Μαθηματικά Α γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φώτης Κουνάδης


ΕΚ∆ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2008

Σειρά: ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Τίτλος: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ∆ΗΣ Επιµέλεια ύλης: ΘΕΜΙΣ ΚΑΨΗ Σχεδιασµός - εικονογράφηση: ERMIS graphics Copyright © Φώτης Κουνάδης Copyright © 2008: ΕΚ∆ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΒΕ Σόλωνος 98 - 106 80 Αθήνα. Τηλ.: 210 3661 200, Fax: 210 3617 791 http://www.livanis.gr Απαγορεύεται η αναδηµοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική, µερική ή περιληπτική, ή η απόδοση κατά παράφραση ή διασκευή και περιεχοµένου του βιβλίου µε οποιονδήποτε τρόπο, µηχανικό ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό, ηχογράφησης ή άλλο, χωρίς προηγούµενη γραπτή άδεια του εκδότη. Νόµος 2121/1993 και κανόνες του ∆ιεθνούς ∆ικαίου που ισχύουν στην Ελλάδα. Παραγωγή: Εκδοτικός Οργανισµός Λιβάνη ISBN: 978-960-14-1481-2

Στην Κατερίνα και στο Βλάση

Περιεχόµενα ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ - ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο - Οι φυσικοί αριθµοί 1.1. Φυσικοί αριθµοί - ∆ιάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση .........................17 1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασµός φυσικών αριθµών ..............24 1.3. ∆υνάµεις φυσικών αριθµών ....................................................................37 1.4. Ευκλείδεια διαίρεση – ∆ιαιρετότητα.........................................................45 1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚ∆ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθµού σε γινόµενο πρώτων παραγόντων ................................................................55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο - Τα κλάσµατα 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

Η έννοια του κλάσµατος ..........................................................................65 Ισοδύναµα κλάσµατα ..............................................................................74 Σύγκριση κλασµάτων ..............................................................................83 Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων ......................................................91 Πολλαπλασιασµός κλασµάτων...............................................................101 ∆ιαίρεση κλασµάτων .............................................................................112

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο - ∆εκαδικοί αριθµοί 3.1. ∆εκαδικά κλάσµατα - ∆εκαδικοί αριθµοί - ∆ιάταξη δεκαδικών αριθµών - Στρογγυλοποίηση .................................................................123 3.2. Πράξεις µε δεκαδικούς αριθµούς - ∆υνάµεις µε βάση δεκαδικό αριθµό ...................................................................................136 3.3. Τυποποιηµένη µορφή µεγάλων αριθµών ..............................................147 3.4. Μονάδες µέτρησης ...............................................................................150 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο - Εξισώσεις και Προβλήµατα 4.1. Η έννοια της εξίσωσης - Οι εξισώσεις: α+χ=β, χ-α=β, α-χ=β, αχ=β, χ:α=β και α:χ=β .....................................................................................163 4.2. Επίλυση προβληµάτων ...........................................................................174

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

4.3. Παραδείγµατα επίλυσης προβληµάτων ................................................ 174 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο - Ποσοστά 5.1. Ποσοστά................................................................................................ 181 5.2. Προβλήµατα µε ποσοστά ...................................................................... 189 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο - Ανάλογα ποσά - Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 6.1. Παράσταση σηµείων στο επίπεδο ......................................................... 195 6.2. Λόγος δύο αριθµών - Αναλογία ............................................................ 199 6.3. Ανάλογα ποσά - Ιδιότητες αναλόγων ποσών ........................................ 205 6.4. Γραφική παράσταση σχέσης αναλογίας ............................................... 210 6.5. Προβλήµατα αναλογιών ....................................................................... 216 6.6. Αντιστρόφως ανάλογα ποσά ................................................................ 220 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο - θετικοί και αρνητικοί αριθµοί 7.1. Θετικοί και αρνητικοί αριθµοί (Ρητοί αριθµοί) - Η ευθεία των ρητών Τετµηµένη σηµείου ............................................................................... 229 7.2. Απόλυτη τιµή ρητού - Αντίθετοι ρητοί - Σύγκριση ρητών ....................... 234 7.3. Πρόσθεση ρητών αριθµών.................................................................... 242 7.4. Αφαίρεση ρητών αριθµών .................................................................... 248 7.5. Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών........................................................ 254 7.6. ∆ιαίρεση ρητών αριθµών ...................................................................... 262 7.7. ∆εκαδική µορφή ρητών αριθµών .......................................................... 266 7.8. ∆υνάµεις ρητών αριθµών µε εκθέτη φυσικό ......................................... 269 7.9. ∆υνάµεις ρητών αριθµών µε εκθέτη ακέραιο ....................................... 276 7.10. Τυποποιηµένη µορφή µικρών αριθµών ................................................ 283

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο - Βασικές γεωµετρικές έννοιες 1.1. Σηµείο - Ευθύγραµµο τµήµα - Ευθεία - Ηµιευθεία - Επίπεδο Ηµιεπίπεδο ............................................................................................ 287 1.2. Γωνία - Γραµµή - Επίπεδα σχήµατα - Ευθύγραµµα σχήµατα Ίσα σχήµατα .......................................................................................... 294 10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

1.3. Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα ευθυγράµµων τµηµάτων - Απόσταση σηµείων - Μέσο ευθύγραµµου τµήµατος ..................................................301 1.4. Πρόσθεση και αφαίρεση ευθυγράµµων τµηµάτων ...............................306 1.5. Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα γωνιών - ∆ιχοτόµος γωνίας .................310 1.6. Είδη γωνιών - Κάθετες ευθείες .............................................................317 1.7. Εφεξής και διαδοχικές γωνίες - Άθροισµα γωνιών ...............................324 1.8. Παραπληρωµατικές και συµπληρωµατικές γωνίες – Κατακορυφήν γωνίες ...................................................................................................330 1.9. Θέσεις ευθειών στο επίπεδο .................................................................336 1.10. Απόσταση σηµείου από ευθεία - Απόσταση παραλλήλων .....................339 1.11. Κύκλος και στοιχεία του κύκλου ...........................................................342 1.12. Επίκεντρη γωνία - Σχέση επίκεντρης γωνίας και του αντίστοιχου τόξου - Μέτρηση τόξου .........................................................................348 1.13. Θέσεις ευθείας και κύκλου ...................................................................354 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο - Συµµετρία 2.1. Συµµετρία ως προς άξονα ....................................................................359 2.2. Άξονας συµµετρίας ...............................................................................365 2.3. Μεσοκάθετος ευθύγραµµου τµήµατος .................................................369 2.4. Συµµετρία ως προς σηµείο ...................................................................375 2.5. Κέντρο συµµετρίας ...............................................................................379 2.6. Παράλληλες ευθείες που τέµνονται από µία άλλη ευθεία ....................382 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο - Τρίγωνα - Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 3.1. Στοιχεία τριγώνου - Άθροισµα γωνιών τριγώνου ...................................389 3.2. Είδη τριγώνων - Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου ...................................395 3.3. Παραλληλόγραµµο - Ορθογώνιο - Ρόµβος - Τετράγωνο - Τραπέζιο Ισοσκελές τραπέζιο ...............................................................................403 3.4. Ιδιότητες παραλληλογράµµου - Ορθογωνίου - Ρόµβου Τετραγώνου - Τραπεζίου - Ισοσκελές τραπεζίου ...................................408

11 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Πρόλογος Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους µαθητές της Α΄ Γυµνασίου και γράφτηκε σύµφωνα µε το νέο αναλυτικό πρόγραµµα. Σκοπός του είναι να βοηθήσει τους µαθητές να κατανοήσουν καλύτερα και να εµπεδώσουν τις Μαθηµατικές έννοιες που διδάσκονται. Η ύλη είναι χωρισµένη σε κεφάλαια και ενότητες όπως στο Σχολικό βιβλίο. Σε κάθε κεφάλαιο περιέχονται: • Θεωρία γραµµένη µε αναλυτικό τρόπο. • Ερωτήσεις κατανόησης της θεωρίας. • Ασκήσεις µε καθοδήγηση, στις οποίες οι λύσεις συµπληρώνονται από το µαθητή ώστε αρχικά ν’ αξιοποιεί τις γνώσεις του και στη συνέχεια ν’ αντιµετωπίζει ευκολότερα ανάλογες άλυτες ασκήσεις. • Λυµένες ασκήσεις. • Ασκήσεις όλων των τύπων για λύση. • Λύσεις των ασκήσεων αυτών. Κλείνοντας, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους συναδέλφους καθηγητές Μαθηµατικών Τζωρτζίνα Νίκα, Θεοδόση Βαλληνδρά και Κώστα Ηλιόπουλο για τις χρήσιµες παρατηρήσεις τους, καθώς και όλους τους συνεργάτες των εκδόσεων Λιβάνη για την πολύτιµη βοήθειά τους.

Φώτης Κουνάδης

13 ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Μέρος Α΄ Αριθµητική - Άλγεβρα

ο

Οι Φυσικοί αριθµοί

ο

Τα κλάσµατα

ο

∆εκαδικοί αριθµοί

Ο

Εξισώσεις και προβλήµατα

Ο

Ποσοστά

Ο

Ανάλογα ποσά – Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

Ο

Θετικοί και αρνητικοί αριθµοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 : ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 : ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 :

Α.1.1 Φυσικοί

Αριθµοί

∆ιάταξη Φυσικών Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθµοί είναι οι 0,1,2,3,4,5,6,...,98,99,100,... . Τους χρησιµοποιούµε συνήθως για να δηλώσουµε το πλήθος ή τη σειρά. • Ο Ιανουάριος έχει 31 ηµέρες. • Το βιβλίο των Μαθηµατικών της Α΄ Γυµνασίου έχει 252 σελίδες. • Το έτος 2004 η Αθήνα διοργάνωσε τους Ολυµπιακούς αγώνες. Άρτιοι (ή ζυγοί) λέγονται οι φυσικοί αριθµοί που το τελευταίο τους ψηφίο είναι 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8. Οι αριθµοί 0, 4, 28, 100, 986, 43.004, 798.008 , 1.003.002 είναι άρτιοι. Περιττοί (ή µονοί) λέγονται οι φυσικοί αριθµοί που το τελευταίο τους ψηφίο είναι 1 ή 3 ή 5 ή 7 ή 9. Οι αριθµοί 3 , 13 , 85 , 347 , 9.801 , 400.009 , 6.120.201 είναι περιττοί.

Παράσταση των φυσικών αριθµών µε σηµεία µιας ευθείας Για να γράψουµε οποιοδήποτε φυσικό αριθµό χρησιµοποιούµε ένα συνδυασµό από τα 10 ψηφία 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 του δεκαδικού συστήµατος αρίθµησης. Μπορούµε εύκολα εποµένως να τοποθετούµε τους φυσικούς αριθµούς µε µορφή σηµείων πάνω σε µια ευθεία γραµµή στην οποία έχουµε ορίσει ένα σηµείο αναφοράς Ο (αρχή) και µια µονάδα µέτρησης, µε τη βοήθεια της οποίας βρίσκουµε την απόσταση και άρα τη θέση του αριθµού από το Ο.

17 Α. 1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ∆ΙΑΤΑΞΗ - ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ

Αν για παράδειγµα έχουµε θεωρήσει το µήκος ΟΑ ως µονάδα µέτρησης, βρίσκουµε ότι τα σηµεία Α , Β , Γ , ∆ , Ε , ... απέχουν από το Ο απόσταση ίση µε 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... αντίστοιχα και εποµένως παριστάνουν τους αριθµούς 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... . Προφανώς η αρχή Ο παριστάνει τον αριθµό 0.

Σύγκριση φυσικών αριθµών Αν δύο φυσικοί αριθµοί δεν είναι ίσοι, µεγαλύτερος είναι εκείνος που βρίσκεται δεξιότερα από τον άλλον πάνω στην ευθεία των αριθµών. Για τη σύγκριση των φυσικών αριθµών α και β χρησιµοποιούµε το σύµβολο = αν α είναι ίσο µε β και γράφουµε α = β , το σύµβολο > αν α µεγαλύτερο του β και γράφουµε α > β και το σύµβολο < αν α µικρότερο του β και γράφουµε α < β. Έτσι έχουµε ότι 4 = 4 , 4 > 2 και 4 < 5.

Στρογγυλοποίηση Είναι η διαδικασία µε την οποία αντικαθιστούµε ένα φυσικό αριθµό µε µία προσέγγισή του. Αν για παράδειγµα ο πληθυσµός µιας πόλης είναι 2.800.219 κάτοικοι θα µπορούσαµε για πρακτικούς λόγους και χωρίς πάντως να βλάψουµε την ουσία να τον αντικαταστήσουµε µε τον µικρότερό του 2.800.000 έχοντας κάνει στρογγυλοποίηση στην πλησιέστερη χιλιάδα.

Πώς στρογγυλοποιούµε έναν αριθµό σε µια τάξη του Εξετάζουµε το ψηφίο της αµέσου µικρότερης τάξης (της επόµενης δηλαδή προς τα δεξιά): • αν αυτό είναι 0 ή 1 ή 2 ή 3 ή 4 αφήνουµε τα ψηφία του αριθµού µέχρι και την τάξη που γίνεται η στρογγυλοποίηση όπως είναι και µηδενίζουµε όλα τα επόµενα. • αν είναι 5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9 αυξάνουµε κατά 1 το ψηφίο της τάξης που γίνεται η στρογγυλοποίηση και µηδενίζουµε όλα τα επόµενα ψηφία του αριθµού.

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

` Στρογγυλοποιούµε τον αριθµό 1.724 στην πλησιέστερη εκατοντάδα. ψηφίο εκατοντάδων Εντοπίζουµε το ψηφίο των εκατοντάδων. 1.724 Εντοπίζουµε το αµέσως επόµενο προς τα δεξιά ψηφίο και επειδή είναι το 2 (µικρότερο του 5) αντικαθιστούµε αυτό και όλα τα επόµενα ψηφία του, µε µηδενικά.

1.724 1.700

` Στρογγυλοποιούµε τον αριθµό 28.725 στην πλησιέστερη χιλιάδα. ψηφίο χιλιάδων Εντοπίζουµε το ψηφίο των χιλιάδων. Εντοπίζουµε το αµέσως επόµενο προς τα δεξιά ψηφίο και επειδή είναι το 7 (µεγαλύτερο του 5) αυξάνουµε το ψηφίο 8 των χιλιάδων κατά 1 (γίνεται δηλαδή 9) και αντικαθιστούµε όλα τα επόµενα µε µηδενικά.

28.725 28.725 29.000

ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1.

Να επιλέξετε Σ για κάθε σωστή πρόταση και Λ για κάθε λανθασµένη. (α) Οι αριθµοί που είναι µεγαλύτεροι του µηδενός λέγονται φυσικοί. (β) Οι αριθµοί που δεν είναι άρτιοι είναι περιττοί. (γ) Το µηδέν δεν είναι ούτε άρτιος ούτε περιττός. (δ) Όλοι οι διψήφιοι αριθµοί είναι 10. (ε) Υπάρχουν 15 περιττοί αριθµοί που είναι µικρότεροι του 32. (στ) Ο αριθµός 20.000 είναι η στρογγυλοποίηση του 19.800 στην πλησιέστερη χιλιάδα. (ζ) Αν στρογγυλοποιήσουµε τον αριθµό 9.999 στη δεκάδα ή στην εκατοντάδα ή στη χιλιάδα θα πάρουµε τον αριθµό 10.000.

Σ

Λ


2.

Να διατάξετε τους φυσικούς αριθµούς 15, 989, 0, 90.999, 3.721, 9, 99.009 από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο (δηλ. µε αύξουσα σειρά µεγέθους).

3.

Χρησιµοποιώντας το σχήµα να απαντήσετε στις ερωτήσεις.

(α) Πως λέγεται το σηµείο Ο; Ποιος αριθµός αντιστοιχεί στο σηµείο αυτό; (β) Με µονάδα µέτρησης το µήκος ΟΑ ποιος αριθµός αντιστοιχεί στο σηµείο ∆; Ο αριθµός 7 από ποιο σηµείο παριστάνεται; (γ) Με µονάδα µέτρησης το µήκος ΟΒ ποιος αριθµός αντιστοιχεί στο σηµείο ∆; Το σηµείο Η παριστάνει τότε φυσικό αριθµό;

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.

Να βρείτε όλους τους άρτιους τριψήφιους αριθµούς που έχουν τα δύο τελευταία ψηφία τους ίδια και µικρότερα από το ψηφίο των εκατοντάδων.

Λύση Οι αριθµοί αυτοί είναι: 100, 200, 300, 322, 400, 422, 500, 522, 544, 600, 622, 644, 700, 722, 744, 766, 800, 822, 844, 866, 900, 922, 944, 966, 988.

2.

Να βρείτε ποιους αριθµούς παριστάνουν τα σηµεία Β, Γ, ∆ και Ε στις παρακάτω ευθείες. α)

β)


Λύση α)

β)

3.

Η µονάδα µέτρησης είναι ΟΑ=20. Εποµένως το σηµείο Β παριστάνει τον αριθµό 80, το σηµείο Γ τον αριθµό 160, το σηµείο ∆ τον αριθµό 300 και το σηµείο Ε τον αριθµό 320. Η µονάδα µέτρησης είναι ίση µε 2. Εποµένως το σηµείο Β παριστάνει τον αριθµό 38, το Γ τον αριθµό 48, το ∆ το 62 και το Ε το 66.

Να συµπληρώσετε τα κενά χρησιµοποιώντας κατάλληλα τα σύµβολα > ή < . 99 780

0 7.800

12.003 9.999

12.030 9.099

346 896.745

364 897.645

346 896.745

< <

364 897.645

Λύση 99 780

4.

> <

0 7.800

12.003 9.999

< >

12.030 9.099

Να στρογγυλοποιήσετε τους αριθµούς 3.734 και 54.179 στις πλησιέστερες α) δεκάδες, β) εκατοντάδες, γ) χιλιάδες.

Λύση α) ψηφίο δεκάδων 3.734

ψηφίο δεκάδων

3.730

β) ψηφίο εκατοντάδων 3.734

3.700

γ) ψηφίο χιλιάδων 3.734

54.179

54.180

ψηφίο εκατοντάδων 54.179

54.200

ψηφίο χιλιάδων 4.000

54.179

54.000 21

Α. 1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ∆ΙΑΤΑΞΗ - ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ

5.

Να στρογγυλοποιήσετε τους αριθµούς 999.001, 178.908, 4.703.972 στις πλησιέστερες α) δεκάδες χιλιάδες β) εκατοντάδες χιλιάδες.

Λύση α)

999.001 178.908 4.703.972

1.000.000 180.000 4.700.000

β)

999.001 178.908 4.703.972

1.000.000 200.000 4.700.000

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1.

Να αντιστοιχίσετε το σηµείο Κ στη στήλη Α µε τον αριθµό που αυτό κάθε φορά παριστάνει στη στήλη Β. ΣΤΗΛΗ Α

ΣΤΗΛΗ Β

α.

1. 260

β.

2. 350

γ.

3.

74

δ.

4.

75

ε.

5. 2.800

Α

α

Β 22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β

γ

δ

ε

2.

α) β)

Να συµπληρωθεί ο πίνακας όπως το παράδειγµα. Να γραφούν οι αριθµοί που έχουν στρογγυλοποιηθεί στην πλησιέστερη εκατοντάδα κατά αύξουσα σειρά.

αριθµός

Στρογγυλοποίηση στη δεκάδα

Στρογγυλοποίηση στην εκατοντάδα

Στρογγυλοποίηση στη χιλιάδα

1.984

1.980

2.000

2.000

35.401 186.065 3.294 5.555 9.073.718 18.922 3.

Αν στρογγυλοποιήσουµε τον αριθµό 32.5 στην πλησιέστερη δεκάδα προκύπτει ο αριθµός 33.000 και τον αριθµό 2.86 στην πλησιέστερη εκατοντάδα προκύπτει ο αριθµός 29.000. Ποιοι είναι οι αριθµοί;


A.1.2

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασµός φυσικών αριθµών

Πρόσθεση των αριθµών α και β. α+β=γ

άθροισµα

προσθετέοι 25+13=38

άθροισµα

Ιδιότητες της πρόσθεσης 1. α+0=α (Το άθροισµα ενός αριθµού µε το µηδέν ισούται µε τον ίδιο τον αριθµό). 2. α+β=β+α (Αντιµεταθετική ιδιότητα). 3. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) (Προσεταιριστική ιδιότητα). 51+45+4+0=51+4+45+0 (Αντιµεταθετική ιδιότητα) =(51+4)+45+0 (Προσεταιριστική ιδιότητα) =55+45+0=100+0=100 (Το άθροισµα ενός αριθµού µε το 0 ισούται µε τον ίδιο τον αριθµό). Αφαίρεση των αριθµών α και β. α–β=γ

διαφορά

µειωτέος αφαιρετέος µειωτέος – αφαιρετέος = διαφορά 135–42=93 διαφορά δοκιµή της πράξης: α=β+γ µειωτέος = αφαιρετέος + διαφορά 135=42+93 24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Πολλαπλασιασµός των αριθµών α και β α · β=γ

γινόµενο

παράγοντες 24 · 5 = 120

γινόµενο

Ιδιότητες του πολλαπλασιασµού 1. 2. 3. 4.

α · 1=α (Το γινόµενο ενός αριθµού µε τη µονάδα ισούται µε τον ίδιο τον αριθµό). α · β = β · α (Αντιµεταθετική ιδιότητα). α · β · γ = (α · β) · γ = α · (β · γ) (Προσεταιριστική ιδιότητα). α · 0 = 0 · α = 0 (Το γινόµενο ενός αριθµού µε το µηδέν ισούται µε το µηδέν). 25 · 1 · 13 · 4 = =25 · 13 · 4 (Το γινόµενο ενός αριθµού µε το 1 ισούται µε τον ίδιο τον αριθµό). =25 · 4 · 13 (Αντιµεταθετική ιδιότητα) = (25 · 4) · 13 (Προσεταιριστική ιδιότητα) =100 · 13=1.300.

Πολλαπλασιασµός επί 10, 100, 1000, 10000, ... Για να πολλαπλασιάσουµε ένα φυσικό αριθµό επί 10, 100, 1.000, 10.000, ... ξαναγράφουµε τον αριθµό προσθέτοντας στο τέλος τόσα µηδενικά όσα έχει κάθε φορά ο παράγοντας 10, 100, 1.000, 10.000, ... . 48 · 10 = 480, 543 · 100 = 54.300, 1.200 · 1.000 = 1.200.000.

Επιµεριστική ιδιότητα Η επιµεριστική ιδιότητα εφαρµόζεται όταν έχουµε να πολλαπλασιάσουµε έναν αριθµό επί ένα άθροισµα α · (β+γ)=α · β+α · γ ή έναν αριθµό επί µία διαφορά α · (β–γ)=α · β–α · γ 10 · (4+12)=10 · 4+10 · 12=40+120=160, ( 8 − 5 ) ⋅ 2 = 8 ⋅ 2 − 5 ⋅ 2 = 16 − 10 = 6 . Συχνά είναι χρήσιµη η εφαρµογή της επιµεριστικής ιδιότητας όταν έχουµε να αθροίσουµε ή να αφαιρέσουµε γινόµενα που έχουν έναν κοινό παράγοντα αφού τότε εκτελούµε λιγότερες πράξεις: α · β+α · γ= α · (β+γ) α ο κοινός παράγοντας α · β – α · γ = α · (β – γ) 25 A.1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ, ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

α) 12 · α+β · 12 =12 · α+12 · β=12 · (α+β). β) 2.192 · 8–192 · 8=(2.192–192) · 8=2.000 · 8=16.000. γ) α · 11–α=α · 11–α · 1=α · (11–1)=α · 10.


Να συµπληρώσετε τον πίνακα όπως το παράδειγµα. Παράσταση

=

Ιδιότητα

4·5·2

20 · 2

Προσεταιριστική

21 · 6

Αντιµεταθετική

17+345

345+17

5 · (12+13)

5 · 12+5 · 13

12 · 18–12 · 8 20+3+17

Επιµεριστική 20+20

35 · 6+4 · 35 2.

Επιµεριστική

Να συµπληρώσετε τα κενά. α) Στην πρόσθεση α+β οι αριθµοί α και β λέγονται ....................... ενώ το αποτέλεσµα της πράξης λέγεται ..................... . Στον ................................ οι αριθµοί α και β λέγονται παράγοντες ενώ το αποτέλεσµα της πράξης λέγεται ....................... . α +.....=α 254 · 1.000 = ......... α · 1=..... ...... · 10.000 = 130.000 α · ..... =0 1.343 · .......... = 1.343.000 β) Στην αφαίρεση 34–11=23 ο αριθµός 34 λέγεται .................... ο αριθµός 11 λέγεται ...................... ενώ το αποτέλεσµα της πράξης 23, λέγεται ............................. . Ισχύει τότε ότι 34= .....+ ..... . Η αφαίρεση 45–76 δεν είναι δυνατή στους φυσικούς αριθµούς γιατί .....< ..... 12–..... = 12 γιατί 12=.....+..... 75–..... = 0 γιατί .....=.....+.....


3.

Να συµπληρώσετε τα µε τους κατάλληλους αριθµούς. 3.47 7.02 323 + 28 — 764 x .33

4.

.7

2 3 4. 5

Να συµπληρώσετε τα κενά: 5 · (6+2)=...... · 6+...... · 2=......+......=...... 5 · 4+5 · 8=5 · (......+......)=...... · ......=...... 7 · 8–7 · 4=...... · (......–......)=...... · ......=...... .


Να υπολογίσετε την περίµετρο του σχήµατος.

Λύση Η περίµετρος του σχήµατος ισούται µε το άθροισµα των πλευρών του. Κάνουµε την πρόσθεση 112+23+50+42+65=135+50+42+65=185+42+65=227+65=292 m.

2.

Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: α) 1+11+100+89+999 β) 345+0+1.005+90.911+655+995+9.089.

27 A.1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ, ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Λύση Παρατηρούµε ότι οι πράξεις δεν είναι βολικό να γίνουν µε τη σειρά που σηµειώνονται. Με τη βοήθεια της αντιµεταθετικής ιδιότητας µπορούµε να αλλάξουµε τη σειρά χωρίς να µεταβάλουµε το άθροισµα. α) 1+11+100+89+999 = (1+999)+(11+89)+100=1.000+100+100=1.200. β) 345+0+1.005+90.911+655+995+9.089= (345+655)+(1.005+995)+(90.911+9.089)=1.000+2.000+100.000=103.000.

3.

Αν α+β=100 και γ+δ=25 να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: α) α+15+β+27 β) 34+α+γ+16+δ+β γ) α+γ+α+β+β+δ+γ+β+α+δ.

Λύση α) α+15+β+27=α+β+15+27 Αντιµεταθετική ιδιότητα =(α+β)+15+27 Προσεταιριστική ιδιότητα =100+15+27=115+27=142. β) 34+α+γ+16+δ+β=34+(α+β)+(γ+δ)+16=34+100+25+16= =(34+16)+(100+25)=50+125=175. γ) α+γ+α+β+β+δ+γ+β+α+δ=(α+β)+(α+β)+(α+β)+(γ+δ)+(γ+δ)= =100+100+100+25+25=350.

4.

Μαγικά τετράγωνα. Ένα τετράγωνο λέγεται µαγικό όταν τα αθροίσµατα των αριθµών κάθε γραµµής, κάθε στήλης και κάθε διαγωνίου είναι ίσα. Να εξετάσετε αν τα παρακάτω τετράγωνα είναι µαγικά. α)

9

10

5

4

8

11

6

72

9

54

12

27

45

62

7

36

81

18


β)

Λύση

α)

24

24

24

9

10

5

24

4

8

12

24

11

6

7

24

24

24

Το τετράγωνο αυτό είναι µαγικό αφού τα αθροίσµατα κάθε γραµµής, κάθε στήλης αλλά και κάθε διαγωνίου είναι ίσα µε 24. β)

5.

72

9

54

135

27

45

62

134

36

81

18

Το τετράγωνο αυτό δεν είναι µαγικό αφού το άθροισµα των όρων της 1ης γραµµής είναι 135 ενώ της 2ης είναι 134.

Να συµπληρωθούν τα κενά τετράγωνα του πίνακα. 15

+

+

=44 –

– =43

=0 =

Λύση 15

+

+ 28 =43

6.

29

=44

– –

28

=0

=1

Να συµπληρωθούν τα κενά . α) 9+=14 β) 5+2+=19 γ) 25–=19 δ) 13–4+=15 ε) 18–+2=11 στ) 25–19–=0 ζ) 72+=164–12 η) (389+10)–(39+10)=. 29 A.1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ, ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Λύση α) γ) ε) στ) ζ) η)

7.

9+5=14 β) Επειδή 5+2=7 και 19–7=12, έχουµε 5+2+12=19 25–6=19 δ) Επειδή 13–4=9 και 15–9=6 έχουµε 13–4+6=15 18–9+2=11 αφού 18–9+2= 9+2=11 Επειδή 25–19=6 και 6–6=0, έχουµε 25–19–6=0 164–12=152 και 152–72=80 έχουµε ότι 72+80=152 (389+10)–(39+10)=399–49=350.

Να γίνουν οι πράξεις: α) 120–(42–11) β) (120–42)–11 γ) (120+42)–11 δ) 120–(42+11) ε) (120–11)–(100+9).

Λύση α) β) γ) δ) ε)

8.

120–(42–11)=120–31=89. Όταν έχουµε παρενθέσεις κάνουµε πρώτα τις πράξεις (120–42)–11=78–11=67. µέσα στις παρενθέσεις. (120+42)–11=162–11=151. 120–(42+11)=120–53=67. (120–11)–(100+9)=109–109=0.

Αν α=623+137–70, β=176–23–12–34 και γ=3.904–704–2.112–112 να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) γ–α–β β) (γ–α)–(γ–β)–(α–β).

Λύση µε βοήθεια Συµπληρώστε τα κενά α=623+137–70=........ –70=690.

Υπολογίζουµε πρώτα τις τιµές των παραστάσεων α, β και γ. β=176–23–12–34= ....... –12–34=....... –34=107. Για το σκοπό αυτό κάνουµε τις πράξεις µε τη σειρά που σηµειώνονται, δηλαδή από τα γ=3.904–704–2.112–112=....... –2.112–112= αριστερά προς τα δεξιά.

=........ –112=976.


α) γ–α–β=976–690–107=....... –107=........ .

Στη συνέχεια αντικαθιστούµε τις τιµές των α, β και γ που βρήκαµε στις παραστάσεις.

β) (γ–α)+(γ–β)–(α–β)= =(......–......)+(......–......)–(......–......)=....... + ....... – .......=....... – ........=572.

9.

Να γίνουν οι πράξεις: α) 25 · 50 · 5 · 2 · 9 β) (5+3) · (122–22) γ) (5+4+11) · (3+2) δ) (12–6+8–3) · (15–9+50).

Λύση α) 25 · 50 · 9 · 20 · 4=25 · 4 · 50 · 20 · 9 =(25 · 4) · (50 · 20) · 9=100 · 1.000 · 9= =100.000 · 9=900.000.

Εφαρµόζουµε την αντιµεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού ώστε να έχουµε ευκολότερα γινόµενα. Στη συνέχεια εφαρµόζουµε την προσεταιριστική ιδιότητα.

β) (5+3) · (122–22)=8 · 100=800. γ) (5+4+11) · (3+2)=(9+11) · 5=20 · 5=100. δ) (12–6+8–3) · (15–9+50)= =(6+8–3) · (6+50)=(14–3) · 56=11 · 56=616.

10.

Πράξεις µέσα στις παρενθέσεις µε τη σειρά που σηµειώνονται.

Να γίνουν οι πράξεις: α) 2 · (5+8)+4 · 6–4 · 3 β) 5 · (2+9)–3 · (8–6)+15 δ) 15 · 10–3 · (11–5).

γ) 63 · 9–15+5 · 2

Λύση α) 2 · (5+8)+4 · 6–4 · 3=2 · 13+4 · 6–4 · 3= =26+24–12=50–12=38. β) 5 · (2+9)–3 · (8–6)+15=5 · 11–3 · 2+15= =55–6+15=49+15=64. γ) 63 · 9–15+5 · 2=567–15+10=552+10=562. δ) 15 · 10–3 · (11–5)=15 · 10–3 · 6=150–18=132.

Προτεραιότητα των πράξεων. Πράξεις µέσα στις παρενθέσεις. Πολλαπλασιασµοί. Προσθέσεις–Αφαιρέσεις µε τη σειρά που σηµειώνονται.

31 A.1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ, ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

11.

Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις µε τον πιο σύντοµο τρόπο. α) 12+12+12+12+12 β) x+x+x+x+x–(y+y+y+y+y), όταν x–y=140 γ) 15 · 7+15 · 3 δ) 7 · 10+3 · 10+2 · 10+10 ε) 9 · 5+9 · 6+7 · 8–7 · 2 στ) 53 · 99 ζ) 21 · 101 η) 13 · (5+15) θ) (8+1+91) · 5.

Λύση α) 12+12+12+12+12=5 · 12=60. β) x+x+x+x+x–(y+y+y+y+y)=5 · x–5 · y =5 · (x–y)=5 · 140=700. γ) 15 · 7+15 · 3=15 · (7+3)=15 · 10=150.

Εφαρµογή της επιµεριστικής ιδιότητας µε το 5 κοινό παράγοντα. Εφαρµογή της επιµεριστικής ιδιότητας µε το 15 κοινό παράγοντα.

δ) 7 · 10+3 · 10+2 · 10+10=7 · 10+3 · 10+2 · 10+1 · 10 1 · α=α ή α=1 · α και στη συνέχεια επιµεριστική ιδιότητα =(7+3+2+1) · 10=13 · 10=130. µε τον 10 κοινό παράγοντα.

ε) 9 · 5+9 · 6+7 · 8–7 · 2=9 · (5+6)+7 · (8–2)=9 · 11+7 · 6=99+42=141. στ) 53 · 99=53 · (100–1)=53 · 100–53 · 1=5.300–53=5.247. ζ) 21 · 101=21 · (100+1)=21 · 100+21 · 1=2.100+21=2.121. η) 13 · (5+15)=13 · 20=260. θ) (8+1+91) · 5=100 · 5=500.

12.

Αποφύγαµε να εφαρµόσουµε σε αυτές τις περιπτώσεις την επιµεριστική ιδιότητα αφού τότε οι πράξεις δε θα ήταν σύντοµες: η) 13 · (5+15)=13 · 5+13 · 15=65+195=260. θ) (8+1+91) · 5=8 · 5+1 · 5+91 · 5=40+5+455=500. Προτιµήσαµε ακολουθώντας και την εκφώνηση της άσκησης να κάνουµε τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις.

Αν α=5 · (8+12)–10 , β=8 · 12+4 · (33–32) και γ=5 · 3 · (25+15) να υπολογίσετε την παράσταση (β–α) · (γ–α) · (2 · α–β).


Λύση µε βοήθεια Συµπληρώστε τα κενά α=5 · (8+12)–10=5 · ......–10=......–10=90. β=8 · 12+4 · (33–32)=8 · 12+4 · ......=...... + ......=100. γ=5 · 3 · (25+15)=5 · 3 · ......= 15 · ...... = ...... . Αντικαθιστούµε τις τιµές των α, β και γ στην παράσταση: (β–α) · (γ–α) · (2 · α–β)=(100–90) · (...... – 90) · (2 · 90–100)= = ..... · ...... · (..... – 100)= ...... · ...... = 408.000.

13.

Να τοποθετήσετε κατάλληλα τις παρενθέσεις ώστε να είναι αληθείς οι παρακάτω ισότητες: α) 30 – 5 · 4 = 100 β) 3 + 9–2 · 6 = 60 γ) 7 – 3 + 4 · 0 = 0 δ) 5 · 25 – 24 + 2 = 7 ε) 5 + 9 · 8 – 6 = 23 στ) 2 · 5 – 4 + 4 = 2.

Λύση α) (30 – 5) · 4 = 25 · 4=100. γ) (7 – 3 + 4) · 0 = 0. ε) 5 + 9 · (8 – 6) =5+9 · 2=5+18=23.

β) (3 + 9–2) · 6 = (12–2) · 6=10 · 6=60. δ) 5 · (25 – 24) + 2 =5 · 1+2=7. στ)2 · 5 – (4 + 4) = 2 · 5–8=10–8=2.


Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λανθασµένες (Λ).

α) β) γ)

8 · 7 · 9 · 3=(8 · 7) · (9 · 3) 8 · 7 · 9=8 · 9 · 7 8 · 7 · 9=(8 · 7) · (8 · 9)

Σ

Λ 33

A.1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ, ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

2.

δ) ε) στ) ζ)

4 · (2+6)=4 · 2+6 19 · (6–3)=19 · 6–19 · 3 12 · 3+12 · 5=12 · (3+5) 400 · 1.000=40.000

η) θ) ι) κ)

4 · 5>2 · (7+3) 4 · 25 · 1 · 0 · 100=10.000 Το γινόµενο περιττού αριθµού επί άρτιο είναι περιττός αριθµός. Αν 5+5+5–x · 5=0, τότε x=3.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. α) Το γινόµενο 4 · 5 · (5–5) · 1 · 2 είναι ίσο µε: Α. 100 Β. 40 Γ. 0 β) Η παράσταση 3 · 4+5 δεν είναι ίση µε την παράσταση: Α. 3 · (4+5) Β. 5+3 · 4 Γ. 5+4 · 3 γ) Το γινόµενο 25 · 9 ισούται µε: Α. 20 · 10–5 · 9 Β. 20 · 9+25 Γ. 25 · 10–25 δ) ∆ίνονται οι παραστάσεις: Α=5 · 6+2, Β=5 · (6+2), Γ=6+5 · 2, ∆=6 · 5 · 2 Η σωστή αύξουσα σειρά είναι: Α. Α<Β<Γ<∆ Β. Γ<Α<∆<Β Γ. Γ<Α<Β<∆ ε) ∆ίνεται η παράσταση 5+2 · (5–1). Η σωστή σειρά για τις πράξεις είναι: Α. 5+2 · (5–1)=5+2 · 4=7 · 4=28. Β. 5+2 · (5–1)=5+2 · 4=5+8=13. Γ. 5+2 · (5–1)=7 · (5–1)=7 · 4=28. στ) Στις πράξεις 5 · 8 · 20=5 · 20 · 8=100 · 8=800 εφαρµόσαµε: Α. Την επιµεριστική ιδιότητα. Β. Πρώτα την αντιµεταθετική και ύστερα την προσεταιριστική ιδιότητα. Γ. Πρώτα την προσεταιριστική και ύστερα την αντιµεταθετική ιδιότητα.


3.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα: α

60

720

µειωτέος β αφαιρετέος –

185

32

γ διαφορά = 4.

192

0

Να συµπληρώσετε τα κενά ώστε το τετράγωνο να γίνει µαγικό. 3

45

36

12 21

30

33

39

5.


β

γ

5

5

3

2

14

10 6.

7.

48

3

Nα κάνετε τις πράξεις: α) 56 · 3–(4+16)–(19–8–9) γ) 6 · (8+4)–6 · 8–6 · 4

α+β+γ

α · β–γ

α · (α+β+γ)

(α–β) · γ

50 12

β) 7 · 8+5 · 10–4 · 9 δ) 8 · 125 · (9+3) · 25 · 4.

Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις µε δύο τρόπους. α) 12 · (5+6) β) 9 · (1+3+5+7) γ) 25 · (18–5–3) δ) 12 · 8–12 · 7 ε) 6 · 5+6 · 3+6 στ) 10 · 12+8 · 12–12 · 12–6 · 12. 35 A.1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ, ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

8.

Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις µε το συντοµότερο τρόπο. α) 100 · (6–5) Όταν έχουµε την παράσταση α · (β+γ) µας συµφέρει να κάβ) 119 · (13+3–5–10) νουµε την πράξη β+γ µέσα στην παρένθεση και µετά τον πολλαπλασιασµό µε το α αποφεύγοντας να εφαρµόσουµε γ) 77 · 5+77 · 3+77 · 2 δ) 11 · 13–11 · 12–11 ε) 154 · 999 στ) 18 · 1.001

9.

10.

την επιµεριστική ιδιότητα. Όταν όµως έχουµε το άθροισµα α · β+α · γ συµφέρει να το γράψουµε στη µορφή α · (β+γ) µε το α κοινό παράγοντα εφαρµόζοντας την επιµεριστική ιδιότητα και στη συνέχεια να κάνουµε τις πράξεις µέσα στην παρένθεση.

Αν x · y=25 να υπολογίσετε τα γινόµενα: α) x · 25 · y · 4 β) 100 · y · 8 · x · 125. Να αντιστοιχίσετε τα αθροίσµατα της στήλης Α του πίνακα µε τα γινόµενα στη στήλη Β. ΣΤΗΛΗ Α

ΣΤΗΛΗ Β

α) α+α+α β) α+α+α+α+α γ) 3 · α+3 δ) 3 · α+3 · 2 ε) 3 · α+9

1) 3 · (α+1) 2) 5 · α 3) 3 · (α+3) 4) 3 · α 5) 3 · (α+2)

Α

α

β

γ

δ

ε

Β 11.

Αν α=15–2–1 και β=3 · α+4 να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) 5 · α–(β+1) β) 10 · (α+β)–α · β+10.

12.

Να συµπληρώσετε τα ώστε να ισχύουν οι ισότητες: 3 · 9+=29 2 · +3 · 5=23 7 · 8–=55 · 6–12 · 4=12 7+ · 5=52 7 · 4– · 2=6 28– · 8=4 –27+18=3 · 7.


Α.1.3

∆υνάµεις

φυσικών αριθµών

ν Το γινόµενο α ⋅ α ⋅ α ⋅ ... ⋅ α γράφεται µε σύντοµο τρόπο ως α και διαβάζεται α στη ν ή

ν ίσοι παράγοντες του α

νιοστή δύναµη του α.

α

βάση

ν

εκθέτης

Έτσι το γινόµενο 2 · 2 · 2 · 2 · 2 που έχει 5 ίσους παράγοντες του 2 και ισούται µε 32 γράφεται πιο σύντοµα 25 που διαβάζεται 2 στην πέµπτη ή πέµπτη δύναµη του 2: 25 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2

⋅ 2 = 32 5 ίσοι παράγοντες του 2

Η δύναµη α2 =α · α διαβάζεται και α στο τετράγωνο. Η δύναµη α3=α · α · α διαβάζεται και α στον κύβο. Η δύναµη του α µε εκθέτη το 1 ισούται µε α, δηλαδή α1=α. Οι δυνάµεις του 1 ισούται µε 1, δηλαδή 1ν=1. Οι δυνάµεις του 0 ισούται µε 0, δηλαδή 0ν=0, όταν ν=1,2,3,... . Οι δυνάµεις του 10 υπολογίζονται εύκολα αν γράψουµε το 1 και δεξιά του τόσα µηδενικά όσος και ο εκθέτης, δηλαδή 10ν= 100...0 N. ν µηδενικά 2

Η δύναµη 4 στο τετράγωνο είναι 4 =4 · 4=16. Η δύναµη 4 στον κύβο είναι 43=4 · 4 · 4=16 · 4=64. 41=4 και 09=0. 107=10.000.000

7 µηδενικά

37 Α.1.3 ∆ΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Αριθµητική παράσταση Είναι µια σειρά αριθµών που συνδέονται µε τα σύµβολα των πράξεων: +, – , · , : Προτεραιότητα των πράξεων. Πρώτα υπολογίζουµε τις δυνάµεις µετά τους πολλαπλασιασµούς και τις διαιρέσεις µε τη σειρά που σηµειώνονται και τέλος τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις µε τη σειρά που σηµειώνονται. Αν όµως υπάρχουν παρενθέσεις εκτελούµε πρώτα τις πράξεις στις παρενθέσεις. 6+(22+3) · 10= =6+7 · 10=

Προηγούνται οι πράξεις µέσα στην παρένθεση. 2 Προηγείται η δύναµη 2 =4.

=6+(4+3) · 10=

Προηγείται ο πολλαπλασιασµός 7 · 10=70.

= 6+70=76.


8

H δύναµη 5 διαβάζεται.......................... και ισούται µε το γινόµενο ..................

Ο αριθµός 5 λέγεται ................... της δύναµης, ενώ ο αριθµός 8 λέγεται ...................... της δύναµης. 2.

Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α του πίνακα µε ένα στοιχείο της στήλης Β: ΣΤΗΛΗ Α 1

α) α β) α στη δευτέρα γ) α3 δ) α · α · α · α ε) α5


ΣΤΗΛΗ Β 1) α στον κύβο. 2) πέµπτη δύναµη του α. 3) α. 4) α στο τετράγωνο. 5) α στην τετάρτη.

3.

Να βρείτε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισµούς είναι λανθασµένοι και να τους διορθώσετε όπως στο παράδειγµα: ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ

Σ

2

1) 5 =10.

Λ

∆ΙΟΡΘΩΣΗ

x

5 =25

2

5

2) 10 =1.000.000. 3

2

3) 467=4 · 10 +6 · 10 +7 · 1. 3

2

1

4) 5.402=5 · 10 +4 · 10 +0 · 10 +2 · 1. 5) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7=6 · 7. 4

4

4

6) (1+2) =1 +2 . 7) Το τετράγωνο του 3 είναι µεγαλύ-

τερο από τον κύβο του 2. 4.

α) Η σωστή διαδικασία για τον υπολογισµό της αριθµητικής παράστασης 10+2 · 32 είναι: Α. 10+62=10+36=46 Β. 10+2 · 9=12 · 9=108 Γ. 10+2 · 9=10+18=28 ∆. (10+2 · 3)2=(10+6)2=162=256 β) Η σωστή διαδικασία για τον υπολογισµό της αριθµητικής παράστασης 1+4 · (2+32) είναι: Α. 5 · 52=5 · 25=125 Β. 5 · (2+32)=5 · (2+9)=5 · 11=55 Γ. 1+4 · 52=1+4 · 25=1+100=101 ∆. 1+4 · (2+9)=1+4 · 11=1+44=45


Να γράψετε µε τη µορφή µιας δύναµης τα γινόµενα: α) 4 · 4 · 4 β) x · x · x · x γ) 53 · 5 · 5 · 5 δ) 34 · 32 · 3.

Λύση α) 4 · 4 · 4 =43 β) x · x · x · x=x4 γ) 53 · 5 · 5 · 5=(5 · 5 · 5) · 5 · 5 · 5= 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5=56 δ) 34 · 32 · 3= (3 · 3 · 3 · 3) · (3 · 3) · 3=3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3=37.


2.

Να γράψετε σύντοµα τις παρακάτω παραστάσεις: α) α · α · α+α · α β) x+x+x+x–x · x · x · x γ) ω · ω · φ · ω · φ · φ · ω.

Λύση 3

α) α · α · α+α · α=α +α β) x+x+x+x–x · x · x · x=4 · x–x4 γ) ω · ω · φ · ω · φ · φ · ω=ω · ω · ω · ω · φ · φ · φ=ω4 · φ3.

3.

2

Να υπολογίσετε τις δυνάµεις: 25 , 26 , 27 , 28 , 29 , 210

Λύση 5

2 =2 · 2 · 2 · 2 · 2=32. 26=2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2=(2 · 2 · 2 · 2 · 2) · 2=32 · 2=64. 27=2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2=(2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2) · 2 = 64 · 2 = 128. 28=2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2=(2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2) · 2 = 128 · 2 = 256. 29=2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2=(2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2) · 2 = 256 · 2 = 512. 210=2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2=(2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2) · 2=512 · 2=1.024.

4.

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) Η διαφορά του τετραγώνου του 9 από το τετράγωνο του 10. β) Το τετράγωνο της διαφοράς του 9 από το 10. γ) (174–164)3–25+52–19. δ) 9833–983 · 983 · 983.

Λύση α) 102–92=100–81=19. β) (10–9)2=12=1. γ) (174–164)3–25+52–19=103–25+52–19=1.000–32+25–1=968+25–1=993–1=992. δ) 9833–(983 · 983 · 983)=9833–9833=0.


5.

Να κάνετε τις πράξεις: α) 25–23 · 3+52 · 2–2 · 32. β) 102–5 · (14+13+12)–(24–3 · 2).

Λύση 3

2

2

α) 25–2 · 3+5 · 2–2 · 3 = 8 25 9 =25–8 · 3+25 · 2–2 · 9= 24

50

Όταν δεν υπάρχουν παρενθέσεις η σειρά των πράξεων είναι: 3 2 2 1) ∆υνάµεις 2 =2 · 2 · 2=8 5 =5 · 5=25 3 =3 · 3=9. 2) Πολλαπλασιασµοί 8 · 3=24 25 · 2=50 2 · 9=18.

18

=25–24+ 50–18= = 1+50–18= = 51–18= =33

3) Προσθέσεις και αφαιρέσεις µε τη σειρά που σηµειώνονται (από τα αριστερά προς τα δεξιά). 25–24=1 1+50=51 51–18=33

β) 102–5 · (14+13+12)–(24–3 · 2)= Όταν υπάρχουν παρενθέσεις και πράξεις µέσα σε αυτές κάνουµε τις πράξεις µέσα στις παρεν3 16 = 102–5 · 3–(16–3 · 2)= 6 2

= 10 –5 · 3–(16–6) = 10 2 = 10 –5 · 3 –10 =

θέσεις µε τη σειρά που παραπάνω περιγράψαµε. 4 3 2 1 +1 +1 =1+1+1=3 4 2 –3 · 2 πρώτα η δύναµη =16–3 · 2 µετά ο πολλαπλασιασµός =16–6=10. 2

Υπολογίζουµε τη δύναµη 10 =10 · 10=100.

= 100–5 · 3–10 =

Υπολογίζουµε το γινόµενο 5 · 3=15.

= 100–15–10 =

Προσθέσεις και αφαιρέσεις µε τη σειρά που σηµειώνονται (από τα αριστερά προς τα δεξιά). 100–15=85 , 85–10=75.

= 85 – 10 = =75


6.

Αν x=11+12+13 , y=21+22+23 και ω =31+32+33 να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων : α) x · y2+x4–(ω–y)2 και β) (y–x)2+y · x2

Λύση µε βοήθεια Συµπληρώστε τα κενά Υπολογίζουµε πρώτα τις τιµές των x, y και ω. x=11+12+13=1+.....+.....=3. y=21+22+23=2+4+.....=14. ω=31+32+33=.....+.....+27=39. Αντικαθιστούµε τις τιµές αυτές στις παραστάσεις: α) x · y2+x4–(ω–y)2 =3 · 142+34–(39–14)2=3 · 142+34–2= =3 · .....+.....–......=......+......–......=......–......=44. β) (y–x)2+y · x2=(.....–.....)2–..... · 2=2 + ..... · .....=......+...... · ......=......+......=247.

7.

Να συµπληρώσετε τα κενά χρησιµοποιώντας κατάλληλα τα σύµβολα >, =, <. α) 43 …. 34 β) 05 …. 50 γ) 64 · 6 …. 65 δ) 22 · 32 …. (2 · 3)2 ε) 35 …. 5 · 3 στ) 12+22+32 …. (1+2+3)2 ζ) (10–5)2 …. 43–2 · 52.

Λύση α) 43=4 · 4 · 4=64 και 34=3 · 3 · 3 · 3=81 , οπότε 43 <34. β) 05=0 και 50=1 , οπότε 05<50. 4 5 γ) 64 · 6=(6 · 6 · 6 · 6) · 6= 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6

⋅ 6 , οπότε 6 · 6 = 6 . 5 παράγοντες του 6

δ) ε) στ) ζ)

2

2

2

2

2

2

2

2 · 3 =4 · 9=36 και (2 · 3) =6 =36 , οπότε 2 · 3 =(2 · 3) . 5

5

3 =3 · 3 · 3 · 3 · 3=243 και 5 · 3=15 , οπότε 3 >5 · 3. 2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 +2 +3 =1+4+9=14 και (1+2+3) =6 =36 ,οπότε 1 +2 +3 < (1+2+3) . 2

2

3

2

2

3

2

(10–5) =5 =25 και 4 –2 · 5 =64–2 · 25=64–50=14, οπότε (10–5) > 4 –2 · 5 .




2.

α

2

α

3

0

10

11 10.000 125

Να αντιστοιχίσετε τις δυνάµεις της στήλης Α µε τα αποτελέσµατα τους στη στήλη Β του παρακάτω πίνακα. ΣΤΗΛΗ Α

ΣΤΗΛΗ Β

α) 09

1) 1

12

2) 64

Α

5

3) 0

Β

5

4) 243

3

5) 32

β) 1 γ) 2

δ) 3 ε) 4 3.

1

α

β

γ

δ

ε

Να συµπληρώσετε τα κενά ώστε να προκύπτει η αναπτυγµένη µορφή των αριθµών µε χρήση των δυνάµεων του 10. α) 5 · 103+4 · 102+3 · 101+2= . 4 2 1 β) 7 · 10 +5 · 10 +1 · 10 = . γ) 3 · 10 + 8 · 10 + 5 · 10 + 3= 3.853. δ) · 105 + · 103 + 2 · + 1= 507.02 .

4.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. α) Η δύναµη 26 ισούται µε: Α. 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2=64 Β. 2 · 6=12 Γ. 6 · 6=36 β) Ο αριθµός 10.000 γράφεται ως δύναµη: Α. 103 Β. 15 Γ. 104 ή 1002 γ) Από τους αριθµούς 200, 125 και 22 · 42 δε γράφεται ως δύναµη ο αριθµός: Α. 200 Β. 22 · 42 Γ. 125


δ) Η παράσταση 10+10 · 10 · 10 είναι ίση µε: Α. 10+3 · 10=10+30=40 Β. 20 · 102=20 · 100=2.000 Γ. 10+103=10+1.000=1.010 ε) Το άθροισµα 22+32 είναι ίσο µε: Α. 2 · 2+2 · 3=4+6=10 Β. (2 · 2)+(3 · 3)=4+9=13 Γ. (2+3)2=52=5 · 5=25 5.

Να κάνετε τις πράξεις: α) (3 · 4)2 β) (4+6)2 δ) 32 · 42 ε) 43 · 13

γ) 42+62 στ) 33+26–110.

6.

Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α) 5+2 · 53 β) 5 · 34+3 · 34+2 · 34 γ) 103–2 · 52+82–4 · 9 δ) (2 · 5)2–2 · 52–22 · 5.

7.

Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α) 22 · 52+23–(3+1)3 β) (13–3)4+10 · 35 γ) 4 · 32+5 · (25–3 · 8+1) δ) 92–(23+32)+5 · (42–22).

8.

Αν x=3 και y=5 να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α) x2+y2+(y–x)2 β) (x · y–y)2–(y–x)3.

9.

Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α=11+12+13+14 , β=21+22+23+24 και γ=34–33–32–31. Στη συνέχεια να αντικαταστήσετε τις τιµές που βρήκατε στην παράσταση (β–α)2+(γ–α)2+(γ–β)2 και να κάνετε τις πράξεις.

10.

Αν α=42–2 · 5 και β=(3 · 22–23) · 5 να συγκρίνετε τις παραστάσεις: (α+β)2 και α2+2 · α · β+β2.


Α.1.4

Ευκλείδεια διαίρεση ∆ιαιρετότητα

Όταν µας δίνονται δύο φυσικοί αριθµοί ∆ (διαιρετέος) και δ (διαιρέτης) τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθµοί π (πηλίκο) και υ (υπόλοιπο), έτσι ώστε να ισχύει: ∆= δ · π+υ και υ<δ. υπόλοιπο πηλίκο διαιρέτης ∆ιαιρετέος Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται Ευκλείδεια διαίρεση. Ειδικά όταν υ=0 προκύπτει η ισότητα ∆ = δ · π+0 ή ∆= δ · π , τότε λέµε ότι έχουµε τέλεια διαίρεση. Με τις ισότητες ∆=δ · π+υ ή ∆=δ · π κάνουµε τη δοκιµή της πράξης της διαίρεσης ∆:δ. Κάνουµε τη διαίρεση 53:6. ∆ιαιρετέος υπόλοιπο • • • • • •

53

6 διαιρέτης – 48 8 πηλίκο 5

Πρέπει να ισχύουν: ∆=δ · π+υ και υ<δ. ∆οκιµάζουµε αν αληθεύουν οι σχέσεις: 53=6 · 8+5, ισχύει αφού 6 · 8+5=48+5=53 και 5<6 που επίσης ισχύει.

Κάθε τέλεια διαίρεση είναι και Ευκλείδεια µε υ=0. Το υπόλοιπο πρέπει πάντοτε να είναι µικρότερο από το διαιρέτη. α:α=1 Όταν διαιρετέος και διαιρέτης είναι ίσοι το πηλίκο είναι 1. α:1=α Όταν ο διαιρέτης είναι 1 το πηλίκο είναι ίσο µε το διαιρετέο. 0:α=0 Όταν ο διαιρετέος είναι 0 το πηλίκο είναι 0. α:0 Όταν ο διαιρέτης είναι µηδέν η διαίρεση δεν ορίζεται. (Άρα πρέπει ο διαιρέτης να µην είναι µηδέν). 45 Α.1.4 ΕΥΚΛΕΙ∆ΙΑ ∆ΙΑΙΡΕΣΗ - ∆ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ


Να γίνει η διαίρεση 457:12 µε τη δοκιµή της. 457 12 36.. 3.. ...

2.

∆οκιµή: πρέπει 457=12 · 3..+... και ...<12 12 45..+...=457 x 3… 45..

Να συµπληρώσετε τον πίνακα όπως τα παραδείγµατα. Ισότητα

Ευκλείδεια διαίρεση

∆

δ

π

υ

ΝΑΙ

13

5

2

3

–

–

–

–

13=5 · 2+3

90=7 · 11+13 ΟΧΙ, γιατί το υπόλοιπο είναι 13 και είναι µεγαλύτερο του διαιρέτη 7 ή 11. 54=5 · 6+24 68=4 · 17 105=9 · 11+6 3.

Να συµπληρώσετε τα κενά: 5:5=..... 5: .....=5

..... :5=0

5: ..... δεν ορίζεται.


Να κάνετε τις διαιρέσεις µε τις δοκιµές τους. α) 323:12 β) 10.545:703.


Λύση α) 323 12 – 24 26 83 – 72 11

∆ιαιρετέος διαιρέτης πηλίκο υπόλοιπο

β) 10545 703 – 703 15 3515 – 3515 0

2.

∆ιαιρετέος διαιρέτης πηλίκο υπόλοιπο

∆ =323 δ = 12 π = 26 υ = 11

∆ =10.545 δ = 703 π = 15 υ= 0

∆οκιµή Πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: υ<δ, ισχύει αφού 11<12 και ∆=δ · π+υ ή 323=12 · 26+11. Επαληθεύουµε:12 · 26=312 312+11=323.

∆οκιµή Πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: υ<δ , ισχύει αφού 0<703 και ∆=δ · π+υ ή 10.545=703 · 15. Επαληθεύουµε: 703 · 15=10.545.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα: ∆ιαιρετέος ∆

208

1.943

705

διαιρέτης

δ

16

39

πηλίκο

π

14

υπόλοιπο

υ

6

24

3.018 105

28 78

Λύση α) ∆=208 και δ=16. Κάνουµε τη διαίρεση 208:16. 208 16 –16 13 48 – 48 0

47 Α.1.4 ΕΥΚΛΕΙ∆ΙΑ ∆ΙΑΙΡΕΣΗ - ∆ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

β) ∆=1.943 και δ=39. Κάνουµε τη διαίρεση: 1943 39 –156 49 383 – 351 32 γ) δ=24 , π=14 και υ=6. Ισχύει ότι ∆=δ · π+υ. Αντικαθιστούµε και έχουµε: ∆=24 · 14+6=336+16. ∆ιαιρετέος ∆=352. δ) ∆=705 , π=28. Ισχύει ότι ∆=δ · π+υ ή ∆=π · δ+υ. Κάνουµε τη διαίρεση 705:28. 705 28 –56 25 145 –140 5 ε) α΄ τρόπος: Κάνουµε τη διαίρεση 3.018:105. 3018 105 –210 28 918 – 840 78

β΄ τρόπος: Ισχύει ότι ∆=δ · π+υ. Αντικαθιστούµε και έχουµε 3.018=δ · 105+78. Οπότε 3.018–78=δ · 105 ή 2.940=δ · 105 ή δ=2.940:105=28.


Συµπληρώνουµε τώρα τον πίνακα:

3.

∆ιαιρετέος ∆

208

1.943

352

705

3.018

διαιρέτης

δ

16

39

24

25

105

πηλίκο

π

13

49

14

28

28

υπόλοιπο

υ

0

32

6

5

78

∆ίνονται οι παρακάτω ισότητες: α) 142=11 · 12+10 β) 180=18 · 10 γ) 110=6 · 15+20 δ) 0=5 · 0+0 στ) 42=5 · 7+7 ζ) 287=15 · 18+17. Να βρείτε ποιες από αυτές έχουν προκύψει από Ευκλείδειες διαιρέσεις δικαιολογώντας την απάντησή σας.

Λύση α) Η ισότητα 142=11 · 12+10 είναι ισόΗ ισότητα ∆=δ · π+υ προκύπτει από τητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Ευκλείδεια διαίρεση µόνο όταν 142:11 µε π=12 και υ=10 που είναι υ<δ. µικρότερο του διαιρέτη 11. Μπορεί Επειδή στον πολλαπλασιασµό ισχύει επίσης να θεωρηθεί ως ισότητα της δ · π=π · δ (αντιµεταθετική ιδιότητα) µπορούµε να γράψουµε ∆=π · δ+υ Ευκλείδειας διαίρεσης 142:12 µε µε τον αριθµό π να είναι ο διαιρέπ=11 και υ=10 που είναι µικρότερο της, οπότε ελέγχουµε αν υ<π. του διαιρέτη 12. β) Η ισότητα 180=18 · 10 είναι ισότητα της Ευκλείδειας (και συγκεκριµένα τέλειας) διαίρεσης 180:18 ή 180:10. γ) Η ισότητα 110=6 · 15+20 δεν είναι ισότητα ευκλείδειας διαίρεσης γιατί το υπόλοιπο 20 είναι µεγαλύτερο τόσο από το 6 όσο και από το 15. δ) Η ισότητα 0=5 · 0+0 είναι ισότητα της Ευκλείδειας (τέλειας) διαίρεσης 0:5 µε πηλίκο 0. στ) Η ισότητα 42=5 · 7+7 δεν είναι ισότητα Ευκλείδειας διαίρεσης αφού το υπόλοιπο 7 είναι µεγαλύτερο τόσο από το 5 όσο και από το 7. ζ) Η ισότητα 287=15 · 18+17 γράφεται και ως 287=18 · 15+17 οπότε είναι ισότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης 287:18 µε πηλίκο 15 και υπόλοιπο 17 που είναι µικρότερο του διαιρέτη 18.


4.

Αν ∆ ένας φυσικός αριθµός: α) Να υπολογίσετε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων ∆:5. β) Να βρείτε τους φυσικούς αριθµούς, που όταν διαιρούνται µε το 5, δίνουν πηλίκο 12. γ) Να βρείτε τους φυσικούς αριθµούς, που όταν διαιρούνται µε το 5, δίνουν πηλίκο διπλάσιο του υπολοίπου.

Λύση µε βοήθεια Συµπληρώστε τα κενά α) Πρέπει το υπόλοιπο υ να είναι .............. του διαιρέτη δ=5. Οπότε τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης ∆:5 είναι: υ=0 ή υ=1 ή υ=.... ή υ=.... ή υ=... .

Στην Ευκλείδεια διαίρεση µεταξύ των αριθµών ∆ (∆ιαιρετέος), δ (διαιρέτης), π (πηλίκο) και υ (υπόλοιπο) ισχύουν οι σχέσεις: ∆=δ · π+υ και υ<δ. ∆ηλαδή το υπόλοιπο υ µπορεί να πάρει τις τιµές 0,1,2,3,...δ–1.

β) Αντικαθιστούµε στην ισότητα ∆=δ · π+υ όπου δ=5 και π=12 και συµπληρώνουµε τον πίνακα: ∆

60

62

δ

5

5

π

12

12

υ

0

1

γ) Αντικαθιστούµε στην ισότητα ∆=δ · π+υ όπου δ=5 και µε πηλίκο διπλάσιο του υπολοίπου συµπληρώνουµε τον πίνακα:

5.

∆

0

22

δ

5

5

π=2 · υ

2 · 0=0

2 · 1=2

υ

0

1

5 2 · 2= 2

Να βρείτε τις τιµές των παραστάσεων: α) 54–28+32–50 : 10 β) 3+5 · 2–4 · 2–20 : 5 γ) 25–24 : 8+33 δ) 3 · 12–27 : 9+23 · 5–43 : 24.


33

Λύση Προτεραιότητα των πράξεων όταν δεν υπάρχουν παρενθέσεις: 1) ∆υνάµεις.

α) 54–28+32–50 : 10 50:10=2 =54–28+32–5=26+32–5= =58–5=53.

2) Πολλαπλασιασµοί – ∆ιαιρέσεις µε τη σειρά.

β) 3+5 · 2–4 · 2–20 : 5 5 · 2=10, 4 · 2=8, 20:5=4 =3+10–8–4=13–8–4=5–4=1.

3) Προσθέσεις – Αφαιρέσεις µε τη σειρά.

4 γ) 25–24 : 8+33 23=2 · 2 · 2 · 2=16 =25–16:8+27=25–2+27=23+27=50.

3 =3 · 3 · 3=27

δ) 3 · 12–27 : 9+23 · 5–43 : 24

3

4

2 =2 · 2 · 2=8 , 2 =8 · 2=16 =3 · 12–27 : 9+8 · 5–64:16 3 4 =4 · 4 · 4=64

=36–3+40–4=33+40–4=73–4=69.

6.

Να βρείτε τις τιµές των παραστάσεων: α) (5+4):9+(3 · 6):2 β) (21:3+5):(3+30:10) 2 5 4 γ) (3 · 4 –2 ):2 δ) (132–7 · 42):(33 · 2–35).

Λύση Προτεραιότητα των πράξεων όταν υπάρχουν παρενθέσεις: Πρώτα οι πράξεις µέ- 1) Πρώτα οι πράξεις µέσα στις παα) (5+4):9+(3 · 6):2= =9:9+18:2=1+9=10. σα στις παρενθέσεις: ρενθέσεις. 5+4=9 , 3 · 6=18.

2) Στη συνέχεια οι πράξεις µε τη σειρά που περιγράψαµε πιο πάνω.

β) (21:3+5):(3+30:10)

Μέσα στις παρενθέσεις προηγούνται οι διαιρέσεις 21:3=7 , 30:10=3

=(7+5):(3+3) 7+5=12 , 3+3=6 = 12:6=2.


γ) (3 · 42–25):24

Μέσα στην παρένθεση προηγούνται οι =(3 · 16–32):24 3 · 16=48 2 5 δυνάµεις 4 =4 · 4=16 , 2 =2 · 2 · 2 · 2 · 2=32.

4 4 =(48–32):2 48–32=16 =16:2 24=16 =16:16=1.

δ) (132–7 · 42):(33 · 2–35) 132=13 · 13=169 , 42=4 · 4=16 και 33=3 · 3 · 3=27 =(169–7 · 16):(27 · 2–35) 7 · 16=112 , 27 · 2=54 =(169–112):(54–35) 169–112=57 , 54–35=19

7.

= 57:19=3.

Αν α=20, β=57, γ=3, δ=17 και ε=14, να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α) (α–β:γ) · (α–γ–ε) β) (α+ε):δ+(β–δ):(γ+δ)+γ3:(δ–ε).

Λύση α) (α–β:γ) · (α–γ–ε)=(20–57:3) · (20–3–14)=(20–19) · (17–14)=1 · 3=3. β) (α+ε):δ+(β–δ):(γ+δ)+γ3:(δ–ε)= =(20+14):17+(57–17):(3+17)+33:(17–14)= =34:17+40:20+27:3= =2+2+9=13.


Να κάνετε τις διαιρέσεις µε τις δοκιµές τους. α) 192:12 β) 3.047:23 γ) 17.140:89.

2.

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω ισότητες έχουν προκύψει από Ευκλείδειες διαιρέσεις και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α) 33=5 · 6+3 β) 42=5 · 7+7 γ) 60=30 · 2 δ) 71=9 · 7+8 στ) 0=19 · 0+0 ζ) 28=5 · 6–2. ε) 20=2 · 9+2


3.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα: ∆ιαιρετέος ∆

28

διαιρέτης

δ

3

πηλίκο υπόλοιπο

135 9

21

π

8

11

12

υ

7

0

3

4.

α) Να βρείτε τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης ενός φυσικού αριθµού µε το 4. β) Αν γνωρίζουµε επιπλέον ότι το πηλίκο είναι το 12 ποιες τιµές µπορεί να πάρει ο ∆ιαιρετέος;

5.

Να σηµειώσετε τη θέση των παρενθέσεων µια φορά ώστε να ισχύουν οι ισότητες: 0:7–5–1=0 5+7:4–3=0 9+7–4:4=3 2 · 4 –4:4=1 2 · 4 – 4 : 4 = 7.

6.

Να αντιστοιχίσετε τις παραστάσεις της στήλης Α µε τις τιµές τους στη στήλη Β. ΣΤΗΛΗ Α 3 · 2+12–8:2 3 · (2+12)–8:2 3 · 2+(12–8):2 (3 · 2+12–8):2 3 · (2+12–8):2

7.

8.

ΣΤΗΛΗ Β • • • • •

•5 •8 •9 • 14 • 38


β

γ

6

4

2

12

6

3

(α+β):γ

(α · β):γ

α:(β:γ)

Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α) 10–48:6+12 · 6–120:10 β) 35:5+23 · 5–43:16 γ) 52–(22+32)+(5+2–3)2:4 δ) (24 · 10):10+(24–10)2:(33–4 · 5). 53 Α.1.4 ΕΥΚΛΕΙ∆ΙΑ ∆ΙΑΙΡΕΣΗ - ∆ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

9.

10.

Αν α=5, β=3 και γ=2 να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α) (α+β):γ–β β) (α+β+γ)2:(β+γ) 2 2 δ) (α · γ)3–(α+β)2:γ5. γ) α · (β+γ) –α :(β+γ) Να συµπληρώσετε το σταυρόλεξο χρησιµοποιώντας οριζόντια και κάθετα τις τιµές των αριθµητικών παραστάσεων που δίνονται πιο κάτω. 1

2

3

1

5

2

5

2

2

3

1

4

8

4

5

6

7

8

5 6 7 8 Οριζόντια 1α) 54–102=525 1β) (2 · 102+5 · 32):7 2) 2 · 103+4 · 102+1 · 10+7 3α) (172:4) · 4 3β) 26 4) 17 · (20–2 · 5) 5α) 102+110 5β) 32 · 61 6α) (87 · 100):100 7) 30360:10 8α) 36 8β) (182–50):2

11.

Κάθετα 1α) 10436:2=5218 1β) 43+34+26+43+54 2) (122–8):8 3α) 156630:3 3β) 73:71 4) (103+430):2 5α) 310.000:102 5β) 760–225 6α) (1+2+3+4+5+6+7) · 2+1 6β) (72+12) · 11 7α) 3420:5 7β) (62 · 6):6 8α) 3210:15 8β) 32+42+52+24

Να συµπληρώσετε τα ώστε να ισχύουν οι ισότητες: 12:2 · =18 1+72:=10 64: · 2=8 2+:6=4 :4 · 11=55 36:+5 · 2=14 14 · :8=7 :3–15:5=6.


Α.1.5

Χαρακτήρες διαιρετότητας Μ.Κ.∆. - Ε.Κ.Π. - Ανάλυση αριθµού σε γινόµενο πρώτων παραγόντων

Τα πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθµού είναι τα γινόµενα που προκύπτουν πολλαπλασιάζοντας τον αριθµό αυτόν µε όλους τους άλλους φυσικούς αριθµούς. • Τα πολλαπλάσια του 3 είναι: 0 · 3=0 , 1 · 3=3 , 2 · 3=6 , 3 · 3=9 , 4 · 3=12 , …. . • Τα πολλαπλάσια του α προκύπτουν όταν πολλαπλασιάσουµε το α µε το 0, 1, 2, 3, 4, .... και είναι: 0 · α , 1 · α , 2 · α , 3 · α , 4 · α , …. . Κάθε φυσικός αριθµός που διαιρείται από έναν άλλον είναι πολλαπλάσιό του, δηλαδή αν α διαιρεί το β (είναι διαιρέτης του β) τότε το β είναι πολλαπλάσιο του α. διαιρέτης πολλαπλάσιο α β τότε β α Ο αριθµός 5 είναι διαιρέτης του 15 (ή αλλιώς λέµε ότι το 5 διαιρεί το 15) αφού 15:5=3. Τότε όµως ισχύει η ισότητα 15=5 · 3, εποµένως το 15 είναι πολλαπλάσιο του 5. Κάθε φυσικός αριθµός διαιρεί τα πολλαπλάσιά του. • Τα πολλαπλάσια του 3 είναι το 0, 3 ,6, 9, ... . Το 3 είναι διαιρέτης του 0 επειδή 0:3=0, είναι διαιρέτης του 3 επειδή 3:3=1, είναι διαιρέτης του 6 επειδή 6:3=2 κτλ. Αν ένας φυσικός αριθµός διαιρεί έναν άλλον, τότε θα διαιρεί και τα πολλαπλάσιά του. • Το 2 διαιρεί το 4 αφού το 4 είναι πολλαπλάσιο του 2. Τότε το 2 θα διαιρεί κάθε πολλαπλάσιο του 4 (δηλαδή τους αριθµούς 0,4,8,12,16,...). Πρώτος λέγεται ο φυσικός αριθµός που διαιρείται µόνο από το 1 και τον εαυτό του. Κάθε αριθµός που δεν είναι πρώτος, έχει δηλαδή και άλλους διαιρέτες λέγεται σύνθετος. • Ο αριθµός 17 είναι πρώτος γιατί µοναδικοί του διαιρέτες είναι το 1 και το 17. Πρώτοι είναι και οι αριθµοί 2, 5, 19, 101 κτλ. . • Ο αριθµός 24 είναι σύνθετος γιατί εκτός από το 1 και το 24 διαιρείται ακόµη από το 2 , το 3 , το 4 , το 6 , το 8 και το 12. Σύνθετοι είναι και οι αριθµοί 4, 6, 80, 453 κτλ. .

Α.1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ∆ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ - Μ.Κ.∆. - Ε.Κ.Π. – ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ

55

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσοτέρων αριθµών είναι το µικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια των αριθµών. Το ΕΚΠ δεν µπορεί να είναι µηδέν. Μέγιστος Κοινός ∆ιαιρέτης (ΜΚ∆) δύο ή περισσοτέρων αριθµών είναι ο µεγαλύτερος από τους κοινούς τους διαιρέτες. Αν ο ΜΚ∆ δύο αριθµών είναι το 1 οι αριθµοί αυτοί λέγονται πρώτοι µεταξύ τους. • Τα πολλαπλάσια του 4 είναι: 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,... . Τα πολλαπλάσια του 6 είναι: 0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,... . Τα κοινά πολλαπλάσια των αριθµών 4 και 6 είναι: 0,12,24,36,48,... . Από αυτά το ΕΚΠ(4,6) είναι το 12. • Οι διαιρέτες του 4 είναι: 1,2,4. Οι διαιρέτες του 6 είναι: 1,2,3,6. Οι κοινοί διαιρέτες του 4 και του 6 είναι: 1,2. Ο ΜΚ∆(4,6) είναι το 2. • Οι αριθµοί 3 και 7 είναι πρώτοι µεταξύ τους αφού ΜΚ∆(3,7)=1.

Κριτήρια ∆ιαιρετότητας µε το 2,3,4,5,9,10 ή 25 • Ένας αριθµός διαιρείται µε το 2 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0,2,4,6,8 (είναι δηλαδή άρτιος). • Ένας αριθµός διαιρείται µε το 3 αν το άθροισµα των ψηφίων του διαιρείται µε το 3. • Ένας αριθµός διαιρείται µε το 4 αν τα δύο τελευταία ψηφία του σχηµατίζουν αριθµό που διαιρείται µε το 4. • Ένας αριθµός διαιρείται µε το 5 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0 ή 5. • Ένας αριθµός διαιρείται µε το 9 αν το άθροισµα των ψηφίων του διαιρείται µε το 9. • Ένας αριθµός διαιρείται µε το 10 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0. • Ένας αριθµός διαιρείται µε το 25 αν τα δύο τελευταία ψηφία του σχηµατίζουν αριθµό που διαιρείται µε το 25. • Το 19.038 διαιρείται µε το 2 γιατί το τελευταίο ψηφίο του είναι 8. • Το 222 διαιρείται µε το 3 γιατί το άθροισµα των ψηφίων του 2+2+2=6 διαιρείται µε το 3. 56 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

• Το 9.016 διαιρείται µε το 4 γιατί τα δύο τελευταία ψηφία του σχηµατίζουν τον αριθµό 16 που διαιρείται µε το 4. • Το 98.330 διαιρείται µε το 5 γιατί το τελευταίο ψηφίο του είναι 0. • Το 504 διαιρείται µε το 9 γιατί το άθροισµα των ψηφίων του 5+0+4=9 διαιρείται µε το 9. • Το 19.700 διαιρείται µε το 10 γιατί το τελευταίο ψηφίο του είναι 0. • Το 775 διαιρείται µε το 25 γιατί τα δύο τελευταία ψηφία του σχηµατίζουν αριθµό 75 που διαιρείται µε το 25.


Να συµπληρώσετε τα κενά στη στήλη Β µε τις κατάλληλες λέξεις από τη στήλη Α. • • • • •

2.

ΣΤΗΛΗ Α

ΣΤΗΛΗ Β

µονάδα πρώτοι πολλαπλάσιο σύνθετοι διαιρεί

Οι φυσικοί αριθµοί που εκτός από τη µονάδα και τον εαυτό τους έχουν και άλλους διαιρέτες λέγονται ......................... ενώ αυτοί που διαιρούνται µόνο από τη µονάδα και τον εαυτό τους λέγονται ............................ . ∆ύο αριθµοί που έχουν Μέγιστο κοινό διαιρέτη τη .................... λέγονται πρώτοι µεταξύ τους. Κάθε φυσικός αριθµός ...................... τα πολλαπλάσιά του και κάθε φυσικός αριθµός που διαιρείται από έναν άλλον είναι ............................... του.

Να επιλέξετε Σ για κάθε σωστή απάντηση και Λ για κάθε λανθασµένη. • • • • • • •

Το 5 είναι διαιρέτης του 35. Το 35 είναι πολλαπλάσιο του 5. Το 12 διαιρεί το 30. Το 2 είναι ο µοναδικός άρτιος και πρώτος αριθµός. Όλοι οι περιττοί αριθµοί είναι και πρώτοι. Οι αριθµοί 24 και 15 είναι πρώτοι µεταξύ τους. Το 0 είναι κοινό πολλαπλάσιο όλων των αριθµών.


Σ

Λ 57

• Το 0 είναι διαιρέτης κάθε αριθµού. • ΕΚΠ(6,8)=12. • ΜΚ∆(8,12)=4. 3.

Να συµπληρώσετε τους πίνακες: Αριθµός

∆ιαιρέτες

Αριθµός

42

9

37

20

Πολλαπλάσια

4.

Από τους αριθµούς: 9, 12, 21, 39, 45, 97, 100, 101, 111 να βρείτε ποιοι είναι πρώτοι και ποιοι είναι σύνθετοι.

5.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα όπως το παράδειγµα. Φυσικός αριθµός ∆ιαιρέτες

24

2

ΝΑΙ

3

ΝΑΙ

4

ΝΑΙ

5

ΟΧΙ

9

ΟΧΙ

95

132

540

3.024

8.000

10.020


Να βρείτε τους αριθµούς που παριστάνουν τα γινόµενα: α) 23 · 32 · 5 · 7 β) 33 · 52 · 11.

Λύση 3

2.

2

α) 2 · 3 · 5 · 7=8 · 9 · 5 · 7=2.520 β) 3 · 52 · 11=27 · 25 · 11=7.425. Να αναλύσετε τους αριθµούς 72 , 400 και 1.760 σε γινόµενο πρώτων παραγόντων. Στη συνέχεια να βρείτε το ΕΚΠ και το ΜΚ∆ των αριθµών αυτών.


3

Λύση 72 36 18 9 3 1

2 2 2 3 3

72=23 · 32

400 200 100 50 25 5 1

2 2 2 2 5 5

400=24 · 52

1760 880 440 220 110 55 11 1

2 2 2 2 2 5 11

Για να αναλύσουµε ένα σύνθετο αριθµό σε γινόµενο πρώτων παραγόντων διαιρούµε διαδοχικά τον αριθµό µε όλους τους πρώτους διαιρέτες του µέχρι να προκύψει υπόλοιπο 1. Όταν οι διαιρέτες αυτοί εµφανίζονται περισσότερες από µία φορά, τότε γράφονται µε τη µορφή δύναµης.

1.760=25 · 5 · 11 Το ΕΚΠ δύο ή περισσοτέρων αριθµών, που έχουν αναλυθεί σε γινόµενο πρώτων

παραγόντων, είναι το γινόµενο των κοινών ΕΚΠ(72,400,1.760)= 25 · 52 · 32 · 11= = 32 · 25 · 9 · 11=79.200. και µη κοινών παραγόντων τους που έχουν επιλεγεί µία φορά, µε το µεγαλύτερο εκθέτη.

72=23 · 32

400=24 · 52

1.760=25 · 5 · 11 Ο ΜΚ∆ δύο ή περισσοτέρων αριθµών, που έχουν αναλυθεί σε γινόµενο πρώτων παραγόντων, είναι το γινόµενο των κοινών

ΜΚ∆(72,400,1.760)= 23 = 8.

3.

µόνο παραγόντων τους που έχουν επιλεγεί µία φορά, µε το µικρότερο εκθέτη.

Να γράψετε: α) Τα πολλαπλάσια των αριθµών 9, 12 και 18. β) Τα κοινά πολλαπλάσια των αριθµών 9, 12 και 18. γ) Το ΕΚΠ(9,12,18).

Λύση α) Τα πολλαπλάσια του 9 είναι: 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, ... Τα πολλαπλάσια του 12 είναι: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, ... .


59

Τα πολλαπλάσια του 18 είναι: 0, 18, 36, 54, 72, 90, ... . β) Τα κοινά πολλαπλάσια των 9,12, 18 είναι: 0, 36, 72, 108, ... . γ) Το ΕΚΠ(9,12,18)=36.

4.

Να συµπληρώσετε τα µε τα κατάλληλα ψηφία ώστε να αληθεύουν οι παρακάτω ισχυρισµοί: α) 2.0 διαιρείται συγχρόνως µε το 2 και το 3. β) 4.3 διαιρείται συγχρόνως µε το 2, το 3 και το 5. γ) 7.2 διαιρείται συγχρόνως µε το 2, το 3, το 4, το 5 , το 9 και το 10.

Λύση α) Ο αριθµός 2.0 διαιρείται συγχρόνως µε το 2 και το 3 όταν είναι άρτιος και το άθροισµα των ψηφίων του διαιρείται µε το 3. Τέτοιοι αριθµοί είναι οι 2.010, 2.016, 2.034, 2.058, 2.070 κτλ. . β) Ο αριθµός 4.3 διαιρείται συγχρόνως µε το 2 και το 5 όταν το τελευταίο ψηφίο του είναι το 0 και διαιρείται µε το 3 όταν το άθροισµα των ψηφίων του διαιρείται µε το 3. Εποµένως οι αριθµοί αυτοί είναι οι 4.230, 4.530 και 4.830. γ) Ο αριθµός 7.2 διαιρείται συγχρόνως µε το 2, το 5 και το 10 όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι το 0, οπότε τότε θα διαιρείται και µε το 4 αφού τα δύο τελευταία του ψηφία θα σχηµατίζουν τον αριθµό 20 που διαιρείται µε το 4. Για να διαιρείται ο αριθµός 7.2 µε το 3 και το 9 αρκεί να διαιρείται µε το 9 δηλαδή να έχει άθροισµα ψηφίων που διαιρείται µε 9, όπως οι αριθµοί 70.020, 70.920, 71.820, 79.920, κτλ.

5.

Αν ο ΜΚ∆(34,x,170)=17, να βρείτε τον αριθµό x αν γνωρίζετε ότι αυτός περιέχεται µεταξύ των αριθµών 60 και 70.

Λύση µε βοήθεια Συµπληρώστε τα κενά Επειδή το 17 ως ΜΚ∆ είναι διαιρέτης των αριθµών 34, ..... και ...... οι αριθµοί αυτοί είναι .............................. του 17. Οπότε και το x είναι ............................... του 17. 60 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

∆ηλαδή x είναι ένας από τους αριθµούς 0, 17, 34, ..... , ....., 85, κτλ. Παρατηρούµε ότι αυτός που περιέχεται µεταξύ των 60 και 70 είναι ο αριθµός ..... . Άρα x=..... .

6.

∆ύο αριθµοί έχουν ΜΚ∆ το 15. Έχουν και άλλους κοινούς διαιρέτες; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Λύση Το 15 διαιρεί τους δύο αριθµούς ή αλλιώς οι αριθµοί αυτοί είναι πολλαπλάσια του 15 που µε τη σειρά του είναι πολλαπλάσιο του 1, του 3, του 5 και του 15. Εποµένως και οι αριθµοί αυτοί είναι πολλαπλάσια των 1, 3, 5 και 15 ή οι 1,3,5 και 15 είναι κοινοί διαιρέτες των αριθµών αυτών.

7.

∆ύο αριθµοί α και β έχουν ΕΚΠ(α,β)=23 · 32 · 5 και ΜΚ∆(α,β)=22 · 32. Να βρείτε τους αριθµούς α και β.

Λύση Οι δυνατές περιπτώσεις είναι: α 2

β

2

3

2

2 · 3 =36

2 · 3 · 5=360

22 · 32 · 5=180

23 · 32=72

• Ο ΜΚ∆ είναι το γινόµενο µόνο των κοινών παραγόντων. Οπότε το 5 δε θα είναι και στους δύο αριθµούς. 2 • Αντίθετα το 3 θα είναι και στους δύο αριθµούς. 2 3 • Το 2 θα υπάρχει στον ένα και το 2 στον άλλον 2 έτσι ώστε το 2 να εµφανίζεται στον ΜΚ∆ ως κοινός παράγοντας µε το µικρότερο εκθέτη και 3 το 2 στο ΕΚΠ ως κοινός παράγοντας µε το µεγαλύτερο εκθέτη.

Άρα οι αριθµοί αυτοί θα είναι 36 και 360 ή 72 και 180.

8.

Να δείξετε ότι οι αριθµοί 9 · α , 9 · α+18 , 81 · α+9 · β διαιρούνται µε το 9.


61

Λύση

• Ο αριθµός 9 · α είναι πολλαπλάσιο του 9 εποµένως διαιρείται µε το 9. • Ο αριθµός 9 · α+18 γράφεται 9 · α+9 · 2 Επιµεριστική ιδιότητα µε κοινό παράγοντα το 9.

=9 · (α+2) που είναι πολλαπλάσιο του 9 και άρα διαιρείται µε το 9. • Ο αριθµός 81 · α+9 · β γράφεται 9 · (9α)+9 · β=9 · (9α+β) που είναι πολλαπλάσιο του 9 και άρα διαιρείται µε το 9.


Να κυκλώσετε τους αριθµούς που διαιρούνται: α) µε το 2: 38, 57, 96, 119, 208, 234, 556, 910. β) µε το 3: 75, 111, 135, 320, 430, 702, 813, 903. γ) µε το 4: 124, 336, 528, 557, 632, 642, 864, 912. δ) µε το 5: 45, 86, 100, 305, 558, 635, 800, 820. ε) µε το 9: 34, 108, 513, 602, 702, 793, 801, 998. στ) µε το 2, το 3 και το 9: 99, 110, 150, 252, 450, 504, 600, 704. ζ) µε το 4, το 5 και το 9: 305, 324, 540, 620, 720, 815, 900, 932.

2.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: α) Ένας αριθµός που διαιρείται µε το 9, διαιρείται πάντοτε και µε το: Α. 2 Β. 3 Γ. 5 β) Ο αριθµός 224 διαιρείται µε το 4 γιατί: Α. Είναι άρτιος. Β. Το άθροισµα των ψηφίων του 2+2+4=8 είναι αριθµός που διαιρείται µε το 4. Γ. Τα δύο τελευταία ψηφία του σχηµατίζουν τον αριθµό 24 που διαιρείται µε το 4. γ) Αν το α είναι πολλαπλάσιο του β, τότε: Α. Το β διαιρεί το α Β. Το α διαιρεί το β Γ. Και το β είναι πολλαπλάσιο του α δ) Το µηδέν είναι: Α. ∆ιαιρέτης κάθε αριθµού. Β. Πολλαπλάσιο µόνο των αριθµών που το τελευταίο ψηφίο τους είναι 0. Γ. Κοινό πολλαπλάσιο όλων των αριθµών αλλά όχι ΕΚΠ τους.


ε) Αν α είναι πολλαπλάσιο του β, τότε το ΕΚΠ(α,β) είναι ίσο µε: Α. α Β. β Γ. α · β στ) Το ΕΚΠ(6,8) είναι: Α. 8 Β. 24 Γ. 48 ε) Ο ΜΚ∆(0,12) ισούται µε: Α. 0 Β. 1 Γ. 12 ζ) Ο ΜΚ∆ δύο πρώτων αριθµών είναι: Α. 0 Β. 1 Γ. το γινόµενο των δύο αριθµών η) Ο αριθµός 720 γράφεται ως γινόµενο πρώτων παραγόντων: Α. 22 · 32 · 52 Β. 23 · 32 · 5 Γ. 24 · 32 · 5 3.

Να γράψετε: α) Τους διαιρέτες των αριθµών 12, 36 και 40. β) Τους κοινούς διαιρέτες των αριθµών αυτών. γ) Τον ΜΚ∆(12,36,40).

4.

∆ύο αριθµοί έχουν ΜΚ∆ το 18. Να δικαιολογήσετε ότι έχουν και άλλους κοινούς διαιρέτες.

5.

Να αναλύσετε τους αριθµούς 72 και 120 σε γινόµενο πρώτων παραγόντων. Στη συνέχεια να βρείτε το ΕΚΠ(72,120) και τον ΜΚ∆(72,120).

6.

Να βρείτε τις τιµές των παραστάσεων: α=42–5 · 2 , β=(5 · 6+3 · 7–2 · 3):3 και γ=(12–11)3+(12–10)3+(12–9)3. Στη συνέχεια για τις τιµές που βρήκατε να υπολογίσετε το ΕΚΠ(α,β,γ) και τον ΜΚ∆ (α,β,γ).

7.

Να βρείτε τους αριθµούς α =ΕΚΠ(10,12,40) και β =ΜΚ∆(12,30,36). Στη συνέχεια να αντικαταστήσετε τους αριθµούς που βρήκατε στην παράσταση α:β+(α–10 · β)2 και να κάνετε τις πράξεις.

8.

Να δείξετε ότι οι αριθµοί 5 · α , 5 · α+10 , 5 · α+5 · β διαιρούνται µε το 5.


63

Α.2.1

Η έννοια του κλάσµατος

Όταν από τα ν ίσα µέρη ενός µεγέθους πάρουµε τα λ γράφουµε το συµβολισµό

λ ν

που είναι ένα κλάσµα και διαβάζεται «λάµδα νιοστά». Ο αριθµός λ ονοµάζεται αριθµητής του κλάσµατος ενώ ο αριθµός ν παρονοµαστής. Ο αριθµητής και ο παρονοµαστής είναι οι όροι του κλάσµατος. κλάσµα

κλασµατική γραµµή

λ ν

αριθµητής παρονοµαστής

όροι του κλάσµατος

• Ο παρονοµαστής στο κλάσµα δηλώνει σε πόσα ίσα µέρη έχουµε χωρίσει ένα µέγεθος. • Ο αριθµητής στο κλάσµα δηλώνει πόσα από τα ίσα µέρη πήραµε. λ • Σε κάθε κλάσµα ο παρονοµαστής ν δεν µπορεί να είναι µηδέν, δηλαδή πρέπει ν ν ≠0. • Όταν ο αριθµητής ενός κλάσµατος είναι µηδέν το κλάσµα είναι ίσο µε µηδέν δηλα0 δή = 0 . ν • Όταν οι όροι ενός κλάσµατος είναι ίσοι το κλάσµα παριστάνει ολόκληρο το µέγεν θος και ισούται µε 1, δηλαδή = 1. ν • Όταν ο παρονοµαστής ενός κλάσµατος είναι 1 το κλάσµα είναι ίσο µε τον αριθµητή λ του, δηλαδή = λ . 1 65 Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

∆ιαβάζοντας αντίστροφα αυτή την ισότητα έχουµε λ =

λ , δηλαδή κάθε φυσικός α1

ριθµός γράφεται σαν κλάσµα µε αριθµητή τον αριθµό αυτό και παρονοµαστή το 1. Όταν γνωρίζουµε ένα µέρος λ ενός µεγέθους ν και ζητάµε ολόκληρο το µέγεθος ή ένα άλλο µέρος (µικρότερο ή µεγαλύτερο) του µεγέθους τότε εφαρµόζουµε τη µέθο1 δο της αναγωγής στη µονάδα , δηλαδή βρίσκουµε πρώτα το κλάσµα και στη συν ν νέχεια ολόκληρο το µέγεθος = 1 ή το ζητούµενο µέρος του µεγέθους. ν


Να συµπληρώσετε τον πίνακα ώστε στη στήλη Α να υπάρχει ένα χρωµατισµένο µέρος του σχήµατος, στη στήλη Β το κλάσµα που εκφράζει το χρωµατισµένο µέρος του σχήµατος και στη στήλη Γ το λευκό µέρος του σχήµατος. ΣΤΗΛΗ Α

ΣΤΗΛΗ Β

3 8


ΣΤΗΛΗ Γ

2.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα: κλάσµα 3 7

αριθµητής

παρονοµαστής

7

5

8 ....

12

3.

Να συµπληρώσετε τα κενά: 4 • Το κλάσµα ορίζεται όταν β ≠ ..... . β 6 9 0 .... − 6 3 ⋅ .... • = ..... , =9 , = ….. , =0 , = 1. 6 8 − ..... 7 5 9

4.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: α) Ποιο κλάσµα είναι τα 10 αγόρια σε µια τάξη µε 23 µαθητές; 10 23 13 Α. Β. Γ. 23 10 23 1 β) Το του ενός κιλού είναι: 5 Α. 100 γραµµάρια Β. 200 γραµµάρια Γ. 300 γραµµάρια 3 γ) Τα των 100 ευρώ είναι: 5 Α. 30 ευρώ

Β. 50 ευρώ

Γ. 60 ευρώ


Να βρείτε: 2 α) Τα του διπλανού ευθυγράµµου τµήµατος. 3

67 Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

β) Τα

7 του διπλανού ορθογωνίου. 4

7 του 1 κιλού. 20 3 δ) Πόσα εκατοστά είναι τα του 1 µέτρου. 10 1 ε) Πόσα λεπτά είναι το των 2 ευρώ. 5 5 στ) Πόσα λεπτά είναι τα της ώρας. 6

γ) Πόσα γραµµάρια είναι τα

Λύση α) Χωρίζουµε το τµήµα σε τρία ίσα µέρη και επιλέγουµε δύο από αυτά: 1 1 1 3 3 3 2 3

β) Χωρίζουµε το ορθογώνιο σε 4 ίσα µέρη ώστε το καθένα να εκφράζει το

1 4

του σχήµατος:

= 4 =1 4

7 . 4

3 4 1 γ) Το 1 κιλό είναι 1000 γραµµάρια. Το των 1000 γραµµαρίων είναι 20 7 1000:20=50 γραµµάρια. Τα των 1000 γραµµαρίων είναι 7 · 50=350 20

γραµµάρια.


και

Λύση µε βοήθεια Συµπληρώστε τα κενά δ) Το 1 µέτρο είναι ........ εκατοστά. Το

1 των ......... εκατοστών είναι 10

........ : 10 = ......... εκατοστά. 3 Τα εποµένως του µέτρου είναι 3 · ...... = ...... εκατοστά. 10 ε) Κάθε ευρώ είναι 100 λεπτά. Τα δύο ευρώ είναι ....... λεπτά. Το

1 των ........ 5

λεπτών είναι ....... : ..... = ........ λεπτά. 1 στ) Η µία ώρα είναι 60 λεπτά. Το των 60 λεπτών είναι ..... : ..... = ..... . ..... 5 Οπότε τα της ώρας είναι ..... · ..... = ..... λεπτά. 6

2.

Να βρείτε ποια κλάσµατα εκφράζουν: α) Οι τρεις πρώτες ηµέρες της εβδοµάδας. β) Τα 34 εκατοστά του 1 µέτρου. γ) Τα 34 εκατοστά των 2 µέτρων. δ) Τα αγόρια σε µία τάξη µε 11 αγόρια και 14 κορίτσια. ε) Τα κορίτσια στην ίδια τάξη. στ) Η έκπτωση 12 ευρώ σ’ ένα είδος που αρχικά κόστιζε 95 ευρώ.

Λύση α) Η εβδοµάδα έχει επτά ηµέρες, οπότε το ζητούµενο κλάσµα είναι το

3 . 7

34 . 100 34 Τα 2 µέτρα έχουν 200 εκατοστά, οπότε παίρνουµε το κλάσµα . 200 11 Συνολικά η τάξη έχει 11+14=25 µαθητές. Τα 11 αγόρια είναι τα της τάξης. 25 14 Τα κορίτσια είναι τα της τάξης. 25 12 Η έκπτωση είναι της αρχικής τιµής. 95

β) Το 1 µέτρο έχει 100 εκατοστά, οπότε παίρνουµε το κλάσµα γ) δ) ε) στ)


3.

Τα

3 µιας διαδροµής είναι 12 χιλιόµετρα. 5

α) Πόσα χιλιόµετρα είναι ολόκληρη η διαδροµή; 4 β) Πόσα χιλιόµετρα είναι τα της διαδροµής; 5

Λύση

α) Το

1 της διαδροµής είναι 12:3=4 χιλιόµετρα. 5

Ολόκληρη η διαδροµή εκφράζεται µε το κλάσµα

5 που είναι 5 φορές τα 4 5

χιλιόµετρα, δηλαδή 5 · 4=20 χιλιόµετρα. 4 β) Για να βρούµε τα της διαδροµής υπολογίζουµε το γινόµενο 4 · 4=16 χι5 λιόµετρα.

4.

Ένα κατάστηµα κάνει σε όλα τα είδη του έκπτωση ίση µε το

1 της αρχικής 5

αξίας τους. Πληρώσαµε για την αγορά ενός προϊόντος 80 ευρώ. α) Από ποιο κλάσµα εκφράζεται η τιµή για την αγορά του; β) Πόσα ευρώ ήταν η έκπτωση; γ) Πόση ήταν η αρχική αξία χωρίς την έκπτωση;

Λύση

5 1 και επειδή η έκπτωση είναι το , η τιµή 5 5 4 για την αγορά εκφράζεται από το κλάσµα . 5 4 1 β) Αφού τα είναι 80 ευρώ, το είναι 80:4=20 ευρώ. Εποµένως η έκπτωση 5 5

α) Η αρχική τιµή ισοδυναµεί µε τα

ήταν 20 ευρώ. γ) Η αρχική αξία υπολογίζεται αν προσθέσουµε στην τιµή αγοράς την έκπτωση, δηλαδή 80+20=100 ευρώ.


5.

Από 225 ευρώ ξοδέψαµε τα

2 2 και από τα υπόλοιπα ξοδέψαµε τα . Πόσα 3 15

χρήµατα µας περίσσεψαν;

Λύση Επειδή ολόκληρο το ποσόν που είχαµε είναι τα

3 1 , το είναι 225:3=75 ευρώ. 3 3

2 εποµένως που αρχικά ξοδέψαµε είναι 2 · 75=150 ευρώ. 3 1 2 των 150 ευρώ είναι 150:15=10 ευρώ και τα είναι 2 · 10=20 ευρώ. Το 15 15

Τα

Συνολικά ξοδέψαµε 150+20=170 ευρώ. Τελικά µας περίσσεψαν 225–170=55 ευρώ.


Να συµπληρώσετε τον πίνακα γράφοντας στη στήλη Β τον χαρακτηρισµό Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Όπου βάζετε Λ, να συµπληρώνετε και τη στήλη Γ γράφοντας τη σωστή απάντηση, όπως το παράδειγµα.

1.

2.

ΣΤΗΛΗ Α

ΣΤΗΛΗ Β

ΣΤΗΛΗ Γ

Τα φωνήεντα στη λέξη ΜΑΘΗΜΑΤΙ10 ΚΑ είναι το κλάσµα . 5

Λ

5 10

Το χρωµατισµένο µέρος του σχήµα1 τος είναι το κλάσµα . 2


3.

5 Γ∆= ΑΒ 4

4.

Τα 15 εκατοστά των 2 µέτρων είναι το 15 . κλάσµα 2

5.

Οι 5 ώρες µιας ηµέρας είναι το 5 κλάσµα . 24 9 Τα της ώρας είναι περισσότερο 7

6.

7. 8. 9. 10.

από 60 λεπτά. 3 Τα του κιλού είναι 230 γραµµάρια. 10 4 Τα του αριθµού 21 είναι το 12. 7 5 =0. 0 0 2 2 + + =2. 2 1 2

2.

Να σηµειώσετε κάθε φορά τη θέση του σηµείου Σ στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ, αν γνωρίζεται ότι: 4 3 11 α) ΑΣ= ΑΒ β) ΑΣ= ΑΒ γ) ΑΣ= ΑΒ. 8 4 8

3.

Να βρείτε ποιο µέρος είναι τα 15 εκατοστά: α) του 1 µέτρου β) των 5 µέτρων γ) του 1 χιλιοµέτρου.

4.

Να βρείτε πόσα γραµµάρια είναι: 1 1 3 α) το του 1 κιλού β) το των 3 κιλών γ) τα των 4 κιλών. 4 4 10


5.

Μια ποδοσφαιρική οµάδα παίζει συνολικά σε 30 αγώνες στο πρωτάθληµα. Αν 3 των αγώνων και έχει πάρει 3 ισοπαλίες να γνωρίζουµε ότι έχει χάσει στα 10 βρείτε σε πόσους αγώνες έχει νικήσει.

6.

Μια έκταση 1.200 τετραγωνικών µέτρων µοιράστηκε σε 3 αδέλφια. Ο πρώτος 1 2 πήρε το , ο δεύτερος τα από αυτό που πήρε ο πρώτος και ο τρίτος το υπό3 5 λοιπο. α) Να βρείτε πόσα τετραγωνικά µέτρα πήρε ο καθένας. β) Να γράψετε µε κλάσµα το µέρος που πήρε ο τρίτος.

7.

Ένας έµπορος πούλησε εµπόρευµα 3.600 κιλών ως εξής: 1 7 Το προς 1 ευρώ το κιλό, τα προς 2 ευρώ το κιλό και το υπόλοιπο προς 3 36 10 ευρώ το κιλό. Πόσα χρήµατα εισέπραξε συνολικά;

8.

Από ένα βιβλίο διαβάσαµε τα

3 των σελίδων του που είναι 36 σελίδες. 7

Να βρείτε: α) Πόσες σελίδες δε διαβάσαµε. β) Ποιο µέρος των σελίδων του βιβλίου δε διαβάσαµε. 9.

Τα

4 ενός αριθµού είναι το 28. 9

α) Ποιος είναι ο αριθµός; β) Πόσα είναι τα

10.

Τα

2 του αριθµού; 7

2 των µαθητών µιας τάξης είναι αγόρια. Πόσα κορίτσια έχει η τάξη αν τα 5

αγόρια είναι 10;


Ισοδύναµα

Α.2.2

κλάσµατα

α γ , λέγονται ισοδύναµα ή ίσα όταν εκφράζουν το ίδιο µέρος ενός β δ α γ µεγέθους. Γράφουµε τότε = . β δ α γ Για να ελέγξουµε αν τα κλάσµατα , είναι ισοδύναµα αρκεί να ελέγξουµε αν τα β δ ∆ύο κλάσµατα

γινόµενα α · δ και β · γ είναι ίσα. ∆ηλαδή βρίσκουµε χιαστί τα γινόµενα

α β

Χωρίζουµε ένα τετράγωνο αρχικά σε 4 ίσα µέρη και παίρνουµε το 1 από αυτά. Άρα σχηµατίζουµε το 1 κλάσµα . 4


γ α γ και αν α · δ=β · γ τότε έχουµε ότι = . δ β δ Χωρίζουµε τώρα το ίδιο τετράγωνο σε 8 ίσα µέρη και παίρνουµε το 2 από αυτά. Άρα σχηµατίζουµε το 2 κλάσµα . 8

1 2 και αν και έχουν διαφορετικούς όρους είναι ισοδύναµα αφού εκ4 8

φράζουν το ίδιο µέρος του τετραγώνου. 74 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επίσης βρίσκοντας χιαστί τα γινόµενα 1 · 8=8 και 4 · 2=8 επαληθεύουµε ότι είναι ίσα και 1 2 γράφουµε = . 4 8 Όταν έχουµε ένα κλάσµα

α µπορούµε να βρούµε ένα ισοδύναµό του µε δύο τρόβ

πους: • Πολλαπλασιάζοντας τους όρους του κλάσµατος µε τον ίδιο φυσικό αριθµό αρκεί αυτός να µην είναι µηδέν ή ένα: α α⋅ λ = µε λ ≠ 0 και λ ≠ 1. β β⋅λ • ∆ιαιρώντας τους όρους του κλάσµατος µε έναν κοινό διαιρέτη ( ≠ 0 και ≠ 1): α α: λ = . β β:λ Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται απλοποίηση. Κλάσµα που δεν απλοποιείται λέγεται ανάγωγο. Συνήθως κάνουµε απλοποίηση µέχρι να καταλήξουµε σε ανάγωγο κλάσµα. Για το σκοπό αυτό µπορούµε να κάνουµε διαδοχικές απλοποιήσεις ή να επιλέξουµε ως κοινό διαιρέτη των όρων το µέγιστο κοινό διαιρέτη. 2 2⋅3 6 2 2 ⋅ 8 16 . = = = = , 5 5 ⋅ 3 15 5 5 ⋅ 8 40 11 • Το κλάσµα είναι ανάγωγο αφού εκτός από το 1 δεν υπάρχει άλλος κοινός διαι7

•

ρέτης του 11 και του 7. 84 84 : 2 42 42 : 2 21 21: 3 7 που είναι ανάγωγο κλάσµα. • = = = = = = 240 240 : 2 120 120 : 2 60 60 : 3 20 :3 :2 21 :2

7

42

84 240

7 20

= :2 120 :2

60 :3

20

Με άλλο τρόπο: Βρίσκουµε τον ΜΚ∆(84,120) και απλοποιούµε διαιρώντας µε αυτόν τους όρους του κλάσµατος: 84=22 · 3 · 7 και 240=24 · 3 · 5 οπότε ΜΚ∆(84,120)=22 · 3=12. 84 84 : 12 7 . = = 240 240 : 12 20 75 Α.2.2 ΙΣΟ∆ΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

∆ύο ή περισσότερα κλάσµα λέγονται οµώνυµα όταν έχουν τον ίδιο παρονοµαστή. Όταν έχουν διαφορετικούς παρονοµαστές λέγονται ετερώνυµα. 1 2 9 1 2 9 Τα κλάσµατα , , είναι οµώνυµα. Τα κλάσµατα , , είναι ετερώνυµα. 4 4 4 4 5 6


Να επιλέξετε Σ για κάθε σωστή πρόταση και Λ για κάθε λανθασµένη. 3 6 και είναι ισοδύναµα. 4 8 10 2 β. Το κλάσµα δεν είναι ισοδύναµο του . 15 5 18 είναι ανάγωγο. γ. Το κλάσµα 25 31 62 δ. = . 8 16 7 12 12 οµώνυµα είναι το πρώτο και το τρίτο. ε. Από τα κλάσµατα , , 9 7 9

α. Τα κλάσµατα

2.

Σ

Λ

Να συµπληρώσετε τον πίνακα: Ισοδύναµο κλάσµα µε µεγαλύτερους όρους 5 ⋅ 3 15 = 4 ⋅ 3 12 12 ⋅ 2 24 = 15 ⋅ 2 30


∆οσµένο κλάσµα 5 4 12 15 15 24 3 11 18 10 2 1

Ισοδύναµο ανάγωγο κλάσµα 5 4 12 : 3 4 = 15 : 3 5

3.

Να συµπληρώσετε τα κενά 7 = 9 27

, 5=

5

, 1=

. 4

, 5=

20

,

2 18 = 3

,

4 = . 5 25


Να βρείτε ποια από τα κλάσµατα είναι ισοδύναµα. 3 9 3 14 120 4 , . α) , β) , γ) 4 12 7 21 630 21

Λύση α) Υπολογίζουµε τα «χιαστί γινόµενα» 3 · 12=36 και 4 · 9=36. Επειδή είναι ίσα 3 9 συµπεραίνουµε ότι τα κλάσµατα είναι ισοδύναµα και γράφουµε = . 4 12 β) Τα γινόµενα 3 · 21=63 και 7 · 14=98 δεν είναι ίσα, οπότε και τα κλάσµατα 3 14 , δεν είναι ισοδύναµα. 7 21 120 4 , είναι ισοδύναµα υπολογίζογ) Μπορούµε να ελέγξουµε αν τα κλάσµα 630 21 ντας τα «χιαστί γινόµενα» 120 · 21 και 630 · 4. Μπορούµε όµως και να απλοποιήσουµε το πρώτο κλάσµα και αν καταλήξουµε στο δεύτερο τότε τα κλάσµατα θα είναι ισοδύναµα αν όχι θα είναι διαφορετικά: 120 120 : 10 12 12 : 3 4 120 4 = = = = , εποµένως = . 630 630 : 10 63 63 : 3 21 630 21

2.

Να γράψετε τον αριθµό 5 µε τη µορφή κλάσµατος µε παρονοµαστή: α) το 1 β) το 2 γ) το 30 δ) το 500 ε) το x.

77 Α.2.2 ΙΣΟ∆ΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

5 5 ⋅ 2 10 5 = β) 5= = 1 1⋅ 2 2 1 5 5 ⋅ 500 2500 δ) 5= = = 1 1⋅ 500 500

α) 5=

3.

Να µετατρέψετε το κλάσµα

Λύση

5 5 ⋅ 30 150 = γ) 5= = 1 1⋅ 30 30 5 5⋅x 5⋅x ε) 5= = . = 1 1⋅ x x

5 σε ισοδύναµο κλάσµα µε παρονοµαστή: 3

α) το 12 β) το 63 γ) το 522. Μπορείτε να το µετατρέψετε σε ισοδύναµο κλάσµα µε παρονοµαστή το 2.323;

α) β) γ)

5 3 5 3 5 3

=

Λύση

5 ⋅4 20 . = 3 ⋅4 12

5 ⋅ 21 105 πολλαπλασιάζουµε τους όρους του κλάσµα. = = τος µε το πηλίκο της διαίρεσης 63:3=21 3 ⋅ 21 63 522:3=174

=

5 ⋅ 174 870 . = 3 ⋅ 174 522

Ο αριθµός 2.323 δε διαιρείται µε το 3 αφού το άθροισµα των ψηφίων του 2+3+2+3=10 δε διαιρείται µε 3. Άρα δεν υπάρχει φυσικός αριθµός που όταν 5 πολλαπλασιάσουµε τους όρους του κλάσµατος να πάρουµε ισοδύναµο κλά3 σµα µε παρονοµαστή 2.323.

4.

Να απλοποιήσετε τα παρακάτω κλάσµατα ώστε να γίνουν ανάγωγα. 10 420 45 ⋅ 77 ⋅ 25 22 ⋅ 3 3 ⋅ 54 α) β) γ) δ) 12 75 18 ⋅ 35 ⋅ 55 2 ⋅ 34 ⋅ 5 33 + 32 − 3 3.636 8⋅α 15 ⋅ α+5 ⋅ α ε) στ) ζ) η) . 2 + 4⋅5 9.999 10 ⋅ α 10 ⋅ α+5 ⋅ α

α)

10 10 : 2 5 = = . 12 12 : 2 6


Λύση

β) Βρίσκουµε τον ΜΚ∆(420,75). Για το σκοπό αυτόν αναλύουµε τους αριθµούς 420 και 75 σε γινόµενο πρώτων παραγόντων. 2 75=3 · 52 ΜΚ∆(420,75)=3 · 5=15 420=2 · 3 · 5 · 7 420 420 : 15 28 . = = 75 75 : 15 5 45 ⋅ 77 ⋅ 25 (5 ⋅ 9) ⋅ (7 ⋅ 11) ⋅ (5 ⋅ 5) 5 ⋅ 9 ⋅ 7 ⋅ 11⋅ 5 ⋅ 5 5 ⋅ 9 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 5 ⋅ 5 5 γ) = = = = . 18 ⋅ 35 ⋅ 55 (9 ⋅ 2) ⋅ (5 ⋅ 7) ⋅ (5 ⋅ 11) 9 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 11 9 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 11 2 δ) Απλοποιούµε το κλάσµα χωρίς να υπολογίσουµε τις δυνάµεις. 22 ⋅ 3 3 ⋅ 54 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 2 ⋅ 53 2 ⋅ 125 250 . = = = = = 2 ⋅ 34 ⋅ 5 3 3 3 3 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅3⋅ 5

33 + 32 − 3 27 + 9 − 3 36 − 3 33 33 : 11 3 = = = = = . ε) 2 + 4⋅5 2 + 20 22 22 22 : 11 2 3.636 36 ⋅ 100+36 36 ⋅ (100+1) 36 ⋅ 101 36 36:9 4 στ) = = = = = = . 9.999 99 ⋅ 100+99 99 ⋅ (100+1) 99 ⋅ 101 99 99:9 11 8 ⋅ α 8 8:2 4 ζ) = = = . 10 ⋅ α 10 10:2 5 15 ⋅ α+5 ⋅ α α ⋅ (15+5) α ⋅ 20 20 20 : 5 4 η) = = . = = = 10 ⋅ α+5 ⋅ α α ⋅ (10+5) α ⋅ 15 15 15 : 5 3

5.

Να µετατρέψετε σε οµώνυµα τα κλάσµατα

11 5 24 , , . 8 12 45

Λύση µε βοήθεια Συµπληρώστε τα κενά

• Ελέγχουµε αν τα κλάσµατα είναι ανάγωγα. Παρατηρούµε ότι το τρίτο κλάσµα 24 24 : .... 8 24 = = . Παίρνουµε εποµένως τα µπορεί να απλοποιηθεί: 45 45: .... 15 45 11 5 8 κλάσµατα , , . 8 12 15 • Βρίσκουµε το ΕΚΠ των παρονοµαστών 8,12 και 15 αναλύοντάς τους σε γινόµενο πρώτων ....................... . 8=..... , 12=..... · ..... και 15=..... · ..... . Οπότε ΕΚΠ(8,12,15)=120. • ∆ιαιρούµε το ΕΚΠ µε καθέναν από τους παρονοµαστές. 120:8=15 , 120:12=..... , 120:15=..... .


• Πολλαπλασιάζουµε τους όρους του κάθε κλάσµατος µε τα αντίστοιχα πηλίκα. 15 11 11 11⋅ 15 165 = Τους όρους του κλάσµατος επί 15: = . 8 8 8 ⋅ 15 120 5 5 5 ⋅ ..... ..... = Τους όρους του κλάσµατος επί ..... : = . 12 12 12 ⋅ ..... ..... 8 8 8 ⋅ ..... ..... = Τους όρους του κλάσµατος επί ..... : = . 15 15 15 ⋅ ..... ..... 11 5 24 Εποµένως τα αρχικά κλάσµατα , , µετατράπηκαν στα ισοδύναµα 8 12 45 ..... ..... ..... , , που είναι οµώνυµα. ..... ..... .....


Να συµπληρώσετε τον πίνακα επιλέγοντας από τη στήλη Β τα κλάσµατα που είναι ισοδύναµα µε αυτά της στήλης Α και να τα αντιγράψετε στη στήλη Γ, όπως το παράδειγµα. ΣΤΗΛΗ Α

ΣΤΗΛΗ Β

2 3

6 2 6 4 10 12 , , , , , 15 6 9 9 15 21

5 4 1 5

10 15 20 20 42 50 , , , , , 8 9 15 16 32 40 1 3 5 7 9 11 , , , , , 10 20 25 35 50 45 1 6 6 12 18 30 , , , , , 6 1 2 2 3 6

6


ΣΤΗΛΗ Γ Ισοδύναµα κλάσµατα 6 10 , 9 15

2.

Να επιλέξετε Σ για κάθε σωστή πρόταση και Λ για κάθε λανθασµένη. Σ

Λ

• Αν

•

• • • • •

α γ = , τότε α · γ=β·δ β δ 5 5⋅5 = 6 6⋅5 5 5⋅0 = 6 6⋅0 5 5+3 = 6 6+3 5 52 = 6 62 5 5 ⋅ 22 = 6 6 ⋅ 22 5 5:5 = 6 6:6

• Όταν µας δοθεί ένα κλάσµα µπορούµε πάντοτε να βρούµε ένα ισοδύναµό του µε µεγαλύτερους όρους αλλά δεν µπορούµε να βρούµε πάντοτε ένα ισοδύναµό του µε µικρότερους όρους. α • Αν το κλάσµα είναι ανάγωγο, τότε ΜΚ∆(α,β)=1. β 9 • Το κλάσµα είναι ανάγωγο. 111 5 • Το κλάσµα µπορεί να µετατραπεί σε ισοδύναµο κλάσµα µε πα3 ρονοµαστή το 903. 3.

Να µετατρέψετε τα παρακάτω κλάσµατα σε ισοδύναµα µε τον παρονοµαστή που κάθε φορά σηµειώνεται δίπλα, αφού πρώτα τα απλοποιήσετε όπου αυτό χρειάζεται. 4 28 α) µε παρονοµαστή το 51. β) µε παρονοµαστή το 30. 3 40 1 6 γ) µε παρονοµαστή το 36. δ) µε παρονοµαστή το 100. 4 25 170 6 ε) µε παρονοµαστή το 60. στ) µε παρονοµαστή το 15. 200 18


4.

Να γράψετε ως κλάσµατα µε παρονοµαστή το 9 τους αριθµούς: α) 0 β) 1 γ) 5 δ) 10 ε) 12

5.

Να απλοποιήσετε τα παρακάτω κλάσµατα ώστε να γίνουν ανάγωγα. 18 60 30 112 192 α) β) γ) δ) ε) 90 84 75 80 168 2 4 3 5 327.327 3 ⋅ α+5 ⋅ α 3⋅5 + 6⋅5 2 ⋅3 ⋅7 θ) . η) στ) 2 4 3 ζ) 999.999 10 ⋅ α+2 ⋅ α 30 − 3 ⋅ 5 2 ⋅3 ⋅7

6.

Να αντιστοιχίσετε τα κλάσµατα της στήλης Α µε τα ισοδύναµά τους στη στήλη Β. ΣΤΗΛΗ Α 5⋅5 50 15 ⋅ x 12 ⋅ x 3 ⋅ 2+12 4 ⋅6 5⋅x − 3⋅x 10 ⋅ x + 4 ⋅ x

• • • •

ΣΤΗΛΗ Β 1 • 2 1 • 7 3 • 4 5 • 4

7.

Να συµπληρώσετε τα κενά µε τον κατάλληλο αριθµό, ώστε να προκύπτουν οµώνυµα κλάσµατα. 3 7 15 27: .... 11⋅ .... 78 . , , , , , .... 20 6 + .... .... − 9 60: .... 5 ⋅ .... 2 + 3 ⋅ ....

8.

Να µετατρέψετε σε οµώνυµα τα κλάσµατα: 1 7 5 25 7 30 α) , , β) . , , 3 4 8 20 25 100


Α.2.3

Σύγκριση κλασµάτων

Παρατηρήστε ότι το λευκό µέρος του σχήµατος που εκ3 φράζεται από το κλάσµα είναι µεγαλύτερο από το χρω4 1 µατισµένο δηλαδή από το του σχήµατος. Γράφουµε 4 3 1 τότε > . 4 4 • Από δύο οµώνυµα κλάσµατα µεγαλύτερο είναι εκείνο µε τον µεγαλύτερο αριθµητή. Στο διπλανό σχήµα παρατηρήστε ότι

1 1 > . 4 8

• Από δύο κλάσµατα µε ίσους αριθµητές µεγαλύτερο είναι εκείνο µε το µικρότερο παρονοµαστή. Τα κλάσµατα

3 2

και

5 τα µετατρέπουµε σε οµώνυµα. ΕΚΠ(2,3)=6, οπότε: 3

9 10 3⋅3 9 5 ⋅ 2 10 3 5 και επειδή < έχουµε ότι < . = και = 6 6 2⋅3 6 3⋅2 6 2 3

• Για να συγκρίνουµε ετερώνυµα κλάσµατα τα µετατρέπουµε σε οµώνυµα.

83 Α.2.3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

Για να συγκρίνουµε το κλάσµα

α µε το 1 συγκρίνουµε τους όρους του κλάσµαβ

τος α και β και αν: α • α=β , τότε =1. β α • α>β , τότε >1. β α • α<β , τότε <1. β


Να συµπληρώσετε τα κενά: Από δύο οµώνυµα κλάσµατα µεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει το ........................... αριθµητή. Από δύο κλάσµατα µε ίσους αριθµητές ............................ είναι εκείνο που έχει το µεγαλύτερο παρονοµαστή. Για να συγκρίνουµε δύο ετερώνυµα κλάσµατα τα µετατρέπουµε σε ........................... .

2.

Να συµπληρώσετε τα κενά χρησιµοποιώντας ένα από τα σύµβολα >,=,< 7 9 3 3 4 12 β) ...... γ) ..... 1 δ) α) ..... ..... 1 11 11 5 7 4 17 19 5 3 2 6 ε) στ) ...... ζ) ...... . ..... 1 18 3 5 3 5

3.

Να συµπληρώσετε τα κενά : 1 1 5 5 > α) β) > 5 3 ε)

7

<

7

στ)

3

>1


γ) ζ)

9 2

5 9

δ)

> 17 17

<1

η)

> 1.

<


Να βάλετε στη σειρά από το µικρότερο στο µεγαλύτερο τα παρακάτω κλάσµατα: 6 4 0 7 13 1 5 5 5 5 5 5 α) , , , , , β) , , , , , 11 11 11 11 11 11 13 2 5 1 9 4 1 5 3 4 2 7 γ) , , , , , . 3 4 2 5 3 5

Λύση α)

0 1 4 6 7 13 < < < < < 11 11 11 11 11 11

Μεταξύ οµωνύµων κλασµάτων µεγαλύτερο είναι εκείνο µε το µεγαλύτερο αριθµητή: 0<1<4<6<7<13

β)

5 5 5 5 5 5 < < < < < 13 9 5 4 2 1

Μεταξύ κλασµάτων µε ίδιο αριθµητή µεγαλύτερο είναι εκείνο µε το µικρότερο παρονοµαστή: 1<2<4<5<9<13

γ) Επειδή 4=22 έχουµε ότι ΕΚΠ (3,4,2,5) =3 · 22 · 5=3 · 4 · 5=60.

1 1⋅ 20 20 = = , 3 3 ⋅ 20 60 12 4 4 ⋅ 12 48 = = , 5 5 ⋅ 12 60 20

5 5 ⋅ 15 75 = = , 4 4 ⋅ 15 60 20 2 2 ⋅ 20 40 = = , 3 3 ⋅ 20 60 15

Μετατρέπουµε τα ετερώνυµα κλάσµατα σε οµώνυµα.

3 3 ⋅ 30 90 = = 2 2 ⋅ 30 60 12 7 7 ⋅ 12 84 = = . 5 5 ⋅ 12 60 30

Οπότε γράφουµε ότι: 20 40 48 75 84 90 ή < < < < < 60 60 60 60 60 60 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 2 4 5 7 3 < < < < < . 3 3 5 4 5 2 2.

Να γράψετε τα παρακάτω κλάσµατα από το µεγαλύτερο στο µικρότερο, 2004 2009 2009 χωρίς να τα κάνετε οµώνυµα: , , . 2008 2008 2004



2004<2008, εποµένως

2004 2009 ..... 1 και 2009.....2008, εποµένως ...... 1. 2008 2008

2009 2004 ...... . 2008 2008 2009 2009 ...... Επίσης αφού τα κλάσµατα αυτά έχουν τον ίδιο ...................., 2004 2008

Οπότε

οπότε µεγαλύτερο είναι εκείνο µε τον ................... παρονοµαστή. 2009 2009 2004 ...... ...... Έχουµε τότε: . 2004 2008 2008

3.

Να βρείτε ένα κλάσµα που να είναι: 17 α) Μεγαλύτερο από το . 20 76 . β) Μικρότερο από το 134 5 9 και µικρότερο από το . γ) Μεγαλύτερο από το 11 11 5 5 και µικρότερο από το . δ) Μεγαλύτερο από το 9 6 3 4 και µικρότερο από το . ε) Μεγαλύτερο από το 7 7 2 3 και µικρότερο από το . στ) Μεγαλύτερο από το 5 4

Λύση

α) Τα κλάσµατα το

18 19 20 21 17 17 17 17 , , , ,.... ή , , , ,.... είναι µεγαλύτερα από 20 20 20 20 19 18 17 16

17 . 20

β) Τα κλάσµατα

75 74 73 72 76 76 76 76 , , , ,.... ή , , , ,.... είναι µικρότε134 134 134 134 135 136 137 138

76 . 134 5 6 9 5 7 9 5 8 9 < < ή < < ή < < . 11 11 11 11 11 11 11 11 11

ρα από το γ) 86


δ)

5 5 5 5 5 5 < < ή < < . 9 8 6 9 7 6 3 4 και σε ισοδύναµα µε µεγαλύτερους ό7 7 3 3⋅2 6 4 4⋅2 8 6 7 8 και = . Οπότε έχουµε < < ή ισο= = ρους: = 7 7 ⋅ 2 14 7 7 ⋅ 2 14 14 14 14 3 7 4 δύναµα < < . 7 14 7

ε) Μετατρέπουµε τα κλάσµατα

στ) Κάνουµε οµώνυµα τα κλάσµατα. ΕΚΠ(5,4)=20, οπότε έχουµε: 2 2⋅4 8 3 3 ⋅ 5 15 και = , εύκολα βρίσκουµε τότε ότι ένα κλάσµα = = = 5 5 ⋅ 4 20 4 4 ⋅ 5 20 9 8 9 15 2 9 3 µπορεί να είναι το αφού < < οπότε και < < . 20 20 20 20 5 20 4

4.

Να βρείτε τις τιµές του φυσικού αριθµού x έτσι ώστε να ισχύει: x 6 7 7 x 1 α) < β) > γ) < . 11 11 x 4 6 2

Λύση α) Αφού τα κλάσµατα είναι οµώνυµα η σχέση

x 6 < αληθεύει όταν x<6, δη11 11

λαδή όταν x=0 ή 1 ή 2 ή 3 ή 4 ή 5. β) Θα πρέπει x<4, δηλαδή x=1 ή 2 ή 3 ( χ ≠ 0 αφού είναι παρονοµαστής). 1 1⋅ 3 3 x 1 γ) Μετατρέπουµε τα κλάσµατα σε οµώνυµα: = = οπότε έχουµε < 2 2⋅3 6 6 2 x 3 ή < , που ισχύει όταν x<3, δηλαδή όταν x=0 ή 1 ή 2. 6 6

5.

Να συγκρίνετε τα κλάσµατα: 16 3 + 1 7+3 1 α) , β) , 20 8 + 1 8+7 3 α+3 α+4 α+1 α+2 δ) , ε) , α α α α+3

5+2 2 2 , 5⋅2 7 −2 3 ⋅ α 3 ⋅ α+2 ⋅ α στ) , . 5⋅α 8⋅α − 2⋅α γ)


Λύση

16 16 16 : 4 4 και έχουµε = = . 20 20 20 : 4 5 3+1 3 +1 4 και έχουµε: = . Κάνουµε τις πράξεις στο κλάσµα 8 +1 8 +1 9 16 3 + 1 4 4 > . Ισχύει ότι > αφού έχουν τον ίδιο αριθµητή, άρα και 20 8 + 1 5 9 7+3 10 10 : 5 2 2 1 7+3 1 β) = = = , οπότε > ή > . 8+7 15 15 : 5 3 3 3 8+7 3 5+2 7 22 4 και = = . Κάνουµε τα κλάσµατα οµώνυµα µε ΕΚΠ(10,5)=10. γ) 5 ⋅ 2 10 7−2 5 7 4 4⋅2 8 5+2 22 7 8 = και = και αφού < έχουµε ότι < . 10 5 5 ⋅ 2 10 10 10 5⋅2 7 − 2

α) Απλοποιούµε το κλάσµα

δ) Τα κλάσµατα είναι οµώνυµα και ισχύει ότι α+3<α+4, εποµένως και α+3 α+4 < . α α α+1 α+2 ε) Ισχύει ότι α+1>α, οπότε > 1 και α+2<α+3, οπότε < 1, εποµένως α α+3 α+1 α + 2 > . α α+3 3⋅α 3 3 ⋅ α+2 ⋅ α (3 + 2) ⋅ α 5 ⋅ α 5 = και = = = . στ) 5⋅α 5 8 ⋅ α − 2 ⋅ α (8 − 2) ⋅ α 6 ⋅ α 6 Για να συγκρίνουµε τα δύο κλάσµατα τα µετατρέπουµε σε οµώνυµα µε ΕΚΠ(5,6)=30. 3 3 ⋅ 6 18 5 5 ⋅ 5 25 18 25 = = = και = και αφού < έχουµε ότι 5 5 ⋅ 6 30 6 6 ⋅ 5 30 30 30 3 ⋅ α 3 ⋅ α+2 ⋅ α < . 5⋅α 8⋅α− 2⋅α



Να επιλέξετε Σ για κάθε σωστή πρόταση και Λ για κάθε λανθασµένη. 6 5 > 15 15 3 3 β) > 5 4 7 γ) >1 11 α+2 δ) >1 α+1 α 3 < τοτε α = 0 ή 1 ή 2 . ε) Αν 14 14 4 5 στ) Τα του κιλού είναι λιγότερα από τα του κιλού. 5 6

α)

ζ) Αν στον αριθµητή ενός κλάσµατος προσθέσουµε το 1 το νέο κλάσµα που προκύπτει είναι µεγαλύτερο από το αρχικό. η) Αν στον παρονοµαστή ενός κλάσµατος προσθέσουµε το 1 το νέο κλάσµα που προκύπτει είναι µεγαλύτερο από το αρχικό. 7 προσθέσουµε το 1 το νέο θ) Αν στους όρους του κλάσµατος 4 7 κλάσµα που προκύπτει είναι µεγαλύτερο από το . 4 7 8 ι) ∆εν υπάρχει κλάσµα µεγαλύτερο του και µικρότερο του . 3 3 14 14 > τότε α<β. κ) Αν α β 2.

Σ

Λ

Να βρείτε όλα τα κλάσµατα: α) Που έχουν παρονοµαστή το 5 και είναι µικρότερα από το 1. 5 β) Που έχουν αριθµητή το 5 και είναι µεγαλύτερα από το . 6 7 γ) Που είναι οµώνυµα µε το , είναι ανάγωγα και µικρότερα από αυτό. 8


3.

Να γράψετε τα παρακάτω κλάσµατα από το µεγαλύτερο στο µικρότερο: 9 7 11 2 1 1 1 1 3 2 5 4 0 5 5 12 α) , , , β) , , , γ) , , , , δ) , , . 15 15 15 15 9 8 13 11 4 3 6 5 2 9 11 7

4.

α) Να γράψετε όλα τα δυνατά κλάσµατα που έχουν όρους τους αριθµούς 2, 3 και 5. β) Να βρείτε ποια είναι µικρότερα, µεγαλύτερα ή ίσα του 1. γ) Να τα τοποθετήσετε στη σειρά από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο.

5.

6.

22 + 3 2 − 3 2 ⋅ (8 − 5) + 3 ⋅ (5 − 4) Να συγκρίνετε τα κλάσµατα Α = . , Β= 2 (2 + 3) 64 : (10 − 2) − (10 − 2) : 4

Να βρείτε ποιοι αριθµοί πρέπει να τοποθετηθούν στα σηµεία Α και Β στις παρακάτω ευθείες. α)

β)

7.

Να τοποθετήσετε στην ευθεία των αριθµών τα κλάσµατα:


1 5 7 11 12 13 , , , , , . 4 4 4 4 4 4

Α.2.4

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων

Για να προσθέσουµε οµώνυµα κλάσµατα, προσθέτουµε τους αριθµητές και αφήνουµε παρονοµαστή τον ίδιο.

α β α+β + = γ γ γ Για να προσθέσουµε ετερώνυµα κλάσµατα πρέπει πρώτα να τα µετατρέψουµε σε οµώνυµα. 3 4 3+4 7 • + = = 5 5 5 5

2 3 1 5 ΕΚΠ=6 1⋅ 2 5 ⋅ 3 2 15 17 • . + = + = + = 3 2 3⋅2 2⋅3 6 6 6

Για να αφαιρέσουµε οµώνυµα κλάσµατα, αφαιρούµε τους αριθµητές και αφήνουµε παρονοµαστή τον ίδιο.

α β α−β − = γ γ γ Για να αφαιρέσουµε ετερώνυµα κλάσµατα πρέπει πρώτα να τα µετατρέψουµε σε οµώνυµα.

•

7 2 7−2 5 − = = 3 3 3 3

2 5 ΕΚΠ=10 4 1 4 ⋅ 2 1⋅ 5 8 5 3 • . − = − = − = 5 2 5 ⋅ 2 2 ⋅ 5 10 10 10

Το άθροισµα ενός φυσικού αριθµού µε ένα κλάσµα µικρότερο της µονάδας λέγεται µεικτός αριθµός. 2 που είναι ένας 7 2 µεικτός αριθµός να παραλείψουµε το σύµβολο + και να γράψουµε πιο σύντοµα 3 . 7

Μπορούµε τότε αντί να υπολογίσουµε για παράδειγµα το άθροισµα 3 +

91 Α.2.4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

Αν πρέπει τώρα να µετατρέψουµε ένα µεικτό αριθµό σε κλάσµα όπως ο 3

2 αντί να 7

2 3 2 3⋅7 2 3⋅7 2 3⋅7 + 2 µπορούµε αµέσως + = + = κάνουµε την πρόσθεση 3 = + = 7 7 1 7 1⋅ 7 7 7 7 3 ⋅ 7 + 2 21+ 2 23 . = = να γράψουµε 7 7 7


Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: 3 4 1 2 3 4 3 α) + β) + + γ) + 5 5 7 7 7 3 2

δ)

1 5 + 2 4

2.

Να γράψετε τα παρακάτω αθροίσµατα σαν µεικτούς αριθµούς. 6 18 12 α) 2+ β) 15+ γ) + 150 11 19 35

3.

Να υπολογίσετε τις διαφορές και να απλοποιήσετε το αποτέλεσµα, όπου αυτό είναι δυνατό. 17 7 19 11 3 3 1 − − α) β) γ) 5 − δ) − 15 15 20 20 10 15 4

4.

Να συµπληρώσετε τα κενά. 2 ..... 11 ..... 1 4 = α) + β) + = 9 9 9 ..... 7 7 7 ..... 3 3 ..... 2 11 = + + = ε) δ) − 8 ..... 8 15 15 ..... 15 2 1 2 ⋅ ..... 1⋅ ..... ..... + ..... ..... + = = ζ) + = 3 2 6 6 6 6 3 1 3 1⋅ ..... ..... − ..... ..... = = η) − = − 4 2 4 4 4 .....


3 ..... + =1 5 ..... 7 ..... στ) 10 − = 3 3

γ)


Να συµπληρώσετε τον πίνακα: α 4 5 3 7

4 5

β 1 5

α+β

5 7 3 11 3 4

6 11

4 3

1 9 4

α–β

3

1 2

Λύση

4 1 4 +1 5 4 1 4 −1 3 • α+β= + = = . = = 1 , α–β= − = 5 5 5 5 5 5 5 5 3 5 5 3 5−3 2 • Επειδή α= και α+β= , έχουµε ότι β= − = = . Οπότε 7 7 7 7 7 7 3 2 3−2 1 α–β= − = = . 7 7 7 7 6 3 6+3 9 3 6 • Επειδή β= και α–β= , έχουµε ότι α= + = = . Οπότε 11 11 11 11 11 11 9 3 9 + 3 12 α+β= + = = . 11 11 11 11 4 5 4 3 ΕΚΠ=20 4 3 4 ⋅ 4 3 ⋅ 5 16 15 16 + 15 31 • α+β= + . = + = + = + = = 5 4 5 4 5 ⋅ 4 4 ⋅ 5 20 20 20 20 4 3 16 15 16 − 15 1 . − = = α–β= − = 5 4 20 20 20 20


4 3 4 7 4 , έχουµε ότι α= 1+ = + = . Οπότε 3 3 3 3 3 7 7 3 10 . α+β= + 1 = + = 3 3 3 3

• Επειδή β=1 και α–β=

• Μετατρέπουµε τον µεικτό αριθµό σε κλάσµα: 1 3⋅2 +1 6 +1 7 α+β = 3 = = = . Στη συνέχεια υπολογίζουµε το β: 2 2 2 2 9 5 4 7 9 7 ⋅ 2 9 14 9 5 • β= − = − = − = . Οπότε α–β= − = = 1. 4 4 4 2 4 2⋅2 4 4 4 4 Συµπληρώνουµε τώρα τον πίνακα: α 4 5 3 7 9 11 4 5 7 3 9 4

2.

β 1 5 2 7 3 11 3 4 1 5 4

α+β 1 5 7 12 11 31 20 10 3 1 3 2

α–β 3 5 1 7 6 11 1 20 4 3 1

9 3 3 2 Αν α= , β= , γ= και δ= να υπολογίσετε τις τιµές των παραστά4 2 15 8 σεων: α) α + β + γ + δ β) α − β + γ − δ .

Λύση µε βοήθεια Συµπληρώστε τα κενά Απλοποιούµε το κλάσµα γ= δ=

3 3 : .... 1 = = και το κλάσµα 15 15: .... 5

2 2 : .... 1 = = . 8 8: .... 4

Αντικαθιστούµε τα κλάσµατα στις παραστάσεις και έχουµε: 94 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

9 3 1 1 α) α+β+γ+δ= + + + . 4 2 5 4

Μετατρέπουµε τα ετερώνυµα κλάσµατα σε

......................... βρίσκοντας το ΕΚΠ(4,2,5)=..... . Οπότε έχουµε: 5 .... 4 .... 9 3 1 1 9 ⋅ 5 3 ⋅ ..... 1⋅ 4 1⋅ ..... 45 ..... ..... ..... + + + = + + + = + + + = 4 2 5 4 20 20 ..... 20 20 20 20 20 45 + ..... + ..... + ..... 84 = = . ...... 20 Απλοποιούµε το αποτέλεσµα διαιρώντας τους όρους του κλάσµατος µε το 4 84 : ..... ..... και παίρνουµε = . ..... : ..... ..... 9 3 1 1 45 ..... ..... ..... 45 − ..... + ..... − ..... β) α − β + γ − δ = − + − = − + − = , κά4 2 5 4 20 20 20 20 ...... 14 νουµε στον αριθµητή τις πράξεις µε τη σειρά και βρίσκουµε το κλάσµα 20 που το απλοποιούµε διαιρώντας τους ........... του µε το ......, οπότε 14 14 : ..... ..... = = . 20 20 : ..... .....

3.

Να βρείτε: 2 26 για να βρούµε . 5 15 2 1 β) Από ποιον αριθµό πρέπει να αφαιρέσουµε το 2 για να βρούµε 3 . 5 4

α) Ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στο

Να µετατρέψετε όπου είναι δυνατόν, τα κλάσµατα που θα προκύψουν σε µεικτούς αριθµούς.

Λύση α) Ο ζητούµενος αριθµός προκύπτει από τη διαφορά 3 26 2 26 2 26 6 20 20 : 5 4 − = − = − = = = . 15 5 15 5 15 15 15 15 : 5 3 Μετατρέπουµε τώρα το αποτέλεσµα σε µεικτό αριθµό: 4 3 +1 3 1 1 1 = = + = 1+ = 1 . 3 3 3 3 3 3


2 1 και 3 σαν κλάσµα: 5 4 2 2 ⋅ 5 + 2 10 + 2 12 1 3 ⋅ 4 + 1 12 + 1 13 και 3 = . 2 = = = = = 5 5 5 5 4 4 4 4

β) Γράφουµε τους µεικτούς αριθµούς 2

Ο ζητούµενος αριθµός προκύπτει από το άθροισµα 12 13 12 ⋅ 4 13 ⋅ 5 48 65 48 + 65 113 + = + = + = = . 5 4 5⋅4 4 ⋅ 5 20 20 20 20 Για να µετατρέψουµε το κλά113 σµα σε µεικτό αριθµό κά20 νουµε τη διαίρεση 113:20.

113

20

Στη συνέχεια γράφουµε

13

5

την ισότητα της Ευκλεί-

δ =20

δειας διαίρεσης

π =5

113=20 · 5+13.

υ=13

Οπότε έχουµε:

113 20 ⋅ 5 + 13 20 ⋅ 5 13 13 13 = = + = 5+ =5 . 20 20 20 20 20 20

Μπορούµε να πάρουµε το ίδιο αποτέλεσµα και µε άλλον τρόπο: 4 5 2 1 8 5 8+5 13 2 +3 =2 +3 =5 =5 . 5 4 20 20 20 20

4.

Να κάνετε τις πράξεις: 13 3 9 2 ⎛ 2 1⎞ ⎛ 3 1 4 ⎞ ⎛3 7⎞ ⎛3 1 ⎞ α) β) ⎜ + ⎟ − ⎜ + γ) + ⎜ − ⎟ + ⎜ + − −2+ − . ⎟ 6 4 10 3 ⎝ 5 3 ⎠ ⎝ 2 3 15 ⎟⎠ ⎝ 4 6 ⎠ ⎝ 2 12 ⎠

Λύση

α)

13 3 9 13 2 3 9 −2+ − = − + − ΕΚΠ(6,4,10)=60 6 4 10 6 1 4 10 13 ⋅ 10 2 ⋅ 60 3 ⋅ 15 9 ⋅ 6 130 120 45 54 130 − 120 + 45 − 54 − + − = − + − = 6 ⋅ 10 1⋅ 60 4 ⋅ 15 10 ⋅ 6 60 60 60 60 60 κάνουµε τις πράξεις στον αριθµητή µε τη σειρά που σηµειώνονται:

10 + 45 − 54 55 − 54 1 . = = 60 60 60


β) Βρίσκουµε το ΕΚΠ όλων των παρονοµαστών. ΕΚΠ(4,6,2,12)=12. ⎛ 3 2 ⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 3 7 ⎞ ⎛ 3 1 ⎞ ⎜ 3 7 ⎟ ⎜ 3 1 ⎟ ⎛ 9 14 ⎞ ⎛ 18 1 ⎞ ⎜ 4 + 6 ⎟ − ⎜ 2 + 12 ⎟ = ⎜ 4 + 6 ⎟ − ⎜ 2 + 12 ⎟ = ⎜ 12 + 12 ⎟ − ⎜ 12 + 12 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Κάνουµε τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις: 23 19 4 4:4 1 − = = = . 12 12 12 12 : 4 3 γ) Βρίσκουµε το ΕΚΠ όλων των παρονοµαστών. ΕΚΠ(3,5,2,15)=30. 10 ⎛ 6 10 ⎞ ⎛ 15 10 2 ⎞ 2 ⎛ 2 1⎞ ⎛ 3 1 4 ⎞ 2 ⎜ 2 1 ⎟ ⎜ 3 1 4 ⎟ + − + + − = + − + + − = 3 ⎜⎝ 5 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 3 15 ⎟⎠ 3 ⎜⎜ 5 3 ⎟⎟ ⎜⎜ 2 3 15 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 20 ⎛ 12 10 ⎞ ⎛ 45 10 8 ⎞ 20 ⎛ 12 − 10 ⎞ ⎛ 45 + 10 − 8 ⎞ = + − + + − = + + ⎟ 30 ⎜⎝ 30 30 ⎟⎠ ⎜⎝ 30 30 30 ⎟⎠ 30 ⎜⎝ 30 ⎟⎠ ⎜⎝ 30 ⎠ =

5.

20 2 55 − 8 20 2 47 20 + 2 + 47 69 69 : 3 23 + + = + + = = = = . 30 30 30 30 30 30 30 30 30 : 3 10

Ένας αγρότης από µία έκταση 20 στρεµµάτων καλλιέργησε τα 12 µατα µε σιτάρι, τα 5

1 στρέµ2

1 1 µε καλαµπόκι και τα 2 µε βαµβάκι. 4 6

α) Πόσα στρέµµατα καλλιέργησε; β) Πόση έκταση έµεινε ακαλλιέργητη;

Λύση

1 1 1 α) Ο αγρότης καλλιέργησε συνολικά 12 + 5 + 2 στρέµµατα. Μετατρέπου2 4 6

µε τους µεικτούς αριθµούς σε κλάσµατα: 1 5 ⋅ 4 + 1 20 + 1 21 1 12 ⋅ 2 + 1 24 + 1 25 ,5 = = = , 12 = = = 4 4 4 4 2 2 2 2 1 2 ⋅ 6 + 1 12 + 1 13 2 = = = . 6 6 6 6


Η παράσταση εποµένως γράφεται: 1 1 1 25 21 13 ΕΚΠ=12 25 ⋅ 6 21⋅ 3 13 ⋅ 2 12 + 5 + 2 = + + = + + = 2 4 6 2 4 6 2⋅6 4⋅3 6⋅2 150 63 26 150 + 63 + 26 239 19 ⋅ 12 + 11 = + + = = = = 12 12 12 12 12 12 19 ⋅ 12 11 11 11 στρέµµατα. = + = 19 + = 19 12 12 12 12 (Μπορούµε όπως έχουµε δει να κάνουµε τη πρόσθεση των µεικτών αριθ⎛ 6 3 2 ⎞ 1 1 1 1 1 1 µών και µε άλλο τρόπο: 12 + 5 + 2 = (12 + 5 + 2 ) + ⎜ + + ⎟ = ⎜⎜ 2 4 6 ⎟⎟ 2 4 6 ⎝ ⎠ 3 2⎞ 11 11 ⎛ 6 = 19 + ⎜ + + ⎟ = 19 + = 19 ). 12 12 ⎝ 12 12 12 ⎠ 11 11 = (19 + 1) − 19 = 12 12 12 ⎞ ⎛ 11 ⎞ ⎛ ⎛ 12 11 ⎞ 1 του στρέµµατος. = ⎜ 19 + ⎟ − ⎜ 19 + ⎟ = (19 − 19 ) + ⎜ − ⎟ = 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝ ⎝ 12 12 ⎠ 12

β) Η υπόλοιπη έκταση είναι: 20 − 19


Να συµπληρώσετε τους πίνακες όπως τα παραδείγµατα:

+

1 2

2 3

3 5

–

0

0

2

1

3 2 1 6

1 5 2 3

23 30

3 1 18 5 18 + 5 23 + = + = = 30 5 6 30 30 30


6 5

5 3

1

6 1 6 −1 5 – = = =1 5 5 5 5

3 2

2.

Να αντιστοιχίσετε τις πράξεις της στήλης Α µε τα αποτελέσµατα της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ Α 1 2 4 α) + + 7 7 7 11 ⎛ 7 3 ⎞ β) − − 8 ⎜⎝ 8 8 ⎟⎠

ΣΤΗΛΗ Β 1 1) 5 3 25 2) 6

1 3 1 δ) 5 − 2 1 2 ε) 2 + 3 5 5 5 5 5 στ) + + 2 4 12 2 ⎛5 3⎞ ζ) − ⎜ − ⎟ 3 ⎝6 6⎠

3) 1

γ) 5 +

Α

α

β

γ

3 5 1 5) 3 1 6) 4 2 7 7) 8

4) 5

δ

ε

στ

ζ

Β

3.

Να κάνετε τις πράξεις και να απλοποιήσετε το αποτέλεσµα, όπου αυτό είναι δυνατό. 1 1 3 ⎛ 5 1⎞ ⎛9 9 ⎞ α) 1+ + β) − ⎜ + ⎟ γ) ⎜ + ⎟ − 1 4 ⎝9 6⎠ 2 3 ⎝ 5 20 ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎛ 11 3 ⎞ δ) ⎜ 3+ ⎟ − ⎜ + ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 5 20 ⎠

4.

Αν α=

1 ⎛ 1 1⎞ ε) 2 − ⎜ + ⎟ . 3 ⎝2 6⎠

3 1 1 , β= και γ= , να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: 2 3 4

α) α+β+γ β) α+β–γ γ) α–(β+γ).


5.

Να βρείτε τον αριθµό που πρέπει: 5 2 α) Να προσθέσουµε στο 4 για να βρούµε 5 . 12 3 β) Να προσθέσουµε στο άθροισµα των κλασµάτων

6.

3 7 για να βρούµε 3. και 5 10

Ένας εργάτης τελειώνει ένα έργο σε 3 ηµέρες ενώ ένας άλλος το τελειώνει σε 4 ηµέρες. α) Τι µέρος του έργου τελειώνουν σε 1 ηµέρα και οι δύο εργάτες µαζί; β) Τι µέρους του έργου θα υπολείπεται τότε να τελειώσουν;

7.

1 πηγαίνει στο σχολείο µε το σχολικό, τα 6 5 1 χρησιµοποιούν τα µέσα µαζικής µεταφοράς, το πηγαίνει µε τους γονείς 16 8

Από τους µαθητές ενός Γυµνασίου το

του και οι υπόλοιποι πηγαίνουν µε τα πόδια. Αν το Γυµνάσιο έχει 480 µαθητές να βρείτε πόσοι µαθητές πηγαίνουν µε τα πόδια.


Α.2.5 Πολλαπλασιασµός κλασµάτων

• Το γινόµενο δύο κλασµάτων είναι ένα κλάσµα που έχει αριθµητή το γινόµενο των αριθµητών και παρονοµαστή το γινόµενο των παρονοµαστών.

α γ α⋅ γ ⋅ = β δ β⋅δ

• Για να βρούµε το γινόµενο δύο κλασµάτων δεν κάνουµε τα κλάσµατα οµώνυµα. • Το γινόµενο ενός φυσικού αριθµού επί ένα κλάσµα είναι ένα κλάσµα που έχει αριθµητή το γινόµενο του φυσικού επί τον αριθµητή του κλάσµατος και παρονοµαστή τον ίδιο. •

3 5 3 ⋅ 5 15 ⋅ = = 4 2 4⋅2 8

7 2

• 3⋅ =

λ⋅

α λ ⋅α = β β

3 ⋅ 7 21 = 2 2

• ∆ύο κλάσµατα που έχουν γινόµενο 1 λέγονται αντίστροφα. α β Τα κλάσµατα και είναι αντίστροφα. β α α β • Ο αντίστροφος του είναι ο . α β α 1 • Ο αντίστροφος του α (επειδή α= ) είναι ο . Το µηδέν δεν έχει αντίστροφο. 1 α • Κάθε κλάσµα µπορεί να γραφεί ως γινόµενο του αριθµητή του επί τον αντίστροφο του παρονοµαστή του. α 1 = α⋅ . β β 3 7 5 1 • Τα κλάσµατα και είναι αντίστροφα. • = 5⋅ . 7 3 11 11 101 Α.2.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

Για να βρούµε τα

λ λ ενός αριθµού α, πολλαπλασιάζουµε το κλάσµα µε τον αριθν ν

µό α. Για να βρούµε τα

2 2 ⋅ 10 20 2 του 10 κάνουµε ⋅ 10 = = = 4. 5 5 5 5

Ισχύουν για τα κλάσµατα οι ιδιότητες: 2 2 • Το 1 δεν µεταβάλλει το γινόµενο: 1⋅ = . 7 7 9 =0. 23 3 7 21 • Το γινόµενο αντιστρόφων κλασµάτων είναι 1: ⋅ = = 1 . 7 3 21 5 3 3 5 15 • Αντιµεταθετική ιδιότητα: ⋅ = ⋅ = . 4 2 2 4 8

• Όταν πολλαπλασιάζουµε µε το 0 το γινόµενο είναι 0: 0 ⋅

• Προσεταιριστική ιδιότητα: Όταν έχουµε να πολλαπλασιάσουµε τρία κλάσµατα 5 1 7 ⋅ ⋅ κάνουµε: 2 3 4 5 ⎛ 1 7 ⎞ ⎛ 5 1⎞ 7 5 ⋅ 1⋅ 7 35 ⋅ ⎜ ⋅ ⎟ ή ⎜ ⋅ ⎟ ⋅ και βρίσκουµε = . 2 ⎝3 4⎠ ⎝2 3⎠ 4 2 ⋅ 3 ⋅ 4 24 • Επιµεριστική ιδιότητα: ή

3 ⎛1 4 ⎞ 3 1 3 4 ⋅ + = ⋅ + ⋅ . 2 ⎜⎝ 5 11⎟⎠ 2 5 2 11

3 5 3 4 3 ⎛5 4 ⎞ ⋅ + ⋅ = ⋅ + = ... . 7 9 7 21 7 ⎜⎝ 9 21⎟⎠

κοινός παράγοντας


Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

• Σε ποια από τις παρακάτω πράξεις δε χρειάζεται να κάνουµε τα κλάσµατα οµώνυµα; 3 5 1 1 4 2 Α. + Β. − Γ. ⋅ 5 6 2 4 3 9


• Ποιο είναι το αποτέλεσµα της πράξης Α.

6 4

Β.

3 8

Γ.

4 6

• Ποιο είναι το αποτέλεσµα της πράξης Α.

15 4

Β.

45 4

Γ.

1 3 ⋅ ; 2 4

5 9 ⋅ ; 3 4

14 12

2 • Ποιο είναι το αποτέλεσµα της πράξης 5 ⋅ ; 3 2 10 10 Β. Γ. Α. 5 3 15 3 5 • Το κλάσµα είναι το αποτέλεσµα της πράξης: 7 1 1 Β. 5 + Γ. ∆ε γνωρίζουµε. Α. 5 ⋅ 7 7 5 • Ο αντίστροφος του είναι: 11 5 11 Β. 11 Γ. Α. 11 5 2 9 • Το γινόµενο ⋅ ισούται µε: 9 2 11 Γ. 1 Α. 0 Β. 18 2 • Τα του 9 είναι: 3 9 Α. Β. 2 Γ. 6 3

2.

Να συµπληρώσετε τα κενά. 4 ..... 20 2 5 2 ⋅ ..... ..... α) ⋅ = β) ⋅ = = 9 7 ..... 3 7 3 ⋅ ..... ..... 12 2 ..... 8 ⋅ ..... = 0 ε) ⋅ = δ) 27 5 ..... 35 ζ) ..... ⋅

4 =1 9

2

2 ..... ..... ⎛ 2⎞ η) ⎜ ⎟ = ⋅ = ⎝ 5 ⎠ ..... ..... 25

2 3 ⋅ ..... ..... = = 7 ..... ..... 7 7 στ) ..... ⋅ = 9 9

γ) 3 ⋅

3

2 ..... ..... ..... ⎛ 2⎞ ⋅ ⋅ = ι) ⎜ ⎟ = ⎝ 5 ⎠ ..... ..... ..... .....

103 Α.2.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ


Να υπολογίσετε τα γινόµενα: 4 3 1 2 5 15 1 13 α) ⋅ β) ⋅ ⋅ γ) 9 ⋅ ⋅ ⋅ 9 10 3 7 9 13 9 15

δ) 9 ⋅

5 2 4 ⋅ ⋅ 6 3 15

ε) 5

1 4 ⋅ . 2 7

Λύση

4 3 12 : 6 2 ⋅ = = . 9 10 90 : 6 15 1 2 5 1⋅ 2 ⋅ 5 10 = . β) ⋅ ⋅ = 3 7 9 3 ⋅ 7 ⋅ 9 189 15 1 13 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 13 15 ⎞ γ) 9 ⋅ ⋅ ⋅ = ⎜ 9 ⋅ ⎟ ⋅ ⎜ ⋅ ⎟ = 1⋅ 1 = 1. 13 9 15 ⎝ 9 ⎠ ⎝ 15 13 ⎠

α)

Οι αριθµοί 9 και

1 , όπως και οι 9

15 13 είναι αντίστροφοι. και 13 15

Μπορούµε να απλοποιού5 2 4 5 2 4 1 2 4 4 µε τα κλάσµατα και πριν ⋅ ⋅ = 3⋅ ⋅ ⋅ = . δ) 9 ⋅ ⋅ ⋅ = 9 ⋅ 3 6 3 15 3 15 2 3 3 3 από τις πράξεις. 2 6 1

3

1 4 11 4 44 : 2 22 = . ε) 5 ⋅ = ⋅ = 2 7 2 7 14 : 2 7

2.

1 ισούται 2 5 ⋅ 2 + 1 10 + 1 11 µε = = . 2 2 2

Ο µεικτός 5

Να βρείτε τους αντίστροφους των αριθµών: 2 1 5 3 7 α= + + και β =2 ⋅ ⋅ . 3 6 9 5 9

Λύση Κάνουµε πρώτα τις πράξεις: 6 3 2 ΕΚΠ=18 2 1 5 2 1 5 12 3 10 12 + 3 + 10 25 . α= + + = + + = + + = = 3 6 9 3 6 9 18 18 18 18 18 25 18 . είναι το Το αντίστροφο κλάσµα του 25 18 1

3 7 1 7 2 ⋅ 1⋅ 7 14 β=2 ⋅ ⋅ = 2⋅ ⋅ = = . 5 93 5 3 5 ⋅ 3 15 14 15 . είναι το Το αντίστροφο κλάσµα του 14 15 104 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3.

Αν α =

3 5

7 και β ⋅ γ = 2 , να υπολογίσετε το γινόµενο ( α ⋅ γ ) ⋅ β . 9

Λύση

7 2 ⋅ 9+7 18 + 7 25 = = β ⋅ γ=2 = 9 9 9 9

(α · γ) · β Προσεταιριστική ιδιότητα = α · γ · β Αντιµεταθετική ιδιότητα =α · (β · γ)= 3 25 75 : 15 5 = ⋅ = = . 5 9 45 : 15 3

4.

Να κάνετε τις πράξεις: 3 ⎛1 3⎞ ⎛ 1 3 1⎞ 5 α) ⋅ ⎜ + ⎟ β) ⎜ + − ⎟ ⋅ 5 ⎝7 7⎠ ⎝3 2 4⎠ 2 5 16 4 5 4 1 δ) 1 − ε) ⋅ − ⋅ ⋅ 12 25 7 3 7 9

⎛ 1 2⎞ ⎛ 3 1⎞ γ) ⎜ + ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ ⎝3 5⎠ ⎝2 4⎠ 2 ⎛3 2⎞ 9 στ) + ⎜ − ⎟ ⋅ . 3 ⎝4 3⎠ 5

Λύση α)

3 ⎛ 1 3 ⎞ 3 4 3 ⋅ 4 12 ⋅ + = ⋅ = = . 5 ⎜⎝ 7 7 ⎟⎠ 5 7 5 ⋅ 7 35

Κάνουµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις.

⎛ 4 6 3 ⎞ ⎛ 1 3 1 ⎞ 5 ΕΚΠ=12 ⎜ 1 3 1 ⎟ 5 = + − ⋅ = β) ⎜ + − ⎟ ⋅ ⎜⎜ 3 2 4 ⎟⎟ 2 ⎝3 2 4⎠ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 4 18 3 ⎞ 5 4 + 18 − 3 5 22 − 3 5 19 5 19 ⋅ 5 95 = ⎜ + − ⎟⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = = . 12 2 12 2 12 2 12 ⋅ 2 24 ⎝ 12 12 12 ⎠ 2

γ)

⎛ 5 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 3 1 ⎟ ⎛ 1⋅ 5 2 ⋅ 3 ⎞ ⎛ 3 ⋅ 2 1 ⎞ ⎛ 5 6 ⎞ ⎛ 6 1 ⎞ ⎜ 3 + 5 ⎟ ⋅ ⎜ 2 − 4 ⎟ = ⎜⎝ 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 3 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ 2 ⋅ 2 − 4 ⎟⎠ = ⎜⎝ 15 + 15 ⎟⎠ ⋅ ⎜⎝ 4 − 4 ⎟⎠ = ⎜N⎟ ⎜N⎟ ⎝ ΕΚΠ=15 ⎠ ⎝ ΕΚΠ=4 ⎠ 11 5 55 11 = ⋅ = = . 15 4 60 12 1

4

5 16 1 4 5 16 Απλοποιούµε πριν ⋅ = 1− ⋅ Προηγείται ο πολ= 1− δ) 1− ⋅ 3 5 3 5 λαπλασιασµός. 12 25 τις πράξεις. 12 25 105 Α.2.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

= 1−

ε)

1⋅ 4 4 15 4 15 − 4 11 = 1− = − = = . 3⋅5 15 15 15 15 15

4 5 4 1 ⋅ − ⋅ 7 3 7 9

Εφαρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητα µε το

4 κοινό παράγοντα 7

⎛ 3 ⎞ 4 ⎛ 5 1 ⎞ 4 ⎜ 5 1 ⎟ 4 ⎛ 15 1 ⎞ 4 14 56 : 7 8 = ⋅⎜ − ⎟= ⋅ − = ⋅ − = ⋅ = = . 7 ⎝ 3 9 ⎠ 7 ⎜⎜ 3 9 ⎟⎟ 7 ⎜⎝ 9 9 ⎟⎠ 7 9 63 : 7 9 ⎝ ⎠ 2 ⎛3 2⎞ 9 στ) + ⎜ − ⎟ ⋅ . 3 ⎝4 3⎠ 5

Λύση µε βοήθεια Συµπληρώστε τα κενά Κάνουµε πρώτα την αφαίρεση µέσα στις ................................................ ΕΚΠ(4,3)=......

..... ⎞ ⎛ ..... 2 ⎛ 3 2 ⎞ 9 2 ⎜ 3 2 ⎟ 9 2 ⎛ 9 ..... ⎞ 9 2 ..... 9 + − ⋅ = + − ⋅ = + − ⋅ = + ⋅ . 3 ⎜⎝ 4 3 ⎟⎠ 5 3 ⎜⎜ 4 3 ⎟⎟ 5 3 ⎜⎝ 12 ..... ⎟⎠ 5 3 12 5 ⎝ ⎠ 2 ..... ⋅ 9 2 ..... = + Προηγείται ο ..................................... + . 3 12 ⋅ 5 3 60 Μετατρέπουµε τα κλάσµατα σε ........................ βρίσκοντας το ΕΚΠ(3,60)=...... και στη συνέχεια τα προσθέτουµε: .......................................................................... =

5.

Να συγκρίνετε τα

49 . 60

3 2 42 του 15 µε τα του . 5 3 5

Λύση

3 3 του 15 πολλαπλασιάζοντας το κλάσµα µε το 15. 5 5 3 3 ⋅ 15 45 ⋅ 15 = = =9. 5 5 5

Βρίσκουµε τα

Όµοια υπολογίζουµε το γινόµενο: 106 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

14

2 42 2 42 2 ⋅ 14 28 5 ⋅ 5 + 3 5 ⋅ 5 3 3 3 = = = = + = 5+ = 5 . ⋅ = ⋅ 3 5 5 5 5 5 5 5 5 31 5 3 Ισχύει ότι 9> 5 . 5

6.

Ένας µαθητής Γυµνασίου διαθέτει το

1 της µέρας του για το σχολείο, το 4

1 σε εξωσχολικές δραστηριότητες (Ξένες γλώσσες, αθλητισµός, κ.λ.π.), 12 1 3 για διάβασµα των µαθηµάτων του και τα για ύπνο. Πόσες ώρες διτο 8 8

αθέτει την ηµέρα για το σχολείο, τις διάφορες δραστηριότητες, το διάβασµα και τον ύπνο;

Λύση

1 24 ⋅ 24 = = 6 ώρες. 4 4 1 24 Για εξωσχολικές δραστηριότητες: ⋅ 24 = = 2 ώρες. 12 12 1 24 3 72 = 3 ώρες και για ύπνο ⋅ 24 = = 9 ώρες. Για διάβασµα: ⋅ 24 = 8 8 8 8

Ο µαθητής διαθέτει για το σχολείο:

7.

Σε µια πόλη το µάλιστα τα

1 των κατοίκων έχει ηλικία µεγαλύτερη από 65 χρόνια και 3

3 από αυτούς έχουν ηλικία µεγαλύτερη από τα 80 χρόνια. 200

α) Να βρείτε ποιο µέρος των κατοίκων έχουν ηλικία πάνω από τα 80 χρόνια. 1 β) Αν το των κατοίκων είναι 4.200 κάτοικοι να βρείτε πόσοι έχουν ηλικία 10 πάνω από τα 80 χρόνια.


Λύση

3 1 από το των κατοίκων που έχουν ηλικία πάνω από τα 80 χρόνια εί200 3 3 1 1 ⋅ = των κατοίκων της πόλης. ναι 200 3 200 10 1 και αφού το είναι 4.200 β) Ολόκληρος ο πληθυσµός της πόλης είναι τα 10 10

α) Τα

κάτοικοι, συνολικά η πόλη έχει 10 · 4.200=42.000 κατοίκους. 1 1 420 Από αυτούς το = 210 είναι µεγαλύτεροι , δηλαδή οι ⋅ 42.0 00 = 200 2 00 2 από τα 80 χρόνια.


Να συµπληρώσετε τον πίνακα: 3 2

0 1 4 2 3


3 4

7 5

2.

Να αντιστοιχίσετε τα γινόµενα της στήλης Α µε τα αποτελέσµατα της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ Α 1 1 ⋅ • 2 3 4 5 ⋅ • 5 8 7 12 ⋅ • 3 2 5 3 ⋅ ⋅ • 3 9 2 2 3 ⋅ • 10 10

3.

ΣΤΗΛΗ Β •

28

•

3 50 5 9 1 15 1 6

• • •

Να συµπληρώσετε τον πίνακα:

4 9

Αριθµός

1 10

75

1

0

4

1 5

2 5 + 3 3

1 3 ⋅ 5 2

Αντίστροφος

4.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα όπως το παράδειγµα. 1 2

x

5 4

3 10

2

5.

x

2

x

3

1 1 1 ⎛ 1⎞ ⎜ 2⎟ = 2⋅2 = 4 ⎝ ⎠

Να υπολογίσετε τα γινόµενα: 2 9 5 3 2 α) ⋅ ⋅ β) 12 ⋅ ⋅ 3 8 3 36 7 3 1 13 1 2 53 δ) 2 ⋅ ⋅ ε) 2 ⋅ 2 2 3 5 5 4

7 3 ⋅ 100 ⋅ 10 21 1 1 2 9 στ) 11⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . 2 3 3 4

γ)


6.

Να κάνετε τις πράξεις: 2 2 1 16 α) ⋅ + ⋅ 11 9 11 9 3 4 7 1 δ) ⋅ − ⋅ 4 5 3 7

⎛ 1 1⎞ ⎛ 3 2 ⎞ ζ) ⎜ + ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ ⎝2 3⎠ ⎝4 3⎠

7.

Αν α=3 ⋅

3 1 7 + ⋅ 4 4 2 12 13 79 123 ε) ⋅ − ⋅ 13 12 123 79

β)

1 1 γ) 15 ⋅ − 3 ⋅ 3 10 1 ⎛ 1 1⎞ στ) ⋅ ⎜ − ⎟ 5 ⎝2 3⎠

⎛ 5 4 ⎞ 30 η) 3+ ⎜ − ⎟ ⋅ . ⎝6 5⎠ 7

1 1 1 1 , β=3 και γ= ⋅ , να υπολογίσετε: 2 2 2 3

α) Τις τιµές των α, β και γ. β) Τις τιµές των παραστάσεων Α=α · β · γ και Β=(α+β) · (α−γ).

8.

Να εξετάσετε αν τα

2 1 των 250 γραµµαρίων είναι περισσότερα από το του 1 5 10

κιλού. 9.

Σε µία τάξη µε 27 µαθητές τα

10.

Ένας υπάλληλος ξοδεύει τα στα και λογαριασµούς , το

2 είναι αγόρια. Πόσα είναι τα κορίτσια; 3 1 2 του µισθού του για ενοίκιο, τα για κοινόχρη5 15

1 για την ψυχαγωγία του και για διάφορα έξοδα τα 4

3 του µισθού του. Αν ο µισθός του είναι 1.500 ευρώ το µήνα, πόσα χρήµατα 10

του περισσεύουν;

11.

Αγοράσαµε από ένα κατάστηµα τροφίµων 5 πακέτα ζάχαρη του 1 κιλού προς 2 1 ευρώ το κιλό , 3 κουτιά καφέ του του κιλού προς 12 ευρώ το κιλό και 3 πακέ4 1 τα ρύζι του κιλού προς 4 ευρώ το κιλό. Να υπολογίσετε πόσο βάρος έχουν 2 όλα µαζί τα προϊόντα που αγοράσαµε και πόσα χρήµατα πληρώσαµε.


12.

Για την αγορά ενός αυτοκινήτου αξίας 12.000 ευρώ πλήρωσε κάποιος το προκαταβολή και συµφώνησε να πληρώνει µηνιαία δόση το

1 ως 4

1 του υπολοίπου 9

µέχρι την εξόφληση. Πόσα ευρώ είναι η καθεµία δόση; 5 µιας δεξαµενής χωράνε 1.500 λίτρα πετρέλαιο, να βρείτε πόσα λίτρα 7 4 χωράνε τα της δεξαµενής. 15

13.

Αν τα

14.

Το σιτάρι όταν µετατρέπεται σε αλεύρι χάνει στο άλεσµα το Το αλεύρι δίνει στο ψήσιµο τα

1 του βάρους του. 4

8 του βάρους του σε ψωµί. Πόσα κιλά ψωµί θα 5

πάρουµε από 60 κιλά σιτάρι;


Α.2.6

∆ιαίρεση κλασµάτων

Για να διαιρέσουµε δύο κλάσµατα πολλαπλασιάζουµε τον διαιρετέο µε τον αντίστροφο του διαιρέτη. α)

α γ α δ : = ⋅ β δ β γ

3 7 3 5 3 ⋅ 5 15 11 5 6 ⋅ 5 30 β) 6 : = 6 ⋅ = : = ⋅ = = = 2 5 2 7 2 ⋅ 7 14 5 11 11 11

Σύνθετο λέγεται το κλάσµα του οποίου ένας τουλάχιστον όρος είναι κλάσµα. α β Το κλάσµα είναι σύνθετο. γ δ α β α⋅δ Μετατροπή σύνθετου κλάσµατος σε απλό: = γ β⋅γ δ 3 Τα κλάσµατα α) 7 5 2

4 β) 5 6

µε σε απλά: 3 3⋅2 6 = β) α) 7 = 5 7 ⋅ 5 35 2 2 2 2 ⋅ 9 18 = 1 = = γ) 1 1 1⋅ 1 1 9 9

γ)

2 είναι σύνθετα και µπορούµε να τα µετατρέψου1 9

4 4 5 = 5 = 4 ⋅1 = 4 : 2 = 2 6 6 5 ⋅ 6 30 : 2 15 1

= 18 .



Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: 3 4 • Το πηλίκο της διαίρεσης : είναι ίσο µε: 2 5 12 15 6 Β. Γ. Α. 10 8 20 7 • Το πηλίκο της διαίρεσης 7 : είναι ίσο µε: 5 5 49 Β. Γ. Α. 5 49 5 7 • Το σύνθετο κλάσµα ∆ΕΝ είναι ίσο µε: 15 2 7 15 14 Β. 7 : Γ. Α. 15 2 2 15 2 1 • Το πηλίκο : γράφεται σαν κλάσµα: 3 5 1 2 2 Β. 3 Α. 3 Γ. 5 2 1 5 3 5

2.

Να συµπληρώσετε τα κενά: 3 5 3 ..... ..... 4 9 ..... ..... ..... α) : = ⋅ = β) : = ⋅ = 2 3 2 ..... ..... 5 11 ..... ..... ..... δ) 5 :

..... 40 = ..... 3

ε)

15 3 : ..... = 4 4

7 ..... 7 ..... ..... = ⋅ = : 3 4 3 ..... 15 7 7 ⋅ ..... ..... στ) 2 = = 3 ..... ⋅ ..... ..... 4

γ)

113 Α.2.6 ∆ΙΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ


Να αντιστοιχίσετε τις διαιρέσεις της στήλης Α µε τα πηλίκα τους στη στήλη Β. ΣΤΗΛΗ Α 14 28 α) : 25 15 10 β) 3: 3 5 : 10 γ) 11 27 :1 δ) 11 9 1: ε) 4 17 στ) 0: 19 27 :0 ζ) 43 123 123 : η) 56 56 13 15 : θ) 15 13 1 1 ι) 2 : 5 2 2

ΣΤΗΛΗ Β 132 152 4 9

1) 2) 3)

0 3 10

4)

5) ∆εν ορίζεται 6) 1 27 7) 11 5 8) 11 9 9) 10 1 10) 22

1

3

Α

α

β γ δ ε στ ζ η θ

Β

Λύση

14 28 14 15 1 3 1⋅ 3 3 : = ⋅ = ⋅ = = → 4) . 2 25 15 25 5 28 5 2 5 ⋅ 2 10 10 3 3⋅3 9 = 3⋅ = = → 9) . β) 3: 3 10 10 10 5 5 10 5 1 1 1 1⋅ 1 1 : 10 = : = ⋅ = ⋅ = = → 10) . γ) 2 11 11 1 11 10 11 2 11⋅ 2 22

α)

δ)

27 27 : 1= → 7) . 11 11


ι

9 4 4 17 19 ε) 1: = 1⋅ = → 2) . στ) 0: = 0 ⋅ = 0 → 3 ) . 4 9 9 19 17 27 123 123 : 0 δεν ορίζεται → 5) . η) ζ) : = 1 → 6) . 23 26 26 1 1 2 ⋅ 2 + 1 2 ⋅ 5 + 1 4 + 1 10 + 1 5 11 5 2 5 : = : = : = ⋅ = → 8) . θ) 2 : 5 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 11 2 13 15 13 13 13 ⋅ 13 13 : = ⋅ = = → 1) . ι) 15 13 15 15 15 ⋅ 15 152

Συµπληρώνουµε τον πίνακα:

2.

Α

α

β

γ

δ

ε στ ζ η θ

Β

4

9 10 7 2

3

ι

5 6 8 1

Να γίνουν οι διαιρέσεις: 3 ⎛ 5 10 ⎞ ⎛ 9 ⎞ 1 α) : ⎜ : β) ⎜ : 3⎟ : . ⎟ 4 ⎝2 7 ⎠ ⎝ 10 ⎠ 5

Λύση

α)

3 ⎛ 5 10 ⎞ Προηγείται η πράξη 3 ⎛ 5 7 ⎞ 3 35 3 20 60 :⎜ : ⎟ = :⎜ ⋅ ⎟ = : = ⋅ = = 4 ⎝ 2 7 ⎠ στην παρένθεση. 4 ⎝ 2 10 ⎠ 4 20 4 35 140 60 : 20 3 = = . 140 : 20 7

⎛ 9 ⎞ 1 Προηγείται η πράξη ⎛ 9 3 ⎞ 1 ⎛ 9 1 ⎞ 1 9 1 β) ⎜ : 3 ⎟ : ⎜ 10 : 1 ⎟ : 5 = ⎜ 10 ⋅ 3 ⎟ : 5 = 30 : 5 = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 10 ⎠ 5 στην παρένθεση. 9 5 45 45 : 15 3 = ⋅ = = = . 30 1 30 30 : 15 2

3.

Να κάνετε τις πράξεις: 17 1 α) − :4 β) 20 5 ⎛ 17 2 1 ⎞ 4 − + ⎟: ε) δ) ⎜ ⎝ 27 9 3 ⎠ 9

3 6 : 2 5 1⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎛ ⎜2 − 5 ⎟ : ⎜ 5 + 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2+

5 1 2 4 ⋅ + : 4 3 5 7 2 ⎛4 3⎞ ⎛ 7⎞ στ) + ⎜ − ⎟ : ⎜3 − ⎟. 25 ⎝ 5 4 ⎠ ⎝ 4⎠

γ)


Λύση

17 1 17 1 4 17 1 1 − : 4 Προηγείται η διαίρεση. = − : = − ⋅ = 20 5 20 5 1 20 5 4 17 1 16 16 : 4 4 = − = = = . 20 20 20 20 : 4 5 12 3 5 15 2 15 24 15 3 6 Προηγείται η διαίρεση. β) 2+ : = 2+ ⋅ = 2 + = + = + = 2 6 12 1 12 12 12 2 5 39 39 : 3 13 = = = . 12 12 : 3 4 5 1 2 4 Προηγούνται ο πολλαπλασια5 ⋅ 1 2 7 5 14 γ) ⋅ + : = + ⋅ = + 4 3 5 7 σµός και η διαίρεση. 4 ⋅ 3 5 4 12 20

α)

5

2

12=2 · 3 2 20=2 · 5

3

ΕΚΠ=2 · 3 · 5=60 = 5 + 14 = 25 + 42 = 67 . 12 20 60 60 60 2

3 9 ⎞ ⎛ Προηγείται η πράξη στην 17 2 1 4 17 2 1 4 ⎛ ⎞ δ) ⎜ − + ⎟ : παρένθεση. ΕΚΠ(27,9,3)=27. = ⎜ − + ⎟ : = ⎜⎜ 27 9 3 ⎟⎟ 9 ⎝ 27 9 3 ⎠ 9 ⎝ ⎠ 5

1

9 ⎞ 4 17 − 6 + 9 4 11+ 9 4 20 4 20 9 ⎛ 17 6 = : = : = : = ⋅ =⎜ − + ⎟: = 27 9 27 9 27 9 27 3 4 1 ⎝ 27 27 27 ⎠ 9 5 ⋅1 5 = = . 3 ⋅1 3 ΕΚΠ=5 ΕΚΠ=15

⎛ 5 ⎞ ⎛ 3 5 ⎞ 5 ⎞ 9 11 1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎜ 2 1 ⎟ ⎜ 2 1 ⎟ ⎛ 10 1 ⎞ ⎛ 6 ⎛ ε) ⎜ 2 − ⎟ : ⎜ + ⎟ = − : + =⎜ − ⎟:⎜ + ⎟ = : = 5 ⎠ ⎝ 5 3 ⎠ ⎜⎜ 1 5 ⎟⎟ ⎜⎜ 5 3 ⎟⎟ ⎝ 5 5 ⎠ ⎝ 15 15 ⎠ 5 15 ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3

9 3 27 9 15 ⋅ = ⋅ = . 5 1 11 1 11 11 ΕΚΠ=20 ΕΚΠ=4

⎛ 4 5 ⎞ ⎛ 4 ⎞ 2 ⎛4 3⎞ ⎛ 7⎞ 2 ⎜4 3⎟ ⎜3 7⎟ στ) + − : − = + − : 3− ⎟ = 25 ⎜⎝ 5 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 ⎠ 25 ⎜⎜ 5 4 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 4 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1

2 ⎛ 16 15 ⎞ ⎛ 12 7 ⎞ 2 1 5 2 1 4 2 1 3 + + ⋅ = + = . : = = +⎜ − ⎟:⎜ − ⎟ = 25 ⎝ 20 20 ⎠ ⎝ 4 4 ⎠ 25 20 4 25 20 5 5 25 25 25


4.

Να µετατρέψετε τα σύνθετα κλάσµατα σε απλά. 1 1 1 3 5 1 + − : 2 3 6 7 4 2 α) β) γ) 1 5 8 1 2 7 2 + − ⋅ 4 6 15 30 3 3

Λύση

3 Mετατρέπουµε τον µεικτό αριθµό σε α) 7 1 απλό κλάσµα: 2 1 = 2 ⋅ 4 + 1 = 8 + 1 = 9 . 2 4 4 4 4 4

3 3 ⋅ 4 12 4 = = . =7= 9 7 ⋅ 9 63 21 4

ΕΚΠ(2,3,6 ) = 6

1 1 1 1⋅ 3 1⋅ 2 1 3 2 1 3 + 2 −1 + − + − + − 6 = β) 2 3 6 = 2 ⋅ 3 3 ⋅ 2 6 = 6 6 6 = 5 8 1 5⋅5 8⋅2 1 25 16 1 25 + 16 − 1 + − + − + − 6 15 30 6 ⋅ 5 15 ⋅ 2 30 30 30 30 30

ΕΚΠ(6,15,30 ) = 30

5 −1 4 4 ⋅ 30 120 1 = 6 = 6 = = = . 41− 1 40 6 ⋅ 40 240 2 30 30 5 1 5 2 10 : ⋅ 10 ⋅ 9 90 45 = = . γ) 4 2 = 4 1 = 4 = 2 7 14 14 4 ⋅ 14 56 28 ⋅ 3 3 9 9

5.

Πόσα πακέτα των

3 του κιλού χρειάζονται για να συσκευάσουµε 150 κιλά 4

ζάχαρη;

Λύση

Θα χρειαστούν 150 :

3 4 600 = 150 ⋅ = = 200 πακέτα. 4 3 3


6.

Ένα αυτοκίνητο κάνει τα νητο κάνει τα

6 µιας διαδροµής σε 3 ώρες. Ένα άλλο αυτοκί11

8 της ίδιας διαδροµής σε 4 ώρες. Ποιο αυτοκίνητο κινείται 9

πιο γρήγορα;

Λύση µε βοήθεια Συµπληρώστε τα κενά Το πρώτο αυτοκίνητο κάνει σε 1 ώρα τα

6 6 3 6 1 6:3 2 :3= : = ⋅ = = 11 11 1 11 3 33 : 3 11

της διαδροµής. Το δεύτερο αυτοκίνητο κάνει σε 1 ώρα τα

.... 2 : .... = ...................... = .... 9

της διαδροµής. Συγκρίνουµε τα κλάσµατα

.... .... , που έχουν ίσους ....................... . .... ....

Μεγαλύτερο είναι εκείνο µε το ............................. παρονοµαστή. .... .... > . Οπότε το ....................... αυτοκίνητο είναι πιο γρήγορο. Άρα .... ....

7.

Τα

2 1 των φοιτητών µιας Σχολής γνωρίζουν Αγγλικά, το Γαλλικά και 28 3 7

φοιτητές άλλες γλώσσες. Πόσους φοιτητές έχει η Σχολή;

Λύση Οι φοιτητές που γνωρίζουν Αγγλικά και αυτοί που γνωρίζουν Γαλλικά είναι τα 7 3 2 1 ΕΚΠ=21 2 1 14 3 17 + = + = + = της Σχολής. 3 7 3 7 21 21 21 17 21 17 4 = − = της Σχολής. Οι υπόλοιποι 28 είναι τα 1− 21 21 21 21 7 21 4 Οπότε συνολικά οι φοιτητές είναι 28 : = 28 ⋅ = 7 ⋅ 21 = 147. 21 4



Να τοποθετήσετε στη θέση του

ένα από τα σύµβολα +, –, · , : , ώστε να ι-

σχύουν οι ισότητες. 2 2 2 2 α) − = 0 β) =1 3 3 3 3 1 1 3 1 1 1 στ) = = ε) 2 3 2 2 3 6

2.

3.

4.

Να κάνετε τις διαιρέσεις: 8 3 5 2 α) : β) : 5 7 4 3 1 1 3 3 ζ) : στ) : 2 3 5 5

γ)

2 3

ζ) 2

40 8 : 21 35 3 5 η) : 5 3

γ) 3 : ζ)

δ)

δ)

5 9

δ) 3 :

9 :3 8

η)

2 3

η) 2

3 1 : 8 5 96 64 θ) . : 125 75

γ)

Να κάνετε τις διαιρέσεις: 12 7 α) 0 : β) 1: 7 3 6 7 στ) : 7 ε) : 5 7 9

2 4 = 3 9 1 1 =2 2 2

ε)

2 4 = 3 3 1 =4. 2

1 9 : 2 8

1 3

15 : 1. 17

Να κάνετε τις διαιρέσεις: 1 5 α) 3 : 2 6

β) 7 : 1

3 4

⎛ 3⎞ 7 δ) ⎜ 5 : ⎟ : ⎝ 2⎠ 4

⎛5 2⎞ ⎛ 1 3⎞ ε) ⎜ : ⎟ : ⎜ : ⎟ ⎝2 3⎠ ⎝2 5⎠

4 3 γ) : 5 2 2 9 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2⎞ στ) ⎜ : 2 ⎟ : ⎜ 3 : ⎟ . ⎝4 ⎠ ⎝ 3⎠


5.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα γράφοντας στη στήλη Β το χαρακτηρισµό Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Όπου βάζετε Λ να συµπληρώνετε και τη στήλη Γ µε το σωστό αποτέλεσµα.

α) β) γ) δ) ε)

στ) ζ)

6.

7.

ΣΤΗΛΗ Α

ΣΤΗΛΗ Β

ΣΤΗΛΗ Γ

Πράξεις 3 3 2 : = 5 2 5 3 27 9: = 4 4 3 1 18 3 : = 5 2 5 ⎛ 2⎞ 2 ⎜ 4 ⋅ 3 ⎟ : 9 = 12 ⎝ ⎠

ΣήΛ

Σωστό αποτέλεσµα

3 1 = 3 4 4 ⎛ 2 1 ⎞ 4 15 ⎜ 3 + 3 ⎟ : 15 = 4 ⎝ ⎠ 2 1 4 15 + : = 3 3 15 4

Να κάνετε τις πράξεις: 2 5 3 9 1 5 α) + : β) − : 9 4 4 10 2 8 1⎞ 6 ⎛ 1 6 ε) ⎜ 2 − ⎟ : δ) 2 − : 5 ⎠ 35 5 35 ⎝

2 1 1 3 : − ⋅ 3 4 2 2 4 2 1 1 στ) : − ⋅ . 15 9 2 3

γ)

Να κάνετε τις πράξεις: 1 1 3 1 ⎛ 1 1⎞ ⎛ 3 1⎞ ⎛ 1 1 3⎞ 2 α) + : − β) ⎜ + ⎟ : ⎜ − ⎟ γ) ⎜ + + ⎟ : 2 3 4 3 ⎝2 3⎠ ⎝4 3⎠ ⎝2 7 4⎠ 5 ⎛ 1 1 1⎞ 7 ⎛ 3 1⎞ 5 ⎛ 4 1⎞ 1 ε) ⎜ − ⎟ : + ⎜ − ⎟ : . δ) ⎜ + − ⎟ : ⎝8 2 3⎠ 6 ⎝ 2 2⎠ 4 ⎝ 5 2⎠ 5


8.

9.

Nα µετατρέψετε τα σύνθετα κλάσµατα σε απλά. 3 3 3 :2 3 10 5 4 γ) β) δ) α) 3 2 5 6 5 ⋅ 4 3 3 7 Θεωρούµε τις παραστάσεις Α = 3 :

3 5 ε) 1 2 7 1−

1 3 + 2 5 στ) 7 2 − 2 5

5 4 3⎞ ⎛ + 2 ⋅ και Β= ⎜ 2 − ⎟ : 2 . 4 5 2⎠ ⎝

Να υπολογίσετε το πηλίκο Α:Β. 10.

1 Σε πόσα µπουκάλια του 1 λίτρου χωράνε 120 λίτρα νερό; 2

11.

Ένας εργάτης τελειώνει τα

2 ενός έργου σε 3 ώρες. Σε πόσες ώρες τελειώνει 5

ολόκληρο το έργο; 12.

Μία βρύση γεµίζει µια δεξαµενή σε 3 ώρες. Μια δεύτερη βρύση τη γεµίζει σε 6 ώρες. Σε πόσες ώρες γεµίζουν τη δεξαµενή και οι δύο βρύσες µαζί;

13.

Τρία συνεργεία πρόκειται να ασφαλτοστρώσουν 33 µέτρα ενός δρόµου. Το πρώτο κάνει για το ένα µέτρο 10 λεπτά, το δεύτερο για το ένα µέτρο 20 λεπτά και το τρίτο για το ένα µέτρο 30 λεπτά. Σε πόσες ώρες θα τελειώσει το έργο αν εργαστούν και τα τρία συνεργεία µαζί;


A.3.1

∆εκαδικά κλάσµατα - ∆εκαδικοί αριθµοί - ∆ιάταξη δεκαδικών αριθµών - Στρογγυλοποίηση

Πολλές φορές ένα µέγεθος δεν µπορεί να αποδοθεί από ένα µόνο φυσικό αριθµό και µε µια µονάδα µέτρησης. Αν για παράδειγµα το βάρος ενός ανθρώπου είναι 75 κιλά και 820 γραµµάρια µπορούµε να πούµε ότι ζυγίζει 75,820 κιλά. Ο αριθµός 75,820 λέγεται δεκαδικός. Κάθε δεκαδικός αριθµός γράφεται µε τη βοήθεια των ψηφίων 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 και αποτελείται από δύο µέρη που χωρίζονται από ένα κόµµα, την υποδιαστολή. Το µέρος που είναι πριν την υποδιαστολή λέγεται ακέραιο µέρος ενώ αυτό που είναι µετά λέγεται δεκαδικό µέρος. ακέραιο µέρος 75 , 820 δεκαδικό µέρος • Κάθε φυσικός αριθµός µπορεί να γραφεί ως δεκαδικός αν µετά το τελευταίο ψηφίο του βάλουµε υποδιαστολή και όσα µηδενικά θέλουµε. • Μηδενικά µπορούµε να βάλουµε και στην αρχή του ακέραιου µέρους και στο τέλος του δεκαδικού µέρους ενός δεκαδικού αριθµού χωρίς να αλλάξει ο αριθµός. • 35=35,0=35,00=35,000

• 7,92=07,9200 • 45,8000 = 45,8

Ο παρακάτω πίνακας µας δείχνει πως γράφουµε και πως διαβάζουµε ένα δεκαδικό αριθµό:

123 A.3.1 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

∆ΕΚΑ∆ΙΚΟ ΜΕΡΟΣ

ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ

1

5 1 0

...

10

0 8 7

...

∆έκατα

100

0 4 0

Χιλιοστά

Μονάδες

1.000

3 3 6

Εκατοστά

∆εκάδες χιλιάδες 10.000

8 2

∆εκάδες

Εκατοντάδες χιλιάδες 100.000

1

9 0

∆εκαδικός αριθµός

Εκατοντάδες

Εκατοµµύρια 1.000.000

1 1 1 10 100 1000

Χιλιάδες

∆εκάδες εκατοµµύρια

Μονάδων

10.000.000

Τάξεις

Χιλιάδων

... ...

Εκατοµµυρίων

... ...

Κλάσεις

6 2

30,056 9834,81 10260,702

Θέση υποδιαστολής • Ο δεκαδικός αριθµός 30,056 διαβάζεται τριάντα και 56 χιλιοστά ή τριάντα κόµµα µηδέν πενήντα έξι. • Ο δεκαδικός αριθµός 9834,81 διαβάζεται εννέα χιλιάδες οκτακόσια τριάντα τέσσερα και ογδόντα ένα εκατοστά ή εννέα χιλιάδες οκτακόσια τριάντα τέσσερα κόµµα ογδόντα ένα.

Κάθε κλάσµα

α ισούται µε το πηλίκο της διαίρεσης α:β. β

5 17 = 5 : 8 = 0,625 . Το πηλίκο της διαίρεσης 17:11= . 8 11 60 • Το κλάσµα = 60 : 11 = 5,45454... . Εδώ το υπόλοιπο δε βγαίνει 0 όσο και αν συ11

• Το κλάσµα

νεχίσουµε τη διαίρεση και εποµένως το πηλίκο δεν είναι ακριβές.


60 , 00000 11 5 0 5,45454...

Στην περίπτωση αυτή γράφουµε το πηλίκο µε προσέγγιση: • δέκατου: 5,4

60 50 60

• εκατοστού: 5,45

50

• χιλιοστού: 5,454 κ.λ.π.

6 ...

Κλάσµατα µε παρονοµαστή 10,100,1000, ... (δηλαδή µια δύναµη του 10) λέγονται δεκαδικά κλάσµατα. Τα κλάσµατα

31 7 61 450 98 είναι δεκαδικά κλάσµατα. , , , , 10 100 1000 10000 108

Κάθε δεκαδικός αριθµός γράφεται ως δεκαδικό κλάσµα µε αριθµητή τον ίδιο τον αριθµό χωρίς την υποδιαστολή και παρονοµαστή τη µονάδα ακολουθούµενη από τόσα µηδενικά, όσα και τα δεκαδικά ψηφία του αριθµού. 3, 54 = 2

354 23 10093 , 0, 023 = , 1, 0093 = 1000 10000 . 100 3 4 2

3

4

Για να µετατρέψουµε ένα κλάσµα σε δεκαδικό κλάσµα: • Μπορούµε να διαιρέσουµε τους όρους του και να µετατρέψουµε το πηλίκο που θα προκύψει σε δεκαδικό κλάσµα. 5 625 132 528 . = 5 : 8 = 0,625 = , = 132 : 25 = 5,28 = 8 1000 25 100

• Να µετατρέψουµε το αρχικό κλάσµα σε ισοδύναµό του δεκαδικό πολλαπλασιάζοντας τους όρους του µε τον κατάλληλο φυσικό αριθµό (αν υπάρχει). 14 14 ⋅ 4 56 5 5 ⋅ 125 625 . = = , = = 25 25 ⋅ 4 100 8 8 ⋅ 125 1000



1 5 15 κ.λ.π. δε µετατρέπονται σε δεκαδικά αφού δεν υπάρχουν φυ, , 3 6 7

σικοί αριθµοί µε τους οποίους θα πολλαπλασιάσουµε τους όρους των κλασµάτων για να πάρουµε παρονοµαστή 10,100,1000, κ.λ.π. Ενώ αν διαιρέσουµε τους όρους τους το πηλίκο που θα προκύψει δεν θα είναι ακριβές. Σε αυτή την περίπτωση µπορούµε να πάρουµε δεκαδικά κλάσµατα περίπου ίσα µε τα αρχικά.

Σύγκριση δεκαδικών αριθµών Για να συγκρίνουµε δύο δεκαδικούς αριθµούς που δεν είναι ίσοι συγκρίνουµε τα ακέραια µέρη τους: • Αν είναι διαφορετικά, µεγαλύτερος είναι αυτός µε το µεγαλύτερο ακέραιο µέρος. • Αν είναι ίσα, συγκρίνουµε τα δεκαδικά µέρη αρχίζοντας από το ψηφίο των δεκάτων: Αν είναι διαφορετικά, µεγαλύτερος είναι αυτός µε το µεγαλύτερο ψηφίο. Αν είναι ίσα, συγκρίνουµε τα εκατοστά κ.λ.π. Για το αποτέλεσµα της σύγκρισης χρησιµοποιούµε τα σύµβολα > (µεγαλύτερο), = (ίσο) και < (µικρότερο). π.χ. α)15,23=15,230 β)186,35>107,987 γ)24,457<24,458. Όλοι οι δεκαδικοί αριθµοί µπορούν να τοποθετηθούν σε µία ευθεία. Για δεκαδικούς αριθµούς µε ένα δεκαδικό ψηφίο χωρίζουµε τα διαστήµατα 0−1,1−2,2−3,... σε 10 ίσα µέρη, για δεκαδικούς µε δύο δεκαδικά ψηφία σε 100 ίσα µέρη κ.λ.π.

Σύγκριση κλασµάτων Μπορούµε να συγκρίνουµε δύο κλάσµατα διαιρώντας τους όρους τους και συγκρίνοντας τα πηλίκα που προκύπτουν. 3 2 3 2 = 3 : 4 = 0,75 και = 2 : 5 = 0,4. Επειδή 0,75 > 0,4 έχουµε ότι > . Με τον τρόπο 4 5 4 5 αυτό δε χρειάστηκε να µετατρέψουµε τα κλάσµατα σε οµώνυµα. 126 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Στρογγυλοποίηση δεκαδικών αριθµών Για να στρογγυλοποιήσουµε έναν αριθµό σε µία δεκαδική τάξη του εξετάζουµε το ψηφίο της αµέσου µικρότερης τάξης (της επόµενης δηλαδή προς τα δεξιά): • αν αυτό είναι 0 ή 1 ή 2 ή 3 ή 4 αφήνουµε τα ψηφία του αριθµού µέχρι και την τάξη που γίνεται η στρογγυλοποίηση όπως είναι και µηδενίζουµε όλα τα επόµενα. • αν είναι 5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9 αυξάνουµε κατά 1 το ψηφίο της τάξης που γίνεται η στρογγυλοποίηση και µηδενίζουµε όλα τα επόµενα ψηφία του αριθµού. α) Να στρογγυλοποιηθεί ο αριθµός 32,734 στο δέκατο. 32, 7 34

Εντοπίζουµε το ψηφίο των δεκάτων.

ψηφίο δεκάτων Εντοπίζουµε το αµέσως επόµενο προς τα δεξιά ψηφίο και επειδή είναι το 3 (µικρότερο του 5) αντικαθιστούµε το 3 και όλα τα επόµενα ψηφία µε µηδενικά.

32, 7 00=32,7

β) Να στρογγυλοποιηθεί ο αριθµός 59,4872 στο εκατοστό. 59,4 8 72

Εντοπίζουµε το ψηφίο των εκατοστών. Εντοπίζουµε το αµέσως επόµενο προς τα δεξιά ψηφίο και επειδή είναι το 7 (µεγαλύτερο του 5) αυξάνουµε το ψηφίο 8 των εκατοστών κατά 1 (γίνεται δηλαδή 9) και αντικαθιστούµε το 7 και όλα τα επόµενα ψηφία µε µηδενικά.

ψηφίο εκατοστών

59,4 9 00


Να συµπληρώσετε τον πίνακα: ∆εκαδικός αριθµός

Ακέραιο µέρος

∆εκαδικό µέρος

895

12

34,028 129 74,... ...,16

943 0 127 A.3.1 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2.

3.

Να τοποθετήσετε στη µεσαία στήλη ένα από τα σύµβολα >,=,< 35,10

35,01

0,01

0,0100

2,016

2,019

789,9

789,901

45

045,00

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. α) Στον αριθµό 456,783 το ψηφίο των εκατοστών είναι: Α. Το 4 Β. Το 7 Γ. Το 8 3 β) Το κλάσµα : 4 Α. Είναι το πηλίκο της διαίρεσης 3:4 και ισούται µε 0,75 Β. Είναι το πηλίκο της διαίρεσης 4:3 και ισούται µε 1,333... Γ. Είναι το πηλίκο της διαίρεσης 3:4 και ισούται µε 1,333... γ) Ο δεκαδικός αριθµός 23,039 γράφεται ως δεκαδικό κλάσµα: 23039 23039 230390 Α. Β. Γ. 100 1000 10000 1 δ) Το ισοδύναµο δεκαδικό κλάσµα του είναι: 250 4 4 4 Α. Β. Γ. 100 1000 10000 ε) Αν στρογγυλοποιήσουµε τον αριθµό 3,732 και προκύψει ο αριθµός 3,7 , θα έχουµε κάνει στρογγυλοποίηση στο: Α. ∆έκατο Β. Εκατοστό Γ. Χιλιοστό στ) Αν στρογγυλοποιήσουµε τον αριθµό 43,187 στο εκατοστό, θα πάρουµε τον αριθµό: Α. 43 Β. 43,180 Γ. 43,19 ζ) Για να συγκρίνουµε τους αριθµούς 12,546 και 12,576 αρκεί να συγκρίνουµε: Α. Το 2 µε το 5 Β. Το 5 µε το 6 Γ. Το 4 µε το 7 η) Στην ευθεία των αριθµών ο αριθµός 2,5 παριστάνεται από το γράµµα: Α. Α Β. Β Γ. Γ



Να βάλετε στη σειρά από το µικρότερο στο µεγαλύτερο τους παρακάτω δεκαδικούς αριθµούς. α) 12 34,06 7,012 65,06 239,23 12,23 872,009. β) 5 5,44 5,4 5,5 5,424 5,42 5,091 5,51 5,004.

Λύση α) 7,012<12<12,23<34,06<65,06<239,23<872,009. β) 5<5,004<5,091<5,4<5,42<5,424<5,44<5,5<5,51.

2.

Να στρογγυλοποιήσετε τους αριθµούς 7,4326 15,4578 305,9712 α) στο δέκατο β) στο εκατοστό γ) στο χιλιοστό.

Λύση α) Στρογγυλοποίηση στο δέκατο: 7,4326 → 7,4000=7,4. Το αµέσως επόµενο ψηφίο από το 4 είναι το 3<5, οπότε µηδενίζουµε τα ψηφία µετά το 4. 15,4578 → 15,5000=15,5. Το αµέσως επόµενο ψηφίο από το 4 είναι το 5, οπότε µηδενίζουµε τα ψηφία µετά το 4 και αυξάνουµε το ίδιο το 4 κατά 1. 305,9712 → 306,0000=306. Το αµέσως επόµενο ψηφίο από το 9 είναι το 7>5, οπότε µηδενίζουµε τα ψηφία µετά το 9 και αυξάνουµε το ίδιο το 9 κατά 1 µε συνέπεια να αυξάνεται και το ψηφίο των µονάδων από 5 σε 6.

β) Στρογγυλοποίηση στο εκατοστό: 7,4326 → 7,4300=7,43 15,4578 → 15,4600=15,46 305,9712 → 305,9700=305,97. γ) Στρογγυλοποίηση στο χιλιοστό: 7,4326 → 7,4330=7,433 15,4578 → 15,4580=15,458 305,9712 → 305,9710=305,971.


3.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα: ∆εκαδικός αριθµός

∆εκαδικό κλάσµα

0,7 0,27 12,9 5,315 32,6543

Λύση

• Ο δεκαδικός αριθµός 0,7 έχει ένα δεκαδικό ψηφίο, άρα γράφεται δεκαδικό κλάσµα µε αριθµητή το 7 και παρονοµαστή το 10. • Ο δεκαδικός αριθµός 0,27 έχει δύο δεκαδικά ψηφία, άρα γράφεται δεκαδικό κλάσµα µε αριθµητή το 27 και παρονοµαστή το 100. • Ο δεκαδικός αριθµός 12,9 έχει ένα δεκαδικό ψηφίο, άρα γράφεται δεκαδικό κλάσµα µε αριθµητή το 129 και παρονοµαστή το 10, κ.λ.π. ∆εκαδικός αριθµός 0,7 0,27 12,9 5,315 32,6543

4.

∆εκαδικό κλάσµα 7 10 27 100 129 10 5315 1000 326543 10000

Να µετατρέψετε µε τον ευκολότερο τρόπο τα παρακάτω κλάσµατα σε δεκαδικά κλάσµατα: 7 19 151 15 21 18 53 527 α) β) γ) δ) ε) στ) ζ) η) . 4 5 8 16 20 25 400 5000


Λύση α) Πολλαπλασιάζουµε τους όρους του κλάσµατος επί 25 οπότε ο παρονοµα7 7 ⋅ 25 175 = στής θα γίνει 100: = . 4 4 ⋅ 25 100 19 19 ⋅ 20 380 β) Πολλαπλασιάζουµε του όρους του επί 20, οπότε . = = 5 5 ⋅ 20 100 18875 γ) ∆ιαιρούµε τον αριθµητή µε τον παρονοµαστή 151:8=18,875= . 1000 9375 21 21⋅ 5 105 18 18 ⋅ 4 72 δ) 15:16=0,9375= ε) στ) . = = = = 10000 20 20 ⋅ 5 100 25 25 ⋅ 4 100 53 53 ⋅ 25 1325 527 527 ⋅ 2 1054 ζ) η) . = = = = 400 400 ⋅ 25 10000 5000 5000 ⋅ 2 10000 5.

Να γράψετε τα κλάσµατα

5 10 12 , , ως δεκαδικούς αριθµούς µε προσέγγι7 9 11

ση α) δέκατου β) εκατοστού γ) χιλιοστού.

Λύση Κάνουµε πρώτα τις διαιρέσεις 5:7 , 10:9 και 12:11. 5,000... 7 10 0,714... 30 2 ...

α) Το κλάσµα

10,000... 9 10 1,111... 10 10 1 ...

12,000... 11 1 00 1,090... 10 ...

5 µε προσέγγιση δεκάτου είναι περίπου ίσο µε 0,7. 7

Με προσέγγιση εκατοστού είναι περίπου ίσο µε 0,71. Με προσέγγιση χιλιοστού είναι περίπου ίσο µε 0,714. 10 β) Το κλάσµα µε προσέγγιση δεκάτου είναι περίπου ίσο µε 1,1. 9 Με προσέγγιση εκατοστού είναι περίπου ίσο µε 1,11. Με προσέγγιση χιλιοστού είναι περίπου ίσο µε 1,111.


γ) Το κλάσµα

12 µε προσέγγιση δεκάτου είναι περίπου ίσο µε 1,0=1. 11

Με προσέγγιση εκατοστού είναι περίπου ίσο µε 1,09. Με προσέγγιση χιλιοστού είναι περίπου ίσο µε 1,090=1,09.

6.

Να τοποθετήσετε στη ευθεία των αριθµών τους δεκαδικούς αριθµούς: α) 3 3,2 3,5 3,9. β) 4,11 4,14 4,15 4,18.

Λύση α) Επειδή οι δεκαδικοί αυτοί περιέχονται µεταξύ των αριθµών 3 και 4 για να τους τοποθετήσουµε χωρίζουµε το διάστηµα 3 − 4 σε δέκα ίσα τµήµατα. Κάθε τµήµα είναι και ένα δέκατο του δεκαδικού αριθµού.

β) Επειδή οι δεκαδικοί αυτοί περιέχονται µεταξύ των αριθµών 4,10 και 4,20 για να τους τοποθετήσουµε χωρίζουµε το διάστηµα 4,10 − 4,20 σε δέκα ίσα τµήµατα. Κάθε τµήµα είναι και ένα εκατοστό του αριθµού.


∆ίνεται η σειρά των ψηφίων 30457894. Να βάλετε µια υποδιαστολή στην κατάλληλη θέση ώστε ο δεκαδικός αριθµός που θα προκύψει: α) Να έχει το ψηφίο 9 ως ψηφίο των δεκάτων. β) Να έχει το ψηφίο 9 ως ψηφίο των εκατοστών. γ) Να έχει το ψηφίο 9 ως ψηφίο των χιλιοστών.


δ) Να βρίσκεται µεταξύ των αριθµών 1 και 10. ε) Να βρίσκεται µεταξύ των αριθµών 10 και 100. στ) Να βρίσκεται µεταξύ των αριθµών 100.000 και 1.000.000. 2.

Να στρογγυλοποιήσετε τους αριθµούς 78,8641 623,03981 στο πλησιέστερο α) δέκατο β ) εκατοστό γ ) χιλιοστό.

3.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα όπως το παράδειγµα. ∆εκαδικός αριθµός

Στρογγυλοποιηµένος αριθµός

Ψηφίο που έγινε η στρογγυλοποίηση

17,932

17,930

εκατοστό

3,241

3,2

δέκατο

257,852

257,

δέκατο

72,2853

72,2850

................

3089,9123

µονάδα

15,78

15,760

εκατοστό

4,65

7,850

................

4.

α) Να γράψετε τους αριθµούς 7 7,8 7,1 7,5 7,7 από τον µικρότερο προς το µεγαλύτερο. Στη συνέχεια να τους τοποθετήσετε στην ευθεία των αριθµών. β) Να κάνετε το ίδιο µε τους αριθµούς: 4 5,4 4,5 6,3 3,7 6. γ) Να κάνετε το ίδιο µε τους αριθµούς: 6,21 6,28 6,25 6,2 6,23 6,3.

5.

Να βρείτε ποιους αριθµούς παριστάνουν κάθε φορά τα σηµεία Α, Β, Γ που είναι τοποθετηµένα στις παρακάτω ευθείες. α) β)

γ)


6.

Να αντιστοιχίσετε τα κλάσµατα της στήλης Α µε τις διαιρέσεις της στήλης Β και αυτές µε τη σειρά τους µε τους δεκαδικούς αριθµούς της στήλης Γ. ΣΤΗΛΗ Α 3 • 5 5 • 3 25 • 24 16 • 52

ΣΤΗΛΗ Β • 5:3 •

ΣΤΗΛΗ Γ • 0,64

• 16:25 •

• 0,6

• 25:16 •

• 1,5625 • 1,6666...

•

• 3:5

7.

Να γράψετε καθένα από τα παρακάτω κλάσµατα ως δεκαδικό αριθµό µε προσέγγιση: δέκατου, εκατοστού, χιλιοστού. 4 15 181 α) β) γ) . 7 17 42

8.

Να αντιστοιχίσετε τα δεκαδικά κλάσµατα µε τους δεκαδικούς αριθµούς: ΣΤΗΛΗ Α 527 • 10 527 100 527 1000 527 104


•

ΣΤΗΛΗ Β •

0,527

•

5,27

•

0,0527

•

52,7

•

•

9.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα όπως το παράδειγµα. ΚΛΑΣΜΑ 7 20 18 25 3 8

∆ΕΚΑ∆ΙΚΟ ΚΛΑΣΜΑ 35 100

∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ 0,35

750 1000 27 10000

0,65 0,0152


A.3.2

Πράξεις µε δεκαδικούς αριθµούς -– ∆υνάµεις µε βάση δεκαδικό αριθµό

Πρόσθεση - Αφαίρεση • Για να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε δεκαδικούς αριθµούς µπορούµε να τους γράψουµε τον έναν κάτω από τον άλλον ώστε τα ψηφία της ίδια τάξης (δεκάδες µε δεκάδες, µονάδες µε µονάδες, δέκατα µε δέκατα, κ.λ.π.) που πρόκειται να προστεθούν ή να αφαιρεθούν αλλά και η υποδιαστολή να βρίσκονται στην ίδια στήλη. • Οι πράξεις αυτές µπορούν να γίνουν και οριζόντια. • Ισχύουν και εδώ όλες οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθµών: αντιµεταθετική α+β=β+α, προσεταιριστική α+(β+γ)=(α+β)+γ, πρόσθεση µε το 0: α+0=0+α=α. Για να βρούµε το άθροισµα 32,14+1,232+109,3 γράφουµε τους προσθετέους τον έναν κάτω από τον άλλον: 3

2

,

1

4

1

,

2

3

2

7

2

1

0

9

,

3

1

4

2

,

6

+

οπότε 32,14+1,232+109,3=142,672

Όµοια για να βρούµε τη διαφορά 345,61–13,5 γράφουµε: 345 , 61 − 13 , 5

οπότε 345,61–13,5=332,11.

332 , 11


Πολλαπλασιασµός δεκαδικών • Για να πολλαπλασιάσουµε δύο δεκαδικούς αριθµούς αρχικά αγνοούµε την υποδιαστολή και πολλαπλασιάζουµε τους φυσικούς αριθµούς που προκύπτουν. Στη συνέχεια τοποθετούµε την υποδιαστολή στο αποτέλεσµα ώστε αυτό να έχει τόσα δεκαδικά ψηφία όσα και τα δεκαδικά ψηφία των δύο παραγόντων µαζί. • Για να πολλαπλασιάσουµε έναν δεκαδικό αριθµό µε 10, 100, 1000, ... µεταφέρουµε αντίστοιχα την υποδιαστολή µία, δύο, τρεις, ... θέσεις δεξιά, όσα δηλαδή είναι και τα µηδενικά. Αν τα δεκαδικά ψηφία του αριθµού είναι λιγότερα από τα µηδενικά του 10, 100, 1000, ... συµπληρώνουµε τις υπόλοιπες θέσεις µε µηδενικά. • Για να πολλαπλασιάσουµε έναν δεκαδικό αριθµό µε 0,1 0,01 0,001 ... µεταφέρουµε αντίστοιχα την υποδιαστολή µία, δύο, τρεις, ... θέσεις αριστερά, όσα δηλαδή είναι και τα µηδενικά. • Ισχύουν και εδώ οι ιδιότητες του πολλαπλασιασµού των φυσικών αριθµών: αντιµεταθετική α·β=β·α, προσεταιριστική α·(β·γ)=(α·β)·γ, πολλαπλασιασµός µε το 1: α·1=1·α=α, πολλαπλασιασµός µε το 0: α·0=0·α=0, επιµεριστική α·(β+γ)=α·β+α·γ. 21,5 → 1 δεκαδικό ψηφίο x 5,21 → 2 δεκαδικά ψηφία 215 + 430 1075 1,720 → 3 δεκαδικά ψηφία

4,21 4,21 4,21 4,21

· 10 =42,1 · 100 =421 · 1000 =4210 · 10000=42100

421 · 0,1 = 42,1 42,1 · 0,1 = 4,21 42,1 · 0,01 = 0,421 42,1 · 0,001 = 0,0421

∆υνάµεις δεκαδικών αριθµών Όπως στους φυσικούς αριθµούς ισχύουν οι ορισµοί: • βάση → αν ←εκθέτης = α ⋅ α ⋅ α ⋅ ... ⋅ α και α δεκαδικός αριθµός

ν παράγοντες

δύναµη του α

• α =α • 3,23=3,2 · 3,2 · 3,2=10,24 · 3,2=32,768 1

1

• 0,045 =0,045

137 Α.3.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ – ∆ΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ

∆ιαίρεση δεκαδικών αριθµών Έχουµε τις περιπτώσεις: ∆ΙΑΙΡΕΣΗ ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΥ ΜΕ ΦΥΣΙΚΟ.

∆ΙΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΜΕ ΦΥΣΙΚΟ.

Εργαζόµαστε όπως στη διαίρεση των

Επειδή κάθε φυσικός αριθµός µπορεί

φυσικών αριθµών µε τη διαφορά πως

να γραφεί και σαν δεκαδικός µε δε-

όταν κατεβάσουµε το πρώτο δεκαδικό

καδικό µέρος µηδέν, η διαίρεση

ψηφίο, βάζουµε υποδιαστολή στο πηλί-

µπορεί να συνεχιστεί βρίσκοντας πη-

κο.

λίκο δεκαδικό αριθµό. 76,5 5

542,0 4

26

14

15,3

15

135,5

22

0

20 0

∆ΙΑΙΡΕΣΗ ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΥ ΜΕ ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟ.

x10 35,21 1,2

Πολλαπλασιάζουµε τον διαιρετέο και

352,10 12

τον διαιρέτη µε την κατάλληλη δύναµη

112

του 10 έτσι, ώστε ο διαιρέτης να γίνει

x10

29,34

41

φυσικός αριθµός. Στη συνέχεια κάνου-

50

µε τη διαίρεση όπως στην περίπτωση

2

της διαίρεσης δεκαδικού µε φυσικό.

υπόλοιπο=0,02

ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

• Πώς πρέπει να τοποθετηθούν οι προσθετέοι στη πρόσθεση 7,23+28,94 ; Α. 7,23 Β. 7,23 Γ. 7,23 + 28,94 + 28,94 + 28,94 .......... .......... .......... 138 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

• Το αποτέλεσµα της πρόσθεσης 1,5+0,34+12,4+112 είναι ίσο µε: Α. 126,24 Β. 126,34 Γ. 135,24 • Το γινόµενο 5,71·100 είναι ίσο µε: Α. 57,1 Β. 571

Γ. 5710

• Το γινόµενο 5,71·0,01 είναι ίσο µε: Α. 57,1 Β. 0,571

Γ. 0,0571

• Το γινόµενο (5,71·100)·0,01 είναι ίσο µε: Α. 0,571 Β. 5,71

Γ. 57,1

• Στον πολλαπλασιασµό 215,17· _ _ =_ _ 7,925 δεν έχουν γραφεί τα δύο πρώτα ψηφία του αποτελέσµατος και ο δεύτερος παράγοντας. Ποιος θα µπορούσε να είναι ο δεύτερος παράγοντας; Α. 0,25 Β. 0,4 Γ. 2,5 • Το αποτέλεσµα της δύναµης 3,213 είναι ένας δεκαδικός αριθµός Α. µε 6 δεκαδικά ψηφία Β. Με 5 δεκαδικά ψηφία Γ. µε 3 δεκαδικά ψηφία • Στη διαίρεση 105,_ _ : 5,_ το δεκαδικό µέρος του διαιρέτη και του διαιρετέου δεν έχουν γραφεί. Ποιο θα µπορούσε να είναι το πηλίκο; Α. 2,5 Β. 25,4 Γ. 21,1 • Στη διαίρεση 15,2:1,1 έχουµε ονοµάσει π το πηλίκο και υ το υπόλοιπο. Τότε: Α. π=13,8 και υ=0,2 Β. π=13,9 και υ=0 Γ. π=13,8 και υ=0,02


Να κάνετε τις πράξεις: α) 105+42,2+15,25 β) 0,604+1,03+12,396+8,97 γ) 0,27+5,01−3,6 δ) 35,4−14,6+4,2−5,3.

Λύση α) 105+42,2+15,25 Προσεταιριστική ιδιότητα =147,2+15,25=162,45. β) 0,604+1,03+12,396+8,97= Αντιµεταθετική ιδιότητα

=0,604+12,396+1,03+8,97= =13+10 = 23. 139 Α.3.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ – ∆ΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ

γ) 0,27+5,01−3,6 Κάνουµε τις πράξεις µε τη σειρά =5,28−3,6=1,68. δ) 35,4−14,6+4,2−5,3=20,8+4,2−5,3=25−5,3=19,7.

2.

Η περίµετρος του διπλανού σχήµατος είναι 13,50 εκατοστά. Να βρείτε την πλευρά x.

Λύση µε βοήθεια Συµπληρώστε τα κενά Υπολογίζουµε πρώτα το άθροισµα των τριών γνωστών πλευρών του σχήµατος: ........... + .......... + .......... = .......... cm. Στη συνέχεια ....................... το άθροισµα που βρήκαµε από την περίµετρο: ......... − .......... = 2,92 cm.

3.

Αν α+β=21,5 και β+δ=5,38 να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α) α+4+β−12,3 β) 15,02+α+δ+β+0,1+β.

Λύση

α) α+4+β−12,3=α+β+4−12,3=21,5+4−12,3=25,5−12,3=13,2. β) 15,02+α+δ+β+0,1+β=15,02+α+β+β+δ+0,1 Κάνουµε αντικατάσταση =15,02+21,5+5,38+0,1=36,52+5,38+0,1= =41,9+0,1=42.

4.

Να κάνετε τις πράξεις: α) 2,712·104

β) 0,259·(101−1)

3 3 ⎞ ⎛ γ) ⎜ 0, 3 + + ⋅ 10 2 ⎟ 100 1000 ⎠ ⎝

δ) 15,23·4,4+15,23·2,6+15,23·3 ε) 8·1,25·1,001·4·25 στ) (450+50)·0,001+(0,25−0,05)·1000.


Λύση

α) 2,712·10

4

Υπολογίζουµε πρώτα τη δύναµη: 4 10 =10.000

=27.120.

=2,712·10000=

β) 0,259·(101−1) Κάνουµε πρώτα τη πράξη στην παρένθεση =0,259·100=25,9. 3 3 ⎞ 2 Κάνουµε τα δεκαδικά κλάσµατα δεκαδικούς αριθ⎛ + ⋅ 10 γ) ⎜ 0,3 + µούς 100 1000 ⎟⎠ ⎝ =(0,3+0,03+0,003)·100=0,333·100=33,3. δ) 15,23·4,4+15,23·2,6+15,23·3 Εφαρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητα µε κοινό παράγοντα το 15,23

=15,23·(4,4+2,6+3)=15,23·10= =152,3.

ε) 8·1,25·1,001·4·25=(8·1,25)·1,001·(4·25)=10·1,001·100= =10,01·100=1001. στ) (450+50)·0,001+(0,25−0,05)·1000=500·0,001+0,20·1000= =0, 5+200=200,5.

5.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα: x x

0,06

0,1

0,2

0,6

1,5

2

Στη συνέχεια να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α) 2x2+(2·x) 2 , όταν x=0,1 β) (10·x)2−10·x2 , όταν x=0,06 γ) x2+2·x−5,25 , όταν x=1,5.

0,06 =0,06·0,06=0,0036 0,62=0,6·0,6=0,36 2

Λύση

0,1 =0,1·0,1=0,01 2

2

0,2 =0,2·0,2=0,04

1,5 =1,5·1,5=2,25 2

Συµπληρώνουµε τώρα τον πίνακα: x x

2

0,06

0,1

0,2

0,6

1,5

0,0036 0,01

0,04

0,36

2,25 141

Α.3.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ – ∆ΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ∆ΕΚΑ∆ΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ

Στη συνέχεια αντικαθιστούµε και υπολογίζουµε τις τιµές των παραστάσεων: α) 2x2+(2·x)2=2·0,12+(2·0,1)2=2·0,12+(0,2)2=2·0,01+0,04=0,02+0,04=0,06. β) (10·x)2−10·x2=(10·0,06)2−10·0,062=0,62−10·0,0036=0,36−0,036=0,324. γ) x2+2·x−5,25=1,52+2·1,5−5,25=2,25+3−5,25=5,25−5,25=0.

6.

Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α) 15,4+2,4:0,4−12:0,8 β) 2,5+63:0,3−24:52 γ) (2,1:3+0,4)·(3:10+2).

Λύση

α) 15,4+2,4:0,4−12:0,8 Προηγούνται οι διαιρέσεις =15,4+6−15=21,4−15=6,4. β) 2,5+63:0,3−24:52

4

2

Προηγούνται οι δυνάµεις: 2 =16 και 5 =25. Στη συνέχεια κάνουµε τις διαιρέσεις.

=2,5+63:0,3−16:25= =2,5+210−0,64=212,5−0,64=211,86.

γ) (2,1:3+0,4)·(3:10+2)=(0,7+0,4)·(0,3+2)=1,1·2,3=2,53.

7.

Αν α=2,5 και β=0,25 , να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α) 100·α−5:β+α:β β) α2 −(β:α)2 γ) (α+β)·0,12−(α−β):102 .

Λύση Κάνουµε αντικατάσταση

α) 100·α−5:β+α:β=100·2,5−5:0,25+2,5:0,25=250−20+10=230+10=240. β) α2−(β:α)2=2,52−(0,25:2,5)2=6,25−0,12=6,25−0,01=6,24. γ) (α+β)·0,12−(α−β):102=(2,5+0,25)·0,12−(2,5−0,25):102= =2,75·0,01−2,25:100=0,0275−0,0225=0,005.



Να επιλέξετε για τις παρακάτω πράξεις τη σωστή απάντηση: ΠΡΑΞΕΙΣ

2.

3.

Α

Γ

α)

168+12,32

180,32

180

18,032

β)

12,4+67,8+98,7

178,9

177,9

177,19

γ)

8,23+15,1+2,04+12

38,37

37,27

37,37

δ)

234,7–67,7

166,9

167

99,6

ε)

27,94–5,08

22,86

12,86

22,06

στ) 204+12,5–7,8

207,8

208,7

209,7

ζ)

15,25–2,3–4,15

88

8,8

8,08

η)

0,25–0,03+19,78

20

20,02

21

Να συµπληρώσετε τα ⁪. α) 2,8⁪ β) 9⁪, 54 1 + 7,⁪5

+ 4, 8⁪9

⁪⁪,73

⁪⁪0,⁪5⁪

5,4⁪

δ) ⁪⁪, 2 0

− 3,⁪2 ⁪,28

− 3,⁪⁪ 7 5, 0 2

γ)

Να συµπληρώσετε τον πίνακα. 48,5

+

−

=58,3 +

14,32

4.

Β

−

=

+

=50

Να συµπληρώσετε τον πίνακα. α

β

γ

10

2,5

7,2

15,35

5

0,28

α+β

(α+β)+γ

α–β

(α–β)–γ


5.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα: 12,8

6.

+

=

38,4

−

6,8

=

40

:

2,5

=

22

17,2

·

=

206,4

1,1

·

=

110

Να επιλέξετε στον παρακάτω πίνακα Σ αν το αποτέλεσµα της πράξης που δίνεται στην πρώτη στήλη είναι σωστό ή Λ αν αυτό είναι λανθασµένο. ΠΡΑΞΕΙΣ α)

(7,5 · 10):10=7,5

β)

(23,4:100) · 100=234

γ)

(15,2:10) · 100=15,2

δ)

(15,2:100) · 10=1,52

ε)

(38,24 · 100) · 0,1=3.824

Σ

Λ

στ) 575 · 0,01+0,425 · 10=10 7.

Να συµπληρώσετε τα κενά: α) 4,53· ...... =453 β) 354,02=3,5402 · .......

γ) 0,001 · ....... = 1

δ) 820= ...... · 1.000

στ) 0,00391 · 10 = 39,1.

4

ε) ...... : 10 =0,0702

8.

Αν α+β=1,2 και x · y=0,3 να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α) 10·α+10·β β) 2,3+α+5,7+β+0,4 γ) 0,25·x·4·y δ) (β+α)2−(y·x)2 .

9.

Να υπολογίσετε τις δυνάµεις: α) 0,12 0,13 0,14 0,15. β) 0,22 0,23 0,24 0,25. 2

2

2

2

γ) 0,4 1,01 1,1 2,5 .


....

10.

Να συµπληρώσετε κατάλληλα το και να βάλετε την υποδιαστολή όπου αυτή δεν υπάρχει. α) 12,5

41, 2

5

x

2

4 + 1 3 1,

x

11.

β)

Να συµπληρώσετε τον πίνακα: x

x:5

(x · 2):10

(x:10) · 2

48 53,5 α) Τι συµπεραίνετε; β) Χρησιµοποιώντας το συµπέρασµα του προηγούµενου ερωτήµατος να υπολογίσετε τα πηλίκα: 82,35:5 και 632,4:5. 12.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα. ∆ιαιρετέος

36,45

∆ιαιρέτης

4,5

Πηλίκο

216 80 43,2

0,06

13.

Να κάνετε τις πράξεις: α) 2,5·4−2,8+10:0,2 β) 14,3+4,2:1,2−0,5·10,1 γ) 10,6−7,8:102−52:22 δ) 50−32:0,2+23·0,05−1,52.

14.

Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α) (15,25−4,8):(0,20+0,05) β) (92,4:2,4)·100+(7,2·1,3):1,6 γ) 5+78,5:(23−0,3·0,5).

15.

Αν x=5,2 , y=25,4 και ω=0,2 , να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α) x·ω+(x+y):ω β) (y−x)2:ω.


2

16.

∆ίνονται οι παραστάσεις α=5–0,2 · 0,5 β=10–2,4:0,3 και γ=(1,8–1,3) . α) Να υπολογίσετε τις τιµές των α, β και γ. β) Να υπολογίσετε τις τιµές των (α+β:γ)·(β−γ) και (α+β):β2−(α−γ):γ.

17.

∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε βάση ίση µε 7+0,001 · (3,7+6,3) σε εκατοστά. Αν η περίµετρός του είναι ίση µε (1,71:0,3+0,3) · (3:10+5) σε εκατοστά να βρείτε κα-

3

θεµιά από τις ίσες πλευρές του. 18.

Το βιβλίο των Μαθηµατικών της Α΄ Γυµνασίου έχει 256 σελίδες ή 128 φύλλα συνολικού πάχους 16 χιλιοστών. Το καθένα από τα εξώφυλλα έχει πάχος 0,15 χιλιοστά. Να βρείτε: α) Το πάχος του κάθε φύλλου του βιβλίου µε προσέγγιση εκατοστού. β) Να βρείτε πόσα φύλλα του βιβλίου έχουν πάχος 3 χιλιοστά.


A.3.3

Τυποποιηµένη µορφή µεγάλων αριθµών

Τους µεγάλους αριθµούς τους γράφουµε συχνά για πρακτικούς λόγους στη µορφή α·10ν , όπου ο αριθµός α είναι φυσικός ή δεκαδικός µεγαλύτερος ή ίσος του 1 και µικρότερος του 10. Η µορφή αυτή του αριθµού λέγεται τυποποιηµένη. Για να γράψουµε τον αριθµό 45.000 στην τυποποιηµένη µορφή επιλέγουµε αρχικά για α=4,5.(∆εν µπορεί το α να είναι 0,45 γιατί είναι µικρότερο του 1, ούτε 45 γιατί είναι µεγαλύτερο του 10). Στη συνέχεια επιλέγουµε για εκθέτη του 10 τον αριθµό των ψηφίων από τη θέση της υποδιαστολής µέχρι το τέλος του αρχικού αριθµού. 4 45.000 N = 4,5 ⋅ 10 4 θέσεις

Αντίστροφα ο αριθµός 3,25·105 =3,25·100.000=325.000.

ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Να συµπληρώσετε τα κενά, ώστε οι αριθµοί να γράφονται στην τυποποιηµένη µορφή. α) 72.400=7,24·10.... β) 829.000.000=8,29· ......... γ) 19.000= ..... · 104 δ) 7.943.000= ..... · 10.... ε) 604.000= ..... · .........

147 A.3.3 ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ


Να γράψετε τους παρακάτω αριθµούς στην τυποποιηµένη µορφή: α) 900.000 β) 14.500 γ) 4.010 δ) 7.351.000.000.

α) 9 00.000 =9 ⋅ 10

Λύση

4 β) 14.500 N =1,45 ⋅ 10

5

4 θέσεις

5 θέσεις

γ) 4. 010 N =4,01⋅ 10

3

9 δ) 7.351.00 0.000

=7,351⋅ 10

3 θέσεις

2.

9 θέσεις

Να γράψετε τη δεκαδική µορφή των αριθµών: 4 5 7 11 α) 1,5·10 β) 5·10 γ) 3,96·10 δ) 9,012·10 .

Λύση 4

α) 1,5·10 = 15.000 β) 5·10 = 500.000 γ) 3,96·107 = 39.600.000 δ) 9,012·1011=901.200.000.000.

3.

5

Να γράψετε την τυποποιηµένη µορφή των αριθµών: α) 2,5·105+3,7·105 β) 679·105 γ) 5·105+4,1·106.

Λύση 5

5

5

α) 2,5·10 +3,7·10 Επιµεριστική ιδιότητα µε το 10 κοινό παράγοντα =(2,5+3,7)·105=6,2·105. β) 679·105=679·100.000=679.000=6,79·105. γ) 5·105+7,12·106=5·100.000+7,12·1.000.000=500.000+7.120.000= =7.620.000=7,62·106.



Να συµπληρώσετε τον πίνακα. Αριθµός στη δεκαδική µορφή

Μέγεθος Ακτίνα της γης σε µέτρα.

6.378.000

Μάζα της γης σε κιλά.

5,978·1024

Ηλικία της γης σε έτη.

4,5·109 1,496·1011

Απόσταση της γης από τον ήλιο σε χιλιόµετρα. Ταχύτητα του φωτός σε χιλιόµετρα ανά δευτερόλεπτο. 2.

Τυποποιηµένη µορφή

300.000

Να γράψετε τους παρακάτω αριθµούς στην τυποποιηµένη µορφή: α) 4,9·107+3,2·107 β) 4,9·107+8,2·107 γ) 1,25·103+6,47·105 δ) 8,6·106+1,58·105−2,42·104 ε) (781·109):105.

149 A.3.3 ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Μονάδες

A.3.4

µέτρησης

Μονάδες µέτρησης µήκους Η βασική µονάδα µέτρησης του µήκους είναι το µέτρο (m). Υποδιαιρέσεις του µέτρου είναι: 1 • Το ένα δεκατόµετρο ή παλάµη (dm) : 1 dm= m=0,1 m. 10 1 • To ένα εκατοστόµετρο ή πόντος (cm) : 1 cm= m=0,01 m. 100 1 • To ένα χιλιοστόµετρο ή χιλιοστό (mm) : 1 mm= m=0,001 m. 1000 To πιο γνωστό πολλαπλάσιο του µέτρου είναι το χιλιόµετρο (km) : 1 km=1000 m. Για τις µετατροπές από τη µία µονάδα µέτρησης στην άλλη µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το παρακάτω διάγραµµα: Όταν κατεβαίνουµε πολλαπλασιάζουµε.

km x 10

:10

m :10

x 10

dm :10

x 10

cm :10

x 10

mm


Όταν ανεβαίνουµε διαιρούµε.

Μονάδες µέτρησης εµβαδού Η βασική µονάδα µέτρησης του εµβαδού είναι το τετραγωνικό µέτρο (m2). Ένα τετραγωνικό µέτρο είναι ένα τετράγωνο µε πλευρά ένα µέτρο. Υποδιαιρέσεις του τετραγωνικού µέτρου είναι: 1 • Το ένα τετραγωνικό δεκατόµετρο (dm2) : 1 dm2= m2=0,01 m2. 100 1 • To ένα τετραγωνικό εκατοστόµετρο (cm2) : 1 cm2= m2=0,0001 m2. 10.000 1 • To ένα τετραγωνικό χιλιοστόµετρο (mm2) : 1 mm2= m2 =0,000001 m2. 1.000.000 Άλλη µονάδα µέτρησης είναι το στρέµµα : 1 στρέµµα=1.000 m2. Επίσης τo ένα τετραγωνικό χιλιόµετρο : 1 km2=1.000.000m2=106 m2. Για τις µετατροπές από τη µία µονάδα µέτρησης στην άλλη µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το παρακάτω διάγραµµα:

Μονάδες µέτρησης όγκου Η βασική µονάδα µέτρησης του όγκου είναι το κυβικό µέτρο (m3). Ένα κυβικό µέτρο είναι ένας κύβος µε ακµή ένα µέτρο. Υποδιαιρέσεις του κυβικού µέτρου είναι: 1 1 • Το ένα κυβικό δεκατόµετρο (dm3) : 1 dm3= 3 m3 = m3 = 0,001 m3. 10 1.000 1 1 • To ένα κυβικό εκατοστόµετρο (cm3) : 1 cm3= 6 m3 = m3 = 0,000001 m3. 10 1.000.000

151 Α.3.4 ΜΟΝΑ∆ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ

• To ένα κυβικό χιλιοστόµετρο (mm3) : 1 mm3=

1 1 m 3= m3 = 9 10 1.000.000.000

=0,000000001 m3. Για τη µέτρηση του όγκου των υγρών χρησιµοποιούµε το λίτρο ( t ) που εκφράζει την ποσότητα του υγρού που περιέχεται σε 1 dm3 και την υποδιαίρεσή του το χιλιοστόλιτρο (m ) που είναι η ποσότητα του υγρού που περιέχεται σε 1 cm3. Εποµένως 1 t = 1 dm3 και 1 m =1 cm3.

Μονάδες µέτρησης χρόνου Βασική µονάδα µέτρησης του χρόνου είναι το δευτερόλεπτο (s). Πολλαπλάσιά του είναι: • 1 λεπτό (min) = 60 s. • 1 ώρα (h) = 60 min = 60·60 = 3.600 s. • 1 ηµέρα = 24 h = 24·60 = 1.440 min = 1.440·60 = 86.400 s.

Μονάδες µέτρησης µάζας Βασική µονάδα µέτρησης της µάζας είναι τo χιλιόγραµµο ή κιλό (kg). Υποδιαιρέσεις του κιλού είναι: 1 • 1 γραµµάριο (g) = kg=0,001 kg. 1.000


• 1 χιλιοστόγραµµο (mg) =

1 1 g= kg=0,000001 kg. 1.000 1.000.000

Πολλαπλάσιο του κιλού είναι: • Ο τόνος (t): 1 t =1.000 kg.


Να συµπληρώσετε τον πίνακα όπως το παράδειγµα: Μέγεθος

Βασική µονάδα µέτρησης Ονοµασία

Μήκος

Μέτρο

Συµβολισµός m

Τετραγωνικό µέτρο

Όγκος

s

Κιλό

2.

Να αντιστοιχίσετε τα µεγέθη µε τις µονάδες τους. µήκος • •g •m εµβαδόν • όγκος • • dm χρόνος • •h µάζα • • στρέµµα


3.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: • Η σωστή αύξουσα σειρά των µονάδων µήκους είναι: Α. mm
4.

Να συµπληρώσετε τις παρακάτω µετατροπές των µονάδων: ⋅10

⋅10

⋅10

3m →......... dm →........ cm →......... mm . ⋅100

3,2m2 → ......... dm2 → ........ cm2 →......... mm2 . ⋅1000

0,052m3 → ......... dm3 = ........ A → ........ cm3 = ....... m A →......... mm3 .

2 ηµέρες= ........... h = ……… min= ……… s. :1000

:1000

530.000g → ......... kg → ........ t .


Να συµπληρώσετε τον πίνακα: km

m

dm

cm

mm

0,034 20 580 11.000 700.000

Λύση

• 0,034 km = 0,034·1000 = 34 m = 34·10=340 dm = 340·10=3.400 cm = =3.400·10=34.000 mm. • 20 m = 20:1000 = 0,02 km


20 m = 20·10 = 200 dm = 200·10=2.000 cm = 2.000·10=20.000 mm.

• 580 dm = 580:10 = 58 m = 58:1000 = 0,058 km 580 dm = 580·10 = 5.800 cm = 5.800·10 = 58.000 mm. • 11.000 cm = 11.000:10 = 1.100 dm = 1.100:10 = 110 m = 110:1000 = 0,11 km 11.000 cm = 11.000·10=110.000 mm. • 700.000 mm = 700.000:10 = 70.000 cm = 70.000:10 = 7.000 dm = 7.000:10 = = 700 m = 700:1000 =0,7 km. Συµπληρώνουµε τώρα τον πίνακα:

2.

km

m

dm

cm

mm

0,034

34

340

3.400

34.000

0,02

20

200

2.000

20.000

0,058

58

580

5.800

58.000

0,11

110

1.100

0,7

700

7.000

11.000 70.000

110.000 700.000

Να γράψετε τα παρακάτω µήκη από το µικρότερο στο µεγαλύτερο: 500 dm 12 m 20.510 mm 0,0052 km 7.041 cm.

• • • •

Λύση 500 dm = 500:10 = 50 m. 12m. 20.510 mm = 20.510:1000 = 20,510 m. 0,0052 km = 0,0052·1000=5,2 m.

Για να συγκρίνουµε τα µήκη αυτά (αλλά και οποιαδήποτε οµοειδή µεγέθη) πρέπει πρώτα να τα εκφράσουµε µε την ίδια µονάδα µέτρησης. Έτσι µπορούµε για παράδειγµα να τα µετατρέψουµε όλα σε m.

• 7.041 cm = 7.041:100 = 70,41 m. Έχουµε τότε: 5,2<12<20,51<50<70,41 ή 0,0052 km<12 m<20.510 mm<500 dm<7.041 cm.

3.

Να µετατρέψετε σε m τα παρακάτω µήκη: α) 35 m 6 dm 2 cm β) 5 m 6 cm 8 mm γ) 3 dm 9 mm.


Λύση α) 35 m 6 dm 2 cm=35 m+6 dm+2 cm= Οι εκφράσεις αυτές είναι αθροίσµατα µηκών µε διαφορετικές µονάδες =35 m+0,6 m+0,02 m=35,62 m. β) 5 m 6 cm 8 mm=5 m+0,06 cm+0,008= µέτρησης και λέγονται συµµιγείς αριθµοί. =5,068 m. 35 m 6 dm 2 cm =35 m+6 dm+2 cm.

γ) 3 dm 9 mm=0,3 m+0,009 m= =0,309 m .

4.

Να συµπληρώσετε τις ισότητες: α) 0,032 στρέµµατα = ........m2 = ………dm2 = ………cm2 = ………mm2 β) 50.200 cm2 = ……… dm2 = ……… m2 = ……… στρέµµατα.

Λύση α) 0,032 στρέµµατα = 0,032·1000 = 32 m2 = 32·100 = 3.200 dm2 = 3.200·100 = =320.000 cm2 = 320.000·100 = 32.000.000 mm2. β) 50.200 cm2 = 50.200:100 = 502 dm2 = 502:100 = 5,02 m2 = 5,02:1000 = =0,00502 στρέµµατα.

5.

Να µετατρέψετε: α) Τα 3,40 m2 σε cm2 γ) Τα 0,012 km2 σε στρέµµατα

⋅100=340

⋅100=34.000

β) Τα 20.000 mm2 σε m2 δ) Τα 72.100 cm2 σε m2.

Λύση

α) 3,40 m2 → dm2 → 34.000 cm2 . ⋅10.000

:100=200

:100=2

:100=0,02

β) 20.000 mm2 → cm2 → dm2 → 0,02 m2 . :1.000.000

γ) 0,012 km2 = 0,012·1.000.000 = 12.000 m2 :1000=12 στρέµµατα. :100=721

:100=7,21

δ) 72.100 cm2 → dm2 → 7,21 m2 . :10.000


6.

Να υπολογίσετε το εµβαδόν ορθογωνίου µήκους 0,42 m και πλάτους 20 cm α) σε cm2 β) σε m2.

Λύση

Το µήκος είναι 0,42 m=0,42·100=42 cm. α) Οπότε το εµβαδόν ισούται µε 42·20=840 cm2.

β) 840 cm2 = 840: 10.000=0,084 m2. Θα µπορούσαµε να είχαµε µετατρέψει το πλάτος σε m και συνέχεια να βρούµε το εµβαδόν. 20 cm=20:100=0,2 m. Το εµβαδόν είναι 0,42·0,2=0,084 m2.

7.

Για να υπολογίσουµε το εµβαδόν ορθογωνίου πολλαπλασιάζουµε το µήκος µε το πλάτος (τις δύο διαστάσεις του), δύο πλευρές δηλαδή που δεν είναι παράλληλες, µε την προϋπόθεση ότι αυτές έχουν µετρηθεί µε την ίδια µονάδα µήκους. Ο αριθµός που θα προκύψει συνοδευόµενος από τη µονάδα µήκους στο τετράγωνο είναι το ζητούµενο εµβαδόν.

Να συµπληρώσετε τα κενά: α) 58 m3 = ……… dm3 β) 0,23 m3 = ……… cm3 γ) 37.500 dm3 = .......... m 3 δ) 105.200 mm3 = ……… dm3 ε) 15,2 dm3 = ......... t στ) 7,2 m3 = ……… t ζ) 250 m = ………. t .

α) 58 m3

⋅1000=58.000

→

Λύση 58.000 dm3 .

⋅1000=230

⋅1000=230.000

β) 0,23 m3 → dm3 → 230.000 cm3 . γ)

37.500 dm3

⋅1.000.000 :1000=37,500

δ) 105.200 mm3

→

37,5 m3 .

:1000=105,200

:1000=0,105200

→ 105,2 cm3 → 0,1052 dm3 . :1.000.000

ε) 15,2 dm = 15,2 At 3

στ) 7,2 m3

⋅1000=7.200

ζ) 250 mA

→

7.200 dm3 = 7.200 At.

:1000=0,250

→

0,25 At.


8.

Μια δεξαµενή γεµάτη µε νερό έχει σχήµα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου και διαστάσεις 150 cm, 80 cm και 1,2 m. Μια αντλία αδειάζει 10 At νερό το λεπτό. Να βρείτε σε πόσο χρόνο θα αδειάσει η δεξαµενή.

Λύση µε βοήθεια Συµπληρώστε τα κενά Ο όγκος του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ισούται µε το γινόµενο των τριών διαστάσεών του (µήκος x πλάτος x ύψος) όταν αυτές έχουν εκφραστεί µε την ίδια µονάδα µήκους. Επειδή το 1 At αντιστοιχεί στο 1 ... µετατρέπουµε και τα τρία µήκη σε dm. Έχουµε τότε: 150 cm = 150:10=….. dm , 80 cm = 80: ….. = …… dm. 1,2 m = 1,2 · ….. = ….. dm.

Οπότε ο όγκος της δεξαµενής ισούται µε το γινόµενο ..... · ..... · ..... = ..... dm3 = =1.440 …. . Αφού το 1 λεπτό η αντλία αδειάζει 10 λίτρα νερού, τα 1.440 At αδειάζουν σε 1.440: .... = 144 λεπτά. 144 min = 2·60+24 min = 2 …. και .... min.


Να συµπληρώσετε τις ισότητες: α) 0,7 m= …….. dm=…….. cm=…….. mm. β) 15,3 dm=…….. m=…….. cm = …….. mm. γ) 0,681 km=……… m=…….. dm=…….. cm=…….. mm. δ)7.043 cm=…….. m. ε) 0,034 dm=…….. mm. στ) 3 dm+5 cm=…….. m. ζ) 22,8 m+509 dm−67.500 mm=……. cm. η) 7,25 m=…..m+…… dm+ …… cm. θ) 3,502 m= ……m+ …… dm+ …… cm+ …… mm. ι) 7 m 2 cm 3 mm=…….. m.


2.

Να γράψετε στη σειρά από το µικρότερο στο µεγαλύτερο τα παρακάτω µήκη: 104 dm 13,2 m 0,034 km 1.306 cm 12.209 mm.

3.

Να υπολογίσετε την περίµετρο του διπλανού πολυγώνου: α) σε m β) σε cm

4.

Στο αγώνισµα δρόµου των 110 µέτρων τοποθετούνται δέκα σειρές εµποδίων ως εξής: Η πρώτη σειρά να απέχει από την αφετηρία 13,72 µέτρα ενώ η τελευταία να απέχει από το τέρµα 14,02 µέτρα. Οι υπόλοιπες 8 σειρές εµποδίων τοποθετούνται ανάµεσα στις δύο προηγούµενες έτσι ώστε η απόσταση δύο διαδοχικών σειρών να είναι η ίδια. Να υπολογίσετε την απόσταση αυτή.

5.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα: m

2

dm

2

cm

2

mm

2

4,012 76 54.034 7.002.000 6.

Να µετατρέψετε σε στρέµµατα τα παρακάτω εµβαδά: α) 32.400 m2 β) 5.342 dm2 γ) 2.031.000 cm2.

7.

Πούλησε κάποιος ένα χωράφι προς 25,2 ευρώ το m2 και εισέπραξε 128.520 ευρώ. Να βρείτε πόσα στρέµµατα ήταν το χωράφι.

8.

Να βρείτε σε cm2 το εµβαδόν τετραγώνου που έχει περίµετρο 3,6 m.

9.

Ένα ορθογώνιο έχει µήκος 10 m και το εµβαδόν του ισούται µε το εµβαδόν τετραγώνου πλευράς 50 dm. Να βρείτε το πλάτος και την περίµετρο του ορθογωνίου. 159 Α.3.4 ΜΟΝΑ∆ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ

10.

Θέλουµε να στρώσουµε το δάπεδο µιας αίθουσας µε µήκος 5 m και πλάτος 4,2 m µε τετραγωνικά πλακάκια πλευράς 20 cm το καθένα. Πόσα πλακάκια θα χρειαστούµε;

11.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα: m

3

dm

3

cm

3

mm

3

0,124 150 201.000 1.054.000 12.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Α α)

3

3

Β

Γ

β)

100.000 mm = .... dm 3 1 At = .... dm

γ)

10 dm = .... At

1

10

100

δ)

1 m = .... At

10

100

1.000

ε)

12 At = …. mA

1,2

1.200

12.000

0,00432

432

432.000

8,4

8.400

0,0084

3

3

3

στ) 0,432 m = .... cm ζ)

3

3

8.400.000 mm = ....cm

3

0,1

0,01

100.000.000

1

10

0,1

13.

Ο όγκος ενός στερεού είναι 4,7 cm3. α) Ποια µονάδα µέτρησης πρέπει να χρησιµοποιήσουµε ώστε ο όγκος να ισούται µε 4.700; β) Υπάρχει γνωστή µονάδα µέτρησης ώστε ο όγκος αυτός να εκφράζεται µε τον αριθµό 0,47 ή µε τον αριθµό 470;

14.

Να βρείτε τον όγκο ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου µε διαστάσεις 1,5 m , 20 dm και 1.250 mm. Πόσα λίτρα νερού θα χωρούσε το συγκεκριµένο παραλληλεπίπεδο;


15.

Να επιλέξετε Σ για κάθε σωστή πρόταση και Λ για κάθε λανθασµένη.

α) β) γ) δ) ε) στ) ζ)

Σ

1 εβδοµάδα >168 h 1 h 5 min = 4.000 s 12 ηµέρες <288 h 5 h = 300 min 15 min>750 s 2 ηµέρες >2.800 min 5 h 45 min 30 s = 345,05 min

Λ

16.

Οι µαθητές ενός σχολείου αναχώρησαν για την ηµερήσια εκδροµή τους στις 7 h και 10 min. Στη διαδροµή έκαναν δύο στάσεις διάρκειας 1.560 s και 2.460 s αντίστοιχα και έφτασαν στον προορισµό τους στις δώδεκα και τέταρτο το µεσηµέρι. Να υπολογίσετε τη διάρκεια της διαδροµής χωρίς τις δύο στάσεις.

17.

Να συµπληρώσετε τις ισότητες: α) 4,5 t=……….. kg=……… g β) 93.000 .... = 93 kg 1 γ) 2.300 kg= 2,3 …. δ) 15 kg 20 g και kg=……… g. 4

18.

Ένα κουτί περιέχει 15 ίδια αντικείµενα και το βάρος του είναι 1 κιλό και 865 γραµµάρια. Αν το απόβαρο του κουτιού (δηλαδή το βάρος του κουτιού άδειο) είναι 260 γραµµάρια να βρείτε το βάρος του κάθε αντικειµένου.


Α.4.1

H έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις α+χ=β, χ-α=β, α-χ=β, α · χ=β, χ:α=β, α:χ=β

Η έννοια της µεταβλητής • Στην έκφραση «Στο πενταπλάσιο ενός αριθµού προσθέτω το 3» υπάρχει η γενικότητα «... ενός αριθµού...». Ο αριθµός αυτός θα µπορούσε να είναι οποιοσδήποτε 7 αφού δε δηλώνεται. Για παράδειγµα το 4 ή το 0,8 ή το . Για να αποφύγουµε το 5 εµπόδιο της αυθαίρετης επιλογής χρησιµοποιούµε αντί συγκεκριµένου αριθµού ένα γράµµα π.χ. α ή β ή x ή y κ.λ.π. που ονοµάζεται µεταβλητή. Έτσι για παράδειγµα µε τη βοήθεια της µεταβλητής x γράφουµε την αρχική έκφραση σε µαθηµατική γλώσσα 5 · x+3. Προφανώς η µεταβλητή αυτή µπορεί να πάρει διάφορες τιµές από ένα σύνολο αριθµών µε συνέπεια κάθε φορά να προκύπτει διαφορετική αριθµητική παράσταση καθώς και αποτέλεσµα: 7 Για x=4 έχουµε 5 · 4+3=20+3=23 , για x=0,8 έχουµε 5 · 0,8+3=4+3=7 και για x= 5 7 έχουµε 5 · +3=7+3=10. 5 • Μπορούµε στο γινόµενο αριθµού µε µεταβλητή ή µεταξύ µεταβλητών να παραλείψουµε το σύµβολο · του πολλαπλασιασµού γράφοντας πιο απλά 5α αντί για 5 · α ή αβ αντί για α · β.

Η έννοια της εξίσωσης • Εξίσωση λέγεται µια ισότητα που περιέχει αριθµούς και µια µεταβλητή (που λέγεται άγνωστος).

163 Α.4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

• Αν αντικαταστήσουµε τον άγνωστο της εξίσωσης µε ένα συγκεκριµένο αριθµό θα έχουµε ισότητα αριθµητικών παραστάσεων που µπορεί να ισχύει ή και να µην ισχύει. Στην πρώτη περίπτωση λέµε ότι ο αριθµός αυτός επαληθεύει την εξίσωση ή ότι είναι λύση ή ρίζα της. 5 ⋅ x+3 = ο18 ο 1 µέλος

εξίσωση µε άγνωστο το x .

2 µέλος

Ο αριθµός x=2 δεν είναι λύση της εξίσωσης αφού η ισότητα 5 ⋅2 + 3 = 18 δεν αλη10 13

⋅3 + 3 = 18 αληθεύει. θεύει. Ο αριθµός x=3 είναι λύση της εξίσωσης αφού η ισότητα 5 15 18

• Η διαδικασία για να βρούµε τη λύση µιας εξίσωσης λέγεται επίλυση. • Μια εξίσωση που όλοι οι αριθµοί είναι λύσεις της λέγεται ταυτότητα ή αόριστη. • Μια εξίσωση που δεν έχει λύση λέγεται αδύνατη. • Η εξίσωση x+5=2+x+3 είναι ταυτότητα επειδή όποιον αριθµό και να βάλουµε στη θέση του x το 1ο µέλος x+5 θα είναι πάντοτε ίσο µε το 2ο µέλος 2+x+3. • Αντίθετα η εξίσωση 0 · x=4 είναι αδύνατη επειδή όποιον αριθµό και να βάλουµε στη θέση του x το 1ο µέλος θα είναι 0 και εποµένως πάντοτε διαφορετικό από το 2ο µέλος που είναι 4.

• Ο πίνακας που ακολουθεί µας δίνει τις βασικές εξισώσεις και τις λύσεις τους. Εξίσωση

Λύση (ή ρίζα)

Παράδειγµα

α+x=β ή x+α=β

x=β–α

4+x=10 ή x=10–4=6

x–α=β

x=α+β

x–8=20 ή x=20+8=28

α–x=β

x=α–β

30–x=12 ή x=30–12=18

α · x=β ή x · α=β x =β α α α:x=β ή = β x

x=β:α ή x=

x:α=β ή

β α

x=α · β x=α:β ή x=


4 · x=40 ή x=40:4=10 x:3=15 ή x=3 · 15=45

α β

6:x=5 ή x=6:5=1,2


Από το τριπλάσιο ενός αριθµού αφαιρούµε το 2 και βρίσκουµε αποτέλεσµα 10. α) Ποια εξίσωση αποδίδει το πρόβληµα; Α. 2 · x−10=2 Β. 3 · x=10−2 Γ. 3 · x−2=10 β) Για την εξίσωση που θα επιλέξετε να συµπληρώσετε τον πίνακα: Άγνωστος

ο

1 µέλος

ο

2 µέλος

Λύση

(ΝΑΙ /ΟΧΙ)

2 4 5 2.

Να αντιστοιχίσετε τις εξισώσεις της στήλης Α µε τις προτάσεις της στήλης Β. Στήλη Α

Στήλη Β

2 · x+5=10−5 • • Είναι ταυτότητα. 0 · x=2−2 • • Είναι αδύνατη. 0 · x=2−1 • • Έχει λύση τον αριθµό 10. x:2=4+1 • • Έχει λύση τον αριθµό 0.


Να συµπληρώσετε τον πίνακα µεταφέροντας τις προτάσεις της στήλης Α από τη φυσική γλώσσα στη Μαθηµατική γλώσσα της στήλης Β ή αντίστροφα. Στήλη Α α)

β)

Στήλη Β

Το τριπλάσιο ενός αριθµού ελαττωµένο 2 κατά . 5 4 · x+3


γ)

Το πενταπλάσιο ενός αριθµού ισούται µε το διπλάσιο του ίδιου αριθµού αυξηµένο κατά 1.

δ)

Το άθροισµα δύο διαδοχικών φυσικών αριθµών είναι µεγαλύτερο από το 4. 7 · x−2=12 10 ⋅ x = 2 ⋅ x+2 3

ε) στ)

Λύση α) Ονοµάζουµε µε ένα γράµµα (µεταβλητή) για παράδειγµα x τον αριθµό. Με 2 τη βοήθεια της µεταβλητής αυτής γράφουµε: 3 ⋅ x − . 5 β) Το τετραπλάσιο ενός αριθµού αυξηµένο κατά 3. γ) Αν x ο αριθµός, έχουµε 5 · x=2 · x+1. δ) Ο κάθε φυσικός αριθµός προκύπτει από τον προηγούµενο του αν του προσθέσουµε την µονάδα. ∆υο τέτοιοι συνεχόµενοι αριθµοί λέγονται διαδοχικοί: οι αριθµοί 3,4 9,10, 101,102 7.091, 7.092 κ.λ.π. είναι διαδοχικοί. Αν λοιπόν µε x συµβολίσουµε έναν φυσικό αριθµό, ο επόµενός του θα είναι ο x+1, οπότε προκύπτει x+x+1>4 που γράφεται πιο σύντοµα 2 · x+1>4. ε) Το επταπλάσιο ενός αριθµού ελαττωµένο κατά 2 ισούται µε 12. στ) Αν διαιρέσουµε το δεκαπλάσιο ενός αριθµού δια του 3 βρίσκουµε το διπλάσιο του ίδιου του αριθµού αυξηµένο κατά 2. 2.

Να εξετάσετε αν οι αριθµοί 1, 2, 4, 10 επαληθεύουν τις εξισώσεις του παρακάτω πίνακα: Εξίσωση α)

5 · x+4=9

β) γ)

3 · y=12 4 2 = x 5

δ)

0 · ω=1−1

ε)

x+1=x+4

Αριθµοί που

Αριθµοί που δεν

την επαληθεύουν



Λύση Αντικαθιστούµε σε κάθε εξίσωση τον άγνωστο µε τους αριθµούς που δίνονται. Οι αριθµοί για τους οποίους προκύπτουν ισότητες που ισχύουν λέµε ότι επαληθεύουν την εξίσωση ή ότι είναι λύσεις ή ρίζες της. α) Ο αριθµός 1 επαληθεύει την εξίσωση 5 · x+4=9 αφού όταν αντικαταστήσουµε το x µε το 1 έχουµε την ισότητα 5 · 1+4=9 ή 5+4=9 που ισχύει. Αντίθετα ο αριθµός 2 δεν επαληθεύει την εξίσωση επειδή η ισότητα 5 · 2+4=9 ή 10+4=9 δεν ισχύει. Όµοια καταλήγουµε ότι και οι αριθµοί 4 και 10 δεν επαληθεύουν την εξίσωση άρα δεν είναι λύσεις της. β) Ο αριθµός 1 δεν επαληθεύει την εξίσωση 3 · y=12. 3 · y=12 Αντικαθιστούµε το y µε το 1 και έχουµε 3 · 1=12 ή 3=12 που δεν ισχύει. Όµοια καταλήγουµε ότι και οι αριθµοί 2 και 10 δεν επαληθεύουν την εξίσωση άρα δεν είναι λύσεις της. Αντίθετα για y=4 προκύπτει η αληθής ισότητα 3 · 4=12. 4 2 4 2 γ) Για x=1 στην εξίσωση = έχουµε την ισότητα = ή 4 · 5=1 · 2 που δεν x 5 1 5 ισχύει. Επίσης δεν επαληθεύουν την εξίσωση οι αριθµοί 2 και 4. 4 2 Αντίθετα ο αριθµός 10 την επαληθεύει αφού για x=10 έχουµε = ή 10 5 4 · 5=10 · 2 ή 20=20, που ισχύει. δ) Για ω=1 στην εξίσωση 0 · ω=1−1 έχουµε 0 · 1=1−1 ή 0=0 που ισχύει. Για ω=2 έχουµε 0 · 2=1−1 ή 0=0 που ισχύει. Για ω=4 έχουµε 0 · 4=1−1 ή 0=0 που ισχύει. Για ω=10 έχουµε 0 · 10=1−1 ή 0=0 που ισχύει. ε) Για x=1 στην εξίσωση x+1=x+4 έχουµε 1+1=1+4 ή 2=5 που δεν ισχύει. Για x=2 έχουµε 2+1=2+4 ή 3=6 που δεν ισχύει. Για x=4 έχουµε 4+1=4+4 ή 5=8 που δεν ισχύει. Για x=10 έχουµε 10+1=10+4 ή 11=14 που δεν ισχύει. Συµπληρώνουµε τον πίνακα: Εξίσωση





α)

5 · x+4=9

1

2, 4, 10

β)

3 · y=12

4

1, 2, 10 167 Α.4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

3.

γ)

4 2 = x 5

δ) ε)

10

1, 2, 4

0 · ω=1−1

1, 2, 4, 10

–

x+1=x+4

–

1, 2, 4, 10

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις έχουν µία λύση, ποιες είναι ταυτότητες και ποιες είναι αδύνατες. Στη περίπτωση που έχουν µία λύση να τη βρείτε. α) 4 · x=16 β) x:2=2 γ) 0 · x=5 δ) x+1=1+x ε) 8−x=2 στ) 2 · x=0 ζ) 0 · x+3=3.

Λύση

α) 4 · x=16 x=16:4

β) x:2=2 x=2 · 2

x=4.

x=4.

γ) 0 · x=5 Η εξίσωση δεν επαληθεύεται από κανένα αριθµό αφού θα προκύπτει η

ισότητα 0=5 που προφανώς δεν ισχύει. Εποµένως είναι αδύνατη. δ) x+1=1+x ε) 8−x=2 στ) 2 · x=0 Όλοι οι αριθµοί επαληθεύουν x=8−2 x=0:2 την εξίσωση επειδή ισχύει x=6. x=0. η αντιµεταθετική ιδιότητα. Εποµένως είναι ταυτότητα (ή αόριστη). ζ) 0 · x+3=3. Οποιοδήποτε αριθµό αν βάλουµε στη θέση του αγνώστου x θα έχουµε 0+3=3 ή 3=3 που ισχύει. Εποµένως η εξίσωση είναι ταυτότητα. 4.

Να λύσετε τις εξισώσεις: x+5 x − 10 α) = 1 β) = 0 γ) x + 3 = 4 + 2 ⋅ 5 7 3 3 δ) 4 ⋅ x + x − 3 ⋅ x = 2 + 2 2 + 2 3 ε) 5 : x = 1 . 4

α)

x+5 =1 7

Ένα κλάσµα ισούται µε τη µονάδα όταν οι όροι του είναι ίσοι.

Λύση

β)

x − 10 =0 3

Ένα κλάσµα ισούται µε το µηδέν όταν ο αριθµητής του είναι µηδέν.


γ) x+3=4+2 · 5 Κάνουµε τις πράξεις στο δεύτερο µέλος: 4+2·5= 4+10=14.

x+5=7

x−10=0

x+3=14

x=7−5, οπότε x=2.

x=0+10, οπότε x=10. 3 ε) 5:x=1 4

x=14−3, οπότε x=11.

δ) 4 · x+x−3 · x=2+22+23

Γράφουµε την παράσταση στο ο 1 µέλος πιο απλά µε τη βοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας και µε κοινό παράγοντα το x. 4·x+x−3·x=4·x+1·x−3·x= =(4+1−3)·x=2·x.

Μετατρέπουµε τον µεικτό αριθµό σε κλάσµα: 3 1⋅ 4 + 3 4 + 3 7 1 = = = . 4 4 4 4

5:x=

7 7 ή x=5: 4 4

2 · x=2+22+23 Υπολογίζουµε τις δυνάµεις ο στο 2 µέλος. 2 3 2 =2·2=4 και 2 =2·2·2=8.

x=5 ·

4 20 ή x= . 7 7

2 · x=2+4+8 Κάνουµε την πρόσθεση στο ο 2 µέλος: 2+4+8=14.

2 · x=14 x=14:2, οπότε x=7.

5.

Να λύσετε τις εξισώσεις: 3 3 2 ⎛ 1 1⎞ 2 2 α) ⎜ + ⎟ ⋅ x= : β) x:(4 −2 · 5)=2,5 · 2 γ) x+ ⋅ x=30 2 5 3 ⎝2 3⎠ x⎞ 3 ⋅ x+2 1 x+2 7 23 ⎛ + = + = 5 στ) . δ) 2 · ⎜ 4 + ⎟ + 1 = 12 ε) 5 5 5 2⎠ 3 3 ⎝

Λύση µε βοήθεια Συµπληρώστε τα κενά α) Κάνουµε πρώτα τις πράξεις: .... ⎞ ⎛ .... ⎜ 1 + 1 ⎟ ⋅ x= 3 ⋅ .... , οπότε έχουµε ⎛ .... + .... ⎞ ⋅ x= .... ή .... ⋅ x= .... ⎜ 6 .... ⎟ ⎜⎜ 2 3 ⎟⎟ .... .... .... 2 .... ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Στη συνέχεια λύνουµε την εξίσωση: .... .... .... .... x= : ή x= ⋅ , οπότε η λύση είναι x=3. .... .... .... .... 169 Α.4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

2 γ) x + ⋅ x=30 3

β) x:(16−2 · 5)=2,5 · 4

⎛ 2⎞ ⎜ 1+ 3 ⎟ ⋅ x = 30 ⎝ ⎠ ⎛3 2⎞ ⎜ 3 + 3 ⎟ ⋅ x=30 ⎝ ⎠

x:(16−10)=10 x:6=10

5 ⋅ x=30 3 5 x=30: 3 3 x=30 ⋅ 5 90 x= 5

x=10 · 6 x=60.

x⎞ ⎛ δ) 2 · ⎜ 4 + ⎟ + 1 = 12 2⎠ ⎝ x 2 · 4+ 2 ⋅ + 1 = 12 2 8+x+1=12 8+1+x=12 9+x=12 x=12−9 x=3.

x=18. Παρατήρηση: Το ερώτηµα γ) της άσκησης λύνεται και µε άλλο τρόπο. 3 x 2⋅x 3⋅x 2⋅x 3 ⋅ x+2 ⋅ x 5 ⋅ x 30 + =30 ή + =30 ή = 30 ή = ή 1 3 3 3 3 3 1 5 ⋅ x=3 ⋅ 30 ή 5 ⋅ x=90 ή x=90:5, άρα x=18.

ε)

3 ⋅ x+2 1 + = 5 Από την πρόσθεση των οµωνύµων κλασµάτων γνωρίζουµε ότι 3 3 α β α+β γ

+

γ

=

γ

, οπότε µπορούµε να γράψουµε ένα κλάσµα σαν

3⋅x 2 1 + + = 5 άθροισµα δύο οµωνύµων κλασµάτων, δηλαδή α+β 3 3 3 γ 3 x + = 5 ή x+1=5 οπότε x=5−1 ή x=4. 3 x+2 7 23 Προσθέτουµε στο 1ο µέλος τα x+2+7 23 στ) + = = 5 5 5 δύο οµώνυµα κλάσµατα. 5 5

=

α β + . γ γ

x+9 23 Ίσα κλάσµατα µε παρονοµαστές = x+9=23 ή x=23−9 ή x=14. 5 5 ίσους θα έχουν και τους αριθµητές τους ίσους.



Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις είναι εξισώσεις. α) x−9=10 β) 2+10=12 γ) 7+x δ) 3 · x<10 ε) 2=x:5.

2.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: α) Η πρόταση: «Από το δώδεκα αφαιρούµε έναν αριθµό και βρίσκουµε 10» αποδίδεται στα Μαθηµατικά µε τη βοήθεια της µεταβλητής x ως εξής: Α. x−12=10 Β. 12−x=10 Γ. x−10=12 x β) Η εξίσωση + 5 = 8 διατυπωµένη µε λόγια γράφεται: 2 Α. Ένας αριθµός αυξηµένος κατά πέντε ισούται µε οκτώ. Β. Το µισό ενός αριθµού αυξηµένο κατά πέντε ισούται µε οκτώ. Γ. Το µισό ενός αριθµού αυξηµένο κατά οκτώ ισούται µε πέντε. γ) Η παράσταση 10 · x+2 · x−x γράφεται πιο σύντοµα: Α. 10 · x Β. 11 · x Γ. 12 · x 3 δ) Το κλάσµα δεν ορίζεται όταν: x Α. x=0

Β. x=1 Γ. x=3 x −1 4 ε) Η λύση της εξίσωσης + = 1 είναι ο αριθµός: 5 5 Α. 2 Β. 4 Γ. 5 στ) Ο αριθµός 5 είναι λύση της εξίσωσης: Α. x:5=2 Β. 7−x=2 Γ. (6−1) · x=10 ζ) Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις δεν έχει λύση στους φυσικούς αριθµούς; Α. 3−x=9 Β. 3+x=9 Γ. 9:x=3 η) Στην εξίσωση 2+x=α ο άγνωστος είναι η µεταβλητή x και το α είναι φυσικός αριθµός. Τότε η µεταβλητή α θα µπορούσε να πάρει την τιµή: Α. 0 Β. 3,6 Γ. 5 θ) ∆ίνονται οι εξισώσεις: α) x:5=0 β) 0 · x=2 και γ) 2 · x=x+x. Τότε: Α. Η α) έχει λύση το 0, η β) είναι αδύνατη, η γ) είναι ταυτότητα. Β. Η α) έχει λύση το 0, η β) είναι ταυτότητα, η γ) είναι αδύνατη. Γ. Η α) είναι αδύνατη, η β) έχει λύση το 0, η γ) είναι ταυτότητα.


3.

∆ίνονται οι εξισώσεις: α) x+3,4=5 β) 4−x=2 γ) x:3=2 δ) 5 · x=x · 5 Να βρείτε ποιοι από τους αριθµούς 0, 1,6, 2 και 6 επαληθεύουν και ποιοι δεν επαληθεύουν τις εξισώσεις αυτές. Εξίσωση





α) x+3,4=5 β)

4−x=2

γ)

x:3=2

δ) 5 · x=x · 5 4.

Να αντικαταστήσετε το µε τον κατάλληλο αριθµό έτσι ώστε: α) Το 1 να είναι λύση της εξίσωσης x+=5. β) Το 5 να είναι λύση της εξίσωσης −y=12. γ) Το 9 να είναι λύση της εξίσωσης · ω=92. δ) Το 10 να είναι λύση της εξίσωσης z:(−5)=5.

5.

Να αντιστοιχίσετε τις εξισώσεις της στήλης Α µε τις λύσεις τους της στήλης Β. Στήλη Α 2 · x+1=9 10−3 · x=4 4 2 = x 5 (x−5):12=0 (5−5) · x=4−4 2+x=x+3 2 · (x−1)=4

6.

Στήλη Β

•

• • • • • • •

• • • • • •

Να λύσετε τις εξισώσεις: 3 7 α) x+2=8 β) x+ = 2 2 1 ζ) ω−10=107 στ) 2−y= 4


Αδύνατη Ταυτότητα x=2 x=3 x=4 x=5 x=10

1 3 4 5 + x= δ) 19−y=11 ε) = − y 10 5 3 3 1 1 ⎛ 1 4 ⎞ 11 η) ω− ⎜ + ⎟ = θ) ω− 3 = 2 . 4 2 ⎝3 3⎠ 3

γ)

7.

8.

Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 α) 10 · x=7 β) =x · 3 4 1 2 3 2 στ) : y=2 : ε) (2 +4 · 3):y= 3 3 5

δ)

10.

5 1 4 ⋅ x= + 2 7 7

ζ) (3,4+4,1):y=10

δ) 10:y=2 η) ω:3=5 θ) 4=ω:

7 . 3

Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 6 · x+4 · x=3+2 · 4

9.

γ)

x − ( 90 + 2 ⋅ 5 ) 17

=0

β) 2 · (x+5)−10=3 · (16:4) ε)

Να λύσετε τις εξισώσεις: 2 3 4 2 = α) = β) 5 x 5⋅x 3

x+7 =1 15

στ)

1 1 γ) 5 · x= − 2 3

14 − x = 2. 3

2 γ) x + ⋅ x=30 3

δ)

x 1 3 = + 6 3 2

Αν x η λύση της εξίσωσης 10−x=8, y η λύση της εξίσωσης

ε)

1 x+3 + = 2. 6 12

4 2 = και ω η λύση y 3

της εξίσωσης ω:2=5, να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων Α=ω2−x · y και Β=(x+y)2:ω. 11.

2 1 2 1 1 Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων α= : + και β= + 2 ⋅ και να 5 5 3 5 5

τις απλοποιήσετε όπου είναι δυνατόν. Στη συνέχεια για τιµές των α και β που βρήκατε να λύσετε τις εξισώσεις α · x=β και β+x=α.


Επίλυση προβληµάτων

Α.4.2

Παραδείγµατα επίλυσης

Α.4.3

προβληµάτων

Πρόβληµα Ένα ορθογώνιο έχει περίµετρο 60 cm και το µήκος του είναι διπλάσιο του πλάτους του. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου.

Επίλυση του προβλήµατος 1. Συµβολίζουµε µε µεταβλητή (x ή y ή ω κ.λ.π.) το ζητούµε-

1. Συµβολίζουµε µε x το πλάτος του ορθογωνίου. Τότε το µήκος του θα είναι 2 · x

νο µέγεθος. Αν υπάρχουν περισσότερα

πλάτος χ

από ένα άγνωστα µεγέθη τα εκφράζουµε µε την βοήθεια

µήκος 2χ

της ίδιας µεταβλητής. 2. Γράφουµε την εξίσωση που περιγράφει το πρόβληµα.

3. Λύνουµε την εξίσωση µε τις διαδικασίες που γνωρίζουµε. 4. Βρίσκουµε όλα τα ζητούµενα µεγέθη και ελέγχουµε αν οι απαντήσεις είναι συµβατές µε το πρόβληµα. 174 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2. Η περίµετρος είναι το άθροισµα των πλευρών του ορθογωνίου, οπότε έχουµε: x+x+2 · x+2 · x=60 (εκατοστά). 3. (1+1+2+2) · x=60 ή 6 · x=60 εποµένως x=60:6 οπότε x=10. 4. Το πλάτος του ορθογωνίου είναι 10 εκατοστά, ενώ το µήκος του είναι 20 εκατοστά.

(Για παράδειγµα αν πρόκειται για πλήθος ανθρώπων δε θα µπορούσε η λύση να είναι δεκαδικός αριθµός). 5. Αν χρειάζεται ελέγχουµε την

5. 10+10+20+20=60 ή 60=60 που ισχύει, οπό-

ορθότητα της λύσης κάνο-

τε η λύση x=10 είναι σωστή.

ντας επαλήθευση.


Να γράψετε µε την βοήθεια µιας µεταβλητής τις παρακάτω εκφράσεις: α) Η περίµετρος τετραγώνου πλευράς α. β) Το εµβαδόν τριγώνου µε βάση 10 cm. γ) Η απόσταση που διανύει ένα αυτοκίνητο όταν κινείται µε 110 χιλιόµετρα την ώρα. δ) Ο επόµενος ενός φυσικού αριθµού. ε) Τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθµοί. στ) Ένας άρτιος αριθµός.

α) Η περίµετρος είναι 4 · α .

Λύση

β) Αν µε υ συµβολίσουµε το αντίστοιχο ύψος του τριγώνου στη βάση που είναι 10 ⋅ υ 10 cm, το εµβαδόν είναι = 5 ⋅υ . 2 γ) Σε 1 ώρα το αυτοκίνητο διανύει 110 χιλιόµετρα, σε 2 ώρες 110 · 2=220 χιλιόµετρα, σε 3 ώρες 110 · 3=330 χιλιόµετρα , σε x ώρες διανύει απόσταση 110 · x χιλιοµέτρων. δ) Αν x ο φυσικός αριθµός, ο επόµενος του είναι x+1. ε) Αν x ο µεσαίος από τους τρεις, τότε αυτοί είναι x−1, x, x+1. Μπορούµε επίσης να τους συµβολίσουµε x, x+1, x+2 όπου x ο πρώτος από τους τρεις φυσικούς αριθµούς. στ) Επειδή οι άρτιοι αριθµοί διαιρούνται µε το 2 ή αλλιώς έχουν το 2 παράγοντα ένας άρτιος αριθµός µπορεί γενικά να γραφεί 2 · x. 175 Α.4.2 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ – Α.4.3 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

2.

Σε µια εκδροµή πήγαν συνολικά 56 γονείς και παιδιά. Τα παιδιά ήταν τριπλάσια από τους γονείς. Να βρείτε πόσα ήταν τα παιδιά και πόσοι οι γονείς. Να λύσετε το ίδιο πρόβληµα αν οι γονείς και τα παιδιά που πήγαν εκδροµή ήταν 58.

Λύση α)

Οι γονείς

χ

Λύση

Τα παιδιά ήταν τριπλάσια από τους γο-

x+3 · x=56

3⋅x

1 · x+3 · x=56

νείς.

(1+3) · x=56 4 · x=56

Γονείς και παιδιά

x + 3⋅x

µαζί.

Εξίσωση x + 3 ⋅ x = 56

Γονείς και παιδιά µαζί ήταν 56.

x=56:4 x=14 γονείς 56−14=42 παιδιά (ή 3·14=42 παιδιά)

β) Αν οι γονείς και τα παιδιά ήταν 58, λύνουµε ξανά το ίδιο πρόβληµα και έχουµε: x+3 · x=58, οπότε καταλήγουµε στην εξίσωση 4 · x=58 ή x=58:4, δηλαδή x=14,5. Όµως η µεταβλητή x συµβολίζει πλήθος ανθρώπων και δεν µπορεί να είναι δεκαδικός αριθµός. Άρα το πρόβληµα σε αυτή την περίπτωση δεν έχει λύση.

3.

Η διαφορά των διαστάσεων ενός ορθογωνίου είναι 3 cm και η περίµετρός του είναι 40 cm. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου.

Λύση µε βοήθεια Συµπληρώστε τα κενά Συµβολίζουµε µε x τη µικρή διάσταση του ορθογωνίου. Τότε η άλλη διάσταση είναι ............. και η περίµετρος είναι 2 · …..+2 · (.........). Σύµφωνα µε το πρόβληµα έχουµε την εξίσωση .............................=40.


ή 4 · x+..... =40 ή 4 · x= ..... – ..... ή 4 · x= ..... ή x= ..... : ....., δηλαδή x=8,5. Άρα η µία διάσταση του ορθογωνίου είναι 8,5 cm και η άλλη …..+ ..... = ..... cm.

4.

To διπλάσιο ενός αριθµού ελαττωµένο κατά το µισό του είναι 30. Να βρείτε τον αριθµό.

Λύση Ο αριθµός Το διπλάσιο του αριθµού Το µισό του αριθµού

χ

Λύση Εφαρµόζουµε την επιµεριστική

2·x

ιδιότητα βγάζοντας το x κοινό παράγοντα. 1⎞ ⎛ ⎜ 2 − 2 ⎟ ⋅ x = 30 ή ⎝ ⎠

x 2

To διπλάσιο ενός αριθµού ελαττω-

2· x−

µένο κατά το µισό

x 2

⎛ 4 1⎞ ⎜ 2 − 2 ⎟ ⋅ x = 30, ⎝ ⎠ 3 3 2 ⋅ x = 30 ή x=30: ή x=30 ⋅ , 2 2 3 60 x= =20, οπότε ο ζητούµενος 3

αριθµός είναι το 20.

του To διπλάσιο ενός αριθµού ελαττωµένο κατά το µισό

2· x−

x =30 2

Επαλήθευση : 2 · 20−10=30 ή 40−10=30 ή 30=30 που ισχύει.

του είναι 30

2ος τρόπος Κάνουµε στο 1ο µέλος τα κλάσµατα οµώνυµα. 2

2⋅x x 4⋅x x 4⋅x − x − = 30 ή − = 30 ή = 30 ή 1 2 2 2 2 (4 − 1) ⋅ x 3⋅x = 30 ή = 30 ή 3 ⋅ x=2 ⋅ 30 ή 3 ⋅ x=60 ή x=60:3, άρα x=20 . 2 2

177 Α.4.2 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ – Α.4.3 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ


Να γράψετε µε την βοήθεια µιας µεταβλητής τις παρακάτω εκφράσεις: α) Το εµβαδόν τετραγώνου πλευράς α. β) Η περίµετρος ισοσκελούς τριγώνου που έχει καθεµιά από τις ίσες πλευρές του 2 cm µεγαλύτερη από τη βάση. γ) Ο προηγούµενος ενός φυσικού αριθµού. δ) Ένας περιττός αριθµός. ε) Το άθροισµα τεσσάρων διαδοχικών φυσικών αριθµών.

2.

Να βρείτε ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στο άθροισµα των κλασµάτων 3 1 για να βρούµε αποτέλεσµα 1. και 4 10

3.

Να βρείτε ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στη διαφορά των κλασµάτων 7 5 3 και για να βρούµε . 4 4 2

4.

Ποιον αριθµό πρέπει να αφαιρέσουµε από το 4 για να βρούµε

5.

Να βρείτε τρεις διαδοχικούς φυσικούς αριθµούς που το άθροισµά τους είναι 138.

6.

Να βρείτε δύο αριθµούς αν γνωρίζετε ότι ο ένας είναι τα χουν άθροισµα 10.


5 . 2

3 του άλλου και έ2

7.

Να υπολογίσετε τις πλευρές των παρακάτω σχηµάτων, αν το καθένα έχει περίµετρο 60 cm. α)

β)

Ισοσκελές τρίγωνο

γ)

Παραλληλόγραµµο

Ισοσκελές τραπέζιο

8.

Σε µια διαδροµή µε τρένο µια µητέρα και το παιδί της πλήρωσαν µαζί 13,5 ευρώ. Πόσο πλήρωσε ο καθένας αν η µητέρα πλήρωσε το διπλάσιο από όσο το παιδί;

9.

Για την αγορά ενός προϊόντος πληρώσαµε µαζί µε τα έξοδα αποστολής 75 ευρώ. Πόσο κοστίζει το προϊόν αυτό αν η αξία του είναι 60 ευρώ µεγαλύτερη από τα έξοδα αποστολής.

10.

Ένας µαθητής διάβασε ένα βιβλίο 120 σελίδων σε 5 µέρες. Κάθε µέρα διάβαζε 5 σελίδες περισσότερες από την προηγούµενη. Πόσες σελίδες διάβασε την πρώτη µέρα;

11.

Τέσσερα αδέλφια µοιράστηκαν 9.000 ευρώ ως εξής: Ο πρώτος πήρε 1.000 ευρώ, ο δεύτερος πήρε 200 ευρώ περισσότερα από τον τρίτο και ο τέταρτος το διπλάσιο από τον τρίτο. Πόσα χρήµατα πήρε ο καθένας;

12.

Στο ποδοσφαιρικό πρωτάθληµα µια οµάδα παίρνει τρεις βαθµούς για κάθε νίκη, ένα βαθµό για κάθε ισοπαλία και κανένα βαθµό για κάθε ήττα. Μια οµάδα συγκέντρωσε 58 βαθµούς χωρίς να χάσει και έχοντας κάνει δέκα ισοπαλίες. Να βρείτε σε πόσους αγώνες είχε νικήσει.

13.

Μια βρύση γεµίζει µια δεξαµενή σε 2 ώρες, µια άλλη σε 3 ώρες και µια τρίτη σε 6 ώρες. Να βρείτε σε πόσες ώρες τη γεµίζουν και οι τρεις µαζί.

179 Α.4.2 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ – Α.4.3 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

Α.5.1

Ποσοστά

α συµβολίζεται α% και ονοµάζεται ποσοστό επί τοις εκα100

• Το δεκαδικό κλάσµα τό. • Το δεκαδικό κλάσµα

α συµβολίζεται α‰ και ονοµάζεται ποσοστό επί τοις 1.000

χιλίοις. Για παράδειγµα 35% =

35 67 , ενώ 67‰ = . 1.000 100

Επειδή τα ποσοστά είναι κλάσµατα ακολουθούν τις ιδιότητες των κλασµάτων. Οπότε για να βρούµε το α% ενός µεγέθους ή αριθµού Α αρκεί να βρούµε το γινόµενο α ⋅A. 100 5 150 Το 5% των 30 ευρώ είναι 30 ⋅ = = 1,5 ευρώ. 100 100 Για να γράψουµε ένα κλάσµα σαν ποσοστό % αρκεί να το µετατρέψουµε σε ισοδύναµό του µε παρονοµαστή το 100. Αυτό µπορεί να γίνει: • Πολλαπλασιάζοντας τους όρους του κλάσµατος µε τον κατάλληλο αριθµό, ειδικά όταν ο παρονοµαστής είναι 2 ή 4 ή 5 ή 10 ή 20 ή 25 ή 50. • ∆ιαιρώντας του όρους του κλάσµατος και πολλαπλασιάζοντας τον δεκαδικό αριθµό που προκύπτει µε το 100. Μετακινούµε τότε την υποδιαστολή δύο θέσεις δεξιά. 13 13 ⋅ 4 52 3 37,5 • • = = = 52% = 3 : 8 = 0, 375 = = 37, 5% . 25 25 ⋅ 4 100 8 100

181 Α.5.1 ΠΟΣΟΣΤΑ

• Για να µετατρέψουµε το µέρος λ ενός συνόλου ν σε ποσοστό σχηµατίζουµε αρχικά λ το κλάσµα και στη συνέχεια το µετατρέπουµε σε ποσοστό. ν Όταν σε µια τάξη µε 20 µαθητές οι 9 είναι αγόρια γράφουµε το κλάσµα 9 9⋅5 45 = = = 45% . Εποµένως το 45% των µαθητών της τάξης είναι αγόρια. 20 20 ⋅ 5 100

ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1.Να συµπληρώσετε τις ισότητες, έτσι ώστε το δεύτερο µέλος να είναι ποσοστό. 42 100

= .....,

0,49 =

2.

3.

..... 100

345 1.000 = .....%,

= .....,

.....

= 15%,

28

= 28%,

7

100 ..... 10 3 3 ⋅ .... 60 = = =.....%, 0,31=.....%. 5 5 ⋅ .... .....

= .....,

..... 10

= 45%

Στο παρακάτω τετράγωνο να αντιστοιχίσετε τα χρώµατα της στήλης Α µε τα ποσοστά της στήλης Β. Στήλη Α

Στήλη Β

µπλε πορτοκαλί πράσινο

12,5% 25% 62,5%

Να βρείτε: α) το 10% των 53 ευρώ β) το 2% των 20 m γ) το 26‰ των 500 g.


Να µετατρέψετε τα παρακάτω κλάσµατα σε ποσοστά επί τοις εκατό. 1 15 4 21 124 35 . α) β) γ) δ) ε) στ) 2 4 5 25 40 50


Λύση

1 1⋅ 50 50 Όταν ο παρονοµαστής είναι = = = 50% . 2 2 ⋅ 50 100 διαιρέτης του 100, τότε διαι15 15 ⋅ 25 375 β) 100:4=25, οπότε = = = 375% . ρούµε το 100 µε αυτόν και βρί4 4 ⋅ 25 100 σκουµε τον αριθµό που πρέπει 4 4 ⋅ 20 80 να πολλαπλασιάσουµε τους γ) 100:5=20, οπότε = =80% . = 5 5 ⋅ 20 100 όρους του κλάσµατος ώστε να 21 21⋅ 4 84 προκύψει ποσοστό. δ) 100:25=4, οπότε = = = 84% . 25 25 ⋅ 4 100 124 124:4 31 31⋅ 10 310 ε) = = = = = 310% . Απλοποιούµε το αρχικό κλάσµα. 40 40:4 10 10 ⋅ 10 100 35 35 ⋅ 2 75 στ) = = = 75% . Αντίθετα εδώ δε θα απλοποιήσουµε αφού 50 50 ⋅ 2 100 στόχος µας είναι να φτιάξουµε ποσοστό %.

α) 100:2=50, οπότε

2.

Να µετατρέψετε τους παρακάτω αριθµούς σε ποσοστά επί τοις εκατό. α) 0,3 β) 0,28 γ) 0,02 δ) 0,002 ε) 0,00047 στ) 2.

Λύση

30 28 =30% β) 0,28= =28%. Αρκεί να µετακινήσουµε την 100 100 υποδιαστολή δύο θέσεις δεξιά. 2 00 0,2 γ) 0,02= =2% δ) 0,002= = 0,2% . 100 100 00 0,047 2 ⋅ 100 200 ε) 0,00047= =0,047% στ) 2= = = 200% . 100 100 100

α) 0,3=

3.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα: Κλάσµα α) β) γ) δ) ε) στ)

Ποσοστό %

Ποσοστό ‰


3 5 9 30 1.250 5.000

12% 320‰ 0,24 183 Α.5.1 ΠΟΣΟΣΤΑ

Λύση

3 60 60 600 =3:5=0,6= = 60%, = = 600 ‰. 5 100 100 1.000 9 3 30 30 300 β) = = 0,3 = = 30%, = = 300 ‰. 30 10 100 100 1.000 1.250 1.250 : 5 250 250 : 10 25 25 = = 250 ‰, γ) = = = 25%, = 0,25 . 5.000 5.000 : 5 1.000 1.000 : 10 100 100 12 120 12 12 12 : 4 3 δ) 12%= . = = 120 ‰, = 12 : 100 = 0,12 , = = 100 1.000 100 100 100 : 4 25 320 320 : 10 32 32 ε) 320‰= = = = 32%, = 32 : 100 = 0, 32 , 1.000 1.000 : 10 100 100 320 320 : 40 8 . = = 1.000 1.000 : 40 25 24 24 240 24 24 : 4 6 = = . στ) 0,24= = 24%, = = 240 ‰, 100 100 : 4 25 100 100 1.000

α)

Συµπληρώνουµε τον πίνακα:

α) β) γ) δ) ε) στ)

4.

Κλάσµα

Ποσοστό %

Ποσοστό ‰


3 5 9 30 1.250 5.000 3 25 8 25 6 25

60%

600‰

0,6

30%

300‰

0,3

25%

250‰

0,25

12%

120‰

0,12

32%

320‰

0,32

24%

240‰

0,24

Να υπολογίσετε: α) Το 25% του 200 β) Το 3% του 204.000 γ) Το 2‰ του 1.500.


Λύση

25 3 ⋅ 200 = 25 ⋅ 2 = 50 β) ⋅ 204.000 = 100 100 2 2 30 3·2.040=6.120 γ) ⋅ 1.500 = ⋅ 15 = =3. 10 1.000 10

α)

5.

Για να βρούµε το α% ενός αριθµού Α αρκεί να βρούµε το γινόµενο

α ·Α 100

Να υπολογίσετε: α) Το 12% των 700m, των 30 ευρώ, των 50 ωρών. β) Το 2% του 1m, του 1 kg, των 2 στρεµµάτων.

Λύση

α)

12 12 12 ⋅ 30 360 ⋅ 700 = 12 ⋅ 7 = 84 m, ⋅ 30 = = = 3,6 ευρώ, 100 100 100 100 12 12 ⋅ 50 600 ⋅ 50 = = = 6 ώρες. 100 100 100

Χρησιµοποιούµε µικρότερες µονάδες µέτρησης ώστε να 2 ⋅ 100 = 2 cm. αυξηθούν οι αριθµοί. β) Το 1m=100 cm, οπότε έχουµε 100

2 2 ⋅ 1.000 2.000 ⋅ 1.000 = = = 20 g. 100 100 100 2 2 ⋅ 2.000 4.000 2 2 ⋅ 2.000 = = = 40 m . Τα 2 στρέµµατα είναι 2.000 m , οπότε 100 100 100

To 1 kg=1.000 g, οπότε

6.

Μια τάξη µε 25 µαθητές έχει 11 αγόρια. Να βρείτε το ποσοστό των αγοριών της τάξης.

Λύση Τα 11 αγόρια είναι µέρος των 25 µαθητών της 11 τάξης. Σχηµατίζουµε το κλάσµα και το 25 µετατρέπουµε σε ποσοστό επί τοις εκατό: 11 11⋅ 4 44 = = = 44% . Άρα τα αγόρια είναι 25 25 ⋅ 4 100

Για να µετατρέψουµε το µέρος λ ενός συνόλου ν σε ποσοστό σχηµατίζουµε αρχικά το κλάσµα λ και στη συνέχεια το µετατρέν πουµε σε ποσοστό.

το 44% της τάξης.(Προφανώς τα κορίτσια είναι το υπόλοιπο 100−44=56%). 185 Α.5.1 ΠΟΣΟΣΤΑ

7.

Ο µισθός ενός υπαλλήλου αυξήθηκε κατά 75 ευρώ. Να υπολογίσετε το ποσοστό της αύξησης αν ο υπάλληλος έπαιρνε αρχικά 1.250 ευρώ.

Λύση µε βοήθεια Συµπληρώστε τα κενά Τα 75 ευρώ είναι η αύξηση στον µισθό του υπαλλήλου που ήταν 1.250 ευρώ. 75 Η αύξηση εποµένως είναι τα του µισθού του. ..... 75 75 : 25 3 3⋅2 6 = = = = = .....% . ..... ..... : ..... ..... ..... ⋅ ...... 100


Να γράψετε µε τη µορφή ποσοστών επί τοις εκατό τα παρακάτω κλάσµατα: 67 7 19 23 3 α) β) γ) δ) ε) . 100 10 25 50 5

2.

Να γράψετε µε τη µορφή ποσοστών επί τοις εκατό τα παρακάτω κλάσµατα: 3 7 875 176 α) β) γ) δ) . 12 35 250 320

3.

Να γράψετε µε τη µορφή ποσοστών επί τοις χιλίοις τα παρακάτω κλάσµατα: 419 7 13 3 9 β) γ) δ) ε) . α) 1000 100 50 8 16

4.

Να γράψετε µε τη µορφή ποσοστών επί τοις εκατό και στη συνέχεια επί τοις χιλίοις τους παρακάτω αριθµούς: α) 0,002 β) 0,02 γ) 0,2 δ) 0,25 ε) 2,5.

5.

Να γράψετε σαν κλάσµατα τα παρακάτω ποσοστά και στη συνέχεια να τα απλοποιήσετε όπου είναι απαραίτητο. α) 1% 23% 87% 100% 200%. β) 3‰ 59‰ 150‰ 700‰ 1.000‰.


6.

Να υπολογίσετε: α) το 15% του 150 β) το 5% των 300 g γ) το 4‰ του 2.000 δ) το 10‰ των 1.500 ευρώ ε) το 25% των 1 km στ) το 4% των 5,4 kg ζ) το 2% των 5 ωρών.

7.

Στην ηµερήσια εκδροµή ενός Γυµνασίου µε 250 µαθητές, δεν έλαβε µέρος το 6% των µαθητών. Να βρείτε πόσοι µαθητές δεν πήγαν στην εκδροµή.

8.

Μια βιβλιοθήκη έχει 400 βιβλία. Από αυτά το 44% είναι λογοτεχνικά, το 35% είναι επιστηµονικά και τα υπόλοιπα είναι ιστορικού περιεχοµένου. Να βρείτε πόσα βιβλία έχουν λογοτεχνικό περιεχόµενο, πόσα επιστηµονικό και πόσα ιστορικό.

9.

Σε µία εταιρεία µε 50 υπαλλήλους το 20% είναι πτυχιούχοι. Από αυτούς το 30% είναι Μαθηµατικοί. Να βρείτε πόσοι Μαθηµατικοί απασχολούνται στην εταιρεία.

10.

Ένα Γυµνάσιο έχει 350 µαθητές. Από αυτούς οι 70 είναι αριστούχοι. Να βρείτε το ποσοστό των αριστούχων µαθητών του Γυµνασίου.

11.

Οι ποδοσφαιριστές µιας οµάδας σηµείωσαν 60 τέρµατα µε διαφορετικούς τρόπους (σουτ, κεφαλιές, φάουλ, πέναλτι). Να συµπληρώσετε τον πίνακα: Τρόποι

12.

Τέρµατα

Ποσοστό %

Σουτ

60%

Κεφαλιές

25%

Φάουλ

6

Πέναλτι

3

Σύνολο

60

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: α) Το ποσοστό 58% είναι το κλάσµα: 580 58 58 Α. Β. Γ. 10 100 1.000 1 β) Το κλάσµα γράφεται σαν ποσοστό: 4 Α. 25%

Β. 40%

Γ. 60% 187 Α.5.1 ΠΟΣΟΣΤΑ

γ) Ο δεκαδικός αριθµός 0,01 γράφεται σαν ποσοστό: Α. 0,01% Β. 0,1% Γ. 1% δ) Το χρωµατισµένο µέρος του κύκλου είναι το ποσοστό:

Α. 10% Β. 20% Γ. 30%

ε) To χρωµατισµένο µέρος του σχήµατος είναι το ποσοστό: Α. 25%

Β. 75% Γ. 80%

στ) Για να βρούµε το α% του β κάνουµε την πράξη: α α α Α. +β Β. −β Γ. ⋅β 100 100 100 ζ) Το 10% του 20% µιας ποσότητας είναι: Α. Το 2% της ποσότητας Β. Το 2‰ της ποσότητας Γ. Το 1‰ της ποσότητας η) Το 20% του x είναι: 1 1 1 Α. Το του x Β. Το του x Γ. Το του x 2 5 20 θ) Όταν η τιµή ενός προϊόντος αυξηθεί από 10 ευρώ σε 20 ευρώ τότε λέµε ότι αυξήθηκε κατά: Α. 100% Β. 200% Γ. 300%


Α.5.2

Προβλήµατα µε ποσοστά

Προβλήµατα µε ΦΠΑ • Ο φόρος προστιθέµενης αξίας (ΦΠΑ) είναι ο φόρος που επιβάλλεται σε προϊόντα και υπηρεσίες. • Το ποσοστό του φόρου είναι ποσοστό επί τοις εκατό και καθορίζεται ανάλογα από τα αγαθά και τις προσφερόµενες υπηρεσίες. Ισχύει η ισότητα: Αξία µε ΦΠΑ (Τελική τιµή) = Αξία χωρίς ΦΠΑ (Αρχική τιµή) + ΦΠΑ.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ • Αρχική τιµή χωρίς ΦΠΑ. ∆ίνονται: • Το ποσοστό ΦΠΑ%. Ζητείται:

Η τελική τιµή µε τον ΦΠΑ.

1) ΠΡΟΒΛΗΜΑ Αγοράσαµε είδη αξίας 420 €. Το ποσοστό του ΦΠΑ είναι 19%.Να βρείτε το ποσό που τελικά πληρώσαµε.

Λύση

Ο ΦΠΑ είναι τα 19% των 420 €, δηλαδή

19 19 ⋅ 420 7.980 ⋅ 420 = = = 79,8 €. 100 100 100

Τελική τιµή = αξία χωρίς ΦΠΑ+ΦΠΑ = 420+79,8=499,8 €

189 Α.5.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ

∆ίνονται:

Ζητείται:

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ

2) ΠΡΟΒΛΗΜΑ

• Τελική τιµή µε ΦΠΑ.

Για ένα προϊόν µε ΦΠΑ 9% πληρώσαµε συνολικά 21,8 €.

• Το ποσοστό ΦΠΑ%. Η αρχική τιµή χωρίς τον ΦΠΑ.

Ποια ήταν η αξία του προϊόντος χωρίς τον φόρο;

Λύση 1ος τρόπος Αν η αξία του προϊόντος είναι το κλάσµα

100 9 , ο ΦΠΑ είναι . 100 100

100 9 109 1 + = και αντιστοιχεί στα 21,8 €. Εποµένως το 100 100 100 100 100 είναι 21,8:109=0,2 €. Οπότε τα είναι 100·0,2=20 € που είναι η αξία του προϊό100

Η τελική τιµή είναι

ντος χωρίς ΦΠΑ. 2ος τρόπος (Λύση µε εξίσωση) Αν x είναι η ζητούµενη αξία, τότε ο ΦΠΑ είναι 9% επί x ή τότε: x +

9 ⋅ x . Η τελική τιµή είναι 100

9 9 ⎞ 9 ⎞ 109 ⎛ ⎛ 100 ⋅ x = x ⋅ ⎜ 1+ = x ⋅⎜ + = x⋅ . ⎟ ⎟ 100 100 ⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 100 ⎠

Γράφουµε τότε την εξίσωση: 109 109 100 21,8 ⋅ 100 2.180 x⋅ = 21,8 ή x = 21,8 : , άρα x = 21,8 ⋅ =20 €. = = 100 100 109 109 109

η

3 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ

Για την αγορά ενός είδους αξίας 200 € πληρώσαµε συ• Η αρχική τιµή χωρίς τον ΦΠΑ. νολικά µε τον ΦΠΑ 238 €. Να βρείτε το ποσοστό του Το ποσοστό ΦΠΑ%. ΦΠΑ. • Τελική τιµή µε ΦΠΑ.

∆ίνονται:

Ζητείται:

3) ΠΡΟΒΛΗΜΑ


Λύση

Ο ΦΠΑ σε ευρώ είναι 238−200=38 €. ∆ηλαδή τα 38 € είναι η επιβάρυνση του ΦΠΑ 38 19 στα 200 €. Εποµένως το ποσοστό θα είναι = 38:200=0,19= = 19%. 200 100

Τραπεζικές συναλλαγές. Προβλήµατα µε τόκους • Επιτόκιο είναι ένα ποσοστό επί τοις εκατό που καθορίζεται από τις τράπεζες. • Τόκος λέγεται το ποσό που αποδίδεται σε µια κατάθεση ή εισπράττεται από ένα δάνειο. • Κεφάλαιο λέγεται το χρηµατικό ποσό πάνω στο οποίο υπολογίζεται ο τόκος. • Χρόνος είναι το χρονικό διάστηµα, που µεσολαβεί από την ηµέρα της κατάθεσης (ή του δανεισµού) µέχρι την ηµέρα της ανάληψης (ή της εξόφλησης). Ισχύουν οι ισότητες: • Τόκος για ένα χρόνο = Κεφάλαιο x επιτόκιο. x • Τόκος για x µήνες = (Κεφάλαιο x επιτόκιο) x . 12

4.

α) Να βρείτε τον τόκο που θα εισπράξουµε αν καταθέσουµε 1.500 € για 1 χρόνο µε επιτόκιο 2%. β) Ποιος θα είναι ο τόκος για 15 µήνες;

Λύση α) Ο τόκος του πρώτου χρόνου κατάθεσης είναι 1.500 ⋅

2 1.500 ⋅ 2 = = 30 €. 100 100

β) Αν υποθέσουµε ότι µετά από ένα έτος προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο (1.500 €), ο τόκος (30 €), προκύπτει µεγαλύτερο κεφάλαιο (1.500+30=1.530 €) που µε τη σειρά του τοκίζεται για τους υπόλοιπους 3 µήνες: 1

2 3 6 1.530 ⋅ = 1.530 ⋅ = = 1.530 : 200 = Νέος τόκος = 1.530 ⋅ 200 100 12 200 1.200

= 7,65 €. Εποµένως ο συνολικός τόκος για τους 15 µήνες θα είναι 30+7,65=37,65€. 191 Α.5.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ

Προβλήµατα µε εµπορικές συναλλαγές Είναι τα προβλήµατα που περιγράφουν αυξήσεις, εκπτώσεις, δόσεις κ.λ.π. 5.

Αγοράσαµε έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή αξίας 2.500 €. Πληρώσαµε 20% αµέσως και τα υπόλοιπα σε 4 µηνιαίες δόσεις µε επιτόκιο 1% κάθε µήνα. Να υπολογίσετε: α) Το ποσό της κάθε δόσης β) Το ποσό που θα στοιχίσει τελικά ο υπολογιστής.


20 ⋅ ...... = ..... ⋅ ..... = 500 €. 100 Το υπόλοιπο ποσό είναι ........ − ......... = 2.000 €, οπότε το ποσό της καθε-

α) Το ποσό της προκαταβολής είναι

µιάς από τις 4 δόσεις χωρίς τον τόκο είναι 2.000 : .... = 500 €. Υπολογίζουµε τώρα την κάθε δόση µε τον τόκο, όταν το επιτόκιο είναι 1%. 1 ⋅ 500 = 500 + 5 = 505 €. • Για τη δόση του 1ου µήνα: 500 + 100 1 ⋅ 500 = 500 + 2 ⋅ ..... = ...... €. • Για τη δόση του 2ου µήνα: 500 + 2 ⋅ 100 1 ⋅ 500 = 500 + ..... ⋅ ..... = ...... €. • Για τη δόση του 3ου µήνα: 500 + .... ⋅ 100 ..... ⋅ ..... = 500 + ..... ⋅ ..... = ...... €. • Για τη δόση του ....ου µήνα: 500 + .... ⋅ ..... β) Τελικά ο υπολογιστής στοίχισε: 500+505+.....+.....+.....=2.550 €.


Να συµπληρώσετε τον πίνακα: Αξία προϊόντος χωρίς ΦΠΑ (αρχική τιµή). α)

1.050 €

β)

20€

γ) 192 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Αξία προϊόντος µε ΦΠΑ (τελική τιµή).

ΦΠΑ 19%

21,8 € 436 €

9%

2.

Ένας έµπορος αγόρασε εµπορεύµατα αξίας 24.000 €. Πλήρωσε αµέσως το 50% και το ΦΠΑ µε ποσοστό 19% . Το υπόλοιπο συµφώνησε να το πληρώσει σε 6 µηνιαίες δόσεις µε επιτόκιο 2% το µήνα. Να υπολογίσετε: α) Το ποσό που αρχικά πλήρωσε β) Το ποσό της κάθε δόσης γ) Το ποσό που θα πληρώσει τελικά για τα εµπορεύµατα που αγόρασε.

3.

Κατέθεσε κάποιος 8.100 € ως εξής: Τα

2 του ποσού σε µια τράπεζα µε επιτό3

κιο 3% και το υπόλοιπο σε άλλη τράπεζα µε επιτόκιο 2%. Να βρείτε το κεφάλαιο που θα εισπράξει µετά από 1 χρόνο. 4.

Καταθέσαµε 5.000 € µε επιτόκιο 2%. Να υπολογίσετε τον τόκο που θα εισπράξουµε µετά από: α) 1 χρόνο β) 9 µήνες γ) 15 µήνες ,αν οι τόκοι του πρώτου χρόνου προστίθενται ξανά στο κεφάλαιο δ) 18 ηµέρες.

5.

Καταθέσαµε 2.000 € σε µια τράπεζα µε επιτόκιο 3%. Μετά από πόσους µήνες πρέπει να κάνουµε ανάληψη όλων των χρηµάτων, ώστε να εισπράξουµε συνολικά 2.050 €;

6.

Ένα είδος κόστιζε αρχικά 500€ . Στις 12 Φεβρουαρίου αυξήθηκε 10% αλλά την 12η Μαρτίου η νέα τιµή του αυξήθηκε πάλι κατά 8%. Μπορούµε να πούµε ότι τελικά η αρχική τιµή αυξήθηκε κατά 10%+8%=18%; Αν όχι να βρείτε το σωστό ποσοστό της αύξησης.

193 Α.5.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΟΣΟΣΤΑ

Α.6.1

Παράσταση σηµείων στο επίπεδο

Για να προσδιορίσουµε τη θέση ενός σηµείου Α στο επίπεδο σχεδιάζουµε δύο κάθετες ηµιευθείες που τέµνονται σε ένα σηµείο Ο.

Η οριζόντια ηµιευθεία Οx λέγεται ηµιάξονας των τετµηµένων ή ηµιάξονας των x, ενώ η κατακόρυφη λέγεται ηµιάξονας των τεταγµένων ή ηµιάξονας των y. Το κοινό τους σηµείο Ο λέγεται αρχή των ηµιαξόνων. Πάνω στους δύο ηµιάξονες έχουµε ορίσει την ίδια µονάδα µέτρησης. Λέµε τότε, ότι έχουµε ένα ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων. Αν από το Α φέρουµε κάθετη στην Οx θα βρούµε τον αριθµό 2 που λέγεται τετµηµένη του Α. Αν από αυτό φέρουµε κάθετη στην Οy θα βρούµε τον αριθµό 3 που λέγεται τεταγµένη του Α. Οι αριθµοί 2 και 3 µαζί λέγονται συντεταγµένες του σηµείου Α που το γράφουµε Α(2,3). Το ζεύγος των αριθµών (2,3) που προσδιορίζει τη θέση του σηµείου Α στο επίπεδο λέγεται διατεταγµένο ζεύγος αφού έχει σηµασία η σειρά των αριθµών: το διατεταγµένο ζεύγος (3,2) προσδιορίζει άλλο σηµείο στο επίπεδο διαφορετικό από το Α.

195 Α.6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Nα βρείτε τις συντεταγµένες των σηµείων Ο, Α, Β, Γ, ∆, Ε.

Λύση Ο(0,0) , Α(1,2) , Β(2,1) , Γ(3,0) , ∆(4,4) και Ε(0,3).

Τα σηµεία µε τεταγµένη µηδέν όπως το Γ βρίσκονται πάνω στον ηµιάξονα των x ενώ τα σηµεία µε τετµηµένη µηδέν όπως το Ε βρίσκονται πάνω στον ηµιάξονα των y.

2. Να σχεδιάσετε ένα ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων µε µονάδα µέτρησης το 1 cm και να τοποθετήσετε τα σηµεία Α(1,1), Β(4,1), Γ(4,5), ∆(1,5). Τι σχήµα είναι το ΑΒΓ∆; Να βρείτε την περίµετρο και το εµβαδόν του.

Λύση Αρχικά τοποθετούµε τα σηµεία. Όπως φαίνεται και στο σχήµα, για να τοποθετήσουµε για παράδειγµα το σηµείο Γ(4,5), βρίσκουµε πρώτα την θέση του αριθµού 4 στον ηµιάξονα των x και φέρνουµε κάθετη σε αυτή. Στη συνέχεια τη θέση του αριθµού 5 στον ηµιάξονα των y και φέρνουµε κάθετη σε αυτή. Στο σηµείο τοµής των δύο καθέτων τοποθετούµε το σηµείο Γ.

To σχήµα που προκύπτει είναι ένα ορθογώνιο µε µήκος 4 cm και το πλάτος 3 cm. Η περίµετρός του είναι 2·4+2·3=8+6=14 cm και το εµβαδόν του είναι 4·3=12 cm2.


ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1. Να συµπληρώσετε τις συντεταγµένες των σηµείων που σηµειώνονται παρακάτω.

O(...,....)

Ε(....,....)

A(....,....)

Ζ(....,....)

B(....,....)

Η(....,....)

Γ(....,....)

Θ(....,....)

∆(....,....)

Ι (....,....)

2. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. Έτσι θα έχετε βρει τις συντεταγµένες των σηµείων Α, Β, Γ, ∆, Ε. Στη συνέχεια να τοποθετήσετε τα σηµεία αυτά σε ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων (σε τετραγωνισµένο χαρτί) και να τα ενώσετε όπως δείχνει η σειρά: Α → Β → Γ → ∆ → Ε. Θα προκύψει τότε ένα γράµµα.

Τετµηµένη σηµείου

Τεταγµένη σηµείου

Σηµείο

Συντεταγµένες σηµείου

500 cm=.….m

x+1=4, x=…

Α

(.....,.....)

3

2·5,5+.....=14

Β

(.....,.....)

Γ

(.....,.....)

12−2 =.….

∆ιαιρεί τους αριθµούς O µοναδικός άρτιος που τελειώνουν σε 0 ή και πρώτος αριθµός 5. .…. ...... (7−3)·4−3·4=.....

100·0,01=.....

∆

(.....,.....)

Η πλευρά τετραγώνου µε εµβαδόν 25. .….

2·x=2·(2−1), x=.....

Ε

(.....,.....)

3. α) Να βρείτε τέσσερα σηµεία που να έχουν τετµηµένη 3. Υπάρχουν και άλλα τέτοια σηµεία; Να τα τοποθετήσετε σε ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων και να χαράξετε τη γραµµή στην οποία βρίσκονται όλα αυτά τα σηµεία. β) Να κάνετε το ίδιο µε τέσσερα σηµεία που έχουν τεταγµένη 3. γ) Να κάνετε το ίδιο µε τέσσερα σηµεία που έχουν τετµηµένη ίση µε την τεταγµένη. 197 Α.6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο

4. Το σηµείο Α(1,2) είναι κορυφή του τετραγώνου ΑΒΓ∆ µε πλευρά µήκους 3 µονάδες. α) Να βρείτε τις συντεταγµένες των άλλων κορυφών του. β) Αν µετακινήσουµε το τετράγωνο παράλληλα προς τον ηµιάξονα των x κατά 2 µονάδες δεξιά, να βρείτε τις συντεταγµένες των κορυφών του στη θέση αυτή.


Α.6.2

Λόγος δύο αριθµών Αναλογία

• Λόγος δύο αριθµών α και β είναι το πηλίκο

α που διαβάζεται και α προς β. β

• Για να βρούµε τον λόγο δύο οµοειδών µεγεθών (π.χ. δύο µηκών ή δύο εµβαδών ή δύο χρόνων κ.λ.π.) διαιρούµε τα µέτρα τους αν αυτά είναι εκφρασµένα µε την ίδια µονάδα µέτρησης. • Ο λόγος είναι καθαρός αριθµός, δεν έχει δηλαδή µονάδα µέτρησης και συχνά χρησιµεύει για την σύγκριση δύο µεγεθών. • Ο λόγος δύο µεγεθών δε θα αλλάξει αν αλλάξουµε τη µονάδα µέτρησης µε την οποία τα µετράµε. Στο σχήµα το τµήµα α=4 cm και β=2 cm. • Ο λόγος του α προς το β είναι α 4 = =2. β 2 • Συµπεραίνουµε τότε ότι α>β και µάλιστα ότι το α είναι διπλάσιο του β.

• Αν τα τµήµατα α και β µετρηθούν σε mm θα έχουµε ότι α=40 mm και β=20 mm. O α 40 λόγος τους όµως θα είναι και πάλι ίσος µε 2 αφού = = 2. β 20

Η ισότητα δύο λόγων

α γ = λέγεται αναλογία. Ισχύει τότε και η ισότητα των γινοµέβ δ

νων α · δ=β · γ. Τα ποσά α,β λέγονται ανάλογα των γ, δ.

199 Α.6.2 ΛΟΓΟΣ ∆ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ - ΑΝΑΛΟΓΙΑ

Ο λόγος της απόστασης δύο σηµείων σε ένα σχέδιο προς την πραγµατική τους απόσταση λέγεται κλίµακα. Στο διπλανό σχέδιο η απόσταση του σηµείου Α από το σηµείο Β είναι 3 cm ενώ η πραγµατική τους απόσταση είναι 3 km. Επειδή 3 km=3 · 100.000=300.000 cm έχουµε ότι: απόσταση στο σχέδιο κλίµακα = = πραγµατική απόσταση 3 1 = = = 1: 100.000, 300.000 100.000 άρα η κλίµακα στο σχέδιο είναι 1: 100.000.


Να συγκρίνετε τους λόγους: ΑΒ Α∆ και των ορθογωνίων ΕΖ ΕΘ παραλληλογράµµων ΑΒΓ∆ και ΕΖΗΘ και

ΑΒ Α∆ και των ορθογωνίων ΙΚ ΙΜ παραλληλογράµµων ΑΒΓ∆ και ΙΚΛΜ. Στη συνέχεια να συγκρίνετε τους λόγους των περιµέτρων τους. Τι συµπεραίνετε; Μπορείτε να διατυπώσετε κάποιο αντίστοιχο συµπέρασµα και για τα εµβαδά τους;


ΑΒ 4 Α∆ .... ΑΒ Α∆ = = 2 και = = 2. Παρατηρούµε ότι = . ΕΖ 2 ΕΘ .... ΕΖ ΕΘ Η περίµετρος του ΑΒΓ∆ είναι 2 ⋅ ....+2 ⋅ .... = 8 + 12 = 20.

•


Η περίµετρος του ΕΖΗΘ είναι .... ⋅ ....+.... ⋅ .... = .... + .... = .... . Ο λόγος των περιµέτρων των ορθογωνίων παραλληλογράµµων ΑΒΓ∆ και ΕΖΗΘ .... είναι = 2. .... Το εµβαδόν του ΑΒΓ∆ είναι 4 ⋅ 6=24 και το εµβαδόν του ΕΖΗΘ είναι .... ⋅ .... = .... . 24 Ο λόγος των εµβαδών τους είναι = 4. .... ΑΒ .... Α∆ .... = = .... και = = .... . • ΙΚ .... ΙΜ .... Ο λόγος των περιµέτρων των ορθογωνίων παραλληλογράµµων ΑΒΓ∆ και ΙΚΛΜ .... .... είναι = .... . Ο λόγος των εµβαδών τους είναι = .... . .... .... Συµπέρασµα: Αν οι .................... των αντίστοιχων πλευρών δύο παραλληλογράµµων είναι ίσοι, τότε αυτοί θα είναι .............. και µε τον λόγο των ............................ . 2.

∆ίνεται ορθογώνιο (παραλληλόγραµµο) µε µήκος 3 cm και πλάτος 2 cm. α) Να σχεδιάσετε ένα άλλο ορθογώνιο, ώστε ο λόγος των αντίστοιχων πλευρών των δύο ορθογωνίων να είναι 1:2. β) Να σχεδιάσετε ένα άλλο ορθογώνιο, ώστε ο λόγος των αντίστοιχων πλευρών των δύο ορθογωνίων να είναι 2:1. Να βρείτε σε κάθε περίπτωση τον λόγο των περιµέτρων τους .

Λύση Αν x το µήκος και y το πλάτος του άλλου ορθογωνίου, έχουµε τις αναλογίες: 3 1 α) = , οπότε 1⋅ x = 3 ⋅ 2 άρα x = 6 cm . x 2 2 1 = , οπότε 1⋅ y = 2 ⋅ 2 άρα y = 4 cm. y 2

201 Α.6.2 ΛΟΓΟΣ ∆ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ - ΑΝΑΛΟΓΙΑ

Όπως είδαµε στην προηγούµενη άσκηση, αφού οι λόγοι των αντίστοιχων πλευ1 1 ρών είναι και ο λόγος των περιµέτρων των δύο ορθογωνίων θα είναι . 2 2 3 2 3 = , οπότε 2 ⋅ x = 3 άρα x = = 1,5 cm . β) x 1 2 2 2 2 = , οπότε 2 ⋅ y = 2 άρα y = = 1 cm. y 1 2

Σµίκρυνση µε κλίµακα 2:1.

Όπως είδαµε στην προηγούµενη άσκηση, αφού οι λόγοι των αντίστοιχων 2 πλευρών είναι = 2 και ο λόγος των περιµέτρων των δύο ορθογωνίων θα 1 2 είναι = 2 . 1 3.

Από το διπλανό χάρτη να υπολογίσετε τις πραγµατικές αποστάσεις των πόλεων που έχουν σηµειωθεί, αν η κλίµακα του χάρτη είναι 1:700.000.

Λύση Μετράµε τις σηµειωµένες αποστάσεις στον χάρτη µε ένα υποδεκάµετρο και συµπληρώνουµε τον πίνακα: Πόλεις

Μέτρηση στον χάρτη (cm)

Κλίµακα

Πραγµατική απόσταση (km)

α)

Σκιάθος-Σκόπελος

2,4

1:700.000

x=

β)

Σκόπελος-Αλόννησος

1,5

1:700.000

y=

γ)

Σκιάθος- Αλόννησος

3,7

1:700.000

ω=


Γνωρίζουµε ότι κλίµακα =

απόσταση στον χάρτη . Αντικαθιστούµε και παίρνουπραγµατική απόσταση

µε ότι: α)

1 2, 4 = , οπότε βρίσκοντας τα χιαστί γινόµενα έχουµε 700.000 x :100.000

1⋅ x = 2, 4 ⋅ 700.000 ή x = 1.680.000 cm = 16, 8 km . 1 1, 5 β) , οπότε βρίσκοντας τα χιαστί γινόµενα έχουµε = 700.000 x :100.000

1⋅ x = 1, 5 ⋅ 700.000 ή x = 1.050.000 cm = 10, 5 km . 1 3, 7 γ) , οπότε βρίσκοντας τα χιαστί γινόµενα έχουµε = 700.000 x :100.000

1⋅ x = 3, 7 ⋅ 700.000 ή x = 2.590.000 cm = 25, 9 km .


Στο διπλανό σχήµα έχουµε τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ, Γ∆ και ΕΖ. α) Να βρείτε τους λόγους : ΑΒ Γ∆ ΑΒ ΕΖ Γ∆ ΕΖ , , , , , . Γ∆ ΑΒ ΕΖ ΑΒ ΕΖ Γ∆ β) Να συµπληρώσετε τα κενά µε το κατάλληλο σύµβολο > ή < . ΑΒ ΕΖ ..... 1. ..... 1 , άρα ΕΖ ..... Γ∆. ΑΒ ..... Γ∆ , άρα Γ∆ Γ∆

2.

Ένα ευθύγραµµο τµήµα α είναι τριπλάσιο από ένα άλλο ευθύγραµµο τµήµα β. α β α+β α+β Να υπολογίσετε τους λόγους: , , , . β α β α

3.

∆ίνεται η αναλογία

x 5 = . α) Να βρείτε το x. β) Για το x που βρήκατε να εξετά8 4 x x+5 είναι µία αναλογία. σετε αν οι λόγοι και 8 8+4 203 Α.6.2 ΛΟΓΟΣ ∆ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ - ΑΝΑΛΟΓΙΑ

4.

Να υπολογίσετε πόσα χρήµατα θα κοστίσει η περίφραξη του διπλανού οικοπέδου, αν το 1 m συρµατόπλεγµα κοστίζει 12 €.

5.

Ένα αυτοκίνητο ξεκινά από µια πόλη Α στις 9:00 και κατευθύνεται σε µια πόλη Β τρέχοντας µε 120 χιλιόµετρα την ώρα. Οι δύο πόλεις απέχουν 36 cm σε ένα χάρτη που έχει κλίµακα 1:1.000.000. Τι ώρα θα φθάσει στη πόλη Β;

6.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα: Κλίµακα α)

1:5

β)

3:2

Πραγµατική

ή στον χάρτη

απόσταση

4 cm 10 cm

γ)

2 cm

40 cm

δ)

4 cm

10 km

ε) 7.

Απόσταση στο σχέδιο

1:1.000.000

∆ίνεται το διπλανό ορθογώνιο ΑΒΓ∆. Να σχεδιάσετε ένα δεύτερο ορθογώνιο που να έχει τις πλευρές του ανάλογες προς τις πλευρές του ΑΒΓ∆ και λόγο περιµέτρου προς την περίµετρο του ΑΒΓ∆ ίσο µε 3.


25 km

Α.6.3

Ανάλογα ποσά Ιδιότητες

αναλόγων ποσών

∆ύο ποσά x και y λέγονται ανάλογα, όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιµές του ποσού x µε έναν αριθµό, πολλαπλασιάζονται και οι αντίστοιχες τιµές του ποσού y µε τον ίδιο αριθµό. Αν x είναι το βάρος σε κιλά ενός είδους και y η αξία του σε ευρώ και το 1 κιλό κοστίζει 2 ευρώ, τότε έχουµε τον παρακάτω πίνακα µε τις αντίστοιχες τιµές των ποσών x και y: x3

Παρατηρούµε ότι όταν το βάρος διπλασιάστηκε, τότε και η αντίστοιχη αξία διπλασιάστηκε, όταν το βάρος τριπλασιάστηκε, τότε και η αντίστοιχη αξία τριπλασιάστηκε, κ.λπ.

x2

x βάρος σε κιλά y αξία σε ευρώ

1 2

2 4

3 6

x2 x3

Ο λόγος των αντιστοίχων τιµών δύο αναλόγων ποσών x και y είναι σταθερός αριθµός. Ο σταθερός αυτός αριθµός ονοµάζεται συντελεστής αναλογίας. Έτσι αν µε α δείξουy µε το συντελεστή αναλογίας, ισχύει ότι = α . x Παρατηρούµε ότι ο λόγος των αντιx βάρος σε κιλά

1

2

3

y αξία σε ευρώ y Λόγος x

2

4

6

2 =2 1

4 =2 2

6 =2 3

στοίχων τιµών είναι σταθερός και ισούται µε 2. y Ισχύει δηλαδή ότι = 2 x συντελεστής αναλογίας. 205

Α.6.3 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ – Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ

Τα ανάλογα ποσά x και y συνδέονται µε την ισότητα y=α · x, όπου α ο συντελεστής αναλογίας. y y 2 = 2 ή = και πολλαπλασιάζοντας χιαστί έχουµε 1 · y=2 · x ή y=2 · x. x x 1 Αν το ποσό y είναι το ποσοστό α% του ποσού x, τότε τα δύο ποσά είναι ανάλογα και α συνδέονται µε την ισότητα y = ⋅x . 100


Να βρείτε σε ποιες από τις περιπτώσεις τα παρακάτω ποσά είναι ανάλογα. α) β) x 2 4 6 8,4 x 2 3 4 y γ) δ) ε) στ)

5

10

15

21

y

8

9

10

Η περίµετρος ενός τετραγώνου και η πλευρά του. Το εµβαδόν ενός τετραγώνου και η πλευρά του. Το βάρος ενός ανθρώπου και η ηλικία του. Ο τόκος που αποδίδει για ένα έτος ένα κεφάλαιο, όταν το επιτόκιο είναι 2%.

Λύση α)

x

2

4

6

8,4

y

5

10

15

21

y x

5 = 2,5 2

10 = 2,5 4

15 = 2,5 6

21 = 2,5 8,4

Σχηµατίζουµε τους λόγους των αντιστοίχων τιµών. Αν οι λόγοι αυτοί είναι ίσοι, τα ποσά x και y είναι ανάλογα.

Άρα τα ποσά x και y των οποίων οι αντίστοιχες τιµές έχουν λόγο 2,5 είναι ανάλογα. y β) x 2 3 4 Παρατηρούµε ότι ο λόγος των x y 8 9 10 αντιστοίχων τιµών των ποσών x y x

8 =4 2

9 =3 3


10 = 2,5 4

και y δεν είναι σταθερός αλλά µεταβάλλεται, εποµένως τα ποσά x και y δεν είναι ανάλογα.

γ) Τα ποσά είναι ανάλογα γιατί αν µε x ονοµάσουµε τη πλευρά του τετραγώνου, η περίµετρός του θα είναι 4 · x και ο λόγος τους θα είναι: περίµετρος 4 ⋅ x = = 4 που είναι σταθερός αριθµός. πλευρά x δ) Τα ποσά δεν είναι ανάλογα όπως µπορούµε να δούµε και από τον παρακάτω πίνακα: Πλευρά Εµβαδόν Εµβαδόν πλευρά

1

2

2

2

1 =1 1 =1 1

2 =4 4 =2 2

3

Το πηλίκο του εµβαδού προς

2

την αντίστοιχη πλευρά δεν είναι σταθερό.

3 =9 9 =3 3

ε) Τα ποσά ηλικία και βάρος δεν είναι ανάλογα. Αν για παράδειγµα ένα παιδί σε ηλικία 12 ετών ζυγίζει 45 κιλά, όταν φθάσει να είναι 36 ετών, δηλαδή η ηλικία του τριπλασιαστεί δε θα ζυγίζει και το τριπλάσιο βάρος, δηλαδή 3 · 45=135 κιλά! στ) Αν µε x συµβολίσουµε το κεφάλαιο και µε y το τόκο, όταν το επιτόκιο είναι 2 2%, η ισότητα που συνδέει τα ποσά x και y είναι y = ⋅ x ή y=0,02 · x , 100 που είναι ισότητα αναλόγων ποσών.

2.

∆ίνεται ο πίνακας των αναλόγων ποσών: x

5

y

20

8

24,2 50

α) Να βρείτε τον συντελεστή αναλογίας. β) Να γράψετε την ισότητα που συνδέει τα ποσά x και y. γ) Να συµπληρώσετε τον πίνακα.

Λύση µε βοήθεια Συµπληρώστε τα κενά α) Για να βρούµε τον συντελεστή αναλογίας α βρίσκουµε τη στήλη µε τις δύο γνωστές αντίστοιχες τιµές και τις διαιρούµε: y ..... α= = = ..... . x ..... β) Προκύπτει εποµένως η ισότητα y= ..... · x.

207 Α.6.3 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ – Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ

γ) Για x=8 στην παραπάνω ισότητα παίρνουµε y=..... · 8=32, για y=50 παίρνουµε 50=..... · x, οπότε x=50: ..... = ..... και για x=24,2 παίρνουµε y=..... · .....=...... . Συµπληρώνουµε τώρα τον πίνακα:

3.

x

5

8

..... 24,2

y

20 .....

50

.....

2

Για να βάψουµε ένα τοίχο 6 m χρειαζόµαστε 2 κιλά χρώµα. Αν το 1 κιλό χρώµα κοστίζει 3 €, πόσο θα πληρώσουµε για να βάψουµε ένα δωµάτιο 21 m2;

Λύση Τα ποσά εµβαδόν επιφανείας και ποσότητα χρώµατος είναι ανάλογα. 2 x Έχουµε τότε ότι: = άρα 6 ⋅ x = 2 ⋅ 21, 2 6 21 Εµβαδόν (m ) 6 21 42 Χρώµα (kg) 2 x 6 ⋅ x = 42 και εποµένως x = = 7 kg χρώµα. 6 Αφού το 1 κιλό χρώµα κοστίζει 3 € τα 7 κιλά θα κοστίζουν 3 · 7=21 €.


Να εξετάσετε σε ποιες από τις περιπτώσεις τα παρακάτω ποσά είναι ανάλογα. α) Το µήκος ενός υφάσµατος και η τιµή του. β) Ο αριθµός των εργατών και ο χρόνος εκτέλεσης ενός έργου. γ) Η ταχύτητα και ο χρόνος που χρειάζεται ένα αυτοκίνητο για να καλύψει µια απόσταση. δ) Τα ποσά x και y που συνδέονται µε την ισότητα y=0,2+x. ε) Τα ποσά x και y των πινάκων: x 10 20 y

50

120

x

5

10

25

x

3

6

90

1,5

30 60 150 360

y

3

9

15

y

4

8

120

2


2.

Για να φτιάξουµε 12 κιλά ψωµί χρειαζόµαστε 10 κιλά αλεύρι. Αφού παρατηρήσετε ότι τα ποσά βάρος αλευριού-βάρος ψωµιού είναι ανάλογα, α) Να βρείτε τον συντελεστή αναλογίας β) Να γράψετε την ισότητα που τα συνδέει γ) Να συµπληρώσετε τον πίνακα:

3.

Κιλά αλεύρι

10

Κιλά ψωµί

12

1

2

0 18

Θεωρούµε τα παρακάτω ισόπλευρα τρίγωνα:

περίµετρος = 10,5

Αν µε x συµβολίσουµε τη πλευρά και µε Π τη περίµετρο του κάθε ισοπλεύρου τριγώνου, τότε: α) Να συµπληρώσετε τον πίνακα: x=πλευρά

2

3

Π=περίµετρος

10,5

β) Τι συµπεραίνεται για τα ποσά x και Π; γ) Να γράψετε την ισότητα που τα συνδέει. 4.

Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου είναι x+5 και x. α) Να γράψετε την ισότητα που συνδέει την περίµετρο Π του ορθογωνίου µε το x. β) Με τη βοήθεια της ισότητας αυτής να συµπληρώσετε τον πίνακα: x

1

Π

2 22

42

γ) Τα ποσά x και Π είναι ανάλογα;

209 Α.6.3 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ – Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΛΟΓΩΝ ΠΟΣΩΝ

Γραφική

A.6.4

παράσταση σχέσης αναλογίας

Από τις αντίστοιχες τιµές δύο αναλόγων ποσών x και y σχηµατίζουµε διατεταγµένα ζεύγη της µορφής (x,y) που όταν τοποθετηθούν στο επίπεδο προσδιορίζουν σηµεία που βρίσκονται πάνω σε µια ηµιευθεία µε αρχή το σηµείο Ο(0,0). Τα ποσά x και y του πίνακα είναι ανάλογα επειδή ο λόy 2 4 6 γος = = = = 2 είναι σταθερός. Παίρνουµε τότε x 1 2 3

x

1

2

3

y

2

4

6

τα διατεταγµένα ζεύγη (1,2), (2,4), (3,6) και τα τοποθετούµε ως σηµεία στο επίπεδο µε συντεταγµένες τα ζεύγη αυτά. Αν τα ενώσουµε προκύπτει µια ηµιευθεία που διέρχεται από την αρχή των ηµιαξόνων.


∆υο ποσά x και y είναι ανάλογα. α) Να συµπληρώσετε τον πίνακα: x

1

y

3


3 6

12

β) Να τοποθετήσετε τα σηµεία Α(1,3), Β(....,6), Γ(3,....) και ∆(....,12) στο επίπεδο. Τι παρατηρείτε;

Λύση α) Αφού γνωρίζουµε δύο αντίστοιχες τιµές µπορούµε να βρούµε τον συντελεy 3 στή αναλογίας. Όταν x=1 τότε y=3 και = = 3 , οπότε ο συντελεστής αναx 1 λογίας είναι α=3 και η ισότητα που συνδέει τα δύο ανάλογα ποσά είναι y=3·x. Για y=6 στην ισότητα αυτή έχουµε 6=3·x, άρα x=6:3=2. Για x=3 έχουµε y=3·3, άρα y=9. Για y=12 έχουµε 12=3·x, άρα x=12:3=4. Συµπληρώνουµε τον πίνακα: x

1

2

3

4

y

3

6

9

12

β) Τοποθετούµε τα σηµεία Α(1,3), Β(2,6), Γ(3,9) και ∆(4,12) στο επίπεδο. Παρατηρούµε ότι αυτά ανήκουν σε µια ηµιευθεία µε αρχή την αρχή Ο(0,0) των ηµιαξόνων.

2.

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις αντιστοιχούν σε ανάλογα ποσά. Στην περίπτωση που τα ποσά είναι ανάλογα να γράψετε τη σχέση αναλογίας.

211 A.6.4 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΧΕΣΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ

Λύση α) Τα ποσά δεν είναι ανάλογα αφού η ηµιευθεία που αντιστοιχεί σε αυτά δεν έχει αρχή την αρχή Ο(0,0) των ηµιαξόνων. Πράγµατι βρίσκοντας τους λόγους των συντεταγµένων των σηµείων που έχουν σηµειωθεί στο σχήµα δια2 4 πιστώνουµε ότι αυτοί δεν είναι ίσοι: ≠ . 4 6 β) Τα ποσά είναι ανάλογα αφού η ηµιευθεία που αντιστοιχεί σε αυτά έχει αρχή την αρχή Ο(0,0) των ηµιαξόνων. Πράγµατι βρίσκοντας τους λόγους των συντεταγµένων των σηµείων που έχουν σηµειωθεί στο σχήµα διαπιστώνουµε 1 2 ότι αυτοί είναι ίσοι: = . Άρα ο συντελεστής αναλογίας των ποσών x και y 3 6 1 1 είναι α = και η σχέση αναλογίας είναι y = ⋅ x 3 3 γ) Λύση µε βοήθεια

Συµπληρώστε τα κενά

Τα ποσά ................ ανάλογα αφού η γραφική παράσταση που αντιστοιχεί σε αυτά .................. ηµιευθεία που .................................. . Πράγµατι αν βρούµε τους ............... των ...................... των σηµείων που έ2 5 .... χουν σηµειωθεί στο σχήµα, έχουµε ότι: = 1 , = .... , = .... , οπότε δι2 .... .... απιστώνουµε ότι οι λόγοι αυτοί ................. ίσοι. 212 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3.

Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της σχέσης αναλογίας y=3·x. Ποια από τα σηµεία Κ(4,1), Λ(2,6), Μ(2,5,4) ανήκουν σε αυτήν;

Λύση Επειδή η ισότητα y=3·x είναι σχέση αναλογίας των ποσών x και y µε συντελεστή αναλογίας α=3, η γραφική της παράσταση θα είναι µια ηµιευθεία µε αρχή το σηµείο Ο(0,0). Για να τη σχεδιάσουµε εποµένως αρκεί να βρούµε ένα επιπλέον σηµείο της. Αντικαθιστούµε όπου x=1 στην ισότητα y=3·x και βρίσκουµε y=3·1=3, οπότε παίρνουµε το σηµείο Α(1,3). Χαράζουµε την ηµιευθεία µε αρχή το σηµείο Ο που να διέρχεται και από το Α. Τοποθετούµε στη συνέχεια τα σηµεία Κ(4,1), Λ(2,6) και Μ(2,5,4) και παρατηρούµε ότι µόνο το Λ(2,6) ανήκει στην ηµιευθεία αυτή. Στην ίδια διαπίστωση θα καταλήγαµε αν αντικαθιστούσαµε τις συντεταγµένες των σηµείων στην σχέση αναλογίας y=3·x. • Για το Λ(2,6) για x=2 και y=6, έχουµε 6=3·2 που ισχύει. • Για το Κ(4,1) για x=4 και y=1, έχουµε 1=3·4 που δεν ισχύει • Για το Μ(2,5 ,4) για x=2,5 και y=4 έχουµε 4=3·2,5 που δεν ισχύει.


α) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αναλόγων ποσών: x

0

1

y

0

4

2

4 12

β) Να βρείτε τον συντελεστή αναλογίας και τη σχέση αναλογίας. γ) Να τοποθετήσετε τα σηµεία µε συντεταγµένες (0,0), (1,4), (2,....), (....,12) και (4,....) σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της σχέσης αναλογίας των ποσών x και y. 213 A.6.4 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΧΕΣΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ

2.

α) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αναλόγων ποσών αν γνωρίζετε ότι ο συντελεστής αναλογίας τους είναι α=2,5. x

1

y

3 5

10

β) Να τοποθετήσετε τα παραπάνω σηµεία σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της σχέσης αναλογίας των ποσών x και y. γ) Να εξετάσετε ποιο από τα σηµεία Α(1,6 ,4) και Β(2,5 ,8) ανήκει στη παραπάνω γραφική παράσταση. 3.

Σε ορθοκανονικό σύστηµα ηµιαξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω σχέσεων αναλογίας: 1 α) y=x β) y=5·x γ) y=0,4·x δ) y = ⋅ x. 6

4.

Να συµπληρώσετε αρχικά τη στήλη Β του παρακάτω πίνακα. Αν τα ποσά x και y είναι ανάλογα να συµπληρώσετε και τις στήλες Γ και ∆. Στήλη Α

Στήλη Β

Στήλη Γ

Στήλη ∆

Γραφική παράσταση

Τα ποσά x και y

Συντελεστής

Σχέση αναλογίας

σχέσης αναλογίας

είναι ανάλογα;

αναλογίας α

των ποσών x και y

Ναι


α=

4 =2 2

y= .... · x

5. Θερµαίνουµε συνεχώς ένα σώµα που αρχικά είχε θερµοκρασία µηδέν βαθµούς Κελσίου µέχρι η θερµοκρασία του να φθάσει στους 100 βαθµούς. Χρησιµοποιώντας τη γραφική παράσταση της σχέσης των ποσών χρόνος θερµοκρασία να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήµατα: α) Μετά από πόσα δευτερόλεπτα η θερµοκρασία του σώµατος θα είναι 100 βαθµοί, 80 βαθµοί, 40 βαθµοί Κελσίου; β) Ποια θα είναι η θερµοκρασία του σώµατος µετά από 13 δευτερόλεπτα; µετά από 15 δευτερόλεπτα; γ) Τα ποσά χρόνος - θερµοκρασία είναι ανάλογα; Αν ναι ποια είναι η σχέση αναλογίας τους;

215 A.6.4 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΧΕΣΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ

Προβλήµατα

A.6.5

αναλογιών

Πρόβληµα 5 εργάτες ανοίγουν 30 µέτρα ενός δρόµου σε µια ηµέρα. Πόσοι εργάτες ανοίγουν 54 µέτρα του δρόµου την ηµέρα;

Επίλυση του προβλήµατος 1.

Ελέγχουµε αν τα ποσά του προβλήµατος είναι ανάλογα.

1.

Τα ποσά αριθµός εργατών και το έργο που εκτελούν στον ίδιο χρόνο είναι ανάλογα.

2.

Κατασκευάζουµε πίνακα τιµών µε 3 τιµές γνωστές και µια άγνωστη που τη συµβολίζουµε µε ένα γράµµα για παράδειγµα x

2.

Συµβολίζουµε µε x τον αριθµό των εργατών που θα χρειαστούν για να ανοίξουν 54 µέτρα του δρόµου.

3.

Εφαρµόζουµε τις ιδιότητες των αναλόγων ποσών και ειδικά ότι ο λόγος των αντιστοίχων τιµών τους είναι σταθερός. Από την αναλογία που προκύπτει βρίσκουµε το x


3.

Αριθµός εργατών

5

x

Μέτρα του δρόµου

30

54

5 x ή 30·x=5·54 = 30 54

30·x=270 ή x=270:30 x=9. Άρα 9 εργάτες ανοίγουν 54 µέτρα δρόµου την ηµέρα.


Για τη θέρµανση ενός διαµερίσµατος καταναλώνονται 200 λίτρα πετρέλαιο τις 8 ηµέρες. Αν το λίτρο κοστίζει 70 λεπτά του ευρώ, να υπολογίσετε πόσο θα πληρώσουµε για να έχουµε θέρµανση για 50 ηµέρες.

Λύση Τα ποσά κατανάλωση πετρελαίου – χρόνος θέρµανσης είναι ανάλογα. ∆είχνουµε µε x τη ποσότητα του πετρελαίου που θα καταναλωθεί τις 50 ηµέρες. Έχουµε τότε: Κατανάλωση πετρελαίου σε λίτρα

200

x

Χρόνος θέρµανσης σε ηµέρες 8 50 200 x = Παίρνουµε την αναλογία ή 8·x=200·50 ή 8·x=10.000, άρα 8 50 x=10.000:8=1.250 λίτρα. Βρίσκουµε το κόστος αυτής της ποσότητας: 1.250·70=87.500 λεπτά=875 ευρώ.

2.

Ένα κατάστηµα κάνει έκπτωση 10% σε όλα του τα είδη. α) Πόση είναι η έκπτωση για ένα είδος αξίας 95 €; β) Πόσο θα πληρώσουµε για να αγοράσουµε ένα είδος που κόστιζε αρχικά χωρίς την έκπτωση 72 €; γ) Ποια είναι η αρχική αξία ενός είδους που αγοράσαµε µε την έκπτωση 36 €; Προβλήµατα που περιέχουν ποσοστά λύνονται και µε τη βοήθεια των αναλόγων ποσών.

Λύση α) Τα ποσά αξία – έκπτωση είναι ανάλογα. Αν x η ζητούµενη έκπτωση, θα έχουµε τον πίνακα των αντιστοίχων τιµών: Αξία σε €

100

95

Έκπτωση σε €

10

x

217 A.6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ

Εποµένως παίρνουµε την αναλογία:

100 95 = ή 100·x=10·95 ή 100·x=950 ή 10 x

x=950:100=9,50 €. Άρα η έκπτωση είναι 9,50 €. β) Τα ποσά αξία πριν την έκπτωση – αξία µετά την έκπτωση είναι ανάλογα. Αν x η ζητούµενη τελική αξία µετά την έκπτωση θα έχουµε τον πίνακα των αντιστοίχων τιµών: Αξία σε € χωρίς έκπτωση

100

72

Αξία σε € µε έκπτωση

90

x

Εποµένως παίρνουµε την αναλογία:

100 72 , δηλαδή 100·x=90·72 ή = 90 x

100·x=6.480 ή x=6.480:100=64,80 €. Άρα µετά την έκπτωση θα πληρώσουµε 64,80 €. γ) Αν x η ζητούµενη αξία χωρίς έκπτωση θα έχουµε τον πίνακα των αντιστοίχων τιµών: Αξία σε € χωρίς έκπτωση

100

Αξία σε € µε έκπτωση

90

x

36 100 x = Εποµένως παίρνουµε την αναλογία: , δηλαδή 90·x=100·36 ή 90 36 90·x=3.600 ή x=3.600:90=40 €. Άρα η αξία του είδους πριν την έκπτωση ήταν 40 €.


Από 12 κιλά πορτοκάλια παίρνουµε 8 λίτρα πορτοκαλάδα. α) Από 3 κιλά πορτοκάλια πόσα λίτρα πορτοκαλάδα παίρνουµε; β) Για να φτιάξουµε 15 λίτρα πορτοκαλάδα πόσα κιλά πορτοκάλια χρειαζόµαστε;

2.

Με 20 € αγοράζουµε 3 µέτρα ενός υφάσµατος. α) Με 50 € πόσα µέτρα από το ύφασµα αυτό αγοράζουµε; β) Πόσο κοστίζουν τα 42 µέτρα υφάσµατος;


3.

Αν εξατµιστούν 2

3 τόνοι θαλασσινό νερό, θα δώσουν 80 κιλά αλάτι. 4

Να βρείτε από πόσα κιλά νερό θα πάρουµε 1,2 τόνους αλάτι. 4.

Ένας υπάλληλος ξοδεύει κάθε µήνα τα 88% του µισθού του και του περισσεύουν 102 €. Πόσος είναι ο µισθός του;

5.

∆υο εργάτες εργάστηκαν σε µια οικοδοµή και πήραν και οι δύο µαζί 320 €. Αν ο πρώτος εργάστηκε 3 ηµέρες και ο δεύτερος 5 ηµέρες, να βρείτε πόσα χρήµατα πήρε ο καθένας.

6.

Η τιµή ενός προϊόντος αυξήθηκε από 50 € σε 54€. Να βρείτε το ποσοστό της αύξησης.

7.

Για την αγορά ενός προϊόντος που είχε συντελεστή ΦΠΑ 19% πληρώσαµε στο ταµείο (αξία+ΦΠΑ) 142,80 €. Να βρείτε: α) Την αξία του προϊόντος αυτού χωρίς τον ΦΠΑ. β) Τον ΦΠΑ που πληρώσαµε.

8.

Πόσα χρήµατα πρέπει να καταθέσουµε στην τράπεζα µε επιτόκιο 2% για να µας αποδοθεί µετά από ένα χρόνο τόκος 154 €;

9.

Ένας έµπορος πούλησε 5 τηλεοράσεις και εισέπραξε συνολικά 3.213 €. Τις πούλησε εισπράττοντας ΦΠΑ 19% ενώ το ποσοστό του κέρδους του ήταν 8%. Να υπολογίσετε πόσο είχε αγοράσει κάθε τηλεόραση αν για να µεταφερθούν στο κατάστηµά του πλήρωσε 80 €.

219 A.6.5 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ

Α.6.6

Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

• ∆ύο ποσά x και y λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιµές του ποσού x µε έναν αριθµό, διαιρούνται οι αντίστοιχες τιµές του ποσού y µε τον ίδιο αριθµό.

Παρατηρούµε ότι όταν το ποσό χ διπλασιάστηκε, τότε το αντίστοιχο ποσό y διαιρέθηκε δια 2, όταν το ποσό x τριπλασιάστηκε, τότε το αντίστοιχο ποσό y διαιρέθηκε δια του 3, κ.λπ.

Το γινόµενο των αντιστοίχων τιµών δύο αναλόγων ποσών x και y είναι σταθερός αριθµός διάφορος του µηδενός. Έτσι αν µε α δείξουµε τον αριθµό αυτόν ισχύει ότι x·y =α. x

1

2

3

6

y

6

3

2

1

x·y

1·6=6

2·3=6

3·2=6

6·1=6

Παρατηρούµε ότι το γινόµενο των αντιστοίχων τιµών είναι σταθερό και ισούται µε 6. Ισχύει δηλαδή ότι x · y =6.

Τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά x και y συνδέονται µε την ισότητα y = x · y=6 ή y =

6 . x


α , όπου α ≠ 0 . x

Από τις αντίστοιχες τιµές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών x και y σχηµατίζουµε διατεταγµένα ζεύγη της µορφής (x,y) που όταν τοποθετηθούν στο επίπεδο προσδιορίζουν σηµεία που βρίσκονται πάνω σε µια καµπύλη που λέγεται υπερβολή. Παίρνουµε τα διατεταγµένα ζεύγη (1,6), (2,3), (3,2) και (6,1) του πίνακα και τα τοποθετούµε ως σηµεία στο επίπεδο µε συντεταγµένες τα ζεύγη αυτά. Αν τα ενώσουµε προκύπτει η υπερβολή. Η καµπύλη αυτή, επειδή x ≠ 0 και y ≠ 0, όσο και αν προεκταθεί δεν τέµνει του ηµιάξονες Οx και Οy.


Να συµπληρώσετε τα κενά : ∆ύο ποσά x και y λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιµές του ποσού x µε έναν αριθµό οι αντίστοιχες τιµές του άλλου ποσού y ............................... µε τον ίδιο αριθµό . Το ...................... των αντιστρόφως αναλόγων ποσών x και y είναι σταθερό και τα ποσά συνδέονται µε την ισότητα .... y= . Τα ζευγάρια των τιµών (x,y) παριστάνουν σε αυτή τη περίπτωση σηµεία .... του επιπέδου που βρίσκονται πάνω σε καµπύλη γραµµή που ονοµάζεται ............................. και που δεν τέµνει ποτέ τους ....................... .

2.

Τα παρακάτω ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα; Να απαντήσετε γράφοντας ΝΑΙ ή ΟΧΙ στην δεύτερη στήλη. ΝΑΙ/ΟΧΙ Το µήκος και το πλάτος των ορθογωνίων παραλληλογράµµων που έχουν εµβαδόν 24 m2. Ο αριθµός των εργατών και ο χρόνος που απαιτείται για την ολοκλήρωση ενός έργου. 221 Α.6.6 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

3.

x

2

3

4

y

12

8

6

x

1

2

3

y

4

8

12

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: α) Αν τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε: Α. y=α·x µε α≠0 Β. x·y=α µε α≠0 Γ. y=α+x β) Αν x·y=5, τότε: 5 Α. y = x

Β. y=5·x

γ) Η σχέση που συνδέει τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά του διπλανού σχήµατος είναι: 1,5 2 3 Α. y = Β. y = Γ. y = x x x


Γ. x=5·y


Τα ποσά x και y του πίνακα είναι αντιστρόφως ανάλογα. α) Να συµπληρώσετε τον πίνακα: x

1

y

10

2

2,5

10 2,5

2

β) Να τοποθετήσετε τα σηµεία µε συντεταγµένες τα ζεύγη που προκύπτουν από τον παραπάνω πίνακα τιµών και να σχεδιάσετε την υπερβολή. γ) Να βρείτε την ισότητα που συνδέει τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά x και y. Αν το x=1.000 ποια είναι η αντίστοιχη τιµή του y;

Λύση α) Στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά τα γινόµενα των αντιστοίχων τιµών τους είναι ίσα. Από τον πίνακα για x=1 παίρνουµε y=10 και το γινόµενό τους είναι 1·10=10. Άρα και τα επόµενα γινόµενα πρέπει να ισούται µε 10. Τότε, για x=2 το αντίστοιχο y είναι 10:2=5, για x=2,5 το αντίστοιχο y είναι 10:2,5=4, για y=2,5 το αντίστοιχο x είναι 10:2,5=4, για y=2 το αντίστοιχο x είναι 10:2=5 και τέλος για x=10 το αντίστοιχο y είναι 10:10=1. Συµπληρώνουµε τον πίνακα: x

1

2

2,5

4

5

10

y

10

5

4

2,5

2

1

β) Τοποθετούµε σε ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων τα σηµεία µε συντεταγµένες (1,10),(2,5), (2,5, 4), (4, 2,5),(5,2),(10,1). Όταν τα ενώσουµε προκύπτει µια υπερβολή.

223 Α.6.6 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

γ) Επειδή x·y=10, προκύπτει ότι y = y=

2.

10 1 = = 0,01 . 1.000 100

α) Με τη βοήθεια της γραφιπαράστασης της υπερβολής να συµπληρώσετε τον πίνακα: x y

1

1,6

2 2

1,6

1

β) Να βρείτε την ισότητα που συνδέει τα ποσά x και y. γ) Να εξετάσετε αν το σηµείο Α(7,2) ανήκει στην υπερβολή αυτή.


10 . Για x=1.000 έχουµε ότι x

Λύση α) x

1

1,6

2

4

5

8

y

8

5

4

2

1,6

1

β) Παρατηρούµε στον πίνακα ότι το γινόµενο των αντιστοίχων τιµών x και y είναι σταθερό και ίσο µε 8, οπότε έχουµε x·y=8 από όπου προκύπτει ότι 8 y= . x γ) Τοποθετούµε το σηµείο Α(7,2) και παρατηρούµε ότι δεν ανήκει στην υπερβολή αυτή. Στην ίδια διαπίστωση θα καταλήγαµε αν αντικαθιστούσαµε τις συντεταγµένες των σηµείων στην σχέση x·y=8, οπότε για x=7 και y=2 έχουµε 7·2=8 που δεν ισχύει.

3.

8 εργάτες τελειώνουν ένα έργο σε 15 ηµέρες. Σε πόσες ηµέρες θα τελειώσουν το ίδιο έργο 12 εργάτες;

Λύση Τα ποσά αριθµός των εργατών και ο χρόνος που απαιτείται για την ολοκλήρωση ενός έργου είναι αντιστρόφως ανάλογα. Αν x ο ζητούµενος αριθµός ηµερών παίρνουµε τον παρακάτω πίνακα των αντιστοίχων τιµών: Αριθµός εργατών

8

x

Αριθµός ηµερών

15

12 225

Α.6.6 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Επειδή τα γινόµενα των αντιστοίχων τιµών είναι ίσα έχουµε: x·12=8·15 ή x·12=120, οπότε x=120:12=10. Άρα 12 εργάτες τελειώνουν το ίδιο έργο σε 10 ηµέρες.


Σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα; α) β) x 2 3 4 x 2 2,4 3 γ) x 2 3 4 1 1 1 y 6 5 4 y 0,2 0,3 0,4 y 2 3 4

2.

Τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα. α) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: 1 0,8 1 2 x 2 y

2

1

0,8

1 2

β) Να τοποθετήσετε τα σηµεία µε συντεταγµένες τα ζεύγη που προκύπτουν από τον παραπάνω πίνακα τιµών και να σχεδιάσετε την υπερβολή. γ) Να βρείτε την ισότητα που συνδέει τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά x και y. 3.

Τα ποσά Α και Β είναι αντιστρόφως ανάλογα. Να υπολογίσετε τη τιµή του x σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) β) Ποσό Α 3 21 Ποσό Α x 1,5 Ποσό Β

4.

5

x

Ποσό Β

7

28

Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις 4 cm και 5 cm. α) Να βρείτε όλα τα ορθογώνια µε το ίδιο εµβαδόν, αν γνωρίζετε ότι οι διαστάσεις τους είναι φυσικοί αριθµοί. β) Τι συµπεραίνετε για τις διαστάσεις των ορθογωνίων αυτών; Ποια ισότητα τις συνδέει;


5.

Για την ύδρευση µιας περιοχής χρειάζονται 200 σωλήνες µήκους 4 µέτρων ο καθένας. Πόσοι σωλήνες θα χρειαστούν αν ο καθένας έχει µήκος 5 µέτρα;

6.

Μια οικογένεια µπορεί να κάνει 15 ηµέρες διακοπές, αν ξοδεύει καθηµερινά 150 €. Αν θέλει να κάνει 20 ηµέρες διακοπές, πόσο πρέπει να περιορίσει τα ηµερήσια έξοδά της;

7.

Οι τιµές δύο αντιστρόφως αναλόγων ποσών αναπαριστώνται από την υπερβολή του σχήµατος. α) Να συµπληρώσετε τον πίνακα των αντιστοίχων τιµών των δύο ποσών, βρίσκοντας τη συντεταγµένη που λείπει. x y

0,5

4 2

3

β) Να γράψετε την ισότητα που συνδέει τα ποσά x και y και να επαληθεύσετε ότι οι τιµές που βρήκατε στο προηγούµενο ερώτηµα είναι σωστές.

227 Α.6.6 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ

Α.7.1

Θετικοί και Αρνητικοί

αριθµοί (Ρητοί αριθµοί) — Η ευθεία των ρητών — Τετµηµένη σηµείου

Για να µεταφέρουµε στα Μαθηµατικά εκφράσεις όπως «η θερµοκρασία είναι 2 βαθµοί κάτω από το µηδέν» ή «η µείωση της τιµής είναι 3 ευρώ» γράφουµε −2 βαθµοί και το διαβάζουµε «πλην 2 βαθµοί» ή «−3 ευρώ» και το διαβάζουµε «πλην 3 ευρώ». Αντίστοιχα για τις εκφράσεις «η θερµοκρασία είναι 7 βαθµοί πάνω από το µηδέν» ή «η αύξηση της τιµής είναι 24 ευρώ» γράφουµε +7 βαθµοί ή πιο απλά 7 βαθµοί ή +24 ευρώ ή πιο απλά 24 ευρώ. • Τα σύµβολά «−» και «+» που χρησιµοποιήσαµε µπροστά από τους αριθµούς λέγονται πρόσηµα. • Αριθµοί που έχουν µπροστά το πρόσηµο «−» λέγονται αρνητικοί. • Αριθµοί που έχουν µπροστά το πρόσηµο «+» λέγονται θετικοί. Στους θετικούς αριθµούς το πρόσηµο «+» συνήθως παραλείπεται. • Το µηδέν δεν έχει πρόσηµο. Έτσι οι συµβολισµοί −0 ή +0 παριστάνουν τον ίδιο αριθµό, το 0. • Οι αριθµοί που έχουν το ίδιο πρόσηµο, είναι δηλαδή όλοι αρνητικοί ή όλοι θετικοί λέγονται οµόσηµοι. • Οι αριθµοί που έχουν διαφορετικό πρόσηµο, λέγονται ετερόσηµοι. 11 είναι αρνητικοί. 9 71 • Οι αριθµοί +7, 24, 0,0021, + είναι θετικοί. 13 7 • Οι αριθµοί −8, −1,67, − , είναι οµόσηµοι αφού έχουν όλοι πρόσηµο «−». Αλλά 9 8 και οι αριθµοί +12, + , 45,8 είναι οµόσηµοι αφού έχουν όλοι πρόσηµο «+». 19

• Οι αριθµοί −2, −3, −0,461, −

A.7.1 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) – Η ΕΥΘΕΙΑ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ – ΤΕΤΜΗΜΕΝΗ ΣΗΜΕΙΟΥ

229

• Αντίθετα οι αριθµοί −19, +27 είναι ετερόσηµοι. • Φυσικοί αριθµοί γνωρίζουµε πως είναι οι αριθµοί 0, 1, 2, 3, 4, ... . • Ακέραιοι αριθµοί είναι οι φυσικοί αριθµοί µαζί µε τους αρνητικούς που προκύπτουν από τους φυσικούς όταν βάλουµε µπροστά το πρόσηµο «–», δηλαδή Φυσικοί αριθµοί ..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ... Ακέραιοι αριθµοί • Το σύνολο των αριθµών που θα χρησιµοποιούµε, δηλαδή οι Φυσικοί, οι Ακέραιοι, οι θετικοί και οι αρνητικοί δεκαδικοί, τα θετικά και τα αρνητικά κλάσµατα αποτελούν τους Ρητούς αριθµούς. • Έτσι ο αριθµός 12 είναι φυσικός, ακέραιος, αλλά και ρητός. Ο αριθµός −452 δεν είναι φυσικός αλλά είναι ακέραιος και ρητός. 1 Οι αριθµοί 0,98 και − δεν είναι φυσικοί ούτε ακέραιοι, αλλά είναι ρητοί. 3

Παράσταση των Ρητών αρθµών µε σηµεία µιας ευθείας • Όλοι οι ρητοί αριθµοί µπορούν να παρασταθούν σαν σηµεία πάνω σε µία ευθεία (που λέγεται άξονας) όπου έχουµε τοποθετήσει ένα σηµείο αναφοράς Ο (που λέγεται αρχή και παριστάνει τον αριθµό 0). Το σηµείο Ο δηµιουργεί δύο αντικείµενες ηµιευθείες την Οx΄ (αριστερά από το Ο) και την Οx (δεξιά από το Ο). Στον ηµιάξονα Οx΄ τοποθετούνται οι αρνητικοί αριθµοί, ενώ στον ηµιάξονα Οx οι θετικοί.

Ο αριθµός που προσδιορίζει τη θέση ενός σηµείου πάνω στον άξονα λέγεται τετµηµένη του σηµείου. • Η τετµηµένη του σηµείου Α είναι ο αριθµός 1,4 , η τετµηµένη του σηµείου Β είναι ο 3 αριθµός − . 2 230 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ


Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, τοποθετώντας ένα + στην κατάλληλη θέση όπως στο παράδειγµα.

2008

ΦΥΣΙΚΟΣ

ΑΚΕΡΑΙΟΣ

ΡΗΤΟΣ

ΘΕΤΙΚΟΣ

+

+

+

+

ΑΡΝΗΤΙΚΟΣ

−100 −2,009 +0,0001 2 − 3 107 2.

Να επιλέξετε Σ για κάθε σωστή πρόταση και Λ για κάθε λανθασµένη. α) Η αύξηση ενός προϊόντος κατά 2,3% εκφράζεται από τον αριθµό +2,3%. β) Κάθε φυσικός αριθµός είναι και ρητός. γ) Οι αριθµοί +2 και 0,2 είναι ετερόσηµοι. δ) Αν ο αριθµός α είναι ετερόσηµος του −3, τότε ο α είναι αρνητικός αριθµός. ε) +0= −0 = 0.

Σ

Λ

στ) Η τετµηµένη του σηµείου Α είναι +0,5.


231


Να εκφράσετε µε την βοήθεια ενός θετικού ή αρνητικού αριθµού καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις: α) Μείωση της θερµοκρασίας κατά 2 βαθµούς Κελσίου. β) Κέρδος 340 € γ) Ζηµιά 200 € δ) Αύξηση του βάρους κατά 2,5 κιλά ε) 3,12 µέτρα κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας.

α) −2 2.

β) +340 γ) −200

Λύση

δ) +2,5 ε) −3,12.

Με τη βοήθεια του σχήµατος να απαντήσετε στις ερωτήσεις που ακολουθούν.

α) Ποιο σηµείο έχει τετµηµένη –3,2; 8 β) Ποιο σηµείο έχει τετµηµένη − ; 5 γ) Ποιο σηµείο έχει τετµηµένη +2,4; δ) Ποια είναι η τετµηµένη του σηµείου ∆; ε) Ποια είναι η τετµηµένη του µέσου του ευθυγράµµου τµήµατος ΓΖ;

Λύση α) β) γ) δ) ε)

Το σηµείο Α Το σηµείο Β. Το σηµείο Ε. Η τετµηµένη του σηµείου ∆ είναι +1,5. Η τετµηµένη του σηµείου Γ είναι −1 και του σηµείου Ζ είναι +3. Το µέσο τότε του ευθυγράµµου τµήµατος ΓΖ θα έχει τετµηµένη +1.



Να εξηγήσετε τη σηµασία των παρακάτω αριθµών: α) +12 βαθµοί Κελσίου β) −53 € γ) −3,2 kg δ) +1% ε) +724 m.

2.

Να βρείτε σε ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις οι αριθµοί που δίνονται είναι: ετερόσηµοι, οµόσηµοι, οµόσηµοι αρνητικοί, οµόσηµοι θετικοί. 1 24 2 α) −9 , + β) , +0,28 γ) −5,1 , − δ) +12,91 , −12,91 ε) +23 , −18. 4 6 11

3.

4.

11 9 1 1 , 2 , − , − 3 , +1.032 να βρείτε ποιοι 9 10 5 3 είναι: α) Οµόσηµοι του –0,23 β) Ετερόσηµοι του − . 17

Από τους αριθµούς −3, − 15, 02, +

Να αντιστοιχίσετε τα σηµεία του άξονα µε τις τετµηµένες τους. Σηµείο Τετµηµένη • Α Β Γ ∆ Ε Ζ Ο

5.

• • • • • • •

−4

• +3 • −0,3 • •

1,2 0 3 • − 2 17 • + 5

Να τοποθετήσετε στον άξονα x΄Οx τους αριθµούς: 1 5 5 −3, +3, − , + 2,3, − 18, , + , + , − 0,9 . 2 4 2

Στη συνέχεια να γράψετε όλους τους ακέραιους αριθµούς που βρίσκονται ανάµεσα στο −3,1 και στο +2,9.


233

Απόλυτη τιµή ρητού

Α.7.2

Αντίθετοι ρητοί Σύγκριση ρητών

• Απόλυτη τιµή ενός αριθµού είναι η απόσταση του σηµείου που παριστάνει στον άξονα τον αριθµό αυτόν, από την αρχή Ο. • Η απόλυτη τιµή του αριθµού α, συµβολίζεται µε │α│. • Η απόλυτη τιµή επειδή εκφράζει απόσταση είναι θετικός αριθµός ή µηδέν. −2 = 2

−4 = 4

+4 = 4

• Το σηµείο Α µε τετµηµένη +4 απέχει από την αρχή Ο του άξονα, 4 µονάδες, όσο το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος ΟΑ. Λέµε τότε ότι η απόλυτη τιµή του +4 είναι 4 και γράφουµε +4 =4. • Το σηµείο Β µε τετµηµένη −2 απέχει από την αρχή Ο του άξονα, 2 µονάδες, όσο το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος ΟΒ. Λέµε τότε ότι η απόλυτη τιµή του −2 είναι 2 και γράφουµε −2 =2. ∆υο αριθµοί που έχουν την ίδια απόλυτη τιµή αλλά διαφορετικό πρόσηµο λέγονται αντίθετοι. • Οι αριθµοί εποµένως +4 και –4 είναι αντίθετοι. Λέµε επίσης ότι ο ένας είναι αντίθετος του άλλου, δηλαδή ο αντίθετος του +4 είναι ο –4 ή ο αντίθετος του –4 είναι ο +4. • Γενικά ο αντίθετος του x είναι ο –x.


• Ο συµβολισµός –x δεν παριστάνει υποχρεωτικά έναν αρνητικό αριθµό. Έτσι αν x= –5, ο αντίθετός του, –x ισούται µε +5>0. • ∆υο αριθµοί µε ίσες απόλυτες τιµές είναι ίσοι ή αντίθετοι. ∆ηλαδή αν α = β , τότε α=β ή α= –β. • Η απόλυτη τιµή ενός θετικού αριθµού • +9 =9. είναι ο ίδιος ο αριθµός. • Η απόλυτη τιµή ενός αρνητικού αριθ- • −15 =αντίθετος του –15 που είναι το µού είναι ο αντίθετος του αριθµού. +15 ή απλά 15. • Η απόλυτη τιµή του µηδενός είναι µη- • 0 = 0 . δέν. • Γενικά για να βρούµε την απόλυτη τιµή ενός αριθµού αρκεί να γράψουµε τον αριθµό αυτόν χωρίς πρόσηµο.

Παράσταση των φυσικών αριθµών µε σηµεία µιας ευθείας Από δύο ρητούς µεγαλύτερος είναι εκείνος που βρίσκεται δεξιότερα πάνω στον άξονα.

3 5 –4< − <–1,6<0< <2,7<3. 4 2

235 Α.7.2 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΡΗΤΟΥ – ΑΝΤΙΘΕΤΟΙ ΡΗΤΟΙ –ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΡΗΤΩΝ

Από δύο θετικούς αριθµούς δεξιότερα βρίσκεται αυτός µε τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή.

3>

Από δύο θετικούς αριθµούς µεγαλύτερος είναι αυτός µε τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή.

3 4

−1 > −4

Από δύο αρνητικούς αριθµούς δεξιότερα βρίσκεται αυτός µε τη µικρότερη απόλυτη τιµή.

1< 4

Από δύο αρνητικούς αριθµούς µεγαλύτερος είναι αυτός µε τη µικρότερη απόλυτη τιµή.

Όλοι οι θετικοί αριθµοί βρίσκονται δεξιότερα των αρνητικών.

2,7>–4 3 5 >− 2 4

Όλοι οι θετικοί αριθµοί είναι µεγαλύτεροι των αρνητικών.

Το µηδέν είναι δεξιότερα από κάθε αρνητικό και αριστερότερα από κάθε θετικό.

0>–4 3 0< 4

Το µηδέν είναι µεγαλύτερο από κάθε αρνητικό και µικρότερο από κάθε θετικό.

−1 = 1 −4 = 4


Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: α) │+5│ ισούται µε: Α. 5

Β. −5

β) │−5│ ισούται µε: Α. 5

Β. −5

1 5 1 Γ. 5

Γ.

γ) Αν │α│=5, τότε: Α. α= +5 Β. α= −5 Γ.α=+5 ή α= −5 δ) Αν │α│= −5, τότε: A. α= −5 B. α=5 ή α= −5 Γ. ∆εν υπάρχει τέτοιος αριθµός. 1 ε) Ο αριθµός 9 είναι αντίθετος του αριθµού: Α. − Β. −9 Γ. +9 9 στ) ∆υο αντίθετοι αριθµοί είναι πάντοτε: Α. Οµόσηµοι Β. Ετερόσηµοι Γ. Με διαφορετικές απόλυτες τιµές


ζ) Αν δυο αριθµοί έχουν ίσες απόλυτες τιµές τότε αυτοί υποχρεωτικά είναι: Α. Οµόσηµοι Β. Ετερόσηµοι Γ. Ίσοι ή αντίθετοι 2.

Να επιλέξετε Σ για κάθε σωστή πρόταση και Λ για κάθε λανθασµένη. Σ Λ Σ α) −24 >+2 ε) −10.000 > −0,001 1 στ) −8 < − β) 10 >−10 8 γ) −0,23 <0

δ) │−2│< −2

ζ) 0 > 1,06 2 2 η) − = + 3 3

Λ


Να βρείτε τις απόλυτες τιµές των αριθµών: 7 2 +11,2, −17,31, 0, −0,004, , −6 . 12 3

Λύση +11,2 =11,2,

2.

7 2 7 2 = , 0 = 0 , −17,31 = 17,31 , −0,004 = 0,004 , −6 = 6 . 12 12 3 3

Να βρείτε τους αντίθετους των αριθµών: 5 2 +8, −11,2, − , │−9│, −1 . 4 9

Ο αντίθετος του +8 είναι ο −8. Ο αντίθετος του −11,2 είναι ο +11,2. 5 5 Ο αντίθετος του − είναι ο + . 4 4

Λύση ∆υο αριθµοί που έχουν την ίδια απόλυτη τιµή αλλά διαφορετικό πρόσηµο λέγονται αντίθετοι.

Επειδή│−9│=9, ο αντίθετος του 9 είναι ο −9. Ο αντίθετος του −1

2 2 είναι ο +1 . 9 9


3.

α) Αν x= –6, να βρείτε τους αριθµούς –x, –(–x), │x│, │–x│. β) Να κάνετε το ίδιο αν x=3.

Λύση

α) Αν x= −6 • Ο αριθµός −x είναι ο αντίθετος του x, δηλαδή αν x= −6 ο αντίθετός του είναι το +6 , οπότε γράφουµε −x= +6. • Ο αριθµός −(−x) είναι ο αντίθετος του −x, δηλαδή ο αντίθετος του +6, που είναι το −6 , οπότε γράφουµε −(−x)= −6. • │x│=│−6│=6 • │−x│=│+6│=6. β) Αν x=3 • −x είναι ο αντίθετος του x που είναι 3, άρα −x= −3. • −(−x) συµβολίζει τον αντίθετο του −x , δηλαδή τον αντίθετο του −3, που είναι το 3, οπότε γράφουµε −(−x)=3. • │x│=│3│=3 • │−x│=│−3│=3. Παρατηρούµε ότι −(−x)=x και │−x│=x.

4.

Να βρείτε τους ακέραιους αριθµούς που έχουν απόλυτη τιµή: α) 8 β) 0 γ) –3 δ) µικρότερη του 3 ε) µεγαλύτερη ή και ίση του 5.

Λύση

α) Απόλυτη τιµή 8 έχουν οι αντίθετοι αριθµοί +8 και −8. β) Απόλυτη τιµή 0 έχει µόνο ο αριθµός 0. γ) ∆εν υπάρχει αριθµός που να έχει απόλυτη τιµή –3 γιατί η απόλυτη τιµή ενός αριθµού εκφράζει απόσταση και εποµένως είναι αριθµός θετικός ή µηδέν. δ) Είναι οι ακέραιοι αριθµοί που όταν τοποθετηθούν στον άξονα απέχουν, από την αρχή Ο απόσταση µικρότερη του 3, δηλαδή οι αριθµοί 2, 1, 0, −1, −2.

ε) Είναι οι ακέραιοι αριθµοί που όταν τοποθετηθούν στον άξονα, απέχουν από την αρχή Ο απόσταση µεγαλύτερη ή και ίση του 5, δηλαδή οι αριθµοί 5 και −5, 6 και −6 , 7 και −7, κ.λ.π.


5.

Να βάλετε σε αύξουσα σειρά τους αριθµούς: 7 9 +4, −6, −1, 3,8, + , 0, −5,2, − 4 2

Λύση µε βοήθεια Συµπληρώστε τα κενά Ξεχωρίζουµε πρώτα τους θετικούς αριθµούς: +4, ...., ..... και τους τοποθετούµε 7 στη σειρά από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο. Επειδή + =7:4=1,75 έ4 χουµε ..... < ..... < +4. 9 Στη συνέχεια συγκρίνουµε τους αρνητικούς αριθµούς: −6, ...., ....., − . Γνωρί2

ζουµε ότι µεταξύ δύο αρνητικών αριθµών µεγαλύτερος είναι αυτός που έχει ...............................απόλυτη τιµή. Έτσι βρίσκουµε τις απόλυτες τιµές των αριθ9 µών αυτών: │−6│=6, │.....│=....., │.....│=..... και │ − │=..... .Τοποθετούµε και 2 τους αρνητικούς αριθµούς από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο. −6< ..... < ..... < ..... . Γνωρίζουµε επίσης ότι όλοι οι αρνητικοί αριθµοί είναι ................ από τους θετικούς και ότι το µηδέν είναι µεγαλύτερο από κάθε ............... αριθµό και µικρότερο από κάθε ..............αριθµό. Γράφουµε τότε: −6< ..... < ..... < .....<0< ..... < ...... < +4.


Να συµπληρώσετε τα κενά: 5 │+1,85│=..... ,│−3,1│=..... , │0│=..... ,│ │=....., │....│=6 και │ ...│=6. 3

2.

Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α) │−2│+│+5│−│−3│ β) │−5│+│−10│−│+15│


3.

δ) +

ε) │35−4│−│5+3│+│7−7│−│−8│

στ) −3 ⋅ −1 −

−2 ⋅ +3 +6

.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα: Αριθµός

–5

Αντίθετος

+

–7,3

11 6 −

–1

Απόλυτη

1 10

8

τιµή 4.

9 7 1 5 +− − − 4 4 4 4

γ) │−3,5│+│−15│−│−1,5│


+2

–x

–3

–(–x)

–4

│x │

5

│–x│

6

5.

∆ύο αντίθετοι αριθµοί απέχουν πάνω στον άξονα 12 µονάδες. Να βρείτε ποιοι αριθµοί είναι αυτοί και να τους τοποθετήσετε στον άξονα.

6.

Να βάλετε το κατάλληλο σύµβολο > , < , = µεταξύ των παρακάτω αριθµών. −3+7 −5−2 +3+1 0−4 +90 −0,2+0,1 −(−2)2

−(−3)−3

│−0,75│ +

7.

3 4

0│−12│ −2,5−1

11 9 + − 9 2

4 5 + + 5 4

α) Να βάλετε σε φθίνουσα σειρά τους αριθµούς: +7, −10, −3, −2, −6, 0, 2, +3.


│−3,8│−3,8 4 5 − − 5 4

β) Να βάλετε σε αύξουσα σειρά τους αριθµούς: 9 7 −7,8, −2,01, +4, + , − , −100, 100, +1,98. 4 2 8.

Να γράψετε πέντε ρητούς αριθµούς που να είναι: α) Μεγαλύτεροι του −5. β) Κλάσµατα µε παρονοµαστή το 2 και µικρότερα του −3. γ) Μεγαλύτεροι του −4,1 και µικρότεροι του +2,9.

9.

Να βρείτε τους ακέραιους αριθµούς x για τους οποίους ισχύει: α) x = 100 β) x =0 γ) x = −1 δ) x <2 ε) x ≥ 4 στ) 5 ≤ x < 6,1.


Πρόσθεση

Α.7.3

ρητών αριθµών

Για να προσθέσουµε δύο οµόσηµους ρητούς αριθµούς, προσθέτουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο αποτέλεσµα βάζουµε το κοινό τους πρόσηµο. • (+2)+(+16,5)= +(2+16,5)= +18,5=18,5. • (−4)+(−10)= −(4+10)= −14. Για να προσθέσουµε δύο ετερόσηµους ρητούς αριθµούς, αφαιρούµε από τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή τη µικρότερη απόλυτη τιµή και στο αποτέλεσµα βάζουµε το πρόσηµο του αριθµού µε τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή. (+20)+(−8)=+12 ↓ ↓ 20

8

20 – 8 12 +12

Βρίσκουµε τις απόλυτες τιµές. Μεγαλύτερη απόλυτη τιµή – µικρότερη απόλυτη τιµή 20–8=12 Βάζουµε πρόσηµο + αφού ο αριθµός +20 έχει τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή.

(+4,2)+(−9,8)= −5,6 ↓ ↓ 4,2 9,8 Βρίσκουµε τις απόλυτες τιµές. 9,8 – 4,2 Μεγαλύτερη απόλυτη τιµή – µικρότερη απόλυτη τιµή. 5,6 Βάζουµε πρόσηµο − αφού ο αριθµός −9,8 έχει τη µεγαλύτερη

−5,6

απόλυτη τιµή.


Ιδιότητες της πρόσθεσης Αντιµεταθετική α+β=β+α

(–2)+(–4)= –6

Μπορούµε να αλλάξουµε τη σει-

(–4)+(–2)= –6

ρά των προσθετέων.

Προσεταιριστική α+β+γ=α+(β+γ)=(α+β)+γ Μπορούµε να αντικαθιστούµε προσθετέους µε το άθροισµά τους.

α+0=α 0+α=α

Το άθροισµα ενός αριθµού µε το 0 ισούται µε τον ίδιο τον αριθµό.

α+(–α)=0 (–α)+α=0

Το άθροισµα δύο αντίθετων αριθµών είναι µηδέν.

(+1)+(–2)+(–3)=(+1)+(–5)= –4 (+1)+(–2)+(–3)=(–1)+(–3)= –4 (–3,8)+0= –3,8 0+(+195)= +195 (+4)+(–4)=0 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜−3 ⎟+⎜+ 3 ⎟ = 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


• Για να προσθέσουµε δύο οµόσηµους ρητούς αριθµούς, προσθέτουµε τις ..................... ............... τους και στο αποτέλεσµα βάζουµε το ............ τους

πρόσηµο. • Για να προσθέσουµε δύο ετερόσηµους ρητούς αριθµούς, ........................... από τη .......................απόλυτη τιµή τη .........................απόλυτη τιµή και στο αποτέλεσµα βάζουµε το πρόσηµο του αριθµού µε τη ......................... απόλυτη τιµή. • Αν α+β=0, οι αριθµoί α και β είναι ................................ . Αν α+β=β, τότε α=...... . 2.

Να συµπληρώσετε τα κενά: α) Τοποθετώντας δύο οµόσηµους αριθµούς (....)+(....)= +15

(....)+(....)= –30

7

(....)+(....)= − . 8

β) Τοποθετώντας δύο ετερόσηµους αριθµούς (....)+(....)= –2

(....)+(....)=0

3

(....)+(....)= + . 4

243 Α.7.3 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ


Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: α) (–3)+(+8)+(–2)+(–4,5)+(+6,2)+( –8) ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 5⎞ β) ⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ + ⎟ . ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠

Λύση α) (–3)+(+8)+(–2)+(–4,5)+(+6,2)+(–8) =

Χωρίζουµε τους αρνητικούς από τους θετικούς αριθµούς.

• Προσθέτουµε xωριστά τους αρνητικούς αριθµούς: =(–3)+(–2)+(–4,5)+(–8)+(+8)+(+6,2)= (−3)+(−2)+(−4,5)+(−8)= −(3+2+4,5+8)= −17,5. • Προσθέτουµε xωριστά τους θετικούς αριθµούς: (+8)+(+6,2)= +(8+6,2)= +14,2.

=(–17,5)+(+14,2)= = –3,3

Προκύπτει ένα άθροισµα ενός αρνητικού και ενός θετικού αριθµού από όπου βρίσκουµε το τελικό αποτέλεσµα.

Παρατήρηση Στην προηγούµενη παράσταση θα µπορούσαµε να είχαµε αντικαταστήσει το άθροισµα των αντίθετων προσθετέων (−8)+(+8) µε το µηδέν, που στην πρόσθεση δε µεταβάλλει τους άλλους ρητούς και εποµένως παραλείπεται.

(–3)+(+8)+(–2)+(–4,5)+(+6,2)+(–8)= =(–3)+(–2)+(–4,5)+(–8)+(+8)+(+6,2)= 0 =(–3)+(–2)+(–4,5)+0+(+6,2)= =(–3)+(–2)+(–4,5)+ (+6,2)=

=(–9,5)+(+6,2)= –3,3 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 5 ⎞ Κάνουµε τα κλάσµατα οµώβ) ⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ + ⎟ = ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ νυµα και χωρίζουµε τους αρνητικούς από τους θετικούς αριθµούς.

⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ Προσθέτουµε xωριστά τους 2 1 5 1 3 4 = ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ = αρνητικούς αριθµούς και ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎜⎜ 3 ⎟⎟ xωριστά τους θετικούς α⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ριθµούς.


⎛ 4 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 15 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 8 ⎞ = ⎜+ ⎟+⎜+ ⎟+⎜+ ⎟+⎜− ⎟+⎜− ⎟+⎜− ⎟ = 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎝

⎛ 4 + 2 +15 ⎞ ⎛ 21⎞ +⎜ ⎟ =⎜ + ⎟ 6 ⎝ ⎠ ⎝ 6⎠

⎛ 3 + 9 + 8 ⎞ ⎛ 20 ⎞ −⎜ ⎟ =⎜ − ⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠

1 1 ⎛ 21⎞ ⎛ 20 ⎞ = ⎜+ ⎟+⎜− ⎟ = + = 6 6 ⎝ 6⎠ ⎝ 6 ⎠

2.

Προκύπτει ένα άθροισµα ενός θετικού και ενός αρνη τικού αριθµού από το οποίο παίρνουµε το τελικό αποτέλεσµα.

∆ίνονται τρεις ρητοί αριθµοί x= –3,2, y=8 και z= –4,5. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: α) των x και y µε το z β) των x και y µε τον αντίθετο του z γ ) του x µε τον αντίθετο του y και τον αντίθετο του z δ) του αντίθετου του x µε τον αντίθετο του y και τον αντίθετο του z.


α) x+y+z=(–3,2)+8+(.....)=(–3,2)+(.....)+8=(......)+8= +..... . β) x+y=(.....)+.....=+..... . Ο αντίθετος του z, δηλαδή ο αντίθετος του –4,5 είναι ο αριθµός +..... . Οπότε το άθροισµα των x και y µε τον αντίθετο του z είναι (+.....)+(+.....)=...... . γ) Ο αντίθετος του y, δηλαδή ο αντίθετος του 8 είναι ο αριθµός –..... . Ο αντίθετος του z, δηλαδή ο αντίθετος του –4,5 είναι ο αριθµός +..... . Οπότε το άθροισµα του x µε τον αντίθετο του y και τον αντίθετο του z είναι (–3,2)+(–.....)+(+.....)=(–.....)+(+.....)=...... . δ) Ο αντίθετος του x, δηλαδή ο αντίθετος του –3,2 είναι ο αριθµός +..... . Ο αντίθετος του y, δηλαδή ο αντίθετος του 8 είναι ο αριθµός –..... . Ο αντίθετος του z, δηλαδή ο αντίθετος του –4,5 είναι ο αριθµός +..... . Οπότε το άθροισµα του αντίθετου του x µε τον αντίθετο του y και τον αντίθετο του z είναι (+.....)+(–.....)+(+.....)=(+.....)+(+.....)+(–.....)=(.....)+(–.....)=...... .



2.

Να συµπληρώσετε τα κενά µε το κατάλληλο πρόσηµο ή µε τον κατάλληλο αριθµό. α) (...28)+(+17)= –11 β) (–49)+(...53)= –102 γ) (...60)+(+14)= ...46 2 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 6⎞ δ) (...1,3)+(...1,3)=0 ε) ⎜ ... ⎟ + ⎜ ... ⎟ = +1 στ) ⎜ ... ⎟ + ⎜ − ⎟ = ... 5 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ 7 ⎛ 1⎞ ⎛ 5 ⎞ ζ) ⎜ ... ⎟ + ⎜ ... ⎟ = − 6 ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠

η) (–....)+(–7)= ...14

ι) (+4)+(......)= –9

κ) (+....)+(–13)= ...1.

Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: α) (–3)+(–15) β) (–2,5)+(–5) ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 5⎞ δ) ⎜ + ⎟ + ( −0,3) ε) ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

θ) (......)+(+12)= +11

γ) (–8,1)+(+12,4) ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1⎞ στ) ⎜ +3 ⎟ + ⎜ −4 ⎟ . ⎝ 5⎠ ⎝ 2⎠

3.

∆ίνονται οι αριθµοί –17, –12, –5, +7, +12. Να βρείτε τα ζευγάρια από τους αριθµούς αυτούς, που να έχουν άθροισµα πάλι έναν από τους παραπάνω αριθµούς.

4.


+

–1

–4

(–4)+(–1)= –5

+4

+0,2 5 − 2 1 + 3 5.

Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: α) (–1)+(–2)+(–3) β) (+7)+(+3)+(–8)+(–6) γ) (+3)+(–6)+(–8)+(+7)+(–2) δ) (–3,7)+(+5,75)+(–1,7)+(+9,2)+(–0,65)+(–7,35)


3 2

⎛ 1⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ε) ⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ + ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ στ) ⎜ − ⎟ + ⎜ −3 ⎟ + ( +2) + ⎜ − ⎟ + ⎜ 1 ⎟ . ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 3⎠ 6.

∆ίνεται η παράσταση Α=(–7,8)+(–4,8)+6+(–0,1)+(+3,8). α) Να την υπολογίσετε. β) Να γράψετε την παράσταση Β, που προκύπτει από την Α, αν αντικατασταθούν όλοι οι όροι της µε τους αντίθετους αριθµούς. γ) Να υπολογίσετε την παράσταση Β. Τι παρατηρείτε;

7.

Να υπολογίσετε το άθροισµα x+y, όταν είναι: α) x= │(+1,5)+(–4,5)│ και y= –│(–1,2)+(+15)│ β) x= –│(–4,2)+(–6,4)│ και y= +│(+4)+(+4)│.


Αφαίρεση

Α.7.4


Για να αφαιρέσουµε από έναν αριθµό α έναν αριθµό β, προσθέτουµε στον α τον αντίθετο του β, δηλαδή α–β=α+(–β). Στο σύνολο των ρητών η αφαίρεση α–β µπορεί πάντοτε να γίνει ενώ πριν µάθουµε τους αρνητικούς αριθµούς µπορούσε να γίνει µόνο όταν α>β. (–7)–(–8)=(–7)+(+8)= +1 , (–12)–(+9)=(–12)+(–9)= –21.

Απαλοιφή παρενθέσεων Όταν σε µια παράσταση οι αριθµοί γράφονται µέσα σε παρενθέσεις µπροστά από τις οποίες υπάρχουν τα πρόσηµα + ή –, µπορούµε να παραλείψουµε τις παρενθέσεις και τα πρόσηµα και να γράψουµε την παράσταση µε απλούστερο τρόπο. Αυτό γίνεται ως εξής: • Όταν µια παρένθεση έχει µπροστά της το + (ή δεν έχει πρόσηµο), µπορούµε να την απαλείψουµε µαζί µε το + (αν έχει) και να γράψουµε τους όρους που περιέχει µε τα πρόσηµά τους. • Όταν µια παρένθεση έχει µπροστά της το – , µπορούµε να την απαλείψουµε µαζί µε το – και να γράψουµε τους όρους που περιέχει µε τα αντίθετα πρόσηµα.


α) (–1)+(+7)= –1+7=6. β) (2–3+4)+(–5+1–3)= =2–3+4–5+1–3= =2+4+1–3–5–3= =7–11= –4. α) (–1)–(+7)= –1–7= –8. β) (2–3+4)–(–5+1–3)= =2–3+4+5–1+3= =2+4+5+ 3 – 3 –1= =11–1= 10.


Να κάνετε τις πράξεις: ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ α) (+3)–(+2)–(–5) β) ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟ − ⎜ + ⎟ . ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠

Λύση Μετατρέπουµε τις αφαιρέσεις σε προσθέσεις: α–β=α+(αντίθετος του β)

α) (+3)–(+2)–(–5)=(+3)+(–2)+(+5)=(+1)+(+5)= +6=6. ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ β) ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟ − ⎜ + ⎟ = ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ − ⎟ = ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ Κάνουµε τα κλάσµατα οµώνυµα µε ΕΚΠ=4

⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 1⎟ ⎛ 3 ⎞ ⎜ 3 ⎟ =⎜− ⎟ + − + ⎜+ ⎟ + − = ⎝ 4 ⎠ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ 1⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎜−4⎟+⎜−4⎟+⎜+ 4⎟+⎜−4⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Χωρίζουµε τους αρνητικούς ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 6 ⎞ ⎛ 3 ⎞ =⎜− ⎟ +⎜− ⎟ +⎜− ⎟ +⎜+ ⎟ = αριθµούς από τους θετικούς. ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠

6 3 ⎛ 9⎞ ⎛ 3⎞ =⎜− ⎟ + ⎜+ ⎟ = − = − . 4 2 ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠

2.

Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x+(–5)= ( –2) β) (–8)+(+2)–x=(–2)–(–7).

Λύση α)

Η λύση της εξίσωσης x+α=β είναι x=β–α

Αν x+(–5)= (–2) , τότε x=(–2)–(–5) ή x=(–2)+(+5) , δηλαδή x=3. β) Κάνουµε πρώτα τις πράξεις και στα (–8)+(+2)–x=(–2)–(–7) δύο µέλη της εξίσωσης. (–6)–x=(–2)+(+7) (–6)–x=(+5) Η λύση της εξίσωσης α–x=β είναι x=(–6)–(+5) ή x=(–6)+(–5) x=α–β δηλαδή x= –11.

249 Α.7.4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

3.

Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων, αφού πρώτα απαλείψετε τις παρενθέσεις. α) (–1)+(–3)–(+2)–(–4)+(+6) β) (–5+3+4)+(+3+2–5)–(1–2+4).

Λύση

α) (–1)+(–3)–(+2)–(–4)+(+6)= –1–3–2+4+6= –6+10 = +4. β) (–5+3+4)+(+3+2–5)–(1–2+4)= –5+3+4+3+2–5–1+2–4= = –5–5–1– 4 + 4 +3+3+2+2= –11+10= –1. 4.

Αν α= –2, β= +3,2 , γ= –1,8 και δ= +2,5, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: Α=α–β–γ +δ.

Λύση Όταν αντικαθιστούµε τις µεταβλητές µιας παράστασης µε αριθµούς, στη θέση της µεταβλητής βάζουµε παρένθεση και µέσα τον αριθµό µε το πρόσηµό του.

Α=α–β–γ+δ=(–2)–(+3,2)–(–1,8)+(+2,5)= Γράφουµε την παράσταση πιο απλά, απαλείφοντας τις παρενθέσεις.

= –2–3,2+1,8+2,5= –5,2+4,3= –0,9. 5.

Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α = –9–[3–(2–4+5)] αφού προηγουµένως απαλειφθούν οι παρενθέσεις και οι αγκύλες.

Λύση Συχνά σε ένα άθροισµα έχουµε τους προσθετέους Α= –9–[3–(2–4+5)] µέσα σε παρενθέσεις ( ) και αυτές µε τη σειρά τους µέσα σε αγκύλες [ ] .

Α= –9–(3–2+4–5)

Σε µια τέτοια περίπτωση κάνουµε πρώτα απαλοιφή των παρενθέσεων, δηλαδή αρχίζουµε από µέσα προς τα έξω, οπότε οι αγκύλες γίνονται παρενθέσεις.

Α= –9–3+2–4+5 Α= –9–3–4+2+5 Α= –16+7 Α= –9.

Στη συνέχεια κάνουµε πάλι απαλοιφή των παρενθέσεων και καταλήγουµε σ’ ένα άθροισµα που έχει µόνο τους προσθετέους µε τα πρόσηµά τους.



2.

3.

Να επιλέξετε Σ για κάθε σωστή πρόταση ή Λ για κάθε λανθασµένη. Σ Λ α) (–11)–(–7)= –4 ε) (–26)–(–3)= –23 β) (–15)–(+15)=0 στ) (+17)–17=0 γ) (–20)–(+2)= –22 ζ) (–34)–(+14)= –20 δ) (–18)–0= +18 η) 0–(–18)=18

Σ

Λ

Να συµπληρώσετε τα κενά: (+3)–(+2)=….. (+4)–(–2)=….. (–2)–(+5)=….. (–2,75)–(–0,65)=….. ⎛ 11⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎜ + 8 ⎟ − ⎜ − 8 ⎟ = ….. ⎜ − 4 ⎟ − ⎜ + 4 ⎟ = ….. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(–4)–(–3)=….. (–2)–(+0,1)=….. ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ + 4 ⎟ − ⎜ − 5 ⎟ = ….. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(…..)–(+5)= –1 (…..)–(–18)=0 (+9)–(–6)–(…..)=0

(…..)–(+6)= +2 (–5)–(+6)–(…..)= –7 17–(…..)–(+7)–(–13)= +20.

(–8)–(…..)= +5 (….)–(+12)= –12 (…..)–(–7)–(–10)= –7

Να κάνετε τις πράξεις: α) (–8)–(+5)–(+3)–(–1) γ) (–2,3)+(–1,6)–(–1,2)–(+0,8)

β) (+5)–(–3)–(+6)+(–8)–(–4)+(+5) ⎛ 1⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 9 ⎞ δ) ⎜ + ⎟ − ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ − ⎜ + ⎟ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 3 ⎞ ε) ⎜ − ⎟ − ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ − ⎜ − ⎟ . ⎝ 5⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ 4.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα. α

β

γ

+1

–2

+3

–1 +4 –10

–3

α+β

α+β+γ

α–β–γ

–9

+2

–10 +15

–5


5.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα. α β α–β +12 –4 –3 +9 –1 –7 +1 +8

|α–β|

|α| – |β|

6.

Να συµπληρώσετε το παρακάτω τετράγωνο ώστε αυτό να γίνει µαγικό. +22 –20 –2 –5 –8 +10 +1 +25 +16

7.

Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x+(–4)= –17 β) (–19,5)+x= +15 γ) 5–x= –6 δ) (–4)–x= +12 ε) (–1)–(–2)+(–3)–x=(–4)–(+5).

8.

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ Αν x=(–5)–(–8) , y=(–2,5)–(+4,5) και ω= ⎜ + ⎟ − ⎜ − ⎟ , να υπολογίσετε τις παρα⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ στάσεις: Α=x–y , Β=y–ω και Γ=Α–Β.

9.

Να αντιστοιχίσετε την κάθε παράσταση της στήλης Α µε την ίση της χωρίς τις παρενθέσεις της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ Α

ΣΤΗΛΗ Β 1) –2–3–3 2) 2+3+3 3) 2–3–3

α) (+2)+(–3)–(+3) β) –(–2)–(–3)+(+3) γ) –(+2)–(+3)+(–3) δ) (–2+3+3) ε) –(–2+3–3) στ) +(–2+3–3) Α

α

Β


β

4) –2+3+3 5) –2+3–3 6) 2–3+3

γ

δ

ε

στ

10.

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι ίσες µε την παράσταση x+y, ποιες µε την x–y και ποιες µε την y–x. α) –(–x)+y β) y+(–x) γ ) –(–x)–y δ) –(–x)+(–y) ε) (–y)+x στ) –x–(–y) ζ) x–(–y) η) –(–x)–(–y).

11.

Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων αφού πρώτα απαλείψετε τις παρενθέσεις και τις αγκύλες, όπου αυτές υπάρχουν. α) (–2)–(–3)+(+6)+(–8)+(–12)–(+7) β) (–15–8)–(+3–9)–(–1–6)+(–7+4) ⎛ 1 2⎞ ⎛5 1 3⎞ ⎛ 1 ⎞ γ) ⎜ − + ⎟ − ⎜ − + ⎟ + ⎜ − 1⎟ δ) 5–[–3+14–(12–21)] ⎝ 3 3⎠ ⎝4 2 4⎠ ⎝3 ⎠ ε) –3,5+[–(3,7–2)+(3,5–1,2)]–(2,3–3,2).


Α.7.5

Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών

• Για να πολλαπλασιάσουµε δύο οµόσηµους ρητούς αριθµούς, πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο αποτέλεσµα (γινόµενο) βάζουµε το πρόσηµο +. • Για να πολλαπλασιάσουµε δύο ετερόσηµους ρητούς αριθµούς, πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο αποτέλεσµα βάζουµε το πρόσηµο –. (+2) · (+5)= +(2 · 5)= +10=10 (–1,5) · (–4)= +(1,5 · 4)= +6=6 (+2) · (–100)= –(2 · 100)= –200 (–2,14) · (+10)= –(2,14 · 10)= –21,4.

+ ·+=+ – ·–=+ + ·–=– – ·+=–

Ιδιότητες του πολλαπλασιασµού α · β=β · α

Αντιµεταθετική

(–2) · (–4)= +8

Μπορούµε να αλλάξουµε τη σειρά των παραγόντων.

(–4) · (–2)= +8

Προσεταιριστική (+1) · (–2) · (–3)=(+1) · (+6)=6

α · 1=α 1 · α=α

Μπορούµε να αντικαθιστούµε παράγοντες µε το γινόµενό τους. Το γινόµενο ενός αριθµού µε το 1 ισούται µε τον ίδιο τον αριθµό.

α · 0=0 0 · α=0

Όταν ο ένας παράγοντας είναι µηδέν το γινόµενο είναι µηδέν.

(–4) · 0=0 ⎛ 1⎞ 0 ⋅⎜ + ⎟ = 0 ⎝ 3⎠

α · β · γ=α · (β · γ)=(α · β) · γ


(+1) · (–2) · (–3)=(–2) · (–3)=6 (–3,8) · 1= –3,8 1 · (+195)= +195

Για κάθε αριθµό α ≠ 0, υπάρχει ένας αριθµός β ≠ 0, έτσι ώστε α · β=1 α · (β+γ)=α · β+α · γ α · β+α · γ=α · (β+γ) α · (β–γ)=α · β–α · γ α · β–α · γ=α · (β–γ)

Οι αριθµοί τότε α και β λέγονται αντίστροφοι ή λέµε ότι ο ένας είναι αντίστροφος του άλλου.

• Επιµεριστική ιδιότητα για την πρόσθεση. • Επιµεριστική ιδιότητα για την αφαίρεση.

( +3 ) ⋅ ⎛⎜ +

1⎞ ⎟ =1 ⎝ 3⎠ ⎛ 3⎞ ⎛ 5⎞ ⎜ − 5 ⎟⋅⎜ − 3 ⎟ = 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 · (–3+1)=2 · (–3)+2 · 1= –6+2= = –4 5 · 3–5 · 9=5 · (3–9)=5 · (–6)= –30

Γινόµενο πολλών παραγόντων • Όταν έχουµε να πολλαπλασιάσουµε περισσότερους από δύο ρητούς που κανένας δεν είναι µηδέν, πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο γινόµενο βάζουµε: Πρόσηµο + αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι άρτιο (ζυγό). Πρόσηµο – αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττό (µονό). • Όταν ένας παράγοντας είναι µηδέν , τότε το γινόµενο είναι ίσο µε µηδέν. Το σύµβολο · του πολλαπλασιασµού, µπορεί να παραληφθεί µεταξύ γραµµάτων και παρενθέσεων. • Για να υπολογίσουµε το γινόµενο (–1) · (+2) · (–3) · (+4) · (–5) µετράµε τους αρνητικούς παράγοντες που είναι τρεις (περιττό πλήθος), οπότε το γινόµενο θα έχει πρόσηµο –. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές των αριθµών. • Στο γινόµενο (–1,23) · (+12,76) · 0 · (+34) · (–50,76) υπάρχει µεταξύ των παραγόντων το µηδέν, οπότε αυτό ισούται µε µηδέν.

3 αρνητικοί παράγοντες ↓ ↓ ↓ (–1) · (+2) · (–3) · (+4) · (–5)= = –(1 · 2 · 3 · 4 · 5)= –120.

(–1,23) · (+12,76) · 0 · (+34) · (–50,76)=0.

255 Α.7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ


Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: α) (–3) · (–2) ισούται µε: Α. +6 Β. –6 Γ. –5 β) Ο αριθµός –2 είναι αντίστροφος του: Α. –1 Β. –0,5

Γ. 0,5

γ) Αν α, β ετερόσηµοι αριθµοί, τότε το γινόµενο α · β είναι: Α. >0 Β. =0 Γ. <0 δ) Αν α · β · γ<0, τότε οι αρνητικοί παράγοντες είναι: Α. 2 Β. 1 ή 3 Γ. κανένας ε) Αν α, β είναι αριθµοί αντίστροφοι, αυτοί είναι: Α. Οµόσηµοι Β. Ετερόσηµοι Γ. Ο ένας τουλάχιστον είναι µηδέν στ) Αν (–1) · (–4) · (–3) · x= 96, τότε ο αριθµός x είναι: Α. Θετικός Β. Αρνητικός Γ. Μηδέν η) Αν (–0,671) · (–2,77) · y · (–3,001) · (–100)>0, τότε ο αριθµός y είναι: Α. Θετικός Β. Αρνητικός Γ. Μηδέν θ) Το γινόµενο 0,3 · (–6,14) · (–68,01) · 2 · (+0,03) · (1–1) · (–9,02) είναι: Α. Θετικός 2.

Β. Αρνητικός

Γ. Μηδέν

Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω παραστάσεις: α) (–4) · (+2)= ... 8 β) (+3) · (... 10)= – ..... γ) (–5) · (......)= +20 1 ⎛ 3 ⎞ ⎛ .... ⎞ δ) (–23,34) · ....=0 ε) (....) · (–1)= στ) ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ ... ⎟ = 1 2 ⎝ 7 ⎠ ⎝ .... ⎠ ζ) (–1) · (+1) · (–1) · (+1) · (–1)= ..... θ) (+3) · (.....) · (–12)= +72

η) (–2) · (+8) · (... 6)= – .... ι) (–12,4) · (+24,2) · (.....) · (–6,72) · (–7,1)=0


Να κάνετε τις πράξεις: α) (–3+2–1) · (–2+4) · (–3–2–1) · (–1+3) β) 10–[–(–2)]+(–3+2)[–(+7)] ⎛ 2 1⎞ γ) (–4) · 5–6 · ⎜ − ⎟ +(–3–1) · (–1,6+6,1). ⎝3 2⎠


Λύση µε βοήθεια Συµπληρώστε τα κενά α) Κάνουµε τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις: (–3+2–1) · (–2+4) · (–3–2–1) · (–1+3)=(...2) · (.....) · (–....)(+....) Μετράµε τα αρνητικά πρόσηµα των παραγόντων, που είναι ...... . Άρα το γινόµενο θα έχει πρόσηµο .... .Πολλαπλασιάζουµε τις ............................... Έχουµε δηλαδή ...(.... · .... · .... · ....) = ....... . β) Βρίσκουµε το πρόσηµο των αριθµών και κάνουµε τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις: 10–[–(–2)]+(–3+2)[–(+7)]= 10–2+(–1)(–7)=10–2+7=10+7–2=17–2=15. ↓ ↓ – · – · – –3+2 – · + + · – –

↓

–1

– ↓ –7

+7 7

–2 Κάνουµε πρώτα τις πράξεις µέσα ⎛ 2 1⎞ γ) (–4) · 5–6 · ⎜ − ⎟ +(–3–1) · (–1,6+6,1)= στις παρενθέσεις. ⎝3 2⎠ ⎛ 2 3 ⎞ 2 1 ⎛4 3⎞ = (–4) · 5–6 · ⎜ − ⎟ +(–4) · (+4,5)=(–4) · 5–6 · ⎜ − ⎟ +(–4) · (+4,5)= ⎜⎜ 3 2 ⎟⎟ ⎝6 6⎠ ⎝ ⎠ Κάνουµε τους πολλαπλασιασµούς. Οι αντί1 1 =(–4) · 5–6 · +(–4) · (+4,5)= στροφοι αριθµοί 6 και έχουν γινόµενο 1. 6 6 =(–20)–1+(–18)= –20–1–18= –39.

2.

Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης α(α–1)(α–2)(α+1)(α+3), όταν: α) α= –4 β) α= –2 γ) α= –1.

Λύση

α) Αντικαθιστούµε στην παράσταση όπου α= –4 και έχουµε: (–4)(–4–1)(–4–2)(–4+1)(–4+3)=(–4)(–5)(–6)(–3)(–1)= –(4 · 5 · 6 · 3 · 1)= –360. β) Αντικαθιστούµε στην παράσταση όπου α= –2 και έχουµε: (–2)(–2–1)(–2–2)(–2+1)(–2+3)=(–2)(–3)(–4)(–1)(+1)= +(2 · 3 · 4 · 1 · 1)= 24.


γ) Αντικαθιστούµε στην παράσταση όπου α= –1 και έχουµε: (–1)(–1–1)(–1–2)(–1+1)(–1+3)= (–1)(–1–1)(–1–2) · 0 · (–1+3)=0.

3.

Με την βοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας να γράψετε την παράσταση Α= –8x+10x–3x–20x σε πιο απλή µορφή. Στη συνέχεια να υπολογίσετε την 2 τιµή της όταν: α) x=4 και β) x= − . 3

Λύση Βγάζουµε το x κοινό παράγοντα Α= –8 · x+10 · x–3 · x–20 · x =(–8+10–3–20) · x Κάνουµε τις πράξεις µέσα στην παρένθεση =(–8–3–20+10) · x=(–31+10) · x= –21 · x. Αντικαθιστούµε τις τιµές του χ στην παράσταση Α= –21 · x. α) Για x=4, έχουµε Α= –21 · 4= –84. 2 42 ⎛ 2⎞ = 14 . β) Για x= − , έχουµε Α= −21⋅ ⎜ − ⎟ = + 3 3 ⎝ 3⎠

4.

Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις µε δύο τρόπους. α) 5 · (–10+3) β) –2 · (4–1–5) γ) –2 · 11,6+8 · 11,6–6 · 11,6 3 ⎛ 3⎞ δ) − ⋅ ( −20) + ⎜ − ⎟ ⋅ ( +10) . 5 ⎝ 5⎠

Λύση ος

ος

1 τρόπος

2 τρόπος

Με την επιµεριστική ιδιότητα α) 5 · (–10+3)=5 · (–10)+5 · 3= –50+15= –35.

Κάνουµε τις πράξεις α) 5 · (–10+3)=5 · (–7)= –35.

β) –2 · (4–1–5)= –2 · 4–2 · (–1)–2 · (–5)= = –8+2+10= –8+12=4.

β) –2 · (4–1–5)= –2 · (4–6)= –2 · (–2)=4.

γ) –2 · 11,6+8 · 11,6–6 · 11,6= =(–2+8–6) · 11,6=(–2–6+8) · 11,6= =(–8+8) · 11,6=0 · 11,6=0.

γ) –2 · 11,6+8 · 11,6–6 · 11,6= = –23,2+92,8–69,6= = –23,2–69,6+92,8= = –92,8+92,8=0.


3 ⎛ 3⎞ δ) − ⋅ ( −20) + ⎜ − ⎟ ⋅ ( +10) = 5 ⎝ 5⎠ 3 3 − ⋅ ( −20 + 10) = − ⋅ ( −10) = 5 5 30 =+ = 6. 5

3 ⎛ 3⎞ δ) − ⋅ ( −20) + ⎜ − ⎟ ⋅ ( +10) = 5 ⎝ 5⎠ ⎛3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ = + ⎜ ⋅ 20 ⎟ + ⎜ − ⋅ 10 ⎟ = ⎝5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 60 30 30 = − = = 6. 5 5 5

Στο χρωµατισµένο πλαίσιο φαίνεται κάθε φορά ο τρόπος µε τον οποίο κάνουµε τις λιγότερες πράξεις και εποµένως είναι ο συντοµότερος. Όταν έχουµε την παράσταση α · (β+γ) µας συµφέρει να κάνουµε την πράξη β+γ µέσα στην παρένθεση και µετά τον πολλαπλασιασµό µε το α αποφεύγοντας να εφαρµόσουµε την επιµεριστική ιδιότητα. Όταν όµως έχουµε το άθροισµα α · β+α · γ συµφέρει να το γράψουµε στη µορφή α · (β+γ) µε το α κοινό παράγοντα εφαρµόζοντας την επιµεριστική ιδιότητα και στη συνέχεια να κάνουµε τις πράξεις µέσα στην παρένθεση.

5.

Να βρείτε τα γινόµενα: α) (α+3)(β+2) β) (α–3)(β–2).

Λύση Για να υπολογίσουµε ένα γινόµενο της µορφής (α+β)(γ+δ), εφαρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητα θεωρώντας την παράσταση (γ+δ) σαν έναν αριθµό: (α+β)(γ+δ)=α(γ+δ)+β(γ+δ)= = αγ + αδ + βγ + βδ .

α) (α+3)(β+2)= α · β+α · 2+3 · β+3 · 2= =α · β+2 · α+3 · β+6. β) (α–3)(β–2)= α · β–2 · α–3 · β+6.


Να υπολογίσετε τα γινόµενα: ⎛ 7⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 3 ⎞ α) (–10)(+3) β) (–8)(–5) γ) (+3) ⎜ − ⎟ δ) ⎜ − ⎟⎜ − ⎟ ε) (–0,25)(–0,2). ⎝ 8⎠ ⎝ 7 ⎠⎝ 4 ⎠ Στη συνέχεια να βρείτε τους αντίστροφους αριθµούς των γινοµένων αυτών.


2.

Να συµπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες: 1 α) β) –5 –2 + 6

·

·

–3

–2

–1

–8

+5

+3 1 + 2

–1

3.

Αν α · β= –5, να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: ⎛ 1⎞ Α= ⎜ − ⎟ ⋅ α ⋅ ( − 3) ⋅ β και Β=α · (–2,4) · 10 · (–β) · (–1). ⎝ 5⎠

4.

Να κάνετε τις πράξεις: α) 4+3 · (–5) δ) ( −3) ⋅

5.

1

β) (–1)(–2)–(–3)

1 ⎛ 1⎞ ⎛ 6 ⎞ + − ⋅ − 10 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 ⎟⎠

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ γ) ( −5) ⋅ ⎜ − ⎟ + 4 ⋅ ⎜ + ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 4⎠

ε) (–1)(–2)(–3)(–4)+(+1)(+2)(–5).

Να συµπληρώσετε τον πίνακα όπως το παράδειγµα: x

–5(x–2)+4

10

–5(10–2)+4= –5 · 8+4= –40+4= –36

+2 –3 4,5 1 5 6.

Να βρείτε ποιοι από τους αριθµούς α, β, γ και δ είναι θετικοί, ποιοι είναι αρνητικοί και ποιοι µηδέν, αν ισχύει ότι: ⎛ 1⎞ α= 0,25(–3,24)(+0,001) ⎜ − ⎟ (–51,2)(–17) , (–7)(+1)(–2)β= –1.028 ⎝ 2⎠ (–1,5)(–9)γ(+4)=0,

δ(–3)(–3)(–5)(–1)<0.


7.

Να υπολογίσετε τα γινόµενα: α) (–7)(–3)(+2)

β) (–10)(+2)(–3)(+1)(–2) ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ γ) (–2+1–4)(3–1+2)(–12–8+19) δ) 5(–2)(–0,25) ⎜ + ⎟ ⎜ − ⎟ (+3) ⎝ 5⎠ ⎝ 2⎠

⎛ 1 ⎞⎛ 5 ⎞⎛ 7 ⎞⎛ 1 ⎞ ε) ⎜ − ⎟⎜ + ⎟⎜ − ⎟⎜ + ⎟ . ⎝ 2 ⎠⎝ 3 ⎠⎝ 4 ⎠⎝ 2 ⎠ 8.

Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: Α=(x–2)(x+2)(x–3)(x+3), όταν x=3. Β=x(x+1)(x–1)(x+2)(x–2), όταν x= –3. Γ=x(x+3)(x–3)(x+11), όταν x= –2. ∆=x(3x+1)(5x+2)(1–x), όταν x= –1.

9.

Να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω παραστάσεων κάνοντας τις λιγότερες πράξεις. 3 ⎛ 3⎞ α) 7 · 12–7 · 15 β) 0,75 · (–70)+0,75 · 20 γ) − ⋅ ( −4) + ⎜ − ⎟ ⋅ ( −2) 5 ⎝ 5⎠ 3 ⎞ ⎛ 1 δ) –9,6 · (4,2–12+5,8) ε) 0,3 · ⎜ − + ⎟. ⎝ 10 100 ⎠

10.

11.

Να συµπληρωθούν τα κενά: α) (α–5) · .... =2α–10 γ) (α+1)(β+7)=αβ+....+....+....

Αν α= –3, β= –2 και γ=

β) (β–6)(... 1)= –β+6 δ) (8–α)(....+β)=40+.... ... .... ... .... .

1 , να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: 2

Α=αβγ–(α–β)γ. 12.


y

z

ω

–1

2

+1

–3

3

–2

–4

–1

Α=xyz

Β=yzω

Γ=x(Α–Β)

ΒΓ–Α


∆ιαίρεση

Α.7.6


Για να διαιρέσουµε δύο ρητούς αριθµούς, διαιρούµε τις απόλυτες τιµές τους και στο αποτέλεσµα (πηλίκο) βάζουµε: Το πρόσηµο +, αν είναι οµόσηµοι. Το πρόσηµο –, αν είναι ετερόσηµοι.

+:+=+ –:–=+ +:–=– –:+=–

(+15):(+3)= +(15:3)= +5=5 (–15):(–3)= +(15:3)= +5=5 (+15):(–3)= –(15:3)= –5

(–15):(+3)= –(15:3)= –5

∆ιαίρεση µε διαιρέτη το µηδέν δεν ορίζεται. ⎛ 7⎞ Οι διαιρέσεις 34:0, (–223,2):0 , ⎜ − ⎟ : 0 δεν ορίζονται. ⎝ 9⎠ Το πηλίκο α:β ή µε µορφή κλάσµατος

α (β≠0) είναι η λύση της εξίσωσης β · x=α. β

Κάθε τέτοιο πηλίκο, ονοµάζεται και λόγος του α προς το β. Η λύση της εξίσωσης (–3)x= 15 είναι ο λόγος του 15 προς το –3, δηλαδή 15 το πηλίκο 15:(–3)= –5 ή το κλάσµα = –5. Άρα x= –5. −3


Να κάνετε τις πράξεις: −2 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ α ) ⎜ − ⎟ : ⎜ − ⎟ β ) ⎜ −3 ⎟ : ⎜ + ⎟ γ ) 2⎠ ⎝ 3⎠ +3 ⎝ 5⎠ ⎝ 7⎠ ⎝


δ)

−2 −2 1 1 − ε) : . 3 −4 3 −4

Λύση

⎛ 4⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 4 3 ⎞ 4 7 28 α) ⎜ − ⎟ : ⎜ − ⎟ = + ⎜ : ⎟ = ⋅ = . ⎝ 5⎠ ⎝ 7⎠ ⎝ 5 7 ⎠ 5 3 15 21 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 7 1⎞ ⎛7 3⎞ β) ⎜ −3 ⎟ : ⎜ + ⎟ = ⎜ − ⎟ : ⎜ + ⎟ = − ⎜ : ⎟ = − ⎜ ⋅ ⎟ = − . 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝2 3⎠ ⎝ 2 1⎠ −2 2 = ( −2) : ( +3) = −(2 : 3) = − . +3 3 4 3 −2 1 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1⎞ 2 1 8 3 5 − = ⎜− ⎟−⎜− ⎟ = − + = − + =− . δ) 3 −4 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 3 4 12 12 12

γ)

ε)

2.

−2 1 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 1⎞ 2 4 8 : = ⎜ − ⎟ : ⎜ − ⎟ = +⎜ : ⎟ = ⋅ = . 3 −4 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝3 4⎠ 3 1 3

Να λυθούν οι εξισώσεις: α) –5x= –75 β) x · (–9)=108 γ)

2 −1 ⎛ 3⎞ δ) (–14):x=2 ε) x: ⎜ − ⎟ = –5. ⋅ x= 5 7 ⎝ 2⎠

Λύση

α) –5x= –75 ή x=(–75):(–5) ή x= +(75:5), δηλαδή x=15. Η λύση της εξίσωσης β) x · (–9)=108 ή x=108:(–9) ή x= –(108:9), δηλαδή x= –12. α · x=β είναι x=β:α. 2 −1 ⎛ −1 ⎞ 2 ⎛ 1⎞ 2 ⎛ 1 2⎞ γ) ή x= ⎜ ⎟ : ή x= ⎜ − ⎟ : ή x= – ⎜ : ⎟ ή ⋅ x= 5 7 ⎝ 7⎠ 5 ⎝ 7⎠ 5 ⎝7 5⎠ 5 ⎛ 1 5⎞ x= – ⎜ ⋅ ⎟ , δηλαδή x = − . 14 ⎝7 2⎠ Η λύση της εξίσωσης

δ) (–14):x=2 ή x=(–14):2 ή x= –(14:2) ή x= –7. α:x=β είναι x=α:β. ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ε) x: ⎜ − ⎟ = –5 ή x=(–5) · ⎜ − ⎟ ή x= + ⎜ 5 ⋅ ⎟ , δηλαδή ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ Η λύση της εξίσωσης 15 x:α=β είναι x=β · α. . x= 2 3.

Να κάνετε τις πράξεις: α) (25–7):( –9)+[(–8):(–2)]:(–4)

β)

−2 + ( −8) : ( −1) 6 : ( −4 + 1)

⎡ 1 ⎞⎤ ⎛ 3 1⎞ ⎛ γ) ⎢ 4 − ⎜ 2 : ⎟ ⎥ : ⎜ − + ⎟. ⎝ 3 ⎠ ⎦ ⎝ 4 −2 ⎠ ⎣

263 Α.7.6 ∆ΙΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Λύση

α) (25–7):( –9)+[(–8):(–2)]:(–4)= Προηγούνται οι πράξεις στις παρενθέσεις και στις αγκύλες: (25–7)=18 και [(–8):(–2)]=8:2=4 =18:(–9)+(8:2):(–4)= =18:(–9)+4:(–4)= =(–2)+(–1)=

Προηγούνται οι διαιρέσεις: 18:(–9)= –2 και 4:(–4)= –1

= –3. −2 + ( −8) : ( −1) (–8):(–1)=+(8:1)=8 −2 + 8 6 6 = = − = −3 . β) = = (–4+1)=(–3) 6 : ( −3) −2 2 6 : ( −4 + 1) ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎛ 3 1 ⎞ ⎡ ⎛ 3 ⎞⎤ ⎡ 3 ⎛ 1 ⎞⎤ γ) ⎢ 4 − ⎜ 2 : ⎟ ⎥ : ⎜ − + ⎟ = ⎢4 − ⎜ 2 ⋅ ⎟ ⎥ : ⎢ − + ⎜ − ⎟ ⎥ = ⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎦ ⎝ 4 −2 ⎠ ⎣ ⎝ 1 ⎠ ⎦ ⎣ 4 ⎝ 2 ⎠ ⎦ 2 ⎞ ⎛ 3 1⎟ ⎛ 3 2⎞ ⎛ 5⎞ ⎜ = ( −2) : ⎜ − − ⎟ = ( −2) : ⎜ − ⎟ = = (4 − 6) : − − ⎜⎜ 4 2 ⎟⎟ ⎝ 4 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ ⎠ 4 8 ⎛ 5⎞ = +⎜2 : ⎟ = 2⋅ = . 5 5 ⎝ 4⎠


Να συµπληρώσετε τα κενά: 21 .... ⎛ 3 ⎞ ⎛ +1 ⎞ ⎛ 5⎞ α) ⎜ − ⎟ : ⎜ ⎟ = ... β) ⎜ − ⎟ : ( −3) = + 5 .... ⎝ 2⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ −7 ⎠ ⎛ −1⎞ ε) .... : ⎜ ⎟ = 0 δ) (.....):( − 2) = −8 ⎝ 2⎠

γ) ( + 40) : (.....) = −8

⎛ 5 ⎞ ⎛ ... ⎞ στ) ⎜ − ⎟ : ⎜ ... ⎟ = −1 ⎝ 7 ⎠ ⎝ ... ⎠

⎛ 1⎞ ζ) (.....): ⎜ − ⎟ = 3 ⎝ 4⎠ 2.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα όπως το παράδειγµα.

:

–2

–4

10

+5 –3 –1 264 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

(–4):(–3)=

−4 −3

=+

4 3

0

3.

4.

5.

6.

Να υπολογίσετε τα πηλίκα: α) (–25):(–5) β) (–22,5):(+5) γ) (+0,3):(–0,3) −1,44 −3 ⎛ 2⎞ ε) στ) ζ) ( − 1): ⎜ − ⎟ −11 +1,2 ⎝ 7⎠ Να λύσετε τις εξισώσεις: α) –4x=120 β) (–1)(–3)(–5)x= –60 x ⎛ 3 ⎞ +2 δ) ⎜ − ⎟ x= ε) = −6 . −11 ⎝ 5 ⎠ −7

δ) 3:(–9) 4 ⎛ 3 ⎞ ⎛ −9 ⎞ η) : ( −3) θ) ⎜ + ⎟ : ⎜ − ⎟ . 27 ⎝ 4 ⎠ ⎝ −2 ⎠

γ) x:9= –3

Να υπολογίσετε τα πηλίκα: −24 5 − ( −1) ⋅ 4 ( −1) ⋅ ( −2) ⋅ ( −3) α) β) γ) − −4 − 8 −3 +6

δ)

( −7) ⋅ ( −1) − 2 . 1+ 4 ⋅ ( −1)

Να κάνετε τις πράξεις: α) (7–2+1):(–1+4) β) (–5+20):[(–8):4] γ) –18:(–3+9)+(–64):(–8–2) δ) 20:(–5)+(–15):(–3)–(–24):(+6) ε) (–4–16):[–3–(–8)] στ) [(–7) · (+9)–7]:(–10) ζ) 3 · [2–(–3)]+[18:(–3)]:(–2) η) (–3) · [38:(–19)–(–21):7] θ) [5 · (–2)–(–3) · 3]:[0,5 · (–0,2)–0,6:0,3].

7.

Να κάνετε τις πράξεις: ( − 5)( − 3) ( −1)( −2) ⎛ 1⎞ : α) 4( −2)( +3) : ⎜ − ⎟ β) 2 ( +3)( −7) ⎝ 5⎠

⎛ −3 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ γ) ⎜ − ⎟:⎜− ⎟ ⎝ 7 −7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎤ ⎛ 5 1 ⎞ 5 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 3 1⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ −2 3 + − ⎟ : ⎜ 1− ⎟ στ) ⎢⎜ 1− ⎟ : ⎜ − ⎟ ⎥ : ⎜ − ⎟ . δ) ⎜ − + ⎟ : ⎜ − ⎟ ε) ⎜ ⎝ 4 5⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3 −2 −6 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎣⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎦ ⎝ 2 3 ⎠

8.

9.


β

γ

–32

–8

–15

+3

+2 1 2

(α+β):γ

α · β–α:γ

α:(β · γ)

Αν α= –1, β=3 και γ= –2, να βρείτε τις τιµές των παραστάσεων: α+β − γ Α= και Β=[(α–β):γ]–(α · β · γ):(α+γ). β:α

265 Α.7.6 ∆ΙΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

∆εκαδική

Α.7.7

µορφή ρητών αριθµών

Όπως γνωρίζουµε κάθε κλάσµα

α (β ≠ 0) είναι το πηλίκο της διαίρεσης α:β. Έτσι µποβ

ρούµε να µετατρέψουµε κάθε κλάσµα σε δεκαδικό αριθµό διαιρώντας τον αριθµητή του µε τον παρονοµαστή του. 15 = 15 : 4 = 3,75 4

12 = 12 : 25 = 0,48 25

15, 00 3 0 20 0

12, 0 0 25 2 0 0 0,48 0

4 3,75

Υπάρχουν όµως και περιπτώσεις που όσο και αν συνεχίζουµε τη διαίρεση δεν παίρνουµε υπόλοιπο µηδέν. 19 = 19 : 11 = 1,7272... 11

19,0000... 11 80 1,7272... 30 80 30 . .

Παρατηρούµε ότι τόσο τα ψηφία στο υπόλοιπο, όσο και τα ψηφία στο πηλίκο επαναλαµβάνονται, ώστε να µπορούµε να προβλέψουµε ποια θα είναι τα επόµενα, χωρίς να κάνουµε τη διαίρεση.

.


1 = 1: 3 = 0,333... 3

1,0000... 3 10 0,333... 10 10 1 . . .

Οι δεκαδικοί αυτοί αριθµοί λέγονται περιοδικοί και το τµήµα των ψηφίων τους που επαναλαµβάνεται λέγεται περίοδος. Έτσι ο δεκαδικός αριθµός 1,7272... είναι περιοδικός µε περίοδο 72 και τον συµβολίζουµε 1,72 . Ο δεκαδικός αριθµός 0,3333... είναι περιοδικός µε περίοδο 3 και τον συµβολίζουµε 0,3 .

Μετατροπή περιοδικού δεκαδικού αριθµού σε ρητό Θα δούµε τώρα πως µπορούµε να βρούµε την κλασµατική µορφή των περιοδικών αριθµών: α) 0,5 β) 2,43 γ) 4,99 . α) Θέτουµε x= 0, 5N

β) Θέτουµε x= 2, 43 N

1 ψηφίο

∆ηλαδή x=0,555...

γ) Θέτουµε x= 4, 99 N

2 ψηφία

∆ηλαδή x=2,4333...

2 ψηφία

∆ηλαδή x=4,9999...

Πολλαπλασιάζουµε µε τη µο- Πολλαπλασιάζουµε µε τη µονάδα Πολλαπλασιάζουµε

µε

νάδα ακολουθούµενη από ακολουθούµενη από τόσα µηδενι- τη µονάδα ακολουθούτόσα µηδενικά όσα τα ψηφία κά όσα τα ψηφία µετά την υποδια- µενη από τόσα µηδενιµετά την υποδιαστολή, άρα στολή, άρα επί 100. επί 10.

10 · x=5,555...

100 · x=243,333... x= 2, 4N 3

10 · x=5,555... 10 · x–x=(5,555...)–x

Πολλαπλασιάζουµε µε τη µονάδα ακολουθούµενη από τόσα µηδενικά όσα τα ψηφία µεταξύ της υποδιαστολής και της περιόδου, άρα επί 10.

Λύνουµε την εξίσωση:

(10–1)x=(5,555...)–(0,555) 9x=5 x=5:9 5 x= . 9 Πράγµατι 5:9=0,555...

την υποδιαστολή, άρα επί 100.

1 ψηφίο

Αφαιρούµε και από τα δύο µέλη το x=0,555...

κά όσα τα ψηφία µετά

10 · x=10 · 2,4333... 10 · x=24,333... Αφαιρούµε τις δύο ισότητες: 100 · x–10 · x=(243,333...)–

100 · x=499,99... Αφαιρούµε και από τα δύο µέλη το x=4,999...

100 · x–x=495 Λύνουµε την εξίσωση:

(100–1)x=495 99x=495 x=495:99 x=5.

(24,333...)

(100–10)x=219 90x=219 x=219:90 219 219 : 3 73 x= . = = 90 90 : 3 30 Πράγµατι 73:30=2,4333...

267 Α.7.7 ∆ΕΚΑ∆ΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

∆ιαπιστώσαµε µε αυτόν τον τρόπο ότι:

• Όπως οι απλοί δεκαδικοί αριθµοί, έτσι και οι περιοδικοί µπορούν να µετατραπούν σε κλασµατικούς αριθµούς. • Κάθε περιοδικός αριθµός µε περίοδο 9 είναι ο πλησιέστερος προς αυτόν ακέραιος ή δεκαδικός: 3,9 = 4 0,399 = 0,4 15,09 = 15,1. • Αλλά και αντίστροφα, κάθε ακέραιος ή συνηθισµένος δεκαδικός, µπορεί να γραφεί σαν περιοδικός µε περίοδο 9: 61=60, 9 15,8=15,7 9 .


2.

3.

Να βρείτε την δεκαδική µορφή των αριθµών: 7 11 41 2 12 α) − β) γ) δ) − ε) 2 4 100 3 11 Να βρείτε την κλασµατική µορφή των αριθµών: α) 0,6 β) –5,21 γ) 18,072 δ) 3,2222... ε) 10,84

στ)

8 . 15

στ) 9,53 ζ) 10,002 .

Να αντικαταστήσετε τους περιοδικούς αριθµούς: α) 7, 9 β) 28, 9 γ) 245,19999... δ) 14,0 99 µε τους αντίστοιχους δεκαδικούς.


Α.7.8 ∆υνάµεις ρητών αριθµών µε εκθέτη φυσικό

ν Το γινόµενο α ⋅ α ⋅ α ⋅ ...

⋅ α γράφεται µε σύντοµο τρόπο ως α και διαβάζεται α στη ν

ν ισοι παραγοντες του α

ή νιοστή δύναµη του α. βά ση → α ν →εκθέτης , ν=2,3,4,... 2

Η δύναµη α =α · α διαβάζεται και α στο τετράγωνο. Η δύναµη α3=α · α · α διαβάζεται και α στον κύβο. Η δύναµη του α µε εκθέτη το 1 ισούται µε α, δηλαδή α1=α.

Πρόσηµο δύναµης • Μια δύναµη είναι θετική όταν η βάση της είναι θετικός αριθµός ή αν η βάση της είναι αρνητικός αριθµός και ο εκθέτης άρτιος. • Μια δύναµη είναι αρνητική όταν η βάση της είναι αρνητικός αριθµός και ο εκθέτης περιττός. θετική → Η δύναµη είναι θετική. / βάση 2 άρτιος → Η δύναµη είναι θετική. αρνητική → εκθέτης περιττός → Η δύναµη είναι αρνητική. 33=3 · 3 · 3=27>0 και (+3)4 =(+3)(+3)(+3)(+3)=81>0 4 (–3)3 = ( −3)( 3)( −

3) = –27<0 και (–3) = (

−3)( −3)( −3)( −3) =81>0 − 3 αρνητικοί παράγοντες (περιττός αριθµός)

4 αρνητικοί παράγοντες (άρτιος αριθµός)

269 Α.7.8 ∆ΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΦΥΣΙΚΟ

Ιδιότητες των δυνάµεων 1) Πως πολλαπλασιάζουµε δυνάµεις που έχουν Για να πολλαπλασιάσουµε δυνάτην ίδια βάση.

µεις που έχουν την ίδια βάση, αφήνουµε την ίδια βάση και για

2 · 2 = ( 2⋅ 2

⋅ 2 )(2 ⋅ 2 ⋅ 2

⋅ 2) = 3

4

3 παράγοντες

εκθέτη βάζουµε το άθροισµα


= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2

⋅ 2 =2 = 2 3+4

των εκθετών.

7

µ

ν

α · α =α

3+4=7 παράγοντες

µ+ν

2) Πως διαιρούµε δυνάµεις που έχουν την ίδια Για να διαιρέσουµε δυνάµεις που έχουν την ίδια βάση, αφήβάση. νουµε την ίδια βάση και για εκ 56 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 5 :5 = 4 = = 5N ⋅5 = 5 5 ⋅ 5 ⋅ 5

⋅5 6 − 4 παράγοντες 6 παράγοντες

6

4



θέτη βάζουµε τη διαφορά των εκθετών και συγκεκριµένα από τον εκθέτη του διαιρετέου αφαιρούµε τον εκθέτη του διαιρέτη. µ

=5

6 –4

=5

ν

α :α =α

2

µ–ν

3) Πως υψώνουµε ένα γινόµενο σε έναν εκθέ- Για να υψώσουµε ένα γινόµενο τη. σ’ έναν εκθέτη, υψώνουµε κάθε (2 ⋅ 5) 3 = (2 ⋅ 5)(2 ⋅ 5)(2 ⋅

5) =

παράγοντα του γινοµένου στον εκθέτη αυτό.


= ( 2⋅ 2

⋅ 2 )( 5⋅ 5

⋅ 5 ) = 23 ⋅ 53 3 παράγοντες


4) Πως υψώνουµε ένα πηλίκο σε έναν εκθέτη.

ν

ν

(α · β) =α · β

ν

Για να υψώσουµε ένα πηλίκο σ’ έναν εκθέτη, υψώνουµε κα-

3 5 5 5 5⋅5⋅5 53 ⎛5⎞ = ⋅ ⋅ = = ⎜2⎟ 2 2 2 2⋅ 2

23 ⋅2 ⎝ ⎠ 3 παράγοντες

θέναν από τους όρους του πηλίκου στον εκθέτη αυτό.

3 παράγοντες ν

αν ⎛α⎞ = ⎜β⎟ βν ⎝ ⎠


5) Πως υψώνουµε µια δύναµη σε έναν εκθέτη.

Για να υψώσουµε µια δύναµη σε έναν εκθέτη, υψώνουµε τη βάση

(3 ) = (3 )(3 )(3 )(3 ) = 3 2 4

2

2

2

2

2+ 2+ 2+ 2

=3

4⋅ 2

=3

8

της δύναµης στο γινόµενο των


εκθετών. µ ν

µ· ν

(α ) = α .


Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: α) Η δύναµη (–3)4 ισούται µε:

Γ. –12

β) Όταν λέµε πέντε στον κύβο, εννοούµε την δύναµη: 3 Α. 52 Β. 5

Γ. 3

γ) Το γινόµενο 27 · 28 ισούται µε: 12 4 δ) Το πηλίκο (–2) : (–2) ισούται µε:

Γ. 4 12 4 Γ. 2 –

5

15

Α. 2 12:4 Α. (–2)

5

ε) Το γινόµενο 4 · 3 ισούται µε: 85 στ) Το πηλίκο 5 ισούται µε: 2

Α. 12

5

Α. 4

ζ) Η δύναµη (72)3 ισούται µε: 2.

Β. –81

Α. 81

Α. 14

3

56

56

Β. 2 12 4 Β. –2 – Β. 12

5

10

Γ. 12

Β. 45

Γ. 6

5

5

Γ. 7

6

Β. 7

25

Να συµπληρώσετε τα κενά µε ένα από τα σύµβολα >, =, < α) (+4)9 ... 0 β) (–23)14 ... 0 γ) (–0,001)17 ... 0 δ) (2–2)11 ... 0

ε) (–2) ... 2

στ) (–1)7 ... 1

ι) (–3) ... –3 .

ζ) (–1) ... 1 10

η) –3 ... 0 6

θ) (–3) ... –3 4

4

10

3

10

3


4

2

3 2

6

4

Αν x · y= –1, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης x (x · y ) (y :y ).

Λύση 4

2

3 2

6

4

4

2 2

3 2 2

x (x · y ) (y :y )=x (x ) (y ) y =

Εφαρµόζουµε τις ιδιότητες των δυνάµεων: ν ν ν 2 3 2 2 2 3 2 (α · β) =α · β , οπότε (x · y ) =(x ) (y ) µ ν µ ν 6 4 6 4 2 α :α =α – , οπότε y :y =y – =y 271

Α.7.8 ∆ΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΦΥΣΙΚΟ

µ ν

µν

2 2

2·2

4

3 2

3·2

6

(α ) =α , οπότε(x ) =x =x και (y ) =y =y =x · x · y · y =x · y =(x · y) =(–1) =1 µ ν µ+ν α · α =α , οπότε x4 · x4=x4+4=x8 και y6 · y2=y6+2=y8 4

4

6

2

8

8

8

8

ν

ν

ν

8

8

8

(α · β) =α · β , οπότε x · y =(x · y) .

2.

Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις µε τη µορφή µιας δύναµης: α) (34 · 39 · 3):35 β) [(2,6)5 · (–2,6)4]:[(–2,6)2 · (2,6) 3] 66 46 γ) 54 · (52)3 δ) 6 + 6 . 3 2

Λύση 4

9

5

4

9

1

5

α) (3 · 3 · 3):3 = (3 · 3 · 3 ):3 = 3

4+9+1

5

14

5

: 3 =3 :3 = 3

14–5

9

=3 .


β) Η δύναµη (–2,6) είναι θετικός αριθµός αφού η βάση της είναι αρνητική αλ4

λά ο εκθέτης είναι ............. .Εποµένως (–2,6) =(2,6) . 4

4

Όµοια (–2,6) = (.....) . Αντικαθιστούµε και έχουµε: 2

2

[(2,6) · (–2,6) ]:[(–2,6) · (2,6) ]= [(2,6) · (2,6) ]:[(.....) · (2,6) ]= 5

4

5+...

=(2,6) 4

2 3

2

...+...

: (2,6) µ ν

µν

3

5

...

4

... – ...

...

=(2,6) : (2,6) = (2,6) 4

... · ...

4

...

µ

ν

µ+ν

2

3

...

= (2,6) ...+...

....

γ) 5 · (5 ) (α ) =α =5 · 5 =5 · 5 α · α =α =5 =5 6 6 66 46 ⎛ 6 ⎞ ⎛ 4 ⎞ δ) + = + = 26 + 26 = 2 ⋅ 26 = 21 ⋅ 26 = 21+6 = 27 . 36 26 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠

3.

Να λύσετε τις εξισώσεις: 5

α) 23 · x=28

12

β) –3 · x=3

14


γ)

x ⎛ 1⎞ = 2 2 δ) ⎜ ⎟ x = −3 . 4 2 ⎝3⎠

Λύση α) α · x=β, x=β:α x=28: 23 µ

ν

α :α =α

x=2

β) α · x=β, x=β:α γ) x:α=β, x=β · α δ) α · x=β, x=β:α 5 314 314 ⎛ 1⎞ 2 4 x=2 · 2 x= 12 = − 12 x= –3: ⎜ ⎟ 3 −3 ⎝3⎠ ν

αµ = αµ − ν αν

µ –ν

8–3

x= –3

x=25 =32

µ

ν

α · α =α

⎛α⎞ αν = ⎜ ⎟ βν ⎝β⎠

µ+ν

14–12

x=2

2

x=2 =64

15 x= –3: 5 3 1 x= –3: 5 3

2+4

6

x= –3 = –9

x= –3 · 35 x= –31+5= –36= –729.

4.

Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: ( −6) 5 84 10 3 4 3 4 α) β) –2 +(–4) :8+[5–(–1) · 2]:(–3). + + 5 4 3 3 ( −4) ( −5)

α)

5

Λύση 4

3

( −6) 8 10 5 ⎛ −6 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 10 ⎞ + + = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ( −2 ) + ( −2)4 + ( −2)3 = 5 4 3 3 ( −4) ( −5) ⎝ 3 ⎠ ⎝ −4 ⎠ ⎝ −5 ⎠ 5

4

3

= −25 + 24 − 23 = −32 + 16 − 8 = −24 .

β)

–24+(–4)3:8+[5–(–1)4 · 2]:(–3)= = –24+(–4)3:8+(5–1 · 2):(–3)= = –24+(–4)3:8+(5–2):(–3)= = –24+(–4)3:8+3:(–3)=

Προτεραιότητα των πράξεων: Όταν η αριθµητική παράσταση έχει παρενθέσεις ή αγκύλες, εκτελούµε πρώτα τις πράξεις µέσα σε αυτές: 4 Υπολογίζουµε πρώτα την δύναµη (–1) =1 και στη συνέχεια κάνουµε τον πολλαπλασιασµό 1 · 2=2 και την αφαίρεση 5–2=3.

= –16+(–64):8+3:(–3)= • Υπολογίζουµε τις δυνάµεις: 4

= –16+(–8)+(–1)= = –16–8–1= = –25.

3

2 =16 , (–4) =(–4)(–4)(–4)= –(4 · 4 · 4)= –64 και στη συνέχεια κάνουµε τις διαιρέσεις: (–64):8= –8 και 3:(–3)= –1. • Τέλος κάνουµε τις προσθέσεις: –16–8–1= –25.

273 Α.7.8 ∆ΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΦΥΣΙΚΟ



–1

α

2

α

3

α

4

–10

0,1

–0,2

+

1 2

−

2 3

2.

Να βάλετε τους παρακάτω αριθµούς σε σειρά από τον µεγαλύτερο στον µικρότερο. 92 α=34–24–14 , β=3 · 25 , γ=15+33 , δ=122–102 και ε= 5 ⋅ . 3

3.

Να συµπληρώσετε τα ⁪ ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) (–3)⁪=81 β) ⁪5= –32 γ) ⁪85= –1 δ) 52 · 5⁪=517 ε) (3⁪)2=38 , στ) = 54 ζ) (–2)11:(–2)⁪=(–2)3 η) (78:7⁪) · 74=79 θ) 12,4 · ⁪⁪=12.400. 5

4.

Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση: Προτεινόµενες τιµές α)

Παράσταση 34 33

β)

–3 +(–3)

γ)

3

2

2 ·2 4 8 43 − 4 4 23

δ)

6 2

ε)

(5 ) 66 ⋅ 6 2 38

στ) ζ) η)

2

⎛ 1⎞ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠

3

1

⎛3⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝2⎠

3

Α 1 3

Β

Γ

3

9

–3

–1

0

3

2

2

2

4

8

8

5

2

6

2

3

(–1) +(–1) +(–1)


3

12

12

5

2

8

6

27 64

64 27

1

2

–1

1

5

⎛4⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝3⎠

4

36

8

5.

Να γράψετε µε τη µορφή µιας δύναµης τις παρακάτω παραστάσεις: 10 4 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 3 15 4 2 30 19 3 2 α) 5 · 5 β) (–3) (–3) (–3) γ) (–9) :(–9) δ) ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ε) [(–9) ] 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3

στ) (0,25) (–8) 8

8

4

10

25

ζ) 3 · (3 :9)

2

η) (4 · 4 ):(4 )

6.

Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: 4 4 4 α) (–2)1+(–2)2+(–2)3–24+25 β) 2,5 · 3 –4,6 · 3 +2 · 3 3 4 3 γ) 4,2 · 5–92:3+2 δ) 5 · (–2) +(–3) :9+2 –1.

7.

Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: 62 ( −9)3 ( −14)4 3 2 + 3 − α) 2 · (10–2 )+(5 · 3 ):(–15) β) ( −3)2 3 74 2

3

⎛ 1⎞ ⎛ 2 ⎞ θ) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 3 3 . ⎝2⎠ ⎝3⎠

2 3

2

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 2 ⎟ − 1 ⎜ 1− 2 ⎟ ⎠ . γ) ⎝ ⎠ 3 : ⎝ 3 ⎛ 1⎞ ⎛2 ⎞ ⎜3⎟ ⎜ 3 − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 8.

Να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω παραστάσεων: α) Α=3(1–x)x–2 · xx+(1–x)x–1 , όταν x=3 x

⎛ 1⎞ β) (4 − x)x + ⎜ − ⎟ , όταν x=2 ⎝ x⎠ 2 x (x+1)3 : , όταν x= –2. γ) 2 x − 1 (1− x)2

9.

10.


2

x

y

–1

2

3

–1

–3

–2

0,6

0,1

3

4

2

x +y

2

2

(x–y) +2xy

3

2

Αν είναι α=(–1) +(–2) , β=(2 –2):( –7) και γ=3 · 2 –5 · 2 +1, να βρείτε τις τιµές των παραστάσεων Α=α–β:γ και Β=(α–β)2:γ. 275 Α.7.8 ∆ΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΦΥΣΙΚΟ

∆υνάµεις ρητών

Α.7.9

αριθµών µε εκθέτη ακέραιο

• Η δύναµη κάθε ρητού αριθµού, διάφορου του µηδενός, µε εκθέτη το µηδέν είναι ίση µε τη µονάδα. Αν α ≠ 0, α0=1. • Η δύναµη κάθε ρητού αριθµού, διάφορου του µηδενός, µε εκθέτη αρνητικό είναι ίση µε κλάσµα που έχει αριθµητή τη µονάδα και παρονοµαστή τη δύναµη του αριθ1 µού αυτού µε τον αντίθετο εκθέτη. Αν α ≠ 0, α − ν = ν . α • (–5,12)0=1. • ( − 5)−3 =

1 1 1 = =− . 3 ( − 5) 125 −125

Οπότε και για να υψώσουµε ένα κλάσµα

⎛α⎞ ⎜β⎟ ⎝ ⎠

−ν

−4

⎛β⎞ =⎜ ⎟ ⎝α⎠

α σε έναν αρνητικό εκθέτη –ν, έχουµε β

ν

4

34 81 ⎛2⎞ ⎛3⎞ = = = . ⎜3⎟ ⎜2⎟ 24 16 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∆υνάµεις του 10 µε αρνητικό εκθέτη 10 −1 =

1 1 = = 0,1 1 10 10 1 µηδενικό

10 −3 =

1 1 = = 0,001 3 10 1000 3 N µηδενικά


10 −2 =

1 1 = = 0N ,01 2 10 100 2 µηδενικά

Γενικά 10 − ν = 0,00. ..0

1 ν µηδενικά

Οι ιδιότητες των δυνάµεων µε εκθέτη φυσικό ισχύουν και για τις δυνάµεις µε εκθέτη ακέραιο. 1.

Πως πολλαπλασιάζουµε δυνάµεις που έχουν την ίδια βάση. 1 1 2–5 · 23 =2–5+3 = 2–2 = 2 = . 2 4

2.

Πως διαιρούµε δυνάµεις που έχουν την ίδια βάση. 1 1 5−6 : 5−4 = 5−6 −( −4) = 5−6+ 4 = 5−2 = 2 = . 5 25

3.

Πως πολλαπλασιάζουµε δυνάµεις που έχουν τον ίδιο εκθέτη. 2−3 ⋅ 5−3 = ( 2 ⋅ 5 )−3 = 10 −3 = 0,001.

4.

Πως διαιρούµε δυνάµεις που έχουν τον ίδιο εκθέτη. −3 3 5−3 ⎛ 5 ⎞ 23 8 ⎛ 2⎞ . = = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 −3 2 5 125 ⎝2⎠ ⎝ 5⎠

5.

Πως υψώνουµε µια δύναµη σε έναν εκθέτη. 1 1 (2–2)3 = 2−2⋅3 = 2−6 = 6 = . 2 64


Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων Α=2x 1 ∆=(2x)–2 , όταν α) x=2 και β) x= − . 2

–1

, Β=(2x)

–1

, Γ=2x

–2

,

Λύση α) Αντικαθιστούµε στις παραστάσεις όπου x=2 και έχουµε: 1 1 1 1 1 1 1 1 Α=2 · 2– α – ν = ν = 2 · 1 = 2 ⋅ = 1 , Β=(2 · 2)– =4– = 1 = α 2 2 4 4 277 Α.7.9 ∆ΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΑΚΕΡΑΙΟ

1 1 2 1 1 1 2 2 = 2⋅ = = , ∆=(2 · 2)– =4– = 2 = . 2 2 4 4 2 4 16 1 β) Αντικαθιστούµε στις παραστάσεις όπου x= − και έχουµε: 2

Γ=2 · 2– =2 ⋅ 2

−1

⎛ 1⎞ ⎛ α⎞ Α = 2⋅⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝β⎠

−ν

⎛β⎞ =⎜ ⎟ ⎝α⎠

−1

1

⎛ 2⎞ = 2 ⋅ ⎜ − ⎟ = 2 ⋅ ( −2) = −4 . ⎝ 1⎠

ν

−1

⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎛ 2⎞ Β = ⎢2 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎥ = ⎜ − ⎟ = ( −1)−1 = −1 . ⎝ 2⎠ ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ −2

2

⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ Γ = 2 ⋅ ⎜ − ⎟ = 2 ⋅ ⎜ − ⎟ = 2 ⋅ ( −2)2 = 2 ⋅ 4 = 8 . ⎝ 2⎠ ⎝ 1⎠

⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ ∆ = ⎢2 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎥ ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦

2.

−2

= ( −1)−2 =

1 1 = = 1. 2 ( −1) 1

Να κάνετε τις πράξεις: α) (–2)–1 · (–2)–2+(–4)3:(–4)5

–1

–2

β)

15 ⋅ 10 −3 ⋅ 10 6 3 ⋅ 10 5 ⋅ 10 −7

–1+(–2)

γ)

( −2) 5 ⋅ ( −2) 3 ⋅ 5 8 . 10 12

Λύση

+(–4) – α · α = α

και α :α = α – 2 1 1 1 1 1 1 1 –3 –2 − ν =(–2) +(–4) α = ν = + = + =− + = α ( −2)3 ( −4)2 −8 16 8 16 2 1 1 =− + =− . 16 16 16 −3 6 15 ⋅ 10 ⋅ 10 15 ⋅ 10 −3 +6 15 ⋅ 103 15 103 ν µ ν µ ν+µ α = = = ⋅ −2 α :α = αν–µ β) · α = α −2 −7 5 5 + ( −7) 3 ⋅ 10 ⋅ 10 3 ⋅ 10 3 ⋅ 10 3 10 3–(–2) 3+2 5 =5 · 10 = 5 · 10 = 5 · 10 = 5 · 100.000=500.000. 28 ⋅ 58 5 5+ 3 8 8 8 ( −2) ⋅ ( −2)3 ⋅ 58 ν µ ( − 2) ⋅ 5 ( − 2) ⋅ 5 α · α = αν+µ = (–2)8=28 = 1012 γ) = 1012 1012 1012 8 2 ⋅ 5) ( 108 ν ν ν αν:αµ = αν–µ = 108 −12 = 10 −4 = 0,000 α · β = (αβ) = = N 1. 1012 1012 α) (–2) · (–2) +(–4) :(–4) = (–2) 3

5

3 5

ν

µ

ν+µ

ν

µ

ν µ

4 µηδενικά


−1

3.

⎛ 1⎞ 2 ⎜ − 2 ⎟ + ( −2) ⎠ και β = Να δείξετε ότι οι αριθµοί α = ⎝ −2 ⎛ 1⎞ −8 ⎜ 3 ⎟ ⋅ ( −1) ⎝ ⎠

1⎞ ⎛ ⎜1− 3 ⎟ ⎝ ⎠ −1 2

−2

είναι αντί-

στροφοι.

−1

Λύση

1

⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ 2 ⎜ − 2 ⎟ + ( −2) ⎜ − 1 ⎟ + 4 ( −2) + 4 2 ⎝ ⎠ ⎠ =⎝ = = . α= 2 −2 32 9 ⎛ 1⎞ ⎛3⎞ −8 ( 1) 1 ⋅ − ⋅ ⎜3⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ 1− 3 ⎟ β = ⎝ −1 ⎠ 2

−2

−2

−2

2

⎛ 3 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛3⎞ ⎜3 − 3⎟ ⎜3⎟ ⎜ ⎟ ⎠ = ⎝ ⎠ = ⎝ 2⎠ = =⎝ 1 1 1 ⎛ 1⎞ ⎜ 2⎟ 2 2 ⎝ ⎠ 2 9 Οι αριθµοί α = και β = είναι αντίστροφοι. 9 2

4.

3

9

–2

–2

–3

32 9 2 2 = 4 = 9 ⋅ 2 = 18 = 9 . 1 1 4 ⋅1 4 2 2 2

–2

Αν x=2 · 3 · 5 , y=3 · 5 και ω=2 · 5, να γράψετε την παράσταση Α=(x · y):ω2 µε τη µορφή µιας δύναµης.

9

−2

−2

−3

Λύση

x ⋅ y (2 ⋅ 3 ⋅ 5 )( 3 ⋅ 5 ) 2 ⋅ 39 ⋅ 3 −2 ⋅ 5−2 ⋅ 5−3 23 ⋅ 39+( −2) ⋅ 5−2+( −3 ) Α= 2 = = = = ω (2−2 ⋅ 5)2 (2−2 )2 ⋅ 52 2−2⋅2 ⋅ 52 3

3

23 ⋅ 37 ⋅ 5−5 23 7 5−5 = = −4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 23 −( −4 ) ⋅ 37 ⋅ 5−5−2 = 23 + 4 ⋅ 37 ⋅ 5−7 = 27 ⋅ 37 ⋅ 5−7 = −4 2 2 ⋅5 2 5 7

1 67 ⎛ 6 ⎞ = (2 ⋅ 3) ⋅ 5 = 6 ⋅ 7 = 7 = ⎜ ⎟ = 1,27 . 5 5 ⎝5⎠ 7

−7

7

279 Α.7.9 ∆ΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΑΚΕΡΑΙΟ


Να υπολογίσετε τις δυνάµεις: –3

β) (–4)

α) 6

2.

⎛ 1⎞ γ) ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

–2

−3

⎛ 1⎞ δ) ⎜ − ⎟ ⎝ 4⎠

Να αντιστοιχίσετε κάθε δύναµη της στήλης Α µε έναν αριθµό της στή-

α

−3

⎛ 3⎞ ε) ⎜ − ⎟ . ⎝ 5⎠

Στήλη Α

Στήλη Β

∆ύναµη

Αριθµός

–7

λης Β.

Α

−2

β

γ

δ

ε

α) (–1) β) (–3)–4 −4 ⎛ 1⎞ γ) ⎜ ⎟ ⎝3⎠

στ

δ)

Β

1) 81 2) –1 3) 16

1 2−4

4) −

⎛ 2⎞ ε) ⎜ − ⎟ ⎝ 3⎠

−2

⎛ 3⎞ στ) ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠

3.

9 4 1 6) 81

5)

−3

Να βάλετε το κατάλληλο σύµβολο >, = , < µεταξύ των αριθµών: -8 100 101 9 10 α) (–2)9 .... 0 β) 0 .... (–3) γ) (–1) .... (–1) δ) 3– .... 3– ε) (–3) .... –3 0

4.

8 27

0

⎛2⎞ στ) ⎜ ⎟ ⎝5⎠

−6

⎛5⎞ .... ⎜ ⎟ ⎝2⎠

6

5

⎛ 1⎞ ζ) 4 .... ⎜ ⎟ . ⎝4⎠ –5


β

–2

2 5

5 1 2 1 − 5

–0,5

–0,2

1


(α+β)

–1

(α · β)

–2

5.

Να βρείτε τις τιµές των παραστάσεων: Α=2x–4+2x–3+2x–2+2x–1 , όταν x=1. Β=3 · 2x+1 –2 · x2+6 · xx+2 , όταν x= –2. ⎛ 1⎞ Γ= ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠

6.

x −3

⎛ 1⎞ +⎜− ⎟ ⎝ 2⎠

x −2

⎛ 1⎞ +⎜− ⎟ ⎝ 2⎠

x −1

x+1

⎛ 1⎞ + ⎜ − ⎟ , όταν x=1. ⎝ 2⎠

Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση: Προτεινόµενες τιµές Παράσταση

Α

α)

20+2–1

1

β)

5 · 10 · 2 52 53 2−3 3 −2 + 4 −3 9−2

–5

γ) δ)

5

ε)

ζ) η)

Γ

10.000 1 5

0,0001

0,001

5

1

15

16

17

0

2

2

0,001

0,01

1.000

9 20

1

20 9

25

1 25

−

–2

2 · 2 –2 :2 104 ⋅ 10 −2 105 1− 2−1 1+ 3−2

στ)

7.

4

Β 3 2

(52 · 5–3)2

2

6

7

1 25

Να γράψετε µε τη µορφή µιας δύναµης τις παραστάσεις: –4

α) (–3)[(–3) ] (–3) 2

18

1 ⎛ 1⎞ β) 2 ⋅ ⋅ 2−8 ⋅ ⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠ 5

−20

⎛ 73 ⋅ 7−2 ⎞ γ) ⎜ ⎟ 4 ⎝ 7 ⎠

3

δ)

2−15 ⋅ (3 −5 )3 . 3 −15 ⋅ (4 5 )−3

8.

Αν οι αριθµοί x και y είναι αντίστροφοι να βρείτε την τιµή της παράστασης: (x 2 ⋅ y 3 )−1(x 3 ⋅ y 2 )2 A = 2 −5 2 −4 7 . (x ⋅ y ) ⋅ x ⋅ y

9.

Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 511 · x=59 β) 2–3 · x=23 γ) x:2–7=28 δ) x+2–1=2–2 ε) x–3–2 =3–1.

281 Α.7.9 ∆ΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΑΚΕΡΑΙΟ

10.

Να υπολογίσετε το x, ώστε να ισχύουν οι ισότητες: x 1 ⎛ 1⎞ x x 4 10 –5 α) x = –1 β) (–2) = γ) ⎜ ⎟ = 16 δ) (–3)(–3) (–3) =(–3)– 16 2 ⎝ ⎠ 3

ε) 5 · x=1

11.

στ)

10 x = 1.000 104

ζ)

3x = 35 3 −2

η)

2x ⋅ 24 = 1 θ) 10–9 · x=102 · 10–6. 2−1


10

x

–1

x

–2

–100

0,1


–0,01

10

4

10

–4

–2

1 2

5 · 10

4

2 · 10

–3

Α.7.10

Τυποποιηµένη µορφή µικρών αριθµών

• Σε προηγούµενο κεφάλαιο µάθαµε πως να γράφουµε τους πολύ µεγάλους αριθν µούς µε τυποποιηµένη µορφή, δηλαδή µε τη µορφή α · 10 , όπου 1≤α<10 και ν=1,2,3,4, ... .

• Με παρόµοιο τρόπο µπορούµε να γράψουµε και τους πολύ µικρούς αριθµούς µε τυποποιηµένη µορφή, δηλαδή µε τη µορφή: ν α · 10– , όπου 1≤α<10 και ν=1,2,3,4, ... . Με τον τρόπο αυτό µπορούµε να έχουµε µια συντοµότερη µορφή των πολύ µικρών αριθµών και εποµένως να τους θυµόµαστε , να τους συγκρίνουµε ή να κάνουµε πράξεις µε αυτούς πιο εύκολα. −5 −8 α) 0, 0000 2 = 2 ⋅ 10 β) 0,0000000234= 0, 0000000 2 34 = 2,34 ⋅ 10 . 5 θέσεις

8 θέσεις


–5

–7

4

7

Να συγκρίνετε τους αριθµούς 9,25 · 10 , 2 · 10 , 8,9 · 10 , 5 · 10 .

Λύση Μετατρέπουµε τους αριθµούς στη δεκαδική τους µορφή: 9,25 · 10–5 =0,0000925 , 2 · 10–7 = 0,0000002, 8,9·104=89.000 , 5·107=50.000.000. Επειδή 0,0000002<0,0000925<89.000<50.000.000, συµπεραίνουµε ότι 2 · 10–7 <9,25 · 10–5 <8,9 · 104 <5 · 107.

283 Α.7.10 ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΚΡΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

2.

∆ίνονται οι αριθµοί α=0,000023 και β=0,000000008. Να βρείτε την τυποποιηµένη µορφή των αριθµών α2, β2, α · β και α:β.

2

–5

2

2

–5

Λύση

α =(0,000023) =(2,3 · 10 ) =2,3 · (10 )2=5,29 · 10–10 β2=(0,000000008)2=(8 · 10–9)2=82 · (10–9)2=64 · 10–18= 64 = ⋅ 10 ⋅ 10 −18 = 6,4 ⋅ 101 ⋅ 10 −18 = 6,4 ⋅ 101−18 = 6,4 ⋅ 10 −17 10 α · β=0,000023 · 0,000000008=2,3 · 10–5 · 8 · 10–9 =2,3 · 8 · 10–5 · 10–9 = 18,4 5 9 14 ⋅ 10 ⋅ 10 −4 = 1,84 ⋅ 101 ⋅ 10 −14 = =18,4 · 10– – =18,4 · 10– = 10 1−14 −13 = 1,84 ⋅ 10 = 1,84 ⋅ 10 2,3 ⋅ 10 −5 2,3 10 −5 α:β=0,000023:0,000000008 = = ⋅ = 0,2875 ⋅ 10 −5−( −9) = 8 ⋅ 10−9 8 10 −9 104 104 = 0,2875 ⋅ 10 −5+ 9 = 0,2875 ⋅ 104 = 0,2875 ⋅ 10 ⋅ = 2,875 ⋅ 1 = 2,875 ⋅ 104 −1 = 10 10 2

3

=2,875 · 10 .


Να βρείτε την τυποποιηµένη µορφή των αριθµών: α) 0,00000007 β) 0,0000000038 γ) 0,0000000000765.

2.

Να βρείτε τη δεκαδική µορφή των αριθµών: α) 3 · 10–12 β) 7,4 · 10–6

γ) 2,01 · 10–5.

3.

∆ίνονται οι αριθµοί α=0,000006 και β=0,0000024. Να βρείτε την τυποποιηµένη µορφή των αριθµών α2, β2, α · β , α+β.

4.

Να συγκρίνετε τους αριθµούς: 9 9 6 5 α) 6,3 · 10– και 6,03 · 10– β) 7 · 10– και 7 · 10–


γ) 2 · 10–4 και 9,8 · 10–5.

Μέρος B΄ Γεωµετρία

ο

Βασικές Γεωµετρικές έννοιες

ο

Συµµετρία

ο

Τρίγωνα – Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 :

Β.1.1

Σηµείο Ευθύγραµµο τµήµα Ευθεία - Ηµιευθεία Επίπεδο - Ηµιεπίπεδο

Το σηµείο • Η τελεία που σχηµατίζεται αν πιέσουµε τη µύτη ενός µολυβιού πάνω σε ένα φύλλο χαρτί µας δίνει την έννοια του σηµείου. • Το σηµείο δεν έχει διαστάσεις και συµβολίζεται µε ένα κεφαλαίο γράµµα, π.χ. µε Α.

Το ευθύγραµµο τµήµα • ∆ιπλώνουµε ένα φύλλο χαρτί και µετά το ανοίγουµε. Το αποτύπωµα που έχει σχηµατιστεί µας δίνει την έννοια του ευθυγράµµου τµήµατος. Μια τεντωµένη κλωστή επίσης έχει το σχήµα του ευθυγράµµου τµήµατος. • Με τη βοήθεια ενός χάρακα µπορούµε να συνδέσουµε δύο σηµεία Α και Β και να σχεδιάσουµε το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ. Τα σηµεία Α και Β λέγονται άκρα του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ.

287 Β.1.1 ΣΗΜΕΙΟ – ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ – ΕΥΘΕΙΑ – ΗΜΙΕΥΘΕΙΑ – ΕΠΙΠΕ∆Ο - ΗΜΙΕΠΙΠΕ∆Ο

H ευθεία • Αν προεκτείνουµε απεριόριστα ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και προς το Α και προς το Β, τότε το σχήµα που προκύπτει λέγεται ευθεία. • Η ευθεία δεν έχει όρια και για αυτό δεν µπορεί να σχεδιαστεί στο χαρτί ή στον πίνακα ολόκληρη. Στην πραγµατικότητα σχεδιάζουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα της. • Η ευθεία συµβολίζεται µε ένα µικρό γράµµα, π.χ. ε ή µε δυο µικρά γράµµατα, π.χ. x΄x.

• Μια ευθεία περιέχει άπειρα σηµεία. • Από ένα σηµείο διέρχονται άπειρες ευθείες.

• Από δύο σηµεία διέρχεται µία µόνο ευθεία.

Η ηµιευθεία • Αν προεκτείνουµε απεριόριστα ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ, µόνο από το ένα άκρο του, π.χ. από το Β, τότε δηµιουργείται ένα νέο σχήµα που λέγεται ηµιευθεία µε αρχή το Α.


• Μπορούµε να ονοµάσουµε την ηµιευθεία αυτή Αx, χρησιµοποιώντας δηλαδή ένα κεφαλαίο γράµµα Α, που δηλώνει την αρχή και ένα µικρό x, που δηλώνει την κατεύθυνση προς την οποία προεκτείνεται και όχι κάποιο σηµείο. • Ένα σηµείο Ο πάνω σε µια ευθεία x΄x δηµιουργεί δυο ηµιευθείες µε κοινή αρχή το Ο, την Οx΄ και την Οx που λέγονται αντικείµενες ηµιευθείες.

Το επίπεδο • Αν µια επιφάνεια, όπως ένα φύλλο χαρτί, ένας πίνακας, ένας καθρέφτης, επεκτείνεται απεριόριστα προς κάθε κατεύθυνση, τότε το σχήµα που προκύπτει λέγεται επίπεδο. • Κάθε επίπεδο για να χωράει στο χαρτί ή στον πίνακα το παριστάνουµε σχεδιάζοντας ένα παραλληλόγραµµο. • Το επίπεδο συµβολίζεται µε ένα κεφαλαίο γράµµα, π.χ. Π, Ρ, Σ, κ.λ.π. • Από τρία σηµεία που δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία διέρχεται ένα µόνο επίπεδο.

Το ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ενός επιπέδου χωρίζει το επίπεδο αυτό σε δύο µέρη που λέγονται ηµιεπίπεδα.



Στο διπλανό σχήµα να βρείτε: α) Τα ευθύγραµµα τµήµατα που ορίζονται από τα σηµεία Α, Β και Γ. β) Τις ηµιευθείες που έχουν για αρχή τα σηµεία αυτά. γ) Τις αντικείµενες ηµιευθείες.

Λύση α) Τα ευθύγραµµα τµήµατα είναι τα ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ. β) Οι ηµιευθείες είναι οι Αx, Βx, Γx, Αx΄, Βx΄, Γx΄. γ) Από αυτές αντικείµενες είναι οι Αx και Αx΄ , Βx και Βx΄, Γx και Γx΄.

2.

Να βρείτε τα ευθύγραµµα τµήµατα που ορίζονται στο σχήµα. Στη συνέχεια να βρείτε τα τρίγωνα που υπάρχουν και να συµπληρώσετε τον πίνακα. Τρίγωνο

Κορυφές

Πλευρές

Λύση Τα ευθύγραµµα τµήµατα του σχήµατος είναι τα: ΑΒ, ΑΓ, ΑΛ, ΒΓ, ΒΛ, ΓΛ. Συµπληρώνουµε τον πίνακα: Τρίγωνο

Κορυφές

Πλευρές

ΑΒΓ

Α, Β, Γ

ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ

ΒΛΓ

Β, Λ, Γ

ΒΛ, ΒΓ, ΛΓ

ΑΛΒ

Α, Λ, Β

ΑΛ, ΑΒ, ΛΒ

ΑΛΓ

Α, Λ, Γ

ΑΛ, ΑΓ, ΛΓ


Πλευρά είναι το ευθύγραµµο τµήµα που έχει για άκρα δύο διαδοχικές κορυφές.

3.

α) Να χαράξετε τις διαγώνιες του διπλανού σχήµατος. β) Πόσες ευθείες διέρχονται από το σηµείο Γ; Να χαράξετε τρεις από αυτές. γ) Να χαράξετε την ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Ε και ∆. Υπάρχει άλλη ευθεία που να διέρχεται από τα σηµεία αυτά; δ) Να χαράξετε την ηµιευθεία µε αρχή το Α που να διέρχεται και από το Β. Στη συνέχεια να χαράξετε την αντικείµενη της ηµιευθείας αυτής.

Λύση α) ∆ιαγώνιος είναι το ευθύγραµµο τµήµα που έχει για άκρα δυο µη διαδοχικές κορυφές. Οι διαγώνιες στο πεντάγωνο είναι τα τµήµατα: Α∆, ΑΓ, ΒΕ, Β∆ και ΓΕ. β) Από το σηµείο Γ διέρχονται άπειρες ευθείες. Τρεις από αυτές είναι οι ζ, η και θ. γ) Η ζητούµενη ευθεία είναι η ε και είναι µοναδική αφού από δύο σηµεία διέρχεται µια µόνο ευθεία. δ) Η ηµιευθεία αυτή είναι η Αx και η αντικείµενή της η ηµιευθεία Αx΄.


Να ονοµάσετε τα ευθύγραµµα τµήµατα τις ευθείες και τις ηµιευθείες που υπάρχουν στο διπλανό σχήµα.


2.

Με τη βοήθεια του παρακάτω σχήµατος να επιλέξετε Σ για κάθε σωστή πρόταση και Λ για κάθε λανθασµένη. Σ Λ α) Τα σηµεία Α και Β είναι άκρα του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ. β) Το σηµείο Α δεν ανήκει στο ευ θύγραµµο τµήµα ΟΒ. γ) Οι ηµιευθείες Οx και Αx είναι ίδιες. δ) Οι ηµιευθείες Οy και Οy΄είναι αντικείµενες. ε) Η αντικείµενη ηµιευθεία της Βx είναι η Αx΄. στ) Η ευθεία x΄x διέρχεται από τα σηµεία Α και Β και περιέχει την ηµιευθεία Οx΄.

3.

∆ίνονται τα σηµεία Α, Β, Γ και ∆. Να χαράξετε: α) Τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ και Α∆. β) Την ηµιευθεία µε αρχή το Γ που διέρχεται και από το Β. γ) Την αντικείµενη της ηµιευθεία. δ) Όλες τις ευθείες που διέρχονται από το ∆ και από ένα από τα υπόλοιπα σηµεία.

4.

Να τοποθετήσετε ένα + στην κατάλληλη θέση. Οι ηµιευθείες Οx , Οx΄ Οx , Οx΄ Οx , Αx Αx , Βx΄ Οy , Οx΄ Οy , Οy΄


Είναι αντικείµενες

ΝΑΙ

ΟΧΙ

5.

Να βρείτε τα τρίγωνα και τα τετράπλευρα που υπάρχουν στο σχήµα.

6.

Στο διπλανό τετράπλευρο ΑΒΓ∆, να χαράξετε τις διαγώνιες του και να ονοµάσετε Ο το σηµείο τοµής τους. Στη συνέχεια: α) Να βρείτε τα ευθύγραµµα τµήµατα που υπάρχουν στο σχήµα. β) Να χαράξετε την ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Α και Ο. Το σηµείο Γ ανήκει στην ευθεία αυτή; γ) Πόσες ευθείες διέρχονται από το σηµείο Α; Πόσες διέρχονται από τα σηµεία Α και Β; δ) Να χαράξετε την ηµιευθεία µε αρχή το σηµείο Ο που να διέρχεται και από το Β καθώς και την ηµιευθεία µε αρχή το σηµείο Ο που να διέρχεται και από το ∆. Οι ηµιευθείες αυτές είναι αντικείµενες; ε) Να χαράξετε την αντικείµενη ηµιευθεία της Γx.

7.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα: Πολύγωνο

Πλήθος κορυφών

Πλήθος πλευρών

Πλήθος διαγωνίων

Πεντάγωνο Εξάγωνο ∆εκάγωνο ∆ωδεκάγωνο Μπορείτε να διατυπώσετε ένα κανόνα για το πλήθος των διαγωνίων ενός πολυγώνου;


Γωνία - Γραµµή

Β.1.2

Επίπεδα σχήµατα – Ευθύγραµµα σχήµατα – Ίσα σχήµατα

Οι γωνίες Σχεδιάζουµε δυο ηµιευθείες Οx και Οy µε κοινή αρχή το σηµείο Ο. Καθεµιά από τις περιοχές που σχηµατίζονται µαζί µε τις ηµιευθείες ονοµάζεται γωνία. Οι ηµιευθείες Οx και Οy λέγονται πλευρές της γωνίας και το σηµείο Ο κορυφή της γωνίας.

Η µικρότερη γωνία λέγεται κυρτή ενώ η µεγαλύτερη µη κυρτή. Συνήθως αναφερόµαστε στις κυρτές γωνίες.

Για να συµβολίσουµε µια γωνία χρησιµοποιούµε: l. • Ένα κεφαλαίο γράµµα, αυτό της κορυφής: O l , που το γράφουµε και µέσα στη γωνία. • Ένα µικρό γράµµα, π.χ. ω • Τρία γράµµατα, αυτά των πλευρών και της κορυφής (που γράφεται στη µέση) : l ή yOx l . xOy


Γωνίες τριγώνου l B l και Γl . Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις γωνίες, τις A, l µε πλευρές τις ηµιευθείες ΑΒ και ΑΓ • Η γωνία A λέµε ότι περιέχεται µεταξύ των πλευρών ΑΒ και ΑΓ. l. • Η πλευρά ΒΓ είναι απέναντι στη γωνία A l και Γl είναι προσκείµενες στην • Οι γωνίες B

πλευρά ΒΓ. Ανάλογες εκφράσεις µπορούµε να διατυπώσουµε και για τις υπόλοιπες πλευρές και γωνίες του τριγώνου.

Τεθλασµένη γραµµή ∆υο ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ και ΒΓ λέγονται διαδοχικά όταν το µοναδικό τους κοινό σηµείο είναι το άκρο Β. Η γραµµή που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραµµα τµήµατα που δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία λέγεται τεθλασµένη γραµµή. Όταν το πρώτο άκρο µιας τεθλασµένης γραµµής συµπίπτει µε το τελευταίο προκύπτει µια κλειστή τεθλασµένη γραµµή που λέγεται ευθύγραµµο σχήµα. Μια τεθλασµένη γραµµή λέγεται κυρτή όταν οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από δυο κορυφές της αφήνει τις υπόλοιπες κορυφές προς το ίδιο µέρος. ∆ιαφορετικά λέγεται µη κυρτή. Παρόµοια ορίζονται το κυρτό και το µη κυρτό ευθύγραµµο σχήµα.

295 Β.1.2 ΓΩΝΙΑ – ΓΡΑΜΜΗ – ΕΠΙΠΕ∆Α ΣΧΗΜΑΤΑ – ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΣΧΗΜΑΤΑ – ΙΣΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

Κυρτή τεθλασµένη γραµµή

Μη κυρτή τεθλασµένη γραµµή

Κυρτό ευθύγραµµο σχήµα

Μη κυρτό ευθύγραµµο σχήµα

Ίσα σχήµατα ∆υο σχήµατα λέγονται ίσα, αν συµπίπτουν όταν τοποθετηθούν µε κατάλληλο τρόπο το ένα πάνω στο άλλο. Στη περίπτωση αυτή τα στοιχεία που συµπίπτουν, δηλαδή οι κορυφές, οι πλευρές και οι γωνίες, λέγονται αντίστοιχα στοιχεία των τµηµάτων αυτών.

Ίσα σχήµατα έχουν ίσες τις αντίστοιχες πλευρές τους και τις αντίστοιχες γωνίες τους.


ΑΒ=∆Ε, ΑΓ=∆Ζ, ΒΓ=ΕΖ l=∆ l, l l Γl = Ζ Α Β = Ε,



Λ

γ) Η γωνία που περιέχεται µεταξύ l. των πλευρών ΒΓ και ΑΓ είναι η Α

δ) Οι προσκείµενες γωνίες στην l και η Α ΒΓ l . πλευρά ΑΒ είναι η Α

α) Με πορτοκαλί χρώµα παριστάνεται l ενώ µε κόκκινο η η κυρτή γωνία Α l. µη κυρτή γωνία Α l και η γωνία ΒΓΑ είναι β) Η γωνία Α

η ίδια γωνία.

2.

Να ονοµάσετε µε ένα και µε τρία γράµµατα τις γωνίες του τετραπλέυρου ΑΒΓ∆. l , ∆ ΑΒ l , ΒΑ∆ l l , ..... , ..... α) Α β) Β , ...... γ) ..... , ΒΓ∆ δ) ...... , ...... , ...... .

3.

Να χαρακτηρίσετε καθένα από τα παρακάτω σχήµατα όπως το παράδειγµα.

κυρτή τεθλασµένη

.......................

.......................

.......................

γραµµή

.......................

.......................

.......................

297 Β.1.2 ΓΩΝΙΑ – ΓΡΑΜΜΗ – ΕΠΙΠΕ∆Α ΣΧΗΜΑΤΑ – ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΣΧΗΜΑΤΑ – ΙΣΑ ΣΧΗΜΑΤΑ


Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΚΛΜ. Να βρείτε: α) Τη γωνία του τριγώνου που περιέχεται µεταξύ των πλευρών ΛΜ και ΚΛ. β) Τη γωνία του τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από τη πλευρά ΚΛ. γ) Τη πλευρά του τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία l K. δ) Τις γωνίες του τριγώνου που είναι προσκείµενες στη πλευρά ΚΛ.

Λύση α) Μεταξύ των πλευρών ΛΜ και ΚΛ περιέχεται η γωνία l Λ. β) Απέναντι από τη πλευρά ΚΛ βρίσκεται η l. γωνία Μ l βρίσκεται η γ) Απέναντι από τη γωνία K πλευρά ΛΜ. δ) Οι γωνίες του τριγώνου που είναι προσκείl και η l µενες στη πλευρά ΚΛ είναι η K Λ.


Στα παρακάτω σχήµατα:

α) Να βρείτε ποιες από τις γωνίες που έχουν σηµειωθεί είναι κυρτές και ποιες είναι µη κυρτές. 298 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) Να βρείτε τις κορυφές και τις πλευρές των γωνιών αυτών. γ) Να ονοµάσετε τις γωνίες χρησιµοποιώντας όλους τους δυνατούς τρόπους. 2.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα γράφοντας ΝΑΙ ή ΟΧΙ.

Το σηµείο Α ανήκει

3.

Στη κυρτή l . γωνία xOy

Στη µη κυρτή γωνία l . xOy

Και στις δυο γωνίες.

α) Να ονοµάσετε τις γωνίες που είναι σηµειωµένες στο διπλανό σχήµα. β) Να βρείτε τη γωνία που περιέχεται µεταξύ των πλευρών ΑΒ και Β∆ και τη γωνία που περιέχεται µεταξύ των πλευρών Ο∆ και ΟΓ. 299

Β.1.2 ΓΩΝΙΑ – ΓΡΑΜΜΗ – ΕΠΙΠΕ∆Α ΣΧΗΜΑΤΑ – ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΣΧΗΜΑΤΑ – ΙΣΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

γ) Να βρείτε τις γωνίες που είναι προσκείµενες στη πλευρά Α∆. l . δ) Να βρείτε τη πλευρά που είναι απέναντι από τη γωνία A∆Β ε) Να βρείτε τις γωνίες που είναι απέναντι από τη πλευρά ∆Β.


Β.1.3

Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα ευθύγραµµων– τµηµάτων - Απόσταση– σηµείων - Μέσο ευθύγραµµου τµήµατος

Μονάδες µήκους Για να µετρήσουµε το µήκος ενός ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ χρησιµοποιούµε άλλα ευθύγραµµα τµήµατα που αποτελούν τις µονάδες µήκους. Όπως είχαµε αναφέρει και σε προηγούµενο κεφάλαιο η βασική µονάδα µήκους είναι το µέτρο (m). Πολλαπλάσιο του µέτρου είναι το χιλιόµετρο (km) και υποδιαιρέσεις του είναι το δεκατόµετρο (dm) , το εκατοστόµετρο (cm) και το χιλιοστόµετρο (mm). Η σχέση των υπολοίπων µονάδων µε το µέτρο δίνεται στον παρακάτω πίνακα. Χιλιόµετρo

km

1000 m

Μέτρο m ∆εκατόµετρο

dm

Εκατοστόµετρο

cm

Χιλιοστόµετρο

mm

1 m = 0,1m 10 1 m = 0,01m 100 1 m = 0,001m 1000

Απόσταση δύο σηµείων Α και Β λέγεται το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ που έχει για άκρα τα σηµεία αυτά. Με τον ίδιο συµβολισµό ΑΒ ονοµάζουµε τόσο το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ ως γεωµετρικό σχήµα όσο και το µήκος του.

Β.1.3 ΜΕΤΡΗΣΗ, ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ – ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ – ΜΕΣΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

301

Τα σηµεία Α και Β απέχουν 4,4 cm αφού το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος είναι ΑΒ=4,4 cm. Μέσο του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ λέγεται το σηµείο Μ του ευθυγράµµου τµήµατος που απέχει εξίσου από τα άκρα Α και Β, δηλαδή είναι το σηµείο Μ του ευθυγράµµου τµήµατος για το οποίο ισχύει ΜΑ=ΜΒ. ΑΒ=4,4 cm και 4,4:2=2,2 cm. To σηµείο Μ του ΑΒ µε ΜΑ=ΜΒ=2,2 cm είναι το µέσο του ΑΒ.

Σύγκριση δύο ευθυγράµµων τµηµάτων Στη σύγκριση των ευθυγράµµων τµηµάτων ΑΒ και Γ∆ έχουµε τις εξής περιπτώσεις:

Για να συγκρίνουµε δύο ευθύγραµµα τµήµατα συνήθως χρησιµοποιούµε:

• Το υποδεκάµετρο, µε τη βοήθεια του οποίου µετράµε τα µήκη των ευθυγράµµων τµηµάτων. Το ευθύγραµµο τµήµα που έχει το µεγαλύτερο µήκος είναι και το µεγαλύτερο. • Το διαβήτη, τον οποίο αρχικά ανοίγουµε όσο το ένα ευθύγραµµο τµήµα και στη συνέχεια τον µετακινούµε πάνω στο άλλο χωρίς να µεταβάλλουµε το άνοιγµά του και τοποθετούµε το ένα του άκρο στην αρχή του ευθυγράµµου τµήµατος.



Να σχεδιάσετε δύο ηµιευθείες Οx και Οy µε κοινή αρχή το Ο που να µην είναι αντικείµενες. Στην ηµιευθεία Οx να πάρετε ένα σηµείο Β ώστε ΟΒ=2,60 cm και να βρείτε το µέσο Α του ευθυγράµµου τµήµατος ΟΒ. Στην ηµιευθεία Οy να πάρετε ένα σηµείο ∆ ώστε Ο∆=2 cm και να βρείτε το µέσο Γ του ευθυγράµµου τµήµατος Ο∆. Με το διαβήτη ή το υποδεκάµετρο να διαπιστώσετε ότι ΑΓ =

Β∆ . 2

Λύση Στην ηµιευθεία Οx παίρνουµε ένα σηµείο Β ώστε ΟΒ=2,60 cm. Στη συνέχεια βρίσκουµε το µέσο του Α, ώστε ΟΑ=ΑΒ=2,60:2=1,30 cm. Στην Οy παίρνουµε ένα σηµείο ∆ ώστε Ο∆=2 cm. Στη συνέχεια βρίσκουµε το µέσο του Γ, ώστε ΟΓ=Γ∆=2:2=1cm. Μετράµε µε το υποδεκάµετρο τα µήκη των ευθυγράµµων τµηµάτων ΑΓ και Β∆ και Β∆ βρίσκουµε ότι ΑΓ=2cm και Β∆=4cm. Εποµένως ΑΓ = . 2

Στο ίδιο συµπέρασµα θα καταλήγαµε αν χρησιµοποιούσαµε το διαβήτη.


303


Να υπολογίσετε την περίµετρο του διπλανού πολυγώνου, αν γνωρίζεται ότι το µήκος της πλευράς ΑΒ είναι διπλάσιο από το µήκος της ΒΓ και το µήκος 3 της ΑΕ = Γ∆. 4

2.

Να σχεδιάσετε ένα τετράγωνο ΑΒΓ∆. α) Να χαράξετε και µετά να συγκρίνετε τις διαγώνιες του ΑΓ και Β∆. β) Αν Ο το σηµείο τοµής των διαγωνίων του να δείξετε µε το διαβήτη ή το υποδεκάµετρο ότι το Ο είναι µέσο της διαγωνίου ΑΓ και της διαγωνίου Β∆.

3.

Να γράψετε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ=6 cm και να βρείτε το µέσο του Μ. Στη συνέχεια να πάρετε τα µέσα Κ και Λ των ευθυγράµµων τµηµάτων ΑΜ και ΜΒ αντίστοιχα και να υπολογίσετε το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος ΚΛ.

4.

Να σχεδιάσετε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ µήκους 5 cm. Να βρείτε ένα σηµείο Γ που να µην ανήκει στην ευθεία ΑΒ και να απέχει 25 mm από το άκρο Α. Να γράψετε την ευθεία που να περνάει από το Γ και από το µέσο Μ του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ.

5.

Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ. α) Να βρείτε το µέσο ∆ της πλευράς ΑΒ, το µέσο Ε της πλευράς ΒΓ και το µέσο Ζ της πλευράς ΓΑ. β) Να σχεδιάσετε τα ευθύγραµµα τµήµατα ∆Ζ, ∆Ε και ΕΖ. γ) Με το διαβήτη ή το υποδεκάµετρο να διαπιστώσετε ότι ΑΒ=2ΖΕ, ΒΓ=2∆Ζ και ΓΑ=2Ε∆.


6.

Να γράψετε δύο αντικείµενες ηµιευθείες Οx και Οx΄. Στην ηµιευθεία Οx να βρείτε δύο σηµεία Α και Β, ώστε ΟΑ=2 cm και ΑΒ=2,5 cm. Στην ηµιευθεία Οx΄ να βρείτε ένα σηµείο Γ, ώστε ΟΓ= 4,5 cm. α) Να συγκρίνετε τα ευθύγραµµα τµήµατα ΟΓ και ΟΑ. β) Να εξετάσετε αν το σηµείο Ο είναι µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος ΓΒ. γ) Να βρείτε το µέσο ∆ του ευθυγράµµου τµήµατος Β∆. δ) Να βρείτε τρία σηµεία που να µην ανήκουν στην ευθεία x΄x και το καθένα να απέχει 2 cm από το ∆.


305

Β.1.4

Πρόσθεση και αφαίρεση ευθυ-

γράµµων τµηµάτων

Για να προσθέσουµε δύο ή περισσότερα ευθύγραµµα τµήµατα τα τοποθετούµε διαδοχικά πάνω σε µια ευθεία. Το άθροισµά τους είναι το ευθύγραµµο τµήµα που έχει για άκρα την αρχή του πρώτου και το τέλος του τελευταίου.

ΑΒ+Γ∆=Α∆.

Για να αφαιρέσουµε δύο ευθύγραµµα τµήµατα τα τοποθετούµε το ένα πάνω στο άλλο ώστε να έχουν κοινή αρχή. Το τµήµα που δεν καλύπτεται από αυτήν την τοποθέτηση και που έχει για άκρα το τέλος του µικρότερου και το τέλος του µεγαλύτερου είναι η διαφορά τους.

ΑΒ>Γ∆, οπότε ΑΒ–Γ∆=ΕΒ.

• Το µήκος µιας τεθλασµένης γραµµής είναι το άθροισµα των µηκών των ευθυγράµµων τµηµάτων που την αποτελούν.

• Το µήκος ενός ευθυγράµµου σχήµατος ονοµάζεται και περίµετρος του σχήµατος. • Ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ έχει µήκος µικρότερο από το µήκος κάθε τεθλασµένης γραµµής που έχει τα ίδια άκρα Α και Β. 306 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΒ<Α∆+∆Ε+ΕΖ+ΖΒ ΑΒ<ΑΓ+ΒΓ.


Σε µια ευθεία παίρνουµε στη σειρά τα σηµεία Α, Β, Γ, ώστε ΑΒ=10 cm και ΑΓ=15 cm. Αν Μ το µέσο του ΒΓ να βρείτε τα µήκη των ευθυγράµµων τµηµάτων ΒΓ και ΑM.

Λύση ΒΓ=ΑΓ–ΑΒ=15–10=5 cm. Άρα ΒΓ=5 cm. Αφού το Μ είναι µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος ΒΓ το χωρίζει σε δύο ίσα ευθύγραµµα τµήµατα που το καθένα έχει µήκος 5:2=2,5 cm, όπότε ΒΜ=2,5 cm. AM=AB+BM=10+2,5=12,5 cm.

2.

α) Να βρείτε τη περίµετρο του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να βρείτε ένα σηµείο ∆ του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΓ, ώστε 2 Α∆ = ΑΓ. 5 γ) Να δείξετε ότι Β∆<6 cm.

Λύση µε βοήθεια Συµπληρώστε τα κενά α) Περίµετρος ενός ευθυγράµµου σχήµατος είναι το .......................... των ....................... . Η περίµετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι ΑΒ+.....+.....=3+....+....=..... cm. β) Υπολογίζουµε το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος Α∆ =

2 ⋅ 5 = ....... cm 5

και στη συνέχεια τοποθετούµε το σηµείο ∆ στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΓ. γ) Γνωρίζουµε ότι το ευθύγραµµο τµήµα Β∆ έχει µήκος ………......…… από το µήκος κάθε τεθλασµένης γραµµής που έχει τα ίδια άκρα Β και ∆. Εποµένως στο τρίγωνο Β∆Γ έχουµε Β∆<Β...+..... ή Β∆< ....+.... ή Β∆<6 cm. 307 Β.1.4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ


∆ίνονται τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ=3 cm, Γ∆=2 cm και ΕΖ=1 cm. Να υπολογίσετε τα µήκη των ευθυγράµµων τµηµάτων: α) ΑΒ+Γ∆+ΕΖ β) ΑΒ–Γ∆ γ) (ΑΒ+Γ∆)–ΕΖ.

2.

Να συγκρίνετε, χωρίς να χρησιµοποιήσετε διαβήτη ή υποδεκάµετρο, τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΕ και ΖΗ=10 cm, του σχήµατος.

3.

Σε µια ηµιευθεία Οx παίρνουµε στη σειρά τα σηµεία Κ, Λ και Ν, ώστε ΟΛ=4 cm, ΚΛ=1 cm και ΛΝ=2 cm. α) Να βρείτε τα µήκη των ευθυγράµµων τµηµάτων ΟΝ και ΟΚ β) Να δείξετε ότι ΚΝ=ΟΚ.

4.

Πάνω σε µια ευθεία παίρνουµε στη σειρά τα σηµεία Α, Β, Γ και ∆, ώστε Α∆=6 cm, ΑΓ=4 cm και ΒΓ=2 cm. Να δείξετε ότι το Β είναι το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΓ και το Γ είναι το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος Β∆.

5.

Πάνω σε µια ευθεία ε παίρνουµε τα σηµεία Α, Β, Γ, ώστε να είναι ΑΓ=10 cm και 4 ΑΒ = ΑΓ. 5 α) Να υπολογίσετε τα µήκη των ευθυγράµµων τµηµάτων ΑΒ και ΒΓ. β) Να βρείτε τα µέσα Κ και Λ των ευθυγράµµων τµηµάτων ΑΒ και ΒΓ και να υπολογίσετε την απόσταση του Κ από το Λ. γ) Να βρείτε ένα σηµείο Ε του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΓ που να απέχει από το Α 6 cm. Ποιο είναι τότε το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος ΕΓ;


6.

Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=ΑΓ=5 cm και ΒΓ=4 cm. Παίρνουµε το µέσο ∆ της πλευράς ΒΓ. Να δείξετε ότι Α∆<7 cm.

7.

Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=ΑΓ=ΒΓ=4 cm. Αν Κ,Λ,Μ είναι τα µέσα των πλερών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα, να δείξετε ότι η περίµετρος του τριγώνου ΚΛΜ είναι µικρότερη από 12 cm.

309 Β.1.4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ

Β.1.5

Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα γωνιών ∆ιχοτόµος γωνίας

Μέτρηση γωνίας Για να µετρήσουµε µια γωνία χρησιµοποιούµε ως µονάδα µέτρησης µια συγκεκριµένη γωνία που ονοµάζεται µοίρα και συµβολίζεται µε 1ο. Υποδιαιρέσεις της µοίρας είναι το πρώτο λεπτό και το δεύτερο λεπτό. Μοίρα

ο

Βασική µονάδα µέτρησης

Πρώτο λεπτό

΄

1 =60΄

∆εύτερο λεπτό

΄΄

1΄=60΄΄ και 1 =3.600΄΄

ο

ο

• Το αποτέλεσµα της µέτρησης µιας γωνίας, δηλαδή ο αριθµός που µας δείχνει πόσες µοίρες περιέχονται στη γωνία, λέγεται µέτρο της γωνίας και συµβολίζεται όπως αυτή. • Για να βρούµε το µέτρο µιας γωνίας χρησιµοποιούµε το µοιρογνωµόνιο. l = 70o Γράφουµε τότε ότι xOy

Σύγκριση γωνιών Η σύγκριση των γωνιών συνήθως γίνεται µε δύο τρόπους. α) Με το µοιρογνωµόνιο βρίσκουµε τα µέτρα των γωνιών. Αν τα µέτρα τους είναι ίσα, τότε και οι γωνίες είναι ίσες. ∆ιαφορετικά µεγαλύτερη είναι η γωνία µε το µεγαλύτερο µέτρο. 310 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) Με το διαφανές χαρτί παίρνουµε το αποτύπωµα µιας γωνίας και το τοποθετούµε πάνω στην άλλη, ώστε οι κορυφές τους και µια πλευρά να συµπέσουν. Στη συνέχεια παρατηρούµε τη θέση της άλλης πλευράς και από αυτή διαπιστώνουµε αν οι γωνίες είναι ίσες ή αν δεν είναι ίσες, ποια είναι η µεγαλύτερη.

Οι γωνίες είναι ίσες. l = MKN l AOB

Οι γωνίες δεν είναι ίσες. l < MKN l ή MKN l > AOB l AOB

Ισοσκελές τρίγωνο Ισοσκελές είναι το τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ίσες. Η τρίτη πλευρά λέγεται βάση του ισοσκελούς τριγώνου. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές µε ΑΒ=ΑΓ και βάση τη ΒΓ.

l και Γl που είναι προσκείµενες στη βάση ΒΓ θα διαπιστώΑν συγκρίνουµε τις γωνίες Β l = Γl . Άρα: σουµε ότι Β

Οι προσκείµενες γωνίες στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.

311 Β.1.5 ΜΕΤΡΗΣΗ, ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΑΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΓΩΝΙΩΝ – ∆ΙΧΟΤΟΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ

∆ιχοτόµος γωνίας ∆ιχοτόµος γωνίας ονοµάζεται η ηµιευθεία που έχει για αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. l βρίσκουµε πρώτα το µέτρο της µε το Για να χαράξουµε τη διχοτόµο της γωνίας xOy l = 60o . Στη συνέχεια γράφουµε από τη κορυφή Ο την ηµιευθεία µοιρογνωµόνιο: xOy

l = 30ο, οπότε xOz l , εποµένως η ηµιl = 60ο :2=30ο. Τότε και η zOy l = zOy Oz, ώστε xOz l . ευθεία Oz είναι η διχοτόµος της γωνίας xOy


Να αντιστοιχίσετε τις παρακάτω γωνίες µε τα µέτρα τους.

• 105 ° 2.

• 70 °

• 315 °

• 24 °

• 90 °

Στο διπλανό σχήµα η ηµιευθεία Οz είναι διχοτόµος της l . γωνίας xOy Να επιλέξετε Σ για κάθε σωστή πρόταση και Λ για κάθε λανθασµένη.


α) Μπορούµε να γράψουµε και άλλη διχοτόµο της γωνίας

l xOy

εκτός από την Oz. β) Η διχοτόµος µιας γωνίας δεν διέρχεται υποχρεωτικά από την κορυφή της. l =30ο. γ) Η γωνία xOz l =90ο. δ) Η γωνία xOy 3.

Σ

Λ

Το τρίγωνο ΑΒΓ του σχήµατος είναι ισοσκελές. Να συµπληρώσετε τα κενά:

• Η πλευρά ΒΓ λέγεται ................. του ισοσκελούς τριγώνου. • ΑΒ=....... cm, γιατί το ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο ............. ίσες. • Γ = ...... , γιατί οι .......................... γωνίες στη ........... του ισοσκελούς τριγώνου είναι ............. .


ο

Να σχεδιάσετε µια γωνία 300 .

Λύση Με το µοιρογνωµόνιο µπορούµε να σχεδιάζουµε µόνο κυρτές γωνίες µέχρι δηλαδή 180ο. Για µεγαλύτερες γωνίες όπως η γωνία 300ο, εργαζόµαστε ως εξής: 1) Αφαιρούµε από τις 360ο τις 300ο και έχουµε 360ο −300ο =60ο. 2) Σχεδιάζουµε τη γωνία µε µέτρο 60ο. 3) Η µη κυρτή γωνία µε τις ίδιες πλευρές είναι η γωνία µε µέτρο 300ο.


2.

l = 50 o και Γ l = 70 ο . Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΒΓ=3 cm, Β l. Στη συνέχεια να βρείτε το µέτρο της γωνίας Α

Λύση

1. Γράφουµε το ευθύ- 2. Με κορυφή Β και µια γραµµο τµήµα ΒΓ=3 cm. πλευρά το ΒΓ σχεδιάζουµε µε το µοιρογνω = 50o. µόνιο τη γωνία Β

3. Με κορυφή Γ και µια πλευρά το ΒΓ σχεδιάζουµε µε το µοιρογνωµόνιο τη γωνία Γ = 70ο .

Ονοµάζουµε Α το κοινό σηµείο των πλευρών Βχ και Γy. l l =60ο. Μετράµε µε το µοιρογνωµόνιο τη γωνία Α και βρίσκουµε ότι Α

3.

l = 34 o ,ΒΓ=2,50 cm και ΑΒ=3,80 cm. Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ µε Β l, Β l και Γ l. Στη συνέχεια να χαράξετε τις διχοτόµους των γωνιών Α

Λύση

1. Γράφουµε την ηµιευθεία 2. Με κορυφή το Β και µια πλευρά τη Βχ, σχεδιά = 34o . Στην ζουµε µε το µοιρογνωµόνιο τη γωνία Β Βχ. πλευρά Βx παίρνουµε σηµείο Γ, ώστε ΒΓ=2,50 cm και στην πλευρά Βy σηµείο Α, ώστε ΒΑ=3,80 cm. 314 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

3. Γράφουµε το ευθύγραµµο τµήµα ΑΓ.

l και Γl Στη συνέχεια βρίσκουµε τα µέτρα των γωνιών Α

και σχεδιάζουµε τις διχοτόµους. l =40ο, διαιρούµε µε το 2 και έχουµε 40ο :2 = 20ο. Στη Α συνέχεια σχεδιάζουµε την διχοτόµο Α∆. ο ο ο Γl =106 , διαιρούµε µε το 2 και έχουµε 106 :2 = 53 . Στη συνέχεια σχεδιάζουµε την διχοτόµο ΓΖ. = 34o . Τέλος σχεδιάζουµε τη διχοτόµο ΒΕ της γωνίας Β Παρατηρούµε ότι και οι τρεις διχοτόµοι διέρχονται από το ίδιο σηµείο Ι.


Να παρατηρήσετε τις γωνίες και να συµπληρώστε τον πίνακα. Γωνία

Όνοµα γωνίας

ο

14

ο

50

ο

80

ο

90

ο

114

ο

170

ο

240

ο

320


2.

Να βρείτε τα µέτρα των σηµειωµένων γωνιών του σχήµατος.

3.

Να σχεδιάσετε µια γωνία 240 και να χαράξετε τη διχοτόµο της.

4.

l =120ο και να χαράξετε τη διχοτόµο της Οz. Πάνω Να σχεδιάσετε µια γωνία xOy

ο

στη διχοτόµο να πάρετε ένα σηµείο Α που να απέχει 25 mm από το Ο. Στην πλευρά Οx να πάρετε ένα σηµείο Β, ώστε ΟΒ=2,5 cm. Να βρείτε τα µέτρα των γωνιών του τριγώνου ΑΟΒ. 5.

= 45o. α) Να κατασκευάσετε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε βάση ΒΓ=3,5 cm και Β l. β) Να βρείτε το µέτρο της γωνίας Α και Γl που τέµνονται στο Ι και γ) Να σχεδιάσετε τις διχοτόµους των γωνιών Β να βρείτε το µέτρο της γωνίας ΒΙlΙΙΓ .

6.

l =40ο, ΑΒ=3,4 cm και ΑΓ=5,8 cm. Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ που να έχει Α l και Γl . Στη συνέχεια να βρείτε τα µέτρα των γωνιών Β


Β.1.6

Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες

Είδη γωνιών

Ορθή λέγεται η γωνία που έχει µέτρο 90ο . Οι πλευρές της ορθής γωνίας είναι κάθετες ηµιευθείες.

Οξεία λέγεται η γωνία που έχει µέτρο µικρότερο από 90ο .

Αµβλεία λέγεται η γωνία που έχει µέτρο µεγαλύτερο από 90ο και µικρότερο από 180ο.

Ευθεία λέγεται η γωνία που έχει µέτρο 180ο.

Οι πλευρές της ευθείας γωνίας είναι αντικείµενες ηµιευθείες.

317 Β.1.6 ΕΙ∆Η ΓΩΝΙΩΝ – ΚΑΘΕΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Μη κυρτή λέγεται η γωνία που έχει µέτρο µεγαλύτερο από 180ο και µικρότερο από 360ο. Οι υπόλοιπες γωνίες είναι κυρτές.

Μηδενική λέγεται η γωνία που έχει µέτρο 0ο. Οι πλευρές της µηδενικής γωνίας συµπίπτουν.

Πλήρης λέγεται η γωνία που έχει µέτρο 360ο. Οι πλευρές της πλήρους γωνίας συµπίπτουν. Η πλήρης γωνία όµως περιέχει ολόκληρο το επίπεδο.

Κάθετες ευθείες ∆ύο ευθείες ε1 και ε2 λέγονται κάθετες όταν σχηµατίζουν ορθή γωνία.

Για να δηλώσουµε µε σύµβολα ότι η ε1 είναι κάθετη στην ε2 γράφουµε ε1 ⊥ ε2.


∆ύο ηµιευθείες είναι κάθετες αν βρίσκο- ∆ύο ευθύγραµµα τµήµατα είναι κάθετα νται πάνω σε κάθετες ευθείες. αν βρίσκονται πάνω σε κάθετες ευθείες.

Το γεωµετρικό όργανο που χρησιµοποιούµε για να διαπιστώσουµε αν δύο ευθείες είναι κάθετες ή για να κατασκευάσουµε δύο ευθείες κάθετες είναι ο γνώµονας. Για να σχεδιάσουµε µια ευθεία που διέρχεται από ένα σηµείο Α και είναι κάθετη σε µια ευθεία ε διακρίνουµε δύο περιπτώσεις:

α) Το σηµείο Α ανήκει στην ευθεία ε.

β) Το σηµείο Α δεν ανήκει στην ευθεία ε.


ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Να αντιστοιχίσετε τις γωνίες της στήλης Α µε τις ιδιότητές τους στη στήλη Β. Στήλη Α

Στήλη Β

α) Ορθή γωνία

1) Μικρότερη από την ορθή γωνία.

β) Αµβλεία γωνία

2) Έχει µέτρο 0ο.

γ) Οξεία γωνία

3) Είναι µεγαλύτερη από 180ο και µικρότερη από 360ο .

δ) Μηδενική γωνία

4) Οι πλευρές της είναι κάθετες.

ε) Ευθεία γωνία

5) Μεγαλύτερη από την ορθή και µικρότερη από τη ευθεία γωνία.

στ) Πλήρης γωνία

6) Έχει µέτρο 360ο .

ζ) Μη κυρτή γωνία

7) Οι πλευρές της είναι αντικείµενες ηµιευθείες. α

β

γ

δ

ε

στ


Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ α) Να χαράξετε µια ευθεία ε από την κορυφή Γ κάθετη στην απέναντι πλευρά ΑΒ. β) Να χαράξετε µια ευθεία ζ από την κορυφή Α κάθετη στην απέναντι πλευρά ΒΓ. γ) Να χαράξετε µια ευθεία x΄x από το µέσο Μ της πλευράς ΒΓ κάθετη στην πλευρά ΒΓ. l l l Γ, ΒΜΓ, δ) Να βρείτε το είδος των γωνιών Β, l . ΓΜx΄


ζ

Λύση α) Από τη κορυφή Γ σχεδιάζουµε µε τη βοήθεια του γνώµονα την κάθετη ε προς την πλευρά ΑΒ.

β) Τοποθετούµε κατάλληλα το γνώµονα και παρατηρούµε ότι για να σχεδιάσουµε από το Α την κάθετη ζ, πρέπει να προεκτείνουµε την πλευρά ΒΓ.

γ) Με το υποδεκάµετρο ή το διαβήτη βρίσκουµε το µέσο Μ της πλευράς ΒΓ και σχεδιάζουµε σε αυτό την κάθετη χ΄χ στη ΒΓ.

είναι οξεία. δ) Η γωνία B Η γωνία Γ είναι αµβλεία. l είναι ευθεία. Η γωνία ΒΜΓ l είναι ορθή. Η γωνία ΓΜx΄



Σε καθένα από τα παρακάτω σχήµατα να σχεδιάσετε από το σηµείο Α κάθετη στην ευθεία ε.

2.

Για τις σηµειωµένες γωνίες του σχήµατος να τοποθετήσετε ένα + στην κατάλλη-

α

Μη κυρτή

Ευθεία

Αµβλεία

Ορθή

0ξεία

Από 180ο έως 360ο

180ο

ο

έως 180

Από 90ο

90ο

Από 0ο έως 90ο

γωνία

λη θέση στον πίνακα.

+

β γ δ ε 3.

Πάνω σε µια ευθεία ε να πάρετε στη σειρά τα σηµεία Α,Β και Γ, ώστε ΑΒ=ΒΓ=2,5 cm. Στα σηµεία Α, Β και Γ να φέρετε ευθείες κάθετες στην ε. Να σχεδιάσετε µια άλλη ευθεία που να τέµνει τις κάθετες αυτές στα σηµεία ∆, Ε και Ζ αντίστοιχα. Στη συνέχεια να συγκρίνετε τα τµήµατα ∆Ε και ΕΖ.


4.

Πάνω σε µια ευθεία x΄x να πάρετε στη σειρά τα σηµεία Γ,Β και ∆, ώστε ΓΒ=2 cm και Β∆=2 cm. Να σχεδιάσετε µια ευθεία η, που να διέρχεται από το Β και να είναι κάθετη στην ε. Πάνω στην η να πάρετε ένα σηµείο Α διαφορετικό από το Β. α) Να συγκρίνετε τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΓ και Α∆. l . β) Να διαπιστώσετε ότι η ΑΒ είναι διχοτόµος της γωνίας ΓΑ∆

5.

Να πάρετε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και στα άκρα του Α και Β να χαράξετε ευθείες ε1 και ε2 κάθετες στο ΑΒ. Από το µέσο του Μ να σχεδιάσετε ευθεία ε που τέµνει την ε1 στο Γ και την ε2 στο ∆. Να διαπιστώσετε ότι: α) Το σηµείο Μ είναι το µέσο του Γ∆. β) ΑΓ=Β∆. l . γ) ΑΓl Μ = Β∆Μ


Εφεξής και

Β.1.7

διαδοχικές γωνίες Άθροισµα γωνιών

∆ύο γωνίες ονοµάζονται εφεξής όταν έχουν την ίδια κορυφή, µία κοινή πλευρά και δεν έχουν άλλο κοινό σηµείο.

l και yOz l είναι εφεξής. Οι γωνίες xOy

Αντίθετα οι παρακάτω σηµειωµένες γωνίες δεν είναι εφεξής.

∆εν έχουν ίδια κορυφή, ούτε κοινή πλευρά.

∆εν έχουν κοινή πλευρά.

Εκτός από την κοινή κορυφή και την κοινή πλευρά, έχουν και άλλα κοινά σηµεία.

Τρεις ή περισσότερες γωνίες λέγονται διαδοχικές όταν καθεµιά είναι εφεξής µε την προηγούµενη ή την επόµενη της.


β, γ, δ είναι διαδοχικές. Οι κυρτές γωνίες α,

Άθροισµα γωνιών l και ΓΚ∆ . Έχουµε δύο κυρτές γωνίες ΑOΒ l ώστε Τις µετακινούµε και τοποθετούµε την ΓΚ∆ l . να γίνει εφεξής µε την ΑOΒ

l είναι το άθροισµα των γωνιών Η γωνία ΑOΓ l και ΓΚ∆ και γράφουµε ΑOΓ l = ΑOΒ l + ΓΚ∆ . ΑOΒ

Όταν είναι γνωστά τα µέτρα δύο γωνιών µπορούµε να βρούµε το άθροισµα τους αθροίζοντας τα µέτρα τους.

α + β = 105°

Αν α = 30ο και β = 75ο το άθροισµά τους α + β = 30ο + 75ο = 105ο .

Η διχοτόµος µιας γωνίας τη χωρίζει σε δύο ίσες και εφεξής γωνίες.

325 Β.1.7 ΕΦΕΞΗΣ ΚΑΙ ∆ΙΑ∆ΟΧΙΚΕΣ ΓΩΝΙΕΣ – ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.

Να ονοµάσετε τα ζεύγη των κυρτών και εφεξής γωνιών του διπλανού σχήµατος.

Λύση Οι κυρτές εφεξής γωνίες του σχήµατος είναι:

l και ΒΟΓ l ΑΟΒ

2.

l και ΓΟ∆ l ΒΟΓ

l και ΓΟ∆ l ΑΟΓ

l και ΒΟ∆ l . ΑΟΒ

l = 40 ο και ΒΟΓ l = 54 ο και τις διχοΝα σχεδιάσετε δύο εφεξής γωνίες ΑΟΒ l και να τη συγκρίνετε τόµους τους Οx και Οy. Να υπολογίσετε τη γωνία xΟy l µε τη γωνία ΑΟΓ.

Λύση

l έΕπειδή η Οx είναι διχοτόµος της γωνίας ΑΟΒ l ΑΟΒ 40 ο l = = 20ο . χουµε ότι xΟΒ = 2 2 l έΕπειδή η Οy είναι διχοτόµος της γωνίας BΟΓ χουµε ότι l ΒΟΓ 54 ο l ΒΟy = = = 27ο . 2 2


l = xOB+BOy l l = 20o +27o = 47o και AOΓ l = ΑOB+BOΓ l l = 40o +54o = 94o . xOy l είναι η µισή της γωνίας ΑΟΓ. l ∆ιαπιστώνουµε ότι η γωνία xOy


Να βρείτε ποιες από τις σηµειωµένες γωνίες α και β είναι εφεξής. α)

2.

3.

β)

γ)

δ)

ε)

Να γράψετε τα ζεύγη των εφεξής και τις τριάδες των διαδοχικών και κυρτών γωνιών που υπάρχουν στο σχήµα.

α) Να σχεδιάσετε τις γωνίες α = 25ο και β = 105ο . β) Να τις κάνετε εφεξής. και να βρείτε το µέτρο της. γ) Να σχεδιάσετε τη γωνία α+β

4.

l = 80ο και ΒΟΓ l = 100 ο . Τι παρατηα) Να σχεδιάσετε δύο εφεξής γωνίες ΑΟΒ ρείτε για τις ηµιευθείες ΟΑ και ΟΓ; l = 40ο και ΒΟΓ l = 50ο . Τι παρατηρείβ) Να σχεδιάσετε δύο εφεξής γωνίες ΑΟΒ τε για τις ηµιευθείες ΟΑ και ΟΓ;


5.

Να βρείτε σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις το άθροισµα των γωνιών. α) α+β β) α+β

γ) α + β + γ .

6.

Να βρείτε (χωρίς να χρησιµοποιήσετε µοιρογνωµόνιο) το µέτρο του αθροίσµατος των παρακάτω γωνιών. α) β) γ)

= ..... α+β

δ)

= ..... α+β

ε)

= ...... α+β+γ

7.

= .... α+β

= ...... . α+β+γ

Σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να υπολογίσετε το x (σε µοίρες). α) β) γ)


δ)

8.

ε)

l = 46ο και ΒΟΓ l = 74ο και τις διχοτόµους Να σχεδιάσετε δύο εφεξής γωνίες ΑΟΒ l και να τη συγκρίνετε µε τη γωνία τους Οx και Οy. Να υπολογίσετε τη γωνία xΟy l ΑΟΓ.


Β.1.8

Παραπληρωµατικές

και συµπληρωµατικές γωνίες –- Κατακορυφήν γωνίες

Παραπληρωµατικές ονοµάζονται δύο γωνίες που ο

έχουν άθροισµα 180 . Λέµε τότε ότι η µία είναι παραπληρωµατική της άλλης. =180ο • Οι γωνίες α και • α+β • α παραπληρωµατική της β ή

β όταν γίνουν εφεξής σχηµατίζουν µια ευθεία γωνία. β παραπληρωµατική της α .

l είναι 180ο – ω l. • Η παραπληρωµατική µιας γωνίας ω Συµπληρωµατικές ονοµάζονται δύο γωνίες που έο

χουν άθροισµα 90 . Λέµε τότε ότι η µία είναι συµπληρωµατική της άλλης. =90ο • Οι γωνίες α και β όταν γίνουν εφεξής σχηµατίζουν µια ορθή γωνία. • α+β • α συµπληρωµατική της β ή β συµπληρωµατική της α . l είναι 90ο – ω l. • Η συµπληρωµατική µιας γωνίας ω Κατακορυφήν ονοµάζονται δύο γωνίες που έχουν την κορυφή τους κοινή και τις πλευρές τους αντικείµενες ηµιευθείες. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. β κατακορυφήν, οπότε α = β • γ, δ κατακορυφήν, οπότε γ = δ . • α,


∆ύο κάθετες ευθείες σχηµατίζουν τέσσερις ορθές γωνίες. Αφού οι ευθείες είναι κάθετες ο α =90 . Οι γωνίες α και γ είναι ο ίσες, δηλαδή γ =90 . Οι γωνίες

σχηµατίζουν µια ορθή γωνία κατακορυφήν, οπότε θα είναι α και β είναι παραπληρωµατι-

ο ο ο κές, οπότε β =180 –90 =90 . Οι γωνίες β και δ είναι κατακορυφήν, οπότε θα είναι ίσες, δηο λαδή δ =90 .


Να σχεδιάσετε: α) Την παραπληρωµατική της γωνίας ω. β) Την συµπληρωµατική της γωνίας ω.

2.

Να επιλέξετε Σ για κάθε σωστή πρόταση και Λ για κάθε λανθασµένη.

ο ο l • Αν ω=40 η παραπληρωµατική της είναι 140 . ο ο l • Αν ω=40 η συµπληρωµατική της είναι 90 .

• Η παραπληρωµατική µιας οξείας γωνίας είναι αµβλεία. • • • •

Μια αµβλεία γωνία δεν έχει συµπληρωµατική. ∆εν υπάρχει γωνία που να ισούται µε την παραπληρωµατική της. ∆ύο γωνίες µε κοινή κορυφή λέγονται κατακορυφήν. Οι εφεξής και παραπληρωµατικές γωνίες έχουν τις µη κοινές πλευρές τους αντικείµενες ηµιευθείες.

Σ

Λ

331 Β.1.8 ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΓΩΝΙΕΣ – ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗΝ ΓΩΝΙΕΣ

3.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση • Από τις παρακάτω σηµειωµένες γωνίες

∆εν είναι κατακορυφήν: και η,θ και ε,ζ Α. Οι α,β Β. Οι γ,δ

β Γ. Οι α,

• Στο διπλανό σχήµα ισχύουν ότι: Α. α=50 ° και β = 60° Β. α=40 ° και β = 140° ° και β = 40° Γ. α=140 • Στο διπλανό σχήµα η γωνία χ είναι ίση µε: Α. 15° Β. 22° Γ. 25°

• Στο διπλανό σχήµα η γωνία χ είναι ίση µε: Α. 35° Β. 50° Γ. 80°


Να υπολογίσετε τις σηµειωµένες γωνίες του διπλανού σχήµατος.


Λύση

Η γωνία δ είναι κατακορυφήν γωνία µε την ορθή γωνία στο σχήµα και επειδή οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες δ =90ο. Η γωνία β είναι κατακορυφήν γωνία µε την γωνία των 30ο,οπότε β =30ο. Οι γωνίες α και β είναι συµπληρωµατικές, δηλαδή α + β =90ο ή ο ο ο ο α =90 – β ή α =90 –30 , άρα α =60 . Η γωνία γ είναι κατακορυφήν γωνία µε την α ,οπότε γ =60ο.

2.

Να βρείτε τις σηµειωµένες γωνίες του διπλανού σχήµατος, αν η γωνία β είναι τριπλάσια της α .


ο Οι γωνίες α και β είναι ……………………., άρα α + β = ….. . Επιπλέον β =3· α , οπότε έχουµε α +3· α = …..ο ή ….· α =…..ο ή α =…..ο : …. , άρα ο ο ο α =45 και β =3·…. = 135 .

Η γωνία γ είναι …………………….. της Η γωνία δ είναι …………………….. της

3.

α , άρα β , άρα

γ … α , δηλαδή δ … β , δηλαδή

ο γ = …. . ο δ = …. .

Στο διπλανό σχήµα να χαράξετε τη διχοτόµο l . Οx της γωνίας ΑΟΒ Να σχεδιάσετε την αντικείµενη ηµιευθεία Οx΄ της διχοτόµου Οx και να διαπιστώσετε ότι είναι l . διχοτόµος της ΓΟ∆

Λύση

l , Αφού η Οx είναι διχοτόµος της γωνίας ΑΟΒ τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες που η καθεµία 50ο θα έχει µέτρο = 25ο. 2 l και l l B=25o . Οι γωνίες xΟA ∆ηλαδή xΟA = xΟ 333 Β.1.8 ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΓΩΝΙΕΣ – ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗΝ ΓΩΝΙΕΣ

l είναι κατακορυφήν και εποµένως είναι ίσες, οπότε x΄ΟΓ l =25ο . x΄ΟΓ l και x΄Ο∆ l είναι κατακορυφήν και εποµένως είναι ίσες, οπότε Οι γωνίες xΟΒ ο l x΄Ο∆=25 . l = x΄Ο∆ l , άρα η ηµιευθεία Οx΄ είναι διχοτόµος της Προκύπτει δηλαδή ότι x΄ΟΓ l . γωνίας ΓΟ∆


Να γράψετε τα ζεύγη των κατακορυφήν, συµπληρωµατικών και παραπληρωµατικών γωνιών που υπάρχουν στο σχήµα.

2.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα.

Γωνία

20

ο

89

ο

110

ο

3 της ορθής 5

1 της ευθείας 50ο 4΄ 3

Συµπληρωµατική Παραπληρωµατική 3.

Σε καθένα από τα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τη γωνία x. α) β) γ)


4.

ο

Να γράψετε µια γωνία 40 και να σχηµατίσετε την εφεξής και παραπληρωµατική γωνία της. Στη συνέχεια να γράψετε τις διχοτόµους των γωνιών αυτών και να διαπιστώσετε ότι η γωνία που έχει πλευρές τις διχοτόµους είναι ορθή.

5.

l =64ο και η Στο διπλανό σχήµα η γωνία ΑΟΒ Οx είναι η διχοτόµος της. Αν η Οx΄ είναι η αντικείµενή της ηµιευθεία να υπολογίσετε τις l και x΄ΟΑ l . γωνίες x΄ΟΒ

6.

Να υπολογίσετε τις γωνίες α και β του διπλανού σχήµατος.

7.

Να υπολογίσετε τις γωνίες του διπλανού σχήµατος.

8.

Να υπολογίσετε δύο παραπληρωµατικές γωνίες αν η µία είναι µεγαλύτερη της άλλης κατά 32ο.

9.

Στο διπλανό σχήµα η α είναι παραπληρωµατική µιας γωνίας 60ο και η β είναι διπλάσια της ζ . Να υπολογίσετε τις γωνίες που έχουν σηµειωθεί.

335 Β.1.8 ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΓΩΝΙΕΣ – ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗΝ ΓΩΝΙΕΣ

Θέσεις ευθειών

Β.1.9

στο επίπεδο

∆ύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που όσο και αν προεκταθούν δεν έχουν κοινό σηµείο λέγονται παράλληλες.

Γράφουµε τότε ε // ζ ε ζ

Τα ευθύγραµµα τµήµατα που βρίσκονται πάνω σε παράλληλες ευθείες είναι και αυτά παράλληλα. Όµοια και οι ηµιευθείες που βρίσκονται πάνω σε παράλληλες ευθείες είναι και αυτές παράλληλες.

ΑΒ // Γ∆ ∆ύο ευθείες του ίδιου επίπέδου που έχουν ένα κοινό σηµείο λέγονται τεµνόµενες. Το µοναδικό κοινό τους σηµείο λέγεται σηµείο τοµής. ∆ύο ευθείες του ίδιου επίπέδου ή θα είναι παράλληλες ή θα τέµνονται.

∆ύο ευθείες του επιπέδου που είναι κάθετες στην ίδια ευθεία µεταξύ τους είναι παράλληλες. Από ένα σηµείο Α, εκτός ευθείας ε ,διέρχεται µόνο µία ευθεία παράλληλη στην ε . 336 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΒ // Γ∆

Χάραξη παραλλήλων ευθειών 1. Από σηµείο Α εκτός

2. Σχεδιάζουµε µια ευθεία

3. Οι ευθείες ε και ζ εί-

της ευθείας ε σχεδιά-

ζ που να είναι κάθετη στην

ναι παράλληλες.

ζουµε κάθετη ευθεία η.

η και να διέρχεται από το Α.


l y και τη διχοτόµο της Οδ. Από σηµείο Α της διχοΝα γράψετε µια γωνία x Ο τόµου να σχεδιάσετε ευθεία ε παράλληλη στη πλευρά Οy που τέµνει την Οx στο Β. Να συγκρίνετε τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ και ΟΒ.

Λύση Από το σηµείο Α της διχοτόµου Οδ φέρνουµε αρχικά κάθετη στη πλευρά Οy και σε αυτή φέρνουµε την κάθετη ε, που να διέρχεται από το Α. Η ευθεία ε τότε είναι παράλληλη στην πλευρά Οy. Με το διαβήτη ή το υποδεκάµετρο συγκρίνουµε τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ και ΟΒ και διαπιστώνουµε ότι είναι ίσα.

337 Β.1.9 ΘΕΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο


Στο διπλανό σχήµα: α) Να γράψετε τα ζεύγη των παραλλήλων ευθειών. β) Να γράψετε τα ζεύγη των τεµνόµενων ευθειών και να βρείτε σε κάθε περίπτωση τα σηµεία τοµής τους.

2.

Στο διπλανό σχήµα να σχεδιάσετε από το Α ευθεία ζ παράλληλη στην α και ευθεία η παράλληλη στην β. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των ευθειών α, η και β, ζ.

3.

Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να χαράξετε από την κορυφή Α ευθεία ε παράλληλη προς την απέναντι πλευρά ΒΓ.

4.

Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και από το µέσο Μ της πλευράς ΒΓ να φέρετε παράλληλες προς τις ΑΒ και ΑΓ που τέµνουν την ΑΓ στο ∆ και την ΑΒ στο Ε. Να συγκρίνετε τα ευθύγραµµα τµήµατα Μ∆, ΕΑ και Α∆, ΕΜ.

5.

Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να βρείτε το µέσο Μ της πλευράς ΑΒ. Να φέρετε από το Μ παράλληλη προς την ΒΓ και να ονοµάσετε Ν το σηµείο τοµής της µε την ΑΓ. Να διαπιστώσετε ότι το Ν είναι µέσο της ΑΓ.

6.

Στο διπλανό σχήµα είναι ΟΑ=ΑΒ=ΒΓ=2 cm και ΟΚ=1,80 cm. Να σχεδιάσετε από το Β ευθεία παράλληλη στην ΑΚ που τέµνει την ηµιευθεία Οy στο Λ και από το Γ ευθεία παράλληλη στην ΑΚ που τέµνει την ηµιευθεία Οy στο Μ. Στη συνέχεια να συγκρίνετε τα ευθύγραµµα τµήµατα ΚΛ και ΛΜ.


Β.1.10

Απόσταση σηµείου

από ευθεία - Απόσταση παραλλήλων

Απόσταση ενός σηµείου Α από µια ευθεία ε ονοµάζουµε το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος που ενώνει το σηµείο µε την ευθεία και είναι κάθετο προς αυτή, δηλαδή το µήκος του ΑΒ. Παρατηρούµε ότι το τµήµα ΑΒ έχει το µικρότερο µήκος από όλα τα ευθύγραµµα τµήµατα που σχηµατίζονται αν συνδέσουµε το σηµείο Α µε διάφορα σηµεία Κ, Λ, Μ, Ν της ευθείας ε. Απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών ε και ζ λέγεται το µήκος ενός ευθυγράµµου τµήµατος που έχει τα άκρα του πάνω στις παράλληλες και είναι κάθετο σε αυτές, δηλαδή το µήκος του ΑΒ ή του Γ∆ ή του ΕΖ, κ.λ.π.


Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να σηµειώσετε το µέσο Μ της πλευράς ΒΓ. Στη συνέχεια να υπολογίσετε την απόσταση του Μ από τις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου. 339 Β.1.10 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ – ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ

Λύση Αρχικά βρίσκουµε µε το διαβήτη ή το υποδεκάµετρο το µέσο Μ της πλευράς ΒΓ. Στη συνέχεια χρησιµοποιώντας το γνώµονα σχεδιάζουµε τα ευθύγραµµα τµήµατα ΜΕ και Μ∆ που είναι κάθετα στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Μετράµε µε το υποδεκάµετρο το µήκος του ΜΕ, που είναι η απόσταση του Μ από τη πλευρά ΑΒ και το µήκος του Μ∆, που είναι η απόσταση του Μ από την πλευρά ΑΓ. Στο σχήµα είναι ΜΕ=1,6 cm και Μ∆=1,3 cm.

2.

Να σχεδιάσετε δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ που η απόστασή τους να είναι 2 cm. Στη συνέχεια να σχεδιάσετε µια ευθεία η που να έχει την ίδια απόσταση από τις ε και ζ. (Μεσοπαράλληλη των παραλλήλων ε και ζ).

Λύση Αρχικά σχεδιάζουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ=2 cm και φέρνουµε µε την βοήθεια του γνώµονα τις ευθείες ε και ζ που είναι κάθετες στα άκρα του ΑΒ. Οι ευθείες αυτές είναι οι ζητούµενες παράλληλες ευθείες. Στη συνέχεια βρίσκουµε µε το διαβήτη ή το υποδεκάµετρο το µέσο Μ του ΑΒ και φέρνουµε (µε τον γνώµονα) ευθεία η κάθετη στο ΑΒ στο σηµείο Μ. Η ευθεία η είναι παράλληλη προς τις ε και ζ ( αφού όλες είναι κάθετες στο ΑΒ) και απέχει από καθεµία από αυτές απόσταση ίση µε 1 cm.



Στο διπλανό σχήµα είναι ε1 // ε2. Να βρείτε: α) Την απόσταση του Α από την ε1 και από την ε2. β) Την απόσταση των παραλλήλων ευθειών ε1 και ε2.

2.

Να σχεδιάσετε µια ευθεία ε και να πάρετε ένα σηµείο Α που να απέχει από αυτή 2,5 cm. Να φέρετε την ευθεία που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη προς την ε.

3.

Στο διπλανό σχήµα το Μ είναι το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ και η ευθεία ε είναι κάθετη στο ΑΒ. Να βρείτε τις αποστάσεις των άκρων Α και Β από την ευθεία ε και από την ευθεία ζ.

4.

∆ίνεται µια ευθεία ε. Να σχεδιάσετε τις παράλληλες ευθείες προς την ε, που να απέχουν από αυτή 16 mm.

5.

Στο διπλανό σχήµα είναι ΑΒ=3 cm. Να βρείτε ένα σηµείο Λ της ευθείας ε που να απέχει από το ΑΒ απόσταση 2 cm.

6.

l . Να βρείτε ένα σηµείο Α της πλευράς Οx Να σχεδιάσετε µια οξεία γωνία xOy που να απέχει από την Οy απόσταση ίση µε 2,20 cm.

7.

Να πάρετε µια ευθεία ε και δύο σηµεία της Β και Γ. Να σχεδιάσετε τρίγωνο ΑΒΓ, ώστε η κορυφή του Α να απέχει 2 cm από την ε. Υπάρχουν άλλα τέτοια τρίγωνα;

341 Β.1.10 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ – ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ

Κύκλος και

Β.1.11

στοιχεία του κύκλου

Κύκλος λέγεται το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που απέχουν την ίδια απόσταση ρ από ένα σταθερό σηµείο Ο.

Η απόσταση ρ λέγεται ακτίνα του κύκλου. Το σηµείο Ο λέγεται κέντρο του κύκλου. Ο κύκλος αυτός συµβολικά γράφεται (Ο,ρ). Για να σχεδιάσουµε ένα κύκλο χρησιµοποιούµε το διαβήτη. Χορδή ενός κύκλου λέγεται το ευθύγραµµο τµήµα που έχει τα άκρα του πάνω στον κύκλο. ∆ιάµετρος λέγεται η χορδή που περνάει από το κέντρο του κύκλου. Η διάµετρος είναι η µεγαλύτερη χορδή του κύκλου και είναι διπλάσια της ακτίνας. p λέγεται το µέρος του κύκλου που περιέχεται µεταξύ δύο σηµείων του Α και Β. Τόξο AB Κάθε διάµετρος χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα τόξα που λέγονται ηµικύκλια.


∆ύο κύκλοι λέγονται ίσοι όταν έχουν ίσες ακτίνες. ∆ύο κύκλοι λέγονται οµόκεντροι όταν έχουν το ίδιο κέντρο.

Ίσοι κύκλοι

Οµόκεντροι κύκλοι

Κυκλικός δίσκος (Ο,ρ) ονοµάζεται ο κύκλος (Ο,ρ) µαζί µε το µέρος του επιπέδου που περικλείει. Όλα τα σηµεία του κυκλικού δίσκου (Ο,ρ) απέχουν από το κέντρο Ο απόσταση µικρότερη ή ίση από την ακτίνα ρ.


Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις.

• Η απόσταση ενός σηµείου του κύκλου από το κέντρο του λέγεται ................. . 343 Β.1.11 ΚΥΚΛΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ

• Αν Α και Β δύο σηµεία του κύκλου, το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ λέγεται .......... . p λέγεται ............... . ενώ το µέρος του κύκλου AB • Η χορδή του κύκλου που περνά από το κέντρο του λέγεται ........................... . • ∆ύο ή περισσότεροι κύκλοι µε το ίδιο κέντρο λέγονται ......................... . 2.


Λ

• ∆ίνεται ο κύκλος (Ο, 2cm) και το σηµείο Α ώστε ΟΑ=2 cm. Το Α δεν ανήκει στον κυκλικό δίσκο (Ο, 2cm).

• Η ακτίνα είναι µια χορδή του κύκλου.

• • • • • •

Η διάµετρος είναι η µεγαλύτερη χορδή του κύκλου. Η ακτίνα ισούται µε το µισό της διαµέτρου. Η διάµετρος διαιρεί τον κύκλο σε τρία ηµικύκλια. Το κέντρο του κύκλου είναι σηµείο του κύκλου. Ίσοι λέγονται οι κύκλοι που έχουν το ίδιο κέντρο. ∆ίνεται ο κύκλος (Ο, 2cm) και το σηµείο Α ώστε ΟΑ=1,8 cm. Το Α ανήκει στον κυκλικό δίσκο (Ο, 2cm).


Να βρείτε τα σηµεία του επιπέδου που απέχουν από ένα σηµείο Α: α) Απόσταση ίση µε 3 cm. β) Απόσταση µικρότερη από 3 cm. γ) Απόσταση µεγαλύτερη από 3 cm. δ) Απόσταση µικρότερη από 4 cm και µεγαλύτερη από 2 cm.

Λύση α) Τα σηµεία αυτά βρίσκονται σε κύκλο β) Τα σηµεία αυτά βρίσκονται στο µε κέντρο το Α και ακτίνα 3 cm.


εσωτερικό του κύκλου (Α, 3cm).

γ) Τα σηµεία αυτά βρίσκονται έξω δ) Τα σηµεία αυτά βρίσκονται στο από τον κύκλο (Α, 3cm).

εσωτερικό του κύκλου (Α, 4cm) και συγχρόνως έξω από τον κύκλο (Α, 2cm).

2.

Σε ένα κύκλο (Ο, 3cm) να σχεδιάσετε δύο ίσες χορδές ΑΒ=Γ∆=25 mm. Στη συνέχεια να συγκρίνετε τις αποστάσεις του κέντρου Ο από τις χορδές αυτές.

Λύση Σχεδιάζουµε αρχικά τον κύκλο (Ο, 3cm) και παίρνουµε ένα σηµείο του Α. Στη συνέχεια µε κέντρο το Α και ακτίνα 25 mm=2,5 cm σχεδιάζουµε ένα δεύτερο κύκλο που τέµνει τον (Ο, 3cm) στο σηµείο Β. Τότε το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ είναι ακτίνα του δεύτερου κύκλου και χορδή του πρώτου µε µήκος 2,5 cm. Χρησιµοποιώντας διαβήτη ή υποδεκάµετρο σχεδιάζουµε ευθύγραµµο τµήµα Γ∆=ΑΒ=2,5 cm. Με το γνώµονα φέρνουµε ΟΕ κάθετη στη χορδή ΑΒ και ΟΖ κάθετη στη χορδή Γ∆. Συγκρίνουµε τα ευθύγραµµα τµήµατα ΟΕ και ΟΖ (µε διαβήτη ή υποδεκάµετρο) και διαπιστώνουµε ότι ΟΕ=ΟΖ.

3.

Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ΒΓ=5 cm, ΑΒ=3,5 cm και ΑΓ=2,50 cm.

345 Β.1.11 ΚΥΚΛΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ

Λύση

Αρχικά σχεδιάζουµε το ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ=5 cm. Με κέντρο το Β ακτίνα 3,5 cm γράφουµε κύκλο.

Στη συνέχεια µε κέντρο το Γ ακτίνα 2,50 cm γράφουµε κύκλο που τέµνει τον προηγούµενο σε σηµείο που ονοµάζουµε Α. Ενώνουµε το Α πρώτα µε το Β και στη συνέχεια µε το Γ. Προκύπτει έτσι το τρίγωνο ΑΒΓ.


Να σχεδιάσετε ένα κύκλο µε κέντρο Ο και ακτίνα 2 cm. Να πάρετε ένα σηµείο Α του κύκλου αυτού και να σχεδιάσετε ένα δεύτερο κύκλο µε κέντρο το Α και διάµετρο 6 cm. Αν Κ ένα από τα σηµεία στα οποία τέµνονται οι δύο κύκλοι να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου ΑΟΚ.

2.

∆ίνονται οι οµόκεντροι κύκλοι (Ο, 2cm) και (Ο, 3cm) και µια ευθεία που τους τέµνει στη σειρά στα σηµεία Α, Β, Γ και ∆. Να διαπιστώσετε ότι ΑΒ=Γ∆.

3.

Σ’ ένα κύκλο να σχεδιάσετε δύο κάθετες διαµέτρους ΑΒ και Γ∆. Να συγκρίνετε τις χορδές ΑΓ, Α∆, ΒΓ, Β∆ που σχηµατίζονται.


4.

Μπορείτε να κατασκευάσετε τρίγωνο µε πλευρές 6 cm, 2 cm και 3 cm;

5.

Να σχεδιάσετε δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ που να απέχουν 3 cm και να πάρετε ένα σηµείο Α της ε. Να βρείτε τα σηµεία της ζ που απέχουν 3,5 cm από το Α.

6.

Να σχεδιάσετε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ=4 cm. Να βρείτε όλα τα σηµεία τα οποία να απέχουν από το Α λιγότερο από 3 cm και συγχρόνως από το Β λιγότερο από 2 cm.

7.

Σε κύκλο µε κέντρο Ο να σχεδιάσετε δύο ίσες χορδές ΑΒ και Γ∆ εκατέρωθεν του Ο που να µην είναι παράλληλες. Να προεκτείνετε τις χορδές που τέµνονται στο σηµείο Κ. Να διαπιστώσετε µε το µοιρογνωµόνιο ότι η ΟΚ είναι διχοτόµος . της γωνίας ΑΚΓ

8.

Σε κύκλο µε κέντρο Ο και διάµετρο ΑΒ να πάρετε µια χορδή του Γ∆ παράλληλη στην ΑΒ. Στο σηµείο Ο να σχεδιάσετε ευθεία κάθετη στην ΑΒ που τέµνει την Γ∆ στο Μ. α) Να διαπιστώσετε ότι το Μ είναι το µέσο της χορδής Γ∆. β) Να συγκρίνετε τις χορδές ΑΓ και Β∆.

347 Β.1.11 ΚΥΚΛΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ

Επίκεντρη γωνία —– Σχέση

Β.1.12

επίκεντρης γωνίας και του αντίστοιχου τόξου της Μέτρηση τόξου

Επίκεντρη γωνία λέγεται η γωνία που η κορυφή της είναι το κέντρο ενός κύκλου. l είναι επίκεντρη. Έτσι η γωνία xOy p λέγεται αντίστοιχο τόξο της κυρτής επίκεΤο τόξο AB l . ντρης γωνίας xOy

Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους: • Ίσες επίκεντρες γωνίες έχουν και τα αντίστοιχα τόξα τους ίσα. • Ίσα τόξα έχουν και τις επίκεντρες γωνίες τους ίσες.

l l , τότε ΑΒ=Γ∆ p o. ΑΟΒ=ΓΟ∆

p =Γ∆ o , τότε ΑΟΒ l =ΓΚ∆ . ΑΒ

Για να συγκρίνουµε εποµένως δύο τόξα θα πρέπει αυτά να είναι τόξα του ίδιου κύκλου ή ίσων κύκλων. Στο διπλανό σχήµα οι δύο οµόκεντροι κύκλοι προl l . Παρατηρούµε φανώς δεν είναι ίσοι και ΑΟΒ=ΓΟ∆ p και Γ∆ o δεν είναι ίσα. ότι τα αντίστοιχα τόξα τους ΑΒ


Για να µετρήσουµε ένα τόξο µετράµε την επίκεντρη γωνία του. Άρα µονάδα µέτρησης των τόξων είναι η µοίρα. l =30ο , τότε και ΑΒ p =30ο . • Αν ΑΟΒ p =30ο , τότε και ΑΟΒ l =30ο . • Αν ΑΒ


Να συµπληρώσετε τα κενά:

• • • •

Μια επίκεντρη γωνία έχει την κορυφή της στο ................................................ . Ίσες επίκεντρες γωνίες έχουν και τα ............................................ ίσα. Μονάδα µέτρησης των τόξων είναι η ................. . ο

Αν µια επίκεντρη γωνία έχει µέτρο µ , τότε και το ..................................... θα έχει µέτρο ...... .

• ∆ύο τόξα µο .................... πάντοτε ίσα. Είναι ......... όταν ανήκουν στον ίδιο κύκλο ή σε .............................. . 2.

Σε ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις µπορούµε να συµπεράνουµε ότι p p; AB=Γ∆

Α.

Β.

Γ.

349 B.1.12 ΕΠΙΚΕΝΤΡΗ ΓΩΝΙΑ – ΣΧΕΣΗ ΕΠΙΚΕΝΤΡΗΣ ΓΩΝΙΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΥ ΤΟΞΟΥ


Να βρείτε πόσες µοίρες είναι: α) Καθένα από τα τόξα στα οποία χωρίζεται ένας κύκλος από δύο κάθετες διαµέτρους β) Ένα ηµικύκλιο γ) Ένας κύκλος.

Λύση α) Τέσσερις κάθετες διάµετροι σχηµατίζουν τέσσερις ορθές επίκεντρες γωνίες, οπότε και τα αντίστοιχα τόξα τους θα είναι ίσα και 90ο το καθένα. (Τεταρτοκύκλια).

β) Το ηµικύκλιο είναι το αντίστοιχο τόξο µιας ευθείας επίκεντρης γωνίας. Η ευθεία γωνία έχει µέτρο 180ο, άρα και το ηµικύκλιο είναι τόξο 180ο. γ) Ο κύκλος είναι το αντίστοιχο τόξο µιας πλήρους επίκεντρης γωνίας. Η πλήρης γωνία έχει µέτρο 360ο, άρα και ο κύκλος είναι τόξο 360ο.

2.

Να βρείτε πόσες µοίρες είναι τα p , ΒΓ p , Γ∆ p, ∆Ε p και ΕΖ p στο τόξα ΑΒ διπλανό σχήµα.


Λύση

l =56ο είναι επίκεντρη και έχει αντίστοιχο τόξο το ΑΒ p , οπότε ΑΒ p =56ο. • Η γωνία ΑΟΒ l είναι συµπληρωµατικές, έχουν δηλαδή άθροισµα 90ο, άρα l και ΒΟΓ • Οι γωνίες ΑΟΒ l =90ο – 56ο =34ο. Το τόξο ΒΓ o είναι το αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας ΒΟΓ l , οπότε ΒΓ o =34ο. ΒΟΓ o είναι ένα από τα τέσσερα ίσα τόξα στα οποία χωρίζεται ο κύκλος από • Το τόξο Γ∆ l . τις κάθετες διαµέτρους Α∆ και ΓΖ και αντιστοιχεί στην ορθή επίκεντρη γωνία ΓΟ∆ o =90ο. Εποµένως Γ∆ l και ΑΟΒ l είναι κατακορυφήν γωνίες, εποµένως είναι ίσες. Στον ίδιο • Οι γωνίες ΕΟ∆

κύκλο όµως ίσες επίκεντρες γωνίες έχουν και τα αντίστοιχα τόξα τους ίσα, οπότε p = ΑΒ p , άρα ∆Ε p =56ο. ∆Ε l είναι κατακορυφήν γωνίες, εποµένως είναι ίσες. Στον ίδιο l και ΒΟΓ • Οι γωνίες ΖΟΕ κύκλο όµως ίσες επίκεντρες γωνίες έχουν και τα αντίστοιχα τόξα τους ίσα, οπότε p = ΒΓ o , άρα ΖΕ p =34ο. ΖΕ


Με τη βοήθεια του σχήµατος να συµπληρώσετε τα κενά όταν δίνεται ότι η γωνία l =40ο. ΖΟΕ l ονοµάζεται ......................... γωα) Η γωνία AΟB νία και έχει µέτρο ......ο. o είναι το αντίστοιχο τόξο της γωνίας β) Το τόξο Γ∆ ........... . p = ......ο και ΘΗ= p ......ο. γ) Το τόξο ΖΕ p = ......ο. δ) Το τόξο ∆Η p και Γ∆ o είναι και τα δύο ......... µοιε) Τα τόξα ΑΒ ρών, όµως δεν είναι ................. γιατί δεν είναι τόξα ............. κύκλου ή ............. κύκλων.

2.

ο

Να σχεδιάσετε ένα κύκλο και να πάρετε σε αυτόν ένα τόξο 52 .


3.

4.

l B =60ο. Να βρείτε τα Στο διπλανό σχήµα A Ο p , ΒΓ o , Γ∆ o και ∆Α p. µέτρα των τόξων ΑΒ

Τέσσερις διάµετροι χωρίζουν ένα κύκλο σε οκτώ ίσα τόξα. Να βρείτε πόσες µοίρες είναι καθεµιά από τις οκτώ επίκεντρες γωνίες που αντιστοιχούν στα τόξα αυτά.

5.

l και να φέρετε τη διΣε ένα κύκλο (Ο,ρ) να σχεδιάσετε µια επίκεντρη γωνία AΟB p στο Μ. Να δικαιολογήσετε ότι το Μ είναι το χοτόµο της που τέµνει το τόξο ΑΒ p. µέσο του τόξου ΑΒ

6.

7.

l και φ l Να βρείτε το µέτρο των γωνιών ω p =3 ΒΓ o. του διπλανού σχήµατος, όταν ΑΓ

l =90 και το τόξο Στο διπλανό σχήµα ΒΟΓ p είναι διπλάσιο του Γ∆ o . Να υπολογίσεΑΒ ο

τε: o. α) Το µέτρο του τόξου ΒΓ l και ΓΟ∆ l . β) Τα µέτρα των γωνιών ΑΟΒ

8.

Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε τα µέp , ΒΓ o , AΓ p και ΚΛ p , ΛΜ p, τρα των τόξων ΑΒ p. ΚΜ


9.

l =60ο και Ο∆, ΟΗ Στο διπλανό σχήµα ΒΟΓ l και ΑΟΓ l . Να διχοτόµοι των γωνιών ΒΟΓ p. βρείτε το µέτρο του τόξου Η∆

10.

α) Να σχεδιάσετε ένα κυκλικό διάγραµµα στο οποίο να παριστάνονται τα ποσοστά 40%, 50% και 10%. β) Μια επίκεντρη γωνία 54ο σε ποιο ποσοστό % αντιστοιχεί;


Θέσεις ευθείας

Β.1.13

και κύκλου

Οι δυνατές θέσεις µια ευθείας ε και ενός κύκλου (Ο,ρ) που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο είναι οι εξής: Θέσεις

Σχήµα

Θα συµβεί όταν...

1. Η ευθεία είναι

Η απόσταση του

εξωτερική του κύ-

κέντρου Ο από την

κλου.

ευθεία ε είναι

Κοινά σηµεία Κανένα

µεγαλύτερη από την ακτίνα ρ. ΟΑ>ρ 2. Η ευθεία είναι


Ένα

εφαπτοµένη του


κύκλου.

ευθεία ε είναι ίση µε Το σηµείο Α που

(Η ευθεία εφά-

την ακτίνα ρ.

πτεται στον κύ-

ΟΑ=ρ

λέγεται σηµείο επαφής.

κλο). 3. Η ευθεία είναι


τέµνουσα του κύ-


κλου.

ευθεία ε είναι

Τα σηµεία Β και Γ

(Η ευθεία τέµνει

µικρότερη από την

που λέγονται ση-

τον κύκλο).

ακτίνα ρ.

µεία τοµής.

ΟΑ<ρ


∆ύο

Κατασκευή εφαπτοµένης ε σε σηµείο Α που βρίσκεται πάνω σε κύκλο (Ο,ρ) 1. Φέρνουµε την ηµιευ- 2. Στο σηµείο Α σχεδιά- 3. Η ευθεία ε είναι η εφαθεία Οx που περνάει από ζουµε µε το γνώµονα ευ- πτοµένη του κύκλου στο το Α.

θεία ε κάθετη στην Οx.

σηµείο Α .

Η εφαπτοµένη σε ένα σηµείο κύκλου είναι κάθετη στην ακτίνα στο σηµείο αυτό.


α) Να σχεδιάσετε τις εφαπτόµενες στα άκρα µιας χορδής ΑΒ ενός κύκλου (Ο,ρ) και να ονοµάσετε Μ το σηµείο που αυτές τέµνονται. β) Να συγκρίνετε τα τµήµατα ΜΑ και ΜΒ. γ) Σε ποια περίπτωση οι εφαπτόµενες θα είναι παράλληλες;

Λύση α) Φέρνουµε τις ακτίνες ΟΑ και ΟΒ στα άκρα της χορδής ΑΒ που δεν είναι διάµετρος του κύκλου. Στο σηµείο Α σχεδιάζουµε την ευθεία ε1 που είναι κάθετη στην ακτίνα ΟΑ. Η ευθεία ε1 είναι η εφαπτοµένη του κύκλου στο Α. Στο σηµείο Β σχεδιάζουµε την ευθεία ε2 που είναι κάθετη στην ακτίνα ΟΒ. Η ευθεία ε2 είναι η εφαπτοµένη του κύκλου στο Β.Οι εφαπτόµενες ε1 και ε2 τέµνονται στο Μ.

355 Β.1.13 ΘΕΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΥ

Για να σχεδιάσουµε τις εφαπτόµενες στα άκρα µιας χορδής ΑΒ ενός κύκλου µε κέντρο Ο δε φέρνουµε κάθετες στη χορδή αλλά στις ακτίνες ΟΑ και ΟΒ.

β) Με το υποδεκάµετρο ή τον διαβήτη συγκρίνουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΜΑ και ΜΒ και βρίσκουµε ότι είναι ίσα. γ) Φέρνουµε τη διάµετρο ΑΒ του κύκλου. Στο σηµείο Α σχεδιάζουµε την ευθεία ε1 που είναι κάθετη στην ακτίνα ΟΑ. Η ευθεία ε1 είναι η εφαπτοµένη του κύκλου στο Α. Στο σηµείο Β σχεδιάζουµε την ευθεία ε2 που είναι κάθετη στην ακτίνα ΟΒ. Η ευθεία ε2 είναι η εφαπτοµένη του κύκλου στο Β. Οι εφαπτόµενες αυτές είναι ευθείες παράλληλες γιατί είναι κάθετες στη διάµετρο ΑΒ.

2.

∆ύο κάθετες ευθείες ε1 και ε2 τέµνονται στο σηµείο Α. Στην ε1 παίρνουµε σηµείο Ο, τέτοιο ώστε ΟΑ=2,5 cm. Με κέντρο το Ο σχεδιάζουµε τους κύκλους (Ο, 2,5cm), (O, 1,5cm) και (Ο, 3cm). Να βρείτε τη θέση της ευθείας ε2 ως προς τους τρεις κύκλους και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Λύση

• Η ευθεία ε2 εφάπτεται στο κύκλο (Ο, 2,5cm) γιατί η απόσταση του κέντρου Ο από αυτήν είναι το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος ΟΑ=2,5 cm που είναι η ακτίνα του κύκλου. • Η ευθεία ε2 είναι εξωτερική του κύκλου (Ο, 1,5cm) γιατί η απόσταση του κέντρου Ο από αυτήν είναι το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος ΟΑ=2,5 cm που είναι µεγαλύτερο από την ακτίνα ΟΒ του κύκλου. • Η ευθεία ε2 τέµνει τον κύκλο (Ο, 3cm) στα σηµεία Κ και Λ γιατί η απόσταση του κέντρου Ο από αυτήν είναι το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος ΟΑ=2,5 cm που είναι µικρότερο από την ακτίνα ΟΓ του κύκλου. 356 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ


Να συµπληρώσετε τον πίνακα: Ακτίνα κύκλου 4 cm

Απόσταση ευθείας από το κέντρο του κύκλου

ευθείας και κύκλου

Εφαπτοµένη

10,5 cm

3,2 cm 24 mm

της ευθείας

Κοινά σηµεία

3 cm 5 cm

9,8 cm

Θέση

2 24 mm

2.

∆ίνονται οι οµόκεντροι κύκλοι (Ο, 2cm) και (Ο, 3cm). Να σχεδιάσετε µια ευθεία ε που να απέχει 2 cm από το κέντρο Ο. Να βρείτε τη θέση της ε ως προς τους δύο κύκλους και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

3.

Να φέρετε δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 που να απέχουν 4 cm. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο που να εφάπτεται και στις δύο ευθείες.

4.

l =60ο και να πάρετε ένα σηµείο Α στη πλευρά Οx, Να σχεδιάσετε µια γωνία xOy

τέτοιο ώστε ΟΑ=4 cm. Στη συνέχεια να σχεδιάσετε τον κύκλο που έχει κέντρο το Α και εφάπτεται στη πλευρά Οy. 5.

Να πάρετε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ=3 cm και ένα σηµείο του Γ, τέτοιο ώστε ΑΓ=1 cm. Να σχεδιάσετε τους κύκλους (Α, 1cm) και (Β, 2cm). Στη συνέχεια να φέρετε ευθεία ε κάθετη στο ΑΓ που να διέρχεται από το Γ. Να βρείτε τη θέση της ε ως προς τους δύο κύκλους και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

6.

Μια ευθεία ε διέρχεται από το µέσο Μ ενός ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ=4 cm και είναι κάθετη σε αυτό. Να σχεδιάσετε τους κύκλους (Α, 2cm), (Α, 2,5cm) και (Β, 1cm). Στη συνέχεια να βρείτε τη θέση της ε ως προς τους τρεις κύκλους δικαιολογώντας την απάντησή σας.

357 Β.1.13 ΘΕΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΥ

Β.2.1

Συµµετρία ως προς άξονα

∆ύο σηµεία Α και Β λέγονται συµµετρικά ως προς ευθεία ε, αν συµπέσουν µετά από δίπλωση του φύλλου που σχεδιάζουµε κατά µήκος της ε. Λέµε τότε ότι: • Το συµµετρικό του Α ως προς την ε είναι το Β ή • Το συµµετρικό του Β ως προς την ε είναι το Α. Το συµµετρικό ενός σηµείου Α που ανήκει σε µια ευθεία ε, ως προς την ίδια την ε, είναι ο εαυτός του. Για να βρούµε το συµµετρικό ενός σηµείου Α ως προς µια ευθεία ε, όταν αυτό δεν ανήκει στην ευθεία ε, φέρνουµε από το Α κάθετο τµήµα ΑΓ προς την ε και το προεκτείνουµε κατά ίσο τµήµα ΓΒ. Το σηµείο Β είναι το συµµετρικό του Α ως προς την ε. ∆ύο σχήµατα Σ1 και Σ2 λέγονται συµµετρικά ως προς ευθεία ε, αν συµπέσουν µετά από δίπλωση του φύλλου στο οποίο σχεδιάζουµε κατά µήκος της ε.

359 Β.2.1 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ

• Επειδή τα συµµετρικά σχήµατα συµπίπτουν είναι ίσα. • Το καθένα από τα συµµετρικά σχήµατα αποτελείται από τα συµµετρικά σηµεία του άλλου ως προς την ευθεία ε.

Βασικές κατασκευές συµµετρικών σχηµάτων ως προς ευθεία ε α) Συµµετρικό ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ Επειδή τα συµµετρικά σχήµατα είναι ίσα, το συµµετρικό Α΄Β΄ ενός ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ, είναι ευθύγραµµο τµήµα ίσο µε το αρχικό. Για να το βρούµε, βρίσκουµε τα συµµετρικά Α΄και Β΄των άκρων Α και Β ως προς την ευθεία ε και τα ενώνουµε.

β) Συµµετρικό τριγώνου ΑΒΓ Επειδή τα συµµετρικά σχήµατα είναι ίσα, το συµµετρικό Α΄Β΄Γ΄ ενός τριγώνου ΑΒΓ, είναι τρίγωνο ίσο µε το αρχικό. Για να το βρούµε, βρίσκουµε τα συµµετρικά Α΄, Β΄και Γ΄ των κορυφών Α , Β και Γ ως προς την ευθεία ε και τα ενώνουµε.

γ) Συµµετρικό ευθείας η Το συµµετρικό η΄ µιας ευθείας η, είναι επίσης ευθεία. Για να τη βρούµε, παίρνουµε δύο τυχαία σηµεία Α και Β της η και βρίσκουµε τα συµµετρικά τους Α΄και Β΄ ως προς την ευθεία ε. Στη συνέχεια σχεδιάζουµε την ευθεία η΄ που περνάει από αυτά.


δ) Συµµετρικό γωνίας Επειδή τα συµµετρικά σχήµατα είναι ίσα, το l µιας γωνίας xOy l , είναι επίσυµµετρικό x΄Oy΄ σης γωνία ίση µε την αρχική. Για να τη βρούµε, παίρνουµε το συµµετρικό Ο΄ της κορυφής Ο ως προς την ευθεία ε καθώς και το συµµετρικό Α΄ ενός σηµείου Α της πλευράς Οx και το συµµετρικό Β΄ ενός σηµείου Β της πλευράς Οy. ε) Συµµετρικό κύκλου Επειδή τα συµµετρικά σχήµατα είναι ίσα, το συµµετρικό (Ο΄,ρ), ενός κύκλου (Ο,ρ), είναι επίσης κύκλος ίσος µε τον αρχικό. Για να τον βρούµε, παίρνουµε το συµµετρικό Ο΄ του κέντρου Ο ως προς την ευθεία ε και µε ακτίνα την ίδια σχεδιάζουµε τον κύκλο (Ο΄,ρ).


Στο διπλανό σχήµα τα σηµεία Α και Α΄ είναι συµµετρικά ως προς την ευθεία ε. Για τα σηµεία Β και Γ της ε ισχύει ότι l =32 ο. ΑΒ=2 cm , ΑΓ=3 cm και ΒΑΓ Να υπολογίσετε τις πλευρές Α΄Β, Α΄Γ και l του τριγώνου ΒΑ΄Γ, δικαιοτη γωνία ΒΑ΄Γ λογώντας την απάντησή σας.


Λύση Τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ και Α΄Β είναι συµµετρικά ως προς την ευθεία ε γιατί το συµµετρικό του άκρου Α ως προς την ε είναι το Α΄ και το συµµετρικό του Β ως προς την ε είναι το ίδιο το σηµείο Β. Τότε όµως Α΄Β=ΑΒ, αφού τα συµµετρικά σχήµατα ως προς ευθεία είναι ίσα, οπότε l και ΒΑΓ l Α΄Β=2 cm. Όµοια προκύπτει ότι Α΄Γ=ΑΓ, οπότε Α΄Γ=3 cm. Οι γωνίες ΒΑ΄Γ l =32ο. είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία ε, οπότε είναι ίσες, δηλαδή ΒΑ΄Γ

2.

Στο διπλανό σύστηµα ηµιαξόνων δίνονται τα σηµεία Α(0,4), Β(3,3) και Γ(4,6). α) Να βρείτε τα συµµετρικά σηµεία Α΄,Β΄ και Γ΄ των Α, Β και Γ ως προς τη διχοτόµο Οδ l . της γωνίας xOy β) Να συγκρίνετε τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΓ και Α΄Γ΄. Γ και Α΄Β Γ΄ . γ) Να συγκρίνετε τις γωνίες ΑΒ

Λύση α) Το συµµετρικό του σηµείου Α ως προς τη διχοτόµο Οδ είναι το σηµείο Α΄(4,0). Το συµµετρικό του σηµείου Β ως προς τη διχοτόµο Οδ είναι ο εαυτός του, αφού το Β είναι σηµείο της Οδ. Το συµµετρικό του σηµείου Γ ως προς τη διχοτόµο Οδ είναι το σηµείο Γ΄(6,4). β) Τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΓ και Α΄Γ΄ έχουν τα άκρα τους συµµετρικά ως προς την Οδ, άρα είναι και αυτά συµµετρικά ως προς την Οδ και εποµένως είναι ίσα. και Α΄ΒΓ΄ είναι συµµετρικές ως προς την Οδ και εποµένως γ) Οι γωνίες ΑΒΓ είναι ίσες.



2.

Να βρείτε το συµµετρικό καθενός από τα παρακάτω σχήµατα ως προς την ευθεία ε.

l ως προς την ευθεία ε σε καθεΝα βρείτε τη συµµετρική γωνία της γωνίας xOy

µιά από τις παρακάτω περιπτώσεις. α) β)

3.

γ)

Στο διπλανό σχήµα τα σηµεία Μ και Μ΄ είναι συµµετρικά ως προς την ευθεία ΑΒ. α) Να βρείτε το συµµετρικό του κύκλου ως προς την ΑΒ. β) Να βρείτε το συµµετρικό του ηµικυκλίου ΑΜΒ ως προς την ΑΒ. l =120ο, να υπολογίσετε το µέτρο του γ) Αν ΑΟΜ q. τόξου ΑΜ΄


4.

Στο διπλανό σύστηµα ηµιαξόνων δίνονται τα σηµεία Α(2,2), Β(2,4), Γ(4,4). α) Να βρείτε τις συντεταγµένες των συµµετρικών τους σηµείων Α΄, Β΄ και Γ΄ ως προς την ευθεία ε. β) Τι παρατηρείτε για τα τµήµατα ΑΒ και Α΄Β΄; γ) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄.

5.

Να σχεδιάσετε δύο κάθετες ηµιευθείες Οx και Οy µε κοινή αρχή Ο. Στην Οx να πάρετε ένα σηµείο Α, τέτοιο ώστε ΟΑ=2 cm και στην Οy ένα σηµείο Β, τέτοιο ώστε ΟΒ=3 cm. α) Να βρείτε το συµµετρικό του τριγώνου ΑΟΒ ως προς την ευθεία ΑΒ και να υπολογίσετε τα µήκη των καθέτων πλευρών του. β) Να βρείτε το είδος των γωνιών του τριγώνου αυτού και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

6.

Στο διπλανό σχήµα τα σηµεία Α και Β είναι συµµετρικά ως προς την ευθεία δ. α) Να βρείτε τα συµµετρικά Γ΄ και Β΄ των σηµείων Γ και Β ως προς την ε. β) Να διαπιστώσετε (χωρίς να µετρήσετε) ότι ΑΓ=Β΄Γ΄.


Β.2.2

Άξονας συµµετρίας

Μια ευθεία ονοµάζεται άξονας συµµετρίας ενός σχήµατος όταν χωρίζει το σχήµα σε δύο µέρη, τα οποία συµπίπτουν αν διπλώσουµε το σχήµα κατά µήκος της ευθείας αυτής.

Όταν ένα σχήµα έχει άξονα συµµετρίας, το συµµετρικό του ως προς τον άξονα αυτόν είναι το ίδιο το σχήµα.

365 B.2.2 ΑΞΟΝΑΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ


Να σχεδιάσετε ένα κύκλο µε κέντρο Ο και ακτίνα 2 cm. Να πάρετε µια διάµετρό του ΑΒ και µια χορδή του Γ∆ (που να µην είναι διάµετρος) κάθετη στην ΑΒ που να την τέµνει στο σηµείο Ε. α) Να εξηγήσετε γιατί το Ε είναι το µέσο της χορδής Γ∆. β) Να συγκρίνετε τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΓ, Α∆ και ΒΓ, Β∆.

Λύση Η ευθεία της διαµέτρου ΑΒ είναι ένας από τους άπειρους άξονες συµµετρίας του κύκλου. Εποµένως αν διπλώσουµε το σχήµα κατά µήκος της ΑΒ: α) Το τµήµα ΓΕ θα συµπέσει µε το Ε∆, οπότε ΓΕ=Ε∆, άρα το Ε είναι το µέσο της χορδής Γ∆. β) Η χορδή ΑΓ θα συµπέσει µε την Α∆, οπότε ΑΓ=Α∆ και η χορδή ΒΓ θα συµπέσει µε την Β∆, οπότε ΒΓ=Β∆.

2.

Να βρείτε, αν υπάρχουν, τους άξονες συµµετρίας: α) Ενός ευθυγράµµου τµήµατος

β) Ενός ορθογωνίου

γ) Ενός πλάγιου παραλληλογράµµου

δ) Ενός τετραγώνου

ε) Ενός ισοσκελούς τριγώνου.

Λύση α) Το ευθύγραµµο τµήµα έχει δύο άξονες συµµετρίας:

• Την ευθεία που είναι κάθετη σε αυτό και διέρχεται από το µέσο του. • Την ευθεία του ευθυγράµµου τµήµατος.


β) Το ορθογώνιο έχει δύο άξονες συµµετρίας: Τις ευθείες που διέρχονται από τα µέσα των απέναντι πλευρών του. γ) Το πλάγιο παραλληλόγραµµο δεν έχει άξονες συµµετρίας. δ) Το τετράγωνο έχει τέσσερις άξονες συµµετρίας:

• Τις ευθείες των διαγωνίων του. • Τις ευθείες που διέρχονται από τα µέσα των απέναντι πλευρών του. ε) Το ισοσκελές τρίγωνο έχει έναν άξονα συµµετρίας, την ευθεία που διέρχεται από το µέσο της βάσης και την απέναντι κορυφή.



Σύµβολο Πλήθος αξόνων συµµετρίας

1

367 B.2.2 ΑΞΟΝΑΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

2.


Σχήµα

Oρθογώνιο

Τετράγωνο

Κύκλος

Ηµικύκλιο

Πλάγιο παραλληλόγραµµο

Ευθύγραµµο τµήµα

Πλήθος αξόνων συµµετρίας

3.

Να σχεδιάσετε ένα κύκλο (Ο,ρ) και δύο ίσες και παράλληλες χορδές του ΑΒ και Γ∆. Να βρείτε τους άξονες συµµετρίας του σχήµατος.

4.

Να σχεδιάσετε ένα τετράγωνο µε πλευρά 6 cm. Αν Ο το σηµείο τοµής των διαγωνίων του να σχεδιάσετε: α) Τον κύκλο (Ο, 3cm). β) Τους άξονες συµµετρίας του σχήµατος που προέκυψε.

5.

Να σχεδιάσετε τους άξονες συµµετρίας των παρακάτω σχηµάτων.


Β.2.3

Μεσοκάθετος ευθύγραµµου τµήµατος

Μεσοκάθετος ενός ευθυγράµµου τµήµατος λέγεται η ευθεία που είναι κάθετη στο ευθύγραµµο τµήµα και διέρχεται από το µέσο του.

Ιδιότητα της µεσοκαθέτου. Κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθυγράµµου τµήµατος ισαπέχει από τα άκρα του ευθυγράµµου τµήµατος.

Για το σηµείο Γ της µεσοκαθέτου ε του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ, ισχύει ότι ΓΑ=ΓΒ.

• Κάθε σηµείο του επιπέδου που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράµµου τµήµατος βρίσκεται πάνω στη µεσοκάθετό του. Αφού ∆Α=∆Β, το σηµείο ∆ είναι σηµείο της µεσοκαθέτου ε του ΑΒ. Αντίθετα τα σηµεία Ε και Ζ για τα οποία ισχύουν ότι ΕΑ>ΕΒ και ΖΑ<ΖΒ, δεν ανήκουν στη µεσοκάθετο ε του ΑΒ.

Η µεσοκάθετος ενός ευθυγράµµου τµήµατος είναι και άξονας συµµετρίας του.

369 Β.2.3 ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

Κατασκευή της µεσοκαθέτου ενός ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ α) Με τη βοήθεια του υποδεκάµετρου και του γνώµονα: Με το υποδεκάµετρο µετράµε το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος και βρίσκουµε το µέσο του Μ. Με το γνώµονα σχεδιάζουµε τη κάθετη στο ΑΒ που να περνάει από το Μ.

β) Με τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη:

(Κανόνας είναι ο χάρακας που δεν έχει ή δε λαµβάνουµε υπόψη µας τις υποδιαιρέσεις, εποµένως χρησιµεύει µόνο για τη χάραξη των τµηµάτων και όχι για τη µέτρηση των µηκών τους). Με κέντρα τα άκρα Α και Β και ακτίνα µεγαλύτερη από το µισό του µήκους του ΑΒ σχεδιάζουµε δύο κύκλους. Με τον κανόνα φέρνουµε την ευθεία που ενώνει τα δύο κοινά τους σηµεία. Η ευθεία αυτή είναι η µεσοκάθετος του ΑΒ.

Με τη βοήθεια της µεσοκαθέτου µπορούµε να κατασκευάσουµε γεωµετρικά: α) Το µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος: Κατασκευάζουµε τη µεσοκάθετο του ευθυγράµµου τµήµατος, η οποία τέµνει το τµήµα στο µέσο του. 370 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

β) Την κάθετη σε µια ευθεία ε από ένα σηµείο Α της ευθείας ε: Με κέντρο το Α γράφουµε έναν κύκλο, που τέµνει την ευθεία ε σε δύο σηµεία Γ και ∆. Επειδή το Α είναι µέσο του Γ∆, σχεδιάζουµε τη µεσοκάθετο του Γ∆, η οποία είναι κάθετη στην ε και διέρχεται από το Α.

γ) Την κάθετη σε µια ευθεία ε από ένα σηµείο Α που δεν ανήκει στην ευθεία: Με κέντρο το Α και ακτίνα µεγαλύτερη από την απόσταση του Α από την ε, σχεδιάζουµε έναν κύκλο που τέµνει την ε στα σηµεία Γ και ∆. Τότε ΑΓ=Α∆ ως ακτίνες του κύκλου. ∆ηλαδή το Α ισαπέχει από τα άκρα Γ και ∆ του ευθυγράµµου τµήµατος Γ∆, οπότε θα βρίσκεται στη µεσοκάθετο ε του Γ∆. Σχεδιάζουµε εποµένως τη µεσοκάθετο του Γ∆ που είναι η ζητούµενη κάθετη ευθεία.

δ) Το κέντρο ενός κύκλου που δεν έχει σχεδιαστεί µε διαβήτη. (Αλλά π.χ. µε ένα κέρµα): Σχεδιάζουµε δύο χορδές ΑΒ και ΑΓ του κύκλου και φέρνουµε τις µεσοκάθετές τους που τέµνονται στο σηµείο Ο. Επειδή το Ο ανήκει στη µεσοκάθετο της πλευράς ΑΒ ισαπέχει από τα άκρα Α και Β, δηλαδή ΟΑ=ΟΒ. Όµοια παίρνουµε ότι ΟΑ=ΟΓ, οπότε τα σηµεία Α,Β και Γ απέ-


χουν την ίδια απόσταση από το Ο. Εποµένως θα ανήκουν στον κύκλο µε κέντρο Ο και ακτίνα ΟΑ ή ΟΒ ή ΟΓ.

ε) Τον κύκλο που διέρχεται από τις τρεις κορυφές ενός τριγώνου ΑΒΓ. (Περι γεγραµµένος κύκλος): Σχεδιάζουµε τη µεσοκάθετο της πλευράς ΒΓ και τη µεσοκάθετο της πλευράς ΑΓ που τέµνονται στο Ο. Επειδή το Ο ανήκει στη µεσοκάθετο της πλευράς ΒΓ ισαπέχει από τα άκρα Β και Γ, δηλαδή ΟΒ=ΟΓ. Επειδή το Ο ανήκει στη µεσοκάθετο της πλευράς ΑΓ ισαπέχει από τα άκρα Α και Γ, δηλαδή ΟΑ=ΟΓ. Άρα ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ. Οπότε τα σηµεία Α,Β και Γ απέχουν την ίδια απόσταση από το Ο. Εποµένως θα ανήκουν στον κύκλο µε κέντρο Ο και ακτίνα ΟΑ ή ΟΒ ή ΟΓ. Σχεδιάζουµε τον κύκλο αυτόν που είναι ο ζητούµενος περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΓ.


Σε κύκλο µε κέντρο Ο να πάρετε στη σειρά τα σηµεία Α,Β,Γ και ∆. α) Να εξηγήσετε γιατί η µεσοκάθετος ε της χορδής ΑΒ διέρχεται από το κέντρο του Ο. β) Να εξηγήσετε γιατί οι µεσοκάθετες των πλευρών του τετραπλεύρου ΑΒΓ∆ διέρχονται από το ίδιο σηµείο.


Λύση α) Γνωρίζουµε ότι αν ένα σηµείο ισαπέχει από τα άκρα Α και Β ενός ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ, βρίσκεται πάνω στη µεσοκάθετο του ΑΒ. Για το κέντρο Ο του κύκλου ισχύει ότι ΟΑ=ΟΒ

(ακτίνες του κύκλου), οπότε το Ο βρίσκεται πάνω στη µεσοκάθετο ε της χορδής ΑΒ ή αλλιώς η µεσοκάθετος ε διέρχεται από το Ο. β) Σύµφωνα µε το προηγούµενο ερώτηµα η µεσοκάθετος της καθεµίας χορδής διέρχεται από το κέντρο Ο του κύκλου. Εποµένως οι µεσοκάθετες των χορδών ΑΒ, ΒΓ, Γ∆, ∆Α που είναι οι τέσσερις πλευρές του τετραπλεύρου ΑΒΓ∆,θα τέµνονται στο Ο.


Να χωρίσετε µε τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ=7 cm: α) Σε δύο ίσα τµήµατα β) Σε τέσσερα ίσα τµήµατα.

2.

Σε τρίγωνο ΑΒΓ να σχεδιάσετε τις µεσοκαθέτους των τριών πλευρών του. Αν Ο το σηµείο που αυτές τέµνονται να γράψετε τον κύκλο (Ο,ΟΑ).

3.

Στο διπλανό σχήµα από καθένα από τα σηµεία Α και Β να σχεδιάσετε µε τον κανόνα και το διαβήτη, κάθετες προς την ευθεία ε.


4.

Στο διπλανό σχήµα το Μ είναι το µέσο του ΑΓ και το τµήµα Β∆ είναι κάθετο στο ΑΓ. Το ΑΒ έχει µήκος 2 cm και το Γ∆ είναι διπλάσιο από το ΑΒ. Να υπολογίσετε την περίµετρο του τετραπλεύρου ΑΒΓ∆.

5.

Σ’ ένα κύκλο µε κέντρο Ο να πάρετε µια διάµετρο ΑΒ και µια χορδή Γ∆ παράλληλη προς την ΑΒ. Με τον κανόνα και το διαβήτη να σχεδιάσετε τη µεσοκάθετο της χορδής Γ∆ και να ονοµάσετε Ε και Ζ τα σηµεία στα οποία τέµνει τον κύκλο. Να συγκρίνετε τη διάµετρο ΑΒ και τη χορδή ΕΖ και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

6.

Σε καθένα από τα σχήµατα να βρείτε: α) Ένα σηµείο της ευθείας ε που να ισαπέχει από τα άκρα Α και Β του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ. β) Ένα σηµείο της καµπύλης γ που να ισαπέχει από τα σηµεία Κ και Λ.

7.

Σε καθένα από τα παρακάτω σχήµατα να βρείτε δύο σηµεία του κύκλου που να ισαπέχουν από τα Α και Β.

8.

l και να πάρετε δύο σηµεία Α και Β στη πλευρά Οx. Να σχεδιάσετε µία γωνία xOy

Με τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη να βρείτε ένα σηµείο της πλευράς Οy που να ισαπέχει από τα Α και Β. 374 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Β.2.4

Συµµετρία ως προς σηµείο

Σ’ ένα φύλλο έχουµε σηµειώσει ένα σηµείο ο

Α. Το περιστρέφουµε 180 ως προς ένα σταθερό σηµείο Ο. Η τελική του θέση προσδιορίζεται από ένα σηµείο Α΄ που λέγεται συµµετρικό του Α ως προς το Ο. Στην περίπτωση αυτή το Ο είναι το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΑ΄. ∆ύο σχήµατα Σ και Σ΄ λέγονται συµµετρικά ως προς ένα σηµείο Ο, όταν κάθε σηµείο του ενός είναι συµµετρικό ενός σηµείου του άλλου ως προς το Ο.

Τα συµµετρικά σχήµατα ως προς σηµείο είναι ίσα.

Βασικές κατασκευές συµµετρικών σχηµάτων ως προς σηµείο Ο Επειδή τα συµµετρικά σχήµατα ως προς σηµείο είναι ίσα, το συµµετρικό ενός σηµείου θα είναι ένα σηµείο, ενός ευθυγράµµου τµήµατος θα είναι ένα ευθύγραµµο τµήµα, ενός κύκλου θα είναι ένας κύκλος, κ.λ.π. .

375 Β.2.4 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

α) Συµµετρικό σηµείου Α Σχεδιάζουµε το ευθύγραµµο τµήµα ΑΟ και το προεκτείνουµε κατά τµήµα ΟΑ΄=ΑΟ, ώστε το Ο να είναι το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΑ΄. β) Συµµετρικό ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ Βρίσκουµε τα συµµετρικά Α΄ και Β΄ των άκρων Α και Β ως προς το Ο και τα ενώνουµε. Το τµήµα Α΄Β΄ που προκύπτει είναι το συµµετρικό του ΑΒ ως προς Ο και είναι ίσο και παράλληλο προς αυτό.

γ) Συµµετρικό τριγώνου ΑΒΓ Βρίσκουµε τα συµµετρικά Α΄ ,Β΄ και Γ΄ των κορυφών Α, Β και Γ ως προς το Ο και τα ενώνουµε. Το τρίγωνο

Α΄Β΄Γ΄ που προκύπτει

είναι το συµµετρικό του ΑΒΓ ως προς Ο. Τα δύο τρίγωνα είναι ίσα και έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους παράλληλες.

l δ) Συµµετρικό γωνίας x Ay

Βρίσκουµε το συµµετρικό Α΄ της κορυφής της Α ως προς το Ο καθώς και το συµµετρικό Β΄ ενός σηµείου Β της πλευράς Οx και το συµµετρικό Γ΄ ενός σηµείου Γ της πλευράς Οy. Σχεδιάζουµε την ηµιευθεία Α΄Β΄ που τη λέµε Α΄x΄ και την ηµιευθεία Α΄Γ΄ που τη λέµε l που προκύπτει είναι η συµµετρική Α΄y΄. Η γωνία x΄ Α΄y΄ l . Οι δύο γωνίες είναι ίσες και έχουν τις αντίτης xAy στοιχες πλευρές τους παράλληλες.


ε) Συµµετρικό κύκλου (Κ,ρ) Βρίσκουµε το συµµετρικό Κ΄ του κέντρου Κ ως το σηµείο Ο και µε ακτίνα την ίδια σχεδιάζουµε τον κύκλο (Κ΄,ρ) που είναι ίσος µε τον κύκλο (Κ,ρ).


Να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ= 3 cm. Να βρείτε το συµµετρικό του ως προς το µέσο της βάσης του ΒΓ. Τι παρατηρείτε για τις πλευρές του τετραπλεύρου που σχηµατίζεται ; Να υπολογίσετε την περίµετρο του τετραπλεύρου.

Λύση Σε κύκλο (Ο, 3cm) και µε πλευρές δύο ακτίνες του ΑΒ και ΑΓ σχεδιάζουµε το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ. Το συµµετρικό του Α ως προς το µέσο Ο της βάσης του ΒΓ είναι το σηµείο Α΄, το συµµετρικό του Β είναι το Γ και του Γ είναι το Β. Εποµένως το συµµετρικό του τριγώνου ΑΒΓ ως προς το Ο είναι το τρίγωνο Α΄ΒΓ. Επειδή τα συµµετρικά σχήµατα είναι ίσα, έχουµε ότι Α΄Β=ΑΒ=3 cm και Α΄Γ=ΑΓ=3 cm. Οπότε η περίµετρος του τετραπλεύρου ΑΒΑ΄Γ είναι ΑΒ+ΒΑ΄+Α΄Γ+ΓΑ=4·3=12 cm. Επίσης οι συµµετρικές πλευρές που είναι οι απέναντι πλευρές του τετραπλεύρου είναι παράλληλες: ΑΒ // Α΄Γ και ΑΓ // ΒΑ΄.

(Το τετράπλευρο ΑΒΑ΄Γ είναι ρόµβος).

377 Β.2.4 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ


Να βρείτε το συµµετρικό των παρακάτω σχηµάτων ως προς το Ο: α)

2.

β)

Να βρείτε το συµµετρικό των παρακάτω σχηµάτων: α) ως προς το Α

3.

γ)

β) ως προς το Ο

Με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήµατος ηµιαξόνων Οx και Οy να τοποθετήσετε στο επίπεδο τα σηµεία Α(2,2), Β(3,2), Γ(2,4). Να βρείτε το συµµετρικό του τριγώνου ΑΒΓ ως προς το Α.

4.

Να βρείτε το συµµετρικό ενός τετραγώνου ΑΒΓ∆ ως προς την κορυφή του Α.

5.

Να βρείτε το συµµετρικό ενός κύκλου (Ο,ρ) ως προς: α) το µέσο µιας χορδής του ΑΒ που δεν είναι διάµετρος, β) ως προς ένα σηµείο του.


Β.2.5

Κέντρο συµµετρίας

Σε µερικά σχήµατα υπάρχει ένα σηµείο τους Ο, που όταν περιστρέψουµε το σχήο

µα κατά 180 (µισή στροφή) γύρω από το Ο παίρνουµε ένα σχήµα που συµπίπτει µε το αρχικό. Το σηµείο Ο λέγεται τότε κέντρο συµµετρίας του σχήµατος. Κέντρο συµµετρίας του παραλληλογράµµου είναι το σηµείο τοµής Ο των διαγωνίων του.

Όταν ένα σχήµα έχει κέντρο συµµετρίας, το συµµετρικό του ως προς αυτό είναι το ίδιο το σχήµα.


Να βρείτε ποια από τα παρακάτω σχήµατα έχουν κέντρο συµµετρίας: α) Ευθεία β) Ηµιευθεία γ) Τετράγωνο δ) Κύκλος ε) Ηµικύκλιο.

Λύση α) Οποιοδήποτε σηµείο της ευθείας είναι κέντρο συµµετρίας της. β) Η ηµιευθεία δεν έχει κέντρο συµµετρίας. γ) Το τετράγωνο έχει κέντρο συµµετρίας, που είναι το σηµείο τοµής των διαγωνίων του. δ) Ο κύκλος έχει κέντρο συµµετρίας, που είναι το κέντρο του. ε) Το ηµικύκλιο δεν έχει κέντρο συµµετρίας. 379 Β.2.5 ΚΕΝΤΡΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ


Να βρείτε ποια από τα παρακάτω σχήµατα έχουν κέντρο συµµετρίας το σηµειωµένο σηµείο:

2.

Να συµπληρώσετε τον πίνακα γράφοντας στη δεύτερη γραµµή ΝΑΙ ή ΟΧΙ. Σύµβολο

Έχει κέντρο συµµετρίας ;

3.

B E Z Η Θ Ι Λ Ν Ο Χ + − 8 9 ΟΧΙ

Στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος). Σ

Λ

ε) Μια οξεία γωνία έχει κέντρο συµµετρίας.

στ) Το σηµείο τοµής των διαγωνίων ενός τετραπλεύρου δεν είναι

α)

Ένα σηµείο Ο είναι κέντρο συµµετρίας ενός σχήµατος αν µετά ο

από µια πλήρη περιστροφή (360 ) το σχήµα που προκύπτει συµπίπτει µε το αρχικό. β) Το ισοσκελές τρίγωνο έχει άξονα συµµετρίας αλλά δεν έχει κέντρο συµµετρίας. γ) Αν ένα σχήµα έχει άξονα συµµετρίας δεν µπορεί να έχει και κέντρο συµµετρίας. δ) Το µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος είναι κέντρο συµµετρίας του.

υποχρεωτικά και κέντρο συµµετρίας του. ζ) Το σηµείο τοµής των διαγωνίων ενός ορθογωνίου είναι και κέντρο συµµετρίας του. 380 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

4.

Να σχεδιάσετε το συµµετρικό ενός τριγώνου ΑΒΓ ως προς το µέσο Μ της πλευράς ΒΓ. Το τετράπλευρο που προκύπτει έχει κέντρο συµµετρίας;

5.

Με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήµατος ηµιαξόνων Οx και Οy να τοποθετήσετε στο επίπεδο τα σηµεία Α(1,1), Β(5,1), Γ(5,3) και ∆(1,3). Να βρείτε το κέντρο συµµετρίας του τετραπλεύρου ΑΒΓ∆.

381 Β.2.5 ΚΕΝΤΡΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

Παράλληλες

Β.2.6

ευθείες που τέµνονται από µια άλλη ευθεία

Στο διπλανό σχήµα οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες και τέµνονται από µια τρίτη ευθεία ε στα σηµεία Ζ και Η. Σχηµατίζονται τότε τέσσερις γωνίες µε κορυφή β, γ, δ και τέσσερις γωνίες µε το Ζ, οι α, λ, µ, ν . κορυφή το Η, οι κ,

Από τις γωνίες αυτές αν πάρουµε δύο µε κορυφή το Ζ ή δύο µε κορυφή το Η ή θα , β=δ , κ=µ, λ=ν ) ή παραπληρωµατικές αφού θα έείναι ίσες ως κατακορυφήν ( α=γ =180ο, κ.λ.π.). 180ο, µ+ν χουν άθροισµα µια ευθεία γωνία ( α+β= Αν πάρουµε όµως µία γωνία µε κορυφή το Ζ και µία µε κορυφή το Η προκύπτουν γωνίες που τις ονοµάζουµε: Εντός, αν και οι δύο γωνίες είναι µεταξύ των παραλλήλων. Εκτός, αν και οι δύο γωνίες είναι έξω από τις παράλληλες. Εντός-εκτός, αν η µία είναι µεταξύ των παραλλήλων και η άλλη είναι έξω από τις παράλληλες.


Επί τα αυτά, αν και οι δύο γωνίες βρίσκονται προς το ίδιο µέρος της τέµνουσας ε. Εναλλάξ, αν και δύο γωνίες δε βρίσκονται προς το ίδιο µέρος της τέµνουσας ε.

Αν η τέµνουσα ε δεν είναι κάθετη στις παράλληλες ε1 και ε2, τότε:

• Οι τέσσερις οξείες γωνίες είναι ίσες. • Οι τέσσερις αµβλείες γωνίες είναι ίσες. • Μία οξεία γωνία και µία αµβλεία είναι παραπληρωµατικές.

Οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες. Οι εντός-εκτός επί τα αυτά γωνίες είναι

δ=λ γ=κ, β=λ, γ=µ, δ=ν α=κ,

ίσες. Οι εκτός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες. Οι εντός επί τα αυτά γωνίες είναι παρα-

β=ν α=µ, ο δ+κ=180 , γ+λ=180 ο

πληρωµατικές. Οι εκτός επί τα αυτά γωνίες είναι παρα-

ο α+ν=180 , β+µ=180ο

πληρωµατικές. Οι εντός-εκτός εναλλάξ γωνίες είναι παραπληρωµατικές.

= 180ο , β+κ = 180ο α+λ = 180ο ,δ + µ = 180ο γ+ν

• Για να ισχύσουν οι παραπάνω σχέσεις θα πρέπει να ελέγχουµε αν υπάρχουν δύο παράλληλες ευθείες που τέµνονται από µία τρίτη ευθεία. Τότε για να υπολογίσουµε τις οκτώ γωνίες που σχηµατίζονται αρκεί να γνωρίζουµε µία από αυτές.

383 Β.2.6 ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο σχήµα οι ευθείες ε και ζ είναι παράλληλες και τέµνονται από την η. Α. Να συµπληρώσετε τα κενά: α) Οι γωνίες β και β) Οι γωνίες γ και

λ λέγονται ........................ λ λέγονται ........................

γ) Τα ζευγάρια των εντός εναλλάξ γωνιών είναι:

..... , ..... και ..... , ..... .

Β. Να επιλέξετε Σ για κάθε σωστή πρόταση και Λ για κάθε λανθασµένη. α) Οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες. β) Οι εντός-εκτός επί τα αυτά γωνίες είναι παραπληρωµατικές. γ) Οι εντός-επί τα αυτά γωνίες είναι παραπληρωµατικές.

Σ

Λ

ο Γ. Αν α =60 , να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα µε τα µέτρα των άλλων γωνιών: β γ µ α δ Γωνία κ λ ν

Μέτρο

60ο


Στο διπλανό σχήµα είναι ε1//ε2. Να υπολογίσετε τις γωνίες που είναι σηµειωµένες.


Λύση

ο Η γωνία α είναι παραπληρωµατική της γωνίας των 30 γιατί το άθροισµά τους ο ο ο ο ο είναι µια ευθεία γωνία, άρα α +30 =180 ή α =180 −30 , δηλαδή α =150 . ο Η γωνία β είναι παραπληρωµατική της γωνίας των 130 γιατί είναι εντός επί τα

αυτά γωνίες των παραλλήλων ευθειών ε1 και ε2 που τέµνονται από την Β∆, άρα ο ο ο ο ο β +130 =180 ή β =180 −130 , δηλαδή β =50 . ο Η γωνία γ είναι ίση µε τη γωνία των 30 γιατί είναι εντός εναλλάξ γωνίες των ο παραλλήλων ευθειών ε1 και ε2 που τέµνονται από την ΑΓ, δηλαδή γ =30 .

2.

Στο διπλανό σχήµα είναι ε1//ε2. Να υπολογίσετε τις γωνίες α , β , γ .


ο Η γωνία α είναι …….. µε τη γωνία των 50 γιατί είναι εντός ………………………….. γωνίες των παραλλήλων ε και ……. που τέµνονται από την ……. , δηλαδή α = 1

ο

…. . Η γωνία γ είναι ……. µε τη γωνία των …… γιατί είναι …………….………… γωνίες ο των παραλλήλων …... και …… που τέµνονται από την ……, δηλαδή γ =…. . ο Οι γωνίες α , β και γ έχουν άθροισµα …. , γιατί σχηµατίζουν µια ευθεία γωνία, ο ο ο ο ο ο ο ο άρα α + β + γ = …. ή …. + β +…. = …. ή …. + β = …. , άρα β = …. − …. , δηλαδή ο β = …. .



Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: α) Αν δύο ευθείες ε1 και ε2 τέµνονται από µια τρίτη, τότε οι εντός εναλλάξ γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. Παραπληρωµατικές Β. Πάντοτε ίσες Γ. Ίσες µόνο όταν ε1// ε2 ο β) Στο διπλανό σχήµα ε1//ε2 και α =60 . Πόσες ο

άλλες γωνίες έχουν µέτρο 60 ; Α. 2

Β. 3

Γ. 4

γ) Στο διπλανό σχήµα ε1// ε2 , η γωνία x έχει µέτρο: Α. 60

ο

Β. 70

ο

Γ. 80

ο

δ) Στο διπλανό σχήµα ε1//ε2 , για να υπολογίl πρέπει να σχεδιάσουµε: σουµε τη γωνία ΑΟΒ Α. Το τµήµα ΑΒ. Β. Από το Α κάθετη στην ε2. Γ. Από το Ο παράλληλη στις ε1 και ε2.

2.

Στο διπλανό σχήµα Αx // ΒΓ. l, Β , Γ του τριγώνου Να υπολογίσετε τις γωνίες Α ΑΒΓ.

3.

Στα παρακάτω σχήµατα ε1// ε2. Να υπολογίσετε τη γωνία x . α)

β)


γ) Α∆ // ΒΓ

4.

ο Στο διπλανό σχήµα x΄x //y΄y, α =52

και η ΒΓ είναι διχοτόµος της .Να υπολογίσετε τις γωνίες ABx β , γ και δ .

5.

Στο διπλανό σχήµα ε // η. Να υπολογίσετε τις γωνίες α , β , γ και δ.

6.

Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) και ΒΓ//ΚΛ. 1, Β 2, Να υπολογίσετε τις γωνίες Β l. Γ 1, Γ 2 και Λ

7.

. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τη γωνία ΑΒΓ

α) ε // η // ζ

β) ε // ζ


8.

Στο διπλανό σχήµα ε1 // ε2 και δ1 // δ2. Αν είναι ε = 110ο και ζ = 70ο , να υ πολογίσετε τις γωνίες α , β , γ και δ.


Β.3.1

Στοιχεία

τριγώνου-Άθροισµα γωνιών τριγώνου

Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι: • Οι κορυφές του: τα σηµεία Α, Β και Γ. l Β και Γ . • Οι γωνίες του: Α, • Οι πλευρές του: τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ,

ΑΓ και ΒΓ.

∆ευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου είναι: • Οι τρεις διάµεσοι του • Οι τρεις διχοτόµοι του • Τα τρία ύψη του. ∆ιάµεσος είναι το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει µια κορυφή µε το µέσο της απέναντι πλευράς. Οι τρεις διάµεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σηµείο που λέγεται βαρύκεντρο.

∆ιχοτόµος είναι το ευθύγραµµο τµήµα που φέρνουµε από µια κορυφή, χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες και καταλήγει στην απέναντι πλευρά. Οι τρεις διχοτόµοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σηµείο που λέγεται έγκεντρο. 389 Β.3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ – ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Ύψος ενός τριγώνου είναι το ευθύγραµµο τµήµα που φέρνουµε από µια κορυφή και είναι κάθετο στην απέναντι πλευρά (ή στην προέκτασή της). Τα τρία ύψη ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σηµείο που λέγεται ορθόκεντρο.

Ένα ύψος δεν είναι απαραίτητα στο εσωτερικό ενός τριγώνου. Μπορεί να είναι έξω από αυτό ή να συµπίπτει µε µία πλευρά του.

Ένα τρίγωνο ανάλογα µε το είδος των γωνιών του ονοµάζεται: Οξυγώνιο Αµβλυγώνιο

Όταν έχει και τις τρεις γωνίες οξείες.

Όταν έχει µια γωνία αµβλεία.

Ορθογώνιο

Όταν έχει µια γωνία ορθή.

Ένα τρίγωνο ανάλογα µε τις σχέσεις που συνδέουν τις πλευρές του ονοµάζεται: Σκαληνό Ισοσκελές Ισόπλευρο

Όταν έχει και τις τρεις πλευρές του άνισες.

Όταν έχει δύο πλευρές του ίσες.


Όταν έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες.

Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου

Παίρνουµε ένα σηµείο Α της µεσοκαθέτου ενός ευθυγράµµου τµήµατος ΒΓ. Τότε το Α ισαπέχει από τα άκρα Β και Γ, δηλαδή ΑΒ=ΑΓ.

Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου

Σχεδιάζουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ και στη συνέχεια γράφουµε τους ίσους κύκλους (Β, ΒΓ) και (Γ, ΒΓ) που τέµνονται στο Α. Οι πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσες αφού είναι ακτίνες ίσων κύκλων, δηλαδή ΑΒ=ΑΓ=ΒΓ.

Επειδή ΑΒ=ΑΓ, το τρίγωνο µπορεί να θεωρηθεί ισοσκελές µε βάση ΒΓ και εποµένως =Γ . Ακόµη επειδή ΓΑ=ΓΒ, το τρίγωνο µπορεί να θεωρηθεί ισοσκελές µε βάση ΑΒ Β l =Β . ∆ηλαδή ισχύει ότι Α l =Β και Β = Γ , οπότε και οι τρεις γωνίες και εποµένως Α του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσες.

391 Β.3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ – ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ


Να συµπληρώσετε τα κενά: α) .............................. λέγεται το τρίγωνο που έχει και τις τρεις πλευρές του άνισες. β) Το οξυγώνιο τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες του ................... . γ) Το ευθύγραµµο τµήµα που έχει για άκρα µια κορυφή ενός τριγώνου και το µέσο της απέναντι πλευράς λέγεται ............................. .

2.

Να συµπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις χρησιµοποιώντας τις λέξεις διάµεσος, διχοτόµος, ύψος.

ΑΗ ......................... . Β∆ ......................... . ΓΜ ......................... .

3.

Να συµπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις χρησιµοποιώντας για τα τρίγωνα τις λέξεις αµβλυγώνιο, ισόπλευρο, ισοσκελές, οξυγώνιο, ορθογώνιο, σκαληνό.

.........................

.........................

.........................

.........................

.........................

.........................



Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και τη διάµεσό του ΑΜ. Στη συνέχεια να φέρετε το ύψος Β∆ του τριγώνου ΑΒΜ και το ύψος ΓΕ του τριγώνου ΑΓΜ. Να συγκρίνετε τα δύο ύψη.

Λύση Βρίσκουµε το µέσο Μ της πλευράς ΒΓ και σχεδιάζουµε τη διάµεσο ΑΜ. Στη συνέχεια φέρνουµε το ύψος Β∆ του τριγώνου ΑΒΜ. Προκειµένου να φέρουµε το ύψος από την κορυφή Γ του τριγώνου ΑΓΜ πρέπει πρώτα να προεκτείνουµε την ΑΜ και µετά να σχεδιάσουµε την κάθετη ΓΕ. Χρησιµοποιώντας υποδεκάµετρο ή διαβήτη συγκρίνουµε τα δύο ύψη και διαπιστώνουµε ότι Β∆=ΓΕ.


Να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ=ΑΓ). Να φέρετε τις διαµέσους και τα ύψη από τις κορυφές Β και Γ. Να συγκρίνετε: α) τις δύο διαµέσους β) τα δύο ύψη.

2.

Στα παρακάτω τρίγωνα να σχεδιάσετε τα ύψη τους και να σηµειώσετε κάθε φορά το ορθόκεντρό τους.

393 Β.3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ – ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

3.

Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ. α) Να βρείτε το µέσο ∆ της πλευράς ΒΓ και το µέσο Ε της πλευράς ΑΓ και να φέρετε τις διαµέσους Α∆ και ΒΕ. β) Να σχεδιάσετε την τρίτη διάµεσο χωρίς να βρείτε το µέσο της ΑΒ. γ) Αν Κ το σηµείο από το οποίο διέρχονται και οι τρεις διάµεσοι να διαπιστώσετε µε το υποδεκάµετρο ή τον διαβήτη ότι Α∆=3Κ∆ και ΒΕ=3ΚΕ.

4.

Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και τη διάµεσό του ΑΜ. Στη συνέχεια να σχεδιάσετε: α) τα ύψη του τριγώνου ΑΜΒ και β) τις διαµέσους του τριγώνου ΑΜΓ.

5.

Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και τις διαµέσους του Α∆, ΒΕ και ΓΖ. α) Να σχεδιάσετε τα ευθύγραµµα τµήµατα ΕΖ, Ζ∆ και ∆Ε. β) Να σχεδιάσετε τις διαµέσους του τριγώνου ΕΖ∆.


Β.3.2

Είδη τριγώνων

Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου

Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) µε βάση ΒΓ. Η ευθεία της διαµέσου ΑΜ που αντιστοιχεί στη βάση είναι άξονας συµµετρίας του τριγώνου.

Αν διπλώσουµε δηλαδή το τρίγωνο ΑΒΓ κατά µήκος της ΑΜ, το τρίγωνο ΑΜΒ θα συµπέσει µε το τρίγωνο ΑΜΓ. Οπότε θα έχουµε ότι: l1 = A l 2 , δηλαδή η διάµεσος ΑΜ που αντιστοιχεί στη βάση είναι και διχοτόµος της • A l. γωνίας A l1 + M l 2 = 180o και M l1 = M l 2 , οπότε M l1 = M l 2 = 180ο:2=90ο, δηλαδή η διάµεσος ΑΜ • M που αντιστοιχεί στη βάση είναι και ύψος. =Γ , δηλαδή οι προσκείµενες γωνίες στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. • Β

Ιδιότητες ισοπλεύρου τριγώνου Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο (ΑΒ=ΑΓ=ΒΓ). Επειδή κάθε ισόπλευρο τρίγωνο µπορεί να θεωρηθεί ισοσκελές µε βάση ΒΓ ή ισοσκελές µε βάση ΑΒ ή ισοσκελές µε βάση ΑΓ, και οι τρεις ευθείες των διαµέσων του είναι άξονες συµµετρίας.

395 Β.3.2 ΕΙ∆Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ – Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Οπότε θα έχουµε ότι: • Κάθε διάµεσός του είναι και διχοτόµος. • Κάθε διάµεσός του είναι και ύψος. • Όλες οι γωνίες του είναι ίσες.

Άθροισµα γωνιών τριγώνου α) Σε κάθε τρίγωνο το άθροισµα των γωνιών του είναι 180ο. Αρκεί εποµένως να γνωρίζουµε δύο γωνίες ενός τριγώνου για να βρούµε την τρίτη.

Επειδή ε // ΒΓ οι γωνίες l και Β ,φ l και Γ είναι ω l =Β εντός εναλλάξ, άρα ω l . και φ=Γ l +ω l +φ l =180ο, δηΑλλά Α l +Β + Γ =180ο. λαδή Α

του είναι συµπληρωµατι-

l +Β + Γ =180ο Ισχύει ότι Α ο + Γ =180ο ή ή 90 + Β + Γ =180ο–90ο , δηλαδή Β

κές, έχουν δηλαδή ά-

+ Γ =90 ο. Β

β) Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο οι οξείες γωνίες

ο

θροισµα 90 . γ) Οι οξείες γωνίες ενός

Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ

ορθογωνίου και ισοσκε-

είναι ορθογώνιο, ισχύει + Γ =90ο. Αλλά το ότι Β

ο

λούς τριγώνου είναι 45 .

τρίγωνο ΑΒΓ είναι και ισοσκελές µε βάση ΒΓ, = Γ =90 ο:2=45ο. άρα Β δ) Οι γωνίες ενός ισοπλεύο

ρου τριγώνου είναι 60 .

l +Β + Γ =180ο, Ισχύει ότι Α

επειδή οι γωνίες του ισοπλεύρου τριγώνου είναι ίσες, καθεµιά θα είναι ο

ο

180 :3=60 . l =Β = Γ = 60ο. Άρα Α


ε) Η εξωτερική γωνία

Ισχύει ότι l +Β + Γ =180ο ή Α l +Β = 180ο − Γ . Α

ενός τριγώνου:

• Είναι παραπληρωµατική και εφεξής της εσωτερικής της γωνίας. • Ισούται µε το άθροισµα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών.

l και Γ είναι Αλλά ω Προεκτείνουµε την πλευρά ΒΓ προς το µέρος της κορυ =ω l είναι φής Γ. Η γωνία ΑΓx η εξωτερική γωνία της Γ .

παραπληρωµατικές, l = 180ο ή δηλαδή ω+Γ l = 180ο − Γ οπότε ω l +Β =ω l. Α


Να συµπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις. α) Το άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ......... µοίρες. Αν σ’ ένα τρίο ο l l l γωνο ΑΒΓ έχουµε Α=80 ,τότε Β+Γ=........, ενώ αν έχουµε Α=80 και ο Β=50 τότε Γ=......... . β) Στο ισόπλευρο τρίγωνο άξονες συµµετρίας του είναι οι ................................ ........................ . Κάθε γωνία του είναι .......... µοίρες.

2.

l Β, l Γ, έχουµε δείξει τις γωνίες τυχαίΝα συµπληρώσετε τον πίνακα όπου µε Α, ου τριγώνου ΑΒΓ, όταν αυτό υπάρχει. l Α

l Β

Υπάρχει τέτοιο τρίγωνο;

Γ

ο

75

ο

30

ο

60

ο

60 ο

40

ο

45

45

ο ο

ο

ο

60

ο

100 52

Είδος τριγώνου ως προς τις πλευρές του.

ο

110

92

Είδος τριγώνου ως προς τις γωνίες του.

ο

40

ο

52

397 Β.3.2 ΕΙ∆Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ – Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

3.

Στο παρακάτω σχήµα: l ισούται µε: α) Η γωνία Α ο ο Α. 40ο Β. 80 Γ. 100 l είναι εξωτερική γωνία της: β) Η γωνία ω l l Α. Α Β. Β Γ. Γ ισούται µε: γ) Η γωνία ω l +Β l l + Γ Α. Α Β. Α ισούται µε: δ) Η γωνία ω Α. 140ο

4.

Β. 100

ο

l + Γ Γ. Β Γ. 80

ο

Να επιλέξετε Σ για κάθε πρόταση και Λ για κάθε λανθασµένη. α) Στο ισοσκελές τρίγωνο κάθε διάµεσος είναι ύψος και διχοτόµος. β) Το αµβλυγώνιο τρίγωνο έχει µόνο µία γωνία αµβλεία. γ) Υπάρχει τρίγωνο µε µία γωνία αµβλεία και µία γωνία ορθή. l l , τότε αυτό είναι ορθογώνιο. δ) Αν σ’ ένα τρίγωνο ισχύει Β+Γ=Α

Σ

Λ


= 40 ο και η γωνία Γ είναι τριπλάσια από τη γωΣ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Β l . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. νία Α

Λύση

l µε x, τότε η γωνία Γ είναι 3x. Γνωρίζουµε Αν θέσουµε το µέτρο της γωνίας Α l +Β + Γ =180ο ή ότι το άθροισµα των γωνιών τριγώνου ισούται µε 180ο, δηλαδή Α x+40ο+3x=180ο ή 4x+40ο=180ο ή 4x=180ο−40ο ή 4x=140ο, οπότε x=140ο:4=35ο. l =35ο και Γ =3·35ο =105ο. Εποµένως είναι Α


2.

Στο διπλανό σχήµα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΚΛ είναι ισοσκελή µε βάσεις ΒΓ και ΚΛ αντίστοιχα. =67 ο, να υπολογίσετε τις γωνίες των δύο Αν Β τριγώνων.

Λύση Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές οι γωνίες που είναι προσκείµενες στη =67ο. βάση του ΒΓ είναι ίσες, δηλαδή Γ = Β l 1+ Β + Γ =180ο, οπότε Α l 1 +67ο+67ο=180ο ή Α l 1 +134ο=180ο ή Όµως Α l 1 =180ο −134ο, άρα Α l 1 =46ο. Α l 1 και Α l 2 είναι κατακορυφήν, εποµένως Α l2 = Α l 1 =46ο. Οι γωνίες Α =Λ l. Το τρίγωνο ΑΚΛ είναι ισοσκελές µε βάση την πλευρά ΚΛ, οπότε K l2 +K +Λ l =180ο, αντικαθιστούµε και έχουµε 46ο + Λ l +Λ l =180ο ή Ισχύει ότι Α l+Λ l =180ο −46ο ή 2 Λ l =134ο, οπότε Λ l =134ο:2=67ο άρα και K =67ο. Λ l και Β είναι ίσες, συµπεραίνουµε ότι ΒΓ // ΚΛ). (Αφού οι εντός εναλλάξ γωνίες Λ

3.

Στο διπλανό σχήµα η Β∆ είναι δι , χοτόµος της γωνίας ΑΒΕ =70 ο και ΑΓΖ =80ο. ∆ΒΕ Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αµβλυγώνιο και ισοσκελές.

Λύση

, ΑΒ∆ = ∆ΒΕ =70ο και Επειδή η Β∆ είναι διχοτόµος της γωνίας ΑΒΕ =2·70ο=140ο. Οι γωνίες Β και ΑΒΕ έχουν άθροισµα µια ευθεία γωνία, οπότε ΑΒΕ =180ο −140ο=40ο. Β έχουν άθροισµα µια ευθεία γωνία, οπότε Οι γωνίες Γ και ΑΓΖ ο ο ο Γ =180 −80 =100 , άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αµβλυγώνιο. l +Β + Γ =180ο, αντικαθιστούµε και έχουµε ότι Στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι Α l +40ο+100ο=180ο ή Α l +140ο=180ο ή Α l =180ο −140ο=40ο. Α

l =Β , άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές µε βάση ΑΒ. ∆ηλαδή Α 399 Β.3.2 ΕΙ∆Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ – Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4.

Στο παρακάτω σχήµα ε1 // ε2 . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.


και 120ο είναι ........................, οπόΟι γωνίες Β = ...... – 120ο = ...... . τε Β Οι γωνίες Γ και 72ο είναι εντός ................ των

παραλλήλων ε1 και ....., οπότε Γ = ....... . l +Β + Γ = ......, αΣτο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι Α l + ..... + ..... = ντικαθιστούµε και έχουµε ότι Α l + ..... = ...... ή Α l = ..... – ..... =48ο. ...... ή Α


Να αντιστοιχίσετε κάθε τρίγωνο της στήλης Α µε το µέτρο της γωνίας του x στη στήλη Β. Στήλη Α

Στήλη Β 1) 60o 2) 75

o

3) 76o 4) 112o 5) 38

o

6) 50o 7) 45

A

α

β

B 400 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

γ

δ

ε

στ

ζ

o

2.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: Το µέτρο της γωνίας x είναι: Α. 50ο

Β. 60

ο

Γ. 80

ο

Γ. 60

ο

Το µέτρο της γωνίας x είναι: Α. 20ο

Β. 30

ο

Το τρίγωνο του σχήµατος είναι: Α. Σκαληνό Β. Ισόπλευρο Γ. Ισοσκελές

3.

4.

5.

6.

l. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίστε τη γωνία ω

Στα παρακάτω σχήµατα ε // η. Να υπολογίσετε σε κάθε περίπτωση τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.

l =15ο και η γωνία Β είναι τετραπλάσια από τη Γ . Σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου.

Σ’ ένα ορθογώνιο τρίγωνο η µια οξεία γωνία του είναι τριπλάσια από την άλλη. Να υπολογίσετε τις γωνίες αυτές. 401 Β.3.2 ΕΙ∆Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ – Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

7.

l είναι διπλάσια από τη γωνία Σ’ ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) η γωνία Α . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. Β

8.

=40ο και Γ =60ο. Να υπολογίσετε τη γωνία Α l καθώς Σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Β l και Β . και τη γωνία που σχηµατίζουν οι διχοτόµοι των γωνιών Α

9.

Στο διπλανό σχήµα είναι ΗΕ // ΑΒ και ΗΓ // ∆Ζ. Να υπολογίσετε τη . γωνία ΕΗΓ

10.

Στο διπλανό σχήµα είναι ΑΒ=Β∆ και ΑΓ=ΓΕ. Να υπολοl Γ και Α l. γίσετε τις γωνίες ∆,

11.

Στο διπλανό σχήµα είναι ΑΒ=ΑΓ=Γ∆. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.

12.

Στο διπλανό σχήµα είναι x΄x // y΄y και α =60ο. Αν Α∆ και Β∆ είναι οι διχοτόµοι των γωνιών l x και ΑΒ y να υπολογίσετε τη ΒΑ lB . γωνία A ∆

13. α)

Σε καθένα από τα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τις γωνίες x και y . β)


γ)

δ)

Β.3.3

Παραλληλόγραµµο Ορθογώνιο-Ρόµβος

Τετράγωνο-Τραπέζιο Ισοσκελές τραπέζιο

Παραλληλόγραµµα Ένα τετράπλευρο λέγεται παραλληλόγραµµο αν οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες.

Το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες, δηλαδή ΑΒ // Γ∆ και Α∆ // ΒΓ, άρα είναι παραλληλόγραµµο.

• Κάθε πλευρά του ΑΒΓ∆ µπορεί να ονοµαστεί και βάση. • Το ευθύγραµµο τµήµα που είναι κάθετο στις ευθείες δύο απέναντι πλευρών και έχει τα άκρα του πάνω σε αυτές λέγεται ύψος του παραλληλογράµµου. Έτσι για τις βάσεις ΑΒ και ∆Γ ύψος είναι το ΖΗ, ενώ για τις βάσεις Α∆ και ΒΓ ύψος είναι το ΘΙ.

Ειδικά παραλληλόγραµµα Το παραλληλόγραµµο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές ονοµάζεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ή απλά ορθογώνιο. 403 Β.3.3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ-ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ-ΡΟΜΒΟΣ-ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ-ΤΡΑΠΕΖΙΟ-ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ

Αν οι πλευρές ΑΒ και ΒΓ είναι οι βάσεις του ορθογωνίου, το ύψος είναι η πλευρά Α∆ ή ΒΓ , ενώ αν οι πλευρές Α∆ και ΒΓ είναι οι βάσεις του ορθογωνίου, το ύψος είναι η πλευρά ΑΒ ή Γ∆.

Το παραλληλόγραµµο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες ονοµάζεται ρόµβος.

Το παραλληλόγραµµο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ορθές ονοµάζεται τετράγωνο.

• Το τετράγωνο είναι ορθογώνιο και ρόµβος.

Το τετράπλευρο που έχει µόνο τις δύο απέναντι πλευρές παράλληλες ονοµάζεται τραπέζιο.

• Οι παράλληλες πλευρές ΑΒ και Γ∆ λέγονται βάσεις του τραπεζίου. • Το ευθύγραµµο τµήµα ΖΗ που είναι κάθετο στις βάσεις και έχει τα άκρα του πάνω σε αυτές λέγεται ύψος του τραπεζίου.

Το τραπέζιο που έχει τις µη παράλληλες πλευρές του ίσες ονοµάζεται ισοσκελές τραπέζιο. ΑΒ // Γ∆ και Α∆=ΒΓ



2.

Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β) . ΣΤΗΛΗ (Α)

ΣΤΗΛΗ (Β)

ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ

Παραλληλόγραµµο

•

• Τραπέζιο µε τις µη παράλληλες πλευρές του ίσες.

Ορθογώνιο

•

• Παραλληλόγραµµο µε όλες τις γωνίες του ορθές.

Τραπέζιο

•

Ισοσκελές τραπέζιο •

• Είναι συγχρόνως ρόµβος και ορθογώνιο. • Μόνο οι δύο απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες.

Ρόµβος

•

• Παραλληλόγραµµο µε όλες τις πλευρές του ίσες.

Τετράγωνο

•

• Τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.

Να επιλέξετε Σ για κάθε σωστή πρόταση και Λ για κάθε λανθασµένη. α) Κάθε τραπέζιο είναι και παραλληλόγραµµο. β) Κάθε τετράγωνο είναι και ρόµβος. γ) Κάθε ρόµβος είναι και τετράγωνο. δ) Στο ισοσκελές τραπέζιο βάσεις είναι οι ίσες πλευρές του.

Σ

Λ


Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε τις γωνίες του παραλληλογράµµου ΑΒΓ∆.

405 Β.3.3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ-ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ-ΡΟΜΒΟΣ-ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ-ΤΡΑΠΕΖΙΟ-ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ

Λύση

l +ΑΓΒ +Β =180ο ή 45ο +82ο +Β =180 ο Στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι ΓΑΒ =180ο ή Β =180ο − 127ο άρα Β =53 ο . ή 127ο +Β

Γνωρίζουµε ότι οι απέναντι πλευρές του παραλληλογράµµου είναι παράλληλες, δηλαδή ΑΒ // Γ∆ και Α∆ // ΒΓ. είναι εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ και Γ∆, άρα Οι γωνίες 45ο και ΑΓ∆ =45ο , οπότε ΒΓ∆ =82ο +45ο =127ο. ΑΓ∆ l είναι εντός εναλλάξ των παραλλήλων Α∆ και ΒΓ, Όµοια οι γωνίες 82ο και ∆ΑΓ l =82ο , οπότε ∆ΑΒ l =82ο +45ο =127ο. άρα ∆ΑΓ l και ∆ΑΒ l είναι εντός επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΒ και Γ∆, άρα Οι γωνίες ∆ l +∆ΑΒ l =180ο ή ∆ l +127ο =180ο ή ∆ l =180ο −127ο , άρα ∆ l =53ο. ∆

2.

l =65ο, Να σχεδιάσετε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ στο οποίο να είναι Α ΑΒ=3,2 cm και Α∆=2,5 cm.

l y =65ο. • Σχεδιάζουµε µια γωνία x Α

Λύση

• Στη πλευρά της Αx τοποθετούµε ένα σηµείο Β, ώστε ΑΒ=3,2 cm. • Στη πλευρά της Αy τοποθετούµε ένα σηµείο ∆, έτσι ώστε Α∆=2,5 cm. • Από το σηµείο Β φέρνουµε παράλληλη στην ηµιευθεία Αy και από το σηµείο ∆ φέρνουµε παράλληλη στην ηµιευθεία Αx. • Οι δύο παράλληλες τέµνονται σε ένα σηµείο που το ονοµάζουµε Γ. • Το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι το ζητούµενο παραλληλόγραµµο.

3.

l =68ο και µια πλευρά Να σχεδιάσετε ένα ρόµβο ΑΒΓ∆, αν γνωρίζετε ότι Α του είναι 3 cm. Στη συνέχεια να συγκρίνετε τα ύψη του από τις κορυφές Β

και Γ.


Λύση Ακολουθούµε τον προηγούµενο τρόπο κατασκευής, µε τη διαφορά ότι στις πλευρές της l y παίρνουµε τα σηµεία Β και ∆, γωνίας x Α έτσι ώστε ΑΒ=Α∆=3 cm, αφού όπως γνωρίζουµε όλες οι πλευρές του ρόµβου είναι ίσες. Σχεδιάζουµε τα δύο ύψη ΒΕ και ΓΖ και µε το διαβήτη ή το υποδεκάµετρο διαπιστώνουµε ότι ΒΕ=ΓΖ.


2.

3.

l =40ο, ΑΒ=5,4 Να σχεδιάσετε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ στο οποίο να είναι Α β) Να χαράξετε cm και Α∆=3,6 cm. Στη συνέχεια: α) Να υπολογίσετε τη γωνία Β l και Β και να υπολογίσετε τη γωνία που σχηµατίζουν. τις διχοτόµους των γωνιών Α

Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ=6 cm και ΑΓ=4 cm και να συγκρίνετε τις διαγώνιές του ΑΓ και Β∆. l =52ο. Να σχεδιάσετε ένα ρόµβο ΑΒΓ∆ µε πλευρά 28 mm και Α Στη συνέχεια να χαράξετε τα ύψη από την κορυφή Α και να τα συγκρίνετε.

4.

Να σχεδιάσετε ένα τετράγωνο που έχει περίµετρο ίση µε την περίµετρο ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς 4 cm.

5.

Να σχεδιάσετε ένα τραπέζιο αν γνωρίζετε ότι οι βάσεις του είναι 5 cm η µία και 6 cm η άλλη και το ύψος του είναι 4 cm.

6.

Να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆ µε τη µία βάση του ΑΒ=6 cm, l =50ο και Α∆=ΒΓ=4 cm. Στη συνέχεια: Α l και Β που είναι προσκείµενες στη βάση ΑΒ καα) Να συγκρίνετε τις γωνίες Α l που είναι προσκείµενες στη βάση Γ∆. θώς και τις γωνίες Γ και ∆

β) Να συγκρίνετε τις διαγώνιές του ΑΓ και Β∆.

407 Β.3.3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ-ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ-ΡΟΜΒΟΣ-ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ-ΤΡΑΠΕΖΙΟ-ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ

Ιδιότητες Παραλληλογράµµου- –Β.3.4 Ορθογωνίου-ΡόµβουΤετραγώνου-Τραπεζίου και Ισοσκελούς Τραπεζίου

Ιδιότητες του παραλληλογράµµου α) Το σηµείο τοµής των διαγωνίων του Ο είναι κέντρο συµµετρίας του. β) Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες, δηλαδή ΑΒ=Γ∆ και Α∆=ΒΓ. γ) Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες, δηλαδή l = Γ και Β =∆ l. A δ) Οι διαγώνιές του διχοτοµούνται, δηλαδή το σηµείο τοµής τους είναι και µέσο της καθεµιάς, οπότε ΟΑ=ΟΓ και ΟΒ=Ο∆.

Ιδιότητες του ορθογωνίου Ισχύουν όλες οι ιδιότητες του παραλληλογράµµου και επιπλέον: α) Οι µεσοκάθετες των πλευρών του είναι και άξονες συµµετρίας του. β) Οι διαγώνιές του είναι ίσες, δηλαδή ΑΓ=Β∆.


Ιδιότητες του ρόµβου Ισχύουν όλες οι ιδιότητες του παραλληλογράµµου και επιπλέον: α) Οι ευθείες των διαγωνίων του είναι και άξονες συµµετρίας του. β) Οι διαγώνιές του είναι κάθετες. γ) Οι διαγώνιές του είναι και διχοτόµοι των γωνιών του, δηλαδή l1 = Α l 2, Β 1 = Β 2 , κ.λ.π. . Α

Ιδιότητες του τετραγώνου Ισχύουν όλες οι ιδιότητες του παραλληλογράµµου και επιπλέον: α) Οι ευθείες των διαγωνίων του και οι µεσοκάθετες των πλευρών του είναι άξονες συµµετρίας του. β) Οι διαγώνιές του είναι ίσες και κάθετες. γ) Οι διαγώνιές του είναι και διχοτόµοι των γωνιών του.

Ιδιότητες του ισοσκελούς τραπεζίου α) Η ευθεία που διέρχεται από τα µέσα των βάσεων είναι µεσοκάθετη των βάσεων και άξονας συµµετρίας του. β) Οι προσκείµενες σε κάθε βάση γωνίες l =Β και Γ = ∆ l. του είναι ίσες, δηλαδή A

Β.3.4 Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ-ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ-ΡΟΜΒΟΥ-ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ-ΤΡΑΠΕΖΙΟΥ ΚΑΙ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟΥ

409


Να συµπληρώσετε τον πίνακα µε δύο οµοιότητες και δύο διαφορές µεταξύ των ζευγαριών των τετραπλεύρων της στήλης Α. Στήλη Α

Στήλη Β

Στήλη Γ

Τετράπλευρα

Οµοιότητες

∆ιαφορές

ΟρθογώνιοΡόµβος

α) Οι απέναντι πλευρές α) Στο ορθογώνιο όλες οι γωνίες είναι ορθές, τους είναι παράλληενώ στο ρόµβο δεν λες. είναι. β) ..................................... β) ..................................... .......................................... .......................................... .......................................... .......................................... α) ..................................... α) ..................................... .......................................... .......................................... .......................................... ..........................................

ΟρθογώνιοΤετράγωνο

β) ..................................... β) ..................................... .......................................... .......................................... .......................................... .......................................... α) ..................................... α) ..................................... .......................................... .......................................... .......................................... ..........................................

Ρόµβος-Τετράγωνο β) ..................................... .......................................... .......................................... .......................................... .......................................... β) .....................................


2.

Στις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. α) Σε κάθε παραλληλόγραµµο οι διαγώνιές του: Α. Είναι ίσες Β. ∆ιχοτοµούνται Γ. Είναι κάθετες β) Σ’ ένα ορθογώνιο: Α. Οι τέσσερις πλευρές του είναι ίσες Β. Οι διαγώνιες του είναι κάθετες Γ. Οι διαγώνιες του είναι ίσες γ) Σ’ ένα ρόµβο: Α. Οι τέσσερις γωνίες του είναι ορθές Β. Οι διαγώνιες του είναι κάθετες Γ. Οι διαγώνιες του είναι ίσες δ) Ένα τετράγωνο έχει: Α. Ένα κέντρο συµµετρίας και τέσσερις άξονες συµµετρίας. Β. Ένα κέντρο συµµετρίας και δύο άξονες συµµετρίας. Γ. ∆εν έχει κέντρο συµµετρίας αλλά έχει οκτώ άξονες συµµετρίας. ε) Ένα ισοσκελές τραπέζιο έχει: Α. Όλες τις γωνίες του ίσες Β. Τις γωνίες που είναι προσκείµενες σε κάθε βάση ίσες Γ. Τις απέναντι γωνίες ίσες

3.

Για το παρακάτω παραλληλογράµµου ΑΒΓ∆ να συµπληρώσετε τα κενά: Οι ..................... γωνίες του παραλληλογράµµου είναι ίσες. Άρα B = ........ . Οι γωνίες A και Γ είναι εντός επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΒ και Γ =......... ή Α = ........ . ........., οπότε A+ Όµως οι απέναντι γωνίες ∆ και ....... είναι ίσες, οπότε ∆ = ........ .


Στο διπλανό παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ έχουµε φέρει το ύψος ΑΗ l =20 ο. Να υπολοκαι η γωνία HAB γίσετε τις γωνίες του παραλληλογράµµου.


411

Λύση

και 20ο είναι συµπληρωµατικές, δηλαΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΗ οι γωνίες B +20ο=90ο ή B =90ο−20ο, άρα B =70ο. Επειδή στο παραλληλόγραµµο οι απέδή B l =B ή∆ l =70ο. ναντι γωνίες είναι ίσες, έχουµε ότι ∆ l είναι εντός επί τα αυτά των παραλλήλων ΓΒ και ∆Α που τέΟι γωνίες Γ και ∆ l =180ο ή Γ +70ο =180ο ή Γ =180ο−70ο, άρα µνονται από την Γ∆, δηλαδή Γ + ∆ ο Γ =110 .

l∆ και Γ είναι απέναντι γωνίες στο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆, άρα Οι γωνίες Β A l∆ = Γ ή Β A l∆ =110ο. ΒA

2.

Ένα ορθογώνιο και ένας ρόµβος έχουν την ίδια περίµετρο. Αν οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι 10 cm και 8 cm, να βρείτε το µήκος της κάθε πλευράς του ρόµβου.

Λύση Επειδή οι απέναντι πλευρές του ορθογωνίου είναι ίσες, η περίµετρός του είναι 2·10+2·8=20+16=36 cm, οπότε και η περίµετρος του ρόµβου είναι 36 cm. Επειδή όλες οι πλευρές του ρόµβου είναι ίσες η καθεµία είναι 36:4=9 cm.

3.

Να σχεδιάσετε ένα παραλληλόγραµµο του οποίου οι διαγώνιες να σχηµατίζουν γωνία 30ο και να έχουν µήκος 3 και 4 cm αντίστοιχα.

Λύση Σχεδιάζουµε τις ευθείες x΄x και y΄y που τέµνονται στο Ο και σχηµατίζουν γωνία l =30ο. xOy Γνωρίζουµε ότι οι διαγώνιες του παραλληλογράµµου διχοτοµούνται οπότε πάνω στην Οx΄ παίρνουµε ένα σηµείο Α και πάνω στην Οx ένα σηµείο Γ, έτσι ώστε το Ο να είναι το µέσο του ΑΓ, δηλαδή ΟΑ=ΟΓ=1,5 cm. 412 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Όµοια πάνω στην Οy ένα σηµείο Β και πάνω στην Οy΄ ένα σηµείο ∆, έτσι ώστε το Ο να είναι το µέσο του Β∆, δηλαδή ΟΒ=Ο∆=2 cm. Ενώνουµε µε ευθύγραµµα τµήµατα τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆, οπότε προκύπτει το ζητούµενο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆.


Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε l Β, Γ και ∆ l του παραλτις γωνίες Α, ληλογράµµου ΑΒΓ∆.

2.

Στο διπλανό παραλληλόγραµµο =70ο, ∆ΗΓ =90ο και η ΑΒΓ∆, είναι Β l. ∆Η διχοτόµος της γωνίας ∆ Να υπολογίσετε τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου ∆ΗΓ.

3.

Στον διπλανό ρόµβο ΑΒΓ∆ είναι l =55ο, ΑΓ=36 cm , Β∆=48 cm ∆ΑΟ και η περίµετρός του είναι 120 cm. Να υπολογίσετε: α) Τις γωνίες του ρόµβου. β) Την περίµετρο του τριγώνου ΑΟΒ.

4.

Ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ έχει περίµετρο 24 cm και πλευρά ΑΒ=6 cm. Να εξηγήσετε γιατί το παραλληλόγραµµο αυτό είναι ρόµβος.


413

5.

Ένα ορθογώνιο ΑΒΓ∆ έχει περίµετρο 40 cm και πλευρά ΑΒ=10 cm. Να εξηγήσετε γιατί το ορθογώνιο αυτό είναι τετράγωνο.

6.

Η περίµετρος ενός ισοσκελούς τραπεζίου ΑΒΓ∆ είναι 49 cm. Οι βάσεις του είναι ΑΒ=15 cm και Γ∆=10 cm. Να υπολογίσετε τις µη παράλληλες πλευρές του Α∆ και ΒΓ.

7.

Σ’ ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ µε περίµετρο 12 cm είναι Α∆=2ΑΒ. Να υπολογίσετε τις πλευρές του παραλληλογράµµου.

8.

Αν µια πλευρά ενός ορθογωνίου είναι 6 cm και η περίµετρός του είναι ίση µε την περίµετρο ενός τετραγώνου µε πλευρά 7 cm να βρείτε τις άλλες πλευρές του ορθογωνίου.

9.

l είναι διπλάσια από τη γωνία Β , να Σ’ ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ η γωνία Α υπολογίσετε τις γωνίες του παραλληλογράµµου.

10.

Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να φέρετε τη διάµεσό του ΑΜ. Στην προέκταση της ΑΜ προς το µέρος του Μ, να πάρετε ένα σηµείο ∆, ώστε ∆Μ=ΜΑ. Να φέρετε τα ευθύγραµµα τµήµατα ∆Β και ∆Γ. Να εξηγήσετε γιατί το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι παραλληλόγραµµο.

11.

Οι διαγώνιες ενός ορθογωνίου ΑΒΓ∆ που τέµνονται στο Ο σχηµατίζουν γωνία l = 50ο. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΓΟ∆. ΒΟΓ


Μαθηματικά Α γυμνασίου

Recommend Documents