كتاب بحوث العمليات مصغر الطبعة السادسة

‫بحوث العمليات واألساليب الكمية في صنع القرارات اإلدارية‬

‫أ‪ .‬رن ـ ــد عمران مصطفى األسطل‬

‫جامعة فمسطيف‪.‬‬

‫كمية إدارة الماؿ واألعماؿ‪.‬‬

‫بحوث العمليات واألساليب الكمية‬ ‫في صنع القرارات اإلدارية‪.‬‬ ‫نسخت متطورة مزودة باألمثلت التطبيقيت الشاملت‪.‬‬ ‫أ‪ .‬رنــــد عمران مصطفى األسطل‬ ‫ماجستير إدارة أعماؿ‬

‫الطبعة السادسة‬ ‫‪6102‬‬

‫ـ‬

‫صفذخ ‪ 1‬يٍ ‪555‬‬


‫آية قرآنية‬

‫صفذخ ‪ 5‬يٍ ‪555‬‬




‫اإلهداء‬

‫إىل أعز الناس‬ ‫إلى مف ىما صاحبا الفضؿ بعد اهلل فيما وصمت إليو‪...‬‬ ‫إلى أعز و أحب الناس إلى قمبي ‪...‬‬ ‫إلى روح والدي الطاىرة‬

‫إلى الغالية أمي أطاؿ اهلل في عمرىا‬

‫إلى زوجي محمد و أطفالي لياف وحيدر‬ ‫إلى عزوتي وسندي اخوتي‬

‫إلى طمبة العمـ وكؿ مف يبحث عف ما ىو جديد‬ ‫إلى كؿ مف يقدر العمـ والعمماء‬

‫إلى طمبة وطالبات الجامعات في فمسطيف‬

‫إلى أعضاء ىيئة التدريس في كمية التجارة واالدارة والتمويؿ والماؿ واألعماؿ‬ ‫الى طمبة أكاديمية االدارة والسياسة لمدراسات العميا‬ ‫الى استاذتي االفاضؿ في الجامعة االسالمية‬ ‫إلى أسرى ومحرريف فمسطيف األوفياء‬

‫إلى شيداء فمسطيف الذيف افتدوا بدمائيـ وأرواحيـ الطاىرة‬ ‫وضحوا بكؿ غالي ونفيس‬

‫الى حماة الوطف الغالي وشيداء الثورات العربية رحمة اهلل عمييـ‬

‫إليهم مجيعاً أتقدم بهذا العمل املتواضع ‪ً ,,,‬‬ ‫صفذخ ‪ 3‬يٍ ‪555‬‬


‫مقدمة الكتاب‬


‫ً‬

‫بداية نيؿ عميكـ بمرجع جيد يفيد طمبة البكالوريوس في الجامعات الفمسطينية ويعتبر التأسيس‬

‫الياـ في مدخؿ عمـ بحوث العمميات واألساليب الكمية في صنع الق اررات ويحتوي ىذا الكتاب‬ ‫عمى تسعة فصوؿ دراسة متنوعة يشمؿ اإلطار النظري والعممي والتطبيقات الرياضية في مجاؿ‬ ‫بحوث العمميات‪.‬‬ ‫تـ إعداد الكتاب عمى عدة مراحؿ وأىميا الفصؿ األوؿ الذي يعتبر ركيزة أساسية في تعريؼ‬ ‫مفاىيـ ومبادئ بحوث العمميات‪ ,‬ويحتوي عمى الق اررات اإلدارية وتطور بحوث العمميات‪.‬‬

‫ويحتوي الفصؿ الثاني عمى كيفية صياغة المشكمة التي تواجو كثي ار مف المدراء ومتخذي الق اررات‬ ‫في المنظمات‪ .‬ويحتوي الفصؿ الثالث عمى البرمجة الخطية وأنواعيا منيا الطريقة البيانية‬ ‫وطريقة السمبمكس‪ .‬يحتوي الفصؿ الرابع عمى النموذج المقابؿ وكيفية تحويمو مف النموذج األولي‬ ‫إلى نموذج مقابؿ‪ .‬ويحتوي الفصؿ الخامس عمى شجرة الق اررات الميمة في اتخاذ الق اررات في‬

‫ظؿ التأكد التاـ أو عدـ التأكد‪ .‬يحتوي الفصؿ السادس عمى مشاكؿ النقؿ وكيفية حميا بالطرؽ‬ ‫الممكنة والمفضمة وكيفية اختبارىا في الحموؿ المثمى‪ .‬ويحتوي الفصؿ السابع عمى مشاكؿ‬ ‫التعييف وكيفيو حميا في ظؿ توفر المياـ والمرشحيف بأعداد مختمفة‪ .‬ويحتوي الفصؿ الثامف عمى‬ ‫شبكات األعماؿ باإلضافة إلى إدارة المشاريع وكيفية السيطرة عمى سير أعماؿ المشروع وما ىو‬ ‫الوقت البلزـ لتسميـ المشروع واستخداـ المسار الحرج وأسموب بيرت الحديث ويحتوي الفصؿ‬

‫التاسع عمى صفوؼ االنتظار اليامة في حياتنا اليومية ومدى تطبيؽ األساليب الحديثة في حؿ‬ ‫مشاكميا‪ .‬وتـ إضافة ممحؽ خاص بالتماريف الشاممة عمى منيج بحوث العمميات في المواضيع‬ ‫السابقة‪.‬‬

‫وصمى اهلل عمى نبينا محمد عمية الصبلة والسبلـ‪.‬‬ ‫صفذخ ‪ 4‬يٍ ‪555‬‬



‫قائمة احملتويات‬ ‫الموضوع‬

‫المحتوى‬

‫آية قرآنية‬

‫الفصؿ األوؿ‪:‬‬

‫رقـ الصفحة‬ ‫‪6‬‬

‫اإلىداء‬

‫‪3‬‬

‫مقدمة الكتاب‬

‫‪4‬‬

‫قائمة المحتويات‬

‫‪7‬‬

‫خطة المساؽ وتوصيفة‬

‫‪8‬‬

‫مقدمة في بحوث العمميات‪:‬‬

‫‪15‬‬

‫مفيوـ وتعريؼ بحوث العمميات‪،‬‬ ‫أىـ األساليب الكمية في بحوث العمميات في حؿ‬ ‫المشكالت‪.‬‬ ‫الق اررات اإلدارية‬ ‫تطور بحوث العمميات‬ ‫الفصؿ الثاني‪:‬‬

‫صياغو البرمجة الخطية‬

‫‪37‬‬

‫تعريؼ وطبيعة البرمجة الخطية‬ ‫كيفية صياغة المشكمة‬ ‫الفصؿ الثالث‪:‬‬

‫نموذج البرمجة الخطية‪:‬‬ ‫أسموب الرسـ البياني‬ ‫أسموب السمبمكس‬ ‫صفذخ ‪ 5‬يٍ ‪555‬‬

‫‪67‬‬


‫الفصؿ الرابع‪:‬‬

‫النموذج المقابؿ‪:‬‬


‫‪223‬‬

‫التعريؼ‬ ‫الخطوات الالزمة لمتحويؿ لمنموذج المقابؿ‬ ‫الفصؿ الخامس‪:‬‬

‫نظرية وشجرة الق اررات‪:‬‬

‫‪235‬‬

‫نظرية القرارات ومعاييرىا‬ ‫مفيوـ شجرة الق اررات‬ ‫كيفية رسـ شجرة الق اررات‬ ‫حاالت استخداـ شجرة القرارات‬ ‫الفصؿ السادس‪:‬‬

‫نموذج النقؿ‪:‬‬

‫‪282‬‬

‫التعريؼ والمفيوـ‬ ‫طريؽ حؿ مشاكؿ النقؿ‬ ‫نماذج النقؿ غير متوازنة‬ ‫الفصؿ السابع‪:‬‬

‫نموذج التخصيص(التعييف)‬

‫‪323‬‬

‫المفيوـ والشروط‬ ‫طرؽ حؿ مشاكؿ التعييف‬ ‫نماذج النقؿ غير متوازنة‬ ‫الفصؿ الثامف‪:‬‬

‫تحميؿ شبكات األعماؿ وادارة المشاريع‬

‫‪864‬‬

‫التعريؼ‬ ‫المسار الحرج‬ ‫وشبكة بيرت‬ ‫الفصؿ التاسع‬

‫نظرية صفوؼ االنتظار‪:‬‬ ‫صفذخ ‪ 6‬يٍ ‪555‬‬

‫‪843‬‬



‫التعريؼ‬ ‫المكونات األساسية لصفوؼ االنتظار‬ ‫النماذج الرياضية لصفوؼ االنتظار‬ ‫حاالت صفوؼ االنتظار‬ ‫المراجع‬

‫الكتب العربية‬ ‫الكتب االنجميزية‬

‫‪360‬‬

‫صفذخ ‪ 7‬يٍ ‪555‬‬



‫خطح انًغاق‬

‫صفذخ ‪ 8‬يٍ ‪555‬‬



‫‪)0‬المعمومات العامة عف المساؽ‪:‬‬ ‫رمزه‪ACCT2309 :‬‬ ‫أ‪ .‬المساق‪ :‬بحوث العمليات‬ ‫المساق المناظر من الخطة القديمة‪ :‬نفس المساق‬ ‫ب‪ .‬الساعات المعتمدة للمساق‪ :‬ثالث ساعات معتمدة‬ ‫ج‪ .‬الساعات المطلوب تنفيذها فعلياً‪42 :‬‬ ‫عملي‪1.. :‬‬ ‫‪1..‬‬ ‫نظري‪:‬‬ ‫د‪ .‬البرنامج أو البرامج التي يتم تقديم المساق ضمنها‪:‬‬ ‫العلوم االدارية والتمويل المحاسبة واالدارة‬ ‫ه‪ .‬المستوى الذي يتم تدريس المساق له‪ :‬الثاني‬ ‫و‪ .‬المتطلبات السابقة للمساق‪:‬‬ ‫رياضيات في االدارة ‪ +‬ادارة العمليات االدارية(االنتاجية)‬ ‫‪ )6‬أىداؼ المساؽ العامة‪:‬‬ ‫‪ -1‬توافر إلماـ كافي بأصوؿ وأسس تنمية فيـ معيف لؤلساليب الكمية في صنع‬ ‫الق اررات االدارية‪.‬‬

‫‪ -5‬استخداـ الطرؽ العممية كأساس ومنيج في البحث والدراسة لممشكمة االدارية‪.‬‬ ‫‪ -3‬كيفية استخداـ النماذج ألنو جوىر بحوث العمميات بناء النماذج واالعتماد‬ ‫عمييا‪.‬‬

‫‪ -4‬تحقيؽ مدى االستفادة منيا لوضع الق ار ارت في المشكبلت اإلدارية وىذا ىدؼ‬ ‫بحوث العمميات‪.‬‬

‫‪ -5‬توفر بحوث العمميات إمكانية القياس الكمي لمظواىر المختمفة (عوامميا‬ ‫ومتغيراتيا وظروفيا المختمفة)‪.‬‬

‫‪ -6‬تساعد عمى توليد عدد كبير مف البدائؿ والمفاضمة بينيا لموصوؿ إلى الحؿ‬ ‫صفذخ ‪ 9‬يٍ ‪555‬‬



‫األمثؿ بسرعة وكفاءة عالية‪.‬‬

‫‪ -7‬تعتبر القاعدة العممية لدراسة المشكبلت واتخاذ الق اررات‪ ,‬كما تمكف مف تحديد‬ ‫النتائج المتوقعة لمق اررات وتقويميا في مرحمة مبكرة وقبؿ تنفيذىا‪.‬‬

‫‪ -8‬تتيح إمكانية ربط األىداؼ الفرعية لموظائؼ واألنشطة المختمفة باألىداؼ‬ ‫العامة لمنظاـ الكمي‪.‬‬

‫‪ -9‬توفر الوسائؿ واألدوات البلزمة لتنسيؽ األنشطة المختمفة والتحكـ فييا مف‬ ‫خبلؿ التنسيؽ بيف األىداؼ الفرعية وربطيا باألىداؼ العامة لمنظاـ‪.‬‬

‫‪-11‬‬

‫التطبيؽ العممي عمى برامج الحاسوب ومقارنتيا بالحموؿ اليدوية‪.‬‬

‫‪ )3‬الوصؼ العاـ لممساؽ‪:‬‬ ‫يقوـ ىذا المساؽ عمى إكساب الطالب معمومات وافية وكافية عف نشأة بحوث‬ ‫العمميات وخصائصيا المميزة ليا وعبلقاتيا بالعموـ األخرى‪ ,‬منيج بحوث العمميػات‬

‫فػي حؿ المشاكػؿ واتخاذ الق ػ اررات‪ ,‬بحوث العمميػات وعبلقتيػا بالبيئة الفمسطينية‬ ‫وبيئة المجتمعات النامية المتقدمة‪ ,‬البرمجة الخطية والمشاكؿ المتفرعة عنيا‬

‫وتشمؿ مشاكؿ التعظيـ والتقميؿ‪ ,‬والحؿ البياني‪ ,‬والسمبمكس‪ ,‬والنموذج المقابؿ‪ ,‬كما‬

‫يدرس مصفوفة وشجرة الق اررات‪ ,‬ونظريات االربعة لممعايير االقتصادية واالدارية‪,‬‬ ‫ومشاكؿ التوزيع وتشمؿ حؿ النقؿ‪ ,‬وحؿ مشاكػػؿ التعييف (التخصيػص)‪ ,‬شبكات‬

‫األعماؿ وتشمؿ دراسة المسار الحرج ( ‪ )CPM‬واسموب بيرت( ‪ ,)PERT‬ونظرية‬ ‫صفوؼ االنتظار‪ ,‬وتشمؿ دراسة المقػػرر حاالت عممية تطبيقية في المواضيػػع‬

‫المختمفػة كذلؾ ميارة تطبيقيا عمى برنامج معيف في الحاسوب‪.‬‬ ‫صفذخ ‪ 11‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ )4‬خطة تدريس خبلؿ الفصؿ الدراسي‪:‬‬ ‫وصؼ المساؽ‪:‬‬ ‫ـ‪.‬‬

‫‪.1‬‬

‫األسبوع‬

‫الموضوعات‬

‫األوؿ‬

‫مقدمة في بحوث العمميات‪ :‬مفيوـ وتعريؼ بحوث العمميات‪,‬‬

‫‪.5‬‬

‫الثاني‬

‫كيفية صياغة نموذج برمجة خطية لممشاكؿ االدارية في‬

‫‪.3‬‬

‫الثالث‬

‫نموذج البرمجة الخطية‪ :‬تعريؼ وطبيعة البرمجة الخطية‪,‬‬

‫‪.4‬‬

‫الرابع‬

‫تعريػ ػػؼ وطبيعػ ػػة البرمجػ ػػة الخطيػ ػػة‪ ,‬طبيعػ ػػة‪ ,‬كيفيػ ػػة صػ ػػياغة‬

‫‪.5‬‬

‫الخامس‬

‫تعريػ ػػؼ وطبيعػ ػػة البرمجػ ػػة الخطيػ ػػة‪ ,‬طبيعػ ػػة‪ ,‬كيفيػ ػػة صػ ػػياغة‬

‫‪.6‬‬

‫السادس‬

‫النموذج المقابؿ‪ ,‬شروطو‪ ,‬استخداماتو‬

‫‪.7‬‬

‫السابع‬

‫شػ ػػجرة الق ػ ػ اررات‪ :‬مفيػ ػػوـ شػ ػػجرة الق ػ ػ اررات‪ ,‬كيفيػ ػػة رسػ ػػـ شػ ػػجرة‬

‫‪.8‬‬

‫الثامف‬

‫أىـ األساليب الكمية في بحوث العمميات في حؿ المشكبلت‪.‬‬

‫حالة تعظيـ االرباح و تقميؿ التكاليؼ‬

‫طبيعة‪ ,‬كيفية صياغة المشكمة‪ ,‬وحميا باستخداـ أسموب‬ ‫الرسـ البياني في حالة تعظيـ االرباح وتقميؿ التكاليؼ‪.‬‬

‫المشكمة‪ ,‬وحميا باستخداـ أسموب السمبمكس لتعظيـ االرباح‪.‬‬

‫المشػكمة‪ ,‬وحميػػا باسػػتخداـ أسػػموب السػػمبمكس لتقميػػؿ التكػػاليؼ‬ ‫باستخداـ طريقة االـ الكبرى لمشاكؿ البرمجة الخطية‬

‫الق ػ اررات‪ ,‬ونظريػػة المعػػايير االربعػػة ف ػي الق ػ اررات االقتصػػادية‬ ‫االدارية‬ ‫امتحاف نصؼ الفصؿ‬ ‫صفذخ ‪ 11‬يٍ ‪555‬‬


‫‪.9‬‬

‫التاسع‬

‫‪.11‬‬

‫العاشر‬


‫نموذج النقؿ‪ :‬التعريؼ والمفيوـ‪ ,‬طرؽ حؿ المشاكؿ‪ :‬طريقة‬

‫الركف الشمالي الغربي‪ ,‬اقؿ التكاليؼ‪ ,‬فوجؿ التقريبية‪ ,‬وايجاد‬ ‫الحؿ األمثؿ باستخداـ طريقة المسار المتعرج‪.‬‬

‫نموذج التخصيص(التعييف)‪:‬المفيوـ والشروط‪ ,‬طرؽ الحؿ‬

‫المشاكؿ‪ :‬استخداـ طريقة العد الكامؿ‪.‬‬

‫‪ .11‬الحادي عشر نموذج التخصيص(التعييف)‪:‬المفيوـ والشروط‪ ,‬طرؽ الحؿ‬ ‫المشاكؿ‪ :‬استخداـ الطريقة الينغارية‪.‬‬

‫‪ .15‬الثاني عشر تحميؿ شبكات األعماؿ وادارة والمشاريع‪ :‬التعريؼ‪ ,‬حؿ‬

‫المشكبلت بأسموب المسار الحرج و رسـ شبكة األعماؿ‪.‬‬

‫‪ .13‬الثالث عشر تحمي ػ ػػؿ ش ػ ػػبكات األعم ػ ػػاؿ وادارة والمش ػ ػػاريع‪ :‬التعري ػ ػػؼ‪ ,‬ح ػ ػػؿ‬ ‫المشكبلت بدراسة شبكة بيرت و رسـ شبكة األعماؿ‬

‫‪.14‬‬

‫الرابع عشر‬

‫‪.15‬‬

‫الخامس‬

‫نظرية صفوؼ االنتظار‪ :‬التعريؼ‪ ,‬المكونات األساسية‬

‫لصفوؼ االنتظار‪ ,‬التوزيعات اإلحصائية الخاصة بعممية‬

‫الوصوؿ لطمب الخدمة‪ ,‬معدؿ أداء الخدمة‪ ,‬النماذج‬

‫الرياضية لصفوؼ االنتظار في حالتي نموذج الخدمة الواحد‬ ‫ومتعدد الخدمة‬

‫عشر‬

‫مراجعة عامو وحؿ أسئمة التعيينات الشاممة واالمتحانات‬ ‫السابقة‬

‫صفذخ ‪ 15‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ )5‬الجدوؿ الزمني لمياـ التقويـ التي يتـ تقييـ الطمبة وفقيا خبلؿ الفصؿ الدراسي‪:‬‬ ‫ـ‪.‬‬

‫طبيعة ميمة التقييـ‬

‫‪.1‬‬

‫حؿ مسائؿ في البيت (ممزمة‬

‫‪.5‬‬

‫امتحاف نصفي أوؿ بعد‬

‫‪.3‬‬

‫البحوث وأوراؽ العمؿ‬

‫‪.4‬‬

‫مراجعة عامة وحؿ نماذج‬

‫األسبوع‬

‫نسبة الدرجة إلى درجة‬

‫المستحؽ‬

‫التقييـ النيائي‬ ‫‪%11‬‬

‫االمتحانات السابقة)‬

‫االنتياء مف النموذج المقابؿ‬

‫التاسع‬

‫‪%31‬‬

‫االسبوع الثالث‬

‫‪%11‬‬

‫عشر‬ ‫‪-‬‬

‫امتحانات سابقة‬ ‫‪.5‬‬

‫‪%61‬‬

‫امتحاف نيائي‬

‫‪ )6‬مصادر التعمـ‪:‬‬ ‫أ‪ .‬الكتاب المقرر لممساؽ‪:‬‬

‫‪-‬كتاب جامعة االقصى ‪ ,‬بحوث العمميات واألساليب الكمية في صنع الق اررات‬

‫االدارية‪ :‬أ‪ .‬رند عمراف األسطؿ‪ ,‬الناشر مكتبة الطالب الجامعي‪ ,‬الطبعة السادسة‬ ‫‪5116‬‬ ‫ب‪ .‬المراجع األساسية (التي يجب تحديدىا لمطمبة لمرجوع إلييا)‪:‬‬ ‫أبحاث ومقاالت منشورة في بحوث العمميات‬‫صفذخ ‪ 13‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ -‬عوض‪ ,‬مراد‪ ,5111,‬األساليب الكمية في صنع الق اررات‪ ,‬دار اليازوري العممية‬

‫لمنشر والتوزيع عماف األردف‬

‫ حمداف‪ ,‬فتحي‪ ,‬ومرعي‪ ,‬رشيؽ‪ ,5116 ,‬بحوث العمميات دار وائؿ لمنشر‪,‬‬‫عماف األردف‬

‫ طعمة‪ ,‬حسف وآخروف‪ ,5119 ,‬بحوث العمميات‪ ,‬دار صفاء لمنشر والتوزيع‪,‬‬‫عماف األردف‪.‬‬

‫‪- Render, Barry & Stair, Ralphm Jr., 2006, Quantitative‬‬ ‫‪Analysis for Management, 9th ed, Allyn & Bacon,‬‬ ‫‪Boston,8th ed, USA‬‬

‫ تدريبات تطبيقية ونماذج عممية في بحوث العمميات‬‫‪ -‬نماذج االمتحانات السابقة‬

‫صفذخ ‪ 14‬يٍ ‪555‬‬



‫الفصؿ األوؿ‬

‫صفذخ ‪ 15‬يٍ ‪555‬‬



‫أساليب المنيج العممي‬ ‫األساليب اإلحصائية‬

‫األساليب الكمية‬

‫االنحدار‬

‫البرمجة الخطية‬

‫األرقاـ القياسية‬

‫الطريقة البيانية‬

‫الطريقة المبسطة‬

‫السالسؿ الزمنية‬

‫النقؿ‬

‫بوكس حينكز‬

‫األوساط المتحركة‬

‫التعييف‬

‫االرتباط‬

‫التحميؿ الشبكي‬

‫ارتباط الرتب لسبيرماف‬

‫المسار الحرج‬

‫ارتباط الصفات‬

‫صفوؼ االنتظار‬

‫بيرت‬

‫ارتباط الرتب‬

‫االرتباط المتعدد‬

‫شجرة القرارات‬ ‫المحاكاة‬ ‫سالسؿ ماركوؼ‬ ‫المخزوف‬ ‫تحميؿ نقطة التعادؿ‬ ‫التدفؽ‬ ‫المصفوفات‬ ‫أساليب جبرية رياضية‬

‫صفذخ ‪ 16‬يٍ ‪555‬‬



‫مقدمة في بحوث العمميات‬ ‫ما الفرؽ بيف عمـ بحوث العمميات واألساليب الكمية في صنع الق اررات؟‬

‫بحوث العمميات‪:‬‬

‫عمـ بريطاني ويدرس في مرحمة البكالوريوس‬

‫األساليب الكمية في صنع الق اررات‬

‫عمـ أمريكي ويدرس في الدراسات العميا وتطور في جميع المجاالت اليندسية وتكنولوجيا‬

‫المعمومات والحاسوب واإلحصاء واإلدارة والرياضيات والكميات العسكرية‬ ‫تعريؼ كممة بحوث‪Research :‬‬

‫تعني القياس والتحميؿ والمقارنة والتنبؤ‪.‬‬

‫تعريؼ كممة عمميات‪Operation :‬‬

‫الحوادث العسكرية التي تشتمؿ عمى الفعاليات واإلجراءات االستراتيجية التي تحدث في ساحة‬

‫المعركة‪.‬‬ ‫مفيوـ وأىمية بحوث العمميات ‪:‬‬

‫تتعدد أساليب اتخاذ الق اررات مف األسيؿ إلى األصعب مف حيث الجيد‪ ,‬الوقت والتكمفة‪ ,‬حيث‬ ‫يأتي في مقدمة ىذه األساليب مف حيث قمة الجيد‪ ,‬والسرعة في الوقت‪ ,‬وقمة التكمفة؛ أسموب‬ ‫الحدس والتخميف والرأي الشخصي لحؿ مشكمة معينة‪.‬‬

‫صفذخ ‪ 17‬يٍ ‪555‬‬



‫بعدىا تندرج مجموعة مف األساليب مف حيث الصعوبة لتصؿ إلى استخداـ الطرؽ العممية‬ ‫والرياضية‪ ,‬ويتوقؼ استخداـ ىذه األساليب دوف األخرى عمى طبيعة المشكمة ‪ ,‬أي أف‬

‫الموقؼ ىو الذي يممي نوع األسموب الذي يمكف تطبيقو‪ ,‬حيث يمكف تقسيـ أساليب اتخاذ‬ ‫القرار إلى قسميف‪:‬‬ ‫أساليب نظرية تقميدية‪:‬‬

‫قائمة عمى أساس البديية والحكـ الشخصي إلى جانب الخبرة‪.‬‬ ‫أساليب عممية كمية ‪:‬‬

‫والتي تزداد أىميتيا مع تعقد البيئة التنظيمية وطبيعة المشكبلت التي يمكف أف يواجييا متخذ‬

‫القرار‪ ,‬ومف بيف األساليب العممية (الكمية) نجد بحوث العمميات ‪.‬‬

‫يعتبر عمـ بحوث العمميات مف العموـ التطبيقية التي أحرزت انتشا ار واسعا خاصة بعد الحرب‬ ‫العالمية الثانية وذلؾ في مجاؿ العموـ اإلدارية‪ ,‬حيث يعتبر ىذا العمـ مف الوسائؿ العممية‬ ‫المساعدة في اتخاذ الق اررات بأسموب أكثر دقة وبعيد عف العشوائية الناتجة عف تطبيؽ أسموب‬ ‫المحاولة والخطأ‪ ,‬العتماده عمى المعمومات المبلئمة في اختيار البديؿ األمثؿ لحؿ المشاكؿ التي‬ ‫يمكف أف تواجو متخذ القرار‪.‬‬ ‫تعريؼ بحوث العمميات‪:‬‬ ‫بحوث العمميات أو عمـ القرار ىو فرع مف فروع الرياضيات التطبيقية‪ .‬يسمى البرمجة الرياضية‬ ‫وييتـ بتحسيف عمميات وطرائؽ معينة بقصد الوصوؿ إلى حؿ أمثؿ ليذه المشاكؿ‪ .‬ولبحوث‬ ‫العمميات تطبيقات في اليندسة والعموـ االقتصادية واإلدارية والتسويقية ‪.‬تستخدـ في بحوث‬ ‫العمميات طرؽ النمذجة الرياضية والتحميؿ اإلحصائي لموصوؿ لمحؿ األمثؿ واتخاذ الق ار ارت‪.‬‬ ‫ونظ ار لتنوع وكثرة تطبيقاتيا‪ ,‬تتقاطع بحوث العمميات مع مجاالت أخرى متعددة مثؿ اليندسة‬ ‫الصناعية‪ ,‬وادارة العمميات‪ ,‬وادارة المواصبلت‪ .‬تتكوف بحوث العمميات مف مجموعة مف‬ ‫صفذخ ‪ 18‬يٍ ‪555‬‬



‫األساليب (الطرؽ )المختمفة (مسألة النقؿ‪ ,‬البرمجة الخطية‪ ,‬البرمجة الشبكية‪ )...,‬ىذه الطرؽ‬ ‫في حد ذاتيا ليست متجانسة وال تعالج نفس الموضوعات‪ ,‬إال أنيا تبحث كميا في الحؿ األمثؿ‬ ‫حسب نوع وطبيعة المسائؿ‪ .‬وعادة ما يكمف اليدؼ في الحؿ األمثؿ المنشود ىو الحصوؿ عمى‬ ‫أقؿ تكمفة ممكنة أو أكبر ربح ممكف‪.‬‬ ‫تعددت التعاريؼ التي تتعمؽ في بحوث العمميات‪:‬‬

‫ىي المدخؿ العممي الذي تستخدمو اإلدارة التنفيذية لحؿ المشاكؿ(تعريؼ‪) Wanger‬‬

‫فف إيجاد أجوبة رديئة لمشاكؿ سبؽ واف قدمت ليا حؿ أسوأ (تعريؼ‪)Saaty‬‬

‫ىو مجموعة مف التقنيات واألدوات الرياضية والتي تطبؽ مع مدخؿ النظـ لحؿ المشاكؿ عممية‬ ‫تتعمؽ باتخاذ الق ار ارت ذات الطبيعة االقتصادية أو اليندسية‬ ‫(تعريؼ ‪.)Daellenbach&George‬‬

‫وىي حقؿ عممي جديد لصناعة القرار يتصؼ باستخداـ المعرفة العممية مف خبلؿ جيود فرؽ‬ ‫عمؿ تضـ في عضويتيا متخصصيف بمختمؼ المعارؼ بغرض االستخداـ األفضؿ لمموارد‬

‫المحدودة(تعريؼ حمدي طو)‬ ‫وىو استخداـ مدخؿ تخطيطي بواسطة طريقة عممية وفرؽ عمؿ متعددة التخصصات لغرض‬ ‫تمثيؿ العبلقات الوظيفية المتعددة كنماذج رياضية لغرض إعطاء قاعدة كمية لعممية صنع القرار‬

‫في مشاكؿ إدارية جديدة (تعريؼ ‪) Thieruf&Klekamp‬‬

‫ىي طريقة عممية تزود األقساـ التنفيذية بأسس كمية لمق اررات التي تكوف مف ميماتيا‬ ‫(تعريؼ ‪)Morse&Kimball‬‬ ‫ىي استخداـ الطريقة العممية لمبحث في العمميات المختمفة (اإلنتاجية‪ ,‬االقتصادية‪ ,‬اإلدارية‪,‬‬

‫العسكرية‪ ,‬الصناعية‪ )... ,‬بيدؼ إيجاد الحموؿ المثمى لممشكبلت التي تواجو ىذه العمميات‪.‬‬

‫صفذخ ‪ 19‬يٍ ‪555‬‬



‫ونقوـ وفؽ التعريؼ باستخداـ الطريقة العممية لألسباب التالية‪:‬‬

‫‪ .1‬أف عممية حؿ المشكبلت ليست بالعممية السيمة أو البسيطة‪.‬‬ ‫‪ .5‬أف العمميات الجارية في النظـ الحديثة تتصؼ غالباً بالتعقيد وبتنوع المؤثرات و المدخبلت‬ ‫وتشابكيا‪ ,‬وىذا يستدعي بالضرورة‪:‬‬

‫‪‬‬

‫تحميؿ العمميات إلى مكوناتيا وعناصرىا األساسية‪.‬‬

‫‪‬‬

‫الكشؼ عف العبلقات المتبادلة بيف العناصر وفؽ رؤية شمولية متكاممة‪.‬‬

‫‪‬‬

‫تحديد تأثير المتغيرات المختمفة في ىذه العمميات لموصوؿ إلى األسباب الحقيقية لممشكبلت‬

‫الموجودة وايجاد حموؿ مثمى ليا‪.‬‬

‫ونظ ار الستعماالت بحوث العمميات في مجاالت مختمفة فقد تعددت التعريفات المقدمة حوليا‪,‬‬ ‫فيناؾ مف يعرفيا عمى أنيا‪ " :‬إحدى األدوات الكمية التي تساعد اإلدارة في عممية اتخاذ‬ ‫الق اررات‪".‬‬

‫وىناؾ مف يرى بأنيا‪" :‬عبارة عف استخداـ الطرؽ واألساليب واألدوات العممية لحؿ المشاكؿ التي‬ ‫تتعمؽ بالعمميات الخاصة بأي نظاـ بغرض تقديـ الحؿ األمثؿ ليذه المشاكؿ لمقائميف عمى إدارة‬ ‫ىذا النظاـ‪".‬‬ ‫كما عرفت بأنيا ‪ :‬مجموعة مف األدوات القياسية التي تمكف اإلدارة مف الوصوؿ إلى ق اررات‬ ‫أكثر دقة وموضوعية‪ ,‬وذلؾ بتقديـ األساس الكمي لتحميؿ البيانات والمعمومات ‪".‬‬ ‫وىناؾ مف يعرؼ بحوث العمميات عمى أنيا‪ " :‬مدخؿ كمي أو رياضي التخاذ الق اررات‪ ,‬يعتمد‬ ‫عمى بعض المعالجات الرياضية في حؿ مشاكؿ متعددة تواجو اإلدارة "‬

‫خالصة ‪ :‬مف خبلؿ ىذه التعريفات يمكف القوؿ أف بحوث العمميات تمعب دو ار ميما لدراسة‬

‫أنواع المشاكؿ‪ ,‬ومنيا المتعمقة بإدارة األعماؿ مف خبلؿ النظر إلى المشكمة مف زاوية كمية‪,‬‬

‫ومف تـ صياغتيا حسب الوظائؼ المتاحة‪(arabic-military.com).‬‬

‫صفذخ ‪ 51‬يٍ ‪555‬‬



‫تعريؼ بحوث العمميات بشكؿ عاـ‪:‬‬

‫عمـ وفف ييتـ بالبحث عف أفضؿ الحموؿ الواجب إقرارىا لحؿ مشكمة معينة وتحت ظروؼ معينة‬ ‫وذلؾ باستخداـ الطرؽ الرياضية لمعالجة العوامؿ المؤثرة عمى الحؿ وتحميميا مف اجؿ إعطاء‬

‫فرصة لممختصيف اتخاذ القرار المناسب‪.‬‬

‫تعريؼ الجمعية البريطانية لبحوث العمميات‪:‬‬

‫استخداـ األساليب العممية الكمية الرياضية لحؿ المشاكؿ المعقدة التي تواجييا إدارة األنظمة‬ ‫الكبيرة مف المعدات والمواد األولية والقوى العاممة واألمواؿ واألمور الخدمية األخرى في‬

‫المؤسسات والمصانع العسكرية والمدنية‪.‬‬ ‫تعريؼ الجمعية االمريكية لبحوث العمميات‪:‬‬

‫العمـ الذي ييتـ باتخاذ الق اررات العممية حوؿ الكيفية التي يتـ بموجبيا تصميـ وبناء أنظمة معدات‬ ‫العمؿ والقوى العاممة بشكؿ مثالي في ظؿ الموارد المحدودة بمعنى اتخاذ الق اررات العممية لتصميـ‬

‫ووضع أنظمة المعدات والقوى العاممة وفقا لشروط معينة تتطمب تخصيص الموارد المحدودة‬ ‫بشكؿ امثؿ‪.‬‬ ‫ما لمقصود بالمدخؿ الكمي؟‬

‫أسموب عممي لصنع واتخاذ الق اررات اإلدارية يعتمد البيانات كمادة أولية لو ويقوـ بتحويميا إلى‬ ‫معمومات أي انو ال يعتمد عمى الحدس والتخميف والعاطفة‬

‫األىداؼ الرئيسية لدراسة بحوث العمميات‪:‬‬

‫‪ .1‬تنمية فيـ معيف لؤلساليب الكمية وتستخدـ طريقة عممية كأساس ومنيج في البحث والدراسة‬ ‫‪ .5‬كيفية استخداـ النماذج ألنو جوىر بحوث العمميات بناء النماذج واالعتماد عمييا‬ ‫صفذخ ‪ 51‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ .3‬تحقيؽ مدى االستفادة منيا لوضع الق ار ارت في المشكبلت اإلدارية وىذا ىدؼ بحوث‬ ‫العمميات‪.‬‬

‫أىمية بحوث العمميات‪:‬‬

‫‪ .1‬توفر بحوث العمميات إمكانية القياس الكمي لمظواىر المختمفة (عوامميا ومتغيراتيا وظروفيا‬ ‫المختمفة)‪.‬‬

‫‪ .5‬تساعد عمى توليد عدد كبير مف البدائؿ والمفاضمة بينيا لموصوؿ إلى الحؿ األمثؿ بسرعة‬ ‫وكفاءة عالية‪.‬‬ ‫‪ .3‬تعتبر القاعدة العممية لدراسة المشكبلت واتخاذ الق اررات‪ ,‬كما تمكف مف تحديد النتائج‬ ‫المتوقعة لمق اررات وتقويميا في مرحمة مبكرة وقبؿ تنفيذىا‪.‬‬

‫‪ .4‬تتيح إمكانية ربط األىداؼ الفرعية لموظائؼ واألنشطة المختمفة باألىداؼ العامة لمنظاـ‬ ‫الكمي‪.‬‬ ‫‪ .5‬توفر الوسائؿ واألدوات البلزمة لتنسيؽ األنشطة المختمفة والتحكـ فييا مف خبلؿ التنسيؽ‬ ‫بيف األىداؼ الفرعية وربطيا باألىداؼ العامة لمنظاـ‪.‬‬ ‫وتتضح أىمية بحوث العمميات واألساليب الكمية لدراسة األمور الكمية في إدارة األعماؿ مف‬

‫خالؿ ‪:‬‬

‫‪ .1‬المساىمة في تقريب المشكمة اإلدارية إلى الواقع ‪.‬‬

‫‪ .2‬صياغة نماذج رياضية معينة تعكس مكونات المشكمة‪.‬‬ ‫‪ .3‬عرض النموذج في مجموعة مف العبلقات الرياضية واعطاء فرص مختمفة ( بدائؿ) لعممية‬ ‫اتخاذ الق اررات وبما يساىـ في تفسير عناصر المشكمة والعوامؿ المؤثرة فييا ‪.‬‬ ‫‪ .4‬تطبيؽ ىذه النماذج الرياضية في المستقبؿ عندما تواجينا مشكمة مماثمة وليذا يوفر ىذا‬ ‫العمـ فوائد كبيرة لصانعي ومتخذي الق اررات ومف بيف ىذه الفوائد نجد‪:‬‬ ‫صفذخ ‪ 55‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ .5‬طرح البدائؿ لحؿ مشكمة معينة التخاذ القرار المناسب‪ ,‬اعتمادا عمى العوامؿ والظروؼ‬ ‫المتوفرة‪.‬‬

‫‪ .6‬إعطاء صورة تأثير العالـ الخارجي عمى االستراتيجيات التي تتخذىا اإلدارة‪ ,‬فمثبل تغير‬ ‫العرض والطمب مف الظروؼ الخارجية التي تؤثر عمى إنتاج السمعة وتحقيؽ األرباح مف‬ ‫خبلؿ إنتاجيا·‪.‬‬

‫‪ .7‬صياغة األىداؼ والنتائج ومدى تأثر ىذه األىداؼ بكافة العوامؿ والمتغيرات رياضيا‬ ‫لموصوؿ إلى كميات رقمية يسيؿ تحميميا)‪. (arabic-military.com‬‬ ‫خصائص بحوث العمميات‪:‬‬

‫وعمى الرغـ مف التبايف في تعريؼ بحوث العمميات فإنيا كمنيج عممي لمبحث في العمميات‬

‫وايجاد الحموؿ لممشكالت التي تواجييا تتسـ بخمس خصائص أساسية ىي‪:‬‬

‫‪ .1‬استخداـ الطريقة العممية لمبحث‪ :‬وتعتمد الطريقة العميمة عمى المبلحظة العممية‬

‫لممشاىدات‪ ,‬والقياس وتحديد المتغيرات‪ ,‬وبناء النموذج الذي يمثؿ الظاىرة التي تجري‬

‫دراستيا‪ ,‬باإلضافة إلى تكويف الفرضيات واختبارىا والوصوؿ إلى حموؿ‪.‬‬ ‫‪ .5‬استخداـ المدخؿ الشمولي أو النظمي‪ :‬وىو دراسة الظاىرة مف جميع جوانبيا وتحميميا إلى‬ ‫عناصرىا المختمفة‪.‬‬ ‫ما ىو النظاـ؟‬

‫ىو مجموعة مف العناصر المترابطة معاً ألداء وظيفة معينة‪.‬‬

‫‪ .3‬استخداـ خبرات وتخصصات متنوعة‪ :‬كما أسمفنا أف المدخؿ الشمولي يتطمب دراسة الظاىرة‬ ‫مف جميع جوانبيا وتحميميا إلى عنا صرىا المختمفة‪ .‬وىذا ال يمكف أف يتأتى إال مف خبلؿ‬ ‫استخداـ فريؽ لمبحث تتنوع فيو تخصصات األعضاء وتتكامؿ بشكؿ منسؽ يساعد عمى‬ ‫معالجة الظاىرة قيد البحث مف جميع جوانبيا‪( .‬أي مف وجية نظر جميع العموـ ذات‬ ‫صفذخ ‪ 53‬يٍ ‪555‬‬



‫العبلقة بالظاىرة)‪ .‬فمثبلً‪ :‬أي مشكمة إدارية ليا باإلضافة إلى البعد اإلداري أبعاد أخرى‬

‫(قانونية‪ ,‬تقنية ‪ ,‬صناعة‪ ,‬زراعة‪ ,‬بنوؾ‪ ,‬نفسية‪ ,‬اجتماعية‪ ,‬صحية) لذا ال بد مف استخداـ‬ ‫خبرات وتخصصات متنوعة عند حؿ المشكبلت‪.‬‬ ‫‪ .4‬استخداـ النماذج الرياضية‪ :‬يقوـ تطبيؽ بحوث العمميات عمى بناء نماذج رياضية بيدؼ‬ ‫استخداميا في تحميؿ المشكبلت ود ارستيا وايجاد الحموؿ المناسبة ليا‪ ,‬وذؾ ألنيا تعبر عف‬ ‫مشاكؿ واقعية حقيقية ال تقبؿ التأويؿ ألف معموماتيا مؤكدة بنسبة ‪%111‬‬

‫العوامؿ التي ساعدت عمى انتشار وتطبيؽ بحوث العمميات في المنشآت المدنية الصناعية‬

‫والتجارية‪:‬‬

‫‪ -1‬اإلنتاج الكبير لمسمع واتساع حجـ السوؽ المحمية واإلقميمية الدولية‪.‬‬ ‫‪ -5‬شدة المنافسة بيف المنشآت الصناعية والتجارية‬ ‫‪ -3‬تعقد وتنوع المشكبلت التي تواجو طبيعة العمؿ في المنشآت‬ ‫‪ -4‬ظيور الحاسب االلكتروني وتطوره في تصميـ برامج لحؿ المشاكؿ بسرعة ودقة عالية‬ ‫‪ -5‬االنتعاش والرواج االقتصادي‬

‫‪ -2‬ثورة العمـ والبحوث والتطورات في المناىج العممية واألبحاث‬ ‫مجاالت تطبيؽ بحوث العمميات‪:‬‬ ‫‪ -0‬الصناعة والتجارة والزراعة‪ :‬تخطيط النتاج‪ ,‬توزيع اإلنتاج‪ ,‬استخداـ امثؿ لمموارد‪ ,‬مراقبة‬ ‫المخزوف‬

‫‪ -6‬النقؿ والمواصالت‪ :‬تنظيـ المواصبلت البرية‪ ,‬الرحبلت الجوية‪ ,‬حركة المرور‪ ,‬استخداـ‬ ‫الياتؼ‬

‫‪ -3‬التخطيط‪ :‬تنظيـ استخداـ القوى العاممة‪ ,‬تخطيط المشروعات‪ ,‬تخطيط اقتصادي‪ ,‬جدولة‬ ‫األعماؿ‪ ,‬تخطيط المدف‬

‫صفذخ ‪ 54‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ -8‬التسويؽ والمبيعات‪ :‬رسـ سياسات تسعيرية وتسويقية‪ ,‬بحوث تسويؽ‪ ,‬الدعاية واإلعبلف‪,‬‬ ‫دراسة السوؽ‪ ,‬تحديد سياسات التوزيع‬

‫‪ -3‬المجاؿ العسكري‪ :‬رسـ السياسات العسكرية‪ ,‬إيجاد خطط لزراعة األلغاـ‪ ,‬إيجاد الخطط‬ ‫لعمميات اليجوـ والدفاع واالنسحاب‪ ,‬استخداـ امثؿ لممعدات والذخائر العسكرية‪ ,‬إيجاد‬

‫خطط لبرامج التسميح‪ ,‬تنظيـ العمميات الحربية‪ ,‬تنظيـ التعاوف بيف الفروع المختمفة لمقوات‬

‫المسمحة‪.‬‬

‫‪ -2‬البنوؾ‪ ،‬المستشفيات‪ ،‬المكتبات‪ ،‬الفنادؽ‪ ،‬التعييف والتوظيؼ‬

‫‪ -7‬المجاالت اإلدارية‪:‬حيث يوفر ىذا العمـ المعمومات البلزمة التخاذ القرار المناسب في الوقت‬ ‫المناسب ‪.‬‬

‫‪ -4‬مجاؿ اإلنتاج والتصنيع والبيع وبأقؿ تكمفة ممكنة وأقؿ فاقد ممكف وأعمى ربح‪.‬‬ ‫‪ -9‬مجاالت التعييف وذلؾ باختيار الشخص المناسب لموظيفة المبلئمة‪.‬‬

‫‪-01‬مجاالت التخطيط مف خبلؿ متابعة المشاريع واعداد الخطط الزمنية لتنفيذ المشاريع‬ ‫المختمفة‪.‬‬

‫المواضيع اليامة في دراسة مساؽ بحوث العمميات‪:‬‬

‫‪ -1‬التعريؼ بمفيوـ بحوث العمميات والتطور التاريخي وحدود بحوث العمميات وأىـ األساليب‬ ‫الكمية المستخدـ فييا‪.‬‬ ‫‪ -5‬معرفة صياغة مشكمة البرمجة الخطية وطريقة حميا باستخداـ أسموب الرسـ البياني وأسموب‬ ‫السمبمكس وذلؾ في حالة تعظيـ األرباح وتقميؿ التكاليؼ في البرمجة الخطية‪ ,‬النموذج‬ ‫المقابؿ‪.‬‬

‫‪ -3‬التعرؼ عمي عممية اتخاذ القرار وذلؾ مف خبلؿ دراسة حاالت اتخاذ القرار وكيفية رسـ‬ ‫شجرة الق اررات‪.‬‬

‫صفذخ ‪ 55‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ -4‬اس ػػتعراض أس ػػموب النق ػػؿ واس ػػتخراج الح ػػؿ المب ػػدئي ب ػػالطرؽ ال ػػثبلث واختب ػػار مثالي ػػة الح ػػؿ‬ ‫باستخداـ طريقة السير عمي الحجر و التوزيع المعدلة‪.‬‬

‫‪ -5‬استعراض لنموذج التخصيص وطرؽ حؿ ىذا النموذج وحاالت خاصة في مشكمة النموذج‪.‬‬ ‫‪ -6‬معرفػػة تحميػػؿ شػػبكات األعمػػاؿ مػػف خػػبلؿ أسػػموب المسػػار الحػػرج وأسػػموب بيػػرت وذلػػؾ برسػػـ‬ ‫تمؾ الشبكة وتحديد أقؿ وقت يمزـ إلتماـ المشروع وكيفية تخفيض وقت اإلتماـ والتكاليؼ‪.‬‬

‫‪ -7‬التعرؼ عمي نظرية صفوؼ االنتظار مف خبلؿ معرفة النماذج الرياضية لصفوؼ االنتظار‪.‬‬ ‫وظائؼ بحوث العمميات‪:‬‬

‫‪ .1‬تسييؿ عممية اتخاذ الق اررات ومساعدة المدراء ولكف ليس إحبلؿ الحموؿ محميـ‬ ‫‪ .5‬توفير حموؿ لمختمؼ المشاكؿ اإلدارية‬ ‫‪ .3‬تعتبر أداه فعالة في مجاؿ البحث العممي في مياديف إدارة األعماؿ‬ ‫‪ .4‬تساعد في تخصيص الموارد بشكؿ فاعؿ عمى االحتياجات الكثيرة‬

‫‪ .5‬المساعدة في اختيار االستراتيجيات المختمفة في اإلنتاج والتسويؽ والتمويؿ‬ ‫‪ .6‬المساعدة في تخفيض التكاليؼ في كثير مف الق اررات اإلدارية‬ ‫‪ .7‬يوفر أداه ميمة لدراسة ردود الفعؿ وتحميؿ الحساسية لمكثير مف الق اررات المتخذة‬ ‫أنواع نماذج بحوث العمميات‪:‬‬

‫‪ .1‬البرمجة الخطية ‪Linear programming‬‬ ‫‪ .5‬الطريقة البيانية ‪Graphic method‬‬ ‫‪ .3‬الطريقة المبسطة ‪Simplex Method‬‬ ‫‪ .4‬النقؿ ‪Transportation‬‬ ‫‪ .5‬التعييف ‪Assignment‬‬ ‫‪ .6‬التحميؿ الشبكي ‪Network analysis‬‬ ‫صفذخ ‪ 56‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ .7‬نظرية صفوؼ االنتظار ‪Queuing theory‬‬

‫‪ .8‬نظرية وشجرة الق اررات ‪Decision & tree Theory‬‬ ‫تعريؼ النموذج‪:‬‬

‫ىو عبارة عف تصوير معيف لمظاىرة قيد الدراسة عمى شكؿ مجموعة مف العبلقات الرياضية‬ ‫(النموذج الرياضي أو اإلحصائي) أو بشكؿ جداوؿ ق اررات أو بشكؿ بياني أو مادي‪.‬‬

‫وىو محاكاة ‪( Simulation‬تقميد) أو تقريب الواقع مف خبلؿ عبلقات مفترضة وممحوظة‪.‬‬ ‫ويبنى النموذج لتحديد العبلقة بيف المتغيرات والمعالـ الموجودة في الظاىرة التي تجري دراستيا‪.‬‬ ‫ويستخدـ النموذج الختبار الفرضيات والحموؿ المختمفة ومعرفة تأثيراتيا المحتممة‪.‬‬ ‫أنواع النماذج التي تستخدميا بحوث العمميات‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫النماذج الرياضية المحددة‪ :‬ىي النماذج التي تتألؼ مف عوامؿ ومتغيرات معروفة لدى‬

‫متخذ القرار‪ ,‬أي أنيا بمنأى عف المؤثرات االحتمالية (داخمية كانت أـ خارجية)‪ ,‬منيا عمى‬

‫سبيؿ المثاؿ (نماذج البرمجة الخطية‪ ,‬النموذج المقابؿ‪ ,‬ونماذج النقؿ والتخصيص)‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫النماذج الرياضية االحتمالية‪ :‬ىي النماذج التي تتألؼ مف عوامؿ ومتغيرات احتمالية غير‬ ‫واضحة لدى متخذ القرار‪ ,‬ويكوف ىذا النوع مف النماذج عرضة لممؤثرات الداخمية‬

‫والخارجية‪ ,‬منيا عمى سبيؿ المثاؿ (نماذج السيطرة عمى المخزوف‪ ,‬نموذج صفوؼ‬ ‫االنتظار)‬

‫‪‬‬

‫النماذج الرياضية االستراتيجية‪ :‬ىي النماذج التي يتـ صياغتيا مف قبؿ متخذ القرار بناء‬ ‫عمى موقؼ معيف‪ُ ,‬متخذ مف قبؿ متخذ قرار آخر يعمؿ في نفس البيئة‪ ,‬ويطمؽ عمى‬ ‫الموقؼ المذكور (باالستراتيجية) ويتسـ ىذا النوع مف النماذج بالبساطة كوف المنافسة‬ ‫صفذخ ‪ 57‬يٍ ‪555‬‬



‫بموجبو تتـ بيف اثنيف فقط مف متخذي القرار‪ ,‬ومنيا عمى سبيؿ المثاؿ (نظرية المباريات)‬ ‫‪‬‬

‫النماذج الرياضية اإلحصائية والمحاسبية‪ :‬ليذا النوع مف النماذج الرياضية استخدامات‬ ‫ثابتة معروفة‪ ,‬وتتسـ بالبساطة والصفة الخطية‪ ,‬منيا عمى سبيؿ المثاؿ‬

‫في حالة النماذج اإلحصائية (مؤشر الوسط الحسابي‪ ,‬االنحراؼ المعياري‪ ,‬االرتباط‬ ‫واالنحدار)‪.‬‬ ‫في حالة النماذج المحاسبية والمالية (مؤشر الفائدة البسيطة والمركبة‪ ,‬أقساط االندثار‪,‬‬ ‫حساب الخسائر والمتاجرة)‬ ‫ما ىي معايير التصنيؼ لمنماذج؟‬

‫‪ .1‬النموذج الوظيفي‪ :‬وصفي‪ ,‬تنبؤي‪ ,‬معياري‬ ‫‪ .5‬طبيعة النموذج‪ :‬مجسـ‪ ,‬مناظر‪ ,‬رمزي‬ ‫‪ .3‬أبعاد النموذج‪ :‬ذو بعديف‪ ,‬ذو أبعاد متعددة‬ ‫‪ .4‬حركية النموذج‪ :‬ساكف‪ ,‬ديناميكي‬

‫‪ .5‬درجة التأكد في النموذج‪ :‬تأكد تاـ‪ ,‬مخاطرة‪ ,‬عدـ تأكد‪ ,‬نزاع‬ ‫‪ .6‬درجة العمومية‪ :‬عاـ‪ ,‬متخصص‬ ‫‪ .7‬العبلقة مع البيئة المحيطة‪ :‬مفتوح‪ ,‬مغمؽ‬ ‫‪ .8‬إمكانية القياس الكمي‪:‬‬ ‫كمي‪ :‬إحصائي‪ ,‬أمثمية‪ :‬تحميمية‪ ,‬إجرائية‪ ,‬اجتيادية‪ ,‬محاكاة‬ ‫كيفي‪ :‬عقبلني‪ ,‬لفظي‬

‫تعريؼ النموذج الرياضي‪:‬‬

‫عرض اليدؼ والمتغيرات مف خبلؿ ربط اليدؼ بمجموعة مف المتغيرات ويتـ عرض اليدؼ عمى‬

‫شكؿ دالة اقتراف دالة لمجموعة مف المتغيرات‬ ‫صفذخ ‪ 58‬يٍ ‪555‬‬



‫ماذا يمزـ لبناء نموذج رياضي؟‬

‫‪ -0‬تحديد أىـ عناصر المشكمة‬

‫‪ -6‬التعبير عنيا بشكؿ وصفي كمي‬ ‫مكونات النموذج الرياضي‪:‬‬

‫‪ -1‬دالة اليدؼ ‪ :Objective Function‬تعتمد عمى مجموعة مف المتغيرات‬

‫‪ -5‬القيود ‪ :Constraints‬مجموعة مف القيـ يتـ فرضيا عمى المتغيرات او بعض المتغيرات‬ ‫وذلؾ باستخداـ العبلقات الرياضية‬

‫صياغة النموذج الرياضي‪:‬‬

‫تعتمد عممية صياغة النموذج الرياضي عمى الخطوات التالية‪:‬‬

‫‪ .0‬تييئة البيانات الضرورية لمنموذج‪ :‬ىو عممية تمخيص البيانات وعرضيا بما ينسجـ مع‬

‫طبيعة المشكمة المدروسة‪ ,‬ويتـ ذلؾ مف خبلؿ تصميـ الجداوؿ واألشكاؿ البيانية‪( .‬جداوؿ‬

‫البيانات اإلحصائية)‬ ‫‪ .6‬تحديد اليدؼ المطموب تحقيقو‪ :‬ينطوي اليدؼ المطموب تحقيقو مف قبؿ متخذ القرار في‬ ‫منظمات األعماؿ‪ ,‬عمى ما يمي‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.3‬‬

‫تحقيؽ أكبر قدر ممكف مف األرباح أو العوائد الكمية‪.‬‬

‫تحقيؽ أقؿ قدر ممكف مف الخسائر أو التكاليؼ الكمية‪.‬‬ ‫تحديد المتغيرات القرارية‪ :‬يستند النموذج الرياضي عمى تحديد المتغيرات وتعريفيا‪ ,‬كأف‬

‫تكوف متغيرات أساسية‪ ,‬أو متغيرات غير أساسية‪ ,‬والتي تسمى أحياناً بالمتغيرات الق اررية‪,‬‬ ‫وتكوف ىذه المتغيرات عمى ثبلثة أنواع ىي‪ :‬متغيرات ق ارريو ‪.X3 X2 X1‬‬

‫‪ .8‬تحديد القيود وعالماتيا الرياضية‪ :‬وىي تمؾ المتغيرات التي بإمكانيا الحد مف تحقيؽ‬ ‫اليدؼ وىي عدة أنواع منيا‪:‬‬

‫صفذخ ‪ 59‬يٍ ‪555‬‬


‫‪‬‬ ‫‪‬‬


‫قيود الموارد المادية‪ :‬مثؿ محدودية المواد الخاـ البلزمة لئلنتاج‪.‬‬

‫القيود الزمنية‪ :‬مثؿ القيود الزمنية المتعمقة باستخداـ المكائف واآلالت‪ ,‬أو تمؾ المتعمقة‬

‫باستخداـ الموارد البشرية‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫القيود المالية‪ :‬وىي تمؾ المتعمقة باألمواؿ المخصصة لمعمميات المختمفة‪.‬‬

‫‪‬‬

‫قيود الكميات المطموبة‪ :‬وىي تمؾ المتعمقة بتعاقدات منظمات األعماؿ والتزاماتيا‪.‬‬

‫‪‬‬

‫قيود منطقية‪ :‬وىي تمؾ المتعمقة بطبيعة المتغيرات الق اررية‪ ,‬التي ينبغي أف تكوف بمواصفات‬

‫معينة‪ ,‬وىي نوعيف‪:‬‬ ‫أوال‪ :‬قيود عدـ السمبية‪ :‬وتكوف جميع قيـ المتغيرات الق اررية ‪ Xj‬موجبة‪ ,‬بموجب ىذا النوع مف‬ ‫القيود‪ ,‬أي أف‬

‫(‪ ,) Xj ≥ 0‬واف (‪ ,) j = 1,2,…, n‬مثاؿ ذلؾ كميات اإلنتاج‪.‬‬

‫ثانيا‪ :‬قيود األعداد الصحيحة‪ :‬تكوف جميع قيـ المتغيرات الق اررية ‪ Xj‬ذات أعداد صحيحة وال‬ ‫تأخذ األعداد الكسرية‪ ,‬مثاؿ ذلؾ (عدد الجامعات‪ ,‬عدد الطائرات)‪.‬‬

‫وفي ضوء ذلؾ‪ ,‬ينبغي أف يكوف ليذه القيود (عبلمات رياضية) واضحة ترتبط بنوع المشكمة‬ ‫المدروسة‪ ,‬وتكوف ىذه العبلمات عمى أشكاؿ عدة‪ ,‬ىي‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫عالمة أقؿ مف أو يساوي (≥)‪ :‬تستخدـ ىذه العبلمة عندما تكوف القيود متعمقة باستخداـ‬ ‫(الموارد المادية‪ ,‬الموارد الزمنية‪ ,‬الموارد المالية) وينبغي عمى متخذ القرار في ىذه الحالة‬

‫استخداـ أقؿ ما يمكف مف ىذه الموارد‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫عالمة أكبر مف أو يساوي (≤ )‪ :‬تستخدـ ىذه العبلمة عندما تكوف القيود متعمقة (بإغراؽ‬ ‫السوؽ بالمنتجات‪ ,‬أو اإليفاء بمتطمبات السوؽ التنافسية) حيث ينبغي عمى متخذ القرار في‬

‫ىذه الحالة االستحواذ عمى أكبر حصة سوقية ممكنة‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫عالمة المساواة (= )‪ :‬تستخدـ عبلمة المساواة عندما تكوف القيود في ىيئة (عقود‪,‬‬

‫التزامات مع جيات خارجية) ينبغي عمى منظمات األعماؿ طرح كميات محددة مف اإلنتاج‬

‫دوف زيادة وال نقصاف لئليفاء بالتزاماتيا‬

‫صفذخ ‪ 31‬يٍ ‪555‬‬



‫مالحظة‪:‬‬

‫اغمب النماذج المتعمقة في المنظمات التجارية والصناعية نماذج رياضية الف معموماتيا مؤكدة‬

‫لمشاكؿ واقعية‬ ‫خطوات تطبيؽ بحوث العمميات‪:‬‬

‫يمر تطبيؽ بحوث العمميات بعدة مراحؿ ىي‪:‬‬

‫‪ .0‬تحديد المشكمة وتعريفيا‪ :‬ىو التشخيص الدقيؽ لممشكمة ومحاولة تصنيفيا ضمف إحدى‬ ‫المشكبلت المعروفة كأف تكوف مشكمة إنتاج‪ ,‬أو تسويؽ‪ ,‬أو تخزيف‪ ....‬الخ‪ .‬مثاؿ‪:‬‬

‫انخفاض األرباح ليس ىو المشكمة بحد ذاتو بؿ ىو نتيجة لوجود مشكمة معينة قد تكوف‬

‫باإلنتاج ومواصفات المنتج‪ ,‬أو تسويؽ المنتج أو غيره‪.‬‬ ‫‪ .6‬صياغة (بناء) النموذج‪ :‬ىو تمثيؿ لمكونات المشكمة المدروسة‪ ,‬وتحديد العوامؿ المؤثرة‬ ‫فييا والظروؼ المحيطة بيا وأسموب الربط بينيما‪.‬‬

‫‪ .3‬حؿ النموذج‪ :‬ىو إيجاد مجموعة قيـ متغيرات القرار التي مف خبلليا يتـ التوصؿ إلى الحؿ‬ ‫الممكف لممشكمة المدروسة‪.‬‬

‫‪ .8‬تجربة حؿ النموذج‪ :‬اليدؼ مف تجربة حؿ النموذج ىو التحقؽ مف دقة النتائج المحصمة‬ ‫عمييا مف تطبيؽ النموذج وثبوت صبلحيتو‪ ,‬إذ يتـ ذلؾ مف خبلؿ استمرار الثبات‬

‫واالستقرار وعدـ التغير لقيـ المتغيرات غير المسيطر عمييا‪.‬‬ ‫‪ .3‬تنفيذ حؿ النموذج‪ :‬ىو وضع الحؿ المقترح لمنموذج موضع التطبيؽ ومتابعة تطبيقو‪ ,‬لمتأكد‬ ‫مف صبلحية النموذج مف عدمو‪ ,‬وىذا يعني تحويؿ النموذج المفاىيـ إلى النموذج العممي‬

‫في العالـ الحقيقي والواقعي‪.‬‬ ‫‪ .2‬تحسيف النموذج‪ :‬ىو إدخاؿ التعديبلت الضرورية في حاؿ ثبوت حاجة النموذج لمتعديؿ في‬ ‫مرحمة التنفيذ‪ ,‬بيدؼ تحقيؽ النتائج المطموبة مف تطبيقو بما ينسجـ وحالة الواقع‪.‬‬

‫صفذخ ‪ 31‬يٍ ‪555‬‬



‫عناصر مشكمة اتخاذ الق اررات‪:‬‬ ‫‪ -0‬اليدؼ‪Objective :‬‬

‫وىي النتيجة النيائية التي يجب الوصوؿ إلييا إما تعظيـ الربح أو تقميؿ التكاليؼ‪.‬‬ ‫‪ -6‬المتغيرات‪Variables:‬‬

‫العناصر التي تفرض قيودا معينة عمى الحؿ مثؿ‪:‬‬ ‫المواد األولية الداخمية في إنتاج المادة المعينة‪ ,‬األسعار‪ ,‬الكميات المتوفرة‪ ,‬ساعات التشغيؿ‪,‬‬ ‫الموارد المتاحة‪.‬‬ ‫استخداـ تقنية المعمومات‪:‬‬

‫يتطمب تطبيؽ بحوث العمميات تجميع كميات كبيرة جداً مف البيانات وتنظيميا وتحميميا واجراء‬ ‫عمميات رياضية كثيرة ومعقدة عمييا‪.‬‬

‫وىذا يستدعي استخداـ برامج محسوبة لمعالجة مثؿ ىذه العمميات‬ ‫أنواع التطبيقات الحاسوبية عمى استخداـ بحوث العمميات‪:‬‬

‫مف البرامج الحاسوبية التطبيقية بالمغة االنجميزية‪:‬‬

‫‪QM WIN‬‬ ‫‪TORA‬‬ ‫‪ARENA‬‬ ‫الحؿ األمثؿ‪Optimum :‬‬

‫يقصد بالحؿ األمثؿ أفضؿ قيمة يجب أف تأخذىا قيمة دالة اليدؼ اعتمادا عمى القيود‬ ‫المفروضة عمى المتغيرات إضافة إلى عوامؿ المتغيرات في دالة اليدؼ‪.‬‬

‫وتكوف في الحالتيف‪:‬‬

‫صفذخ ‪ 35‬يٍ ‪555‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬



‫التعظيـ‪Maximization‬‬

‫إيجاد أعمى قيمة دالة اليدؼ (تحديد ربح إنتاج مادة معينة)‬

‫التقميؿ ‪Minimization‬‬

‫إيجاد اقؿ قيمة لدالة اليدؼ (تحديد اقؿ تكمفة لنقؿ مادة معينة)‬

‫الشروط اليامة الستخداـ التحميؿ الكمي التخاذ الق اررات‪:‬‬ ‫‪ -1‬المشكمة معقدة ‪Complex‬‬

‫‪ -5‬المشكمة ميمة ‪Important‬‬ ‫‪ -3‬المشكمة جديدة ‪New‬‬ ‫‪ -4‬المشكمة متكررة ‪Repetitive‬‬ ‫ما المقصود بحؿ المشكمة؟‬

‫تشخيص الفرؽ بيف الحالة الواقعة الحقيقية أو األداء الفعمي وبيف ما تـ تخطيطو ومف ثـ القياـ‬

‫بإجراء لحؿ ىذا االختبلؼ أو إزالة ىذا الفرؽ‪.‬‬

‫صفذخ ‪ 33‬يٍ ‪555‬‬



‫الق اررات اإلدارية‬ ‫مفيوـ القرار اإلداري‪:‬‬

‫ىو المفاضمة بشكؿ واعي ومدرؾ بيف مجموعة مف البدائؿ والحموؿ المتاحة لمتخذ القرار الختيار‬ ‫واحد منيا باعتباره انسب وسيمة لتحقيؽ اليدؼ أو األىداؼ التي يرغبيا متخذ القرار‬ ‫وحتى يكوف القرار جيدا يجب أف تتوفر ىذه المعمومات عمى جممة مف الخصائص وىي‪:‬‬

‫‪ .1‬الشموؿ‪ :‬يجب أف تتصؼ المعمومات بالكماؿ الذي يفيد متخذ القرار ‪.‬‬

‫‪ .2‬الدقػة‪ :‬توفير المعمومات حسب طمب المستخدـ والموضوع محؿ البحث‪.‬‬ ‫‪ .3‬التوقيت‪ :‬ورود المعمومات في الوقت المناسب الستخداميا في اتخاذ الق اررات‪.‬‬ ‫‪ .4‬الوضوح‪ :‬الدرجة التي تكوف فييا المعمومات خالية مف الغموض ومفيومة بشكؿ كبير‬ ‫لمستخدميا‪.‬‬

‫‪ .5‬المرونػة‪ :‬مدى قابمية المعمومات لمتكيؼ بحيث يمكف استخداميا أكثر مف مرة‪.‬‬ ‫‪ .6‬الموضوعية‪ :‬أي أنيا خالية مف قصد التحريؼ أو التغيير لغرض التأثير عمى مستخدـ‬ ‫المعمومات)‪(arabic-military.com‬‬ ‫ما ىي مراحؿ اتخاذ القرار؟‬

‫‪ -1‬فترة التعرؼ عمى المشكمة = مرحمة الذكاء ‪Intelligence Phase‬‬ ‫‪ -5‬فترة تصميـ الحموؿ = إيجاد حؿ مناسب ‪Design Phase‬‬ ‫‪ -3‬اختبار الحؿ األمثؿ = التخميف واالختبار ‪Choice Phase‬‬

‫‪ -4‬تنفيذ الحؿ = تطبيقو في الحياة العممية مباشرة ‪Implementation Phase‬‬

‫صفذخ ‪ 34‬يٍ ‪555‬‬



‫ما ىي أنواع الق اررات؟‬

‫‪ -1‬مبرمجة لمشكمة واضحة مؤكدة محددة روتينية مثؿ مشاكؿ الطمب والعرض‬ ‫‪ -5‬شبو مبرمجة لمشكمة ليست معمومة مثؿ توظيؼ شخص غير معروؼ لوظيفة محددة‬ ‫‪ -3‬غير مبرمجة لمشكمة غير واضحة عدـ التأكد مثؿ التنبؤ في المبيعات‬ ‫ما ىي تصنيفات القرارات؟‬

‫‪ -1‬تشغيمية مف اإلدارة الدنيا مثؿ األنشطة اليومية الروتينية‬ ‫‪ -5‬تكتيكية مف اإلدارة الوسطى مثؿ أنشطة األداء التنفيذي‬ ‫‪ -3‬إستراتيجية مف اإلدارة العميا مثؿ األىداؼ واالستراتيجيات والخطط الطويمة‬

‫أمثمة لبعض المشكالت اإلدارية‪:‬‬

‫مثاؿ (‪:)1‬‬

‫تصور أنؾ مسئوؿ عف مشروع لبناء منزؿ كبير أو مدرسة أو غيرىا مف المشروعات‪.‬‬ ‫ما ىي المكونات األساسية لؤلنشطة المختمفة لبناء ىذا المشروع؟‬ ‫حفر أساسات – تسوية األرض – تييئة اليياكؿ الحديدية – إعداد البنى الخشبية – تأميف الرمؿ‬ ‫والحجارة واالسمنت ‪ -‬وغيرىا‬ ‫فإذا عممت أف الوقت والموارد المالية لديؾ محدودة فما ىي أفضؿ ا لطرؽ لتحقيؽ ىدفؾ‬ ‫بإنجاز المشروع؟‬

‫ىو استخداـ األسموب العممي في البناء مف خبلؿ الربط بيف العناصر والمكونات ليذا المشروع‪,‬‬ ‫حيث يمكف استخداـ ما يعرؼ بأساليب التخطيط الشبكي (شبكات األعماؿ) وىي أحد أساليب‬

‫بحوث العمميات‪.‬‬

‫صفذخ ‪ 35‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ (‪:)5‬‬

‫افترض أنؾ تممؾ مزرعة خاصة بؾ‪ ,‬وتفكر أف تستفيد مف ىذه المساحة خبلؿ الموسـ الزراعي‬

‫القادـ بحيث تحقؽ أكبر ربح ممكف‪ ,‬وأمامؾ عدد كبير مف الخيارات ( البدائؿ) لزراعة األنواع‬ ‫المختمفة مف الخضروات‪ .‬ولنفترض أنؾ مف خبلؿ السنوات السابقة واثؽ مف أف زراعة نوع‬ ‫معيف (الفراولة مثبلً) سيحقؽ أكبر ربح ممكف نظ اًر الرتفاع أسعار بيعو‪ .‬فيؿ ستزرع المساحة‬ ‫كميا بيذا الصنؼ؟ مع افتراض أف حجـ الطمب كبير عمى ىذا الصنؼ ولف يتأثر بحجـ‬

‫إنتاجؾ منو؟ ال شؾ أنؾ ستفعؿ ولكف مف المعروؼ أف زراعة الفراولة تتطمب كميات كبيرة مف‬

‫المياه وعدداً كبي ارً مف األيدي العاممة وعمى افتراض أف ىذيف المورديف محدوديف لديؾ‪ .‬فماذا‬

‫ستفعؿ ؟؟ بالعودة إلى تعريؼ بحوث العمميات نجد أف ىناؾ اختبلؼ في تعريؼ بحوث‬ ‫العمميات بالنسبة لممينييف والمختصيف في القطاعات المختمفة‪.‬‬

‫نجد أف أفضؿ حؿ ليا باستخداـ البرمجة الخطية‪.‬‬

‫صفذخ ‪ 36‬يٍ ‪555‬‬



‫الفصؿ الثاني‬

‫صفذخ ‪ 37‬يٍ ‪555‬‬



‫صياغو البرمجة الخطية ‪Linear Programming Formulation‬‬

‫معنى كممة برمجة‪Programming:‬‬

‫استخداـ أسموب منطقي وعممي في تحميؿ المشكمة وعبلجيا‬ ‫معنى كممة خطية‪Linear:‬‬

‫وجود عبلقة ثابتة بيف متغيرات أساسية داخمة في تركيب ىدؼ دالة اليدؼ والقيود‬

‫وتمثؿ بخط مستقيـ‬ ‫تعريؼ البرمجة الخطية‪:‬‬

‫تعتبر البرمجة الخطية مف إحدى األساليب الرياضية الميمة المستخدمة في ترشيد الموارد‬

‫المتوفرة في عممية اتخاذ الق اررات‪ ,‬وتبحث البرمجة الخطية في توزيع الموارد المحددة بيف‬

‫االستخدامات البديمة ضمف إطار القيود والمحددات المفروضة لتحقؽ األىداؼ المرجوة إما‬

‫تعظيـ األرباح أو تقميؿ التكاليؼ‪.‬‬ ‫وتعرؼ عمى أنيا تعابير رياضية خطية(مف الدرجة األولى) تمثؿ بخط مستقيـ ‪ ,‬يتـ استخداميا‬ ‫لحؿ نموذج رياضي تشير إلى دالة اليدؼ‪ ,‬بمتغيرات أساسية‪ ,‬بقيود ومحددات معينة‪ ,‬وبشرط‬ ‫عدـ سمبية المتغيرات‪.‬‬

‫صفذخ ‪ 38‬يٍ ‪555‬‬



‫مكونات البرمجة الخطية‬

‫‪ -1‬وجود دالة اليدؼ محددة‪Objective Function :‬‬ ‫) ‪ Maximization‬تعظيـ الربح أو ‪ Minimization‬تقميؿ التكاليؼ)‬ ‫‪ -5‬وجود عدد معيف مف المتغيرات األساسية‪Basic Variables :‬‬ ‫وتشترط متغيريف فقط لكي يتـ التعبير عنيا بالمتغيرات األساسية (‪)x1,x2‬‬ ‫‪ -3‬وجود قيود أو محددات‪Constraints :‬‬

‫يتـ التعبير عنيا بصورة متباينات بينيا عبلقة اقؿ مف أو يساوي ≥‬ ‫أو اكبر مف ويساوي ≤‬

‫‪ -4‬شرط عدـ السمبية ‪Non Negativity‬‬

‫وىذا عاـ وأساسي لجميع أنواع البرمجة الخطية‬

‫‪x1,x2 ≤ zero‬‬

‫أىداؼ نماذج البرمجة الخطية‪:‬‬

‫‪ .1‬تعظيـ الربح اكبر قيمة في الحؿ بعد اختبارىا في دالة اليدؼ‬ ‫‪ .5‬تقميؿ التكاليؼ اقؿ قيمة في الحؿ بعد اختبارىا في دالة اليدؼ‬ ‫أشكاؿ القيود‬

‫ويعبر عف القيود في شكؿ معادالت خطية ‪ ,‬وىي كما يمي‪:‬‬

‫‪ .1‬متساوية ‪)= ( :‬‬

‫‪Equality‬‬

‫‪ .5‬متباينة ‪ :‬أقؿ مف (≥ )‬

‫‪Less Than Or Equal To‬‬

‫‪ .3‬متباينة ‪ :‬أكبر مف (≤)‬

‫‪More Than Or Equal To‬‬ ‫صفذخ ‪ 39‬يٍ ‪555‬‬



‫كيفية صياغة النموذج الرياضي‬

‫‪ .1‬إما أف تكوف عمى ىيئة مشكمة يتـ دراستيا كدراسة حالة ‪Case Study‬‬ ‫‪ .5‬أو بيانات محدده في جدوؿ‬

‫‪ .3‬أو عمى شكؿ نموذج رياضي محدد بو دالة اليدؼ والقيود‬ ‫صياغة المشكمة‬

‫المشكبلت التمثيمة غالبا ما تأتي في صورة كبلمية‪ ,‬وتحدد طريقة الحؿ في تصوير المشكمة في‬

‫شكؿ نموذج رياضي يعبر عف المشكمة‪ ,‬ومف ثـ يحؿ ىذا النموذج باألساليب المختمفة‪.‬‬ ‫ويمكف إتباع الخطوات التالية في بناء النموذج الرياضي‪.‬‬

‫‪ .1‬حدد الكميات التي تحتاج إلى قيـ مثمى‪ .‬وعرفيا كمتغيرات لتأخذ الرموز‪x1, x2,‬‬ ‫‪ .5‬عرؼ ىدؼ المشكمة وعبر عنو رياضياً باستخداـ المتغيرات ‪.‬‬

‫‪ .3‬حدد ومثؿ القيود في صورة متباينات وذلؾ باستخداـ المتغيرات‪.‬‬ ‫‪ .4‬أضؼ إلى النموذج الرياضي شرط عدـ السمبية ( إف جميع المتغيرات يجب أف تكوف اكبر‬ ‫مف أو تساوي الصفر)‪.‬‬

‫صفذخ ‪ 41‬يٍ ‪555‬‬



‫ما ىي الخطوات األساسية المتبعة عند صياغة مشكمة برمجية؟‬

‫‪ .1‬عند ذكر كممو مركبات أساسية ىي المتغيرات األساسية ‪X1,X2‬‬ ‫‪ .5‬عند ذكر أقساـ العمؿ مراحؿ اإلنتاج خطوات العمؿ تعتبر عدد القيود كؿ منيا قيد‬ ‫عمى حده‬

‫‪ .3‬عند ذكر كممة أرباح تعتبر دالة ىدؼ ربح ‪MAX‬‬ ‫‪ .4‬عند ذكر كممة تكمفة تعتبر دالة ىدؼ تكمفة ‪MIN‬‬ ‫‪ .5‬عند ذكر كمية تحديد اإلنتاج أو ساعات العمؿ ىي الكميات في القيد التي توضع بعد‬ ‫إشارة المتباينة وتكتب بالمغة االنجميزية‬

‫‪ .6‬عند التأكد مف عدد المتغيرات األساسية إف كانا متغيريف أساسيف فقط تحؿ بالطريقة‬ ‫البيانية أما إف كانا أكثر مف متغيريف أساسيف تحؿ بطريقة السمبمكس‬ ‫‪ .7‬دوما تكوف إشارة المتباينات في حالة ‪ MAX‬تكوف اقؿ مف أو يساوي ≥ دائما‬

‫أما في حالة ‪ MIN‬تكوف اكبر مف أو يساوي ≤ دائما‬

‫‪ .8‬عند ذكر كممة عمى األكثر تكوف إشارة المتباينة في القيد اقؿ مف أو يساوي ≥‬ ‫‪ .9‬عند ذكر كممة عمى األقؿ تكوف إشارة المتباينة في القيد اكبر مف أو يساوي ≤‬ ‫‪ .11‬عند ذكر كممة بالضبط‪ ,‬تماما‪ ,‬تحتوي فقط تكوف إشارة القيد يساوي =‬

‫صفذخ ‪ 41‬يٍ ‪555‬‬



‫صياغة المشكمة البرمجية العممية في حالة تعظيـ األرباح‬ ‫مثاؿ تطبيقي (‪:)0‬‬

‫مصنع االسي لصناعة األخشاب في مدينة غزة يصنع نوعيف مف األخشاب‪:‬‬ ‫األوؿ خشب زاف بقشرة ميبؿ‪ ,‬والثاني سويد مطعـ‪.‬‬

‫بحيث يستيمؾ األوؿ ‪ 8‬ساعات في قسـ التصنيع والصنفرة‪ ,‬و يستيمؾ ‪ 6‬ساعات في قسـ‬ ‫الدىاف والورنيش‬

‫ويستيمؾ الثاني ‪ 7‬ساعات في قسـ التصنيع والصنفرة‪ ,‬و يستيمؾ ‪ 3‬ساعات في قسـ الدىاف‬ ‫والورنيش‪.‬‬ ‫ويعمؿ في المصنع عماؿ بواقع ‪ 11‬ساعات يوميا في قسـ التصنيع والصنفرة‪ ,‬و ‪ 8‬ساعات في‬ ‫قسـ الدىاف والورنيش‪.‬‬

‫ويحقؽ النوع األوؿ ربحا بمقدار ‪ 211‬دينار في المتر المكعب ويحقؽ الثاني ‪ 411‬دينار في‬ ‫المتر المكعب‬ ‫المطموب‪ :‬صياغة البرمجة الخطية والذي يعطي أعمى األرباح؟‬

‫‪MAX Z = 200X1 + 400X2‬‬ ‫‪Subject to:‬‬ ‫‪8X1 + 7X2 ≤ 10‬‬ ‫‪6X1 + 3X2 ≤ 8‬‬ ‫‪X1, X2 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 45‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ تطبيقي(‪)2‬‬

‫تقوـ شركة متخصصة في فف الديكور وأعماؿ الجبس بتشطيب برج سكني في مدينة غزة‪ ,‬وكاف‬

‫االلتزاـ المفروض عمى الشركة كالتالي‪:‬‬

‫إعداد تركيبيف أساسيف في الدىاف و الجبس بحيث‪:‬‬ ‫يحتاج التركيب األوؿ ‪ 4‬ساعات مف المادة األولى‪ ,‬و ‪ 2‬ساعة مف المادة الثانية‬

‫ويحتاج التركيب الثاني إلى ‪ 3‬ساعات مف المادة األولى و ساعة مف المادة الثانية‬ ‫بحيث يستيمؾ مف الماد األولى ‪ 511‬جـ‪ ,‬ومف المادة الثانية ‪ 611‬وحدة‬

‫ويحقؽ التركيب األوؿ ربحا بمقدار ‪ 7111‬دينار ويحقؽ التركيب الثاني ‪ 5111‬دينار‬

‫المطموب‪ :‬صياغة البرمجة الخطية والذي يعطي أكبر ربح ممكف؟‬ ‫‪MAX Z = 7000X1 + 5000X2‬‬ ‫‪Subject to:‬‬ ‫‪4X1 + 3X2 ≤ 500‬‬ ‫‪2X1 + X2 ≤ 600‬‬ ‫‪X1, X2 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 43‬يٍ ‪555‬‬




‫تقوـ شركة سطركو لصناعة المواد الكيماوية لممنظفات بصناعة مركب يستخدـ في التنظيؼ‬

‫يتكوف مف ثبلثة مركبات أساسية ويمر بثبلثة مراحؿ مف التصنيع بحيث‪:‬‬

‫يحتاج المركب األوؿ في المرحمة األولى ‪ 3‬ساعات تصنيع وتركيب‪ ,‬والمرحمة الثانية ‪ 4‬ساعات‬ ‫تحميؿ ومعايرة‪ ,‬والمرحمة الثالثة ‪ 5‬ساعات تعبئة وتغميؼ‪.‬‬ ‫و يحتاج المركب الثاني في المرحمة األولى ‪ 6‬ساعات تصنيع وتركيب‪ ,‬والمرحمة الثانية ‪2‬‬ ‫ساعات تحميؿ ومعايرة‪ ,‬والمرحمة الثالثة ‪ 4‬ساعات تعبئة وتغميؼ‬

‫يحتاج المركب الثالث في المرحمة األولى ‪ 7‬ساعات تصنيع وتركيب‪ ,‬والمرحمة الثانية ‪ 3‬ساعات‬ ‫تحميؿ ومعايرة‪ ,‬والمرحمة الثالثة ‪ 2‬ساعات تعبئة وتغميؼ‬ ‫ويعمؿ في المصنع عماؿ بواقع ‪ 9‬ساعات يوميا في قسـ التصنيع والتركيب‪ ,‬و ‪ 8‬ساعات في‬ ‫قسـ التحميؿ والمعايرة‪ ,‬و ‪ 7‬ساعات في قسـ التعبئة والتغميؼ‪.‬‬

‫وعند قسـ التسويؽ يحقؽ المتر الواحد ربحا بمقدار ‪ 12‬دينار لممركب األوؿ‪ ,‬و ‪ 14‬دينار‬ ‫لممركب الثاني‪ ,‬و ‪ 16‬دينار لممركب الثالث‬

‫المطموب‪ :‬صياغة البرمجة الخطية والذي يعطي أعمى األرباح؟‬ ‫‪MAX Z = 12X1 + 14X2 + 16X3‬‬ ‫‪Subject to:‬‬ ‫‪3X1 + 6X2 + 7X3 ≤ 9‬‬ ‫‪4X1 + 2X2 + 3X3 ≤ 8‬‬ ‫‪5X1 + 4X2 + 2X3 ≤ 7‬‬ ‫‪X1, X2 , X3 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 44‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ تطبيقي (‪)4‬‬

‫ينتج مصنع العودة نوعيف مف السمع‪ :‬األوؿ بسكويت‪ ,‬والثاني شوكوالتو‪ .‬بحيث‪:‬‬ ‫يحتاج األوؿ ‪ 4‬ساعات في قسـ التصنيع‪ ,‬و ‪2‬ساعة في قسـ التغميؼ‬

‫ويحتاج لثاني ‪ 5‬ساعات في قسـ التصنيع ‪ ,‬و ‪ 3‬ساعات في قسـ التغميؼ‪.‬‬ ‫ويعمؿ في المصنع عماؿ بواقع ‪ 8‬ساعات يوميا في قسـ التصنيع ‪ ,‬و ‪ 3‬ساعات في قسـ‬ ‫التغميؼ‬ ‫ويحقؽ النوع األوؿ ربحا بمقدار ‪ 11‬دينار لموحدة الواحدة ويحقؽ الثاني ‪ 31‬دينار لموحدة‬

‫الواحدة‬

‫المطموب‪ :‬صياغة البرمجة الخطية والذي يعطي أعمى األرباح؟‬ ‫‪MAX Z = 10X1 + 30X2‬‬ ‫‪Subject to:‬‬ ‫‪4X1 + 5X2 ≤ 8‬‬ ‫‪2X1 + 3X2 ≤ 3‬‬ ‫‪X1, X2 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 45‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ تطبيقي (‪:)5‬‬

‫شركة الفخامة لصناعة األثاث المنزلي تصنع ثبلثة أنواع مف األثاث‪ (:‬طاوالت‪ ,‬كراسي‪ ,‬كنب)‬ ‫النوع‬

‫الطاوالت‬

‫الكراسي‬

‫الكنب‬

‫المورد‬

‫مواد أولية‬

‫‪31‬‬

‫‪21‬‬

‫‪31‬‬

‫‪021‬‬

‫ساعات عمؿ‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬

‫اآلالت‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪24‬‬

‫الربح المحقؽ‬

‫‪01‬‬

‫‪8‬‬

‫‪02‬‬

‫المطموب‪ :‬صياغة البرمجة الخطية والذي يعطي أعمى األرباح؟‬ ‫‪MAX Z = 10X1 + 8X2 + 12X3‬‬ ‫‪Subject to:‬‬ ‫‪30X1 + 20X2 + 30X3 ≤ 120‬‬ ‫‪2X1 + 2X2 +‬‬ ‫‪X3 ≤ 9‬‬ ‫‪4X1 + 6X2 +‬‬ ‫‪4X3 ≤ 24‬‬ ‫‪X1, X2 , X3 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 46‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ تطبيقي(‪:)6‬‬

‫شركة دادر لممبلبس الرجالية يبيع منتجيف مف المبلبس الرجالية‪:‬‬ ‫القسـ األوؿ‬

‫القسـ الثاني‬

‫القسـ الثالث‬

‫الربح‬

‫المنتج‬ ‫بدؿ رجالي‬

‫‪4\0‬‬

‫‪4\0‬‬

‫‪2\0‬‬

‫‪02‬‬

‫مالبس كاجوؿ‬

‫‪2\0‬‬

‫‪6\0‬‬

‫‪4\3‬‬

‫‪01‬‬

‫المورد‬

‫‪211‬‬

‫‪051‬‬

‫‪511‬‬

‫‪------‬‬

‫المطموب‪ :‬صياغة البرمجة الخطية والذي يعطي أعمى األرباح؟‬ ‫‪MAX Z = 12X1 + 10X2‬‬ ‫‪Subject to:‬‬ ‫‪0.25X1 + 0.5X2 ≤ 200‬‬ ‫‪0.25X1 + 0.16X2 ≤ 150‬‬ ‫‪0.5X1 + 0.75X2 ≤ 500‬‬ ‫‪X1, X2 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 47‬يٍ ‪555‬‬




‫شػ ػ ػ ػػركة جريكػ ػ ػ ػػو إلنتػ ػ ػ ػػاج الميػ ػ ػ ػػاه المعدنيػ ػ ػ ػػة تضػ ػ ػ ػػع محمػ ػ ػ ػػوليف أساسػ ػ ػ ػػيف عنػ ػ ػ ػػد تصػ ػ ػ ػػنيع الميػ ػ ػ ػػاه‬

‫(معقـ‪ ,‬ومحمي طعـ)‪:‬‬ ‫المحموؿ الثاني‬

‫الربح‬

‫المنتج‬

‫المحموؿ األوؿ‬

‫المادة األولى‬

‫‪05‬‬

‫‪04‬‬

‫‪2‬‬

‫المادة الثانية‬

‫‪02‬‬

‫‪00‬‬

‫‪3‬‬

‫المورد‬

‫‪211‬مؿ‬

‫‪051‬مؿ‬

‫‪------‬‬

‫المطموب‪ :‬صياغة البرمجة الخطية والذي يعطي أعمى األرباح؟‬ ‫‪MAX Z = 2X1 + 3X2‬‬ ‫‪15X1 + 14X2 ≤ 200‬‬ ‫‪12X1 + 11X2 ≤ 150‬‬ ‫‪X1, X2 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 48‬يٍ ‪555‬‬

‫‪Subject to:‬‬




‫شركة بانياس لصناعة العصائر المعمبة تستخدـ في إنتاج العصائر ثبلثة مركبات أساسية ويمر‬

‫العصير بأربع مراحؿ تصنيع‪:‬‬ ‫المنتج‬

‫األوؿ‬

‫الثاني‬

‫الثالث‬

‫المورد‬

‫المرحمة ‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪51‬‬


‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪21‬‬


‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪31‬‬


‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪41‬‬

‫األرباح‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪------‬‬

‫المطموب‪ :‬صياغة البرمجة الخطية والذي يعطي أعمى األرباح؟‬ ‫‪MAX Z = X1 + 3X2 + 2X3‬‬ ‫‪Subject to:‬‬ ‫‪3X1 + 2X2 + X3 ≤ 50‬‬ ‫‪X1 + X2 + X3 ≤ 20‬‬ ‫‪4X1 + 3X2 + 3X3 ≤ 30‬‬ ‫‪6X1 + 5X2 + X3 ≤ 40‬‬ ‫‪X1, X2 , X3 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 49‬يٍ ‪555‬‬




‫ضع المشكمة اآلتية بشكؿ صياغة نموذج رياضي يمكف حؿ بنموذج البرمجة الخطية‪:‬‬

‫مصنع اليازجي لممشروبات الغازية يصنع نوعيف مف المشروبات المشروب األوؿ ستار‬

‫والمشروب الثاني مكة كوال‪ ،‬بحيث يستيمؾ األوؿ ‪ 8‬ساعات تشغيؿ في قسـ التصنيع و‪3‬‬

‫ساعات في قسـ التغميؼ‪،‬‬

‫والثاني يستيمؾ ‪ 3‬ساعات في قسـ التصنيع و‪ 3‬ساعات في قسـ التغميؼ‪ ،‬بحيث األوؿ يحقؽ‬

‫ربح ‪ 63‬دينار والثاني ‪ 33‬دينار‪.‬‬

‫ويعمؿ العماؿ في المصنع بواقع ‪ 4‬ساعات يوميا في قسـ التصنيع و‪ 03‬ساعات في قسـ‬

‫التغميؼ عمى األكثر‪.‬‬ ‫عدد ساعات العمؿ‬

‫النوع‬

‫األوؿ‬

‫الثاني‬

‫قسـ التصنيع‬

‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫قسـ التغميؼ‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪03‬‬


‫‪63‬‬

‫‪33‬‬

‫‪-------‬‬

‫المطموب‪ :‬صيغ المشكمة اآلتية بنموذج رياضي تعظيـ األرباح ‪Max‬‬ ‫الحؿ‪:‬‬

‫نفرض أف النوع األوؿ ‪ X1‬النوع الثاني ‪X2‬‬ ‫‪Max Z =25X1 + 35X2‬‬ ‫‪Subject to:‬‬ ‫‪4X1 + 5X2 ≤ 8‬‬ ‫‪5X1 + 3X2 ≤ 15‬‬ ‫‪X1≥ 0,X2 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 51‬يٍ ‪555‬‬




‫استممت شركة بيرزيت الدوائية طمبا لصناعة مركب دوائي يتكوف مف ثالثة مركبات أساسية‪،‬‬

‫حيث يمر الدواء بثالثة مراحؿ مف التصنيع‪:‬‬ ‫النوع‬

‫األوؿ‬

‫الثاني‬

‫الثالث‬

‫الموارد‬


‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫‪41‬‬


‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪71‬‬


‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪2‬‬

‫‪91‬‬


‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪-------‬‬

‫المطموب‪ :‬اكتب برمجة خطية لمحالة الدراسية اآلتية لتحقؽ اكبر ربح ممكف؟‬ ‫الحؿ‪ :‬نفرض أف النوع األوؿ ‪ X1‬النوع الثاني ‪ X2‬النوع الثالث ‪X3‬‬ ‫‪Objective function:‬‬ ‫‪MAX Z =3X1 + 4X2 + 2X3‬‬ ‫‪constraints‬‬ ‫‪Subject to:‬‬ ‫‪3X1 + 2X2 + 4X3 ≤ 80‬‬ ‫‪X1 + 5X2 + X3 ≤ 70‬‬ ‫‪5X1 + 4X2 + 6X3 ≤ 90‬‬ ‫‪Non negative‬‬ ‫‪X1, X2 , X3 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 51‬يٍ ‪555‬‬




‫تقوـ شركة ومطابع المنصور في مدينة غزة بإنتاج ثالثة أنواع أساسية مف الدفاتر المدرسية‬ ‫وىي‪ ( :‬دفتر كتابة‪ ،‬نوتو مالحظات‪ ،‬دفتر رسـ) بحيث يمر بثالثة مراحؿ مف اإلنتاج‪:‬‬

‫يحتاج النوع األوؿ إلى‪ 3 :‬ساعات مف اآللة اإلنتاجية‪ ،‬و ‪ 8‬ساعات مف العمؿ اليدوي‪ ،‬بدوف‬ ‫استيعاب أي وحدة في السوؽ‬

‫يحتاج النوع الثاني إلى‪ 8 :‬ساعات مف اآللة اإلنتاجية‪ ،‬و ‪ 3‬ساعات مف العمؿ اليدوي‪،‬‬

‫باستيعاب ‪ 03‬وحدة في السوؽ‬

‫يحتاج النوع الثالث إلى‪ 3 :‬ساعات مف اآللة اإلنتاجية‪ ،‬و ساعتيف مف العمؿ اليدوي‪،‬‬

‫باستيعاب ‪ 06‬وحدة في السوؽ‬

‫وإلتماـ عممية إنتاج ىذه الدفاتر البد مف استخداـ الو إنتاجية وقتيا المتاح عمى األكثر ‪68‬‬

‫ساعة في اليوـ‪ ،‬وعدد معيف مف ساعات العمؿ اليدوية بوقت متاح عمى األكثر ‪ 02‬ساعة‬

‫في اليوـ‪ ،‬والكمية التي يستوعبيا السوؽ عمى األقؿ ‪ 611‬وحدات متاحة‬

‫فإذا عممت أف‪ :‬الربح المحقؽ مف بيع النوع األوؿ = ‪ 0623‬دينار‪ ،‬والثاني = ‪ 08‬دينار‪،‬‬

‫والثالث ‪ 01‬دينار‬

‫المطموب‪ :‬ص يغ نموذج برمجة خطية لممشكمة السابقة؟‬

‫‪MAX Z = 12.5X1 + 14X2 + 10X3‬‬ ‫‪Subject to:‬‬ ‫‪3X1 + 4X2 + 3X3 ≤ 24‬‬ ‫‪4X1 + 5X2 + 2X3 ≤ 16‬‬ ‫‪13X2 + 12X3 ≥ 200‬‬ ‫‪X1, X2 , X3 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 55‬يٍ ‪555‬‬




‫تقوـ شركة بدري وىنية في مدينة غزة بإنتاج ثالثة أنواع أساسية مف القيوة وىي‪:‬‬

‫( شقراء‪ ،‬غامقة‪ ،‬عربية) بحيث يمر بثال ثة مراحؿ مف اإلنتاج‪:‬‬

‫يحتاج النوع األوؿ إلى‪ 6 :‬ساعات مف اآللة اإلنتاجية‪ ،‬و ربع ساعة تعبئة‪ ،‬باستيعاب وحدة‬ ‫في السوؽ‬

‫يحتاج النوع الثاني إلى‪ 323 :‬ساعات مف اآللة اإلنتاجية‪ ،‬و نصؼ ساعة تعبئة‪ ،‬باستيعاب‬

‫‪ 07‬وحدة في السوؽ‬

‫يحتاج النوع الثالث إلى‪ 0 :‬ساعة مف اآللة اإلنتاجية‪ ،‬و ساعة مف تعبئة‪ ،‬باستيعاب ‪04‬‬

‫وحدة في السوؽ‬

‫وإلتماـ عممية إنتاج القيوة البد مف استخداـ الو إنتاجية وقتيا المتاح عمى األكثر ‪ 08‬ساعة‬ ‫في اليوـ‪ ،‬وعدد معيف مف التعبئة بوقت متاح عمى األكثر ‪ 01‬ساعات في اليوـ‪ ،‬والكمية‬ ‫التي يستوعبيا السوؽ عمى األقؿ ‪ 6311‬وحدة متاحة‬

‫فإذا عممت أف‪ :‬الربح المحقؽ مف بيع النوع األوؿ = ‪ 6.3‬دينار‪ ،‬والثاني = ‪ 0.3‬دينار‪،‬‬

‫والثالث ‪ 1.3‬دنانير‬

‫المطموب‪ :‬صيغ نموذج برمجة خطية لممشكمة السابقة؟‬ ‫‪MAX Z = 2.5X1 + 1.5X2 + 0.5X3‬‬ ‫‪Subject to:‬‬ ‫‪2X1 + 3.5X2 + X3 ≤ 14‬‬ ‫‪0.25X1 + 0.5X2 + X3 ≤ 10‬‬ ‫‪X1 + 17X2 + 18X3 ≥ 2500‬‬ ‫‪X1, X2 , X3 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 53‬يٍ ‪555‬‬




‫يقوـ مصنع العودة في مدينة دير البمح بإنتاج ثالثة أنواع أساسية مف المنتجات وىي‪:‬‬

‫( شوكالتة‪ ،‬بسكويت‪ ،‬شيبسي) بحيث يمر بثالثة مراحؿ مف اإلنتاج‪:‬‬

‫يحتاج النوع األوؿ إلى‪ 323 :‬ساعات مف اآللة اإلنتاجية‪ ،‬و ‪ 8‬ساعات مف التغميؼ‪ ،‬بدوف‬ ‫استيعاب أي وحدة في السوؽ‬

‫يحتاج النوع الثاني إلى‪ 3 :‬ساعات ونصؼ مف اآللة اإلنتاجية‪ ،‬و ‪ 3‬ساعات ونصؼ مف‬ ‫التغميؼ‪ ،‬باستيعاب ‪ 031‬وحدة في السوؽ‬

‫يحتاج النوع الثالث إلى‪ :‬ساعة مف اآللة اإلنتاجية‪ ،‬وساعة مف التغميؼ‪ ،‬باستيعاب ‪061‬‬

‫وحدة في السوؽ‬

‫وإلتماـ عممية إنتاج ىذه المنتجات البد مف استخداـ الو إنتاجية وقتيا المتاح عمى األكثر ‪7‬‬ ‫ساعات في اليوـ‪ ،‬وعدد معيف مف التغميؼ بوقت متاح عمى األكثر ‪ 3‬ساعات في اليوـ‪،‬‬

‫والكمية التي يستوعبيا السوؽ عمى األقؿ ‪ 311‬وحدة متاحة‬

‫فإذا عممت أف‪ :‬الربح المحقؽ مف بيع النوع األوؿ = ‪ 6‬دينار‪ ،‬والثاني = ‪ 1.3‬دينار‪ ،‬والثالث‬

‫‪ 0.73‬دينار‬

‫المطموب‪ :‬صيغ نموذج برمجة خطية لممشكمة السابقة؟‬

‫‪MAX Z = 2X1 + 0.5X2 + 1.75X3‬‬ ‫‪Subject to: 3.5X1 + 5.5X2 + X3 ≤ 7‬‬ ‫‪4X1 + 5X2 + X3 ≤ 5‬‬ ‫‪130X2 + 120X3 ≥ 500‬‬ ‫‪X1, X2 , X3 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 54‬يٍ ‪555‬‬




‫صياغة المشكمة في حالة تقميؿ التكاليؼ‪Min‬‬

‫تقوـ إحدى الشركات بإنتاج أنواع مختمفة مف األسمدة الزراعية فإذا وردت إلى الشركة طمبيو‬

‫لمحصوؿ عمى ‪ 24111‬كيموغراـ مف أسمدة معينة‪.‬‬ ‫ويتكوف ىذا النوع مف األسمدة مف ثبلثة مركبات ىي ‪ ,C ,B ,A‬والمواصفات المطموبة لذلؾ‬

‫السماد كما وردت في الطمبية مبينة كما يمي‪:‬‬

‫‪ .1‬يجب أف يحتوي السماد عمى األقؿ ‪ 6111‬كيمو غراـ مف المركب ‪.B‬‬ ‫‪ .2‬يجب أف ال يحتوي السماد عمى األكثر مف ‪ 8111‬كيمو غراـ مف المركب ‪.A‬‬ ‫‪ .3‬يجب أف يحتوي السماد عمى األقؿ ‪ 4111‬كيمو غراـ مف المركب ‪.C‬‬

‫واذا عممت أف كمفة الكيمو غػراـ مػف المركػب ‪ A‬تسػاوي ‪ 4‬دينػار‪ ,‬وكمفػة الكيمػو غػراـ مػف المركػب‬ ‫‪ B‬تساوي ‪ 6‬دينار‪ ,‬وكمفة الكيمو غراـ مف المركب ‪ C‬تساوي ‪ 8‬دينار‪.‬‬ ‫المطموب‪ :‬صياغة البرمجة الخطية والذي يعطي اقؿ التكاليؼ؟‬ ‫‪MIN Z = 4A + 6B + 8C‬‬ ‫‪Subject to:‬‬ ‫‪A + B + C = 24000‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪≥ 6000‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪≤ 8000‬‬ ‫‪C ≥ 4000‬‬ ‫‪A, B, C ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 55‬يٍ ‪555‬‬




‫تقوـ مزرعة دجاجكو بتربية وبيع الدجاج‪ ,‬وقد دلت التجارب عمى أف أفضؿ طريقة لتغذية‬ ‫الدجاج ىي بخمط نوعيف مف األعبلؼ األولية يحتوياف عمى المواد المقوية البلزمة لتغذية‬ ‫الدجاج‪ ,‬وىي عمؼ رقـ ع‪ ,015‬ع‪ , 215‬وذلؾ لتوفير المواد األساسية المقوية لنموىا‪ ,‬حيث‬

‫يتكوف العمؼ األوؿ مف مادتيف والثاني مف ثبلثة مواد‪ ,‬وذلؾ كما يمي‪:‬‬

‫يتكوف العمؼ رقـ ع‪ 015‬مف مادة ب‪ 0‬بواقع ‪ 21‬غراـ لموحدة‪ ,‬ومف مادة ب‪ 2‬بواقع ‪01‬‬

‫غرامات لموحدة‪.‬‬

‫بينما يتكوف العمؼ رقـ ع‪ 215‬مف ثبلثة مواد ىي ‪:‬ب‪ 0‬بواقع ‪ 01‬غرامات لموحدة‪ ,‬ومادة ب‪2‬‬ ‫بواقع ‪ 01‬غراـ‪ ,‬ومادة ب‪ 3‬بواقع ‪ 01‬غرامات لموحدة الواحدة‪.‬‬

‫وتحتاج الدجاجة الواحدة في خميط األعبلؼ عمى األقؿ إلى ‪ ,41 ,81 ,011‬غراـ مف المادة‬ ‫ب‪ ،0‬ب‪ ,2‬ب‪ 3‬عمى التوالي في الشير الواحد‪.‬‬

‫ويكمؼ كيمو غراـ العمؼ رقـ ع‪ 015‬عشرة دوالر‪ ,‬بينما رقـ ع‪ 215‬يكمؼ الكيمو غراـ منو ‪02‬‬

‫دوالر‪.‬‬

‫المطموب‪ :‬صياغة البرمجة الخطية والذي يعطي اقؿ التكاليؼ؟‬

‫‪MIN Z = 10A + 12B‬‬ ‫‪Subject to:‬‬ ‫‪20A + 10B ≥ 100‬‬ ‫‪10A + 10B ≥ 80‬‬ ‫‪10B ≥ 40‬‬ ‫‪A, B ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 56‬يٍ ‪555‬‬




‫مصنع النيضة الحديثة لصناعة حجر البموؾ والحصمة حيث يحتوي الحجر عمى ‪ 3‬مركبات‬ ‫أساسية وىي (حصمة ‪ ,‬اسمنت‪ ,‬رمؿ) بحيث‪:‬‬

‫يحتاج المركب األوؿ في ‪ 6‬طف مف الحصمة و‪ 7‬طف مف االسمنت و ‪ 8‬طف مف الرمؿ‪,‬‬ ‫و يحتاج المركب الثاني ‪ 15‬طف مف الحصمة و‪ 17‬طف مف االسمنت و ‪ 19‬طف مف الرمؿ‪,‬‬ ‫يحتاج المركب الثالث ‪ 3‬طف مف الحصمة و‪ 5‬طف مف االسمنت و ‪ 7‬طف مف الرمؿ‪,‬‬ ‫فإذا عممت أف الحجر الكامؿ يحتاج إلى ‪ 51‬طف مف الحصمة و‪ 71‬طف مف االسمنت و‬

‫‪91‬طف مف الرمؿ‪,‬‬

‫وكاف تكمفة الحجر مف المركب األوؿ ‪ 711‬دينار‪ ,‬و لممركب الثاني ‪ 811‬دينار‪ ,‬و لممركب‬ ‫الثالث ‪ 911‬دينار‬ ‫المطموب‪ :‬صياغة البرمجة الخطية والذي يعطي اقؿ التكاليؼ؟‬

‫‪MIN Z = 700X1 + 800X2 + 900X3‬‬ ‫‪Subject to:‬‬ ‫‪6X1 + 15X2 + 3X3 ≥ 50‬‬ ‫‪7X1 + 17X2 + 5X3 ≥ 70‬‬ ‫‪8X1 + 19X2 + 7X3 ≥ 90‬‬ ‫‪X1, X2 , X3 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 57‬يٍ ‪555‬‬




‫في مصنع لصناعة األثاث الحديث والمفروشات حصمت طمبا عمى الحصوؿ ألثاث حديث‬

‫يساوي ‪ 1511‬طف مف خميط يحتوي عمى ثبلث مركبات بمواصفات وشروط محددة وىي‪:‬‬ ‫يجب أال يحتوي الخميط عمى األكثر مف ‪ 611‬طف مف المركب األوؿ‬

‫يجب أال يحتوي الخميط عمى األقؿ ‪ 711‬طف مف المركب الثاني‬ ‫يجب أال يحتوي الخميط عمى األقؿ ‪ 511‬طف مف المركب الثالث‬ ‫فإذا عممت أف تكمفة الطف الواحد‪ :‬مف المركب األوؿ = ‪ 151‬دينار‪ ,‬والمركب الثاني = ‪551‬‬

‫دينار‪ ,‬والمركب الثالث = ‪ 351‬دينار‬

‫المطموب‪ :‬صياغة البرمجة الخطية والذي يعطي اقؿ التكاليؼ؟‬ ‫‪MIN Z = 150X1 + 250X2 + 350X3‬‬ ‫‪Subject to:‬‬ ‫‪X1 + X2 + X3 = 1500‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫≤‬ ‫‪600‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫‪≥ 700‬‬ ‫‪X3 ≥ 500‬‬ ‫‪X1, X2 , X3 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 58‬يٍ ‪555‬‬




‫سماد نباتي مركب مف ثبلثة أنواع أساسية يدخؿ في تركيبو أربعة مكونات‪:‬‬ ‫النوع‬

‫المكوف األوؿ‬

‫األوؿ‬

‫‪01‬‬

‫المكوف‬ ‫الثاني‬ ‫‪06‬‬

‫المكوف‬ ‫الثالث‬ ‫‪00‬‬

‫المكوف‬

‫التكمفة‬

‫الرابع‬ ‫‪2‬‬

‫‪031‬‬

‫الثاني‬

‫‪7‬‬

‫‪3‬‬

‫‪01‬‬

‫‪8‬‬

‫‪031‬‬

‫الثالث‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪061‬‬


‫‪31‬‬

‫‪81‬‬

‫‪21‬‬

‫‪31‬‬

‫‪-------‬‬

‫المطموب‪ :‬صياغة البرمجة الخطية والذي يعطي أقؿ تكمفة؟‬

‫‪MIN Z = 150X1 + 130X2 + 120X3‬‬ ‫‪Subject to:‬‬ ‫‪10X1 + 7X2 + 5X3 ≥ 50‬‬ ‫‪12X1 + 5X2 + 3X3 ≥ 40‬‬ ‫‪11X1 + 10X2 + 9X3 ≥ 60‬‬ ‫‪6X1 + 4X2 + 3X3 ≥ 30‬‬ ‫‪X1, X2 , X3 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 59‬يٍ ‪555‬‬




‫تقوـ شركة الدىانات العربية بإنتاج أنواع مختمفة مف الطبلء والدىانات فذا وردت لمشركة طمبيو‬

‫لمحصوؿ عمى يساوي ‪ 4111‬كيمو مف خميط يحتوي عمى ثبلث مركبات بمواصفات وشروط‬

‫محددة وىي‪:‬‬

‫يجب أال يحتوي الخميط عمى األقؿ مف ‪ 611‬كيمو مف المركب األوؿ‬ ‫يجب أال يحتوي الخميط عمى األكثر ‪ 811‬كيمو مف المركب الثاني‬ ‫يجب أال يحتوي الخميط عمى األقؿ ‪ 411‬كيمو مف المركب الثالث‬

‫فإذا عممت أف تكمفة الكيمو الواحد‪ :‬مف المركب األوؿ = ‪ 41‬دينار‪ ,‬والمركب الثاني = ‪61‬‬

‫دينار‪ ,‬والمركب الثالث = ‪ 81‬دينار‬ ‫المطموب‪ :‬صياغة البرمجة الخطية والذي يعطي اقؿ التكاليؼ؟‬

‫‪MIN Z = 40A + 60B + 80C‬‬ ‫‪Subject to:‬‬ ‫‪A + B + C = 4000‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪≥ 600‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪≤ 800‬‬ ‫‪C ≥ 400‬‬ ‫‪A, B, C ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 61‬يٍ ‪555‬‬




‫حميب أطفاؿ مركب مف ثبلثة أنواع أساسية يدخؿ في تركيبو ثبلثة مركبات غذائية‪:‬‬ ‫األوؿ‬ ‫‪0‬‬

‫المركب الثاني‬

‫المركب الثالث‬


‫النوع‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪01‬‬

‫الثاني‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪00‬‬

‫الثالث‬

‫‪0‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪06‬‬


‫‪ 31‬جـ‬

‫‪ 33‬جـ‬

‫‪32‬جـ‬

‫‪--------‬‬

‫األوؿ‬

‫المركب‬

‫المطموب‪ :‬صياغة البرمجة الخطية والذي يعطي أقؿ تكمفة؟‬ ‫‪MIN Z = 10A + 11B + 12C‬‬ ‫‪Subject to:‬‬ ‫‪A+‬‬ ‫‪C ≥ 30‬‬ ‫‪3A + 6B + 2C ≥ 33‬‬ ‫‪4B‬‬ ‫‪≥ 36‬‬ ‫‪A, B, C ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 61‬يٍ ‪555‬‬




‫تقوـ كمية اإلدارة والتمويؿ في جامعة األقصى عمى قبوؿ ‪ 611‬طالب وطالبة في برنامج‬ ‫التجسير مف الدبموـ إلى البكالوريوس و بمواصفات وشروط محددة وىي‪:‬‬

‫يجب أال تحتوي قاعات الدراسة لمطمبة في مبنى الجميؿ عمى األقؿ مف ‪ 41‬طالبة في الشعبة‬ ‫يجب أال تحتوي قاعات الدراسة لمطمبة في مبنى الجميؿ عمى األكثر مف ‪ 51‬طالبة في الشعبة‬ ‫يجب أال تحتوي قاعات الدراسة لمطمبة في مبنى الح ارزيف عمى األقؿ مف ‪ 61‬طالب في الشعبة‬ ‫يجب أال تحتوي قاعات الدراسة لمطمبة في مبنى الح ارزيف والجميؿ عمى األكثر مف ‪ 91‬طالب‬ ‫وطالبة في اليوـ بشرط عدـ االختبلط في اليوـ‬

‫فإذا عممت أف تكمفة قبوؿ الطالب لمساعة الواحدة‪ :‬لمطبلب ‪ 15‬دينار‪ ,‬والطالبات ‪ 15‬دينار‬ ‫المطموب‪ :‬صياغة البرمجة الخطية والذي يعطي اقؿ التكاليؼ؟‬ ‫‪MIN Z = 15A + 15B‬‬ ‫‪Subject to: A + B = 600‬‬ ‫‪B ≥ 40‬‬ ‫‪B ≤ 50‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪≥ 60‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪≤ 90‬‬ ‫‪B ≤ 90‬‬ ‫‪A, B ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 65‬يٍ ‪555‬‬




‫في مصنع لصناعة األسمدة والمركبات الحيوانية كاف المركب المطموب لغذاء حيواني مركب‬

‫مف ثالثة أنواع أساسية وكؿ وحدة تتكوف مف ‪ 8‬مركبات وىي (كربوىيدرات ‪ ،‬دىوف‪ ،‬بروتيف‪،‬‬

‫فيتاميف)‬

‫النوع‬

‫األوؿ‬

‫الثاني‬

‫الثالث‬


‫كربوىيدرات‬

‫‪01‬‬

‫‪7‬‬

‫‪3‬‬

‫‪31‬‬

‫دىوف‬

‫‪06‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪81‬‬

‫بروتيف‬

‫‪00‬‬

‫‪01‬‬

‫‪9‬‬

‫‪21‬‬

‫فيتاميف‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪31‬‬


‫‪031‬‬

‫‪031‬‬

‫‪061‬‬

‫‪--------‬‬

‫فإذا عممت أف الحيواف يحتاج ‪ 31‬وحدة مف الكربوىيدرات‪ ،‬و ‪ 81‬وحدة مف الدىوف‪ ،‬و ‪21‬‬

‫وحدة مف بروتيف و ‪ 31‬وحدة مف فيتاميف‪.‬‬

‫المطموب‪ :‬اكتب برمجة خطية لمحالة الدراسية لتحقؽ اقؿ تكمفة ممكنة؟‬ ‫الحؿ‪:‬‬

‫نفرض أف النوع األوؿ ‪ X1‬النوع الثاني ‪ X2‬النوع الثالث ‪X3‬‬ ‫‪Objective function:‬‬ ‫‪MIN Z =150X1 + 130X2 + 120X3‬‬ ‫‪Subject to:‬‬ ‫‪10X1 + 7X2 + 5X3 ≥ 50‬‬ ‫‪12X1 + 5X2 + 3X3 ≥ 40‬‬ ‫‪11X1 + 10X2 + 9X3 ≥ 60‬‬ ‫‪6X1 + 4X2 + 3X3 ≥ 30‬‬ ‫‪X1, X2 , X3 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 63‬يٍ ‪555‬‬




‫في مصنع لصناعة األطعمة الخاصة بالحمية الغذائية طمبا لمحصوؿ عمى مركب غذائي صحي‬

‫لمبدائف يساوي ‪ 0811‬كيمو كالوري مف خميط يحتوي عمى ثالث مركبات بمواصفات وشروط‬ ‫محددة وىي‪:‬‬

‫يجب أال يحتوي الخميط الغذائي عمى األكثر مف ‪ 811‬كيمو كالوري مف المركب األوؿ فقط‬

‫يجب أال يحتوي الخميط الغذائي عمى األقؿ ‪ 611‬كيمو كالوري مف المركب الثاني فقط‬

‫يجب أال يحتوي الخميط الغذائي عمى األقؿ ‪ 031‬كيمو كالوري مف المركب الثالث فقط‬

‫فإذا عممت أف تكمفة الكيمو كالوري الواحد‪:‬‬

‫مف المركب األوؿ = ‪ 6‬دينار‪ ،‬والمركب الثاني = ‪ 3‬دينار‪ ،‬والمركب الثالث = ‪ 8‬دينار‬ ‫النوع‬

‫األوؿ‬

‫الثاني‬

‫الثالث‬


‫الخميط‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0811‬‬

‫الخميط‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪811‬‬

‫الخميط‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪611‬‬

‫الخميط‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪031‬‬


‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪--------‬‬

‫المطموب‪ :‬اكتب برمجة خطية لمحالة الدراسية لتحقؽ اقؿ تكمفة ممكنة‬ ‫الحؿ‪:‬‬

‫نفرض أف النوع األوؿ ‪ X1‬النوع الثاني ‪ X2‬النوع الثالث ‪X3‬‬ ‫‪Objective function:‬‬ ‫‪MIN Z =2X1 + 3X2 + 4X3‬‬ ‫‪Subject to: X1‬‬ ‫‪≤ 400‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫‪≥ 200‬‬ ‫‪X3 ≥ 150‬‬ ‫‪X1 + X2 + X3 = 1400‬‬ ‫‪X1, X2 , X3 ≥ 0‬‬ ‫صفذخ ‪ 64‬يٍ ‪555‬‬



‫االمثمة الشاممة‬ ‫السؤاؿ االوؿ‪:‬‬ ‫رمىو ششكخ سطشكى نصُبػخ انًُظفبد وانًىاد انكًٍبوٌخ فً ثإَزبط صالصخ أَىاع أسبسٍخ يٍ‬ ‫انًُظفبد وهً‪:‬‬ ‫( كهىس‪ ,‬يؼطش‪ ,‬يؼمى) ثذٍش ًٌش ثأسثغ يشادم يٍ اإلَزبط‪:‬‬ ‫ٌذزبط انُىع األول إنى‪:‬‬ ‫‪4‬سبػبد يٍ انزشكٍت‪ ,‬و سبػخ يٍ انًؼبٌشح وانزذهٍم‪ ,‬وَصف سبػخ يٍ انزؼجئخ‪ ,‬ثبسزٍؼبة‬ ‫‪15‬ودذح فً انسىق‬ ‫ٌذزبط انُىع انضبًَ إنى‪:‬‬ ‫‪13‬سبػخ يٍ انزشكٍت‪ ,‬و َصف سبػخ يٍ انًؼبٌشح وانزذهٍم‪ ,‬وَصف سبػخ يٍ انزؼجئخ‪,‬‬ ‫ثبسزٍؼبة خًس صالصٍٍ ودذاد فً انسىق‬ ‫ٌذزبط انُىع انضبنش إنى‪:‬‬ ‫سبػزٍٍ وَصف يٍ انزشكٍت‪ ,‬و سبػخ وسثغ يٍ انًؼبٌشح وانزذهٍم‪ ,‬و‪ 8.5‬سبػبد يٍ انزؼجئخ‪,‬‬ ‫ثبسزٍؼبة صالس وسزٍٍ ودذاد فً انسىق‬ ‫وإلرًبو ػًهٍخ إَزبط هزِ انًُزجبد الثذ يٍ اسزخذاو انزشكٍت ولزهب انًزبح ػهى األكضش ‪ 14‬سبػخ‬ ‫فً انٍىو‪ ,‬وػذد سبػبد يؼٍُخ يٍ انًؼبٌشح وانزذهٍم ػهى األلم ‪ 6‬سبػبد فً انٍىو‪ ,‬وػذد يؼٍٍ‬ ‫يٍ انزؼجئخ ثىلذ يزبح ػهى األكضش ‪ 5‬سبػبد فً انٍىو‪ ,‬وانكًٍخ انزً ٌسزىػجهب انسىق ػهى‬ ‫األلم ‪ 81‬ودذح يزبدخ‬ ‫فإرا ػهًذ أٌ‪ :‬انشثخ انًذمك يٍ ثٍغ انُىع األول = ‪ 5.5‬دٌُبس‪ ,‬وانضبًَ = ‪ 3.5‬دٌُبس‪ ,‬وانضبنش‬ ‫‪ 4.5‬دٌُبس‬ ‫المطموب‪ :‬اكتب برمجة خطية لمحالة الدراسية السابقة؟‬

‫صفذخ ‪ 65‬يٍ ‪555‬‬



‫السؤاؿ الثاني‪:‬‬ ‫رمىو ششكخ انغفشي نزجبسح انسٍشايٍك واألدواد انصذٍخ فً ثإَزبط أسثؼخ أَىاع أسبسٍخ يٍ‬ ‫انسٍشايٍك وهً‪:‬‬ ‫( ثىسسالٌ‪ ,‬كشايٍكب‪ ,‬ثالط ‪ ,‬شبٌش) ثذٍش ًٌش ثأسثغ يشادم يٍ اإلَزبط‪:‬‬ ‫ٌذزبط انُىع األول إنى‪:‬‬ ‫‪4‬سبػبد يٍ انزشكٍت‪ ,‬و ‪ 4‬سبػبد يٍ انزجًٍغ‪ ,‬و َصف سبػخ يٍ انزهًٍغ‪ ,‬ثبسزٍؼبة خًس‬ ‫وػششٌٍ ودذح فً انسىق‬ ‫ٌذزبط انُىع انضبًَ إنى‪:‬‬ ‫َصف سبػخ يٍ انزشكٍت‪ ,‬سبػخ وَصف يٍ انزجًٍغ‪ 5.5 ,‬سبػبد يٍ انزهًٍغ‪ ,‬ثبسزٍؼبة صالس‬ ‫وسجؼٍٍ ودذح فً انسىق‬ ‫ٌذزبط انُىع انضبنش إنى‪:‬‬ ‫خًس سبػبد يٍ انزشكٍت‪ ,‬و‪6‬سبػبد يٍ انزجًٍغ‪ ,‬و‪ 4‬سبػبد وَصف يٍ انزهًٍغ‪ ,‬ثبسزٍؼبة‬ ‫أسثغ وسزٍٍ ودذاد فً انسىق‬ ‫ٌذزبط انُىع انشاثغ إنى‪:‬‬ ‫سذ سبػبد يٍ انزشكٍت‪ ,‬و‪9‬سبػبد يٍ انزجًٍغ‪ ,‬و‪ 9‬سبػبد وَصف يٍ انزهًٍغ‪ ,‬ثبسزٍؼبة‬ ‫خًس وسزٍٍ ودذاد فً انسىق‬ ‫وإلرًبو ػًهٍخ إَزبط هزِ انًُزجبد الثذ يٍ اسزخذاو انزشكٍت ولزهب انًزبح ػهى األكضش ‪ 54‬سبػخ‬ ‫فً انٍىو‪ ,‬وػذد سبػبد يؼٍُخ يٍ انزجًٍغ ػهى األلم ‪ 8‬سبػبد فً انٍىو‪ ,‬وػذد يؼٍٍ يٍ‬ ‫انزهًٍغ ثىلذ يزبح ػهى األكضش سجغ سبػبد وَصف فً انٍىو‪ ,‬وانكًٍخ انزً ٌسزىػجهب انسىق‬ ‫ػهى األلم ‪ 1511‬ودذح يزبدخ‬ ‫فإرا ػهًذ أٌ‪ :‬انشثخ انًذمك يٍ ثٍغ انُىع األول = ‪ 65‬دٌُبس‪ ,‬وانضبًَ = ‪ 73‬دٌُبس‪ ,‬وانضبنش ‪81‬‬ ‫دٌُبس وانشاثغ = ‪ 81‬دٌُبس‬ ‫المطموب‪ :‬اكتب برمجة خطية لمحالة الدراسية السابقة؟‬

‫صفذخ ‪ 66‬يٍ ‪555‬‬



‫الفصؿ الثالث‬

‫صفذخ ‪ 67‬يٍ ‪555‬‬



‫نماذج البرمجة الخطية ‪Linear Programming Model‬‬ ‫طرؽ حؿ نماذج البرمجة الخطية‪:‬‬

‫‪ .1‬طريقة الرسـ البياني‪The Graphical Method‬‬ ‫‪ .5‬طريقة الجبرية ‪Algebraic Method‬‬ ‫‪ .3‬طريقة الصؼ البسيط السمبمكس ‪The Simplex Method‬‬ ‫طريقة الرسـ البياني ) ‪) Graphic Method‬‬

‫تعتبر طريقة الرسـ البياني لمسائؿ البرمجة الخطية مف متغيريف أساسيف فقط مف الدرجة األولى‬ ‫تمثؿ عبلقة بخط مستقيـ‪ ,‬في ظؿ وجود قيود وشرط عدـ السمبية و( اختبار األمثمية ) الوصوؿ‬

‫لمحؿ األمثؿ‪.‬‬ ‫الطريقة البيانية لحؿ مشاكؿ البرمجة الخطية ‪Graphic Solution Of LP Problems‬‬ ‫تعتبر طريقة الرسـ البياني طريقة سيمة وبسيطة وواضحة في معالجة مشاكؿ البرمجة الخطية‬

‫خاصة تمؾ المشاكؿ التي ال يزيد فييا عدد المتغيرات عف اثنيف فقط والتي تحتوي عمى عدد‬ ‫بسيط مف القيود‪.‬‬ ‫كما تفيد طريقة الرسـ البياني كمقدمة لدراسة طرؽ وأساليب أخرى أكثر تعقيدا في حؿ مشاكؿ‬

‫البرمجة الخطية مثؿ السمبمكس‬ ‫مالحظات‪ :‬عمؿ لما يمي‪:‬‬

‫‪ .1‬ما ىو اليدؼ مف الرسـ البياني؟‬ ‫تحديد منطقة الحموؿ الممكنة‪ ,‬وتحديد نقاط تقاطع المستقيمات‪(.‬القيود)‬

‫صفذخ ‪ 68‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ .5‬ما ىو اليدؼ مف إيجاد نقط التقاطع؟‬

‫نحؿ المعادلتيف جبرياً بعد تحويؿ القيود المتباينات إلى معادالت‪( .‬الستخداميا في الرسـ)‬

‫‪ .3‬ماذا نختار القيمة دالة اليدؼ؟‬

‫إذا كانت تعظيـ الربح تأخذ اكبر قيمة موجودة‬ ‫واذا كانت تقميؿ التكاليؼ تأخذ اقؿ قيمة موجودة‬ ‫(وبذلؾ يتـ حؿ المشكمة واتخاذ القرار االداري)‬

‫وعند إتباع أسموب الرسـ البياني يجب إتباع الخطوات التالية‪:‬‬

‫‪ .1‬رسـ المحور السيني والصادي(الجزء الموجب مف كؿ منيما) لتحقيؽ شرط عدـ السمبية‬ ‫‪ .5‬تحديد نقطتيف لكؿ مستقيـ (معادلة) بفرض مرة ‪ X1= ZERO‬ومرة‪X2= ZERO‬‬ ‫‪ .3‬رسـ المستقيمات المعبرة عف المعادالت (القيود فقط)‬

‫‪ .4‬تحديد منطقة اإلمكانيات المتاحة وىذا ىو ىدؼ الرسـ البياني‬ ‫‪ .5‬تعييف النقطة ضمف منطقة اإلمكانيات المتاحة التي تعطي أفضؿ النتائج(أعمى عائد أو أقؿ‬ ‫تكمفة) وعادة تكوف نقطة تقاطع مستقيمات وتكوف في حالة تعظيـ األرباح أقرب ما يكوف‬ ‫عف نقطة األصؿ وتكوف في حالة تقميؿ التكاليؼ أبعد ما يكوف مف نقطة األصؿ‬ ‫ماذا يفيد عف التوصؿ لمحؿ األمثؿ؟‬

‫بعد التعويض عنيا في دالو اليدؼ‪:‬‬

‫نجدىا اكبر قيمة وفي دالة تعظيـ الربح‬ ‫واصغر قيمة في دالة تقميؿ التكاليؼ‬ ‫نعوض عنيا في معادالت القيود لكي نتأكد مف االستغبلؿ األمثؿ لمموارد وبالتالي تحديد الفائض‬ ‫منيا واتخاذ الق ارر اإلداري السميـ‬

‫صفذخ ‪ 69‬يٍ ‪555‬‬



‫اتجاه رسـ المستقيـ في التمثيؿ البياني‪:‬‬

‫‪ .1‬إذا كاف القيد اصغر مف أو يساوي ≥ األقرب إلى الصفر بالنسبة إلى ‪ X1‬إلى اليسار‬ ‫‪ .5‬إذا كاف القيد اكبر مف ويساوي ≤ األبعد مف الصفر بالنسبة إلى ‪ X1‬إلى اليميف‬

‫‪ .3‬إذا كاف القيد اصغر مف أو يساوي≥ األقرب إلى الصفر بالنسبة إلى ‪ X2‬إلى أسفؿ‬ ‫‪ .4‬إذا كاف القيد اكبر مف ويساوي ≤ األبعد مف الصفر بالنسبة إلى ‪ X2‬إلى أعمى‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬ ‫لماذا نحوؿ المتباينات إلى معادالت؟‬

‫لكي يسيؿ حميا وايجاد نقط المستقيـ وحميا جبريا‬ ‫كيفية إيجاد نقط التقاطع‪:‬‬

‫حؿ المعادلتيف المتقاطعتيف جبريا إليجاد نقطة التقاطع‪ .‬اما بطريقة الحذؼ او طريقة التعويض‬ ‫التي تـ دراستيا سابقا في الرياضيات في االدارة‬

‫طريقة الحذؼ ىي ضرب المعادلة بالمعكوس الجمعي لمعامؿ المتغير نفسة مف المعادلة االخرى‬

‫وجمعيا مع المعادلة األخرى وايجاد قيمة المتغير الثاني ويتـ التعويض بقيمة المتغير الثاني‬ ‫وايجاد قيمة المتغير االوؿ‬ ‫طريقة التعويض‪ :‬ايجاد قيمة المتغير بداللو المعادلة كميا والتعويض عنيا في المعادلة االخرى‬

‫ويتـ التعويض بقيمة المتغير الثاني وايجاد قيمة المتغير االوؿ‬ ‫صفذخ ‪ 71‬يٍ ‪555‬‬



‫النموذج االوؿ مف البرمجة الخطية الرسـ البياني‬ ‫حالة وجود قيديف‪:‬‬ ‫مثاؿ تطبيقي(‪:)0‬‬

‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية التالي‪:‬‬

‫‪ .1‬نحوؿ المتباينات‬ ‫إلى معادالت‬

‫‪MAX Z = 7X1 + 5X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 4 X1 + 3 X2 ≤ 240‬‬ ‫‪2 X1 + X2 ≤ 100‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫‪4X1 + 3X2 = 240‬‬ ‫‪2X1 + X2 = 100‬‬

‫‪ .5‬نوجد نقاط تقاطع‬

‫‪4X1 + 3X2 = 240‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,80) (60,0‬‬

‫المستقيمات بفرض‬ ‫كؿ مرة = ‪X1‬‬ ‫‪0, X2 = 0‬‬ ‫لمقيد األوؿ‬ ‫‪ .3‬بفرض كؿ مرة‬ ‫‪X1 = 0,‬‬ ‫‪ X2 = 0‬القيد‬

‫‪2X1 + X2 = 100‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,100) (50,0‬‬

‫الثاني‬

‫صفذخ ‪ 71‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ .4‬نرسـ الرسـ البياني‬ ‫ونحدد منطقة‬

‫الحدود الممكنة‬

‫‪ .5‬نوجد نقط التقاطع‬

‫‪4X1 + 3X2 = 240‬‬ ‫‪2X1 + X2 = 100‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪C (30,40‬‬

‫بحؿ المعادلتيف ‪1‬‬ ‫‪ 5 ,‬جبريا‬

‫صفذخ ‪ 75‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ .2‬اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫‪Max Z = 7X1 + 5X2‬‬ ‫النتيجة‬ ‫)‪7(0) + 5(0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪7(0) + 5(80‬‬ ‫‪400‬‬ ‫)‪7(30) + 5(40‬‬ ‫‪410‬‬ ‫)‪7(50) + 5(0‬‬ ‫‪350‬‬

‫النقطة‬ ‫‪0,0‬‬ ‫‪0,80‬‬ ‫‪30,40‬‬ ‫‪50,0‬‬

‫نالحظ مف اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬

‫النقطة ‪ C‬تمثؿ الحؿ األمثؿ‬

‫السبب ‪ :‬ألنيا أعمى رقـ تحقؽ أكبر ربح‬

‫ممكف ونعوض عنيا في معادالت القيود لمعرفة االستغبلؿ األمثؿ لمموارد المتاحة‬ ‫القرار اإلداري‪:‬‬

‫يجب إنتاج ‪ 31‬وحدة مف المنتج األوؿ‬ ‫وانتاج ‪ 41‬وحدة مف المنتج الثاني‬

‫لكي يحقؽ أكبر ربح ممكف بمقدار‪ 411‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 73‬يٍ ‪555‬‬

‫‪X1 = 30‬‬ ‫‪X2 = 40‬‬ ‫‪Z = 410‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬




‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية التالية‪:‬‬ ‫‪MAX Z = 3 X1 + 2 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO:‬‬ ‫‪2 X1 + X2 ≤ 150‬‬ ‫‪2 X1 + 3 X2 ≤ 300‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫‪ .1‬نحوؿ‬

‫‪2X1 + X2 =150‬‬ ‫‪2X1 + 3X2 = 300‬‬

‫المتباينات إلى‬ ‫معادالت‬ ‫‪ .5‬نوجد نقاط‬

‫‪2X1 + X2 =150‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,150) (75,0‬‬

‫تقاطع‬ ‫المستقيمات‬ ‫بفرض كؿ مرة‬ ‫‪X1 = 0,‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫لمقيد األوؿ‬ ‫‪ .3‬بفرض كؿ مرة‬ ‫‪X1‬‬ ‫= ‪= 0, X2‬‬ ‫‪ 0‬القيد‬

‫‪2X1 + 3X2 = 300‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,100) (150,0‬‬

‫الثاني‬

‫صفذخ ‪ 74‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ .4‬نرسـ الرسـ‬

‫البياني ونحدد‬

‫منطقة الحدود‬ ‫الممكنة‬

‫‪ .5‬نوجد نقط‬

‫‪2X1 + X2 =150‬‬ ‫‪2X1 + 3X2 = 300‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪C (37.5,75‬‬

‫التقاطع بحؿ‬ ‫المعادلتيف ‪1‬‬ ‫‪ 5 ,‬جبريا‬ ‫صفذخ ‪ 75‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ .2‬اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫‪Max Z = 3 X1 + 2 X2‬‬ ‫النتيجة‬ ‫)‪3 (0) + 2(0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪3 (75) + 2(0‬‬ ‫‪225‬‬ ‫)‪3 (37.5) + 2(75‬‬ ‫‪262.5‬‬ ‫)‪3 (0) + 2(100‬‬ ‫‪200‬‬

‫النقطة‬ ‫‪0,0‬‬ ‫‪75,0‬‬ ‫‪37.5,75‬‬ ‫‪0,100‬‬



‫السبب ‪ :‬ألنيا أعمى رقـ تحقؽ أكبر ربح‬

‫ممكف ونعوض عنيا في معادالت القيود لمعرفة االستغبلؿ األمثؿ لمموارد المتاحة‬

‫القرار اإلداري‪:‬‬

‫يجب إنتاج ‪ 37.5‬وحدة مف المنتج األوؿ‬ ‫وانتاج‬

‫‪X1 = 37.5‬‬

‫‪ 75‬وحدة مف المنتج الثاني‬

‫لكي يحقؽ أكبر ربح ممكف بمقدار ‪ 565,5‬دينار‬

‫‪X2 = 75‬‬ ‫‪Z = 262.5‬‬

‫في الحياة العممية ال يمكف انتاج بالكسور والف دالو اليدؼ تعظيـ ربح‬

‫عند التقريب ألعمي يكوف انتاج ‪ 34‬وحدة مف المنتج االوؿ وانتاج ‪ 73‬مف المنتج الثاني‬ ‫ليحقؽ ربحا بمقدار ‪ 628‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 76‬يٍ ‪555‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬




‫اوجد الحؿ األمثؿ لنموذج البرمجة الخطية اآلتي باستخداـ الطريقة البيانية‪:‬‬ ‫‪MAX Z = 3X1 + 2X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 2X1 + X2 ≤ 9‬‬ ‫‪X1 + 2X2 ≤ 6‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫‪2 X1 + X2 = 9‬‬ ‫‪ .1‬نحوؿ المتباينات إلى‬ ‫‪X1 + 2X2 = 6‬‬ ‫معادالت‬ ‫‪ .5‬نوجد نقاط تقاطع‬

‫‪2 X1 + X2 = 9‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,9) (4.5,0‬‬

‫المستقيمات بفرض‬

‫كؿ مرة ‪X1 = 0,‬‬ ‫‪ X2 = 0‬لمقيد‬ ‫األوؿ‬ ‫‪ .3‬بفرض كؿ مرة‬ ‫= ‪X1 = 0, X2‬‬ ‫‪ 0‬القيد الثاني‬

‫‪X1 + 2X2 = 6‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,3) (6,0‬‬

‫صفذخ ‪ 77‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ .4‬نرسـ الرسـ البياني‬

‫ونحدد منطقة الحدود‬ ‫الممكنة‬


‫‪2 X1 + X2 = 9‬‬ ‫‪X1 + 2X2 = 6‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪C (4,1‬‬

‫بحؿ المعادلتيف ‪, 1‬‬

‫‪5‬جبريا‬ ‫صفذخ ‪ 78‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ .2‬اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫‪Max Z = 3X1 + 2X2‬‬ ‫النتيجة‬ ‫)‪3(0) + 2(0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪3(0) + 2(3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪4(4) + 2(1‬‬ ‫‪14‬‬ ‫)‪3(4.5) + 2(0‬‬ ‫‪13.5‬‬

‫النقطة‬ ‫‪0,0‬‬ ‫‪0,3‬‬ ‫‪4,1‬‬ ‫‪4.5,0‬‬



‫السبب ‪ :‬ألنيا أعمى رقـ تحقؽ أكبر ربح‬ ‫ممكف ونعوض عنيا في معادالت القيود لمعرفة االستغبلؿ األمثؿ لمموارد المتاحة‬ ‫القرار اإلداري‪:‬‬

‫يجب إنتاج ‪ 4‬وحدات مف المنتج األوؿ‬

‫‪X1 = 4‬‬

‫وانتاج وحدة واحدة مف المنتج الثاني‬

‫‪X2 = 1‬‬

‫لكي يحقؽ أكبر ربح ممكف بمقدار ‪ 14‬دينار‬

‫‪Z = 14‬‬

‫صفذخ ‪ 79‬يٍ ‪555‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬




‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية التالية‪:‬‬ ‫‪MAX Z = 7X1 + 3 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: X1 + X2 ≥ 6‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪≤5‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪ .1‬نحوؿ المتباينات إلى معادالت‬

‫‪X1 + X2 = 6‬‬ ‫‪3- X1 + X1‬‬ ‫‪=5‬‬

‫‪ .5‬نوجد نقاط تقاطع المستقيمات‬

‫‪X1 + X2 = 6‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,6) (6,0‬‬

‫بفرض كؿ مرة = ‪X1‬‬

‫‪ 0, X2 = 0‬لمقيد األوؿ‬

‫‪ .3‬بفرض كؿ مرة = ‪X1‬‬

‫‪X1 = 5‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫)‪(5,0‬‬

‫‪ 0, X2 = 0‬القيد الثاني‬

‫صفذخ ‪ 81‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ .4‬نرسـ الرسـ البياني ونحدد‬ ‫منطقة الحدود الممكنة‬

‫‪ .5‬نوجد نقط التقاطع بحؿ‬

‫‪X1 + X2 = 6‬‬ ‫‪X1 = 5‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪B (5,1‬‬

‫المعادلتيف ‪ 5, 1‬جبريا‬

‫صفذخ ‪ 81‬يٍ ‪555‬‬


‫‪ .2‬اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫‪MAX Z = 7X1 + 3 X2‬‬ ‫النتيجة‬ ‫)‪7(0) + 3(6‬‬ ‫‪18‬‬ ‫)‪7(5) + 3(1‬‬ ‫‪38‬‬


‫النقطة‬ ‫‪0,6‬‬ ‫‪5,1‬‬


‫النقطة ‪ B‬تمثؿ الحؿ األمثؿ‬

‫السبب ‪ :‬ألنيا أعمى رقـ تحقؽ أعمى ربح‬ ‫ممكف ونعوض عنيا في معادالت القيود لمعرفة االستغبلؿ األمثؿ لمموارد المتاحة‬ ‫القرار اإلداري‪:‬‬

‫يجب إنتاج ‪ 5‬وحدة مف المنتج األوؿ‬

‫‪X1 = 5‬‬

‫و إنتاج ‪ 1‬وحدة مف المنتج الثاني‬

‫‪X2 = 1‬‬

‫لكي يحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 38‬دينار‬

‫‪Z = 38‬‬

‫صفذخ ‪ 85‬يٍ ‪555‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬



‫حالة وجود ثالث قيود‪:‬‬ ‫مثاؿ تطبيقي (‪:)3‬‬

‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية التالية‪:‬‬

‫‪ .1‬نحوؿ المتباينات إلى‬ ‫معادالت‬

‫‪MAX Z = X1 + 2 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: X1 + X2‬‬ ‫‪≤ 20‬‬ ‫‪2X1 + X2 ≤ 30‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪≤ 25‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫‪X1 + X2 = 20‬‬ ‫‪2X1 + X2 = 30‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪= 25‬‬


‫‪X1 + X2 = 20‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,20) (20,0‬‬

‫المستقيمات بفرض كؿ‬ ‫مرة = ‪X1 = 0, X2‬‬ ‫‪ 0‬لمقيد األوؿ‬

‫‪ .3‬بفرض كؿ مرة ‪X1‬‬

‫‪2X1 + X2 = 30‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,30) (15,0‬‬

‫‪ = 0, X2 = 0‬لمقيد‬ ‫الثاني‬ ‫‪ .4‬بفرض كؿ مرة ‪X1‬‬

‫‪X1 = 25‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫)‪(25,0‬‬

‫‪ = 0, X2 = 0‬لمقيد‬

‫الثالث‬

‫صفذخ ‪ 83‬يٍ ‪555‬‬






‫‪X1 + X2 = 20‬‬ ‫‪2X1 + X2 = 30‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪C (10,10‬‬

‫المعادلتيف ‪5 , 1‬‬

‫جبريا‬

‫صفذخ ‪ 84‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ .7‬اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫‪Max Z = X1 + 2X2‬‬ ‫النتيجة‬ ‫)‪1(0) + 2(0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪1(0) + 2(20‬‬ ‫‪40‬‬ ‫)‪1(10) + 2(10‬‬ ‫‪30‬‬ ‫)‪1(15) + 2(0‬‬ ‫‪15‬‬

‫النقطة‬ ‫‪0,0‬‬ ‫‪0,20‬‬ ‫‪10,10‬‬ ‫‪15,0‬‬




‫عدـ انتاج أي وحدة مف المنتج األوؿ‬ ‫وانتاج‬

‫‪X1 = 0‬‬


‫‪X2 = 20‬‬

‫لكي يحقؽ أكبر ربح ممكف بمقدار‪ 41‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 85‬يٍ ‪555‬‬

‫‪Z = 40‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬



‫يثال ذطثُمٍ(‪:)2‬‬ ‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية التالية‪:‬‬ ‫‪MAX Z = 50 X1 + 20 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO:‬‬ ‫‪2 X1 + 4 X2‬‬ ‫‪≤ 400‬‬ ‫‪100 X1 + 50 X2 ≤ 8000‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪≤ 60‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫‪ .1‬نحوؿ المتباينات إلى‬

‫‪2X1 + 4X2 = 400‬‬ ‫‪100X1 + 50X2 = 8000‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪= 60‬‬

‫معادالت‬


‫‪2X1 + 4X2 = 400‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,100) (200,0‬‬


‫كؿ مرة ‪X1 = 0,‬‬ ‫‪ X2 = 0‬لمقيد‬ ‫األوؿ‬ ‫‪ .3‬بفرض كؿ مرة ‪X1‬‬ ‫‪= 0, X2 = 0‬‬ ‫لمقيد الثاني‬

‫‪100X1 + 50X2 = 8000‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,160) (80,0‬‬

‫‪ .4‬بفرض كؿ مرة ‪X1‬‬ ‫‪= 0, X2 = 0‬‬ ‫لمقيد الثالث‬

‫‪X1 = 60‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫)‪(60,0‬‬

‫صفذخ ‪ 86‬يٍ ‪555‬‬






‫‪2X1 + 4X2 = 400‬‬ ‫‪100X1 + 50X2 = 8000‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪C (40,80‬‬

‫بحؿ المعادلتيف ‪,1‬‬ ‫‪ 5‬جبريا‬

‫صفذخ ‪ 87‬يٍ ‪555‬‬




‫‪100X1 + 50X2 = 8000‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪= 60‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪D (60,40‬‬


‫‪ 3‬جبريا‬

‫‪ .4‬اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫‪Max Z = 50X1 + 20X2‬‬ ‫النتيجة‬ ‫)‪50 (0) + 20(0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪50 (0) + 20(100‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫)‪50 (40) + 20(80‬‬ ‫‪3600‬‬ ‫)‪50 (60) + 20(40‬‬ ‫‪3800‬‬ ‫)‪50 (60) + 20(0‬‬ ‫‪3000‬‬

‫النقطة‬ ‫‪0,0‬‬ ‫‪0,100‬‬ ‫‪40,80‬‬ ‫‪60,40‬‬ ‫‪60,0‬‬


‫النقطة ‪ D‬تمثؿ الحؿ األمثؿ‬



‫‪X1 = 60‬‬


‫‪X2 = 40‬‬

‫وانتاج‬


‫صفذخ ‪ 88‬يٍ ‪555‬‬

‫‪Z = 3800‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬




‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية التالية‪:‬‬ ‫‪Max Z =3X1 + 2X2‬‬ ‫‪subject to: X1 + X2 ≤ 5‬‬ ‫‪X2 ≤ 4‬‬ ‫‪X1 + 2X2 ≤ 8‬‬ ‫‪X1, X2 ≥ 0‬‬

‫‪ .1‬نحوؿ المتباينات إلى‬

‫‪X1 + X2 = 5‬‬ ‫‪X2 = 4‬‬ ‫‪3- X1 + X1 + 2X2 = 8‬‬

‫معادالت‬ ‫‪ .5‬نوجد نقاط تقاطع‬

‫‪X1 + X2 = 5‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,5) (5,0‬‬

‫المستقيمات بفرض كؿ‬

‫مرة ‪X1 = 0,‬‬

‫‪ X2 = 0‬لمقيد األوؿ‬ ‫‪ .3‬بفرض كؿ مرة‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫القيد الثاني‬

‫‪X2 = 4‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫)‪(0,4‬‬

‫‪ .4‬بفرض كؿ مرة‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫القيد الثالث‬

‫‪X1 + 2X2 = 8‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,4) (8,0‬‬

‫صفذخ ‪ 89‬يٍ ‪555‬‬






‫‪X1 + X2 = 5‬‬ ‫‪X1 + 2X2 = 8‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪C (2,3‬‬


‫‪ .7‬اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫‪Max Z =3X1 + 2X2‬‬ ‫النتيجة‬ ‫)‪3(0) + 2(0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪3(0) + 2(4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫)‪3(2) +2(3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫)‪3(5) + 2(0‬‬ ‫‪15‬‬

‫صفذخ ‪ 91‬يٍ ‪555‬‬

‫النقطة‬ ‫‪0,0‬‬ ‫‪0,4‬‬ ‫‪2,3‬‬ ‫‪5,0‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬




‫النقطة‬

‫‪ D‬تمثؿ الحؿ األمثؿ‬

‫السبب ‪ :‬ألنيا أعمى رقـ تحقؽ أعمى ربح‬




‫‪X1 = 5‬‬

‫وعدـ إنتاج أي وحدة مف المنتج الثاني‬

‫‪X2 = 0‬‬


‫‪Z =15‬‬

‫مالحظة ىامة‪:‬‬ ‫نقطة الحؿ األمثؿ ليست في العادة تكوف نقطة التقاطع إنما التي تحقؽ دالة اليدؼ المرجو‬

‫منيا إما تعظيـ ربح أو تقميؿ التكاليؼ والتي تكوف ضمف الحدود الممكنة فقط‬

‫صفذخ ‪ 91‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجد الحؿ األمثؿ لنموذج البرمجة الخطية التالي‪:‬‬ ‫‪MAX Z = 4X1 + 3 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 3X1 + 2X2 ≥ 30‬‬ ‫‪X1 + 2X2 ≤ 20‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪≤8‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫‪ .1‬نحوؿ المتباينات إلى‬

‫‪3X1 + 2X2 = 30‬‬ ‫‪X1 + 2X2 = 20‬‬ ‫‪3- X1 + X1‬‬ ‫‪=8‬‬


‫‪3X1 + 2X2 = 30‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,15) (10,0‬‬



‫كؿ مرة ‪X1 = 0,‬‬


‫‪X1 + 2X2 = 20‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,10) (20,0‬‬


‫‪X1 = 8‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫)‪(8,0‬‬

‫صفذخ ‪ 95‬يٍ ‪555‬‬






‫‪3X1 +2 X2 = 30‬‬ ‫‪X1 +2 X2 = 20‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪A (5,7.5‬‬

‫بحؿ المعادلتيف ‪, 1‬‬ ‫‪5‬جبريا‬ ‫صفذخ ‪ 93‬يٍ ‪555‬‬




‫‪X1 +2 X2 = 20‬‬ ‫‪X1 = 8‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪B (8,6‬‬

‫بحؿ المعادلتيف ‪3, 5‬‬ ‫جبريا‬


‫‪3X1 +2 X2 = 30‬‬ ‫‪X1 = 8‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪C (8,3‬‬

‫بحؿ المعادلتيف ‪3, 1‬‬

‫جبريا‬ ‫‪ .9‬اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫‪MAX Z = 4X1 + 3 X2‬‬ ‫النتيجة‬ ‫)‪4(5) + 3(7.5‬‬ ‫‪42.5‬‬ ‫)‪4(8) + 3(6‬‬ ‫‪50‬‬ ‫)‪4(8) + 3(3‬‬ ‫‪41‬‬

‫النقطة‬ ‫‪5,7.5‬‬ ‫‪8,6‬‬ ‫‪8,3‬‬




‫يجب إنتاج ‪ 8‬وحدة مف المنتج األوؿ‬ ‫و إنتاج ‪ 6‬وحدة مف المنتج الثاني‬

‫‪X1 = 6‬‬

‫لكي يحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار‪ 51‬دينار‬

‫‪X2 = 8‬‬ ‫‪Z = 50‬‬

‫صفذخ ‪ 94‬يٍ ‪555‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬




‫اوجد حؿ النموذج باستخداـ الطريقة البيانية‬ ‫‪Objective function:‬‬ ‫‪Max z= 3X1 + 4X2 + 2X3‬‬ ‫‪Subject to: 3X1 + 2X2 + 4X3 ≤ 80‬‬ ‫‪X1 + 5X2 + X3 ≤ 70‬‬ ‫‪5X1 + 4X2 + 6X3 ≤ 90‬‬ ‫‪X1, ,X2, X3 ≥ 0‬‬

‫الحؿ ال يصمح الحؿ بالطريقة البيانية لوجود ‪ 3‬متغي ارت اساسية‬ ‫تستخدـ طريقة السمبمكس عوضا عنيا‬

‫صفذخ ‪ 95‬يٍ ‪555‬‬



‫نموذج برمجة خطية في حاؿ وجود أربع قيود‪ :‬الشائع دوما‬ ‫مثاؿ تطبيقي(‪:)01‬‬

‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية التالية‪:‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ .1‬نحوؿ المتباينات إلى‬ ‫معادالت‬ ‫‪ .5‬نوجد نقاط تقاطع‬ ‫المستقيمات بفرض كؿ‬ ‫مرة = ‪X1 = 0, X2‬‬

‫‪MAX Z = 12 X1 + 14 X2‬‬ ‫≤ ‪SUBJECT TO: 2 X1 + 3 X2‬‬ ‫‪2 X1 + X2‬‬ ‫≤‬ ‫‪X1‬‬ ‫≤‬ ‫‪X2‬‬ ‫≤‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫‪2X1 + 3 X2 = 24‬‬ ‫‪2X1 + X2 = 16‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪= 7‬‬ ‫‪X2 = 6‬‬ ‫‪2X1 + 3 X2 = 24‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,8) (12,0‬‬

‫‪ 0‬لمقيد األوؿ‬


‫‪2X1 + X2 = 16‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,16) (8,0‬‬

‫‪ = 0, X2 = 0‬لمقيد‬ ‫الثاني‬ ‫‪ .4‬بفرض كؿ مرة ‪X1‬‬

‫‪X1 = 7‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫)‪(7,0‬‬

‫‪ = 0, X2 = 0‬لمقيد‬

‫الثالث‬


‫‪X2 = 6‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫)‪(0,6‬‬

‫‪ = 0, X2 = 0‬لمقيد‬

‫الرابع‬

‫صفذخ ‪ 96‬يٍ ‪555‬‬






‫‪2X1 + 3 X2 = 24‬‬ ‫‪X2 = 6‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪C (3,6‬‬ ‫‪2X1 + 3 X2 = 24‬‬ ‫‪2X1 + X2 = 16‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪D (6,4‬‬

‫المعادلتيف ‪ 4 , 1‬جبريا‬ ‫‪ .8‬نوجد نقط التقاطع بحؿ‬

‫المعادلتيف ‪ 5 ,1‬جبريا‬

‫صفذخ ‪ 97‬يٍ ‪555‬‬




‫‪2X1 + X2 = 16‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪= 7‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪E (7,2‬‬

‫المعادلتيف ‪ 3 ,2‬جبريا‬

‫‪ .01‬اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫‪Max Z = 12X1 + 14X2‬‬ ‫النتيجة‬ ‫)‪12 (0) + 14 (0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪12 (0) + 14 (6‬‬ ‫‪84‬‬ ‫)‪12 (3) + 14 (6‬‬ ‫‪120‬‬ ‫)‪12 (6) + 14 (4‬‬ ‫‪128‬‬ ‫)‪12 (7) + 14 (2‬‬ ‫‪112‬‬ ‫)‪12 (7) + 14 (0‬‬ ‫‪84‬‬

‫النقطة‬ ‫‪0,0‬‬ ‫‪0,6‬‬ ‫‪3,6‬‬ ‫‪6,4‬‬ ‫‪7,2‬‬ ‫‪7,0‬‬




‫يجب إنتاج ‪ 6‬وحدات مف المنتج األوؿ‬ ‫وانتاج‬



‫صفذخ ‪ 98‬يٍ ‪555‬‬

‫‪X1 = 6‬‬ ‫‪X2 = 4‬‬ ‫‪Z = 128‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬




‫اوجد حؿ النموذج باستخداـ الطريقة البيانية‬ ‫‪MAX Z = 12 X1 + 12 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 6 X1 + 12X2 ≤ 36‬‬ ‫‪36 X1 + 24 X2 ≤ 144‬‬ ‫‪6 X1‬‬ ‫‪≤6‬‬ ‫‪12 X2 ≤ 24‬‬ ‫‪X1,X2 ≥0‬‬ ‫‪ .1‬نحوؿ المتباينات إلى‬ ‫معادالت‬

‫‪ .5‬نوجد نقاط تقاطع‬ ‫المستقيمات بفرض كؿ‬

‫مرة ‪X1 = 0,‬‬

‫‪6 X1 + 12X2 = 36‬‬ ‫‪36 X1 + 24 X2 = 144‬‬ ‫‪6 X1‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪12 X2 = 24‬‬ ‫‪6X1 + 12X2 = 36‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,3) (6,0‬‬


‫‪36 X1 + 24 X2 = 144‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,6) (4,0‬‬


‫‪6 X1 = 6‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫)‪(1,0‬‬

‫‪ .5‬بفرض كؿ مرة‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫القيد الرابع‬

‫‪12 X2 = 24‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫)‪(0,2‬‬

‫صفذخ ‪ 99‬يٍ ‪555‬‬






‫‪6X1 = 6‬‬ ‫‪12X2 = 24‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪C (1,2‬‬


‫صفذخ ‪ 111‬يٍ ‪555‬‬


‫‪ .4‬اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫‪Max Z =12X1 + 12X2‬‬ ‫النتيجة‬ ‫)‪12(0) + 12(0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪12(1) + 12(0‬‬ ‫‪12‬‬ ‫)‪12(1) +12(2‬‬ ‫‪36‬‬ ‫)‪12(0) + 12(2‬‬ ‫‪24‬‬


‫النقطة‬ ‫‪0,0‬‬ ‫‪1,0‬‬ ‫‪1,2‬‬ ‫‪0,2‬‬



‫السبب ‪ :‬ألنيا أعمى رقـ تحقؽ أعمى ربح‬




‫‪X1 = 1‬‬

‫وانتاج ‪ 5‬وحدة مف المنتج الثاني‬

‫‪X2 = 2‬‬


‫‪Z = 36‬‬

‫صفذخ ‪ 111‬يٍ ‪555‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬




‫اوجد الحؿ األمثؿ لمنموذج األتي باستخداـ البرمجة الخطية لحالة تعظيـ األرباح‬

‫‪ .1‬نحوؿ المتباينات إلى معادالت‬

‫‪MAX Z = 6 X1 + 18 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 18 X1 + 9X2 ≤ 60‬‬ ‫‪6 X1 + 18 X2 ≤ 60‬‬ ‫‪6 X1‬‬ ‫‪≤6‬‬ ‫‪3X2 ≤ 6‬‬ ‫‪X1,X2 ≥0‬‬ ‫‪18 X1 + 9X2 = 60‬‬ ‫‪6 X1 + 18 X2 = 60‬‬ ‫‪6 X1‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪3X2 = 6‬‬


‫‪18 X1 + 9X2 = 60‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,6.6) (3.3,0‬‬

‫‪ .3‬بفرض كؿ مرة = ‪X1‬‬

‫‪6 X1 + 18 X2 = 60‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,3.3) (10,0‬‬

‫بفرض كؿ مرة = ‪X1‬‬

‫‪ 0, X2 = 0‬لمقيد األوؿ‬ ‫‪ 0, X2 = 0‬القيد الثاني‬ ‫‪ .4‬بفرض كؿ مرة = ‪X1‬‬

‫‪6 X1 = 6‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫)‪(1,0‬‬

‫‪ 0, X2 = 0‬القيد الثالث‬ ‫‪ .5‬بفرض كؿ مرة = ‪X1‬‬

‫‪3 X2 =6‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫)‪(0,2‬‬

‫‪ 0, X2 = 0‬القيد الرابع‬ ‫صفذخ ‪ 115‬يٍ ‪555‬‬





‫‪6X1‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪3X2 = 6‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪C (1,2‬‬


‫صفذخ ‪ 113‬يٍ ‪555‬‬


‫‪ .4‬اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫‪Max Z =6X1 + 18X2‬‬ ‫النتيجة‬ ‫)‪6 (0) + 18(0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪6(1) + 18(0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪6(1) +18(2‬‬ ‫‪42‬‬ ‫)‪6(0) + 18(2‬‬ ‫‪36‬‬


‫النقطة‬ ‫‪0,0‬‬ ‫‪1,0‬‬ ‫‪1,2‬‬ ‫‪0,2‬‬





‫‪X1 = 1‬‬

‫وانتاج ‪ 5‬وحدة مف المنتج الثاني‬

‫‪X2 = 2‬‬


‫‪Z = 42‬‬

‫صفذخ ‪ 114‬يٍ ‪555‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬



‫نموذج برمجة خطية باستخداـ الطريقة البيانية في حالة تقميؿ التكاليؼ‬ ‫حالة وجود قيديف‬


‫اوجذ انحم األيثم نًُىرج انثشيجح انخطُح اِذٍ تاعرخذاو انطشَمح انثُاَُح‬ ‫‪Min Z = 5X1 + 6 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 2 X1 + X2 ≤ 20‬‬ ‫‪X1 + 3X2 ≤ 30‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫‪ .1‬نحوؿ المتباينات إلى معادالت‬

‫‪2 X1 + X2 = 20‬‬ ‫‪X1 + 3X2 = 30‬‬


‫‪2 X1 + X2 = 20‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,20) (10,0‬‬


‫‪X1 + 3X2 = 30‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,10) (30,0‬‬

‫بفرض كؿ مرة ‪X1 = 0,‬‬ ‫‪ X2 = 0‬لمقيد األوؿ‬ ‫‪ = 0, X2 = 0‬القيد الثاني‬

‫صفذخ ‪ 115‬يٍ ‪555‬‬





‫‪2 X1 + X2 = 20‬‬ ‫‪X1 + 3X2 = 30‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪C (6,8‬‬

‫المعادلتيف ‪5 , 1‬جبريا‬

‫صفذخ ‪ 116‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ .2‬اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫‪Min Z = 5X1 + 6X2‬‬ ‫النتيجة‬ ‫)‪5(0) + 6(0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪5(0) + 6(10‬‬ ‫‪60‬‬ ‫)‪5(6) + 6(8‬‬ ‫‪78‬‬ ‫)‪5(10) + 6(0‬‬ ‫‪50‬‬

‫النقطة‬ ‫‪0,0‬‬ ‫‪0,10‬‬ ‫‪6,8‬‬ ‫‪10,0‬‬



‫السبب ‪ :‬ألنيا أقؿ رقـ تحقؽ أقؿ تكمفة‬ ‫ممكف ونعوض عنيا في معادالت القيود لمعرفة االستغبلؿ األمثؿ لمموارد المتاحة‬ ‫وتستثنى النقطة األولى ألنو يتـ إغالؽ إنتاج المنتجيف‬ ‫القرار اإلداري‪:‬‬

‫يجب إنتاج ‪ 11‬وحدة مف المنتج األوؿ‬ ‫وعدـ إنتاج أي وحدة مف المنتج الثاني‬

‫لكي يحقؽ أقؿ تكمفة ممكنو بمقدار ‪ 50‬دينار‬

‫‪X1 = 10‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪Z = 50‬‬

‫صفذخ ‪ 117‬يٍ ‪555‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬



‫حالة وجود ثالث قيود‬ ‫مثاؿ تطبيقي(‪:)14‬‬

‫اوجد الحؿ األمثؿ لمنموذج األتي باستخداـ البرمجة الخطية لحالة تقميؿ التكاليؼ؟‬ ‫‪Min Z = 10 X1 + 12 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 20 X1 + 10 X2 ≥ 100‬‬ ‫‪10 X1 + 10 X2 ≥ 80‬‬ ‫‪10 X2 ≥ 40‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫‪ .1‬نحوؿ المتباينات‬

‫‪20X1 + 10X2 = 100‬‬ ‫‪10X1 + 10X2 = 80‬‬ ‫‪3- X1 +‬‬ ‫‪10X2 = 40‬‬


‫‪20X1 + 10X2 = 100‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,10) (20,0‬‬

‫‪ .3‬بفرض كؿ مرة‬ ‫‪X1 = 0,‬‬ ‫‪ X2 = 0‬القيد‬

‫‪10X1 + 10X2 = 80‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,8) (8,0‬‬

‫إلى معادالت‬

‫المستقيمات‬ ‫بفرض كؿ مرة‬ ‫= ‪X1 = 0, X2‬‬ ‫‪ 0‬لمقيد األوؿ‬

‫الثاني‬ ‫‪ .4‬بفرض كؿ مرة‬ ‫‪X1 = 0,‬‬ ‫‪ X2 = 0‬القيد‬

‫‪10X2 = 40‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫)‪(0,4‬‬

‫الثالث‬

‫صفذخ ‪ 118‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ .5‬نرسـ الرسـ‬

‫البياني ونحدد‬

‫منطقة الحدود‬ ‫الممكنة‬


‫‪20X1 + 10X2 = 100‬‬ ‫‪10X1 + 10X2 = 80‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪B (2,6‬‬

‫بحؿ المعادلتيف‬

‫‪ 5 ,1‬جبريا‬

‫صفذخ ‪ 119‬يٍ ‪555‬‬




‫‪10X1 + 10X2 = 80‬‬ ‫‪3- X1 +‬‬ ‫‪10X2 = 40‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪C (4,4‬‬

‫بحؿ المعادلتيف‬

‫‪ 3 ,5‬جبريا‬ ‫‪ .4‬اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫‪Min Z = 10X1 + 12X2‬‬ ‫النتيجة‬ ‫)‪10(0) + 12(10‬‬ ‫‪120‬‬ ‫)‪10(2) + 12(6‬‬ ‫‪92‬‬ ‫)‪10(4) + 12(4‬‬ ‫‪88‬‬

‫النقطة‬ ‫‪0,10‬‬ ‫‪2,6‬‬ ‫‪4,4‬‬



‫السبب ‪ :‬ألنيا أقؿ رقـ تحقؽ أقؿ تكمفة‬ ‫ممكف ونعوض عنيا في معادالت القيود لمعرفة االستغبلؿ األمثؿ لمموارد المتاحة‬ ‫القرار اإلداري‪:‬‬


‫‪X1 = 4‬‬


‫‪X2 = 4‬‬


‫‪Z = 88‬‬

‫صفذخ ‪ 111‬يٍ ‪555‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬




‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية التالية‪:‬‬ ‫‪Min Z = 3 X1 + 5 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 20 X1 + 10 X2 ≥ 200‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪≤ 20‬‬ ‫‪X1 +‬‬ ‫‪X2 = 16‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬


‫‪20X1 + 10X2 = 200‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪= 20‬‬ ‫‪3- X1 +‬‬ ‫‪X1 + X2‬‬ ‫‪= 16‬‬


‫‪20X1 + 10X2 = 200‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,10) (20,0‬‬


‫المستقيمات بفرض كؿ‬

‫مرة ‪X1 = 0, X2‬‬

‫‪ = 0‬لمقيد األوؿ‬ ‫‪ .3‬بفرض كؿ مرة‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫القيد الثاني‬

‫‪X1‬‬ ‫‪= 20‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫)‪(20,0‬‬


‫‪X1 + X2‬‬ ‫‪= 16‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,16) (16,0‬‬

‫‪3- X1 +‬‬

‫)‪(0,4‬‬

‫صفذخ ‪ 111‬يٍ ‪555‬‬






‫‪20X1 + 10X2 = 200‬‬ ‫‪X1 + X2‬‬ ‫‪= 16‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪B (4,12‬‬

‫بحؿ المعادلتيف ‪, 1‬‬ ‫‪ 3‬جبريا‬

‫صفذخ ‪ 115‬يٍ ‪555‬‬

‫‪3- X1 +‬‬



‫‪ .7‬اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫‪Min Z = 3X1 + 5X2‬‬ ‫النتيجة‬ ‫)‪3(16) + 5(0‬‬ ‫‪48‬‬ ‫)‪3(4) + 5(12‬‬ ‫‪72‬‬

‫النقطة‬ ‫‪16,0‬‬ ‫‪4,12‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫نالحظ مف اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫النقطة ‪ A‬تمثؿ الحؿ األمثؿ‬

‫السبب ‪ :‬ألنيا أقؿ رقـ تحقؽ أقؿ تكمفة‬




‫‪X1 = 16‬‬



‫‪X2 = 0‬‬ ‫‪Z = 48‬‬

‫نالحظ في المثاؿ السابؽ ميع القيود شاذة في االشتراؾ في منطقة حموؿ مشتركة مما يعطي‬ ‫جوا مف عدـ الوضوح لدى باحث العمميات فالقرار يكوف اف يبقى الحاؿ عمى ما ىو عميو ولف‬ ‫يكوف ىناؾ استثناء ألي قيد ويتـ الرجوع الى المعمومات السابقة االولية وتعديؿ ما يحتاج‬

‫صفذخ ‪ 113‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية‪:‬‬ ‫‪MIN Z = 3X1 + 5 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: X1‬‬ ‫‪≤ 5‬‬ ‫‪X2 ≤ 10‬‬ ‫‪X1 + 2 X2 ≥ 10‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬


‫‪X1‬‬

‫‪=5‬‬ ‫‪X2 = 10‬‬ ‫‪X1 + 2 X2 = 10‬‬



‫‪=5‬‬

‫المستقيمات بفرض كؿ‬ ‫مرة = ‪X1 = 0, X2‬‬

‫‪X1‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫)‪(5,0‬‬

‫‪ 0‬لمقيد األوؿ‬ ‫‪ .3‬بفرض كؿ مرة‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫القيد الثاني‬

‫‪X2 = 10‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫)‪(10,0‬‬


‫‪X1 + 2 X2 = 10‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(5,0) (10,0‬‬

‫صفذخ ‪ 114‬يٍ ‪555‬‬






‫‪X1‬‬ ‫‪=5‬‬ ‫‪X1 + 2 X2 = 10‬‬

‫المعادلتيف ‪ 5 , 1‬جبريا‬

‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪C (5,2.5‬‬

‫صفذخ ‪ 115‬يٍ ‪555‬‬




‫‪X1‬‬ ‫‪=5‬‬ ‫‪X1 + 2 X2 = 10‬‬

‫المعادلتيف ‪ 3 , 1‬جبريا‬

‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪D (5,10‬‬

‫‪ .4‬اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫‪Min Z = 3X1 + 5X2‬‬ ‫النتيجة‬ ‫)‪3(0) + 5(10‬‬ ‫‪50‬‬ ‫)‪3(0) + 5(5‬‬ ‫‪25‬‬ ‫)‪3(5) + 5(2.5‬‬ ‫‪27.5‬‬ ‫)‪3(5) + 5(10‬‬ ‫‪65‬‬

‫النقطة‬ ‫‪0,10‬‬ ‫‪0,5‬‬ ‫‪5,2.5‬‬ ‫‪5,10‬‬


‫النقطة‬

‫‪ B‬تمثؿ الحؿ األمثؿ‬


‫يجب عدـ انتاج أي وحدة مف المنتج األوؿ‬

‫‪X1 = 0‬‬


‫‪X2 = 5‬‬


‫صفذخ ‪ 116‬يٍ ‪555‬‬

‫‪Z = 25‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬




‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية‪:‬‬ ‫‪Min Z = 5X1 + 3X2‬‬ ‫‪Subject to: X1 + 2X2 ≥ 2‬‬ ‫‪2X1 + X2 ≥ 3‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪≤1‬‬ ‫‪X1, X2 ≥ 0‬‬ ‫‪ .1‬نحوؿ المتباينات إلى‬

‫‪X1 + 2X2 = 2‬‬ ‫‪2X1 + X2 = 3‬‬ ‫‪3- X1 + X1‬‬ ‫‪=1‬‬

‫معادالت‬ ‫‪ .5‬نوجد نقاط تقاطع‬

‫‪X1 + 2X2 = 2‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,1) (2,0‬‬

‫المستقيمات بفرض‬ ‫كؿ مرة = ‪X1‬‬

‫‪ 0, X2 = 0‬لمقيد‬

‫األوؿ‬ ‫‪ .3‬بفرض كؿ مرة‬ ‫= ‪X1 = 0, X2‬‬ ‫‪ 0‬القيد الثاني‬

‫‪2X1 + X2 = 3‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,3) (1.5,0‬‬

‫‪ .4‬بفرض كؿ مرة‬ ‫= ‪X1 = 0, X2‬‬ ‫‪ 0‬القيد الثالث‬

‫‪X1 = 1‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫)‪(1,0‬‬

‫صفذخ ‪ 117‬يٍ ‪555‬‬






‫‪2X1 + X2 = 3‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪C (1,1‬‬


‫‪3‬جبريا‬ ‫صفذخ ‪ 118‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ .7‬اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫‪Min Z = 5X1 + 3X2‬‬ ‫النتيجة‬ ‫)‪5(0) + 3(3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫)‪5(1) + 3(1‬‬ ‫‪8‬‬

‫النقطة‬ ‫‪0,3‬‬ ‫‪1,1‬‬







‫‪X1 = 1‬‬ ‫‪X2 = 1‬‬ ‫‪Z =8‬‬

‫صفذخ ‪ 119‬يٍ ‪555‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬




‫اوجذ انحم األيثم نًُىرج انثشيجح انخطُح اِذٍ تاعرخذاو انطشَمح انثُاَُح‬ ‫‪Min Z = 3X1 + 10 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 2 X1 + 10X2 ≤ 20‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪≥3‬‬ ‫‪X2 ≤ 5‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫‪ .1‬نحوؿ المتباينات إلى‬

‫‪2X1 + 10X2 = 20‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪3- X1 +‬‬ ‫‪X2 = 5‬‬


‫‪2X1 + 10X2 = 20‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,2) (10,0‬‬


‫المستقيمات بفرض كؿ مرة‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫لمقيد األوؿ‬ ‫‪ .3‬بفرض كؿ مرة‬

‫‪X1‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫)‪(3,0‬‬

‫‪ X1 = 0, X2 = 0‬القيد‬ ‫الثاني‬ ‫‪ .4‬بفرض كؿ مرة‬

‫‪X2 = 5‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫)‪(0,5‬‬

‫‪ X1 = 0, X2 = 0‬القيد‬

‫الثالث‬

‫صفذخ ‪ 151‬يٍ ‪555‬‬





‫‪2X1 + 10X2 = 20‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪B (3,1.4‬‬

‫المعادلتيف ‪5 , 1‬جبريا‬

‫صفذخ ‪ 151‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ .7‬اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫‪Min Z = 3X1 + 10X2‬‬ ‫النتيجة‬ ‫)‪3(0) + 10(3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫)‪3(3) + 10(1.4‬‬ ‫‪23‬‬ ‫)‪3(10) + 10(0‬‬ ‫‪30‬‬

‫النقطة‬ ‫‪3,0‬‬ ‫‪3,1.4‬‬ ‫‪10,0‬‬


‫النقطة ‪ A‬تمثؿ الحؿ األمثؿ‬


‫يجب إنتاج ‪ 3‬وحدات مف المنتج األوؿ‬

‫‪X1 = 3‬‬


‫‪X2 = 0‬‬


‫‪Z =9‬‬

‫صفذخ ‪ 155‬يٍ ‪555‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬




‫اوجد الحؿ األمثؿ لنموذج البرمجة الخطية اآلتي باستخداـ الطريقة البيانية‬ ‫‪Min Z = 4X1 + 2 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 3 X1 + 5X2 ≥ 15‬‬ ‫‪6 X1 + 4X2 ≤ 24‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪≥2‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫‪ .1‬نحوؿ المتباينات إلى‬

‫‪3 X1 + 5X2 = 15‬‬ ‫‪6 X1 + 4X2 = 24‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪=2‬‬


‫‪3 X1 + 5X2 = 15‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,3) (5,0‬‬


‫المستقيمات بفرض كؿ‬ ‫مرة ‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫لمقيد األوؿ‬ ‫‪ .3‬بفرض كؿ مرة‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫القيد الثاني‬

‫‪6 X1 + 4X2 = 24‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,6) (4,0‬‬


‫‪X1 = 2‬‬ ‫‪X2 = 0‬‬ ‫)‪(2,0‬‬

‫صفذخ ‪ 153‬يٍ ‪555‬‬





‫‪3 X1 + 5X2 = 15‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪A (2,1.8‬‬ ‫‪6 X1 + 4X2 = 24‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪B (2,3‬‬ ‫‪3 X1 + 5X2 = 15‬‬ ‫‪6 X1 + 4X2 = 24‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪C (3.33,1‬‬

‫المعادلتيف ‪3 , 1‬جبريا‬ ‫‪ .7‬نوجد نقط التقاطع بحؿ‬ ‫المعادلتيف ‪3 , 5‬جبريا‬ ‫‪ .8‬نوجد نقط التقاطع بحؿ‬ ‫المعادلتيف ‪5 , 1‬جبريا‬

‫صفذخ ‪ 154‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ .9‬اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫‪Min Z = 4X1 + 2X2‬‬ ‫النتيجة‬ ‫)‪4(2) + 2(1.8‬‬ ‫‪11.6‬‬ ‫)‪4(2) + 2(3‬‬ ‫‪14‬‬ ‫)‪4(3.33) + 2(1‬‬ ‫‪15.32‬‬

‫النقطة‬ ‫‪2,1.8‬‬ ‫‪2,3‬‬ ‫‪3.33,1‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬


‫النقطة ‪ A‬تمثؿ الحؿ األمثؿ‬



‫‪X1 = 2‬‬

‫و إنتاج ‪ 1.8‬وحدة مف المنتج الثاني‬

‫‪X2 = 1.8‬‬

‫لكي يحقؽ أقؿ تكمفة ممكنو بمقدار ‪ 11.6‬دينار‬

‫‪Z = 11.6‬‬

‫ولكف في الحياة العممية يجب أف يكوف ىناؾ واقعية في القرارات التي ال تكوف فييا كسور‬ ‫عندما تكوف دالة ربح نقرب ألعمى ألننا نرغب في زيادة األرباح وعندما تكوف دالة ىدؼ تقميؿ‬ ‫التكاليؼ نقرب إلى ادني ألننا نرغب في تقميؿ التكاليؼ‬

‫فيكوف القرار‪ :‬إنتاج وحدتيف مف المنتج األوؿ ووحدة واحدة مف المنتج الثاني لكي يحقؽ اقؿ‬ ‫تكمفة ممكنة بمقدار ‪ 01‬دنانير‬

‫صفذخ ‪ 155‬يٍ ‪555‬‬



‫حالة وجود اربع قيود‪:‬‬ ‫مثاؿ تطبيقي(‪:)20‬‬

‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية التالي‪:‬‬ ‫‪Min Z = X1 + 2 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: X1 + 3 X2 ≥ 90‬‬ ‫‪8 X1 + 2 X2 ≥ 160‬‬ ‫‪3 X1 + 2 X2 ≥ 120‬‬ ‫‪X2 ≤ 100‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫‪ .1‬نحوؿ المتباينات‬

‫‪20X1 + 10X2 = 90‬‬ ‫‪8X1 + 2X2 = 160‬‬ ‫‪3- X1 + 3X1 + 2X2 = 120‬‬ ‫‪X2 = 100‬‬


‫‪20X1 + 10X2 = 90‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,9) (4.5,0‬‬

‫إلى معادالت‬

‫المستقيمات بفرض‬ ‫كؿ مرة= ‪X1‬‬ ‫‪0, X2 = 0‬‬ ‫لمقيد األوؿ‬ ‫‪ .3‬بفرض كؿ مرة‬ ‫‪X1 = 0,‬‬ ‫‪ X2 = 0‬القيد‬

‫‪8X1 + 2X2 = 160‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,80) (20,0‬‬

‫الثاني‬

‫صفذخ ‪ 156‬يٍ ‪555‬‬




‫‪3X1 + 2X2 = 120‬‬ ‫‪X1 = 0, X2 = 0‬‬ ‫)‪(0,60) (40,0‬‬

‫الثالث‬

‫‪3- X1 +‬‬

‫)‪(0,4‬‬


‫‪X2 = 100‬‬ ‫‪X1 = 0‬‬ ‫)‪(0,100‬‬

‫الرابع‬



‫صفذخ ‪ 157‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ .7‬نوجد نقط التقاطع‬ ‫بحؿ المعادلتيف‬

‫‪8X1 + 2X2 = 160‬‬ ‫‪3- X1 + 3X1 + 2X2 = 120‬‬ ‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪C (8,48‬‬

‫‪ 3 , 5‬جبريا‬


‫‪20X1 + 10X2 = 90‬‬ ‫‪3X1 + 2X2 = 120‬‬

‫بحؿ المعادلتيف‬ ‫‪ 3 , 1‬جبريا‬

‫نقطة التقاطع‬ ‫)‪D (25.7,21.4‬‬

‫‪ .9‬اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫‪Min Z = 1X1 + 2X2‬‬ ‫النتيجة‬ ‫)‪1(0) + 2(0‬‬ ‫‪200‬‬ ‫)‪1(0) + 2(80‬‬ ‫‪160‬‬ ‫)‪1(4) + 2(48‬‬ ‫‪104‬‬ ‫)‪1(25.7)+ 2(21.4‬‬ ‫‪68.5‬‬ ‫)‪1(90) + 2(0‬‬ ‫‪90‬‬

‫النقطة‬ ‫‪0,100‬‬ ‫‪0,80‬‬ ‫‪8,48‬‬ ‫‪25.7,21.4‬‬ ‫‪90,0‬‬

‫نالحظ مف اختبار منطقة الحموؿ الممكنة في دالة اليدؼ‪:‬‬ ‫النقطة ‪ D‬تمثؿ الحؿ األمثؿ‬

‫السبب ‪ :‬ألنيا أقؿ رقـ تحقؽ أقؿ تكمفة‬ ‫ممكف ونعوض عنيا في معادالت القيود لمعرفة االستغبلؿ األمثؿ لمموارد المتاحة‬

‫صفذخ ‪ 158‬يٍ ‪555‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪3- X1 +‬‬




‫يجب إنتاج ‪ 55.7‬وحدة مف المنتج األوؿ‬ ‫و إنتاج ‪ 51.4‬وحدة مف المنتج الثاني‬

‫لكي يحقؽ أقؿ تكمفة ممكنو بمقدار ‪ 68.5‬دينار‬

‫‪X1 = 25.7‬‬

‫‪51 X2 = 21.4‬‬ ‫‪27 Z = 68.5‬‬

‫في الحياه العممية ال يمكف انتاج كسور فيكوف القرار ‪Z = 67‬‬

‫صفذخ ‪ 159‬يٍ ‪555‬‬

‫‪55‬‬

‫‪X2= 21,‬‬

‫‪X1 = 25,‬‬



‫ماذا يعاب عمى الرسـ البياني في البرمجة الخطية؟‬

‫‪ .1‬عدـ دقة الرسـ التي تسمح بإيجاد نقط التقاطع بيانيا‬ ‫‪ .5‬عند زيادة عدد القيود تجعؿ الرسـ معقدا أكثر‬

‫‪ .3‬تغير إشارة المتباينات في القيود تؤثر دوما في تحديد منطقة الحموؿ الممكنة‬ ‫‪ .4‬أي تغير في اشارة المتباينة في القيد فانو يتـ تغير منطقة الحموؿ الممكنة وبالتالي‬ ‫تغير في القرار االداري‬ ‫‪ .5‬ليس دوما تكوف نقطة تقاطع القيود ىي الحؿ االمثؿ انما التي تحقؽ شرط دالة اليدؼ‬ ‫المرجو اما تعظيـ الربح او تقميؿ التكاليؼ‬

‫الحاالت الخاصة مف البرمجة الخطية في الطريقة البيانية‪:‬‬ ‫‪ -0‬التكرار أو التفسخ ‪Redundant, Degeneracy‬‬ ‫احد القيود ال يؤثر عمى الحؿ‬

‫‪ -5‬وجود أكثر مف حؿ بديؿ ‪Alternative Solution‬‬

‫تكوف قيمة دالة اليدؼ واحدة والمتغيرات أكثر مف حالة‬

‫‪ -3‬ال توجد منطقة حؿ ‪Infeasible Solution‬‬ ‫ال يوجد تقاطع الحالة متعاكسة‬

‫‪ -8‬منطقة حؿ غير محصورة ‪Unbounded Solution Space‬‬ ‫تكوف غير محددة ومفتوحة مف احد الجنبيف‬

‫صفذخ ‪ 131‬يٍ ‪555‬‬



‫النموذج الثاني مف البرمجة الخطية ‪Linear Programming‬‬ ‫طريقة المبسطة الصؼ البسيط السػمبمكس ) ‪) Simplex Method‬‬

‫تعتبر طريقة السمبمكس (الحؿ بالجداوؿ ) لمسائؿ البرمجة الخطية ألكثر مف متغيريف اساسيف‬

‫مف أفضؿ إنجازات القرف السابؽ في بحوث العمميات ‪ ,‬فقد أمكف وضع برامج حاسب آلي‬ ‫لتطبيؽ ىذه الطريقة لمحؿ وبالتالي أمكف لمدارسيف حؿ مسائؿ برمجة خطية مف عده مئات أو‬ ‫ألوؼ مف المتغيرات في ظرؼ ثواف ‪ ,‬وفي ىذا الفصؿ سنشرح طريؽ السمبمكس دوف التعرض‬

‫لؤلساس الرياضي خمؼ ذلؾ وانما ألسموب الحؿ بالجداوؿ وكيفية االنتقاؿ مف جدوؿ آلخر‬ ‫ومتى نتوقؼ ( اختبار األمثمية ) الوصوؿ لمحؿ األمثؿ‪.‬‬ ‫خطوات حؿ السمبمكس‬

‫‪ -1‬تحػويؿ النظاـ البرمجة العادي إلى شكؿ قياسي ‪STANDARD FROM‬‬ ‫‪ -5‬تحويؿ المتباينات إلى معادالت (حػالػة تساوي = ) ويتـ ذلؾ بإضافة متغيرات إضافية‬ ‫( وىمية ‪ )slack variable‬رمزىا ‪S‬‬ ‫والمتغيرات الوىمية ال تؤثر عمى الحؿ وال تؤثر عمى دالة اليدؼ وتسمى برقـ القيد‬ ‫‪ -3‬حاالت دالة اليدؼ (تعظيـ األرباح‪ ,‬تقميؿ األىداؼ)‬ ‫في حالة التعظيـ ‪:‬‬

‫رمز المتباينات إف كاف اقؿ أو يساوي نضيؼ متغير وىمي ≥ ‪ + S‬وىذا الشائع‬ ‫إف كاف اكبر أو يساوي نطرح متغير وىمي ≤ ‪ - S‬وىذا الشاذ‬

‫صفذخ ‪ 131‬يٍ ‪555‬‬



‫في حالة التقميؿ‪:‬‬

‫رمز المتباينات ‪:‬‬

‫إف كاف اقؿ أو يساوي نضيؼ متغير وىمي ≥ ‪ + S‬وىذا القيد ليس لو تأثير في الحؿ‬ ‫إف كاف اكبر أو يساوي نطرح متغير وىمي ونضيؼ متغير اصطناعي ≤‬

‫‪-S + R‬‬

‫إف كاف القيد إشارتو = نضيؼ متغير اصطناعي فقط ‪+R‬‬

‫والمتغيرات االصطناعية ال تؤثر عمى الحؿ ولكف تؤثر عمى دالة اليدؼ لذلؾ تضرب‬

‫بحرؼ ‪M‬‬

‫وتضاؼ إلى دالة اليدؼ‬

‫ما ىو ىدؼ التحويؿ مف نموذج أولي إلى نموذج قياسي؟‬

‫اليدؼ ىو تحويؿ النموذج البرمجي إلى نموذج قياسي ليسيؿ حمو السمبمكس‬ ‫ما ىي طريقة التحويؿ لمشكؿ القياسي؟‬

‫‪ .1‬نقؿ جميع الحدود في دالة اليدؼ إلي جية ‪ Z‬حيث أنيا تبقى دوما موجبة وتحوؿ إلى‬ ‫معادلة صفرية وتصبح معامبلت المتغيرات األساسية ‪ X1,X2,….‬سالبة‬ ‫‪ .5‬تحويؿ القيود إلى معادالت بعد إضافة المتغيرات الوىمية وتسمى برقـ القيد أو تطرح حسب‬ ‫نوع إشارة المتباينات في حالة اؿ‪MAX‬‬

‫‪ .3‬لكف في حالة ‪ MIN‬تضرب القيود في ‪M‬ثـ تضاؼ إلى دالة اليدؼ وتحوؿ صفرية‬ ‫ما الفرؽ بيف‪ :‬النموذج األولي‪ ،‬النموذج القياسي‪ ،‬النموذج المقابؿ؟‬ ‫النموذج األولي‪ :‬ىو النموذج األصمي المصاغ مف المشكمة البرمجية نفسيا‬

‫النموذج القياسي‪ :‬ىو النموذج المحوؿ مف النموذج األصمي لحمو بطريؽ السمبمكس‬

‫النموذج المقابؿ‪ :‬ىو النموذج المستخدـ عند عدـ القدرة عمى حمة بطريقة السمبمكس‬

‫صفذخ ‪ 135‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ توضيحي‪:‬‬

‫حوؿ النموذج األتي إلى نموذج قياسي فقط‬ ‫‪MAX Z = 5X1 + 3 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 4X1 + 3X2 ≤ 2‬‬ ‫‪2X1 + X2 ≥ 3‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪Z - 5X1 - 3 X2 = 0‬‬ ‫‪4X1 + 3X2 + S1 = 2‬‬ ‫‪2X1 + X2 – S2 = 3‬‬

‫استخدامات السمبمكس يستخدـ في ظؿ وجود متغيريف وأكثر مف ثالث متغيرات أساسية‪.‬‬ ‫الحالة األولى‪ :‬حالة تعظيـ األرباح ‪MAXIMIZATION :‬‬ ‫ما ىي خطوات الحؿ بطريقة السمبمكس في حالة تعظيـ األرباح؟‬

‫‪ -1‬تحويؿ النموذج البرمجي العادي إلى نموذج قياسي حسب شكؿ القيود ‪:‬‬ ‫رمز المتباينات إف كاف اقؿ أو يساوي نضيؼ متغير وىمي ≥ ‪+ S‬‬ ‫إف كاف اكبر أو يساوي نطرح متغير وىمي ≤ ‪- S‬‬ ‫و تحويؿ دالة اليدؼ ‪ Z‬إلى معادلة صفرية‪.‬‬ ‫‪ -5‬إنشاء جدوؿ ويتـ ترتيب المعامبلت فييا ويسمى جدوؿ الحؿ األساسي األولي‪.‬‬ ‫‪ -3‬ننظر إلى صؼ دالة اليدؼ صؼ ‪ Z‬ونختار اصغر قيمة سالبة ويسمى عمود االرتكاز‬ ‫العمود المحوري وذلؾ لتحديد عمود المتغير الداخؿ(عمود االرتكاز)‪.‬‬

‫‪ -4‬نقوـ باختيار العمود االرتكاز العمود المحوري عمود المتغير الداخؿ الذي يتـ العمؿ عميو‬ ‫وذلؾ بتحديد البؤرة وعناصر التبديؿ‬ ‫‪ -5‬يتـ قسمة كميات الحؿ الموجودة في العمود اليميف ‪ SOLUTION‬عمى معامؿ المقابؿ لو‬ ‫في عمود االرتكاز (العمود المحوري)‬

‫‪ -6‬نختار اقؿ قيمة موجبة التي تظير في عمود اؿ ‪ RATIO‬نترؾ السالب والصفر وغير‬ ‫المعرؼ نختار الموجب فقط‪ .‬ويتـ تحديد صؼ االرتكاز أو صؼ المتغير الخارج‪.‬‬ ‫صفذخ ‪ 133‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ -7‬لتحديد البؤرة‪ :‬وىي نقطة تقاطع العمود المتغير الداخؿ في عمود االرتكاز مع صؼ‬ ‫المتغير الخارج في صؼ االرتكاز‬

‫‪ -8‬نقسـ الصؼ بكاممة عمى البؤرة وبالتالي ينتقؿ المتغير الداخؿ ويصبح صؼ جديد في‬ ‫الجدوؿ الثاني ويسمى بالمعادلة المحورية أو المعادلة المميدة (وتصبح البؤرة =‪)1‬‬ ‫‪ -9‬يتـ تكويف الجدوؿ الجديد بوضع المعادلة المحورية ويتـ العمؿ عمييا بإنشاء صفوؼ جديدة‬ ‫في الجدوؿ الثاني ننظر لكؿ عنصر مف عناصر التبديؿ الموجودة في عمود االرتكاز و‬

‫نستخدـ القانوف األتي ‪:‬‬ ‫سالب عنصر التبديؿ × المعادلة المحورية (المميدة)‬

‫‪ +‬المعادلة القديمة (األصمية في الجدوؿ السابؽ)‬ ‫= معادلة جديدة (في الجدوؿ الجديد )‬

‫‪-11‬يتـ النظر كؿ مرة إلى صؼ ‪ Z‬دالة اليدؼ إذا كاف أرقاـ موجبة واصفار يعني توصمنا‬

‫لمحؿ األمثؿ إما إذا كانت قيمة سالبة نعيد تكرار الخطوات مرة أخرى حتى نتوصؿ لمحؿ األمثؿ‬

‫‪-11‬تكوف القيـ في عمود الكميات أو الحؿ ىي حؿ األمثؿ التي توصمنا إلى إيجاد قيـ ‪X1 ,‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫نعوض عنيا في دالة اليدؼ ‪ Z‬بالتالي نتأكد مف الحؿ‬ ‫أو نحؿ المعادلتيف جبريا بذلؾ تكوف خطوات إضافية لمتأكد مف الحؿ‬ ‫مالحظة ىامة‪:‬‬

‫إذا تساوت القيـ الموجودة في عمود النسب ‪ RATIO‬فانو يتـ النظر إلي عمود‬

‫المتغيرات ‪ VARIABLES‬يتـ اختيار المتغيرات الوىمية غير األساسية وتطرد وتبقى‬ ‫المتغيرات األساسية ثابتة‬

‫صفذخ ‪ 134‬يٍ ‪555‬‬



‫تعريفات ىامة‪:‬‬

‫العنصر المحوري البؤرة‪PIVOT ELEMENT :‬‬

‫ىي القيمة التي يتقاطع معيا صؼ المتغير الخارج ‪Leaving Variable‬‬ ‫مع عمود المتغير الداخؿ‪Entering Variable‬‬ ‫أو القيمة التي يتقاطع معيا عمود االرتكاز مع صؼ االرتكاز‬

‫المعادلة المحورية المميدة ‪PIVOT EQUATION :‬‬

‫المعادلة أو الصؼ الناتج بعد (قسمة صؼ المتغير الخارج عمى العنصر المحوري البؤرة)‬ ‫أو قسمة صؼ االرتكاز عمى العنصر المحوري (البؤرة)‬ ‫بمعنى قسمة الصؼ األصمي األساسي عمى البؤرة‬

‫عناصر التبديؿ‪Alternative Elements:‬‬

‫العنصر الذي يتـ ضربة في المعادلة المحورية‪ ,‬وىو موجود في عمود المتغير الداخؿ‬

‫(عمود االرتكاز) بخبلؼ البؤرة‬

‫صفذخ ‪ 135‬يٍ ‪555‬‬



‫حالة تعظيـ األرباح ‪MAXIMIZATION‬‬ ‫في وجود متغيريف فقط‬ ‫مثاؿ تطبيقي(‪:)0‬‬ ‫اوجد الحؿ األمثؿ لمنموذج األتي باستخداـ السمبمكس‪:‬‬ ‫‪Z - 50X1 - 120X2 = 0‬‬

‫‪MAX Z = 50X1 + 120X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 2X1 + 4X2 ≤ 80‬‬

‫‪2X1 + 4X2 + S1 = 80‬‬

‫‪3X1 + X2 ≤ 60‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪3X1 + X2 + S2 = 60‬‬

‫‪Ratio‬‬

‫‪Solution‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪Variable‬‬

‫‪80/4=20‬‬

‫‪80‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪60/1=60‬‬

‫‪60‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-120‬‬

‫‪-50‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪-20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/4‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫)‪-1(X2‬‬

‫‪60‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪OLDS2‬‬

‫‪40‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪NEWS2‬‬

‫‪2400‬‬

‫‪0‬‬

‫‪30‬‬

‫‪120‬‬

‫‪60‬‬

‫)‪120(X2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-120‬‬

‫‪-50‬‬

‫‪OLDZ‬‬

‫‪2400‬‬

‫‪0‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10‬‬

‫‪NEWZ‬‬

‫يحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 136‬يٍ ‪555‬‬



‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪40‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪2400‬‬

‫‪0‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10‬‬

‫‪Z‬‬

‫توصمنا الي الحؿ االمثؿ مف خالؿ صؼ دالة اليدؼ المحتوي عمى القيـ الموجبة واالصفار‬ ‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫جذول انحم‬ ‫االونٍ‬

‫‪80‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪60‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-120‬‬

‫‪-50‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪40‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪2400‬‬

‫‪0‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10‬‬

‫‪Z‬‬

‫جذول انحم‬ ‫انثاٍَ‬


‫عدـ إنتاج أي وحدة مف المنتج األوؿ‪ ،‬وانتاج ‪ 61‬وحدة مف المنتج الثاني‬ ‫ليحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 6811‬دينار‬

‫ويمكف التأكد مف صحة الحؿ بالتعويض في دالة اليدؼ‬

‫صفذخ ‪ 137‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجد الحؿ األمثؿ لمنموذج األتي باستخداـ السمبمكس‪:‬‬ ‫‪Z - 9X1 - 7X2 = 0‬‬

‫‪MAX Z = 9X1 + 7 X2‬‬ ‫‪SUB TO: 2 X1 + 4X2 ≤ 40‬‬

‫‪2X1 + 4X2 + S1 = 40‬‬

‫‪X1 + 3X2 ≤ 30‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪X1 + 3X2 + S2 = 30‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪40/2=20‬‬

‫‪40‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪30/1=30‬‬

‫‪30‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-7‬‬

‫‪-9‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪-20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-1‬‬

‫)‪-1(X1‬‬

‫‪30‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLDS2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEWS2‬‬

‫‪180‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9/2‬‬

‫‪18‬‬

‫‪9‬‬

‫)‪9(X1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-7‬‬

‫‪-9‬‬

‫‪OLDZ‬‬

‫‪180‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9/2‬‬

‫‪11‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NWEZ‬‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪180‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9/2‬‬

‫‪11‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫يحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 138‬يٍ ‪555‬‬



‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬



‫‪40‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪30‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-7‬‬

‫‪-9‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪180‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9/2‬‬

‫‪11‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬



‫إنتاج ‪ 61‬وحدة مف المنتج األوؿ‪ ،‬وعدـ إنتاج أي وحدة مف المنتج الثاني‬ ‫ليحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 041‬دينار‬


‫صفذخ ‪ 139‬يٍ ‪555‬‬





‫‪MAX Z = 3X1 + 5 X2‬‬ ‫‪X2 ≤ 6‬‬

‫‪X2 + S1 = 6‬‬

‫‪SUB TO:‬‬

‫‪3 X1 + 2X2 ≤ 18‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪3X1 + 2X2 + S2 = 18‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪6/1=6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪18/2=9‬‬

‫‪18‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪-12‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪-2(X2‬‬

‫‪18‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪OLD S2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪NEW S2‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪5(X2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫∞ =‪6/0‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪6/3=2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪Z‬‬

‫يحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 141‬يٍ ‪555‬‬


‫يحىسَح‬


‫‪2‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪0(X1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪OLD X2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪NEW‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫)‪3(X1‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪36‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪36‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬



‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪18‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪36‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬


‫جذول انحم‬ ‫انثانث‬

‫صفذخ ‪ 141‬يٍ ‪555‬‬




‫إنتاج ‪ 6‬وحدة مف المنتج األوؿ‪ ،‬وانتاج ‪ 2‬وحدات مف المنتج الثاني‬ ‫ليحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 32‬دينار‬


‫صفذخ ‪ 145‬يٍ ‪555‬‬





‫‪MAX Z = 10X1 + 8 X2‬‬ ‫‪SUB TO:‬‬ ‫‪4X1 + 2X2 ≤ 80‬‬ ‫‪X1 + 2X2 ≤ 50‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪4 X1 + 2X2 + S1 = 80‬‬ ‫‪X1 + 2X2 + S2 = 50‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪80/4=20‬‬

‫‪80‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪50/1=50‬‬

‫‪50‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪-20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/4‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪-1‬‬

‫)‪-1(X1‬‬

‫‪50‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD S2‬‬

‫‪30‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1/4‬‬

‫‪3/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW S2‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪10‬‬

‫)‪10(X1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪20*2=40‬‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪30*2/3=20‬‬

‫‪30‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1/4‬‬

‫‪3/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫يحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 143‬يٍ ‪555‬‬


‫يحىسَح‬


‫‪20‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪-1/6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪1/12‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪-1/2(X2‬‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD X1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪60‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫)‪3(X2‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪260‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪20‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪-1/6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪260‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬



‫‪80‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪50‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪30‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1/4‬‬

‫‪3/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪20‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪-1/6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪260‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬



‫صفذخ ‪ 144‬يٍ ‪555‬‬




‫إنتاج ‪ 01‬وحدات مف المنتج األوؿ‪ ،‬وانتاج ‪ 61‬وحدة مف المنتج الثاني‬ ‫ليحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 621‬دينار‬


‫صفذخ ‪ 145‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجد الحؿ األمثؿ لمنموذج األتي باستخداـ السمبمكس‪:‬‬

‫‪MAX Z = 10X1 + 40X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: X1 + 2 X2 ≤ 100‬‬ ‫‪X1 + 5 X2 ≤ 150‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪Z - 10X1 - 40X2 = 0‬‬ ‫‪X1 + 2X2 + S1 = 100‬‬ ‫‪X1+ 5X2 + S2 = 150‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪100/2=50‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪150/5=30‬‬

‫‪150‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-40‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪30‬‬

‫‪1/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/5‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪-60‬‬

‫‪-2/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-2/5‬‬

‫)‪-2(X2‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD S1‬‬

‫‪40‬‬

‫‪-2/5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3/5‬‬

‫‪NEW S1‬‬

‫‪1200‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪40‬‬

‫‪8‬‬

‫)‪40(X2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-40‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪1200‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪30*5= 150‬‬

‫‪30‬‬

‫‪1/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/5‬‬

‫‪X2‬‬

‫=‪40*5/3‬‬ ‫‪200/3‬‬

‫‪40‬‬

‫‪-2/5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3/5‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪1200‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪Z‬‬

‫يحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 146‬يٍ ‪555‬‬


‫يحىسَح‬


‫‪200/3‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪5/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪-40/3‬‬

‫‪2/15‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/5‬‬

‫)‪-1/5(X1‬‬

‫‪30‬‬

‫‪1/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/5‬‬

‫‪OLD X2‬‬

‫‪50/3‬‬

‫‪5/15‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW‬‬ ‫‪X2‬‬

‫‪400/3‬‬

‫‪-4/3‬‬

‫‪10/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪2(X1‬‬

‫‪1200‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪4000/3‬‬

‫‪20/3‬‬

‫‪10/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪200/3‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪5/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪50/3‬‬

‫‪5/15‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪4000/3‬‬

‫‪20/3‬‬

‫‪10/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬



‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪150‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-40‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪30‬‬

‫‪1/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/5‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪40‬‬

‫‪-2/5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3/5‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪1200‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪200/3‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪5/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪50/3‬‬

‫‪5/15‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪4000/3‬‬

‫‪20/3‬‬

‫‪10/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬



‫صفذخ ‪ 147‬يٍ ‪555‬‬




‫إنتاج ‪ 200/3‬وحدات مف المنتج األوؿ‪ ،‬وانتاج ‪ 50/3‬وحدة مف المنتج الثاني‬ ‫ليحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 4000/3‬دينار = ‪0333.33‬‬

‫ويمكف التأكد مف صحة الحؿ بالتعويض في دالة اليدؼ‬ ‫ولكف في الحياه العممية ال يمكف انتاج بالكسور‬

‫وبما اف دالة اليدؼ تعظيـ ارباح فيجب اف يتـ تقريب الي اعمي‬

‫بمعني اف االنتاج مف المنتج االوؿ = ‪ 22.22‬بالتقريب يكوف ‪ 27‬وحدة‬ ‫واالنتاج مف المنتج الثاني = ‪ 02.22‬بالتقريب يكوف ‪ 07‬وحدة‬

‫ليحقؽ اعمي ربح ممكف بمقدار = ‪ 0331‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 148‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجد الحؿ األمثؿ لمنموذج األتي باستخداـ السمبمكس‪:‬‬ ‫‪MAX Z = 8 X1 + 5 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: X1 + X2 ≤ 10‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪≤ 6‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪Z - 8X1 - 5X2 = 0‬‬ ‫‪X1 + X2 + S1 = 10‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪+ S2 = 6‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪10/1=10‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪6/1=6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫)‪-1(X1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD S1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW S1‬‬

‫‪48‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪8‬‬

‫)‪8(X1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪48‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫∞=‪6/0‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪4/1=4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪48‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫يحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 149‬يٍ ‪555‬‬


‫يحىسَح‬


‫‪4‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪0(X2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD X1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪20‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫)‪5(X2‬‬

‫‪48‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪68‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪4‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪68‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬



‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪48‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪4‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪68‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬



‫صفذخ ‪ 151‬يٍ ‪555‬‬




‫إنتاج ‪ 2‬وحدات مف المنتج األوؿ‪ ،‬وانتاج ‪ 8‬وحدة مف المنتج الثاني‬ ‫ليحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 24‬دينار‬


‫صفذخ ‪ 151‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجد الحؿ األمثؿ لمنموذج األتي باستخداـ السمبمكس‪:‬‬ ‫‪MAX Z = 2X1 + 3 X2‬‬

‫‪Z - 2X1 - 3 X2 = 0‬‬ ‫‪X1 + 2X2 + S1 = 20‬‬

‫‪X1 + 2X2 ≤ 20‬‬

‫‪X1 + X2 + S2 = 12‬‬

‫‪X1 + X2 ≤ 12‬‬

‫‪SUBJECT TO:‬‬

‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪20/2 = 10‬‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪12/1 = 12‬‬

‫‪12‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫)‪-1(X2‬‬

‫‪12‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD S2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪NEW S2‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3/2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3/2‬‬

‫)‪3(X2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪10/1/2= 20‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪2/1/2=4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪Z‬‬

‫انًحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 155‬يٍ ‪555‬‬


‫يحىسَح‬


‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫)‪-1/2(X1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪OLD X2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪NEW‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫)‪1/2(X1‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫انحم ايثم‬

‫‪32‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬


‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪32‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫جذول انحم‬ ‫األول‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪12‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪32‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬



‫صفذخ ‪ 153‬يٍ ‪555‬‬




‫إنتاج ‪ 8‬وحدات مف المنتج األوؿ‪ ،‬وانتاج ‪ 4‬وحدات مف المنتج الثاني‬ ‫ليحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 36‬دينار‬


‫صفذخ ‪ 154‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية التالي باستخداـ طريقة السمبمكس‪:‬‬ ‫‪MAX Z = 5X1 + 6 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 2 X1 + 3X2 ≤ 30‬‬ ‫‪5X1 + 4X2 ≤ 60‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪Z - 5X1 - 6 X2 = 0‬‬ ‫‪2 X1 + 3X2 + S1 = 30‬‬ ‫‪5X1 + 4X2 + S2 = 60‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪30/3=10‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪60/4=15‬‬

‫‪60‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪-40‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-4/3‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-8/3‬‬

‫)‪-4(X2‬‬

‫‪60‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪OLD S2‬‬

‫‪20‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-4/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪7/3‬‬

‫‪NEW S2‬‬

‫‪60‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫)‪6(X2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪60‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪10*3/2=15‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪20*3/7=60/7‬‬

‫‪20‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-4/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪7/3‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪60‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪Z‬‬

‫يحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 155‬يٍ ‪555‬‬


‫يحىسَح‬


‫‪60/7‬‬

‫‪3/7‬‬

‫‪-4/7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪-40/7‬‬

‫‪-2/7‬‬

‫‪8/21‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫)‪-2/3(X1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪OLD X2‬‬

‫‪30/7‬‬

‫‪-2/7‬‬

‫‪15/21‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪60/7‬‬

‫‪3/7‬‬

‫‪-4/7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪NEW‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫)‪1(X1‬‬

‫‪60‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪480/7‬‬

‫‪3/7‬‬

‫‪10/7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪60/7‬‬

‫‪3/7‬‬

‫‪-4/7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪30/7‬‬

‫‪-2/7‬‬

‫‪15/21‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪480/7‬‬

‫‪3/7‬‬

‫‪10/7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬



‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪60‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪20‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-4/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪7/3‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪60‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪60/7‬‬

‫‪3/7‬‬

‫‪-4/7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪30/7‬‬

‫‪-2/7‬‬

‫‪15/21‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪480/7‬‬

‫‪3/7‬‬

‫‪10/7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬



‫صفذخ ‪ 156‬يٍ ‪555‬‬




‫إنتاج ‪ 60/7‬وحدات مف المنتج األوؿ = ‪،8.5‬‬

‫وانتاج ‪ 30/7‬وحدات مف المنتج الثاني = ‪4.5‬‬

‫ليحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 480/7‬دينار = ‪68.5‬‬ ‫ويمكف التأكد مف صحة الحؿ بالتعويض في دالة اليدؼ‬ ‫ولكف في الحياة العممية ال يصمح إنتاج بالكسور وبما أف دالو اليدؼ ربح يتـ التقريب ألعمي‬

‫فيكوف القرار‪ :‬إنتاج ‪ 9‬وحدات مف المنتج األوؿ‪ ،‬وانتاج ‪ 3‬وحدات مف المنتج الثاني لكي‬ ‫يحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 73‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 157‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية التالي باستخداـ طريقة السمبمكس‪:‬‬ ‫حالة تساوي معامبلت صؼ د\الة اليدؼ؟‬ ‫يتـ اختيار أي مف القيميتيف كبلىما صحيح في تحديد عمود االرتكاز‬ ‫‪Z - 10X1 - 10 X2 = 0‬‬ ‫‪2 X1 + 4X2 + S1 = 20‬‬ ‫‪3 X1‬‬ ‫‪+ S2 = 15‬‬

‫‪MAX Z = 10X1 + 10 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 2 X1 + 4X2 ≤ 20‬‬ ‫‪3 X1‬‬ ‫‪≤ 15‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪20/2=10‬‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪15/3=5‬‬

‫‪15‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2‬‬

‫)‪-2(x1‬‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Old s1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪New s1‬‬

‫‪50‬‬

‫‪10/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10‬‬

‫)‪10(x1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪Old z‬‬

‫‪50‬‬

‫‪10/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪New z‬‬

‫∞=‪5/0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪10/4=5/2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪50‬‬

‫‪10/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫يحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 158‬يٍ ‪555‬‬


‫يحىسَح‬


‫‪5/2‬‬

‫‪-1/6‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪0(x2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪Old x1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪Newx1‬‬

‫‪25‬‬

‫‪-5/3‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪10(x2‬‬

‫‪50‬‬

‫‪10/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Old z‬‬

‫‪75‬‬

‫‪5/3‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪New z‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪-1/6‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪75‬‬

‫‪5/3‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪z‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬



‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪15‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪50‬‬

‫‪10/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪-1/6‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪75‬‬

‫‪5/3‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪z‬‬



‫صفذخ ‪ 159‬يٍ ‪555‬‬




‫إنتاج ‪ 5‬وحدات مف المنتج األوؿ ‪،‬‬

‫وانتاج ‪ 5/2‬وحدات مف المنتج الثاني = ‪2.5‬‬ ‫ليحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 75‬دينار‬

‫ويمكف التأكد مف صحة الحؿ بالتعويض في دالة اليدؼ‬ ‫مالحظات‪:‬‬

‫ولكف في الحياة العممية ال يصمح إنتاج بالكسور وبما أف دالو اليدؼ ربح يتـ التقريب ألعمي‬

‫فيكوف القرار‪ :‬إنتاج ‪ 9‬وحدات مف المنتج األوؿ‪ ،‬وانتاج ‪ 3‬وحدات مف المنتج الثاني لكي‬ ‫يحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 73‬دينار‬

‫عند تساوي قيـ ‪ X1,X2‬في دالة اليدؼ فاف اخذ أي واحدة منيا لتحديد عمود االرتكاز‬ ‫كالىما صحيح نظ ار لمسؤاؿ السابؽ‬

‫صفذخ ‪ 161‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية التالي باستخداـ طريقة السمبمكس‪:‬‬

‫حالة اف كاف ىناؾ قيد شاذ؟‬ ‫ال يتـ اضافو أي شيء عند تحويمو الي الشكؿ القياسي‬ ‫‪MAX Z = 10X1 + 15 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: X1 + X2 ≤ 300‬‬ ‫‪X2 = 200‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪Z - 10X1 - 15 X2 = 0‬‬ ‫‪X1 + X2 + S1 = 300‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫‪= 200‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪300/1=300‬‬

‫‪300‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪200/1=200‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-15‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪-200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪-1(X2‬‬

‫‪300‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD S1‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪NEW S1‬‬

‫‪3000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪15‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪15(X2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-15‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪3000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫∞=‪200/0‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪100/1=100‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪3000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪Z‬‬

‫يحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 161‬يٍ ‪555‬‬


‫يحىسَح‬


‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪0(X1‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪OLD X2‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW X2‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10‬‬

‫)‪10(X1‬‬

‫‪3000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪4000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪4000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬



‫‪300‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-15‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪3000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪4000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬



‫صفذخ ‪ 165‬يٍ ‪555‬‬




‫إنتاج ‪ 100‬وحدات مف المنتج األوؿ‪ ،‬وانتاج ‪ 200‬وحدات مف المنتج الثاني‬ ‫ليحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 4000‬دينار‬


‫ويعتبر مف األسئمة السيمة لوجود قيمة المتغير ‪ X2‬في القيد الثاني‬

‫صفذخ ‪ 163‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ تطبيقي(‪:)11‬‬ ‫اوجذ انحم األيثم نًُىرج انثشيجح انخطُح انرانُح تاعرخذاو طشَمح انغًثهكظ‪:‬‬ ‫هم ًٌكُُب انزىصم انً انذم االيضم يٍ خالل جذول انذم انضبًَ ؟‬ ‫َؼى فً ثؼض االدٍبٌ‬ ‫‪MAX Z = 400 X1 + 800 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: X1 + 2X2 ≤ 60‬‬ ‫‪4X1 + 3X2 ≤ 120‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪Z - 400 X1 - 800 X2 = 0‬‬ ‫‪X1 + 2X2 + S1= 60‬‬ ‫‪4X1 + 3X2 + S2 = 120‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪60/2=30‬‬

‫‪60‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪120/30=40‬‬

‫‪120‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-800‬‬

‫‪-400‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪-90‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3/2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-3/2‬‬

‫)‪-3(X2‬‬

‫‪120‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪OLD S2‬‬

‫‪30‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-3/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪NEW S2‬‬

‫‪24000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪400‬‬

‫‪800‬‬

‫‪400‬‬

‫)‪800(X2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-800‬‬

‫‪-400‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪24000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪400‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫يحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 164‬يٍ ‪555‬‬


‫جذول انحم‬ ‫انثاٍَ‬ ‫ذىصهُا نهحم‬ ‫األيثم‬


‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪30‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-3/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪24000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪400‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫جذول انحم‬ ‫األونٍ‬

‫‪60‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪120‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-800‬‬

‫‪-400‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪30‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-3/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪24000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪400‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬


‫القرار اإلداري‪:‬‬ ‫عدـ إنتاج أي وحدة مف المنتج األوؿ‪ ،‬وانتاج ‪ 30‬وحدة مف المنتج الثاني فقط‬ ‫ليحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 24000‬دينار‬


‫مالحظو ىامة‪:‬‬

‫تـ مالحظو أف صؼ دالة اليدؼ ‪ Z‬جميع القيـ أصفار منذ بداية الحؿ لمجدوؿ الثاني مما‬

‫يعطي سيولو في الحؿ يعني أننا توصمنا لمحؿ األمثؿ ويكوف إحدى القيـ لممتغيرات األساسية‬

‫= صفر وبالتالي تعتبر مف أسيؿ األمثمة في الحؿ بطريقة السمبمكس‬

‫صفذخ ‪ 165‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ تطبيقي(‪:)06‬‬ ‫اوجذ انحم األيثم نًُىرج انثشيجح انخطُح انرانُح تاعرخذاو طشَمح انغًثهكظ‪:‬‬

‫‪MAX Z = 800 X1 + 600 X2‬‬

‫‪Z - 800 X1 - 600 X2 = 0‬‬

‫‪SUBJECT TO: X1 + 8X2 ≤ 80‬‬

‫‪X1 + 8X2 + S1= 80‬‬

‫‪4X1 + 4X2 ≤ 100‬‬

‫‪4X1 + 4X2 + S2 = 100‬‬

‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪80/1=80‬‬

‫‪80‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪100/4=25‬‬

‫‪100‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-600‬‬

‫‪-800‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪25‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪-25‬‬

‫‪-1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1‬‬

‫)‪-1(X1‬‬

‫‪80‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD S1‬‬

‫‪55‬‬

‫‪-1/4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW S1‬‬

‫‪20000‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪800‬‬

‫‪800‬‬

‫)‪800(X1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-600‬‬

‫‪-800‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪20000‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫يحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 166‬يٍ ‪555‬‬



‫‪25‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪55‬‬

‫‪-1/4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪20000‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬



‫‪80‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪100‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-600‬‬

‫‪-800‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪25‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪55‬‬

‫‪-1/4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪20000‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬



‫إنتاج ‪ 55‬وحده مف المنتج األوؿ فقط ‪ ،‬و عدـ إنتاج أي وحدات مف المنتج الثاني‬

‫ليحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 20000‬دينار‬


‫صفذخ ‪ 167‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ تطبيقي(‪:)13‬‬ ‫اوجذ انحم األيثم نًُىرج انثشيجح انخطُح انرانُح تاعرخذاو طشَمح انغًثهكظ‪:‬‬

‫‪Z - 500 X1 - 1000 X2 = 0‬‬ ‫‪X1 + 2X2 + S1= 50‬‬ ‫‪4X1 + 3X2 + S2 = 120‬‬

‫‪MAX Z = 500 X1 + 1000 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: X1 + 2X2 ≤ 50‬‬ ‫‪4X1 + 3X2 ≤ 120‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪50/2=25‬‬

‫‪50‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪120/3=40‬‬

‫‪120‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1000‬‬

‫‪-500‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪25‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪-75‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-3/2‬‬

‫)‪-3(X2‬‬

‫‪50‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪OLD S2‬‬

‫‪-25‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪NEW S2‬‬

‫‪25000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪500‬‬

‫)‪1000(X2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1000‬‬

‫‪-500‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪25000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫يحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 168‬يٍ ‪555‬‬



‫‪25‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪-25‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪25000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬



‫‪50‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪120‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1000‬‬

‫‪-500‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪25‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪-25‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪25000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬


‫القرار اإلداري‪:‬‬ ‫عدـ إنتاج اي وحده مف المنتج األوؿ‪ ،‬و إنتاج ‪ 25‬وحدات مف المنتج الثاني فقط‬ ‫ليحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 25000‬دينار‬


‫صفذخ ‪ 169‬يٍ ‪555‬‬



‫حالة تعظيـ األرباح في وجود ثالث متغيرات‬ ‫مثاؿ تطبيقي(‪:)14‬‬

‫اوجد الحؿ األمثؿ لمنموذج األتي باستخداـ السمبمكس‪:‬‬ ‫تعتبر مف االمثمة طويمو الحؿ ولذلؾ يتـ استخداـ برامج الحاسوب المتخصصة الف ىناؾ‬ ‫يدخؿ اكثر مف متغيريف اساسيف في صياغو المشاكؿ االدارية‬

‫‪MAX Z = 3X1 + 4 X2 + X3‬‬ ‫‪SUBJECT TO: X1 + X2‬‬ ‫‪≤2‬‬ ‫‪X1 +‬‬ ‫‪3X3 ≤ 6‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫‪≤1‬‬ ‫‪X1 , X2, X3 ≥ 0‬‬

‫‪Z - 3X1 - 4 X2 - X3 = 0‬‬ ‫‪X1 + X2‬‬ ‫‪+ S1 = 2‬‬ ‫‪X1 +‬‬ ‫‪3X3 + S2 = 6‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫‪+ S3 = 1‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪S3‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X3‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪variables‬‬

‫‪2/1=2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫∞=‪6/0‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪1/1=1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪-1(X2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD S1‬‬

‫محورية‬

‫صفذخ ‪ 171‬يٍ ‪555‬‬



‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪NEW S1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪0(X2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD S2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪NEW S2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪4(X2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫∞=‪1/0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪1/1=1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪6/1=6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪0(x1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Old x2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪New x2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫)‪-1(x1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪Old s2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪New s2‬‬

‫محورية‬

‫صفذخ ‪ 171‬يٍ ‪555‬‬



‫‪3‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫)‪3(x1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪Old z‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪New z‬‬

‫‪1/1=1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫∞=‪1/0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪5/3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪5/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪0(x3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪Old x1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪New x1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪0(x3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Old x2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪New x2‬‬

‫‪5/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪1(x3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Old z‬‬

‫‪26/3‬‬

‫‪4/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪8/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪New z‬‬

‫‪5/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X3‬‬

‫محورية‬

‫صفذخ ‪ 175‬يٍ ‪555‬‬



‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪26/3‬‬

‫‪4/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪8/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪Ratio‬‬

‫‪solution‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X3‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪variables‬‬

‫جدوؿ‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪5/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X3‬‬

‫الحؿ‬

‫األوؿ‬

‫جدوؿ‬ ‫الحؿ‬

‫الثاني‬


‫الثالث‬

‫جدوؿ‬

‫صفذخ ‪ 173‬يٍ ‪555‬‬


‫الحؿ‬

‫الرابع‬


‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪26/3‬‬

‫‪4/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪8/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬


‫إنتاج ‪ 1‬وحدة واحدة مف المنتج األوؿ‪ ،‬وانتاج ‪ 0‬وحدة واحدة مف المنتج الثاني وانتاج ‪5/3‬‬ ‫وحدة مف المنتج الثالث = ‪ 1.6‬ليحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 26/3‬دينار = ‪8.6‬‬ ‫ويمكف التأكد مف صحة الحؿ بالتعويض في دالة اليدؼ‬

‫ولكف في الحياة العممية ال يصمح إنتاج بالكسور وبما أف دالو اليدؼ ربح يتـ التقريب ألعمي‬ ‫فيكوف القرار‪ :‬إنتاج ‪ 0‬وحدة مف المنتج األوؿ‪ ،‬وانتاج ‪ 0‬وحده مف المنتج الثاني وانتاج ‪6‬‬ ‫وحدة مف المنتج الثالث لكي يحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 9‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 174‬يٍ ‪555‬‬



‫الحالة الثانية‪ :‬حالة تقميؿ التكاليؼ‪MINIMIZATION :‬‬ ‫ما ىي خطوات الحؿ بطريقة السمبمكس في حالة تقميؿ التكاليؼ؟‬

‫‪ -1‬تحويؿ النموذج البرمجي العادي إلى نموذج قياسي حسب شكؿ القيود ‪:‬‬ ‫رمز المتباينات ‪:‬‬ ‫إف كاف اقؿ أو يساوي نضيؼ متغير وىمي ≥ ‪+ S‬‬

‫إف كاف اكبر أو يساوي نطرح متغير وىمي ونضيؼ متغير اصطناعي ≤‬

‫‪-S + R‬‬

‫إف كاف القيد إشارتو = نضيؼ متغير اصطناعي فقط ‪ +R‬ويسمى برقـ القيد‬ ‫إضافة كؿ مف المتغيرات االصطناعية (‪ ) R1, R2‬إلى دالة اليدؼ ‪ Z‬وتضرب في ثابت‬ ‫يعبر عنو ب ‪ M‬حيث تعتبر قيمة كبيرة جدا‬

‫نوجد كؿ مف المتغيرات االصطناعية (‪ ) R1, R2‬بداللة القيد ويتـ التعويض عنو في جدوؿ‬ ‫الحؿ االبتدائي األولي بمعنى (نكتب المتغيرات االصطناعية في القيود بداللو بقية‬ ‫المتغيرات)‬ ‫حيث المتغيرات االصطناعية (‪ ) R1, R2‬ال تؤثر عمى الحؿ ولكف تؤثر عمى دالة اليدؼ‪.‬‬ ‫ويمكف االستعاضة عف ذلؾ بضرب (‪ M ) R1, R2‬وجمعيا مع دالة اليدؼ القديمة‬ ‫لتنتج دالة اليدؼ الجديدة وىذه مف تطور العمـ وتقدـ بحوث العمميات‪.‬‬

‫‪ -5‬إنشاء جدوؿ ويتـ ترتيب المعامبلت فييا ويسمى جدوؿ الحؿ األساسي األولي وتفرغ فييا‬ ‫جميع المعامبلت ويزيد عدد األعمدة الف ىناؾ قيـ ؿ ‪R‬‬ ‫‪ -3‬ننظر إلى صؼ دالة اليدؼ صؼ ‪ Z‬ونختار اكبر قيمة موجبو بالنسبة لمعامؿ ‪M‬‬ ‫حيث أنيا دوما تبقى موجبو بعد مقارنة معامالت ‪ M‬في صؼ ‪ Z‬أما إذا تساوت‬

‫معامالت ‪ M‬فيتـ اختيار اكبر قيمة سالبو ألننا نريد تقميؿ التكاليؼ ويسمى عمود‬ ‫االرتكاز العمود المحوري وذلؾ لتحديد عمود المتغير الداخؿ‪.‬‬

‫‪ -4‬نقوـ باختيار العمود االرتكاز العمود المحوري عمود المتغير الداخؿ الذي يتـ العمؿ عميو‬ ‫وذلؾ بتحديد البؤرة وعناصر التبديؿ‬ ‫صفذخ ‪ 175‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ -5‬يتـ قسمة كميات الحؿ الموجودة في العمود اليميف ‪ SOLUTION‬عمى معامؿ المقابؿ لو‬ ‫في عمود االرتكاز (العمود المحوري)‬

‫‪ -6‬نختار اقؿ قيمة موجبة التي تظير في عمود اؿ ‪ RATIO‬نترؾ السالب والصفر وغير‬ ‫المعرؼ نختار الموجب فقط‪ .‬ويتـ تحديد صؼ االرتكاز أو صؼ المتغير الخارج‪.‬‬ ‫‪ -7‬لتحديد البؤرة‪ :‬وىي نقطة تقاطع العمود المتغير الداخؿ في عمود االرتكاز مع صؼ‬ ‫المتغير الخارج في صؼ االرتكاز‬

‫‪ -8‬نقسـ الصؼ بكاممة عمى البؤرة وبالتالي ينتقؿ المتغير الداخؿ ويصبح صؼ جديد في‬ ‫الجدوؿ الثاني ويسمى بالمعادلة المحورية أو المعادلة المميدة‬ ‫يتـ تكويف الجدوؿ الجديد بوضع المعادلة المحورية ويتـ العمؿ عمييا بإنشاء صفوؼ جديدة‬

‫في الجدوؿ الثاني ننظر لكؿ عنصر مف عناصر التبديؿ الموجودة في عمود االرتكاز و‬ ‫نستخدـ القانوف األتي ‪:‬‬ ‫سالب عنصر التبديؿ × المعادلة المحورية (المميدة)‬

‫‪ +‬المعادلة القديمة (األصمية في الجدوؿ السابؽ)‬ ‫= معادلة جديدة (في الجدوؿ الجديد )‬

‫‪ -9‬يتـ النظر كؿ مرة إلى صؼ ‪ Z‬دالة اليدؼ إذا كاف أرقاـ موجبة و أصفار يعني توصمنا‬ ‫لمحؿ األمثؿ أما إذا كانت قيمة سالبة نعيد تكرار الخطوات مرة أخرى حتى نتوصؿ لمحؿ‬

‫األمثؿ‬

‫‪-11‬تكوف القيـ في عمود الكميات أو الحؿ ىي حؿ األمثؿ التي توصمنا إلى إيجاد قيـ ‪X1 ,‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫نعوض عنيا في دالة اليدؼ ‪ Z‬بالتالي نتأكد مف الحؿ‬ ‫أو نحؿ المعادلتيف جبريا بذلؾ تكوف خطوات إضافية لمتأكد مف الحؿ‬

‫صفذخ ‪ 176‬يٍ ‪555‬‬



‫مالحظة ىامة‪:‬‬

‫إذا تـ التوصؿ إلي جميع معامالت وقيـ المتغيرات األساسية موجبو في الجدوؿ الحؿ الثاني‬

‫فيكوف الحؿ امثؿ وتكوف إحدى قيـ المتغيرات األساسية = صفر‬

‫‪BIG –M Technique‬‬ ‫استخداـ طريقة األـ الكبرى حؿ مسائؿ دالة اليدؼ حالة تقميؿ التكاليؼ‪MIN :‬‬ ‫حالة وجود متغيريف فقط‬ ‫مثاؿ تطبيقي(‪:)03‬‬

‫اوجد الحؿ األمثؿ لنموذج البرمجة الخطية‪:‬‬

‫حالة عندما يكوف القيديف بنفس االشارة اكبر مف او يساوي‬

‫‪Z - 10X1 - 8 X2 – MR1 – MR2 = 0‬‬ ‫‪2 X1 + 3X2 - S1 + R1 = 18‬‬ ‫‪- S2 + R2 = 9‬‬

‫‪3 X1‬‬

‫‪Min Z = 10X1 + 8X2‬‬ ‫‪2 X1 + 3X2 ≥ 18‬‬ ‫‪≥ 9‬‬

‫‪3 X1‬‬

‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 177‬يٍ ‪555‬‬

‫‪SUB TO:‬‬

‫ رن ـ ــد عمران مصطفى األسطل‬.‫أ‬


Variable

X1

X2

S1

S2

R1

R2

R1

2

3

-1

0

1

0

18

R2

3

0

0

-1

0

1

9

Z

-10

-8

0

0

-M

-M

0

MR1

2M

3M

-M

0

M

0

18M

MR2

3M

0

0

-M

0

M

9M

OLDZ

-10

-8

0

0

-M

-M

0

-10+ 5M

-8 +3M

-M

-M

0

0

27M

R1

2

3

-1

0

1

0

18

18/2=9

R2

3

0

0

-1

0

1

9

9/3=3

Z

-10+ 5M

-8 +3M

-M

-M

0

0

27M

X1

1

0

0

-1/3

0

1/3

3

-2(X1)

-2

0

0

2/3

0

-2/3

-6

OLD R1

2

3

-1

0

1

0

18

NEW R1

0

3

-1

2/3

0

-2/3

12

10-5M (X1)

105M

0

0

-10/3 +5/3M

0

10/35/3M

30-15M

OLD Z

-10+ 5M

-8 +3M

-M

-M

0

0

27M

NEW Z

0

-8 +3M

-M

-10/3 +2/3M

10/35/3M

30+12M

X1

1

0

0

-1/3

0

1/3

3

3/0=∞

R1

0

3

-1

2/3

0

-2/3

12

12/3=4

Z

0

-8 +3M

-M

-10/3 +2/3M

10/35/3M

30-12M

NEW Z

555 ٍ‫ ي‬178 ‫صفذخ‬

Solution Ratio

‫يحىسَح‬


‫يحىسَح‬


‫‪4‬‬

‫‪-2/9‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2/9‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪0(X2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD X1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪NEW X1‬‬

‫‪32-12M‬‬

‫‪-16/9‬‬ ‫‪+2/3M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪16/9‬‬‫‪2/3M‬‬

‫‪-8/3‬‬ ‫‪+M‬‬

‫‪8-3M‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪8-3M(X2‬‬

‫‪30+12M‬‬

‫‪10/3‬‬‫‪5/3M‬‬ ‫‪14/9‬‬‫‪M‬‬ ‫‪-2/9‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10/3‬‬ ‫‪+2/3M‬‬ ‫‪14/9‬‬

‫‪-M‬‬ ‫‪-8/3‬‬

‫‪-8‬‬ ‫‪+3M‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2/9‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪62‬‬

‫‪14/9‬‬‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪14/9‬‬

‫‪-8/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪62‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫صفذخ ‪ 179‬يٍ ‪555‬‬



‫‪Ratio‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫جذول‬ ‫انحم‬ ‫االترذائٍ‬

‫‪18‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪18‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪27M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-8‬‬ ‫‪+3M‬‬

‫‪-10+‬‬ ‫‪5M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪12‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪30-12M‬‬

‫‪10/3‬‬‫‪5/3M‬‬ ‫‪-2/9‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10/3‬‬ ‫‪+2/3M‬‬ ‫‪2/9‬‬

‫‪-M‬‬ ‫‪-1/3‬‬

‫‪-8‬‬ ‫‪+3M‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪62‬‬

‫‪14/9‬‬‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪14/9‬‬

‫‪-8/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫جذول‬ ‫انحم‬ ‫األونٍ‬ ‫جذول‬ ‫انحم‬ ‫انثاٍَ‬ ‫جذول‬ ‫انحم‬ ‫انثانث‬

‫‪4‬‬


‫إنتاج ‪ 3‬وحدات مف المنتج األوؿ‪ ،‬وانتاج ‪ 8‬وحدات مف المنتج الثاني‬ ‫ليحقؽ أقؿ تكمفة ممكنة بمقدار ‪ 26‬دينار‬


‫صفذخ ‪ 181‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية باستخداـ السمبمكس‬ ‫‪Z - 12X1 - 6X2 – MR1 – MR2 = 0‬‬ ‫‪X1‬‬

‫‪- S1 + R1 = 6‬‬

‫‪3 X1 + 3X2 - S2 + R2 = 18‬‬

‫‪Min Z = 12X1 + 6X2‬‬ ‫‪≥6‬‬

‫‪SUB TO:‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪3 X1+ 3X2 ≥ 18‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪Ratio‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪18‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-12‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪6M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪M‬‬

‫‪MR1‬‬

‫‪18M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3M‬‬

‫‪3M‬‬

‫‪MR2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-12‬‬

‫‪OLDZ‬‬

‫‪24M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-6‬‬ ‫‪+3M‬‬

‫‪-12+‬‬ ‫‪4M‬‬

‫‪6\1=6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪18/3=6‬‬

‫‪18‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪24M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-6‬‬ ‫‪+3M‬‬

‫‪-12+‬‬ ‫‪4M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1‬‬

‫)‪-1(X1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD R1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW R1‬‬

‫يحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 181‬يٍ ‪555‬‬

‫‪NEW Z‬‬



‫‪72-24M‬‬

‫‪4-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-4+M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪12‬‬‫‪4M‬‬

‫‪12‬‬‫‪4M‬‬

‫‪12‬‬‫)‪4M(X1‬‬

‫‪24M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-6‬‬ ‫‪+3M‬‬

‫‪-12+‬‬ ‫‪4M‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪72‬‬

‫‪4-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪6-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪72‬‬

‫‪4-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪6-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬



‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪18‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-6‬‬ ‫‪+3M‬‬

‫‪-12+‬‬ ‫‪4M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪18‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪24M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-6‬‬ ‫‪+3M‬‬

‫‪-12+‬‬ ‫‪4M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪72‬‬

‫‪4-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪6-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫جذول‬ ‫انحم‬ ‫األونٍ‬ ‫جذول‬ ‫انحم‬ ‫انثاٍَ‬

‫صفذخ ‪ 185‬يٍ ‪555‬‬




‫إنتاج ‪ 2‬وحدات مف المنتج األوؿ‪ ،‬وعدـ إنتاج أي وحدة مف المنتج الثاني‬ ‫ليحقؽ أقؿ تكمفة ممكنة بمقدار ‪ 76‬دينار‬


‫صفذخ ‪ 183‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية باستخداـ السمبمكس‬

‫‪Z - 5X1 - 6X2 – MR1 – MR2 = 0‬‬

‫‪Min Z = 5X1 + 6 X2‬‬

‫‪X1 + X2 - S1 + R1 = 10‬‬

‫‪≥ 10‬‬

‫‪X1 + 2X2 - S2 + R2 = 15‬‬

‫‪X1 + 2X2 ≥ 15‬‬

‫‪SUBJECT TO: X1 + X2‬‬

‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪15‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪10M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪MR1‬‬

‫‪15M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪MR2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪OLDZ‬‬

‫‪25M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-6 +3M‬‬

‫‪-5+ 2M‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪10/1=10‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪15/2=7.5‬‬

‫‪15‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪25M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-6 +3M‬‬

‫‪-5+ 2M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪Ratio‬‬

‫صفذخ ‪ 184‬يٍ ‪555‬‬


‫يحىسَح‬


‫‪15/2‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪-15/2‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫)‪-1(X2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD R1‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪NEW R1‬‬

‫‪45-45/2M‬‬

‫‪3‬‬‫‪3/2M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2+‬‬ ‫‪3/2M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪6-3M‬‬

‫‪3-3/2M‬‬

‫‪6‬‬‫)‪3M(X2‬‬

‫‪25M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-6 +3M‬‬

‫‪-5+2M‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪45+5/2M‬‬

‫‪3‬‬‫‪3/2M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2+‬‬ ‫‪1/2M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪- 2+‬‬ ‫‪1/2M‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪15/2*2=15‬‬

‫‪15/2‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪5/2*2=5‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪45+5/2M‬‬

‫‪3‬‬‫‪3/2M‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪-2+‬‬ ‫‪1/2M‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪- 2+‬‬ ‫‪1/2M‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪Z‬‬ ‫‪X1‬‬

‫‪-5/2‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫)‪-1/2(X1‬‬

‫‪15/2‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪OLD X2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW X2‬‬

‫‪10-5/2M‬‬

‫‪-2+M‬‬

‫‪1‬‬‫‪M‬‬

‫‪2‬‬‫‪1/2M‬‬

‫‪-1‬‬ ‫‪+M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2-1/2M‬‬

‫‪2-1/2M‬‬

‫‪45+5/2M‬‬

‫‪3‬‬‫‪3/2M‬‬ ‫‪1‬‬‫‪1/2M‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬‫‪M‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪-2+‬‬ ‫‪1/2M‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪- 2+‬‬ ‫‪1/2M‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪OLD Z‬‬ ‫‪NEW Z‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪55‬‬

‫‪1‬‬‫‪1/2M‬‬

‫‪1‬‬‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫يحىسَح‬

‫‪5‬‬

‫‪55‬‬ ‫‪5‬‬

‫صفذخ ‪ 185‬يٍ ‪555‬‬



‫‪Ratio‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫جذول انحم‬ ‫االترذائٍ‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪15‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪15‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪25M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-6 +3M‬‬

‫‪-5+ 2M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪15/2‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪45+5/2M‬‬

‫‪3‬‬‫‪3/2M‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪-2+‬‬ ‫‪1/2M‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪- 2+‬‬ ‫‪1/2M‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪Z‬‬ ‫‪X1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪55‬‬

‫‪1‬‬‫‪1/2M‬‬

‫‪1‬‬‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬




‫‪5‬‬


‫إنتاج ‪ 3‬وحدات مف المنتج األوؿ‪ ،‬و إنتاج ‪ 3‬وحدات مف المنتج الثاني‬ ‫ليحقؽ أقؿ تكمفة ممكنة بمقدار ‪ 33‬دينار‬


‫صفذخ ‪ 186‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية باستخداـ السمبمكس‬ ‫‪Z - 20X1 - 15 X2 – MR1 – MR2 = 0‬‬

‫‪Min Z = 20X1 + 15 X2‬‬ ‫‪2 X1 + 3X2 ≥ 10‬‬

‫‪2 X1 + 3X2 - S1 + R1 = 10‬‬ ‫‪- S2 + R2 = 10‬‬

‫‪≥ 10‬‬

‫‪4 X1‬‬

‫‪SUB TO:‬‬

‫‪4 X1‬‬

‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪Ratio‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-15‬‬

‫‪-20‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪10M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪3M‬‬

‫‪2M‬‬

‫‪MR1‬‬

‫‪10M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4M‬‬

‫‪MR2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-15‬‬

‫‪-20‬‬

‫‪OLDZ‬‬

‫‪20M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-15 +‬‬ ‫‪3M‬‬

‫‪-20‬‬ ‫‪+6M‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪10/2=5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪10/4=5/2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪R2‬‬

‫االونٍ‬

‫‪20M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-15 +‬‬ ‫‪3M‬‬

‫‪-20‬‬ ‫‪+6M‬‬

‫‪Z‬‬

‫يحىسَح‬

‫‪5/2‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2‬‬

‫)‪-2(x1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Old R1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW R1‬‬

‫صفذخ ‪ 187‬يٍ ‪555‬‬



‫‪50-15M‬‬

‫‪5‬‬‫‪3/2M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-5+‬‬ ‫‪3/2M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪20‬‬‫‪6M‬‬

‫‪20‬‬‫)‪6M(X1‬‬

‫‪20M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-15 +‬‬ ‫‪3M‬‬

‫‪-20‬‬ ‫‪+6M‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪50+5M‬‬

‫‪5‬‬‫‪3/2M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-5‬‬ ‫‪+1/2M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-15 +‬‬ ‫‪3M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫∞=‪5/2÷0‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪5/3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪R1‬‬

‫انثاٍَ‬

‫‪50+5M‬‬

‫يحىسَح‬

‫‪5/3‬‬

‫‪5‬‬‫‪3/2M‬‬ ‫‪-1/6‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1/3‬‬

‫‪-5‬‬ ‫‪+1/2M‬‬ ‫‪1/6‬‬

‫‪-M‬‬ ‫‪-1/3‬‬

‫‪-15 +‬‬ ‫‪3M‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪0(X2‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD X1‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪NEW X1‬‬

‫‪25-5M‬‬

‫‪-5/2+‬‬ ‫‪1/2M‬‬

‫‪5-M‬‬

‫‪5/2‬‬‫‪1/2M‬‬

‫‪-5+‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪15‬‬‫‪3M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪15‬‬‫)‪3M(X2‬‬

‫‪50+5M‬‬

‫‪5‬‬‫‪3/2M‬‬ ‫‪5/2‬‬‫‪M‬‬ ‫‪-1/6‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪5-M‬‬

‫‪-5‬‬ ‫‪+1/2M‬‬ ‫‪5/2‬‬

‫‪-M‬‬ ‫‪-5‬‬

‫‪-15 +‬‬ ‫‪3M‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1/6‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪75‬‬

‫‪5/2‬‬‫‪M‬‬

‫‪5-M‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪75‬‬ ‫‪5/3‬‬

‫صفذخ ‪ 188‬يٍ ‪555‬‬


‫‪Solution Ratio‬‬ ‫جذول‬ ‫انحم‬ ‫األول‬ ‫جذول‬ ‫انحم‬ ‫انثاٍَ‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪20M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-15 +‬‬ ‫‪3M‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪-20‬‬ ‫‪+6M‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪Z‬‬ ‫‪X1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪50+5M‬‬

‫‪5‬‬‫‪3/2M‬‬ ‫‪-1/6‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1/3‬‬

‫‪-5‬‬ ‫‪+1/2M‬‬ ‫‪1/6‬‬

‫‪-M‬‬ ‫‪-1/3‬‬

‫‪-15 +‬‬ ‫‪3M‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪75‬‬

‫ ‪5/2‬‬‫‪M‬‬

‫‪5-M‬‬

‫‪5/2‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫جذول‬ ‫انحم‬ ‫انثانث‬

‫‪5/3‬‬

‫القرار اإلداري‪:‬‬ ‫إنتاج ‪ 5/2‬وحدات مف المنتج األوؿ = ‪ ،2.5‬وانتاج ‪ 5/3‬وحدات مف المنتج الثاني = ‪1.6‬‬ ‫ليحقؽ أقؿ تكمفة ممكنة بمقدار ‪ 75‬دينار‬


‫ولكف في الحياة العممية ال يصمح إنتاج بالكسور وبما أف دالو اليدؼ ربح يتـ التقريب ألدنى‬

‫فيكوف القرار‪ :‬إنتاج ‪ 6‬وحدة مف المنتج األوؿ‪ ،‬وانتاج ‪ 0‬وحدة مف المنتج الثاني لكي يحقؽ‬ ‫أقؿ تكمفة ممكنة بمقدار ‪ 33‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 189‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجد الحؿ األمثؿ لنموذج البرمجة الخطية باستخداـ طريقة األـ الكبرى؟‬ ‫‪MIN Z = 2X1 + X2‬‬

‫‪Z - 2X1 - X2 - MR1 - MR2 = 0‬‬ ‫‪X1 + 3X2 - S1 +R1 = 30‬‬

‫‪≥ 30‬‬

‫‪4X1 + 2X3 - S2 +R2 = 40‬‬

‫‪4X1 + 2X2 ≥ 40‬‬

‫‪X1 + 3X2‬‬


‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫‪Ratio‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫`‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪40‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪30 M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪3M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪MR1‬‬

‫‪40M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2M‬‬

‫‪4M‬‬

‫‪MR2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪70 M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪30/3=10‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1 +‬‬ ‫‪5M‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪-2 +‬‬ ‫‪5M‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪NEW Z‬‬ ‫‪R1‬‬

‫‪40/2=20‬‬

‫‪40‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪70 M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-1‬‬ ‫‪+5M‬‬

‫‪-2 +‬‬ ‫‪5M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪-20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪-2 X2‬‬

‫‪40‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪OLD R2‬‬

‫‪20‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10/3‬‬

‫‪NEW R2‬‬

‫يحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 191‬يٍ ‪555‬‬



‫‪10-50M‬‬

‫‪0‬‬

‫ ‪1/3‬‬‫‪5/3M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪70 M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪10+20M‬‬

‫‪0‬‬

‫ ‪1/3‬‬‫‪5/3M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪10*3 = 30‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/3+‬‬ ‫‪2/3‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪-1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪20*3/10=6‬‬

‫‪20‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10/3‬‬

‫‪10+20M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬‫‪5/3M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-1/3‬‬ ‫‪+2/3‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-5/3‬‬ ‫‪+10/3M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3/10‬‬

‫‪-1/5‬‬

‫‬‫‪3/10‬‬

‫‪1/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‬‫‪1/10‬‬

‫‪1/15‬‬

‫‪1/10‬‬

‫‪-1/15‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪-1/3 X1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪Old X2‬‬

‫‪8‬‬

‫‬‫‪1/10‬‬ ‫‪1/2‬‬‫‪M‬‬

‫‪2/5‬‬

‫‪1/10‬‬

‫‪-2/5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪New X2‬‬

‫‪-1/3+‬‬ ‫‪2/3M‬‬

‫‪10+20M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬‫‪5/3M‬‬

‫‬‫‪1/2+‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪-M‬‬

‫‪1/3‬‬‫‪2/3‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪-1/3‬‬ ‫‪+2/3‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫ ‪5/3‬‬‫‪10/3M‬‬

‫‪5/3-10/3M‬‬ ‫‪X1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-5/3+‬‬ ‫‪10/3M‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪20‬‬

‫‪1/2‬‬‫‪M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪8/3M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3/10‬‬

‫‪-1/5‬‬

‫‬‫‪3/10‬‬

‫‪1/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪8‬‬

‫‬‫‪1/10‬‬

‫‪2/5‬‬

‫‪1/10‬‬

‫‪-2/5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪20‬‬

‫‪1/2‬‬‫‪M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫يحىسَح‬

‫‪10-20M‬‬

‫‪-1/3‬‬ ‫‪+ 5/3‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪-M‬‬

‫صفذخ ‪ 191‬يٍ ‪555‬‬

‫‪1‬‬‫‪5M‬‬

‫‪1/3‬‬ ‫‪+10/3M‬‬

‫‪1-5M X2‬‬

‫‪-1 +‬‬ ‫‪5M‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪-2 +‬‬ ‫‪5M‬‬ ‫‪-5/3‬‬ ‫‪+10/3M‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪X2‬‬ ‫‪R2‬‬

‫‪NEW Z‬‬


‫‪Solution Ratio‬‬


‫‪R3‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪40‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪70 M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-1 +‬‬ ‫‪5M‬‬

‫‪-2 +‬‬ ‫‪5M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪20‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10/3‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪10+20M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬‫‪5/3M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-1/3‬‬ ‫‪+ 2/3‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-5/3‬‬ ‫‪+10/3M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3/10‬‬

‫‪-1/5‬‬

‫‪-3/10‬‬

‫‪1/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪8‬‬

‫‬‫‪1/10‬‬

‫‪2/5‬‬

‫‪1/10‬‬

‫‪-2/5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪20‬‬

‫‪1/2‬‬‫‪M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-1/2‬‬

‫‪8/3M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫جذول‬ ‫انحم‬ ‫األول‬ ‫جذول‬ ‫انحم‬ ‫انثاٍَ‬


‫القرار اإلداري‪:‬‬ ‫إنتاج ‪ 6‬وحدات مف المنتج األوؿ‪ ،‬و إنتاج ‪ 8‬وحدة مف المنتج الثاني‬ ‫ليحقؽ أقؿ تكمفة ممكنة بمقدار ‪ 51‬دينار‬


‫صفذخ ‪ 195‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية التالي باستخداـ السمبمكس‪:‬‬

‫حالة عندما يكوف القيديف مختمفيف واحدىما شائع واالخر شاذ وىي مف االمثمة الشائعة دوما‬

‫‪Z - 2X1 - 3X2 - MR2 = 0‬‬ ‫‪= 18‬‬

‫‪Min Z = 2X1 + 3 X2‬‬ ‫‪SUB TO: 6X1 + 9X2 ≤ 18‬‬ ‫‪9X1 + 3X2 ≥ 9‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪X1 + 3X2 + S1‬‬

‫‪4X1 + 2X3 - S2 +R2 = 9‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫`‬

‫‪18‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪9M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3M‬‬

‫‪9M‬‬

‫‪MR2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪9M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3+3M‬‬

‫‪-2+9M‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪18/6=3‬‬

‫‪18‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪9/9=1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪9M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3+3M‬‬

‫‪-2+9M‬‬

‫‪Z‬‬

‫صفذخ ‪ 193‬يٍ ‪555‬‬


‫يحىسَح‬


‫‪1‬‬

‫‪1/9‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/9‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-6‬‬

‫)‪-6(X1‬‬

‫‪18‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪OLD S1‬‬

‫‪12‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEWS1‬‬

‫‪2-9M‬‬

‫‪2/9‬‬‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2/9‬‬ ‫‪+M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2/3-3M‬‬

‫‪2 -9M‬‬

‫)‪2-9M(X1‬‬

‫‪9M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3+3M‬‬

‫‪-2+9M‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2/9‬‬‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2/9‬‬

‫‪-7/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/9‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/9‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪12‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2/9‬‬‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2/9‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-7/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪0‬‬

‫صفذخ ‪ 194‬يٍ ‪555‬‬



‫‪Ratio‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫جذول انحم‬ ‫االترذائٍ‬

‫‪18‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪18‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪9M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3+3M‬‬

‫‪-2+9M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1/9‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/9‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-7/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬



‫‪12‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪2/9‬‬‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2/9‬‬


‫إنتاج ‪ 1‬وحدة واحدة فقط مف المنتج األوؿ‪ ،‬وعدـ إنتاج أي وحدة مف المنتج الثاني‬ ‫ليحقؽ أقؿ تكمفة ممكنة بمقدار ‪ 5‬دينار‬


‫صفذخ ‪ 195‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية التالي باستخداـ السمبمكس‪:‬‬ ‫‪Min Z = 5 X1 + 9 X2‬‬ ‫‪SUB TO: 5X1 + 2X2 ≥ 20‬‬ ‫‪2X1 + 2X2 = 10‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪Z - 5X1 - 9X2 - MR1 - MR2 = 0‬‬ ‫‪5X1 + 2X2 - S1 +R1 = 20‬‬ ‫‪+R2 = 10‬‬

‫‪2X1 + 2X3‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫`‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-9‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪20M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪2M‬‬

‫‪5M‬‬

‫‪MR1‬‬

‫‪10M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2M‬‬

‫‪2M‬‬

‫‪MR2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-9‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪30M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-9+4M‬‬

‫‪-5+7M‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪20/5=4‬‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪10/2=5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪30M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-9+4M‬‬

‫‪-5+7M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/5‬‬

‫‪2/5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2/5‬‬

‫‪-4/5‬‬

‫‪-2‬‬

‫)‪-2(X1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪OLD R2‬‬

‫يحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 196‬يٍ ‪555‬‬



‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-2/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2/5‬‬

‫‪6/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪20-28M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1+7/5M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1+‬‬ ‫‪7/5M‬‬

‫‪2‬‬‫‪14/5M‬‬

‫‪5-7M‬‬

‫‪30M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-9+4M‬‬

‫‪-5+7M‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪20-2M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1+7/5M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1+‬‬ ‫‪2/5M‬‬

‫‪-7+‬‬ ‫‪6/5M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪4*5/2=10‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/5‬‬

‫‪2/5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪2*5/6=5/3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-2/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2/5‬‬

‫‪6/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪20-2M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1+7/5M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1+‬‬ ‫‪2/5M‬‬

‫‪-7+‬‬ ‫‪6/5M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪5/3‬‬

‫‪5/3‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪2/15‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2/15‬‬

‫‪-2/5‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪-2/5(X2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/5‬‬

‫‪2/5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD X1‬‬

‫‪10/3‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪35/3+2M‬‬

‫‪35/3‬‬‫‪2M‬‬

‫‪-7/3 +‬‬ ‫‪2/5M‬‬

‫‪0‬‬

‫ ‪7/3‬‬‫‪2/5M‬‬

‫‪7‬‬‫‪6/5M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪7-6/5M‬‬ ‫)‪(X2‬‬

‫‪20-2M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1+7/5M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1+‬‬ ‫‪2/5M‬‬

‫‪-7+‬‬ ‫‪6/5M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪95/3‬‬

‫‪35/3‬‬‫‪2M‬‬

‫‪-4/3‬‬ ‫‪+9/5M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10/3‬‬ ‫‪+4/5M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪5/3‬‬

‫‪5/3‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪10/3‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪95/3‬‬

‫‪35/3‬‬‫‪2M‬‬

‫‪-4/3‬‬ ‫‪+9/5M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10/3‬‬ ‫‪+4/5M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫يحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 197‬يٍ ‪555‬‬

‫‪NEW‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪5‬‬‫)‪7M(X1‬‬



‫‪Ratio‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬



‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-9‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪30M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-9+4M‬‬

‫‪-5+7M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/5‬‬

‫‪2/5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪-2/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2/5‬‬

‫‪6/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪20-2M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1+7/5M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1+‬‬ ‫‪2/5M‬‬

‫‪-7+‬‬ ‫‪6/5M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪5/3‬‬

‫‪5/3‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪10/3‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪95/3‬‬

‫‪35/3‬‬‫‪2M‬‬

‫‪-4/3‬‬ ‫‪+9/5M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10/3‬‬ ‫‪+4/5M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫جذول‬ ‫انحم‬ ‫األونٍ‬

‫جذول‬ ‫انحم‬ ‫انثاٍَ‬


‫صفذخ ‪ 198‬يٍ ‪555‬‬




‫إنتاج ‪ 3.33 = 10/3‬وحدة مف المنتج االوؿ‪،‬‬ ‫إنتاج ‪ 1.66= 5/3‬وحدات مف المنتج الثاني‬

‫ليحقؽ أقؿ تكمفة ممكنة بمقدار ‪ 31.33= 95/3‬دينار‬ ‫ويمكف التأكد مف صحة الحؿ بالتعويض في دالة اليدؼ‬ ‫ولكف في الحياة العممية يجب التقريب الى ادني ألنيا دالة تقميؿ التكاليؼ فيتـ تجاىؿ الكسور‬

‫والتعامؿ مع االرقاـ الصحيحة‬ ‫فيكوف القرار االداري‪:‬‬

‫وانتاج ‪ 3‬وحدات مف المنتج االوؿ‪،‬‬

‫انتاج ‪ 0‬وحدة واحدة مف المنتج الثاني‬

‫ليحقؽ اقؿ تكمفة بمقدار ‪ 68‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 199‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجد الحؿ االمثؿ لنموذج البرمجة الخطية التالي باستخداـ السمبمكس‪:‬‬ ‫‪Z - 6X1 - 4 X2 – MR2 = 0‬‬ ‫‪2 X1 + 3X2 + S1‬‬ ‫‪=8‬‬ ‫‪X1 + X2‬‬ ‫‪- S2 + R2 = 4‬‬

‫‪Ratio‬‬

‫‪Min Z = 6X1 + 4 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 2 X1 + 3X2 ≤ 8‬‬ ‫‪X1 + X2 ≥ 4‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪4M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪MR2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪4M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-4+M‬‬

‫‪-6+M‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪8/3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪4/1=4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪4M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-4+M‬‬

‫‪-6+M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪8/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪-8/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫)‪-1(X2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD R2‬‬

‫‪4/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪NEW R2‬‬

‫‪32/3-8/3M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4/3‬‬‫‪1/3M‬‬

‫‪4-M‬‬

‫‪8/3‬‬‫‪2/3M‬‬

‫)‪4-M(X2‬‬

‫يحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 511‬يٍ ‪555‬‬



‫‪4M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-4+M‬‬

‫‪-6+M‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪32/3+4/3M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪4/3‬‬‫‪1/3M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪8/3*3/2=4‬‬

‫‪8/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-10/3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1/3M‬‬ ‫‪2/3‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪4/3*3=4‬‬

‫‪4/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪32/3+4/3M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪4/3‬‬‫‪1/3M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10/3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1/3M‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪-8/3‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2/3‬‬

‫)‪-2/3(X1‬‬

‫‪8/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪OLD X2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW X2‬‬

‫‪40/3-4/3M‬‬

‫‪10‬‬‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10‬‬ ‫‪+M‬‬

‫‪-10/3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1/3M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10/3‬‬‫‪1/3M‬‬

‫ ‪10/3‬‬‫)‪1/3M(X1‬‬

‫‪32/3+4/3M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪4/3‬‬‫‪1/3M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪24‬‬

‫‪10‬‬‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10/3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1/3M‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪24‬‬

‫‪10‬‬‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫يحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 511‬يٍ ‪555‬‬



‫‪Ratio‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫جذول‬ ‫انحم‬ ‫األول‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪4M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-4+M‬‬

‫‪-6+M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪8/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2/3‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪4/3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1/3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/3‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪32/3+4/3M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪4/3‬‬‫‪1/3M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‬‫‪10/3+‬‬ ‫‪1/3M‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪24‬‬

‫‪10-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬




‫إنتاج ‪ 4‬وحدات مف المنتج األوؿ‪ ،‬وعدـ إنتاج أي وحدة مف المنتج الثاني‬ ‫ليحقؽ أقؿ تكمفة ممكنة بمقدار ‪ 54‬دينار‬


‫مالحظة ىامة‪:‬‬ ‫عند تبديؿ ترتيب القيود فانو يتـ تغير ترتيب المتغيرات االصطناعية ‪R‬‬

‫اذا تساوت قيـ عمود النسب نختار المتغير غير اساسي ويعتبر المتغير الخارج ويتـ احالؿ‬

‫المتغير الداخؿ مكانو‬

‫صفذخ ‪ 515‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجذ انحم األيثم نًُىرج انثشيجح انخطُح األذٍ‪:‬‬

‫‪Min Z = 2X1 + 4 X2‬‬

‫‪Z - 2X1 - 4 X2 - MR1 = 0‬‬

‫‪SUB TO: 30X1 + 20X2 ≥ 120‬‬

‫‪30X1 + 20X2 - S1 + R1 = 120‬‬ ‫‪= 100‬‬

‫‪+ S2‬‬

‫‪≤ 100‬‬

‫‪50X1‬‬

‫‪50X1‬‬

‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪Ratio‬‬

‫‪120‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪20‬‬

‫‪30‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪50‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪120‬‬

‫‪0‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪20M‬‬

‫‪30M‬‬

‫‪MR1‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪120M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪120/30=4‬‬

‫‪120‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-4‬‬ ‫‪+20M‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪-2+‬‬ ‫‪30M‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪NEW Z‬‬ ‫‪R1‬‬

‫‪100/50=2‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪50‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪120M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫ ‪1/25‬‬‫‪3/5M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-4‬‬ ‫‪+20M‬‬

‫‪-2+‬‬ ‫‪30M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/50‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪-60‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-30‬‬

‫)‪-30(X1‬‬

‫‪120‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪20‬‬

‫‪30‬‬

‫‪OLD R1‬‬

‫‪60‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-3/5‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW R1‬‬

‫يحىسَه‬

‫صفذخ ‪ 513‬يٍ ‪555‬‬



‫‪4-60M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫– ‪1/25‬‬ ‫‪3/5M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬‫‪30M‬‬

‫‪2-30M‬‬ ‫)‪(X1‬‬

‫‪120M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-4‬‬ ‫‪+20M‬‬

‫‪-2+‬‬ ‫‪30M‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪4+ 60M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫ ‪1/25‬‬‫‪3/5M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-4 +‬‬ ‫‪20M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪2/0=£‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/50‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪60/20=3‬‬

‫‪60‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-3/5‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪4+ 60M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/20‬‬

‫ ‪1/25‬‬‫‪3/5M‬‬ ‫‪-3/100‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-4 +‬‬ ‫‪20M‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪0(X2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/50‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD X1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/50‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪NEW X1‬‬

‫‪12 -60M‬‬

‫‪0‬‬

‫– ‪1/5‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪-1/25‬‬ ‫‪+3/5M‬‬

‫‪-1/5‬‬ ‫‪+M‬‬

‫‪4‬‬‫‪20M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4-20M‬‬ ‫)‪(X2‬‬

‫‪4+ 60M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫ ‪1/25‬‬‫‪3/5M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-4 +‬‬ ‫‪20M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪16‬‬

‫‪0‬‬

‫– ‪1/5‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/20‬‬

‫‪-3/100‬‬

‫‬‫‪1/20‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/50‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪16‬‬

‫‪0‬‬

‫– ‪1/5‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫يحىسَه‬

‫‬‫‪1/20‬‬

‫صفذخ ‪ 514‬يٍ ‪555‬‬



‫‪Ratio‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬



‫‪120‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪20‬‬

‫‪30‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪50‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪120‬‬

‫‪0‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪20M‬‬

‫‪30M‬‬

‫‪MR1‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪120M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪120‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-4‬‬ ‫‪+20M‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪-2+‬‬ ‫‪30M‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪NEW Z‬‬ ‫‪R1‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪50‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪120M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫ ‪1/25‬‬‫‪3/5M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-4‬‬ ‫‪+20M‬‬

‫‪-2+‬‬ ‫‪30M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/50‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪60‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-3/5‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪20‬‬

‫‪0‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪4+ 60M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/20‬‬

‫ ‪1/25‬‬‫‪3/5M‬‬ ‫‪-3/100‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/50‬‬

‫‬‫‪1/20‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪-4 +‬‬ ‫‪20M‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪16‬‬

‫‪0‬‬

‫ ‪1/5‬‬‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫جذول‬ ‫انحم‬ ‫األونٍ‬




‫إنتاج ‪ 5‬وحده مف المنتج األوؿ‪ ،‬و إنتاج ‪ 3‬وحدات مف المنتج الثاني‬ ‫ليحقؽ أقؿ تكمفة ممكنة بمقدار ‪ 16‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 515‬يٍ ‪555‬‬




‫حالة وجود ثبلث قيود‪ :‬وتعتبر مف األسئمة الطويمة حيث اف القيد الشاذ ال يؤثر عمى الحؿ‬ ‫‪Z - 50X1 - 100 X2 – MR1 – MR3 = 0‬‬ ‫‪X1 + X2‬‬ ‫‪+ R1 = 120‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪+S2‬‬ ‫‪= 100‬‬ ‫‪X2 - S3 + R3 =80‬‬

‫‪Ratio‬‬

‫‪Min Z = 50X1 + 100 X2‬‬ ‫‪SUB TO: X1 + X2 = 120‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪≤ 100‬‬ ‫‪X2 ≥ 80‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬


‫‪R3‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪120‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪80‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪R3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-100‬‬

‫‪-50‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪120M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪MR1‬‬

‫‪80M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪MR3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-100‬‬

‫‪-50‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪200M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-100‬‬ ‫‪+2M‬‬

‫‪- 50‬‬ ‫‪+M‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪120/1=120‬‬

‫‪120‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R1‬‬

‫∞=‪100/0‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪80/1=80‬‬

‫‪80‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪R3‬‬

‫‪200M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-100+‬‬ ‫‪2M‬‬

‫‪-50‬‬ ‫‪+M‬‬

‫‪Z‬‬

‫صفذخ ‪ 516‬يٍ ‪555‬‬


‫يحىسَح‬


‫‪80‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪-80‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪-1(X2‬‬

‫‪120‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD R1‬‬

‫‪40‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪NEW R1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪O(X2‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD S2‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪NEW S2‬‬

‫‪8000‬‬‫‪160M‬‬

‫‪100‬‬‫‪2M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-100‬‬ ‫‪+ 2M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪100‬‬‫‪2M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪100‬‬‫)‪2M(X2‬‬

‫‪200M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-100+‬‬ ‫‪2M‬‬

‫‪-50+‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪8000+40M‬‬

‫‪100‬‬‫‪2M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-100‬‬ ‫‪+M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-50‬‬ ‫‪+M‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫∞=‪80/0‬‬

‫‪80‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪40/1=40‬‬

‫‪40‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪100/1=100‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪8000+40M‬‬

‫‪100‬‬‫‪2M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-100‬‬ ‫‪+M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-50‬‬ ‫‪+M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪40‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫)‪0(X1‬‬

‫‪80‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪OLD X2‬‬

‫‪80‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW X2‬‬

‫‪-40‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫)‪-1(X1‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪OLD S2‬‬

‫‪60‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW S2‬‬

‫‪2000-40M‬‬

‫‪-50‬‬ ‫‪+M‬‬

‫‪50‬‬‫‪M‬‬

‫‪50-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪50‬‬‫‪M‬‬

‫)‪50-M(X1‬‬

‫يحىسَح‬

‫صفذخ ‪ 517‬يٍ ‪555‬‬


‫‪8000+40M‬‬

‫‪100‬‬‫‪2M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-100‬‬ ‫‪+M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-50‬‬ ‫‪+M‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪10000‬‬

‫‪50‬‬‫‪M‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪50‬‬‫‪M‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪-50‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪80‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪60‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪10000‬‬

‫‪50‬‬‫‪M‬‬

‫‪50‬‬‫‪M‬‬

‫‪-50‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪R3‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪120‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪80‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪R3‬‬

‫‪200M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪80‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-100+‬‬ ‫‪2M‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪-50‬‬ ‫‪+M‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬ ‫‪X2‬‬

‫‪40‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪8000+40M‬‬

‫‪100‬‬‫‪2M‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪-100‬‬ ‫‪+M‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-50‬‬ ‫‪+M‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪Z‬‬ ‫‪X1‬‬

‫‪80‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪60‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪10000‬‬

‫‪50-M‬‬

‫‪50-M‬‬

‫‪-50‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪40‬‬

‫‪Solution Ratio‬‬ ‫جذول‬ ‫انحم‬ ‫األول‬




‫‪40‬‬

‫صفذخ ‪ 518‬يٍ ‪555‬‬




‫إنتاج ‪ 40‬وحدات مف المنتج األوؿ‪ ،‬و إنتاج ‪ 80‬وحدة مف المنتج الثاني‬ ‫ليحقؽ أقؿ تكمفة ممكنة بمقدار ‪ 11111‬دينار‬


‫صفذخ ‪ 519‬يٍ ‪555‬‬



‫يثال ذطثُمٍ(‪:)25‬‬ ‫اوجذ انحم األيثم نًُىرج انثشيجح انخطُح اِذٍ تاعرخذاو انغًثهكظ‪:‬‬ ‫‪Min Z = 6X1 + 8X2‬‬

‫‪Z - 6X1 - 8 X2 - MR1 = 0‬‬

‫‪SUB TO: 40X1 + 10X2 ≥ 360‬‬

‫‪40X1 + 10X2 - S1 + R1 = 360‬‬ ‫‪= 480‬‬

‫‪40X1 + 20X2 ≤ 480‬‬

‫‪40X1 + 20X2 + S2‬‬

‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪Ratio‬‬

‫‪360‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪40‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪480‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪20‬‬

‫‪40‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪360M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪10M‬‬

‫‪40M‬‬

‫‪MR1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪360M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-8+‬‬ ‫‪10M‬‬

‫‪-6‬‬ ‫‪+40M‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪360/40=9‬‬

‫‪360‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪40‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪480/40=12‬‬

‫‪480‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪20‬‬

‫‪40‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪360M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-8+‬‬ ‫‪10M‬‬

‫‪-6‬‬ ‫‪+40M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪9‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/40‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/40‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪-360‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪-40‬‬

‫)‪-40(X1‬‬

‫‪480‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪20‬‬

‫‪40‬‬

‫‪OLD S2‬‬

‫محوريو‬

‫صفذخ ‪ 511‬يٍ ‪555‬‬


‫‪Ratio‬‬




‫‪120‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW S2‬‬

‫‪54-360M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪360M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3/20‬‬ ‫‪-M‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3/20‬‬ ‫‪+M‬‬ ‫‪-M‬‬

‫‪3/2‬‬‫‪10M‬‬ ‫‪-8+‬‬ ‫‪10M‬‬

‫‪6‬‬‫‪40M‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪+40M‬‬

‫‪6‬‬‫)‪40M(X1‬‬ ‫‪OLD Z‬‬

‫‪54‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3/20‬‬ ‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3/ 20‬‬ ‫‪+M‬‬

‫‪-13/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪9‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/40‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/40‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪120‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪54‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3/20‬‬ ‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3/ 20‬‬ ‫‪+M‬‬

‫‪-13/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪360‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪40‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪480‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪20‬‬

‫‪40‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪360‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪40‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪480‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪20‬‬

‫‪40‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪360M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-8+‬‬ ‫‪10M‬‬

‫‪-6‬‬ ‫‪+40M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪9‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/40‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/40‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪120‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪54‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3/20‬‬ ‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3/ 20‬‬ ‫‪+M‬‬

‫‪-13/2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪0‬‬

‫صفذخ ‪ 511‬يٍ ‪555‬‬




‫إنتاج ‪ 9‬وحدات مف المنتج األوؿ فقط ‪ ،‬وعدـ إنتاج اي وحدة مف المنتج الثاني‬ ‫ليحقؽ أقؿ تكمفة ممكنة بمقدار ‪ 54‬دينار‬


‫مالحظة ىامة‪:‬‬

‫توقفنا عند جدوؿ الحؿ الثاني وذلؾ بالرغـ مف وجود قيمة سالبو في عمود المتغيرات‬

‫االساسية ولكف تـ التخمص مف رمز ‪ M‬في عمود كميات الحؿ وبذلؾ ينتيي الحؿ‬ ‫وتشذ ىنا القاعدة عندما تكوف قيمة سالبو في صؼ دالة اليدؼ‬

‫صفذخ ‪ 515‬يٍ ‪555‬‬



‫يثال ذطثُمٍ (‪:)62‬‬ ‫اوجذ انحم األيثم نًُىرج انثشيجح انخطُح اِذٍ تاعرخذاو انغًثهكظ‪:‬‬

‫‪Min Z = 4X1 + 6X2‬‬

‫‪Z - 4X1 - 6 X2 - MR1 = 0‬‬

‫‪SUB TO: 40X1 + 10X2 ≥ 240‬‬

‫‪40X1 + 10X2 - S1 + R1 = 240‬‬ ‫‪= 320‬‬

‫‪+ S2‬‬

‫‪40X1 + 20X2 ≤ 320‬‬

‫‪40X1 + 20X2‬‬

‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪Ratio‬‬

‫‪240‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪40‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪320‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪20‬‬

‫‪40‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪240M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪10M‬‬

‫‪40M‬‬

‫‪MR1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪240M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-6+‬‬ ‫‪10M‬‬

‫‪-4‬‬ ‫‪+40M‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪240/40=6‬‬

‫‪240‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪40‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪320/40=8‬‬

‫‪320‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪20‬‬

‫‪40‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪240M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-6+‬‬ ‫‪10M‬‬

‫‪-4‬‬ ‫‪+40M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/40‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/40‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪-240‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪-40‬‬

‫)‪-40(X1‬‬

‫‪320‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪20‬‬

‫‪40‬‬

‫‪OLD S2‬‬

‫‪80‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW S2‬‬

‫محوريو‬

‫صفذخ ‪ 513‬يٍ ‪555‬‬


‫‪Ratio‬‬




‫‪0‬‬

‫‪-1+‬‬ ‫‪10M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪1/10‬‬‫‪10M‬‬ ‫‪-6+‬‬ ‫‪10M‬‬

‫‪4‬‬‫‪40M‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪+40M‬‬

‫‪4-40M‬‬ ‫)‪(X1‬‬ ‫‪OLD Z‬‬

‫‪24 -240M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪240M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/10‬‬ ‫‪-M‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪-1+‬‬ ‫‪9M‬‬

‫‬‫‪59/10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪24‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/10‬‬ ‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/40‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/40‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪80‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪24‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/10‬‬ ‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1+‬‬ ‫‪9M‬‬

‫‬‫‪59/10‬‬

‫‪0‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪240‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪40‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪320‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪20‬‬

‫‪40‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪240‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪40‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪320‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪20‬‬

‫‪40‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪240M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-6+‬‬ ‫‪10M‬‬

‫‪-4‬‬ ‫‪+40M‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/40‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1/40‬‬

‫‪1/4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪80‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪24‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1/10‬‬ ‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1+‬‬ ‫‪9M‬‬

‫‬‫‪59/10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪Z‬‬

‫صفذخ ‪ 514‬يٍ ‪555‬‬




‫إنتاج ‪ 6‬وحدات مف المنتج األوؿ فقط ‪ ،‬و عدـ إنتاج اي وحدة مف المنتج الثاني‬

‫ليحقؽ أقؿ تكمفة ممكنة بمقدار ‪ 54‬دينار‬


‫مالحظة ىامة‪:‬‬ ‫توقفنا عند جدوؿ الحؿ الثاني وذلؾ بالرغـ مف وجود قيمة سالبو في عمود المتغيرات‬

‫االساسية ولكف تـ التخمص مف رمز ‪ M‬في عمود كميات الحؿ وبذلؾ ينتيي الحؿ‬

‫وتشذ ىنا القاعدة عندما تكوف قيمة سالبو في صؼ دالة اليدؼ‬

‫صفذخ ‪ 515‬يٍ ‪555‬‬




‫صمـ جدوؿ الحؿ األولي لمبرمجة الخطية اآلتية باستخداـ السمبمكس‪:‬‬ ‫‪MIN Z = 2X1 + 3X2‬‬ ‫‪SUB TO: -2X1 + 3X2 = 30‬‬ ‫‪4X1 + 5X2 ≥ 10‬‬ ‫‪X1 + 2X2 ≥ 5‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪Z - 2X1 - 3X2 - MR1 - MR2 = 0‬‬ ‫‪-2X1 + 3X2‬‬ ‫‪+R1 = 30‬‬ ‫‪4X1 + 5X3 - S2 +R2 = 10‬‬ ‫‪X1 + 2X2 +S3‬‬ ‫‪=5‬‬

‫‪Ratio‬‬


‫‪R2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫`‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪Z‬‬

‫‪30M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3M‬‬

‫‪-2M‬‬

‫‪MR1‬‬

‫‪10M‬‬

‫‪M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪5M‬‬

‫‪4M‬‬

‫‪MR2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪OLD Z‬‬

‫‪40M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1 +‬‬ ‫‪8M‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪-2 + 2M‬‬

‫‪NEW Z‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪R1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪R2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪40 M‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-M‬‬

‫‪-1 +‬‬ ‫‪8M‬‬

‫‪-2 + 2M‬‬

‫‪Z‬‬


‫األولي‬

‫صفذخ ‪ 516‬يٍ ‪555‬‬



‫الحاالت الخاصة مف البرمجة الخطية في طريقة الصؼ البسيط‪:‬‬ ‫‪ .0‬التكرار أو التفسخ ‪Redundant, Degeneracy‬‬ ‫احد القيود ال يؤثر عمى الحؿ‬

‫‪ .5‬وجود أكثر مف حؿ بديؿ ‪Alternative Solution‬‬

‫تكوف قيمة دالة اليدؼ واحدة والمتغيرات أكثر مف حالة‬

‫‪ .3‬ال توجد منطقة حؿ ‪Infeasible Solution‬‬ ‫ال يوجد تقاطع الحالة متعاكسة‬

‫‪ .8‬منطقة حؿ غير محصورة ‪Unbounded Solution Space‬‬ ‫تكوف غير محددة ومفتوحة مف احد الجنبيف‬

‫صفذخ ‪ 517‬يٍ ‪555‬‬



‫االمثمة الشاممة‬

‫السؤاؿ األوؿ‪:‬‬ ‫اوجذ انحم األيثم نًُىرج انثشيجح انخطُح اِذٍ تاعرخذاو انطشَمح انثُاَُح نحانح ذؼظُى‬

‫االستاح‪:‬‬ ‫‪MAX Z = 3 X1 + 2 X2‬‬ ‫‪≤ 24‬‬

‫‪6 X1 + 4 X2‬‬

‫‪≤ 3‬‬


‫‪X1‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫___________________________________________________________‬ ‫‪` MAX Z = 50 X1 + 120 X2‬‬ ‫‪≤ 80‬‬

‫‪2 X1 + 4 X2‬‬

‫‪≤ 60‬‬

‫‪3 X1 + X2‬‬


‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫‪MAX Z = 4 X1 + 6 X2‬‬ ‫‪≤ 8‬‬ ‫‪≤ 24‬‬

‫‪X1 + 2 X2‬‬


‫‪6 X1 + 4 X2‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫___________________________________________________________‬

‫صفذخ ‪ 518‬يٍ ‪555‬‬



‫‪MAX Z = 30 X1 + 40 X2‬‬ ‫‪4 X1 + 2 X2 ≤ 16‬‬ ‫‪≥ 2‬‬

‫‪2 X1 - X2‬‬

‫‪≤ 2‬‬

‫‪X2‬‬


‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫___________________________________________________________‬

‫‪MAX Z = 2 X1 + X2‬‬ ‫‪≤ 4‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1 +‬‬

‫‪≤ 10‬‬

‫‪+ X2‬‬

‫‪3X1‬‬

‫‪≤ 12‬‬

‫‪+ 4 X2‬‬

‫‪X1‬‬


‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫‪MAX Z = 12X1 + 14X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 2X1 + 3 X2 ≤ 24‬‬ ‫‪2X1 + X2 ≤ 16‬‬ ‫‪X2 ≤ 10‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫___________________________________________________________‬

‫صفذخ ‪ 519‬يٍ ‪555‬‬



‫السؤاؿ الثاني‪:‬‬ ‫اوجذ انحم األيثم نًُىرج انثشيجح انخطُح اِذٍ تاعرخذاو انطشَمح انثُاَُح نحانح ذمهُم‬ ‫انركانُف‪:‬‬ ‫‪MIN Z = 2X1 + 3X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 5 X1 + 10 X2 ≥ 90‬‬ ‫‪4 X1 + 3 X2 ≥ 48‬‬ ‫‪≥ 1.5‬‬

‫‪0.5 X1‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫___________________________________________________________‬ ‫‪Min Z = 24 X1 + 28 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 5 X1 + 4 X2 ≤ 2000‬‬ ‫‪≥ 80‬‬

‫‪X1‬‬

‫‪≥ 300‬‬

‫‪X1 + X2‬‬

‫‪≥ 100‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫___________________________________________________________‬ ‫‪Min Z = X1 + 2 X2‬‬ ‫‪≥ 90‬‬

‫‪X1 + 3 X2‬‬

‫‪8 X1 + 2 X2 ≥ 160‬‬ ‫‪≥ 120‬‬

‫‪3 X1 + 2 X2‬‬

‫‪≤ 100‬‬

‫‪X2‬‬

‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫صفذخ ‪ 551‬يٍ ‪555‬‬




‫السؤاؿ الثالث‪:‬‬

‫اوجد الحؿ األمثؿ باستخداـ طريقة السمبمكس حالة تعظيـ األرباح‪:‬‬ ‫‪MAX Z = 4X1 + 5 X2‬‬ ‫‪SUB TO:‬‬ ‫‪X1 + X2 ≥ 80‬‬ ‫‪3X1 + 2X2 ≥ 75‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫‪MAX Z = 2X1 + 3 X2‬‬ ‫‪SUB TO:‬‬ ‫‪6X1 + 9X2 ≤ 18‬‬ ‫‪9X1 + 3X2 ≥ 9‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫‪MAX Z = 200X1 + 200 X2‬‬ ‫‪SUB TO:‬‬ ‫‪2X1 + X2 ≤ 8‬‬ ‫‪X1 + 3X2 ≤ 9‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫‪MAX Z = 120X1 + 240 X2‬‬ ‫‪SUB TO:‬‬ ‫‪2X1 + 2X2 ≥ 0.5‬‬ ‫‪X1 + 3X2 ≥ 0.4‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 551‬يٍ ‪555‬‬



‫السؤاؿ الرابع‪:‬‬

‫اوجد الحؿ األمثؿ باستخداـ طريقة السمبمكس حالة تقميؿ التكاليؼ‬

‫‪Min Z = 5X1 + 6 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: X1 + X2 = 1000‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪≤ 300‬‬ ‫‪X2 ≥ 150‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫‪Min Z = 4X1 + X2‬‬ ‫‪SUB TO: 3X1 + X2 = 3‬‬ ‫‪4X1 + 3X2 ≥ 6‬‬ ‫‪X1 + 2X2 ≤ 3‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫‪Min Z = 8X1 + 4X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 2X1 + 3X2 ≥ 6‬‬ ‫‪X1 + 2X2 ≤ 3‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 555‬يٍ ‪555‬‬



‫الفصؿ الرابع‬

‫صفذخ ‪ 553‬يٍ ‪555‬‬



‫النموذج المقابؿ ‪Dual Model‬‬ ‫متى نمجأ إلى استخداـ النموذج المقابؿ؟‬

‫يستخدـ النموذج المقابؿ لغرضيف أساسيف‪:‬‬

‫‪ -1‬التوصؿ إلى الحؿ األمثؿ لمشاكؿ البرمجة الخطية‪.‬‬

‫‪ -5‬سرعة التوصؿ لمحؿ عندما يصعب حؿ النموذج األولي‪.‬‬ ‫تعريؼ النموذج المقابؿ‪:‬‬

‫ىو عممية عكس النموذج األولى بكؿ محتوياتو‪.‬‬

‫وألي مشكمة برمجية يرتبط معيا نموذج برمجي مقابؿ لو‪.‬‬

‫الخطوات األساسية لتحويؿ النموذج األولي إلى نموذج مقابؿ‪:‬‬ ‫النموذج المقابؿ‬ ‫‪Min‬‬ ‫‪Max‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪Y‬‬

‫النموذج األولي‬ ‫‪Max‬‬ ‫‪Min‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪X‬‬

‫المعامالت‬

‫ثوابت‬

‫ثوابت‬ ‫≥‬ ‫≤‬

‫المعامالت‬ ‫≤‬ ‫≥‬

‫منقوؿ مصفوفة المعامالت‬

‫مصفوفة المعامالت‬

‫والعمود يصبح صؼ‬

‫األعمدة‬

‫شرط عدـ السمبية‬

‫شرط عدـ السمبية‬

‫الصؼ يصبح عمود‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬

‫الصفوؼ‬

‫صفذخ ‪ 554‬يٍ ‪555‬‬

‫‪10‬‬



‫‪ -1‬عكس صيغة دالة اليدؼ تعظيـ إلى تقميؿ والعكس التقميؿ إلى تعظيـ‬ ‫‪ -5‬تحويؿ رمز دالة اليدؼ‬

‫‪ -3‬استبداؿ المتغيرات األساسية‬ ‫‪ -4‬جعؿ الثوابت عمى يميف القيود معامبلت في دالة اليدؼ والعكس معامبلت دالة اليدؼ‬ ‫ثوابت عمى يميف القيود‬

‫‪ -5‬عكس إشارة القيود األكبر مف أو يساوي إلى اصغر مف أو يساوي و العكس األصغر‬ ‫مف أو يساوي إلى اكبر مف أو يساوي‬ ‫‪ -6‬تحويؿ مصفوفة المعامبلت إلى منقوؿ مصفوفة المعامبلت بحيث تكوف الصفوؼ‬ ‫أعمدة واألعمدة صفوؼ‬

‫‪ -7‬إضافة شرط عدـ السمبية لممتغيرات الجديدة‬ ‫مالحظات عامة‪:‬‬

‫‪ -1‬إذا كاف شكؿ احد القيود غير متناسؽ عف القيود األخرى نضرب القيد كمو في ‪1-‬‬ ‫‪ -5‬عدد متغيرات النموذج األولي = عدد قيود النموذج المقابؿ‬ ‫‪ -3‬عدد قيود النموذج األولي = عدد متغيرات النموذج المقابؿ‬ ‫‪ -4‬دالو اليدؼ في حالة التعظيـ يكوف القيد اصغر أو يساوي ≥ خبلؼ ذلؾ نضرب‬ ‫القيد في ‪1-‬‬

‫‪ -5‬دالة اليدؼ في حالة التقميؿ يكوف القيد اكبر مف أو يساوي ≤ خبلؼ ذلؾ نضرب‬ ‫القيد في ‪1-‬‬ ‫‪ -6‬لو كانت دالة اليدؼ تعظيـ واشارة القيد = نفرض مرة ≤ و نضرب القيد في ‪1-‬‬ ‫‪ -7‬لو كانت دالة اليدؼ تعظيـ واشارة القيد = نفرض مرة ≥ يبقى كما ىو‬ ‫‪ -8‬حؿ النموذج األولي والنموذج المقابؿ متطابقاف‬

‫صفذخ ‪ 555‬يٍ ‪555‬‬



‫األمثمة التطبيقية(‪:)0‬‬

‫حوؿ النموذج األولي إلى النموذج المقابؿ‪:‬‬ ‫النموذج األولي‬

‫النموذج المقابؿ‬ ‫‪MIN W = 24 Y1 + 3Y2‬‬ ‫‪SUB.TO: 6Y1 + Y2 ≥ 3‬‬ ‫‪4Y1‬‬ ‫‪≥ 2‬‬ ‫‪Y1, Y2 ≥ 0‬‬

‫‪MAX Z = 3 X1 + 2 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 6 X1 + 4 X2 ≤ 24‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪≤ 3‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪MIN W = 80 Y1 + 60Y2‬‬ ‫‪SUB.TO: 2Y1 + 3Y2 ≥ 50‬‬ ‫‪4Y1 + Y2 ≥ 120‬‬ ‫‪Y1, Y2 ≥ 0‬‬

‫‪` MAX Z = 50 X1 + 120 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 2 X1 + 4 X2 ≤ 80‬‬ ‫‪3 X1 + X2‬‬ ‫‪≤ 60‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪MIN W = 8 Y1 + 24Y2‬‬ ‫‪SUB.TO: Y1 + 6Y2 ≥ 4‬‬ ‫‪2Y1 + 4Y2 ≥ 6‬‬ ‫‪Y1, Y2 ≥ 0‬‬

‫‪MAX Z = 4 X1 + 6 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO:‬‬ ‫‪X1 + 2 X2 ≤ 8‬‬ ‫‪6 X1 + 4 X2 ≤ 24‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪MIN W = 2 Y1 + 2Y2‬‬ ‫‪SUB.TO: 2Y1‬‬ ‫‪≥ 30‬‬ ‫‪Y1 + Y2 ≥ 40‬‬ ‫‪Y1, Y2 ≥ 0‬‬

‫‪MAX Z = 30 X1 + 40 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 2 X1 + X2‬‬ ‫‪≤ 2‬‬ ‫‪X2‬‬ ‫‪≤ 2‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪4‬‬

‫صفذخ ‪ 556‬يٍ ‪555‬‬



5

MAX Z = 2 X1 + X2 SUBJECT TO: X1 + X2 ≤ 4 3X1 + X2 ≤ 10 X1 + 4 X2 ≤ 12 X1 , X2 ≥ 0

MIN W = 4 Y1 + 10Y2 + 12Y3 SUB.TO: Y1 + 3Y2 + Y3 ≥ 2 Y1 + Y2 + 4Y3 ≥ 1 Y1, Y2, Y3 ≥ 0

6

MAX Z = 12X1 + 14X2 SUBJECT TO: 2X1 + 3 X2 ≤ 24 2X1 + X2 ≤ 16 X2 ≤ 10 X1 , X2 ≥ 0

MIN W = 24 Y1 + 16Y2 + 10Y3 SUB.TO: 2Y1 + 2Y2 ≥ 12 3Y1 + Y2 + Y3 ≥ 14 Y1, Y2, Y3 ≥ 0

7

Min Z = 4X1 + X2 SUBJECT TO: 30X1 + 10X2 ≥ 100 125X1 + 12X2 ≥ 200 120X1 +15X2 ≥ 150 X1 , X2 ≥ 0

MAX W = 100 Y1 + 200Y2 + 150Y3 SUB.TO: 30Y1 + 125Y2 + 120Y3 ≤ 4 10Y1 + 12Y2 + 15Y3 ≤ 1 Y1, Y2, Y3 ≥ 0

8 MAX Z = X1 + X2 – X3 – X4 SUB TO: 3X1 – 2X2 + X3 + 5X4 ≤ 18 5 X1 + 6X3 ≤ 20 ( -X1 + X2 + 4X3 + X4 ≥ 9 )x-1 X1 , X2 X3 , X4 ≥ 0

MIN W = 18 Y1 + 20Y2 - 9Y3 SUB.TO: 3Y1 + 5Y2 + Y3 ≥ 1 -2Y1 - Y3 ≥ 1 Y1 + 6Y2 - 4Y3 ≥ -1 5Y1 - Y3 ≥ -1 Y1, Y2, Y3 ≥ 0

9 MAX Z = 2X1 + 3X2 SUBJECT TO: X1 + 2X2 ≤ 4 3X1 + X2 ≤ 6 X1 , X2 ≥ 0

MIN W = 4 Y1 + 6Y2 SUB.TO: Y1 + 3Y2 ≥ 2 2Y1 + Y2 ≥ 3 Y1, Y2 ≥ 0

555 ٍ‫ ي‬557 ‫صفذخ‬


10


Min Z = 4X1 + X2 SUBJECT TO: 3X1 + X2 ≥ 3 4X1 + 3X2 ≥ 6 ( X1 + 2X2 ≤ 3 ) x-1 X1 , X2 ≥ 0

MAX W = 3Y1 + 6Y2 - 3Y3 SUB.TO: 3Y1 + 4Y2 - Y3 ≤ 4 Y1 + 3Y2 - 2Y3 ≤ 1 Y1, Y2, Y3 ≥ 0

11 Min Z = 200X1 + 160X2 SUBJECT TO: 6X1 + 2X2 ≥ 12 4X1 + 12X2 ≥ 24 2X1 + 2X2 ≥ 8 X1 , X2 ≥ 0

MAX W = 12Y1 + 24Y2 - 8Y3 SUB.TO: 6Y1 + 4Y2 + 2Y3 ≤ 200 2Y1 + 12Y2 + 2Y3 ≤ 160 Y1, Y2, Y3 ≥ 0

12 MAX Z = X1 + X2 - X 3 SUBJECT TO: 3X1 + 4X2 - 5X 3 ≤ 14 ( 5X1 -2X3 ≥ 6 ) x-1 X1 , X2, X 3 ≥ 0

MIN W = 14 Y1 - 6Y2 SUB.TO: 3Y1 - 5Y2 ≥ 1 4Y1 ≥ 1 -5Y1 + 2Y2 ≥ -1 Y1, Y2 ≥ 0

Min Z = 2X1 - 3X2 + 3X 3 + 4X 4 SUB TO:(2X1 + 3X2 - 4X 3 - 2X 4 ≤ 20 )x-1 4X1 + 2X2 + X4 ≥ 30 5X1 + 3X4 ≥ 35 X1 , X2, X 3, X 4 ≥ 0

MAX W = - 20Y1 + 30Y2 + 35Y3 SUB.TO: -2Y1 + 4Y2 + 5Y3 ≤ 2 -3Y1 + 2Y2 ≤ -3 4Y1 ≤ 3 2Y1 + Y2 + 3Y3 ≤ 4 Y1, Y2, Y3 ≥ 0

13

14 MAX Z = 3X1 + X2 SUBJECT TO: 4 X 1 + X2 = 5 X1 - 2X2 ≤ 2 X1 , X2 ≥ 0

555 ٍ‫ ي‬558 ‫صفذخ‬



‫بفرض مرة اكبر مرة اصغر‬ ‫‪MIN W = 5 Y1 - 5Y2 + 2Y3‬‬ ‫‪SUB.TO: 4Y1 - 4Y2 + Y3 ≥ 3‬‬ ‫‪Y1 - Y2 - 2 Y 3 ≥ 1‬‬ ‫‪Y1, Y2, Y3 ≥ 0‬‬

‫‪MAX Z = 3X1 + X2‬‬ ‫‪4 X 1 + X2 ≤ 5‬‬ ‫‪(4 X1 + X2 ≥ 5 )x-1‬‬ ‫‪X1 - 2X2 ≤ 2‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬ ‫وتعتبر مف الحاالت الشاذة‬

‫صفذخ ‪ 559‬يٍ ‪555‬‬


‫السؤاؿ األوؿ‪:‬‬



‫حىل انًُىرج األونٍ ئنً انًُىرج انًماتم‪:‬‬ ‫‪MAX Z = X1 + 3 X2 – 2X3‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 2 X1 + 2 X2 - 2 X3 ≤ 10‬‬ ‫‪X1 + 4 X2‬‬ ‫‪≤ 12‬‬ ‫‪3X1‬‬ ‫‪+ 5X3 ≤ 18‬‬ ‫‪X1 , X2 , X3 ≥ 0‬‬

‫‪Min Z = 2X1 + X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: X1 + 3X2 ≥ 30‬‬ ‫‪4X1 + 2X2 ≥ 40‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪MAX Z = 50X1 + 120X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 2X1 + 4X2 ≤ 80‬‬ ‫‪3X1 + X2 ≤ 60‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪MAX Z = 9X1 + 7 X2‬‬ ‫‪SUB TO: 2 X1 + 4X2 ≤ 40‬‬ ‫‪X1 + 3X2 ≤ 30‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 531‬يٍ ‪555‬‬



‫‪MAX Z = 3X1 + 5 X2‬‬ ‫‪X2 ≤ 6‬‬

‫‪SUB TO:‬‬

‫‪3 X1 + 2X2 ≤ 18‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪MAX Z = 10X1 + 8 X2‬‬ ‫‪SUB TO:‬‬ ‫‪4X1 + 2X2 ≤ 80‬‬ ‫‪X1 + 2X2 ≤ 50‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪MAX Z = 4X1 + 5 X2‬‬ ‫‪SUB TO:‬‬ ‫‪X1 + X2 ≥ 80‬‬ ‫‪3X1 + 2X2 ≥ 75‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪Min Z = 5 X1 + 9 X2 + 7X3‬‬ ‫‪SUB TO: 5X1 + 10 X2 + 8X3 ≥ 210‬‬ ‫‪25X1 + 30 X2‬‬ ‫‪= 900‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 531‬يٍ ‪555‬‬



‫‪Min Z = 5X1 + 6 X2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: X1 + X2 = 1000‬‬ ‫‪X1‬‬ ‫‪≤ 300‬‬ ‫‪X2 ≥ 150‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪Min Z = 4X1 + X2‬‬ ‫‪SUB TO: 3X1 + X2 = 3‬‬ ‫‪4X1 + 3X2 ≥ 6‬‬ ‫‪X1 + 2X2 ≤ 3‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫‪Min Z = 2X1 + 3 X2‬‬ ‫‪SUB TO: 6X1 + 9X2 ≤ 18‬‬ ‫‪9X1 + 3X2 ≥ 9‬‬ ‫‪X1 , X2 ≥ 0‬‬

‫صفذخ ‪ 535‬يٍ ‪555‬‬



‫السؤاؿ الثاني‪:‬‬

‫حىل انًُىرج انًماتم ئنً انًُىرج األونٍ‪:‬‬

‫‪MAX W = 100Y1 + 150 Y2 + 200Y3‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 10Y1 + 15Y2 +16Y3 ≤ 3‬‬ ‫‪20Y1 + 20 Y2 +186Y3 ≤ 2‬‬ ‫‪Y1 , Y2 , Y3 ≥ 0‬‬ ‫‪MIN W = 8Y1 + 12 Y2‬‬ ‫‪SUBJECT TO: 3Y1 + 2Y2 ≥ 2‬‬ ‫‪5Y1 + 7 Y2 ≥ 5‬‬ ‫‪Y1 , Y2 ≥ 0‬‬ ‫‪MIN W = 2 Y1 + 13Y2‬‬ ‫‪SUB.TO: 6Y1 + 4Y2 ≤ 12‬‬ ‫‪5Y1‬‬ ‫‪≤7‬‬ ‫‪Y1, Y2 ≥ 0‬‬ ‫‪MIN W = 10 Y1 + 6Y2‬‬ ‫‪SUB.TO: 12Y1 + 13Y2 ≥ 510‬‬ ‫‪14Y1 + 3Y2 ≥ 220‬‬ ‫‪Y1, Y2 ≥ 0‬‬

‫‪MIN W = 22 Y1 + 33Y2‬‬ ‫‪SUB.TO: 60Y1 + 20Y2 ≤ 31‬‬ ‫‪40Y1‬‬ ‫‪≤ 21‬‬ ‫‪Y1, Y2 ≥ 0‬‬ ‫صفذخ ‪ 533‬يٍ ‪555‬‬



‫نياية امتحاف‬ ‫نصؼ الفصؿ‬ ‫في االسبوع‬ ‫الثامف‬ ‫صفذخ ‪ 534‬يٍ ‪555‬‬



‫الفصؿ الخامس‬ ‫صفذخ ‪ 535‬يٍ ‪555‬‬



‫نظرية وشجرة الق اررات ‪Decision and Tree Theory‬‬

‫المعمومات‬ ‫الكاممة‬ ‫ال‬

‫نعـ‬

‫احتماؿ حدوث‬

‫ق اررات التأكد‬

‫الحاالت‬

‫المعروفة‬ ‫ال‬

‫نعـ‬

‫قرار عدـ التأكد‬

‫ق اررات المخاطرة‬

‫المعايير‬ ‫األربعة‪:‬‬

‫أفضؿ األفضؿ‬ ‫أفضؿ األسوأ‬ ‫تساوي‬

‫االحتماالت‬ ‫الندـ‬

‫صفذخ ‪ 536‬يٍ ‪555‬‬



‫تعريفات ىامة‪:‬‬ ‫نظرية القرارات ‪Decision Theory‬‬

‫ىي طريقة تحميمية منيجية لمتعامؿ مع المشاكؿ بأسموب عممي منظـ وباالستعانة بمنيج كمي‬

‫يساعد في تقييـ واختيار البدائؿ المثمى‬ ‫القرار ‪Decision‬‬

‫اختيار بديؿ مف بيف مجموعة مف البدائؿ بيدؼ تحقيؽ ىدؼ أو مجموعة أىداؼ معينة‬

‫العناصر األساسية لمقرار‪:‬‬

‫االختيار ‪choice‬‬

‫مجموعة مف البدائؿ المتاحة ‪Alternative‬‬ ‫مجموعة مف األىداؼ ‪Goals‬‬ ‫ما ىو القرار الجيد؟‬

‫ىو الذي يبنى عمى المنطؽ ويدرس جميع البدائؿ ويعتمد األساليب الكمية كمنيج عممي‬

‫التخاذه‪.‬‬ ‫مصفوفة القرار ‪Decisions Matrix‬‬

‫عبارة عف مجموعة صفوؼ أو أعمدة حيث تمثؿ الصفوؼ الخيارات أو البدائؿ المتاحة أماـ‬ ‫متخذ القرار في حيف أف األعمدة تمثؿ حاالت الطبيعة أو الظروؼ الخارجية المحتمؿ حصوليا‬

‫العائد (المردود أو الناتج) ‪OUTCOMES‬‬ ‫ىو الربح أو الخسارة التي تنتج عف تبني استراتيجية معينة وحصوؿ ظرؼ خارجي معيف‬ ‫صفذخ ‪ 537‬يٍ ‪555‬‬



‫االستراتيجية (البديؿ) ‪Strategy‬‬

‫األساليب أو طرؽ العمؿ التي يمجا إلييا المدير لتحقيؽ أىدافو في ظؿ حاالت طبيعة معينة‬

‫حاالت الطبيعة ‪States Of Nature‬‬ ‫ىي الظروؼ أو العوامؿ الخارجية التي يمكف أف تؤثر في العائد أو نتيجة القرار دوف أف يكوف‬ ‫لمتخذ القرار سيطرة عمييا‬ ‫بيئة أو ظروؼ صنع واتخاذ القرار ‪Decision Making Condition‬‬ ‫•‬

‫حالة التأكد التاـ ‪Certainty‬‬

‫•‬

‫حالة عدـ التأكد ‪Uncertainty‬‬

‫•‬

‫حالة المخاطرة ‪Risk‬‬

‫إف كؿ مف ىذه الحاالت ليا سمات تميزىا عف غيرىا وتجعؿ مف عممية صنع القرار في ظميا‬ ‫مختمفة مف حيث درجة التعقيد وسيولتيا أو صعوبتيا كما أف لكؿ ظرؼ أساليب أو نماذج‬ ‫كمية يمكف أف تعتمد لمساعدة متخذ القرار‬ ‫اوال‪:‬‬ ‫تعريؼ حالة التأكد التاـ ‪Certainty‬‬

‫الحالة التي يعرؼ فييا متخذ القرار العائد الذي ينتج عف تبني أي مف البدائؿ المتاحة عمى‬

‫وجو الدقة والتأكد التاـ‬

‫صفذخ ‪ 538‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ تطبيقي(‪:)0‬‬ ‫يرغب احد المستثمريف استثمار مبمغ معيف مف الماؿ حيث أف العائد الذي يأمؿ الحصوؿ عميو‬ ‫مف كؿ مجاؿ مف مجاالت االستثمار موضح أدناه‪ :‬المطموب تحديد إستراتيجية االستثمار‬ ‫المثمى التي تعظـ العائد؟‬ ‫مجاؿ االستثمار‬

‫العائد المتوقع‬

‫وديعة حكومية ‪S1‬‬

‫‪%3‬‬

‫سندات حكومية ‪S2‬‬

‫‪%2‬‬

‫شيادات استثمار ‪S3‬‬

‫‪%3.3‬‬

‫الحؿ‪:‬‬ ‫اختيار اكبر عائد‬

‫وىو استثمار في السندات الحكومية‬ ‫االستراتيجية الثانية‬

‫بأكبر عائد = ‪%2‬‬

‫صفذخ ‪ 539‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ تطبيقي(‪:)6‬‬ ‫يفكر رجؿ أف يسافر مف عبور رفح البري إلى القاىرة ويرغب في اختيار وسيمة النقؿ األقؿ‬ ‫تكمفة مف بيف وسائؿ النقؿ المختمفة موضحة في الجدوؿ أدناه‪:‬‬ ‫المطموب‪ :‬تحديد االستراتيجية المثمى التي تحقؽ اقؿ تكمفة ممكنة لمسفر؟‬ ‫وسيمة النقؿ المتاحة‬

‫التكمفة النقدية بالدوالر‬

‫سيارة خاصة‪S1‬‬

‫‪61‬‬

‫باص سوبر جت ‪S2‬‬

‫‪01‬‬

‫قطار‪S3‬‬

‫‪04‬‬

‫سيارة أجرة بالراكب ‪S4‬‬

‫‪08‬‬

‫طائرة‪S5‬‬

‫‪31‬‬

‫الحؿ‪:‬‬

‫اختيار االستراتيجية الثانية‬ ‫األقؿ في التكمفة‬

‫بقيمة ‪ 01‬دوالر‬

‫سيتـ اختيار باص سوبر جت‬

‫صفذخ ‪ 541‬يٍ ‪555‬‬



‫ثانيا‪:‬‬

‫تعريؼ حالة المخاطرة ‪Risk‬‬

‫حالة يعرؼ فييا متخذ القرار احتماؿ حصوؿ كؿ حالة مف حاالت الطبيعة مف خالؿ الخبرة‬

‫السابقة أو السجالت أو البيانات التاريخية‬

‫وفييا يتـ استخداـ أسموب حساب القيمة المتوقعة )‪Expected Value (EV‬‬ ‫لكؿ بديؿ مف البدائؿ ويختار أعمى قيمة في حالة تعظيـ األرباح‬

‫واختيار أدنى قيمة في حالة تقميؿ التكاليؼ‬

‫مثاؿ تطبيقي(‪:)3‬‬ ‫ترغب شركة جواؿ بتحقيؽ ثالثة أىدؼ وىي‪ :‬زيادة األرباح‪ ،‬زيادة حجـ المبيعات‪ ،‬كسب زبائف‬ ‫جدد‪ .‬وقد قرر مجمس إدارة شركة جواؿ إتباع ثالثة استراتيجيات وىي‪:‬‬ ‫خصـ كمية‪ ،‬ىدايا ترويجية‪ ،‬حممة إعالنية مكثفة‪.‬‬ ‫فإذا عممت أف الزيادة نسبة مئوية المتوقع تحقيقيا عند إتباع أي مف االستراتيجيات الثالث‬ ‫في كؿ ىدؼ مف األىداؼ موضحة في الجدوؿ أدناه‪:‬‬ ‫المطموب‪ :‬تحديد االستراتيجية المثمى التي يجب أف تتبعيا الشركة؟‬ ‫كسب زبائف جدد‬

‫زيادة حجـ المبيعات‬

‫زيادة االرباح‬

‫االىداؼ \ االستراتيجيات‬

‫‪8%‬‬

‫‪10%‬‬

‫‪6%‬‬

‫خصـ كمية ‪S1‬‬

‫‪5%‬‬

‫‪12%‬‬

‫‪4%‬‬

‫ىدايا ترويجية ‪S2‬‬

‫‪10%‬‬

‫‪9%‬‬

‫‪8%‬‬

‫حممة إعالنية ‪S3‬‬

‫‪0.40‬‬

‫‪0.30‬‬

‫‪0.30‬‬

‫األىمية النسبي لألىداؼ‬

‫صفذخ ‪ 541‬يٍ ‪555‬‬



‫الحؿ‪:‬‬ ‫نالحظ اف االىمية النسبية مجموعيا يساوي الواحد الصحيح‬ ‫ويتـ وضعيا تقديريا مف قبؿ االدارة المتخصصة وعند ذكرىا يتـ احتساب النتيجة مف خالؿ‬ ‫ضرب العائد في االىمية النسبية لكؿ استراتيجية واختيار البديؿ االفضؿ طبقا لميدؼ المرجو‬ ‫النتيجة‬

‫العائد × االستراتيجية‬

‫‪8%‬‬

‫= ‪6% x 0.3 + 10% x 0.3 + 8% x 0. 4‬‬

‫خصـ كمية ‪S1‬‬

‫‪6.8%‬‬

‫= ‪4% x 0.3 + 12% x 0.3 + 5% x 0.4‬‬

‫ىدايا ترويجية ‪S2‬‬

‫‪9.1%‬‬

‫= ‪8% x 0.3 + 9% x 0.3 + 10% x 0.4‬‬

‫حممة إعالنية ‪S3‬‬

‫القرار‪:‬‬ ‫يتـ اختيار االستراتيجية الثالثة‬ ‫الحممة اإلعالنية‬

‫التي تحقؽ أعمى عائد‬

‫بقيمة ‪%9.0‬‬

‫صفذخ ‪ 545‬يٍ ‪555‬‬




‫مثاؿ تطبيقي(‪:)8‬‬ ‫فيما يمي مصفوفة العائد الخاصة لمشاريع أحد المستثمريف الذي يرغب باختيار إستراتيجية‬ ‫االستثمار المناسب‪.‬‬ ‫المطموب‪ :‬إجراء الحسابات وتحديد االستراتيجية المثمى بالدينار األردني؟‬ ‫سوؽ راكدة‬

‫سوؽ جيدة‬

‫سوؽ منتعشة‬

‫حاالت الطبيعة \ االستراتيجيات‬

‫‪3‬‬

‫‪10‬‬

‫‪15‬‬

‫االستثمار في تجارة المالبس‬ ‫‪S1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪10‬‬

‫‪14‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪14‬‬

‫‪20‬‬

‫االستثمار في العقارات‬ ‫‪S2‬‬ ‫االستثمار في السوؽ المالي‬ ‫‪S3‬‬

‫‪0.10‬‬

‫‪0.50‬‬

‫‪0.40‬‬

‫صفذخ ‪ 543‬يٍ ‪555‬‬

‫األىمية النسبي لألىداؼ‬



‫الحؿ‪ :‬حساب القيمة المتوقعة لكؿ إستراتيجية بضرب العائد المتوقع في احتماؿ حصوليا‬


‫النتيجة‬

‫العائد × االستراتيجية‬

‫‪11.3‬‬

‫= ‪15 x 0.4 + 10 x 0.5 + 3 x 0. 1‬‬

‫‪12‬‬

‫= ‪14 x 0.4 + 10 x 0.5 + 6 x 0.1‬‬

‫االستثمار في العقارات ‪S2‬‬

‫‪14.6‬‬

‫= ‪20 x 0.4 + 14 x 0.5 - 4 x 0.1‬‬

‫االستثمار في السوؽ المالي‬

‫االستثمار في تجارة المالبس‬ ‫‪S1‬‬

‫‪S3‬‬

‫القرار‪:‬‬

‫اختيار االستراتيجية الثالثة‬

‫االستثمار في السوؽ المالي‬ ‫بأعمى قيمة متوقعة‬

‫تساوي ‪ 08.2‬ألؼ دينار‬

‫صفذخ ‪ 544‬يٍ ‪555‬‬



‫ثالثا‪:‬‬

‫تعريؼ حالة عدـ التأكد ‪Uncertainty‬‬

‫حالة تتعدد فييا االستراتيجيات وحاالت الطبيعة مع عدـ وجود معمومات وال احتماالت لحصوؿ‬

‫حاالت الطبيعة‪.‬‬ ‫لذلؾ البد مف االستعانة بأربعة معايير شائعة االستخداـ في ظؿ ظروؼ عدـ التأكد‪:‬‬ ‫•‬

‫معيار التشاؤـ (أفضؿ األسوأ) ‪MAXIMIN‬‬

‫ويسمى معيار والد نسبة إلى ‪Abraham Wald‬‬ ‫يقوـ ىذا المعيار عمى افتراض التشاؤـ في الحالة النفسية لمتخذ القرار‬ ‫اختيار أفضؿ أسوأ احتماؿ (أقصى األدنى)‬ ‫باعتماد‪ :‬تحديد أسوأ النتائج في كؿ إستراتيجية مف االستراتيجيات ومف ثـ اختيار كؿ‬ ‫بديؿ البديؿ األفضؿ الذي سيكوف أعمى األرقاـ في حالة األرباح‪ ،‬أما في حالة تقميؿ‬ ‫التكاليؼ فاف االختيار ألسوأ النتائج فاف البديؿ األمثؿ سيكوف اختيار أدنى رقـ فييا‬

‫صفذخ ‪ 545‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ تطبيقي(‪:)3‬‬ ‫اعتمد معيار والد الختيار اإلستراتيجية المثمى لحالة تعظيـ األرباح بقيمة أالؼ الدنانير‬ ‫‪N4‬‬

‫‪N3‬‬

‫‪N2‬‬

‫‪N1‬‬

‫‪S/N‬‬

‫‪35‬‬

‫‪40‬‬

‫‪18‬‬

‫‪15‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪17‬‬

‫‪28‬‬

‫‪19‬‬

‫‪26‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪26‬‬

‫‪41‬‬

‫‪36‬‬

‫‪40‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪19‬‬

‫‪32‬‬

‫‪22‬‬

‫‪28‬‬

‫‪S4‬‬

‫الحؿ‪ :‬نحدد أدنى القيـ في كؿ إستراتيجية مف االستراتيجيات ألنيا مصفوفة أرباح‬ ‫‪WALAD‬‬ ‫‪MAXIMIN‬‬ ‫والد التشاؤـ افضؿ االسوأ‬ ‫أقصى األدنى‬ ‫‪15‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪19‬‬

‫‪S/N‬‬

‫‪S1‬‬ ‫‪S2‬‬ ‫‪S3‬‬ ‫‪S4‬‬


‫اختيار اإلستراتيجية الثالثة‬

‫ألنيا أعمى رقـ‬

‫بقيمة ‪ 62‬ألؼ دينار‬ ‫صفذخ ‪ 546‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ تطبيقي(‪:)2‬‬ ‫اعتمد معيار والد الختيار اإلستراتيجية المثمى لحالة تقميؿ التكاليؼ بقيمة أالؼ الدنانير‬ ‫‪N4‬‬

‫‪N3‬‬

‫‪N2‬‬

‫‪N1‬‬

‫‪S/N‬‬

‫‪35‬‬

‫‪43‬‬

‫‪55‬‬

‫‪40‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪40‬‬

‫‪48‬‬

‫‪41‬‬

‫‪32‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪51‬‬

‫‪36‬‬

‫‪38‬‬

‫‪45‬‬

‫‪S3‬‬

‫الحؿ‪ :‬نحدد أسوء القيـ في كؿ إستراتيجية مف االستراتيجيات ألنيا تقميؿ التكاليؼ‬ ‫‪WALAD‬‬ ‫‪MAXIMIN‬‬ ‫والد التشاؤـ‬

‫‪S/N‬‬

‫افضؿ االسوأ أقصى األدنى‬ ‫‪55‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪48‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪51‬‬

‫‪S3‬‬


‫اختيار االستراتيجية الثانية‬ ‫ألنيا أقؿ تكمفة‬

‫بقيمة ‪ 84‬ألؼ دينار‬

‫صفذخ ‪ 547‬يٍ ‪555‬‬



‫معيار الواقعية معيار التفاؤؿ معيار ىيروتز ‪Horwize‬‬ ‫معيار التفاؤؿ(أفضؿ األفضؿ) ‪MAXIMAX‬‬ ‫يقوـ ىذا المعيار عمى افتراض التفاؤؿ في الحالة النفسية لمتخذ القرار واختيار البديؿ الذي‬ ‫يعطي أفضؿ النتائج ويسمى ىذا المعيار معيار الواقعية وينسب لمعالـ ‪loind horwiez‬‬ ‫ويقوـ ىذا المعيار عمى أساس األخذ بنظر االعتبار أسوأ النتائج وأفضميا في كؿ إستراتيجية‬ ‫وكذلؾ مراعاة الحالة النفسية لمتخذ القرار ومدى كونو متفائال أو متشائما حيث يتـ تحديد ما‬ ‫يسمى معامؿ التفاؤؿ وتتراوح قيمتيا بيف (‪)120‬‬ ‫ويتـ اختيار البديؿ األفضؿ وفؽ الخطوات اآلتية‪:‬‬ ‫‪ -0‬يتـ اختيار أفضؿ النتائج في كؿ إستراتيجية وكذلؾ أسوا النتائج فييا‬ ‫‪ -6‬تحديد معامؿ التفاؤؿ وسيكوف متمـ ىذا المعامؿ ىو معامؿ التشاؤـ فإذا كاف معامؿ‬ ‫التفاؤؿ = ‪ 122‬فاف معامؿ التشاؤـ = ‪ 128‬مثال اف كاف(‪ 123‬فاألخر يكوف ‪)127‬‬

‫‪ -3‬ضرب أفضؿ النتائج مف كؿ إستراتيجية في معامؿ التفاؤؿ وكذلؾ ضرب معامؿ التشاؤـ‬ ‫في أسوا النتائج وجمع القيمتيف‬

‫‪ -8‬اختيار أعمى األرقاـ في حالة تعظيـ األرباح واختيار اقؿ األرقاـ في حالة تقميؿ التكاليؼ‪.‬‬ ‫‪ -3‬يتـ اختيار أفضؿ النتائج في كؿ إستراتيجية وكذلؾ أسوا النتائج فييا‬

‫‪ -2‬تحديد معامؿ التفاؤؿ وسيكوف متمـ ىذا المعامؿ ىو معامؿ التشاؤـ فإذا كاف معامؿ‬ ‫التفاؤؿ = ‪ 122‬فاف معامؿ التشاؤـ = ‪128‬‬

‫‪ -7‬ضرب أفضؿ النتائج مف كؿ إستراتيجية في معامؿ التفاؤؿ وكذلؾ ضرب معامؿ التشاؤـ‬ ‫في أسوا النتائج وجمع القيمتيف‬

‫‪ -4‬اختيار أعمى األرقاـ في حالة تعظيـ األرباح واختيار اقؿ األرقاـ في حالة تقميؿ التكاليؼ‪.‬‬ ‫مالحظة‪ :‬اذا لـ يتـ ذكر معامؿ التفاؤؿ او التشاؤـ يتعامؿ عمى انو حالة التأكد التاـ‬ ‫صفذخ ‪ 548‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ تطبيقي(‪:)7‬‬ ‫توضح المصفوفة التالية العوائد المتوقعة مف تبني أي مف االستراتيجيات األربعة المتاحة أماـ‬ ‫متخذ القرار وحصوؿ أي حالة مف حاالت الطبيعة‪.‬‬ ‫المطموب‪ :‬اعتماد معيار التفاؤؿ لتحديد أفضؿ إستراتيجية بيدؼ تعظيـ الربح عمما أف معامؿ‬ ‫التفاؤؿ = ‪1.2‬‬ ‫‪N2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪N3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪N1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪S/N‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫‪S2‬‬ ‫‪S3‬‬ ‫‪S4‬‬

‫الحؿ‪ :‬تحدد أفضؿ النتائج في كؿ إستراتيجية وضربيا في معامؿ التفاؤؿ = ‪1.2‬‬ ‫وتحدد أسوا النتائج في كؿ إستراتيجية وضربيا في معامؿ التشاؤـ = ‪1.8‬‬ ‫‪RESULT‬‬ ‫‪7.6‬‬

‫‪WORST‬‬ ‫‪4 x 0.4‬‬

‫‪BEST‬‬ ‫‪10 x 0.6‬‬

‫‪S/N‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪10.4‬‬

‫‪8 x 0.4‬‬

‫‪12 x 0.6‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪9.2‬‬

‫‪5 x 0.4‬‬

‫‪12 x 0.6‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪18.4‬‬

‫‪16 x 0.4‬‬

‫‪20 x 0.6‬‬

‫‪S4‬‬


‫تبني البديؿ الرابع‬

‫واالستراتيجية الرابعة‬ ‫الذي سيحقؽ ‪ 04.8‬ألؼ دينار‬ ‫صفذخ ‪ 549‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ تطبيقي(‪:)4‬‬ ‫توضح المصفوفة التالية العوائد المتوقعة مف تبني أي مف االستراتيجيات األربعة المتاحة أماـ‬ ‫متخذ القرار وحصوؿ أي حالة مف حاالت الطبيعة‪.‬‬ ‫المطموب‪ :‬اعتماد معيار التفاؤؿ لتحديد أفضؿ إستراتيجية بيدؼ اقؿ التكاليؼ عمما اف معامؿ‬ ‫التفاؤؿ = ‪1.2‬‬ ‫‪N3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪N2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪N1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪S/N‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫‪S2‬‬ ‫‪S3‬‬ ‫‪S4‬‬

‫الحؿ‬ ‫‪RESULT‬‬ ‫‪6.4‬‬

‫‪BEST‬‬ ‫‪10 x 0.4‬‬

‫‪WORST‬‬ ‫‪4 x 0.6‬‬

‫‪S/N‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪9.6‬‬

‫‪12 x 0.4‬‬

‫‪8 x 0.6‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪7.8‬‬

‫‪12 x 0.4‬‬

‫‪5 x 0.6‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪17.6‬‬

‫‪20 x 0.4‬‬

‫‪16 x 0.6‬‬

‫‪S4‬‬

‫القرار‪:‬‬ ‫تبني االستراتيجية األولى‬ ‫ألنيا تمثؿ اقؿ تكمفة‬ ‫بقيمة ‪ 228‬ألؼ دينار‬

‫صفذخ ‪ 551‬يٍ ‪555‬‬



‫معيار البالس (تساوي االحتماالت) المتوسط الحسابي ‪LAPLACE‬‬

‫يقوـ ىذا المعيار عمى أساس الفمسفة التي تفترض انو طالما ال يمكف معرفة احتماؿ حصوؿ‬ ‫كؿ حالة مف حاالت الطبيعة فانو يجب معاممتيا بالتساوي مف حيث احتماؿ حدوثيا لذا‬ ‫تفترض إف كؿ الحاالت ليا نفس االحتماؿ بإمكانية الحدوث فاف كاف ىناؾ خمسة حاالت‬

‫طبيعة متوقعة فاف احتماؿ حصوؿ كؿ منيا ‪ ، 1.6‬ويتـ اتخاذ القرار ىنا عف طريؽ جمع القيـ‬ ‫الخاصة بكؿ إستراتيجية في ظؿ حاالت الطبيعة المختمفة وقسمتيا عمى عدد حاالت الطبيعة‬ ‫المختمفة وقسمتيا عمى عدد حاالت الطبيعة ثـ نختار أعمى األرقاـ إذا كاف اليدؼ تعظيـ‬ ‫الربح واختيار اقؿ رقـ في حالة تقميؿ التكاليؼ‬

‫ويعتبر معيار البالس ىو تساوي احتماالت حدوث حاالت الطبيعة في حالة عدـ التأكد كؿ‬ ‫معيار عمى نقيض اآلخر ويتـ تحديد القيمة المتوقعة لكؿ بديؿ عف طريؽ ضرب نتيجة البديؿ‬ ‫مع احتماؿ حدوث حالة الطبيعة واختيار البديؿ الذي يعطي أعمى نتيجة‬ ‫ويعتبر حؿ األمثمة عمى ىذا المعيار بنفس الطريقة وىي ايجاد المتوسط الحسابي لكؿ‬

‫استراتيجية‬

‫اذا كانت مصفوفة عائد يتـ اختيار اعمى قيمة‬

‫اذا كانت مصفوفة تكاليؼ يتـ اختيار اقؿ رقـ‬

‫صفذخ ‪ 551‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ تطبيقي(‪:)9‬‬ ‫مصفوفة القرار التالية الستثمار مبمغ معيف وىناؾ عدة بدائؿ وظروؼ خارجية‬ ‫المطموب‪ :‬تحديد البديؿ األفضؿ لالستثمار باستخداـ معيار البالس‪.‬‬ ‫‪N3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪N4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪N2‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪N1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪S/N‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫‪S2‬‬ ‫‪S3‬‬ ‫‪S4‬‬

‫الحؿ‪:‬‬ ‫‪RESULT‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10.5‬‬ ‫‪9.5‬‬ ‫‪14‬‬

‫المجموع ÷ العدد‬ ‫‪(8 + 14+ 10 + 12) ÷ 4‬‬ ‫‪(6 + 12 + 16 + 8) ÷ 4‬‬ ‫‪(10 + 9 + 11 + 8) ÷ 4‬‬ ‫‪(16 + 13 + 15 + 12) ÷4‬‬


‫سيتـ تبني االستراتيجية الرابعة‬ ‫ألعمى أرباح‬

‫بقيمة ‪ 08‬ألؼ دينار‬ ‫لو اختيار االستراتيجية الثالثة‬ ‫ألقؿ التكاليؼ‬ ‫بقيمة ‪ 9.3‬الؼ دينار‬ ‫صفذخ ‪ 555‬يٍ ‪555‬‬

‫‪S/N‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫‪S2‬‬ ‫‪S3‬‬ ‫‪S4‬‬



‫معيار الندـ( سافاج أقؿ ندـ) ‪MINIMAX REGRET SAVAGE‬‬ ‫الفرؽ بيف العائد الذي حصؿ عميو متخذ القرار وبيف ما يجب أف يحصؿ عميو لو انو اتخذ أو‬ ‫اختار البديؿ األفضؿ ويقوـ عمى الندـ التي تصيب حالة متخذ القرار في حالة عدـ اتخاذ‬ ‫القرار السميـ وىي بطرح كؿ أرقاـ حالة الطبيعة مف أفضؿ نتيجة ثـ تحديد أعمى ندـ في كؿ‬ ‫بديؿ واختيار أفضؿ األسوأ أي اقؿ رقـ ناتج‬ ‫مثاؿ تطبيقي(‪:)01‬‬ ‫اعتمد معيار الندـ الختيار البديؿ األفضؿ في مصفوفة األرباح التالية‪:‬‬ ‫‪N3‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪N2‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪N1‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪S/N‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪14‬‬

‫‪10‬‬

‫‪17‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪16‬‬

‫‪22‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪14‬‬

‫‪14‬‬

‫‪14‬‬

‫‪S4‬‬

‫الحؿ‪ :‬بما أنيا مصفوفة أرباح فانو يتـ تحديد أعمى األرقاـ في كؿ عمود مف األعمدة وطرح‬ ‫باقي أرقاـ العمود منو‪.‬‬ ‫‪N3‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪N2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪N1‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪S/N‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪8‬‬

‫‪S4‬‬

‫صفذخ ‪ 553‬يٍ ‪555‬‬



‫تحديد أعمى أرقاـ في كؿ إستراتيجية والتي تمثؿ أعمى ندـ واإلستراتيجية المثمى التي تقابؿ‬ ‫اقؿ ندـ‬ ‫‪SAVAGE‬‬ ‫‪MINIMAX‬‬ ‫‪REGRET‬‬ ‫الندـ‬

‫‪S/N‬‬

‫سافاج‬ ‫‪10‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪ 5‬اقؿ ندـ‬

‫‪S3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪S4‬‬

‫القرار‪ :‬تبني االستراتيجية الثالثة‬ ‫ألنيا تمثؿ اقؿ ندـ‬ ‫بقيمة ‪ 3‬أالؼ دينار‬

‫صفذخ ‪ 554‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ تطبيقي(‪:)11‬‬ ‫اعتمد معيار الندـ الختيار البديؿ األفضؿ في مصفوفة التكاليؼ التالية‪:‬‬ ‫‪N3‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪N2‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪N1‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪S/N‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪14‬‬

‫‪10‬‬

‫‪17‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪16‬‬

‫‪22‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪14‬‬

‫‪14‬‬

‫‪14‬‬

‫‪S4‬‬

‫الحؿ‪ :‬بما أنيا مصفوفة تكاليؼ فانو يتـ تحديد أقؿ األرقاـ في كؿ عمود مف األعمدة وطرح‬ ‫باقي أرقاـ العمود منو‪.‬‬ ‫‪N3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪N2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪N1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪S/N‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪6‬‬

‫‪10‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S4‬‬

‫صفذخ ‪ 555‬يٍ ‪555‬‬



‫تحديد أعمى أرقاـ في كؿ إستراتيجية والتي تمثؿ أقؿ ندـ واإلستراتيجية المثمى التي تقابؿ‬ ‫اقؿ ندـ‬ ‫‪SAVAGE‬‬ ‫‪MINIMAX‬‬ ‫‪REGRET‬‬ ‫الندـ‬

‫‪S/N‬‬

‫سافاج‬ ‫‪8‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪4‬اقؿ ندـ‬

‫‪S4‬‬


‫تبني االستراتيجية الرابعة‬ ‫ألنيا تمثؿ اقؿ ندـ‬

‫بقيمة ‪ 8‬أالؼ دينار‬

‫صفذخ ‪ 556‬يٍ ‪555‬‬



‫ممخص شامؿ لممعايير االربعة‪:‬‬ ‫المعيار‬

‫‪MAX‬‬ ‫االيراد‬

‫‪MIN‬‬ ‫التكاليؼ‬

‫اصغر رقـ في كؿ صؼ لكؿ‬

‫اكبر قيمة في كؿ صؼ لكؿ‬



‫مصفوفة‬

‫مصفوفة‬

‫أقصى األدنى‬

‫اختيار اعمى رقـ في العمود‬

‫اختيار اقؿ رقـ في العمود‬

‫معيار الواقعية‬

‫ضرب اكبر رقـ في معامؿ‬

‫ضرب اكبر رقـ في معامؿ‬

‫معيار التفاؤؿ‬

‫التفاؤؿ ‪ +‬ضرب اصغر رقـ‬

‫التشاؤـ ‪ +‬ضرب اصغر رقـ‬

‫معيار ىيروتز‬

‫في معامؿ التشاؤـ لكؿ صؼ‬

‫في معامؿ التفاؤؿ لكؿ صؼ‬

‫مصفوفة‬

‫مصفوفة‬



‫معيار البالس‬

‫المجموع كؿ االرقاـ في‬

‫المجموع كؿ االرقاـ في‬

‫تساوي االحتماالت‬

‫الصؼ ÷ عددىـ‬

‫الصؼ ÷ عددىـ‬

‫المتوسط الحسابي‬

‫مصفوفة‬

‫مصفوفة‬

‫‪LAPLACE‬‬



‫‪WALAD‬‬ ‫‪MAXIMIN‬‬ ‫والد‬ ‫التشاؤـ‬

‫افضؿ االسوأ‬

‫‪Horwize‬‬ ‫(أفضؿ األفضؿ)‬ ‫‪MAXIMAX‬‬

‫صفذخ ‪ 557‬يٍ ‪555‬‬


‫‪SAVAGE‬‬ ‫‪MINIMAX‬‬ ‫‪REGRET‬‬ ‫الندـ‬ ‫سافاج‬


‫طرح اكبر رقـ في كؿ عمود‬

‫طرح اصغر رقـ في كؿ عمود‬

‫مصفوفو تكمفة الفرصة‬

‫مصفوفو تكمفة الفرصة‬

‫الضائعة او تكمفة الفرصة‬

‫الضائعة او تكمفة الفرصة‬

‫البديمة‬

‫البديمة‬

‫اختيار اكبر رقـ مف كؿ صؼ‬

‫اختيار اكبر رقـ مف كؿ صؼ‬

‫مصفوفو سافاج‬

‫مصفوفو سافاج‬

‫اختيار اقؿ ندـ‬

‫اختيار اقؿ ندـ‬

‫صفذخ ‪ 558‬يٍ ‪555‬‬



‫األمثمة الشاممة‪:‬‬

‫مثاؿ تطبيقي (‪ :)02‬بدوف ذكر معامؿ التفاؤؿ يتعامؿ عمى انو حالة التأكد التاـ‬ ‫اإليراد السنوي لمصنع العريس لصناعة البوظة والبسكويت يتأثر بحالة االقتصاد العامة لقطاع‬

‫غزة اآلف ما تمثمو مف قوة أو الضعؼ في الطمب إما (طمب عادي‪ ،‬أو طمب مرتفع)‬ ‫الحالة األولى‬

‫الحالة الثانية‬

‫البديؿ األوؿ‬

‫‪20000‬‬

‫‪24000‬‬

‫البديؿ الثاني‬

‫‪25000‬‬

‫‪16000‬‬

‫البديؿ الثالث‬

‫‪35000‬‬

‫‪12000‬‬

‫طمب عادي‬

‫المطموب‪:‬‬

‫ا‪ -‬حدد كال مف‪:‬‬ ‫المعاير االربعة‪:‬‬

‫معيار التفاؤؿ(أفضؿ األفضؿ) ‪MAXIMAX‬‬ ‫معيار التشاؤـ (أفضؿ األسوأ) ‪MAXIMIN‬‬

‫معيار البالس (تساوي االحتماالت) ‪LAPLACE‬‬

‫معيار الندـ( أقؿ ندـ) ‪MINIMAX REGRET‬‬

‫صفذخ ‪ 559‬يٍ ‪555‬‬

‫طمب مرتفع‬



‫معيار التفاؤؿ(أفضؿ األفضؿ) ‪MAXIMAX‬‬ ‫الحالة األولى‬





‫‪20000‬‬

‫‪24000‬‬

‫‪24000‬‬


‫‪25000‬‬

‫‪16000‬‬

‫‪25000‬‬


‫‪35000‬‬

‫‪12000‬‬

‫‪35000‬‬

‫القرار‬

‫‪MAXIMAX‬‬

‫‪35000‬‬


‫معيار التشاؤـ (أفضؿ األسوأ) ‪MAXIMIN‬‬ ‫الحالة األولى‬





‫‪20000‬‬

‫‪24000‬‬

‫‪20000‬‬


‫‪25000‬‬

‫‪16000‬‬

‫‪16000‬‬


‫‪35000‬‬

‫‪12000‬‬

‫‪12000‬‬

‫القرار‬

‫‪MAXIMIN‬‬

‫‪20000‬‬

‫البديؿ االوؿ‬

‫صفذخ ‪ 561‬يٍ ‪555‬‬



‫معيار البالس (تساوي االحتماالت) ‪LAPLACE‬‬ ‫‪LAPLACE‬‬

‫الحالة األولى‬





‫‪20000‬‬

‫‪24000‬‬

‫‪22000‬‬


‫‪25000‬‬

‫‪16000‬‬

‫‪20500‬‬


‫‪35000‬‬

‫‪12000‬‬

‫‪23500‬‬ ‫‪23500‬‬

‫القرار‬


‫معيار الندـ( أقؿ ندـ) ‪MINIMAX REGRET‬‬ ‫الحالة األولى‬



‫‪OC‬‬


‫‪MINIMAX‬‬


‫‪20000‬‬

‫‪24000‬‬

‫‪15000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪15000‬‬

‫البديؿ‬

‫‪25000‬‬

‫‪16000‬‬

‫‪10000‬‬

‫‪8000‬‬

‫‪10000‬‬

‫‪35000‬‬

‫‪12000‬‬

‫‪0‬‬

‫‪12000‬‬

‫‪12000‬‬

‫الثاني‬ ‫البديؿ‬

‫الثالث‬

‫‪10000‬‬

‫القرار‬


‫صفذخ ‪ 561‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ تطبيقي(‪:)03‬‬ ‫التكاليؼ السنوية لمصنع العريس لصناعة البوظة والبسكويت يتأثر بحالة االقتصاد العامة‬ ‫لقطاع غزة اآلف ما تمثمو مف قوة أو الضعؼ في الطمب إما (طمب عادي‪ ،‬أو طمب مرتفع)‬ ‫المطموب‪ :‬حدد كال مف‪ :‬المعايير األربعة ‪:‬‬ ‫الحالة الثانية‬

‫الحاالت \ البدائؿ‬


‫الطمب المرتفع‬ ‫‪24000‬‬

‫الطمب العادي‬ ‫‪10000‬‬

‫‪20000‬‬

‫‪15000‬‬


‫‪4000‬‬

‫‪20000‬‬



‫الحؿ‪:‬‬ ‫‪MAXIMAX‬‬




‫‪10000‬‬



‫‪15000‬‬

‫‪20000‬‬

‫‪15000‬‬


‫‪4000‬‬

‫‪4000‬‬

‫‪20000‬‬


‫‪4000‬‬

‫البديؿ الثالث‬ ‫صفذخ ‪ 565‬يٍ ‪555‬‬


‫القرار‬


‫‪MAXIMIN‬‬





‫‪240000‬‬



‫‪20000‬‬

‫‪20000‬‬

‫‪15000‬‬


‫‪20000‬‬

‫‪4000‬‬

‫‪20000‬‬


‫‪20000‬‬

‫‪LAPLACE‬‬

‫البديؿ الثاني والثالث‬




‫القرار‬


‫‪17000‬‬



‫‪17500‬‬

‫‪20000‬‬

‫‪15000‬‬


‫‪12000‬‬

‫‪4000‬‬

‫‪20000‬‬


‫‪12000‬‬


‫صفذخ ‪ 563‬يٍ ‪555‬‬


‫القرار‬



‫‪SAVAGE‬‬ ‫‪MIN‬‬




‫‪20000‬‬

‫‪0‬‬



‫‪16000‬‬

‫‪5000‬‬

‫‪20000‬‬

‫‪15000‬‬


‫‪0‬‬

‫‪10000‬‬

‫‪4000‬‬

‫‪20000‬‬


‫‪SAVAGE‬‬ ‫‪MIN‬‬ ‫‪20000‬‬

‫الحاالت \ البدائؿ‬ ‫البديؿ األوؿ‬

‫‪16000‬‬


‫‪10000‬‬



‫القرار‬

‫اقؿ ندـ‬

‫‪ 01111‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 564‬يٍ ‪555‬‬




‫مالحظات عامة‪:‬‬ ‫المعايير األربعة تعطي أربعة نتائج مختمفة وال تجتمع عمى بديؿ واحد‬ ‫ويعتمد ذلؾ عمى متخذ الق ارر‪ ،‬ومدى تفاؤلو واقدامو عمى تحمؿ المخاطرة‪ ،‬أو تشاؤمو وعدـ‬ ‫محبتو عمى اإلقداـ وتحمؿ المخاطرة وبالتالي يتحمؿ طريقة أفضؿ األسوأ‬ ‫مثاؿ تطبيقي(‪ :)08‬سؤاؿ امتحاف‪6100‬‬ ‫اإليراد السنوي لشركة السقا والخضري يتأثر بحالة االقتصاد العامة لقطاع غزة اآلف ما تمثمو‬ ‫مف قوة أو الضعؼ في الطمب‪:‬‬ ‫المطموب‪ :‬حدد البديؿ األفضؿ طبقا لممعيار المطموب؟‬ ‫معيار والد‬ ‫معيار البالس‬ ‫معيار سافاج في حالة تعظيـ‬ ‫حاالخ انحانح انحانح انحانح‬ ‫انطثُؼح األونً انثاَُح انثانثح‬ ‫انثذَم‬ ‫األول‬ ‫انثذَم‬ ‫انثاٍَ‬ ‫انثذَم‬ ‫انثانث‬ ‫انثذَم‬ ‫انشاتغ‬

‫انحانح‬ ‫انشاتؼح‬

‫‪WALAD‬‬

‫‪SAVAGE LAPLACE‬‬ ‫‪MAX‬‬

‫‪20‬‬

‫‪15‬‬

‫‪28‬‬

‫‪30‬‬

‫‪15‬‬

‫‪23.5‬‬

‫‪20‬‬

‫‪35‬‬

‫‪30‬‬

‫‪36‬‬

‫‪37‬‬

‫‪30‬‬

‫‪34.5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪15‬‬

‫‪20‬‬

‫‪25‬‬

‫‪32‬‬

‫‪15‬‬

‫‪23‬‬

‫‪20‬‬

‫‪40‬‬

‫‪35‬‬

‫‪20‬‬

‫‪20‬‬

‫‪20‬‬

‫‪28.75‬‬

‫‪17‬‬

‫‪30‬‬ ‫انثاٍَ‬

‫‪34.5‬‬ ‫انثاٍَ‬

‫‪5‬‬ ‫انثاٍَ‬

‫انمشاس‬

‫صفذخ ‪ 565‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ شامؿ(‪ :)03‬سؤاؿ االمتحاف‪6106‬‬

‫انركا نُف انغُىَح نششكح انُهضح نصُاػح انثاطىٌ فٍ لطاع غضج اٌِ يا ذًثهه يٍ لىج‬ ‫أو انضؼف فٍ انطهة‪:‬‬ ‫ػهًا اٌ يؼُاس انرفاؤل ‪ 1.7‬ويؼُاس انرشاؤو ‪1.3‬‬ ‫المطموب‪ :‬حدد البديؿ األفضؿ طبقا لممعيار المطموب؟‬

‫معيار افضؿ االفضؿ‬ ‫معيار سافاج في حالة تقميؿ‬ ‫معيار افضؿ االسوء‬ ‫حاالخ انحانح انحانح انحانح انحانح‬ ‫انطثُؼح األونً انثاَُح انثانثح انشاتؼح‬ ‫انثذَم‬ ‫األول‬ ‫انثذَم‬ ‫انثاٍَ‬ ‫انثذَم‬ ‫انثانث‬ ‫انثذَم‬ ‫انشاتغ‬

‫‪MAXIMIN MINIMAX MAXIMAX‬‬

‫‪15‬‬

‫‪55‬‬

‫‪25‬‬

‫‪35‬‬

‫‪27‬‬

‫‪50‬‬

‫‪55‬‬

‫‪25‬‬

‫‪45‬‬

‫‪35‬‬

‫‪55‬‬

‫‪34‬‬

‫‪40‬‬

‫‪55‬‬

‫‪35‬‬

‫‪5‬‬

‫‪35‬‬

‫‪25‬‬

‫‪14‬‬

‫‪20‬‬

‫‪35‬‬

‫‪45‬‬

‫‪25‬‬

‫‪65‬‬

‫‪45‬‬

‫‪37‬‬

‫‪40‬‬

‫‪65‬‬

‫‪14‬‬ ‫انثانث‬



‫انمشاس‬

‫صفذخ ‪ 566‬يٍ ‪555‬‬



‫شجرة القرارات ‪Decision Tree‬‬ ‫تعريؼ شجرة الق اررات‪:‬‬

‫ىي عبارة عف تمثيؿ أو رسـ ىندسي لعممية اتخاذ الق اررات بشكؿ يسيؿ معو تحديد مراحؿ اتخاذ‬

‫القرار‪.‬‬

‫استخداـ شجرة الق اررات‪:‬‬

‫التخاذ قرار بشأف المشاكؿ العقدة أو كبيرة الحجـ أو متعددة المراحؿ‪.‬‬ ‫ما ىي حاالت استخداـ شجرة الق اررات؟‬ ‫‪ .1‬في حالة التأكد التاـ‪.‬‬ ‫‪ .5‬في حالة عدـ التأكد‪.‬‬

‫مالحظة‪:‬‬

‫تعتبر شجرة الق اررات مخطط يمكف رسمو لتوضيح كيفية اتخاذ القرار عف طريؽ تقسيـ وتقييـ‬

‫كيفية اتخاذ القرار إلى مجموعة مف الخطوات التي يمكف رسميا وتمثيميا في مخطط سيمي‪.‬‬ ‫محتويات شكؿ رسـ شجرة القرارات‪:‬‬

‫‪ .1‬تحتوي عمى نقطة قرار بداية القرار‬ ‫‪ .5‬أسيـ لمبدائؿ‬ ‫‪ .3‬عقد لمتفرع لمبديؿ إلى حاالت‬

‫صفذخ ‪ 567‬يٍ ‪555‬‬



‫ح‪1‬‬ ‫ح‪5‬‬ ‫ح‪3‬‬

‫ح‬

‫ب‪1‬‬

‫ح‬

‫ب‪6‬‬

‫ح‬

‫ب‪3‬‬

‫انثذَم األول‬

‫ح‪1‬‬ ‫ح‪5‬‬

‫انثذَم انثاٍَ‬

‫ح‪3‬‬ ‫انثذَم انثانث‬

‫ح‪1‬‬ ‫ح‪5‬‬ ‫ح‪3‬‬

‫صفذخ ‪ 568‬يٍ ‪555‬‬

‫َمطح‬ ‫انمشاس‬ ‫انثذاَح‬



‫الحالة األولى‪ :‬التأكد التاـ‬


‫يصنع مصنع العودة ثالثة أنواع مف المنتجات (بسكويت‪ ،‬شوكالتو‪ ،‬ايس كريـ) وتمثؿ ثالث‬

‫حاالت مف حاالت الطبيعة لتوفر ثالث بدائؿ‪.‬‬ ‫البدائؿ \ الحاالت‬



‫الحالة الثالثة‬


‫‪15‬‬

‫‪12‬‬

‫‪18‬‬


‫‪20‬‬

‫‪30‬‬

‫‪18‬‬


‫‪10‬‬

‫‪15‬‬

‫‪6‬‬

‫المطموب‪ :‬ارسـ شجرة القرارات؟ حدد أعمى عائد ممكف ليحقؽ أعمى ربح ممكف بآالؼ‬ ‫الدنانير؟‬ ‫‪15‬‬

‫ح‪1‬‬

‫‪12‬‬

‫ح‪5‬‬

‫‪18‬‬

‫ح‪3‬‬

‫‪20‬‬

‫ح‪1‬‬

‫‪30‬‬

‫ح‪5‬‬

‫‪18‬‬

‫ح‪3‬‬

‫‪10‬‬

‫ح‪1‬‬

‫‪15‬‬

‫ح‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫ح‪ 3‬صفذخ ‪ 569‬يٍ ‪555‬‬

‫انجذٌم األول‬

‫انجذٌم انضبًَ‬

‫انجذٌم انضبنش‬



‫‪18‬‬

‫ح‪3‬‬

‫ة‪1‬‬

‫‪30‬‬

‫ح‪5‬‬

‫ة‪5‬‬

‫‪15‬‬

‫ح‪5‬‬

‫ة‪3‬‬


‫القرار ىو‪ :‬اختيار البديؿ الثاني‪ ،‬الحالة الثانية‪ ،‬ليحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 31‬ألؼ دينار‬

‫أردني‪.‬‬

‫صفذخ ‪ 571‬يٍ ‪555‬‬




‫ترغب شركة ىندسية في إنشاء أربعة مشاريع وتمثؿ أربعة حاالت مف حاالت الطبيعة لتوفر‬

‫أربعة بدائؿ‪.‬‬

‫البدائؿ \‬




‫الحالة الرابعة‬


‫‪2000‬‬

‫‪5000‬‬

‫‪3000‬‬

‫‪7000‬‬


‫‪1000‬‬

‫‪1500‬‬

‫‪3000‬‬

‫‪4000‬‬


‫‪2000‬‬

‫‪3500‬‬

‫‪3000‬‬

‫‪4500‬‬

‫البديؿ الرابع‬

‫‪7000‬‬

‫‪5000‬‬

‫‪3000‬‬

‫‪6500‬‬



‫ارسـ شجرة القرارات؟‬

‫حدد أفضؿ مشروع معتمداً عمى تحقيؽ اقؿ تكمفة ممكنة بآالؼ الدنانير؟‬

‫صفذخ ‪ 571‬يٍ ‪555‬‬


‫‪2000‬‬ ‫‪5000‬‬ ‫‪3000‬‬ ‫‪7000‬‬

‫ح‪1‬‬ ‫ح‪5‬‬ ‫ح‪3‬‬ ‫ح‪4‬‬

‫‪1000‬‬ ‫‪1500‬‬ ‫‪3000‬‬ ‫‪4000‬‬

‫ح‪1‬‬ ‫ح‪5‬‬ ‫ح‪3‬‬ ‫ح‪4‬‬

‫‪2000‬‬ ‫‪3500‬‬ ‫‪3000‬‬ ‫‪4500‬‬

‫ح‪1‬‬ ‫ح‪5‬‬ ‫ح‪3‬‬ ‫ح‪4‬‬

‫‪7000‬‬ ‫‪5000‬‬ ‫‪3000‬‬ ‫‪6500‬‬

‫ح‪1‬‬ ‫ح‪5‬‬ ‫ح‪3‬‬ ‫ح‪4‬‬






‫انجذٌم انشاثغ‬

‫صفذخ ‪ 575‬يٍ ‪555‬‬


‫‪2000‬‬

‫ح‪1‬‬

‫ة‪1‬‬

‫‪1000‬‬

‫ح‪1‬‬

‫ة‪5‬‬

‫‪2000‬‬

‫ح‪5‬‬

‫ة‪3‬‬

‫‪3000‬‬

‫ح‪3‬‬

‫ة‪4‬‬


‫القرار ىو‪ :‬اختيار البديؿ الثاني‪ ،‬الحالة األولى‪ ،‬ليحقؽ أقؿ تكمفة ممكنة بمقدار ‪0111111‬‬ ‫دينار أردني‪.‬‬

‫(مميوف دينار)‬

‫مثاؿ تطبيقي(‪:)3‬‬ ‫ترغب شركة ىندسية في إنشاء أربعة مشاريع وتمثؿ أربعة حاالت مف حاالت الطبيعة لتوفر‬

‫أربعة بدائؿ‪.‬‬

‫البدائؿ \ الحاالت‬






‫‪2000‬‬

‫‪5000‬‬

‫‪3000‬‬

‫‪7000‬‬


‫‪1000‬‬

‫‪1500‬‬

‫‪3000‬‬

‫‪4000‬‬


‫‪2000‬‬

‫‪3500‬‬

‫‪3000‬‬

‫‪4500‬‬


‫‪7500‬‬

‫‪5000‬‬

‫‪3000‬‬

‫‪6500‬‬

‫المطموب‪ :‬ارسـ شجرة القرارات؟ حدد أفضؿ مشروع معتمداً عمى تحقيؽ أعمى عائد ممكف‬

‫بآالؼ الدنانير؟‬

‫صفذخ ‪ 573‬يٍ ‪555‬‬


‫‪2000‬‬ ‫‪5000‬‬ ‫‪3000‬‬ ‫‪7000‬‬

‫ح‪1‬‬ ‫ح‪5‬‬ ‫ح‪3‬‬ ‫ح‪4‬‬

‫‪1000‬‬ ‫‪1500‬‬ ‫‪3000‬‬ ‫‪4000‬‬

‫ح‪1‬‬ ‫ح‪5‬‬ ‫ح‪3‬‬ ‫ح‪4‬‬

‫‪2000‬‬ ‫‪3500‬‬ ‫‪3000‬‬ ‫‪4500‬‬

‫ح‪1‬‬ ‫ح‪5‬‬ ‫ح‪3‬‬ ‫ح‪4‬‬

‫‪7500‬‬ ‫‪5000‬‬ ‫‪3000‬‬ ‫‪6500‬‬

‫ح‪1‬‬ ‫ح‪5‬‬ ‫ح‪3‬‬ ‫ح‪4‬‬






‫انجذٌم انشاثغ‬

‫صفذخ ‪ 574‬يٍ ‪555‬‬



‫‪7000‬‬

‫ح‪4‬‬

‫ة‪1‬‬

‫‪4000‬‬

‫ح‪4‬‬

‫ة‪5‬‬

‫‪4500‬‬

‫ح‪4‬‬

‫ة‪3‬‬

‫‪7500‬‬

‫ح‪1‬‬

‫ة‪4‬‬

‫القرار ىو‪ :‬اختيار البديؿ الرابع‪ ،‬الحالة األولى‪ ،‬ليحقؽ أقؿ تكمفة ممكنة بمقدار ‪7311111‬‬

‫دينار أردني‪.‬‬


‫يرغب مصنعيف فتح فرعيف جديديف في منطقتيف مختمفتيف في جميورية مصر العربية وىناؾ‬

‫تـ دراسة الجدوى وخمصت باالتي‪:‬‬ ‫البدائؿ \‬

‫احتماؿ الحدوث‬

‫نمو‬

‫‪10%‬‬


‫أرباح وخسائر المشروع‬ ‫‪A‬األوؿ‬ ‫‪50‬‬

‫أرباح وخسائر المشروع‬ ‫الثاني ‪B‬‬ ‫‪100‬‬

‫اقتصادي‬ ‫ركود‬

‫‪25%‬‬

‫‪30‬‬

‫‪60‬‬

‫اقتصادي‬ ‫تضخـ‬

‫‪40%‬‬

‫‪-10‬‬

‫‪-40‬‬

‫المطموب‪ :‬ارسـ شجرة القرارات؟ حدد أفضؿ مشروع معتمداً عمى تحقيؽ أعمى ربح ممكف‬

‫بالمالييف الدنانير؟‬

‫صفذخ ‪ 575‬يٍ ‪555‬‬


‫‪5‬‬

‫‪10%‬‬

‫‪ 50‬ح‪1‬‬

‫‪7.5‬‬

‫‪25%‬‬

‫‪ 30‬ح‪5‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪40%‬‬

‫‪ -10‬ح‪3‬‬


‫انًششوع األول‬

‫‪= 8.5‬‬

‫َمطح‬ ‫انمشاس‬ ‫‪10‬‬

‫‪10%‬‬

‫‪100‬‬

‫ح‪1‬‬

‫‪15‬‬

‫‪25%‬‬

‫‪60‬‬

‫ح‪5‬‬

‫‪-16‬‬

‫‪40%‬‬

‫‪-40‬‬

‫ح‪3‬‬

‫انًششوع انضبًَ‬

‫انثذاَح‬

‫‪=9‬‬

‫القرار ىو‪ :‬اختيار البديؿ المشروع الثاني‪ ،‬ليحقؽ أعمى ربح ممكف بمقدار ‪ 9‬مميوف دينار‬ ‫أردني‪.‬‬

‫صفذخ ‪ 576‬يٍ ‪555‬‬




‫السؤاؿ االوؿ‪:‬‬

‫اإليراد السنوي لشركة السقا والخضري يتأثر بحالة االقتصاد العامة لقطاع غزة اآلف ما تمثمو‬

‫مف قوة أو الضعؼ في الطمب‪:‬‬ ‫الحالة األولى‬





‫‪22‬‬

‫‪18‬‬

‫‪25‬‬

‫‪42‬‬


‫‪37‬‬

‫‪39‬‬

‫‪36‬‬

‫‪38‬‬


‫‪19‬‬

‫‪27‬‬

‫‪37‬‬

‫‪44‬‬


‫‪52‬‬

‫‪42‬‬

‫‪23‬‬

‫‪17‬‬

‫المطموب‪:‬‬ ‫ا‪ -‬حدد كال مف‪:‬‬

‫معيار التفاؤؿ(أفضؿ األفضؿ) ‪MAXIMAX‬‬ ‫الحالة األولى‬





‫‪22‬‬

‫‪18‬‬

‫‪25‬‬

‫‪42‬‬


‫‪37‬‬

‫‪39‬‬

‫‪36‬‬

‫‪38‬‬


‫‪19‬‬

‫‪27‬‬

‫‪37‬‬

‫‪44‬‬


‫‪52‬‬

‫‪42‬‬

‫‪23‬‬

‫‪17‬‬

‫صفذخ ‪ 577‬يٍ ‪555‬‬



‫معيار التشاؤـ (أفضؿ األسوأ) ‪MAXIMIN‬‬ ‫الحالة األولى‬



‫الحالة ال اربعة‬


‫‪22‬‬

‫‪18‬‬

‫‪25‬‬

‫‪42‬‬


‫‪37‬‬

‫‪39‬‬

‫‪36‬‬

‫‪38‬‬


‫‪19‬‬

‫‪27‬‬

‫‪37‬‬

‫‪44‬‬


‫‪52‬‬

‫‪42‬‬

‫‪23‬‬

‫‪17‬‬

‫معيار البالس (تساوي االحتماالت) ‪LAPLACE‬‬ ‫الحالة األولى‬





‫‪22‬‬

‫‪18‬‬

‫‪25‬‬

‫‪42‬‬


‫‪37‬‬

‫‪39‬‬

‫‪36‬‬

‫‪38‬‬


‫‪19‬‬

‫‪27‬‬

‫‪37‬‬

‫‪44‬‬


‫‪52‬‬

‫‪42‬‬

‫‪23‬‬

‫‪17‬‬

‫معيار الندـ( أقؿ ندـ) ‪MINIMAX REGRET‬‬ ‫الحالة الثالثة‬





‫‪22‬‬

‫‪18‬‬

‫‪25‬‬

‫‪42‬‬


‫‪37‬‬

‫‪39‬‬

‫‪36‬‬

‫‪38‬‬


‫‪19‬‬

‫‪27‬‬

‫‪37‬‬

‫‪44‬‬


‫‪52‬‬

‫‪42‬‬

‫‪23‬‬

‫‪17‬‬

‫صفذخ ‪ 578‬يٍ ‪555‬‬

‫المتوسط‬




‫قرر مصنع سراي التركي فتح لو مصنع كفرع جديد دولي في قطاع غزة وتوفرت لممصنع ىذه‬

‫البدائؿ‪:‬‬





‫‪30‬‬

‫‪10‬‬

‫‪15‬‬


‫‪20‬‬

‫‪25‬‬

‫‪30‬‬


‫‪5‬‬

‫‪40‬‬

‫‪10‬‬

‫مستوى الطمب‬

‫‪%30‬‬

‫‪%20‬‬

‫‪%50‬‬


‫ا‪ -‬ارسـ شجرة الق اررات؟‬

‫‪ -2‬تحديد البديؿ األفضؿ الذي يحقؽ أفضؿ عائد لممصنع بالمالييف األردنية؟‬

‫صفذخ ‪ 579‬يٍ ‪555‬‬




‫ترغب جامعة األقصى طرح عطاء كافتريا الطالب والطالبات إلى مناقصة لمطاعـ مدينة غزة‬

‫تقدـ ليا ثالثة مطاعـ كالتالي‪:‬‬




‫البديؿ األوؿ مطعـ بالميرا‬

‫‪20‬‬

‫‪30‬‬

‫‪10‬‬

‫البديؿ الثاني مطعـ التايالندي‬

‫‪30‬‬

‫‪20‬‬

‫‪40‬‬

‫البديؿ الثالث مطعـ معتوؽ‬

‫‪50‬‬

‫‪40‬‬

‫‪30‬‬

‫المطموب‬

‫ا‪ -‬ارسـ شجرة الق اررات؟‬ ‫‪ -2‬تحديد البديؿ األفضؿ الذي يحقؽ أفضؿ عائد لمجامعة باآلالؼ األردنية؟‬ ‫‪ -3‬عمى مف سيرسو العطاء؟‬

‫صفذخ ‪ 581‬يٍ ‪555‬‬




‫يفكر متقاعد كاف يعمؿ في وكالة الغوث لالجئيف في استثمار مدخراتو في احد المشاريع‬ ‫التالية‪:‬‬




‫شراء قطعة ارض‬

‫‪50000‬‬

‫‪30000‬‬

‫‪10000‬‬

‫شراء أسيـ في البورصة‬

‫‪40000‬‬

‫‪25000‬‬

‫‪15000‬‬

‫شراء سوبر ماركت‬

‫‪25000‬‬

‫‪35000‬‬

‫‪45000‬‬


‫ا‪ -‬ارسـ شجرة الق اررات؟‬

‫‪ -2‬تحديد البديؿ األفضؿ الذي يحقؽ اقؿ تكمفة ممكنة لممتقاعد بالدينار األردني؟‬

‫صفذخ ‪ 581‬يٍ ‪555‬‬



‫الفصؿ السادس‬

‫صفذخ ‪ 585‬يٍ ‪555‬‬



‫مشاكؿ النقؿ ‪Transportations problems‬‬ ‫تعريؼ النقؿ‪:‬‬

‫التوزيع الجيد لنقاط عديد (المصادر) إلى نقاط الطمب المخصصة بأقؿ تكمفة ممكنة‪ ,‬بمعنى‬

‫توزيع البضائع مف نقاط متعددة مف المصادر إلى نقاط الطمب بأقؿ تكمفة ممكنة‪.‬‬ ‫تعريؼ مشاكؿ النقؿ‪:‬‬

‫تعتبر طريقة النقؿ مف األساليب الرياضية الكمية المشتقة مف البرمجة الخطية تدرس عممية‬ ‫اتخاذ الق اررات المتعمقة بنقؿ حجـ معيف مف السمع أو المواد مف مصادر اإلنتاج المتعددة إلى‬

‫مراكز االستبلـ أو االستيبلؾ المتعددة‬ ‫ما ىو ىدؼ حؿ مشاكؿ النقؿ؟‬

‫سد احتياجات المراكز ذات العبلقة بأقؿ تكمفة ممكنة‬ ‫يعني إيصاليا إلى المستيمؾ األخير بأقؿ تكمفة ممكنة‬ ‫ما ىي آلية عمؿ جدوؿ النقؿ؟‬

‫يتـ تفريغ البيانات المتعمقة في عممية النقؿ في جدوؿ خاص يسمى جدوؿ النقؿ‬ ‫‪Transportation Table‬‬

‫ماذا يفترض لوجود نموذج نقؿ؟‬

‫‪ -1‬وجدود عدد مف المصادر اإلنتاجية (مصانع‪ ,‬شركات) رمزه ‪S‬‬ ‫‪ -5‬وجود عدد مف المراكز التسويقية (مخزف‪ ,‬سوؽ) رمزه ‪D‬‬

‫‪ -3‬العرض ‪ SUPPLY‬وىو‪ :‬الكميات المتوفرة في كؿ مركز مف مراكز التوزيع‬ ‫(المصادر)‪.‬‬ ‫صفذخ ‪ 583‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ -4‬الطمب ‪ DEMAND‬وىو‪ :‬الكميات المطموبة مف كؿ مركز مف مراكز االستبلـ‬ ‫(المخازف)‪.‬‬

‫‪ -5‬التكمفة ‪ COST‬وىي تكاليؼ نقؿ الوحدة الواحدة مف كؿ مركز مف مراكز التوزيع إلى‬ ‫كؿ مركز مف مراكز االستبلـ‪ .‬وتكوف موجودة في مربعات صغيرة في الجدوؿ‪.‬‬ ‫‪SUPPLY‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪S2‬‬ ‫‪S3‬‬ ‫‪DEMAND‬‬

‫ما ىو ىدؼ حؿ نموذج مشكمة النقؿ؟‬

‫تحقيؽ اقؿ تكمفة ممكنة مف مجموع تكاليؼ النقؿ‪.‬‬

‫مالحظات ىامة‪:‬‬

‫‪ -1‬تعتبر مشاكؿ النقؿ جزء مف نماذج التخصيص‪:‬‬

‫وىي النماذج التي تيتـ بتوزيع عدد معيف مف الموارد مثؿ‪ :‬العماؿ‪ ,‬الموظفيف األسواؽ‪ ,‬الجنود‪,‬‬ ‫حيث تعتبر مشاكؿ النقؿ أسموب يستخدـ في إيجاد الطريقة المناسبة لعممية التوزيع والنقؿ بأخذ‬

‫عنصر التكمفة في عممية النقؿ‪.‬‬ ‫‪ -5‬يشترط في نموذج النقؿ تساوي العرض مع الطمب ليتـ حؿ المشكمة‪.‬‬

‫‪ -3‬دوما وأبدا يتساوى العرض والطمب في آخر خمية يراد تعبئتيا وذلؾ نتأكد أف الحؿ صحيح‬ ‫صفذخ ‪ 584‬يٍ ‪555‬‬



‫الطرؽ المستخدمة لحؿ مشاكؿ النقؿ‪:‬‬

‫‪ -0‬الحؿ الممكف‪Feasible Solution :‬‬ ‫‪‬‬

‫طريقة الزاوية الشمالية الغربية ‪The North West Corner Method‬‬ ‫)‪(NWCM‬‬

‫‪ -6‬الحؿ األفضؿ ‪Best Solution‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫طريقة اقؿ التكاليؼ )‪The Least Cost Method (LCM‬‬

‫طريقة فوجؿ التقريبية )‪The Vogel's Approximation Method (VAM‬‬

‫‪ -3‬الحؿ األمثؿ ‪Optimal Solution‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫طريقة المسار المتعرج الحجر المتنقؿ ‪The Stepping Stone Method‬‬ ‫)‪(SSM‬‬ ‫طريقة التوزيع المعدلة )‪Modified Distribution Method (MODI‬‬

‫الطرؽ الثالثة نظرياً‪:‬‬

‫‪ -0‬طريقة الزاوية الشمالية الغربية )‪The North West Corner Method (NWCM‬‬ ‫التعريؼ‪ :‬تستخدـ إليجاد الحؿ الممكف وىي مف ابسط الطرؽ لحؿ مشاكؿ النقؿ ويتـ اختيار‬ ‫خمية النقؿ األولى الموجودة في العمود األوؿ الصؼ األوؿ )‪ (S1,D1‬ويعتمد تعبئة الخبليا‬

‫باستخداـ القانوف )‪ Min(S1,D1‬مع مراعاة تخصيص اقؿ الكميتيف ويتـ تعديؿ الكمية بعد‬ ‫االستيعاب وتكوف الكمية المعروضة مف مركز التسويؽ قد نفدت‪.‬‬

‫ثـ نحسب التكاليؼ الكمية )‪TOTAL COST (TC‬‬ ‫وذلؾ بضرب التكمفة في الكمية الموجودة في كؿ خمية حتى النياية‪.‬‬ ‫ماذا يعاب عمى طريقة الزاوية الشمالية الغربية في حؿ مشاكؿ النقؿ؟‬ ‫عدـ تحقيؽ االستفادة مف التكمفة القميمة المتوفرة في مشكمة نقؿ معينة‪.‬‬ ‫صفذخ ‪ 585‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ -6‬طريقة اقؿ التكاليؼ )‪The Least Cost Method (LCM‬‬

‫تستخدـ إليجاد الحؿ األفضؿ وجدت ىذه الطريقة ألنو يعاب عمى طريقة الزاوية الشمالية الغربية‬ ‫عدـ تحقيؽ االستفادة مف التكمفة القميمة المتوفرة في مشكمة نقؿ معينة عند تمبية احتياجات مراكز‬

‫الطمب‪.‬‬

‫لذلؾ وضعت ىذه الطريقة لمعالجة ىذا النوع مف العيوب في نماذج النقؿ‪.‬‬ ‫عمى ماذا تركز طريقة اقؿ التكاليؼ؟‬

‫اختيار اقؿ تكمفة متوفرة في الجدوؿ ومف ثـ تحديد جيتي العرض والطمب واختيار اقميما وتعديؿ‬ ‫الكميات كؿ مرة حتى استنفاذ الكميات‪.‬‬

‫خطوات الحؿ باستخداـ طريقة اقؿ التكاليؼ‪:‬‬

‫‪ -1‬التحقؽ مف توازف الجدوؿ العرض = الطمب‬ ‫‪ -5‬نبدأ بالخمية اقؿ تكمفة ونمبي احتياجاتيا بأقؿ كمية‪.‬‬ ‫‪ -3‬إذا تساوت أكثر مف خمية بنفس التكمفة نختار احدىما وننتقؿ إلى األخرى وىكذا حتى نفاذ‬ ‫الكمية‬

‫‪ -4‬نحسب التكاليؼ الكمية‪.‬‬ ‫‪ -3‬طريقة فوجؿ التقريبية )‪The Vogel's Approximation Method (VAM‬‬ ‫تستخدـ إليجاد الحؿ األفضؿ لحؿ مشاكؿ النقؿ‪.‬‬

‫لماذا تعتبر مف طريقة فوجؿ التقريبية مف أفضؿ الطرؽ وأىميا؟ وذلؾ لمسبب األتي‪:‬‬ ‫ألنيا تستخدـ لمحؿ األفضؿ أو األقرب إلى الحؿ األمثؿ وىذا ما يميزىا عف الطريقتيف‬

‫السابقتيف‪.‬‬ ‫ماذا يعاب عمى طريقة فوجؿ التقريبية؟‬

‫طوؿ زمف ووقت إجراء العمميات الحسابية في حسابات الغرامات‪.‬‬ ‫صفذخ ‪ 586‬يٍ ‪555‬‬



‫خطوات الحؿ باستخداـ طريقة فوجؿ التقريبية‪:‬‬

‫‪ -1‬التحقؽ مف توازف الجدوؿ العرض = الطمب‬ ‫‪ -5‬إيجاد الفرؽ بيف اقؿ تكمفتيف في كؿ صؼ وفي كؿ عمود وتؤشر عمى جوانب الجدوؿ‬ ‫تحت كؿ عمود وجنب كؿ صؼ‪.‬‬

‫‪ -3‬تسمى الغرامة أو تكمفة الفرصة البديمة أو الجزاء‪.‬‬ ‫‪ -4‬نجمع مجموع الفروؽ ويجب عدـ تساوي مجموع الفروؽ لمصفوؼ واألعمدة حتى تستخدـ‬ ‫طريقة فوجؿ‪.‬‬

‫‪ -5‬نحدد أعمى جزاء اكبر فرؽ بأي صؼ أو أي عمود وذلؾ ليتـ البدء بالحؿ بو‪.‬‬ ‫‪ -6‬نختار الصؼ أو العمود صاحب اكبر جزاء ثـ ننظر إلى الخمية ذات اقؿ تكمفة ونمبي‬ ‫احتياجاتيا‪.‬‬

‫‪ -7‬نقارف احتياجات المركز مف المصدر ونأخذ القيمة األقؿ ونعدؿ الكميات‪.‬‬ ‫‪ -8‬نعيد حساب الفرؽ لمغرامة في كؿ مرة أخرى ونعيد الخطوات باستثناء جع الفروقات كؿ مرة‬ ‫مالحظة‪:‬‬

‫عف تساوي الفروؽ في الصفوؼ واألعمدة نأخذ أي منيا ولكف تعبا الخمية األقؿ تكمفة ثـ االنتقاؿ‬

‫إلي األخرى‪.‬‬ ‫متى تفشؿ طريقة فوجؿ التقريبية؟‬

‫عندما يتساوى مجموع الفروؽ في الغرامات لمصفوؼ ولؤلعمدة منذ البداية‬

‫صفذخ ‪ 587‬يٍ ‪555‬‬




‫استخدـ الطرؽ الثالثة في حؿ مشاكؿ النقؿ‬

‫احسب التكاليؼ الكمية لمشكمة النقؿ التالية؟‬ ‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪D4‬‬

‫‪15‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪25‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪14‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪16‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪17‬‬

‫‪13‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫مالحظة ىامو‪:‬‬ ‫‪ .0‬عندما يطمب في السؤاؿ الحؿ بالطرؽ الثالثة فانو يجب المقارنة بيف الطرؽ الثالثة مف‬ ‫ناحية قيمة التكاليؼ الكمية واتخاذ االقؿ منيا‬

‫‪ .6‬ليس دوما طريؽ اقؿ التكاليؼ او طريقة فوجؿ التقريبية تعطي نفس قيمة التكاليؼ الكمية‬ ‫‪ .3‬تعتبر طريقة فوجؿ التقريبية ىي الطريقة المحبذة دوما في استخداميا لحؿ مشاكؿ النقؿ‬ ‫ألنيا االقرب الي الحؿ االمثؿ في الغالبية العظمى ال تتساوى طريقة اقؿ التكاليؼ مع‬

‫طريقة فوجؿ التقريبية في التكمفة اإلجمالية ولكف في العادة طريقة فوجؿ التقريبية ىي‬

‫المفضمة وعند فشميا مف البداية نمجأ إلى طريقة اقؿ التكاليؼ‬

‫صفذخ ‪ 588‬يٍ ‪555‬‬



‫انحم‪ :‬تاعرخذاو طشَمح انضاوَح انشًانُح انغشتُح‬ ‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪3‬‬

‫‪15‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪11‬‬

‫‪25‬‬

‫‪D4‬‬

‫‪14‬‬

‫‪60/60‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪14‬‬

‫‪5‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪2 13‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪10‬‬

‫‪16‬‬

‫‪13‬‬

‫‪17‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪TC= 2×13+ 5×7 + 3×10 + 3×5 + 1×11+ 3×14 = 159JD‬‬ ‫طريقة اقؿ التكاليؼ‬ ‫‪D4‬‬ ‫‪3 14‬‬

‫‪5‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪25‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4‬‬

‫‪60/60‬‬

‫‪14‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪17‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪13‬‬

‫‪13‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S3‬‬ ‫‪DEMAND‬‬

‫‪TC = 1×13 + 5×6 + 3×2 + 4×9 + 1×16 + 3×14 = 137JD‬‬ ‫صفذخ ‪ 589‬يٍ ‪555‬‬



‫طريقة فوجؿ التقريبية‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪SUP‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪2‬‬

‫‪15‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪25‬‬

‫‪9 1 16 3‬‬

‫‪4/4‬‬

‫‪D4‬‬ ‫‪3 14‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪6 5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪13 3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪17‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪DEM‬‬ ‫‪OC‬‬

‫فشهد طشَمح فىجم انرمشَثُح ورنك تغثة ذغاوٌ يجًىع انفشولاخ نذي‬ ‫انصفىف واالػًذج فٍ انغشاياخ يُز تذاَح انحم نزنك َهجأ انً طشَمح ألم انركانُف‬ ‫فٍ انحم األفضم‬ ‫الطريقة‬ ‫الزاوية الشمالية الغربية‬

‫إجمالي التكاليؼ‬ ‫‪039‬‬

‫اقؿ التكاليؼ‬

‫‪037‬‬

‫فوجؿ التقريبية‬

‫فشمت‬

‫القرار‬

‫استخداـ طريقة اقؿ التكاليؼ ألنيا تحقؽ اقؿ تكمفة‬ ‫نقؿ وتوفر ‪ 66‬دينار مقارنة مع الطريقة الزاوية‬ ‫الشمالية الغربية‬

‫صفذخ ‪ 591‬يٍ ‪555‬‬






‫‪5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪D4‬‬

‫‪380‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪410‬‬

‫‪1‬‬

‫‪12‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪250‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪150‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪200‬‬

‫صفذخ ‪ 591‬يٍ ‪555‬‬

‫‪400‬‬

‫‪DEMAND‬‬



‫الحؿ باستخداـ طريقة الزاوية الشمالية الغربية التقريبية‬ ‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪210‬‬

‫‪5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪380‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪190‬‬

‫‪12 150 1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪410‬‬ ‫‪1000/1000‬‬

‫‪D4‬‬

‫‪250‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪250‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪150‬‬

‫‪1‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪2 210‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪200‬‬

‫‪190‬‬

‫‪400‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪TC= 2×210 + 6×190 + 7×190 + 9×10 + 12×150 + 1×250‬‬ ‫‪=5030JD‬‬ ‫باستخداـ طريقة اقؿ التكاليؼ‬ ‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪210‬‬

‫‪D4‬‬

‫‪380‬‬ ‫‪410‬‬ ‫‪1000/1000‬‬

‫‪250‬‬ ‫‪250‬‬

‫‪D3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪1 200‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪2 10‬‬

‫‪150 3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪230‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪12‬‬

‫‪9‬‬

‫‪160‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪150‬‬

‫‪200‬‬

‫‪400‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫= ‪TC = 2×10 + 1×200 + 6×230 + 2×150 + 4×160 + 1×250‬‬ ‫‪2790JD‬‬ ‫صفذخ ‪ 595‬يٍ ‪555‬‬



‫باستخداـ طريقة فوجؿ التقريبية‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪1 1 3‬‬

‫‪SUP‬‬ ‫‪210‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3 3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪380‬‬

‫‪150 3‬‬

‫‪3 3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪410‬‬

‫‪1 250‬‬

‫‪1000/1000‬‬

‫‪250‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪18/5‬‬

‫‪D4‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪D3‬‬ ‫‪1 200 10‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪S1 2 10‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6 230 7‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4 160 9‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪200‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‬‫‪-‬‬

‫‪150‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‬‫‬‫‪-‬‬

‫‪400‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪DEM‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬

‫= ‪TC = 2×10 + 1×200 + 6×230 + 2×150 + 4×160 + 1×250‬‬ ‫‪2790JD‬‬ ‫الطريقة‬ ‫الزاوية الشمالية الغربية‬



‫‪6791‬‬


‫‪6791‬‬

‫القرار‬

‫استخداـ طريقة فوجؿ التقريبية أو اقؿ التكاليؼ ألنيا‬ ‫تحقؽ اقؿ تكمفة نقؿ وتوفر ‪ 6681‬دينار مقارنة مع‬ ‫الطريقة الزاوية الشمالية الغربية‬

‫صفذخ ‪ 593‬يٍ ‪555‬‬






‫‪2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪D4‬‬

‫‪300‬‬

‫‪3‬‬

‫‪15‬‬

‫‪11‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪400‬‬

‫‪2‬‬

‫‪13‬‬

‫‪4‬‬

‫‪12‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪200‬‬

‫‪1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪12‬‬

‫‪S4‬‬

‫‪600‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪21‬‬

‫‪S5‬‬

‫‪400‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪700‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪100‬‬

‫صفذخ ‪ 594‬يٍ ‪555‬‬

‫‪800‬‬

‫‪DEMAND‬‬



‫باستخداـ طريقة الزاوية الشمالية الغربية‬ ‫‪D4‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪500‬‬

‫‪2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪1 500‬‬

‫‪300‬‬

‫‪3‬‬

‫‪15‬‬

‫‪11‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪12‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪12‬‬

‫‪S4‬‬

‫‪21‬‬

‫‪S5‬‬

‫‪400‬‬

‫‪2‬‬

‫‪300‬‬

‫‪13‬‬

‫‪200‬‬

‫‪1‬‬

‫‪200‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪9‬‬

‫‪200‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪600‬‬

‫‪400‬‬

‫‪2000\2000‬‬

‫‪400‬‬

‫‪700‬‬

‫‪100‬‬

‫‪100‬‬

‫‪300‬‬

‫‪800‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪TC = 1×500 + 6×300 ×+ 4×100 + 13×300 + 9×200 + 7×200‬‬ ‫‪+ 9×400 = 13400JD‬‬

‫صفذخ ‪ 595‬يٍ ‪555‬‬



‫باستخداـ طريقة اقؿ التكاليؼ‬ ‫‪D4‬‬

‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪500‬‬

‫‪2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪1 500‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪300‬‬

‫‪3‬‬

‫‪15‬‬

‫‪11‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪12‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪12‬‬

‫‪S4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪21‬‬

‫‪S5‬‬

‫‪400‬‬

‫‪200‬‬

‫‪2‬‬

‫‪200‬‬

‫‪200‬‬

‫‪1‬‬

‫‪600‬‬ ‫‪2000\2000‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪400‬‬

‫‪100‬‬

‫‪600‬‬ ‫‪700‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪13‬‬

‫‪100‬‬

‫‪100‬‬

‫‪300‬‬

‫‪800‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪TC = 1×500 + 6×300 + 4×100 + 13×100 + 200×2 + 1×200‬‬ ‫‪+7×600 = 8800JD‬‬

‫صفذخ ‪ 596‬يٍ ‪555‬‬



‫باستخداـ طريقة فوجؿ التقريبية‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪SUP‬‬ ‫‪500‬‬

‫‪2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪300‬‬

‫‪3‬‬

‫‪15‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪3 3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2 2 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪400‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪6‬‬

‫‪200‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪600‬‬

‫‪9/13‬‬

‫‪D4‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪300 11‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪12‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪12‬‬

‫‪S4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪21‬‬

‫‪S5‬‬

‫‪100 13 100 2 200‬‬ ‫‪1 200‬‬

‫‪600 9‬‬

‫‪400 2000‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪1 500‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪700‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪100‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪800‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪DEM‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬

‫‪TC = 1×500 + 6×300 + 4×100 + 13×100 + 200×2 + 1×200‬‬ ‫‪+7×600 = 8800JD‬‬

‫صفذخ ‪ 597‬يٍ ‪555‬‬


‫الطريقة‬ ‫الزاوية الشمالية الغربية‬




‫‪4411‬‬


‫‪4411‬‬

‫القرار‬


‫صفذخ ‪ 598‬يٍ ‪555‬‬





‫احسب التكاليؼ الكمية لمشكمة النقؿ التالية؟‬

‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪2000‬‬

‫‪4‬‬

‫‪8‬‬

‫‪10‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪1600‬‬

‫‪2‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪2400‬‬

‫‪8‬‬

‫‪14‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪6000\6000‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪2000‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪1000‬‬

‫صفذخ ‪ 599‬يٍ ‪555‬‬

‫‪3000‬‬

‫‪DEMAND‬‬



‫باستخداـ طريقة الزاوية الشمالية الغربية‬ ‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪2000‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1600‬‬

‫‪2‬‬

‫‪600‬‬

‫‪8‬‬

‫‪400‬‬

‫‪2400‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪2000‬‬

‫‪6000\6000‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪2000‬‬

‫‪8‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪10 2000‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪14‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪3000‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪TC= 10×2000 + 4×1000 + 12×600 + 14×400 + 8×2000‬‬ ‫‪=52800JD‬‬ ‫باستخداـ طريقة اقؿ التكاليؼ‬ ‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪1600‬‬

‫‪D3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪400‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1000‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪600‬‬

‫‪2‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪14‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪1600‬‬

‫‪2400‬‬ ‫‪6000\6000‬‬

‫‪2000‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪2400‬‬ ‫‪3000‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪TC= 10×600 + 8×1000 + 4×400 + 2×1600 + 2×2400‬‬ ‫‪= 23600JD‬‬

‫صفذخ ‪ 311‬يٍ ‪555‬‬



‫باستخداـ طريقة فوجؿ التقريبية‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪SUP‬‬ ‫‪2000‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪D3‬‬ ‫‪8 1000 4 1000‬‬

‫‪2 10‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1600‬‬

‫‪2 1000‬‬

‫‪12‬‬

‫‪-‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2400‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪-‬‬

‫‪6000\6000‬‬ ‫‪8/12‬‬

‫‪2000‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪600‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪2400 14‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪1000‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3000‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪DEM‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬

‫‪TC= 8×1000 + 4×1000 + 4×600 + 2×1000 + 2×2400‬‬ ‫‪= 21200JD‬‬




‫‪63211‬‬


‫‪60611‬‬

‫القرار‬

‫استخداـ طريقة فوجؿ التقريبية بتكمفة ‪60611‬دينار‬

‫وتوفر مقارنة بطريقة اقؿ التكاليؼ‪ 6811‬دينار وتحقؽ‬ ‫اقؿ تكمفة نقؿ وتوفر ‪ 30211‬دينار مقارنة مع‬ ‫الطريقة الزاوية الشمالية الغربية‬ ‫صفذخ ‪ 311‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجد الحؿ الممكف ‪ ،‬والحؿ االفضؿ‬

‫واحسب التكاليؼ الكمية لمشكمة النقؿ التالية؟‬ ‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪7/7‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪2‬‬

‫الحؿ‪ :‬باستخداـ طريقة الزاوية الشمالية الغربية‬ ‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪7/7‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪TC = 0 × 2 + 2 × 3 + 4 × 1 + 0 × 1 = 16 JD‬‬

‫صفذخ ‪ 315‬يٍ ‪555‬‬



‫الحؿ باستخداـ طريقة اقؿ التكاليؼ‬ ‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7/7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪2‬‬

‫‪TC = 0 × 2 + 2 × 3 + 4 × 1 + 0 × 1 = 16 JD‬‬

‫باستخداـ طريقة فوجؿ التقريبية‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪OC OC‬‬ ‫‬‫‪-‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7/7‬‬ ‫‪3/2‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬‫‪-‬‬

‫‪DEMAND‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬

‫‪TC = 0 × 2 + 2 × 3 + 4 × 1 + 0 × 1 = 16 JD‬‬ ‫صفذخ ‪ 313‬يٍ ‪555‬‬






‫‪02‬‬


‫‪02‬‬

‫القرار‬

‫استخداـ طريقة فوجؿ التقريبية أو اقؿ التكاليؼ او‬ ‫الطريقة الزاوية الشمالية الغربية وىذا ألنيا تساوت في‬ ‫مجموع التكمفة في نقؿ ‪ 7‬وحدات ب ‪ 02‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 314‬يٍ ‪555‬‬






‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪12‬‬

‫‪11‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪1400‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪1600‬‬

‫‪3‬‬

‫‪11‬‬

‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪4000\4000‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪D4‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪1800‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪800‬‬

‫‪400‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫باستخداـ طريقة الزاوية الشمالية الغربية ؟‬ ‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪1000‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1400‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1600‬‬ ‫‪4000\4000‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪D4‬‬

‫‪3 1000‬‬ ‫‪1000‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪9 1200‬‬ ‫‪600‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪12 200‬‬ ‫‪200‬‬

‫‪11‬‬

‫‪1800‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪11 800‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪400‬‬

‫‪800‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪TC = 11 × 800 + 12 × 200 + 3 × 200 + 9 × 1200 + 11 × 600 + 3 × 1000‬‬ ‫‪= 32200 JD‬‬

‫صفذخ ‪ 315‬يٍ ‪555‬‬



‫باستخداـ طريقة اقؿ التكاليؼ‬ ‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪1000‬‬

‫‪D4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪D3‬‬ ‫‪3 1000‬‬

‫‪1400‬‬

‫‪200 10‬‬

‫‪1600‬‬

‫‪600‬‬

‫‪3 1000‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪9‬‬

‫‪3‬‬

‫‪400‬‬

‫‪11‬‬

‫‪800‬‬

‫‪8‬‬

‫‪11‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪DEMAND‬‬ ‫‪800‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪1800‬‬ ‫‪10000‬‬ ‫‪4000\4000‬‬ ‫‪TC = 3 × 1000 + 5 × 800 + 3 × 400 + 9 × 200 + 11 × 600 + 3 × 1000‬‬ ‫‪= 19600 JD‬‬ ‫باستخداـ طريقة فوجؿ التقريبية احسب التكاليؼ الكمية لمشكمة النقؿ التالية؟‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪D2‬‬ ‫‪D3‬‬ ‫‪D4‬‬ ‫‪SUP‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3 1000‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‪-‬‬‫‪10‬‬

‫‪2 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1400‬‬

‫‪5 5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1600‬‬

‫‪3 1000‬‬

‫‪4000‬‬

‫‪1000‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪17\9‬‬

‫‪200‬‬ ‫‪600‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪1800‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪400‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪S\D‬‬

‫‪S1‬‬ ‫‪S2‬‬

‫‪5 80‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪800‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪DE‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬

‫‪TC = 3 × 1000 + 5 × 800 + 3 × 400 + 9 × 200 + 11 × 600 + 3 × 1000‬‬ ‫‪= 19600 JD‬‬

‫صفذخ ‪ 316‬يٍ ‪555‬‬






‫‪09211‬‬


‫‪09211‬‬

‫القرار‬


‫صفذخ ‪ 317‬يٍ ‪555‬‬






‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫‪10‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪17‬‬

‫‪14‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪1500‬‬

‫‪9‬‬

‫‪11‬‬

‫‪7‬‬

‫‪18‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪4000\4000‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪D4‬‬

‫‪1250‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪250‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪1750‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪750‬‬

‫باستخداـ طريقة الزاوية الشمالية‬ ‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪1500‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪8 750‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪17 1000‬‬

‫‪1500‬‬ ‫‪4000\4000‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪D4‬‬

‫‪11 250 9 1250‬‬ ‫‪1250‬‬

‫‪250‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪1750‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪10 750‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪14‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪18‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪750‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫= ‪TC =10 × 750 + 8 × 750 + 17 × 1000 + 11 × 250 + 9 × 1250‬‬ ‫‪44500 JD‬‬ ‫صفذخ ‪ 318‬يٍ ‪555‬‬



‫استخداـ طريقة اقؿ التكاليؼ‬ ‫‪SUPPLY‬‬

‫‪D4‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪1500‬‬

‫‪250‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪2 1000‬‬

‫‪1500‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4000\4000‬‬

‫‪1250‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪6 250 4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪250‬‬

‫‪8‬‬

‫‪17‬‬

‫‪7 1500 11‬‬

‫‪250‬‬

‫‪1750‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪S\D‬‬

‫‪10 750‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪14‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪18‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪750‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪TC = 10 × 750 + 8 × 250 + 6 × 250 + 4 × 250 + 2 × 1000 +‬‬ ‫‪7 × 1500 = 24500 JD‬‬

‫صفذخ ‪ 319‬يٍ ‪555‬‬



‫باستخداـ طريقة فوجؿ التقريبية‬ ‫‪D3‬‬ ‫‪D4‬‬ ‫‪SUP‬‬ ‫‪6 250 4 250 1500‬‬

‫‪4‬‬

‫‪OC‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪15‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2 1000 1000‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪1500‬‬ ‫‪4000‬‬

‫‪8\7‬‬

‫‪1250‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪8 250‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪S1 10 750‬‬

‫‪17‬‬

‫‪7 1500 11‬‬ ‫‪1750‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪250‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪14‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪18‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪750‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪DEM‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬

‫‪TC = 10 × 750 + 8 × 250 + 6 × 250 + 4 × 250 + 2 × 1000 +‬‬ ‫‪7 × 1500 = 24500 JD‬‬ ‫الطريقة‬ ‫الزاوية الشمالية الغربية‬



‫‪68311‬‬


‫‪68311‬‬

‫القرار‬

‫استخداـ طريقة فوجؿ التقريبية أو اقؿ التكاليؼ ألنيا‬ ‫تحقؽ اقؿ تكمفة نقؿ وتوفر ‪ 61111‬دينار مقارنة مع‬ ‫الطريقة الزاوية الشمالية الغربية‬ ‫صفذخ ‪ 311‬يٍ ‪555‬‬




‫مصنع بدري وىنية يوجد بو ‪ 3‬مخازف يزود ‪ 3‬مناطؽ موضح بالجدوؿ األتي‪:‬‬

‫المطموب‪ :‬اوجد‪ :‬الحؿ الممكف باستخداـ الزاوية الشمالية الغربية‪ ،‬الحؿ األفضؿ باستخداـ اقؿ‬

‫التكاليؼ‪ ،‬وطريقة فوجؿ التقريبية‪.‬‬ ‫‪Supply‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪S\D‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪25‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪20‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪22‬‬

‫‪18‬‬

‫الحؿ‪ :‬الزاوية الشمالية الغربية‬ ‫‪D3‬‬ ‫‪Supply‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪20‬‬

‫‪20‬‬

‫‪4‬‬

‫‪55\55‬‬

‫‪22‬‬

‫‪18‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪15‬‬

‫‪S\D‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪15‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪TOTAL COST= 2x10 + 7x5 + 4x18 + 3x2 + 4x20 = 213 JD‬‬ ‫صفذخ ‪ 311‬يٍ ‪555‬‬



‫طريقة اقؿ التكاليؼ‪:‬‬ ‫‪Supply‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪10‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪22‬‬

‫‪25‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪55\55‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪8‬‬

‫‪22‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪12‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪18‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪15‬‬

‫‪TOTAL COST= 7x3 + 6x12 + 1x10 + 2x8 + 3x22 = 185 JD‬‬ ‫طريقة فوجؿ التقريبية‪:‬‬ ‫‪Supply O.C OC OC‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪S\D‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪8‬‬

‫‪2 10 1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪25‬‬

‫‪3 22‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪20‬‬

‫‪2 18 4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪55\55‬‬ ‫‪6\4‬‬

‫‪22‬‬

‫‪18‬‬

‫‪15‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬

‫‪TOTAL COST= 2x10 + 7x3 + 6x2 + 2x18 + 3x22 = 155 JD‬‬ ‫صفذخ ‪ 315‬يٍ ‪555‬‬



‫الطريقة‬

‫إجمالي التكاليؼ‬

‫الزاوية الشمالية الغربية‬

‫‪603‬‬


‫‪043‬‬


‫‪033‬‬

‫القرار‬

‫استخداـ طريقة فوجؿ التقريبية ألنيا تحقؽ اقؿ‬ ‫تكمفة نقؿ ‪ 033‬دينار‬

‫وتوفر ‪ 34‬دينار مقارنة مع الطريقة الزاوية الشمالية‬ ‫الغربية وتوفر ‪ 31‬دينار مقارنة مع اقؿ التكاليؼ‬

‫صفذخ ‪ 313‬يٍ ‪555‬‬



‫أنواع مشاكؿ النقؿ‪:‬‬

‫‪ -1‬النقؿ المغمؽ ‪:Closed Transportation Problem‬‬

‫فييا يتساوى العرض مع الطمب ويكوف الجدوؿ في حالة توازف ‪Equilibrium‬‬

‫‪ -5‬النقؿ المفتوح ‪:Opened Transportation Problem‬‬

‫فييا ال يتساوى العرض مع الطمب ويكوف الجدوؿ في حالة عدـ توازف‬ ‫‪In Equilibrium‬‬

‫طريقة حؿ مشكمة النقؿ غير المتوازف‪Unbalanced Transportation Problem:‬‬ ‫‪ .0‬الحالة األولى‪:‬‬

‫إذا كاف العرض اكبر مف الطمب‪:‬‬

‫يتـ إضافة عمود جديد ‪new D‬‬ ‫كميتو الفرؽ بيف العرض والطمب‬

‫وتكمفتو تساوي صفر‬ ‫‪ .6‬الحالة الثانية‪:‬‬

‫إذا كاف الطمب اكبر مف العرض‪:‬‬

‫يتـ إضافة صؼ جديد ‪new S‬‬

‫كميتو الفرؽ بيف العرض والطمب‬ ‫وتكمفتو تساوي صفر‬

‫صفذخ ‪ 314‬يٍ ‪555‬‬




‫وازف نموذج النقؿ األتي؟‬

‫ثـ اوجد حؿ مشكمة النقؿ باستخداـ طريقة اقؿ التكاليؼ؟‬ ‫‪Supply‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪S\D‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪100‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪150‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪50‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪280\300‬‬

‫‪60‬‬

‫‪120‬‬

‫‪100‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫حؿ مشكمة التوازف‬ ‫ننظر لمكميات المعروضة = ‪ 311‬والكميات المطموبة = ‪641‬‬

‫العرض اكبر مف الطمب‬

‫يتـ إضافة عمود جديد رابع تكمفتو = صفر‪ ،‬وكميتو = ‪ 61‬وىي الفرؽ بيف العرض والطمب‬

‫صفذخ ‪ 315‬يٍ ‪555‬‬



‫طريقة اقؿ التكاليؼ‪:‬‬ ‫‪Supply‬‬

‫‪D4‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪150‬‬

‫‪0‬‬

‫‪50‬‬ ‫‪300\300‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪60‬‬

‫‪0‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪20‬‬

‫‪4‬‬

‫‪70‬‬

‫‪3‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪120‬‬

‫‪100‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪2‬‬


‫‪TOTAL COST = 1x100 + 5x70 + 4x20 + 0x60 + 0x20 = 590 JD‬‬ ‫ىنا تـ البدء بإشغاؿ الخمية مف بداية اقؿ كمية عرض تساوي ‪31‬‬

‫صفذخ ‪ 316‬يٍ ‪555‬‬



‫حؿ آخر‪:‬‬ ‫‪Supply‬‬

‫‪D4‬‬

‫‪100‬‬

‫‪150‬‬

‫‪20‬‬

‫‪50‬‬

‫‪300\300‬‬

‫‪D3‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪60‬‬

‫‪0‬‬

‫‪20‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪20‬‬

‫‪4‬‬

‫‪50‬‬

‫‪3‬‬

‫‪50‬‬

‫‪0‬‬

‫‪60‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪120‬‬

‫‪100‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪TOTAL COST = 1x100 + 5x50 + 0x60 + 0x60 + 0x20 +2x50‬‬ ‫‪= 530 JD‬‬ ‫ىنا تـ البدء بإشغاؿ الخمية مف بداية اكبر كمية عرض تساوي ‪031‬‬

‫صفذخ ‪ 317‬يٍ ‪555‬‬




‫وازف نموذج النقؿ األتي؟‬

‫ثـ اوجد حؿ مشكمة النقؿ باستخداـ طريقة فوجؿ التقريبية؟‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪D2‬‬ ‫‪D3‬‬ ‫‪Supply‬‬

‫‪S\D‬‬

‫‪120‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪100‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪250\220‬‬

‫‪50‬‬

‫‪100‬‬

‫‪100‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫حؿ مشكمة التوازف‬

‫ننظر لمكميات المطموبة = ‪ 631‬والكميات المعروضة = ‪661‬‬ ‫الطمب اكبر مف العرض‬

‫يتـ إضافة صؼ جديد ثالث تكمفتو = صفر‪ ،‬وكميتو = ‪ 31‬وىي الفرؽ بيف الطمب والعرض‬

‫صفذخ ‪ 318‬يٍ ‪555‬‬



‫طريقة فوجؿ التقريبية‪:‬‬ ‫‪O.C‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪Supply‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪120‬‬

‫‪2 20‬‬

‫‪S\D‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪0 100 1‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪100‬‬

‫‪3 100 5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪0‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪250\250‬‬ ‫‪3\2‬‬

‫‪50‬‬

‫‪100‬‬

‫‪100‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪OC‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪OC‬‬

‫‪-‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪OC‬‬

‫‪TOTAL COST = 0x100 + 2x20 + 3x100 + 0x30 = 340 JD‬‬

‫صفذخ ‪ 319‬يٍ ‪555‬‬



‫اختبار أمثمية الحؿ لجدوؿ النقؿ ‪Optimal Solution‬‬

‫لمحصوؿ عمى أمثمية الحؿ يتـ اختبار جدوؿ النقؿ بإحدى الطريقتيف‪:‬‬ ‫‪ -0‬طريقة المسار المتعرج أو الحجر المتنقؿ‬

‫(‪The Stepping Stone Method =)SSM‬‬ ‫‪ -6‬طريقة التوزيع المعدلة‬ ‫)‪Modified Distribution Method = (MODI‬‬ ‫أوالً‪ :‬طريقة المسار المتعرج‪ :‬المسار المغمؽ خطوات الحجر المتنقؿ‬

‫التعريؼ‪:‬‬

‫ىي تقييـ جميع الخبليا الفارغة غير مشغولة في جدوؿ الحؿ األولي‬ ‫بمعنى اختبار فعالية استخداـ الخبليا في الحؿ‬ ‫ىدفيا‪:‬‬

‫تيدؼ لمعرفة اثر استخداـ كؿ خمية فارغة عمى مجموع التكاليؼ الكمية‬ ‫الطريقة العممية‪:‬‬

‫عمؿ مسار مغمؽ لكؿ خمية فارغة يبدأ بالخمية غير مستخدمة فارغة تحيط بيا خبليا مشغولة في‬ ‫الحؿ األولي وينتيي بيا واذا وجدنا أف مميء خمية معينة فارغة يؤدي إلى تقميؿ التكاليؼ نعدؿ‬

‫الجدوؿ‬

‫صفذخ ‪ 351‬يٍ ‪555‬‬



‫شروط وخطوات استخداـ المسار المتعرج‪:‬‬

‫‪ -1‬التحقؽ مف قانوف عدد الخبليا المستخدمة = عدد الصفوؼ ‪ +‬عدد األعمدة – ‪1‬‬ ‫‪ -5‬تحديد عدد الخبليا الفارغة التي ال تحتوي عمى كميات = عدد المسارات الحرجة‬

‫‪ -3‬يجب البدء والنياية لممسار المغمؽ عند الخمية الفارغة المراد تقييميا ونعود إلى الخمية‬ ‫الفارغة بأقصر مسافة ممكنة‬ ‫‪ -4‬ونسير عمى الخبليا الممتمئة المشغولة فقط إما أفقيا أو عموديا المسار يكوف خطوط‬ ‫مستقيمة عمودية عمى الخبليا المشغولة بزوايا قائمة‬

‫‪ -5‬لكؿ خمية غير مشغولة مسار واحد فقط اقصر ما يمكف‬ ‫‪ -6‬نؤشر عمى التكمفة بدوائر نبدأ ‪ +‬ثـ – ثـ ‪ +‬ثـ – ويغمؽ المسار‬ ‫‪ -7‬نحسب التكمفة غير مباشرة لكؿ خمية فارغة حتى يتبيف ىؿ تؤثر عمى التكاليؼ‬ ‫‪ -8‬الحؿ األمثؿ ىو التكمفة غير مباشرة لكؿ خمية فارغة موجبو أو صفر يعني المسار غير‬ ‫مجدي لكف إف كاف المسار سالب يعني انو مجدي ويجب فتحة وتعديمو ألنو سيخفض‬ ‫التكاليؼ‬ ‫‪ -9‬ولمحفاظ عمى عدـ سمبية الخبليا نأخذ الخبليا اقؿ قيمة سالبة بالتكاليؼ ‪:‬‬

‫وتطرح كميتيا في الخمية مف الخبليا السالبة وتجمع إلى الخبليا الموجبة بذلؾ يتـ تعديؿ‬

‫الجدوؿ‪.‬‬ ‫كيؼ يتـ تعديؿ جدوؿ النقؿ؟‬

‫يتـ اختيار المسارات السالبة األكثر في التخفيض يتـ اختياره وتعديؿ الخمية نفسيا بأخذ مسارىا‬ ‫المتعرج ويتـ مقارنة الكميات في التكمفة غير مباشرة السالبة بينيا واختيار الكمية األقؿ تطرح مف‬ ‫الخبليا السالبة وتضاؼ لمخبليا الموجبة‬ ‫ماذا نعني باختبار أمثمية الحؿ؟‬

‫بمعنى ىؿ ممكف نقمؿ مف تكمفة النقؿ لممشكمة المعنية مف التكاليؼ الكمية أـ ىي اقؿ تكمفة نقؿ‬ ‫ممكنة وال يتـ تقميميا = التأكد ىؿ الحؿ امثؿ أـ ال ىي يمكف تخفيض التكمفة أو ال‬ ‫صفذخ ‪ 351‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجد الحؿ األمثؿ بطريقة المسار المتعرج؟‬ ‫‪D2‬‬ ‫‪D3‬‬ ‫‪Supply‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪14‬‬

‫‪7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪30\30‬‬

‫‪10‬‬

‫‪11‬‬

‫‪9‬‬

‫‪S\D‬‬

‫‪9‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S1‬‬ ‫‪S2‬‬ ‫‪S3‬‬ ‫‪DEMAND‬‬

‫المسار المتعرج‪:‬‬

‫الخاليا المستخدمة = عدد الصفوؼ ‪ +‬عدد األعمدة – ‪ 3 = 0 – 3 + 3 = 0‬خاليا‬

‫مشغولة‬

‫توجد ‪ 8‬خاليا فارغة = ‪ 8‬مسارات متعرجة‬ ‫خمية‬

‫‪S1,D3‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4‬‬

‫‪Indirect cost = 8 -0 + 4 – 1 = + 11‬‬ ‫مسار موجب غير مجدي فتحو‬

‫صفذخ ‪ 355‬يٍ ‪555‬‬


‫خمية‬


‫‪S2,D1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4‬‬

‫‪9‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪Indirect cost = 2 - 5 + 1 – 4 = - 6‬‬ ‫مسار سالب مجدي فتحو‬

‫خمية ‪S3,D1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪9‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪Indirect cost = 3 - 5 + 1 – 4 + 0 – 7 = - 12‬‬ ‫مسار سالب مجدي فتحو‬

‫صفذخ ‪ 353‬يٍ ‪555‬‬



‫خمية ‪S3,D2‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪Indirect cost = 6 - 4 + 0 – 7 = - 5‬‬ ‫مسار سالب مجدي فتحو‬ ‫بالنظر إلى المسارات المتعرجة نأخذ السالبة ألنيا المجدية في فتح المسارات‬ ‫‪= - 12‬ونختار األكبر في التكاليؼ المخفضة نجدىا‬

‫يجب تعديميا ‪S3,D1‬خمية‬

‫‪7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪9‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪Indirect cost = 3 - 5 + 1 – 4 + 0 – 7 = - 12‬‬ ‫التكاليؼ السالبة نأخذ مقارنو بيف كمياتيا في الجدوؿ‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪–4‬‬ ‫‪–7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫نختار اقؿ كمية وتجمع لمموجبة وتطرح لمسالبة‬ ‫صفذخ ‪ 354‬يٍ ‪555‬‬


‫‪7+4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4-4‬‬

‫‪7‬‬

‫الجدوؿ المعدؿ‬ ‫‪Supply‬‬

‫‪14‬‬

‫‪3+4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7-4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪11‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪30\30‬‬

‫‪9-4‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪11‬‬

‫‪3‬‬

‫‪o-4‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪12‬‬


‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪3‬‬


‫نحسب التكاليؼ الكمية=‬ ‫‪TC = 5x5 + 1x7 + 4x3 + 0x11 + 3x4 = 56 JD‬‬ ‫مقارنة فرؽ التكاليؼ بيف‪:‬‬

‫الزاوية الشمالية الغربية =‪ 018‬دينار‬ ‫وبعد التعديؿ بالمسار المتعرج = ‪ 32‬دينار‬

‫الفرؽ = ‪ 84‬دينار نتيجة شغؿ الخمية ‪S3,D1‬‬

‫صفذخ ‪ 355‬يٍ ‪555‬‬



‫نقوـ باختبار أمثمية الحؿ لمجدوؿ الثاني بالمسار المتعرج‪:‬‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪D2‬‬ ‫‪D3‬‬ ‫‪Supply‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪11‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪30\30‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪3‬‬


‫المسار المتعرج‪:‬‬ ‫الخاليا المستخدمة = عدد الصفوؼ ‪ +‬عدد األعمدة – ‪ 3 = 0 – 3 + 3 = 0‬خاليا‬

‫مشغولة‬


‫‪S1,D3‬‬

‫‪11‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪Indirect cost = 8 - 0 + 4 – 1 = +11‬‬ ‫مسار موجب غير مجدي فتحو‬

‫صفذخ ‪ 356‬يٍ ‪555‬‬


‫خمية‬


‫‪S2,D1‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪Indirect cost = 2 - 5 + 1 – 4 = - 6‬‬ ‫مسار سالب مجدي فتحو‬ ‫خمية ‪S3,D2‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬


‫صفذخ ‪ 357‬يٍ ‪555‬‬




‫‪11‬‬

‫‪0‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪Indirect cost = 7 - 3 + 5 – 1 + 4 – 0 = + 12‬‬ ‫مسار موجب غير مجدي فتحو‬ ‫خمية‬

‫‪S2,D1‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪Indirect cost = 2 - 5 + 1 – 4 = - 6‬‬ ‫مسار سالب مجدي فتحو‬ ‫بالنظر إلى المسارات المتعرجة نأخذ السالبة ألنيا المجدية في فتح المسارات‬ ‫ونختار األكبر في التكاليؼ المخفضة نجدىا ‪= - 6‬‬

‫صفذخ ‪ 358‬يٍ ‪555‬‬



‫خمية ‪ S2,D1‬يجب تعديميا‬ ‫‪Indirect cost = 2 - 5 + 1 – 4 = - 6‬‬ ‫التكاليؼ السالبة نأخذ مقارنو بيف كمياتيا في الجدوؿ‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪–4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫نختار اقؿ كمية وتجمع لمموجبة وتطرح لمسالبة‬


‫‪D2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪11‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪30\30‬‬

‫‪3-3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0+3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪7+3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5-3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪11‬‬

‫‪10‬‬

‫‪S\D‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫نحسب التكاليؼ الكمية=‬ ‫‪TC = 5x2 + 1x10 + 2x3 + 0x11 + 3x4 = 38 JD‬‬ ‫صفذخ ‪ 359‬يٍ ‪555‬‬



‫توصمنا لمحؿ األمثؿ خفضت التكاليؼ ‪ 04‬دينار وىو نفس حؿ طريقة فوجؿ التقريبية واقؿ‬

‫التكاليؼ‬

‫اختبار أمثمية الحؿ‪:‬‬ ‫المسار المتعرج‪:‬‬


‫مشغولة‬


‫‪S1,D3‬‬

‫خمية‬

‫‪S2,D2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪11‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪10‬‬


‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Indirect cost = 4 - 2 + 5 – 1 = + 6‬‬ ‫مسار موجب غير مجدي فتحو‬ ‫صفذخ ‪ 331‬يٍ ‪555‬‬



‫خمية ‪S3,D2‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪Indirect cost = 6 - 3 + 5 – 1 = +7‬‬ ‫مسار موجب غير مجدي فتحو‬ ‫خمية ‪S3,D1‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪Indirect cost = 7 - 3 + 2 – 0 = + 6‬‬ ‫مسار موجب غير مجدي فتحو‬ ‫الحؿ امثؿ الف المسارات المتعرجة موجبة غير مجدي المسار وال يحتاج إلى تعديؿ‬

‫القرار‪ :‬يتـ نقؿ ‪ 31‬وحدة بتكمفة ‪ 34‬دينار وال يمكف تخفيضيا إلى اقؿ مف ذلؾ‪.‬‬

‫صفذخ ‪ 331‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجد الحؿ الممكف لمشكمة النقؿ‪ ،‬ثـ اوجد الحؿ األمثؿ بطريقة المسار المتعرج؟‬ ‫‪S\D‬‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪D2‬‬ ‫‪D3‬‬ ‫‪Supply‬‬ ‫‪800‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪600‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪500‬‬

‫‪700‬‬

‫‪1200‬‬

‫نوجد الحؿ باستخداـ طريقة ال ازوية الشمالية الغربية‪:‬‬ ‫‪D2‬‬ ‫‪D3‬‬ ‫‪Supply‬‬ ‫‪800‬‬

‫‪5‬‬

‫‪600‬‬

‫‪3‬‬

‫‪200‬‬

‫‪1‬‬

‫‪300‬‬

‫‪700‬‬

‫‪1000‬‬ ‫‪2400\2400‬‬

‫‪700‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪S\D‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪800‬‬

‫‪8‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪400‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪500‬‬

‫‪1200‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫التكاليؼ الكمية=‬ ‫‪TC = 8x800 + 6x400 + 4x200 + 3x300 + 1x700 = 11200 JD‬‬

‫صفذخ ‪ 335‬يٍ ‪555‬‬



‫نختبر أمثمية الحؿ بالمسار المتعرج‪:‬‬ ‫المسار المتعرج‪:‬‬


‫مشغولة‬

‫توجد ‪ 8‬خاليا فارغة = ‪ 8‬مسارات متعرجة لكف خمية ‪ S2,D3‬ليس ليا مسار‬ ‫خمية‬

‫‪S1,D2‬‬

‫‪200‬‬

‫‪2‬‬

‫‪800‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪400‬‬

‫‪6‬‬

‫‪Indirect cost = 2 - 4 + 6 – 8 = - 4‬‬ ‫مسار سالب مجدي فتحو‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪800‬‬

‫‪8‬‬


‫‪700‬‬

‫‪3‬‬

‫‪200‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪300‬‬

‫‪3‬‬

‫‪400‬‬

‫‪6‬‬

‫‪Indirect cost = 5 - 1 + 3 – 4 + 6 – 8 = + 1‬‬ ‫مسار موجب غير مجدي فتحو‬ ‫صفذخ ‪ 333‬يٍ ‪555‬‬


‫خمية‬

‫‪S2,D3‬‬

‫خمية‬

‫‪S3,D1‬‬

‫‪700‬‬


‫‪3‬‬

‫‪200‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪300‬‬

‫‪3‬‬

‫‪Indirect cost = 3 – 1 + 3 – 8 = + 1‬‬ ‫مسار موجب غير مجدي فتحو‬

‫‪200‬‬

‫‪4‬‬

‫‪300‬‬

‫‪3‬‬

‫‪400‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪Indirect cost = 2 - 6 + 4 – 3 = - 3‬‬ ‫مسار سالب مجدي فتحو‬ ‫بالنظر إلى المسارات المتعرجة نأخذ السالبة ألنيا المجدية في فتح المسارات‬ ‫ونختار األكبر في التكاليؼ المخفضة نجدىا ‪= - 4‬‬

‫صفذخ ‪ 334‬يٍ ‪555‬‬



‫خمية ‪ S1,D2‬يجب تعديميا‬ ‫‪Indirect cost = 2 - 4 + 6 – 8 = - 4‬‬ ‫مسار سالب مجدي فتحو‬ ‫التكاليؼ السالبة نأخذ مقارنو بيف كمياتيا في الجدوؿ‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪–8‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪800‬‬ ‫نختار اقؿ كمية وتجمع لمموجبة وتطرح لمسالبة‬


‫‪0+200‬‬

‫‪2‬‬

‫‪800-200‬‬

‫‪8‬‬

‫‪200-200‬‬

‫‪4‬‬

‫‪400+200‬‬

‫‪6‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪800‬‬

‫‪5‬‬

‫‪600‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪700‬‬

‫‪1000‬‬ ‫‪2400\2400‬‬

‫‪700‬‬

‫‪1‬‬

‫‪200‬‬

‫‪300‬‬

‫‪S\D‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪600‬‬

‫‪8‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪600‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪500‬‬

‫‪1200‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫التكاليؼ الكمية=‬ ‫‪TC = 8x600 + 6x600 + 2x200 + 3x300 + 1x700 = 10400 JD‬‬ ‫صفذخ ‪ 335‬يٍ ‪555‬‬





‫مشغولة‬

‫توجد ‪ 8‬خاليا فارغة = ‪ 8‬مسارات متعرجة‬ ‫لكف خمية ‪ S2,D3‬ليس ليا مسار‬


‫‪700‬‬

‫‪5‬‬

‫‪200‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪300‬‬

‫‪3‬‬

‫‪Indirect cost = 5 – 1 + 3 – 2 = + 5‬‬ ‫مسار موجب غير مجدي فتحو‬ ‫خمية ‪S2,D2‬‬ ‫‪200‬‬

‫‪2‬‬

‫‪600‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪600‬‬ ‫‪4‬‬ ‫`‬ ‫`‬ ‫‪Indirect cost = 4 – 6 + 8 – 2 = + 4‬‬ ‫مسار موجب غير مجدي فتحو‬

‫صفذخ ‪ 336‬يٍ ‪555‬‬



‫خمية ‪S3, D1‬‬ ‫‪200‬‬

‫‪2‬‬

‫‪300‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪600‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Indirect cost = 2 – 8 + 2 – 3 = - 7‬‬ ‫مسار سالب مجدي فتح‬ ‫ننظر إلى التكاليؼ السالبة‬ ‫‪- 8 -3‬‬ ‫‪600 300‬‬ ‫نختار اقؿ كمية وتجمع لمموجبة وتطرح لمسالبة‬ ‫‪200+300‬‬

‫‪2‬‬

‫‪600-300‬‬

‫‪8‬‬

‫‪300-300‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0+300‬‬

‫‪2‬‬

‫صفذخ ‪ 337‬يٍ ‪555‬‬



‫‪D2‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪800‬‬

‫‪5‬‬

‫‪600‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪700‬‬

‫‪1000‬‬ ‫‪2400\2400‬‬

‫‪500‬‬

‫‪700‬‬


‫‪S\D‬‬

‫‪2‬‬

‫‪300‬‬

‫‪8‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪600‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪300‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪500‬‬

‫‪1200‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫التكاليؼ الكمية=‬ ‫‪TC = 8 x300 + 6x600 + 2x300 + 2x500 + 1x700 = 8300 JD‬‬ ‫نختبر أمثمية الحؿ بالمسار المتعرج‪:‬‬ ‫المسار المتعرج‪:‬‬


‫مشغولة‬

‫توجد ‪ 8‬خاليا فارغة = ‪ 8‬مسارات متعرجة‬ ‫خمية ‪S1,D3‬‬

‫‪700‬‬

‫‪5‬‬

‫‪300‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪300‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Indirect cost = 5 – 1 + 2 – 8 = + 4‬‬ ‫مسار موجب غير مجدي فتحو‬ ‫صفذخ ‪ 338‬يٍ ‪555‬‬



‫خمية ‪S2,D2‬‬ ‫‪500‬‬

‫‪2‬‬

‫‪300‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪600‬‬

‫‪6‬‬

‫‪Indirect cost = 4 – 2 + 2 – 6 = +4‬‬ ‫مسار موجب مجدي فتحو‬


‫‪700‬‬

‫‪3‬‬

‫‪600‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪300‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Indirect cost = 3 – 1 + 2 – 6 = -2‬‬ ‫مسار سالب مجدي فتحو‬

‫خمية ‪S3,D2‬‬ ‫‪500‬‬

‫‪2‬‬

‫‪300‬‬

‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪300‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Indirect cost = 3 – 2 + 8 – 2 = +7‬‬ ‫مسار موجب غير مجدي فتحو‬ ‫خمية ‪ S2,D3‬نقوـ بتعديؿ مسارىا‬

‫ننظر إلى التكاليؼ السالبة‬ ‫‪- 1 -6‬‬ ‫‪700 600‬‬ ‫نختار اقؿ كمية وتجمع لمموجبة وتطرح لمسالبة‬ ‫صفذخ ‪ 339‬يٍ ‪555‬‬



‫تعديؿ خمية ‪S2,D3‬‬


‫‪0 + 600‬‬

‫‪3‬‬

‫‪600-600‬‬

‫‪6‬‬

‫‪700-600‬‬

‫‪300+600 1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪800‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪500‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪600‬‬

‫‪600‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪100‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2400\2400‬‬

‫‪500‬‬

‫‪700‬‬

‫‪300‬‬

‫‪900‬‬ ‫‪1200‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪2‬‬


‫التكاليؼ الكمية=‬ ‫‪TC = 8x300 + 2x500 +3x600 + 2x900 + 1x100 = 7100 JD‬‬



‫مشغولة‬

‫توجد ‪ 8‬خاليا فارغة = ‪ 8‬مسارات متعرجة‬

‫صفذخ ‪ 341‬يٍ ‪555‬‬




‫‪100‬‬

‫‪5‬‬

‫‪300‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪900‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Indirect cost = 5 – 1 + 2 – 8 = -2‬‬ ‫مسار سالب مجدي فتحو‬

‫خمية ‪S2,D1‬‬ ‫‪600‬‬

‫‪3‬‬

‫‪100‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪900‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Indirect cost = 6 – 3 + 1 – 2 = +2‬‬ ‫مسار موجب غير مجدي فتحو‬

‫خمية ‪S2,D2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪500‬‬

‫‪2‬‬

‫‪600‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪100‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪300‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪900‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Indirect cost = 4 – 2 + 8 – 2 + 1 – 3 = +7‬‬ ‫مسار موجب غير مجدي فتح‬

‫صفذخ ‪ 341‬يٍ ‪555‬‬



‫خمية ‪S3,D2‬‬ ‫‪500‬‬

‫‪2‬‬

‫‪300‬‬

‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪900‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Indirect cost = 3 – 2 + 8 – 2 = +7‬‬ ‫مسار موجب غير مجدي فتحو‬ ‫ننظر إلى التكاليؼ السالبة‬ ‫‪- 1 -8‬‬ ‫‪100 300‬‬ ‫نختار اقؿ كمية وتجمع لمموجبة وتطرح لمسالبة‬ ‫تعديؿ خمية ‪S1,D3‬‬ ‫‪0+100‬‬ ‫‪100-100‬‬

‫‪300-100‬‬

‫‪8‬‬

‫‪5‬‬

‫‪900+100 1‬‬

‫‪2‬‬

‫صفذخ ‪ 345‬يٍ ‪555‬‬



‫‪D3‬‬


‫‪D2‬‬

‫‪800‬‬

‫‪100‬‬

‫‪5‬‬

‫‪600‬‬

‫‪600‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1000‬‬ ‫‪2400\2400‬‬

‫‪500‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪700‬‬

‫‪200‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1000‬‬ ‫‪1200‬‬

‫‪500‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪2‬‬


‫التكاليؼ الكمية=‬ ‫‪TC =8x200+ 2 x1000 + 2x500 + 5x100 + 3x600 = 6900 JD‬‬ ‫نختبر أمثمية الحؿ بالمسار المتعرج‪:‬‬ ‫المسار المتعرج‪:‬‬


‫مشغولة‬

‫توجد ‪ 8‬خاليا فارغة = ‪ 8‬مسارات متعرجة‬

‫خمية‬

‫‪S2,D1‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪5‬‬

‫‪600‬‬

‫‪3‬‬

‫‪200‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪Indirect cost = 6 - 8 + 5 – 3 = 0‬‬ ‫مسار صفر غير مجدي فتحو‬ ‫صفذخ ‪ 343‬يٍ ‪555‬‬



‫خمية ‪S2,D2‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪5‬‬

‫‪600‬‬

‫‪3‬‬

‫‪500‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪Indirect cost = 4 - 2 + 5 – 3 = + 4‬‬ ‫مسار موجب غير مجدي فتحو‬

‫خمية ‪S3,D2‬‬ ‫‪500‬‬

‫‪2‬‬

‫‪200‬‬

‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Indirect cost = 3 - 2 + 8 – 2 = + 7‬‬ ‫مسار موجب غير مجدي فتحو‬ ‫خمية ‪S3,D3‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪5‬‬

‫‪200‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Indirect cost = 1 - 2 + 8 – 5 = + 2‬‬ ‫مسار موجب غير مجدي فتحو‬ ‫صفذخ ‪ 344‬يٍ ‪555‬‬



‫الحؿ امثؿ الف جميع المسارات موجبة‬

‫القرار‪ :‬سيتـ نقؿ ‪ 6811‬وحدة بتكمفة ‪ 2911‬دينار وال يمكف تخفيضيا إلى اقؿ مف ذلؾ‬

‫ونالحظ أف الحؿ األمثؿ الذي توصمنا إليو ىو نفس حؿ جدوؿ النقؿ بطريقة فوجؿ التقريبية‬

‫نوجد الحؿ باستخداـ طريقة فوجؿ التقريبية‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪D3‬‬ ‫‪Supply‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪800‬‬

‫‪2 500 5 100‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪600‬‬

‫‪3 600‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2400\2400‬‬ ‫‪7\5‬‬

‫‪200‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪2 1000 3‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪700‬‬

‫‪500‬‬

‫‪1200‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬

‫التكاليؼ الكمية=‬ ‫‪TC =8x200+ 2 x1000 + 2x500 + 5x100 + 3x600 = 6900 JD‬‬ ‫نختبر أمثمية الحؿ بالمسار المتعرج‪:‬‬ ‫المسار المتعرج‪:‬‬


‫مشغولة‬

‫توجد ‪ 8‬خاليا فارغة = ‪ 8‬مسارات مت‬ ‫صفذخ ‪ 345‬يٍ ‪555‬‬


‫خمية‬


‫‪S2,D1‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪5‬‬

‫‪600‬‬

‫‪3‬‬

‫‪200‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪Indirect cost = 6 - 8 + 5 – 3 = 0‬‬ ‫مسار صفر غير مجدي فتحو‬ ‫خمية ‪S2,D2‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪5‬‬

‫‪600‬‬

‫‪3‬‬

‫‪500‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬


‫خمية ‪S3,D2‬‬ ‫‪500‬‬

‫‪2‬‬

‫‪200‬‬

‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪2‬‬


‫صفذخ ‪ 346‬يٍ ‪555‬‬



‫خمية ‪S3,D3‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪5‬‬

‫‪200‬‬

‫‪8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪2‬‬


‫الحؿ امثؿ الف جميع المسارات موجبة‬ ‫القرار‪ :‬سيتـ نقؿ ‪ 6811‬وحدة بتكمفة ‪ 2911‬دينار وال يمكف تخفيضيا إلى اقؿ مف ذلؾ‬

‫صفذخ ‪ 347‬يٍ ‪555‬‬




‫وازف جدوؿ النقؿ التالي؟‬

‫ثـ اوجد الحؿ األفضؿ باستخداـ طريقة فوجؿ التقريبية؟‬

‫ثـ اوجد الحؿ األمثؿ باستخداـ طريقة المسار المتعرج؟‬ ‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪25‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪15‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪70/60‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪10‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪30‬‬

‫‪30‬‬

‫‪DEMAND‬‬


‫ننظر لمكميات المطموبة = ‪ 71‬والكميات المعروضة = ‪21‬‬ ‫الطمب اكبر مف العرض‬

‫يتـ إضافة صؼ جديد ثالث تكمفتو = صفر‪ ،‬وكميتو = ‪ 01‬وىي الفرؽ بيف الطمب والعر‬

‫صفذخ ‪ 348‬يٍ ‪555‬‬


‫‪D3‬‬


‫‪SUP‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪25‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪15‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S4‬‬

‫‪70\70‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪30‬‬

‫‪DEM‬‬

‫‪30‬‬

‫وبذلؾ توازف الجدوؿ في الحؿ‬ ‫نستخدـ طريقة فوجؿ التقريبية إليجاد الحؿ االفضؿ‬

‫‪4‬‬

‫‪OC‬‬ ‫‪1 1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪25‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪2‬‬

‫‪15‬‬

‫‪3‬‬

‫‪-‬‬

‫‪-‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪SUP‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪4‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪70\70‬‬ ‫‪2\4‬‬

‫‪D3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪0 10‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S4‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪20‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪DEM‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪OC‬‬

‫‪TC = 0×10 + 2×20 + 3×5 + 1×15 + 0×10+ 1× 10 = 80JD‬‬ ‫صفذخ ‪ 349‬يٍ ‪555‬‬



‫نختبر أمثمية الحؿ بالمسار المتعرج‪:‬‬

‫المسار المتعرج‪:‬‬


‫مشغولة‬

‫توجد ‪2‬خاليا فارغة = ‪ 2‬مسارات متعرجة‬ ‫‪(S1,D2) = 4 – 3 + 2 – 0 = +3‬‬ ‫‪(S2,D3) = 4 – 2 + 0 – 1 = +1‬‬ ‫‪(S3,D1) = 5 – 2 + 3 – 1 = +5‬‬ ‫‪(S3,D3) = 5 – 1 +3 -2 +0 -1 = +2‬‬ ‫‪(S4,D1)= 0 – 2 + 3 – 0 = +1‬‬ ‫‪(S4,D3) = 0 – 1 +0 – 2 +5 – 0 = 0‬‬ ‫بما اف جميع مسارات المتعرجة موجبة واصفار‬ ‫اذف تعتبر الحؿ االمثؿ‬

‫وال يمكف تخفيضو ألقؿ مف ذلؾ وال يحتاج الى تعديؿ‬

‫القرار‪ :‬نقؿ ‪ 71‬وحدة ب ‪ 41‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 351‬يٍ ‪555‬‬

‫‪1‬‬‫‪2‬‬‫‪3‬‬‫‪4‬‬‫‪5‬‬‫‪6-‬‬




‫لمجدوؿ التالي اختبر االمثمية بطريقة المسار المتعرج؟‬

‫‪OC‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪SUP‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪25‬‬

‫‪4‬‬

‫‪15‬‬

‫‪2‬‬

‫‪15‬‬

‫‪3‬‬

‫‪15‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪70\70‬‬

‫‪2\4‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪0 20‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪S4‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪10‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪DEM‬‬ ‫‪OC‬‬

‫‪TC = 0×20 + 2×10 + 3×15 + 1×15 + 0×10 = 80JD‬‬ ‫نختبر أمثمية الحؿ بالمسار المتعرج‪:‬‬ ‫المسار المتعرج‪:‬‬


‫مشغولة‬

‫لكف المتوفر ‪ 3‬خاليا مشغولة يفشؿ اختبار االمثمية فيكوف الحؿ امثؿ وال يمكف تخفيض‬ ‫التكاليؼ الى اقؿ مف ‪ 41‬دينار فيتـ نقؿ ‪ 71‬وحدة بتكمفة نقؿ ‪ 41‬دينار‬

‫نتيجة حاصمة لفشؿ الحؿ لوجود مشكمة االنحالؿ وىي اختالؿ شرط استخداـ اختبار االمثمية‬

‫صفذخ ‪ 351‬يٍ ‪555‬‬



‫الطريقة الثانية واالحدث‬

‫لمحصوؿ عمى أمثمية الحؿ يتـ اختبار جدوؿ النقؿ‪:‬‬

‫طريقة التوزيع المعدلة)‪Modified Distribution Method (MODI‬‬ ‫ثانياً‪ :‬طريقة التوزيع المعدلة‬

‫طريقة تعتبر أسيؿ مف المسار المتعرج‪ ،‬يتـ عمميا بفرض معادلة مف الصفوؼ واألعمدة‬

‫والتكمفة‬

‫خطوات حؿ بطريقة التوزيع المعدلة‪:‬‬

‫‪ -0‬التحقؽ مف ‪ :‬عدد الخاليا المستخدمة = عدد الصفوؼ ‪ +‬عدد األعمدة – ‪0‬‬ ‫‪ -6‬تكويف معادلة ‪:‬‬

‫‪Vi = Cij‬‬ ‫تكمفة الخمية التي تقع في الصؼ‪ i‬والعمود ‪j‬‬

‫‪Ui +‬‬

‫الموجودة في المربعات الصغيرة‬ ‫=‬

‫المتغير الخاص بالعمود ‪ + j‬المتغير الخاص بالصؼ ‪i‬‬

‫\التي تقع في الخمية المعنية‬

‫التي تقع في الخمية المعنية‬

‫‪ -3‬إيجاد حؿ المعادالت الخاصة لمخاليا المشغولة‪:‬‬ ‫وذلؾ بطريقة التعويض وىو بفرض احد المجاىيؿ = صفر‬

‫ويتـ إيجاد قيـ متغيرات الصفوؼ ‪U1 U2 U3‬‬

‫وقيـ متغيرات األعمدة ‪V1 V2 V3‬‬

‫األكثر تك ار ار‬

‫‪ -8‬يتـ تقييـ كؿ خمية فارغة غير مشغولة بحساب التكمفة غير مباشرة‬ ‫‪Eij = Cij - Ui - Vi‬‬ ‫‪ -3‬إيجاد تقييـ الخاليا الفارغة لممسار الحرج المسار المغمؽ لخمية‬ ‫صفذخ ‪ 355‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ -2‬تعديؿ جدوؿ النقؿ مثؿ المسار الحرج النظر إلى التكاليؼ السالبة في المسار وطرح‬ ‫كميتو مف التكمفة السالبة وأضافو الكمية لمخاليا الموجبة‬

‫‪ -7‬إذا كانت قيـ ‪ Eij‬تقيـ الخاليا الفارغة موجبة أو صفر تعني الحؿ األمثؿ‬ ‫‪ -4‬تحسب تكمفة آخر جدوؿ تـ تعديمو‬

‫صفذخ ‪ 353‬يٍ ‪555‬‬




‫اوجدي الحؿ لمشكمة النقؿ باستخداـ طريقة فوجؿ التقريبية؟‬

‫ثـ اختبر أمثمية الحؿ باستخداـ طريقة التوزيع المعدلة؟‬

‫قارف النتيجة مع طريقة المسار المتعرج؟‬ ‫‪D2‬‬ ‫‪D3‬‬ ‫‪Supply‬‬

‫‪S\D‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪40‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪50‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪30‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪120\120‬‬

‫‪10‬‬

‫طريقة فوجؿ التقريبية‪:‬‬ ‫‪Supply‬‬ ‫‪OC‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪40‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪50‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪120\120‬‬

‫‪3\13‬‬

‫‪60‬‬

‫‪D3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪40‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪10‬‬

‫‪50‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪20‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪S1‬‬

‫‪9‬‬

‫‪40‬‬

‫‪6‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪3‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪60‬‬

‫‪50‬‬

‫‪DEMAND‬‬ ‫‪OC‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬‫‪TC = 6x40 + 3 x10 + 4x40 + 5x20 + 0x10 = 530 JD‬‬ ‫صفذخ ‪ 354‬يٍ ‪555‬‬



‫نختبر أمثمية الحؿ بطريقة التوزيع المعدلة‪:‬‬


‫مشغولة‬

‫توجد ‪ 3‬خاليا مشغولة = ‪ 3‬معادالت‬ ‫توجد ‪ 8‬خاليا فارغة = ‪ 8‬تقييمات‬ ‫الخاليا المشغولة‪:‬‬

‫تكويف معادلة ثـ إيجاد حؿ المعادالت الخاصة لمخاليا المشغولة‪:‬‬ ‫وذلؾ بطريقة التعويض وىو بفرض احد المجاىيؿ = صفر‬ ‫القيمة‬

‫معادلة التعويض‬ ‫‪Ui + Vi = Cij‬‬

‫الخمية‬ ‫المشغولة‬

‫‪U2= 0‬‬ ‫‪V1 = 6‬‬

‫‪0 + V1 = 6‬‬

‫‪U2 + V1 = C21‬‬

‫‪S2, D1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪V3 = 0‬‬

‫‪0 + V3 = 0‬‬

‫‪U2 + V3 = C23‬‬

‫‪S2, D3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪U3 = -3‬‬

‫‪U3 + 6 = 3‬‬

‫‪U3 + V1 = C31‬‬

‫‪S3, D1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪V2 = 8‬‬

‫‪-3 + V2 = 5‬‬

‫‪U3 + V2 = C32‬‬

‫‪S3, D2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪U1 = -4‬‬

‫‪U1 + 8 = 4‬‬

‫‪U1 + V2 = C12‬‬

‫‪S1, D2‬‬

‫‪5‬‬

‫صفذخ ‪ 355‬يٍ ‪555‬‬


‫القرار‬


‫القيمة‬


‫الخمية‬

‫معادلة التقييـ‬ ‫‪Eij = Cij - Ui - Vi‬‬

‫الفارغة‬

‫غير مجدي‬

‫‪+3‬‬

‫=‪= 5 – (-4) – 6‬‬

‫‪1 S1 , D1 E11 = C11 - U1 - V1‬‬


‫‪+4‬‬

‫= ‪= 0 – (-4) – 0‬‬

‫‪E13 = C13 - U1 - V3‬‬

‫‪2 S1, D3‬‬


‫‪+1‬‬

‫=‪=9–0 -8‬‬

‫‪E22 = C22 - U2 - V2‬‬

‫‪3 S2 , D2‬‬


‫‪+3‬‬

‫= ‪= 0 – (-3) – 0‬‬

‫‪E33 = C33 - U3 - V3‬‬

‫‪4 S3,D3‬‬

‫بما أف قيـ ‪ Cij‬تقييـ الخاليا الفارغة موجبة أو صفر تعني الحؿ األمثؿ‬ ‫القرار‪ :‬سيتـ نقؿ ‪ 061‬وحدة بتكمفة ‪ 331‬دينار وال يمكف تخفيضو إلى اقؿ مف ذلؾ‬ ‫طريقة المسار المتعرج‪:‬‬



‫مشغولة‬

‫توجد ‪8‬خاليا فارغة = ‪ 8‬مسارات متعرجة‬ ‫‪(S1,D1) = 5 – 4 + 5 – 3 = +3‬‬ ‫‪(S1,D3) = NO PATH‬‬ ‫‪(S2,D2) = 9 – 5 + 3 – 6 = +1‬‬ ‫‪(S3,D3) = 0 – 0 +6 -3 = +3‬‬ ‫بما اف جميع مسارات المتعرجة موجبة واصفار‬

‫اذف تعتبر الحؿ االمثؿ‬

‫وال يمكف تخفيضو ألقؿ مف ذلؾ وال يحتاج الى تعديؿ‬ ‫القرار‪ :‬نقؿ ‪ 061‬وحدة ب ‪ 331‬دينار‬ ‫صفذخ ‪ 356‬يٍ ‪555‬‬

‫‪1‬‬‫‪2‬‬‫‪3‬‬‫‪4-‬‬



‫مثاؿ شامؿ‬

‫‪D4‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪300‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪1200‬‬

‫‪11‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪100‬‬

‫‪13‬‬

‫‪6‬‬

‫‪9‬‬

‫‪10‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪400‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪600‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪200‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪400‬‬

‫انًطهىب ‪ :‬أوال‪ :‬اوجذ انحم األفضم نًشكهح انُمم ذحذَذ انطشَمح انًغرخذيح؟‬ ‫ثاَُا‪ :‬اوجذ انحم األيثم نًشكهح انُمم ترحذَذ انطشَمح انًغرخذيح؟‬ ‫الحؿ األفضؿ‬ ‫نوجد باستخداـ طريقة فوجؿ التقريبية‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪300‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1200‬‬

‫‪11‬‬

‫‪3‬‬

‫‪100‬‬

‫‪13‬‬

‫‪1600/1600‬‬ ‫‪7/7‬‬

‫‪D4‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪8‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪9‬‬

‫‪10‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪400‬‬

‫‪600‬‬

‫‪200‬‬

‫‪400‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪DEMA‬‬ ‫‪ND‬‬ ‫‪oc‬‬

‫تفشؿ طريقة فوجؿ التقريبية لتساوي مجموع الغرامات في الصفوؼ واألعمدة منذ البداية‬

‫صفذخ ‪ 357‬يٍ ‪555‬‬



‫نستخدـ طريقة اقؿ التكاليؼ‪:‬‬

‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪1200‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪1600/1600‬‬

‫‪D4‬‬

‫‪400‬‬

‫‪10‬‬

‫‪D3‬‬ ‫‪300‬‬

‫‪2‬‬

‫‪11‬‬

‫‪200‬‬

‫‪7‬‬

‫‪13‬‬

‫‪100‬‬

‫‪6‬‬

‫‪400‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪200‬‬

‫‪600‬‬

‫‪8‬‬

‫‪400‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪200‬‬

‫‪400‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪S3‬‬ ‫‪DEMA‬‬ ‫‪ND‬‬

‫نحسب التكاليؼ الكمية=‬ ‫‪TC = 2X300 + 5X400 + 8X200 + 7X200 + 11X400 + 6X100 = 10600JD‬‬ ‫نختبر أمثمية الحؿ باستخداـ طريقة التوزيع المعدلة‪:‬‬

‫الخاليا المستخدمة = عدد الصفوؼ ‪ +‬عدد األعمدة – ‪ 6 = 0 – 4 + 3 = 0‬خاليا‬ ‫مشغولة‬

‫توجد ‪ 3‬خاليا مشغولة = ‪ 3‬معادالت‬ ‫توجد ‪ 8‬خاليا فارغة = ‪ 8‬تقييمات‬ ‫الخاليا المشغولة‪:‬‬

‫تكويف معادلة ثـ إيجاد حؿ المعادالت الخاصة لمخاليا المشغولة‪:‬‬

‫صفذخ ‪ 358‬يٍ ‪555‬‬



‫وذلؾ بطريقة التعويض وىو بفرض احد المجاىيؿ = صفر‬ ‫القيمة‬

‫معادلة التعويض‬ ‫‪Ui + Vi = Cij‬‬

‫الخمية‬ ‫المشغولة‬

‫‪U2= 0‬‬ ‫‪V1 = 5‬‬

‫‪0 + V1 = 5‬‬

‫‪U2 + V1 = C21‬‬

‫‪S2, D1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪V2 = 8‬‬

‫‪0 + V2 = 8‬‬

‫‪U2 + V2 = C22‬‬

‫‪S2, D2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪V3 = 7‬‬

‫‪0 + V3 = 7‬‬

‫‪U2 + V3 = C23‬‬

‫‪S2, D3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪V4 = 11‬‬

‫‪0 + V4 = 11‬‬

‫‪U2 + V4 = C24‬‬

‫‪S2, D4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪U1 = -3‬‬

‫‪U1 + 7 = 2‬‬

‫‪U1 + V3 = C13‬‬

‫‪S1, D3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪U3 = -1‬‬

‫‪U3 +7 = 6‬‬

‫‪U3 + V3 = C33‬‬

‫‪S3, D3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪U3 = -1‬‬ ‫‪V3 = 7 V4 = 11‬‬

‫صفذخ ‪ 359‬يٍ ‪555‬‬

‫‪U2 = 0‬‬ ‫‪V2 = 8‬‬

‫‪U1 = 5‬‬ ‫‪V1 = 5‬‬



‫طريقة المسار المتعرج‪:‬‬


‫الخاليا المستخدمة = عدد الصفوؼ ‪ +‬عدد األعمدة – ‪ 6 = 1 – 4 + 3 = 0‬خاليا‬ ‫مشغولة‬

‫توجد ‪2‬خاليا فارغة = ‪ 2‬مسارات متعرجة‬ ‫‪(S1,D1) = 4 – 5 + 7 – 2 = +4‬‬ ‫‪(S1,D2) = 7-8 +7 – 2 = +4‬‬ ‫‪(S1,D4) = 10 – 11 + 7 – 2 = +4‬‬ ‫‪(S3,D1) = 10 – 5 + 7 -6 = +6‬‬ ‫‪(S3,D2) = 9 -8 + 7 – 6 = +2‬‬ ‫‪(S3,D4) = 13 = 11 + 7 – 6 = +3‬‬ ‫بما اف جميع مسارات المتعرجة موجبة واصفار‬

‫اذف تعتبر الحؿ االمثؿ‬

‫وال يمكف تخفيضو ألقؿ مف ذلؾ وال يحتاج الى تعديؿ‬

‫القرار‪ :‬نقؿ ‪ 0211‬وحدة ب ‪ 01211‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 361‬يٍ ‪555‬‬

‫‪1‬‬‫‪2‬‬‫‪3‬‬‫‪4‬‬‫‪5‬‬‫‪6-‬‬


‫القرار‬

‫غير‬


‫‪+4‬‬

‫القيمة‬


‫معادلة التقييـ‬ ‫‪Eij = Cij - Ui - Vi‬‬

‫=‪= 4 – (-5) – 5‬‬

‫‪E11 = C11 - U1 - V1‬‬

‫الخمية‬

‫الفارغة‬ ‫‪1 S1 , D1‬‬

‫مجدي‬

‫غير‬

‫‪+4‬‬

‫= ‪= 7 – (-5) – 8‬‬

‫‪E12 = C12 - U1 - V2‬‬

‫‪2 S1, D2‬‬

‫مجدي‬ ‫غير‬

‫‪+4‬‬

‫=‪= 10 – (-5) - 11‬‬

‫‪E14 = C14 - U1 - V4‬‬

‫‪3 S1 , D4‬‬

‫مجدي‬

‫غير‬

‫‪+6‬‬

‫= ‪=10 – (-1) – 5‬‬

‫‪E31 = C31 - U3 - V1‬‬

‫‪4 S3,D1‬‬

‫مجدي‬

‫غير‬

‫‪+2‬‬

‫‪=9 - (-1) – 8 = 2‬‬

‫‪E32= C32-U3-V2‬‬

‫‪5 S3,D2‬‬

‫مجدي‬ ‫غير‬

‫‪+3‬‬

‫‪= 13 – (-1) – 11‬‬

‫‪E34=C34-U3-V4‬‬

‫‪6 S3,D4‬‬

‫مجدي‬

‫بما أف قيـ ‪ Cij‬تقييـ الخاليا الفارغة موجبة أو صفر تعني الحؿ األمثؿ‬

‫القرار‪ :‬سيتـ نقؿ ‪ 0211‬وحدة بتكمفة ‪ 01211‬دينار وال يمكف تخفيضو إلى اقؿ مف ذلؾ‬

‫صفذخ ‪ 361‬يٍ ‪555‬‬



‫الحاالت الخاصة مف مشاكؿ النقؿ‪:‬‬

‫‪ .1‬عدـ التوازف ‪Unbalanced Transportation Problem‬‬ ‫فييا يكوف عدد المصادر ال يساوي عدد مراكز الطمب‬

‫إما الطمب اقؿ مف العرض أو الطمب اكبر مف العرض‬ ‫‪ .6‬االنحالؿ ‪Degeneracy In Transportation Problem‬‬

‫وفييا يكوف عدد الخبليا المشغولة اقؿ مف( عدد الصفوؼ ‪ +‬عدد األعمدة ‪ ) 1-‬يخؿ ىذا الشرط‬ ‫ويكوف االنحبلؿ مبدئي منذ بداية الحؿ أو بعد عدة مراحؿ مف الحؿ‬

‫‪ .3‬وجود أكثر مف امثؿ ‪More Than One Optimal Solution‬‬ ‫‪ .8‬مشكمة تعظيـ التكاليؼ ‪Maximization In Transportation Problem‬‬ ‫غير مقبوؿ نيائيا تعظيـ تكاليؼ النقؿ‬

‫‪ .3‬حموؿ غير مقبولة لوجود تكاليؼ عالية ‪Unacceptable Routes‬‬

‫صفذخ ‪ 365‬يٍ ‪555‬‬




‫السؤاؿ االوؿ‪:‬‬ ‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪350‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪380‬‬

‫‪9‬‬

‫‪9‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪470‬‬

‫‪10‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪500‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪300‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪400‬‬

‫انًطهىب ‪ :‬أوال‪ :‬اوجذ انحم األفضم نًشكهح انُمم ذحذَذ انطشَمح انًغرخذيح؟‬ ‫ثاَُا‪ :‬اوجذ انحم األيثم نًشكهح انُمم ترحذَذ انطشَمح انًغرخذيح؟‬

‫انغإال انثاٍَ‪:‬‬ ‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪7‬‬

‫‪D1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪10‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪8‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪10‬‬

‫‪6‬‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪10‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪50\50‬‬

‫‪D3‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪10‬‬

‫‪D2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪15‬‬

‫‪5‬‬

‫‪25‬‬

‫انًطهىب ‪ :‬اخرثش انحم األيثم نًشكهح انُمم ترحذَذ انطشَمح انًغرخذيح؟‬

‫صفذخ ‪ 363‬يٍ ‪555‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪DEMAND‬‬



‫انغإال انثانث‪:‬‬ ‫اوجذ انحم األفضم نًشكهح انُمم اِذُح ثى تاعرخذاو طشَمح انًغاس انًرؼشج‬ ‫احغة انركانُف انكهُح نًشكهح انُمم انرانُح؟‬ ‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪S\D‬‬ ‫‪S1‬‬

‫‪D3‬‬

‫‪D2‬‬

‫‪35‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪15‬‬

‫‪D1‬‬

‫‪25‬‬

‫‪DEMAND‬‬

‫‪20‬‬

‫انغإال انشاتغ‪:‬‬ ‫تاعرخذاو طشَمح انضاوَح انشًانُح انغشتُح احغة انركانُف انكهُح نًشكهح انُمم‬ ‫انرانُح؟ ثى اوجذ انحم األيثم تاعرخذاو طشَمح انرىصَغ انًؼذنح؟‬ ‫‪S\D‬‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪D2‬‬ ‫‪D3‬‬ ‫‪SUPPLY‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪35‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪S2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪S3‬‬

‫‪15‬‬

‫‪25‬‬

‫صفذخ ‪ 364‬يٍ ‪555‬‬

‫‪20‬‬

‫‪DEMAND‬‬



‫الفصؿ السابع‬

‫صفذخ ‪ 365‬يٍ ‪555‬‬



‫نموذج التعييف ‪Assignment model‬‬ ‫تعريؼ نموذج التخصيص أو التعييف‪:‬‬

‫ىو نموذج لمبرمجة الخطية ذو أغراض خاصة تستخدـ في حؿ المشكبلت التي تستدعي توزيع‬

‫المياـ عمى الموارد المتاحة‪ ,‬يستخدـ مف قبؿ متخذي القرار في منظمة األعماؿ‪ ,‬بيدؼ اختيار‬ ‫عدد مف التخصيصات التي تؤدي إلى خفض التكاليؼ وتعظيـ األرباح‪.‬‬ ‫التعييف ىو‪:‬‬

‫تعييف أشخاص أو اآلالت في وظائؼ معينة ومحددة بأقؿ التكاليؼ واكبر األرباح‪.‬‬

‫وىي اختيار أفضؿ تعييف بحيث يؤدي إلى خفض تكاليؼ التعييف وتعظيـ األرباح الناتجة مف‬ ‫التعييف‬ ‫مشاكؿ التعييف‪:‬‬

‫التعييف عبارة عف حالة خاصة مف مشاكؿ النقؿ وتتعمؽ بتعييف عدد معيف مف األجيزة أو العماؿ‬

‫إلنجاز عدد مف الوظائؼ‪ ,‬وذلؾ عف طريؽ تعييف جياز واحد أو عامؿ واحد لوظيفة واحدة‪.‬‬ ‫ويتطمب ذلؾ عدد المياـ يساوي عدد الوظائؼ‪.‬‬ ‫ىدؼ نموذج التعييف‪:‬‬

‫‪ .1‬تقميؿ التكاليؼ الكمية‬ ‫‪ .5‬تقميؿ الوقت لتحضير المياـ‬

‫صفذخ ‪ 366‬يٍ ‪555‬‬



‫أليو عمؿ نموذج التعييف‪:‬‬

‫يتـ التعبير عف مشكمة التعييف بمصفوفة مربعة (‪ 5* 5‬أو ‪ 3 *3‬أو ‪ )4 *4‬بحيث‬

‫يتساوى عدد الصفوؼ مع عدد األعمدة‬

‫بحيث تمثؿ الصفوؼ العماؿ أو األجيزة المرشحة‬ ‫وتمثؿ األعمدة المياـ أو الوظائؼ البلزـ انجازىا‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫مياـ \ وظائؼ‬

‫‪CA3‬‬

‫‪CA2‬‬

‫‪CA1‬‬

‫‪A‬‬

‫‪CB3‬‬

‫‪CB2‬‬

‫‪CB1‬‬

‫‪B‬‬

‫‪CC3‬‬

‫‪CC2‬‬

‫‪CC1‬‬

‫‪C‬‬

‫خصائص مشكمة التعييف‪:‬‬

‫‪ .1‬يجب أف يكوف تعييف واحد لمورد واحد لوظيفة واحدة وسيمة واحدة إلنجاز ميمة واحدة‬ ‫‪ .5‬ال يجوز تعييف أكثر مف وظيفة لمورد وأكثر مف مورد لوظيفة‬

‫‪ .3‬تساوي الصفوؼ مع األعمدة مع مصفوفة التعييف (عدد الصفوؼ = عدد األعمدة) متوازف‬ ‫‪ .4‬يجب أف يساوي الطمب والعرض ‪ 1‬صحيح ال يكوف ىناؾ كسور‬ ‫‪ .5‬في حالة عدـ تساوي الصؼ مع األعمدة يخمؽ نوع مف عدـ التوازف‬ ‫‪ .6‬يتـ إضافة صؼ أو عمود ويشغؿ بتكمفة أو ربح يساوي صفر‬ ‫‪ .7‬يتـ معرفة وتحديد الربح والتكمفة مسبقا ويجب تحديد التكمفة‬ ‫‪ .8‬شرط عدـ السمبية ألنيا واقعية‬

‫‪ .9‬تحديد اليدؼ مف التعييف إما تقميؿ تكاليؼ التعييف أو تعظيـ األرباح الناتجة مف التعييف‬

‫صفذخ ‪ 367‬يٍ ‪555‬‬



‫مكونات نموذج التعييف‪:‬‬ ‫‪ .1‬دالة ىدؼ‬

‫‪ .5‬قيود وسائؿ‬ ‫‪ .3‬قيود مياـ‬

‫‪ .4‬عدـ السمبية‬ ‫طرؽ حؿ مشاكؿ التعييف‪:‬‬

‫‪ .1‬طريقة النقؿ ‪Transportation Method‬‬ ‫‪ .5‬طريقة المبسطة السمبمكس ‪Simplex Method‬‬ ‫‪ .3‬طريقة العد الكامؿ ‪The Complete Enumeration Method‬‬ ‫‪ .4‬الطريقة الينغارية ‪Hungarian Method‬‬

‫قارف بيف طريقة العد الكامؿ والطريقة الينغارية؟‬ ‫وجو المقارنة‬

‫العد الكامؿ‬

‫الينجارية‬

‫االستخداـ‬

‫نموذج التعييف الثالثي فقط‬

‫نموذج تعيف أكثر مف ثالثي‬

‫اليدؼ‬

‫تقميؿ التكاليؼ وزيادة األرباح‬

‫تقميؿ التكاليؼ وزيادة األرباح‬

‫الطريقة‬

‫طريقة المضروب = ‪ 2‬بدائؿ متاحة‬

‫طرح الصفوؼ وطرح األعمدة‬

‫تفشؿ‬

‫عندما يكوف أكثر مف ثالثي‬

‫ال تفشؿ أبدا‬

‫صفذخ ‪ 368‬يٍ ‪555‬‬

‫والتغطية باال صفار‬



‫استخدامات وتطبيقات عممية لنماذج التخصيص‪:‬‬

‫تخصيص عدد معيف مف‬

‫‪ .1‬األجيزة ألداء مياـ‬

‫‪ .5‬العماؿ لشغؿ األعماؿ‬ ‫‪ .3‬المدراء لشغؿ مناصب إدارية‬ ‫‪ .4‬الباصات لتعيف خطوط نقؿ خارجية‬ ‫‪ .5‬الوكبلء لممناطؽ الجغرافية‬ ‫طريقة العد الكامؿ ‪The Complete Enumeration Method‬‬

‫التعريؼ‪ :‬طريق ة يتـ فييا تحديد جميع البدائؿ لتوزيع عدد معيف مف العماؿ إلى عدد معيف مف‬ ‫الوظائؼ ثـ نختار البديؿ المناسب الذي يؤدي إلى تخفيض التكاليؼ أو تعظيـ األرباح‪.‬‬

‫االستخداـ‪ :‬مف ابسط الطرؽ استخداما في التعييف وتستخدـ فقط في حاؿ وجود ثبلث وظائؼ‬ ‫فقط لثبلث مياـ فقط أكثر مف ذلؾ ال يتـ استخداـ طريقة العد الكامؿ‪.‬‬

‫كيفية الحؿ‪ :‬يمكف إيجاد عدد البدائؿ باستخداـ مبدأ طرؽ العد عف طريؽ المضروب أو‬ ‫المفكوؾ ‪Factorial‬‬

‫‪N! = n (n-1)(n-2) ……. 3 x 2 x 1‬‬

‫صفذخ ‪ 369‬يٍ ‪555‬‬



‫خطوات إجراء طريقة العد الكامؿ‪:‬‬

‫‪ -1‬حساب عدد البدائؿ المحتممة لمشكمة التعييف ‪:‬‬ ‫بإيجاد قيمة المضروب عدد الصفوؼ أو إيجاد مضروب عدد األعمدة‬

‫مثاؿ‪:‬‬

‫بدائؿ متاحة ‪3! = 3 x 2 x 1 = 6‬‬ ‫ويمكف إيجاد المضروب في اآللة الحاسبة عمى الرمز ‪x-1‬‬ ‫‪ -5‬كتابة جميع البدائؿ الممكنة لمشكمة التعييف‬ ‫‪ -3‬حساب إجمالي التكاليؼ لكؿ بديؿ‬

‫‪ -4‬اختيار البديؿ األمثؿ الذي يحقؽ اقؿ تكمفة اقؿ رقـ‬ ‫أو اختيار البديؿ األفضؿ الذي يحقؽ أعمى ربح اكبر رقـ‬ ‫مالحظة ىامة‪:‬‬

‫يتـ استخداـ ىذا الطريقة لموظائؼ البسيطة والتي ال يتجاوز عددىا عف ‪ 3‬مياـ و‪ 3‬وظائؼ‬

‫وكمما زاد عدد الوظائؼ زاد عدد البدائؿ ألنو مضروب‬ ‫ولذلؾ نستخدـ الطريقة الينغارية بدال مف طريقة العد الكامؿ‬ ‫حاالت استخداـ طريقة العد الكامؿ‪:‬‬

‫‪ -1‬إما تقميؿ التكاليؼ لمشكمة التعييف‬ ‫‪ -2‬أو تعظيـ أرباح الناتجة عف التعييف‬

‫صفذخ ‪ 371‬يٍ ‪555‬‬



‫الحالة األولى ‪ :‬حالة تقميؿ التكاليؼ ‪MIN‬‬ ‫مثاؿ تطبيقي(‪:)0‬‬

‫تسعى بمديو خاف يونس إلى تعييف ثالثة ميندسيف وىـ( ىاني‪ ،‬سامي‪ ،‬رامي) إلنجاز ‪3‬‬ ‫وظائؼ وىي (ميندس مدني‪ ،‬ميندس كيربا‪ ،‬ميندس مياه) وتكمفة تعينيـ بالدينار األردني‬

‫موضحة بالجدوؿ اآلتي‪:‬‬


‫اوجد أفضؿ تعييف بحيث يكوف اقؿ تكمفة ممكنة؟‬ ‫باستخداـ طريقة العد الكامؿ؟‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المهام‬

‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫العمال‬

‫الحؿ‪:‬‬ ‫بما أف عدد األعمدة = ‪ 3‬وعدد الصفوؼ = ‪3‬‬ ‫العد الكامؿ‬ ‫إذف نستخدـ طريقة ّ‬ ‫‪3! = 3 x 2 x 1= 6‬‬ ‫عدد البدائؿ =‪ 2‬بدائؿ‬

‫صفذخ ‪ 371‬يٍ ‪555‬‬



‫‪RESULT‬‬

‫‪COST‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬

‫البدائؿ‬

‫‪33‬‬ ‫‪24‬‬

‫‪15+9+9‬‬ ‫‪15+7+2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪27‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪24‬‬

‫‪14+4+9‬‬ ‫‪14+7+7‬‬ ‫‪8+4+2‬‬ ‫‪8+9+7‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫ق ارر التعيف ىو‪:‬‬ ‫اختيار البديؿ الخامس الذي يحقؽ اقؿ تكمفة تعييف بمقدار ‪ 08‬دينار‬ ‫الموظؼ ىاني إلى مينة ‪ 3‬ميندس مياه بتكمفة = ‪ 4‬دينار‬

‫الموظؼ سامي إلى مينة ‪ 0‬ميندس مدني بتكمفة = ‪ 8‬دينار‬ ‫الموظؼ رامي إلى مينة ‪ 6‬ميندس كيربا بتكمفة = ‪ 6‬دينار‬ ‫مجموع تكاليؼ التعييف = ‪ 08 = 6+8+4‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 375‬يٍ ‪555‬‬




‫تسعى إدارة مصنع العودة إلى تعييف ثالثة مدراء وىـ( ادـ‪ ،‬احمد محمد) إلنجاز ‪ 3‬وظائؼ‬ ‫وىي (مدير مبيعات‪ ،‬مدير إنتاج‪ ،‬مدير تسويؽ) وتكمفة تعينيـ بالدينار األردني موضحة‬

‫بالجدوؿ اآلتي‪:‬‬

‫العد الكامؿ؟‬ ‫المطموب‪ :‬اوجد أفضؿ تعييف بحيث يكوف اقؿ تكمفة ممكنة باستخداـ طريقة ّ‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪14‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫العماؿ‬

‫الحؿ‪:‬‬ ‫بما أف عدد األعمدة = ‪ 3‬وعدد الصفوؼ = ‪3‬‬

‫العد الكامؿ‬ ‫إذف نستخدـ طريقة ّ‬ ‫‪3! = 3 x 2 x 1= 6‬‬ ‫عدد البدائؿ =‪ 2‬بدائؿ‬

‫صفذخ ‪ 373‬يٍ ‪555‬‬



‫‪RESULT‬‬

‫‪COST‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬


‫‪30‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪26‬‬

‫‪16+4+10‬‬ ‫‪16+8+2‬‬ ‫‪8+10+10‬‬ ‫‪8+8+8‬‬ ‫‪14+10+2‬‬ ‫‪14+4+8‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫قرار التعيف ىو‪:‬‬ ‫اختيار البديؿ الرابع الذي يحقؽ اقؿ تكمفة تعييف بمقدار ‪ 68‬دينار‬ ‫الموظؼ ادـ إلى مينة ‪ 6‬مدير إنتاج بتكمفة = ‪ 4‬دينار‬

‫الموظؼ احمد إلى مينة ‪ 3‬مدير تسويؽ بتكمفة = ‪ 4‬دينار‬

‫الموظؼ محمد إلى مينة ‪ 0‬مدير مبيعات بتكمفة = ‪ 4‬دينار‬ ‫مجموع تكاليؼ التعييف = ‪ 68 = 4+4+4‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 374‬يٍ ‪555‬‬



‫الحالة الثانية ‪ :‬حالة تعظيـ األرباح ‪MAX‬‬


‫تسعى كمية العموـ اإلدارية في جامعة األقصى إلى تعييف ‪ 3‬رؤساء أقساـ لكمية العموـ اإلدارية‬

‫وىي (رئاسة قسـ إدارة األعماؿ‪ ،‬رئاسة قسـ المحاسبة‪ ،‬رئاسة قسـ العموـ المالية والمصرفية)‬ ‫بحيث يحقؽ تعينيـ أفضؿ عائد ممكف‪.‬‬

‫المطموب‪ :‬باستخداـ طريقة العد الكامؿ اختر البديؿ األفضؿ الذي يحقؽ أعمى عائد لمتعيف؟‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المهام‬

‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫العمال‬


‫بما أف عدد األعمدة = ‪ 3‬وعدد الصفوؼ = ‪3‬‬

‫العد الكامؿ‬ ‫إذف نستخدـ طريقة ّ‬ ‫‪3! = 3 x 2 x 1= 6‬‬ ‫عدد البدائؿ =‪ 2‬بدائؿ‬

‫صفذخ ‪ 375‬يٍ ‪555‬‬



‫‪RESULT‬‬

‫‪COST‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫‪A‬‬


‫‪31‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪13+6+12‬‬ ‫‪13+7+2‬‬ ‫‪7+8+12‬‬ ‫‪7+7+9‬‬ ‫‪5+8+2‬‬ ‫‪5+6+9‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫قرار التعيف ىو‪:‬‬ ‫اختيار البديؿ الثالث الذي يحقؽ اعمي ربح تعييف بمقدار ‪ 67‬دينار‬

‫الموظؼ االوؿ إلى مينة رقـ ‪ 6‬رئاسة قسـ المحاسبة بتكمفة = ‪ 7‬دينار‬ ‫الموظؼ الثاني إلى مينة ‪ 3‬رئاسة قسـ العموـ المالية والمصرفية بتكمفة = ‪ 4‬دينار‬ ‫الموظؼ الثالث إلى مينة ‪ 0‬رئاسة قسـ إدارة األعماؿ بتكمفة = ‪ 06‬دينار‬ ‫مجموع أرباح التعييف = ‪ 67 = 06+4+7‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 376‬يٍ ‪555‬‬




‫ترغب شركة الوساطة لألوراؽ المالية التعاقد مع ثالثة خريجيف مف كمية التجارة إلى تعيينيـ‬

‫في ثالثة وظائؼ وىـ( خريج الجامعة اإلسالمية‪ ،‬خريج جامعة األقصى‪ ،‬خريج جامعة‬

‫األزىر) إلنجاز ‪ 3‬وظائؼ وىي (مدير مالي‪ ،‬مدير حسابات‪ ،‬مدير عالقات عامة) وتكمفة‬ ‫تعينيـ بالدينار األردني موضحة بالجدوؿ اآلتي‪:‬‬

‫المطموب‪ - 0 :‬اوجد أفضؿ تعييف بحيث يكوف أعمى ربح ممكف؟‬

‫‪ - 6‬اوجد أفضؿ تعييف بحيث يكوف اقؿ تكمفة ممكنة باستخداـ طريقة العد الكامؿ؟‬ ‫‪3‬‬ ‫عالقات عامة‬

‫‪2‬‬ ‫حسابات‬

‫‪1‬‬ ‫مالي‬

‫المياـ‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫اإلسالمية‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫األقصى‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫األزىر‬


‫بما أف عدد األعمدة وعدد الصفوؼ = ‪3‬‬

‫العد الكامؿ‬ ‫إذف نستخدـ طريقة ّ‬ ‫عدد البدائؿ =‪ 2‬بدائؿ‬ ‫‪3! = 3 x 2 x 1= 6‬‬

‫صفذخ ‪ 377‬يٍ ‪555‬‬

‫العماؿ‬


‫‪RESULT‬‬

‫‪COST‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪2+4+5‬‬ ‫‪2+3+5‬‬ ‫‪3+1+5‬‬ ‫‪3+3+2‬‬ ‫‪4+1+5‬‬ ‫‪4+4+2‬‬


‫‪ISLAMIC AQSA AZHAR‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫البدائؿ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫قرار التعيف ىو‪:‬‬ ‫‪ -0‬حالة تحقيؽ األرباح‪ :‬اختيار البديؿ األوؿ الذي يحقؽ أعمى ربح تعييف بمقدار ‪ 00‬دينار‬ ‫خريج اإلسالمية إلى مينة ‪ 0‬مدير مالي بتكمفة = ‪ 6‬دينار‬

‫خريج األقصى إلى مينة ‪ 6‬مدير حسابات بتكمفة ‪ 8‬دينار‬

‫خريج األزىر إلى مينة ‪ 3‬مدير العالقات العامة بتكمفة = ‪ 3‬دينار‬ ‫مجموع أرباح التعييف = ‪ 00 =3+8+6‬دينار‬ ‫‪-6‬حالة تقميؿ التكاليؼ‪ :‬اختيار البديؿ الرابع الذي يحقؽ اقؿ تكمفة تعييف بمقدار ‪ 4‬دينار‬ ‫خريج اإلسالمية إلى مينة ‪ 6‬مدير حسابات بتكمفة = ‪ 3‬دينار‬

‫خريج األقصى إلى مينة ‪ 3‬مدير عالقات عامة بتكمفة = ‪ 3‬دينار‬ ‫خريج األزىر إلى مينة ‪ 0‬مدير مالي بتكمفة = ‪ 6‬دينار‬ ‫مجموع تكاليؼ التعييف = ‪ 4 =6+3+3‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 378‬يٍ ‪555‬‬



‫الطريقة الينغارية ‪Hungarian Method‬‬

‫تستخدـ الطريقة الينغارية في إيجاد حؿ لمشكمة التعيف إذا كانت عدد المياـ أو الموظفيف أكثر‬

‫مف ثبلثي‪.‬‬

‫متى وتستخدـ الطريقة الينغارية؟‬

‫عندما ال يصمح استخداـ طريقة العد الكامؿ حالة أكثر مف ثبلثي‬

‫ويجب أف يكوف عدد الصفوؼ = عدد األعمدة أي أف مشكمة التعييف في حالة توازف‬ ‫ما ىو سبب تسمية الطريقة الينغارية بيذا االسـ؟‬ ‫نسبة إلى العالـ الينغاري كوينج وسميت ىذه الطريقة باسمو‬ ‫خطوات استخداـ الطريقة الينغارية‪:‬‬

‫‪ -1‬طرح اقؿ قيمة في كؿ عمود مف باقي القيـ في ذلؾ العمود لماذا؟ (إليجاد صفر في كؿ‬ ‫عمود)‬ ‫‪ -5‬طرح اقؿ قيمة في كؿ صؼ مف باقي القيـ في ذلؾ الصؼ لماذا؟ (إليجاد صفر في كؿ‬ ‫صؼ)‬

‫‪ -3‬نغطي األصفار في الصفوؼ واألعمدة بأقؿ عدد ممكف مف المستقيمات المرسومة نوصؿ‬ ‫كؿ صفريف مع بعضيما البعض في الصؼ أو العمود مرة واحدة عمى األقؿ‬ ‫‪ -8‬إذا كاف عدد المستقيمات المرسومة = عدد الصفوؼ واألعمدة في الجدوؿ ( توصمنا إلى‬ ‫الحؿ األمثؿ)‬

‫‪ -5‬إذا كاف عدد المستقيمات المرسومة ≠ عدد الصفوؼ أو األعمدة اقؿ منيـ ‪ :‬الحؿ يحتاج‬

‫إلى تحسيف‪ :‬نقوـ بالنظر إلى أقؿ قيمة في الجدوؿ غير مغطاة ويتـ طرحيا مف جميع‬ ‫القيـ المكشوفة ويتـ جمعيا إلى نقاط تقاطع المستقيمات المشطوبة مع بعضيا‬

‫‪ -6‬نكرر التغطية بالمستقيمات المرسومة حتى يتـ التوصؿ إلى‪:‬‬ ‫صفذخ ‪ 379‬يٍ ‪555‬‬



‫عدد المستقيمات المرسومة = عدد الصفوؼ = عدد األعمدة‬ ‫توصمنا إلى الحؿ األمثؿ‬

‫‪ -7‬تتـ عممية التخصيص أو التعييف مف خبلؿ اختيار العامؿ الذي يقابؿ أقؿ عدد مف‬ ‫باألصفار في الصؼ أو العمود‬

‫‪ -8‬نحسب التكمؼ الكمية مف خبلؿ الجدوؿ األصمي األساسي‬ ‫مالحظة ىامة‪:‬‬

‫ال يجوز رسـ المستقيمات المشطوبة المارة باألصفار عمى األعمدة فقط أو عمى الصفوؼ فقط‬

‫ىؿ تستخدـ الطريقة الينغارية في تعظيـ األرباح؟‬

‫نعـ ولكف في حالة تعظيـ األرباح عند استخداـ الطريقة الينغارية‪:‬‬

‫معدؿ لمتعييف‬ ‫يتـ طرح جميع القيـ مف أعمى قيمة في الجدوؿ ويتـ إنشاء جدوؿ جديد ّ‬ ‫ثـ تطبؽ جميع الخطوات‬

‫متى نتوصؿ إلى الحؿ األمثؿ في الطريقة الينغارية؟‬

‫إذا كاف عدد الخطوط المستقيمة المرسومة التي شطبت بيا الصفوؼ أو األعمدة‬ ‫= لعدد الصفوؼ = عدد األعمدة‬

‫وبذلؾ توصمنا إلى الحؿ األمثؿ‬

‫كيؼ نصمـ قرار التعييف في نياية الحؿ؟‬

‫نختار الصؼ أو العمود الذي بو قيمة صفرية واحدة ‪ ,‬ونخصص الميمة أو الوظيفة إلى‬

‫الموظؼ أو العامؿ‬

‫ثـ نعود إلى الجدوؿ األصمي ونأخذ القيمة الموجودة أماـ الميمة أو الوظيفة المحددة‪,‬‬ ‫وتجمع ىذه األرقاـ وتعطى قيمة التعييف بالدينار األردني‬ ‫صفذخ ‪ 381‬يٍ ‪555‬‬



‫الحالة األولى ‪ :‬حالة تقميؿ التكاليؼ ‪MIN‬‬

‫وجود ‪ 3‬مياـ و ‪ 3‬موظفيف‬ ‫مثاؿ تطبيقي(‪:)3‬‬

‫مستشفى العيوف التخصصي يرغب في تعييف ‪ 3‬أطباء وىـ (سامر‪ ،‬عامر‪ ،‬جاسر) إلنجاز ‪3‬‬

‫مياـ وىي(طبيب تخدير‪ ،‬طبيب عاـ ‪ ،‬طبيب عيوف)‪.‬‬


‫اوجد أفضؿ تعييف بحيث تكوف التكاليؼ الكمية اقؿ ما يمكف؟ باستخداـ الطريقة الينغارية؟‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪6‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫صفذخ ‪ 381‬يٍ ‪555‬‬

‫العماؿ‬




‫طرح اصغر رقـ مف كؿ عمود‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫العماؿ‬

‫طرح اصغر رقـ مف كؿ صؼ‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫صفذخ ‪ 385‬يٍ ‪555‬‬

‫العماؿ‬



‫التغطية باألصفار‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬

‫العماؿ‬

‫عدد المستقيمات المرسومة = عدد الصفوؼ = عدد األعمدة = ‪ 3‬توصمنا إلى الحؿ األمثؿ‬

‫نختار الصؼ الذي بو قيمة صفرية واحدة‬ ‫قرار التعييف ىو‪:‬‬

‫سامر إلى الميمة ‪ 6‬طبيب عاـ بتكمفة = ‪ 8‬دينار‬

‫عامر إلى الميمة ‪ 0‬طبيب تخدير‬

‫بتكمفة = ‪ 4‬دينار‬

‫جاسر إلى اليمة ‪ 3‬طبيب عيوف بتكمفة = ‪ 7‬دينار‬ ‫مجموع تكمفة التعييف =‪ 09 = 7+4+8‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 383‬يٍ ‪555‬‬




‫تسعى شركة جواؿ إلى تعييف ثالثة موظفيف لخدمة العمالء وىـ( فرح‪ ،‬عمر‪ ،‬عمار) إلنجاز ‪3‬‬ ‫وظائؼ وىي (ميمة تحصيؿ فواتير‪ ،‬ميمة الرد عمى االستفسارات ‪ ،‬ميمة تعبئة الطمبات)‬

‫وتكمفة تعينيـ بالدينار األردني‬

‫المطموب‪ :‬اوجد أفضؿ تعييف بحيث يكوف اقؿ تكمفة ممكنة؟ باستخداـ الطريقة الينغارية؟‬ ‫‪3‬‬ ‫تعبئة الطمبات‬

‫‪2‬‬ ‫الرد عمى االستفسارات‬

‫‪1‬‬ ‫تحصيؿ فواتير‬

‫المياـ‬

‫‪14‬‬

‫‪13‬‬

‫‪12‬‬

‫فرح‬

‫‪10‬‬

‫‪12‬‬

‫‪10‬‬

‫عمر‬

‫‪14‬‬

‫‪13‬‬

‫‪13‬‬

‫عمار‬

‫صفذخ ‪ 384‬يٍ ‪555‬‬

‫العماؿ‬




‫طرح اصغر رقـ مف كؿ صؼ‬ ‫‪3‬‬ ‫تعبئة الطمبات‬



‫المياـ‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫فرح‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫عمر‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫عمار‬

‫العماؿ‬

‫طرح اصغر رقـ مف كؿ عمود‬ ‫‪3‬‬ ‫تعبئة الطمبات‬



‫المياـ‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫فرح‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫عمر‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫عمار‬

‫صفذخ ‪ 385‬يٍ ‪555‬‬

‫العماؿ‬



‫التغطية باألصفار‬ ‫‪3‬‬ ‫تعبئة الطمبات‬



‫المياـ‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫فرح‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫عمر‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫عمار‬

‫العماؿ‬



‫فرح إلى الميمة ‪ 0‬تحصيؿ فواتير بتكمفة = ‪ 06‬دينار‬

‫عمر إلى الميمة ‪ 3‬تعبئة الطمبات بتكمفة = ‪ 01‬دينار‬

‫عمار إلى اليمة ‪ 6‬الرد عمى االستفسارات بتكمفة = ‪ 03‬دينار‬ ‫مجموع تكمفة التعييف =‪ 33 = 03+01 +06‬دينار‬ ‫مالحظة ىامة‪:‬‬

‫إذا بدأنا في طرح األعمدة قبؿ طرح الصفوؼ والعكس طرح الصفوؼ ثـ طرح األعمدة فإف‬

‫الطريقة صحيحة‬ ‫عندما يكوف السؤاؿ حالة تعظيـ أرباح نستخدـ مجموع األرباح الناتجة عف التعييف‬ ‫أما في حالة تقميؿ التكاليؼ نستخدـ مجموع التكاليؼ الناتجة عف التعييف‬ ‫صفذخ ‪ 386‬يٍ ‪555‬‬




‫وجود ‪ 3‬ميمات إلى ‪ 3‬موظفيف‬ ‫مثاؿ تطبيقي(‪:)7‬‬

‫ترغب شركة الوساطة لألوراؽ المالية التعاقد مع ثالثة خريجيف مف كمية التجارة إلى تعيينيـ‬ ‫في ثالثة وظائؼ وىـ( خريج الجامعة اإلسالمية‪ ،‬خريج جامعة األقصى‪ ،‬خريج جامعة‬

‫األزىر) إلنجاز ‪ 3‬وظائؼ وىي (مدير مالي‪ ،‬مدير حسابات‪ ،‬مدير عالقات عامة) وتكمفة‬ ‫تعينيـ بالدينار األردني موضحة بالجدوؿ اآلتي‪:‬‬


‫‪ -0‬اوجد أفضؿ تعييف بحيث يكوف أعمى ربح ممكف؟ باستخداـ الطريقة الينغارية؟‬ ‫‪3‬‬ ‫عالقات عامة‬


‫‪1‬‬ ‫مالي‬

‫المياـ‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬


‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫األقصى‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫األزىر‬

‫صفذخ ‪ 387‬يٍ ‪555‬‬

‫العماؿ‬




‫يتـ طرح جميع القيـ مف أعمى قيمة في الجدوؿ ثـ تطبؽ خطوات الطريقة الينغارية = ‪5‬‬

‫جدوؿ األرباح الجديد ىو‬ ‫‪3‬‬ ‫عالقات عامة‬


‫‪1‬‬ ‫مالي‬

‫المياـ‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬


‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫األقصى‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫األزىر‬

‫طرح اصغر رقـ مف كؿ صؼ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حسابات‬ ‫عالقات عامة‬

‫‪1‬‬ ‫مالي‬

‫المياـ‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬


‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫األقصى‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫األزىر‬

‫صفذخ ‪ 388‬يٍ ‪555‬‬

‫العماؿ‬

‫العماؿ‬



‫طرح اصغر رقـ مف كؿ عمود‬ ‫‪3‬‬ ‫عالقات عامة‬


‫‪1‬‬ ‫مالي‬

‫المياـ‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬


‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫األقصى‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫األزىر‬

‫العماؿ‬

‫تغطية األصفار‬ ‫‪3‬‬ ‫عالقات عامة‬


‫‪1‬‬ ‫مالي‬

‫المياـ‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬


‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫األقصى‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪1‬‬

‫األزىر‬

‫العماؿ‬

‫عدد المستقيمات المرسومة = عدد الصفوؼ = عدد األعمدة = ‪ 3‬توصمنا إلى الحؿ األمثؿ‬ ‫نختار الصؼ أو العمود الذي بو قيمة صفرية واحدة‬

‫قرار التعيف ىو‪ :‬حالة تحقيؽ األرباح‪ :‬مف جدوؿ المعطى األساسي نأخذ القيـ‪:‬‬ ‫خريج األقصى إلى مينة ‪ 6‬مدير حسابات بتكمفة = ‪ 8‬دينار‬

‫خريج األزىر إلى مينة ‪ 3‬مدير العالقات العامة بتكمفة = ‪ 3‬دينار‬ ‫خريج اإلسالمية إلى مينة ‪ 0‬مدير مالي بتكمفة = ‪ 6‬دينار‬

‫مجموع تكمفة التعييف التي تحقؽ أعمى ربح = ‪ 00 = 6 +3 +8‬دينار‬ ‫نالحظ الحؿ مع طريقة العد الكامؿ نفس القيمة ونفس الوظائؼ‬ ‫صفذخ ‪ 389‬يٍ ‪555‬‬



‫الحالة األولى ‪ :‬حالة تقميؿ التكاليؼ ‪MIN‬‬

‫وجود ‪ 8‬مياـ و ‪ 8‬موظفيف‬ ‫مثاؿ تطبيقي(‪:)4‬‬

‫مستشفى القدس يرغب في تعييف ‪ 8‬أطباء وىـ ( عاصـ‪ ،‬معتصـ‪ ،‬عصاـ‪ ،‬عصمت) إلنجاز ‪8‬‬ ‫مياـ وىي(طبيب بشري‪ ،‬طبيب أطفاؿ‪ ،‬طبيب عظاـ‪ ،‬طبيب عيوف)‪.‬‬


‫اوجد أفضؿ تعييف بحيث تكوف التكاليؼ الكمية اقؿ ما يمكف؟ باستخداـ الطريقة الينغارية؟‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪22‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪27‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪34‬‬

‫‪17‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪27‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫صفذخ ‪ 391‬يٍ ‪555‬‬

‫العماؿ‬





‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫العماؿ‬

‫طرح اصغر قيمة في كؿ صؼ‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪0‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫العماؿ‬

‫صفذخ ‪ 391‬يٍ ‪555‬‬



‫التغطية باألصفار‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪0‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫عدد المستقيمات المرسومة =‪ 8‬عدد الصفوؼ =‪ 8‬عدد األعمدة =‪8‬‬

‫توصمنا إلى الحؿ األمثؿ‬

‫نختار الصؼ الذي بو قيمة صفرية واحدة‬

‫قرار التعييف ىو‪:‬‬

‫عاصـ إلى الميمة ‪ 6‬طبيب اطفاؿ بتكمفة = ‪ 07‬دينار‬

‫معتصـ إلى الميمة ‪ 0‬طبيب بشري بتكمفة = ‪ 03‬دينار‬ ‫عصاـ إلى اليمة ‪ 3‬طبيب عظاـ بتكمفة = ‪ 68‬دينار‬

‫عصمت إلى الميمة ‪ 8‬طبيب عيوف بتكمفة = ‪ 67‬دينار‬

‫مجموع تكمفة التعييف = ‪ 43 = 67+68+03+07‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 395‬يٍ ‪555‬‬

‫العماؿ‬




‫مطعـ التايالندي يرغب في تعييف ‪ 8‬عماؿ وىـ ( جياد‪ ،‬إياد‪ ،‬زياد‪ ،‬نياد) إلنجاز ‪ 8‬مياـ‬

‫وىي(محاسب‪ ،‬مستقبؿ الزبائف‪ ،‬محصؿ فواتير‪ ،‬مسؤوؿ توصيؿ لممنازؿ)‪.‬‬ ‫المطموب‪:‬‬

‫اوجد أفضؿ تعييف بحيث تكوف التكاليؼ الكمية اقؿ ما يمكف؟ باستخداـ الطريقة الينغارية؟‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪55‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪70‬‬

‫‪50‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪75‬‬

‫‪60‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪80‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪65‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫العماؿ‬

‫صفذخ ‪ 393‬يٍ ‪555‬‬





‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪50‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪45‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫العماؿ‬

‫طرح اصغر قيمة في كؿ صؼ‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪35‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫العماؿ‬

‫صفذخ ‪ 394‬يٍ ‪555‬‬



‫التغطية باألصفار‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪30‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪35‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫العماؿ‬

‫عدد المستقيمات المرسومة =‪ 3‬عدد الصفوؼ =‪ 8‬عدد األعمدة =‪ 8‬الحؿ يحتاج إلى‬

‫تحسيف‬

‫تحسيف الحؿ‪:‬‬ ‫ننظر لمجدوؿ نالحظ أف اصغر قيمة مف القيـ المكشوؼ = ‪01‬‬ ‫تطرح مف جميع القيـ المكشوفة‬

‫وتضاؼ إلى نقاط تقاطع المستقيمات‬

‫صفذخ ‪ 395‬يٍ ‪555‬‬



‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪10‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪40‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪35‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬

‫العماؿ‬

‫عدد المستقيمات المرسومة = عدد الصفوؼ = عدد األعمدة = ‪ 8‬توصمنا إلى الحؿ األمثؿ‬ ‫نختار الصؼ الذي بو قيمة صفرية واحدة‬ ‫قرار التعييف ىو‪:‬‬

‫جياد إلى الميمة ‪ 0‬محاسب بتكمفة = ‪ 61‬دينار‬ ‫اياد إلى الميمة ‪ 6‬مستقبؿ الزبائف بتكمفة = ‪ 31‬دينار‬

‫زياد إلى اليمة ‪ 8‬مسؤوؿ توصيؿ لممنازؿ بتكمفة = ‪ 41‬دينار‬ ‫نياد إلى الميمة ‪ 3‬محصؿ فواتير بتكمفة = ‪ 73‬دينار‬

‫مجموع تكمفة التعييف = ‪ 613 = 73+41+31+61‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 396‬يٍ ‪555‬‬




‫يرغب مصنع العودة إلى تعييف أربعة موظفيف في المصنع وىـ( احمد‪ ،‬محمد‪ ،‬محمود‪،‬‬

‫حمودة) إلنجاز ‪ 8‬وظائؼ وىي مسئوؿ عف ميمة (التصنيع‪ ،‬التعبئة‪ ،‬التغميؼ‪ ،‬الشحف)‬ ‫وتكمفة تعينيـ بالدينار األردني موضحة بالجدوؿ اآلتي‪:‬‬

‫المطموب‪ :‬اوجد أفضؿ تعييف بحيث يكوف اقؿ تكمفة ممكنة؟ باستخداـ الطريقة الينغارية؟‬ ‫المياـ‬

‫‪4‬‬ ‫شحف‬

‫‪3‬‬ ‫تغميؼ‬

‫‪2‬‬ ‫تعبئة‬

‫‪1‬‬ ‫تصنيع‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫احمد‬

‫‪9‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪9‬‬

‫محمد‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫محمود‬

‫‪12‬‬

‫‪15‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫حمودة‬

‫صفذخ ‪ 397‬يٍ ‪555‬‬

‫العماؿ‬




‫طرح اصغر رقـ مف كؿ عمود‬ ‫‪1‬‬ ‫تصنيع‬

‫المياـ‬ ‫احمد‬

‫‪4‬‬ ‫شحف‬

‫‪3‬‬ ‫تغميؼ‬

‫‪2‬‬ ‫تعبئة‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫محمد‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫محمود‬

‫‪11‬‬

‫‪14‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫حمودة‬

‫العماؿ‬

‫طرح اصغر قيمة في كؿ صؼ‬ ‫‪1‬‬ ‫تصنيع‬


‫‪4‬‬ ‫شحف‬

‫‪3‬‬ ‫تغميؼ‬

‫‪2‬‬ ‫تعبئة‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫محمد‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫محمود‬

‫‪7‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫حمودة‬

‫صفذخ ‪ 398‬يٍ ‪555‬‬

‫العماؿ‬



‫التغطية باألصفار‬ ‫‪1‬‬ ‫تصنيع‬


‫‪4‬‬ ‫شحف‬

‫‪3‬‬ ‫تغميؼ‬

‫‪2‬‬ ‫تعبئة‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫محمد‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫محمود‬

‫‪7‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫حمودة‬

‫العماؿ‬

‫عدد المستقيمات المرسومة =‪ 3‬عدد الصفوؼ =‪ 8‬عدد األعمدة =‪ 8‬الحؿ يحتاج إلى‬ ‫تحسيف‬ ‫تحسيف الحؿ‪:‬‬ ‫ننظر لمجدوؿ نالحظ أف اصغر قيمة مف القيـ المكشوؼ = ‪6‬‬ ‫تطرح مف جميع القيـ المكشوفة‬

‫وتضاؼ إلى نقاط تقاطع المستقيمات‬

‫صفذخ ‪ 399‬يٍ ‪555‬‬


‫‪4‬‬ ‫شحف‬

‫‪3‬‬ ‫تغميؼ‬

‫‪2‬‬ ‫تعبئة‬


‫‪1‬‬ ‫تصنيع‬

‫المياـ‬ ‫العماؿ‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫احمد‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫محمد‬

‫‪0‬‬

‫‪7‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫محمود‬

‫‪5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫حمودة‬



‫محمد إلى الميمة ‪ 3‬التغميؼ بتكمفة = ‪ 0‬دينار‬ ‫احمد إلى الميمة ‪ 8‬الشحف بتكمفة = ‪ 8‬دينار‬

‫محمود إلى اليمة ‪ 0‬التصنيع بتكمفة = ‪ 0‬دينار‬

‫حمودة إلى الميمة ‪ 6‬التعبئة‬

‫بتكمفة = ‪ 2‬دينار‬

‫مجموع تكمفة التعييف = ‪ 06 =2+0 +8 +0‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 411‬يٍ ‪555‬‬




‫وجود ‪ 8‬ميمات إلى ‪ 8‬موظفيف‬ ‫مثاؿ تطبيقي(‪:)00‬‬

‫مكتبة آفاؽ ترغب في تعييف ‪ 4‬عماؿ وىـ (عزيز‪ ،‬سمير‪ ،‬جميؿ‪ ،‬نديـ) إلنجاز ‪ 4‬مياـ وىي‬

‫(فني مطابع‪ ،‬بائع‪ ،‬مسؤوؿ مخازف‪ ،‬مسؤوؿ تصوير)‪.‬‬


‫اوجد أفضؿ تعييف بحيث تكوف تحقؽ أعمى عائد لممكتبة؟ باستخداـ الطريقة الينغارية؟‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪45‬‬

‫‪50‬‬

‫‪40‬‬

‫‪80‬‬

‫‪A‬‬

‫‪25‬‬

‫‪20‬‬

‫‪70‬‬

‫‪40‬‬

‫‪B‬‬

‫‪20‬‬

‫‪10‬‬

‫‪10‬‬

‫‪20‬‬

‫‪C‬‬

‫‪30‬‬

‫‪25‬‬

‫‪20‬‬

‫‪35‬‬

‫‪D‬‬

‫العماؿ‬

‫صفذخ ‪ 411‬يٍ ‪555‬‬





‫جدوؿ األرباح الجديد ىو‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪35‬‬

‫‪30‬‬

‫‪40‬‬

‫‪0‬‬

‫‪A‬‬

‫‪55‬‬

‫‪60‬‬

‫‪10‬‬

‫‪40‬‬

‫‪B‬‬

‫‪60‬‬

‫‪70‬‬

‫‪70‬‬

‫‪60‬‬

‫‪C‬‬

‫‪50‬‬

‫‪55‬‬

‫‪60‬‬

‫‪45‬‬

‫‪D‬‬

‫العماؿ‬

‫طرح اصغر رقـ مف كؿ صؼ‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪35‬‬

‫‪30‬‬

‫‪40‬‬

‫‪0‬‬

‫‪A‬‬

‫‪45‬‬

‫‪50‬‬

‫‪0‬‬

‫‪30‬‬

‫‪B‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪C‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪35‬‬

‫‪D‬‬

‫العماؿ‬

‫صفذخ ‪ 415‬يٍ ‪555‬‬



‫طرح اصغر رقـ مف كؿ عمود‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪35‬‬

‫‪25‬‬

‫‪40‬‬

‫‪0‬‬

‫‪A‬‬

‫‪45‬‬

‫‪45‬‬

‫‪0‬‬

‫‪30‬‬

‫‪B‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪C‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10‬‬

‫‪35‬‬

‫‪D‬‬

‫العماؿ‬

‫نغطي باألصفار‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪35‬‬

‫‪25‬‬

‫‪40‬‬

‫‪0‬‬

‫‪A‬‬

‫‪45‬‬

‫‪45‬‬

‫‪0‬‬

‫‪30‬‬

‫‪B‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪C‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪10‬‬

‫‪35‬‬

‫‪D‬‬

‫العماؿ‬


‫نختار الصؼ أو العمود الذي بو قيمة صفرية واحدة‬

‫صفذخ ‪ 413‬يٍ ‪555‬‬



‫قرار التعيف ىو‪:‬‬

‫حالة تحقيؽ األرباح‪ :‬مف جدوؿ المعطى األساسي نأخذ القيـ‪:‬‬

‫عزيز إلى ميمة ‪ 0‬فني مطابع بتكمفة = ‪ 41‬دينار‬ ‫سمير إلى ميمة ‪ 6‬بائع بتكمفة = ‪ 71‬دينار‬

‫جميؿ إلى ميمة ‪ 8‬مسؤوؿ تصوير بتكمفة = ‪ 61‬دينار‬ ‫نديـ إلى ميمة ‪ 3‬مسؤوؿ مخازف بتكمفة = ‪ 63‬دينار‬

‫مجموع األرباح الناتجة مف التعييف = ‪= 63+61+71+41‬‬

‫صفذخ ‪ 414‬يٍ ‪555‬‬

‫‪ 093‬دينار‬



‫مثاؿ تطبيقي(‪:)02‬‬ ‫بمدية غزة ترغب في تعييف ‪ 4‬عماؿ وىـ (اشرؼ‪ ،‬شريؼ‪ ،‬شرؼ‪ ،‬مشرؼ) إلنجاز ‪4‬‬ ‫مياـ وىي (فني صيانة كيرباء‪ ،‬محصؿ فواتير‪ ،‬مسؤوؿ جرد وتسوية‪ ،‬مراقب داخمي)‪.‬‬ ‫المطموب‪:‬‬ ‫اوجد أفضؿ تعييف بحيث تكوف تحقؽ أعمى عائد لممكتبة؟ باستخداـ الطريقة‬ ‫الينغارية؟‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪300‬‬

‫‪1200‬‬

‫‪1100‬‬

‫‪800‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪500‬‬

‫‪1000‬‬

‫‪500‬‬

‫‪B‬‬

‫‪500‬‬

‫‪300‬‬

‫‪500‬‬

‫‪500‬‬

‫‪C‬‬

‫‪300‬‬

‫‪500‬‬

‫‪300‬‬

‫‪400‬‬

‫‪D‬‬

‫العماؿ‬

‫صفذخ ‪ 415‬يٍ ‪555‬‬





‫جدوؿ األرباح الجديد ىو‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪900‬‬

‫‪0‬‬

‫‪100‬‬

‫‪400‬‬

‫‪A‬‬

‫‪200‬‬

‫‪700‬‬

‫‪200‬‬

‫‪700‬‬

‫‪B‬‬

‫‪700‬‬

‫‪900‬‬

‫‪700‬‬

‫‪700‬‬

‫‪C‬‬

‫‪900‬‬

‫‪700‬‬

‫‪900‬‬

‫‪800‬‬

‫‪D‬‬

‫العماؿ‬

‫طرح اصغر رقـ مف كؿ صؼ‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪900‬‬

‫‪0‬‬

‫‪100‬‬

‫‪400‬‬

‫‪A‬‬

‫‪0‬‬

‫‪500‬‬

‫‪0‬‬

‫‪500‬‬

‫‪B‬‬

‫‪0‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪C‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪200‬‬

‫‪100‬‬

‫‪D‬‬

‫العماؿ‬

‫طرح اصغر رقـ مف كؿ عمود‬ ‫صفذخ ‪ 416‬يٍ ‪555‬‬



‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪900‬‬

‫‪0‬‬

‫‪100‬‬

‫‪400‬‬

‫‪A‬‬

‫‪0‬‬

‫‪500‬‬

‫‪0‬‬

‫‪500‬‬

‫‪B‬‬

‫‪0‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪C‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪200‬‬

‫‪100‬‬

‫‪D‬‬

‫العماؿ‬

‫نغطي باألصفار‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪900‬‬

‫‪0‬‬

‫‪100‬‬

‫‪400‬‬

‫‪A‬‬

‫‪0‬‬

‫‪500‬‬

‫‪0‬‬

‫‪500‬‬

‫‪B‬‬

‫‪0‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪C‬‬

‫‪200‬‬

‫‪0‬‬

‫‪200‬‬

‫‪100‬‬

‫‪D‬‬

‫العماؿ‬

‫عدد المستقيمات المارة باألصفار = ‪ 3‬وال يساوي عدد الصفوؼ واالعمدة =‪8‬‬ ‫الحؿ يحتاج الى تحسيف وذلؾ بطرح اكبر قيمة مكشوفة وىي ‪ 011‬واضافتيا الى نقاط‬ ‫التقاطع والتغطية باألصفار مرة اخرى‬

‫صفذخ ‪ 417‬يٍ ‪555‬‬



‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪800‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪300‬‬

‫‪A‬‬

‫‪0‬‬

‫‪600‬‬

‫‪0‬‬

‫‪500‬‬

‫‪B‬‬

‫‪0‬‬

‫‪300‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪C‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪100‬‬

‫‪0‬‬

‫‪D‬‬

‫العماؿ‬


‫نختار الصؼ أو العمود الذي بو قيمة صفرية واحدة‬ ‫قرار التعيف ىو‪:‬‬


‫اشرؼ إلى ميمة ‪ 3‬مسؤوؿ جرد وتسوية بتكمفة = ‪ 0611‬دينار‬ ‫شريؼ إلى ميمة ‪ 6‬محصؿ فواتير بتكمفة = ‪ 0111‬دينار‬ ‫شرؼ إلى بتكمفة ميمة ‪ 8‬مراقب داخمي =‬ ‫مشرؼ إلى ميمة‪ 0‬فني كيربا بتكمفة =‬

‫‪ 311‬دينار‬ ‫‪ 811‬دينار‬

‫مجموع األرباح الناتجة مف التعييف = ‪ 3011 = 811+311+0111+0611‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 418‬يٍ ‪555‬‬




‫بنؾ فمسطيف المحدود يرغب في تعييف أربعة موظفيف وىـ( فرح‪ ،‬مرح‪ ،‬سعد‪ ،‬سعيد) إلنجاز ‪8‬‬ ‫مياـ وىي مدير قسـ (األسيـ‪ ،‬الودائع‪ ،‬الخزينة‪ ،‬الصرؼ التممر) وتكمفة تعينيـ بالدينار‬

‫األردني موضحة بالجدوؿ اآلتي‪:‬‬

‫المطموب‪ :‬اوجد أفضؿ تعييف بحيث يكوف أعمى ربح ممكف؟ باستخداـ الطريقة الينغارية؟‬ ‫المياـ‬

‫‪4‬‬ ‫الصرؼ‬

‫‪3‬‬ ‫الخزينة‬

‫‪2‬‬ ‫الودائع‬

‫‪1‬‬ ‫األسيـ‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪15‬‬

‫‪6‬‬

‫فرح‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪9‬‬

‫مرح‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪11‬‬

‫‪5‬‬

‫سعد‬

‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪18‬‬

‫‪14‬‬

‫سعيد‬

‫العماؿ‬


‫يتـ طرح جميع القيـ مف أعمى قيمة في الجدوؿ ثـ تطبؽ خطوات الطريقة الينجارية = ‪04‬‬

‫جدوؿ األرباح الجديد ىو‬ ‫المياـ‬

‫‪4‬‬ ‫الصرؼ‬




‫‪13‬‬

‫‪14‬‬

‫‪3‬‬

‫‪12‬‬

‫فرح‬

‫‪17‬‬

‫‪12‬‬

‫‪11‬‬

‫‪9‬‬

‫مرح‬

‫‪11‬‬

‫‪17‬‬

‫‪7‬‬

‫‪13‬‬

‫سعد‬

‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫سعيد‬

‫صفذخ ‪ 419‬يٍ ‪555‬‬

‫العماؿ‬



‫طرح اصغر رقـ مف كؿ صؼ‬ ‫المياـ‬

‫‪4‬‬ ‫الصرؼ‬




‫‪10‬‬

‫‪11‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬

‫فرح‬

‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫مرح‬

‫‪4‬‬

‫‪10‬‬

‫‪0‬‬

‫‪6‬‬

‫سعد‬

‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫سعيد‬

‫العماؿ‬

‫طرح اصغر رقـ مف كؿ عمود‬ ‫‪4‬‬ ‫الصرؼ‬




‫المياـ‬

‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬

‫فرح‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫مرح‬

‫‪0‬‬

‫‪7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪6‬‬

‫سعد‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫سعيد‬

‫صفذخ ‪ 411‬يٍ ‪555‬‬

‫العماؿ‬



‫نغطي باألصفار‬ ‫المياـ‬

‫‪4‬‬ ‫الصرؼ‬




‫‪6‬‬

‫‪8‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬

‫فرح‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫مرح‬

‫‪0‬‬

‫‪7‬‬

‫‪0‬‬

‫‪6‬‬

‫سعد‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫سعيد‬

‫العماؿ‬

‫عدد المستقيمات المرسومة =‪ 3‬عدد الصفوؼ =‪ 8‬عدد األعمدة = ‪8‬‬ ‫الحؿ يحتاج إلى تحسيف‬

‫تحسيف الحؿ‪ :‬ننظر لمقيـ المكشوفة ونختار اقؿ رقـ = ‪8‬‬ ‫وتطرح مف جميع القيـ المكشوفة‪ ،‬وتضاؼ إلى قيـ تقاطع المستقيمات‬ ‫المياـ‬

‫‪4‬‬ ‫الصرؼ‬




‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫فرح‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫مرح‬

‫‪0‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫سعد‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫سعيد‬

‫العماؿ‬

‫عدد المستقيمات المرسومة = عدد الصفوؼ = عدد األعمدة = ‪ 8‬توصمنا إلى الحؿ األمثؿ‬ ‫نختار الصؼ أو العمود الذي بو قيمة صفرية واحدة‬

‫صفذخ ‪ 411‬يٍ ‪555‬‬



‫قرار التعيف ىو‪:‬‬


‫فرح إلى ميمة ‪ 6‬الودائع بتكمفة = ‪03‬دينار‬

‫سعد إلى ميمة ‪ 8‬الصرؼ بتكمفة = ‪ 7‬دينار‬

‫مرح إلى ميمة ‪ 3‬الخزينة بتكمفة = ‪ 2‬دينار‬

‫سعيد إلى ميمة ‪ 0‬األسيـ بتكمفة = ‪ 08‬دينار‬

‫مجموع األرباح الناتجة مف التعييف = ‪ 86 = 08+2 +7 +03‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 415‬يٍ ‪555‬‬




‫تسعى بمدية غزة لتوظيؼ ‪ 4‬موظفيف في الشركة وىـ (‪( )A,B,C,D‬عمر‪ ،‬عمار‪ ،‬فرح‪،‬‬

‫مرح) إلنجاز ‪ 4‬مياـ وىي‪( :‬مراقب عاـ‪ ،‬ميندس كيرباء‪ ،‬ميندس مياه‪ ،‬مدقؽ محاسب )‪.‬‬

‫المطموب‪ :‬حدد الطريقة المستخدمة في إيجاد أفضؿ تعييف بحيث يحقؽ التعييف اكبر أرباح‬ ‫ناتجة عف التعييف ?‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪16‬‬

‫انًهاو‬ ‫انؼًال‬ ‫ػًش‬ ‫ػًاس‬ ‫فشح‬ ‫يشح‬


‫بما انو رباعي يفشؿ طريقة العد الكامؿ وتستخدـ الطريقة الينغارية‬

‫بما انو تعظيـ أرباح يجب إجراء الخطوة التمييدية وىي طرح اكبر قيمة في الجدوؿ مف جميع‬

‫قيـ الجدوؿ وىي ‪ 02‬وانشاء جدوؿ أرباح تعييف جديد‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫انًهاو‬ ‫انؼًال‬

‫صفذخ ‪ 413‬يٍ ‪555‬‬

‫ػًش‬ ‫ػًاس‬ ‫فشح‬ ‫يشح‬



‫طرح األعمدة‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬


‫طرح الصفوؼ‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫انًهاو‬ ‫انؼًال‬

‫صفذخ ‪ 414‬يٍ ‪555‬‬

‫ػًش‬ ‫ػًاس‬ ‫فشح‬ ‫يشح‬



‫تغطية األصفار‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫نختار الصؼ أو العمود الذي بو قيمة صفرية واحدة‬ ‫قرار التعيف ىو‪:‬‬


‫عمر إلى ميمة ‪ 3‬ميندس مياه بتكمفة = ‪ 9‬دينار‬

‫عمار إلى ميمة ‪ 6‬ميندس كيرباء بتكمفة = ‪ 06‬دينار‬ ‫مرح إلى ميمة ‪ 0‬مراقب عاـ بتكمفة = ‪ 02‬دينار‬

‫فرح إلى ميمة ‪ 8‬مدقؽ حسابات بتكمفة = ‪ 03‬دينار‬

‫مجموع األرباح الناتجة مف التعييف = ‪ 31 = 03 + 02 +06 + 9‬دينار‬

‫صفذخ ‪ 415‬يٍ ‪555‬‬



‫نموذج التعييف غير المتوازف‪Unbalanced Assignment Problem:‬‬

‫في الحياة العممية دائما يكوف مشاكؿ التعييف غير متوازنة‬

‫التعريؼ‪ :‬ىو عندما ال يتساوى عدد الوظائؼ مع عدد الموظفيف‬

‫ينشا نوع مف عدـ التوازف لنموذج التعيف بمعنى( عدد الصفوؼ ≠ عدد األعمدة)‬

‫حاالت عدـ توازف التعييف‬

‫‪ -1‬عندما تكوف عدد الوظائؼ او المياـ اكبر مف عدد الموظفيف او العماؿ‬ ‫( عدد األعمدة > عدد الصفوؼ)‬

‫الحؿ‪ :‬إضافة صؼ جديد وىمي ‪ dummy‬لموظؼ مجيوؿ‬ ‫بتكمفة تساوي صفر‬

‫تبقى وظيفة شاغرة‬ ‫‪ -6‬عندما تكوف عدد الموظفيف او العماؿ اكبر مف عدد الوظائؼ او المياـ‬ ‫(عدد الصفوؼ > عدد األعمدة)‬

‫الحؿ‪ :‬إضافة عمود جديد وىمي ‪ dummy‬وظيفة وىمية‬

‫بتكمفة تساوي صفر‬

‫يبقى موظؼ أو مرشح بال وظيفة أو مياـ‬

‫صفذخ ‪ 416‬يٍ ‪555‬‬



‫الحالة األولى‪ :‬عدد األعمدة > عدد الصفوؼ‬


‫وازف مشكمة التعييف التالية ثـ اوجد حؿ التعييف بحيث يحقؽ أعمى ربح ممكف؟‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪10‬‬

‫‪7‬‬

‫‪11‬‬

‫‪8‬‬

‫مجد‬

‫‪8‬‬

‫‪17‬‬

‫‪4‬‬

‫‪15‬‬

‫امجد‬

‫‪19‬‬

‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫ماجد‬

‫العماؿ‬



‫عدد الصفوؼ = ‪ 3‬عدد األعمدة = ‪ 8‬النموذج غير متوازف‬ ‫عدد الوظائؼ او المياـ اكبر مف عدد الموظفيف او العماؿ‬ ‫( عدد األعمدة > عدد الصفوؼ)‬

‫إضافة صؼ جديد وىمي ‪ dummy‬لموظؼ مجيوؿ‬ ‫بتكمفة تساوي صفر‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪10‬‬

‫‪7‬‬

‫‪11‬‬

‫‪8‬‬

‫مجد‬

‫‪8‬‬

‫‪17‬‬

‫‪4‬‬

‫‪15‬‬

‫امجد‬

‫‪19‬‬

‫‪8‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫ماجد‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ dummy‬وىمي‬

‫العماؿ‬

‫صفذخ ‪ 417‬يٍ ‪555‬‬



‫الخطوة التمييدية ىي طرح اكبر قيمة في الجدوؿ مف باقي قيـ ذلؾ الجدوؿ وانشاء جدوؿ‬

‫جديد معدؿ لمتعييف‬

‫وىي ىنا اكبر قيمة = ‪09‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪9‬‬

‫‪12‬‬

‫‪8‬‬

‫‪11‬‬

‫مجد‬

‫‪11‬‬

‫‪2‬‬

‫‪15‬‬

‫‪4‬‬

‫امجد‬

‫‪0‬‬

‫‪11‬‬

‫‪16‬‬

‫‪13‬‬

‫ماجد‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ dummy‬وىمي‬

‫العماؿ‬

‫طرح اصغر عدد مف كؿ صؼ‬ ‫المياـ‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫مجد‬

‫‪9‬‬

‫‪0‬‬

‫‪13‬‬

‫‪2‬‬

‫امجد‬

‫‪0‬‬

‫‪11‬‬

‫‪16‬‬

‫‪13‬‬

‫ماجد‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪dummy‬وىمي‬

‫العماؿ‬

‫صفذخ ‪ 418‬يٍ ‪555‬‬



‫تغطية األصفار‬ ‫المياـ‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫مجد‬

‫‪9‬‬

‫‪0‬‬

‫‪13‬‬

‫‪2‬‬

‫امجد‬

‫‪0‬‬

‫‪11‬‬

‫‪16‬‬

‫‪13‬‬

‫ماجد‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪dummy‬وىمي‬

‫العماؿ‬


‫نختار الصؼ الذي بو قيمة صفرية واحدة‬


‫مجد إلى ميمة ‪ 6‬بتكمفة = ‪ 00‬دينار‬

‫امجد إلى ميمة ‪ 3‬بتكمفة = ‪ 07‬دينار‬

‫ماجد إلى ميمة ‪ 8‬بتكمفة = ‪ 09‬دينار‬

‫مجموع األرباح الناتجة مف التعييف = ‪ 87 = 09+07+00‬دينار‬ ‫مالحظات‪:‬‬

‫بقيت الميمة ‪ 0‬شاغرة‬

‫عندما يكوف نموذج التعييف غير متوازف يتـ استثناء خطوة مف خطوات الطريقة الينغارية‬ ‫حالة األعمدة اكبر مف الصفوؼ تبقى وظيفة شاغرة‬

‫تستثنى خطوة طرح األعمدة ألنيا بيا صؼ وىمي جميع قيمة أصفار‬

‫حالة الصفوؼ اكبر مف األعمدة بقى موظؼ بال وظيفة‬

‫وتستثنى خطوة طرح الصفوؼ ألنيا بيا عمود وىمي جميع قيمو أصفار‬ ‫الحالة الثانية‪ :‬عدد الصفوؼ > عدد األعمدة‬

‫صفذخ ‪ 419‬يٍ ‪555‬‬




‫وازف مشكمة التعييف التالية ثـ اوجد حؿ التعييف بأقؿ تكمفة ممكنة‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫مجد‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫امجد‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫ماجد‬

‫‪9‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫مجدي‬

‫العماؿ‬


‫عدد الصفوؼ = ‪ 4‬عدد األعمدة = ‪ 3‬النموذج غير متوازف‬

‫عدد الموظفيف او العماؿ اكبر مف عدد الوظائؼ او المياـ‬ ‫(عدد الصفوؼ > عدد األعمدة)‬

‫إضافة عمود جديد وىمي ‪ dummy‬وظيفة وىمية‬

‫بتكمفة تساوي صفر‬ ‫‪Dummy‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫مجد‬

‫‪0‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫امجد‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫ماجد‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫مجدي‬

‫العماؿ‬

‫صفذخ ‪ 451‬يٍ ‪555‬‬



‫طرح اصغر رقـ مف كؿ عمود‬ ‫المياـ‬

‫‪Dummy‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫مجد‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫امجد‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫ماجد‬

‫‪0‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫مجدي‬

‫العماؿ‬

‫تغطية باألصفار‬ ‫‪Dummy‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫مجد‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫امجد‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫ماجد‬

‫‪0‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫مجدي‬

‫العماؿ‬

‫عدد المستقيمات المرسومة = عدد الصفوؼ = عدد األعمدة = ‪ 8‬توصمنا إلى الحؿ األمثؿ‬ ‫نختار الصؼ الذي بو قيمة صفرية واحدة‬

‫صفذخ ‪ 451‬يٍ ‪555‬‬




‫مجد إلى ميمة ‪ 8‬الوىمية بتكمفة = صفر ليس لو ميمة‬ ‫امجد إلى ميمة ‪ 3‬بتكمفة = ‪ 3‬دينار‬

‫ماجد إلى ميمة ‪ 6‬بتكمفة = ‪ 6‬دينار‬ ‫مجدي إلى ميمة ‪ 0‬بتكمفة = ‪ 0‬دينار‬

‫مجموع تكاليؼ التعييف = ‪ 2 = 0 + 6 +3‬دينار‬ ‫الحاالت الخاصة مف مشاكؿ التعييف‪:‬‬ ‫عدـ التوازف ‪unbalanced assignment problem‬‬ ‫عدد الصفوؼ ال يساوي عدد األعمدة‬

‫إما عدد الصفوؼ اكبر مف عدد األعمدة أو عدد األعمدة اكبر مف عدد الصفوؼ‬

‫صفذخ ‪ 455‬يٍ ‪555‬‬



‫االمثمة الشاممة‬ ‫السؤاؿ األوؿ‪:‬‬ ‫مصنع سرايو الوادية يرغب في تعييف ‪ 3‬عماؿ وىـ ( سعيد‪ ،‬سعد ‪ ،‬مسعود) إلنجاز ‪ 3‬مياـ‬ ‫وىي(فني صيانة‪ ،‬فني تغميؼ‪ ،‬فني تعبئة)‪.‬‬


‫اوجد أفضؿ تعييف بحيث تكوف التكاليؼ الكمية اقؿ ما يمكف؟ ويحقؽ اعمى ربح ممكف؟‬

‫باستخداـ العد الكامؿ؟‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪8‬‬

‫‪14‬‬

‫‪15‬‬

‫‪A‬‬

‫‪7‬‬

‫‪9‬‬

‫‪4‬‬

‫‪B‬‬

‫‪9‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪C‬‬

‫العماؿ‬

‫صفذخ ‪ 453‬يٍ ‪555‬‬




‫مطبعة األنوار حصمت عمى عطاء بطباعة ‪ 3‬كتب وتمتمؾ ‪ 3‬ماكينات لمطباعة‪ ،‬ولدييا ‪3‬‬

‫عماؿ وىـ (جواد‪ ،‬جودت‪ ،‬جود)‬ ‫المطموب‪:‬‬

‫اوجد أفضؿ توزيع لممياـ بحيث تكوف اقؿ ساعات عمؿ؟ باستخداـ الطريقة الينغارية‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪10‬‬

‫‪A‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪B‬‬

‫‪7‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪C‬‬

‫صفذخ ‪ 454‬يٍ ‪555‬‬

‫العماؿ‬




‫تسعى شركة جواؿ لمتوظيؼ في الشركة (سعيد‪ ،‬مسعود‪ ،‬ديمة‪ ،‬دينا) لممياـ وىي‪:‬‬ ‫(مراقب‪ ،‬محاسب قانوني‪ ،‬مدير مالي‪ ،‬مدير إداري)‪.‬‬

‫المطموب‪ :‬حدد الطريقة المستخدمة في إيجاد أفضؿ تعييف بحيث يحقؽ التعييف أفضؿ أرباح‬ ‫ناتجة عف التعييف ؟‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪23‬‬

‫‪18‬‬

‫‪16‬‬

‫‪20‬‬

‫سعيد‬

‫‪14‬‬

‫‪15‬‬

‫‪11‬‬

‫‪17‬‬

‫مسعود‬

‫‪17‬‬

‫‪21‬‬

‫‪19‬‬

‫‪25‬‬

‫ديمة‬

‫‪23‬‬

‫‪14‬‬

‫‪16‬‬

‫‪23‬‬

‫دينا‬

‫صفذخ ‪ 455‬يٍ ‪555‬‬

‫المياـ‬

‫العماؿ‬




‫تسعى شركة جواؿ لتوظيؼ ‪ 4‬موظفيف في الشركة وىـ (‪( )A,B,C,D‬سعيد‪ ،‬مسعود‪ ،‬ديمة‪،‬‬

‫دينا) لإلنجاز ‪ 4‬مياـ وىي‪( :‬محصؿ فواتير‪ ،‬محاسب‪ ،‬مدير مالي‪ ،‬مدير إدارة التأميف )‪.‬‬ ‫المطموب‪ :‬حدد الطريقة المستخدمة في إيجاد أفضؿ تعييف بحيث يحقؽ التعييف اقؿ تكمفة‬ ‫ناتجة عف التعييف ؟‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪10‬‬

‫سعيد‬

‫‪14‬‬

‫‪5‬‬

‫‪11‬‬

‫‪7‬‬

‫مسعود‬

‫‪12‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪13‬‬

‫ديمة‬

‫‪7‬‬

‫‪11‬‬

‫‪9‬‬

‫‪15‬‬

‫دينا‬

‫صفذخ ‪ 456‬يٍ ‪555‬‬

‫المياـ‬

‫العماؿ‬



‫السؤاؿ الخامس‪:‬‬

‫مطبعة شبير ترغب في تعييف ‪ 5‬عماؿ وىـ (مراـ‪ ،‬مريـ‪ ،‬حمداف‪ ،‬سمماف‪ ،‬سميماف) إلنجاز ‪5‬‬ ‫مياـ وىي طباعة خمس كتب(كراسات رسـ‪ ،‬نوتو محاضرات‪ ،‬دفتر تميفونات‪ ،‬دفاتر مدرسية‪،‬‬

‫كروت أعراس)‬

‫اوجد أفضؿ توزيع لممياـ بحيث تكوف اقؿ تكمفة ممكنة؟ باستخداـ الطريقة الينغارية‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫المياـ‬

‫‪8‬‬

‫‪12‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪10‬‬

‫‪A‬‬

‫‪11‬‬

‫‪6‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪B‬‬

‫‪13‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪C‬‬

‫‪13‬‬

‫‪16‬‬

‫‪12‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬

‫‪D‬‬

‫‪12‬‬

‫‪10‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪E‬‬

‫العماؿ‬

‫صفذخ ‪ 457‬يٍ ‪555‬‬



‫الفصؿ الثامف‬

‫صفذخ ‪ 458‬يٍ ‪555‬‬



‫نماذج شبكة األعماؿ وادارة المشاريع‬ ‫‪Net Work Model & Project Management‬‬ ‫مقدمة‪:‬‬

‫تعتبر شبكة األعماؿ تحديد تسمسؿ أمثؿ لؤلعماؿ الفرعية لعمؿ معيف والتي تجعؿ كؿ مف‬

‫الوقت الكمي والعائد الكمي إلنجاز أفضؿ ما يمكف وىو ما تحدده نماذج التتابع‪.‬‬ ‫مفيوـ شبكة األعماؿ‪:‬‬

‫ىي عبارة عف مجموعة مف األعماؿ والخطوط والنقاط ويتـ توصيميا مع بعضيا البعض‪.‬‬ ‫أو مربع‬

‫وتسمى النقاط ‪ NODES‬باألحداث ويعبر عنيا بدائرة‬

‫وتسمى الخطوط ‪ ARCS‬باألنشطة ويعبر عنيا بخطوط واسيـ مستقيمة‬

‫َشبط‬ ‫انُهبٌخ‬ ‫‪END‬‬

‫‪B‬‬ ‫َشبط‬

‫‪D‬‬

‫دذس‬ ‫‪A‬‬ ‫َشبط‬

‫‪C‬‬

‫انجذاٌخ‬ ‫‪START‬‬

‫َشبط‬

‫تعريؼ شبكة األعماؿ‪:‬‬

‫ىي مخطط لسير العمميات مف بداية المشروع حتى نياية المشروع ضمف تسمسؿ زمني محدد‪.‬‬

‫صفذخ ‪ 459‬يٍ ‪555‬‬



‫آلية عمؿ شبكة األعماؿ‪:‬‬

‫تيتـ النماذج الديناميكية بمعالجة المشاكؿ ذات الطبيعة المتغيرة مع الزمف باالعتماد عمى مبدأ‬

‫االمثمية والذي ينص عمى أف الحؿ األمثؿ‪:‬‬

‫يتكوف مف سمسة مف الحوؿ المثمى المتتابعة بمعنى أف أي حؿ يؤثر عمى الحموؿ التالية‪.‬‬

‫ويتـ تقسيـ المشروع إلى عدة مراحؿ لمتنفيذ بحيث تكوف ىذه المراحؿ متتابعة ومتسمسمة زمنياً‬

‫ومنطقياً بحيث يكوف لكؿ نشاط أو مرحمة نشاطاً سابقاً لو (باستثناء نقطة البداية)‪ ,‬وكذلؾ‬ ‫لكؿ نشاط أو مرحمة نشاطاً الحقاً لو (باستثناء نقطة النياية)‬

‫وباستخداـ شبكات األعماؿ يمكف حساب الزمف المتوقع إلنجاز مشروع ما‪.‬‬

‫الكيفية المتبعة في استخداـ شبكة األعماؿ‪:‬‬

‫‪ .1‬تقسيـ المشكمة قيد الدراسة إلى مشاكؿ جزئية بسيطة ومتتابعة وايجاد حؿ امثؿ لكؿ مف ىذه‬ ‫المشاكؿ الجزئية‪.‬‬

‫‪ .5‬ربط الحموؿ المثمى مع بعضيا البعض بطريقة مناسبة تعطي حؿ امثؿ لممشكمة ككؿ‪.‬‬ ‫مكونات شبكة األعماؿ‪:‬‬

‫‪ .1‬نشاط البداية الحدث األوؿ لمشبكة ‪EVENT‬‬ ‫‪ .5‬نشاط النياية ‪END‬‬

‫‪ .3‬مجموعة أنشطة متتالية (أحداث متعاقبة متتابعة) كؿ حدث مبني عمى الحدث السابؽ لو‬ ‫مباشرة‬ ‫‪ .4‬مجموعة أحداث متزامنة متوازية ألي حدثيف متوازييف يحدثاف في نفس الوقت وتسمى‬ ‫سمسمة ‪CHAIN‬‬

‫‪ .5‬المسار محدد البداية والنياية‬

‫صفذخ ‪ 431‬يٍ ‪555‬‬



‫شروط بناء شبكة األعماؿ‪:‬‬

‫‪ .1‬تحديد نشاط البداية‬

‫‪ .5‬تحديد تسمسؿ األنشطة بحيث يربط كؿ نشاط ونشاط الحؽ لو بخط مستقيـ سيـ‬ ‫‪ .3‬تحديد أنشطة متزامنة متتابعة لنشاط معيف وتمثيؿ كؿ نشاط في دائرة‬ ‫‪ .4‬تحديد نشاط النياية‬ ‫‪ .5‬وضع األىداؼ ضمف دوائر وتوصيميا بخطوط واسيـ حسب تتابعيا‬ ‫ما ىي الفائدة المرجوة مف بناء شبكة األعماؿ؟‬

‫توقع الزمف البلزـ النجاز المشروع أو إنياء جزء مف أجزائو وذلؾ‪:‬‬ ‫مف أجؿ السيطرة عمى سير عمؿ المشروع‪.‬‬ ‫ما ىي خطوات استخداـ إدارة المشاريع؟‬ ‫‪ .1‬التعريؼ بالمشروع‬

‫‪ .5‬تطوير العبلقات بيف نشاطات المشروع‬ ‫‪ .3‬رسـ شبكة األعماؿ برسـ يربط جميع النشاطات مع بعضيا البعض‬ ‫‪.1‬‬

‫تعييف الوقت والتكمفة البلزمة لكؿ نشاط عمى حده‬

‫‪ .5‬حساب أطوؿ وقت لممسار وىو المسار الحرج‬ ‫‪ .3‬استخداـ شبكة األعماؿ يساعد المدير التنفيذي لممشروع عمى التخطيط والتنظيـ‬ ‫والتوجيو والرقابة والتحكـ بسير أعماؿ المشروع‪.‬‬

‫كيفية حساب الزمف المتوقع لممشروع في شبكة األعماؿ؟‬

‫‪ -1‬طريقة المسار الحرج ‪The Critical Path Method = CPM‬‬ ‫‪ -5‬تقييـ ومراجعة المشروع أسموب بيرت ‪PERT Method‬‬ ‫‪Program Evaluation & Review Technique = PER‬‬ ‫صفذخ ‪ 431‬يٍ ‪555‬‬



‫قارف بيف المسارح الحرج وأسموب بيرت؟‬ ‫وجو‬ ‫التعريؼ‬ ‫المقارنة‬

‫‪PERT‬‬

‫‪CPM‬‬ ‫ىو أطوؿ مسارات الشبكة زمناً وىو‬ ‫المسار الذي يحتاج أطوؿ مده‬

‫تقييـ ومراجعة المشروع أسموب بيرت‬ ‫التقني والحديث‬

‫زمنية إلنجازه‪.‬‬ ‫مجاؿ‬

‫المعمومات تكوف مؤكدة في شبكة‬

‫االستخداـ األعماؿ‬ ‫الخبرة‬

‫المعمومات تكوف غير مؤكدة احتمالية في‬ ‫شبكة األعماؿ‬

‫يستخدـ في المشاريع القديمة ذات‬

‫يستخدـ في المشاريع الحديثة فقط والتي‬

‫خبرة عالية‬

‫تقؿ فييا الخبرة‬

‫إداريا‬

‫إداريا يستخدـ في الرقابة‬

‫إداريا يستخدـ في التخطيط‬

‫طريقة‬

‫يتـ حساب األزمنة المبكرة والمتأخرة‬

‫يتـ حساب األزمنة المتوقعة التفاؤلي‬

‫حسابو‬

‫باستخداـ القوانيف الحسابية‬

‫األكثر احتماال التشاؤمي‬

‫شيوعو‬

‫اكثر شيوعا‬

‫اقؿ شيوعا‬

‫باستخداـ القانوف‬

‫صفذخ ‪ 435‬يٍ ‪555‬‬



‫إرشادات ىامة عند البدء برسـ شبكة أعماؿ ‪:‬‬

‫الحدث األوؿ دائما ىو البداية والحدث النيائي ليس شرطا أف يكوف األخير‬

‫عدد األسيـ يتـ معرفتو مف عدد االرتباطات لؤلنشطة السابقة‬

‫عدد األحداث تكوف ىي عدد المربعات المرسومة بالشبكة‬ ‫يتـ تتبع األزمنة عمى الشبكة بالتراكـ‬

‫آخر حدث‪ :‬زمف االنجاز المبكر يحدد قيمة المسار الحرج وقرار متى يتـ تسميـ المشروع‬ ‫طريقة المسار الحرج ‪The Critical Path‬‬ ‫تعريؼ المسار الحرج‪:‬‬

‫ىو أطوؿ مسارات الشبكة زمناً وىو المسار الذي يحتاج أطوؿ مده زمنية إلنجازه‪.‬‬ ‫تعريؼ المسار‪:‬‬

‫ىو النشاطات المتعاقبة مف بداية الشبكة حتى نيايتيا‪.‬‬

‫طرؽ إيجاد المسار الحرج‪:‬‬

‫‪ -1‬حساب كؿ المسارات وتحديد المسار الحرج األطوؿ زمناً‬

‫‪ -5‬حساب األزمنة المبكرة واألزمنة المتأخرة لنشاطات المشروع‪.‬‬

‫صفذخ ‪ 433‬يٍ ‪555‬‬



‫حساب أزمنة المشروع‪:‬‬

‫‪ -0‬زمف البدء المبكر لمحدث‪Earliest Start Time (ES) :‬‬

‫ىو الزمف الذي نستطيع أف نبدأ العمؿ بالحدث في أحسف األحواؿ‬

‫وىو اكبر وقت يمكف أف يبدأ العمؿ بتنفيذه في انجاز المشروع‬ ‫= مجموع األزمنة السابقة لكؿ نشاط‬

‫= زمف االنجاز المبكر لمحدث السابؽ‬ ‫‪ -6‬زمف االنجاز المبكر لمحدث‪Earliest Finish Time (EF) :‬‬ ‫ىو زمف االنتياء مف الحدث في أحسف األحواؿ‬

‫وىو اكبر وقت يمكف انجاز العمؿ فيو‬

‫= زمف البدء المبكر لمحدث ‪ +‬زمف الحدث األصمي‬

‫= زمف البدء المبكر لمحدث ‪ +‬زمف النشاط نفسو (معطى)‬ ‫= زمف البدء المبكر لمحدث التالي‬ ‫‪ -3‬زمف البدء المتأخر لمحدث‪Latest Start Time (LS) :‬‬

‫ىو الزمف الذي نستطيع أف نبدأ العمؿ بالحدث في أسوء األحواؿ‬ ‫وىو أخر وقت يمكف أف يبدأ العمؿ بتنفيذه دوف أف يؤثر عمى وقت انجاز العمؿ‬

‫= زمف االنجاز المتأخر – زمف الحدث نفسو (معطى)‬ ‫‪ -8‬زمف االنجاز المتأخر لمحدث‪Latest Finish Time (LF) :‬‬ ‫ىو زمف االنتياء مف الحدث في أسوء األحواؿ‬

‫وىو آخر وقت يمكف انجاز المشروع فيو مف غير تأخير انجاز المشروع‬

‫وىو الزمف االحتياطي المتاح لمحدث‬

‫صفذخ ‪ 434‬يٍ ‪555‬‬



‫= زمف البدء المتأخر لمحدث الالحؽ‬

‫= زمف االنجاز المبكر لنفس الحدث‬ ‫‪ -3‬الزمف الفائض‪Slake Time :‬‬

‫الزمف الزائد عف الحاجة إلنجاز المشروع‬

‫ويكوف موجب أو صفر وال يعقؿ أف يكوف زمف بالسالب‬ ‫= زمف البدء المتأخر – زمف البد المبكر‬

‫= زمف االنجاز المتأخر – زمف االنجاز المبكر‬

‫مالحظات ىامة‪:‬‬

‫إذا كاف حدثيف يعطياف حدث آخر فاف‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫زمف البدء المبكر لذلؾ الحدث = زمف االنجاز األكبر ليذيف الحدثيف( اكبر نشاط)‬

‫زمف االنجاز المتأخر = الزمف األقؿ ليذيف الحدثيف (اقؿ نشاط)‬ ‫النشاط األوؿ الزمف المبكر لو دائما صفر‬

‫رمز الحدث‬

‫صيٍ انذش انًؼطى‬ ‫زمف االنجاز المبكر‬

‫زمف البدء المبكر‬

‫زمف االنجاز المتأخر‬

‫زمف البدء المتأخر‬

‫صفذخ ‪ 435‬يٍ ‪555‬‬



‫عند حساب األزمنة المبكرة نبدأ مف االتجاه السيـ ونبدأ مف البداية ونجمع‬ ‫عند حساب األزمنة المتأخرة نعكس اتجاه السيـ ونبدأ مف النياية ونطرح‬ ‫زمف االنجاز المبكر لمحدث=‬

‫‪EF = ES +T Forward‬‬

‫زمف البدء المبكر لمحدث ‪ +‬الزمف المتوقع لمحدث‬ ‫زمف البدء المتأخر لمحدث=‬

‫‪Backward‬‬

‫زمف االنجاز المتأخر لمحدث ‪ -‬الزمف المتوقع لمحدث‬

‫صفذخ ‪ 436‬يٍ ‪555‬‬

‫‪LS = LF -T‬‬



‫مثاؿ توضيحي‪:‬‬

‫كوف شبكة أعماؿ لممشروع األتي لبناء فيال سكنية‪:‬‬

‫النشاط السابؽ‬ ‫‪-‬‬

‫الوصؼ‬ ‫شراء األرض‬

‫النشاط‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫عمؿ مخطط‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫شؽ األساسات‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫بناء األعمدة‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫بناء جدراف‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫بناء السقؼ‬

‫‪6‬‬

‫‪5,6‬‬

‫عمؿ تقسيمات داخمية‬

‫‪7‬‬

‫‪7‬‬

‫توصيالت كيربائية‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫تمديدات مياه ومجاري‬

‫‪9‬‬

‫‪8,9‬‬

‫قصارة السقؼ والجدراف‬

‫‪10‬‬

‫‪10‬‬

‫تركيب بالط وسيراميؾ‬

‫‪11‬‬

‫‪11‬‬

‫تركيب أبواب وشبابيؾ‬

‫‪12‬‬

‫‪11‬‬

‫طالء خارجي‬

‫‪13‬‬

‫‪11‬‬

‫طالء داخمي‬

‫‪14‬‬

‫‪12‬‬

‫طالء األبواب‬

‫‪15‬‬

‫‪15,13,14‬‬

‫التشطيبات النيائية‬

‫‪16‬‬

‫صفذخ ‪ 437‬يٍ ‪555‬‬


‫‪15‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪14‬‬


‫‪5‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪11‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬

‫صفذخ ‪ 438‬يٍ ‪555‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬




‫تقوـ شركة السقا والخضري بدراسة خط سير أعماؿ مشروع بناء ثالثة أبراج في مدينة غزة‬

‫في حي النصر ‪ ،‬مف خالؿ جدوؿ األعماؿ اآلتي‪:‬‬ ‫الزمف باألشير‬ ‫‪9‬‬

‫النشاط‬

‫الوصؼ‬

‫‬‫‪A‬‬

‫تنظيؼ الموقع وحفر األساس‬

‫النشاط‬ ‫‪A‬‬

‫صب األساس‬

‫‪B‬‬

‫‪8‬‬

‫‪B‬‬

‫وضع األعمدة و صب االدوار‬

‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫البناء‬

‫‪D‬‬

‫‪3‬‬

‫‪C,D‬‬

‫التشطيبات النيائية‬

‫‪E‬‬

‫‪6‬‬

‫المطموب‪:‬‬ ‫ارسـ شبكة األعماؿ؟ المسار الحرج؟ حد الزمف البدء المبكر والنياية المبكرة‪ ،‬البداية المتأخرة‪،‬‬

‫النياية المتأخرة‪ ،‬الزمف الفائض ؟‬

‫‪8‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪26‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪B 6‬‬ ‫‪9 15‬‬ ‫‪9 15‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪23‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪21‬‬

‫صفذخ ‪ 439‬يٍ ‪555‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫الزمف‬

‫زمف‬

‫زمف‬

‫زمف‬

‫زمف‬

‫الفائض‬

‫النياية‬

‫البداية‬


‫البدء‬

‫المتأخرة‬


‫المبكرة‬

‫المبكر‬

‫‪9‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪26‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪23‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪26‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪23‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬

‫القيمة‬ ‫‪26‬‬ ‫‪20‬‬

‫الزمف‬ ‫‪9+6+8+3‬‬ ‫‪9+6+2+3‬‬

‫الزمف باألشير‬

‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫المسار‬ ‫‪A,B,C,E‬‬ ‫‪A,B,D,E‬‬

‫المسار الحرج ىو األطوؿ زمنا ‪ 62‬شي ار‬ ‫‪26‬‬

‫‪9+6+8+3‬‬

‫صفذخ ‪ 441‬يٍ ‪555‬‬

‫‪A,B,C,E‬‬

‫النشاط‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬



‫نقوـ بحساب الوقت لفائض لممسار = المسار الحرج – زمف المسار‬ ‫الوقت الفائض‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬

‫المسار الحرج – زمف‬ ‫المسار‬ ‫‪26-26‬‬ ‫‪26-20‬‬

‫القرار ‪ :‬يتـ تسميـ المشروع بعد ‪ 62‬شيرا‬

‫صفذخ ‪ 441‬يٍ ‪555‬‬

‫المسار‬ ‫‪A,B,C,E‬‬ ‫‪A,B,D,E‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬




‫تقوـ شركة ‪ CCC‬بدراسة خط سير أعماؿ مشروع ترميـ لمدينة غزة ‪ ،‬مف خالؿ جدوؿ‬ ‫األعماؿ اآلتي‪:‬‬

‫الزمف باألشير‬ ‫‪3‬‬

‫النشاط‬ ‫‪-‬‬

‫الوصؼ‬ ‫تجريؼ وحفر‬


‫‪4‬‬

‫‪A‬‬

‫شراء المواد‬

‫‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫‪A‬‬

‫وضع االساسات‬

‫‪C‬‬

‫‪17‬‬

‫‪B,C‬‬

‫اقامة مباني‬

‫‪D‬‬

‫‪14‬‬

‫‪C,D‬‬

‫تمديد مياه وكيرباء‬

‫‪E‬‬

‫‪5‬‬

‫‪D‬‬

‫تشطيبات نيائية‬

‫‪F‬‬

‫‪10‬‬

‫‪E,F‬‬

‫دىاف وطراشة‬

‫‪G‬‬

‫‪3‬‬

‫‪G‬‬

‫ديكور وجبص‬

‫‪H‬‬


‫ارسـ شبكة األعماؿ؟ المسار الحرج؟ حد الزمف البدء المبكر والنياية المبكرة‪ ،‬البداية المتأخرة‪،‬‬


‫صفذخ ‪ 445‬يٍ ‪555‬‬


‫‪14‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪48‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪51‬‬


‫‪E‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪38‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪38‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪48‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪33‬‬

‫الزمف‬

‫زمف‬

‫زمف‬

‫زمف‬

‫زمف البدء‬

‫الفائض‬




‫المبكر‬




‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪51‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪48‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪51‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪48‬‬

‫صفذخ ‪ 443‬يٍ ‪555‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬


‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫النشاط‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪H‬‬


‫القيمة‬ ‫‪32‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪42‬‬

‫الزمف‬ ‫‪3+2+14+10+3‬‬ ‫‪3+2+17+14+10+3‬‬ ‫‪3+2+17+5+10+3‬‬ ‫‪3+4+17+14+10+3‬‬ ‫‪3+4+17+5+10+3‬‬


‫المسار‬ ‫‪A,C,E,G,H,‬‬ ‫‪A,C,D,E,G,H‬‬ ‫‪A,C,D,F,G,H‬‬ ‫‪A,B,D,E,G,H‬‬ ‫‪A,B,D,F,G,H‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬


‫‪3+4+17+14+10+3‬‬

‫‪A,B,D,E,G,H‬‬

‫نقوـ بحساب الوقت لفائض لممسار = المسار الحرج – زمف المسار‬ ‫الوقت الفائض‬

‫المسار الحرج – زمف‬

‫المسار‬

‫‪19‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪9‬‬

‫المسار‬ ‫‪51 – 32‬‬ ‫‪51 - 49‬‬ ‫‪51 - 40‬‬ ‫‪51 - 51‬‬ ‫‪51 - 42‬‬

‫‪A,C,E,G,H,‬‬ ‫‪A,C,D,E,G,H‬‬ ‫‪A,C,D,F,G,H‬‬ ‫‪A,B,D,E,G,H‬‬ ‫‪A,B,D,F,G,H‬‬

‫القرار ‪ :‬يتـ تسميـ المشروع بعد ا‪ 3‬شير‬

‫صفذخ ‪ 444‬يٍ ‪555‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬




‫تقوـ مؤسسة ‪ UNDP‬بدراسة خط سير أعماؿ مشروع البني التحتية لترميـ جسر وادي غزة‬ ‫‪ ،‬مف خالؿ جدوؿ األعماؿ اآلتي‪:‬‬ ‫الزمف باألشير‬ ‫‪5‬‬


‫الوصؼ‬ ‫إعداد تقارير جدوى فنية‬


‫‪6‬‬

‫‪-‬‬


‫‪B‬‬

‫‪4‬‬

‫‪A‬‬


‫‪C‬‬

‫‪7‬‬

‫‪A,B‬‬

‫وضع األعمدة و المصدات‬

‫‪D‬‬

‫‪6‬‬

‫‪C,D‬‬

‫البناء‬

‫‪E‬‬

‫‪5‬‬

‫‪E,C‬‬

‫رصؼ الشارع وترتيبو‬

‫‪F‬‬

‫‪5‬‬

‫‪D‬‬

‫التجريب والفحص النيائي‬

‫‪G‬‬

‫المطموب‪:‬‬ ‫ارسـ شبكة األعماؿ؟ المسار الحرج؟ حد الزمف البدء المبكر والنياية المبكرة‪ ،‬البداية المتأخرة‪،‬‬


‫صفذخ ‪ 445‬يٍ ‪555‬‬


‫‪5‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪24‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪19‬‬


‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬

‫الزمف‬

‫زمف‬

‫زمف‬

‫زمف‬


‫الفائض‬




‫المبكر‬





‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫النشاط‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0‬‬

‫‪5‬‬

‫‪A‬‬

‫‪0‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪6‬‬

‫‪0‬‬

‫‪6‬‬

‫‪B‬‬

‫‪4‬‬

‫‪13‬‬

‫‪9‬‬

‫‪9‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪C‬‬

‫‪0‬‬

‫‪13‬‬

‫‪6‬‬

‫‪13‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫‪D‬‬

‫‪0‬‬

‫‪19‬‬

‫‪13‬‬

‫‪19‬‬

‫‪13‬‬

‫‪6‬‬

‫‪E‬‬

‫‪0‬‬

‫‪24‬‬

‫‪19‬‬

‫‪24‬‬

‫‪19‬‬

‫‪5‬‬

‫‪F‬‬

‫‪6‬‬

‫‪24‬‬

‫‪19‬‬

‫‪18‬‬

‫‪13‬‬

‫‪5‬‬

‫‪G‬‬

‫صفذخ ‪ 446‬يٍ ‪555‬‬


‫القيمة‬ ‫‪14‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪18‬‬

‫الزمف‬ ‫‪5+4+5‬‬ ‫‪5+4+6+5‬‬ ‫‪5+7+6+5‬‬ ‫‪5+7+5‬‬ ‫‪6+7+6+5‬‬ ‫‪6+7+5‬‬


‫المسار‬ ‫‪A,C,F‬‬ ‫‪A,C,E,F‬‬ ‫‪A,D,E,F‬‬ ‫‪A,D,G‬‬ ‫‪B,D,E,F‬‬ ‫‪B,D,G‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬


‫‪B,D,E,F‬‬

‫‪6+7+6+5‬‬

‫نقوـ بحساب الوقت لفائض لممسار = المسار الحرج – زمف المسار‬ ‫الوقت الفائض‬ ‫‪10‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬

‫المسار الحرج – زمف‬ ‫المسار‬ ‫‪24 - 14‬‬ ‫‪24 - 20‬‬ ‫‪24 – 23‬‬ ‫‪24 - 17‬‬ ‫‪24 - 24‬‬ ‫‪24 - 18‬‬

‫القرار ‪ :‬يتـ تسميـ المشروع بعد ‪ 68‬شي ار‬

‫صفذخ ‪ 447‬يٍ ‪555‬‬

‫المسار‬ ‫‪A,C,F‬‬ ‫‪A,C,E,F‬‬ ‫‪A,D,E,F‬‬ ‫‪A,D,G‬‬ ‫‪B,D,E,F‬‬ ‫‪B,D,G‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬




‫مصنع العودة قرر فتح لو مصنع آخر في المدينة الصناعية في جميورية مصر العربية‬

‫ويوضح بالجدوؿ التالي‪:‬‬ ‫الزمف باألشير‬ ‫‪3‬‬


‫الوصؼ‬ ‫إعداد تقارير جدوى فنية‬


‫‪4‬‬

‫‪A‬‬


‫‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B‬‬


‫‪C‬‬

‫‪2‬‬

‫‪B‬‬

‫شراء المكائف‬

‫‪D‬‬

‫‪6‬‬

‫‪C‬‬

‫البناء‬

‫‪E‬‬

‫‪3‬‬

‫‪D,E‬‬

‫تدريب الفنيف‬

‫‪F‬‬

‫‪2‬‬

‫‪F‬‬

‫نصب المكائف‬

‫‪G‬‬

‫‪3‬‬

‫‪G‬‬

‫اإلنتاج التجريبي والفحص‬

‫‪H‬‬




‫صفذخ ‪ 448‬يٍ ‪555‬‬



‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪23‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪15‬‬

‫الزمف‬

‫زمف‬

‫زمف‬

‫زمف‬


‫الفائض‬




‫المبكر‬




‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪23‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪23‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪20‬‬

‫صفذخ ‪ 449‬يٍ ‪555‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪13‬‬


‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫النشاط‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪H‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬


‫القيمة‬ ‫‪23‬‬ ‫‪17‬‬

‫الزمف‬ ‫‪3+4+2+6+3+2+3‬‬ ‫‪3+4+2+3+2+3‬‬


‫المسار‬ ‫‪A,B,C,E,F,G,H‬‬ ‫‪A,B,D,F,G,H‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬


‫‪3+4+2+6+3+2+3‬‬

‫‪A,B,C,E,F,G,H‬‬

‫نقوـ بحساب الوقت لفائض لممسار = المسار الحرج – زمف المسار‬ ‫الوقت الفائض‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬

‫المسار الحرج – زمف‬ ‫المسار‬ ‫‪23 - 23‬‬ ‫‪23 - 17‬‬

‫القرار ‪ :‬يتـ تسميـ المشروع بعد ‪ 63‬شيرا‬

‫صفذخ ‪ 451‬يٍ ‪555‬‬

‫المسار‬ ‫‪A,B,C,E,F,G,H‬‬ ‫‪A,B,D,F,G,H‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬




‫إليؾ جدوؿ أعماؿ مشروع‪:‬‬

‫تقوـ بمدية غزة بدراسة خط سير أعماؿ مشروع‪ ،‬مف خالؿ جدوؿ األعماؿ اآلتي‪:‬‬ ‫الزمف باألسابيع‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬

‫النشاط السابؽ‬ ‫‬‫‪A‬‬ ‫‪A,B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E,C‬‬ ‫‪D,C‬‬ ‫‪G,D‬‬ ‫‪F,H‬‬


‫النشاط‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪I‬‬



‫صفذخ ‪ 451‬يٍ ‪555‬‬


‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪24‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬

‫الزمف‬

‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪24‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬


‫‪E‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19‬‬

‫زمف‬

‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪14‬‬


‫الفائض‬

‫االنجاز‬

‫المتأخر‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫المتأخر‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪25‬‬

‫زمف‬

‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬



‫المبكر‬

‫المبكر‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪25‬‬

‫صفذخ ‪ 455‬يٍ ‪555‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬

‫الزمف‬

‫باألسابيع‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬

‫النشاط‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪I‬‬


‫القيمة‬ ‫‪21‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪18‬‬

‫الزمف‬ ‫‪2+10+3+1+5‬‬ ‫‪2+10+2+1+5‬‬ ‫‪2+10+2+5+6+5‬‬ ‫‪2+2+1+5‬‬ ‫‪2+2+5+6+5‬‬ ‫‪2+5+5+6+5‬‬ ‫‪2+5+6+5‬‬


‫المسار‬ ‫‪A , B,E,F,I‬‬ ‫‪A,B,C,F, I‬‬ ‫‪A, B, C, G,H,I‬‬ ‫‪A, C, F, I‬‬ ‫‪A,C, G,H, I‬‬ ‫‪A,D,G,H,I‬‬ ‫‪A,D,H,I‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫المسار الحرج ىو األطوؿ زمنا ‪ 31‬أسبوع‬ ‫‪30‬‬

‫‪2+10+2+5+6+5‬‬

‫‪A, B, C, G,H,I‬‬

‫نقوـ بحساب الوقت لفائض لممسار = المسار الحرج – زمف المسار‬ ‫الوقت الفائض‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬

‫المسار الحرج – زمف المسار‬ ‫‪30 – 21‬‬ ‫‪30 – 20‬‬ ‫‪30 – 30‬‬ ‫‪30 – 10‬‬ ‫‪30 – 20‬‬ ‫‪30 – 23‬‬ ‫‪30 – 18‬‬

‫القرار ‪ :‬يتـ تسميـ المشروع بعد ‪ 31‬أسبوع‬

‫صفذخ ‪ 453‬يٍ ‪555‬‬

‫المسار‬ ‫‪A , B,E,F,I‬‬ ‫‪A,B,C,F, I‬‬ ‫‪A, B, C, G,H,I‬‬ ‫‪A, C, F, I‬‬ ‫‪A,C, G,H, I‬‬ ‫‪A,D,G,H,I‬‬ ‫‪A,D,H,I‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬




‫إليؾ جدوؿ أعماؿ مشروع‪ :‬تقوـ شركة ىندسية خط سير أعماؿ مشروع‪ ،‬مف خالؿ جدوؿ‬ ‫األعماؿ اآلتي‪:‬‬

‫الزمف باألسابيع‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬

‫النشاط السابؽ‬ ‫‬‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D,E‬‬ ‫‪E,F,G‬‬

‫النشاط‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪H‬‬



‫النياية المتأخرة‪ ،‬الزمف الفائض؟‬

‫‪9‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪H 12‬‬ ‫‪37 49‬‬ ‫‪37 49‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪37‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪26‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪26‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪26‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪20‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬

‫صفذخ ‪ 454‬يٍ ‪555‬‬

‫‪B 7‬‬ ‫‪4 11‬‬ ‫‪4 11‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬



‫النشاط‬

‫الزمف‬

‫زمف‬


‫زمف‬


‫الزمف‬

‫الفائض‬


‫المتأخر‬


‫المبكر‬

‫باألسابيع‬

‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪37‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫القيمة‬ ‫‪47‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪37‬‬

‫المتأخر‬ ‫‪4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪49‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪37‬‬

‫المبكر‬ ‫‪4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪49‬‬

‫الزمف‬ ‫‪4+7+8+7+9+12‬‬ ‫‪4+7+8+7+11+12‬‬ ‫‪4+7+8+6+11+12‬‬ ‫‪4+7+8+6+12‬‬

‫المسار‬ ‫‪A,B,C,C,D,F,H‬‬ ‫‪A,B,C,D,G,H‬‬ ‫‪A,B,C,E,G,H‬‬ ‫‪A,B,C,E,H‬‬


‫‪4+7+8+7+11+12‬‬

‫صفذخ ‪ 455‬يٍ ‪555‬‬

‫‪A,B,C,D,G,H‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪H‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬



‫نقوـ بحساب الوقت لفائض لممسار = المسار الحرج – زمف المسار‬ ‫الوقت الفائض‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬

‫المسار الحرج – زمف‬ ‫المسار‬ ‫‪49 – 47‬‬ ‫‪49 – 49‬‬ ‫‪49 – 48‬‬ ‫‪49 – 37‬‬


‫صفذخ ‪ 456‬يٍ ‪555‬‬

‫المسار‬ ‫‪A,B,C,C,D,F,H‬‬ ‫‪A,B,C,D,G,H‬‬ ‫‪A,B,C,E,G,H‬‬ ‫‪A,B,C,E,H‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬





‫تقوـ شركة السقا والخضري لممقاوالت بناء لمراقبة خط سير أعماؿ مشروع‪ ،‬مف خالؿ جدوؿ‬ ‫األعماؿ اآلتي‪:‬‬

‫النشاط‬ ‫النشاط السابؽ‬ ‫الزمف باألسابيع‬ ‫‪A‬‬ ‫‬‫‪10‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B,C‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪F,G‬‬ ‫‪20‬‬ ‫المطموب‪ :‬ارسـ شبكة األعماؿ؟ المسار الحرج؟ حد الزمف البدء المبكر والنياية المبكرة‪،‬‬ ‫البداية المتأخرة‪ ،‬النياية المتأخرة‪ ،‬الزمف الفائض ؟‬ ‫الزمف‬

‫الفائض‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫زمف‬


‫المتأخر‬ ‫‪10‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪79‬‬

‫زمف البدء‬ ‫المتأخر‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪59‬‬

‫زمف‬


‫المبكر‬ ‫‪10‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪79‬‬ ‫صفذخ ‪ 457‬يٍ ‪555‬‬

‫زمف البدء‬ ‫المبكر‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪59‬‬

‫الزمف‬

‫باألسابيع‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪20‬‬

‫النشاط‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪H‬‬


‫‪13‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪79‬‬ ‫‪79‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪46‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪59‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪59‬‬


‫‪E‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪47‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪13‬‬

‫المسار الحرج ىو األطوؿ زمنا ‪ 79‬أسبوع‬ ‫القيمة‬ ‫‪79‬‬ ‫‪78‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪79‬‬

‫الزمف‬ ‫‪10+15+10+11+13+20‬‬ ‫‪10+15+10+11+12+20‬‬ ‫‪10+12+10+11+13+20‬‬ ‫‪10+12+10+11+12+20‬‬ ‫‪10+15+10+11+13+20‬‬

‫صفذخ ‪ 458‬يٍ ‪555‬‬

‫المسار‬ ‫‪A,B,D,E,F,H‬‬ ‫‪A,B,D,E,G,H‬‬ ‫‪A,C,D,E,F,H‬‬ ‫‪A,C,D,E,G,H‬‬ ‫‪A,B,D,E,F,H‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬




‫المسار الحرج – زمف المسار‬ ‫‪79 - 79‬‬ ‫‪79 - 78‬‬ ‫‪79 - 76‬‬ ‫‪79 - 75‬‬


‫صفذخ ‪ 459‬يٍ ‪555‬‬

‫المسار‬ ‫‪A,B,D,E,F,H‬‬ ‫‪A,B,D,E,G,H‬‬ ‫‪A,C,D,E,F,H‬‬ ‫‪A,C,D,E,G,H‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬





‫تقوـ شركة االتصاالت لمراقبة خطوط تركيب اليواتؼ‪ ،‬مف خالؿ جدوؿ األعماؿ اآلتي‪:‬‬ ‫الزمف باألسابيع‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬

‫النشاط السابؽ‬ ‫‬‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E,D‬‬ ‫‪E,F,G‬‬


‫النشاط‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪H‬‬



‫صفذخ ‪ 461‬يٍ ‪555‬‬


‫‪9‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪49‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪28‬‬

‫الفائض‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪26‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪37‬‬

‫الزمف‬

‫‪7‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪26‬‬

‫زمف‬


‫المتأخر‬ ‫‪4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪49‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪20‬‬



‫زمف‬

‫االنجاز‬ ‫المبكر‬ ‫‪4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪49‬‬

‫صفذخ ‪ 461‬يٍ ‪555‬‬

‫زمف البدء‬ ‫المبكر‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪37‬‬

‫الزمف‬

‫باألسابيع‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬

‫النشاط‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪H‬‬


‫القيمة‬ ‫‪47‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪37‬‬

‫الزمف‬ ‫‪4+7+8+7+9+12‬‬ ‫‪4+7+8+7+11+12‬‬ ‫‪4+7+8+6+11+12‬‬ ‫‪4+7+8+6+12‬‬


‫المسار‬ ‫‪A,B,C,D,F,H‬‬ ‫‪A,B,C,D,G,H‬‬ ‫‪A,B,C,E,G,H‬‬ ‫‪A,B,C,E,H‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬


‫‪4+7+8+7+11+12‬‬

‫‪A,B,C,D,G,H‬‬


‫المسار الحرج – زمف المسار‬ ‫‪49 – 47‬‬ ‫‪49 – 49‬‬ ‫‪49 – 48‬‬ ‫‪49 – 37‬‬


‫صفذخ ‪ 465‬يٍ ‪555‬‬

‫المسار‬ ‫‪A,B,C,D,F,H‬‬ ‫‪A,B,C,D,G,H‬‬ ‫‪A,B,C,E,G,H‬‬ ‫‪A,B,C,E,H‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬





‫تقوـ جامعة األقصى بتجييز مختبر حاسوب لكمية العموـ اإلدارية‪ ،‬مف خالؿ جدوؿ األعماؿ‬

‫اآلتي‪:‬‬

‫وصؼ النشاط‬

‫النشاط السابؽ‬ ‫‪-‬‬


‫الزمف باألشير‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫وضع المواصفات والمقاييس‬

‫‪-‬‬

‫‪B‬‬

‫‪2‬‬

‫طرح مناقصة‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪4‬‬

‫دراسة العروض‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪4‬‬

‫شراء األجيزة‬

‫‪C‬‬

‫‪E‬‬

‫‪3‬‬

‫توفير مستمزمات‬

‫‪C‬‬

‫‪F‬‬

‫‪5‬‬

‫تركيب األجيزة‬

‫‪D,E‬‬

‫‪G‬‬

‫‪2‬‬

‫العمؿ عمى األجيزة‬

‫‪F,G‬‬

‫‪H‬‬

‫شراء مباني‬




‫صفذخ ‪ 463‬يٍ ‪555‬‬


‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪H‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬

‫الزمف‬

‫الفائض‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫زمف االنجاز‬ ‫المتأخر‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪F‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪E‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬



‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬

‫زمف االنجاز‬ ‫المبكر‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪15‬‬

‫صفذخ ‪ 464‬يٍ ‪555‬‬

‫زمف البدء‬ ‫المبكر‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪D‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫الزمف‬

‫باألشير‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫النشاط‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪H‬‬


‫القيمة‬ ‫‪9‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪14‬‬

‫الزمف‬ ‫‪2+2+3+2‬‬ ‫‪2+2+4+5+2‬‬ ‫‪3+4+5+2‬‬


‫المسار‬ ‫‪A,C,F,H‬‬ ‫‪A,C,E,G,H‬‬ ‫‪B,D,G,H‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬


‫‪A,C,E,G,H‬‬

‫‪2+2+4+5+2‬‬

‫نقوـ بحساب الوقت لفائض لممسار = المسار الحرج – زمف المسار‬ ‫الوقت الفائض‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫المسار الحرج – زمف المسار‬ ‫‪15-9‬‬ ‫‪15-15‬‬ ‫‪15-14‬‬

‫المسار‬ ‫‪A,C,F,H‬‬ ‫‪A,C,E,G,H‬‬ ‫‪B,D,G,H‬‬

‫القرار ‪ :‬يتـ تسميـ المشروع بعد ‪ 03‬شي ار‬ ‫مالحظة‪:‬‬ ‫في ىذه الشبكة كانت بدايتيف وىذه مف المشاريع الشائعة بدايتاف لحدثيف منفصميف‬

‫صفذخ ‪ 465‬يٍ ‪555‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬



‫الطريقة الثانية‪:‬‬

‫تقييـ ومراجعة المشروع أسموب بيرت ‪PERT Method‬‬ ‫‪Program Evaluation & Review Technique = PERT‬‬ ‫يعتبر أسموب بيرت مف األساليب المتبعة في اإلدارة الحديثة في عممية تقييـ ومراجعة المشاريع‬ ‫بأسموب تقني وىو مف األساليب الحديثة في تقييـ مشاريع األعماؿ‬ ‫ما ىو الفرؽ بيف المسار الحرج وأسموب بيرت؟‬ ‫المسار الحرج‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫يستخدـ في حالة توفر المعمومات األكيدة لتوفر خبرات سابقة في المشاريع‬

‫أسموب بيرت‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫يستخدـ في حساب األزمنة المتوقعة االحتمالية غير مؤكدة‬

‫‪‬‬

‫في حالة المشاريع الجديدة وال يتوقع لنشاطيا زمف معيف‬

‫‪‬‬

‫تقؿ فييا الخبرة لحداثتيا ألنيا مشروع جديد‬

‫‪‬‬

‫تعتبر طريقة تقديرية لثبلثة أزمنة لتقدير وقت انجاز النشاطات‬

‫أزمنة أسموب بيرت حساب الوقت المتوقع )‪Expected Time (ET‬‬ ‫‪ -0‬الزمف التفاؤلي‪Optimistic Time =(O) :‬‬ ‫الزمف اقؿ تفاؤؿ بو لتنفيذ النشاط‬

‫‪ -5‬الزمف األكثر احتماالً‪Most Likely Time = (M) :‬‬

‫وىو الزمف المتوقع لئلنجاز النشاطات في الظروؼ العادية‬ ‫صفذخ ‪ 466‬يٍ ‪555‬‬



‫‪ -3‬الزمف التشاؤمي )‪Pessimistic Time = (P‬‬

‫اكبر زمف متوقع لتنفيذ النشاطات لوجود معيقات تمنع تنفيذه‬

‫القانوف المستخدـ‪:‬‬ ‫) ‪PERT : ET= ( O + 4M +P‬‬ ‫‪6‬‬ ‫آلية عمؿ شبكة بيرت‪:‬‬

‫يتـ رسـ شبكة األعماؿ وتحدد المسارات وحساب األزمنة المتوقعة لكؿ مسار‪ ,‬والمسار األطوؿ‬

‫وقتاً ىو المسار الحرج ووقتو يكوف الوقت الكمي لممشروع‬

‫صفذخ ‪ 467‬يٍ ‪555‬‬



‫مثاؿ تطبيقي(‪)01‬؛‬

‫مف خالؿ جدوؿ األعماؿ اآلتي‪:‬‬ ‫الوقت المتوقع‬

‫الوقت‬

‫وقت‬

‫الوقت‬

‫الحدث‬

‫) ‪( O + 4M +P‬‬ ‫‪6‬‬

‫التشاؤمي‬

‫أكثر‬

‫التفاؤلي‬

‫السابؽ‬

‫‪7.16‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪-‬‬

‫‪A‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪7.66‬‬

‫‪11‬‬

‫‪7‬‬

‫‪7‬‬

‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪5.166‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪A,B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪11‬‬

‫‪13‬‬

‫‪11‬‬

‫‪9‬‬

‫‪C,D‬‬

‫‪E‬‬

‫‪7.66‬‬

‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫‪11‬‬

‫‪15‬‬

‫‪11‬‬

‫‪7‬‬

‫‪E,F‬‬

‫‪G‬‬

‫احتماال‬

‫المطموب‪:‬‬ ‫ارسـ شبكة األعماؿ؟ المسار الحرج؟ اوجد الوقت المتوقع ؟‬

‫صفذخ ‪ 468‬يٍ ‪555‬‬

‫النشاط‬


‫‪C‬‬

‫‪E‬‬


‫‪B‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫القيمة‬ ‫‪39,83‬‬ ‫‪33,98‬‬ ‫‪30,98‬‬ ‫‪27,98‬‬

‫‪A‬‬

‫الزمف‬ ‫‪7.17+3+7.66+11+11‬‬ ‫‪7.16+ 3+5.16+7.66+11‬‬ ‫‪7.16|+3+5.16+7.66+11‬‬ ‫‪7.16+ 5.16+7.66+11‬‬

‫المسار‬ ‫‪A,B,C,E,G‬‬ ‫‪A,B,D,E,G‬‬ ‫‪A,B,D,F,G‬‬ ‫‪A,D,F,G‬‬

‫المسار الحرج ىو األطوؿ زمنا ‪ 39.43‬أسبوع‬ ‫‪39,83‬‬

‫‪7.17+3+7.66+11+11‬‬

‫صفذخ ‪ 469‬يٍ ‪555‬‬

‫‪A,B,C,E,G‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬





‫المسار‬

‫‪0‬‬ ‫‪5.85‬‬ ‫‪8.85‬‬ ‫‪11.85‬‬

‫‪39,83 – 39,83‬‬ ‫‪39,83 – 33,98‬‬ ‫‪39,83 – 30,98‬‬ ‫‪39,83 – 27,98‬‬

‫‪A,B,C,E,G‬‬ ‫‪A,B,D,E,G‬‬ ‫‪A,B,D,F,G‬‬ ‫‪A,D,F,G‬‬

‫المسار‬

‫القرار ‪ :‬يتـ تسميـ المشروع بعد‬

‫‪ 39,83‬أسبوع‬

‫صفذخ ‪ 471‬يٍ ‪555‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬




‫استخدـ لجدوؿ المشروع التالي‪:‬‬ ‫الوقت‬

‫التشاؤمي‬ ‫‪20‬‬

‫وقت أكثر‬ ‫احتماال‬ ‫‪11‬‬

‫الوقت‬

‫التفاؤلي‬ ‫‪8‬‬

‫السابؽ‬ ‫‪-‬‬

‫‪A‬‬

‫‪27‬‬

‫‪21‬‬

‫‪15‬‬

‫‪-‬‬

‫‪B‬‬

‫‪51‬‬

‫‪32‬‬

‫‪25‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪12‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪24‬‬

‫‪16‬‬

‫‪8‬‬

‫‪C,D‬‬

‫‪E‬‬

‫‪18‬‬

‫‪15‬‬

‫‪12‬‬

‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫‪22‬‬

‫‪18‬‬

‫‪14‬‬

‫‪E,F‬‬

‫‪G‬‬


‫ارسـ شبكة األعماؿ؟ المسار الحرج؟ اوجد الوقت المتوقع ؟‬

‫صفذخ ‪ 471‬يٍ ‪555‬‬

‫الحدث‬

‫النشاط‬


‫‪G‬‬


‫‪E‬‬

‫‪F‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪D‬‬

‫‪B‬‬

‫الوقت المتوقع‬

‫الوقت‬

‫وقت‬

‫الوقت‬

‫الحدث‬

‫) ‪( O + 4M +P‬‬ ‫‪6‬‬

‫التشاؤمي‬

‫أكثر‬

‫التفاؤلي‬

‫السابؽ‬

‫‪12‬‬

‫‪20‬‬

‫‪11‬‬

‫‪8‬‬

‫‪-‬‬

‫‪A‬‬

‫‪21‬‬

‫‪27‬‬

‫‪21‬‬

‫‪15‬‬

‫‪-‬‬

‫‪B‬‬

‫‪34‬‬

‫‪51‬‬

‫‪32‬‬

‫‪25‬‬

‫‪A‬‬

‫‪C‬‬

‫‪9‬‬

‫‪12‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪16‬‬

‫‪24‬‬

‫‪16‬‬

‫‪8‬‬

‫‪C,D‬‬

‫‪E‬‬

‫‪15‬‬

‫‪18‬‬

‫‪15‬‬

‫‪12‬‬

‫‪D‬‬

‫‪F‬‬

‫‪18‬‬

‫‪22‬‬

‫‪18‬‬

‫‪14‬‬

‫‪E,F‬‬

‫‪G‬‬

‫احتماال‬

‫صفذخ ‪ 475‬يٍ ‪555‬‬

‫النشاط‬


‫القيمة‬ ‫‪80‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪63‬‬

‫الزمف‬ ‫‪12+34+16+18‬‬ ‫‪21+9+16+18‬‬ ‫‪21+9+15+18‬‬

‫المسار الحرج ىو األطوؿ زمنا‬ ‫‪80‬‬


‫المسار‬ ‫‪A,C,E,G‬‬ ‫‪B,D,E,G,‬‬ ‫‪B,D,F,G‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ 41‬أسبوع‬ ‫‪A,C,E,G‬‬

‫‪12+34+16+18‬‬

‫نقوـ بحساب الوقت لفائض لممسار = المسار الحرج – زمف المسار‬ ‫الوقت الفائض‬ ‫‪0‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬

‫المسار الحرج – زمف‬ ‫المسار‬ ‫‪80 - 80‬‬ ‫‪80 - 64‬‬ ‫‪80 - 63‬‬


‫صفذخ ‪ 473‬يٍ ‪555‬‬

‫المسار‬ ‫‪A,C,E,G‬‬ ‫‪B,D,E,G,‬‬ ‫‪B,D,F,G‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬





‫تقوـ مجمع بمديات قطاع غزة بدراسة مشروع إمدادات الصرؼ الصحي‪ ،‬مف خالؿ جدوؿ‬ ‫األعماؿ اآلتي‪:‬‬

‫الوقت التشاؤمي‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪7‬‬

‫الوقت األكثر احتماالً‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬

‫الوقت التفاؤلي‬ ‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬

‫النشاط‬ ‫‪1-2‬‬ ‫‪1-3‬‬ ‫‪1-4‬‬ ‫‪2-5‬‬ ‫‪3-4‬‬ ‫‪3-5‬‬ ‫‪4-5‬‬ ‫‪5-6‬‬


‫ارسـ شبكة األعماؿ؟ المسار الحرج لشبكة ‪ PERT‬؟ احسب الوقت المتوقع باألسابيع لكؿ‬

‫نشاط ؟‬

‫الوقت المتوقع‬ ‫) ‪ET= ( O + 4M +P‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪( 6 + 4x10 +14 ) ÷6 = 10‬‬ ‫‪( 10 + 4x12 +14 ) ÷6 = 12‬‬ ‫‪( 12 + 4x16 +26 ) ÷6 = 17‬‬ ‫‪( 8 + 4x10 +12 ) ÷6 = 10‬‬ ‫‪( 4 + 4x7 +10 ) ÷6 = 7‬‬ ‫‪( 4 + 4x6 +8 ) ÷6 = 6‬‬ ‫‪( 8 + 4x12 +16 ) ÷6 = 12‬‬ ‫‪( 3 + 4x5 +7 ) ÷6 = 5‬‬

‫الوقت‬

‫التشاؤمي‬ ‫‪P‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪7‬‬

‫الوقت األكثر‬

‫صفذخ ‪ 474‬يٍ ‪555‬‬

‫احتماالً‬ ‫‪M‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬

‫الوقت‬

‫التفاؤلي‬ ‫‪O‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬

‫النشاط‬

‫‪1-2‬‬ ‫‪1-3‬‬ ‫‪1-4‬‬ ‫‪2-5‬‬ ‫‪3-4‬‬ ‫‪3-5‬‬ ‫‪4-5‬‬ ‫‪5-6‬‬



‫‪2‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫القيمة‬ ‫‪25‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪34‬‬

‫الزمف‬ ‫‪10+10+5‬‬ ‫‪12+6+5‬‬ ‫‪12+7+12+5‬‬ ‫‪17+12+5‬‬

‫المسار‬ ‫‪1,2,5,6‬‬ ‫‪1,3,5,6‬‬ ‫‪1,3,4,5,6‬‬ ‫‪1,4,5,6‬‬


‫‪12+7+12+5‬‬

‫صفذخ ‪ 475‬يٍ ‪555‬‬

‫‪1,3,4,5,6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬




‫المسار الحرج – زمف المسار‬ ‫‪36 - 25‬‬ ‫‪36 - 23‬‬ ‫‪36 - 36‬‬ ‫‪36 - 34‬‬ ‫القرار‪ :‬يتـ تسميـ المشروع بعد ‪ 32‬أسبوع‬

‫صفذخ ‪ 476‬يٍ ‪555‬‬

‫المسار‬ ‫‪1,2,5,6‬‬ ‫‪1,3,5,6‬‬ ‫‪1,3,4,5,6‬‬ ‫‪1,4,5,6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬





‫تقوـ مجمع بمديات قطاع غزة بدراسة مشروع إمدادات الصرؼ الصحي‪ ،‬مف خال ؿ جدوؿ‬ ‫األعماؿ اآلتي‪:‬‬

‫الوقت التشاؤمي‬

‫الوقت األكثر احتماالً‬

‫الوقت التفاؤلي‬

‫‪12‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫النشاط‬

‫السابؽ‬ ‫‬‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3,2‬‬ ‫‪4,3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6,5‬‬ ‫‪7‬‬

‫النشاط‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬

‫المطموب‪:‬‬ ‫ارسـ شبكة األعماؿ؟ المسار الحرج لشبكة ‪ PERT‬؟ احسب الوقت المتوقع باألسابيع لكؿ‬

‫نشاط ؟‬

‫صفذخ ‪ 477‬يٍ ‪555‬‬


‫الوقت المتوقع‬ ‫‪ET= ( O + 4M +P ) ÷6‬‬ ‫‪( 8 + 4x10 +12 ) ÷6 = 10‬‬ ‫‪( 12 + 4x16 +26 ) ÷6 = 17‬‬ ‫‪( 10 + 4x12 +14 ) ÷6 = 12‬‬ ‫‪( 8 + 4x12 +16 ) ÷6 = 12‬‬ ‫‪( 3 + 4x6 +9 ) ÷6 = 6‬‬ ‫‪( 9 + 4x11 +13 ) ÷6 = 11‬‬ ‫‪( 9 + 4x10 +17 ) ÷6 = 11‬‬ ‫‪( 4 + 4x6 +8 ) ÷6 = 6‬‬

‫الوقت‬

‫التشاؤمي‬ ‫‪P‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪8‬‬


‫الوقت األكثر‬ ‫احتماالً‬ ‫‪M‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪6‬‬

‫الوقت‬

‫التفاؤلي‬ ‫‪O‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫النشاط‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫القيمة‬ ‫‪62‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪50‬‬

‫الزمف‬ ‫‪10+17+12+6+11+6‬‬ ‫‪10+12+12+6+11+6‬‬ ‫‪10+12+6+11+6‬‬ ‫‪10+12+11+11+6‬‬

‫صفذخ ‪ 478‬يٍ ‪555‬‬

‫‪1‬‬

‫المسار‬ ‫‪1,2,4,5,7,8‬‬ ‫‪1,3,4,5,6,8‬‬ ‫‪1,3,5,7,8‬‬ ‫‪1,3,6,7,8‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬



‫المسار الحرج ىو األطوؿ زمنا ‪ 26‬يوماً‬ ‫‪62‬‬

‫‪1,2,4,5,7,8‬‬

‫‪10+17+12+6+11+6‬‬



‫المسار‬

‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪12‬‬

‫المسار‬ ‫‪62 - 62‬‬ ‫‪62 - 57‬‬ ‫‪62 - 45‬‬ ‫‪62 - 50‬‬

‫‪1,2,4,5,7,8‬‬ ‫‪1,3,4,5,6,8‬‬ ‫‪1,3,5,7,8‬‬ ‫‪1,3,6,7,8‬‬

‫القرار‪ :‬يتـ تسميـ المشروع بعد ‪ 26‬يوماً‬

‫صفذخ ‪ 479‬يٍ ‪555‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬




‫السؤاؿ األوؿ تقوـ‬

‫السقا والخضري بدراسة خط سير أعماؿ مشروع بناء موالت تجارية في مدينة غزة ‪ ،‬مف خالؿ‬

‫جدوؿ األعماؿ اآلتي‪:‬‬

‫انًطهىب‪ :‬أوال‪ :‬ارسـ شبكة األعماؿ‬

‫ثانيا‪ :‬حد األزمنة المبكرة‪ ،‬واألزمنة المتأخرة‪ ،‬الزمف الفائض؟‬ ‫ثالثا‪ :‬حدد المسار الحرج في الشبكة؟‬

‫انضيٍ‬ ‫تاألعاتُغ‬

‫انُشاط‬ ‫انغاتك‬

‫انىصف‬

‫انُشاط‬

‫و‬

‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪5‬‬

‫‬‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A,B‬‬ ‫‪B,D‬‬ ‫‪C,D‬‬ ‫‪E,D,F‬‬ ‫‪E,G,F‬‬

‫ئػذاد ذماسَش جذوي فُُح‬ ‫ذُظُف انًىلغ وحفش األعاط‬ ‫صة األعاط‬ ‫وضغ األػًذج و انًصذاخ‬ ‫سصف انشاسع وذشذُثه‬ ‫انرجشَة وانفحص انًثذئٍ‬ ‫انرشطُة انُهائٍ‬ ‫ذغهُى انًششوع‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪H‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬

‫صفذخ ‪ 481‬يٍ ‪555‬‬




‫تقوـ بمدية غزة بدراسة خط سير أعماؿ مشروع بناء وترميـ شوارع في مدينة غزة ‪ ،‬مف خالؿ‬ ‫جدوؿ األعماؿ اآلتي‪:‬‬

‫انًطهىب‪ :‬أوال‪ :‬ارسـ شبكة األعماؿ؟‬

‫ثانيا‪ :‬حد اال زمنة المبكرة والمتأخرة؟‬

‫ثالثا‪ :‬حدد المسار الحرج؟ والزمف الفائض مف المسارات الحرجة؟‬

‫انضيٍ تاألشهش‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬

‫انُشاط‬ ‫انغاتك‬ ‫‬‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C,D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪E,D‬‬

‫انىصف‬

‫انُشاط‬

‫ئػذاد ذماسَش جذوي فُُح‬ ‫ذُظُف انًىلغ وحفش األعاط‬ ‫شك انطشق‬ ‫ذًهُذ انطشق‬ ‫سصف انشاسع وذشذُثه‬ ‫انذهاٌ وسعى انحذود‬ ‫ذثُهظ انشصُف‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪G‬‬

‫صفذخ ‪ 481‬يٍ ‪555‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬




‫تقوـ السقا والخضري بدراسة خط سير أعماؿ مشروع بناء خمسة أبراج سكنية في مدينة غزة‬ ‫‪ ،‬مف خالؿ جدوؿ األعماؿ اآلتي‪:‬‬

‫انًطهىب‪ :‬أوال‪ :‬ارسـ شبكة األعماؿ؟‬

‫ثانيا‪ :‬حد الزمف البدء المبكر والنياية المبكرة؟‬

‫ثالثا‪ :‬حدد المسار الحرج؟ والزمف الفائض مف المسارات الحرجة؟‬

‫انضيٍ تاألشهش‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪10‬‬

‫انُشاط‬ ‫انغاتك‬ ‫‬‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A,B,C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C,D‬‬ ‫‪E,D,F‬‬

‫انىصف‬

‫انُشاط‬

‫ئػذاد ذماسَش جذوي فُُح‬ ‫ذُظُف انًىلغ وحفش األعاط‬ ‫صة األعاط‬ ‫وضغ األػًذج و انًصذاخ‬ ‫سصف انشاسع وذشذُثه‬ ‫انرجشَة وانفحص انًثذئٍ‬ ‫انرشطُة انُهائٍ‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪G‬‬

‫صفذخ ‪ 485‬يٍ ‪555‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬



‫الفصؿ التاسع‬

‫صفذخ ‪ 483‬يٍ ‪555‬‬



‫صفىف االَرظاس ‪Queuing Theory / Waiting Lines‬‬ ‫تمييد‪:‬‬

‫كانت البدايات التاريخية لصفوؼ االنتظار كانت عاـ ‪1911\1959‬ـ ‪ ,‬وكاف يطمؽ عمييا نظرية‬ ‫الطوابير‪ ,‬أو نظرية األرتاؿ‪ ,‬صفوؼ االنتظار‪ .‬وظيرت نتيجة مبلحظة المكتشؼ ليا معاناة‬ ‫العامبلت في أجيزة البداالت الياتفية نتيجة الزخـ الكبير عمى المكالمات الياتفية وقمة األجيزة‬

‫الموجودة في ذلؾ الوقت‪ ,‬أدى ىذا األمر إلى تأخير الطمبات وعدـ تأديتيا بالسرعة المطموبة‪.‬‬ ‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫معينة يفوؽ ما ىو معروض‬ ‫خدمة‬ ‫وتقوـ مشكمة نظرية خطوط االنتظار عمى وجود طمبات عمى‬

‫ٍ‬ ‫ٍ‬ ‫زمنية معينة؛ وبالتالي يتكوف صفوؼ أو طوابير مف الطمبات التي تنتظر تمبية‬ ‫لحظة‬ ‫منيا في‬ ‫عامة تواجييا معظـ المنشآت الَّتي تقدـ خدمات أو تبيع منتجات سواء‬ ‫حاجتيا‪ .‬وىذه المشكمة َّ‬ ‫عامة أو أىمية ال تيدؼ إلى ذلؾ‪.‬‬ ‫الربح أو منظمات َّ‬ ‫أكانت منشآت أعماؿ تيدؼ إلى تحقيؽ ِّ‬

‫كما َّ‬ ‫أف ىذه المشكمة ال تقتصر فقط عمى وجود المتعامميف زبائف بمعنى أف يكوف الزبوف بش اًر ‪,‬‬

‫بؿ تتعداىا إلى مشاكؿ أخرى يكوف فييا متمقي الخدمة آالت كحاالت صيانة اآلالت والمعدات‬ ‫ْ‬

‫والمركبات‪ ,‬كما يمكف أف تؤدي الخدمة آلياً وليس بشرياً‪ .‬ومف الممكف أف يحدث العكس‪ ,‬بمعنى‬ ‫أف ِّ‬ ‫مقدـ الخدمة ينتظر وصوؿ طالبيا ‪.‬‬ ‫مف ىو مكتشؼ نظرية الطوابير؟‬ ‫العالـ البريطاني الرياضي كانداؿ ‪Kendall‬‬ ‫افتراضات أساسية في نظرية صفوؼ االنتظار‪:‬‬

‫األوؿ ‪:‬‬ ‫االفتراض َّ‬

‫تقوـ نظرية طوابير االنتظار عمى افتراض َّ‬ ‫أف األفراد ينتظموف في طوابير انتظا اًر لقضاء‬

‫خدمتيـ‪ ,‬وىذا يعني َّ‬ ‫أف النظرية تطبؽ في مجتمعات حضارية وراقية تأخذ بمبدأ النظاـ واحتراـ‬

‫اآلخر ووقتو؛‬ ‫صفذخ ‪ 484‬يٍ ‪555‬‬



‫ينتظـ الزبوف طالب الخدمة في طابور يمي فيو َمف سبقو‪ ,‬تطبيقاً لمبدأ األولوية في‬ ‫حيث‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫قر َّ‬ ‫الحصوؿ عمى الخدمة لمف يأتي َّأوالً‪ ,‬وىذا بالضرورة يعني َّ‬ ‫بأنو‬ ‫أف ُك ُّؿ فرٍد في الطابور ُي ُّ‬

‫ِ‬ ‫ٍ‬ ‫مع غيره ِم َّم ْف ينتظر الحصوؿ عمى الخدمة‪ .‬وىذه الحالة مغايرة لحالة‬ ‫متساو في القيمة َ‬ ‫يعتمد الزبوف عمى تخطي َم ْف سبقو في‬ ‫بؿ‬ ‫المجتمعات األُخرى الَّتي ال يوجد فييا طوابير؛ ْ‬ ‫ُ‬

‫المجيء‪ ,‬وفي النياية تتكوف حالة تثير االشمئزاز مف عدـ االنتظاـ والفوضى والتزاحـ واعتبار‬

‫كؿ ٍ‬ ‫فرد نفسو أفضؿ مف غيره‪.‬‬ ‫ّ‬ ‫االفتراض الثاني‪:‬‬

‫األوؿ يخص المنتج حيث يسعى إلى إرضاء‬ ‫ىو وجود المنافسة بيف المنتجيف ‪ ,‬وليذا وجييف‪َّ :‬‬ ‫زبونو واال فقده‪ ,‬والوجو اآلخر ىو الزبوف الَّذي يعرؼ أف بإمكانو الحصوؿ عمى الخدمة مف‬ ‫منتج آخر‪.‬‬ ‫االفتراض الثالث‪:‬‬

‫وجود أىمية لوقت الزبوف وآدميتو‪.‬‬ ‫ما ىو اليدؼ مف دراسة صفوؼ االنتظار؟‬

‫‪ .1‬مساعدة المدراء في تقييـ التكمفة وىي تكمفة انتظار الزبوف في الطابور‬ ‫‪ .5‬تحديد فعالية نظاـ الخدمة المقدـ وتحديد تكمفة أداء الخدمة‬ ‫‪ .3‬توظيؼ عدد محدد مف مقدمي الخدمة لمزبائف‬

‫‪ .4‬تحديد الفترة الزمنية لبلنتظار وجعؿ ىذه الفترة اقؿ ما يمكف‪.‬‬ ‫‪ .5‬يترتب عمى ذؾ إنشاء مراكز خدمة متعددة لتقديـ الخدمة‬ ‫‪ .6‬إجراء موازنة دقيقة بيف تكاليؼ االنتظار وتكاليؼ اتخاذ القرار إلنشاء مراكز خدمة جديدة‪.‬‬

‫صفذخ ‪ 485‬يٍ ‪555‬‬



‫طرؽ تقديـ الخدمة لمزبائف‪:‬‬

‫‪ .1‬ألياً بواسطة الحواسيب أو عف طريؽ االنترنت‬

‫‪ .5‬بشرياً مباشرة مع الموظؼ المسئوؿ عف تقديـ الخدمة‬ ‫وصؼ صفوؼ االنتظار‬

‫وصوؿ الوحدات مثؿ‪ :‬الزبائف‪ ,‬المكائف‪ ,‬البواخر‪ ,‬السيارات‪ ,‬القطارات‪ ................,‬إلى‬

‫محطات الخدمة‪ ,‬وفي العادة تكوف عممية الوصوؿ يكوف‪:‬‬

‫‪ .1‬معدؿ ثابت خبلؿ فترة زمنية معمومة‪.‬‬

‫‪ .5‬بشكؿ عشوائي غير محدد‪ .‬وىو األكثر شيوعاً‬ ‫الخصائص العامة لنظرية صفوؼ االنتظار‬

‫‪ .1‬معدؿ وصوؿ الوحدات ‪ Arrival Rate‬ويخضع لتوزيع بويسوف ‪Poisson distribution‬‬ ‫ويرمز لو بالرمز ‪λ‬‬

‫‪ .5‬معدؿ تقديـ الخدمة ‪ Service Rate‬ويخضع لمتوزيع االسي ‪Exponential‬‬ ‫‪Distribution‬‬ ‫ويرمز لو بالرمز ‪µ‬‬ ‫‪ .3‬دائما معدؿ الوصوؿ اقؿ مف معدؿ تقديـ الخدمة‬

‫(‪(µ > λ‬‬

‫‪ .4‬نظاـ الخدمة المعتمد ىو مف يصؿ أوال يحصؿ عمى الخدمة أوال ‪FIF0 = First In Fist‬‬ ‫‪Out‬‬

‫صفذخ ‪ 486‬يٍ ‪555‬‬



‫مكونات صفوؼ االنتظار‪:‬‬

‫‪ .1‬مجتمع القادموف ‪ Arrivals‬ويرمز لو بالرمز ‪λ‬‬ ‫‪ .5‬مراكز الخدمة ‪ Service Facilities‬ويرمز لو بالرمز ‪µ‬‬ ‫‪ .3‬خطوط االنتظار الفعمية‪Actual Waiting Line‬‬ ‫مشاكؿ االنتظار‪:‬‬

‫‪ .1‬نموذج صؼ االنتظار بمركز خدمة واحد‬ ‫‪ .5‬نموذج صؼ االنتظار بأكثر مف مركز خدمة‬

‫الحالة األولى‪ :‬نموذج صؼ االنتظار بمركز خدمة واحد‬

‫مف ابسط أنواع نماذج صفوؼ االنتظار ويسمى بنظاـ القناة الواحدة حيث تصؿ الوحدات إلى‬

‫مراكز الخدمة بشكؿ متتالي في صؼ واحد تقدـ ليا الخدمة بمرحمة واحدة‪.‬‬ ‫حدود نظاـ صفوؼ االنتظار‬

‫انًغبدسوٌ‬

‫انىدذاد فً‬ ‫صف االَزظبس‬

‫يشكض رمذٌى‬ ‫انخذيخ‬

‫انُظبو‬

‫صفذخ ‪ 487‬يٍ ‪555‬‬

‫انمبديىٌ‬



‫أمثمة عمى طوابير االنتظار‪:‬‬

‫ٍ‬ ‫ٍّ‬ ‫ِ‬ ‫االنتظار في‬ ‫خدمة ِمف‬ ‫ُربَّما ال يخمو الحصوؿ عمى أي‬ ‫صؼ (أو وسط الزحاـ) فمثبلً‬ ‫‪ .1‬المصرؼ ‪ ,‬خاصة عند صرؼ الرواتب ‪.‬‬ ‫‪.5‬‬

‫مراكز صرؼ مستحقات البطالة ‪.‬‬

‫‪.3‬‬

‫محطات بيع الوقود ‪ ,‬خاصة أوقات المساء ‪.‬‬

‫‪.4‬‬

‫المستشفيات والعيادات الصحية ‪.‬‬

‫‪.5‬‬

‫محبلت البيع خاصة في المواسـ واألعياد والعطبلت األسبوعية ‪.‬‬

‫‪.7‬‬

‫الموانئ التجارية (تعبئة وتفريغ السفف) ‪.‬‬

‫‪.8‬‬

‫العامة ‪.‬‬ ‫نقؿ الركاب مف المواقؼ َّ‬

‫‪.6‬‬

‫‪.9‬‬

‫مراكز الخدمة والصيانة لآلالت والمعدات والمركبات والطائرات ‪.‬‬

‫نقؿ الركاب والبضائع عف طريؽ الطائرات (في المطارات الجوية) ‪.‬‬

‫بعض نتائج تطبيؽ نماذج نظرية صفوؼ االنتظار‪:‬‬

‫ىامة‪ ,‬وعمى رأسيا معرفة وتحديد ما يمي‪:‬‬ ‫يزودنا تطبيؽ نماذج نظرية صفوؼ االنتظار بنتائج َّ‬ ‫النتيجة األولى‪ :‬التوزيع االحتمالي لعدد الزبائف في النظاـ‪:‬‬

‫وىذه ىي أساس باقي النتائج األخرى التي سيأتي مناقشتيا أدناه‪ ,‬كما تساعد في التصميـ المادي‬

‫لنظاـ أداء الخدمة مف حيث اإلمكانيات الواجب توفيرىا ‪ ,‬واستيعاب طوؿ الطابور المحتمؿ ‪.‬‬ ‫النتيجة الثانية‪ :‬تحديد معدؿ عدد الزبائف في النظاـ‪L:‬‬

‫وىذا يوضح العدد المتوقع مف الزبائف‪ :‬في انتظار الخدمة (في الطابور) مضافاً إليو الزبائف‬ ‫الذيف يتمقوف الخدمة‪,‬‬

‫وىذا يعتبر مقدمة لتحديد الوقت الذي يقضيو الزبوف في النظاـ‪.‬‬ ‫النتيجة الثالثة ‪ :‬معدؿ الوقت الذي يقضيو الزبوف في النظاـ‪W :‬‬

‫صفذخ ‪ 488‬يٍ ‪555‬‬



‫وىذا يتيح الفرصة لمعرفة معدؿ الوقت الكمي الَّذي يقضيو الزبوف داخؿ النظاـ( انتظا اًر ‪ +‬قضاء‬ ‫لمحاجة‪.‬‬

‫وىذا يتيح الفرصة لتقدير تكمفة وقت الزبوف‪ .‬وىذا يساعد في دراسة أكثر مف نظاـ لتأدية الخدمة‬ ‫واختيار أفضميا‪.‬‬ ‫النتيجة الرابعة ‪ :‬معدؿ عدد الزبائف في الطابور‪Lq:‬‬

‫وىذا يساعد في تحديد قاعة االنتظار والتجييزات البلزمة ليا‪,‬‬

‫كما يساعد كخطوة أولى في تحديد وقت انتظار الزبوف في الطابور‪.‬‬ ‫النتيجة الخامسة ‪ :‬معدؿ الوقت الذي يقضيو الزبوف في الطابور‪Wq:‬‬ ‫وىذا أحد محددات جودة أداء الخدمة‪ ,‬ورضا الزبوف‪.‬‬

‫النتيجة السادسة ‪ :‬استغبلؿ إمكانيات الخدمة المتوفرة‬

‫وىذا يحدد انشغاؿ مؤدي الخدمة (قنوات ومحطات الخدمة) وفراغيـ وامكانية زيادتيـ أو تخفيض‬ ‫عددىـ‪.‬‬

‫تعاريؼ ىامة‪:‬‬ ‫المصطمح‬ ‫النظاـ‪system‬‬

‫الزبائف‬ ‫‪customers‬‬

‫التعريؼ‬ ‫ىو النظاـ لنطاؽ دراسة صفوؼ االنتظار تشمؿ طابور االنتظار‪,‬‬ ‫الزبائف المتمقوف الخدمة‪ ,‬قناة الخدمة‪ ,‬التكمفة المادية والبشرية‬ ‫اء كاف(فرداً‪ ,‬اآلالت‪,‬‬ ‫طالب الخدمة وينضـ إلى نظاـ أداء الخدمة سو ً‬ ‫مواد‪ ,‬أوامر تشغيؿ)‬

‫صفذخ ‪ 489‬يٍ ‪555‬‬



‫الزبائف في النظاـ مجموع عدد الزبائف في صفوؼ االنتظار مع الزبائف الذيف يتمقوف‬ ‫‪ customers in‬الخدمة‬ ‫‪system‬‬ ‫القادموف‬ ‫‪arrivals‬‬ ‫الخدمة ‪service‬‬ ‫‪facilities‬‬

‫الزبائف المحتمموف الذيف يشغموف مجتمع يطمب الخدمة‬ ‫ىي مجموع اإلمكانيات المتاحة لتأدية الخدمة سواء كانت بشرية أو‬

‫تجييزات مادية‬

‫وىي المنتج أو السمعة أو الخدمة التي تقدميا المنظمة لتمبية احتياجات‬ ‫أو رغبات الزبائف‬ ‫وقت الخدمة‬ ‫‪service time‬‬

‫ىو الوقت البلزـ ألداء وتمقي الخدمة باإلضافة إلى الوقت الذي يقضيو‬

‫قنوات الخدمة‬ ‫‪service‬‬ ‫‪channels‬‬

‫الجية التي يتوجو ليا الزبوف لتمقي الخدمة وتكوف إما قناة واحدة أو أكثر‬

‫مراحؿ تقديـ‬

‫الزبوف في قناة الخدمة لتمقي الخدمة حتى لحظة المغادرة‬

‫مف قناة لمخدمة‬ ‫عدد المحطات التي يتوجب عمى الزبوف االنضماـ إلييا حتى يتمقى‬

‫الخدمة ‪ service‬الخدمة‬ ‫‪phase‬‬

‫صفذخ ‪ 491‬يٍ ‪555‬‬



‫الرموز الرياضية المستخدمة في صفوؼ االنتظار‬

‫‪ N .1‬عدد الوحدات في النظاـ = الوحدات في صؼ االنتظار ‪ +‬الوحدات في مراكز الخدمة‬ ‫‪ λ .5‬عدد الوحدات القادمة إلى النظاـ في وحدة الزمف = معدؿ الوصوؿ لكؿ وحدة زمنية‬

‫‪ µ .3‬عدد الوحدات المغادرة مف النظاـ = الوحدات التي قدمت ليا الخدمة = معدؿ الخدمة‬ ‫لكؿ وحدة زمنية‬ ‫العالقات الرياضية المستخدمة في صفوؼ االنتظار‬

‫‪ Ρ .1‬احتماؿ وجود وحدات في النظاـ = معامؿ التشغيؿ‬ ‫‪ Po .5‬احتماؿ عدـ وجود وحدات في النظاـ = نسبة الوقت غير المستغؿ‬ ‫‪ LS .3‬متوسط عدد الوحدات المتوقع في النظاـ = طوؿ النظاـ‬

‫‪ Lq .4‬متوسط عدد الوحدات المتوقع في صؼ االنتظار = طوؿ صؼ االنتظار‬ ‫‪ WS .5‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ وحدة في النظاـ‬ ‫‪ Wq .6‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ وحدة في صؼ االنتظار‬

‫صفذخ ‪ 491‬يٍ ‪555‬‬



‫القوانيف المستخدمة في صفوؼ االنتظار في حالة مركز واحد لمخدمة‬ ‫‪ Ρ .0‬احتماؿ وجود وحدات في النظاـ = معامؿ التشغيؿ‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ Po .6‬احتماؿ عدـ وجود وحدات في النظاـ = نسبة الوقت غير المستغؿ‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪P0  1 ‬‬

‫‪P0  1  P‬‬

‫‪ LS .3‬متوسط عدد الوحدات المتوقع في النظاـ = طوؿ النظاـ‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪Ls ‬‬

‫‪ Lq .8‬متوسط عدد الوحدات المتوقع في صؼ االنتظار = طوؿ صؼ االنتظار‬

‫‪2‬‬ ‫‪    ‬‬

‫‪Lq = P Ls L q ‬‬

‫‪ WS .3‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ وحدة في النظاـ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Ws ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ Wq .2‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ وحدة في صؼ االنتظار‬

‫‪‬‬ ‫‪    ‬‬

‫‪Wq ‬‬

‫صفذخ ‪ 495‬يٍ ‪555‬‬




‫يستطيع مطعـ الدار في مدينة غزة استقباؿ الزبائف في المطعـ بمعدؿ ‪ 031‬زبوف بالساعة‬

‫في المتوسط‪ .‬ومعدؿ وصوؿ الزبائف لممطعـ ىو ‪ 081‬زبوف بالساعة في المتوسط‪.‬‬ ‫المطموب‪:‬‬

‫‪.0‬احتماؿ أف يكوف المطعـ مشغوال؟‬

‫‪.6‬نسبة الوقت الضائع غير المستغؿ؟‬

‫‪.3‬متوسط عدد الزبائف المتوقع في النظاـ؟‬ ‫‪.8‬متوسط عدد الزبائف المتوقع في صؼ االنتظار؟‬ ‫‪.3‬متوسط وقت انتظار الزبائف المتوقع في النظاـ؟‬

‫‪.2‬متوسط وقت انتظار الزبائف المتوقع في صؼ االنتظار؟‬

‫صفذخ ‪ 493‬يٍ ‪555‬‬



‫‪µ = 150‬‬


‫‪λ = 140‬‬

‫‪ .0‬احتماؿ أف يكوف المطعـ مشغوال‬ ‫‪Ρ = λ / µ = 140 / 150 = 0.93 = 93.3%‬‬ ‫‪ .6‬نسبة الوقت الضائع غير المستغؿ‬ ‫‪Po = 1- P = 1 - 0.933 = 0.066 = 6.6%‬‬ ‫‪ .3‬متوسط عدد الزبائف المتوقع في النظاـ = طوؿ النظاـ‬

‫زبوف ‪Ls= λ / (µ - λ) = 140 / (150 - 140) = 140 /10 = 14‬‬

‫‪ .8‬متوسط عدد الزبائف المتوقع في صؼ االنتظار = طوؿ صؼ االنتظار‬ ‫‪Lq= λ² /µ (µ - λ) = 1402/ 150 (150 - 140) = 19600 / 1500 = 13.06 = 13‬‬ ‫زبوف‬ ‫‪ .3‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ الزبائف في النظاـ‬

‫دقائؽ ‪Ws = 1/ (µ - λ) = 1 / (150 - 140) = 1/ 10 x 60 = 6‬‬

‫‪ .6‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ زبوف في صؼ االنتظار‬

‫دقيقة ‪Wq= λ /µ (µ - λ) = 140 / 150 (150 - 140) = 140 /1500 x 60 = 5.59‬‬

‫صفذخ ‪ 494‬يٍ ‪555‬‬




‫يستطيع المستشفى الجزائري في مدينة غزة استقباؿ المرضى في الطوارئ والعيادات بمعدؿ‬

‫‪ 211‬مريض بالساعة في المتوسط‪ .‬ومعدؿ وصوؿ المرضى لممستشفى ىو ‪ 831‬مريض‬ ‫بالساعة في المتوسط‪.‬‬


‫‪.0‬احتماؿ أف تكوف عيادات المستشفى مشغولة؟‬ ‫‪.6‬نسبة الوقت الضائع غير المستغؿ؟‬

‫‪.3‬متوسط عدد المرضى المتوقع في النظاـ؟‬

‫‪.8‬متوسط عدد المرضى المتوقع في صؼ االنتظار؟‬ ‫‪.3‬متوسط وقت انتظار المرضى المتوقع في النظاـ؟‬

‫‪.2‬متوسط وقت انتظار المرضى المتوقع في صؼ االنتظار؟‬

‫صفذخ ‪ 495‬يٍ ‪555‬‬



‫‪µ = 600‬‬


‫‪λ = 450‬‬

‫‪ .0‬احتماؿ أف تكوف عيادات المستشفى مشغولة‬ ‫‪Ρ = λ / µ = 450 / 600 = 0.75 = 75%‬‬ ‫‪ .6‬نسبة الوقت الضائع غير المستغؿ‬ ‫‪Po = 1- P = 1 - 0.75 = 0.25 = 25%‬‬ ‫‪ .3‬متوسط عدد المرضى المتوقع في النظاـ = طوؿ النظاـ‬

‫مرضى ‪Ls= λ / (µ - λ) = 450 / (600 - 450) = 450 /150 = 3‬‬

‫‪ .8‬متوسط عدد المرضى المتوقع في صؼ االنتظار = طوؿ صؼ االنتظار‬ ‫‪Lq= λ² /µ (µ - λ) = 4502/ 600 (600 - 450) = 202500 / 9000 = 22.5 = 22‬‬ ‫مريض‬ ‫‪ .3‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ مريض في النظاـ‬

‫دقائؽ ‪Ws = 1/ (µ - λ) = 1 / (600 - 450) = 1/ 150 x 60 = 0.4‬‬

‫‪ .6‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ مريض في صؼ االنتظار‬

‫دقائؽ ‪Wq= λ /µ (µ - λ) = 450 / 600 (600 - 450) = 450 /9000 x 60 = 3‬‬

‫صفذخ ‪ 496‬يٍ ‪555‬‬


‫يضبل رطجٍمً(‪:)3‬‬


‫يستطيع ميناء غزة استقباؿ البواخر بمعدؿ ‪ 61‬باخرة بالساعة في المتوسط‪ .‬ومعدؿ وصوؿ‬ ‫البواخر لمميناء ىو ‪ 01‬بواخر بالساعة في المتوسط‪.‬‬


‫‪.0‬احتماؿ أف يكوف رصيؼ الميناء مشغوال؟‬ ‫‪.6‬نسبة الوقت الضائع غير المستغؿ؟‬

‫‪.3‬متوسط عدد البواخر المتوقع في النظاـ؟‬ ‫‪.8‬متوسط عدد البواخر المتوقع في صؼ االنتظار؟‬ ‫‪.3‬متوسط وقت انتظار الباخرة المتوقع في النظاـ؟‬

‫‪.2‬متوسط وقت انتظار الباخرة المتوقع في صؼ االنتظار؟‬

‫صفذخ ‪ 497‬يٍ ‪555‬‬




‫‪µ = 20‬‬

‫‪λ = 10‬‬

‫‪ .0‬احتماؿ أف يكوف الرصيؼ مشغوال‬ ‫‪Ρ = λ / µ = 10 / 20 = 0.5 = 50%‬‬ ‫‪ .6‬نسبة الوقت الضائع غير المستغؿ‬ ‫‪Po = 1- P = 1 - 0.5 = 0.5 = 50%‬‬ ‫‪ .3‬متوسط عدد البواخر المتوقع في النظاـ = طوؿ النظاـ‬

‫باخرة ‪Ls= λ / (µ - λ) = 10 / (20 - 10) = 10 /10 = 1‬‬

‫‪ .8‬متوسط عدد البواخر المتوقع في صؼ االنتظار = طوؿ صؼ االنتظار‬ ‫‪Lq= λ² /µ (µ - λ) = 102/ 20 (20 - 10) = 100 / 200 = 0.5 = ZERO‬‬ ‫وال باخرة تنتظر‬ ‫‪ .3‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ باخرة النظاـ‬

‫دقائؽ ‪Ws = 1/ (µ - λ) = 1 / (20 - 10) = 1/ 10 x 60 = 6‬‬

‫‪ .6‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ باخرة في صؼ االنتظار‬

‫دقائؽ ‪Wq= λ /µ (µ - λ) = 10 / 20 (20 - 10) = 10 /200 x 60 = 3‬‬

‫صفذخ ‪ 498‬يٍ ‪555‬‬




‫يستطيع موظفي القبوؿ والتسجيؿ في جامعة األقصى استقباؿ الطالب بمعدؿ ‪ 91‬طالب‬

‫بالساعة في المتوسط‪ .‬ومعدؿ وصوؿ الطالب لقسـ القبوؿ والتسجيؿ ىو ‪ 83‬طالب بالساعة‬

‫في المتوسط‪.‬‬ ‫المطموب‪:‬‬

‫‪.0‬احتماؿ أف يكوف القبوؿ والتسجيؿ مشغوال؟‬ ‫‪.6‬نسبة الوقت الضائع غير المستغؿ؟‬

‫‪.3‬متوسط عدد الطالب المتوقع في النظاـ؟‬

‫‪.8‬متوسط عدد الطالب المتوقع في صؼ االنتظار؟‬ ‫‪.3‬متوسط وقت انتظار الطالب المتوقع في النظاـ؟‬

‫‪.2‬متوسط وقت انتظار الطالب المتوقع في صؼ االنتظار؟‬

‫صفذخ ‪ 499‬يٍ ‪555‬‬




‫‪µ = 90‬‬

‫‪λ = 45‬‬

‫‪ .0‬احتماؿ أف يكوف القبوؿ والتسجيؿ مشغوال‬ ‫‪Ρ = λ / µ = 45 / 90 = 0.5 = 50%‬‬ ‫‪ .6‬نسبة الوقت الضائع غير المستغؿ‬ ‫‪Po = 1- P = 1 - 0.5 = 0.5 = 50%‬‬ ‫‪ .3‬متوسط عدد الطالب المتوقع في النظاـ = طوؿ النظاـ‬

‫طالب ‪Ls= λ / (µ - λ) = 45 / (90 - 45) = 45 /45 = 1‬‬

‫‪ .8‬متوسط عدد الطالب المتوقع في صؼ االنتظار = طوؿ صؼ االنتظار‬

‫وال طالب ‪Lq= λ² /µ (µ - λ) = 452/ 90 (90 - 45) = 2025 / 4050 = 0.5 = ZERO‬‬ ‫‪ .3‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ طالب في النظاـ‬

‫دقائؽ ‪Ws = 1/ (µ - λ) = 1 / (90 - 45) = 1/ 45 x 60 = 1.33‬‬

‫‪ .6‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ طالب في صؼ االنتظار‬

‫دقائؽ ‪Wq= λ /µ (µ - λ) = 45 / 90 (90 - 45) = 45 /4050 x 60 = 0.66‬‬

‫صفذخ ‪ 511‬يٍ ‪555‬‬




‫يستطيع موظفي مغسمة الذىبي لغسيؿ السيارات استقباؿ السيارات بمعدؿ ‪ 33‬سيارة بالساعة‬

‫في المتوسط‪ .‬ومعدؿ وصوؿ السيارات لقسـ الغسيؿ في المغسمة ىو ‪ 63‬سيارة بالساعة في‬

‫المتوسط‪.‬‬ ‫المطموب‪:‬‬

‫‪.0‬احتماؿ أف يكوف قسـ الغسيؿ لمسيارات مشغوال؟‬ ‫‪.6‬نسبة الوقت الضائع غير المستغؿ؟‬

‫‪.3‬متوسط عدد السيارات المتوقع في النظاـ؟‬ ‫‪.8‬متوسط عدد السيارات المتوقع في صؼ االنتظار؟‬ ‫‪.3‬متوسط وقت انتظار السيارات المتوقع في النظاـ؟‬

‫‪.2‬متوسط وقت انتظار السيارات المتوقع في صؼ االنتظار؟‬

‫صفذخ ‪ 511‬يٍ ‪555‬‬



‫‪µ = 35‬‬


‫‪λ = 25‬‬

‫‪ .0‬احتماؿ أف يكوف قسـ الغسيؿ مشغوال‬ ‫‪Ρ = λ / µ = 25 / 35 = 0.71 = 71%‬‬ ‫‪ .6‬نسبة الوقت الضائع غير المستغؿ‬ ‫‪Po = 1- P = 1 - 0.71 = 0.29 = 29%‬‬ ‫‪ .3‬متوسط عدد السيارات المتوقع في النظاـ = طوؿ النظاـ‬

‫سيارتيف فقط ‪Ls= λ / (µ - λ) = 25 / (35 - 25) = 35 /10 = 2.5 = 2‬‬

‫‪ .8‬متوسط عدد السيارات المتوقع في صؼ االنتظار = طوؿ صؼ االنتظار‬

‫سيارة ‪Lq= λ² /µ (µ - λ) = 252/ 35 (35 - 25) = 625/ 350 = 1.78 = 1‬‬

‫‪ .3‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ سيارة في النظاـ‬

‫دقائؽ ‪Ws = 1/ (µ - λ) = 1 / (35 - 25) = 1/ 10 x 60 = 6‬‬

‫‪ .6‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ سيارة في صؼ االنتظار‬

‫دقائؽ ‪Wq= λ /µ (µ - λ) = 25 / 35 (35 - 25) = 25 /350 x 60 = 4.28‬‬

‫صفذخ ‪ 515‬يٍ ‪555‬‬




‫يقوـ الموظؼ المسئوؿ عف تسميـ القروض لمزبائف في احد بنوؾ قطاع غزة عف تقديـ الخدمة‬

‫بمعدؿ ‪ 81‬زبوف بالساعة في المتوسط ومعدؿ وصوؿ الزبائف لمبنؾ ىو ‪ 64‬زبوف بالساعة‬ ‫في المتوسط‪.‬‬

‫المطموب‪ :‬اوجد كال مما يمي‪:‬‬

‫‪ .0‬احتماؿ أف يكوف الموظؼ مشغوال‬

‫‪ .6‬نسبة الوقت الضائع غير المستغؿ‬ ‫‪ .3‬متوسط عدد الزبائف المتوقع في النظاـ‬

‫‪ .8‬متوسط عدد الزبائف المتوقع في صؼ االنتظار‬

‫‪ .3‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ زبوف في النظاـ‬

‫‪ .2‬متوسط وقت اال نتظار المتوقع لكؿ زبوف في صؼ االنتظار‬

‫صفذخ ‪ 513‬يٍ ‪555‬‬




‫‪µ = 40‬‬

‫‪λ = 28‬‬

‫‪ .0‬احتماؿ أف يكوف الموظؼ مشغوال‬ ‫‪Ρ = λ / µ = 28 / 40 = 0.7 = 70%‬‬ ‫‪ .6‬نسبة الوقت الضائع غير المستغؿ‬ ‫‪Po = 1- P = 1 - 0.7 = 0.3 = 30%‬‬ ‫‪ .3‬متوسط عدد الزبائف المتوقع في النظاـ = طوؿ النظاـ‬

‫زبوف ‪Ls= λ / (µ - λ) = 28 / (40 - 28) = 28 /12 = 2.33 = 2‬‬

‫‪ .8‬متوسط عدد الزبائف المتوقع في صؼ االنتظار = طوؿ صؼ االنتظار‬

‫زبوف‪Lq= λ² /µ (µ - λ) = 282/ 40 (40 - 28) = 784 / 480 = 1.633 = 1‬‬

‫‪ .3‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ زبوف في النظاـ‬

‫دقائؽ ‪Ws = 1/ (µ - λ) = 1 / (40 - 28) = 1/ 12 x 60 = 5‬‬

‫‪ .6‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ زبوف في صؼ االنتظار‬

‫دقائؽ ‪Wq= λ /µ (µ - λ) = 28 / 40 (40 - 28) = 28 /480 x 60 = 3.5‬‬

‫صفذخ ‪ 514‬يٍ ‪555‬‬




‫يستطيع موقؼ سيارات معبر رفح استقباؿ المسافريف بمعدؿ ‪ 831‬مسافر بالساعة في‬ ‫المتوسط ومعدؿ وصوؿ المسافريف لممعبر ىو ‪ 31‬مسافر بالساعة في المتوسط‪.‬‬ ‫المطموب‪ :‬اوجد كال مما يمي‪:‬‬

‫‪ .0‬احتماؿ أف يكوف المعبر مشغوال‬

‫‪ .6‬نسبة الوقت الضائع غير المستغؿ‬

‫‪ .3‬متوسط عدد المسافريف المتوقع في النظاـ‬ ‫‪ .8‬متوسط عدد المسافريف المتوقع في صؼ االنتظار‬

‫‪ .3‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ مسافر في النظاـ‬

‫‪ .2‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ مسافر في صؼ االنتظار‬

‫صفذخ ‪ 515‬يٍ ‪555‬‬



‫‪µ = 450‬‬


‫‪λ = 50‬‬

‫‪ .0‬احتماؿ أف يكوف المعبر مشغوال‬ ‫‪Ρ = λ / µ = 50 / 450 = 0.11 = 11%‬‬ ‫‪ .6‬نسبة الوقت الضائع غير المستغؿ‬ ‫‪Po = 1- P = 1 - 0.11 = 0.88 = 88%‬‬ ‫‪ .3‬متوسط عدد المسافريف المتوقع في النظاـ‬

‫وال مسافر ‪Ls= λ / (µ - λ) = 50 / (450 - 50) = 50 / 400 = 0.125= ZERO‬‬ ‫‪ .8‬متوسط عدد المسافريف المتوقع في صؼ االنتظار‬ ‫‪Lq= λ² /µ (µ - λ) = 50 / 450 (450 - 50) = 2500 / 180000 = 0.013 = 0‬‬ ‫ال مسافر في صؼ االنتظار‬ ‫‪2‬‬

‫‪ .3‬متوسط عدد المسافريف المتوقع في النظاـ‬

‫دقائؽ ‪Ws = 1/ (µ - λ) = 1 / (450 - 50) = 1/ 400 x 60 = 0.15‬‬

‫‪ .2‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ مسافر في صؼ االنتظار‬

‫دقائؽ ‪Wq= λ /µ (µ - λ) = 50 / 450 (450 - 50) = 50 /180000 x 60 = 0.016‬‬

‫نياية منيج بحوث العمميات وما بعد ذلؾ ممغي وكؿ عاـ وانتـ بخير‬ ‫صفذخ ‪ 516‬يٍ ‪555‬‬



‫الحالة الثانية‪ :‬نموذج صؼ االنتظار بأكثر مف مركز خدمة واحد‬

‫انًغبدسوٌ‬

‫يشاكض رمذٌى‬ ‫انخذيخ‬

‫انىدذاد فً صف‬ ‫االَزظبس‬ ‫انُظبو‬

‫صفذخ ‪ 517‬يٍ ‪555‬‬

‫انمبديىٌ‬



‫القوانيف المستخدمة في صفوؼ االنتظار في حالة أكثر مف مركز لمخدمة‬ ‫‪ Ρ .0‬احتماؿ وجود وحدات في النظاـ‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ Po .6‬احتماؿ عدـ وجود وحدات في النظاـ = النظاـ معطؿ‬ ‫‪P0‬‬ ‫ضمف جداوؿ خاصة تعتمد عمى عدد مراكز الخدمة ‪ S‬و تعتمد عمى احتماؿ وجود وحدات‬ ‫في النظاـ ‪P‬‬ ‫‪ LQ .3‬متوسط عدد الوحدات المتوقع في صؼ االنتظار‬ ‫‪ps.. . p 0‬‬ ‫‪Lq ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( S  1)! S   ‬‬ ‫‪ LS .8‬متوسط عدد الوحدات المتوقع في النظاـ‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪Ls  lq ‬‬

‫‪ Wq .3‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ وحدة في صؼ االنتظار‬ ‫‪Lq‬‬ ‫‪Wq ‬‬

‫‪‬‬

‫‪ WS .2‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ وحدة في النظاـ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Ws  wq ‬‬

‫‪‬‬

‫صفذخ ‪ 518‬يٍ ‪555‬‬



‫الجداوؿ الخاصة في صفوؼ االنتظار‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫قيـ ‪ P0‬لنموذج صفوؼ االنتظار بأكثر مف مركز خدمة ‪S‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫عدد مراكز الخدمة‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪5‬‬

‫‪0.15‬‬

‫‪0.8605‬‬

‫‪0.8607‬‬

‫‪0.8607‬‬

‫‪0.8607‬‬

‫‪0.2‬‬

‫‪0.8182‬‬

‫‪0.8187‬‬

‫‪0.8187‬‬

‫‪0.8187‬‬

‫‪0.25‬‬

‫‪0.7778‬‬

‫‪0.7788‬‬

‫‪0.7788‬‬

‫‪0.7788‬‬

‫‪0.3‬‬

‫‪0.7391‬‬

‫‪0.7407‬‬

‫‪0.7408‬‬

‫‪0.7408‬‬

‫‪0.35‬‬

‫‪0.7021‬‬

‫‪0.7046‬‬

‫‪0.7047‬‬

‫‪0.7047‬‬

‫‪0.4‬‬

‫‪0.6667‬‬

‫‪0.6701‬‬

‫‪0.6703‬‬

‫‪0.6703‬‬

‫‪0.45‬‬

‫‪0.6327‬‬

‫‪0.6373‬‬

‫‪0.6376‬‬

‫‪0.6376‬‬

‫‪0.5‬‬

‫‪0.6000‬‬

‫‪0.6061‬‬

‫‪0.6065‬‬

‫‪0.6065‬‬

‫‪0.55‬‬

‫‪0.5686‬‬

‫‪0.5763‬‬

‫‪0.5769‬‬

‫‪0.5769‬‬

‫‪0.6‬‬

‫‪0.5385‬‬

‫‪0.5479‬‬

‫‪0.5487‬‬

‫‪0.5488‬‬

‫‪0.65‬‬

‫‪0.5094‬‬

‫‪0.5209‬‬

‫‪0.5219‬‬

‫‪0.5220‬‬

‫‪0.7‬‬

‫‪0.4815‬‬

‫‪0.4952‬‬

‫‪0.4965‬‬

‫‪0.4966‬‬

‫‪0.75‬‬

‫‪0.4545‬‬

‫‪0.4706‬‬

‫‪0.4722‬‬

‫‪0.4724‬‬

‫‪0.8‬‬

‫‪0.4286‬‬

‫‪0.4472‬‬

‫‪0.4491‬‬

‫‪0.4493‬‬

‫‪0.85‬‬

‫‪0.4035‬‬

‫‪0.4248‬‬

‫‪0.4271‬‬

‫‪0.4274‬‬

‫‪0.9‬‬

‫‪0.3793‬‬

‫‪0.4035‬‬

‫‪0.4062‬‬

‫‪0.4065‬‬

‫‪0.95‬‬

‫‪0.3559‬‬

‫‪0.3831‬‬

‫‪0.3868‬‬

‫‪0.3867‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0.3333‬‬

‫‪0.3636‬‬

‫‪0.3673‬‬

‫‪0.3678‬‬

‫صفذخ ‪ 519‬يٍ ‪555‬‬



‫‪1.2‬‬

‫‪0.2500‬‬

‫‪0.2941‬‬

‫‪0.3002‬‬

‫‪0.3011‬‬

‫‪1.4‬‬

‫‪0.1765‬‬

‫‪0.2360‬‬

‫‪0.2449‬‬

‫‪0.2463‬‬

‫‪1.6‬‬

‫‪0.1111‬‬

‫‪0.1872‬‬

‫‪0.1993‬‬

‫‪0.2014‬‬

‫‪1.8‬‬

‫‪0.0526‬‬

‫‪0.1460‬‬

‫‪0.1616‬‬

‫‪0.1646‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0.1111‬‬

‫‪0.1304‬‬

‫‪0.1343‬‬

‫‪2.2‬‬

‫‪0.0815‬‬

‫‪0.1046‬‬

‫‪0.1094‬‬

‫‪2.4‬‬

‫‪0.0562‬‬

‫‪0.0831‬‬

‫‪0.0889‬‬

‫‪2.6‬‬

‫‪0.0345‬‬

‫‪0.0651‬‬

‫‪0.0721‬‬

‫‪2.8‬‬

‫‪0.0160‬‬

‫‪0.0521‬‬

‫‪0.0581‬‬

‫‪3‬‬

‫‪0.0377‬‬

‫‪0.0466‬‬

‫‪3.2‬‬

‫‪0.0273‬‬

‫‪0.0372‬‬

‫‪3.4‬‬

‫‪0.0186‬‬

‫‪0.0293‬‬

‫‪3.6‬‬

‫‪0.0013‬‬

‫‪0.0228‬‬

‫‪3.8‬‬

‫‪0.0051‬‬

‫‪0.0714‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0.0130‬‬

‫‪4.2‬‬

‫‪0.0093‬‬

‫‪4.4‬‬

‫‪0.0063‬‬

‫‪4.6‬‬

‫‪0.0038‬‬

‫‪4.8‬‬

‫‪0.0017‬‬

‫صفذخ ‪ 511‬يٍ ‪555‬‬




‫يتوفر في مطعـ لموجبات السريعة موظفيف اثنيف بتقديـ الخدمة لمزبائف بمعدؿ ‪ 061‬زبوف‬

‫بالساعة في المتوسط ومعدؿ وصوؿ الزبائف لممطعـ ىو ‪ 31‬زبوف بالساعة في المتوسط‪.‬‬


‫‪ .0‬احتماؿ وجود زبائف في النظاـ‬

‫‪ .6‬احتماؿ عدـ وجود زبائف في النظاـ‬

‫‪ .3‬متوسط عدد الزبائف المتوقع في صؼ االنتظار‬ ‫‪ .8‬متوسط عدد الزبائف المتوقع في النظاـ‬

‫‪ .3‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ زبوف في صؼ االنتظار‬ ‫‪ .2‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ زبوف في النظاـ‬

‫صفذخ ‪ 511‬يٍ ‪555‬‬



‫‪µ = 120‬‬

‫‪S= 2‬‬

‫‪λ = 50‬‬

‫‪ Ρ .0‬احتماؿ وجود زبائف في النظاـ‬

‫‪‬‬ ‫‪= 50 / 120 = 0.41‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ Po .6‬احتماؿ عدـ وجود زبائف في النظاـ = النظاـ معطؿ‬ ‫‪P0‬‬ ‫ثبسزخذاو انجذاول انخبصخ‬ ‫? ‪P0‬‬ ‫‪P = 0.41 S = 2‬‬ ‫‪P0 = 0.6667‬‬ ‫‪ LS .3‬متوسط عدد زبائف المتوقع في صؼ االنتظار‬

‫‪ps... p 0‬‬ ‫= ‪2‬‬ ‫‪( S  1)!S   ‬‬

‫‪Lq ‬‬

‫‪(0.41)2 (120)(50)(0.6667) / (2-1)![(2x120)- 50]2‬‬ ‫‪672.43 / 36100 = 0.0186‬‬ ‫ال يوجد أي زبوف في صؼ االنتظار‬ ‫‪ .8‬متوسط عدد الزبائف المتوقع في النظاـ‬

‫‪‬‬ ‫‪= 0.0186 + 0.41 = 0.42‬‬ ‫‪‬‬

‫‪Ls  lq ‬‬

‫ال يوجد أي زبوف في النظاـ‬ ‫‪ Wq .3‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ زبوف في صؼ االنتظار‬ ‫‪Lq‬‬ ‫دقيقة ‪= 0.0186 / 50 = 0.000372 x 60 = 0.022‬‬ ‫‪Wq ‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪ WS .2‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ زبوف في النظاـ‬ ‫دقيقة ‪= 0.000372 + 0.0083 = 0.008672 x 60 = 0.52‬‬ ‫صفذخ ‪ 515‬يٍ ‪555‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪Ws  wq ‬‬




‫يتوفر في معبر رفح البري ‪ 8‬موظفيف بتقديـ الخدمة لممسافريف بمعدؿ ‪ 031‬مسافر‬

‫بالساعة في المتوسط ومعدؿ وصوؿ الزبائف لممعبر ىو ‪ 41‬زبوف بالساعة في المتوسط‪.‬‬


‫‪ .0‬احتماؿ وجود مسافريف في النظاـ‬

‫‪ .6‬احتماؿ عدـ وجود مسافريف في النظاـ‬

‫‪ .3‬متوسط عدد المسافريف المتوقع في صؼ االنتظار‬ ‫‪ .8‬متوسط عدد المسافريف المتوقع في النظاـ‬

‫‪ .3‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ مسافر في صؼ االنتظار‬ ‫‪ .2‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ مسافر في النظاـ‬

‫صفذخ ‪ 513‬يٍ ‪555‬‬



‫‪µ = 150‬‬

‫‪S= 4‬‬

‫‪λ = 80‬‬


‫‪‬‬ ‫‪= 80 / 150 = 0.53‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ Po .6‬احتماؿ عدـ وجود زبائف في النظاـ = النظاـ معطؿ‬ ‫‪P0‬‬ ‫ثبسزخذاو انجذاول انخبصخ‬ ‫? ‪P0‬‬ ‫‪P = 0.53 S = 4‬‬ ‫‪P0 = 0.6065‬‬ ‫‪ LS .3‬متوسط عدد زبائف المتوقع في صؼ االنتظار‬

‫‪ps... p 0‬‬ ‫= ‪2‬‬ ‫‪( S  1)!S   ‬‬

‫‪Lq ‬‬

‫‪(0.53)2 (150)(80)( 0.6065) / (4-1)![(4x150)- 80]2‬‬ ‫‪2044.39 / 1622400 = 0.00126‬‬ ‫ال يوجد أي زبوف في صؼ االنتظار‬ ‫‪ .8‬متوسط عدد الزبائف المتوقع في النظاـ‬

‫‪‬‬ ‫‪= 0.00126 + 0.53 = 0.53‬‬ ‫‪‬‬

‫‪Ls  lq ‬‬


‫‪ ‬‬


‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪Ws  wq ‬‬




‫يتوفر في البنؾ اإلسالمي الفمسطيني موظفيف اثنيف بتقديـ الخدمة لمزبائف بمعدؿ ‪ 31‬زبوف‬

‫بالساعة في المتوسط ومعدؿ وصوؿ الزبائف لمبنؾ ىو ‪ 68‬زبوف بالساعة في المتوسط‪.‬‬ ‫المطموب‪ :‬اوجد كال مما يمي‪:‬‬

‫‪ .0‬احتماؿ وجود زبائف في النظاـ‬

‫‪ .6‬احتماؿ عدـ وجود زبائف في النظاـ‬

‫‪ .3‬متوسط عدد الزبائف المتوقع في صؼ االنتظار‬ ‫‪ .8‬متوسط عدد الزبائف المتوقع في النظاـ‬

‫‪ .3‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ زبوف في صؼ االنتظار‬ ‫‪ .2‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ زبوف في النظاـ‬

‫صفذخ ‪ 515‬يٍ ‪555‬‬




‫‪µ = 40‬‬

‫‪S= 2‬‬

‫‪λ = 24‬‬


‫‪‬‬ ‫‪= 24 / 30 = 0.8‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ Po .6‬احتماؿ عدـ وجود زبائف في النظاـ = النظاـ معطؿ‬ ‫‪P0‬‬ ‫ثبسزخذاو انجذاول انخبصخ‬ ‫? ‪P0‬‬ ‫‪P = 0.8 S = 2‬‬ ‫‪P0 = 0.4286‬‬ ‫‪ Lq .3‬متوسط عدد الزبائف المتوقع في صؼ االنتظار‬ ‫‪ps... p 0‬‬ ‫=‬ ‫‪Lq ‬‬ ‫‪( S  1)!S   2‬‬ ‫‪(0.8)2 (24)(30)(0.4286) / (2-1)![(2x30)- 24]2 197.49 / 2178 = 0.090‬‬ ‫ال يوجد أي زبوف في صؼ االنتظار‬ ‫‪ Ls .8‬متوسط عدد الزبائف المتوقع في النظاـ‬

‫‪‬‬ ‫زبوف ‪= 0.090 + 0.8 = 0.89‬‬ ‫‪‬‬

‫‪Ls  lq ‬‬


‫‪ ‬‬


‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪Ws  wq ‬‬




‫يتوفر في جامعة األقصى في قسـ القبوؿ والتسجيؿ لمطالب ‪ 8‬موظفيف بتقديـ الخدمة لطالب‬

‫بمعدؿ ‪ 41‬طالب بالساعة في المتوسط ومعدؿ وصوؿ الطالب لمقبوؿ والتسجيؿ ىو ‪81‬‬ ‫طالب بالساعة في المتوسط‪.‬‬


‫‪ .0‬احتماؿ وجود طالب في النظاـ‬

‫‪ .6‬احتماؿ عدـ وجود طالب في النظاـ‬

‫‪ .3‬متوسط عدد الطالب المتوقع في صؼ االنتظار‬ ‫‪ .8‬متوسط عدد الطالب المتوقع في النظاـ‬

‫‪ .3‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ طالب في صؼ االنتظار‬ ‫‪ .2‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ طالب في النظاـ‬

‫صفذخ ‪ 517‬يٍ ‪555‬‬



‫‪µ = 80‬‬

‫‪S= 4‬‬

‫‪λ = 40‬‬

‫‪ Ρ .0‬احتماؿ وجود طالب في النظاـ‬

‫‪‬‬ ‫‪= 40 / 80 = 0.5‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ Po .6‬احتماؿ عدـ وجود طالب في النظاـ = النظاـ معطؿ‬ ‫‪P0‬‬ ‫ثبسزخذاو انجذاول انخبصخ‬ ‫? ‪P0‬‬ ‫‪P = 0.5 S = 4‬‬ ‫‪P0 = 0.6065‬‬ ‫‪ LS .3‬متوسط عدد الطالب المتوقع في صؼ االنتظار‬ ‫‪ps... p 0‬‬ ‫=‬ ‫‪Lq ‬‬ ‫‪( S  1)!S   2‬‬ ‫‪(0.5)2 (80)(40)(0.6065) / (4-1)![(4x80)- 40]2‬‬ ‫طالب ‪485.2 / 470400 = 0.00103‬‬ ‫ال يوجد أي طالب في صؼ االنتظار‬ ‫‪ .8‬متوسط عدد الطالب المتوقع في النظاـ‬

‫‪‬‬ ‫طالب ‪= 0.00103 + 0.5 = 0.501‬‬ ‫‪‬‬

‫‪Ls  lq ‬‬

‫ال يوجد أي طالب في النظاـ‬ ‫‪ Wq .3‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ طالب في صؼ االنتظار‬ ‫‪Lq‬‬ ‫دقيقة ‪= 0.00103 / 40 = 0.00002575 x 60 = 0.001545‬‬ ‫‪Wq ‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪ WS .2‬متوسط وقت االنتظار المتوقع لكؿ طالب في النظاـ‬ ‫دقيقة ‪= 0.00002575 + 0.025 = 0.0250 x 60 = 1.5‬‬ ‫صفذخ ‪ 518‬يٍ ‪555‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪Ws  wq ‬‬



‫االمثمة الشاممة‬ ‫السؤاؿ األوؿ‪:‬‬ ‫يستطيع موظفي القبوؿ والتسجيؿ في جامعة األقصى استقباؿ الطالب بمعدؿ ‪ 71‬طالب‬

‫بالساعة في المتوسط‪ .‬ومعدؿ وصوؿ الطالب لقسـ القبوؿ والتسجيؿ ىو ‪ 51‬طالب بالساعة‬

‫في المتوسط‪.‬‬ ‫المطموب‪:‬‬

‫‪.0‬احتماؿ أف يكوف القبوؿ والتسجيؿ مشغوال؟‬ ‫‪.2‬نسبة الوقت الضائع غير المستغؿ؟‬

‫‪.3‬متوسط عدد الطالب المتوقع في النظاـ؟‬ ‫‪.4‬متوسط عدد الطالب المتوقع في صؼ االنتظار؟‬ ‫‪.5‬متوسط وقت انتظار الطالب المتوقع في النظاـ؟‬

‫‪.6‬متوسط وقت انتظار الطالب المتوقع في صؼ االنتظار؟‬ ‫السؤاؿ الثاني‪:‬‬

‫يستطيع ميناء غزة استقباؿ قوارب صيد األسماؾ بمعدؿ ‪ 41‬قارب بالساعة في المتوسط‪.‬‬

‫ومعدؿ وصوؿ القوارب لمميناء ىو ‪ 21‬قارب بالساعة في المتوسط‪.‬‬


‫‪.0‬متوسط عدد القوارب المتوقع في النظاـ؟‬

‫‪.2‬متوسط عدد القوارب المتوقع في صؼ االنتظار؟‬ ‫‪.3‬متوسط وقت انتظار القارب المتوقع في النظاـ؟‬

‫‪.4‬متوسط وقت انتظار الباخرة المتوقع في صؼ االنتظار؟‬

‫صفذخ ‪ 519‬يٍ ‪555‬‬



‫المراجع‬

‫صفذخ ‪ 551‬يٍ ‪555‬‬



‫قائمة املراجع‬ ‫أوال‪ :‬الكتب العربية‬

‫‪ .1‬الفضؿ‪ ,‬مؤيد‪ ,2114 ,‬األساليب الكمية في اإلدارة‪ ,‬دار اليازوري العممية لمنشر والتوزيع‪ ,‬عماف األردف‬ ‫‪ .2‬الموسوي‪ ,‬منعـ ‪ ,2119,‬بحوث العمميات ‪ ,‬دار وائؿ لمنشر والتوزيع ‪ ,‬عماف األردف‪.‬‬ ‫‪ .3‬الموسوي‪ ,‬منعـ‪ ,2116,‬األساليب الكمية وبحوث العمميات في اإلدارة‪ ,‬دار زىراف لمطباعة و النشر‪,‬‬ ‫عماف األردف‪.‬‬ ‫‪ .4‬برىاف‪ ,‬محمد وآخروف‪ ,2114 ,‬بحوث العمميات‪ ،‬منشورات جامعة القدس المفتوحة‪ ,‬الطبعة الثانية‪,‬‬ ‫عماف األردف‬ ‫‪ .5‬حمداف‪ ,‬فتحي‪ ,‬ومرعي‪ ,‬رشيؽ‪ ,2112 ,‬بحوث العمميات دار وائؿ لمنشر‪ ,‬عماف األردف‬ ‫‪ .6‬حمداف‪ ,‬فتحي‪ ,‬ومرعي‪ ,‬رشيؽ‪ ,2116 ,‬بحوث العمميات دار وائؿ لمنشر‪ ,‬عماف األردف‬ ‫‪ .7‬طعمة‪ ,‬حسف وآخروف‪ ,2119 ,‬بحوث العمميات‪ ,‬دار صفاء لمنشر والتوزيع‪ ,‬عماف األردف‪.‬‬ ‫‪ .8‬عاشور‪ ,‬يوسؼ‪ ,2112 ,‬مقدمة في بحوث العمميات ‪ ,‬مكتبة األمؿ التجارية‪ ,‬غزة فمسطيف‪.‬‬ ‫‪ .9‬عوض‪ ,‬مراد‪ ,2111,‬األساليب الكمية في صنع الق اررات‪ ,‬دار اليازوري العممية لمنشر والتوزيع عماف‬ ‫األردف‬ ‫‪ .11‬الطراونة محمد‪ ,‬وعبيدات‪,‬سميماف‪ 2119 ,‬مقدمة في بحوث العمميات‪ ,‬دار المسيرة لمنشر والتوزيع‬ ‫والطباعة‪ ,‬عماف األردف‬ ‫‪ .11‬جمعة‪ ,‬إسماعيؿ وآخروف‪ ,2113 ,‬بحوث العمميات في اتخاذ الق اررات‪ ,‬الدار الجامعية لمنشر والتوزيع‪,‬‬ ‫اإلسكندرية‪. ,‬‬ ‫‪ .12‬العامري والحداد‪ ,2119,‬تطبيقات بحوث العمميات في اإلدارة‪ ,‬إثراء لمنشر والتوزيع‪,‬عماف األردف‬

‫صفذخ ‪ 551‬يٍ ‪555‬‬


  


‫ الكتب األجنبية‬:‫ثانيا‬ Barry, Render & et al, Quantitative Analysis For Management,2006, prentice hall, 9th edition, USA Barry, Render & et al, Quantitative Analysis For Management,2003, prentice hall, 8th edition, USA Barry, Render & et al, Quantitative Analysis For Management,2000, prentice hall, 7th edition, USA

‫مت حبمذ اهلل تعاىل‬ 555 ٍ‫ ي‬555 ‫صفذخ‬

كتاب بحوث العمليات مصغر الطبعة السادسة

Recommend Documents