διπλά θρανία. Στο σχολείο εγγράφηκαν: στην Α΄ τάξη 80 παιδιά, στη Β΄ τάξη 58 παιδιά και στη Γ΄ τάξη 61 παιδιά. Επαρκούν οι αίθουσες για τα παιδιά αυτού του Γυµνασίου;
" Λύση Οι 7 αίθουσες που έχουν τα 20 διπλά θρανία, χωράνε: 20 ⋅ 2 = 40 παιδιά η καθεµία, δηλαδή και οι 7 χωράνε 7 ⋅ 40 = 280 παιδιά. Οι υπόλοιπες 5 αίθουσες που έχουν από 12 διπλά θρανία χωράνε: 12 ⋅ 2 = 24 παιδιά η κάθε µία και 24 ⋅ 5 = 120 παιδιά και οι πέντε. Οπότε συνολικά στο σχολείο αυτό χωράνε: 280 + 140 = 420 παιδιά. Στο σχολείο εγγράφηκαν: 80 + 58 + 61 = 199 παιδιά, οπότε οι αίθουσες επαρκούν.
29
13. Να βρείτε το άθροισµα: 55 + 37 + 9 + 45 + 11 + 63 χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες της πρόσθεσης.
" Λύση 55 + 37 + 9 + 45 + 11 + 63 = = (55 + 45) + (37 + 63) + (11 + 9) = = 100 + 100 + 20 = 220 . 14. Ποιόν αριθµό πρέπει να αφαιρέσουµε από το 589 για να βρούµε διαφορά 132;
" Λύση Γνωρίζουµε ότι αν Μ − Α = ∆ τότε: Μ = Α+∆ και Μ − ∆ = Α Οπότε ο ζητούµενος αριθµός είναι: 589 − 132 = 457 . 15. Να τοποθετηθεί ένα «x» στην αντίστοιχη θέση. Σωστό
Λάθος
α. Η πράξη 193 + 128 − 256 δίνει αποτέλεσµα 65.
X
X
β. Η διαφορά δύο περιττών αριθµών είναι περιττός. γ. Η πράξη 60 − (18 − 2) δίνει το ίδιο αποτέλεσµα µε
X
X
X
X
X
X
X
X
την πράξη 60 − 18 − 2 δ. Αν ο µειωτέος είναι 325 και ο αφαιρετέος µικρότερος του 100, τότε η διαφορά θα είναι
αριθµός µεγαλύτερος του 224. ε. Ο Γιώργος έγραψε 5 + 3 ⋅ 4 = 8 ⋅ 4 = 32 16. Να γίνουν, µε δύο τρόπους οι πράξεις (13 + 7) ⋅ (12 + 8)
" Λύση ος
1 τρόπος 2ος τρόπος
(13 + 7) ⋅ (12 + 8) = 20 ⋅ 20 = 400 (13 + 7) ⋅ (12 + 8) = 20 ⋅ (12 + 8) = = 20 ⋅ 12 + 20 ⋅ 8 = = 240 + 160 = 400
30
17. Να γίνουν οι πράξεις: α. 237 ⋅ 7 + 237 ⋅ 3 β. 67 ⋅ 108 − 67 ⋅ 8
" Λύση α. 237 ⋅ 7 + 237 ⋅ 3 = 237 ⋅ (7 + 3) = 237 ⋅ 10 = 2.370 β. 67 ⋅ 108 − 67 ⋅ 8 = 67 ⋅ (108 − 8) = 67 ⋅ 100 = 6.700 18. Να υπολογιστούν τα γινόµενα: β. 25 ⋅ 110 α. 12 ⋅ 101 ε. 63 ⋅ 99 δ. 12 ⋅ 999
γ. 52 ⋅ 99
" Λύση α. β. γ. δ. ε.
12 ⋅ 101 = 12 ⋅ (100 + 1) = 12 ⋅ 100 + 12 ⋅ 1 = 1200 + 12 = 1212 25 ⋅ 110 = 25 ⋅ (100 + 10) = 25 ⋅ 100 + 25 ⋅ 10 = 2500 + 250 = 2750 52 ⋅ 99 = 52 ⋅ (100 − 1) = 52 ⋅ 100 − 52 ⋅ 1 = 5200 − 52 = 5148 12 ⋅ 999 = 12 ⋅ (1000 − 1) = 12 ⋅ 1000 − 12 ⋅ 1 = 12000 − 12 = 11988 63 ⋅ 99 = 63 ⋅ (100 − 1) = 63 ⋅ 100 − 63 ⋅ 1 = 6300 − 63 = 6237
31
19. Να συµπληρώσετε τις τρεις πρώτες στήλες του παρακάτω πίνακα µε διάφορους µονοψήφιους και διψήφιους αριθµούς και να υπολογίσετε τα αθροίσµατα της 4ης και 5ης στήλης. α
β
γ
(α + β) + γ
α+(β + γ)
20. Να συµπληρώσετε τις τρεις πρώτες στήλες του παρακάτω πίνακα µε διάφορους αριθµούς και να υπολογίσετε τα γινόµενα της 4ης και 5ης στήλης. α
β
γ
(α ⋅ β) ⋅ γ
α ⋅ (β ⋅ γ)
21. Να γίνουν οι πράξεις: 37 − (12 − 5) , 37 − 12 + 5 , (37 − 12) + 5 .
(Απ.: 30, 30, 30) 22. Να συµπληρώσετε τα κενά: 52
–
– 37
= 18
– –
=… 23. Να υπολογίσετε τα γινόµενα: α. 14 ⋅ 11 , β. 25 ⋅ 19 , ε. 68 ⋅ 99 , στ. 38 ⋅ 999 ,
32
…
25
=…
=…
γ. 25 ⋅ 101 , ζ. 72 ⋅ 1002 .
δ. 83 ⋅ 90 ,
24. Ένα παιδί υπολόγισε το γινόµενο 3 ⋅ 5 ⋅ 22 ⋅ 51 ως εξής: 3 ⋅ 5 ⋅ 22 ⋅ 51 = 15 ⋅ 66 ⋅ 51 = 990 ⋅ 51 = 50.490 α. Πως θα ελέγξουµε το αποτέλεσµα; β. Υπάρχει λάθος σε κάποιο σηµείο; 25. Να υπολογιστεί το άθροισµα επτά διαδοχικών ακεραίων, όταν ο 4ος είναι το 25. (Απ.: 147) 26. Να υπολογιστεί το άθροισµα 6 διαδοχικών περιττών, όταν ο 3ος είναι το 17. (Απ.: 108) 27. Να συµπληρώσετε τα κενά: X X X X 3 7 5 8 6 0 2 α. β. − X X X X + 1 5 0 4 1 0 6 8 4 3 3 1 X 9
X
X
δ. + 1 X 4
ε. −
5 5 2
X X X X
γ. − 2 4 7 5 8 0 4
X 9 3 9
Χ 7
9
1 X
X 9 X 7 στ. +
4 6
X
4 X 9
1
28. Να συµπληρώσετε τα κενά: α. 28 ⋅ XX = 280 β. 372 ⋅ XXXX = 372.000 γ. 140 ⋅ XXX = 14.000 29. Να αντιστοιχίσετε κάθε παράσταση της πρώτης στήλης µε ένα από τα αποτελέσµατα που υπάρχουν στη δεύτερη στήλη.
3+2+5+6
•
•
35
3 + 2 + 5⋅6
•
•
36
3⋅2 + 5⋅6
•
•
16
3⋅2⋅5⋅6
•
•
180
33
30. Να βρείτε τα ψηφία α και β στις παρακάτω προσθέσεις; αβ αβ αβ αβ α. + βα β. + βα γ. + βα δ. + βα
99
132
110
154
31. Να γίνουν οι πράξεις: α. 28 − 14 + 95 + 7 − 89 − 11 β. 65 − 64 + 91 − 36 γ. (35 − 33 + 88) − (35 − 28 − 3) δ. 18 + [ 21 − (9 − 6) + (17 − 8) − (35 − 29)]
(Απ.: α. 16 β. 56 γ. 86 δ. 39) 32. Τι θα συµβεί στη διαφορά δύο αριθµών αν: α. Αυξήσουµε το µειωτέο κατά 8. β. Αυξήσουµε τον αφαιρετέο κατά 8. γ. Αυξήσουµε τον µειωτέο κατά 8 και τον αφαιρετέο κατά 5. δ. Αυξήσουµε τον µειωτέο κατά 5 και τον αφαιρετέο κατά 8. 33. Αγοράσαµε από το super market, διάφορα είδη που κόστιζαν: 3€, 14€, 27€, 32€, 31€. Αν είχαµε µαζί µας 100€, θα µας έφταναν τα χρήµατα; (Απ.: όχι) 34. Αν µου έδινε κάποιος 1.530€ θα µπορούσα να πληρώσω ένα χρέος 3.250€ και θα µου περίσσευαν και 60€. Πόσα χρήµατα είχα αρχικά; (Απ.: 1.780€) 35. Ένας ψαράς ψάρεψε µία µέρα 150 λυθρίνια, 82 µπαρµπούνια και 138 λαβράκια. Μόλις έφτασε στο λιµάνι πούλησε 153 λυθρίνια, 67 µπαρµπούνια και 129 λαβράκια. Πόσα ψάρια συνολικά έµειναν απούλητα; (Απ.: 39)
34
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ Ο Κωστάκης, η Ρένα και ο ∆ηµήτρης έκαναν τις πράξεις στην αριθµητική παράσταση: 8 ⋅ ( 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 6 ) + 5 ( 7 + 7 ⋅ 9 ) + 10 και βρήκαν ο καθένας διαφο-
ρετικό αποτέλεσµα. Ο Κωστάκης βρήκε 1.321, η Ρένα 600 και ο ∆ηµήτρης 180. Βρες ποιο από τα τρία αποτελέσµατα είναι το σωστό. Μπορείς να µαντέψεις µε ποια σειρά έκανε ο καθένας τις πράξεις; ∆ιατύπωσε έναν κανόνα για την προτεραιότητα που πρέπει να τηρούµε, όταν κάνουµε πράξεις σε µία αριθµητική παράσταση.
" Λύση 8 ⋅ ( 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 6 ) + 5 ( 7 + 7 ⋅ 9 ) + 10 = = 8 ⋅ ( 6 + 24 ) + 5 ( 7 + 63 ) + 10 =
= 8 ⋅ 30 + 5 ⋅ 70 + 10 = = 240 + 350 + 10 = 600 Σωστό είναι το αποτέλεσµα της Ρένας. Ο Κωστάκης έκανε πρώτα τις προσθέσεις µέσα στις παρενθέσεις και βρήκε 1.312. Κωστάκης: 8 ⋅ ( 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 6 ) + 5 ( 7 + 7 ⋅ 9 ) + 10 = = 8 ⋅ ( 2 ⋅ 7 ⋅ 6 ) + 5 (14 ⋅ 9 ) + 10 = = 8 ⋅ 84 + 5 ⋅ 126 + 10 = = 672 + 630 + 10 = 1312 Ο ∆ηµήτρης δεν έλαβε υπόψιν τις παρενθέσεις και βρήκε αποτέλεσµα 180. 8 ⋅ ( 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 6 ) + 5 ( 7 + 7 ⋅ 9 ) + 10 = = 8 ⋅ 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 6 + 5 ⋅ 7 + 7 ⋅ 9 + 10 = = 48 + 24 + 35 + 63 + 10 = 180 Η σειρά µε την οποία πρέπει να κάνουµε τις πράξεις σε µία αριθµητική παράσταση (προτεραιότητα πράξεων) είναι η ακόλουθη: 1. Υπολογισµός δυνάµεων. 2. Εκτέλεση πολλαπλασιασµών και διαιρέσεων. 3. Εκτέλεση προσθέσεων και αφαιρέσεων. Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις µε την παραπάνω σειρά.
35
1.
2.
Συµπλήρωσε στον πίνακα τα τετράγωνα και τους κύβους των αριθµών: α
8
9
10
11
12
13
14
15
α2
64
81
100
121
144
169
196
225
α3
512
729
1000
1331
1728
2197
2744
3375
α
15
16
17
18
19
20
25
α2
225
256
289
324
361
400
625
α3
3375
4096
4913
5832
6859
8000
15625
Γράψε µε τη µορφή δυνάµεων τα γινόµενα: α. 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 β. 8⋅8⋅8⋅8⋅8⋅8⋅6⋅6⋅6 δ. α⋅α⋅α⋅α γ. 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ε. x ⋅ x ⋅ x στ. 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ α ⋅ α ⋅ α
" Λύση α. 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 56 γ. 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 16 ε. x ⋅ x ⋅ x = x 3 3.
β. δ. στ.
8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 86 ⋅ 6 3 α ⋅ α ⋅ α ⋅ α = α4 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ α ⋅ α ⋅ α = 24 ⋅ α 3
Υπολόγισε τις δυνάµεις: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210.
" Λύση 2 =2 22 = 2 ⋅ 2 = 4 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 25 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32 26 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 64 27 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 128 28 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 256 29 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 512 210 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 1024 1
36
4.
Να βρείτε τα τετράγωνα των αριθµών: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 και 90.
" Λύση 102 = 100 402 = 1600 702 = 4900
5.
202 = 400 502 = 2500 802 = 6400
302 = 900 602 = 3600 902 = 8100
Βρες τους κύβους των αριθµών: 10, 20, 30, 40, 50.
" Λύση 10 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1000 203 = 20 ⋅ 20 ⋅ 20 = 8000 303 = 30 ⋅ 30 ⋅ 30 = 27000 403 = 40 ⋅ 40 ⋅ 40 = 64000 503 = 50 ⋅ 50 ⋅ 50 = 125000 3
6.
Κάνε τις πράξεις: β. 3 ⋅ 5 2 + 2 α. 3 ⋅ 5 2 ε. 3 ⋅ ( 5 + 2 )
δ. 3 ⋅ 5 + 22
γ. 3 ⋅ 52 + 22 , 2
" Λύση α. β. γ. δ.
3 ⋅ 52 = 3 ⋅ 25 = 75 3 ⋅ 52 + 2 = 3 ⋅ 25 + 2 = 75 + 2 = 77 3 ⋅ 52 + 22 = 3 ⋅ 25 + 4 = 75 + 4 = 79 3 ⋅ 5 + 22 = 3 ⋅ 5 + 4 = 15 + 4 = 19
ε. 3 ⋅ ( 5 + 2 ) = 3 ⋅ 72 = 3 ⋅ 49 = 147 2
7.
Κάνε τις πράξεις: α. 32 + 3 3 + 23 + 24 β. (13 − 2 ) + 5 ⋅ 3 2 4
" Λύση α. 32 + 33 + 23 + 24 = 9 + 27 + 8 + 16 = 60 β.
(13 − 2 )
4
+ 5 ⋅ 32 = 114 + 5 ⋅ 32 =
= 14641 + 5 ⋅ 9 = = 14641 + 45 = = 14686
37
8.
Να βρείτε τις τιµές των παραστάσεων: α. β.
(6 + 5) 2 (3 + 6) 2
και 6 2 + 5 2 και 3 2 + 6 2 . Τι παρατηρείς;
" Λύση α. β.
( 6 + 5 ) = 112 = 121 και 62 + 52 = 36 + 25 = 61 2 ( 3 + 6 ) = 92 = 81 και 32 + 62 = 9 + 36 = 45 2
Παρατηρούµε ότι το τετράγωνο του αθροίσµατος δύο αριθµών είναι διαφορετικό από το άθροισµα των τετραγώνων τους. 9.
Γράψε πιο σύντοµα τα παρακάτω αθροίσµατα και γινόµενα: α. α + α + α β. α ⋅ α ⋅ α γ. x + x + x + x δ. x ⋅ x ⋅ x ⋅ x
" Λύση α. α + α + α = 3α γ. x + x + x + x = 4x
β. α ⋅ α ⋅ α = α3 δ. x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = x 4
10. Γράψε τους παρακάτω αριθµούς: α. 34.720 β. 123.654 γ. 890.650 σε αναπτυγµένη µορφή µε χρήση των δυνάµεων του 10.
" Λύση α. 34720 = 3 ⋅ 10000 + 4 ⋅ 1000 + 7 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 = = 3 ⋅ 104 + 4 ⋅ 103 + 7 ⋅ 102 + 2 ⋅ 101 β. 123654 = 1 ⋅ 100000 + 2 ⋅ 10000 + 3 ⋅ 1000 + 6 ⋅ 100 + 5 ⋅ 10 + 4 = = 1 ⋅ 105 + 2 ⋅ 104 + 3 ⋅ 103 + 6 ⋅ 102 + 5 ⋅ 101 + 4 = γ. 890650 = 8 ⋅ 100000 + 9 ⋅ 10000 + 0 ⋅ 1000 + 6 ⋅ 100 + 5 ⋅ 10 = = 8 ⋅ 105 + 9 ⋅ 104 + 6 ⋅ 102 + 5 ⋅ 101 = 11. Αντιστοίχισε τα αποτελέσµατα που υπάρχουν στο δεύτερο πίνακα µε το εξαγόµενο των πράξεων κάθε γραµµής του πρώτου πίνακα.
(1 + 2 ) ⋅ ( 3 + 4 ) 1⋅ ( 2 + 3 ⋅ 4 ) (1 ⋅ 2 + 3 ) ⋅ 4 1 + (2 + 3) ⋅ 4
38
20 21 9 14
" Λύση (1 + 2 ) ⋅ ( 3 + 4 ) = 3 ⋅ 7 = 21 1 ⋅ ( 2 + 3 ⋅ 4 ) = 1 ⋅ ( 2 + 12 ) = 1 ⋅ 14 = 14 (1 ⋅ 2 + 3 ) ⋅ 4 = ( 2 + 3 ) ⋅ 4 = 5 ⋅ 4 = 20 1 + ( 2 + 3 ) ⋅ 4 = 1 + 5 ⋅ 4 = 1 + 20 = 21
Άρα
12. Αντιστοίχισε τα αποτελέσµατα που υπάρχουν στο δεύτερο πίνακα µε την αριθµητική παράσταση κάθε γραµµής του πρώτου πίνακα. 2 + 2⋅2
150
3 + 3⋅3
68
4 + 4⋅4⋅4
16
5 + 5⋅5 + 5⋅5
6
5⋅5 + 5⋅5⋅5
12
4 + 4⋅4 −4
55
" Λύση 2 + 2⋅2 = 2 + 4 = 6 3 + 3 ⋅ 3 = 3 + 9 = 12 4 + 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 4 + 64 = 68 5 + 5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 5 = 5 + 25 + 25 = 55 5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 25 + 125 = 150 4 + 4 ⋅ 4 − 4 = 4 + 16 − 4 = 16 Άρα
39
13. Γράψε σε ανεπτυγµένη µορφή µε βάση το 10, τον αριθµό 2591.
" Λύση 2591 = 2 ⋅ 1000 + 5 ⋅ 100 + 9 ⋅ 10 + 1 = = 2 ⋅ 103 + 5 ⋅ 102 + 9 ⋅ 10 + 1 = 14. Ποιος είναι αριθµός 5 ⋅ 10 6 + 3 ⋅ 10 4 + 2 ⋅ 10 + 4;
" Λύση 5 ⋅ 106 + 3 ⋅ 104 + 2 ⋅ 10 + 4 = = 5 ⋅ 1000000 + 3 ⋅ 10000 + 2 ⋅ 10 + 4 = = 5000000 + 30000 + 20 + 4 = 5030024 15. Ποια δύναµη του 10 είναι οι αριθµοί: α. 1.000.000 β. 1.000
" Λύση α. Ο αριθµός 1.000.000 έχει 6 µηδενικά, οπότε: 1.000.000 = 106 β. Ο αριθµός 1.000 έχει 3 µηδενικά, οπότε: 1.000 = 103
40
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÅÓ 1.
ÃÉÁ ÔÏ ÓÐÉÔÉ
Χρησιµοποίησε µόνο τα σύµβολα + και . και τις παρενθέσεις «(, « , »,)» για να συµπληρώσεις τις γραµµές ώστε να προκύψουν σωστές ισότητες. 1
2
3
4
= 13
1
2
3
4
= 14
1
2
3
4
= 15
1
2
3
4
= 36
" Λύση (1 + 2 ) ⋅ 3 + 4 = 9 + 4 = 13 1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 = 2 + 12 = 14 1 + 2 ⋅ ( 3 + 4 ) = 1 + 2 ⋅ 7 = 1 + 14 = 15
(1 + 2 ) ⋅ 3 ⋅ 4 = 3 ⋅ 3 ⋅ 4 = 36 2.
Συµπλήρωσε τα τετράγωνα.
20
18 17
26 27
1 25
3
23
9
18
36
18
72 24
14
" Λύση 20
19
18
26
24
22
1
3
9
18
36
72
18
17
16
27
25
23
2
6
18
6
12
24
16
15
14
28
26
24
4
12
36
2
4
8
41
16. Να συµπληρώσεις στον παρακάτω πίνακα τα τετράγωνα και τους κύβους των αριθµών: α
2
3
4
5
6
7
21
22
α2 α3 17. Γράψε µε τη µορφή δυνάµεων τα γινόµενα: β. 13 ⋅ 13 ⋅ 13 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 α. 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ε. 12 ⋅ 12 ⋅ 12 ⋅ κ ⋅ κ γ. y ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ y ⋅ y δ. ω ⋅ ω 18. Να υπολογίσεις τις δυνάµεις: 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37. 19. Κάνε τις πράξεις: β. 2 ⋅ 4 2 + 7 α. 2 ⋅ 4 2 ε. 2 ⋅ ( 4 + 7 )
δ. 2 ⋅ 4 + 72
γ. 2 ⋅ 4 2 + 72 2
20. Κάνε τις πράξεις: α. 4 2 + 4 3 + 52 + 53
β.
(4 + 2)
2
+ 3 ⋅ 52
2
και 22 + 6 2
21. Βρες τις τιµές των παραστάσεων: α.
(3 + 4)
2
και 32 + 4 2
β.
(2 + 6)
22. Υπολόγισε τις δυνάµεις: β. 25 και 52 α. 34 και 4 3 23. Γράψε τα παρακάτω αθροίσµατα και γινόµενα: α. ω + ω + ω + ω + ω β. ω ⋅ ω ⋅ ω ⋅ ω ⋅ ω γ. x + x + x δ. x ⋅ x ⋅ x 24. Γράψε µε τη µορφή δυνάµεων τους αριθµούς: α. 9 β. 25 γ. 100 δ. 1000 ε. 1.000.000 στ. 27 ζ. 125
42
30
25. Υπολόγισε: α. τη διαφορά του διπλάσιου του 2,5 από το τετράγωνο του 2,5 β. τη διαφορά του κύβου 0,5 από το τριπλάσιο του 0,5. 26. Γράψε σε ανεπτυγµένη µορφή, µε τη βοήθεια των δυνάµεων του 10, τους αριθµούς. α. 3854 β. 21.040 γ. 804.931 δ. 3.281.018
43
1.
Να κάνεις τις ακόλουθες διαιρέσεις και τις δοκιµές τους: α. 4002 : 69 β. 1445 :17 γ. 925 : 37 ε. 35280 : 2940 στ. 5082 : 77 δ. 3621: 213
" Λύση α. Βήµα 1ο
Βήµα 2ο
β. Βήµα 1ο
Βήµα 2ο
γ. Βήµα 1ο
44
Βήµα 3ο
Βήµα 3ο
Βήµα 2ο
∆οκιµή
∆οκιµή
∆οκιµή
δ. Βήµα 1ο
Βήµα 2ο
ε. Βήµα 1ο
στ. Βήµα 1ο
2.
Βήµα 2ο
Βήµα 2ο
Βήµα 3ο
∆οκιµή
∆οκιµή
∆οκιµή
Να υπολογίσεις: α. Πόσο κοστίζει το 1 µέτρο υφάσµατος αν τα 5 µέτρα κοστίζουν 65€. β. Πόσο κοστίζει το 1 κιλό κρέας αν για τα 3 κιλά πληρώσαµε 30€. γ. Πόσα δοχεία των 52 λίτρων θα χρειαστούν για 46.592 λίτρα κρασιού;
" Λύση α. Επειδή 65 : 5 = 13 , το 1 µέτρο υφάσµατος κοστίζει 13€. β. Επειδή 30 : 3 = 10 , για το 1 κιλό κρέας πληρώσαµε 10€. γ. Επειδή 46592 : 52 = 896 θα χρειαστούν 896 δοχεία των 52 λίτρων.
3.
Να εξετάσεις ποιες από τις παρακάτω ισότητες παριστάνουν Ευκλείδειες διαιρέσεις: α. 125 = 35 ⋅ 3 + 20 β. 762 = 38 ⋅ 19 + 40 γ. 1500 = 42 ⋅ 35 + 30 δ. 300 = 18 ⋅ 16 + 12
45
" Λύση α.
β. γ. δ.
4.
Έχουµε υ = 20 που είναι µικρότερος από 35 και µεγαλύτερος από το 3. Άρα είναι υπόλοιπο της Ευκλείδειας διαίρεσης του 125 µόνο µε το 35 και όχι µε το 3. Έχουµε υ = 40 που είναι µεγαλύτερος από τους 38 και 19, οπότε δεν είναι υπόλοιπο Ευκλείδειας διαίρεσης µε διαιρέτη το 38 ή το 19. Έχουµε υ = 30 που είναι µικρότερος από τους 42 και 35. Άρα είναι υπόλοιπο της Ευκλείδειας διαίρεσης του 1500 µε το 42 ή µε το 35. Έχουµε υ = 12 που είναι µικρότερος από τους 18 και 16. Άρα είναι υπόλοιπο της Ευκλείδειας διαίρεσης του 300 µε το 18 ή µε το 16. Αν ο ν είναι φυσικός αριθµός, ποια µπορεί να είναι τα υπόλοιπα της διαίρεσης ν: 8;
" Λύση Από τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης ισχύει: ν = 8π + υ όπου π το πηλίκο της διαίρεσης ν : 8 και υ το υπόλοιπο. Γνωρίζουµε όµως το πηλίκο υ είναι φυσικός αριθµός για τον οποίο ισχύει: 0 ≤ υ < 8 , ή υ=2 ή υ=3 ή υ=4 άρα υ = 0 ή υ = 1 ή υ=5 ή υ=6 ή υ=7 ή υ=8 5.
Αν ένας αριθµός διαιρεθεί δια 9 δίνει πηλίκο 73 και υπόλοιπο 4. Ποιος είναι ο αριθµός;
" Λύση Αν ∆ ο ζητούµενος αριθµός, τότε από τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης, έχουµε: ∆ = 9 ⋅ 73 + 4 = 657 + 4 = 661 6.
Αν σήµερα είναι Τρίτη, τι ηµέρα θα είναι µετά από 247 ηµέρες;
" Λύση Γνωρίζουµε ότι Τρίτη έχουµε µία φορά την εβδοµάδα, δηλαδή κάθε 7 ηµέρες. Είναι 247 = 7 ⋅ 35 + 2 , δηλαδή
οι 247 ηµέρες, είναι 35 εβδοµάδες και 2 ηµέρες. Μετά από 35 εβδοµάδες θα είναι και πάλι Τρίτη και µετά από δύο ηµέρες θα είναι Πέµπτη, άρα 247 ηµέρες µετά θα είναι Πέµπτη.
46
7.
Τέσσερις φίλοι παίζουν ένα παιχνίδι µε τραπουλόχαρτα, που ξεκινάει µε τη µοιρασιά των 52 χαρτιών στους 4 παίκτες. Πόσα τραπουλόχαρτα θα έχει ο καθένας στο χέρι του; Φεύγει ο ένας από αυτούς και αποφασίζουν οι υπόλοιποι να παίξουν ένα άλλο παιχνίδι που απαιτεί να συµπεριλάβουν στην τράπουλα και τους 2 µπαλαντέρ. Αν κάνουν πάλι τη µοιρασιά της τράπουλας θα φθάσουν τα τραπουλόχαρτα ή θα περισσέψουν κάποια; Αν δεν έφευγε ο τέταρτος θα µπορούσαν να παίξουν το δεύτερο παιχνίδι ή θα περίσσευαν τραπουλόχαρτα στη µοιρασιά;
" Λύση Επειδή 52 : 4 = 13 , καθένας από τους 4 παίκτες θα έχει 13 τραπουλόχαρτα. Επειδή 54 : 3 = 18 , καθένας από τους 3 παίκτες θα έχει 18 τραπουλόχαρτα, δηλαδή η τράπουλα µοιράζεται ακριβώς στους 3 παίκτες. Επειδή 54 = 4 ⋅ 13 + 2 ,
αν δεν είχε φύγει ο τέταρτος παίκτης δεν θα µπορούσαν να παίξουν το δεύτερο παιχνίδι γιατί τους περισσεύουν 2 τραπουλόχαρτα. 8.
Να εκτελεστούν οι ακόλουθες διαιρέσεις και να γραφούν σύµφωνα µε την ισότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. α. 59 : 6 β. 127 : 34
" Λύση α.
β.
59 = 6 ⋅ 9 + 5
125 = 34 ⋅ 3 + 25
47
9.
Να εξετάσεις ποιες από τις ακόλουθες ισότητες παριστάνουν Ευκλείδειες διαιρέσεις. α. 127 = 33 ⋅ 3 + 28 β. 762 = 38 ⋅ 19 + 40 γ. 1465 = 41 ⋅ 35 + 30 δ. 80 = 9 ⋅ 8 + 8 ε. 65 = 7 ⋅ 9 + 2 στ. 44 = 4 ⋅ 8 + 12
10. Ποιος αριθµός όταν διαιρεθεί µε το 18 δίνει πηλίκο 21 και υπόλοιπο 7; 11. Ποιο είναι το λάθος που έχουν οι παρακάτω διαιρέσεις; α. β. γ. δ.
12. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: ∆ιαιρετέος
∆ιαιρέτης
2007
85 105
612
Πηλίκο
Υπόλοιπο
13
9
34
0
13. Να κάνεις τις ακόλουθες διαιρέσεις και τις δοκιµές τους: α. 63 : 8 β. 517 : 63 γ. 8542 :14 δ. 59783 : 245 14. Αν ∆ είναι φυσικός αριθµός, τότε: α. να υπολογίσετε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων ∆: 6 β. να βρείτε τους φυσικούς αριθµούς ∆, που διαιρούµενοι µε το 6 δίνουν πηλίκο 12. 15. Με τη βοήθεια της Ευκλείδειας διαίρεσης υπολόγισε: α. Ποια ηµέρα θα έχουµε µετά από 153 ηµέρες, αν σήµερα είναι Πέµπτη; β. Σε πόσες τριάδες µπορούν να παραταχθούν οι 26 µαθητές ενός τµήµατος; γ. Πόσα τελάρα των 20 θέσεων χρειάζονται για να συσκευαστούν 632 µπουκάλια µπύρας;
48
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ Το τοπικό γραφείο της UNICEF θα µοιράσει 150 τετράδια, 90 στυλό και 60 γόµες σε πακέτα δώρων, ώστε τα πακέτα να είναι ίδια και να περιέχουν και τα τρία είδη. – Μπορεί να γίνουν 10 πακέτα δώρων; Αν ναι, πόσα από κάθε είδος θα έχει κάθε πακέτο; – Πόσα πακέτα δώρων µπορεί να γίνουν µε όλα τα διαθέσιµα είδη; – Πόσα πακέτα δώρων µπορεί να γίνουν µε τα λιγότερα δυνατά από κάθε είδος;
" Λύση Είναι 150 :10 = 15 , 90 :10 = 9 και 60 :10 = 6 , Άρα τα τρία είδη µπορούν να γίνουν 10 πακέτα, που το καθένα θα περιέχει 15 τετράδια, 9 στυλό και 6 γόµες. Για να βρούµε πόσα πακέτα µπορούν να γίνουν µε όλα τα διαθέσιµα είδη, αρκεί να βρούµε τον µεγαλύτερο από τους διαιρέτες των αριθµών 159, 90, 60. Οι διαιρέτες του 150 είναι: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150. Οι διαιρέτες του 90 είναι: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, 45, 90. Οι διαιρέτες του 60 είναι: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Επειδή οι αριθµοί 150, 90, 60 έχουν κοινούς διαιρέτες τους αριθµούς: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, όλα τα είδη µπορούν να γίνουν 1, ή 2, ή 3, ή 5, ή 6, ή 10, ή 15, ή 30 πακέτα δώρων. Για να έχουν όµως τα πακέτα τα λιγότερα δυνατά από κάθε είδος, πρέπει το πλήθος των πακέτων να είναι όσο το δυνατόν µεγαλύτερο. Άρα, µπορούν να γίνουν 30 πακέτα που το καθένα θα περιέχει: 150 : 30 = 5 τετράδια, 90 : 30 = 3 στυλό και 60 : 30 = 2 γόµες.
49
1.
Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενά: α. Ένα κοινό πολλαπλάσιο των αριθµών 5 και 8 είναι ο αριθµός 40 και το ΕΚΠ (5,8) = 40. β. Αν το ΕΚΠ (α,β) = β, ο β είναι πολλαπλάσιο του α. γ. Πρώτοι λέγονται οι αριθµοί που διαιρούνται µόνο µε τον εαυτό τους και το ένα και σύνθετοι λέγονται οι αριθµοί που δεν είναι πρώτοι. δ. ∆ύο αριθµοί ονοµάζονται πρώτοι µεταξύ τους όταν ο ΜΚ∆ τους είναι το 1.
2.
Να συµπληρώσετε το κενό µε το κατάλληλο ψηφίο ώστε, ο αριθµός που θα σχηµατιστεί να διαιρείτε µε το 9: 6 Χ 4 α.
β.
95 Χ 4
γ. 601 Χ
" Λύση α.
Γνωρίζουµε ότι ένας αριθµός διαιρείται µε το 9, όταν το άθροισµα των ψηφίων του διαιρείται µε το 9. Επειδή 6 +4 = 10, και από το 10 έως το 20 ο µόνος αριθµός που διαιρείται µε το 9 είναι το 18 = 10 +8, το ζητούµενο ψηφίο είναι το 8. ∆ηλαδή 6 8 4
β.
Επειδή 9 + 5 +4 = 18 για να διαιρείται ο τετραψήφιος µε το 9 πρέπει το ψηφίο που λείπει να είναι το 0 ή το 9. ∆ηλαδή 9 5 0 4 ή 9 5 9 4
γ.
Επειδή 6 +0 + 1 = 7 και 7 + 2 = 9, το ζητούµενο ψηφίο είναι το 2. ∆ηλαδή 6 0 1 2
3.
Τοποθετήστε ένα «x» στην αντίστοιχη θέση. 8 X 99 X 15 X α. ΕΚΠ (3, 5) β. ΕΚΠ (11, 6)
17 X
36 X
66 X
132 X
γ. ΕΚΠ (5, 10)
10 X
15 X
45 X
50 X
δ. ΕΚΠ (3, 2, 5)
15 X
20 X
30 X
60 X
ε. ΕΚΠ (3, 6, 9)
9 X
18 X
36 X
27 X
15 X
30 X
60 X
120 X
στ. ΕΚΠ (8, 12, 15)
50
30 X
4.
Η εταιρεία Α βγάζει νέο µοντέλο αυτοκινήτου κάθε 2 χρόνια ενώ η εταιρεία Β κάθε τρία χρόνια και η εταιρεία Γ κάθε 5 χρόνια. Αν το 2001 έβγαλαν και οι τρεις εταιρείες νέα µοντέλα, πότε θα ξαναβγάλουν και οι τρεις µαζί νέο µοντέλο;
" Λύση Βρίσκουµε τα πολλαπλάσια των αριθµών 2, 3, 5. Πολλαπλάσια 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 του 2 Πολλαπλάσια 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 του 3 Πολλαπλάσια 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 του 5
Οι αριθµοί 30, 60, 90, … είναι κοινά πολλαπλάσια των αριθµών 2, 3, 5. Επειδή το µικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια είναι το 30, έχουµε: ΕΚΠ (2, 3, 5) = 30. ∆ηλαδή κάθε 30 χρόνια βγάζουν και οι τρεις εταιρείες, την ίδια χρονιά νέο µοντέλο. Επειδή αυτό συνέβη το 2001, θα ξανασυµβεί το έτος: 2001 + 30 = 2031. 5.
Ένας γυµναστής παρατήρησε ότι όταν τοποθετεί τους µαθητές της Α΄ γυµνασίου ανά 3, ανά 5 και ανά 7 δεν περισσεύει κανένας. Πόσοι είναι οι µαθητές της Α΄ γυµνασίου στο σχολείο αυτό, αν γνωρίζουµε ότι το πλήθος τους είναι µεταξύ 100 και 200;
" Λύση Επειδή ΕΚΠ (3, 5, 7) = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105 , το πλήθος των µαθητών της α΄ γυµνασίου είναι πολλαπλάσιο του 105. Επειδή όµως το πλήθος των µαθητών είναι µεταξύ 100 και 200 και 105 ⋅ 1 = 105 ενώ 105 ⋅ 2 = 210 > 200 , η Α΄ γυµνασίου έχει 105 µαθητές.
51
6.
Ο Γιάννης πηγαίνει στον κινηµατογράφο κάθε 10 ηµέρες και ο Νίκος κάθε 12 ηµέρες. Αν συναντήθηκαν στις 10 Μαρτίου στον κινηµατογράφο, πότε θα ξανασυναντηθούν; Στο διάστηµα µεταξύ δύο συναντήσεων τους, πόσες φορές έχει πάει ο καθένας τους χωριστά στον κινηµατογράφο;
" Λύση Είναι: 10 = 2 ⋅ 5 και 12 = 22 ⋅ 3 , οπότε ΕΚΠ (10, 12) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60 . ∆ηλαδή θα ξανασυναντηθούν µετά από 60 ηµέρες δηλαδή στις 9 Μαΐου γιατί ο Μάρτιος έχει 31 ηµέρες. Επειδή 60 :10 = 6 υπάρχουν 6 πολλαπλάσια του 10 από το 1 έως το 60. ∆ηλαδή ο Γιάννης, το διάστηµα των 60 ηµερών, θα πάει στον κινηµατογράφο 6 φορές από τις οποίες τις 5 µόνος του και 1 µε τον Νίκο. Επειδή 60 :12 = 5 , ο Νίκος το διάστηµα των 60 ηµερών, θα πάει στον κινηµατογράφο 5 φορές, από τις οποίες τις 4 µόνος του και 1 µε τον Γιάννη. 7.
8.
Τοποθετήστε ένα «x» στην αντίστοιχη θέση. 1 X 5 X α. ΜΚ∆ (5, 8)
8 X
40 X
β. ΜΚ∆ (16, 24)
4 X
8 X
16 X
24 X
γ. ΜΚ∆ (30, 15)
3 X
5 X
15 X
30 X
δ. ΜΚ∆ (10, 30, 60)
5 X
10 X
30 X
60 X
ε. ΜΚ∆ (22, 32, 50)
2 X
11 X
72 X
82 X
∆ύο αριθµοί έχουν ΜΚ∆ το 24. Να δικαιολογήσετε γιατί έχουν και άλλους κοινούς διαιρέτες διαφορετικούς από τη µονάδα.
" Λύση Οι αριθµοί 2, 3, 4, 6, 8, 12 είναι διαιρέτες του 24. Οπότε επειδή το 24 διαιρεί τους δύο αριθµούς, θα τους διαιρούν και οι 2, 3, 4, 6, 8, 12. 9.
Βρείτε τους διαιρέτες των αριθµών: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 20. Ποιοι από τους αριθµούς αυτούς είναι πρώτοι; Ποιοι είναι σύνθετοι;
" Λύση Επειδή 10 = 2 ⋅ 5 = 1 ⋅ 10 , διαιρέτες του 10 είναι οι αριθµοί 1, 2, 5, 10. Επειδή 11 = 1 ⋅ 11 , διαιρέτες του 11 είναι οι αριθµοί 1, 11. Επειδή 12 = 1 ⋅ 12 = 2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4 , διαιρέτες του 12 είναι οι αριθµοί 1, 2, 3, 4, 6, 12.
52
Επειδή 13 = 1 ⋅ 13 , διαιρέτες του 13 είναι οι αριθµοί 1, 13. Επειδή 14 = 1 ⋅ 14 = 2 ⋅ 7 , διαιρέτες του 14 είναι οι αριθµοί 1, 2, 7, 14. Επειδή 15 = 1 ⋅ 15 = 3 ⋅ 5 , διαιρέτες του 15 είναι οι αριθµοί 1, 3, 5, 15. Επειδή 16 = 1 ⋅ 16 = 2 ⋅ 8 = 4 ⋅ 4 , διαιρέτες του 16 είναι οι αριθµοί 1, 2, 4, 8, 16. Επειδή 17 = 1 ⋅ 17 , διαιρέτες του 17 είναι οι αριθµοί 1, 17. Επειδή 18 = 1 ⋅ 18 = 2 ⋅ 9 = 3 ⋅ 6 , διαιρέτες του 18 είναι οι αριθµοί 1, 2, 3, 6, 9, 18. Επειδή 19 = 1 ⋅ 19 , διαιρέτες του 19 είναι οι αριθµοί 1, 19. Επειδή 20 = 1 ⋅ 20 = 2 ⋅ 10 = 4 ⋅ 5 , διαιρέτες του 20 είναι οι αριθµοί 1, 2, 4, 5, 10, 20. Οι αριθµοί 11, 13, 17, 19 διαιρούνται µόνο µε τον εαυτό τους και µε τη µονάδα οπότε είναι πρώτοι. Όλοι οι άλλοι είναι σύνθετοι. 10. Το διπλάσιο ενός πρώτου αριθµού είναι πρώτος αριθµός ή σύνθετος και γιατί;
" Λύση Έστω α ο πρώτος αριθµός. Τότε ο α θα διαιρείται µόνο µε τον εαυτό του και µε τη µονάδα. Το διπλάσιο του α είναι το 2α που διαιρείται µε τους 1, α, 2, οπότε δεν είναι πρώτος και είναι σύνθετος αριθµός. 11. Να βρείτε όλους τους διαιρέτες των παρακάτω αριθµών χρησιµοποιώντας τα κριτήρια διαιρετότητας. α. 28 β. 82 γ. 95 δ. 105 ε.124 στ. 345 ζ.1232 η. 3999
" Λύση α.
Το 28 γράφεται προφανώς 1 ⋅ 28 άρα έχει διαιρέτες το 1 και το 28. Επειδή το τελευταίο ψηφίο του είναι 8, διαιρείται µε το 2 και έχουµε 28 : 2 = 14 . Άρα, έχει διαιρέτες το 2 και το 14. ∆εν διαιρείται µε το 3 γιατί 2 + 8 = 10 . ∆ιαιρείται µε το 4 και έχουµε 28 : 4 = 7 άρα έχει διαιρέτες το 4 και το 7. ∆εν διαιρείται µε το 5 και δεν χρειάζεται να ελέγξουµε το 6 και τα µεγαλύτερά του γιατί 6 2 = 36 > 28 . Έτσι, οι διαιρέτες του 28 είναι: 1,2, 4, 7, 14,28.
53
Μέθοδος Για να βρούµε τους διαιρέτες ενός αριθµού δουλεύουµε ως εξής: • Το 1 είναι διαιρέτης όλων των αριθµών. • Ελέγχουµε µε τη σειρά αν διαιρείται µε τους αριθµούς 2, 3, …,κ όπου κ2 το αµέσως µεγαλύτερο του δοσµένου αριθµού. • Αν ο αρχικός αριθµός δεν διαιρείται µε κάποιο φυσικό, τότε δεν διαιρείται και µε κανένα πολλαπλάσιο του άρα δεν τα ελέγχουµε. • Για κάθε έναν διαιρέτη που βρίσκουµε παίρνουµε ως διαιρέτη και το πηλίκο του αρχικού αριθµού µε αυτό τον διαιρέτη. β.
γ.
δ.
Το 82 τελειώνει σε δύο άρα διαιρείται µε το 2 και 82 : 2 = 41. Το 82 δεν διαιρείται µε το 3 γιατί 8 + 2 = 10 . ∆εν διαιρείται µε το 4, το 5 και το 7. ∆εν ελέγχουµε το 6, το 8 και το 9 γιατί θα έπρεπε πρώτα να διαιρείται µε το 3 και το 4. Σταµατάµε γιατί 102 = 100 > 82 και 9 2 = 81 < 82 . Έτσι οι διαιρέτες του 82 είναι: 1, 2, 41, 82. Το 95 δεν διαιρείται µε το 2, το 3 και το 4. ∆ιαιρείται µε το 5 γιατί τελειώνει σε 5 και έχουµε 95 : 5 = 19 . ∆εν διαιρείται µε το 7 και δεν ελέγχουµε το 6, το 8 και το 9. Σταµατάµε γιατί 102 = 100 > 95 . Έτσι οι διαιρέτες του 95 είναι: 1, 5, 19, 95. Το 105 δεν διαιρείται µε 2. ∆ιαιρείται µε 3 γιατί έχουµε 1 + 0 + 5 = 6 και 105 : 3 = 35 . ∆εν ελέγχουµε το 4. ∆ιαιρείται µε 5 γιατί τελειώνει σε 5 και έχουµε 105 : 5 = 21. ∆εν ελέγχουµε το 6 όπως και κανένα άλλο ζυγό αριθµό στη συνέχεια. ∆ιαιρείται µε 7 και έχουµε 105 : 7 = 15 . ∆εν διαιρείται µε 9. Σταµατάµε γιατί 11 2 = 121 > 105 .
Έτσι οι διαιρέτες του 105 είναι: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105. ε. Το 124 διαιρείται µε 2 γιατί τελειώνει σε 4 και έχουµε 124 : 2 = 62 . ∆εν διαιρείται µε 3 γιατί 1 + 2 + 4 = 7 άρα δεν ελέγχουµε κανένα άλλο πολλαπλάσιο του 3. ∆ιαιρείται µε 4 γιατί τελειώνει σε 24 και έχουµε 124 : 4 = 31 . ∆εν διαιρείται µε 5 γιατί τελειώνει σε 4 άρα δεν ελέγχουµε κανένα άλλο πολλαπλάσιο του 5. ∆εν διαιρείται µε 7, 8 και 11. Σταµατάµε γιατί 122 = 144 > 124 . Έτσι οι διαιρέτες του 124 είναι: 1, 2, 4, 31, 62, 124. στ. Το 345 δεν διαιρείται µε 2 άρα και µε κανένα άλλο ζυγό αριθµό. ∆ιαιρείται µε 3 γιατί 3 + 4 + 5 = 12 και έχουµε 345 : 3 = 115 . ∆ιαιρείται µε 5 γιατί τελειώνει σε 5 και έχουµε 345 : 5 = 69 . ∆εν διαιρείται µε 7, 9, 11, 13. ∆ιαιρείται µε 15 γιατί διαιρείται µε 3 και 5 ταυτόχρονα και έχουµε
54
ζ.
η.
345 :15 = 23 . ∆εν διαιρείται µε 17 και σταµατάµε γιατί 19 2 = 361 > 345 . Έτσι οι διαιρέτες του 345 είναι 1, 3, 5, 15, 23, 69, 115, 345. Το 1232 διαιρείται µε το 2 γιατί τελειώνει σε 2 και έχουµε 1232 : 2 = 616 . ∆εν διαιρείται µε 3 (γιατί 1 + 2 + 3 + 2 = 8 ) άρα και µε κανένα πολλαπλάσιό του. ∆ιαιρείται µε 4 γιατί τελειώνει σε 32 και έχουµε 1232 : 4 = 308 . ∆εν διαιρείται µε 5 (γιατί τελειώνει σε 2) άρα και µε κανένα πολλαπλάσιό του. ∆ιαιρείται µε 7 και έχουµε 1232 : 7 = 176 . ∆ιαιρείται µε 8 και έχουµε 1232 : 8 = 154 . ∆ιαιρείται µε 11 και έχουµε 1232 :11 = 112 . ∆εν διαιρείται µε 13. ∆ιαιρείται µε 14 γιατί διαιρείται µε 2 και 7 ταυτόχρονα και έχουµε 1232 :14 = 88 . ∆ιαιρείται µε 16 και έχουµε 1232 :16 = 77 . ∆εν διαιρείται µε 17, 19. ∆ιαιρείται µε 22 γιατί διαιρείται µε 2 και 11 ταυτόχρονα και έχουµε 1232 : 22 = 56 . ∆εν διαιρείται µε 23. ∆ιαιρείται µε 28 γιατί διαιρείται µε 4 και 7 ταυτόχρονα και έχουµε 1232 : 28 = 44 . ∆εν διαιρείται µε 29, 31. Σταµατάµε γιατί 36 2 = 1269 > 1232 . Έτσι οι διαιρέτες του 1232 είναι: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 14, 16, 22, 28, 44, 56, 77, 88, 112, 154, 176, 308, 616, 1232. Το 3999 δεν διαιρείται µε 2 (γιατί τελειώνει σε 9) άρα και µε κανένα άλλο ζυγό αριθµό. ∆ιαιρείται µε 3 γιατί 3 + 9 + 9 + 9 = 30 και έχουµε 3999 : 3 = 1333 . ∆εν διαιρείται µε 5, 7, 9. 11, 13, 17. 19,23, 29 άρα και µε κανένα πολλαπλάσιό τους. ∆ιαιρείται µε 31 και έχουµε 3999 : 31 = 129 . ∆εν διαιρείται µε 37, 41. ∆ιαιρείται µε 43 και έχουµε 3999 : 43 = 93 . ∆εν διαιρείται µε 47, 53, 57, 59,61. Σταµατάµε γιατί 652 = 4225 > 3999 . Έτσι οι διαιρέτες του 3999 είναι: 1, 3, 31, 43, 93, 129, 1333, 3999.
55
12. Να αναλυθούν οι παρακάτω αριθµοί σε γινόµενο πρώτων παραγόντων: α. 78 β. 348 γ.1210 δ.2344
" Λύση α.
78 2 39 3 Είναι 78 = 2 ⋅ 3 ⋅ 13 13 13 1
γ. 1210 2
605 5 121 11 Είναι 1210 = 2 ⋅ 5 ⋅ 112 11 11 1
56
β.
348 174 87 29 1
δ. 2344
2 2 3 29
Είναι 348 = 22 ⋅ 3 ⋅ 29
2 1172 2 586 2 Είναι 2344 = 23 ⋅ 293 293 293 1
13. Το γινόµενο δύο πρώτων αριθµών είναι πρώτος ή σύνθετος; ∆ικαιολογείστε την απάντηση σας και δώστε ένα κατάλληλο παράδειγµα.
" Λύση Έστω α, β δύο πρώτοι αριθµοί. Τότε το α διαιρείται µε τους 1, α και το β µε τους 1, β. Το γινόµενο τους είναι ο αριθµός α ⋅ β που διαιρείται µε τους 1, α, β, α ⋅ β , οπότε το γινόµενο τους είναι σύνθετος αριθµός. Για παράδειγµα, οι αριθµοί 3 και 5 είναι πρώτοι, ενώ το γινόµενό τους είναι ο αριθµός 15 που δεν είναι πρώτος γιατί διαιρείται µε τους 1, 3, 5, 15. 14. Ποιο ψηφίο πρέπει να είναι το α, ώστε ο αριθµός 3859α να διαιρείται: α. µε το 9 β. µε το 2 και το 5.
" Λύση α.
β.
Για να διαιρείται ο αριθµός 3859α µε το 9 πρέπει το άθροισµα των ψηφίων του να διαιρείται µε το 9. Είναι 3 + 8 + 5 + 9 + α = 25 + α . Πολλαπλάσια του 9 είναι οι 0, 9, 18, 27, 36, …, άρα για να διαιρείται το 25 + α µε το 9 πρέπει 25 + α=27 ή α=2 γιατί το α είναι αριθµός από το 1 έως το 9. Για να διαιρείται ο 3859α µε το 2 πρέπει το α να είναι 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8. Για να διαιρείται ο 3589α µε το 5 πρέπει το α να είναι 0 ή 5. Άρα για να διαιρείται µε το 2 και το 5 πρέπει α = 0.
15. Τρία λεωφορεία µε αφετηρία την ίδια πλατεία εκτελούν τη συγκοινωνία σε 3 διαφορετικά σηµεία της πόλης. Το πρώτο εκτελεί µία διαδροµή σε 18min, το δεύτερο σε 24min και το τρίτο σε 36min. Αν στις 12 ακριβώς ξεκινήσουν µαζί, ύστερα από πόσο χρόνο θα ξεκινήσουν και πάλι µαζί και πόσες διαδροµές θα έχει κάνει το καθένα στον ενδιάµεσο χρόνο;
" Λύση Αρχικά θα βρούµε το ΕΚΠ των 18, 24, 36. Είναι 18 = 2 ⋅ 32 , 24 = 23 ⋅ 3 και 36 = 22 ⋅ 32 Άρα ΕΚΠ (18, 24, 36) = 23 ⋅ 32 = 8 ⋅ 9 = 72 .
57
Θα ξεκινήσουν ξανά µαζί ύστερα από 72 λεπτά δηλαδή στις 1 και 12. Επειδή 72 :18 = 4 , 72 : 24 = 3 και 72 : 36 = 2 , το πρώτο λεωφορείο στον ενδιάµεσο χρόνο θα έχει κάνει 4 διαδροµές, το δεύτερο 3 και το τρίτο 2 διαδροµές. 16. Ποιο ψηφίο πρέπει να τοποθετηθεί στη θέση του α στον 32α1α, ώστε ο αριθµός που θα προκύψει να είναι διαιρετός; α. µε το 3 β. µε το 9
" Λύση α.
β.
58
Για να διαιρείται ένας αριθµός µε το 3 πρέπει το άθροισµα των ψηφίων του να διαιρείται µε το 3. Είναι 3 + 2 + α + 1 +α = 2 α + 6. Πρέπει το 2 α + 6 = 6 ή 9 ή 12 ή 18 ή 24 ή 27 ή …, – Αν 2α + 6 = 6, τότε 2α = 0 και α = 0 – Αν 2α + 6 = 9, τότε 2α = 3 και α = 1,5 που είναι αδύνατο. – Αν 2α + 6 = 12, τότε 2α = 6 και α = 3. – Αν 2α + 6 = 15, τότε 2α = 9 και α = 4,5 που είναι αδύνατο. – Αν 2α + 6 = 18, τότε 2α = 12 και α =6. – Αν 2α + 6 = 21, τότε 2α = 15 και α = 7,5 που είναι αδύνατο. – Αν 2α + 6 = 24, τότε 2α = 18 και α = 9. – Αν 2α + 6 = 27, τότε 2α = 21 και α = 10,5 που είναι αδύνατο. Είναι φανερό ότι αν το 2α + 6 είναι µεγαλύτερο του 27 τότε το α θα είναι µεγαλύτερο του 10, το οποίο που δεν µπορεί να συµβαίνει. Άρα το α είναι 0, 3, 6 ή 9. Για να διαιρείται ο αριθµός µε το 9 πρέπει το άθροισµα των ψηφίων του να διαιρείται µε 9 δηλαδή 2α + 6 = 9 ή 18 ή 27. – Αν 2α + 6 = 9, τότε 2α = 3 και α = 1,5 που είναι αδύνατο. – Αν 2α + 6 = 18, τότε 2α = 12 και α = 6. – Αν 2α + 6 = 27, τότε 2α = 21 και α = 10,5 που είναι αδύνατο. Άρα α = 6.
17. Ποιο είναι το κριτήριο ώστε ένας αριθµός να είναι διαιρετέος δια του 6; Σύµφωνα µε το κριτήριο που θα διατυπώσετε να εξετάσετε αν οι παρακάτω αριθµοί είναι διαιρετοί µε το 6. α. 324 β. 122 γ. 222 δ. 1521 ε. 1152
" Λύση α.
β. γ.
δ. ε.
Επειδή το 6 διαιρείται µε το 2 και µε το 3, για να διαιρείται ένας αριθµός µε το 6 πρέπει να διαιρείται µε το 2 και µε το 3. Το 324 έχει τελευταίο ψηφίο το 4, οπότε διαιρείται µε το 2. Είναι 3 + 2 + 4 = 9 που διαιρείται µε το 3, άρα και το 324 διαιρείται µε το 3. Οπότε το 324 διαιρείται µε το 6. Τ0 122 έχει τελευταίο ψηφίο το 2, άρα διαιρείται µε το 2. Είναι 1 + 2 + 2 = 5 που δεν διαιρείται µε το 3, οπότε δεν διαιρείται µε το 6. Το 222 λήγει σε 2 άρα διαιρείται µε το 2. Είναι 2 + 2 + 2 = 6 που διαιρείται µε το 3, άρα το 222 διαιρείται µε το 3, οπότε διαιρείται και µε το 6. Το 1521 λήγει σε 1 που δεν διαιρείται µε το 2, άρα δεν διαιρείται και µε το 6. Το 1152 λήγει σε 2 άρα διαιρείται µε το 2. Είναι 1 + 1 + 5 + 2 = 9 που διαιρείται µε το 3, άρα και το 1152 διαιρείται µε το 3, οπότε και µε το 6.
18. Τοποθετείστε στα κενά 5 X X κατάλληλα ψηφία, ώστε οι αριθµοί που θα προκύψουν να διαιρούνται συγχρόνως δια 2, 3 και 5.
" Λύση Για να διαιρείται µε το 5 πρέπει να λήγει σε 0 ή 5, για να είναι όµως διαιρετέος και µε το 2 πρέπει το τελευταίο ψηφίο να είναι το 0. Έστω α το δεύτερο ψηφίο. Τότε ο αριθµός είναι 5α0, που έχει άθροισµα ψηφίων 5 + α + 0 = α + 5 . Για να διαιρείται µε το 3 πρέπει το α + 5 να είναι πολλαπλάσιο του 3. – Αν α + 5 = 6 τότε α = 1 – Αν α + 5 = 9 τότε α = 4 – Αν α + 5 = 12 τότε α = 7 – Αν α + 5 = 15 τότε α = 10 που είναι αδύνατο. Είναι φανερό ότι α + 5 > 15 τότε το α θα είναι µεγαλύτερο του 10 που είναι αδύνατο. Άρα 5 1 0 ή 5 4 0 ή 5 7 0
59
19. Να συµπληρώσετε τα κενά στην πρόταση που ακολουθεί µε τις κατάλληλες λέξεις. Για τον αριθµό 55 έχουµε ότι 55 : 5 = 11. Ο αριθµός 55 είναι ένα …………………….. του αριθµού 5 και ο αριθµός 11 είναι …………………….. του 55. 20. Να βρείτε τους κοινούς διαιρέτες και τον ΜΚ∆ των αριθµών. α. 6 και 9 β. 22 και 44 21. Να βρείτε το ΕΚΠ και το ΜΚ∆ των αριθµών 36 και 70.
(Απ.: 1260, 2) 22. Να γράψετε από τους αριθµούς 1245, 108, 715, 1420, 23706, αυτούς που διαιρούνται: α. µε το 2 β. µε το 5 γ. µε το 3 δ. µε το 9. 23. Τοποθετήστε στα κενά τα κατάλληλα ψηφία στους παρακάτω αριθµούς. α. 21 Χ 7 ώστε να διαιρείται µε το 3. β. 2 Χ 3 Χ ώστε να διαιρείται µε το 5 και το 9. γ. 1 Χ 4 Χ ώστε να διαιρείται µε το 2 και το 9. 24. Να βρείτε το ΜΚ∆ των παρακάτω αριθµών: α. 24 και 36 β. 16 και 40 γ. 9 και 32 δ. 22, 32, 50 ε. 10, 30, 60. (Απ.: α. 12, β. 8, γ. 1, δ. 2, ε. 10) 25. Να βρείτε το ΕΚΠ των παρακάτω αριθµών: α. 3 και 10 β. 3, 6, 10 γ. 16, 12 δ. 18, 30 ε. 54, 18, 27, στ. 2, 3, 4, 5. (Απ.: α. 30, β. 30 γ. 48, δ. 90, ε. 54, στ. 60) 26. Να αναλύσετε σε γινόµενο πρώτων παραγόντων τους αριθµούς 108 και 420.
60
27. Η ανάλυση κάποιων αριθµών σε γινόµενο πρώτων παραγόντων έδωσε τα παρακάτω γινόµενα: α. 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 β. 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 γ. 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 11 δ. 1 ⋅ 3 ⋅ 11 ε. 23 ⋅ 13 Ποιοι είναι οι αριθµοί αυτοί; 28. Ένας αριθµός διαιρείται µε το 3. Αν αλλάξουµε τη θέση των ψηφίων του, ο αριθµός που θα προκύψει θα διαιρείται µε το 3; (Απ.: ναι) 29. Πόσες το πολύ οµοιόµορφες ανθοδέσµες µπορούµε να σχηµατίσουµε από 48 τριαντάφυλλα, 80 γαρύφαλλα και 112 τουλίπες; Πόσα άνθη από κάθε είδος θα περιλαµβάνει κάθε ανθοδέσµη; (Απ.: 16) 30. Ένας βοσκός µετρώντας τα πρόβατά του τα έβρισκε πάντα κάπου ανάµεσα στα 118 και 127. Τα µετρούσε σε οκτάδες, δεκάδες ή δωδεκάδες χωρίς να του περισσεύει κανένα κάθε φορά. Πόσα πρόβατα είχε ο βοσκός; (Απ.: 120) 31. ∆ύο πλοία αναχωρούν ταυτόχρονα από ένα λιµάνι προς διαφορετικές κατευθύνσεις και όταν επιστρέφουν ξαναφεύγουν αµέσως. Το ταξίδι του ενός διαρκεί 4 ηµέρες και του άλλου 6 ηµέρες. Μετά από πόσες ηµέρες θα συµβεί τα δύο πλοία να αναχωρούν από το ίδιο λιµάνι ταυτόχρονα; (Απ.:12)
61
Απαντήσεις Σωστού ή Λάθους Τοποθετήστε ένα «x» στην αντίστοιχη θέση Σωστό
Λάθος
Χ
Χ
πολλαπλασιάζουµε µε το 10 και προσθέτουµε το 1.
Χ
Χ
Το γινόµενο 3 ⋅ 3 ⋅ 3 γράφετε 33
Χ
Χ
1.1 Ισχύει ότι: (100 − 30) − 10 = 100 − (30 − 10) 2. 3.
Για να πολλαπλασιάσουµε έναν αριθµό µε το 11, τον
5
4.
Το 2 ισούται µε 10
Χ
Χ
5.
α + α + α + α = 4α
Χ
Χ
6.
α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α ⋅ α = α5
Χ
Χ
7.
23 + 3 = 11
Χ
Χ
8.
3 ⋅ 10 + 2 ⋅ 10 + 2 ⋅ 10 = 322
Χ
Χ
9.
20 − 12 : 4 = 2
Χ
Χ
10. 9 ⋅ 3 − 2 + 5 = 30
Χ
Χ
11. (3 ⋅ 1 − 3) : 3 = 0 12. Στη σειρά των πράξεων: 7 + (6 ⋅ 5) + 4 ,
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
15. Το 38 είναι πολλαπλάσιο του 2 και του 3.
Χ
Χ
16. Ο αριθµός 450 διαιρείται µε το 3 και το 9.
Χ
Χ
17. Ο 35 και ο 210 έχουν µέγιστο κοινό διαιρέτη το 5.
Χ
Χ
18. Το ΕΚΠ των 2 και 24 είναι ο αριθµός 48.
Χ
Χ
19. Η διαίρεση 420 :15 δίνει υπόλοιπο 18.
Χ
Χ
20. Η σχέση 177 = 5 ⋅ 35 + 2 είναι µία ευκλείδεια διαίρεση.
Χ
Χ
21. Ο αριθµός 3 ⋅ α + 9 διαιρείται µε το 3.
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
2
1
ο
οι παρενθέσεις δεν χρειάζονται. 13. Η διαφορά δύο περιττών αριθµών είναι
πάντα περιττός αριθµός. 14. Αν ο αριθµός α είναι πολλαπλάσιο του
αριθµού β, τότε ο α διαιρείται µε το β.
22. Ο αριθµός 300 αναλύεται σε γινόµενο
πρώτων παραγόντων ως 3 ⋅ 102 23. Ο αριθµός 224 διαιρείται µε το 4 και το 8.
62
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 3ç Στο διπλανό σχήµα ένα τετράγωνο έχει χωριστεί ανάλογα µε το χρώµα σε τριών ειδών µέρη.
Να βρεθεί τι κλάσµα του τετραγώνου είναι κάθε µέρος του.
" Απάντηση Το κίτρινο χρώµα αποτελεί το µισό του τετραγώνου άρα θα είναι ίσο µε το 1 του τετραγώνου. 2 Σε κάθε τέταρτο του τετραγώνου, δηλαδή στο τρίγωνο ΑΚΒ µπορούν να σχηµατιστούν 4 τρίγωνα ίσα µε το µπλε τρίγωνο. Άρα σε όλο το τετράγωνο µπορούν να σχηµατιστούν 4 ⋅ 4 = 16 τέτοια τρίγωνα. 4 Άρα το µπλε χρώµα αποτελεί τα του τετραγώνου. 16 Τέλος κάθε κοµµάτι πορτοκαλί χρώµατος µπορεί να χωριστεί σε 2 τρίγωνα ίσα το καθένα µε τα µπλε τρίγωνα. 4 Άρα το πορτοκαλί χρώµα καταλαµβάνει τα του τετραγώνου. 16
63
1.
Συµπληρώστε τα παρακάτω κενά: κ α. Στο κλάσµα οι αριθµοί κ και λ ονοµάζονται όροι του κλάσµατος. λ α α 0 β. Ισχύει ότι: (α) = α, (β) = 1, (γ) = 0 1 α α κ γ. η φράση «το µέρος ενός µεγέθους Α» εκφράζει τον χωρισµό του λ µεγέθους Α σε κ από τα λ ίσα µέρη που χωρίζεται το Α.
2.
Τα κλάσµατα
3 2 7 10 18 , , , , είναι όλα µικρότερα της µονάδας; 4 3 9 9 20
" Λύση Όχι το κλάσµα 3.
10 είναι µεγαλύτερο της µονάδας. 9
Τι κλάσµα των µαθητών της τάξης 28 µαθητών είναι οι 4 απόντες;
" Λύση Είναι τα
4.
Αν το
4 28
1 ενός κιλού καρύδια είναι 14 καρύδια, το κιλό περιέχει 70 κα5
ρύδια;
" Λύση Ναι, γιατί τα
64
5 θα είναι 5 ⋅ 14 = 70 καρύδια. 5
5.
Τα παρακάτω σχήµατα έχουν χωριστεί σε ίσα µέρη. Γράψε για το καθένα από αυτά, το κλάσµα που εκφράζει το χρωµατισµένο µέρος του. α.
β.
γ.
δ.
ε.
στ.
" Λύση α.
6.
2 4
β.
2 3
γ.
4 9
δ.
6 8
ε.
1 3
στ.
25 40
Από µία τούρτα περίσσεψαν 4 κοµµάτια τα οποία αποτελούν τα
2 µιας 7
τούρτας. Πόσα ήταν αρχικά όλα τα κοµµάτια τη τούρτας;
" Λύση 2 1 της τούρτας είναι 4 κοµµάτια τότε το της τούρτας θα είναι 7 7 4 : 2 = 2 κοµµάτια. 7 θα είχε 2 ⋅ 7 = 14 κοµµάτια. Άρα όλη η τούρτα δηλαδή τα 7 Αφού τα
7.
Βρες ποιο µέρος του κιλού είναι τα: α. 100 β. 250 γ. 500
δ. 600 γραµµάρια
" Λύση α.
100 1000
β.
250 1000
γ.
500 1000
δ.
600 1000
65
8.
Ποιο µέρος α. του µήνα, β. του εξαµήνου, γ. του έτους είναι 15 ηµέρες;
" Λύση α.
β.
γ.
9.
Στα µαθηµατικά ο µήνας λογίζεται ότι έχει 30 ηµέρες οπότε oi 15 ηµέρες 15 του µήνα. αποτελούν τα 30 15 Ένα εξάµηνο έχει 6 ⋅ 30 = 180 ηµέρες οπότε οι 15 ηµέρες είναι του 180 εξαµήνου. 15 Ένα έτος έχει 365 ηµέρες άρα οι 15 ηµέρες είναι τα του έτους. 365 2 της αρχικής 5 τιµής τους. Ένα φόρεµα κόστιζε 90€ πριν την έκπτωση. Υπολόγισε πόσα ευρώ έκπτωση έγινε στο φόρεµα και πόσο θα πληρώσουµε για να το αγοράσουµε. Ένα κατάστηµα κάνει έκπτωση στα είδη του ίση µε τα
" Λύση 1 της τιµής του είναι 5 2 90 : 5 = 18 €. Άρα η έκπτωση είναι τα δηλαδή 2 ⋅ 18 = 36 €. 5 Για να το αγοράσουµε θα πρέπει να πληρώσουµε 90 − 36 = 54 €. Αφού το φόρεµα κόστιζε 90€ τότε το
3 των µαθητών µαθαίνει Αγγλικά. Να βρεις πόσους µα8 θητές έχει η τάξη, αν γνωρίζεις ότι αυτοί που µαθαίνουν Αγγλικά είναι 12 µαθητές.
10. Σε µία τάξη τα
" Λύση Επειδή τα
3 των µαθητών είναι 12 µαθητές, 8
1 είναι 12 : 3 = 4 µαθητές. 8 8 Άρα όλη η τάξη δηλαδή τα είναι 4 ⋅ 8 = 32 µαθητές. 8
τότε το
66
11. Σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο η µία πλευρά του είναι 33 εκατο3 της πρώτης. Να βρεις την περίµετρο του ορθοστά και η άλλη τα 11 γωνίου.
" Λύση 1 των 33 εκατοστών είναι 33 :11 = 3 εκατοστά. Οπότε η άλλη πλευ11 3 ρά που είναι τα της πρώτης θα είναι 3 ⋅ 3 = 9 εκατοστά. 11 Άρα η περίµετρος του ορθογωνίου θα είναι 2 ⋅ 33 + 2 ⋅ 9 = 66 + 18 = 84 εκατοστά.
Το
12. Ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ έχει µήκος 5 εκατοστά. Να σχεδιάσεις: 8 του ΑΒ και α. ένα ευθύγραµµο τµήµα Γ∆ µε µήκος τα 10 6 β. ένα ευθύγραµµο τµήµα ΕΖ µε µήκος τα του ΑΒ. 5
" Λύση α. Αφού το ΑΒ έχει µήκος 5 εκατοστά τότε το
1 θα έχει µήκος 10
5 :10 = 0,5 εκατοστά.
Οπότε τα
8 θα έχουν µήκος 8 ⋅ 0,5 = 4 εκατοστά. 10 Γ
4εκ.
Δ
1 του ΑΒ θα έχει µήκος 5 : 5 = 1 εκατοστό. 5 6 Άρα τα του ΑΒ θα έχουν µήκος 6 ⋅ 1 = 6 εκατοστά. 5
β. Το
∆ηλαδή είναι ΕΖ = 6 εκατοστά.
E
6εκ.
Z
67
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÅÓ
ÃÉÁ ÔÏ ÓÐÉÔÉ
1.
Χρωµάτισε σε καθένα από τα σχήµατα που ακολουθούν τα µέρη που αντιστοιχούν στα κλάσµατα που είναι γραµµένα κάτω από κάθε σχήµα.
2.
Να βρεις ποιο µέρος του µεγάλου τετραγώνου είναι κάθε χρωµατισµένο µέρος του διπλανού σχήµατος.
" Λύση Το κίτρινο είναι το
1 του τετραγώνου. 4
1 του τετραγώνου. 8 3 Το πράσινο είναι τα του τετραγώνου. 16 5 Το πορτοκαλί είναι τα του τετραγώνου. 24
Το µπλε είναι το
68
κ . Πως ονοµάζονται οι αριθµοί κ και λ ο καθέλ νας χωριστά και πως µαζί; Υπάρχουν κάποιοι περιορισµοί που αφοκ ρούν τους αριθµούς κ και λ στο κλάσµα ; λ
13. Θεωρούµε το κλάσµα
" Λύση Ο κ ονοµάζεται αριθµητής και ο λ ονοµάζεται παρανοµαστής. Και οι δύο µαζί ονοµάζονται όροι του κλάσµατος. κ θα πρέπει λ ≠ 0 . Για να έχει έννοια το κλάσµα λ 2 των µαθητών µαθαίνουν Αγγλικά. Ποιο είναι το πλή3 θος των µαθητών της τάξης αν γνωρίζεις ότι οι µαθητές που µαθαίνουν Αγγλικά είναι 54;
14. Σε µία τάξη τα
" Λύση 2 1 των µαθητών είναι 54 µαθητές τότε το θα είναι 3 3 54 : 2 = 27 µαθητές. 3 Οπότε όλοι οι µαθητές της τάξης δηλαδή τα θα είναι 3 27 ⋅ 3 = 81 µαθητές.
Αφού τα
15. Τα
3 3 ενός κιλού µοσχαρίσιου κρέατος κοστίζουν 6€. Πόσο κοστίζουν τα ; 5 4
" Λύση 3 1 κοστίζουν 6 € τότε το θα κοστίζει 6 : 3 = 2 €. 5 5 5 Άρα το κιλό, δηλαδή τα θα κοστίζουν 2 ⋅ 5 = 10 € . 5 1 Το του κιλού µοσχαρίσιου κρέατος θα κοστίζει 10 : 4 = 2,5 € 4 3 Άρα τα του κιλού θα κοστίζουν 3 ⋅ 2,5 = 7,5 € 4
Αφού τα
69
2 του κιλού ενός τυριού κοστίζουν 10€. Να βρεις πόσο κοστίζουν: 5 3 α. το 1 κιλό, β. τα του κιλού. 4
16. Τα
" Λύση 2 1 στοιχίζουν 10€ τότε το θα κοστίζει 5 5 10 : 2 = 5 €. 5 Άρα το 1 κιλό του τυριού δηλαδή τα κοστίζει 5 5 ⋅ 5 = 25 €. 3 β. Τα του κιλού κοστίζουν 25 : 4 = 6,25 €. Οπότε 4 3 ⋅ 6,25 = 18,75 €
α. Αφού τα
17. Βρες πόσα γραµµάρια είναι τα: 1 3 2 , β. τα , γ. τα , α. 8 4 5
δ. τα
" Λύση 1 1000 1000 = = 125 γραµµάρια 8 8 3 3000 β. = 750 γραµµάρια 1000 = 4 4 2 2000 1000 = = 400 γραµµάρια γ. 5 5 3 3000 1000 = = 150 γραµµάρια δ. 20 20
α.
70
3 του κιλού. 20
18. Ένας γέρος βοσκός στη διαθήκη που άφησε στους τρεις γιους του, όριζε ότι ο µεγαλύτερος θα πάρει τα µισά πρόβατα, ο δεύτερος το ένα τέταρτο και ο µικρότερος το ένα πέµπτο. Όταν, όµως, πέθανε είχε 19 πρόβατα και τα τρία αδέλφια δεν µπορούσαν να κάνουν τη µοιρασιά. Πήγαν στο δάσκαλο του χωριού να ζητήσουν τη βοήθεια του κι αυτός για να τους βοηθήσει τους είπε: «θα σας δώσω το µοναδικό µου πρόβατο για να µπορέσετε να κάνετε τη µοιρασιά και όταν τελειώσετε να µου φέρετε ότι περισσέψει». Πως έγινε η µοιρασιά;
" Λύση Σκέψη Το 19 δεν διαιρείται ούτε µε το 2, ούτε µε το 4 ούτε µε το 5. 1 1 1 και Αν προσπαθήσουµε να κάνουµε τα κλάσµατα , µε τον ίδιο πα2 4 5 ρανοµαστή (δηλαδή οµώνυµα), τότε αν πολλαπλασιάζουµε τους όρους του καθενός µε 10, 5 και 4 αντίστοιχα προκύπτουν τα κλάσµατα: 10 5 4 , και . 20 20 20 Ο δάσκαλος λοιπόν τους έδωσε 1 πρόβατο για να έχουν συνολικά 20 πρόβατα και να µπορούν να τα διαιρέσουν µε 2, 4 ή 5 αντίστοιχα. Επίλυση 10 , δηλαδή 10 πρόβατα. 20 5 Ο δεύτερος θα πάρει τα δηλαδή 5 πρόβατα 20 4 δηλαδή 4 πρόβατα. και ο τρίτος θα πάρει τα 20 Θα πάρουν συνολικά 10 + 5 + 4 = 19 πρόβατα και το 1 που θα περισσέψει θα το επιστρέψουν πάλι στο δάσκαλο. Ο πρώτος θα πάρει τα
Σηµείωση: _______________________________________________
Το πρόβληµα αυτό είναι ένα από τα φαινοµενικά παράδοξα προβλήµατα 1 1 1 των Μαθηµατικών. ∆εν µπορεί να λυθεί κανονικά γιατί + + ≠ 1 2 4 5
71
19. Να βρείτε τα
3 των µαθητών µιας τάξης που έχει 30 µαθητές. 5 (Απ.: 18)
20. Τα παρακάτω σχήµατα έχουν χωριστεί σε ίσα µέρη. Να βρείτε για καθένα από αυτά το κλάσµα που εκφράζει το χρωµατισµένο µέρος του.
21. Να σχεδιάσετε ένα τετράγωνο µε πλευρά 5cm. Να χρωµατίσετε µε διαφορετικά χρώµατα; 1 3 α. το του τετραγώνου β. τα του τετραγώνου 4 8 22. Από µία τάξη µε 32 µαθητές απουσιάζουν µια µέρα 4 µαθητές. Να βρείτε ποιο µέρος των µαθητών της τάξης απουσίαζε εκείνη την ηµέρα; 5 των µαθητών ενός τµήµατος είναι 20 µαθητές. Να βρείτε πόσους 7 µαθητές έχει το τµήµα. (Απ.: 28)
23. Τα
72
24. Καφετέρια διαθέτει 80 καθίσµατα. Από αυτά τα 60 είναι κατειληµµένα. Να βρείτε τα κλάσµατα i. των κενών καθισµάτων προς το συνολικό αριθµό αυτών ii. των κατειληµµένων καθισµάτων προς το συνολικό αριθµό iii. των κενών προς τα κατειληµµένα. 25. Ένα µπλουζάκι αξίας 16€, πουλήθηκε 12€. Να βρείτε το κλάσµα που εκφράζει την έκπτωση που έγινε στην αξία της µπλούζας. 4 ) (Απ.: 16 26. Να βρείτε ποιο µέρος α. των 30gr, β. του 1 κιλού, γ. των 3 κιλών είναι τα 90gr. 2 των µαθητών µιας τάξης είναι αγόρια. Να βρείτε πόσους συνολικά 3 µαθητές έχει η τάξη αν τα αγόρια είναι 12. (Απ.: 18)
27. Τα
28. Να βρείτε τα
3 4 των του 420. 7 6
(Απ.: 120)
2 του κιλού χοιρινού κρέατος στοιχίζουν 3,60€ . Να υπολογίσετε πόσο 3 θα πληρώσουµε για 2 κιλά και 400gr χοιρινού κρέατος. (Απ.: 12,96€ )
29. Τα
30. Ένας ανιψιός κληρονόµησε από το θείο του 40000€. Αν τα χρήµατα αυτά 2 αποτελούν τα ολόκληρης της περιουσίας του θείου του, να υπολογίσε7 τε πόσα ευρώ ήταν ολόκληρη η περιουσία. (Απ.: 140000€) 1 της αρχι4 κής αξίας τους. Πληρώσαµε για ένα ζευγάρι παπούτσια 72€ στην περίοδο των εκπτώσεων. Να υπολογίσετε i. Ποιο µέρος της αρχικής αξίας είναι τα 72€. ii. Πόσα ευρώ ήταν η έκπτωση. iii. Πόσο κόστιζαν τα παπούτσια πριν αρχίσουν οι εκπτώσεις; 3 (Απ.: i. ii. 24€ iii. 96€ ) 4
31. Ένα κατάστηµα κάνει έκπτωση σε όλα τα είδη του ίση µε το
73
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ Τα παρακάτω πέντε τετράγωνα είναι χωρισµένα αντίστοιχα, σε ίσα µέρη. Προσπάθησε να βρεις για καθεµία περίπτωση το κλάσµα του τετραγώνου που αποτελεί το χρωµατισµένο µέρος του; Στη συνέχεια σύγκρινε τα κλάσµατα, που θα βρεις µεταξύ τους. Τι παρατηρείς για κάθε κλάσµα που βρήκες;
" Απάντηση Σε κάθε περίπτωση το κλάσµα που αποτελεί το χρωµατισµένο µέρος του 2 4 6 8 10 τετραγώνου είναι: , , , , αντίστοιχα. 3 6 9 12 15 Επειδή όλα τα προηγούµενα κλάσµατα εκφράζουν το ίδιο µέρος του τετραγώνου είναι ίσα µεταξύ τους.
74
1.
Συµπληρώστε τα παρακάτω κενά: α. ∆ύο κλάσµατα λέγονται ισοδύναµα, όταν εκφράζουν το ίδιο µέρος ενός µεγέθους. α γ = , τότε οι όροι α, β, γ και δ συνδέονται µε τη σχέση: β. Αν ισχύει β δ α⋅δ = β⋅ γ .
γ. Ανάγωγο λέγεται το κλάσµα, το οποίο δεν µπορεί να απλοποιηθεί. ∆ηλαδή δεν υπάρχει κοινός διαιρέτης αριθµητή και παρανοµαστή. δ. Οµώνυµα λέγονται τα κλάσµατα, που έχουν ίδιο παρανοµαστή. ε. Ετερώνυµα λέγονται τα κλάσµατα, που έχουν διαφορετικούς παρανοµαστές. στ. Αν διαιρέσουµε και τους δύο όρους ενός κλάσµατος µε τον Μ.Κ.∆. τους, το κλάσµα γίνεται ανάγωγο ισοδύναµο κλάσµα. 2.
Να εξετάσεις ποια από τα κλάσµατα είναι ισοδύναµα: 2 18 3 1 7 30 13 26 , , α. β. , γ. , δ. 3 27 4 2 8 40 14 28
" Λύση α. Υπολογίζοντας «χιαστί» τα γινόµενα έχουµε
2 ⋅ 27 = 54 και 3 ⋅ 18 = 54 οπότε β. Είναι 3 ⋅ 2 = 6 και 4 ⋅ 1 = 4 οπότε
2 18 = 3 27
3 1 ≠ 4 2
7 30 ≠ 8 40 13 26 δ. Είναι 13 ⋅ 28 = 364 και 14 ⋅ 26 = 364 άρα = 14 28 Άρα ισοδύναµα είναι τα κλάσµατα α. και δ.
γ. Έχουµε 7 ⋅ 40 = 280 και 8 ⋅ 30 = 240 οπότε
75
3.
Να µετατρέψεις καθένα από τα παρακάτω κλάσµατα σε ισοδύναµο κλάσµα µε παρανοµαστή τον αριθµό 100: 3 8 4 5 60 β. γ. δ. ε. α. 4 5 20 2 75
" Λύση α. Επειδή 100 : 4 = 25 πολλαπλασιάζουµε κάθε όρο του κλάσµατος µε 3 3 ⋅ 25 75 = 25 και είναι = . 4 4 ⋅ 25 100 8 8 ⋅ 20 160 β. Είναι 100 : 5 = 20 άρα = . = 5 5 ⋅ 20 100 4 4⋅5 20 γ. Έχουµε 100 : 20 = 5 άρα . Σχόλιο: = = 20 20 ⋅ 5 100 Αρχικά απλοποιού5 5 ⋅ 50 250 = µε για να προκύψει δ. Είναι 100 : 2 = 50 οπότε = 2 2 ⋅ 50 100 αριθµός που είναι 60 60 :15 4 ε. = = διαιρέτης του 100. 75 75 :15 5 4 4 ⋅ 20 80 60 80 Άρα = , οπότε = . = 5 5 ⋅ 20 100 75 100 4.
Να µετατρέψεις τα παρακάτω κλάσµατα σε ισοδύναµα µε παρανοµαστή τον αριθµό 3: 10 50 18 α. β. γ. 6 30 27
" Λύση 10 10 : 2 5 = = 6 6:2 3 50 50 :10 5 β. Έχουµε = = 30 30 :10 3 18 18 : 9 2 γ. Είναι = = 27 27 : 9 3
α. Είναι
5.
Να µετατρέψεις το κλάσµα α. 6
και
2 σε ισοδύναµο κλάσµα µε παρανοµαστή: 3
β. 15
" Λύση α. Είναι
76
2 2⋅2 4 = = . 3 3⋅2 6
β. Έχουµε
2 2 ⋅ 5 10 = = 3 3 ⋅ 5 15
6.
Να συµπληρώσεις τα κενά, ώστε να προκύψουν ισοδύναµα κλάσµατα; 2 22 .... 9 14 .... 48 .... = = = = β. γ. δ. α. 3 .... 5 15 4 20 36 24
" Λύση α. 7.
2 22 = 3 33
β.
3 9 = 5 15
γ.
Να απλοποιήσεις τα κλάσµατα: α.
14 70 = 4 20 25 30
β.
δ. 12 9
48 32 = 36 24 γ.
32 56
" Λύση 25 25 : 5 5 = = 30 30 : 5 6 12 12 : 3 4 β. Ο ΜΚ∆ των 12 και 9 είναι το 3 άρα = = 9 9:3 3 32 32 : 8 4 γ. Ο ΜΚ∆ των 32 και 56 είναι το 8 οπότε = = 56 56 : 8 7
α. Ο ΜΚ∆ των 25 και 30 είναι το 5 οπότε
8.
Να βρεις ποια από τα κλάσµατα είναι ανάγωγα: 32 15 51 26 α. β. γ. δ. 20 14 16 50
" Λύση Ανάγωγα είναι τα κλάσµατα β. αφού ΜΚ∆ (15,14) = 1 9.
και
15 51 και γ. 14 16 ΜΚ∆ (51,16) = 1 .
Να γίνουν οµώνυµα τα παρακάτω κλάσµατα: 3 7 7 3 11 7 και β. και γ. και α. 5 9 8 10 3 12
" Λύση 9 5 3 7 27 35 α. Είναι ΕΚΠ (5,9) = 45 οπότε και γίνονται και 45 45 5 9 β. Το ΕΚΠ (8,10) = 40 και 40 : 8 = 5 , 40 :10 = 4 4 5 7 3 35 12 γίνονται και άρα τα κλάσµατα και 8 10 40 40 γ. Το ΕΚΠ (3,12) = 12 και 12 : 3 = 4 4 1 11 7 44 7 και γίνονται και . οπότε τα κλάσµατα 3 12 12 12
77
10. Τοποθετήστε ένα «x» στην αντίστοιχη θέση: Σωστό
10 X απλοποιείται µε το 5 25 3 β. Το κλάσµα είναι ανάγωγο X 5 x γ. Αν το κλάσµα µετατραπεί σε ισοδύναµο µε παρανο8 µαστή το 24, ο αριθµητής του θα είναι διπλάσιος του x. Χ α. Το κλάσµα
Λάθος
Χ Χ
X
δ. Αν πολλαπλασιάσουµε τον αριθµητή και τον παρανο-
µαστή επί 4, το κλάσµα θα γίνει 4 φορές µεγαλύτερο 18 ε. Το κλάσµα απλοποιείται µε το 6 522 στ. Ένα ανάγωγο κλάσµα είναι πάντα µικρότερο του 1 0 0 ζ. = 4 10 23 20 + 3 3 = = η. 30 20 + 10 10 3 60 θ. = 11 220 5 41 ι. = 5 41 α+β ια. Το κλάσµα είναι πάντα ίσο µε α + β 1
78
Χ
X
X
Χ
Χ
X
X
Χ
Χ
X
X
Χ
X
Χ
X
Χ
3 12 και σε ισοδύναµα µε παρανοµαστή 5 20
11. Να µετατρέψεις τα κλάσµατα 100.
" Λύση 3 3 ⋅ 20 60 = = και 100 : 20 = 5 5 5 ⋅ 20 100 12 12 ⋅ 5 60 τότε = = 20 20 ⋅ 5 100
Επειδή 100 : 5 = 20 τότε
12. Απλοποίησε το κλάσµα
68 για να προκύψει ανάγωγο κλάσµα. 74
" Λύση Είναι ΜΚ∆ (68,74) = 2 , οπότε
68 68 : 2 34 = = 74 74 : 2 37
13. Συµπλήρωσε τα κενά µε τον κατάλληλο αριθµό, στα παρακάτω κλάσµατα, ώστε να προκύψουν οµώνυµα κλάσµατα. 5 18 3 +1 5−2 4 , , , , 7+8 16 − .... 29 − .... 25 − .... 30 : ....
" Λύση 5 7+8 ,
18 16 − 1 ,
3 +1 29 − 14 ,
5−2 25 − 10 ,
14. Εξέτασε ποια από τα κλάσµατα: 11 110 47 64 και και , β. , α. 9 91 36 49 είναι µεταξύ τους ισοδύναµα.
γ.
4 30 : 2
100 10 και 580 58
" Λύση 11 110 ≠ . 9 91 47 64 β. Έχουµε 47 ⋅ 49 = 2303 και 64 ⋅ 36 = 2304 άρα ≠ . 36 49 100 10 γ. Είναι 100 ⋅ 58 = 5800 και 10 ⋅ 580 = 5800 άρα . = 580 58
α. Είναι 11 ⋅ 91 = 1001 και 9 ⋅ 110 = 990 οπότε
79
15. Μετάτρεψε τα κλάσµατα 3 32 7 10 , β. , γ. , δ. α. 10 50 4 8 σε ισοδύναµα κλάσµατα µε παρανοµαστή το 100.
" Λύση 3 3 ⋅ 10 30 = = 10 10 ⋅ 10 100 32 32 ⋅ 2 64 β. Είναι = = 50 50 ⋅ 2 100 7 7 ⋅ 25 175 = γ. Έχουµε = 4 4 ⋅ 25 100 δ. Επειδή το 8 δεν είναι διαιρέτης του 100 απλοποιούµε αρχικά το κλά10 10 : 2 5 = και είναι σµα 8 8:2 4 5 5 ⋅ 25 125 10 125 άρα = = = οπότε 4 4 ⋅ 25 100 8 100
α. Έχουµε
16. Το κλάµα α. 24,
2 να µετατραπεί σε ισοδύναµο κλάσµα µε παρανοµαστή: 3 β. 30, γ. 51
" Λύση α. Επειδή 24 : 3 = 8 έχουµε β. Αφού 30 : 3 = 10 τότε γ. Είναι 51: 3 = 17 οπότε
2 2 ⋅ 8 16 = = 3 3 ⋅ 8 24 2 2 ⋅ 10 20 = = 3 3 ⋅ 10 30 2 2 ⋅ 17 34 = = 3 3 ⋅ 17 51
17. Μπορεί ένα κλάσµα µε παρανοµαστή 3 να µετατραπεί σε ισοδύναµο µε παρανοµαστή: α. 1521, β. 1024
" Λύση α. Επειδή 1521: 3 = 507 τότε το κλάσµα µε παρανοµαστή το 3 µετατρέπεται σε ισοδύναµο µε παρανοµαστή 1521 πολλαπλασιάζοντας και τους δύο όρους του µε τον αριθµό 507. β. Το 1024 δεν διαιρείται µε το 3 οπότε ένα κλάσµα µε παρανοµαστή το 3 δεν µπορεί να µετατραπεί σε ισοδύναµο µε παρανοµαστή 1024.
80
18. Απλοποίησε τα κλάσµατα: α.
102 , 17
β.
60 84
" Λύση 102 102 :17 6 = = =6 17 17 :17 1 60 60 :12 5 β. Έχουµε ΜΚ∆ (60,84) = 12 άρα = = 84 84 :12 7
α. Είναι ΜΚ∆ (102,17) = 17 οπότε
19. Να γίνουν οµώνυµα τα κλάσµατα: 5 3 9 7 και β. και α. 9 100 11 6
" Λύση α. Το ΕΚΠ (100,9) = 900 και 900 : 9 = 100 , 900 :100 = 9 100 9 5 3 500 27 και γίνονται . και άρα τα κλάσµατα 900 900 9 100 β. Το ΕΚΠ (6,11) = 66 και 66 : 6 = 11 , 66 :11 = 6 11 6 9 7 54 77 και γίνονται και οπότε τα κλάσµατα 66 66 11 6
81
20. Ποια από τα παρακάτω κλάσµατα είναι ισοδύναµα. 3 45 7 91 8 95 α. β. γ. και και και 8 120 9 117 9 108
(Απ.: α, β) 21. Να βρείτε ποια από τα παρακάτω κλάσµατα είναι ίσα. 2 5 4 6 10 15 , , , , , , 7 6 14 21 16 18 2 4 6 5 15 και = ) = (Απ.: = 7 14 21 6 18 22. Να µετατρέψετε το καθένα από τα κλάσµατα
4 5 1 7 , , , σε ισοδύναµο 9 3 4 18
κλάσµα µε παρανοµαστή το 36. 23. Να βρείτε κλάσµα ίσο µε
1 και µε αριθµητή: i. 7 ii. 18 3
iii. 15
4 5 i. Να βρείτε ίσο κλάσµα µε αριθµητή 28. ii. Να βρείτε ίσο κλάσµα µε παρανοµαστή 40.
24. ∆ίνεται το κλάσµα
(Απ.: i.
28 32 ii. ) 35 40
1 3 7 11 17 24 , , , , , να τραπεί σε ισοδύ3 4 10 12 20 45 ναµο κλάσµα µε παρανοµαστή 60.
25. Το καθένα από τα κλάσµατα
26. Να απλοποιήσετε τα κλάσµατα: 34 75 480 i. ii. iii. 14 225 270 27. Να γίνουν οµώνυµα τα κλάσµατα: 5 1 1 2 7 i. , ii. , , 6 8 5 3 10
82
iv.
168 192
iii.
v.
222 333
7 15 11 , , 12 30 18
28. Για ποια τιµή του x τα κλάσµατα
x 15 είναι ίσα; και 16 12
(Απ.: x = 20) 29. Να γίνουν ανάγωγα τα κλάσµατα
20 16 15 72 108 , , , , , 35 24 60 60 312
3 και έχουν πα4
30. Να γράψετε όλα τα κλάσµατα που είναι ισοδύναµα του
ρανοµαστή µικρότερο του 50. 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 , , , , , , , , , ) (Απ.: , 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 31. Να βρείτε όλα τα κλάσµατα τα οποία είναι ίσα µε το
8 και των οποίων 400
ο παρανοµαστής είναι µικρότερος του 200. (Απ.:
1 2 3 , , ) 50 100 150
32. Να βρείτε όλα τα κλάσµατα που είναι ισοδύναµα µε το κλάσµα
17 των ο52
ποίων ο παρανοµαστής περιλαµβάνεται µεταξύ 400 και 500. (Απ.:
33. Αν
136 153 , ) 416 468
α 3 = και ΜΚ∆ (α,β) = 4 , να βρείτε τα α και β β 7 (Απ.: α = 12, β = 28)
34. Να βρείτε ένα κλάσµα ίσο µε το
28 του οποίου οι όροι να έχουν άθροι40
σµα 204. (Απ.:
35. Να βρείτε ένα κλάσµα ίσο µε το
84 ) 120
60 του οποίου οι όροι να έχουν διαφορά 44. 44 165 (Απ.: ) 121
83
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Ποιο µέρος του µεγάλου τετραγώνου καταλαµβάνει κάθε χρώµα στο διπλα9 νό σχήµα; Η Μαρία είπε πως το ροζ χρώµα καταλαµβάνει τα , το γαλά48 10 7 ζιο τα . Ενώ ο Γιάννης είπε ότι το ροζ είναι τα και το πράσινο τα 48 48 3 5 1 , το γαλάζιο τα και το πράσινο το του τετραγώνου. 16 24 8 – Ποιος έχει δίκιο και ποιος όχι; – Προσπάθησε να γράψεις σε αύξουσα σειρά τα κλάσµατα που αντιστοιχούν σε καθένα από τα µέρη του τετραγώνου
"Απάντηση ∆ίκιο έχει ο Γιάννης. Αν τα κλάσµατα 3 5 1 , , τα κάνουµε οµώνυµα µε παρονοµαστή 16 24 8 9 10 6 το ΕΚΠ (16, 24, 8) = 48 θα είναι , , . 48 48 48 Η Μαρία θα είχε και αυτή δίκιο αν για πράσινο χρώµα απαντούσε 6 7 και όχι . 48 48 6 9 10 1 3 5 Επειδή < < τότε < < 48 48 48 8 16 24
84
1.
Συµπλήρωσε τα παρακάτω κενά α. Για να συγκρίνουµε δύο κλάσµατα πρέπει αυτά να είναι οµώνυµα. β. Ένα κλάσµα είναι: i. ίσο µε 1, αν ο αριθµητής του είναι ίσος µε τον παρονοµαστή ii. µικρότερο του 1, αν ο αριθµητής του είναι µικρότερος από τον παρονοµαστή iii. µεγαλύτερο του 1, αν ο αριθµητής του είναι µεγαλύτερος από τον παρονοµαστή. α β γ. Αν > τότε α > β γ γ
2.
Σύγκρινε τα κλάσµατα: α.
3 5 β. και 7 7
3 3 γ. και 5 9
4 8 και 5 12
" Λύση 3 5 < 7 7 3 3 β. Είναι 5 < 9 οπότε > 5 9 γ. Πρέπει να τρέψουµε τα κλάσµατα σε οµώνυµα για να τα συγκρίνουµε. Είναι ΕΚΠ (5, 12) = 60 12 5 4 8 48 40 4 8 οπότε τα κλάσµατα , γίνονται > τότε > 60 60 5 12 5 12
α. Αφού 3 < 5 τότε
3.
Γράψε τα κλάσµατα
31 31 31 31 31 , , , , σε φθίνουσα σειρά. 10 14 11 13 12
" Λύση Επειδή 10 < 11 < 12 < 13 < 14 τότε
31 31 31 31 31 > > > > 10 11 12 13 14
Θυµίζουµε! Όταν τα κλάσµατα έχουν ίδιο αριθµητή τότε µεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει µικρότερο παρονοµαστή.
85
4.
Σύγκρινε µε το 1 τα κλάσµατα: 5 9 12 , β. , γ. , α. 8 10 11
δ.
16 , 16
ε.
109 . 120
" Λύση 5 <1 8 9 <1 Επειδή 9 < 10 τότε 10 12 Αφού 12 > 11 θα είναι >1 11 16 Επειδή 16 = 16 τότε =1 16 109 < 1. Είναι 109 < 120 άρα 120
α. Είναι 5 <8 οπότε β. γ. δ. ε.
5.
Βάλε σε αύξουσα σειρά τα κλάσµατα:
3 8 5 20 7 , , , , . 5 15 10 15 5
" Λύση Τρέπουµε σε οµώνυµα τα κλάσµατα. Είναι ΕΚΠ (5,10,15) = 30 2 6 2 3 6 3 8 5 20 7 οπότε , , , , 5 15 10 15 5 18 16 15 40 42 και είναι , , , , 30 30 30 30 30 15 16 18 40 42 < < < < Επειδή 30 30 30 30 30 5 8 3 20 7 τότε < < < < . 10 15 5 15 5
86
6.
Βρες µεταξύ ποιων διαδοχικών φυσικών αριθµών βρίσκεται καθένα από τα παρακάτω κλάσµατα. 5 7 8 63 125 α. , β. , γ. , δ. , ε. 3 2 9 5 10
" Λύση 5 <2 3 7 Αφού 7 : 2 = 3,5 τότε 3 < < 4 2 8 Είναι 8 : 9 0,8 οπότε 0 < < 1 9 63 Έχουµε 63 : 5 = 12,6 άρα 12 < < 13 5 125 Επειδή 125 :10 = 12,5 τότε 12 < < 13 . 10
α. Επειδή 5 : 3 1,6 τότε 1 < β. γ. δ. ε. 7.
Τοποθετήστε στην ευθεία των αριθµών τα κλάσµατα 1 3 5 1 3 4 α. , β. , γ. , δ. , ε. , στ. , 2 2 2 4 4 5
ζ.
9 10
" Λύση 1 4
3 9 4 10 4 5 1
1 2
0
8.
3 2
5 2 2
3
Ποιοι κλασµατικοί αριθµοί πρέπει να τοποθετηθούν στα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ και Ε του σχήµατος
α.
2
1
0 A
B
Γ
Δ
β. E
2
1
0 A
B
Γ
Δ
" Λύση 1 , 5 1 β. Α → , 3
α. Α →
4 , 5 2 Β→ , 3 Β→
6 , 5 4 Γ→ , 3 Γ→
9 5 7 ∆→ 3 ∆→
και
Ε→
11 5
87
9.
Συµπλήρωσε τις κενές θέσεις του πίνακα µε το κλάσµα που αντιστοιχεί στο χρωµατισµένο τµήµα του τετραγώνου µε το αντίστοιχο γράµµα και µετά βάλε τα κλάσµατα που βρήκες σε φθίνουσα σειρά.
Α
Β
Γ
∆
Ε
ΣΤ
Ζ
Η
ΣΤ 14 18
Ζ 4 6
Η 4 8
" Λύση Είναι Α 6 8
Β 11 15
Γ 12 16
∆ 11 16
Ε 5 10
Τρέπουµε τα κλάσµατα σε οµώνυµα. Είναι ΕΚΠ (8, 15, 16, 10, 6, 18) = 720 οπότε
88
Έχουµε
540 528 540 495 360 560 480 360 , , , , , , , 720 720 720 720 720 720 720 720
Είναι
560 540 540 528 495 480 360 360 > = > > > > = 720 720 720 720 720 720 720 720
∆ηλαδή
ΣΤ > Α = Γ > Β >∆ >Ζ >Ε = Η
10. Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται να είναι
1 1 > . Αληθεύει; 4 2
Να δικαιολογηθεί η απάντηση.
1 2
1 4
" Λύση ∆εν αληθεύει γιατί τα δύο κλάσµατα δεν αναφέρονται σε ίσα τετράγωνα.
11. Γράψε ένα κλάσµα που να είναι µεγαλύτερο από το από το
1 και µικρότερο 5
4 . 5
" Λύση Επειδή 1 < 3 < 4 τότε
1 3 4 < < . 5 5 5
12. Να διαταχθούν τα κλάσµατα
3 7 2 1 , , και σε αύξουσα σειρά. 8 5 3 2
" Λύση Τρέπουµε τα κλάσµατα σε οµώνυµα. Είναι ΕΚΠ (2, 3, 5, 8) = 120 15 24 60 40 3 7 2 1 , , , Οπότε τα κλάσµατα γίνονται 8 5 3 2 45 60 80 168 άρα < < < Είναι 120 120 120 120
45 168 80 60 , , , . 120 120 120 120 3 1 2 7 < < < . 8 2 3 5
89
13. Να σχεδιαστούν τρία τετράγωνα πλευράς 2 cm. Στο πρώτο από αυτά 1 του τετραγώνου, στο δεύτερο να χρωµατιστεί ένα τµήµα ίσο µε το 2 1 ένα τµήµα ίσο µε το . Στο τρίτο τετράγωνο να βρεθεί και να χρωµατι8 1 στεί ένα τµήµα που να είναι µικρότερο από το και µεγαλύτερο από 2 1 του τετραγώνου. το 8
" Λύση 1 4 1 2 4 = και επειδή < < 2 8 8 8 8 τότε στο τρίτο τετράγωνο χρωµατίζουµε 2 1 ένα τµήµα ίσο µε τα = του τετραγώνου. 8 4 Είναι
90
14. Να συγκρίνετε τα κλάσµατα: 5 6 11 1 α. β. και και 9 9 33 3
γ.
4 3 και 5 10
δ.
2 2 και 5 7
15. Να συγκριθούν τα κλάσµατα και να τοποθετήσετε ανάµεσα τους κατάλληλο σύµβολο (>, =, <). 8 7 1 1 9 9 ..... ..... i. ii. ..... iii. 13 13 5 7 12 15 2 1 3 5 5 6 iv. ..... v. ..... vi. ..... 7 4 4 6 11 13 16. Να γράψετε στη σειρά από το µικρότερο στο µεγαλύτερο τα κλάσµατα: 3 1 5 17 11 3 3 3 3 3 3 α. β. , , , , , , , , , 11 11 11 11 11 7 11 5 4 9 12 2 2 7 9 1 2 7 γ. δ. , , , , , 3 5 9 10 3 5 10 17. Να βρείτε κλάσµα µεγαλύτερο του 4 1 18 2 i. ii. iii. iv. 7 5 35 3 18. Να βρείτε κλάσµα µικρότερο του 1 10 3 i. ii. iii. 2 12 5
iv.
1 4
19. Να βρείτε ένα κλάσµα που να είναι: 1 i. µεγαλύτερο από το και µικρότερο του 5 5 ii. µεγαλύτερο από το και µικρότερο του 7 1 iii. µεγαλύτερο από το και µικρότερο του 4 2 iv. µεγαλύτερο από το και µικρότερο του 3
v.
136 223
v.
23 75
3 5 6 7 1 3 4 5
(Απ.: i.
2 11 7 11 ii. iii. iv. ) 5 14 24 15
91
7 8 τη µονάδα, θα βρούµε ένα νέο κλάσµα. Να εξετάσετε αν αυτό το κλάσµα 7 είναι ίσο, µικρότερο ή µεγαλύτερο από το . 8 (Απ.: µεγαλύτερο)
20. Αν προσθέσουµε στον αριθµητή και στον παρονοµαστή του κλάσµατος
21. Σε ένα διαγωνισµό ο Κωνσταντίνος πήρε τα και η Μαριαλένα τα
5 του συνόλου των βαθµών 6
13 του συνόλου των βαθµών. Ποιος πήρε τη µεγαλύ15
τερη βαθµολογία; (Απ.: Η Μαριαλένα)
22. Να βρείτε ποιες τιµές µπορεί να πάρει ο φυσικός αριθµός ν, έτσι ώστε να ν 1 ισχύει η σχέση < 8 2 (Απ.: ν = 0,1, 2, 3) 3 . Προσθέτουµε στον αριθµητή 15 και στον παρονο8 3 µαστή 40. Να συγκριθεί το κλάσµα που προκύπτει µε το . 8 (Απ.: ίσο)
23. ∆ίνεται το κλάσµα
92
1.
Υπολόγισε τα αθροίσµατα: 5 2 11 2 4 2 + β. , γ. + α. + , 3 3 13 13 9 3 8 2 17 3 15 5 δ. ε. , στ. + + , + 12 3 20 15 12 4 και απλοποίησε το τελικό αποτέλεσµα, αν δεν είναι ανάγωγο κλάσµα.
" Λύση 5 2 7 + = 3 3 3 11 2 13 + = =1 β. 13 13 13 1 3 4 2 4 2 4 6 10 + = + = + = γ. 9 3 9 3 9 9 9 1 4 8 2 8 2 8 8 16 16 : 4 4 + = + = + = = = δ. 12 3 12 3 12 12 12 12 : 4 3 3 4 17 3 17 3 51 12 63 63 : 3 21 + = + = + = = = ε. 20 15 20 15 60 60 60 60 : 3 20 1 3 15 5 15 5 15 15 30 30 : 6 5 + = + = + = = = στ. 12 4 12 4 12 12 12 12 : 6 2
α.
2.
Να βρεις τις διαφορές και να απλοποιήσεις το αποτέλεσµα, όπου αυτό δεν είναι ανάγωγο κλάσµα: 3 1 8 3 10 3 α. − , β. − γ. − , 2 2 9 9 8 4 4 2 7 5 3 3 δ. − ε. − στ. − 9 27 3 8 7 11
" Λύση 3 1 2 − = =1 2 2 2 8 3 5 β. − = 9 9 9
α.
93
1 2 10 3 10 3 10 6 4 4 : 4 1 − = − = − = = = γ. 8 4 8 4 8 8 8 8:4 2 1 3 4 2 4 2 12 2 10 − = − = − = δ. 9 27 9 27 27 27 27 8 3 7 5 7 5 56 15 41 ε. − = − = − = 3 8 3 8 24 24 24 11 7 3 3 3 3 33 21 12 = − = − = στ. − 7 11 7 11 77 77 77
3.
Να µετατρέψεις τους µεικτούς αριθµούς σε κλάσµατα: 5 1 1 α. 3 β. 4 γ. 2 8 10 9
" Λύση 5 5 3 5 24 5 29 + = α. 3 = 3 + = + = 8 8 1 8 8 8 8 10 1 1 1 4 1 40 1 41 =4+ = + = + = β. 4 10 10 1 10 10 10 10 9 1 1 1 2 1 18 1 19 + = γ. 2 = 2 + = + = 9 9 1 8 9 9 9 8
4.
Κάνε τα ακόλουθα κλάσµατα µεικτούς αριθµούς 15 5 38 β. γ. α. 4 2 12
" Λύση α. Εκτελούµε τη διαίρεση 15 : 4 δηλαδή
οπότε 15 = 4 ⋅ 3 + 3 . 15 4 ⋅ 3 + 3 4 ⋅ 3 3 3 3 = = + =3+ =3 Άρα 4 4 4 4 4 4
15 4 3 3
β. Κάνουµε τη διαίρεση 5 : 2 οπότε 5 2 1 2 άρα 5 = 2 ⋅ 2 + 1. 5 2 ⋅ 2 +1 2 ⋅ 2 1 1 1 = + =2+ =2 Οπότε = 2 2 2 2 2 2 38 12 γ. Κάνουµε τη διαίρεση 38 :12 και είναι 2 3 οπότε 38 = 12 ⋅ 3 + 2 .
94
Άρα 5.
38 12 ⋅ 3 + 2 12 ⋅ 3 2 2 2 1 = = + =3+ =3 =3 12 12 12 12 12 12 6
Υπολόγισε τα αθροίσµατα: 3 12 16 3 +2 +1 β. γ. + +5 α. 8 15 20 10
" Λύση 3 3 2 3 16 19 +2= + = + = α. 8 8 1 8 8 8 15 1 12 12 1 12 15 27 27 : 3 9 +1= + = + = = = β. 15 15 1 15 15 15 15 : 3 5 1 2 20 16 3 16 3 5 16 6 100 122 122 : 2 61 + +5= + + = + + = = = γ. 20 10 20 10 1 20 20 20 20 20 : 2 10 1
6.
8
Να βρεις τις διαφορές: 1 1 1 β. 4 − 2 α. 3 − 2 5 3 2
γ. 1
2 4 − 3 5
" Λύση 1 5 ⎛ 5 ⎞ 1 2 1⎟ 11 3 11 15 11 4 ⎛ 10 1 ⎞ ⎜ α. 3 − 2 = 3 − + =3−⎜ + ⎟=3− = − = − = ⎜⎜ 1 5 ⎟⎟ 5 5 1 5 5 5 5 ⎝ 5 5⎠ ⎝ ⎠ 2 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 1 1 ⎜ 4 1 ⎟ ⎜ 2 1 ⎟ ⎛ 12 1 ⎞ ⎛ 4 1 ⎞ 13 5 β. 4 − 2 = + − + =⎜ + ⎟−⎜ + ⎟= − = 3 2 ⎜⎜ 1 3 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 3 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 26 15 11 1 ⋅ 6 + 5 1 ⋅ 6 5 5 5 − = = = + = 1+ = 1 6 6 6 6 6 6 6 6 3 5 3 ⎛ ⎞ 2 4 1 2 4 ⎛ 3 2 ⎞ 4 5 4 25 12 13 γ. 1 − = ⎜ + ⎟ − = ⎜ + ⎟ − = − = − = 3 5 ⎜⎜ 1 3 ⎟⎟ 5 ⎝ 3 3 ⎠ 5 3 5 15 15 15 ⎝ ⎠
95
7.
Τρία αδέλφια µοίρασαν 20000€. Ο πρώτος πήρε τα
2 του ποσού, ο 5
1 λιγότερα από τον πρώτο και ο τρίτος τα υπόλοιπα. Ποιο 8 µέρος του ποσού πήρε ο καθένας και πόσα χρήµατα είναι το µέρος του ποσού για κάθε αδελφό; δεύτερος
" Λύση 1 του ποσού είναι 20000 : 5 = 4000 . 5 2 του ποσού, δηλαδή 4000 ⋅ 2 = 8000 €. Άρα ο πρώτος πήρε τα 5 1 Το του 8000 είναι 8000 : 8 = 1000 . 8 Οπότε ο δεύτερος πήρε 8000 − 1000 = 7000 €. Ενώ ο τρίτος πήρε 20000 − 8000 − 7000 = 5000 €. Το
8.
Ποιο κλάσµα πρέπει να προσθέσουµε στο
3 5 για να βρούµε άθροισµα ; 8 9
" Λύση Το κλάσµα που πρέπει να προσθέσουµε προκύπτει από τη διαφορά 8 9 5 3 5 3 40 27 13 − = − = − = . 9 8 9 8 72 72 72 9.
2 2 1 1 , , και της 5 15 3 10 παραγωγής του. Ποιο µέρος της παραγωγής του έµεινε απούλητο;
Ένας αγρότης πούλησε σε τέσσερις εµπόρους τα
" Λύση Ο αγρότης πούλησε συνολικά στους τέσσερις εµπόρους 6 2 10 3 2 2 1 1 2 2 1 1 + + + = + + + = 5 15 3 10 5 15 3 10 12 4 10 3 29 = + + + = . 30 30 30 30 30 Άρα το µέρος της παραγωγής που του έµεινε απούλητο είναι: 30 29 1 29 30 29 1 1− = − = − = . 30 1 30 30 30 30
96
10. Τοποθέτησε ένα «x» στην αντίστοιχη θέση: α. β. γ. δ. ε. στ. ζ.
3 4 7 2 + = =1 5 5 5 5 1 4 20 + = 3 3 12 1 1 1 + = 5 6 3 8 3 = 1+ 5 5 1 2 3 + = 5 3 8 3+5 3 = +1 5 5 8−3 3 = 1− 8 8
Σωστό
Λάθος
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
97
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÅÓ 1.
ÃÉÁ ÔÏ ÓÐÉÔÉ
Αντιστοίχισε σε κάθε πρόσθεση το σωστό αποτέλεσµα. α.
8 4 + 10 10
5 4 + 9 9 45 15 + γ. 90 90
•
1.
•
•
2. 2
•
•
3.
6 5
•
•
4.
5 5
β.
δ.
2 3
•
16 8 + 12 12
" Λύση α → 3, 2.
γ → 1,
δ→2
Συµπλήρωσε τον πίνακα: + 5 7 3 2 1 3 5
98
β → 4,
5 7 10 7 31 14 12 7 46 35
3 2 31 14
3 5 2 21 10
1
12 7 5 2 2 8 5
3 5 46 35 21 10 8 5 6 5
11. Να υπολογιστούν τα αθροίσµατα: 1 6 2 3 5 4 β. α. + + + + 8 8 8 11 11 11
γ.
2 5 + 5 6
δ.
4 2 + +2 7 14
" Λύση 1 6 2 9 + + = 8 8 8 8 3 5 4 12 β. + + = 11 11 11 11 6 5 2 5 2 5 12 25 37 γ. + = + = + = 5 6 5 6 30 30 30 1 14 2 4 2 4 2 2 8 2 28 38 38 : 2 19 + +2= + + = + + = = = δ. . 7 14 7 14 1 14 14 14 14 14 : 2 7
α.
12. Να υπολογιστούν οι διαφορές: 7 5 17 7 4 − β. −1 γ. − α. 12 12 12 2 12
δ.
15 5 − 22 10
" Λύση 7 5 2 2:2 1 − = = = 12 12 12 12 : 2 6 12 17 17 1 17 12 5 β. −1= − = − = 12 12 1 12 12 12 6 7 4 7 4 42 4 38 38 : 2 19 − = − = − = = = γ. 2 12 2 12 12 12 12 12 : 2 6 11 5 15 5 15 5 75 55 20 20 :10 2 δ. − = − = − = = = 22 10 22 10 110 110 110 110 :10 11
α.
13. Να υπολογιστούν τα αθροίσµατα: 5 2 9 2 + β. + α. 8 8 5 5 3 15 5 8 4 7 γ. + + δ. + + 2 12 4 5 10 15 και να απλοποιηθεί το αποτέλεσµα, όπου αυτό δεν είναι ανάγωγο κλάσµα.
99
" Λύση 5 2 7 + = 8 8 8 9 2 11 + = β. 5 5 5
α.
1 6 3 3 15 5 3 15 5 18 15 15 48 48 :12 4 + + = + + = + + = = = =4 γ. 2 12 4 2 12 4 12 12 12 12 12 :12 1 6 3 2 8 4 7 8 4 7 48 12 14 74 74 : 2 37 δ. + + = + + = + + = = = 5 10 15 5 10 15 30 30 30 30 30 : 2 15
14. Να βρεθούν τα αθροίσµατα: 1 5 3 8 1 2 + β. + γ. + α. 2 4 5 10 14 7 22 47 35 28 δ. + ε. + 30 50 40 45 και να γίνει απλοποίηση όπου είναι δυνατόν.
" Λύση 1 5 1 5 2 5 7 α. + = + = + = 2 4 2 4 4 4 4 2 1 3 8 3 8 6 8 14 14 : 2 7 β. + = + = + = = = 5 10 5 10 10 10 10 10 : 2 5 1 2 1 2 1 2 1 4 5 + = + = + = γ. 14 7 14 7 14 14 14 2
1
5
3
9
8
22 47 22 47 110 141 251 + = + = + = δ. 30 50 30 50 150 150 150 35 28 35 28 315 224 539 + = + = + = ε. 40 45 40 45 360 360 360
100
15. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: 3 1 4 2 5 1 i. ii. + iii. + + 17 17 7 7 3 3
16. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα. 5 1 2 1 + i. ii. + 6 3 7 4 17 5 71 13 + + iv. v. 20 8 100 150
iii.
9 3 + 10 2
(Απ.: i. 17. Να γίνουν οι αφαιρέσεις: 6 1 9 3 i. ii. − − 18 3 10 4
iii. 2 −
5 6
52 27 + 161 161 4 6 79 , ii. , iii. 2, iv. ) (Απ.: i. 17 7 161
iv.
7 15 12 59 239 , ii. , iii. , iv. , v. ) 6 28 5 40 300
iv.
25 −3 7
(Απ.: i. 0, ii.
3 7 4 , iii. , iv. ) 20 6 7
18. Να µεταφέρετε τους µεικτούς αριθµούς σε κλάσµατα: 6 1 5 9 i. 5 ii. 7 iii. 9 iv. 4 11 8 12 20 61 57 113 89 (Απ.: i. , ii. , iii. , iv. ) 11 8 12 20 19. Να τρέψετε τα κλάσµατα σε µεικτούς: 12 63 146 123 i. ii. iii. iv. 7 8 12 4 5 7 1 3 (Απ.: i. 1 , ii. 7 , iii. 12 , iv. 30 ) 7 8 6 4 20. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: 3 1 3 3 5 1 i. ii. 12 + + 6 + +4 5 3 10 4 8 2
3 5 4 + 3 +1 4 7 3 151 159 739 , ii. , iii. ) (Απ.: i. 30 8 84
iii. 2
101
21. Να βρείτε τις διαφορές: 2 3 2 5 i. 4 − 2 ii. 8 − 5 4 3 6
iii. 15 − 4
1 2
(Απ.: i. 22. Να κάνετε τις πράξεις: 3 ⎛ 7 2⎞ 1⎞ ⎛ 3 i. ii. 8 ⎜ 2 − 1 ⎟ −⎜ − ⎟ 4 ⎝ 10 5 ⎠ 2⎠ ⎝ 5
iii. 7
1 ⎛ 1 2⎞ − ⎜2 − ⎟ 2 ⎝ 4 3⎠ (Απ.: i.
23. Το άθροισµα δύο προσθετέων είναι 12
ναι ο άλλος;
113 47 21 ) , ii. , iii. 20 6 2
9 69 71 , ii. , iii. ) 20 10 12
2 7 . Αν ο ένας είναι 3 , ποιος εί9 15 34 (Απ.: 8 ) 45
24. Ποιος αριθµός πρέπει να προστεθεί στο άθροισµα των κλασµάτων 3 3 για να προκύψει η µονάδα; και 9 7 22 ) (Απ.: 63 25. Ποιος αριθµός πρέπει να αφαιρεθεί από τη διαφορά των µεικτών 5 2 1 7 και 2 για να προκύψει το ; 6 3 2 14 (Απ.: ) 3 2 3 φυτεύτηκαν µε πατάτες, τα µε ντοµάτες και το 5 10 υπόλοιπο µε φασόλια. Τι µέρος του περιβολιού φυτεύτηκε µε φασόλια; 3 ) (Απ.: 10
26. Σε ένα περιβόλι τα
27. Ο κύριος Θανάσης ξόδεψε το
ενοίκιο και το
102
1 1 του µισθού του για τρόφιµα, το για 5 8
1 για µια δόση δανείου. Τι µέρος του µισθού του έµεινε; 2 7 (Απ.: ) 40
28. Ένα αυτοκίνητο διένυσε απόσταση 5
1 χιλιοµέτρων. Ένα δεύτερο αυτο4
2 χιλιοµέτρων. Πόσα περισσότερα χιλιόµετρα 5 διένυσε το πρώτο αυτοκίνητο από το δεύτερο; 17 (Απ.: 1 χιλιόµετρα) 20
κίνητο διένυσε απόσταση 3
29. Τρία πρόσωπα µοιράστηκαν ένα κοµµάτι ύφασµα. Το πρώτο πήρε
63 m, 5
8 21 m λιγότερα του πρώτου και m περισσότερα του 3 4 τρίτου. Πόσο ήταν το µήκος του υφάσµατος; 1633 (Απ.: m) 60
το δεύτερο πήρε
30. Μία βιβλιοθήκη αποτελείται από 5 κοµµάτια που τοποθετούνται το ένα 8 δίπλα στο άλλο. Το ένα από αυτά τα κοµµάτια έχει µήκος m, δύο κοµ20 9 µάτια έχουν µήκος m το καθένα και τα υπόλοιπα δύο έχουν µήκος 10 7 m το καθένα. Να βρείτε αν µπορούµε να τοποθετήσουµε τη βιβλιοθή20 κη αυτή σε ένα τοίχο µήκους 3m. (Απ.: Μπορούµε).
103
1.
Συµπλήρωσε τα παραπάνω κενά: α. Για να πολλαπλασιάσουµε δύο κλάσµατα πολλαπλασιάζουµε µεταξύ τους τους αριθµητές και προκύπτει ο αριθµητής του κλάσµατος του γινοµένου και πολλαπλασιάζουµε µεταξύ τους τους παρονοµαστές για να προκύψει ο παρονοµαστής του κλάσµατος του γινοµένου. β. ∆ύο αριθµοί λέγονται αντίστροφοι, όταν έχουν γινόµενο 1. 1 1 κ είναι ο κ και του γ. Ο αντίστροφος του αριθµού κ είναι ο , του λ κ κ λ είναι ο . κ δ. Μόνο ο αριθµός 1 ισούται µε τον αντίστροφό του.
2.
Υπολόγισε τα γινόµενα: 3 10 α. 3 ⋅ , β. 7 ⋅ , 4 14
γ.
4 ⋅2, 2
δ.
5 ⋅ 10 100
" Λύση 3 3⋅3 9 = = 4 4 4 10 7 ⋅ 10 70 70 :14 5 β. 7 ⋅ = = = = =5 14 14 14 14 :14 1 4 4⋅2 8 8:2 4 ⋅2 = = = = =4 γ. 2 2 2 2:2 1 5 5 ⋅ 10 50 50 : 50 1 δ. ⋅ 10 = = = = 100 100 100 100 : 50 2
α. 3 ⋅
3.
Βρες τα γινόµενα: 2 7 8 100 β. ⋅ , α. ⋅ , 5 8 10 5
α.
104
γ.
4 5 ⋅ , 9 9
"
Λύση
2 7 2 ⋅ 7 14 14 : 2 7 ⋅ = = = = 5 8 5 ⋅ 8 40 40 : 2 20
δ.
3 2 ⋅ 2 15
8 100 8 ⋅ 100 800 800 : 50 16 ⋅ = = = = = 16 10 5 10 ⋅ 5 50 50 : 50 1 4 5 4 ⋅ 5 20 γ. ⋅ = = 9 9 9 ⋅ 9 81 3 2 3⋅2 6 6:6 1 ⋅ = = = = δ. 2 15 2 ⋅ 15 30 30 : 6 5
β.
4.
Να συµπληρωθεί ο πίνακας: 5 7
•
7 5 2 3
1 10 21 5 7 20 21
1 4 3
5.
3 2 21 10
7 5 2 3
1
Υπολόγισε τα γινόµενα: 1 3 1 1 , β. 4 ⋅ 2 α. 2 ⋅ 3 21 5 2
3 2
1
2
4 3
γ. 3
3 4 21 20 1 2 3 4
1
1 ⋅ 10 , 8
1
2 3 δ. 1 ⋅ 3 2
" Λύση 1 3 7 3 7 ⋅ 3 21 21: 21 1 ⋅ = ⋅ = = = = 3 21 3 21 3 ⋅ 21 63 63 : 21 3 1 1 21 5 21 ⋅ 5 105 105 : 5 21 1 β. 4 ⋅ 2 = ⋅ = = = = = 10 5 2 5 2 5⋅2 10 10 : 5 2 2 1 25 25 ⋅ 10 250 250 : 2 125 1 γ. 3 ⋅ 10 = ⋅ 10 = = = = = 31 8 8 8 8 8:2 4 4 2 3 5 3 5 ⋅ 3 15 15 : 3 5 1 = = = =2 δ. 1 ⋅ = ⋅ = 3 2 3 2 3⋅2 6 6:3 2 2
α. 2
6.
Να βρείς τους αντίστροφους των αριθµών: 4 5 1 739 , β. 72, γ. , δ. , ε. , α. 7 8 3 8
στ. 1
" Λύση α.
7 , 4
β.
1 , 72
γ.
8 , 5
δ. 3,
ε.
8 , 739
στ. 1
105
7.
Ο Κώστας ήπιε τα γκου 1
2 από ένα µπουκάλι, που περιείχε αναψυκτικό ό3
1 του λίτρου. Πόσα λίτρα αναψυκτικού ήπιε; 2
" Λύση Ήπιε 8.
2 1 2 3 6 ⋅ 1 = ⋅ = = 1 λίτρο 3 2 3 2 6
Υπολόγισε τα εξαγόµενα των πράξεων: 6 3 1 ⎛6 3⎞ 1 ⎛6 3⎞ 1 γ. ⎜ − ⎟ ⋅ α. + ⋅ , β. ⎜ + ⎟ ⋅ 5 5 4 ⎝5 5⎠ 4 ⎝5 5⎠ 4
" Λύση 6 3 1 6 3 6 3 24 3 27 + ⋅ = + = + = + = , α. 5 5 4 5 20 5 20 20 20 20 ⎛6 3⎞ 1 9 1 9 β. ⎜ + ⎟ ⋅ = ⋅ = ⎝ 5 5 ⎠ 4 5 4 20 ⎛6 3⎞ 1 3 1 3 γ. ⎜ − ⎟ ⋅ = ⋅ = ⎝ 5 5 ⎠ 4 5 4 20 4
9.
Όµοια: ⎛7 2 ⎞ 3 α. ⎜ + ⎟⋅ , ⎝ 3 15 ⎠ 8
1
⎛7 2 ⎞ 3 β. ⎜ − ⎟⋅ , ⎝ 3 15 ⎠ 8
γ.
Σχόλιο Σε µία παράσταση: • Πρώτα εκτελούµε τους πολλαπλασιασµούς και µετά κάνουµε προσθέσεις ή αφαιρέσεις. • Αν υπάρχουν παρενθέσεις τότε προηγούνται οι πράξεις µέσα στις παρενθέσεις.
7 2 3 − ⋅ 3 15 8
" Λύση 1 ⎞ ⎛ 5 ⎛ 7 2 ⎞ 3 ⎜ 7 2 ⎟ 3 ⎛ 35 2 ⎞ 3 α. ⎜ + ⎟ ⋅ = + ⋅ =⎜ + ⎟⋅ = ⎝ 3 15 ⎠ 8 ⎜⎜ 3 15 ⎟⎟ 8 ⎝ 15 15 ⎠ 8 ⎝ ⎠ 37 3 111 111: 3 37 = ⋅ = = = 15 8 120 120 : 3 40 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 7 2 ⎞ 3 ⎜ 7 2 ⎟ 3 ⎛ 35 2 ⎞ 3 − ⋅ =⎜ − ⎟⋅ = β. ⎜ − ⎟ ⋅ = ⎝ 3 15 ⎠ 8 ⎜⎜ 3 15 ⎟⎟ 8 ⎝ 15 15 ⎠ 8 ⎝ ⎠ 33 3 99 99 : 3 33 = ⋅ = = = 15 8 120 120 : 3 40 40 1 7 2 3 7 6 7 6 280 6 274 274 : 2 139 − ⋅ = − = − = − = = = γ. 3 15 8 3 120 3 120 120 120 120 120 : 2 60
106
10. Να υπολογιστούν τα γινόµενα: 7 7 α. 2 ⋅ β. ⋅ 15 9 5
" Λύση 7 2 ⋅ 7 14 = = 9 9 9 7 7 ⋅ 15 105 105 : 5 21 β. ⋅ 15 = = = = = 21 5 5 5 5:5 1
α. 2 ⋅
11. Να υπολογιστούν τα γινόµενα, κάνοντας αρχικά, όπου γίνονται, απλοποιήσεις πριν την εκτέλεση του πολλαπλασιασµού. 3 4 7 8 7 4 3 10 ⋅ , ⋅ , ⋅ α. β. ⋅ , γ. δ. , 4 7 3 13 10 5 10 9 3 13 22 4 10 7 ε. ⋅ , στ. ⋅ , ζ. ⋅ 5 11 30 5 21 8
" Λύση 1 3 4 3 4 3 ⋅1 3 ⋅ = ⋅ = α. = 4 7 4 7 1⋅ 7 7 1 2 7 4 7 4 7 ⋅ 2 14 ⋅ = = γ. ⋅ = 10 5 10 5 5 ⋅ 5 25 5 ε.
3 13 3 ⋅ 13 39 ⋅ = = 5 11 5 ⋅ 11 55
β.
7 8 7 ⋅ 8 56 ⋅ = = 3 13 3 ⋅ 13 39
1 1 3 10 3 10 1 ⋅ 1 1 ⋅ δ. = = ⋅ = 10 9 10 9 1 ⋅ 3 3 1 3 2 22 4 22 4 22 ⋅ 2 44 στ. ⋅ = = ⋅ = 30 5 30 5 15 ⋅ 5 75 15
5 1 10 7 10 7 5 ⋅ 1 5 ⋅ = ⋅ = = ζ. 21 8 21 8 3 ⋅ 4 12 3 4
107
12. Να υπολογιστούν οι δυνάµεις: 2
⎛1⎞ α. ⎜ ⎟ , ⎝5⎠
2
2
⎛3⎞ β. ⎜ ⎟ , ⎝8⎠
⎛7⎞ γ. ⎜ ⎟ , ⎝2⎠
⎛3⎞ δ. ⎜ ⎟ ⎝2⎠
3
" Λύση 2
3 3 9 ⎛3⎞ β. ⎜ ⎟ = ⋅ = 8 8 64 ⎝8⎠
2
2
3 3 3 3 ⋅ 3 ⋅ 3 27 ⎛3⎞ δ. ⎜ ⎟ = ⋅ ⋅ = = 2 2 2 2 2⋅2⋅2 8 ⎝ ⎠
1 1 1 ⎛1⎞ α. ⎜ ⎟ = ⋅ = 5 5 25 ⎝5⎠
3
7 7 49 ⎛7⎞ γ. ⎜ ⎟ = ⋅ = 2 2 2 4 ⎝ ⎠ 13. Αν xy =
4 11 και z = να υπολογιστεί το γινόµενο x ⋅ ( y ⋅ z ) : 5 9
" Λύση Σύµφωνα µε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού θα είναι: x ⋅ ( y ⋅ z ) = ( x ⋅ y ) ⋅ z οπότε x ⋅ ( yz ) = ( xy ) ⋅ z =
4 11 44 ⋅ = 5 9 45
14. Να αντιστοιχηθεί κάθε γινόµενο της πρώτης στήλης του παρακάτω πίνακα µε το αποτέλεσµά του στη δεύτερη στήλη του πίνακα.
Στήλη (Α) α. β. γ. δ. ε.
Στήλη (Β)
2 4 ⋅ 5 3 1 1 ⋅ 8 5 2 14 ⋅ 7 20 3 2 ⋅ 10 9 5 4 ⋅ 8 10
1. 2. 3. 4. 5.
1 5 1 15 1 4 8 15 1 40
" Λύση α→4
108
β→5,
γ → 1,
δ→ 2,
ε → 3.
15. Να βρείτε τα γινόµενα: 3 4 i. 5 ⋅ , ii. ⋅ 8 , 4 6 13 13 iv. 10 ⋅ , v. ⋅ 100 100 10
iii. 12 ⋅
3 , 36
15 16 3 , ii. , iii. 1, iv. , v. 130) 4 3 10
(Απ.: i. 16. Να βρείτε τα γινόµενα: 2 9 3 5 ⋅ , i. ii. ⋅ , 3 8 5 13 5 18 3 32 ⋅ iv. , v. ⋅ 6 25 8 45
iii.
3 8 ⋅ , 4 9
3 3 2 3 4 , ii. , iii. , iv. , v. ) 4 13 3 5 15
(Απ.: i. 17. Να υπολογίσετε τα γινόµενα: 1 2 1 i. 1 ⋅ 9 , ii. 5 ⋅ 8 , 4 3 2
iii. 2
3 4 3 ⋅ ⋅ 5 7 4 (Απ.: i.
45 289 39 , ii. , iii. ) 4 6 35
18. Να βρείτε τον αντίστροφο των αριθµών: 9 1 i. , ii. , iii. 18, iv. 125 13 10 19. Να βρεθούν οι αντίστροφοι των αριθµών: 1 1 3 2 1 i. 2 ⋅ 9 , ii. 4 , iii. + , iv. 4 − 4 2 7 14 5
(Απ.: i. 20. Να κάνετε τις πράξεις: 3 ⎛1 2⎞ 3 1 2 i. ii. ⋅ + , ⋅⎜ + ⎟ , 4 2 3 4 ⎝2 3⎠
iii.
4 2 7 5 , ii. , iii. , iv. ) 9 9 4 19
3 1 2 + ⋅ 4 2 3
(Απ.: i.
7 25 13 , ii. , iii. ) 8 24 12
109
21. Να κάνετε τις πράξεις: i.
⎛ 2 1⎞ 1 ⎜1 + ⎟ ⋅ 1 , ⎝ 5 3⎠ 2
⎛ 1 1 ⎞⎛ 1 1 ⎞ ii. ⎜ − ⎟ ⎜ + ⎟ , ⎝ 2 3 ⎠⎝ 2 3 ⎠
2
4 m. Να βρείτε πόση απόσταση πε5
22. Το βήµα ενός ενήλικου είναι περίπου
ρίπου διανύει, όταν κάνει α. 10 βήµατα β. 250 βήµατα
2
⎛2⎞ ⎛1⎞ iii. ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝2⎠ 13 5 7 , ii. , iii. ) (Απ.: i. 15 36 36
γ. 1000 βήµατα (Απ.: i. 8m, ii. 200m, iii. 800m)
7 των µαθητών είναι κορίτσια. Να 15 βρείτε πόσα κορίτσια είναι στο σχολείο αυτό. (Απ.: 420)
23. Σε ένα σχολείο µε 900 µαθητές, τα
24. Σε ένα περιβόλι γεµάτο µε δέντρα το
1 των δέντρων είναι λεµονιές και 3
4 των λεµονιών έχουν ξεραθεί. Τι µέρος των δέντρων όλου του περι9 4 βολιού έχει ξεραθεί; (Απ.: ) 27
τα
25. Κάποιος είχε µαζί του στην αρχή της ηµέρας 420€. Ξόδεψε τα
3 των χρη7
2 των υπολοίπων τα 3 κατέθεσε στην τράπεζα. Πόσα χρήµατα κατέθεσε στην τράπεζα; (Απ.: 160€)
µάτων του για επισκευή του αυτοκινήτου του και τα
26. Κάποιος αγόρασε 180 κιλά πατάτες προς 50 λεπτά του ευρώ το κιλό. 2 7 αυτών προς 90 λεπτά το κιλό, τα αυτών προς 75 λεΠούλησε τα 5 15 πτά το κιλό και τις υπόλοιπες στην τιµή που τις αγόρασε. Πόσα χρήµατα κέρδισε; (Απ.: 49,80€)
1 3 1 της σοκολάτας και από το κοµµάτι αυτό έδωσε στην αδερφή του το . 4 Πόσα κοµµάτια σοκολάτας πήρε η αδερφή του; (Απ.: 2 κοµµάτια)
27. Μία σοκολάτα είναι χαραγµένη σε 24 ίσα µέρη. Ο ∆ηµήτρης πήρε το
110
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ Το εµβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓ∆ 8 2 είναι m . Το ορθογώνιο αποτελεί15 ται από 8 ίσα, µε το πορτοκαλί, ορθογώνια. – Προσπάθησε να επεκτείνεις το ορθογώνιο ώστε το συνολικό εµβαδό που θα προκύψει να είναι 15 2 m δηλαδή 1m2. 15 – Ποιο είναι το πλάτος α του ορθογωνίου ΑΒΓ∆.
A
4 m 5
B
E
αm
Δ
H
Γ
Z
" Απάντηση Προεκτείνουµε την ΑΒ κατά τµήµα ΒΕ ίσο µε το µήκος του πορτοκαλί ορθογωνίου. Προεκτείνουµε την Α∆ κατά τµήµα ∆Η ίσο µε το πλάτος του πορτοκαλί ορθογωνίου. Το ορθογώνιο ΑΕΖΗ που σχηµατίζεται αποτελείται από 15 ίσα µε το πορτοκαλί ορθογώνια. 5 15 2 Έχει µήκος AE = m δηλαδή 1m οπότε αφού έχει εµβαδόν m = 1m2 5 15 τότε το πλάτος του ΑΗ θα είναι 1m. Η πλευρά ΑΗ = 1m χωρίζεται σε 3 ίσα 2 µέρη. Οπότε το πλάτος Α∆ του ορθογωνίου ΑΒΓ∆ θα είναι α = m . 3 Θα µπορούσαµε να βρούµε το πλάτος α από τη σχέση 4 8 8 4 8 5 40 2 ή α= ⋅α = : ή α= ⋅ = = 5 15 15 5 15 4 60 3
111
1.
Συµπλήρωσε τα παρακάτω κενά: α. Για να διαιρέσουµε δύο κλάσµατα αρκεί να πολλαπλασιάσουµε τον διαιρετέο µε τον αντίστροφο του διαιρέτη. β. Σύνθετο κλάσµα λέγεται το κλάσµα, του οποίου ένας τουλάχιστον όρος είναι κλάσµα.
2.
Να κάνεις τις διαιρέσεις: 3 1 1 1 10 1 α. : , β. : , γ. : , 4 2 3 3 100 5
δ.
7 21 : . 3 27
" Λύση 3 1 3 2 6 6:2 3 = : = ⋅ = = 4 2 4 1 4 4:2 2 1 1 1 3 3 β. : = ⋅ = =1 3 3 3 1 3 10 1 10 5 50 50 : 50 1 ⋅ = = = : = γ. 100 5 100 1 100 100 : 50 2 7 21 7 27 7 ⋅ 3 ⋅ 9 9 δ. = ⋅ = = =3 : 3 27 3 21 3 ⋅ 7 ⋅ 3 3
α.
3.
Να βρείς τα πηλίκα: 1 5 α. 2 : , β. :1 , 3 8
γ. 2
1 :4, 2
δ. 4
1 1 :3 10 3
" Λύση 1 3 2⋅3 = 2⋅ = =6 3 1 1 5 5 1 5 β. :1 = ⋅ = 8 8 1 8 1 5 5 1 5 γ. 2 : 4 = : 4 = ⋅ = 2 2 2 4 8 1 1 41 10 41 3 123 δ. 4 : 3 = : = ⋅ = 10 3 10 3 10 10 100
α. 2 :
4.
112
Να κάνεις τις διαιρέσεις: 1 1 1 1 20 : , :10 , β. : , γ. α. 2 3 3 2 6 Τι παρατηρείς;
δ. 10 :
20 . 6
" Λύση 1 1 1 3 3 : = ⋅ = 2 3 2 1 2 1 1 1 2 2 : = ⋅ = β. 3 2 3 1 3 20 20 1 20 20 : 20 1 γ. :10 = ⋅ = = = 6 6 10 60 60 : 20 3 20 6 60 60 : 20 3 δ. 10 : = 10 ⋅ = = = =3 6 20 20 20 : 20 1 α γ γ α Παρατηρούµε ότι στις διαιρέσεις : και : β δ δ β
α.
προκύπτουν ως αποτέλεσµα αντίστροφοι αριθµοί. 5.
Να κάνεις τις διαιρέσεις: 1 ⎛ 1 1⎞ ⎛1 1⎞ 1 :⎜ : ⎟ και β. ⎜ : ⎟ : α. 8 ⎝3 2⎠ ⎝8 3⎠ 2 Τι παρατηρείς;
" Λύση 1 ⎛1 1⎞ 1 ⎛1 2⎞ 1 2 1 3 3 : ⎜ : ⎟ = :⎜ ⋅ ⎟ = : = ⋅ = 8 ⎝ 3 2 ⎠ 8 ⎝ 3 1 ⎠ 8 3 8 2 16 ⎛1 1⎞ 1 ⎛1 3⎞ 1 3 1 3 2 6 3 β. ⎜ : ⎟ : = ⎜ ⋅ ⎟ : = : = ⋅ = = . ⎝8 3⎠ 2 ⎝8 1⎠ 2 8 2 8 1 8 4
α.
Παρατηρούµε ότι για τη διαίρεση δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα η οποία όµως ισχύει στον πολλαπλασιασµό. 6.
Συµπλήρωσε τον πίνακα διαιρώντας τους αριθµούς της κόκκινης γραµµής µε τους αριθµούς της πράσινης στήλης.
: 5 7 1 2 1 4 3
5 7
1 10 7 5 7 15 28
1 2 7 10
7 5
1
2
1 2 3 8
1
1 3 4
4 3 28 15 8 3 4 3
1
113
7.
Αντιστοίχισε σε κάθε διαίρεση το σωστό αποτέλεσµα. Στήλη (Α)
Στήλη (Β)
3 4 : 10 10 5 4 : 9 9 45 15 : 90 9 16 8 : 3 9
α. β. γ. δ.
1.
5 4
2.
6
3. 4.
3 4 3 10
" Λύση α → 3, 8.
β → 1,
γ → 4,
δ→2
Να µετατρέψεις τα σύνθετα κλάσµατα σε απλά: 15 3 20 α. 8 , β. 3 , γ. 4 5 4 4 5
" Λύση 3 15 15 ⋅ 3 5 15 15 ⋅ 1 15 15 : 3 5 β. 3 = 3 = α. 8 = = = = = 4 4 ⋅ 8 32 4 4 3 ⋅ 4 12 12 : 3 4 5 1 20 20 20 ⋅ 4 80 80 : 5 16 γ. = 1 = = = = = 16 5 5 5 ⋅1 5 5:5 1 4 4
9.
Κάνε τις πράξεις και απλοποίησε τα κλάσµατα: 3 1 4 2 2 4 : + ⋅ β. 7 8 γ. 3 3 α. 5 5 1 2 4 5 3 :2 + ⋅ 8 3 6 4 11
" Λύση 3 1 4 4 4 + 4 ⋅ 6 24 24 : 8 3 α. 5 5 = 2 5 1 = 5 = 5 = = = = 2 4 4 4 8 5 ⋅ 8 40 40 : 8 5 + + 2 4 + 3 6 6 6 6 3 6
114
4 2 ⋅ 7 8 = β. 5 3 ⋅ 4 11
8 56 = 8 ⋅ 44 = 44 = 44 15 15 ⋅ 56 15 ⋅ 7 105 49
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ
2 4 2 3 6 1 : ⋅ 16 γ. 3 3 = 3 4 = 12 = 2 = =8 1 1 1 1 1 2 ⋅ :2 8 8 2 16 16
ÃÉÁ ÔÏ ÓÐÉÔÉ
2 3 ενός οποιοδήποτε κλάσµατος µε αριθµητή το 1 και παρονοµαστή ένα πε2 1 ριττό αριθµό. Για παράδειγµα τα του θα είναι: 3 7 2 1 1 1 1 1 = + = + . 3 7 2 ⋅ 7 6 ⋅ 7 14 42 – Μπορείς να βρεις ποιο κανόνα χρησιµοποιούσαν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι; 2 1 1 1 των κλασµάτων , , και – Εφάρµοσε τον κανόνα αυτόν και βρες τα 3 5 9 13 στη συνέχεια επαλήθευσε τα αποτελέσµατα που βρήκες. Στον πάπυρο του Ριντ, βρήκαµε πως οι αρχαίοι Αιγύπτιοι υπολόγιζαν τα
" Απάντηση 1 1 1 1 3 1 4 2 + = + = + = = Επειδή 2 6 2 6 6 6 6 3 τότε σύµφωνα µε την επιµεριστική ιδιότητα έχουµε: 2 1 ⎛1 1⎞ 1 1 1 1 1 1 1 =⎜ + ⎟ = ⋅ + ⋅ = + 3 π ⎝ 2 6 ⎠ π 2 π 6 π 2π 6 ⋅ π 3 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 4 2 = + = + = + = + = = Άρα 3 5 2 ⋅ 5 6 ⋅ 5 10 30 10 30 30 30 30 15 2 1 2 ⋅1 2 και ⋅ = = 3 5 3 ⋅ 5 15 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 4 2 = + = + = + = + = = Επίσης 3 9 2 ⋅ 9 6 ⋅ 9 18 54 18 54 54 54 54 27 2 1 2 ⋅1 2 Όµως = = 3 9 3 ⋅ 9 27 3 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 4 2 = + = + = + = + = = Τέλος 3 13 2 ⋅ 13 6 ⋅ 13 26 78 26 78 78 78 78 39 2 1 2 ⋅1 2 και = = 3 13 3 ⋅ 13 39 3
1
115
10. Να γίνουν οι διαιρέσεις: 2 3 4 7 : α. β. : 10 8 9 10
γ.
35 6 : 41 9
" Λύση 4
2 3 2 8 2 8 2⋅4 8 ⋅ = : = = ⋅ = α. 10 8 10 3 10 3 5 ⋅ 3 15
5
β.
4 7 4 10 4 ⋅ 10 40 : = ⋅ = = 9 10 9 7 9 ⋅ 7 63
3
35 6 35 9 35 9 105 γ. : = ⋅ = ⋅ = 82 41 9 41 6 41 6
2
11. Να υπολογιστούν τα πηλίκα: α. 4 :
2 7 :2 , β. 10 10
" Λύση α. 4 :
2 10 4 ⋅ 10 40 = 4⋅ = = = 20 10 2 2 2
β.
7 7 1 7 :2 = ⋅ = 10 10 2 20
12. Να γίνουν οι διαιρέσεις: 10 10 35 3 3 35 :12 και 12 : β. : και : α. 3 3 8 4 4 8
" Λύση α.
10 10 1 10 10 : 2 5 :12 = ⋅ = = = 3 3 12 36 36 : 2 18 10 3 36 36 : 2 18 12 : = 12 ⋅ = = = 3 10 10 10 : 2 5
1
35 3 35 4 35 4 35 β. ⋅ = : = ⋅ = 6 8 4 8 3 8 3
2
2
3 35 3 8 3 8 3⋅2 6 : = ⋅ = ⋅ = = 4 8 4 35 4 35 1 ⋅ 35 35
1
116
13. Να γίνουν οι διαιρέσεις: α.
3 5 15 7 , β. 5 : , γ. :14 : 4 16 18 9
" Λύση 4
3 5 3 16 3 16 3 ⋅ 4 12 : = ⋅ = ⋅ = = α. 1⋅ 5 5 4 16 4 5 4 5
β. 5 :
1 1 18
15 18 18 = 5⋅ = 5⋅ = =6 18 15 3 15
3
1 1⋅1 1 7 7 1 7 1 = = :14 = ⋅ = ⋅ γ. 9 9 14 9 14 9 ⋅ 2 18
2
3 −1 14. Να τραπεί το σύνθετο κλάσµα 2 σε απλό. 5 2+ 7
" Λύση 1 2 3 3 1 3 2 1 −1 − − 1⋅ 7 7 2 2 1 2 2 2 = = = = = 5 7 1 14 5 19 2 ⋅ 19 38 + 2+ 2 5 + 7 7 7 7 1 7
15. Να γίνουν οι πράξεις: 2 5 3 2 5 3 + + ii. + ⋅ i. 9 8 4 9 8 4 17 1 2 17 1 2 v. iv. − + − ⋅ 20 5 8 20 5 8
2 5 3 + : 9 8 4 17 1 2 vi. − : 20 5 8
iii.
" Λύση 2 5 3 2 5 3 16 45 54 115 i. + + = + + = + + = 9 8 4 9 8 4 72 72 72 72 32 9 2 5 3 2 15 2 15 64 135 199 ii. + ⋅ = + = + = + = 9 8 4 9 32 9 32 288 288 288 3 8 2 5 3 2 5 4 2 20 16 60 76 76 : 4 19 + : = + ⋅ = + = + = = = iii. 9 8 4 9 8 3 9 24 72 72 72 72 : 4 18 8
9
18
117
2 8 5 17 1 2 17 1 2 34 8 10 26 10 36 36 : 4 9 − + = − + = − + = + = = = iv. 20 5 8 20 5 8 40 40 40 40 40 40 40 : 4 10 2
17 1 2 17 2 17 2 34 2 32 32 : 8 4 − ⋅ = − = − = − = = = v. 20 5 8 20 40 20 40 40 40 40 40 : 8 5 1 2 17 1 2 17 1 8 17 8 17 8 17 16 1 vi. − : = − ⋅ = − = − = − = 20 5 8 20 5 2 20 10 20 10 20 20 20 Σχόλιο______________________________________________________________
•
Προηγούνται οι πολλαπλασιασµοί και οι διαιρέσεις των προσθέσεων και αφαιρέσεων. 3 του λίτρου 4 νερό. Πόσες κανάτες νερό πρέπει να ρίξουµε για να γεµίσει το ενυδρείο;
16. Ένα ενυδρείο χωράει 15 λίτρα νερό. Μία κανάτα χωράει
" Λύση 3 4 15 ⋅ 4 60 60 : 3 20 = 15 ⋅ = = = = = 20 . 4 3 3 3 3:3 1 Άρα, πρέπει να ρίξουµε 20 κανάτες νερό. 15 :
118
17. Να βρείτε τα πηλίκα: 2 4 6 7 : i. ii. : 5 7 7 6
18. Να βρείτε τα πηλίκα: 4 5 i. 3 : ii. :1 5 3
iii.
16 4 : 21 3
iii. 2 :
1 10
19. Να υπολογίσετε τα πηλίκα: 1 4 2 1 i. 2 : ii. 2 : 6 iii. 6 : 2 3 5 5 3
2 2 : 3 5 7 36 4 5 , ii. , iii. , iv. ) (Απ.:i. 10 49 7 3
iv.
2 :4 3 15 5 1 (Απ.:i. , ii. , iii. 20, iv. ) 4 3 6
iv.
3 2 :1 4 3 35 2 18 69 (Απ.:i. , ii. , iii. , iv. ) 12 5 7 20
iv. 5
20. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις: 11 11 3 ⎛ 9 1⎞ ⎛3 9 ⎞ 1 :11 και 11: i. ii. : ⎜ : ⎟ και ⎜ : ⎟ : 6 6 5 ⎝ 10 2 ⎠ ⎝ 5 10 ⎠ 2 5 ⎛ 1⎞ ⎛5 ⎞ 1 iii. ⎜ : 5 ⎟ : και : ⎜ 5 : ⎟ 2 ⎝ 2⎠ ⎝2 ⎠ 2 1 1 4 1 (Απ.:i. και 6 , ii. και , iii. 1 και ) 6 3 3 4 21. Να γίνουν απλά τα σύνθετα κλάσµατα: 5 2 5 i. 3 ii. 6 iii. 1 6 2 5 2 (Απ.:i.
10 5 5 , ii. , iii. ) 3 12 3
119
22. Να κάνετε τις πράξεις: 3 1 1 3 1 1 i. : + ii. + : 5 2 4 5 2 4
iii.
3 ⎛1 1⎞ :⎜ + ⎟ 5 ⎝2 4⎠
(Απ.:i.
23. Να γίνουν οι πράξεις: 12 12 :12 + 12 : i. 7 7
29 13 4 , ii. , iii. ) 20 5 5
⎛3 9 ⎞ 1 2 ii. ⎜ : ⎟ : + : 5 ⎝ 5 10 ⎠ 2 3 (Απ.:i.
50 22 , ii. ) 7 15
24. Να κάνετε απλά τα σύνθετα κλάσµατα: 1 5 1 2 2 1 − 3 6 2 5 i. ii. iii. 4 1 2 ⋅ 11 3−2 3 2 5 (Απ.:i.
7 5 1 , ii. , iii. ) 4 3 4
25. Να κάνετε απλά τα σύνθετα κλάσµατα: i.
2 1 5 − : 3 2 2 1 15
ii.
(9 − 5)2 3 1 + ⋅2 4 2
1⎞ ⎛ ⎜3 − 2 ⎟ 3⎠ iii. ⎝ 2 1 ⋅ 3 3
2
(Απ.:i. 7, ii.
64 , iii. 2) 7
26. Να βρείτε µε ποιον αριθµό πρέπει να πολλαπλασιαστεί ο αριθµός να µας δώσει: 1 3 i. ii. 4 16
iii. 2
1 2
5 για 8
iv. 5
2 3 , ii. , iii. 4, iv. 8) 5 10 3 27. Να βρείτε µε ποιον αριθµό πρέπει να διαιρέσουµε τον αριθµό για να 7 βρούµε πηλίκο: 1 2 1 i. ii. iii. 2 iv. 5 7 3 4 9 4 3 , iii. , iv. ) (Απ.:i. 3, ii. 14 21 35 (Απ.:i.
120
28. Ένα µπουκάλι χωράει
3 λίτρα λάδι. Πόσα µπουκάλια θα γεµίσουµε µε 4
273 λίτρα λάδι; (Απ.: 364) 1 2 ενός χωραφιού είναι φυτεµένο µε λεµονιές, τα µε πορτοκαλιές 3 5 και το υπόλοιπο, που είναι 12 στρέµµατα, είναι ακαλλιέργητο. Πόσα στρέµµατα είναι όλο το χωράφι; (Απ.: 45 στρέµµατα)
29. Το
30. Μία κληρονοµιά µοιράστηκε σε δύο κόρες, στους 3 γιους και σε 6 άλλους 1 1 και ο κάθε γιος το της συγγενείς ως εξής: Η κάθε κόρη πήρε το 8 7 κληρονοµιάς. Η υπόλοιπη κληρονοµιά µοιράστηκε εξίσου στους 6 άλλους συγγενείς. i. Να βρείτε το µέρος της κληρονοµιάς που πήρε ο καθένας από τους 6 συγγενείς. ii. Αν ο καθένας από τους συγγενείς πήρε 3.750€, να βρείτε πόσα ευρώ ήταν όλη η κληρονοµιά και πόσα χρήµατα πήρε ο κάθε γιος και κάθε κόρη. 3 (Απ.:i. , ii. 70.000€ όλη η κληρονοµιά, 56 10.000€ ο κάθε γιος, 8.750€ η κάθε κόρη).
121
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Αν βάλουµε στη ζυγαριά 2 σταθµά, θεωρώντας το ένα από αυτά ως µονάδα µέτρησης, διαπιστώνουµε ότι η µπάλα είναι βαρύτερη και αν βάλουµε 3 από τα ίδια, ότι είναι ελαφρότερη. α. Τι είδους σταθµά χρειαζόµαστε, εκτός από αυτά που διαθέτουµε, για να έχουµε µεγαλύτερη ακρίβεια στη µέτρησή µας; β. Τι µορφή θα έχει ο αριθµός, που εκφράζει το αποτέλεσµα της µέτρησης του βάρους της µπάλας;
" Απάντηση α.
β.
Επειδή η µπάλα είναι βαρύτερη από τα 2 ίδια σταθµά και ελαφρύτερη από τα 3 σταθµά, για να ζυγίσουµε τη µπάλα µε µεγαλύτερη ακρίβεια χρειαζόµαστε σταθµά µικρότερου βάρους τα οποία αθροιζόµενα να έχουν βάρος ίσο µε ένα από τα αρχικά σταθµά. Αν για παράδειγµα έχουµε 10 σταθµά µε ίσα βάρη, τα οποία αθροιζόµενα έχουν βάρος ίσο µε ένα από τα αρχικά σταθµά, τότε το καθένα από τα 1 νέα σταθµά θα έχει βάρος ίσο µε το του αρχικού ή µε το 0,1 του αρχι10 κού. Οπότε αν χρειαστούν, για τη ζύγιση της µπάλας κ νέα σταθµά, το 1 κ βάρος της µπάλας θα είναι 2 και κ ⋅ σταθµά ή 2 ή 2,κ σταθµά. 10 10
123
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 2ç Αν σου ζητηθεί να χωρίσεις το τµήµα ΑΒ που έχει µήκος 5 εκατοστά σε οκτώ ίσα µέρη, πόσο θα είναι το µήκος του κάθε µέρους από αυτά;
Α
Β 5 εκατοστά
" Απάντηση Για να βρούµε το µήκος καθενός από τα 8 ίσα µέρη στα οποία θα χωρίσουµε το τµήµα ΑΒ µήκους 5 εκατοστών, θα κάνουµε τη διαίρεση 5 : 8. ∆ηλαδή καθένα από τα νέα τµήµατα έχει µήκος 0,625 εκατοστά. 50 8 – 48 0,625 20 – 16 40 – 40 0
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 3ç Χιλ Εκ ιάδες ατ ον τά δε Δε ς κά δ ε Μο ς ν Υπ άδες οδ ιασ Δέ τολή κ Εκ ατα ατ οσ τά Χ Δε ιλιοσ κά τ Εκ κ. χ ά ατ ι λ ιο ο Εκ ντ. χ στά ιλιο ατ ομ μυ στά ριο στ ά
Στο διπλανό πίνακα υπάρχουν διάφοροι δεκαδικοί αριθµοί. α. Προσπαθήστε να τους διαβάσετε και να τους γράψετε ολογράφως. β. Ποιος από αυτούς είναι ο µεγαλύτερος και ποιος ο µικρότερος; 1 5 1 3 , 0 0 3 2 7 , 1 8 0 γ. Προσπαθήστε να τους τοπο0 , 4 0 5 θετήσετε σε αύξουσα σειρά. 9 5 0 , 4 2 0 8 5 0 0 , 7 δ. Στρογγυλοποιήστε τους 1 5 4 5 , 8 6 4 αριθµούς 9 5 2 8 , 9 i. στη µονάδα και 9 8 0 1 , 5 1 3 4 6 3 7 , 2 5 2 ii. στο εκατοστό. 1 1
124
5 1 5 1
3 3
, ,
0 1
0
4
6 9
0
5
2
3
8
" Απάντηση α.
β. γ.
δ.
Χίλια πεντακόσια δέκα τρία και τρία χιλιοστά. Είκοσι επτά και χίλια οκτακόσια έξι δεκάκις χιλιοστά. Τετρακόσιες πέντε χιλιάδες εννιακόσια οκτώ εκατοµµυριοστά. Εννιακόσια πενήντα και τετρακόσια είκοσι χιλιοστά. Οκτώ χιλιάδες πεντακόσια και επτά δέκατα. Χίλια πεντακόσια σαράντα πέντε και ογδόντα έξι χιλιάδες τετρακόσια πενήντα δύο εκατοντάκις χιλιοστά. Εννιά χιλιάδες πεντακόσια είκοσι οκτώ και εννέα δέκατα. Εννιά χιλιάδες οκτακόσια ένα και πέντε χιλιάδες εκατόν τριάντα τρία δεκάκις χιλιοστά. Τέσσερις χιλιάδες εξακόσια τριάντα επτά και διακόσια πενήντα δύο χιλιοστά. Χίλια πεντακόσια δέκα τρία και τέσσερα χιλιοστά. Χίλια πεντακόσια δέκα τρία και ένα δέκατο. Μεγαλύτερος είναι ο 9801,5133 και µικρότερος ο 0,405908. 0,405908 < 27,1806 < 950,420 < 1513,003 < 1513,004 < 1513,1 < 1545,86452 < 4637,252 < 8500,7 < 9528,9 < 9801,5133. i. 1513,003 → 1513 (στα δέκατα έχει το 0 < 5) 27,1806 → 27 (στα δέκατα έχει το 1 < 5) 0,405908 → 0 (στα δέκατα έχει το 4 < 5) 950,420 → 950 (στα δέκατα έχει το 4 < 5) 8500, 7 → 8501 (στα δέκατα έχει το 7 > 5) 1545,86452 → 1546 (στα δέκατα έχει το 8 > 5) 9528,9 → 9529 (στα δέκατα έχει το 9 > 5) 9801,5133 → 9802 (στα δέκατα έχει το 5 = 5) 4637,252 → 4637 (στα δέκατα έχει το 2 < 5) 1513,004 → 1513 (στα δέκατα έχει το 0 < 5) 1513,1 → 1513 (στα δέκατα έχει το 1 < 5) ii. 1513,003 → 1513,00 (στα χιλιοστά έχει το 3 < 5) 27,1806 → 27,18 (στα χιλιοστά έχει το 0 < 5) 0,405908 → 0,41 (στα χιλιοστά έχει το 5 = 5) 950,420 → 950,42 (στα χιλιοστά έχει το 0 < 5) 8500,7 → 8500,7 (δεν έχει εκατοστά) 1545,86452 → 1545,86 (στα χιλιοστά έχει το 4 < 5) 9528,9 → 9528,9 (δεν έχει εκατοστά)
125
9801,5133 → 9801,51 (στα χιλιοστά έχει το 3 < 5) 4637,252 → 4637,25 (στα χιλιοστά έχει το 2 < 5) 1513,004 → 1513,00 (στα χιλιοστά έχει το 4 < 5) 1513,1 → 1513,1 (δεν έχει εκατοστά).
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 4ç Στον δεκαδικό αριθµό
0,
9 λείπουν δύο ψηφία του.
α. Να συµπληρώσετε τα κενά έτσι ώστε κανένα ψηφίο του αριθµού να µην είναι ίδιο µε άλλο. β. Βρείτε ποιος είναι ο µεγαλύτερος ή ο µικρότερος δεκαδικός που έχετε γράψει.
" Απάντηση α.
β.
126
Τα ψηφία που µπορούν να τοποθετηθούν στα κενά είναι δύο από τα 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Τότε 1 0, 2 9, 2 0, 1 9, 1 0, 3 9, 3 0, 1 9
1 0, 4 9,
4 0, 1 9,
1 0, 5 9,
5 0, 1 9
1 0, 6 9,
6 0, 1 9,
1 0, 7 9,
7 0, 1 9
1 0, 8 9,
8 0, 1 9,
2 0, 3 9,
3 0, 2 9
2 0, 4 9,
4 0, 2 9,
2 0, 5 9,
5 0, 2 9
2 0, 6 9,
6 0, 2 9,
2 0, 7 9,
7 0, 2 9
2 0, 8 9,
8 0, 2 9,
3 0, 4 9,
4 0, 3 9
3 0, 5 9,
5 0, 3 9,
3 0, 6 9,
6 0, 3 9
3 0, 7 9,
7 0, 3 9,
3 0, 8 9,
8 0, 3 9
4 0, 5 9,
5 0, 4 9,
4 0, 6 9,
6 0, 4 9
4 0, 7 9,
7 0, 4 9,
4 0, 8 9,
8 0, 4 9
5 0, 6 9,
6 0, 5 9,
5 0, 7 9,
7 0, 5 9
5 0, 8 9,
8 0, 5 9,
6 0, 7 9,
7 0, 6 9
6 0, 8 9,
8 0, 6 9,
7 0, 8 9,
8 0, 7 9
Μεγαλύτερος είναι ο 80,79 και µικρότερος ο 10,29.
1.
Γράψτε ως κλάσµατα τα πηλίκα των διαιρέσεων: α. 4 : 5 β. 9 : 16 γ. 25 : 79
" Λύση α. 4 : 5 = 2.
4 5
β. 9 :16 =
9 16
γ. 25 : 79 =
25 79
Ποια διαίρεση παριστάνει καθένα από τα κλάσµατα: 2 19 77 α. β. γ. 21 3 105
" Λύση α. 3.
2 = 2 : 21 21
β.
19 = 19 : 3 3
γ.
77 = 77 :105 105
Γράψτε καθένα από τα παρακάτω κλάσµατα ως δεκαδικό αριθµό: i. µε προσέγγιση εκατοστού και ii. µε προσέγγιση χιλιοστού: 7 21 20 α. β. γ. 16 17 95
" Λύση α.
7 = 7 :16 = 0,4375 16
7,0000 16 – 64 0,4375 60 – 48 120 – 112 80 – 80 0
i. Επειδή στα χιλιοστά έχει 7 > 5, ο 0,4375, µε προσέγγιση εκατοστού γράφεται 0,44. ii. Επειδή στα δεκάκις χιλιοστά ο 0,4375 έχει 5 = 5, µε προσέγγιση χιλιοστού γράφεται 0,438.
127
β.
γ.
Είναι
21 = 21:17 = 1,2352... 17
21,0000 17 – 17 1,2352 40 – 34 60 – 51 90 – 85 50 – 34 16
i. Επειδή στη θέση των χιλιοστών έχει 5, µε προσέγγιση εκατοστού γράφεται 1,24. ii. Επειδή στη θέση των δεκάκις χιλιοστών έχει 2, µε προσέγγιση χιλιοστού γράφεται 1,235. 20 Είναι = 20 : 95 = 0,2105... 95 20,0000 95 – 190 0,2105 100 – 95 500 – 475 25
i. Επειδή στη θέση των χιλιοστών έχει 0 < 5, µε προσέγγιση εκατοστού γράφεται 0,21. ii. Επειδή στη θέση των δεκάκις χιλιοστών έχει 5, µε προσέγγιση χιλιοστού γράφεται 0,211. 4.
Να γραφεί ως δεκαδικός αριθµός, καθένα από τα παρακάτω δεκαδικά κλάσµατα: 58 3 5025 1024 β. γ. δ. α. 10 100 100 1000
" Λύση 58 = 58 :10 = 5,8 10 5025 = 5025 :100 = 50,25 γ. 100
α.
128
3 = 3 :100 = 0,03 100 1024 = 1024 :1000 = 1,024 δ. 1000 β.
5.
Να γραφεί ως δεκαδικό κλάσµα, καθένας από τους παρακάτω δεκαδικούς: α. 3,5 β. 45,25 γ. 3,004
" Λύση α. 3,5 = 35 :10 =
35 10
4.525 100 3.004 γ. 3,004 = 3.004 :1.000 = 1.000 β. 45,25 = 4.525 :100 =
6.
Να βρεθεί το ψηφίο των χιλιοστών και των δεκάκις χιλιοστών στους παρακάτω αριθµούς: α. 5,8909 β. 98,0005 γ. 456,8756
α. β. γ. 7.
4
9 5
Δε
Εκ
ατ
ον
τά δε ς κά δ ε Μο ς ν Υπ άδες οδ ιασ Δέ τολή κ Εκ ατα ατ οσ Χιλ τά Δε ιοσ κά τά κ. χιλ ιοσ τά
" Λύση
5 8 6
, , ,
8 0 8
9 0 7
0 0 5
9 5 6
Να τοποθετηθεί το κατάλληλο σύµβολο <, =, ή >, µεταξύ των αριθµών: α. 45,345…45,413 β. 980,19…899,01 γ. 7,534…7,5340
" Λύση α. 45,345 < 45,413 β. 980,19 > 899,01 γ. 7,534 = 7,5340
129
8.
Να στρογγυλοποιηθούν οι παρακάτω δεκαδικοί αριθµοί στο δέκατο, εκατοστό και χιλιοστό: α. 9876,008 β. 67,8956 γ. 0,001 δ. 8,239 ε. 23,7048
" Λύση α.
β.
γ.
δ.
ε.
130
Στη θέση των εκατοστών έχει 0 < 5, οπότε µε προσέγγιση δεκάτου ο 9876,008, γράφεται 9876,0 ή 9876. Στη θέση των χιλιοστών έχει 8 > 5, οπότε µε προσέγγιση εκατοστού γράφεται 9876,01. Επειδή ο αριθµός 9876,008 δεν έχει ψηφίο στη θέση των δεκάκις χιλιοστών, παραµένει όπως είναι µε προσέγγιση χιλιοστού. Ο αριθµός 67,8956, στη θέση των εκατοστών έχει 9 > 5, οπότε µε προσέγγιση δεκάτου, γράφεται 67,9. Στη θέση των χιλιοστών έχει 5, οπότε µε προσέγγιση εκατοστού γράφεται 67,90. Στη θέση των δεκάκις χιλιοστών έχει 6 > 5, οπότε µε προσέγγιση χιλιοστού γράφεται 67,896. Ο αριθµός 0,001, στη θέση των εκατοστών έχει 0 < 5, οπότε µε προσέγγιση δεκάτου γράφεται 0,0 ή 0. Στη θέση των χιλιοστών έχει 1 > 5, οπότε µε προσέγγιση χιλιοστού γράφεται 0,00 ή 0. Επειδή δεν έχει δεκάκις χιλιοστά, ο αριθµός 0,001 παραµένει όπως είναι µε προσέγγιση χιλιοστού. Ο αριθµός 8,239 στη θέση των εκατοστών έχει 3 < 5, οπότε µε προσέγγιση δεκάτου γράφεται 8,2. Στη θέση των χιλιοστών έχει 9 > 5, οπότε µε προσέγγιση εκατοστού γράφεται 8,24. Επειδή δεν έχει ψηφία στη θέση των δεκάκις χιλιοστών, ο αριθµός 8,239 παραµένει όπως είναι µε προσέγγιση χιλιοστού. Ο αριθµός 23,7048 στη θέση των εκατοστών έχει 0 < 5, οπότε µε προσέγγιση δεκάτου γράφεται 23,7. Στη θέση των χιλιοστών έχει 4 < 5, οπότε µε προσέγγιση εκατοστού γράφεται 23,70 ή 23,7. Στη θέση των δεκάκις χιλιοστών έχει 8 > 5, οπότε µε προσέγγιση χιλιοστού γράφεται 23,705.
9.
Να τοποθετηθούν οι παρακάτω δεκαδικοί στην ευθεία των αριθµών: α. 3,4 β. 4,5 γ. 2,3 δ. 2,8 ε. 4,7 στ. 4,3 ζ. 2,5 η. 1,9 θ. 5,1.
" Λύση 4,5 2,5 3,4 4,3 4,7 5,1 1,9 2,3 2,8
0
1
10. Στον αριθµό 34,
2
3
4
5
6
λείπουν τα τρία δεκαδικά ψηφία. Να συµπληρωθεί
ο αριθµός µε τα ψηφία 9,5 και 2, έτσι ώστε κάθε ψηφίο να γράφεται µία µόνο φορά. Να βρεθούν όλοι οι δεκαδικοί αριθµοί που µπορούν να γραφούν µ’ αυτό τον τρόπο και να διαταχθούν σε φθίνουσα σειρά.
" Λύση Με εναλλαγή των αριθµών 9, 5, 2 στη θέση των τριών δεκαδικών ψηφίων που λείπουν, προκύπτουν οι αριθµοί: 34,952 34,925 34,592 34,529 34,259 34,295 Με φθίνουσα σειρά έχουµε: 34,259 < 34,295 < 34,529 < 34,592 < 34,925 < 34,952. 11. Να συµπληρωθεί το ψηφίο που λείπει στον αριθµό 25,
7 , αν γνωρίζε-
τε ότι, όταν ο αριθµός στρογγυλοποιείται στο πλησιέστερο δέκατο γίνεται ίσος µε 25,5.
" Λύση Επειδή ο αριθµός 25,
7 στη θέση των εκατοστών έχει 7 > 5, όταν
στρογγυλοποιηθεί στα δέκατα, θα αυξηθεί το ψηφίο των δεκάτων κατά ένα. Επειδή ο 25,5 στη θέση των δεκάτων έχει 5, πριν στρογγυλοποιηθεί θα είχε 4, άρα ο αριθµός είναι ο 25,47.
131
12. Να αντιστοιχηθεί κάθε δεκαδικός αριθµός του πρώτου πίνακα µε το δεκαδικό κλάσµα, του οποίου είναι το πηλίκο, στο δεύτερο πίνακα; 345 10 345 1000 345 100 345 10.000
0,345 3,45 0,0345 34,5
" Λύση 0,345 3,45 0,0345 34,5
345 10 345 1000 345 100 345 10.000
Είναι 345 1000 345 0,0345 = 345 :10.000 = 10.000
0,345 = 345 :1000 =
132
345 100 345 34,5 = 345 :10 = 10
3,45 = 345 :100 =
13. Να αντιστοιχηθεί κάθε κλάσµα της πρώτης στήλης µε το ισοδύναµο του της δεύτερης στήλης και αυτό µε τον αντίστοιχο δεκαδικό της τρίτης στήλης.
2 5 6 20 45 50 15 5 10 4 19 1
3 10 190 10 25 10 4 10 9 10 30 10
0,9 0,4 0,3 3,0 2,5 19,0
" Λύση 2 2⋅2 4 = = = 4 :10 = 0,4 5 5 ⋅ 2 10 6 6:2 3 = = = 3 :10 = 0,3 20 20 : 2 10 45 45 : 5 9 = = = 9 :10 = 0,9 50 50 : 5 10 15 15 ⋅ 2 30 = = = 30 :10 = 3,0 5 3 ⋅ 2 10 10 10 : 2 5 5 ⋅ 5 25 = = = = = 25 :10 = 2,5 4 4 : 2 2 2 ⋅ 5 10 19 19 ⋅ 10 190 = = = 190 :10 = 19,0 . 1 1 ⋅ 10 10 Οπότε η αντιστοίχιση είναι: 2 3 5
6 20 45 50 15 5 10 4 19 1
10 190 10 25 10 4 10 9 10 30 10
0,9 0,4 0,3 3,0 2,5 19,0
133
14. Να υπολογιστούν τα παρακάτω πηλίκα ως κλάσµατα και ως δεκαδικούς: 3,4 1,028 β. α. 7,3 1,2
" Λύση 3,4 ως κλάσµα γράφεται: 7,3 3,4 34 :10 34 = = 7,3 73 :10 73 3,4 Το πηλίκο ως δεκαδικός είναι ο αριθµός 7,3
340000 73 – 292 0,4657 480 – 438 420 – 365 550 – 511 39
α. το πηλίκο
0,4657…, ο οποίος µε στρογγυλοποίηση στα εκατοστά γίνεται 0,47.
1,028 ως κλάσµα γράφεται: 1,2 1028 1,028 1000 1028 ⋅ 10 1028 = = = . 12 1,2 12 ⋅ 100 0 1200 10 1,028 Το πηλίκο ισοδυναµεί µε τη διαίρεση 1,028:1,2 ή 1,2 β. το πηλίκο
10,2800 12 – 96 0,8566 68 – 60 80 – 72 80 – 72 8
µε τη διαίρεση 10,28:12, η οποία έχει πηλίκο 0,8566… και µε στρογγυλοποίηση στα εκατοστά γίνεται 0,86. 15. Να βρεθεί: α. το
1 του 24 6
β. το
1 του 25 10
γ. το
" Λύση 1 του 24 είναι το 4. 6 1 του 25 είναι το 2,5. β. Επειδή 25 : 10 = 2,5, το 10 1 του 35 είναι το 1,75. γ. Επειδή 35 : 20 = 1,75, το 20
α. Επειδή 24 : 6 = 4, το
134
1 του 35. 20
16. ∆ίνεται η σειρά των ψηφίων 78630453. Να τοποθετηθεί κατάλληλα η υποδιαστολή, ώστε ο δεκαδικός που θα προκύψει να βρίσκεται µεταξύ των αριθµών: α. 10 και 100 β. 1000 και 10.000
" Λύση α.
β.
Για να είναι ο αριθµός που θα προκύψει µεταξύ του 10 και του 100 πρέπει να έχει µονάδες, δεκάδες και όσα δεκαδικά ψηφία θέλει. Άρα η υποδιαστολή θα µπει µεταξύ των ψηφίων 8 και 6 και θα προκύψει ο αριθµός 78,630453. Για να είναι ο αριθµός µεταξύ του 1000 και του 10.000, πρέπει να έχει µονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες και όσα δεκαδικά ψηφία θέλει. Οπότε η υποδιαστολή θα µπει µεταξύ των ψηφίων 3 και 0 και θα προκύψει ο αριθµός 7863,0453.
17. Να συµπληρωθεί το ψηφίο που λείπει στον αριθµό 12,6
7 , αν γνωρί-
ζετε ότι όταν ο αριθµός στρογγυλοποιηθεί στα εκατοστά, γίνεται 12,66.
" Λύση Ο αριθµός 12,6
7 , στη θέση των χιλιοστών έχει τον αριθµό 7 > 5, οπό-
τε στη στρογγυλοποίηση το ψηφίο των εκατοστών θα αυξηθεί κατά ένα. Για να γίνει ο αριθµός 12,66, δηλαδή για να έχει 6 στη θέση των εκατοστών, πριν την στρογγυλοποίηση θα είχε 5 και ο αριθµός ήταν ο 12,6 5 7 .
135
18. Να γράψετε ως κλάσµατα τα πηλίκα: α. 8 : 9 β. 7 : 18 γ. 32 : 67 19. Ποια διαίρεση παριστάνει καθένα από τα κλάσµατα: 3 24 62 α. β. γ. 11 5 123 20. Να µετατρέψετε σε δεκαδικούς τα κλάσµατα: 5 301 27 135 . α. β. γ. δ. 4 2 5 12 21. Να γράψετε ως κλάσµατα τους δεκαδικούς: α. 1,125 β. 0,9 γ. 2,38. 22. Να γράψετε ως δεκαδικό κλάσµα τους δεκαδικούς: α. 0,500 β. 3,120087 γ. 62,4 δ. 4,73 23. Να γράψετε ως δεκαδικό αριθµό καθένα από τα δεκαδικά κλάσµατα: 7 93 2 34 638 α. β. γ. δ. ε. . 1000 1000 10.000 100 10 24. Να συγκρίνετε τους αριθµούς: α. 52,345 και 52,359 β. 203,34 και 203,345. 25. Τοποθέτησε τους αριθµούς: 8,25, 8,3, 8,5, 8,55, 8,09, 8,66 και 8,58 στο σχήµα. 8
8,7
26. Ποιοι αριθµοί αντιστοιχούν στα σηµεία Α, Β, Γ και ∆ του σχήµατος; A 6,1
136
B
Γ
Δ 6,2
27. Να αντιστοιχίσετε κάθε κλάσµα της 1ης στήλης µε τον αντίστοιχο δεκαδικό µε τον οποίο ισούται της 2ης στήλης στον παρακάτω πίνακα. Κλάσµα 1 8 4 5 7 10 1 2
∆εκαδικός
0,7 0,5 0,125 0,8
28. Να στρογγυλοποιήσετε τους παρακάτω δεκαδικούς αριθµούς στο δέκατο, εκατοστό και χιλιοστό: α. 68,3725 β. 103,062 γ. 0,0192 δ. 2,712932 29. Ένας ποδηλάτης ξεκίνησε από το σηµείο Α του κυκλικού στίβου, έκανε 7 στροφές και συνέχισε µέχρι το σηµείο Β. Να γράψετε µε δεκαδικό αριθµό, πόσες στροφές έκανε ο ποδηλάτης.
A
B
30. Να τοποθετήσετε το κατάλληλο σύµβολο < ή = ή >, µεταξύ των αριθµών: α. 28,01 … 28,001 β. 3,14 … 3,140 γ. 13,25 … 13,025 31. Να βρείτε την τάξη του υπογραµµισµένου ψηφίου σε καθέναν από τους παρακάτω αριθµούς. α. 14,627 β. 0,03274 γ. 7,12031 δ. 3,725 32. Στον αριθµό 25,
λείπουν δύο ψηφία. Να συµπληρώσετε τον αριθµό
µε τα ψηφία 1,0 και 7 έτσι ώστε κάθε ψηφίο να γράφεται µία µόνο φορά. Να γράψετε όλους τους δεκαδικούς που µπορείτε να βρείτε και να τους διατάξετε σε αύξουσα σειρά.
137
33. Να συµπληρώσετε το ψηφίο που λείπει στον αριθµό 2,6
9 , αν γνωρίζε-
τε ότι, όταν ο αριθµός στρογγυλοποιείται στο πλησιέστερο εκατοστό, γίνεται ίσος µε 2,62. 34. Να συµπληρώσετε το ψηφίο που λείπει στον αριθµό 24,
3 , αν γνωρίζετε
ότι, όταν ο αριθµός στρογγυλοποιείται στο πλησιέστερο δέκατο, γίνεται ίσος µε 24,8. 35. Να γράψετε όλους τους δεκαδικούς αριθµούς µε ακέραιο µέρος µονοψήφιο και δεκαδικό µέρος διψήφιο, οι οποίοι έχουν για ψηφία ή µόνο το 3 ή µόνο το 4 ή µόνο το 3 και το 4. 36. ∆ίνεται ο αριθµός 3708245. Να τοποθετήσετε σε κατάλληλη θέση µία υποδιαστολή (,) ώστε το ψηφίο 2 στον αριθµό που θα προκύψει να είναι ψηφίο α. χιλιοστών β. δεκάδων γ. δεκάκις χιλιοστών.
138
1.
Να υπολογιστούν τα αθροίσµατα: α. 48,18+3,256+7,129 β. 3,59+7,13+8,195
" Λύση
58,565
β.
7,13
+ 8,1950 18,915
A
38,
m
,13
29
80,19m
B
13m m
57,89m
23,24
Να υπολογιστεί το µήκος της περιµέτρου καθενός από τα οικόπεδα του διπλανού σχήµατος.
47,73m
39,3m
2.
3,59
26,14m
48,18 3,256 α. + 7,12 90
Γ 47
,19
m 48,9m
75m
44,
" Λύση Το οικόπεδο Α έχει περίµετρο: 2 ⋅ 26,14 + 2 ⋅ 80,19 = 52,28m + 160,38m = 212,66m. Το οικόπεδο Β έχει περίµετρο: 26,14m + 29,13m + 38,13m + 23,24m + 57,89m = 174,53m. Το οικόπεδο Γ έχει περίµετρο: 39,93m + 47,19m + 48,9m + 44,75m + 47,73m + 57,89m + 80,19m = = 366,58m.
139
3.
Να υπολογιστούν οι διαφορές: α. 15,833 – 4,791 β. 13,902 – 12,5025
γ. 20,0005 – 12,501
" Λύση 15,833 α. − 4,791
13,9020 β. − 12,502500
11,042 4.
20,0005 γ. − 12,50100
1,3995
Να γίνουν οι παρακάτω διαιρέσεις: α. 579 : 48 β. 314 : 25 γ. 520 : 5,14
7,4995
δ. 49,35 : 7
" Λύση α.
579,0000 48 – 48 12,0625 99 – 96 300 – 288 120 – 96 240 – 240 0
β.
314,00 25 – 25 12,56 64 – 50 140 – 125 150 – 150 0
140
Είναι 579 : 48 = 12,0625
314 : 25 = 12,56
γ.
520 : 5,14 = 52000: 514
Με στρογγυλοποίηση στα εκατοντάκις χιλιοστά, το πηλίκο της διαίρεσης είναι το 101,6732. δ.
5.
49,35 7 49 7,05 035 – 35 0
Είναι 49,35 : 7 = 7,05
Να γίνουν οι πράξεις: α. 520 ⋅ 0,1 + 0,32 ⋅ 100 β. 4.91 ⋅ 0,01 + 0,819 ⋅ 10
" Λύση α. 520 ⋅ 0,1 = 520 :10 = 52 και 0,32 ⋅ 100 = 32 , οπότε
520 ⋅ 0,1 + 0,32 ⋅ 100 = 52 + 32 = 84. β. 4,91 ⋅ 0,01 = 4,91:100 = 0,0491 και 0,819 ⋅ 10 = 8,19 , οπότε: 4.91 ⋅ 0,01 + 0,819 ⋅ 10 = 0,0491 + 8,19 = 8,2391
6.
Να γίνουν οι πράξεις: α. 4,7 : 0,1 – 45 : 10 β. 0,98 : 0,0001 – 6785 : 1000
" Λύση α. Είναι 4,7 : 0,1 = 4,7 ⋅ 10 = 47 και 45 :10 = 4,5 , οπότε: 4,7 : 0,1 − 45 :10 = 47 − 4,5 = 42,5 . β. Είναι 0,98 : 0,0001 = 0,98 ⋅ 10000 = 9800 και 6785 :1000 = 6,785
οπότε: 0,98 : 0,0001 − 6785 :1000 = 9800 − 6,785 = 9793,215 .
141
7.
Η περίµετρος ενός τετραγώνου είναι 20,2. Να υπολογιστεί η πλευρά του.
" Λύση Επειδή η περίµετρος του τετραγώνου ισούται µε το 20,20 4 5,05 άθροισµα των µηκών των τεσσάρων ίσων πλευρών του, – 20 020 1 – 20 της κάθε µία από τις πλευρές του έχει µήκος ίσο µε το 4 0 περιµέτρου. Επειδή 20,2 : 4 = 5,05, κάθε πλευρά του τετραγώνου έχει µήκος 5,05.
8.
Η περίµετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 48,52. Αν η βάση του είναι 10,7, πόσο είναι η κάθε µία από τις ίσες πλευρές του;
" Λύση Επειδή 48,52 – 10,7 = 37,82, οι δύο ίσες πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου έχουν άθροισµα µηκών 37,82. Οπότε η κάθε µία έχει µήκος 37,82 : 2 = 18,91.
10,7 9.
Να υπολογιστούν οι τιµές των αριθµητικών παραστάσεων: β. 3 ⋅ 11 − 2 + 54,1: 2 . α. 24 ⋅ 5 − 2 + 3 ⋅ 5
" Λύση α. 24 ⋅ 5 − 2 + 3 ⋅ 5 = 120 − 2 + 15 = 118 + 15 = 133 β. 3 ⋅ 11 − 2 + 54,1: 2 = 33 − 2 + 27,05 = 31 + 27,05 = 58,05 . 10. Να υπολογιστούν οι δυνάµεις: α. 3,12 β. 7,012 γ. 4,52 δ. 0,52 ε. 0,22 στ. 0,33 .
" Λύση α. 3,12 = 3,1 ⋅ 3,1 = 9,61 β. 7,012 = 7,01 ⋅ 7,01 = 49,1401 γ. 4,52 = 4,5 ⋅ 4,5 = 20,25
142
δ. 0,52 = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25 ε. 0,22 = 0,2 ⋅ 0,2 = 0,04 στ. 0,33 = 0,3 ⋅ 0,3 ⋅ 0,3 = 0,09 ⋅ 0,3 = 0,027 . 11. Να τοποθετηθεί ένα «x» στην αντίστοιχη θέση Σωστό
Λάθος
α. 2,75 + 0,05 + 1,40 + 16,80 = 21
Χ
Χ
β. 420,510 + 72,490 + 45,19 + 11,81 = 500
Χ
Χ
γ. 4 – 3,852 = 1,148
Χ
Χ
δ. 32,01 – 4,001 = 28,01
Χ
Χ
ε. 41900 ⋅ 0,0001 − 0,0419 ⋅ 1000 = 0
Χ
Χ
στ. 56,89 ⋅ 0,01 + 4311:10.000 = 1
Χ
Χ
ζ. (3,2 + 7,2 ⋅ 2 + 24 ⋅ 0,1) :100 = 0,2
Χ
Χ
143
12. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: α. 35,24 + 7,3 + 3,172 β. 8,88 + 0,625 + 4,302. 13. Να υπολογίσετε τις διαφορές: α. 32,634 – 15,829 β. 3,0042 – 1,6007 14. Να γίνουν οι πράξεις: α. 37 ⋅ 0,01 + 0,028 ⋅ 100 γ. 6,43 : 0,1 − 0,0385 ⋅ 1000
β. 28,42 : 0,001 + 0,32 ⋅ 10000 δ. 93,657 :10 − 0,0004 : 0,0001 .
15. Να υπολογίσετε τις τιµές των αριθµητικών παραστάσεων: β. 1,4 ⋅ 50 − 8 + 120 : 4 α. 32 ⋅ 6 − 4 + 7 ⋅ 12 16. Να υπολογίσετε τις δυνάµεις: α. 2,22 β. 1,22 γ. 1,32
δ. 0,14 2
ε. 0,22
17. Να συµπληρώσετε τα κενά στο παρακάτω τετράγωνο.
5 +
+
= 13,5 –
– = 7,18
=
18. Η πλευρά ενός τετραγώνου είναι 2,62 µέτρα. Πόση είναι η περίµετρός του; (Απ.: 10,48 µέτρα) 19. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει περίµετρο 9,48. Να βρείτε το µήκος των πλευρών του. (Απ.: 3,16)
144
20. Να υπολογίσετε την περίµετρο καθενός από τα οικόπεδα Α, Β, Γ του παρακάτω σχεδίου.
5m
5m
34,8m
30,2
22m
30,2
13m
B
Γ
5m
m 17,3
A
m
40,8
39, 3
28
m ,8 16
37,45m
m ,14
45m
(Απ.: 93,24m, 141,3m, 155,4m). 21. Να βρείτε πόσο κοστίζουν α. 3,5 κιλά µήλα, αν το ένα κιλό έχει 0,80€ β. 8 κιλά πατάτες, αν το ένα κιλό έχει 0,60€ γ. 1,250 κιλά κρέας, αν το ένα κιλό έχει 6,30€ 22. Στο σούπερ µάρκετ ψωνίσαµε • 3 πακέτα µακαρόνια προς 0,60€ το πακέτο • 2 πακέτα ζάχαρη προς 0,87€ το πακέτο • 3 γιαούρτια προς 0,89€ το ένα. Τι ρέστα θα πάρουµε από ένα χαρτονόµισµα των 10€; (Απ.: 3,79€).
145
Ποια αριθµητική παράσταση υπολογίζεται, µε τις παρακάτω πράξεις που έχουν γίνει στο κοµπιουτεράκι και ποιο είναι το τελικό αποτέλεσµα;
7,28 / 5,2 − 0,4 = ; * 5,8 + 4,2 = ; M + 2,4 + 7,1 = ; / 5 = ; + 0,1 = ; M +
2,03 + 0,47 = ; * 3,2 = ; M − MR ; MC ;
" Λύση [(7,28 : 5,2 − 0,4) ⋅ 5,8 + 4,2] + [(2,4 + 7,1) ⋅ 5 + 0,1] − ( 2,03 + 0,47 ) ⋅ 32 = 10 + 2 − 8 = 4
146
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Πως µπορούν να γραφούν οι παρακάτω αριθµοί έτσι, ώστε να διαβάζονται µε συνοπτικό και κατανοητό τρόπο; – Η µάζα του Ήλιου είναι 1983000000000000000000000000000 κιλά. – Η µάζα της Γης είναι 5976000000000000000000000 κιλά.
" Απάντηση Παρατηρούµε ότι είναι πάρα πολύ δύσκολο να διαβάσουµε αυτούς τους αριθµούς. Για το λόγο αυτό θα τους γράψουµε σε τυποποιηµένη µορφή, δηλαδή ως γινόµενο ενός αριθµού που είναι µεγαλύτερος ή ίσος του 1 και µικρότερος του 10, επί µία δύναµη του 10. Είναι: 1983000000000000000000000000000
= 30 ψηφία
= (1983000000000000000000000000000 :1000000000000000000000000000000)
⋅10000.....0 = 30 ψηφία
30 ψηφία
30 = 1,983 ⋅ 1000000000000000000000000000000)
= 1,983 ⋅10 30 ψηφία
Επίσης 5976000000000000000000000 = (5 976000000000000000000000
:1000000000000000000000000)
⋅ 1000000000000000000000000
= 24 ψηφία
24 ψηφία
24 ψηφία
= 5,976 ⋅ 1024
147
1.
Να γραφούν οι παρακάτω αριθµοί στην τυποποιηµένη µορφή: α. 583.00 β. 4.300.000 γ. 7.960.000 δ. 3.420.000.000 ε. 4.800 στ. 7.310 ζ. 281.900 η. 518.000.000 θ. 131.000 ι. 675.000
" Λύση α. β.
⎛ ⎞ 5 583.000 = ⎜ 5 83000 :100000 ⎟ ⋅ 100000 = 5,83 ⋅ 10 ⎜
⎟ ⎝ 5 ψηφία ⎠ 6 4 300000
= ( 4.300000 :1000000 ) ⋅ 1000000 = 4,3 ⋅ 10 6 ψηφία
γ.
6 7 960000
= ( 7.960.000 :1000000 ) ⋅ 1000000 = 7,96 ⋅ 10 6 ψηφία
δ.
9 3 420000000
= ( 3.420.000.000 :1000000000 ) ⋅ 1000000000 = 3,42 ⋅ 10 9 ψηφία
ε.
3 4 800 N = ( 4.800 :1000 ) ⋅ 1000 = 4,8 ⋅ 10 3 ψηφία
3 στ. 7 310 N = ( 7.310 :1000 ) ⋅ 1000 = 7,31 ⋅ 10 3 ψηφία
ζ.
5 2 81900 = ( 281.900 :100000 ) ⋅ 100000 = 2,819 ⋅ 10 5 ψηφία
η.
8 518000000 = ( 518.000.000 :100.000.000 ) ⋅ 100.000.000 = 5,18 ⋅ 10 8 ψηφία
θ.
5 131000 = (131.000 :100.000 ) ⋅ 100.000 = 1,31 ⋅ 10 5 ψηφία
ι.
5 6 75.000
= ( 675.000 :100.000 ) ⋅ 100.000 = 6,75 ⋅ 10 5 ψηφία
2.
Να γραφούν σε δεκαδική µορφή οι αριθµοί: α. 3,1 ⋅ 106 β. 4,820 ⋅ 10 5 γ. 3,25 ⋅ 104 δ. 7,4 ⋅ 103 ε. 9,2 ⋅ 10 2
" Λύση α. 3,1 ⋅ 106 = 3,1 ⋅ 1.000.000 = 3.100.000 β. 4,820 ⋅ 105 = 4,820 ⋅ 100.000 = 482.000 γ. 3,25 ⋅ 104 = 3,25 ⋅ 10.000 = 32.500 3 δ. 7,4 ⋅ 10 = 7,4 ⋅ 1.000 = 7.400 ε. 9,2 ⋅ 102 = 9,2 ⋅ 100 = 920 3.
148
Να γίνουν οι πράξεις:
α. 1.000.000.000 ⋅ 1.000.000.000 β. 987654321 ⋅ 123456789 γ. 1.000.000 3
" Λύση α. 1.000.000.000 ⋅ 1.000.000.000 = 1.000.000.000.000.000.000 = 1018 β. 987654321 ⋅ 123456789 = 121932631112635269 = 1,21932631112635269 ⋅ 1017 γ. 1.000.0003 = 1.000.000 ⋅ 1.000.000 ⋅ 1.000.000 = 1.000.000.000.000 ⋅ 1.000.000 = 1.000.000.000.000.000.000 = 1018
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ ÃÉÁ α. β. γ. δ.
ÔÏ ÓÐÉÔÉ
Πόσα χιλιόµετρα είναι ένα έτος φωτός; Πόσα ερυθρά αιµοσφαίρια υπάρχουν σ’ έναν υγιή άνθρωπο; Πόσα χιλιόµετρα απέχει από τη Γη η Σελήνη; Πόση είναι η ακτίνα της Γης;
" Λύση α. Ένα έτος φωτός είναι 9.460.000.000.000Km ή 9,46 ⋅ 1012 Km . β. Σε έναν υγιή άνθρωπο υπάρχουν 30.000.000.000.000 = 3 ⋅ 1013 ερυθρά αιµοσφαίρια. γ. Η απόσταση της Σελήνης από τη Γη είναι 384.000 Km. δ. Η ακτίνα της Γης είναι 6.378 Km.
4.
Να γράψετε τους παρακάτω αριθµούς στην τυποποιηµένη µορφή: α. 243 β. 3.650 γ. 4 ⋅ 2.000 δ. 18345062 ε. 1.000.000.000 στ. 95.000.000 ζ. 3450000000000
5.
Να γράψετε τη δεκαδική µορφή των αριθµών: α. 2,5 ⋅ 104 β. 3,481 ⋅ 107 γ. 1,14 ⋅ 109 δ. 3,35 ⋅ 102
149
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Ο Γιάννης ξύπνησε την Κυριακή το πρωί, στις οκτώ και τέταρτο και ως στις έντεκα και µισή έπαιζε. Από τις έντεκα και µισή, ως τις δώδεκα, είδε τηλεόραση. Πόσο χρόνο πέρασε σε κάθε δραστηριότητα του;
α. Με µονάδα µέτρησης την ώρα; β. Με µονάδα µέτρησης το τέταρτο; γ. Με µονάδα µέτρησης το πεντάλεπτο; δ. Με µονάδα µέτρησης το λεπτό; ε. Με µονάδα µέτρησης το δευτερόλεπτο; Τι παρατηρείτε; Πως σχετίζονται µεταξύ τους, οι µετρήσεις του κάθε χρονικού διαστήµατος µε διαφορετικές µονάδες µέτρησης του χρόνου;
" Απάντηση α.
Από τις οκτώ και τέταρτο έως τις έντεκα και τέταρτο είναι 3 ώρες. Από τις έντεκα και τέταρτο έως τις έντεκα και µισή που σταµάτησε να παίζει είναι 15 λεπτά. Άρα ο Γιάννης έπαιζε συνολικά 3 ώρες και 15 λεπτά. Όµως τα 15 λεπτά είναι το
β.
150
1 ή το 0,25 της ώρας, 4
Άρα ο Γιάννης έπαιζε 3,25 ώρες, και είδε τηλεόραση 0,5 ώρες. Το τέταρτο είναι 15 λεπτά και η µία ώρα έχει 4 τέταρτα. Άρα οι 3 ώρες είναι 3 ⋅ 4 = 12 τέταρτα, οπότε οι 3 ώρες και 15 λεπτά είναι 12 + 1 = 13 τέταρτα, και είδε τηλεόραση 2 τέταρτα.
γ. δ.
ε.
Το ένα τέταρτο αποτελείται από 3 πεντάλεπτα, άρα τα 13 τέταρτα είναι 13 ⋅ 3 = 39 πεντάλεπτα, και είδε τηλεόραση 6 πεντάλεπτα. Η µία ώρα είναι 60 λεπτά, άρα οι τρεις ώρες είναι 3 ⋅ 60 = 180 λεπτά. Οπότε οι 3 ώρες και 15 λεπτά είναι 180 + 15 = 195 λεπτά, και είδε τηλεόραση 30λεπτά. Το 1 λεπτό αποτελείται από 60 δευτερόλεπτα, άρα τα 195 λεπτά είναι 195 ⋅ 60 = 1170 δευτερόλεπτα, και είδε τηλεόραση 30 ⋅ 60 = 1800 δευτερόλεπτα.
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Η µάζα του κυπέλου του σχήµατος να µετρηθεί µε µονάδα µέτρησης τα 50gr, τα 100gr, τα 500gr και το 1Kg. Τι παρατηρείτε;
" Απάντηση Τα βάρη που τοποθετήθηκαν για να ζυγίσουν το κύπελο είναι: 1 βάρος του 1Kg, 1 βάρος των 500gr και 1 βάρος των 100gr. – Το 1 Kg είναι 1000g, άρα σε γραµµάρια το κύπελο ζυγίζει:
1000 + 500 + 100 = 1600 g. Επειδή 1600 : 50 = 32 , µε µονάδα µέτρησης τα 50g, το κύπελο ζυγίζει 32. Επειδή 1600 :100 = 16 , µε µονάδα µέτρησης τα 100g, το κύπελο ζυγίζει 16. Επειδή 1600 : 500 = 3,2 , µε µονάδα µέτρησης τα 500g, το κύπελο ζυγίζει 3,2. Επειδή 1600 :1000 = 1,6 , µε µονάδα µέτρησης τα 1000gr, το κύπελο ζυγίζει 1,6. Παρατηρούµε ότι το βάρος ενός αντικειµένου εξαρτάται από τη µονάδα µε την οποία θα µετρήσουµε.
151
1.
Να συµπληρωθούν τα κενά α. 23dm = ............ cm γ. 45,83cm = ......... m ε. 95,5mm = ......... cm.
β. 3,1m = ............. km δ. 67,2km = ......... mm
" Λύση α. β. γ. δ.
23dm=23 ⋅ 10cm=230cm 3,1m=3,1:1000km=0,0031km 45,83cm=45,83 : 100m = 0,4583m 67,2km = 67,2 ⋅ 1000m = 67200m =
67200 ⋅ 1000mm = 67.200.000mm ε. 95,5mm = 95,5 : 10cm = 9,55cm 2.
Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει ακµές µήκους α = 3,1m, β = 4,2m και γ = 2,3m. Να υπολογιστεί το µήκος των ακµών του σε mm και να γραφεί σε τυποποιηµένη µορφή.
" Λύση α = 3,1m = 3,1 ⋅ 1000mm = 3100mm = 3,1 ⋅ 103 mm β = 4,2m = 4,2 ⋅ 1000mm = 4200mm = 4,2 ⋅ 103 mm γ = 2,3m = 2,3 ⋅ 1000mm = 2300mm = 2,3 ⋅ 103 mm 3.
Να γραφούν τα παρακάτω µήκη σε αύξουσα σειρά: 986m, 0,023km, 456cm, 678dm.
" Λύση Για να µπορέσουµε να συγκρίνουµε αυτά τα µήκη πρέπει πρώτα να τα µετατρέψουµε στην ίδια µονάδα µέτρησης. Για το λόγο αυτό θα τα µετατρέψουµε σε m. Είναι:
0,023km = 0,023 ⋅ 1000m = 23m . 456cm = 456 :100m = 4,56m . 678dm = 678 :10m = 67,8m . Άρα 456cm < 0,023km < 678dm < 986m.
152
4.
Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο έχει διαστάσεις πλευρών α = 23cm και β = 45cm. Να βρεθεί το εµβαδόν του σε cm2 και σε mm2.
" Λύση Το εµβαδόν Ε του ορθογωνίου είναι: E = 23 ⋅ 45cm2 = 1035cm2 . Το εµβαδόν Ε σε mm2 είναι: Ε = 103 cm2 = 1035 · 100 mm2 = 103.500 mm2. 5.
Να συµπληρωθούν τα κενά: α. 56km2 = ………. m2 β. 0,987 στρέµµατα = ………. m2 γ. 350 στρέµµατα = ………. m2.
" Λύση α. 56km = 56 ⋅ 1.000.000m = 56.000.000m2 β. 0,987 στρέµµατα = 0,987 ⋅ 1000m2 = 987m2 2
2
γ. 350 στρέµµατα = 350 ⋅ 1000m2 = 350.000m2 6.
Ένα οικόπεδο έχει σχήµα τετραγώνου µε πλευρά 210m. Να υπολογιστεί το εµβαδόν του σε m2 και σε στρέµµατα.
" Λύση Το εµβαδόν Ε του τετραγώνου είναι: Ε = 2102m2 = 44100 m2. Σε στρέµµα, το εµβαδόν του τετραγώνου είναι: Ε = 44.100 m2 = 44.100: 1000 στρέµµατα = 44,100 στρέµµατα. 7.
Μία αυλή σχήµατος ορθογωνίου παραλληλογράµµου, έχει διαστάσεις 5m και 7,2m. Θέλουµε να τη στρώσουµε µε τετράγωνες πλάκες πλευράς 40cm. Πόσες πλάκες θα χρειαστούν;
" Λύση Η αυλή έχει εµβαδόν
E Α = 5 ⋅ 7,2m2 = 36m2 .
3600 16 Η κάθε τετράγωνη πλάκα έχει εµβαδόν – 32 225 2 2 2 ΕΠ = 40 cm = 1600cm . 40 – 32 Αρκεί να βρούµε πόσες φορές χωράει το ΕΠ στο ΕΑ. 80 Για να το βρούµε, αρχικά θα µετατρέψουµε τα ΕΑ, ΕΠ, στην – 80 0 ίδια µονάδα µέτρησης.
153
Είναι
Ε Α = 36m2 = 36 ⋅ 10.000cm2 = 360.000cm2 .
Είναι
360.0 0 0 :16 0 0 = 3600 :16 = 225 ,οπότε
θα χρειαστούν 225 πλάκες για να στρώσουµε την αυλή. 8.
Ο όγκος ενός στερεού είναι 15dm3 29cm3. Να βρεθεί ο όγκος του στερεού σε cm3, m3, και mm3.
" Λύση –
–
–
9.
Είναι 15dm3 = 15 ⋅ 1000cm3 = 15.000cm3 . Ο όγκος του στερεού σε cm3 είναι: 15.000 cm3 + 29 cm3 = 15.029 cm3. 3 Είναι 15dm = 15 :1000m3 = 0,015m3 και 29cm3 = 29 : 1.000.000 m3 = 0,000029 m3. Ο όγκος του στερεού σε m3, είναι: 0,015 m3 + 0,000029 m3 = 0,015029 m3. Είναι 15dm3 = 15 ⋅ 1.000.000mm3 = 15.000.000mm3 και 29cm3 = 29 ⋅ 1000mm3 = 29.000mm3 . Ο όγκος του στερεού σε mm3, είναι: 15.000.000 mm3 + 29.000 mm3 = 15.029.000 mm3.
Ένας οινοπαραγωγός έχει αποθηκεύσει το κρασί του σε 3 ίσες δεξαµενές, σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου µε διαστάσεις 3m, 2m, και 5m. Αν πουλήσει το κρασί του προς 4€ το λίτρο, πόσα χρήµατα θα εισπράξει;
" Λύση Κάθε δεξαµενή έχει όγκο: 3 ⋅ 2 ⋅ 5m3 = 30m3 . Οπότε και οι 3 δεξαµενές µαζί έχουν συνολικό όγκο: 3 ⋅ 30m3 = 90m3 . Όµως το 1m3 είναι 1000lt, οπότε σε λίτρα ο συνολικός είναι 90 ⋅ 1000lt = 90.000lt . Τα χρήµατα που θα εισπράξει από την πώληση των 90.000lt κρασιού είναι: 90.000 ⋅ 4 € = 360.000€.
154
10. Να υπολογιστεί ο χρόνος από τις 8h 10min το πρωί, ως τις 5h 20min το απόγευµα.
" Λύση Επειδή 5h το απόγευµα είναι η 17h, από τις 8 το πρωί έως τις 5 το απόγευµα είναι: 17h – 8h = 9h. Επειδή από το και 10min έως το και 20min µεσολαβεί χρόνος 10 λεπτών, ο ζητούµενος χρόνος είναι 9h10min. 11. Να συµπληρωθούν τα κενά: α. 4h52min = ………….... min = ……….s β. 3h12min = ……….…... min = ……….s γ. 5h20min30s = ………. min = ……….s δ. 56min45s = ……….…. min = ……….s.
" Λύση α. Γνωρίζουµε ότι η ώρα έχει 60 λεπτά και το λεπτό έχει 60 δευτερόλεπτα, οπότε: 4h52min = (4 ⋅ 60 + 52)min = 292 min = 292 ⋅ 60s = 17.520s β. 3h12min = (3 ⋅ 60 + 12)min = 192 min = 192 ⋅ 60s = 11.520s γ. 5h20min30s = (5 ⋅ 60 + 20 + 30 : 60)min = = (300 + 20 + 0,5)min = 320,5 min = 320,5 ⋅ 60s = 19.230s δ. 56 min45s = (56 + 45 : 60)min = (56 + 0,75)min =
= 56,75 min = 56,75 ⋅ 60s = 3.405s 12. Να υπολογιστεί: α. το
1 της ώρας 10
β. το
1 της ώρας 5
γ. το
1 της ώρας. 6
" Λύση α. Επειδή η 1 ώρα έχει 60 λεπτά και 60 : 10 = 6, 1 το της ώρας είναι 6 λεπτά. 10 1 β. Επειδή 60 : 5 = 12, το της ώρας είναι 12min. 5 1 γ. Επειδή 60 : 6 = 10, το της ώρας είναι 10min. 6
155
13. ∆ιαθέτουµε σταθµά των 50g, 500g και δύο σταθµά του 1kg. Πως θα ζυγίσουµε ένα βάρος: α. 3kg και 600g β. 2kg και 450g
" Λύση α. Θα χρησιµοποιήσουµε:
τα δύο σταθµά του 1kg (2 ⋅ 1kg = 2kg) τρία σταθµά των 500g (3 ⋅ 500g = 1kg 500 g) δύο σταθµά των 50g (2 ⋅ 50 g = 100 g) . Είναι 2kg + 1kg500g + 100g = 3kg600gr.
β. Θα χρησιµοποιήσουµε:
τα δύο σταθµά του 1kg (2 ⋅ 1kg = 2kg) 9 σταθµά των 50g (9 ⋅ 50g = 450g) . Είναι 2kg + 450g = 2kg450g.
14. Πως θα ζυγίσουµε α. Ένα σώµα µάζας 5kg, µε σταθµά των 9kg, 3kg και 1kg; β. Ένα σώµα µάζας 4kg µε σταθµά 10kg, 5kg και 1kg;
" Λύση α. Παρατηρούµε ότι 5 + 3 + 1 = 9, οπότε: Στη µία πλάστιγγα θα βάλουµε το σώµα βάρους 5kg µαζί µε τα σταθµά των 4kg και του 1kg και στην άλλη πλάστιγγα το βάρος των 9kg. β. Στη µία πλάστιγγα θα βάλουµε το σώµα των 4kg µε τα σταθµά των 5kg και του 1kg και στην άλλη το βάρος των 10kg. 15. ∆ιαθέτουµε τρία δοχεία που χωράνε 2lt, 0,5lt και 0,1lt. Πως θα µετρήσουµε ένα υγρό όγκου: α. 5lt β. 2,8lt γ. 2,4lt.
" Λύση α. Είναι 2 ⋅ 2lt = 4 lt, 2 ⋅ 0,5 lt = 1lt και 4 lt + 1lt = 5lt , οπότε θα γεµίσουµε 2
φορές το δοχείο των 2lt και 2 φορές το δοχείο του 0,5lt. β. Είναι 2,8lt = 2lt + 0,5 lt + 3 ⋅ 0,1lt , οπότε θα γεµίσουµε 1 φορά τα δοχεία των 2lt και 0,5lt και 3 φορές το δοχείο των 0,1lt. γ. Είναι 2,4 lt = 2lt + 4 ⋅ 0,1lt , οπότε θα γεµίσουµε 1 φορά το δοχείο των 2lt και 4 φορές το δοχείο των 0,1lt.
156
16. Σε µία πολυκατοικία θέλουν να κατασκευάσουν µία δεξαµενή που να χωράει 3t πετρέλαιο και να έχει µήκος 2,5m και πλάτος 1m. Αν γνωρίζετε ότι ο 1t πετρελαίου έχει όγκο 1200lt, να υπολογίσετε το ύψος της δεξαµενής και να βρείτε πόσα lt πετρελαίου αντιστοιχούν σε κάθε cm ύψους.
" Λύση Η χωρητικότητα της δεξαµενής είναι 3 ⋅ 1200lt = 3600lt . Επειδή όµως 1m3 = 1000lt, η χωρητικότητα της δεξαµενής σε m3 είναι: 3600 : 1000 = 3,6m3. Οπότε πρέπει µήκος X πλάτος X ύψος = 3,6m3 . Όµως µήκος X πλάτος = 2,5 ⋅ 1 = 2,5m2 και 3,6 : 2,5 = 1,44, οπότε το ύψος της δεξαµενής είναι 1,44m. Είναι 1,44m = 144cm η δεξαµενή στα 144cm ύψος χωράει 3600lt, οπότε στο 1cm ύψος χωράει: 3600 : 144 = 25lt. 17. Μία δεξαµενή έχει σχήµα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου µε ύψος 1,2m και βάση τετράγωνο πλευράς 80cm. Μία αντλία αδειάζει από την δεξαµενή 8lt το λεπτό. Να βρεθεί: α. Σε πόσο χρόνο η στάθµη του νερού θα κατέβει 10cm. β. Σε πόσο χρόνο θα αδειάσει η δεξαµενή. γ. Πόσο θα κατέβει η στάθµη του νερού σε µισή ώρα.
" Λύση Η βάση της δεξαµενής είναι τετράγωνο πλευράς 80cm = 0,8m. Ο όγκος της δεξαµενής είναι: 0,8m ⋅ 0,8m ⋅ 1,2m = 0,768m3 . Επειδή 1m3 = 1000lt, η χωρητικότητα της δεξαµενής είναι 0,768 ⋅ 1000lt = 768lt . α.
Επειδή η δεξαµενή έχει ύψος1,2m = 120cm, το 1cm ύψους της δεξαµενής έχει χωρητικότητα: 768 : 120lt = 6,4lt. Οπότε για να κατέβει 10cm η στάθµη του νερού στη δεξαµενή, θα έχει αδειάσει 6,4 ⋅ 10 = 64 lt και επειδή στο 1 λεπτό η αντλία αδειάζει 8lt, τα 64lt θα τα αδειάσει σε 64 : 8 = 8 λεπτά.
157
β. γ.
Η δεξαµενή θα αδειάσει σε 768 : 8 = 96 λεπτά. Σε µία ώρα θα έχουν φύγει από τη δεξαµενή 8 ⋅ 60 = 480lt νερού. Επειδή το 1cm ύψους της δεξαµενής χωράει 6,4lt, τα 480lt είναι: 480 : 6,4 = 75cm.
18. Ένας ποδηλάτης διήνυσε µία απόσταση σε χρόνο 1h15min, ενώ ένας δεύτερος διήνυσε την ίδια απόσταση σε χρόνο 1h45min. α. Ποιο µέρος του χρόνου του δεύτερου είναι ο χρόνος του πρώτου ποδηλάτη; β. Ποιο µέρος του χρόνου του πρώτου είναι ο χρόνος του δεύτερου ποδηλάτη; Τι παρατηρείτε;
" Λύση α.
Ο πρώτος ποδηλάτης έκανε χρόνο 1h15min = (60 + 15)min = 75min ενώ ο δεύτερος 1h45min = (60 + 45)min = 105min. 75 του χρόνου του δεύτερου. Ο πρώτος ποδηλάτης έκανε το 105 Είναι 75 75 :15 5 = = . 105 105 :15 7 5 του χρόνου του δεύτερου ∆ηλαδή ο χρόνος του πρώτου ποδηλάτη είναι τα 7 ποδηλάτη. 105 του χρόνου του πρώτου ποδηλάτη. β. Ο δεύτερος ποδηλάτης έκανε το 75 Είναι 105 7 = , 75 5 7 του χρόνου του πρώτου. οπότε ο δεύτερος έκανε τα 5 Παρατηρούµε ότι τα δύο κλάσµατα που αντιπροσωπεύουν το µέρος του χρόνου του ενός ποδηλάτη ως προς τον άλλο, είναι αντίστροφοι αριθµοί.
158
19. Το µήκος ενός ευθύγραµµου τµήµατος µε µονάδα µέτρησης το α είναι 22. Να βρεθεί το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος αν πάρουµε µονάδα δεκαπλάσια του α.
" Λύση Επειδή θα χρησιµοποιήσουµε µονάδα µέτρησης δεκαπλάσια της αρχικής, το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος θα είναι 10 φορές µικρότερο, ∆ηλαδή το µήκος του θα είναι 22 : 10 = 2,2. 20. Αν τα µήκη όλων των ακµών ενός κύβου είναι 36cm, να υπολογιστεί το εµβαδόν της επιφάνειας του σε m2 και ο όγκος του σε m3.
" Λύση Η ακµή του κύβου έχει µήκος 36cm = 36 : 100m = 0,36m. Κάθε έδρα του κύβου έχει εµβαδόν (0,36m)2 = 0,1296m2. Οπότε και οι 6 έδρες του έχουν εµβαδόν: 6 ⋅ 0,1296m2 = 0,7776m2 . Ο όγκος του κύβου είναι: (0,36m)3 = 0,046656m3. 21. Πόσα λεπτά και πόσα δευτερόλεπτα έχουν: α. µία ηµέρα β. ένας µήνας γ. ένα έτος; Να εκφράσετε τα αποτελέσµατα των υπολογισµών σας σε τυποποιηµένη µορφή.
" Λύση
α. 1 ηµέρα έχει 24 ώρες, κάθε ώρα έχει 60 λεπτά και κάθε λεπτό έχει 60 δευτερόλεπτα, οπότε: 1 ηµέρα = 24 ώρες = 24 ⋅ 60 =1440min = 1440 ⋅ 60s = 86.400s . ∆ηλαδή 1 ηµέρα = 1440min = 1,44 ⋅ 103 min και
1 ηµέρα = 86.400s = 8,64 ⋅ 104 s
159
β. Ο ένας µήνας έχει 30 ηµέρες, ενώ κάθε ηµέρα έχει 1440min ή 86.400s, οπότε: 1 µήνας = 30 ηµέρες = 30 ⋅ 1440min = = 43.200min = 4,32 ⋅ 104 min και
1 µήνας = 30 ηµέρες = 30 ⋅ 86.400s = = 2.592.000s = 2,592 ⋅ 106 s . γ. 1 έτος = 365 ηµέρες = 365 ⋅ 1440min = = 525.600min = 5,256 ⋅ 105 min και
1 έτος = 365 ηµέρες = 36.586.400s = = 31.536.000s = 3,1536 ⋅ 107 s . 22. Από 15 όµοιες µπάλες η µία είναι πιο ελαφριά. ∆ιαθέτουµε µόνο µία ζυγαριά χωρίς σταθµά. Πώς θα βρούµε ποια από τις 15 µπάλες είναι η ελαφρύτερη; Με πόσες το λιγότερο ζυγίσεις µπορούµε να βρούµε την ελαφρύτερη µπάλα;
" Λύση Χωρίζουµε τις 15 µπάλες σε 3 οµάδες που η καθεµία περιέχει 5 µπάλες. Παίρνουµε δύο από τις οµάδες αυτές και τις βάζουµε στη ζυγαριά, µία σε κάθε πλάστιγγα. Αν η ζυγαριά ισορροπήσει τότε η ελαφριά µπάλα είναι στην τρίτη οµάδα, ενώ αν δεν ισορροπήσει, στην πιο ελαφριά οµάδα βρίσκεται η ελαφρύτερη µπάλα. Παίρνουµε την οµάδα που περιέχει την ελαφριά µπάλα και την χωρίζουµε σε 3 οµάδες. ∆ύο οµάδες που περιέχουν 2 µπάλες και 1 µπάλα µόνη της. Τοποθετούµε τις δύο οµάδες µε τις 2 µπάλες στη ζυγαριά, µία σε κάθε πλάστιγγα. Αν η ζυγαριά ισορροπήσει τότε η µπάλα που είναι µόνη της είναι η ελαφρύτερη. Αν δεν ισορροπήσει τότε η πιο ελαφριά οµάδα περιέχει την ελαφρύτερη µπάλα. Παίρνουµε από την ελαφρύτερη οµάδα τις δύο µπάλες που περιέχει και τις τοποθετούµε στη ζυγαριά, µία σε κάθε πλάστιγγα. Επειδή η µία από τις δύο µπάλες είναι η ελαφρύτερη, η ζυγαριά δεν θα ισορροπήσει οπότε θα προσδιορίσουµε την ελαφρύτερη µπάλα. Παρατηρούµε ότι οι λιγότερες ζυγίσεις που µπορούµε να κάνουµε ώστε να βρούµε την ελαφρύτερη µπάλα είναι 2 ή 3.
160
23. Από 5 κουτιά µε λίρες το ένα περιέχει κάλπικες λίρες. Αν γνωρίζουµε ότι µία αληθινή λίρα ζυγίζει 10g και µία κάλπικη ζυγίζει 9g, πώς µε µία µόνο ζύγιση θα βρούµε σε ποιο κουτί υπάρχουν κάλπικες λίρες;
" Λύση Από το πρώτο κουτί παίρνουµε 1 λίρα, από το δεύτερο κουτί 2 λίρες, από το τρίτο κουτί 3 λίρες, από το τέταρτο κουτί 4 λίρες και από το πέµπτο κουτί 5 λίρες. Συνολικά έχουµε πάρει 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 λίρες. Αν και οι 15 λίρες ήταν αληθινές, το βάρος θα ήταν 15 ⋅ 10g = 150g . Αν ζυγίζοντάς τες, βρούµε ότι έχουν βάρος: – 149g, τότε 1 είναι κάλπικη οπότε το πρώτο κουτί περιέχει τις κάλπικες λίρες. – 148g, τότε 2 είναι κάλπικες, οπότε το δεύτερο κουτί περιέχει τις κάλπικες λίρες. – 147g, τότε 3 είναι οι κάλπικες λίρες, οπότε το τρίτο κουτί περιέχει τις κάλπικες λίρες. – 146g, τότε 4 είναι οι κάλπικες και το τέταρτο κουτί περιέχει τις κάλπικες λίρες. – 145g, τότε 5 είναι οι κάλπικες και το πέµπτο κουτί περιέχει τις κάλπικες λίρες.
161
24. Να συµπληρώσετε τα κενά α. 123cm = …………m β. 3,72m = …………dm γ. 0,64km = …………m 25. Να συµπληρώσετε τα κενά α. 6870mm = ……… cm = …………. dm = ……...… m β. 1,5km = ………..…. m = …….…… dm = ………. cm 26. Να γίνουν µέτρα τα µήκη: α. 8dm 5cm β. 2m 7cm 5mm γ. 8m 8mm. 27. Να διατάξετε τα παρακάτω µήκη σε αύξουσα σειρά: 0.625m, 32dm, 154cm, 880mm, 0,014km 28. Το µήκος ενός ευθύγραµµου τµήµατος είναι 100 µε µονάδα µέτρησης το τµήµα α. Να βρείτε το µήκος του µε µονάδα µέτρησης δεκαπλάσια του α. 29. Να συµπληρώσετε τα κενά: α. 3,2m2 = ……… dm2 = ………cm2 β. 0,5 στρέµµατα = ……… m2 = ………cm2 γ. 1500 cm2 = ……… m2 = ……… dm2 = ……… mm2 δ. 1700 mm2 = ……… cm2 = ……… dm2 = ……… m2. 30. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: m2
dm2
cm2
mm2
0,61 24 110 590
162
31. Να υπολογιστεί το εµβαδόν ορθογωνίου που έχει µήκος 1,6m και πλάτος 25cm σε m2 και cm2. (Απ.: 0,4 m2, 4000 cm2) 32. Ένα χωράφι πουλήθηκε 1250€ το στρέµµα και κόστισε συνολικά 40.000€. Να βρείτε το εµβαδόν του σε στρέµµατα και σε m2. Αν το χωράφι είχε σχήµα ορθογωνίου µε πλάτος 160m τότε πόσο είναι το µήκος του; (Απ.: 32 στρ., 32000 m2, 200m) 33. Να υπολογίσετε πόσα τετραγωνικά πλακάκια πλευράς 18cm θα χρειαστούν για να καλύψουν ένα ορθογώνιο δάπεδο που έχει διαστάσεις 1,44m και 8,64m. (Απ.: 384) 34. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα m3
dm3
lt
cm3
1,5 13000 8500 123000 35. Οι δεξαµενές ενός οινοποιητικού συνεταιρισµού περιέχουν 24.780lt κρασί. Να υπολογίσετε πόσα µπουκάλια των 700ml χρειάζονται για να εµφιαλωθεί το κρασί. (Απ.: 35.400) 36. Να βρείτε τον όγκο κύβου µε ακµή 0,45m σε α. m3 β. lt γ. cm3. 37. Να βρείτε τον όγκο ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου που έχει διαστάσεις 1,2m, 35dm και 140cm. (Απ.: 5,88 m3) 38. Μία δεξαµενή σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχει µήκος 2,5m, πλάτος 1,4m και ύψος 1,6m. α. Να υπολογίσετε σε πόση ώρα θα γεµίσει από µία βρύση που παρέχει 40 λίτρα νερό το λεπτό.
163
β. Να βρείτε σε πόση ώρα το νερό στη δεξαµενή θα έχει φτάσει σε ύψος 40cm. (Απ.: α. 2h20min, β. 35min) 39. Να συµπληρώσετε τα κενά: α. 2h 20min = ….…….….min = ……….s. β. 1h 12min = ……… .….h = ……...….min = ……….s. γ. 28min 30sec = ……….min = ……….s. 40. Να βρείτε ποια χρονική διάρκεια είναι µεγαλύτερη σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α. 1,5h ή 100min β. 2h 25min 10s ή 146min γ. 300s ή 6min δ. 7200s ή 2,5min. 41. Ένας ποδοσφαιρικός αγώνας έχει διάρκεια 90min και η διακοπή του ηµιχρόνου είναι 15min. Να υπολογίσετε: α. Τι ώρα θα τελειώσει ένας ποδοσφαιρικός αγώνας που ξεκίνησε στις 21.45. β. Να υπολογίσετε τη χρονική διάρκεια του αγώνα σε i. ώρες, ii. δευτερόλεπτα 42. Ένα κουτί που περιέχει 15 ίδιες σφαίρες έχει βάρος 1,7kg. Το απόβαρο του κουτιού είναι 425g. Ποιο είναι το βάρος καθεµιάς από τις 15 ίδιες σφαίρες; (Απ.: 85g) 43. ∆ιαθέτουµε σταθµά των 20g και 50g. Πως θα ζυγίσουµε ένα βάρος: α. 60gr β. 140g γ. 220g; 44. Από 3 όµοιες µπάλες η µία είναι πιο ελαφριά. Πώς θα τη βρούµε αν έχουµε µία ζυγαριά χωρίς σταθµά, µε µία µόνο ζύγιση; 45. Από 9 όµοιες µπάλες η µία είναι πιο ελαφριά. Πώς θα τη βρούµε αν έχουµε µία ζυγαριά χωρίς σταθµά και θέλουµε να κάνουµε µόνο δύο ζυγίσεις;
164
Ασκήσεις Σωστού ή Λάθους Τοποθέτησε ένα «x» στην αντίστοιχη θέση Σωστό
Λάθος
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
01. Αν διαιρέσουµε τον αριθµητή και τον παρονοµαστή ενός
κλάσµατος µε το 4, το κλάσµα γίνεται 4 φορές µικρότερο. α γ 02. Αν = τότε α = γ β β α α 03. 1: = β β 3 04. Το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι 4 2
1 2
05. Όταν διαιρέσουµε τον παρονοµαστή του
1 2
1 4
5 µε το 2 το 8
κλάσµα διπλασιάζεται. 7 µε το 3, το κλάσµα που 9 προκύπτει είναι τρεις φορές µικρότερο του αρχικού. 5 1 5 Το κλάσµα 8 είναι ίσο µε 40 3 2 3 1 Το γινόµενο των και ισούται µε 3 4 2 α Αν α < β τότε µεγαλύτερο του 1 β +1 5 625 35 1250 = = = = 0,625 8 1000 56 2000 1 3 45 2+ + + = 2,175 10 100 1000 5 είναι αντίστροφοι Οι αριθµοί 7,2 και 36 5,2 Ο αριθµός είναι δεκαδικό κλάσµα 7
06. Όταν πολλαπλασιάζουµε το
07. 08. 09. 10. 11. 12. 13.
165
14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.
166
149 267 > 231 452 1050 2593 > 3100 4650 3,4 = 0,4659 7,3 1,028 = 0,856666... 1,2 34,5 = 5,7 5,7 1,25 = 0,675675675... 1,85 0,69 = 0,15 4,6 x Αν = 7 το x είναι ο αριθµός 23 3
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Οι εξισώσεις α + x = β , x − α = β , αx = β , α : x = β , και x : α = β
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Προσπάθησε να µεταφράσεις της παρακάτω προτάσεις, µε τη βοήθεια αριθµών και γραµµάτων. α. ο επόµενος ενός φυσικού αριθµού β. ο προηγούµενος ενός φυσικού αριθµού γ. ένας άρτιος φυσικός αριθµός δ. ένας περιττός φυσικός αριθµός ε. το πολλαπλάσιο του 3 στ. το διπλάσιο ενός αριθµού ζ. ένας αριθµός αυξάνεται κατά 8 η. ένας αριθµός ελαττωµένος κατά 4 θ. το τετραπλάσιο ενός αριθµού αυξηµένο κατά 2, µας δίνει 22 ι. αν σε έναν αριθµό προσθέσουµε 5, το άθροισµα γίνεται 8.
" Απάντηση α. ν + 1 β. ν -1 ε. 3κ στ. 2x θ. 4x + 2 = 22
γ.2ρ ζ. x + 8 ι. x + 5 = 8
δ. 2ρ + 1 η. x – 4
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 2ç Γράψε συντοµότερα τις εκφράσεις: β. α+α+α+β+β α. x + x + x + x δ. 18 ⋅ x + 7 ⋅ x + 4 ⋅ x ε. 15 ⋅ β − 9 ⋅ β
γ. 3 ⋅ α + 5 ⋅ α
" Απάντηση α. x + x + x + x = x (1 + 1 + 1 + 1) = 4x β. α+α+α+β+β = α (1 + 1 + 1) + β (1 + 1) = 3α + 2β γ. 3 ⋅ α + 5 ⋅ α = ( 3 + 5 ) α = 8α δ. 18 ⋅ x + 7 ⋅ x + 4 ⋅ x = (18 + 7 + 4 ) x = 29x ε. 15 ⋅ β − 9 ⋅ β = (15 − 9 ) β = 6β
167
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 3ç Μια ζυγαριά ισορροπεί, όταν βάλουµε από το ένα µέρος µια σοκολάτα, της οποίας δεν γνωρίζουµε το βάρος και στο άλλο µέρος 100gr και µισή σοκολάτα. Μπορείς να βρεις µία ισότητα που να περιγράφει αυτήν την ισορροπία;
" Απάντηση Έστω x γραµµάρια το βάρος της σοκολάτας. Τότε η x µισή σοκολάτα θα έχει βάρος γραµµάρια. Η ισότητα 2 που περιγράφει την ισορροπία της ζυγαριάς θα είναι:
x = 100 + αριστερός ζυγος
x 2
δεξιός ζυγος
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 4ç Να αντικαταστήσεις το x µε τους αριθµούς 1, 3, 4, 5, 6 και 11 σε κάθε ισότητα της πρώτης στήλης, του παρακάτω πίνακα. Βρες ποιες από αυτές την επαληθεύουν και ποιες όχι. – Συµπλήρωσε τις άλλες δύο στήλες του πίνακα, σύµφωνα µε τα συµπεράσµατά σου. – Μπορείς µε τη βοήθεια του ορισµού των πράξεων, να φθάσεις στα ίδια αποτελέσµατα. Εξίσωση
Αριθµοί που την επαληθεύουν
Αριθµοί που δεν την επαληθεύουν
x − 4 =1
5
1, 3, 4, 6, 11
5−x =4
1
3, 4, 5, 6, 11
2x = 8 6 =2 x x =3 2
4
1, 3, 5, 6, 11
3
1, 4, 5, 6, 11
6
1, 3, 4, 5, 11
x + 7 = 30
1, 3, 4, 5, 6, 11
• x − 4 =1 • 5−x =4
ή ή
• 2x = 8
ή
6 =2 ή x x • =3 ή 2 • x + 7 = 30 ή
•
168
x = 1+ 4 5−4 = x 8 x= 2 6 2 = x 1 x 3 = 2 1 x = 30 − 7
ή ή
x=5 x =1
ή
x=4
ή
2x = 6
ή
x=
ή
x ⋅1 = 3 ⋅ 2
ή
x=6
ή
x = 23
6 2
ή x=3
1.
Αντιστοίχισε τις προτάσεις των γραµµών της στήλης (Α) µε τις εκφράσεις αριθµών και γραµµάτων των γραµµών της στήλης (Β). Στήλη (Α) α.
το τριπλάσιο ενός αριθµού
1.
Στήλη (Β) x − y > 20
β.
το δεκαπλάσιο ενός αριθµού
2.
x ⋅ y = 32
γ.
ένας αριθµός αυξάνεται κατά 12
3.
3⋅x
δ.
ένας αριθµός ελαττώνεται κατά 5
4.
x + 12
ε.
η διαφορά δύο αριθµών είναι µεγαλύτερη του 20
5.
10 ⋅ x
στ.
το γινόµενο δύο αριθµών είναι ίσο µε 32
6.
x−5
" Λύση α→ 3, 2.
β→ 5,
γ→ 4,
δ→ 6,
ε →1,
στ → 2
∆ιατυπώστε µε λόγια τις ακόλουθες µαθηµατικές εκφράσεις: ⎛1⎞ α. 3 ⋅ x + 25 , β. ⎜ ⎟ ⋅ x − 7 = 2 , γ. α − 2 ⋅ β , δ. 4 ⋅ κ + 7 ⋅ κ = 88 ⎝2⎠
" Λύση α. β. γ. δ.
3.
Το τριπλάσιο ενός αριθµού αυξηµένο κατά 25. Το µισό ενός αριθµού ελαττωµένο κατά 7 ισούται µε 2. Ένας αριθµός µειωµένος κατά το διπλάσιο ενός άλλου αριθµού. Το τετραπλάσιο ενός αριθµού αυξηµένο κατά το επταπλάσιο του ίδιου αριθµού ισούται µε 88.
Η πλευρά ενός τετραγώνου είναι α. Πόση είναι η περίµετρός του και πόσο το εµβαδόν του;
" Λύση Το τετράγωνο έχει και τις τέσσερις πλευρές του ίσες οπότε η περίµετρος του θα είναι Π = 4α. Το εµβαδόν του θα είναι E = α ⋅ α = α 2 .
α α
169
4.
Γράψε µε απλούστερο τρόπο τις µαθηµατικές εκφράσεις: α. x + x , β. α + α + α , γ. 3 ⋅ α + 52 ⋅ α , δ. 2 ⋅ β + β + 3 ⋅ α + 2 ⋅ α ε. 4 ⋅ x + 8 ⋅ x − 3 ⋅ x , στ. 7 ⋅ ω + 4 ⋅ ω − 10 ⋅ ω
" Λύση α.
x + x = x ⋅ (1 + 1) = 2x
β.
α + α + α = α (1 + 1 + 1) = 3α
γ.
3 ⋅ α + 52 ⋅ α= ( 3+52 ) α = 55α
δ.
2 ⋅ β + β + 3 ⋅ α + 2 ⋅ α=β ( 2+1) + α ( 3 + 2 ) = 3β + 5α
ε.
4 ⋅ x + 8 ⋅ x − 3 ⋅ x = x ( 4 + 8 − 3 ) = 9x
στ. 7 ⋅ ω + 4 ⋅ ω − 10 ⋅ ω = ω ( 7+4-10 ) = 1 ⋅ ω = ω 5.
Αν x ⋅ y =
2 3 και z = , να βρεθεί το x ⋅ ( y ⋅ z ) . 9 5
" Λύση Σύµφωνα µε την προσεταιριστική ιδιότητα θα είναι x ⋅ ( y ⋅ z ) = ( x ⋅ y ) ⋅ z οπότε x ⋅ ( y ⋅ z ) = ( x ⋅ y ) ⋅ z = 6.
2 3 6 6:3 2 ⋅ = = = 9 5 45 45 : 3 15
Στην εξίσωση 2 + α = x, το α και το x είναι φυσικοί αριθµοί. Ποια από τις τιµές 0, 3, 1 µπορεί να πάρει το x;
" Λύση
7.
Επειδή το α είναι φυσικός η µικρότερη τιµή που µπορεί να πάρει είναι το 0. Οπότε το άθροισµα 2 + α θα είναι πάντοτε µεγαλύτερο ή ίσο του 2. Άρα και ο θα είναι µεγαλύτερος ή ίσος του 2. Συνεπώς από τις τιµές 0, 1, 3 που δίνονται ο x µπορεί να πάρει µόνο την τιµή 3. Να εξετάσεις, αν ο αριθµός 12 είναι λύση της εξίσωσης: x + 13 = 25.
" Λύση Θα είναι λύση της εξίσωσης αν τον επαληθεύει. Είναι 12 +13 = 25, οπότε το 12 είναι λύση της εξίσωσης x + 13 = 25.
170
8.
Τοποθέτησε ένα “x” στη θέση εκείνη που ο αριθµός επαληθεύει την αντίστοιχη εξίσωση: 1
2
3
4
5
x−2=4 1+ y = 4
6
8
X X
18 − ω = 10
X
9−α=1
X
93 − β = 86 9.
7
X
Ποιος αριθµός επαληθεύει κάθε µία από τις παρακάτω εξισώσεις: α. x + 4,9 = 15,83 , β. 40,4 + x = 93,19 , γ. 53,404 − x = 4,99 δ. 38 − x = 7,1
" Λύση α. Είναι x + 4,9 = 15,83 , οπότε ο αριθµός που την επαληθεύει είναι αυτός που βρίσκουµε από τη διαφορά 15,83 − 4,9 , δηλαδή x = 15,83 − 4,9 = 10,93 β. Έχουµε 40,4 + x = 93,19 , πότε όπως και στην προηγούµενη θα είναι x = 93,19 − 40,4 = 52,79 . γ. Είναι 53,404 − x = 4,99 , οπότε ο αριθµός που επαληθεύει θα είναι αυτός που βρίσκουµε από τη διαφορά 53,404 − 4,99 δηλαδή x = 53,404 − 4,99 = 48,414 . δ. Τέλος στην εξίσωση 38 − x = 7,1 θα είναι x = 38 − 7,1 = 30,9 10. Ποια είναι η τιµή του x για να ισχύει: 3 12 5 15 35 x = = , β. = γ. α. x 20 7 x 40 8
δ.
49 4 =x+ 5 5
" Λύση α γ = β δ τότε α ⋅ δ = β ⋅ γ (χιαστή) θα µετατρέψουµε τις τρεις πρώτες εξισώσεις στη µορφή α ⋅ x = β οπότε x = β : α .
Σύµφωνα µε την ιδιότητα που ισχύει στα ισοδύναµα κλάσµατα:
171
α.
β.
3 12 = x 20 5 15 = 7 x
35 x γ. = 40 8
12 ⋅ x = 3 ⋅ 20
ή
12 ⋅ x = 60
ή
άρα
x = 60 :12
δηλαδή
ή
5 ⋅ x = 15 ⋅ 7
ή
5 ⋅ x = 105
άρα
x = 105 : 5
ή
x = 21
ή
40 ⋅ x = 35 ⋅ 8
ή
40 ⋅ x = 280
ή
x=7
οπότε x = 280 : 40 49 4 δ. Επειδή =x+ 5 5 49 4 45 τότε x = − ή x= 5 5 5 11. Βρες την τιµή του φυσικού αριθµού x: x+3 1 7 5 x 3 α. + = β. + = 4 2 4 8 16 4
ή
γ.
x=5
x=9.
3 x+2 + =1 5 10
" Λύση x+3 1 7 x 3 1 7 α. + = ή + + = ή 4 2 4 4 4 2 4 1 2 x 3 1 7 x 5 7 + + = ή + = 4 4 4 4 4 2 4
οπότε x 7 5 = − 4 4 4
ή
x 2 = 4 4
ή
4x = 8
δηλαδή 4x = 4 ⋅ 2
οπότε x = 8 : 4 = 2 . 5 x 3 β. + = 8 16 4 x 6 5 = − 16 8 8 8x = 16
172
ή ή ή
Μέθοδος: • Αν έχουµε κλάσµα της α+β µορφής γ
τότε σύµφωνα µε την πρόσθεση των κλασµάτων το γράφουµε α+β α β = + γ γ γ • Εκτελούµε τις πράξεις σε κάθε µέλος
2 1 x 3 5 = − 16 4 8 x 1 = 16 8
• Έχουµε ως στόχο να κατάλήξουµε σε µορφή x ε = δ ζ
x = 16 : 8 = 2
• Εφαρµόζουµε την «χιαστή» ιδιότητα για να λύσουµε την εξίσωση
γ.
3 x+2 3 x 2 + + =1 + =1 ή 5 10 5 10 10 2 1 x 3 2 x 6 2 + + =1 + + =1 ή 10 10 10 10 5 10 10 1 x 8 x 1 8 = 1− ή = − άρα 10 10 10 1 10 x 10 8 x 2 = − ή = 10 10 10 10 10
άρα
10x=2 ⋅ 10
12. Λύσε τις εξισώσεις: α. ν + 3 = 4, γ. t + 4 + 1 = 3 + 19 ,
ή
10x=20
ή
x 8 + =1 10 10
οπότε x = 20 :10 = 2 .
β. x − 2 = 8 , δ. 6 − x = 5
" Λύση οπότε ν = 4 − 3 ή ν=1 α. ν + 3 = 4 β. x − 2 = 8 άρα x = 8 + 2 ή x = 10 γ. Έχουµε δηλαδή t + 5 = 22 t + 4 + 1 = 3 + 19 t = 17 οπότε t = 22 − 5 δηλαδή δ. Είναι 6 − x = 5 ή x =6−5 δηλαδή x = 1. 13. Ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσεις στον 4, για να προκύψει ο αντί5 στροφος του ; 21
" Λύση 5 21 είναι , οπότε αν συµβολίζουµε µε x τον αριθµό 21 5 θα έχουµε την εξίσωση 5 21 21 21 4 x+4= x= −4 οπότε ή x= − 5 5 5 1 21 20 1 ή x= − άρα x= 5 5 5 Ο αντίστροφος του
14. Σε ένα αριθµό προσθέτουµε 5 και παίρνουµε άθροισµα 313. Ποιος είναι ο αριθµός;
173
" Λύση Αν συµβολίζουµε µε x τον ζητούµενο αριθµό τότε έχουµε την εξίσωση οπότε x + 5 = 313 x = 313 − 5 = 308 15. Τα τετράγωνα που αποτελούν τους «δοµικούς λίθους» µε τους οποίους κατασκευάζουµε τα παρακάτω σχήµατα έχουν πλευρά ίση µε 1cm.
α. Βρες την περίµετρο του πέµπτου σχήµατος και εξήγησε πως έφτασες στην απάντησή σου. β. Γράψε έναν τύπο µε τη βοήθεια του οποίου θα µπορείς να υπολογίσεις την περίµετρο κάθε σχήµατος. γ. Ποια είναι η σειρά του σχήµατος του οποίου η περίµετρος είναι 128cm;
" Λύση α. Το σχήµα (1) έχει περίµετρο 4cm. Το σχήµα (2) έχει περίµετρο 8cm = 2 ⋅ 4cm . Το σχήµα (3) έχει περίµετρο 12cm = 3 ⋅ 4cm . Το σχήµα (4) έχει περίµετρο 16cm = 4 ⋅ 4cm . Οπότε το σχήµα (5) θα έχει περίµετρο 5 ⋅ 4 = 20cm . β. Αν συµβολίσουµε µε ν τη σειρά του κάθε σχήµατος τότε η περίµετρος του θα είναι Π = 4 ⋅ ν . γ.
Είναι 4ν = 128 ή ν = 128 : 4 = 32 . Άρα το σχήµα µε περίµετρο 128cm θα βρίσκεται στη 32η θέση.
174
16. Να µετατρέψεις σε αριθµητικές παραστάσεις τις εκφράσεις 3 α. Τα ενός αριθµού. 5 β. Ο αντίστροφος ενός αριθµού είναι 4. γ. Το µισό του αθροίσµατος δύο αριθµών. 2 ενός αριθµού µειωµένα κατά 2. δ. Το 3 5 αυτού. ε. Ένας αριθµός αυξηµένος κατά τα 9
" Λύση 3 ⋅x 5 2 δ. ⋅x −2 3
α.
1 =4 α 5 ε. x + x 9
β.
γ.
α+β 2
17. Στο παρακάτω σχήµα το ΑΒΓ∆ είναι ορθογώνιο και το τρίγωνο Α∆Ε είναι ισόπλευρο.
A
6
B x
E Δ
Γ
α. Να εκφραστεί µε τη βοήθεια του x: i. η περίµετρος του ορθογωνίου ΑΒΓ∆ ii. η περίµετρος του τριγώνου Α∆Ε iii. η περίµετρος του σχήµατος ΑΒΓ∆Ε β. Να βρεθούν οι αριθµητικές τιµές των περιµέτρων των σχηµάτων αν x = 2 και x = 1,5. γ. Για ποια τιµή του x η περίµετρος του σχήµατος ΑΒΓ∆Ε θα γίνει 27;
175
" Λύση α. i.
Το ορθογώνιο ΑΒΓ∆ έχει ΑΒ = Γ∆ =6 και ΒΓ = Α∆ = x οπότε η περίµετρος του είναι Π1 = 6+ 6 +x + x = 12 +12x. ii. Το ισόπλευρο τρίγωνο Α∆Ε έχει όλες τις πλευρές του ίσες µε x οπότε η περίµετρος του θα είναι Π2 = x +x + x = 3x. iii. Το σχήµα ΑΒΓ∆Ε έχει περίµετρο Π = ΑΒ + ΒΓ +Γ∆ + ∆Ε +ΕΑ = = 6 + x + 6 + x + x = 12 + 3x β. Είναι Π1 = 12 + 2x για x = 2 θα είναι Π1 = 12 + 2 ⋅ 2 = 12 + 4 = 16 για x = 1,5 θα είναι Π2 = 12 + 2 ⋅ 1,5 = 12 + 3 = 15 Το ισόπλευρο τρίγωνο Α∆Ε έχει περίµετρο Π2 = 3x και για x = 2 θα είναι Π2 = 3 ⋅ 2 = 6 ενώ για x = 1,5 θα είναι Π2 = 3 ⋅ 1,5 = 4,5 Τέλος το σχήµα ΑΒΓ∆Ε έχει περίµετρο Π = 12 + 3x για x = 2 θα είναι Π = 12 + 3 ⋅ 2 = 12 + 6 = 18 ενώ για x = 1,5 θα είναι Π = 12 + 3 ⋅ 1,5 = 12 + 4,5 = 16,5 γ. Πρέπει 12 + 3x = 27 δηλαδή 3x = 27 − 12 3x = 15 ή άρα x = 5 . x = 15 : 3
18. Αν x ⋅ y =
5 3 και z ⋅ ω = να βρεθεί το γινόµενο x ⋅ ( y ⋅ z ) ⋅ ω 8 4
" Λύση Σύµφωνα µε την προσεταιριστική ιδιότητα θα είναι 5 5 3 15 x ⋅ ( y ⋅ z ) ⋅ ω = ( x ⋅ y ) ⋅ z ⋅ ω= ⋅ ( z ⋅ ω ) = ⋅ = 8 8 4 32
176
19. Να συγκριθούν τα κλάσµατα α+ 4 α−3 και ii. µε τη µονάδα. i. α+2 α−2
" Λύση α+4 >1 α+2 α−3 <1 ii. Είναι α − 3 < α − 2 οπότε α−2
i. Επειδή α + 4 > α + 2 τότε
20. Για ποιες τιµές του φυσικού αριθµού x δεν έχει νόηµα το κλάσµα
1 x −1
" Λύση Ένα κλάσµα δεν έχει νόηµα όταν ο παρανοµαστής του είναι 0, δηλαδή όταν x − 1 = 0 ή x = 1. 21. Η απόσταση που διανύει ένα αυτοκίνητο όταν κινείται µε ταχύτητα υ για χρόνο t, είναι υ ⋅ t . Να βρεθεί πόσα χιλιόµετρα θα διανύσει το αυτοκίνητο αν: α. υ = 80 Km/h και t = 3h β. υ = 120 Km/h και t = 5h
" Λύση α. υ ⋅ t = 80 ⋅ 3 = 240 Km β. υ ⋅ t = 120 ⋅ 5 = 600 Km 22. Αν x = 4, y = 2 και ω = 2,5 να βρεθούν οι τιµές των παραστάσεων: α.
( x + 2) ⋅ y + 3 ⋅ x ⋅ y ⋅ ω
β. ( x + y )
2
γ. x 2 + 2 ⋅ x ⋅ y + y 2
δ. ( x − ω ) ⋅ 2
ε. x − 2 ⋅ x ⋅ ω + ω
στ. 3x 2 + 5y 2 + ω2
2
2
177
" Λύση α.
( x + 2) ⋅ y + 3 ⋅ x ⋅ y ⋅ ω = = ( 4 + 2 ) ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 2,5 = = 6 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 2,5 =
= 12 + 60 = 72 β.
( x + y)
2
= ( 4 + 2 ) = 6 2 = 36 2
γ. x + 2 ⋅ x ⋅ y + y = 2
2
= 4 2 + 2 ⋅ 4 ⋅ 2 + 22 = = 16 + 2 ⋅ 4 ⋅ 2 + 4 = = 16 + 16 + 4 = 36 δ. ( x − ω ) ⋅ 2 = ( 4 − 2,5 ) ⋅ 2 = = 1,5 ⋅ 2 = 3
ε. x 2 − 2 ⋅ x ⋅ ω + ω2 = = 4 2 − 2 ⋅ 4 ⋅ 2,5 + ( 2,5 ) = 2
= 16 − 2 ⋅ 4 ⋅ 2,5 + 6,25 = 16 − 20 + 6,25 = = 16 + 6,25 − 20 = = 22,25 − 20 = = 2,25 στ. 3x 2 + 5y 2 + ω2 =
ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ Σε µία αριθµητική παράσταση: • Πρώτα υπολογίζουµε τις δυνάµεις. • Εκτελούµε τους πολλαπλασιασµούς και τις διαιρέσεις. • Κάνουµε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν στην παράσταση παρενθέσεις τότε µε την προηγούµενη σειρά εκτελούµε τις πράξεις πρώτα µέσα στις παρενθέσεις.
=3 ⋅ 4 2 + 5 ⋅ 22 + 2,52 = = 3 ⋅ 16 + 5 ⋅ 4 + 6,25 = = 48 + 20 + 6,25 = = 74,25 23. Αν α = 810, β = 420, γ = 14, δ = 7,8 και ε = 0,1 να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων. i. (α + β : γ) (δ + ε) ii. (α + β) (γ – δ) – ε iii. (α + 3β) : 2γ – (δ + ε)
" Λύση i.
( α + β : γ )( δ + ε ) = ( 810 + 420 :14 )( 7,8 + 0,1) = ( 810 + 30 ) ⋅ ( 7,9 ) = = 840 ⋅ 7,9 = 6636
ii.
( α + β )( γ − δ ) − ε = ( 810 + 420 )(14 − 7,8 ) − 0,1 = = 1230 ⋅ 6,2 − 0,1 = = 7626 − 0,1 = 7625,9
178
iii. ( α + 3β ) : 2γ − ( δ + ε ) = ( 810 + 3 ⋅ 420 ) : ( 2 ⋅ 14 ) − ( 7,8 + 0,1) = = ( 810 + 1260 ) : 28 − 7,9 = = 2070 : 28 − 7,9 = = 73,93 − 7,9 = = 66,03
24. Αν α = 50 να βρεθούν οι τιµές των διαφορών: α α α α i. − ii. − 4 8 2 3 2α 3α 4α 2α − − iv. iii. 5 10 3 7
" Λύση 2
i.
α α 50 50 50 50 100 50 50 25 − = − = − = − = = 4 8 4 8 4 8 8 8 8 4 3
2
α α 50 50 50 50 150 100 50 25 − = − = − = − = = ii. 2 3 2 3 2 3 6 6 6 3 2α 3α 2 ⋅ 50 3 ⋅ 50 − = − = 2 ⋅ 10 − 3 ⋅ 5 = 20 − 15 = 5 iii. 5 10 5 10 7
3
4α 2α 4 ⋅ 50 2 ⋅ 50 200 100 1400 300 1100 − = − = − = − = iv. 3 7 3 7 3 7 21 21 21 25. Να βρεθούν οι τιµές του φυσικού αριθµού ν, για τις οποίες το κλάσµα 63 v+1 είναι φυσικός αριθµός. 3 2
" Λύση 63 Κάνοντας το σύνθετο κλάσµα v+1 απλό έχουµε: 3 2 21 2 ⋅ 63 2 ⋅ 63 42 = = 3 ( v + 1) 3 ⋅ ( v + 1) v + 1 1
179
Για να είναι το κλάσµα
42 φυσικός αριθµός θα πρέπει ο (ν + 1) να είv +1
ναι διαιρέτης του 42. ∆ηλαδή
και
180
ν +1 = 1
οπότε
ν =0
ν +1 = 2
άρα
ν =1
ν +1 = 3
άρα
ν =2
ν +1 = 6
οπότε
ν =5
ν +1 = 7
δηλαδή
ν =6
ν +1 = 14
άρα
ν =13
ν +1 = 21
οπότε
ν =20
ν +1 = 42
άρα
ν =41
26. Να γράψετε τις παρακάτω λεκτικές εκφράσεις µε µαθηµατικές εκφράσεις γραµµάτων και αριθµών. i. Ένας αριθµός ελαττωµένος κατά 13. ii. Το πενταπλάσιο ενός αριθµού. iii. Το διπλάσιο ενός αριθµού είναι 18. iv Από έναν αριθµό αφαιρούµε 6 και βρίσκουµε 11. v. Το τετραπλάσιο ενός αριθµού είναι µεγαλύτερο του 20. vi. Το τριπλάσιο ενός αριθµού είναι µικρότερο του 10. 27. Να διατυπώσετε µε λόγια τις παρακάτω µαθηµατικές εκφράσεις: i. x +4 ii. α < 3 iii. ω –2 iv. y + 4 = 8 v. 4 ⋅ x + 3 28. Γράψτε µε απλούστερο τρόπο τις µαθηµατικές εκφράσεις: i. ω + ω + ω +ω ii. 3 ⋅ α + 5 ⋅ α iii. 8 ⋅ κ + 7 ⋅ κ + 5 ⋅ κ + 3 ⋅ λ + 7 ⋅ λ iv. 5x + 12x − 3x v. 3x + 0,5 ⋅ x + 7,8 ⋅ x + 5,3 ⋅ x vi. 4,2 ⋅ y − 2,9 ⋅ y + 32 ⋅ y − 4,89 ⋅ y
(Απ.: i. 4ω, ii. 8α, iii. 20κ + 10λ, iv. 14 ⋅ x , v. 16,6x, vi. 28,41y) 29. Είναι γνωστό ότι το εµβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται µε το γινόµενο των διαστάσεών του.
x 7m i.
Η µία διάσταση είναι 7m, να εκφράσετε το εµβαδόν χρησιµοποιώντας την µεταβλητή x για την άλλη διάσταση. ii. Να βρείτε πόσο είναι το εµβαδόν, αν x = 4m (Απ.: 28m2)
181
30. Αν x ⋅ y =
4 21 και z = , να βρείτε το x ⋅ (y ⋅ z) 7 6
(Απ.: 2) 31. Στην εξίσωση 3 + κ = ν, το κ και το ν είναι φυσικοί αριθµοί. Ποια από τις τιµές 0, 2, 4 µπορεί να πάρει ο ν; (Απ.: 4) 32. Να εξετάσετε αν ο αριθµός 15 είναι λύση της εξίσωσης 50 − x = 35 (Απ.: είναι) 33. Να εξετάσετε αν ο αριθµός 28 είναι λύση της εξίσωσης 3 ⋅ x = 74 (Απ.: ∆εν είναι) 34. Να εξετάσετε ποιος από τους αριθµούς 10, 11, 12 είναι λύση της εξίσωσης x + 30 = 52 − x (Απ.: 11) 35. Ποιος αριθµός επαληθεύει κάθε µία από τις παρακάτω εξισώσεις; i. x + 5,8 = 20,95 ii. x − 12,32 = 3,75 iii. 123,8 − x = 92,24
(Απ.: i. 15,15, ii. 15,98, iii. 31,56) 36. Ποια είναι η τιµή του x για να ισχύει: x 36 4 20 2 x i. = ii. = iii. = 7 84 5 x 3 45
(Απ.: i. 3, ii. 25, iii. 30) 37. Να βρείτε την τιµή του φυσικού αριθµού x: 5 x 13 x + 2 3 13 i. ii. + = + = 6 4 12 2 4 4
38. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. x + 25 = 32 ii. x − 12 = 45 iv. 24 ⋅ x = 120 v. 80 : x=16
182
iii.
3 x + 1 41 + = 4 7 28 (Απ.: i. 3, ii. 1, iii. 4)
iii. 115 − x = 37 vi. x : 25 = 5 (Απ.: i. 7, ii. 57, iii. 78, iv. 5, v. 5, vi. 125)
39. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ( 2 + 3 ) + x = 17 + (12 − 6 ) iii.
ii. 5 − 3 + x = 18 − ( 4 + 7 )
(13 + 7 ) − 5 − x = 15 − ( 7 + 2 )
iv. ( 45 − 7 ) − x = 25 − ( 40 − 30 )
(Απ.: i. x = 18, ii. x = 5, iii. x = 9, iv. x = 23) 40. Σε έναν αριθµό προσθέτουµε 156 και παίρνουµε άθροισµα 832. Ποιος είναι ο αριθµός; (Απ.: 676) 41. Ποιος αριθµός πρέπει να προστεθεί στο 3, για να προκύψει ο αντίστρο3 4 φος του ; (Απ.: ) 13 3 42. Να συγκρίνετε µε τη µονάδα τα κλάσµατα: α+5 α−4 α−6 3α + 2 i. ii. iii. iv. α+3 α−5 α−4 3α − 2 (Απ.: i., ii., iii.µεγαλύτερα του 1, iv. Μικρότερο του 1) 3 x−3 (Απ.: x = 3)
43. Για ποια τιµή του φυσικού αριθµού x δεν έχει νόηµα το κλάσµα
44. Αν x = 5, y = 3 και ω = 2 να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: i.
( x + 3) ⋅ y + 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ ω
ii. ( x − 3 ) ⋅ ω + ( y − ω )
iv.
x 2 − 2 ⋅ x ⋅ y + y2
v. 4x 2 − 2y 2 − ω2
2
iii. ( x − y )
2
(Απ.: i. 84, ii. 5, iii. 4, iv. 4, v. 78) 45. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: Π1 = ( α + β : γ ) ⋅ ( δ − ε ) και Π2 = ( α + β ) : ( γ − δ ) − ε όταν i. α = 816, ii. α = 462,
β = 340, γ = 3,4, δ = 1,7, ε = 1,3 β = 75, γ = 1,5, δ = 1,4, ε = 1,1 (Απ.: i. Π1 = 366,4, Π2 = 678,7, ii. Π1 = 153,6, Π2 = 5368,9)
46. Να βρείτε τις 9 τιµές του φυσικού αριθµού ν για τις οποίες το κλάσµα 24 v + 1 είναι φυσικός αριθµός. 2 3 (Απ.: 0, 1, 2, 3, 5, 8, 11, 17, 35)
183
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ Σε επιτύµβια στήλη είναι γραµµένο το παρακάτω πρόβληµα, η λύση του οποίου, µας δίνει την ηλικία του µεγάλου αρχαίου Έλληνα µαθηµατικού ∆ιόφαντου. «Το ένα ένατο της ζωής του ήταν παιδί, το ένα δωδέκατο µετά τούτο βγάζει τρίχες στα µάγουλα, µετά το επόµενο ένα έβδοµο παντρεύτηκε, πέντε έτη µετά το γάµο του γέννησε ένα υιό, που αλοίµονο, το ατυχές παιδί, όταν έφτασε στο ένα δεύτερο της ηλικίας του πατέρα του, πέθανε, και από τότε επί τέσσερα έτη παρηγορούσε το πένθος του µε τη σοφία των αριθµών και έτσι τερµάτισε τη ζωή του».
" Απάντηση Θα σχηµατίσουµε µία εξίσωση η λύση της οποίας θα είναι τα χρόνια που έζησε ο ∆ιόφαντος. Έστω x τα χρόνια που έζησε. Τότε σύµφωνα µε το κείµενο έχουµε: Λεκτική έκφραση Έµεινε παιδί κατά το ένα έκτο της ζωής του Έβγαλε γένια µετά από το ένα δωδέκατο
184
Μαθηµατική έκφραση
x 6 x 12
Παντρεύτηκε µετά το ένα έβδοµο
x 7
Μετά από 5 χρόνια γεννήθηκε ο γιος του
5
Ο γιος του πέθανε όταν έφτασε στο µισό της ηλικίας του πατέρα
x 2
Ο ∆ιόφαντος έζησε ακόµη 4 χρόνια και µετά πέθανε
4
Έχουµε την εξίσωση: ή
ή
x x x x + + +5+ +4 6 12 7 2 14 7 12 42 x x x x + + +5+4 x= + 6 12 7 2 14x 7x 12x 42x x= + + + +9 84 84 84 84 75x x= +9 84 84 x 75x − =9 1 84 89x 75x − =9 84 84 9x 9 = 84 1 9x = 84 ⋅ 9 9x = 756 άρα x = 756 : 9 = 84 χρόνια. x=
185
1.
Να βρεις έναν αριθµό που έχει τέσσερα ίδια ψηφία και διαιρείται µε το 9.
" Λύση Σκέψη Ένας αριθµός διαιρείται µε το 9 όταν το άθροισµα των ψηφίων του είναι πολλαπλάσιο του 9. Αφού ο αριθµός έχει 4 ίδια ψηφία θα είναι της µορφής x x x x και θα έχει άθροισµα ψηφίων 4 ⋅ x όπου x φυσικός. Όµως το 4 ⋅ x είναι πολλαπλάσιο του 4. Το πρώτο κοινό πολλαπλάσιο του 9 και του 4 είναι το 36 οπότε: Επίλυση 4 ⋅ x = 36 ή x = 4 : 36 = 9 άρα ο ζητούµενος αριθµός είναι ο 9999. 2.
7 2 των µαθητών ενός σχολείου, αν τα των 10 8 µαθητών αυτού του σχολείου, είναι 60 µαθητές;
Πόσοι µαθητές είναι τα
" Λύση Έστω x όλοι οι µαθητές του σχολείου τότε 2 2 60 x = 60 ή x= ή 2x = 8 ⋅ 60 8 8 1 άρα 2 ⋅ x = 480 x = 480 : 2 = 240 µαθητές. 7 των µαθητών του σχολείου είναι Άρα τα 10 7 7 ⋅ 240 = 7 ⋅ 24 = 168 µαθητές. 240 = 10 10
186
3.
Να βρεις τρεις διαδοχικούς αριθµούς που έχουν άθροισµα 1533.
" Λύση Σκέψη Οι διαδοχικοί φυσικοί αριθµοί διαφέρουν κατά 1. Αν συµβολίσουµε το µεσαίο µε x τότε ο προηγούµενος θα είναι
( x − 1)
και ο επόµενος ( x + 1) . Έχουµε την εξίσωση: ( x − 1) + x + ( x + 1) = 1533 Επίλυση
x − 1 + x + x + 1 = 1533 x + x + x + 1 − 1 = 1533 3x = 1533 ή x = 1533 : x = 511 Άρα οι τρεις διαδοχικοί αριθµοί είναι: 510, 511, 512. 4.
Βρες το ψηφίο που λείπει από τον αριθµό 7 5 X 3 , ώστε αυτός να διαιρείται µε το 9. Σκέψη Έστω x το ζητούµενο ψηφίο όπου x µονοψήφιος φυσικός τότε ο αριθµός είναι 75 x 3 και το άθροισµα των ψηφίων είναι
7 + 5 + x + 3 = 15 + x . Θα πρέπει το 15 + x να είναι πολλαπλάσιο του 9. Επίλυση 15 + x = 0 δεν έχει λύση φυσικό αριθµό x = 9 − 15 δεν έχει λύση φυσικό αριθµό 15 + x = 9 15 + x = 18 x = 18 − 15 = 3 15 + x = 27 x = 27 − 15 = 12 απορρίπτεται Όµοια θα απορρίπτονται και οι λύσεις για τα πολλαπλάσια του 9 που είναι µεγαλύτερα του 27. Άρα το ζητούµενο ψηφίο είναι το 3. 5.
Σε ένα διαγώνισµα, κάθε µαθητής πρέπει να απαντήσει σε 100 ερωτήσεις. Θα πάρει 3 µονάδες, για κάθε σωστή απάντηση και µόνο 1 µονάδα, για κάθε λανθασµένη. Ένας µαθητής πήρε συνολικά 220 µονάδες. Σε πόσες ερωτήσεις απάντησε σωστά;
187
" Λύση Σκέψη Έστω x οι ερωτήσεις που απάντησε σωστά τότε οι ερωτήσεις στις οποίες απάντησε λανθασµένα θα πρέπει να είναι 100 − x . Οι µονάδες που συγκέντρωσε ο µαθητής είναι 3 ⋅ x + (100 − x ) ⋅ 1.
Έχουµε την εξίσωση 3 ⋅ x + (100 − x ) ⋅ 1 = 220 Επίλυση
3 ⋅ x + 100 − x = 220 3x − x + 100 = 220 2x + 100 = 220 2x = 220 − 100 2x = 120 x = 120 : 2 άρα x = 60 Οπότε ο µαθητής απάντησε σωστά σε 60 ερωτήσεις 6.
Η διαφορά της ηλικίας της κόρης από τη µητέρα της είναι 25 χρόνια. Αν η κόρη είναι 18 ετών, πόσων χρονών είναι η µητέρα;
" Λύση Έστω x η ηλικία της µητέρας. x − 18 = 25 ή x = 25 + 18 = 43 Τότε Άρα η µητέρα είναι 43 ετών. 7.
Τρία αδέλφια µοιράζονται εξίσου µια κληρονοµιά η οποία είναι ένα χωράφι και ένα διαµέρισµα. Ο πρώτος παίρνει το χωράφι. Ο δεύτερος παίρνει το διαµέρισµα, αλλά δίνει στο πρώτο 600€ και στον τρίτο 15000€. Ποια ήταν η αξία του χωραφιού και του διαµερίσµατος;
" Λύση Σκέψη Όλη η περιουσία που ήταν το χωράφι και το διαµέρισµα πρέπει να µοιραστεί εξίσου και στα τρία αδέλφια. Ο τρίτος αδερφός πήρε µόνο χρήµατα που ήταν 15000€. Άρα συνολικά όλη η περιουσία αποτιµήθηκε σε 3 ⋅ 15000 = 45000 €. Ο πρώτος αδερφός πήρε το χωράφι και 600€ άρα αν x η αξία του χωραφιού τότε x + 600 = 15000 .
188
Επίλυση Οπότε x = 15000 − 600 = 14400 €. Άρα το χωράφι άξιζε 14.400€. Αν y η αξία του διαµερίσµατος τότε y + 14400 = 45000 ή y = 45000 − 14400 ή y = 30600 €. Άρα το διαµέρισµα είχε αξία 30.600€. 8.
Σε κάθε µια από τις πράξεις (α) και (β) τα γράµµατα αντιστοιχούν σε διαφορετικά µεταξύ τους ψηφία. Αντικατέστησε τα γράµµατα Α, Β, Γ και ∆ µε τα κατάλληλα ψηφία. AB Γ∆ α. + 4 7
β. − 8
73
∆5
" Λύση
xy α. Έστω Α = x και B = y τότε + 4 7
73 Οπότε θα πρέπει y + 7 = 13 ή
y = 13 − 7 = 6
Επειδή έχουµε και κρατούµενο το 1 τότε 1 + x + 4 = 7 ή x+5=7 άρα x =7−5=2 Άρα Α = 2 και Β = 6. zω β. Έστω Γ = z και ∆ = ω τότε − 8 ω5 Επειδή 8 + 5 = 13 τότε ω = 3 και θα έχουµε και κρατούµενο 1 οπότε άρα z −1= 3 z = 3 +1= 4 Άρα Γ = 4 και ∆=3 9.
Αν από µία ποσότητα κρασιού αφαιρέσουµε 18 lt χωράει σε δοχεία των 7 lt. Αν γνωρίζεις ότι η ποσότητα είναι µικρότερη από 100lt και µεγαλύτερη από 90 lt, πόσα lt είναι η αρχική ποσότητα του κρασιού; Πόσα δοχεία θα χρησιµοποιήσουµε;
" Λύση Σκέψη Αφού το κρασί είναι µεταξύ 90 και 100 λίτρων αν αφαιρέσουµε 18 lt τότε η ποσότητα που θα έχουµε θα είναι µεταξύ των 72 και 82 lt. Αφού αυτή η ποσότητα χωράει ακριβώς σε δοχεία των 7 lt τότε θα είναι πολλαπλάσιο του 7. Το µοναδικό πολλαπλάσιο του 7 ανάµεσα στο 72 και στο 82 είναι το 77.
189
Επίλυση Άρα το κρασί όλο είναι 77 + 18 = 95 lt και τα δοχεία που θα χρησιµοποιήσουµε είναι 77 : 7=11. 10. Ένας παραγωγός έφτιαξε 100lt ξύδι και θέλει να τα συσκευάσει σε µπουκάλια που χωράνε 0,75 lt. Να βρεις: α. Πόσα µπουκάλια θα χρειαστεί; β. Πόσα lt θα του περισσέψουν;
" Λύση α. Έστω x τα µπουκάλια που θα χρειαστεί. Τότε 0,75 ⋅ x = 100 ή x = 100 : 0,75 = 133,33...
Άρα θα χρειαστεί 133 µπουκάλια. β. Θα συσκευάσει 133 ⋅ 0,75 = 99,75 lt ξύδι. Θα του περισσέψουν 100 − 99,75 = 0,25 lt ξύδι. 11. ∆ύο συνεργεία καθαρισµού ακτών καθαρίζουν µία µεγάλη παραλία µή3 1 κους 18 Km . Το πρώτο συνεργείο καθαρίζει 3 Km και το δεύτερο 4 2 3 συνεργείο 2 Km , κάθε µέρα. Τα δύο συνεργεία εργάζονται, στα δύο 4 άκρα της παραλίας, έως ότου συναντηθούν. Σε πόσες µέρες θα έχουν ολοκληρώσει τον καθαρισµό της παραλίας;
" Λύση Σκέψη Έστω x οι µέρες που θα Σ B A κάνουν τα συνεργεία µέ1 3 χρι να συναντηθούν στο 3 km τη μέρα 2 km τη μέρα 2 4 3 σηµείο Σ. 18 km 4 Το πρώτο συνεργείο θα έχει καθαρίσει την από1 σταση AΣ = 3 xKm και το δεύτερο συνεργείο θα έχει καθαρίσει το κοµ2 3 µάτι ΒΣ = 2 xKm . 4 3 1 3 3 Είναι AΣ + ΣΒ = 18 Km δηλαδή 3 x + 2 x = 18 4 2 4 4
190
Επίλυση 1 2 7 11 75 7 11 75 x+ x= x+ x= ή 2 4 4 2 4 4 14 11 75 25 75 ή x+ x= ή x= 4 4 4 4 4 ή 4 ⋅ 25x = 4 ⋅ 75 ή 100x = 300 άρα x = 300 :100 = 3 Άρα τα συνεργεία θα κάνουν 3 µέρες να καθαρίσουν την παραλία.
12. Ένας υπάλληλος αποταµιεύει κάθε µήνα το
1 του µισθού του. Αν αυξη15
1 ο µισθός του, ποιο µέρος του νέου µισθού πρέπει να απο5 ταµιεύει , ώστε να µην αυξηθεί το ποσό που αποταµιεύει κάθε µήνα;
θεί κατά το
" Λύση Έστω ότι ο µισθός του υπαλλήλου είναι α τότε αυτός αποταµιεύει κάθε 1 1 τότε α . Αν ο µισθός του υπαλλήλου αυξηθεί κατά το µήνα 15 5 1 5 1 6 θα γίνει α + α = α + α = α . 5 5 5 5 Εφόσον ο υπάλληλος θα αποταµιεύει το ίδιο ποσό τότε θα είναι 1 1 α 15 = 15 = 5 = 1 6 6 90 18 α 5 5 1 Άρα θα αποταµιεύει το του µισθού του. 18 13. Αυτή τη χρονιά η ηλικία ενός ανθρώπου είναι πολλαπλάσιο του 7 και την επόµενη χρονιά είναι πολλαπλάσιο του 9. Ποια είναι η ηλικία του;
" Λύση Θα πρέπει από τους δύο διαδοχικούς φυσικούς αριθµούς ο πρώτος να είναι πολλαπλάσιο του 7 και ο επόµενος πολλαπλάσιο του 9. Είναι: Πολλαπλάσια του 7: 0. 7, 14, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, … Πολλαπλάσια του 9: 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, … Παρατηρούµε ότι αυτοί οι φυσικοί αριθµοί µπορεί να είναι 35 και 36 ή 98 και 99. Άρα η ηλικία του ανθρώπου είναι είτε 35 είτε 98 ετών.
191
14. Αν το τριπλάσιο µιας ποσότητας καφέ είναι 6Kg, να βρείτε πόσα κιλά είναι όλη η ποσότητα;
" Λύση Έστω x κιλά όλη η ποσότητα του καφέ τότε 3 ⋅ x = 6 ή x = 6 : 3 = 2 . Άρα όλη η ποσότητα είναι 2Kg. 15. Να βρεθεί η περίµετρος ορθογωνίου παραλληλογράµµου µε εµβαδόν 52 2 7 m και µία πλευρά m . 8 4
" Λύση Έστω x η άλλη διάσταση του ορθογωνίου τότε 7 52 52 7 52 4 ⋅x = ή x= : ή x= ⋅ ή 4 8 8 4 8 7 1 26 52 4 52 x= ή x= ⋅ = 7 8 7 14 2 Άρα η περίµετρος του ορθογωνίου είναι: 2 7 26 7 52 7 104 49 153 + 2⋅ = + = + = 2⋅ m. 7 4 7 2 14 14 14 16. Για ένα τραπέζι και 4 καρέκλες πληρώσαµε 840€. Το τραπέζι κοστίζει όσο 3 καρέκλες. Πόσο θα πληρώσουµε αν αγοράσουµε ακόµη άλλες δύο καρέκλες;
" Λύση Έστω x το κόστος µιας καρέκλας. Άρα το τραπέζι κοστίζει 3 ⋅ x . Για τραπέζι και 4 καρέκλες πληρώσαµε 840€. ∆ηλαδή 3x + 4x = 840 ή 7x = 840 ή x = 840 : 7=120 Άρα η µία καρέκλα στοιχίζει 120€. Αν αγοράσουµε ακόµη 2 καρέκλες θα πληρώσουµε 840 + 2 ⋅ 120 = 1080 €.
192
17. Αν µοιραστεί ένα ποσό 26.100€ σε τρία άτοµα, έτσι ώστε ο Α να πάρει 4.500€ περισσότερα από τον Β και ο Γ να πάρει 2.100€ λιγότερα από τον Β.
" Λύση Έστω x τα χρήµατα που θα πάρει ο Β τότε ο Α θα πάρει x + 4.500 , ενώ ο Γ θα πάρει x − 2.100 . Οπότε ( x + 4500) + x + ( x − 2100 ) = 26100 ή x + x + x + 4500 − 2100 = 26100 3x + 2400 = 26100 3x = 26100 − 2400 3x = 23700 x = 23700 : 3 = 7900 Άρα ο Α θα πάρει 7900 + 4500 = 12400 € ο Β θα πάρει 7900 € και ο Γ θα πάρει 7900 − 2100 = 5800 €.
18. Μια στρατιωτική µονάδα 5.115 ατόµων έχει τροφές για 20 µέρες. Πόσο θα διαρκέσουν οι τροφές αν προστεθούν ακόµη 3.410 άτοµα;
" Λύση Σκέψη Οι µερίδες φαγητού που έχει η στρατιωτική µονάδα είναι: 5.115 ⋅ 20 = 102.300 . Αν προστεθούν ακόµη 3.410 άτοµα τότε συνολικά η µονάδα θα έχει 5.115 + 3410 = 8.525 άτοµα, τα οποία θα πρέπει να περάσουν µε τις 102.300 µερίδες τροφής. Αν συµβολίσουµε µε x τις ηµέρες που διαρκούν τα τρόφιµα τότε έχουµε την εξίσωση: 8525 ⋅ x = 120300 Επίλυση Άρα x = 120300 : 8525 ή x = 12 Άρα οι τροφές θα διαρκέσουν συνολικά 12 ηµέρες.
193
19. Τρία λεωφορεία µε αφετηρία την ίδια πλατεία εκτελούν τη συγκοινωνία σε 3 διαφορετικά σηµεία της πόλης. Το πρώτο εκτελεί µια διαδροµή σε 18min, το δεύτερο σε 24min και το τρίτο σε 36min. Αν στις 12 ακριβώς ξεκινήσουν και πάλι µαζί, ύστερα από πόσο χρόνο θα ξεκινήσουν και πάλι µαζί και πόσες διαδροµές θα κάνει το καθένα στον ενδιάµεσο χρόνο;
" Λύση Αρκεί να βρούµε το ΕΚΠ των 18, 24 και 36 το οποίο είναι 72. Οπότε θα ξεκινήσουν και πάλι µαζί από 72min. Μέχρι τότε • το πρώτο λεωφορείο θα έχει κάνει 18x = 72 ή x = 72 :18 = 4 τέσσερις διαδροµές • το δεύτερο λεωφορείο θα έχει κάνει 24y = 72 ή y = 72 : 24 = 3 τρεις διαδροµές
• και το τρίτο λεωφορείο θα έχει κάνει 36ω = 72 ή ω = 72 : 36 = 2 δύο διαδροµές 20. Ένας αγρότης έχει δύο γιους και έναν ανιψιό. Σκέφτηκε να τους µοιράσει το χωράφι του έκτασης 42 στρεµµάτων, δίνοντας στους γιους 5 2 του τα και στον ανιψιό του του χωραφιού. Πόσα στρέµµατα θα 7 7 πάρει ο καθένας;
" Λύση 2 84 ⋅ 42 = = 12 στρέµµατα. 7 7 Άρα οι δύο γιοι θα µοιραστούν 42 − 12 = 30 στρέµµατα. Αν x τα στρέµµατα που θα πάρει ο κάθε γιος 2x = 30 τότε έχουµε την εξίσωση x = 30 : 2 = 15 Άρα Οπότε ο κάθε γιος θα πάρει από 15 στρέµµατα. Ο ανιψιός θα πάρει
2 του ύψους, από το 7 οποίο αφέθηκε να πέσει. Αν την αφήσουµε να πέσει από ύψος 3 34 m , σε πόσο ύψος θα φτάσει ύστερα από 3 αναπηδήσεις; 10
21. Μια ελαστική µπάλα αναπηδά σε ύψος ίσο µε τα
194
" Λύση Στην 1η αναπήδηση θα φτάσει σε ύψος
49 2 3 2 343 2 ⋅ 343 98 ⋅ 34 = ⋅ = = m. 7 10 7 10 10 7 ⋅ 10 1 η Στην 2 αναπήδηση θα φτάσει σε ύψος 14 2 98 2 98 28 ⋅ = ⋅ = m. 7 10 7 10 10 1 η Τέλος στην 3 αναπήδηση θα φτάσει σε ύψος 4 2 28 2 28 8 4 ⋅ = ⋅ = = m. 7 10 7 10 10 5 1 22. Μια βρύση γεµίζει µία δεξαµενή σε 5 ώρες. Μία δεύτερη την αδειάζει σε 6 ώρες. Αν η δεξαµενή είναι άδεια και ανοίξουν και οι δύο βρύσες µαζί σε πόσες ώρες θα γεµίσει η δεξαµενή;
" Λύση Σκέψη Έστω x οι ώρες που θα γεµίσει η δεξαµενή. 1 της δεξαµενής, Η πρώτη βρύση σε 1 ώρα γεµίζει το 5 x άρα σε x ώρες θα γεµίζει τα της δεξαµενής. 5 1 Η δεύτερη βρύση σε 1 ώρα αδειάζει το της δεξαµενής, 6 x της δεξαµενής. οπότε σε x ώρες θα αδειάζει τα 6 x x Το νερό που θα µείνει στη δεξαµενή θα είναι − . 5 6 x x Οπότε έχουµε την εξίσωση − = 1 5 6 Επίλυση 6 5 x x 6x 5x x − =1 ή =1 − =1 ή 5 6 30 30 30 Άρα η δεξαµενή θα γεµίσει σε 30 ώρες.
άρα
x = 1 ⋅ 30 = 30
195
23. Η Μαρία έχει ύψος 158cm. Πόσα εκατοστά θα πρέπει να ψηλώσει για να φτάσει τη µητέρα της που είναι 169cm. (Απ.: 11cm) 24. Ο Μανώλης έδωσε στην Ελένη 25€ και του έµειναν 68€. Πόσα ευρώ είχε αρχικά; (Απ.: 93€) 25. Ο κύριος Περικλής µοίρασε τα χρήµατά του εξίσου στα 4 παιδιά του. Πόσα χρήµατα είχε αν έδωσε στο κάθε παιδί 3420€; (Απ.: 13680€) 26. Ο Μάριος έχει τετραπλάσια χρήµατα από την Πηνελόπη. Αν και οι δύο έχουν 120€, πόσα χρήµατα έχει η Πηνελόπη; (Απ.: 24€) 27. Η Ελένη είναι κατά 4 χρόνια µεγαλύτερη από την Κατερίνα. Αν το άθροισµα των ηλικιών τους είναι 32 χρόνια, να βρείτε ποια είναι η ηλικία της καθεµιάς. (Απ.: 14 η Κατερίνα, 18 η Ελένη) 28. Σε µία εκδροµή µε λεωφορείο µια µητέρα και το παιδί της πλήρωσαν µαζί 18€. Πόσο κοστίζει το εισιτήριο, αν το παιδί πλήρωνε µισό εισιτήριο; (Απ.: 12€) 29. Ένας έµπορος αγόρασε 5 στερεοφωνικά και 3 τηλεοράσεις και πλήρωσε 1175€. Αν όµως αγόραζε 5 στερεοφωνικά και 6 τηλεοράσεις θα πλήρωνε 2075€. Να βρείτε ποια είναι η τιµή του στερεοφωνικού και ποια η τιµή της τηλεόρασης; (Απ.: 300€ η τηλεόραση, 55€ το στερεοφωνικό) 30. Αγόρασε κάποιος ένα σαλόνι που αποτελείται από 4 πολυθρόνες και έναν καναπέ και πλήρωσε 4800€. Αν ο καναπές κοστίζει όσο 2 πολυθρόνες να βρείτε την τιµή της κάθε πολυθρόνας. (Απ.: 800€)
196
31. Να βρείτε τις διαστάσεις ενός ορθογωνίου που έχει περίµετρο 9cm, αν γνωρίζουµε ότι η µία διάσταση είναι διπλάσια της άλλης. (Απ.: 3cm, 1,5cm) 32. Να βρείτε τρεις διαδοχικούς φυσικούς αριθµούς οι οποίοι έχουν άθροισµα 729. (Απ.: 242, 243, 244) 33. Ο Περικλής διάβασε ένα βιβλίο 250 σελίδων σε 5 µέρες. Κάθε µέρα διάβαζε 10 σελίδες περισσότερες από την προηγούµενη. Πόσες σελίδες διάβασε την πρώτη µέρα; (Απ.: 30 σελίδες) 34. Από τους µαθητές µιας τάξης οι µισοί πηγαίνουν στο σχολείο µε τα πό1 1 χρησιµοποιεί ποδήλατο, το πηγαίνει µε το λεωφορείο και δια, το 3 9 δύο µαθητές πηγαίνουν µε τους γονείς τους µε το αυτοκίνητό τους. Πόσους µαθητές έχει η τάξη αυτή; (Απ.: 36 µαθητές) 37. Μία βρύση µπορεί να αδειάσει µια γεµάτη δεξαµενή σε 8 ώρες, ενώ µία άλλη να γεµίσει την άδεια δεξαµενή σε 6 ώρες. Σε πόσες ώρες θα γεµίσει η δεξαµενή αν είναι άδεια και ανοίξουµε συγχρόνως και τις δύο βρύσες; (Απ.: 24 ώρες)
197
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Σε πολλές περιπτώσεις της καθηµερινής µας ζωής ακούµε εκφράσεις όπως: α. Πήρε αύξηση 14%. β. Οι γεννήσεις µειώνονται κατά 12% το χρόνο. γ. Με συστηµατική προπόνηση, ένας δροµέας αύξησε την απόσταση του κατά 20%. δ. Ένα µαγαζί έκανε εκπτώσεις 60%. ε. Η ευρύτερη περιοχή της Αθήνας καταλαµβάνει το 3% της έκτασης της Ελλάδας και εκεί κατοικεί το 45% του πληθυσµού της Ελλάδας. στ. Το 40% των υποψηφίων έγραψαν πολύ καλά και το 35% κάτω από τη βάση. ζ. Φόρος Προστιθέµενης Αξίας (ΦΠΑ) 19%. η. Ειδικός Φόρος Κατανάλωσης 5%. θ. Παρακράτηση φόρου 22%. ι. Επιτόκιο Καταθέσεων Ταµιευτηρίου 9,5%. κ. Το 25% του πληθυσµού έχει πάνω από 2 αυτοκίνητα. λ. Μόνο το 4% των οικογενειών έχει πάνω από 4 παιδιά. µ. Είναι 100% σίγουρο, ότι θα βρέξει. ν. Η πιθανότητα να συµβεί (ένα γεγονός) είναι 1%. Προσπάθησε να εξηγήσεις τι ακριβώς εννοούµε κάθε φορά µε αυτές τις εκφράσεις.
" Απάντηση α. Αύξηση 14% σηµαίνει ότι αν είχε µισθό 100€ αυτός θα γίνει 114€ ή αν ο µισθός του είναι 1000€ τότε θα γίνει 1140€. β. Κάθε χρόνο γεννιούνται 12% λιγότερα παιδιά. Για παράδειγµα, αν το 2004 είχαµε 10000 γεννήσεις, το 2005 12 θα είχαµε 10000 − 10000 = 8800 γεννήσεις, 100 12 το 2006 θα είχαµε 8800 − 8800 = 7744... κτλ… 100
199
γ. Αν έκανε 1000m σε ένα χρόνο t τότε στον ίδιο χρόνο t κάνει τώρα 1200m. δ. Αν ένα προϊόν κόστιζε 100€ το πήραµε µε τις εκπτώσεις 40€. ε. Αν η έκταση της Ελλάδας είναι 100.000 τετρ. χιλιόµετρα η ευρύτερη περιοχή της Αθήνας είναι 3.000 τετρ. χιλιόµετρα ενώ από τους 100 κατοίκους της Ελλάδας οι 45 (σχεδόν οι µισοί) κατοικούν στο λεκανοπέδιο. στ. Από τους 100 υποψήφιους οι 40 έγραψαν πολύ καλά και οι 35 κάτω από τη βάση. ζ. Σε κάθε προϊόν που πωλείται από ένα κατάστηµα µπαίνει φόρος 19%, ο οποίος αποδίδεται από τον έµπορο στο κράτος. Αν ένας έµπορος έχει υπολογίσει ότι ένα προϊόν πρέπει να το πουλήσει 100€ τότε εµείς θα πληρώσουµε γι’ αυτό 119€. η. Φόρος 5% που µπαίνει σε ορισµένα είδη, καύσιµα ποτά, τσιγάρα. ∆ηλαδή αν µία βιοµηχανία κοστολογεί ένα προϊόν 100€ θα πληρώσει ο καταναλωτής γι’ αυτό 105€. θ. Φόρος που παρακρατείται συνήθως από τους µισθωτούς και αποδίδεται στην εφορία. Αν κάποιος έχει µισθό 1000€ µεικτά τότε θα πάρει 780€ και τα υπόλοιπα θα αποδοθούν από την επιχείρηση στην εφορία. ι. Κάθε 100€ που έχουµε για ένα χρόνο στο Ταµιευτήριο θα γίνουν µετά από ένα χρόνο 109,5€. κ. Από τους 100 κατοίκους οι 25 έχουν πάνω από 2 αυτοκίνητα. ∆ηλαδή 1 στους 4 έχει δεύτερο αυτοκίνητο. λ. Από τις 100 οικογένειες µόνο 4 έχουν πάνω από 4 παιδιά. µ. Θα βρέξει σίγουρα. ν. Στις 100 επαναλήψεις ενός πειράµατος µόνο 1 φορά είναι πιθανόν να συµβεί το γεγονός.
200
1.
Γράψε ως ποσοστά επί τοις εκατό, τα κλάσµατα: 1 3 1 3 3 α. β. γ. δ. ε. 5 2 4 4 5
" Λύση 1 1 ⋅ 20 20 = = = 20% 5 5 ⋅ 20 100 1 1 ⋅ 25 25 γ. = = = 25% 4 4 ⋅ 25 100 3 3 ⋅ 20 60 ε. = = = 60% 5 5 ⋅ 20 100
α.
2.
3 3 ⋅ 50 150 = = = 150% 2 2 ⋅ 50 100 3 3 ⋅ 25 75 δ. = = = 75% 4 4 ⋅ 25 100
β.
Να µετατρέψεις σε ποσοστό επί τοις εκατό, τους δεκαδικούς αριθµούς: α. 0,52 β. 3,41 γ. 0,19 δ. 0,03 ε. 0,07
" Λύση 52 = 52% 100 19 γ. 0,19 = = 19% 100 7 ε. 0,07 = = 7% 100
α. 0,52 =
3.
341 = 341% 100 3 δ. 0,03 = = 3% 100 β. 3,41 =
Να µετατρέψεις σε δεκαδικά κλάσµατα τα ποσοστά: α. 15% β. 7% γ. 48% δ. 50% στη συνέχεια απλοποίησε τα δεκαδικά κλάσµατα έως ότου φτάσεις σε ανάγωγο κλάσµα.
" Λύση 15 15 : 5 3 = = 100 100 : 5 20 48 48 : 4 12 γ. 48% = = = 100 100 : 4 25
α. 15% =
7 100 50 1 δ. 50% = = 100 2 β. 7% =
201
4.
Υπολόγισε: α. το 10% των 3000€, β. το 45% της 1 ώρας γ. το 20% του λίτρου, δ. το 50% των 500 γραµ., ε. το 25% του ενός κιλού.
" Λύση 10 3000 ⋅ 10 = = 30 ⋅ 10 = 300 100 100 Η 1 ώρα έχει 60 min οπότε 3 9 45 60 ⋅ 45 3 ⋅ 45 60 ⋅ 45% = 60 = = = 27min 100 100 5 1 5 3 Είναι 1 λίτρο = 1000cm άρα 20 1000 ⋅ 20 1000 ⋅ 20% = 1000 = 10 ⋅ 20 = 200cm3 100 100 5 50 500 ⋅ 50 500 ⋅ 50% = 500 = = 5 ⋅ 50 = 250 γραµ. 100 100 1 Είναι 1 κιλό = 1000 gr. Οπότε 10 25 1000 ⋅ 25 1000 ⋅ 25% = 1000 = = 10 ⋅ 25 = 250 gr 100 100 1
α. 3000 ⋅ 10% = 3000 β.
γ.
δ. ε.
5.
Βρες τι ποσοστό είναι: α. τα 50€ για τα 1000€, β. οι 30 ηµέρες για 1 έτος, γ. τα 50 στρέµµατα για τα 2500 στρέµµατα, δ. οι 3 παλάµες για τα 10 µέτρα.
" Λύση α.
50 5 = = 5% 1000 100
30 = 0,0822 ή 8,22% 365 50 50 : 50 1 1⋅ 2 2 = = = = = 2% γ. 2500 2500 : 50 50 50 ⋅ 2 100 δ. Μία παλάµη είναι 1dm. Το 1 µέτρο έχει 10dm οπότε τα 10 µέτρα θα έχουν 10 ⋅ 10 = 100 dm . Άρα οι 3 παλάµες είναι 3dm, 3 = 3% . οπότε στα 100dm είναι 100
β. Το ένα έτος έχει 365 ηµέρες άρα
202
6.
Ένα µπουκάλι µε οινόπνευµα παρέµεινε ανοικτό και εξατµίστηκε το 22% του όγκου του. Το µπουκάλι περιείχε αρχικά 0,610 lt. Πόσα λίτρα οινοπνεύµατος εξατµίστηκαν;
" Λύση Είναι 0,610 ⋅ 22% = 0,610 ⋅ 7.
22 13,42 = = 0,1342lt 100 100
Σε ένα σηµείο της γήινης σφαίρας, ο φλοιός έχει πάχος 50Km, ο µανδύας 2900Km και ο πυρήνας 3450 Km. α. Να βρεις το µήκος της ακτίνας της Γης σε Km. β. Να βρεις το ποσοστό της ακτίνας της Γης που κατέχει ο φλοιός, ο µανδύας και ο πυρήνας αντίστοιχα.
" Λύση α. Η ακτίνα της Γης θα έχει µήκος 50 + 2900 + 3450 = 6400 Km β. Το ποσοστό της ακτίνας που κατέχει ο φλοιός είναι 50 ή 0,78125%. = 0,0078125 6400 Το ποσοστό της ακτίνας που κατέχει ο µανδύας είναι: 2900 ή 45,3125%. = 0,453125 6400 Και το ποσοστό της ακτίνας που κατέχει ο πυρήνας είναι 3450 ή 53,90625%. = 0,5390625 6400 8.
Μία οικογένεια έχει µηνιαία έσοδα 1200€. Το 10% των εσόδων αποταµιεύονται και τα υπόλοιπα ξοδεύονται όπως δείχνει το διπλανό κυκλικό διάγραµµα. α. Να υπολογίσεις πόσα χρήµατα ξοδεύει η οικογένεια σε κάθε κατηγορία δαπανών. β. Τι ποσοστό των µηνιαίων εσόδων της αποτελεί κάθε µία κατηγορία δαπανών;
ία 3%αυτοκ.
.
βιβλ
σκ
α δι
10% 7%
30% ενοίκιο
18% 32% σπουδές διατροφή
" Λύση α. Η οικογένεια αποταµιεύει κάθε µήνα
Εποµένως δαπανά
1200
10 = 120 € 100
1200 − 120 = 1080 €
203
30 = 108 ⋅ 3 = 324 € 100 10 Για διασκέδαση δαπανά 1080 = 108 € 100 7 1080 = 75,6 € Για βιβλία δαπανά 100 3 Για το αυτοκίνητο δαπανά 1080 = 32,4 € 100 18 Για σπουδές δαπανά 1080 = 194,4 € 100 32 1080 = 345,6 € Για διατροφή ξοδεύει 100 β. Κάθε κατηγορία δαπανών στα 1200€ που είναι τα µηνιαία έσοδα έχει ποσοστό: 324 = 0,27 ή 27% Ενοίκιο: 1200 108 = 0,09 ή 9% ∆ιασκέδαση: 1200 75,6 Βιβλία: = 0,063 ή 6,3% 1200 32,4 Αυτοκίνητο: = 0,027 ή 2,7% 1200 194,4 = 0,162 ή 16,2% Σπουδές: 1200 345,6 ∆ιατροφή: = 0,288 ή 28,8% 1200
Για ενοίκιο ξοδεύει
204
1080
9.
Να γραφούν ως ανάγωγα κλάσµατα και ως δεκαδικοί αριθµοί τα παρακάτω ποσοστά: i. 3% ii. 15% iii. 28% iv. 50%
" Λύση 3 ή 0,03 100 28 7 iii. 28% = = = 0,28 100 25
i.
3% =
15 3 = 100 20 50 1 iv. 50% = = 100 2 ii. 15% =
ή 15% = 0,15 ή 50% = 0,5
10. Να µετατραπούν σε δεκαδικούς αριθµούς τα ποσοστά: i. 38% ii. 15% iii. 20% iv. 130% v. 250%
" Λύση 38 = 0,38 100 130 iv. 130% = = 1,3 100
i.
38% =
15 = 0,15 100 250 v. 250% = = 2,5 100 ii. 15% =
iii. 20% =
20 = 0,2 100
11. Να βρεθούν τα παρακάτω ποσά: i. Το 10% ενός κιλού. ii. Το 35% των 10000€. iii. Το 30% των 30000€. iv. Το 75% των 120000€. v. Το 80% των κατοίκων µίας πόλης µε πληθυσµό 125000 κατοίκους.
" Λύση
i. Το ένα κιλό = 1000gr άρα 10 1000 ⋅ 10% = 1000 = 10 ⋅ 10 = 100gr 100 35 ii. 10000 ⋅ 35% = 10000 = 35 ⋅ 100 = 3500 € 100 30 iii. 30000 ⋅ 30% = 30000 = 300 ⋅ 30 = 9000 € 100 75 iv. 120000 ⋅ 75% = 120000 = 1200 ⋅ 75 = 90000 € 100 80 v. 125000 ⋅ 80% = 125000 = 125 ⋅ 80 = 100000 κατοίκους. 100
205
12. Να υπολογιστεί το 5% των ποσών 1000, 2000, 5000 και να βρεθεί το αποτέλεσµα των πράξεων: i. 5000 − 5% ⋅ 5000 ii. 5000 + 5% ⋅ 5000
" Λύση Είναι 1000 ⋅ 5% = 1000
5 = 10 ⋅ 5 = 50 100
5 = 20 ⋅ 5 = 100 100 5 5000 ⋅ 5% = 5000 = 50 ⋅ 5 = 250 (1) 100 i. Σύµφωνα µε την (1) θα είναι: 5000 − 5% ⋅ 5000 = 5000 − 250 = 4750 ii. 5000 + 5% ⋅ 5000 = 5000 + 250 = 5250 2000 ⋅ 5% = 2000
13. Η τιµή ενός σαλονιού είναι 5000€. Σε περίοδο προσφορών έγινε έκπτωση 5% επί της τιµής πώλησης. Αν στη συνέχεια γίνει αύξηση της τιµής κατά 5% επί της νέας τιµής πώλησης, η τελική τιµή του σαλονιού θα είναι 5000€;
" Λύση Η νέα τιµή του σαλονιού µε έκπτωση θα είναι 5 ⋅ 5000 = 100 = 5000 − 5 ⋅ 50 = 5000 − 250 = 4750 €. Αν στη νέα τιµή 4750€ γίνει αύξηση της τιµής κατά 5% τότε η τελική τιµή του σαλονιού θα είναι 5 ⋅ 4750 = 4750 + 5% ⋅ 4750 = 4750 + 100 = 4750 + 237,5 = 4987,5 € 5000 − 5% ⋅ 5000 = 5000 −
∆ιαπιστώνουµε ότι δεν είναι ίδια η τιµή γιατί ο υπολογισµός του 5% έγινε σε διαφορετικές τιµές. Αρχικά έγινε στην τιµή των 5000€ και στη συνέχεια έγινε στην τιµή των 4750€.
206
14. Να γραφούν µε µορφή ποσοστών τα παρακάτω κλάσµατα: 1 1 2 ii. iii. i. 4 20 5 7 13 v. iv. 25 20 (Απ.: i. 25%, ii. 5%, iii. 40%, iv. 28%, v. 130%) 15. Να µετατραπούν µε µορφή ποσοστών τα παρακάτω κλάσµατα: 14 9 ii. i. 50 4 21 80 iv. iii. 75 250 (Απ.:i. 28%, ii. 225%, iii. 28%, iv. 32%,) 16. Να µετατραπούν σε ποσοστά επί τοις εκατό, οι παρακάτω δεκαδικοί αριθµοί: i. 0,43 ii. 2,15 iii. 0,09 iv. 0,0625 (Απ.: i. 43%, ii. 215%, iii. 9%, iv. 6,25%,) 17. Να γραφτούν σαν κλάσµατα τα ποσοστά, και όπου είναι δυνατόν να απλοποιηθούν για να προκύψουν ανάγωγα κλάσµατα: i. 4% ii 48% iii. 60% iv. 150% v. 200% 1 12 3 3 (Απ.: i. ii. iii. , iv. v. 2) 25 25 5 2 18. Να υπολογίσετε: i. το 20% του 50 ii. το 15% του 3200 iii. το 6,5% του 150 iv. το 1% του 6500 v. το 18% του 1 (Απ.: i.10, ii. 480, iii. 9,75, iv. 65, v. 0,18)
207
19. Να υπολογίσετε: i. το 15% του 1 κιλού ii. το 13% του 1 χιλιοµέτρου iii. το 2,5% του 1 τόνου iv. το 15,5% του 1000 χιλιοµέτρων (Απ.: i.150 γραµ., ii. 130m, iii. 25 κιλά, iv. 152,5 χλµ.) 20. Να βρείτε τι ποσοστό είναι: i. τα 250gr στο 1 κιλό ii. η µία εβδοµάδα στον 1 µήνα iii. οι 28 αριστούχοι µαθητές στους 140 iv. τα 10 στρέµµατα για τα 1000 στρέµµατα (Απ.: i. 25%, ii. 23,33%, iii. 20%, iv. 1%.) 21. Ένα λουρί µηχανής, όταν ήταν καινούργιο, είχε µήκος 180cm. Μάκρυνε ύστερα από χρήση κατά 5%. Πόσα εκατοστά µάκρυνε; (Απ.: 9cm) 22. Οι πατάτες περιέχουν 75% νερό, 21% άµυλο και το υπόλοιπο αποτελείται από άλλες ουσίες. Να βρείτε πόσα γραµµάρια α. νερό, β. άµυλο, γ. άλλες ουσίες περιέχουν 3Kg πατάτες. (Απ.: α. 2250gr, β. 630gr, γ. 120gr) 23. Για ένα κράµα από χαλκό και νικέλιο χρησιµοποιήθηκαν 27Kg χαλκός και 9 Kg νικέλιο. Να υπολογίσετε το ποσοστό του χαλκού και το ποσοστό του νικελίου µέσα στο κράµα αυτό. (Απ.: 75% χαλκός, 25% νικέλιο)
208
1.
Επιχειρηµατίας αγόρασε 400 µετοχές µιας εταιρείας, προς 50€ την κάθε µετοχή. Σε ένα µήνα η µετοχή έπεσε κατά 8% και το επόµενο δίµηνο ανέβηκε κατά 5% το µήνα. α. Ποια ήταν η τιµή της µετοχής στο τέλος του τρίτου µήνα; β. Η επένδυση του επιχειρηµατία ήταν κερδοφόρα ή όχι; γ. Ποιο ήταν το ποσοστό κέρδους ή ζηµίας του, επί του αρχικού κεφαλαίου;
" Λύση α. Στο πρώτο µήνα η µετοχή έπεσε κατά 8% δηλαδή 50 50 ⋅ 8% = = 4 € οπότε άξιζε 46€. 100 Στο δεύτερο µήνα η µετοχή του είχε τιµή 46€ και ανέβηκε κατά 5%, 5 = 2,3 € δηλαδή 46 ⋅ 5% = 46 100 οπότε η τιµή της ήταν 46 + 2,3 = 48,3 €.
Στον τρίτο µήνα από 48,3€ ανέβηκε κατά 5%, 5 = 2,415 και δηλαδή 48,3 ⋅ 5% = 48,3 100 έφτασε στα 48,3 + 2,415 = 50,715 €. β. Στη διάρκεια των τριών µηνών ο επιχειρηµατίας είχε κέρδος 0,715€ ανά µετοχή δηλαδή συνολικά 400 ⋅ 0,715 = 286 €. 0,715 = 0,0143 ή 1,43%. γ. Το ποσοστό κέρδους ήταν 50 2.
Κεφάλαιο 80.000€ κατατέθηκε, σε λογαριασµό ταµιευτηρίου, µε επιτόκιο 4,5% το χρόνο. α. Ποιος θα είναι ο τόκος στο τέλος του πρώτου έτους; β. Ποιος θα είναι ο τόκος στο τέλος του δεύτερου έτους, αν ο τόκος του πρώτου έτους κεφαλαιοποιηθεί;
209
" Λύση α. Ο τόκος στο τέλος του πρώτου έτους θα είναι 4,5 80000 ⋅ 4,5% = 80000 = 3600 οπότε θα είναι 3600€. 100 β. Αν ο τόκος του πρώτου έτους κεφαλαιοποιηθεί τότε τόκος και κεφάλαιο θα είναι 80000 + 3600 = 83600 € Οπότε στο τέλος του δεύτερου έτους ο τόκος θα είναι 4,5 83600 ⋅ 4,5 = 83600 = 3762 €. 100 Άρα ο τόκος στο τέλος του δεύτερου έτους θα είναι 3762€. 3.
Ένα καινούργιο αυτοκίνητο κόστιζε 20.000€. Το αγόρασε κάποιος και µετά από 1 χρόνο ήθελε να το πουλήσει κατά 30% λιγότερο, από όσο το αγόρασε. Ο υποψήφιος αγοραστής έµαθε ότι το ίδιο ακριβώς µοντέλο, καινούργιο, κόστιζε 25.000€. α. Σε ποια τιµή θα αγόραζε το µεταχειρισµένο αυτοκίνητο; β. Τι ποσοστό της τιµής του καινούργιου είναι η τιµή του µεταχειρισµένου; γ. Αν ένα µαγαζί που πουλάει µεταχειρισµένα αυτοκίνητα δίνει το ίδιο µοντέλο σε τιµή 40% φτηνότερα από την τρέχουσα τιµή του καινούργιου, από ποιόν συµφέρει να αγοράσει το αυτοκίνητο ο υποψήφιος αγοραστής;
" Λύση α. Θα υπολογίσουµε το 30% των 20.000€.
30 = 6000 100 Οπότε θα αγόραζε το µεταχειρισµένο αυτοκίνητο 20000 − 6000 = 14000 € β. Το µεταχειρισµένο αυτοκίνητο των 14000€ στην τιµή των 25000€ που έχει καινούργιο αποτελεί ποσοστό 14000 = 0,56 ή 56% 25000 γ. Το µαγαζί πουλάει µεταχειρισµένα σε τιµή 40% φτηνότερα από την τρέχουσα τιµή των 25000€. 40 ∆ηλαδή 25000 ⋅ 40% = 25000 = 10000 100 Άρα πουλάει 25000 − 10000 = 15000 € το αντίστοιχο αυτοκίνητο. Οπότε συµφέρει να αγοράσει κάποιος το αυτοκίνητο από τον ιδιώτη. Είναι 20000 ⋅ 30% = 20000
210
4.
Σε ένα προϊόν, έγινε η προσφορά που φαίνεται στην πινακίδα. Στη συσκευασία του προϊόντος υπήρχε σηµειωµένη η συγκεκριµένη, για είδος προσφορά, δηλαδή στα 300 κ. εκ., πρόσθετα άλλα 100 κ. εκ. α. Σύµφωνα µε όσα διαβάζεις, θεωρείς ότι αληθεύουν όσα γράφουν στην προσφορά; β. Σε ποια περίπτωση η εταιρεία θα προσφέρει, πράγµατι 50% του προϊόντος ∆ΩΡΕΑΝ;
50% ΔΩΡΕΑΝ 300+100κ.ε ΔΩΡΕΑΝ
" Λύση α. Η εταιρεία προσφέρει 100κ εκ. στα 300 κ. εκ. 100 = 0,33 = 33% δηλαδή ποσοστό 300 άρα η ένδειξη 50% δωρεάν δεν αληθεύει. β. Αν πρόσφερε 50% ∆ΩΡΕΑΝ στα 300 κ. εκ. του προϊόντος τότε θα έπρεπε να προσφέρει 50 300 ⋅ 50% = 300 = 150 κ. εκ. 100 5.
Τι κεφάλαιο πρέπει να καταθέσουµε στην τράπεζα, για να πάρουµε στο τέλος ενός έτους 1000€, αν το επιτόκιο είναι 2%.
" Λύση Έστω, ότι το κεφάλαιο είναι Κ€, τότε µετά από ένα έτος µε επιτόκιο 2% ο τόκος θα είναι 2 K = 0,02K 100 και µαζί τόκος και κεφάλαιο είναι K + 0,02K = (1 + 0,02 ) K = 1,02K Οπότε πρέπει 1,02K = 1000 άρα
K = 1000 :1,02 = 980,39 Συνεπώς πρέπει να καταθέσουµε στην τράπεζα 980,39€.
211
6.
Τα βασικά τέλη διµήνου για λογαριασµού του ΟΤΕ είναι 22€ και η χρέωση για κάθε µονάδα 0,07€. Να βρεις πόσο θα πληρώσει ένας συνδροµητής, αν έχει κάνει 1500 µονάδες συνδιαλέξεων και επί του συνόλου υπολογίζεται ΦΠΑ 19%.
" Λύση Για τις 1500 µονάδες συνδιαλέξεων θα πρέπει να πληρώσει 1500 ⋅ 0,07 = 105 €. Αν προσθέσουµε και τα τέλη του διµήνου τότε 105 + 22 = 127 € Σε αυτό το ποσό υπολογίζεται ΦΠΑ 19%, δηλαδή 127 ⋅ 19% = 127
19 = 24,13 100
Άρα ο συνολικός λογαριασµός θα είναι 127 + 24,13 = 151,13 €. 7.
Ένας έµπορος αγόρασε διάφορα εµπορεύµατα συνολικής αξίας 30.000€. Πλήρωσε τοις µετρητοίς το 40% και τα υπόλοιπα µε συναλλαγµατικές, σε 4 µηνιαίες δόσεις µε τόκο 1% το µήνα. Να υπολογίσεις: α. Το συνολικό ποσό της επιβάρυνσης από τόκους που θα πληρώσει. β. Το ποσοστό της επιβάρυνσης αυτής, επί της αρχικής αξίας των εµπορευµάτων.
" Λύση α.
β.
212
40 ⋅ 30000 = 12000 100 Οπότε θα του µείνει υπόλοιπο 30000 − 12000 = 18000 €. Αν πληρώσει αυτό το ποσό σε 4 µηνιαίες δόσεις τότε θα πρέπει να πληρώνει κάθε µήνα 18000 : 4 = 4500 €. 1 Το 1ο µήνα θα πληρώσει τόκο 18000 ⋅ 1% = 18000 = 180 €. 100 Το 2ο µήνα το υπόλοιπο που χρωστάει είναι 18000 − 4500 = 13500 € 1 = 135 € και θα πληρώσει τόκο 13500 ⋅ 1% = 13500 100 Τον 3ο µήνα θα έχει µείνει υπόλοιπο 13500 − 4500 = 9000 1 = 90 € και θα πληρώσει τόκο 9000 ⋅ 1% = 9000 100 Και τον τελευταίο µήνα θα του έχουν µείνει υπόλοιπο 4500€ 1 = 45 € και θα πληρώσει τόκο 4500 ⋅ 1% = 4500 100 Άρα ο συνολικός τόκος που θα πληρώσει είναι: 180 + 135 + 90 + 45 = 450 €. Το ποσοστό επιβάρυνσης στην αρχική αξία των εµπορευµάτων είναι 450 = 0,015 ή 1,5%. 30000 Θα πληρώσει µετρητοίς 40% ⋅ 30000 =
8.
Ένας τεχνικός είχε έσοδα σε ένα τρίµηνο 8.330€. Πόσο ΦΠΑ (19%) πρέπει να αποδώσει στην εφορία;
" Λύση Μέσα στα χρήµατα των 8.330€ που έχει εισπράξει ο τεχνικός το τελευταίο τρίµηνο έχει εισπράξει από τους πελάτες του και ΦΠΑ 19%. Αν το κόστος της εργασίας του ήταν x€ τότε αυτός εισέπραττε 19 x+ x = x + 0,19x = (1 + 0,19 ) x = 1,19x . 100 Οπότε πρέπει 1,19x = 8330 ή x = 8330 :1,19 = 7000 . Εποµένως η καθαρή αµοιβή του ήταν 7000€ και πρέπει να αποδώσει στην εφορία 8330 − 7000 = 1330 €. 9.
Ένα ψυγείο κοστίζει τοις µετρητοίς 1200€ χωρίς το ΦΠΑ 19%. Κάποιος αγόρασε µε 50% προκαταβολή και το υπόλοιπο, σε 6 µηνιαίες δόσεις µε τόκο 3% το µήνα. α. Να υπολογίσεις πόσα χρήµατα έδωσε, ως προκαταβολή, αν µαζί µε αυτή κατέβαλε και ολόκληρο το ποσό του ΦΠΑ. β. Ποιο ήταν το ποσό της κάθε δόσης; γ. Πόσο του στοίχισε συνολικά το ψυγείο;
" Λύση α. Το ΦΠΑ 19% στην αξία των 1200 € του ψυγείου είναι 19 1200 ⋅ 19% = 1200 = 228 € 100
Αφού πλήρωσε τα µισά ως προκαταβολή δηλαδή 1200 : 2 = 600 € τότε µαζί µε το ΦΠΑ έδωσε 600 + 228 = 828 €. β. Το υπόλοιπο ποσό των 600€ πρέπει να το µοιράσεί σε 6 δόσεις των 100€ η καθεµία. Υπολογίζοντας και τον τόκο 3% το µήνα τότε οι δόσεις διαµορφώνονται ως εξής: 3 = 18 άρα είναι 100 + 18 = 118 € – 1η δόση: 600 ⋅ 100 3 = 15 άρα είναι 100 + 15 = 115 € – 2η δόση: 500 ⋅ 100
213
3 = 12 οπότε είναι 100 + 12 = 112 € 100 3 = 9 άρα είναι 100 + 9 = 109 € – 4η δόση: 300 ⋅ 100 3 = 6 οπότε είναι 100 + 6 = 106 € – 5η δόση: 200 ⋅ 100 3 = 3 οπότε είναι 100 + 3 = 103 € – 6η δόση: 100 ⋅ 100
– 3η δόση: 400 ⋅
γ. Οι τόκοι που πλήρωσε συνολικά είναι: 18 + 15 + 12 + 9 + 6 + 3 = 63 €.
Οπότε συνολικά το ψυγείο του στοίχισε 828 + 600 + 63 = 1491 €. 10. Για τη διπλανή διαφήµιση: α. Πόσο ήταν το ΦΠΑ που πρέπει να πληρώσουµε; β. Πόσο θα στοιχίσει το ραδιοκασετόφωνο αν το αγοράσουµε µε δόσεις; γ. Αν το τραπεζικό επιτόκιο είναι 10%, ΧΩΡΙΣ ποια επιλογή αγοράς µας συµφέρει Φ.Π.Α. µε την προϋπόθεση, ότι έχουµε όλο το απαιτούµενο ποσό σε λογαριασµό ταµιευτηρίου;
ΜΕΤΡΗΤΟΙΣ
350€ ή 16 ΔΟΣΕΙΣ ΤΩΝ 30€
" Λύση α. Το ΦΠΑ 19% που πρέπει να πληρώσουµε στην αξία 350€ του ραδιο19 = 66,5 €. κασετόφωνου είναι 350 ⋅ 19% = 350 100 β. Αν αγοράσουµε το ραδιοκασετόφωνο µε δόσεις θα πληρώσουµε 16 ⋅ 30 + 66,5 = 480 + 66,5 = 546,5 €. γ. Αν πληρώσουµε µετρητοίς θα δώσουµε 350 + 66,5 = 416,5 €
Αν πληρώσουµε µε δόσεις θα επιβαρυνθούµε 546,5 − 416,5 = 130 € επιπλέον. Η επιβάρυνση των 130€ στα 416,5€ αποτελεί ποσοστό
130 = 0,312 416,5
ή 31,2% που είναι αρκετά πιο µεγάλο από το 10% της τράπεζας. Εποµένως συµφέρει να αγοράσουµε το ραδιοκασετόφωνο τοις µετρητοίς.
214
11. Η πλευρά ενός τετραγώνου αυξήθηκε κατά 30%. Κατά ποιο ποσοστό αυξήθηκε η περίµετρος και το εµβαδόν του;
" Λύση Αν η πλευρά του τετραγώνου είναι α τότε µε αύξηση κατά 30% γίνεται 30 α+ α = α + 0,3α = (1 + 0,3 ) α = 1,3α 100 Οπότε η περίµετρος του τετραγώνου είναι 4 ⋅ 1,3α = 5,2α Αυξάνεται κατά 5,2α − 4α = ( 5,2 − 4 ) α = 1,2α 1,2α = 0,3 ή 30%. 4α Το εµβαδόν του τετραγώνου είναι 1 ⋅ 3α ⋅ 1,3α = 1,69α2 και το αντίστοιχο ποσοστό είναι
και αυξάνεται κατά 0,69α2 ή κατά 69% του αρχικού που είναι α2. 12. Το 2001 ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής κόστιζε 1200€. Το 2002, µε την κυκλοφορία ενός νέου µοντέλου, η τιµή του µειώθηκε κατά 25%. Το 2003 η τιµή του µειώθηκε πάλι, κατά 20%. Πόση ήταν η τιµή του το έτος 2003; Η συνολική µείωση της τιµής είναι το άθροισµα των διαδοχικών εκπτώσεων δηλαδή 45% της αρχικής του τιµής;
" Λύση Το 2002 η µείωση της τιµής του υπολογιστή είναι 25 1200 ⋅ 25% = 1200 = 300 € 100 οπότε ο υπολογιστής κόστιζε 1200 − 300 = 900 €. Το 2003 η µείωση της τιµής του είναι 20% στα 900€ δηλαδή 20 900 ⋅ 20% = 900 = 180 € 100 άρα ο υπολογιστής κόστιζε 900 − 180 = 720 €. Συνολικά από το 2001 µειώθηκε κατά 1200 − 720 = 480 € 480 Το ποσοστό της µείωσης της τιµής του από το 2001 είναι = 0,4 ή 40% 1200 Άρα η συνολική µείωση δεν αποτελεί το άθροισµα (45%) των δύο διαδοχικών µειώσεων.
215
13. Η τιµή πώλησης ενός προϊόντος αυξήθηκε κατά 15% και µετά από µία εβδοµάδα µειώθηκε κατά 15%. Πότε συνέφερε να το αγοράσουµε;
" Λύση Έστω ότι το προϊόν αρχικά κόστιζε 100€. Αφού αυξήθηκε κατά 15% τότε η αύξηση είναι 100 ⋅ 15% = 100
15 = 15 100
και κοστίζει 100 + 15 = 115 € Την επόµενη εβδοµάδα µειώθηκε κατά 15% στην τιµή των 115€. 15 ∆ηλαδή η µείωση είναι 115 ⋅ 15% = = 17,25 € 100 οπότε η τιµή του είναι 115 − 17,25 = 97,75 €. Συνεπώς συνέφερε να το αγοράσουµε µετά τη µείωση κατά 15%.
216
14. Το εισιτήριο απλής διαδροµής της αστικής συγκοινωνίας της Αθήνας είχε 0,45€ και αυξήθηκε στα 0,70€. Να υπολογίσετε το ποσοστό αύξησης. (Απ.: 55,5%) 15. Ένας υπάλληλος της επιχείρησης είχε αποδοχές 2150€ το µήνα. Έγινε αύξηση στις αποδοχές του και παίρνει 2400€ το µήνα. Πόσο τοις εκατό ήταν η αύξηση των αποδοχών; (Απ.: 12%) 16. Ένα ύφασµα 26m κοστίζει 83,2€. Πόσο πρέπει να πουληθεί το µέτρο για να έχουµε κέρδος 25% επί της τιµής αγοράς; (Απ.: 4€ το µέτρο) 17. Αγόρασε κάποιος ένα σκάφος µε έκπτωση 20% και πλήρωσε 52000€. Να βρείτε την αρχική τιµή του σκάφους. (Απ.: 65000€) 18. Σε έναν αγώνα µπάσκετ ο παίκτης Α ευστόχησε σε 9 από τις 11 ελεύθερες βολές, ενώ ο παίκτης Β ευστόχησε σε 16 από τις 19 ελεύθερες βολές. Ποιος παίκτης ήταν ο πιο εύστοχος; (Απ.: ο Β) 19. Ένας χονδρέµπορος αγόρασε 600 κιλά ζάχαρη προς 0,85€ το κιλό, 1500 κιλά φασόλια προς 1,8€ το κιλό και 20 κιλά καφέ προς 6,8€ το κιλό. Για όλα αυτά πλήρωσε µόνο 2509,5€. Πόσο τοις εκατό έκπτωση έγινε; (Απ.: 25%) 20. Μία φορητή τηλεόραση κοστίζει 120€. Την εποχή των εκπτώσεων το κατάστηµα την πουλάει 15% φθηνότερα. Πόσο θα µας κοστίσει τελικά, αν την αγοράσουµε στις εκπτώσεις πληρώνοντας επιπλέον ΦΠΑ 19% στην τιµή αγοράς; (Απ.: 121,38€)
217
21. Στις εκπτώσεις αγοράσαµε ένα κοστούµι από κατάστηµα που το έδινε 15% φθηνότερα και πληρώσαµε 170€. Πόσο θα πληρώναµε αν το αγοράζαµε πριν τις εκπτώσεις; (Απ.: 200€) 22. Ένας οικογενειάρχης αγόρασε ένα ηλεκτρικό πλυντήριο µε έκπτωση 12% και πλήρωσε µαζί µε ΦΠΑ 19% επί τοις τιµής αγοράς 366,52€. Να βρείτε πόσο πουλιόταν το πλυντήριο πριν την έκπτωση. (Απ.: 350€) 23. Ένας έµπορος αγόρασε εµπορεύµατα αξίας 120000€. Από αυτά πλήρωσε το 30% µετρητοίς και το υπόλοιπο σε 6 µηνιαίες δόσεις µε συναλλαγµατικές. Ο µηνιαίος τόκος καθορίστηκε 1%. Να υπολογίσετε: α. Τι ποσό θα αναγράφει κάθε συναλλαγµατική µαζί µε τον τόκο; β. Πόσο στοίχισαν τελικά τα εµπορεύµατα; (Απ.: β. 122940€) 24. Κατέθεσε κάποιος την 1η Ιανουαρίου στο ταµιευτήριο 15000€, µε επιτόκιο 3,5%. Τι ποσό θα πάρει στο τέλος του χρόνου αν κάνει ανάληψη όλων των χρηµάτων του; (Απ.: 15.525€) 25. Καταθέτει κάποιος 7000€ στην τράπεζα µε επιτόκιο 2,5%. Στο τέλος της πρώτης χρονιάς δίνει εντολή να προστεθούν οι τόκοι στο κεφάλαιο του. Να υπολογίσετε το ποσό που θα εισπράξει αν κάνει ανάληψη όλων των χρηµάτων στο τέλος της δεύτερης χρονιάς. (Απ.: 7354,37€)
218
Α. Ασκήσεις Σωστού ή Λάθους Τοποθετήστε ένα «x» στην αντίστοιχη θέση Σωστό Λάθος
x 01. Το 30% του x ισούται µε 90% του . 3 02. Σε ένα βιβλίο έγινε αύξηση της τιµής κατά 15% και δεύτερη αύξηση κατά 10% επί της τιµής. Η συνολική αύξηση ήταν 15,5%.
X
X
X
X
03. Όταν σε ένα προϊόν αξίας 700€ η έκπτωση είναι
200€ , το ποσοστό έκπτωσης είναι περίπου 28,5%. 04. Το 20% του 50 είναι 10.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
05. 1€ έκπτωση σ’ ένα στυλό που κοστίζει 4€
αντιστοιχεί σε ποσοστό έκπτωσης 25%. 06. Ένα είδος µετά από έκπτωση 200€,
κοστίζει 100€. Στο είδος έγινε έκπτωση 25%. 07. Ο πληθυσµός µιας κωµόπολης ήταν 3000 κάτοικοι και αυξήθηκε σε 6000 κατοίκους.
Λέµε ότι ο πληθυσµός αυξήθηκε κατά 100%. 08. Το κόκκινο µέρος του κύκλου είναι 15%.
1 3 1 2 09. Μία τάξη έχει 28 µαθητές και µία µέρα απουσίαζαν
οι 4, δηλαδή απουσίαζε το 15% της τάξης. 10. Το 30% της ώρας είναι 25 λεπτά. 11. Μία αύξηση πληθυσµού από 5000 στις
10000 είναι µία αύξηση 100%. 12. Μία αύξηση 100€ σε ένα είδος που κόστιζε
400€ είναι µία αύξηση 15%.
219
Β. Ασκήσεις αντιστοίχισης Σε κάθε µία από τις νέες τιµές των προϊόντων που αναφέρονται στη διαφήµιση, να αντιστοιχίσεις το ποσοστό της έκπτωσης. Στήλη (Α) ΠΡΟΣΦΟΡΕΣ
Στήλη (Β) ΠΡΟΣΦΟΡΕΣ
α. Παντελόνι 120 €
84€
•
•
1. 10%
β. Φούστες
48€
•
•
2. 15%
γ. Φορέµατα 180 € 153€
•
•
3.
20%
δ. Μπλούζες
40 €
32€
•
•
4.
30%
ε. Φόρµες
50 €
45€
•
•
5.
40%
80 €
" Απάντηση α→ 4,
220
β→ 5,
γ→ 2,
δ→ 3,
ε →1
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Η θερµοκρασία ενός ασθενούς κατά την τρίτη ηµέρα νοσηλείας του, φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: 07:30
09:00
10:00
11:00
12:30
13:30
37,2
37,7
37,9
38,6
39,2
38,2
14:30
16:00
18:00
20:00
21:30
23:00
37,2
37
36,6
37,8
38,2
37,1
Μπορείς να παραστήσεις αυτόν το πίνακα µε έναν άλλο τρόπο; Πως θα µπορούσαµε να έχουµε εκτίµηση της θερµοκρασίας του ασθενούς τις ώρες που δεν µετριέται αυτή;
" Απάντηση Θα µπορούσαµε να παραστήσουµε τις τιµές του πίνακα σε ένα σύστηµα αξόνων, βάζοντας τις ώρες στον οριζόντιο άξονα και τις τιµές της θερµοκρασίας στον κατακόρυφο άξονα. Αν ενώσουµε τα αντίστοιχα σηµεία τότε σχηµατίζεται η καµπύλη της θερµοκρασίας του ασθενούς. Αν θελήσουµε να εκτιµήσουµε τη θερµοκρασία µια χρονική στιγµή που δεν έχουµε ένδειξη µε το θερµόµετρο, π.χ. στις 19:00 τότε, φέρνουµε κάθετη στον οριζόντιο άξονα στο σηµείο 19:00 µέχρι να συναντήσουµε την καµπύλη. Στη συνέχεια από το σηµείο της καµπύλης φέρνουµε κάθετη στον κατακόρυφο άξονα και διαπιστώνουµε ότι τέµνει αυτόν στο σηµείο 37,3. Οπότε εκτιµούµε ότι η θερµοκρασία στις 19:00 είναι 37,3 βαθµούς περίπου.
221
1.
Να σχεδιάσεις ένα ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων µε µονάδα το 1cm και να τοποθετήσεις τα σηµεία Α (2,3), Β (3,2), Γ (4,5), ∆ (5,5), Ε (1,4), Ζ (7,3), Η (7,2), Θ (6,2), Ι (6,0), Κ (0,5). Τι παρατηρείς για τα σηµεία Ι και Κ; Που βρίσκονται αυτά; Μπορείς να γενικεύσεις τις παρατηρήσεις σου για τα σηµεία που έχουν τετµηµένη ή τεταγµένη το µηδέν;
" Λύση Τα σηµεία Ι και Κ βρίσκονται αντίστοιχα στους δύο ηµιάξονες. Αν ένα σηµείο Μ έχει συντεταγµένες της µορφής (x,0), δηλαδή έχει τεταγµένη µηδέν τότε βρίσκεται στον ηµιάξονα 0x, στο αντίστοιχο σηµείο µε τετµηµένη x. Ενώ, αν έχει συντεταγµένες της µορφής (0,y), δηλαδή έχει τετµηµένη Ο τότε θα βρίσκεται στον ηµιάξονα Oy στο αντίστοιχο σηµείο µε τεταγµένη y. 2.
x
Σε ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων να τοποθετήσεις τα σηµεία Α (2,1), Β (1,2) , Γ (2,3) και ∆ (3,2). Τι σχήµα είναι το ΑΒΓ∆; Αν τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΓ και Β∆ τέµνονται στο σηµείο Κ, ποιες είναι οι συντεταγµένες του Κ;
" Λύση Το ΑΒΓ∆ είναι τετράγωνο. Το σηµείο Κ έχει συντεταγµένες (2,2).
222
y
3.
Γράψε πέντε διατεταγµένα ζεύγη σηµείων, των οποίων η τετµηµένη τους είναι ίση µε την τεταγµένη τους. Μπορείς να τα τοποθετήσεις σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων; Τι παρατηρείς;
" Λύση Τα σηµεία είναι: Α (1,1), Β (2,2), Γ (3,3), ∆ (5,5), Ε (6,6). Παρατηρούµε ότι όλα τα σηµεία βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία που είναι η διχοτόµος της γωνίας των ηµιαξόνων Ox και Oy.
4.
Στο διπλανό πίνακα βλέπουµε τµήµα ενός πίνακα απουσιών ανά τρίµηνο, για τους µαθητές της Α’ Γυµνασίου ενός σχολείου. Κάθε θέση του πίνακα ορίζεται από το ζεύγος (γράµµα στήλης, αριθµός γραµµής). α. Σε ποια θέση βρίσκεται το όνοµα του µαθητή Γεωργίου; β. Τι αντιπροσωπεύει ο αριθµός που βρίσκεται στη θέση C8; γ. Ποιος αριθµός πρέπει να γραφεί στη θέση D12 και ποιος στη θέση Ε13;
" Λύση α. Το όνοµα του µαθητή Γεωργίου βρίσκεται στη θέση Ε5. β. Ο αριθµός Ο στη θέση C8 αναφέρεται στις δικαιολογηµένες απουσίες του µαθητή Αντωνίου στο 2ο τρίµηνο. γ. Ο αριθµός στη θέση D12 αναφέρεται στο άθροισµα των αδικαιολόγητων απουσιών της µαθήτριας Βέλλιου και στα 3 τρίµηνα και πρέπει να είναι το 0 + 6 + 0 = 6 . Ενώ ο αριθµός Ε13 αναφέρεται στο άθροισµα των αδικαιολόγητων απουσιών του µαθητή Γεωργίου και στα 3 τρίµηνα και πρέπει να είναι 20 + 4 + 3 = 27 .
223
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ
ÃÉÁ ÔÏ ÓÐÉÔÉ
Σε κάθε βιβλιάριο υγείας παιδιού, που παρέχει το Υπουργείο Υγείας και Πρόνοιας, υπάρχει το διπλανό διάγραµµα, το οποίο παριστάνει την καµπύλη αύξησης του βάρους των βρεφών από 0 έως 3 ετών. Παρατήρησέ το προσεκτικά και απάντησε στα παρακάτω ερωτήµατα: α. Ποιο είναι το µικρότερο και ποιο το µεγαλύτερο φυσιολογικό βάρος ενός βρέφους ηλικίας 15 µηνών; β. Πάνω απο ποιο βάρος θεωρείται υπέρβαρο, ένα βρέφος ηλικίας 18 µηνών και κάτω από ποιο βάρος θεωρείται λιποβαρές; γ. Είναι φυσιολογικό το βάρος των 7,5 κιλών για ένα βρέφος 9 µηνών;
" Απάντηση α. Το µικρότερο φυσιολογικό βάρος είναι 7,2 Kg και το µεγαλύτερο φυσιολογικό βάρος είναι 13,5 Kg. β. Πάνω απο 13 Kg και 300 gr ένα βρέφος ηλικίας 18 µηνών θεωρείται υπέρβαρο, ενώ θεωρείται λιποβαρές κάτω από 8 Kg και 300 gr. γ. Ναι, είναι φυσιολογικό το βάρος 7,5 Kg για ένα βρέφος 9 µηνών.
224
5.
Ο διπλανός πίνακας µας δείχνει κατά προσέγγιση εκατοντάδων χιλιάδων τον πληθυσµό της Ελλάδας. α. Να σχεδιαστεί κατάλληλο σύστηµα ορθογωνίων ηµιαξόνων και να σχεδιαστεί η καµπύλη µεταβολής του πληθυσµού. β. Ποιος ήταν ο πληθυσµός της Ελλάδας το έτος 1955; γ. Ποιος ήταν ο πληθυσµός της Ελλάδας το έτος 2000, αν η µεταβολή του πληθυσµού συνεχίσει µε τον ρυθµό της τελευταίας δεκαετίας; Ο πληθυσµός της Ελλάδας Έτος
Κάτοικοι
Προσέγγιση
1920
5.016.889
5.000.000
1930
6.367.149
6.400.000
1940
7.344.860
7.300.000
1951
7.632.801
7.600.000
1961
8.388.553
8.400.000
1971
8.768.641
8.800.000
1981
9.740.417
9.700.000
1991
10.264.156
10.300.000
" Λύση α.
11,0 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0
1971 1991 1930 1951 1961 1981 1920 1940 2000 1955
225
β. Ο πληθυσµός της Ελλάδας το έτος 1955 ήταν περίπου 8.000.000 κάτοικοι. γ. Ο πληθυσµός της Ελλάδας το έτος 2000 ήταν περίπου 10.900.000 κάτοικοι. 6.
∆ύο φίλοι ταξίδεψαν µε αυτοκίνητο από την Αθήνα ως την Θήβα και γύρισαν πάλι στην Αθήνα. Η διαδροµή που ακολούθησαν έχει καταγραφεί στο διπλανό διάγραµµα. Να απαντηθούν τα παρακάτω ερωτήµατα: α. Πόσο απέχει η Θήβα από την Αθήνα; β. Πόση ώρα ταξίδεψαν για να φτάσουν ως την Θήβα και ποια ήταν η 100 90 ταχύτητα τους; 80 γ. Σταµάτησαν στη Θήβα και αν ναι 70 πόση ώρα; 60 δ. Έκαναν άλλη στάση κατά την διάρ50 40 κεια του ταξιδιού τους και αν ναι, σε 30 ποια χρονική στιγµή και πόσο διήρ20 κησε η στάση τους αυτή; 10 ε. Σε ποια απόσταση από την Αθήνα 0 12 11 13 14 10 έγινε η στάση; στ. Ποια ήταν η συνολική διάρκεια του ταξιδιού τους; ζ. Ποια ήταν η µέση ταχύτητά τους για ολόκληρο το ταξίδι;
" Λύση α. 80 χιλιόµετρα. β. 1 ώρα και η µέση ταχύτητα τους ήταν 80km/h. γ. Σταµάτησαν για 45 λεπτά. δ. Ναι, στην επιστροφή και διήρκησε 30 λεπτά. ε. Σε απόσταση 40 χιλιοµέτρων από την Αθήνα. στ. 3 ώρες και 45 λεπτά. ζ. Είναι 160 : 3,75 = 42,66 km h .
226
7.
Να σχεδιάσετε σε ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων, µε µονάδα το 1cm και να τοποθετήσετε τα σηµεία: Α (4,1), Β (5,4), Γ (1,3), ∆ (6,1), Ε (3,0), Η(0,2).
8.
Να γράψετε το γράµµα και τις συντεταγµένες κάθε κορυφής από τα σχήµατα που φαίνονται στο διπλανό ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων.
9.
8 7 6 5 4 3 2 1
Ένας σχεδιαστής επιγραφών χρησιµοποιεί συντεταγµένες για να σχεδιάσει τα γράµµατα. Να παραστήσετε σε ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων κάθε οµάδα σηµείων και να τα ενώσετε όπως δείχνουν τα βέλη. α. (1,3 ) → ( 2,3 ) → (1,1) → ( 2,1) .
( 3,3 ) → ( 4,3 ) → ( 4,2 ) → ( 3,2 ) → ( 3,3 ) . γ. ( 3,1) → ( 4,1) . δ. ( 5,1) → ( 5,3 ) → ( 6,1) → ( 6,3 ) . ε. ( 8,3 ) → ( 7,3 ) → ( 7,1) → ( 8,1) . στ. ( 7,2 ) → ( 8,2 ) . ζ. (10,3 ) → ( 9,3 ) → (10,2 ) → ( 9,1) → (10,1) . β.
Τι επιγραφή έγραψε; (Απ: ΖΩΝΕΣ) 10. ∆ύο δρόµοι πρόκειται να περάσουν µέσα από µία αγροτική περιοχή. Σε τετραγωνισµένο χαρτί να σχεδιάσετε δύο ηµιάξονες Ox και Oy. i. Τοποθετήστε τα σηµεία Α (7,7) όπου βρίσκεται µια εγκαταλελειµµένη αγροικία. Β (2,3) όπου βρίσκεται µια αποθήκη. Γ (9,3) όπου βρίσκεται ένας µύλος. ∆ (1,5) όπου βρίσκεται ένα αγροτόσπιτο. Ε (9,5) όπου βρίσκεται ένα περιβόλι.
227
ii. Ο πρώτος δρόµος θα περάσει από τα σηµεία (0,0), (1,1), (3,3), (6,6), (10,10). Βρείτε τα σηµεία και συνδέστε τα. Υπάρχει κάποιο εµπόδιο σε αυτό το δρόµο; iii. Ο δεύτερος δρόµος θα περάσει από τα σηµεία (10,0), (8,2), (6,4), (4,6), (2,8) και (0,10). Βρείτε τα σηµεία και συνδέστε τα. Βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου όπου συναντώνται οι δύο δρόµοι. (Απ: ii. Υπάρχει η εγκαταλελειµµένη αγροικία iii. στο (5,5)) 11. Η διπλανή γραφική παράσταση µας δείχνει την απόσταση από την Θεσσαλονί170 κη, σε κάθε χρονική στιγµή, ενός φορ150 τηγού αυτοκινήτου που ξεκινά από την πόλη αυτή για να πάει στη ∆ράµα, µέσω 100 Σερρών και να επιστρέψει. Να βρείτε: i. Πόσο διήρκεσε το ταξίδι; ii. Πόσα km ήταν όλη η διαδροµή; 50 iii. Που έγιναν στάσεις και για πόσο χρόνο; 10 iv. Τη µέση ταχύτητα για κάθε τµήµα 0 1 2 3 4 5 6 7 της διαδροµής που έκανε χωρίς να σταµατήσει το αυτοκίνητο. v. Τη µέση ταχύτητα για όλη τη διαδροµή. (Απ: i. 7 ώρες, ii. 340 km, iii. 1 ώρα στις Σέρρες και 1 ώρα στη ∆ράµα, v. 48,6 km h )
228
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Έχουµε τα παρακάτω τρία τετράγωνα:
– Συµπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: Πλευρά τετραγώνου
1,5 cm
4 cm
4,5 cm
Περίµετρος τετραγώνου – Εξήγησε πως προκύπτουν οι αριθµοί της δεύτερης σειράς. – Βρες για κάθε τετράγωνο το κλάσµα πλευράς προς περίµετρο. – Ποιο είναι το συµπέρασµα που βγάζεις;
" Απάντηση Πλευρά τετραγώνου Περίµετρος τετραγώνου –
– –
1,5 cm
4 cm
4,5 cm
6 cm
16 cm
18 cm
Οι αριθµοί της δεύτερης σειράς προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον αντίστοιχο αριθµό της πρώτης σειράς επί 4 αφού και οι τέσσερις πλευρές του τετραγώνου είναι ίσες. 1,5 1 4 1 4,5 1 = = , = , Είναι 6 4 16 4 18 4 Το πηλίκο πλευρά του τετραγώνου προς την περίµετρο του είναι στα1 θερό και ίσο µε . 4
229
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 2ç Χρησιµοποιούµε τη φωτογραφική µηχανή για να απεικονίσουµε εικόνες αντικειµένων. Οι εικόνες αυτές δείχνουν τα πραγµατικά αντικείµενα σε σµίκρυνση. Στη φωτογραφία το ύψος ενός παιδιού είναι 2 cm ενώ γνωρίζουµε ότι το πραγµατικό του ύψος είναι 1,65m = 165cm. Πόση θα είναι τότε η σµίκρυνση του στην φωτογραφία;
" Απάντηση –
Θα είναι
2 = 0.012 ή 1,2%. 165
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 3ç Σχεδίασε το τρίγωνο του παρακάτω σχήµατος µεγενθυµένο, ώστε η πλευρά µήκους 8 cm να έχει νέο µήκος 12cm.
10
6
8
" Απάντηση Αφού η πλευρά µήκους 8 cm στο νέο τρίγωνο γίνεται 12 cm τότε 12 : 8 = 1,5 άρα πολλαπλασιάζεται επί 1,5. Τότε η αντίστοιχη πλευρά των 6 cm θα γίνει 6 ⋅1,5 = 9 cm, ενώ η πλευρά των 10 cm θα γίνει 10 ⋅1,5 = 15 cm. 15 cm 9 cm
12 cm
230
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 4ç AB ΒΓ και ΚΛ ΛΜ – Τι παρατηρείς; Τι συµπέρασµα βγάζεις για το λόγο των περιµέτρων των ορθογωνίων παραλληλογράµµων ΑΒΓ∆ και ΚΛΜΝ. AB ΒΓ – Μετά σύγκρινε τους λόγους και . EZ ΖΗ – Σύγκρινε τους λόγους:
y
O
x
– Τι παρατηρείς; Τι συµπέρασµα βγάζεις για το λόγο των περιµέτρων των ορθογωνίων παραλληλογράµµων ΑΒΓ∆ και ΕΖΗΘ;
" Απάντηση AB 2 ÂÃ 8 = =2, = =4 ÊË 1 ËÌ 2 Η περίµετρος του ΑΒΓ∆ είναι 2 + 8 + 2 + 8 = 20 , ενώ η περίµετρος του 20 10 . = ΚΛΜΝ είναι 1 + 2 + 1 + 2 = 6 και ο λόγος των περιµέτρων είναι 6 3 AB 2 ÂÃ 8 – Είναι = = 2 και = = 2 . Παρατηρούµε ότι οι λόγοι είναι ίσοι. EZ 1 ÆÇ 4 Η περίµετρος του ΕΖΗΘ είναι 1 + 4 + 1 + 4 = 10 οπότε και ο λόγος των περιµέτρων των ορθογωνίων παραλληλογράµµων 20 = 2. ΑΒΓ∆ και ΕΖΗΘ θα είναι 10 Άρα παρατηρούµε ότι στα ορθογώνια ΑΒΓ∆ και ΕΖΗΘ οι λόγοι των αντίστοιχων πλευρών και ο λόγος των περιµέτρων είναι ίσοι.
–
Είναι
231
1.
Να βρεις τους λόγους των διαφόρων ευθυγράµµων τµηµάτων που είναι στο διπλανό σχέδιο. ÁÂ ÅÆ ÊË ÁÂ ÇÈ ÃÄ α. , , , , , Γ∆ ÇÈ ÁÂ ÊË ÅÆ ÁÂ ÃÄ ÇÈ ÁÂ ÅÆ ÊË ÃÄ , , , , , β. ÅÆ ÊË ÁÂ ÃÄ ÇÈ ÃÄ
y
O
x
" Λύση ÁÂ 4 = =4, Γ∆ 1 ÁÂ 4 = , ÊË 3 ÃÄ 1 = , β. ÅÆ 5 ÅÆ 5 = =5 , ÃÄ 1
α.
2.
ÅÆ ÇÈ ÇÈ ÅÆ ÇÈ ÊË ÊË ÇÈ
5 , 2 2 = , 5 2 = , 3 3 = , 2 =
ÊË 3 = , ÁÂ 4 ÃÄ 1 = ÁÂ 4 ÁÂ =1 , ÁÂ ÃÄ 1 = =1 ÃÄ 1
∆ίνεται το ορθογώνιο ΑΒΓ∆ του διπλανού σχήµατος. Να σχεδιάσεις ένα άλλο ορθογώνιο µε πλευρές ανάλογες προς τις πλευρές του ορθογωνίου αυτού, έτσι ώστε ο λόγος των αντίστοιχων πλευρών τους να είναι 2:1.
2,5 m
" Λύση Θα είναι 4,5 : 2 = 2,25 m και 2,5 : 2 = 1,25m άρα το νέο ορθογώνιο έχει διαστάσεις 2,25m και 1,25m.
1,25 m 2,25 m
232
4,5 m
3.
Σε µια φωτογραφία το ύψος ενός ανθρώπου είναι 4 cm, ενώ το πραγµατικό του ύψος είναι 1,76 m. Πόσο έχουν σµικρυνθεί όλα τα αντικείµενα της φωτογραφίας;
" Λύση Είναι 1,76 m = 176 cm οπότε 176 : 4 = 44 . Άρα όλα τα αντικείµενα έχουν σµικρυνθεί κατά 44 φορές. 4.
Ένας προβολέας διαφανειών προβάλλει το κείµενο µιας διαφάνειας στον απέναντι τοίχο. Αν ένα γράµµα «Α» έχει ύψος 7 mm στη διαφάνεια και 4,2 cm στον τοίχο, ποια είναι η µεγέθυνση που δίνει ο προβολέας;
" Λύση Είναι 4,2 cm = 42 mm οπότε 42 : 7 = 6 . Άρα το γράµµα έχει µεγεθυνθεί κατά 6 φορές. 5.
Η σύνθεση µιας µπλούζας είναι 80% βαµβάκι και το υπόλοιπο πολυεστέρας. Αν η µπλούζα ζυγίζει 820 gr, πόσα γραµµάρια ζυγίζουν τα νήµατα του πολυεστέρα που περιέχει;
" Λύση Ο πολυεστέρας αποτελεί το 20% της µπλούζας. Οπότε στα 820gr, τα γραµµάρια του πολυεστέρα είναι 20 820 ⋅ 20% = 820 = 164 gr . 100 6.
Να συµπληρωθεί ο πίνακας α
β
γ
δ
ε
Κλίµακα
1:5
3:8
1:30
1:500
1:100
Μήκος σε σχέδιο
4 cm
9m
12 cm
2 cm
3.5 cm
Πραγµατικό µήκος
20 cm
24 m
360 cm
10 m
350 cm
233
" Λύση 4 1 = x 5 x 3 = β. Πρέπει 24 8 άρα x = 72 : 8 = 9 . 12 1 = γ. Έχουµε x 30
α. Είναι
ή
x = 4 ⋅ 5 = 20 cm .
ή
8 ⋅ x = 24 ⋅ 3
ή
x = 12 ⋅ 30 = 360 cm .
δ. Επειδή 10 m = 1.000 cm τότε η κλίµακα είναι
άρα 1:500. 3,5 1 ε. Πρέπει = x 100 7.
ή
8 ⋅ x = 72
ή
2 1 = 1000 500
x = 3,5 ⋅ 100 = 350 cm .
Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου είναι x+2 και x. α. Να γράψεις τη σχέση που συνδέει την περίµετρο Π του ορθογωνίου µε το x. β. Να εξετάσεις αν τα ποσά x και Π είναι ανάλογα. γ. Να συµπληρώσεις τον πίνακα: x Π
2 8
4 16
" Λύση α. Η περίµετρος του ορθογωνίου θα είναι Ð= x + x + 2 + x + x + 2 = x + x + x + x + 2 + 2 = 4x + 4 = 4 ( x + 1)
Ð 4 ( x + 1) = δεν είναι ανεξάρτητος του x δηλαδή δεν είναι x x σταθερός αριθµός, οπότε τα ποσά x και Π δεν είναι ανάλογα.
β. Ο λόγος γ.
x
1
2
3
4
Π
8
12
16
20
8 ή x + 1 = 2 άρα x = 2 − 1 = 1 . 4 ii. Επειδή x = 2 τότε Ð= 4 ( x + 1) = 4 ⋅ ( 2 + 1) = 4 ⋅ 3 = 12 . i. Είναι 4 ( x + 1) = 8 ή x + 1 =
16 ή x + 1 = 4 άρα x = 4 − 1 = 3 . 4 iv. Επειδή x = 4 τότε Ð= 4 ( x + 1) = 4 ⋅ ( 4 + 1) = 4 ⋅ 5 = 20 . iii. Είναι 4 ( x + 1) = 16 ή x + 1 =
234
8.
Αν οι διαστάσεις ενός δωµατίου σε ένα σχέδιο µε κλίµακα 1:250, είναι 3 x 5, οι πραγµατικές διαστάσεις του δωµατίου είναι ...x…;
" Λύση Eίναι 3 ⋅ 250 = 750 και 5 ⋅ 250 = 1.250 . Οπότε οι πραγµατικές διαστάσεις του δωµατίου θα είναι 750 x 1.250. 9.
Αν ανακατέψουµε 2 κιλά κόκκινο χρώµα και 3 κιλά κίτρινο χρώµα, φτιάχνουµε µια συγκεκριµένη απόχρωση του πορτοκαλί. Αν ανακατέψουµε 5 κιλά κόκκινο χρώµα και 6 κιλά κίτρινο, θα πάρεις την ίδια απόχρωση; ∆ικαιολόγησε την απάντησή σου.
" Λύση Ο λόγος κόκκινο προς κίτρινο χρώµα στην πρώτη περίπτωση είναι 2 = 0,66 , 3 5 ενώ στη δεύτερη περίπτωση είναι = 0,83 . 6 Οπότε δεν θα πάρουµε την ίδια απόχρωση.
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ
ÃÉÁ ÔÏ ÓÐÉÔÉ
Όταν ο Κώστας έκλεισε τα δώδεκα χρόνια είχε το ένα τρίτο της ηλικίας της µητέρας του. Όταν θα γίνει είκοσι χρονών, ο λόγος των δύο ηλικιών τους θα παραµείνει ο ίδιος;
" Απάντηση Όταν ο Κώστας έκλεισε τα δώδεκα χρόνια η µητέρας του ήταν 12 ⋅ 3 = 36 χρονών. Ο Κώστας θα γίνει 20 χρονών µετά από 8 χρόνια οπότε η µητέρα του τότε θα είναι 36 + 8 = 44 χρονών. 20 5 1 Ο λόγος των ηλικιών τους θα είναι = ≠ 44 11 3 Οπότε δεν παραµένει ίδιος ο λόγος των ηλικιών τους.
235
10. Αν ένα γράµµα «Α» έχει ύψος 0,5 cm στη διαφάνεια και στην οθόνη προβάλλεται µε ύψος 5 cm, πόσο θα είναι η µεγέθυνση του;
" Λύση Θα είναι
5 5⋅2 10 = = = 10 , δηλαδή είναι 10 φορές µεγαλύτερο. 0,5 0,5 ⋅ 2 1
11. Σε µια ισορροπηµένη εφηβική διατροφή, η αναλογία υδατανθράκων προς πρωτεϊνες πρέπει να είναι 2:3, ενώ η αναλογία λιπών προς υδατάνθρακες πρέπει να είναι 1:4. Κάθε γραµµάριο λίπους είναι 10 θερµίδες, κάθε γραµµάριο υδατανθράκων είναι 4 θερµίδες. Αν κάποιος θέλει να παίρνει 2.500 θερµίδες και κάθε γραµµάριο πρωτεΐνης είναι 4 θερµίδες την ηµέρα, πως πρέπει να φτιάξει το διαιτολόγιο του;
" Λύση Ð 3 = Õ 2 3 Ë 1 1 = δηλαδή Ë = Õ άρα Π = Υ και Λ=(λίπη) προς Υ είναι 2 Õ 4 4 Έστω ότι πάρει x gr Υ αυτά έχουν 4 ⋅ x θερµίδες. 3 ⎛3 ⎞ Τότε θα πρέπει να πάρει x Ð τα οποία έχουν ⎜ ⋅ x ⎟ ⋅ 4 = 6x θερµίδες και 2 ⎝2 ⎠ 1 5 ⎛1 ⎞ x Ë τα οποία έχουν ⎜ ⋅ x ⎟ ⋅ 10 = x θερµίδες. 4 2 ⎝4 ⎠ 5 25 5000 x = 5000 Üñá x = Πρέπει 4x + 6x + x=2500 Þ = 200 gr . 2 2 25 Οπότε πρέπει να πάρει 200 gr υδατάνθρακες ( 200 ⋅ 4 = 800 èåñ ) Είναι Υ=(υδατάνθρακες) προς Π=(πρωτεϊνες)
Õ 2 = Ð 3
3 ⋅ 200 = 300 gr πρωτεϊνες ( 300 ⋅ 4 =1200èåñ ) 2 1 και ⋅ 200 = 50 gr λίπη ( 50 ⋅ 10 = 500 èåñ ) . 4
και
236
ή
12. Στο διπλανό σχήµα έχουµε τρία ευθύγραµµα τµήµατα α,β,γ. Να υπολογίσετε τους λόγους á â á â ã á , , , , , . â á ã ã á á
y
x
13. Ο λόγος του ευθύγραµµου τµήµατος α προς ένα άλλο β είναι 0,25. Ποιος είναι ο λόγος β προς α; (Απ: 4) 14. Μια οικογένεια έχει 12 κατοικίδια ζώα από τα οποία 6 είναι γάτοι, 2 είναι σκύλοι και τα υπόλοιπα είναι πουλιά. Να βρείτε τους λόγους: i. του αριθµού των πουλιών προς τον αριθµό των σκύλων. ii. του αριθµού των πουλιών προς τον αριθµό των γατών. 2 (Απ: i. 2 ii. ) 3 15. Ο Θανάσης περπατά 7 Km σε 2 ώρες. Ο Γιώργος περπατά 15 Km σε 5 ώρες. i. Να γράψετε το λόγο της απόστασης σε Km προς το χρόνο σε ώρες του καθενός. ii. Ποιος περπατά πιο γρήγορα; (Απ: i. Θανάσης 3,5 , Γιώργος 3 ii. ο Θανάσης) 16. Τετράγωνο Α έχει πλευρά µήκους 6 cm και τετράγωνο Β έχει πλευρά µήκους 8 cm. Να βρείτε το λόγο: i. του µήκους της πλευράς του τετραγώνου Α προς το µήκος της πλευράς του τετραγώνου Β. ii. της περιµέτρου του τετραγώνου Α προς την περίµετρο του τετραγώνου Β. 3 3 (Απ: i. ii. ) 4 4 17. Ένα ευθύγραµµο τµήµα α είναι τρεις φορές µεγαλύτερο από ένα άλλο á â á+â á+â , ευθύγραµµο τµήµα β. Να υπολογίσετε τους λόγους: , , â á á â 1 4 (Απ: 3, , , 4) 3 3
237
18. Ποια είναι η πιο συµφέρουσα τιµή; i. Να αγοράσουµε αυγά 30 λεπτά το ένα ή 3,40 € τη δωδεκάδα; ii. Να αγοράσουµε ύφασµα προς 32,40 € τα 2 m ή προς 81 € τα 5,40 m; (Απ: i. Τη δωδεκάδα ii. τα 5,40 m προς 81 €) 19. Να συµπληρώσετε τον πίνακα: Κλίµακα
Μήκος στο σχέδιο
1:2
Πραγµατικό µήκος
8 cm
3:2
6 cm
1:25
5 cm
3:10
150 cm 4 cm
10 m
20. Να βρείτε την κλίµακα σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: Πραγµατική απόσταση
238
Απόσταση στο χάρτη
1 km
1 cm
10 km
4 cm
100 km
10 cm
100 km
1 cm
50 km
2 cm
Κλίµακα
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Σε µια παρέα κάποιος υποστήριζε ότι το βάρος του ανθρώπου είναι ανάλογο του ύψους του. Μετρήθηκαν, λοιπόν, όλοι και έβαλαν στον παρακάτω πίνακα τα αποτελέσµατα: Βάρος σε kg
58
71
56
68
Ύψος σε m
1,60
1,65
1,62
1,72
– Μπορείς να επιβεβαιώσεις ή να απορρίψεις τον ισχυρισµό αυτό; – Πως δικαιολογείς το συµπέρασµα σου;
" Απάντηση Τα ποσά δεν είναι ανάλογα. Αν πάρουµε τους λόγους του ύψους προς το βάρος για κάθε άτοµο θα διαπιστώσουµε ότι δεν είναι ίσοι. 160 165 = 2,76, = 2,32 . Είναι 1,60 m = 160 cm και 58 71
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 2ç Ο µανάβης πουλάει τα καρπούζια προς 0,40 € το κιλό. Μέσα σε µια ηµέρα πούλησε 11 καρπούζια που ζύγιζαν 100 κιλά συνολικά. Ο µανάβης έγραφε σ’ ένα χαρτί τα λεφτά που εισέπραττε κάθε φορά. Ξέχασε, όµως, µια φορά να τα σηµειώσει. – Μπορείς να τον βοηθήσεις συµπληρώνοντας τα κενά του παρακάτω πίνακα: Τιµή σε €
6
2,8
5,2
3,2
3,6
4,8
2,4
1,6
4,4
2
Κιλά ∆ικαιολόγησε τα αποτελέσµατα των πράξεων που έκανες και προσπάθησε να διατυπώσεις ένα γενικό κανόνα.
239
" Απάντηση Τιµή σε €
6
2,8
5,2
3,2
4
3,6
4,8
2,4
1,6
4,4
2
Κιλά
15
7
13
8
10
9
12
6
4
11
5
∆ιαιρούµε την τιµή σε € κάθε καρπουζιού µε το 0,4 για να βρούµε το βάρος του σε κιλά. 2,8 : 0,4 = 7,... ∆ηλαδή 6:0,4 = 15 , Προσθέτοντας τα κιλά των 10 καρπουζιών που γνωρίζουµε αυτά είναι: 15+7+13+8+9+12+6+4+11+5 = 90 άρα στη στήλη που ξέχασε τα κιλά είναι 100 − 90 = 10 και η τιµή 10 ⋅ 0,4 = 4 €.
Τα ποσά τιµή σε € και κιλά είναι καρπουζιού είναι ανάλογα και ο λόγος τους είναι σταθερός και ίσος µε 0,4.
240
1.
2.
Ποια από τα παρακάτω ποσά είναι ανάλογα; (Τοποθέτησε ένα «x» στην αντίστοιχη θέση). Σωστό Λάθος α. Ο αριθµός των αναψυκτικών και τα χρήµατα που κοστίζουν. X X
β. Το εµβαδόν του πατώµατος και ο αριθµός των πλακών που είναι στρωµένο.
X
X
γ. Ο αριθµός των εργατών και ο χρόνος που απαιτείται για να ολοκληρώσουν το έργο.
X
X
δ. Το µήκος και το πλάτος ενός ορθογωνίου δεδοµένου εµβαδού.
X
X
ε. Η ταχύτητα και ο χρόνος που απαιτείται για την κάλυψη µιας απόστασης.
X
X
στ. Η πλευρά ενός τετραγώνου και το εµβαδόν του.
X
X
ζ. Η ηλικία ενός ανθρώπου και η περιουσία του.
X
X
η. Το ποσό που ξοδεύει κάποιος, για να αγοράσει λαχεία και το ποσό που κερδίζει.
X
X
Συµπλήρωσε τα παρακάτω κενά: α. ∆ύο µεγέθη των οποίων οι αντίστοιχες τιµές δίνουν πάντα το ίδιο πηλίκο λέγονται ανάλογα ποσά. β. Αν τετραπλασιάσουµε την τιµή ενός από δύο ανάλογα ποσά και η αντίστοιχη τιµή του άλλου ποσού τετραπλασιάζεται. γ. Τα ανάλογα ποσά συνδέονται µε τη σχέση: y = α ⋅ x , όπου α ο συντε-
λεστής αναλογίας. 3.
Εξέτασε αν τα ποσά που δίνονται στους παρακάτω πίνακες είναι ανάλογα: α. x
3
5
7
y
8
10
12
241
β. x
3
4
6
11
y
0,9
1,2
1,8
3,3
" Λύση 3 5 ≠ åðåéäÞ 3 ⋅ 10 ≠ 5 ⋅ 8 . 8 10 3 4 6 11 = = = = 3,33 . β. Είναι ανάλογα γιατί 0,9 1,2 1,8 3,3
α. ∆εν είναι ανάλογα γιατί
4.
Στον πίνακα που ακολουθεί τα ποσά x και y είναι ανάλογα. Υπολόγισε το συντελεστή αναλογίας τους και συµπλήρωσε τον πίνακα. x
5
y
10,05
0
1
3,7 2
0,61
0,125
0,55
" Λύση Ο συντελεστής αναλογίας είναι
10,05 = 2,01 . 5
Για x = 0 είναι και y = 0 . y Για x = 1 είναι = 2,01 άρα y = 2,01 ⋅ 1 = 2,01 1 2 Για y = 2 είναι = 2,01 ή 2,01 ⋅ x = 2 άρα x = 2 : 2,01 = 0,99 x 0,125 = 2,01 ή 2,01 ⋅ x = 0,125 Για y = 0,125 είναι x άρα x = 0,125 : 2,01 = 0,062 Όµοια για τα υπόλοιπα προκύπτει ο πίνακας
242
x
5
0
1
0,99
0,062
3,7
0,61
0,273
y
10,05
0
2,01
2
0,125
7,437
1,2261
0,55
5.
Μια συνταγή για κέϊκ αναφέρει: «4 αυγά, 1 πακέτο φαρίνα του µισού κιλού, 250 gr βούτυρο, 2 φλιτζάνια ζάχαρη, 1 βανίλια, 1 φλιτζάνι γάλα». Βρες πως θα γίνει η συνταγή αν θέλεις να φτιάξεις µεγαλύτερη δόση και έχεις 7 αυγά;
" Λύση 7 . 4 Οπότε αν χρησιµοποιήσουµε τα 7 αυγά θα πρέπει: x 7 7 3 = άρα x = = 1 1 4 4 4 3 θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε 1 πακέτα φαρίνα του µισού κιλού. 4 x 7 7 = ή x = 250 = 437,5 gr βούτυρο. 4 250 4 x 7 7 7 1 = , ή x= 2= =3 δηλαδή 3,5 φλιτζάνια ζάχαρη. 2 4 4 2 2 x 7 7 3 3 3 = ή x = = 1 και 1 βανίλια και αντίστοιχα 1 φλιτζάνια γάλα. 1 4 4 4 4 4
Ο συντελεστής αναλογίας είναι
•
• • •
6.
∆ίνεται η αναλογία
x 2 x+2 = . Υπολόγισε το x και το λόγο . Τι παρατηρείς; 3 6 3+6
" Λύση x 2 6 = Þ 6 ⋅ x = 6 Üñá x = = 1 . 3 6 6 1 2 x+2 x+2 1+2 3 1 γίνεται = = = . Οπότε έχουµε = και ο λόγος 3+6 3+6 3+6 9 3 3 6 x 2 x+2 Είναι δηλαδή = = . 3 6 3+6 Άρα, αν δύο ποσά είναι ανάλογα τότε το κλάσµα που σχηµατίζεται αν προσθέσουµε αριθµητές και τους παρανοµαστές έχει τον ίδιο λόγο. Είναι
7.
Κεφάλαιο 150.000 € κατατέθηκε στην τράπεζα µε επιτόκιο 9,5%. Πόσο θα γίνει το κεφάλαιο µετά από 1 χρόνο;
" Λύση Ο τόκος που αντιστοιχεί στο κεφάλαιο των 150.000 € είναι 9,5 150000 ⋅ 9,5% = 15000 = 14250 €. 100 Άρα το κεφάλαιο γίνεται 150000 + 14250 = 164250 €.
243
8.
Για τα ποσά x και y ισχύει η σχέση:
y = 25% . Ποια από τις παρακάτω x
προτάσεις είναι σωστή; α. y = 0,4x
β.
y=
1 x 4
1 y 4
γ. x =
δ. x = 0,25y
" Λύση Είναι η β. γιατί δηλαδή 9.
y =25% x
y 25 = x 100
ή
y 1 = x 4
1 οπότε y= x 4
Για τις µεταβλητές x και y ισχύει η σχέση y = x 3 . Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή; α. το y είναι ανάλογο του x β. το y είναι ανάλογο του 1 γ. το y είναι ανάλογο του x 3
" Λύση Είναι η γ. το y είναι ανάλογο του x 3 µε συντελεστή αναλογίας 1. 25 . 9 Αν ο µεγαλύτερος είναι 15, να βρεθεί ο µικρότερος.
10. Ο λόγος δύο αριθµών είναι
" Λύση Είναι
15 25 = x 9
25x = 135
244
ή
25x = 15 ⋅ 9
ή
x=
135 25
άρα x=5,4
11. Πόσο θα αυξηθεί η περίµετρος ενός ισοπλεύρου τριγώνου αν κάθε πλευρά του αυξηθεί κατά 3%;
" Λύση Έστω ότι η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου είναι α, τότε η περίµετρος του είναι 3α. Αν η κάθε πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου αυξηθεί κατά 3% τότε θα γίνει 3 á+ á = á + 0,03á = (1 + 0,03 ) á = 1,03α 100 τότε η περίµετρος του θα είναι 3 ⋅ 1,03á=3,09á . Οπότε θα αυξηθεί κατά 0,09 α και το ποσοστό αύξησης είναι 0,09á = 0,03 3á δηλαδή και η περίµετρος θα αυξηθεί κατά 3%. 12. Στα βιβλία ο Φ.Π.Α. είναι 4%. Πόσο θα πουληθεί µια εγκυκλοπαίδεια αξίας 3.500 €;
" Λύση 4 = 140 €. 100 Οπότε η εγκυκλοπαίδεια θα πουληθεί 3500 + 140 = 3640 €.
Ο Φ.Π.Α. στην αξία 3.500 € θα είναι: 3500 ⋅ 4% = 3500 ⋅
13. Στη Μαίρη άρεσε πολύ ένα µπλουζάκι που είδε στη βιτρίνα ενός καταστήµατος ρούχων. Η τιµή του είναι 30 € και έχει έκπτωση 25%. Η Μαίρη έχει µαζί της µόνο 22€. Μπορεί να αγοράσει το µπλουζάκι;
" Λύση Το ποσό της έκπτωσης στη µπλούζα είναι 25 750 30 ⋅ 25% = 30 ⋅ = = 7,5 €. 100 100 Άρα το µπλουζάκι κοστίζει 30 − 7,5 = 22,50 €. Εποµένως η Μαίρη που έχει µόνο 22 € δεν µπορεί να το αγοράσει.
245
14. Ποια από τα παρακάτω ποσά είναι ανάλογα: i. Το µήκος ενός υφάσµατος και η τιµή του. ii. Η περίµετρος ενός τετραγώνου και η πλευρά του. iii. Ο χρόνος που κινείται ένα αυτοκίνητο και η ταχύτητα του. iv. Ο αριθµός των εργατών και το έργο που εκτελούν στον ίδιο χρόνο. v. Η παροχή νερού και ο χρόνος για το γέµισµα µιας δεξαµενής. vi. Το ύψος και η ηλικία ενός ατόµου. vii. Ο τόκος που δίνει ένα κεφάλαιο (µέσα σε 1 έτος) και το επιτόκιο µε το οποίο τοκίζεται. viii. Η αµοιβή ενός εργάτη και ο χρόνος εργασίας του. (Απ: i, ii, iv, vii, viii) 15. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω πίνακες είναι πίνακες ανάλογων ποσών: x
2
3
9
x
0,5
1,5
4
6
y
3
4,5
13,5
y
2
6
12
16
x
2
3
4
5
x
10,5
8
43
y
4
9
16
25
y
2,73
2,08
11,18 (Απ.: i και iv)
16. Να συµπληρώσετε τον πίνακα, αν γνωρίζετε ότι τα ποσά x και y είναι ανάλογα. Ποιος είναι ο συντελεστής αναλογίας; x
5
y
4
10
20 12
20
(Απ.: συντελεστής αναλογίας 0,8)
246
17. Ο λόγος δύο αριθµών είναι
7 . Αν ο µεγαλύτερος είναι 84, να βρείτε το 3
µικρότερο. (Απ.: 36) 18. Από 60 kg τεύτλα παράγονται 9 kg ζάχαρη. i. Να συµπληρώσετε τον πίνακα: Βάρος τεύτλων σε kg: x
60
Βάρος ζάχαρης σε kg:y
9
120
30 27
45
ii. Πόση ζάχαρη θα παραχθεί από 5 τόνους τεύτλα; iii. Για να παραχθούν 3 τόνοι ζάχαρη, πόσα τεύτλα χρειάζονται; (Απ.: ii. 750 kg ζάχαρη, iii. 20 τόνοι τεύτλα) 19. Μία αντιπροσωπεία αυτοκινήτων πουλάει όλα τα µοντέλα της µε έκπτωση 10%. Πόσο θα πληρώσουµε για ένα αυτοκίνητο αξίας 12.500 €; (Απ.: 11.250 €) x 4 = 5 20 i. Να υπολογίσετε το x. x+4 ii. Να βρείτε το λόγο 5 + 20
20. ∆ίνεται η αναλογία
(Απ.: ii.
1 ) 5
21. Πόσα χρήµατα θα εισπράξουµε µετά από 1 χρόνο αν σήµερα καταθέσουµε στην τράπεζα 15.000 € µε επιτόκιο 3%; (Απ.: 15.450 €)
247
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ Η σχέση µεταξύ δύο ανάλογων ποσών x και y µε συντελεστή αναλογίας α = 3 , δίνεται από τον τύπο: y = 3 ⋅ x – Να συµπληρωθεί ο πίνακας αναλογίας των ποσών x και y:
x
0
0,5
1,5
2
3
4
5
6
7
8
y
0
1,5
4,5
6
9
12
15
18
21
24
– Να βρεθούν τα σηµεία του επιπέδου που αναπαριστούν τα παραπάνω ζεύγη τιµών. – Να εξεταστεί αν τα σηµεία ανήκουν σε µια ηµιευθεία. – Η ηµιευθεία αυτή περνάει από το σηµείο Ο (0,0), δηλαδή την αρχή των ηµιαξόνων;
" Απάντηση Τα σηµεία όλα βρίσκονται σε ηµιευθεία που διέρχεται από το σηµείο Ο (0,0)
24 21 18 15 12 9
248
1.
∆ύο ποσά x και y είναι ανάλογα, µε συντελεστή αναλογίας α=1,5. α. ∆ηµιούργησε ένα πίνακα τιµών των δύο ποσών ο οποίος να περιέχει τουλάχιστον δύο ζεύγη τιµών. β. Βρες τα σηµεία που αναπαριστούν τα ζεύγη τιµών του πίνακα. γ. Σχεδίασε τη γραφική αναπαράσταση της σχέσης αναλογίας των ποσών x και y, σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων.
" Λύση y=1,5 x
2.
x
2
4
y
3
6
Σε κατάλληλο ορθογώνιο σύστηµα ηµιαξόνων να σχεδιάσεις τις γραφικές παραστάσεις για κάθε µία από τις ακόλουθες σχέσεις αναλογίας: 1 α. y = ⋅ x β. y = 3 ⋅ x γ. y = 5,5 ⋅ x 2 δ. y = 10 ⋅ x ε. y = 0,01 ⋅ x
" Λύση y
δ. γ. y=5,5 x β. y=3 x
x
249
3.
Αντιστοίχισε κάθε πίνακα µε έναν από τους προτεινόµενους τύπους: Α.
Β.
Γ.
∆.
Ε.
Ζ.
Η.
Θ.
x
4
7
12
y
10
10,5
30
x
5
7,5
9
y
11
16
19
x
2
3
10
y
7
9
23
x
2
4
6
y
6
3
2
x
2
5
0,5
y
1
2,5
0,25
x
0,2
6
10
y
2,4
14
22
x
1
1,2
2,5
y
3
3,6
7,5
x
0,8
1
1,5
y
2,2
2
5
1.
y = 2x + 3
2.
y = 3⋅x
3.
y=
4.
y = 2,5x
5.
y = 2x + 2
6.
y = 2x + 1
7.
y = 4x − 1
8.
y = 0,5 ⋅ x
12 x
" Λύση Είναι Á → 4,B → 6,Ã → 1, Ä → 3,E → 8,Z → 5,H → 2 êáé È → 7 γιατί για παράδειγµα για τον πίνακα Θ όλα τα ζεύγη x, y επαληθεύουν τη σχέση y = 4x − 1 . 2,2 = 4 ⋅ 0,8 − 1 ή 2,2 = 3,2 − 1 3 = 4 ⋅1 − 1 ή 3 = 4 −1 5 = 4 ⋅ 1,5 − 1 ή 5 = 6 −1 Όµοια και στα υπόλοιπα.
250
4.
Ένας καταστηµατάρχης αθλητικών ειδών διαθέτει 12.000€ για να αγοράσει φόρµες γυµναστικής, µαγιό και αθλητικά παπούτσια. Κάθε φόρµα κοστίζει 40€, κάθε µαγιό κοστίζει 20 €, και κάθε ζευγάρι παπούτσια 50€. α. Να βρεις τις σχέσεις αναλογίας «χρήµατα – κοµµάτια από κάθε είδος» και να τις παραστήσεις γραφικά στο ίδιο σύστηµα ορθογώνιων αξόνων. β. Ο καταστηµατάρχης αποφάσισε να διαθέσει το ίδιο ποσό, για κάθε είδος. Βρες πόσα κοµµάτια από κάθε είδος θα αγοράσει µε τα χρήµατα που διαθέτει, χρησιµοποιώντας µόνο την γραφική παράσταση των σχέσεων που δηµιούργησες στο πρώτο ερώτηµα της άσκησης.
" Λύση α. Για τις φόρµες (φ) είναι y = 40φ Για τα µαγιό (µ) είναι y = 20µ Για τα παπούτσια (π) είναι y = 50π β. Αφού ο καταστηµατάρχης θα διαθέσει το ίδιο ποσό για κάθε είδος τότε θα διαθέσει για κάθε είδος 12.000 : 3 = 4.000 €. Αν φέρουµε µια οριζόντια ευθεία στις 4.000 αυτή θα τέµνει τις 3 ηµιευθείες στα σηµεία Α, Β και Γ. Φέρνοντας κάθετες στον ηµιάξονα Ox από τα Α, Β, Γ θα διαπιστώσουµε ότι θα αγοράσει 80 ζευγάρια αθλητικά παπούτσια, 100 φόρµες γυµναστικής και 200 µαγιό.
4000 3600 3200 2800 2400 2000 1600 1200 800 400 0
50 80100
150
200
251
5.
⎛3 1⎞ Να εξεταστεί αν τα ζεύγη: ( 3,1) , ⎜ , ⎟ και ( 9,3 ) είναι σηµεία της γρα⎝ 2 2⎠ φικής παράστασης µιας σχέσης αναλογίας.
" Λύση ⎛3 1⎞ Αν τα ζεύγη ( 3,1) , ⎜ , ⎟ και (9, 3) είναι της µορφής ( x, y ) τότε για τα µε⎝2 2⎠ γέθη x και y έχουµε τον πίνακα: x
3
y
1
3 2 1 2
9 3
1 y 1 3 1 Οι λόγοι είναι = 2 = = οπότε τα ποσά x, y είναι ανάλογα. x 3 3 9 3 2 6.
Στο διπλανό σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση µιας σχέσης αναλογίας. i. Να βρεθεί ο συντελεστής αναλογίας. ⎛1 ⎞ ii. Να εξεταστεί αν το σηµείο ⎜ ,1000 ⎟ 2 ⎝ ⎠ είναι σηµείο της γραφικής παράστασης. iii. Να συµπληρωθεί ο πίνακας:
Χρόνος Χρήµα
252
1,5
y 10000 8000 6000 4000 2000 0
5 5000
1
2
3
4
5
x
" Λύση y 8000 = = 4000 , οπότε ο συντελεστής αναλογίας α είναι x 2 α = 4000 και η σχέση που συνδέει x, y είναι y = 4000x. 1 1 ii. Για x = êáé y=1000 είναι 1000=4000 ή 1000 ≠ 2000 2 2 ⎛1 ⎞ οπότε το σηµείο ⎜ ,1000 ⎟ δεν είναι σηµείο της γραφικής παράστασης. ⎝2 ⎠ iii. Ο πίνακας γίνεται: i.
Είναι á =
Χρόνος
1,5
5
1,25
Χρήµα
6000
20000
5000
253
6.
∆ύο ποσά x και y είναι ανάλογα, µε συντελεστή αναλογίας α = 2,5. i. Να κατασκευάσετε έναν πίνακα τιµών των δύο ποσών, ο οποίος να περιέχει τουλάχιστον δύο ζεύγη τιµών. ii. Να βρείτε τα σηµεία που αναπαριστούν τα ζεύγη τιµών του πίνακα και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της σχέσης αναλογίας x και y σε ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων.
7.
Σε κατάλληλο ορθογώνιο σύστηµα ηµιαξόνων να σχεδιαστούν οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω σχέσεων αναλογίας: 5 i. y = x , ii y = 2 ⋅ x , 2 iii. y = 0,6 ⋅ x , iv. y = 5 ⋅ x
8.
Μια ευθεία διέρχεται από το σηµείο Α (5,3) και από την αρχή των αξόνων. Ποια σχέση αναλογίας έχει την ευθεία ως γραφική παράσταση; 3 (Απ.: y = x ) 5
9.
Όταν ένα αυτοκίνητο κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ, τότε σε χρόνο t, διανύει διάστηµα s = υ ⋅ t . Η διπλανή ευθεία Oz είναι γραφική παράσταση της συνάρτησης s = υ ⋅ t . Να βρείτε την ταχύτητα του αυτοκινήτου.
200 150 100 50
(Απ.: 100 Km/h)
254
10. Να αντιστοιχήσετε σε κάθε πίνακα της πρώτης στήλης ένα από τους προτεινόµενους τύπους της δεύτερης στήλης. Α.
Β.
Γ.
∆.
Ε.
Ζ.
x
3
2,5
2
y
4
2,5
1
x
0,5
1
2
y
2
4
8
x
2
1
2,5
y
7
2
9,5
x
4
2
8
y
1
0,5
2
x
1
3
5
y
5
9
13
x
1
3
5
y
5
11
17
1.
y = 4x
2.
y = 3x + 2
3.
y = 3x − 5
4.
y = 2x + 3
5.
y = 5x − 3
6.
y=
1 x 4
(Απ.: Á → 3,B → 1,Ã → 5, Ä → 6,E → 4,Z → 2 )
255
1.
Ένας πάσσαλος ύψους 1,2 m ρίχνει σκιά 3 m. Την ίδια στιγµή ένα δέντρο ρίχνει σκιά 14 m. Αν γνωρίζουµε ότι τα ποσά ύψος – σκιά είναι ανάλογα, να βρεθεί το ύψος του δέντρου.
" Λύση Έχουµε τον πίνακα αναλογίας: ύψος
Σκιά
1,2
3
x
14
Πάσσαλος ∆έντρο ∆ηλαδή:
1,2 3 = x 14
3 ⋅ x = 1,2 ⋅ 14
ή
16,8 = 5,6 3 Οπότε το ύψος του δέντρου είναι 5,6 m. 3 ⋅ x = 16,8
2.
x=
άρα
Το βάρος στο φεγγάρι και το βάρος στη γη είναι ποσά ανάλογα. Ένας αστροναύτης ζυγίζει στο φεγγάρι 13 Kg και στη γη 78 Kg. Πόσο θα ζυγίζει στο φεγγάρι ένα παιδί, που στη γη έχει βάρος 52 Kg;
" Λύση Έχουµε τον πίνακα αναλογίας: Βάρος στη γη
Βάρος στο φεγγάρι
Αστροναύτης
78
13
Παιδί
52
x
∆ηλαδή:
78 13 = 52 x
ή
78 ⋅ x = 13 ⋅ 52
676 = 8,66 78 Άρα το παιδί ζυγίζει στο φεγγάρι 8,66 Kg.
78 ⋅ x = 676
256
άρα
x=
3.
Από 100 Kg σταφύλια βγαίνουν 80 Kg µούστος. Ένας αµπελουργός θέλει να γεµίσει µε µούστο 6 βαρέλια, των 350 Kg το καθένα. Πόσα Kg σταφύλια, της ίδιας ποιότητας, πρέπει να πατήσει;
" Λύση Ο µούστος που θέλει να φτιάξει ο αµπελουργός είναι 6 ⋅ 350 = 2100 Kg. Οπότε έχουµε τον πίνακα αναλογίας: ∆ηλαδή:
100 80 = x 2100 80 ⋅ x = 210.000
ή
Σταφύλια Kg
Μούστος Kg
100
80
x
2100
80 ⋅ x = 2100 ⋅ 100
άρα
x=
210.000 = 2.625 80
Πρέπει να πατήσει 2.625 Kg σταφύλια. 4.
∆ύο εργάτες δούλεψαν σε µία οικοδοµή και πήραν µαζί 270 €.Ο πρώτος δούλεψε 4 ηµέρες και ο δεύτερος 5 ηµέρες. Πόσα χρήµατα αντιστοιχούν στον καθένα;
" Λύση Τα µεροκάµατα που έκαναν και οι δύο εργάτες είναι 4 + 5 = 9 . Άρα για 9 µεροκάµατα πληρώθηκαν 270 €. Οπότε το µεροκάµατο στοιχίζει 270 : 9 = 30 €. Ο πρώτος εργάτης πρέπει να πάρει: 30 ⋅ 4 = 120 €, και Ο δεύτερος εργάτης πρέπει να πάρει: 30 ⋅ 5 = 150 €. 5.
Το θαλασσινό νερό περιέχει αλάτι σε ποσοστό 3%. Πόσα κιλά θαλασσινό νερό πρέπει να εξατµιστούν για να πάρουµε 60 Kg αλάτι;
" Λύση Αφού το θαλασσινό νερό περιέχει Νερό σε Kg Αλάτι σε Kg 3% αλάτι τότε από 100 Kg νερό θα 100 3 πάρουµε 3 Kg αλάτι. Έχουµε τον x 60 πίνακα αναλογίας: 100 3 = ή 3 ⋅ x = 100 ⋅ 60 ∆ηλαδή: x 60 6.000 x= = 2.000 3 ⋅ x = 6.000 άρα 3 Οπότε θα πρέπει να εξατµιστούν 2.000 Kg θαλασσινό νερό.
257
6.
Ένας γεωργός είχε ένα χωράφι 7 στρέµµατα και πήρε και το γειτονικό χωράφι εµβαδού 8 στρεµµάτων, για να φυτέψει καλαµπόκι. Η συµφωνία µε το γείτονά του ήταν να του δώσει το 15% της παραγωγής του χωραφιού του. Η συνολική παραγωγή ήταν 14 τόνοι καλαµπόκι. Πόσους τόνους θα πάρει ο γεωργός και πόσους ο γείτονας;
" Λύση Ο γεωργός καλλιέργησε συνολικά 7 + 8 = 15 στρέµµατα. 8 των 14 τόνων, Η παραγωγή του χωραφιού του γείτονα είναι τα 15 8 112 ⋅ 14 = = 7,466 τόνοι. δηλαδή 15 15 Ο γείτονας πρέπει να πάρει το 15% των 7,466 τόνων, 15 = 1,12 τόνους. δηλαδή 7,466 ⋅ 15% = 7,466 100 Άρα ο γεωργός θα πάρει 14 − 1,12 = 12,88 τόνους καλαµπόκι. 7.
Αν ψήσουµε 2,5 Kg ωµό κρέας θα µείνει 1,9 Kg ψηµένο κρέας. α. Πόσο είναι το ποσοστό απώλειας που έχουµε; β. Πόσο κρέας πρέπει να ψήσουµε για να έχουµε 2,3 Kg ψηµένο κρέας;
" Λύση α.
Η απώλεια που έχουµε σε Kg όταν ψήνουµε το κρέας των 2,5 Kg είναι 2,5 − 1,9 = 0,6 Kg. Οπότε το ποσοστό απώλειας κατά το ψήσιµο είναι 0,6 0,6 ⋅ 40 24 δηλαδή 24%. = = 2,5 2,5 ⋅ 40 100
β.
Έχουµε τον πίνακα αναλογίας: Βάρος σε Kg
Βάρος σε Kg
Ωµό
2,5
x
Ψηµένο
1,9
2,3
2,5 x = ή 1,9 ⋅ x = 2,5 ⋅ 2,3 ή 1,9 ⋅ x = 5,75 1,9 2,3 5,75 = 3,02 . Οπότε πρέπει να ψήσουµε 3,02 Kg κρέας. άρα x= 1,9
∆ηλαδή:
258
8.
Η µηνιαία κάρτα απεριορίστων διαδροµών στοιχίζει 12€ και η τιµή της θα αυξηθεί, κατά 75%. Το εισιτήριο στο αστικό λεωφορείο είναι 0,7€ και θα αυξηθεί κατά 50%. Ένας εργαζόµενος παίρνει λεωφορείο, για να πάει και να γυρίσει από τη δουλειά του κάθε ηµέρα, για είκοσι φορές το µήνα. Τον συµφέρει ή όχι η χρήση της κάρτας;
" Λύση Η αύξηση στη µηνιαία κάρτα θα είναι 12 ⋅ 75% = 12 Οπότε η µηνιαία κάρτα θα στοιχίζει Η αύξηση στο εισιτήριο θα είναι
75 900 = = 9 €. 100 100
12 + 9 = 21 €. 0,7 ⋅ 50% = 0,7
50 3,5 = = 0,35 € 100 100
και το εισιτήριο θα κοστίζει 0,7 + 0,35 = 1,05 €. Ο εργαζόµενος κάνει συνολικά το µήνα 40 διαδροµές µε το λεωφορείο, για να πάει και να γυρίσει από τη δουλειά του. Αν πληρώνει καθηµερινά εισιτήριο τότε πρέπει να πληρώσει 40 ⋅ 1,05 = 42 € το µήνα
οπότε η µηνιαία κάρτα που κοστίζει 21 € τον συµφέρει. 9.
Ένα κεφάλαιο δίνει τόκο 1.000 € το χρόνο, µε επιτόκιο 10%. Αν το επιτόκιο µειωθεί κατά 20%, πόσο τόκο θα δίνει το κεφάλαιο για ένα χρόνο; Πόσο τοις εκατό πρέπει να αυξήσουµε το κεφάλαιο µας για να έχουµε τον ίδιο τόκο, παρά την µείωση του επιτοκίου;
" Λύση Τα ποσά Κεφάλαιο – Τόκος είναι ανάλογα. Έτσι έχουµε τον πίνακα αναλογίας:
Κεφάλαιο
100
x
Τόκος
10
1000
100 x 100 ⋅ 1.000 = ή 10 ⋅ x = 100 ⋅ 1.000 ή x = = 10.000 10 1.000 10 Άρα το κεφάλαιο που έχουµε είναι 10.000 €. Αν το επιτόκιο µειωθεί κατά 20% η µείωση είναι: 20 200 10 ⋅ 20% = 10 = = 2 µονάδες οπότε 100 100 το επιτόκιο θα γίνει 10 − 2 = 8% . Ο τόκος που θα πάρουµε για το κεφάλαιο των 10.000 € µε επιτόκιο 8% 8 θα είναι: 10.000 ⋅ 8% = 10.000 = 800 €. 100
∆ηλαδή:
259
Αν θέλουµε να βρούµε το κεφά100 x λαιο που πρέπει να έχουµε για Κεφάλαιο 8 1000 να πάρουµε τόκο 1.000 € µε επι- Τόκος τόκιο 8% έχουµε τον πίνακα αναλογίας: 100 x 100.000 = 12.500 = ∆ηλαδή: ή 8 ⋅ x = 100 ⋅ 1.000 ή x = 8 8 1.000 Οπότε πρέπει να αυξήσουµε το κεφάλαιο µας κατά 12.500 − 10.000 = 2.500 €, 2.500 δηλαδή το ποσοστό αύξησης είναι = 0,25 Þ 25% . 10.000 10. Συµπλήρωσε τον παρακάτω πίνακα και σχεδίασε διάγραµµα που αντιστοιχεί στα δεδοµένα του προβλήµατος: ΣΥΝΟΛΟ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΠΟΣΟΣΤΑ
200
Με 0
Με 1
Με 2
Με 3
Με 4
Πάνω από
παιδιά
παιδί
παιδιά
παιδιά
παιδιά
4 παιδιά
10
40
80
50
15
5
100%
" Λύση Με 0
Με 1
Με 2
Με 3
Με 4
Πάνω από
παιδιά
παιδί
παιδιά
παιδιά
παιδιά
4 παιδιά
200
10
40
80
50
15
5
100%
5%
20%
40%
25%
7,5%
2,5%
ΣΥΝΟΛΟ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΠΟΣΟΣΤΑ
260
11. Τα 250 gr χρυσού κοστίζουν 500 €. Ποια είναι η τιµή του κιλού;
" Λύση Έχουµε τον πίνακα αναλογίας: Βάρος σε gr
250
1000
Τιµή σε €
500
x
250 1.000 = ή 250 ⋅ x = 1.000 ⋅ 500 500 x 500 ⋅ 1.000 = 2 ⋅ 1.000 = 2.000 . x= 250 Άρα το 1 κιλό χρυσού στοιχίζει 2.000 €.
∆ηλαδή:
12. Μια βιοµηχανία λαµπτήρων έκανε έλεγχο ποιότητας του προϊόντος της και βρήκε ότι το 2% της παραγωγής της ήταν ελαττωµατικό. Σε µια παραγγελία 5.000 λαµπτήρων, από έναν πολύ καλό πελάτη, πόσους επιπλέον καλούς λαµπτήρες πρέπει να στείλει, χωρίς χρέωση, ώστε να µην υπάρχουν παράπονα; Ή τι έκπτωση πρέπει να κάνει, για τον ίδιο λόγο;
" Λύση Ο πίνακας αναλογίας είναι: Σύνολο λαµπτήρων Ελαττωµατικοί Λαµπτήρες
100
5000
2
x
100 5.000 2 ⋅ 5.000 = 100 . = ή 100 ⋅ x = 2 ⋅ 5000 ή x= 2 x 100 Άρα, πρέπει να στείλει επιπλέον 100 λαµπτήρες στον πελάτη. Αν η βιοµηχανία αποφασίσει να του κάνει έκπτωση, τότε πρέπει να του κάνει έκπτωση 2%. ∆ηλαδή:
261
13. ∆ύο έµποροι συνεταιρίστηκαν σε µια επιχείρηση. Τα κέρδη της επιχεί2 του συνολιρησης κατά τον πρώτο χρόνο λειτουργίας της ήταν τα 7 κού κεφαλαίου. Αν ο πρώτος έµπορος είχε κέρδος 3.000 € και ο δεύτερος 4.000 € να βρεθεί το κεφάλαιο που διέθεσε ο καθένας.
" Λύση Τα συνολικά κέρδη του πρώτου χρόνου ήταν 3.000 + 4.000 = 7.000 € και αυτά αντιστοιχούν στα
2 του κεφαλαίου. 7
1 του κεφαλαίου ήταν 7.000 : 2 = 3.500 €, 7 7 άρα όλο το κεφαλαίο δηλαδή τα ήταν 3.500 ⋅ 7 = 24.500 €. 7 Τα χρήµατα που έβαλε κάθε έµπορος είναι ανάλογα των κερδών που πήρε. Αν συµβολίσουµε µε x τα χρήµατα του πρώτου εµπόρου και µε y τα χρήµατα που έβαλε ο δεύτερος έµπορος τότε έχουµε τον πίνακα αναλογίας:
Οπότε το
ΣΥΝΟΛΟ
Α’
Β’
Κεφάλαιο
24.500
x
y
Κέρδη
7.000
3.000
4.000
24.500 x = ή 7.000 ⋅ x = 3.000 ⋅ 24.500 7.000 3.000 3.000 ⋅ 24.500 x= ή x = 10.500 7.000 Άρα ο πρώτος έβαλε 10.500 € και ο δεύτερος έµπορος 24.500 − 10.500 = 14.000 €.
Οπότε:
262
14. ∆ύο αθλητικοί όµιλοι έχουν καθιερώσει τις εξής τιµές: Α΄ όµιλος: Εγγραφή 5.000 € και 1.000 € ανά έτος Β΄ όµιλος: 2.000 € ανά έτος. Πότε συµφέρει κάποιον να εγγραφεί σε έναν από τους δύο οµίλους;
" Λύση Το ποσό που θα πληρώσει κάποιος στον Α΄ όµιλο δίνεται από τη σχέση: y = 5.000 + 1.000 ⋅ x Άρα για 1 έτος: y = 5.000 + 1.000 ⋅ 1 = 6.000 για 2 έτη: y = 5.000 + 1.000 ⋅ 2 = 7.000 για 3 έτη: y = 5.000 + 1.000 ⋅ 3 = 8.000 για 4 έτη: y = 5.000 + 1.000 ⋅ 4 = 9.000 για 5 έτη: y = 5.000 + 1.000 ⋅ 5 = 10.000 για 6 έτη: y = 5.000 + 1.000 ⋅ 6 = 11.000 για 7 έτη: y = 5.000 + 1.000 ⋅ 7 = 12.000 Ο αντίστοιχος πίνακας γίνεται: Έτη: x Ποσό σε €:y
1 6.000
2 7.000
3 8.000
4
5
6
7
9.000
10.000
11.000
12.000
Στο Β΄ όµιλο το ποσό που θα πληρώσει είναι ανάλογο του αριθµού των ετών και δίνεται από τη σχέση: y = 2.000 ⋅ x Οπότε ο πίνακας αναλογίας γίνεται: Έτη: x Ποσό σε €:y
1
2
2.000 4.000
3 6.000
4
5
6
7
8.000
10.000
12.000
14.000
Παρατηρώντας τους δύο πίνακες έχουµε τα συµπεράσµατα: Αν κάποιος παραµείνει µέλος έως 4 έτη συµφέρει ο Β΄ όµιλος. Για ακριβώς 5 έτη τα χρήµατα είναι ίδια και για τους δύο οµίλους. Για χρονικό διάστηµα µεγαλύτερο των 5 ετών συµφέρει ο Α΄ όµιλος.
263
15. Τα 15 m ενός υφάσµατος κοστίζουν 71,25 €. Πόσα m από το ίδιο ύφασµα θα αγοράσουµε µε 152 €; (Απ.: 32 m) 16. Βρύση σε 2 ώρες γεµίζει τα
3 της δεξαµενής. Σε πόσες ώρες θα γεµίσει 5
η δεξαµενή; (Απ.:3 ώρες και 20 λεπτά) 17. Το σιτάρι όταν αλεστεί δίνει 76% αλεύρι. Πόσα κιλά αλεύρι θα πάρουµε από 5.600 Kg σιτάρι; (Απ.:4.256 Kg)
5 3 µιας αποστάσεως είναι 2.000 m. Πόσα µέτρα είναι τα της ίδιας 6 8 απόστασης; (Απ.:900 m)
18. Τα
19. Σε τρία παιδιά 8, 10 και 14 χρόνων µοιράστηκαν 160 €, ανάλογα µε την ηλικία τους. Να βρείτε πόσα ευρώ πήρε το καθένα. (Απ.:40 €, 50 €, 70 €) 20. Ένας υπάλληλος για 8 ώρες εργασίας παίρνει 28 €. Πόσα ευρώ θα πάρει για 20 ώρες εργασίας; (Απ.:70 €) 21. Με 100 κιλά αλεύρι κάνουµε 130 κιλά ψωµί. Αν θέλουµε να κάνουµε 312 κιλά ψωµί, πόσα κιλά αλεύρι πρέπει να χρησιµοποιήσουµε; (Απ.:240 Kg) 22. Τρεις εργάτες µαζεύουν 45 κοφίνια σταφύλια σε 2 ώρες. Πόσα κοφίνια θα µαζέψουν 5 εργάτες σε 2 ώρες; (Απ.:75)
264
23. Η µισή δωδεκάδα αυγών κοστίζει 0,84 €. Πόσο κοστίζουν τα 5 αυγά; (Απ.:0,70 €) 24. Ένα αυτοκίνητο πουλήθηκε µε έκπτωση 10%. Ποια η αρχική τιµή του αυτοκινήτου, αν το ποσό που πληρώθηκε είναι 27.000 €; (Απ.:30.000 €) 25. Ο αέρας αποτελείται από οξυγόνο και άζωτο σε αναλογία βαρών 24:76. Πόσο βάρος από κάθε αέριο περιέχεται σε 6 Kg αέρα; (Απ.: 1,44 Kg άζωτο, 4,56 Kg οξυγόνο) 26. Σ’ ένα ποδήλατο ο οδοντωτός τροχός του πεντάλ έχει 35 δόντια και ο οδοντωτός τροχός µε τον οποίο γυρίζει η πίσω ρόδα 14 δόντια. i. Αν το πεντάλ κάνει 10 στροφές, πόσες στροφές θα κάνει η πίσω ρόδα; ii. H ρόδα καλύπτει 1,92 m σε πλήρη περιστροφή. Πόσες στροφές θα κάνει κάποιος µε το πεντάλ για µια ανηφόρα µήκους 1,5 km; (Απ.: i. 25 ii. 312,5 στροφές)
265
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Ξεκινούν ταυτόχρονα από την Αθήνα: α. ένα αυτοκίνητο που τρέχει µε ταχύτητα 120 km/h β. ένα αεροπλάνο µε 600 km/h γ. µία µοτοσικλέτα µε 75 km/h δ. ένα λεωφορείο που τρέχει µε 80 km/h ε. ένα ελικόπτερο µε 300 km/h στ. ένα ταξί µε 100 km/h ζ. µία βέσπα µε 60 km/h η. ένα πούλµαν µε 90 km/h Το τέλος της διαδροµής είναι η πόλη της Χρυσούπολης Καβάλας, που απέχει 600 km. Βρες σε πόσες ώρες, θα φθάσει το καθένα στον προορισµό του και συµπλήρωσε τον παρακάτω πίνακα: Ταχύτητα σε km/h Χρόνος σε ώρες
120
600
75
80
300
100
60
90
5
1
8
7,5
2
6
10
6,66
Ποια σχέση συνδέει τα µεγέθη της ταχύτητας και του χρόνου; Τοποθέτησε τα ζεύγη τιµών που βρήκες, σε ένα σύστηµα ηµιαξόνων και ένωσε τα σηµεία, που ορίζουν τα ζεύγη αυτά, µε µια γραµµή. Τι παρατηρείς;
" Απάντηση Είναι u ⋅ t = 600 Παρατηρούµε ότι τα σηµεία αυτά βρίσκονται σε µία καµπύλη γραµµή η οποία ονοµάζεται υπερβολή.
266
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 2ç Ένα συνεργείο που αποτελείται από 8 εργάτες χρειάζεται 30 ηµέρες για να ολοκληρώσει ένα οικοδοµικό έργο. Πόσες ηµέρες θα χρειαστεί το συνεργείο, που αποτελείται από 2, 4, 6, 10, 12, 24 ή 48 εργάτες για να τελειώσει το ίδιο έργο; Μπορείς να συµπληρώσεις τον παρακάτω πίνακα: Εργάτες συνεργείου
2
4
6
8
10
12
24
48
Ηµέρες εργασίας
120
60
40
30
24
20
10
5
Τι παρατηρείς για το γινόµενο εργάτες ⋅ ηµέρες; Τοποθέτησε τα ζεύγη τιµών του πίνακα, σε ένα σύστηµα ηµιαξόνων και ένωσε τα σηµεία, που ορίζουν τα ζεύγη αυτά, µε µια γραµµή. Τι παρατηρείς;
" Απάντηση
Το γινόµενο "åñãÜôåò" ⋅ "çìÝñåò" είναι σταθερό για όλα τα ζεύγη τιµών και ισούται µε 240. Η γραµµή που ενώνει τα σηµεία είναι καµπύλη γραµµή η οποία ονοµάζεται υπερβολή.
267
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 3ç Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο έχει διαστάσεις x και y. Αν γνωρίζεις ότι το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι 144 m2 , µπορείς να βρεις δεκατέσσερις ακέραιες τιµές των διαστάσεών του και να συµπληρώσεις τον παρακάτω πίνακα: x
1
2
y
144 72
3
4
6
8
9
12
16
18
24
36
48
72
48
36
24
18
16
12
9
8
6
4
3
2
Ποια σχέση συνδέει τις διαστάσεις του ορθογωνίου µε το εµβαδόν του; Τοποθέτησε τα ζεύγη τιµών του πίνακα, σε ένα σύστηµα ηµιαξόνων και ένωσε τα σηµεία, που ορίζουν τα ζεύγη αυτά, µε µια γραµµή. Τι παρατηρείς; Ποιο ορθογώνιο, από αυτά που βρήκες, έχει τη µικρότερη περίµετρο;
" Απάντηση Είναι x ⋅ y =144 δηλαδή Å = x ⋅ y Όλα τα σηµεία βρίσκονται σε µία καµπύλη γραµµή. Από τον πίνακα παρατηρούµε ότι το ορθογώνιο που έχει διαστάσεις x = y =12 , δηλαδή το τετράγωνο έχει τη µικρότερη περίµετρο.
150 140 100 70 50 20 10 0 10 20
268
50 70 100
140150
1.
Ποια από τα παρακάτω ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα; (Τοποθέτησε ένα «x» στην αντίστοιχη θέση) Σωστό Λάθος α. Η βάση και το εµβαδόν ενός τριγώνου, µε σταθερό ύψος. X X β. Η παροχή µιας βρύσης και ο χρόνος που χρειάζεται για γεµίσει µια µπανιέρα.
X
X
γ. Το εµβαδόν της ρωγµής ενός πλοίου και ο χρόνος που απαιτείται για να γεµίσουν τα αµπάρια του µε νερό.
X
X
δ. Ο αριθµός ατόµων και το βάρος του παγωτού που θα φάνε από ένα οικογενειακό παγωτό 2 kg.
X
X
ε. Η χωρητικότητα και ο αριθµός των µπουκαλιών που χρειαζόµαστε για να εµφιαλώσουµε 100 lt κρασιού.
X
X
στ. Ο αριθµός των ατόµων και οι σκηνές των 2 ατόµων που χρειάζονται, για να κατασκηνώσουν.
X
X
2.
Συµπλήρωσε τα παρακάτω κενά: α. ∆ύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα και η τιµή του ενός διπλασιάζεται, τότε η αντίστοιχη τιµή του άλλου διαιρείται µε 2. β. Η γραφική παράσταση δύο αντιστρόφως ανάλογων ποσών είναι καµπύλη γραµµή και ονοµάζεται υπερβολή.
3.
Εξέτασε τους παρακάτω πίνακες:
α
γ
x
1
2
3
4
y
2
1
2 3
1 2
x
1 100
2 58
y
100
29
7 10 10 7
β
δ
4 1
x
0,25
0,4
0,5
y
10
6,25
5
x
3
6
9
y
9
5
3
Ποιοι από αυτούς είναι πίνακες τιµών αντιστρόφως ανάλογων ποσών;
" Λύση Ο α. είναι πίνακας αντιστρόφως ανάλογων ποσών γιατί: 2 1 x ⋅ y =1 ⋅ 2 = 2 ⋅ 1= 3 ⋅ = 4 ⋅ = 2 3 2
269
Ο β. είναι πίνακας αντιστρόφως ανάλογων ποσών γιατί: x ⋅ y = 0,25 ⋅ 10 = 0,4 ⋅ 6,25 = 0,5 ⋅ 5 = 2,5 Ο γ. δεν είναι πίνακας αντιστρόφως ανάλογων ποσών γιατί: 7 10 ⋅ = 1 êáé 4 ⋅ 1 = 4 10 7 Ο δ. δεν είναι πίνακας αντιστρόφως ανάλογων ποσών γιατί: 3 ⋅ 9 = 27 êáé 6 ⋅ 5 = 30
4.
Τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα. α. Συµπλήρωσε τον πίνακα: x
0,2
0,5
0,7
1
y
2,3
3,5
2,5
3
1,75
10
12
0,875
β. Βρες τα σηµεία που παριστάνουν κάθε ζευγάρι τιµών (x,y), σε κατάλληλο σύστηµα ορθογωνίων ηµιαξόνων και σχεδίασε την υπερβολή.
" Λύση α. Πρέπει να είναι x ⋅ y =1 ⋅ 3,5 = 3,5 . Οπότε όλα ζεύγη (x,y) πρέπει να έχουν γινόµενο 3,5. Άρα ο πίνακας συµπληρωµένος είναι:
x
0,2
0,5
0,7
1
1,4
y
17,5
7
5
3,5
2,5
2
2,3
1,75 1,521
3
4
1,166 0,875
10
12
0,35 0,291
β.
5.
270
Για την αναδάσωση µιας πλαγιάς, εργάστηκαν 20 εργάτες για 10 ηµέρες. Πόσοι εργάτες, ίδιας απόδοσης, χρειάζονται για να αναδασώσουν την έκταση αυτή, σε 8 ηµέρες;
" Λύση Τα ποσά εργάτες και ηµέρες είναι αντιστρόφως ανάλογα. Εργάτες Έχουµε τον πίνακα Ηµέρες Οπότε 20 ⋅ 10 = 8 ⋅ x ή 8 ⋅ x = 200 200 = 25 . Άρα χρειάζονται 25 εργάτες. άρα x = 8
6.
20
x
10
8
Σε ένα αγρόκτηµα, τοποθέτησαν ντοµάτες σε 50 καφάσια, των 12 Kg το καθένα. Πόσα καφάσια των 20 Kg θα χρειαζόντουσαν για να τοποθετήσουν τις ντοµάτες. Αν κάθε καφάσι των 12 Kg στοιχίζει 0,28 € και κάθε καφάσι των 20 Kg στοιχίζει 0,46 €, ποια συσκευασία τους συµφέρει, ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος συσκευασίας του προϊόντος τους;
" Λύση Τα ποσά αριθµός καφασιών και βάρος σε ντοµάτες του καθενός είναι αντιστρόφως ανάλογα. Αριθµός καφασιών 50 x Οπότε έχουµε τον πίνακα: Βάρος σε Kg του καφ. 12 20 ∆ηλαδή 20 ⋅ x = 50 ⋅ 12 ή 20 ⋅ x = 600 άρα 600 x= = 30 καφάσια. Τα 50 καφάσια των 12Kg κοστίζουν 50 ⋅ 0,28 = 14 €, 20 ενώ τα 30 καφάσια των 20Kg κοστίζουν 30 ⋅ 0,46 = 13,8 €. Άρα συµφέρει να χρησιµοποιηθούν καφάσια των 20Kg.
7.
Το πετρέλαιο που υπάρχει στη δεξαµενή µιας πολυκατοικίας, επαρκεί για 30 ηµέρες όταν καταναλώνονται 80 lt την ηµέρα. Όταν το κρύο δυναµώνει, η ηµερήσια κατανάλωση αυξάνεται κατά 20%. Για πόσες ηµέρες θα φτάσει το πετρέλαιο;
" Λύση
Όταν κάνει κρύο η αύξηση του πετρελαίου σε λίτρα είναι 20 80 ⋅ 20% = 80 ⋅ = 16 lt . 100 Άρα τότε καταναλώνονται συνολικά την ηµέρα 80 + 16 = 96 lt . Τα ποσά ηµέρες και κατανάλωση σε λίτρα είναι αντιστρόφως ανάλογα. Έχουµε τον πίνακα: Ηµέρες 30 x ∆ηλαδή 96 ⋅ x = 30 ⋅ 80 Ηµερήσια κατανάλωση σε λίτρα 80 96 ή 96 ⋅ x = 2400 2400 = 25 . Οπότε το πετρελαίου θα φτάσει για 25 ηµέρες. οπότε x= 96
271
8.
Οι τιµές δύο αντιστρόφως ανάλογων ποσών αναπαριστώνται από την υπερβολή του διπλανού σχήµατος. Να συµπληρωθεί ο πίνακας των τιµών των δύο ποσών: X y
1 2
2
4
2
3
" Λύση Σύµφωνα µε την γραφική παράσταση της υπερβολής ο πίνακας γίνεται:
9.
X
1 2
1
2
2 3
4
y
4
2
1
3
1 2
∆έκα εργάτες χρειάζονται 3 ηµέρες για να φυτέψουν ένα χωράφι. Σε πόσες ηµέρες θα το φυτέψουν, το ίδιο χωράφι, 12 εργάτες ίδιας απόδοσης;
" Λύση Τα ποσά εργάτες και ηµέρες είναι αντιστρόφως ανάλογα. Έχουµε τον πίνακα: Εργάτες
10
12
Ηµέρες
3
x
30 = 2,5 . 12 Οπότε χρειάζονται 2,5 ηµέρες για να φυτέψουν το χωράφι. ∆ηλαδή 12 ⋅ x = 3 ⋅ 10
272
ή
12 ⋅ x = 30
άρα x=
10. ∆ύο ορθογώνια έχουν το ίδιο εµβαδό. Αν οι διαστάσεις του ενός είναι 4 cm και 5 cm να υπολογιστεί ποιες θα µπορούσε να είναι οι διαστάσεις του δεύτερου αν γνωρίζουµε ότι είναι φυσικοί αριθµοί.
" Λύση Το εµβαδό του ορθογωνίου που έχει διαστάσεις 4 cm και 5 cm είναι E = 4 ⋅ 5 = 20 cm2 .
Ψάχνουµε, λοιπόν, για όλα τα ζεύγη των φυσικών αριθµών που έχουν γινόµενο 20. Αυτά µπορεί να είναι: 1 και 20 ή 2 και 10 Άρα το άλλο ορθογώνιο µπορεί να έχει διαστάσεις 1 cm και 20 cm ή 2 cm και 10 cm.
11. Μια δεξαµενή γεµίζει από 6 βρύσες σε 10 ώρες. Πόσες βρύσες, που να έχουν την ίδια παροχή, πρέπει να προσθέσουµε για να γεµίσει η δεξαµενή σε 3 ώρες;
" Λύση Τα ποσά αριθµός βρυσών και ώρες που γεµίζει η συγκεκριµένη δεξαµενή είναι αντιστρόφως ανάλογα. Οπότε έχουµε τον πίνακα:
Αριθµός βρυσών
6
x
Ώρες
10
3
60 = 20 3 Άρα συνολικά 20 βρύσες γεµίζουν τη δεξαµενή σε 3 ώρες, οπότε πρέπει να προσθέσουµε ακόµη 14 βρύσες.
Οπότε
3 ⋅ x = 6 ⋅ 10
ή
3 ⋅ x = 60
ή
x=
273
12. Σε ένα βουστάσιο 100 αγελάδες χρειάζονται 3 τόνους ζωοτροφής για 15 ηµέρες. Ο κτηνοτρόφος αγόρασε άλλες 20 αγελάδες. Πόσες ηµέρες θα περάσει αν στην αποθήκη υπάρχουν 2,5 τόνοι ζωοτροφής;
" Λύση Τα ποσά τόνοι ζωοτροφής και ηµέρες που περνάνε οι 100 αγελάδες είναι ανάλογα. Οπότε έχουµε τον πίνακα:
Είναι
Τόνοι ζωοτροφής
3
2,5
Ηµέρες
15
x
3 2,5 = 15 x
3 ⋅ x = 2,5 ⋅ 15
ή
ή
3 ⋅ x = 37,5
37,5 = 12,5 . 3 Οπότε µε τους 2,5 τόνους οι 100 αγελάδες περνάνε 12,5 ηµέρες. Όταν προστεθούν ακόµα 20 αγελάδες τότε γίνονται 120 και έχουν 2,5 τόνους ζωοτροφής. Τα ποσά αριθµός αγελάδων και ηµέρες που περνάνε µε τους 2,5 τόνους ζωοτροφής είναι αντιστρόφως ανάλογα. Οπότε έχουµε τον πίνακα: άρα x=
Αριθµός αγελάδων
100
120
Ηµέρες
12,5
x
1250 = 10,4 120 Άρα οι 120 αγελάδες θα περάσουν 10,4 ηµέρες µε τους 2,5 τόνους ζωοτροφής. 120 ⋅ x = 100 ⋅ 12,5
274
ή
120 ⋅ x = 1250
ή
x=
13. Ποια από τα παρακάτω ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα; i. Το µήκος και το πλάτος ενός ορθογώνιου που έχει σταθερό εµβαδόν. ii. Η τιµή του εισιτηρίου υπεραστικού λεωφορείου και η απόσταση του τόπου αναχώρησης και του τόπου προορισµού. iii. Η βάση και το ύψος ενός τριγώνου σταθερού εµβαδού. iv. Η πλευρά ενός τετραγώνου και το εµβαδόν του. v. Οι ηµέρες που απαιτούνται για την ολοκλήρωση ενός έργου και οι ώρες που εργαζόµαστε κάθε µέρα για να πραγµατοποιηθεί το έργο. vi. Ο αριθµός των παιδιών σε µία κατασκήνωση και οι ηµέρες που περνούν µε ορισµένη ποσότητα τροφής. vii. Η τιµή ενός προϊόντος χωρίς ΦΠΑ και η τιµή µαζί µε το ΦΠΑ. (Απ.: i, iii, v, vi) 14. Τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα. Να υπολογίσετε την τιµή του αγνώστου ω σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις: x
3
21
x
7
49
y
5
ω
y
ω
2,1
(Απ.:i. ω=0,71
ii. ω=14,7)
15. Συµπληρώστε τον παρακάτω πίνακα, ώστε τα δύο µεγέθη Α και Β να είναι αντιστρόφως ανάλογα. Α
2
Β
20
4
5
8
16. Για να καλλιεργηθεί ένα χωράφι 30 εργάτες χρειάζονται να δουλέψουν 12 ηµέρες. Αν θέλουµε το χωράφι να καλλιεργηθεί σε 8 ηµέρες, πόσους εργάτες πρέπει να χρησιµοποιήσουµε; (Απ.:45)
275
17. Μια µοτοσικλέτα που τρέχει µε ταχύτητα 80 km/h χρειάζεται 4 ώρες για να φθάσει στον προορισµό της. Αν τρέχει µε 60 km/h πόση ώρα θα χρειαστεί για την ίδια απόσταση; (Απ.: 5 ώρες και 20 λεπτά) 18. Αν καταναλώνουµε 3 κουταλιές καφέ την ηµέρα, τότε ένα κουτί µας φτάνει για 12 ηµέρες. Αν καταναλώνουµε 2 κουταλιές την ηµέρα, για πόσες ηµέρες θα µας φτάσει το κουτί; (Απ.:18) 19. Για µια έρευνα πρέπει να ρωτηθούν 1.000 άτοµα. Αν δουλέψουν 12 άτοµα ολοκληρώνουν την έρευνα σε 3 ηµέρες. Αν όµως η έρευνα πρέπει να ολοκληρωθεί σε 2 ηµέρες, πόσα άτοµα πρέπει να δουλέψουν; (Απ.:18) 20. 50 στρατιώτες έχουν τροφές για 30 ηµέρες. Πόσες ηµέρες θα περάσουν 1 της; µε αυτές αν αυξηθεί η µερίδα κατά το 5 (Απ.: 25) 21. Μια οικογένεια µπορεί να κάνει 15 ηµέρες διακοπές, αν ξοδεύει καθηµερινά 150 €. Αν θέλει να κάνει 20 ηµέρες διακοπές, πόσο πρέπει να περιορίσει τα ηµερήσια έξοδα της; (Απ.: 37,5 €) 22. Για ένα κτήµα µε πορτοκαλιές προσέλαβαν 6 κλαδευτές, που κλάδεψαν το µισό κτήµα σε 3 ηµέρες. Αν το υπόλοιπο κτήµα πρέπει να κλαδευτεί σε 20 ηµέρες, πόσους κλαδευτές πρέπει να προσλάβουν; (Απ.: 10) 23. 12 άνδρες εκτελούν ένα έργο σε 20 ηµέρες. Σε πόσες ηµέρες θα εκτελέσουν το ίδιο έργο 20 γυναίκες, αν η εργασία 4 ανδρών ισοδυναµεί µε την εργασία 5 γυναικών; (Απ.: 15 ηµέρες) 24. Ένας ποδηλάτης τρέχοντας 20 km/h χρειάζεται 48 min για να διανύσει µια απόσταση. Πόσο χρόνο χρειάζεται για την ίδια απόσταση: i. Ένας πεζός που βαδίζει µε 5 km/h; ii. Ένα αυτοκίνητο που τρέχει µε 80 km/h; (Απ.: i. 3 ώρες και 12 min ii. 12 min)
276
Α. Ασκήσεις Σωστού ή Λάθους. Τοποθέτησε ένα «x» στην αντίστοιχη θέση. Σωστό Λάθος 1. Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά, οι τιµές τους έχουν σταθερό γινόµενο.
X
X
2. Η παροχή της βρύσης είναι ανάλογη του χρόνου που γεµίζει η µπανιέρα.
X
X
3. Στα ανάλογα ποσά οι αντίστοιχες τιµές τους έχουν σταθερό πηλίκο.
X
X
4. Το ποσό α είναι ποσοστό του β, τότε τα ποσά α και β είναι ανάλογα.
X
X
5. Μια κλίµακα 2:1 αντιστοιχεί σε σµίκρυνση στο µισό του αρχικού σχήµατος.
X
X
6. Ένας χάρτης περιοχής µε κλίµακα 1:1000 είναι µικρότερος από έναν άλλο χάρτη της ίδιας περιοχής µε κλίµακα 1:2000.
X
X
7. Αν δύο µοιραστούν 6.000 € µε λόγο 2:1 τότε ο ένας θα πάρει 3.000 €.
X
X
Β. Ασκήσεις συµπλήρωσης κενού. 1. Το πηλίκο των µέτρων δύο οµοειδών µεγεθών, όταν έχουν µετρηθεί µε την ίδια µονάδα, λέγεται λόγος µεγεθών. 2. Ο λόγος της απόστασης δύο σηµείων µιας εικόνας προς την πραγµατική απόσταση των δύο αντίστοιχων σηµείων του αντικειµένου ονοµάζεται κλίµακα. 3. Αν πενταπλασιάσουµε την τιµή ενός από δύο ανάλογα ποσά και η αντίστοιχη τιµή του άλλου ποσού πενταπλασιάζεται. 4. Το πηλίκο των αντίστοιχων τιµών δύο ανάλογων ποσών ονοµάζεται συντελεστής αναλογίας. 5. Η γραφική αναπαράσταση µιας σχέσης αναλογίας είναι ευθεία γραµµή που περνάει από το σηµείο Ο (0, 0).
277
6.
Συµπλήρωσε το παρακάτω πίνακα ανάλογων ποσών:
x
2
4
8
15
16
y
7,5
15
30
56,25
60
7.
∆ύο ποσά των οποίων το γινόµενο δύο αντίστοιχων τιµών είναι σταθερό λέγονται αντιστρόφως ανάλογα.
8.
Συµπλήρωσε το διπλανό πίνακα αντιστρόφως ανάλογων ποσών:
9.
x
2
1
0,5
4
8
y
8
16
32
4
2
Συµπλήρωσε τον πίνακα µε τις συντεταγµένες των σηµείων των γραφικών παραστάσεων, που έχουν σηµειωθεί έντονα, προσπάθησε να βρεις τον αντίστοιχο τύπο και να εκτιµήσεις αν αυτός αφορά σχέση αναλογίας.
x
1
2
3
y
2
3
4
y = x + 1 ∆εν αποτελεί αναλογία
x
1,5
3
4,5
y
1
2
3
y=
278
2 x . Αποτελεί σχέση αναλογίας 3
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Η µετεωρολογική υπηρεσία προέβλεψε ότι οι θερµοκρασίες στις διάφορες πόλεις θα είναι αυτές που αναγράφονται στον παρακάτω πίνακα: Αθήνα
7o πάνω από το µηδέν
Θεσσαλονίκη
3o κάτω από το µηδέν
Ιωάννινα
5o κάτω από το µηδέν
Πάτρα
2o πάνω από το µηδέν
Αλεξανδρούπολη
8o κάτω από το µηδέν
Φλώρινα
10o κάτω από το µηδέν
Τρίπολη
6o κάτω από το µηδέν
Χανιά
11o πάνω από το µηδέν
Προσπάθησε να σηµειώσεις στο χάρτη αριθµούς που να εκφράζουν τις συγκεκριµένες θερµοκρασίες.
279
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 2ç Στον ανελκυστήρα ενός γκαράζ υπάρχουν τα κουµπιά που βλέπεις δίπλα. Τι εκφράζουν οι αριθµοί που είναι γραµµένοι στα κουµπιά;
" Απάντηση Το κουµπί (0) εκφράζει το ισόγειο του γκαράζ. Το κουµπί (–1) εκφράζει το πρώτο υπόγειο του γκαράζ. ∆ηλαδή κατεβαίνοντας από το ισόγειο, τον πρώτο όροφο που θα συναντήσουµε. Το κουµπί (–2) εκφράζει το δεύτερο υπόγειο του γκαράζ. ∆ηλαδή κατεβαίνοντας από το ισόγειο, τον δεύτερο όροφο που θα συναντήσουµε. Το κουµπί (1) εκφράζει το πρώτο όροφο του γκαράζ. ∆ηλαδή ανεβαίνοντας από το ισόγειο, τον πρώτο όροφο που θα συναντήσουµε. Το κουµπί (2) εκφράζει το δεύτερο όροφο του γκαράζ. ∆ηλαδή πατώντας το κουµπί αυτό του ανελκυστήρα, θα βρεθούµε στον δεύτερο κατά σειρά όροφο του γκαράζ µετά το ισόγειο. Όµοια το κουµπί (3) εκφράζει τον τρίτο όροφο του γκαράζ.
280
1.
Συµπλήρωσε τα παρακάτω κενά: α. Οι ρητοί που έχουν πρόσηµο «+» λέγονται θετικοί ενώ αυτοί που έχουν πρόσηµο «–» λέγονται αρνητικοί. β. Οι αριθµοί µε το ίδιο πρόσηµο λέγονται οµόσηµοι ενώ αυτοί µε διαφορετικό πρόσηµο λέγονται ετερόσηµοι. γ. Στην ευθεία των αριθµών, δεξιά του µηδενός βρίσκονται οι θετικοί ρητοί και αριστερά του µηδενός οι αρνητικοί ρητοί.
2.
Να κατατάξεις τους παρακάτω αριθµούς σε δύο οµάδες, τους θετικούς και τους αρνητικούς: – 3,1, +5, +8, – 20, 7, – 3, 18.
" Λύση Θετικοί: +5, +8, 7, 18 Αρνητικοί: -3,1 , –20, – 3
3.
Τοποθετήστε ένα «x» στην αντίστοιχη θέση Σωστό Λάθος
4.
α. Οι ακόλουθοι αριθµοί είναι όλοι θετικοί: +1, +5, +216, +3701
X
X
β. Οι αριθµοί που ακολουθούν είναι όλοι αρνητικοί: – 3, – 8, 7, –22
X
X
Στα ζεύγη αριθµών που ακολουθούν σηµοι και ποιοι είναι ετερόσηµοι: α. 3 και +3, β. 0 και 5, ε. – 2 και 1 , στ. 17 και – 20 , η.–10,5 και 11, θ. 0 και – 100 ,
να βρεις ποιοι αριθµοί είναι οµόγ. -2 και – 4, δ. 7 και +9, ζ. – 9 και – 3,2, ι. +6,7 και +12,3.
" Λύση Από οµόσηµους αριθµούς αποτελούνται τα ζεύγη: α, γ, δ, ζ, ι. Από ετερόσηµους αριθµούς αποτελούνται τα ζεύγη: ε, στ, η. Τα ζεύγη των περιπτώσεων β και θ δεν είναι ούτε οµόσηµοι, ούτε ετερόσηµοι γιατί περιέχουν το µηδέν που δεν είναι ούτε θετικός και ούτε αρνητικός.
281
5.
Να εκφράσεις µε ρητούς αριθµούς τις παρακάτω προτάσεις: α. Κατάθεση 50.000 €, β. Ανάληψη 78.000 € γ. Αύξηση µισθού κατά 500 €, δ. Μείωση επιτοκίου κατά 1 µονάδα, ε. 30 µέτρα αριστερά.
" Λύση α. +50.000€, β. – 78.000 €, γ.+500 €, δ. –1, ε. –30. 6.
Βρες τη λέξη που σχηµατίζεται από τα γράµµατα µε τετµηµένες –6, 10, 9, –9, 5, –5, 0 στο παρακάτω σχήµα. Στη συνέχεια γράψε µ’ αυτό τον τρόπο ένα όνοµα που σου αρέσει.
x΄ -11 -10 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 x
" Λύση Τετµηµένη – 6 έχει το γράµµα Μ Τετµηµένη 10 έχει το γράµµα Υ Τετµηµένη 9 έχει το γράµµα Σ Τετµηµένη – 9 έχει το γράµµα Τ Τετµηµένη 5 έχει το γράµµα Ι Τετµηµένη – 5 έχει το γράµµα Κ 0 έχει το γράµµα Ο. Τετµηµένη Η λέξη που γράφεται είναι ΜΥΣΤΙΚΟ. Το όνοµα ΚΩΣΤΑΣ γράφεται µε τον τρόπο αυτό: – 5, 12, 9, – 9, 1, 9.
282
7.
Τα σηµεία Α και Β έχουν τετµηµένες α και β αντίστοιχα. Να βρεθεί η τετµηµένη του µέσου Μ του τµήµατος ΑΒ όταν: α. α=+5 και β= +8, β. α= –4 και β= –13
" Λύση α. Η απόσταση των σηµείων Α και Β είναι ίση µε 3. M
A x΄
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
B 7
8
9
10 11 12 x
3 = 1,5 από το Α και 1,5 από το Β, 2 άρα το Μ έχει τετµηµένη όσο του Α συν 1,5 , δηλαδή 5 + 1,5 = 6,5 .
Το µέσο Μ του ΑΒ θα έχει απόσταση
β. Η απόσταση των σηµείων Α και Β είναι ίση µε 13 − 4 = 9 . B x΄ -13 -12 -11 -10 -9
M -8
A -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
9 = 4,5 από το Α και 4,5 από το Β. 2 Επειδή το Α έχει τετµηµένη –4, βρίσκεται αριστερά του 0 στη θέση 4. Επειδή 4 + 4,5 = 8,5 , το µέσο Μ του ΑΒ θα έχει τετµηµένη – 8,5.
Το µέσο Μ του ΑΒ θα έχει απόσταση
283
8.
Να κατατάξετε τους παρακάτω αριθµούς σε δύο οµάδες, τους θετικούς και τους αρνητικούς: 3 1 − , +2 , +0,67, –72, 2008. –2, +7, 4 8
9.
Να περιγράψετε τι συµβολίζουν οι αριθµοί 15, 8, –3, –7, 25 α. Σε ένα θερµόµετρο β. Σε αποστάσεις από την επιφάνεια της θάλασσας
10. Να εκφράσετε µε την βοήθεια των προσήµων: α. 3 m κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας β. Κέρδος 2.500 € γ. Κατάθεση 830 € δ. Χρέος 3.240 € 11. Να τοποθετήσετε σε άξονα τα σηµεία –7, –8, +3, 0, 4, 9. 12. Να βρείτε τα συµµετρικά σηµεία ως προς την αρχή Ο του άξονα x’Ox των σηµείων: Α µε τετµηµένη 2, Β µε τετµηµένη 5, Γ µε τετµηµένη – 4, ∆ µε τετµηµένη – 3 Ε µε τετµηµένη – 2. 13. Τα σηµεία Α και Β έχουν τετµηµένες α και β, αντίστοιχα. Να βρείτε την τετµηµένη του µέσου Μ του τµήµατος ΑΒ, όταν: α. α = + 2 και β = +6, β. α = – 4 και β = –10
284
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Βρες πόσες µονάδες απέχουν από την αρχή Ο του άξονα τα σηµεία Α, Β, Γ και ∆.
O A
B -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
" Απάντηση Επειδή το σηµείο Α έχει τετµηµένη 1, απέχει 1 µονάδα από το Ο. Επειδή το σηµείο Β έχει τετµηµένη – 3, απέχει 3 µονάδες από το Ο. Επειδή το σηµείο Γ έχει τετµηµένη – 5, απέχει 5 µονάδες από το Ο. Επειδή το σηµείο ∆ έχει τετµηµένη 4, απέχει 4 µονάδες από το Ο.
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 2ç Στην παρακάτω ευθεία βρες τις τετµηµένες των σηµείων Μ΄ και Μ. Τι παρατηρείς για τις τετµηµένες των σηµείων Μ΄ και Μ; Προσπάθησε να τοποθετήσεις στην παραπάνω ευθεία των ρητών τα σηµεία Α΄ και Α που απέχουν από την αρχή Ο του άξονα 3,5 µονάδες. Κάνε το ίδιο για τα σηµεία Β΄ και Β που απέχουν από την αρχή Ο του άξονα 6 µονάδες. M΄ -9
-8
O -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
M 1
2
3
4
5
6
7
8
9
" Απάντηση Οι τετµηµένες των σηµείων Μ΄ και Μ είναι αντίθετοι αριθµοί. B΄
M΄ -9
-8
-7
-6
A΄ -5
-4
-3
-2
-1
0
B
A
O 1
2
3
4
5
6
M 7
8
9
285
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 3ç Μια κρύα µέρα του χειµώνα ο Κώστας κοιτούσε τη θερµοκρασία κάθε δύο ώρες. Οι ενδείξεις του θερµόµετρου, που έβλεπε, φαίνονται παρακάτω: Μπορείς να καταγράψεις όλες τις ενδείξεις του θερµόµετρου µε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά;
" Απάντηση Στις 8:00 το πρωί η θερµοκρασία ήταν –3ο C, στις 10:00 ήταν +1ο C, στις 12:00 ήταν +3ο C, στις 14:00 ήταν +5ο C, στις 16:00 ήταν 0ο C, στις 18:00 ήταν –1ο C και στις 20:00 ήταν –2ο C. Με αύξουσα σειρά οι ενδείξεις του θερµόµετρου είναι: – 3, –2, – 1, 0, +1, +3, +5.
286
1.
Συµπληρώστε τα παρακάτω κενά: α. Η απόσταση του σηµείου, µε το οποίο αναπαριστάνεται ένας ρητός αριθµός, από την αρχή του άξονα λέγεται απόλυτη τιµή του αριθµού και είναι πάντα θετικός αριθµός. β. ∆ύο ρητοί αριθµοί που έχουν την ίδια απόλυτη τιµή και είναι ετερόσηµοι λέγονται αντίθετοι. γ. Αν ένας αριθµός α είναι θετικός, ο αντίθετός του είναι αρνητικός. Αν η απόλυτη τιµή ενός αριθµού είναι ίση µε 6, τότε ο αριθµός είναι ο 6 ή ο – 6. δ. Από δύο θετικούς ρητούς µικρότερος είναι εκείνος που έχει την µικρότερη απόλυτη τιµή. ε. Από δύο αρνητικούς ρητούς µεγαλύτερος είναι εκείνος που έχει την µικρότερη απόλυτη τιµή.
2.
Να συµπληρώσεις τον πίνακα που ακολουθεί:
Αριθµός
– 2,73
+7,66
–1,05
0
+8,07
–8
2,73
7,66
1,05
0
8,07
8
Απόσταση του σηµείου που αντιστοιχεί από την αρχή του άξονα
3.
Τοποθετήστε ένα «x» στην αντίστοιχη θέση α. Ισχύει η ανισότητα: −5,7 < 5,7 .
β. Ισχύει η ανισότητα: −7,6 > −6,7 .
Σωστό Λάθος X X
X
X
X
X
δ. Υπάρχουν 5 ακριβώς ακέραιοι που αληθεύουν τη σχέση: −2 ≤ x ≤ 2 .
X
X
ε. ∆ύο ακέραιοι µε αντίθετο πρόσηµο είναι αντίθετοι.
X
X
γ. Στην ανισότητα: 2,3 < x < 4,7 ο x µπορεί να πάρει 2 ακέραιες τιµές.
287
4.
Βρες την απόλυτη τιµή των ρητών: α. +7,25 β. –2,5 γ. +16
δ. – 20,05
ε. -58
" Λύση
5.
α. +7,25 = 7,25
β. −2,5 = 2,5 γ. +16 = 16
δ. −20,05 = 20,05
ε. −58 = 58
Βρες τους αριθµούς που έχουν ως απόλυτη τιµή: α. 100 β. 21,7 γ. 0 δ. 7,03 ε. 5,2.
" Λύση +100 = -100 = 100 ,
α.
Επειδή
β.
οι αριθµοί που έχουν ως απόλυτη τιµή το 100 είναι το +100 και το –100. +21,7 = −21,7 = 21,7 , Επειδή
γ.
οι αριθµοί που έχουν ως απόλυτη τιµή το 21,7 είναι το + 21,7 και το −21,7 . Επειδή 0 = 0 , το µηδέν έχει ως απόλυτη τιµή µηδέν.
δ.
Επειδή
ε.
οι αριθµοί που έχουν ως απόλυτη τιµή το 7,03 είναι το + 7,03 και το −7,03 . +5,02 = −5,02 = 5,02 , Επειδή
+7,03 = −7,03 = 7,03 ,
οι αριθµοί που έχουν ως απόλυτη τιµή το 5,02 είναι το + 5,02 και το −5,02 . 6.
288
Συµπλήρωσε τον πίνακα:
Αριθµός
1
2
–2
– 19
8
–12
7
–7
Αντίθετος
–1
–2
2
19
–8
12
–7
7
Απόλυτη τιµή
1
19
8
12
2
7
7.
Τοποθετήστε στον άξονα x΄Ox τα σηµεία µε τετµηµένες: – 9, – 5,5 , +8, -3, – 7,25 , +1, +12, +3, +9. Ποια από αυτά είναι συµµετρικά ως προς την αρχή του άξονα;
" Λύση -9 -7,25 -5,5 x΄ -11 -10 -9
-8
-7
-6
-5
-3 -4
-3
O -2
-1
0
+1 1
+3 2
3
+8+9 4
5
6
7
8
9
+12 10 11 12
x
Συµµετρικά ως προς το Ο είναι τα σηµεία µε τετµηµένες +3, -3 και τα σηµεία +9, – 9. 8.
Σχεδίασε τον άξονα x΄Ox, µε κατάλληλη µονάδα για να παραστήσεις τα σηµεία µε τετµηµένες τους αριθµούς: – 20,5, +15, – 39,75, – 68,25, +70, +52, 25, +43, – 69.
9.
Να συγκρίνεις τους αριθµούς: α. +41 και +38 β. 9 και 11 ε. 7 και – 8 στ. 0 και –3
γ. – 3 και – 2, ζ. 0 και +4.
δ.– 9
και – 16
" Λύση α. +41 > +38 ε. 7 > −8
β. 9 < 11 στ. 0 > −3
γ. −3 < −2 ζ. 0 < +4 .
δ. −9 > −16
10. Να συγκρίνεις τους αριθµούς: α. 11, −11 êáé 11 , β. −3, + 3 êáé 3 . Τι συµπεραίνεις;
" Λύση α. Είναι −11 < 11 = 11 β. Είναι -3 <+3 = 3 = −3 Παρατηρούµε ότι η απόλυτη τιµή ενός αριθµού είναι ο ίδιος αριθµός, όταν αυτός είναι θετικός και ισούται µε τον αντίθετο του αριθµού, όταν αυτός είναι αρνητικός.
289
11. Να γράψεις τους αριθµούς: – 2, +7, +15, – 3, 0, –4, +5, – 8 και – 10 σε αύξουσα σειρά.
" Λύση −10 < −8 < −4 < −3 < −2 < 0 < +5 < +7 < +15 . 12. Να συµπληρώσεις µε το κατάλληλο σύµβολο: <, >, ή = τα κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς σχέσεις: α. −3 > −8 β. −4 < 10 γ. 0 > −1 δ. +3>0 ε. −5 = − −5 στ. −5 = − ( +5 ) ζ. +7 = −7
η.
− ( −8 ) > −8
θ. +3 > − ( +4 )
ι.
0 > − −4 .
13. Το x παριστάνει έναν ακέραιο αριθµό. Για ποιες τιµές του x θα ισχύουν οι σχέσεις: α. −13 < x < −8 , β. −4 > x > −5 , γ. −2 < x < 5 .
" Λύση α. Οι ακέραιοι που βρίσκονται µεταξύ του – 13 και του – 8 είναι: – 9, – 10, – 11, – 12. β. ∆εν υπάρχουν ακέραιοι που βρίσκονται µεταξύ του – 5 και του – 4. γ. Οι ακέραιοι που βρίσκονται µεταξύ του – 2 και του 5 είναι: – 1, 0, 1, 2, 3, 4.
290
14. ∆ύο αριθµοί έχουν ίσες απόλυτες τιµές. Ποια σχέση συνδέει τους δύο αριθµούς;
" Λύση Για να έχουν δύο αριθµοί ίσες απόλυτες τιµές, θα είναι ίσοι ή αντίθετοι.
15. Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: x
–4
1
5
–6
6
–2
2
–x − ( −x)
4
–1
–5
6
–6
2
–2
–4
1
5
–6
6
–2
2
x
4
1
5
6
2
−x
4
1
5
6
2
16. Να γίνουν οι πράξεις: α. −3 + −12 − −8 και β. −10 ⋅ −9 −
+8 ⋅ −5 −10
" Λύση α. −3 + −12 − −8 = 3 + 12 − 8 = 15 − 8 = 7 β. −10 ⋅ −9 −
+8 ⋅ −5 −10
= 10 ⋅ 9 −
8⋅5 40 = 90 − = 90 − 4 = 86 10 10
17. Σύγκρινε δύο αριθµούς που έχουν απόλυτες τιµές, οι οποίες διαφέρουν κατά 1.
" Λύση Έστω οι αριθµοί +7 και +6, µε +7 = 7 , +6 = 6 και 7 − 6 = 1 . Είναι +7 > +6 . Επίσης οι αριθµοί +7 και -6 έχουν +7 = 7 , −6 = 6 µε 7 − 6 = 1 . Είναι +7 > −6 . Επίσης οι αριθµοί -7 και +6, µε −7 = 7 , +6 = 6 και 7 − 6 = 1 . Είναι −7 < +6 . Ακόµη οι αριθµοί -7 και -6 έχουν −7 = 7 , −6 = 6 µε 7 − 6 = 1 . Είναι −7 < −6 .
18. Να διαταχθούν σε φθίνουσα σειρά οι αριθµοί: +8,6, 0 , – 7,4, +5,2, –1,33 και – 6.
" Λύση +8,6 > +5,2 > 0 > −1,33 > −6 > −7,4
291
19. Να βρείτε την απόλυτη τιµή των αριθµών: α. +8, β. -13, γ. +1,28, 1 δ. –3,7, ε. − , στ. –2004. 4 20. Να βρείτε τους αριθµούς που έχουν απόλυτη τιµή. 1 α. 2, β. 0,4, γ. 0, δ. . 5 21. Να βρείτε όλους τους ακέραιους που έχουν απόλυτη τιµή: α. µικρότερη του 3, β. µικρότερη του 1, γ. µικρότερη ή ίση του 2. 22. Να υπολογιστεί η τιµή των παραστάσεων: α. −3 + +7 − −5 β. +9 − −3 − −5 γ.
−13,25 + +6,75 − −15,5
23. Να συγκρίνετε του αριθµούς: α. –32 και –24 β. –7,5 γ. –2,5 και 1 δ. 3 ε. 0 και –3,4 στ. –2008
και –6,5 , και 2,5 , και 2008
24. Να συµπληρώσετε µε το κατάλληλο σύµβολο: <, > ή = τα κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς σχέσεις: α. –5...–7 β. 0...+8 γ. +7...-3 δ. −9 ...0 ε. − −6 ...0 στ. −4 ... 4 ζ.
−4 ...-4
η. 4... −4
θ. − −1 ... −1 .
25. Να παραστήσετε στον άξονα τους αριθµούς: +5, –4, –6, –3, +2, –8, +9 και να τους διατάξετε σε αύξουσα σειρά.
292
26. Να γράψετε τρεις ρητούς αριθµούς που είναι α. µεγαλύτεροι από το –5 και µικρότεροι από το –4. β. µεγαλύτεροι από το –4,5 και µικρότεροι από το –4,1. γ. µεγαλύτεροι από το –4,8 και µικρότεροι από το –4,7. 27. Το x παριστάνει έναν ακέραιο αριθµό. Για ποιες τιµές του x θα ισχύουν οι σχέσεις: α. −9 < x < −5 β. −1 < x < 3 γ. −1 < x < 0 . 28. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Αριθµός
–7
–1,8
+4
0
–5
Απόσταση του σηµείου που αντιστοιχεί από την αρχή του άξονα 29. Να συµπληρώσετε τον πίνακα: Αριθµός Αντίθετος
–3
9 2
Απόλυτη τιµή
–6
4
5
18
30. Να τοποθετήσετε ένα «x» στην αντίστοιχη θέση α. Ισχύει η ανισότητα: − 82 < 82 .
Σωστό Λάθος X X
β. Στην ανισότητα: −3,6 < x < −2,9 ο x µπορεί X
X
γ. Υπάρχουν 3 ακέραιοι που αληθεύουν τη σχέση: −1 ≤ x ≤ 1 .
X
X
δ. Ισχύει η ανισότητα: −2008 > −1 .
X
X
ε. Ισχύει η ανισότητα: −8,29 < −8,30 .
X
X
να πάρει 3 ακέραιες τιµές.
293
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ Σε κάθε µία από τις περιπτώσεις που περιγράφονται στην πρώτη στήλη, να βρεις στη δεύτερη στήλη την πρόσθεση που της αντιστοιχεί και τέλος το αντίστοιχο αποτέλεσµα στην τρίτη στήλη.
1.
Η τιµή ενός προϊόντος αυξήθηκε συνεχόµενα δύο φορές: Η πρώτη αύξηση ήταν 8,5 € και η δεύτερη 6,2 €
2.
Η τιµή ενός προϊόντος µειώθηκε συνεχόµενα δύο φορές: Η πρώτη µείωση ήταν 8,5 € και η δεύτερη 6,2 €
3.
Η τιµή ενός προϊόντος αυξήθηκε κατά 8,5 € και µετά µειώθηκε κατά 6,2 €
γ. ( +8,5 ) + ( +6,2 )
4.
Η τιµή ενός προϊόντος µειώθηκε κατά 8,5 € και µετά αυξήθηκε κατά 6,2 €
δ. ( −8,5 ) + ( −6,2 )
α. ( +8,5 ) + ( −6,2 )
β. ( −8,5 ) + ( +6,2 )
i.
–14,7 Μειώθηκε κατά 14,7 €
ii.
+2,3 Αυξήθηκε κατά 2,3 €
iii.
–2,3 Μειώθηκε κατά 2,3 €
iv.
+14,7 Αυξήθηκε κατά 14,7 €
" Απάντηση 1.
Επειδή η πρώτη αύξηση είναι 8,5 €, η νέα τιµή είναι +8,5 €, από την παλιά. Επειδή η δεύτερη αύξηση είναι 6,2 €, η νέα τιµή είναι +6,2 € από την προηγούµενη. Οπότε η συνολική αύξηση της τιµής περιγράφεται από την πράξη: ( +8,5 ) + ( +6,2 ) δηλαδή το γ. Επειδή έγιναν δύο αυξήσεις, η συνολική αύξηση της τιµής είναι: 8,5 + 6,2 = 14,7 €, δηλαδή το IV. Άρα 1 → ã → iv .
294
2.
Επειδή αρχικά έγινε µείωση κατά 8,5 €, η νέα τιµή είναι –8,5 € από την προηγούµενη. Επειδή έγινε και νέα µείωση κατά 6,2 € η τελική τιµή είναι –6,2 € έναντι της προηγούµενης. Η συνολική µείωση περιγράφεται από την πράξη ( −8,5 ) + ( −6,2 ) και είναι 8,5 + 6,2 = 14,7 € συνολικά.
3.
Άρα 2 → ä → i . Επειδή αρχικά έγινε αύξηση είναι 8,5 €, η νέα τιµή είναι +8,5 € έναντι της προηγούµενης. Επειδή στη συνέχεια η τιµή µειώθηκε κατά 6,2 € τελική τιµή είναι –6,2 € έναντι της προηγούµενης. Η τελική µεταβολή περιγράφεται από την πράξη: ( +8,5 ) + ( −6,2 ) και επειδή η αύξηση της τιµής ήταν κατά 8,5 − 6,2 = 2,3 µεγαλύτερη, τελικά
4.
η τιµή του προϊόντος αυξήθηκε κατά 2,3 €. ∆ηλαδή 3 → á → ii . Επειδή η τιµή αρχικά µειώθηκε κατά 8,5 €, η νέα τιµή είναι –8,5 € έναντι της προηγούµενης τιµής. Επειδή στη συνέχεια η τιµή αυξήθηκε κατά 6,2 €, η τελική τιµή είναι +6,2 € έναντι της προηγούµενης τιµής. Η συνολική µεταβολή περιγράφεται+ από την πράξη: ( −8,5 ) + ( +6,2 ) και επειδή η µείωση ήταν 8,5 − 6,2 = 2,3 µεγαλύτερη, τελικά η τιµή µειώθηκε κατά 2,3 €. ∆ηλαδή 4 → â → iii .
295
1.
2.
Τοποθετήστε ένα «x» στην αντίστοιχη θέση α. Στους ρητούς αριθµούς η πρόσθεση σηµαίνει πάντα αύξηση.
X
X
β. Αν το άθροισµα δύο ρητών είναι αρνητικός αριθµός, τότε και οι δύο ρητοί είναι αρνητικοί αριθµοί.
X
X
γ. Αν á +â = 0 , τότε οι α, β είναι αντίθετοι αριθµοί.
X
X
δ. Αν το άθροισµα δύο ρητών είναι θετικός αριθµός, τότε και οι δύο ρητοί είναι θετικοί αριθµοί.
X
X
ε. Το άθροισµα ενός ρητού και του αντίθετου αυτού είναι πάντα µηδέν.
X
X
Υπολόγισε τα αθροίσµατα: β. α. ( +4,05 ) + ( +6,15 ) , γ. ε. ζ. θ.
( +2,7 ) + ( +97,3 ) , ( +7,25 ) + ( +8,75 ) , ( −1,3 ) + ( −5,2 ) , ( −5,25 ) + ( −9,75 ) ,
( +5,03 ) + ( +4,07 ) , δ. ( +2,6 ) + ( +11,4 ) , στ. ( −3,5 ) + ( −2,5 ) , η. ( −7,15 ) + ( −4,85 ) , ι. ( −13,7 ) + ( −6,3 ) .
" Λύση Επειδή σε όλες τις περιπτώσεις οι αριθµοί είναι οµόσηµοι έχουµε: α. ( +4,05 ) + ( +6,15 ) = +10,20 β. ( +5,03 ) + ( +4,07 ) = +9,10
( +2,7 ) + ( +97,3 ) = +100 ε. ( +7,25 ) + ( +8,75 ) = +16 στ. ( −3,5 ) + ( −2,5 ) = −6 θ. ( −5,25 ) + ( −9,75 ) = −15 γ.
3.
Υπολόγισε τα αθροίσµατα: α. ( +4,05 ) + ( −6,15 ) , γ. ε. ζ. θ.
296
( −2,7 ) + ( +97,3 ) , ( +7,25 ) + ( −8,75 ) , ( −1,3 ) + ( +5,2 ) , ( −5,25 ) + ( +9,75 ) ,
δ. ζ. η. ι.
β. δ. στ. η. ι.
( +2,6 ) + ( +11,4 ) = +14 ( −1,3 ) + ( −5,2 ) = −6,5 ( −7,15 ) + ( −4,85 ) = −12 ( −13,7 ) + ( −6,3 ) = −20 ( +5,03 ) + ( −4,07 ) , ( −2,6 ) + ( +11,4 ) , ( +3,5 ) + ( −2,5 ) , ( +7,15 ) + ( −4,85 ) , ( +13,7 ) + ( −6,3 ) .
" Λύση Επειδή σε όλες τις περιπτώσεις οι αριθµοί είναι ετερόσηµοι θα αφαιρούµε από τη µεγαλύτερη τη µικρότερη απόλυτη τιµή και στη διαφορά θα βάζουµε το πρόσηµο του αριθµού µε τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή. α. ( +4,05 ) + ( −6,15 ) = − ( 6,15 − 4,05 ) = −2,10
( +5,03 ) + ( −4,07 ) = + ( 5,03 − 4,07 ) = +0,96 γ. ( −2,7 ) + ( +97,3 ) = + ( 97,3 − 2,7 ) = +94,6 δ. ( −2,6 ) + ( +11,4 ) = + (11,4 − 2,6 ) = +8,8 ε. ( +7,25 ) + ( −8,75 ) = − ( 8,75 − 7,25 ) = −1,50 στ. ( +3,5 ) + ( −2,5 ) = + ( 3,5 − 2,5 ) = +1 ζ. ( −1,3 ) + ( +5,2 ) = + ( 5,2 − 1,3 ) = +3,9 η. ( +7,15 ) + ( −4,85 ) = + ( 7,15 − 4,85 ) = +2,30 θ. ( −5,25 ) + ( +9,75 ) = + ( 9,75 − 5,25 ) = +4,50 ι. ( +13,7 ) + ( −6,3 ) = + (13,7 − 6,3 ) = +7,4 β.
4.
5.
Συµπλήρωσε τον πίνακα: +
+4
–8
– 11
+17
–5
–1
– 13
– 16
+12
+9
+13
+1
–2
+26
–4
0
– 12
– 15
+13
– 21
– 17
– 29
– 32
–4
Τοποθέτησε στα κενά τα κατάλληλα πρόσηµα, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις: β. ( +5 ) + ( ...5 ) = 0 , α. ( ...6 ) + ( −8 ) = −2 , γ.
( +7 ) + ( ...9 ) = +16 ,
δ.
( ...9 ) + ( ...8 ) = −17 ,
ε.
( ...6 ) + ( ...5 ) = +11
" Λύση α. Είναι ( +6 ) + ( −8 ) = −2 και ( −6 ) + ( −8 ) = −14 ,
οπότε ( +6 ) + ( −8 ) = −2 β. Για να έχουν άθροισµα µηδέν οι δύο αριθµοί πρέπει να είναι αντίθετοι, άρα: ( +5 ) + ( −5 ) = 0 γ. Είναι ( +7 ) + ( +9 ) = +16 και ( +7 ) + ( −9 ) = −2 ,
οπότε ( +7 ) + ( +9 ) = +16
297
δ. Επειδή η απόλυτη τιµή του αθροίσµατος είναι µεγαλύτερη από τις απόλυτες τιµές των δύο αριθµών, συµπεραίνουµε ότι οι δύο απόλυτες τιµές έχουν προστεθεί. Άρα οι δύο αριθµοί είναι οµόσηµοι και επειδή το αποτέλεσµα είναι αρνητικός, έχουµε: ( −9 ) + ( −8 ) = −17 ε. Όµοια µε την προηγούµενη είναι: ( +6 ) + ( +5 ) = +11 6.
Εξέτασε αν είναι µαγικά τα τετράγωνα: (Μαγικά τετράγωνα είναι αυτά στα οποία η πρόσθεση των αριθµών κάθε στήλης ή γραµµής, καθώς και των διαγωνίων τους, δίνουν το ίδιο άθροισµα).
–1
+4
–3
+1,1
+2,4
– 2,5
–2
0
+2
– 0,1
+3,5
– 2,4
+3
–4
+1
0
– 4,9
+5,9
" Λύση (-1)+(+4)+(-3)= =(-1)+(-3)+(+4) =(-4)+(+4)=0 (+3)+(-4)+(+1)= =(+3)+(+1)+(-4)= =(+4)+(-4)=0
(+3)+0+(-3)=0 -1
+4
-3
-2
0
+2
+3
-4
+1
(-1)+(-2)+(+3)= =(-3)+(+3)=0
(-2)+0+(+2)=0 (-1)+0+(+1)=0
(-3)+(+2)+(+1)= =(-3)+(+3)=0 (+4)+0+(-4)=0
Το τετράγωνο είναι µαγικό. (-2,5)+(-2,4)+(+5,9)=(-4,9)+(+5,9)=+1
+1,1+(-0,1)+0=1
+1,1 +2,4
-2,5
-0,1
+3,5
-2,4
0
-4,9
+5,9
(+1,1)+(+3,5)+(+5,9)=(+4,6)+(+5,9)=+10,5
(+2,4)+(+3,5)+(-4,9)=(+5,9)+(-4,9)=+1
Το τετράγωνο δεν είναι µαγικό.
298
7.
Υπολόγισε τα αθροίσµατα: α. ( −3,8 ) + ( +2,8 ) + ( −5,4 ) + ( +8,2 ) β.
( −3,5 ) + ( −9,99 ) + ( +2,5 ) + ( −15,75 ) + ( +20,75 ) + ( +9,99 )
" Λύση α.
( −3,8 ) + ( +2,8 ) + ( −5,4 ) + ( +8,2 ) = ( −3,8 ) + ( −5,4 ) + ( +2,8 ) + ( +8,2 ) = ( −9,2 ) + ( +11) = 1,8
β.
( −3,5 ) + ( −9,99 ) + ( +2,5 ) + ( −15,75 ) + ( +20,75 ) + ( +9,99 ) = = ( −3,5 ) + ( −15,75 ) + ( +2,5 ) + ( +20,75 ) = ( −19,25 ) + ( +23,25 ) = +4
8.
Υπολόγισε τα αθροίσµατα: ⎛ 9 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 20 ⎞ α. ⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜+ ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 1 ⎞ β. ⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 35 ⎠
" Λύση α.
⎛ 9 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 20 ⎞ ⎜+ ⎟ + ⎜− ⎟ + ⎜+ ⎟ + ⎜− ⎟ + ⎜+ ⎟ + ⎜+ ⎟= 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎝ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 13 ⎞ = ⎜+ ⎟ + ⎜− ⎟ + ⎜− ⎟ = ⎝ 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 13 ⎠ = ( +1 ) + ( −1 ) + ( −1) = −1
β.
⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜+ ⎟ + ⎜− ⎟ + ⎜+ ⎟ + ⎜− ⎟= 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 35 ⎠ ⎝ ⎛ 20 ⎞ ⎛ 21 ⎞ ⎛ 1 ⎞ = ⎜− ⎟ + ⎜+ ⎟ + ⎜− ⎟= ⎝ 35 ⎠ ⎝ 35 ⎠ ⎝ 35 ⎠
⎛ 5 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜− 4 ⎟ + ⎜+ 3 ⎟ + ⎜− 1 ⎟ = ⎜⎜ 7 ⎟⎟ ⎜⎜ 5 ⎟⎟ ⎜⎜ 35 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 20 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 21 ⎞ ⎜− ⎟ + ⎜− ⎟ + ⎜+ ⎟= ⎝ 35 ⎠ ⎝ 35 ⎠ ⎝ 35 ⎠
⎛ 21 ⎞ ⎛ 21 ⎞ = ⎜− ⎟ + ⎜+ ⎟=0 ⎝ 35 ⎠ ⎝ 35 ⎠
299
9.
∆ίνονται τρεις ρητοί αριθµοί: x=-3,2 , y=8 και z=-4,5. Υπολόγισε τα αθροίσµατα: α. των x και y µε το z β. των x και y µε το αντίθετο του z γ. του x µε το αντίθετο του y και το αντίθετο του z δ. του αντίθετου του x µε το αντίθετο του y και το αντίθετο του z
" Λύση α.
x + y + z = ( −3,2 ) + ( +8 ) + ( −4,5 ) = = ( −3,2 ) + ( −4,5 ) + ( +8 ) = = ( −7,7 ) + ( +8 ) = +0,3
β.
x + y + ( − z ) = ( −3,2 ) + ( +8 ) + ( +4,5 ) = = ( −3,2 ) + ( +12,5 ) = +9,3
γ. x + ( − y ) + ( − z ) = ( −3,2 ) + ( −8 ) + ( +4,5 ) =
= ( −11,2 ) + ( +4,5 ) = −6,7 δ.
( − x ) + ( − y ) + ( −z ) = ( +3,2 ) + ( −8 ) + ( +4,5 ) = = ( +3,2 ) + ( +4,5 ) + ( −8 ) = = ( +7,7 ) + ( −8 ) = −0,3
10. ∆ίνεται το αθροίσµα A = ( −7,8 ) + ( −4,8 ) + 6 + ( −0,1) + 3,8 και ζητείται: α. Να υπολογίσεις το Α β. Να βρεις το Β που προκύπτει από το Α, αν αντικατασταθούν όλοι οι όροι του µε τους αντίθετους αριθµούς και γ. Να υπολογίσεις το Β. Τι παρατηρείς;
" Λύση α. Α = ( −7,8 ) + ( −4,8 ) + ( −0,1) + 6 + 3,8 = β. γ.
( −12,7 ) + 9,8 = ( −12,7 ) + ( +9,8 ) = −2,9 B = ( +7,8 ) + ( +4,8 ) − 6 + ( +0,1) − 3,8 B = ( +7,8 ) + ( +4,8 ) − 6 + ( +0,1) − 3,8 = ( +12,7 ) + ( −6 ) + ( −3,8 ) = ( +12,7 ) + ( −9,8 ) = +2,9
Παρατηρούµε ότι οι παραστάσεις Α και Β είναι αντίθετοι αριθµοί.
300
11. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: α. ( +5 ) + ( +9 ) β. ( +17 ) + ( +9 )
⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ δ. ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ ζ.
( −20,34 ) + ( −4,66 )
ε. ( −8 ) + ( −7 )
στ. ( −30,5 ) + ( −7,5 )
⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ η. ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ ⎝ 11 ⎠ ⎝ 11 ⎠
θ. ( −2,5 ) + ( −1,5 )
12. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: α. ( −12 ) + ( +7 ) β. ( +8 ) + ( −5 ) δ.
( −3,5 ) + ( +4,5 )
ζ.
( −7,4 ) + ( +7,4 )
γ. ( +3,68 ) + ( +2,32 )
⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ε. ⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ η. ( −3,42 ) + ( +2,42 )
γ. ( +3,5 ) + ( −4,5 ) ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ στ. ⎜ − ⎟ + ⎜ + ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ θ. ( +4,1) + ( −5,12 )
13. Τοποθετήστε στα κενά τα κατάλληλα πρόσηµα, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις: α. (...7 ) + ( −6 ) = −13 β. (...28 ) + ( +15 ) = −13 γ. ε. ζ.
( +14 ) + (...9 ) = +5 (...20 ) + (...9 ) = +11 (...34 ) + (...12 ) = ...48
δ. στ. η.
( −24 ) + (...68 ) = −92 ( −8 ) + (...9 ) = ...17 (...17 ) + (...5 ) = ...12
14. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: α. ( +1,8 ) + ( −4,6 ) + ( +7,2 ) + ( −3,4 ) + ( +2,5 ) + ( −1,5 )
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 6 ⎞ β. ⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ ⎝ 15 ⎠ ⎝ 15 ⎠ ⎝ 15 ⎠ ⎝ 15 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ (Απ:. α. 2
β. 0)
301
15. Να συµπληρώσετε τον πίνακα: +
+7,2
– 3,8
+4
+3,2 – 4,1 –5 16. ∆ίνονται oι αριθµοί –17, –12, –5, +7, +12. Να βρείτε όλα τα ζευγάρια από τους αριθµούς αυτούς που έχουν άθροισµα πάλι έναν από τους παραπάνω αριθµούς. 17. Ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε: α. στο +7 για να βρούµε –4 β. στο –5 για να βρούµε –8 γ. στο –3 για να βρούµε +2 δ. στο +8 για να βρούµε –2
302
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ Στο σχήµα βλέπουµε τη µέση θερµοκρασία µιας περιοχής για τους 12 µήνες του χρόνου σε συγκεκριµένη ώρα της ηµέρας.
Ποιος είναι ο πιο ζεστός µήνας του έτους και ποιος ο πιο κρύος; Ποια είναι η διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ αυτών των µηνών; Ποια είναι η διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ κάθε δύο διαδοχικών µηνών;
" Απάντηση Πιο ζεστός µήνας του έτους είναι ο Ιούλιος µε µέση θερµοκρασία +36 ο C,
ενώ ποιο κρύος είναι ο ∆εκέµβριος µε µέση θερµοκρασία −10ο C. Η διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ των µηνών ∆εκεµβρίου και Ιουλίου εκφράζεται µε τη διαφορά ( +36 ) − ( −10 ) και παρατηρούµε ότι ισούται µε 36 + 10 = 46 . Η διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ των µηνών Ιανουαρίου – Φεβρουαρίου είναι +4 ο C. Η διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ των µηνών Μαρτίου – Φεβρουαρίου είναι +10 + 4 = +14 ο C.
Η διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ των µηνών Απριλίου – Μαρτίου είναι +8ο C. Η διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ των µηνών Μαΐου – Απριλίου είναι +6 ο C.
303
Η διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ των µηνών Ιουνίου – Μαΐου είναι +8ο C. Η διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ των µηνών Ιουλίου – Ιουνίου είναι +4 ο C. Η διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ των µηνών Αυγούστου – Ιουλίου είναι −8ο C. Η διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ των µηνών Σεπτεµβρίου – Αυγούστου είναι −8ο C. Η διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ των µηνών Οκτωβρίου – Σεπτεµβρίου είναι −14 ο C. Η διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ των µηνών Νοεµβρίου – Οκτωβρίου είναι −8ο C. Η διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ των µηνών ∆εκεµβρίου – Νοεµβρίου είναι −8ο C και τέλος η διαφορά θερµοκρασίας µεταξύ των µηνών ∆εκεµβρίου – Ιανουαρίου είναι +2ο C.
304
Σωστό Λάθος 1.
Τοποθετήστε ένα «x» στην αντίστοιχη θέση α. Στους ρητούς αριθµούς η αφαίρεση σηµαίνει πάντα ελάττωση.
Χ
Χ
β. Αν η διαφορά δύο ρητών είναι αρνητικός αριθµός, τότε και οι δύο ρητοί είναι αρνητικοί αριθµοί.
Χ
Χ
γ. Ισχύει στην αφαίρεση η αντιµεταθετική ιδιότητα: á -â=â- á
Χ
Χ
δ. Ισχύει ότι 6 - (+8 ) + ( +5 ) + ( −3 ) + ( 2 ) + ( −1) = 0
Χ
Χ
ε. Λύση της εξίσωσης x + ( -3 ) = -2 είναι ο αριθµός +1
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
στ. Οι εξισώσεις x + ( -2 ) = +5 και x - (+7 ) = −10 + ( +5 )
έχουν την ίδια λύση ζ. Λύση της εξίσωσης x - ( -2 ) = -8 + (+7 ) − ( −4 )
είναι ο αριθµός +1 2.
Υπολόγισε τις διαφορές: α. 5 − ( −7 ) β. −8 − ( +8 ) δ. 14,55 − 18,45
ε. −
α. 5 − ( −7 ) = 5 + ( +7 ) = 12
2 ⎛ 2⎞ −⎜− ⎟ 7 ⎝ 7⎠
" Λύση
γ. −2 − ( −15,2 ) = −2 + ( +15,2 ) = 13,2 ε. − 3.
γ. −2 − ( −15,2 )
β. −8 − ( +8 ) = −8 + ( −8 ) = −16 δ. 14,55 − 18,45 = −3,90
2 ⎛ 2⎞ − ⎜− ⎟ = 0 7 ⎝ 7⎠
Κάνε τις πράξεις: α. +3 + −2 + −9
β. −20 + −10 − +10
γ. −3 − −2 + −5 − +6
" Λύση α. +3 + −2 + −9 = 3 + 2 + 9 = 14 β. −20 + −10 − +10 = 20 + 10 − 10 = 20 γ.
−3 − −2 + −5 − +6 = 3 − 2 + 5 − 6 = 8 − 8 = 0
305
4.
Κάνε τις πράξεις: α. ( +5 ) − ( +3 ) + ( +8 )
β. ( −25 ) + ( −4 ) − ( −10 )
γ. ( +12 ) + ( +2 ) − ( −8 )
" Λύση α. β. γ. 5.
( +5 ) − ( +3 ) + ( +8 ) = 5 − 3 + 8 = 13 − 3 = 10 ( −25 ) + ( −4 ) − ( −10 ) = −25 − 4 + 10 = −29 + 10 = −19 ( +12 ) + ( +2 ) − ( −8 ) = 12 + 2 + 8 = 22
Συµπλήρωσε τον πίνακα µε τους κατάλληλους αριθµούς: α
β
+3
α–β
–5 –8
–2
α+β
+10
–5
–9
+6
" Λύση Αν α = +3 και α + β=– 5, ή
â = −5 − 3 = −8
Αν β=-–8 και α + β= +10,
τότε
â = −5 − á = −5 − (+3 )
και
á − â =+3 − ( −8 ) = 3 + 8 = 11 .
τότε
á + ( −8 ) = +10
ή á =+10 − ( −8 ) =+10+ 8 =18 και
á − â =18 − ( −8 ) = 18 + 8 = 26 .
Αν α =– 2 και β = –5,
á +â = −2 + ( −5 ) = −7
τότε
και á − â = −2 − ( −5 ) = −2 + 5 = 3 .
306
Αν α = –9 και á +â =16 ,
τότε
( −9 ) +â =+6
ή â =+6 − ( −9 ) = +6 + 9 = 15
και
á − â = −9 − 15 = −24 .
α
β
α+β
α–β
+3
–8
–5
11
18
–8
+10
26
–2
–5
–7
3
–9
15
+6
–24
6.
Να λύσεις τις εξισώσεις: α. x + ( −8 ) = −18 , β. x + 12 = −14 , γ. x +
5 7 = , 4 8
δ. x −
5 =2 4
" Λύση α. x + ( −8 ) = −18
β.
x = −18 − ( −8 )
x = −14 − 12 x = −26
x = −18 + 8 x = −10 5 7 γ. x + = 4 8 7 5 x= − 8 4 1 2 7 5 x= − 8 4 7 10 x= − 8 8 3 x=− 8 7.
x + 12 = −14
δ.
5 =2 4 5 =2+ 4 4 1 2 5 = + 1 4 8 5 = + 4 4 13 = 4
x−
x
x x x
Συµπλήρωσε τις δύο τελευταίες στήλες του διπλανού πίνακα. Τι συµπεραίνεις για τους αριθµούς των δύο αυτών στηλών: α
β
7 3 2 4
3 1 3 4
–5,55
–2,45
3
–2,1
α–β
β–α
" Λύση Αν α = 7 και β = 3, τότε α − β = 7 − 3 = 4 και β − α = 3 − 7 = −4 . 3 2 ⋅ 4 + 3 11 1 3 ⋅ 4 + 1 13 και , = â=3 = = Αν á = 2 = 4 4 4 4 4 4 11 13 2 1 13 11 2 1 τότε á − â = − − = = . =− =− και â − á= 4 4 4 2 4 4 4 2
307
Αν α = – 5,55 και β =– 2,45, τότε á − â = −5,55 − ( −2,45 ) = −5,55 + 2,45 = −3,10 και â − á = −2,45 − ( −5,55 ) = −2,45 + 5,55 = 3,10 . Αν α = 3 και β = – 2,1, τότε á − â = 3 − ( −2,1) = 3 + 2,1 = 5,1
και â − á = −2,1 − 3 = −5,1 .
α
β
α–β
β–α
7 3 2 4
3 1 3 4
4 1 − 2
–4 1 2
–5,55
– 2,45
– 3,10
3,10
3
–2,1
5,1
–5,1
Οι αριθµοί στις δύο τελευταίες στήλες είναι αντίθετοι. 8.
Υπολόγισε την τιµή των παραστάσεων µε δύο τρόπους: α. 11 − (12 − 2 ) + (10 − 5 ) − ( 8 + 5 ) β. − (13,7 − 2,6 ) + 14,8 − ( −8,7 + 5 ) γ.
1 ⎛3 5⎞ ⎛ 7 5⎞ −⎜ − ⎟−⎜ + ⎟ 6 ⎝ 4 4 ⎠ ⎝ 12 6 ⎠
" Λύση α.
1ος τρόπος 11 − (12 − 2 ) + (10 − 5 ) − ( 8 + 5 ) = 11 − 10 + 5 − 13 = ος
2
β.
11 + 5 − 10 − 13 = 16 − 23 = −7 τρόπος 11 − (12 − 2 ) + (10 − 5 ) − ( 8 + 5 ) = 11 − 12 + 2 + 10 − 5 − 8 − 5 =
11 + 2 + 10 − 12 − 5 − 8 − 5 = 23 − 30 = −7 1 τρόπος − (13,7 − 2,6 ) + 14,8 − ( −8,7 + 5 ) = −11,1 + 14,8 − ( −3,7 ) = ος
−11,1 + 14,8 + 3,7 = −11,1 + 18,5 = 7,4 ος
2
308
τρόπος − (13,7 − 2,6 ) + 14,8 − ( −8,7 + 5 ) = −13,7 + 2,6 + 14,8 + 8,7 − 5 = −13,7 − 5 + 2,6 + 14,8 + 8,7 = −18,7 + 26,1 = 7,4
γ.
1ος τρόπος
2 ⎞ ⎛ 1 1 ⎛3 5⎞ ⎛ 7 5⎞ 1 ⎛ 2⎞ ⎜ 7 5⎟ + = −⎜ − ⎟−⎜ + ⎟ = − ⎜− ⎟ − 6 ⎝ 4 4 ⎠ ⎝ 12 6 ⎠ 6 ⎝ 4 ⎠ ⎜⎜ 12 6 ⎟⎟ ⎝ ⎠ 2 6 1 1 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 7 10 ⎞ 1 1 17 1 1 17 = = + − − ⎜− ⎟ − ⎜ + ⎟= + − 6 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 12 12 ⎠ 6 2 12 6 2 12 2 6 17 9 3 + − =− =− 12 12 12 12 4 2ος τρόπος
2 3 3 1 2 1 ⎛3 5⎞ ⎛ 7 5⎞ 1 3 5 7 5 − = −⎜ − ⎟−⎜ + ⎟= − + − 6 ⎝ 4 4 ⎠ ⎝ 12 6 ⎠ 6 4 4 12 6 2 9 15 7 10 2 9 15 7 10 − + − − = − + − − = 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 2 15 9 7 10 17 26 9 3 + − − − = − =− =− 12 12 12 12 12 12 12 12 4 9.
Συµπλήρωσε τον πίνακα: x
3,5
y
–1,5
z x+y+z x-y-z
1,89 4,3 –2,3
1 4 1 − 4 −
3,4
0
0,22
1 2
0
" Λύση Αν x=3,5 , y=1,5 , και x+y+z=0, τότε: 3,5 + ( −1,5 ) + z = 0 3,5 − 1,5 + z = 0
2+z =0 z = −2 Τότε x − y − z = 3,5 − ( −1,5 ) − ( −2 ) = 3,5 + 1,5 + 2 = 7 Αν y = 4,3 , z = –2,3 , και x – y – z=0, τότε: x − 4,3 − ( −2,3 ) = 0 x − 4,3 + 2,3 = 0
309
x−2 =0 x=2 Είναι x + y + z = 2 + 4,3 + ( −2,3 ) = 6,3 − 2,3 = 4 Αν x=1,89 , z=3,11 , και x + y + z = 0,22 , τότε: 1,89 + y + 3,11 = 0,22 5 + y = 0,22 y = 0,22 − 5 y = −4,78 Είναι x − y − z = 1,89 − ( −4,78 ) − 3,11 = 3,5 + 4,78 − 3,11 = 3,56 1 1 1 , y= − , και x+y+z= , τότε: 4 4 2 1 ⎛ 1⎞ 1 − + ⎜− ⎟ + z = 4 ⎝ 4⎠ 2 1 1 1 − − +z= 4 4 2 2 1 − +z= 4 2 1 1 − +z= 2 2 1 1 z= + 2 2 2 z = =1 2 1 ⎛ 1⎞ Είναι x − y − z = − − ⎜ − ⎟ − 1 = −1 4 ⎝ 4⎠
Αν x= −
x
3,5
2
1,89
−
1 4
y
–1,5
4,3
–4,78
−
1 4
z
–2
–2,3
3,4
1
x +y+z
0
4
0,22
1 2
x-y-z
7
0
3,56
–1
310
10. Υπολόγισε τις διαφορές: α. −10 − ( −10 ) β. −4,8 − ( −8,4 )
⎛ 5⎞ γ. 5,25 − ⎜ + ⎟ ⎝ 4⎠
⎛ 3⎞ δ. −12 − ⎜ − ⎟ ⎝ 4⎠
" Λύση α. −10 − ( −10 ) = 0 β. −4,8 − ( −8,4 ) = −4,8 + 8,4 = 3,6
5 ⎛ 5⎞ γ. 5,25 − ⎜ + ⎟ = 5,25 − = 5,25 − 1,25 = 4 4 ⎝ 4⎠ 3 ⎛ 3⎞ δ. −12 − ⎜ − ⎟ = −12 + = −12 + 0,75 = −11,25 4 ⎝ 4⎠ 11. Κάνε τις πράξεις: α. ( −5 ) + ( −2 ) − ( +7 )
β. ( −4 ) − ( +10 ) + ( +12 )
" Λύση α. β.
( −5 ) + ( −2 ) − ( +7 ) = −5 − 2 − 7 = −14 ( −4 ) − ( +10 ) + ( +12 ) = −4 − 10 + 12 = −14 + 12 = −2
12. Υπολόγισε την τιµή της παράστασης á + 3 − â + ã − ä , αν γνωρίζεις ότι: α. α = – 2 , β =–3 , γ=0 , δ=8 και β. α = 5 , β =4 , γ=-9 , δ=–20
" Λύση α. á + 3 − â + ã − ä = −2 + 3 − ( −3 ) + 0 − 8 =
−2 + 3 + 3 − 8 = −2 − 8 + 3 + 3 = −10 + 6 = −4 β. á + 3 − â + ã − ä = 5 + 3 − 4 + ( −9 ) − ( −20 ) =
8 − 4 − 9 + 20 = 8 + 20 − 4 − 9 = 28 -13 = 15
311
13. Υπολόγισε την τιµή των παραστάσεων αφού πρώτα απαλείψεις τις παρενθέσεις και τις αγκύλες: α. 0,54 − ⎡⎣ 3 + 0,45 − ( 2 − 0,1) ⎤⎦ β. −3,5 + ⎡⎣ − ( 3,7 − 2 ) − 2,4 ⎤⎦ − ( 2,3 − 3,2 ) γ. − ( −3 + 1) − ⎡⎣ −4 + ( −2 + 8 ) − ( −10 − 3 + 2 ) ⎤⎦ − ( −7 + 14 )
" Λύση α. 0,54 − ⎡⎣3 + 0,45 − ( 2 − 0,1) ⎤⎦ = 0,54 − ( 3 + 0,45 − 2 + 0,1) = = 0,54 − 3 − 0,45 + 2 − 0,1 = 2,54 − 3,55 = −1,01 β. −3,5 + ⎡− ⎣ ( 3,7 − 2 ) − 2,4 ⎤⎦ − ( 2,3 − 3,2 ) = = −3,5 + ( −3,7 + 2 − 2,4 ) − 2,3 + 3,2 =
= −3,5 − 3,7 + 2 − 2,4 − 2,3 + 3,2 = = −3,5 − 3,7 − 2,4 − 2,3 + 2 + 3,2 = = −11,9 + 5,2 = −6,7 γ. − ( −3 + 1) − ⎡− ⎣ 4 + ( −2 + 8 ) − ( −10 − 3 + 2 ) ⎤⎦ − ( −7 + 14 ) = = +3 − 1 − ( −4 − 2 + 8 + 10 + 3 − 2 ) + 7 − 14 = = +3 − 1 + 4 + 2 − 8 − 10 − 3 + 2 + 7 − 14 = = +3 + 4 + 2 + 2 + 7 − 1 − 8 − 10 − 3 − 14 = = +15 − 33 = −18 14. ∆ίνεται η παράσταση A = ( −5 ) + ( +8 ) − ( +10 ) − ( −9 ) και ζητείται: α. Να µετατρέψεις την παράσταση Α, έτσι ώστε να γίνει άθροισµα ρητών αριθµών. β. Μετά να χωρίσεις τους θετικούς από τους αρνητικούς αριθµούς. γ. Στη συνέχεια να µετατρέψεις την παράσταση Α σε άθροισµα ενός θετικού και ενός αρνητικού αριθµού και δ. Να υπολογίσεις την παράσταση Α.
" Λύση α. A = ( −5 ) + ( +8 ) − ( +10 ) − ( −9 ) = ( −5 ) + ( +8 ) + ( −10 ) + ( +9 ) β. A = ( −5 ) + ( +8 ) + ( −10 ) + ( +9 ) = ( +8 ) + ( +9 ) + ( −5 ) + ( −10 ) γ. A = ( +17 ) + ( −15 ) δ. A = ( +17 ) + ( −15 ) = 17 − 15 = 2
312
15. Να υπολογίσετε τις διαφορές: β. −9 − ( +4 ) α. 8 − ( −3 ) γ. −7,5 − ( −4,8 )
δ.
3 ⎛ 2⎞ − ⎜+ ⎟ 5 ⎝ 5⎠
16. Να κάνετε τις πράξεις: α. ( +5 ) − ( −7 ) + ( −3 ) β. ( −15 ) − ( −7 ) − ( +4 )
γ. 32 − ( +15 ) + ( −8 )
17. Να συµπληρώσετε τον πίνακα µε τους κατάλληλους αριθµούς: α
β
α+β
–7
α–β
+3 –5
+6
–8
+3
–4
–5
18. Να συµπληρώσετε τον πίνακα: α
β
–4 –9 – 1,4 −
1 8
−
3 8
γ
α+β+γ
+2
0
–3
–5
+3,8
0
+
5 8
19. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. x + ( −3 ) = −1 β. x + 8 = −4 δ. 7 − x = 4
α–β+γ
ε. x −
2 = −1 3
γ. x − ( −4 ) = 7 στ.
1 1 −x = 4 6
313
20. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α-β και β-α, όταν i. α = – 4
και
β = +8
ii. α = +4
και
β=–8
iii. α = +4
και
β=+8
iv. α = – 4
και
β=–8
Τι συµπεραίνετε για τους αριθµούς α – β και β – α; 21. Στη Σελήνη, η θερµοκρασία την ηµέρα φθάνει τους 130ο C ενώ τη νύχτα τους −150ο C. Να βρείτε τη διαφορά των θερµοκρασιών. 22. Να υπολογιστεί η τιµή των παραστάσεων: A = − ( −4 + 2 ) − ⎡− ⎣ 8 − ( +3 − 9 ) − ( −15 + 22 )⎤⎦
{
}
B = − − ⎡− ⎣ ( −4 ) ⎤⎦ − ⎡− ⎣ ( −9 + 8 ) − ( −6 + 3 ) + ( +4 − 7 )⎤⎦ Ã = − ( +2 − 9 ) − ( −15 ) − ⎡⎣( 3 − 11) − ( −7 + 3 ) − ( −5 − 6 )⎤⎦
(Απ.: Α=11 , Β=3 , Γ=15) 23. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Á = á − â − ã + 2 + ä , αν γνωρίζετε ότι: α. α = – 8 , β = +2 , γ = – 4 , δ=–5 β. α = – 2,3 , β = – 3,2 , γ = +4,7 , δ = – 5,1 (Απ:. α. –9 , β. –6,9) 24. Να υπολόγισε την τιµή της παράστασης Á = − ( −á ) + ⎡− ⎣ (+â ) ⎤⎦ − ⎡− ⎣ ( − ã + 2 ) ⎤⎦ , όταν: i. α = – 4 , β = – 7 και γ = –5 ii. α = 4,2 , β = – 3,1 και γ = +2,8 (Απ:. i. 10 , ii. 6,5)
314
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ Ένας έµπορος διαπίστωσε ότι κάθε ηµέρα του τελευταίου δεκαηµέρου των εκπτώσεων έβγαζε κέρδος 524,5 €. Το επόµενο, όµως, δεκαήµερο είχε καθηµερινή ζηµιά 265,4 €. Είναι γνωστό, ότι στα λογιστικά βιβλία το κέρδος καταχωρείται ως θετική εγγραφή και η ζηµιά ως αρνητική. ∆ηλαδή, το συνολικό κέρδος για το δεκαήµερο των εκπτώσεων θα είναι (+524,5 €) ⋅ (+10 ηµέρες) και για το επόµενο δεκαήµερο η συνολική ζηµιά θα είναι (–265,4 €) ⋅ (+10 ηµέρες). Προσπάθησε να βρεις το αποτέλεσµα των παραπάνω πράξεων χωρίς να κάνεις τους πολλαπλασιασµούς. Τι παρατηρείς για το πρόσηµο των αποτελεσµάτων;
" Απάντηση (+524,5) ⋅ (+10)=524,5+524,5+...+524,5=+5.245 €
10 öïñÝò
( −265,4) ⋅ ( +10) = − 265,4 − 265,4 − ... − 265,4
= −2.654 € 10 öïñÝò
Παρατηρούµε ότι όταν πολλαπλασιάζουµε θετικούς αριθµούς, το αποτέλεσµα είναι θετικός αριθµός, ενώ όταν πολλαπλασιάζουµε έναν θετικό µε έναν αρνητικό αριθµό, το αποτέλεσµα είναι αρνητικός αριθµός.
315
1.
Να συµπληρωθούν τα παρακάτω κενά: α. Το πρόσηµο του γινοµένου δύο οµόσηµων ρητών είναι πάντα συν (+). β. Το πρόσηµο του γινοµένου δύο ετερόσηµων ρητών είναι πάντα πλην (–). γ. Ένας ρητός όταν πολλαπλασιάζεται µε το 1 δεν µεταβάλλεται. δ. Το γινόµενο δύο αντίστροφων αριθµών είναι πάντα ίσο µε ένα. ε. Το πρόσηµο γινοµένου πολλών παραγόντων εξαρτάται από το πλήθος των αρνητικών παραγόντων.
2.
Υπολόγισε τα γινόµενα: β. −3 ( −10 ) α. ( −1) ( −1)
ε. 1 ⋅ ( −20015 )
γ. −1,2 ( −0,5 )
στ. −0,725 ( +1000 )
ζ.
δ. 0 ⋅ ( −10589 )
19 ⎛ 15 ⎞ ⎜− ⎟ 25 ⎝ 24 ⎠
" Λύση ( −1)( −1) = +1 β. −3 ( −10 ) = +30 γ. −1,2 ( −0,5 ) = +0,6 δ. 0 ⋅ ( −10589 ) = 0 ε. 1 ⋅ ( −20015 ) = −20015 στ. −0,725 ( +1000 ) = −725
α.
ζ. 3.
1 12 ⎛ 15 ⎞ 12 ⋅ 15 3 1⋅ 3 3 − = − =− =− ⎜ ⎟ 25 ⎝ 24 ⎠ 5⋅2 10 5 25 ⋅ 24 2
Υπολόγισε την τιµή των παραστάσεων µε τις λιγότερες δυνατές πράξεις: α. −5 ⋅ 27 + 2 ⋅ 27 β. 10,35 ⋅ ( −25 ) + 9,65 ⋅ ( −25 )
γ. −
6 ⎛ 6⎞ ⋅ ( −10 ) + ⎜ − ⎟ ⋅ ( +3 ) 7 ⎝ 7⎠
" Λύση α. −5 ⋅ 27 + 2 ⋅ 27 = ( −5 + 2 ) ⋅ 27 = −3 ⋅ 27 = −81 β. 10,35 ⋅ ( −25 ) + 9,65 ⋅ ( −25 ) = −25 ⋅ (10,35 + 9,65 ) = −25 ⋅ 20 = −500
316
6 6 6 ⎛ 6⎞ 10 + ( +3 )⎤⎦ = − ⋅ ( −10 + 3 ) = ⋅ ( −10 ) + ⎜ − ⎟ ⋅ ( +3 ) = − ⋅ ⎡− ⎣ 7 7 7 ⎝ 7⎠ 1 6 6⋅ 7 6 = − ⋅ ( −7 ) = + = + = +6 7 71 1
γ. −
4.
Συµπλήρωσε τον παρακάτω πίνακα: •
–1
−
1 2
0
+2
+3
–2
+2
+1
0
–4
–6
3 4
0
+3
+
–5
0
+20
+30
+
3 2
+10
5.
−
3 2
–10
−
9 2
Κάνε τις πράξεις: α. −7 ( −8 + 10 − 5 ) 1 1 1⎞ + − ⎟ ⎝ 4 2 8⎠ ⎛1 1⎞ γ. −10 − 6 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎝2 3⎠ β.
( 0,25 − 0,05 ) ⎛⎜ −
" Λύση α. −7 ( −8 + 10 − 5 ) = −7 ( −13 + 10 ) = −7 ( −3 ) = +21 β.
( 0,25 − 0,05 ) ⎛⎜ −
1 1 1⎞ + − ⎟ = 0,20 ⋅ ( −0,25 + 0,50 − 0,125 ) = ⎝ 4 2 8⎠ = 0,20 ⋅ ( −0,375 + 0,50 ) = 0,20 ⋅ ( +0,125 ) = 0,025
1 6 6 ⎛1 1⎞ ⎛ 1⎞ γ. −10 − 6 ⋅ ⎜ − ⎟ = −10 − 6 ⋅ − 6 ⎜ − ⎟ = −10 − + = 2 2 3 ⎝2 3⎠ ⎝ 3⎠ = −10 − 3 + 2 = −13 + 2 = −11
6.
Κάνε τις πράξεις: α. ( 5 + α ) ( 2 + β ) , γ.
( α − 3) (β − 3) ,
β. ( α + 7 ) ( α − 7 ) , δ. ( γ + 8 ) ( δ + 5 )
317
" Λύση α. β. γ. δ. 7.
( 5 + á )( 2 +â ) = 5 ⋅ 2 + 5 ⋅ â + á ⋅ 2 + á ⋅ â = 10+ 5â + 2á + áâ ( á + 7 )( á − 7 ) = á ⋅ á + á ⋅ ( −7 ) + 7 ⋅ á + 7 ⋅ ( −7 ) = á2 − 49 ( á − 3 )(â − 3 ) = á ⋅ â + á ⋅ ( −3 ) + ( −3 ) ⋅ â − 3 ⋅ ( −3 ) = áâ − 3á − 3â + 9 ( ã + 8 )( ä + 5 ) = ã ⋅ ä + ã ⋅ 5 + 8 ⋅ ä + 8 ⋅ 5 = ã ä + 5ã + 8ä + 40
Υπολόγισε τα γινόµενα: α. ( −1) ( −1) , β. ( −1) ( −1) ( −1) ,
γ. ( −1) ( −1) ( −1) ( −1)
" Λύση α. Επειδή έχουµε άρτιο πλήθος από ”–” και 1 ⋅ 1=1 , ισχύει: ( −1)( −1) = +1 β. Επειδή έχουµε περιττό πλήθος από ”–” και 1 ⋅ 1 ⋅ 1= 1 , ισχύει: ( −1)( −1)( −1) = −1 γ. Επειδή έχουµε άρτιο πλήθος αρνητικών παραγόντων και 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1=1 , ισχύει: ( −1)( −1)( −1)( −1) = +1 8.
Υπολόγισε την τιµή των παραστάσεων: A = ( á − 1) ( á + 1) ( á − 2 ) ( á + 2 )
όταν α=3
B = â (â − 3) (â + 3 ) (â − 5) (â + 5)
όταν β=2
à = ã ( 2ã − 1) ( 3ã + 1) ( 4ã − 2 ) ( ã + 2 ) ( ã − 2 )
όταν γ=0,5
" Λύση A = ( á − 1)( á +1)( á − 2 )( á + 2 ) = ( 3 − 1)( 3 +1)( 3 − 2 )( 3 + 2 ) = 2 ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 40 B = â ( â − 3 )( â + 3 )( â − 5 )( â + 5 ) = 2 ⋅ ( 2 − 3 )( 2 + 3 )( 2 − 5 )( 2 + 5 ) = = 2 ⋅ ( −1) ⋅ 5 ⋅ ( −3 ) ⋅ 7 = +210 Ã = ã ( 2ã − 1)( 3ã + 1)( 4ã − 2 )( ã + 2 )( ã − 2 ) = = 0,5 ( 2 ⋅ 0,5 − 1)( 3 ⋅ 0,5 + 1)( 4 ⋅ 0,5 − 2 )( 0,5 + 2 )( 0,5 − 2 ) = = 0,5 (1 − 1)(1,5 +1)( 2 − 2 ) ⋅ 2,5 ⋅ ( −1,5 ) = = 0,5 ⋅ 0 ⋅ 2,5 ⋅ 0 ⋅ 2,5 ⋅ ( −1,5 ) = 0
318
9.
Συµπλήρωσε τον πίνακα: x
y
z
ω
–2
0,5
+1
–3
1 2
+6
–4
–0,3
3 2
0,2
–7
−
–2
+
A = x⋅y⋅z
B = y⋅x⋅ù
Γ = xΑ − Β
ÁÂ + Ã
" Λύση Για x=–2, y= 0,5, z = +1 και ω= – 3, έχουµε: A = x ⋅ y ⋅ z = −2 ⋅ 0,5 ⋅ ( +1) = −1 B = y ⋅ x ⋅ ù = 0,5 ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −3 ) = +3 Ã = xÁ − Â = −2 ⋅ ( −1) − ( +3 ) = +2 − 3 = −1 ÁÂ +Ã = −1 ⋅ (+3 ) + ( −1) = −3 − 1 = −4 1 = – 0,5, y=+6, z =– 4 και ω=– 0,3, έχουµε: 2 A = x ⋅ y ⋅ z = −0,5 ⋅ ( +6 ) ⋅ ( −4 ) = +12
Για x= −
B = y ⋅ x ⋅ ù =+6 ⋅ ( −0,5 ) ⋅ ( −0,3 ) =+0,9 Ã = xÁ − Â = −0,5 ⋅ ( +12 ) − ( +0,9 ) = −6 − 0,9 = −6,9 ÁÂ +Ã =+12 ⋅ (+0,9 ) + ( −6,9 ) = +10,8 − 6,9 = +3,9 3 = +1,5, z = 0,2 και ω = – 7, έχουµε: 2 A = x ⋅ y ⋅ z = −2 ⋅ ( +15) ⋅ (0,2) = −0,6 B = y ⋅ x ⋅ ω = +1,5 ⋅ ( −2) ⋅ ( −7) = +21 Γ = xA − B = −2 ⋅ ( −0,6) − ( +21) = +1,2 − 21 = −19,8 AB + Γ = −0,6 ⋅ ( +21)( −19,8) = −12,6 − 19,8 = −32,4
Για x = – 2, y = +
x
y
z
ω
A = x⋅y⋅z
B = y⋅x⋅ù
à = xA − Â
ÁÂ + Ã
–2
0,5
+1
–3
–1
+3
–1
–4
1 2
+6
–4
–0,3
+12
+0,9
–6,9
+3,9
3 2
0,2
–7
-0,6
+21
–19,8
–32,4
−
–2
+
319
10. Υπολόγισε την τιµή της παράστασης: ⎛ 7 ⎞⎛ 6 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ − ( −1) ( −0,5 ) ⋅ 10 + ( −2547 ) ⋅ ( −7596 ) ⋅ 0 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎝ 3 ⎠⎝ 7 ⎠ ⎝ 3⎠
" Λύση ⎛ 7 ⎞⎛ 6 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ − ( −1)( −0,5 ) ⋅ 10 + ( −2547 ) ⋅ ( −7596 ) ⋅ 0 ⋅ ⎜ − ⎟ = 3 7 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ 1 2 7⋅6 + − ( +5 ) + 0 = +2 − 5 = −3 1 3 ⋅ 71 11. Κάνε τις πράξεις: α. (15,7 + 25,3 ) ( 5,93 − 4,43 ) + (12,52 + 7,48 ) ( 0,857 + 1,143 ) β. − ⎣⎡ − ( −3 ) ⎦⎤ ⋅ 5 + 2 ⎣⎡ − ( −1) ⎦⎤
γ. 10 − ⎣⎡ − ( −2 ) ⎦⎤ + ( −3 ) ⋅ ⎣⎡ − ( −7 ) ⎦⎤ − ( −5 ) ( −6 + 2 )
" Λύση α.
(15,7 + 25,3 )( 5,93 - 4,43 ) + (12,52 + 7,48 )( 0,857 + 1,143 ) = = 41 ⋅ 1,5 + 20 ⋅ 2 = 61,5 + 40 = 101,5
β. − ⎡− ⎣ ( −3 ) ⎤⎦ ⋅ 5 + 2 ⎡− ⎣ ( −1) ⎤⎦ = −3 ⋅ 5 + 2 ⋅ ( +1) = −15 + 2 = −13 γ. 10 − ⎡− ⎣ ( −2 ) ⎤⎦ + ( −3 ) ⋅ ⎡− ⎣ ( −7 ) ⎤⎦ − ( −5 )( −6 + 2 ) =
= 10 − 2 + ( −3 ) ⋅ ( +7 ) − ( −5 )( −4 ) = 10 − 2 + ( −21) − ( +20 ) =
= 10 − 2 − 21 − 20 = −33 12. Υπολόγισε την τιµή της παράστασης: ( 2x + 2 ) ( 4x − 4 ) ( 3x + 3 ) ( 5x − 5 ) ( 6x + 6 ) , όταν x = – 2
" Λύση ( 2x + 2 )( 4x − 4 )( 3x + 3 )( 5x − 5 )( 6x + 6 ) = = ⎡⎣ 2 ( −2 ) + 2 ⎤⎦ ⎡⎣ 4 ( −2 ) - 4 ⎤⎦ ⎡⎣3 ( −2 ) + 3⎤⎦ ⎡⎣ 5 ( −2 ) − 5 ⎤⎦ ⎡⎣ 6 ( −2 ) + 6 ⎤⎦ = = ( −4 + 2 )( −8 − 4 )( −6 + 3 )( −10 − 5 )( −12 + 6 ) = = ( −2 )( −12 )( −3 )( −15 )( −6 ) = −6480
320
13. Να υπολογίσετε τα γινόµενα: α. ( −2 ) ⋅ ( −3 )
β. ( −4 ) ⋅ ( +7 )
δ. −2008 ⋅ 0
ε. −0,134 ⋅ ( +1000 )
4 ⎛ 3⎞ ⋅⎜+ ⎟ 3 ⎝ 4⎠ στ. ( −1,3 ) ⋅ ( −2,1) γ. −
14. Υπολόγισε την τιµή των παραστάσεων µε τις λιγότερες δυνατές πράξεις: α. −2 ⋅ 48 + 12 ⋅ 48 β. −14 ⋅ 32 + ( −14 ) ⋅ ( −12 ) γ. −
3 ⎛ 3⎞ ⋅ ( −2008 ) + ⎜ − ⎟ ⋅ ( +2004 ) 4 ⎝ 4⎠
δ. −9,42 ⋅ ( −8 ) + ( −9,48 ) ⋅ ( +8 ) (Απ:. α. 480 , β.–280 , γ. 3 , δ. 0)
15. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: •
–3
0
−
+2
1 4
– 10
–1 +
1 3
−
1 2
16. Να κάνετε τις πράξεις: α. −3 ⋅ ( −5 + 8 − 2 )
5 ⎞ ⎛ 3 γ. −12 − 5 ⋅ ⎜ − − ⎟ ⎝ 10 10 ⎠ (Απ:. α. –3 , β. –15 , γ. –8 )
β. ( −32 + 27 ) ⋅ ( −14 − 8 + 19 )
17. Να κάνετε τις πράξεις: β. ( x − 2 )( x − 1) α. ( á − 2 )( â − 1) γ.
( x + 3 )( x + 5 )
δ. ( á − 3 )( â − ã + 4 )
18. Να κάνετε τις πράξεις: ⎛ 1 1 1⎞ α. ⎜ − − + ⎟ (+0,15 + 0,65 ) ⎝ 2 4 3⎠ γ. − ⎡− ⎣ ( −4 ) ⎤⎦ ⎡− ⎣ ( −5 ) ⎤⎦
β. −9 ⋅ ⎣⎡−2 − ( −7 ) ⎤⎦ δ. 8 − ⎣⎡− ( −3 ) ⎤⎦ − 2 ⎡− ⎣ ( −7 ) ⎤⎦ − ( −3 )( −8 + 5 ) (Απ:. α. −
5 , β. –45 , γ. –20 , δ. –18) 24
321
19. Να υπολογίσετε µε δύο τρόπους τις τιµές των παραστάσεων A = −8x + 5x , B = 14x − 9x , Ã = −0,6x − 0,2x , όταν x = – 10 (Απ:. Α = 30, Β = – 50, Γ = 8) 20. Με την επιµεριστική ιδιότητα, να απλοποιήσετε τη γραφή των παραστάσεων: A = −6x − 3x , B = +85x − 64x , Ã = −31x + 17x 21. Να γράψετε σε απλούστερη µορφή την παράσταση 8 + 2x − 5 ( x + 2 ) και να βρείτε την τιµή της όταν x = –5.: (Απ:. 13) 22. Να υπολογίσετε µε την τιµή της παράστασης A = − ( á − 2â − 3ã ) − 2 ( −3á + 2â − ã ) , όταν α=–2, β=+3 και γ=–4. (Απ:. –36) 23. Να βρείτε τους αντίστροφους και τους αντίθετους των αριθµών 1 2 –4, , − , +3, –1 3 5 24. Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: β. 2 ( á − ...) = 2á − 6 α. ( 3 − x )(...) = −3 + x
γ. (...)( x + 2 ) = −3x − 6
25. Να υπολογίσετε τα γινόµενα: ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 1 ⎛ 1⎞ α. ( −3 ) ⋅ ( −4 ) ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 5 ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ − ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 8⎠ 7 5 ⎝ 3⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 4⎞ β. ( −2 ) ⋅ ( −1) ⋅ ( −1) ⋅ ⎜ + ⎟ ⋅ ⎜ + ⎟ ⋅ ( −1) ⋅ ⎜ − ⎟ 2 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ γ. 2,625 ⋅ ( −3,782 ) ⋅ ( −9 + 9 ) ⋅ 2008 (Απ:. α. –1, β. –1 , γ. 0) 26. Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α. ( −2 )(+5 )(...6 ) = −... β. γ.
(...25 )( −4 )( −2 ) = +... (+5 )(...3 )( −20)( −2 ) = −...
27. Να βρείτε την τιµή των παραστάσεων A = xyz − xy − x και B = x ⎡⎣ y ( z − 1) − 1⎤⎦ , όταν x=-3 και z=1 (Απ:. Α=Β=3)
322
28. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων A = x ( x + 1)( x − 1)( x + 2 )( x − 2 ) B = x ( x + 3 )( x − 3 )( x + 11) Ã = ( 3x + 2 )( 5x + 4 )(1 − x )( x + 0,5 ) όταν x=-1 (Απ:. Α=0 , Β=80 , Γ=–1) 29. Να βρείτε ποιοι από τους αριθµούς α, β, γ, δ είναι θετικοί, ποιοι αρνητικοί και ποιοι µηδέν, αν είναι: ( −8 )( −5 )( −6 ) á = 19 ( −8 )( 3482 )( −4 ) â = 0
( −3 )(+2 )( −74 ) ⎛⎜ −
1⎞ ⎟ ã = −42 ⎝ 8⎠
( −2 )( -3 )( +7 )( −9 ) ä < 0
30. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων: A = ( −2008 )( −2009 )( −2010 ) + ( −2008 )( −2009 )( +2010 ) B = ( −2 )( +3 )( −4 )( +5 )( −6 )( −7 ) + ( −2 )( +3 )( −4 )( +5 )( −6 )( +7 ) (Απ:. Α=Β=0) 31. Να βρείτε τι θα συµβεί στο αποτέλεσµα ενός γινοµένου πολλών παραγόντων, διαφόρων του µηδενός, όταν αλλάξουµε το πρόσηµο α. Σε έναν παράγοντα β. Σε δύο παράγοντες
323
1.
Συµπλήρωσε τα παρακάτω κενά: α. Το πρόσηµο του πηλίκου δύο οµόσηµων ρητών είναι πάντα συν (+). β. Το πρόσηµο του πηλίκου δύο ετερόσηµων ρητών είναι πάντα πλην (–). γ. Για να διαιρέσουµε δύο ρητούς, αρκεί να πολλαπλασιάσουµε το διαιρετέο µε τον αντίστροφο του διαιρέτη. δ. Ένα πηλίκο α:β λέγεται και λόγος του α προς το β.
2.
Κάνε τις διαιρέσεις: α. ( −15,15 ) : ( +3 ) β. ( −4,5 ) : ( −1,5 )
( −81) : ( +0,9 )
γ.
δ. 49 : ( −7 )
" Λύση ( −15,15 ) : ( +3 ) = − (15,15 : 3 ) = −5,05 ( −4,5 ) : ( −1,5 ) = + ( 4,5 :1,5 ) = +3 ( −81) : ( +0,9 ) = − ( 81: 0,9 ) = −90 49 : ( −7 ) = − ( 49 : 7 ) = −7
α. β. γ. δ. 3.
Συµπλήρωσε τον παρακάτω πίνακα: x 7 3
5 −6
1,7
2,3
−4 5
–1
−
324
y
x+y
x−y
x⋅y
x:y
" Λύση 7 5 5 = − έχουµε: και y = 3 −6 6 2 1 7 ⎛ 5⎞ 7 5 14 5 19 x + y = − + ⎜− ⎟ = − − = − − =− 3 ⎝ 6⎠ 3 6 6 6 6 7 ⎛ 5⎞ 7 5 14 5 9 3 x − y = − − ⎜− ⎟ = − + = − + =− =− 3 ⎝ 6⎠ 3 6 6 6 6 2 7 ⎛ 5⎞ 35 ⎛7 5⎞ x ⋅ y = − ⋅⎜− ⎟ = +⎜ ⋅ ⎟ = + 3 ⎝ 6⎠ 3 6 18 ⎝ ⎠ 7 ⎛ 5⎞ 7 ⎛ 6⎞ 7 ⋅ 6 2 14 ⎛7 6⎞ x : y = − : ⎜− ⎟ = − ⋅⎜− ⎟ = +⎜ ⋅ ⎟ = + = 3 ⎝ 6⎠ 3 ⎝ 5⎠ 5 ⎝3 5⎠ 13 ⋅5
Αν x= −
Αν x=1,7 και y =2,3 τότε: x + y = 1,7 + 2,3 = 4 , x − y = 1,7 − 2,3 = −0,6 x ⋅ y = 1,7 ⋅ 2,3 = 3,91 και x : y = 1,7 : 2,3 = 0,739 4 Αν x= − και y =-1 τότε: 5 1 5 4 4 1 4 5 9 x + y = − + ( −1) = − − = − − = − 5 5 1 5 5 5 1 5 4 4 1 4 5 1 x − y = − − ( −1) = − + = − + = 5 5 1 5 5 5 4 4 4 4 x ⋅ y = − ⋅ ( −1) = + και x : y = − : ( −1) = + 5 5 5 5
x −
5 −6
1,7
2,3
4 5
–1
− 4.
7 3
y
Υπολόγισε τα πηλίκα: 10 β. α. 0,25 −120 γ. δ. ( −12 ) + ( −8 )
x+y −
x−y
19 6
−
4
–0,6
−
9 5
3 2
1 5
x⋅y +
35 18
3,91
+
4 5
x:y 14 5 0,739
+
4 5
−0,75 −0,5 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ ⎜ −3 ⎟ : ⎜ −2 ⎟ 5⎠ ⎝ 3⎠ ⎝
325
" Λύση 10 = 10 : 0,25 = 40 0,25 −0,75 = + ( 0,75 : 0,5 ) = +1,50 β. −0,5 −120 −120 = = + (120 : 20 ) = +6 γ. ( −12 ) + ( −8 ) −20
α.
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 16 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 16 8 ⎞ δ. ⎜ −3 ⎟ : ⎜ −2 ⎟ = ⎜ − ⎟ : ⎜ − ⎟ = + ⎜ : ⎟= ⎝ 5⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 5 3⎠ 2 16 ⋅ 3 2 ⋅ 3 6 ⎛ 16 3 ⎞ = +⎜ ⋅ ⎟ = + = = 5 ⋅ 81 5 5 ⎝ 5 8⎠
5.
Λύσε τις εξισώσεις: β. −0,14x = −49 , α. −3x = 74 , 2 4 γ. x ( −2 ) = 12 , δ. x = − 3 6
" Λύση α. −3x = 74 x = 74 : ( −3 ) x = − ( 74 : 3 ) x = −24,67
γ. x ( −2 ) = 12 x = 12 : ( −2 ) x = − (12 : 2 )
x = −6
326
β. −0,14x = −49 x = ( −49 ) : ( −0,14 ) x = + ( 49 : 0,14 ) x = +350 2 4 δ. x = − 3 6 4 2 x=− : 6 3 4 3 x=− ⋅ 6 2 4⋅3 x=− 6⋅2 12 x=− 12 x = −1
6.
Κάνε τις πράξεις: 1 2 12 − α. − + 3 −6 −15
β. −
( −2 ) ( −5 ) ( −1) −10
⎛ -7 5 ⎞ ⎛ 3 ⎞ γ. ⎜ − ⎟:⎜− ⎟ ⎝ 3 −3 ⎠ ⎝ 2 ⎠
" Λύση 1 2 12 1 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 12 ⎞ + − = − + ⎜− ⎟ − ⎜− ⎟ = 3 −6 −15 3 ⎝ 6 ⎠ ⎝ 15 ⎠ 10 5 2 1 2 12 10 10 24 =− − + =− − + = 3 6 15 30 30 30 20 24 4 2 =− + = = 30 30 30 15 ( −2 )( −5 )( −1) −10 =− = −1 β. − −10 −10 ⎛ -7 5 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎡ 7 ⎛ 5 ⎞ ⎤ ⎛ 3 ⎞ γ. ⎜ − ⎟ : ⎜ − ⎟ = ⎢− − ⎜ − ⎟⎥ : ⎜ − ⎟ = ⎝ 3 −3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎣ 3 ⎝ 3 ⎠ ⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 7 5⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ = ⎜− + ⎟:⎜− ⎟ = ⎜− ⎟:⎜− ⎟ = ⎝ 3 3⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠ 2⋅2 4 ⎛2 3⎞ ⎛2 2⎞ = +⎜ : ⎟ = +⎜ ⋅ ⎟ = + = 3⋅3 9 ⎝3 2⎠ ⎝3 3⎠
α. −
7.
Υπολόγισε την τιµή της παράστασης: ⎡ ⎤ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 9⎞ ⎢ ( −8 ) ⋅ ⎜ − 64 ⎟ − ( −15 ) : ( −8 ) ⎥ ( −8 ) + ( −27 ) : ⎜ − 8 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
" Λύση ⎡ ⎤ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 9⎞ ⎢( −8 ) ⋅ ⎜ − 64 ⎟ − ( −15 ) : ( −8 ) ⎥ ( −8 ) + ( −27 ) : ⎜ − 8 ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎧ ⎛ ⎫ ⎡ ⎛ 7 ⎞ 9 ⎞⎤ = ⎨+ ⎜ 8 ⋅ ⎟ − ⎡+ ⎣ (15 : 8 ) ⎤⎦ ⎬ ⋅ ( −8 ) + ⎢ + ⎜ 27 : 8 ⎟ ⎥ = 64 ⎠ ⎠⎦ ⎩ ⎝ ⎭ ⎣ ⎝ 1 3 ⎛ 8 ⋅ 7 15 ⎞ 27 ⋅ 8 =⎜ − ⎟ ⋅ ( −8 ) + = 8 ⎠ 91 ⎝ 64 8 =−
8 3⋅8 ⋅ ( −8 ) + = −1 ⋅ ( −8 ) + 24 = +8 + 24 = +32 8 1
327
8.
Να κάνετε τις διαιρέσεις: β. ( −48 ) : ( −12 ) α. 18 : ( −3 ) δ. 72 : 8
9.
ε.
( −2,5 ) : 5
Να υπολογίσετε τα πηλίκα: 2 −3,28 α. β. 0,20 −0,4
10. Να υπολογίσετε τα πηλίκα: 2 ⎛ 9⎞ 34 β. : ⎜− ⎟ : ( −17 ) α. 10 ⎝ 5 ⎠ 23
γ.
γ.
−28 : 7
στ.
( −20 ) : ( −8 )
−0,501 1,002
δ.
−120 ( −5 ) + ( −7 )
4 ⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ γ. ⎜ −6 ⎟ : ⎜ +3 ⎟ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 14 ⎠
11. Να βρείτε τους αντίστροφους και τους αντίθετους των αριθµών: 2 1 1 7, -12, -0,2, , − , 2 3 4 3 12. Να κάνετε τις πράξεις: −3 −5 7 β. α. − + 2 −6 −12 −2 + ( −3 )( −6 ) γ. δ. ( −3 )( −2 ) + ( −4 )
−
( −2 )( −3 )( −4 )
−24 ⎛ 8 −1 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎜− − ⎟ :⎜− ⎟ ⎝ 9 9 ⎠ ⎝ 3⎠
13. Να συµπληρώσετε τον πίνακα: α −
328
3 8
β −
−5 −8
–0,6
+0,4
+4
−2 5
α+β
α–β
α⋅ β
α:β
14. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. −6x = −42 , β. −10x = 15 , 2 −14 δ. x ⋅ ( −9 ) = 63 ε. x= −5 25
γ. 0,8x = −4 ,
(Απ:. α. 7 , β. –1,5 , γ. –5 , δ. – 7 , ε.
7 ) 5
15. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. x : ( −6 ) = −11 ,
β.
x = −7 , 4
⎛ 2⎞ 9 γ. x : ⎜ − ⎟ = , ⎝ 3 ⎠ 10
(Απ:. α. 66 , β. –28 , γ. −
3 ) 5
16. Να υπολογίσετε µε την τιµή της παράστασης ⎛ 1 ⎞ A = −4 ⎡− ⎣ 8 + ( −7 ) − ( −15 ) ⎤⎦ − ⎡− ⎣ 8 : ( −0,4 ) ⎤⎦ ⋅ ⎜ − 20 ⎟ ⎝ ⎠
B = ⎡− ⎣ 8 ⋅ ( −4 ) − ( −48 ) : ( −6 ) ⎤⎦ : ⎡⎣ 9 : ( −0,3 ) + ( −2 )( +3 )⎤⎦
(Απ:. Α=1 , Β=–1 )
329
1.
Βρες τη δεκαδική µορφή ρητών αριθµών: 15 5 13 20 β. γ. δ. α. − 10 8 14 11
ε.
32 31
" Λύση α. −
15 = −15 :10 = −1,5 10
5 = 5 : 8 = 0,625 8 13 = 13 :14 = 0,9285714285714... = 0,9285714 γ. 14 20 δ. = 20 :11 = 1,818181... = 1,81 11 32 ε. = 32 : 31 = 1,032258064516129 31 β.
2.
Βρες την κλασµατική µορφή των αριθµών: β. 2,8 γ. 3,83 δ. 7,4561 α. 57,92
" Λύση 5792 1448 = 100 25 x = 2,8
α. 57,92 = 5792 :100 = β. Θέτουµε και έχουµε
x = 2,888... 10 ⋅ x = 28,88... 10x = 26 + 2,88... 10x = 26 + x 10x − x = 26
(10 − 1) x = 26
∆ηλαδή
330
9x = 26 26 x= 9 26 2,8 = 9
ε. 15,39
γ.
Θέτουµε τότε έχουµε:
x = 3,83 = 3,838383... 100 ⋅ x = 383,8383... 100x = 380 + 3,8383...
100x = 380 + x 100x − x = 380 (100 − 1) x = 380
99x = 380 380 x= 99 δ. Θέτουµε x = 7,4561 = 7,4561561... 10.000 ⋅ x = 74561,561... τότε έχουµε: 10.000x = 74561 + 0,561561... Όµως x = 7,4561561... και 10x = 74,561561... 10x = 74 + 0,561561... Άρα 10.000x − 10x = 74561 + 0,561561... − ( 74 + 0,561561...) 9990x = 74561 + 0,561561... − 74 − 0,561561... 9990x = 74487 74487 x= 9990 74487 74487 : 3 24829 ∆ηλαδή 7,4561 = = = 9990 9990 : 3 3330 ε. Θέτουµε x = 15,39 = 15,3999... , τότε έχουµε: 100x = 1539,999... 100x = 1539 + 0,999... Όµως x = 15,3999... και 10x = 153,999... 10x = 153 + 0,999... Άρα 100x − 10x = 1539 + 0,999... − (153 + 0,999...) 90x = 1539 + 0,999... − 153 − 0,999...
90x = 1386 1386 1386 :18 77 x= = = 90 90 :18 5
331
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ
ÃÉÁ ÔÏ ÓÐÉÔÉ
Ο αρχαίος φιλόσοφος Ζήνωνας, που έζησε στη Μεγάλη Ελλάδα το 490 - 430 π.Χ. διατύπωσε, µεταξύ άλλων, και το παρακάτω παράδοξο του Αχιλλέα µε τη χελώνα: «Ο Αχιλλέας βαδίζει 10 φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα. ∆εν θα µπορέσει ποτέ να τη φτάσει, αν η χελώνα προηγείται ένα στάδιο (192 µέτρα περίπου) απ’ αυτόν». Ερεύνησε και προσπάθησε να επιβεβαιώσεις ή να απορρίψεις το λόγο για τον οποίο ο Ζήνωνας ισχυρίζεται κάτι τέτοιο.
" Απάντηση Ο Ζήνωνας ισχυρίζεται ότι ο Αχιλλέας δεν θα φτάσει ποτέ τη χελώνα γιατί: 1 Όταν ο Αχιλλέας θα έχει βαδίσει 1 στάδιο, η χελώνα θα έχει βαδίσει το 10 1 του του σταδίου, οπότε θα προηγείται. Όταν ο Αχιλλέας βαδίσει το 10 1 1 1 ⋅ = του σταδίου, και εποσταδίου, η χελώνα θα έχει βαδίσει το 10 10 100 µένως πάλι θα προηγείται. Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο βλέπουµε ότι, µε βάση τη σκέψη του Ζήνωνα, κάθε φορά που ο Αχιλλέας θα έχει βαδίσει 1 ένα διάστηµα x για να φτάσει τη χελώνα, αυτή θα έχει βαδίσει το x και 10 θα του προηγείται. Βέβαια, το προφανές είναι ότι ο Αχιλλέας θα φτάσει τη χελώνα. Το διάστηµα που πρέπει να διανύσει ο Αχιλλέας για να φτάσει τη χελώνα είναι: 1 1 1 1+ + + + ... = 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... = 1,111... 10 100 1000 ∆ηλαδή το διάστηµα που θα διανύσει ο Αχιλλέας έως ότου φτάσει τη χελώνα εκφράζεται από τον περιοδικό δεκαδικό 1,1 . Όµως αν x = 1,1 = 1,111... , τότε: 10x = 11,111... 10x = 10 + 1,111... 10x = 10 + x 10x − x = 10 (10 − 1) x = 10
9x = 10 10 1 x= =1 9 9 ∆ηλαδή ο Αχιλλέας, αφού βαδίσει 1
332
1 στάδια, θα φτάσει τη χελώνα. 9
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ Ένας υπολογιστής µολύνθηκε από κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητα να καταστρέφει τα ηλεκτρονικά αρχεία µε τον εξής τρόπο. Κάθε µολυσµένο αρχείο µόλυνε, µε τη σειρά του, τρία άλλα αρχεία µέσα σε µία ώρα λειτουργίας του υπολογιστή. Προσπάθησε να βρεις, πόσα αρχεία θα έχουν µολυνθεί σε πέντε ώρες.
" Απάντηση Έστω ότι αρχικά ο ιός είχε µολύνει x αρχεία του υπολογιστή. Επειδή κάθε µολυσµένο αρχείο µόλυνε, µε τη σειρά του, τρία άλλα αρχεία µέσα σε µία ώρα λειτουργίας του υπολογιστή, τα µολυσµένα αρχεία τώρα είναι 3x. Τη δεύτερη ώρα τα µολυσµένα αρχεία είναι 3 ⋅ 3x = 32 ⋅ x . Όµοια την πέµπτη ώρα τα µολυσµένα αρχεία είναι 35 ⋅ x = 243 ⋅ x
333
1.
Συµπλήρωσε τα παρακάτω κενά: α. ∆ύναµη µε βάση θετικό αριθµό είναι θετικός αριθµός. β. ∆ύναµη µε βάση αρνητικό αριθµό και εκθέτη άρτιο είναι θετικός αριθµός. γ. ∆ύναµη µε βάση αρνητικό αριθµό και εκθέτη περιττό είναι αρνητικός αριθµός. δ. Για να πολλαπλασιάσουµε δυνάµεις µε την ίδια βάση αφήνουµε την ίδια βάση και βάζουµε εκθέτη το άθροισµα των εκθετών. ε. Για να διαιρέσουµε δυνάµεις µε την ίδια βάση αφήνουµε την ίδια βάση και βάζουµε εκθέτη τη διαφορά του εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου. στ. Για να υψώσουµε ένα γινόµενο σε έναν εκθέτη, υψώνουµε κάθε παράγοντα του γινοµένου στον εκθέτη αυτό. ζ. Για να υψώσουµε ένα πηλίκο σε έναν εκθέτη, υψώνουµε καθέναν από τους όρους του πηλίκου στον εκθέτη αυτό. η. Για να υψώσουµε µία δύναµη σε έναν εκθέτη, υψώνουµε τη βάση της δύναµης στο γινόµενο των εκθετών.
2.
Βρες µε ποιο στοιχείο της 2ης και της 3ης στήλης αντίστοιχα είναι ίσο κάθε στοιχείο της 1ης στήλης του παρακάτω πίνακα.
3 + 52
(3 + 5)
2
3 ⋅ 52
(3 ⋅ 5)
2
3 − 52
(3 − 5) 3 5
75
Άθροισµα των 3 και 52
4
Γινόµενο των 3 και 52
28
Πηλίκο των 32 και 5
64
Τετράγωνο της διαφοράς 3 πλην 5
0,36
Τετράγωνο του πηλίκου 3 δια 5
225
Τετράγωνο του αθροίσµατος 3 και 5
1,8
Τετράγωνο του γινοµένου 3 επί 5
– 22
2
⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎝5⎠
334
2
∆ιαφορά των 3 και 52
2
" Λύση Το 3 + 52 είναι το άθροισµα των 3 και 52 και ισχύει: 3 + 52 = 3 + 25 = 28 Το ( 3 + 5 ) είναι το τετράγωνο του αθροίσµατος των 3 και 5 και ισχύει: 2
(3 + 5)
2
= 82 = 64
Το 3 ⋅ 52 είναι το γινόµενο των 3 και 52 και ισχύει: 3 ⋅ 52 = 3 ⋅ 25 = 75 Το 3 − 52 είναι η διαφορά των 3 και 52 και ισχύει: 3 − 52 = 3 − 25 = −22 Το ( 3 − 5 ) είναι το τετράγωνο της διαφοράς 3 πλην 5 και ισχύει: 2
(3 − 5)
2
= ( −2 ) = 4 2
32 είναι το πηλίκο των 32 και 5 και ισχύει: 5 32 9 = = 9 : 5 = 1,8 5 5 2 ⎛3⎞ Το ⎜ ⎟ είναι το τετράγωνο του πηλίκου 3 δια 5 και ισχύει: ⎝5⎠
Το
2
2 2 ⎛3⎞ ⎜ ⎟ = ( 3 : 5 ) = ( 0,6 ) = 0,36 5 ⎝ ⎠
3.
Υπολόγισε τις τιµές των παραστάσεων: A = ( −1) + ( −1) + ( −1) + ( −1) + ( −1) 1
2
3
4
5
B = 32 ⋅ 54 − 25 ⋅ 4 5 + 87,5 ⋅ 4 3 Ã=−
( −6 ) 35
5
−
84
( −4 )
4
+
10 3
( −5 )
3
" Λύση Α = ( −1) + ( −1) + ( −1) + ( −1) + ( −1) = 1
2
3
4
5
= −1 + ( +1 ) + ( −1 ) + ( +1 ) + ( −1 ) = −1
Β = 32 ⋅ 54 − 25 ⋅ 4 5 + 87,5 ⋅ 4 3 = 32 ⋅ 625 − 25 ⋅ 1024 + 87,5 ⋅ 64 =
= 20.000 − 25.600 + 5.600 = 25.600 − 25.600 = 0 Γ= −
( −6 )
5
−
84
+
( −4 ) ( − 5 ) 5 4 3 = − ( −2 ) − ( −2 ) + ( −2 ) 35
4
5
103 3
4
3
⎛ −6 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 10 ⎞ = −⎜ ⎟ −⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = ⎝ 3 ⎠ ⎝ −4 ⎠ ⎝ −5 ⎠ = − ( −32 ) − ( +16 ) + ( −8 ) =
= +32 − 16 − 8 = 8
335
4.
Να βρείτε το πρόσηµο των αριθµών: β. ( −5 ) ,
γ. − ( −4 ) ,
10
α. −510 ,
δ. − ( −4 )
7
8
" Λύση α. Το 510 είναι θετικός αριθµός, άρα το −510 είναι αρνητικός αριθµός. β. Το
( −5 )
10
είναι δύναµη µε βάση αρνητικό αριθµό και εκθέτη άρτιο,
άρα είναι θετικός αριθµός. γ. Το ( −4 ) είναι δύναµη µε βάση αρνητικό αριθµό και εκθέτη περιττό, 7
άρα είναι αρνητικός αριθµός. Οπότε ο − ( −4 ) είναι θετικός αριθµός. 7
δ. Το
( −4 )
8
είναι δύναµη µε βάση αρνητικό αριθµό και εκθέτη άρτιο,
άρα είναι θετικός αριθµός. Οπότε ο − ( −4 ) είναι αρνητικός αριθµός. 8
5.
Να γράψετε τα παρακάτω γινόµενα µε µορφή µιας δύναµης: α. 35 ⋅ 3 6 ,
δ.
( −5 ) ⋅ ( −5 ) , 4 5 ( −4 ) ⋅ ( −4 ) ⋅ ( −4 )
στ.
( −0,175 ) ⋅ ( −0,175 ) ⋅ ( −0,175 )
4
β.
γ. 7 ⋅ 73 ⋅ 76 , 4
2
⎛2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ε. ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠
7
3
2
6
8
" Λύση Η άσκηση αποτελεί εφαρµογή της ιδιότητας áì ⋅ á í = áì+í α. 35 ⋅ 36 = 35 + 6 = 311 β.
( −5 ) ⋅ ( − 5 ) 4
3
= ( −5 )
4+3
= ( −5 )
7
γ. 7 ⋅ 73 ⋅ 76 = 71+ 3 + 6 = 710 δ.
( −4 ) ⋅ ( − 4 ) ⋅ ( − 4 ) 4
4
2
5
= ( −4 )
7
⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎛2⎞ ε. ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠
4 +1+ 5
4 +2+7
= ( −4 )
10
13
⎛2⎞ =⎜ ⎟ ⎝3⎠
στ. ( −0,175 ) ⋅ ( −0,175 ) ⋅ ( −0,175 ) = ( −0,175 ) 2
6.
336
6
8
2+6+8
Να υπολογίσετε τα πηλίκα: 85 1000 3 3 3 β. , γ. ( −2004 ) : ( +668 ) , α. 5 4 5003
= ( −0,175 )
16
δ. ( −7 ) : ( −1,75 ) 4
4
" Λύση í
⎛á⎞ áí Η άσκηση αποτελεί εφαρµογή της ιδιότητας ⎜ ⎟ = í â ⎝â⎠ 5
α.
85 ⎛ 8 ⎞ = ⎜ ⎟ = 25 = 32 45 ⎝ 4 ⎠ 3
10003 ⎛ 1000 ⎞ 3 β. =⎜ ⎟ =2 =8 3 500 ⎝ 500 ⎠ γ.
( −2004 ) : ( +668 ) 3
3
= ⎡⎣( −2004 ) : ( +668 ) ⎤⎦ = 3
⎡− ⎣ ( 2004 : 668 ) ⎤⎦ = ( −3 ) = −27 3
δ. 7.
( −7 ) : ( −1,75 ) 4
4
3
= ⎡⎣( −7 ) : ( −1,75 ) ⎤⎦ = ⎡+ ⎣ ( 7 :1,75 )⎤⎦ = ( +4 ) = 256 4
4
Να υπολογίσετε τα γινόµενα: 2008 1 ⎞ 5 2008 ⎛ ⋅⎜ β. ( 0,2 ) ⋅ 10 5 α. 2004 ⎟ ⎝ 2004 ⎠
3
4
3
⎛ 2⎞ ⎛ 9⎞ ⎛ 1⎞ γ. ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠ ⎝3⎠
3
" Λύση Η άσκηση αποτελεί εφαρµογή της ιδιότητας ( á ⋅ â ) = á í ⋅ â í í
⎛ 1 ⎞ α. 2004 2008 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 2004 ⎠ β.
( 0,2 )
2008
1 ⎞ ⎛ = ⎜ 2004 ⋅ ⎟ 2004 ⎠ ⎝
2008
= 12008 = 1
⋅ 105 = ( 0,2 ⋅ 10 ) = 25 = 32
5
5
3
3
3
3
⎛ 1 2 ⋅ 9 3 ⋅1 ⎞ ⎡⎛ 2 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎛ 2⎞ ⎛ 9⎞ ⎛1⎞ γ. ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎢⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ = ⎜ + ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠ ⎝3⎠ ⎣⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎦ ⎝ 1 3 ⋅ 42 ⋅ 3 ⎠ 3
3
3
13 1 ⎛ 1⋅ 3 ⋅1 ⎞ ⎛1⎞ = = = =⎜ = ⎜ ⎟ ⎟ 3 1 2 3 ⋅ ⋅ 2 8 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 8.
Να γράψετε τις παρακάτω δυνάµεις µε µορφή µιας µόνο δύναµης: α. ( 3 2 )
5
3 β. ⎡ ( −2 ) ⎤ ⎣ ⎦
{
2
2 γ. ⎡( −2 ) ⎤ ⎣ ⎦
4
}
5
" Λύση Η άσκηση αποτελεί εφαρµογή της ιδιότητας ( áì ) = áì⋅í í
α.
(3 )
2 5
= 32⋅5 = 310 2
3 3 ⋅2 6 β. ⎡( −2 ) ⎤ = ( −2 ) = ( −2 ) = 26 ⎣ ⎦
γ.
{
⎡( −2 )2 ⎤ ⎣ ⎦
}
4 5
5
2 ⋅4 2⋅4 ⋅5 40 = ⎡ ( −2 ) ⎤ = ( − 2 ) = ( −2 ) = 240 ⎣ ⎦
337
9.
Να υπολογίσετε τις δυνάµεις:
α. 2
⎛ 1⎞ β. ⎜ − ⎟ ⎝ 3⎠
4
2
γ. ( −4 )
δ. ( −1)
3
⎛ 3⎞ ε. ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠
2008
2
10. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: β. ( −2 )
α. −26
γ. − ( −3 )
6
4
⎛ 1⎞ δ. ⎜ − ⎟ ⎝ 3⎠
2
ε. −32 ( −3 )
2
11. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α.
( −2 )
+ ( −2 ) + ( − 2 ) + ( − 2 )
1
2
3
γ. −22 + 23 − 24 + ( −2 )
4
β. ( −2 )
6
5
12. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω δυνάµεις είναι θετικές και ποιες αρνητικές: α. ( −2009 )
2008
β. ( +100 )
101
γ. ( −2004 )
2009
13. Να βρείτε το πρόσηµο των αριθµών: α. −2
β. −7
100
⎛ 15 ⎞ γ. − ⎜ − ⎟ ⎝ 8 ⎠
41
20
δ. ( −1,9 )
41
14. Να συµπληρώσετε τα κενά µε ένα από τα σύµβολα >, <, =, ώστε οι σχέσεις που θα προκύψουν να είναι αληθής: α. ( −3 )
100
γ. ( −5 ) ... − 580 80
β. −3100...0
...0
δ. ( −1) ... − 141 41
ε. − ( −15 ) ...1515 15
15. Να γράψετε τα παρακάτω γινόµενα µε µορφή µιας δύναµης: α. 25 ⋅ 27
β. 2 ⋅ 24 ⋅ 26
2
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ δ. ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
7
338
65 35
β.
14 2 22
4
5
ε. ( −0,28 ) ⋅ ( −0,28 ) ⋅ ( −0,28 ) 2
16. Να υπολογίσετε τα πηλίκα: α.
γ. ( −3 ) ⋅ ( −3 )
( −62,8 ) 3 ( −15,7 ) 3
γ.
4
δ. ( −48 ) : ( +16 ) 4
4
3
17. Να υπολογίσετε τα γινόµενα: ⎛1⎞ α. 85 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝8⎠
5
3
3
⎛1⎞ ⎛6⎞ ⎛5⎞ β. ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝6⎠ ⎝4⎠ ⎝3⎠
3
γ. ( 0,125 ) ⋅ 810 10
18. Να γράψετε τις παραστάσεις µε µορφή δύναµης ενός αριθµού: 64 10 41 α. ( 31821 ⋅ 32009 ) : 32000 β. ( −8 ) : ⎡( −8 ) ⋅ ( −8 ) ⋅ ( −8 ) ⎤ ⎣ ⎦ 19. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: 2 3 4 Α = −8 − ⎡ −6 + ( −7 ) − ( −3 ) ⎤ − ( −4 ) ⋅ ( −2 ) ⎣ ⎦ 2 2 2 2 ⎡ 3 Β = −3 ⋅ 2 − ( −3 ) ⎤ + ( −4 ) ⋅ ⎡ 72 − ( −6 ) − ( −6 ) ⋅ ( −2 ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (Απ:. Α =–14, Β = 25) 20. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. 219 ⋅ x = 221
β.
x
( −2 )
= 24
3 5
γ. −32008 ⋅ x = 32009
⎛ 1⎞ δ. ⎜ − ⎟ ⋅ x = 23 ⎝ 2⎠ (Απ:. α. 4 , β. –128 , γ. –3 , δ. –256)
21. Να συµπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες: x
( x + y)
y
4
3
–5
2
7
–4
–3
–2
x
–5
2
–3
x 2 + y2
0
x 2 + 2xy + y 2
3
5
−x
x2 −x 2
( −x )
2
339
1.
Συµπλήρωσε τον πίνακα: 1 2
α β
–2
γ
−
–1 −
1 5
10
1 2 3 2
– 10 0,01
(α +β)2
( α ⋅ β) ⎛ α⎞ ⎜ ⎟ ⎝β⎠
2
2
( −α )
−2
( γβ )
−1
" Λύση Αν
α=
1 , 2
β=– 2
και
γ =−
1 5
τότε: 2
(á + â) (á ⋅ â)
340
2
2
⎛ 1 2 ⎞ 2 2 2 1 1 2 32 9 ⎡ ⎤ ⎛1 4⎞ ⎛ 3⎞ = ⎢ + ( −2 ) ⎥ = ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎟ = + 2 = + ⎜⎜ 2 1 ⎟⎟ 4 2 ⎣2 ⎦ ⎝2 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ 2
2
⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ 2 ⎡1 ⎤ = ⎢ ⋅ ( −2 ) ⎥ = ⎢ − ⎜ ⋅ 2 ⎟ ⎥ = ( −1) = 1 ⎣2 ⎦ ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦
2
⎛ 1 ⎞ 2 ⎜ 2 ⎟ ⎛á⎞ 12 1 ⎛ 1⎞ = = − = + =+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 â 2 4 16 − 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ 2
( −á )
⎛ 1⎞ = ⎜− ⎟ ⎝ 2⎠
−2
−2
2
2 ⎛ 2⎞ = ⎜ − ⎟ = ( −2 ) = + 4 1 ⎝ ⎠
1 ( ãâ ) = ⎡⎢ − ⋅ ( −2 ) ⎤⎥ ⎣ 5 ⎦ 1 Αν α=– 1, β= − 2 −1
(á + â)
2
−1
−1
−1
1
5 ⎛2⎞ ⎛5⎞ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = 2 ⎝5⎠ ⎝2⎠ 3 και γ = τότε: 2 2 2 ⎛ ⎞ 2 ⎡ 1 1 ⎛ 1 ⎞⎤ = ⎢( −1) + ⎜ − ⎟ ⎥ = ⎜ − − ⎟ = ⎜ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎣ ⎜ 1 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠ 2
⎛ 1 ⎞ = ⎜+ ⋅ 2⎟ ⎝ 5 ⎠
2
32 9 ⎛ 2 1⎞ ⎛ 3⎞ = ⎜− − ⎟ = ⎜− ⎟ = + 2 = + 2 2 2 4 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(á ⋅ â)
2
2
⎛ ⎞ ⎛ ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎛á⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 1 ⎟ = ⎜+ ⎝â⎠ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ 2⎠ ⎝ 2
( -á )
= ⎡− ⎣ ( −1) ⎤⎦
−2
( ãâ )
Αν α=10,
(á + â) 2
−2
2
2
1⎞ 2 1 ⎟ = ⎛ + 2 ⎞ = +2 2 = 4 ( ) ⎟ ⎜ ⎟ 1⎟ ⎝ 1⎠ ⎟ 2⎠
= ( +1)
⎡ 3 ⎛ 1 ⎞⎤ = ⎢ ⋅ ⎜ − ⎟⎥ ⎣ 2 ⎝ 2 ⎠⎦
−1
(á ⋅ â)
2
⎡ ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ 12 1 ⎛ 1 ⎞⎤ ⎛1⎞ = ⎢( −1) ⋅ ⎜ − ⎟ ⎥ = ⎢ + ⎜1 ⋅ ⎟ ⎥ = ⎜ ⎟ = 2 = 4 2 ⎝ 2 ⎠⎦ ⎝2⎠ ⎣ ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦
2
−1
= ( +1) = 1 2
⎡ ⎛ 3 1 ⎞⎤ = ⎢− ⎜ ⋅ ⎟⎥ ⎣ ⎝ 2 2 ⎠⎦
β=– 10 2
−2
και
−1
⎛ 3⎞ = ⎜− ⎟ ⎝ 4⎠
−1
1
4 ⎛ 4⎞ = ⎜− ⎟ = − 3 ⎝ 3⎠
γ =0,01 τότε:
= ⎡⎣10 + ( −10 ) ⎤⎦ = 0 = 0 2
2
= ⎡⎣10 ⋅ ( −10 ) ⎤⎦ = ( −100 ) = 10.000 2
2
2
2
⎛á⎞ 2 ⎛ 10 ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = ( −1) = +1 ⎝ −10 ⎠ ⎝â⎠
( −á ) ( ãâ )
−2
−1
= ( −10 )
−2
2
2
12 1 ⎛ 10 ⎞ ⎛ 1⎞ = ⎜− ⎟ = ⎜− ⎟ = + 2 = + 100 10 ⎝ 1⎠ ⎝ 10 ⎠
−1 ⎡ 1 ⎤ = ⎡⎣0,01 ⋅ ( −10 ) ⎤⎦ = ⎢ ⋅ ( −10 ) ⎥ 100 ⎣ ⎦
−1
−1
−1
1 ⎛ 10 ⎞ ⎛ 1⎞ = ⎜− ⎟ = ⎜ − ⎟ = ( −10 ) = −10 ⎝ 100 ⎠ ⎝ 10 ⎠
341
1 2
α β
–2
γ
−
(α +β)2
( α ⋅ β) ⎛α⎞ ⎜ ⎟ ⎝β⎠
2.
2
−2
( γβ )
−1
1 2 3 2 9 + 4 1 4
1 5 9 4
1 16
4
+4
1
+
10
−
1
2
( −α)
–1
5 2
−
– 10 0,01 0 10.000 +1 +
4 3
1 100
–10
Υπολόγισε τις τιµές των παραστάσεων: Α = ( −1)
−3
+ ( −1)
−2
+ ( −1) + ( −1) + ( −1) + ( −1) −1
5
2 2 Β = ⎡ ( −2 ) ⎤ ⋅ ⎡ ( −3 ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Γ= −
( −6 )
−5
+
12−5
−2
16 −4
( −32 )
1
2 −2 + ⎡( −23,5 ) ⋅ ( 23,5 ) ⎤ ⎣ ⎦
−
−4
0
2
5
5 −3
( −10 )
−3
" Λύση Α = ( −1) + ( −1) −3
−2
3
2
+ ( −1) + ( −1) + ( −1) + ( −1) = −1
0
1
2
1
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + 1 + ( −1) + ( +1) = ⎝ −1 ⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎝ −1 ⎠ = ( −1) + ( −1) + ( −1) + 1 −1 +1 = 3
2
1
= −1 + ( +1) + ( −1) + 1 = −1 + 1 − 1 + 1 = 0 5
2 2 Β = ⎡( −2 ) ⎤ ⋅ ⎡( −3 ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−2
5
2 −2 + ⎡( −23,5 ) ⋅ ( 23,5 ) ⎤ = ⎣ ⎦
5
2
1 ⎞ ⎛ 5 5 −2 ⎛1⎞ = ( +4 ) ⋅ ( +9 ) + ⎜ 23,52 ⋅ = 1024 ⋅ ⎜ ⎟ + ( +1) = 2 ⎟ 23,5 9 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 81 12 1024 1 1024 81 1105 = 1024 ⋅ 2 + ( +1) = + = + = 9 81 1 81 81 81
342
Γ= −
( −6 )
−5
12 −5
⎛ 1⎞ = ⎜− ⎟ ⎝ 2⎠
−5
+
16 −4
( −32 )
⎛ 1⎞ + ⎜− ⎟ ⎝ 2⎠
−4
−4
−
5−3
( −10 )
⎛ 1⎞ − ⎜− ⎟ ⎝ 2⎠
−3
−3
⎛ −6 ⎞ = −⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠
−5
⎛ 16 ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ −32 ⎠
5
4
−4
⎛ 5 ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ −10 ⎠
−3
=
3
⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ = ⎜− ⎟ + ⎜− ⎟ − ⎜− ⎟ = ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠
= ( −2 ) + ( −2 ) − ( −2 ) = −32 + ( +16 ) − ( −8 ) = −32 + 16 + 8 = 5
4
3
= −32 + 24 = −8 3.
Βρες ποιος από τους αριθµούς: 1 1 α. , β. 10 3 ⋅ 5 ⋅ 2 , γ. , 10 10 3 δεν είναι δύναµη του 10.
δ. 10 3 + 102
" Λύση 1 = 10−1 είναι δύναµη του 10. 10 β. Ο αριθµός 103 ⋅ 5 ⋅ 2 = 103 ⋅ 10 = 103 +1 = 104 , είναι δύναµη του 10. 1 γ. Ο αριθµός = 10−3 είναι δύναµη του 10. 103 δ. 103 + 102 = 1000 + 100 = 1100 δεν είναι δύναµη του 10.
α. Ο αριθµός
4.
Συµπληρώστε τον πίνακα: x
x −3
x3
x −1
0,001 0,01 0,1 – 10 – 100
2 ⋅ 104 5 ⋅ 10 −3 1 2 3 2 1 − 5
343
" Λύση Αν
x = 0,001 =
1 , 1000
⎛ 1 ⎞ τότε: x −3 = ⎜ ⎟ ⎝ 1000 ⎠
−3
= (1000 ) = 1000000000 = 109 3
3
3
1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ x = ( 0,001) = ⎜ = 9 = 10−9 ⎟ =⎜ 3 ⎟ = 3 3 ⎝ 1000 ⎠ ⎝ 10 ⎠ (10 ) 10 3
3
−1
⎛ 1 ⎞ 1 3 x =⎜ ⎟ = 1000 = 1000 = 10 ⎝ 1000 ⎠ 1 x = 0,01 = Αν , 100 −3 ⎛ 1 ⎞ 3 2 3 6 τότε: x −3 = ⎜ ⎟ = 100 = (10 ) = 10 100 ⎝ ⎠ −1
3
1 1 1 ⎛ 1 ⎞ x =⎜ = = 6 = 10−6 ⎟ = 3 3 2 ⎝ 100 ⎠ 100 (10 ) 10 3
−1
⎛ 1 ⎞ 1 2 x =⎜ ⎟ = 100 = 100 = 10 ⎝ 100 ⎠ 1 Αν x = 0,1 = , 10 −3 ⎛ 1⎞ −3 τότε: x = ⎜ ⎟ = 103 ⎝ 10 ⎠ −1
−1
3
Αν
1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ x 3 = ⎜ ⎟ = 3 = 10−3 , x −1 = ⎜ ⎟ = 101 = 10 ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ 10 x = −10 ,
τότε: x
−3
= ( −10 )
−3
3
−13 ⎛ 1⎞ = ⎜ − ⎟ = 3 = −10−3 ⎝ 10 ⎠ 10 1
Αν
1 −1 3 ⎛ 1⎞ = −10−1 x 3 = ( −10 ) = −103 = x −1 = ( −10 ) = ⎜ − ⎟ = − 10 10 ⎝ ⎠ x = −100 , τότε: x
−3
= ( −100 )
−3
3
13 1 1 ⎛ 1 ⎞ = ⎜− =− = − 6 = −10−6 ⎟ =− 3 3 2 100 ⎝ 100 ⎠ (10 ) 10
x 3 = ( −100 ) = −1003 = − (102 ) = −102⋅3 = −10−6 3
3
x −1 = ( −100 )
344
−1
=−
1 1 = − 2 = −10−2 100 10
Αν
x = 2 ⋅ 104 ,
τότε:
x −3 = ( 2 ⋅ 104 )
−3
= 2 −3 (104 )
−3
3
13 1 ⎛1⎞ = ⎜ ⎟ ⋅ 104⋅( −3) = − 3 ⋅ 10−12 = − ⋅ 10−12 8 2 ⎝2⎠
x 3 = ( 2 ⋅ 104 ) = 23 ⋅ (104 ) = 8 ⋅ 1012 3
x −1 = ( 2 ⋅ 104 )
3
−1
Αν
x = 5 ⋅ 10−3 ,
τότε:
x −3 = ( 5 ⋅ 10−3 )
−3
= ( 2 ) ⋅ (104 ) −1
= 5 −3 ⋅ (10−3 )
−1
−3
=
1 ⋅ 104( −1) = 0,5 ⋅ 10−4 2
=
1 1 ⋅ 10−3⋅( −3) = ⋅ 109 3 125 5
x 3 = ( 5 ⋅ 10−3 ) = 125 ⋅ 10−3⋅3 = 125 ⋅ 10−9 3
x −1 = ( 5 ⋅ 10−3 )
−1
= 5−1 ⋅ (10−3 )
−1
=
1 ⋅ 10( −3)( −1) = 0,2 ⋅ 103 5
1 , 2
Αν
x=
τότε:
⎛1⎞ x −3 = ⎜ ⎟ ⎝2⎠
−3
3
⎛2⎞ =⎜ ⎟ =8 ⎝1⎠
3
13 1 ⎛1⎞ x =⎜ ⎟ = 3 = 8 2 ⎝2⎠ 3
−1
⎛1⎞ x −1 = ⎜ ⎟ = 2 ⎝2⎠ 3 x= , 2 −3 3 23 8 ⎛3⎞ ⎛2⎞ x −3 = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 3 = 27 3 ⎝2⎠ ⎝3⎠
Αν τότε:
3
33 27 ⎛3⎞ x =⎜ ⎟ = 3 = 8 2 ⎝2⎠ 3
−1
1
2 ⎛3⎞ ⎛2⎞ x −1 = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 3 ⎝2⎠ ⎝3⎠ 1 x=− , 5 −3 3 ⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞ −3 x = ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎟ = −53 = −125 ⎝ 5⎠ ⎝ 1⎠
Αν τότε:
3
13 1 ⎛ 1⎞ x3 = ⎜ − ⎟ = − 3 = − 5 125 5 ⎝ ⎠ x
−1
⎛ 1⎞ = ⎜− ⎟ ⎝ 5⎠
−1
= ( −5 ) = − 5 1
345
x
x −3
x3
x −1
0,001
109
10 −9
103
0,01
106
10 −6
102
0,1
103
10 −3
10
−10
3
−10 −1
−106
−10 −2
8 ⋅ 1012
0,5 ⋅ 10 4
125 ⋅ 109
0,2 ⋅ 103
−10
– 10 – 100 2 ⋅ 10 4
5 ⋅ 10 −3
−10 −6 1 ⋅ 10 −12 8 1 ⋅ 109 125
1 2 3 2 1 − 5
5.
8 8 27
−125
1 8 27 8 1 − 125
2 2 3
−5
Συµπλήρωσε τον πίνακα: •
10 −3
10 −2
10 −1
100
101
102
103
10 −3
10 −6
10 −5
10 −4
10 −3
10 −2
10 −1
100
10 −2
10 −5
10 −4
10 −3
10 −3
10 −1
100
101
10 −1
10 −4
10 −3
10 −2
10 −1
100
101
102
100
10 −3
10 −2
10 −1
100
101
102
103
101
10 −2
10 −1
100
101
102
103
104
102
10 −1
100
101
102
103
104
105
103
100
101
102
103
104
105
106
10−3 ⋅ 10−3 = 10−3 +( −3) = 10−6 10−3 ⋅ 10−1 = 10−3 +( −1) = 10−4 10−3 ⋅ 101 = 10−3 +1 = 10−2 10−3 ⋅ 103 = 10−3 + 3 = 100 10−2 ⋅ 10−2 = 10−2 +( −2) = 10−4 10−2 ⋅ 100 = 10−2 + 0 = 10−2 10−2 ⋅ 102 = 10−2 + 2 = 100 10−1 ⋅ 10−3 = 10−1+( −3) = 10−4 10−1 ⋅ 10−1 = 10−1+( −1) = 10−2 10−1 ⋅ 101 = 10−1+1 = 100 10−1 ⋅ 103 = 10−1+ 3 = 102
346
−3
10−3 ⋅ 10−2 = 10−3 +( −2) = 10−5 10−3 ⋅ 100 = 10−3 + 0 = 10−3 10−3 ⋅ 102 = 10−3 + 2 = 10−1 10−2 ⋅ 10−3 = 10−2 +( −3) = 10−5 10−2 ⋅ 10−1 = 10−2 +( −1) = 10−3 10−2 ⋅ 101 = 10−2 +1 = 10−1 10−2 ⋅ 103 = 10−2 + 3 = 101 10−1 ⋅ 10−2 = 10−1+( −2) = 10−3 10−1 ⋅ 100 = 10−1+ 0 = 10−1 10−1 ⋅ 102 = 10−1+ 2 = 101 οµοίως τα υπόλοιπα.
6.
Να υπολογίσετε τις δυνάµεις:
α. ( −3 ) 7.
−2
⎛ 2⎞ γ. ⎜ − ⎟ ⎝ 5⎠
−2
γ. 5−2 ⋅ 2−2
β. 32 ⋅ 30
3 ε. ⎡ 2 ( −2 ) ⎤ ⎣ ⎦
δ. 100−4 : 50−4
−2
Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: −2
⎛ 5⎞ ⎛ 1 ⎞ α. ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 0,5 ⎠ 104 ⋅ 10−8 δ. 10−5
9.
−3
Να κάνετε τις πράξεις:
α. −3−5 ⋅ 36 8.
⎛3⎞ β. ⎜ ⎟ ⎝2⎠
−4
2
−4
2 ⎛3⎞ ⎛7⎞ β. ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ γ. ( 2−4 ⋅ 2−3 ) ⎝7⎠ ⎝3⎠ 10 ⋅ 10−2 ⋅ 10−4 ⋅ 10−6 ε. 10−5 ⋅ 10−7
Να βρείτε τις τιµές των παραστάσεων: α. 2 x −3 + 2 x −2 + 2 x −1 + 2 x όταν x = 1. β. 2 x + 2− x + x x + x − x όταν x = 2. γ. 2 x +1 − 2 ⋅ x 2 + x x +2
(Απ.: α.
όταν x = –2.
10. Να συµπληρώσετε τον πίνακα:
x 1 x
105
15 17 13 , β. , γ. − ) 4 2 2
10 −4
2 ⋅ 10 3
3 ⋅ 10 −5
11. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α σε κάθε µία από τις παρακάτω περιπτώσεις: I.
A = 1ν + ( −1)
ν
αν ο ν είναι περιττός.
II.
A = 1ν + ( −1)
ν
αν ο ν είναι άρτιος.
III.
A = 2 ν + ( −2 )
ν
αν ο ν είναι περιττός.
IV.
A = 2 ν + ( −2 )
ν
αν ο ν είναι άρτιος.
12. Να γράψετε το κλάσµα 0
13. Αν
⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎜− ⎟ − ⎜ ⎟ 4⎠ ⎝3⎠ α= ⎝ 2
8 −3 σαν µία δύναµη µε βάση 4. 2 −5
−1
, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης
A = α14 − 16 ⋅ 210 .
347
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ Η διάµετρος ενός ατόµου υδρογόνου είναι 0,00000000016 cm. Μπορείς να διαβάσεις και να θυµηθείς εύκολα αυτόν τον αριθµό;
" Απάντηση Παρατηρούµε ότι είναι πολύ δύσκολο να διαβάσουµε και να θυµηθούµε αυτόν τον αριθµό. Για αυτό θα τον φέρουµε στη µορφή á ⋅ 10-í ,üðïõ1 ≤ á <10 και ο ν είναι φυσικός αριθµός. Παρατηρούµε ότι για να φέρουµε τον αριθµό 0,00000000016 στη µορφή á ⋅ 10-í πρέπει να βρούµε το α. Για το λόγο αυτό πρέπει να µεταφέρουµε την υποδιαστολή µεταξύ του 1 και του 6, έτσι ώστε να σχηµατιστεί το 1,6. Τότε η υποδιαστολή έχει µεταφερθεί 10 θέσεις δεξιά, άρα: 1 0,00000000016=1,6:10.000.000.000=1,6:1010 = 1,6 ⋅ 10 = 1,6 ⋅ 10-10 . 10
348
1.
Γράψε µε τυποποιηµένη µορφή τους αριθµούς: α. Η απόσταση Γης – Σελήνης είναι 384.000.000 m β. Η ηλικία της Γης είναι 4.500.000.000 έτη γ. Η απόσταση Γης – Ήλιου είναι 149.600.000 km.
" Λύση 8 α. 3 84.400.000
= 3,844 ⋅ 10
9 β. 4.500.000.000
= 4,5 ⋅ 10
8 èÝóåéò
9 èÝóåéò
γ. 149.600.000
= 1,496 ⋅ 10
8
8 èÝóåéò
2.
Η µάζα του ατόµου του υδρογόνου είναι 1,67 ⋅ 10 −27 gr. Να βρεις πόσα
άτοµα περιέχει 1 gr υδρογόνου.
" Λύση Έστω ότι το 1 gr υδρογόνου περιέχει x άτοµα. Τότε: 1,67 ⋅ 10−27 ⋅ x = 1 1 ή x= 1,67 ⋅ 10−27 1 1 x= ⋅ −27 1,67 10 x = 0,5988 ⋅ 1027 x = 5,988 ⋅ 10−1 ⋅ 1027 x = 5,988 ⋅ 10−1+ 27 = 5,988 ⋅ 1026 3.
Γράψε µε τυποποιηµένη µορφή τους αριθµούς: α. Η διάµετρος ενός πυρήνα ατόµου είναι 0,0000000000001 cm β. Το βάρος ενός µορίου αλατιού είναι: 0,000000000000000000000097 gr
" Λύση = 1 ⋅ 10−13 cm α. 0,0000000000001cm
13 èÝóåéò −23 β. 0,00000000000000000000009
7 gr = 9,7 ⋅ 10 gr
23 èÝóåéò
349
4.
Γράψε µε τυποποιηµένη µορφή τους αριθµούς: α. 8.420.000.000 β. 0,0000028 γ. 0,0000105
5.
Να κάνετε τις πράξεις: α. 0,0000015 ⋅ 0,0000000022 β. 220.000.00015 ⋅ 640000000000
6.
Να συγκρίνετε τους αριθµούς: α. 2,4 ⋅ 107 êáé 5 ⋅ 106 β. 8,7 ⋅ 1015 êáé 3,2 ⋅ 1015 γ. 3 ⋅ 10−6 êáé 5 ⋅ 10−7 δ. 9,2 ⋅ 10−20 êáé 9,22 ⋅ 10−20
7.
Να βρείτε τα τετράγωνα και τους κύβους των αριθµών: α. 3 ⋅ 10−8 β. 2 ⋅ 1015 γ. 1,5 ⋅ 107
8.
Να κάνετε τις πράξεις: α. 3 ⋅ 10−21 + 4 ⋅ 10−21 β. 5,3 ⋅ 108 + 3,5 ⋅ 108 γ. 3,6 ⋅ 10−9 + 4,4 ⋅ 10−9 δ. 1,2 ⋅ 1011 + 9 ⋅ 1010
350
Α. Ασκήσεις Σωστού ή Λάθους Τοποθετήστε ένα “x” στην αντίστοιχη θέση Σωστό Λάθος X X
1. 7,2 + ( −5 ) = 2,2
2. −1,2 − 0,2 = −1
X
X
3. −2,2 + 2,2 = −4,4
X
X
4. 7,8 − 8 = 0,2
X
X
5. 3,5 − 9 = −5,5
X
X
6. 3,5 − 4,5 = −1
X
X
7. 6 − 15 = −11
X
X
8. 3 − 8,4 = −5,4
X
X
9. 6 − 17 = −9
X
X
10. 59 − 64 = −5
X
X
Β. Ασκήσεις Συµπλήρωσης κενού 1. Συµπλήρωσε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: α. (...8 ) + (...3 ) + (...6 ) + (...5 ) = +4 β. γ. δ.
(...8 ) + (...3 ) + (...6 ) + (...5 ) = −10 (...3,7 ) + (...14,8 ) + (...5,2 ) + (...16,3 ) = 0 (...3,7 ) + (...14,8 ) + (...5,2 ) + (...16,3 ) = −10,4
" Λύση α.
( +8 ) + ( −3 ) + ( −6 ) + ( +5 ) = +8 − 3 − 6 + 5 =
+8 + 5 − 3 − 6 = +13 − 9 = +4 β. ( −8 ) + ( −3 ) + ( +6 ) + ( −5 ) = −8 − 3 + 6 − 5 = −8 − 3 − 5 + 6 = −16 + 6 = −10
γ.
( +3,7 ) + ( −14,8 ) + ( −5,2 ) + ( +16,3 ) = +3,7 − 14,8 − 5,2 + 16,3 = +3,7 + 16,3 − 14,8 − 5,2 = 20 − 20 = 0
351
δ.
( −3,7 ) + ( +14,8 ) + ( −5,2 ) + ( −16,3 ) = −3,7 + 14,8 − 5,2 − 16,3 = −3,7 − 5,2 − 16,3 + 14,8 = −25,2 + 14,8 = −10,4
2.
Βρες ποιο από τα Α, Β, Γ, ∆ και Ε είναι µεγαλύτερο, αν γνωρίζεις ότι: Á + ( −1) = Â + 3 = Ã + ( −3 ) = Ä + 4 = Å + ( −5 )
" Λύση Έστω ότι Á + ( -1) = Â + 3 = Ã + ( −3 ) = Ä + 4 = Å + ( -5 ) = x , τότε:
Á + ( -1) = x ή Á − 1= x ή Á − 1+1= x + 1 ή Á = x + 1 B+3 = x ή B+3 − 3= x − 3 ή B = x − 3 Ã + ( −3 ) = x ή Ã − 3 = x ή Ã − 3 + 3 = x + 3 ή Ã = x + 3
Ä +4 = x ή Ä +4 − 4 = x − 4 ή Ä = x − 4 Å + ( −5 ) = x ή Å − 5 = x ή Å − 5 + 5 = x + 5 ή Å = x + 5 Είναι οπότε 3.
x + 5 > x + 3 > x +1> x − 3 > x − 4 , Å>Ã > Á >Â> Ä
Βρες τα αθροίσµατα: α. 1 + ( −2 ) + ( +3 ) + ( −4 ) + ... + 49 + ( −50 ) β. 1 + ( −2 ) + ( +3 ) + ( −4 ) + ... + ( −198 ) + 199
" Λύση α. 1 + ( −2 ) + ( 3 ) + ( −4 ) + ... + 49 + ( −50 ) = −1 + ( −1) + ... + ( −1) Επειδή οι 50 αριθµοί είναι 25 ζευγάρια, έχουµε:
−1 + ( −1) + ... + ( −1) = 25 ⋅ ( −1) = −25 .
β. Το άθροισµα αποτελείται από 199 αριθµούς. Αν εξαιρέσουµε τo 1 οι υπόλοιποι 198 αριθµοί λαµβανόµενοι κατά σει198 ρά ανά δύο, δηµιουργούν = 99 αθροίσµατα ίσα µε το 1, άρα: 2 1 + ( −2 ) + ( 3 ) + ( −4 ) + 5 + ... + ( −198 ) + 199 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 1 + 99 ⋅ 1 = 1 + 99 = 100
352
4.
Βάλε τα γράµµατα Α, Ε, Ι, Κ, Ο, Π, Ρ, Υ και Ω µε αύξουσα σειρά και γράψε τη λέξη που βρήκες, όταν: Ε = −0,8 + ( −4,8 ) , Ι = −0,8 + 4,8 , Α = 4 + ( −1,5 ) , Κ = 4 + 1,5 ,
Ο = 0,8 + 4,8 ,
Π = 0,8 + ( −0,8 ) ,
Ρ = 0,8 + ( −4,8 ) ,
Υ = −4 + ( −1,5 ) ,
Ω = −4 + 1,5
" Λύση Α = 4 + ( −1,5 ) = 4 − 1,5 = 2,5 Ε = −0,8 + ( −4,8 ) = −5,6 Ι = −0,8 + 4,8 = +4 Κ = 4 +1,5 = 5,5 Ο = 0,8 + 4,8 = 5,6 Π = 0,8 + ( −0,8 ) = 0 Ρ = 0,8 + ( −4,8 ) = −4 Υ = -4 + ( −1,5 ) = 5,5 Ω = −4 +1,5 = −2,5
Είναι Ε<Υ<Ρ<Ω<Π<Α<Ι<Κ<Ο Η λέξη που γράφεται είναι: “ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ”. 5.
Πολλαπλασίασε ανά δύο τους τρεις ρητούς –6,5, 3,5 και –4,5 µε όλους τους δυνατούς τρόπους, α. Πόσοι τρόποι υπάρχουν; β. Ποιος από τους τέσσερις ρητούς 29,25, –15,75, –22,75 και 15,75 ως αποτέλεσµα των πολλαπλασιασµών αυτών είναι λάθος;
" Λύση −6,5 ⋅ 3,5 = − ( 6,5 ⋅ 3,5 ) = −22,55 −6,5 ⋅ ( −4,5 ) = + ( 6,5 ⋅ 4,5 ) = +29,25 3,5 ⋅ ( −4,5 ) = − ( 3,5 ⋅ 4,5 ) = −15,75 α. Υπάρχουν τρεις διαφορετικοί τρόποι για να πολλαπλασιαστούν οι τρεις ρητοί αριθµοί. β. Το 15,75.
353
6.
Συµπλήρωσε τα κενά στο σχήµα:
90 15 -3
4
α β α β
Αν γνωρίζεις ότι:
" Λύση Έστω ότι σε κάθε µία από τις παρακάτω περιπτώσεις, το κενό κουτί περιέχει τον αριθµό x. •
90
Για τα κουτιά 15 90
άρα 15 •
έχουµε: 90 = 15 ⋅ x
ή
x = 90 :15 = 6
6
Για τα κουτιά -3
6
έχουµε: 6 = −3 ⋅ x
ή
x = 6 : ( −3 ) = −2
6
άρα -3 -2 •
Για τα κουτιά
15 -3
έχουµε: 15 = −3 ⋅ x
ή
x = 15 : ( −3 ) = −5
15
άρα -5 -3 -20
•
Για τα κουτιά 4 -5 έχουµε: x = 4 ⋅ ( −5 ) = −20 άρα 4 -5
•
-300 -20 -20 15 15 Για τα κουτιά έχουµε: x = −20 ⋅ 15 = −300 άρα
•
Για τα κουτιά -300 90 έχουµε: x = −300 ⋅ 90 = −27.000 -27000
άρα -300 90
Οπότε συνολικά έχουµε:
354
-27000 -300 90 15 6 -20 -5 4 -3 -2
7.
Συµπλήρωσε τα κενά στα σχήµατα,
1
-1
-2 0,5 -8
2
-3
5 -0,2 -1
-3
2 -6
αν γνωρίζεις ότι:
" Λύση Έστω ότι ο αριθµός που λείπει κάθε φορά είναι ο x, τότε: 1
•
έχουµε: x = 1 ⋅ ( −1) = −1 και
Για τα κουτιά -1
•
1
-1
2
-1 2
-1
έχουµε: x = −1 ⋅ 2 = −2 και
Για τα κουτιά
-1
-2
•
άρα
έχουµε: x = −2 ⋅ 0,5 = −1 άρα
Για τα κουτιά
έχουµε: x = 0,5 ⋅ ( −8 ) = −4 άρα
Για τα κουτιά -1
•
-4
Για τα κουτιά
-1 0,5 -8
0,5 -8
•
2
-2 0,5
-2 0,5
•
-2
-1
έχουµε: x = ( −1) ⋅ ( −2 ) = 2
Για τα κουτιά
2
-1
1
-1 -2
έχουµε: x = −1 ⋅ ( −4 ) = 4 άρα
-4
-2 0,5 -8 -4
-1 4
-3
5 -0,2 -1
-15 -1 0,2 15 -0,2
Με όµοιο τρόπο έχουµε:
-3
355
Γ.
Ασκήσεις Αντιστοίχισης Αντιστοίχισε κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης στο στοιχείο της δεύτερης στήλης που βγάζει το ίδιο αποτέλεσµα.
( +14 ) + ( −17 ) ( −12 ) + ( −8 ) ( +11) + ( −9 ) ( −5 ) + ( +25 ) ( −16 ) + ( +16 )
( +3 ) + ( −23 ) ( +11) + ( −11) ( −22 ) + ( +19 ) ( −19 ) + ( +21) ( +37 ) + ( −17 )
( +13 ) − ( −18 ) ( +11) − ( +3 ) ( −5 ) − ( +25 ) ( −16 ) − ( −16 ) ( −12 ) − ( −8 )
( +3 ) − ( +7 ) ( −13 ) − ( +13 ) ( −37 ) − ( −7 ) ( +17 ) − ( +9 ) ( −2 ) − ( −33 )
( −2 ) ⋅ 0,5 ⋅ 9 ⋅ 10 2 ⋅ 5 ⋅ ( −0,9 ) ⋅ ( −10 ) 2 ⋅ ( −5 ) ⋅ ( −9 ) ⋅ ( −10 ) −2 ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ ( −10 ) 0,2 ⋅ ( −5 ) ⋅ ( −0,9 ) ⋅ 10
356
900 −900 9 −90 90
" Λύση • • • • •
• • • • •
α.
( +14 ) + ( −17 ) = −3 ( −12 ) + ( −8 ) = −20 ( +11) + ( −9 ) = +2 ( −5 ) + ( +25 ) = +20 ( −16 ) + ( +16 ) = 0
β.
( +13 ) − ( −18 ) = +13 + 18 = 31 ( +11) − ( +3 ) = +11 − 3 = +8 ( −5 ) − ( +25 ) = −5 − 25 = −30 ( −16 ) − ( −16 ) = 0 ( −12 ) − ( −8 ) = −12 + 8 = −4
γ.
−2 ⋅ 0,5 ⋅ 9 ⋅ 10 = −1 ⋅ 90 = −90 2 ⋅ 5 ⋅ ( −0,9 ) ⋅ ( −10 ) = 10 ⋅ ( +9 ) = +90
• • • • •
( +3 ) + ( −23 ) = −20 ( +11) + ( −11) = 0 ( −22 ) + ( +19 ) = −3 ( −19 ) + ( +21) = +2 ( +37 ) + ( −17 ) = +20
• ( +3 ) − ( +7 ) = +3 − 7 = −4 • ( −13 ) − ( +13 ) = 0 • ( −37 ) − ( −7 ) = −37 + 7 = −30 • ( +17 ) − ( +9 ) = 17 − 9 = +8 • ( −2 ) − ( −33 ) = −2 + 33 = +31
2 ⋅ ( −5 ) ⋅ ( −9 ) ⋅ ( −10 ) = − ( 2 ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ 10 ) = −900 −2 ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ ( −10 ) = + ( 2 ⋅ 5 ⋅ 9 ⋅ 10 ) = 900 0,2 ⋅ ( −5 ) ⋅ ( −0,9 ) ⋅ 10 = + ( 0,2 ⋅ 5 ⋅ 0,9 ⋅ 10 ) = 9
• • • • •
• • • • •
900 −900 9 −90 90
357
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Πως µπορείς να ονοµάσεις το σχήµα µιας τεντωµένης κλωστής; Το σχήµα που φαίνεται πιο κάτω αποτελείται από µερικά σηµεία το ένα δίπλα στο άλλο. Μπορείς να το χαρακτηρίσεις µε τον ίδιο τρόπο; Κι αν όχι γιατί;
"Απάντηση Το σχήµα που σχηµατίζει µία τεντωµένη κλωστή που κρατάµε µε τα δύο χέρια µας ονοµάζεται ευθύγραµµο τµήµα. Το πιο κάτω σχήµα δεν µπορεί να ονοµαστεί ευθύγραµµο τµήµα γιατί τα σηµεία που βρίσκονται το ένα δίπλα στο άλλο δεν ενώνονται.
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 2ç ∆ίνονται τρία διαφορετικά σηµεία Α, Β, και Γ. Ένωσε τα µε ευθύγραµµα τµήµατα, ανά δύο και δώσε ονοµασία σε όλα τα ευθύγραµµα τµήµατα που σχηµατίζονται. – Τι παρατηρείτε;
"Απάντηση Στη 1η περίπτωση έχουµε τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ. Στη 2η περίπτωση έχουµε τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ όµως αυτά τα τρία ευθύγραµµα τµήµατα βρίσκονται στην ίδια ευθεία. 1η περίπτωση
2η περίπτωση
A A
B
B
Γ
Γ
361
1.
Συµπλήρωσε τα παρακάτω κενά. α. Ένα ευθύγραµµο τµήµα αποτελείται από τα άκρα του Α και Β αλλά και τα άπειρα σηµεία που βρίσκονται ανάµεσα σ’ αυτά τα δύο. β. Αν προεκτείνουµε απεριόριστα ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ πέρα από τα δύο άκρα, Α και Β, παίρνουµε το σχήµα που λέγεται ευθεία. γ. Αν προεκτείνουµε απεριόριστα ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ πέρα από το ένα µόνο άκρο του, π.χ. το Β, παίρνουµε το σχήµα που λέγεται ηµιευθεία. δ. Αντικείµενες λέγονται δύο ηµιευθείες που έχουν κοινή αρχή και που οι δύο µαζί αποτελούν µία ευθεία. ε. Η επιφάνεια, πάνω στην οποία η απεριόριστη ευθεία γραµµή εφαρµόζει παντού ολόκληρη είναι το επίπεδο.
2.
Να δώσεις δική σου ονοµασία σε όλα (α) τα σηµεία και (β) τα ευθύγραµµα τµήµατα των παρακάτω σχηµάτων.
"Λύση α.
β.
362
i. ΑΒ, ΒΓ, Γ∆, ∆Α, ΑΓ, Β∆ ii. ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΙ, ΙΕ, ΕΗ, ΖΙ, ΖΘ, ΗΙ, ΕΘ iii. ΚΛ, ΛΜ, ΜΝ, ΝΞ, ΞΟ, ΟΚ, ΚΜ, ΚΝ, ΚΞ, ΛΟ, ΛΞ, ΛΝ, ΜΟ, ΜΞ, ΝΟ.
3.
Πάρε τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ πάνω σε µία ευθεία και ένα σηµείο Κ που δεν βρίσκεται στην παραπάνω ευθεία. Ένωσε το Κ µε τα Α, Β, Γ, ∆ και ονόµασε όλα τα ευθύγραµµα τµήµατα του σχήµατος.
" Λύση Τα ευθύγραµµα τµήµατα που σχηµατίζονται στο σχήµα είναι τα: ΚΑ, ΚΒ, ΚΓ, Κ∆, ΑΒ, ΑΓ, Α∆, ΒΓ, Β∆ και Γ∆.
K x΄
4.
x
Πάνω σε µία ευθεία xx΄ παίρνουµε δύο σηµεία Α και Β. Ονόµασε ως αντικείµενες ηµιευθείες που έχουν αρχή το Α και τις αντικείµενες ηµιευθείες που έχουν αρχή το Β.
" Λύση Οι αντικείµενες ηµιευθείες που έχουν αρχή το Α είναι οι Αx και Αx΄, ενώ οι αντικείµενες ηµιευθείες που έχουν αρχή το Β είναι οι Βx και Βx΄.
x΄
x
z
5. Στο διπλανό σχήµα χάραξε τις αντικείµενες ηµιευθείες των ηµιευθειών ΑΒx, ΒΓy και ΓΑz. x
A
B
y
Γ
" Λύση Η αντικείµενη ηµιευθεία της ΑΒx είναι η Αx΄. Η αντικείµενη ηµιευθεία της ΒΓy είναι η Βy΄, ενώ η αντικείµενη ηµιευθεία της ΓΑz είναι η Αz΄.
x΄
z
A y΄ x
B
Γ
y z΄
363
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÅÓ 1.
ÃÉÁ ÔÏ ÓÐÉÔÉ
Σχεδίασε ένα πολύγωνο που να έχει; α. Λιγότερες διαγώνιες από πλευρές. β. Ίδιο αριθµό διαγωνίων και πλευρών. γ. Περισσότερες διαγώνιες από πλευρές.
" Απάντηση
α.
Το τετράπλευρο έχει 4 πλευρές, ενώ έχει δύο διαγώνιες.
β.
Το πεντάγωνο έχει 5 πλευρές και πέντε διαγώνιες.
γ.
Ένα πολύγωνο που έχει από 6 και πάνω πλευρές έχει περισσότερες διαγώνιες από τον αριθµό των πλευρών. Για παράδειγµα, το διπλανό επτάγωνο έχει 7 πλευρές και 14 διαγώνιες.
2.
Στο διπλανό χάρτη φαίνονται έξι (6) πόλεις A της Ελλάδας, που δεν βρίσκονται ανά τρεις Θ στην ίδια ευθεία. Κ Α (Αλεξανδρούπολη), Ρ (Ρόδος), Η (Ηράκλειο), Χ (Χανιά), Κ (Κέρκυρα) και Θ (Θεσσαλονίκη). Μπορείς να σχεδιάσεις τις απευθείας αεροπορικές συνδέσεις µεταξύ Ρ Χ Η των πόλεων αυτών; Ονόµασε τις συνδέσεις αυτές χρησιµοποιώντας τα γράµµατα των πόλεων. Μπορείς να βρεις πόσες τέτοιες συνδέσεις υπάρχουν, δικαιολογώντας κατάλληλα την απάντησή σου;
" Απάντηση Οι συνδέσεις που υπάρχουν είναι: ΑΘ, ΑΚ, ΑΧ, ΑΗ, ΑΡ ΘΚ, ΘΧ, ΘΗ, ΘΡ ΚΧ, ΚΗ, ΚΡ ΧΗ, ΧΡ ΗΡ Συνολικά υπάρχουν 15 συνδέσεις. Είναι δηλαδή οι 6 πλευρές του εξαγώνου που σχηµατίζουν οι 6 πόλεις και οι 9 διαγώνιοι, αυτού του εξαγώνου.
364
6.
i. Να πάρετε 4 σηµεία ώστε τα τρία να µην ανήκουν στην ίδια ευθεία και να χαράξετε όλες τις ευθείες που διέρχονται από αυτά. Πόσες τέτοιες ευθείες υπάρχουν; ii. Μπορείτε να δώσετε το γενικό κανόνα. iii. Πόσες ευθείες διέρχονται από µη συνευθειακά ανά τρία σηµεία, όταν το πλήθος των σηµείων είναι: α. 3, β. 5, γ. 6.
" Λύση i.
Από το σηµείο Α µε καθένα από τα άλλα τρία σηµεία ορίζονται τρεις ευθείες: Όµοια και από τα άλλα σηµεία από το σηµείο Α: ΑΒ, ΑΓ, Α∆ από το σηµείο Β: ΒΑ, ΒΓ, Β∆ από το σηµείο Γ: ΓΑ, ΓΒ, Γ∆ από το σηµείο ∆: ∆Α, ∆Β, ∆Γ Όµως επειδή από δύο σηµεία διέρχεται µία µόνο ευθεία στην ουσία από τις 12 προηγούµενες ευθείες έχουµε τις µισές γιατί για παράδειγµα η ευθεία ΑΓ και η ευθεία ΓΑ είναι η ίδια. Άρα συνολικά υπάρχουν 6 ευθείες που ορίζονται από τα 4 σηµεία. ii. Κάθε σηµείο µε καθένα από τα υπόλοιπα ορίζει µία ευθεία. Αν τα σηµεία είναι ν τότε από το καθένα ορίζονται (ν – 1) ευθείες. Επειδή όµως αυτές τις µετράµε 2 φορές στην πραγµατικότητα είναι µιν ( ν − 1) σές, δηλαδή . 2 3 ( 3 − 1) = 3 ευθείες iii. α. για ν = 3 είναι 2 5 ( 5 − 1) β. για ν = 5 είναι = 10 ευθείες 2 6 ( 6 − 1) = 15 ευθείες. γ. για ν = 6 είναι 2
365
7.
Χρησιµοποιώντας το διπλανό σχήµα να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό ή λάθος:
y΄
x K y
x΄
Σωστό Λάθος i. Τα σηµεία Β, Κ, ∆ είναι συνευθειακά.
Χ
Χ
ii. Τα σηµεία Κ, Α, Β είναι συνευθειακά.
Χ
Χ
iii. Οι ηµιευθείες Κx, Ky είναι αντικείµενες.
Χ
Χ
iv. Οι ηµιευθείες Ky, Ky΄ είναι αντικείµενες.
Χ
Χ
v. Η ευθεία Β∆ περιέχει µόνο τρία σηµεία.
Χ
Χ
vi. Η ευθεία ΓΑ είναι ίδια µε την ευθεία ΚΑ.
Χ
Χ
vii Οι ηµιευθείες ΚΑ και ΚΓ είναι αντικείµενες.
Χ
Χ
(Απ.: i. Σ, ii. Λ, iii. Λ, iv. Σ, v. Λ, vi. Σ, vii. Σ) 8.
Σε µία ευθεία ε παίρνουµε στη σειρά τα σηµεία Κ, Λ, Μ, Ρ. Να ονοµάσετε όλα τα ευθύγραµµα τµήµατα που σχηµατίζονται. (Απ.: 6 ευθύγραµµα τµήµατα)
9.
Στο διπλανό σχήµα να ονοµάσετε όλα τα ευθύγραµµα τµήµατα που σχηµατίζονται.
10. Να σχεδιάσετε ένα τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και να φέρετε τις αντικείµενες ηµιευθείες ΒΑ, ∆Γ και ΑΒ.
366
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 2ç Ποιες γωνίες και ποια σχήµατα σχηµατίζονται από τις ευθείες του διπλανού σχήµατος;
" Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται στο σχήµα είναι: l Β , ΓΒΑ l , ΓΕΑ , ΒΓ∆ l , ΓΒΕ , ΒΓΕ , ΕΓΖ , ΖΓ∆ , Γ∆Α l , Γ∆Ζ l , ΓΖ∆ l ∆Α Τα ευθύγραµµα σχήµατα που σηµειώνονται είναι: Τα τρίγωνα: ΑΕ∆, ΒΕΓ, ∆ΓΖ, ΖΑΒ Τα τετράπλευρα: ΑΒΓ∆, ΑΕΓΖ.
367
1.
Να ονοµάσεις µε τρία γράµµατα τις γωνίες που σηµειώνονται στα παρακάτω σχήµατα.
" Λύση l α. ΑΒΓ l , ΑΚΒ l , ΒΚΗ l , ΖΚΗ l β. ΖΚΑ l , ΓΑ∆ l , ΒΑ∆ l γ. ΒΑΓ l , ΑΒΓ l , ΑΓ∆ δ. ΓΑΒ 2.
Να σχεδιάσεις ένα τρίγωνο ΑΒΓ. α. Ποια γωνία του τριγώνου περιέχεται στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ; β. Ποια πλευρά είναι απέναντι από τη γωνία Γ ; γ. Ποιες γωνίες είναι προσκείµενες στην πλευρά ΑΓ;
" Λύση α. Η περιεχόµενη γωνία των πλευρών ΑΒ και ΒΓ l. είναι η Β β. Απέναντι από τη γωνία Γ βρίσκεται η πλευρά ΑΒ. γ. Οι προσκείµενες γωνίες στην πλευρά ΑΓ είναι l και Γ . οι Α
368
A
B
Γ
3.
Να γραµµοσκιάσεις και να ονοµάσεις τη γωνία στην οποία ανήκει στο σηµείο Α.
y A O
x
" Λύση y
l . Είναι η γωνία xOy
A O
4.
x
l τη γωνία που είναι απέναντι από Στο διπλανό σχήµα να ονοµάσεις A l τη γωνία που είναι τη µεγαλύτερη πλευρά, B απέναντι από τη µικρότερη πλευρά και Γ την τρίτη γωνία. α. Ποιες γωνίες είναι προσκείµενες στην πλευρά ΒΓ; β. Ποια γωνία βρίσκεται απέναντι από την πλευρά ΑΒ;
" Λύση α. Οι προσκείµενες γωνίες στην πλευρά ΒΓ είναι η l και η Γ . Β β. Η γωνία που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά ΑΒ είναι η γωνία Γ .
369
5.
Τοποθετήστε ένα «x» στη θέση που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
" Λύση ΚΟΡΥΦΕΣ
ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΤΜΗΜΑΤΑ
1
ΓΩΝΙΑ
x
2
3
ΠΛΕΥΡΕΣ
4
5
370
5
x
x x
x
ΑΡΙΘΜΟΣ ΟΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ
ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΗΜΕΙΩΝ
1
2
x
6
4
x
ΠΕΝΤΑΠΛΕΥΡΟ
5
3
x
ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ
4
2 x
ΤΡΙΓΩΝΟ
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
x x x x
6.
Για τα παρακάτω σχήµατα να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τοποθετώντας στα αντίστοιχα κουτάκια τον αριθµό του σχήµατος.
" Λύση ΑΡΙΘΜΟΣ ΠΛΕΥΡΩΝ ΚΥΡΤΟ ΜΗ ΚΥΡΤΟ
3
4
5
6
8
3, 9, 10
1, 2, 8, 12
6
4
7
11
12 5
371
7.
Να ονοµάσεις τις γωνίες ω και φ του διπλανού σχήµατος χρησιµοποιώντας τρία γράµµατα.
8.
Να σηµειώσετε στο διπλανό σχήµα τις παρακάτω γωνίες, γράφοντας ένα τόξο στο άνοιγµα τους και να τις ονοµάσετε µε ένα µικρό γράµµα l , AΓΒ , Γ∆Β l , ∆ΓΑ A
9.
Ποιες από τις παρακάτω γωνίες είναι κυρτές και ποιες µη κυρτές;
ω
φ
(Απ.: Μη κυρτές ω και µ) 10. Να ονοµάσετε τις γωνίες που είναι σηµειωµένες στο διπλανό σχήµα.
372
11. Να ονοµάσετε µε τρία γράµµατα τις γωνίες που είναι σηµειωµένες στο διπλανό σχήµα. y
x
12. ∆ίνεται το τρίγωνο ΚΛΜ. i. Ποια γωνία του τριγώνου περιέχεται στις πλευρές ΚΜ, ΛΜ. ii. Ποια πλευρά είναι απέναντι από τη γωνία Λ. iii. Ποιες γωνίες είναι προσκείµενες στην πλευρά ΜΚ.
Μ
Λ K
373
1.
Συµπλήρωσε τα παρακάτω κενά: α. Το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ, που ενώνει δύο σηµεία Α και Β λέγεται απόσταση των σηµείων. β. Μέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ ονοµάζουµε το σηµείο του Μ που απέχει εξίσου από τα άκρα του.
2.
Τοποθετήστε ένα «x» στη θέση που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: Από δύο σηµεία µπορεί να περάσουν:
X Άπειρες ευθείες, X Μία µόνο ευθεία,
X ∆ύο µόνο ευθείες. 3.
Ένα τόπι ύφασµα είναι 65m. Πουλήθηκαν κοµµάτια µε µήκη: 3,5m, 25cm, 7,95m και 3,74m. Πόσα µέτρα ύφασµα έµειναν στο τόπι;
" Λύση Πρέπει να τρέψουµε όλα τα κοµµάτια που πουλήθηκαν σε µέτρα (m). Οπότε 25cm = 0,25m. Τα κοµµάτια που πουλήθηκαν έχουν συνολικό µήκος 3,5 + 0,25 + 7,95 + 3,74 = 15,44 m. Άρα έµειναν στο τόπι 65 − 15,44 = 49,56 m. 4.
374
Το εµπορικό τρίγωνο της Αθήνας περικλείεται από τις οδούς Ιπποκράτους, µήκους 619m, Κλεισθένους, µήκους 271m και Περικλέους, µήκους 205m. Πόσα βήµατα θα κάνει ένας πεζός που κινείται περιµετρικά στο εµπορικό τρίγωνο, αν το κάθε βήµα του είναι 75cm;
" Λύση Το εµπορικό τρίγωνο περιµετρικά είναι συνολικά 619 + 271 + 205 = 1095 m Είναι 75cm = 0,75m οπότε τα βήµατα που θα κάνει ένας πεζός για να το περπατήσει περιµετρικά είναι 1095 : 0,75 = 1460 βήµατα. 5.
Ένας αγρότης θέλει να περιφράξει έναν αγρό σχήµατος τετραγώνου πλευράς 15,3m. ∆ιαθέτει συρµατόπλεγµα, µήκους 60m 3dm 18cm. Να βρεθεί αν θα του φτάσει το συρµατόπλεγµα ή αν πρέπει να αγοράσει κι άλλο.
" Λύση Η περίµετρος του αγρού είναι 4 ⋅ 15,3 = 61,2 m. Επειδή 3dm = 0,3m και 18cm = 0,18m, το συρµατόπλεγµα που διαθέτη ο αγρότης έχει µήκος 60 + 0,3 + 0,18 = 60,48 . Εποµένως θα πρέπει να αγοράσει κι άλλο συρµατόπλεγµα. ∆ηλαδή 61,2 − 60,48 = 0,72 m ή 72cm συρµατόπλεγµα. 6.
7.
Ο παρακάτω πίνακας δείχνει την ακτίνα σε m και σε Km τεσσάρων πλανητών. Να συµπληρωθούν τα κενά: Ακτίνα
σε m
σε Km
ΑΦΡΟ∆ΙΤΗ
6.085.000
6.085
ΓΗ
6.378.000
6.378
ΑΡΗΣ
3.750.000
3.750
∆ΙΑΣ
71.400.000
71.400
Οι αριθµοί που εµφανίζονται στον παρακάτω πίνακα είναι τα µήκη των πέντε πλευρών του πολυγώνου ΑΒΓ∆Ε, εκφρασµένα µε διαφορετικές µονάδες. Να συµπληρωθεί ο πίνακας και να υπολογιστεί η περίµετρος του πολυγώνου σε cm, dm και m. AB
BΓ
Γ∆
∆Ε
ΕΑ
Περίµετρος
cm
517
420
84
1250
76
2.347
dm
51,7
42
8,4
125
7,6
234,7
m
5,17
4,2
0,84
12,5
0,76
23,47
375
8.
Πάρε ένα σηµείο Α. Να βρεις τρία σηµεία που το καθένα να απέχει 2,7cm από το Α.
" Λύση 2,7c
m
2,7cm
m 7c
2,
9.
Σχεδίασε δύο αντικείµενες ηµιευθείες Αx και Αx΄. Να βρεις πάνω στην ηµιευθεία Αx δύο σηµεία Β και Γ, έτσι ώστε ΑΒ = 3cm και ΑΓ = 3,8 cm. Επίσης στην ηµιευθεία Αx΄ να πάρεις ένα σηµείο ∆ έτσι, ώστε Α∆ = 3 cm. Να συγκρίνεις: α. τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΓ και Α∆ β. τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ και Α∆.
" Λύση x΄
x
α. Είναι ΑΓ > Α∆ β. Είναι ΑΒ = Α∆ = 3 cm 10. Σε µία ευθεία ε, πάρε στη σειρά τα σηµεία Α, Β, Γ και ∆ έτσι ώστε να είναι: ΑΒ = 2,5cm, ΒΓ = 3cm και Γ∆ = 2,5cm. Eξέτασε αν τα τµήµατα ΑΓ και Β∆ είναι ίσα.
" Λύση
Είναι ΑΓ = 2,5 + 3 = 5,5cm και Β∆ = 3 + 2,5 = 5,5cm Οπότε ΑΓ = Β∆
376
11. Το µέσο Ο ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ απέχει 4,2cm από το άκρο Α. Πόσο είναι το µήκος του ΑΒ;
" Λύση O
Επειδή το Ο είναι µέσο ΑΒ τότε θα είναι ΑΟ = ΟΒ = 4,2cm . Οπότε το ΑΒ είναι ΑΒ = 2 ⋅ 4,2 = 8,4cm 12. Σχεδίασε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ. Να βρεις ένα σηµείο Μ, το οποίο να απέχει 3,3cm από το Α και να µη βρίσκεται στην ευθεία ΑΒ. Να φέρεις την ευθεία, η οποία να περνάει από το Μ και από το µέσο του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ.
" Λύση Έστω Ο το µέσο του ΑΒ. Τότε η ζητούµενη ευθεία είναι η ευθεία ΟΜ
O
M
377
13. Να συµπληρωθούν τα κενά του πίνακα: mm
3.270
60
730
cm
254
700
2.000
dm
40
m Km mm cm dm
150
m
5
2
6,4
0,7
Km
4,27
0,2
2
" Λύση mm
3.270
60
730
2540
7000
20000
4000
cm
327
6
73
254
700
2.000
400
dm
32,7
0,6
7,3
25,4
70
200
40
m
3,27
0,06
0,73
2,54
7
20
4
Km
0,00327
0,00006
0,00073
0,00254
0,007
0,02
0,004
mm 15000 5000
2000
6400
700
4270000 200000 2000000
cm
1500
500
200
640
70
427000
20000
200000
dm
150
50
20
64
7
42700
2000
20000
m
15
5
2
6,4
0,7
4270
200
2000
Km
0,015
0,005 0,002 0,0064 0,0007 4,27
0,2
2
378
1m 37cm 8mm
3m 4dm 7cm
5cm 6mm
2,7
3m 4dm
m
5dm 3mm
27
1m 2cm
dm
7dm 3mm
270
12cm 11mm
cm
35m 6dm 8mm
2700
3dm 7cm
2m 7dm
mm
4Km 350m
Συµµιγής
3cm 5mm
14. Να συµπληρωθεί ο πίνακας:
12cm 11mm
cm
270
3,5
435000
37
3560,8
13,1
dm
27
0,35
43500
3,7
356,08
1,31
m
2,7
0,035
4350
0,37
35,608
0,131
1m 37cm 8mm
131
3m 4dm 7cm
35m 6dm 8mm
35608
5cm 6mm
3dm 7cm
370
3m 4dm
4Km 350m
4350000
5dm 3mm
3cm 5mm
35
1m 2cm
2m 7dm
2700
7dm 3mm
mm
Συµµιγής
Συµµιγής
" Λύση
mm
703
1020
503
3400
56
3470
1378
cm
70,3
102
50,3
340
5,6
347
137,8
dm
7,03
10,2
5,03
34
0,56
34,7
13,78
m
0,703
1,02
0,503
3,4
0,056
3,47
1,378
379
15. Να σηµειωθούν πάνω σε µία ευθεία ε δύο σηµεία Α και Β, έτσι ώστε ΑB = 2cm . Να βρεθεί στην ε ένα σηµείο Μ, τέτοιο ώστε MΑ = 4cm . Πόσα τέτοια σηµεία υπάρχουν; Τι παρατηρούµε για το σηµείο Β;
" Λύση M΄
Υπάρχουν δύο σηµεία Μ και Μ΄ πάνω στην ε που απέχουν από το Α 4cm. Παρατηρούµε ότι το Β είναι µέσο του τµήµατος ΑΜ΄. 16. Να πάρουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 6cm. Να βρεθεί το µέσο του Ο και στη συνέχεια τα µέσα των ΑΟ και ΟΒ. Τι παρατηρούµε;
" Λύση O M
Έστω Ο το µέσο του ΑΒ, Μ το µέσο του ΑΟ και Λ το µέσο του ΟΒ. Παρατηρούµε ότι το Ο είναι µέσο και του ευθύγραµµου τµήµατος ΜΛ. 17. Πάνω σε ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 6cm, να πάρουµε σηµείο Κ, τέτοιο ώστε ΑΚ = 2cm και ένα σηµείο Λ τέτοιο, ώστε ΒΛ = 1,8cm. Αν Ο είναι το µέσο του τµήµατος ΒΛ, να συγκριθούν τα τµήµατα ΚΟ και ΟΛ.
" Λύση O
Είναι KO = 3 − 2 = 1cm και OΛ = 3 − 1,8 = 1,2cm Οπότε KO < ΟΛ .
380
18. Να συµπληρώσετε τα κενά του πίνακα: mm
4.250
cm
830
18
dm
43
m
4
Km
0,3
3,2
12dm 9mm
m
7m 8dm 9mm
32
5m 4dm 3cm
dm
1m 47cm 8mm
320
7m 5mm
cm
4m 2cm
3200
5dm 7cm
3m 2dm
mm
4cm 2mm
Συµµιγής
19. Να συµπληρώσετε τα κενά του πίνακα:
20. Οι αριθµοί που εµφανίζονται στον παρακάτω πίνακα είναι τα µήκη των πλευρών ενός τετράπλευρου ΑΒΓ∆, εκφρασµένα µε διαφορετική µονάδα. Να συµπληρώσετε τον πίνακα και να υπολογίσετε την περίµετρο του σε m, dm, cm και mm. ΑΒ m dm cm mm
ΒΓ
Γ∆
∆Α
Περίµετρος
0,5 12 105 900
381
21. Να µετατρέψεις σε cm τα µήκη: i. 5m ii. 7dm iii. 13mm iv. 5m 9dm (Απ.: i. 500, ii. 70, iii. 1,3, iv. 590) 22. Να γράψετε τα παρακάτω µήκη από το µικρότερο στο µεγαλύτερο: α. 0,2m β. 3,4dm γ. 1,34cm δ. 34mm ε. 1.3m (Απ.: γ < δ < α < β < ε) 23. Από µία κορδέλα µήκους 100m, κόψαµε 4 κοµµατάκια µε µήκη 7,2m, 72cm, 49dm και 1250mm. (Απ.: 85,93m) 24. Να γράψετε σηµείο Α. Να βρείτε τρία άλλα σηµεία του που το καθένα να απέχει 3cm από το Α. 25. Να σχεδιάσετε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΚΛ. Να βρείτε και να ονοµάσετε το µέσο Μ του ΚΛ. Να βρείτε ένα σηµείο Ρ που να απέχει 4cm από το Κ και να µη βρίσκεται πάνω στην ευθεία ΚΛ. Να σχεδιάσετε την ευθεία που περνά από τα σηµεία Μ και Ρ. 26. Το µέσο Μ ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ απέχει 3,6cm από το άκρο Α. Πόσο είναι το µήκος του ΑΒ; (Απ.: 7,2cm) 27. Πάρε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΚΛ = 8cm. Να βρείτε το µέσο του Μ και στη συνέχεια να βρείτε τα µέσα των ΚΜ και ΜΛ. Τι παρατηρείτε; 28. Πάνω σε ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 7cm, να πάρετε ένα σηµείο Γ τέτοιο ώστε ΑΓ = 1,5cm και ένα σηµείο ∆ τέτοιο ώστε Β∆ = 2cm. Αν Μ είναι το µέσο του τµήµατος ΑΒ, να συγκρίνετε τα τµήµατα ΓΜ και ∆Μ. (Απ.: ΜΓ > Μ∆)
382
1.
Να συγκρίνεις το µήκος της γραµµής ΑΒΓ∆Ε µε το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΖΗ, όπως φαίνονται στο διπλανό σχήµα.
" Λύση Μετρώντας µε το υποδεκάµετρο βρίσκουµε ΑΒ = 1,3cm, ΒΓ = 1,3cm, Γ∆ = 1,4cm και ∆Ε = 2,4cm Επίσης ΖΗ = 6,4cm. Άρα το µήκος της τεθλασµένης γραµµής ΑΒΓ∆Ε είναι 1,3 + 1,3 + 1,4 + 2,4 = 6,4cm Άρα οι δύο γραµµές έχουν το ίδιο µήκος. 2.
∆ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε όλες τις πλευρές του ίσες, µε 2,5cm. Βρες στην ηµιευθεία ΒΓ, µε αρχή το σηµείο Β, ένα σηµείο Ε έτσι, ώστε το µήκος ΒΕ να ισούται µε την περίµετρο του τριγώνου.
" Λύση Η περίµετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι 3 ⋅ 2,5 = 7,5cm , οπότε πρέπει BE = 7,5cm .
3.
Μία τεθλασµένη γραµµή αποτελείται από πέντε διαφορετικά ευθύγραµµα τµήµατα. Τα µήκη των ευθυγράµµων τµηµάτων ΑΒ, ΒΓ, Γ∆, ∆Ε και ΕΖ είναι αντίστοιχα 16mm, 9mm, 12mm, 14mm και 2cm. Να βρεις το µήκος της τεθλασµένης ΑΖ.
" Λύση Είναι 2cm = 20mm , οπότε η τεθλασµένη γραµµή ΑΖ έχει µήκος ΑΒ + ΒΓ + Γ∆ + ∆Ε + ΕΖ = 16 + 9 + 12 + 14 + 20 = 71mm .
383
4.
Να βρεις το µήκος µιας τεθλασµένης γραµµής ΑΒΓ∆Ε µε πλευρές AB = 0,4m , ΒΓ = 3dm , Γ∆ = 50cm , και ∆Ε = 380mm .
" Λύση Είναι AB = 0,4m = 40cm BΓ = 3dm = 30cm και ∆Ε = 380mm = 38cm οπότε το µήκος της τεθλασµένης γραµµής ΑΒΓ∆Ε είναι AB + ΒΓ + Γ∆ + ∆Ε = 40 + 30 + 50 + 38 = 158cm
5.
Να πάρεις σε µία ευθεία µε τη σειρά τα σηµεία Κ, Λ, Μ και Ν έτσι, ώστε: ΚΛ = 6cm, ΚΜ = 16cm και ΚΝ = 20cm. Να βρεις τα µήκη των τµηµάτων ΛΜ, ΛΝ και ΜΝ.
" Λύση Είναι ΛΜ = ΚΜ − ΚΛ = 16 − 6 = 10cm ΛΝ = ΚΝ − ΚΛ = 20 − 6 = 14cm και ΜΝ = ΚΝ − ΚΜ = 20 − 16 = 4cm 6.
Σε µία ηµιευθεία µε αρχή το σηµείο Ο παίρνουµε τα σηµεία Α, Β, Γ και ∆ έτσι ώστε να είναι ΑΒ = 3cm, Β∆ = 5,5cm και ΑΓ = 4,6cm. Να βρεθούν τα µήκη των τµηµάτων: α. Α∆ β. ΒΓ γ. ΑΓ + Γ∆ δ. Α∆ – ∆Β
" Λύση O
α. Είναι Α∆ = ΑΒ + Β∆ = 3 + 5,5 = 8,5cm β. ΒΓ = ΑΓ − ΑΒ = 4,6 − 3 = 1,6cm γ. Είναι Γ∆ = Β∆ − ΒΓ = 5,5 − 1,6 = 3,9cm οπότε ΑΓ + Γ∆ = 4,6 + 3,9 = 8,5cm δ. Α∆ − ∆Β = 8,5 − 5,5 = 3cm
384
7.
Να πάρεις σε µία ευθεία µε τη σειρά τα σηµεία Α, Β, Γ και ∆ έτσι, ώστε: Α∆ Α∆ και ΒΓ = . Να βρεις το µήκος του Γ∆. Α∆ = 6cm, ΑΒ = 6 3
" Λύση Είναι ΑΒ = και ΒΓ =
Α∆ 6 = = 1cm 6 6
Α∆ 6 = = 2cm 3 3
Οπότε το ΑΓ = ΑΒ + ΒΓ = 1 + 2 = 3cm Άρα Γ∆ = Α∆ − ΑΓ = 6 − 3 = 3cm . 8.
Να πάρεις σε µία ευθεία µε τη σειρά τα σηµεία Α, Β, Γ και ∆ έτσι ώστε το ΒΓ να είναι κατά 4cm µεγαλύτερο από το ΑΒ και κατά 3cm µικρότερο από το Γ∆. Αν είναι Α∆ = 14cm, να βρεις τα µήκη των ΒΓ και Γ∆.
" Λύση Είναι ΒΓ − ΑΒ = 4 οπότε ΑΒ = ΒΓ − 4 Γ∆ − ΒΓ = 3 ή Γ∆ = ΒΓ + 3 = 4 Και Όµως Α∆ = ΑΒ + ΒΓ + Γ∆ = 14 . Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε ΒΓ − 4 + ΒΓ + ΒΓ + 3 = 14 ή 3 ⋅ ΒΓ − 1 = 14 ή 3 ⋅ ΒΓ = 14 + 1 ή 15 3 ⋅ ΒΓ = 15 άρα ΒΓ = = 5cm . 3 Και από την (2) προκύπτει ότι Γ∆ = 5 + 3 = 8cm . 9.
(1) (2)
Να πάρεις σε µία ευθεία τα διαδοχικά σηµεία Α, Β, Γ και ∆ έτσι, ώστε να είναι ΑΒ = 2cm, ΒΓ = 0,5 ⋅ ΑΒ και A∆ = 2,5 ⋅ ΑΒ . Να βρεις τα µήκη των ευθυγράµµων τµηµάτων Γ∆ και ΑΓ.
" Λύση Είναι ΒΓ = 0,5 ⋅ ΑΒ = 0,5 ⋅ 2 = 1cm και Α∆ = 2,5 ⋅ ΑΒ = 2,5 ⋅ 2 = 5cm Οπότε ΑΓ = ΑΒ + ΒΓ = 2 + 1 = 3cm και Γ∆ = Α∆ − ΑΓ = 5 − 3 = 2cm
385
10. Πάρε σε µία ευθεία τα διαδοχικά σηµεία Α, Β, Γ, ∆ και Ε έτσι, ώστε να είναι ΑΒ = 2cm , ΑΓ = 3cm , Γ∆ = 1,5cm και ΑΕ = 6,2cm . Να βρεθούν τα µήκη των Α∆ και ΓΕ.
" Λύση Έχουµε και
Α∆ = ΑΓ + Γ∆ = 3 + 1,5 = 4,5cm ΓΕ = ΑΕ − ΑΓ = 6,2 − 3 = 3,2cm
11. ∆ίνεται ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 4,5cm. Πάνω στην ευθεία ΑΒ πάρε ένα σηµείο Κ τέτοιο, ώστε ΑΚ = 3cm και ένα άλλο σηµείο Λ, τέτοιο ώστε ΒΛ = 3,5cm. α. Να βρεις το µήκος του ΚΛ. β. Σε ποια περίπτωση συµβαίνει να είναι ΚΛ = 11cm; γ. Να διερευνήσεις, σε ποιες περιπτώσεις το ΚΛ είναι µεγαλύτερο ή µικρότερο από 11cm;
" Λύση α.
∆ιακρίνουµε τις περιπτώσεις: 1. Τα Κ και Λ εντός του ΑΒ. Τότε ΑΛ = ΑΒ − ΒΛ = 4,5 − 3,5 = 1cm , οπότε ΚΛ = ΑΚ − ΑΛ = 3 − 1 = 2cm 2. Το Κ εντός του ΑΒ και το Λ εκτός του ΑΒ.
Τότε
386
ΒΚ = ΑΒ − ΑΚ = 4,5 − 3 = 1,5cm άρα ΚΛ = ΚΒ − ΒΛ = 1,5 + 3,5 = 5cm
3. Το Κ εκτός του ΑΒ και το Λ εντός του ΑΒ.
Τότε
ΑΛ = ΑΒ − ΒΛ = 4,5 − 3,5 = 1cm
άρα
ΚΛ = ΚΑ + ΑΛ = 3 + 1 = 4cm
4. Τα Κ και Λ να βρίσκονται εκτός του ΑΒ.
Τότε β. γ.
ΚΛ = ΚΑ + ΑΒ + ΒΛ = 3,5 + 4,5 + 3,5 = 11cm
Το ΚΛ = 11cm όταν τα Κ και Λ βρίσκονται εκτός του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ. Από τη διερεύνηση που κάναµε στο α. ερώτηµα το ευθύγραµµο τµήµα ΚΛ δεν υπερβαίνει τα 11cm.
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ •
ÃÉÁ ÔÏ ÓÐÉÔÉ
Γιατί το αεροπλάνο µπορεί να διανύσει µικρότερη απόσταση από το πλοίο, για να πάει από την Αθήνα στη Σάµο;
" Απάντηση Γιατί το αεροπλάνο κινείται σε µία ευθεία γραµµή, ενώ το πλοίο κινείται στην κόκκινη τεθλασµένη γραµµή που συνδέει την Αθήνα µε τη Σάµο. Το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει δύο σηµεία είναι µικρότερο από οποιαδήποτε τεθλασµένη γραµµή µε άκρα αυτά τα σηµεία.
387
12. Να σχεδιαστεί µία τεθλασµένη γραµµή ΑΒΓ∆ έτσι, ώστε ΒΓ = 4 ⋅ ΑΒ και Γ∆ = 2 ⋅ ΑΒ . Αν είναι ΒΓ = 8cm να βρεθεί το µήκος της τεθλασµένης.
" Λύση Αφού ΒΓ = 8cm και ΒΓ = 4 ⋅ ΑΒ , τότε 4 ⋅ ΑΒ = 8 8 Οπότε ΑΒ = = 2cm και Γ∆ = 2 ⋅ ΑΒ = 2 ⋅ 2 = 4cm 4
Άρα το µήκος της τεθλασµένης γραµµής ΑΒΓ∆ είναι ΑΒ + ΒΓ + Γ∆ = 2 + 8 + 4 = 14cm 13. Σε ευθύγραµµο τµήµα AB = 16cm να πάρουµε τα σηµεία Γ, ∆ και Ο, τέτοια ώστε: ΑB = 4 ⋅ ΑΓ , ΓΒ = 4 ⋅ ∆Β και Ο το µέσο του Γ∆. Να βρεθεί: i. Το µήκος του Ο∆ ιι. Το µήκος του ΑΜ, όπου Μ το µέσο του ΑΟ.
" Λύση
Επειδή
AB = 16cm
οπότε
ΑΓ =
16 4cm άρα 4
Τότε επειδή ΓΒ = 4 ⋅ ∆Β
388
και
ΑB = 4 ⋅ ΑΓ
τότε 4 ⋅ ΑΓ = 16
ΒΓ = 16 − 4 = 12cm .
θα είναι 4 ⋅ ∆Β = 12
άρα ∆Β =
12 = 3cm 4
i.
Συνεπώς, θα είναι Γ∆ = ΒΓ − Β∆ = 12 − 3 = 9cm και αφού το Ο είναι µέσο του Γ∆ τότε Ο∆ =
ii.
9 = 4,5cm και ΟΓ = 4,5cm 2
Είναι ΑΟ = ΑΓ + ΓΟ = 4 + 4,5 = 8,5cm και επειδή το Μ είναι µέσο του ΑΟ τότε ΑΜ =
8,5 = 4,25cm . 2
14. Σε µία ευθεία Οx παίρνουµε τα σηµεία Κ και Λ έτσι ώστε ΟΚ = 1,6cm και ΟΛ = 3cm. Αν Α είναι το µέσο του ΚΛ, να βρεθεί το µήκος του ΟΑ.
" Λύση Είναι ΚΛ = ΟΛ − ΟΚ = 3 − 1,6 = 1,4cm οπότε αφού το Α είναι µέσο του ΚΛ 1,4 τότε KA = = 0,7cm . 2 Άρα OA = ΟK + KA = 1,6 + 0,7 = 2,3cm
O
389
15. Μία τεθλασµένη γραµµή ΑΒΓ∆Ε αποτελείται από τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ = 3,2cm, ΒΓ = 2,1cm, Γ∆ = 0,2dm και ∆Ε = 22mm. Να βρείτε το µήκος της. (Απ.: 9,5cm) 16. ∆ίνεται τρίγωνο ΚΛΜ µε όλες τις πλευρές του ίσες µε 3,2cm. Να βρείτε στην ηµιευθεία ΚΛ ένα σηµείο Α τέτοιο ώστε το µήκος του ΚΑ να ισούται µε την περίµετρο του τριγώνου ΚΛΜ. 17. Να πάρετε σε µία ευθεία µε τη σειρά τα σηµεία Α, Β, Γ και ∆, έτσι ώστε: ΑΒ = 8cm, ΑΓ = 10cm και Α∆ = 15cm. Να βρείτε τα µήκη των τµηµάτων ΒΓ, Γ∆ και Β∆. (Απ.: ΒΓ = 2cm, Γ∆ = 5cm, Β∆ = 7cm) 18. Στην ηµιευθεία Αx παίρνουµε στη σειρά τα σηµεία Β, Γ και ∆ έτσι ώστε να είναι ΑΒ = 3,5cm, Β∆ = 6,2cm και ΑΓ = 5cm. Να βρείτε τα µήκη των τµηµάτων: i. Α∆ ii. ΒΓ iii. ΑΓ + Γ∆ iv. Α∆ – Β∆ (Απ.: i. 9,7cm ii. 1,5cm iii. 9,7cm iv. 3,5cm) 19. Πάνω σε µία ευθεία παίρνουµε στη σειρά τα σηµεία Κ, Λ, Μ και Ν έτσι, ΚΝ ΚΝ και ΜΛ = . Να βρείτε το µήκος του ΜΝ. ώστε ΚΝ = 8cm, KΛ = 4 2 (Απ.: 2cm) 20. Να πάρετε σε µία ευθεία µε τη σειρά τα σηµεία Α, Β, Γ και ∆ έτσι, ώστε το ΒΓ να είναι κατά 5cm µεγαλύτερο από το ΑΒ και κατά 3cm µικρότερο του Γ∆. Αν είναι Α∆ = 16cm, να βρείτε τα µήκη των ΒΓ και Γ∆. (Απ.: ΒΓ = 6cm, Γ∆ = 9cm) 21. Πάνω σε µία ευθεία ε παίρνουµε στη σειρά τα σηµεία Α, Β, Γ έτσι ώστε ΑΒ = 3cm και ΑΓ = 5cm. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των τµηµάτων ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, να βρείτε το µήκος του ΜΝ και να τα συγκρίνετε µε το µήκος του ΒΓ. ΒΓ ) (Απ.: είναι ΜΝ = 2
390
22. Σε ηµιευθεία Αx δίνονται τα σηµεία Β, Ο, Γ ώστε το Ο να είναι µέσο του ΒΓ. Αν ΑΒ = 8cm και ΑΓ = 18cm να βρείτε τα µήκη των τµηµάτων ΒΓ, ΒΟ και ΑΟ. (Απ.: ΒΓ = 10cm, ΒΟ = 5cm, ΑΟ = 13cm) 23. Αν Ο είναι το µέσο του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ και τα Α, Ο, Β, Γ, ∆ βρίσκονται επί της ηµιευθείας ΑΒ, να βρείτε τα µήκη των τµηµάτων ΑΒ, ΒΓ, ΟΓ, Ο∆ και Γ∆ αν γνωρίζετε ότι ΑΟ = 4cm, ΑΓ = 17cm και Β∆ = 14cm. (Απ.: AB = 8cm, ΒΓ = 9cm, ΟΓ = 13cm Ο∆ = 18cm, Γ∆ = 5cm) 24. Σε µία ευθεία παίρνουµε τα διαδοχικά σηµεία Α, Β, Γ και ∆ έτσι, ώστε να 1 3 είναι ΑΒ = 6cm, ΒΓ = ΑΒ και Α∆ = ⋅ ΑΒ . Να βρείτε τα µήκη των ευθύ2 3 γραµµων τµηµάτων Β∆ και ΑΓ. (Απ.: Β∆ = 3cm, ΑΓ = 8cm) 25. ∆ίνεται ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 6,5cm. Πάνω στην ευθεία ΑΒ να πάρετε ένα σηµείο Γ τέτοιο ώστε ΑΓ = 2,5cm και ένα άλλο σηµείο ∆ τέτοιο ώστε Β∆ = 3cm. i. Να βρείτε το µήκος του Γ∆. ii. Ποια είναι η µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να πάρει το µήκος Γ∆; (Απ.: ii. 12cm)
391
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Ένας πατέρας και ο γιος γυµνάζονται και κάνουν τις ίδιες ασκήσεις. Μπορείς να βρεις εάν οι γωνίες που σχηµατίζουν τα πόδια τους στην ίδια ακριβώς στάση που έχουν στο διπλανό σχήµα είναι ίσες; Να δικαιολογήσεις την απάντησή σου σχετικά µε τη σύγκριση του ανοίγµατος των ποδιών τους.
" Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζουν τα πόδια τους δεν είναι ίσες. Ο πατέρας και ο γιος έχουν το ίδιο άνοιγµα ποδιών, αν µετρήσουµε µε το υποδεκάµετρο την απόσταση που απέχουν τα δύο πόδια του καθενός. Επειδή όµως ο γιος είναι πιο κοντός από τον πατέρα έχει µεγαλύτερο άνοιγµα ποδιών. Εποµένως η γωνία που σχηµατίζουν τα πόδια του γιου είναι µεγαλύτερη από τη γωνία που σχηµατίζουν τα πόδια του πατέρα.
392
1.
Από τι εξαρτάται το µέγεθος µιας γωνίας; (τοποθέτησε ένα «x» στη θέση που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση)
X Από το «άνοιγµα» των πλευρών της.
X Από το µήκος των πλευρών της. X Και από τα δύο παραπάνω. 2.
l = 76 o . Να γράψεις µία ηµιευθεία Oz που να χωΣχεδίασε µία γωνία xOy l σε δύο γωνίες, από τις οποίες η µία να είναι 56ο. ρίζει τη γωνία xOy
" Λύση
3.
Σχεδίασε τις γωνίες µ = 48 o , λ = 72o , l = 170 o , φ
l = 215 o ω
l = 6o , κ = 17o , ψ = 318 o . και θ
= 90o , ρ
" Λύση
393
Επειδή 360o − 215ο = 145ο τότε σχεδιάζουµε την γωνία 145ο και η γωνία ω είναι η µη κυρτή της.
Όµοια 360o − 318ο = 42ο οπότε
4.
Να βρεις τα µέτρα των παρακάτω γωνιών:
" Λύση Μετρώντας µε το µοιρογνωµόνιο είναι: = 45ο , β = 93ο , γ = 323ο (επειδή η κυρτή γωνία είναι 37ο ) α = 82ο , ε = 180ο , κ = 324 ο , λ = 60ο και µ = 140ο . δ
394
5.
Να συγκρίνεις τις γωνίες και να τις γράψεις κατά σειρά από τη µεγαλύτερη προς τη µικρότερη.
" Λύση Είναι 6.
>δ > γ > β α
Με το διαφανές χαρτί να συγκρίνεις τις γωνίες: l και φ l, α. ω
l και ρ , β. φ l και ρ , γ. ω
l και κ , δ. ψ l και λ , ε. ψ l και µ , στ. ψ
και θ . ζ. ρ
" Λύση l<φ l, α. ω l < λ , ε. ψ 7.
l <ρ , β. φ l > µ , στ. ψ
l <ρ , γ. ω > θ ζ. ρ
l > κ δ. ψ
Σχηµάτισε τις γωνίες α. 48ο, β. 72ο και γ. 144ο και σχεδίασε τις διχοτόµους αυτών.
" Λύση α.
β.
γ.
395
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÅÓ 1.
ÃÉÁ ÔÏ ÓÐÉÔÉ
Σχεδίασε την πορεία µιας ακτίνας φωτός, η οποία προσπίπτει σε καθρέφτη και αντανακλάται.
" Απάντηση Σύµφωνα µε τη Φυσική, η γωνία µε την οποία προσπίπτει η ακτίνα του φωτός στο καθρέπτη είναι ίδια µε την γωνία µε την οποία ανακλάται.
2.
Σχεδίασε την κίνηση µιας µπάλας µπιλιάρδου που κάνει µέχρι και τέσσερις ανακλάσεις στις πλευρές του µπιλιάρδου.
" Απάντηση Οι γωνίες πρόσπτωσης και ανάκλασης πρέπει να είναι ίσες.
396
8.
i. Να σχεδιαστεί ένα ισόπλευρο τρίγωνο και να µετρηθούν µε το µοιρογνωµόνιο οι γωνίες του. ii. Να σχεδιαστούν οι διχοτόµοι των γωνιών του. Τι παρατηρείτε;
" Λύση i. Η κάθε γωνία του ισόπλευρου τριγώνου είναι 60ο.
ii. Παρατηρούµε ότι και οι τρεις διχοτόµοι διέρχονται από το ίδιο σηµείο.
9.
l = 90 o και να πάρουµε ένα σηµείο Α στην Να σχεδιάσεις µία γωνία xOy πλευρά Ox, ώστε να είναι ΟΑ = 3,5cm. Στη συνέχεια να βρεθεί σηµείο l και Β l Β της Oy, ώστε να είναι ΑΒ = 7cm. Να µετρηθούν οι γωνίες Α του τριγώνου ΟΑΒ.
" Λύση Μετρώντας µε το µοιρογνωµόνιο l = 60ο και Β l = 30ο βλέπουµε ότι Α
397
10. Ένα πλοίο µετά την αναχώρησή του διανύει 100Km προς Βορρά και µετά στρίβει 60ο προς τα δεξιά. Μετά από άλλα 80Km πορεία, στρίβει 25ο προς τα αριστερά και µετά τα επόµενα 60Km φθάνει στον προορισµό του. α. Να χαραχτεί η πορεία του πλοίου, σχεδιάζοντας τα 20Km µε 1cm. β. Να µετρηθεί η γωνία που σχηµατίζει η τελευταία πορεία του πλοίου, µε τη διεύθυνση Βορράς – Νότος.
" Λύση α.
β. Η τελευταία πορεία του πλοίου µε τη διεύθυνση Βορράς – Νότος σχηµατίζει γωνία 35ο .
398
l = 68o και στη συνέχεια να φέρεται ηµιευθεία Ot η 11. Να σχεδιάσετε γωνία xOy οποία να τη χωρίζει σε δύο γωνίες από τις οποίες η µία να είναι 28ο. 12. Να σχεδιάσετε τις γωνίες = 32o , β = 75o , γ = 30o , δ = 100o , α = 220o , θ = 270o , κ = 330o . ε = 160o , η 13. Να βρείτε το µέτρο των παρακάτω γωνιών.
l = 112o , θ = 134 o , t = 315o ) l = 50o , φ (Απ.: ω l 1 και O l2 14. Να µετρήσετε µε το µοιρογνωµόνιο τις γωνίες O
β.
α.
O
O
l 1 = 40o ,O l 2 = 10o , ^β. O l 1 = 20o ,O l 2 = 130o ) (Απ.: α. O
399
15. Να συγκρίνετε τις γωνίες και να τις γράψετε από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη.
<α < γ ) (Απ.: β < δ 16. Να σχηµατίσετε γωνίες ίσες µε 80ο και 130ο και να φέρετε τις διχοτόµους τους.
l . 17. Η Οδ είναι διχοτόµος της γωνίας xOy l δ και xOy l . Να βρείτε τις γωνίες yO
l = 25o , x Oy l = 50o ) (Απ.: yOδ 18. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να φέρεται τις διχοτόµους των γωνιών του.
l = 90o και να πάρετε στην πλευρά Oy ένα ση19. Να σχεδιάσετε γωνία xOy µείο Κ τέτοιο, ώστε ΟΚ = 2cm. Στη συνέχεια να βρείτε στην πλευρά Οx l και Λ l ένα σηµείο Λ, ώστε να είναι ΚΛ = 4cm. Να µετρήσετε τις γωνίες K +
του τριγώνου ΟΚ Λ .
l = 60o , Λ l = 30o ) (Απ.: Κ l . Στις ηµιευθείες Ox και Oy να πάρετε τα 20. Να σχηµατίσετε µία γωνία xOy σηµεία Α και Β έτσι, ώστε ΟΑ = ΟΒ = 4cm. Να φέρετε το ευθύγραµµο l και ΟΑΒ l . τµήµα ΑΒ και να συγκρίνετε τις γωνίες ΟΒΑ (Απ.: είναι ίσες)
400
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό σηµείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού, τα πόδια των ανθρώπων, τα φτερά του αετού κ.λπ. Η σειρά που τοποθετήθηκαν τα διάφορα σκίτσα είναι τυχαία. Μπορείς να βρεις τη σωστή αντιστοιχία;
" Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης ∆. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. ορθή.
401
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 2ç Το σπίτι της διπλανής εικόνας έχει δύο καµινάδες. α. Ποια είναι η µεταξύ τους διαφορά; β. Ποια από τις δύο είναι κάθετη στη στέγη και γιατί; γ. Γενικότερα είναι δυνατό να έχουµε κάθετες ευθείες, χωρίς απαραίτητα να είναι αυτές οριζόντιες και κατακόρυφες; δ. Ξέρετε γιατί δεν πέφτει ο πύργος της Πίζας; ε. Πώς βρίσκουµε την κατακόρυφο σε έναν τόπο; στ. Και πώς ελέγχουµε ότι ένα επίπεδο έχει οριζόντια θέση;
" Απάντηση α.
Η δεξιά καµινάδα είναι κάθετη στο επίπεδο του εδάφους, ενώ η αριστερή καµινάδα είναι κάθετη στο επίπεδο της στέγης. β. Η αριστερή καµινάδα. γ. Είναι δυνατόν να υπάρχουν κάθετες ευθείες χωρίς αυτές να είναι οριζόντιες ή κατακόρυφες. δ. ∆εν πέφτει γιατί η κατακόρυφη που φέρνουµε από το κέντρο βάρους του πύργου πέφτει µέσα στη βάση στήριξής του. ε. Με το νήµα της στάθµης. στ. Με το αλφάδι ή το αλφαδολάστιχο.
402
1.
Τοποθέτησε ένα «x» στη θέση που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: α. Αν οι πλευρές µιας γωνίας είναι ηµιευθείες κάθετες µεταξύ τους τότε η γωνίας τους λέγεται:
X Οξεία. X Ορθή. X Αµβλεία. β. Αν σε µία γωνία η τελική της πλευρά ταυτίζεται µε την αρχική, αφού κάνεις µία πλήρη στροφή, τότε η γωνία λέγεται:
X Μηδενική γωνία. X Ευθεία γωνία.
X Πλήρης γωνία. 2.
Σχεδίασε ηµιευθεία Ox και χάραξε ευθεία που να διέρχεται από το Ο κάθετη στην Ox.
" Λύση Η Oy είναι κάθετη στην Ox στο Ο.
O
3.
x
Σχεδίασε δύο ευθείες που να διέρχονται από τα άκρα ενός ευθύγραµµου τµήµατος και να είναι κάθετες σ’ αυτό.
" Λύση Οι ευθείες ε1 και ε2 είναι κάθετες στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ στα άκρα του Α και Β αντίστοιχα.
403
4.
Σχεδίασε δύο ηµιευθείες Ox και Oy που να µην περιέχονται στην ίδια ευθεία. Σηµείωσε στην Ox τρία σηµεία Α, Β, και Γ. Από κάθε σηµείο από αυτά σχεδίασε ευθεία κάθετη προς την Oy.
" Λύση Τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΑ΄, ΒΒ΄ και ΓΓ΄ είναι κάθετα στην Oy από τα σηµεία Α, Β και Γ αντίστοιχα.
x
O y
5.
Σχεδίασε δύο ηµιευθείες Ox και Oy που να µην περιέχονται στην ίδια ευθεία. Στο σηµείο Ο να φέρεις τις κάθετες ευθείες προς τις Ox και Oy. Τι παρατηρείς;
" Λύση η
1 περίπτωση: Αν οι ηµιευθείες Ox και Oy σχηµατίζουν οξεία γωνία και φέρουµε την ε1 κάθετη στην Ox και την ε2 κάθετη στην Oy τότε η γωνία που σχηµατίζουν οι ευθείες ε1 και ε2 είναι ίση l . µε την γωνία xOy
2η περίπτωση: Αν οι ηµιευθείες Ox και Oy σχηµατίζουν αµl που σχηµατίζουν οι κάβλεία τότε η γωνία ω
θετες ε1, ε2 θα είναι οξεία και ίση µε την οξεία γωνία που θα πρέπει να προσθέσουµε στην l για να σχηµατιστεί µία ευθεία γωνία. xOy
404
y
O
x
y
O
x
6.
Σχεδίασε ένα τρίγωνο και φέρε από κάθε κορυφή του την κάθετη προς την απέναντι πλευρά.
" Λύση Είναι Α∆ κάθετη στη ΒΓ, ΒΕ κάθετη στην ΑΓ και ΓΖ κάθετη στην ΑΒ.
Αν η γωνία Β είναι αµβλεία τότε η κάθετη Α∆ στην ΒΓ θα είναι κάθετη στην προέκταση της ΒΓ. Όπως και η ΓΖ που είναι κάθετη προς την ΑΒ.
7.
Σχεδίασε µία ευθεία ε και δύο σηµεία Α και Β που δεν ανήκουν στην ευθεία αυτή. Φέρε από το Α και Β ευθείες κάθετες προς την ε και εξέτασε σε ποια περίπτωση οι δύο αυτές κάθετες συµπίπτουν.
" Λύση
Οι κάθετες ευθείες θα συµπίπτουν µόνο αν τα σηµεία Α και Β βρίσκονται στην ίδια κάθετη ευθεία προς την ε. 8. Τοποθέτησε της παρακάτω ονοµασίες γωνιών, µε σειρά µεγέθους του µέτρου του: Ορθή – Ευθεία – Πλήρης – Αµβλεία – Μηδενική – Μη κυρτή – Οξεία.
" Λύση Μηδενική – Οξεία – Ορθή – Αµβλεία – Ευθεία – Μη κυρτή – Πλήρης.
405
9.
Να συγκριθεί η πλήρης και η ευθεία γωνία µε την ορθή.
" Λύση Η ευθεία γωνία ισούται µε 2 ορθές.
x΄
O
x
Η πλήρης γωνία ισούται µε 4 ορθές. O
x΄ x
10. Να σχεδιαστεί η διχοτόµος µιας πλήρους και µίας ευθείας γωνίας.
" Λύση Η Οδ, δηλαδή η αντικείµενη ηµιευθεία της Ox είναι η διl . χοτόµος της πλήρους γωνίας xOx΄
O
x΄ x
Η Oz, δηλαδή η κάθετη στην yy΄ στο σηµείο Ο είναι η l . διχοτόµος της ευθείας γωνίας yOy΄
y΄
406
O
y
11. Να σχεδιαστούν δύο τεµνόµενες ευθείες ε1 και ε2 και έστω Ο το σηµείο τοµής τους. Από ένα σηµείο Α της ε1 φέρνουµε κάθετη στην ε2 και από ένα σηµείο Β της ε3 φέρνουµε κάθετη στην ε1. Να συγκριθεί η γωνία που σχηµατίζουν µεταξύ τους οι δύο κάθετες µε την γωνία που σχηµατίζουν οι ευθείες ε1 και ε2.
" Λύση
Από το σηµείο Α της ε1 φέρνουµε την δ2 κάθετη στην ε2, ενώ από το σηµείο Β της ε2 φέρνουµε την δ1 κάθετη στην ε1. Παρατηρούµε ότι η γωνία που σχηµατίζουν οι ευθείες δ1 και δ2 είναι ίση µε τη γωνία που σχηµατίζουν οι ευθείες ε1 και ε2. 12. Σε µία ευθεία ε παίρνουµε µε τη σειρά τα σηµεία Α, Κ και Β έτσι, ώστε να είναι ΑΚ = 2,4cm και ΚΒ = 2,4cm. Από το Κ φέρνουµε τη κάθετη στην ε και πάνω σ’ αυτή παίρνουµε ένα σηµείο Γ. Να συγκριθούν τα µήκη των τµηµάτων ΓΑ και ΓΒ.
" Λύση Παρατηρούµε ότι ΓΑ = ΓΒ.
K
13. Σε µία ευθεία ε παίρνουµε τα σηµεία Β, Ο και Γ στη σειρά έτσι, ώστε ΒΟ = 2cm και ΟΓ = 3cm. Από το Ο φέρνουµε κάθετη στην ε και πάνω σ’ αυτή παίρνουµε ένα σηµείο Α. Να συγκριθούν τα τµήµατα ΑΒ και ΑΓ.
" Λύση Παρατηρούµε ότι ΑΒ < ΑΓ.
2cm
3cm
407
14. Σε µία ευθεία ε παίρνουµε στη σειρά τα σηµεία Α, Β και Γ έτσι, ώστε ΑΒ = ΒΓ = 1,5cm. Στα σηµεία Α, Β και Γ φέρνουµε κάθετες στην ε. Χαράσσουµε άλλη ευθεία που τέµνει τις κάθετες στα σηµεία ∆, Ε και Ζ. ΝΑ συγκριθούν τα τµήµατα ∆Ε και ΕΖ.
" Λύση Παρατηρούµε ότι ∆Ε = ΕΖ.
ε1
1,5cm
408
ε2
1,5cm
ε3
15. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να πάρετε τα µέσα ∆, Ε και Ζ των πλευρών του. Να σχεδιάσετε τρεις ευθείες που η καθεµιά να περνά από το µέσο µιας πλευράς του τριγώνου και να είναι κάθετη στην πλευρά αυτή. Τι παρατηρείτε; (Απ.: Οι τρεις ευθείες διέρχονται από το ίδιο σηµείο) 16. Έστω ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και Μ το µέσο του. Μία ευθεία ε διέρχεται από το µέσο Μ του ΑΒ και δεν είναι κάθετη σ’ αυτό. Να φέρετε ευθείες κάθετες από τα Α και Β προς την ε. 17. Να φέρετε ευθεία κάθετη πάνω στην ευθεία Οε από το σηµείο Α.
i.
ii.
iii.
ε O
O
ε
O
ε
18. Να εκφράσετε σε µοίρες την πλήρη, την ευθεία και την ορθή γωνία. 19. Είναι δυνατόν τρεις ευθείες του επιπέδου να είναι κάθετες ανά δύο µεταξύ τους. (Απ.: όχι) 20. Σε µία ευθεία ε παίρνουµε µε τη σειρά τα σηµεία Α, Ο και Β έτσι, ώστε να είναι ΑΟ = 3cm και ΟΒ = 3cm. Από το Ο φέρνουµε κάθετη στην ε και πάνω σ’ αυτή παίρνουµε ένα σηµείο Κ. Να συγκρίνετε τα µήκη των τµηµάτων ΚΑ και ΚΒ. (Απ.: ΚΑ = ΚΒ) 21. Σε µία ευθεία ε παίρνουµε στη σειρά τα σηµεία Α, Κ και Β έτσι, ώστε AK = 3cm και ΚΒ = 1,5cm. Από το Κ φέρνουµε κάθετη στην ε και πάνω σ’ αυτή παίρνουµε ένα σηµείο Γ. Να συγκρίνετε τα τµήµατα ΓΑ και ΓΒ. (Απ.: ΓΑ > ΓΒ )
409
22. Σε µία ευθεία ε παίρνουµε στη σειρά τα σηµεία Α, Β και Γ έτσι, ώστε ΑΒ = ΒΓ = 2cm . Στα σηµεία Α, Β και Γ φέρνουµε κάθετες στην ε. Φέρνουµε άλλη µία ευθεία ε΄ που τέµνει τις κάθετες στα σηµεία Α΄, Β΄ και Γ΄. Να συγκρίνετε τα τµήµατα Α΄Β΄ και ´ô. (Απ.: Α΄Β΄ = ´ô) 23. Σε µία ευθεία ε παίρνουµε στη σειρά τα σηµεία Α, Β και Γ έτσι, ώστε AB = 2cm και ΒΓ = 3cm . Στα σηµεία Α, Β και Γ φέρνουµε τις ε1, ε2 και ε3 αντίστοιχα κάθετες στην ε. Μία άλλη ευθεία ε΄ τέµνει τις ε1, ε2 και ε3 στα σηµεία ∆, Ε και Ζ αντίστοιχα. Να συγκρίνετε τα τµήµατα ∆Ε και ∆Ζ. (Απ.: είναι ∆Ε < ∆Ζ)
410
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ l και ω l. Σε καθένα από τα παρακάτω σχήµατα υπάρχουν γωνίες φ Συµπλήρωσε τα κενά στην πρόταση που αντιστοιχεί σε καθένα από τα τρία σχήµατα και δικαιολόγησε την απάντησή σου.
Έχουν κοινή την κορυφή και την µία πλευρά και κανένα άλλο σηµείο.
Έχουν µόνο κοινή κορυφή και κανένα άλλο κοινό σηµείο.
Έχουν κοινή τη κορυφή, µία κοινή πλευρά την ΟΑ και κοινά τα σηµεία της l . γωνίας ΑΟΒ
411
1.
Συµπληρώστε τα παρακάτω κενά: α. ∆ύο γωνίες που έχουν την ίδια κορυφή, µία κοινή πλευρά και δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σηµείο ονοµάζονται εφεξής. β. Τρεις ή περισσότερες γωνίες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και καθεµιά από αυτές είναι εφεξής γωνία µε την προηγούµενη ή την επόµενή της λέγονται διαδοχικές.
2.
Να βρεις στο σχήµα και να ονοµάσεις όλες τις εφεξής αλλά και τις διαδοχικές γωνίες.
" Λύση l , ∆Α lΒ Εφεξής: ΕΑ∆ l , ∆Α lΓ ΕΑ∆ l Γ , ΓΑ lΒ ∆Α l Γ , ΓΑ lΒ ΕΑ l , ∆ΒΓ l ΑΒ∆ , ΑΓ∆ ΒΓΑ l Β , Β∆Α l Γ∆ l , Α∆ lΕ Β∆Α l Γ , Β∆ lΕ Β∆ l , Α∆ lΕ Γ∆Α
412
l , ∆Α l Γ , ΓΑ lΒ ∆ιαδοχικές: ΕΑ∆ l Β , Β∆Α l , Α∆ lΕ Γ∆
3.
Να βρεις τα ζεύγη των εφεξής γωνιών στο διπλανό σχήµα.
x
" Λύση l Ε και ΕΑ lΒ Είναι: ∆Α l Β και Ε∆Α l Γ∆ 4.
l και ΕΒΓ l ΑΒΕ και ΑΕΒ ∆ΕΑ
l και ΓΒx l ΕΒΓ
Να γράψεις τις εφεξής και τις διαδοχικές γωνίες που υπάρχουν στα παρακάτω σχήµατα.
" Λύση α.
l , ΖΑ lΕ Με κορυφή το Α είναι: ΒΑΖ l , ΖΒ∆ l Με κορυφή το Β είναι: ΑBZ l , Ζ∆ lΓ Με κορυφή το ∆ είναι: Β∆Ζ , ΖΕΓ Με κορυφή το Ε είναι: ΑΕΖ Τέλος µε κορυφή το Ζ είναι διαδοχικές οι γωνίες l Β , ΒΖΑ l , ΑΖ l Ε και ∆Ζ lΕ ∆Ζ ενώ ανά δύο αυτές αποτελούν και ζεύγη εφεξής γωνιών.
413
β.
Με κορυφή το Α είναι: l Γ και ΓΑ∆ l εφεξής ΒΑ
l Β , ΓΑ∆ l , ∆Αx l ∆ιαδοχικές: ΓΑ
l και ∆Αx l ΓΑ∆ l Γ και ΓΑ lΒ xΑ l και ∆Αx l ΒΑ∆ Με κορυφή το Γ είναι: και ∆ΓΑ εφεξής ΒΓΑ
, ΑΓ∆ , ∆Γy ∆ιαδοχικές: BΓΑ
και ∆Γy ΑΓ∆ και ΑΓy BΓΑ και ∆Γy ΒΓ∆ l και yOz l xOy l και zOν l yOz l και yOν l xOy
γ.
Είναι εφεξής:
δ.
l και zOv l xOz l , yOz l , zOν l είναι διαδοχικές. ενώ οι γωνίες xOy l και ΚΑ∆ l Με κορυφή το Α είναι: ΒΑΚ l και ΚΒΓ l Με κορυφή το Β είναι: ΑΒΚ l και Κ∆Γ l Με κορυφή το ∆ είναι: Α∆Κ Με κορυφή το Γ έχουµε: και ΚΓ∆ Εφεξής: ΒΓΚ
και ∆Γx ΚΓ∆ και ∆Γx ΒΓ∆ ΒΓ Κ και ΚΓx και ∆Γx είναι διαδοχικές. ενώ οι γωνίες ΒΓ Κ , ΚΓ∆ Τέλος µε κορυφή το Κ οι γωνίες l , ΒK l Γ , ΓΚ∆ l και ∆ΚΑ l είναι διαδοχικές ενώ ανά δύο αποτελούν ζεύAKB γη εφεξής γωνιών.
414
5.
Να βρεθεί το άθροισµα δύο γωνιών µε µέτρα 37ο και 53ο, αφού γίνουν εφεξής.
" Λύση
Το άθροισµα των δύο γωνιών είναι: l + yOz l = 37o + 53o = 90o = xOz l xOy
6.
Να βρεθεί το άθροισµα τριών γωνιών µε µέτρα 43ο , 78ο και 55ο , αφού γίνουν διαδοχικές.
" Λύση Το άθροισµα των διαδοχικών γωνιών είναι: l + yOz l + zOt l = 43o + 78o + 55o = 176 o = xOt l xOy
7.
t
l = 30 o και yOz l = 50o και οι διχοτόµοι ∆ίνονται δύο εφεξής γωνίες xOy l και να συτους Οδ1 και Οδ2, αντίστοιχα. Να υπολογιστεί η γωνία δ Oδ 1
2
l . γκριθεί µε την xOz
"
Λύση l l l l Η γωνία xOz είναι xOz = xOy + yOz = 30o + 50o = 80o l Επειδή η Οδ1 είναι διχοτόµος της γωνίας xOy ο l = 30 = 15ο . τότε yOδ 1 2 Επίσης επειδή η Οδ2 είναι διχοτόµος της γωνίας ο l τότε yO l δ = 50 = 25ο. yOz 2 2 l = δ Oy l + yOδ l = 15o + 25o = 40o . Οπότε δ1 Oδ 2 1 2 l δ = 1 xOz l . Άρα δ1 O 2 2
O
415
8.
Να γράψετε όλα τα ζεύγη των εφεξής γωνιών του διπλανού σχήµατος.
9.
Ποια από τα παρακάτω ζεύγη που είναι σηµειωµένα στα σχήµατα αποτελούν ζεύγη εφεξής γωνιών.
i.
ii.
K
iii.
(Απ.: το iii.) 10. Να βρείτε τις εφεξής και τις διαδοχικές γωνίες που υπάρχουν στα παρακάτω σχήµατα.
i.
ii.
iii.
y
y x O
416
x
l = 40o , 11. Να εκφράσετε µία γωνία ίση µε το άθροισµα των γωνιών AOB = 29 o και ΖΗΘ l = 100o . ΓΕ∆ l = 58o και ΒOΓ l = 46 o και τις διχο12. Να κατασκευάσετε εφεξής γωνίες AOB l και τόµους τους ΟΜ και ΟΝ, αντίστοιχα. Να υπολογίσετε τη γωνία ΜOΝ l . να την συγκρίνετε µε τη γωνία AOΓ
l = 52ο ) (Απ.: ΜOΝ l = 108ο και να χαράξετε στο εσωτερικό 13. Να κατασκευάσετε µία γωνία AOΓ l = 62ο . Να φέρετε τη διχοτόµο ΟΜ της την ηµιευθεία ΟΒ έτσι ώστε AOΒ l και να υπολογίσετε τη γωνία AOΜ l . της ΒOΓ l = 85ο ) (Απ.: AOΜ
417
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ α.
l και yOz l είναι εφεξής. Οι µη κοινές πλευρές τους εί∆ύο γωνίες xOy
β.
ναι αντικείµενες ηµιευθείες. Μπορείς να βρεις το άθροισµά τους; l και yOz l είναι εφεξής. Οι µη κοινές πλευρές τους εί∆ύο γωνίες xOy
ναι κάθετες ηµιευθείες. Μπορείς να βρεις το άθροισµά τους;
" Απάντηση α.
l και yOz l έχουν κοινή πλευρά την Oy ενώ αντικείµενες ηΟι γωνίες xOy l και yOz l έχουν άθροισµα µιευθείες είναι οι Ox και Oz. Οι δύο γωνίες xOy l , δηλαδή 180ο . την ευθεία γωνία xOz y
x
β.
418
O
z
l και yOz l έχουν κοινή πλευρά την Oy και τις µη κοινές Οι γωνίες xOy l και yOz l έχουν άθροιπλευρές τους Ox και Oz κάθετες. Οι γωνίες xOy l , δηλαδή 90ο . σµα την ορθή γωνία xOz
1.
Τοποθέτησε ένα «x» στη θέση που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Αν δύο γωνίες έχουν την κορυφή τους κοινή και τις πλευρές τους αντικείµενες ηµιευθείες, τότε λέγονται:
X Εφεξής γωνίες X ∆ιαδοχικές γωνίες X Παραπληρωµατικές γωνίες X Συµπληρωµατικές γωνίες X Κατακορυφήν γωνίες 2.
Να σχεδιάσεις µία γωνία 125ο και µετά να βρεις και να σχηµατίσεις την παραπληρωµατική της.
" Λύση l = 125o . Η παραπληρωµατική της Η γωνία xOy είναι 180o − 125o = 55o . Για να τη σχηµατίζουµε φέρνουµε την Oz αl = 55o . ντικείµενη ηµιευθεία Ox και είναι yOz
3.
y
x
O
z
Να βρεις τι είδους γωνία είναι η παραπληρωµατική: α. µίας αµβλείας β. µίας ορθής γ. µίας οξείας γωνίας.
" Λύση α.
Μία αµβλεία γωνία ω είναι µεταξύ 90ο και 180ο , οπότε η παραπληρωµατική της φ είναι οξεία.
β. Μία ορθή γωνία ω είναι 90ο, οπότε η παραπληρωµατική της φ θα είναι και αυτή ορθή.
γ.
Μία οξεία γωνία ω είναι µεταξύ 0ο και 90ο , οπότε η παραπληρωµατική της φ είναι αµβλεία.
419
4.
Να σχεδιάσεις µία γωνία 35ο και µετά να βρεις και να σχηµατίσεις τη συµπληρωµατική της.
" Λύση l = 35o . Η συµπληρωµατική της θα είΗ γωνία xOy ναι 90o − 35o = 55o . Για να σχηµατίσουµε φέρνουµε την Oz κάθετη l = 55o . στην Ox οπότε yOz
5.
l = ∆ΟΑ l =φ. Στο διπλανό σχήµα είναι ΓOΑ l , ∆OΒ l και Να συγκρίνεις τις γωνίες ΓOΒ
O
να δικαιολογήσεις το αποτέλεσµα της σύγκρισης.
" Λύση l = ∆ΟΑ l = φ . Η γωνία ΓOΒ l είναι η παραπληρωµατική της ΓOΑ l Είναι ΓOΑ l = 180ο − φ . (1) οπότε ΓOΒ l είναι η παραπληρωµατική της ∆OΑ l οπότε θα είναι Επίσης η γωνία ∆OΒ l = 180ο − φ (2). ∆OΒ l = ∆ΟΒ l . Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι ΓOΒ 6.
είναι παραπληρωµατικές. Η α και β είναι γνωστή και το Οι γωνίες α µέτρο της δίνεται στον παρακάτω πίνακα. , α. Να σχεδιάσεις την α µε το µοιρογνωµόνιο, β. να σχεδιάσεις και να µετρήσεις τη β . γ. να υπολογίσεις την β Μετά να αντιγράψεις στο τετράδιο σου τον πίνακα και να τον συµπληρώσεις.
420
α από β
15ο
18ο
43ο
77ο
90ο
116ο
169ο 10΄
µέτρηση από β υπολογισµό
" Λύση α από β µέτρηση από β
υπολογισµό 7.
15ο
18ο
43ο
77ο
90ο
116ο
169ο 10΄
165ο
160ο
136ο
104ο
90ο
65ο
11ο
165ο
162ο
137ο
103ο
90ο
64ο
10ο 50΄
και β του σχήµατος. Υπολόγισε τις γωνίες α
" Λύση είναι παραπληρωµατική της γωνίας 147ο, Η γωνία α = 180ο − 147ο = 33ο εποµένως α
είναι παραπληρωµατική της γωνίας 110ο, Η γωνία β εποµένως β = 180ο − 110ο = 70ο
421
8.
Σχεδίασε µία γωνία 37ο και µετά σχεδίασε την κατακορυφήν της.
" Λύση l = 37o . Είναι xOy Φέρνουµε Oz αντικείµενη ηµιευθεία της Ox και Ot αντικείµενη ηµιευθεία της Oy. l είναι η zO lt. Η κατακορυφήν γωνία της xOy
9.
x
t O
y
z
Να βρεις όλα τα ζεύγη των κατακορυφήν γωνιών του διπλανού σχήµατος.
ε1 ε2
ν
" Λύση Τα ζεύγη των κατακορυφήν γωνιών είναι: και γ , β και δ , κ και µ , λ και ν α 10. Αν γνωρίζεις ότι µία ευθεία από τις τέσσερις γωνίες, που σχηµατίζουν δύο τεµνόµενες ευθείες είναι 57ο υπολόγισε τις υπόλοιπες.
" Λύση είναι παραπληρωµατική της Η γωνία α = 180ο − 57ο = 123ο . γωνίας 57ο οπότε: α
Η γωνία β είναι κατακορυφήν µε τη γωνία 57ο , άρα β = 57ο . Τέλος η γωνία γ είναι κατακορυφήν της α οπότε θα είναι γ = 123ο .
422
ε2
ε1
11. Να υπολογίσεις τις γωνίες του διπλανού σχήµατος (χωρίς µοιρογνωµόνιο). 90
o
" Λύση είναι συµπληρωµατική της γωνίας των 25ο, Η γωνία δ = 90ο − 25ο = 65ο . οπότε δ
είναι κατακορυφήν της γωνίας των 25ο άρα α = 25ο . Η γωνία α οπότε β = 65ο . Η γωνία β είναι κατακορυφήν της γωνίας δ Τέλος η γωνία γ είναι κατακορυφήν της γωνίας των 90ο άρα θα είναι γ = 90ο .
423
12. Να υπολογιστούν δύο γωνίες αν είναι συµπληρωµατικές και η µία από αυτές είναι τριπλάσια της άλλης.
" Λύση Έστω ω µία γωνία τότε η άλλη θα είναι 3 ⋅ ω . Αφού οι δύο γωνίες είναι συπληρωµατικές τότε θα έχουν άθροισµα 90ο . ∆ηλαδή ω + 3 ⋅ ω = 90ο ή 4ω = 90ο 90ο = 22,5ο άρα ω = 4 Οπότε η µία γωνία είναι 22,5ο και η άλλη 90ο − 22,5ο = 67,5ο . 13. Να υπολογιστούν δύο γωνίες αν είναι παραπληρωµατικές και η µία από αυτές είναι τετραπλάσια της άλλης.
" Λύση Έστω ω µία γωνία τότε η άλλη θα είναι 4 ⋅ ω . Επειδή οι δύο γωνίες είναι παραπληρωµατικές τότε θα έχουν άθροισµα 180ο. ∆ηλαδή 180ο ω + 4 ⋅ ω = 180ο ή 5ω = 180ο άρα ω = = 36 ο . 5 Άρα η άλλη γωνία θα είναι 180ο − 36 ο = 144 ο 14. Αν µία γωνία είναι µεγαλύτερη κατά 24ο από την παραπληρωµατική της, πόσο θα είναι κάθε µία από αυτές;
" Λύση Έστω ω η µικρότερη γωνία, τότε η άλλη θα είναι ω + 24 ο . Είναι ω + ω + 24 ο = 180ο ή 2ω = 180ο − 24 ο ή 2ω = 156 ο 156 ο άρα ω = = 78ο . 2 Άρα η µία γωνία είναι 78ο και η άλλη 78ο + 24 ο = 102ο . 15. Αν µία γωνία από εκείνες που σχηµατίζουν δύο τεµνόµενες ευθείες είναι τριπλάσια της άλλης να υπολογιστούν και οι τέσσερις γωνίες.
424
" Λύση Έστω ω η µία γωνία τότε η άλλη θα είναι 3ω. Όµως ω + 3ω = 180ο ή 180ο = 45ο . 4ω = 180ο άρα ω = 4 και η άλλη είναι 3 ⋅ 45ο = 135ο . Άρα οι οξείες γωνίες του σχήµατος είναι 45ο και οι αµβλείες 135ο . 16. Να σχεδιάσεις µία γωνία 135ο και την κατακορυφήν της. Φέρνουµε τις διχοτόµους αυτών των γωνιών. Τι γωνία σχηµατίζουν;
" Λύση l και zO lt. Η κατακορυφήν γωνίες που είναι 135ο είναι οι xOy Έστω Οδ1 και Οδ2 οι διχοτόµοι αυτών. l , Επειδή Οδ1 διχοτόµος της γωνίας xOy o
l = 135 = 67,5o .Επειδή Οδ2 διχοτόµος είναι xOy 2 o l t , είναι δ O l t = 135 = 67,5 . της γωνίας zO 2 2 l l ισχύει: Επειδή η γωνία xO t είναι παραπληρωµατική της xOy l t = 180o − 135o = 45o . xO
O
l = δ Ox l + xO lt+δ O l t = 67,5o + 45o + 67,5o = 180o Είναι δ1 Oδ 2 1 2 άρα οι Οδ1 και Οδ2 είναι αντικείµενες ευθείες. 17. Να σχεδιαστούν οι διχοτόµοι (α) δύο εφεξής και παραπληρωµατικών και (β) δύο εφεξής και συµπληρωµατικών γωνιών και να βρεθεί η γωνία που σχηµατίζουν µεταξύ τους.
" Λύση α. Οι διχοτόµοι δύο εφεξής παραπληρωµατικών γωνιών σχηµατίζουν γωνία 90ο .
y
z
O
O
x
β. Οι διχοτόµοι δύο εφεξής συµπληρωµατικών γωνιών σχηµατίζουν γωνία 45ο.
425
18. Να βρείτε τη συµπληρωµατική των παρακάτω γωνιών: i. 33o ii. 82o iii. 7o (Απ.: i. 57o ii. 8o iii. 83o) 19. Να βρείτε την παραπληρωµατική των παρακάτω γωνιών: i. 82o ii. 108o iii. 95o (Απ.: i. 98o ii. 72o iii. 85o) 20. Να βρείτε τη γωνία που είναι πενταπλάσια από την παραπληρωµατική της. (Απ.: 150ο ) 21. Να βρείτε τη γωνία που είναι οκταπλάσια από την συµπληρωµατική της. (Απ.: 80ο ) 22. Ποιας γωνίας η παραπληρωµατική της ισούται µε 94ο ;
(Απ.: 86ο ) 23. Μία γωνία είναι µικρότερη της παραπληρωµατικής της κατά 34ο. Να βρείτε τη γωνία. (Απ.: 73ο ) 24. Να βρείτε δύο παραπληρωµατικές γωνίες που έχουν διαφορά 60ο . (Απ.: 60ο , 120ο ) 25. Μία γωνία είναι 20ο µικρότερη της συµπληρωµατικής της. Να βρείτε τη γωνία.
(Απ.: 35ο )
l = 2x + 10ο έχει ως συµπληρωµατική τη γωνία των 40ο. Ποια 26. Αν η γωνία ω γωνία εκφράζει το x; (Απ.: x = 20ο ) 27. Να βρείτε τις γωνίες x και y του παρακάτω
σχήµατος.
(Απ.: x = 42o , y = 102o )
426
28. Να υπολογίσετε (χωρίς µοιρογνωµόνιο) τη γωνία x στα παρακάτω σχήµατα. i.
iii.
ii.
x
x
(Απ.: i. 38ο , ii. 40ο , iii. 55ο ) 29. Να υπολογίσετε το x στα παρακάτω σχήµατα. i.
ii.
(Απ.: i. 70ο , ii. 20ο ) 30. Να υπολογίσεις τις άγνωστες γωνίες στα παρακάτω σχήµατα. i.
ii.
l = 25ο , ω = 60ο , (Απ.: i. x = θ = 95o , ψ ii. x = 70o , θ = 150ο , ω = 30ο ) 31. Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε τις τιµές α και β.
(Απ.: α = 75ο , β = 55ο )
427
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Οι διαγραµµίσεις του αυτοκινητόδροµου στη διπλανή εικόνα συναντώνται (τέµνονται) κάπου; Μπορείς να δικαιολογήσεις την απάντηση σου;
" Απάντηση Οι διαγραµµίσεις του αυτοκινητόδροµου δεν τέµνονται κάπου γιατί οι λωρίδες κυκλοφορίες του δρόµου είναι παράλληλες.
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 2ç Στη διπλανή εικόνα προσπάθησε να βρεις τη σχετική θέση των ευθειών: α. ΑΒ και ΗΕ β. ΑΒ και ΒΓ γ. ΗΕ και ΚΛ δ. ΗΖ και ΖΕ ε. ΑΘ και ΒΓ ∆ικαιολόγησε την απάντησή σου
" Απάντηση α. β. γ. δ. ε.
428
Είναι ΑΒ παράλληλη µε την ΗΕ. Η ΑΒ είναι κάθετη µε τη ΒΓ. Η ΗΕ είναι παράλληλη µε την ΚΛ. Η ΗΖ και ΖΕ τέµνονται στο σηµείο Ζ. Η ΑΘ είναι παράλληλη µε την ΒΓ.
1.
Τοποθέτησε ένα «x» στη θέση που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. α. ∆ύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο λέγονται:
X Παράλληλες. X Τεµνόµενες. X Κάθετες. β. Από ένα σηµείο Α, εκτός ευθείας ε, διέρχεται:
X Μία και µοναδική κάθετη ευθεία στην ε. X ∆ύο διαφορετικές κάθετες ευθείες στην ε. X Καµία κάθετη ευθεία στην ε. γ. Αν δύο ευθείες του επιπέδου είναι κάθετες σε µία ευθεία, τότε είναι µεταξύ τους:
X Κάθετες. X Παράλληλες. X Τεµνόµενες. 2.
Συµπλήρωσε τα παρακάτω κενά: α. Από ένα σηµείο µπορούν να περάσουν άπειρες ευθείες. β. ∆ύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή θα είναι παράλληλες ή τεµνόµενες. γ. ∆ύο ευθείες του επιπέδου κάθετες σε µία ευθεία είναι µεταξύ τους παράλληλες. δ. ∆ύο ευθείες του ίδιου επιπέδου, που δεν έχουν κοινό σηµείο είναι παράλληλες. ε. ∆ύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που έχουν ένα κοινό σηµείο λέγονται τεµνόµενες και το κοινό τους σηµείο λέγεται σηµείο τοµής των δύο ευθειών.
429
3.
Να χαράξεις τρεις ευθείες ε1, ε2 και ε3 ώστε: α. Οι ευθείες αυτές να µην τέµνονται β. Η µία να τέµνει τις άλλες δύο γ. Να τέµνονται ανά δύο και δ. Να έχουν κοινό σηµείο.
"Λύση
4.
Να σχεδιάσεις δύο ευθείες που να διέρχονται από τα άκρα ενός ευθύγραµµου τµήµατος και να είναι κάθετες σ΄ αυτό.
"Λύση Οι δύο ευθείες είναι οι ε1 και ε2 οι οποίες είναι µεταξύ τους παράλληλες.
430
5.
Να σχεδιάσεις δύο ηµιευθείες Ox και Οy, οι οποίες να µην περιέχονται στην ίδια ευθεία. Να σηµειώσεις στην Ox τρία σηµεία Α, Β, και Γ. Από κάθε σηµείο από αυτά να σχεδιάσεις ευθεία παράλληλη προς την Oy.
"Λύση Από τα σηµεία Α, Β και Γ φέρνουµε τις κάθετες ΑΑ΄, ΒΒ΄ και ΓΓ΄ αντίστοιχα προς την Oy. Στη συνέχεια κατασκευάζουµε την ε1 κάθετη στην ΑΑ΄, ε2 κάθετη στη ΒΒ΄ και ε3 κάθετη στη ΓΓ΄. Καθεµία από τις ευθείες ε1, ε2, ε3 είναι παράλληλες προς την Οy.
6.
x ε3 ε2 ε1 O
y
Να σχεδιάσεις µία ευθεία ε και δύο σηµεία Α και Β που δεν ανήκουν στην ευθεία αυτή. Να φέρεις από τα Α και Β ευθείες παράλληλες προς την ε και να εξετάσεις σε ποια περίπτωση οι δύο αυτές παράλληλες συµπίπτουν.
"Λύση Οι παράλληλες από τα Α και Β συµπίπτουν όταν τα σηµεία Α και Β βρίσκονται σε µία ευθεία παράλληλη προς την ε.
ε2
ε1
ε1 ε
ε
431
7.
Να γράψετε δύο παράλληλες ευθείες ε και ε΄ και να πάρετε ένα σηµείο Κ εκτός των παραλλήλων αυτών. Να φέρετε την ΚΑ κάθετη στην ε και να πάρετε στην ε τα σηµεία Β και Γ έτσι, ώστε ΑΒ = ΑΓ. Αν οι ευθείες ΚΒ και ΚΓ τέµνουν την ε΄ στα σηµεία ∆ και Ε αντίστοιχα, να συγκριθούν τα τµήµατα Β∆ και ΓΕ.
"Λύση Είναι Β∆ = ΓΕ
ε
K ε΄
432
8.
l . Πάνω στην ηµιευθεία Ox να πάρετε σηΝα σχηµατίσετε µία γωνία xOy µείο Α. Από το Α να φέρετε παράλληλη προς την Oy.
9.
l και να σηµειώσετε µέσα σε αυτήν Να σχηµατίσετε µία οξεία γωνία xOy ένα σηµείο Α. Από το Α να φέρετε ευθείες παράλληλες προς τις ηµιευθείες Ox και Oy.
10. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο και να φέρετε από κάθε κορυφή του την παράλληλη ευθεία προς την απέναντι πλευρά. 11. Να σχεδιαστεί το διπλανό σχήµα στο τετράδιο σας. Από το µέσο Κ της ΑΒ να φέρετε ευθεία ζ παράλληλη προς την ευθεία ε, που τέµνει την ΑΓ στο Λ. Να µετρήσετε το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΚΛ.
(Απ.: 2cm) 12. Να γράψετε δύο ηµιευθείες Ox και Oy, οι οποίες να µην περιέχονται στην ίδια ευθεία. Να πάρετε στην Ox, τα σηµεία Α, Β, Γ, ώστε να είναι OA = AB = BΓ = 2cm . Να ορίσετε ένα σηµείο Α΄, ώστε να είναι OA΄ = 1,5cm
και να γράψετε την ευθεία ΑΑ΄. Στη συνέχεια να φέρετε από τα Β και Γ παράλληλες προς την ΑΑ΄ και να ονοµάσετε Β΄ και Γ΄ τα σηµεία στα οποία τέµνουν αντίστοιχα την Oy. Να βρείτε τα µήκη των τµηµάτων Α΄Β΄και ´ô, (Απ.: A΄Β΄ = ´ô = 1,5cm ) 13. Να σχεδιάσετε δύο ευθείες x΄x και y΄y που τέµνονται στο Ο. Στις ηµιευθείες Ox, Ox΄ και Oy παίρνουµε τα σηµεία Α, Β και Γ αντίστοιχα, τέτοια ώστε OA = ΟB = ΟΓ = 2cm . Να βρείτε τη σχετική θέση των ευθειών ΑΓ και ΒΓ. (Απ.: Είναι κάθετη)
433
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Να βρεις σε ποιο σηµείο του δηµόσιου αγωγού νερού, στο παρακάτω σχεδιάγραµµα, πρέπει να γίνει η σύνδεση µε το σηµείο Α του σπιτιού, ώστε ο σωλήνας να έχει το µικρότερο δυνατό µήκος.
"Απάντηση Στο σηµείο Κ, στο οποίο τέµνει η κάθετη που φέρνουµε από τα Α προς την νοητή ευθεία του αγωγού του νερού.
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 2ç Σε ποια από τις δύο σιδηροτροχιές (α) και (β) µπορεί να κινηθεί το τρένο, χωρίς να εκτροχιαστεί; Μπορείς να δικαιολογήσεις την απάντηση σου;
"Απάντηση Μόνο αν κινηθεί στη σιδηροτροχιά (α) το τρένο δεν θα εκτροχιαστεί γιατί οι ράγες της είναι παράλληλες.
434
1.
Συµπληρώστε τα παρακάτω κενά: α. Το µήκος του κάθετου ευθύγραµµου τµήµατος ΑΑο από το σηµείο Α προς την ευθεία ε ονοµάζεται απόσταση του σηµείου Α από την ευθεία ε. β. Το µήκος οποιουδήποτε ευθύγραµµου τµήµατος, που είναι κάθετο σε δύο παράλληλες ευθείες και έχει τα άκρα του σ’ αυτές λέγεται απόσταση των δύο παραλλήλων ευθειών.
2.
Σηµείωσε πάνω σε µία ευθεία ε, µε τη σειρά, τα σηµεία Γ, Β και ∆, έτσι ώστε να είναι ΓΒ = Β∆ = 3cm. Χάραξε µία ευθεία, που να διέρχεται από το Β κάθετη στην ε. Πάνω στην κάθετη αυτή να σηµειώσεις ένα σηµείο Α, που να απέχει από το Β απόσταση ΑΒ = 4cm. Να συγκρίνεις µετρώντας µε το υποδεκάµετρο τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΓ και Α∆.
" Λύση Είναι ΑΓ = Α∆ = 5cm
3.
Να επαναλάβεις την προηγούµενη άσκηση, εάν είναι ΓΒ = 6cm, Β∆ = 15cm , ΑΒ = 8cm .
" Λύση Είναι: ΑΓ = 10cm και Α∆ = 17cm 8cm
6cm
15cm
435
4.
Να σχεδιάσεις δύο µη αντικείµενες ηµιευθείες Ox και Oy. Να πάρεις στην Ox, τα σηµεία Α, Β και Γ, τέτοια ώστε να είναι: ΟΑ = ΑΒ = ΒΓ = 2cm . Να ορίσεις στην Oy ένα σηµείο Α΄, ώστε να είναι ΟΑ΄ = 1,6cm και να σχεδιάσεις την ευθεία ΑΑ΄. Στη συνέχεια να φέρεις από τα Β και Γ παράλληλες προς την ΑΑ΄ και να ονοµάσεις Β΄ και Γ΄ τα σηµεία στα οποία αυτές τέµνουν αντίστοιχα την Oy. Να µετρήσεις µε το υποδεκάµετρο τα µήκη των τµηµάτων Α΄Β΄ και ´ô. Τι παρατηρείς;
" Λύση Παρατηρούµε ότι Α΄Β΄ = ´ô = 1,6cm x
O
5.
y
Να σχεδιάσεις µία ευθεία ε και τέσσερα σηµεία Α, Β, Γ και ∆, τα οποία να βρίσκονται στο ένα από τα ηµιεπίπεδα που χωρίζει η ε το επίπεδο, και το καθένα ν’ απέχει απ’ αυτά 3,2cm. Να φέρεις από καθένα απ’ αυτά τα σηµεία ευθεία παράλληλη προς την ε. Πόσες ευθείες υπάρχουν στο σχήµα σου;
" Λύση Παρατηρούµε ότι οι ευθείες που φέρουµε από τα σηµεία Α, Β, Γ και ∆ συµπίπτουν. Άρα υπάρχει µόνο µία ευθεία παράλληλη προς την ε.
436
cm
3,2
cm
3,2
cm
3,2
cm
3,2
ε
6.
Να σχεδιάσεις δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 των οποίων η απόσταση να είναι 35mm. Να βρεις πέντε σηµεία Α, Β, Γ, ∆ και Ε που να ισαπέχουν από τις ε1 και ε2. Να σχεδιάσεις µία ευθεία ε από το Α παράλληλη προς τις ε1 και ε2. Τα σηµεία Β, Γ, ∆ και Ε ανήκουν ή όχι στην ε;
" Λύση Τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ και Ε είναι µέσα των Α1Α2, Β1Β2, Γ1Γ2, ∆1∆2 και Ε1Ε2 αντίστοιχα που είναι αποστάσεις των παραλλήλων ε1 και ε2. Η παράλληλη ε που φέρουµε από το Α προς τις ε1, ε2 διέρχεται από τα Β, Γ, ∆ και Ε.
7.
Α1
Β1 Γ1
Δ1
Ε1
Α2
Β2 Γ2
Δ2
Ε2
Να αντιγράψεις σε τετραγωνισµένο χαρτί το διπλανό σχήµα και να βρεις ένα σηµείο Γ της ηµιευθείας Ax, που ν’ απέχει 3cm από την ευθεία ε.
x
" Λύση Προεκτείνουµε την ΒΑ προς το Α κατά τµήµα ΑΓ = 1cm. Στο σηµείο Γ φέρνουµε την ε1 κάθετη στη ΒΓ. Είναι ε1 παράλληλη µε την ε και η απόστασή τους είναι 3cm. Το σηµείο Μ, στο οποίο η ε1 τέµνει την ηµιευθεία Ax είναι το ζητούµενο γιατί απέχει από την ε 3cm.
1cm
x
437
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ
ÃÉÁ ÔÏ ÓÐÉÔÉ
Ένα πλοίο ακολουθεί ευθεία πορεία ΑΒ, που είναι συνολικά 21Km. Όταν βρίσκεται στη θέση Α απέχει 10Km από ένα φάρο Φ και όταν βρίσκεται στη θέση Β απέχει 17km από τον ίδιο φάρο. Να σχεδιάσεις το σχήµα ΦΑΒ παίρνοντας 1cm για απόσταση ίση µε 1Km και να υπολογίσεις πόσο κοντά από το φάρο πέρασε το πλοίο.
" Απάντηση Φέρνοντας την κάθετη ΦΚ από το Φ προς την ΑΒ και µετρώντας µε το υποδεκάµετρο βρίσκουµε ότι πέρασε 8Km κοντά από το φάρο.
17km
21km
438
10km
K
8.
Στο διπλανό σχήµα είναι Β∆ = 1cm, ∆Ε = 2cm και ΕΓ = 1cm. Φέρνουµε από το Α το κάθετο τµήµα ΑΚ στη ΒΓ. Αν το Κ είναι µέσο της ΒΕ να συγκριθούν τα τµήµατα: i. ΑΒ και Α∆ ii. ΑΒ και ΑΕ iii. ΑΒ και ΑΓ
" Λύση i. Είναι ∆Κ < ΒΚ οπότε και Α∆ < ΑΒ. ii. Επειδή ΒΚ = ΚΕ τότε θα είναι ΑΒ = ΑΕ. iii. Είναι ΚΓ = 2,5cm και ΒΚ = 1,5cm οπότε ΚΓ > ΒΚ άρα θα είναι ΑΓ > ΑΒ.
9.
Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει τις πλευρές του ΑΒ και ΑΓ κάθετες. Παίρνουµε σηµείο Ε στην προέκταση της πλευράς ΑΓ προς το Γ. Σχηµατίζουµε στη συνέχεια ένα νέο τρίγωνο ΓΕ∆, έτσι, ώστε οι πλευρές ΓΕ και Ε∆ να είναι κάθετες. Να βρεθεί η σχετική θέση των ευθειών ΑΒ και Ε∆.
" Λύση Οι ευθείες ∆Ε και ΑΒ είναι µεταξύ τους παράλληλες αφού και οι δύο είναι κάθετες στην ευθεία ΑΕ.
439
10. Πάνω σε δύο µη αντικείµενες ηµιευθείες Ox και Oy παίρνουµε τα σηµεία Α και Β αντίστοιχα έτσι, ώστε ΟΑ = ΟΒ. Από το Α φέρνουµε την Αy΄ παράλληλη στην Oy και από το Β την Bx΄ παράλληλη στην Οx. Αν Κ το σηµείο τοµής των Ay΄ και Bx΄, να βρεθεί η σχετική θέση των διαγωνίων του τετράπλευρου ΑΟΒΚ.
" Λύση Οι διαγώνιες ΑΒ και ΟΚ του τετράπλευρου ΑΟΒΚ είναι κάθετες.
11. ∆ίνονται δύο µη αντικείµενες ηµιευθείες Ox και Oy. Να βρεθεί εκείνο το σηµείο της Oy που απέχει από την Ox απόσταση 2cm.
" Λύση Παίρνουµε τυχαίο σηµείο Α της Ox και φέρουµε την ΑΒ κάθετη στην Ox µε ΑΒ = 2cm. Στη συνέχεια φέρνουµε την ευθεία ε κάθετη στην ΑΒ στο Β. Η ε είναι παράλληλη στην Ox και απέχει από αυτή 2cm. Το σηµείο Μ, στο οποίο η ε τέµνει την Oy είναι το ζητούµενο.
12. Να φέρουµε από τις κορυφές Β και Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ παράλληλες προς τις ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα που τέµνονται στο σηµείο ∆. Να βρεθούν και να συγκριθούν οι αποστάσεις των Β και ∆ προς την ΑΓ και να βρεθεί η σχετική θέση των ευθειών ΑΓ και Β∆.
" Λύση Από το Β φέρνουµε την ε1 παράλληλη προς την ΑΓ και από το Γ γέρνουµε την ε2 παράλληλη προς την ΑΒ. Τα σηµεία Β και ∆ απέχουν ίσες αποστάσεις από την ΑΓ και είναι Β∆ παράλληλη στην ΑΓ.
440
13. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΚΛΡ και να πάρετε το µέσο Μ του ΚΛ. Να βρείτε τις αποστάσεις του Μ από τις ΚΡ και ΛΡ. 14. ∆ίνονται δύο ηµιευθείες Ox και Oy που δεν αποτελούν ευθεία. Πάρτε ένα σηµείο Α επί της Ox και βρείτε την απόσταση του Α από την Oy. Να κάνετε το ίδιο και για ένα σηµείο Β της Oy. 15. Σε τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουµε ∆ το µέσο της πλευράς ΒΓ και φέρουµε το τµήµα Α∆. ΝΑ συγκρίνετε τις αποστάσεις των κορυφών Β και Γ από την Α∆. (Απ.: Είναι ίσες) 16. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να βρείτε το µέσο ∆ της πλευράς ΑΒ. Να φέρετε από το ∆ παράλληλη προς την ΒΓ και να ονοµάσετε Ε το σηµείο στο οποίο η παράλληλη τέµνη την ΑΓ. Να συγκρίνετε τα τµήµατα ΑΕ και ΕΓ. 17. Να γράψετε ευθεία ε και µετά να σχεδιάσετε παράλληλες ευθείες προς την ε, οι οποίες να απέχουν από αυτή 2,5cm. 18. Να γράψετε δύο ηµιευθείες Ox, Oy οι οποίες να µην περιέχονται στην ίδια ευθεία. Να βρείτε σηµείο Α της Ox που να απέχει από την Oy απόσταση 3cm. 19. Πάνω σε µία ηµιευθεία παίρνουµε µε τη σειρά τα σηµεία Γ, Β και ∆ έτσι ώστε ΓΒ = Β∆ = 6cm. Να χαράξετε µία ευθεία που να διέρχεται από το Β και να είναι κάθετη στην ε. Πάνω στην κάθετη να σηµειώσετε ένα σηµείο Α, που να απέχει από το Β απόσταση ΑΒ = 8cm. Να συγκρίνετε τα τµήµατα ΑΓ και Α∆. (Απ.:ΑΓ = Α∆ = 10cm)
441
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Στην Τρίπολη Αρκαδίας γίνεται µία γιορτή στην οποία είναι καλεσµένοι οι κάτοικοι, που κατοικούν σε απόσταση µικρότερη των 6Km. Ποιων χωριών οι κάτοικοι θα παρευρεθούν στη γιορτή;
" Απάντηση Θα µπορούν να συµµετέχουν οι κάτοικοι των χωριών που περικλείονται στο κύκλο που σχηµατίζεται µε κέντρο την Τρίπολη και ακτίνα 6Km.
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 2ç Ο πρωτόγονος άνθρωπος για να µη χάσει την κατσίκα του την έδεσε µε ένα σχοινί, σ’ ένα ξύλινο πάσαλο, µέσα στο λιβάδι. Όταν γύρισε να την πάρει είδε ότι η κατσίκα είχε βοσκήσει εκείνο το µέρος του λιβαδιού που της επέτρεπε το µήκος του σχοινιού να φθάσει. Έτσι, όλα τα χόρτα που απείχαν µικρότερη ή ίση απόσταση από το σχοινί, που ήταν δεµένη, είχαν φαγωθεί. Ποια γεωµετρική έννοια χαρακτηρίζει την περιοχή της οποίας το χορτάρι φαγώθηκε;
442
" Απάντηση Είναι ο κυκλικός δίσκος που περιέχει όλα τα σηµεία που περικλείονται από το κύκλο που έχει κέντρο τον ξύλινο πάσσαλο και ακτίνα το µήκος του σχοινιού που είναι δεµένη η κατσίκα.
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 3ç Να βρεθούν δέκα διαφορετικά σηµεία που ν’ απέχουν όλα 2cm από ένα σηµείο Α. Με τη βοήθεια ενός υποδεκαµέτρου µετράµε και βρίσκουµε το ακριβές µήκος των 2cm σε ένα σχοινί. Μετά κρατώντας µε το ένα χέρι τη µία άκρη αυτού του σχοινιού στο σηµείο Α και έχοντας πάντα τεντωµένο το σχοινί, κιA νούµε µε το άλλο χέρι την άλλη άκρη του µήκους αυτού, των 2cm, σε δέκα διαφορετικές θέσεις Α1, Α2, Α3, Α4, Α5, Α6, Α7, Α8 Α9 και Α10, που επιλέγουµε στην τύχη, βρίσκοντας τα αντίστοιχα δέκα ζητούµενα διαφορετικά σηµεία. Βλέπουµε ότι τα σηµεία που απέχουν µία συγκεκριµένη απόσταση από σταθερό σηµείο, είναι πάρα πολλά. Τι σχήµα φτιάχνουν λοιπόν, όλα αυτά τα σηµεία µε την κοινή αυτή ιδιότητα;
" Απάντηση Όλα αυτά τα σηµεία φτιάχνουν έναν κύκλο.
443
1.
Με κέντρο ένα σηµείο Μ να σχεδιάσεις κύκλους µε ακτίνες 2,4cm, 2cm και 15mm.
" Λύση
2.
Να σχεδιάσεις τον κύκλο που έχει διάµετρο ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 3,8cm.
" Λύση Κατασκευάζουµε µε τον χάρακα το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 3,8cm και παίρνουµε το µέσο του Κ. Ο κύκλος που έχει κέντρο το Κ και ακτίνα 3,8 ρ= = 1,9cm είναι ο ζητούµενος. 2
444
K
3.
Να σχεδιάσεις οµόκεντρους κύκλους µε κέντρο σηµείο Μ και διαµέτρους 4cm, 5cm και 48mm. (∆ύο κύκλοι λέγονται οµόκεντροι, αν έχουν το ίδιο κέντρο και διαφορετικές ακτίνες)
" Λύση
Οι κύκλοι έχουν ακτίνες 2cm, 2,4cm και 2,5cm αντίστοιχα.
4.
Να σχεδιάσεις έναν κύκλο µε κέντρο σηµείο Κ και ακτίνα 3,4cm. Να πάρεις ένα σηµείο Μ του κύκλου αυτού και να χαράξεις δύο χορδές του: ΜΑ = 2,4cm και MB = 4,1cm.
" Λύση Αρχικά κατασκευάζουµε τον κύκλο µε κέντρο Κ και ακτίνα 3,4cm. Παίρνουµε στο κύκλο ένα σηµείο Μ και γράφουµε το κύκλο µε κέντρο το Μ και ακτίνα 4,1cm. Ο κύκλος αυτός τέµνει τον αρχικό κύκλο στο σηµείο Β. Είναι ΜΒ = 4,1cm. Επίσης γράφουµε το κύκλο µε κέντρο Μ και ακτίνα 2,4cm ο οποίος τέµνει τον αρχικό κύκλο στο Α. Η ΜΑ = 2,4cm είναι η ζητούµενη χορδή.
445
5.
Έστω ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 4cm. α. Να βρεις τα σηµεία του επιπέδου που απέχουν: 3cm από το Α και 2cm από το Β. β. Ποια σηµεία απέχουν ταυτόχρονα 3cm από το και 2cm από το Β;
" Λύση α.
Τα σηµεία που απέχουν 3cm από το Α είναι τα σηµεία του κύκλου (C1) που έχει κέντρο το Α και ακτίνα 3cm. Ενώ τα σηµεία που απέχουν 2cm από το Β είναι τα σηµεία του κύκλου (C2) που έχει κέντρο Β και ακτίνα 2cm. Λ
β.
Τα σηµεία Κ και Λ που τέµνονται οι δύο κύκλοι απέχουν ταυτόχρονα 3cm από το Α και 2cm από το Β.
6.
Έστω ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 3,2cm. Να σχεδιάσεις τους κύκλους (Α, ΑΒ) και (Β, ΑΒ) και να ονοµάσεις Μ και Ν τα σηµεία στα οποία τέµνονται οι κύκλοι αυτοί. Να βρεις τις αποστάσεις του Μ από τα άκρα Α και Β και τις αποστάσεις του Ν από τα Α και Β. Στη συνέχεια να συγκρίνεις τις αποστάσεις αυτές.
" Λύση Το Μ είναι σηµείο του κύκλου (Α, ΑΒ) οπότε ΜΑ = 3,2cm. Επίσης το Μ ανήκει και στον κύκλο (Β, ΒΑ) άρα ΒΜ = 3,2cm. Οπότε ΜΑ = ΜΒ = 3,2cm. Όµοια είναι ΝΑ = ΝΒ = 3,2cm όπου 3,2cm η ακτίνα των δύο κύκλων.
446
M
N
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÅÓ
ÃÉÁ ÔÏ ÓÐÉÔÉ
1. Ένας σκύλος είναι δεµένος µε µία αλυσίδα 12m, όπως φαίνεται από το σχήµα. Να µεταφέρεις το διπλανό σχήµα στο τετράδιο σου και να βρεις χρωµατίζοντας την περιοχή την οποία µπορεί να κινηθεί ο σκύλος. Επίσης να βρεις σε ποιες περιοχές της αυλής του σπιτιού µπορούν να σταθούν οι γάτες, χωρίς να κινδυνεύουν από το σκύλο;
" Απάντηση Ο σκύλος µπορεί να κινηθεί σε όλη την κόκκινη περιοχή. Οι γάτες µπορούν να σταθούν στην πράσινη περιοχή χωρίς να κινδυνεύουν από το σκύλο.
447
2.
Προσπάθησε να σχεδιάσεις τρίγωνο µε πλευρά που είναι: α. α = 10cm β = 6cm γ = 3cm β. α = 12 cm β = 5cm γ = 7 cm
" Απάντηση α.
Κατασκευάζουµε το ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ = 10cm. Φέρνουµε τους κύκλους µε κέντρο Β και ακτίνα 3cm και κέντρο Γ και ακτίνα 6cm. Οι δύο κύκλοι δεν τέµνονται οπότε δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο.
β.
Κατασκευάζουµε το ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ = 12cm. Φέρνουµε τους κύκλους µε κέντρο Β και ακτίνα 7cm και κέντρο Γ και ακτίνα 5cm. Παρατηρούµε ότι οι δύο κύκλοι τέµνονται στο σηµείο Α που βρίσκεται πάνω στην ΒΓ. Άρα δεν σχηµατίζεται τρίγωνο και σε αυτή την περίπτωση.
448
7.
Παίρνουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 4cm. Να βρεθούν τα σηµεία του επιπέδου που απέχουν ταυτόχρονα από το Α λιγότερο από 2cm και από το Β λιγότερο από 36mm.
" Λύση Με κέντρο Α και ακτίνα 2cm κατασκευάζουµε τον κύκλο (C1). Όλα τα εσωτερικά σηµεία του κυκλικού δίσκου (C1) απέχουν από το Α λιγότερο από 2cm. Κατασκευάζουµε επίσης τον κύκλο µε κέντρο Β και ακτίνα 36mm = 3,6cm. Όλα τα εσωτερικά σηµεία που ανήκουν στο κυκλικό δίσκο (C2) απέχουν από το Β λιγότερο από 36mm. Το γραµµοσκιασµένο σηµείο που αποτελείται από τα κοινά εσωτερικά σηµεία των δύο κυκλικών δίσκων είναι το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που απέχουν ταυτόχρονα από το Α λιγότερο από 2cm και το Β λιγότερο από 36mm. 8.
Έστω Κ ένα σηµείο του επιπέδου. Να βρεθούν τα σηµεία του επιπέδου που απέχουν από το Κ: α. περισσότερο από 1,5cm β. λιγότερο από 2,5 cm γ. ταυτόχρονα περισσότερο από 1,5 cm και λιγότερο από 2,5 cm.
" Λύση α. Είναι όλα τα σηµεία που βρίσκονται έξω από τον κυκλικό δίσκο κέντρου Κ και ακτίνας 1,5 cm.
449
β. Είναι όλα τα σηµεία που βρίσκονται στον κυκλικό δίσκο κέντρου Κ και ακτίνας 2,5 cm, εκτός από τα σηµεία του αντίστοιχου κύκλου.
Κ
450
Κ
γ. Το χρωµατισµένο σχήµα περιέχει τα σηµεία που απέχουν ταυτόχρονα περισσότερο από 1,5cm και λιγότερο από 2,5cm,. Από τα ζητούµενα σηµεία εξαιρούνται αυτά που ανήκουν στους δύο κύκλους.
9.
Να πάρετε ένα σηµείο Ο και να σχεδιάσετε τους κύκλους µε ακτίνες 1,8 cm και 30mm.
10. Να γράψετε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 4,6 cm και µετά να σχεδιάσετε τον κύκλο που έχει διάµετρο το ΑΒ. 11. Να ορίσετε ένα σηµείο Κ και να σχεδιάσετε τους κύκλους µε κέντρο Κ και διαµέτρους 3 cm, 42 mm και 6 cm. 12. Να γράψετε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 5 cm και να βρείτε τα σηµεία του επιπέδου που απέχουν ταυτόχρονα από το Α 3 cm και από το Β 4 cm. 13. Να γράψετε ένα κύκλο µε κέντρο Ο και ακτίνα 4 cm. Να ορίσετε ένα σηµείο Α του κύκλου αυτού και να χαράξετε δύο χορδές του, ΑΒ = 2,5 cm και ΑΓ = 5 cm. 14. Στο διπλανό σχήµα να ονοµάσετε τα ευθύγραµµα τµήµατα: ΑΒ, ΑΚ, ΚΓ, ΑΓ, ΒΓ. K
(Απ.:διάµετρος ΑΒ, ακτίνες ΑΚ, ΚΓ, χορδές ΑΓ, ΒΓ)
451
15. Ένας σκύλος είναι δεµένος µε µια αλυσίδα µήκους 6m, από τη γωνία Κ ενός σπιτιού, που έχει σχήµα τετράγωνο µε πλευρά 6m. Να µεταφέρετε το διπλανό σχήµα στο τετράδιο σας και να χρωµατίσετε το µέρος της αυλής που µπορεί να φυλάξει ο σκύλος;
16. Να γράψετε δύο οµόκεντρους κύκλους µε κέντρο µε κέντρο Ο και ακτίνες 2cm και 1,5cm. Στον εξωτερικό κύκλο να πάρετε µε διαβήτη δύο ίσες χορδές ΑΒ και ΑΓ και να ονοµάσετε Α΄, Β΄, Γ΄ τα σηµεία στα οποία οι ακτίνες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ τέµνουν τον εσωτερικό κύκλο. i. Να συγκρίνετε τις χορδές Α΄Β΄ και ´ô. ii. Τι θέση έχουν οι ευθείες ΑΒ, Α΄Β΄ καθώς και οι ΒΓ, ´ô;
(Απ.: i. Α΄Β΄ = ´ô ii. Είναι παράλληλες)
452
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ Στο διπλανό σχήµα φαίνονται τα ποσοστά που πήραν τέσσερα κόµµατα στις εκλογές. Μπορείς να βρεις σε πόσες µοίρες αντιστοιχεί κάθε φέτα της πίτας;
" Απάντηση Όλος ο κύκλος αντιστοιχεί σε γωνία 360ο . Οπότε στο κόµµα που πήρε 45% η αντίστοιχη γωνία είναι 45 360o ⋅ 45% = 360o = 162o 100 40 Στο κόµµα που πήρε 40% είναι: 360o ⋅ 40% = 360o = 144 o 100 10 Στο κόµµα που πήρε 10% είναι: 360o ⋅ 10% = 360o = 36 o 100 Και τέλος στο κόµµα που πήρε 5% η αντίστοιχη γωνία είναι: 5 360o ⋅ 5% = 360o = 18o . 100
453
1.
Να βρεις πόσες µοίρες είναι: α. ένας κύκλος β. ένα ηµικύκλιο γ. καθένα από τα τόξα στα οποία χωρίζεται ένας κύκλος από δύο κάθετες διαµέτρους.
"Λύση α. Ο κύκλος όλος είναι 360ο . β. Το ηµικύκλιο σε µοίρες είναι: 360o : 2 = 180ο γ. Ο κύκλος από δύο κάθετες διαµέτρους χωρίζεται σε 4 ίσα τόξα οπότε το καθένα είναι 360o : 4 = 90ο 2.
∆ύο διάµετροι ενός κύκλου σχηµατίζουν γωνία 60ο. Να βρεις πόσες µοίρες είναι κάθε ένα από τα τόξα στα οποία χωρίζεται ο κύκλος από αυτές τις διαµέτρους.
"Λύση l και ΑΟ l ∆ είναι καΕπειδή οι γωνίες ΒΟΓ l = ΑΟ l ∆ = 60ο τακορυφήν θα είναι ΒΟΓ l = 180ο οπότε Επίσης ΑΟΒ l = 180ο − 60ο = 120ο ΑΟΓ l = 120ο . άρα και ΒΟ∆ p = 60ο , ΑΓ p = 120ο , Τα τόξα είναι: ΒΓ p = 60ο και Β∆ p = 120ο . Α∆
3.
454
O
Σχεδιάστε δύο κύκλους (Ο, 3cm) και (Ο΄, 4cm). Να ορίσεις στον κάθε κύκλο από ένα τόξο 45ο και να εξετάσεις αν τα τόξα είναι ίσα. Να δικαιολογήσεις την απάντησή σου.
"Λύση q δεν είp και Α΄Β΄ Τα τόξα ΑΒ ναι ίσα γιατί δεν µπορούν να συγκριθούν αφού βρίσκονται σε άνισους κύκλους.
4.
Β΄
O
Ο΄
Α΄
Τρεις διάµετροι χωρίζουν ένα κύκλο σε έξι ίσα τόξα. Πόσων µοιρών είναι κάθε µία από τις έξι επίκεντρες γωνίες που αντιστοιχούν στα τόξα αυτά.
"Λύση Επειδή τα τόξα είναι ίσα θα είναι και οι επίκεντρες γωνίες ίσες και καθεµία θα είναι: 360ο : 6 = 60ο .
5.
Σ’ ένα κύκλο (Ο, ρ) να χαράξεις µία χορδή ΑΒ ίση µε την ακτίνα του κύκλου. l και να βρεις σε ποιο Να υπολογίσεις σε µοίρες την επίκεντρη γωνία ΑΟΒ p. κλάσµα του κύκλου αντιστοιχεί το τόξο ΑΒ
"Λύση Είναι ΑΒ = ρ και ΟΑ = ΟΒ = ρ. Οπότε το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισόπλευρο l = 60ο . άρα η γωνία ΑΟΒ
p θα είναι 60ο Συνεπώς και το τόξο ΑΒ 60 1 και αντιστοιχεί σε = του κύκλου. 360 6
O
455
6.
Να σχεδιάσεις ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 2,8cm και τους κύκλους (Α, 4cm) και (Β, 4cm). Να ονοµάσεις Γ το ένα από τα δύο σηµεία στα οποία τέµνονται οι κύκλοι και να µετρήσεις τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.
"Λύση l =Β l = 70ο και Γ = 40ο . Με το µοιρογνωµόνιο βρίσκουµε: Α
456
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÅÓ
ÃÉÁ ÔÏ ÓÐÉÔÉ
Το παρακάτω ηµικυκλικό διάγραµµα έχει κάποιο λάθος! Γιατί; Μπορείς να το διορθώσεις;
" Απάντηση Παρατηρούµε ότι η γαλάζια επίκεντρη γωνία είναι 90ο . 40 Όµως το 40% των 180ο είναι: 180ο = = 72ο . 100 30 = 54 ο Επίσης το 30% των 180ο είναι: 180ο = 100 15 = 27ο . Και 180ο ⋅ 15% = 180ο 100 Άρα το σωστό διάγραµµα είναι:
457
7.
Να τοποθετηθεί ένα «x» στη θέση που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση στον παρακάτω πίνακα.
ΜΟΙΡΕΣ
ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ ΣΕ ΚΥΚΛΙΚΟ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΑ 100%
25%
30%
75%
12,5%
50%
10%
36ο 45ο 90ο 108ο 180ο 270ο 360ο
" Λύση ο
Αν θεωρήσουµε την γωνία 45 τότε για να βρούµε το αντίστοιχο ποσοστό της σε κυκλικό διάγραµµα έχουµε: 45ο ⋅ 100 = 12,5% 360ο Όµοια και για τις υπόλοιπες γωνίες ο πίνακας γίνεται:
ΜΟΙΡΕΣ
ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ ΣΕ ΚΥΚΛΙΚΟ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΑ 100%
25%
30%
75%
12,5%
50%
ο
36
x
ο
45
x
ο
90
x
ο
108
x
180ο
x
ο
270
ο
360
458
10%
x x
8.
Να σχεδιαστεί ένα κυκλικό και ένα ηµικυκλικό διάγραµµα, που να περιγράψει την κατανοµή των ποσοστών 40%, 35% και 25%.
" Λύση Για να βρούµε τις επίκεντρες γωνίες του κυκλικού διαγράµµατος έχουµε: 40 360ο ⋅ 40% = 360ο = 144 ο 100 35 360ο ⋅ 35% = 360ο = 126 ο 100 25 360ο ⋅ 25% = 360ο = 90ο 100
Για το ηµικυκλικό διάγραµµα αντίστοιχα έχουµε: 40 180ο ⋅ 40% = 180ο = 72ο 100 35 180ο ⋅ 35% = 180ο = 63ο 100 25 180ο ⋅ 25% = 360ο = 45ο 100
459
9.
p στο διπλανό Να βρείτε το µέτρο του τόξου ΑΒ σχήµα και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. O
p = 80ο ) (Απ.: ΑΒ 10. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο και µε τη βοήθεια του µοιρογνωµονίου να σηp = 50ο , ΑΓ p = 120ο , Γ∆ p = 135ο µειώσετε τα τόξα. ΑΒ 11. Στο διπλανό σχήµα να βρείτε τα µέτρα των τόp , ΑΒΓ q και Α∆Γ q και να δικαιολογήσετε ξων ΑΒ
την απάντησή σας. o
100 30
o
O
p = 100ο , ΑΒΓ q = 130ο , Α∆Γ q = 230ο ,) (Απ.: ΑΒ p = Β∆ p να αποδείξετε ότι η Ο∆ είναι διχο12. Αν Α∆ l . τόµος της γωνίας ΑΟΒ
O
460
p και Β∆ p και να δι13. Να συγκρίνετε τα τόξα ΑΓ καιολογήσετε την απάντησή σας. O 50
o
p = Β∆ p) (Απ.: Είναι ΑΓ 14. Σε κύκλο (Ο, ρ) να φέρετε δύο διαµέτρους ΑΒ και Γ∆. p = Β∆ p. Να αποδείξετε ότι ΑΓ 15. Στο διπλανό σχήµα: i. Να υπολογίσετε το x. ii. Να βρείτε τα ίσα τόξα.
O
x
p = ∆Ε p και ΑΒ p = ΒΓ p) (Απ.: i. x = 60ο , ii. Γ∆
461
1.
Να σχεδιάσεις δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 που να απέχουν µεταξύ τους 2,5cm. Να πάρεις ένα σηµείο Μ της ε1 και να βρεις σηµεία της ε2 που να απέχουν 3,6cm από το Μ.
" Λύση Σχεδιάζουµε τις παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 που απέχουν µεταξύ τους 2,5cm. Παίρνουµε ένα σηµείο Μ της ε1 και γράφουµε το κύκλο µε κέντρο Μ και ακτίνα 3,6cm. Τα σηµεία Α και Β όπου ο κύκλος τέµνει την ε2 είναι τα ζητούµενα. 2.
M
Να σχεδιάσεις ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 3,6cm και έναν κύκλο µε διάµετρο την ΑΒ. Να χαράξεις τις εφαπτόµενες του κύκλου που διέρχονται από τα Α και Β. Να δικαιολογήσεις γιατί οι εφαπτόµενες αυτές είναι ευθείες παράλληλες.
" Λύση Παίρνουµε το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 3,6cm και το µέσο του Ο. Ο κύκλος µε κέντρο Ο και ακτίνα ΟΑ έχει διάµετρο την ΑΒ. Φέρνουµε τις κάθετες ευθείες ε1 και ε2 στην ΑΒ στα σηµεία Α και Β. Οι ε1 και ε2 είναι εφαπτόµενες του κύκλου και είναι παράλληλες γιατί και οι δύο είναι κάθετες στην ΑΒ.
462
O
3.
Παίρνουµε ένα κύκλο (Ο, ρ) και µία ευθεία ε. Ονοµάζουµε δ την απόσταση του κέντρου Ο από την ευθεία ε. Να βρεις τον αριθµό των κοινών σηµείων του κύκλου και τις ευθείας στις περιπτώσεις: α. Αν ρ = 5cm και δ = 4cm. β. Aν ρ = 2,5cm και δ = 2,5cm. γ. Aν ρ = 3cm και δ = 6cm.
" Λύση α. Επειδή δ < ρ τότε η ευθεία ε και ο κύκλος (Ο, ρ) έχουν δύο κοινά σηµεία τα Α και Β.
O
β. Είναι δ = ρ οπότε η ευθεία ε εφάπτεται στον κύκλο και έχουν µόνο ένα κοινό σηµείο το Α.
γ. Επειδή δ > ρ τότε η ευθεία ε και ο κύκλος (Ο, ρ) δεν έχουν κανένα κοινό σηµείο.
463
4.
Να σχεδιάσεις δύο κάθετες ευθείες ε1 και ε2 και να ονοµάσεις Α το σηµείο τοµής τους. Να πάρεις ένα σηµείο Κ της ε1, ώστε να είναι ΚΑ = 3,1cm. Να φέρεις τους κύκλους (Κ, 2,1cm), (Κ, 3,1cm) και (Κ, 36mm). Να βρεις ποια είναι η θέση της ε2 ως προς τους κύκλους αυτούς.
" Λύση Η απόσταση του κέντρου Κ από την ευθεία ε2 είναι ΚΑ = 3,1cm. Επειδή 2,1 <3,1 τότε η ευθεία ε2 είναι εξωτερική του κύκλου (C1). O κύκλος (C2) εφάπτεται µε την ευθεία ε2 επειδή ΚΑ = ρ = 3,1cm και τέλος επειδή 36mm > 3,1cm η ευθεία ε2 τέµνει τον κύκλο C3 στα σηµεία Γ και ∆.
5.
C3
K
Να σχεδιάσεις ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 40mm. Να πάρεις ένα σηµείο Μ του ΑΒ, ώστε να είναι ΑΜ = 18mm. Να φέρεις τους κύκλους (Α, 18mm) και (Β, 22mm). Να χαράξεις ευθεία ε που να διέρχεται από το Μ και να είναι κάθετη στην ΑΒ. Ποια είναι η θέση της ε ως προς τον καθένα από τους κύκλους; Να δικαιολογήσεις την απάντησή σου.
" Λύση Επειδή ΑΜ = 18mm τότε το σηµείο Μ ανήκει στον κύκλο (Α, 18mm). Επίσης ΒΜ = 40 – 18 = 22mm οπότε το σηµείο Μ είναι σηµείο και του κύκλου (Β, 22mm). Άρα η κάθετη στην ΑΒ στο σηµείο Μ είναι ταυτόχρονα κάθετη στις άκρες των ακτινών των δύο κύκλων οπότε είναι εφαπτοµένη των δύο κύκλων.
464
C1
C2
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÅÓ 1.
ÃÉÁ ÔÏ ÓÐÉÔÉ
Μία επιχείρηση αποφάσισε να κατασκευάσει ένα εργοστάσιο σε µία αγροτική περιοχή που επιλέγει για το σκοπό αυτό. Η πλευρά κάθε τετραγώνου του διπλανού σχήµατος, αντιπροσωπεύει απόσταση 100m. Το εργοστάσιο πρέπει να βρίσκεται τουλάχιστον σε ακτίνα 600m µακριά από τα σπίτια (Σ). Επίσης πρέπει να απέχει το λιγότερο 300m από την άκρη του δρόµου. Να αντιγράψεις σε τετραγωνισµένο χαρτί το σχήµα και να χρωµατίσεις τις περιοχές που µπορεί να κατασκευαστεί το εργοστάσιο.
" Απάντηση Κατασκευάζουµε τους κύκλους µε κέντρο το κάθε σπίτι και ακτίνα 600m. Οι περιοχές στις οποίες µπορεί να κατασκευαστεί το εργοστάσιο είναι αυτές που είναι χρωµατισµένες µε πράσινο χρώµα.
465
Η συµφωνία µεταξύ των χωριών Α, Β και Γ για την κατασκευή µιας γεώτρησης σε µία θέση Μ περι6km λαµβάνει τους εξής τρεις όρους: 4, α. AΜ > 2Κm 7k m β. ΒΜ = 3Km γ. ΓΜ = 4Km. Να αντιγράψεις το παρακάτω σχήµα και να βρεις τη θέση του σηµείου Μ, καθώς και την απόσταση της θέσης αυτής από το δρόµο ε. 3, 7k
m
2.
" Απάντηση Φέρνουµε τους κύκλους (Β, 3Km) και (Γ, 4Km) οι οποίοι τέµνονται στα σηµεία Μ και Ρ. Φέρνουµε και τον κύκλο (Α, 2Κm). Το σηµείο Μ πρέπει να βρίσκεται έξω από τον κυκλικό δίσκο (Α, 2Km) γιατί ΑΜ > 2Km. Άρα η θέση Ρ απορρίπτεται. Το σηµείο Μ πληρεί και τους τρεις όρους και απέχει από τον δρόµο ε απόσταση ΜΚ η οποία είναι 1Km.
466
6.
Να συγκριθούν τα ευθύγραµµα τµήµατα, που ορίζονται από ένα εξωτερικό σηµείο ενός κύκλου και τα σηµεία επαφής των εφαπτόµενων ευθειών, οι οποίες άγονται προς το κύκλο αυτό από το εξωτερικό αυτό σηµείο.
" Λύση
Έστω ο κύκλος (Ο, ρ) και το σηµείο Σ εξωτερικό αυτού. Από το Σ φέρνουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΣΑ και ΣΒ προς τον κύκλο. Μετρώντας αυτά µε το υποδεκάµετρο παρατηρούµε ότι είναι ίσα. 7.
Σ
O
Σε έναν κύκλο φέρνουµε δύο τυχαίες διαµέτρους και ενώνουµε τα άκρα τους. α. Να µετρηθούν οι γωνίες του τετράπλευρου που ορίζουν τα άκρα των διαµέτρων, β. Φέρνουµε τις εφαπτοµένες στα άκρα των διαµέτρων µέχρι να τµηθούν. Να µετρηθούν οι πλευρές του εξωτερικού τετραπλεύρου. Τι παρατηρούµε; γ. Αν οι αρχικές διάµετροι ήταν κάθετες µεταξύ τους, τι θα είναι το τετράπλευρο που σχηµατίζεται;
" Λύση α.
Φέρνουµε τις διαµέτρους ΑΓ και Β∆. Το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ που σχηµατίζεται έχει τις γωνίες του ορθές.
β.
Φέρνουµε τις εφαπτόµενες του κύκλου στα σηµεία Α, Β, Γ και ∆. Το τετράπλευρο ΕΖΗΘ που σχηµατίζεται έχει όλες τις πλευρές του ίσες.
O
γ. Αν οι διάµετροι ΑΓ και Β∆ είναι κάθετες τότε το τετράπλευρο ΕΖΗΘ που σχηµατίζεται είναι τετράγωνο.
467
8.
Να σχεδιάσετε τις εφαπτόµενες ενός κύκλου στα άκρα µιας χορδής του ΑΒ. Αν Μ είναι το σηµείο τοµής των εφαπτοµένων αυτών, να συγκρίνετε τα τµήµατα ΜΑ και ΜΒ. (Απ.: ΜΑ = ΜΒ )
9.
Να χαράξετε δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 και να σχεδιάσετε έναν κύκλο στον οποίο οι ε1 και ε2 να είναι εφαπτόµενες.
10. Να σχεδιάσετε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ = 3cm και στη συνέχεια να βρείτε ένα σηµείο Μ του οποίου οι αποστάσεις από το Α και B να είναι 2cm και 2,5cm. 11. Σε µία ευθεία ε πάρτε ένα σηµείο Α και στο σηµείο αυτό φέρτε την ηµιευθεία Ax κάθετη στην ε. Να πάρετε ένα σηµείο Ο της Ax, ώστε ΟΑ = 3cm. Να γράψετε τον κύκλο (Ο, 2cm) και να βρείτε τη θέση του ως προς την ευθεία ε. Μετά γράψτε το κύκλο (Ο, 3cm) και βρείτε τη θέση του ως προς την ευθεία ε. 12. ∆ίνονται τρεις οµόκεντροι κύκλοι µε κέντρο Ο και φέρνουµε δύο εφαπτόµενες του µεσαίου κύκλου και µία εφαπτόµενη του εσωτερικού κύκλου. Στις εφαπτόµενες αυτές ορίζονται οι χορδές ΑΒ, Γ∆ και ΕΖ του εξωτερικού κύκλου. Να συγκρίνετε τις χορδές αυτές ανά δύο. (Απ.: Είναι ΑΒ = Γ∆ και ΑΒ < ΕΖ ) 13. Να χαράξετε τις εφαπτοµένες ε1 και ε2 ενός κύκλου (Ο, ρ) στα άκρα µιας διαµέτρου ΑΒ. Κατόπιν να χαράξετε µία τρίτη εφαπτόµενη του κύκλου που να τέµνει τις ε1 και ε2 στα σηµεία Γ και ∆ αντίστοιχα. Να µετρήσετε τη l∆. γωνία ΓΟ
l ∆ = 90ο ) (Απ.: ΓΟ
468
Ασκήσεις Σωστού ή Λάθους Τοποθετήστε ένα «x» στην αντίστοιχη θέση. 1. Αντικείµενες ηµιευθείες λέγονται δύο ηµιευθείες
Σωστό Λάθος
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
13. Μία ευθεία επεκτείνεται απεριόριστα.
Χ
Χ
14. Ένα επίπεδο επεκτείνεται απεριόριστα.
Χ
Χ
Χ
Χ
που έχουν κοινή αρχή. 2.
Παράλληλες λέγονται δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου, που δεν έχουν κοινό σηµείο.
3.
Απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών λέγεται το µήκος του κάθε ευθύγραµµου τµήµατος που έχει τα άκρα του σ’ αυτές.
4.
Αντίστοιχα στοιχεία των ίσων σχηµάτων λέµε αυτά που συµπίπτουν όταν τοποθετήσουµε τα σχήµατα το ένα πάνω στο άλλο µε κατάλληλο τρόπο.
5.
Μέσο ενός ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ ονοµάζουµε το σηµείο Μ του τµήµατος, που απέχει εξίσου από τα άκρα του.
6.
Τόξο λέγεται το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ, που συνδέει δύο σηµεία Α και Β του κύκλου.
7.
∆ιάµετρος του κύκλου λέγεται η χορδή που περνά από το κέντρο του κύκλου.
8.
Παραπληρωµατικές γωνίες ονοµάζονται δύο γωνίες, µε άθροισµα 90ο .
9.
Συµπληρωµατικές γωνίες, ονοµάζονται δύο γωνίες, µε άθροισµα 180ο .
10. Κατακορυφήν λέγονται δύο γωνίες που έχουν την
κορυφή τους κοινή. 11. Από ένα σηµείο διέρχεται µία µόνο ευθεία. 12. Από δύο σηµεία µπορούν να περάσουν
άπειρες ευθείες.
15. Κάθε ευθεία ενός επιπέδου το χωρίζει σε
άπειρα ηµιεπίπεδα. 16. ∆ύο ευθείες που βρίσκονται στο επίπεδο είναι
469
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
23. ∆ύο κύκλοι µε ακτίνες άνισες είναι ίσοι.
Χ
Χ
24. Η διάµετρος είναι τριπλάσια από την ακτίνα του κύκλου.
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
πάντα παράλληλες. 17. Από ένα σηµείο Α µπορούµε να φέρουµε άπειρες
ευθείες κάθετες σε µία ευθεία. 18. ∆ύο ευθείες του επιπέδου κάθετες σε µία τρίτη
είναι µεταξύ τους κάθετες. 19. Οι τεθλασµένες γραµµές διακρίνονται σε κλειστές
ή µη κυρτές. 20. Η τεθλασµένη γραµµή έχει µήκος το άθροισµα των µηκών
των ευθυγράµµων τµηµάτων, από τα οποία αποτελείται. 21. Το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ είναι µεγαλύτερο από κάθε
τεθλασµένη γραµµή µε τα ίδια άκρα Α και Β. 22. Κάθε ευθύγραµµο τµήµα ΟΑ που ενώνει ένα σηµείο Α
του κύκλου µε κέντρο του Ο έναι διάµετρος του κύκλου.
25. Όλα τα τµήµατα του κυκλικού δίσκου απέχουν από το
κέντρο Ο απόσταση µικρότερη ή ίση µε την ακτίνα ρ. 26. Οι προσκείµενες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου
γωνίες είναι ίσες. 27. ∆ύο κατακορυφήν γωνίες είναι συµπληρωµατικές. 28. Ηµικύκλιο λέγεται ένα από τα δύο τόξα, στα οποία
διαιρείται ένας κύκλος από µία διάµετρο του.
470
1.
l ως προς την ευθεία ε, σε καΝα βρεις τη συµµετρική της γωνίας xOy θεµία από τις δύο περιπτώσεις.
x
O
y
y O
x
" Λύση
l . Θεωρούµε δύο σηµεία Α και Β των πλευρών Ox και Oy της γωνίας xOy Φέρνουµε τα κάθετα τµήµατα ΑΚ και ΒΛ από τα σηµεία Α και Β προς την ε και προεκτείνουµε κατά ίσα τµήµατα KA΄ = ΚΑ και ΛΒ΄ = ΛΒ . Τα σηµεία Α΄ και Β΄ είναι τα συµµετρικά των Α και Β αντίστοιχα ως προς την ε. Τώρα θα βρούµε το συµµετρικό της κορυφής Ο της γωνίας ως προς την ε. Στην περίπτωση (α) το Ο βρίσκεται πάνω στην ε οπότε το συµµετρικό του ως προς την ε είναι το ίδιο το Ο. Στην περίπτωση (β) φέρνουµε από το Ο κάθετο τµήµα ΟΜ προς την ε και προεκτείνουµε κατά ίσο τµήµα ΜΟ΄.
471
Το Ο΄ είναι το συµµετρικό της κορυφής Ο. Για την περίπτωση (α), ενώνουµε τα ζεύγη των σηµείων Ο, Α΄ και Ο, Β΄ και κατασκευάζουµε το Οx΄ και Οy΄ αντίστοιχα που είναι οι συµµετρικές των Οx και Oy ως προς την ε. l είναι η συµµετρική της xOy l ως προς την ε. Η γωνία x΄Oy΄
Για την περίπτωση (β), ενώνουµε τα ζεύγη των σηµείων Ο΄, Α΄ και Ο΄, Β΄ και κατασκευάζουµε τις Οx΄ και Οy΄ αντίστοιχα, που είναι οι συµµετρικές των Οx και Oy ως προς την ε. l είναι η συµµετρική της xOy l ως προς την ε. Η γωνία x΄O΄y΄ 2.
Να βρεις το συµµετρικό του κύκλου (Ο, ρ) ως προς την ευθεία ε σε καθεµία από τις δύο περιπτώσεις.
O
O
" Λύση
α. β.
472
Θα βρούµε το συµµετρικό Ο΄ του κέντρου Ο του κύκλου ως προς την ε. Επειδή ΟΑ ⊥ ε , προεκτείνουµε την ΟΑ κατά τµήµα ΑΟ΄ = ΑΟ = ρ . Το Ο΄ είναι συµµετρικό του Ο ως προς την ε. Θεωρούµε το κάθετο τµήµα ΟΚ από το Ο προς την ε. Προεκτείνουµε την ΟΚ κατά τµήµα ΚΟ΄ = ΚΟ . Το Ο΄ είναι το συµµετρικό του Ο ως προς την ε. Ο κύκλος µε κέντρο Ο΄ και ακτίνα Ο΄Α=ΟΑ=ρ είναι ο συµµετρικός του κύκλου (Ο, ρ) ως προς την ε.
3.
Να βρεις το συµµετρικό του σχήµατος ως προς την ευθεία ε και το συµµετρικό του νέου σχήµατος ως προς την ευθεία ε΄, η οποία είναι παράλληλη µε την ε. Τι σχέση έχουν το αρχικό µε το νέο σχήµα; Να επαναλάβεις το ίδιο και µε µία τρίτη παράλληλη. Τι παρατηρείς;
" Λύση Έστω ΑΒΓ το τρίγωνο του οποίου θα βρούµε το συµµετρικό ως προς τις ευθείες ε και ε΄. Έστω ∆, Ε, Ζ τα συµµετρικά των σηµείων Α, Β, Γ αντίστοιχα ως προς την ε. Το τρίγωνο ∆ΕΖ είναι συµµετρικό του ΑΒΓ ως προς την ε. Έστω Η, Θ, Ι τα συµµετρικά των ∆, Ε, Ζ ως προς την ευθεία ε΄. Το τρίγωνο ΗΘΙ είναι το συµµετρικό του ∆ΕΖ ως προς την ευθεία ε΄. K Τα τρίγωνα ΑΒΓ, ∆ΕΖ ΗΘΙ είναι ίσα λόγω M της συµµετρίας. Λ Έστω ε΄΄ παράλληλη των ε και ε΄. Αν Κ, Λ, Μ είναι τα συµµετρικά των Η, Θ, Ι αντίστοιχα ως προς την ε΄΄, τότε το ΚΛΜ είναι το συµµετρικό του τριγώνου ΗΘΙ ως προς την ε΄΄. Το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ίσο µε τα προηγούµενα τρίγωνα λόγω συµµετρίας.
473
4.
Έστω Μ το µέσο της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ και ΑΜ διάµεσος του. Βρες τα συµµετρικά Β΄ και Γ΄ των κορυφών Β και Γ αντίστοιχα, ως προς άξονα την ευθεία ΑΜ και σχεδίασε το συµµετρικό του τριγώνου ΑΒΓ ως προς την ευθεία ΑΜ. Μετά εξέτασε το είδος του τετραπλεύρου ΒΒ΄ΓΓ΄.
" Λύση Έστω ΒΚ, ΓΛ κάθετες από τα σηµεία Β και Γ προς την ευθεία ΑΜ. Προεκτείνουµε τις ΒΚ, ΓΛ κατά τµήµατα ΚΒ΄ = ΒΚ και ΛΓ΄ = ΛΓ . Τα Β΄, Γ΄ είναι τα συµµετρικά Β, Γ ως προς την ΑΜ. Το σηµείο Α ανήκει στην ΑΜ οπότε το Β΄ συµµετρικό του ως προς την ΑΜ είναι το K ίδιο το σηµείο Α. Το συµµετρικό του τριγώνου ΑΒΓ ως M προς την ΑΜ είναι το Α´ô. Λ Επειδή ΒΜ = ΜΓ = ΜΒ΄ = ΜΓ΄ οι διαγώνιες του ΒΒ΄ΓΓ΄ διχοτοµούνται και είναι Γ΄ ίσες. Άρα το ΒΒ΄ΓΓ΄ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. 5.
l και βρες Πάρε ένα σηµείο Α στην πλευρά Οx µιας τυχαίας γωνίας xOy το συµµετρικό Α΄ του Α, ως προς άξονα συµµετρίας την ευθεία Οy. ∆ιl . καιολόγησε ότι η Οy είναι διχοτόµος της γωνίας AOA΄
" Λύση Έστω ΑΚ κάθετος στην Οy. Προεκτείνουµε την ΑΚ κατά ίσο τµήµα ΚΑ΄ = ΚΑ . Το Α΄ είναι το συµµετρικό του Α ως προς την Οy. Επειδή η ΟΑ΄ είναι συµµετρική της ΟΑ ως l και yOΑ΄ l προς την Οy, οι γωνίες ΑOy είναι ίσες. l . Άρα η Οy είναι διχοτόµος της γωνίας ΑOΑ΄
474
O Α΄ K x
y
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÅÓ 1.
ÃÉÁ ÔÏ ÓÐÉÔÉ
Βρες το συµµετρικό ενός τριγώνου ως προς την ευθεία ε και το συµµετρικό του νέου τριγώνου ως προς την άλλη ευθεία ζ. Τι σχέση έχουν το αρχικό και το τελευταίο τρίγωνο; Να επαναλάβεις το ίδιο και µε µία τρίτη ευθεία.
" Λύση Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία ε. Κατασκευάζουµε τα συµµετρικά ∆, Ε, Ζ των Α, Β, Γ ως προς την ε. Το τρίγωνο ∆ΕΖ είναι το συµµετρικό του ΑΒΓ ως προς την ε. Τα δύο τρίγωνα είναι µεταξύ τους ίσα. Έστω τυχαία ευθεία ζ. Κατασκευάζουµε τα συµµετρικά Η, Θ, Ι των ∆, Ε, Ζ ως προς την ζ. Το τρίγωνο ΗΘΙ είναι το συµµετρικό του ∆ΕΖ ως προς την ευθεία ζ. Τα δύο τρίγωνα είναι µεταξύ τους ίσα. Λ Έστω τυχαία ευθεία n. K Κατασκευάζουµε τα συµµετρικά Κ, Λ, Μ M των Η, Θ, Ι ως προς την ευθεία n. Το τρίγωνο ΚΛΜ είναι το συµµετρικό του ΗΘΙ ως προς την ευθεία n. Τα δύο τρίγωνα είναι µεταξύ τους ίσα. 2.
Προσπάθησε να δείξεις ότι το συµµετρικό σχήµα ως προς άξονα δ µιας ευθείας ε παράλληλης προς την δ, είναι ευθεία παράλληλη προς την ευθεία ε.
" Λύση Έστω Α, Β δύο σηµεία της ευθείας ε και Α΄, Β΄ τα συµµετρικά του ως προς την ευθεία δ. Η ευθεία ε΄ που διέρχεται από τα Α΄, Β΄ είναι η συµµετρική της ε ως K Λ προς την δ. Επειδή οι ευθείες ε και δ είναι παράλληλες, το τετράπλευρο ΑΚΛΒ είναι ορθογώνιο και Α΄ Β΄ ΑΚ = ΒΛ. Οπότε και τα ΑΑ΄ και ΒΒ΄ είναι ίσα και παράλληλα και κάθετα στην ε, οπότε το τετράπλευρο ΑΑ΄Β΄Β είναι ορθογώνιο και ΑΒ // Α΄Β΄ , δηλαδή ε // ε΄ .
475
6.
Να βρείτε το συµµετρικό του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ, σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις, ως προς τη ευθεία ε.
7.
Να βρείτε τη συµµετρική της γωνίας l ^ως προς την ευθεία ε σε καθεxOy
β.
α.
O
y
µία από τις παρακάτω περιπτώσεις.
x y
O
x
8.
Αν τα σηµεία Α και Β είναι συµµετρικά ως προς άξονα µία ευθεία ε, τότε τι είναι η ευθεία ε στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ;
9.
Σε κύκλο (0,2cm) να πάρετε τρία σηµεία Α, Β και Γ. Να φέρετε µία ευθεία ε που να περνάει από το κέντρο Ο και να µην περιέχει τα σηµεία Α, Β, Γ. Χρησιµοποιείστε µόνο το διαβήτη σας και σχεδιάστε το συµµετρικό τρίγωνο Α΄Β΄Γ΄ του ΑΒΓ ως προς την ε.
10. Στο τρίγωνο ΑΒΓ, η ΑΜ είναι διάµεσος. Να κατασκευάσετε το συµµετρικό του τριγώνου ΑΒΓ ως προς την ευθεία ΑΜ. Είναι η ΑΜ διάµεσος του τριγώνου που κατασκευάσατε; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
11. Στο διπλανό σχήµα είναι ε1 // ε2 και η δ είναι
µεσοκάθετος του ΑΒ. Να βρείτε τα συµµετρικά Γ΄ και Β΄ των σηµείων Γ και Β αντίστοιχα ως προς την ε2. Να συγκρίνετε τα τµήµατα ΑΓ και ´ô. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
476
M
1.
Να επιλέξεις την σωστή απάντηση. Κάθε κύκλος και ο αντίστοιχος κυκλικός δίσκος έχουν:
X Ένα άξονα συµµετρίας.
X Άπειρους άξονες συµµετρίας. X Κανέναν άξονα συµµετρίας. 2.
Εξέτασε αν τα κεφαλαία γράµµατα του αλφαβήτου Α, Ι, Γ και Θ έχουν: α. κανένα, β. ένα, γ. περισσότερους από έναν άξονα συµµετρίας.
" Λύση
Το Α έχει έναν άξονα συµµετρίας, το Ι και το Θ έχουν δύο και το Γ κανένα. 3.
Σχεδίασε τους άξονες συµµετρίας των παρακάτω γεωµετρικών σχηµάτων.
477
4.
Σχεδίασε τους άξονες συµµετρίας του σχήµατος που δηµιουργείται από δύο ίσους κύκλους.
" Λύση
K
5.
Λ
Βρες τους άξονες συµµετρίας του σχήµατος που δηµιουργείται από δύο κύκλους µε διαφορετικές ακτίνες όταν: α. έχουν το ίδιο κέντρο, και β. έχουν διαφορετικά κέντρα.
" Λύση α. Όλες οι ευθείες που διέρχονται από το κέντρο Κ των δύο κύκλων, είναι άξονες συµµετρίας.
K
478
Λ
β. Όταν δύο κύκλοι έχουν διαφορετικά κέντρα, τότε άξονας συµµετρίας του σχήµατος είναι η διάκεντρος.
6.
Μεταξύ των παρακάτω αριθµητικών ψηφίων να βρεθούν εκείνα που έχουν: α. έναν άξονα συµµετρίας, β. δύο άξονες συµµετρίας, γ. κανέναν άξονα συµµετρίας.
123456789
7.
Σχεδίασε µία ευθεία ε και κατασκεύασε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε l = 50o , έτσι ώστε η ευθεία ε να είναι άξονας συµµεAB = AΓ = 4cm και A
τρίας του τριγώνου αυτού. 8.
Να σχεδιάσετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τις διαµέσους του Α∆ , ΒΕ και ΓΖ. Να δικαιολογήσετε ότι οι διάµεσοι του τριγώνου: α. είναι άξονες συµµετρίας του β. είναι διχοτόµοι και ύψη του.
9.
Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο ΑΒΓ∆ και µε διάµετρο τη διαγώνιο του ΑΓ να γράψετε έναν κύκλο. Να δικαιολογήσετε ότι ο κύκλος αυτός περνάει από τις κορυφές του ορθογωνίου.
479
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ Ο καπετάνιος του πλοίου προσπαθεί να κρατήM σει την πορεία του πλοίου το ίδιο µακριά από τις βάσεις Α και Β της γέφυρας, επειδή η στενότητα του περάσµατος, ο αέρας και η γνωστή παλίρροια του Ευβοϊκού κόλπου επιδρούν στην πορεία των καραβιών και κάνουν τη διέλευση επικίνδυνη. Μπορείς να υποδείξεις την πορεία που πρέπει να έχει ένα πλοίο για να περάσει µε ασφάλεια το στενό του Ευρίπου; Τι είναι η πορεία του πλοίου σε σχέση µε το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ; Τι είναι τα σηµεία Α και Β µεταξύ τους σε σχέση µε την πορεία του πλοίου; Ποια σηµαντική ιδιότητα πρέπει να έχουν τα σηµεία της πορείας αυτής;
" Απάντηση Η πορεία που πρέπει να ακολουθήσει το πλοίο είναι η ευθεία ΚΜ. Η ευθεία ΚΜ είναι κάθετη στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και το σηµείο Μ είναι µέσον του. Με άξονα συµµετρίας την ΚΜ, τα σηµεία Α και Β είναι συµµετρικά. Κάθε σηµείο της ΚΜ έχει ίσες αποστάσεις από τις βάσεις Α και Β της γέφυρας.
480
1.
Συµπληρώστε τα παρακάτω κενά. α. Κάθε σηµείο που ισαπέχει από τα άκρα ευθύγραµµου τµήµατος βρίσκεται πάνω στη µεσοκάθετο του τµήµατος. β. Με την κατασκευή της µεσοκαθέτου του ευθύγραµου τµήµατος ΑΒ βρήκαµε µε ακρίβεια και το µέσο του χωρίς να χρησιµοποιήσουµε υποδεκάµετρο. γ. ∆ύο σηµεία Μ και Μ΄ είναι συµµετρικά ως προς ευθεία ε, όταν η ε είναι µεσοκάθετος του τµήµατος ΜΜ΄.
2.
Να χαράξεις ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και µε τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη να το χωρίσεις σε δύο ίσα τµήµατα και στη συνέχεια σε τέσσερα ίσα τµήµατα.
" Λύση Γράφουµε δύο ίσους κύκλους µε κέντρα τα άκρα Α και Β του τµήµατος και µε ακτίνα µεγαλύτερη από το µισό µήκος του ΑΒ. Τα σηµεία Κ και Λ στα οποία τέµνονται οι δύο κύκλοι, ισαπέχουν από τα Α και Β εποµένως η ΚΛ είναι µεσοκάθετος του ΑΒ και το σηµείο ∆ στο οποίο τέµνονται οι ΚΛ, ΑΒ είναι µέσο της ΑΒ. Θεωρούµε δύο ίσους κύκλους µε κέντρα Α, ∆ και ακτίνα µεγαλύτερα από το µισό µήκος του Α∆. Αν οι δύο κύκλοι τέµνονται στα Μ, Ν, τότε η ΜΝ είναι µεσοκάθετος του Α∆ και το σηµείο Ε, στο οποίο τέµνονται οι ΜΝ, Α∆ είναι το µέσο του Α∆. Όµοια κατασκευάζουµε και το µέσο Ζ του ∆Β.
K
Λ
481
3.
Σχεδίασε έναν κύκλο και µία ακτίνα ΚΑ. Βρες δύο σηµεία του κύκλου, που το καθένα να ισαπέχει από τα Κ και Α.
" Λύση Με κέντρο ένα σηµείο Κ και τυχαία ακτίνα ΚΑ γράφουµε, µε τον διαβήτη µας, έναν κύκλο. M Με κέντρα τα Κ και Α και ακτίνα ρ µεγαλύτερη από το µισό µήκος του ΚΑ γράφουµε δύο ίσους κύκλους που τέµνονται στα σηN µεία Μ και Ν. Η ΜΝ είναι µεσοκάθετος του ΚΑ. Αν η ΜΝ τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Β και Γ, τότε τα σηµεία αυτά είναι τα ζητούµενα γιατί, βρίσκονται στον κύκλο και ισαπέχουν από τα Α και Κ. 4.
K
Στο διπλανό σχήµα η καµπύλη γραµµή γ παριστά τµήµα της διαδροµής του αστικού λεωφορείου. Οι κάτοικοι των οικισµών Α και Β αποφάσισαν να κατασκευάσουν µία στάση που να απέχει εξίσου από τους δύο οικισµούς. Βρες το κατάλληλο σηµείο της διαδροµής και δικαιολόγησε τη λύση που θα δώσεις.
" Λύση Το σηµείο της διαδροµής του λεωφορείου στο οποίο θα γίνει η στάση πρέπει να απέχει εξίσου από τους οικισµούς Α και Β. ∆ηλαδή πρέπει να βρίσκεται στη µεσοκάθετο του ΑΒ. Κατά τα γνωστά κατασκευάζουµε τη µεσοκάθετο Γ∆ του ΑΒ, η οποία τέµνει την καµπύλη γ στα Σ. Στο σηµείο Σ πρέπει να γίνει η στάση του λεωφορείου.
482
5.
Να βρεις το σηµείο της όχθης ενός ποταµού, το οποίο ισαπέχει από δύο χωριά Α και Β.
" Λύση Για να βρούµε το σηµείο της όχθης, το οποίο ισαπέχει από τα χωριά Α και Β, πρέπει να βρούµε το σηµείο της µεσοκαθέτου του ΑΒ που βρίσκεται στην όχθη του ποταµού. Με τον γνωστό τρόπο κατασκευάζουµε τη µεσοκάθετο ΚΛ του ΑΒ, η οποία τέµνει τις δύο όχθες του ποταµού στα σηµεία Ε και Ζ, τα οποία είναι τα ζητούµενα.
6.
Σχεδιάστε ένα τρίγωνο και βρες µε ακρίβεια τα µέσα των πλευρών του.
" Λύση Με κέντρα τα σηµεία Β και Γ και ακτίνα µεγαλύτερη από το µισό του ΒΓ κατασκευάK ζουµε δύο ίσους κύκλους που τέµνονται στα σηµεία Κ, Λ. Η ΚΛ είναι µεσοκάθετος του ΒΓ και το σηµείο ∆ στο οποίο τέµνονται οι ΚΛ, ΒΓ είναι Λ το µέσο του τµήµατος ΒΓ. Όµοια κατασκευάζουµε τις µεσοκαθέτους των ΑΓ, ΑΒ, οι οποίες τέµνουν τα τµήµατα αυτά στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Το Ε είναι µέσο της ΑΓ και το Ζ µέσο της ΑΒ.
483
7.
Σχεδίασε έναν κύκλο µε κέντρο Κ και µία χορδή του ΑΒ. Να κατασκευάσεις τη µεσοκάθετο της χορδής ΑΒ και να ονοµάσεις Μ και Ν τα σηµεία στα οποία τέµνει τον κύκλο. α. Σύγκρινε της χορδές ΜΑ και ΜΒ και δικαιολόγησε το αποτέλεσµα της σύγκρισης, β. κάνε το ίδιο και για τις χορδές ΝΑ και ΝΒ, γ. βρες εάν το κέντρο Κ του κύκλου είναι σηµείο της µεσοκαθέτου και δικαιολόγησε την απάντησή σου.
" Λύση
α.
β.
γ.
Με κέντρο ένα σηµείο Κ και τυχαία ακτίνα ρ γράφουµε κύκλο. Με κέντρα τα σηµεία Α και Β και ακτίνα µεγαλύτερη από το µισό µήκος του ΑΒ M γράφουµε δύο ίσους κύκλους που τέµνονται στα σηµεία Γ και ∆. Η Γ∆ είναι µεσοκάθετος του ΑΒ. K Έστω Μ, Ν τα σηµεία στα οποία η Γ∆ τέµνει τον κύκλο. Επειδή το σηµείο Μ ανήκει στη µεσοκάθετο του ΑΒ ισαπέχει από τα σηµεία Α και Β, N δηλαδή ΜΑ = ΜΒ. Επειδή το σηµείο Ν ανήκει στη µεσοκάθετο του ΑΒ ισαπέχει από τα σηµεία Α και Β, δηλαδή ΝΑ = ΝΒ. Το κέντρο Κ του κύκλου έχει την ιδιότητα ότι οι αποστάσεις του από οποιαδήποτε σηµεία του κύκλου είναι ίσες µε την ακτίνα ρ. Άρα KA = KB = ρ . ∆ηλαδή το Κ ισαπέχει από τα Α και Β, οπότε βρίσκεται
στη µεσοκάθετο Γ∆ του ΑΒ. 8.
484
Σχεδίασε τις µεσοκαθέτους τριών χορδών ενός κύκλου και εξέτασε αν υπάρχει σηµείο στο σχήµα σου, από το οποίο να διέρχονται και οι τρεις µεσοκάθετες.
" Λύση Έστω ΑΒ, Γ∆, ΕΖ χορδές κύκλου µε κέντρο Κ και ακτίνα ρ. Με κέντρα τα Α, Β και ακτίνα µεγαλύτερη από το µισό µήκος του ΑΒ γράφουµε δύο ίσους κύκλους. Ενώνοντας τα σηµεία τοµής των δύο κύκλων κατασκευάζουµε τη µεσοκάθετο µ1 του ΑΒ. Με κέντρα τα Γ, ∆ και ακτίνα µεγαλύτερη από το µισό µήκος του Γ∆ K γράφουµε δύο ίσους κύκλους. Ενώνοντας τα σηµεία τοµής των κύκλων αυτών κατασκευάζουµε τη µεσοκάθετο µ2 του Γ∆. Με κέντρα τα σηµεία Ε, Ζ και ακτίνα µεγαλύτερη από το µισό µήκος του ΕΖ, γράφουµε δύο ίσους κύκλους. Ενώνοντας τα σηµεία τοµής των δύο κύκλων κατασκευάζουµε τη µεσοκάθετο µ3 του ΕΖ. Επειδή τα Α, Β, Γ, ∆, Ε, Ζ είναι σηµεία του κύκλου(Κ, ρ) είναι KA = KB = ΚΓ = Κ∆ = ΚΕ = ΚΖ = ρ . ∆ηλαδή το Κ ισαπέχει από τα Α, Β άρα το Κ ανήκει στη µεσοκάθετο µ1 του ΑΒ. Όµοια το Κ ανήκει και στις µ2, µ3. Άρα και οι τρεις µεσοκάθετοι διέρχονται από το κέντρο Κ του κύκλου. 9.
Στο διπλανό σχήµα βρες εκείνο το σηµείο της ε, που να ισαπέχει από τα σηµεία Α και Β.
" Λύση Έστω Μ το ζητούµενο σηµείο της ε. Για να ισαπέχει το Μ από τα σηµεία Α και Β πρέπει να βρίσκεται στη µεσοκάθετο του ΑΒ. Με κέντρα τα σηµεία Α, Β και ακτίνα µεγαλύτερη από το µισό µήM κος του ΑΒ γράφουµε δύο ίσους κύκλους που τέµνονται στα σηµεία Κ και Λ. Η ΚΛ είναι µεσοκάθετος της ΑΒ και το σηµείο Μ είναι το σηµείο τοµής των ΚΛ, ε.
485
10. Κατασκεύασε µε κανόνα και διαβήτη, ένα τετράγωνο πλευράς α.
" Λύση Έστω Κ, Λ τυχαία σηµεία µιας ευθείας ε. Με κέντρα τα Κ, Λ και τυχαίες ακτίνες γράφουµε δύο κύκλους που τέµνονται M στα σηµεία Μ και Ν. Η ευθεία ε1 που διέρχεται από τα Μ, Ν είναι κάθετη στην ε στο σηµείο Α. Με κέντρο το Α και ακτίνα ίση µε α γράφουµε κύκλο που τέµνει ε K Λ την ε στο Β και την ε1 στο Γ. Με ακτίνα N τα Β, Γ και ακτίνα ίση µε α γράφουµε δύο ίσους κύκλους που ε τέµνονται στο ∆. Το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι τετράγωνο, γιατί όλες του οι πλευρές είναι l είναι ορθή. ίσες µε α και η γωνία Α 11. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΒΓ) γράψε τους κύκλους που έχουν διαµέτρους τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Φέρε την κοινή χορδή τους και βρες εάν αυτή είναι µεσοκάθετος της πλευράς ΒΓ.
" Λύση Έστω ΒΓ η βάση του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ. Με κέντρα τα Β, Γ και ακτίνα µε μ1 μ2 µήκος διαφορετικό του µήκους του ΒΓ, Λ K γράφουµε δύο ίσους κύκλους. Το σηµείο τοµής τους είναι η κορυφή Α M του ισοσκελούς τριγώνου. Κατασκευάζουµε τις µεσοκαθέτους µ1, µ2 των ΑΒ, ΒΓ που τέµνουν τις ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα στα σηµεία Κ, Λ που είναι µέσα των πλευρών αυτών. Με κέντρα τα Κ, Λ και ακτίνα που έχει µήκος ίσο µε το µισό µήκος της ΑΒ ή της ΑΓ γράφουµε τους κύκλους που έχουν διάµετρο τις ΑΒ, ΑΓ. Έστω Μ το σηµείο τοµής των δύο κύκλων µε την ΒΓ. Η ΑΜ είναι η κοινή χορδή των δύο κύκλων και επειδή τα σηµεία Α, Μ ισαπέχουν από τα σηµεία Β, Γ η ΑΜ είναι µεσοκάθετος του τµήµατος ΒΓ.
486
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÅÓ 1.
ÃÉÁ ÔÏ ÓÐÉÔÉ
Σχεδίασε έναν κύκλο µε ένα νόµισµα. Πως µπορείς να βρεις το κέντρο του;
" Λύση Με ένα κέρµα των 5 λεπτών σχεδιάζουµε τον διπλανό κύκλο. Το κέντρο του κύκλου ισαπέχει από όλα τα σηµεία του. ∆ηλαδή αν θεωρήσουµε τα Α και Β του κύκλου τότε, επειδή το κέντρο Κ του κύκλου ισαπέχει από αυτά θα ανήκει στη µεσοκάθετο µ1 του τµήµατος ΑΒ. Αν τώρα θεωρήσουµε και το σηµείο Γ του κύκλου, τότε το κέντρο Κ του κύκλου βρίσκεται και στη µεσοκάθετο µ2 του ΒΓ. Άρα το Κ είναι το σηµείο τοµής µ1, µ2. 2.
K
Τρεις οικογένειες κατασκήνωσαν σ’ ένα κάµπινγκ τις σκηνές τους Σ1, Σ2 και Σ3 έτσι ώστε Σ1Σ2 = 3,8m, Σ1Σ3 = 2m, και Σ2Σ3 = 3,5m. Να σχεδιάσεις τη διάταξη των σκηνών σε σχέδιο µε κλίµακα 1:100 και να βρεις το σηµείο Ν, που πρέπει να τοποθετηθεί ένα ντους, ώστε και οι τρεις σκηνές να απέχουν εξίσου απ‘ αυτό. Υπάρχουν πολλές τέτοιες θέσεις; Να δικαιολογήσεις την απάντησή σου.
" Λύση Σε κλίµακα 1:100 οι αποστάσεις των σκηνών Σ1, Σ2, Σ3 είναι: 1 1 Σ1Σ 2 = ⋅ 3,8m = ⋅ 380cm = 3,8cm 100 100 1 1 Σ1Σ 3 = ⋅ 2m = ⋅ 200cm = 2cm 100 100 1 1 Σ2Σ3 = ⋅ 3,5m = ⋅ 350cm = 3,5cm N 100 100 Χαράζουµε το τµήµα Σ1Σ2 = 3,8cm. Θεωρούµε τους κύκλους (Σ1, 2cm) και (Σ2, 3,5cm). Το σηµείο τοµής τους είναι το Σ3. Το σηµείο Ν στο οποίο θα τοποθετηθεί το ντους πρέπει να ισαπέχει από τις σκηνές Σ1, Σ2, Σ3 οπότε είναι το σηµείο τοµής των µεσοκαθέτων των Σ1Σ2, Σ1Σ3 και Σ2Σ3.
487
12. Με αρχή ένα σηµείο Ο µιας ευθείας ε, γράψε µία ηµιευθεία Οx, η οποία δεν περιέχεται και δεν είναι κάθετη στην ε. Πάρε δύο σηµεία Α και Β της Οx και βρες ένα σηµείο της ε, που να ισαπέχει από τα Α και Β. 13. Τα χωριά Α και Β θέλουν να κατασκευάσουν µία έξοδο στον αυτοκινητόδροµο που διέρχεται πλησίον τους. Να βρείτε σε ποιο σηµείο του αυτοκινητόδροµου πρέπει να γίνει η έξοδος, ώστε να ισαπέχει από τα δύο χωριά.
14. Να βρείτε µε κανόνα και διαβήτη το σηµείο του κύκλου που βρίσκεται πιο κοντά στην ευθεία ε.
K
ε
15. Ο Ηλίας, ο Γιώργος και η Μαρία µένουν σε τρία διαφορετικά σπίτια Α, Β, Γ και το σχολείο τους έχει την ίδια απόσταση από τα σπίτια τους. Μπορείς να βρεις τη θέση του σχολείου; 16. Σχεδίασε ένα σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ και την ευθεία ε που διέρχεται από την κορυφή Α και είναι παράλληλη στη ΒΓ. Βρες το σηµείο Μ της ε, που ισαπέχει από τις κορυφές Β και Γ.
488
17. Σχεδίασε ένα τετράπλευρο ΑΒΓ∆ στο οποίο είναι ΑΒ = Α∆ και ΒΓ = Γ∆ και δικαιολόγησε, γιατί η διαγώνιος ΑΓ είναι µεσοκάθετος της διαγωνίου Β∆. 18. Έστω ΑΒ διάµετρος κύκλου (Κ, ρ). Αν ΑΓ και Γ∆ χορδές του κύκλου και ε1, ε2 οι µεσοκάθετες τους αντίστοιχα, να βρεις αν οι ευθείες ε1, ε2 και η διάµετρος ΑΒ έχουν κάποιο κοινό σηµείο. Ποιο είναι αυτό; 19. Στο σχήµα:
M
Α
O
Μ΄
α. Να δικαιολογήσεις ότι τα Μ, Μ΄ είναι συµµετρικά ως προς την ευθεία ΑΒ. β. Να συγκρίνεις το ευθύγραµµο τµήµα ΑΜ µε το ΑΜ΄ και το ΒΜ µε το ΒΜ΄. γ. Να βρεις το συµµετρικό του ηµικυκλίου ΑΜΒ ως προς την ΑΒ. δ. Να βρεις το συµµετρικό του κύκλου ως προς την ΑΒ.
489
1.
Να κατασκευάσεις τα συµµετρικά Β΄, Μ΄ και Γ΄των Β, Μ και Γ αντίστοιχα ως προς το Α και να δικαιολογήσεις ότι το Μ΄ είναι µέσο του ´ô. (Το Μ είναι µέσο του ΒΓ).
" Λύση Προεκτείνουµε την ΑΒ κατά ΑΒ΄ = ΑΒ. Γ΄ Μ΄ Το Β΄ είναι το συµµετρικό του Β ως προς το Α. Όµοια κατασκευάζουµε και τα συµµετρικά Γ΄ και Μ΄ των Γ και Μ, ως προς Α. Το Γ΄Μ΄ είναι το συµµετρικό του τµήµατος ΓΜ ως προς το Α, άρα Γ΄Μ΄ = ΓΜ. Το Β΄Μ΄ είναι το συµµετρικό του ΒΜ ως προς το Α, Οπότε Β΄Μ΄ = ΒΜ. Όµως το Μ είναι το µέσο του ΒΓ, οπότε ΒΜ = ΜΓ άρα και Β΄Μ΄ = Γ΄Μ΄, δηλαδή το Μ΄ είναι το µέσο του ´ô. 2.
Β΄
Να σχεδιάσεις τρίγωνο ΑΒ∆ και το συµµετρικό Γ της κορυφής Α ως προς το µέσο Ο της πλευράς Β∆. Πως µπορείς να χαρακτηρίσεις το τετράπλευρο ΑΒΓ∆;
" Λύση Προεκτείνουµε τη διάµεσο ΑΟ του τριγώνου ΑΒ∆ κατά ΟΓ = ΑΟ. Το Γ είναι συµµετρικό του Α ως προς το Ο. Το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι παραλληλόγραµµο γιατί οι διαγώνιοί του διχοτοµούνται.
490
O
3.
l Β = 90ο και ∆ίνεται ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΟΑΒ µε ΟΑ ΟΑ = ΟΒ. Βρες τα συµµετρικά σηµεία Α΄ και Β΄ των Α και Β αντίστοιχα, ως προς κέντρο συµµετρίας το Ο και εξέτασε το είδος του τετραπλεύρου ΑΒΑ΄Β΄.
" Λύση Προεκτείνουµε τις ΟΑ και ΟΒ προς το µέρος του Ο κατά ίσα τµήµατα ΟΒ΄ = ΟΒ . Τα Α΄, Β΄ είναι τα συµµετρικά των Α και Β αντίστοιχα ως προς κέντρο συµµετρίας το Ο. Επειδή ΟΑ = ΟΒ = ΟΑ΄ = ΟΒ΄ και l = 90ο , το τετράπλευρο ΑΒΑ΄Β΄ είναι τεΑΟΒ
τράγωνο γιατί οι διαγώνιες του διχοτοµούνται, είναι ίσες και κάθετες. 4.
O
Β΄
Πάρε ένα τρίγωνο ΑΒΓ, µία ευθεία ε και ένα σηµείο Ο. Βρες το συµµετρικό Α΄Β΄Γ΄ του ΑΒΓ ως προς άξονα την ευθεία ε και το συµµετρικό Α1Β1Γ1 του ΑΒΓ ως προς κέντρο το Ο και σύγκρινε τα τρίγωνα Α΄Β΄Γ΄και Α1Β1Γ1. ∆ικαιολόγησε την απάντησή σου.
" Λύση Έστω ότι το σηµείο Ο βρίσκεται εκτός του τριγώνου ΑΒΓ και εκτός της ευθείας ε. Έστω ακόµη η ε είναι εξωτερική του τριγώΒ1 Γ1 νου ΑΒΓ. Από τις κορυφές Α, Β, Γ του τριγώνου φέρνουµε κάθετες ΑΚ, ΒΛ, ΓΜ προς την ευθεία ε Α1 και τις προεκτείνουµε κατά ίσα τµήµατα ΚΑ΄ = ΚΑ, O ΛΒ΄ = ΛΒ και ΜΓ΄ = ΜΓ. Το τρίγωνο Α΄Β΄Γ΄ είναι συµµετρικό του ΑΒΓ ως προς την ε, οπότε τα δύο τρίγωνα είναι µεταξύ τους ίσα. Φέρνουµε ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ και προεκτείνουµε Β΄ Γ΄ προς το µέσο του Ο κατά ίσα τµήµατα ΟΑ1 = ΟΑ, ΟΒ1 = ΟΒ και ΟΓ1 = ΟΓ. Α΄ Το τρίγωνο Α1Β1Γ1 είναι συµµετρικό του ΑΒΓ, ως προς κέντρο το Ο. Τα δύο τρίγωνα, λόγω της συµµετρίας, είναι ίσα. Οπότε τα τρίγωνα Α΄Β΄Γ΄ και Α1, Β1, Γ1, είναι ίσα γιατί και τα δύο είναι ίσα µε το ΑΒΓ.
491
5.
Αν τα σηµεία Α και Β είναι συµµετρικά ως προς το Ο, τότε τι είναι το Ο για το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ;
6.
Να σχεδιάσετε το συµµετρικό ενός κύκλου και ενός ορθογωνίου ως προς ένα τυχαίο σηµείο του επιπέδου.
7.
Να σχεδιάσετε τρίγωνο ΑΒΓ και να κατασκευάσετε το συµµετρικό ∆ του Α ως προς Β καθώς και το συµµετρικό Ε του ∆ ως προς την ευθεία ΒΓ. Να δικαιολογήσετε γιατί τα τρίγωνα Β∆Ε και ΒΕΑ είναι ισοσκελή.
8.
Να βρείτε το συµµετρικό Μ της κορυφής Κ του παραλληλογράµµου ΑΒΓΚ ως προς το σηµείο Α. Κατόπιν να βρείτε το συµµετρικό Ν του Μ ως προς το σηµείο Β. K Τέλος να βρείτε το συµµετρικό του Ν ως προς το Γ. Τι παρατηρείτε; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
492
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ Βρες ένα σηµείο σε κάθε ένα από τα παρακάτω σχήµατα, γύρω από το οποίο προσπάθησε να περιστρέψεις το σχήµα αυτό κατά 180ο και να παρατηρήσεις εάν συµπίπτει ή όχι µε τον εαυτό του, µετά την ολοκλήρωση της περιστροφής αυτής.
O
O O
O
O
O
" Απάντηση Σε όλες τις περιπτώσεις το ζητούµενο σηµείο είναι το Ο. Το σχήµα συµπίπτει µε τον εαυτό του σε όλες τις περιπτώσεις εκτός από το δεύτερο σχήµα της α΄ σειράς και το πρώτο σχήµα της β΄ σειράς.
493
1.
Αφού γράψεις τα κεφαλαία γράµµατα του αλφαβήτου, εξέτασε αν έχουν κέντρο συµµετρίας.
" Λύση Κέντρο συµµετρίας έχουν τα παρακάτω κεφαλαία γράµµατα του αλφαβήτου.
2.
Να βρεις στα παρακάτω σχήµατα το κέντρο συµµετρίας αν υπάρχει.
" Λύση Από τα τέσσερα πρώτα σχήµατα, το τρίτο και το τέταρτο έχουν κέντρο συµµετρίας το σηµείο Ο. Από τα τραπουλόχαρτα κέντρο συµµετρίας έχουν η ντάµα σπαθί, το οκτώ κούπα και το οκτώ καρώ.
494
3.
Τοποθέτησε ένα «x» στις κατάλληλες θέσεις, για τη θετική σου απάντηση. Άξονες συµµετρίας Κανένα
1
Ευθύγραµµο
2
3
4
Έχει κέντρο
Περισσότερους
Χ
τµήµα Ισοσκελές
συµµετρίας
Χ
Χ
τρίγωνο Ισόπλευρο
x
τρίγωνο Παραλληλό
Χ
γραµµο
Χ
Ορθογώνιο
Χ
Χ
Ρόµβος
Χ
Χ
Τετράγωνο
Χ
Κύκλος
Χ Χ
Χ
" Λύση Ευθύγραµµο τµήµα
Κέντρο συµµετρίας το Ο και άξονας συµµετρίας οι ευθείες ε1 και ε2.
O
Ισοσκελές τρίγωνο
Έχει κέντρο συµµετρίας την ευθεία ε.
495
Ισόπλευρο τρίγωνο
Έχει άξονες συµµετρίας τις ευθείες ε1, ε2, ε3.
Παραλληλόγραµµο Έχει κέντρο συµµετρίας το σηµείο τοµής των διαγωνίων του.
O
Ορθογώνιο
O
Έχει άξονες συµµετρίας τις ευθείες ε1, ε2 και κέντρο συµµετρίας το σηµείο Ο που είναι το σηµείο τοµής των διαγωνίων του.
Ρόµβος
O
496
Έχει άξονες συµµετρίας τις ε1, ε2 και κέντρο συµµετρίας το σηµείο Ο που είναι το σηµείο τοµής των διαγωνίων του.
Τετράγωνο
O
Έχει άξονες συµµετρίας τις ευθείες ε1, ε2, ε3, ε4 και κέντρο συµµετρίας το σηµείο Ο που είναι το σηµείο τοµής των διαγωνίων του.
Κύκλος
O
Έχει άξονα συµµετρίας οποιαδήποτε ευθεία διέρχεται από το κέντρο Ο, το οποίο είναι κέντρο συµµετρίας του.
497
4.
Αν γνωρίζουµε ότι ΟΑ = ΟΒ, είναι απαραίτητα το σηµείο Ο µέσο του τµήµατος ΑΒ;
5.
Να βρείτε το κέντρο συµµετρίας των παρακάτω σχηµάτων:
6.
Αν υπάρχουν άξονες συµµετρίας σ’ ένα σχήµα, που περνούν από το ίδιο σηµείο, υπάρχει πάντα και κέντρο συµµετρίας στο σχήµα; ∆ικαιολόγησε την απάντησή σου εξετάζοντας τα σχήµατα: ορθογώνιο, ρόµβο, τετράγωνο, ισόπλευρο τρίγωνο.
7.
Συµπλήρωσε το παρακάτω σχήµα, έτσι ώστε το Ο να γίνει κέντρο συµµετρίας του.
O
498
1.
Σχεδίασε δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2, οι οποίες να απέχουν 4cm. Φέρε µία ευθεία που να σχηµατίζει µε την ε1 γωνία 12ο και υπολόγισε τις υπόλοιπες γωνίες.
" Λύση Φέρνουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ µήκους 4cm. Στα άκρα του Α, Β φέρνουµε ευθείες ε1, ε2 κάθετες στο ΑΒ. ε1 Έστω ευθεία δ που τέµνει την ε1 στο Κ, την ε2 στο Λ έτσι ώστε l 1 = 12ο . Οι γωνίες Κ l 1 και Κ l2 Κ είναι παραπληρωµατικές, οπότε l1 + Κ l 2 = 180ο ή 12ο + Κ l 2 = 180ο Κ
δ o
12
ε2
l 2 = 180ο − 12ο = 168ο .Οι Κ l 1 και Κ l 3 καθώς και οι γωνίες Κ l2 , Κ l 4 είναι κατακορυφήν, γωνίες Κ l3 = Κ l 1 = 12ο και Κ l4 = Κ l 2 = 168ο . άρα: Κ
άρα
l1 , Οι γωνίες Λ l2 , Οι γωνίες Λ
l 1 είναι εντός εκτός και επί τα αυτά, άρα Κ l 2 είναι εντός εκτός και επί τα αυτά άρα Κ
l1 = Κ l 1 = 12ο . Λ l2 = Κ l 2 = 168ο Λ
l1 , Λ l 3 καθώς και οι Λ l2 Λ l 4 είναι κατακορυφήν, Οι γωνίες Λ l3 = Λ l 1 = 12ο και Λ l4 = Λ l 2 = 168ο . οπότε Λ
2.
Στο διπλανό σχήµα είναι ε1 // ε 2 και ε2 // ε4 . Να υπολογίσεις τις σηµειωµένες =β = 70ο γωνίες αν είναι α ε3
ε4
ε5
" Λύση και δ είναι εντός εκτός και εναλλάξ των παραλλήλων ε // ε Οι γωνίες α 1 2
499
που τέµνονται από την ε5,οπότε είναι παραπληρωµατικές. +δ = 180ο ή 70ο + δ = 180ο άρα δ = 180ο − 70ο = 110ο . ∆ηλαδή: α Οι γωνίες β και γ είναι εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων
ε3 // ε4 που τέµνονται από την ε2, άρα γ = β = 70ο Οι γωνίες β και ζ είναι εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ε // ε που τέµνονται από την ε3, άρα β = ζ = 70ο . 1
2
Οι γωνίες ζ και ε είναι εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων ε3 // ε4 που τέµνονται από την ε1. ∆ηλαδή ζ + ε = 180ο ή 70ο + ε = 180ο άρα ε = 180ο − 70ο = 110ο . 3.
l = 63ο . Να πάρεις ένα σηµείο Β της Να σχηµατίσεις µία γωνία xAy πλευράς Αx, ώστε να είναι ΑΒ = 5cm και ένα σηµείο ∆ της Αy, ώστε να είναι Α∆ = 2,9cm. Να φέρεις από το Β τη παράλληλη προς την Αy και από την ∆ την παράλληλη προς την Αx. Να ονοµάσεις Γ το σηµείο τοµής των παραλλήλων αυτών. Να υπολογίσεις τις γωνίες του τετράπλευρου ΑΒΓ∆.
" Λύση
Έστω ηµιευθεία Αx. Τοποθετούµε το κέντρο του µοιρογνωµονίου στο Α, έτσι ώστε η πλευρά του να συµπέσει µε την Αx. Βρίσκουµε το σηµείο στο οποίο αντιy στοιχούν οι 63ο και το ενώνουµε µε το Α, οπότε σχηµατίστηκε η Αy. Θεωρούµε τα σηµεία Β, ∆ των Αx, Ay αντίστοιχα έτσι ώστε ΑΒ = 5cm και Α∆ = 2,9cm. Φέρουµε από τα Β, ∆ x παράλληλες προς τις Α∆, ΑΒ αντίστοιχα και το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ που l και B l είναι εντός και σχηµατίζουν είναι παραλληλόγραµµο. Οι γωνίες A επί τα αυτά των παραλλήλων A∆ // ΒΓ που τέµνονται από την ΑΒ, οπότε: l +Β l = 180ο ή 63ο + Β l = 180ο ή Β l = 180ο − 63ο = 117ο . Οι γωνίες Β l και Γ A είναι εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων Γ∆ // ΑΒ που τέµνονται από l + Γ = 180ο ή 117ο + Γ = 180ο ή Γ = 180ο − 117ο = 63ο . την ΒΓ, οπότε: Β l και ∆ l είναι εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΒ // Γ∆ Οι γωνίες Α l+∆ l = 180ο ή 63ο + ∆ l = 180ο που τέµνονται από την Α∆, άρα: Α
l = 180ο − 63ο = 117ο . άρα ∆
500
4.
Στο διπλανό σχήµα οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες και η ηµιευθεία Βδ2 είναι l . Να υπολογίσεις διχοτόµος της γωνίας Β , β και γ του σχήµατος. τις γωνίες α
" Λύση l είναι εντός εναλλάξ οπότε Βl = Α l = 56 ο και Β l = 56 ο . Οι γωνίες Α Επειδή η Βδ2 διχοτοµεί τη γωνία Β, ο l = 56 = 28ο . έχουµε: φ 2 l είναι εντός εναλλάξ οπότε: α =φ l = 28ο . Οι γωνίες φ και α , β είναι παραπληρωµατικές, Οι γωνίες α + β = 180ο ή 28ο + β = 180ο άρα β = 180ο − 28ο = 152ο . άρα α , γ είναι κατακορυφήν, οπότε είναι ίσες. Οι γωνίες α = γ = 28ο . ∆ηλαδή α 5.
Στο διπλανό σχήµα είναι ε1 // ε2 και ε3 // ε4 . και β . Να υπολογίσεις τις γωνίες α
ε3
ε4
" Λύση l και 116ο είναι εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων ε // ε Οι γωνίες φ 1 2 που τέµνονται από την ε3. l + 116 ο = 180ο ή φ l = 180ο − 116 ο = 64 ο . Άρα φ l και α είναι εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων ε // ε Οι γωνίες φ 3 4 που τέµνονται από την ε2. l +α = 180ο ή α = 180ο − 64 ο = 116 ο . Άρα φ l και β είναι εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων Οι γωνίες φ ε3 // ε4 που τέµνονται από την ε2. l = 64 ο . Oπότε β = φ
501
6.
Στο τετράπλευρο ΑΒΓ∆ του σχήµατος είναι: ΑΒ // Γ∆ και Α∆ // ΒΓ . Να υπολο-
θ
γίσεις όλες τις σηµειωµένες γωνίες. ε
" Λύση = 105ο και ε είναι παραπληρωµατικές, οπότε: Οι γωνίες ΒΓ∆ 105ο + ε = 180ο ή ε = 180ο − 105ο = 75ο . και ΑΒΓ l είναι εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων, Οι γωνίες ΒΓ∆
ΑΒ // Γ∆ που τέµνονται από την ΒΓ. l + ΒΓ∆ = 180ο ή γ + 30ο + 105ο = 180ο Άρα: ΑΒΓ ή γ + 135ο = 180ο ή γ = 180ο − 135ο = 45ο .
l είναι εντός εναλλάξ των παραλλήλων, ΑΒ // Γ∆ που τέΟι γωνίες γ , φ l = γ = 45ο . µνονται από την Β∆. Άρα: φ l είναι εντός εναλλάξ των παραλλήλων, Α∆ // ΒΓ που Οι γωνίες 30ο και ω l = 30ο . τέµνονται από την Β∆, άρα: ω
l =ω l +φ l = 30ο + 45ο = 75ο είναι εντός και επί τα l = α και Α∆Γ Οι γωνίες ΒΑ∆ αυτά των παραλλήλων, ΑΒ // Γ∆ που τέµνονται από την Α∆, + 75ο = 180ο ή α = 180ο − 75ο = 105ο . οπότε: α , θ είναι εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων Τέλος οι γωνίες α = 105ο . ΑΒ // Γ∆ που τέµνονται από την Α∆, άρα θ = α
502
7.
8.
Στο διπλανό σχήµα να σηµειώσετε όλα τα ζεύγη: α. των εντός εναλλάξ γωνιών β. των εντός εκτός και επί τα αυτά γωνιών γ. των εντός και επί τα αυτά γωνιών που υπάρχουν.
ε3 ε1
ε2
Στο διπλανό σχήµα είναι ε1 // ε2 .
ε1
Να υπολογίσετε τις γωνίες του σχήµατος = 70ο . αν α
ε2
ε3
9.
Στο διπλανό σχήµα είναι ε1 // ε2 και ε3 // ε4 . = ε = 65ο , να υπολογίσετε τις γωνίες Αν δ
γ . α,β, ε3
ε5
ε4
10. Στο διπλανό σχήµα οι ευθείες ε2, ε3 είναι παράλληλες. Να δείξετε ότι και οι ευθείες ε1, ε2 είναι παράλληλες. ε3
11. Στο διπλανό σχήµα οι ε1, ε2 είναι παράλληλες και οι ευθείες δ και δ΄ είναι διχοτόµοι δύο εντός εναλλάξ γωνιών. Να δείξετε ότι δ // δ΄ .
ε3 ε1
ε2
φ
φ
503
12. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) προεκτείνουµε την ΑΒ προς το µέρος του Α. Από το Α φέρνουµε την Αδ παράλληλη προς την l = δΑΓ l . ΒΓ. Να δικαιολογήσετε ότι xAδ l ; Τι είναι η Αδ για γωνία ΓAx
13. Σε ευθεία ε πάρε διαδοχικά τα τµήµατα ΑΒ = 4cm και ΒΓ = 2cm. Με πλευρές τα τµήµατα ΑΒ και ΒΓ, κατασκεύασε προς το ίδιο µέρος της ευθείας ε δύο ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΒΓΕ. ∆ικαιολόγησε γιατί είναι Α∆ // ΒΕ και Β∆ // ΓΕ .
504
1.
Τοποθετήστε ένα “x” στην αντίστοιχη θέση. Σωστό Λάθος
2.
α. Κάθε ορθογώνιο τρίγωνο έχει µια ορθή γωνία.
Χ
X
β. Το αµβλυγώνιο τρίγωνο έχει δύο αµβλείες γωνίες.
X
Χ
γ. Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει όλες τις πλευρές του ίσες.
Χ
X
δ. Το ισοσκελές τρίγωνο µπορεί να είναι και ισόπλευρο.
Χ
X
ε. Το ορθογώνιο τρίγωνο µπορεί να είναι και ισόπλευρο.
X
Χ
στ. Το ορθογώνιο τρίγωνο µπορεί να είναι και ισοσκελές.
Χ
X
ζ. Το ισόπλευρο τρίγωνο είναι πάντα οξυγώνιο.
Χ
X
η. Ένα σκαληνό τρίγωνο δεν µπορεί να είναι ορθογώνιο.
X
Χ
Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ, µε πλευρά ΒΓ=4,4 cm φέρε τη διάµεσο ΑΜ. Μετά φέρε τις διαµέσους ΑΚ και ΑΛ των τριγώνων ΑΒΜ και ΑΓΜ και βρες το µήκος των ΚΜ και ΛΓ.
" Λύση Επειδή το Μ είναι µέσο της ΒΓ, έχουµε: 4,4 BM = MÃ = cm = 2,2 cm . 2 Επειδή τα Κ, Λ είναι µέσα των ίσων τµηµάτων ΒΜ και ΜΓ, έχουµε: 2,2 BK = KM = MË = ËÃ = cm = 1,1cm . 2 3.
K
M
Λ
Σχεδίασε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τις διαµέσους Α∆, ΒΕ και ΓΖ. ∆ικαιολόγησε γιατί οι διάµεσοι του ισόπλευρου είναι διχοτόµοι και ύψη.
" Λύση Αρχικά σχεδιάζουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ.
505
Με κέντρα τα Β, Γ και ακτίνα ίση µε τη ΒΓ γράφουµε δύο ίσους κύκλους που τέµνονται στο Α. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. Βρίσκουµε τα µέσα ∆, Ε, Ζ των πλευρών ΒΓ, ΑΓ, ΒΑ αντίστοιχα και χαράσσουµε τις διαµέσους Α∆, ΒΕ και ΓΖ. Γνωρίζουµε ότι οι διάµεσοι στο ισόπλευρο τρίγωνο είναι άξονες συµµετρίας του. ∆ηλαδή αν διπλώσουµε το µήκος κατά µήκος της Α∆, που είναι άξονας συµµετρίας, τα δύο µέρη του σχήµατος θα συµπέσουν. l 1 και A l 2 θα συµπέσουν, οπότε A l1 = A l 2 και αντίστοιχα Άρα οι γωνίες A l1 = Ä l2 . Ä l1 + Ä l 2 = 180ο , άρα Ä l1 = Ä l 2 = 90ο . Όµως Ä Οπότε η διάµεσος Α∆ είναι και διχοτόµος και ύψος. Το ίδιο ισχύει και για τις διαµέσους ΒΕ και ΓΖ. ∆ηλαδή στο ισόπλευρο τρίγωνο κάθε διάµεσος του είναι ύψος και διχοτόµος του.
4.
Σχεδίασε ένα τρίγωνο ΑΒΓ. α. Βρες το µέσο ∆ της πλευράς ΑΒ, το µέσο Ε της πλευράς ΒΓ και το µέσο Ζ της πλευράς ΓΑ. β. Σχεδίασε τη διάµεσο ΑΕ του τριγώνου ΑΒΓ που τέµνει τη Ζ∆ στο σηµείο Μ. Σύγκρινε µε το διαβήτη τα τµήµατα ∆Μ και ΜΖ. Τι παρατηρείς;
" Λύση Παρατηρούµε ότι τα τµήµατα ∆Μ και ΜΖ είναι ίσα.
506
5.
∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ: α. Φέρε τις διαµέσους ΑΜ και ΒΝ και ονόµασε µε το γράµµα Θ το σηµείο στο οποίο τέµνονται. β. Μετά σχεδίασε την ευθεία ΓΘ και ονόµασε µε το γράµµα Ρ το σηµείο στο οποίο η ευθεία ΓΘ τέµνει την πλευρά ΑΒ. γ. Σύγκρινε µε το διαβήτη τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΡ και ΒΡ. Τι παρατηρείς;
" Λύση β.
α. N
N
M
M
γ. Τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΡ και ΒΡ είναι ίσα. 6.
Σχεδίασε ένα τρίγωνο ΑΒΓ, πάρε το µέσο Μ της πλευράς ΒΓ και χάραξε από το σηµείο Μ µια ευθεία ε παράλληλη προς την πλευρά ΑΒ του τριγώνου. Αν το σηµείο στο οποίο τέµνει την πλευρά ΑΓ το ονοµάσεις Ν, να συγκρίνεις τα τµήµατα ΑΝ και ΝΓ. Τι παρατηρείς;
" Λύση Τα τµήµατα ΑΝ και ΝΓ είναι ίσα. N
M
507
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ
ÃÉÁ ÔÏ ÓÐÉÔÉ
Να συµπληρώσεις τον παρακάτω πίνακα µε τα σχήµατα των αντίστοιχων τριγώνων. ΤΡΙΓΩΝΑ
ΟΞΥΓΩΝΙΟ
ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ
ΑΜΒΛΥΓΩΝΙΟ
Γ
B ΣΚΑΛΗΝΟ
A
Γ
A
A
B
A
B
Γ
A ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ
B
B
Γ
Γ
A ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
∆εν υπάρχει
B
508
Γ
∆εν υπάρχει
7.
Αντέγραψε σε τετραγωνισµένο χαρτί, τα παρακάτω τρίγωνα και σχεδίασε τα ύψη τους.
Π K
Λ
M
N
8.
Σχεδίασε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ= ΑΓ) και φέρε το ύψος που αντιστοιχεί στη πλευρά ΒΓ. Σύγκρινε τα τρίγωνα στα οποία χωρίστηκε το ΑΒΓ.
9.
Σχεδίασε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και βρες το µέσο Κ της πλευράς ΑΒ. α. Φέρε από το Κ παράλληλη προς τη ΒΓ και ονόµασε Ε το σηµείο, στο οποίο η παράλληλη αυτή τέµνει την ΑΓ. Σύγκρινε τα τµήµατα ΑΕ και ΕΓ. β. Φέρε από το Κ την παράλληλη προς την ΑΓ και ονόµασε Ζ το σηµείο, στο οποίο η παράλληλη αυτή τέµνει την ΒΓ. Σύγκρινε τα τµήµατα ΒΖ και ΖΓ.
10. Σχεδίασε από κάθε κορυφή ενός τριγώνου ευθεία παράλληλη προς την απέναντι πλευρά και σύγκρινε τα τρίγωνα που σχηµατίζονται µεταξύ τους και µε το αρχικό τρίγωνο.
509
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Σχεδίασε διάφορα τυχαία ορθογώνια, αµβλυγώνια, και οξυγώνια τρίγωνα, όπως π.χ. αυτά που φαίνονται πιο κάτω. Μέτρησε τις γωνίες τους µε το µοιρογνωµόνιο και υπολόγισε το άθροισµά τους. Μπορείς να διατυπώσεις κάποιο συµπέρασµα;
Γ A
B
Γ
A
l = 90D Á l = 52D Â
B l = 110D Á l = 35D Â
l = 75D Á l = 65D Â
à = 38D à = 35D à = 40D Παρατηρώ ότι σε κάθε τρίγωνο όλες του οι γωνίες έχουν άθροισµα 180ο .
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 2ç Προσπάθησε να διαπιστώσεις ποια διάµεσος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι άξονας συµµετρίας του και γιατί.
"Απάντηση Η διάµεσος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ που περιέχεται µεταξύ των ίσων πλευρών του ΑΒ και ΑΓ, είναι άξονας συµµετρίας του τριγώνου, γιατί αν διπλώσουµε το σχήµα κατά µήκος της Α∆, τα τρίγωνα ΑΒ∆ και l = Ã , Β∆ = ∆Γ). Α∆Γ θα συµπέσουν (έχουν ΑΒ=ΑΓ, Â
510
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 3ç Προσπάθησε να διερευνήσεις πόσους άξονες συµµετρίας έχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο και γιατί.
" Λύση Στο ισόπλευρο τρίγωνο κάθε διάµεσος του είναι ύψος και διχοτόµος του γιατί είναι άξονας συµµετρίας του τριγώνου. Οπότε ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει 3 άξονες συµµετρίας.
511
1.
Τοποθέτησε ένα “x” στην αντίστοιχη θέση. α. Οι προσκείµενες γωνίες στη βάση
Σωστό Λάθος
ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. l +Â l + Ã = 90D . β. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει Á
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
Χ
γ. Κάθε ισόπλευρο τρίγωνο έχει
όλες τις γωνίες ίσες µε 30D . δ. Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει δύο αµβλείες γωνίες. ε. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο, η διάµεσος
που αντιστοιχεί στη βάση είναι και διχοτόµος. στ. Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο οι
ευθείες των πλευρών είναι άξονες συµµετρίας. ζ. Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο οι ευθείες
των υψών είναι άξονες συµµετρίας. η. Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο κάθε
διάµεσος είναι και ύψος. θ. Σε κάθε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο οι
προσκείµενες γωνίες στη βάση είναι 60D . 2.
l = 75D και Ã = 35D και υποΣχεδίασε ένα τρίγωνο ΑΒΓ, ώστε να είναι Â l. λόγισε τη γωνία Á
" Λύση Έστω ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ. Τοποθετούµε το κέντρο του µοιρογνωµονίου στο Β και κατά µήκος της ΒΓ. Φέρνουµε ηµιευθεία Βx τέτοια ώστε l = 75D . ÃÂx Όµοια τοποθετούµε το κέντρο του µοιρογνωµονίου στο Γ και φέρνουµε ηµιευθεία = 35ο . Γy έτσι ώστε BÃy
x y
o
75
o
35
Το σηµείο τοµής των Βx και Γy είναι η κορυφή Α του τριγώνου ΑΒΓ. l +Â l + Ã = 180D Γνωρίζουµε ότι Á l + 75D + 35D = 180D ή Á l + 110D = 180D ή Á l = 180D − 110D = 70D . άρα Á
512
3.
l = 90D , Â l = 60D Σχεδίασε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ώστε να είναι A και ΑΒ=4,2 cm. α. Υπολόγισε τη γωνία Ã .
β. Μέτρησε την πλευρά ΒΓ και σύγκρινε το µήκος της µε το µήκος της πλευράς ΑΒ.
" Λύση l . Πάνω στην Αx θεωρούµε σηµείο Β τέΣχεδιάζουµε µία ορθή γωνία xÁy τοιο, ώστε ΑΒ=4,2 cm. Με το µοιρογνωµόνιο σχεδιάζουµε ηµιευθεία l = 60ο . Βz τέτοια, ώστε ÁÂz
α. β.
4.
y z
Γ
Το σηµείο τοµής των ηµιευθειών Βz, Αy είναι η κορυφή Γ του τριγώνου ΑΒΓ. l +Â l + Ã = 180D άρα 90D + 60D + Ã = 180D Είναι Á ή 150D + Ã = 180D ή Ã = 180D − 150D = 30D . Μετράµε την πλευρά ΒΓ και προκύπτει ΒΓ=8,4 cm. Παρατηρούµε ότι η ΒΓ είναι διπλάσια της ΑΒ.
A
B
x
Στο διπλανό σχέδιο είναι ε1 // ε 2 . l . â, ãl , ä Να υπολογίσεις τις γωνίες á,
" Λύση 52D , είναι κατακορυφήν, οπότε á = 52D . Οι γωνίες á, και 48D είναι εντός εκτός και επί τα αυτά, άρα ä = 48D . Οι γωνίες ä ã,ä βρίσκονται στο ίδιο τρίγωνο, Οι γωνίες á, + ã + ä = 180D á 52D + ã + 48D = 180D ã + 100D = 180D
οπότε:
ã = 180D − 100D = 80D . Οι γωνίες â και ã είναι κατακορυφήν, οπότε â = ã = 80D .
513
5.
l. Στα παρακάτω σχήµατα είναι å1 // å2 . Να υπολογίσεις τη γωνία ö
" Λύση Στο πρώτο σχήµα έχουµε: και 72D είναι κατακορυφήν, οπότε á = 72D . Οι γωνίες á â, 35ο , βρίσκονται στο ίδιο τρίγωνο, Οι γωνίες á,
+ â + 35D = 180D ή 72D + â + 35D = 180D ή άρα: á â + 107D = 180D ή â = 180D − 107D = 73D . l και β είναι κατακορυφήν άρα φ l = β = 73D Οι γωνίες φ Στο δεύτερο σχήµα έχουµε: και 35D είναι εντός εκτός και επί τα αυτά, άρα ä = 35D . Οι γωνίες ä Οι γωνίες ã και 102D είναι παραπληρωµατικές, άρα ã + 102D = 180D ή ã = 180D − 102D = 78D . l ã,ä βρίσκονται στο ίδιο τρίγωνο, Οι γωνίες ö,
l + ã + ä = 180D άρα: ö l + 113D = 180D ö ή 6.
l + 78D + 35D = 180D ö l = 180D − 113D = 67D . ή ö
ή
l. Στο διπλανό σχήµα είναι ÁÂ // ÃÄ . Υπολόγισε τη γωνία ù
" Λύση και 40D είναι εντός εναλλάξ, άρα á = 40o . Οι γωνίες á
514
= 180D Στο τρίγωνο ΕΓ∆ ισχύει: â + 42D + á â + 42o + 40o = 180o â + 82o = 180o â = 180o − 82o = 98o l είναι παραπληρωµατικές, έχουµε Επειδή οι γωνίες â και ù l = 180o ή 98o + ù l = 180o ή ù l = 180o − 98o = 82 o . â + ù
7.
Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η γωνία που είναι απέναντι από τη βάση είναι 74 o . Να υπολογίσεις τις υπόλοιπες γωνίες του.
" Λύση l = 74 o . Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε βάση ΒΓ και A Επειδή οι γωνίες που αντιστοιχούν στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου l = Ã = ö l. είναι ίσες, έχουµε Â
Είναι:
l +Â l + Ã = 180o Á l +ö l = 180o 74 o + ö
l = 180o − 74 o 2ö l = 106 o 2ö o
l = 106 = 53o ö 2 l = Ã = 53o . Άρα Â
8.
l = 36 o και η γωνία Â l είναι διπλάσια από την Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι A l και Ã . Ã . Υπολόγισε τις γωνίες Β
" Λύση l , τότε Â l = 2ö l. Έστω ότι Ã = ö l +Â l + Ã = 180o Á Είναι: l +ö l = 180o 36o + 2ö l = 180o − 36 o 3ö l = 144 o 3ö o
l = 144 = 48o ö 3 D l Άρα Ã = 48 και Â = 2 ⋅ 48o = 96 o .
515
9.
l είναι διπλάσια από την Â l και η Ã είναι Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία A l . Να υπολογίσεις τις γωνίες του τριγώνου. τριπλάσια από τη Â
" Λύση l =ö l . Τότε Á l = 2ö l και Ã = 3ö l Έστω ότι Â l +Â l + Ã = 180o Á Είναι: l +ö l + 3ö l = 180o 2ö l = 180o 6ö o
l = 180 = 30o ö 6 o o l l Άρα Â = 30 , Á = 2 ⋅ 30 = 60o και Ã = 3 ⋅ 30o = 90o . 10. Να σχεδιάσεις ένα τετράπλευρο ΑΒΓ∆, να πάρεις ένα σηµείο Ο στο εσωτερικό του και να φέρεις τις ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ και Ο∆. Να υπολογίσεις το l , ÂÏÃ l , ÃÏÄ l και ÄÏÁ l και στη συνέχεια το άθροισµα των γωνιών AÏÂ άθροισµα των γωνιών του ΑΒΓ∆.
" Λύση l =Ï l 1 , ÂÏÃ l =Ï l 2 , ÃÏÄ l =Ï l 3 και ÄÏÁ l =Ï l 4 ορίζουν ένα Οι γωνίες AÏÂ πλήρη κύκλο, οπότε έχουν άθροισµα 360o . A
Δ
O B Γ
Καθένα από τα τρίγωνα ΑΟΒ, ΒΟΓ, ΓΟ∆ και ∆ΟΑ έχει άθροισµα γωνιών ίσο µε 180o . Οπότε το άθροισµα των γωνιών και των τεσσάρων τριγώνων, έχουµε: l +Â l + Ã + Ä l +Ï l1 + Ï l2 + Ï l3 + Ï l 4 = 4 ⋅ 180ο Á l +Â l + Ã + Ä l + 360ο = 720ο Á l +Â l + Ã + Ä l = 720ο − 360ο = 360ο Á
516
11. Στο διπλανό σχήµα είναι å1 // å 2 και οι Αx, Βx είναι διχοτόµοι δύο εντός και επί τα αυτά µέρη γωνιών που τέµνονται στο Γ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.
" Λύση l και 2ù l είναι εντός και επί τα αυτά µέρη, Οι γωνίες 2ö ο
l + 2ù l = 180ο άρα ö l +ù l = 180 = 90ο . οπότε 2ö 2 l l Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε: Á + Â + Ã = 180ο l +ö l + Ã = 180ο ù 90ο + Ã = 180ο Ã = 180ο − 90ο = 90ο
l =Â l + Ã 12. Να αποδείξετε ότι ö
" Λύση Είναι άρα
l +Â l + Ã = 180ο Á l + Ã = 180ο − Á l Â
l και Á l είναι παραπληρωµατικές, Οι γωνίες ö l+Á l = 180ο ή ö l = 180ο − Á l οπότε: ö Άρα
l =Â l + Ã . ö
l του παρακάτω σχήµατος. 13. Να υπολογιστεί η γωνία Ä
517
" Λύση l +Â l + Ã = 180ο Á l + 2ù l = 180ο 50ο + 2ö l + 2ù l = 180ο − 50ο 2ö
Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι:
ο
l +ù l = 130 = 65ο . ö 2 l l l = 180ο Στο τρίγωνο Β∆Γ είναι: Ä + ö + ù l + 65ο = 180ο Ä l = 180ο − 65ο = 115ο . Ä
518
14. Να δικαιολογήσεις γιατί: α. Κάθε ορθογώνιο τρίγωνο έχει µόνο µία ορθή γωνία. β. Κάθε αµβλυγώνιο έχει µόνο µία αµβλεία γωνία. l = 70o και 15. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο να είναι ΒΓ=3 cm, Â Ã = 50o . l. α. Να µετρήσετε τη γωνία Á l. β. Να υπολογίσετε τη γωνία Á l = 90o , 16. Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο να είναι Á Ã = 60o και ΑΓ=3 cm.
α. Να υπολογίσετε τη γωνία Β. β. Να µετρήσετε τη πλευρά ΒΓ και να συγκρίνετε το µήκος της µε το µήκος της πλευράς ΑΓ. l. 17. Στα παρακάτω σχήµατα είναι å1 // å2 . Να υπολογίσετε τη γωνία ö
l είναι 60o και η γωνία Â l είναι πενταπλάσια 18. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Á l και Ã του τριγώνου. της γωνίας Ã . Να υπολογίσεις τις γωνίες Â
(Απ.
20o , 100o )
19. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο µία γωνία που αντιστοιχεί στη βάση του είναι 50o . Να βρεις τις υπόλοιπες γωνίες του. (Απ.: 50o , 80o )
519
20. Στο διπλανό σχήµα να αποδείξετε ότι + â + ã = 360o . á
21. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και η ∆Ε είναι παράλληλη στη ΒΓ. Αν l = 70o , να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώÄ
νου ΑΒΓ.
(Απ:.
70o , 70o , 40o )
22. Να υπολογίσετε τη γωνία ∆ του διπλανού σχήµατος. A
B
Γ
(Απ:.
520
60o )
ÄÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ Η υπηρεσία οδικής ασφάλειας αποφάσισε να βάψει το οδόστρωµα σε όλες τις διασταυρώσεις µε έντονο κίτρινο χρώµα. Για να κάνει τους υπολογισµούς της, πρέπει να βρεθεί το ακριβές σχήµα του οδοστρώµατος στο κοινό µέρος δύο δρόµων, σε κάθε διασταύρωση. Με την προϋπόθεση ότι οι δρόµοι που διασταυρώνονται είναι ευθείες, προσπάθησε να βρεις όλες τις περιπτώσεις των τετράπλευρων που σχηµατίζουν οι δρόµοι: α. όταν έχουν το ίδιο πλάτος και τέµνονται καθέτως. β. όταν έχουν διαφορετικό πλάτος και τέµνονται καθέτως. γ. όταν έχουν το ίδιο πλάτος και τέµνονται πλαγίως. δ. όταν έχουν διαφορετικό πλάτος και τέµνονται πλαγίως.
" Απάντηση α.
Όταν οι δρόµοι που διασταυρώνονται έχουν το ίδιο πλάτος και τέµνονται κάθετα, τότε το κοινό µέρος των δύο δρόµων είναι ένα τετράγωνο.
β. Στη περίπτωση που οι δρόµοι τέµνονται κάθετα αλλά δεν έχουν το ίδιο πλάτος, το σχήµα που σχηµατίζεται είναι ορθογώνιο. γ.
Όταν οι δρόµοι έχουν το ίδιο πλάτος αλλά τέµνονται πλαγίως, το σχήµα που σχηµατίζεται είναι ρόµβος. δ. Όταν οι δύο δρόµοι δεν έχουν το ίδιο πλάτος και τέµνονται πλαγίως, τότε στη διασταύρωσή του σχηµατίζεται παραλληλόγραµµο.
521
1.
Τοποθέτησε ένα “x” στην αντίστοιχη θέση. Σωστό Λάθος α. Ένα τετράγωνο είναι και ρόµβος.
Χ
X
β. Ένας ρόµβος είναι τετράγωνο.
X
Χ
Χ
X
X
Χ
X
Χ
γ. Κάθε διαγώνιος ορθογωνίου παραλληλογράµµου το χωρίζει σε δύο ορθογώνια τρίγωνα. δ. Κάθε διαγώνιος ρόµβου τον χωρίζει σε δύο ισόπλευρα τρίγωνα. ε. Κάθε διαγώνιος ισοσκελούς τραπεζίου το χωρίζει σε δύο ισοσκελή τρίγωνα. 2.
Πόσα ισοσκελή τρίγωνα σχηµατίζονται σε ένα ισοσκελές τραπέζιο, που έχει τρεις πλευρές ίσες, όταν φέρουµε τις δύο διαγώνιές του; ∆ικαιολόγησε την απάντηση σου.
" Λύση Έστω ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ = Α∆ = Γ∆ και Α∆ // ΒΓ. Τα τρίγωνα ΑΒ∆ και Α∆Γ είναι ισοσκελή και ίσα γιατί έχουν ΑΒ = Α∆ = ∆Γ και l2 = Ä l 1 και Γ 2 = Α l1 . συνεπώς Β l1 = Ä l 1 ως εντός εναλλάξ Επίσης Â l1 = Β l 2 και όµοια Γ 1 = Ã 2 . άρα Â
O
l l 1 = Β = Γ = Γ 1 Έτσι Â 2 2 άρα το ΟΒΓ είναι ισοσκελές. l1 = Ä l 1 άρα και το ΟΑ∆ είναι ισοσκελές. Αντίστοιχα ισχύει Α Επειδή ΑΒ = Α∆ = ∆Γ τα τρίγωνα ΑΒ∆ και Α∆Γ είναι ισοσκελή. Συνολικά σχηµατίζονται 6 ισοσκελή τρίγωνα.
522
3.
Με τέσσερα σπίρτα (ολόκληρα και ίσα) ποια τετράπλευρα µπορείς να κατασκευάσεις; ∆ικαιολόγησε την απάντηση σου.
" Λύση Αν τα τέσσερα σπίρτα τοποθετηθούν πλάγια, τότε κατασκευάζεται ρόµβος,
ενώ αν τοποθετηθούν έτσι ώστε να σχηµατίζεται µια ορθή γωνία, τότε κατασκευάζεται τετράγωνο.
4.
Με δύο ολόκληρα και δύο µισά σπίρτα µπορείς να κατασκευάσεις παραλληλόγραµµα και ποια; ∆ικαιολόγησε την απάντηση σου.
" Λύση Αν τα τέσσερα σπίρτα τοποθετηθούν πλάγια, τότε κατασκευάζεται παραλληλόγραµµο,
ενώ αν τοποθετηθούν έτσι ώστε να σχηµατίζεται µια ορθή γωνία, τότε κατασκευάζεται ορθογώνιο.
523
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ
ÃÉÁ ÔÏ ÓÐÉÔÉ
Προσπάθησε να χωρίσεις τα πιο κάτω τετράπλευρα σε οµάδες. ∆ώσε από ένα όνοµα στο καθένα. Προσπάθησε να δικαιολογήσεις τον χωρισµό σε οµάδες που έκανες.
" Απάντηση Μια οµάδα αποτελούν τα τετράπλευρα 2, 4 και 7 γιατί είναι παραλληλόγραµµα. Το 2 είναι ρόµβος, το 4 είναι πλάγιο παραλληλόγραµµο και το 7 είναι ορθογώνιο. Μια άλλη οµάδα αποτελούν τα τετράπλευρα 3, 5, 6 και 8 γιατί είναι τραπέζια. Από αυτά τα 6 και 8 είναι ισοσκελή τραπέζια. Τέλος το 1 είναι τυχαίο τετράπλευρο.
524
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 1ç Προσπάθησε να διαπιστώσεις εάν το παραλληλόγραµµο έχει κέντρο συµµετρίας.
" Απάντηση Με στροφή του παραλληλογράµµου κατά 180o γύρω από το σηµείο τοµής Ο των διαγωνίων του διαπιστώνουµε ότι το παραλληλόγραµµο συµπίπτει µε τον εαυτό του. Οπότε το σηµείο τοµής των διαγωνίων του παραλληλογράµµου είναι κέντρο συµµετρίας του. Ισχύει ότι: ΟΑ = ΟΓ, ΟΒ = Ο∆, l = Ã , Â l=Ä l, Á
O
ΑΒ = Γ∆, Α∆ = ΒΓ.
Ä Ñ Á Ó Ô Ç Ñ É Ï Ô Ç Ô Á 2ç Προσπάθησε να βρεις τους άξονες συµµετρίας: α. του ορθογωνίου, β. του ρόµβου, γ. του τετραγώνου, δ. του ισοσκελούς τραπεζίου.
525
" Απάντηση –
Στο ορθογώνιο ΑΒΓ∆ από το σηµείο τοµής Ο των διαγωνίων του φέρνουµε ευθείες å1 êáé å2 τέτοιες, ώστε: η å1 να είναι κάθετη στις Α∆, ΒΓ και η å2 κάθετη στις ΑΒ,
O
Γ∆. Αν διπλώσουµε το σχήµα κατά µήκος της å1 θα διαπιστώσουµε ότι τα δύο µέρη του ορθογωνίου συµπίπτουν. Το ίδιο θα συµβεί αν διπλώσουµε το σχήµα και κατά µήκος της å2 . Άρα οι å1 ,å2 είναι άξονες συµµετρίας του ορθογωνίου. Εποµένως ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ = Ο∆ και ΑΓ = Β∆. – Με δίπλωση διαπιστώνουµε ότι οι διαγώνιες του ρόµβου είναι άξονες συµµετρίας του. l1 = Á l2 , l1 = Â l2 , Â Άρα Á
à 1 = à 2 , l = à ,  l=Ä l, Á
l1 = Ä l2 , Ä
ΟΑ = ΟΓ, l1 = Ï l 2 = 90D . Ï
ΟΒ = Ο∆, Με δίπλωση διαπιστώνουµε ότι οι ευθείες ε1 ,ε2 ,ε 3 ,ε 4 είναι άξονες συµµετρίας του τετράγωνου. Επειδή το τετράγωνο είναι ορθογώνιο και ρόµβος έχει όλες τις ιδιότητες των δύο προηγούµενων σχηµάτων. –
Στο ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ (ΑΒ = Γ∆), µε δίπλωση διαπιστώνουµε ότι η ευθεία ε που διέρχεται από τα µέσα Μ, Ν των βάσεων του, είναι άξονες συµµετρίας του. l=Ä l, l = à και Οπότε Á l1 = Ì l2 = Í l1 = Í l 2 = 90D Ì
526
O
1.
Σχεδίασε ένα ορθογώνιο, ένα ρόµβο και ένα τετράγωνο µε τις διαγώνιες τους και εξέτασε εάν τα τρίγωνα στα οποία χωρίζεται το καθένα από τις διαγώνιες είναι ίσα.
" Λύση Με διαφανές χαρτί διαπιστώνουµε ότι: – Στο ορθογώνιο ΑΒΓ∆ του διπλανού σχήµατος, τα τρίγωνα ΑΒ∆, Α∆Γ , ΒΓ∆, και ΑΒΓ είναι ίσα. Επίσης τα τρίγωνα ΑΟ∆ και ΒΟΓ είναι ίσα, καθώς και τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟ∆. –
–
Στο ρόµβο ΑΒΓ∆ έχουµε: Τα τρίγωνα ΑΒ∆ και ΒΓ∆ είναι ίσα. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓ∆ είναι ίσα. Τα τρίγωνα ΑΟΒ, ΑΟ∆, ΒΟΓ, ΓΟ∆ είναι ίσα.
Στο τετράγωνο ΑΒΓ∆ έχουµε: Τα τρίγωνα ΑΒ∆, Α∆Γ, ΒΓ∆, και ΑΒΓ είναι ίσα. Τα τρίγωνα ΑΟΒ, ΒΟΓ, ΓΟ∆ και ∆ΟΑ είναι ίσα.
O
O
O
527
2.
Σχεδίασε ένα ορθογώνιο ΑΒΓ∆ και µε διάµετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράψε ένα κύκλο. ∆ικαιολόγησε το γεγονός ότι ο κύκλος αυτός περνάει από όλες τις κορυφές του ορθογωνίου.
" Λύση Ο κύκλος µε διάµετρο την ΑΓ έχει ως κέντρο το σηµείο τοµής Ο των διαγωνίων του ορθογωνίου. Οι διαγώνιες όµως του ορθογωνίου διχοτοµούνται και είναι ίσες, άρα ΟΑ = ΟΒ = ΟΓ= Ο∆, οπότε ο κύκλος αυτός περνάει από όλες τις κορυφές του ορθογωνίου. 3.
O
Σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ φέρε τη διαγώνιο Β∆ και µετά σύγκρινε τις αποστάσεις των κορυφών Α και Γ απ’ αυτή.
" Λύση Έστω ΑΑ΄ και ΓΓ΄ οι κάθετες από τις κορυφές Α και Γ προς τη Β∆ αντίστοιχα. Με το διαβήτη µετράµε το ΑΑ΄ και το συγκρίνουµε µε το ΓΓ΄. Παρατηρούµε ότι είναι ίσα. ∆ηλαδή οι κορυφές Α και Γ του ορθογωνίου ΑΒΓ∆ ισαπέχουν από τη διαγώνιο Β∆. 4.
Σχεδίασε ένα παραλληλόγραµµο και από τις κορυφές του φέρε παράλληλες ευθείες προς τις διαγωνίους του. Τι παρατηρείς;
" Λύση Έστω παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ µε διαγώνιες τις ΑΓ και Β∆. Έστω ότι οι ευθείες å1,å3 είναι παράλληλες προς την Β∆ και διέρχονται από τις κορυφές Α και Γ του ΑΒΓ∆ αντίστοιχα. Έστω οι ευθείες å2 ,å4 οι οποίες διέρχονται από τα Β, ∆ αντίστοιχα και είναι παράλληλες προς την ΑΓ.
528
Έστω Κ, Λ, Μ, Ν τα σηµεία στα οποία τέµνονται οι ευθείες å1,å3 å2 ,å4 . Επειδή οι å1,å3 είναι παράλληλες στην Β∆, θα είναι και µεταξύ τους παράλληλες, οπότε ΚΛ // ΜΝ. Επειδή οι å2 ,å4 είναι παράλληλες στην ΑΓ, θα είναι και µεταξύ τους παράλληλες, οπότε ΜΛ //ΚΝ. Άρα το ΚΛΜΝ έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες και είναι παραλληλόγραµµο. 5.
Σχεδίασε τις διχοτόµους των γωνιών ενός πλάγιου παραλληλόγραµµου. Τι παρατηρείς για το σχήµα που δηµιουργείται απ’ αυτές, εάν προεκταθούν;
" Λύση Με το διαβήτη κατασκευάζουµε τις διl , Â, l à , Ä l οι οχοτόµους των γωνιών Á ποίες ανά δύο τέµνονται στα σηµεία Κ, Λ, Μ, Ν. Το ΚΛΜΝ είναι ορθογώνιο γιατί: Στο τρίγωνο ΑΒΛ είναι l +ö l+Ë l = 180o (1). ù
K N
Λ M
l êáé 2ö l είναι εντός και επί τα αυτά Όµως οι γωνίες 2ù l + 2ö l = 180o ή ù l +ö l = 90o . οπότε: 2ù l = 180o ή Ë l = 180o − 90o = 90o . Άρα η σχέση (1) γίνεται: 90D + Ë l, á είναι κατακορυφήν, οπότε á =Ë l = 90o . Οι γωνίες Ë Όµοια αποδεικνύουµε ότι και = 90o και το ΚΛΜΝ είναι ορθογώνιο. â = ã = ä 6.
Σχεδίασε τις διχοτόµους των γωνιών ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου. Τι παρατηρείς για το σχήµα που δηµιουργείται απ’ αυτές, εάν προεκταθούν; Επίσης τις διχοτόµους των γωνιών α. ενός τετραγώνου και β. ενός ρόµβου. Τι παρατηρείς;
529
" Λύση Με τη βοήθεια του διαβήτη κατασκευάζουµε τις διχοτόµους των γωνιών l , Â, l à , Ä l. Á
K Λ
Το τετράπλευρο ΚΛΜΝ που ορίζεται, είναι τετράγωνο.
N M
Στο τετράγωνο και στο ρόµβο οι διαγώνιες τους είναι και διχοτόµοι των γωνιών τους.
O
O
Άρα οι διχοτόµοι περνούν όλες από το Ο.
7.
Σχεδίασε τα ύψη των τριγώνων ΑΒ∆ και ∆ΒΓ, τα οποία σχηµατίζονται, όταν φέρεις τη διαγώνιο Β∆ του τραπεζίου ΑΒΓ∆. Μέτρησε τα ύψη των δύο αυτών τριγώνων µε το υποδεκάµετρο. Τι παρατηρείς; (∆ικαιολόγησε την απάντηση σου).
" Λύση Έστω ΑΗ, ΒΕ, ∆Ζ τα ύψη του τριγώνου ΑΒ∆ και ΒΘ, ΓΙ, ∆Κ τα ύψη του τριγώνου Β∆Γ. Με το υποδεκάµετρο διαπιστώνουµε ότι το ύψος ΒΕ του ΑΒ∆ και το ύψος ∆Κ του Β∆Γ είναι ίσα. Αυτό συµβαίνει γιατί τα ύψη ΒΕ και ∆Κ είναι αποστάσεις των παραλλήλων Α∆ και ΒΓ.
530
K
8.
Πάνω σε δύο µη αντικείµενες ηµιευθείες Οx και Οy, πάρε τα σηµεία Α και Β αντίστοιχα έτσι, ώστε ΟΑ = ΟΒ. Από το Α φέρε Αy΄// Oy και από το Β την Βx΄ // Οx. Ονόµασε Κ το σηµείο τοµής των Αy΄ και Βx΄. Φέρε τις διαγώνιες του ΑΟΒΚ και διαπίστωσε τη σχετική τους θέση. Επίσης, σύγκρινε µεταξύ τους τις αποστάσεις του Ο από τις ευθείες Αy΄ και Βx΄ και του Κ από τις Οx και Οy.
" Λύση Το ΑΟΒΚ έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες και δύο διαδοχικές πλευρές του (ΟΑ = ΟΒ) ίσες, οπότε είναι ρόµβος και οι διαγώνιες του διχοτοµούνται κάθετα. Οι ΟΓ, Ο∆ είναι οι αποστάσεις του Ο από τις Αy’ και Βx’ αντίστοιχα και µε το διαβήτη διαπιστώνουµε ότι είναι ίσες. Οι ΚΖ, ΚΕ είναι οι αποστάσεις του Κ από τις Οx και Οy αντίστοιχα και µε το διαβήτη διαπιστώνουµε ότι είναι ίσες. 9.
y
K
x
Σχεδίασε ένα τετράπλευρο ΑΒΓ∆ έτσι, ώστε ανά δύο οι διαδοχικές πλευρές του να είναι κάθετες. Αν ΑΒ = 3 cm και ΒΓ = 4 cm, να βρεις: α. το µήκος των Γ∆ και Α∆ και β. Το µήκος των Β∆ και ΑΓ, µε τη βοήθεια του υποδεκάµετρου. Τι παρατηρείς;
" Λύση
α.
β.
Επειδή το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ έχει ανά δύο τις διαδοχικές πλευρές του κάθετες, είναι ορθογώνιο. Οι ΑΒ, Γ∆ καθώς και οι Α∆, ΒΓ είναι απέναντι πλευρές του ορθογωνίου, οπότε είναι ίσες. ∆ηλαδή Γ∆=3 cm και Α∆= 4 cm. Με το υποδεκάµετρο βρίσκουµε ότι ΑΓ = Β∆ = 5 cm.
531
10. Η µία πλευρά ενός παραλληλογράµµου είναι 4 cm και η περίµετρος του είναι 20 cm. Βρες τις άλλες πλευρές του.
" Λύση Έστω ότι στο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ του διπλανού σχήµατος είναι ΑΒ = 4 cm και η περίµετρος του είναι 20cm. Οι Γ∆, ΑΒ είναι απέναντι πλευρές του παραλληλογράµµου, οπότε είναι ίσες. ∆ηλαδή Γ∆ = 4 cm. Επειδή η περίµετρος του ΑΒΓ∆ είναι 20 cm και οι ΑΒ, Γ∆ είναι από 4 cm, οι πλευρές Α∆, ΒΓ έχουν άθροισµα µηκών: 20 cm − 2 ⋅ 4 cm=12 cm . 12 cm = 6 cm . Επειδή επιπλέον οι Α∆, ΒΓ είναι ίσες, έχουµε: ÁÄ = ÂÃ = 2 11. Η µία πλευρά ενός παραλληλογράµµου είναι 6 cm και η περίµετρος του είναι ίση µε την περίµετρο ενός τετραγώνου µε πλευρά 7 cm. Βρες τις άλλες πλευρές του παραλληλογράµµου.
" Λύση Έστω το παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ = 6 cm. Τότε είναι και Γ∆ = 6 cm γιατί ΑΒ = Γ∆. Επειδή το παραλληλόγραµµο έχει την ίδια περίµετρο µε ένα τετράγωνο πλευράς 7 cm, η περίµετρος του είναι 4 ⋅ 7 cm = 28 cm . Οπότε οι πλευρές Α∆ και ΒΓ έχουν άθροισµα µηκών: 28 cm − 2 ⋅ 6 cm = 28 cm − 12 cm = 16 cm Επειδή οι Α∆ και ΒΓ είναι ίσες, το µήκος τους είναι: 16 ÁÄ = ÂÃ = cm = 8 cm . 2
532
l ενός ρόµβου είναι 32o . Υπολόγισε όλες τις γωνίες του. 12. Η γωνία Á
" Λύση l êáé Â l είναι εντός και επί τα αυτά µέρη Οι γωνίες Á των παραλλήλων Α∆ // ΒΓ που τέµνονται από την ΑΒ. Οπότε: l +Â l = 180o Á
l = 180o 32o + Â l = 180o − 32o = 148o . Â Επειδή οι απέναντι γωνίες του ρόµβου είναι l = 32o και Ä l =Â l = 148o . ίσες, έχουµε: Ã = Á l ενός παραλληλογράµµου είναι 60ο. Φέρε τις διχοτόµους των 13. Η γωνία Á γωνιών του και υπολόγισε όλες τις γωνίες του σχήµατος.
" Λύση l êáé Â l είναι Επειδή οι γωνίες Á εντός και επί τα αυτά µέρη των παραλλήλων Α∆ // ΒΓ που τέµνονται από την ΑΒ, έχουµε: l +Â l = 180o Á l = 180o 60o + Â l = 180o − 60o = 120o . Â Επειδή οι απέναντι γωνίες του παραλληλογράµµου είναι ίσες έχουµε l = 60o και ∆ l =Â l = 120o Γ = Α
M
K N
Λ
ο l1 = Α l 2 = Γ 1 = Γ 2 = 60 = 30o Επειδή οι ΑΜ, ΓΝ είναι διχοτόµοι έχουµε Á 2 ο l1 = Β l2 = ∆ l1 = ∆ l 2 = 120 = 60o Αντίστοιχα Β 2 l l Στο τρίγωνο Α∆Μ έχουµε: Α1 + ∆1 + Μ = 180o l = 180ο 30o + 60o + Μ
l = 180ο 90o + Μ l = 90ο Μ l=Λ l =Ν l = 90ο Με τον ίδιο τρόπο δείχνουµε ότι Κ
533
14. Προέκτεινε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ, προς το Α κατά ίσα τµήµατα Α∆ = ΑΒ και ΑΕ = ΑΓ. Να εξετάσεις αν ∆Ε = ΒΓ. Τι συµπεραίνεις για το τετράπλευρο ΒΓ∆Ε;
" Λύση Με τη βοήθεια του διαβήτη διαπιστώνουµε ότι τα τµήµατα ΒΓ και ∆Ε είναι ίσα. Το τετράπλευρο ΒΓ∆Ε είναι παραλληλόγραµµο γιατί οι διαγώνιες του διχοτοµούνται.
534
15. Χάραξε τα ύψη ενός παραλληλογράµµου ΑΒΓ∆ που άγονται από την κορυφή Α, όταν η γωνία Α είναι οξεία. 16. Να κατασκευάσεις τετράγωνο µε περίµετρο 16 cm. 17. Υπολόγισε τις γωνίες ενός παραλληλογράµµου αν η µία του γωνία είναι 50ο. 18. Υπολόγισε καθεµία από τις γωνίες ενός ισοσκελούς τραπεζίου, αν γνωρίζεις ότι µία γωνία του είναι 48ο . 19. Μία πλευρά ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου είναι 7 cm και η περίµετρος του είναι 30 cm. Να υπολογίσεις τις άλλες πλευρές του. 20. Σχεδίασε ένα παραλληλόγραµµο και ένωσε τα µέσα των πλευρών του. Τι τετράπλευρο σχηµατίζουν; 21. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα, ποια όχι και γιατί;
N
Ξ
Υ
Π
O
Τ
535
22. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι: α. ορθογώνια β. ρόµβοι γ. τετράγωνα ποια όχι και γιατί; I. M
K
Π
Τ
Λ
II. K Λ
N
M
III.
K Λ
N M
23. Να βρεις δύο οµοιότητες και δύο διαφορές που αφορούν πλευρές, γωνίες ή διαγώνιες µεταξύ των σχηµάτων: α. Τετράγωνο – Ρόµβος β. Τετράγωνο – Ορθογώνιο γ. Ορθογώνιο – Ρόµβος
536
24. Τοποθέτησε ένα “x” στην αντίστοιχη θέση. Σωστό
Λάθος
α. Οι διαγώνιες του ρόµβου δεν είναι ίσες.
X
X
β. Όλες οι γωνίες του ρόµβου είναι ίσες.
X
X
γ. Ένας ρόµβος µε µία ορθή γωνία είναι τετράγωνο.
X
X
X
X
X
X
δ. Ένα παραλληλόγραµµο µε µία ορθή γωνία είναι τετράγωνο.
ε. Κάθε τετράγωνο είναι ρόµβος.
25. Σχεδίασε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ και φέρε τη διχοτόµο της γωνίας l που τέµνει την ΒΓ στο Ε. Να αποδείξεις ότι το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοÁ σκελές.
26. Σχεδίασε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ και σηµείωσε µε Ο το σηµείο τοµής των διαγωνίων του. Βρες τα µέσα Ε και Ζ των ΟΑ και ΟΓ αντίστοιχα και απόδειξε ότι το τετράπλευρο ΒΕ∆Ζ είναι παραλληλόγραµµο.
537
Α. Τοποθέτησε ένα “x” στην θέση που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΖΕΥΓΟΥΣ ΓΩΝΙΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΤΕΜΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ
ΣΧΕΣΗ ΙΣΕΣ
“ΕΝΤΟΣ ΕΝΑΛΛΑΞ”
x
“ΕΚΤΟΣ ΕΝΑΛΛΑΞ”
x
ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ
“ΕΝΤΟΣ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ”
x
“ΕΚΤΟΣ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ”
x
“ΕΝΤΟΣ - ΕΚΤΟΣ ΕΝΑΛΛΑΞ”
x
“ΕΝΤΟΣ - ΕΚΤΟΣ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ”
x
Β. Τοποθέτησε ένα “x” στην θέση που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. (Υπάρχουν και περιπτώσεις που περισσότερες από µία απαντήσεις είναι σωστές). 1. Το άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου είναι:
X 270o X 180o
X 90o
2. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διάµεσος, που αντιστοιχεί στη βάση, είναι και:
X Άξονας συµµετρίας X Ύψος X ∆ιχοτόµος 3. Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι εξωτερικές του γωνίες είναι ίσες µε:
X 145o X 270o X 120o
538
4. Σε κάθε ισοσκελές τραπέζιο είναι ίσες:
X Οι προσκείµενες σε κάθε βάση γωνίες του
X Όλες οι πλευρές του X Οι διαγώνιές του. 5. Σε κάθε ρόµβο οι διαγώνιες του είναι:
X Άξονες συµµετρίας X Κάθετες και διχοτοµούνται X ∆ιχοτόµοι των γωνιών του. 6. Σε κάθε ορθογώνιο παραλληλόγραµµο άξονες συµµετρίας είναι:
X Οι διαγώνιές του X Οι µεσοκάθετοι των πλευρών του
X Οι πλευρές του. 7. Σε κάθε τετράγωνο οι ευθείες των διαγωνίων του είναι:
X ∆ιχοτόµοι των γωνιών του
X Μεσοκάθετοι των πλευρών του X Άξονες συµµετρίας 8. Σε κάθε παραλληλόγραµµο είναι:
X Κέντρο συµµετρίας το σηµείο τοµής των διαγωνίων του
X Οι διαγώνιές του άξονες συµµετρίας X Οι διαγώνιές του διχοτοµούνται.
539
Γ.
Τοποθέτησε ένα “x” στην θέση που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΞΟΝΩΝ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ
ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΣΧΗΜΑΤΑ
0
1
ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ ΓΩΝΙΑ
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ΚΕΝΤΡΟ 11
12
ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ
x
x
x
x
x
ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗΝ ΓΩΝΙΕΣ ΕΝΤΟΣ ΕΝΑΛΛΑΞ
x
x
ΓΩΝΙΕΣ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
x
ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ
x
ΤΡΙΓΩΝΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ
x
ΤΡΙΓΩΝΟ ΤΡΑΠΕΖΙΟ
x
ΙΣΟΣΚΛΕΛΕΣ
x
ΤΡΑΠΕΖΙΟ ΤΥΧΑΙΟ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ
x x
x x
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΡΟΜΒΟΣ
540
x x
x
x x
