Ασκήσεις Α Γυμνασίου

Ασκήσεις Μαθηματικών Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Γεώργιος Παυλάκος

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ

Α.1.1. Φυσικοί αριθμοί – Διάταξη Φυσικών – Στρογγυλοποίηση 1. Σήμερα είναι Τετάρτη.Τι μέρα θα είναι μετά από α) 7 μέρες ; β) 15 μέρες; 2. Να γράψετε α) τους άρτιους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι από το 25 και μικρότεροι ή ίσοι από το 36. β) τους περιττούς αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι από το 45 και μικρότεροι από το 57. 3. Ποιοι είναι οι διψήφιοι αριθμοί που ένα τουλάχιστον ψηφίο τους είναι το 4; Α.1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 4. Να υπολογιστούν τα αθροίσματα: α) 1+2+3+……….+1000 ,

β)1+3+5+………+101

Α.1.3. Δυνάμεις φυσικών αριθμών 5. 6. 7. 8. 9.

Να συγκρίνετε τους αριθμούς α=12-[7-(6-4)]-3 και β= [(15-7)-3]-1 Να κάνετε τις πράξεις α. 5·8-4· [5·6-(7.4-11)] β. [43-2· (73-7·8)] · [13·5-(53-6·8) ·3] Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις α. 2χ+3χ β. 6χ-χ γ. 4χ+ψ+χ+5ψ Να γίνουν οι πράξεις α. 4· (χ+3) +5· (χ-2) β. 7· (κ+λ)+5· (κ-λ) Να κάνετε τις πράξεις )2 )2

3 4

5

) 2

)12

2

2 2

3 3

3

5

5 3

4

2

1

2

2

10

3

3

32

10. Αν χ=16-6·2+38:19 ,

4

23

4 2

3

2

8 2

3

5

6 4

3

4 3

117 και

2011

2

3

7

2

3

7

6

9 2

2

5

7

2010

11 3

2

2

3

3

13

Να υπολογιστούν τα χ,ψ,Α 11. Αν α=10-10:5 και β = (43:16)·3, να υπολογίσεις τιμές των παραστάσεων. 5

: 2 2

: 32

2

21 3

: 12

: 25 : 4

5

12. Να απλοποιήσετε την παράσταση Α=5(χ+3)+2(χ-2)+7 Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση – Διαιρετότητα 13. Αν ο ν είναι φυσικός αριθμός , ποιά μπορεί να είναι τα υπόλοιπα της διαίρεσης ν:5 14. Σήμερα είναι Τετάρτη. Τι μέρα θα είναι μετά από α) 7 μέρες ; β) 15 μέρες; Α.1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας – ΜΚΔ – ΕΚΠ – Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων 15. Ελέξτε να ο αριθμός 612 διαιρείται με το 2,3,4,5,9,25 16. Ελέξτε αν ο αριθμός 675 διαιρείται με το 2,3,4,5,9,25 1ο Κεφάλαιο

Σελίδα 1

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ 17. Να βρεθεί το ΕΚΠ και ο ΜΚΔ των αριθμών 48 και 72 18. Εάν ο αριθμός α είναι πολλαπλάσιο του αριθμού β να βρείτε το ΕΚΠ(α,β) και τον ΜΚΔ(α,β) 19. Ελέξτε αν ο αριθμός 504 διαιρείται με το α) 2,3,4,5,9,25 2

20. 21. 22. 23.

24. 25. 26.

27.

28. 29. 30.

31.

3

2

β) Αν ο αριθμός α= 2 3 5 και ο β= 2 .3 Να βρεθεί το ΕΚΠ(α,β) και τον ΜΚΔ(α,β) Πόσες το πολύ ομοιόμορφες ανθοδέσμες μπορούμε να σχηματίσουμε από 48 λευκά άνθη, 80 ρόζ και 112 κίτρινα; Πόσα άνθη από κάθε χρώμα θα περιλαμβάνει η κάθε ανθοδέσμη Πόσοι τουλάχιστον μαθητές χρειάζονται, ώστε όταν παραταχθούν σε τριάδες , πεντάδες ή τετράδες να μην περισσεύει κανείς Να αναλύσετε τους αριθμούς 180 και 120 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και να βρείτε το ΕΚΠ(120,180) και τον ΜΚΔ(120,180) Να αντικαταστήσετε τις τελείες με ψηφία ,ώστε ο αριθμός : α. 35• να διαιρείται με το 2 και το 5 β. 67• να διαιρείται με το 3 και το 5 γ. 57 • να διαιρείται με το 4 και το 9 δ. 6 • • να διαιρείται με το 9 και το 25 Να αναλύσετε τους αριθμούς 48 και 72 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και να βρείτε το ΕΚΠ(48,72) και τον ΜΚΔ(48,72) Να βρείτε το μικρότερο φυσικό αριθμό , που όταν διαιρεθεί με το 2, το3,το4 και το 5 αφήνει κάθε φορά υπόλοιπο 1 τρεις αθλητές προπονούνται σε ένα στίβο. Ο πρώτος διατρέχει το στίβο σε 6 min , ο δεύτερος σε 5min και ο τρίτος σε 4min. Mετά από πόσα min θα βρεθούν για πρώτη φορά και οι τρείς μαζί στο σημείο απ’ όπου ξεκίνησαν και πόσες φορές θα έχει διατρέξει το στίβο ο καθένας; Έχουμε 60 γαρύφαλλα και 90 τριαντάφυλλα. Π όσες ανθοδέσμες το πολύ μπορούμε να φτιάξουμε , ώστε να περιέχουν τον ίδιο αριθμό γαρύφαλλων και τριαντάφυλλων και πόσα από κάθε είδος θα περιέχει η κάθε ανθοδέσμη; Ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που αν διαιρεθεί με το 3 ή το 6 ή το 8 α) δίνει υπόλοιπο 0 και β ) δίνει υπόλοιπο 2 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), ή (Λ) α. Αν ο αριθμός α διαιρεί τον β, τότε ο β είναι πολλαπλάσιο του α β. Ο αριθμός α≠0 διαιρεί τον αριθμό 3α γ. Ο αριθμός 5 είναι σύνθετος δ. Οι αριθμοί 6 και 8 είναι πρώτοι μεταξύ τους. ε. Αν ένας αριθμός διαιρείται με το 9, θα διαιρείται και με το 3 Να αναλύσετε τους αριθμούς 18 και 24 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και να βρείτε το ΕΚΠ(18,24) και τον ΜΚΔ(18,24) 4

2

2 3 5 και 22 53 7 32. Να βρείτε το ΕΚΠ και τον ΜΚΔ των αριθμών 33. Να αναλύσετε τους παρακάτω αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. α 90 β. 120 γ. 80 δ.144 34. Να συμπληρωθεί ο πενταψήφιος αριθμός 3…51… ώστε να διαιρείται με 2 και 9 35. Στον αριθμό 64… να συμπληρώσετε το κενό με το κατάλληλο ψηφίο ώστε να προκύψει αριθμός που να διαιρείται ταυτόχρονα με το 5 και το 3. 36. Να βρείτε τον αριθμό Μ.Κ.Δ. των αριθμών 32, 48, 64. 37. Να βρείτε το Ε.Κ.Π. των αριθμών 6, 13.

1ο Κεφάλαιο

Σελίδα 2

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ A.1.Γενικές Ασκήσεις 38. α) Να υπολογίσεις την τιμή της παράστασης: Α = 3 (24 + 5) +152 +2133+ 312010 β) Η τιμή του Α που βρήκες στο α) ερώτημα , διαιρείται δια 5; διαιρείται δια 3; Να δικαιολογήσεις την απάντηση σου 39. α)Να γράψετε την Ευκλείδεια διαίρεση του 2535 δια του 11. Ποιό είναι το πηλίκο και ποιο το υπόλοιπο; β) Ο αριθμός 2535 διαιρείται (ακριβώς) με το 2, με το 3 ,με το 5,με το 11; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 40. Ο διαιρέτης σε μια διαίρεση είναι 4 και το πηλίκο είναι 10. α) Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του υπολοίπου. β) Αν το υπόλοιπο είναι διάφορο του μηδενός και άρτιος να βρεθεί ο διαιρετέος. 41. α) Αν ο χ είναι ένας περιττός φυσικός αριθμός τότε ποιος είναι ο επόμενός του περιττός φυσικός αριθμός; β) Να βρείτε τους παραπάνω δυο περιττούς φυσικούς αριθμούς αν είναι γνωστό ότι έχουν άθροισμα 2008 42. Να δείξετε ότι οι παραστάσεις έχουν την ίδια αριθμητική τιμή; A = ( 1800 + 16,7 ) : 3,7 - 2 ( 19 -15 ) + ( 58 - 13 ) · 13,6 και Β = 40 + (52 -32 + 73 ) - 7 ( 22 - 12 + 17 ) + 55 · 0,1 43. Να βρείτε ποια από τις παραστάσεις έχει την μεγαλύτερη αριθμητική τιμή;

A  7  43  5  (24 12  72 ) 1, 2 : 0,3  3  82  2 15  B  (3,5  22  7)  2  33  (3  7  82 : 4)  4,6 : 0, 2 17  0, 25  44. Αν

x  2 15  4  5

,

y  500  0,1 και z  52 . Να βρεθεί η τιμή της παράστασης

K  x 2  10(y : z)3  (2x  y)0  18 45. Ο δήμος μίας πόλης πρόκειται να πλακοστρώσει μία τετραγωνική πλατεία περιμέτρου 400m με ορθογώνιες τριγωνικές πλάκες που έχουν κάθετες πλευρές 30cm και 40cm . Να βρείτε πόσες πλάκες ακριβώς θα χρειαστούν για την πλακόστρωση και πόσα χρήματα θα κοστίσουν αυτές αν 5 από τις πλάκες κοστίζουν 6 €. 46. Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων: A=(23+1):( 52-12 2)+(32-23)50 και B=2x3-3x2+5x-1 . όταν x=2


Σελίδα 3


A.2.1. Η έννοια του κλάσματος

1. Να βρείτε ποιο μέρος των 1000 € αποτελούν : α) τα 50 €, β) τα 10 €, γ) τα 350 €

δ) τα 5.000 €

2. Να βρείτε πόσα cm είναι : α) το

1 4 του μέτρου, β) τα του μέτρου 5 5

3. Να εκφράσετε με κλάσμα : α) 17 min της ώρας, β) 2 ημέρες της εβδομάδας, 4. Το

γ) 31 ημέρες του έτους

1 μιας διαδρομής γίνεται σε 15 min. Σε πόση ώρα γίνονται : 10 7 α) τα της διαδρομής, β) ολόκληρη η διαδρομή 10

5. 1 κιλό κεράσια κοστίζουν 800 δρχ. Να βρείτε πόσο κοστίζουν : α) το

1 του κιλού, 5

β) τα

4 του κιλού 5

3 3 μιας απόστασης είναι 36 km. Να βρείτε πόσα km είναι τα της απόστασης. 13 4 6 2 7. Τα ενός αριθμού είναι ο αριθμός 36. Να βρείτε ποιος αριθμός είναι τα του αριθμού. 7 3 2 8. Ένα χωριό έχει 533 κατοίκους. Από αυτούς τα είναι συνταξιούχοι. Να βρείτε πόσοι είναι οι 7 6. Τα

συνταξιούχοι. 9. Να γράψετε ως κλάσματα τα πηλίκα των διαιρέσεων:

4:5

10. Να βρείτε ποια διαίρεση παριστάνει καθένα από τα κλάσματα:

12 : 17

2 , 19

1:7

101 , 102

1 , 8

7:1

10 1

11. Να βρείτε ποια από τα παρακάτω κλάσματα παριστάνουν φυσικούς αριθμούς :

9 3

7 2

86 4

198 9

13 1

12. Να βρείτε τους φυσικούς που παριστάνουν τα κλάσματα :

5 1

1024 32

625 25

0 153

573 573

.... 12 3  .... 3  .... , β) 7 = , γ) 0 = , δ) 1 = 1 .... 5 4 x 5 8x 5 x  0, 0, 0 14. Ποια είναι η τιμή του x για να ισχύει; α) β) γ) 17 19 6  5 κ2  5  1,  1, 1 15. Ποια είναι η τιμή του κ για να ισχύει; α) β) γ) 6 10 13 13. Να συμπληρώσετε τα κενά :


α) 3 =

Σελίδα 4

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ 16. Να βρείτε σε μέτρα :

1 των 3 μέτρων, 5

α) το

β) το

1 των 10 μέτρων. 11

Α.2.2. Ισοδύναμα κλάσματα 17. Να γράψετε ως κλάσμα το 3 με παρονομαστή τον αριθμό : 1, 2, 4, 15 18. Να συμπληρώσετε τις ισότητες : α) 1 =

στ) 6 =

5 5

,

β) 2 =

,

ζ) 7 = ,

5

,

γ) 3 =

η) 8 =

5

5 5

,

δ) 4 =

,

θ) 9 =

5

,

ε) 5 =

5

,

5

19. Να συμπληρώσετε τις ισότητες : α)

1  , 7 14

1  , γ) 7 35

β)

1  , 7 63

δ)

1  , ε) 7 77

1  7 500

γ)

5  , 6 60

δ)

5  , ε) 6 150

5  6 360

γ)

5  , 6 90

δ)

7 11   , ε) , 9 90 15 90


5  , β) 6 12

5  , 6 24


1 1   , , β) 2 90 3 90

στ)

23  , ζ) 30 90

2  45 90

22. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα :

4 8

9 12

25 35

42 49

18 72

35 105

23. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα :

126 54

144 148

243 81

333 999

256 82

2 24. Να μετατρέψετε καθένα από τα παρακάτω κλάσματα με παρανομαστή το 48:

3 25. Να βρείτε ποια από τα παρακάτω κλάσματα είναι ίσα

2

,

2 3

,

6 4

,

30 45

3

,

,

5 6

15 10

,

,

7 12

,

x 16

8 12

26. Ποια είναι η τιμή του x για να ισχύει; α)

3 x = , 5 15

β)

2 α  , γ) 7 49

5 y  8 24

27. Ποια είναι η τιμή του κ για να ισχύει; α)

13






52 , β) 104

5 35  , γ) κ 49

76 4 κ Σελίδα 5

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ 28. Να βρείτε ποια από τα παρακάτω ζεύγη κλασμάτων είναι ίσα : α)

3 6 και , 4 8

β)

8 10 και , 15 18

γ)

1 27 και , 4 100

ε)

44 4 και , 99 9

στ)

2525 25 και , 9999 99

ζ)

123123 123 και 999999 999

κ 2κ  7λ  1 να απλοποιήσετε το κλάσμα : λ 8κ  4λ 8  2α 30. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα : α) , β) 4α

δ)

51 32 και 72 45

29. Αν

10  5x , γ) 20  10 x

4α  8β 6α  12β

Α.2.3. Σύγκριση κλασμάτων 31. Να συγκρίνετε τα κλάσματα : α)

4 7 , , 9 9

β)

3 3 , , 10 11

γ)

2 3 , , 17 17

δ)

9 9 , , 13 14

ε)

9 ,9 7

γ)

8 10 , , 9 12

δ)

1 ,5 , 5

ε)

3 4 , 4 3

32. Να συγκρίνετε τα κλάσματα : α)

2 7 , , 3 10

β)

5 11 , , 7 14

33. Να συγκρίνετε με το 1 τα κλάσματα :

5 6

7 9

25 23

73 62 5

34. Να τοποθετήσετε σε αύξουσα σειρά τα κλάσματα:

3

,

7 9

,

5 4

88 88 ,

5 9

217 512

,1

35. Να τοποθετήσετε στην ευθεία των αριθμών τα κλάσματα

)

1 3 7 11 , , , , 4 4 4 4

)

1 2 3 5 5 , , , , 2 3 2 3 2

36. Να γράψετε στη σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τα κλάσματα : α)

7 7 7 7 7 7 7 , , , , , , , 2 8 13 3 15 5 9

β)

1 7 3 13 9 2 17 , , , , , , 10 10 10 10 10 10 10

37. Να γράψετε στη σειρά από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο τα κλάσματα : α)

1 3 11 5 3 , , , , , β) 4 8 10 5 4

2 12 11 3 12 12 1 , , , , , , 5 7 11 5 11 5 5

38. Να βρείτε τα κλάσματα που έχουν αριθμητή το 7 και είναι μεγαλύτερα από το 1. 39. Να βρείτε τα κλάσματα που έχουν παρονομαστή το 6 και είναι μικρότερα από το 1. 40. Να βρείτε ένα τουλάχιστο κλάσμα μεγαλύτερο από το : α)

2 , 7

β)

1 , 5

γ)

17 , 29

δ)

35 34

41. Να βρείτε ένα τουλάχιστο κλάσμα μικρότερο από το : α)

1 , β) 8

3 , γ) 4

6 , δ) 5

39 30

42. Να βρείτε ένα κλάσμα μεγαλύτερο από το 2ο Κεφάλαιο

1 2 και μικρότερο από το 9 9 Σελίδα 6

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ 5 6 και μικρότερο από το . 6 7 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 44. Να συγκριθούν τα κλάσματα στις παρακάτω ομάδες: α) , , , , , , , , , 31 1 45 7 6 31 1 45 7 6 8 4 12 4 7 11 6 9 10 5 7 4 17 3 5 β) , , , , , , , , , γ) , , , , 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 9 36 4 12 3 8 9 116 85 , . 45. Να συγκρίνεται με το 1 τα κλάσματα: , , , 4 7 9 253 48 43. Να βρείτε ένα κλάσμα μεγαλύτερο από το

46. Να βρεθεί ένα κλάσμα μεγαλύτερο από το 1/9 και μικρότερο από το 2/9. 47. Να βρεθεί ένα κλάσμα μεγαλύτερο από το 3/4 και μικρότερο από το 4/5. 48. Αν

3 4

24

4 5

, να βρείτε την τιμή του φυσικού αριθμού α

49. Να συγκρίνετε με τη μονάδα τα κλάσματα : α)

2 , 3x  2

x7 , x3

β)

γ)

4( x  2) 4x  8

50. Να συγκρίνετε τα κλάσματα :

κ κ 1 κ κ β , , , γ) , λ λ λα λ 1 11 51. α)Να συγκρίνετε τα κλάσματα : , 2 2 1 α)

κ κ , , β) λ λ 1

δ)

β)Να γράψετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τα κλάσματα:

κ 1 όταν κ < λ λ 1 2 1 11

κ λ 2 52. α)Να συγκρίνετε : 1 γ)Να συγκρίνετε :

61 64 , 95 93

1 2 5 7 3 6 4 8 , , , , , , , 2 3 6 8 4 7 5 9

β)Να γράψετε από το μεγαλύτερο στο μικρότερο τα κλάσματα : γ)Να συγκρίνετε :

κ 1 όταν κ > λ λ 1

κ λ

2 3 8 9 7 6 4 5 , , , , , , , 1 2 7 8 6 5 3 4

Α.2.4. Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων 53. Να βρείτε τα αθροίσματα : α)

8 1 2 8 3  , β)   , 10 10 13 13 13

γ)

18 27 43   121 121 121

54. Να κάνετε τις πράξεις : α)

2 6  , 3 5

β)

2 9 7 11 4  , γ)  , δ) 8  , 13 26 16 8 9

3

ε)

8 5

55. Να υπολογίσετε : α)

3 3 3   , 4 5 20


β)

5 1 5 1    , 3 6 12 4

1 3

2 3

3 4

1 5

4 5

γ) (2  )  (  ) , δ) (2  )  (3  )

Σελίδα 7

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ 2 3 5 , 19+ , 7+ 3 8 11 1 5 2 7 2 1 2 57. Να υπολογιστούν τα αθροίσματα: α) 3   1 β)    2 6 3 8 9 8 9 2 1 1 1 1 4 , 3 , 8 , 2 , 10 58. α)Να γράψετε ως κλάσματα τους μικτούς : 7 3 5 11 6 12 15 18 25 27 , , , , β) Να γράψετε τα κλάσματα σαν μικτούς : 8 4 3 3 2 56. Να γράψετε σαν μεικτούς αριθμούς τα αθροίσματα: 6 

59. Να βρείτε τις διαφορές : α)

5 3  , 8 8

β)

15 6 34 8  , γ)  , δ) 22 22 13 13

42 17  , ε) 99 95

333 300  999 999

23 3  , ε) 20 10

1 1  4 5

60. Nα υπολογίσετε τις διαφορές : α)

8 2  , 9 7

β)

17 7  , 18 9

15 3  , δ) 32 16

γ)


1 3 1  (  ), 5 10 10

1 3

2 3

( 7  )  (6  ) , γ)

β)

1 1 1 2 (  )(  ) 2 3 6 3

62. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης :

1 1 1 2 1 3 1 4 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 (  )(  )(  )(  )(  )(  )(  )(  )(  ) 2 2 3 3 4 4 5 5 6 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 63. Σε ένα Γυμνάσιο η Α΄και η Β΄τάξη έχουν τα

3 1 και των μαθητών του Γυμνασίου αντίστοιχα. Ποιο 8 3

μέρος των μαθητών του Γυμνασίου έχει η Γ΄τάξη;

3 4 για να βρούμε άθροισμα ; 7 5 4 13 65. Να βρείτε σε ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε τον αριθμό για να βρούμε διαφορά . 9 18 7 7 66. Να βρείτε από ποιον αριθμό πρέπει να αφαιρέσουμε το για να βρούμε διαφορά 10 5 64. Ποιο κλάσμα πρέπει να προσθέσουμε στο


x

1 1  , 8 4

x 1 

β)

5 , 2

γ)

x2

1 , 3

δ)

x

2 1  5 5

Α.2.5. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων 68. Να υπολογίσετε : α)

6 5  , 7 3

β)

1 3  , 8 4

γ)

2 10  , 5 11

δ)

5 1  , 13 5

ε)

35 1  , 2 7

στ)

4 27  9 16

69. Nα υπολογίσετε :


Σελίδα 8

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ 1 3

α) 10  ,

β)

1 4 , 8

γ)

7  21 , 3

δ)

3  24 8


1 2 3 4 5     , 2 3 4 5 6

β)

5 4 3 2 1     , 3 7 2 5 4

γ)

1 2 5  3, 5 7

δ)

3 2 5    16 8 15 2

β)

1 1     2 , 6 3 

γ)

2 3 6    , 7 4 8

δ) 2  

71. Να κάνετε τις πράξεις :

 2 3  ,  5 5

α) 3  

ε)

 13 5     4 2

1 1 1 1     6 2 3 4

72. Να βρείτε τους αντίστροφους των αριθμών :

8 3 1 6 , , , , 2 , 25 9 4 7 5

73. Ποια είναι η τιμή του x για να ισχύει; α) 5x = 1,

74. Να βρείτε τα

β)

1 x  1 , γ) 3

7 5 x  1 , δ) x   1 , ε) 8 9

2 x 1 5

2 1 του του 100. 5 2

75. Ένα Γυμνάσιο έχει 180 μαθητές. Τα

3 1 των μαθητών παρακολουθούν Γαλλικά . Το των μαθητών που 5 4

παρακολουθούν Γαλλικά είναι αγόρια. Πόσα αγόρια παρακολουθούν Γαλλικά; 76. Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει μήκος 20 cm, πλάτος τα

4 5 του μήκους του και μήκος τα του 5 8

πλάτους του. Να βρείτε τον όγκο του. Α.2.6. Διαίρεση κλασμάτων 77. Να υπολογίσετε : α)

5 4 : , 7 11

β)

3 8 : , 4 11

γ)

1 1 : , 4 2

δ)

4 2 : , 13 3

ε)

1 4: , 6

στ)

8 :5 5

β)

1 5 : , 6 6

γ)

6 6 : , 7 11

δ)

3 3 : , 8 2

ε)

5 :1, 9

στ)

7 :1 8


2 3 : , 5 5

79. Να κάνετε τις διαιρέσεις : α)

1 1 2 : , 3 9

β)

1 2 1 27 2 2 : 3 , γ) 2 : , δ) 5 : 6 25 5 4 12 3 3

80. Να βρείτε τα πηλίκα : α)

2 3 : , 7 7

β)

3 2 : , 7 7

γ)

1  2 8 : : , 4  3 3

δ)

1 2 8  : : 4 3 3

81. Να κάνετε τις πράξεις : 2ο Κεφάλαιο

Σελίδα 9

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ α)

1 3 3   : 8 8 5

1 1 3 3 :  : 5 3 8 5

και

β)

4 1 2   : 7 2 5

β)

1 1 5 1 6 1 5   :    :  2 3 6 2 5 6 3

4 2 1 2 :  : 7 5 2 5

και


1 5 7 3  1 :  3   : 1   , 2 2 2 2  5

83. Να τραπούν τα σύνθετα κλάσματα σε απλά

2 ) 3, 5 6

)

3 ) 4, 5

4 , 2 5

1 2 3

)


1 3 2 1 3 1 1 5  x  , β) x  , γ) : x  , δ) x :  , ε) 5 7 3 4 8 4 2 9

85. Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το 86. Ένας εργάτης σε μια ώρα κάνει τα

3 2

87. Αν

1 1 8 5

2 5

4 5 4 : x  , στ) x : 5 = 5 3 11

3 2 για να πάρουμε γινόμενο 2 ; 8 3

2 ενός έργου. Σε πόσες ώρες θα τελειώσει το έργο ; 17

3 5 : να βρεθεί η παράσταση 2.Α-Β= 8 7

Α.2. Γενικές Ασκήσεις 88. Να κάνετε τις πράξεις

)

1

6

2

2

)1

4.9

12

123 2

3

15

3

5.2

91. Αν 92. Αν


,

1

1

1

2

3

6

89. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: 90. Αν

2

104

3.2 2

2

)

) 2012

)

7 2

5

2

3

6.4 4

1

5

7

2

3

6

1

11

111

1111

5

55

555

5555

,

1 5

, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

2222

2323

3333

4545

3

2 3 7

5 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

17

)

2 3 , να υπολογίσετε τις παραστάσεις

3

10

1

2 3

2

Σελίδα 10

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ 2 93. Αν

3

1

,

5 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

2

2

94. Να υπολογίσετε τα γινόμενα

)

1111 111

.

777 7777

1

) 1

2 1

) 1

2

,

) 1

1

1

3 1

1

44 1

4 1

1

3

55

.

88 77 1

.

33 22 1 5

...... 1

4

.

70 25 1

1

6

1 100

95. Να υπολογίσετε τις δυνάμεις 3

3 5 2 ) ) 2 2 5 3 5 ) 1 2 2 3

1 ) 2 2

8 1

10

1 2

3

96. Δύο συνέταιροι μοιράζονται τα ημερήσια κέρδη μιας επιχείρησης. Αν ο ένας παίρνει τα

3 , που είναι 8

600€, να βρείτε το συνολικό κέρδος και το κέρδος του δεύτερου συνέταιρου 97. Ένας κινηματογράφος είναι γεμάτος κατά τα

3 , ενώ έχει και 116 κενές θέσεις . Πόσες θέσεις είναι 7

κατειλημμένες; 98. Ένα βαρέλι χωράει 180 lt. Από την ποσότητα που περιέχει αφαιρούμε 30lt και το βαρέλι μένει γεμάτο

5 . Πόσα λίτρα περιείχε αρχικά; 8 1 1 99. Ο Γιώργος την Δευτέρα ξόδεψε το των χρημάτων του. Την Τρίτη ξόδεψε το των υπολοίπων 4 5 κατά τα

χρημάτων που του έμειναν. Αν στο τέλος της Τρίτης έχει 15€ πόσα χρήματα ήταν αυτά που είχε ο Γιώργος 100. Ένα μικρό χωριό έχει 96 κατοίκους .Από αυτούς οι 12 είναι παιδιά. Να βρείς ποιο μέρος των κατοίκων του χωριού είναι τα παιδιά. 101.

Τα

3 των σελίδων ενός βιβλίου της Α΄ Γυμνασίου έχουν εικόνες. Να βρείς πόσες είναι όλες οι 5

σελίδες του βιβλίου, αν οι σελίδες που δεν έχουν εικόνες είναι 90 102.

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι

5 10 2 m να υπολογιστεί η m . Αν η μία διάσταση του είναι 4 16

άλλη διάσταση. 103.

Ποσότητα 17kg καφέ συσκευάζεται σε φακελάκια των

3 kg το καθένα. Να βρείς πόσα τέτοια 20

φακελάκια θα γίνουν και πόσος καφές θα περισσέψει;


Σελίδα 11

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ 104.

Τα

2 5 των μαθητών έχουν στα Μαθηματικά βαθμό μεγαλύτερο του 15 και τα αυτών είναι 15 36

αριστούχοι. Να βρεις ποιο μέρος των μαθητών του σχολείου είναι αριστούχοι; 105. Με ένα χρηματικό ποσό αγοράσαμε ένα καναπέ τέσσερεις πολυθρόνες και οκτώ καρέκλες. Ο καναπές κόστισε το

1 1 και η κάθε πολυθρόνα το του ποσού. Να υπολογίσεις α) Ποιο μέρος του 5 10

ποσού κόστισε η κάθε καρέκλα β) Πόσο είναι όλο το χρηματικό ποσό, αν για κάθε καρέκλα δώσαμε 30€. 106.

Το

1 2 των μηνιαίων εσόδων μιας οικογένειας ξοδεύεται για διατροφή. Τα των χρημάτων της 5 7

διατροφής ξοδεύονται για λαχανικά. Αν τα μηνιαία έσοδα της οικογένειας είναι 1155€, να βρεις πόσα χρήματα ξοδεύει η οικογένεια για λαχανικά; 107.

2 5

Αν τα ενός ποσού τα ξόδεψα στην εκδρομή , και από τα υπόλοιπα χρήματα το

1 το ξόδεψα 4

στο κυλικείο, μου περίσσεψαν 9€ . Πόσο ήταν το αρχικό ποσό; 108. Ένας οινοπαραγωγός έχει 11.500lt κρασιού. Θέλει να το συσκευάσει σε φιάλες που η καθεμία χωράει

109.

γ)

7 lt . Πόσες φιάλες χρειάζεται και πόσο κρασί θα του μείνει; 10

Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: α)

μ κλ

, όπου

κ 

5 11 1 7 3  2,   2 , β) λ  3 3 6 3 2

κ και λ τα αποτελέσματα από τα ερωτήματα i) και ii).

Tι είναι οι αριθμοί Κ, Λ μεταξύ τους και γιατί;

5 3

2 6 1 5 1 2 , Β=  , Γ=   , Α+Β-Γ . 3 9 3 6 4 3

110.

Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: Α= 

111.

Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων.

4 2) Β= 3 -2 2 6

3 6 1) Α=  10 10

4) Δ= (9)  (2) 

(20) (4)

3) Γ= 5  (4)  (1)  (7)

5) A+B+Γ+Δ

112. Δεξαμενή έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπίπεδου με διαστάσεις 2m, 12dm και 80cm. Να υπολογίσετε πόσα λίτρα πετρέλαιο υπάρχουν στην δεξαμενή αν γνωρίζουμε ότι είναι γεμάτη κατά τα 3/5 της 113. Δοχείο έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις, μήκος 0,4m πλάτος 3,5dm και ύψος 60cm. Να υπολογίσετε αν το δοχείο χωράει 63 λίτρα νερό και αν ναι, να βρεθεί το ύψος του νερού στο δοχείο.

1 1 2 1 A  1 1 και B  2    .Να 2 3 3 6 A 2B  παράστασης P  2 3

114.

Αν


βρεθεί η τιμή και ο αντίστροφος της

Σελίδα 12

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ 115.

1 3 μιας πίτσας κοστίζει 17,5 €. Να βρείτε πόσο κοστίζουν i) τα της πίτσας ii) ολόκληρη η 8 8

Το

πίτσα. 116. 117.

118.

4 7 των μελών ενός συλλόγου είναι 88 μέλη. Να βρείτε πόσα μέλη είναι τα του συλλόγου. 11 11 2 3 Τα ενός αριθμού είναι ο αριθμός 32. Να βρείτε ποιος αριθμός είναι τα του αριθμού. 5 8 Τα

Τα

5 των εργατών ενός εργοστάσιου είναι γυναίκες. Αν οι εργαζόμενοι άντρες είναι 424 να βρείτε 9

πόσους συνολικά απασχολεί το εργοστάσιο. 119. 120. 121. 122. 123. 124. 125. 126. 127.

x 8 x 2  0, 1 13 3 3 x 2 a 5  Να λύσετε τις εξισώσεις i) = ii)  iii)  5 15 7 49 8 24 2 7 8 10 1 3 4 5 11 Nα συγκρίνετε τα κλάσματα i) , ii) , iii) , iv) , 5 v) , 3 10 7 14 9 12 5 4 3 3 1 3 1 2 1 1 2 3 5 1 5 1  . Να βρείτε τα αθροίσματα i)   ii) 3+  iii)    iv)   4 2 8 4 8 3 7 3 7 3 6 12 4 3 4 2  4 1  3 3 Nα βρείτε τις διαφορές i)  ii)7- iii)        . 2 3 3  3 3  4 8 1 4 5 3 1 4 Να λύσετε τις εξισώσεις i) x +  ii) x + 2 = iii) x – 1 = iv) x -  . 5 10 2 2 3 6 2 4 Να βρείτε σε ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε το αριθμό για να βρούμε άθροισμα . 5 7 6 2 Να βρείτε από ποιον αριθμό πρέπει να αφαιρέσουμε τον για να βρούμε διαφορά . 7 3 13 5 Το άθροισμα δυο αριθμών είναι . Ο ένας προσθετέος είναι ο . Να βρείτε ποιος είναι ο άλλος 5 3 Να λύσετε τις εξισώσεις

προσθετέος. 128.

Ο Γιώργος αγόρασε 1 σοκολάτα .Έδωσε το

1 2 αυτής στον αδερφό του και τα 3 7

στην αδερφή του.Ποιο μέρος της σοκολάτας του έμεινε; 129. Τα

Η Κατερίνα παίρνει από την μητέρα της κάθε μέρα το ίδιο χαρτζιλίκι. Το

1 το ξοδεύει σε φαγητό. 4

2 σε ψιλικά και τα υπόλοιπα τα βάζει στον κουμπαρά της. Ποιο μέρος από το χαρτζιλίκι βάζει 3

καθημερινά στον κουμπαρά της; 130.

Να

υπολογίσετε

B  x  3 x  2 2


x2

τις

παρακάτω

παραστάσεις:

A  6  (4  7) : (5  2)  4  (2 3  3)

και

αν x  4

Σελίδα 13

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ A 1 1 1 Έπειτα να βρείτε την παράσταση Γ   B :  καθώς και τον αντίστροφο αυτής. 2 3 4 A

Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: i)  

131.

1 7 3 5 11   , ii)    , iii)      , όπου Κ και Λ 3 6 4 3 9

τα αποτελέσματα από τα ερωτήματα i) και ii). Tι είναι οι αριθμοί Κ, Λ και γιατί;

2 1 3 2 1 2 2  1 3 3 5 3     , β)     , γ)     , δ)     3 4 2 3 4 3 5  4 8 2 3 6 2  34 20 8  4 8  1  1 5 6  3 1  13  2 4    ε)  5          στ)  2          ζ)    3 9 4 16  3 6  4 2 3 7 2 4 5 5 3  

132.

Να κάνετε τις πράξεις: α)

133.

Τρία συνεργεία εργατών ανέλαβαν να κατασκευάσουν ένα δρόμο. Το 1ο συνεργείο κατασκεύασε

τα

2 1 του δρόμου, το 2ο το και το 3ο το υπόλοιπο. Ποιο συνεργείο κατασκεύασε το μεγαλύτερο 7 3

μέρος του δρόμου;

3 5 για να βρούμε άθροισμα . 4 6 2 2 2  2  1  1 1  3  (5  4 ) 135. Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις: α)         34 3 2 3 5 3 2 3 1  1 1 5 1 3 5 1 3 5 β)      4  2  1  , γ)   3      :  4  4 3 4 2 3 2 2 3 4 6 2 4 4 5 25 11 8 1 2 :  :4  1 5 1 1  9 5 δ)     ε) 4 21 15  33   1 1 2  2  25 4   2 1 3 2 3 136. Να βρείτε τα του Α όταν Α = 24:23 +3(7 – 3) +52 – 32. 5 134.

Να βρείτε σε ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε τον αριθμό

137. Από τρεις βρύσες η α΄ γεμίζει μια δεξαμενή σε 5 ώρες, η β΄ βρύση σε 7 ώρες και η γ΄ σε 9 ώρες. α) Τι μέρος της δεξαμενής γεμίζει σε μια ώρα κάθε βρύση; β) Τι μέρος της δεξαμενής γεμίζουν σε μια ώρα και οι τρεις βρύσες όταν λειτουργούν ταυτόχρονα; 138. α) Σε μια τάξη 25 μαθητών, 6 μαθητές πήραν στο διαγώνισμα των Μαθηματικών βαθμό άριστα. Να βρείτε το μέρος των μαθητών που πήρε βαθμό άριστα. β) Σε μια άλλη τάξη 20 μαθητών, 4 μαθητές πήραν βαθμό άριστα. Να βρείτε το μέρος των μαθητών που πήρε βαθμό άριστα. γ) Να μετατρέψετε τα παραπάνω κλάσματα σε ισοδύναμα με παρονομαστή το 100 και να βρείτε ποια από τις δυο τάξεις είχε μεγαλύτερο ποσοστό άριστων στα μαθηματικά. 139. Αφού γίνουν οι πράξεις στους όρους των κλασμάτων να τα απλοποιήσετε:

4  52  8  10 34  33  32  3 3  52  3  10 23  24  22 Γ  Δ  , B= , , (23  37): (36  32) (12  6)  32 (19  16)  (28  23) (16  24)  22 7 4 17 7 2 α) Να συγκρίνετε τα κλάσματα , , , β) Να συγκρίνετε με την μονάδα τα κλάσματα , 8 9 36 5 3 4 1 1 2 1 3 1 3 1 β)   γ) 3  1  4 Να κάνετε τις πράξεις: a)  (  ) 5 3 6 3 2 4 4 4 3 5 10 7 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x   β) x   1 9 3 8 5 1 5 3 3 1 Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: α) 3  2  3 β) 12  4  (5  2 ) 6 3 6 4 4 2

A 140. 141. 142. 143.


Σελίδα 14


β) ( 145. α)

5 1 3 3 2 3   )  4  2 1  6 2 4 4 3 4 5 1 2 5 3 1 γ) (   )  3  3  1  4 2 3 6 4 3

Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: α) (

144.

3 5 1 7 1 1  ) (  ) 4 6 2 6 2 3

Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων:

3 5 5 4 1 (   )  (3   ) 4 2 6 3 4


β)

1 1 1 5 3 1 (  3)   2   (  ) 4 2 3 6 4 2

Σελίδα 15


Α3.1. Δεκαδικά κλάσματα – Δεκαδικοί αριθμοί – Διάταξη δεκαδικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση 1. Δίνονται οι αριθμοί: 2.408 3.066 11,08 52,3060 33,306 27 0,2408 240,8 24,08 110,80 27,30600 240 α) Να βρείτε ποιοι από τους αριθμούς αυτούς έχουν το ίδιο ακέραιο μέρος και ποιοι έχουν το ίδιο δεκαδικό μέρος. β) Να βρείτε το ψηφίο των δεκάδων και το ψηφίο των δεκάτων στους παραπάνω αριθμούς. 2.

Να στρογγυλοποιήσετε τους αριθμούς 1297 - 39513 - 2,998 στην πλησιέστερη εκατοντάδα , δεκάδα χιλιάδα ή δέκατο, αντίστοιχα. 3. Να γράψετε ως δεκαδικούς τα κλάσματα : 12 625 105 327 15 3 3467 , , , , , , 10 100 1000 100 1000 10 10.000 4. Να γράψετε ως κλάσματα τους δεκαδικούς : 3,7 , 16,25 , 85,6 , 0,61 , 0,0002 , 0,3 , 1,055 5. Να γράψετε ως δεκαδικούς τα κλάσματα :

3 5

,

250 150

,

9 4

,

23 16

6. Να γράψετε ως δεκαδικούς τα κλάσματα με προσέγγιση εκατοστού :

, 2 11

1

3

,

8 ,

50 7 13

,

1 7

7. Να γίνουν οι παρακάτω στρογγυλοποιήσεις: ΑΡΙΘΜΟΣ

ΜΟΝΑΔΑ

ΔΕΚΑΔΑ

ΕΚΑΤΟΝΤΑΔΑ

ΧΙΛΙΑΔΑ

2345,6 987,5 56998 787293

Α3.2. Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς – Δυνάμεις με βάση δεκαδικό αριθμό 8. Να γράψετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς 0,01 2,018 2,01 2,099 2,0999 0,009 0,099 9. Να γίνουν οι πράξεις 2,375•100 2,74•100 43,2•0,1


43,2•0,001

0,74•1000

0,195•100

0,9•0,001

0,37•0,01

Σελίδα 16

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ 5,26•0,001

454•0,001

0,032•0,01

0,23 •0,1

31:10

238:100

37,2:10

0,34:100

312:0,01

0,23:0,1

1:0,01

343:0,001

10. Να υπολογιστούν οι δυνάμεις 3

0,1

2

0,01

2

0,001 3

0,1

2

0,2 3

0,02

0,2 4

0,0002 3

0, 3

2

0,03

0, 3

3

0,003

11. Να απλοποιηθούν τα κλάσματα

a)

2

3

3, 2

1, 5

, b)

2, 4

, c)

0 , 03

12. Να γράψετε τα κλάσματα με όρους φυσικούς αριθμούς :

25 8

3

, d)

0, 6

,

3,1 2,75

,

9 1, 5

7,8 0,25


275 35 152 15 7 1 4 3 7     , γ)  0,5  2,4 : 4,8 , δ)  1,06  0,25 , β)  129 158 351 8 23 19 17 10 50

14. Να γίνουν οι πράξεις 2

)0,3 : 0,01

3,2 5,6 3

)1,5 : 0,1

0,8

)0,2 : 0,01

0,3 : 0,1

) 3,2

9,2 2

2

4,8

0,1

3

2

4,1

0,7 100

0,111

2,34 : 0,001

3

0,5 1000

3,1 : 0,1

3 : 0,1

5

15. Αν χ=0,1 να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων

3

2

16. Να βρεθεί το χ ώστε:


3

2

,

200

3

0,04 :

2011•χ=0,2011 23•χ=2300 4,55:χ=455 4,7:χ=470 25•χ=0,025 0,5•χ=0,005

2

3,2:χ =320 5,2:χ=0,0052 0,3•χ=300

3,4:χ=0,00034 0.6:χ=60

Σελίδα 17

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ A.4.1. Εξισώσεις 1. Η εξίσωση 3χ-2=6-χ έχει λύση : Α. χ=1 Β. χ=2 Γ. χ=3

Δ. χ=4

2. Ο παρακάτω πίνακας αναπαριστά τη σχέση μεταξύ των ηλικιών του Κώστα και της Σοφίας Ηλικία Κώστα Ηλικία Σοφίας 3

10

13 11 Ν a) Να συμπληρώσετε τον πίνακα b) Γράψτε τη σχέση μεταξύ της ηλικίας του Κώστα και τη Σοφίας με δύο λέξεις c) Να εκφράσετε με συμβολικό τρόπο τη σχέση μεταξύ της ηλικίας του Κώστα και της Σοφίας 3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντικαθιστώντας τον άγνωστο χ με τους αριθμούς 1,3,4,5,6,11 Αριθμοί που την Αριθμοί που δεν την Εξίσωση επαληθεύουν επαληθεύουν Χ-4=1 5-χ=4 2χ=8 6

2

2

3

16:χ=4

4. Να λυθούν οι εξισώσεις 3,04 = ω-1,2 2χ+8=14

:


2

5

3

2 3 1 3

3χ-5=7 6

5 3 2

7 8 1 12

5 2 3 2 1 6

5(χ+2)=15 2 2 3 4

1

3 5

4 3 5

6 1 4

8

3

Σελίδα 18

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ 5. Να βρείτε τις τιμές του φυσικού αριθμού ν, ώστε το καθένα από τα παρακάτω κλάσματα να είναι φυσικός αριθμός α .

3 2

β.

15 3

1

6. Ν είναι ένας αριθμός . Όταν ο Ν πολλαπλασιαστεί με το 6 και μετά προστεθεί το 7 , το αποτέλεσμα είναι 42. ποια από τις παρακάτω εξισώσεις αναπαριστά την προηγούμενη διαδικασία; α ) 6Ν-7=41 β) 6(Ν+7)=41 γ ) 6Ν+7=41 δ ) 6Ν·7=41 7. Ποιο από τα παρακάτω προβλήματα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας την εξίσωση Χ+4=30 a) Μια τάξη έχει 30 μαθητές . στη συνέχεια γράφτηκαν άλλοι 4 μαθητές . Πόσους μαθητές έχει η τάξη; b) Ο Γιώργος πρόσθεσε 4 ακόμα βιβλία στη συλλογή του . Αν τώρα έχει 30 βιβλία στη συλλογή του, πόσα βιβλία είχε αρχικά; c) Ο Δημήτρης είχε 30 ευρώ . Στη συνέχεια του έδωσε η μητέρα του 4 ευρώ . Πόσα χρήματα έχει τώρα ; d) Η Άννα με το ποδήλατο έκανε 30 χιλιόμετρα με ταχύτητα 4 μίλια την ώρα . Πόσο χρόνο χρειάστηκε για να κάνει αυτή την διαδρομή; 8. Διατυπώστε ένα πρόβλημα , η απάντηση στο οποίο είναι η λύση της εξίσωσης 9. Έστω η εξίσωση 0χ=3. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση α. Έχει λύση τον αριθμό 2 β. Είναι ταυτότητα γ. Είναι αδύνατη 10. Αν ο αριθμός

7(Χ+6)=41

2 5 είναι λύση της εξίσωσης χ+α= με άγνωστο το χ, να βρείτε την τιμή του α 3 2

11. Αν 2φ+2ω +50=180 , να βρείτε το άθροισμα φ+ω 12. Στο παρακάτω πίνακα να αντιστοιχίσετε τις προτάσεις της στήλης Α με τις σχέσεις της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β α. Το πενταπλάσιο ενός αριθμού ελαττωμένο κατά 7

Χ+3

β. Η διαφορά δυο αριθμών είναι μεγαλύτερη του 5

5Χ-7

γ . Ένας αριθμός αυξάνεται κατά 3

ΧΨ<5 Χ-Ψ>5

A.4.Γενικές Ασκήσεις 13. Δίνονται οι παραστάσεις : α = 3+2 (

2 1 1 1 3 1 2  )  και β =  (  ) : 3 4 6 4 2 3 3

α) Να κάνεις τις πράξεις ,σύμφωνα με την προτεραιότητα τους και να αποδείξεις ότι α =

11 και β = 2. 3

β) Να λύσεις την εξίσωση αχ=β.


Σελίδα 19

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ A.5.1. Ποσοστά και Α.5.2. Προβλήματα με ποσοστά

1. Να γράψετε με μορφή ποσοστών τα κλάσματα :

1 3 7 3 33 27 1 4 , , , , , , , 10 20 50 4 25 5 3 7 2. Να γράψετε ως κλάσματα τα ποσοστά : 5% , 12 % , 2% , 80 % 50 %

,

7,5 % ,

3. Nα υπολογίσετε : α) το 10 % του 40

200 %

, 180 %

,

100 % ,

, 50

β) το 25 % του 60

ε) το 0,2 % του 1000 στ) το 300 % του 25

0

00

0% ,

550

, 0

00

25 % , 110,5

0

00

γ) το 50 % του 1

δ) το 100 % του 763,5

ζ) το 4

η) το 2

0

00

του 100

0

00

του 3.000.000

4. Ο Άγγελος ήταν 48 κιλά και σε ένα έτος το βάρος του αυξήθηκε σε 54 κιλά. Να βρείτε το ποσοστό της αύξησης. 5. Να υπολογίσετε : α) το 25 % των 5.000 €. β) το 50 % των 20 km γ) το 35 % των 5 lt 6. Μια ομάδα ποδοσφαίρου σε μια αγωνιστική περίοδο πέτυχε 40 τέρματα. Την επόμενη χρονιά αύξησε κατά 30 % τον αριθμό των τερμάτων της. Πόσα τέρματα πέτυχε παραπάνω ; 7. Ρωτήθηκαν 800 Αθηναίοι αν είναι ευχαριστημένοι από τη ζωή τους στην Αθήνα. Το 60 % απάντησε πως δεν είναι και μάλιστα από αυτούς 25 % είπαν πως θα ’θελαν να μένουν στην επαρχία. Πόσοι από αυτούς που ρωτήθηκαν θα ’θελαν να ζούνε στην επαρχία ; 8. Να βρείτε το Φ.Π.Α. που αντιστοιχεί σε είδη αξίας : α) 235 € , 6.000 € αν ο συντελεστής είναι 12 % β) 2.000.000 € , 352.500 € αν ο συντελεστής είναι 21 % 9. Αγόρασε κάποιος μια τηλεόραση αλλά πλήρωσε (με Φ.Π.Α.) 885 €. Αν η αξία της είναι 750 € να υπολογίσετε τον συντελεστή Φ.Π.Α. 10. Ένα ραδιόφωνο πωλείται με έκπτωση 25 % και κοστίζει 88 €. Αν έχουμε 18 % Φ.Π.Α. πόσο θα πληρώσει κάποιος για την αγορά του ; 11. Η τιμή ενός προϊόντος είναι 100 € η μονάδα. Γίνεται αύξηση της τιμής του προϊόντος κατά 10 % και κατόπιν η νέα τιμή μειώνεται κατά 10 %. Ποια είναι η τελική τιμή του προϊόντος ; 12. Ένα έπιπλο πουλήθηκε με ζημιά 12 %. Αν πουλιόταν 1200 € ακριβότερα τότε το κέρδος θα ήταν 6 %. Να βρείτε πόσο κόστιζε το έπιπλο. A.5.Γενικές Ασκήσεις 13. Από τους 150 μαθητές ενός γυμνασίου , το 60% ασχολείται με το ποδόσφαιρο . Τα

7 των 10

υπολοίπων ασχολείται με το μπάσκετ και οι υπόλοιποι με το τένις. (α) Πόσοι μαθητές ασχολούνται με το ποδόσφαιρο ; (β) Πόσοι μαθητές ασχολούνται με το μπάσκετ ; (γ) Πόσοι μαθητές ασχολούνται με το τένις ; (δ) Ποιο το ποσοστό των μαθητών του γυμνασίου που ασχολούνται με το τένις ;


Σελίδα 20

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ 14. Από ένα κατάστημα ρούχων που κάνει έκπτωση 20% σε όλα του τα είδη, ο Γιαννάκης αγόρασε μία μπλούζα και ένα παντελόνι. α) Πόσα πλήρωσε για τη μπλούζα, αν πριν την έκπτωση κόστιζε 30€; β) Αν για το παντελόνι πλήρωσε 40€, πόσο κόστιζε πριν την έκπτωση; 15. Ένας αγρότης μάζεψε 3600 κιλά ελιές. α) Αν τα 40 κιλά ελιές βγάζουν 8 κιλά λάδι, να βρείτε πόσα κιλά λάδι έβγαλε ο αγρότης. β) Αν το ελαιοτριβείο (στο οποίο έβγαλε ο αγρότης το λάδι) κρατάει το 4,5% της παραγωγής του λαδιού ως αμοιβή, να βρείτε πόσα κιλά λάδι πήρε ο αγρότης στο σπίτι του. 16. Μία οικογένεια έχει συνολικό μηνιαίο εισόδημα 2.000 Є.Από αυτά διαθέτει το 20 % για ενοίκιο και το ¼ για τα υπόλοιπα έξοδα του σπιτιού. α)Τι ποσοστό χρημάτων της απομένει;

β)Πόσα είναι τα χρήματα αυτά;

17. Ένας έμπορος αγοράζει 500 ηλεκτρονικούς υπολογιστές πληρώνοντας 320.000 €. Πουλάει τους 310 με κέρδος 20 % και τους υπόλοιπους με κέρδος 15 % . α) Πόσα χρήματα κερδίζει συνολικά; β) Πόσο τοις εκατό είναι το κέρδος του από την πώληση όλων των υπολογιστών; 18. Ένας υπάλληλος παίρνει μισθό 700 ευρώ. Το αφεντικό του, του υποσχέθηκε ότι θα του δώσει αύξηση 4%. Να βρείτε: Α. Ποιος θα είναι ο νέος μισθός του υπαλλήλου, αν το αφεντικό του τηρήσει την υπόσχεση του; Β. Αν ο παραπάνω υπάλληλος δίνει τα 19.

20.

21. 22.

3 του νέου μισθού του για ενοίκιο, πιο είναι το ποσό που θα 7

του απομένει για τα υπόλοιπα έξοδα του; Ένας επιχειρηματίας επένδυσε ένα ποσό 4000 € για την αγορά μετοχών μιας εταιρείας. Τον πρώτο μήνα η τιμή της μετοχής ανέβηκε κατά 25% και το επόμενο δίμηνο έπεσε 20% κάθε μήνα. (α) Ποια ήταν η τιμή της μετοχής στο τέλος του τρίτου μήνα; (β) Ποιο είναι το ποσοστό κέρδους ή ζημίας του επί του αρχικού κεφαλαίου στο τέλος του τρίτου μήνα; Ένα αντικείμενο έχει αξία 500 € α) Η τιμή του αυξήθηκε 20%, ποια είναι η νέα του τιμή ; β) Εάν στη νέα τιμή γίνει μείωση 20% ποια θα είναι η τελική τιμή του αντικειμένου; Σε έναν υπάλληλο με μηνιαίο μισθό 720 €, του έγινε αύξηση και ο μισθός του μετά την αύξηση είναι 766,80 €. Να υπολογίσετε το ποσοστό της αύξησης Το θαλασσινό νερό περιέχει αλάτι σε ποσοστό 3% . α) Πόσα κιλά θαλασσινό νερό πρέπει να εξατμιστούν για να πάρουμε 90 kg αλάτι; β) Πόσα κιλά αλάτι υπάρχουν σε 240 kg νερό; γ) Να βρεθεί ο λόγος του βάρους του θαλασσινού νερού προς το βάρος του αλατιού κάθε φορά. (Υποδείξεις-απαντήσεις: α) 3000 kg, β) 7,2 kg, γ) 100/3)

23. Ένα σπίτι ενοικιάζεται το 2003 με 250 €. Το 2004 έγινε αύξηση του ενοικίου κατά 12% και το 2005 κατά 10% .Πόσο είναι το ενοίκιο το 2005; 24. α) Η τιμή ενός αυτοκινήτου είναι 12500 €. Τον επόμενο χρόνο προβλέπεται ότι θα αυξηθεί η τιμή του κατά 15%. Ποιά θα είναι η νέα τιμή του αυτοκινήτου; β) Ένα σακάκι που πουλιόταν 140 €, στις εκπτώσεις πουλιέται 119 €. Να υπολογίσετε το ποσοστό της έκπτωσης.


Σελίδα 21

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ A.6.1. Παράσταση σημείων στο επίπεδο 1. Να σχεδιάσετε τα σχήματα που σχηματίζουν οι ομάδες σημείων ενώνοντας τα σημεία με τη σειρά των βελών στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων: α) (0,6)  (12,6)  (6,0)  (0,6) β) (9,3)  (7,5)  (5,5)  (3,3)  (9,3) γ) (5,1)  (7,1)  (7,4)  (5,4)  (5,1)

Α.6.2. Λόγος δυο αριθμών – Αναλογία 2. Να συμπληρώσετε τον πίνακα : Κλίμακα

Μήκος στο σχέδιο

Πραγματικό μήκος

1:3

10 cm

30 cm

3:4

45 cm

1 : 15

3m 8 cm

3. Να συμπληρώσετε τον πίνακα : Κλίμακα

36 cm

Απόσταση στο χάρτη

Πραγματική απόσταση

1 : 100.000

40 cm

0 cm

1: 300.000

35 cm

1 : 800.000

280 km 15 cm

75 km

4. Να συμπηρώσετε τον παρακάτω πίνακα Κλίμακα

Απόσταση στο χάρτη

1:300.000

35 cm

1:800.000

Πραγματική απόσταςη 280 Km

15 cm

75 Km

5. Οι διαστάσεις ενός οικοπέδου που έχει σχήμα ορθογωνίου είναι 20 cm και 50 cm. Να βρείτε τις διαστάσεις με τις οποίες πρέπει να σχεδιαστεί, αν 2 cm στο σχέδιο αντιπροσωπεύουν 5 cm. 6. Η πραγματική απόσταση 2 πόλεων είναι 180 km, ενώ η απόστασή τους στο χάρτη είναι 30 km. Nα βρείτε τη κλίμακα του χάρτη. 7. Σε χάρτη με κλίμακα 1: 400.000 ένας δρόμος έχει μήκος 20 cm. Να βρείτε το πραγματικό μήκος του δρόμου. 8. Η κλίμακα ενός χάρτη είναι 1 : 150.000. Να βρείτε την απόσταση δύο πόλεων στο χάρτη,αν η πραγματική απόσταση είναι 20 km.


Σελίδα 22

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ Α.6.3. Ανάλογα ποσά – Ιδιότητες αναλόγων ποσών 9. Δίνεται ο πίνακας τιμών δύο ποσών : x 1 2 3 y 6 12 18 Να εξετάσετε αν είναι ανάλογα. 10. Να εξετάσετε αν τα ποσά στους παρακάτω πίνακες είναι ανάλογα: Χ 1,6 4 5,2 ψ 0,4 1 1,3

4 24

5 30

6,4 1,8

χ

2

6

8

9

ψ

4

36

64

81

Χ Ψ

0,3 1,5

11. Nα εξετάσετε αν τα ποσά είναι ανάλογα : x 1 y 3

1 5

30 90

2 6

5 20

3 8

2 6

45 120

x 7 14 25 50 100 y 10 20 40 80 120 12. Να δείξετε ότι τα ποσά είναι ανάλογα και να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα y , x. x 3 6 9 12 15 y 8 16 24 32 40 13. Nα συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα που παριστάνει ανάλογα ποσά. x 50 3 8 y 20 28 60

Α.6.4. Γραφική παράσταση σχέσης αναλογίας 14. Γνωρίζουμε ότι τα ποσά x , y είναι ανάλογα α) Να συμπληρωθεί ο πίνακας β) Να ενώσετε τα σημεία x , y. Τι παρατηρείτε ;


x

1

y

50

2

4 150

250

Σελίδα 23


Α.6.5. Προβλήματα αναλογιών 15. Ένα πουκάμισο πουλήθηκε με έκπτωση 20 %. Αν η αρχική του τιμή ήταν 80 € να βρείτε την τιμή πώλησης. 16. Η τιμή ενός αυτοκινήτου αυξήθηκε από 12.400. € σε 13.000 € Ποιο είναι το ποσοστό της αύξησης ; 17. Ένα βιβλιοπωλείο πουλάει στους μαθητές τα βιβλία του με έκπτωση 15 %. Πόση είναι η έκπτωση για ένα βιβλίο αξίας 33 € ; 18. Τα 200 g ενός προϊόντος κοστίζουν 300 €. Πόσες € θα πληρώσουμε αν αγοράσουμε

3 του κιλού από 4

το προϊόν αυτό ; 19. Αν καταθέσουμε στη τράπεζα 800 € , μετά από ένα χρόνο θα εισπράξουμε 940 €. Να βρείτε : α) Πόσο πρέπει να καταθέσουμε για να εισπράξουμε 1.000 €. β) Πόσο είναι το επιτόκιο της τράπεζας ;

Α.6. Γενικές Ασκήσεις 20. Αν 5 κιλά κρασί κοστίζουν 12,5 ευρώ, να βρείτε: α) Πόσο κοστίζουν τα 12 κιλά κρασί. β) Με 2850 ευρώ πόσα κιλά κρασί αγοράζουμε. 21. Ένα βιβλιοπωλείο πουλάει στους μαθητές τα βιβλία με έκπτωση 15%. Πόση είναι η έκπτωση σέ ένα βιβλίο αξίας 13,5 ευρώ και ποια είναι η τιμή του βιβλίου μετά την έκπτωση. 22. Τα 100 kg σιτάρι δίνουν 60 kg αλεύρι, τα 80 kg αλεύρι δίνουν 150 kg ζυμάρι και τα 100 kg ζυμάρι δίνουν 80 kg ψωμί.Να βρείτε πόσα kg σιτάρι πρέπει να αλέσουμε στον μύλο για να πάρουμε 192 kg ψωμί. 23. Ένας αγρότης πούλησε ένα χωράφι έκτασης 2,5 στρεμμάτων προς 2400 ευρώ το στρέμμα . Τα των χρημάτων που είσπραξε από την πώληση τα τόκισε με επιτόκιο 3% και τα υπόλοιπά με επιτόκιο 2%. Να βρείτε τους τόκους που θα εισπράξει σε ένα έτος. 24. Σ’ ένα κουτί υπάρχουν 25 λαχνοί αριθμημένοι από το 1 έως το 25. Στην κλήρωση συμμετέχουν τρία παιδιά .Το πρώτο παιδί έχει τους λαχνούς που διαιρούνται με το 2 και το 3 συγχρόνως , το δεύτερο έχει τους λαχνούς που διαιρούνται με το 5 και το τρίτο τους υπόλοιπους. Ποιο παιδί έχει τις περισσότερες πιθανότητες να κερδίσει και με ποιό ποσοστό. 25. Όταν δύο ποσά είναι ανάλογα και στην τιμή 5 του πρώτου αντιστοιχεί η τιμή 8 του δεύτερου, τότε στην τιμή 15 του πρώτου η αντίστοιχη τιμή του δεύτερου είναι : Α. 40 Β.75 Γ.24 Δ .50 Ε.κανένα από τα προηγούμενα. (Να κυκλώσετε την σωστή απάντηση) 26. Τα 200 gr ενός προιόντος κοστίζουν 3,8 ευρώ Πόσα ευρώ θα πληρώσουμε , αν αγοράσουμε τα του κιλού απ’ αυτό το προϊόν. 27. Να λυθεί η εξίσωση :

6 1  x  1 3x  4

28. Οι διαστάσεις ενός οικοπέδου που έχει σχήμα ορθογωνίου είναι 20m και 30m .Να βρείτε τις διαστάσεις με τις οποίες πρέπει να σχεδιαστεί , αν 2 cm στο σχέδιο αντιπροσωπεύουν 5m. 29. Το χριστουγεννιάτικο δώρο του Μιχάλη είναι ένα μοντέλο αεροπλάνου 747. Οι πραγματικές διαστάσεις του αεροπλάνου είναι: 70m μήκος και 60m πλάτος. Το μοντέλο έχει μήκος 35cm α) Με ποιά κλίμακα είναι κατασκευασμένο β) ποιό είναι το πλάτος του μοντέλου. 6ο Κεφάλαιο

Σελίδα 24

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ 30. Συμπληρώστε τον πίνακα. Κλίμακα 1:2

Μήκος στο σχέδιο

Πραγματικό μήκος

4 cm

8 cm

3:2

6cm

1:25

2 cm

3:10

150 cm 2 cm

10 cm

31. Στον παρακάτω πίνακα, να βρείτε τα α και β, αν γνωρίζετε ότι τα ποσά x, y είναι ανάλογα x α 16 20 y 3 8 α+β 32. Δίνεται ο πίνακας τιμών δύο ποσών: α) να εξετάσετε αν τα ποσά είναι ανάλογα. β) Να παραστήσετε γραφικά τα σημεία του πίνακά και να τα ενώσετε διαδοχικά. Τι παρατηρείτε. x y

1 2

2 3

3 3,5

4 3,6

33. Δίνεται ο πίνακας τιμών δύο ποσών: α) να εξετάσετε αν τα ποσά είναι ανάλογα. β) Να παραστήσετε γραφικά τα σημεία του πίνακά και να τα ενώσετε διαδοχικά .Τι παρατηρείτε. x y


1 2

2 4

3 6

4 8

Σελίδα 25


A.7.1.Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί – Η ευθεία των ρητών – Τετμημένη σημείου 1. Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι θετικοί και ποιοί αρνητικοί; 2,5 . 2. Οι παρακάτω αριθμοί είναι ομόσημοι ; α) –1 , -3 , -6 β) –2 , 5 , 6 ,-7

-2 , 3 , -4,5 ,-6 , 3,45 ,-

γ) 2, 5, 6 , 7

3. Να παραστήσετε πάνω σε άξονα τους παρακάτω αριθμούς α) –1 , 3,5 , -2,35 , -2,53 , 2, 47 , 2,49 , -2,49 , -2,47 β)

2 3 3 4 3 , , , -4 , - , 3 2 5 5 4 A.7.2.Απόλυτη τιμή ρητών – Αντίθετοι ρητοί – Σύγκριση ρητών

4. Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων: α) 7  8  15

β) 43  8  20

γ) 1,36  0,82  0,9

5. Αν ο αριθμός α είναι θετικός να συγκριθούν οι αριθμοί: α) α , -α

γ) -α , -α

β) α , α

δ) - -α , α

ε) - α , α.

(Όμοια αν ο αριθμός είναι αρνητικός) 6. Μπορεί να ισχύει η σχέση α =-17; 7. Να βρεθούν οι ακέραιοι αριθμοί που ικανοποιούν τις ανισώσεις: α) x <-9

β) x <4 γ) x >5 δ) x  2.

8. Να βρεθούν οι ακέραιοι αριθμοί που ικανοποιούν τις εξισώσεις: 9. Αν ο x παίρνει τιμές από το σύνολο {-3, 2, 6,

α) x =5β) x+1 =4.

1 ,-7, -1, 2} να βρεθούν οι αριθμοί: 5

-x, x , -(-x), - x . 10. Να συμπληρώσετε με την κατάλληλη ανισότητα τα παρακάτω: 4….-5

, -4,2 …..-4, 32 , -6….. 0 , 7,34…..7,43

-7,34…..-7,43 ,

5,3…..5,37 , -5,3…..-5,37 , -6….-28 A.7.3.Πρόσθεση ρητών αριθμών

11. Αν είναι α=(-6)+(-4), β=(-3)+(+9), γ=(-3)+(+7)+α και δ=α+β+(-3)+(+17), να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α=α+β+γ+δ. 12. Αν είναι α= -5, β= +6, γ= -3 και δ= +7, να βρεθούν τα αθροίσματα α+β, β+δ, α+β+γ, β+γ+δ, α+β+δ, α+β+γ+δ. 13. Να βρεθεί το α στις ισότητες: α) 7ο Κεφάλαιο

8 5 6 8 14     +α=0 β) (-5)+(-4)+α+(+20)=0 3 2 4 6 3 Σελίδα 26

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ 14. Αν κ=5, λ=-7, μ=-3, ν=12, να βρεθούν τα αθροίσματα: κ+λ, λ+μ, μ+ν, κ+λ+μ+ν.

1 5 5   , να βρεθούν τα αθροίσματα: x+y, x+ω, y+ω, x+y+ω. 2 3 6

15. Αν x= -2+5+8-4, y=3,5-4+12,5, ω= 16. Να υπολογιστούν τα αθροίσματα:

α) 

1 5 7 8 5    8 3 3 3 3 3

β) -

1 3 1 5    . 2 4 12 6

A.7.4.Αφαίρεση ρητών αριθμών 17. Αν α=-2, β=4, γ= -1 να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων: Α=α-β-γ,

Β= -α+β+γ,

Γ= α+β+γ-(α+β+γ)

18. Αν είναι α=-8, β=13, γ=-2 να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α=(α-β)-γ+(β-γ)-α+(γ-α)-β. 19. Αν είναι x=(-9)+(+4), y=(-13)-(-3) και ω=(-12)-(+8), να βρεθεί η τιμή των παραστάσεων: Α=x-y+ω, Β= x ω και Γ= A  B . 20. Να λυθούν οι εξισώσεις:

1 2 3 3

α) -5-(-3)+x+5,5=-7+4,5 β) -1+x- =

γ) -3-x+(-

1 1 )+2=-3+2+(- ) 2 2

3 1 3 1 και y=  να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α=-(-x)+y-x+(-y). 5 2 2 6

21. Αν είναι x=- +

22. Αν Α=(-3)-(-7)-(+8), Β=(-

1 1 5 )+(- )-(+ ) και Γ=(-1, 2)-(-2, 3)-(-12, 23) να υπολογιστεί η παράσταση 2 3 6

-

Α+Β-(Γ+Β). 23. Αν x-(-3)=

1 , x-y-(-0,1)=-0,4 και x+y-ω=-4 να βρεθούν οι τιμές των x, y και ω 2

24. Να βρεθεί η τιμή των παραστάσεων: α) Αφού πρώτα απαλείψετε τις παραστάσεις β) Αφού πρώτα κάνετε τις πράξεις μέσα στις παραστάσεις:

1 5

1 3

1 3 3 1 -(0,5+ )-4]-(- + ) 2 4 2 3

Α=[( +2)-1]-(2- )-[-(-2)]

Β=-[

Γ=-[(20+7)-(-1-3)]-[(3-5+2)-3+7)] Δ=-[-7+

1 1 1 1 2 3 -( - )]+(    ) 2 3 4 2 3 4

Ε=-20+(-5+9)-[(18-7+3-5)-(6-3)] 25. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: Α=-[-(-5)-(-2)]+[-(-7)]


Β=-[-(-x)]+x.

Σελίδα 27

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ 3 1 1 1 -(-1+ +β)+ +(- +α) πρώτα να απαλείψετε τις παρενθέσεις και μετά να βρείτε την 4 3 2 4 1 1 τιμή της παράστασης Α, όταν είναι α=+ και β=- . 3 2

26. Αν είναι Α=

27. Αν είναι x=-2, y=3 και z=-1 να υπολογιστεί η παράσταση Α=-[-x+2-(-y+x)]-(-x-z) 28. Αν x=-

1 , να υπολογιστούν οι παραστάσεις: 2 Α=-[-2+(-x)+

1 ]+x-(2-x) B=-[(x-2)+(3-x)]+(4-x)+(x-5)] 2

29. Nα απλοποιηθούν οι παραστάσεις: Α=(x+y-x)-(x+y-x)

B=(-α+β-γ)-[-α-(-β-γ)]+γ

Γ=-[-(2α+3β)+5+2α]+2α-5+[2α-(7+2α)]-(3β+7+2α) 30. Να δειχτεί ότι η τιμή της παράστασης Α είναι ανεξάρτητη από τους αριθμούς x και y, όπου είναι Α=x-5[-(x+y)+5+x]-(x+y+7)+[x-(x+7)] 31. Αν είναι Α=-[-8+2-(-3+1)-(9-3+2+5)] και Β=-(15-5)-(9-6)-[-8-(3+7-1)-(+9-4)] να λυθούν οι εξισώσεις: α) Α+Χ=Β β) Χ-Β=Α γ) Χ-Α=-(-Β) 32. Να βρείτε τους αντίθετους των: α) -x-1,

β) x+y,

γ) -3+x-y,

δ)-3-α-β,

ε) β-α-3

33. Στις παρακάτω παραστάσεις να βάλετε τον 3ο και 4ο όρο τους σε παρένθεση που να έχει μπροστά (-) και τους δυο τελευταίους όρους σε παρένθεση που να έχει μπροστά (+). Α=κ+13-λ+8+μ-9

και

Β=15+κ+7-λ-μ+19

34. Αν είναι α+β=-32, να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α=-{α+17+[-5-(β+3)]+γ-(γ+9)}. 35. Αν είναι α+δ=-3 και β+γ=5 να υπολογιστεί η παράσταση: Α=-α-{-δ-β-(δ+γ+α)-[-δ-(-α)]}. 36. Αν είναι α+β=-2 να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Α=α+[2β-(3+β)]-{(α+β)2-[-(-1)]} 37. Αν είναι Α=8+(x-7+y), B=-(-x+6)+y-5 , να υπολογιστούν οι παραστάσεις: Α-Β, Β-Α, -(-Α+Β) 38. Αν α=-

1 3 7 , β= και γ=- να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης : 2 4 3 Α=-[α-(β-γ)]+{-(β-γ)+[β-(γ-α)]-[α+(β+γ)]-(α+β)}.

39. Να βρεθεί η τιμή των παραστάσεων: α) -(-x-y) όταν τα x και y έχουν άθροισμα -7,

β) -(-y)+(-x) όταν x-y=8

γ) α-(α+β+γ)-{(α+γ)-[(β+γ)-(β-α)]} όταν β+γ+1=-9.

A.7.5.Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών 40. Να βρεθούν τα πρόσημα δυο αριθμών όταν έχουν: α) Γινόμενο θετικό και άθροισμα θετικό β) Γινόμενο θετικό και άθροισμα αρνητικό γ) Άθροισμα θετικό και είναι αντίστροφοι. 7ο Κεφάλαιο

Σελίδα 28

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ 41. Να γίνουν οι πράξεις: α) -[-(-4,8)]·5 β) -5·[-3-(-9)] γ) 9-[-(-4)]+(-5)·[-(-6)]-(-8)·(-12+7)



3 

 4   10    5

1  5 1   1  2 3      3     3  6 2   3  3 4 

δ) -  

1

ε)  2   1              στ) -(7+5)·[1-(2-4)]-6·(2-7)+[1-(1+4)·3]·(-5)  4    5  3    6 2  ζ) 4·[-1+(7-3)·(8-5)+6]-(2+3)·(-5+1)

η) -3·(4+3)-2·(-5)+(1-5)·(2-4)

42. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: Α=[13-(

1 1 31 1 -3)+ ]·(-5)·(-1+ ) 2 4 2 2

Γ=6·(-1)+2·[-2·( 

1 1 1  )  (-1-8)] 5 2 3

Β=(-5)·(

1 2 1 5 5 - +5)+ ·(   ) 2 3 3 2 4

1 3

1 3

1 3

Δ=(-1- )·[-2+ ·(-2+10)]-(4- )·(-3)

43. Δίνεται η παράσταση: Α=3·(x+5)+12x-6(x-9), να βρεθεί η τιμή της όταν α) x=-

1 β) x=-2. 3

44. Nα υπολογιστεί η τιμή της παράστασης Α=5·x-(-2x+y-10ω)-(6x+2y+ω)+9y όταν x=0, y=-1, ω=0,2. 45. Αν είναι α=-

3 1 και β= , να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α=-8+12α-6·[4α-5·(3β-4)]-20β. 4 5

46. Αν x=-2, y=3, ω=-1 να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων: Α=xyω+xy+xy-x+5

και

B=x·[y·(ω-1)-1]-2xy+3yω

47. Να βρείτε με δυο τρόπους τις τιμές των παραστάσεων: Α= 3x+x-2x

1 5

B=20x- x+2y-y Γ=5x+6y+x-7y

αν x=-1 και y=-2.

48. Να γραφούν με ποιο απλή μορφή οι παρακάτω παραστάσεις και στη συνέχεια να βρεθεί η τιμή τους για α=-3 α) 2α-5α+13α β) -6α-13α+4α-α.

49. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Α=-[(x-2)·3-3x]+[-1-(-2+10)]·(2-5). 50. Δίνεται η παράσταση Α=5-[2α-(β-7)+γ-5)]-(-9-4α)+[-2-(2β-γ-9)] α) Να εξαλείψετε τις παρενθέσεις και τις αγκύλες β) Αν είναι α=-7, β=-11, να υπολογιστεί το Α. 51. Αν α=-2, β=-1 και γ=0,5 να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Α=(-2)·(α+β-γ)-3·[(α-2β+3γ)-(3α+β)]·[5α-(2α-3β)·(-1)] 52. Να βρεθεί ο αντίθετος και ο αντίστροφος του αριθμού α=x·y·ω-(x·y+x)-2·y·ω, όταν x=-

1 , y=2 και 2

ω=-4,5. 7ο Κεφάλαιο

Σελίδα 29

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ν και β= είναι αντίστροφοι ν 2ν+1

53. Αν ν είναι φυσικός αριθμός, να εξεταστεί αν οι αριθμοί α=2+

αριθμοί. 54. Να γίνουν οι πράξεις: α) (2+3x)·(2-3x) β) 4(α+β)·(x-1) γ) -2(α+β)+3(α-1) 55. Αν είναι α=-3, β=4, γ=-1 , να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων: Α=αβγ-αβ-β+7 και 56. Αν είναι α=-2, β=

Β=α[β(γ-1)-1]-3βγ+4αβ.

1 , γ=-4 να υπολογιστούν οι παραστάσεις: 2

Α=α·β·γ+(α-β)·(β-γ)·(γ-α)

Β=(2α-γ)·(2β-α)·(2γ-β).

57. Να γίνουν οι πράξεις: 58. α) [-2-(-1)]·[-1-(-1)+(3-2)·(2-3)] β) -1· (4-3)·[(2-1)·(4-5)] ·{-[2+(5-7)-2]·(-1)}. 59. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α=α.[β·(α-2)-3]-5·(-α)·(-β) αν είναι α=5 και β=-2. 60. Να υπολογιστεί η παράσταση: Α=(61. Αν είναι α.·β=-

1 1 3 )·(x-2)·(-8+4)-4·(x-2)·( - ) αν είναι x=- . 4 4 2

1 και γ+δ=-2 να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων: 2

Α=α·β·γ+α·β·δ 62. Αν είναι x=(-3)·(-2)·(-8) και y=

Β=(-3)·α·(-2)·β-2·γ+3-2·δ

1 1 1 ·(- )  2 8 3

α) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α=

1 ·x-96·y+3·x·y 4

β) Να δικαιολογήσετε ότι οι αριθμοί x και y είναι αντίστροφοι. 63. Αν είναι Α=(-

1 1 2 5 +1) · [- +(-4+ )]· (x+ ) και ισχύει Α=0, να βρεθεί ο αριθμός x. 4 3 5 8 A.7.6.Διαίρεση ρητών αριθμών

 5 3   1   :    8 8   8 

64. Να γίνουν οι πράξεις: α) 

β) (8·32-12) : (-4)

 3  3  4  2

 3 4  5 2 ( 18):      5 5  6 3

γ) 4·[9-(-2)]+[12 : (-8)]·4 δ)            :

 5 1  5       2   6 3  4  ε) 7 3  1 2 2

 2   5  3  2 

 4 3  1 3 ( 6):      7 7  2 4

στ)            :

65. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις:


Σελίδα 30

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ 3  3 1  4   5       3 4   2 6 Α= ,  4  5    :   7  7

 1  3 5 1  2  :      3  2 4 8  Β=  9 2  4 2     :  3    3 6   5 10 

66. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: Α=8-[-(-2)·5]-10+[6:-3)] ·5

Β=2.[3-(-1)]-10:(-2)] ·

4 Γ=(x+1) ·3+(3x+2): (-1) 5

1 4  1  2 5 5    ( 7):      8  5 2 2 3

Δ=(- ):

2 1 4 , β=- και γ= . 3 2 5  3 4   2 4  β)     :    5 5  3 3 

67. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α=α·β-γ:β-(-α):(β+2γ) όταν α=68. Να γίνουν οι πράξεις: α) [(-2+8)-4·(-2)]: (-9+2)

 2  1     0,1  4   3  2   7 2  γ)    : .     : 1  5  5 5  2 (0,3 )( 2) 6:    3 5

1 3

7 9

3 7

69. Αν είναι x= (  )(  )( 12)(  )(  ω=

9 ) , y=(-14):(+7)+(-13): (-13)+(+12): (-3) και 12

x  y ω 3x 2 y 4ω 7 x 2 y , να βρεθούν οι παραστάσεις Α= και Β= . 3 xyω y+3ω-4

3 4

70. Αν α=(-1)·(-2)·(-3)·(-4)-[-(-20): (+5)], β=(  )·(  παράστασης Α=

4 )· (-1)-[-(12+6): (8-14)], γ=2α+9β, να βρεθεί η τιμή της 3

αβ+βγ+γα . α+4β-2γ

5 6 6 5 x( x  y)  y( y ω) βρεθεί η τιμή της παράστασης Α= . xy  yω+8 5 3.( 2  ) 16:(35) [( 1):(35)].( 3) 3 72. Να υπολογιστεί η παράσταση: Α= . : 1 1 1 1 1 1 [ :(  )].( 3) 7.(1 ) [ (  )]: 3 6 7 2 3 6 3 2 x  x  y 73. Αν είναι x=6 και y=-1 να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Α=  3 )].  :[(-x).(y 3 5  2 5 α  1 3  5 74. Αν είναι α=     :   και β= : (-1+ ) να βρεθεί η τιμή της παράστασης κ= . β 3 6  2 4  6

71. Αν είναι x=(-1)·(+2)·(-3)·(+4)-[-(-36): (+3)], y= (  )·(  )·( 1)  [(17  7) : (10  18)] και ω=3x+7y, να


Σελίδα 31

ΜΕΡΟΣ Α΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ – ΑΛΓΕΒΡΑ  α+β    3α+4  β)   : ( α)   6    3 

75. Αν είναι α=4 και β=-1, να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α=  5

76. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες δεν ορίζονται οι παραστάσεις: Α=

5 , x 1

Β=

3x 1 , x 8

Γ=

5 2  . x 3 x 4

77. Να λυθούν οι εξισώσεις α) -3[4-(-1)]:x=-3

β)

( 2).( 3).x  2 1        :   3 2  4.( 0,5)

9 . 2

A.7.7.Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών _

Α=6.107+2.103+3.10-5+9.0, 5 .

78. Να βρεθεί ο ρητός που παριστάνει η παράσταση: _

79. Αν είναι α=0, 3 , β=0,3 , να υπολογιστούν οι παραστάσεις: Α=1000α+100α-10α-α και Β=-3β+10α+10β2. 80. Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων: _

_

_

___

___

_

____

_

_

___

_

___

Β=3, 123 -2,00 1

Α=0, 5 +0,1 4 +3, 3

_

Γ=1, 25 -0, 3 +4,1 2 -2,04444 ... _

_

Δ=(1, 35 -4, 29 ).98, 9 -0, 9 .[(0,2 27 -1,0 3 ):0,7 5 ] 81. Να γράψετε ποιους περιοδικούς παριστάνουν τα κλάσματα (χωρίς διαίρεση).

4 13 152 1 8 83  , ,  , , ,  9 99 999 99 9 9999 82. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

 1  Α=α1995-3βγ-[(β2-9γ)·(-α)-(β3+3):α2] όταν α=-0, 9 , β=(0, 3 )-1 και γ=   _     0,6  _


_

2

.

Σελίδα 32

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Β.1.1. Σημείο – Ευθύγραμμο τμήμα – Ευθεία – Ημιευθεία – Επίπεδο – Ημιεπίπεδο

1. Να ονομάσετε τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από τα σημεία του παρακάτω σχήματος : Θ

Η

x'

N

x

2. Να ονομάσετε τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από τα σημεία του παρακάτω σχήματος : Γ Δ Ο Β

Α

3. Να βρείτε πόσες ευθείες και ημιευθείες υπάρχουν στο παρακάτω σχήμα. Ποιες από αυτές είναι αντικείμενες ; x z y

y' x'

z'

4. Να βρείτε πόσες ευθείες, ημιευθείες, ευθύγραμμα τμήματα ορίζονται στο παρακάτω σχήμα : x z

y' A B y

Γ

x'

z'

Β.1.2. Γωνίες 5. Να ονομάσετε τις γωνίες που είναι σημειωμένες στα παρακάτω σχήματα:


Σελίδα 33

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β

Γ

Α Δ

6. Να ονομάσετε τις γωνίες που είναι σημειωμένες στο παρακάτω σχήμα. Ποιες από αυτές μπορούν να ονομαστούν με ένα μόνο κεφαλαίο γράμμα ; Α

Γ

Β

Δ

7. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να βρείτε σε κάθε πλευρά : α) την απέναντι γωνία β) τις προσκείμενες γωνίες 8. Να σχεδιάσετε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ και να βρείτε τις γωνίες που περιέχονται : α) στη διαγώνιο ΑΓ και την πλευρά ΑΒ β) στις πλευρές ΒΓ και ΓΔ γ) στη διαγώνιο ΒΔ και την πλευρά ΑΔ 9. Στο παρακάτω τετράπλευρο να βρείτε τις γωνίες με τις οποίες φαίνεται η πλευρά ΔΓ από τις κορυφές Α και Β. A

B

Δ

Γ

ˆ του σχήματος. 10. Να ονομάσετε με 6 τουλάχιστον τρόπους την γωνία ω χ B A O

ω Γ

y Δ

11. Σε τρίγωνο ΚΛΜ να βρείτε: i) ποιες γωνίες είναι προσκείμενες στην πλευρά ΚΜ, ii) ποια γωνία

ˆ. περιέχεται στις πλευρές ΚΜ και ΜΛ, και iii) ποια πλευρά είναι απέναντι από τη γωνία Μ Β.1.3. Μέτρηση 12. Δίνονται τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ = 3 cm και ΓΔ = 2 cm. Πάνω σε μια ευθεία να πάρετε στη σειρά τρία σημεία Κ, Λ, Μ έτσι ώστε ΚΛ = ΑΒ και ΛΜ = ΓΔ. Πόσο είναι το μήκος του ΚΜ ; 13. Να γράψετε ένα σημείο Α. Να βρείτε δύο σημεία Β και Γ, τέτοια ώστε ΑΒ = 3 cm και ΑΓ = 5 cm. Να βρείτε σε ποιες περιπτώσεις είναι : α)ΒΓ < 8 cm , β)ΒΓ = 8 cm 1ο Κεφάλαιο

Σελίδα 34

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 14. Να σχεδιάσετε τη διάμεσο ΒΕ ενός τριγώνου ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΒΕ να πάρετε τμήμα ΕΔ = ΒΕ και να φέρετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ και ΓΔ. Με το διαβήτη να συγκρίνετε τις πλευρές του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. 15. Σε μια ευθεία ε να πάρετε ένα σημείο Ο. Κατόπιν να βρείτε δύο σημεία Α,Β της ευθείας, έτσι ώστε ΟΑ = ΟΒ. Επίσης να βρείτε δύο άλλα σημεία Γ,Δ της ευθείας έτσι ώστε ΓΟ = ΟΔ. α) Να διαπιστώσετε ότι ΑΓ = ΒΔ β) Να δικαιολογήσετε γιατί ΑΓ = ΒΔ 16. Σε μια ευθεία να πάρετε στη σειρά τρία σημεία Α,Β,Γ. Κατόπιν να πάρετε τα μέσα Μ,Ν των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα. Να δικαιολογήσετε ότι ΑΓ = 2ΜΝ. 17. Να συγκριθούν τα παρακάτω μήκη και να γραφούν από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο: 2,35 m , 10,5 dm , 357 cm , 0,012 Km , 1195 mm. 18. Ένα βαρέλι χωράει 17 δοχεία νερό, ένα δοχείο νερό χωράει 60 ποτήρια νερό. Πόσα ποτήρια νερό χωράει το βαρέλι; 19. Να βρεθεί το ύψος ορθογωνίου που έχει εμβαδό 63 cm² και βάση 9 cm. 20. Να βρεθεί η περίμετρος τετραγώνου με εμβαδό 25 cm². 21. Πόσα τετραγωνικά πλακάκια πλευράς 40 cm, θα χρειασθούν για να στρώσουμε μια ορθογώνια αυλή διαστάσεων 8,80 m και 14,40 m; 22. Να συμπληρωθεί ο πίνακας: m² dm² cm² mm² 536,5 0,3727 5952700 2593,7 23. Να συγκριθούν τα παρακάτω μήκη και να γραφούν από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο: 2,35 m 10,5 dm 357 cm 0,012 Km 1195 mm. 24. Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδό Ε=36 m2 και βάση β=9m .Ένα τετράγωνο έχει το ίδιο εμβαδό με το ορθογώνιο. Να βρείτε ποιο έχει τη μικρότερη περίμετρο. 25. Ένα ενυδρείο έχει διαστάσεις βάσεως 65cm,34 cm και ύψους 45cm. Α)Να υπολογισθεί ο όγκος του. Β) Αν αδειάσουμε μέσα στο ενυδρείο 60 λίτρα νερό, να υπολογίσετε σε τι ύψος θα φτάσει. Γ) Αν ρίξουμε ένα ψάρι μέσα στο ενυδρείο ανεβαίνει η στάθμη του νερού κατά 2mm . Να υπολογίσετε τον όγκο του ψαριού. 26. Μια δεξαμενή σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχει διαστάσεις, α=4,5m β=3m γ=1,6m. Να βρείτε σε πόσες ώρες θα γεμίσει νερό από μια βρύση που παρέχει 30 λίτρα νερό στο 1 λεπτό. 27. Ένα κουτί περιέχει 48 σοκολάτες. Αν το κουτί ζυγίζει γεμάτο 2720g και το απόβαρό του είναι 225 g, να υπολογίσετε το βάρος της μιας σοκολάτας. 28. Να βρεθεί η τρίτη διάσταση ορθογωνίου αν οι άλλες δυο είναι: 3,2cm 2,5cm και έχει όγκο 12cm2. 29. Ένα τρίγωνο έχει πλευρές α=0.5m , β=65cm και γ=2.4dm. Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου και την περίμετρό του σε m, dm, cm και mm. 30. Να συμπληρώσετε τον πίνακα m2 mm2 cm2 Km2 στρέμματα 3232 6.5 456000

Β.1.4. Πρόσθεση και αφαίρεση ευθυγράμμων τμημάτων 31. Πάνω στην ημιευθεία Οχ, παίρνουμε με τη σειρά τα σημεία Α , Μ, Β ώστε ΟΑ=3cm ΟΜ=5,5cm ΟΒ=8cm. Να αποδείξετε ότι το Μ είναι μέσο του ΑΒ. 1ο Κεφάλαιο

Σελίδα 35

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 32. Σε ευθεία ε, δίνονται στη σειρά τα σημεία Α, Β, γ ώστε ΑΒ=4cm και ΒΓ=5cm. Αν Μ, Ν είναι τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ αντίστοιχα:  Να υπολογίσετε το μήκος του ΜΝ και να το συγκρίνετε με το άθροισμα ΑΒ+ΒΓ. Τι συμπέρασμα βγάζετε;  Ισχύει το συμπέρασμα για οποιαδήποτε μήκη των ΑΒ, ΒΓ; 33. Σε ημιευθεία Οχ δίνονται στη σειρά τα σημεία Α, Β, Γ, Δ ώστε ΑΒ=ΓΔ=3cm OΓ=6cm και ΑΒ=1.5cm. Να υπολογίσετε τα ΟΒ, ΟΓ. 34. Σε μια ευθεία ε, παίρνουμε με τη σειρά τα σημεία Α, Β, Γ, Δ ώστε ΑΒ=ΓΔ=3cm και ΒΓ=2cm.Αν Μ είναι το μέσο του ΒΓ, να αποδείξετε ότι είναι και μέσο του ΑΔ. Ισχύει το συμπέρασμα για οποιαδήποτε μήκη των τμημάτων; 35. Σε ευθεία ε δίνονται στη σειρά τα σημεία Α, Β, Γ ώστε ΑΒ=2cm και ΑΓ=7cm. Αν Μ, Ν είναι τα μέσα των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα:  Να υπολογίσετε το ΜΝ και να το συγκρίνετε με τη διαφορά ΑΓ-ΑΒ. Τι συμπέρασμα βγάζετε;  Ισχύει το συμπέρασμα για οποιαδήποτε μήκη των τμημάτων ΑΒ και ΑΓ; Β.1.5. Διχοτόμος γωνίας 36. Να κατασκευάσετε γωνίες 20ο, 60ο, 110ο, 150ο, 200ο, 240ο, 300ο και 350ο. 37. Να σχεδιάσετε μια γωνία 700 και να φέρετε τη διχοτόμο της. Να σχεδιάσετε γωνία 290 και 610 στο εσωτερικό μιας ορθής γωνίας χΟψ.

ˆ ρ και η Ορ διχοτόμος της γωνίας xO ˆ y . Αν 38. Στο παρακάτω σχήμα η Οτ είναι διχοτόμος της γωνίας xO ˆy. ˆ ρ και xO ˆ  25o , να υπολογίσετε τις γωνίες τ είναι ω Ο

ω y

χ

τ

ρ

ˆ y και να φέρετε τη διχοτόμο της Οz. Στη συνέχεια να φέρετε τις 39. Να σχεδιάσετε μια ευθεία γωνία xO

ˆ z και zO ˆ y. διχοτόμους των γωνιών xO

Β.1.6. Είδη γωνιών – Κάθετες ευθείες 40. Να βρείτε πόσες μοίρες είναι οι γωνίες : γ)

2 λˆ  ορθής 3

δ)

φˆ 

5 ορθής 2

41. Να βρείτε πόσες ορθές είναι οι γωνίες : δ)

ˆ  72 o ω

ε)

α)

α)

1 ορθής β) κˆ  3 ορθές 2 7 ˆ  ορθής ε) ω 5

αˆ 

αˆ  15o

β)

βˆ  120 o γ) φˆ  210 o

ρˆ  150 o

42. Να κατασκευάσετε γωνίες : 200 o ,240 o ,300 o , και 350 o .


Σελίδα 36


Β.1.7. Εφεξής και διαδοχικές γωνίες – Άθροισμα γωνιών 43. Να σχεδιάσετε δυο εφεξής γωνίες με άθροισμα 900. 44. Να σχεδιάσετε δυο εφεξής γωνίες με άθροισμα 1800. 45. Να κατασκευάσετε δυο εφεξής γωνίες ΑΟΒ=60ο και ΒΟΓ=80ο. Να φέρετε τις διχοτόμους τους ΟΔ και ΟΕ. Να εξηγήσετε γιατί η γωνία ΔΟΕ είναι 70ο. 46. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με γωνίες Α=500, Β=700, και Γ=600. Να σχεδιάσετε γωνίες που να είναι εφεξής και παραπληρωματικές με τις γωνίες του τριγώνου και να τις υπολογίσετε.

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές – Κατακορυφήν γωνίες o

47. Μια γωνία είναι 58 .Να βρείτε την παραπληρωματική της. o

48. Μια γωνία είναι 77 . Να βρείτε την συμπληρωματική της. 49. Να σχεδιάσετε δυο εφεξής γωνίες που να είναι:  Συμπληρωματικές  Παραπληρωματικές 50. Να σχεδιάσετε την παραπληρωματική 1. Μιας οξείας γωνίας 2. Μιας ορθής γωνίας 3. Μιας αμβλείας γωνίας Τι είδους γωνία είναι αυτή η παραπληρωματική; 51. Να βρείτε πόσων μοιρών είναι δυο παραπληρωματικές γωνίες σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις:  Η μια είναι πενταπλάσια της άλλης  Η μια είναι μικρότερη από την άλλη κατά 36ο  Η διαφορά τους είναι 54ο 52. Δυο γωνίες είναι παραπληρωματικές. Αν η μια είναι τετραπλάσια από την άλλη, να βρείτε πόσες μοίρες είναι καθεμιά από τις γωνίες 53. Δυο γωνίες είναι παραπληρωματικές. Αν η μια είναι διπλάσια από την άλλη, να βρείτε πόσες μοίρες είναι καθεμιά από τις γωνίες 54. Δυο γωνίες είναι παραπληρωματικές. Αν διαφέρουν κατά 400, να βρείτε πόσες μοίρες είναι καθεμιά από τις γωνίες 55. Δυο γωνίες είναι παραπληρωματικές. Αν η μια είναι μεγαλύτερη κατά 300 από το διπλάσιο της άλλης, να βρείτε πόσες μοίρες είναι καθεμιά από τις γωνίες 56. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε ζεύγη παραπληρωματικών γωνιών. β

α

57. Μια γωνία είναι 99

γ

δ o o

'

''

15 20 . Να βρείτε την παραπληρωματική της. '

''

58. Μια γωνία είναι 55 55 55 . Να βρείτε την συμπληρωματική της. 59. Δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές. Αν η μία είναι τετραπλάσια από την άλλη, να βρείτε πόσες μοίρες είναι η καθεμία από αυτές. 

ˆ  8 φ να τις υπολογίσετε . 60. Δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές. Αν ω 1ο Κεφάλαιο

Σελίδα 37

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 61. Να υπολογίσετε τις γωνίες αˆ και βˆ . α

42 β

110

o ˆ . Να υπολογίσετε τις δύο 62. Μια γωνία φˆ είναι μεγαλύτερη κατά 40 από την παραπληρωματική της ω γωνίες.

63. Μια γωνία αˆ είναι μικρότερη από την συμπληρωματική της βˆ κατά 20 . Να υπολογίσετε τις δύο γωνίες. 64. Να γράψετε όλα τα ζεύγη των κατακορυφήν γωνιών που υπάρχουν στο σχήμα. o

β

γ δ

α ζ

ε

65. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ . Κατόπιν να σχεδιάσετε :

ˆ ,B ˆ και ˆ . α) τις κατακορυφήν γωνίες των A ˆ ,B ˆ και ˆ . β) τις παραπληρωματικές γωνίες των A

ˆ και φˆ του παρακάτω σχήματος : 66. Να υπολογίσετε τις γωνίες αˆ , βˆ , ˆ , ω

ω

φ α

30 β

δ

67. Να υπολογίσετε τις γωνίες αˆ , βˆ , γˆ και δˆ του σχήματος, αν η ˆ είναι διπλάσια της αˆ . α

β

γ

δ

68. Να υπολογίσετε τις γωνίες του σχήματος :


Σελίδα 38


α

47

38 β

110

ˆ και την κατακορυφήν της. Να φέρετε τις διχοτόμους των γωνιών αυτών 69. Να σχεδιάσετε μια γωνία ω και να υπολογίσετε την γωνία που σχηματίζουν. 70. Να υπολογίσετε τις γωνίες του σχήματος , αν τα μέτρα των γωνιών αˆ , βˆ είναι ανάλογα προς τους αριθμούς 2,3. α

β

γ

δ

ˆ ω . Να ˆ ω και η z η διχοτόμος της xO 71. Στο παρακάτω σχήμα η Οy είναι διχοτόμος της γωνίας x ' O ˆ ω και ω ˆ z έχουν άθροισμα 90 . δικαιολογήσετε ότι οι γωνίες yO o

ω

y

z χ'

χ O

72. Να υπολογίσετε δυο παραπληρωματικές γωνίες όταν: α) η μια είναι μεγαλύτερη κατά 600 από την άλλη. β) η μια είναι κατά 160 από το τριπλάσιο της άλλης. 73. Δυο γωνίες είναι παραπληρωματικές και η μια είναι τετραπλάσια της άλλης. Να υπολογίσετε τις γωνίες. 74. Δυο γωνίες είναι παραπληρωματικές και η μια είναι μεγαλύτερη κατά 480 από την άλλη. Να υπολογίσετε τις γωνίες. 75. Να υπολογιστούν οι γωνίες στα παρακάτω σχήματα: α) β) 40 φ

χ

χ

115

3χ ω

62

γ)

χ + 54


χ

Σελίδα 39


Β.1.10. Απόσταση σημείου από ευθεία – Απόσταση παραλλήλων 76.Να πάρετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και να φέρετε την κάθετη στο ΑΒ που περνά : α) από το Α β) από το Β γ) από το μέσο του ΑΒ 77.Να φέρετε μια ευθεία ε και να πάρετε ένα σημείο Α εκτός της ε, που να απέχει από αυτή 25 mm. Κατόπιν να χαράξετε την ευθεία που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη προς την ε. 78.Να χαράξετε δύο παράλληλες ευθείες α και β που να έχουν απόσταση 3 cm. 79.Να χαράξετε δύο παράλληλες ευθείες ε 1 , ε 2 . Κατόπιν να χαράξετε μια ευθεία που να είναι παράλληλη στις ε 1 , ε 2 και να ισαπέχει από αυτές. 80.Να φέρετε μια ευθεία ε 1 . Να κατασκευάσετε μια ευθεία παράλληλη προς την ε 1 , και σε απόσταση 12 mm. Πόσες τέτοιες ευθείες υπάρχουν ; 81. Δύο ευθείες α και γ είναι παράλληλες και έχουν απόσταση 4 cm. Να φέρετε μια ευθεία β που να είναι παράλληλη προς τις α και γ και να ισαπέχει από αυτές .Κατόπιν να φέρετε μια ευθεία ε που να τέμνει τις α,β και γ στα σημεία Α,Β και Γ αντίστοιχα. Να συγκρίνετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΒΓ. 82.Να σχεδιάσετε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ που να έχει κάθετες διαγώνιες. Από τις κορυφές Α,Γ να φέρετε παράλληλες προς τη ΒΔ και από τις Β,Δ παράλληλες προς την ΑΓ. Τι είναι το νέο σχήμα που σχηματίζεται;

Β.1.11. Κύκλος και στοιχεία του κύκλου 83. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο με : α) ακτίνα ρ = 4 cm, β) διάμετρο ΑΒ = 7 cm 84.Να σχεδιάσετε ένα κύκλο (Ο,3 cm). Αν Α είναι ένα σημείο του κύκλου αυτού, να σχεδιάσετε ένα δεύτερο κύκλο (Α,3 cm). Τι παρατηρείτε ; 85.Να σχεδιάσετε δύο κύκλους με κέντρο ένα σημείο Κ και ακτίνες 1,4 cm και 2 cm αντίστοιχα. Να βρείτε τα σημεία του επιπέδου που έχουν απόσταση από το Κ μεγαλύτερη από 1,4 cm και μικρότερη από 2 cm. 86.Nα χαράξετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ= 3 cm. Να βρείτε τα σημεία του επιπέδου που η απόστασή τους από τα σημεία Α και Β είναι μικρότερη από 2 cm. 87.Δίνεται κύκλος (Ο, 2,5cm) και ένα σημείο του Α. Να βρείτε αν υπάρχουν σημεία του κύκλου που έχουν από το Α απόσταση :α)2 cm, β)5 cm, γ)6 cm. 88.Σε κύκλο (Ο,ρ) να φέρετε δύο χορδές ΑΒ και ΓΔ με ΑΒ < ΓΔ. Να συγκρίνετε τις αποστάσεις του Ο από αυτές. Τι παρατηρείτε ; 89.Να σχεδιάσετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 3 cm. Nα βρείτε τα σημεία του επιπέδου τα οποία απέχουν : α) 2 cm από το Α β) 1,5 cm από το Β γ) 2 cm από το Α και 1,5 cm από το Β Β.1.13. Θέσεις ευθείας και κύκλου

90.Ένα σημείο Α απέχει από μια ευθεία ε 3,5 cm. Να βρείτε πόσα κοινά σημεία έχει η ευθεία ε με τον κύκλο (Α,ρ) όταν α) ρ = 2 cm β) ρ = 3,5 cm γ) ρ = 5 cm 91.Nα γράψετε ένα κύκλο (Ο, 18 mm) και να πάρετε ένα σημείο Α στον κύκλο αυτόν. Να χαράξετε την εφαπτομένη του κύκλου που διέρχεται από το Α. 92.Να φέρετε δύο ακτίνες ΟΑ και ΟΒ ενός κύκλου (Ο,ρ) που να μην είναι στην ίδια ευθεία. Να σχεδιάσετε τις εφαπτομένες του κύκλου στα σημεία Α και Β. Αν οι εφαπτομένες τέμνονται στο Μ, να συγκρίνετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΜΑ και ΜΒ. 93.Μια ευθεία ε διέρχεται από το μέσο Μ ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ = 3 cm και είναι κάθετη σ’αυτό. Αν γράψετε τους κύκλους (Α , 15 mm) και (Β, 2 cm),να βρείτε ποια είναι η θέση της ε ως προς καθέναν από τους δύο κύκλους. 1ο Κεφάλαιο

Σελίδα 40

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 94.Να χαράξετε δύο παράλληλες ευθείες 1 ,  2 που να απέχουν μεταξύ τους 4cm. Nα σχεδιάσετε έναν κύκλο που να εφάπτεται στις ε1, ε2. 95.Να χαράξετε δύο παράλληλες ευθείες α , β και μια άλλη ευθεία ε που τις τέμνει στα σημεία Α και Β. Με διάμετρο ΑΒ να γράψετε ένα κύκλο. Ποια είναι η θέση των α, β ως προς τον κύκλο όταν: α)    , β β) η ε δεν είναι κάθετη στις α , β.


Σελίδα 41


Β.2.6. Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία 1. Να υπολογίσετε τις γωνίες στα παρακάτω σχήματα: α) β) ε1

α

β

ε1//ε2 ε2

κ μ

γ

α

ε1

49

β

ε1//ε2 ε2

λ

53

λ

κ 62

ν

γ)

δ) ε1

ε1

α 70 β

ε1//ε2 ε2

κ

ν 62

ε3

κ

2κ

ε1//ε2 λ

ε2

β

α γ

ν

ε4

ε3//ε4


Σελίδα 42

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B.3.1. & B.3.2. Τρίγωνα 1. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να φέρετε τις διαμέσους ΑΔ και ΒΕ. α) Να χαράξετε την τρίτη διάμεσο του τριγώνου χωρίς να βρείτε το μέσο της πλευράς ΑΒ. β) Αν η ΒΕ τέμνει την ΑΔ στο Θ , να διαπιστώσετε με το διαβήτη ότι

ΑΔ = 3ΘΔ και ΒΕ = 3ΘΕ

2. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Να χαράξετε τις ευθείες που διέρχονται από τα μέσα των πλευρών του και είναι κάθετες σ’ αυτές. Τι παρατηρείτε ; 3. Να σχεδιάσετε τα ύψη των παρακάτω τριγώνων : Α

Β

Δ

Γ

Λ

Π

Ε

K

M o

4. Σ’ ένα ισοσκελές τρίγωνο η γωνία που είναι απέναντι από τη βάση είναι 72 . Να υπολογίσετε τις προσκείμενες στη βάση γωνίες του τριγώνου.

ˆ είναι 75 o και η γωνία B ˆ είναι διπλάσια από τη ˆ . Να υπολογίσετε τις 5. Σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία A ˆ και ˆ του τριγώνου. γωνίες B ˆ = 80 και η γωνία Aˆ είναι τα 6. Σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ η B o

2 ˆ και ˆ του της ˆ . Να υπολογίσετε τις γωνίες A 3

τριγώνου.

ˆ ,B ˆ , ˆ έχουν μέτρα ανάλογα με τους αριθμούς 2,3,4. αντίστοιχα. Να 7. Ενός τριγώνου ΑΒΓ οι γωνίες A υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. ˆ = ˆ η Aˆ = 1 B ˆ . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. 8. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με B

2 1 ˆ είναι ίση με το της B ˆ = 1 ˆ . Να υπολογίσετε τις γωνίες του ˆ , ενώ η B 9. Σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ η A 3 2 τριγώνου. o

10. Σε ισοσκελές τρίγωνο η γωνία που είναι απέναντι από τη βάση είναι 15 μεγαλύτερη καθεμιάς από τις ίσες γωνίες. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου. 11. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η μια από τις γωνίες της βάσης του είναι 57ο. Να υπολογίσετε τις υπόλοιπες. 12. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η γωνία της κορυφής του είναι 42ο. Να υπολογίσετε τις άλλες δυο. 13. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η γωνία της κορυφής είναι διπλάσια από καθεμία από τις ίσες γωνίες του. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου. 14. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι τριπλάσια της Β και η Γ είναι τετραπλάσια της Β. Να υπολογίσετε τις γωνίες αυτές. 15. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ή γωνία Α = 35ο και η β είναι τετραπλάσια της Γ. Να υπολογιστούν οι γωνίες Β και Γ. 16. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90ο η γωνία Β είναι τριπλάσια από την Γ. Να υπολογίσετε τις γωνίες Β και Γ. 17. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 90ο η γωνία Β είναι κατά 20ο μεγαλύτερη από την Γ. Να υπολογίσετε τις γωνίες Β και Γ. 18. Να υπολογίσετε τις γωνίες στα παρακάτω σχήματα:


Σελίδα 43

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ α)

β)

ε1

ε1 40

28

ε1//ε2

ε1//ε2

α ε2

κ ε2

40

μ

58

B.3.3. & B.3.4. Παραλληλόγραμμα – Τραπέζια 19. Ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ η περίμετρος είναι 30 cm και η πλευρά ΒΓ = 7 cm. Να υπολογίσετε τις άλλες πλευρές του. 20. Ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ η περίμετρος είναι 36 cm και η πλευρά ΑB είναι 9 cm. Nα εξηγήσετε γιατί είναι ρόμβος. 21. Να υπολογίσετε τις γωνίες του παραλληλογράμμου στο παρακάτω σχήμα : A 75

Δ

B 35 Γ

ˆ  60 και ΑΒ = 4 cm. 22. Να υπολογίσετε τη διαγώνιο ΒΔ ενός ρόμβου ΑΒΓΔ, αν γνωρίζουμε ότι έχει A 23. Να σχεδιάσετε ένα ρόμβο και να διαπιστώσετε ότι οι διαγώνιές του τέμνονται κάθετα. Να εξηγήσετε γιατί συμβαίνει αυτό. 24. Να κατασκευάσετε παρ/μο ΑΒΓΔ με Aˆ  50 , ΑΒ = 2 cm και ΑΔ = 5 cm. 25. Nα σχεδιάσετε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Aˆ  90 ) και να φέρετε τη διάμεσο ΑΜ. Στην προέκταση της ΑΜ και προς το μέρος του Μ να πάρετε σημείο Δ, ώστε ΑΜ = ΜΔ. Να εξηγήσετε γιατί το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο. 26. Ένα παρ/μο ΑΒΓΔ έχει περίμετρο 12 cm, ΑΔ = 2 ΑΒ και Aˆ  72 . Να υπολογίσετε τις πλευρές και τις γωνίες του. ο

B.3. Γενικές Ασκήσεις 27. Στο παρακάτω σχήμα η ευθεία ε είναι παράλληλη με την πλευρά ΑΒ του τριγώνου ΑΒΓ και η ΔΒ είναι κάθετη προς την ευθεία ε . Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία της γωνίας ˆ τότε : (α) να υπολογίσετε τις γωνίες υπολογίσετε τις γωνίες xˆ , ˆ ,

28. Στο παρακάτω

ˆ

ˆ , ˆ , ˆ

ˆ

και η γωνία

ˆ

είναι διπλάσιες

του τριγώνου ΑΒΓ , (β) να

του σχήματος , αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας.

σχήμα είναι ΑΒΓ τρίγωνο, 



    50 0 , 3ο Κεφάλαιο

Σελίδα 44

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 



  x  1550 ,η ΔΕ παράλληλη προς τη ΒΓ και η ΕΖχ κάθετη στην ΑΓ. Να υπολογίσεις (χωρίς 









να μετρήσεις με μοιρογνωμόνιο) τις γωνίες  ,  ,  ,  και  .Να δικαιολογήσεις τους υπολογισμούς σου.

ˆ  55 . 29. Στο παρακάτω σχήμα είναι ε1//ε2, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ και  α) Να υπολογιστούν οι γωνίες ω, θ, ρ, λ, κ δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. β) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του;


Σελίδα 45

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 30. Στο παρακάτω σχήμα είναι ε1// ε2 . Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ , δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας .

31. Να υπολογίσετε τις άγνωστες γωνίες στα παρακάτω σχήματα:

32. Δύο ευθείες x΄x και y΄y παράλληλες μεταξύ τους τέμνονται από τρίτη ευθεία ε στα σημεία Α και Β αντίστοιχα και η γωνία x΄Αε είναι 120ο .Φέρτε τη διχοτόμο της γωνίας ΑΒy που τέμνει την x΄x στο Γ. Να υπολογίσετε όλες τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.


Σελίδα 46

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 33. Στο διπλανό σχήμα δίνεται: ε1//ε2 και ΟΑ=ΟΒ. Α. Να βρεθούν οι γωνίες ω και φ. Β. Να βρεθούν οι γωνίες θ και κ. Γ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές.

34. Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες. Α. Να υπολογίσετε τις γωνίες β, γ, δ, ε και η. Β. Να αναφέρετε το είδος του τριγώνου ΚΛΜ ως προς τις γωνίες του.

35. Αν ε1 // ε2 και ε3 κάθετη στην ε1 να υπολογίσετε τις γωνίες α και β.

36. Οι γωνίες Α, Β, Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ανάλογες προς τους αριθμούς 8,12,20. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου και να χαρακτηρίσετε το τρίγωνο ως προς τις γωνίες του 37. Σ΄ ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία A είναι τριπλάσια της γωνίας B και η γωνία Γ είναι ίση με το διπλάσιο της B αυξημένο κατά 60ο. α) Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου σε μοίρες. β) Να χαρακτηριστεί το τρίγωνο ως προς τις γωνίες του 38. Στο παρακάτω τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Β = 700 και Γ = 300. Οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ τέμνονται στο Κ. Να υπολογιστούν οι γωνίες Α και Κ. Α

Κ

Β


Γ

Σελίδα 47

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 39. Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε τις γωνίες χ, φ και ω. Α φ 5χ

40. Στο

3χ Β παρακάτω

ω

2χ

τρίγωνο ΑΒΓ να υπολογίσετε τις

Γ γωνίες

του αν γνωρίζετε ότι ΑΒ = ΑΓ = ΓΔ.

Α

37 Β

Γ

Δ

41. Στο παρακάτω τρίγωνο ΑΒΓ να υπολογίσετε τις γωνίες του αν γνωρίζετε ότι ΑΔ = ΒΔ. Α 40

Δ

χ χ Β


Γ

Σελίδα 48

Ασκήσεις Α Γυμνασίου

Recommend Documents