كتاب مرجعي في الرياضيات لطلاب الثالث الثانوي العلمي

‫كتاب مرجعي في الرياضيات‬ ‫لطالب الثالث الثانوي العلمي‬

‫المدرس خليل العبدالله‬ ‫موقع الويب ‪www.khalilalabdullah.com :‬‬ ‫مدونة ‪www.mathall.wordpress.com :‬‬ ‫اإليميل ‪[email protected] :‬‬

‫جوال‪5395551755 :‬‬ ‫صفحة لمناقشة الكتاب ‪:‬‬ ‫‪www.khalilalabdullah.com/f12-montada‬‬

‫‪1‬‬

‫المدرس خليل العبدهللا‬

‫المثلثات‬

‫الكتاب‬

‫الصفحة‬

‫الفقرة‬

‫‪5‬‬

‫األرجاع إلى الربع األول‬

‫‪6‬‬

‫المعادالت المثلثية‬

‫الطالب‬

‫دستور مجموع وفرق زاويتان‬ ‫دساتير ضعفي زاوية‬

‫‪7‬‬

‫دساتير ثالثة أضعاف زاوية‬ ‫‪10‬‬

‫‪0539-555-17-55‬‬

‫إشارة كثير حدود من الدرجة الثانية‬ ‫‪12‬‬

‫المتطابقات الشهيرة‬

‫‪13‬‬

‫مجموع التعريف‬

‫دراسة‬ ‫كثير حدود‬

‫إشارة كثير حدود من الدرجة األولى‬

‫التحليل‬

‫قواعد هامة في النهايات‬ ‫نهاية كثير حدود‬ ‫‪14‬‬ ‫نهاية الدالة اللغارتمية‬

‫‪wwwçkhalılalbdullah.com‬‬

‫‪15‬‬

‫نهاية قسمة كثير حدود‬ ‫نهاية الدوال المثلثية‬

‫‪16‬‬

‫مبرهنة اإلحاطة‬ ‫حاالت عدم التعيين‬

‫‪2‬‬

‫النهايات‬

‫نهاية الدالة األسية‬

‫‪18‬‬ ‫االستمرار على مجال‬

‫االستمرار‬

‫االستمرار عند عدد‬

‫قواعد االشتقاق‬

‫النهاية و المماس‬

‫االشتقاق‬

‫‪19‬‬

‫تعاريف االشتقاق‬

‫التحليل‬

‫التناظر عند محور الفواصل‬ ‫‪20‬‬

‫‪22‬‬

‫قواعد التكامل‬

‫‪23‬‬

‫التكامل بالتجزئة‬

‫‪24‬‬

‫خواص التكامل‬

‫‪25‬‬

‫حساب المساحة باستخدام التكامل‬

‫‪26‬‬

‫المقاربات‬

‫‪30‬‬

‫المتجهات في المستوي‬

‫‪31‬‬

‫خواص المتجهات‬

‫‪32‬‬

‫المستوي اإلحداثي‬

‫‪3‬‬

‫التكامل‬

‫الهندسة‬ ‫التحليلة‬

‫‪21‬‬

‫‪e: [email protected]‬‬

‫‪17‬‬

‫العمليات على الدوال العددية‬

‫‪www.khalilalabdullah.com‬‬

‫الكتاب‬

‫الصفحة‬

‫الفقرة‬

‫الطالب‬

‫‪33‬‬

‫الفقرة‬ ‫معادلة مستقيم يمر من نقطتين‬ ‫الدائرة‬ ‫التشابة‬

‫‪34‬‬

‫المستطيل الذهبي‬

‫‪0539-555-17-55‬‬

‫‪39‬‬

‫طرق إيجاد الجذور التربيعية‬

‫‪40‬‬

‫حل المعادلة من الدرجة الثانية‬

‫‪41‬‬

‫المتراجحات‬

‫‪42‬‬

‫االحصاء‬

‫‪44‬‬

‫النسبة و التناسب‬

‫‪45‬‬

‫التغير الطردي و التغير العكسي‬ ‫المتسلسلة العددية‬

‫‪46‬‬

‫االستقراء الرياضي‬ ‫المبدأ األساسي لعد‬ ‫التباديل‬

‫‪47‬‬

‫العاملي‬

‫‪47‬‬

‫التوافيق‬

‫التحليل التوافقي‬

‫الجبر‬


‫الهندسة التحليلة‬

‫الكتاب‬

‫الصفحة‬

‫الطالب‬

‫المجموعات‬

‫‪48‬‬

‫اهم قوانين االحتماالت‬ ‫‪49‬‬

‫االحتمال الشرطي‬ ‫االستقالل االحتمالي‬ ‫العقدية‬

‫‪50‬‬

‫‪4‬‬

‫االحتماالت‬


‫نظرية ذو الحدين‬

‫‪6‬‬

‫‪30o ‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0 sin‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪cos‬‬

‫‪ -2‬االرجاع الى الربع األول ‪:‬‬ ‫الربع الثالث‬ ‫الربع األول الربع الثاني‬ ‫‪0‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪sin‬‬

‫‪cos‬‬

‫‪tan cot‬‬

‫أ‪-‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2  3‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫عند إضافة أو طرح‬

‫‪‬‬

‫‪3‬‬

‫الربع الرابع‬

‫‪‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ k ( k‬عدد فردي ( فإننا نقلب‬

‫النسبة مع مراعاة أشاره الربع‬ ‫ب‪ -‬عند إضافة أو طرح ‪ k ( k ‬عدد زوجي ( فإننا ال نقلب‬ ‫النسبة مع مراعاة أشاره الربع‬ ‫ت‪-‬‬

‫) ‪sin( )  sin(‬‬

‫) ‪cos( )   cos(‬‬

‫‪5‬‬


‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪45o ‬‬

‫‪‬‬

‫‪60o ‬‬

‫‪‬‬

‫‪90o ‬‬


‫‪ -1‬النسب المثلثية‬

1 2

:‫ المعادالت المثلثية‬-3 1-

     2 k cos( )  cos(  )        2 k


cos(120o )  cos( 90  30)   sin30  

: ‫حاالت خاصة‬

cos( )  1      2 k 2

k

cos( )  1    2 k

0539-555-17-55

2-



     2 k sin( )  sin(  )         2 k : ‫حاالت خاصة‬

sin( )  1    3

 2

cos( )  0     k

 2 k cos( )  1   

6

 2

 2 k

wwwçkhalılalbdullah.com

cos( )  0   

www.khalilalabdullah.com

:‫ أهم الدساتير المثلثية‬-4 ‫ فإن العالقات التالية محققة‬ bc ‫في أي مثلث‬

sin(  b )  sin(c )

cos(  b )   cos(c )

 b  c  sin    sin    2  2

 b  c  cos    cos    2  2

‫دستور مجموع و فرق زاويتين ضعفي زاوية‬

sin(   )  sin( ).cos( )  sin( ).cos( ) cos(   )  cos( ).cos( ) sin( ).sin( )

e: [email protected]

‫دستورا ضعفي زاوية‬ ‫دساتير ضعفي‬ ‫زاوية‬

‫دستورا ثالث أضعاف زاوية‬ sin(3 )  3sin( )  4sin3 ( )

7

cos(3 )  4cos3 ( )  3cos( )


‫مالحظات‬ ‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪0539-555-17-55‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪-------------------------------------------------------------------------------------- ------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬


‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪8‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬


--------------------------------------------------------------------------------------------------‫مالحظات‬

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------- -

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------


---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------- -------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

9

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------


‫‪ .A‬إشارة كثير حدود ‪:‬‬ ‫‪ .1‬كثير حدود من الدرجة األولى ‪:‬‬

‫‪b‬‬

‫‪‬‬ ‫‪0539-555-17-55‬‬

‫‪‬‬

‫نفس إشارة‬

‫‪  b‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫عكس إشارة‬

‫||‬

‫‪ .2‬كثير حدود من الدرجة الثانية ‪:‬‬ ‫‪:   0 .A‬‬ ‫‪ .1‬المعادلة ‪  2  b   c  0‬مستحيلة الحل‬

‫‪ .2‬ال يمكن تحليل كثير الحدود ‪ 2  b   c‬‬ ‫‪wwwçkhalılalbdullah.com‬‬

‫‪ .3‬دراسة اإلشارة ‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫نفس إشارة‬

‫‪10‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫) ‪f (‬‬

‫‪‬‬ ‫‪  b‬‬


:   0 .B  b  2 S    ‫ هو‬  b   c  0 ‫ حل المعادلة‬. 1 2    2

b     b   c       ‫تحليل كثير الحدود‬ 2   2

: ‫ دراسة اإلشارة‬.3





f ( )






b



 || 



:   0 .C ‫ هو‬  b   c  0 ‫ حل المعادلة‬.1 2

   b   S     2   f (  )      1     2  ‫تحليل كثير الحدود‬

.2

: ‫ دراسة اإلشارة‬.3

 f ( )

.2

 ‫نفس إشارة‬



1 ||

2

‫عكس إشارة‬



11

||

 ‫نفس إشارة‬



1.

 2  b 2  (  b)(  b)

2.

 3  b 3  (  b)( 2  b  b 2 )

3.

 3  b 3  (  b)( 2  b  b 2 )


: ‫ أشهر المتطابق ات‬.B

:‫و بالعموم‬

  b 

5.

  b    2  2b  b 2

6.

  b 

7.

  b 

2

  2  2b  b 2

2

  b 

3

  3  3 2b  3b 2  b 3

3

  3  3 2b  3b 2  b 3

n

 n  n k k     b k 0  k  n

12

: ‫و بالعموم‬


4.

0539-555-17-55

 n  b n  (  b)( n 1   n 2b   bn 2  bn 1 )

‫كثيرة الحدود‬

‫) ‪P (‬‬

‫) ‪ P ( ‬كثيرة حدود‬

‫) ‪P (‬‬ ‫) ‪Q (‬‬

‫) ‪ Q ( ‬كثيرة‬ ‫حدود‬

‫‪0‬‬

‫) ‪\ Q ( 1 ) :Q ( 1‬‬

‫‪P ( )  0‬‬

‫) ‪P (‬‬

‫التوابع المثلثية‬

‫‪sin  & cos‬‬

‫التابع األسي‬

‫) ‪e g (‬‬

‫نفس مجموعة تعريف‬

‫التابع اللغارتمي‬

‫‪ln  g (  ) ‬‬

‫‪g ( )  0‬‬

‫الجذر التربيعي‬

‫) ‪g (‬‬

‫‪g ( )  0‬‬

‫) ‪g (‬‬

‫‪13‬‬


‫مجموعة التعريف‬


‫‪ .C‬مجموعة التعريف ‪:‬‬ ‫الدالة‬

‫عدد‬ 0

‫عدد‬

0

: ‫ قواعد هامة‬-1



)‫إشارة العدد على إشارة الصفر‬

: ‫ نهاية كثيرات الحدود‬-2



x 

x 

‫ فردي‬n

lim P (  )  lim  n 

x 

‫عدد‬

lim

lim P (  )  lim  n  n   

lim P (  )  lim  n  n   

x 



  

 ......   2  2    c

n 1

x 

‫ زوجي‬n

  

n

x 

‫نعوض العدد في كثيرة الحدود‬

ln(  )



 

: ‫ التابع اللغاريتمي‬-3

lim ln(  )  

lim ln(  )  

   0

 

lim  .ln(  )  0

lim

   0

ln(1   )



  1

1

: ‫ التابع األسي‬-4 lim e   

 

lim

e  1

  0



lim e   0

  

14

1

0539-555-17-55

P (  )   n    n 1 n

lim

  

e



 

lim  n .e   0

  


‫ حسب قسمة‬ ‫ ( إشارة‬ 


: ‫ النهايات‬.D


‫ ليكن‬: ‫ القسمة‬-5 ‫ كثيرة حدود‬P (  )   n  n   n 1 n 1  ......   2  2    c

‫ كثيرة حدود‬Q (  )  bm  m  bm 1 m 1  ......  b2  2  b   c

 n n P ( ) lim  lim x  Q (  ) x  b  m m

n m



n m

0

n m

n bm



0

lim f (  )


f (  ) x   x  g (  ) lim g (  ) lim



x 

‫عدد‬  ‫عدد‬ 0

‫حالة عدم تعيين‬

f ( ) f ( )    g (  ) g ( ) lim

0 

‫عدد‬



 ‫عدد‬ 0

‫حالة عدم تعيين‬

P ( )   Q (  ) lim

15

  ‫عدد‬

P ( ) Q ( )

 


‫‪ -6‬نهايات الدوال المثلثية ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪1  cos ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 1 lim‬‬ ‫‪ 0‬‬

‫‪tan ‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 1 lim‬‬ ‫‪ 0‬‬

‫‪sin ‬‬

‫‪‬‬

‫‪lim‬‬ ‫‪ 0‬‬

‫‪ -7‬مبرهنة اإلحاطة ‪:‬‬ ‫‪lim f (  )   & lim g (  )  ‬‬ ‫‪ 0‬‬

‫‪ 0‬‬

‫‪f (  )  h (  )  g (  )  lim h (  )  ‬‬ ‫‪ 0‬‬

‫‪ -8‬حاالت عدم التعيين و طرق إزالتها ‪:‬‬ ‫‪0539-555-17-55‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫أو ‪0.‬‬

‫‪ ‬إخراج عامل مشترك من البسط أو المقام ثم‬ ‫االختصار وحساب النهاية‬ ‫‪ ‬استخدام مبرهنة اإلحاطة‬ ‫‪ ‬استخدام المتطابقات‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-2‬‬

‫‪‬‬


‫‪ )a‬إخراج عامل مشترك من البسط أو المقام ثم‬ ‫االختصار وحساب النهاية‬ ‫‪ )b‬استخدام مبرهنة اإلحاطة‬ ‫‪ )c‬استخدام المتطابقات‬ ‫‪ )d‬الضرب بالمرافق‬

‫‪16‬‬

‫القسمة‬








lim f (  )



  0   

0

lim g (  )

       



lim f (  ).g (  )

.       

‫حالة‬ ‫عدم‬ ‫تعيين‬

lim f (  )





0

 0  0 lim g (  )   0 0 0 0 0 0 0 0 0    f ( )  0         ‫عدم‬ lim   g (  ) ‫تعيين‬    0

0

0

‫الضرب‬

  0

‫الجمع و الطرح‬


: ‫ العمليات على النهايات‬-9

  0

  0

 0

lim f (  )













lim g (  )













lim  f (  )  g (  )





  

‫حالة‬ ‫عدم‬ ‫تعيين‬

  0   0   0

17


‫‪ .E‬االستمرار ‪:‬‬ ‫‪ ‬كل كثيرة حدود مستمرة على‬ ‫‪ ‬كل دالة كسرية مستمرة على مجموعة تعريفها‬ ‫‪ ‬الدالتان ‪ sin , cos‬معرفتان على‬ ‫‪ -1‬االستمرار عند عدد‪:‬‬ ‫‪ ‬إذا كانت الدالة ‪ f‬معرفة على مجال مفتوح ‪ I‬وكانت ‪   I‬فإننا‬ ‫نقول أن دالة ‪ f‬مستمرة عند ‪ ‬إذا و فقط إذا ) ‪lim f (  )  f (‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬الدالة ‪ f‬مستمرة عند ‪ ‬إذا و فقط إذا كان‬ ‫‪ lim f (  ) )2‬موجودة‬ ‫‪ f ( ) )1‬موجودة‬ ‫‪ ‬‬

‫‪lim f (  )  f ( ) )3‬‬ ‫‪0539-555-17-55‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪ ‬إذا كان ) ‪lim f (  )  f (‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫فإن الدالة مستمرة ) ‪f (‬‬

‫عند ‪ ‬من اليمين‬ ‫‪ ‬إذا كان ) ‪ lim f (  )  f (‬فإن الدالة مستمرة‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬


‫) ‪ f (‬عند ‪ ‬من اليسار‬ ‫‪ -2‬االستمرار عند مجال ‪:‬‬ ‫‪ ‬إذا كانت الدالة ‪ f‬معرفة على مجال مفتوح ‪I   , b ‬‬ ‫فإن ‪ f‬مستمرة على ‪ I‬إذا كانت مستمرة عند كل نقطة من ‪I‬‬ ‫‪ ‬إذا كانت الدالة ‪ f‬معرفة على مجال مفتوح ‪ I   , b ‬فإن‬ ‫‪ f‬مستمرة على ‪ I‬إذا كانت مستمرة على كل نقطة من‬ ‫‪  ,b ‬و كانت مستمرة من اليمين عند ‪ ‬و كانت مستمرة‬ ‫من اليسار عند ‪b‬‬

‫‪18‬‬

  0

‫قـــــــــــواعــــــــــــــــــد‬


: ‫ االشتق اق‬.F

 g ( )   n.g ( ). g ( ) n

n 1

 1  1    2 f ( )  f ( ) 

     sin  g (  )    g (  )cos  g (  ) 

    n



n 1

 1  1    2  

 g (  ).f (  )   g (  ).f (  )  g (  ).f (  )

g (  )  g ( )  2 g ( )



 g (  )  g (  ).f (  )  g (  ).f (  )    f 2 ( )  f ( ) 


 cos  g (  )   g (  )sin  g (  )  ‫ إذا كانت‬ ‫ قابلة لالشتقاق عند العدد‬f (  ) ‫ نقول إن دالة‬-1 f (  )  f ( )      ‫ من اليسار‬ ‫ قابلة لالشتقاق عند العدد‬f (  ) ‫ نقول إن دالة‬.i f (  )  f ( ) lim   ‫إذا كانت‬      

f ( )   ‫ و نقول‬lim

‫ من اليمين‬ ‫ قابلة لالشتقاق عند العدد‬f (  ) ‫نقول إن دالة‬ f (  )  f ( )       lim 

.ii

‫إذا كانت‬

: ‫ النهايات و المماس‬-2 ‫ نشتق المعادلة و‬:   0 , y 0  ‫) المماس في نقطة‬a m  f ( 0 ) ‫نعوض النقطة فنحصل على الميل‬

19


‫‪ )b‬معادلة المماس ‪:‬‬

‫‪y  y 0  m    0 ‬‬

‫‪ .G‬التناظر‪:‬‬ ‫‪ )1‬التناظر بالنسبة إلى مستقيم ‪:‬‬ ‫‪ )a‬بالنسبة إلى محور الفواصل ‪:‬‬ ‫‪, y ‬‬ ‫‪  , y  ‬‬ ‫‪ )b‬بالنسبة إلى محور التراتيب ‪:‬‬ ‫‪   , y ‬‬ ‫‪  , y  ‬‬ ‫‪ )c‬بالنسبة إلى مستقيم معادلته ‪:‬‬

‫‪0539-555-17-55‬‬ ‫‪wwwçkhalılalbdullah.com‬‬

‫‪20‬‬



21

: ‫) قواعد‬1 ‫الرقم‬

 f ( ).d ( ) ‫التكامل‬

‫مالحظات‬

1

 0 . d ( )  c

‫ ثابت كيفي‬c

2

 m . d ( )  m   c

m 0

n

. d ( ) 

1  n 1  c n 1

n  1

1

 0

 sin  +b  . d (  )    cos  +b   c

1

 0

6

1   e . d (  )  e c 

0

7

 sec ( ) . d (  )   tan( )  c

0

8

1 2 cec (  ) . d (  )   cot( )  c 

0

4

 cos  +b  . d (  )   sin  +b   c

5

9



2

1



1



ln(  )  c :   0 . d ( )   ln(  )  c :   0

22

0

0539-555-17-55




3


:‫ التكامل و التابع األصلي‬.H


‫الر‬ ‫قم‬

 f ( ).d ( ) ‫التكامل‬

‫مالحظات‬

10   b  . d (  )    b     n+1

n+1

c

n

11

g (  )  g (  ) . d (  )  ln g (  )  c

12

 g ( )e

g ( )

  0 & n  1 g ( )  0

. d ( )  e g ( )  c


: ‫) التمامل بالتجزئة‬2 u ( )v ( ) d( )  u ( )v ( )  v (  )u (  ) d( )  c ‫و يستخدم التكامل بالتجزئة في كثير من الحاالت و ال سيما‬ : ‫في الحاالت التالية‬

1

  sin( ) d( )

3



2



4



n

n

cos( ) d( )

23

n ( )

n

e

d( )

ln( ) d( )

b

1.

 f (  )d   F (b )  F ( )


: ‫) خواص التكامالت‬3



 f (  )d   0 

b

3.

 f (  )d    f (  )d  b

b

4.

 k .f (  )d   k . f (  )d  b

5.

b

c

b

 f (  )d    f (  )d    f (  )d 

0539-555-17-55

2.

b  b  6. f (  )  g (  )    f (  )d      g (  )d       b  7. f (  )  0    f (  )d    0  

24


c


: ‫) حساب المساحة باستخدام التكامل‬4

 ,b  ‫ موجبة على‬f

( )

b

S   f (  )d  

‫ سالبة‬f (  )

 ,b 

b

S    f (  )d 

‫على‬



‫ سالبة على‬f (  )

b

S   f (  )d 

 ,b 

‫ موجبة‬f (  )



-

c


  f (  )d 

b , c  ‫على‬

C g ‫ فوق‬C f

 ,b 

b

‫على‬

‫على‬C g ‫ فوق‬C f

S    f (  )  g (  ) d  

b

 ,b  ‫على‬C g ‫ تحت‬C f

b

-

b ,c 

S   f (  )  g (  )d  

c

   g (  )  f (  ) d  b

25


‫‪ .I‬المق اربات ‪:‬‬ ‫المقارب‬

‫النهاية‬ ‫‪lim f (  )  ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪lim f (  ) ‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪lim f (  )  ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪lim f (  )  ‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬

‫عند إذ‬

‫‪  ‬مقارب لمنحني الدالة ) ‪ f ( ‬في جوار ‪‬‬

‫عند إذ‬

‫‪ y ‬مقارب لمنحني الدالة ) ‪ f ( ‬في جوار ‪‬‬

‫عند إذ‬

‫‪  ‬مقارب من اليمين لمنحني ) ‪ f ( ‬في جوار ‪‬‬

‫عند إذ‬

‫‪  ‬مقارب من اليسار لمنحني ) ‪ f ( ‬في جوار ‪‬‬

‫‪0539-555-17-55‬‬ ‫‪wwwçkhalılalbdullah.com‬‬

‫‪26‬‬


--------------------------------------------------------------------------------------------------‫مالحظات‬

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------- -----------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------


---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------- -----------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

27

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫مالحظات‬


‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------- ------------‬‬

‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪0539-555-17-55‬‬

‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬


‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪28‬‬

‫) ‪u  AB  (  B   A )i  ( y B  y A ) j  ( u , y u‬‬ ‫‪ ‬حيث ‪ i‬متجه الوحدة للمحور‬

‫حيث ‪ j‬متجه الوحدة‬

‫‪ ‬‬

‫للمحور ‪yy ‬‬

‫‪ ‬حامل الشعاع هو المستقيم ‪AB‬‬ ‫‪ ‬طويلة الشعاع يعطى ‪ AB‬بالعالقة‬

‫‪u  AB  ( u )2  ( y u )2‬‬ ‫‪ .2‬العمليات على المتجهات ‪:‬‬

‫‪ )a‬جمع المتجهات ‪AB  BC  AC :‬‬ ‫‪ )b‬طرح متجهان ‪u    u  ( ) :‬‬ ‫‪ )c‬ضرب متجة بعدد حقيقي ‪:‬‬ ‫‪.i‬‬

‫‪ u , ku  k  0‬متفقان باالتجاه‬

‫‪.ii‬‬

‫‪ u , ku  k  0‬مختلفان باالتجاه‬

‫‪29‬‬


‫‪ .1‬إذا كان ‪ A , B‬نقطتين عندئذ الشعاع ‪ AB‬هو بالتعريف‬


‫المتجهات في المستوي ‪:‬‬


‫‪ )d‬خواص العمليات على المتجهات‪:‬‬ ‫‪.1‬‬

‫‪    .    ‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪.3‬‬

‫‪  u w    u w‬‬

‫‪‬‬

‫‪u     u .4‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪0.u  0 .5‬‬ ‫‪ u  0 .7‬‬ ‫‪.9‬‬

‫‪   ‬‬

‫‪u  u  u‬‬

‫‪1.  ‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪.6‬‬

‫‪‬‬

‫‪.8‬‬

‫‪0     0  ‬‬

‫‪ u  w  u  w‬‬

‫‪AB  BA‬‬

‫‪0539-555-17-55‬‬

‫‪ .3‬المتجهان المرتبطان خطيّا َ ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪  , u‬مرتبطان خطيا ‪  k .u ‬‬

‫‪ ‬إذا كان ‪  , u‬مرتبطان خطيا فإن ‪ ( //u‬و بالعكس )‬

‫‪ ‬إذا كان ‪  , u‬غير مرتبطان خطيا فإن ‪ , u‬‬ ‫‪ .4‬الجداء السلمي ( الداخلي ) لمتجهين ‪:‬‬

‫‪ .u   . u .cos‬‬


‫‪ .u   .u  y  .y u‬‬ ‫نتائج هامة ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪30‬‬

‫مستقالن خطيا‬

‫‪2‬‬

‫‪u u‬‬


‫و‬

2

2

ı  ı 1 2

2

j  j 1

cos 

 .u  .u

: ‫ المتجهات في الفضاء‬-1

‫ هو بالتعريف‬AB ‫ نقطتين عندئذ الشعاع‬A , B ‫) إذا كان‬1


u  AB  (  B   A )i  ( y B  y A ) j  ( Z B  Z A ) j

u  AB  ( u )2  ( y u )2  ( Z u )2

  u   . u . sin  u u  0

.i

u        .  u  

.ii

u   0 ‫ مرتبطان خطيا فإن‬u ,

.iii

31

)2 )3


‫‪ )4‬العبارة التحليلة للجداء المتجه ‪:‬‬

‫‪ -2‬المستوي اإلحداثي ‪:‬‬ ‫‪.1‬‬

‫منتصف القطعة ‪ AB ‬‬

‫تعطى بالعالقة ‪:‬‬

‫‪k‬‬ ‫‪z1‬‬ ‫‪z2‬‬

‫‪j‬‬ ‫‪y1‬‬ ‫‪y2‬‬

‫‪i‬‬ ‫‪u    1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ A  B y A  y B ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ .2‬النقطة القاسمة من الداخل ‪ :‬احداثيات النقطة التي تقسم القطعة ‪ AB‬من‬ ‫الداخل بنسبة ‪ m: n‬من جهة النقطة ‪ A‬تعطى وفق العالقتين ‪:‬‬

‫‪0539-555-17-55‬‬

‫‪ny A  my B‬‬ ‫‪nm‬‬

‫‪n A  mB‬‬ ‫‪nm‬‬

‫‪y‬‬

‫‪‬‬

‫‪ .3‬النقطة القاسمة من الخارج ‪ :‬احداثيات النقطة التي تقسم القطعة ‪ AB‬من‬ ‫الداخل بنسبة ‪ m: n‬من جهة النقطة ‪ A‬تعطى وفق العالقتين ‪:‬‬

‫‪my A  nyB‬‬ ‫‪nm‬‬

‫‪m A  nB‬‬ ‫‪nm‬‬

‫‪y‬‬

‫‪‬‬


‫‪ .4‬منتصف قطعة مستقيمة ‪ :‬احداثيات النقطة التي تقسم القطعة ‪ AB‬من الداخل‬ ‫إلى قسمين متساوين تعطى وفق العالقتين ‪:‬‬

‫‪y A  yB‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪y‬‬

‫‪ A  B‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪ .5‬ميل مستقيم يمر من نقطتين ‪ A , B‬يعطي بالعالقة ‪:‬‬

‫‪32‬‬

‫‪y  yB‬‬ ‫‪m A‬‬ ‫‪A  B‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ -3‬المستقيم ‪:‬‬ ‫‪ ‬معادلة مستقيم يمر من نقطتين ‪:‬‬ ‫الطريقة األولى ‪:‬‬ ‫‪ -1‬نوجد الميل‬ ‫‪yA  yB‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪A  B‬‬ ‫‪ -2‬نعوض في احد المعادالت ‪:‬‬

‫‪y  y A  m    A ‬‬

‫‪ ‬الطريقة الثانية ‪ :‬نعوض النقطتين في المعادلة ‪y  m   c‬‬ ‫فنحصل على المجاهيل ‪c , m‬‬ ‫بعد نقطة عن مستقيم ‪ :‬يعطى قانون بعد النقطتين ‪ A‬عن المستقيم‬

‫‪   y  c  0‬‬

‫بالعالقة ‪:‬‬

‫‪   y A  c  0‬‬ ‫‪ A‬‬ ‫‪2  2‬‬

‫‪ -4‬الدائرة ‪:‬‬

‫‪ .1‬معادلة الدائرة ‪ :‬تعطى معادلة الدائرة بالعالقة التالية‬

‫‪ r2‬‬

‫‪      y  y ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪33‬‬


‫‪2‬‬

‫‪ y A  y B    A  B ‬‬

‫‪AB ‬‬


‫‪ .6‬البعد بين نقطتين ‪ :‬يعطى قانون البعد بين نقطتين ‪ A , B‬بالعالقة ‪:‬‬


‫‪-‬‬

‫حيث مركز الدائرة ‪   0 ,y 0 ‬و نصف قطرها ‪r‬‬ ‫و تعطى المعادلة العامة بالشكل ‪ 2  y 2  2   2 y  b  0‬‬ ‫حيث ‪b  02 y02  r 2 :‬‬

‫‪  y‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪ -5‬التشابه‪:‬‬ ‫‪ .1‬يقال عن مضلعين لهما العدد نفسه من األضالع انهما‬ ‫مشتابهان إذا تحقق الشرطان ‪:‬‬ ‫‪ )1‬قياسات زواياهما المتقابلة متساوية‬ ‫‪ )2‬أطوال أضالعهما المتقابلة متناسبة‬

‫‪0539-555-17-55‬‬

‫المستطيل الذهبي ‪ :‬هو مستطيل يمكن تقسيمه إلى مربع و مستطيل يشابه‬ ‫المستطيل األصلي ‪.‬بشرط أن يكون طوله أصغر من ضعفي عرضه‬ ‫‪ .2‬تشابه المثلثات ‪:‬‬ ‫‪ )a‬إذا تساوت ثالث زوايا من األول مع مقابالتها من اآلخر‬ ‫‪ )b‬إذا تناسب طوال ضلعين من من األول مع مقابالتها من اآلخر و‬ ‫تساوت الزاوية المحصورة بينهما من األول مع مقابلتها من اآلخر‬


‫‪ )c‬إذا تساوت زاويتان من األول مع زاويتان من المثلث اآلخر‬

‫في التشابه ‪:‬‬ ‫‪.i‬‬

‫نسبة طولي المتوسطين تساوي نسبة التناسب‬

‫‪.ii‬‬

‫نسبة طولي االرتفاعين تساوي نسبة التناسب‬

‫‪.iii‬‬

‫نسبة مساحتي المثلثين تساوي مربع نسبة التناسب‬

‫‪34‬‬

‫‪ .1‬االنسحاب‪:‬‬ ‫إذا كان ‪ u  0‬متجها في مستو ‪ ( P‬أو في الفضاء ‪ ) ‬فإننا نسمي انسحابا ً في‬ ‫‪ P‬متجه ‪ , u‬كل تحويل يكون ألجله ‪ NM  u‬حيث ‪ M‬صورة النقطة ‪ M‬وفق‬ ‫التحويل و نرمزه ‪ t u‬و نكتب‬

‫‪MM  u  t(uM) M ‬‬

‫و نتيجة لذلك ‪ :‬إذا كان ‪ )M( ,y )  u( , )  ‬‬ ‫‪ M( ,y‬فإنا‬

‫‪    ‬‬


‫‪y  y  ‬‬


‫‪ -6‬التحويالت النقطية الشهيرة‪:‬‬

‫‪ .2‬الدوران‪:‬‬

‫‪35‬‬


36 0539-555-17-55


--------------------------------------------------------------------------------------------------‫مالحظات‬


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------

37

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫مالحظات‬


‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪0539-555-17-55‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬


‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪--------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪---------------------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪38‬‬

‫‪ ‬طريقة الجداء ‪ :‬كتابة العدد على شكل جداء عددين أحدهما على‬ ‫األقل له جذر تربيعي‬ ‫‪ ‬الطريقة الذهنية ‪:‬‬ ‫‪-------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪-------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪-------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪-------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪-------------------------------------------------------------------------------------‬‬‫‪--------------------------------------------------------------------------------------‬‬

‫‪39‬‬


‫‪ ‬طريقة التحليل ‪ :‬نحل العدد إلى جداء عوامل و ناخذ نصف القوة‬


‫طرق ايجاد الجدور الت بريعبة ‪:‬‬


‫‪ .1‬حل معادلة من الدرجة الثانية ‪ 2  b  c  0 :‬‬

‫‪ -1‬الطرق المباشرة ‪:‬‬ ‫‪ )a‬المعادلة تحوي على حدين ( ‪ )  2  c  0‬عندئذ‬ ‫‪ 2  c  0   2  c   2   c      c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫الحر‬ ‫أمثال الدرجة الثانية‬

‫أي‬

‫‪  ‬‬

‫‪0539-555-17-55‬‬

‫‪ )b‬المعادلة تحوي على حدين ( ‪ )  2  b  0‬عندئذ‬ ‫‪  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪    ‬‬

‫‪ 2  b  0     b   0  ‬‬

‫أي‬

‫للمعادلة حالن مختلفان ‪‬‬

‫أمثال الدرجة األولى‬ ‫أمثال الدرجة الثانية‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪0 ,‬‬

‫‪ )c‬المعادلة تحوي على ثالثة حدودو ( ‪)  2  b  c  0‬‬ ‫عندئذ نبحث عن عددين جداؤهما ‪ b‬و مجموعهما ‪c‬‬


‫‪‬‬

‫‪40‬‬

‫‪‬‬

‫‪   0 )1‬عندئذ للمعادلة حالن مختلفان ‪1, 2     b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪   0 )2‬عندئذ للمعادلة حالن متساويان ‪1  2  b‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪)3‬‬

‫‪  y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪   0‬وفي هذه الحالة المعادلة مستحيلة الحل في‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬

‫‪ ‬في حل المتراجحات التي تحوي كثير حدود من الدرجة األول نحلهما‬ ‫كما نحل المعادلة مع مراعاة الضرب و القسمة بعدد سالب حيث‬ ‫نقلب المتراجحة‬ ‫‪ ‬في حل المتراجحات التي تحوي كثير حدود من الدرجة الثانية فإننا‬ ‫نحتاج لدراسة اإلشارة كما في التحليل‬

‫‪g      g   ‬‬

‫‪41‬‬


‫‪ -1‬نحسب المميز ‪   b 2   4. .c  :‬و نميز الحاالت التالية‬


‫طريقة المميز ‪: ‬‬


‫‪   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫و ‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬أ و ‪  y  ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ .1‬المنوال ‪ :‬هو القيمة األكثر تكرارا ً‬

‫‪0539-555-17-55‬‬

‫‪ .2‬المدى ‪ :‬هو الفرق بين أكبر قيمة و أصغر قيمة‬ ‫‪ .3‬المتوسط الحسابي ‪:‬‬

‫مجموع القيم‬ ‫عدد القيم‬

‫‪‬‬

‫‪ .4‬الوسيط ‪ :‬نرتب القيم إذا كان لدينا ‪n‬‬

‫‪n )a‬‬

‫قيمة‬

‫فردية ‪:‬‬


‫‪n1‬‬ ‫‪ ‬رتبة الوسيط ‪2 :‬‬ ‫‪ ‬قيمة الوسيط ‪ :‬هو المفردة ذات الترتيب ‪n  1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪42‬‬

‫‪ ‬قيمة الوسيط ‪ :‬هو المتوسط الحسابي للمفردتين ‪ n  1‬و ‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫ونرمز للوسيط بالرمز‬ ‫‪ .5‬الربيعات ‪ :‬الوسيط يقسم البيانات إلى قسمان لكل قسم نفس عدد القيم‬ ‫‪ -1‬الربيع األول ( األدنى ) ‪ : Q 1‬هو وسيط القسم األول‬ ‫‪ -2‬الربيع الثالث ( األعلى ) ‪ : Q 3‬هو وسيط القسم الثاني‬ ‫‪ .6‬مخطط الصندوق و الساعدين ‪:‬‬

‫‪Q3‬‬

‫اكبر قيمة‬ ‫الساعد‬

‫‪‬‬ ‫|‬

‫|‬

‫الصندوق‬

‫‪Q1‬‬

‫الساعد‬

‫‪43‬‬

‫أصغر قيمة‬


‫‪n 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 2‬و ‪2‬‬ ‫‪ ‬رتبة الوسيط ‪:‬‬


‫‪ n )b‬الزوجية ‪:‬‬

  c  k k c

:1‫خـ‬

  c   .d  c.b

:2‫خـ‬

 b  c d

:3‫خـ‬

b

 c  b

d

b 



c dc

b

d

c

b

&

d

d

d

&

 c  b

b

d

dc b 

:4‫خـ‬

: )‫ التناسب المتسلسل ( الهندسي‬-2  b )‫ التناسب المتسلسل ( الهندسي‬ ,b,c  b  c

: ‫خواصه‬   b  b2   .c

:1‫خـ‬

  b  c  m  c  d.m , b  d.m2 ,   d.m3

:2‫خـ‬

b

b

c

c

d

44

0539-555-17-55

d


b


: ‫ خواص التناسب‬-1

‫أو‬

‫‪k ‬‬

‫‪‬‬

‫‪,y  .y  k y‬‬

‫ع‬ ‫تعتر كسي‬

‫‪ -1‬المتتالية الحسابية ‪ :‬هي متتالية حقيقية الفرق بين كل حدين متتالين‬ ‫يساوي مقدار ثابت نسميه أساس المتتالية ‪d‬‬

‫)‪ n   k (n kd‬‬

‫‪ -‬الحد النوني ‪:‬‬

‫ المجموع النوني ‪sn   1  r :‬‬‫‪1 r‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ -2‬المتتالية الهندسية ‪ :‬هي متتالية حقيقية كل حد يزيد عن الحد الذي قبله‬ ‫بمقدار ‪ k‬مرة‬ ‫ الحد النوني ‪ r ( n  kr nk :‬أساس المتتالية )‬‫ المجموع النوني ‪  ( Sn   1  r :‬الحد األول‬‫‪1 r‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪45‬‬

‫)‬


‫أو‬

‫‪‬‬

‫‪y‬‬


‫‪‬‬

‫‪k‬‬

‫‪ ,y    k.y‬‬

‫تعتر طردي‬


‫‪‬‬

‫إذا كانت ‪  n‬متتالية عددية غير منتهية فإننا نسمي ‪ n‬متسلسلة‬ ‫‪n1‬‬

‫عددية غير منتهية ‪ .‬و نسمي ‪  n‬الحد العام للمتسلسلة‬ ‫‪k n‬‬

‫‪ ‬نسمي ‪ Sn   k‬متتالية المجاميع الجزئية للمتسلسلة‬ ‫‪k 1‬‬

‫‪ ‬إذا كان ‪ limSn  S‬نقول أن المتسلسلة متقاربة‬ ‫‪n‬‬

‫‪ ‬إذا كان ‪ limSn   , limSn  ‬نقول أن المتسلسلة متباعدة‬ ‫‪n‬‬

‫‪ ‬المتسلسلة الحسابية ‪ :‬دوما ً متباعدة‬

‫‪n‬‬

‫‪0539-555-17-55‬‬

‫‪ ‬المتسلسلة الهندسية ‪ :‬متقاربة إذا كان مجموعها ‪S  ‬‬ ‫‪1 r‬‬ ‫‪ ‬المتسلسلة الهندسية غير المنتهية ‪ :‬متقاربة عندما يكون‬ ‫‪0  r 1‬‬


‫إلثبات صحة قضية نقوم بالخطوات التالية‬ ‫‪ .1‬نثبت صحة القضية من أجل اصغر حالة ( قيمة )‬ ‫‪ .2‬نفرض أن القضية صحيحية من أجل ‪n  1‬‬ ‫‪ .3‬نبرهن صحة القضية من أجل ‪n‬‬

‫ملاحظة ‪:‬‬

‫‪k n1‬‬

‫‪‬‬

‫‪k n1‬‬

‫‪+‬‬

‫‪‬‬

‫‪k n‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪k 1‬‬

‫‪46‬‬

‫‪k n1‬‬

‫‪ ‬‬ ‫‪k 1‬‬

‫) ‪p (n ,r‬‬

‫‪(n‬‬ ‫) ‪P (n , r‬‬ ‫‪C(n , r ) ‬‬ ‫!‪r‬‬

‫‪C(n,1)  n‬‬ ‫‪C(n,n)  1‬‬ ‫)‪C(n,r)  C(n,n r‬‬

‫‪r n‬‬

‫‪  c(n,r).  nr .  r‬‬ ‫‪r 1‬‬

‫!‪n‬‬ ‫! ‪(n r)!.r‬‬

‫‪,‬‬

‫‪   ‬‬

‫‪n‬‬

‫‪47‬‬

‫‪C(n,r) ‬‬

‫‪C(n,0)  1‬‬


‫!‪n‬‬ ‫!) ‪r‬‬


‫إذا كانت ‪ P‬تنجز بـ ‪ n‬مرحلة متتالية‬ ‫‪ S1,S2 ,S2 ,...........,Sn‬حيث ‪ S1‬تنجز بـ ‪ r1‬طريقة مختلفة و هكذا‬ ‫عندئذ عدد طرق انجاز العملية ‪ P‬يساوي ‪r1  r2  r2  .....  rn‬‬ ‫‪n!  n(n-1)(n-2)......2.1‬‬ ‫ ‪0!  1‬‬‫‪ D‬مجموعة غير خالية تحوي على ‪ n‬عنصر ا ً كل‬ ‫مجموعة مرتبة من ‪ D‬ذات عنصر تسمى تبديال لـ ‪ n‬عنصرا‬ ‫ماخوذ ا ً ‪ r‬في كل مرة )‪p(n,r) n(n 1)(n 2)......(n r 1‬‬


‫‪-1‬‬

‫المجموعات ‪:‬‬

‫‪0539-555-17-55‬‬

‫‪ -2‬أهم القوانيين المستخدمة ‪:‬‬ ‫‪ ‬مجموعة خالية‬

‫‪P( ) 1 ‬‬ ‫‪ ‬المجموعة الكلية‬ ‫‪‬‬

‫‪ A‬متمم الحدث ‪A ‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪wwwçkhalılalbdullah.com‬‬

‫‪‬‬

‫)‪ A  B  P(A ) P(B‬‬ ‫‪ P  A \ B  P  A   P  A‬‬

‫‪B  P  A B   P  A‬‬

‫عدد طرق وقوع الحدث‬ ‫عدد طرق وقوع الحدث‬

‫) ‪ P(A ) 1 P(A‬‬

‫‪B   P  A   P B   P  A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪B ‬‬

‫‪ P( ) 0‬‬

‫‪‬‬

‫‪B   P  A‬‬

‫عدد الحاالت المواتية‬ ‫عدد الحاالت الممكنة‬

‫‪48‬‬

‫‪ PA‬‬

‫‪‬‬

‫‪ P  A‬‬ ‫‪ PA  ‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫)‪ P(C‬‬ ‫)‪ P(B C‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪2. P(B C) AP(B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬

‫)‪P(B C‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪P(C‬‬ ‫)‪P(B C) P(B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪P(B ) P(B‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬ ‫)‪1. P(B )  A1 P(B‬‬

‫‪C‬‬

‫‪B‬‬

‫)‪3. B C    P(B‬‬ ‫)‪4. B  C    P(C‬‬

‫قاعدة االحتمال المركب ‪5.‬‬ ‫)‪P(A B C)  P(A).PA (B).P A B (C‬‬ ‫‪ -4‬االستقالل االحتمالي‪ :‬احتمال وقوع الحدث ‪ B‬مستقل عن وقوع‬ ‫الحدث ‪ A‬إذا تحقق الشرط ‪P(A B)  P(A).P(B) :‬‬

‫نتائج ‪:‬‬

‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬

‫)‪1. P(A B)  P(A).P(B‬‬ ‫)‪2. P(A B)  P(A).P(B‬‬

‫في حاالت السحب على التتالي دون إعادة فإننا نستخدم التوافيق‬ ‫سحب‬ ‫في حالة السحب معا دون إعادة فإننا نستخدم التوافيق‬ ‫في حاالت السحب على التتالي مع إعادة فإننا نستخدم التباديل‬ ‫أو نستخدم التوافيق مع مراعاة الترتيب‬ ‫في حالة السحب معا ً مع إعادة فإننا نستخدم التوافيق‬

‫‪49‬‬


‫نتائج ‪:‬‬


‫‪ -3‬االحتمال الشرطي‪ :‬احتمال وقوع الحدث ‪ B‬بشرط وقوع الحدث‬ ‫‪ A‬يعطى بالعالقة التالية ‪P(A B) :‬‬ ‫‪P(B) A ‬‬ ‫) ‪P(A‬‬


‫‪-13‬‬

‫تعطى مجموعة اإلعدادية تعطى‬

‫بالعالقة ‪ Z    ib :  ,b  ‬‬ ‫الشكل الجبري للعدد المركب‬

‫يسمى العدد ‪  ib‬‬

‫‪ ‬يسمى ‪ ‬القسم الحقيقي للعدد المركب ‪ Z‬و يرمز له )‪R e (z‬‬ ‫‪ ‬يسمى ‪ b‬القسم التخيلي للعدد المركب ‪ Z‬و يرمز له )‪Im (z‬‬ ‫‪ Z    ib ‬يسمى مرافق العدد ‪Z    ib‬‬ ‫‪   ‬و‬ ‫‪ib  ib‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪i‬‬

‫‪ i ,‬‬

‫‪ i‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 1 ,‬‬

‫‪ i‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0539-555-17-55‬‬

‫‪ ‬طويلة العدد المركب ‪Z   2  b2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪Z1  1  ib1‬‬ ‫&‬ ‫‪Z 2   2  ib2‬‬ ‫‪Z1  Z 2  (1   2 )  i(b1 +b2 ) ‬‬ ‫‪Z1  Z 2  (1   2 )  i(b1  b2 ) ‬‬ ‫‪Z1.Z 2  (1. 2  b1.b2 )  i(b1  b2 ) ‬‬


‫‪50‬‬

كتاب مرجعي في الرياضيات لطلاب الثالث الثانوي العلمي

Recommend Documents