Momcilo Novkovic
I1ija Kovacevic
ZBIRKA RESENIH ZADATAKA
IZ
VEROVATNOCE I STATISTlKE
STYLOS
I
t10-v; ~
ZIP&?
-'VJU#I~t'
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNICKIH NAUKA
Momcilo B. Novkovic
I1ija M. Kovacevic
ZBIRKA RESENIH ZADATAKA
IZ
, VEROVATNOCE I STATISTIKE
Nuvi Sad, 1999
r;..'1.
Cd" ,)
,.. kn rt's('uih zadataka iz verovatnoce i statistike
PREDGOVOR "
'Il
Novkuvic, asistcnt FTN-a u Novorn Sadu
\lij;, Koval-evic, redovni profesor FTN-a u Novorn Sadu
1\11 !\\llliinio 1)1
t
.'/1.',°1111
1)1
lovall M;disic, rcdovni profesor Matcrnatickog fakllltcta
II
Verovatnoca i matematicka statistika je oblast matematike koja ima veliku primenu u svim oblastima nauke i prakse. Posebno je siroko polje primene matematicke statistike, koja je zasnovana na teoriji verovatnoce, pri resavanju raznih problema u prirodnim, tehnickim i drustvenim naukama.
Bcogradu
Zbirka je pisana prema planu i programu Matematickih metoda IV (IV semestar 2+2) za studente gradjevinske struke FIN-a .zbog nivoa izlaganja i raznovrsnosti sadrzaja smatramo da ona moze korisno posluziti i studentima tehnickih fakulteta, studentima PMF-a, kao i studentima ostalih fakulteta i viSih skola koji u okviru matematike izucavaju sadrZaje iz verovatnoce i matematicke statistike.Svesni smo da su u sadrZaju zbirke izostavljene neke vazne oblasti verovatnoce i 111atematicke statistike (neke dvodimenzionalne raspodele- normalna dvodimenzionalna raspodela, teorija korelaeije linearna i kvadratna regresija itd). U zbirei, za sada su obradene sarno one oblasti verovatnoce i matematicke statistike koje se po programu predaju u okviru jednosemestralnog kursa iz Matematickih metoda IV za studente gradevinske struke FIN-a.
I h Mila StopkllVic, rcdovni profcsor FTN-a u Novom Saclll 1./1./,
"STY LOS"
11 .. ,1,11,11',1.
-/11 Ii.
l\ll.O.,
Novi Sad
Vcsclin Stcfanovic
-/.,1 I'njJl'cma: Ilija Tallackov
'.1111/1.1.
"S Print", Novi Sad, Bulcvar Vojvodc Stcpe 133, Tel.: 021/401-1174
:.III1P;1110 \I
S()O primcraka
('IP-KaTaJ1nnnal~Hja Y ny6J1I1Kal~l1jl1 I ; UOJ1l-l0TCKa MaTJ1l\c cpncKe,
HOBli Can
'i 19.21 (076.5R) 'i \ 9.22(076.5R)
HOBKOBlI1i., MOM'IUJlO Zbirka rcscnih zadataka iz verovatnocc i statistikc/Momcilll Novkovic, Ilija Kovaccvic.-Novi Sad: Fakultct Tehnickih nauka: Stylus, 191.)1.) (Novi Sad: SPrint). - 162 str. : graf. prikazi; 24 em I. KOna
l'a'IY" IIq)()HaTHOftC - 3a)J,all,11 6) CTaTHCTHK
a)
~1.IT'· ~1:ITll'l k:1
'1"" .. ,11"11'
i I
S ohzirom na cinjenieu da je zbirka namenjena inzenjerima, trudili smo se da za njcno koriscenje budu dovoljni prethodno izucavani kursevi iz oblasti matcmatikc kakvi se standard no drze na veCini tehnickih fakulteta kod nas. I ovom prilikom zahvaljujemo se reeenzentima dr Jovanu Malisicu, redovnom profcsoru Matcmatickog fakulteta u Bcogradu i dr Mili Stojakovic, redovnom profesoru FTN-a u Novom Sadu, na korisnim sugcstijama i primedbama kojillla Sli olllogucili da sadr~aj zhirke hude poholjsall.
- '3a)\
II
1 "I
\
Zbirka je podeljena u dva dela. U prvom delu su detaljno i sistematski obradeni zadaci, sa kracom teoretskom podlogom, iz sledeCih oblasti: uvod; verovatnoca-osnovni pojmovi; Bajesova formula i formula totalne verovatnoce; jednodimenzionalne i visedimenzionalne slucajne promenljive i njihove transformacije;matematicko ocekivanje i disperzija; zakoni velikih hrojeva i eentralne granicne teoreme; osnovni pojmovi statistike; tackaste i intervalne oeene nepoznatih parametara; parametarski i neparametarski testovi znacajnosti. U drugom delu zbirke detaljno su uradeni zadaci sa pismenih ispita iz Matematickih metoda IV za studente gradevinske struke FTN-a. U zbirci smo koristili oznake kao u knjizi [10].
n.II/\">()·171
Svcsni Sill!) lIa nijcdnlt knjiga nc 1l10~C da izalk hez grciiaka (nadamo se da ill II ovoj !',hirci illlll llIalo). pll t.
SADRZAJ UVOD (Binomna formula i kombinatorika) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . ..
1
PROSTOR VEROV ATNOCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. PROSTOR ELEMENTARNIH DOGADAJA . . . . . . . . . . . . . . . .. OSNOVNE OSOBINE VEROV ATNOCE I
METODE ZADAVANJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Osnovne osobine verovatnoce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Klasicni metod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Geometrijski metod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Metod zadavanja verovatnoCe na diskretnoma skupu. . . . . . . . .. USLOVNA VEROVATNOCA.
NEZAVISNOST DOGADAJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FORMULA TOTALNE VEROVA TNOCE.
BAJESOVA FORMULA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
JEDNODIMENZIONALNE SLUCAJNE PROMENLJIVE . . . . . . . . . . FUNKCIJA RASPODELE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. SLUCAJNE PROMENLJlVE DISKRETNOG TIPA . . . . . . . . . .. SLUCAJNE PROMENLJlVE NEPREKIDNOG TIP A . . . . . . . . . TRANSFORMACIJA SLUCAJNE PROMENLJlVE . . . . . . . . . ..
27
27
27
30
32
DVODIMENZIONALNA SLUCAJNA PROMENLJIV A FUNKCIJA RASPODELE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. DVODIMENZIONALNA SLUCAJNA
PROMENLJlVA DISKRETNOG TIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. DVODIMENZIONALNA SLUCAJNA
PROMENLJlVA NEPREKIDNOG TIPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. TRANSFORMACIJA DVODIMENZIONALNE
SLUCAJNE PROMENLJIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
40
40
10
10
10
15
18
19
22
40
44
54
BROJNE KARAKTERISTIKE SLUCAJNIH PROMENLJIVIH . . . . ..
61
ZAKONI VELIKIH BROJEVA I CENTRALNE
GRANICNE TEOREME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
68
--------------------
-------
-----
OCENE PARAMETARA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. TACKASTE OCENE PARAMETARA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. METODE ZA DOBIJANJE TACKASTIH OCENA. . . . . . . . . . .
75
75
75
INTERV ALI POVERENJA (POUZDANOSTI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
87
TESTIRANJE HIPOTEZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. PARAMETARSKE HIPOTEZE I
TESTOVI ZNACAJNOSTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. NEPARAMETARSKE HIPOTEZE I
TESTOVI ZNACAJNOSTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Pirsonov X2 test ..................................... .
Test Kolmogorova ................................... . Test Kolmogorov - Smirnova .......................... .
90
90
95
95
101
102
ZADACI SA PISMENIH ISPITA ............................. . 105
PRILOG 1
(Primeri najceSce koriscenih statistika) ....................... , 152
PRILOG2
(Sematski prikaz karakteristika nekih slucajnih promenljivih) . . . . .. 154
PRILOG3
(Uputstvo za koriscenje tablica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 156
PRILOG4
(Statisticke tablice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 159
LITERATURA
1
Uvod
UVOD Binomna formula Za svaki prirodan broj n vazi jednakost (a + b)"
=(~) a"b o + (~) an-1b + (;) a n- b 2
2
+ ... +(n: l)ab n-1 + (:)aOb D ,
koja se naziva binomna (iii Njutnova) formula. Brojevi
(~), ( ~ ), ... , ( :),... ,(:) nazivaju se binomni koeficijenti.
Binomni koeficijent, u oznaci ( :), gde je n E N, k E { 0,1,2, ..., n} je broj n! ( n) = k k! (n - k)! 10
20
3°
( :)
n(n-l) ... (n-k+l) . Z a b'momne k oe f'" lClJente vaZl: k(k -1) ... 2 ·1 V'
= ( n : k) - svojstvo simetricnosti
1) _pravilo sabiranja
(n) + ( n ) = (n + k+l k+l k
(~)=(:)=1.
Kod razvoja binoma glavni problem je izracunavanje vrednosti binomnih koeficijenata. Za lako izracunavanje binomnih koeficijenata moze nam posluziti takozvani Paskalov trougao:
1 1 1 1 1 1
1
2
3 4
5
1
4
10
2 3 4
1
3 6
10
0 1
1
5
1
5
u kome je svaki broj, sem krajnjih (koji su jednaki 1), jednak zbiru dva susedna broja koji su leva i desno od njega u prethodnoj vrsti. Brojevi u desnoj koloni predstavljaju step en binoma, a brojevi u vrsti koja odgovara tom stepenu, su binomni koeficijenti koji se pojavljuju tim redom u razvoju binoma. Npr. (a+b)4 =1·a 4 +4.a 3 b+6·a 2 b 2 +4.ab 3 +1·b 4 .
Uvod
2
Praviloizbora 1. Ako se neki objekat Al moze izabrati na 0 1 naCina, a objekat A2 na O2 naCina, tada se izbor Al ili A2 moze izvrsiti na (OJ + 0z) nacina. Pravilo vazi i za vise objekata. Izbor Al Hi A z ,... , iii Ak moze se izvrsiti na (0 1 +0 2 + ... +Ok) nacina. 2. Izbor uredeoog para (AHA z ) moze se izvrSiti na (° 1 ' n 2 ) nacina. Izbor uredene k-torke (Al'A 2 , •••,A k) moze se izvrsiti na (n i . O2 ' •••• Ok) naCina.
Permutacije bez ponavljanja Dat je konacao skup od 0 razliCitih elemenata. Ma koji poredak svih 0 elemenata, naziva se permutacija bez ponavljanja. Dve permutacije bez ponavljanja su jednake ako sadrze iste elemente u istom redosledu. Broj permutacija bez ponavljanja od 0 elemenata je: def
P(O) = n· (n -1)· (n - 2)· ..,·2·1 = n!
(0!=1).
Permutacije sa ponavljanjem Dat je konacan skup od n elemenata medu kojima ima i jednakih (k j medusobno jednakih jedne vrste, k2 medusobno jednakih druge vrste,. '" k m medusobno jednakih m-te vrste, pri cemu je ki + k2 + ... + k m s; n). Ma koji poredak svih n elemenata naziva se permutacija sa ponavljanjem, Dve permutacije sa ponavljanjem su jednake ako sadrze iste elemente u istom redosledu. Broj permutacija sa ponavljanjem od 0 elemenata je: n! PkJ,kU··,k m (n)
= -k-'-k-'-'-" k ' I'
2'
m'
Varijacije bez ponavljanja Dat je konacan skup od 0 raz{icitih elemenata. Ma koja uredena k-torka (redosled je bitan), 1 s; k s; 0, od k razlicitih elemenata datog skupa naziva Se varijacija klase k bez pooavljanja. Dve varijacije bez ponavljanja su jednakt ako sadrze iste elemente u istom redosledu. Broj varijacija klase k bez ponavljanja od n elemenata je: ~
Vk(o)=
n''
(n - k)!
=o(o-I)...(n-k+l).
3
Uvod
Varijacije sa ponavljanjem Dat je konacan skup od 0 razlicitih elemenata. Ma koja uredena k-torka (redosled je bitao) od k elemenata datog skupa, tako da se jedan iIi vise elemenata mogu ponavljati, naziva se varijacija klase k sa ponavljaojem. Dve varijacije klase k sa ponavljanjem su jednake ako sadrze iste elemente u istom redosledu. Broj varijacija klase k sa ponavljanjem od n elemenata je: -
k
Vk(n)=n .
Kombinacije bez ponavljanja Dat je konacan skup od 0 razlicitih elemenata. Ma koji podskup od k razliCitih elemenata datog skupa, bez obzira na poredak (redosled nije bUan) naziva se kombioacija klase k bez ponavljaoja. Dve kombinacije klase k bez ponavljanja su jednake ako sadrze iste elemente. Broj kombinacija klase k bez ponavljanja od
0
elemenata je:
Kombinacije sa ponavljanjem Dat je konacan skup od n razliCitih elemenata. Ma koji podskup od k elemenata datog skupa, tako da se jedan iii vise elemenata mogu ponavIjati, bez obzira na poredak (redosled oije bUao) naziva se kombinacija klase k sa ponavljaojem. Dve kombinacije klase k sa ponavljanjem su jednakc ako sadrze iste clemente. Broj kombinacija klase k sa ponavljanjem od n elemenata je:
-Ck(n)== (0 +
k-IJ
k
k-IJ .
(n + 0-1
1. Koliko ima trocifreoih brojeva sa razlicitim ciframa koji se mogu obrazovati od cifara 0,1,2,3,4,5? V] (6) - V, (5) = 61 - 5! = 6·5·4 - 5·4 = 120 = 20 = 100 .s
3!:Y
(iIi 5·5-4=100)
2. U koliko permutacija cifara 1,2,3, ... ,8 cifre 2,4,5,6 stoje jedoa pored druge, ito: a) u datom poretku 2456, b) u proizvoljoom poretku?
4
Umd a) 2456 == x ,
1,3,7,8, x P(5) == 5f == 120. b) P(5)· P(4) = 5!·4!= 120·24 == 2880. 3. Vojna jedinica se sastoji od 3 oficira, 6 mladih oficira i 60 vojnika. Na koliko nacina se od njih moze izabrati manja jedinica koja se sasto.ii od jednog oficira, dva mlada oficira i 20 vojnika? C 1 (3)· C 2 (6)· C 2o (60) ==
(;J. (~). (~~J.
4. Koliko Morzeovih znakova se moze formirati od osnovnih znakova 0 i ako se zna da se .iedan znak sastoji od najvise cetiri osnovna znaka? VJ(2)+ V2(2)+ V3(2)+ V4(2)=2+2 2 +23 +24 =2+4+8+16=30. 5. Tri clana zirija treba da se izjasne sa DA iii NE. Koliki je broj mogucnosti za izjasnjavanje? V3(2) 2 3 8. 6. U prodavnid ima 12 vrsta cigareta. Kupac zeU tri kutije. Na koliko nacina ih moze izabrati? C 3 (12) =(12 + 3 -1) = (14) = 14·13 ·12 == 364.
\ 3 3 3·2
7. Koliko ima sedmocifrenih brojeva obrazovanih od dfara 0,0,0,0,1,2,3? 7' 6' P4(7)-P3(6)= 4; - =7·6·5-6·5·4=90 (ili3·6·5=90).
3;
8. Koliko ima sedmocifrenih brojeva cije su tri cifre 1, dYe cifre jednake 2, a dYe cifre jednake 3?
7! 7·6·5·4
P3 2 2 (7) = - - = - - - = 210. " 3!·2!·21 4 9. Koliko se razlicitih sestocifrenih brojeva moze obrazovati od dfara 0,1,2,3? V 6 (4) - V 5 (4) 4 6 4 5 = 4096 -1024 = 3072 (iii 3·4·4-4·4·4=3072). 10.
Koliko se brojeva izmedu 3000 i 6000 moze moze formirati od cifara 0,1,2,...,7, ako se nijedna cifra ne moze ponoviti u jednom broju?
7'
3...
V 3 (7)=='-:'==7·6·5=210,
4...
V3 (7) = 4; = 7 . 6·5 = 210 ,
5...
V 3(1)b'-:'= 1· 6·5 == 210, . 4! Ukupno: 630 (iIi 3·7·6·5=630).
4\
7'
. 7'
Uvod 5 11. Na tiketu sportske prognoze nalazi se 12 susreta. a) Koliko kolona tiketa treba popuniti ako se "znaju" rezultati pet susreta, da bismo imali 12 tacnih pogodaka? b) Koliko kolona tiketa treba popuniti ako se "zna" da 7 susreta nece biti nereseno, da bismo imali 12 tacnih pogodaka? a) V7(3) 37 ==2187.
b) V7(2).Vs(3) ==2 7 .35 =31104.
12. Koliko ima petocifrenih prirodnih brojeva ciji je zbir cifara jednak 5? 5! -- 4! 4! 3!
5 -- .~ 4 = 1
5 == 5 + 0 + 0 + 0 + 0 ,
P4 (5) - P 3 (4)
5 4 + 1+ 0 + 0 + 0 ,
P (5) - P (4) == 5! 4! = 20 -12 8 3 Z 31 2!
P3 (5)-Pz (4)==8
5' 4'
P22 (5) - P2( 4) = - ' - ~ == 30 - 12 = 18 , 21,2! 2!
PZ,2(5)-Pz(4) 18
5=3+2+0+0+0, 5 = 3 +1+ 1+ 0 + 0 , 5=2+2+1+0+0, 5 2 + 1+ 1+1+0 , 5 == 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ,
P (5) - P (4) == 5! - 4! = 20 4 == 16 3 3 31 31 _1=--=-_ _---,-_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ Ukupno: 70.
13. U odeljenju ima 16 devojcica i 20 decaka! Za odeljensku zajednicu treba izabrati cetiri predstavnika od kojih je bar jedna devojcica. Na koliko nacina se moze izvrsiti izbor? (\6)(2;) + (16)(20) + 2 2
(~6)( 20) + (1:) == 18240 + 22800 + 11200 + 1820 == 54060, 1
14. Kosarkaski tim sacinjavaju 5 bekova, 4 centra i 3 krila. Na koliko naCina se moze od njih sastaviti petorka ako u njoj moraju da igraju bar 2 beka i bar 1 centar?
(~)(~)(~) + G)(~)G) + (~J(~) + (!)( ~)(~J + (!)(~) + (!)(~) 10,4·3+ 10 ·6,3 + 10·4 + 10·4,3 + 10·6 + 5·4 = 540.
15. Na polici se nalazi 12 razlicitih knjiga od kojih su 5. iz matematike, 4 iz tizike i 3 iz hemije. Na koliko razlicitih nacina se mogu rasporediti knjige na polici, ako se zna da sve knjige iz iste oblasti moraju uvek biti jedna do druge? P(5) . PC4) . P(3) . 31 51·41·31·3! 120·24·6·6 == 103680. peS) ~ matematika, P(4) - fizika, P(3) hemija, 31 - oblasti.
6 U~d 16. Vozac je za svoj automobil kupio cetiri spoljasnje i cetiri unutrasnje gume. Na koliko nacina mogu te gume da se spare?
P(4) = 4! = 24 .
17. Na koliko nacina moie biti oeenjen jedan ucenik na kraju skoIske godine iz 12 predmeta ako: a) iz svih predmeta moie dobiti oeenu od 1 do 5? b) iz dva predmeta ne moie dobiti oeenu visu od 3, a iz tri predmeta niiu od 4?
a) Y 12 (5) = 512 = 244140625 .
-
-
-
7
b) Y2(3)'Y3(2)'Y7(5)=3 2 .2 3 .5 =5625000. 18. U jednoj ddavi ne postoje dva stanovnika sa jednakim brojem rasporedom zuba. Koliki je maksimalan broj stanovnika te drzave? 1 - ima zub, 0 - nema zub
~ 32 mesta
Y32(2)=2 32 =4294967296.
19. Iz grupe od 15 radnika treba izabrati prvo poslovodu, a zatim jos 4 radnika. Na koliko nacina se moie izvrsiti izbor?
20. Pravougaonik je presecen na dva skupa pravih paralelnih njegovim stranicama. Svaki skup se sastoji od po n pravih. Koliko se na ovaj nacin dobija pravougaonika?
=tfM~~~T~} (..
2) p
Cz(n + 2)· C 2 (n+ 2) = ( n+2J 2 . (n+2) 2
~~
(n+2) prave
21. U skupu od 100 tacaka ima tacno 7 cetvorki kolinearnih tacaka. Koliko je najvise razlicitih pravih odredeno ovim skupom tacaka? Cz(lOO) -7C 2 (4) + 7
=C~O) -7(~) + 7 =4950 - 42 + 7 = 4915.
22. Iz kompleta od 52 karte izvuceno je 10 karata. U koliko slucajeva se medu izvucenim kartama nalazi: a) tacno ,jedna dama, b) tacno dve dame, e) bar jedna dama, d) bar dve dame.
Uvod a)
7
C9(48).Cl(4)=(~8}(~),
b)
Cg(48).C2(4)=(~}(;),
c) C 1 (4) ·C 9 (48)+C 2 (4) ·Cg(48) + C 3 (4),C 7 (48) + C 4 (4),C 6 (48) = = C 1O (52) -
d) C lO (52)
C 1O ( 48)
C lO (48) - C 1 (4)· C 9(48) =
=( ~~) -(;~),
(~~) - (;~)
(;)
(~).
23. Na. stolu se nalazi n belih i n crnih kuglica numerisanih brojevima 1,2,...,n. Na koliko nacina se mogu poredati kuglice po jednoj Iiniji tako da dve kuglice iste boje ne budu jedna do druge? B C BC B... pen) ·P(n) = nl· n 1= (n!)2 Ukupno 2(n!)2. CBCBC... P(n)·P(n)=n!·n!=(n!)2 24. Od n razlicitih kuglica dve su flksirane: kuglica A i kuglica B. Na koliko nacina se mogu poredati kuglice tako da kuglice A i B. a) budu jedna do druge? b) ne budu jedna do druge? a) pen -1)· P(2) (n -I)!' 2! 2(n I)!
b) P(n)-P(n-1).P(2)=n! 2(n l)!=(n 2)(n 1)!
Prostor verovatnoca
8
PROSTOR VEROVATNOCA PROSTOR ELEMENTARNIH DOGADAJA Skup svih rnoguCih ishoda jednog eksperirnenta naziva se prostor ishoda (skup svih elernentarnih dogadaja). Pojedini ishodi (Oi koji predstavljaju elemente osnovnog skupa n zovu se eJementarni dogadaji. Svaki podskup A skupa n naziva se slucajan dogadaj i on se realizuje ako i sarno ako se realizuje neki ishod (0 koji pripada podskupu A. Svakorn dogadaju A odgovara suprotan dogadaj A koji se realizuje ako i sarno ako se dogadaj A ne realizuje.
1. U kutiji se nalazi 5 kuglica, od kojih su dYe beJe (oznacene sa k} i k 2 ), dYe crvene (oznacene sa k3 i k 4 ) i jedna iuta (oznacena sa k s )' Izvlace se odjednorn tri kuglice. Odrediti: a) skup moguCih is hod a, b) dogadaj A da se izvuku tri kugJice razlicitih boja, c) dogadaj B da se izvuku tri kuglice od kojih su dYe crvene. a) Q={ (kpkz,k3),(kl,k2,k4),(kl,k2,ks),(kl,k3,k4),(kl'k3,ks), (kl' k 4, k s ),(k z,k 3 , k4 ),(kz' k 3 , ks ),(k 2, k 4, ks), (k 3 , k 4 ,k s ) } b) A ={ (kl,k3,ks),(kl,k4,ks),(kz,k3,ks),(k2,k4,ks) } c) B= {(kl,k3,k4),(k2,k3,k4),(k3,k4,k,) } 2. Strelac gada u cilj 4 puta, pri cernu se registruju pogoci i prornasaji. Opisati
skup ishoda i dogadaje: A - da je gadanje zapoceto promasajem, B - da je rezultat svih dogadaja isti, C - da je cilj pogoden dva puta, D - da je cilj pogoden bar dva pula. OznaCirno sa 0 prornasaj, a sa 1 pogodak. Tada irnarno: Q {0000,1000,01oo,oo10,ooOl,1100,1010,1001,0110,0101,0011,1110,
1011,1101,0111,.1111}
#Q=V4(2)=2 4 =16
A = {OOOO, 0100, 0010, 0001, 0110,0101,0011, 0111}, B = {OOOO, 1111}
C == {HOO, 1010, 1001,0110, 0101, 0011}
D = {1100, 1010, 1001,0110,0101,0011,1110,1011,1101,0111, 1111}
3. Ogled Se sastoji u bacanju dYe kocke. Odrediti: a) skup elementarnih dogadaja, • b) dogadaj Ada se na gornjoj strani obe kocke pojavi isti broj, c) dogadaj B da se na kockama pojavi zbir 7.
Prostor verovatnoca
9
a) element arne dogadaje ovog ogleda predstavljaju parovi brojeva (u,m), gde je m broj na gornjoj strani jedne kocke, a n broj na gornjoj strani druge kocke . 11 21 31 41 51 61 12 22 32 42 52 62 33 43 53 63 #0. 6·6 36 13 23 14 24 34 44 54 64 25 35 45 55 65 15 16 26 36 46 56 66 b) A={ 11,22,33,44,55,66 } c) B ={ 16,25,34,43,52,61 }. 4. Odrediti prostor 0. elementarnih dogaoaja u sledeCim eksperimentima. a) bacanje jedne kocke za igru, b) bacanje novcica, c) bacanje dva novcica, d) bacanje jednog uovcica i jedne kocke. a) n = { 1,2,3,4,5,6 } b) n={ P,G } c) 0. {pp,PG,GP,GG} d) n ={ Pl,P2,P3,P4,P5,P6,Gl,G2,G3,G4,G5,G6 }. 5.
Strelac gaoa u ciIj sve dok ga iii ne pogodi dva puta iii ne promasi tri puta. Opisati skup ishoda i dogaoaje: A - da poslednji hitac bude promasaj, B - da je treCi hitac pogodak, C - da je cilj pogooen dva puta.
n={
000,1000,0100,0010,11,011,101,0011,0101,1001 }
A == {ODD, 1000,0100, DOlO} B == {DOlO, 011, 101, 0011} C ={ 11,011,101,0011,0101,1001 } 6.
Igraci A i B igraju sah sve dok jedan ne postigne 6 pobeda (remi se ne racuna). Trenutno je 5:3 za igraca A. Opisati dogaoaje: D A - da igrac A pobedi, i DB - da igrac B pobedi. Ak - dogadaj da je igrac A pobedio u k-toj partiji Bk - bogadaj da je igrac B pobedio u k-toj partiji DA
7.
{A g , BgAlO' BgBlO A n
}, DB
={B9 BlO B I1
}.
U kutiji se nalaze cetiri listiea obeldena brojevima 1,2,3,4. Odrediti skup ishoda, ako se IistiCi izvlace jedan po jedan, do pojave neparnog broja (bez ~ vracanja). 0. == { 1,3,21,23,41,43,241,243,421,423 }.
Prostor verovatnoca 8. Strelac gada u cHj, u prvoj seriji, dva puta, a onda, u drugoj seriji, jos onoliko puta koliko je pogodaka postigao u prvoj seriji. Opisati skup ishoda i dogadaje: A • da strelac pogodi cilj ne manje od tri puta, B - da gadanje zapocne pogodkom, C - da je u trecem gadanju postignut· pogodak, D - da strelac pogodi cilj ne vise od jedanput. n = { QO, tQO, 101, 010, 011, 1100, 1110, 1101, 1111 } A={ 1110,1101,1111 } B {100,101,1100,111O,1101,1111} D = { 100,010,00 }. C {101, 011, 1110, 1111 } 10
OSNOVNE OSOBINE VEROVATNOCE
I METODE ZADA V ANJA
Osnovne osobine verovatnoce
1. P(0) = 0, n
n
2. PCLA j )= L::P(A i ) i~l
,
i~l
3. AcB ~ P(A)::;;P(B), 4. O::;;P(A)::;;1,
5. peA) == 1- P(A) , 6. P(A u B) = peA) + PCB) n
n
;=1
;=1
7. P(UA j ) == rp(A j )
P(AB) ,
n
j ,j=1
J
j"'i
n
n
r P(A;A.)+
r
;,j,k=l ;"'j,;"'k,k"'j
_
P(A;AjA k )- •• + (_l)n-1 P(A1 .. A n ) ,n > 1,
__
_ __
8. P(U Ai) == P(A j ) + P(AZA j ) + P(A 3 A j A 2 ) + ... + P(AnA\AZ ...An_\),n > 1. 1:(
Klasicni metod Ako je
n
konacan skup od n E N elemenata i A c
elemenata, tada je peA) = :~
=:
n
podskup koji saddi m
(n - broj svih moguCih ishoda, m - broi
povoljnih ishoda za realizaciju dogadaja A). Svi ishodi u prostoru verovatni.
n
su jednakc
Uzorcibezvraianja U kutiji imamo n razlicitih elemenata, na primer n kuglica oznacenih S2. brojevima 1, 2, ... ,n. IzvlaCi se jedna kuglica (tj. jedan broj), ali se ona viSe Dc vraca u kutiju. Zatim se izvlaCi jedna kuglica od preostalih. Kada se take napravi k koraka (k izbora po jedne kugijce bez vracanja) dobije se uzora;; obima k. Realizovani uzorci su tada oblika 'Xl'x 2 , ...,X k , gde je Xi broj dobijt: u i-tom izvlacenju (i svi oni su medusobno razliCiti).
11
Prostor verovatnoca
Ukoliko je redosled u uzorku bitan, tada svaki takav uzorak je jedna varijadja k-te klase bez ponavljanja od 0 elemenata. Takvih uzoraka ima
(0). k!= k
n!
(n - k)!
(na primer (2,3,3,5) i (3,2,3,5) se razlikuju jer je redosled
bitan). Ukoliko redosled nije bitan, svaki uzorak je jedna kombinacija k-te klase bez ponavljanja od
0
elemenata. Dakle, ima ih (:) .
Uzorci sa vracanjem U kutiji imamo 0 razliCitih elemenata, na primer n kuglica oznacenih sa brojevima 1,2, ... ,n. Izvlaci se jedna kuglica i kada se vidi njen broj, ona se vraca u kutiju. Onda se kuglice izmesaju. Zatim se ponovo uzima jedna kuglica. Kada se tako napravi k koraka dobija se uzorak obima k. Realizovani uzord su tada oblika y.,y 2 , ••• ,y k , gde je Yj broj dobijen u j-tom izvlacenju. Ovde svako Yj moze biti bilo koji od brojeva 1,2,..,n. Dakle moze biti i ponavljanja brojeva. Ako je redosled kuglica u uzorku bitan, tada je svaki realizovan uzorak jedna varijacija klase k sa ponavljanjem od 0 elemenata. Dakle tada imamo ukupno k Ok uzoraka, tj n moguCih izborak-torki brojeva. Ako redosled u uzorku nije bitan, tj. svaki uzorak je kombinacija k-te klase sa ponavljanjem od 0 elemenata. Dakle, ima ih (n + :
-1) ( ~ 1) . n: k
1. U kutiji se nalaze 4 bele i 6 ernih kuglica. Izvlace se tri kuglice. Kolika je verovatnoca da se medu ojima nade bar jedoa erna kuglica? 10) 10·9·8 n=#n=C 3 (10)= ( 3 = 3.2 =120. A - dogadaj da nije izvucena ni jedna cma kuglica
m=#A=C 3 P(A)= m n
(4) (;)=4. -±-=~ 120
30
peA) =1-P(A): 1
~= 29 30
30
0967. '
Napomeoa: S obzirom da se verovatnoea dogadaja najeesce dobija u obliku razlomka, rezultat dobijen u decimalnom zapisu predstavlja pribliznu vrednost, i u tom smislu se koristi znak jednakosti. Sliena je s.ituacija j za ostala izraeunavanja u ovoj knjizi Dakle, znak jednakosti "=" kod resavanja zadataka je zamena za priblizno jednako" l'I:j " .
12 Prostor verovatnoca 2. Igrac A ima 2, a igrac B ima 6 lozova od ukupno 100 lozova medu kojima je 5 sa dobitkom. Nad verovatnocu da: a) igrac A ima bar jedan loz sa dobitkom, b) bar jedan od igraea A i B ima loz sa dobitkom. 100) 100·99 a)n=#O C 2(100) 2 == 2 =4950. ( A - dogadaj da igrac A nema nijedan loz sa dobitkom, (95) 95·94 m=#A=C 2(95)= 2 =-2-=4465 peA) = 4465 4950
peA) = 1- peA) = 485 4950
=00979.
'
b) Igraci A i B imaju zajedno 8 lozova. C - dogadaj da igraCi A i B nemaju loz sa dobitkom, n =#0 = C g (loo) = ( 100) 8 = 1,86·10 11 P(C)= m == 1,22, n 1,86
m =#C
P(C)=l-P(C)
C 8 (95) = (95) 8
11 122.10 ,
0,64 =0,344.
1,86
3. U odeljenju je 8 vojnika. Na slucajan nacin se biraju dva vojnika zbog pozarstva. Za svako sledece pozarstvo postupak se ponavlja. Kolika je verovatnoCa da: a) u prva dva pozarstva budu razliciti vojnici, b) u prva cetiri pozarstva budu razliciti vojnici, c) u prva cetiri pozarstva neki vojnik ucestvuje bar dva puta. a)
n=#0=C2(8).C2(8)==(~}(~)=(8~7r =784, m=#A=C2(8).C2(6)=(~}(~)==28. 6/ =420
b)
n =#0 = C 2(8)· C 2 (8)· Cz(8)· C 2 (8) == 28 4
peA) = 420 = 0 536 . 784 '
614656,
m =#B C 2(8)·C 2(6)·C z(4) ·C 2(2) = 28·15·6 == 2520 PCB) = 2520 = 0 004. 614656 ' c)
PCC) = 1- PCB) = 1- 0,004 == 0,996.
4. Da Ii su jednake sanse za uspeh kod trojice Ijudi ako prvom za uspeh treba bar jedna sestica iz 6 bacanja, drugom 6ar dYe u 12 bacanja, a trecem bar 3 u 18 bacanja?
13
Prostor verovatnoca - prvi igrac: n =# ,0 = V6 (6) 66 = 46656 . A - dogaaaj da prvi igrac nije dobio ni jednu sesticu,
m =# A = V6 (5) = 56 = 15625 ,
PCA)
°
15625 peA) 1 PCA) = 1 15625 = 31031 = 66.
46656 ' 46656 46656 ' 12 - drugi igrac: n =# ,0 = V12 (6) 6 = 2176 782 336. B - dogaaaj da drugi igrac nije dobio dYe sestice, - 12 11 m =# B = V12 (5) + 12· V1l (5) = 5 + 12 . 5 = 830078125 , PCB)
28:~60;:21::6 = 0,38,
- treCi igrac: n
,0 = V18 (6)
618
PCB) = 1 PCB) = 1-0,38 = 0,62.
= 1,02.1014 .
- dogaaaj da treCi igrac nije dobio tri sestice
- = -VI8(5) + 18· -V17(5)+ l( 18) m =#C 2 . -VJ6(5)
518 + 18·517 + 153·5 16 = 0,409 ·10 14 ,
P(C)=l P(C)=1-0,40=0,60. 0,409 =0,40, 1,02 Najvecu sansu za uspeh ima prvi igrac. peC)
r 5. "
Sest strelaca gada u 10 predmeta. Ako svaki strelac nasumice bira cilj, koja je verovatnoca da ce svi strelci gadati u razlicite ciljeve?
6 n=#n=V 10. m=#A= (10) 6 ·6!=151200, P(A)= 151200 106 =0,1512. 6 (1O)
6. Nepismeno dete sastavlja reci od sledecih slova: a,a,a,e,i,k,m,m,t,t. Odrediti verovatnocu da ce sastaviti rec "matematika". n =#,0 = P3.2.ilO)
10! =151200, m =# A = 1, peA) = 1 3 !·2 !·2! 151200
0,0000066.
7. Istovremeno se bacaju tri kocke. Dogadaji A i B su definisani ovako: A· pala je bar jedna jedinica, B· pala su bar dva jednaka broja. Nacl verovatnoce ovih dogadaja. 3 n =#,0 = V3(6) = 6 = 216 - dogaaaj da nije paJa nijedna jedinica. m=#A=V3 (5)=5 3 =125,
P(A)=125~p(A) 1_125=~=0,42. 216
216
216
B - dogaaaj da nisu pala dva jednaka broja. 6' 14D 120 96 m =# B = V3(6) 3; = 120, PCB) = 216 ~ PCB) = 1- 216 = 216 =0,44.
14 Prostor verovatnoca 8. Iz spila od 32 karte nasumice su izvucene odjednom 3 karte. NaCi verovatnocu da ce medu njima biti bar jedan kee. n =# 0
m
=C 3 (32) = (3;) = 4960.
A - dogadaj da nijedan kec nije izvucen,
=# A = C (28) = (28) = 3276 peA) 3276 => peA) 1- 3276 3 3 '4960 4960
1684 = 0 34 . 4960 '
9. U prizemlju zgrade koja ima 7 spratova u lift su usia tri coveka. NaCi verovatnoeu: a) da su svi iZaSli na prvom spratu (dogadaja A), b) da nijedan nije iZaSao pre treceg sprata (dogadaja B), c) da su izasli na raznim spratovima (dogadaja C), d) da je bar jedan iZaSao na trecem spratu (dogadaja D), e) dva su iZaSla na drugom, a treCi na bilo kom od ostalih (dogadaja E). n =#0 = V3 (7) = 73 = 343.
a)
m=#A=1,
P(A) =_1_=0,0029 . 343
b)
m=#B=V3 (5)=5 3 =125,
PCB) = 125 =0 36 . 343 '
c) d)
e)
7! P(C) 210 06l. m =#C V3 (7)=-=210, 343 ' 4! D - dogadaj da nijedan nije izasao na trecem spratu m =#D= V3(6) =6 3 = 216, P(D) = 216 => P(D) =1- 216 127 343 343 343 m=#E C 2 (3)· V1 (6)
=G} ~:
=3·6=18,
P(E) =
0,37.
3~3 =0,052.
(Dva coveka od tri mozemo izabrati na C 2 (3) nacina.) 10. Tri igraca igraju preferans. Svaki od njib je dobio 10 karata i dYe su ostalc u talonu. Jedan od igraea je dobio 6 tref-karata i cetiri koje nisu tref. On menja dYe od tib karata i uzima dYe karte iz talona. NaCi verovatnocu da dobije dYe karte trefove boje. n =#0 = C 2 (22) =
(~2}= 231,
peA) _1_ = 0,0043. 231 11. Iz spila od 52 karte izvlace se istovremeno cetiri karte. Odrediti verovatnocu dogadaja da se medu izvucenim kartama nalazi:
a) tacno jedna tref karta (dogadaj A),
b) bar jedna trefkarta (dogadaj B),
c) sve cetiri tref karte (dogadaj C),
d) nijedna trefkarta (dogadaj D)
m =# A = 1
15
Prostor verovatnoca
n =#Q = C 4 (52) [52) 270725 4 a)
m=#A=[~}[3;)=13. 39.38.37 6
b) m =#B=[l:) {3;)
peA) = 118807 270725
118807,
+[~} [3;) +[1:) {3:) +[~)
0,44.
188474,
P(B) = 188474 070.
270725 '
c) m=#c=[1:)=715,
P(C) -
715 270725
0,0026.
d) m =#D = [3:) =77805,
P(D)
77805 = 029. 270725 '
Geometrijski metod P(A) = m(A) , gde je mO oznaka za geometrijsku meru.
m(n)
1. Na duzi AB duzine a, na slucajan nacin su izabrane tacke MiN. NaCi verovatnoeu da tacka M bude bliza tacki N nego tacki A. n je skup svih tacaka iz kvadrata stranice a. ~ Iy-xl
y>x
~
Y
y x
y
x-yO
(a, a)
(O,a)+---';;;;"
y<2x
(y =2x)
3
2
-a
4
'
(y 0).
3 2 m{A) -a 3 P{A)= _ _ =_4-=-=0,75. 2 m(n) a 4
2. Prijatelji se dogovore da se nadu izmedu 12 i 13 casova i da na ugovorenom mestu cekaju jedan drugoga 20 minuta. Kolika je verovatnoCa da ce doei do susreta?
16
Prostor verovatnoc OznaCino sa x i y momente dolaska ta dva prijatelja u minutima. 0 je sku: svih tacaka iz kvadrata stranice 60. Povoljan uslov za dogadaj A, doslo '. do susreta I x - y I:s;; 20 . y 601----z~W1 40
20
o
x>y
y>x
x-y s20 Y~x-20 (y = x-20)
y
x s20
y:s;;x+20 (y = x + 20)
204060x
A = 240·40 · - - 1600, m(0 )=60·60 3600, m (-) 2
3.
5 =0,56. 9
P(A) = m{A) = 2000 m(O) 3600
m(A) 3600-m(x):::2000
Na slucajan nacin se biraju dva broja iz intervala [0,1]. Kolika verovatnoca da je njihov zbir manji od 1, a proizvod veCi od
..!. 9
o je skup svih tacaka iz kvadrata stranice 1.
y
m(O) 1·1 =1
1 k---.-------,
x+y
Y I-x
2
x·y> 9 2 x·y=9
A(~3'31:.)
B(.!.~) 3'3
2
2
"3
1
2
"3
"3
"3 2 x m{A)= J(I- x)dx - J-dx =
1
-1 3
19x
3
~-~lnx I~.!. 9 1
"3
m(A)=
3
1 1 2 1 2 ---In 2 =- -ln2=0,0126, P(A)= 3 6 9 6 9
:~~j =i-%ln2 =0,01
4. U krugu polupreenika r bira se na slucajan nacin jedna tacka. Odr;; verovatnocu da je tacka bliia kruznoj liniji nego centru kruga.
17
Prostor verovatnoCa n je skup svih tacaka iz kruga poluprecnika r.
m(n)=r 21t,
m(A)=(r-;r1t=~ 1t.
5. U kvadratu je upisan krug. Odrediti verovatnocu da sJucajno izabrana tacka u kvadratu pripada krugu. n je skup svih tacaka iz kvadrata stranice a.
m(n)=a 2 , a
a
m(A)=(~r1t=a:1t, 21t
P(A) = m(A) =~=~=O,78. m(n) a 2 4
a
6. Duz duzine a podeJjena je na tri deJa. Odrediti verovatnocu da se od dobijenih deJova moze konstruisati trougao. Povoljni slucajevi dogadaja da se od dobijenih delova moze konstruisati trougao, dobijaju se iz teoreme: "zbir dYe stranice trougJa veCi je od trece stranice". n je skup svih tacaka iz jednakokrakog pravouglog trougla katete a. a
... ~
.0>
=~
~
x
y
y
a-x-y
a
1) x+y>a-x y:::::>x+ y >'2'
a 2) x+a-x- y >y:::::>y<'2' a 3) y+a x y>x:::::>x<-, 2 2 m(n) -a
2
2
a m{A)=-. 8
2
a
P{A)= m((A)) =4-= 2 =.! mn ~ 8 4 2
0,25.
Prostor verovatnoc.::
18 ~
U unutrasnjosti elipse
x2
y2
-2 + -2
= 1 , a>b>O, slucajno se bira jedna tacka b
a Nad verovatnoeu da ona pripada unutrasnjosti:
a) kruznice x 2 + y2 = b 2 ,
b) kvadrata I x I+ I y I= b . n je skup svih tacaka iz elipse. m{n)= a· b·:-: 2
-a
a) m{A)= b 2 1t,
a
P{A)= b 1t = b . ab1t a
x
2
P(B) = 2b = 2b . ab1t a1t
-b
s.
Student N. stanuje u predgradu. Pored njegove kuee prolaze dye autobusk, linije. Svakog punog sata (6 h,7\Sh , ... ) polazi autobus kojim on odlazi n~ fakultet, a svakog pedesetog minuta u satu (6 50 ,7 50 ,S50 , ... ) drugi autobu" kojim on odlazi u svoju omiljenu kafanu. N. je odlucio da svaki dan kad~ izade iz kuee, saceka prvi autobus koji naide i ode iii na fakultet iii u kafanL Posle izvesnog vremena ispostavilo se da mnogo rede ide na fakultt-t Izracunati verovatnoee, da N. ide na fakultet, odnosno u kafanu. 5 700 6 °0
5 800 7 °0
5 900 8 °0
10 Fakultet: P(A)=-=0,17. 60
m(n)=60, m(A)=10, m(B)=50 50 Kafana: P(B) = - = 0,83 . 60
Metod zadavanja verovatnoce na diskretnom skupu Ako je N1 =;:. 0 i n = {
ron : n E N1 eN} diskretan skup sa verovatnocama
p{{ro i }} = Pi' L: Pi = 1 , tad a je verovatnoca dogadaja
A ={
rom : mEN 2 eN 1
iENl
P(A) =
L:p{{ro m}}= L:
mEN2
Pin' n
Olin EA
1. Na aparatu za igru pojavljuje se broj n E N sa verovatnoeom 2/3 n • Kolik" je verovatnoea da ee se pojaviti paran broj. U ovom slucaju je n = {1,2,3,...,n,...} Po = 2/3 0 , n EN. Dogac~ A = { 2,4,6, ...,2k,...} ima verovatnocu
22 2 2121 peA) = - 2 + 4 + ... + 2k + ... =2'" --1- =- = 3 3 3 t 3 1-- 8 4 32
.
Prostor verovatnoca
19
USLOVNA VEROVATNOCA. NEZAVISNOST DOGADAJA
Uslovna verovatnoca. Nezavisnost dogadaja
Uslovna verovatnoca dogadaja C
u odnosu na dogadaj D, P(D) > 0 je
P(ejD) = P~~). Akoje P(AtAZ ...A n _1 ) > O,n;::'; 2 tadaje P(A l A2 .. ·A u ) = P(A l )· p(A 2 iAl)' p(A 3 iAl A2 )··· p(AniAl A2 ,,·A n_1 )· Dogadaji A i B su nezavisni ako je P(AB) = P(A)P(B) . Dogadaji Ap A 2 , ...,A k , ••• su nezavisni u ukupnosti ako za svaki konacan skup razliCitih indeksa {it, i2 ,•••, in } vaZi P(Ait Ai2 ... Ain ) = P(AI} )P(A i2 )· .• P(A iu ). Aka su dagadaji Al'A 2 , ...,A k ,... nezavisni u parovima (P(AjA j ) = P(AJP(A j ), i *" j), ne sledi uvek da su nezavisni u ukupnosti. 1. Bacamo novcic deset puta. Kolika je verovatnoca da se deset puta pojavi
grb? Ai - dogadaj daje u i-tom (i;:: 1, ... ,10) bacanju pao grb,
1 P(AJ;::-. 2
1 P(Al'Az,... A9'AlO)=P(AJp(A2) .... P(A1O)= (2"1)10 1024 =0,00098. 2. Strelci A, B i C gadaju po jednom u cilj, nezavisno jedan od drugog,
pogadajuCi ga sa verovatnocama 0,6; 0,5 i 0,4 respektivno. Ustanovljeno je da je cilj pogoden dva puta. Sta je verovatnije da je strelac C pogodio iii promaSio? A - dogadaj da je strelac A pogodio cilj
B dogadaj da je strelac B pogodio cilj
C dogadaj da je strelac C pogodio cilj
D - dogadaj da je cilj pogoden dva puta.
D {ABC,ABC,ABC},
P(D) =P(ABC)+ P(ABC)+P(ABC)=
=peA). PCB)· p(c)+ peA). P(B). p(C) + P(A). PCB). p(C) = = 0,6·0,5·0,6 +0,6·0,5·0,4 + 0,4 ·0,5·0,4 = 0,18 +0,12 +0,08 = 0,38 P(qD)= P(CnD) = P(ABC)+P(ABC) = 0,12+0,08 = 0,20 =053 P(D) P(D) 0,38 0,38' p(CiD) 1 PCqD) =0,47 Verovatnije je da je strelac C pogodio cilj, ako je cilj pogoden dva puta.
Prostor verovatnoc;~
20
27 ~ 03.
90 10 '
1
-=0,34. 3
Drugi nacin: AnB
7
{Be},
P(B)==-, 10 21
P(A n B):::: #(An B) n
90
21 90
-
p(AIB)= 90 :::: ~
7
30 '
7 10
9
1.::: 0.3 3
Zbog P(AnB)::::P(A)·P(B) sledi da su A i B su nezavisni dogaoaji. 4. U odeljenju ima 20 devojcica i 12 decaka. Na svakom casu profesor bira -. ucenika jednog za drugim i ispituje ih. Ako su prvo ispitane dYe devojci. odrediti verovatnocu da ce tred prozvani ucenik biti: a) decak b} devojcica. D - dogaoaj da su prva dva izabrana ucenika devojCice a) A - dogadaj da je treCi izabrani ucenik decak
p(AID)=p(AnD) P(D)
P(A)·P(D) P(D)
P(A)=12=~=04. 30
5
'
b) B- dogaoaj da je treci izabrani ucenik devojcica p(BID)=p(BnD)=p(B).P(D)jp(B) P{D) P(D)·
18 30
~=06.
5
'
Prostor verovatnoca 21 !!. Bacaju se dva novcica i posmatraju dogadaji: A - pojava grba na prvom novcicu, B - pojava bar jednog grba C - pojava bar jednog pisma, D - pojava grba na drugom novcicu Ispitati zavisnost slededh dogadaja: A i C, AiD, B i C, BiD
n = {GG,GP,PG,pp}
A {GG,GP}, B {GG,GP,PG}, C = {GP,PG,pp}, D ={GG,PG}
P(A) a)
~= ~,
P(B)=~,
AnC ={GP}, p(AnC)=± P(A).P(C)= ~.~
P(C)=~, b)
AiD su nezavisni dogadaji.
BnC = {GP,PG}, P(BnC)= 1 2
P{B)· p(C) =
3 3
4'4
AnD={GG}, P(AnD) : P{A)· P(D) = ~.~ :
%
A i C su zavisni dogadaji. c)
P(D)=~
d)
BnD
{GG,PG}, P(BnD)= 1 2
P{B). P(D) = 3.~ ~
9
16
4 2
B i C su zavisni dogadaji.
8
BiD su zavisni dogadaji.
6. Iz spila od 52 karte izvlaci se 5 karata. Neka A oznacava dogadaj da su bar tri izvucene karte tref, a B dogadaj da su svih pet izvucenih karata trefovi. Odrediti P(A IB). n
(52)
n \5
6
2,6·10, m
0,24 P(A)=- 0,09, mB=#B
2,6
A
=# A
(13J 5
P(A n B) = P(B) = 0 0005 "
(I;) (5;)'
, P(B)=-=00005' ffiA"B=#(AnB)
(13~j.
5
p(BIA)= P{A n B) 0,0005 0 0056. P{A) 0,09 '
.
7. Ucenik ucestvuje na takmicenjima iz matematike, geologije i geodezije. Verovatnoca da osvoji prvu nagradu, za svaki predmet, iznosi 0,4. Odrediti verovatnocu da ce ucenik osvojiti prvu nagradu bar iz jednog predmeta. Ai - dogadaj da ucenik nije osvojio prvu nagradu iz i-tog predmeta (i = 1,2,3),
P(Ai)= 0,6. P(A) == 1 P(AlA2 A3 )== 1- P(Al). P(A2,. P(A3) = 1- 0,6·0,6·0,6 = 0,784.
22
Prostor verovatno.:.
FORMULA TOTALNE VEROVATNOCE.
BAJESOVA FORMULA
Formula totalne verovatnoce: Ako je {H t , Hz, ••. ,Hn } potpun sistem
dogad~
tada vazi P(A) = EP(AIHJ. P(H;). j=1
Uopstena formula totalne verovatnoce: Ako je {HI' H 2, ••• ,Hn } potpun sis:: dogadaja i ako je peA) > 0 , P(AH j ) > 0 za sve i = 1,2,••., n, tada vazi p(BIA) :: EP(BIAHi )· P(Hi IA). i=l
Bajesovaformula: Ako je {HI' Hz, .•.,H n } potpun sistem dogadaja, tada vazi p(HkIA) =
p(AIH k )P(H k)
n
'
L p(AIHi )P(H i )
k = 1, 2, ..•,n, peA) > o.
i=l
1. Imamo dYe kutije, Kl i Kz razlicitog sastava. U prvoj kutiji su tri bele i c erne, a u drugoj dYe bele i cetiri erne kuglice. Verovatnoca izbora kutij£: • je P(K1)= 1 ,a kutije Kz je P(K2)=.!. Slucajno se uzima kutija i iz nje izyL: 3 3
jedna kugliea.NaCi verovatnocu da je izvucena kuglica bele boje.
HI - dogadaj da je izabrana kutija K 1 , P(H I ) =.!. 3 H2
dogadaj daje izabrana kutija K 2 , P(H 2 )=3. 3
3 1 A - dogadaj da je izvucena kuglica bele boje P( A/H!) -, P( AIH 2 ) = 5 3
P(A)=P(H 1 ). P(A/H I ) + P(H 2). P(A/H2)=.!.'~+ 3. . .!.=.!.+ 3. = 9 + 10 3 5 3 3 5 9 45 2. Imamo cetiri kutije razlicitog sastava. U prvoj kutiji su dYe bele i dYe c u drugoj jedna bela i dYe erne, u trecoj tri bele i tri erne i u cetvrtoj dn: > i pet ernih kuglica. Verovatnoca izbora i -te kutije je
P(Hi)=~'
i=1.: 10 Slucajno se uzima kutija i iz nje se izvlaci jedna kugliea. NaCi verovatr da je izvucena kugliea bela. i
.
23
Prostor verovatnoca H1 - dogadaj da je izabrana I kutija,
H2 - dogadaj da je izabrana II kutija, H3 - dogadaj da je izabrana III kutija, H4 - dogadaj da je izabrana IV kutija, A- dogadaj da je izvucena bela kuglica.
p(AIHJ= 2 =!, p(AIH 2 )=!, 4
2
3
p(AIH3)=~=!' 6
2
2 p(AIH 4)=:-7 .
PI A)=P(H 1 )· p(AIH 1 )+ P{H 2 )· p(AIH z)+ P(H3)' p(AIH3)+ P(H 4 )· p(AIH4)=
=
112131421124 .-+-.-+_._+_.- -+-+-+-=038 10 2 10 3 10 2 10 7 20 15 30 35 '
3. Na jednom planinskom drumu u susret jedan drugom kreeu se dva vozila. Verovatnoea da ee se bezbedno mimoicl ako su vozaci trezni je 0,999; ako je jedan vozac pripit verovatnoCa je 0,7; a ako su oba vozaca pripita verovatnoea je 0,4. Odrediti verovatnoeu sretnog mimoilaska ako se zna da je svaki deseti vozac pripit. He dogadaj da su oba vozaca trezna,
H z- dogadaj da je jedan vozac trezan,
H 3 - dogadaj da su oba vozaca pripita,
A- dogadaj da su se vozaci bezbedno mimoisli.
P1 H]) =..2..- ...2..- = 0,81 , P(H 2 )=..2..-· 1 + ~ . ..2..- = 0,18 , P{H3) = ~. ~ =: 0,01, 10 10 10 10 10 10 10 10 p(AIHl )= 0,999 ,
p(AIHz)= 0,7,
p(AIH3)= 0,4 ,
P{A) = P(H 1 )· p(AIH t )+ P(H z )· p(AIHz)+ P{H3)' p(AIH3)= = 0,81· 0,999 + 0,18·0,7 + 0,01· 0,40 = 0,94. ... U jednoj kutiji sibica naJazi se 5 upotrebljivih i 6 iskoriseenih palidrvaca, a u drugoj kutiji 2 upotrebljiva i 9 iskoriseenih. Na slucajan nacin se iz svake kutije bira po jedno palidrvce i stavlja u tt:eeu praznu kutiju. Zatim se iz treee izvlaci jedno palidrvce. Kolika je verovatnoea da eemo njime moc1 da upalimo cigaretu?
Prostor verovatn .
24
HI - dogadaj da su u trecu kutiju ubacena dva upotrebljiva palidrvca,
H2 - dogadaj da je iz prve kutije izvuceno upotrebljivo, a iz druge iskorisceno palidrvce, H3 - dogadaj da je iz prve kutije izvuceno iskorisceno, a iz druge upotrebljivo palidrvce, H4 - dogadaj da su u trecu kutiju ubacena dva iskoriscena palidrvca, A- dogadaj da je iz trece kutije izvuceno upotrebljivo palidrvce.
5 9 45 P(H2)=-·-=-=0,37, 11 11 121 6 9 54 P(H 4 )=U'11 = 121 0,45.
P(A)=~+ 45 . .!. + 12 . .!. = 77 = 0315 121
121 2
121 2
242
'
S. U prvoj posudi nalazi se 20 proizvoda, od njih je 15 standardnih; u dri... posudi nalazi se 30 proizvoda, od njih je 24 standardnih; u trece.. proizvoda,od kojih je 6 standardnih. Odrediti verovatnocu, ako nasu: biramo posudu i proizvod, da on bude standardan. HI - dogadaj da je izabrana I posuda,
H2 - dogadaj da je izabrana II posuda, H 3 dogadaj da je izabrana III posuda.
A- dogadaj da je izvucen standardan proizvod ..
p(AIH )= 15 1
20'
p(AIH 2
)= 30' 24
6. U korpi se nalazi 8 teniskih loptica od kojih su 4 nove. Za prvu partij u slueajan naein biraju tri loptice koje se posle igre vracaju u korpu, pa ' drugu partiju ponovo na slucajan naein biraju tri loptice. Koli~. verovatnoca da se druga partija igra samo novim lopticama? Hi - za prvu igru smo izabrftli i novih loptica (i=O, 1,2,3). A - druga partija se igra novim lopticama.
25
Prostor verovatnoCa P{H) (:) o
GJ
(I
=~
P A Ho
P{H
56'
(~) -
1
)=GlGl (~J
24 P{H ) z 56 '
(~)G) = 24 (:)
56'
P(H)= 3
4
= 56 '
4
(~) 56 ' P(A)= 4 . 4 + 24. 1 56 56 56 56
40 =00127 ' 56 2
7. U jednoj od dYe kutije nalazi se 40 crvenih i 10 plavih kuglica, a u drugoj 42 crvene i 8 plavih, ali nije poznato koja kutija sadrii koje kuglice. Otvorena je jedna od kutija i iz nje izvucena jedna kuglica. Ispostavilo se da je ona crvene boje. Odredi verovatnocu da je otvorena kutija sa 40 crvenih kuglica. HI - dogactaj da je izabrana kutija sa 40 crvenih i 10 plavih kuglica, H2 - dogactaj da je izabrana kutija sa 42 crvene i 8 plavih kuglica, A- dogactaj da je izvucena kuglica crvene boje.
8. Od 20 novcica jedan ima grb sa obe strane. Slucajno je odabran jedan novcic i bacen 10 puta. Ako se grb pojavio u svakom od 10 bacanja, kolika je verovatnoca da je izabran nestandardni novcic?
HI dogactaj da je izabran nestandardni novCic, P{H 1 ) = ~ , 20 H2 - dogactaj da je izabran standardni novCic, P(H 2 ) = 19 , 20 A- dogactaj da je grb pao u svih 10 bacanja.
1024 =098. 1043 '
Prostor verovatnoca 26 9. Imamo tri novcica za koja znamo verovatnocu pojavljivanja grba: 0,4; 0,5 i 0,6. Jedan od tib novcica je na slucajan nacin izabran i bacen 8 puta. Tri puta je dobijen grb. NaCi verovatnocu da je izabran ispravan novcic. HI - dogadaj da je izabran novcic sa verovatnocom pojavljivanja grba 0,4 , H2 - dogadaj da je izabran novCic sa verovatnocom pojavljivanja grba 0,5 , H3 - dogadaj da je izabran novCic sa verovatnocom pojavljivanja grba 0,6 . 1 P(H 1 )::::P(H 2 ) P(H 3 )= 3
A- dogadaj da je od 8 bacanja grb pao tri puta.
p(AIH 1 )=
(~) ,0,4
3
.0,6 5 == 0,278 ,
p(AIH2) =
(~) ,0,5
8
= 0,218 ,
0,218 =035 p(AIH )=(81. 06 3 ,04 5 =0124 P(H IA)= 3 3)' , , , 2 0,278 + 0,218 + 0,124 ' 10. U kutiji se nalaze crvena, playa i zelena kockica. Crvena kockica je ispravna i ima svib sest brojeva. Na plavoj kockici brojevi 2,4 i 6 nalaze se na po dYe strane, dok se na zelenoj kockici na svib sest strana nalazi broj 6. Na slucajan nacin se bira jedna kockica i baca tri puta. a) NaCi verovatnocu da je izabrana zelena kocka ako je u sva tri bacanja pao broj 6. b) KoUka je verovatnoca da su u tri bacanja po jednom pali brojevi 2,4 i 6? HI - dogadaj da je izabrana crvena kockica, H2 - dogadaj da je izabrana playa kockica, H3 - dogadaj da je izabrana zelena kockica, a) A- dogadaj da je u sva tri bacanja pala sestica. 1111 1111 . P(AIHl)=6'6'6= 216' P(AIH2)=3'3'3= 27' p(AIH 3 )=1.
1 -·1
r
P(H3IA)~ _.1 (-+-+1 / 1 1+8~216 ~ ~~~ ~ ~: ~O.96 3 216
27
216
b) B- dogadaj da su po jednom pali 2,4 i 6, (246,264, 426,462,624, 642).
p(BIHl)=~'
216
p(BIH 2)=£, 27
p(BIH 3 )=0.
P(B) = P(H I )· p(BIHl)+ P(H 2)· P(B~2)+ P(H3)' p(BIH3)=
=Ll'~+£+ol=L 54 1 ~216 27 i 3 216
18 =l..==00833, 216 12 '
I
fednodimenzionalne slucajne promenljive
34
r0
3 1 2 3
1 -+z 3 1
0
e- 1=
Fx 3
Z
.I
1 z 3
1
1 3 1 0< -Z5.1 3 1 z>l 3
--z5.0
0
z5.0
2z
O
(z)= 1 -+z 3
1
z-:c. 3
<=>
2 1 <=> --5.z< 3 3 2 z< <=> 3
1 3
1 2 -
3
z>
1
2
3
3
3. Slucajna promenljiva X ima GU(O,1) raspodelu. NaCi raspodelu slucajne promenljive Y=-lnX.
Fy(y) p(Y-y)
)={l-e0 _ ,y5.0 ,y>O
=P(X>e-Y)=l-P(X5.e- Y) 1-Fx (e- Y
Y
Sledi da slucajna promenljiva Y ima eksponencijalnu raspodelu &(1). 4. Slucajna
promenljiva
X
ima
gustinu
! .e-Ix
x (x) =
(dvostrana 2 eksponencijalna raspodela). NaCi funkciju raspodele slucajne promenljive - X - 2, X 5. -1 Y, ako je Y = y
{
X 1
1 5. X 5.1 X-:c.1
Jednodimenzionalne slucajne promenljive y::;; -1
35
Fy(y)==O
y
Fy (y) = p(y < y)
x 1 rle Y-e -Y-2] .
2 y
O
x
Y
=P(-y 2
==
(-y 1 _y - -e l_y . - 1)-1 -e ) - 1 ,e 2 2 2
1(12
y>l y
Fy(y)==P{Y
p{x 1
co
x
J
==
-y-2
== 1(1_e-Y- 2 )_1{O_1) 2 2
I I
o
f
~
y::;;-l
1 y 1 -e 2 2 l-!e-Y _ 1 2 2 -v-2 1 1 -e2 5.
, -l
y>l
Ako slucajna promenljiva X ima normalnu ah{m, ~ 2 ) raspodelu naci gustinu raspodele slucajne promenljive Y=aX+b, a:;t:O.
Za slucajnu promenljivu X je:
1 s-v2n
r:;;- e
, Fx(x)
1
~
S-v 2n
x
Ie -00
dt
fednodimenzionalne slucajne promenljive
36
Kakoje
b) za a>O,
(Y b)
ry Fy(y)=Fxl-aF~(x)
toje
Fy(y)=l-Fx - ; -
za a
(F(Y)'=F~(Y-b).!::::;;
a
a
(y-(am+b))2
1 ea~&
za a>O,i
2(al;)2
(y-(am+b))2
1
2(ac,)2
--==e a~&
, za a
Dakle, za svako a:t:O je
1
/& e
2(al;)2
Sledi da slucajna promenljiva Y ima normalnu oA/"(am+b, a2~2) raspodelu. Specijalno ako je am+b=O, a 2~ 2 =1, tj ako se radi Y
X
~m
slucajne promenljive X: QIV(m,
0
linearnoj transformaciji
~2), dobija se slucajna promenljiva
Y sa Gausovom raspodelom 0/11'(0,1). 6. Na duzi AB duzine d na slucajan nacin se bira tacka C. NaCi funkciju raspodele slucajne promenljive Y, koja predstavlja povrsinu trougla cija je starnica dui AC, a visina koja odgovara toj stranici je jednaka duzini duzi CB. x X- duZina duzi AC B
A
y=AC.CB=X(d-X)
2
2
X :GU(O,d)
x::;;O
x E (O,d] d
"2
2Y
Xd
X2
d
X2
d ± .Jd 2 -8Y 2
Fy(y) = O.
X
X2
x>d dX+2Y=0 d-.Jd 2 -8Y X 1 =---- 2 '
Jednodimenzionafne sJucajne promenljive
=
=
37
FX (Xl) Fx(O)+ Fx(d)- FX(x 2)=
~d2 -8y
d
~
-0+1-
o
d+~d2 -8y ~
~d2 -8y 1-. d
y:O:;O d 2
, O
d2
1
y> 8
Y
7.
1
o
1
1 1
-x+ ((Jx(x)= 2 0 2 {
Slucajna promenljiva X ima gustinu zadatu grafikom na slid. NaCi gustinu slucajne promenljive Y =1 - X2 .
x
0
,
X E
,
X
[-1,1]
1 1
Fx(x)::= _X2 +-x
4
1
(lE[-1,1]
2
1
y
x>l
1
Fy(y)::=O. Fy{y)=P(Y
.,fi.=Y}-Fx(Jt=Y)=
=l+!:.(l y)-!:.~ -(!:.(l Y)+!:.~l-Y) =1 ~1-y. 4
Fy{y)= 1.
,
2
4
2
Jednodimenzionalne slucajne promenljive
38
o ~1-y 1
ysO , O1
() {Fr '
q>y Y = 2 1-y
o
,
Y E (0,1) Y I
1 ,0y(y) F~(y) =0, Y< Ov Y > 1 2'\jl-y U tackama y = 0 i y = 1 funkcija F y (y) nema izvod pa smo u tacki y=O za vrednost funkcije y (0) = F~ _(0) 0 ) a u tacki y = 1 za vrednost funkcije y (y) = F~ (y)
~
8. U pravouglom koordinatnom sistemu xOy iz tacke A(a,O), a>O se na slucajan 1t ) povlaci poluprava 2 2 koja preseca y-osu. Nad gustinu raspodele sJucajne promenljive Y koja predstavlja ordinatu (y-koordinata) tacke preseka poluprave sa y-osom
nacin (pod proizvoljnim slucajnim uglom t E
1t
y
1t
t----'---A-(""""a,-o)-·
2
~
Fy(y)=P(Y
P(tgT<~)
1t
2
p( T
arctg I + 1t
Fy (y) = ----=---==..
1t
Napomena: Transformacijom slucajne promenljive diskretnog tipa uvek se dobija slucajna promenljiva diskretnog tipa, dok se transformacijom slucajne promeljive neprekidnog tipa ne mora uvek dobiti slucajna promeljiva neprekidnog tipa. 9. Ako slucajna promenljiva X ima uniformnu 6U(0,1) raspodelu nad funkciju
raspodele za slucajne promeljive:
I, XO
o b) Z=
; {X
,Xs
1
2'
I ;
X> 2
fednodimenzionalne slucajne promenljive
39
xsO
{ 0 , x E (0,1) 1 , xE(O,l)
0 1
a) P(Y=O)=P(X=O)=O o
P(Y=-l)=P(X
P(Y=1)=P(X>0)=1-P(X s 0)=1 Zakon rasp odele slucajne promenljive Y je P(Y=l)=l, a funkcija raspodele je Fy(y):
b) z
}::
4 l
2
+,,"v.
1
0 y 1
zsO,
Fz(z) 0
1 l
Fz(z) =P(Z < z) = P(X
2
x
1 z>2'
1
2 1 1 =P(X
1 2
(z) = 1
o Dakle, funkcija raspodele slucajne promenljive Z je: Fz(z) =
Slucajna promenljiva Z nije ni neprekidnog ni diskretnog tipa.
Z
,zsO
1 1 ,0 < Z S 2 2 1 1 , z> 2
+
Dvodimenzionaina siucajna promenljiva
40
" DVODIMENZIONALNA SLUCAJNA
PROMENLJIVA
FUNKCIJA RASPODELE FXy (X, y) = P({ro En: X( 0) < X 1\ Y(ro) < Y}) = P(X < x, Y < y) . 1. Fxy (-C(),y) =FXY (x,-C() =0 , 2. FXY(C(),C() == 1 , 3. P(a::;;X
Marginalna funkcija raspodele slucajne promenljive X je: .'x(x) == FXY(x,oo) ,a
slucajne promenljive Y je Fy(y) = FXY(oo,y).
Xi Y nezavisne slncajne promenljive ako za svako X,y E R vazi:
FXY(x,y) == Fx (x)Fy(Y)·
DVODIMENZIONALNA SLUCAJNA PROMENLJIVA
DISKRETNOG TIPA
Pij = p(xj'Yj)= P( {roE!l: X(ro) == Xi 1\ Y(ro) Yj})= P(X = Xi' Y = Yj)' Xi E
R x , Yj
E
Ry .
Zakon raspodele slucajne promenljive Z=(X,Y) diskretnog tipa se sematski prikazuje u obliku tablice y\x
Xl
YI Y2 Yk
Pll P12
X2 P21 P22
Pol Po2
P.I
Plk
P2k
Pok
P.k
Ph
P20
Po.
Xo P'2
gde su marginalne verovatnoce
,
p(X j )
Pi. =~P(Xi'Yj)=~Pij i p(Yj)=Poj :=l;p(xj'Yj)=l;pjj' J
j
I,
a funkcija raspodele FXY(x,y) = L l:Xj
L p(xj,Yj ). j:Yj<1
I
Dvodimenzionalna slucajna promenljiva Marginalni zakoni raspodele:
X: (
Xl
X2
•••
Pl. P2.
Xn
...)
... Pn.
•..
,
41
Y:
(Yl
...).
Yz
...
P.l
...
..."'J,
...
).
X i Y su nezavisne slucajne promenljive aka i sarno aka je Pij 1.
=Pi- . P.j za sve i,j =1, 2, ....
Broj X je izabran na slucajan nacin izmedu brojeva 1,2,3 i 4. Drugi broj Y je izabran izmedu brojeva 1,2,3 i 4, ali tako da nije manji od X. NaCi zakon raspodele slucajne promenljive (X,Y), marginalne i uslovne r aspod eIe.
~
1
2
3
4
1
L~-..L
0
0
2
L~-..L
0
0
3
~.~=..L 4 4 16
4
t·t=1i;
..L 12 t·t=n .l4 ..l-..L 3 - 12
0
.1
.1
4 4
4 - 16
L~
4 -16
4
4
X:(~
:~
444
3
t·t=t t·t=t
:L 48
0
Ll. 4 1
.1 4
.1
4
4
~) 4
YIX=l: (t1 t2 t3 _4!,., )
YIX=3{~ ~ ~
~ ~ ~J ~ ~ ~)
;)
3 XIY=1: ( 1 02 0 4) 0
3:(! : : 04)
XIY =
13
13
13
1
2
XIY '* 4: ( .1.. ..±.. ,
3
.!L
4)
II
25252525
2i 48
42
Dvodimenzionalna slucajna promenJjiva
•,. ...
2. Kockica za igru se baca sve dok ne padne broj manji od 5. Neka je sIucajna promenljiva X broj dobijen u poslednjem bacanju, a Y broj izvedenih bacanja. a) Nad raspodelu za (X,Y) kao i marginalne raspodele. b) Da Ii su X i Y nezavisne slucajne promenljive?
~
I
I
1
2
1
l
l
2
l.2.
3
t·(tY
...
. l
l
..4.
l.2.
l.2.
1.2.
..4..2.
t·(tY
t·(tY
...
...
l
l
6
i
p(X
i, Y
=
6
6
6
~
6
6
6
4
4
Pij
I
I
4
l
6
6
I
3
I
6
6
6
6
t·(tY I i·(tf ... l
4
j) (2)H l(; .(;1
6
4
j z1
i =1, 2,3,4
2 ..4..2. 6
\i-1
2 (;.1 ( (;j 3.
6
.
.
v
•
"
= Pij =>X 1 Y su nezaVIsne slucaJne promenlJIve.
Neka diskretna dvodimenzionalna slucajna promenljiva (X,Y) uzima vrednost (i,j) sa verovatnocom
Pij
=p(X = i, Y =j):::: -;-(i ~ jJ C' e
I
1 .\t • J,.
1+
Pokazati da su slucajne promenljive X i Y nezavisne. i+ j ) (
(i+j)! 1 (i+j)! 1 1 . =-.,-.,=> Pij= '-.,-.,-'-(. ')'=~' 1.J. 1.J. 1+J. e 1.J.
1
1 -.-, , e·1.
1 e j!
""
1=0
Pio . Poj
1 = -2-.-. e I! J!
1 e· j! '
--·e==-2
Poj == ,LPij
Pij
. t1 => X 1. Y SU neZaVlSneS ucaJne promen1" JIve. v
•
Dvodimenzionalna slucajna promenljiva
43
4. Neka slucajna promenljiva X ima Puasonovu 9>(1..) raspodelu i neb je uslovna raspodela za slucajnu promenljivu Y pri datom X = n binomna ffi(n,p) raspodela. Odrediti zakon raspodele za Y i uslovni zakon raspodele za X pri datom Y k.
An
Pn.=p(X=n)= r n. p(Y=kIX
n=0,1,2 ....
n)=[:)rkqn-k,
n,kEN o'
k~n
p(Y=klx=n)=P(X n,Y=k)=Pnk
P(X =n) Pn.
00
P.k = LPnk n=O
=
(Aq)n-k e -A+pA. - (0 k)!
5. Na sahovskoj tabIi se na slucajan nacin bira jedno polje. Neka je X broj susednih belih, a V broj susednih crnih polja. NaCi raspodelu za (X, V), marginalne raspodele, uslovnu raspodelu XlV =2, i proveriti da Ii su X i V nezavisne slucajne promenljive.
~
1
2
3
4
1
0
.2... 64
0
0
.2...
2
.2... 64
0
.12. 64
0
.a 64
0
.12.
0
0
.12. l!l.
3
4
64
0
0
0
l!l.
.2...
.a 64
.12.
l!l.
64
64
64 64
64
64
64
Dvodimenzionalna slueajna promenljiva
44
X:(~ 2 3 4) 64
1 2 XIY = 2: ( .1... 0 14
ll. 64
64
Y: ( .1...
12. '
64
64
ll.
ll.
64
64
M
36
64
14 • 12 :t:. -12 => X.1 Y msu . neZaVlSne. .
3 4)
-
0
ll.
ll.
3 4)
1 2
D
64 64
14
64
6. Data je raspodela verovatnoca dvodimenzionalne slucajne promenljive (X,Y).
~
-1
1 3 5
0,10 0,08 0,04
°
0,05 0,20 0,05
I
1
2
0,12 0,05 0,04
0,10 0,10 I 0,07 I
X I r:
q
a) Naci marginalne raspodele za X i Y. b) NaCi uslovne raspodele za X IY=3 i Y IX=O. c) Ispitati da Ii su slucajne promenljive Xi Y nezavisne.
a) X. ( -1 0 1 2) . 0,22 0,30 0,21 0,27
o
-1 b) Xly = 3: ( 0,08
0,20
1 0,05
\ 0,43
0,43
0,43
!) 0,43
y.( 1 3 5)
r:
1
. 0,37 0,43 0,20
YIX=0:(0~5
0,30
3 .QdQ.
0,30
0~5) 0,30
c) p(X = 0, Y = 3) = 0,20; p(X::: 0)· (Y = 3) =0,30· 0,43 =0,129:t:. 0,20 => X i Y nisu nezavisne slueajne promenljive.
a
DVODIMENZIONALNA SLUCAJNA PROMENLJIV A
NEPREKIDNOG TIPA
x
b
y
FXY(x,y) = Idt I(j)xv(t,u)du, (j)XY(x,y)zO jegustina
-00 -
) = a2Fxy(x,y) 1. (j)XY ( x,y
Oxay
U
. Vk ( ) R2 SVlm tac ama x,y E
neprekidna, 00
2,
00
I dx I (j)Xy(x,y)dy
F(co,co) = 1,
U
k .. oJlma Je (j)XY
Dvodimenzionalna slucajna promenljiva
45 ~
Marginalnegustine Q)x i Q)y:
Q)x(x)
~
JQ)Xy(x,y)dy, Q)y(y)== fQ)Xy(x,y)dx.
Uslovne gustine: Q)XY(x,y) () 0 ( ) ' (j)x x > , (j)x x Uslovne funkcije raspodele: (j)Ylx:x () y :::;:
TX!Y:y
1
y
Fy1x=x(Y) == f (j)ylx=x(t)dt x
= f xly=y (t)dt
(x) = (j)XY(x,y) in (y) > O. (j)y (Y) 'TY
y
- - fXy(t,y)dt, (j)x(x)-oo
-00
Fx1y=y (x)
in
1 x
== - - Xy(t, y)dt.
f
(j)y(y)-oo Xi Y su nezavisne ako i sarno ako je XY(x,y) == x(x)(j)y(Y) za sve X,Y E R. Dvodirnenzionalna slucajna prornenljiva neprekidnog tipa irna uniforrnnu raspodelu ako je njena gustina oblika I - - , (X,y)ES , gde je sa m(S) oznacena povrsina oblasti S G>XY(x,y) m(S) { o ,(x,y)\itS ravni xy. -00
1.
a)
Data je gustina raspodeJe dvodimenzionalne slucajne promenljive c.e-:l..(X+Y) x>O y>O
«>Xy(x,y) { 0 ' I' 'I ~, •
, u osta 1m S 1ICaJevima a) NaCi konstantu C.
b) NaCi funkciju raspodele Fxy(x,y).
c) Naci marginalne gustine.
77(j)XY (x,y )dx dy = c· 71 e-:l..(X+Y)dx dy 00
-oo-co
-c 1) -AX 1 - . oof e -1,.,,( --·e 00
o
b)
U
'A
()
c· 7e-Axdxfe-AYdy 0
C C Je -Axdx --·e 'A 0 'A2
0
ro
-Ax
c
I'" 0
C
xs;O iii ys;O, FXY (x, y) = D x>O,y>O x
y
x
y
o
()
0
0
FXY (x,D) = Jdt J(j)(t, u)du == f dtJ 'A2 e -A(t+u)du =
-;'(e -AY -1). (e
'A2 j e-AtdtJ e-Audu = 'A2 o 0 i 'A
= 1- e -Ax _ e-J..y + e -A(~+Y)
-Ax
1)=
46
Dvodimcnzionalna sJucajna promcnljiva 2
C)
oor 1.2
'PX(X)=
0
e
1. e -Ax -'A.y I'" - A. -Ax y--T e 0 -·e
-i.(x+Y)d _
{
o
,X>
0
, xsO
1. -'A.y -Ax 1 '\ -'A.y
'"~ 2e -'A.(X+Y)dx=--e e =",·e o A. 0
,y>O
o
,ysO
2
00
COJ
{
2. Y
1 + ...................__ ._-.:.00
x
Dvodimenzionalna slucajna promenljiva (X,Y) ima uniformnu raspodelu nad oblucu S. Nac1 Cunkciju raspodele i marginalne gustine. 1 -1
2·1
q>XY(x,y)= m(so)-
() =-=1, mS 2
{
(x,y)eS
,
, (x,y)e: S
u
xsOiliysO
Fxy(x,y)=O
(x,y)e S y
x
y
o
2u
0
Y
\.I =XU IY0 - U21 0 =xy - y2 Fxy(x,y)= Jdu I dt == I(x 2u}J-U
x>2 i O
o
t
2u
0
0
x O2 t
x ~ t 1 21 x == -1 X2 FXY (X, y) = J dt J du == xJ-=-dt == - t
o
u
x>2
Y -1------+-,-
1 +-...-...............-'"... ':::O~-
0
02
4
0
4
i y>l t
t FXY (X, y) = Jdt ~Jdu == 2I-=-dt =..,..i t 212 2
x
t
o
0
02
4
0
=1
47
Dvodimenzionalna sIueajna promenljiva XE
[0,2]
, x li!O [0,2] cpy(y) =
{
3.
Jdx =2 - 2y
, Y E [0,1]
o
, Yli!O [0,1]
2y
Dvodimenzionalna slucajna promenljiva (X, Y) data je gustinom
8
- xy, 1 < x < 2 , 1 < Y < x
XY (x,y ) = 9 • { o , u ostalim slueajevima a) Naci marginalne gustine za X i Y i ispitati njihovu nezavisnost.
b) Naci F( ~ ,3) i verovatnoeu dogactaja P(X+Y)<3.
;
I
a)
8
4
y21x
4
CPx(x)= 19
9
2
9
X
3
4
J-xy·dy=-x·- =-x --x, xE(1,2) 2 ~.-...--....-...-+...",
~n =.-=.::::;z~t
Y111
1
x 2
{
1
9
o , x li!O (1,2) 28 4 212 16 4 3
f-xy·dx=-y·x =-y--y , YE(1,2)
y (y) = y9
{
9
y
o
9
. 9
, Y li!O (1,2)
(j)x (x) •y (y) :;.: cp( x, y) => X i Y su zavisne slucajne promenljive.
b)
u 31------,
1 ...._._.._.....
1
t
2 t
Dvodimenzionalna slucajna promenljiva
48 u 3
3
82
1
82
3-1
9
1
93
1
p(x + Y < 3) = - Jt . dt I u du + Jt d1 Ju . du = "23
1
2
1-···········..·_·_·_)( 3
1 f·······..······,""'"'+-->\,.
8 2 U 211 8 2 U 21 3_1 = - J1d1 + - f1dt = 91 2 1 932 1
1 3 2
2
3 t
"2
3
42 9
J(t
3
-
42 t)dt + - Jt(8 6t + t 2 )dt 93
1
1 J+ +-4(8-t =4(14 - - -2
9 4
2
1
9
2
2
41 1 t -6- +- 13 = 3
3
2
4 /2
2
4.
Vektor (X,Y) je ravnomerno rasporeden unutar kvadrata K. a) Odrediti gustinu xv(X,Y)'
1
+ -1'
K
b) NaCi marginalne gustine.
1
c)
-1
a)
Naci uslovnu gustinu xlv =Y (x) •
1
m(K) = JiJi = 2, Xy(x,y) y
b)
1
m(K)=Z ' (x,Y)EK {
o
, (x,y)eK
I+x
1
1
-I-x
2
2
J -=Oy=-(l+x+l+x)
x
·1 -1
1
y+l
1
1
J -dx=-(y+l+y+l)
1
+y2 x
-1
x) 1 x, 0 < x < 1
o
Y
-1
1
J-
2
x+l ,-l
, za
ostale x
y+l, -l
i l
I I
Dvodimenzionalna slucajna promenljiva 49 Napomena:Ako je oblast u kojoj je gustina razliCita od nule sirnetricna u odnosu na pravu y=x tada rnarginalne gustine x(x) i y(y) irnilju isti analiticki izraz sarno sto se x zarneni sa y. c)
1
2(1 + y) ,
-l
1
2(1-y) ,
I
I 1
i
(x,y)EK
O
o
s.
-lXY (X,Y ) = { 0, za ostale x, Y NaCi funkciju raspodele za (X,Y) i marginalne gustine. y
2
x~O
11----'-
1
y~1
iIi
Fxy(x,y)=O X
u
o< x ~ 1, 1 < Y~ 2 x
y
x
y
-00
-00
0
1
Fxy(x,y)= Jdt Jdu = JdtJ du = x(y -1)
x> 1,1 < Y~2 1
Y
Fxy (x, y) = Jdt Jdu = Y-1 o
1
o < x~l, y>2 x
2
Fxy (x,y)= J dtJ du = x o
1
x >1, y>2 1
2
Fxy (x,y)= JdtJ du = 1 o
1
Dvodimenzionaina sJacajna promenljiva
50
o
x ~O,
Y~1
x{y-1) , O 1, 1 < Y ~ 2 x 0 < x ~ 1, y>2 x> 1, y > 2
1 u
_{ J
2
) -I
1
x 1
t
u 2
_ { }
y-+--+-1 1
6.
t
Slucajna promenljiva (X,Y) ima gustinu A, x3y, 0 < Y< X < 1
o ,za ostale x, y a) NaCi konstantu A.
b) Naci funkciju raspodele Fxy(X,y).
1
a)
x
3
A 61 1
1 X5.
Afx·dxfy·dy=AJ- dx=-x o 0 02 12
ua.
=A
12
0
1 => A
12
b)
o
1
u
x
y-+-----i--,
t
o O
u
Fxy(x,y)=
y
12Iu, dU!t3dt o u
y-l-b
o
I
X4y2 y6J 3· - - - ( 2 6
y2 - (3X4 2
x>l, y>l Fxy{x,y)= 1
Dvodimenzionalna slucajna promenljiva
51
u
y
ox x
t
x
o
0
0
Fxy(x,y) = 12J t 3 dtfu, du = 6Jt 5 dt = X6
o
x
1
x >1,
u
0 < y sl y
1
Y
u
0
FXY (X,y)= 12fU' duJt 3 dt = 3Ju(1- u 4 )du = o
y
61
(2
2
=3'l! -! I=! (3_ y 4)
o
2
6
o
J
2
xsO iIi ysO , 0 x O1, O 1, y > 1
7. Raspodela slucajnog vektora (X, Y) data je gustinom
_{!(x+y), (x,Y)ET 4 o ,(x,Y)I!T
q>XY (X,Y ) -
ako je oblast T data na slici.
a) NaCi funkciju raspodele FXY (x, y).
:R. o
x
b) Naci gustinu q>X!y=y (x).
c) Naci verovatnocu
p( Y
>
l/X < i).
a)
~.
x S 0 iii Y s 0
FXY (x,y)= 0
(x,Y)ET
y + u)· du -1 x( Fxy(x,y)= -1 x JdtJ(t J tu +. -u 2JIY dt = 40 I ' 40 2 t
52
Dvodimenzionalna sJucajna promenJjiva
0
x>y,
1Y
1Y[
Y u 2JIYdt Fxy(x,y) -JdtJ{t+u)·du=-J tu+40 t 40 2 I
u
0< x~2,
y>2 Ix 2 Ix( u -Jdtj(t+U).dU=-fl·tU+40
40
I
2
2JI2 dt
x
Ix
r
2
t
=-[ 2t+2-t -- 2J ·dt 40\
=
2
1X 3 2 =-J ( 2+2t--t ) ·dt= 40
2
1( 2 1 3)\x =="41 ( 2x + X 2- "21 X 3)
"4l2t + t - "2 t
0
x> 2,
Y> 2
Fxy(x,y) 1
t
Dvodimenzionaina siucajna promenljiva b)
53
lY 1 (X 3 2 -f(x+y).dx"",- 2+yxJIY ""'-y 40 4 2 0 8
o
, za ostate y
c)
1
1
!40f(2X + 2-x !) .dx !40f(x + ~J
( 1) 140tdx f(x + y):iy =-140{( xy + X. 2JI2 dx PlX <- =- J 2
2
J
1f
l
2
-1 J 2x + 2 40
X
2
x
2 -X2J . dx 2
x
t(
-1 J 2x + 2 - -3 x 40 2
!(!+ 1 .!.)= 19 . 4 4
7
32
14
19=19 64
16
64
2J . dx =
54 Dvodimenzionalna slucajna promenljiva 8. Slucajna promenljiva X ima uniformnu Gl1(O,l) raspodelu, a slucajna promenljiva Y ima, pod uslovom da je X=x, unifromnu 6lL (; , x) raspodelu. NaCi funkciju gustine i raspodelu slucajne promenljive Y.
flOl ,'
x E (0,1) () X!tE 0,1
l
~'
YE(~'X) IX
o , ye{lz,x)nCO,l)}
o
Y~"""'--"-"'i x=y ........
-.~,
2y 2 I -dx :::: 2 In x12Y
x=2y
,
y x
1
Ye (0,1)
, YE(O,~) , YE(~,l)
21n 2
y
J~dx = 21n xliY =-21n Y
X
yX
o y
J21n 2· dy
o
Fy{y)=
1 2
Y
o
I
2 yIn 2
J2 In 2 . dy + J(- 21n y). dy =
y(ln y -1) -1
, YE (~ ,1]
2
1
y>l
TRANSFORMACUA DVODIMENZIONALNE
SLUCAJNE PROMENLJIVE
1. Slucajna promenljiva X ima raspodelu X: p(X = k) :::: ~, k =1,2, ... , a 2
slucajna promenljiva Y ima raspodelu p(Y::::~)
2 n- 1
Jil' n =1,2,. ...
Naci
zakon raspodele za Z=X+Y, ako su X i Y nezavisne slueajne promenljive.
55
Dvodimenzionalna slucajna promenljiva p(zJ =
Ip(xk,Ym)
k,m
g(xk ,Ym )=Zj
2 m- 1 3
4 m- 1
= - - . _. - - ! . . - - -
1
2 m - 1 4 m-l
3 m- 1
3 m- 1
2 m- 1 4 m- 1 _3 m- 1
4 m- 1
3m - 1
2 2m
2
::::
4
4 m- 1 _3 m- 1
4 m- 1 _3 m- 1
2. Nezavisne slucajne promenljive X i Y imaju istu raspodelu P(X=k)=P(Y=k)=pqk ; k=O,l,... pq>O; p+q=l. Nad raspodelu slucajne promenljive: a) Z= X+ Y,
b) Z == max{X, V}. ,
k
j)=
a) p(Z= k)= P(X + Y =k)= IP(X = j,Y =k j=O
= ip(X = j). p(Y = k - j) = ±pqipqk-i = ±p2q k =(k + 1)P2q k i=O
j=O
j=O
b) P(Z k)= P(X = k, Y < k)+ P(X < k, Y k)+ P(X k, Y k) = p(X = k). P(Y < k)+ P(X < k). P(Y k)+ P(X k)· P(Y = k)= k k-l. kk-l. k k k l_ q k k k pq . I pql +pq I pql +pq 'pq =2pq 'p--+pq 'pq = j=O j=O 1 q
=pqk(2 2qk +pqk)=pqk(2_qk _qk+l)
3.
Slueajna promenljiva (X,Y) ima funkciju gustine
Q>XY(x,y)= {
e -(X+Y)
o
,
x > 0 i y;;:: 0
.
.• Ako Je R
, za ostale vrednos~l ~
nad gustinu raspodele slucajne promenljlve (R,S).
X+Y
S=X-Y
Dvodimenzionalna slucajna promenljiva
56
Ox J= Or Oy Or
X:::R+S 2 R-S y=- 2
as _ "21
ay-+
.1 2
.1 2
==
1 2
Os
y~
X>o
r+s>O
s> -r
4.
Ox
r-s 2::0 r2::s I -r , r > 0, - r < s ::;; r -e
== 2 0
{
, za ostale vrednosti r i s
y
2
Slucajna promenljiva (X,Y) ima uniformnu raspodelu nad oblascu T. NaCi raspodelu za slucajnu promenljivu Z=X·Y.
1 1
2
X
m(T) = 1·1 1,
I nacin:
'IlXY
(x,y)= {
m(T~
1 , (x,y)ET , (x,y)~T
1:/,
7XY(X,y(X,Z)! OyOZ IdX.
-00
-
x=x
~
x=x
z Prava x=l transformise se u pravu Prava x=2 transformise se u pravu x=2. Prava y=l transformise se u pravu z=x. Prava y=2 transformise se u pnlvu z=2x. x=2
1
2
X
Dvodimenzionalna slucajna promenljiva
57
1 = In x IZ = In z -In 1 = In z Jz -dx 1X
2dx
J-
z X 2
1~z~2
1
= In x
2 z z :::: 102 -10 ~
=210 2 -10 z
2
2
o
,
2~z~4
,
za ostale z
z~l, Fz(z)=O.
1
11
1
2
F z (z)=Itntdt+J[2102-10t]dt 1
101+1=zloz-z+l.
=(tlot-t~2 + 2102t/
2
11
z
[tlot-t]/Z 2
2
2102 - 2 10 1 + 1 + 2z 102 - 4102 - z 10 Z + z + 21n 2 - 2 = 2z102 zlnz+z-3.
o Fz(z)=
z~l
zloz-z+1 , 2z 102 - z In z + z - 3
1
1
z>4
IInacin :Nekaje G z ={(x,y)eR xy :g(x,y)
OakojeG z =0,
Fz{z) = JI
z=xy - jedoacioa hiperbole z~l
Fz(z) 0
1
z
z
1
1
Fz(z) = f dx1dy:: f(!-l)dx ::Zloxl _xl 1
1 z 2
x
1
IX
zlnz - z + 1
Dvodimenzionalna slucajna promenljiva
58 2
2
z x
Z
Fz(z) = JdxJdy+ JdxJdy 1
~
1
1
2 Z
1
(--1 + (zlnx 2
2
x)
2 Z
--1+ J(--1)dx= 2 zX 2
2 z 2
Z
Z
Z
2
2
2
=- -1 + zln2 -zln- - 2 +-=
= 2z In 2 z In z + z - 3 z>4,
5.
Fz (z)=1
Y ll-~--"
Slucajna promenljiva (X, Y) ima uniformnu raspodelu nad oblaScu T. NaCi raspodelu za slucajnu promenljivu Z=X+Y.
1
"2
!
o
1
X
_{_(l ) =2 , (x,Y)ET , m T o ,(x,y)eT
m(T)=.l,
XY (x,Y ) -
2
X=X=>X
X
z=X+Y=>
y=z
IJI =1
X
2 , (X,y)E T'
xz
z
z=Zx
={0 , (x,yeT ) ,
Prava x=O transformise se u pravu x=O. Prava x=l transformise se u pravu x=1.
z=x+l
Z=2X-!
'v 1' 1 transformlse Prava y=X + 2" se u pravu Z=2x+ 2"
3
"2
Prava y=1 transformise se u pravu z=x+1. Prava y=X transformise se u pravu z=x+x=2x. Prava y=O transformise se u pravu z=x,
1 1
"2
! 1 2
O~z~-,
1
I transformlse 'v 1 se u pravu Z=2X--. Prava y=x--
2
X z
2
z(Z)
2} dx o
z
1
-~z~l,
2
2 4
z
2
Dvodimenzionalna z
1
2 4 z
~ :s; z :s; 2 , 2
1) (
z 2 ~Jdx+2 Jdx::=2 - - - + - +2 1--- zl zl 2 2 4 24 ---+
3 l:s;z:s; , 2
(Z Z
2 4
J
Cj>z (z) =: 2 dx = 2 . (~ ~l
z
,
Cj>z (z) == 2 {
z,
o
2
Z + 1J == 2 - Z
0:s;z:5:1
1:s; z:s; 2 ,
,za ostale z
Fz{z) = 0 z
O
.!.2'liZ =
1 < z:s; 2, Fz(z}=}t dt + 1(2 -t)dt =.!. + [2t
2
01
1 2
Z2
=-+21: -
z >2,
2
It o
1 2
Z2
2
2
o
1
-2+-=-- +2z-1
Fz(z) = dt + J(2- t)dt ::=.!.+[2t 1
2 )
_.!.2JI2 2
1
1 1 -+4-2-2+-=1
2
2
z:s;O
1 2 -z
, 0
2
Z2
- - +2z-1
1
1
z>2
2
7. Sistem od n prekaea je povezan u vezu. Moment u kojem ce dod do otkaza bili kog prekidaca je slucajna promenljiva sa gustinom Cj>x (x) {x e
-i ,
o a) b)
a)
x> 0 Momenat otkaza svakog od njib su nezavisni ,x :s; O. Naci funkciju gustine rada sistema za:
paralelnu vezu,
rednu vezu .
Z- vreme rada celog sistema Z
max{X t ,X 2 , ..• ,X n }
FAz) =p(Z < z)= P(max{){l'X 2 ", .X n }< z)= = P(XI < z,X z < z, ... Xn < z)=
60
Dvodimenzionalna slucajna promenljiva
P(XI < Z)P{Xl < z)",P(Xl < z) = FXl (z)· FXl (z)... Fxn (z) = [Fx(z)]n
q>z(z)=jn[F,(Zl],-' ,o o b)
,
z::;;O
Y - vreme rada celog sistema.
~
... --[!J---
Y =min{Xt,X1, ... ,X n}
Xi - vreme rada do otkaza i-tog prekidaca.
Fy{y)= P(Y < y)= P(min{X1,X 1,... ,X n}< y) = 1 P{min{X 1 ,X 2,... ,X n };;:: y) =1- P(XI ;;:: y,X2 ;;:: y,,,,,X2 ;;:: y)=
=1 P(XI ;;::y)P(X2 ;;::y),,,p(Xn ;;::y)=
=l-[l-P(XI
1- ~ - FXl (y)J ll- FX2 (y)J. ·l1 FXn (y)J =1- [1- Fx (y)]n = q>y{y)=n[1 Fx(y)t1·
y2
q>y (Y)
_ n. e {
-- (n-l) 2
• y.
o
e
2
, y::;;O
61
Brojne karakteristike slucajnih promenljivih v
BROJNE KARAKTERISTIKE SLUCAJNIH
PROMENLJIVIH
Matematicko ocekivanje : (ocekivanje, ocekivana vrednost) E(X) slucajne prornenljive X je broj definisan sa : tXiP(X i )
E(X)=
{ _~x
1. E(C) C, C je konstanta, 2. Ako je Y =g(X), tada je: Lg(Xi)P(X i )
~
Jg(x)'Px (x)dx
E(Y) = E(g(X)) = {
-'"
3. Ako je Z =g(X, Y), tada je:
f 1g(Xi' Y )p( xi' y = {_~dx J",g(x,y)
j
E(Z) = E(g(X, V»~
j)
'"
4. E(C· X) = C· E(X), gde je C konstanta, 5. E(X + Y)
E(X) + E(Y),
6. Ako su X i Y nezavisne tada je E(XY) E(X)E(Y), 7. E(X - E(X»
=0 ,
8. a ~ X ~ b => a ~ E(X) ~ b ,
Disperzija D(X) slucajne prornenljive X: D(X) = E(X - E(X»2 = E(X2) - E2 (X) 1. D(X) = 0 ako i sarno ako je X =C , 2. D(X);::>: 0, 3. D(C· X) C 2 • D(X). 4. D(X + C) = D(X) , 5. Ako su X i Y nezavisne, tada je D(X + Y)
D(X) + D(Y) ,
cr(X) = ~D(X) je standardna devijacija iii standardno odstupanje. Slucajna
promenljiva
X* - X - E(X) - ~D(X) ,
D(X) > 0 , t
je
standardizovana
(normalizovana) slucajna promenljiva za koju vaZi: E(X*) = 0, D(X*) = 1.
Brojne karakteristike sJucajnih promenljivih
62 Moment reda k, kEN
{tX~P(Xj)
k mk=E(X)= "" J""X kq>X (x)dx Sk = E«X
E(X))k) ,k EN, centralni moment reda k.
Mesoviti moment m kn dvodimenzionalne slucajne promenljive (X, Y), k,n E N je:
L Lx~yjp(Xi'Yj) k
mkn
n
j
j
= E(X Y ) = "" '" { J""dXJ",xkynq>xy (x,y)dy
Koeficijent korelacije PXY dvodimenzionalne slucajne promenljive (X, Y) je E(XY) - E(X)E(Y} . PXY D(X) > 0, D(Y) > 0 sa osobmama : D(X)D(Y)
=.J
'
1. ako su X i Y nezavisne, tada je
PXY ;:::
0,
2. IPXY I~1, 3. Ipxy 1;:::1 akoisamoakoje Y=aX+B, a,bER, a*O. Uslovno matematicko ocekivanje za X ako je Y=y je E(X/Y = Yj)= ~XiP(Xi/Yj)=_(1) ~XjP(Xi'Yj), I P Yj I 00
E(XIY = Y)=
1
00
J xq>xIY=y(x)dx = - - I Xq>XY(x,y)dx .
Ylx=x(y)dy -(-) Jyx x -00 -00
Regresija X po Y: tE(X/Y = Yj)'Yj): Yj E Ry}, x =r1 (y) =E(XIY = y). Regresija Ypo X: {(xj,E(YIX=xj»,x j ERx}, y=r2 (x)=E(YIX=x) Ako su X i Y nezavisne slucajne promenljive tada je: ' Regresija X po Y {(E(X),Yj): Yj E Ry}, x =r 1 (y) = E
Brajne karakteristike .'vih 1. Meta je napravljena u obliku tri koncentricna kruga polupreCniia
.E, 1,.J3.
Pogodak u unutrasnji krug donosi 3 poena, u srednji 2 poena i
u spoljasnji 1 poen, a pogodak van mete donosi 0 poena. Ako rastojanje
.
. () ={22 1t(r + 1) ,
pogotka od centra mete Ima gustmu q> r
o
r>O
,
r:':;;O
nad ocekivani broj poena posle 4 gac:tanja i verovatnocu da je taj broj ved od 10. R- slucajna promenljiva koja predstavlja rastojanje pogotka od centra mete. X- slucajna promenIjiva koja predstavIja broj poena u jednom gadanju.
P(X=O)=P(.J3
7~2
)dr
.J3 1t r2 + 1
=~arctgrIOO =~(2:-2:J=.!.3 1t .J3 1t 2 3
L r;;-\ 2 .J3 =2(1t 1tJ = 1 P(X=1)=P\1
J
2 1 P (X = 2 ) = P ( 1r;;- < R < 1 = -arctg r 11 = -2(1t - - -1tJ = ,,3 1t .J3 1t 4 6 6
p(X = 3)= p(o < R
<~J =~arctg r .lJ =~(2:-oJ =1. J3 1t 1t 6 3 0
~ "6~ ~31)
"6
Y - sIucajna promenIjiva koja predstavIja broj poena posIe 4 gadanja. Xj - slucajna promenIjiva koja predstavIja broj poena u i-tom gadanju (i=1,2,3,4) Y =X 1 +X2 +X3 +X 4· E(Y)= E(X 1 )+ E(X 2 )+ E(X 3 )+ E(X 4)=4. E(X)= =4{
0'*+1'~+2.~+3.*) =4.~=6.
1 /1)3 + (1)4 1 '6"l3" P(Y>10)=P(Y=11)+P(Y=12)= ( 4) 3" =0,037. 2.
Dvodimenzionalna slucajna romenljiva (X,Y) ima raspodelu
~
1
2
3
-1 0 1
0,1 0,2 0,1
0 0,3 0,1
0,1 0,1 0
Nad E(YIX = 1)
PXY·
Brojne karakteristike slucajnih promenljivih
64 X:[l 23), 0,4 0,4 0,2
y:[-10 1)
0,2 0,6 0,2
E(YIX = 1)=-1.P(Y =-lIX P(Y -lIX =l)
l)+O.P(Y 0IX=1)+ 1.P(Y =l1X =1)
0,1=!; p(Y=0IX=1)=0,2=2; p(Y=II X =l)=O,l 0,4 4 0,4 4 0,4
1. 4
°
E(X) = 1·0,4 +2·0,4+3·0,2 = 1,8. E(YIX = 1) = -1.! + o· ~ + I.! = 4 4 4 E(X2)= 12 .0,4+ 22 ·0,4+ 32 ·0,2 = 3,8 D(X) = E(X2)- E2(X) 0,56. E(Y) = ·0,2+0·0,6+1·0,2 D(Y) = E(y2)= 0,4.
°
E(y2)= 1·0,2+ 1·0,2 = 0,4.
E(XY) -1·1·0,1 1·3·0,1+1·1·0,1+1·2·0,1 =-0,1 0,3+0,1+0,2
PXY
=
E(XY) - E(X). E(Y) ~D(X) . D(Y)
- 0,1
~0,56 . 0,4
-0,21.
3. DvodimenzioDalna slucajna promeDljiva (X, V) ima zakon raspodele
t );
p(X == k, V == D)= Pkn = 2 e k! n k
NaCi
PXY
i
k 0,1, ... ,D; n = 0,1,... ,00.
E(xIV = n).
eo
Pk. = n~lkn
1 e 2 k!
co
n~k (n k). ==
E(X)= ±k'pk- = ± k~()
1
1 e 2 k!
1
. e = e· k! .
k =!. ± 1 =.!..e=1. e k=() (k 1) e
k~() ek!
k .!.± k-1+1= E(X 2)=±k 2Pk =.!.± £=!± k=O • ek=O k! ek~O (k 1). ek=O (k-1)!
= -1[nL
1 + Ln 1 ) e k=2 (k - 2) k=l(k -11
D(X)=2-1 1
1 e + e) =2 . -( e
-O,l.
Erojne karakteristike slucajnih
= n!
±
±
k ::;: n (n 1)! 2" k=ok!{n k) 2° k=l(k 1)!(n-1-(k I»!
=~n 2
n
k~l
(n-l)=~'2n-l n k 1
2
Regresija je skup tacaka (; ,n ) . Tacke leze na pravoj y = 2x . 4.
Funkcija gustine dvodimenzionalne slueajne promenljive je ( CPXY xy
)
{2.e-(X+Y), O~x
Naci regresiju Y po X.
Regresija Y po X je funkcija y E(yIX = x) =
jy. CPy!x=x (y) dy -
x
E(yIX = x).
=n
2'
66
Brojne karakteristike slucajnih promenljivih x~0
I2 e-(X+Y)dy = 2e-XIxe-Ydy = -2 e-x- 1x = 2e-2x ,
y
0
Kako JOe
ylx=x
0
x
(y) = 0 to JOe ( ) - ,
u=y du =d Y]
E(yIX = x)= IyoeX-Ydy = eX-Ydy = dv =
[ o X-Y v=-e = -y eX-YI~ + IeX-Ydy =(-y e X-Y_eX-Y)I~ =e x , za x ~Oo 0
0
o
Regresiona funkcija je y = eX, x ~ 0 S.
0
Slucajna promenljiva (X, Y) ima gustinu 3y , 0
( ) {12X
=
0
, u ostalim slucajevima .
Nad PXY'
, x~(0,1)
r
Cj)x (x) ={X
1---,-----.,.
~+ '
~
0
J12x 3 y dy = 12x 0
:
-
0
I
-- ---- --T---
-·
X
1
2
= 6x 5
XE(O,l)
0
Cj)Y(Y)={12jX3yodX=12;~ll =3(y_y 4
Y
E(X)=
y21x 3
y ~ (0,1) 5
)
YE(O,l)
y
Ixo
0
-00
7
0
D(X)=E(X2)-E2(X)=~- 36 =~ 4
49
169
E Y = I y
)
00
-00
()
0
[y3 3 7) Y7111 = 3 ( 1 3 -
-
-
0
-
-
-
00
0
=3
0
1) = -4
7
0
E (Y 2) = JY2y () y dy = 31 J(3 Y - Y7'-' Py -00
0
0
7
[y 4 i y8:1 1=3 (1 1) = -3 -
-
4
-
0
8
0
-
4
-
0
8
8
Brajnc karakteristikc slucajnih promcnljivih
67
x
'"
'"
t
-OC)
-ct)
0
E(XY) = J J xycp(x,y)dxdy = 12Ix 4dxJy 2dy = 0
1
X
11 4 Y31 dx=4Jx 1 7 1 81 = 1 . =12·-Sx dx=-x 30
0
0
2
0
1
2
6 4
E(XY) E(X). E(Y) PXY
~D(X).D(Y)
--F======19== = 0,37 .
68
Zakoni velikih brojeva i centra/ne graniene teoreme
ZAKONI VELIKIH BROJEVA I CENTRALNE
GRANICNE TEOREME
Nejednakost Cebiseva
Ako slucajna promenljiva X ima disperziju tada je P( I x
E(X) I;;:: &)::;;
D(~) ,za
E
svako E E R+ .
Bernulijev zakon velikih brojeva Ako izvedemo n nezavisnih eksperimenata, a u svakom od njih se dogadaj A
p, tada je
realizuje sa verovatnocom
In
lim P( X n->'"
pi;;:: E)
0, za svako E E R + ,
gde X oznacava broj realizacija dogadaja A u n eksperimenata.
Zakon velikih brojeva Cebiseva Ako su X P X 2 ",', X n ",' nezavisne slucajne promenljive i ako su sve disperzije manje od istog broja C, D(X n) ::;; C , nEN, tada je n 1 L.E(X n limP( 1 LX i i)
n->'"
1n
n
i=l
I
~E)=O,zasvako
EER+.
i=1
Zakon velikih brojeva Hincina Ako su
Xl' X 2 "." X n "..
nezavisne slucajne promenljive sa jednakim
raspodelama, tada je Iimp(11 11->'"
n
I,X -ml~E)=O' j
za svako sER+, gde je
i=l
m = E(X n ) , n EN, matematicko ocekivanje.
Centralna granicna teorema Ako su Xl' X 2 , ••• , X n ".. nezavisne slucajne promenljive sa jednakim raspodelama, matematickim ocekivanjem E(X n ) = mER i standardnom devijacijom s == ~D(Xn ) E R + , n EN, tada je: n
LX' -n·m
•
I
limp(,=l n->'"
S
J; n
1
x
Ie -00
12
2dt,zasvako XER.
69
Zakoni veJikih brojeva i centralne granicne teoreme
Teorema Muavr-Laplasa Ako su Xl' X 2 , ..., X 0"" oezavisoe slucajoe promeoljive sa is tom bioomoom n
f=X; -op
raspodelom, tada je Jim PC=l~ n~oo opq
x_t
1
< x) = (x) = r;;- Je v21t
2
dt , za svako xeR.
-00
1. Proveriti da Ii za dati niz {Xo} slucajnih promenljivih vazi slabi zakon velikih brojeva
~ Xo su b)
nezavisoe slucajoe preomeoljive Xn:
neN Xn = Y2n
-
o
(-20 _1_ 40 3
1
..2.. __1_
l
10
10
203
20J
_1_ 403
'
2Y2n - 1 , gde su Yj :@(A) A> 0, j eN nezavisne slucajoe
preomenljive. c)
a)
Xn
20 + 2 Y0' g de su Yj : GVY! _ i/'(-0- ,0-+2) , 30 0+1 0+1 preomeoljive. = _ ...-
0
• e N , nezavisoe sIucaJoe v
•
E(X ) == (-20)' _1_ + 0 1 + 20 . _1_ = 0 1 ' n 40 3 40 3 '
1 40 2 2
2 40 ·-+0,1+--0,01=0,09::;;2,1 zasvako oeN.Kako 3 3 40 40 0 je D(X n) S; 2,1 za svako 0 eN, sledi da su svi uslovi Cebisevog zakooa D(Xn)
velikih brojeva ispuojeoi, te vazi E(I b)
~ k~lXn - 0,11;;:: eJ~ 0 kada 0 ~
Eeyn ) A,D(Yn ) A, E(Xn)==E(Y2n)-2E(Y2n_l)=-A D(Xn) == D(Yzn - 2Y2n - 1 ) = D(Y2n ) + D(-2Y2n _1 ) == A+ 4A == SA. Svi uslovi CebiSevog zakooa velikih brojeva su ispuojeoi, te vaZi
~k~lxn -AI;;::e)~o,kada o~oo,
Ell c)
00.
E(X )==E(20+2 yn )= 20+2 E (Yn)== 20+2 ._o_=~.
n 30 30 30 0+1 3
D(Xn) == D(20 + 2 Yn) =(20+ 2)2D(Yn) 30 30 kada 0 ~OO. Vazi zakon velikih brojeva tj.
p(l! o
(20 +2)2 .(0+2) ~ ~, 30 0+2 9
tXk _;21;;:: eJ k=l
31
~ 0 kada 0 ~
00 .
70
Zakoni velikih brojeva i centraine graniene teoreme
2. Dat je niz {Xn} nezavisnih slucajnih promenljivih koje imaju istu raspodelu. P(X" =-10)==P(X k =10)=0,5, kEN. a) Odrediti raspodelu slucajne promenljive
1
y =S(X 1 +X2 +X3 +X4 +Xs)' b)
c)
1
NaCI,.
0)
p(iI-.r:... 1 ~X k::; I 1,)prlmenom ·
· centraI ne gramcne teoreme. 100 k=1
d) Oceniti
a)
100
Nad P(-LX" 100 k=1
v
r
p(~ X" I~ 1),primenom nejednakosti Cebiseva. IlOo "=1
-10 -6 Y: ( 2- 5 5.2-5
-2 2 6 10.2-5 10.2-5 5.rs
10) 2-5
(P(Y==-1O)=P(X 1 =X z =",=X s =-10)=(.!.)5, P(Y=-6)= 2 ==P(jedan clan zbira je 10, a ostali -10) = b)
(5). .!. 1,itd). 1 2 2 n
P(l~O!Xk =0) = =P(50 sabiraka je jednako -10, a 50 sabiraka je jednako 10)= = (100J.r 1OO 50
::::
100! r 50!·50!
100
=007979. '
c)
E(_l- IXk )=-l-IE(X k )=O, 100 k=1 100 k=l
1
I )
D(-l-rxk)=l sledidaje 100 k=1
[_l-
J
Ixk O ! tOO P( li-IXk::;1 =p 100k=1 - ::;1 =<1>(1)-<1>(-1)=2<1>(1)-1= 100 k=1 1 2·0,8413 -1 == 0,6826 d)
~
1
tOO
Xk plfl-1-IXkl 1)::; D(iOQ t:1 ) = 1 100 k=1 12 ;
Dakle, nejednakost Cebiseva daje grubu procenu traZene verovatnoce.
Zakoni ve1ikih brojeva i centra/ne granicne teoreme 71 3. Dat je niz {Xn} nezavisnih slucajnih promenljivih koje imaju istu uniformnu 'tL(0,1) raspodelu. Da Ii za dati niz vazi slabi zakon velikih brojeva? Kako je E(Xj) HinCina, da
=1.2 to
sledi, na osnovu slabog zakona velikih brojeva
p(l! rXk _1121 z n k=l
e) ~ 0 kada n ~ 00
4. Neka je Xn sredina uzorka obima 25 iz normalne G0f (3,4) raspodele. Odrediti verovatnoce: P(Xn > 3), P(Xn =:; 2), P(3 =:; Xn =:; 4) i P(2 =:; Xn =:; 5). Odrediti a i b za koje je P(Xn < a) = 0,9, P(2 =:; Xn =:; b) =0,8.
X -3 3P(Xn >3)=P( n > 2 2 -
-. =P(X n >0) 0,5
-
5
5
X -3 2-3 -. P(X n =:; 2) = P( O < -2-) = P(Xn =:; -2,5) =11>(-2,5) = 2 5 5 = 1- 11>(2,5) = 1- 0,9938 =0,0062 2- 3 X - 3 4- 3 -. P(2 =:; Xn =:; 4) = P(-2-=:; n =:;-2-) =P(-2,5 =:; Xn =:; 2,5) 2 555
=11>(2,5) -
11>(-2,5) = 211>(2,5) -1 = 2·0,9938 1 0,9876
2-3 X -3 5-3 -. P(2 =:; Xn =:; 5) = P(-2- =:; n < -2-) = P( -2,5 =:; Xn =:; 5) 2 -
-
-
555
=11>(5) - 11>(-2,5) =1-1 + 11>(2,5) = 0,9938 X 3 a-3 a-3 P(Xn sa) P( O S-a-)=0,9=:>1I>(-2-)=0,9~ 2 5 5 5 =:> a 2 3 = 11>-1(0,9) =1,28 =:> a= 3,51 -
5
>
.
Zakoni velikih brojeva i centraine graniene teoreme
72
P(2s
2 3 X -3 b-3 -* b 3 -
5
5
5
b-3 = ( -2,5) = 0,8
5
5
b-3 1
=>-2- b 3,34 5
5.
Verovatnoca realizacije dogactaja A u svakom od nezavisnih opita je p =!.. 4
Oceniti verovatnocu da relativna ucestalost realizacije dogactaja A odstupi
od odgovarajuce verovatnoce najvise za 0,01, ako je izvrseno 10000 opita:
a) pomocu nejednakosti CebiSeva
b) pomocu teoreme Muavr- Laplasa.
X:ffi(10000,~}
E(X)==n·p
2500; D{X)==n·p.q
1875
X _relativna ucestalost realizacije dogadaja A. n
a)
p(l~
pI z 0,01) p(IX n npl Z 0,01) == p(lX npl z O,01n)s
< npq - 0,01 2 • n 2
1 3 4.4 == ~ sO 19 0,0001·10000 16 '
pq 0,01 2 • n
p(l~ - pi < 0,01) = 1 p(l~ - pi z 0,01) z 1- 0,19 b)
0,81.
~I~ pl
p( X~npq ~n
< 0,01.
J 'J =p[ n pq
X np < 0,01 ~npq
~OOOO J= :! .i 4 4
=
Zllkoni vclikih brojcvll j ccntralne granicne teoreme
~{ ~
<2.31
73
J~ p[-2.31 < ~ <2.31J
<1>(2.31)-<1>(- 2.31)
== (1)(2,31)- [1-(1)(2,31)]= 2(1)(2,31)-1 = 2·0,9896 -1 = 0,98.
6. Fabrika proizvodi kugle za jelku. Verovatnoca da ce kugla biti razbijena prilikom transporta je 0,05. a) Ako je kupac od fabrike narucio 200 kugJi kolika je verovatnoca da neee dobiti vise od 12 razbijenih kugli ? b) Koliko najmanje kugIi treba naruCiti pa da sa verovatnoeom od 0,95 budemo sigurni da cemo dobiti bar 100 neostecenih kugli? a) X- broj razbijenih kugli u posiljci od n-komada X: m(200; 0,05)
P(X~12)=p[x-np ~ 12-np )=(I)( .jnpq b) n == ?
.jnpq
J
12-200·0,05 .j200 . 0,05·0,95
\j (I)(0,6488)~0,7422
( n - X ) - broj neostecenih kugli P{n
X~lOO)=P(X~n-lOO)
=(I)[n -100
~npq
p[x-n p .jnpq
~ n-100
np]=
.jnpq
n p ] = 0,95.
0,95n -100 =(I)-I (0,95) 1,645
.jn. 0,05·0,95
0,95n -100 == 1,645· .jO,0475n = 0,36.Jn ;
.In =t, t1 == 10,45;
0,95t 2 -0,36t-100
0,95n
0,36.Jn -100::::
°
°
t2 = -10,07
.In == 10,45 => n =109,2
n
110
7. Verovatnoca da proizvod bude neispravan je 0,05. Kolika je verovatnoca da medu 1000 izabranih proizvoda broj neispravnih bude izmedu 40 i 55? X- broj neispravnih proizvoda,
X: fB(lOOO; 0,05) >
n·p == 1000·0,05 =50
npq = 1000·0,05·0,95 = 47,5
74
Zakoni velikih brojeva i centralne granicne teoreme P(40;5; X;5; 55)= p[40 np;5; X - np ;5; 55 npJ
~npq
= p[40 50;5; X
~47,5
~npq
~npq
np;5; 55 - 50J = P[-1,45;5; X np;5; 0,73J =
~npq
~47,5
~npq
<1>(0,73)- <1>{-1,45)= <1>{0,73) [1- <1>(1,45)]
0,7673 -1 + 0,9265 0,6938.
8. Strelac pogacta cilj sa verovatnocom 0,4. Koliko minimalno gactanja treba da izvrsi, pa da sa verovatnocom 0,9 cilj bude pogocten bar 80 puta?
P{X~80)=1-P(X<80)=1-P(~ < 8~J npq npq
0,9
p[~ < 8~J = 1- 0,9 = 1- <1>(1,282)= <1>{-1,282}
npq npq 8~ =-1,282 npq
..fi1 = t
80 np
-1,282.~npq
0,4tz - 0,63t 80 = 0
..fi1 14,9875:::::> n =224,6 ,
t1 n
0,4n 0,63..fi1 80 0
=14,9875 225,
t2
-13,3875
75
Ocene parametara
OCENE PARAMET ARA T ACKASTE OCENE P ARAMETARA Ocena U = u(X I , X2,... , Xn) je postojana (stabilna) ocena za 0 ako je za svako 8>0 timP(IO u(Xt,X2"",Xn)I~E)
n->'"
Ocena U
u(XPX2,,,,,Xn) je centrirana ocena za 0 ako je
E(u(X 1 , X 2,..., Xn» Oeena U
O.
O.
u(X t ,X 2 , ••• ,X n ) jeasimtotskicentriranaocenaza 0 akoje
»
lim E(u(Xl'X1,,,,,X n = 0 .
n ....oo
Ako su U I i U 2 dye eentrirane oeene za 0 tada, ako je D(U I ) :<:;: D(U 2) kazemo da je oeena U I efikasnija od oeene U 2 . Teorema Rao-Kramera. Neka je U=U(X ll X2 , ... ,X n ) eentrirana oeena zaO, oE R t cR. Ako gustina (verovatnoca) rex, 0») zadovoljava odredene uslove tada vazi nejednakost D(U) ~
aI ~. ao
0
nE«-~~)2)
Znak jednakosti vazi ako i sarno ako je
a~~L
:::: a(O)(u(XPX2 ,... , xn) - T(9».
sa verovatnocom 1 za neku funkciju a(8), 8 E R I .
Occna U u(X H X 2 ''''l X n) je najefikasnija oeena za 8 ako je disperzija D(U)
jednaka infimumu svih disperzija eentriranih oeena. U tom slucaju je
1-]-· I·
D(U) = a(O)
Metode za dobijanje tackastih oeena Metoda momenata sastoji se u tome da se uzoracki moment iIi njihove funkcije uzimaju kao oeena momcnata iIi njihovih funkcija i iz tih jednaCina se izraiavaju nepoznati parametri. Ako ima vise, nepoznatih parametara 8 1 ,0 2l'" u raspodeli F(X,Op02 "") obeleZja X, onda koristi onoliko jednaCina koliki je broj nepoznatih parametara.
se
76 Ocene parametara Metoda maksimalne verodostojnosti. Sa f(x,a) oznaCimo gustinu q>(x, a) obelezja X, ako je X neprekidnog tipa, odnosno verovatnocu p(x,a) obeldja X, ako je X diskretnog tipa, gde je a nepoznati parametar. Funkcija
(
2
L(a) =L(xl' x 2 ""'X n,a) f(x U a)f(x 2 ,a)••.f(X n,a) . naziva se funkcija verodostojnosti. Ocena maksimalne verodostojnosti je statistika U =u(X l ,X 2 "",Xn) koja zadovoljava uslov da je L(x l , Xl "",xn' u) =maxL(x l , x H •••, Xn ,a). tieRl
Ako L(xl,xH...,xn,a) ne dostize maksimum po ae R 1 , tada ne postoji oeena maksimalne verodostojnosti. Deena maksimalne verodostojnosti se, uglavnom, trazi resavanjem jednacine alnL =0.
ae
U slucaju da u raspodeli obelezja X treba oeeniti vise nepoznatih parametara
aI' a 2"'" am' po stupak je analogan. Tada se traZi maksimum funkeije L(x i ,X2 ,,,,,xn ,a l ,a 2"..,a m) = L(a 1 ,a 2 , .. "am)' Postupak se, uglavnom, svodi na resavanje sistema jednaCina alnL(xl,x2"",xn,al'a2,..·,am} _ 0 ,I. --1 , 2,..., m . aa i
_ _--'-"-'--"-'---'----"-'---!...:--!!.:....-'--!1o!'::" _
1.
Obeleije X ima normalnu G!V (m,; 2 ) raspodelu. Metodom momenata odrediti ocenu:
a) parametra m ako je ; = 2 ,
b) parametra;2 ako je m 10,
c) parametara m i 1\ 1n a) m=Xn -2: Xi
;2.
n i~l
b)
~2 =1. ± (Xi
lof
ni=1
1\
1
n
c) m=X n =-2: Xi' n i=l
;2 1\
t
Deene parametara
77
-2
2. Obeleije X date poulacije ima raspodelu X:
[
~
gde je
0<8<~.
2 a) Nad ocenu parametra 8, metodom momenata, na osnovu uzorka
(0,-2,7,-2). b) Na osnovu uzorka (0,-2,7,-2) metodom maksimalne verodostojnosti nad ocenu parametra 8. c) Na osnovu uzorka obima n, metodom maksimalne verodostojnosti nad ocenu parametra 8. a) E(X) = -2.%+0.%+ 7 ·(1- 2:) = 7 _1; .8
16 5 X n = 7 - . 8 :::::> 8 = (7 Xn) . - . Kako je iz uzorka 5 16
1 . 3 . . 3 5 25 5 125
X4 -(0-2+7-2)=- sledldaJe 8 (7--)·-=_._=-. 4 4 4 16 4 16 64 b) L(8)=P(X O).P(X=-2)·P(X=7).P(X=-2)= 1\
1\
A
= 8 '~(1- 20J'~= 8 • 5-28 3
5 5
5
5
5'
5 - 28 InL(8) = 31n8-3In5+1n--. 5
olnL(e) =~+_5_.(_3.J = 0 :::::> 3{5-28)
e 5 2e
Of)
5
c) k- broj pojavljivanja broja (-2) u uzorku, m - broj pojavljivanja broja 0 u uzorku, n-(k+m) - broj pojavJjivanja broja 7 u uzorku,
_ L(8)- ( -8)k . (8)m(. 1 -28)n-(k+m) 5 5 5 In L(e) = (k + m)lne (k + m)lnS+ (n _ (k + m})ln 5 28
5
alnL(8) a8
k+m +(n-(k+m))._5_.(_3.) e 5-28 5
{k+m).(5-28)-28.(n (k+m)) 0:::::>0
5. k+m 2 n
Dakle, statistika kojom se ocenjuje parametar 5 K+M
e
2
n
0
e na osnovu uzorka je
Ocene parametara
78
9>(1,.)
3. Neka obeJeije X ima Puasonovu
" ocene A.
1
raspodeJu, A. > O. Ispitati etikasnost
Xi'
I naCin:
=n'e
-J..
D(f~)
f\
D =:> Oeena A. je najefikasnija.
II nacin L(e)
Kako Je 'A=
ain L(8)
OA
E.( ~ Iki
1 n -n+- 2:ki A i=1
A \n i=1
A.), sledi da Je statistika
1 A
K; najefikasnija ocena za Ie i da je D(~) = n n
4. Obeleije X ima uniformnu GU(a,b) raspodelu, a
= .{
a mm
Xl 'X2 '''''X n
}_ max{x ,x 2 ,· .. ,x n } min{x 1 ,x 2 ,· .. ,x n }_ j
n -1
,
.
Ocene parametara
79 1
--max{x I' x 2 , .•. , x n } =>
n-1
~ n . {x ,x "",x } =>a=--mm j 2 n
n-1
1
--max{x 1 ,X2 , ••. ,x n }
n
1
= _n- max {x 1 ,x1,···,x n }
n-1
An {x p x ,,,,,x } => b=--max 2 n
n-1
1 mm '{X ,X , ... ,x JI 2 n 1
n 1
Dakle, statistike kojima se ocenjuju parametri a i b na osnovu uzorka su:
b=_n-max{Xl,X2"",Xn} _1-min{X1,XZ""'X n }. n-1
n
1
Metoda maksimalne verodostojnosti: 0 , x ~ (a, b)
={ _1_ b-a
, x
Lca,b)=(_l_)n ,
E
(a, b)
InL(a,b)
b-a
-nln(b-a).
alnL(a,b) =_n_>O ___ a '{X X X} -r min I' 2"'" n • aa b-a
aIn L( a, b) ----< n { }
0 => b max Xj,XZ,...,X n • ab b a Dakle, statistike kojima se ocenjuju parametri a i b na osnovu uzorka su: A
A
a
min{X1,XZ,...,XJ i b
5.
max{X 1 ,X 2 , ... ,X n }.
Obeieije X ima raspodelu datu funkcijom gustine
2 -~.rx e ,x> 0 ,
eze
o ,x:::; 0 e metodom
gde je e > O. Na osnovu uzorka obima n oceniti parametar maksimalne verodostojnosti. Ispitati cenft-iranost, postojanost i efikasnost tako dobijene ocene.
Ocene parametara
80 L(e) =
2
·e 2
InL(e)= nln2 2nIne
n r:: Z:vx; ,
e i=l n 1 n 81nL(e) =_ 2n +.2. rx; 0 ~ na+ z:jX;, a=-z:jX;. ae e e2 VAi 1\
n
i=l
Daklc, statistika kojom se ocenjuje parametar 1\
1
rv
n
a na osnovu uzorka je
a=-Z:Vxi' n i=l
Cen triranost: 1.
dx
=
[~rx=t x
a2 4
1\
Ocena
a je centrirana.
Postojanost:
(
~2) =E(X)=f x · 2-~ -e e dx 00
E..;X
() a
2
(1
1\
n
D(a) = Dl-n ;=1 z:,fX;
! [3~2
=
)
9']
~:
Koriscenjem nejednakosti Cebiseva dobijamo:
~ ~~ p(1
a- a I~ J 0 ~ Ocena aje postojana. E
i=1
81
Ocene parametara Nejednakost Rao-Kramera: I nacin:
!:"..JX,
In
8
-~ 8 '" -lfx f-..JXe a dx+-Je 6 dx= 4 2
8 '" 2 08 2
dx
8 tdtJ 2
8
-±-. 38 a
4
2
2
0
-~.8+ 8 .~ jt 2- e- dt = a J
3
2
l
0
2 1
1
D=-----n (olnq»2 q>dx
7
-00
= 2n
oe
A
A
D(a) = D => Oeena a je najefikasnija. II nacin:
Kako je olnL(a)
ae
=- 2n + ~2 f..JX: = 2n2 . (1.. f..JX: -8),
a
8
i=l
a
sledi da je statistika
n i=l
fA najefikasnija ocena za aida je D(9):: ~ . 2n
9
1 n i=l
6.
Obeldje X ima raspodelu datu funkcijom gustinue
:2' x
8
, 0, x<8 gde je 8> 0 . Na osnovu uzorka obima n metodom maksimalne verodostojnosti oceniti parametar a. Ispitati centriranost i postojanost tako dobijene ocene. 8 8 8 8n )2 L(a) (x 2,a)"'q>(x n ,8)=-2 '-2 " ' - 2 = ( Xl
InL(a)=nlna-21n
Xl 'X 2 ",X n
X2
Xn
,
olnL(8) =-n > 0 => L(a)'Je monotono rastuca. ~,
_--'>.-1...
oe
a
X)'X 2 "'X n
2
82 Ocene paramelara Dakle, L(e) dostize maksimum za maksimalnu vrednost e. Kako je x ~ 8 to sledi da je statistika kojom se oeenjuje parametar 8 na osnovu uzorka
e = min{X] ,X 2 , ... ,X n }. Centriranost:
Y = min{X 1 ,X 2 ,· .. ,XJ
(
Fy(y) P(Y
'j
1 P(min{Xl,X2,,,,,Xn}~Y)
=1 P(Xl ~y,X2 ~y,,,,,Xn ~y)
1 P(X[ ~ y). P(X2 ~ y ),,,p(Xn ~ y)= =1-[1 P(XI
1 [1 Fx(y)t
e+ 1 x
8
1--.
x
8n-1 e n8 n n·--·-=- y 0-1 y2 yn+l A
.
n8 n JY'-j dy El yn+
1
00
E(mm{X j,X 2 , ... ,X n J) E(Y)
E(e)
n y-n+j 1 n ne . 1-n 0 =-~. 00
_n_8. n-1
I,
8 nije eentrirana oeena.
limE(e)
n lim--8=e =:> Oeena
n->oo
n-->oo
n- 1
/\
e je asimptotski eentrirana.
Postojanost: (oeena nije centrirana, pa ne koristimo nejednakost Cebiseva).
p(1 e-e =
1
PIe
I~E)=l-P(1 £:;
<
e< e+ 81 = 1 p{e
\
the
1
f9y{y)dy=1G-e
8-8 I
I-Pl-8
J e+£
nen
f ~dy e y
1+
nS2 n
1 IG+E .- =
yO
8 ~
8
Ocene parametara
83
en(e+st +eno _en(o+s)n on·(O+st n
8 _O+s 1<1. 1
jerje h
Ocena 0 je postojana. 7. Obeleije X ima uniformnu GlL(O,O) raspodelu. Na osnovu uzorka obima n metodom maksimalne verodostojnosti nad ocenu parametra O. (j)x (x)
=:
~
, X E
°,x
~
L(e)=: 01n
(0,0) (0,0) InL(O) -nInO.
'
aln L(O) == _~ <
00
(1
°:: :; .
L(O) je monotone opadajuca,
L(e) dostize maksimum za minimalnu vrednost parametra e.
Kako je svako Xi E (0,8) , to sledi da Je statistika kojom se ocenjuje parametar
8 na osnovu uzorka
e
max{X!,X 2 , ... ,XJ.
8. Dato je obeleije X sa uniformnom GU(O,8) raspodelom i date su dye ocene nepoznatog parametra 8
A
n+l
{
}.A I 82
81 ==--max X 1 ,X 2 , .. ,X n n
-
2Xn ==
2n
LXi'
n~
Ispitati centriranost datih ocena i odrediti koja je od njih efikasnija. 1 , X E (0,0) X: 011.(0,8) , (j)x {x}
e { o ,
E(X)
x~(O,8)
, %, D(X)=~ 12
Ocene parametara
84
e yn-l n e E(Y)=fy·n·-ndY=-n Iyndy
a
o
a
0
n
yn+l Ie
en' n + 110
n
a
n +1 .
A
Ocena Eh je centrirana. D(8 1 )
D( n: 1. Y)
(n :21)2 . D(Y)
e n+2le n n-1dy=n eJy n+ldy = n - 'YE(y 2) = J y 2 '-y - = -n- . a 2 o an an 0 an n + 2 0 n + 2 2 322 322 D(y2)=Ecy2)_E2(y)=_n_a2_ n a 2 =n + n +n-n - n a 2
n+2 (n+1)2 (n+2).(n+1)2
n DCel) = (n + 1)2 . 2 n (n+2).(n+1)2 E(e2) =2· E(X) 2· ~ = a 2
~
2 a 2
a2
n +2n
Ocena 92 je centrirana.
4 4 a2 aZ D(a z) -D(X) _._= n n 12 3n
A
A
A
D(e!) < D(e 2 )
9.
A
~
e1
A
je efikasnija oeena od a2.
I ~l-x) Obelezje X dato je gustinom (f)x(x)= See ,x>l, gde je {
to
a >0.
,x~l
Metodom maksimalne verodostojnosti na osnovu uzorka obima n nad
ocenu nepoznatog parametra a i ispitati centriranost tako dobijene ocene.
r: A
a
Ocene parametara
85 1n InL(8)=-nln8 -- L(X i -1), 8 ;=1
n
i\
n8+ L(X; -1)=0::::}8= ;=1
1
n
L(X i
n i=1
1 n
1)=-1+-· LXi'
n
;=1
Dakle, statistika kojom se ocenjuje parametar 8 na osnovu uzorka .je 1 n 8 -1+ . LXi' A
n
;=1
A
E(8) = -1 + E(X) = -1 +
1
1 ~l-x) X • - • e (l dx
r
'"
1
!8 (x
r \
8
=
1) t, X 1 + 8t] =-1 + "'r (1 + 8·) 1 -I . 8d t t ·_·e o 8 dx = 8dt
=-1+ Ie- l dt+8It 2- 1 e-tdt -l-e-t +8.r(2)=-1+1+8=8. Ocena je centrirana. r:::: 2v2
10.
RaspodeJa za X data je gustinom q>x (x)::::
.Jfhi: {
2 2
--x
a
, x>O ,
X$O
Metodom maksimalne verodostojnosti na osnovu uzorka obima n, nad ocenu parametra 8 i ispitati centriranost tako dobijene ocene. r;:; n n 2 n 2 InL(8)=nln2v2 --ln8--ln1t--LX i
2
olnL(8) _~+~ IX2 ae 28 8 2 ;=1 I
n
2
-n8+4:Lx; =0 ~l
::::}
2
8 i=1
0
A In 2
8=4·-LX;.
ni~
Dakle, statistika kojom se ocenjuje parametar 8 na osnovu uzorka je
8= n4 IX;. ;=1
Deene parametara
86
\
dx
::=
J8r;; t -!2dt . 2...;2
)
1\
Ocena 6je centrirana.
r
f
z T In
Intervalipoveren}'a
87
INTERVALI POVERENJA (POUZDANOSTI) 1. Interval poverenja za nepoznatu verovatnocu p u Bernulijevoj ffi(p) raspodeli K je statistika koja predstavlja broj jedinica u uzorku (XPX2 ,... , Xn) .Za dati
nivo poverenja funkcija P(
13 , neka
raspodele
je odreden broj a tako da je (a) = 1 ~ 13 ( je
za
K-np
normalnu
GAl
(0,1)
raspodelu).
Tada
Je
.
c::::: < a) = 13, pa Je:
-vnpq
Interval poverenja je P(U I < P < U 2) == resavanjem po p kvadratne jednaCine
13, gde su statistike
U 1 i U 2 dobijene
p2(n 2 +a 2 n)+p(-2Kn-a 2 n)+K 2 =0.
2. Interval poverenja za matematicko ocekivanje m obelezja X sa normalnom G¥(m, ~ 2) raspodelom gde je ~ 2 poznato Za dati nivo poverenja Tada je
13 , neka
je odreden broj a tako da je (a) == 1; 13
p(lxn~m.Jri"l
interval poverenja za m.
pa je
.
P(Xn-ln-
88
Intervalipoverenja
3. Interval poverenja za matematicko ocekivanje m obelezja X sa
normalnom c;vV(m, 1;2) raspodelom gde je 1;2 nepoznato
Za dati nivo poverenja
~,
iz tablica za Studentovu t n- 1 raspodelu (sa n-1
stepeni slobode) neka je odreden broj a taka da P(
X -m ,---:; 0
'"
n - 1 < a) ::: ~ ,
pa
-
je
P(Xn -
So
interval poverenja za m.
1 + ~, tada je
F{a)
as
-
2
as
~
",n-1
~
",n-l
4. Interval poverenja za nepoznatu disperziju 1;2 obelezja X sa
normalnom c;vV(m, 1;2) raspodelom kada je m-nepoznato
Ako obelezje X ima normalnu G¥(m, 1; 2) raspodelu gde je m nepoznato, tada -2
statistika
n~o
ima 1;-1 - raspodelu.
I;
1
J ednostrani interval poverenja Za dati nivo poverenja ~ ,iz tablica za X~-l raspodelu ( sa n - 1 stepeni -2
slobode) neka je odreden broj b tako da F(b)::: 1
~, tada je p(n~~O
-2
pa Je
P(O < 1;2 < nSn ) = 13 b
jednostrani
interval
poverenja
za
> b)
=~,
~2,
a
P(o<;<~n!; ):::~ za;. Dvostrani interval poverenja Za dati nivo poverenja ~, iz tablica za X!-l raspodelu (sa n -1 stepeni slobode) neka su odredeni brojevi a i b tako da F(b) = 1 + ~ ,F(a) =U 2 2 je
nS 2
pea < -T- < b) = 13, ~
poverenja za
pa je
~2 ,a p(~ns: b
< I; <
nS 2
nS 2 =~ dvostrani interval
P(_D_ < ~ 2 < __ 0 )
b
, tad a
a
~ns: ) = ~ za 1;. ~ a .
1
intervaii poverenja
89
5. Interval poverenja za nepoznatu disperziju ~2 obelezja X sa normalnom GIV(m,~2) raspodelom kadaje m poznato Ako obelezje X ima normalnu G¥(m.~2) raspodelu, gde je m poznato, tada
-z
statistika
n~D ~
ima
Iednostrani
x: raspodelu.
interval
~
P(O < ~ < V~) = (3 za
poverenja
~,
za
dobija se iz tablica za
X~
~2 ,
raspodclu (sa n stcpeni
slobode) slieno kao u 4. Slieno, za dvostrani interval poverenja dobija se: z 2 nS2 < ~ 2 < _D) nS 2 = (3 za ~ 2 , a P( Jns P(_D _D < ~ < _D) = (3 za ~. b a b a
Jns
-2
Napomena: Ovaj slucaj se razlikuje od slucaja 4., jer statistika -2
ima X;-l raspodelu, au slucaju 5. statistika
n~D ~
ima
a
X~
n~D ~
raspodelu.
u slucaju 4.
Testiranje hipoteza
90
TESTIRANJE HIPOTEZA PARAMET ARSKE HIPOTEZE I TESTOVI ZNACAJNOSTI Sa a oznaCimo unapred dat prag (nivo) znacajnosti.
1. Hipoteza H( P =Po ), 0 verovatnoCi u Bernulijevoj ffi(p) raspodeli Neka statistika K predstavlja broj jedinica u uzorku (Xl ,XW.,X n ) obelezja X, a k je broj jedinica u realizovanom uzorku (X 1 ,X 2 ,...,X n ) , tada je za dovoljno veliko n:
1
p(1 ~ p, H: -p'I)~+-~(I~n:~~~~,)IJJ~a.,
gde je
funkcija rasp odele
QAf (0,1)
.Ako.ie a*::;; a hipotezu H(p = Po)
odbacujemo, a ako je a* > a hipotezu H( p 2. nademo bro.ieve
ako je 8 et ;;:: odbacujemo.
8:
Set
=~
k npo i nPo(1-po)
= Po ) ne odbacujemo, iIi
8: =
<1)-1 (1- a) (kriticna vrednost), 2
hipotezu odbacujemo, a ako .ie
:=
hipotezu ne
e
Za dovoljno veliko n, iz
m,
a
matematickom ocekivanju m u normalnoj
raspodeli ako je poznato
0
G!V(m, ~ 2)
P~ X,
8 < s:
I~ Ix, - m, Il~ p(1 X, ~ m, v'nH x,
2(1- <1)(1 xn
~ mo .Jill»
=a
t, ""I)
gc
2. nademo brojeve E:
8(1 =
IX
n
-
m0
S
al
z
*,
.Jill i
2.
0
sledi: ako .ie a*::;; a, hipotezu H(m = mo) odbacujemo, a ako .ie a* > a hipotezu H(m = mo) ne odbacujemo iii
ako .ie Eo. 2 odbacujemo.
z
Ot
2. Hipoteza H(m:= mo)
L
a c
8:
:=
a) ,
i
g( Q(
2.
2
hipotezu odhacujemo, a aka .ie
hipotezu ne
a1
Testiranje hipoteza
3. Hipoteza
91
H(m
=mo)
0
GVV(m,~2)
matematickom ocekivanju m u normalnoj raspodeli ako ~2 nije poznato
lz: -x -m ~ ,---; 1. P( Xn - mo ~ ~ x n _-m 0 ",n -1 ) =2(1- F( n _ 0 ",n -1 == a: * , Sn Sn Sn gde je F funkcija Studentove t n - 1 rasp odele sledi: ako je 0'.*:::; 0'., gde je a: unapred zadat prag znacajnosti, hipotezu H(m == mo) odbacujemo, a ako je 0'.* > a: hipotezu ne odbacujemo, iIi
»
IX
2. naaemo brojeve e a = n Sumo
e e:
ako je a ~ odbaeujemo.
hipotezu odbacujemo, a ako je
4. Hipoteza
~~
, hipotezu ne
H(~2 =~~) 0
disperziji ~2 u normalnoj raspodeli ako je m nepoznato
GIV(m,~2)
Za p(nS;
.In-ll i e: = F-10- ~
~ ns; )=l_F(ns;) a: *, ~~
~~
gde je F funkcija X!-l raspodele sledi: ako je 0'.*:::; a: hipotezu H(~ 2 odbacujemo, a ako je 0'.* > a: hipotezu ne odbacujemo,ili
~~)
-2
= nSzn i e: = F-1 (1- 0'.), ~o hipotezu odbacujemo, a ako je
2. nademo brojeve ako je
SC(
~
e:
Ea
5. Hipoteza
H(~ 2
GVV(m,~2) -2
-2
nSn
nSn
1;;
1;;
Za P ( - ~ - )
= I;~)
e e: a
<
ne odbacujemo.
disperziji 1; 2 U normalnoj raspodeli ako je m poznato 0
-2
= 1-
nSn
F(-) == a:
S~
*
gde je F funkcija X~ raspode1e sledi: ako je 0'.*:::; a: hipotezu H(~ 2 odbacujemo, a ako je 0'.* > a: hipotezu ne odbacujemo,ili 2. nademo brojeve ako je
Eo.
~
Ea
e: hipotezu odbacujemo, a ako je e < e: ne odbacujemo. a
~~)
92 Testiranje hipoteza 1. Poznato je da vek trajanja sijalice jedne serije ima normalnu raspodelu sa standardnim odstupanjem 1; =120 sali. Iz le serije sijalica na slucajan nacin je izabrano n = 25 sijalica i vek trajanja ovih sijalica (u satima) bio je: 2630,2820,2900,2810,2770,2840,2700,2950,2690,2720,2800,2970,2680, 2660,2820,2580,2840,3020,2780,2920,3060,2840,2550,2790,2850. a) NaCi interval poverenja za srednj vek trajanja sijalica iz ove serije sa koeficijentom (nivoom) pouzdanosti 13 = 0,98. b) Testirati hipolezu da je prosecni vek trajanja sijalice 2850 sati sa pragom znacajnosti a = 0,05. a) Interval poverenja za nepoznato rn, ako je ~2 poznato, (xn-a 1,x n +a 1 ) gdeje
a=$-le~p).
Xn =.l(2630+ 2820 + ... + 2850)= 2799,6, 25
a = qJ-l ( 1 + ~,98) = $-1 (0,99) = 2,326 , 120 120 \J ( 2799,6 2,326.J25; 2799,6 + 2,326.J25 '
mE (2743,68; 2855,52).
b) Hipoteza H{rn = rno) kada je ~2 poznato, £(1
=
lin So-mol = 12799,6-28501 120 = 2,1,
*
ea
a)
=$ -1( 1 -"2 =$ -1(0,975 )= 1,96 .
55
In B(1
> B:
=1,96:::;. hipotezu
H(rn = 2850) odbacujemo.
2. U jednom gradu na slucajan nacin je izabrano 1250 ucenika i izmerena im o IJem rezuIta f I sred em' su U Dared00.1. t a berI Je visma. Db'" Visina u em Broj ucenika (160,1621 (162,164] (164,166] (166,168] (168,1701 (170,172] (172,1741 (174,176] (176,1781 (178,180]
(180,1821
15 27 44 103 211 303 230 162 95 30 30
Testiranje hipoteza B a) Ako pretpostavimo da visina ucenika ima normalnu raspodelu naci 90" interval poverenja za srednju vrednost visine ucenika. b) Testirati hipotezu da je srednja vis ina ucenika 171,5 em sa pragom znacajnosti a = 0,1. a) Interval poverenja za nepoznato m, ako ~2 nije poznato,
[x.
-====- -Xn
t
t
t 1249;0.95
t oo ;O.95
+t
n-1.
l+JJ
2
= 1,645
S ~
..yn (l
-1
J
•
= 1- P= 1- 0,90 = 0,10.
2
·161 + 27 ·163 + ... + 30 ·181)= 171,6032 , 1250
LXi
2
2
2
2
15·161 +27·163 + .. ·+30·181 -::-36828274,
i=1
-2 1 n 2 Sn - LXi n i=1
_
Xn
2
= 14,9609;
Sn
= 3,87
,
1,645 ~, 171,6032 + 1,645 ~) , mE (171,4216; 171,7847). 1249 1249 b) Hipoteza H{m mo) kada .;2 nije poznato. (171,6032
=
. en 00:
Sn
t
< 0:
tI249:0.95
1171,6032 -171,51..)1249 3,87
=
0,935
= 1,645 .
1,645;;;;;::. hipotezu H(m = 171.5) ne odbacujemo.
3. Anketirano je 30 koekara 0 visini dobitka (u hiljadama dinara). Dobijeni rezultati su sredeni u naredno' tabeli Dobitak -9 -3~-L..:-3;...?.,-..::;2,,-+...a....;::..z..;;:..L-+....&...:..2~ 3
b)
Odrediti 90% jednostrani i dvostrani interval poverenja za nepoznatu disperzijn. Testirati hipotezu da je standardno odstupanje 3000 dinara sa pragom znacajnosti a =0,05.
a) jednostrani interval za .; 2 ,
X30 =~[1( -6) + 3(-2,5) + ... + (2 . 8,5)] 30
2,83
Testiranje hipoteza
94 _
1
2
S30
_
2
-X;O - X30
30
=11,1861
2 ZO,9
0 30, 11,1861J =>):2 E (0'16 9465) ( '19,8 ~ " Dvostani interval za
-2 -2] [ n Sn n Sn -b-'-a-
b = X~9:0,95
=
19,8 .
X29;0,1
SE
(0; 4,1166).
I s
S2
d' g e Je a = X~9:0,05 = 17,7 .
42,6 .
r (
30 ·11,1861. 30 ·11,18611 => ): 2 E (7 88452- 189482) ( 42,6 . 17,7 ) ~ , "
):
~
E
(2,8079', 4,3529)
s~).
b) Hipoteza H(;;2
\
-2
nSn
S~ Ba
30·11,1861 9
3702 ,
,
r:l I-'
1 -a
095 , , ca•
2 2 -4?6 Xn-l,l-a -X29;O.95 - ._,
j
< B:
hipotezu H(;; = 3) ne odbacujemo.
1
4. Metlu prvih 3000 beba rotlenih 1999 godine bilo je 1578 decaka. a) Ako pretpostavimo da se broj decaka moze opisati binomnom
raspodelom, naci 99% interval poverenja za verovatnocu p ratlanja
decaka. b) Testirati hipotezu da je verovatnoca ratlanja decaka 0,5. a) Interval za nepoznatu verovatnocu p
t;P)
~(1'::~; [t;~)r Y
(1578 - 3000p 3000p(1 p)
6,6564 =>
b) Hipolez. H(P ~ p,,) ,
Eo
Pl
=0,5024
c: =<1>-1(1- ~)=-1(0,99) =>
P2
~ ~ ='1578 npoq()
c a > c:
t+~,99)~_1(O,995)~2,576 0,5494
3000 . 0,51
.J3000· 0,5 - 0,5
2,326
hipotezu H(p = 0,5) odbacujemo.
P E (0,5024; 0,5494).
2,848 ,
2
Testiranje hipoteza
95
NEPARAMETARSKE HIPOTEZE I TESTOVI ZNACAJNOSTI Pirsonov X2 -test Pretpostavimo da obeleije X ima raspodelu Fo(x). Za dovoljno veliko n statistiku
mozemo aproksimirati X~-l-I raspodelom, gde je k broj intervala, a I broj ocenjenih parametara. X2 -test je tako konstruisan, da sto je sracunata vrednost bliza nuli u toliko je verovatnije da je nulta hipoteza "tacna". ' · N a osnovu rea1lZovanog uzor k a (X I ,X 2 ""'X n ) nalaZlmO Xo2
~ = L.
m~l
(n m
nPm)2 nPm -
Ako je a unapred zadat prag znacjanosti tad a postupamo na sledeCi nacin: 1. Nademo vrednost X: iz tablica za X~-l-I raspodelu . Ova vrednost se na neki naCin moze shvatiti kao dozvoljeno odstupanje pri zadatom pragu znacajnosti a. 2. Uporedimo vrednosti X: i
X~ = f
(n m - nPm )2 i ako je m=l nPm
X: > X~ hipotezu F(x) = Fo(x) ne odbacujemo, X: :s; X~ hipotezu F(x) = Fo(x) odbacujemo. 1.
KoristeCi X2 -test sa pragom znacajnosti a o 2 1 8 62 12
= 0,05 proveriti da Ii su podaci 3 15
4
3
saglasni sa hipotezom da se radi 0 uzorku iz populacije sa raspodelom
0
1
2 3
X: ( .ll H. .ll .ll 6
8
4
7
4
1
42-739
168 .
L(e) [p(x = 0)]8. [p(x = l)f2 . [p(x = 2)r . [p(x = 3)r . [p(x =4)f =
_( 8)8 .(6_e)62 . (8)12 - .(8)15 - . (42-738)3..he·e 6 ,,8 4 7 168
- -
35
.(6 et2 .(42-73ey ,
Testiranje hipoteza
96 InL(9) InC + 351n9 + 621n(6 - 9)+ 31n{42 -739),
35 _~_ 3·73 =0
9 6 8 42 - 738 '
alnL(9)
ae
35.(6 9X42 739)-629{42-738)-2199{6-9)=0, 8820 -153308 14708 + 25558 2 73009 2 82
8 < 6,
°
;~
0,58 =>
Pi
=
4
L:
e=0,52.
1 8 0,086
mj
2
°
207188 + 8820 =
Xi
X
13149
2,848 + 1,21 0::::> 8 1 = 2,31 , 8 2 = 0,52
-
8<
-
26048 + 45269 2 + 2199 2
-
X: (
0,~86
3 12 0,130
2 62 0,685
0,:85
0~3 0,~74
0,;24)'
4 18 0,098
{m. - np.)2 ~~'--+ (62-68,5)2 + {12-13)2 + (18 9,8)2 =7,6 I
I
8,6
npi
;=1
r
2 Xr-l-l,I-Cl
68,5
4 1
13
9,8
- broj klasa - broj ocenjenih parametara
X~-I-l:I-(),()5 X~:().95 5,99 X2 > XL),95 ::::> hipotezu odbacujemo. 2.
KoristeCi X2 -test, sa pragom znacajnosti a
Ij
[o,! )
1 1
[8'4')
1 3
["4' 8) 6 12 22 mj saglasni sa hipotezom da se radi
8x , xe(o,~) q>x (x)
=
o,
x
~(o,i)
=0,05, proveriti da Ii su podaci:
3 1
[8'i) 0
30 uzorku iz populacije cija je gustina
a
Testiranje hipoteza o,x~o
Pk
=p(a~X
FAx}= 4x 2 , xe(o,i) 1 ,x 2:
x2 X2
0,7134 <
xi.o 95
X;-1-1:1-a
=:>
== X~-O-1;1-O,()5
= Xi:O,95
1 2
7,81,
hipotezu ne odbacujemo,
3. Izmerena je visina 100 prvaka i dobijeni rezultati su sredeni u sledecoj tabeli Visina u em [105,115) Broj prvaka 15 KoristeCi X2 -test, sa pragom znacajnosti (l = 0,1, proveriti da Ii su podaci saglasni da se radi 0 uzorku iz populacije sa normalnom raspodelom.
~=Xn'
Xn =li;xj n i=1
=_1_(15.110+32,120+36.130+17.140)=125,5 100
_1_(15,110 2 + 32 ·120 + 36 .1302 + 17.140 2 )= 15839 100
Testiranje hipoteza
98
'1
A~
~
-2
= SlOG 15839 -125,5 2 88,75.
A
~
105
PI
115
125
135
9,42.
145
P(I05 s X < 115) pl I05 -125,5 s X* < 115 -125,5J \ 9,42 9,42 = pG 2,17 s X· < -1,11)= (1,11) 1 +
P2
P(115sX<125) p(115-125,5 sX' < 125-125,5j\ 9,42 9,42 = pG 1,11 s; X* < -0,05)= (-1,11) == = 1- (1,11)= -0,5199 + 0,8665 0,3466.
P3
P(125 s X < 135) = p( 125 125,5 s X· < 135 125,5J 9,42 9,42
= p(- 0,05 s X' < 1,008)= (- 0,05) = -1 + <1>(1,008) +
X
~ (m; - npJ2 ;=1 np;
=L.,
(15 -1l,85Y (32 34,66)2 + + 11,85 34,66
+ (36 36,37Y + (17-17,12? =084+020+00038+00084 3637 1712 ' , , , , , 2
Xr -l-1:1-a
2
;;;;:
x2 < Xi;O.9
2
X4-2-I:HU ;;;;: X1:0.9
1,0522
2,71
=> hipotezu ne odbacujemo.
4.
Koristed X2 -test sa pragom znacajnosti a =0,05, proveriti da Ii su podaci saglasni sa hipotezom da se radi 0 uzorku iz p~pu)acije sa Puasonovom raspodelom
Testiranje hipoteza
99
Pk =p(X =k)= Ak e-/~, ~::::Xn 1 i , a=l-p 1-0,9 0,1. k! ni~ A 1 11,= -(158. 0+ 96·1 + 34·2 + 7·3 + 3·4 + 1· 5 + 1· 6)= 0,6933 ~ 0,7. 300
ix
p(X = 0) e-0 ,7 = 0,496 ,
Po
PI =P(X
1)=0,7·e-0•7 =0,347 ,
2
P2 = P(X
2)= 0,7 2
= 0,121 ,
P3 = P(X
3) = 0~3 . e-0 ,7
•
3
= 0,028
P4 = 1- L:Pi = 0,008 , i=O
mi
96
Pi
0,496
0,374
X2
2 34 0,121
3
4 5 0,008
7
0,028
t(m i -npJ2 = {158-148,8)2 + (96 104,1)2 +
npi
i=O
+ X;-l-l:l-a.
1
° 158
Xi
148,8
104,1
(34 36,3)2 (7 8,4l (5 2,4l + + 36,3 8,4 2,4
= XL-l;1-0.0) = XtO,95 = 7,81.
383 , .
X2 < X;;O,95 => hipotezu ne odbacujemo.
5. U svaku ds 100 meta vrsi se 10 gadanja i registruje se broj pogodaka. Rezultati su dati tabelom: Broj pogodaka 0 1 Bro.i meta KoristeCi 'X]. -test, sa pragom znacajnosti a =0,01 ,proveriti da Ii su podaci saglasni sa hipotezom da se radi 0 uzorku iz populacije sa binomnom raspodelom. 1\ k k - broj uspeha k , Pk P= n - broj eksperimenata n n = 100 . 10 1000 . 500 1 A k = 1· 2 + 2·4 + 3 ·10 + 4·22 + ... + 9·2 + 10· 0= 500 . P= 1000 =2"
=P(X=k)=(~}k(l pt-
Pk p(X=k)=1(10) . (nk -I .(l)lO-k \k 2; 2
1,1
(10\ (1)10 k J \2
~ 1 P1= [( 10) + (10'') 1)+ (10)] 2 . (1)10 2' =(1+10+45)'2 10
°
0,055.
Testiranje hipoteza
100
P2 = p(X = 3) = ( 10) 3 . P4
=
(1)10 "2
5) _1_(10) = 0,246 .
P(X
1024 5
flO)
1 Po =P(X=7)=-1 1024 \ 7 ry
X-
7
= '2: i=l
+
0,117.
(m.
_np.)2
I
1
npi
P3 = p(X =4)=_1_.(10) 0,205. , 1024 4
Ps
p(X = 6)
1O~4 (1~) = 0,205.
o
0,117.
P7 =1- '2:Pi =0,055. i=l
(6 5,5)2 (10 11,7)2 (22 - 20,5)2 -'----'--"- + + + 5,5 11,7 20,5
{26 - 24,6)2 (18 20,5)2 (12 11,7)2 (6 - 5,5)2
+ + + 24,6 20,5 11,7 5,5
X2
0,84
2 b' < XS;O,99 => h'Ipotezu ne 0 d acuJemo.
Test Kolmogorova Pirsonov X2 test omogucava da testiramo hipoteze 0 saglasnosti empirijskih podataka sa nekom teorijskom raspodelom slucajnih velicina, kako diskretnih, tako i neprekidnih. 'A -test Kolmogorova primenjuje se samo za neprekidne slucajne veliCine. Ova dva testa razlikuju se u tome sto se kod Pirsonovog testa utvrduju empirijske i teorijske frekvence raspodele, a kod testa Kolmogorova empirijska F:I< (x) i teorijska funkcija raspodele F(x). Osim toga kod primene 'A - testa pretpostavlja se da su parametri hipoteticke funkcije F(x) poznati (u X2 testu oni se mogu odrediti na osnovu reaIizovanog uzorka). To donekle suZava oblast primene '}. - testa, ali se on ipak dosta primenjuje u praksL Pri koriscenju 'A testa, nepoznati teorijski parametri funkcije F(x) ocenjuju se na osnovu uzorka velikog obima, uporedo sa onim uzorkom koji istrazujemo, iIi pak na osnovu samog realizovanog uzorka. U posIednjem slucaju '}.. test je priblizan u tom smislu da je stvarni nivo znacajnosti priblizno jednak zadatom a..
I
j
F j
101
Testiranje hipoteza
Prvi model (Test Kolmogorova) Neka je (Xl ,X 2 , ••• ,X n ) uzorak obima n (n 2: 50) obelezja X. Pretpostavimo da obelezje X ima raspodelu Fo(x), pri remu je Fo(x) neprekidna funkcija. Neka je (X U x 2 , •••,x n ) realizovan uzorak. Primena hipoteze F(x) Fo(x) pomocu I.. testa vrsi se na sledeCi naCin: 1) Empirijski podaci se poredaju po velicini iii u konacan skup disjunktnih intervala. 2) Nade se empirijska funkcija raspodele F * (x) == ~. Empirijska funkcija n raspodele F * (x) obelezja X je funkcija F*: R ~ [ 0, 1 ], XE R, n E N gde je nx broj onih Xi iz realizovanog uzorka (X.,x:z,... ,x n ) koji su manji od x, a n je obim uzorka. 3) KoristeCi prctpostavljenu funkciju raspodele Fo(x), nade se njena vrednost za poznate vrednosti Xi obelezja X. 4) Za svaku vrednost Xi treba nad
IF * (x)- Fo(xJ I i d n = supl F *(xJ -F(xJ x
I·
5) Za realizovani uzorak (X 1 ,X 2 , ••• ,x n ) treba naci Ao =JDd n (x l ,x 2 , ... ,x n ). Kolmogorov je dokazao da ako je hipoteza F(x) =Fo(x) tacna, tada statistika A == JDD(X 1 , Xl"'" Xn) za n ~ «> ima funkciju 2 r 'Xl k 2 k ",2 00 • 2.2 ",2 Q(A)=limP{vnD n
(J.,
rasp odele
tada se iz
P(A 2: Ct) = P(JDD n 2: Aa}:::: 1- P(JDD n < Aa} == 1- (1 + 2 r(_1)k e -2k "'~) == 2
k=l 00
== 2 L (-1 )k+l e
2 2 -2 k A:
a = (J.
moze
naCi
kriticna
vrednost
Aa
raspodele
k=l
Kolmogorova. Zatim se uporeduje izracunato Ao i Aa' Ako je Ao 2: Aa tada se hipoteza odbacuje, a ako je Ao < Aa tada se hipoteza da je F(x) == Fo(x) ne odbacuje. Napomena: Ukoliko se podaci rasporeduju po intervalima, onda uloge tacaka XI' x 2 ' ..., xn preuzimaju krajevi intervala.
Testiranje hipoteza Drugi model (Test Kolmogorov - Smirnov)
102
Neka je Fl funkcija raspodele obelezja X, a F2 funkcija raspodele obeldja Y i neka su te dYe funkcije neprekidne. Neka su dati uzorci (XI'X 2 , •••,X 01 ) (01 ;C
50) obelezja X i (YI , Y2 , ..., Y02 )
osnovu realizovanih uzoraka
(02;C
50) obelezja Y. Zadatak je da se oa
(xl' X 2 , •••, X Ul )
i (y I' Y2 , ..., Y02) testira hipoteza
"0: FI (X) =F2(x) za dati prag znacajnosti a.
Oznacimo sa Fl * (x) i F2 * (x) empirijske funkcije raspodele koje su definisane naosnovuuzorka (Xl'X 2 "",X U1 ) i (Y1 ,Y2 , ••• ,Y02 ) redom. Koristicemo test statistiku A =
Dnl
,n2
=
I * (x) - F2
sup Fl
=I<
(x)
I·
x
Ako je hipoteza Fl (x) =F2 (x) tacna onda empirijske funkcije Fl =I< (x) i F2 * (x) ocenjuju istu funkciju raspodele pa za veliki obim uzorka 01 1 02 (01 ;C 50,° 2 ;C 50) treba ocekivati da realizovana vrednost statistike D O J,0 2 bude mala. Smirnov je dokazao da ako je hipoteza Fl (x) A = Dot.oz
=sup IFl >I< (x)- F2
>I<
= lim
I
(x) kada 01 i 02 ~ 00 ima funkciju raspodele
x
Q(A)
F2 (x) tacna, tad a statistika
P(
°l~OO
°2~'"
Ako je dat nivo znacajnosti a , tada iz
I
PC!
0101
D nb02
;:::
A(l)
-ry
2 Z(_l)k+le-n
2 2 AU
=a
VOl+02 k=l se moze nati kriticna vrednost Ao. . (Primetimo ovde da je vrednost Aa odreaena sarno na osnovu statistike Dnl ,02
'
ada tacan oblik funkcije raspodele FI i F2 nije koriscen). Neka je Ao realizovana vrednost statistike DOl n . Ako je Ao;C ./nl + °2 Au !
2
hipotezu Fl (x) = F2 (x) odbacujemo, a ako je AO < Fl (x)
Vn 1 ·n 2
hipotezu
F2 (x) ne odbacujemo.
6. KoristeCi test Kolmogorova, sa pragom znacajoosti a saglasnost podataka
0,01, ispitati
Testiranje hipoteza
103
o
1
2
3
4
200
186
85
23
5
5
1
sa hipotezoma da se radi 0 uzorku iz populacije sa Puasonovom 9>(0,9) raspodelom. 0,9 k -09 P(X = k) - - e ' n 500 k! ' F*(x)
°1
200
200 500
04 ,
186
386 500
=0772 ,
2
85 23
3
5
4
0988 ,
499 500 -
0988 ,
0,007
Po + PI
0,001
1
= 0,942 494 500
Po =0,407 0,407
Pi = 0,937
0,005
i=O 3
LPi
0,001
0,987
i=O 4
LPi =0,998
° °
i=O
5
1
d n =maxiF*(x) Fo(X)i Q(A O,OI)
=1 0,007,
1 0,01 0,99 => AO,OI
:=:
Ao
dn.f;; =0,007.J500 =0,157
1,63
dn.f;; < 1'0,01 => hipotezu ne odbacujemo, 7. Iz tekuce proizvodnje na tokarskom automatskom strugu regulisanom za obradu nekog masinskog elementa uzeta su dva uzorka obima n I = 150 i n 2 100. Prvi uzorak uzet je na pocetku rada, a drugi posle dva casa rada automata. Rezultati merenja odstupanja kontrolisane veJicine od nominalne u /-1 data su u sleded tabeli. I Frekvenca Interval promenljive velicine Uzorak I,m li Uzorak II, m 2i i [-IS, -10) [-10, -5) 1-5,0) [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25)
10 27 43 38
23 8 1 -
7 17 30 29 15 1 1
Testiranje hipoteza
104
Prema '"A ·testu Koimogorov·Smirnova proveriti hipotezu 0 tome da se raspodeJa gresaka obrade automata u posmatranom intervalu opisuje istom funkcijom raspodele. Prag znacajnosti je a = 0,05. [Vidi 8] Treba pro.veriti hipo.tezu Fl (x) = F2 (x), sto. znaci da je pro.ees pro.izvo.dnje na auto.matsko.m strugu stabilan u vremenu. Izracunajmo. '"Ao = D01.n2 =sup 1FI * (x) - F2 * (x) I· Svi sredeni rezultati dati su u x
sl e d eeol ' . t a b e r1. !
Frekvenca
Kumulativna frekvenca
m li
n,(x)
nz(x)
10 37 80 118 141 149 150 150
7 24 54 83 98 99 100
X i +1 I
m:!1
-10
10
-
-5
27 43 38 23 8 1
7 17 30 29 15 1 1
° 5
10
15 20 25
Dakle, '"Ao
-
= 0,247 . Kako. je n = n 1 n 2
FJ *(x) = n1(x)
:::-
n 1 +n 2
Fz *(x) n 2 (x)
III
ll2
0,067 0,246 0,533 0,787 0,940 0,993 1,000 1,000
0,000 0,070 0,240 0,540 0,830 0,980 1,000 1,000
Fl *(x)-F, *(x)
0,067 0,176 0,193 0,247 0,110 0,013 0,000 0,000
150 ·100 = 60, i iz tabele za a 150+100
0,05
/1. 1,358 ~ 0,129 . 1,358 ~ 0,1752 . V60
je '"A", = 1,358, to. je ..
Kako. je 'Ao 0,247:>0,1752, to. datu hipo.tezu F1 (x)=F2 (x) o.dbaeujemo.. ZnaCi, greske o.brade ne mo.gu se o.pisati isto.m funkcijom raspodele, dakle, proces obrade nije stabilan u vremenu.
105
Zadaci sa pismenih ispita
ZADACI SA PISMENIH ISPITA
01. 04. 1997.
1. Od 10 kandidata koji su dosH na ispit 3 su se pripremila odlicno, 4 vrlo
dobro, 2 dobro i 1 slabo. Odlicno pripremljen student zna odgovore na svako od 20 postavljenih pitanja, vrlo dobro pripremljen student zna odgovore na 16, dobro pripremljen zna na 14, a slabo pripremljen student zna odgovore na sarno 7 pitanja. Slucajno izabran student odgovorio je na sva tri pitanja. Odrediti verovatnocu da je to slabo pripremljeni student. 2. Slucajna promenljiva X ima uniformnu raspodelu GlL{- 4,3). NaCi funkciju raspodele slucajne promenljive Y. Y
-2X-S X =:;-3 , • NaCi verovatnocu { X+l ,X >-3
p(-1 =:; Y =:; 3}
3. Iz spita od 32 karte na slucajan nacin se uzimaju odjednom dYe karte. Neka je X broj desetki, a Y broj trefova medu njima. NaCi raspodelu slucajne promenljiva (X,V). Da Ii su X i Y nezavisne slucajne promenljive? NaCi koeficijent korelacije. 4. Strelac pogada cilj sa verovatnocom 0,4. Koliko minimalno gadanja treba da izvrsi, pa da sa verovatnocom 0,9 cilj bude pogoden bar SO puta?
5. Obeleije X dato je gustinom
2J2 _~x2 (!)x (x) = Je;oe e ,x > 0 { , x=:;O
gde je 0 > O.
Metodom maksimalne verodostojnosti, na osnovu uzorka obima n, nad ocenu nepoznatog parametra 0 i ispitati centriranost tako dobijene ocene. 6. U jednakim vremenskim intervalima, u tankom sloju rastvora zlata, registrovan je broj cestica koje padaju u vidno polje mikroskopa. Dobijeni rezultati prikazani su u sledecoj tabeli: I Bro.i cestica 0 I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 7
I Ucestalost 112 I 168 J 130 I 68 I 32 I 5 I 1 I 1
KoristeCi X2 test, sa pragom znacajnosti a = 0,05 ,proveriti da Ii su podaci saglasni sa hipotezom da se radi 0 uzorku iz populacije sa Puasonovom raspodelom. 1. Hi - dogadaj da je slucajno izabrani kandidat odlicno pripremljen H2 - dogadaj da je sIucajno izabrani kandidat vrlo dobro pdpremljen H3 - dogadaj da je slucajno izabrani kandidat dobro pripremljen > H4 - dogadaj da je slucajno izabrani kandidat slabo pripremljen A- dogaaaj da je slucajno izabrani kandidat odgovoro na sva tri pitanja
Zadaci sa pismenih ispita
106
3 P(H )=-",,03 1 10 "
P(H 3
2.
)= 2 :::: 0 2 10
"
y 4
~(X)~{z
4.f+x'
3.
, XE (-4,3)
, X e (-4,3)
ys-2 3
X
y.
Fy{y)=P(Y
4
Fy(y) P(Y
x
X< xJ p(- y ; 8 < X< y -1)
1. ytdy 1. (y -1 + Y+ 8) = 1.- y+ l 7
7
2
2
14
7
107
Zadaci sa pismenih ispita y 4
O
Fy(y}=P(Y
Y
I
=p(- 4 < X < Xl) = p(- 4 < X < Y = 1.YJdx =1.(y -1 +4)=1.y+~
•
7-4
y>4
o 3 14 1
T
7
7
1)
7
Fy(y) 1
y::;-2
3
+- , 7 3 Y+7 '
1
-2
0
y>4
P(-lsYs3)=P(-lsY
3.
Fy(0)-Fy(-1)+Fy(3) Fy(O);:::.2.. 14
o
i
1
3 + 3 +~ 7
7 7
0,64
9
14
2
o
276 496
1
192 496
o
2
28 496
I
378 496
112 496
Slucajne promenljive X i Y su zavisne.
E{X)= 0.378+1.112+2.61. 496 4
6
496
,
~
E(X2)= 0·378+1·112+4·6 496
136 496
Zadaci sa pi(jmenih ispita
108 E(Y) 0·276+1·192+2·28 = 248 496 496
E(YZ )= 0,276 + 1,192 + 4,28 496
304 496
6
E(XY) 1.1, 42 +1.2.~+2'1.~= 62 496 496 496 496
PXY
4.
62 1 248 62 62
_ E(XY)-E(X).E(Y) _ 496 -'4''4% _ '4%-'4% -0
~D(X). D(Y) - ~D(X). D(Y) - ~D(X)' D(Y)
P = 0,4
q
1- P = 0,6
P(X~80)=p[x-np ~ 80-np ]=I_ p ~npq
~npq
p[x - np < 80 - np ] = 1 0,9 ~npq ~npq
r~npq
X np < 80 np ]=0,9
\
~npq
ct>(-1,282)~ 80
np -1,282 ~ ~npq
~ 80 - np = -1,282~npq ~ 80 - 0,4n -1,282· .j0,24 . ..In
..In =t
80 - 0,4t2
-1,282.j0,24t ~ 0,4tZ
1,282.j0,24t 80 = 0
tl = 14,9875 , t2 = -13,375 , n = ti = 225
InL(9) =nln2.J2 -E.ln9 n n
2 2 n n 2 1 n 2 2 BlnL(9) =-~+~tx,2 =0 /·29, n9+4Ixi =0 ~ 9=4'-Ix j 2 00 29 9 i=1 i=l n i=1
Dakle, statistika kojom se ocenjuje parametar 9 na osnovu uzorka je
92
2
1\
1
1
l
e=±tx~ , n i=1
r;:;
2",,2
2 2 --x
E(9)=4·E X2 =4· ~ Ix 2e e dx = ""n9o 1\
()
2 2
-x = t 9
x2
9 2
-t
2.J2 9 J9 _2. 29 !.-l _( 29 =4 J;e'z'2.J2lt'e ,t 2dt = .[;lt 2 ·e ·dt= .[;,r
=
29 . 1 ,.[; = 9
.[;2
_(
~ ocena je centrirana,
2
(3)
Z
109
Zadaci sa pismenih ispita 6.
1 n 1 LXi = -(0.112+ 1·168+ 2·130+3·68+4·32 + n i=1 517 + 5 . 5 + 6 . 1 + 7 . 1) == 1,54 A
== -
A
PK =P(X=k)=(1,54Y ·e-1,54
k! J
Po ==P(X=O) 0,21 Pl =P(X=l) 0,33
P3 p(X 3)= 0,13
P4
1 168 0,33
2 130 0,25
°
Xi
112 0,21
mj
Pi
2
X
~ (m k - npk)2 L,
k=O
npk
==
=P(X 3 68 0,13
4)= 0,05
4 32 0,05
5 7 0,03
(112 -108,57)2 (168 -170,61)2 (130 -129,25)2 + + + 0,21· 517 170,61 129,25
+ (68 - 67,21)2 + (32 - 25,85)2 + (7 -15,51)2 67,21 25,85 15,51 XL-l:H),05
i
=X~:O,95 = 9,48773
, X2 < X;:O,95
6,2945
=> hipotezu ne odbacujemo
18. 06. 1997.
1. Jedan masinski element se proizvodi u tri serije po 40 komada.U prvoj seriji je 36, u drugoj 32 i u trecoj 30 ispravnib elemenata.Na slucajan nacin se bira jedna serija i iz nje 4 elementa. a) Odrediti verovatnoeu da su dva od cetiri izabrana elementa ispravna. b) Ako su dva od cetiri izabrana elementa ispravna, odrediti verovatnoeu da su izabrani iz treee serije. 2. Slucajna promenljiva X ima gustinu raspodele x (x) ==
21 1t(X
. + 1)
NaCi funkdju raspodele i funkdju gustine slucajne promenljive Y
-X 1 X~-l
X2-1 l~X~1 Y=
X 1 1
I~X~2
X22
3. Iz spita od 32 karte izvlace se tri sa vracanjem. Neka je X broj izvucenih keceva, a Y broj izvucenib dam a i kraJ.ieva. NaCi koeficijent korelacije.
Zadaci sa pismenih ispita 110 4. Ako je uzorak (XI' X2 , •••, Xn) izvucen na slueajan nacin iz populacije koja ima gustinu raspodele:
° ,xx
~
NaCi ocenu za
,
E
«0,1», gde je
~ 0,1
e > 1.
metodom maksimalne verodostojnosti i ispitati
centriranost tako dobijene ocene. 5. KoristeCi Xl • test,sa pragom znacajnosti 0.=0,1 proveriti da Ii su podaci: ~
~~;~~
~4;~~
37
20
saglasni sa hipotezom da se radi 0 uzorku iz populacije v'"
•
{~
()
clJa Je gustma: Cj)x x : : : 2 x - 2
,x E (2,3]
° , x~(2,3]
1. HI - dogadaj da je izabrana prva serija H2 - dogadaj da je izabrana druga serija H3 - dogadaj da je izabrana treca serija P(H 1 ) = P(H 2 ) P(H3 )= 1 3
A - dogadaj da su od cetiri izabrana elementa dva ispravna
a) 36 (4) r32J(Si
(1
p(AIH1)= (~)2 p(AIH )3 -
p(AIH2)=\(~r
=0,04136
0,15196
(3ne;) -021419 (~)
-
,
P{A) P{H1)· P(AIH )+ P{H 2)· p(AIH2)+ P{H3)' p(AIH3)
j
:;::1:.(0,04136 + 0,15196 + 0,21419)= 0,136.
3
b)
1. 0,21419
3
0,136
2.
0,525.
111
Zadaci sa pismenih ispita -1 < y::;;O
Fy{y}=P{Y
P(-~y+1
1.JY;j
dx
1
.JY;j
J -2-=-arctgx := 1t _.JY;j X + 1 1t _.JY;j
= J
= 1 (arctg~y + 1-arctg(- ,JY+l))= ~arctg~y + 1 1t
1t
O
Fy(y) p(Y
x =
=p(-y -1< X
Yf~x (x}dx
!arctg xl y+l = !(arctg(y + 1)- arctg(-y -1))= ~arctg(y + 1)
-y-l
1t
1t
-y-l
1t
y>1
Fy(y}= P(Y < y};:::: P(Xl < X < 00)
ill'
P(-y-1x(x)dx=
X
-y-l
!arctg xl '" 1t
-y-l
=!(~ - arctg(- y -1)) = ! + !arctg(y + 1) 1t 2 2 1t
°
y::;;-l
~arctg~y+1
, -1
1t
Fy{y)
-
2
arctg(y + 1)
,
1t
! + ! arctg(y + l), 2
°< y ::;; 1 y>1
1t
°1
1t{y +
za y \to {-1,O,l}
2) ~y + 1
y::;;-l , -1
2
1t(1 +(y + Ii) 1 1t
1
'1+{y+1)2
y>1
112
Zadaci sa pismenih ispita
X
3.
0
1
2
3
0
.ill.. 512
1&
..ll...
-L
1
.llQ.
60
512
ill
st:
0
2
60
ill
12
ill
0
0
-m:
0
0
0
3 p(X
512
OY:=0):=20.20.20=::125 , 32 32 32 512 '
P(X = 2 Y 0) 3...£ . ...£. 20 , 32 32 32
= 15
512 '
p(X =0 Y =1)=3~. 20 . 20 = 150 , 32 32 32 512 ' P(X=2,Y
448 1) 3-·_·32 32 32
6 512'
512
p(X 1 Y=0)=3"'£. 20. 20:::;: 75. , 32 32 32 512' p(X
3Y = ,
0)
P(X 1 Y =1)=6"'£. 8 . 20 = 60 , 32 32 32 512' p(X=O Y ,
2)=3~.~. 20
4 8 8 12 32 . 32 . 32 = 512 '
E(X2)=02.343+12.147 +22.21 +33_1-=0469
\ 512 512 512 512 '
D(X)=E(X z )-E 2 (X) 0,328 E(Y)=0.216 +1.216 +2. 72 +3~=075
512 512 512 512 '
~=1,125
512
D(Y)= E(y2 )- E(Y) 0,562
6 12 60 E(XY)=1.1. 512 +2·1· 512 +1·2· 512 =0,188
PXY
= E(XY)- E(X)E(Y) = 0028
~D(X)D(Y) ,
32 32 32
60 512 '
8 8 8 8 32 . 32 . 32 = 512 '
E(X) O. 343 +1.147 +2. 21 +3-1-=0375
512 512 512 512 '
E(Yz)=Oz. 216 +1z. 216 +22.72 + 512 512 512
4 4 4 1 32 . 32 . 32 == 512 '
113
Zadaci sa pismenih ispita
InL(a) nIna + (a 1)ln(xlx2 '''x n ) alnL(a)
n
ae
a
+In
(
Xl 'XZ"'X n
) n n =-+ l:lnxi:::O 9 1:1
Dakle, statistika kojom se ocenjuje parametar
1. 9
na osnovu uzorka je
A
1 1 n (-)=--l:lnX i 9 ni=l
,
Centriranost
E(i) E(-~
o
0
dv x s-ld x\ 1 e v aX
x
1 :::: eJxe-1dx =-x
a
II
0
0
1 " ::::> oeena Je eentnrana 9
0
5, 1
--;:::= ,
'Px (x)
1
1e I t t e dx )
J=-9( -x In xl--Jx ' ::: a 9 x
u:::: lnx
= du dx [ o
I
B l InXi) -E(lnX)= -Jinx 'Px (x)dx :::: -9JX - Inxdx =
XE
(2,3]
, x~(2,3]
o
°,
x::;;2 { c-;;; ::::> Fx(x)= "x-2, x E (2,3] 1 , x>3
PI = P(2,0::;; X < 2,2)= F(2,2)- F(2,O) = 0,447
P2 P(2,2::;; X < 2,4)= F(2,4)-F(2,2)= 0,185
P3 P(2,4sX<2,6) F(2,6)-F(2,4)=0,142
P4 1 (PI +P2 +P3)=0,226
Ik
[2,0; 2,2) 37
mk
Pk
0,185
[0,447
~ (m k
2
X
[2,2; 2,4) 27
~ k=l
npk npk
+ 14,2 X;-I-l:l-a
f
[2,4; 2,6) 20 0,142
(37 - 44,7f (27 18,Sy + + 44,7 18,5
+ (16-22,6)2 =95282 22,6 '
=X~-O-1:1-(),l
[2,6; 2,8) 16 0,226
Xi:O,9
6,25 ,
X2 > X;:O,9 ::::> hipotezu odbaeujemo
Zadaci sa pismenih ispita
114 31. OS. 1997.
1. Masina se sastoji iz dva dela: rad svakog dela je neophodan za rad masine. Verovatnoca neprekidnog rada u toku vremena t prvog dela je Ph drugog P2' Masina je ispitivana u toku vremena t u kojem je doslo do prekida rada.Nad verovatnocu da je otkazao prvi deo, a da je drugi ispravan. 2. Iz partije od 100 proizvoda, od kojih su 10 neispravno, izabrano je na slucajan nacin pet proizvoda. Ako sa X oznacimo broj neispravnih medu njima, nad zakon raspodele slucajne promenljive X. Kolika je verovatnoca da imamo najmanje tri ispravna proizvoda medu izvucenima? 3. Slucajni vektor (X,Y) ima uniformnu raspodelu unutar trougla T na slici. y Odrediti : 2 ~'-. a) gustinu raspodele verovatnoca dvodimenzionalne 1~-~ -1-. ! slucajne promenljive (X, Y), , ! b) marginalne gustine slucajnih promenljivih X i Y, 2 3 X c) uslovne gustine xIY=/x) i Ylx=x{Y)'
1
4. -1 Obeletje
5
X date populacije ima raspodelu X: 2
I0 I> ..fi.
2
1 1 2 20 20 02 Na osnovu uzorka obima n, metodom maksimalne 1
gde je
2
0
5.
1
su podaci o njihovom
Broj vlasnika Koristed Xl - test, sa pragom znacajnosti a =0,05, proveriti da Ii su podaci saglasni sa hipotezom da se radi 0 uzorku iz populacije sa normalnom raspodelom. 1. H j - dogadaj da su oba dela ispravna
H2 - dogadaj da je prvi ispravan, a drugi neispravan H3 - dogadaj da je prvi neispravan, a drugi ispravan H4 - dogadaj da su oba neispravna P(H1)=Pl -P2' P(H3
(1- pJ- Pz,
P(H z )=pt(l P2)'
~
P(H 4 )= (1-'- PI)- (1- pz)
-a
Zadaci sa pismenih ispita A - dogadaj da je masina otkazala u toku vremena t p(AIHl 0 p(AIH2)~ p(AI H 3)= p(AIH 4)=1
Id
'I' 0 ~j
II
II
peA) = P(H 1 )· P(A/H 1 )+ P(H 2)· p(AIH 2)+
1
p(H IA ) = p(AIH 3 )· P(H) = (1 Pl)'P2 3 PCA) I-P1P2
t !
I
+ P(H3)' p(AIH 3 )+ P(H 4 )· p(AIH 4)=
=Pl(1-P2)+(1 Pl)'P2 +(1 Pl)·(1-P2)=1-PIP2
2.
I:
I f
p(x 3.
m{T) QB.AJ3 = 2J2.J2 =2
2
2
1
1
, {x,y}e T XY(X'Y)= m(TJ ='2 { , (x,y)~ T b)
X" 2
1
y
2f--------,....
115
Zadaci sa pismenih ispita
116
O
x)
1 1-X+4 1 (
x
3"
2 ~
2\.
3
2- 2x 3
o
j
,
~3[dX ~xl~Y ~(3Y-Y)=y
I
o
za ostale x
O
1 -y+4 1 1
c)
'
3
15;y<2
,
za os tale y
1
3 2x
1
2(2- 2;)
o
x < y -<4 x , 2< _x< 3'3-
0 < x < 3,
{x, y }E T
4. k- broj pojavljivanja broja -1 u uzorku obima n m- broj pojavljivanja broja 0 u uzorku obima n I - broj pojavljivanja broja 2 u uzorku obima n ~ n-(k+m+1) - broj pojavljivanja broja 5 u uzorku obima n
Zadaci sa pismenih lspita
117
1 92 2 InL(e) (k+l)ln- 2(n-m)ln9+mln-T 2 9 alnL(e)
as
==
- 2{n - m)(9 =>-2(n
2(n-m) 92 4 2(n m) 4m o=> 9 + m· e 2 - 2 . 93 = 9 + 9(e 2 - 2 ) 2
2)+ 4m
-
°
=> 2{n
m)e2 + 4{n - m)+ 4m
m)e2 +4n=O¢:>2(n m)e2 =4n=>9 2 =~=> n-m
°
=>
e=±~
2n n-m
Dakle, statistika kojom se ocenjuje parametar 9 na osnovu uzorka je
e=+~ 2n - n-M' 5.
~==X100 = 1~0(1.5+3'10+5.26+7.34+9.15+11.1O)= ~~~ =6,48 1 2 1 (2 2 2 2 2 2 ) 4836 100LXj == 100 1 ·5+3 ·10+5 ·26+7 ·34+9 ·15+11 ·10 = 100 -2
s
100
1 100
~
-2
-IXi -Xi
A
/-2
48,36-41,99=6,37=>/;=v
S 100
48,36
=2,52
Pl = p(o s X < 2)= p(0-6,48 s X* < 2-6,48J = P(-2,57 s X' < -1,77)=
2,52 2,52 = <1>(-1,77) - <1>(- 2,57)= 1- <1>(1,77)- (1- <1>(2,57»= <1>(2,57) <1>(1,77) = 0,9949 - 0,9616 0,0333
pz
1
P{2 s X < 4)= p(2 6,48 sX' < 4-6,48 == P(-l,77 s X· < -0,98)= 2,52 2,52 J =<1>(- 0,98)- <1>(-1,77) == 1- <1>(0,98)- (1- <1>(1,77» = <1>(1,77)- <1>(0,98) =0,9616 0,8365 =0,1251
Zadaci sa pismenih ispita
118
P3
=P(4~X<6)
p(
4;,~;8 ~X'< 6;,~;8) P(-0,98~X' <-0,19)=
<1>(-0,19) <1>(- 0,98)= 1 <1>(0,19)- (1 = 0,8365 - 0,5753 0,2612
<1>(0,98))= <1>(0,98)- <1>(0,19)
P4 = P(6 ~X < 8)= p(6 6,48 ~X' < 8 6,48) = P(-0,19 ~ X' < -0,60):::: 2,52 2,52 = <1>(0,60)- <1>(- 0,19) == <1>(0,60)-1 + <1>(0,19) 0,7257 1 + 0,5753::: 0,3010 Ps
=P(8~X<10)=pr8-6,48 ~X' < 10 6,48J=p(0,60~X' <1,40)::::
\. 2,52 2,52
<1>(1,40)-$(0,60)= 0,9192-0,7257 = 0,1935
P6 X2 =
(Pl + P2 + P3 + P4 +Ps)= 1-0,9141 == 0,0859
1
f (m i=l
+
np} = (5 -3,33Y + (10 -12.51Y + (26- 26,12)2 +
npi 3,33 12,51 26,12
j -
(34-30,10)2 (15-19,35)2 + 30,10 19,35
{10-8,59)2
8,59
+~--~~
0,8375 + 0,5036 + 0,00055 + 0,5035 + 0,9779 + 0,2314 =3,056
X~-1-1:l-Ct == X~-2-l;l-O,05 Xi;O.95
X;;O.95
= 7,81
> X2 =:> hipotezu ne odbacujemo.
21. 09. 1997. 1. Date su dye kutije. U prvoj kutiji se nalazi 7 belih i 3 erne kugliee, a u drugoj 5 belih i 8 crnih kuglica. Iz prve kutije prebacena je jedna kuglica u drugu kutiju. Ako ,je iz druge kutije izvucena bela kuglica, kolika je verovatnoca da je iz prve kutije prebacena erna kugliea u drugu kutiju. 2. Na putu kretanja automobila nalazi se pet semafora.Verovatnoca zaustavljanja Da prvom semaforu je 0.4, Da drugom 0.6, Da trecem 0.5, na cetvrtom 0.7 i na petom 0.4. Opisati slucajDu promenljivu X-broj semafora pored kojih je automobil prosao do prvog zaustavljanja. Odrediti matematicko ocekivanje i disperziju slucajne promenljive X. 3. Y Polozaj slucajne tacke (X,Y) je jednako verovatan unutar oblasti D na slid. Odrediti funkciju raspojJele slucajne promenljive x Z=X+Y.
119
5.
Koristec1 Xl - test, sa pragom znacajnosti 0,=0,05, proveriti da Ii su podaci saglasni sa hipotezom da se radi 0 uzorku iz populacije sa binomnom raspodelom. 1. HI - dogadaj da je prebacena crna kuglica H2 - dogadaj da je prebacena bela kuglica
A - izvucena bela kuglica iz druge kutije
p(AIH1)=~
p(AIH2)=~
4
14
3 5 ( I ) P{H J ). p{AIH1) 10 14 15 1 PH A =P{H1)·P(AIHJ)+P(Hz)·P(AIHJ= 3 5 +2.6 =57 10 14 10 14 2. p(X = == P (da se automobil zaustavi pred prvim semaforom)==0,400 P(X =1)= P(da automobil prode prvi semafor i da se zaustavi pred drugim)= 0,6·0,6 == 0,36 P(X = 2) == 0,6·0,4 . 0,5 == 0,120 P(X 3) = 0,6·0,4·0,5·0,7 = 0,084 P(X == 4) 0,6·0,4·0,5·0,3·0,4 = 0,0144 P(X = 5)= 0,6·0,4.0,5·0,3.0,6 = 0,0216
°)
x.(
°
1 2 3 4 5) . 0,400 0,360 0,120 0,084 0,0144 0,0216
E(X) = 0·0,4 + 1· 0,36 + 2·0,12 + 3·0,084 + 4·0,0144 + 5·0,0216 1,02 E(X2)= 0 20,4 + 12 0,36 + 2 2 0,12 + 3 2 0,084 + 4 20,0144 + 5 2 0,0216 = 2,37 D(X)=E(X 2 )-E 2 {X)
2,37 1,02 2 =1,33
Zadaci sa pismenih ispita
120 3.
, (X,Y)E 0 , (x,Y)~O
y=-l
X=X::::>X=X;
Z=X+Y::::>Y=Z-X;
CPxz (x,z ) =
z
I Z
+
37.
3!:.
2
2
(z
1
1
3
2
z)
2
cpz(z)=~3zJdx =~(1-~) =~-~ 3 2 3 3
lSzS2
2
z 3
2 3
- +1 3
CPz {z}
-2szS-1 lszs1
2 z
---
lszs2
0
za ostale z
3
3
(x,z)e 0'
2( z+l-z) =-
2 '2(Z+1) 2 1 1
-1 S z s1
(X,Z}E 0'
' ,
Prava x=1 transformise se u pravu x=l. Prava Y=x transformise se u pravu z=2x. Prava transformise se u pravu z=x-l. Prava y=x-1 transformise se u pravu z=2x-1.
2
-2SzS-1
2 "3 {o
Z 2 =-+
33
$i
Zadaci sa nl.w:nenln z:s: -2 -2:s:z <-1
-1
z>2 z:s: -2
°2z
Z2
2 3
- +-+-
-2
z 1 -+-
-l
6
Fz (z) =
3
2
3
Z2
6
2z 3
1 3
+-+-
1
1
z>2
4. A: ~(n; 0,05); E(A) = np = 0,05· n; D(A) npq 0,05·0,95· n :::: 0,0475· n
P(A~5)::::1_P(A<5)::::1_p(A-np < 5-np ]=1_ct>( 5 ~npq
O,OS·n ]=0,8 .jO,0475. n
~npq
ct>( 5 - 0,05· n]:::: 1 0,8 = 1- ct>(0,84)= $(- 0,84) ~0,0475.n 1
5-005·n .J ' = -0,84 => 0,05 . n - 0,84 0,0475· n 2 ~0,0475.n
-
5=
°
1 2
0,05· n - 0,183· n -5 =0 t1
=11,99,
t2
=-8,34
Ji; : : t => n
t2
0,05t 2
-
0,183t - 5 =
°
122
Zadaci sa pismenih ispita A k p= n
k broj uspeha n - broj eksperimenata
k = 0·12 + 1· 78+ 2·270+ 3·456+4· 386+ 5·252+6·69+ 7·13 = 5295
n 7.1536 10725 Po =P(X
A
= 5295 =049 '
P 10725
0)=(~}0'490 .0,517 =0,009 1
6
PI =P(X=1)=G}0,49 .0,51 =0,060 P2
5 2 =P(X=2) G}0,49 .0,51 =0,174
P3 = p(X =3) =
G}
0,49
3
.
4
0,51 = 0,278
4 3 4) (:}0,49 .O,51 =0,268
P4
p(X
P5
5 2 P(X=5)=G}0,49 .0,51 =0,154
P6
P(X=6)=(~}0,496 .0,51 6
P7 = 1 LPi i=l
+ +
0,049
=0,008
'1. 2 = ±(m j -npir
= (12-1536.0,09)2 1536·0,09
npi
i=l
1
(270-267,26)2 ~M
{69 - 72,26 72 ,26
+
+ (78-92,16T + 92,16
{456-427)2 (386 411,65r (252-236,54)2 + + + ill ~~ n~
Y+ {13 -12,29 )2 12 29 ,
°,239+ 2,176 +,°028 +,1 970 +
+ 1,598 + 0,147 + 0,041 =7,209
X~-I-1;l-a X2
::;:;
< X~;O.95
X~-H;1-0,05 ::::;>
=
X~;O,95
::: 12,6
hipotezu ne odbacujemo.
Zadaci sa pismcnih ispita 17.10.1997. 1. Date su dYe partije proizvoda iste vrste. Prva se sastoji od N kojih je n neispravnih, a druga se sastoji od M proizvoda, od neispravnih. Iz prve partije bira se na slucajan nacin K proizvoda, a druge L proizvoda (K
X;::3
1 3. Iz skupa brojeva { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } na slucajan nacin se odjednom biraju tri broja. Neka X oznacava broj parnih brojeva medu izvucenim brojevima, a Y broj neparnih brojeva meetu izvucenim. NaCi raspodelu dvodimenzionalne sluzajne promenljive (X, Y) i koeficijent korelacije slucajnih promenljivih X i Y. 4. Slucajna promenljiva X ima raspodelu datu gustinom
x (x) ={( : )(:)11+1 , X ;:: e , gde je a>O. Na osnovu uzorka obima n metodom
o
,x
.
maksimalne verodostojnosti naCi ocenu za parametar a. 't' da r ' I sud po aCI x:2 -t est , sa pragom znacaJnosfI a=0,1 ,proverll [7,11) [11,15) [15,00) Ik [3,5) [5,7) 10 mk 20 12 6 2 saglasni sa hipotezom da se radi 0 uzorku iz populacije cija je gustina
5, K oris ' teCI "
(3)2.2
-1.2 x () x = 3 x {
o
,x~3
•
, x<3
1. HI - dogadaj da proizvod pripada prvoj partiji P(H 1 ) = ~
,
K+L
H2 - dogadaj da proizvod pripada drugoj partiji P(H 2 ) = _L_
K+L
Zadaci sa pismenih ispita
124 A- dogadaj da je izvuceni proizvod neispravan
p(AIH 1 ) == ~ N P(A)
p(AIHz)
m M
P(Hl).P(AIH1)+P(H?).P(AIH2)=~.~+_L_. m ~
2.
X
K+L N
K+L M
x {.!.e 1 x(x)==-e-1xl = 2 2 .!.e- x 2 ys-I Fy{y}=O
x sO x>O
-I < y s 1 Fy (y)= p{Y
I
IS
xl
21 e- x
-y-2-y
1 ( Y -e -Y-2)--\e 1 ( -y-2 -e Y) =c Y -e -y-2 =-\e 2 2 O
~
"
Y 2 + __
I
Y
0
1 x1 -1 0JeXdx +-1 y+2 f e-xdx =_e 2 -y-2
2
2
0
_ 1 i1 -e -Y-2)--\e 1 (-y-2
--~
2
2
~.
X
Xl
·1
1 =-
oJ e xdx +-1 "'J e -xdx
2 -y-2
2
0
-y-2
2
I +
2
0
=
1)== 1 e -y-2 y>1
Fy(y)=P{Y
xl
O
-y-2
1 --e 2
_ 1 i1 -e -y-2 ) -1 (0 - 1)-1 1 -y-2 --\ - --e 2
Y 2
1
__ e- x
2
-xl'" = 0
Zadaci sa pismenih ispita
125 0 e Y _e- y- 2 1- e y-2
Fy(y)
y~-1 l
,
0
1 --e 1 -y-2 2
0 e +e- y - 2 , e- y- 2 q>y(y) = , Y
za ye {-1,0,!}
3.
y>l y~-1 -1
0
1 -y-2 -e 2
y>1
Q _ {(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5)' (1,2,6), (1,3,4), (1,3,5), (1,3,6)' (1,4,5), (1,4,6), (1,5,6), }
- (2,3,4), (2,3,5), (2,3,6), (2,4,5), (2,4,6), (2,5,6)' (3,4,5), (3,4,6), (3,5,6), (4,5,6)
x
0
1
2
3
0
0
0
..L
..L
0
0
9
0
l
2
0
9
0
0
l
3
..L
0
0
0
i
1
20
20 0
20
20
20
20 20
...2... 20
E(X):::::O. 1 +1~+2.~+3.~ 20 20 20 20
30 =~ 20 2
E(X2 )=0 2 .~+ 12 ~+22 .~+32 .~::::: 54 20 20 20 20 20 D(X)
E(X2)- E2(X}
54 _ 9 ::::: 54 20 4 20
3 E(Y)=E(X)=-2 ; D(Y)=D(X)
PXY
9 20;
45 = 9 20 20
E(XY)=1'2'~+2'1. 20
7 --=-0,194. 36
9 =36
20 20
Zadaci sa pismenih ispita
126
an
an .e n.a
en(a+l)
::;:-;;-. e ( Xl
. X2
••••.
Xn )a+l = ( Xl . X2
InL(a) = nIna + n· a Ine - (a + l)ln(xl . X2 nlna + na
.....
••.•.
Xn )a+1
Xn)=
(a + 1}:bnxi . i=l
81nL(a) =.!!.+n- {!.lnx. =O=> n ::;:{!.lnx. -n=> a= n n
.t... 1 .t... 1 8a a i=l a i=1 l:lnxi-n 1=1
Dakle, statistika kojom se ocenjuje parametar a na osnovu uzorka je
n
a= --- n
l:lnXi -n i=1
5.
3)1,2 Fx (x)::;: 1- ( ~ 3. { o ,x<3 X
[3,5) 10 0,458
Ik
mk
Pk
x2 =
±(m
npiY np,
i -
1=1
'X
[5,7) 20 0,180 =
+ (8 - 50· 0,21OY 10,5
X;-I-1:1-a ::;: 2
X~-O-1:1-O,1
[7,11) 12 0,152
(10 -50.0,458)2 22,9
[11,15) 8 0,210 + (20 -50.0,18)2 + (12 - 50· 0,152Y + 9,01 7,58
6,19 + 13,40 + 2,57 + 0,60::;: 22,76
= Xi:O,9
=6,25
X > X;.o 9 => hipoteza se odbacuje.
1
127
Zadaci sa pismenih ispita 04.02.1998.
1. Kutija saddi 30 kuglica od kojih je 6 crnih, ostale su bele.Na slucajan nacin se izvlaci 5 kuglica. Neka je X broj crnih kuglica medu 5 izabranih. NaCi raspodelu slueajne promenljive X, ako se kuglice izvlace : a) bez vraeanja u kutiju b) sa vracanjem u kutiju. 2. Funkcija f(x) data je graficki. f(x) a) Odrediti konstantu C tako da funkdja
q>(x)=C.f(x) bude gustina slucajne
-2 -1 0 1 2 x promenljive X. b) Odrediti funkciju raspodele, matematicko ocekivanje i disperziju slucajne promenljive X c) NaCi verovatnocu da slucajna promenljiva X bude u intervalu
I /1 _
~
.
( -~2'2~). d) Naci P( X <
~ I 0 ~ X ~ '2 ). 2
4
3. U kutiji se nalaze 3 bele i 6 crnih kuglica. Na slucajan nacin, bez vracanja, biramo jednu za drugom dYe kuglice. Neka su slucajne promenljive X i Y jednake broju belih kuglica u prvom, odnosno drugom izvlacenju. Odrediti koeficijent korelacije slucajnih promenljivih X i Y. 4. Iz partije od 500 proizvoda, u kojoj se nalazi 300 proizvoda prve vrste, slueajno se bira 150 priozvoda sa vraeanjem. a) Izracunati verovatnoeu da se broj proizvoda prve vrste nalazi izmedu 78 i 108. b) Koliko najmanje proizvoda treba uzeti da bi, sa verovatnocom koja nije manja od 0,9759, relativna frekfencija broja uzetih proizvoda prve vrste odstupala od p=0,6 manje od 0,1. 5. Anketirano je 100 studenata i dobijen je prosecan broj njihovih poseta pozoristu u toku godine : Broj poseta Broj studenata KoristeCi X2 ~ test, sa pragom znacajnosti a. =0,05 , proveriti da Ii su podaci saglasni sa hipotezom da se radi 0 uzorku iz populacije sa normalnom raspodelom.
Zadaci sa pismenih ispita
128 1.
r:X~l ~
a)
x: l(
r;l r:X :J 2
[3~))
b)
(0
(3~))
C~J
1
(3~)J
2
3
4
5'
x:l(~r (~)~(H (a~n~)' (~n)'(~r (!nr: (H J
2. f(x)
/1
-2
a)
(3~)
[;1]
-1
1 0
~ 1 2
~
x ~-2
0 , x+2,
2~x~-1
2 x,
1~x~2
r f(x) = II
, -1 ~ x ~ 1
o
x~2
J
l
C[(±X +2x)::+xl>(2X- ~ )1:] 2
± + 4 + 1 + 1 + 4 - ±- 2 +.!.) = 3C . 2 2 2 '
= c(.!. - 2 2
b)
0
x+2
3 1
3" 2-x 3
o x~-2
Fx{x} 0
x ~-2 -2~x~-1
-l~x~l
1~x~2 x~2
3C=1 => C
1 3
129
Zadaci sa pismenih ispita -1< x:::; 1
1 1 Ix 1 1 1 2x + 3 Fx{x) -1 -1j(t+2)dt+-1 xJdt=-+-t =-+-x+-=- 3 -2
3 -1
6
3
6
-I
3
3
6
1 < x:::; 2
Fx{x) '!'JI(t+2)dt+'!' jdt+.!.j(2 t)dt=~+.!.l(2t-.!..t2)\X = 3 -2
3 -1
31
6
5 +.!.(2X x 2 2+.!..J - x
6 x> 2
3
2
2
2
3
2
1
+4x + 2 6
Fx{x) 1
*[}~ ~2 +2x~x +11Xdx +r(2X _X2 ~x ] =
E(X) IX(f)x (x}:ix
[(1
3
1
-1 -x 3 +X 2)1- +-X2 1 +(2 x --X J12] = 3
3
-2
2
3
-1
1
1(_1 +1+£-4+1_1+4-£-1+1) =0 3332233
D(X) = E(X2) E2(X) D(X) E(X2)= J:2
=.!.[(~4 +2x -1+~3 3 4 3 3
*[}~~3+2X2~X+Lx2dX+!(2X2 X3~XJ
3
-2
c) d)
1 -I
+( 2x3 -~4JI2l= 3
4
1
130
Zadaci sa pismenih ispita
p(O~X~%) p( O~X~
F(%) F(O)+P(x=%J=i(-*+6+2)-i=
~~
~) F(~J-F(O)+P( X =~) =i(-;~ + 7 +2)- ~ :~
11
p(AIB)= ~j
44 47
0,9361.
96 3.
~ 0
0
1
(~)G) _30
(a~) _18
48
G)(~)
72
(a~) -72
(a~) -72
24 72
48 72
24
72
(a~) - 72
(a~) _18
1
E(XY) 1 1 6 = . "72
- 72 GJ(~) _ 6
E(X)= 24 =~ 72 9 '
1 12'
E{X 2 )= 24 =~ ~ 72 9'
E(Y) 24 72 E{y 2
\
3
9'
)= 72 24 =~ 9'
D(X)= D(Y)= 24 (24)2 = 24· 48 =3.
72 72 722 9
133
_ E(XY)-E(X)E(Y) _12-"9"9 _'!---a 125
PXY .JD(X)D(Y) 3. 8, "
9
4.
a)
X: f.B(150,%}
D(X) npq
E(X) np =150"%=90, 90 . ~ = 36 ,
.Jnpq
=6 ,
P(78(3)- tt>(-2}-P(X·
=-2) =<1>(3)-(1- <1>(2))= 0,9987 -1 + 0,9772
0,9759
Zadaci sa pismenih ispita b)
131
p(j~ -pj
: : p(_ 0,1.Jn < X - np < 0,1.Jn] = p[_ 0,1.Jn < X. < 0,1.Jn) 1M
~npq
1M
,)0,24
,)0,24
<1>[0,1.Jn)_<1>[0,1.Jn) 2W[0,1.Jn) 1=0,9759 ,)0,24
,)0,24
,)0,24
<1>1 0,l.Jn) = 1 + 0,9759 = 0,98759 <1>(2,255)
\ ,)0,24 2
0,1.Jn ,)0,24
5.
2255 ' 1
A
m /\ ,;
Xn
2
n
.In
2255. ,)0,24 :::;> n = 123
'0,1
1
=-Lx; =-(1.5+3.10+5.20+7.33+9.18+11.10+13.4)=6,9
-2 =::: Sn
¢::>
n i~l
In LXi n ;",1
100 2-2
-Xn
=_1_(12.5+32.10+52.20+72.33+92.18+112.10+132.4)-692 =795 100 ' ,
~=R =:::2,82 PI
=P(0~X<2)
Pl(0-6,9 (-1,74) <1>(- 2,45) = W(2,45) - <1>(1,74):::: 0,9929 - 0,9591:::: 0,0338,
P2 = P(2:::; X < 4)= P(-1,74:::; X· < -1,03)= <1>(-1,03)-W(-1,74)= <1>(1,74)- <1>(1,03)= 0,9591- 0,8485 = 0,1106, P3 = P(4:::; X <6) P(-1,03:::;X· <-O,32}=<1>(-0,32)-W(-1,03)=
:::: <1>(1,03)- W(0,32):::: 0,8485 - 0,6255 = 0,223,
P4 = P(6 s X < 8)= p(- 0,32:::; X· < 0,39)= <1>(0,39)- W(-0,32)=
:::: <1>(0,39) 1 + W(0,32) = 0,6517 - 1 + 0,6255 = 0,2772 ,
Ps
p(s s X < 10) P(0,39:::; X· < 1,10)=
= W(1,10)- w(0,39) =0,8643 - 0,6517 = 0,2126,
P6
=1
(PI +P2 +P3 +P4 +Ps)=0,1428. ;
Zadaci sa pismenih ispita
132
Ik mk Pk
[0,2) 5 0,0338
[2,4) 10 0,1106
X2 = f(m k -npk)2 k~l npk
[4, 6) 20 0,2230
= (5-3,38Y
I [6, 8) I 33 I 0,2772
+ (10
3,38
[8,10) 18 0,2126
11,06)2 + (20 22,3)2 +
11,06 22,3
+ (33 - 27,72)2 + (18 - 21,26)2 + (14 -14,28)2
27,72 2 r-l-l;l-a --
X
X26-2-1:1-0,05
21,26 X23;U,95
[10,12) 14 0,1428
14,28
= 2 63
'
7,81
X2 < X;:O,95 => hipotezu ne odbacujemo. 03,04.1998. 1. U trouglu ABC tacke M, NiP su sredine stranica. Ako se na slucajan nacin bira 10 tacaka u trouglu ABC, odrediti verovatnocu da bar 8 tacaka bude u trouglu MNP. 2. U sesiru je 5 koverti. Dve koverte su prazne, a u tri koverte je po 100 dinara. Na slucajan nacin izvlacimo jedan po jedan koverat (bez vracanja) sve dok ne izvucemo prazan koverat. Kolika je verovatnoca da dobijemo svih 300 dinara. NaCi zakon raspodele slucajne promenljive X koja predstavlja broj izvucenih koverti i slucajne promenljive Y koja predstavlja dobitak. 3. Dvodimenzionalna slucajna promenljiva (X, Y) data je gustinom
A(x + y) , (x, Y) E T . .. XY (x, y) = ( ) ,gde Je T dato na shcl. { o ,x,y e T
~
+-H-t
a) Odrediti konstantu A.
b) NaCi funkciju raspodele F(x,y) slucajne promenljive (X,Y).
c) NaCi marginalne gustine.
4. Na osnovu uzorka obima n, metodom maksimalne verodostojnostii oceniti parametre m i ~ 2 kod normalne raspodele. Ispitati centriranost tako
5.
KoristeCi X2 - test, sa pragom znacajnosti a =0,05~, proveriti da Ii su podaci saglasni sa hipotezom da se radi 0 uzorku iz populacije sa normalnom raspodelom.
Zadaci sa pismenih ispita 1.
P-verovatnoca da tacka pripada trouglu MNP.
C
M
P -_ PllMNP
N
M
A
133
!
PIlABC
PMBC
PaABc
1
q
4
I-p
3 4
B
1,2, .. ,,10, dogadaj da i tacaka bude u trouglu MNP,
Neka je Ai' i
P(Ai)=(\O}iqHH Neka je D dogadaj da bar 8 tacaka bude u trouglu MNP, D A8 UA9 UAlO
-l - -
j- -
- (10)(1)11(3)2 + (10'(119(3)1 + (10)(1)10(3)°_ - 00004158 8 4 4 9 4J 4 10 4 4 '
2,
A
dogadaj da smo dobili svih 300 dinara (u prva tri izvlacenja smo izvukli pune koverte) 3 2 1 2 1 P(A)=S'4'3'2 10 (1 2 3 4 X: 1. = ...l.. 1. , 1. 1- 1. , 1. , 1-.
l1. .1. 5
5
4
to
5
1., 4
3
3. a)
5
:;
4
3
A[JJ7tx + y)dyJdX + lO(x + y)dy}x] A[1(( xy + y;J:}x +1[(xy + y; )1: )ctx] ==
-1
1
A[J.[ x' +x+ (x ~l)')dx +1,(x+~}x] A[(~3 + ;
2
+
(x ;
n>(
1)
=
~' + ~x )1:
=
Zadaci sa pismenih ispita
134 b)
x =:;;-1 iii
y=:;;O
Fxy(x,y) = 0
(x,y)eT FXY (x, y)
-1
y
j(x +
y-l
Y~X)dY =f[(~2 0
+ xy)1
x
y-l
JdY=
y>x+1 1 IX+l dx= JX(X+l J(x+y)dy ) dx= xJ(xy+_y2) -1 0 -1 2 0
Fxy(x,y) -1
f(
=o
2
X
j(x 2 +x+1.(x+l)2)dx = (l.x 3 +l.x 2 +.!.(x+l)3)IX = 2
-1
3
2
6
-1
2
=.!.x 3 +.!.x 2 +.!.(x+l)3 +.!. .!.= (x+l)3 +2 X 3 +3x -1 3
2
6
3
2
o < x =:; I,
6
y>1
Fxy(x,y)= O(X+l J J(x+y~y ) dx+ X(I J f(x+y~y ) dx ~
0
0 0
X>1,
y>l
Fxy =1
o
,xs;-l iIi yS;O
(x+l)3 +2 X3 +3x 2 -1 6 x 2 +x 2 3y+6y2 -(y 1)3 _2 y 3 +1 6
, x>l, O
1
, x>l, y>l
c)
-1
-1
1 Y
x+lf (X+y):ty = (y2JIX+l xy+=x o
x (x)=
2
0
2
fX+l)2 +x+~ 2
,
(2JII =X+-1
1 J(x+y):ty= xy+I o 2
o
0
-l
2
,
za ostalex
Zadaci sa pismenih ispita
136 }(X+Y)dX
(x2+XYlII=I+y (y If -y2+y,O
y-I
{
4.
o ~e
-2F
V21tf,2
alnL(m,s) = +_I_.2r(x;
am
21;2
n
;;1
za ostale y
(x-mj2
1
I n(
l : x· 21;2 ;;1
n n 2 lnL(m ~ ) =--ln21t--ln~ '':> 2 2 ':>
L(x; -
,
I
-m)=~ r(x; m)
1;-
j=1
n
m)=
LX; - nm
;;1
-
=> m
Xn =
0
;=1
1
n
LXj
n ;;1
Dakle, statistika kojom se ocenjuje parametar m na osnovu uzorka je 1\ ~X i m = X n = I £...
n i=1
. 'vka sre d'ma
antmellc
-
alnL(m,f,) =-~+-I-r(x
af,2
2f,2
21;4
;=1
~)2
0
I
0=>1;2 =Sn 2 = I r(Xj -X n ) n j;] Dakle, statistika kojom se ocenjuje parametar 1;2 na osnovu uzorka je -n1;2 + r(x; -Xn) ;;1
~
2
2
= Sn = I ±(X j
n ;;\
-
Xn
r-
uzoracka dispcrzija kada je m nepoznato
E(~) = E(~ j~Xn J= ~ iEE(XJ
E(X) = m => ocena
E(~2)= E(~ jE(X; Xnl)= E(~ ~Xf -X~)
~ !;~E(x;')-[E(!;~X;)r E(x2 }-E2(X) 1\
= D(X}= 1;2 => ocena 1;2 je centrirana.
~ je centrirana.
Zadaci sa pismenih ispita 5 A-I .
m
137
-(2.3+4.5+6.10+8.17+10.12+12.8+14.5)=8,47
60
X6U
A
)::2
-
2
'"' = 860 = 2 .lJ22 .3 + 4 2 .5 + 6 2 ·10 + 8 2 ·17 + 10 2 ·12 + 122·8 + 14 2 .5)- 847 ro~ ,
~ ~ P2
3,076
P(5sX<7) p(5-8,47 sX' < 7 8,47) 3,076 3,076
P(-113sX' <-048)= ' ,
<1>(- 0,48) - <1>(-1,13) <1>(1,13) - <1>(0,48) 0,8708
P3
P(7 sX < 9)=p(7
= P(9 s
0,6844:::: 0,1864
8,47 s X· < 9 -8,47) =p(- 048 sX' < 017)= 3,076 3,076 ' ,
<1>(0,17) - <1>(- 0,48) <1>(0,17)+ <1>(0,48) -1 P4
9,46
0,5675 + 0,6844
1 0,2519
p/O 17 s X' < 082)= ~, ,
X < 11) p(9 - 8,47 s X· < 11- 8,47) 3,076 3,076
= <1>(0,82) - <1>(0,17)= 0,7939 - 0,5675 = 0,2264
Ps
P(l1 s X < 13) pl( 11 8,47 s X· < 13 - 8,471 = p/o 82 s X' < 147)= 3,076 3,076 ~
j
,
,
:::: <1>(1,47)- <1>(0,82)= 0,9292 - 0,7939:::: 0,1353
P6
P(13 s X < 15)= p(13 - 8,47 s X' < 15 - 8,47) 3,076 3,076
p /l,47 s \;
x' < 2,12)=
<1>(2,12) <1>(1,47) = 0,9830 - 0,9292 = 0,0538
Pl :::; 1- (P2 + P3 + P4 + Ps + P6)= 0,1462
Ik mk
[3,5) 8
[5,7) 10
[7,9) 17
[9,11) 12
[11,13) 8
[13,15) 5
Pk
0,1462
0,1864
0,2519
0,2264
0,1353
0,0538
2
(8 - 60· O,1462Y (10 -11,184)2 (12 13,584)2 (8 - 8,118)2 + + + + 8,772 11,184 13,584 8,118
X =
+ (17
15,114)2 + (5 3,228)2 =15877
15,114 3,228 '
X;-J-1:1-a
2
X < X;:O.95
X~-2-1:1-0.05:::: X;:o.95 =i>
7,81
hipotezu ne odbacujemo.
Zadaci sa pismenih ispita
138 17. 06. 1998.
1. U svakoj od n kutija se nalazi po a belih i b crnih kuglica. Na slucajan nacin se iz prve kutije vadi kuglica i prebacuje u drugu, zatim iz druge u treeu, itd, dok se iz zadnje ne izvuce jedna kuglica. a) Kolika je verovatnoCa da je zadnja izvucena kuglica bela? b) Ako je treea izvucena kuglica bela, kolika je verovatnoea da je i prva bela? 2. SI ucaJna v. {C .; xe(-7,5). . promen.'. Jlva X'Ima gus t'lUU raspodl e e q>() x =
o ,
x~(-7,5)
Nad konstantu C i funkciju raspodele slucajne promenljive Y
1 X~-6
-X-5 -6~X~-2
-2 ~ X ~3 Y= X-I 2 3~X~4 X;24 X-2 3, Bacaju se dva pravilna tetraedra sa stranicama oznacenim brojevima 1, 2, 3 i 4. NaCi matematicko ocekivanje za raspodelu kolicnika Q veeeg i manjeg broja koji padaju na donjim stranama tetraedara. 4. Slucajna promenljiva X ima raspodelu datu gustinom q>x (x) =
X 2 e -~ "293 ' { o ,
x> 0, gde je e> O. Na osnovu uzorka obima n, x~O
metodom maksimalne verodostojnosti, nad ocenu parametra e. Ispitati centriranost tako dobijene ocene. 5. U toku 70 godina praceno je radanje cetvorki u jednoj oblasti. Podaci su dati u tabeli. I Broj rodenja cetvorki
I Broj godina
14
I
24
I
17
I
10
2 l 2l
1
I
KoristeCi X2 - test sa pragom znacajnosti a=0,05 , proveriti da Ii su podaci iz tabele saglasni sa hipotezom da se radi 0 uzorku iz populacije sa Puasonovom raspodelom. 1.
a)
Ai - dogadaj da je u i-tom izvlacenju izvucena b~la kuglica
> C i - dogadaj da je u i-tom izvlacenju izvucena erna kuglica
, Zadaci sa pismenih ispita
139
P(An)= P(A n- 1 )· p(AnIA n-1)+ p(c n-1 )· p(A n IC n _ 1 ):::: ::::
P{A 2 )=
a + 1 P{A )+ a p{C ) a + 1+ b n-1 a + b + 1 n-1
a+1 P(A 1 )+ a P(C,)=
a+1+b a+1+b
a+1 a a b --_. - - + .- - a +1+ b a + b a + b +1 a + b -
a(a+b+1)
--r-~---'-,"
a
(3 + b Xa + b + 1) a + b
P(A1)=_a_, P(A 2 )=_a- => P{An)=_a a+b a+b a+b b)
)P(A3IAl) ( I ) ( I ) (, I) ( IA3 ) = P{AtP(A ) PAl P A3 Al +P A2 A 3 Al +P,C 2A 3 Al = 3
a +1 a +1 b a _ (a + 1)2 + ab - - - ---+ ._- a + 1 + b a + 1 + b a + 1 + b a + b + 1- (a + b + 1)2 . 2.
X: GlL(-7,5)
cp () x
l.. , 2 {10 ,
xE{-7,S) x~(-7,S)
1 => C = 12
21----;:--( r-----.-----Il
3 4 5 X
-3 < y ~ 1
Fy(y)=P(Y
140
Zadaci sa pismenih ispita
.
2~y-~-/ 1-----.r---"~-_11
Fy(y)==P(Y
1 y+l =P(-7
----l-3
=~(y+1+7)= y+8 12
12
2
Fy(y}=P(Y
1
y=2
12 =1- (y+2+7 ) = + 9 12 12
-7
=:
,
0
p(- 7 < X
< Y + 2)
y~3
y+3 , -3
Fy(y)
1
12' y+9
2
12'
1 , y>3 3.
X Y Q
1 1 1
1 2 2
1 2 4 1
1
3
4
3
E(Q)=1.-±- + i 16
2
2 2
1
2 3 1 2
2 4 2
1
3 2
3
1
3
2
3 3
1
3 4 .! 3
4
4
4
1 2
3
4
2
.!
1
4 4
..3.. + ~ ..3.. + 2.-±-+ 3..3..+ 4..3..
3 16
2 16
1 ( 4+-+3+8+6+8 8 ) -l" 16 3
16
16
16
1 ( 29+8) =9$ 16 3 48
=:-
3
-
Jdx
Zadaci sa pismenih ispita 4.
141
InL(8) Innxj2 -.lixj i~l 8 ;=1
nln2-3nln8
81nL(8) =~ ix. 3n =0 ~e .lXn
Be 8 2 ;:1 I 8 3
Dakle, statistika kojom se ocenjuje parametar 8 na osnovu uzorka je 1\
1
8=-X n 3 X
2
1\ ( lIn ) 1 1 "" X e -8 E(8)==E -'-LX i =-E(X)= fX·-3-dx
3 n i=1
3
30
28
-X [
t,x = 8t ]
8 dx =8dt
= -1-7et. e2 t 2 . e-t 8· dt = ~ 7ee-tdt 68 3 0 60 -8 r(4) = -8 . 8 ~ Ocena je centrirana. 6
5.
6 1 A== X70 =-(0·14+ 1·24+2·17 + 3.10+4·2+5·2+6.1)= 1,6 70
k
Pk=P(X k)=1,6 e-1.6 Po=p(X=O) e-1,6=0,202
1\
-
k!
P2
= P(X 2)= 1,~2 e-1,6 0,258
3
1,6 e- 1,6 =0138
6 Bro'
0 14 0,202
mk Pk
X2 =
' 1 24 0,323
2 17 0,258
P4
1 (Po +Pl +P2 +P3)=0,079
3 10
0,138
±(m k -npk)2 = (14-70.0,202f + (24 22,61)2 + (17 18,06)2 + kdl
+
70 . 0,202
nPk
(10 9,66Y
+
(5 5,53Y
=
22,61
9,66 5,53
0,0014 + 0,0853 + 0,0622 + 0,0352 + 0,0508 = 0,2349
2 2 2 781
Xr-l-lJ-1 = XS-l-l;1-O,05 = X3;O,95 , X2 < X;;O,95 ~ hipotezu ne odbacujemo.
18,06
142
Zadaci sa pismenih ispita
30. 08. 1998. 1. Iz kutije sa 3 bele i 2 erne kugliee na slucajan nacin se uzimaju dye kugliee i prebaeuju u drugu kutiju sa 4 bele i 4 erne kugliee. a) Kolikaje verovatnoca da se iz druge kutije izvuce bela kugliea? b) Ako je iz druge kutije izvucena erna kugliea, sta je prebaceno iz prve kutije? 2. Kutija saddi 2 neispravna i 8 ispravnih proizvoda. Proizvodi se vade jedan po jedan i ispituje njihov kvalitet. Neka je X slucajna promenIjiva koja oznacava broj potrebnih izvlacenja da se do de do oba neispravna proizvoda. NaCi njeno matematicko ocekivanje. 3. Dvodimenzionalna slucajna promenljiva (X, Y) data je gustinom (flXY ( x,y )
={ !.(x+V) 6 • o
,
y~ 2
(X,y.)eT
,(x,y) (t: T
.
NaCi raspodelu slucajne promenljive Z
1 •. T 1
=X + Y.
2 x
Ix 4. Neka obeJeije X ima raspodeJu datu gustinom
(flx (x) =
{
Je eo
,x> 0 ,X:5:0
gde je e > O. NaCi oeenu za Je metodom maksimalne verodostojnosti. Ispitati eentriranost tako dobijene oeene. 5. KoristeCi X2 - test, sa pragom znacajnosti a =0,1 , proveriti da Ii su podaci [0,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) Ik
mk 25 18 12 7 3 5 saglasni sa hipotezom da se radi 0 uzorku iz populacije Cija je gustina data u 4. zadatku. l.
a)
HI - dogadaj da su iz prve kutije izvucene dYe bele kugliee
H2 - dogadaj da su iz prve kutije izvucene dYe erne kugliee
H3 - dogadaj da su iz prve kutije izvucene raznobojne kugliee
)~ G)(~) ~~
P{H 3
B - dogadaj da je iz druge kutije izvueena bela kuglica
(~)
10
Zadaci sa pismenih
p(BIH\)= 6 , 10
p(BIH2)= 4 , 10
P{B) = P(H\ )p(BIHt)+ P(H 2)P(BIH 2)+ P(H 3 )P(BIH 3 )==
3 6 1 4 6 5 52
=:: - - + - - - + - - - = - 052 10 10 10 10 10 10 100 ' b)
e - dogaaaj da je iz druge kutije izvucena crna kuglica p(e)=1-p(B)
~=0,48 100
4
3
P(H le)= P(Ht)P(CjH t )= 10-10 = 12 =1:.=025
1 p(e) 48 48 4 '
100
6 1
P(H le)= P(H2 )P(CjH 2 ) = 10 -10 =:: ~ == 1:. 0,125 2 p(e) 48 48 8 100 5 6 P(H le)= P(H 3 )P(CjH 3 ) = 10 -10 = 30 =~ = 0625 3 p(e) 48 48 8 ' 100 Ako se je druge kutije izvucena crna kuglica iz prve kutije su najverovatnije prebacene raznobojne kuglice 2_
P(X = 2)= 2 -1. l.. 00223 10 9 45 ' 2 _8 _1.+~_ 2 _1. ~ 0,0445
10 9 8 10 9 8 45
P(X 4) 3 _ 8 - 7 -2 -1 ~ 0 00667
10 -9 -8 -7 4 5 ' ,
P(X 3)
P(X=5)=4- 8-7-6-2-1 = 4 =0,0889
10 -9 -8 -7 -6 45
P(X=6)=5- 8-7-6-5-2-1 5 =0,1112
10-9-8·7-6-5 45
P(X 7)=6- 8-7·6-5-4·2·1 ~ 0,1334
10-9-8· 7 -6-5-4 45
8-7-6-5-4-3-2-1 7
P(X 8) 7- 10 -9 -8 -7-6.5-4-3 = 45 =0,1556
144
Zadaci sa pismenih ispita
P(X 9)= 8. 8· 7·6·5·4·3·2·2·1 =~=0,1778
10·9·8·7 ·6· 5· 4·3·2 45
8·7·6·5·4·3·2·1·2·1 _9 0,2000
( )=9 PX=lO ·------ 10·9·8·7·6·5·4·3·2·1 45 10
E(X)= Ik· P(X = k) 7,3354 k=2
3.
Y 2
y=2
cp(x.y)={i(x+ y ) , (x,Y)ET
o
,(x,y)~T
X=X
x=2
z
x
X+Y
) IJI-- {~6 ,
( )_ (
CPxz x,z -CPXY x,z-x·
X=X
o ,
Y
IJI
z-x
1
(x, z) E T' (x,z)~ T'
Prava x=o transformisu se u pravu x=o.
Z 3
z=3
r---::--7---'
Prava x=2 transformisu se u pravu x=2.
x=2
Prava y=-x+1 transformise se u pravu z=x-x+l=1. Prava y=-x+3 transformise se u pravu z=x-x+3=3.
2
Prava y=2 transformise se u pravu z=x+2.
1 I z=l
x=o
Prava y=O transformise se u pravu z=x+O=x 1
i
•
x
1
2~z<3
Z 2
cpz (z) - Jdx ~(2 -z + 2)= 6 6 z-2 Z 3
Z2
4z 6
Z2
6 4z Z2 cpz(Z) = 6
2
1
1
0 1
2
za ostale z
X 1
zt 2 1 Iz 3 1 Fz(z)=j- pt=-t 3 ' =~ 16. 18 1 18
Zadaci sa pismenih ispita
145 2
z
2 t 2 dt+Jz (2 1 2) dt=-+-t 7 1 21 - -1 t 31 Fz(z)=J-t--t 16 2 3 6 18 3 2 18 2 7 z 2 4 z 3 8 - Z3 + 6z 2 - 9 =-+- - - - - + - = - - - - 18 3 3 18 18 18
0
z::;1
-1 18
l
Z3
Fz(z) = _Z3
+6z 2 -9 18
2
1
z>3
4.
1
n
InL(e) = --lne 2 fA
n
LXi'
2eJe
",e i=1 ~
- n",e + LXi = 0 i=l
olnL(e) =_~+_I_±x. =0 as 2e i=l I
n
fA
fA
1
n
",e = - LXi n i=l
~
fA
",e = Xn
Dakle, statistika kojom se ocenjuje parametar Je na osnovu uzorka je Je = Xn - aritmeticka sredina.
E(Je)= E(~ i~lXi) = ~ i~IE(XJ= E(X) 1
-
~
[~ = t, X = Jet: =Jelt.e-tdt=Je'r(2)=Je
E(X)=lx'Jee ~dx= Je dx =Jedt 00
E(Je) = .J8 5.
00
~ ocena je centrirana.
X70 = ~(0,5. 25+ 1,5·18+ 2,5·12+ 3,5· 7,5+4,5· 5 + 5,5.3) = 1,9 70
1
1
Je = .Jl§ = 0,53
146
Zadaci sa pismenih ispita
o53
x >0
Fx(x)=
x:5;O
{1- e -O,53x , X > 0 0
, X:5;O
P(0:5;X<1) F(1) F(0)=-e-o,53+1=0,4114
P2 = P(1:5; X < 2) F(2) F(1)= _e- 1,06 + e-O,53 = 0,2421
P3 = P(2:5; X <3) F(3) F(2)=_e-1,59 +e-1,06 =0,1426 P4 P(3:5;X<4) F(4) F(3)=_e-2,12 +e- 1,S9 =0,0839 Ps = 1- (PI + P2 + P3 + P4) 0,12 [1,2) 18
[2,3) 12
0,2421
0,1426
[4,5) 8 0,0839
0,1200
(18-16,95r + (12-9,98r + -"-----'----''- + -'----'
-'-----'--......!...-
28,80 16,95 9,98 5,87 = 0,5014 + 0,0650 + 0,4088 + 0,1925 + 0,0190 = 1,1867 X;-1-1:1-a
XLl-1:1-0,1
8,4
X;;O,90 = 6,25; X2 < X~;O,9 hipoteza se ne odbacuje.
20. 09. 1998.
1. Iz kutije sa 3 bele i 2 erne kugliee na slucajan nacin se uzimaju dve kugliee i prebaeuju u drugu kutiju sa 4 bele i 4 erne kugliee. Iz druge kutije izvlaci se jedna kugliea i vraca u prvu kutiju, a zatim se iz druge kutije opet izvlaci kugliea. NaCi verovatnocu da je ona bela. 2. Gustina raspodele slucajne promenljive X data je graficki. a) Odrediti konstantu a i analiticki izraz za q>(x) funkciju
a . < X < a). 2 3. Baeaju se dve kockiee za igru.Ako je zbir palih brojeva manji od 5, tada se noveie' baea dva puta. Neka slucajna promenljiva X oznacava zbir palih brojeva, a slucajna promenljiva Y broj palih grbova. NaCi zakon raspodele slucajne promenljive (X,V), marginalne raspodele i ~(XY). d) Izracunati P(
147
Zadaci sa pismenih ispita 4. Neka obeldje X date popnlacije ima ra.podeln 1
2
1
2
X:
[~ : e !1 eJgde je
.
a) Na osnovu uzorka (1,0,1,1,0), metodom maksimalne verodostojnosti, nad ocenu za parametar e. b) Na osnovu uzorka obima n, metodom maksimalne verodostojnosti, nad ocenu za parametar e. 5. Dat je uzorak od 100 proba relativnog skupljanja (u %) u momentu kidanja za neku leguru posle prirodnog starenja. Relativno skupljanje Prirodno starenje
[21,23)
6
[23,25) [25,27) 14
22
[27,29)
[29,31)
[31,33)
[33,35)
38
16
3
1
KoristeCi X2 test, sa pragom znacajnosti a=0,05 , proveriti da Ii su podaci saglasni sa hipotezom da se radi 0 uzorku iz populaci.ie normalnom raspodelom. 1. H] - dogadaj da su iz prve kutije izvucene dYe bele kuglice Hz - dogadaj da su iz prve kutije izvucene dye erne kuglice H3 - dogadaj da su iz prve kutije izvucene raznobojne kuglice 3 10
A- dogadaj da je iz druge kutije vraeena bela B- dogadaj da je iz druge kutije vraeena crna H; - dogadaj da su u treeu kutiju ubacene dYe bele a vraeena bela
H; - dogadaj da su u treeu kutiju ubacene dYe bele a vraeena erna H~
- dogadaj da su u treeu kutiju ubacene dYe erne a vraeena bela
H~
dogadaj da su u treeu kutiju ubacene dye erne a vraeena erna
H~ - dogadaj
da su u treeu kutiju ubacene raznobojne a vraeena bela
,
H~ - dogadaj da su u treeu kutiju ubacene raznobojne a vraeena erna
Zadaci sa pismenih ispita
148 P(H') P{H). p(AIH )== 1.-. 6 == ~ 1 1 1 10 10 100
P(H;)=P(H 1 )·P(BIH 1 )==
1~ '1~ == 11~0
P(H~) = P{H 2 )· p(AIH 2 )== ~. -±- ~ 10 10
P(H~)=P(H2).P(BIH»)=~'
6 =~ 10 10 100
-
P(H' )=P(H ),p(AIH )=~.~ ~ 5 3 3 10 10 100
P(H') P(H ).p(BIH 6
3
3
100
)= 10 6 .~= 30
10 100
C- dogaaaj da je iz druge kutije vracena bela kuglica
p(C) = P(H;). P(qH;)+ P(H;). P(qH~)+ P(H;). P(qH;)+ + P(H~). P(qH~)+ P(H~). P(qH~)+ P(H~)· P(qH~)= 18 5 12 ._+-. 6 4 3 +_. 6 4 +_._+-. 30 4 30 5 _.-+ 100 9 100 9 100 9 100 9 100 9 100 9 =_1_(90+72+12+24+120+150)= 468 = 13 0,52 900 900 25 2.
a)
-x+a , xE[O,a]
,x~[O,a] x
149 Zadaci sa pismenih ispita
F(x)
xs;O
1\----~-
3.
~
2
3
4
. .1.
. .l.
5
6
7
8
9
10
11
12
16
.2 36
-fir
.2
....1..
l
36
l 36
.l 36
0
. l . .1.
l
1 2
16'+
...L.2
..J.....2
0
0
0
0
0
0
0
0
.l.l.
~.~
l
0
0
0
0
0
0
0
0
36
36
4
4
x{~ 144
Y{1~6
144
E(XY) 4. a)
36
l
4
36
36
4
30
4
36
4 . .l. 4
36
36
3
4
5
6
7
8
9
10
11
8 144
12 144
16 144
20 144
24 144
20 144
16 144
12 144
8
1 12
144
144
J
1:4
l~l
1 18 +4+6+1+2+3)=- 144 8
ej
0,125
L(e)= P(X = 1). p(X == O).p(X == 1).P(X == 1)· P(X
C)
InL(9) 31n 2
12
(1 9 0)=\2-
1- 29 1 + 29 e +21n 2+ 9 . =31n--+21n- 2 2
JC
2+ 9~2 )
Zadaci sa pismenih ispita
150
alnL(0)=3.~+2._2_=_4_ 00
1- 20
1 + 20
1 + 20
6 =0
1 20
4·(1 20)-6(1+20)=4-80 6 120=-200-2 b)
°
/\
=>0
1 10
k- broj jedinica u uzorku obima n n - k - broj nula u uzorku obima n L(O) [p(X= 1)]k . [p(X InL(O)=k.
O)]n-k =(±-or
1-20 +(n
1+20
2
2
alnL(0)=_~+2(n-k)=0 00
1- 20
{~ +O)"-k
/.(1
20Xl+20)
1 + 20
-2k(I+20)+(2n-2k).(1 20)=0 -2k-4kB+2n-4nO-2k+4kB=0 0= 2n -4k =>8 n-2k 4n 2n Dakle, statistika kojom se ocenjuje parametar 0 na osnovu uzorka je 8=_n_-_2K_ 2n 4nO= 2n-4k
5.
A 1 m = X 100 = -(22.6+24.14+26 ·22+28.38+30.16+32·3+34.1)= 27,14
100
~~ =_1_(222 -6+242.14+26 2 .22+28 2 .38+30 2 ,16+32 2 .3+34 2 -1)-27,14 2 100
= 6,02 1\/-2 S=ils~ = 2,45
PI
P(21S:X<23)=p(21
27,14 s:X' < 23 27, 14 1=
2,45 2,45 J
= p(- 2,51 s:X' < -1,69)= <1>(-1,69)- <1>(- 2,51)
= 1- <1>(1,69) (1 <1>(2,51))= <1>(2,51)- <1>(1,69)=
=0,9940-0,9545 =0,0395
P2 =P(23S:X<25)=p(23 27,14 s:X' < 25-27,14J=
2,45 2,45 .
= P(-1,69 s: X· < -0,87)= <1>(- 0,87)- <1>(-1,69)='
Zadaci sa pismenih ispita
151
:::
P3 = P{25 ~ X < 27)
pl f
25 - 27,14 2,45
~ X' < 27 -
P(-0,87 ~ X' < -0,06)=
:::
1::
27, 14 2,45 J
0,8078 - 0,5239::: 0,2839
P4 ::: P(27 ~ X < 29)::: Pl 25 - 27,14 ~ X' < 27 - 27,14 f
2,45
2,45
p(- 0,06 ~ X' < 0,76)::: cD(0,76) +
'j:::
1 :::
Ps = 1- LPt ::: 0,2296 1=1
Ik
[21,23)
mk Pk
X2 :::
[25,27)
6
[23,25) 14
0,0395
0,1467
±(m i=1
np )2 np!
t -
+ (38 - 30,03 30,03
< X~:O.95
0,2839
0,3003
0,2296
::: (6 -100·0,0395)2 3,95
Y+ (20 -22,96 22,96 Y
X2 ;:;: 5,0295 X2
[29,31)
22
[27,29) 38
+ (14 -14,67)2 + (22 - 28,39 )2 + 14,67 28,39
°
°
10639 + 0306 + 14382 + 21152 + 3816 ' , , , ,
X;+l:l-ct ::: XL2-1:J-O,5 =;.
20
X~:O.95
hipotezu ne odbacujemo.
5,99
Prilog 1
152
PRILOG 1
Skup A je pravi podskup skupa B ako je A c B i B\A "# 0 . Skup je beskonacan ako se on moze bijektivno (obostrano jednoznacno ina) preslikati na svoj pravi podskup. Skup koji nije beskonacan je konacan. Skup je prebrojiv ako se on moze bijektivno preslikati na skup prirodnih brojeva N. Skup koji je konacan iii prebrojiv je najvise prebrojiv. Partitivni skup g(O) je skup svih podskupova skupa R.
Gama funkcija r(x) definisana je sa r(x) = I e-'t"-ldt, x> O.
o
r(x + 1) = x r(x), r(1) 1, r(n + 1)
n!, r(!) =.J;, . 2 1
Betafunkcija B(a,b) definisanajesa B(a,b) fx ll - l (1
x)b- 1 dx,a>O,b>O
o
za koju vazi B(a,b) = r(a)r(b).
r(a + b)
Primeri najcesce koriscenih statistika Neka je (XI ,X2"",Xn) uzorak obima n iz populacije sa obelezjem X.
1. 2.
Uzoracki moment reda k je statistika
M~ =.!. t. X~ , kEN. n
;=1
Aritmeticka sredina uzorka(sredina uzorka) je statistika Xn
= 1 ±X; n
;=1
sa osobinama: a)
E(X n }
E(X) ,
b) D(Xn)=!D(X), n
c) Ako obelezje X ima normalnu cvV (m,I;/) raspodelu tada Xn Ima
- A/( m,~ ) raspo d e 1u, pa statIstI . 'k a Xn norma1nu e"yy 2
n
CVV(O,1) raspodelu.
3.
Uzoracki centralni moment red a k je statistika -k 1 n k Sn = L(X; - Xn) ,k EN, k;;:: 2,
n
;=1
m.Ima norma1nu
.
153
Prilog 1
4.
Uzoracka disperzija je statistika
S~ =! ± (Xi n 1=1
Xn)2
=! ± X~ n i=1
X; .
Za uzoracku disperziju S~ uzorka (Xl ,X 2 , ••• , Xn) obelezja X vazi E(S;) = n -1 n(x).
n
Ako obelezje X ima normalnu
-2
G/V(m,~2) raspodelu
tada statistika
n~n ~
ima X~-l raspodelu, n ~ 2 . 5.
Ako obelezje X ima normalnu G/V(m,~2) raspodelu i ako je (XPX2,,,,,Xn) uzorak obima n obelezja X, tada statistika X'n m .In-l Sn gde je Sn
6.
=.JS[, ima Studentovu t n_
1 -
Uzoracka disperzija je statistikaS
raspodelu.
~ !
n
±(X i
m)2 (ako je E(X) = m
s=l
poznato).
Ako obelezije X ima normalnu G/V(m,~2) raspodelu gde je m poznato
-2
tada statistika
7.
n~n ~
ima
X~
raspodelu. E(S;) = n(X) .
Korigovana uzoracka disperzija je statistika
S~
= _1_ ± (Xi n -11=1
Xn)2,
n > 1 (ako E(X) nije poznato).
Ako obelezje X ima normalnu G/V(m,~2) raspodelu gde je ~2 nepoznato,
tada statistika
Xjir JIi S2n
ima Studentovu 1._1 raspodelu.
Priiog2
154
PRILOG2 Sematski prikaz karakteristika nekih slucajnih promenljivih Raspodele diskretnog tipa Naziv raspodele Bernulijeva raspodela ~B (p) Binomna raspodela fB(n,p) Puasonova raspodela fJ'(A)
Geometrijska raspodela s:l(p)
p(k) p(k) = pkql-k k E { 0, 1 }
(~}kqn-k
p(k)
k E { 0, 1, ... , n } ')..,k -A -e k! { 0, 1, 2, .•• }
p(k) kE
p(k) pqk-I k E { 0, 1, •.., n }
i
Prostor parametara
E(X)
D(X)
0
P
pq
!
q +pe it
O
np
npq
i
(q + peit)n
A>O
')..,
A
O
1 p
~
q2
i
k(t)
e i
I
A(Cil-l)
pe it 1- qe il
!
I
155
Prilog2
Raspodele neprekidnog tipa Naziv raspodele Uniformna GJ.t( a,b)
Normalna G¥(m,~)
Prostor paramo
E(X)
D{X)
k(t)
[a,b]c R
&+b 2
(b _a)2
e itb _e ita it(b -a)
meR, ;>0
m
;2
-
0
1
a>O
-
neN
0, n>l
-1 b a
x e (a, b) (x-m)2 -~ 1 --e
s&
12
eitme 2
xeR x2
Normalna GlV(O,l) Eksponen cijalna &lea)
1 - --e 2
&
xeR ae- ax x>O
1
a
1 a2
-
[2
e
2
-a a -it
[(n+1)
Studentova tn
2
n x2 ~ &n-)(1+-)
n
2
n n-2 n>2
--,
xeR !-l -~
x2 e
Hi-kvadrat
X~
2
n
n
i2r(E.) 2
neN
n
2n
(1- 2it)
2
x>O Za Studentovu raspodelu karakteristicna funkcija k(t) je komplikovana, te nije nave dena u tablici.
Prilog3
156
PRILOG3
Uputstvo za koriscenje tablica
Tablice za normalnu Glf/(O,l) raspodelu Ove tablice daju vrednost funkcije (x) =
~ ",2It
je
t
2
2
dt.
-a:;
Primer L Slucajna promenljiva X ima oAI"(O,l) raspodelu. NaCi: <1>(1,52),
<1>(-1,52) ,P(X > 1,52), P(X > -1,52), p(IXI < 1,52) , p(IXI > 1,52) , <1>(4) .
x
...
.02
...
...
...
1,5
...
.9357
U koloni ispod x nalazimo vrednost 1.5, a u vrsti desno od x nalazimo vrednost .02. U preseku vrste sa brojem 1.5 i kolone sa brojem .02 nalazi se vrednost <1>(1,52) = 0,9357 .
Kako je <1>( -x) = 1- (x), to je <1>(-1,52) =1 - <1>(1,52) =1 - 0,9357= 0,0643.
P(X > 1,52) = P(X 21,52) =1- P(X < 1,52) =1- <1>(1,52) = 0,0643.
P(X > -1,52) = P(X 2 -1,52) = 1- <1>(-1,52)= 1 [1- <1>(1,52)]=<1>(1,52):= 0,9357
p(IXI < 1,52) = PC -1,52 < X < 1,52) =<1>(1,52) <1>(-1,52) =
=2<1>(1,52) -1 = 1,8714 1 0,8714 p(IXI > 1,52):::: 1- P(IXI < 1,52) = 1- P( -1,52 < X < 1,52) = 1 [2<1>(1,52) 1]=
=2(1- <1>(1,52» = 2(1- 0,9357) =0,1286 Ako je x> 3,49, tada se uzima da je (x)
1. Dakle , <1>(4) =1.
Primer 2. Ako slucajna promenljiva X ima QAI{O,l) raspodelu naCi x za koje je: P(X < x) = 0,9345, P(X > x) = 0,9345, p(IXI < x) = 0,9345, p(IXI > x) 0.9345. P(X < x) = 0,9345.
x ...
...
.01
. ..
...
1.5
...
.9345
P(X > x)
N alazimo iz tablica pribliznu vrednost funkcije <1>( x) sa unapred datim brojem 0,9345, to je za nas slucaj bas broj 0,9345. Nalazimo vrstu i kolonu u Cijem preseku se nalazi broj 0,9345. Tadaje x =i-1(0.9345) 1,51 .
1 P(X < x):::: 1- (x) = 1- 0,9345:= 0,0655.
Pnlog3
157
Kako je P(X > x) = 0,0655 <1. = <1>(0), sledi da je x negativan broj. Tada je - x 2 pozitivan broj, pa je <1>(-x) =1- <1>(x) = 0,9345 tj. - x = <1>-1(0,9345) = 1,51. Sledi da je x -1,51. p(IXI < x) == 2<1>(x) -1
19354 0,9345 ~ <1>(x) == -'-2-
p(IXI> x) = 2(1- <1>(x» 0,9345 ~ 09354 ~ <1>(x) =1- ' =0,53255 ~ x 2
=0,9677 ~ x =<1> _1(0,9677) == 1,85 .
= <1> _1(0,53255) =0,08
Tablice za X2 raspodelu: U ovim tablicama su date vrednosti za x koje odgovaraju vrednostima funkcije
raspodele F(x) =
~-1 -~ x t2 e 2
J
dt, za n stepeni slobode, gde je n E {1,2,...,30} .Za -00 22 r(n)
2
n > 30 slucajna promenljiva X~ postaje simetricna i tezi normalnoj a4{n,Fn)
raspodeli, te se za te vrednosti n koriste tablice normalne QA/'(O,l) raspodele, uz
prethodno standardizovanje.
n
Primer 3.
a) NaCi x ako je F(x) == 0.010, n = 5.
b) Ako slucajna promenljiva X ima
xi raspodelu naci x tako da je
P(X > x) = 0.005. e) Ako slucajna promenljiva X ima peX < x) := 0.9345. d) Ako slucajna promenljiva X ima
xi2 raspodelu naCi x tako da je
X; raspodelu naCi
P(X < 1.15); P(X > 1.15). a)
...
... ... ...
0.010
...
U preseku vrste n=5 i kolone F(x) = 0.010 nalazimo vrednost x=0,554
5 0.554 b) P(X > x) == 1- P(X s x) == 0,005 ~ P(X < x) = F(~) = 0,995 ~ x == 12,8 " X - 32 X-32 c) n > 30 ~ X == 164 = ima normalnu G41{O,l) raspodelu. 64 8
Prilog3
158
P(X < x) P( X - 32 < x - 32) =0,9345=> x 32 = x =44,08.
dl
888
...
0.050
...
. ..
...
5
...
1.15
i
Za n=S i x=I,15 je P(X < 1,15) = F(I,IS) == O,OSO P(X > 1,IS) 1- P(X :::; I,1S) = == 1 F(I,IS) 1- O,OSO 0,9S. Tablice za Studentovu t - raspodelu :
U ovim tablicama su date vrednosti za x koje odgovaraju vrednostima funkcije t
raspodele F(t) ==
I -00
r(1 + n) 2 n+l dx, gde je n broj stepeni slobode. n x2 &r(-)(l + - ) 2
2
n
Tablice su na sliean naCin date kao i za X2 raspodelu, te ih neremo ovde posebno objasnjavati. Pri resavanju konkretnih problema treba da se znaju sledece osobine:
F(-t) = I-F(t),P(T > t) = I-P(T:::; t) == I-P(T < t) == I-F(t),
p(ITI < t)
= p(ITI :::;
p(ITI > t) == 1
t) == 2F(t) -1, t > 0,
p(ITI:::; t)
:=
2(1
F(t», t > 0.
Tablice za '). . -raspodelu Kolmogorov Smirnova: 00
k
U ovim tablicama su date vrednosti funkcije Q(')...) == I(-I) e- 2k
2 2
/.;
za razne
k=-oo
vrednosti Iv. Ove tablice su jednostavne za primenu i ne treba ih posebno objasnjavati.
159
Prilog4
PRILOG4 Statisticke tab lice N ormalna raspodela (x) =
12
1
,,-r;;- Je 2 dt '\I21t
-OCJ
x .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9
.00 .5000 .5398 .5793 .6179 .6554 .6915 .7257 .7580 .7881 .8159
.01 .5040 .5438 .5832 .6217 .6591 .6950 .7291 .7611 .7910 .8186
.02 .5080 .5478 .5871 .6255 .6628 .6985 .7324 .7642 .7939 .8212
.03 .5120 .5517 .5910 .6293 .6664 .7019 .7357 .7673 .7967 .8238
.04 .5160 .5557 .5948 .6331 .6700 .7054 .7389 .7704 .7995 .8264
.05 .5199 .5596 .5987 .6368 .6736 .7088 .7422 .7734 .8023 .8289
.06 .5239 .5636 .6026 .6406 .6772 .7123 .7454 .7764 .8051 .8315
.07 .5279 .5675 .6064 .6443 .6808 .7157 .7486 .7794 .8078 .8340
.08 .5319 .5714 .6103 .6480 .6844 .7190 .7517 .7823 .8106 .8365
.09 .5359 .5753 .6141 .6517 .6879 .7224 .7549 .7852 .8133 .8389
1.0 1.1 1.2 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
.8413 .8643 .8849 .9032 .9192 .9332 .9452 .9554 .9641 .9713
.8438 .8665 .8869 .9049 .9207 .9345 .9463 .9564 .9649 .9719
.8461 .8686 .8888 .9066 .9222 .9357 .9474 .9573 .9656 .9726
.8485 .8708 .8907 .9082 .9236 .9370 .9484 .9582 .9664 .9732
.8508 .8729 .8925 .9099 .9251 .9382 .9495 .9591 .9671 .9738
.8531 .8749 .8944 .9115 .9265 .9394 .9505 .9599 .9678 .9744
.8554 .8770 .8962 .9131 .9279 .9406 .9515 .9608 .9686 .9750
.8577 .8790 .8980 .9147 .9292 .9418 .9525 .9616 .9693 .9756
.8599 .8810 .8997 .9162 .9306 .9429 .9535 .9625 .9699 .9761
.8621 .8830 9015 .9177 .9319 .9441 .9545 .9633 .9706 .9767
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
.9772 .9821 .9861 .9893 .9918 .9938 .9953 .9965 .9974 .9981
.9778 .9826 .9864 .9896 .9920 .9940 .9955 .9966 .9975 .9982
.9783 .9830 .9868 .9898 .9922 .9941 .9956 .9967 .9976 .9982
.9788 .9793 .9834 .9838 .9871 .9875 .9901 . .9904 .9925 .9927 .9943 .9945 .9957 .9959 .9%8 .9%9 .9977 .9977 .9983 .9984
.9798 .9842 .9878 .9906 .9929 .9946 .9960 .9970 .9978 .9984
.9803 .9846 .9881 .9909 .9931 .9948 .9961 .9971 .9979 .9985
.9808 .9850 .9884 .9911 .9932 .9949 .9%2 .9972 .9979 .9985
.9812 .9854 .9887 9913 .9934 .9951 .9963 .9973 .9980 .9986
.9817 .9857 .9890 .9916 .9936 .9952 .9964 .9974 .9981 .9986
3.0 3.1 3.2 3.3 3.4
.9987 .9990 .9993 .9995 .9997
.9987 .9991 .9993 .9995 .9997
.9987 .9991 .9994 .9995 .9997
.9988 .9991 .9994 .9996 .9997
.9989 .9992 .9994 .9996;
.9989 .9992 .9994 .9996 .9997
.9989 .9992 .9995 .9996 .9997
.9990 .9993 .9995 .9996 .9997
.9990 .9993 .9995 .9997 .9998
1.3
.9988 .9992 .9994 .9996 .9997
.9991'
Prilog4
160
x2 - raspodela F(x)
n
F .010 .025 .0000 .0000 .0201 .0506 .115 .216 .297 .484 .554 .831
.050 .0039 .1030 .352 .711 1.15
.100 .0158 .211 .584 1.06 1.61
.250 .102 .575 1.21 1.92 2.67
.500 .455 1.39 2.37 3.36 4.35
.750 1.32 2.77 4.11 5.39 6.63
.900 2.71 4.61 6.25 7.78 9.24
.950 3.84 5.99 7.81 9.49
11.1
.975 5.02 7.38 9.35 11.1 12.8
.990 6.63 9.21 11.3 13.3 15.1
.995 7.88 10.6 12.8 14.9 16.7
10.6 12.0 13.4 14.7 16.0
12.6 14.1 15.5 16.9 18.3
14.4 16.0 17.5 19.0 20.5
16.8 18.5 20.1 21.7 23.2
18.5 20.3 22.0 23.6 25.2
13.7 14.8 16.0 17.1 18.2
17.3 18.5 19.8 21.2 22.3
19.7 21.0 22.4 23.7 25.0
21.9 23.3 24.7 26.1 27.5
24.7 26.2 27.7 29.1 30.6
26.8 28.3 29.8 31.3 32.8
15.3 16.3 17.3 18.3 19.3
19.4 20.5 21.6 22.7 23.8
23.5 24.8 26.0 27.2 28.4
26.3 27.6 28.9 30.1 31.4
28.8 30.2 31.5 32.9 34.2
32.0 33.4 34.8 36.2 37.6
34.3 35.7 37.2 38.6 40.0
16.3 17.2 18.1 19.0 19.9
20.3 21.3 22.3 23.3 24.3
24.9 26.0 27.1 28.2 29.3
29.6 30.8 32.0 33.2 34.4
32.7 33.9 35.2 36.4 37.7
35.5 36.8 38.1 39.4 40.6
38.9 40.3 41.6 43.0 44.3
41.4 42.8 44.2 45.6 46.9
20.8 21.7 22.7 23.6 24.5
25.3 26.3 27.3 28.3 29.3
30.4 31.5 32.6 33.7 34.8
35.6 36.7 37.9 39.1 40.3
38.9 40.1
41.9 43.2
45.6 47.0 48.3 49.6 50.9
48.3 49.6 51.0 52.3 53.7
1 2 3 4 5
.005 .0000 .0100 .0717 .207 .412
6 7 8 9 10
.676 .989 1.34 1.73 2.16
.872 1.24 1.65 2.09 2.56
1.24 1.69 2.18 2.70 3.25
1.64 2.17 2.73 3.33 3.94
2.20 2.83 3.49 4.17 4.87
3.45 4.25 5.07 5.90 6.74
5.35 6.35 7.34 8.34 9.34
7.84 9.04 10.2 11.4 12.5
11 14 15
2.60 3.07 3.57 4.07 4.60
3.05 3.57 4.11 4.6 5.23
3.82 4.40 5.01 5.63 6.26
4.57 5.23 5.89 6.57 7.26
5.58 6.30 7.04 7.79 8.55
7.58 8.44 9.30 10.2 11.0
10.3 11.3 12.3 13.3 14.3
16 17 18 19 20
5.14 5.70 6.26 6.84 7.43
5.81 6.41 7.01 7.63 8.26
6.91 7.56 8.23 8.91 9.59
7.96 8.67 9.39 10.1 10.9
9.31 10.1 10.9 11.7 12.4
11.9 12.8 13.7 14.6 15.5
21 22 23 24 25
8.03 8.64 9.26 9.89 10.5
8.90 9.54 10.2 10.9 11.5
10.3 11.0 11.7 12.4 13.1
11.6 12.3 13.1 13.8 14.6
13.2 14.0 14.8 15.7 16.5
26 27 28 29 30
11.2 11.8 12.5 13.1 13.8
12.2 12.9 13.6 14.3 15.0
13.8 14.6 15.3 16.0 16.8
15.4 16.2 16.9 17.7 18.5
17.3 18.1 18.9 19.8 20.6
12
13
E:~
161
Prilog4
Studentova t-raspodela l+n
r(---~)
t
F(t) =
I -00
n
2 J dx n x 2 n+ Vnn r(-)(1+-) 2 n r-
F
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
.75 1.000 .816 .765 .741 .727 .718 .711 .706 .703 .700
.90 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.327
.95 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812
.975 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228
.99 31.821 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764
.995 63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169
.9995 636.619 31.598 12.941 8.610 6.859 5.959 50405 5.041 4.781 4.587
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
.697 .695 .694 .692 .691 .690 .689 .688 .688 .687
1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325
1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725
2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086
2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528
3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845
4.437 4.318 4.221 4.140 4.073 4.015 3.965 3.922 3.883 3.850
21
.686 .686 .685 .685 .684 .684 .684 .683 .683 .683
1.233 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310
1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697
2.080 2.074 2.069 2.064 2.()50 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042
2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.457
2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.750
3.819 3.792 3.767 3.745 3.725 3.707 3.690 3.674 3.659 3.646
.681 .679 .677 .674
1.303 1.296 1.289 1.282
1.684 1.671 1.658 1.645
2.021 2.000 1.980 1.%0
2.423 2.390 2.358 2.326
2.704 2.660 2.617 2.576
3.551 3.460 3.373 3.291
22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 rx>
Prilog4
162
Raspodela A Kolmogorov-Smirnova
'A
Q('A)
'A
Q('A)
A.
Q('A)
A.
Q(A.)
A.
Q('A)
A.
Q(},)
0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37
0,0000 0,0001 0,0002 0,0003 0,0005 0,0008 0,0013 0,0019 0,0028 0,0040 0,0055 0,0074 0,0097 0,0126 0,0160 0,0200 0,0247 0,0300 0,0361 0,0428 0,0503 0,0585 0,0675 0,0772 0,0876 0,0987 0,1104 0,1228 0,1357 0,1492 0,1632 0,1778 0,1927 02080
0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99
0,2236 0,2396 0,2558 0,2722 0,2888 0,3055 0,3223 0,3391 0,3560 0,3728 0,3896 0,4064 0,4230 0,4395 0,4559 0,4720 0,4880 0,5038 0,5194 0,5347 0,5497 0,5645 0,5791 0,5933 0,6073 0,6209 0,6343 0,6473 0,6601 0,6725 0,6846 0,6964 0,7079 07191
1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,to 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33
0,7300 0,7406 0,7508 0,7608 0,7704 0,7798 0,7889 0,7976 0,8061 0,8143 0,8223 0,8399 0,8374 0,8445 0,8514 0,8580 0,8644 0,8706 0,8765 0,8823 0,8877 0,8930 0,8981 0,9030 0,9076 0,9121 0,9164 0,9206 0,9245 0,9283 0,9319 0,9354 0,9387 09418
1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 167
0,9449 0,9478 0,9505 0,9531 0,9556 0,9580 0,9603 0,9625 0,9646 0,9665 0,9684 0,9702 0,9718 0,9734 0,9750 0,9764 0,9778 0,9791 0,9803 0,9815 0,9826 0,9836 0,9846 0,9855 0,9864 0,9873 0,9880 0,9888 0,9895 0,9902 0,9908 0,9914 0,9919 09924
1,68 1,69 1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 0 • 1,tM 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99
0,9929 0,9934 0,9938 0,9942 0,9946 0,9950 0,9953 0,9956 0,9959 0,9962 0,9965 0,9967 0,9969 0,9971 0,9973 0,9975 0,9977 0,9979 0,9980 0,9981 0,9983 0,9984 0,9985 0,9986 0,9987 0,9988 0,9989 0,9990 0,9991 0,9991 0,9992 0,9993
2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 2,18 2,19 2,20 2,21 2,22 2,23 2,24 2,25 2,26 2,27 2,28 2,29 2,30 2,31
0,9993 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000
0~18
0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 065
(iz sadriaja)
Knjiga se sastoji iz dva dela. U prvom delu su sistematski i detaljno uradeni zadaci, sa potrebnom teorijskom osnovom koji se rade na vezbama iz predmeta Matem~cke metode IV gradevinske struke FfN-a (uvodni pojmovi; elementi teorije verovatnoce; Bajesova formula i formula totalne verovatnoce; jedno4imenzionalne i visedimenzionalne slucajne promenljive i njihove transforDlacije; matematicko ocekivanje i disperzija; zakoni velikih brojeva i centralne granicne teoreme; osnovni pojmovi matematicke statistikej tackaste i intervalne ocene nepoznatih parametaraj parametarski i neparametarski testovi znacajnosti). U drugom delu knjige sistematski i detaljno su uradeni zadaci sa pismenih ispita (od aprilskog 1997. do oktobarskog roka 1998. godine). (iz recenzije)
CitajuCi tekst predlozenog rukopisa vidi se da je veoma dobra strana u njemu to sto se na pocetku daju formule neophodne za razumevanje i izradu l>lldataka i sto su zadaci detaljno uradeni (u svim delovima teksta). Veoma dobro je i to sto se posebna paznja poklanja pitanjima koja se odnose na one raspodele koje su ceste u primenama. Specijalno, detaljno su obradena mnoga pitanja vezana za Gausovu raspodelu verovatnoea. Tekst rukopisa napisan je jasnim jezikom i prilagodenim stilom, a sve to uradeno je i matematicki precizno i razumljivo. Zadaci su znalacki odabrani, tako da se kroz njih zaista moze savladati nastavna materija. Analiza predlozenog rukopisa pokazuje da sadriaj kakav nalazimo u ovom rukopisu je neophodno stivo za studente tehnickih fakulteta, a posebno za studente Fakulteta tehnickih nauka u Novom Sadu. Sem toga, i studenti drugih fakulteta mod ce da u njemu nadu dosta korisnih sadriaja. Iz navedenih razloga sa zadovoljstvom predlazemo da se rukopis ZBIRKA RESENIH ZADATAKA IZ VEROVATNOCE I STATISTIKE prihvati kao udzbenik za nastavni sadrzaj predmeta Matematicke metode IV. (0 autorima)
Momcilo Novkovic je asistent matematike na Fakultetu tehnickih nauka u Novom Sadu. Diplomirao je 1992. godine na Fakultetu tehnickih nauka u Novom Sadu (Masinski odsek). Magistrirao je 1997. godine na Matematickom fakultetu u Beogradu. Drii vezhe iz predmeta Matematicka analiza I, Matematicke metode IV i Matematika trio Podrucje njegovog naucnog rada je Verovatnoca i statistika slueajni procest Ilija Kovacevic je redovni profesor matematike na Fakultetu tehnickih nauka u Novom Sadu. Doktorirao je 1979. godine na Prirodno-matematickom fakultetu u Beogradu. Predaje Matematicku analizu I, Funkcibnalnu analizu i Matematicke metode IV. Podrucje njegovog naucnog rada je Topologija - kompaktnost.
